Analisi Statica Lineare Equivalente PDF

 

6.   Analisi statica lineare: esempio di calcolo 6. Si supponga di volere determinare lo schema di carico per il calcolo all’SLV delle sollecitazioni in direzione x del telaio riportato nella PFIGURA 1, con ordinata spettrale elastica Se(T ) = 0,555 g.   L’azione sismica può può essere modellata modellata come una forza sismica equivalente. equivalente.   La componente orizzontale F h, che va sempre considerata, può essere scomposta secondo le due direzioni principali x e z.   Essendo, per il secondo principio della dinamica:

UNITÀ

E1

F  =  = m · a

ognuna delle due componenti si determina moltiplicando, nella direzione considerata, la massa W  / g  associata al carico gravitazionale W   (dovuto ai carichi verticali, permanenti e variabili) per l’accelerazione spettrale di progetto. Si ha quindi:

F h x

=

Sd (T ) x

F h y

=

Sd (T )y

W  x

⋅

⋅

 g W  y  g

dove: •  Sd(T ) x e Sd(T ) y sono le componenti orizzontali dello spettro di progetto; •  W   x e W   y sono i carichi gravitazionali totali nella direzione considerata; 2 •   g = 9,81 m / s  è l’accelerazione di gravità.

Componenti orizzontali S d (T ) dello spettro di progetto

 

Si ha: Sd (T ) =

Se (T ) q

        0         0   ,         5

PROSPETTO (direzione x )

        0         0   ,         5

        0         5   ,         3

        0         0   ,         5

        0         5   ,         3

        0         0   ,         5

        0         5   ,         3

        0         0   ,         5

6,00

4,00

6,00

6,00

4,00

6,00

y 

PIANTA x 

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FIGURA 1  Edificio in CA

a telaio. Analisi lineare? Statica o dinamica?

1

 

6   ANALISI STATICA LINEARE: ESEMPIO DI CALCOLO •

Poiché si hanno, in entrambe le direzioni, telai multipiano a più campate, si ha anche (tabella 1, CDA): CDA): q x = qz = q = 5,85

In questo caso le componenti orizzontali dello spettro di progetto sono uguali tra loro e assumono il valore: S (T ) d

=

S (T )

=

dx

S (T )  

=

dy

 Se (T )   0, 555  g =

q

=

0, 095 5 g

5, 8 5

Massa associata ai carichi gravitazionali

 

La massa W  / g  è associata al carico gravitazionale W   dovuto alle azioni verticali permanenti e variabili. Il carico W   è ricavato con criterio probabilistico, fattorizzando i carichi variabili. Si considera quindi il seguente carico gravitazionale: W  =  = λ(Gk + Σi ψ2i Qki

dove: • 

Gk indica il valore totale dei carichi permanenti, assunti con valore caratteristico; •  Qki indica il valore caratteristico della generica azione variabile; •  ψ2i è il coefficiente di combinazione all’SLU delle azioni variabili Qki e assume i valori riportati nella tabella Car8b del Prontuario).

        0         0   ,         5

        0         0   ,         5

PROSPETTO         0         5   ,         3

        0         0   ,         5

        0         5   ,         3

        0         0   ,         5

        0         5   ,         3

        0         0   ,         5

6,00

4,00

6,00

6,00

4,00

6,00

y 

PIANTA x 

Carichi areali sui solai 2 Permanenti g   = 5,3 kN / m Esercizio q   = 2,0 kN / m2 2 Neve q s   = 0,6 kN / m

influenza relative FIGURA 2  Aree di influenza

Sezione travi: 30 cm × 50 cm Sezione pilastri: 30 cm × 30 cm

ai carichi gravitazionali del telaio in direzione  x .

2

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6   ANALISI STATICA LINEARE: ESEMPIO DI CALCOLO •

caratteristici nella direzione  x  TABELLA 1  Carichi gravitazionali caratteristici Piano

Carico permanente G k  Dovuto ai carichi distribuiti (peso trave  x  +  + peso solaio)

Dovuto ai carichi concentrati (peso travi  z  +  + peso pilastri)

Totale

Sovraccarico Q

Neve QS 

3

25 · 0,5 · 0,3 · 16 + 5,3 · 16 · 5 = 484 kN

25 · 0,5 · 0,3 · 5 · 4 + 25 · 0,32 · 1,75 · 4 ≅ 96 kN

580,0 kN

2 · 5 · 16 = 160 kN kN

0,6 · 5 · 16 = 48 kN kN

2

484 k N

25 · 0,5 · 0,3 · 5 · 4 +

590,5 kN

160 kN

—

590,5 kN

160 kN

—

2

25 · 0,3  · 3,50 · 4 = 106,5 kN 1

484 k N

106,5 kN

Il coefficiente λ tiene conto della maggiore o minore probabilità che tutti i carichi variabili, al momento del sisma, insistano sulla struttura con la stessa intensità ψ2i Qki e assume i seguenti valori: • 

λ = 0,85 se la costruzione ha almeno 3 orizzontamenti; •  λ = 1 negli altri casi.

L’analisi dei carichi gravitazionali caratteristici, eseguita con il metodo delle aree di influenza (PFIGURA 2) è riportata nella PTABELLA 1.   Si calcolano ora i carichi gravitazionali W ix. Piano 3 ψ2 = 0,3 per il carico di esercizio Q ψ2 = 0,2 per il carico neve QS (oltre i 1000 m)

W 3 x = 580 + 0,3 · 160 + 0,2 · 48 ≅ 638 kN

Piani 2 e 1 ψ2 = 0,3 per il carico di esercizio Q

W 2 x = W 1 x = 590,5 + 0,3 · 160 ≅ 638 kN

Il carico gravitazionale totale da associare al sisma, ponendo λ = 0,85, è: W  x = λ Σi W ix = 0,85 · 3 · 638 ≅ 1627 kN

cui corrisponde la massa gravitazionale: W   x

=

 g

1627 g

Determinazione della forza sismica equivalente

 

Noto il valore Sd(T ) della componente orizzontale dello spettro di progetto e quello della massa gravitazionale corrispondente W  x / g, il calcolo dell’azione sismica F   è immediato Si ha: hx

F hx

=

0, 0 9 5  g ⋅ 1 6 2 7  g

=

0, 0 9 5 ⋅ 1 6 2 7 = 1 5 5 kN

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3

 

6   ANALISI STATICA LINEARE: ESEMPIO DI CALCOLO •

Ripartizione ai piani della forza sismica equivalente

 

La forza F h x  si distribuisce linearmente lungo l’altezza dell’edificio. Al piano i-esimo sarà dunque applicata una forza sismica F hxi, data data dalla formula seguente:

F h x i

=

F h x

ziW xi Σi ziW x i

dove: • 

zi è la quota del piano i-esimo; •  W   xi è il carico gravitazionale corrispondente al medesimo piano.

Si ha, naturalmente: F hx = Σi F hxi

La forza sismica di piano F hxi è applicata nel centro di massa, che coincide con il baricentro dell’impalcato.   Dalla PTABELLA  1  si ricavano i carichi gravitazionali W  xi  relativi ai vari piani, mentre le quote zi degli stessi piani sono indicate nella PFIGURA 3. Si ha:

 

W  x3 = 580,0 580,0 kN  kN W  x2 = 590,5 kN

z3 = 10,5 m z2 = 7,0 m

 

W  x1 = 590,5 kN

z1 = 3,5 m

e quindi: Σi zi W  xi = 580 · 10,5 + 590,5 · 7 + 590,5 · 3,5 = 12 290 kN · m

Si hanno, in definitiva, i seguenti vaori delle forze di piano:  

F hx1 = 155 · 590,5 · 3,5 / 12 290 =

26 kN

 

F hx2 = 155 · 590,5 · 7 / 12 290 =

52 kN

   

F hx3 = 155 · 580 · 10,5 / 12 290 =

77 kN 155 kN

3 F hx 3         0         5   ,         3

2

F hx 2

z 3

1

F hx 1

z 2

        0         5   ,         3

z 1

FIGURA 3  Forza sismica equivalente

F hx  hx  

        0         5   ,         3

 V bx  bx 

=

6,00

4,00

6,00

F  hx  e

ripartizione lungo l’altezza dell’edificio.

4

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6   ANALISI STATICA LINEARE: ESEMPIO DI CALCOLO •

Modello di carico in direzione  x  dell’edificio  dell’edificio

 

Sulle travate saranno distribuiti i carichi permanenti ( g  = 5,3 kN / m2) e variabili, questi ultimi associati agli appropriati coefficienti ψ2i. Si ha (PFIGURA 4): • 

per la travata 3:

 

g3 = 25 · 0,5 0 ,5 · 0,3 + 5,3 · 5 = 30,25 kN / m

 

q3 = 0,3 · 2 · 5 = 3 kN / m

 

q s = 0,2 · 0,6 · 5 = 0,6 kN / m

• 

per le travate 2 e 1:

 

 g = 25 · 0,5 · 0,3 + 5,3 · 5 = 30,25 kN / m

 

q = 0,3 · 2 · 5 = 3 kN / m

Effetti torsionali

 

Anche negli edifici regolari in pianta è obbligatorio considerare gli effetti torsionali accidentali.   Si può può tenere tenere conto di questi questi effetti effetti amplificando mediante un fattore δ > 1 le forze sismiche di piano. In modo del tutto equivalente, vista la linearità dell’analisi, il fattore δ può essere applicato successivamente agli effetti delle stesse forze (N , V  e  e M ). ). Si ha:  x L

δ   = 1 + 0, 6

dove: •   x 

è la distanza dell’elemento resistente verticale dal baricentro geometrico dell’edificio, misurata perpendicolarmente alla direzione dell’azione sismica considerata; •  L è la distanza tra i due elementi resistenti più lontani, misurata nella stessa direzione.

0,6 kN /m 3 kN /m 30,25 kN /m

3 kN /m 30,25 kN /m

77 kN

3         0         5   ,         3

2

52 kN

        0         5   ,         3

1

26 kN

        0         5   ,         3

6,00

4,00

6,00

FIGURA 4  Modello di calcolo

per l’analisi statica lineare. Copyright © 2013 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [5929] Questo file è una estensione online del corso Zavanella, Leti, Veggetti, Veggetti, Progettazione, costruzioni e impianti 

5

 

6   ANALISI STATICA LINEARE: ESEMPIO DI CALCOLO •

FIGURA 5  Parametri

per la determinazione della maggiorazione δ dovuta all’effetto torsionale accidentale.

        0         0   ,         5

A

 

B          0         0   ,         5

     x

G  ≡ C          0         0   ,         5

       L

        0         0   ,         5

        0         0   ,         5

6,00

4,00

6,00

La maggiorazione dovuta all’effetto torsionale è massima per gli elementi strutturali più lontani dal baricentro, mentre si annulla per gli elementi baricentrici ( x = 0 → δ = 1).   Se, per esempio, si vuole determinare il coefficiente δ per amplificare la forza sismica e i suoi effetti sugli elementi del telaio  AB (PFIGURA 5), si ha:  x = 7,50 m

L = 25 m

e quindi: δ   = 1 + 0, 6 ⋅

6

7, 5 0   25

=

1, 1 8

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