Análisis cinemático e inverso del robot PUMA

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE YUCATÁN FACULTAD DE INGENIERÍA

INGENIERÍA MECATRÓNICA

ROBÓTICA 1

ROBOT PUMA

Integrantes:

CÉSAR ALBERTO SOSA ZÚNIGA EDUARDO ERIBERT ESCOBAR AQUINO ANDRÉ JOSÉ NOVELO CELMO CRISTOPHER CORTÉS SANCHEZ ANGEL LLANEZ CABALLERO JONATAN DEOLARTE MARTINEZ

MÉRIDA, YUCATÁN, MÉXICO 2014

Introducción El robot PUMA (Programmable Universal Machine for Asambly) es un brazo articulado con 6 articulaciones rotatorias que le proporcionan 6 grados de libertad y le permiten posicionar y orientar su herramienta final. Ver figura 1.

Figura 1. Robot PUMA 560. De manera más específica, las 3 primeras articulaciones (sistema Hombro-codoMuñeca) se utilizan para posicionar el efector final, mientras que las últimas tres articulaciones sirven para orientarlo. La cinemática directa del brazo articulado se formuló siguiendo la representación de Denavit-Hartenberg, cuya descripción comprende la asignación de sistemas de referencia y relación de parámetros asociados a elementos y articulaciones. La cinemática inversa se realizó algebraicamente partiendo de las ecuaciones proporcionadas de la cinemática directa.

CINEMÁTICA DIRECTA

En la figura 2 se muestra las asignaciones de tramas. La figura 3 muestra los detalles del antebrazo del robot. La trama {0} (que no se muestra) es coincidente con la trama {1} cuando es cero. Los ejes de las articulaciones 4, 5, y 6 se intersectan todos en un punto común, y este punto de intersección coincide con el origen de las tramas {4}, {5} y {6}, los ejes de articulación de 4, 5 y 6 son mutuamente ortogonales.

Los parámetros de Denavit-Hartenberg que corresponden a esta disposición de tramas de vínculos se muestran en la tabla 1. El robot tiene una combinación de engranajes en la muñeca del manipulador que acopla los movimientos de las articulaciones 4, 5 y 6.

Figura 2. Asignaciones de tramas para el manipulador.

Figura 3. Asignaciones de tramas para el antebrazo del manipulador.

Tabla 1. Parámetros de Denavit-Hartenberg del robot PUMA.

1 2 3 4 5 6

0 -90 0 -90 90 -90

0 0

0 0

0 0

0 0

Dada la ecuación general de transformación homogénea, para eslabones arbitrarios:

[

]

Sustituyendo los valores de la tabla de parámetros de vínculos del PUMA en la ecuación general obtenemos cada una de las transformaciones del vínculo:

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

Multiplicando las transformadas de las tramas {0} a {6}

Se obtiene:

[

Dónde:

]

CINEMÁTICA INVERSA

En base a las 6 transformaciones de los vínculos:

[

Se pone la dependencia en

Se invierte

]

del lado izquierdo de la ecuación:

: [

][

]

De las ecuaciones de posición se utiliza una simple técnica en la que se multiplica cada lado de la ecuación de transformación por una inversa que es regularmente usada para separar las variables de salida en la búsqueda de una ecuación con solución. Tomando los elementos (2,4) de los dos lados de la ecuación obtenemos:

Para resolver estas ecuaciones necesitamos algunas relaciones trigonométricas.

√ (

)

Sustituyendo (5) en (4)

Manipulando trigonométricamente:

(

)

(

√

)

Ahora conocemos dos posibles soluciones de y esto nos da la oportunidad de poder tomar los elementos (1,4) y (3,4) de la ecuación (3) e igualamos ambos lados.

Si elevamos al cuadrado (10) y (4) y sumamos las ecuaciones resultantes podemos obtener

Donde

Ahora que la dependencia de de la ecuación (11) ha sido removida se puede resolver aplicando los mismos criterios que se usaron para resolver (4) ya que poseen una forma similar y por tanto se obtiene

(

√

)

Por lo tanto tenemos también dos posibles soluciones para . Si ahora volvemos a tomar en cuenta a (1) podemos escribir el lado izquierdo en función de solo lo que conocemos y .

o como: [

][

]

De donde la ecuación (15) se tiene ya de la cinemática directa. Ahora tomamos los elementos (1,4) y (2,4) y los igualamos con los elementos correspondientes en (15) y obtenemos:

Estas ecuaciones pueden ser simultáneamente resueltas para

y

.

Los denominadores son iguales y positivos, por tanto resolvemos para la suma de [

) (

]

Obteniendo los valores resultan cuatro posibles valores de combinaciones de y , por tanto Se obtienen

Siempre y cuando

≠ 0, podremos resolver para

Se elige arbitrariamente y, cuando se calcule acorde con ello.

(19)

debido a las

de la siguiente manera:

posteriormente, se calculará

Se puede escribir la ecuación (3) de modo que todo el lado izquierdo sea una función solamente de variables conocidas y

En donde

se da mediante

[

]

Y mediante la ecuación. Igualando los elementos (1,3) y (3,3) de ambos lados de la ecuación (21) obtenemos

Por lo tanto podemos resolver para

En donde

se obtienen mediante la ecuación (22)

Aplicando el mismo método calculamos sigue:

y escribimos la ecuación (2) como

Igualando los elementos (3,1) y (1,1) de ambos lados de la ecuación (21) obtenemos

En donde

Debido a los signos positivo y negativo que aparecen en las ecuaciones (9) y (13), estas cuatro soluciones. Además, hay cuatro soluciones adicionales que se obtienen volteando la muñeca del manipulador. Para cada una de las cuatro soluciones calculadas antes, obtenemos la solución inversa mediante.

Una vez que se han calculado las ocho soluciones, habrá que descartar algunas de ellas (o incluso todas) debido a violaciones en los límites de las articulaciones. De cualquier solución válida restante, generalmente se selecciona la más cercana a la configuración actual del manipulador.

DINÁMICA DEL ROBOT. La dinámica del robot trata con las formulaciones matemáticas de las ecuaciones de movimiento del brazo. Las ecuaciones de movimiento de un manipulador son un conjunto de ecuaciones matemáticas que describen su conducta dinámica. Tales ecuaciones son útiles para la simulación en computadora del movimiento del robot, el diseño de ecuaciones de control apropiadas para el robot y la evaluación del diseño y estructura del brazo. En el presente documento se proporciona la dinámica del robot PUMA 560, considerando su velocidad lineal y angular y las fuerzas que actúan sobre él, resulta ser que el estudio de ambas velocidades y fuerzas estáticas nos lleva a una matriz llamada jacobiano del manipulador, la cual se utilizará para determinar la dinámica del robot mencionado. En primera instancia se determinaron las posiciones de los eslabones del manipulador con respecto al centro de masa del mismo. Y se dividió en cada una de sus posiciones en X, Y y Z para su fácil manipulación. Para determinar las posiciones de los eslabones que se encargan de posicionar el efector final se utilizó el análisis geométrico considerando el ángulo y las distancias que se muestran en la Figura 4.

Figura 4.Plano X-Y.

POSICION. La posición del eslabón 1 es: [

]

Se agrega el siguiente eslabón de la estructura del robot para determinar la posición del eslabón 2 como se muestra en la Figura 2.

Figura 5.Plano X-Y.

h

Figura 5.Plano X-Z.

La posición del eslabón 2 es:

√ [√

]

La posición del eslabón 3 es: √ [√

]

Se tienen la Inercia de 3 eslabones

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

Usando la matriz general Jacobiana

[

]

La cual consta de derivadas parciales, se aplica para cada eslabón

Jacobiana del primer eslabón. [

]

Jacobiana del segundo eslabón. [

]

√

√ √

√

Jacobiana del tercer eslabón.

√

(

√

[

]

[

])

[

]

√

√

√

√

Jacobiana del cuarto eslabón [

]

√ ]√

[

[

]( √

(

[

[

]

[ ]

[

(

[ [

[

]

]

√

]

[ (

[

[

(

]

] [

]

[ ]

[

]

[ ]

[

[

]) [

]) ]

])

[

]

[

]

]) ]

[

[

]) ]

√ √

√ √

Jacobiana del quinto eslabón √

= √

√

√

√

√

√

√

√

(

[

√ + √

]

[

]

[

]

[

])

Jacobiana del sexto eslabón [

]

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

Ya con todos los jacobianos calculados se obtuvo la Velocidad Angular

Por lo que tenemos todo lo necesario para poder calcular la matriz de masas e Inercias de cada eslabón y cuya suma da como resultado la Matriz de masas e Inercias de todo el Robot.

Matriz de masas e inercias:

M1= [

]

[

] [

]

M3= [

]

=

[

]

(

(

[

]

[

]

[

]) )

(

[

]

[

]

[

])

Una vez obtenida la matriz de masas, se sigue el siguiente procedimiento para poder calcular el vector de fuerzas centrípetas y de coriolis, donde se calcula la derivada con respecto del tiempo de cada elemento de la matriz de las variables articulares

(

)

Y el resultado se multiplica por la derivada con respecto al tiempo de la Matriz de Masas e Inercias

Se calcula la transpuesta de la derivada de las variables articulares y se multiplica por la matriz de Masas e Inercias y por la derivada con respecto al tiempo de las variables articulares.

Y a ese resultado se le deriva nuevamente con respecto del tiempo para cada una de las variables articulares.

Finalmente se aplica la siguiente fórmula para poder obtener el vector de fuerzas centrípetas y de coriolis.

[

(

(

))]

Por tanto, lo último que queda por calcular es el vector de Gravedad ( ) Donde se aplica la siguiente formula

Y se obtiene al final el vector de gravedad.

BIBIOGRAFÍA Craig, John J. (2006). Robótica.Pearson Educación. México. Spong W. Mark., Hutchinson S., & Vidyasagar, M. (2004). Robot Dynamics and Control. Tsai, Lung-Wen. (1999). Robot analysis: the mechanics of serial and parallel manipulators. Wiley. http://personal.us.es/jcortes/Material/Material_archivos/Articulos%20PDF/RobotPU MA.pdf Visitado 17 Noviembre de 2014.