Análisis de Fourier

 

 

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE ESMERALDAS “LUIS VARGAS TORRES”  FACULTAD DE INGENIERÍAS Y TECNOLOGÍAS

CARRERA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA CICLO: NOVENO “A” 

ESTUDIANTE:

MERO FRANCO ARIEL

TEMA

ANALISIS DE FOURIER DOCENTE:

ING. NAKIRA VALENCIA

MATERIA:

ESMERALDAS – ECUADOR 2019

 

Análisis de Fourier

El análisis de Fourier surgió a partir de los intentos del matemático francés Fourier al tratar de darle solución a la conducción térmica en un anillo de hierro, el cual expreso ex preso el comportamiento de la temperatura con funciones discontinuas. Poco después a este análisis se le sumaron teoremas como Euler, Bernoulli, Lagrange, Laplace, etc…, teniendo como resultado un complejo sistema  para análisis de los armónicos. El análisis de Fourier o análisis armónico es el estudio de la representación repr esentación de ondas señales superpuestas, con variaciones de amplitud y frecuencia, las cuales se encuentra en el dominio de la frecuencia. Mediante el análisis de Fourier se puede describir y representar ondas complejas, las cuales están limitadas por constantes reales, lo que las hace difíciles de medir.

∞  0 cos(( ) ) +  sin sin(( ) )   (  ()  2 + ∑ cos = Toda funcion periodica puede ser representada como la suma infinita de las funciones respectivas de cada armonico. Donde los coeficientes

0, ,   representas los coeficientes de

Fourier, los cuales son las cantidades de cada cada una de las señales sinusoidales que deben sumarse entre sí para obtener la señal analizada, los cuales pueden se calculados por las expresones a continuacion [1, 2]:

⁄

0  2 ∫ ()  2  −⁄  ⁄

cos(( ) )      2 ∫ ()   cos −⁄ 

1,2,3,⋯ 

 

⁄

  2 ∫ ()   sin sin(( ) )    −⁄

1,2,3,⋯ 

Transformada de Fourier

La transformada de Fourier es un complejo sistema matemático, el cual permite calcular la contribución de frecuencia de los armónicos a una señal fundamental. Esto lo realiza mediante la descomposición de una señal periódica tomando a consideración las frecuencias más cercanas a la fundamental, pero en vista de que al combinarse tanto la señal original con os armónicos es difícil recuperar la señal original.

∞

()  ∫ ()−  −∞

La ecuación de la transformada de Fourier trata sobre la integración entre limites determinados de una f unción unción periódica por el numero “e” el cual eleva la velocidad angular, esto nos dará la función en el dominio de la frecuencia con sus respectivas componentes senoidales y cosenoidales [3, 4].

Fig. 1. Aplicación de la transformada de Fourier a un pulso rectangular [4].

 

  Transformada inversa de Fourier

Básicamente, la transformada inversa de Fourier permite reconstruir la onda original en  base a la transformada de Fourier, esto siempre y cuando ssee tenga conocimiento de la frecuencia original y la fase de la onda. Es decir, el proceso a realizar es inverso al de la transformada normal [5].

∞ 1  ()  2 ∫ ()−  −∞ Tipos de series de Fourier

Las series de Fourier son series de términos o sumas parciales de seno y coseno que representan y convergen en una función periódica dentro de un intervalo, donde dicha función tendrá distinta frecuencia y amplitud, en comparación la anterior [6].

∞  2 ]   ()  20 +∑[    2  +        =

1. 

Forma compacta

Facilita conocer la amplitud y la fase de una onda o señal en termino de cosenos. Matemáticamente se expresa con la función a continuación [6]:

∞  0  ()  2 + ∑ √  +    cos(   )  =

 

2. 

Forma exponencial

Por medio de la identidad de Euler, se la representa como la suma de 2 series [7, [ 7, 8].

∞

∞

=

=

∑ − − + ∑   

3. 

Formulación general

Las propiedades útiles de las funciones en las series ser ies de Fourier son la ortogonalidad y propiedades similares de las funciones de onda, esto permite la descomposición y transformación de la onda, sin perder la señal original o de referencia [7, 8].

Aplicación en Telecomunicaciones

En telecomunicaciones se trabaja mucho con señales portadoras de información, las cual al deformarse o contener componentes armónicos, alteran la información que transportan, en los  procesos de d e modulación, demodulación y filtrado la señal es combinada o separada de d e una señal  para poder ser transmitida.

La aplicación de Fourier se denota al momento de agregar componentes a la señal y en un receptor descomponerla para reproducir la información de la portadora, a través de los medios de transmisión se pueden agregar componentes armónicos, los cuales son un efecto dañino para la señal, mediante el análisis de fruir es posible descomponer la onda y obtener la portadora casi en su totalidad, manteniendo la información original. La transformada de Fourier al representar las señales en el dominio de las frecuencias, muestra las variaciones de amplitud a través de la frecuencia, de las cuales mediante el análisis se

 

consideran solo los picos pertenecientes o cercanos a un valor estipulado. La transformada de Fourier se utiliza para obtener información de una señal determinada que no es evidente en el dominio del tiempo, por medio de su traducción al dominio de frecuencias [9, 10].

Importancia

El análisis de Furrier, es una herramienta ampliamente utilizada en múltiples campos (ciencia, medicina, ingeniería, etc.), en la cual se analizan espectros de señales las cuales tienen un comportamiento unidimensional e incluso complejo para la representación de las mismas. Con el análisis de Fourier estas señales son representadas en un domino de la frecuencia con amplitudes  basadas en los coeficientes de Fourier, del cual se facilita la obtención de ondas o ndas portadoras y sus respectivos componentes armónicos.

Uso en la vida diaria    

 

Para el diseño de filtro, para filtrar altas frecuencias o armónicos. Procesamiento de señales, en la modulación y demodulación de la señal de forma que no se pierda la portadora que contiene la información. Espectroscopia, analizan los espectros de señales mediante la variación de las amplitudes y frecuencias de cada muestra tomada.

 

Mecánica cuántica, para la expansión y representación de señales que representan fenómenos físicos y cuánticos.

   Neurociencia,

en el análisis de los electroencefalogramas.

 

Bibliografía Capitulo 8 Series de Fourier . (s.f.). Obtenido de

http://ocw.uniovi.es/pluginfile.php/902/mod_resource/content/1/1C_C11852_0910/Apunt es/Temas8a10.pdf [2] García, A. F. (2016). Transformada de Fourier . Obtenido de http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica3/simbolico/fourier/fourier_1.html [4] García, Á. F. (s.f.). Análisis de Fourier . Obtenido de http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/ondas/fourier/Fourier.html [1] Juan Francisco Rodríguez Herrera, V. G. (18 de Octubre de 2014). Análisis de Fourier . Obtenido de https://w3.ual.es/~vruiz/Docencia/Apuntes/Signals/Fourier_Analysis/index.html [7] Maisonnave, M. (Agosto de 2013). Fourier en las Telecomunicaciones. Obtenido de http://lcr.uns.edu.ar/fvc/NotasDeAplicacion/FVC-Mariano%20Maisonnave.pdf [10] Márquez, F. (2018). Obtenido de Series de Fourier: https://fisicaymates.com/series-de-fourier/ [8]  Nieto, A. (Mayo de 2019). Obtenido de Alguien ha hecho el vídeo perfecto per fecto para todos los que sufrimos intentando entender la Transformada de Fourier: https://www.xataka.com/otros/alguien-ha-hecho-el-video-perfecto-para-todos-los-quesufrimos-intentando-entender-la-transformada-de-fourier [3] Ramon Bruzual, M. D. (Marzo de 2003). SERIES DE FOURIER. Obtenido de http://www.matematica.ciens.ucv.ve/labfg/sf/fourier.pdf [5] Villar, A. C. (2006). Fourier y sus coeficientes. Obtenido de http://www.ugr.es/~dpto_am/OLD/docencia/Apuntes/Fourier_y_sus_coeficientes_Canad a.pdf [6] Virginia, S. M. (Junio de 2014). Transformadas de Fourier y telecomunicaciones. Obtenido de http://lcr.uns.edu.ar/fvc/NotasDeAplicacion/FVC-SabandoMariaVirginia.pdf [9]