ANÁLISIS DE ARMADURA POR MÉTODO DE NODOS Y MÉTODO MATRICIAL

2012 ANÁLISIS DE ARMADURA POR MÉTODO DE NODOS Y MÉTODO MATRICIAL

CURSO: Mecánica de Sólidos II MALQUI ALAYO FRANZ KENNEDY UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO 10/05/2012

ANÁLISIS DE ARMADURA POR MÉTODO DE NODOS Y MÉTODO MATRICIAL

INTRODUCCION Las armaduras de acero o de distintos tipos de material, constituyen un elemento de gran utilidad dentro del campo de la ingeniería estructural. Su diseño permite distribuir las fuerzas producidas por diferentes cargas a lo largo de su estructura interna y así poder llevarlas a sus respectivos apoyos unas ves definidas. Las diferentes clases de armaduras tienen varios tipos de análisis dependiendo de su diseño y de su función a futuro, en este trabajo de investigación se busca analizar las armaduras por medio de el método matricial de rigidez y así comparar los resultados con otros métodos utilizados dentro del campo de la ingeniería.

OBJETIVO  Determinar las fuerzas internas en la armadura, es decir, las fuerzas de acción y reacción entre los elementos o barras que la forman.  Analizar el método matricial para solucionar armaduras.  Desarrollar y explicar paso a paso el proceso de solución de armaduras con el método matricial.  Analizar el método de nudos para solucionar armaduras.  Comparar el método de nudos con el matricial.

FUNDAMENTO TEÓRICO ARMADURA Una estructura de barras unidas por sus extremos de manera que constituyan una unidad rígida recibe el nombre de armadura. Algunos ejemplos son los puentes, los soportes de cubiertas o las grúas.

MÉTODO DE NUDOS El equilibrio es uno de los requisitos que debe cumplir una estructura, lo cual implica que la resultante de las fuerzas externas es cero y no existe un par de fuerzas; al descomponer en un plano cada fuerza y cada par en sus componentes rectangulares, se encuentra las condiciones necesarias y suficientes para el equilibrio de un cuerpo rígido se pueden expresar también por las tres ecuaciones siguientes:

(Convención de signo)

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ANÁLISIS DE ARMADURA POR MÉTODO DE NODOS Y MÉTODO MATRICIAL Estas ecuaciones expresan el hecho de que las componentes de las fuerzas externas en las direcciones x y y, así como los momentos de las fuerzas externas están en equilibrio. Por tanto, el sistema de fuerzas externas no impartirá ni movimiento de traslación ni de rotación al cuerpo rígido considerado (Beer y Johnston, 1979; Das, Kassimali y Sami, 1999). El uso de la condición de equilibrio en una estructura permite realizar el proceso analítico esencial en un problema estructural. En la etapa inicial se pueden conocer las fuerzas que se generan en los apoyos para hacer que la estructura este en equilibrio. Las ecuaciones del equilibrio se aplican a los pasadores de las uniones. En cada nudo se consideran las fuerzas externas aplicadas junto con las fuerzas de reacción correspondientes a las fuerzas internas en las barras. Dado que las fuerzas son concurrentes, no hay que considerar la suma de momentos sino sólo la suma de componentes x e y de las fuerzas. Estas ecuaciones se aplican en primer lugar a un nudo que contenga sólo dos incógnitas y después se van aplicando a los demás nudos, sucesivamente. Convencionalmente, se Fffff figura 1 consideran positivas las fuerzas internas en las barras cuando salen hacia afuera (tracción) y negativas si van hacia el interior (compresión).

Tipos de apoyos Los apoyos de vigas, son los elementos que le proporcionan la estabilidad a la viga y por lo general, se encuentran en los extremos o cerca de ellos. Las fuerzas en los apoyos que se generan son productos de las cargas aplicadas y se llaman reacciones y equilibran las cargas aplicadas. Analíticamente estas reacciones representan las incógnitas de un problema matemático. Las reacciones se pueden dividir en tres grupos que corresponden al tipo de apoyo que se está empleando (Das, Kassimali y Sami, 1999).

Reacciones formada por una fuerza de dirección conocida Los apoyos y conexiones que causan reacciones de este tipo son: rodillos, balancines, superficies lisas, bielas y cables cortos. Estos apoyos solo impiden el movimiento en una dirección. Las reacciones de este grupo solo proporcionan una incógnita, que consiste en la magnitud de la reacción y se pueden dirigir en uno u otro sentido a lo largo de la dirección conocida.

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Apoyo

Esquema del apoyo y reacciones

Número de incógnitas

Fffff figura 2

Reacciones formada por una fuerza y un par Estas reacciones son producidas por apoyos fijos o empotramientos que impiden cualquier movimiento inmovilizándolo por completo la viga. En las reacciones de este grupo intervienen tres incógnitas, que son generalmente las dos componentes de la fuerza y el momento del par. Cuando no se ve claramente el sentido de la fuerza o del par de las reacciones, no se debe intentar su determinación. El sentido de la fuerza o del par se puede suponer arbitrariamente y el signo de la respuesta indicará si la suposición fue conecta o no (Beer y Johnston, 1979).

Armaduras Estáticamente Determinadas Una armadura es una estructura consistente en un número finito de barras conectadas en uniones por pasadores sin fricción en los cuales pueden aplicarse las fuerzas externas. En la Figura 3.1 se muestra una unión de armadura típica en la situación ideal, donde un pasador se inserta en los extremos de barras de ojo. Las barras tienen libertad de girar sobre el pasador.

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Fffff figura 3 Cualquier sistema de fuerza externa actuando sobre una armadura bidimensional puede describirse por las magnitudes numéricas en las dos direcciones de referencia en los nudos, excepto aquellas a lo largo de las cuales ya hay componentes desconocidas de las reacciones. Si una armadura es determinante debe cumplir:

Donde:

numero de nodos Numero de miembros Número de componentes de reacciones

ANÁLISIS MATRICIAL DE ARMADURAS DETERMINADAS POR PROCESAMIENTO SEMIAUTOMATIZADO Para automatizas el proceso se debe observar el problema como la solución simultanea de las 2NJ ecuaciones como NM + NR incógnitas, esto significa que primero deben escribirse todas las ecuaciones de equilibrio en las juntas, para cada junta de la estructura. Por convención se considera toda las fuerzas en tención y suponemos fuerzas +X1 y +Y1 que actúa sobre cada nodo. Al obtener las ecuaciones debemos plantear las matrices mediante la siguiente formula

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EJERCICIO (6.156) De la armadura calcular las fuerzas internas por el método de nodos y el método matricial semiautomatizad, además efectuar la comprobación correspondiente

Figura 4

ANÁLISIS POR MÉTODO DE NUDOS

Figura 5

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ANÁLISIS DE ARMADURA POR MÉTODO DE NODOS Y MÉTODO MATRICIAL I)

Para las fuerzas externas Aplicamos momento total en “E”

Por equilibrio de fuerzas:

II)

Ahora analizamos las fuerzas internas nodo por nodo

NODO (E): hacemos cortes imaginarios

Figura 6 Se cumple por equilibro de fuerzas:

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NODOS (F): hacemos cortes imaginarios

Figura 7

Se cumple por equilibrio de fuerzas

También:

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NODO (C): hacemos cortes imaginarios

Figura 8

Se cumple por equilibrio de fuerzas

También:

NODO (D): hacemos cortes imaginarios

Figura 9

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ANÁLISIS DE ARMADURA POR MÉTODO DE NODOS Y MÉTODO MATRICIAL Se cumple por equilibrio de fuerzas

También:

NODO (A): hacemos cortes imaginarios

Figura 10 Se cumple por equilibrio de fuerzas

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Vemos que se Cumple como

NODO (B): hacemos cortes imaginarios

Figura 11 Se cumple por equilibrio de fuerzas

También:

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Figura 12

a) Colocamos números a los nodos

Figura 13 b) Veamos si es determinado o indeterminado por la formula

ENTONCES SE PUEDE USAR EL MÉTODO MATRICIAL PARA ARMADURAS DETERMINADAS.

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c) Por convención suponemos todas las fuerzas internas (color verde) y las reacciones (color rojo) en TENSIÓN. Suponemos la presencia de fuerzas en +X y en +Y (color azul) en cada nodo.

Figura 1 4

d) Planteamos las 12 ecuaciones con las 12 incógnitas.

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Veamos el valor de e) Acomodando matricialmente tenemos 1 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 -1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 -1 0 0 0 1 0 0

0 0,8 0 -0,6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0,8 -1 0,6 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0,8 -0,6 0 0 0 0 -0,8 0,6

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 -1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1

Hacemos un cambio de variable

INGRESAMOS LA MATRIZ [A] AL PROGRAMA MATLAB

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COMO LA MATRIZ [B] =-[A] ENTONCES MULTIPLICAMOS POR -1 EN EL PROGRAMA

Vemos que nos queda: -1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 -0,8 0 0 0 0,6 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0,8 0 0 1 -0,6 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0

0 0 0 0 -0,8 0,6 0 0 0 0 0,8 -0,6

0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

Ahora calculamos la inversa de [B]

Hacemos otro cambio de variable

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Nos queda 0 0 0,75 1 1,5 -0,8 -1,3 -1,3 1 1 1,5 -1,5

0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0

1 0 0,75 1 1,5 -0,75 -1,25 -1,25 1 1 1,5 -1,5

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0,75 1 0,75 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1,25 0 -1,25 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0,75 1 0,75 1 -0,75 0 -0,75

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

Ingresamos al PROGRAMA MATLAB los valores de {P} sabiendo que respectivamente 0 0 0,75 1 1,5 -0,8 -1,3 -1,3 1 1 1,5 -1,5

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0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0

1 0 0,75 1 1,5 -0,75 -1,25 -1,25 1 1 1,5 -1,5

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0,75 1 0,75 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1,25 0 -1,25 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0,75 1 0,75 1 -0,75 0 -0,75

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0

son 8 y 8

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

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Recordar que:

Como en el programa ya está almacenado los valores de [C] y {P} hacemos la operación y obtenemos

NO QUEDA COMO REPUESTA:

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VERIFICACIÓN  Reemplacemos los valores obtenidos en las ecuaciones del punto ( 1 )

Por dato

CUMPLE

Por dato

CUMPLE  Reemplacemos los valores obtenidos en las ecuaciones del punto (2)

Por dato

CUMPLE

Por dato

CUMPLE  Reemplacemos los valores obtenidos en las ecuaciones del punto (3)

Por dato

CUMPLE

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Por dato

CUMPLE  Reemplacemos los valores obtenidos en las ecuaciones del punto (4)

Por dato

CUMPLE

Por dato

CUMPLE  Reemplacemos los valores obtenidos en las ecuaciones del punto (5)

Por dato

CUMPLE

Por dato

CUMPLE  Reemplacemos los valores obtenidos en las ecuaciones del punto (6)

Por dato

CUMPLE

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Por dato

CUMPLE

COMPARACIÓN DE RESULTADOS

Método matricial

Signo ( + ) fuerza en tensión

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Método de nodos

y

signo ( - ) fuerza en compresión

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RECOMENDACIONES  Para el método matricial tenemos que considerar todas la fuerzas en tensión  También para el método matricial tenemos que considerar la numeración de la parte superior de izquierda a derecha.  Tener cuidado con las operaciones por el método de nudos y sobre todo con los sentidos de las fuerzas.  Por el método de nudo tener en cuenta el punto de inicio para el análisis de cada nodo.  Verificar si la armadura es determinada o indeterminada antes de hacer el análisis por el método matricial.  Nos basaremos en la hipótesis de que todos los miembros de una armadura son miembros de dos fuerzas, es decir, que cada uno se encuentra en equilibrio bajo la acción de dos únicas fuerzas, aplicadas en sus extremos, que serán iguales, opuestas y colineales.

OBSERVACIONES  Vemos por el método matricial nos salen valores negativo.  Vemos también que por el método matricial hay dos fuerzas que nos sale cero.  Por el método de nodos no nos sale fueras negativas porque estamos asumiendo las fuerzas en su correcta dirección.  En el método de nudos se inicio por el nodo “E” por tener solo 2 fuerzas incógnitas previamente hallado las fuerzas externas y 2 ecuaciones.  El método matricial es solo para armaduras determinadas y no fuese utilizaríamos otros métodos.  Estamos considerando armaduras planas y estáticamente determinada o isostática.

CONCLUSIONES  Los valores negativos obtenidos por el método matricial nos indica que los fuerzas esto en comprensión.  Los valores positivos de nuestra respuesta nos indica tensión.  Si existe la inversa de la matriz estática -[A], la armadura es estáticamente estable, pero si la matriz estática -[A] es singular, la armadura es estáticamente inestable.  Losa valores obtenido por el método matricial y el método de nodos son numéricamente iguales pero no necesaria mente con el mismo signo.  El método matricial es más directo para calcular las fuerzas que actúan en una armadura determinada.  El método de nudos es más laborioso y estense en comparación con el otro método.  La numeración realizada a cada nodo es la correcta por que en la verificación de los resultados cumple.  Si tómanos otra numeración el resultado puede divergir de la respuesta deseada.  La consideración de la numeración mencionada en las recomendaciones es muy importante para armaduras más complejas para no divergir de la respuesta deseada.  Este análisis de las fuerzas internas es muy importante para poder diseñar y saber qué tipo y que dimensiones debe tener el material que debemos usar.

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BIBLIOGRAFÍA 

Beer, F. y Johnston, E. (1979). Mecánica vectorial para ingenieros. Estática. Bogotá, Colombia: McGraw-Hill Latinoamericana, S.A.

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Das, B., Kassimali, A. y Sami, S. (1999). Mecánica para Ingenieros, Estática. México D.F., México:Editorial LIMUSA, S.A. de C.V.

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Nilson, A. H. 1999. Diseño de estructuras de concreto. 12° edición Hibbeler, R. C. 1997. Análisis estructural. 3º edición.

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