Análise Matemática

November 25, 2017 | Author: Temudjin Khan | Category: Integral, Rational Number, Real Number, Logarithm, Limit (Mathematics)

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Estabelece a base para análise dos conjuntos e sua relação por meio de funções...

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Notas Te´ oricas de An´ alise Matem´ atica

Rui Rodrigues

Departamento de F´ısica e Matem´ atica Instituto Superior de Engenharia de Coimbra

Índice

1 Primitiva¸ c˜ ao de fun¸ c˜ oes reais de vari´ avel real 1.1 1.2

1

Primitiva¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Processos de primitiva¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 4

1.2.1 1.2.2

Primitiva¸caõ imediata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Primitiva¸caõ por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 7

1.2.3 Primitiva¸caõ por substitui¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Primitiva¸cão de fun¸cões racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 13

2 C´ alculo integral 2.1 Somas de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19 19

1.3

2.2

Integral definido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Teorema fundamental do cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23 24

2.3

Propriedades do integral definido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Integra¸cão por substitui¸cão e integra¸cão por partes . . . . . . . . .

26 30

2.4

Outras propriedades do integral definido . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.5

Aplica¸cões do integral definido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 2.5.1 Area de regiões planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32 32

2.5.2 2.5.3

Volume de sólidos de revolu¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Comprimento do arco de uma curva y = f (x) . . . . . . . . . . . .

35 38

Integral indefinido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Integrais impróprios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40 43

2.7.1 2.7.2

Integrais em intervalos não limitados . . . . . . . . . . . . . . . . . Integrais de fun¸cões não limitadas . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43 45

Métodos numéricos de integra¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.1 Regra dos trapézios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46 47

2.8.2

51

2.6 2.7

2.8

Regra de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

3 Introdu¸ c˜ ao ao estudo das equa¸ c˜ oes diferenciais ordin´ arias 3.1 Introdu¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 3.3

Equa¸cões diferenciais ordinárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equa¸cões diferenciais de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55 60

3.3.1

Equa¸cão diferencial linear de primeira ordem . . . . . . . . . . . .

60

3.3.2 3.3.3

Equa¸cão diferencial de variáveis separáveis . . . . . . . . . . . . . Equa¸cão diferencial homogénea de grau zero . . . . . . . . . . . . .

63 66

3.3.4

Equa¸cão diferencial de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

4 S´ eries num´ ericas 4.1

55 55

71

Sucessões numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Progressão aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71 74

4.1.2 Progressão geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Séries numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74 75

4.2.1 4.2.2

Defini¸cão e natureza de uma série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Série geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75 78

4.2.3 4.2.4

Série telescópica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Série de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79 81

4.2.5 4.2.6

Propriedades das séries numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . Condi¸cão necessária de convergência . . . . . . . . . . . . . . . . .

81 82

4.2.7

Critérios de compara¸cão para séries de termos não negativos . . .

84

4.2.8 4.2.9

Outros critérios para séries de termos não negativos . . . . . . . . Convergência absoluta e convergência simples . . . . . . . . . . . .

87 90

4.2.10 Séries alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.11 Reordena¸cão dos termos de uma série numérica . . . . . . . . . . .

92 94

5 S´ eries de potˆ encias 5.1 Introdu¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95 95

4.2

5.2 5.3

Raio e intervalo de convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Propriedades das séries de potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Referˆ encias bibliogr´ aficas

107

´ Indice alfab´ etico

109

ii

Cap´ıtulo 1 Primitiva¸c˜ ao de fun¸ c˜ oes reais de vari´ avel real

1.1

Primitiva¸c˜ ao

Iniciamos este tema com a defini¸cão de primitiva de uma fun¸cão real de variável real. Defini¸ c˜ ao 1.1 Seja f uma fun¸cão real de variável real definida num intervalo D. Primitiva de f em D é qualquer fun¸cão F também definida em D, tal que F ′ (x) = f (x) para todo o

x ∈ D.

Considere a fun¸cão f (x) = cos x definida para todo o x ∈ R. A fun¸cão F (x) = sin x é uma primitiva de f pois (sin x)′ = cos x para todo o x ∈ R. Existem outras primitivas

de f , como por exemplo G(x) = sin x + 1. Se F é uma primitiva de f em D, então a fun¸cão G(x) = F (x) + c, qualquer que seja c ∈ R, é também uma primitiva de f em D. De facto, G′ (x) = (F (x)+c)′ = F ′ (x) = f (x) para todo o x ∈ D. Ou seja, não existe apenas uma primitiva de f num intervalo D. A figura apresenta o gr´ afico de três primitivas da fun¸cão f (x) = cos x. y

x

Figura 1.1 1

Primitiva¸ c˜ ao de fun¸ c˜ oes reais de vari´ avel real Teorema 1.1 Se F e G são duas primitivas de f num intervalo D, então as fun¸cões F e G diferem apenas de uma constante, isto é, existe k ∈ R tal que G(x) = F (x) + k qualquer que seja x ∈ D. Para demonstrar este resultado é necessário o seguinte corolário do Teorema de Lagrange. Corol´ ario 1.1 (do Teorema de Lagrange) Se f : [a, b] → R é uma fun¸cão cont´ınua e f ′ (x) = 0 para todo o x no intervalo aberto ]a, b[, então f é constante em [a, b]. Demonstra¸ c˜ ao - (do teorema 1.1) Considere a fun¸cão h(x) = G(x) − F (x) definida em D. A fun¸cão h é cont´ınua em D (porque resulta da soma de duas fun¸cões diferenciáveis em D) e h′ (x) = (G(x) − F (x))′ = f (x) − f (x) = 0 , para todo o x ∈ D (porque F e G s˜ ao duas primitivas de f em D). O corolário anterior permite concluir que existe k ∈ R tal que h(x) = k, isto é, que G(x) = F (x) + k em D.

Ou seja, se F é uma primitiva de f em D, então toda a outra primitiva da fun¸cão f em D é da forma F (x) + c para alguma constante c ∈ R. Ao primitivar obtém-se uma fam´ılia de fun¸cões e não

apenas uma fun¸cão. O gráfico de uma primitiva resulta directamente de uma transla¸cão no eixo das ordenadas do gráfico de outra primitiva (recorde a figura na página 1). As nota¸cões mais usadas no cálculo da primitiva de uma fun¸cão são as seguintes: → P f (x) = F (x) + c , →

Z

f (x) dx = F (x) + c ,

Exemplos: Z • 2x dx = x2 + c.

2

•

Z

cos x dx = sin(x) + c.

•

Z

1 dx = ln(x) + c, (x > 0). x

•

Z

1 dx = arctan(x) + c. 1 + x2

c∈R c ∈ R.

1.1. Primitiva¸ c˜ ao Exerc´ıcio 1.1 Verifique por defini¸cão que p ln x + 1 + x2

1 é uma primitiva da fun¸cão f (x) = √ . 1 + x2 Exerc´ıcio 1.2 (a) Verifique que

cos (2x) e 2 são duas primitivas da fun¸cão f (x) = sin(2x). −

sin2 (x)

(b) Determine a diferen¸ca entre as duas primitivas. Exerc´ıcio 1.3 Em qual das figuras está representado o gráfico de uma primitiva da fun¸cão f (x) = sinh x. y

y

y

x

(a)

x

x

(b)

(c)

O próximo resultado fornece uma condi¸cão suficiente para a existência de primitiva. Teorema 1.2 (existência de primitiva) Se f é uma fun¸cão cont´ınua num intervalo D, então f tem primitiva em D. Se uma fun¸cão não tem primitiva, então é necessariamente uma fun¸cão descont´ınua. Importa referir que certas fun¸cões descont´ınuas são também primitiváveis. Proposi¸ c˜ ao 1.1 (linearidade) Se f e g são duas fun¸cões primitiváveis, então Z Z α f (x) dx = α f (x) dx , e

Z

f (x) + g(x) dx =

Z

∀ α ∈ R \ {0}

f (x) dx +

Z

g(x) dx .

(1.1)

(1.2)

A demonstra¸cão deste resultado é simples, basta usar a defini¸cão de primitiva. aplica¸cão conjunta das propriedades (1.1) e (1.2) permite escrever Z Z Z f1 (x) ± f2 (x) ± · · · ± fn (x) dx = f1 (x) dx ± · · · ± fn (x) dx ,

A

3

Primitiva¸ c˜ ao de fun¸ c˜ oes reais de vari´ avel real onde se assume que cada fun¸cão fi , i = 1, 2, . . . , n, n ∈ N, é primitivável no mesmo intervalo. Primitiva-se por decomposi¸cão ao utilizar em simultâneo as propriedades (1.1) e (1.2). Nem sempre é poss´ıvel determinar uma expressão finita para a primitiva de toda a fun¸cão primitivável. Considere a t´ıtulo de exemplo as fun¸cões e−x

2

sin(x)/x

e

ln(sin x) .

Estas fun¸cões são cont´ınuas nos seus dom´ınios, contudo, não é poss´ıvel encontrar uma representa¸cão da primitiva de cada fun¸cão, como soma finita de fun¸cões elementares.

1.2

Processos de primitiva¸ c˜ ao

Doravante, consideram-se os seguintes processos de primitiva¸cão: →

Primitiva¸cão imediata

→

Primitiva¸cão por partes

→

Primitiva¸cão por substitui¸cão

1.2.1

Primitiva¸c˜ ao imediata

Este processo consiste na interpreta¸cão, no sentido inverso, da tabela de deriva¸cão. Na ´ necessária maior parte das situa¸cões a consulta da tabela não é no entanto suficiente. E alguma manipula¸cão algébrica para poder reconhecer uma expressão familiar. Deduzemse sem dificuldade as seguintes primitivas: •

Z

0 dx = c,

•

Z

1 dx = x + c,

•

Z

k dx = k x + c,

k, c ∈ R

Quando surge uma primitiva da forma Z

u′ uα dx

onde α ∈ R\{−1} e u representa uma fun¸cão da variável x, a resposta é imediata, tem-se, Z 4

u′ uα dx =

uα+1 + c, α+1

α ∈ R \ {−1} .

(1.3)

1.2. Processos de primitiva¸ c˜ ao A confirma¸cão é simples, basta derivar.

uα+1 +c α+1

′

′ 1 uα+1 α+1 1 = [(α + 1) uα+1−1 u′ ] α+1

=

= u′ uα . A fórmula (1.3) é usualmente designada como regra da potência. Um caso particular é Z xα+1 xα dx = + c, α ∈ R \ {−1} . α+1 Outras expressões podem deduzir-se de forma quase imediata. Para primitivar uma fun¸cão exponencial de base a, onde a > 0 e a 6= 1, obtém-se Z au + c. u′ au dx = ln a

(1.4)

A confirma¸cão de (1.4) é mais uma vez muito simples.

au +c ln a

′

=

Alguns casos particulares são

e

1 1 ′ u (au )′ = u a ln a = u′ au . ln a ln a Z

u′ eu dx = eu + c

Z

ex dx = ex + c .

A consulta de uma tabela de deriva¸cão permite escrever de imediato. •

Z

u′ dx = ln |u|+ c u

•

Z

u′ cos u dx = sin(u) + c

•

Z

u′ dx = arctan(u) + c 1 + u2

•

Z

√

(passa por considerar α = −1 em

Z

u′ uα dx, recordar (1.3))

u′ dx = arcsin(u) + c . 1 − u2

5

Primitiva¸ c˜ ao de fun¸ c˜ oes reais de vari´ avel real Exemplos: Calcular as primitivas Z (a) x3 − 5x2 + 2x + 1 dx (b)

Z

1 dx x (x − 1)

(c)

Z

e2x dx

(d)

Z

2 dx 4 + x2

Al´ınea (a) Z

x3 − 5x2 + 2x + 1 dx = =

Z

Z Z Z x3 dx − 5 x2 dx + 2 x dx + 1 dx

5x3 x4 − + x2 + x + c 4 3

Al´ınea (b) Z

1 dx = x (x − 1)

Z

1 1 − dx x−1 x Z Z 1 1 = dx − dx x−1 x = ln |x − 1| − ln |x| + c

Al´ınea (c)

Al´ınea (d)

Z Z

e2x dx = 1/2

Z

2 dx = 4 + x2 =

2 e2x dx =

Z Z

e2x +c 2

2 dx 4 (1 + x2 /4) 1 2

1 + (x/2)2

dx

= arctan(x/2) + c Teorema 1.3 Seja f uma fun¸cão primitivável no intervalo D, x0 um ponto de D e y0 ∈ R. Existe uma u ńica primitiva F da fun¸cão f que satisfaz a condi¸cão F (x0 ) = y0 . Demonstra¸ c˜ ao -

Admitamos que F e G são duas primitivas de f em D que satisfazem

a condi¸cão prescrita. Tem-se F ′ (x) = G′ (x) = f (x) em D e F (x0 ) = G(x0 ) = y0 . Considerando a fun¸cão h(x) = F (x) − G(x), definida para todo o x ∈ D, verifica-se 6

1.2. Processos de primitiva¸ c˜ ao imediatamente que h′ (x) = 0 em D. Constata-se que h é uma fun¸cão constante, isto é, que h(x) = k, k ∈ R, em D. Calculando h no ponto x0 obtém-se k = 0, e portanto F (x) = G(x) em todo o intervalo. Exemplo: 2

Considere o problema da determina¸cão da u ńica primitiva F da fun¸cão f (x) = x ex que satisfaz a condi¸caõ F (0) = 1. O cálculo da expressão geral da primitiva de f revela que F (x) =

Z

xe

x2

dx = 1/2

Z

2

2xe

x2

ex + c. dx = 2

Da equa¸cão F (0) = 1 resulta c = 1/2. Assim, a primitiva pretendida é 2

ex + 1 F (x) = . 2

1.2.2

Primitiva¸c˜ ao por partes

O processo de primitiva¸cão por partes baseia-se na expressão da derivada do produto ´ por este motivo muito utilizado na procura de primitiva para um de duas fun¸cões. E produto de duas fun¸cões. Considere duas fun¸cões u e v (da variável x) definidas e diferenciáveis num certo intervalo D. Calculando a derivada do produto de u por v obtém-se (u(x) v(x))′ = u′ (x) v(x) + u(x) v ′ (x) expressão que se pode reescrever como u(x) v ′ (x) = (u(x) v(x))′ − u′ (x) v(x) . Primitivando por decomposi¸cão, ambos os membros da identidade anterior, deduz-se Z Z u(x) v ′ (x) dx = [(u(x) v(x))′ − u′ (x) v(x)] dx Z Z = (u(x) v(x))′ dx − u′ (x) v(x) dx Z = u(x) v(x) − u′ (x) v(x) dx + c . Isto é, obtém-se a seguinte expressão Z Z u(x) v ′ (x) dx = u(x) v(x) − u′ (x) v(x) dx + c

(1.5)

que é a fórmula do processo de primitiva¸cão por partes. Assim, se se pretende utilizar a fórmula (1.5) para determinar a primitiva de um produto de duas fun¸cões, é necessário identificar uma das fun¸cões por u e a outra por v ′ . Exigimos a u que seja uma fun¸cão diferenciável (porque é preciso calcular u′ ) e a v ′ 7

Primitiva¸ c˜ ao de fun¸ c˜ oes reais de vari´ avel real que seja uma fun¸cão primitivável, para a qual se consegue calcular explicitamente uma R primitiva (pois é preciso determinar v = v ′ dx).

Uma vez percebida a fórmula (1.5), esta pode ainda interpretar-se de forma equivalente como Z Z Z Z f (x) g(x) dx = f (x) dx g(x) − f (x) dx g ′ (x) dx + c onde se escolheu f para primitivar e g para derivar. Exemplo: Pretende-se calcular a primitiva Z

x ex dx .

Escolhe-se u(x) = x e v ′ (x) = ex . Tem-se u′ (x) = 1 e uma primitiva de v ′ é v(x) = ex . Aplicando a fórmula (1.5) resulta Z Z x ex dx = x ex − ex dx + c = x ex − ex + c

= (x − 1) ex + c , isto é,

Z

x ex dx = (x − 1) ex + c ,

como se pode comprovar derivando a expressão (x − 1) ex + c.

´ natural colocar a seguinte questão: Será que não se consegue obter o mesmo E ` partida, esta op¸cão também não resultado escolhendo u(x) = ex e v ′ (x) = x? A parece apresentar dificuldades. Neste caso, tem-se u′ (x) = ex e uma primitiva de 2 v ′ é v(x) = x2 . Obtém-se Z Z x x2 ex x2 ex x e dx = 2 − 2 dx + c . que apresenta mais dificuldades pois é preciso calcular do polinómio que existia inicialmente).

Z

x2 ex dx (elevou-se o grau

Note que a presen¸ca da constante de primitiva¸cão surge logo na aplica¸cão da fórmula (1.5) e não apenas no final de todos os c´ alculos. Este é um pormenor importante. De facto, ao aplicar a fórmula (1.5) está impl´ıcito que a primitiva de (u(x) v(x))′ já foi calculada o que justifica a coloca¸cão da constante. O sucesso na aplica¸cão do processo de primitiva¸cão por partes depende em grande parte da escolha das fun¸cões u e v ′ . Para poder escolher adequadamente sugere-se simplesmente o seguinte: Quando existe alternativa na escolha da fun¸cão a primitivar, deve-se optar por primitivar aquela que menos se simplifica quando derivada. 8

1.2. Processos de primitiva¸ c˜ ao Observa¸ c˜ ao 1.1 ´ E importante observar que a seguinte fórmula não é válida Z

f (x) g(x) dx =

Z

Z f (x) dx g(x) dx ,

isto é, que a primitiva do produto de duas fun¸cões não é igual ao produto das primitivas (tal como acontece também com a derivada do produto de duas fun¸cões). Da´ı que, na presen¸ca de um produto de duas fun¸cões, o processo de primitiva¸cão por partes acabe por surgir como uma boa ideia para poder calcular a primitiva da fun¸cão produto. Antes de aplicar o processo de primitiva¸cão por partes, convém verificar se a primitiva que se pretende calcular é da forma Z

v(x) v ′ (x) dx .

Tudo é mais simples se se observar que estamos na presen¸ca de uma primitiva imediata Z v(x)2 + c. v(x) v ′ (x) dx = 2 Exemplos: Calcule primitivando por partes. Z (a) x ln x dx Z (b) x2 ex dx Z (c) sin x cos x dx Z (d) ln x dx . Al´ınea (a) Z

Z

Z Z x ln x dx = x dx ln x − x dx (ln x)′ dx + c Z = x2 /2 ln x − x/2 dx + c = x2 /2 ln x − x2 /4 + c

9

Primitiva¸ c˜ ao de fun¸ c˜ oes reais de vari´ avel real Al´ınea (b) Primitivando duas vezes por partes Z Z Z Z ′ x2 ex dx = ex dx x2 − ex dx x2 dx + c Z 2 x = x e − 2 x ex dx + c Z 2 x x x = x e − 2 x e − e dx + c = (x2 − 2x + 2) ex + c

Al´ınea (c) A primitiva é imediata. No entanto, também se pode determinar primitivando por partes. Z

Z Z ′ cos x dx sin x − cos x dx (sin x) dx + c Z = (sin x)2 − sin x cos x dx + c

sin x cos x dx =

Z

Observando com aten¸cão nota-se que a aplica¸cão do processo de primitiva¸cão por partes originou a equa¸cão A = (sin x)2 − A + c onde a incógnita A representa a primitiva que se pretende calcular. Resolvendo em ordem a A resulta

Z

sin x cos x dx =

(sin x)2 + c. 2

Al´ınea (d) Uma aplica¸cão interessante do processo de primitiva¸cão por partes. Z Z Z Z ln x dx = 1 dx ln x − 1 dx (ln x)′ dx + c Z = x ln x − 1 dx + c = x ln x − x + c

1.2.3

Primitiva¸c˜ ao por substitui¸ c˜ ao

O próximo resultado estabelece uma fórmula para o cálculo da primitiva através de uma mudan¸ca de variável. Teorema 1.4 Se f é uma fun¸cão primitivável num intervalo J e g é uma fun¸cão simultaneamente diferenciável e invert´ıvel num intervalo J1 de tal forma que g(J1 ) = J, então Z Z f (x) dx = f (g(t)) g ′ (t) dt . t = g−1 (x)

10

(1.6)

1.2. Processos de primitiva¸ c˜ ao Com a substitui¸cão ou mudan¸ca de variável x = g(t) pretende-se simplificar o cálculo da primitiva, isto é, espera-se que a primitiva que surge no segundo membro da equa¸caõ (1.6) seja mais simples de determinar que a primitiva da fun¸cão inicial. Note que a primitiva no segundo membro de (1.6) é calculada em ordem à variável t, dando lugar à posterior substitui¸cão de t pela expressão de g −1 . Demonstra¸ c˜ ao - (do teorema 1.4) Para obter o resultado pretendido basta mostrar que Z Z f (x) dx = f (g(t)) g ′ (t) dt , x = g(t)

ou de forma equivalente que F (g(t)) + c =

Z

f (g(t)) g ′ (t) dt ,

(1.7)

onde F representa uma primitiva da fun¸cão f . A derivada em ordem à variável t da fun¸cão composta F (g(t)), origina d ( F (g(t)) ) = F ′ (g(t)) g ′ (t) = f (g(t)) g ′ (t) . dt A derivada, em ordem à variável t, da expressão que está no segundo membro de (1.7) permite obter d dt

Z

′

f (g(t)) g (t) dt

= f (g(t)) g ′ (t) .

Obteve-se o mesmo resultado em ambas as deriva¸cões, logo, fica estabelecida a identidade (1.7) e consequentemente (1.6). Assim, os passos a efectuar na aplica¸cão do processo de primitiva¸cão por substitui¸caõ ao cálculo da primitiva

são os seguintes:

Z

f (x) dx

1. Identificar a mudan¸ca de variável adequada x = g(t) onde g é uma fun¸cão diferenciável e invert´ıvel, recorrendo geralmente à consulta de uma tabela de substitui¸co˜es. 2. Primitivar a fun¸cão f (g) g ′ em ordem à variável t, isto é, calcular Z f (g(t)) g ′ (t) dt . 3. Finalmente, repor a variável original, isto é, substituir a variável t pela express˜ ao de g −1 no resultado obtido no passo anterior.

11

Primitiva¸ c˜ ao de fun¸ c˜ oes reais de vari´ avel real Exemplos: (a) Calcular

Z

(ln x)2 dx , x

x > 0.

Esta primitiva pode calcular-se directamente. Basta notar que a fun¸cão que se pretende primitivar é da forma u′ u2 com u = ln x. Mostramos que a aplica¸cão do processo de primitiva¸caõ por substitui¸cão também permite determinar a primitiva pretendida. Primeiro passo: Consideramos a substitui¸cão x = et , isto é, escolhemos g(t) = et , t ∈ R, que é uma fun¸caõ invert´ıvel e diferenciável em todo o seu dom´ınio. A sua derivada é g ′ (t) = et . Se x = et , então t = ln x e a fun¸cão inversa de g é g −1 (x) = ln x. Segundo passo: Calcula-se Z

f (g(t)) g ′ (t) dt .

Tem-se Z

′

f (g(t)) g (t) dt = =

Z

Z

=

(ln et )2 t e dt et t2 dt

t3 + c. 3

Finalmente, substituindo t pela expressão de g −1 , obtém-se a primitiva pretendida, 3 Z (ln x)2 t (ln x)3 dx = +c = + c, c ∈ R. x 3 3 t = ln x (b) Determinar

Z

x+1 √ dx , x

x > 0.

Consideramos a substitui¸cão x = t2 , isto é, escolhemos g(t) = t2 , impondo √ t > 0 para que g seja uma fun¸cão invert´ıvel. Temos então t = x. Assim, Z Z 2 t +1 f (g(t)) g ′ (t) dt = 2t dt t 2 t3 = + 2t + c . 3 Logo, Z 12

x+1 √ dx = x

2 t3 + 2t + c 3

t=

√

x

√ √ 2x x = + 2 x + c, 3

c ∈ R.

1.3. Primitiva¸ c˜ ao de fun¸ c˜ oes racionais (c) Calcular

Z p 1 − x2 dx ,

x ∈ [−1, 1] .

Consideramos a substitui¸cão x = sin t onde se assume que t ∈ [−π/2, π/2]. A substitui¸cão inversa é t = arcsin x. Primitivando por substitui¸cão obtém-se Z Z p ′ 1 − (sin t)2 cos t dt f (g(t)) g (t) dt = Z √ = cos2 t cos t dt Z = cos t cos t dt Z = cos2 t dt Z 1 + cos(2t) = dt 2 t sin(2t) = + + c. 2 4 Porque se pretende que o resultado final seja o mais simples poss´ıvel, é preciso simplificar um pouco mais a expressão obtida. Tem-se Z 2 sin t cos t t sin t cos t t +c= + + c. f (g(t)) g ′ (t) dt = + 2 4 2 2 Usando a fórmula fundamental da trigonometria com sin t = x e t ∈ [−π/2, π/2] √ deduz-se que cos t = 1 − x2 . Logo, a primitiva pretendida é √ Z p arcsin x x 1 − x2 2 1 − x dx = + + c. 2 2

1.3

Primitiva¸c˜ ao de fun¸ c˜ oes racionais

Iniciamos esta seçcão com a defini¸cão de uma fun¸cão racional. Defini¸ c˜ ao 1.2 (fun¸cão racional) Toda a fun¸cão definida como o quociente de dois polinómios é uma fun¸cão racional. Ou seja, fun¸cão racional é toda a fun¸cão da forma f (x) =

p(x) an xn + · · · + a1 x + a0 = d(x) bm xm + · · · + b1 x + b0

(n, m ∈ N0 ) ,

(1.8)

definida para todo x ∈ R tal que d(x) 6= 0. Defini¸ c˜ ao 1.3 (fun¸cão racional própria e fun¸cão racional imprópria) Uma fun¸cão racional diz-se imprópria se o grau do polinómio em numerador for superior ou igual ao grau do polinómio em denominador. Caso contrário, a fun¸cão racional diz-se própria. 13

Primitiva¸ c˜ ao de fun¸ c˜ oes reais de vari´ avel real ´ costume chamar fraçcões racionais às fun¸cões racionais (1.8) para as quais m ≥ 1. E

O próximo resultado indica que toda a fraçcão racional própria se pode escrever como soma de determinadas fraçcões com uma expressão mais simples.

Teorema 1.5 (decomposi¸cão em elementos simples) Toda a fraçcão racional própria se pode decompor na soma de certas fraçcões racionais designadas como fraçcões simples. A esta decomposi¸cão muito particular chama-se decomposi¸cão em elementos simples. Apresentamos o processo composto por três etapas que permite obter a decomposi¸cão enunciada no teorema. Considera-se a fraçcão racional própria p(x) d(x) 1. Determinam-se os zeros do polinómio d em denominador, isto é, determinam-se as ra´ızes da equa¸cão d(x) = 0. 2. Efectua-se a seguinte correspondência: (i) Cada raiz real simples α origina a fraçcão simples A x−α onde A é uma constante real a determinar. (ii) Cada raiz real α de multiplicidade k origina as k fraçcões simples B1 , x−α

B2 , (x − α)2

Bk , (x − α)k

...

onde B1 , . . . , Bk são k constantes reais a determinar. (iii) Cada par de ra´ızes complexas conjugadas a± bi origina uma fraçcão simples da forma Cx + D (x − a)2 + b2 onde C e D são constantes reais a determinar. (iv) Cada par de ra´ızes complexas conjugadas a ± bi de multiplicidade k dá origem a k fraçcões simples da forma C1 x + D1 , (x − a)2 + b2

C2 x + D2 , [(x − a)2 + b2 ]2

...

Ck x + Dk , [(x − a)2 + b2 ]k

onde C1 , . . . , Ck e D1 , . . . , Dk são constantes reais a determinar. 3. Por fim, a fraçcão racional pr´ opria reescreve-se como a soma de todas as fraçcões simples apresentadas na etapa anterior. 14

1.3. Primitiva¸ c˜ ao de fun¸ c˜ oes racionais A primitiva¸cão de uma fun¸cão racional própria p(x) d(x) é agora bastante simples de concretizar. Basta executar os seguintes passos: 1. Decompor a fraçcão racional própria em elementos simples com o respectivo c´ alculo das constantes (cujo o cálculo é descrito nos exemplos apresentados mais à frente). 2. Primitivar por decomposi¸cão sabendo que: (i) A fraçcão simples associada a uma raiz real simples origina um logaritmo. (ii) As fraçcões simples associadas a uma raiz real de multiplicidade k originam um logaritmo e k − 1 potências. (iii) A fraçcão simples associada a um par de ra´ızes complexas conjugadas d´ a origem a um logaritmo ou um arco-tangente. Não se descreve o caso das ra´ızes complexas conjugadas de multiplicidade k. Este assunto espec´ıfico pode encontrar-se na bibliografia. Exemplos: (a) Pretende-se calcular

Z

x2

2 dx , −4

onde x2 − 4 6= 0. Os zeros do polinómio d(x) = x2 − 4 são x = ±2 e a

decomposi¸cão em elementos simples é x2

2 2 = −4 (x − 2)(x + 2) A B = + . x−2 x+2

Para determinar as constantes A e B recorremos ao método dos coeficientes indeterminados que descrevemos de seguida. Tem-se a decomposi¸cão 2 A B = + . x2 − 4 x−2 x+2 Logo, 2 A (x + 2) + B (x − 2) = . −4 x2 − 4 Da igualdade das fraçcões resulta a equa¸cão x2

2 = A (x + 2) + B (x − 2) , que é equivalente a 2 = (A + B) x + (2A − 2B) . 15

Primitiva¸ c˜ ao de fun¸ c˜ oes reais de vari´ avel real Da identidade de polinómios resulta  A + B = 0 2A − 2B = 2 e portanto

 A = 1/2

B = −1/2

A decomposi¸cão em elementos simples fica agora completa 2 1/2 1/2 = − . x2 − 4 x−2 x+2 Assim, Z

Z 1/2 1/2 dx − dx x−2 x+2 Z Z 1 1 1 1 = dx − dx 2 x−2 2 x+2

2 dx = x2 − 4

Z

= 1/2 ln |x − 2| − 1/2 ln |x + 2| + c . (b) Calcular

Z

x2 + 2x + 3 dx onde x 6= −1, 1. (x − 1)(x + 1)2

A decomposi¸cão da fraçcão racional própria em elementos simples origina x2 + 2x + 3 A B1 B2 = + + (x − 1)(x + 1)2 x − 1 x + 1 (x + 1)2 3/2 1/2 1 = − − . x − 1 x + 1 (x + 1)2 Logo, Z

x2 + 2x + 3 dx = (x − 1)(x + 1)2

Z

3/2 dx − x−1

Z

1/2 dx − x+1

Z

= 3/2 ln |x − 1| − 1/2 ln |x + 1| +

(x + 1)−2 dx 1 + c. x+1

Quando a fraçcão racional p(x) d(x) é imprópria, deve efectuar-se a divis˜ ao dos polinómios até que o polinómio resto, indicado por r, tenha grau inferior ao grau de d. Obtém-se assim a decomposi¸cão p(x) r(x) = q(x) + d(x) d(x) 16

1.3. Primitiva¸ c˜ ao de fun¸ c˜ oes racionais onde q representa o polinómio quociente da divisão e r(x) d(x) é agora uma fraçcão racional própria. Exemplo: Pretende-se calcular

Z

x3 + x2 + x + 3 dx x2 + 2

onde x2 + 2 6= 0. Porque a fraçcão racional é imprópria, é necessário efectuar a divisão dos dois polinómios. Obtém-se x3 + x2 + x + 3 1−x =x+1 + 2 . x2 + 2 x +2 Observa-se que a fraçcão racional própria 1−x x2 + 2 já se encontra na sua forma mais simples. Esta corresponde ao par de ra´ızes com√ plexas conjugadas x = ± 2 i e origina, por primitiva¸cão, um logaritmo e um arco-

tangente. Assim, Z 3 Z Z x + x2 + x + 3 1−x dx = x + 1 dx + dx 2 x +2 x2 + 2 Z Z Z x 1 = x + 1 dx + dx − dx x2 + 2 x2 + 2 Z Z Z 1/2 x = x + 1 dx + dx − dx √ 2 2 x +2 x/ 2 + 1 √ Z Z Z √ 1/ 2 2x = x + 1 dx + 2/2 dx − 1/2 dx √ 2 2+2 x x/ 2 + 1 √ √ x2 = + x + 2/2 arctan x 2/2 − 1/2 ln(x2 + 2) + c . 2

17

Cap´ıtulo 2 C´ alculo integral

2.1

Somas de Riemann

Considere uma decomposi¸ca õ do intervalo real [a, b] em n ∈ N subintervalos da forma [x0 , x1 ] , [x1 , x2 ] , . . . [xn−1 , xn ] , onde os pontos xi , com i = 0, 1, . . . , n, são tais que x0 = a, xi−1 < xi (i = 1, 2, . . . , n) e xn = b. A decomposi¸cão é designada por ∆ e é representada apenas pelos seus pontos do seguinte modo ∆ : a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b . ` decomposi¸cão estão associados n intervalos e n+1 pontos. Usa-se ∆xi para representar A a amplitude do intervalo [xi−1 , xi ], isto é, ∆xi = xi − xi−1 , i = 1, 2, . . . , n, e define-se diˆ ametro da decomposi¸c˜ ao, representado por | ∆ |, como sendo a amplitude do maior

intervalo de ∆, isto é, o n´ umero real positivo dado por | ∆ | = max ∆xi . i = 1,...,n

Exemplo: Considere o intervalo [0, 2] e a seguinte decomposi¸cão ∆ : 0 < 1/2 < 1 < 2. Tem-se os pontos x0 = 0, x1 = 1/2, x2 = 1 e x3 = 2, os subintervalos [0, 1/2], [1/2, 1] e [1, 2], com as correspondentes amplitudes ∆x1 = 1/2, ∆x2 = 1/2 e ∆x3 = 1, donde, | ∆ | = 1.

19

C´ alculo integral Defini¸ c˜ ao 2.1 (soma de Riemann) Considere uma fun¸cão real f definida e limitada no intervalo [a, b], uma decomposi¸cão ∆ de [a, b] e um ponto ci em cada intervalo [xi−1 , xi ] de ∆, i = 1, 2, . . . , n. Chama-se soma de Riemann da fun¸cão f para a decomposi¸cão ∆ e conjunto de pontos ci escolhidos, à expressão matemática n X i=1

f (ci ) ∆xi = f (c1 ) ∆x1 + · · · + f (cn ) ∆xn

(2.1)

que é representada por S(f, ∆). Importa observar qual o significado geométrico de uma soma de Riemann. Para cada parcela da soma (2.1) pode deduzir-se o seguinte: • Se f (ci ) > 0 então f (ci ) ∆xi representa o valor da a´rea de um rectângulo Ri cujo comprimento da base é ∆xi e cuja altura é o valor f (ci ).

y

6

f

f (ci ) Ri xi−1

ci

xi

x

Figura 2.1

• Se f (ci ) < 0 então f (ci ) ∆xi é o simétrico do valor da área de um rectângulo Ri de base ∆xi e altura igual a −f (ci ).

y

6 f (ci )

xi−1

ci Ri

f

Figura 2.2

20

xi

-

x

2.1. Somas de Riemann Conclui-se que uma soma de Riemann consiste na diferen¸ca entre, a soma do valor das áreas dos rectângulos que estão “acima” do eixo das abcissas e a soma do valor das a´reas dos rectângulos que estão “abaixo” do eixo das abcissas. A próxima figura ilustra estas conclusões. y

6

f

q x0 c1

qx3 qx4 -

qx2

q x1

c2

c3

c4

x

Figura 2.3 ` figura corresponde a soma de Riemann A S(f, ∆) = f (c1 ) ∆x1 + f (c2 ) ∆x2 + f (c3 ) ∆x3 + f (c4 ) ∆x4 = A1 + A2 − A3 − A4 = A1 + A2 − (A3 + A4 ) onde Ai representa a área do rectângulo de base igual a ∆xi = xi − xi−1 e altura igual

a |f (ci )|, com i = 1, 2, 3, 4. Exerc´ıcio 2.1

Considere a fun¸cão f (x) = x3 , o intervalo [−1, 2], a decomposi¸cão ∆ : −1 < 0 < 1 < 2 e calcule uma soma de Riemann de f para ∆. Exemplo: Considere a fun¸cão f (x) = x definida no intervalo [a, b] = [0, 1] e considere também uma decomposi¸cão ∆ de [0, 1] em n ∈ N subintervalos de igual amplitude. A decomposi¸cão tem n + 1 pontos e a amplitude de cada subintervalo é ∆xi =

b−a 1 = n n

i = 1, 2 . . . , n. Os pontos da decomposi¸cão ∆ : 0 = x0 < x1 < · · · < xn = 1 s˜ ao x0

=

0

x1

=

x0 +

1 1 = n n

x2

= .. .

x1 +

1 2 = n n

xi

= .. .

xn

=

i n n = 1. n 21

C´ alculo integral Em cada subintervalo [xi−1 , xi ] escolhe-se ci = xi . A soma de Riemann correspondente é dada por S(f, ∆) =

n X

f (ci ) ∆xi =

i=1

n X

f (xi ) ∆xi =

i=1

n X

f (i/n) ∆xi =

i=1

n 1 X i. n2 i=1

Porque n X

i=

i=1

n(1 + n) , 2

tem-se finalmente, S(f, ∆) =

1+n 2n

(n ≥ 1) .

Exerc´ıcio 2.2 Considere os dados do exemplo anterior e calcule S(f, ∆) quando em cada intervalo [xi−1 , xi ] se escolhe ci = xi−1 . Observa¸ c˜ ao 2.1 Recordam-se algumas fórmulas imprescind´ıveis na simplifica¸cão de cálculos semelhantes. •

n X

•

n X

•

n X

i=1

i=

n (1 + n) , 2

i2 =

n(n + 1)(2n + 1) , 6

i3 =

i=1

i=1

n(1 + n) 2

2

.

Considere as seguintes figuras.

y

6

f R

a

b

Figura 2.4

22

x

2.2. Integral definido y

6

f R1

b

a

-

x

R2

Figura 2.5

Se o n´ umero de subintervalos de uma decomposi¸cão ∆ de [a, b] é muito grande, ou de forma equivalente, se o diâmetro da decomposi¸cão de [a, b] é muito pequeno, então o valor da soma de Riemann correspondente, parece aproximar-se do valor: 1. Da área da região R - area(R) - no caso da primeira figura. 2. Da expressão area(R1 ) − area(R2 ) na situa¸cão apresentada na segunda figura.

2.2

Integral definido

A exposi¸cão da seçcão anterior conduz a defini¸cão de integral definido. Defini¸ c˜ ao 2.2 (integral de Riemann ou integral definido) Considere uma fun¸cão f definida e limitada no intervalo real [a, b]. Chama-se integral de Riemann ou integral definido de f no intervalo [a, b] ao valor do limite lim S(f, ∆)

(2.2)

|∆| → 0

quando existe e é finito. O integral definido de f em [a, b] é representado por Z b f (x) dx .

(2.3)

a

Por defini¸cão de integral definido, tem-se Z b f (x) dx = lim S(f, ∆) = a

|∆| → 0

lim

|∆| → 0

n X

f (ci ) ∆xi .

i=1

Dizer que o limite (2.2) existe significa dizer que o seu valor é o mesmo qualquer que seja a decomposi¸cão ∆ de [a, b] escolhida e qualquer que seja o conjunto de pontos ci escolhido. O valor do limite tem de ser independente da decomposi¸cão e do conjunto de pontos. Na expressão (2.3), f é a fun¸cão integranda e a e b são os extremos de integra¸caõ do integral definido. 23

C´ alculo integral Defini¸ c˜ ao 2.3 Uma fun¸cão f é integrável no intervalo [a, b] se existe o integral definido de f em [a, b]. O próximo resultado cuja demonstra¸cão é omitida apresenta uma condi¸cão suficiente para a existência de integral definido. Teorema 2.1 Se f é uma fun¸cão cont´ınua no intervalo [a, b] então f é integrável em [a, b]. Note-se que uma fun¸cão pode ser descont´ınua em [a, b] e ser também integrável no intervalo [a, b]. Voltaremos a esta situa¸cão particular um pouco mais à frente. Exemplo: Pretende-se calcular o integral definido da fun¸cão f (x) = x no intervalo [0, 1]. Porque f é uma fun¸cão cont´ınua, pelo teorema 2.1, f é uma fun¸cão integrável, isto é, o limite (2.2) existe e é finito, e é independente da decomposi¸cão e da escolha de pontos do intervalo [0, 1]. Pode escolher-se uma decomposi¸cão de [0, 1] em n subintervalos de igual amplitude e tomar-se ci = xi em cada subintervalo [xi−1 , xi ]. Recordando o exemplo na página 21, tem-se |∆| = max ∆xi = i=1,...,n

1 n

e

S(f, ∆) =

1+n . 2n

Note-se que n → +∞ equivale a |∆| → 0. Assim, por defini¸cão, tem-se Z 1 x dx = lim S(f, ∆) |∆| → 0

0

= =

lim

S(f, ∆)

lim

1 1+n = . 2n 2

n → +∞ n → +∞

Mostrou-se que o integral definido de f (x) = x em [0, 1] é 1/2, isto é, Z 1 x dx = 1/2 . 0

Usando em simultâneo a defini¸cão de integral definido e a interpreta¸cão geométrica das somas de Riemann, conclui-se que, se f é cont´ınua e não negativa no intervalo [a, b], então o valor do seu integral definido é exactamente igual ao valor da área da região limitada superiormente pelo gráfico de f , inferiormente pelo eixo das abcissas e lateralmente pelas rectas verticais x = a e x = b. O exemplo anterior permite verificar facilmente este facto.

2.2.1

Teorema fundamental do c´ alculo

Teorema 2.2 (teorema fundamental do cálculo) Se f é uma fun¸cão cont´ınua no intervalo [a, b] e F é uma primitiva de f em [a, b], então Z b f (x) dx = F (b) − F (a) . a

24

2.2. Integral definido O resultado anterior mostra que o cálculo do integral definido de uma fun¸cão cont´ınua é, pelo menos do ponto de vista teórico, simples de concretizar. Observa¸ c˜ ao 2.2 x=b

b

A expressão F (b) − F (a) representa-se de forma condensada por [F (x)]x = a ou [F (x)] a . Demonstra¸ c˜ ao -

(do teorema fundamental do cálculo)

Seja ∆ : a = x0 < x1 < · · · < xn = b uma decomposi¸cão do intervalo [a, b] e seja F uma primitiva da fun¸cão f em [a, b] (isto é, F ′ (x) = f (x) para todo o x em [a, b] - est´ a impl´ıcito que F ′ (a+ ) = f (a) e F ′ (b− ) = f (b)). Verifica-se com facilidade que F (b) − F (a) =

n X i=1

[ F (xi ) − F (xi−1 ) ] .

(2.4)

Porque f é uma fun¸cão cont´ınua em [a, b], pode deduzir-se que F é diferenciável em [a, b]. Logo, o teorema de Lagrange justifica a existência de um ponto ci em cada intervalo aberto ]xi−1 , xi [, de tal modo que F (xi ) − F (xi−1 ) = F ′ (ci ) . xi − xi−1 Ou seja, deduz-se que F (xi ) − F (xi−1 ) = f (ci ) ∆xi pois ∆xi = xi − xi−1 e F ′ = f . Assim, de (2.4), obtém-se F (b) − F (a) =

n X

f (ci ) ∆xi .

i=1

Se para toda a decomposi¸c˜ ao ∆ de [a, b], os pontos ci forem escolhidos como foi descrito, pode concluir-se que

n X

lim

|∆| → 0

i=1

f (ci ) ∆xi = F (b) − F (a) .

Porque f é integrável, tem-se necessariamente Z

a

b

f (x) dx = F (b) − F (a)

como se pretendia. Teorema 2.3 Se f é uma fun¸cão cont´ınua em [a, b], então o integral definido Z

b

f (x) dx a

não depende da primitiva de f . 25

C´ alculo integral Demonstra¸ c˜ ao - Se F e G são duas primitivas de f no intervalo [a, b], então existe k ∈ R tal que F (x) = G(x) + k para todo o x ∈ [a, b]. Basta observar que F (b) − F (a) =

G(b) − G(a) para concluir a demonstra¸cão. Exemplos:

Considere a fun¸cão cont´ınua f (x) = x. Uma primitiva de f é F (x) = x2 /2. Logo, 1

•

Z

1 2

•

Z Z

1

•

x dx =

0

x2 2

1

x2 2

21

=

x2 2

1

= 0.

x dx =

−1

x dx =

−1

=

0

1 , 2 1 1 3 − =− , 8 2 8

−1

−1

Interprete estes resultados do ponto de vista geométrico.

2.3

Propriedades do integral definido

Proposi¸ c˜ ao 2.1 Se f e g são duas fun¸cões integráveis no intervalo [a, b]. então

(i)

Z

b

Z

b

f (x) ± g(x) dx =

a

(ii)

Z

α f (x) dx = α

a

Z

a

b

f (x) dx ±

Z

b

g(x) dx ; a

b

f (x) dx ,

α ∈ R.

a

Proposi¸ c˜ ao 2.2 Se f é uma fun¸cão integrável no intervalo [a, b], então (i)

Z

a

Z

b

Z

b

f (x) dx = 0 ;

a

(ii)

f (x) dx = −

a

(iii)

a

f (x) dx =

Z

Z

a

f (x) dx ;

b

c

f (x) dx +

a

(iv) Se f (x) ≥ 0 em [a, b], então 26

Z

b

f (x) dx ,

c

Z

a

para todo o c ∈ [a, b] ;

b

f (x) dx ≥ 0 .

2.3. Propriedades do integral definido Exemplo: Pretende-se calcular

Z

e

Obtém-se Z

e2

e

e2

1 + 3 (ln x)2 dx . x ln x Z e2 1 ln x dx + 3 dx x ln x x e e e2 2 (ln x)2 = [ ln(ln x) ]ee + 3 2 e

1 + 3 (ln x)2 dx = x ln x

Z

e2

= ln 2 + 9/2 . Teorema 2.4 Se f e g são duas fun¸cões integráveis no intervalo [a, b], tais que f (x) ≥ g(x) para todo o x ∈ [a, b], então Z b Z b f (x) dx ≥ g(x) dx . a

a

Demonstra¸ c˜ ao - Considere a fun¸cão h(x) = f (x) − g(x) definida e integr´ avel no intervalo [a, b]. Logo, h(x) ≥ 0 para todo o x ∈ [a, b]. Pelo ponto (iv) na proposi¸caõ 2.2, pode concluir-se que

Z

b a

h(x) dx ≥ 0 ⇔

Z

a

b

f (x) − g(x) dx ≥ 0 .

Pela propriedade (i) na proposi¸cão 2.1, obtém-se finalmente Z b Z b f (x) dx ≥ g(x) dx . a

a

Exemplo: Considere as fun¸cões f (x) = x e g(x) = x2 . • No intervalo [0, 1] ocorre x2 ≤ x e portanto pode concluir-se que Z 1 Z 1 x2 dx < x dx . 0

0

• No intervalo [1, 2] tem-se x ≤ x2 e por isso Z 2 Z 2 x dx < x2 dx . 1

1

Teorema 2.5 Se f é uma fun¸cão cont´ınua em [a, b], m é o valor m´ınimo de f em [a, b] e M é o valor máximo de f em [a, b], ent˜ ao Z b m (b − a) ≤ f (x) dx ≤ M (b − a) . a

27

C´ alculo integral Demonstra¸ c˜ ao - Porque a fun¸cão f é cont´ınua num intervalo fechado, o teorema de Weierstrass indica que f atinge em [a, b] um valor máximo M e um valor m´ınimo m, isto é, tem-se m ≤ f (x) ≤ M para todo o x ∈ [a, b]. Pelo teorema 2.4, conclui-se que Z b Z b Z b m dx ≤ f (x) dx ≤ M dx . a

a

Ou seja, m (b − a) ≤

Z

a

a

b

f (x) dx ≤ M (b − a)

como se pretendia. Finalmente, observe que a igualdade só tem sentido se f for uma fun¸cão constante no intervalo [a, b]. Teorema 2.6 (do valor médio para integrais) Se f é uma fun¸cão cont´ınua em [a, b], então existe um ponto c ∈ ]a, b[ tal que 1 f (c) = b−a

Z

b

f (x) dx .

(2.5)

a

A interpreta¸cão geométrica deste resultado é simples no caso em que f ≥ 0. Considere a seguinte figura.

y

6 f f (c)

a

c

b

x

Figura 2.6 A expressão (2.5) pode reescrever-se como f (c) (b − a) =

Z

b

f (x) dx .

a

Ou seja, existe pelo menos um ponto c ∈ ]a, b[ de tal modo que, o valor da área da

região plana limitada superiormente pelo gráfico da fun¸cão f , inferiormente pelo eixo das abcissas e lateralmente pelas rectas verticais x = a e x = b, é exactamente igual ao valor da área de um rectângulo de base igual a b − a e altura igual a f (c). Demonstra¸ c˜ ao - (do teorema do valor médio para integrais) Se f é constante igual a k então c é qualquer ponto do intervalo [a, b]. De facto, Z b Z b f (x) dx = k dx = k (b − a) = f (c) (b − a) , a

28

a

2.3. Propriedades do integral definido qualquer que seja c em [a, b]. Suponhamos então que f não é uma fun¸cão constante. Porque f é cont´ınua em [a, b], existem u e v em [a, b] tais que f (u) = m e f (v) = M , onde m e M são respectivamente o valor m´ınimo e o valor máximo de f em [a, b]. Pelo teorema 2.5 conclui-se que f (u) (b − a) <

Z

b

f (x) dx < f (v) (b − a) ,

a

isto é,

Z

1 f (u) < b−a

Considere agora o n´ umero real

α=

1 b−a

b

f (x) dx < f (v) . a

Z

b

f (x) dx .

a

Porque f é cont´ınua e α é um n´ umero entre f (u) e f (v), a aplica¸cão do teorema de Bolzano permite garantir a existência de um ponto c entre u e v tal que f (c) = α, como se pretendia. Teorema 2.7 Se f é uma fun¸cão cont´ınua em [a, b], então

Demonstra¸ c˜ ao -

Z Z b b f (x) dx ≤ |f (x)| dx . a a

Porque se tem −|f (x)| ≤ f (x) ≤ |f (x)| para todo o x ∈ [a, b], a

aplica¸cão do teorema 2.4 permite concluir que − condi¸cão que implica

Teorema 2.8

Z

a

b

|f (x)| dx ≤

Z

a

b

f (x) dx ≤

Z

a

b

|f (x)| dx ,

Z Z b b f (x) dx ≤ |f (x)| dx . a a

Se f é uma fun¸cão integrável em [a, b], então f é uma fun¸cão limitada em [a, b].

29

C´ alculo integral

2.3.1

Integra¸c˜ ao por substitui¸ c˜ ao e integra¸ c˜ ao por partes

Integra¸cão por substitui¸cão Seja f uma fun¸cão cont´ınua num intervalo [x0 , x1 ]. Pretende-se calcular o integral definido Z x1 f (x) dx x0

por meio da mudan¸ca de variável x = g(t) onde g é uma fun¸cão diferenciável e invert´ıvel num intervalo [t0 , t1 ] de tal forma que x0 = g(t0 ) e x1 = g(t1 ). Assumindo ainda que a fun¸cão composta f ◦ g está bem definida no intervalo [t0 , t1 ] e que g ′ é uma fun¸cão cont´ınua nesse mesmo intervalo, mostra-se que é válida a seguinte identidade Z x1 Z t1 f (x) dx = f (g(t)) g ′ (t) dt . x0

(2.6)

t0

Exemplo: Pretende-se calcular

Z

2

1

x+1 √ dx . x

Efectua-se a mudan¸ca de vari´ avel x = t2 com t > 0 (garantindo assim que a √ fun¸cão g(t) = t2 é invert´ıvel). Obtém-se dx = 2t dt, t0 = g −1 (x0 ) = x0 = 1 e √ √ t1 = g −1 (x1 ) = x1 = 2. Aplicando (2.6), tem-se Z

1

2

Z

√ 2

t2 + 1 2t dt t 1 √ √2 3 10 2 − 8 t =2 +t = . 3 3 1

x+1 √ dx = x

Integra¸cão por partes Mostra-se que Z

a

b

u(x) v ′ (x) dx = [ u(x) v(x) |ba −

Z

b

u′ (x) v(x) dx ,

a

onde se assume que todas as fun¸cões envolvidas são cont´ınuas. Exemplo: Pretende-se calcular

Z

2

ln x dx .

1

A aplica¸cão de (2.7) permite escrever Z 2 Z ln x dx = [ x ln x ]21 − 1

30

1

2

1 dx = 2 ln(2) − 1 .

(2.7)

2.4. Outras propriedades do integral definido

2.4

Outras propriedades do integral definido

Mostramos que não é necessário exigir que uma fun¸cão seja cont´ınua para concluir que esta é integrável de acordo com a defini¸cão 2.2. Para o efeito, considere o seguinte resultado. Teorema 2.9 Se f é uma fun¸cão limitada num intervalo [a, b] e f é descont´ınua num n´ umero finito de pontos de [a, b], para os quais existem e são finitos os limites laterais, então f é integr´ avel no intervalo [a, b]. Exemplo: Considere a fun¸cão f (x) =

 x

se x ∈ [0, 1]

x + 1

.

se x ∈ ]1, 2]

A fun¸cão é limitada no intervalo [0, 2] e é descont´ınua em x = 1. No entanto, existem e são finitos os limites laterais lim f (x) = 1

lim f (x) = 2 .

e

x→1−

x→1+

Logo, pelo teorema anterior, pode concluir-se que f é uma fun¸cão integrável. Falta saber como calcular o integral definido de uma fun¸cão descont´ınua num n´ umero finito de pontos. O próximo resultado apresenta a resposta. Teorema 2.10 Sejam f e g duas fun¸cões integráveis no intervalo [a, b]. Se f (x) 6= g(x) num n´ umero finito de pontos de [a, b], então Z

b

f (x) dx =

a

Z

b

g(x) dx .

a

Exemplo: Considere a fun¸cão do exemplo anterior. Tem-se Z 2 Z 1 Z f (x) dx = f (x) dx + 0

0

2

f (x) dx .

1

Aplicando o teorema anterior com g(x) = x+1 definida no intervalo [1, 2], obtém-se Z 2 Z 1 Z 2 f (x) dx = f (x) dx + g(x) dx . 0

0

Assim, Z

0

2

f (x) dx =

x2 2

1

1 0

+

x2 +x 2

2

= 3.

1

31

C´ alculo integral Exerc´ıcio 2.3 Verifique que a fun¸cão

é integrável e calcule

 0 se f (x) = 1 se Z

x 6= 1 x=1

2

f (x) dx .

0

2.5 2.5.1

Aplica¸c˜ oes do integral definido ´ Area de regi˜ oes planas

Assume-se que f e g são duas fun¸cões cont´ınuas. (a) Considere a região plana R definida pela sua fronteira do seguinte modo: R é limitada superiormente pelo gráfico da fun¸cão f , é limitada inferiormente pelo eixo das abcissas e é limitada lateralmente pelas rectas verticais de equa¸cão x = a e x = b. y

6

f R

a

b

x

Figura 2.7 O valor da área da região R é dado pelo integral definido (b) No caso da região plana y

6 f

R

g a

b

Figura 2.8 32

x

Z

b

f (x) dx . a

2.5. Aplica¸ c˜ oes do integral definido O valor da área da região R é Z

a

b

f (x) dx −

Z

b

g(x) dx =

a

Z

b

( f (x) − g(x) ) dx .

a

(c) Na situa¸cão

y

6 a

-

b

x

f g

R m

Figura 2.9

O valor da área da região R é ainda Z

a

b

( f (x) − g(x) ) dx .

De facto, area(R) =

Z

b

( f (x) + |m| ) dx −

a

=

Z

a

b

Z

b a

( g(x) + |m| ) dx

( f (x) − g(x) ) dx .

(d) Na situa¸cão

y

6 a

-

b

R

x

f

Figura 2.10 33

C´ alculo integral

A área da região R é dada por

−

Z

b

f (x) dx .

a

(e) Finalmente, na situa¸cão

y

6 g R1

R2

f -

a

c

b

x

Figura 2.11 Conclui-se sem dificuldade que o valor da área da região R = R1 ∪ R2 é dado pela expressão

area(R) = area(R1 ) + area(R2 ) Z c Z b = ( f (x) − g(x) ) dx + ( g(x) − f (x) ) dx . a

c

Exemplo: Pretende-se determinar o valor da área da região plana R que resulta da reunião de R1 - limitada pelas rectas x = −1 e x = 0, e pelas curvas y = x e y = x2 , com R2 - limitada pelas rectas x = 0 e x = 1, e ainda pelas curvas y = x e y = x2 . O resultado é Z 0 Z 1 area(R) = x2 − x dx + x − x2 dx = 1 . −1

34

0

2.5. Aplica¸ c˜ oes do integral definido

2.5.2

Volume de s´ olidos de revolu¸ c˜ ao

Assumindo que f e g são duas fun¸cões cont´ınuas. (a) Considere a figura que representa a região plana R, limitada pelo gráfico de uma fun¸cão f , pelo eixo das abcissas e pelas rectas verticais x = a e x = b. y

f

6 R

y-

a

b

x

Figura 2.12 Mostra-se que o volume V do sólido de revolu¸cão, gerado pela rota¸cão em torno do eixo das abcissas da região plana R, é dado por Z b V = π f (x) 2 dx . a

(b) Na situa¸cão y

6 f

R

g a

y -

b

x

Figura 2.13 O volume do sólido de revolu¸cão gerado pela rota¸cão em torno do eixo das abcissas da região plana R, limitada pelas rectas verticais x = a e x = b e pelo gráfico das fun¸cões f e g, é dado por Z b Z b V =π f (x) 2 dx − π g(x) 2 dx a

=π

Z

a

a

b

f (x) 2 − g(x) 2 dx . 35

C´ alculo integral (c) No caso da região plana

y

6 a

y-

b

x

f g

R

Figura 2.14

Comprove que o volume do sólido de revolu¸cão gerado pela rota¸cão em torno do eixo das abcissas da região plana R, limitada pelo gráfico das fun¸cões f e g e pelas rectas

verticais x = a e x = b, é

V

= π

Z

b

a

g(x) 2 − f (x) 2 dx .

Exemplo: Pretende-se determinar o volume de uma esfera de raio r. Considera-se a circunferência de equa¸cão x2 + y 2 = r2 , de centro no ponto (0, 0) e raio r > 0. A rota¸cão em torno do eixo das abcissas, da região plana limitada pelas √ curvas y = 0 e y = r2 − x2 , origina uma esfera de raio r. O seu volume é Z r p 2 V =π r2 − x2 dx −r Z r =π r2 − x2 dx

−r

= π r2 x − 4 = π r3 . 3

x3 3

r

−r

O racioc´ınio é semelhante no cálculo do volume de um sólido de revolu¸cão, gerado pela rota¸cão de uma região plana em torno do eixo das ordenadas. Neste caso, é necessário interpretar o problema de outra perspectiva, que passa pela troca do papel do eixo das abcissas e do eixo das ordenadas, isto é, pela permuta entre a variável independente e a variável dependente. Será também necessário determinar a expressão da fun¸cão inversa de algumas fun¸cões envolvidas em cada problema particular.

36

2.5. Aplica¸ c˜ oes do integral definido Exemplo: Pretende-se determinar o volume do sólido de revolu¸cão, gerado pela rota¸caõ em torno do eixo das ordenadas, da região plana limitada pela curva y = x2 , pela recta horizontal y = 2 e pela condi¸cão x ≥ 0. Obtém-se Z 2 Z 2 √ 2 y dy = 2π . V =π ( y) dy = π 0

0

´ importante reconhecer que o sólido de revolu¸cão gerado pela rota¸cão de uma regi˜ E ao plana, em torno do eixo das abcissas, é geralmente diferente do sólido obtido pela rota¸caõ da mesma região plana, em torno do eixo das ordenadas. Consequentemente, os volumes dos dois sólidos são também geralmente diferentes. Vejamos um exemplo. Exemplo: Considere a região plana definida pelas condi¸cões 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ x. y

1

x

Figura 2.15 O volume do sólido gerado pela rota¸cão da região em torno do eixo das abscissas é Z 1 V =π x2 dx = π/3 . 0

O volume do sólido gerado pela rota¸cão da região em torno do eixo das ordenadas é dado por Z 1 V =π 1 − y 2 dy = 2 π/3 . 0

Observa¸ c˜ ao 2.3 A aplica¸cão da fórmula 2π

Z

b

x f (x) dx

a

também permite obter o volume do sólido de revolu¸cão gerado pela rota¸cão em torno do eixo das ordenadas, da região plana limitada pelo gráfico de f , pelo eixo das abcissas e pelas rectas verticais de equa¸cão x = a e x = b. Verifique a aplica¸cão desta fórmula com os dados do exemplo anterior.

37

C´ alculo integral Exerc´ıcio 2.4 Defina uma região plana cuja rota¸c˜ ao em torno do eixo das abcissas e rota¸cão em torno do eixo das ordenadas, origine sólidos de revolu¸cão de igual volume. Verifique calculando os seus valores.

2.5.3

Comprimento do arco de uma curva y = f (x)

Seja f uma fun¸cão diferenciável no intervalo [a, b]. Considere a figura

y

6 f

r

r

-

a

b

x

Figura 2.16

Mostra-se que o integral definido Z

a

b

p

1 + [f ′ (x)] 2 dx

é igual ao valor do comprimento da curva representada pelo gráfico de f , do ponto de coordenadas (a, f (a)) ao ponto de coordenadas (b, f (b)). Exemplo: Qual o comprimento do gráfico da fun¸cão f (x) = x no intervalo [1, 2]? O comprimento pretendido é C=

Z

2

1

=

Z

2

p

1 + [f ′ (x)] 2 dx

√ √ 2 dx = 2 .

1

Resultado que é poss´ıvel comprovar aplicando o teorema de Pitágoras. Exemplo: Considere a região plana limitada pelo gráfico das curvas y = cosh x, x = − ln 2, x = ln 2 e y = 0 (ln 2 ≈ 0.69). (a) Calcule a área da região (b) Calcule o comprimento da fronteira da região 38

2.5. Aplica¸ c˜ oes do integral definido A figura representa a região plana enunciada y

− ln 2

ln 2

x

Figura 2.17 A área da região plana é A =

Z

ln 2

cosh x dx = 2

− ln 2

Z

ln 2

cosh x dx = 2 sinh(ln 2) = 3/2 .

0

O comprimento da fronteira da região é dado por C = 2 ln 2 + 2 cosh(ln 2) + = 2 ln 2 + 5/2 + 2

Z

ln 2

0

= 2 ln 2 + 5/2 + 2

Z

ln 2

Z

ln 2

− ln 2

p

p

1 + [(cosh x)′ ] 2 dx

1 + sinh2 x dx

cosh x dx

0

= 2 ln 2 + 5/2 + 3/2 = 2 (ln 2 + 2) .

39

C´ alculo integral

2.6

Integral indefinido

Seja f uma fun¸cão integrável no intervalo [a, b]. Logo, f também é integrável no intervalo [a, x], qualquer que seja x ∈ [a, b]. Usando a fun¸cão f define-se uma nova fun¸cão real de variável real cujo dom´ınio é [a, b], da seguinte forma Z x G(x) = f (t) dt . a

Exemplo: Considere a fun¸cão

3t onde t ∈ R . +1 f é cont´ınua e por isso integrável. Logo, Z x x 3t G(x) = dt = 3/2 ln(t2 + 1) 0 = 3/2 ln(x2 + 1) . 2+1 t 0 f (t) =

t2

Ou seja, G(x) = 3/2 ln(x2 + 1) para todo o x ∈ R.

Exemplo: Determine G(x) =

Z

x

f (t) dt

0

onde a fun¸cão f é f (t) =

  t,

0≤t 0.

x

Al´ınea (a) √

Z

′

G (x) =

x 2

cos(t ) dt

0

!′

√ √ cos x 2 ′ = cos x x = √ 2 x

Al´ınea (b) ′

G (x) =

Z

0

√

cos(t ) dt x

Exerc´ıcio 2.7 Z Considere a fun¸cão G(x) =

√ x

′

=−

Z

√ x

2

cos(t ) dt 0

!′

cos x =− √ 2 x

cos(t2 ) dt definida para todo o x > 0 e determine uma

1/x

expressão para G ′ .

2.7

2

Integrais impr´ oprios

Nesta seçcão apresentamos uma extensão da defini¸cão de integral definido.

2.7.1

Integrais em intervalos n˜ ao limitados

Consideram-se integrais em que o intervalo de integra¸cão é ilimitado sendo a fun¸caõ integranda cont´ınua e limitada nesse intervalo. A estes integrais também se chama integrais impróprios do primeiro tipo. Considere o integral impróprio

Z

+∞

f (x) dx

(2.10)

a

onde f é cont´ınua e limitada no intervalo [a, +∞[. Se o limite lim

t→+∞

Z

t

f (x) dx

a

existe e é finito, então o integral impróprio (2.10) diz-se convergente e escreve-se Z +∞ Z t f (x) dx = lim f (x) dx . a

t→+∞

a

Se o limite é infinito ou não existe, o integral impróprio diz-se divergente e não tem valor.

43

C´ alculo integral Observa¸ c˜ ao 2.4 De modo semelhante se estuda o caso

Z

b

f (x) dx .

−∞

Quando o integral impróprio é da forma Z +∞ f (x) dx ,

(2.11)

−∞

deve-se em primeiro lugar escolher um ponto a conveniente e só depois analisar os limites

Z

lim

t→−∞

lim

t→+∞

a

f (x) dx

(2.12)

f (x) dx .

(2.13)

t

Z

t

a

O integral impróprio (2.11) será convergente se estes limites existirem e forem finitos. Nesse caso, tem-se Z +∞ Z a Z t f (x) dx = lim f (x) dx + lim f (x) dx . t→−∞

−∞

t→+∞

t

a

Para que o integral impróprio (2.11) seja divergente, basta que um dos limites (2.12)(2.13) não seja finito ou não exista. Observa¸ c˜ ao 2.5 Importa observar que estas u ´ltimas conclusões não decorrem da análise do limite lim

t→∞

Z

t

f (x) dx .

−t

Para confirmar este facto, basta escolher uma fun¸cão ´ımpar, como por exemplo f (x) = x3 . Exemplos: (a) Pretende-se determinar a natureza do integral impróprio Z t Calcule-se lim e−2x dx . Tem-se t→+∞

+∞

e−2x dx . 0

0

lim

t→+∞

Z

t

e

−2x

0

dx = lim

t→+∞

= lim

t→+∞

e−2x − 2

0

t

0

1 − e−2t 1 = . 2 2

Ou seja, o integral impróprio é convergente e Z +∞ e−2x dx = 1/2 .

44

Z

2.7. Integrais impr´ oprios

(b) Pretende-se determinar a natureza do integral impróprio

Z

2π

sin x dx .

−∞

Este integral impróprio é divergente e não tem valor porque lim

t→−∞

Z

2π

sin x dx = lim [ − cos x ]2π t t→−∞

t

= lim (−1 + cos t) t→−∞

não existe. (c) Pretende-se determinar a natureza do integral impróprio

Z

+∞

x dx .

−∞

Porque o integral impróprio

Z

0

x dx

−∞

é divergente, pode concluir-se de imediato que o integral principal é divergente. Exerc´ıcio 2.8 1. Determine para que valores de p ∈ R o integral impróprio Z

+∞

1 dx xp

1

é convergente. 2. Determine a natureza do integral impróprio

Z

+∞

e3|x−1| dx .

−∞

2.7.2

Integrais de fun¸ c˜ oes n˜ ao limitadas

Consideram-se integrais em que a fun¸cão integranda não é limitada no intervalo de integra¸cão. A estes integrais também se chama integrais impróprios do segundo tipo. Considere o integral impróprio

Z

b

f (x) dx

(2.14)

a

onde f é cont´ınua em qualquer intervalo [a, t] com a < t < b, mas é não limitada no intervalo [a, b[. O integral impróprio (2.14) só será convergente se o limite lim−

t→b

Z

t

f (x) dx

a

existir e for finito. Nesse caso, escreve-se Z

a

b

f (x) dx = lim− t→b

Z

t

f (x) dx .

a

Caso contrário, o integral impróprio (2.14) é divergente. 45

C´ alculo integral Quando f é cont´ınua em qualquer intervalo [t, b] com a < t < b mas é não limitada no intervalo ]a, b], o integral impróprio Z b f (x) dx a

só é convergente se existir e for finito o limite Z b lim f (x) dx t→a+

e neste caso

Z

t

b

f (x) dx = lim+ t→a

a

Z

b

f (x) dx .

t

Se f é ilimitada na vizinhan¸ca de um ponto c ∈ ]a, b[, então o integral impróprio Z b f (x) dx a

só é convergente se forem convergentes os integrais impróprios Z c Z b f (x) dx e f (x) dx . a

c

O seu valor é Z

a

b

f (x) dx =

lim

t→c−

Z

t

Z

2

a

f (x) dx +

lim

t→c+

Z

b

!

f (x) dx .

t

Exerc´ıcio 2.9 Mostre que 0

é um integral impróprio divergente.

2.8

1 dx (x − 1)2

M´ etodos num´ ericos de integra¸ c˜ ao

Apresentamos dois métodos numéricos que permitem obter um valor aproximado do integral definido de uma fun¸cão cont´ınua. Estes métodos tornam-se particularmente importantes quando não é poss´ıvel determinar uma expressão simples para a fam´ılia de 2

primitivas da fun¸cão integranda, o que ocorre com a fun¸cão f (x) = ex . As somas de Riemann de uma fun¸cão cont´ınua f , apresentadas na página 20, fornecem uma aproxima¸cão do integral definido de f no intervalo [a, b]. A obten¸cão dessa aproxima¸cão exige o conhecimento do valor da fun¸cão integranda em determinados pontos do intervalo de integra¸cão e o cálculo do valor da área de vários rectângulos. Descrevemos de seguida dois métodos numéricos mais elaborados que têm também uma interpreta¸cão geométrica simples. 46

2.8. M´ etodos num´ ericos de integra¸ c˜ ao

2.8.1

Regra dos trap´ ezios

Assumimos inicialmente que a fun¸cão f além de cont´ınua também é positiva no intervalo [a, b]. Na sua forma mais simples, a regra dos trapézios permite obter uma aproxima¸caõ numérica do integral definido de f em [a, b], calculando o valor da área do trapézio definido pelos pontos (a, 0), (b, 0), (a, f (a)) e (b, f (b)).

y

6

f

a

b

x

Figura 2.18 Ou seja, em vez de calcular o integral da fun¸cão f no intervalo [a, b], calcula-se o integral do polinómio p de grau um, que une os pontos de coordenadas (a, f (a)) e (b, f (b)). Existe apenas um polinómio de grau um nestas condi¸cões cuja a expressão se determina sem dificuldade. Obtém-se a seguinte aproxima¸cão Z

Z

b a

f (x) dx ≈

b a

p(x) dx = (b − a)

(f (b) + f (a)) . 2

´ de A aproxima¸cão é válida mesmo que a fun¸cão não seja positiva no intervalo [a, b]. E esperar que a aproxima¸cão seja razoável quando o intervalo [a, b] for pequeno e a fun¸caõ f for suficientemente suave em [a, b]. A ideia de generalizar o processo descrito surge naturalmente. Na próxima figura considera-se uma decomposi¸cão em dois subintervalos de igual amplitude h.

y

6 (a ( aa ((( aa f a

x1

b

x

Figura 2.19 47

C´ alculo integral Seja p1 o polinómio de grau um, que une os pontos de coordenadas (a, f (a)) e (x1 , f (x1 )) e p2 o polinómio de grau um, que une os pontos de coordenadas (x1 , f (x1 )) e (b, f (b)). Uma aproxima¸cão do integral definido da fun¸cão f em [a, b] é Z

b

f (x) dx =

a

Z

Z

x1

f (x) dx +

a

≈

Z

x1

p1 (x) dx +

a

b

f (x) dx

x1 Z b

p2 (x) dx

x1

= (x1 − a)

(f (x1 ) + f (a)) (f (b) + f (x1 )) + (b − x1 ) 2 2

Porque x1 é o ponto médio do intervalo [a, b], tem-se x1 − a = b − x1 = (b − a)/2 = h, logo, obtém-se Z b h f (x) dx ≈ [ f (a) + 2f (x1 ) + f (b)) ] . 2 a A expressão da aproxima¸cão para o caso geral deduz-se sem dificuldade. Seja f uma fun¸cão cont´ınua no intervalo [a, b] e ∆ : a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b uma decomposi¸cão do intervalo [a, b] em n (n ∈ N) subintervalos de igual amplitude h =

(b − a)/n. A aplica¸cão repetida do processo mais simples a cada intervalo [xi−1 , xi ], com i = 1, 2, . . . , n, origina a seguinte aproxima¸cão que se chama regra dos trapézios composta (é usual chamar regra dos trapézios simples ao caso particular em que n = 1) Z

b

a

f (x) dx ≈

h [ f (x0 ) + 2f (x1 ) + · · · + 2f (xn−1 ) + f (xn ) ] . 2

Exemplo: √ Considera-se a fun¸cão cont´ınua f (x) = 1 − x2 e aplica-se a regra dos trapézios com n = 2 e n = 4 para determinar uma aproxima¸cão numérica do integral definido I=

Z

1

−1

p 1 − x2 dx .

O integral pode calcular-se integrando por substitui¸cão e o seu resultado é π/2 que é aproximadamente 1.571. Este resultado tem uma interpreta¸cão geométrica simples. Corresponde ao valor da área de meio c´ırculo de raio r = 1. Considere-se n = 2. A decomposi¸cão do intervalo [−1, 1] é composta de dois intervalos de amplitude h = (b − a)/2 = 1 e é definida pelos três pontos x0 = −1 , Obtém-se

Z

1

x1 = x0 + h = 0 ,

x2 = x1 + h = 1 .

p 1 1 − x2 dx ≈ [ f (−1) + 2f (0) + f (1) ] = 1 . 2 −1

48

2.8. M´ etodos num´ ericos de integra¸ c˜ ao Interprete geometricamente o resultado anterior. Para n = 4. A decomposi¸caõ de [−1, 1] é composta de quatro intervalos de amplitude h = (b − a)/4 = 1/2 e é

definida pelos pontos x0 = −1, x1 = −1/2, x2 = 0, x3 = 1/2 e x4 = 1. Obtém-se Z 1 p (1/2) [ f (−1) + 2f (−1/2) + 2f (0) + 2f (1/2) + f (1) ] , I= 1 − x2 dx ≈ 2 −1 isto é, I ≈ 1.366.

Se a fun¸cão integranda não for apenas cont´ınua no intervalo [a, b], então é poss´ıvel apresentar uma expressão para o erro cometido quando se aproxima o integral definido pela regra dos trapézios. Não basta que a fun¸cão seja cont´ınua no intervalo [a, b] é preciso exigir que seja de classe C 2 em [a, b]. Nota: no exemplo anterior consider´ amos uma fun¸cão que é cont´ınua no intervalo [−1, 1] mas que não é diferenciável em todo o intervalo. Teorema 2.12 (regra dos trapézios estendida) Se f é uma fun¸cão de classe C 2 no intervalo [a, b] e a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b

é uma decomposi¸cão de [a, b] em n subintervalos de igual amplitude h = (b − a)/n, ent˜ ao Z b h (b − a)3 ′′ f (x) dx = [ f (x0 ) + 2f (x1 ) + · · · + 2f (xn−1 ) + f (xn ) ] − f (c) , (2.15) 2 12n2 a onde c é um ponto de [a, b]. O resultado anterior revela que ao aproximar o integral Z b I= f (x) dx a

pela regra dos trapézios IT =

h [ f (x0 ) + 2f (x1 ) + · · · + 2f (xn−1 ) + f (xn ) ] 2

o erro absoluto |E| = |I − IT | cometido na aproxima¸cão é dado por (b − a)3 ′′ |f (c)| , 12n2

onde c ∈ [a, b] .

(2.16)

Assim, se M é o valor máximo de f ′′ em [a, b] (|f ′′ (x)| ≤ M para todo o x em [a, b]) então o erro absoluto cometido na aproxima¸cão é tal que |E| ≤

(b − a)3 M. 12n2

Basta conhecer M para poder calcular o n´ umero n de subintervalos necessários, por forma a conseguir obter determinada aproxima¸cão do integral definido. A expressão (2.15) é válida para todo o n ∈ N. Tomando em particular n = 1, obtém-se uma estimativa para o erro cometido na aproxima¸cão do integral definido, quando se aplica a regra dos trapézios simples.

49

C´ alculo integral Exemplo: Determinar uma aproxima¸cão do integral definido Z 1 2 I= e−x dx 0

e apresentar um majorante para o erro cometido na aproxima¸cão. Considera-se n = 2. Obtém-se h = 1/2, x0 = 0, x1 = 1/2 e x2 = 1. Observa-se que 2 a fun¸cão f (x) = e−x é uma fun¸cão infinitamente diferenciável. A aproxima¸cão de I é

1/2 [ f (0) + 2f (1/2) + f (1) ] = 0.731 . 2 Para conseguir majorar o erro absoluto da aproxima¸cão é necessário analisar a 2 segunda derivada f ′′ (x) = (4x2 − 2) e−x . O estudo anal´ıtico da segunda derivada IT =

permite concluir que |f ′′ (x)| ≤ |f ′′ (0)| para todo o x ∈ [0, 1]. Em alternativa, esta conclusão resulta de imediato da observa¸cão do gráfico da fun¸cão |f ′′ | no intervalo

[0, 1], como mostra a figura

y

1

x

Figura 2.20 Logo, de (2.16), conclui-se que (b − a)3 ′′ |f (c)| 12n2 |f ′′ (c)| = 48 |f ′′ (0)| ≤ 48 = 2/48 .

|I − IT | =

(c ∈ [0, 1])

Ou seja, obtém-se |I − IT | ≤ 0.042. Ao construir uma soma de Riemann para aproximar o integral definido de f em [a, b], estamos em simultâneo a aproximar, em cada subintervalo [xi−1 , xi ], a fun¸cão f por uma fun¸cão polinomial de grau zero (isto é, um segmento de recta horizontal). Ou seja, a aproxima¸cão obtida não é mais do que o integral definido de uma fun¸cão cont´ınua, definida em [a, b], que é seccionalmente (isto é, em cada subintervalo) um polinómio 50

2.8. M´ etodos num´ ericos de integra¸ c˜ ao de grau zero. De modo semelhante, na aplica¸cão da regra dos trapézios composta, a aproxima¸cão obtida para o integral definido de f , é o integral definido de uma fun¸caõ ´ cont´ınua, definida em [a, b], que é seccionalmente um polinómio de grau máximo um. E de esperar que a aproxima¸cão local por um polinómio de grau superior a um, permita a obten¸cão de melhores resultados. A regra de Simpson explora um pouco mais esta ideia ao considerar polinómios de grau máximo dois.

2.8.2

Regra de Simpson

Seja f uma fun¸cão cont´ınua no intervalo [a, b]. No caso mais simples da aplica¸caõ da regra de Simpson, é necessário considerar uma decomposi¸cão do intervalo [a, b] em dois subintervalos de igual amplitude h = (b − a)/2. A decomposi¸cão é caracterizada pelos pontos x0 = a, x1 = (a + b)/2 e x2 = b. Determina-se uma fun¸cão polinomial p, de grau máximo dois, que satisfaz as condi¸cões p(x0 ) = f (x0 ) , p(x1 ) = f (x1 ) e p(x2 ) = f (x2 ) . Existe um u ńico polinómio p nestas condi¸cões porque x0 6= x2 . O integral de p em [a, b]

é uma aproxima¸cão do integral de f em [a, b], isto é, tem-se Z b Z b f (x) dx ≈ p(x) dx a

a

Obtém se a seguinte expressão para o integral de p Z b h p(x) dx = [ f (x0 ) + 4f (x1 ) + f (x2 ) ] . 3 a Consequentemente,

Z

a

b

f (x) dx ≈

h [ f (x0 ) + 4f (x1 ) + f (x2 ) ] . 3

A determina¸cão da expressão de um polinómio de grau dois requer o cálculo de três constantes. São por isso necessárias três condi¸cões independentes que resultam da decomposi¸cão do intervalo [a, b] em dois subintervalos de igual amplitude. A aplica¸caõ repetida deste processo requer sempre uma decomposi¸cão do intervalo [a, b] num n´ umero par de subintervalos. Seja f uma fun¸cão cont´ınua no intervalo [a, b] e ∆ : a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b

uma decomposi¸cão do intervalo [a, b] num n´ umero par n de subintervalos de igual ampli-

tude h = (b − a)/n. A aplica¸cão do processo mais simples a cada conjunto de subintervalos [xi−1 , xi ] e [xi , xi+1 ], com i = 1, 2, . . . , n − 1, origina a seguinte aproxima¸cão que se

chama regra de Simpson composta (é costume chamar regra de Simpson simples ao caso particular em que n = 2) Z b h f (x) dx ≈ [ f (x0 ) + 4f (x1 ) + 2f (x2 ) + 4f (x3 ) + · · · 3 a + 2f (xn−2 ) + 4f (xn−1 ) + f (xn ) ] .

51

C´ alculo integral Na aplica¸cão da regra de Simpson composta, a aproxima¸cão obtida para o integral definido de f é o integral definido de uma fun¸cão cont´ınua, definida em [a, b], que é localmente (em cada subintervalo) um polinómio de grau máximo dois. Exemplo: ` semelhan¸ca do exemplo na página 48, considera-se a fun¸cão cont´ınua f (x) = A √ 1 − x2 e aplica-se a regra de Simpson com n = 2 e n = 4 para determinar uma aproxima¸cão do valor da área de meio c´ırculo de raio r = 1, isto é, uma aproxima¸cão numérica do integral definido I=

Z

1

−1

p 1 − x2 dx .

Considere-se n = 2. A decomposi¸cão do intervalo [−1, 1] é composta de dois intervalos de amplitude h = 1 e é definida pelos três pontos x0 = −1 ,

x1 = x0 + h = 0 ,

x2 = x1 + h = 1 .

Obtém-se Z 1p 1 1 − x2 dx ≈ [ f (−1) + 4f (0) + f (1) ] = 4/3 = 1.33(3) . 3 −1 Para n = 4. A decomposi¸cão de [−1, 1] é composta de quatro intervalos de amplitude h = 1/2 e é definida pelos pontos x0 = −1, x1 = −1/2, x2 = 0, x3 = 1/2 e x4 = 1. Obtém-se Z 1p (1/2) I= 1 − x2 dx ≈ [ f (−1) + 4f (−1/2) + 2f (0) + 4f (1/2) + f (1) ] , 3 −1 isto é, I ≈ 1.488. Se a fun¸cão integranda for pelo menos de classe C 4 em [a, b], então é poss´ıvel apresentar uma expressão para o erro cometido na aproxima¸cão do integral definido pela regra de Simpson. Não é suficiente que a fun¸cão seja apenas cont´ınua no intervalo [a, b], Esta situa¸c˜ ao ocorre com a fun¸cão que considerámos no exemplo anterior. Teorema 2.13 (regra de Simpson estendida) Se f é uma fun¸cão de classe C 4 no intervalo [a, b] e a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b

é uma decomposi¸cão de [a, b] em n subintervalos de igual amplitude h = (b − a)/n, com n um n´ umero par, então Z b h f (x) dx = [ f (x0 ) + 4f (x1 ) + 2f (x2 ) + 4f (x3 ) + 3 a (b − a)5 (4) + · · · + 2f (xn−2 ) + 4f (xn−1 ) + f (xn ) ] − f (c) , 180n4 onde c é um ponto de [a, b]. 52

2.8. M´ etodos num´ ericos de integra¸ c˜ ao Este resultado indica que a aproxima¸cão do integral definido I=

Z

b

f (x) dx

a

pela regra de Simpson é IS =

h [ f (a) + 4f (x1 ) + 2f (x2 ) + 4f (x3 ) + · · · + 2f (xn−2 ) + 4f (xn−1 ) + f (b) ] 3

e que o erro absoluto |E| = |I − IS | cometido na aproxima¸cão é igual a (b − a)5 (4) |f (c)| , 180n4

onde c ∈ [a, b] .

(2.17)

Se M é o valor máximo de f (4) em [a, b], então o erro absoluto cometido na aproxima¸caõ é tal que (b − a)5 |E| ≤ M. 180n4 Exemplo: ` semelhan¸ca do exemplo na página 50, pretende-se determinar uma aproxima¸caõ A do integral I=

Z

1

2

e−x dx

0

e apresentar um majorante para o erro cometido na aproxima¸cão. Considera-se n = 2. Obtém-se h = 1/2, x0 = 0, x1 = 1/2 e x2 = 1. Tem-se 2 f (x) = e−x que é uma fun¸cão infinitamente diferenciável. A aproxima¸cão de I é IS =

1/2 [ f (0) + 4f (1/2) + f (1) ] = 0.747 . 3

Para determinar um majorante para o erro absoluto da aproxima¸cão é necess´ ario (4) 4 2 −x2 analisar a quarta derivada f (x) = (16x −48x +12) e . O seu estudo anal´ıtico permite concluir que |f (4) (x)| ≤ |f (4) (0)| para todo o x ∈ [0, 1]. Esta conclus˜ ao (4) também resulta de imediato da observa¸cão do gráfico da fun¸cão |f | no intervalo [0, 1], como mostra a figura (com escalas diferente em cada eixo)

y

1

x

Figura 2.21 53

C´ alculo integral Logo, de (2.17), vem que (b − a)5 (4) |f (c)| (c ∈ [0, 1]) 180n4 |f (4) (c)| = 2880 |f (4) (0)| ≤ 2880 = 12/2880

|I − IS | =

isto é, |I − IS | ≤ 0.00416(6). Exerc´ıcio 2.10 Determine uma aproxima¸cão do integral definido Z

1

0

p 1 + x2 dx

(a) pela regra dos trapézios composta com n = 3, (b) pela regra de Simpson composta com n = 4.

Exerc´ıcio 2.11 Considere a fun¸cão cont´ınua

f (x) =

 x ,

x ∈ [0, 1/2] 1 − x , x ∈ ]1/2, 1]

e determine uma aproxima¸cão do integral definido de f no intervalo [0,1]: (a) Pela regra dos trapézios; (b) Pela regra de Simpson; (c) Comente os resultados que obteve.

Exerc´ıcio 2.12 Considere uma fun¸cão cont´ınua f cujo gráfico contém os pontos de coordenadas (xi , yi ) (−2, −1/2) ,

(−5/3, −3/5) ,

(−4/3, −3/4) ,

(−1, −1) .

Determine uma aproxima¸cão do integral de f no intervalo [−2, −1] pela regra dos trapézios e pela regra de Simpson. Determine uma fun¸cão nestas condi¸cões e calcule o seu integral definido no intervalo [−2, −1]. Compare os resultados obtidos.

54

Cap´ıtulo 3 Introdu¸c˜ ao ao estudo das equa¸ c˜ oes diferenciais ordin´ arias

3.1

Introdu¸c˜ ao

Considere o seguinte problema: Que fun¸cões reais de variável real têm a primeira derivada igual à própria fun¸caõ? Pretende-se determinar todas as fun¸cões diferenciáveis y : D → R, onde D representa um intervalo real, que satisfa¸cam a equa¸cão y ′ = y para todo o x no dom´ınio de y. Observa-se, com facilidade, que a fun¸cão φ(x) = ex , x ∈ R, é uma solu¸cão do problema. O problema tem solu¸cão mas terá uma u ńica solu¸cão? Não é de facto a u ńica solu¸caõ, a fun¸cão ψ(x) = 0, x ∈ R, é outra solu¸cão do problema. Para resolver completamente o problema é preciso determinar todas as fun¸cões que verifiquem a equa¸cão y ′ = y. Esta equa¸cão que resulta da interpreta¸cão do problema proposto, é um exemplo de uma equa¸cão diferencial ordinária.

3.2

Equa¸c˜ oes diferenciais ordin´ arias

Defini¸ c˜ ao 3.1 Equa¸cão diferencial ordinária (EDO) é toda a equa¸cão da forma F x, y, y ′ , y ′′ , . . . , y (n) = 0 ,

n ∈ N,

(3.1)

que descreve a rela¸cão entre uma fun¸cão desconhecida, indicada por y, definida e com derivadas cont´ınuas até à ordem n num intervalo D ⊂ R, suas derivadas y ′ , . . . , y (n) , e a sua variável, indicada por x. 55

Introdu¸ c˜ ao ao estudo das equa¸ c˜ oes diferenciais ordin´ arias Na equa¸cão (3.1), a expressão F x, y, y ′ , y ′′ , . . . , y (n)

representa qualquer expressão algébrica que envolve (de uma forma que por vezes pode ser impl´ıcita) a variável x, a fun¸cão y e as suas derivadas até à ordem n. Quando na presen¸ca de uma equa¸cão diferencial ordinária, é claramente importante observar qual a variável independente e qual a variável dependente. Na equa¸cão (3.1) tem-se evidentemente x como variável independente e y como variável dependente. A expressão “ordinária”advém do facto de se considerarem apenas fun¸cões reais de uma variável real, isto é, de considerar apenas uma variável independente. Na sequência, e dado que não há motivo para confusão, omitimos sempre a palavra ordinária. Vejamos alguns exemplos. Exemplos: (a) Considere a equa¸cão diferencial y′ = y . Esta pode escrever-se da seguinte forma y′ − y = 0 . Basta apenas identificar y ′ − y por F (x, y, y ′ ) para observar que a equa¸cão diferencial se encontra na forma (3.1). (b) No caso da equa¸cão diferencial t y ′′ + (2t + 1) e−y = 0 , tem-se evidentemente F (t, y, y ′ , y ′′ ) = t y ′′ + (2t + 1) e−y . A variável independente é agora t e y é a variável dependente. (c) Por u ´ltimo, a equa¸cão diferencial x(4) + t2 x′′ = 0 cujo o primeiro membro pode representar-se por F (t, x, x′ , x′′ , x′′′ , x(4) ) onde t assume o papel de variável independente e x o papel de variável dependente.

56

3.2. Equa¸ c˜ oes diferenciais ordin´ arias Defini¸ c˜ ao 3.2 Ordem de uma equa¸cão diferencial ordinária é a ordem da derivada de maior ordem da fun¸cão y, presente na equa¸cão (3.1). A equa¸cão y ′′′ = sin x é uma equa¸cão diferencial de ordem três ao passo que a equa¸caõ (y ′ )2 + 2 x y = 0 é uma equa¸cão diferencial de primeira ordem. Defini¸ c˜ ao 3.3 Uma equa¸cão diferencial ordinária de ordem n diz-se na forma normal se se pode escrever do seguinte modo

y (n) = f x, y, y ′ , y ′′ , . . . , y (n−1) ,

onde f representa qualquer expressão algébrica que envolve (de uma forma que pode ser impl´ıcita) a variável x, a fun¸cão y e as suas derivadas até à ordem n − 1. A equa¸cão diferencial de segunda ordem y ′′ = − |

(2x + 1) e−y , {zx }

(x 6= 0) ,

f (x, y, y ′ )

encontra-se na forma normal. Mas nem sempre é poss´ıvel escrever uma equa¸cão diferencial na forma normal. Considere a t´ıtulo de exemplo a seguinte equa¸cão diferencial de primeira ordem y ′ = 2x(y ′ )2 . Defini¸ c˜ ao 3.4 Uma fun¸cão real ϕ, definida num intervalo D ⊂ R, com as n derivadas ϕ′ , ϕ′′ , . . . , ϕ(n) cont´ınuas no intervalo D, é uma solu¸cão da equa¸cão diferencial de ordem n F x, y, y ′ , y ′′ , . . . , y (n) = 0 ,

(3.2)

se a substitui¸cão em (3.2), de y pela fun¸cão ϕ, origina uma identidade para todo o x ∈ D.

Exemplos: (a) Considere a equa¸cão diferencial de segunda ordem y ′′ + y = 0 . A fun¸cão ϕ(x) = cos x, x ∈ R, é uma solu¸cão da equa¸cão diferencial. De facto, ϕ′′ (x) + ϕ(x) = (cos x)′′ + cos x = − cos x + cos x =0 para todo o x ∈ R. 57

Introdu¸ c˜ ao ao estudo das equa¸ c˜ oes diferenciais ordin´ arias √ (b) A fun¸cão ϕ(x) = 2 x , x > 0, é uma solu¸cão da equa¸cão diferencial x (y ′ )2 = y y ′ − 1 , pois verifica-se que x (ϕ′ (x))2 = ϕ(x) ϕ′ (x) − 1 para todo o x > 0. A experiência com equa¸cões diferenciais não é na realidade completamente recente. No estudo da primitiva¸cão de fun¸cões reais de variável real contactámos com equa¸cões do tipo y (n) = f (x) , onde n ∈ N e f é uma fun¸cão cont´ınua no intervalo D. Considere a equa¸cão diferencial de primeira ordem y ′ = cos x. Constatamos que todas as fun¸cões y(x) = sin x+c, com c uma constante real arbitrária, são solu¸cões da equa¸cão diferencial. Não se apresenta apenas uma solu¸cão mas sim uma fam´ılia de solu¸cões. Vejamos o caso da equa¸cão diferencial de segunda ordem y ′′ = cos x. Todas as fun¸cões y(x) = − cos x + c1 x + c2 , onde c1 e c2 são constantes reais, são solu¸cões da equa¸cão diferencial. Desta vez, a expressão de uma solu¸cão particular da equa¸cão, depende da concretiza¸cão de duas constantes arbitrárias. As próximas defini¸cões permitem classificar as solu¸cões de uma equa¸cão diferencial. Defini¸ c˜ ao 3.5 (i) Solu¸cão geral de uma equa¸cão diferencial de ordem n, é toda a solu¸cão expl´ıcita da equa¸cão diferencial, cuja expressão depende de n constantes reais. (ii) Solu¸cão particular de uma equa¸cão diferencial de ordem n, é toda a solu¸cão da equa¸cão diferencial, que é obtida da solu¸cão geral pela concretiza¸cão de todas as n constantes reais. (iii) Solu¸cão singular de uma equa¸cão diferencial de ordem n, é qualquer outra solu¸cão expl´ıcita da equa¸cão diferencial. Defini¸ c˜ ao 3.6 Chama-se Integral geral de uma equa¸cão diferencial de ordem n, a toda a equa¸cão que define implicitamente o conjunto de solu¸cões da equa¸cão diferencial. Exemplos: (a) Considere a equa¸cão diferencial y ′′ + y = 0 . y(x) = c1 cos x + c2 sin x, x ∈ R, onde c1 e c2 são constantes reais, é solu¸cão geral da equa¸cão diferencial. De facto,

y ′′ + y = (c1 cos x + c2 sin x)′′ + (c1 cos x + c2 sin x) = −c1 cos x − c2 sin x + (c1 cos x + c2 sin x) = 0 58

3.2. Equa¸ c˜ oes diferenciais ordin´ arias para todo o x ∈ R. A fun¸cão y(x) = 2 sin x, x ∈ R, é uma solu¸cão particular da equa¸cão diferencial

(escolheu-se c1 = 0 e c2 = 2). A fun¸cão y(x) = 0, x ∈ R, é outra solu¸cão particular

da equa¸cão diferencial. (b) Verifique que

1 x + 1 + c ex com c ∈ R, é solu¸caõ geral da equa¸caõ diferencial y(x) =

y′ + y = x y2 . A fun¸cão constante y(x) = 0, x ∈ R, é uma solu¸cão singular da equa¸cão diferencial. (c) Considere a equa¸cão diferencial x(y ′ )2 − y y ′ + 1 = 0 . y(x) = c x + 1/c, x ∈ R, com c ∈ R \ {0}, é solu¸cão geral da equa¸cão diferencial. √ A fun¸cão y(x) = 2 x , x > 0, é uma solu¸cão singular da equa¸cão diferencial (recorde o exemplo (b) na página 58). (d) Considere a equa¸cão diferencial de primeira ordem y y′ = x . y 2 = x2 +c, com c ∈ R, é integral geral da equa¸cão diferencial. A deriva¸cão impl´ıcita da equa¸cão anterior permite obter a equa¸cão diferencial. ´ importante observar que nem todas as equa¸cões diferenciais têm solu¸cão e, mesmo E que uma equa¸cão diferencial tenha solu¸cão, pode não ser poss´ıvel determinar a sua solu¸caõ geral (ou o seu integral geral). Para determinadas equa¸cões diferenciais é poss´ıvel mostrar que existe solu¸cão ou que a solu¸cão quando existe é u ńica. Estes assuntos não est˜ ao no entanto no âmbito destas notas. O problema da determina¸cão de solu¸cão de uma equa¸cão diferencial que satisfa¸ca em simultâneo determinadas condi¸cões num ponto de um intervalo D, é designado como problema de valores iniciais ou problema de condi¸cões iniciais. Três situa¸cões distintas podem ocorrer. Existe uma u ńica solu¸cão, existe mais do que uma solu¸cão ou não existe solu¸cão. A apresenta¸cão de condi¸cões suficientes que garantam a existência de solu¸caõ não faz parte do âmbito destas notas. Considere o problema  x(y ′ )2 − y y ′ + 1 = 0 y(0) = 1

que consiste na determina¸caõ da solu¸cão da equa¸cão diferencial x(y ′ )2 − y y ′ + 1 = 0 que

verifica a condi¸cão y(0) = 1. Recorde o exemplo (c) nesta página. Uma solu¸cão para o problema é a fun¸cão y(x) = x + 1, x ∈ R. 59

Introdu¸ c˜ ao ao estudo das equa¸ c˜ oes diferenciais ordin´ arias

3.3

Equa¸c˜ oes diferenciais de primeira ordem

Apresentamos determinadas equa¸cões diferenciais de primeira ordem F (x, y, y ′ ) = 0 que se podem sempre escrever na forma normal, e para as quais podemos descrever um procedimento que conduz à determina¸cão de solu¸cão geral ou integral geral. Estudamos as seguintes equa¸cões diferenciais de primeira ordem: • Equa¸cão diferencial linear de primeira ordem • Equa¸cão diferencial de variáveis separáveis • Equa¸cão diferencial homogénea de grau zero • Equa¸cão diferencial de Bernoulli

3.3.1

Equa¸c˜ ao diferencial linear de primeira ordem

Defini¸ c˜ ao 3.7 Equa¸cão diferencial linear de primeira ordem é toda a equa¸cão diferencial da forma y ′ + p(x) y = q(x)

(3.3)

onde p e q são fun¸cões cont´ınuas num intervalo D ⊂ R. A equa¸cão linear de primeira ordem (3.3) diz-se homogénea se q(x) = 0 para todo o x ∈ D (isto é, se a fun¸cão q é identicamente nula em D). Caso contrário, diz-se que a

equa¸cão linear de primeira ordem é completa.

Apresentamos o método do factor integrante que permite determinar a solu¸cão geral da equa¸cão diferencial (3.3). O método consiste nos seguintes passos: 1. Calcula-se o factor integrante designado por µ, cuja expressão é µ = e P (x) onde P (x) =

Z

p(x) dx

indica uma primitiva da fun¸cão p (escolhe-se por exemplo c = 0 na expressão geral das primitivas de p). 2. Multiplica-se o factor integrante µ por ambos os membros da equa¸cão (3.3). No primeiro membro da equa¸cão obtida encontra-se sempre a expressão da derivada do produto das fun¸cões µ e y. 60

3.3. Equa¸ c˜ oes diferenciais de primeira ordem 3. Primitiva-se em ordem à variável independente (no caso x) ambos os membros da equa¸cão obtida no passo anterior e calcula-se a solu¸cão geral (uma express˜ ao expl´ıcita) da equa¸cão diferencial y ′ + p(x) y = q(x). Exemplos: (a) Considere a equa¸cão diferencial linear de primeira ordem y′ − y = e x onde p(x) = −1 e q(x) = e x são fun¸cões cont´ınuas em toda a recta real. Calcula-se o factor integrante µ = e P (x) = e −x . Multiplicando µ por ambos os membros da equa¸cão diferencial, obtém-se e −x y ′ − e −x y = 1 , que é equivalente a e −x y

′

= 1.

Esta u ´ltima equa¸cão permite concluir que Z e −x y = 1 dx + c ,

c ∈ R,

isto é, e −x y = x + c . Logo, y(x) = (x + c) e x ,

x ∈ R,

c ∈ R.

é solu¸cão geral da equa¸cão diferencial y ′ − y = e x . (b) Considere a equa¸cão homogénea y′ − y = 0 que resulta do problema colocado no in´ıcio deste cap´ıtulo. O factor integrante é ′

também neste caso µ = e −x . A multiplica¸cão por µ origina a equa¸cão (e −x y) = 0. Daqui resulta a solu¸cão geral y(x) = c e x ,

x ∈ R,

c ∈ R.

A fun¸cão y(x) = e x é uma solu¸cão particular da equa¸cão diferencial. Na figura estão representadas cinco solu¸cões particulares da equa¸cão diferencial que correspondem aos seguintes valores da constante c, −1 ,−1/2, 0, 1/2 e 1. 61

Introdu¸ c˜ ao ao estudo das equa¸ c˜ oes diferenciais ordin´ arias

y

x

Figura 3.1 ´ uma equa¸cão linear de (c) Considere a equa¸cão diferencial (1 + y) − (1 − x) y ′ = 0. E primeira ordem pois pode escrever-se como y′ −

y 1 = 1−x 1−x

desde que x 6= 1. O factor integrante é µ = 1 − x 1 . A multiplica¸cão de ambos os ′

membros da equa¸cão diferencial por µ permite obter ((1 − x)y) = 1. Desenvolvendo calcula-se a solu¸cão geral x+c y(x) = 1−x onde x ∈ R \ {1} e c ∈ R.

Exerc´ıcio 3.1 Verifique que a solu¸cão geral y de uma equa¸cão diferencial linear de primeira ordem é da forma y = yh + yp onde yh representa a solu¸cão geral da equa¸cão homogénea associada e yp é uma solu¸cão particular da equa¸cão completa. Observa¸ c˜ ao 3.1 O método do factor integrante pode aplicar-se (pelo menos do ponto de vista teórico) a todas as equa¸cões diferenciais lineares de primeira ordem. A dificuldade acaba por residir apenas na determina¸cão de uma expressão expl´ıcita para as primitivas envolvidas. De facto, a multiplica¸cão da equa¸cão diferencial y ′ + p(x) y = q(x) pelo factor integrante

R µ = e p(x) dx

origina a equa¸cão R R R e p(x) dx y ′ + e p(x) dx p(x) y = e p(x) dx q(x) , 1 N˜ ao

´ e necess´ ario considerar µ = |1 − x| porque o factor integrante ´ e multiplicado por ambos os membros da equa¸c˜ ao diferencial.

62

3.3. Equa¸ c˜ oes diferenciais de primeira ordem que é equivalente a

Daqui resulta

e portanto

R ′ R e p(x) dx y = e p(x) dx q(x) . Z R R e p(x) dx y = e p(x) dx q(x) dx + c

Z R R R y(x) = c e − p(x) dx + e − p(x) dx e p(x) dx q(x) dx ,

c ∈ R.

Esta dedu¸cão também mostra que não é necessário efectuar explicitamente todos os passos do método do factor integrante. Basta usar a u ´ltima expressão para determinar a solu¸caõ geral de uma equa¸cão diferencial linear de primeira ordem.

3.3.2

Equa¸c˜ ao diferencial de vari´ aveis separ´ aveis

Defini¸ c˜ ao 3.8 Equa¸cão diferencial de variáveis separáveis é toda a equa¸cão diferencial de primeira ordem que se pode escrever na forma h(y) y ′ = g(x) ,

(3.4)

onde h é apenas fun¸cão da variável dependente y e g é apenas fun¸cão da variável independente x. Assume-se que a fun¸cão g é cont´ınua num intervalo I ⊂ R e que a fun¸caõ h é cont´ınua num intervalo J de tal modo que y(I) ⊂ J. Vejamos como determinar o integral geral da equa¸cão diferencial (3.4). Seja H uma primitiva da fun¸cão h, isto é, H(y) =

Z

h(y) dy .

Derivando a expressão anterior em ordem à variável independente x, isto é, aplicando a regra da derivada de uma fun¸cão composta, obtém-se d d dy H(y(x)) = H(y) dx dy dx = h(y) y ′ .

Logo, a equa¸cão (3.4) pode escrever-se do seguinte modo d H(y) = g(x) . dx Primitivando ambos os membros da equa¸cão anterior em ordem à variável x, obtém-se2 Z H(y) = g(x) dx + c , c ∈ R 2 Desta

opera¸c˜ ao resulta uma constante de primitiva¸ca õ em cada membro. Estas duas constantes s˜ ao posteriormente substitu´ıdas por uma u ńica constante c.

63

Introdu¸ c˜ ao ao estudo das equa¸ c˜ oes diferenciais ordin´ arias que é equivalente a

Z

h(y) dy =

Z

g(x) dx + c ,

c ∈ R.

(3.5)

Esta u ´ltima equa¸cão permite obter o integral geral da equa¸cão diferencial de variáveis separáveis h(y) y ′ = g(x). Exemplo: Considere a equa¸cão diferencial y ′ − 2x e−y = 0 . Estamos na presen¸ca de uma equa¸cão diferencial de variáveis separáveis pois podemos escrever a equa¸cão na forma e y y ′ = 2x onde h(y) = e y e g(x) = 2x. A determina¸cão do integral geral da equa¸cão diferencial resulta da expressão (3.5). A sua aplica¸cão permite escrever Z Z e y dy = 2x dx + c , isto é, e y = x2 + c ,

c ∈ R.

Finalmente, podemos concluir que y(x) = ln (x2 + c) ,

c ∈ R,

é solu¸cão geral da equa¸cão diferencial original y ′ − 2x e−y = 0. Note-se que o dom´ınio de cada solu¸cão particular está dependente do valor da constante c. Exerc´ıcio 3.2 Determine o integral geral da equa¸cão diferencial de variáveis separáveis y y′ = x . Recorde o exemplo (d) na página 59. ´ costume distinguir entre uma equa¸cão diferencial já na forma (3.4) e uma equa¸cão E que se pode escrever desse modo, após alguma manipula¸cão algébrica. Diz-se que uma equa¸cão diferencial de primeira ordem é de vari´ aveis separadas se já se encontra na forma (3.4). Não é apenas mais um pormenor. Há de facto alguma diferen¸ca. Veja-se por exemplo a seguinte situa¸cão. A equa¸cão diferencial (1 + y) − (1 − x) y ′ = 0 64

(3.6)

3.3. Equa¸ c˜ oes diferenciais de primeira ordem é uma equa¸cão de variáveis separáveis pois pode transformar-se na equa¸cão 1 1 y′ = . 1+y 1−x

(3.7)

´ preciso exigir na equa¸caõ de Estas duas equa¸cões não são no entanto equivalentes. E variáveis separadas (3.7) que y(x) 6= −1 e x 6= 1. Ou seja, só seremos capazes de

determinar o integral geral da equa¸cão diferencial (3.6), pelo processo apresentado, se exigirmos que y(x) 6= −1 e x 6= 1. Exemplo: Considere a equa¸cão diferencial (3.6). Para utilizar (3.5) é necessário efectuar a transforma¸cão que conduz à equa¸cão (3.7) e exigir que y(x) 6= −1 e x 6= 1. A condi¸cão x 6= 1 impõe que x = 1 não é um ponto do dom´ınio das fun¸co˜es a determinar. O caso da fun¸cão y(x) = −1 tem de ser estudado em separado.

De (3.7) e (3.5) obtém-se Z

1 dy = 1+y

Z

1 dx + c , 1−x

c ∈ R.

Daqui resulta ln |1 + y| = − ln |1 − x| + c

⇒ |1 + y| = c1 e − ln |1−x| , onde c1 = ec ∈ R+ c1 ⇒ |1 + y| = |1 − x| k ⇒1+y = , k ∈ R \ {0} (k = ± c1 ) 1−x k ⇒y= −1. 1−x Ou seja, pode considerar-se que y(x) =

k −1, 1−x

(3.8)

onde x 6= 1 e k ∈ R \ {0}, é solu¸cão da equa¸cão (3.7), e consequentemente também solu¸cão da equa¸cão diferencial (3.6). Estude-se agora o caso da fun¸cão y(x) = −1. Substituindo a fun¸cão na equa¸caõ (3.6) verifica-se imediatamente que ela também é solu¸cão da equa¸cão diferencial de variáveis separáveis. Também se constata que ao fixar k = 0 em (3.8) se obtém y(x) = −1. Pode concluir-se que y(x) =

k −1, 1−x

com k ∈ R, é solu¸cão geral da equa¸cão diferencial (1 + y) − (1 − x) y ′ = 0 , 65

Introdu¸ c˜ ao ao estudo das equa¸ c˜ oes diferenciais ordin´ arias sendo y(x) = −1 uma solu¸cão particular. Nota: A solu¸cão geral também se pode escrever na forma y(x) =

x+c , 1−x

com c ∈ R. Recorde o exemplo (c) na página 62. Este u ´ltimo exemplo mostra que a determina¸cão da solu¸cão geral de uma equa¸cão diferencial é uma tarefa minuciosa, que não se limita simplesmente à aplica¸cão de um procedimento, caso este esteja dispon´ıvel. Observa¸ c˜ ao 3.2 A experiência com equa¸cões diferenciais de variáveis separáveis não é nova. No estudo da primitiva¸cão de fun¸cões reais de variável real contactámos directamente com a equa¸cão de vari´ aveis separáveis y ′ = f (x) , onde f é uma fun¸cão cont´ınua em D, cuja solu¸cão geral é Z y(x) = f (x) dx + c , c ∈ R . Observa¸ c˜ ao 3.3 Uma equa¸cão linear homogénea é também uma equa¸cão de variáveis separáveis. De facto, a equa¸cão y ′ + p(x) y = 0 pode reescrever-se do seguinte modo 1 ′ y = −p(x) y onde h(y) = 1/y com y 6= 0 e g(x) = −p(x). A todas as solu¸cões obtidas aplicando (3.5) será preciso acrescentar a fun¸cão y(x) = 0 que é claramente uma solu¸cão da equa¸cão original y ′ + p(x) y = 0. Exerc´ıcio 3.3 Determine a solu¸cão geral da equa¸cão diferencial y ′ = y interpretando-a como uma equa¸cão de variáveis separáveis. Esta equa¸cão resulta do problema colocado no in´ıcio do cap´ıtulo e já foi resolvida como equa¸cão linear de primeira ordem, exemplo (b) na página 61.

3.3.3

Equa¸c˜ ao diferencial homog´ enea de grau zero

Defini¸ c˜ ao 3.9 Uma equa¸cão diferencial de primeira ordem na forma normal y ′ = f (x, y) diz-se homogénea de grau zero se f é tal que f (k x, k y) = f (x, y) para todo o k ∈ R \ {0}. 66

3.3. Equa¸ c˜ oes diferenciais de primeira ordem A determina¸cão do integral geral de uma equa¸cão diferencial homogénea de grau zero, passa por considerar a mudan¸ca de variável dependente y → z definida por z=

y x

onde x 6= 0. Verifica-se que esta substitui¸cão transforma a equa¸cão homogénea de grau zero numa equa¸cão de vari´ aveis separáveis. Nota: porque a equa¸cão é homogénea, tem-se f (x, y) = f (x, x y/x) = f (1, y/x), desde que x 6= 0, observa¸cão que sugere a substitui¸caõ z = y/x. Podemos descrever o seguinte algoritmo para determinar o integral geral de uma equa¸cão homogénea de grau zero: 1. Efectuar a mudan¸ca de variável z=

y x

(x 6= 0) .

Resulta daqui que y = z x e y ′ = z ′ x + z. A equa¸cão na forma normal y ′ = f (x, y) transforma-se na equa¸cão diferencial z ′ x + z = f (x, z x)

(3.9)

que é uma equa¸cão de variáveis separáveis. Nota: porque a equa¸cão é homogénea, tem-se f (x, z x) = f (1, z), observa¸cão que permite reescrever a equa¸cão anterior do seguinte modo z ′ x + z = f (1, z). 2. Determinar o integral geral da equa¸cão diferencial (3.9) e efectuar a substitui¸caõ inversa z → y para obter o integral geral da equa¸cão diferencial original. Exemplo: Considere a equa¸cão diferencial x2 y ′ = x2 + y 2 − x y .

(3.10)

Esta equa¸cão pode escrever-se na forma normal. Obtém-se y′ = 1 +

y2 y − x2 x

(3.11)

onde

y2 y − x2 x com x 6= 0. A equa¸caõ diferencial (3.11) é homogénea de grau zero porque f (x, y) = 1 +

(ky)2 ky − (kx)2 kx y2 y =1+ 2 − x x = f (x, y) , ∀ k 6= 0 .

f (k x, k y) = 1 +

67

Introdu¸ c˜ ao ao estudo das equa¸ c˜ oes diferenciais ordin´ arias A mudan¸ca de variável z = y/x transforma (3.11) na equa¸cão diferencial de variáveis separáveis z′ x + z = 1 + z2 − z . Simplificando, obtém-se

(3.12)

1 1 z′ = , 2 (z − 1) x

desde que z(x) 6= 1 (que corresponde a considerar y(x) 6= x). Da aplica¸cão de (3.5) (com as devidas adapta¸cões) resulta z(x) = 1 −

1 , ln |x| + c

c ∈ R.

De volta à variável dependente original (substituindo z por y/x) tem-se y(x) = x −

x , ln |x| + c

c ∈ R.

Observa-se que y(x) = x é uma solu¸cão de (3.10) (o mesmo acontece com z(x) = 1 na equa¸cão (3.12)). Finalmente, podemos afirmar que y(x) = x −

x , ln |x| + c

c∈R

é solu¸cão geral e y(x) = x, x ∈ R, é uma solu¸cão singular, da equa¸cão diferencial (3.10).

3.3.4

Equa¸c˜ ao diferencial de Bernoulli

Defini¸ c˜ ao 3.10 Equa¸cão diferencial de Bernoulli é toda a equa¸cão diferencial de primeira ordem da forma y ′ + p(x) y = q(x) y α

(3.13)

onde α ∈ R \ {0, 1} e p e q são fun¸co˜es cont´ınuas num intervalo D ⊂ R. Observa¸ c˜ ao 3.4 Obtêm-se equa¸cões diferenciais já estudadas quando α = 0 ou α = 1 na equa¸cão (3.13). Se α = 0, então a equa¸cão (3.13) é uma equa¸cão diferencial linear de primeira ordem. Quando α = 1 a equa¸cão diferencial (3.13) é em simultâneo uma equa¸cão linear de primeira ordem homogénea e uma equa¸cão de variáveis separáveis onde se pode identificar g(x) = q(x) − p(x) e h(y) = 1/y (com y 6= 0). Uma equa¸cão de Bernoulli é uma equa¸cão não linear. No entanto, por meio de uma mudan¸ca de variável apropriada, é poss´ıvel transformar (3.13) numa equa¸cão diferencial linear de primeira ordem. Esta é a técnica que conduz à determina¸cão do integral geral da equa¸cão diferencial de Bernoulli. Podemos descrever este processo do seguinte modo. Multiplicando ambos os membros de (3.13) por y −α obtém-se a equa¸cão y ′ y −α + p(x) y 1−α = q(x) . 68

(3.14)

3.3. Equa¸ c˜ oes diferenciais de primeira ordem ´ preciso exigir que y(x) 6= 0 quando α > 0. Considerando a mudan¸ca de variável E z = y 1−α ,

(3.15)

deduz-se, derivando z em ordem a x, que z′ = y −α y ′ . 1−α Logo, a equa¸cão (3.14) pode reescrever-se como z′ + p(x) z = q(x) , 1−α que é equivalente a z ′ + (1 − α) p(x) z = (1 − α) q(x) .

(3.16)

Constata-se que esta u ´ltima equa¸cão é uma equa¸cão diferencial linear de primeira ordem. Para determinar o integral geral de (3.13), basta achar o integral geral de (3.16) e, por fim, substituir z por y 1−α , simplificando o resultado final. Observa¸ c˜ ao 3.5 A fun¸cão y(x) = 0 é uma solu¸cão singular da equa¸cão de Bernoulli quando se tem α > 0. Exemplo: Considere a equa¸cão de Bernoulli y′ + y = x y2 onde α = 2. Tem-se 1 − α = −1 e considera-se a mudan¸ca de variável z = y −1 , com

y 6= 0. A aplica¸cão da mudan¸ca de variável permite obter, utilizando directamente

a equa¸cão (3.16), a equa¸cão linear de primeira ordem z ′ − z = −x .

(3.17)

Calcula-se o factor integrante µ = e−x . Após a multiplica¸cão de ambos os membros ′ de (3.17) por µ obtém-se (e−x z) = −x e−x . Daqui resulta, primitivando por partes, que

z(x) = (x + 1) + c e x é a solu¸cão geral de (3.17). Substituindo z por y −1 , obtém-se finalmente y(x) =

1 , x + 1 + cex

c ∈ R,

que é a solu¸cão geral da equa¸cão de Bernoulli. Falta ainda observar que a fun¸caõ y(x) = 0 é uma solu¸caõ singular da equa¸cão diferencial de Bernoulli.

69

Introdu¸ c˜ ao ao estudo das equa¸ c˜ oes diferenciais ordin´ arias Exerc´ıcio 3.4 1. Utilize a mudan¸ca de variável z = x+y+2 para determinar a solu¸cão da equa¸cão diferencial de primeira ordem y′ =

1 . x+y+2

2. Mostre que uma equa¸cão diferencial de primeira ordem da forma y ′ = f (a x + b y + c) onde b 6= 0, se pode transformar numa equa¸cão de variáveis separáveis ao efectuar

a substitui¸cão z = a x + b y + c. 3. (a) Verifique que

cotg (y − x) = x + c ,

c ∈ R,

é o integral geral da equa¸cão diferencial y ′ = cos2 (y − x) . (b) Determine a solu¸cão geral de y ′ = cos2 (y − x) aplicando a mudan¸ca de variável u = y − x. (c) Verifique que y(x) = x é solu¸cão da equa¸cão diferencial. Classifique essa solu¸cão.

70

Cap´ıtulo 4 S´ eries num´ ericas

4.1

Sucess˜ oes num´ ericas

Sucessão de n´ umeros reais é toda a aplica¸cão do conjunto dos n´ umeros naturais no conjunto dos n´ umeros reais a : N n

−→ R

7−→ a(n)

.

´ usual representar a sucessão por (an ), representar os termos da sucessão por a1 , a2 , . . . E e indicar o termo geral da sucessão por an . A figura mostra os primeiros termos da sucessão de termo geral an = (−1)n 1/n, n ∈ N.

1

2

3

4

5

Figura 4.1 Quanto à monotonia de uma sucessão (an ) tem-se que: (i) A sucessão é crescente em sentido lato se an+1 − an ≥ 0 para todo o n ∈ N. 71

6

S´ eries num´ ericas (ii) A sucessão é decrescente em sentido lato se an+1 − an ≤ 0 para todo o n ∈ N. Uma sucessão (an ) será crescente em sentido estrito se an+1 − an > 0 para todo o n ∈ N. De igual modo, (an ) será decrescente em sentido estrito se an+1 − an < 0 para todo o

n ∈ N.

Exemplo: A sucessão de termo geral an =

1 n

é uma sucessão estritamente decrescente. De facto, tem-se an+1 − an = −

1 0, existe (uma ordem) p ∈ N tal que an ∈ Vǫ (a) sempre que

n ≥ p.

Do ponto de vista formal, escreve-se lim an = a n

⇔

∀ ǫ > 0 , ∃ p ∈ N : ∀ n ≥ p ⇒ an ∈ Vǫ (a) .

Se lim an existe e é finito, então a sucessão (an ) é convergente. Caso contr´ ario, a n sucessão é divergente. Exemplo: A sucessão de termo geral an = 1/n é convergente para o n´ umero L = 0, isto é, tem-se lim an = 0. n Basta observar que para cada ǫ > 0 pode escolher-se p ∈ N de tal forma que

p > 1/ǫ (por exemplo, se ǫ = 0.01 então p ≥ 101) e que, nestas condi¸cões, para n > p, tem-se |an − L| = |an | = 1/n < 1/p < 1/(1/ǫ) = ǫ, isto é, |an − L| < ǫ para

todo o n > p, o que prova a convergência da sucessão para L = 0. Os próximos resultados permitem relacionar estes conceitos. Teorema 4.1 O limite de uma sucessão convergente é u ńico. Teorema 4.2 Toda a sucessão monótona e limitada é convergente.

Teorema 4.3 Sejam (an ), (bn ) e (cn ) sucessões tais que an ≤ cn ≤ bn a partir de uma ordem p ∈ N.

Se lim an e lim bn existem e são iguais ao n´ umero L então lim cn existe e lim cn = L. n

n

n

n

Exerc´ıcio 4.1 Verifique que as seguintes afirma¸cões são verdadeiras. i. A sucessão an =

n X 1 é convergente. k2 k=1

ii. A sucessão bn =

n X 1 é divergente. k

k=1

73

S´ eries num´ ericas

4.1.1

Progress˜ ao aritm´ etica

A sucessão (an ) é uma progressão aritmética de razão r ∈ R se an+1 = an + r para todo o n ∈ N, ou seja, se a diferen¸ca entre dois termos consecutivos an+1 − an é

constante igual ao n´ umero r. Se r = 0, então todos os termos da sucessão (an ) são iguais ao primeiro termo a1 . O termo geral da progressão aritmética é an = a1 + (n − 1) r e a soma dos k primeiros termos de (an ) é sk = k

(a1 + ak ) . 2

Esta fórmula permite uma interpreta¸cão mais geral. Mostra-se que a soma de k termos consecutivos da sucessão é dada por k

(ai+1 + ai+k ) 2

qualquer que seja i ∈ N0 . Exemplo: A sucessão de termo geral an = 2n + 3

(5, 7, 9, . . .)

é uma progressão aritmética de razão r = 2.

4.1.2

Progress˜ ao geom´ etrica

A sucessão (an ) é uma progressão geométrica de razão r ∈ R se an+1 an+1 = an r = r quando r 6= 0 an para todo o n ∈ N. O termo geral da progressão geométrica é an = a1 r n−1 . Os termos da progressão para n > 1 são todos iguais a zero quando r = 0. Quando r = 1, a soma dos k primeiros termos da progressão é sk = k a1 . Se r 6= 1, então a soma dos k primeiros termos da progressão geométrica é igual a sk = a1

74

(1 − rk ) . 1−r

4.2. S´ eries num´ ericas Mais geralmente, a expressão (1 − rk ) , 1−r qualquer que seja i ∈ N0 , permite obter a soma de k termos sucessivos da progress˜ ao geométrica (an ) de razão r 6= 1. ai+1

Exemplo: A sucessão de termo geral an = 2−n

(1/2, 1/4, 1/8, . . .)

é uma progressão geométrica de razão r = 1/2. Exerc´ıcio 4.2 Verifique que: se (an ) é uma progressão geométrica de razão r > 0, com r 6= 1, e a1 > 0, então bn = log r an é o termo geral de uma progressão aritmética de razão r = 1.

4.2

S´ eries num´ ericas

Considere o seguinte problema1 : Imagine um atleta que corre a velocidade constante e que demora m minutos a percorrer metade do percurso total de uma determinada prova. O tempo que o atleta demora a concluir a prova pode ser apresentado da seguinte forma m+

m m m m + + + ··· + n + ··· . 2 4 8 2

Parece natural associar ao tempo total da prova o valor 2m, isto é, considerar que m+

m m m m + + + · · · + n + · · · = 2m . 2 4 8 2

Como obter este resultado? E ainda, como efectuar a soma de um “n´ umero infinito” de parcelas? Apresentamos a resposta para estas perguntas nas próximas seçcões.

4.2.1

Defini¸c˜ ao e natureza de uma s´ erie

Defini¸ c˜ ao 4.1 ` expressão matemática Seja (an ) uma sucessão de n´ umeros reais. A a1 + a2 + a3 + · · · representada por

∞ X

an

n=1

chama-se série numérica de termo geral an . 1 Adapta¸ c˜ ao

do paradoxo de Aquiles e da tartaruga (proposto por Zen˜ ao), apresentado no livro “Calculus”de Tom M. Apostol [2] - citado na bibliografia da disciplina.

75

S´ eries num´ ericas A cada série numérica

∞ X

an

n=1

está associada uma outra sucessão numérica (além de (an )), que é representada por (sn ) e é designada por sucess˜ ao das somas parciais. A sucessão (sn ) é definida do seguinte modo s1 = a1 , s2 = a1 + a2 , .. . sk = a1 + · · · + ak = .. .

k X

an ,

n=1

Defini¸ c˜ ao 4.2 A série numérica ∞ X

an

n=1

diz-se convergente se e só se a sucessão das somas parciais associada é convergente, isto é, se existe s ∈ R tal que lim sk = s. Ao n´ umero s chama-se soma da série e escreve-se k

∞ X

an = s .

n=1

Defini¸ c˜ ao 4.3 A série numérica ∞ X

an

∞ X

an

n=1

diz-se divergente e não tem soma se e só se a sucessão das somas parciais é divergente. Assim, para uma série numérica

n=1

podemos pensar em atingir os seguintes objectivos: • Determinar a natureza da série, isto é, averiguar se é convergente ou divergente. • Calcular a soma da série quando esta é convergente. O primeiro objectivo é em geral ating´ıvel. O mesmo já não acontece com o segundo objectivo. De seguida apresentamos duas séries numéricas para as quais é sempre poss´ıvel determinar a soma (quando convergentes). 76

4.2. S´ eries num´ ericas Observa¸ c˜ ao 4.1 Note que a natureza de uma série não depende de um n´ umero finito de termos, isto é, eliminar um n´ umero finito de termos a uma série não vai alterar a sua natureza. Exemplos: 1. Considere a série numérica

∞ X

n

n=1

e a sua sucessão das somas parciais definida do seguinte modo s1 = 1 , s2 = 1 + 2 , .. . sk = 1 + 2 + · · · + k , .. .

A sucessão (an ), termo geral da série, é uma progressão aritmética de razão r = 1. Sendo assim, o termo geral da sucessão das somas parciais é sk = k

(1 + k) . 2

A sucessão é divergente porque lim sk = +∞. Consequentemente, a série é diverk

gente e não tem soma. 2. Considere a série numérica

∞ X 1 . n 2 n=1

O termo geral da sucessão das somas parciais associada é sk =

1 1 1 + + ···+ k . 2 4 2

Observa-se que a sucessão (an ) é uma progressão geométrica de razão r = 1/2. Logo, o termo geral da sucessão (sn ) é dado por sk =

1 (1 − 21k ) 1 =1− k . 1 2 1− 2 2

Porque lim sk = 1, podemos concluir que a série numérica é convergente de soma k s = 1, isto é, mostrámos que 1 1 1 + + + ··· = 1. 2 4 8 77

S´ eries num´ ericas

4.2.2

S´ erie geom´ etrica

P Uma série numérica an é geométrica de raz˜ ao r ∈ R se a sucess˜ ao (an ) é uma progress˜ ao geométrica de raz˜ ao r. Podemos determinar a natureza de uma série geométrica e, quando convergente, determinar qual a sua soma. Assim foi feito no ponto 2 do exemplo anterior. No caso geral podemos afirmar o seguinte: Uma série geométrica ∞ X

an

n=1

de raz˜ ao r ∈ R é convergente se |r| < 1 e a sua soma é s=

a1 . 1−r

Se |r| ≥ 1 a série é divergente e n˜ ao tem valor. Verifica¸cão: seja

∞ X

an

n=1

uma série geométrica de razão r ∈ R. Distinguimos o caso r = 1 do caso r 6= 1. Se (an ) é uma progressão geométrica de raz˜ ao r = 1 então an = a1 para todo n ∈ N (assumimos

a1 6= 0). A sucessão das somas parciais associada tem termo geral sk = k a1 . A série geométrica é por isso divergente. Se (an ) é uma progressão geométrica de razão r 6= 1, então o termo geral da sucessão das somas parciais é sk = a1 + · · · + ak =

k X

an

n=1

= a1 = Como

1 − rk 1−r

a1 a1 k − r . 1−r 1−r

   ∄ se r ≤ −1 ,   k lim r = 0 se r ∈ ] − 1, 1[ , k     +∞ se r > 1 ,

conclui-se que o lim sk só existe e é finito igual a a1 /(1 − r) se |r| < 1. Ou seja, se |r| < 1 k

a série geométrica é convergente e tem soma a1 /(1 − r). Se |r| ≥ 1 a série é divergente. Exemplos: 78

4.2. S´ eries num´ ericas 1. Considere a série numérica ∞ X 5 5 5 5 = 5+ + + + ··· . n 2 2 4 8 n=0

Observa-se que

an+1 1 = = r, an 2

∀n ∈ N.

Conclui-se que a série é uma série geométrica convergente de soma s=

a0 = 10 . 1−r

Ou seja, mostrámos que 5+ 2. A série numérica

∞ X

5 5 5 + + + · · · = 10 . 2 4 8

(−1)n = −1 + 1 − 1 + · · ·

n=1

é uma série geométrica de razão r = −1, logo é divergente. ´ importante observar que a representa¸cão de uma série não é u E ńica. A série geométrica do exemplo anterior pode, por exemplo, reescrever-se da seguinte forma ∞ X 5 5 5 5 5 + + + + ··· = . n−1 2 4 8 2 n=1

Exemplo: O problema proposto no in´ıcio da seçcão diz respeito à série numérica ∞ X m n−1 2 n=1

que é uma série geométrica convergente de soma s = 2m.

4.2.3

S´ erie telesc´ opica

Uma série

∞ X

an

n=1

diz-se telesc´ opica se an = un − un+p ,

para algum p ∈ N ,

isto é, se o termo geral da série se pode escrever como a diferen¸ca de dois termos, n˜ ao necessariamente consecutivos, de uma outra sucess˜ ao (un ). 79

S´ eries num´ ericas Tal como para a série geométrica, existem resultados globais para a determina¸cão da natureza de uma série telescópica e, quando convergente, da sua soma. Se lim un existe e é finito, ent˜ ao a série telesc´ opica é convergente e tem soma n

s = u1 + · · · + up − p lim un . n

Caso contr´ ario, isto é, se lim un n˜ ao existe ou n˜ ao é finito, ent˜ ao a série é n divergente e n˜ ao tem soma. Verifica¸cão: para uma série telescópica com p = 2, a sucessão das somas parciais associada à série tem termo geral sk =

k X

an =

n=1

k X

(un − un+2 )

n=1

= (u1 − u3 ) + (u2 − u4 ) + (u3 − u5 ) + (u4 − u6 ) + · · · + (uk−3 − uk−1 ) + (uk−2 − uk ) + (uk−1 − uk+1 ) + (uk − uk+2 ) = u1 + u2 − (uk+1 + uk+2 ) .

Para p genérico, podemos concluir que sk = u1 + · · · + up − (uk+1 + uk+2 + · · · + uk+p ) . | {z } p primeiros termos

Assim,

lim sk = u1 + · · · + up − lim (uk+1 + uk+2 + . . . + uk+p ) k

k

= u1 + · · · + up − p lim uk . k

Ou seja, uma série telescópica ∞ X

n=1

an =

∞ X

(un − un+p )

n=1

só é convergente se lim un existir e for finito. A sua soma é u1 + · · · + up − p limn un . A n

série telescópica é divergente se lim un não existir ou não for finito. n

Exemplo: Considere a série numérica

∞ X

n=1

n2

1 . +n

Observa-se que 1 1 1 1 an = 2 = = − = un −un+1 , n +n n(n + 1) n n+1

onde

un =

1 n

e

p = 1.

A série é telescópica e é convergente porque lim un existe e é finito. A sua soma é n

s = u1 − lim un = u1 = 1 . n

Ou seja, tem-se

80

1 1 1 1 + + + + ··· = 1. 2 6 12 20

4.2. S´ eries num´ ericas

4.2.4

S´ erie de Dirichlet

Uma série numérica da forma ∞ X 1 , α n n=1

onde α ∈ R ,

é uma série de Dirichlet. Chama-se série Harm´ onica ` a série de Dirichlet com α = 1. Mostra-se que a série de Dirichlet é: • convergente se α > 1, • e divergente se α ≤ 1 (observa¸cão que é evidente para α < 0). Em particular, destacamos a série ∞ X 1 1 1 = 1 + + + ··· 2 n 4 9 n=1

que é convergente, e a série Harmónica

∞ X 1 1 1 = 1 + + + ··· n 2 3 n=1

que é divergente.

4.2.5

Propriedades das s´ eries num´ ericas

Observe-se que a análise da série ∞ X

n=p

é equivalente à analise da série ∞ X

bn

n=1

an = ap + ap+1 + · · ·

com bn = ap+n−1 , ∀ n ∈ N .

(4.1)

(4.2)

De facto, (4.1) e (4.2) são apenas representa¸cões distintas da mesma série numérica. Por este motivo uma série genérica é sempre representada por ∞ X

an .

n=1

E ainda, pelo mesmo motivo, é usual representar uma série numérica apenas por X an . Observa¸ c˜ ao 4.2 Duas séries numéricas

∞ X

n=1

an e

∞ X

n=1

bn são idênticas se an = bn para todo o n ∈ N.

81

S´ eries num´ ericas Teorema 4.4 P P Se an e bn são duas séries convergentes de soma a e b respectivamente, então: P (i) A série soma (an + bn ) é convergente e tem soma a + b, isto é, P P P (an + bn ) = an + bn .

P (ii) A série (α an ) é convergente para todo o α ∈ R e tem soma α a, isto é, P P (α an ) = α an .

O teorema anterior permite estabelecer o seguinte corolário.

Corol´ ario 4.1 P P (i) Se an é uma série convergente e bn é uma série divergente, então a série soma P (an + bn ) é divergente. (ii) Nada se pode concluir sobre a natureza da série soma P bn são séries divergentes.

Demonstra¸ c˜ ao -

P

(an + bn ) quando

P

an e

(do corolário)

P P Ponto (i): Por hipótese tem-se que an é convergente e bn é divergente. SuponP P hamos então que (an + bn ) é convergente. Porque an é convergente também é P P convergente a série (−an ). Daqui resulta que a série bn também tem de ser conP P vergente pois bn = (an + bn + (−an )), facto que contradiz a hipótese inicial. Logo, P conclui-se que a série (an + bn ) tem de ser divergente. Ponto (ii):

A demonstra¸cão deste ponto consiste na apresenta¸cão de dois exemplos. P P 1) As séries an e bn com an = bn = 1 são divergentes. O mesmo acontece para a P P série soma (an + bn ) = 2. P P 2) As séries an e bn com an = 1 e bn = −1 são divergentes e no entanto a série P soma (an + bn ) é convergente.

4.2.6

Condi¸c˜ ao necess´ aria de convergˆ encia

Teorema 4.5 (condi¸cão necessária de convergência) P Se an é uma série convergente, então lim an = 0. n

Demonstra¸ c˜ ao -

Considere a série convergente ∞ X

an

n=1

e seja sk =

k X

n=1

82

an

4.2. S´ eries num´ ericas o termo geral da sucessão das somas parciais associada à série. Note que ak = sk − sk−1 . Porque a série é convergente, existe s ∈ R tal que lim sk = s. Logo, k

lim ak = lim (sk − sk−1 ) = s − s = 0 . k

k

A condi¸cão enunciada no teorema anterior não é uma condi¸cão suficiente. Por isso, na prática, esta não é muito u ´til na determina¸cão da natureza de uma série. Recorde por exemplo que ∞ X 1 n=1

n

é uma série divergente (série de Dirichlet com α = 1) e que ∞ X 1 2 n n=1

é uma série convergente (série de Dirichlet com α = 2). No entanto, tem-se lim n

1 1 = lim 2 = 0 . n n n

O seguinte corolário é claramente mais importante do ponto de vista prático.

Corol´ ario 4.2 Se lim an 6= 0 ou não existe então a série n

P

an é divergente.

Exemplos: 1. A série numérica ∞ X 2n + 1 n n=1

é uma série divergente porque lim n

2n + 1 = 2 6= 0 . n

2. A série numérica ∞ X

(−1)n = −1 + 1 − 1 + · · ·

n=1

é uma série divergente porque o limite lim (−1)n não existe. n

83

S´ eries num´ ericas

4.2.7

Crit´ erios de compara¸ c˜ ao para s´ eries de termos n˜ ao negativos

Os resultados que apresentamos nesta seçcão são válidos para séries numéricas de termos não negativos, isto é, séries ∞ X

an

n=1

onde

an ≥ 0 para todo o

n ≥ 1.

Neste caso particular, constata-se que a sucessão das somas parciais associada é sempre uma sucessão crescente. Teorema 4.6 P Considere a série numérica an , onde an ≥ 0 para todo o n ≥ 1. A série é convergente se e só se a sucessão das somas parciais é limitada superiormente. Exerc´ıcio 4.3 Recorra à série geométrica ∞ X 1 n 2 n=2

para mostrar que a série numérica de termos positivos ∞ X 1 n! n=2

é convergente. Teorema 4.7 (primeiro critério de compara¸cão) P P Sejam an e bn duas séries de termos não negativos tais que 0 ≤ an ≤ bn para todo o n ∈ N. Nestas condi¸cões, tem-se: (i) Se (ii) Se

P P

bn é uma série convergente então a série an é uma série divergente então a série

Observa¸ c˜ ao 4.3 O resultado anterior mantém-se válido quando:

P

P

an também é convergente.

bn também é divergente.

(a) A condi¸cão an ≤ bn é verdadeira apenas a partir de uma certa ordem p ∈ N. (b) an ≤ c bn qualquer que seja a constante c ∈ R+ . Exemplos: 1. Considere a série numérica de termos não negativos ∞ X

3n . 3+3 2n n=1 84

4.2. S´ eries num´ ericas Observe que 0 < n3 < 2n3 + 3. Daqui resulta 0< e consequentemente 0<

1 1 < 3 2n3 + 3 n

3n 3n 3 < 3 = 2. 2n3 + 3 n n

Logo, porque

∞ X 3 n2 n=1

é uma série convergente (produto de uma constante por uma série convergente série de Dirichlet com α = 2), conclui-se, pelo primeiro critério de compara¸caõ, que ∞ X

3n 3+3 2n n=1 também é convergente. 2. Considere a série numérica

∞ X 1 . n! n=1

Observe que

1 1 < n n! 2 para n ≥ 4. Podemos concluir que a série é convergente porque 0<

∞ X 1 n 2 n=1

também é convergente (série geométrica de razão r = 1/2). 3. Considere a série numérica

∞ X

1 . n−1 n=2 Porque

∞ X 1 n n=2

é uma série divergente (série de Dirichlet com α = 1) e 1 1 < n n−1 para n ≥ 2, conclui-se que a série é divergente. 0<

Teorema 4.8 (critério de compara¸cão limite) P P Considere duas séries numéricas an e bn tais que an ≥ 0 e bn > 0 (pelo menos a partir de uma ordem p ∈ N) e suponha que o limite an λ = lim n bn existe. Tem-se: 85

S´ eries num´ ericas (a) Se 0 < λ < +∞, então as séries

P

an e

P

bn têm a mesma natureza.

(b) Se λ = 0 (ocorre an 1. (iii) Nada se pode concluir sobre a natureza da série numérica quando λ = 1. Crit´ erio da raiz Teorema 4.11 (critério da raiz ou critério de Cauchy) Considere a série numérica de termos não negativos ∞ X

an

λ = lim

√ n

n=1

e seja n

an .

Se o limite existe, então: (i) A série numérica é convergente quando λ < 1. (ii) A série numérica é divergente quando λ > 1. (iii) Nada se pode concluir sobre a natureza da série numérica quando λ = 1. Observa¸ c˜ ao 4.6 Alguns limites que são bastante u ´teis na aplica¸cão deste u ´ltimo critério: • lim n

• lim n

• lim n

√ n a = 1 sempre que a > 0. √ n n = 1. √ n n! = +∞.

Observa¸ c˜ ao 4.7 Para confirmar a al´ınea (iii) nos critérios da razão e da raiz, é suficiente considerar as séries de Dirichlet com α = 1 e α = 2. 88

4.2. S´ eries num´ ericas Exemplos: 1. Considere a série numérica

∞ X 2n . n2 n=1

Aplicando o critério da raiz, obtém-se r

2n n n2 √ n lim 2n n √ √ = lim n n n n

√ λ = lim n an = lim n

n

n

= 2. Tem-se λ = 2 > 1. Logo, a série é divergente. A aplica¸cão do critério da raz˜ ao também permite obter λ > 1 e concluir que a série é divergente. 2. Considere a série numérica

∞ X n! . n n n=1

Note-se que an =

n! > 0, nn

∀n ∈ N .

Aplicando o critério da razão, obtém-se λ = lim n

an+1 (n + 1)! nn = lim (n+1) n (n + 1) an n! (n + 1) n! nn = lim n n (n + 1) (n + 1) n! nn = lim n (n + 1)n 1 = (n + 1)n lim n nn 1 n = n+1 lim n n 1 n = 1 lim 1 + n n 1 = . e

Ou seja, λ = 1/e < 1 e portanto a série é convergente. Nota: a obten¸caõ das mesmas conclusões pelo critério da raiz não é simples de concretizar. 89

S´ eries num´ ericas 3. Considere a série numérica

∞ X 1 . 2 n n=1

A aplica¸cão do critério da raiz origina λ = lim n

√ n

r

1 n2 √ n lim 1 n √ √ = lim n n n n

an = lim n

n

n

= 1. Nada podemos concluir quanto à natureza da série. As mesmas conclusões resultam da aplica¸cão do critério da razão.

4.2.9

Convergˆ encia absoluta e convergˆ encia simples

Seja X

an

uma série de termos de sinal qualquer e considere a série dos módulos X

|an | .

A série dos módulos é uma série de termos não negativos. Para determinar a sua natureza podemos aplicar qualquer um dos critérios apresentados anteriormente. Exemplo: Considere a série numérica ∞ X

an =

n=1

∞ X

(−1)n

n=1

1 = −1 + 1/4 − 1/9 + · · · . n2

A série dos módulos é neste caso ∞ X

n=1

|an | =

∞ X 1 = 1 + 1/4 + 1/9 + · · · . 2 n n=1

Teorema 4.12 P P Se a série dos módulos |an | é uma série convergente, então a série an é também uma P P série convergente e | an | ≤ |an |.

Este resultado mostra que, se

P

|an | é uma série convergente de soma α, então

uma série convergente de soma s com s ∈ [−α, α]. Exemplos: 90

P

an é

4.2. S´ eries num´ ericas A série numérica

∞ X

(−1)n

n=1

1 . n2

é convergente porque a série dos módulos ∞ X 1 2 n n=1

é convergente. No entanto, nada podemos concluir sobre a natureza da série ∞ X

(−1)n

n=1

porque a sua série dos módulos

é uma série divergente. Demonstra¸ c˜ ao -

1 . n

∞ X 1 n n=1

Comecemos por observar que 0 ≤ |an | + an ≤ 2|an | .

P Daqui resulta, pelo critério de compara¸cão, que (|an | + an ) é uma série convergente. P P P P Logo, porque an = (|an | + an ) + (−|an |), conclui-se que an é convergente. P P Para mostrar que | an | ≤ |an | basta observar que |a1 + a2 + · · · + ak | ≤ |a1 | + |a2 | + · · · + |ak | ,

isto é, que

k k X X a ≤ |an | n n=1

para todo o k ∈ N. Logo,

n=1

k k X X lim an ≤ lim |an | , k k n=1

isto é,

k k X X an ≤ lim |an | lim k k n=1

e portanto

n=1

n=1

X X an ≤ |an | .

Sabemos que uma série é convergente se a sua série dos módulos for convergente. Contudo, uma série pode ser convergente mesmo que a série dos módulos não o seja. Importa por isso distinguir estas duas situa¸cões.

91

S´ eries num´ ericas Defini¸ c˜ ao 4.4 (convergência absoluta e convergência simples) P P (a) A série an diz-se absolutamente convergente se a série |an | é convergente. P

(b) A série

an diz-se simplesmente convergente se é convergente e

P

|an | é divergente.

Observa¸ c˜ ao 4.8 Uma série simplesmente convergente tem um n´ umero infinito de termos de sinal negativo e um n´ umero infinito de termos de sinal positivo. Os critérios da razão e da raiz permitem uma adapta¸cão natural a séries de termos de sinal qualquer. A formula¸cão do critério da razão é a seguinte. Teorema 4.13 (critério da razão para séries de termos de sinal qualquer) Considere a série numérica ∞ X

an

onde

n=1

e seja

Se o limite existe, então:

an 6= 0

para todo o n ∈ N ,

an+1 . λ = lim n an

(i) A série numérica é absolutamente convergente quando 0 ≤ λ < 1. (ii) A série numérica é divergente quando λ > 1. (iii) Nada se pode concluir sobre a natureza da série numérica quando λ = 1.

4.2.10

S´ eries alternadas

Estudamos um caso particular de uma série de termos de sinal qualquer. Considere a série numérica ∞ X

(−1)n−1 an = a1 − a2 + · · ·

onde an > 0

para todo o

n=1

A uma série com estas caracter´ısticas chama-se série alternada.

92

n ≥ 1.

4.2. S´ eries num´ ericas Teorema 4.14 (critério de Leibniz para séries alternadas) Considere a série alternada ∞ X

(−1)n−1 an .

n=1

Se a sucessão (an ) é decrescente e lim an = 0, então a série alternada é convergente. E n

ainda, se s é a soma da série e sk é a soma parcial de ordem k, então |s − sk | < ak+1 para todo o k ∈ N. Observa¸ c˜ ao 4.9 A condi¸cão |s − sk | < ak+1 ⇔ |s − (a1 − a2 + · · · + (−1)k−1 ak )| < ak+1 indica que o erro cometido, quando se aproxima a soma s pela soma parcial sk , é sempre inferior ao termo ak+1 . A determina¸cão da natureza de uma série alternada envolve os seguintes passos: 1. Determina¸cão da natureza da série dos módulos ∞ X

n=1

|(−1)n−1 an | =

∞ X

an .

n=1

Se a série dos módulos é convergente, então a série alternada é absolutamente convergente. 2. Aplica¸cão do critério de Leibniz quando a série dos módulos é divergente. Exemplo: Considere a série alternada A sua série dos módulos

∞ X

(−1)n−1

n=1

1 = 1 − 1/2 + · · · . n

∞ X 1 n n=1

é uma série divergente (série de Dirichlet com α = 1). Por isso, nada se pode concluir directamente sobre a série alternada original. No entanto, porque an+1 − an < 0 para todo o n ∈ N e lim an = 0, conclui-se, aplicando o critério de Leibniz, n

que a série alternada é simplesmente convergente.

93

S´ eries num´ ericas

4.2.11

Reordena¸c˜ ao dos termos de uma s´ erie num´ erica

´ claro que não podemos Apresentamos algumas propriedades finais das séries numéricas. E manipular os termos de uma série numérica tal como fazemos com os termos de uma soma finita. A t´ıtulo de exemplo, recorde-se o exemplo 2 na página 79. Observamos a seguir que a aplica¸cão da propriedade comutativa aos termos de uma série numérica pode, em certos casos, alterar a sua soma. Teorema 4.15 P P Seja an uma série absolutamente convergente de soma s. Toda a série numérica bn P obtida por reordena¸cão dos termos da série an , é também absolutamente convergente e tem soma s.

O teorema anterior indica que a aplica¸cão da propriedade comutativa aos termos de uma série absolutamente convergente, não altera a sua natureza nem a sua soma. Verifica-se que o mesmo não acontece se a série é apenas simplesmente convergente. Ainda assim, o próximo resultado não deixa de ser surpreendente. Teorema 4.16 (de Riemann) P Seja an uma série simplesmente convergente e seja b um n´ umero real qualquer. Existe P P outra série numérica bn , que resulta de uma reordena¸cão dos termos da série an , que é simplesmente convergente e tem por soma o n´ umero b.

94

Cap´ıtulo 5 S´ eries de potˆ encias

5.1

Introdu¸c˜ ao

Série de potências de x − a, com a ∈ R, é toda a série de fun¸cões da forma ∞ X

n=0

an (x − a)n = a0 + a1 (x − a) + a2 (x − a)2 + · · · ,

(5.1)

onde (an ) é uma sucessão de n´ umeros reais. Escolhendo a = 0, obtém-se o caso particular da série de potências de x ∞ X

n=0

an xn = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · .

(5.2)

Ao considerar a mudan¸ca de variável z = x − a, podemos reduzir o estudo da série (5.1) ao estudo da série (5.2). A seguinte pergunta surge assim de forma natural:

Para que valores de x ∈ R, é convergente a série numérica obtida de (5.1)? A resposta a esta pergunta depende é claro da sucessão (an ). No entanto, podemos observar que para x = a, no caso de (5.1), ou x = 0, no caso de (5.2), a série numérica obtida é convergente de soma a0 . Para que outros valores de x ∈ R é a série numérica obtida uma série convergente? Apresentamos uma resposta global para esta pergunta na próxima seçcão.

95

S´ eries de potˆ encias

5.2

Raio e intervalo de convergˆ encia

Sobre a natureza de uma série de potências de x pode demonstrar-se o seguinte resultado.

Teorema 5.1 Para a série de potências ∞ X

an xn

n=0

ocorre somente uma das seguintes situa¸cões: (a) A série converge absolutamente apenas no ponto x = 0. (b) A série converge absolutamente para todo x ∈ R. (c) Existe um n´ umero r > 0 tal que: (i) A série é absolutamente convergente se |x| < r, isto é, se x ∈ ] − r, r[. (ii) A série é divergente se |x| > r, isto é, se x ∈ ] − ∞, −r[ ∪ ]r, +∞[. (iii) Nos pontos x = −r e x = r a natureza da série é determinada individualmente. De forma semelhante, no caso da série de potências de x − a ∞ X

n=0

an (x − a)n ,

pode mostrar-se que: (a) Existe um n´ umero r > 0 tal que: (i) A série é absolutamente convergente se |x − a| < r, isto é, se x ∈ ]a − r, a + r[. (ii) A série é divergente se |x − a| > r, isto é, se x ∈ ] − ∞, a − r[ ∪ ]a + r, +∞[. (iii) Nos pontos x = a − r e x = a + r a natureza da série tem de ser determinada individualmente.

(b) A série converge absolutamente apenas no ponto x = a (podemos considerar que este caso corresponde a r = 0). (c) A série converge absolutamente para todo x ∈ R (podemos considerar que este caso corresponde a r = +∞).

Ao n´ umero r > 0 chama-se raio de convergência da série de potências. Ao intervalo contendo todos os pontos para os quais a série de potências é convergente, chama-se intervalo de convergência da série de potências. 96

5.2. Raio e intervalo de convergˆ encia O raio de convergência r pode determinar-se através do critério da razão (nas páginas 88 e 92) ou do critério da raiz (na página 88). Para (5.1) e (5.2) a aplica¸cão do critério da razão conduz a

an , r = lim n an+1

(5.3)

desde que o limite exista. A aplica¸cão do critério da raiz conduz a

desde que o limite exista.

1 , r = lim p n n |an |

Verifica¸cão de (5.3): A série de potências de x ∞ X

an xn ,

n=0

com x 6= 0 e an 6= 0 para todo o n ∈ N, será absolutamente convergente se x é tal que an+1 xn+1 1, λ = lim n an xn

isto é, se

an . |x| > lim n an+1

E nada se pode concluir pela aplica¸cão do critério da razão se an . |x| = lim n an+1

Conclu´ımos que o n´ umero r a existir tem de ser igual ao limite an lim n an+1

Não é poss´ıvel à partida adiantar qual a natureza de uma determinada série de potências nos pontos x = a − r e x = a + r, tornando-se necessário efectuar separadamente o estudo de cada ponto.

97

S´ eries de potˆ encias Exemplos: 1. Considere a série de potências de x ∞ X n2 n x . 2n n=0

O raio de convergência da série é r = 2. De facto, 1 r = lim p n n |an | 1 = lim q n

n

n2 2n

2 = lim √ n ( n n)2 = 2.

Primeiras conclusões: • A série de potências é absolutamente convergente para todo o x ∈ ] − 2, 2[; • A série de potências é divergente para todo o x ∈ ] − ∞, −2[ ∪ ]2, +∞[. Determina¸cão da natureza da série nos pontos x = −2 e x = 2. Quando x = 2, tem-se a série numérica ∞ X n2 . n=0

Esta série é divergente, pois lim n2 6= 0. Para x = −2, obtém-se a série alternada n

∞ X

(−1)n n2 .

n=0

Acabámos de ver que a série dos módulos é divergente. A série alternada também é divergente dado que lim(−1)n n2 não existe. As conclusões finais são: n

• A série de potências é absolutamente convergente se x ∈ ] − 2, 2[; • A série de potências é divergente para todos os outros valores reais de x; • O intervalo de convergência é ] − 2, 2[. 2. Considere a série de potências de x ∞ X xn . n2 n=1

O raio de convergência da série é r = 1. De facto, an r = lim n an+1 2 n+1 = lim n n = 1. 98

5.2. Raio e intervalo de convergˆ encia Quando x = 1, tem-se a série numérica convergente ∞ X 1 . n2 n=1

Quando x = −1, obtém-se a série alternada absolutamente convergente ∞ X

(−1)n

n=1

1 . n2

As conclusões finais são: • A série de potências é absolutamente convergente se x ∈ [−1, 1]; • A série de potências é divergente para todos os outros valores reais de x; • O intervalo de convergência é [−1, 1]. 3. Considere a série de potências de x ∞ X xn . n n=1

O raio de convergência da série é r = 1. Para x = 1 é gerada a série numérica ∞ X 1 n n=1

que é divergente. Para x = −1 é gerada a série alternada ∞ X

(−1)n

n=1

1 . n

A aplica¸cão do critério de Leibniz permite concluir que esta é convergente. As conclusões finais são: • A série de potências é absolutamente convergente se x ∈ ] − 1, 1[; • A série de potências é simplesmente convergente se x = −1; • A série de potências é divergente sempre que x ∈ ] − ∞, −1[ ∪ [1, +∞[; • O intervalo de convergência é [−1, 1[. 4. Considere a série de potências de x ∞ X x2n . 2n n=1

O raio de convergência da série, resulta da determina¸cão do conjunto solu¸caõ da inequa¸cão

bn+1 0 e f (x) =

∞ X

n=0

então:

an (x − a)n

an (x − a)n

para todo o x ∈ ]a − r, a + r[ ,

101

S´ eries de potˆ encias (i) f é uma fun¸cão cont´ınua no intervalo ]a − r, a + r[ ; (ii) A série de potências

∞ X

n=1

tem raio de convergência r e

n an (x − a)n−1

∞ X

f ′ (x) =

n=1

(iii) A série de potências

n an (x − a)n−1 ;

∞ X an (x − a)n+1 n + 1 n=0

tem raio de convergência r e Z x ∞ X an f (t) dt = (x − a)n+1 . n + 1 a n=0 O ponto (ii) no teorema anterior permite concluir que ∞ ∞ ∞ X X d X d d an (x − a)n = an (x − a)n = an (x − a)n , dx n=0 dx dx n=0 n=1

isto é, mostra que é poss´ıvel calcular a derivada de uma série de potências no interior do intervalo de convergência, isto é, no intervalo ]a − r, a + r[, derivando termo a termo a

série de potências. Este resultado mostra que é poss´ıvel derivar termo a termo uma série de potências no intervalo ]a − r, a + r[. Ou seja, se f (x) =

∞ X

n=0

an (x − a)n = a0 + a1 (x − a) + · · · + ak (x − a)k + · · ·

no intervalo ]a − r, a + r[, então ′

f (x) =

∞ X

n=0

n

an (x − a)

!′

′ = a0 + a1 (x − a) + · · · + ak (x − a)k + · · · ′ = (a0 )′ + (a1 (x − a))′ + · · · + ak (x − a)k + · · · = a1 + 2 a2 (x − a) + · · · + k ak (x − a)k−1 + · · · =

∞ X

n=1

n an (x − a)n−1 .

O ponto (iii) do teorema anterior permite concluir que ! Z x X Z x ∞ ∞ X n n an (t − a) dt = an (t − a) dt , a

102

n=0

n=0

a

5.3. Propriedades das s´ eries de potˆ encias isto é, mostra que se pode primitivar e calcular o integral de uma série de potências no intervalo [a, x], com x ∈ ]a − r, a + r[, integrando termo a termo a série de potências. Ou seja, se

f (x) =

∞ X

n=0

an (x − a)n = a0 + a1 (x − a) + · · · + ak (x − a)k + · · ·

no intervalo ]a − r, a + r[, então Z x Z xX ∞ f (t) dt = an (t − a)n dt a

a n=0 x

Z

a0 + a1 (t − a) + · · · + ak (t − a)k + · · · dt Zax Z x Z x = a0 dt + a1 (t − a) dt + · · · + ak (t − a)k dt + · · · =

a

a

= a0 (x − a) + =

a

a1 ak (x − a)2 + · · · + (x − a)k+1 + · · · 2 k+1

∞ X an (x − a)n+1 . n + 1 n=0

O Teorema 5.2 também permite concluir, aplicando sucessivamente o ponto (ii), que, se f (x) =

∞ X

n=0

an (x − a)n

no intervalo ]a − r, a + r[, então a fun¸cão f é infinitamente diferenciável no intervalo ]a − r, a + r[ e todas as suas derivadas têm representa¸cão em série de potências. Tem-se para a primeira derivada ′

k−1

f (x) = a1 + 2 a2 (x − a) + · · · + k ak (x − a)

+ ··· =

para a segunda derivada f ′′ (x) = 2 a2 + · · · + k (k − 1) ak (x − a)k−2 + · · · =

∞ X

n=2

∞ X

n=1

n an (x − a)n−1 ,

n(n − 1) an (x − a)n−2 ,

e de modo semelhante para todas as derivadas de ordem superior de f . Substituindo a variável x pelo n´ umero a, podemos observar que f ′ (a) = a1 , f ′′ (a) = 2 a2 , e aplicando idêntico racioc´ınio que f (k) (a) = k! ak para todo o k ∈ N. Logo, deduzimos que ak =

f (k) (a) , k!

para todo o k ∈ N .

Esta fórmula é válida para k = 0 se denotarmos f (a) por f (0) (a). Estas dedu¸co˜es permitem concluir que a representa¸cão de f , em série de potências de x − a, é u ńica e tem a seguinte expressão f (x) =

∞ X f (n) (a) (x − a)n n! n=0

para todo o

x ∈ ]a − r, a + r[ .

(5.4)

103

S´ eries de potˆ encias Exemplo: Considere a fun¸cão ∞ X xn x2 x3 f (x) = =x+ + + ··· . n 2 3 n=1

O raio de convergência da série é r = 1. A série é divergente para x = 1 e convergente (simplesmente) quando x = −1. O intervalo de convergência é pois

[−1, 1[. Ao derivar termo a termo a série de potências no interior do intervalo de convergência, no intervalo ] − 1, 1[, obtém-se ′ 2 ′ ∞ X x2 x3 x ′ f (x) = x + + + · · · = (x) + + · · · = 1 + x + x2 + · · · = xn−1 2 3 2 n=1 ′

que é também uma série de potências com raio de convergência r = 1. Integrando termo a termo a série original no intervalo ] − 1, 1[, temos F (x) =

Z

0

∞ X xn+1 t dt = n n (n + 1) n=1 n=1

∞ n xX

expressão que é válida para todo o x ∈ ] − 1, 1[. Pergunta (B) Verificámos na u ´ltima seçcão que uma fun¸cão tem de ser infinitamente diferenciável numa vizinhan¸ca do ponto a, para que possa admitir uma representa¸cão em série de potências de x − a. Fica claro que nem todas as fun¸cões podem admitir representa¸cão em série de

potências. E ainda, se essa representa¸cão de f existe numa vizinhan¸ca de um ponto a, então ela tem de ter a forma descrita em (5.4). Suponhamos agora que f é uma fun¸cão infinitamente diferenciável na vizinhan¸ca do ponto a ∈ R. Podemos construir a série de potências ∞ X f (n) (a) (x − a)n n! n=0

(5.5)

que é designada por série de Taylor de f no ponto a. Em que condi¸cões podemos afirmar que a série de Taylor gerada por f representa de facto a fun¸cão, isto é, em que condi¸cões se tem ∞ X f (n) (a) (x − a)n , f (x) = n! n=0 para valores de x num intervalo real de centro no ponto a? O próximo teorema apresenta uma resposta.

104

5.3. Propriedades das s´ eries de potˆ encias Teorema 5.3 Seja f uma fun¸cão infinitamente diferenciável no intervalo aberto ]a − r, a + r[. Se existe

uma constante positiva c tal que |f (n) (x)| ≤ cn para todo o n ∈ N e para todo o x ∈ ]a − r, a + r[, então a série de Taylor gerada por f , em (5.5), converge para f (x) qualquer que seja x ∈ ]a − r, a + r[.

O resultado anterior permite mostrar que: • sin x = x −

∞ X x3 x5 x7 x2k−1 x2n−1 + − + · · · + (−1)k−1 + ··· = (−1)n−1 3! 5! 7! (2k − 1)! (2n − 1)! n=1

para todo o x ∈ R. ∞ 2k X x2 x4 x2n k x • cos x = 1 − + − · · · + (−1) + ··· = (−1)n 2! 4! (2k)! (2n)! n=0

para todo o x ∈ R. Uma outra representa¸cão importante em série de potências de x é a representa¸caõ da exponencial ex , ∞ X x2 xk xn ex = 1 + x + + ···+ + ··· = 2! k! n! n=0

que é válida para todo o x ∈ R. Para deduzir a expressão anterior podemos optar por seguir os seguintes passos: 1. Mostrar que a série de potências é absolutamente convergente para todo o x ∈ R (o mesmo acontece para f ′ ).

2. Verificar que f é tal que f ′ (x) = f (x) para todo o x ∈ R. 3. Determinar a solu¸cão da equa¸cão diferencial obtida no passo anterior, para obter o resultado pretendido. Exerc´ıcio 5.2 ∞ X Considere a série de potências xn . n=0

(a) Determine o intervalo de convergência da série de potências. (b) Mostre que

∞ X

n=0

xn =

1 para todo x ∈ ] − 1, 1[. 1−x

(c) Determine uma representa¸cão em série de potências de x, no intervalo ] − 1, 1[, de 1 1 1 cada fun¸cão: (i) f (x) = , (ii) g(x) = , (iii) h(x) = . 2 1+x 1−x (1 − x)2

105

Referências bibliográficas [1] Howard Anton. C´ alculo - um novo horizonte, volume 1. Bookman. [2] Tom M. Apostol. Calculus. Vol. I: One-variable calculus, with an introduction to linear algebra. Second edition. John Wiley & Sons Inc., 1967. 75 [3] Earl A. Coddington and Norman Levinson. Theory of ordinary differential equations. McGraw-Hill Book Company, Inc., New York-Toronto-London, 1955. [4] F. R. Dias Agudo. An´ alise Real, volume III. Escolar Editora, 1992. [5] H. L. Guidorizzi. Um curso de c´ alculo, volume 1. Livros técnicos e cient´ıficos editora. [6] R. Larson, R. P. Hostetler, and B. H. Edwards. C´ alculo, volume 1. McGraw-Hill.

107

Índice alfabético de variáveis separadas, 64

A

Anton, 107

forma normal, 57

aplica¸cões do integral definido, 32, 35, 38

homogénea de grau zero, 66

Apostol, 107

integral geral, 58

área de regiões planas, 32

linear de primeira ordem, 60 homogénea, 60

C

ordem, 57

Coddington, 107

solu¸cão, 57

comprimento do arco de uma curva, 38

solu¸cão geral, 58

condi¸cão necessária de convergência, 82

solu¸cão particular, 58

convergência absoluta, 92

solu¸cão singular, 58

convergência simples, 92

equa¸cão diferencial ordinária, ver EDO

critério da raiz, 88 critério da razão, 88, 92

F

critério de compara¸cão, 84

factor integrante, 60

critério de compara¸cão limite, 85

fraçcões racionais, 14

critério de Leibniz, 93

simples, 14

critério do integral, 87

fun¸cão racional, 13 decomposi¸cão, 14

D

imprópria, 13

∆, ver decomposi¸cão de [a, b]

própria, 13

∆xi , 19 decomposi¸cão de [a, b], 19 diâmetro, 19

G

Guidorizzi, 107

representa¸cão, 19 Dias Agudo, 107

H

Hostetler, 107 E

EDO, ver equa¸cão diferencial

I

Edwards, 107

integra¸cão por partes, 30

equa¸cão diferencial, 55

integra¸cão por substitui¸cão, 30

de Bernoulli, 68

integrais impróprios

de variáveis separáveis, 63

de fun¸cões não limitadas, 45 109

´ Indice alfab´ etico em intervalos não limitados, 43 integral de Riemann, ver integral definido integral definido, 23 existência, 24 extremos de integra¸cão, 23 fun¸cão integranda, 23 integral indefinido, 40

S

S(f, Z ∆), ver soma de Riemann f (x) dx, 2 Z b f (x) dx, 23 a

série, 75

alternada, 92 critério de Leibniz, 93

L

convergente, 76

Larson, 107

de Dirichlet, 81

Levinson, 107

divergente, 76

M

método do factor integrante, 60 método dos coeficientes indeterminados, 15 P

dos módulos, 90 Geométrica, 78 Harmónica, 81 natureza, 76 soma, 76 Telescópica, 79

primitiva, 1 existência, 3

série de potências de x, 95

primitiva¸cão de fun¸cões racionais, 13 imediata, 4 regra da potência, 5 por decomposi¸cão, 4

de x − a, 95

fun¸cão soma, 101 intervalo de convergência, 96 raio de convergência, 96

por partes, 7

série de Taylor de f no ponto a, 104

por substitui¸cão, 10

série numérica, ver série

problema de valores iniciais, 59 progressão aritmética, 74

soma de Riemann, 20 significado geométrico, 20 sucessão, 71

razão, 74 soma de k termos consecutivos, 74 progressão geométrica, 74

convergente, 73 crescente, 71

razão, 74

decrescente, 72

soma de k termos consecutivos, 75

divergente, 73 limitada, 72

R

regra de Simpson, 51 composta, 51 estendida, 52

limite, 73 termo geral, 71 termos, 71 sucessão das somas parciais, 76

regra dos trapézios, 47 composta, 48 estendida, 49 110

T

teorema de Riemann, 94

´ Indice alfab´ etico teorema fundamental do c´ alculo, 24 V

volume de sólidos de revolu¸cão, 35

111

Análise Matemática

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