Analisis Combinatorio

 

A N ÁL I S IS C O MB I NA T OR I O Principios Fundamentales para contar:  Principio de multiplicación: Si un evento puede realizarse de

maneras diferentes, y si, continuando el procedimiento, un segundo evento puede realizarse de maneras diferentes, y si, después de efectuados, un tercer evento puede realizarse de maneras diferentes, y así sucesivamente hasta un r-esimo evento puede realizarse de maneras diferentes, entonces el numero de maneras en que los eventos pueden realizarse en el orden indicado es el producto:

Ejemplo: De una ciudad A a otra B hay cuatro carreteras diferentes. De la ciudad B a la ciudad C hay 5 carreteras diferentes. ¿De cuantas maneras se podría ir de A a C,  pasando por B? Solución: Esbozando gráficamente lo propuesto tenemos: A

B 4 carreteras (maneras)

C 5 carreteras (maneras)

Por lo tanto, por el principio de multiplicación deducimos que el número de maneras de ir de A a C pasando por B es: 4 x 5 = 20

Principio de adición: Si un evento puede realizarse de

maneras diferentes, un segundo evento puede realizarse de maneras diferentes, un tercer evento puede realizarse de maneras diferentes, y así sucesivamente hasta un r-esimo evento puede realizarse de maneras diferentes, entonces el numero de maneras en que los eventos  pueden realizarse es la suma:

Ejemplo:  Una persona puede viajar de una ciudad A hacia B por vía aérea o por vía terrestre y tiene a su disposición 5 líneas aéreas y 6 líneas terrestres. ¿De cuantas maneras puede hacer el viaje? Solución: Esbozando gráficamente lo propuesto, teniendo en cuenta que si la persona decide viajar por vía terrestre, ya no viaja por vía aérea y viceversa, tenemos:

-  Vía aérea: A

B 5 maneras

-  Vía terrestre: A

B 6 maneras

 

Por lo tanto, por el principio de adición; deducimos que el número de maneras que  puede hacer el viaje es: 5 + 6 = 11

PERMUTACIONES Definición: Son  cada una de las ordenaciones que pueden formarse tomando algunos o todos de un numero de objetos. Teorema (Número de permutaciones de n objetos diferentes tomados de r en r, r≤n) r≤n)  

Prueba: Podemos deducir que hallar el numero de permutaciones de n objetos diferentes tomados de r en r; es equivalente a calcular el número de maneras de que  podemos llenar r lugares cuando tenemos n objetos diferentes a nuestra disposición. Gráficamente: Sean los objetos

 

Lugares:

       

 

…

El primer lugar, lo podemos ocupar de n maneras, porque se puede tomar cualquiera de los n objetos.   Cuando ha sido ocupado de cualquiera de estas maneras, el segundo lugar puede llenarse entonces de n-1 maneras.   Cuando los dos primeros lugares han sido llenados el tercer lugar puede ocuparse de n-2 maneras.  Procediendo de esta manera podemos obtener que habiendo sido ocupado hasta el (r-1) lugar de cualquier manera, el r-esimo lugar puede ser llenado entonces de maneras.  Por lo tanto; por el principio de la multiplicación tendremos que el numero de maneras de que se pueden ocuparse r lugares es: , el cual lo denotaremos por ; es decir: 

Corolario: El número de permutaciones de n objetos tomados todos a la vez es:

Prueba: Si tomamos en particular en el teorema anterior r=n se tiene lo requerido del lado derecho, el cual lo denotaremos por

Observaciones:

.

1.  El producto de los enteros positivos desde 1 hasta n inclusive es usual denotarlo por el símbolo especial n! es decir:

n!

 

Ta Tamb mbié ién n con conve veni nimo moss en en defi defini nirr qué qué 0! 1 pues pues:: (n-1)! = Para n=1 se tiene: 0!=

=1

2.  Usando estas notaciones podemos escribir a las formulas de permutaciones como:

COMBINACIONES Definición: Son cada uno de los grupos que pueden formarse tomando algunos o todos de un numero de objetos de modo que dos cualesquiera de ellos difieran de algún objeto. Teorema (Número de permutaciones de n objetos diferentes tomados de r en r, r≤n) r≤n)  

Prueba:  Consideremos un conjunto de n objetos diferentes

y denotemos por al número de combinaciones requerido de los n objetos tomados de r en r. Imaginemos una tabla en la cual cada una de las combinaciones de r objetos determina una fila. En cada una de las filas escribiremos a su derecha las permutaciones de los r objetos del conjunto que identifica la fila. Gráficamente:

Combinaciones

Permutaciones

(numero de filas) 

(numero de columnas) Vemos de la tabla que el número total de permutaciones de n objetos tomados de r en r que se pueden tomar con los n objetos del conjunto es ; es decir, el número total de objetos de la tabla. Por consiguiente observamos que:

 

PROBLEMAS DE ANÁLISIS COMBINATORIO 1.  De Trujillo a Lima, Ayde puede trasladarse por automóvil, avión u ómnibus; y de Lima a Huancayo, por ómnibus y tren. a)  ¿De cuantas maneras distintas puede viajar de Trujillo a Huancayo, pasando por Lima?  b)  De cuantas maneras distintas puede ir y regresar de Trujillo a Huancayo, pasando  por Lima? c)  ¿De cuantas maneras distintas puede de Trujillo a Huancayo, pasando por Lima, si al regreso no desea usar los mismos medios de transporte que uso en la ida ida?? Rpta: 6; 36; 12 maneras 2.  Se proyecta un viaje y se decide ir en tren o en microbús. Si hay 3 rutas para el tren y 4  para el microbús, ¿Cuantas maneras existen para realizar el viaje? Rpta: 7 maneras 3.  ¿Cuántos enteros positivos impares menores que 10000 pueden representarse usando los dígitos 0; 3; 6 y 9? Rpta: 128 enteros positivos impares 4.  Cuatro personas suben a un microbús en el que hay 6 asientos. ¿De cuantas maneras diferentes pueden sentarse? Rpta: 360 maneras 5.  Un entrenador dispone de 10 jugadores. ¿De cuantas formas se puede disponer el equipo de de 5 jugadores, si dos de los jugadores deben de ser siempre los mismos? Rpta: 336 formas 6.  ¿De cuantas maneras pueden sentarse en una fila 3 niños y 2 niñas? Rpta: 120 maneras

 

7. Un centro Física educativo envía un grupo 3 alumnos y 2 alumnasInternacional de su clase de Educación paraenvía representar al de colegio en el Campamento de Gimnasia. Si hay 9 alumnos y 5 alumnas en la clase de Educación Física. ¿ De cuantas maneras puede elegirse el grupo de representación ? Rpta: 840 representantes diferentes 8.  A una asamblea asistieron 7 ingenieros y 4 arquitectos. Si se va a formar un comité con 6 personas, ¿De cuantas maneras estará constituido este para que siempre hayan 2 arquitectos? Rpta: 210 maneras 9.  Una persona observo que al término de una fiesta hubieron 28 apretones de mano. ¿Cuántas personas habían en la fiesta?

Rpta: 8 personas