Analisis de Circuitos Electricos

1 Análisis

de circuitos eléctricos El capítulo 1 se dedica al estudio de los principios de los campos eléctrico y magnético y a la relación de éstos con los capacitores e inductores; asimismo, asimismo , se revisan los conceptos generales de operación oper ación de las fuentes de CA y de CD. Sin embargo, los fundamentos teóricos de los circuitos eléctricos descansan en la teoría del electromagnetismo de James Clerk Maxwell. 1 De manera más específica, la teoría de los circuitos eléctricos se basa en los conceptos de impedancia, incluida dentro de la ley de Ohm, las leyes de Kirchhoff y el principio de superposición. 2 Considerando estos conceptos, cualquier circuito lineal puede ser resuelto. Resolver un circuito consiste en encontrar sus corrientes, en un sentido de circulación, en cada una de las ramas, o bien determinar las caídas de voltaje de cada uno de los componentes del circuito. Dadas todas las fuentes de un circuito, es posible encontrar y resolver un conjunto de ecuaciones para obtener cualquier voltaje o corriente en el circuito. En el capítulo cero se describe la ley de Ohm, por lo que en este capítulo, y sin más preámbulo, aprenderemos los conceptos de: 1

2

James Clerk Maxwell Maxwell (1831-1879), físico-matemático escocés, demostró, demostró, mediante un conjunto conjunto de ecuaciones, que la electricidad, el magnetismo e incluso la luz son manifestaciones del mismo fenómeno: fenómeno: el campo electromagnético. La teoría de Maxwell del electromagnetismo es sin duda su obra maestra, ya que revolucionó la forma en que vemos el mundo, cambiando la perspectiva del modelo puramente mecánico de ecuaciones diferenciales de Newton, por el de una realidad f ísica representada por campos continuos sujetos a ecuaciones diferenciales parciales. Se comenta que Maxwell fue inspiración de Albert Einstein (1879-1955) y Rudolph Hertz (1857-1894), entre otros. Lo que sí es un hecho es que su trabajo ha conducido a muchos de los desarrollos que tenemos hoy en día como los teléfonos celulares y los hornos de microondas. George Simon Ohm (1789-1854) describió su teoría de los conductores conductores en 1827; 1827; tiempo después, para 1840, Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887) describió lo que hasta ahora se conoce como las leyes le yes de Kirchhoff, y para 1853 Hermann Von Von Helmholtz (1821-1894) hizo público el principio de superposición, del cual deriva el concepto del circuito equivalente. Treinta años después, Leon Charles Thevenin (1857-1926) publicó los mismos resultados, aparentemente ignorando el trabajo de Helmholtz.

1

Análisis de circuitos circuitos eléctricos

1

Leyes de Kirchhoff para corrientes y voltajes. Aplicación de las leyes de Kirchhoff. Teoremas de redes o circuitos eléctricos. Principio de superposición. Teorema de Thévenin. Teorema de Norton. Conversión de un circuito equivalente de Thévenin a Norton y viceversa.

◗ ◗ ◗ ◗ ◗ ◗ ◗

LEYES DE K IRCHHOFF IRCHHOFF Los circuitos eléctricos, por lo general, están constituidos por componentes que no se encuentran únicamente en serie, en paralelo o en serie-paralelo; por ejemplo, algunas de sus ramificaciones pueden tener diferentes fuentes de  voltaje. Cuando las reglas de los circuitos c ircuitos en serie o en paralelo no pueden ser aplicadas en forma directa, es posible emplear otros métodos de análisis. Entre esos métodos se encuentran las leyes de Kirchhoff, las cuales se describen más adelante, en esta sección. 3 Las leyes de Kirchhoff son igualdades que se basan en la conservación de la carga o energía de los circuitos eléctricos. Estas leyes son derivadas de las ecuaciones de Maxwell; aun cuando Kirchhoff precedió a Maxwell, Kirchhoff tomó en cuenta el trabajo de George Ge orge Simon Ohm para su realización. Estas leyes le yes vienen en dos sabores: la ley de Kirchhoff para los voltajes (LKV) y la ley de Kirchhoff para las corrientes (LKI).

Ley de Kirchhoff para las corrientes (LKI) La LKI se enuncia así: “la suma algebraica de las corrientes que entran y salen de un punto o nodo de un circuito eléctrico debe ser igual a cero”. cero”. Por suma algebraica se entiende la suma de valores tanto positivos como negativos. También es posible enunciar la LKI LK I de otra manera; así pues, pues , se dice que “la suma algebraica de las corrientes que entran a un nodo es igual a la suma de corrientes que sale de él”. 4 El sistema convencional para determinar el sentido de las corrientes considera a las corrientes que entran a un nodo como positivas y a la s corrientes que salen como negativas. La figura 1.1 muestra un ejemplo.

I A = 5 A IC  = 8 A IB = 3 A

Figura 1.1 La corriente de salida IC del nodo P es igual a las corrientes de entrada IA e IB .

De la figura 1.1 se pueden obtener corrientes como: I A + I B − I C = 0 3

4

o

5A+3A−8A=0

(1.1)

Gustav Kirchhoff (1824-1887), físico alemán, contribuyó de buena manera al entendimiento de los circuitos eléctricos. Destacada mente, Kirchhoff probó que en cables cables de resistencia insignificante, la electricidad viajaba a la velocidad de la luz. Esto lo logró usando las leyes de Newton de electrodinámica, antes que Maxwell formulara sus ecuaciones. Recuérdese la analogía presentada en el el capítulo 0: las corrientes corrientes entrando o saliendo un nodo se pueden comparar con el flujo de agua en una una tubería; así, el total de agua que entra a un punto debe ser igual al total de agua que sale de él.

2

ELECTRÓNICA • MIJAREZ

1

Análisis de circuitos eléctricos

Para un circuito serie-paralelo, como el que se muestra en la figura 1.2, las ecuaciones algebraicas para los nodos C y D, respectivamente, son las siguientes:

A

V 1 = 30 V

V 4 = 40 V

R1 = 5 Ω

R4 = 10 Ω

C

E

I3 = 2 A IT = 6 A

I4-5 = 4 A

V T = 240 V

R3 = 60

IT = 6 A

B

Ω

R5 = 20 Ω

V 3 = 120 V

I4-5 = 4 A

I3 = 2 A D

R2 = 15 Ω

V 5 = 80 V

F

V 2 = 90 V

Figura 1.2 Circuito serie en paralelo que ilustra la LKI.

Para el nodo C: I T − I 3 − I 4-5 = 0

(1.2)

− I T + I 3 + I 4-5 = 0

(1.3)

Para el nodo D:

Por consiguiente, la LKI se puede enunciar de manera concisa como:  I ENTRADA = I SALIDA. Sustituyendo valores para las ecuaciones anteriores tenemos que: Para el nodo C 6A=2A+4A

(1.4)

2A+4A=6A

(1.5)

Para el nodo D

Ley de Kirchhoff para los voltajes (LKV) La LKV se enuncia de la siguiente manera: “la suma algebraica de todos los voltajes alrededo r de cualquier trayectoria cerrada es cero”. A la trayectoria cerrada se le llama lazo, y los voltajes pueden ser fuentes de voltaje o caídas de  voltaje ( V R ). La LKV también se enuncia así: “la suma de las caídas de voltaje es igual al voltaje aplicado”. Si se sigue cualquier lazo, empezando en un punto específico, y se regresa al mismo punto de inicio, la suma algebraica de todas las caídas de voltaje debe ser cero; es decir, la diferencia de voltaje, también llamada diferencia de potencial, debe ser cero; si no se regresa hasta el punto de inicio, la suma algebraica es el voltaje entre los puntos de inicio y de fin. grupo

editorial

patria

®

3

1

Análisis de circuitos eléctricos

Para determinar los signos algebraicos en cualquier lazo de un circuito, primero se marca la polaridad de cada  voltaje, como se muestra en la figura 1.2. Un método conveniente es circular cualquier lazo y, si hay un voltaje ( V T), considerar cualquier caída de voltaje de un elemento del circuito como positiva, si la terminal de la fuente positiva se conecta a dicho elemento, en este caso  R2 ; y cualquier caída de voltaje como negativa, si el elemento se conecta a la terminal negativa, en esta figura  R1. Este método aplica tanto a las caídas de voltaje ( IR), como a fuentes de voltaje. Los lazos pueden recorrerse en sentido horario o antihorario. La LKV en forma de ecuaciones, para cada lazo de un circuito, especifica los voltajes alrededor de ese lazo. La figura 1.2 muestra tres lazos: un lazo exterior, que contiene la trayectoria que inicia en el punto A y continúa a través de CEFDB y, por último, regresa al punto A, e incluye las caídas de voltaje V 1, V 4 , V 5 , V 2 y la fuente V T . En la figura 1.2 también se observan dos lazos interiores con las trayectorias ACDBA y CEFDC. Si recorremos la trayectoria en el sentido horario, la ecuación que determina la suma algebraica para el primer lazo interno es: −V 1 − V 3 −V 2 + V T = 0

(1.6)

Los signos de los voltajes ( V 1-V 3) son negativos, porque la terminal negativa de la fuente llega primero a cada uno de los elementos. Sin embargo, siguiendo en el mismo sentido la fuente, V T es positiva porque su terminal positiva se alcanza primero. Si se utiliza el sentido antihorario iniciando en el punto B, ocurre lo contario, así: V 2 , V 3 y V 1 tendrán valores positivos y V T valor negativo. En forma de ecuación esto es: V 2 + V 3 + V 1 − V T = 0

(1.7)

Si trasladamos el término negativo al otro lado de la igualdad, tenemos que: V 2 + V 3 + V 1 = V T

(1.8)

Esta ecuación enuncia que la suma de las caídas de voltaje es igual al voltaje que se aplica. Por consiguiente, esta ecuación se puede representar de manera concisa como: ∑ V  = V T

(1.9)

La letra griega ∑ (sigma) indica sumatoria y se lee como: “la suma de”. Considerando cualquier sentido, para cualquier lazo, la suma de las caídas de voltaje ( IR) debe ser igual al voltaje aplicado. De la ecuación 1.9 se puede observar que la LKV es la base para la regla de los circuitos en serie. Sustituyendo valores en la ecuación 1.8: 90 V + 120 V + 30 V = 240

(1.10)

Cuando un lazo no tiene ninguna fuente de voltaje, la suma algebraica de las caídas de voltaje debe ser igual a cero. Por ejemplo, siguiendo el sentido horario del lazo CEFDC de la figura 1.2, la ecuación de lazo de voltajes es: −V 4 − V 5 +V 3 = 0 −40 V − 80 V + 120 V = 0 0=0

(1.11)

Donde V 3 es positivo, porque la terminal positiva de la fuente alcanza primero el elemento (  R3), usando el sentido horario de D a C de este lazo. Un punto importante que debemos remarcar es que las leyes de Kirchhoff para corrientes y voltajes se pueden aplicar a todo tipo de circuito electrónico, no sólo los que contienen fuentes de voltaje y resistencias, también se pueden aplicar para analizar circuitos que contengan elementos como diodos, transistores, amplificadores operacionales , etcétera.5 5

Las leyes de Kirchhoff son fundamentales para analizar circuitos eléctricos y electrónicos, y ocurre que me he encontrado a estudiantes, casi por graduarse, que han olvidado por completo estas leyes, y tienen dificultades para resolver circuitos tan sencillos como el cálculo de resistencia para encender un LED, por lo que entender estos conceptos es cardinal.

4

ELECTRÓNICA • MIJAREZ

1

Análisis de circuitos eléctricos

Figura 1.3 Circuito eléctrico con dos fuentes de voltaje conectadas en serie.

Para aclarar los conceptos de la LKV se presenta la figura 1.3, donde se requiere aplicar la LKV para resolver los  voltajes V AG y V BG. Las fuentes de voltaje V 1 y V 2 de la figura 1.3 están conectadas en serie, ya que ambas fuerzan sus electrones a fluir en la misma dirección. La conexión a tierra, entre V 1 y V 2, es usada sólo como punto de referencia. Por tanto, para resolver el circuito primero obtenemos el voltaje total V T = V 1 + V 2 = 36 V y la resistencia total  RT = R1 + R2 + R3 = 400 ohms. Aplicando la ley de Ohm, podemos obtener la corriente total:  I T = V T/ RT = 36 V/400 ohms = 90 mA. Como la corriente es la misma en todo el circuito, se puede calcular la caída de voltaje en cada resistencia usando la ley de Ohm, por ejemplo para R1 es V R1 =  I T ×  R1. La figura 1.3b) muestra la caída de voltaje de cada resistencia. En ésta se puede observar que, recorriendo el circuito en sentido antihorario, la polaridad de la caída de voltaje de cada resistencia es negativa en el extremo de la resistencia donde los electrones entran y positiva en el extremo de la resistencia donde los electrones salen. En seguida, se puede aplicar la LKV para determinar si el circuito se resolvió en forma correcta. Si usamos el sentido antihorario, iniciando y terminando en la terminal positiva (+) de V 1, tenemos: V 1 + V 2 − V R3 − V R2 − V R1 = 0

(1.12)

De acuerdo con la LKV, la suma algebraica debería ser igual a cero. Si sustituimos valores tenemos: 18 V + 18 V − 16.2 V − 9 V − 10.8 V = 0

(1.13)

De igual manera, se puede hacer notar que la suma de las caídas de voltaje de cada resistencia es igual al voltaje total: V T = V R1 + V R2 + V R3 → V T = 16.2 V + 9 V + 10.8 V = 36 V. De esta manera, ahora es posible resolver para los voltajes V AG y V BG, haciendo uso de la LKV. Para hacer esto, se usa el sentido antihorario, es decir, sólo se suman algebraicamente los voltajes entre los puntos A y G: V AG = −V R1 + V 1 → V AG = −10.8 V + 18 V = 7.2 V

(1.14)

Sin embargo, si se usa el sentido horario se obtiene el mismo resultado: V AG = V R2 + V R3 − V 2 → V AG = 9 V + 16.2 V − 18 V = 7.2 V

(1.15)

Para resolver el voltaje V BG, con sentido horario, usamos el mismo procedimiento: V BG = V R3 − V 2 → V BG = 16.2 V − 18 V = −1.8 V

grupo

editorial

patria

®

(1.16)

5

1

Análisis de circuitos eléctricos

De la misma manera, al usar el sentido antihorario se produce el mismo resultado: V BG = −V R2 − V R1 + V 1 → V BG = −9 V − 10.8 V + 18 V= −1.8 V

(1.17)

Puesto que el sentido que se utilice produce el mismo resultado, se recomienda utilizar la solución que involucre menos elementos.

Aplicación de las leyes de Kirchhoff para los voltajes y corrientes Si se tiene un circuito con dos fuentes de voltaje en diferentes ramas, como ocurre a menudo en los circuitos electrónicos, se puede hacer uso de la LKV y la LKI para resolver dicho circuito. Ambas leyes llegan a la misma solución; sin embargo, dependiendo de la configuración del circuito, una solución puede ser más práctica que la otra. 6 A manera de ejemplo, aquí resolveremos un circuito usando varios métodos y las leyes de Kirchhoff.

Método de corriente en las ramas El método de corrientes en las ramas del circuito se observa en la figura 1.4. El problema a resolver es, entonces, encontrar las corrientes y los voltajes de las tres resistencias. Para resolver el circuito, primero se asigna el sentido de las corrientes y se marcan las polaridades en cada una de las resistencias.

R1 = 12 Ω

A

I1

84 V

V 1

R2 = 3 Ω

C

E

I2

R3 = 6 Ω

21 V

V 2

I3 = I1 + I2

B

D

F

Figura 1.4 Aplicación de las leyes de Kirchhoff para resolver un circuito con dos fuentes de voltaje en diferentes ramas del circuito.

En este caso, se asume que el flujo de electrones sale de la terminal negativa de las fuentes de voltaje V 1 y V 2 , respectivamente. Las corrientes en las resistencias se indican como  I 1 , I 2 e I 3 . Por consiguiente, como tenemos tres incógnitas, se requerirán tres ecuaciones para su solución. Usando la LKI tenemos que  I 3 = I 1 + I 2 ; es decir, la corriente que sale por el punto C debe ser igual a la corriente que entra. Por tanto, la corriente que pasa por  R3 es I 3 . De esta forma, al obtener I 1 e I 2 se puede conocer I 3, por lo que el sistema se reduce a dos incógnitas y se necesitan sólo dos ecuaciones para obtener  I 1 e  I 2. Estas ecuaciones se obtienen usando la LKV alrededor de los dos lazos internos que contiene el circuito. En este caso, no se utiliza el lazo externo. Para el lazo con V 1, empezando en el punto B y usando el sentido horario, tenemos la siguiente ecuación: 84 V − V R1 − V R3 = 0 6

No obstante, como la aplicación de la LKV y la LKI producen el mismo resultado, y el número de ecuaciones y métodos a utilizar va en aumento, considero que vale la pena entender a cabalidad cuando menos una de las dos leyes y sus técnicas, y aprenderla de memoria. Así como hay personas diestras y otras siniestras, también hay personas que se sienten más cómodas con los voltajes que con las corrientes.

6

ELECTRÓNICA • MIJAREZ

1

Análisis de circuitos eléctricos

Para el lazo con V 2, iniciando en el punto F y usando el sentido antihorario, tenemos la ecuación: 21 V − V R2 − V R3 = 0 Si usamos los valores proporcionados de  R1, R2 y  R3 para obtener las caídas de voltaje en las respectivas resistencias, tenemos: V R1 = I 1 R1 = I 1 × 12 = 12 I 1 V R2 = I 2 R2 = I 2 × 3 = 3 I 2 V R3 = ( I 1 + I 2) R3 = 6( I 1 + I 2)

Sustituyendo estos valores en la ecuación del lazo con V 1: 84 V − 12 I 1 − 6( I 1+ I 2) = 0 Ahora, sustituyendo para el lazo con V 2, tenemos: 21 V − 3 I 2 − 6( I 1 + I 2) = 0 Realizando la multiplicación de 6 por ( I 1 +  I 2), en las dos ecuaciones, combinando y reordenando los términos, tenemos: 84 V = 18 I 1 + 6 I 2 21 V = 6 I 1 + 9 I 2 Para reducir las ecuaciones a su forma más simple, dividimos entre 6 la primera ecuación y entre 3 la segunda. Estas ecuaciones quedan como: 14 V = 3 I 1 + I 2 7 V = 2 I 1 + 3 I 2 Las dos incógnitas en estas dos ecuaciones contienen la solución del circuito, también llamado red. Las corrientes  I 1 e  I 2 pueden calcularse por cualquiera de los métodos para solución de ecuaciones simultáneas. 7 Si se usa el método de eliminación, se multiplica la primera ecuación por 3 para hacer que los términos  I 2 contengan el mismo valor en ambas ecuaciones:

42 V = 9 I 1 + 3 I 2 7 V = 2 I 1 + 3 I 2 Para eliminar  I 2 restamos, término a término, la segunda ecuación de la primera; de esta manera,  I 2 se hace cero y terminamos con una ecuación de una incógnita: 35 V = 7 I 1 5 A = I 1 La corriente I 1 de 5 amperes es la corriente que fluye por  R1. El sentido de la corriente es del punto A al punto C, como se asumió, debido a que el valor de  I 1 es positivo.

7

Las ecuaciones simultáneas son un conjunto de ecuaciones con múltiples variables, a las cuales frecuentemente se les denomina como: sistema de ecuaciones, y cuya solución es encontrar los valores de todas las variables que satisfagan todas las ecuaciones. Los métodos comúnmente utilizados para resolver un sistema de ecuaciones comprenden métodos gráficos, de matrices, de sustitución o de eliminación.

grupo

editorial

patria

®

7

1

Análisis de circuitos eléctricos

Para calcular I 2, se sustituye el valor de I 1 en cualquiera de las dos ecuaciones. Al sustituir  I 1 en la primera ecuación tenemos: 42 = 9(5) + 3 I 23 42 = 45 + 3 I 2 (42 − 45)/3 = I 2 −1 A = I 2 El signo negativo de  I 2 significa que la dirección de la corriente es en sentido opuesto a la que se asumió. Por tanto, la corriente I 2 fluye a través de R2 del punto C al punto E, en lugar de E a C, como se asumió inicialmente. Los resultados negativos, por lo general, presentan cierta confusión o un significado no muy claro. 8 En el ejemplo de la figura 1.4, se asume que la corriente I 2 fluye del punto E al punto C, a través de  R2 , porque V 2 produce electrones que fluyen en ese sentido. Sin embargo, la otra fuente de voltaje, V 1, produce electrones que fluyen a través de  R2 , en la dirección opuesta, del punto C al E. La respuesta  I 2 = −1 A significa que la corriente a través de  R2 producida por V 1 es mayor que la corriente producida por V 2 . El resultado neto es 1 ampere fluyendo en  R2 de C a E. R1 = 12 Ω

R2 = 3 Ω

V R  = 60 V

V R

1

A

C I1 = 5 A

 = 3 V

2

E

I2 = 1 A I3 = 4 A

84 V

V 1

B

V R3 = 24 V

R3 = 6

Ω

D

21 V

V 2

F

Figura 1.5 Solución del circuito de la figura 1.4, incluyendo todos sus voltajes y corrientes.

La figura 1.5 muestra todos los voltajes y las corrientes del circuito de la figura 1.4, incluyendo el sentido correcto del flujo de corriente de I 2 y la polaridad correcta en V R2 , opuesta a la que se asumió previamente, ya que el flujo neto de corriente en  R2 va del punto C al punto E. Sin embargo, la polaridad de V 2 es la misma en ambas figuras porque es una fuente de voltaje que genera su propia polaridad. Para calcular I 3 tenemos:  I 3 = I 1 + I 2 = 5 + (−1)  I 3 = 4 A

El resultado de 4 A de  I 3 indica que el sentido del flujo de corriente del punto C al D, que se asumió inicialmente, es correcto. 8

Aun cuando las reglas para tratar con números negativos se pusieron de manifiesto en el siglo , por el matemático y astrónomo indio Brahmagupta (598-668), en aquella época se considero a los números negativos como oscuros, absurdos o imaginarios. No fue sino ha sta inicios del siglo , cuando los matemáticos empezaron a trabajar en el álgebra y en la “lógica” de la aritmética, que se empezó a esclarecer la definición de los números negativos, de las cantidades imaginarias y de la naturaleza de sus ope raciones. Una referencia más antigua que la de Brahmagupta se encontró en China (1200 a.C.), con propósitos comerciales, donde a los números negativos se les asignaba un significado del mundo real. Una cantidad de dinero donde algo se vendía era positiva, debido a que se recibía dinero, y una c antidad gastada en algo era negativa porque se pagaba; esto es, balance y déficit, fortuna y deuda. Hoy en día estos números forman parte de modelos matemáticos del mundo físico de la ciencia, la ingeniería y la s finanzas; sus aplicaciones se encuentran dondequiera que se use un marco o punto de referencia, como en los sistemas de coordenadas.

8

ELECTRÓNICA • MIJAREZ

1

Análisis de circuitos eléctricos

Una vez que se conocen todas las corrientes, la caída de voltaje en cada resistencia se puede obtener de la siguiente manera: V R1 = I 1 R1 = 5 × 12 = 60 V  V R2 = I 2 R2 = 1 × 3 = 3 V  V R3 = I 3 R3 = 4 × 6 = 24 V 

Para calcular estos voltajes se toman todas las corrientes como positivas, con el sentido del flujo de corriente correcto. La polaridad de cada caída  IR se obtiene considerando el sentido de la corriente. Se puede obser var en el lazo derecho que V R3 y V R2 tienen polaridades opuestas, por lo que la suma de +3 V y −24 V produce un voltaje de −21 V, que corresponde al voltaje de V 2. Para comprobar las respuestas, se puede verificar si se satisfacen las leyes de Kirchhoff para corrientes y voltajes. Por tanto, si se usa la LKI tenemos: En el punto C: En el punto D:

5A=4A+1A 4A+1A=5A

Al usar la LKV en el lazo de V 1, con sentido horario, a partir del punto B, tenemos: 84 V − 60 V − 24 V = 0 Usando la LKV en el lazo de V 2, con sentido antihorario, a partir del punto F, tenemos: 21 V + 3 V − 24 V = 0 Es importante hacer notar que este circuito se resolvió usando únicamente las leyes de K irchhoff, sin utilizar las reglas de circuitos en serie y en paralelo. Por lo que podemos concluir que cualquier circuito puede resolverse aplicando la LKV alrededor de cualquier lazo, y la LKI para cualquier punto o nodo. En resumen, en este método las incógnitas son las corrientes en las ramas del circuito. Dichas corrientes se usan para especificar las caídas de voltaje en los lazos y, posteriormente, se escriben las ecuaciones de los lazos que satisfagan la LKV. Al resolver estas ecuaciones de lazo se pueden calcular las corrientes en cada rama del circuito.

Método de análisis de voltaje de nodo Otro método para resolver el circuito consiste en usar las caídas de voltaje para especificar las corrientes en un punto de las ramificaciones o nodo. En este caso, las ecuaciones de las corrientes se escriben para satisfacer la LKI. Al resol ver las ecuaciones de nodo, es posible calcular los voltajes de nodo, que son las incógnitas en este caso. Por lo general, el análisis de voltajes de nodo es más corto que el método de las corrientes en las ramas. Recuérdese que un nodo es simplemente una conexión común de dos o más componentes en un circuito. Sin embargo, un nodo principal se define como un nodo con tres o más conexiones, donde las corrientes se pueden dividir o combinar. Por tanto, las ecuaciones de corrientes se escriben en los nodos principales. La figura 1.6 muestra los puntos N y G como los nodos principales del circuito anterior. No obstante, es importante hacer notar que un nodo debe ser la referencia para espe cificar el voltaje en cualquier otro nodo. En la figura 1.6 se puede observar que este nodo de referencia es el nodo G, el cual se conecta a la tierr a del chasis o GND. Por tanto, sólo se requiere una ecuación de corriente para el nodo N. Como regla general, el número de ecuaciones de corriente requeridas para resolver el circuito es menor que el número de nodos principales. La incógnita a encontrar en este circuito es el voltaje de nodo, V N, entre los puntos N y G. Una vez que se obtiene este voltaje, se pueden determinar todos los voltajes y las corrientes del circuito. Las corrientes que entran y salen del nodo N se especifican como:  I 1, la cual es la corriente que pasa por  R1; por tanto,  I 1 = V R1/ R1. De manera similar,  I 2 = V R2 / R2 e  I 3 = V R3 / R3. Aquí podemos notar que V R3 es el voltaje del nodo N que queremos obtener. Por esto, se puede calcular I 3 como I 3 = V N / R3. La ecuación de corrientes en el nodo N es: grupo

editorial

patria

®

9

1

Análisis de circuitos eléctricos

R1 = 12 Ω

I1 + I2 = I3

V R  = 60 V 1

I1 = VR1/R1

V 1

2

N

 = 3 V

I2 = VR2/R2 I3 = 4 A

I1 = 5 A

84 V

R2 = 3 Ω V R

R3 = 6 Ω

I3 = VN/R 3

21 V

V 2

G GND

Figura 1.6 Método de análisis de voltaje de nodo para el circuito de la figura 1.5.

 I 1 + I 2 = I 3

o

V R1/12 + V R2/3 = V N/6

De esta ecuación, se puede observar que se tienen tres incógnitas, sin embargo V R1 y V R2 se pueden especificar en términos de V N y los valores conocidos de V 1 y V 2 aplicando la LKV; entonces, para el lazo donde se encuentra V 1 de 84 V, tenemos: V R1 + V N = 84 → V R1 = 84 − V N

En tanto, para el lazo de V 2 de 21 V, tenemos: V R2 + V N = 21 → V R2 = 21 − V N

Sustituimos estos valores de V R1 y V R2 en la ecuación de corrientes:  I 1 + I 2 = I 3 V R1/ R1 + V R2/ R2 = V R3/ R3

Usando cada valor de voltaje en términos de V N: (84 − V N)/12 + (21 − V N)/3 = V N/6 Esta ecuación sólo tiene una incógnita, V N ; para eliminar las fracciones multiplicamos por el término más grande del denominador, en este caso 12. (84 − V N) + 4(21 − V N) = 2V N 84 − V N + 84 − 4 V N = 2V N −7V N = −168 V N = 24 El valor obtenido para V N de 24 V es el mismo que se consiguió mediante el método del cálculo de corrientes en las ramas. El resultado positivo de V N significa que la dirección de la corriente  I 3 es la correcta y que V N es negativo respecto de V G. El objetivo de encontrar el voltaje en el nodo N, en lugar de cualquier otro voltaje en el circuito, es el hecho de que el voltaje de nodo debe ser común a dos lazos. Como resultado, el voltaje de nodo V N puede usarse para calcular todos los voltajes de los lazos. En la figura 1.7 se puede observar que si V N es 24 V, entonces, usando la LKV para obtener el  voltaje en V R1, tenemos que 84 V − V R1 − 24 V = 0; por tanto, V R1 es 84 V − 24 V = 60 V. Asimismo, la corriente  I 1 es 10

ELECTRÓNICA • MIJAREZ

1

Análisis de circuitos eléctricos

60 V/12 Ω = 5 A. De igual manera, para encontrar el voltaje en  R2, V R2, éste debe ser 21 V − V R2 − 24 V = 0, por esto V R2 es 21 V − 24 V = −3 V. La respuesta negativa significa que el sentido de la corriente  I 2 es opuesta a la que se asumió previamente, y que la polaridad en V R2 tiene los signos de forma inversa en  R2, a como se asumió inicialmente en la figura 1.6. La magnitud de la corriente  I 3 es 3 V/3 Ω, la cual es igual a 1 A.

Método de corrientes de mallas Antes de emplear este método, primero definiremos qué es una malla. Una malla es la trayectoria cerrada más simple posible en un circuito. La figura 1.7, por ejemplo, tiene dos mallas: ACDB y CEFD. La trayectoria cerrada exterior ACEFDBA es un lazo, pero no es una malla, ya que no es la trayectoria más simple. Una malla se considera como una  ventana única, donde sólo existe una trayectoria, sin ninguna ramificación. Por tanto, se asume que la corriente de malla fluye alrededor de la malla sin dividirse. En el circuito que se ilustra en la figura 1.7 es posible observar que la corriente de malla  I A fluye a través de V 1, R1  y  R3; por su parte, la corriente de malla  I B fluye a través de R3,  R2 y V 2. Cualquier resistencia común a ambas mallas, como en este caso R3, presenta dos corrientes de malla; en éste son  I A e I B. El hecho de que la corriente de malla no se divide en ningún nodo del circuito es la principal diferencia entre el método de corrientes de malla y el método de corrientes en las ramificaciones. Una corr iente de malla es una corriente que se asume, mientras que una corriente en las ramificaciones es la corriente real del circuito. No obstante, cuando las corrientes de malla se conocen se pueden determinar todas las corrientes y los voltajes del circuito. Al resolver el circuito que se presenta en la figura 1.7, que es el mismo que se ha usado en los método s anteriores, se asumen las corrientes de malla  I A e I B. Las ecuaciones de malla para estas corrientes son: En la malla A En la malla B

18 I A − 6 I B = 84 V  −6 I A + 9 I B = −21 V 

V R

1

A

V R

C

2

E

R1 = 12 Ω I3 = 4 A

84 V

V 1

Malla A IA

V R

R3 = 6 Ω

3

18IA – 6IB = 84 V B

G

Malla B IB

21 V

V 2

–6IA + 9IB = –21 V

D

F

Figura 1.7 Circuito de la figura 1.4 analizado como dos mallas, A y B, y dos corrientes IA e IB .

En este método, el número de mallas es igual al número de corrientes de malla, el cual también es el número de ecuaciones requeridas. En el citado ejemplo se requieren dos ecuaciones para las corrientes de  I A e I B de las dos mallas identificadas. Además, se supone el mismo sentido de las corrientes en las mallas, por lo general horario, como se muestra en la figura 1.7. En cada ecuación de malla se utiliza la LKV, ya que la suma algebraica de las caídas de volta je es igual al voltaje aplicado. Las caídas de voltaje se suman yendo en sentido de la corriente de la malla; por tanto, se consideran positivas. Debido a esto, todas las caídas de voltaje se pueden agrupar y tomar como una sola caída de  voltaje sumando todas las resistencias de la malla. Por ejemplo, en la malla A de la primera ecuación, la resistencia total es 12 + 6, igual a 18 Ω. Por consiguiente, la caída de voltaje de esta malla sería 18 I A. Para la malla B, la resistencia total sería 6 + 3, igual a 9 Ω, y la caída de voltaje total sería 9 I B. Se puede considerar una resistencia total  RT y sumar las resistencias en serie debido a que se asumió una corriente de malla única. grupo

editorial

patria

®

11

1

Análisis de circuitos eléctricos

Sin embargo, cualquier resistencia común a las dos mallas tiene corrientes con sentidos opuestos. En este caso, la resistencia es  R3 y la corriente  I B va hacia arriba y la corriente  I A va hacia abajo. Como resultado de esto, la resistencia  R3 tiene dos caídas de voltaje con polaridad opuesta, es decir, un voltaje positivo y uno negativo. La resistencia mutua o común de 6 Ω tiene un voltaje de 6 I A y −6 I B. En la malla A, la caída de voltaje 6 I A de  R3 más los 12 I A de  R1 resultan en una caída de voltaje de 18 I A; ahora, considerando la caída de voltaje de polaridad opuesta −6 I B , tenemos la ecuación de la malla A, 18 I A − 6 I B = 84 V. Lo mismo aplica para la malla B; sin embargo, ahora el voltaje 6 I B es positi vo, porque la ecuación es para la malla B. En este caso, el voltaje −6 I A es negativo porque la corriente  I A es de la malla adyacente. La caída de voltaje 6 I B de  R3 se suma a la caída de voltaje 3 I B de  R2, lo cual resulta en una caída de voltaje total de 9 I B. Considerando la caída de voltaje de polaridad opuesta de la malla contigua −6 I A, la ecuación para la malla B es 9 I B − 6 I A = −21 V. El signo algebraico de la fuente de voltaje en una malla depende de su polaridad. Cuando se asume que la corriente de malla fluye hacia la terminal positiva, como en la malla B, la fuente de voltaje se considera positiva en el lado derecho de la ecuación, como es el caso de V 1. La dirección de este flujo de corriente produce caídas de voltaje que se deben sumar para igualar el voltaje aplicado. Cuando la corriente de malla fluye hacia la terminal negativa, como e s para la fuente V 2 , a la fuente se le considera negativa. Ésta es la razón por la que V 2 es −21 V para la malla B. En realidad, V 2 actúa como una carga para la fuente V 1, en vez de ser una fuente. En el caso de que una malla no tenga ninguna fuente de voltaje, la suma algebraica de las caídas de voltaje debe ser igual a cero. El sentido del flujo de corriente que se asume inicialmente, se usa para determinar las caídas de voltaje de las mallas. Debemos observar que considerando una fuente de voltaje con un valor positivo, con los electrones fluyendo hacia la terminal positiva, corresponde al flujo normal de la carga de los electrones. Si la solución para una corriente de malla resulta negativa, el sentido real del flujo de corriente debe ser opuesta a la asumida. Para resolver las ecuaciones de malla, con el fin de encontrar las corrientes de malla  I A e I B , usamos las ecuaciones previamente descritas: En la malla A En la malla B

18 I A − 6 I B = 84 V  −6 I A + 9 I B = −21 V 

Estas ecuaciones tienen los mismos coeficientes que las encontradas para el método de corrientes de ramas; sin embargo, los signos son diferentes, porque las direcciones de las corrientes no son las mismas. La solución es la misma por cualquiera de los dos métodos, pero se tiene que ser consistente con los signos, para eso se deben usar las reglas para las mallas, con sus corrientes de mallas, o bien la regla de los lazos, con sus corrientes de ramas. Al resolver las ecuaciones de malla, para eliminar  I B y encontrar I A, se divide la ecuación de la malla A entre 2 y la ecuación de la malla B entre 3: 9 I A − 3 I B = 42 V  2 I A + 3 I B = −7 V  En seguida se suman las ecuaciones, término a término, para eliminar  I B ; entonces, tenemos: 7 I A = 35 V → I A= 5 A Para obtener I B , se sustituye el valor de  I A en la ecuación de la malla B: −2(5 A) + 3 I B = −7 V  3 I B = −7 V + 10 V → I B= 1 A Las respuestas positivas de  I A e I B significan que el flujo de corriente es, en realidad, en sentido horario, como se asumió previamente. Las caídas de voltaje en las resistencias del circuito de la figura 1.7 se obtienen con base en la s corrientes de malla obtenidas. Para la resistencia  R1, la corriente  I 1 es igual a la corriente asumida  I A; por tanto, V R1 es 5 × 12 = 60 V, y su polaridad está marcada como negativa en el extremo de  R1, que toca la fuente V 1, con el flujo de electrones entrando en ese lado. 12

ELECTRÓNICA • MIJAREZ

1

Análisis de circuitos eléctricos

De manera similar, la corriente I B , de 1 A, es la única corriente que fluye por  R2. El sentido del flujo de electrones  va de izquierda a derecha, en sentido horario; en consecuencia, V R2 es 3 × 1 = 3 V, con el lado izquierdo de la resistencia negativo. Para la resistencia común  R3 , la corriente  I 3 está compuesta de  I A e  I B. Por tanto,  I 3 es la suma algebraica de 5 A − 1 A = 4 A. Se puede observar que las corrientes se restan porque sus flujos son de dirección opuesta. La dirección del flujo de corriente es hacia abajo, debido a que la corriente  I A es mayor que I B. Por esta razón, la caída de voltaje V R3 es 4 × 6 = 24 V, con el extremo superior de  R3 negativo. Aun cuando el método de mallas es diferente al método de las corrientes de ramas, el resultado es el mismo. La  ventaja del método de corrientes de mallas es la trayectoria algebraica de signos para determinar la polaridad de los  voltajes, la cual no requiere de rastrear las corrientes en sus ramas. 9

TEOREMAS DE REDES O CIRCUITOS ELÉCTRICOS Un circuito eléctrico, también conocido como red eléctrica o simplemente red, es una combinación de componentes interconectados, como resistencias y fuentes de voltaje, para alcanzar un resultado particular. Por lo general, las redes eléctricas requieren, para su análisis, reglas adicionales a los circuitos serie y paralelo, como las leyes de Kirchhoff que se estudian en la sección anterior. Sin embargo, los teoremas de redes, aunque son derivados de las leyes de Kirchhoff, por lo común proveen métodos más cortos o sencillos para resolver circuitos de este tipo. Algunos teoremas posibilitan la conversión de una red o circuito complejo a un circuito más simple o equivalente al original; en consecuencia, el circuito equivalente se puede resolver usando las reglas de los circuitos serie y paralelo. Otros teoremas posibilitan la conversión de un circuito a otra forma más fácil de resolver. En este apartado nos centramos en los teoremas de superposición de Thévenin y de Norton, respectivamente. Aunque, por simplicidad, los ejemplos expuestos sólo muestran redes de resistencias y fuentes de voltaje, como baterías, los teoremas también pueden aplicarse a redes de CA.

Teorema de superposición El teorema de superposición es de gran utilidad debido a que extiende el uso de la ley de Ohm a circuitos que tienen más de una fuente. El teorema de superposición se enuncia de la siguiente manera: “en una red con dos o más fuentes, la corriente o el voltaje para cada componente es la suma algebraica de los efectos producidos por cada fuente operando de forma separada”. En pocas palabras, podemos calcular el efecto de cada fuente por separado y después superponer o sobreponer los resultados de todas las fuentes. Para usar una fuente a la vez, todas las otras fuentes son canceladas temporalmente. Una fuente cancelada indica que no puede generar voltaje o corriente, además de que no cambia la resistencia del circuito. Una fuente de voltaje, como el caso de una batería, es eliminada considerando un corto circuito entre sus terminales, a través de su diferencia de potencial, aunque su resistencia interna puede permanecer. Para el caso de una fuente de corriente, ésta es eliminada considerándose un circuito abierto. La figura 1.8a) muestra un circuito divisor de voltaje con dos fuentes de voltaje V 1 y V 2, para el cual se requiere encontrar el voltaje del punto P a la tierra chasis del circuito. Con el teorema de superposición se calcula el voltaje en el punto P, proporcionado por cada fuente de manera independiente. Considerando la fuente V 1, se cancela V 2 , poniéndola en corto circuito, como se ilustra en la figura 1.8b); por tanto,  R1 se conecta a la tierra del circuito. Como resultado, se forma un divisor de voltaje con  R2 y  R1, teniendo como fuente V 1. Si empleamos la fórmula del divisor de voltaje tenemos: V R1 = V 1 R1/( R1 + R2) = (24 V) (60 kΩ)/(30 kΩ + 60 kΩ) V R1 = 16 V 

9

Otra vez, como el resultado es el mismo utilizando cualquiera de los métodos descritos, siempre recomiendo a mis alumnos que memoricen cuando menos uno de ellos.

grupo

editorial

patria

®

13

1

Análisis de circuitos eléctricos

V 1 = +24 V

V 1 = +24 V

A

A

R2 = 30 k Ω

R1 = 60

A

R2 = 30 k Ω

kΩ

R2 = 30 k Ω

P

P

P

+13 V

+16 V

–3 V

R1 = 60

kΩ

R1 = 60

V 2 = –9 V

kΩ

V 2 = –9 V

B a)

B b)

B c)

Figura 1.8 Teorema de superposición aplicado a un circuito divisor de voltaje con dos fuentes independientes: a) voltaje del punto P a t ierra de 13 V; b) considerando el voltaje V 1 ; c) considerando el voltaje V 2.

Ahora, para observar el efecto de V 2 , se pone en corto circuito V 1, como se muestra en la figura 1.8 c). El punto A se aterriza y se forma el divisor de voltaje considerando V 2. Usando la misma fórmula tenemos: V R2 = V 2 R2/( R1 + R2) = (−9 V) (30 kΩ)/(30 kΩ + 60 kΩ) V R2 = −3 V 

Por último, el voltaje total en P, V P , es la suma algebraica de las dos fuentes de voltaje V 1 y V 2: V P = V R1 + V R2 = 16 V − 3 V = 13 V 

El resultado final es positivo porque la fuente V 1 es positiva y mayor que V R2. Por tanto, se puede observar que el problema se redujo a dos divisores de voltaje al usar el teorema de superposición. El mismo teorema se puede usar con más fuentes, ya sean de voltaje o de corriente. 10 En este ejemplo, las fuentes de voltaje se consideran ideales, esto es, su resistencia interna es cero. Sin embargo, si la fuente de voltaje tiene resistencia interna, simplemente se deberá sumar en serie con  R1 y R2. Para aplicar el teorema de superposición, todos los componentes tienen que ser lineales y bilaterales. Por lineal  se entiende que la corriente es proporcional al voltaje aplicado, por lo que las corrientes calculadas para cada fuente de  voltaje pueden ser superpuestas. Por bilateral   se entiende que la cantidad de corriente calculada es la misma para fuentes de voltaje de polaridades opuestas; en consecuencia, los valores obtenidos de corrientes para fuentes de volta je de polaridad opuesta pueden ser sumados algebraicamente. 11

Teorema de Thévenin Otro teorema importante, por mucho el más usado, para resolver circuitos eléctricos, es el teorema de Thévenin. 12 Dicho teorema es muy útil porque permite simplificar el proceso usado para obtener los valores de corrientes y volta10 11

12

La ventaja del teorema de superposición es que para resolver un circuito y obtener sus voltajes y corrientes, no se requiere el uso de ecuaciones simultáneas, determinantes o cualquier otra técnica matemática. Los circuitos con resistencias, capacitancias e inductancias, por lo general, son componentes lineales y bilaterales. A estos componentes también se les llama pasivos, debido a que por sí solos no amplifican ni rectifican. Los componentes activos, como diodos y transistores, nunca son bilaterales y, con frecuencia, no son lineales. El teorema del generador, o teorema de Thévenin, lleva ese nombre en honor del ingeniero francés Léon-Charles Thévenin (1857-1926), quien lo propuso en 1883, aunque en realidad Hermann Von Helmholtz lo propuso en un artículo 30 años antes. Thévenin es recordado por este

14

ELECTRÓNICA • MIJAREZ

1

Análisis de circuitos eléctricos

 jes de un circuito eléctrico. Con este teorema, muchas fuentes y componentes, no importa cómo están interconectados, pueden ser representados por un circuito en serie equivalente, compuesto por dos terminales o conexiones a un circuito o red. Básicamente, el circuito equivalente reduce cualquier circuito a un divisor de voltaje, el cual, como ya sabemos, es sencillo resolver. De manera formal, el teorema de Thévenin enuncia que cualquier circuito lineal activo con terminales A y B puede ser reemplazado por una fuente de voltaje V TH en serie con una resistencia R TH conectada a estas terminales. La figura 1.9 ilustra este enunciado.

La regla más importante para aplicar el teorema de Thévenin a un circuito es eliminar o poner a cero las fuentes, esto es: todas las fuentes 13 de voltaje se ponen en corto y todas las fuentes de corriente se mantienen como un circuito abierto. Una vez que todas las fuentes de voltaje se ponen en corto y las de corriente en circuito abierto, todos los componentes del circuito se reducen a arreglos serie o paralelo. RTH

A

A

V TH

Red B

B

Figura 1.9 Cualquier circuito o red eléctrica puede ser reducido a un circuito serie equivalente de Thévenin, formado por un voltaje y una resistencia en serie.

En este caso, V TH es el voltaje de circuito abierto de las terminales A y B. Dicho voltaje representa el voltaje en las terminales A y B que el circuito produce cuando no se tiene carga , es decir, con circuito abierto. De la misma manera,  RTH es la resistencia de circuito abierto a través de las terminales A y B, con todas las fuentes a cero. Esto significa que la resistencia se encuentra viendo hacia el circuito desde las terminales A y B. Como ejemplo obsérvese el circuito de la figura 1.10a), donde queremos encontrar el voltaje V L a través de la resistencia de carga  RL, de 2 Ω, y su corriente  I L. Usando el teorema de Thévenin, se desconecta mentalmente la carga  RL , de tal forma que obtenemos las terminales A y B, viendo al circuito. Ahora, con el resto del circuito se encuentra el V TH en las terminales A y B, mediante el divisor de voltaje, en el cual se convirtió el circuito sin carga. Por tanto, como se muestra en la figura 1.10b), podemos calcular V TH como: V TH = V AB = V R2 = 36 V(6 Ω)/9 Ω = 24 V 

Para encontrar RTH, la fuente de voltaje se pone en cortocircuito, de tal forma que  R1 y R2 quedan en paralelo, obteniéndose una RTH igual a 2 Ω, como se muestra en la figura 1.10c). 14 El circuito equivalente de Thévenin consiste en la fuente de voltaje V TH en serie con  RTH, como se expone en la figura 1.10d). Para encontrar V L e I L, finalmente conectamos la resistencia de carga  RL al circuito equivalente de Thé venin, como se observa en la figura 1.10e). Usando el divisor de voltaje, tenemos que: V L = 24 V(2 Ω)/4 Ω = 12 V. Para encontrar I L, usamos la conocida ley de Ohm, V L/ RL ; esto es: 12 V/2 Ω = 6 A. Es importante hacer notar que I L también fluye a través de RTH, por lo que también se puede obtener  I L como V TH/( RTH + RL), 24 V/4 Ω = 6 A. En el circuito de la figura 1.10a) es posible obtener la misma respuesta usando circuitos serie-paralelo y la ley de Ohm; sin embargo, la ventaja de usar el teorema de Thévenin es que se puede calcular con mayor facilidad el efecto de diferentes valores de  RL. Por ejemplo, si  RL cambia a 6 Ω, usando el circuito equivalente de Thévenin podemos

13 14

teorema y por su gusto por la enseñanza. Este teorema es tan popular en el análisis de circuitos eléctricos que en inglés lo usan como verbo: “thevenize”. Por fuente de voltaje se entiende un dispositivo que mantiene el voltaje aun cuando la carga varía; de manera semejante, una fuente de corriente mantiene la corriente a pesar de que la c arga cambia. Para obtener el paralelo de sólo dos resistencias se usa la fórmula más simple de multiplicar-dividir, esto es  R ( 1)( R2)/( R1 + R2), lo cual es más fácil de calcular que 1/ R1 + 1/ R2.

grupo

editorial

patria

®

15

1

Análisis de circuitos eléctricos

R1 = 3 Ω

R1 = 3 Ω

R1 = 3 Ω

A

V  = 36 V

A

V  = 36 V

R L =

R2 = 6Ω

2Ω

R2 = 6Ω

V AB = 24 V

A

Cortocircuito

R2 =

6Ω

RAB = 2 Ω

V 

B

B

a)

B

b)

c)

RTH = 2 Ω

RTH = 2 Ω A

A V TH =

V TH =

V L =

RL =

24 V

24 V

12 V

2Ω

B

B

d )

e)

Figura 1.10 Aplicación del teorema de Thévenin a un circuito con una fuente de voltaje.

obtener V L como 24 V(6 Ω)/8 Ω igual a 18 V. I L sería 18 V/6 Ω igual a 3 A. En cambio, si usamos la ley de Ohm en el circuito original, se requeriría una nueva solución cada vez que cambiemos  RL. Con el fin de utilizar el teorema de Thévenin en un circuito con dos fuentes, seleccionamos el circuito de la figura 1.7, resuelto previamente usando las leyes de Kirchhoff. En este caso, se requiere obtener la corriente  I 3 que fluye por la resistencia R3, por lo que las terminales A y B se marcan a través de la resistencia  R3. Por consiguiente, se desconecta R3 del circuito, como se muestra en la figura 1.11, para calcular V TH o V AB en las terminales abiertas. Para resolver este circuito, primero usamos el concepto de superposición con el propósito de encontrar el voltaje V AB, producido por cada fuente de manera independiente, y después se suman algebraicamente los dos resultados, para tener el efecto completo de ambas fuentes y obtener V TH. Para encontrar  RTH, simplemente se ponen en corto circuito ambas fuentes, teniendo dos resistencias en paralelo  R2 y R1. Una vez teniendo V TH y RTH, se puede calcular  I 3 usando la ley de Ohm. La solución de este circuito se deja para la sección de problemas. R1 = 12 ohms

R2 = 3 ohms A

84 V

21 V R3 = 6

ohms B

Figura 1.11 Teorema de Thévenin aplicado a un circuito con dos fuentes de voltaje.

El teorema de Thévenin es muy útil para visualizar la impedancia de salida de los circuitos. Por lo general, pensamos en términos de los componentes que se conectan a la entrada, pero usando el teorema de Thévenin, específicamente RTH , nos permite saber qué está viendo la salida. Supóngase que se tiene un divisor de tensión para bajar un  voltaje de entrada de 0-100 V a un voltaje de 0 a 5 V. El voltaje de entrada también tiene un componente de CA que debe ser filtrado por medio del capacitor, como se muestra en la figura 1.12. La pregunta es: ¿cuál es la constante de tiempo RC  del circuito? 16

ELECTRÓNICA • MIJAREZ

1

Análisis de circuitos eléctricos

500 K V ENT 

V SAL

0.1 µF

10 K

Figura 1.12 Circuito divisor de voltaje.

Si la respuesta inicial es 500 K multiplicado por 0.1 µF, entonces no hemos entendido el teorema de Thévenin. Ahora, si tratamos de imaginar qué ve el capacitor usando las reglas del teorema de Thévenin, observamos que al poner en corto circuito la fuente V ENT , el capacitor ve dos resistencias en paralelo, como lo muestra la figura 1.13. Al aplicar la regla de los circuitos paralelos, resulta que la resistencia que se conecta al capacitor es de 9.8 kΩ, la cual dista mucho de los 500 kΩ, que se asumió inicialmente. Viendo hacia atrás, el capacitor “ve” dos resistencias en paralelo

500 K

10 K

0.1 µf 

Figura 1.13 Circuito equivalente de Thévenin para el circuito divisor de voltaje de la figura 1.12.

Teorema de Norton Una fuente de energía eléctrica que suministra voltaje, como en el caso de una batería en circuitos de C D, con frecuencia se muestra con una resistencia en serie que representa la resistencia interna de la fuente, como se representa en la figura 1.14a). Sin embargo, la fuente también puede ser representada por una fuente de corriente en paralelo con una resistencia, como se muestra en la figura 1.14b). Cuando no se conecta ninguna resistencia de carga, la corriente de la fuente pasa a través de la resistencia R, conectada en paralelo con la fuente de corriente. Al conectar la  RL, la corriente se divide; para ramas en paralelo, la corriente se divide inversamente al valor de la resistencia en las ramas del circuito, pero se divide directamente con las conductancias. Por tanto, algunas veces es deseable considerar la fuente de corriente en paralelo con la conductancia, 15 como se muestra en la figura 1.14c). Cuando la intención en un circuito eléctrico es analizar ramas en paralelo, el concepto de fuente de corriente puede ser más útil que el concepto de fuente de voltaje. En este contexto, hace su aparición el teorema de Norton. Este teorema se usa para simplificar circuitos o redes eléctricas en términos de corrientes en vez de voltajes. 16 El teorema 15 16

La conductancia eléctrica, G, es el inverso de la resistencia eléctrica  R; así pues, siempre es posible cambiar de 1/ R en ohms a G en siemens, o  viceversa. El teorema de Norton recibe su nombre en honor de Edward Lawry Norton (1898-1983), ingeniero y científico estadounidense, quien durante muchos años trabajó en los Laboratorios Bell, entidad responsable de enunciar dicho teorema. Norton se inició como operador de radio en la Marina; luego trabajó para la Western Electric Corporation, en Nueva York, que posteriormente se convirtió en los Laboratorios Bell. Tiempo después, Norton obtuvo su maestría en ingeniería eléctrica. Aunque no fue muy prolífero escribiendo artículos científicos, ya que en toda su carrera sólo escribió tres, sí registró 18 patentes y escribió 92 memorandos técnicos, en uno de los cuales enuncia su teorema. E. L. Norton

grupo

editorial

patria

®

17

1

Análisis de circuitos eléctricos

R

A

A

A I I RL

R

RL

B Fuente

Carga

GL

B

B Carga

Fuente

a)

G

Fuente

b)

Carga

c)

Figura 1.14 Fuentes de voltaje y de corriente conectadas a una carga

RL en las terminales A y B.

A A Red

IN

RN

B B

Figura 1.15 Cualquier circuito o red eléctrica puede ser reducido a un ci rcuito paralelo equivalente de Norton, formado por una fuente de corriente y una resistencia en paralelo.

de Norton establece que cualquier circuito lineal activo con terminales de salida A y B puede sustituirse por un circuito compuesto por una fuente de corriente en paralelo con una resistencia, como se muestra en la figura 1.15. El símbolo para una fuente de corriente es un círculo con una flecha dentro. El sentido de la flecha indica el sentido de la corriente. Es importante hacer notar que el sentido debe ser el mismo que el producido por la polaridad de una fuente de voltaje. 17 El valor de I N es igual a la corriente producida cuando las terminales A y B se ponen en corto circuito. El valor de  RN se obtiene viendo hacia la resistencia,  R, desde las terminales A y B. Las terminales se encuentran abiertas, como en el caso de  RTH. Para encontrar la resistencia de la fuente, la fuente de corriente se abre y cuando es una fuente de  voltaje, la fuente se pone en corto circuito. De hecho, la resistencia es la misma para los circuitos equivalentes de Norton y Thévenin. Para el circuito equivalente de Norton, esta resistencia se conecta en paralelo a la fuente de corriente, mientras que para el circuito equivalente de Thévenin, ésta se conecta en serie con la fuente de voltaje. Como ejemplo, vamos a recalcular la corriente I L del circuito de la figura 1.10a), que se resolvió usando el teorema de Thévenin. El primer paso para aplicar el teorema de Norton es imaginar un cortocircuito entre las terminales A y B, como se ilustra en la figura 1.16b). Lo anterior pone en cortocircuito RL y R2 , pero no R1. Así, la corriente de cortocircuito es  I N = 36 V/3 Ω, igual a 12 A. De esta forma,  I N es la máxima corriente disponible de la fuente de corriente del circuito equivalente de Norton, como se muestra en la figura 1.16e). Enseguida, la fuente de voltaje se pone en cortocircuito, como se muestra en la figura 1.16d), quedando dos resistencias en paralelo,  R1 y R2 , las cuales conforman la resistencia  RN . En este caso,  RN es el paralelo de 6 Ω y 3Ω igual a 2 Ω, como se ilustra en la figura 1.16d). Por tanto, el circuito equivalente de Norton consiste en una fuente de corriente de 12 A y una resistencia de Norton de 2 Ω, como se observa en la figura 1.16e). La dirección de la f lecha en fuente de corriente indica la dirección del flujo de electrones, que van de la terminal B a la terminal A, como en el circuito original.

17

nunca publicó o mencionó el teorema que lleva su nombre en ninguno de sus artículos o patentes, por lo que apareció poco bajo los reflectores, pero su ingenio e intuición lo hicieron una figura legendaria. Recuérdese que una fuente produce flujo de electrones que salen de la terminal negativa.

18

ELECTRÓNICA • MIJAREZ

1

R1 = 3 Ω

V  = 36 V

R1 = 3 Ω

A

V  = 36 V

R L =

R2 =

2Ω

6Ω

R1 = 3 Ω

R1 = 3 Ω

A

R2 =

6Ω

B

a)

2Ω

IN = 12 A

B

b)

A

Corto- V  = circuito 36 V

R L =

A

c)

B

A

A IN = 12 A

R AB =

R2 = 6Ω

Análisis de circuitos eléctricos

IN = 12 A R2 = 6Ω

2Ω

R2 =

RN =

6Ω

2Ω 6A 6 A

B

d )

B

e)

B

f )

Figura 1.16 Circuito de la figura 1.10 resuelto usando el teorema de Norton.

Por último, para calcular  I L , la resistencia de carga  RL se conecta en los puntos A y B del circuito equivalente de Norton. La fuente de corriente sigue proporcionando los 12 A, p ero ahora la corriente se divide entre las dos resistencias  RN y RL. En este caso, las dos resistencias tienen el mismo valor: 2 Ω; de esta forma, la corriente se divide en 6 A para cada rama. Por tanto,  I L es 6 A, que es el mismo resultado como cuando se usó el teorema de Thévenin. V L puede calcularse como I L RL o 6 A × 2 Ω, lo cual es igual a 12 V. No obstante, en algunos circuitos puede ser un poco difícil visualizar cuál es la corriente  I N. Por ejemplo, cuando una resistencia queda en serie con el corto circuito aplicado a las terminales A y B, como se muestra en la figura 1.17a); en este caso, el corto circuito conecta  R3 a través de  R2 , y la corriente de corto circuito  I N es la misma corriente  I 3 que pasa por R3, en tanto que  I 3 es una de las corrientes de las ramas del circuito. Por lo consiguiente, para obtener  I N calculamos I 3 por medio de la ley de Ohm. El paralelo de  R3 y R2 es igual a 4 Ω; entonces, la resistencia total sería 4 Ω + 4 Ω = 8 Ω. Como resultado, la corriente total sería  I T = 48 V/8 Ω = 6 A. Esta corriente de 6 A se divide en 4 A para  R2 y 2 A para R3. La corriente de 2 A es  I 3, la cual fluye por  R3 y las terminales en corto circuito A y B. En consecuencia, la corriente  I N es de 2 A. Para obtener RN, se sigue el mismo procedimiento de eliminar o poner a cero la fuente de voltaje, como se muestra en la figura 1.17 b). De esta forma,  R1 y R2 quedan en paralelo y producen una resistencia de 2.4 Ω, que al conectarse en serie con R3, dan como resultado la resistencia RAB o RN, que en este caso es de 14.4 Ω. Con estos valores se obtiene el circuito equivalente de Norton, como se muestra en la figura 1.17c). Aquí hay que hacer notar que la corriente  I N es la corriente de corto circuito y que ésta puede ser una corriente de una de las ramas.

R1 = 4 Ω

R3 = 12 Ω

A

R2 = 4 Ω

R3 = 12 Ω

A

A IN = 2 A

V  =

R2 =

R2 =

48 V

6Ω

6Ω

6A

4A

RN =

RAB = 14.4 Ω

14.4 Ω

2A B

B

B

b)

a)

c)

Figura 1.17 Circuito equivalente de Norton, cuando la corriente IN es una corriente de una rama.

grupo

editorial

patria

®

19

1

Análisis de circuitos eléctricos

Conversión Thévenin-Norton El teorema de Thévenin dice que un circuito eléctrico lineal puede representarse por una fuente de voltaje y una resistencia en serie. Por su parte, el teorema de Norton dice que el mismo circuito puede representarse por una fuente de corriente y una resistencia en paralelo. Por tanto, suena posible convertir un circuito equivalente directamente de una forma a otra y viceversa, como se muestra en la figura 1.18. RTH = 3 Ω

A

A

IN = 5 A

V TH = 15 V

RN = 3 Ω

B

B

a)

b)

Figura 1.18 Correspondencia entre el circuito equivalente de Thévenin y el de Norton.

En la figura 1.18 se puede observar que la resistencia equivalente en los teoremas de Thévenin y de Norton es la misma, ya que esta resistencia se obtiene viendo hacia las terminales A y B, una vez que se han eliminado las fuentes. En el caso del circuito equivalente de Thévenin, la fuente de voltaje se pone en corto circuito, mientras que para el caso de la fuente de corriente ésta se considera como circuito abierto. Por tanto, si se tiene un circuito equivalente se puede convertir a su contraparte utilizando la ley de Ohm. En resumen, se puede establecer que para convertir de Norton a Thévenin se requiere:  RTH = RN V TH = I N × RN

Mientras que, por otro lado, para convertir de Thévenin a Norton, se tiene:  RN = RTH  I N = V TH/ RTH

Un ejemplo de esta conversión se muestra en el circuito de la figura 1.19a). En este circuito se obtiene la resistencia equivalente de Thévenin, la cual es el paralelo de  R1 y R2 , igual a 2 Ω, y el voltaje V TH, que es el divisor de voltaje entre  R1 y R2 , en este caso es 24 V, como se muestra en la figura 1.19b). Una vez que se tiene el circuito equivalente de Thévenin, lo podemos convertir al circuito equivalente de Norton, calculando la corriente de cortocircuito,  I N, que es 24 V/2 Ω = 12 A, como se muestra en la figura 1.19c). Aunque, también se pudo haber obtenido el circuito equivalente de Norton y convertir a su contraparte de Thévenin. 18 R1 = 3 Ω

RTH = 2 Ω

A

V  = 36

V

R2 = 6

A

RN = 2

V TH =

Ω

A IN = 12 A

Ω

24 V B a)

b)

B

B c)

Figura 1.19 Ejemplo de conversiones entre circuitos equivalentes de Thévenin y de Norton. 18

Como los teoremas de Thévenin y de Norton producen el mismo resultado, normalmente sugiero a mis alumnos que se enfoquen, cuando menos, en uno de ellos. A mí, por ejemplo, me gusta más pensar en términos de voltaje, por lo que prefiero usar el teorema de Thévenin. Pero, ustedes tomen el teorema que les permita entender un circuito de manera intuitiva.

20

ELECTRÓNICA • MIJAREZ

1

Análisis de circuitos eléctricos

D ATOS IMPORTANTES ➤

➤

➤

➤

➤

La LKI enuncia que la corriente que entra en un punto o nodo es igual a la corriente que sale. La LKV enuncia que la suma de las caídas de voltaje es igual al voltaje aplicado. A una trayectoria cerrada se le llama lazo. El método de ecuaciones algebraicas de voltajes alrededor de los lazos de un circuito se utiliza para calcular la corriente en sus ramas. Un nodo es un punto en una rama del circuito donde las corrientes se dividen o se combinan. El método de ecuaciones algebraicas de corrientes en un nodo se utiliza para calcular el voltaje de los nodos. Una malla es el lazo más simple posible en un circuito. Se asume que la corriente de malla fluye alrededor de la malla sin ramificarse. el método de ecuaciones algebraicas de voltajes alrededor de la malla se utiliza para calcular las corrientes de malla.

➤

➤

➤

➤

El teorema de superposición enuncia que en un circuito eléctrico con dos o más fuentes, la corriente o  voltaje de cada componente es la suma algebraica de los efectos producidos por cada fuente, actuando de manera separada. El teorema de Norton enuncia que un circuito eléctrico completo, conectado a un par de terminales, puede ser reemplazado por una fuente de corriente,  I N, en paralelo con una resistencia, RN. El teorema de Thévenin enuncia que un circuito eléctrico completo, conectado a un par de terminales, puede ser reemplazado por una fuente de voltaje, V TH, en serie con una resistencia, RTH. Usando la ley de Ohm es posible la conversión de un circuito equivalente de Thévenin a un circuito equivalente de Norton, y viceversa. La resistencia R es la misma para ambos circuitos, I N = V TH/ R, y V TH = I N × R.

PROBLEMAS 1.1

R1

De acuerdo con el método de corrientes en sus ramas, resuelva el siguiente circuito si el voltaje V 1 = 18 V, V 2 = 27 V y todas las resistencias son de 3 Ω (véase figura 1.20). V R1

A

V R2

C

R1 = 12 Ω

R4

IA

R7

IB

V 1 = 12 V

IC

R2

V 2 =

R3

8V

E

R2 = 3 Ω

R3

R6

R8

Figura 1.21 V 1

84 V

R3 = 6Ω

V R3

Malla A IA

18IA – 6IB = 84 V B

Malla B

V 2

21 V

1.3

IB

Obtener el voltaje en V P por medio del teorema de superposición (véase figura 1.22). V 1 = +24 V

−6IA + 9IB = −21 V D

A

F R2 = 30 k Ω

Figura 1.20

1.2

P

R1 = 60 k Ω

De acuerdo con el método de corrientes de mallas, resuelva el siguiente circuito si todas las resistencias son de 2 Ω (véase figura 1.21).

V 2 = 9 V

B

Figura 1.22

grupo

editorial

patria

®

21

1

Análisis de circuitos eléctricos

1.4

Mediante el teorema de Thévenin, encuentre el circuito equivalente de Thévenin del siguiente circuito (véase figura 1.23). R1 = 3 Ω

1.7

En el circuito de la figura 1.26, cambie R1 por 18 Ω y obtenga el circuito equivalente de Thévenin y su contraparte: el circuito de Norton. R1 = 3 Ω

R3 = 4 Ω

A

A

R2 = 6Ω

V  = 36 V

V  = 36 V

V AB = 24 V

R2 = 6Ω

B

B a)

Figura 1.23 Figura 1.26 1.5

Usar el teorema de Thévenin en el siguiente circuito (véase figura 1.24) para obtener la corriente  I 3 que fluye por la resistencia R3. R1 = 12 ohms

1.8

Asuma que en el siguiente circuito  I N  = 20 mA y  RN  = 1.2 KΩ. Obtenga el circuito equivalente de Thévenin (véase figura 1.27). RTH

R2 = 3 ohms

A

A

A V TH

84 V

IN

21 V B

R3 = 6

ohms

Figura 1.24

Obtenga el circuito equivalente de Norton del siguiente circuito (véase figura 1.25), si R1 tiene un valor de 8 Ω. R1 = 8 Ω

R3 = 12 Ω

V  = 48 V

A

R2 = 6Ω

B a)

Figura 1.25

22

B

Figura 1.27

B

1.6

RN

ELECTRÓNICA • MIJAREZ