Análisis de Fourier Usando Matlab

Señales y Sistemas I Grupo 2

Análisis de Fourier Usando Matlab Alejandro Rangel

Introducción  Matlab trabaja únicamente con señales discretas.

 Las únicas señales que son discretas en tiempo y frecuencia son las señales periódicas discretas.  Para los otros casos se requerirán aproximaciones para poder llevar a cabo análisis de Fourier en Matlab.

1 ak  x[n]e  N 0 n N0

 jk

2 n N0

x[n ] 

a e

k N0

k

jk

2 n N0

Serie de Fourier en Tiempo Discreto  Las ecuaciones de síntesis y análisis para este caso se pueden implementar fácilmente como programas .m  Los comandos de Matlab fft e ifft se pueden usar para implementar estas ecuaciones.

 Si el vector x contiene un período de la señal, de longitud N:  X = fft(x)/N; Ec. de Análisis  x = ifft(X)*N; Ec. de Síntesis

Serie de Fourier en Tiempo Discreto  Matlab asume que el vector x contiene el período de la señal que va de n = 0 a N-1.  Los coeficientes en X serán también los de k = 0 a N-1.

 fft e ifft se calculan por medio de un algoritmo conocido como la Transformada Rápida de Fourier (Fast Fourier Transform)

Ejemplo  Calcular los coeficientes de Fourier de la señal:

3   x[n]  1  sen n   8   12

M  M 1 2    N 12 N 24 ‣ La señal tiene 24 coeficientes. 3  3     j n   j n      1  12 8  x[n ]  1  e  e 12 8    2 j  



e

j

3 8

2j

e

j



n 12

j

3 8

e 1 e 2j

j



n 12

Ejemplo e

j

3 8

j

3 8

e a1   , a0  1, a1  2j 2j  Los otros 21 coeficientes serán 0.  en Matlab: x = ones(1,24)+sin([0:23]*pi/12+3*pi/8); X = fft(x)/24

Ejemplo X = Columns 1 through 5 1.0000 -0.0000 + 0.0000i

0.4619 - 0.1913i

0.0000 + 0.0000i

-0.0000 + 0.0000i

Columns 6 through 10 -0.0000 - 0.0000i 0.0000i

0.0000 - 0.0000i

0.0000 - 0.0000i

0.0000 + 0.0000i

-0.0000 -

Columns 11 through 15 -0.0000 - 0.0000i -0.0000 - 0.0000i 0.0000i -0.0000 + 0.0000i

0

-0.0000 +

Columns 16 through 20 -0.0000 + 0.0000i 0.0000i

0.0000 - 0.0000i

0.0000 + 0.0000i

0.0000 + 0.0000i

Columns 16 through 24 -0.0000 - 0.0000i

-0.0000 - 0.0000i

0.0000 - 0.0000i

0.4619 + 0.1913i

-0.0000 +

Ejemplo  Los coeficientes diferentes de cero están en las posiciones 1, 2 y 24, que corresponden a los coeficientes 0, 1 y 23.  Los coeficientes de la serie tienen periodo 24  El coeficiente 23 es igual al coeficiente -1  Si se prefiere tener el coeficiente correspondiente a la frecuencia 0 al centro del vector se usa la función fftshift  X = fftshift(x)

Ejemplo  Para este caso, después de fftshift, los valores en las posiciones 1 y 2 se mueven a las posiciones 13 y 14 y el valor en la posición 24 a la posición 12.  La señal original se puede recuperar usando:  x =24*ifft(X)

Ejemplo

‣ x = [1 2 0 0 0 2]; ‣ X = fft(x)/6;

Relación entre la Transformada y la Serie de Fourier en Tiempo Discreto  Sea x[n] una señal de duración M  Su transformada de Fourier será:

    x[n]e

Xe

j

M 1

 jn

n 0

‣ Construya ahora una señal periódica de período N  M, xp[n] haciendo copias de x[n] ‣ La serie de Fourier de xp[n] será 1 ak  N

N 1

 x[n]e

n 0

 jk

2 n N

Relación entre la Transformada y la Serie de Fourier en Tiempo Discreto  Comparando:

 

1 ak  X e j N

 k

2 N

‣ Los coeficientes de la serie de xp[n] son muestras de la transformada de x[n] divididas por N. ‣ La ecuación de síntesis de los ak nos permitirá recuperar xp[n] ‣ xp[n] = x[n] para 0≤n