analisi luogo (esercizi)

Esempi di sintesi per tentativi con il luogo delle radici Esempio 1 ` dato il sistema di controllo: E u

+h −6

-

G(s)

-

P (s)

y-

in cui: P (s) =

10 s(s − 2)

(1)

Utilizzando la sintesi per tentativi con il luogo delle radici, progettare G(s) in modo che: • il sistema a ciclo chiuso sia di tipo 1, con |˜ e1 | ≤ 0.01; • tutti i poli a ciclo chiuso abbiano parte reale minore od uguale a −3. Soluzione La funzione di trasferimento in catena aperta F (s) = G(s)P (s) deve avere un polo in s = 0, affinch´e il sistema a ciclo chiuso sia di tipo 1. Dal momento che il processo P (s) ha un polo in s = 0, non `e necessario introdurre alcun polo in s = 0 nella ˆ ˆ funzione di trasferimento del controllore di primo tentativo G(s) ⇒ G(s) = K. Si indichi con KP il guadagno del processo: dalla (1) si ha KP = −5. Si indichino inoltre con KG il guadagno del controllore e con KF = KG KP il guadagno di F (s). Dalla specifica su e˜1 si ha: 1 1 = ≤ 0.01 ⇒ |KG | ≥ 20. (2) |˜ e1 | ≤ 0.01 ⇒ KF KG K P ˆ Riassumendo, il controllore di primo tentativo G(s) `e dato da: ˆ G(s) =K

(3)

Ricordando che nella sintesi si utilizza nella stragrande maggioranza dei casi il luogo positivo, si ha: K ≥ 20, dal momento che la costante K coincide a questo punto con il guadagno KG . Attenzione!!! Ci`o non sar`a vero in generale nel seguito ˆ della sintesi. Al controllore G(s) corrisponde: ˆ Fˆ (s) = G(s)P (s) =

10K K′ = s(s − 2) s(s − 2)

(4)

in cui K ′ = 10K `e il coefficiente di guadagno di Fˆ (s), da non confondere col guadagno. Si ha ovviamente il vincolo: K ′ ≥ 200. Il luogo delle radici associato a Fˆ (s) (luogo delle radici iniziale) `e il seguente:

Luogo delle radici iniziale 10 poli a ciclo aperto asintoti

8

Asse Immaginario

6 4 2 0 −2 −4 −6 −8 −10 −4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Asse reale

Fig.1 Luogo delle radici di Fˆ (s) (luogo iniziale) Si noti che il centro degli asintoti s0 `e stato calcolato con la formula:

s0 =

n X

pj −

j=1

m X j=1

n−m

zj (5)

in cui n `e il grado del denominatore di Fˆ (s) (numero di poli di Fˆ (s): n = 2), m `e il grado del numeratore di Fˆ (s) (numero di zeri di Fˆ (s): m = 0), pj `e il polo j-esimo di Fˆ (s) (p1 = 0, p2 = 2), zj `e lo zero j-esimo di Fˆ (s) (Fˆ (s) non ha zeri). ` evidente che le specifiche a ciclo chiuso richieste non sono soddisfatte (i due rami E del luogo si trovano sempre all’esterno della regione desiderata per ogni valore di K ⇐⇒ le due radici a ciclo chiuso hanno parte reale maggiore di −3 per ogni valore di K). Si osservi che: • il polo p2 non `e cancellabile, perch´e non `e all’interno della regione desiderata (`e addirittura instabile); • `e sempre consigliabile, compatibilmente con la fisica realizzabilit`a del controllore, fare in modo che l’eccesso poli-zeri della funzione di trasferimento a ciclo aperto, cio`e n − m, sia minimo, in modo che le direzioni degli asintoti, che dipendono appunto da n − m, risultino pi` u favorevoli in termini di appartenenza dei rami del luogo alla regione desiderata per K → +∞. Ci`o significa che il minimo eccesso poli-zeri ottenibile `e quello del processo P (s), dal momento che il grado del numeratore del controllore G(s) deve essere minore od uguale al grado del denominatore di G(s): la scelta pi` u favorevole quindi `e una funzione G(s) propria ma non strettamente, cio`e una funzione G(s) che ha il grado del numeratore uguale al grado del denominatore (cio`e una funzione G(s) che ha un egual numero di zeri e poli). Tenendo conto delle due osservazioni precedenti, una scelta conveniente per G(s) la seguente: 2

ˆ s − z = K(s − z) G(s) = G(s) s−p s−p

(6)

Si noti che: • il polo in p e lo zero in z devono essere scelti in modo che il centro degli asintoti si porti all’interno della regione desiderata, col vincolo che lo zero z deve appartenere alla regione desiderata: se cos`ı non fosse, infatti, poich´e per K → +∞ un ramo converge sullo zero, si avrebbe un ramo del luogo delle radici che per valori sufficientemente elevati di K esce dalla regione desiderata; • K non coincide in questo caso con il guadagno KG del controllore, che `e invece dato da: −zK KG = (7) −p a cui corrisponde il seguente vincolo derivante dalla condizione (2) su |˜ e1 |: 20| − p| | − z|K ≥ 20 ⇒ K ≥ | − p| | − z|

(8)

Al controllore G(s) corrisponde: 10K(s − z) K ′ (s − z) K(s − z) 10 = = F (s) = G(s)P (s) = s − p s(s − 2) s(s − 2)(s − p) s(s − 2)(s − p) Si ha ovviamente il vincolo: K ′ ≥ 200

(9)

| − p| . Il centro degli asintoti associato a F (s) | − z|

`e :

2+p−z (10) 2 e deve essere tale che: s0 < −3. Si pu`o scegliere ad esempio s0 = −5, ottenendo: s0 =

2+p−z = −5 2

(11)

Poich´e lo zero introdotto nel controllore deve appartenere alla regione desiderata, una scelta possibile `e la seguente: z = −4, p = −16. Riassumendo: G(s) =

K(s + 4) s + 16

K ≥ 80 F (s) =

K ′ (s + 4) 10K(s + 4) = s(s − 2)(s + 16) s(s − 2)(s + 16) K ′ ≥ 800

(12) (13) (14) (15)

Il luogo delle radici associato a F (s) (luogo delle radici finale) `e il seguente:

3

Luogo delle radici finale 20 zeri a ciclo aperto poli a ciclo aperto

15

asintoti

Asse immaginario

10 5 0 −5 −10 −15 −20 −20

−15

−10

−5

0

5

Asse reale

Fig.2 Luogo delle radici di F (s) (luogo finale) dal quale si deduce che, a partire da un certo valore di K ′ in poi, tutti i rami del luogo entrano nella regione desiderata. Ci si aspetta perci`o di trovare un intervallo di valori ¯ ′ . Per di K ′ , corrispondente al soddisfacimento delle specifiche, del tipo: K ′ ≥ K ¯ ′ , si consideri l’equazione caratteristica del luogo, cio`e il denominatore calcolare K della funzione di trasferimento in catena chiusa: s(s − 2)(s + 16) + K ′ (s + 4) = 0,

(16)

e si effettui la sostituzione s = s′ − 3. Si ottiene: s′3 + 5s′2 + (K ′ − 89)s′ + K ′ + 195 = 0

(17)

Si costruisca la tabella di Routh associata all’equazione (17): 3) 1 K ′ − 89 2) 5 K ′ + 195 ′ 4K − 640 1) 5 0) K ′ + 195 Applicando il criterio di Routh, si pu`o concludere che le specifiche a ciclo chiuso sono soddisfatte per 4K ′ −640 ≥ 0 ⇒ K ′ ≥ 160 ⇒ K ≥ 16. Quest’ultima condizione va confrontata con la (13):  K ≥ 16 ⇒ K ≥ 80 K ≥ 80 Si pu`o infine porre: G(s) = 80 e la sintesi `e conclusa.

4

(s + 4) s + 16

(18)

Esempi di sintesi per tentativi con il luogo delle radici Esempio 2 ` dato il sistema di controllo: E u

+h −6

-

G(s)

-

P (s)

y-

in cui: P (s) =

20(s + 3) s(s + 1)(s + 6)

(1)

Utilizzando la sintesi per tentativi con il luogo delle radici, progettare G(s) in modo che: • il sistema a ciclo chiuso sia di tipo 1, con |˜ e1 | ≤ 0.05; • tutti i poli a ciclo chiuso abbiano parte reale minore od uguale a −2. Soluzione La funzione di trasferimento in catena aperta F (s) = G(s)P (s) deve avere un polo in s = 0, affinch´e il sistema a ciclo chiuso sia di tipo 1. Dal momento che il processo P (s) ha un polo in s = 0, non `e necessario introdurre alcun polo in s = 0 nella ˆ ˆ funzione di trasferimento del controllore di primo tentativo G(s) ⇒ G(s) = K. Si indichi con KP il guadagno del processo: dalla (1) si ha KP = 10. Si indichino inoltre con KG il guadagno del controllore e con KF = KG KP il guadagno di F (s). Dalla specifica su e˜1 si ha: 1 1 ≤ 0.05 ⇒ |KG | ≥ 2. = (2) |˜ e1 | ≤ 0.05 ⇒ KF KG K P ˆ Riassumendo, il controllore di primo tentativo G(s) `e dato da: ˆ G(s) =K

(3)

Ricordando che nella sintesi si utilizza nella stragrande maggioranza dei casi il luogo positivo, si ha: K ≥ 2, dal momento che la costante K coincide a questo punto con il guadagno KG . Attenzione!!! Ci`o non sar`a vero in generale nel seguito ˆ della sintesi. Al controllore G(s) corrisponde: ˆ Fˆ (s) = G(s)P (s) =

20K(s + 3) K ′ (s + 3) = s(s + 1)(s + 6) s(s + 1)(s + 6)

(4)

in cui K ′ = 20K `e il coefficiente di guadagno di Fˆ (s), da non confondere col guadagno. Si ha ovviamente il vincolo: K ′ ≥ 40. Il luogo delle radici associato a Fˆ (s) (luogo delle radici iniziale) `e il seguente:

luogo delle radici iniziale 20 zeri in catena aperta poli in catena aperta

15

asintoti

Asse Immaginario

10 5 0 −5 −10 −15 −20 −7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

Asse Reale

Fig.1 Luogo delle radici di Fˆ (s) (luogo iniziale) Si noti che il centro degli asintoti s0 `e stato calcolato con la formula:

s0 =

n X

pj −

j=1

m X

zj

j=1

n−m

(5)

in cui n `e il grado del denominatore di Fˆ (s) (numero di poli di Fˆ (s): n = 3), m `e il grado del numeratore di Fˆ (s) (numero di zeri di Fˆ (s): m = 1), pj `e il polo j-esimo di Fˆ (s) (p1 = 0, p2 = −1, p3 = −6), zj `e lo zero j-esimo di Fˆ (s) (z1 = −3). ` evidente che le specifiche a ciclo chiuso richieste non sono soddisfatte (due rami E del luogo si trovano sempre all’esterno della regione desiderata per ogni valore di K ⇐⇒ due radici a ciclo chiuso hanno parte reale maggiore di −2 per ogni valore di K). Si osservi che: • il polo p3 `e all’interno della regione desiderata; • `e sempre consigliabile, compatibilmente con la fisica realizzabilit`a del controllore, fare in modo che l’eccesso poli-zeri della funzione di trasferimento a ciclo aperto, cio`e n − m, sia minimo, in modo che le direzioni degli asintoti, che dipendono appunto da n − m, risultino pi` u favorevoli in termini di appartenenza dei rami del luogo alla regione desiderata per K → +∞. Ci`o significa che il minimo eccesso poli-zeri ottenibile `e quello del processo P (s), dal momento che il grado del numeratore del controllore G(s) deve essere minore od uguale al grado del denominatore di G(s): la scelta pi` u favorevole quindi `e una funzione G(s) propria ma non strettamente, cio`e una funzione G(s) che ha il grado del numeratore uguale al grado del denominatore (cio`e una funzione G(s) che ha un egual numero di zeri e poli). Tenendo conto delle due osservazioni precedenti, una scelta conveniente per G(s) la seguente: ˆ G(s) = G(s)

s+6 K(s + 6) = s−p s−p 2

(6)

Si noti che: • il polo in p deve essere scelto in modo che il centro degli asintoti si porti all’interno della regione desiderata; • il termine (s+6) al numeratore `e stato introdotto nel controllore per cancellare il termine (s + 6) presente nel denominatore del processo e semplificare cos`ı i calcoli: in questo modo infatti il grado del denominatore di F (s), cio`e n, `e uguale a tre, e quindi ci sono tre poli a ciclo chiuso, ossia tre rami nel luogo delle radici finale; se si fosse scelto di non effettuare la cancellazione inserendo al numeratore di G(s) il termine (s − z), con z 6= −6, sarebbe risultato n = 4. Comunque anche in quest’ultimo caso sia p che z andrebbero scelti in modo da spostare il centro degli asintoti all’interno della regione desiderata, col vincolo che lo zero z deve appartenere alla regione desiderata: se cos`ı non fosse, infatti, poich´e per K → +∞ un ramo converge sullo zero, si avrebbe un ramo del luogo delle radici che per valori sufficientemente elevati di K esce dalla regione desiderata; • K non coincide in questo caso con il guadagno KG del controllore, che `e invece dato da: 6K KG = (7) −p a cui corrisponde il seguente vincolo derivante dalla condizione (2) su |˜ e1 |: 2| − p| 6K ≥2⇒K≥ | − p| 6

(8)

Al controllore G(s) dato dalla (6), corrisponde: K(s + 6) 20(s + 3) 20K(s + 3) K ′ (s + 3) = = s − p s(s + 1)(s + 6) s(s + 1)(s − p) s(s + 1)(s − p) (9) | − p| . Il centro degli asintoti associato a F (s) Si ha ovviamente il vincolo: K ′ ≥ 40 6 `e : −1 + p + 3 s0 = (10) 2 e deve essere tale che: s0 < −2. Si pu`o scegliere ad esempio s0 = −4, ottenendo: F (s) = G(s)P (s) =

s0 =

−1 + p + 3 = −4 ⇒ p = −10 2

Riassumendo:

(11)

K(s + 6) (12) s + 10 10 K≥ (13) 3 K ′ (s + 3) 20K(s + 3) = (14) F (s) = s(s + 1)(s + 10) s(s + 1)(s + 10) 200 K′ ≥ (15) 3 Il luogo delle radici associato a F (s) (luogo delle radici finale) `e il seguente: G(s) =

3

luogo delle radici finale 20 zeri in catena aperta poli in catena aperta

15

asintoti

Asse Immaginario

10 5 0 −5 −10 −15 −20 −12

−10

−8

−6

−4

−2

0

2

Asse Reale

Fig.2 Luogo delle radici di F (s) (luogo finale) dal quale si deduce che, a partire da un certo valore di K ′ in poi, tutti i rami del luogo entrano nella regione desiderata. Ci si aspetta perci`o di trovare un intervallo di valori ¯ ′ . Per di K ′ , corrispondente al soddisfacimento delle specifiche, del tipo: K ′ ≥ K ¯ ′ , si consideri l’equazione caratteristica del luogo, cio`e il denominatore calcolare K della funzione di trasferimento in catena chiusa: s(s + 1)(s + 10) + K ′ (s + 3) = 0,

(16)

e si effettui la sostituzione s = s′ − 2. Si ottiene: s′3 + 5s′2 + (K ′ − 22)s′ + K ′ + 16 = 0

(17)

Si costruisca la tabella di Routh associata all’equazione (17): 3) 1 K ′ − 22 2) 5 K ′ + 16 ′ 4K − 126 1) 5 0) K ′ + 16 Applicando il criterio di Routh, si pu`o concludere che le specifiche a ciclo chiuso sono soddisfatte per 4K ′ − 126 ≥ 0 ⇒ K ′ ≥ 31.5 ⇒ K ≥ 1.575. Quest’ultima condizione va confrontata con la (13): ( K ≥ 1.575 10 10 ⇒K≥ K≥ 3 3 Si pu`o infine porre: G(s) =

10 (s + 6) 3 s + 10

e la sintesi `e conclusa.

4

(18)

Esempi di sintesi per tentativi con il luogo delle radici Esempio 3 ` dato il sistema di controllo: E u

+h -

-

−6

in cui: P (s) =

s (s2

G(s)

d ? + - h-

s+6 , + 10s + 26)

y-

P (s)

d(t) = δ−1 (t)

Utilizzando la sintesi per tentativi con il luogo delle radici, progettare G(s) in modo che: • il sistema sia astatico rispetto al disturbo d(t); • tutti i poli a ciclo chiuso abbiano parte reale minore od uguale a −3. Soluzione Per la condizione di astatismo, `e necessario introdurre nel controllore un polo in s = 0. Il controllore di primo tentativo `e perci`o: K ˆ G(s) = s a cui corrisponde: ˆ Fˆ (s) = G(s)P (s) =

K(s + 6) + 10s + 26)

s2 (s2

Il luogo delle radici associato a Fˆ (s) `e il seguente: Root Locus 10

8

6

4

Imaginary Axis

2

0

−2

−4

−6

−8

−10 −14

−12

−10

−8

−6

−4 Real Axis

−2

0

2

4

6

` evidente che le specifiche a ciclo chiuso richieste non sono soddisfatte (il sistema E a ciclo chiuso `e instabile). Si noti che: • i poli complessi coniugati si trovano all’interno della regione desiderata; • `e sempre consigliabile, compatibilmente con la fisica realizzabilit`a del controllore, fare in modo che l’eccesso poli-zeri della funzione di trasferimento a ciclo aperto sia minimo, in modo da avere una situazione migliore per quel che riguarda gli asintoti del luogo delle radici. Considerato ci`o, si pu`o scegliere: G(s) =

K(s2 + 10s + 26) s(s + 16)

a cui corrisponde: F (s) = G(s)P (s) =

K(s + 6) s2 (s + 16)

Il luogo delle radici di F (s) `e: Root Locus 40

30

20

Imaginary Axis

10

0

−10

−20

−30

−40 −16

−14

−12

−10

−8

−6

−4

−2

0

Real Axis

da cui si evince che, a partire da un certo valore di K in poi, tutti i rami del luogo entrano nella regione di specifica. Ci si aspetta perci`o di trovare un intervallo di ¯ valori di K, corrispondente al soddisfacimento delle specifiche, del tipo: K > K. ¯ si consideri l’equazione caratteristica del luogo: Per calcolare K, s2 (s + 16) + K(s + 6) = 0, si effettui la sostituzione: s = s′ − 3: s′3 + 7s′2 + (K − 69)s′ + 3K + 117 = 0 e si applichi a quest’ultima equazione il criterio di Routh: 2

3) 1 K − 69 2) 7 3K + 117 4K − 600 1) 7 0) 3K + 117 Dalla tabella di Routh si pu`o concludere che le specifiche a ciclo chiuso sono soddisfatte per K ≥ 150. Quindi si pu`o porre: G(s) =

150(s2 + 10s + 26) s(s + 16)

3