Analisis Combinatorio

 

ANALISIS COMBINAT COMBINATORIO ORIO Podemos considerar el análisis combinatorio combinatori o como el conjunto de procedimientos y técnicas que nos permite determinar el número de subconjuntos que pueden formarse a partir de un conjunto dado, de acuerdo a ciertas instrucciones.

FACTORIAL DE UN NÚMERO  Es el producto de de  n por todos los naturales menores que él y se representa con n! n! = n * ( n  – 1)* ( n - 2) *

.. 1 

…

Ejemplo: 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

NOTA: se definen los números factoriales de 0 y de 1 como 0! = 1 y 1! = 1. PERMUTACIONES PERMUTACION ES Y COMBINACIO COMBINACIONES NES  Una permutación es la acción de cambio o intercambio de una propiedad o posición por otra. Son los diferentes arreglos que pueden hacerse con una parte de los elementos de un conjunto dado.

Ejemplo: Se desea conocer el número de arreglos (número de formas en que pueden presentarse) las letras A, B y C, tomadas de 2 en 2, sin que alguna de ellas se repita en el mismo arreglo. a, b, c = (a,b), (a,c), (b,a), (b,c), (c,a), (c,b)

TIPOS DE PERMUTACIONES PERMUTACIONES SIN REPETICION: son las permutaciones posibles de realizar con un número de elementos disponibles, donde tales elementos pueden y deber ser utilizados como únicos (sin repetición).

En donde: P= permutación n = número total de elementos del conjunto a permutar r = número de veces o de elementos que serán permutados

 

EJEMPLOS:  1. Tres miembros de un club se ofrecieron para integrar su junta directiva en las posiciones de presidente, secretario y tesorero. Enumerar las diferentes permutaciones o maneras en que los tres pueden desempeñar las tres diferentes posiciones. 3P3 =

    ( )) = 

 





2. ¿Cuántos números diferentes de tres dígitos, pueden formarse con los seis dígitos siguientes: 1,5,6,7,3 y 8 3P3 =



  = (  ))



 

 

3. ¿Cuántas permutaciones pueden formarse con todas las letras de la palabra cena?         = 4P4 = (   ))

PERMUTACIONES PERMUTACION ES CON REPETICION Se utiliza esta modalidad, cuando se desea conocer el número de permutaciones de objetos, en donde algunos de ellos son iguales.

         

 

EJEMPLO 1. ¿Cuantas permutaciones diferentes se pueden formar con todas las letras de la palabra monomio? n = 7 ; 2 son m, 3 son o , 1 es n , 1 es i

 

 =

 

  

PERMUTACIONES PERMUTACION ES CIRCULARES Tal y como su nombre lo indica, ocurren cuando las permutaciones se realizan en forma de círculo, por ejemplo alrededor de una mesa. P = ( n  – 1) !

 

EJEMPLO: ¿De cuántas formas se pueden acomodar 6 caballeros del rey Arturo alrededor de la mesa redonda? P = ( n  – 1 ) ! P = ( 6 - 1 )! P = 5! P = 120

COMBINACIONES En una combinación lo que importa son los componentes no precisamente el orden. Se representa mediante la letra C.

C = combinación n = número total de elementos del conjunto a combinar r = número de veces o elementos que serán combinados

Ejemplos:  1. Una clase tiene 10 niños y 11 niñas, de cuantas maneras el maestro puede elegir un comité de 4 miembros.       = 21C4 = ()  (( )) 2. Un estudiante tiene que contestar 8 de 12 preguntas de una prueba. ¿Cuántas maneras tiene de escoger?  C =  =     8 4  (( ))

DISTRIBUCION DISTRIBUCIO N DE PROBABILIDADES PROBALIDAD:  es la posibilidad de que suceda o no un determinado acontecimiento, se carece de información con absoluta certeza.

PROBABILIDAD PROBABILIDA D CLASICA:  P (A) =  

 

Nota: el resultado estará entre 0 y 1; expresado en porcentaje.

EJEMPLOS 1. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 4 cuando se lanza un dado una sola vez? P (A) =



 = 0.17  17% ≈

 2. ¿Cuál es la probabilidad de no obtener un número 4 al lanzar un dado una sola vez? P (A) =



 = 0.83



≈

83%

PRINCIPIOS BASICOS DE PROBABILIDA PROBABILIDAD D 1. PRINCIPIO DE OSCILACION 0 ≤ P (A) ≤ 1   Se fundamenta en el hecho de que el valor más pequeño que se puede obtener en un enunciado de probabilidad es o, que indica que el evento no ocurrirá; y el valor mayor es 1 que indica que el evento si ocurrirá.

2. PROBABILID PROBABILIDAD AD NULA P ( A ) = 0 Es aquella probabilidad que evalúa la ocurrencia de eventos imposibles, su valor numérico siempre es cero.

Ejemplo: evaluar la probabilidad de ocurrencia del evento A que consiste en la existencia de un triángulo de cuatro lados. P (A) = 0

3. PROBABILID PROBABILIDAD AD DE CERTEZA P ( A ) = 1 Se basa en el conocimiento de que un evento ciertamente ocurrirá, su valor numérico siempre es igual a la unidad.

Ejemplo:  si se evalúa la probabilidad de ocurrencia del evento B que consiste en la existencia de triángulos de tres lados, se tiene que P (B) = 1

TIPOS DE EVENTOS 1. EVENTOS INDEPENDIENTES Dos eventos son independientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro. P (  A A ᴖ B)

Ejemplos:

= P (  A A) * P (B)

 

¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos veces al aire una moneda los dos resultados sean cara? P (A) =





   = 0.25 



≈

25%

El valor de la probabilidad de extraer dos fichas de una bolsa en la que hay 10 rojas, 5 blancas, 3 azules y dos verdes de iguales dimensiones; ésta sea de color blanco y azul respectivamente. P (A) =

 





 =



 

 0.038

≈

3.8%

2. EVENTOS DEPENDIENTES Dos eventos o sucesos son dependientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia de los eventos está íntimamente relacionada con la probabilidad de ocurrencia del otro.

 (   )

P (B / A) =

P (B / A) =

 

()



 



 

 

 

En donde: P(B/A)=probabilidad de que suceda el evento B, dado previamente una probabilidad A

Ejemplo: Determinar el valor de la probabilidad de que al seleccionar de una caja que contiene 5 fichas rojas, 2 azules y 1 negra, la primera que se saque sea azul y que en la segunda extracción (sin que se devuelva la primera; esta sea de color rojo)

P (azul) = P (roja) =

 = 0.25 ≈ 25%  

 

 = 0.71 ≈ 71% 



P(B/A) = 0.25 * 0.71 = 17.86%