Analise Matematica II New

Docentes: Ana Fonseca e Alzira Dinis Disciplina: Análise Matemática II Curso - Ano: Engenharia do Ambiente e da Saúde - 2º ano Engenharia Civil – 2º ano Engenharia Informática – 2º ano Engenharia da Qualidade, Higiene e Segurança – 2º ano

Regime: Semestral – S2.

Domínio: Base

Horário Semanal: 6 horas

Enquadramento e Objectivos da Disciplina: Inserindo-se num curso de Engenharia, esta disciplina inicia os discentes destes cursos a áreas da matemática que, de um ponto de vista moderno e actual, são muito importantes para a resolução de problemas práticos com que serão confrontados no decorrer da sua vida profissional. Tal como todas as outras áreas, também a matemática sofreu uma evolução. A interpretação, isto é, a compreensão do significado e implicações da solução matemática para o problema original em termos da área em que este se insere - química, física, programação, etc - torna-se cada vez mais importante. As matérias leccionadas pretendem habilitar os discentes a tornarem-se autónomos em termos das ferramentas matemáticas que necessitarão em determinadas áreas, embora possam socorrer-se do auxílio de meios adicionais - computador - complementando assim a resolução dos problemas. Suponha-se que é necessário determinar a posição de um corpo em movimento, de que apenas se conhece a velocidade ou a aceleração. Pretende determinar-se uma função desconhecida, utilizando certos dados, relacionados por uma equação que contém, pelo menos, uma das derivadas dessa função. Este tipo de equações são as chamadas equações diferenciais. A sua aplicação prática é muito vasta e são extremamente utilizadas. Num curso de Engenharia esta disciplina permite encontrar soluções, muitas vezes aproximadas, para determinados problemas com que os discentes se verão confrontados na sua vida futura. Complementando a disciplina de Análise Matemática I, fornece-lhes ferramentas matemáticas mais avançadas, sendo a matéria leccionada complementada com exercícios adequados.

Sistema de Avaliação: De acordo com o regulamento pedagógico, a avaliação desta disciplina será feita através de três provas de avaliação periódica, que se realizam datas a combinar com os alunos. Cada uma das provas tem a duração de 50 minutos e 10 minutos de tolerância, incidindo sobre o programa leccionado até ao momento da prova.

A nota final da disciplina será a média aritmética das classificações obtidas nas três provas. Observações relativas ao sistema de avaliação: Cada falta a um momento de avaliação será convertida numa classificação zero para efeitos do cálculo da nota final. Os alunos cuja nota final seja inferior a 9,50 valores serão remetidos para o exame de recurso (não está prevista a realização de provas orais). NOTA IMPORTANTE: Os alunos com estatuto de trabalhador-estudante podem optar por realizar apenas uma única prova englobando toda a matéria leccionada na disciplina. Esta prova única decorrerá na data do último teste de avaliação contínua. Os alunos que optem por esta modalidade de avaliação devem comunicar isso ao

docente, por escrito, até ao prazo máximo de 2 semanas depois do início das aulas. No caso de não haver qualquer comunicação em contrário, todos os alunos estão abrangidos pelas três provas. Exame de Recurso O exame de recurso é uma prova que incide sobre a totalidade do programa leccionado. A duração prevista é de duas horas com 30 minutos de tolerância. A data da sua realização é estipulada pelo Gabinete de Estudos e Planeamento. Está previsto um exame oral para as situações definidas no regulamento pedagógico. Observações finais: Todas as provas serão sem consulta de quaisquer apontamentos, fórmulas, exceptuando as existentes no enunciado, e sem calculadora. A assistência às aulas teóricas, teórico-práticas ou práticas não laboratoriais é obrigatória em, pelo menos, 40% das aulas dadas. Com excepção dos alunos trabalhadores-estudantes, o não cumprimento das percentagens indicadas impede o aluno de ser avaliado à disciplina. Para os alunos repetentes, a assiduidade deverá seguir as indicações do Regulamento Pedagógico da UFP.

Programa da Disciplina: 1. Integrais múltiplos. 1.1. Definição de um integral duplo. 1.2. Somas de Riemann, volume de rede. 1.3. Propriedades dos integrais duplos. 1.4. Cálculo de integrais duplos. 1.5. Integrais duplos sobre regiões não rectangulares. 1.6. Integrais iterativos com limites de integração não constantes. 1.7. Inversão da ordem de integração. 1.8. Cálculo de áreas sob a forma de um integral duplo. 1.9. Integrais duplos em coordenadas polares. 1.10. Conversão de integrais duplos de coordenadas rectangulares em polares. 1.11. Definição de um integral triplo. 1.12. Propriedades dos integrais triplos. 1.13. Cálculo de integrais triplos. 1.14. Cálculo de integrais triplos sobre regiões mais gerais. 1.15. Cálculo de volumes sob a forma de um integral triplo. 1.16. Integração por outras ordens. 1.17. Integrais triplos em coordenadas cilíndricas. 1.18. Conversão de integrais triplos de coordenadas rectangulares em cilíndricas.

2. Integrais de linha. 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5.

Definição e estudo dos integrais de linha. Aplicações dos integrais de linha: trabalho de uma força não constante. Propriedades dos integrais de linha. Cálculo de integrais de linha. Independência do percurso nos integrais de linha: Teorema Fundamental dos Integrais de Linha.

3. Integrais de superfície. 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5.

Definição. Cálculo dos integrais de superfície. Área de uma superfície como integral de superfície. Fluxo de um campo vectorial através de uma superfície. Operador divergência e operador rotacional. 3.6. Teorema da divergência.

4. Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) 4.1. 4.2.

Conceito de solução. Aplicações. Modelização.

4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7. 4.8. 4.9. 4.10. 4.11. 4.12. 4.13. 4.14. 4.15. 4.16.

Problemas de valor inicial. Equações diferenciais separáveis. Redução à forma de variáveis separáveis. Equações diferenciais exactas. Factores integrantes. Como encontrar factores integrantes. Equações diferenciais lineares. Redução à forma linear. Equação de Bernoulli. Soluções aproximadas: campos direccionais, Iteração. Método dos campos direccionais. Método da iteração de Picard. Existência de solução e solução única. Aplicações Práticas. Exercícios de revisão.

5. Equações Diferenciais Lineares de 2ª Ordem 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6. 5.7. 5.8. 5.9. 5.10. 5.11. 5.12. 5.13. 5.14. 5.15. 5.16. 5.17.

Equações lineares homogéneas. Equações homogéneas: Princípio de Superposição ou Linearidade. Problema de valor inicial. Solução geral. Base. Definição (Solução geral, Base, Solução Particular). Equações Homogéneas com coeficientes constantes. Função exponencial complexa. Problemas de valor fronteira. Equação de Euler-Cauchy. Teoria da existência de solução única. Wronskiano. Independência linear de soluções. Redução de ordem: como obter uma segunda solução. Equações não Homogéneas. Solução por coeficientes indeterminados. Método da variação de parâmetros. Aplicações Práticas. Exercícios de revisão.

6. Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6. 6.7. 6.8. 6.9. 6.10. 6.11. 6.12. 6.13.

Equações lineares homogéneas. Definição (Solução geral, Base, Solução particular). Definição (Independência e Dependência Linear). Problema de Valor Inicial. Existência e solução única. Independência linear de soluções. Equações homogéneas com coeficientes constantes. Equações não homogéneas. Problema de Valor Inicial. Método dos coeficientes indeterminados. Método da variação de parâmetros. Aplicações Práticas. Exercícios de revisão.

Bibliografia Principal: [1] Maria Alzira Dinis “Apontamentos de Análise Matemática II”, Universidade Fernando Pessoa, 1999 [2] Anton, Howard “Calculus, A New Horizon - sixth edition”, John Wiley & sons, 1999, ISBN: 0-471-153060 [3] Smith, Robert T. e Minton, Roland B. “Calculus – second edition”, McGraw-Hill, 2001, ISBN: 0071124810 [4] Kreyszig, E. - “Advanced Engineering Mathematics”, Wiley, 7th Edition, 1993

Distribuição dos Tempos Lectivos e da Bibliografia: 1. Integrais múltiplos Horas Previstas: 30 Bibliografia: [1,2,3]

2. Integrais de linha. Horas Previstas: 12 Bibliografia: [1,2,3]

3. Integrais de superfície Horas previstas: 12 Bibliografia: [1,2,3]

4. Equações Diferenciais Ordinárias Horas previstas: 12 Bibliografia: [4]

5. Equações Diferenciais Lineares de 2ª Ordem Horas previstas: 12 Bibliografia: [4]

6. Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior Horas previstas: 12 Bibliografia: [4]

As restantes horas serão dedicadas à avaliação contínua.

Horário de Atendimento ao Aluno: a definir oportunamente. Resumo: Integrais múltiplos. Integrais de linha. Integrais de superfície. Equações Diferenciais Ordinárias. Equações Diferenciais Lineares de 2ª Ordem. Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior.

Abstract: Multiple Integrals. Line Integrals. Surface Integrals. Ordinary Differential Equations (ODE). Second-Order Linear Differential Equations. High-Order Linear Differential Equations.