Análisis de Fourier

 

UNIVERSIDAD TÉCNICA “LUIS VARGAS TORRES” DE ESMERALDAS FACULT ACULTAD DE INGENIERÍAS Y TECN TECNOLOGÍAS OLOGÍAS ESCUELA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA MATERIA: COMUNICACIÓN ANALOGICA DIGITAL ALUMNO:: MARTINEZ ESCOBAR DAVID ALUMNO DAVID X XA AVIER  Tema: ANALISIS DE FOURIER  INTRODUCCIÓN El propósito de este trabajo es exponer la aplicación de la serie y Transformad Transformadaa de Fourier en las telecomunicacio telecomunicaciones. nes. Esta aplicación se identifica originalmente al analizar las señales transmitidas como intercambio de datos; estas señales se llaman portadoras, son sinusoidales, y en ellas se efectúa el intercambio de datos, a través de diversos medios de propagación, y mediante dispositivos de transmisión electrónicos. De igual manera, algunos de los procesos de modulación sobre la señal portadora; entre ellos se ven modulación en fase, en frecuencia y en amplitud. para cada caso, el modelo matemático de trasfondo y el proceso hasta obtener la señal modulada varían un poco. La utilización de la serie y transformada de Fourier en las telecomunicaciones surge a  partir de la naturaleza física de los fenóm fenómenos enos eléctricos, y de su compo comportamiento, rtamiento, explicado a través de funciones f(x), periódicas o movimientos periódicos ondulatorios.

Para señales periódicas se utilizan las series de Fourier y para señales no periódicas se usa la transformada de Fourier. Las series de Fourier permiten determinar la determinar la amplitud y fase de cada una de las componentes de frecuencia que tiene una señal periódica Mediante la transformada de Fourier es posible obtener ondas discontinuas, especialmente útiles a la hora de modular señal; el fundamento para su uso radica en que mediante esta transformada discreta es posible transformar una señal del dominio

 

del tiempo o del espacio al dominio de la frecuencia, o su proceso inverso (aplicando anti transformada de Fourier). Antiguamente, la transformada de Fourier se empleaba mayormente en la solución de ecuaciones diferenciales; actualmente encuentra un vasto campo de aplicación en el análisis de señales discretas, y es ampliamente utilizada en teoría de las comunicaciones,, teleprocesamiento, procesamiento de voz e imágenes, entre otras áreas comunicaciones de la ingeniería DESARROLLO:

Análisis de Fourier Series de Fourier Bajo ciertas condiciones, una función f unción periódica puede expresarse mediante suma infinita (serie) de senos y/o cosenos. En teoría de la comunicación, la variable variable independiente es el tiempo t y la función f(t) f( t) se dice que es una señal periódica en tiempo continuo. Cuando esta representación es  posible, decimos que hemos descompuesto descompuesto la se señal ñal en armónicos o modos de vibración

Una aplicación de la serie de Fourier Las series de Fourier se utilizan, para determinar una función denominada densidad

electrónica, la cual informa sobre la estructura de una molécula cristalina (la posición de sus moléculas) observando la difracción producida por el choque de ondas de rayos x

 

sobre sus átomos, véase la Figura 1.1. La densidad electrónica es la función periódica suma resultante de las contribuciones de los distintos átomos. En la Figura 1.2 se muestra el caso de solo dos átomos. En la práctica, esta función es la suma de una enorme cantidad de funciones sinusoidales (senos y cosenos) de manera que puede ser considerada como una serie de Fourier. [ CITATION osc14 \l 3082 ]

Figura 1.1: Reflexión de los rayos X sobre los átomos

Figura 1.2: Contribución de dos átomos

Figura 1.3: Función periódica resultante

La transformada de Fourier La transformada de Fourier se usa para transformar funciones que están definidas sobre una determinada variable, x, en funciones definidas sobre otra variable. Lo habitual es que la función resultante sea más fácil de manejar. Después de tratarla, se puede volver al dominio original en x, usando la transformada de Fourier inversa. Generalmente, x es una variable física (espacial o temporal) y la otra una variable que se puede interpretar como una frecuencia. [ CITATION Sal12 \l 3082 ]

Una aplicación de la transformada t ransformada de Fourier

 

Una señal luminosa, acústica o electromagnética puede ser descrita por una función y = f(t) periódica. A veces veces interesa hacer un tratamiento a estas señales, por ejemplo, filtrar graves o agudos en un sonido o eliminar manchas en una imagen proyectada. La manipulación directa sobre la señal no siempre es posible a causa de su complejidad. Lo que se hace entonces es descomponer la señal compleja obtenida en el dominio del tiempo en señales simples y obtener a continuación el tren de impulsos correspondiente en el espacio de frecuencias f recuencias como se ha hecho en el apartado anterior. La representación de la frecuencia conlleva una reducción de datos con respecto a la representación del tiempo, aunque la información sea la misma en ambos dominios, en el dominio de frecuencia es más compacta. Utilizando la transformada inversa de Fourier es posible volver nuevamente al dominio del tiempo.

Figura 4.13: Señal que representa un sonidoFigura sonido Figura 4.14: Señales simples obtenidas

Figura 4.15: Descomposición de f(x) en señales simples y tren de impulsos correspondiente Figura  4.14  puede verse Un ejemplo de señal compleja aparece en la Figura 4.13. 4.13. En la Figura su descomposición en señales simples, para ello se utilizaría la serie de Fourier. En

 

ambas se ha representado el tiempo como variable independiente. En la Figura 4.15  4.15   puede verse una señal que representa una vvibración, ibración, su de descomposición scomposición en vibraciones simples y el espectro correspondiente, en negro. Para obtener este último se aplica la transformada de Fourier.

Transformada discreta de Fourier. es una función matemática que convierte una función en otra, siendo la función original una función en el dominio del tiempo y obteniendo una representación en el dominio de la frecuencia. Pero la trasformada discreta de Fourier requiere que la función de entrada sea una secuencia discreta y de duración finita. Dichas secuencias se suelen generar a  partir del muestreo de una función co continua, ntinua, a entrada de la trasformada disc discreta reta de Fourier es una secuencia finita de números reales o complejos, de modo que es ideal  para procesar información información almacena almacenada da en soportes ddigitales. igitales. En particular particular,, la trasformada discreta de Fourier se utiliza comúnmente en procesado digital de señales y otros campos relacionados dedicados a analizar las frecuencias que contiene una señal muestreada.[ CITATION Gus16 \l 3082 ] Conclusiones:

Fourier es la herramienta capaz para modulación de señales físicas, y de su conversión al espectro digital, ya que por su innata naturaleza sinusoidal son directamente representables mediante series de Fourier, y por medio de la transformación del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia, con las diversas adaptaciones según se trate del  parámetro de la señal señal moduladora de que se trate. Esta herramienta matemática sintetiza enormemente la tarea de conversión de señales,  permitiendo a su vez vez la reducción de de las plataformas ddee hardware rese reservadas rvadas a la demodulación, transmisión, recepción e interpretación de la información.

 

Por otra parte, por medio de la modulación de las señales se mejora la calidad de los datos transmitidos, reduciendo considerablemente la tasa de pérdidas de paquetes, inducción de ruidos y corrupción de la data transmitida.

Trabajos citados

Loor,, G. S. (24 de noviembre de 2016). slideshare. Obtenido de slideshare: Loor hps://es.slideshare.net/gug hps://es.slides hare.net/gugaslide/transf aslide/transformada-discretaormada-discreta-de-fourier de-fourier-presenta -presentaon on Losoya, S. S. (22 de sepembre de 2012). scribd . Obtenido de scribd: hps://es.scribd.com/doc/106672478/Analisis-de-Fourier hps://es.scribd.co m/doc/106672478/Analisis-de-Fourier-en-T -en-Telecomunicaciones elecomunicaciones salazar,, o. (29 de mayo de 2014).  prezi . Obtenido de prezi: salazar hps://prezi.com/by7ghgnt8/transf hps://prezi.com/b y7ghgnt8/transformada-de-fourier ormada-de-fourier-en-las-comunicaciones -en-las-comunicaciones//

Tom W. Korner. Fourier Analysis. Cambridge, 1998.