Análisis de funciones y conceptos fundamentales de cálculo diferencial

Cálculo Diferencial Multivariado y Álgebra Lineal Profesor Jorge Mendoza Álvarez Unidad 1. Funciones de Varias Variables Actividad 1. Elementos para el análisis de funciones; operaciones con funciones, límites y continuidad Elementos para el análisis del comportamiento de funciones 1.

Explica en qué consisten las propiedades conmutativas, asociativas y

distributivas de los números reales. Conmutatividad: En los números reales, existe esta propiedad determinada para las suma y multiplicación en conjunto. Consiste en que, si dos números reales son multiplicados o sumados, el orden puede ser cambiado sin que el resultado se vea afectado. Sean a y b dos números reales, se establece que: a+ b=b+a a∗b=b∗a Asociatividad: En los números reales, existe esta propiedad determinada para las operaciones: suma y multiplicación. Consiste en que, los números de una expresión pueden agruparse de manera distinta sin afectar el resultado. Sean a, b y c dos números reales, se establece que: a+ ( b+c )=( a+b ) +c a∗( b∗c )=( a∗b )∗c Distributividad: En los números reales, existe esta propiedad determinada para la multiplicación sobre la suma y resta. Consiste en que, el producto de una suma o resta de dos números reales, multiplicados por un tercer número real será igual a la suma o resta de los productos de manera independiente:

a∗( b+ c )=( a∗b ) +(a∗c) a∗( b−c )=( a∗b )−( a∗c)

Cálculo Diferencial Multivariado y Álgebra Lineal Profesor Jorge Mendoza Álvarez Unidad 1. Funciones de Varias Variables Actividad 1. Elementos para el análisis de funciones; operaciones con funciones, límites y continuidad Define que es una relación. Una relación, en los números reales, es una regla de correspondencia que asocia a cada número real “x” de un conjunto de partida A perteneciente a los reales (llamado dominio de la relación) uno o más números reales “y” de un conjunto de llegada B perteneciente a los reales (llamado contradominio de la relación) 2.

Define qué es una función.

Una función real de variable real, es una regla de correspondencia que asocia a cada número real “x” de un conjunto de partida A perteneciente a los reales, un único numero real “f(x)” de un conjunto de llegada B perteneciente a los reales. 3.

Define qué es el dominio y el codominio de una función.

El conjunto de partida A , para todos los números en los cuales existe la función es denominado Dominio, todos los valores que mediante la función existan en el conjunto de llegada B es denominado codominio o contradominio.

4.

¿Cuál es la diferencia entre el codominio y la imagen o rango de una

función? ¿Pueden ser iguales? El codominio hace referencia a todos los números pertenecientes al conjunto de llegada B, mientras que la imagen o rango de la función hace referencia a todos los valores de la variable dependiente (Conjunto B) que tienen algún valor de la variable independiente (Conjunto A) que se transforma en él por la función f(x).

Cálculo Diferencial Multivariado y Álgebra Lineal Profesor Jorge Mendoza Álvarez Unidad 1. Funciones de Varias Variables Actividad 1. Elementos para el análisis de funciones; operaciones con funciones, límites y continuidad 5.

Define y grafica una función inyectiva.

Sean las funciones que, a elementos distintos del Dominio, les corresponden elementos distintos del Codominio y recíprocamente. (Todo o solo una parte del Codominio es el rango de la función). Por ejemplo: f ( x )= √ x−1

6.

Define y grafica una función suprayectiva.

Son las funciones en las que todo elemento del Codominio es imagen de por lo menos un elemento del Dominio.

(Todo el Codominio es el rango de la función). Por ejemplo: f ( x )=2 x +3

7.

Define y grafica una función biyectiva.

Cálculo Diferencial Multivariado y Álgebra Lineal Profesor Jorge Mendoza Álvarez Unidad 1. Funciones de Varias Variables Actividad 1. Elementos para el análisis de funciones; operaciones con funciones, límites y continuidad Si una función cumple con ser inyectiva y suprayectiva, entonces es biyectiva y su regla de correspondencia es biunívoca o uno a uno. Describiendo esta clase de función en su forma gráfica significa que trazando tanto rectas verticales como horizontales por todo su dominio y todo su rango respectivamente, solo se cruzará un solo punto de la gráfica de la función.

Por ejemplo: f ( x )=−2 x +4

8.

Determina el dominio y la imagen de la siguiente función. Determina

también qué tipo de función es. f ( x )=x 3 +2 Dominio(−∞ , ∞) Imagen(−∞ , ∞) Tipo de función : Biyectiva

Operaciones con funciones

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11. Sean las siguientes funciones f ( x )=x 3−2

h ( x )=x 2−x

… realiza las siguientes operaciones: a) f ( x ) ∙h ( x )

( x ¿¿ 3−2)∗( x 2−x)=x5 −x 4−2 x 2+2 x ¿ b) f ( x ) +h ( x )−g ( x ) NO HAY G(X)

12. Sean las funciones: 1 f ( x )=x 2 +5 g ( x ) = 2 h ( x )=6 x +3 x +1 Determina: f ∙ g , foh ( x¿ ¿2+5)∗1 x 2 +5 f∗g= = 2 ¿ x2 +1 x +1 2 2 foh=(6 x +3) +5=36 x + 18 x +18 x+ 9+5=36 x 2 +36 x+ 14

15. En la función f ( x , y )=x 2−4 xy+ 3 y 2, determina: a) f ( 5 , 10 )=5 2−( 4∗5∗10 ) +3∗( 102 ) =125

Trazado de gráficas de funciones bivariadas 1. Elabora la representación gráfica de las funciones: a) f ( x , y )=16−x2 − y 2, donde 0 ≤ x ≤ 4 y 0 ≤ y ≤ 4

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b) f ( x , y )=x 2+ y 2−5 0 ≤ x ≤5 y 0 ≤ y ≤5

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Límites: primera parte

1. Define con tus propias palabras el significado de límite en matemáticas y ejemplifícalo gráficamente.

Definición de límite: Una función f tiende hacia el límite L en a si para todo ε > 0 existe algún δ > 0 tal que |f(x)− L |< ε siempre que 0 < | x – a | < δ . Se puede deducir de la definición, que para que exista el límite L de una función f(x) es necesario que se forme un entorno de L en f(x) siempre y cuando se pueda generar un entorno reducido de a en x . Dado que el entorno de L es: {y L − ε < y < L + ε}, el entorno reducido de a es: {x a − δ < x < a + δ, x ≠ a}, donde δ y ε pueden se tan pequeñas como se desee, por lo que se pueden generar una infinidad de entornos cada vez más pequeños, siempre que x ≠ a . Esto puede interpretarse como la formación de rectángulos cada vez más pequeños que incluyan al punto (a,L). Gráficamente esto es:

En caso de existir, el límite se representa en forma simbólica como: lim f ( x )=L x→ a

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Describe las propiedades fundamentales de los límites. Una función no puede tender a dos límites distintos a la vez. Esto es, si el límite de una función existe, es único: El límite lim f ( x ) x→ a

Existe si lim −¿

x→ a f ( x ) =¿

¿ lim +¿

x→ a f ( x )¿

¿¿ ¿

Estos dos últimos se conocen como límites laterales 2. Calcula los siguientes límites: x 2−3 x +5 ¿ 22−3∗2+5=3 a) lim x →2 x−3 x−3 1 1 = = = 2 x −9 ( x−3 )∗(x +3) 3+ 3 6

b) lim

x →3

3. ¿Cuáles son las tres condiciones que debe satisfacer una función para decir que es continua en un punto?

Para que una función sea continua en un punto a es necesario y suficiente que: a) Exista el valor de la función en el punto, f(a). b) Existan los límites laterales, lim −¿

x→ a f ( x ) =¿

¿ lim +¿

x→ a f ( x )¿

¿¿ ¿

c)Sean límites finitos e iguales a f(a) lim ¿ −¿

x→ a f ( x ) =¿

lim

+¿

x→ a f ( x )=f (a) ¿

¿¿ ¿

4. Sea la siguiente función f , determina en qué punto o puntos es discontinua y explica por qué.

f ( x )=

1 x −1 2

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x 2−1=0 x 2=1 x=± 1 El dominio de la función es todos los reales exceptuando ± 1 ya que en esos puntos se indetermina la función por lo que se analizarán los límites laterales para esos valores: lim

¿

−¿

x→−1 f ( x ) =∞ ¿

lim

¿

+¿

x→−1 f ( x )=−∞ ¿

lim

¿

−¿

x→ 1 f ( x ) =∞ ¿

lim

¿

+¿

x→ 1 f ( x ) =−∞ ¿

Por lo tanto, se determina que en x= ± 1 la función es discontinua.

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Límites segunda parte

1.- Calcula los siguientes límites: 3 x 2+ 3 x−18 3( x−2)( x +3) lim = =3 x+ 9=3∗2+9=15 x−2 x−2 x →2 √ h+1−1 ∗√ h+1+1 2 h+1−1 h h+1 −12 h 1 1 1 lim √ = =√ = = = = h h→ 0 h∗√ h+1+ 1 h∗√ h+1+1 √ h+1+ 1 √ 0+1+1 2 √ h+1+1

2.- Dado f ( x )=5 x f ( x +h ) =5 ( x +h )=5 x+5 h f ( x +h)−f ( x ) 5 x +5 h−5 x 5 h = = =5 h h h Límites: tercera parte Calcula los siguientes límites, si es que existen, aplicando los distintos procedimientos estudiados: ¿ 1. x→ 3 ( x−2 )=3lim −2=1 ∴ sí existe ¿ +¿

2. x→−1

lim +¿

¿

(1− x2 )=(1−12¿)=0 ∴sí existe ¿¿

lim 5 x=−∞∴ no existe 3. x→−∞ 5 5 −5 =¿ = =−5 ∴ sí existe ¿ 0−1 1 x →0 x−1 2 x 2+ 9 x−5 (2 x−1)(x +5) 2 x−1 2∗ (−5 )−1 11 = = = = ∴ sí existe 5. lim x(x +5) x −5 5 x→−5 x 2 +5 x

4. lim

Límites y derivada 1. Explica qué se quiere dar a entender con: lim ¿ −¿

x→ 1 f ( x ) =3

lim +¿

x→ 1 f ( x )=7

¿¿¿

En esta situación, ¿es posible que el límite exista?, explica tu respuesta

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Se da a entender que en el análisis de los límites laterales de la función f(x), estos no son iguales por lo que se deduce que existe discontinuidad en ese punto de la función. Esto índica que el límite no existe. 2. Encuentra la derivada de las siguientes funciones aplicando la definición de derivada. a) f ( x )=5 x +3 f ( x +h ) =5 ( x +h )+ 3=5 x +5 h+3 f ( x +h)−f ( x) 5 x+5 h+ 3−5 x−3 5 h lim f ( x )=¿ = = =5 ¿ h h h h→ 0

b) f ( x )=x 3−x 2 +2 x 3

2

3

2

2

3

2

2

f ( x +h ) =( x+ h ) −( x +h ) +2 ( x+ h )=x + 2 x h+4 x h +h −x −2 xh−h +2 x+ 2h=¿ lim f ( x )=¿ h→ 0

f ( x +h)−f ( x) x 3+ 3 x 2 h+4 x h2 +h 3−x 2−2 xh−h 2+2 x+ 2 h−( x3 −x2 +2 x) 3 x2 h+ 4 x h 2+ = = h h

3. Usando las reglas de derivación, resuelve las siguientes derivadas: 1. y=2 x 8 y '=16 x 7 −2 −7 2 2. y=x 5 y '=− x 5 5 −2 1 3 3 3. y= √ x y ' = x 3 x 4. y=5 e +3 y '=5 e x 5. f ( x )=3 x 5−20 x 3 +50 x f ' ( x )=15 x 4−60 x 2 +50 Límites y continuidad Determina si hay discontinuidad en los siguientes ejercicios de límites, en caso de haberla, señala en dónde se presenta. 1 1. f ( x )= x +1 x +1=0 → x=−1∴ se presenta di s continuidad en x=−1

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x5 No existe discontinuidad 2 3x 3. f ( x )= x−5

2. f ( x )=

x−5=0 → x=5 ∴ se presenta di s continuidad en x=5

4. f ( x )=

100 6+2 x

6+2 x=0 → x=−3 ∴ se presenta di s continuidad en x=−3 10 10 5. f ( x )= 5−x = 2 3 2 4−x x −5 x −4 x +20 x 3−5 x 2−4 x +20=0 → ( x−5 )( x +2 ) ( x −2 )=0 ∴ se presenta di s continuidad en x=5 , x=−2 , x =2