Análisis Combinatorio I

 

 NUESTRA SEÑORA DE DE MONSERRAT ”

COLEGIO  PREUNIVERSITARIO

ANÁLISIS COMBINATORIO I 5.

El análisis combinatorio es la parte de la Matemáticas que est estudi udia a el núm número ero de ord ordena enamie miento ntos s o gru grupos pos que se pueden formar con las cosas o los elementos.

Resolución:

FACTORIAL DE UN NÚMERO  2. Sea “n” un número entero positivo, el factorial de “n”, se denota por “n!” o “ n” y se define como el producto de los enteros consecutivos desde 1 hasta n o desde n hasta la unidad inclusive. n! =

PRINCIPIO PRINCIPIO DE ADIC ADICIÓN: IÓN: Si un evento “A” ocurre de “m” maneras y otro evento “B” ocurre de “n” maneras, entonces el evento A ó B, es decir, decir, no sim simult ultáne áneame amente nte,, ocu ocurre rre de “m + n” maneras.

Observaciones:

= 1 x 2 x 3 x 4 x ... x (n – 1) x n



PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE CONTEO  En los ejemp ejemplos los siguientes, siguientes, nos damos cuent cuenta a que dado un evento particular (alinear las 3 esferitas o formar una pare pareja ja), ), esta estamo mos s inte intere resa sado dos s en co cono noce cerr toda todas s las las maneras distintas en que puede ocurrir. Para determinar  las veces que ocur ocurre re un determinad determinado o event evento, o, harem haremos os uso de las técnicas de conteo, que serán de gran ayuda en estos casos.

1.



1.

(Teorema fundamental del análisis combinatorio) Si un evento “A” ocurre de “m” maneras y para cada una de estas, otro evento “B” ocurre de “n” maneras, entonc ent onces es el eve evento nto “A” seg seguid uido o de “B” “B”,, ocu ocurre rre de “m x n” maneras.

Una persona puede viajar de “A” a “B” por vía aérea o por vía terrestre y tienen a su disposición 2 lí líne neas as aére aéreas as y 5 lí líne neas as terr terres estr tres es,, ¿D ¿De e cuánta cuá ntas s manera maneras s dis distin tintas tas pue puede de rea realiz lizar ar el viaje?

Resolución: 2.

¿C ¿Cuá uánt ntos os resu result ltad ados os di dife fere rent ntes es se pued pueden en obtener al lanzar un dado o una moneda?

Resolución:

Observaciones:



En ese principio, la ocurrencia no es simultáneamente, es decir, ocurre el evento “A” o el evento “B”; pero no ambos a la vez. Este principio se puede generalizar para más de dos eventos.

Ejemplos:

PRINCIPIO PRINCIPIO DE MULTIPLIC MULTIPLICACIÓ ACIÓN  N 



¿Cuántos números pares de 3 dígitos se pueden formar con los dígitos: 1, 2, 5, 6, 7, 8 y 9, si cada dígito puede emplearse una sola vez?

3.

En es este te pr prin inci cipi pio, o, la ocur ocurre renc ncia ia es uno uno a continuación del otro, es decir, ocurre el evento “A” y luego ocurre el evento “B”. Este principi principio o se puede gene generaliz ralizar ar para más de dos eventos.

Un producto se vende en 3 mercados: en el 1ro. se tiene disponible en 6 tiendas, en el 2do. en 5 tie tienda ndas s y en 3er. mer mercad cado o en 4 tienda tiendas, s, ¿De cuántas cuánt as maneras maneras disti distintas ntas puede adquir adquirir ir una persona un artículo de dicho producto?

Resolución: Ejemplos: 1.

Una persona puede viajar de “A” a “B” de 3 formas y de “B” a “C” de 2 formas, ¿De cuántas maneras distintas puede ir de “A” a “C” pasando por “B” y sin retroceder?

PERMUTACIONES Son los diversos arreglos u ordenaciones que se pueden hacer con los elementos de un conjunto. Recuerda que el orden en que se toman los elementos del conjunto es la característica principal de toda permutación. Las permutaciones de “n” elementos tomados de r en r se pueden calcular así:

Resolución: 2.

¿C ¿Cuá uánt ntos os re resu sult ltad ados os dife difere rent ntes es se pued pueden en ob obte tene nerr al la lanz nzar ar una una mone moneda da y un dado dado simultáneamente?

Resolución: 3.  Ana tiene 3 blusas diferentes y 4 faldas también

 

diferentes, ¿De cuántas maneras se puede vestir   Ana?

Pr n =

n! (n −r)

1 ≤ r  ≤ n

Resolución: 4.

Permutaciones Lineales:

¿D ¿De e cu cuán ánta tas s ma mane nera ras s dife difere rent ntes es se pued puede e seleccionar una vocal y una consonante de la

Cuando se ordenan los distintos elementos de un conjunto en una fila. Por ejemplo, cuando se ordenan 3 estudiantes en una carpeta de tres asientos.

palabra JESICA; si el par de letras así escogidas debe tener distinto sonido?

Resolución: 5º Secundaria

to

4  Bimestre

4

Razonamiento Razonami ento Matemático Matemático 

 

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COLEGIO  PREUNIVERSITARIO El cál cálcul culo o de una per permut mutaci ación ón se rea realiz liza a uti utiliz lizand ando o la expresión:

Permutacio nes (ordenamie ntos)

              

Pnn = n!

Permutaciones Circulares: Se llaman llaman per permut mutaci acione ones s cir circul culare ares s de n eleme elemento ntos s di dife fere rent ntes es a lo los s dist distin into tos s mo modo dos s de co colo loca carr los los n elementos sobre un contorno cerrado y considerando que dos de estas permu permutacio taciones nes son iguale iguales, s, cuand cuando o cada el elem emen ento to en am amba bas s tien tiene e un mi mism smo o elem elemen ento to a su

abc, acb, bac, bca, cab, cba

⇒

6

abd, adb, bad, bda, dab, dba

⇒

6

acd, adc, cad, cda, dac, dca

⇒

6

bcd, bdc, cbd, cdb, dbc, dcb

⇒

6

              

izquierda y otro mismo elemento a su derecha.

Total: 24 = P 3 4

PC(n) = (n −1)! De Dell ej ejem empl plo o ante anteri rior or,, obte obtene nemo mos s la las s si sigu guie ient ntes es conclusiones:  El número de combinaciones de 4 elementos tomados de

Permutaciones con Elementos Repetidos:

3 en 3 se denota por  C 34

So Son n orde ordena nami mien ento tos s de “n” “n” obje objeto tos, s, entr entre e los los cu cuale ales s algunos son de una misma clase:



Cada combinación tiene 6 permutaciones, es decir:

K1 de la primera clase K2 de la segunda clase K3 de la tercera clase

C

4 3=

4=

24 6

=

3! 4!

Kr  de la r – ésima clase 4

C 3 =

( 4 − 3)!

=

3

r 

4!

∑

4 −3

3

!

K i  ≤ n

Donde:

P 34

!(

)!

En general: general: El núm número ero de com combin binaci acione ones s de “n”

i  =1

elementos tomados de “K” en “K”, se calcula como: n PK

1 ,K 2, ... , K r 

=

n! K1! x K 2 ! x ...... x K r !

Donde: K1 + K2 + .... + Kr   ≤ n

COMBINACIÓN Es una selección o grupo que se puede formar con una part parte e o co con n to todo dos s los los el elem emen ento tos s dispo disponi nibl bles es de un conjunto. En una combinación no interesa el orden de sus elementos.

; 0

< K  ≤ n

Cuando se toman todos los elementos del conjunto para agruparlos o combinarlos (es decir, K = n), se dice que es una combinación de “n” elementos y:

C

 A través ejemplo nos cuenta que es estr trec echa ha derela reun laci ción ón en entr tre e daremos las las perm permut utac acio ione nes s hay y una las las combinaciones. Dado el conjunto A = {a b c  d } , calcular el número de permutaciones y el número de combinaciones de los elementos de “A” tomados de 3 en 3. ,

K! (n −K)!

Observaciones: 

,

n!

n

CK =

n n

=

n! n! = =1 n! (n − n)! n! x 0! n

C n = 1

,

10

 

C 7

50

10

=C C  n3 n = 1 ; C  0

n

1

50

=n

n

; C n

=1

n

n

n

k  = C n −k  C 46 =C C  4

n

n

n

C 0 + C 1 + C 2 + ... + C n = 2



Ejemplos: 1.

¿C ¿Cuán uántos tos grupos grupos de 4 per person sonas as se pue pueden den formar con 6 personas?

Resolución:

5º Secundaria

to

4  Bimestre

5

Razonamiento Razonami ento Matemático Matemático 

 

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COLEGIO  PREUNIVERSITARIO 2. Se extr extrae aen n dos dos ca cart rtas as de una una bara baraja ja de 52 cartas. ¿de cuántas maneras se puede hacer  esto?

Resolución: 3.

En una reunión hay 10 hombres y 6 mujeres, se van a formar grupos de 5 personas. ¿Cuántos grupos diferentes se formarán, si siempre deben haber 3 hombres en el grupo?

 A) 24

8.

Resolución: 4.

9.

ENUNCIADO  “Lalo tiene 6 pantalones, 4 camisas y 5 pares de zapatos, todos de diferentes colores entre sí”

C) 80

B) 60

C) 12

D) 12

E) 720

B) 80

C) 120

D) 42

 A) 12

2.

E) 51

D) 61

E) 91

¿De cuántas maneras diferentes puede vestirse?  A) 15 B) 240 C) 60 D) 120 E) 72

ENUNCIADO 

6.

C) 12

D) 40

E) 625

B) 380

C) 240

D) 399

5.

E) 401

4  Bimestre

E) 120

6.

6

C) 20

D) 14

E) 16

B) 12000 E) 15!

C) 25200

B) 350

C) 305

D) 450

E) 380

B) 1728

C) 688

D) 892

E) 1700

Con Con la las s frut frutas as:: Pl Plát átan ano, o, papa papaya ya,, me meló lón, n, pi piña ña y mamey, ¿cu mamey, ¿cuánt ántos os jug jugos os de dif difere erente ntes s sabore sabores s se podrán hacer? B) 10

C) 25

D) 32

E) 31

¿Cuántos se letras de laarreglos palabra diferentes “JAPANAJ “JAPANAJA” A” pueden hacer con las  A) 81

to

E) 256

¿D ¿De e cu cuán ánta tas s ma mane nera ras s di dife fere rent ntes es;; 2 peru peruan anos os,, 3 argentinos y 4 colombianos pueden sentarse en fila de modo que los de la misma nacionalidad se siente  juntos?

 A) 13

Del siguiente tablero, ¿de cuántas maneras diferentes se puede escoger una casilla blanca y una casilla negr negra a de ta tall ma mane nera ra que que no esté estén n en la mi mism sma a horizontal ni vertical?

5º Secundaria

D) 144

¿De cuántas maneras puede escog escogerse erse un comi comité té compuesto de 3 hombres y 2 mujeres de un grupo de 7 hombres y 5 mujeres?

 A) 864

Del enunciado: ¿De cuántas maneras diferentes se podrá ir de Lima a Tacna y regresar, si la ruta de regreso debe ser diferente a la de ida?  A) 400

7.

4.

¿De cuántas maneras diferentes se podrá ir de Lima a Tacna, pasando siempre por Ica? B) 20

C) 132

¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar 10 personas en una mesa redonda de 6 asientos, si 4 están en espera?

 A) 530

“De Lima a Ica, existen 4 caminos diferentes, de Ica a Tacna hay 5 caminos también diferentes”.

 A) 9

B) 18

 A) 2520 D) 10!

3.

5.

B) 56

final de una fiesta. Si cada participante es cortés con los demás, el número de personas era:

Del enunciado: ¿De cuántas maneras puede vestirse, si la camisa blanca siempre la usa con el pantalón azul?  A) 95

E) 24

BLOQUE II 1. Un total de 120 estrechadas de mano se efectuaron al

Si deseas viajar a Venezuela y dispones de 3 barcos, 5 aviones y 4 buses (todos diferentes entre sí), ¿de cuántas maneras puedes realizar dicho viaje?  A) 11

D) 6

cuántas formas se puede elegir?  A) 28 B) 74 C) 92 D) 48

Del enu enunci nciado ado:: ¿De cuá cuánta ntas s man manera eras s difere diferente ntes s puede vestirse, si 3 de los pantalones fueran iguales? B) 60

C) 3

idiomas cada uno, se sabe que 4 de ellos estudian inglés y alemán, 5 inglés y francés y los otros sólo alemán y francés. Si se quiere escoger 2 personas que que haga hagan n ju junt ntos os la trad traduc ucci ción ón de una una le lect ctur ura a a cu cual alqu quie iera ra de lo los s 3 id idio ioma mas s me menc ncio iona nado dos, s, ¿de ¿de

BLOQUE I

 A) 120

B) 81

10. De un grupo de 15 personas que estudian sólo 2

PROBLEMAS

4.

E) 64

Un juego consiste en un tablero cuadriculado de 4 x 4, ¿de cuá cuánta ntas s for formas mas dis distin tintas tas pue pueden den col coloca ocarse rse 2 fichas, sin que estén en la misma columna ni en la misma fila?  A) 64

3.

D) 256

¿De cuántas maneras diferentes se pueden colocar 3 fichas iguales en un recuadro como se muestra en la figura, para que en cada fila y columna haya, a lo más, una ficha?

 A) 27

Resolución

2.

C) 32

Un estu estudi dian ante te tien tiene e que que cont contes esta tarr 8 de 10 preguntas en un examen: I. ¿D ¿De e cuán cuánta tas s ma mane nera ras s pued puede e el es estu tudi dian ante te escoger las 8 preguntas? II. II. Si las tr tres es pr prim imer eras as so son n obli obliga gato tori rias as,, ¿de cu cuán ánta tas s mane manera ras s pued puede e esco escoge gerr las las preguntas? III. III. Si tie tiene ne que c cont ontest estar ar 4 de las 5 prime primeras ras,, ¿De cuá cuánta ntas s for forma mas s pue puede de esc escoge ogerr las preguntas?

1.

B) 120

B) 840

C) 120

D) 8

E) 64

Razonamiento Razonami ento Matemático Matemático 

 

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7.

¿D ¿De e cu cuán ánta tas s mane manera ras s 3 pare pareja jas s de espo esposo sos s se pueden pue den ubica ubicarr en una mesa cir circul cular, ar, si en ningún ningún momento las parejas estarán separados?  A) 120

8.

C) 48

D) 144

E) 72

Cinco viajeros llegan a una comunidad en la que hay 6 hoteles, ¿de cuántas maneras pueden ocupar sus cuar cuarto tos s de debi bien endo do es esta tarr cada cada uno uno en hote hotele les s diferentes?  A) 60

9.

B) 16

B) 24

C) 120

D) 720

E) 30

Cuatro personas abordan un automóvil en el que hay 6 asientos. Si sólo César y Sandro saben conducir, ¿de cuántas maneras diferentes pueden acomodarse para salir de paseo?  A) 24

B) 60

C) 120

D) 240

E) 360

10. Con 6 pesas de 1; 2; 5; 10; 30 y 70 kg. ¿cuántas pesas diferentes pueden obtenerse tomando aquellas de 3 en 3?  A) 15

B) 120

5º Secundaria

C) 20

to

D) 60

4  Bimestre

E) 80

7

Razonamiento Razonami ento Matemático Matemático