Analisis de Fourier para Señales

 

 ANALISIS DE FOURIER PARA PARA EL TRATAMIENTO DE SEÑALES

 Julio MEDINA

XII Encuentro de Matemática y sus Aplicacion es 1

 

EPN- Quito, Ecuador- 28 junio a 2  julio 200

2

 

1. INTRODUCCION  La noción de señal es bastante amplia y aparece en diferente diferentess situaciones en las cuales ciertas cantidades varían en el tiempo o el espacio de una magnitud física o de otra naturaleza. Por tanto está ligada al concepto de función. El  Procesamiento de Señales es una disciplina de las ciencias de la ngeniería !ue desarrolla las t"cnicas de procesamiento# análisis e interpretación de señales. Entre las operaciones posibles con las señale señ aless tenemo tenemoss con contro trol# l# filtrad filtrado# o# compre compresión sión de dat datos# os# deconvolución# predicción# etc. $e pueden procesar señales analógicas %representadas por funciones continuas& o señales digitales %dadas por funciones discretas&. En el  procesamiento de señales e'isten diferentes ramas dependiendo de la naturaleza de las señales consideradas %audio# voz# imagen# video&. El procesa procesamie miento nto de se señal ñales es puede puede tener tener diferent diferentes es ob(eti ob(etivos) vos) detección de una señal# estimación de los valores de una señal# codificación# compresión para su almacenamiento y transmisión. $us aplicacione aplic acioness son amplias amplias en telecomunic telecomunicacione aciones# s# audio# video# imagen %m"dica# satelital&# geofísica. La Teoría de Señales es la rama matemática !ue estudia las señales y los si siste stema mass !ue !ue lo loss trans transmit miten en e invol involuc ucra ra *e *erra rrami mien enta tass de dell +nálisis armónico %generalización del +nálisis de ,ourier&# de los espacios vectoriales# de los procesos estocásticos# entre otras. En este este docume documento nto se present presentan an algunos algunos elem elementos entos del  Análisis de Fourier relacionados con el estudio y procesamiento de señales. -os son los instrumentos instrumentos fundame fundamentales ntales)) las series de ,ourie ,ourierr %!ue  permiten la representación de una señal como superposición de ondas de base llamadas armónicos& y la transformada de ,ourier# tanto en su versión continua como en su versión versi ón discreta.

 

En la sección 2 se aborda los conceptos básicos relativos a las señales. En las dos siguientes secciones se tratan las series de ,ourier y las transformadas de ,ourier# respectivamente. La función/ delta de -irac es el tema de la !uinta parte. Enseguida se aborda ,ourier y la secciónla0 transformada concierne a discreta ciertas de operaciones deltransformada procesamiento. La de señales en los cuales se aplica el +nálisis de ,ourier %espectro# filtros# muestreo&

2. CONCEPTOS BASICOS  2.1 . Definición de señal

tilizaremos como definición de señal  de señal ) la variación en el tiempo o el espacio de una magnitud física o de otra otr a naturaleza. Por e(emplo)   La intensidad de la corriente el"ctrica   El nivel de gris de los puntos de una imagen   n electrocardiograma   n sonido   La evolución del índice de la bolsa de valores •

•

•

•

•

La representación matemática %el modelo matemático& de una señal corresponde a la noción de función %de una o varias variables) tiempo# espacio# etc.&. $in embargo las distribuciones %o %o funciones  funciones  generalizadas&& constituyen un modelo más general y satisfactorio.  generalizadas

2.2. Tipos de señales.

Las señales !ue representaremos por # donde es la variable independiente# la variable dependiente# admiten diferentes caracterizaciones)

 

a) Según la presencia o no de elementos probabilísticos:    Estocástica    eterminística %consideradas en este documento& •

•

b) Según la !ariable independiente •

 

•

"ontinua %+nalógica& si la variable es continua  iscreta %-igital& si solo está definida para ciertos valores determinados)

En muc*os casos una señal discreta se obtiene por discretización de una señal analógica# generalmente mediante un convertidor# pero algunas señales son discretas por su propia naturaleza) edades de una  población# estado en el tiempo de una válvula %abierto o cerrado&# etc. c) Según la periodicidad  Peri#dica si se repite cada cierto intervalo de la variable independiente# dic*o intervalo se dice período dice período)) •

   $o peri#dica en el caso contrario

•

!a frecuencia es una medida para indicar el n"mero de repeticiones de cual#uier $en%meno o suceso peri%dico en la unidad de tiempo, por tanto d) Según la e%actitud de los !alores  E%acta si los valores de la señal %función& sean reales o comple(os se consideran e'actos %precisión infinita&  Apro%imada los valores son apro'imados# por e(emplo para  poder utilizarlos computacionalmente. La operación de apro'imación de valores e'actos se dice cuantificaci#n •

•

Evidentemente una señal puede combinar varios de estos atributos# los mismos !ue serán tomados en cuenta para su procesamiento.

 

2.3. Algunas señales element ales

a) Escal#n unitario de &ea!iside Esta señal se denota por

y se define por 

La función no está definida en y modela el establecimiento instantáneo de un r"gimen constante# por e(emplo la señal obtenida al cerrar cer rar un int interru errupto ptorr en un instant instantee dado dado y man manten tenerl erlo o cer cerrad rado o indefinidamente. 3ambi"n se le nota por el valor .

. Para tener simetría a veces se le asigna

,unción escalón unitario b) Señal rectangular  Es la señal# notada donde

# definida por 

dado.

c) Señal sinusoidal pura 'o monocromática& monocromática& $e representa mediante es la amplitud es el pulso o velocidad angular es el %más pe!ueño& período

donde

 

es la frecuencia %n4mero de veces !ue este fenómeno periódico se repite por unidad de tiempo& es el ángulo de fase es la fase inicial %cuando

&

%fase 5ásentre 4til !ue dos conocer instantes&el ángulo de fase es el desfase o diferencia de

+un!ue los valores de una señal son# en principio# n4meros reales y la frecuencia frecuencia un n4mero positivo# por comodidad se utiliza utiliza una función con valores comple(os lo !ue da

6ay !ue observar !ue el coseno o cual!uier combinación lineal de seno y de coseno con la misma frecuencia se pueden transformar en una sinusoide simple y viceversa)

con

7tra representación posible para la sinusoide es

Sinusoide

 

8. SERIES DE FOURIER ,ue el matemático franc"s 9osep* ,ourier# a principios del siglo ::# !uien encontró !ue una función periódica se puede representar  como una suma infinita ponderada de t"rminos en senos y cosenos %la  serie de Fourier &# &# mientras !ue en el caso de funcio f unciones nes no  periódicas la representación se da por medio de una integral %la transformada de Fourier &&.. Esto dio origen al  Análisis Arm#nico# Arm#nico# rama de la 5atemática !ue estudia la representación de funciones o señales como superposición de ondas de base %los arm#nicos arm#nicos&. &. En el caso de las series de ,ourier  estos son sinusoidales y por tanto las series son trigonom"tricas. + partir de la segunda mitad del siglo :: se aplica esta teoría a datos de fenómenos relacionados con con el sonido# la imagen# el clima# la mecánica mecánica cuántica cuántica o las neurociencias. E'isten tambi"n versiones discretas de la serie y de la transformada de ,ourier.

3.1. Polinomios t rrii gonom gonomét ricos ricos

na función

se dice peri#dica dice peri#dica de período

si

La función es periódica con período para cual!uier entero # y lo mismo la función !ue se denomina polinomio denomina  polinomio trigonom(trico trigon om(trico de grado inferior o igual  a $ Este polinomio  puede escribirse como combinación lineal de senos y cosenos) 0

 

donde si

e inversamente $ea . ;on las operaciones usuales para las funciones es un espacio vectorial# al cual se le puede dotar del producto escalar  !ue da origen a la norma

&

$e puede mostrar !ue

y !ue

es una base ortogonal de

# espacio de dimensión

+demás para todo

de donde

!ue da de manera e'plícita función de p de p Los coeficientes

y

los coeficientes de Fourier

se obtienen por las fórmulas

en

 

*bser!aci#n En razón de la periodicidad de

Por tanto si  p es funci#n par 'impar)+

'

)

3.2. Series de Fourier

n conte'to matemático adecuado

para desarrollar el +nálisis de

,ourier es el de los espacios de 6ilbert %espacios vectoriales normados# cuya norma proviene de un producto escalar y completos&. comple tos&. +!uí traba(aremo traba(aremoss en el espacio espacio de las funciones continuas por tramos. na función es continua por tramos en un inter!alo si admite ite un un n4mero fi finito de discontin inu uidades d dee salto. Evidentemente# una función continua en un intervalo es continua  por tramos en

Función continua por tramos

 

$ea . ;on las operaciones usuales de funciones es un espacio vectorial. $i definimos sucede !ue no cumple con la condición de producto escalar %basta tomar una función !ue sea nula en en salvo en un n4mero finito de puntos& Para evitar este problema debemos tomar el espacio de las clases de e!uivalencias de la funciones de # donde la relación de e!uivalencia se define por . Este es un espacio vectorial euclidiano %dotado de producto escalar&. Para simplificar simplifi car el lengua(e lengua(e y la notación trataremos trataremos a estos vectores vectores %colecciones de funciones& como si fueran funciones ordinarias utilizando un representante de la clase de e!uivalencia. En el marco de los espacios de 6ilbert se traba(a en

# el espacio

de lassefunciones de dos cuadrado integrable eniden el sentido Lebesgue. +!uí identifican identifican funciones funcion es si coinciden coinc casi endetodas partes %salvo en un con(unto de medida nula&. Este espacio es el completado del espacio de las funciones de cuadrado integrable en el sentido de