Analise Matematica I

March 22, 2017 | Author: ivete140 | Category: N/A

Share Embed Donate

Report this link

Short Description

Download Analise Matematica I...

Description

ANÁLISE MATEMÁTICA I

TEORIA E EXERCÍCIOS ANA SÁ BENTO LOURO

2003

Índice 1 No¸co ˜es Topol´ ogicas, Indu¸c˜ ao Matem´ atica e Sucess˜ oes 1.1 No¸co˜es topológicas em R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Indu¸caõ matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Sucessões de n´ umeros reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Fun¸co ˜es Reais de Vari´ avel Real: Limites e Continuidade 2.1 Generalidades sobre fun¸co˜es reais de variável real . . . . . . . . . . . . 2.2 Limites. Limites relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Continuidade: propriedades das fun¸co˜es cont´ınuas. Teorema de Bolzano 2.4 Continuidade uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Fun¸co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Diferencial 3.1 Derivadas. Regras de deriva¸caõ. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Teoremas Fundamentais: Rolle, Darboux, Lagrange e Cauchy. 3.3 Indetermina¸co˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Aplica¸co˜es da fórmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Fun¸co ˜es Reais de Vari´ avel Real: Primitiva¸c˜ ao 4.1 Primitivas imediatas . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Primitiva¸caõ por partes e por substitui¸caõ . . . 4.3 Primitiva¸caõ de fun¸co˜es racionais . . . . . . . . 4.4 Primitiva¸caõ de fun¸co˜es algébricas irracionais . 4.5 Primitiva¸caõ de fun¸co˜es transcendentes . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . .

. . . . .

1 1 5 7

. . . .

13 13 16 23 30

. . . . .

37 37 46 52 57 61

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

67 67 72 75 85 91

5 Fun¸co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral 5.1 Integral de Riemann: Defini¸caõ e propriedades . . . 5.2 Classes de fun¸co˜es integráveis . . . . . . . . . . . . 5.3 Teoremas Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . ´ 5.4 Areas de figuras planas . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Integrais impróprios . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

95 95 104 106 108 113

. . . . .

´ INDICE

ii

6 Exerc´ıcios 6.1 Fun¸co˜es Trigonométricas Inversas . . . . . . . . 6.2 No¸co˜es Topológicas . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Indu¸caõ Matemática . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Sucessões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Continuidade Uniforme . . . . . . . . . . . . . . 6.7 Diferenciabilidade. Teoremas de Rolle, Lagrange 6.8 Fórmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9 Estudo de uma fun¸caõ . . . . . . . . . . . . . . 6.10 Primitiva¸caõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.11 Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.12 Cálculo de a´reas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.13 Integrais Impróprios . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . e . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

139 . 139 . 142 . 145 . 146 . 152 . 155 . 157 . 163 . 165 . 168 . 173 . 177 . 178

Cap´ıtulo 1 No¸co ˜es Topol´ ogicas, Indu¸c˜ ao Matem´ atica e Sucess˜ oes 1.1

No¸co ˜es topol´ ogicas em R

Defini¸c˜ ao 1.1.1 Sejam a ∈ R, ε > 0. Chama-se vizinhan¸ ca ε de a ao conjunto V ε (a) = ]a − ε, a + ε[. Defini¸c˜ ao 1.1.2 Sejam a ∈ R e A um conjunto de n´ umeros reais. Diz-se que a é interior a A se existir uma vizinhan¸ca de a contida em A. Diz-se que a é fronteiro a A se toda a vizinhan¸ca de a intersecta A e R \ A. Diz-se que a é exterior a A se existir uma vizinhan¸ca de a contida em R \ A. NOTA: Um ponto é exterior a A se, e só se, é interior a R \ A. Defini¸c˜ ao 1.1.3 O conjunto dos pontos interiores a A chama-se interior de A e representa-se por int(A). O conjunto dos pontos exteriores a A chama-se exterior de A e representa-se por ext(A). O conjunto dos pontos fronteiros a A chama-se fronteira de A e representa-se por fr(A). NOTA: Qualquer que seja A ⊂ R tem-se: int(A) ∩ ext(A) = ∅, int(A) ∩ fr(A) = ∅, fr(A) ∩ ext(A) = ∅ e int(A) ∪ fr(A) ∪ ext(A) = R. EXEMPLO 1: Sejam A =]0, 1], B = [0, 1], C = [0, 1[, D =]0, 1[. Então int(A) = int(B) = int(C) = int(D) =]0, 1[, fr(A) = fr(B) = fr(C) = fr(D) = {0, 1}, ext(A) = ext(B) = ext(C) = ext(D) =] − ∞, 0[∪]1, +∞[. ¾ ½ 1 , n ∈ N . Então int(A) = ∅, ext(A) = R \ (A ∪ {0}) e EXEMPLO 2: Seja A = n fr(A) = A ∪ {0}. EXEMPLO 3: Seja A = Q. Então int(A) = ext(A) = ∅, fr(A) = R.

2

1. No¸ co ˜es Topol´ ogicas, Indu¸ c˜ ao Matem´ atica e Sucess˜ oes

Defini¸c˜ ao 1.1.4 Seja A um subconjunto de R. Diz-se que A é aberto se A = int(A). Defini¸c˜ ao 1.1.5 Seja A um subconjunto de R. Chama-se fecho ou aderˆ encia de A ao conjunto A = A ∪ fr(A). Diz-se que x é aderente a A se x ∈ A. A diz-se fechado se A = A. NOTAS: 1. Das defini¸co˜es, conclui-se facilmente que A = int(A) ∪ fr(A). 2. A é fechado se, e só se, fr(A) ⊂ A. 3. A é fechado se, e só se, R \ A é aberto, isto é, R \ A = int(R \ A) = ext(A). EXEMPLO 1: Sejam A =]0, 1], B = [0, 1], C = [0, 1[, D =]0, 1[. B é fechado, D é aberto, A e C não são fechados nem abertos. ½ ¾ 1 EXEMPLO 2: A = , n ∈ N não é fechado nem aberto (note que fr(A) = A ∪ {0}). n ½ ¾ 1 EXEMPLO 3: A = , n ∈ N ∪ {0} é fechado. n Defini¸c˜ ao 1.1.6 Sejam a ∈ R e A um subconjunto de R. Diz-se que a é ponto de acumula¸ ca õ de A se toda a vizinhan¸ca de a intersecta A \ {a}. Ao conjunto dos pontos de acumula¸caõ de A chama-se derivado de A. Diz-se que a é ponto isolado de A se a ∈ A e existe uma vizinhan¸ca de a que não intersecta A \ {a}. EXEMPLO 1: Seja A = de A são isolados.

½

¾ 1 , n ∈ N . 0 é ponto de acumula¸caõ de A. Todos os pontos n

EXEMPLO 2: Seja A = [0, 1[∪{2}. O conjunto dos pontos de acumula¸caõ de A é [0, 1]. 2 é ponto isolado de A. NOTA: Se a ∈ int(A), então a é ponto de acumula¸caõ de A. Defini¸c˜ ao 1.1.7 Sejam x ∈ R e A um subconjunto de R. Diz-se que x é majorante de A se x ≥ a, ∀a ∈ A. Diz-se que x é minorante de A se x ≤ a, ∀a ∈ A. Defini¸c˜ ao 1.1.8 Seja A um subconjunto de R. Diz-se que A é majorado se admitir majorantes. Diz-se que A é minorado se admitir minorantes. Se A for majorado e minorado, diz-se que A é limitado.

1.1 No¸ co ˜es topol´ ogicas em R

3

EXEMPLO 1: A = {x ∈ R : x2 < 1} é limitado. EXEMPLO 2: ] − ∞, 1[ é majorado. EXEMPLO 3: [1, +∞[ é minorado. EXEMPLO 4: A = {x ∈ R : |x| > 1} não é majorado nem minorado. Teorema 1.1.1 A é limitado se, e só se, ∃M > 0, |x| ≤ M, ∀x ∈ A. Demonstra¸caõ: Se A for limitado, sejam ν um minorante de A e µ um majorante de A; se M for o maior dos dois n´ umeros |ν| e |µ|, então |x| ≤ M, ∀x ∈ A (se µ = ν = 0, toma-se M > 0, qualquer). Reciprocamente, se ∃M > 0, |x| ≤ M, ∀x ∈ A, isto é, −M ≤ x ≤ M, ∀x ∈ A, então M é majorante de A e −M é minorante de A. Defini¸c˜ ao 1.1.9 Seja A um subconjunto majorado de R. Diz-se que β é o supremo de A se β for majorante de A e for menor que todos os outros majorantes de A (isto é, se β for o menor dos majorantes de A); representa-se por β = sup(A). Se β, supremo de A, pertencer a A, diz-se que β é o m´ aximo de A; neste caso, representa-se por β = max(A). Defini¸c˜ ao 1.1.10 Seja A um subconjunto minorado de R. Diz-se que α é o ´ınfimo de A se α for minorante de A e for maior que todos os outros minorantes de A (isto é, se α for o maior dos minorantes de A); representa-se por α = inf(A). Se α, ´ınfimo de A, pertencer a A, diz-se que α é o m´ınimo de A; neste caso, representa-se por α = min(A). EXEMPLO 1: Seja A = {x ∈ R : x2 < 1}. Então inf(A) = −1 e sup(A) = 1. A não tem máximo nem m´ınimo. EXEMPLO 2: Seja A =] − 1, 1]. Então inf(A) = −1 e sup(A) = max(A) = 1. EXEMPLO 3: sup(] − ∞, 1[) = 1. Não existe ´ınfimo deste conjunto. Teorema 1.1.2 Em R, todo o conjunto majorado tem supremo e todo o conjunto minorado tem ´ınfimo. Não daremos aqui a demonstra¸caõ do Teorema. Isso levar-nos-ia a um estudo mais profundo do conjunto dos n´ umeros reais, que não está nos propósitos deste curso. Teorema 1.1.3 Seja A um subconjunto de R. Então β = sup(A) se, e só se, β é majorante de A e ∀ε > 0, ∃x ∈ A : x > β − ε. Analogamente, α = inf(A) se, e só se, α é minorante de A e ∀ε > 0, ∃x ∈ A : x < α + ε.

4

1. No¸ co ˜es Topol´ ogicas, Indu¸ c˜ ao Matem´ atica e Sucess˜ oes

Demonstra¸caõ: Demonstraremos a propriedade para o supremo. Para o ´ınfimo proceder-se-ia de modo análogo. Vamos primeiro demonstrar que se β = sup(A) então β é majorante de A e ∀ε > 0, ∃x ∈ A : x > β − ε. Fá-lo-emos pela contra-rec´ıproca, isto é, negando a tese chegaremos a` nega¸caõ da hipótese (trata-se da bem conhecida proposi¸caõ da lógica formal A ⇒ B equivalente a ∼ B ⇒ ∼ A). Se β não for majorante de A, β não é o supremo de A (defini¸caõ de supremo) e o problema fica resolvido. Se ∃ε > 0, ∀x ∈ A, x ≤ β−ε, então β não é o supremo de A visto que β − ε é majorante de A e β − ε < β. Reciprocamente, vamos mostrar que se β é majorante de A e ∀ε > 0, ∃x ∈ A : x > β − ε, então β = sup(A). Usamos, de novo, a contra-rec´ıproca. Se β não for o supremo de A, então ou não é majorante ou é majorante mas existe, pelo menos, outro majorante de A menor que β. No u ´ltimo caso, seja γ esse majorante. Então, fazendo ε = β − γ (> 0) temos ∀x ∈ A, x ≤ γ = β − ε, que é a nega¸caõ da hipótese.

1.2 Indu¸ c˜ ao matem´ atica

1.2

5

Indu¸c˜ ao matem´ atica

Para demonstrar que certas propriedades são válidas no conjunto dos n´ umeros naturais, N, usa-se o Princ´ıpio de Indu¸c˜ ao Matem´ atica que passamos a enunciar: Uma propriedade é válida para todos os n´ umeros naturais se: 1. A propriedade é válida para n = 1, 2. Para todo o n natural, se a propriedade é válida para n, então ela é válida para n + 1. EXEMPLO 1:Vamos mostrar, usando o Princ´ıpio de Indu¸caõ Matemática, a fórmula da soma de uma progressão geométrica: se a 6= 1 então

n X

1 − an a =a , 1−a p=1

∀n ∈ N

p

1−a . 1−a 2. Se admitirmos que a propriedade é válida para n, então: µ ¶ n+1 n X X 1 − an 1 − an n+1 n p p n+1 +a =a +a = a = a +a =a 1−a 1−a p=1 p=1

1. Se n = 1, a fórmula é trivial: a = a1 = a

1 − an + an − an+1 1 − an+1 =a 1−a 1−a EXEMPLO 2: Usando o Princ´ıpio de Indu¸caõ Matemática, vamos demonstrar a seguinte igualdade (Binómio de Newton): =a

n X

n

(a + b) =

n

∀a, b ∈ R, ∀n ∈ N

Cp an−p bp ,

p=0

1) Se n = 1, a propriedade é válida: a + b = 1 C0 a + 1 C1 b. 2) Vamos agora admitir que a propriedade é válida para n; então (a + b)

n+1

n

= (a + b) (a + b) = (a + b)

n X

n

Cp an−p bp =

p=0

=

n X

n

Cp a

n+1−p p

b +

=

n X p=0

n

Cp an−p bp+1 =

p=0

p=0

(fazendo p + 1 = s)

n X

n

Cp a

n+1−p p

b +

n+1 X s=1

n

Cs−1 an−s+1 bs =

6

1. No¸ co ˜es Topol´ ogicas, Indu¸ c˜ ao Matem´ atica e Sucess˜ oes

(como s é variável muda, podemos substitu´ı-la por p) =

n X

n

Cp a

n+1−p p

b +

p=0

=a

n+1

+

n+1 X

n

p=1

n X

n

Cp a

n+1−p p

b +b

n+1

=a

+

n X

n

Cp−1 an−p+1 bp =

p=1

p=1

n+1

Cp−1 an−p+1 bp =

+b

n+1

+

n X

( n Cp + n Cp−1 ) an+1−p bp =

p=1

=a

n+1

+b

n+1

+

n X

n+1

Cp an+1−p bp =

p=1

=

n+1 X p=0

n+1

Cp an+1−p bp

1.3 Sucess˜ oes de n´ umeros reais

1.3

7

Sucess˜ oes de n´ umeros reais

Defini¸c˜ ao 1.3.1 Chama-se sucess˜ ao de n´ umeros reais a toda a aplica¸caõ de N em R. Os elementos do contradom´ınio chamam-se termos da sucessão. Ao contradom´ınio chama-se conjunto dos termos da sucessão. ´ usual designarem-se os termos da sucessão por un , em detrimento da nota¸caõ NOTA: E u(n), habitual para as aplica¸co˜es em geral. Defini¸c˜ ao 1.3.2 A expressão designatória que define a sucessão chama-se termo geral da sucessão. EXEMPLO 1: un = n2 EXEMPLO 2: un = cos(n). ´ o caso da defini¸caõ NOTA: Podem-se definir sucessões sem explicitar o termo geral. E por recorrência. Exemplo: u1 = 1, u2 = 2, un+2 = un+1 + un (sucessão dos n´ umeros de Fibonacci). Por vezes dão-se apenas alguns termos da sucessão que induzem o leitor a “inferir” os restantes. Exemplo: 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, . . . Defini¸c˜ ao 1.3.3 Uma sucessão diz-se limitada superiormente se o conjunto dos seus termos for majorado; diz-se limitada inferiormente se o conjunto dos seus termos for minorado; diz-se limitada se o conjunto dos seus termos for limitado. EXEMPLO 1: un = n2 é limitada inferiormente, mas não superiormente. EXEMPLO 2: un = −n é limitada superiormente, mas não inferiormente. EXEMPLO 3: un = (−n)n não é limitada superiormente nem inferiormente. EXEMPLO 4: un = cos(n) é limitada. Defini¸c˜ ao 1.3.4 Dadas duas sucessões de n´ umeros reais u e v, chama-se soma, diferen¸ ca e produto de u e v às sucessões u+v, u−v e uv de termos gerais, respectivamente, un + vn , un − vn e un vn . Se vn 6= 0, ∀n ∈ N, chama-se sucessão quociente de u e v à sucessão u/v de termo geral un /vn . Defini¸c˜ ao 1.3.5 Uma sucessão u diz-se crescente se un ≤ un+1 , ∀n ∈ N; diz-se estritamente crescente se un < un+1 , ∀n ∈ N; diz-se decrescente se un ≥ un+1 , ∀n ∈ N; diz-se estritamente decrescente se un > un+1 , ∀n ∈ N; diz-se mon´ otona se for crescente ou decrescente; diz-se estritamente mon´ otona se for estritamente crescente ou estritamente decrescente.

8

1. No¸ co ˜es Topol´ ogicas, Indu¸ c˜ ao Matem´ atica e Sucess˜ oes

EXEMPLO 1: un = n2 é estritamente crescente. EXEMPLO 2: un = −n é estritamente decrescente. EXEMPLO 3: un = (−n)n não é monótona. Dadas duas sucessões u e v, se v é uma sucessão de n´ umeros naturais, a composi¸caõ u ◦ v ainda é uma sucessão, de termo geral uvn . Por exemplo, se u é a sucessão 1, 2, 1, 3, 1, 4, . . . e vn = 2n − 1, então uvn = 1; se zn = 2n, então uzn = n + 1; se sn = 4, então usn = 3. Defini¸c˜ ao 1.3.6 Dadas duas sucessões u e w, dizemos que w é subsucess˜ ao de u se existir v, sucessão de n´ umeros naturais, estritamente crescente, tal que w = u ◦ v. EXEMPLOS: Das sucessões consideradas anteriormente, u ◦ v e u ◦ z são subsucessões de u, mas u ◦ s não é subsucessão de u. NOTAS: 1. Toda a subsucessão de uma sucessão limitada é limitada. 2. Uma sucessão pode não ser limitada e ter subsucessões limitadas. Exemplo: ( n, se n par 1 un = , se n ´ımpar n 3. Toda a subsucessão de uma sucessão monótona é monótona. Defini¸c˜ ao 1.3.7 Diz-se que a sucessão u é um infinitamente grande (ou que tende para +∞), e representa-se un → +∞, se ∀L ∈ R+ , ∃p ∈ N : n > p ⇒ un > L. Diz-se que u é um infinitamente grande em m´ odulo se |un | → +∞, isto é, ∀L ∈ R+ , ∃p ∈ N : n > p ⇒ |un | > L. Diz-se que u tende para −∞, e representa-se un → −∞, se ∀L ∈ R+ , ∃p ∈ N : n > p ⇒ un < −L. EXEMPLO 1: un = n2 → +∞. EXEMPLO 2: un = −n → −∞. EXEMPLO 3: Seja un = (−n)n . Então |un | = nn → +∞.

1.3 Sucess˜ oes de n´ umeros reais

9

NOTAS: 1. Se u é tal que un → +∞, un → −∞ ou |un | → +∞ então u é não limitada. A rec´ıproca não é verdadeira. Por exemplo, a sucessão ( n, se n par 1 un = , se n ´ımpar n é não limitada e un 6→ +∞, un 6→ −∞, |un | 6→ +∞ 2. O facto de un → +∞ não implica que u seja crescente (nem que exista uma ordem a partir da qual seja crescente). Exemplo: un = n + (−1)n . Das defini¸co˜es, conclui-se imediatamente que Teorema 1.3.1 Sejam u e v sucessões tais que, a partir de certa ordem, un ≤ vn . Então, a) un → +∞ ⇒ vn → +∞, b) vn → −∞ ⇒ un → −∞. Defini¸c˜ ao 1.3.8 Sejam u uma sucessão e a ∈ R. Diz-se que u converge para a (ou tende para a ou, ainda, que o limite da sucessão é a), e representa-se u n → a, se ∀ε > 0 ∃p ∈ N : n > p ⇒ |un − a| < ε. µ ¶ 1 1 (se EXEMPLO: un = → 0. De facto, seja ε > 0, qualquer; se tomarmos p = Int n ε x ∈ R, chamamos parte inteira de x ao maior inteiro menor ou igual a x e representamo-la 1 1 por Int(x)) então, para n > p tem-se ≤ < ε. n p+1 NOTAS: 1. Em linguagem de vizinhan¸cas, a defini¸caõ é equivalente a: ∀ε > 0 ∃p ∈ N : n > p ⇒ un ∈ Vε (a). 2. Poder´ıamos escrever ainda, de forma equivalente, ∀ε > 0 ∃p ∈ N : |un − a| < ε, ∀n > p. 3. Consideremos o conjunto R = R ∪ {−∞, +∞}, em que −∞ e +∞ são dois objectos matemáticos, não reais e distintos um do outro. Podemos introduzir, neste conjunto, a rela¸caõ de ordem: i) se x, y ∈ R, x < y em R se, e só se, x < y em R. ii) −∞ < x < +∞, ∀x ∈ R.

10

1. No¸ co ˜es Topol´ ogicas, Indu¸ c˜ ao Matem´ atica e Sucess˜ oes

O conjunto R, com esta rela¸caõ de ordem, designa-se por recta acabada. Podemos estender a no¸caõ de vizinhan¸ca a R. Seja ε ∈ R, ε > 0. Se a ∈ R, chama-se vizinhan¸ca ε de a ao conjunto Vε (a) =]a − ε, a + ε[ (que coincide, pois, ¤ 1 com ¤a vizinhan¸ca em R). Chama-se vizinhan¸ca ε de +∞ ao conjunto V (+∞) = , +∞ . ε£ ε £ 1 Chama-se vizinhan¸ca ε de −∞ ao conjunto Vε (−∞) = −∞, − ε . Com as defini¸co˜es dadas atrás, podemos unificar, do ponto de vista formal, as defini¸co˜es 1.3.7 e 1.3.8: xn → a (a ∈ R) se, e só se,

∀ε > 0 ∃p ∈ N : n > p ⇒ un ∈ Vε (a).

Defini¸c˜ ao 1.3.9 Diz-se que a sucessão u é um infinit´ esimo se un → 0. ´ evidente, a partir das defini¸co˜es, que un → a é equivalente a un − a é um NOTA: E infinitésimo. Teorema 1.3.2 (Unicidade do limite) Se un → a e un → b então a = b. Teorema 1.3.3 Se un → 0 e v é uma sucessão limitada, então un vn → 0. Demonstra¸caõ: Seja M > 0 tal que |vn | ≤ M, ∀n ∈ N. Dado δ > 0, qualquer, seja p ∈ N, tal que |un | < δ/M, ∀n > p. Então |un vn | < δ, ∀n > p. Teorema 1.3.4 Toda a sucessão convergente é limitada. NOTA: A rec´ıproca não é verdadeira. Por exemplo, a sucessão un = cos(nπ) é limitada, mas não é convergente. Teorema 1.3.5 (Teorema das sucessões enquadradas) Se un → a, vn → a e, a partir de certa ordem, un ≤ wn ≤ vn , então wn → a. Demonstra¸caõ: Seja ε > 0, qualquer. Então ∃p1 ∈ N : n > p1 ⇒ a − ε < un < a + ε, ∃p2 ∈ N : n > p2 ⇒ a − ε < vn < a + ε, ∃p3 ∈ N : n > p3 ⇒ un ≤ wn ≤ vn . Seja p = max{p1 , p2 , p3 }. Se n > p, então a − ε < un ≤ wn ≤ vn < a + ε. Teorema 1.3.6 Toda a subsucessão de uma sucessão convergente é convergente para o mesmo limite. Teorema 1.3.7 Sejam u e v duas sucessões convergentes, un → a, vn → b. Então u + v, u − v e uv são convergentes e un + vn → a + b, un − vn → a − b e un vn → a b. Se vn 6= 0, ∀n ∈ N e b 6= 0, então u/v é convergente e un /vn → a/b. Teorema 1.3.8 Um conjunto X ⊂ R é fechado se, e só se, todos os limites das sucessões convergentes, de elementos de X, pertencem a X.

1.3 Sucess˜ oes de n´ umeros reais

11

Teorema 1.3.9 Toda a sucessão monótona limitada é convergente. NOTA: A rec´ıproca não é verdadeira, isto é, há sucessões não monótonas que são con1 vergentes. Exemplo: a sucessão un = (−1)n converge para 0 e não é monótona. n Teorema 1.3.10 Toda a sucessão limitada tem subsucessões convergentes. Defini¸c˜ ao 1.3.10 Diz-se que a ∈ R é sublimite da sucessão u se existir uma subsucessão de u que converge para a. EXEMPLO: −1 e 1 são sublimites da sucessão un = (−1)n +

1 . n

NOTAS: Seja S o conjunto dos sublimites da sucessão u. 1. Pelo Teorema 1.3.10, se u é limitada, S 6= ∅; 2. S pode ser vazio; exemplo: un = n; 3. Se u for convergente, S é um conjunto singular (isto é, só com um elemento). 4. S pode ser singular e u não ser convergente; exemplo: ( 1 , se n par un = n n, se n ´ımpar. 5. S pode ser um conjunto infinito; por exemplo, dada a sucessão 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, . . . então S = N. Teorema 1.3.11 O conjunto dos sublimites de uma sucessão limitada tem máximo e m´ınimo. Defini¸c˜ ao 1.3.11 Sejam u uma sucessão limitada e S o conjunto dos sublimites de u. Chama-se limite m´ aximo ou limite superior de u ao máximo de S e representa-se lim un = lim sup un = max(S). Chama-se limite m´ınimo ou limite inferior de u ao m´ınimo de S e representa-se lim un = lim inf un = min(S). Se u não for limitada superiormente, define-se lim un = +∞. Se u não for limitada inferiormente, define-se lim un = −∞. Se un → +∞ define-se lim un = lim un = +∞. Se un → −∞ define-se lim un = lim un = −∞. Teorema 1.3.12 Uma sucessão limitada é convergente se, e só se, lim un = lim un .

12

1. No¸ co ˜es Topol´ ogicas, Indu¸ c˜ ao Matem´ atica e Sucess˜ oes

Defini¸c˜ ao 1.3.12 Uma sucessão u diz-se de Cauchy (ou fundamental) se ∀ε > 0 ∃p ∈ N : m, n > p ⇒ |un − um | < ε. ¯1 1 1¯ EXEMPLO: un = é sucessão de Cauchy. De facto, sejam m, n > p; então ¯ − ¯ ≤ n n m 1 1 1 2 2 1 + < + = . Seja ε > 0, qualquer; para concluir, basta tomarmos p > . n m p p p ε NOTA: Na defini¸caõ de sucessão convergente, introduzimos um elemento externo a` sucessão, o limite. A sucessão converge se, a partir de certa ordem, todos os elementos da sucessão “estão perto” do limite. Na defini¸caõ de sucessão de Cauchy apenas comparamos os elementos da sucessão uns com os outros. Dizemos que a sucessão é de Cauchy se, a partir de certa ordem, todos os elementos da sucessão “estão perto” uns dos outros. Teorema 1.3.13 Uma sucessão real é convergente se, e só se, for de Cauchy. NOTA: Este teorema permite-nos mostrar que uma sucessão é convergente sem ter que calcular o seu limite. Consideremos a sucessão: un = 1 +

1 1 1 + 2 + ··· + 2 2 2 3 n

Podemos tomar, sem perda de generalidade, n > m; então ¯ |un − um | = ¯

1 1¯ 1 1 1 1 + + ··· + 2¯ = + + ··· + 2 ≤ 2 2 2 2 (m + 1) (m + 2) n (m + 1) (m + 2) n

1 1 1 + + ··· + = m(m + 1) (m + 1)(m + 2) (n − 1)n µ ¶ µ ¶ µ ¶ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = + + ··· = − − − − ≤ m m+1 m+1 m+2 n−1 n m n m ≤

1 Se p > e n ≥ m > p, obtemos |un − um | < ε pelo que a sucessão é de Cauchy, portanto ε convergente.

Cap´ıtulo 2 Fun¸co ˜es Reais de Vari´ avel Real: Limites e Continuidade 2.1

Generalidades sobre fun¸co ˜es reais de vari´ avel real

Defini¸c˜ ao 2.1.1 a) Dados dois conjuntos A e B chama-se fun¸ ca õ definida em A com valores em B, a toda a correspondência entre A e B que a cada elemento de A fa¸ca corresponder um e um só elemento de B. Ao conjunto A chama-se dom´ınio da fun¸caõ. b) Representa-se a fun¸caõ por y = f (x) em que x é a vari´ avel independente e toma valores em A (x ∈ A) e y é a vari´ avel dependente, pois os seus valores dependem dos valores que toma a variável x, que toma valores em B (y ∈ B). ` expressão ou fórmula que traduz o modo como a variável y depende da variável x c) A chama-se express˜ ao anal´ıtica ou representa¸ ca õ anal´ıtica da fun¸caõ f . d) Uma fun¸caõ f diz-se real de vari´ avel real quando A ⊂ R e B ⊂ R. Defini¸c˜ ao 2.1.2 Seja f uma fun¸caõ real de variável real. a) Chama-se dom´ınio de defini¸ ca õ ou de existˆ encia de f ao conjunto dos valores reais que têm imagem pela fun¸caõ f , isto é, ao conjunto dos n´ umeros reais para os quais a expressão anal´ıtica de f está bem definida. b) Chama-se contradom´ınio de f ao conjunto dos valores reais que são imagem pela fun¸caõ f dos elementos do dom´ınio. Defini¸c˜ ao 2.1.3 Dada uma fun¸caõ f : D ⊂ R → R, chama-se gr´ afico da fun¸caõ f ao conjunto {(x, y) : x ∈ D, y ∈ R, y = f (x)}.

14

2. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: Limites e Continuidade

Defini¸c˜ ao 2.1.4 Uma fun¸caõ f : D ⊂ R → R diz-se: a) crescente se x < y =⇒ f (x) ≤ f (y). b) estritamente crescente se x < y =⇒ f (x) < f (y). c) decrescente se x < y =⇒ f (x) ≥ f (y). d) estritamente decrescente se x < y =⇒ f (x) > f (y). Defini¸c˜ ao 2.1.5 Uma fun¸caõ diz-se a) mon´ otona se é crescente ou decrescente. b) estritamente mon´ otona se é estritamente crescente ou estritamente decrescente. Defini¸c˜ ao 2.1.6 Uma fun¸caõ f : D ⊂ R → R diz-se: a) par se f (x) = f (−x), ∀x ∈ D. b) ´ımpar se f (x) = −f (−x), ∀x ∈ D. Defini¸c˜ ao 2.1.7 Sejam f : D ⊂ R → R e c ∈ D. Diz-se que f (c) é um m´ aximo de f se f (x) ≤ f (c), ∀x ∈ D. A c chama-se ponto de m´ aximo. Defini¸c˜ ao 2.1.8 Sejam f : D ⊂ R → R e c ∈ D. Diz-se que f (c) é um m´ınimo de f se f (x) ≥ f (c), ∀x ∈ D. A c chama-se ponto de m´ınimo. Estes valores têm a designa¸caõ comum de extremos de f . A Figura 2.1 ilustra as defini¸co˜es anteriores.

Figura 2.1: Extremos de uma fun¸ca õ.

2.1 Generalidades sobre fun¸ co ˜es reais de vari´ avel real

15

Defini¸c˜ ao 2.1.9 Uma fun¸caõ f : D ⊂ R → R diz-se limitada se ∃M ∈ R+ : |f (x)| ≤ M,

∀x ∈ D.

Por outras palavras, f é fun¸caõ limitada se o seu contradom´ınio é um conjunto limitado. Defini¸c˜ ao 2.1.10 Chamam-se zeros da fun¸caõ f os elementos x do dom´ınio tais que f (x) = 0. Defini¸c˜ ao 2.1.11 Sejam f : D ⊂ R → R e A ⊂ D. A restri¸ ca õ de f a A, designada por f|A , é a aplica¸caõ de A em R tal que f|A (x) = f (x) para cada x ∈ A. Defini¸c˜ ao 2.1.12 Uma fun¸caõ f : D ⊂ R → B ⊂ R diz-se: a) injectiva se x 6= y =⇒ f (x) 6= f (y). b) sobrejectiva se ∀y ∈ B, ∃x ∈ D : f (x) = y. c) bijectiva se é injectiva e sobrejectiva.

16

2. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: Limites e Continuidade

2.2

Limites. Limites relativos

Defini¸c˜ ao 2.2.1 Seja f : D ⊂ R → R e a um ponto aderente ao dom´ınio de f . Diz-se que b é limite de f no ponto a (ou quando x tende para a), e escreve-se lim f (x) = b, x→a se ∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ D ∧ |x − a| < ε ⇒ |f (x) − b| < δ. Em termos de vizinhan¸cas: lim f (x) = b ⇔ ∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ Vε (a) ∩ D ⇒ f (x) ∈ Vδ (b).

x→a

A Figura 2.2 sugere a interpreta¸caõ geométrica de lim f (x) = b. x→a

y

b+d b b-d

x

a-e a a+e

Figura 2.2: Interpreta¸ca õ geométrica de lim f (x) = b. x→a

Defini¸c˜ ao 2.2.2 Seja f : D ⊂ R → R e suponhamos que D não é majorado. Diz-se que o limite de f quando x → +∞ é b se ∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ D ∧ x >

1 ⇒ |f (x) − b| < δ ε

e escreve-se lim f (x) = b. x→+∞

Defini¸c˜ ao 2.2.3 Seja f : D ⊂ R → R e suponhamos que D não é minorado. Diz-se que o limite de f quando x → −∞ é b se 1 ∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ D ∧ x < − ⇒ |f (x) − b| < δ ε e escreve-se lim f (x) = b. x→−∞

2.2 Limites. Limites relativos

17

Defini¸c˜ ao 2.2.4 Seja f : D ⊂ R → R e a um ponto aderente ao dom´ınio de f . Diz-se que o limite de f em a é +∞ se 1 ∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ D ∧ |x − a| < ε ⇒ f (x) > δ e escreve-se lim f (x) = +∞. x→a

Defini¸c˜ ao 2.2.5 Seja f : D ⊂ R → R e a um ponto aderente ao dom´ınio de f . Diz-se que o limite de f em a é −∞ se 1 ∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ D ∧ |x − a| < ε ⇒ f (x) < − δ e escreve-se lim f (x) = −∞. x→a

NOTA: As defini¸co˜es de lim f (x) = +∞, lim f (x) = +∞, lim f (x) = −∞ e x→+∞

x→−∞

x→+∞

lim f (x) = −∞, podem dar-se de forma análoga. Em todo o caso, se tivermos em

x→−∞

conta a defini¸caõ de vizinhan¸ca em R (ver página 9), podemos unificar todas as defini¸co˜es do seguinte modo: se a, b ∈ R, diz-se que lim f (x) = b se x→a

∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ Vε (a) ∩ D ⇒ f (x) ∈ Vδ (b).

Teorema 2.2.1 Se f : D ⊂ R → R e a ∈ R é um ponto aderente a D, então lim f (x) = b x→a

se, e só se, para cada sucessão (xn ) de limite a, (xn ) ⊂ D, a sucessão (f (xn )) tem por limite b. NOTA: Observe-se que não exigimos que a seja ponto de acumula¸caõ de D. Se a é ponto isolado de D então f tem limite igual a f (a) quando x → a. De facto, as u ńicas sucessões de pontos do dom´ınio que tendem para a são as sucessões que, a partir de certa ordem, são constantemente iguais a a. Teorema 2.2.2 O limite de f em a, quando existe, é u ńico. NOTAS: 1. Este teorema permite-nos usar a expressão “b é o limite de f (x) quando x tende para a”, em vez de “b é limite de f (x) quando x tende para a” e permite que se use a nota¸caõ lim f (x) = b. x→a

2. Se a ∈ D (isto é, f está definida em a), o limite b, se existe, coincide com f (a). Com efeito, neste caso, a verifica as condi¸co˜es a ∈ D e |a − a| < ε ∀ε > 0, o que implica que |f (a) − b| < δ, ∀δ > 0, ou seja, f (a) = b. EXEMPLO: Consideremos a fun¸caõ f : R → R definida por ½ 2 x , se x 6= 0 f (x) = 1, se x = 0 (ver Figura 2.3).

18

2. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: Limites e Continuidade

Figura 2.3

Não existe lim f (x). Como o dom´ınio de f é R o limite, se existisse teria de ser igual x→0

a f (0), como vimos na observa¸caõ anterior. Ter´ıamos então de provar que ∀δ > 0 ∃ε > 0 : |x| < ε ⇒ |f (x) − 1| < δ. Mas, se δ = 21 , qualquer que seja ε > 0, existe sempre x tal que |x| < ε e f (x) < 12 , o que implica que |f (x) − 1| > 12 . Teorema 2.2.3 Se lim f (x) = b e lim g(x) = c então: x→a

x→a

a) lim [f (x) + g(x)] = b + c; x→a

b) lim [f (x) − g(x)] = b − c; x→a

c) lim [f (x)g(x)] = b c; x→a

d) Se c 6= 0, lim

x→a

b f (x) = . g(x) c

Teorema 2.2.4 Se lim f (x) = 0 e g é uma fun¸caõ limitada numa vizinhan¸ca de a então x→a

lim [f (x)g(x)] = 0.

x→a

NOTA: O facto de g ser limitada é essencial. Por exemplo, se f (x) = x e g(x) = lim f (x)g(x) = 1 6= 0, o que não contradiz o teorema, visto g não ser limitada.

1 , x

x→0

Teorema 2.2.5 Sejam f : D ⊂ R → R e g : E ⊂ R → R tais que g(E) ⊂ D. Se lim g(x) = b e lim f (x) = c então lim (f ◦ g)(x) = c. x→a

x→b

x→a

2.2 Limites. Limites relativos

19

Defini¸c˜ ao 2.2.6 Sejam f : D ⊂ R → R e B um subconjunto próprio de D (isto é, B ⊂ D e B 6= D). Suponhamos que a é um ponto aderente a B. Diz-se que f tem limite b, quando x tende para a, segundo B, ou que b é o limite relativo a B de f quando x tende para a, se o limite da restri¸caõ de f a B quando x tende para a é b. Designa-se este limite por lim f (x) = b. lim f (x) = b ou x→a, x∈B

x→a x∈B

São importantes os limites relativos que se seguem: 1. B = D \ {a}. Diz-se então que f (x) tende para b quando x tende para a por valores diferentes de a: lim f (x) = b. x→a x 6= a

2. B = {x : x ∈ D ∧ x < a}. Neste caso escreve-se lim f (x) = b

x→a x a}. Neste caso escreve-se lim f (x) = b

x→a x>a

ou

lim f (x) = b

x→a+

e diz-se limite ` a direita de f no ponto a. Os limites a` esquerda e a` direita recebem a designa¸caõ comum de limites laterais. Para se poderem definir estes limites, o ponto a tem que ser ponto de acumula¸caõ de B. NOTAS: 1. lim− f (x) = lim+ f (x) = b ⇔ x→a

x→a

lim f (x) = b. Mas pode existir só um dos limites

x→a x 6= a

laterais (ou os dois com valores distintos) sem que exista

lim f (x).

x→a x 6= a

2. lim− f (x) = lim+ f (x) = b não implica que lim f (x) = b a não ser que f (a) = b. No x→a

x→a

x→a

exemplo da página 17, f (0− ) = f (0+ ) = 0 e f (0) = 1.

3.

lim f (x) não se distingue de lim f (x) quando a 6∈ D, devendo então a ser ponto

x→a x 6= a

de acumula¸caõ de D.

x→a

20

2. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: Limites e Continuidade

EXEMPLO 1: Consideremos a fun¸caõ f : R → R definida por ½ 0, se x < 2 f (x) = 1, se x ≥ 2 (ver Figura 2.4)

Figura 2.4

Verifica-se que lim− f (x) = 0 e lim+ f (x) = 1. Portanto, x→2

x→2

consequentemente, também não existe lim f (x).

lim f (x) não existe, e

x→2 x 6= 2

x→2

Se a < 2 então lim+ f (x) = lim− f (x) = lim f (x) = lim f (x) = 0. x→a

x→a

x→a

x→a x 6= a

Se a > 2 então lim+ f (x) = lim− f (x) = lim f (x) = lim f (x) = 1. x→a

x→a

x→a

x→a x 6= a

EXEMPLO 2: Consideremos a fun¸caõ f : R → R definida por ½ |x − 4|, se x 6= 4 f (x) = 2, se x = 4 (ver Figura 2.5)

Figura 2.5

2.2 Limites. Limites relativos

21

Verifica-se que lim− f (x) = 0 e lim+ f (x) = 0. Portanto, x→4

x→4

existe lim f (x) porque f (4) = 2 6= 0.

lim f (x) = 0, mas não

x→4 x 6= 4

x→4

EXEMPLO 3: Em R temos: 1 1 1 a) lim− = −∞ e lim+ = +∞; lim não existe. x→a x − a x→a x − a x→a x − a b) lim− x→a

1 1 1 = +∞ e lim+ = +∞; lim = +∞. 2 2 x→a (x − a)2 x→a (x − a) (x − a)

1 1 = 0 = lim . x→+∞ x x→−∞ x ¶y µ 1 1 = e. d) lim+ (1 + x) x = lim 1 + y→+∞ x→0 y

c) lim

Teorema 2.2.6 Seja f : D ⊂ R → R uma fun¸caõ monótona limitada. Então existem os limites laterais f (a− ) e f (a+ ) em todo o ponto a onde esses limites possam ser definidos. Demonstra¸caõ: Suponhamos, por exemplo, que f é crescente. Seja A = {x : x ∈ D ∧ x < a}.

Se a ∈ A queremos provar que existe f (a− ), isto é, queremos provar que existe um b ∈ R tal que ∀δ > 0 ∃ε > 0 |x−a| < ε ∧ x < a ⇒ |f (x)−b| < δ. Como, por hipótese, f é limitada, isto é, f (D) é um conjunto limitado e A ⊂ D, temos que f (A) é um conjunto limitado. Pelo Teorema 1.1.2, f (A) tem supremo. Seja b = sup f (A) = sup f (x). Pelo x∈A

Teorema 1.1.3, ∀δ > 0 ∃x0 ∈ A : f (x0 ) > b − δ.

Como f é crescente Podemos então escrever

f (x) ≥ f (x0 ) > b − δ ∀x ∈]x0 , a[ ∩ A.

|f (x) − b| < δ ∀x : x ∈ A ∧ |x − a| < a − x0 . Fazendo ε = a − x0 , conclu´ımos que ∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ A ∧ |x − a| < ε ⇒ |f (x) − b| < δ, isto é, lim− f (x) = b. x→a

Para provar que existe f (a+ ) considera-se o inf f (x).

x∈D x>a

inf

x∈D x>a

f (x) e conclui-se que f (a+ ) =

22

2. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: Limites e Continuidade

´ condi¸caõ necessária e suficiente para que f tenha limite finito no ponto Teorema 2.2.7 E a que ∀δ > 0 ∃ε > 0 ∀x, y ∈ Vε (a) |f (x) − f (y)| < δ.

2.3 Continuidade: propriedades das fun¸ co ˜es cont´ınuas. Teorema de Bolzano

2.3

23

Continuidade: propriedades das fun¸co ˜es cont´ınuas. Teorema de Bolzano

Defini¸c˜ ao 2.3.1 Sejam f : D ⊂ R → R e a ∈ D. Diz-se que f é cont´ınua em a se existir lim f (x). x→a

Como vimos anteriormente, o facto de a ∈ D implica que lim f (x) = f (a). Podemos x→a escrever f é cont´ınua em a se ∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ D ∧ |x − a| < ε ⇒ |f (x) − f (a)| < δ, ou, em termos de vizinhan¸cas ∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ Vε (a) ∩ D ⇒ f (x) ∈ Vδ (f (a)). Os pontos em que uma fun¸caõ não é cont´ınua dizem-se pontos de descontinuidade. Defini¸c˜ ao 2.3.2 Sejam f : D ⊂ R → R e a ∈ D. a) f é cont´ınua ` a esquerda em a se f (a− ) = lim− f (x) = f (a). x→a

b) f é cont´ınua ` a direita em a se f (a+ ) = lim+ f (x) = f (a). x→a

NOTAS: 1. Se f for cont´ınua a` esquerda e a` direita no ponto a então f é cont´ınua em a. 2. Se a for um ponto isolado, resulta da defini¸caõ que f é cont´ınua em a. Teorema 2.3.1 Toda a fun¸caõ constante é cont´ınua em todos os pontos do seu dom´ınio. Do Teorema 2.2.3, conclui-se facilmente: Teorema 2.3.2 Se f e g são cont´ınuas no ponto a então f + g, f − g e f g são cont´ınuas f nesse ponto; se g(a) 6= 0 então também é cont´ınua em a. g Analogamente, do Teorema 2.2.5 se deduz: Teorema 2.3.3 Sejam f : D ⊂ R → R e g : E ⊂ R → R tais que g(E) ⊂ D. Se g é cont´ınua no ponto t0 e f é cont´ınua no ponto x0 = g(t0 ), então f ◦ g é cont´ınua em t0 . Defini¸c˜ ao 2.3.3 Uma fun¸caõ f diz-se cont´ınua no conjunto B ⊂ D se é cont´ınua em todos os pontos de B.

24

2. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: Limites e Continuidade

Teorema 2.3.4 (Teorema do valor interm´ edio de Bolzano) Seja f uma fun¸caõ cont´ınua num intervalo I, a e b dois pontos de I tais que f (a) 6= f (b). Então, qualquer que seja o n´ umero k estritamente compreendido entre f (a) e f (b), existe pelo menos um ponto c, estritamente compreendido entre a e b, tal que f (c) = k. Demonstra¸caõ: Podemos supor, sem perda de generalidade, que a < b. Consideremos o intervalo [a, b]. Como f (a) 6= f (b) teremos f (a) < f (b) ou f (a) > f (b). Admitamos que f (a) < f (b). Seja k tal que f (a) < k < f (b). Seja o conjunto C = {x : x ∈ [a, b] ∧ f (x) < k}. Como f (a) < k, a ∈ C, pelo que C 6= ∅. Visto que b é um majorante de C podemos afirmar, pelo Teorema 1.1.2 que existe c = sup C. Como C ⊂ [a, b], c ∈ [a, b]. Dado que f é cont´ınua em [a, b] e c é aderente a C, existem todos os limites relativos tendo-se, em particular, lim f (x) = lim f (x) = f (c).

x→c

x→c x∈C

Mas se x ∈ C, f (x) < k, o que implica que lim f (x) = lim f (x) ≤ k, donde x→c

x→c x∈C

f (c) ≤ k

(2.1)

Por outro lado, c é um ponto aderente a [a, b] \ C. Como b ∈ [a, b] \ C este conjunto é não vazio e f (x) = f (c). lim f (x) = lim x→c

x→c x ∈ [a, b] \ C

Mas se x ∈ [a, b] \ C, então f (x) ≥ k, o que implica que lim f (x) =

x→c

lim

x→c x ∈ [a, b] \ C

f (x) ≥ k,

donde f (c) ≥ k.

(2.2)

De (2.1) e (2.2) conclui-se que f (c) = k. NOTA: Se f não for cont´ınua em [a, b], pode existir k ∈ [f (a), f (b)] tal que 6 ∃c ∈ [a, b] : f (c) = k (ver Figura 2.6). EXEMPLO: Seja f (x) = x3 − x2 + x. Usando o teorema anterior podemos provar que existe c tal que f (c) = 10. De facto, como f é cont´ınua em R podemos considerar a sua restri¸caõ ao intervalo [0, 3] e facilmente se verifica que f (0) = 0 < 10 < f (3) = 21.

2.3 Continuidade: propriedades das fun¸ co ˜es cont´ınuas. Teorema de Bolzano

25

y

f(b) k f(a) a

b

x

Figura 2.6

Corol´ ario 1 Se f é cont´ınua em [a, b] e f (a) · f (b) < 0, então existe c ∈]a, b[ tal que f (c) = 0. Demonstra¸caõ: Podemos supor, sem perda de generalidade, que f (a) < 0 e f (b) > 0. Então f (a) < 0 < f (b). Como f é cont´ınua em [a, b], o teorema anterior permite afirmar que ∃c ∈]a, b[: f (c) = 0. Corol´ ario 2 A imagem de um intervalo, por uma fun¸caõ cont´ınua, é também um intervalo. Demonstra¸caõ: Seja f : I ⊂ R → R. Se f (x) = c, ∀x ∈ I, isto é, se f é constante, o seu contradom´ınio reduz-se a um ponto, intervalo do tipo [c, c], não havendo, portanto, nada mais a provar. Como facilmente se verifica, um conjunto J que contenha, pelo menos, dois pontos, é um intervalo se, e só se, verifica a propriedade: α, β ∈ J ∧ α < β =⇒ [α, β] ⊂ J que é ainda equivalente a: α, β ∈ J ∧ α < k < β =⇒ k ∈ J. Suponhamos que f não é constante, que α, β ∈ f (I) e α < k < β; por defini¸caõ, existem a, b ∈ I tais que α = f (a) < k < f (b) = β. Pelo Teorema de Bolzano existe c, estritamente compreendido entre a e b (portanto, c ∈ I), tal que f (c) = k, isto é, k ∈ f (I). NOTA: O intervalo f (I) pode ser de tipo diferente do intervalo I como se pode ver nos seguintes exemplos:

26

2. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: Limites e Continuidade

1) f :] − ∞, +∞[→ [−1, 1], f (x) = sen(x)

2) f :] − ∞, +∞[→]0, 1], f (x) =

x2

1 +1

3) f :] − π2 , π2 [→] − ∞, +∞[, f (x) = tg(x)

Teorema 2.3.5 (Teorema de Weierstrass) Se f é uma fun¸caõ cont´ınua num intervalo fechado e limitado I, então f (I) é também um intervalo fechado e limitado. Demonstra¸caõ: Pelo Corolário 2 do Teorema de Bolzano sabemos que f (I) é um intervalo. Resta-nos então provar que é fechado e limitado. Dividimos a demonstra¸caõ em duas partes.

2.3 Continuidade: propriedades das fun¸ co ˜es cont´ınuas. Teorema de Bolzano

27

a) f (I) é limitado. b) f (I) é fechado. a) Suponhamos que f (I) não é limitado. Então para cada n ∈ N existe xn ∈ I tal que |f (xn )| ≥ n. Como I é limitado a sucessão (xn ) também é limitada, portanto, (xn ) tem uma subsucessão (xnk ) convergente (Teorema 1.3.10). Seja x = lim f (xnk ); x ∈ I porque n

I é fechado. Visto que f é cont´ınua, lim f (xnk ) = f (x), mas esta conclusão é incompat´ıvel n

com a suposi¸caõ |f (xn )| ≥ n ∀n ∈ N (Teorema 1.3.4) b) Temos de provar que existem x0 e x1 ∈ I tais que f (x0 ) = sup f (x) e f (x1 ) = x∈I

inf f (x).

x∈I

Suponhamos que não existe x0 ∈ I tal que f (x0 ) = sup f (x), isto é, L = sup f (x) não x∈I

x∈I

é atingido. Então L − f (x) 6= 0, ∀x ∈ I. Portanto, g(x) =

1 L − f (x)

é uma fun¸caõ cont´ınua em I. Provámos em a) que toda a fun¸caõ cont´ınua num intervalo limitado é limitada o que implica que g é limitada. Pelo Teorema 1.1.3 temos que ∀δ > 0 ∃c ∈ I : f (c) > L − δ ⇒ ∀δ > 0 ∃c ∈ I : L − f (c) < δ 1 1 ⇒ ∀δ > 0 ∃c ∈ I : g(c) = > L − f (c) δ o que contradiz o facto de g ser limitada. Analogamente, se prova a existência de x1 ∈ I tal que f (x1 ) = inf f (x). Portanto, f (I) é fechado. x∈I

Corol´ ario 1 Toda a fun¸caõ cont´ınua num intervalo fechado e limitado tem, nesse intervalo, um máximo e um m´ınimo. NOTAS: 1. Os dois resultados anteriores mantêm-se válidos se substituirmos “intervalo fechado limitado” por “conjunto fechado limitado não vazio”. 2. A hipótese intervalo (ou conjunto) fechado é necessária como se pode ver pelos exemplos seguintes: 1) Seja f (x) = x. f é cont´ınua em ] − 1, 1[ e não tem nesse intervalo máximo nem m´ınimo. ( 1 , se x 6= 0 2) A fun¸caõ g(x) = é cont´ınua em ]0, 1], mas não tem máximo x 0, se x = 0 nesse intervalo.

28

2. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: Limites e Continuidade

1 3) A fun¸caõ h(x) = sen x nesse intervalo.

µ ¶ 1 é cont´ınua em ]0, 1] e não tem máximo nem m´ınimo x

Teorema 2.3.6 Se f é uma fun¸caõ cont´ınua e injectiva num intervalo I, então a fun¸caõ inversa é também cont´ınua. Defini¸c˜ ao 2.3.4 Sejam F e f duas fun¸co˜es de dom´ınios DF e Df , respectivamente. Diz-se que F é um prolongamento de f se Df ⊂ DF e F (x) = f (x), ∀x ∈ Df . Defini¸c˜ ao 2.3.5 Seja a um ponto aderente a D (dom´ınio de f ). Diz-se que f é prolong´ avel por continuidade ao ponto a se existir um prolongamento F de f , com dom´ınio D ∪ {a}, sendo F cont´ınua em a. Teorema 2.3.7 Para que uma fun¸caõ f seja prolongável por continuidade ao ponto a, é necessário e suficiente que tenha limite nesse ponto. Existindo o limite, o prolongamento por continuidade é a fun¸caõ g : Df ∪({a} → R f (x), se x ∈ Df g(x) = lim f (x), se x = a x→a

EXEMPLO: Consideremos a fun¸caõ f : R \ {0} → R definida por f (x) =

Figura 2.7). Sabemos que lim f (x) = 1.

sen(x) (ver x

x→0

Figura 2.7

Pelo teorema anterior f é prolongável por continuidade ao ponto 0 e o prolongamento é a fun¸caõ g : R → R definida por: g(x) =

(

sen(x) , se x 6= 0 x 1, se x = 0

Defini¸c˜ ao 2.3.6 Diz-se que f tem uma descontinuidade remov´ıvel no ponto a se existir uma fun¸caõ g cont´ınua em a, que apenas difere de f em a.

2.3 Continuidade: propriedades das fun¸ co ˜es cont´ınuas. Teorema de Bolzano

EXEMPLO: Seja

  x2 − 2x − 3 , se x 6= 3 f (x) =  3, x − 3 se x = 3

Como lim f (x) = 4, f tem uma descontinuidade remov´ıvel em x = 3. A fun¸caõ x→3 x 6= 3

é cont´ınua no seu dom´ınio.

  x2 − 2x − 3 , se x 6= 3 g(x) =  4, x − 3 se x = 3

29

30

2.4

2. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: Limites e Continuidade

Continuidade uniforme

Seja f uma fun¸caõ definida e cont´ınua em D ⊂ R. Por defini¸caõ de continuidade sabemos que para cada x0 ∈ D se tem ∀δ > 0 ∃ε > 0 x ∈ D ∧ |x − x0 | < ε ⇒ |f (x) − f (x0 )| < δ. Sabemos também que para um δ > 0 e x0 ∈ D o ε > 0 que existe não é u ńico, pois se 0 < ε1 < ε então |x − x0 | < ε1 ⇒ |x − x0 | < ε e, portanto, |x − x0 | < ε1 ⇒ |f (x) − f (x0 )| < δ. Seja δ > 0 um n´ umero fixo. Consideremos o subconjunto de D formado pelos pontos x1 , x2 , . . . , xk . Por defini¸caõ de continuidade sabemos que existe um conjunto {ε1 , ε2 , . . . , εk }, εi > 0, ∀i = 1, 2, . . . , k, tais que x ∈ D ∧ |x − x1 | < ε1 ⇒ |f (x) − f (x1 )| < δ x ∈ D ∧ |x − x2 | < ε2 ⇒ |f (x) − f (x2 )| < δ .. . x ∈ D ∧ |x − xk | < εk ⇒ |f (x) − f (xk )| < δ. Dado que é finito, o conjunto {ε1 , ε2 , . . . , εk } tem m´ınimo ε > 0. Para este valor são verdadeiras as implica¸co˜es: x ∈ D ∧ |x − xi | < ε ⇒ |f (x) − f (xi )| < δ, i = 1, 2, . . . , k, isto é, conseguimos arranjar vizinhan¸cas “uniformes” (de amplitude 2ε) dos pontos x 1 , x2 , . . . , xk de tal modo que as imagens dos pontos dessas vizinhan¸cas estão a uma distância inferior a δ do f (xi ) correspondente. E se o conjunto dos pontos escolhido fosse infinito? Seria ainda poss´ıvel, dado δ > 0, escolher um n´ umero ε > 0 nas condi¸co˜es anteriores? A resposta é, em geral, negativa. Vejamos um exemplo. 1 Seja f (x) = e D =]0, 2[ (veja-se a Figura 2.8). x

Figura 2.8

2.4 Continuidade uniforme

31

Figura 2.9

32

2. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: Limites e Continuidade

1 , n = 1, 2, 3, . . .} e seja δ > 0. Observando n δ a defini¸caõ de limite, para cada n, o maior εn que podemos tomar é εn = n(n + δ) δ } = 0, pelo que não existe ε > 0 tal que (Figura 2.9). Ora inf{εn : εn = n(n + δ) Consideremos o conjunto {xn : xn =

|x − xn | < ε ⇒ |f (x) − f (xn )| < δ, n = 1, 2, 3, . . . Conclu´ımos assim que dado δ > 0 não podemos escolher ε > 0 que, na defini¸caõ de limite, seja válido simultaneamente para todos os xi , i = 1, 2, 3, . . .. Defini¸c˜ ao 2.4.1 Sejam f : D ⊂ R → R e A ⊂ D. Diz-se que f é uniformemente cont´ınua em A se ∀δ > 0 ∃ε > 0 ∀x, y ∈ A,

|x − y| < ε ⇒ |f (x) − f (y)| < δ.

EXEMPLO 1: A fun¸caõ f (x) = sen(x) é uniformemente cont´ınua em R, isto é, é verdadeira a proposi¸caõ ∀δ > 0 ∃ε > 0 ∀x, y ∈ R,

|x − y| < ε ⇒ |sen(x) − sen(y)| < δ.

De facto, sendo δ > 0 bastará escolher ε = δ e sabendo que |sen(x)| ≤ |x| ∀x ∈ R temos: ¯ µ ¶ µ ¶¯ ¯ ¯ x + y x − y ¯ |sen(x) − sen(y)| = ¯¯2 cos sen ¯ 2 2 ¯ µ µ ¶¯ ¯ ¶¯ ¯ ¯¯ ¯ x − y x + y ¯ ¯sen ¯ = 2 ¯¯cos ¯¯ ¯ 2 2 ¯ µ ¶¯ ¯ ¯ x − y ¯ ≤ 2 ¯¯sen ¯ 2

¯ ¯ ¯x − y ¯ ¯ ¯ = |x − y|. ≤ 2¯ 2 ¯

1 EXEMPLO 2: A fun¸caõ f (x) = não é uniformemente cont´ınua em ]0, 2[, como vimos x atrás. EXEMPLO 3: A fun¸caõ f (x) = x2 (Figura 2.10) não é uniformemente cont´ınua em R, isto é, é falsa a proposi¸caõ ∀δ > 0 ∃ε > 0 ∀x, y ∈ R,

|x − y| < ε ⇒ |x2 − y 2 | < δ.

Da igualdade |x2 − y 2 | = |x − y||x + y| podemos concluir que x e y podem estar tão próximos quanto se queira e a diferen¸ca entre as suas imagens ser arbitrariamente grande

2.4 Continuidade uniforme

33

Figura 2.10

(basta pensar em pontos x e y cuja diferen¸ca seja sempre inferior a ε, mas que estejam arbitrariamente longe da origem). Os gráficos da Figura 2.11 procuram ilustrar esta situa¸caõ.

Figura 2.11

34

2. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: Limites e Continuidade

EXEMPLO 4: Provemos, a partir da defini¸caõ, que a fun¸caõ f (x) = 7 − x2 é uniformemente cont´ınua em [−10, 1], isto é, que é verdadeira a proposi¸caõ ∀δ > 0 ∃ε > 0 ∀x, y ∈ [−10, 1],

|x − y| < ε ⇒ |7 − x2 − (7 − y 2 )| < δ.

Seja δ > 0. Como |7 − x2 − (7 − y 2 )| = | − x2 + y 2 | = |x − y||x + y| ≤ 20|x − y|, teremos se ε <

|x − y| < ε ⇒ |7 − x2 − (7 − y 2 )| < δ

δ . 20

Defini¸c˜ ao 2.4.2 Sejam f : D ⊂ R → R e A ⊂ D. Diz-se que f é lipschitziana em A se ∃M > 0 : |f (x) − f (y)| ≤ M |x − y|, ∀x, y ∈ A. Teorema 2.4.1 Sejam f : D ⊂ R → R e A ⊂ D. Se f é lipschitziana em A, então f é uniformemente cont´ınua em A. Demonstra¸caõ: Usando a defini¸caõ, basta tomar ε =

δ . M

EXEMPLO 1: A fun¸caõ f (x) = x2 é lipschitziana em [0, 1]. De facto, |x2 − y 2 | = |x + y| |x − y| ≤ (|x| + |y|) |x − y| ≤ 2 |x − y| ∀x, y ∈ [0, 1]. A fun¸caõ é pois uniformemente cont´ınua em [0, 1]. Vimos atrás que f (x) = x2 não é uniformemente cont´ınua em R. ´ claro que se O facto da fun¸caõ ser uniformemente cont´ınua depende do conjunto. E uma fun¸caõ for uniformemente cont´ınua num conjunto C é uniformemente cont´ınua em todos os subconjuntos de C. EXEMPLO 2: Os cálculos efectuados atrás permitem-nos concluir que f (x) = 7 − x2 é lipschitziana em [−10, 1]. Teorema 2.4.2 Sejam f : D ⊂ R → R e A ⊂ D. f é uniformemente cont´ınua em A se, e só se, para quaisquer sucessões (xn ) e (yn ) de elementos de A tais que lim (xn − yn ) = 0 se tem também lim (f (xn ) − f (yn )) = 0.

n

n

1 no intervalo ]0, 1]. Sejam EXEMPLO 1: Consideremos novamente a fun¸caõ f (x) = x 1 1 , n ∈ N. São sucessões de elementos do intervalo ]0, 1] e lim(xn − yn ) xn = e yn = n 2n

2.4 Continuidade uniforme

35

¶ 1 1 1 − = 0. No entanto, lim(f (xn ) − f (yn )) = lim(n − 2n) = = lim = lim n 2n 2n lim(−n) = −∞, o que implica, pelo teorema anterior, que f não é uniformemente cont´ınua no intervalo considerado. µ

2 EXEMPLO umeros reais xn = √ 2: Seja f (x) = x . Considerando as sucessões de n´ e yn = n temos √ √ lim(xn − yn ) = lim( √ n + 1 − n) √ √ √ ( n + 1 − n)( n + 1 + n) √ = lim √ ( n + 1 + n) n+1−n = lim √ √ =0 n+1+ n

e

√

n+1

¡√ √ ¢ lim(f (xn ) − f (yn )) = lim ( n + 1)2 − ( n)2 = lim (n + 1 − n) = 1,

portanto, f não é uniformemente cont´ınua em R como t´ınhamos visto. ´ evidente que se f é uniformemente cont´ınua em A então a restri¸caõ de f a A é E cont´ınua em A. A rec´ıproca não é verdadeira, tendo-se, no entanto, o seguinte teorema: Teorema 2.4.3 (Teorema de Cantor) Toda a fun¸caõ cont´ınua num conjunto fechado limitado é uniformemente cont´ınua. Demonstra¸caõ: Suponhamos que f é cont´ınua, mas não uniformemente cont´ınua, em X, fechado limitado. Sendo falsa a proposi¸caõ ∀δ > 0 ∃ε > 0 ∀x, y ∈ X,

|x − y| < ε ⇒ |f (x) − f (y)| < δ

podemos afirmar que existe δ > 0 tal que, para qualquer ε > 0, existem x, y ∈ X, para os quais se verifica |x − y| < ε ∧ |f (x) − f (y)| ≥ δ. Fixemos ε nos valores ε1 = 1, ε2 = 12 , . . . , εn = n1 . Teremos então ∃x1 , y1 ∈ X : |x1 − y1 | < 1 ⇒ |f (x1 ) − f (y1 )| ≥ δ ∃x2 , y2 ∈ X : |x2 − y2 | < 12 ⇒ |f (x2 ) − f (y2 )| ≥ δ ... ∃xn , yn ∈ X : |x2 − y2 | < n1 ⇒ |f (xn ) − f (yn )| ≥ δ. Como (xn ) é uma sucessão de elementos de X e este conjunto é limitado podemos concluir que (xn ) é limitada. Pelo Teorema 1.3.10, (xn ) tem uma subsucessão (xnk )

36

2. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: Limites e Continuidade

convergente para um certo x ∈ R; além disso, x ∈ X porque X é fechado. Mas |xnk −ynk | < 1 , o que implica que ynk → x. Como f é cont´ınua em X temos nk lim f (xnk ) = lim f (ynk ) = f (x), o que implica que lim (f (xnk ) − f (ynk )) = 0, o que contradiz |f (xnk ) − f (ynk )| ≥ δ > 0. EXEMPLO: Seja f uma fun¸caõ cont´ınua em R. Provemos que f é uniformemente cont´ınua em todo o subconjunto limitado de R. Seja A ⊂ R um conjunto limitado. Se A for fechado, estamos nas condi¸co˜es do Teorema de Cantor. Suponhamos que A não é fechado e l = inf(A) e L = sup(A). Consideremos o ´ um subconjunto fechado limitado de R. Como f é cont´ınua em R, f é intervalo [l, L]. E cont´ınua em [l, L]. Pelo Teorema de Cantor, f é uniformemente cont´ınua nesse intervalo, sendo, portanto, uniformemente cont´ınua em A ⊂ [l, L].

Cap´ıtulo 3 Fun¸co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Diferencial 3.1

Derivadas. Regras de deriva¸c˜ ao.

Defini¸c˜ ao 3.1.1 Sejam f : D ⊂ R → R e a um ponto interior a D. Chama-se derivada de f no ponto a ao limite, se existir (em R), lim

x→a

f (x) − f (a) x−a

f (a + h) − f (a) · h df (a). Se f tem derivada finita no Designa-se a derivada de f no ponto a por f 0 (a) ou dx ponto a, diz-se que f é diferenci´ avel em a. ou, fazendo x − a = h,

lim

h→0

Designando por P e Qi , i = 1, 2, 3, 4, respectivamente, os pontos do gráfico de f que têm abcissas a e xi , a razão f (xi ) − f (a) xi − a

é o declive da recta P Qi , secante ao gráfico de f (veja-se a Figura 3.1). Se f é diferenciável no ponto a, chama-se tangente ao gráfico de f no ponto (a, f (a)) a` recta que passa por este ponto e tem declive igual a f 0 (a); a recta tangente terá então a equa¸caõ: y = f (a) + f 0 (a)(x − a). Defini¸c˜ ao 3.1.2 Sejam f : D ⊂ R → R e a um ponto interior a D. Chama-se derivada a esquerda de f no ponto a ao limite, se existir (em R), ` lim−

x→a

f (x) − f (a) x−a

38

3. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Diferencial

Figura 3.1: Interpreta¸ca õ geométrica da derivada.

ou, fazendo x − a = h, lim−

h→0

f (a + h) − f (a) , h

e designa-se por f 0 (a− ). Chama-se derivada ` a direita de f no ponto a ao limite, se existir (em R), lim+

x→a

ou, fazendo x − a = h, lim+

h→0

f (x) − f (a) x−a

f (a + h) − f (a) , h

e designa-se por f 0 (a+ ). ´ evidente que f 0 (a) existe se, e só se, existem e são iguais f 0 (a+ ) e f 0 (a− ). NOTA: E EXEMPLO 1: Consideremos a fun¸caõ f : R → R definida por ½ x, se x ≥ 0 f (x) = |x| = −x, se x < 0 cujo gráfico se apresenta na Figura 3.2. x f (x) − f (0) = lim+ = 1; x→0 x→0 x−0 x f (x) − f (0) −x f 0 (0− ) = lim− = lim− = −1. x→0 x→0 x−0 x

f 0 (0+ ) = lim+

Como f 0 (0+ ) 6= f 0 (0− ), f não tem derivada no ponto 0.

3.1 Derivadas. Regras de deriva¸ c˜ ao.

39

Figura 3.2

EXEMPLO 2: A fun¸caõ f : R → R definida por ( ¡ ¢ x sen x1 , se x 6= 0 f (x) = 0, se x = 0 não tem derivadas laterais em x = 0 (ver Figura 3.3). De facto, a fun¸caõ definida por ¡ ¢ µ ¶ x sen x1 f (x) − f (0) 1 = = sen x−0 x x não tem limite quando x → 0, não existindo sequer limites laterais.

Figura 3.3

EXEMPLO 3: A fun¸caõ f : R → R definida por f (x) = +∞ em x = 0, pois

√ 3

x (ver Figura 3.4) tem derivada

40

3. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Diferencial

√ 3

x = f (0 ) = lim+ x→0 x √ 3 x 0 − = f (0 ) = lim− x→0 x 0

+

f não é, pois, diferenciável em 0.

lim+

x→0

lim−

x→0

r 3

r 3

x = x3

1 lim+ √ = +∞ 3 x→0 x2

x = x3

1 lim− √ = +∞ 3 x→0 x2

Figura 3.4

√ 3 EXEMPLO 4: A fun¸caõ f : R → R definida por f (x) = x2 , e cujo gráfico se apresenta na Figura 3.5, não tem derivada em 0. De facto, r √ 3 2 2 1 x 3 x = lim+ √ = lim+ = +∞ f 0 (0+ ) = lim+ 3 3 x→0 x→0 x→0 x x x r √ 3 2 2 x 1 3 x = lim− = lim− √ f 0 (0− ) = lim− = −∞ 3 3 x→0 x→0 x→0 x x x

Figura 3.5

3.1 Derivadas. Regras de deriva¸ c˜ ao.

41

Teorema 3.1.1 Sejam f : D ⊂ R → R e a um ponto interior a D. Se f é diferenciável no ponto a, então f é cont´ınua em a. Demonstra¸caõ: Podemos escrever f (x) = f (a) + (x − a) Então

µ

f (x) − f (a) lim f (x) = lim f (a) + (x − a) x→a x→a x−a

¶

f (x) − f (a) x−a

∀x ∈ D \ {a}.

= f (a) + 0.f 0 (a) = f (a),

ou seja, f é cont´ınua no ponto a. NOTAS: 1. Uma fun¸caõ pode ser cont´ınua num dado ponto e não ter derivada nesse ponto (ver o exemplo anterior). 2. Se a derivada for infinita, a fun¸caõ pode não ser cont´ınua. Teorema 3.1.2 Se f e g são fun¸co˜es diferenciáveis em a, então f + g e f · g são fun¸co˜es diferenciáveis em a, e (f + g)0 (a) = f 0 (a) + g 0 (a) (f · g)0 (a) = f 0 (a) · g(a) + f (a) · g 0 (a).

Se, além disso, g(a) 6= 0, então f /g é diferenciável em a e µ ¶0 f f 0 (a) · g(a) − f (a) · g 0 (a) . (a) = g (g(a))2 Demonstra¸caõ: Sendo finitas as derivadas f 0 (a) e g 0 (a), teremos no caso da soma: (f + g)(x) − (f + g)(a) x→a x−a

(f + g)0 (a) = lim

= lim

f (x) + g(x) − f (a) − g(a) x−a

= lim

µ

x→a

x→a

f (x) − f (a) g(x) − g(a) + x−a x−a

¶

g(x) − g(a) f (x) − f (a) + lim x→a x→a x−a x−a

= lim

= f 0 (a) + g 0 (a) o que mostra que f + g é diferenciável em a.

42

3. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Diferencial

Para o produto, temos (f · g)(x) − (f · g)(a) x→a x−a

(f · g)0 (a) = lim

f (x) · g(x) − f (a) · g(a) x→a x−a

= lim

f (x) · g(x) − f (a) · g(x) + f (a) · g(x) − f (a) · g(a) x→a x−a

= lim

= lim

x→a

(f (x) − f (a)) · g(x) + f (a) · (g(x) − g(a)) x−a µ

g(x) − g(a) f (x) − f (a) + f (a) · = lim g(x) · x→a x−a x−a

¶

f (x) − f (a) g(x) − g(a) + f (a) · lim x→a x→a x−a x−a

= lim g(x) · lim x→a

= g(a) · f 0 (a) + f (a) · g 0 (a) onde se usou o facto de a diferenciabilidade de g em a implicar a sua continuidade no mesmo ponto. Finalmente, para o quociente podemos come¸car por considerar o caso particular de f ser a fun¸caõ constante com o valor 1 em todos os pontos do seu dom´ınio. Obtemos então: µ ¶ µ ¶ 1 1 1 1 µ ¶0 (x) − (a) − 1 g g g(x) g(a) = lim (a) = lim x→a x→a g x−a x−a g(a) − g(x) ¶ µ g(x) − g(a) 1 g(x) · g(a) = lim = lim · − x→a x→a x−a x−a g(x) · g(a) = −

1 1 g(x) − g(a) 1 1 · lim · lim =− · · g 0 (a) g(a) x→a g(x) x→a x−a g(a) g(a)

= −

g 0 (a) . (g(a))2

Portanto, notando que

1 f = f · , temos: g g

3.1 Derivadas. Regras de deriva¸ c˜ ao.

43

µ ¶ µ ¶0 µ ¶0 1 f 1 0 (a) = f (a) · (a) (a) + f (a) · g g g f 0 (a) · g(a) − f (a) · g 0 (a) . (g(a))2

=

Corol´ ario 1 Se f1 , f2 , . . . , fp são fun¸co˜es diferenciáveis no ponto a, a sua soma e o seu produto também o são e verificam-se as igualdades: (f1 + f2 + · · · + fp )0 (a) = f10 (a) + f20 (a) + · · · + fp0 (a) 0

(f1 · f2 · · · fp ) (a) =

p X i=1

f1 (a) · · · fi0 (a) · · · fp (a).

Em particular, se p ∈ N e f é diferenciável em a também o é a fun¸caõ h(x) = (f (x)) p e tem-se h0 (a) = p · (f (a))p−1 · f 0 (a). Teorema 3.1.3 Se g : E → R é diferenciável no ponto a e f : D → R é diferenciável no ponto b = g(a), então f ◦ g é diferenciável em a e (f ◦ g)0 (a) = f 0 (b) · g 0 (a) = f 0 (g(a)) · g 0 (a). Teorema 3.1.4 Sejam I um intervalo, f : I → R uma fun¸caõ estritamente monótona e cont´ınua, g : J = f (I) → R a sua inversa. Se f é diferenciável no ponto a e f 0 (a) 6= 0, então g é diferenciável em b = f (a) e g 0 (b) =

1 f 0 (a)

=

1 f 0 (g(b))

.

EXEMPLO 1: Consideremos a fun¸caõ g(x) = arc sen(x), fun¸caõ inversa da fun¸caõ f (x) = sen(x) no intervalo [− π2 , π2 ]. Teremos então g 0 (x) =

1 f 0 (g(x))

=

1 1 1 1 = =p =√ . 2 cos(g(x)) cos(arc sen(x)) 1 − x2 1 − sen (arc sen(x))

EXEMPLO 2: Consideremos a fun¸caõ g(x) = arc cos(x), fun¸caõ inversa da fun¸caõ f (x) = cos(x) no intervalo [0, π]. Teremos então 1

1 1 =− sen(g(x)) sen(arc cos(x)) 1 1 = −√ . = −p 1 − x2 1 − cos2 (arc cos(x))

g 0 (x) =

f 0 (g(x))

=−

44

3. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Diferencial

De forma análoga se pode mostrar que (arc tg(x))0 =

1 1 + x2

e (arc cotg(x))0 = −

1 . 1 + x2

Se f : D ⊂ R → R é uma fun¸caõ diferenciável em todos os pontos de A ⊂ D, podemos definir a fun¸caõ que a cada x de A faz corresponder f 0 (x). Obtemos, assim, uma nova fun¸caõ, de dom´ınio A, que representamos por f 0 e a que chamamos fun¸c˜ ao derivada (ou apenas derivada) de f em A. De modo análogo, se f 0 for diferenciável em A, definimos f 00 = (f 0 )0 (segunda derivada); se f 00 for diferenciável em A, definimos f 000 = (f 00 )0 , . . . se f (n−1) (derivada de ordem n − 1) for diferenciável em A, definimos f (n) = (f (n−1) )0 , derivada de ordem n de f em A. Defini¸c˜ ao 3.1.3 Se f 0 for cont´ınua em A, dizemos que f é de classe C1 em A e representamos por f ∈ C 1 (A). Se n ∈ N e f (n) é cont´ınua em A, dizemos que f é de classe Cn em A e representamos por f ∈ C n (A). Se f ∈ C n (A), ∀n ∈ N, dizemos que f é de classe C∞ e representamos por f ∈ C ∞ (A). EXEMPLO 1: As fun¸co˜es f (x) = cos(x), g(x) = sen(x) e h(x) = ex são de classe C ∞ em R. EXEMPLO 2: A fun¸caõ

é diferenciável em R,

µ ¶   x2 sen 1 , x f (x) =  0,

se x 6= 0 se x = 0

µ ¶ µ ¶   2 x sen 1 − cos 1 , x x f 0 (x) =  0,

se x 6= 0 se x = 0

e f 0 não é cont´ınua em 0. Temos, assim, f ∈ / C 1 (R).

EXEMPLO 3: Se f (n) (x) e g (n) (x) existem, tem-se obviamente, (f + g)(n) (x) = f (n) (x) + g (n) (x).

3.1 Derivadas. Regras de deriva¸ c˜ ao.

45

EXEMPLO 4: A derivada de ordem n do produto de duas fun¸co˜es obtém-se pela f´ ormula de Leibnitz: n X (n) n (f g) (x) = Cp f (p) (x) g (n−p) (x), p=0

onde se convenciona f (0) (x) = f (x). A demonstra¸caõ desta propriedade faz-se facilmente, por indu¸caõ em n, usando a regra de deriva¸caõ do produto. Defini¸c˜ ao 3.1.4 Seja f : D ⊂ R → R, diferenciável num ponto a interior a D. Chamase diferencial da fun¸caõ f no ponto a à aplica¸caõ linear df (a) : R → R dada por df (a)(h) = f 0 (a) · h. Teorema 3.1.5 Sejam f e g duas fun¸co˜es diferenciáveis. Então: a) d(f + g) = df + dg b) d(f g) = g df + f dg c) d(f n ) = n f n−1 df f g df − f dg d) d( ) = g g2 e) d((g ◦ f )(x)) = g 0 (f (x)) · df (x)

46

3. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Diferencial

3.2

Teoremas Fundamentais: Rolle, Darboux, Lagrange e Cauchy.

Defini¸c˜ ao 3.2.1 Seja f : D ⊂ R → R. a) Diz-se que f tem um m´ınimo local (ou relativo) em a ∈ D (ou que f (a) é um m´ınimo local, ou relativo, de f ) se existir uma vizinhan¸ca V de a tal que f (x) ≥ f (a), ∀x ∈ V ∩ D. b) Diz-se que f tem um m´ aximo local (ou relativo) em a ∈ D (ou que f (a) é um máximo local, ou relativo, de f ) se existir uma vizinhan¸ca V de a tal que f (x) ≤ f (a), ∀x ∈ V ∩ D. Aos máximos e m´ınimos relativos dá-se a designa¸caõ comum de extremos relativos (ver Figura 3.6).

Figura 3.6: Extremos relativos.

Teorema 3.2.1 Seja f : D ⊂ R → R. Se f (a) for m´ınimo relativo e existirem derivadas laterais em a, então f 0 (a− ) ≤ 0 e f 0 (a+ ) ≥ 0. Se f for diferenciável em a, então f 0 (a) = 0. Demonstra¸caõ: Se f (a) é um m´ınimo relativo então, por defini¸caõ, ∃ε > 0 : f (x) ≥ f (a) ∀x ∈ Vε (a) ∩ D. Mas f (x) − f (a) ≤ 0 ∀x ∈]a − ε, a[ ∩ D, x−a o que implica que lim−

x→a 0

−

isto é, f (a ) ≤ 0.

f (x) − f (a) ≤ 0, x−a

3.2 Teoremas Fundamentais: Rolle, Darboux, Lagrange e Cauchy.

47

Analogamente,

o que implica que

f (x) − f (a) ≥ 0 ∀x ∈]a, a + ε[ ∩ D, x−a lim+

x→a 0

+

isto é, f (a ) ≥ 0.

f (x) − f (a) ≥ 0, x−a

Teorema 3.2.2 Se f (a) for máximo relativo e existirem derivadas laterais em a, então f 0 (a− ) ≥ 0 e f 0 (a+ ) ≤ 0. Se f for diferenciável em a, então f 0 (a) = 0. NOTA: Se f é diferenciável, a condi¸caõ f 0 (a) = 0 é necessária, mas não suficiente para que f tenha um extremo em a. Consideremos, por exemplo, a fun¸caõ f (x) = x3 ; f 0 (0) = 0 e f não tem extremo em 0. Teorema 3.2.3 (Teorema de Rolle) Seja f uma fun¸caõ cont´ınua no intervalo [a, b] (a, b ∈ R, a < b) e diferenciável em ]a, b[. Se f (a) = f (b), então existe c ∈]a, b[ tal que f 0 (c) = 0. Demonstra¸caõ: Pelo Teorema de Weierstrass, a fun¸caõ f , cont´ınua no intervalo [a, b], tem máximo M e m´ınimo m neste intervalo. Se M = m então f é constante em [a, b] e, portanto, f 0 (x) = 0 ∀x ∈]a, b[, não havendo mais nada a provar. Se M 6= m, a hipótese f (a) = f (b) implica que ou o máximo ou o m´ınimo é atingido num ponto c ∈]a, b[. Então, pelos teoremas anteriores, f 0 (c) = 0. Geometricamente, o teorema afirma que na representa¸caõ gráfica da fun¸caõ há pelo menos um ponto em que a tangente é paralela ao eixo dos xx (ver Figura 3.7).

Figura 3.7: Interpreta¸ca õ geométrica do Teorema de Rolle.

Corol´ ario 1 Entre dois zeros de uma fun¸caõ diferenciável num intervalo há, pelo menos, um zero da sua derivada.

48

3. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Diferencial

Corol´ ario 2 Entre dois zeros consecutivos da derivada de uma fun¸caõ diferenciável num intervalo existe, no máximo, um zero da fun¸caõ. Teorema 3.2.4 (Teorema de Darboux) Seja I ⊂ R um intervalo aberto, f : I → R uma fun¸caõ diferenciável em I. Se existirem a, b ∈ I, a < b, tais que f 0 (a) 6= f 0 (b) então, para todo o k entre f 0 (a) e f 0 (b), existe c ∈]a, b[ tal que f 0 (c) = k. Demonstra¸caõ: Come¸camos por fazer a demonstra¸caõ num caso especial e, usando este, passaremos ao caso geral. Suponhamos que f 0 (a) < k = 0 < f 0 (b). (3.1) Como f é diferenciável em I, é cont´ınua em I, pelo que é cont´ınua em [a, b] e, portanto, f (x) − f (a) < 0, existe f tem um ponto de m´ınimo em [a, b]. Visto que f 0 (a) = lim x→a x−a f (x) − f (a) ε1 > 0 tal que < 0, ∀x ∈]a, a + ε1 [, pelo que f (x) < f (a), ∀x ∈]a, a + ε1 [. x−a Analogamente se mostra que existe ε2 > 0 tal que f (x) < f (b), ∀x ∈]b − ε2 , b[. Conclui-se, assim, que nem a nem b são ponto de m´ınimo de f em [a, b], isto é, existe c ∈]a, b[ onde f atinge o seu m´ınimo em [a, b]; como f é diferenciável, f 0 (c) = 0. Fica assim demonstrado o teorema no caso especial de (3.1). Obviamente, a demonstra¸caõ no caso f 0 (a) > k = 0 > f 0 (b)

(3.2)

seria semelhante (mostrar-se-ia, neste caso, que existe um ponto de máximo diferente de a e b). Passemos ao caso geral. Suponhamos que f 0 (a) < k < f 0 (b).

(3.3)

A fun¸caõ g(x) = f (x)−kx é diferenciável em I (g 0 (x) = f 0 (x)−k) e g 0 (a) = f 0 (a)−k < 0 < f 0 (b) − k; estamos assim nas condi¸co˜es do caso (3.1): existe c ∈]a, b[ tal que g 0 (c) = 0, isto é, f 0 (c) = k. O caso f 0 (a) > k > f 0 (b) (3.4) resolve-se com a mesma técnica, usando (3.2).

3.2 Teoremas Fundamentais: Rolle, Darboux, Lagrange e Cauchy.

49

NOTAS: 1. Apenas com a condi¸caõ de diferenciabilidade no intervalo (não se pede que a derivada seja cont´ınua!), mostra-se que a derivada verifica uma propriedade semelhante a` do Teorema de Bolzano. 2. A derivada pode não ser cont´ınua. Por exemplo, a fun¸caõ:  µ ¶ 1  2 , se x 6= 0 x sen f (x) = x  0, se x = 0 é diferenciável em R:

 

µ ¶ µ ¶ 1 1 2 x sen − cos , se x 6= 0 0 f (x) = x x  0, se x = 0

e f 0 não é cont´ınua em 0.

Teorema 3.2.5 (Teorema de Lagrange) Seja f uma fun¸caõ cont´ınua no intervalo [a, b] (a, b ∈ R, a < b) e diferenciável em ]a, b[. Então existe c ∈]a, b[ tal que f 0 (c) =

f (b) − f (a) . b−a

Demonstra¸caõ: A fun¸caõ f (b) − f (a) x b−a é cont´ınua em [a, b] e diferenciável em ]a, b[. Além disso, ϕ(a) = ϕ(b). Pelo Teorema de Rolle existe c ∈]a, b[ tal que ϕ0 (c) = 0. Mas ϕ(x) = f (x) −

ϕ0 (x) = f 0 (x) −

f (b) − f (a) , b−a

o que implica ϕ0 (c) = 0 ⇔ f 0 (c) −

f (b) − f (a) f (b) − f (a) = 0 ⇔ f 0 (c) = . b−a b−a

Geometricamente, o teorema anterior afirma que na representa¸caõ gráfica da fun¸caõ há pelo menos um ponto em que a tangente é paralela a` corda que une os pontos (a, f (a)) e (b, f (b)) (ver Figura 3.8). NOTA: O Teorema de Rolle é um caso particular deste teorema. Trata-se do caso em que f (a) = f (b).

50

3. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Diferencial

Figura 3.8: Interpreta¸ca õ geométrica do Teorema de Lagrange.

Corol´ ario 1 Se f tem derivada nula em todos os pontos de um intervalo, então é constante nesse intervalo. Corol´ ario 2 Se f e g são duas fun¸co˜es diferenciáveis num intervalo I e se f 0 (x) = g 0 (x), ∀x ∈ I, então a diferen¸ca f − g é constante em I. Corol´ ario 3 Se I é um intervalo e f 0 (x) ≥ 0 (respectivamente, f 0 (x) ≤ 0), ∀x ∈ I, então f é crescente (respectivamente, decrescente) em I; se f 0 (x) > 0 (respectivamente, f 0 (x) < 0) ∀x ∈ I, então f é estritamente crescente (respectivamente, decrescente) em I. Teorema 3.2.6 (Teorema do valor m´ edio de Cauchy) Se f e g são fun¸co˜es cont´ınuas em [a, b], diferenciáveis em ]a, b[ e g 0 (x) não se anula em ]a, b[, então existe c ∈]a, b[ tal que f 0 (c) f (b) − f (a) = . 0 g (c) g(b) − g(a)

Demonstra¸caõ: Consideremos a fun¸caõ ϕ(x) = f (x) −

f (b) − f (a) g(x). g(b) − g(a)

Pelo Teorema de Rolle, g(a) 6= g(b) visto que g 0 (x) 6= 0 ∀x ∈]a, b[, pelo que ϕ está bem definida; além disso, ϕ é cont´ınua em [a, b] e diferenciável em ]a, b[. Como ϕ(a) = ϕ(b), pelo Teorema de Rolle existe c ∈]a, b[ tal que ϕ0 (c) = 0. Mas ϕ0 (x) = f 0 (x) −

f (b) − f (a) 0 g (x) g(b) − g(a)

o que implica ϕ0 (c) = 0 ⇔ f 0 (c) −

f (b) − f (a) 0 f (b) − f (a) 0 g (c) = 0 ⇔ f 0 (c) = g (c). g(b) − g(a) g(b) − g(a)

3.2 Teoremas Fundamentais: Rolle, Darboux, Lagrange e Cauchy.

Como g 0 (x) 6= 0 ∀x ∈]a, b[ e c ∈]a, b[ temos f (b) − f (a) f 0 (c) = . 0 g (c) g(b) − g(a) NOTA: O Teorema de Lagrange é um caso particular deste teorema com g(x) = x.

51

52

3. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Diferencial

3.3

Indetermina¸co ˜es

A partir do Teorema de Cauchy pode-se demonstrar a seguinte regra que é muito usada f 0 ∞ no cálculo do limite de um quociente quando assume a forma ou . g 0 ∞ Teorema 3.3.1 (Regra de Cauchy) Sejam f e g duas fun¸co˜es diferenciáveis em ]a, b[ (a < b) tais que a) g 0 (x) 6= 0, ∀x ∈]a, b[, b) lim f (x) = lim g(x) = 0 ou lim f (x) = lim g(x) = +∞; x→a

x→a

então, se existir lim

x→a

x→a

x→a

f (x) f 0 (x) , também existe lim e estes limites são iguais. 0 x→a g(x) g (x)

Corol´ ario 1 Sejam I um intervalo aberto, c ∈ I, f e g duas fun¸co˜es diferenciáveis em I \ {c}. Se g 0 (x) 6= 0, ∀x ∈ I \ {c}, e lim f (x) = lim g(x) = 0 ou lim f (x) = lim g(x) = x→c x→c x→c x→c +∞, então f 0 (x) f (x) = lim 0 lim x→c g (x) x→c g(x) x6=c x6=c sempre que o segundo limite exista (em R). NOTA: Convém notar que pode existir lim

x→a

acontece com as fun¸co˜es

f (x) f 0 (x) ´ e não existir lim 0 . E o que x→a g (x) g(x)

µ ¶ 1 , g(x) = x. f (x) = x cos x µ ¶ µ ¶ µ ¶ f (x) f 0 (x) 1 1 1 De facto, lim =0e 0 + sen pelo que não = lim x cos = 2x cos x→0 g(x) x→0 x g (x) x x f 0 (x) existe lim 0 . x→0 g (x) 2

sen(x) EXEMPLO 1: Consideremos a fun¸caõ h definida por . Ao calcular lim h(x) enx→0 x 0 contramos a indetermina¸caõ . Sendo f (x) = sen(x) e g(x) = x, estamos nas condi¸co˜es 0 da regra de Cauchy. Como lim

x→0

f 0 (x) = lim cos(x) = 1, g 0 (x) x→0

podemos concluir que lim h(x) = 1. x→0

3.3 Indetermina¸ co ˜es

53

ex − 1 ex − 1 0 . No cálculo de lim surge a indetermina¸caõ . x→0 x x 0 Tomando f (x) = ex − 1 e g(x) = x estamos nas condi¸co˜es da regra de Cauchy. Como EXEMPLO 2: Seja h(x) =

(ex − 1)0 = lim ex = 1 x→0 x→0 (x)0 lim

ex − 1 = 1. x→0 x

podemos concluir que lim

∞ tg(x) − 5 obtemos a indetermina¸caõ · x→ 2 x→ 2 sec(x) + 4 ∞ Considerando f (x) = tg(x) − 5 e g(x) = sec(x) + 4, estamos nas condi¸co˜es da regra de Cauchy. Como

EXEMPLO 3: Ao calcular limπ h(x) = limπ

f 0 (x) sec2 (x) sec(x) 1 = limπ = limπ = limπ = 1, limπ 0 x→ 2 sec(x) tg(x) x→ 2 tg(x) x→ 2 sen(x) x→ 2 g (x) podemos concluir que limπ

x→ 2

tg(x) − 5 = 1. sec(x) + 4

3x − 2 x 3x − 2 x EXEMPLO 4: Seja h(x) = . Ao calcular lim encontramos a indetermix→0 x x 0 na¸caõ . Considerando f (x) = 3x − 2x , g(x) = x e aplicando a regra de Cauchy obtemos 0 µ ¶ 3 3x − 2 x = log , lim x→0 x 2 pois

f 0 (x) lim 0 = lim (3x log(3) − 2x log(2)) = log(3) − log(2) = log x→0 g (x) x→0

µ ¶ 3 . 2

EXEMPLO 5 : A indetermina¸caõ 0 × ∞ surge ao calcularmos lim+ h(x) = lim+ xα log(x), x→0

com α > 0. Como

lim+ h(x) = lim+ xα log(x) = lim+

x→0

e

x→0

(log(x))0 lim+ ¡ 1 ¢0 = lim+

x→0

xα

podemos concluir que lim+ h(x) = 0. x→0

x→0

log(x)

x→0

1 x α − xα+1

= − lim+ x→0

1 xα

xα = 0, α

x→0

54

3. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Diferencial

NOTAS: 1. Pode-se demonstrar a partir da Regra de Cauchy o seguinte resultado, u ´til quando se pretende estudar a diferenciabilidade de uma fun¸caõ: Sejam f uma fun¸caõ cont´ınua num intervalo I e a um ponto de I. Se f é diferenciável num intervalo ]a, b[⊂ I e existe lim+ f 0 (x) então f tem derivada a` direita no ponto a e f 0 (a+ ) = lim+ f 0 (x). x→a

x→a

f (x) − f (a) e aplicar a regra de Cauchy. Para tal basta notar que f (a ) = lim+ x→a x−a Obviamente, existe um resultado análogo para a derivada a` esquerda. 0

+

2. Os s´ımbolos 0 × ∞ e ∞ − ∞ que podem surgir no cálculo do limite de um produto 0 ∞ f · g ou de uma soma f + g reduzem-se a ou pelas transforma¸co˜es: 0 ∞ f ·g =

f g = 1 1 g f

1 1 + f g e f +g = 1 f ·g

Outra regra importante no estudo de limites, mas que é aplicável somente ao s´ımbolo 0 , é a seguinte: 0 Teorema 3.3.2 (Regra de l’Hospital) Sejam f e g duas fun¸co˜es definidas num intervalo I, diferenciáveis em a ∈ I e f (x) g(x) 6= 0, ∀x ∈ I \ {a}. Se f (a) = g(a) = 0 e g 0 (a) 6= 0, então tem limite g(x) no ponto a e f (x) f 0 (a) lim = 0 . x→a g(x) g (a) As indetermina¸co˜es 1∞ , 00 e ∞0 surgem do cálculo de limites de fun¸co˜es f g e reduzemse a`s indetermina¸co˜es do tipo 0 × ∞ fazendo: g f g = e log(f ) = e g · log(f ) .

Da continuidade da fun¸caõ exponencial conclui-se que: lim

x→a

h

i lim g(x) · log(f (x)) g(x) (f (x)) = e x→a .

EXEMPLO 1: Consideremos a fun¸caõ h(x) = xx . A indetermina¸caõ que surge ao calcular lim+ h(x) é do tipo 00 que podemos converter numa do tipo 0 × ∞:

x→0

3.3 Indetermina¸ co ˜es

55

lim x log(x) lim+ xx = e x→0+ = e0 = 1,

x→0

tendo em conta o que mostrámos atrás (exemplo 5 da página 53). EXEMPLO 2: Vimos num exemplo anterior que lim x→0 1 µ ¶ sen(x) x2 lim surge a indetermina¸caõ 1∞ . x→0 x lim

x→0

µ

sen(x) = 1, portanto, ao calcular x

¶ µ 1 sen(x) ¶1 lim 2 log sen(x) x2 x = e x→0 x ; x

neste u ´ltimo limite surge a indetermina¸caõ 0 × ∞ que podemos converter em

e

lim

x→0

1 log x2

µ

sen(x) x

¶

log

=e

lim

x→0

³

sen(x) x 2 x

´

0 fazendo 0

.

Como

lim

e

x→0

³

log

³

sen(x) x 2 0

(x )

´´0

=e

lim

x→0

³

´ sen(x) 0 x sen(x) x

2x

temos novamente a indetermina¸caõ 2x2 sen(x) obtemos lim

x→0

x→0

x→0

2x

x cos(x) − sen(x) 2x2 sen(x) , = e x→0 lim

0 . Considerando f (x) = x cos(x) − sen(x) e g(x) = 0

f 0 (x) −sen(x) = lim 0 g (x) x→0 4 sen(x) + 2x cos(x)

aparecendo ainda a indetermina¸caõ lim

=e

lim

x cos(x)−sen(x) x sen(x) x2

0 . Tendo em conta que 0

(−sen(x))0 − cos(x) 1 = lim =− , 0 x→0 6 cos(x) − 2x sen(x) (4 sen(x) + 2x cos(x)) 6

podemos concluir que lim

x→0

µ

¶1 1 sen(x) x2 = e− 6 . x

56

3. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Diferencial

µ ¶tg(x) 1 surge a indetermina¸caõ ∞0 . Como EXEMPLO 3: No cálculo de lim+ x→0 x µ ¶

1 µ ¶tg(x) lim tg(x) log 1 + x lim = ex→0 x→0+ x

¡ ¢ log x1 lim = ex→0+ cotg(x)

∞ temos que e neste limite a indetermina¸caõ é primeiro do tipo 0 × ∞ e depois do tipo ∞ o limite pedido é 1 pois 1 ¡ ¢¢0 − log x1 sen2 (x) x lim lim − lim 0 2 x ex→0+ (cotg(x)) = ex→0+ cosec (x) = ex→0+ = e0 = 1. ¡

3.4 Teorema de Taylor

3.4

57

Teorema de Taylor

Teorema 3.4.1 (Teorema de Taylor) Seja f uma fun¸caõ definida num intervalo [a, b] (a < b), com derivadas cont´ınuas até à ordem n − 1 em [a, b] e com derivada de ordem n definida em ]a, b[. Então, existe um ponto c ∈]a, b[ tal que f (b) = f (a)+(b−a) f 0 (a)+

(b − a)n−1 (n−1) (b − a)n (n) (b − a)2 00 f (a)+· · ·+ f (a)+ f (c) 2! (n − 1)! n!

(∗)

Demonstra¸caõ: Consideremos a fun¸caõ (b − x)2 00 ϕ(x) = f (b) − [f (x) + (b − x)f (x) + f (x)+ 2! n n−1 (b − x) (b − x) f (n−1) (x) + A], +··· + (n − 1)! n! 0

sendo A uma constante escolhida por forma que ϕ(a) = 0. ϕ está nas condi¸co˜es do Teorema de Rolle: por constru¸caõ, é uma fun¸caõ cont´ınua em [a, b], diferenciável em ]a, b[ e ϕ(a) = 0 = ϕ(b). Então existe c ∈]a, b[ tal que ϕ 0 (c) = 0. Mas

ϕ0 (x) = −[ f 0 (x) − f 0 (x) + (b − x)f 00 (x) − (b − x)f 00 (x) + · · · − +

(b − x)n−1 (b − x)n−1 (n) f (x) − A] (n − 1)! (n − 1)! ·

(b − x)n−1 (n) (b − x)n−1 = − f (x) − A (n − 1)! (n − 1)!

(b − x)n−2 (n−1) f (x)+ (n − 2)!

¸

¤ (b − x)n−1 £ = A − f (n) (x) (n − 1)!

Então

ϕ0 (c) = 0 ⇔

¤ (b − c)n−1 £ A − f (n) (c) = 0 ⇔ (b − c)n−1 = 0 ∨ f (n) (c) − A = 0. (n − 1)!

Como c ∈]a, b[ vem f (n) (c) = A. Por constru¸caõ de ϕ temos ϕ(a) = 0, portanto, (b − a)2 00 0 = ϕ(a) = f (b) − [f (a) + (b − a)f 0 (a) + f (a)+ 2! n n−1 (b − a) (b − a) (n) +··· + f (n−1) (a) + f (c)], (n − 1)! n! e obtemos assim (∗).

58

3. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Diferencial

NOTA: A hipótese a < b é desnecessária, como facilmente se observa na demonstra¸caõ. Apenas foi introduzida para facilitar o enunciado. A expressão (∗) chama-se f´ ormula de Taylor de ordem n de f . Fazendo no enunciado do teorema b = a + h, vem f (a + h) = f (a) + h f 0 (a) +

h2 00 hn−1 hn (n) f (a) + · · · + f (n−1) (a) + f (a + θh), 2! (n − 1)! n!

sendo 0 < θ < 1. hn (n) (b − a)n (n) Ao termo f (a + θh) ou f (c) chama-se resto de Lagrange da fórmula n! n! de Taylor. No caso em que a = 0, a fórmula de Taylor é conhecida por f´ ormula de MacLaurin: f (x) = f (0) + f 0 (0) x + f 00 (0) sendo 0 < c < x ou x < c < 0.

x2 xn−1 xn + · · · + f (n−1) (0) + f (n) (c) , 2! (n − 1)! n!

EXEMPLO 1: Vamos escrever a fórmula de MacLaurin, com resto de ordem 4, da fun¸caõ f (x) = ex sen(x). Como f é uma fun¸caõ de classe C ∞ (R) podemos escrever a sua fórmula de MacLaurin de qualquer ordem. Em particular, para n = 4 existe c entre 0 e x tal que f (x) = f (0) + f 0 (0) x + f 00 (0)

x3 x4 x2 + f 000 (0) + f (IV ) (c) . 2! 3! 4!

Calculemos as derivadas de f .

Logo,

f 0 (x) = ex (sen(x) + cos(x)) f 00 (x) = 2ex cos(x) f 000 (x) = 2ex (cos(x) − sen(x)) f (4) (x) = −4ex sen(x) ex sen(x) = x + 2

⇒ f 0 (0) = 1 ⇒ f 00 (0) = 2 ⇒ f 000 (0) = 2 ⇒ f (4) (c) = −4ec sen(c)

x2 x3 x4 x3 x4 +2 − 4ec sen(c) = x + x2 + − ec sen(c) 2! 3! 4! 3 6

com c entre 0 e x. EXEMPLO 2: Calculemos, usando a fórmula de Taylor, o limite log(| cos(x)|) + lim

x→π

(x − π)

(x − π)2 2 · 2

3.4 Teorema de Taylor

59

´ uma fun¸caõ de classe C ∞ em D = Consideremos a fun¸caõ f (x) = log(| cos(x)|). E {x ∈ R : cos(x) 6= 0}. Como π ∈ D, podemos escrever a fórmula de Taylor de ordem 3 de f em potências de x − π: existe c entre x e π tal que f (x) = f (π) + f 0 (π) (x − π) + f 00 (π)

(x − π)2 (x − π)3 + f 000 (c) 2! 3!

Como f (π) = 0 e sen(x) = −tg(x) ⇒ f 0 (π) = 0 cos(x) 1 ⇒ f 00 (π) = −1 f 00 (x) = − 2 (cos(x)) 2 sen(x) 2 sen(c) f 000 (x) = − ⇒ f 000 (c) = − 3 (cos(x)) (cos(c))3 f 0 (x) = −

temos f (x) = −

2 sen(c) (x − π)3 (x − π)2 sen(c) (x − π)3 (x − π)2 − · = − − · 2! (cos(c))3 3! 2 (cos(c))3 3

Calculemos o limite pedido. (x − π)2 sen(c) (x − π)3 (x − π)2 (x − π)2 − · − + 2 (cos(c))3 3 2 2 lim = lim 2 2 x→π x→π (x − π) (x − π) sen(c) (x − π)3 µ ¶ − · sen(c) x − π sen(π) π − π (cos(c))3 3 = lim =− = lim − · · =0 2 3 x→π x→π (x − π) (cos(c)) 3 (cos(π))3 3 log(| cos(x)|) +

visto que quando x → π também c → π. EXEMPLO 3: Escrevamos a fórmula de Taylor de ordem 2 da fun¸caõ f (x) =

1 1 + log(x)

em torno do ponto 1 e mostremos que (x − 1)2 f (x) < 1 − (x − 1) + 3 ∀x > 1. 2 A fun¸caõ f é de classe C ∞ em D = {x ∈ R+ : 1 + log(x) 6= 0}. Como 1 ∈ D podemos escrever a fórmula de Taylor de ordem 2 de f em potências de x − 1: existe c entre x e 1 tal que (x − 1)2 f (x) = f (1) + f 0 (1) (x − 1) + f 00 (c) 2!

60

3. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Diferencial

Como f (1) = 1 e 1 ⇒ f 0 (1) = −1 x (1 + log(x))2 3 + log(c) 3 + log(x) 00 f 00 (x) = 2 ⇒ f (c) = x (1 + log(x))3 c2 (1 + log(c))3 f 0 (x) = −

temos f (x) = 1 − (x − 1) +

3 + log(c) (x − 1)2 · c2 (1 + log(c))3 2!

Podemos escrever 2 + 1 + log(c) 2 1 3 + log(c) = 2 = 2 + 2 3 3 3 + log(c)) c (1 + log(c)) c (1 + log(c)) c (1 + log(c))2

c2 (1

Se x > 1 então 1 < c < x, pelo que 1 + log(c) > 1 + log(1) = 1, c2 (1 + log(c))3 > 1 e c2 (1 + log(c))2 > 1. Então c2 (1

2 0, então existe uma vizinhan¸ca V de a tal que f (x) > 0, ∀x ∈ V . b) Se f (a) < 0, então existe uma vizinhan¸ca V de a tal que f (x) < 0, ∀x ∈ V . Demonstra¸caõ: Faremos apenas a demonstra¸caõ da al´ınea a). Se f é cont´ınua em a então, por defini¸caõ, ∀δ > 0 ∃ε > 0 : |x − a| < ε ⇒ |f (x) − f (a)| < δ. Como f (a) > 0, fazendo δ = f (a), obtemos ∃ε > 0 : |x − a| < ε ⇒ |f (x) − f (a)| < f (a). Mas

|f (x) − f (a)| < f (a) ⇔ −f (a) < f (x) − f (a) < f (a) ⇔ −f (a) + f (a) < f (x) < f (a) + f (a) ⇔ 0 < f (x) < 2f (a),

ou seja, f (x) > 0 ∀x ∈ Vε (a). Defini¸c˜ ao 3.5.1 Diz-se que a é um ponto de estacionaridade de f se f 0 (a) = 0. Teorema 3.5.2 Seja f uma fun¸caõ classe C n num intervalo I e a um ponto interior a I. Se f 0 (a) = f 00 (a) = · · · = f (n−1) (a) = 0 e f (n) (a) 6= 0 então a) se n é ´ımpar, f não tem extremo relativo em a; b) se n é par, f tem máximo relativo em a se f (n) (a) < 0 e tem m´ınimo relativo em a se f (n) (a) > 0.

62

3. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Diferencial

Demonstra¸caõ: Se queremos provar a existência de extremo relativo no ponto a, temos de estudar o sinal de f (x) − f (a). Sabemos que se existir uma vizinhan¸ca de a onde f (x) − f (a) mantém o sinal então f (a) é extremo relativo de f , e que se tal não acontecer então f (a) não é extremo relativo. Como f (n) (x) é cont´ınua e f (n) (a) 6= 0, existe uma vizinhan¸ca V de a, V ⊂ I, onde (n) f (x) toma o sinal de f (n) (a), isto é, se f (n) (a) > 0 então f (n) (x) > 0 ∀x ∈ V , se f (n) (a) < 0 então f (n) (x) < 0 ∀x ∈ V . Seja x ∈ V . Visto que f é n vezes diferenciável em I e V ⊂ I, pelo Teorema de Taylor existe c ∈ V tal que (x − a)n−1 (x − a)n (x − a)2 (n−1) (n) +· · ·+f (a) +f (c) . f (x) = f (a)+f (a) (x−a)+f (a) 2! (n − 1)! n! 0

00

Por hipótese, f 0 (a) = f 00 (a) = · · · = f (n−1) (a) = 0, portanto, f (x) = f (a) + f (n) (c)

(x − a)n , n!

ou seja,

(x − a)n · n! Se n é ´ımpar e f (n) (a) > 0 então f (x) − f (a) < 0 se x < a, x ∈ V , e f (x) − f (a) > 0 se x > a, x ∈ V , ou seja, f (a) não é extremo relativo. Se n é ´ımpar e f (n) (a) < 0 obtemos rela¸co˜es análogas, com as desigualdades invertidas. Se n é par e f (n) (a) > 0 então f (x) − f (a) > 0 ∀x ∈ V \ {a}, o que implica que f (a) é m´ınimo relativo. Se n é par e f (n) (a) < 0 então f (x) − f (a) < 0 ∀x ∈ V \ {a}, o que implica que f (a) é máximo relativo. f (x) − f (a) = f (n) (c)

EXEMPLO 1: Seja f (x) = x3 −

3 2 x. 2

f 0 (x) = 0 ⇔ 3x2 − 3x = 0 ⇔ 3x(x − 1) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 1. Como f 00 (x) = 3(2x − 1) temos f 00 (0) = −3 e f 00 (1) = 3. Pelo teorema anterior conclu´ımos que f (0) é um máximo relativo e f (1) é um m´ınimo relativo. 1 EXEMPLO 2: Seja f (x) = x − sen(x). 2 f 0 (x) = 0 ⇔

1 1 π π − cos(x) = 0 ⇔ cos(x) = ⇔ x = + 2kπ ∨ x = − + 2kπ, k ∈ Z. 2 2 3 3 √

√

Como f 00 (x) = sen(x) temos f 00 ( π3 + 2kπ) = 23 e f 00 (− π3 + 2kπ) = − 23 . Pelo teorema anterior conclu´ımos que f ( π3 + 2kπ) é m´ınimo relativo ∀k ∈ Z e f (− π3 + 2kπ) é máximo relativo, ∀k ∈ Z.

3.5 Aplica¸ co ˜es da f´ ormula de Taylor

EXEMPLO 3: Seja f (x) = f 0 (x) = 0 ⇔ Como f 00 (x) = 2

63

x4 + 1 . x2 2(x4 − 1) = 0 ⇔ x4 − 1 = 0 ⇔ x = −1 ∨ x = 1. x3

x4 + 3 > 0, ∀x ∈ R \ {0} temos que f (−1) = f (1) é m´ınimo relativo. x4

EXEMPLO 4: Seja f (x) = x2 (x − 1)3 . 2 f 0 (x) = 0 ⇔ x(x − 1)2 (5x − 2) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 1 ∨ x = · 5 18 Como f 00 (x) = 2(x − 1)(10x2 − 8x + 1) temos f 00 (0) = −2 e f 00 ( 25 ) = 25 · Pelo teorema 2 anterior conclu´ımos que f (0) é um máximo relativo e f ( 5 ) é um m´ınimo relativo. Mas f 00 (1) = 0, portanto, temos de calcular f 000 . Como f 000 (x) = 6(10x2 − 12x + 3), f 000 (1) = 6 o que implica que f (1) não é extremo de f .

EXEMPLO 5: Seja f (x) = 2 cos(x) + sen(2x). f 0 (x) = 0 ⇔ −2 (2 sen2 (x) + sen(x) − 1) = 0 1 ⇔ −4 (sen(x) + 1)(sen(x) − ) = 0 2 1 ⇔ sen(x) = −1 ∨ sen(x) = 2 3 π 5 ⇔ x = π + 2kπ ∨ x = + 2kπ ∨ x = π + 2kπ, k ∈ Z. 2 6 6 √ √ Como f 00 (x) = −2 cos(x)(4sen(x) + 1) temos f 00 ( π6 + 2kπ) = −3 3 e f 00 ( 65 π + 2kπ) = 3 3, o que implica que f ( π6 +2kπ) é máximo relativo de f e f ( 56 π +2kπ) é m´ınimo relativo de f , qualquer que seja k ∈ Z. Mas f 00 ( 23 π + 2kπ) = 0 pelo que recorremos a` terceira derivada: f 000 (x) = 16 sen2 (x) + 2 sen(x) − 8, portanto, f 000 ( 32 π + 2kπ) = 6, podendo concluir-se que f ( 23 π + 2kπ) não é extremo. Defini¸c˜ ao 3.5.2 Dadas duas fun¸co˜es f e g, definidas num intervalo I, diz-se que o gráfico de f fica acima do gráfico de g num ponto a ∈ I se f (a) > g(a) e fica abaixo do gráfico de g num ponto b ∈ I se f (b) < g(b). Se J ⊂ I e f (x) > g(x), ∀x ∈ J, diz-se que o gráfico de f fica acima do gráfico de g em J e se f (x) < g(x), ∀x ∈ J, diz-se que o gráfico de f fica abaixo do gráfico de g em J. Seja f uma fun¸caõ definida e diferenciável num intervalo I. Queremos determinar a posi¸caõ do gráfico de f em rela¸caõ a` tangente a esse gráfico num ponto a ∈ int(I). Trata-se, portanto, de estudar a diferen¸ca r(x) = f (x) − (f (a) + f 0 (a) (x − a)).

64

3. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Diferencial

y f(a)+f ´(a) (x-a)

f

f(a) f(b) f(b)+f ´(b) (x-b)

b

a

x

Figura 3.9

Defini¸c˜ ao 3.5.3 Seja f uma fun¸caõ definida num intervalo I, diferenciável em a ∈ I e seja r(x) = f (x) − (f (a) + f 0 (a) (x − a)). a) Se existir uma vizinhan¸ca V de a, V ⊂ I, tal que r(x) > 0, ∀x ∈ V \ {a}, diz-se que f tem a concavidade voltada para cima em a; b) Se existir uma vizinhan¸ca V de a, V ⊂ I, tal que r(x) < 0, ∀x ∈ V \ {a}, diz-se que f tem a concavidade voltada para baixo em a. c) Se existir uma vizinhan¸ca V = ]a − ε, a + ε[ ⊂ I de a tal que r(x) > 0 ∀x ∈ ]a − ε, a[ e r(x) < 0 ∀x ∈ ]a, a + ε[

ou

r(x) < 0 ∀x ∈ ]a − ε, a[ e r(x) > 0 ∀x ∈ ]a, a + ε[, diz-se que o gráfico de f tem um ponto de inflex˜ ao em (a, f (a)). A Figura 3.9 sugere a interpreta¸caõ gráfica das defini¸co˜es anteriores. Teorema 3.5.3 Sejam I um intervalo e f ∈ C 2 (I). O gráfico de f tem a concavidade voltada para cima (respectivamente, para baixo) em todos os pontos x, interiores a I, tais que f 00 (x) > 0 (respectivamente, f 00 (x) < 0). Demonstra¸caõ: Seja a um ponto interior a I tal que f 00 (a) 6= 0. Como f ∈ C 2 (I) e f 00 (a) 6= 0, existe uma vizinhan¸ca V de a, V ⊂ I, onde f 00 (x) toma o sinal de f 00 (a), isto é, se f 00 (a) > 0 então f 00 (x) > 0, ∀x ∈ V , se f 00 (a) < 0 então f 00 (x) < 0, ∀x ∈ V . Seja x ∈ V . Pelo Teorema de Taylor, existe c ∈ V tal que f (x) = f (a) + f 0 (a) (x − a) + f 00 (c) Queremos estudar o sinal de r(x):

(x − a)2 · 2!

3.5 Aplica¸ co ˜es da f´ ormula de Taylor

65

r(x) = f (x) − (f (a) + f 0 (a) (x − a)) (x − a)2 = f (a) + f 0 (a) (x − a) + f 00 (c) − (f (a) + f 0 (a) (x − a)) 2! (x − a)2 = f 00 (c) · 2! O sinal de r(x) depende apenas do sinal de f 00 (c) que, por sua vez, tem o sinal de f (a). Se f 00 (a) > 0 então r(x) > 0, o que significa que f tem a concavidade voltada para cima. Se f 00 (a) < 0 então r(x) < 0, o que significa que f tem a concavidade voltada para baixo. 00

Corol´ ario 1 Se f ∈ C 2 (I) e tem um ponto de inflexão num ponto a, interior a I, então f 00 (a) = 0. Teorema 3.5.4 Sejam I um intervalo e f ∈ C n (I), n > 2. Se a é um ponto interior a I tal que f 00 (a) = f 000 (a) = · · · = f (n−1) (a) = 0 e f (n) (a) 6= 0

então

a) se n é par, f tem a concavidade voltada para cima se f (n) (a) > 0 e tem a concavidade voltada para baixo se f (n) (a) < 0; b) se n é ´ımpar, a é ponto de inflexão. Demonstra¸caõ: Como f (n) (x) é cont´ınua e f (n) (a) 6= 0, existe uma vizinhan¸ca V de a, V ⊂ I, onde f (n) (x) toma o sinal de f (n) (a), isto é, se f (n) (a) > 0 então f (n) (x) > 0, ∀x ∈ V , se f (n) (a) < 0 então f (n) (x) < 0, ∀x ∈ V . Seja x ∈ V . Como f é n vezes diferenciável em I e V ⊂ I, pelo Teorema de Taylor existe c ∈ V tal que f (x) = f (a)+f 0 (a) (x−a)+f 00 (a)

(x − a)2 (x − a)n−1 (x − a)n +· · ·+f (n−1) (a) +f (n) (c) · 2! (n − 1)! n!

Por hipótese, f 00 (a) = f 000 (a) = · · · = f (n−1) (a) = 0, portanto, f (x) = f (a) + f 0 (a) (x − a) + f (n) (c)

(x − a)n · n!

Queremos estudar o sinal de r(x): r(x) = f (x) − (f (a) + f 0 (a) (x − a))

= f (a) + f 0 (a) (x − a) + f (n) (c) (x − a)n = f (n) (c) n!

(x − a)n − (f (a) + f 0 (a) (x − a)) n!

66

3. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Diferencial

a) Se n é par então (x − a)n > 0, ∀x ∈ V \ {a}, o que implica que o sinal de r é o sinal de f (n) (c). Assim, se f (n) (a) > 0, r(x) > 0 e f tem a concavidade voltada para cima; f (n) (a) < 0, r(x) < 0 e f tem a concavidade voltada para baixo. b) Se n é ´ımpar então (x − a)n > 0, ∀x > a e (x − a)n < 0, ∀x < a. Mas isto implica que o sinal de r muda quando se passa de valores menores do que a para valores maiores do que a. Portanto, a é ponto de inflexão. EXEMPLO 1: Seja f (x) = x + sen(x). Como f 0 (x) = 1 + cos(x) temos f 00 (x) = 0 ⇔ sen(x) = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z.

Mas f 000 (x) = − cos(x), portanto, f 000 (kπ) = 1 se k é ´ımpar e f 000 (kπ) = −1 se k é par. Conclu´ımos, pelo teorema anterior, que kπ, k ∈ Z é ponto de inflexão. EXEMPLO 2: Consideremos novamente a fun¸caõ f (x) = x2 (x − 1)3 . Como f 00 (x) = 2(x − 1)(10x2 − 8x + 1) temos √ √ 4+ 6 4− 6 00 f (x) = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = ∨x= · 10 10 Mas f 000 (x) = 6(10x2 − 12x + 3), portanto,

√ √ 6− 6 6+ 6 f (x) = 0 ⇔ x = ∨x= , 10 10 000

√

√

o que implica que f 000 (1) 6= 0, f 000 ( 4−10 6 ) 6= 0 e f 000 ( 4+10 6 ) 6= 0. Pelo teorema anterior conclu´ımos que estes três pontos são pontos de inflexão.

Cap´ıtulo 4 Fun¸co ˜es Reais de Vari´ avel Real: Primitiva¸c˜ ao 4.1

Primitivas imediatas

Defini¸c˜ ao 4.1.1 Sejam f e F duas fun¸co˜es definidas num intervalo I. Diz-se que F é uma primitiva de f em I se F 0 (x) = f (x), ∀x ∈ I. EXEMPLO 1: Como (sen(x))0 = cos(x) temos que sen(x) é primitiva de cos(x). EXEMPLO 2: De (x2 )0 = 2x conclu´ımos que x2 é primitiva de 2x. Defini¸c˜ ao 4.1.2 Uma fun¸caõ f diz-se primitiv´ avel num intervalo I se existir uma primitiva de f , definida em I. NOTA: Há fun¸co˜es que não são primitiváveis. Por exemplo, a fun¸caõ f : R → R definida por ½ 0, se x < 2 f (x) = 1, se x ≥ 2

não é primitivável em R. De facto, a existência de uma fun¸caõ F : R → R tal que F 0 (x) = f (x), ∀x ∈ R, contradiz o Teorema de Darboux: f não toma nenhum valor entre 0 e 1. Teorema 4.1.1 Se F é primitiva de f , num intervalo I, então, qualquer que seja C ∈ R, a fun¸caõ G(x) = F (x) + C é também primitiva de f em I. Demonstra¸caõ: Basta notar que G0 (x) = F 0 (x) + C 0 = F 0 (x) = f (x). Teorema 4.1.2 Se F e G são duas primitivas de f num intervalo I, então F − G é constante em I.

68

4. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: Primitiva¸ c˜ ao

Demonstra¸caõ: Usa-se o Corolário 2 do Teorema de Lagrange, notando que F 0 (x) = G0 (x) = f (x), ∀x ∈ I. NOTAS: 1. Como consequência dos teoremas anteriores temos que todas as primitivas de f são da forma F + C com F uma primitiva de f e C ∈ R. 2. Se F é uma primitiva de f no intervalo I, designamos por P f qualquer primitiva de f em I, isto é, P f = F + C, com C ∈ R, qualquer. Geometricamente:

Figura 4.1

Defini¸c˜ ao 4.1.3 Chamam-se primitivas imediatas as que se deduzem directamente de uma regra de deriva¸caõ. A partir das regras de deriva¸caõ obtém-se facilmente: Teorema 4.1.3 Sejam f e g duas fun¸co˜es primitiváveis num intervalo I e a ∈ R. Então a) P a f (x) = a P f (x);

b) P (f (x) + g(x)) = P f (x) + P g(x). Apresentamos a seguir uma tabela com algumas primitivas imediatas.

f (x) α

x ,

P f (x)

α 6= −1

(u(x))α u0 (x), 1 x

α 6= −1

xα+1 +C α+1 (u(x))α+1 +C α+1 log(|x|) + C

4.1 Primitivas imediatas

69

f (x)

P f (x)

u0 (x) u(x)

log(|u(x)|) + C

ex

ex + C

eu(x) u0 (x)

eu(x) + C

ax , (a > 0)

ax +C log(a)

au(x) u0 (x), (a > 0)

au(x) +C log(a)

cos(x)

sen(x) + C

cos(u(x)) u0 (x)

sen(u(x)) + C

sen(x)

− cos(x) + C

sen(u(x)) u0 (x)

− cos(u(x)) + C

1 1 − x2 u0 (x)

√ p

1 − (u(x))2 1 1 − x2 u0 (x)

−√

−p 1 − (u(x))2 1 1 + x2 u0 (x) 1 + (u(x))2

arc sen(x) + C arc sen(u(x)) + C arc cos(x) + C arc cos(u(x)) + C arc tg(x) + C arc tg(u(x)) + C

sec2 (x)

tg(x) + C

sec2 (u(x)) u0 (x)

tg(u(x)) + C

70

4. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: Primitiva¸ c˜ ao

f (x)

P f (x)

cosec2 (x)

−cotg(x) + C

cosec2 (u(x)) u0 (x) −cotg(u(x)) + C EXEMPLOS: P (x2 + x + 1) = P x2 + P x + P 1 =

x3 x2 + + x + C; 3 2

1 + cos(2x) 1 1 P cos (x) = P = (P 1 + P cos(2x)) = 2 2 2 2

µ ¶ sen(2x) x+ + C; 2

1 √ √ (x2 + 3) 3 +1 3 1 3 3 2 2 P 2x x + 3 = P 2x(x + 3) 3 = + C = (x2 + 3) x2 + 3 + C; 1 4 + 1 3

P

3x2 = log |x3 + 1| + C; 3 x +1

1 1 P e5x = P 5 e5x = e5x + C; 5 5 P 10x cos(5x2 + 7) = sen(5x2 + 7) + C; P

2 = arc tg(2x) + C; 1 + (2x)2

2 P (cos(x) − 2 e3x ) = P cos(x) − 2P e3x = sen(x) − e3x + C; 3 1

1 (x3 − 1)− 3 +1 1p x2 3 2 3 − 13 = + C = (x3 − 1)2 + C. P √ · = P x (x − 1) 1 3 3 3 2 + 1 − x −1 3 Teorema 4.1.4 Seja f uma fun¸caõ primitivável num intervalo I. Então, para cada x0 ∈ I e cada y0 ∈ R, existe uma, e uma só, primitiva F de f tal que F (x0 ) = y0 . Em particular, existe uma, e uma só, primitiva de f que se anula em x0 . √ EXEMPLO 1: Calculemos f sabendo que f 0 (x) = x x e f (1) = 2. Comecemos por calcular as primitivas F de f 0 , pois f é uma dessas fun¸co˜es. 2 5 F (x) = x 2 + C. 5

4.1 Primitivas imediatas

71

Mas f (1) = 2 ⇔

2 8 +C =2⇔C = , 5 5

2 5 8 portanto, f (x) = x 2 + · 5 5 EXEMPLO 2: Pretendemos calcular f sabendo que f 00 (x) = 12x2 + 6x − 4, f (0) = 4 e f (1) = 5. A fun¸caõ f pertence ao conjunto das fun¸co˜es F tais que F 0 (x) = 4x3 + 3x2 − 4x + C e, portanto, será uma fun¸caõ da forma F (x) = x4 + x3 − 2x2 + Cx + C1 . Como ½ ½ C1 = 4 f (0) = 4 ⇔ C = 1 f (1) = 5

então f (x) = x4 + x3 − 2x2 + x + 4.

72

4.2

4. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: Primitiva¸ c˜ ao

M´ etodos gerais de primitiva¸c˜ ao: Primitiva¸c˜ ao por partes e por substitui¸c˜ ao

Teorema 4.2.1 (Primitiva¸c˜ ao por partes) Sejam I um intervalo, F uma primitiva de f em I e g uma fun¸caõ diferenciável em I. Então P (f g) = F g − P (F g 0 ) Demonstra¸caõ: Pela regra da deriva¸caõ do produto (F g)0 = F 0 g + F g 0 = f g + F g 0 , o que implica que f g = (F g)0 − F g 0 e, portanto, P (f g) = F g − P (F g 0 ). EXEMPLO 1: Seja h(x) = x log(x). Calculemos a primitiva de h por partes: consideremos f (x) = x e g(x) = log(x). µ 2 ¶ x 1 1 x2 x2 x2 x2 log(x) − P · log(x) − P (x) = log(x) − + C. P (x log(x)) = = 2 2 x 2 2 2 4 EXEMPLO 2: Podemos primitivar a fun¸caõ h(x) = log(x) usando este método. Sejam f (x) = 1 e g(x) = log(x). µ ¶ 1 P (log(x)) = P (1. log(x)) = x log(x) − P x = x log(x) − P (1) = x log(x) − x + C. x EXEMPLO 3: Seja h(x) = cos(x) log(sen(x)). Sejam f (x) = cos(x) e g(x) = log(sen(x)). Então µ ¶ cos(x) P (cos(x) log(sen(x))) = sen(x) log(sen(x)) − P sen(x) sen(x) = sen(x) log(sen(x)) − P (cos(x)) = sen(x) log(sen(x)) − sen(x) + C. EXEMPLO 4: Para calcular a primitiva de h(x) = cos(log(x)) consideremos f (x) = 1 e g(x) = cos(log(x)). Então P (cos(log(x))) = x cos(log(x)) + P sen(log(x)). Esta u ´ltima primitiva calcula-se novamente por partes obtendo-se P (cos(log(x))) = x cos(log(x)) + x sen(log(x)) − P cos(log(x)), e, portanto, 2 P (cos(log(x))) = x cos(log(x)) + x sen(log(x)),

4.2 Primitiva¸ c˜ ao por partes e por substitui¸ c˜ ao

ou seja, P (cos(log(x))) =

73

x (cos(log(x)) + sen(log(x))) + C. 2

EXEMPLO 5: Sejam h(x) = log3 (x), f (x) = 1 e g(x) = log3 (x). P (1. log3 (x)) = x log3 (x) − P (3 log2 (x)). Primitivando novamente por partes, e usando o resultado obtido anteriormente para P (log(x)), obtemos P (1. log3 (x)) = x log3 (x) − 3 (x log2 (x) − P (2 log(x))) = x log3 (x) − 3x log2 (x) + 6x log(x) − 6x + C. Teorema 4.2.2 (Primitiva¸c˜ ao por substitui¸c˜ ao) Sejam f uma fun¸caõ primitivável num intervalo J e ϕ uma fun¸caõ bijectiva e diferenciável no intervalo I tal que ϕ(I) = J. Seja Φ(t) = P (f (ϕ(t))ϕ0 (t)). Então a fun¸caõ F (x) = Φ(ϕ−1 (x)) é uma primitiva de f em J. Demonstra¸caõ: Seja F uma primitiva de f . Como, por hipótese, x = ϕ(t) temos F (x) = F (ϕ(t)). Pela regra de deriva¸caõ da fun¸caõ composta (F (ϕ(t)))0 = F 0 (ϕ(t))ϕ0 (t) = f (ϕ(t))ϕ0 (t) = Φ0 (t), porque designámos por Φ(t) uma primitiva de f (ϕ(t))ϕ0 (t). Como F (ϕ(t)) e Φ(t) são ambas primitivas de f (ϕ(t))ϕ0 (t) sabemos que F (ϕ(t)) − Φ(t) = C,

C constante real,

ou ainda, F (ϕ(t)) = Φ(t) + C, o que implica que F (x) = Φ(ϕ−1 (x)) + C. EXEMPLO 1: Seja f (x) = √ isto é, ϕ(t) = 1 + t2 = x. P (f (ϕ(t)).ϕ0 (t)) = P

√ x3 . Para calcular a primitiva de f fa¸camos x − 1 = t, x−1

(1 + t2 )3 t5 t7 2t = 2 P (1+t2 )3 = 2 P (1+3t2 +3t4 +t6 ) = 2(t+t3 +3 + ). t 5 7

Assim, µ ¶ √ √ x3 3 √ 1 √ 3 5 7 =2 x − 1 + ( x − 1) + ( x − 1) + ( x − 1) + C. P√ 5 7 x−1

74

4. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: Primitiva¸ c˜ ao

EXEMPLO 2: Consideremos f (x) = ex = t, isto é, ϕ(t) = log(t).

ex

P (f (ϕ(t)).ϕ0 (t)) = P

1 · Podemos calcular a sua primitiva fazendo + e−x

1 1 1 · =P = arc tg(t). −1 t+t t 1 + t2

Consequentemente, P f (x) = arc tg(ex ) + C. NOTA: Usamos, por vezes a nota¸caõ P f (x) = {Pt f (ϕ(t))ϕ0 (t)} t=ϕ−1 (x) .

4.3 Primitiva¸ c˜ ao de fun¸ co ˜es racionais

4.3

75

Primitiva¸c˜ ao de fun¸co ˜es racionais

Sejam P (x) = an xn + · · · + a1 x + a0 e Q(x) = bm xm + · · · + b1 x + b0 , n, m ∈ N0 , an 6= 0, bm 6= 0, dois polin´ omios com coeficientes aj , bj ∈ R; n e m os graus de P e Q, respectivamente. Defini¸c˜ ao 4.3.1 Chama-se fun¸ ca õ racional toda a fun¸caõ f : D ⊂ R → R que pode ser expressa na forma P (x) f (x) = Q(x) em que P e Q são polinómios e D = {x ∈ R : Q(x) 6= 0}. Defini¸c˜ ao 4.3.2 Dois polinómios P e Q dizem-se iguais, e escreve-se P = Q, se P (x) = Q(x), ∀x ∈ R. Verifica-se facilmente que, sendo P (x) = an xn + · · · + a1 x + a0 e Q(x) = bm xm + · · · + b1 x + b0 , se tem P (x) = Q(x), ∀x ∈ R ⇔ n = m ∧ an = bm , . . . , a1 = b1 , a0 = b0 . Dados dois polinómios P e Q, de graus n e m, respectivamente, n > m, existem polinómios M e R tais que P (x) = M (x) Q(x) + R(x) e grau de R < grau de Q. M diz-se o polinómio quociente e R o polinómio resto. Defini¸c˜ ao 4.3.3 Um polinómio P de grau maior ou igual a 1 diz-se redut´ıvel se existem polinómios P1 e P2 tais que grau de Pi < grau de P (i = 1, 2) e P (x) = P1 (x)P2 (x). O polinómio P diz-se irredut´ıvel se não for redut´ıvel. ´ poss´ıvel determinar quais são precisamente os polinómios irredut´ıveis. Considere-se, E sem perda de generalidade, os polin´ omios unit´ arios (com coeficiente an = 1): P (x) = n n−1 x + an−1 x + · · · + a 1 x + a0 . • Todos os polinómios de grau 1, P (x) = x − a, são irredut´ıveis. • Um polinómio de grau 2, P (x) = x2 + bx + c é irredut´ıvel se, e só se, não tem ra´ızes reais, isto é, b2 − 4ac < 0. Assim os polinómios de grau 2 irredut´ıveis são precisamente os polinómios da forma P (x) = (x − α)2 + β 2 , α, β ∈ R, β 6= 0, associado a`s duas ra´ızes complexas conjugadas α ± iβ.

76

4. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: Primitiva¸ c˜ ao

• Os u ńicos polinómios irredut´ıveis são os considerados e mostra-se que todo o polinómio P (x) com grau maior ou igual a 1 é produto de polinómios irredut´ıveis: P (x) = (x − a1 )n1 · · · (x − ap )np [(x − α1 )2 + β12 ]m1 · · · [(x − αq )2 + βq2 ]mq em que ni , mj ∈ N representam o grau de multiplicidade do correspondente factor em P . Defini¸c˜ ao 4.3.4 Uma fun¸caõ racional f (x) =

P (x) diz-se irredut´ıvel se P e Q não Q(x)

tiverem ra´ızes comuns. Dada uma fun¸caõ racional irredut´ıvel, podemos ter dois casos: 1o O grau do polinómio P é maior ou igual ao grau do polinómio Q. 2o O grau do polinómio P é menor do que o grau do polinómio Q. No primeiro caso, fazendo a divisão dos polinómios obtemos P (x) = M (x) Q(x) + R(x), em que M e R são polinómios, sendo M o quociente e R o resto (que tem grau inferior ao grau de Q). Temos então R(x) P (x) = M (x) + Q(x) Q(x) o que implica que P

µ

P (x) Q(x)

¶

= P (M (x)) + P

µ

R(x) Q(x)

¶

·

A primitiva de M é imediata por ser a primitiva de um polinómio. A segunda é a primitiva de uma fun¸caõ racional, em que o grau do numerador é menor do que o do denominador. Conclu´ımos, assim, que basta estudar o caso das fun¸co˜es racionais irredut´ıveis em que o grau do numerador é menor do que o grau do denominador, isto é, ficamos reduzidos ao 2o caso atrás considerado. Os teoremas seguintes, que não demonstraremos, permitem-nos decompor uma fun¸caõ racional irredut´ıvel do 2o caso na soma de fun¸co˜es racionais cujas primitivas são “fáceis” de calcular (ou mesmo primitivas imediatas). A primitiva¸caõ de fun¸co˜es racionais irredut´ıveis fica, pois, completamente resolvida. Comecemos por analisar os casos em que Q admite apenas ra´ızes reais. Temos o seguinte teorema: Teorema 4.3.1 Se

P (x) é uma fun¸caõ racional irredut´ıvel, se o grau de P é menor que Q(x)

o grau de Q e se Q(x) = a0 (x − a1 )n1 (x − a2 )n2 . . . (x − ap )np ,

4.3 Primitiva¸ c˜ ao de fun¸ co ˜es racionais

77

com a1 , a2 , . . . , ap n´ umeros reais distintos e n1 , n2 , . . . , np ∈ N, então a fun¸caõ é decompon´ıvel numa soma da forma B np A1 B1 A n1 P (x) + ··· + + ··· + = + ··· + n n p 1 Q(x) (x − a1 ) x − a1 (x − anp ) x − a np onde An1 , . . . , A1 , . . . , Bnp , . . . , B1 são n´ umeros reais. NOTA: Nas condi¸co˜es do Teorema 4.3.1, qualquer das parcelas em que se decompõe a fun¸caõ tem primitiva imediata: P

A A 1 = · , se p 6= 1 p (x − a) 1 − p (x − a)p−1 P

A = A log |x − a| x−a

1o caso: Q tem ra´ızes reais de multiplicidade 1, isto é, Q decompõe-se em factores do tipo A x − a com a ∈ R. A cada raiz a de Q associa-se uma parcela do tipo , com A x−a constante a determinar. 4x2 + x + 1 · x3 − x Como o n´ umero de ra´ızes de um polinómio não ultrapassa o seu grau e x3 − x admite as ra´ızes x = 0, x = −1 e x = 1, podemos concluir que estas ra´ızes têm multiplicidade 1. Então 4x2 + x + 1 A B C = + + 3 x −x x x−1 x+1

EXEMPLO: Calculemos a primitiva da fun¸caõ f definida por f (x) =

=

A(x2 − 1) + Bx(x + 1) + Cx(x − 1) x3 − x

=

(A + B + C)x2 + (B − C)x − A x3 − x

Pelo método dos coeficientes indeterminados temos    A+B+C = 4  B+C = 5 B−C = 1 B−C = 1 ⇔   −A = 1 A = −1

⇔

Assim:

4x2 + x + 1 −1 3 2 = + + x3 − x x x−1 x+1

  B = 3 C = 2  A = −1

78

4. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: Primitiva¸ c˜ ao

e P

µ

4x2 + x + 1 x3 − x

¶

= P

µ

−1 x

¶

+P

µ

3 x−1

¶

+P

µ

2 x+1

¶

= − log |x| + 3 log |x − 1| + 2 log |x + 1| + C ¯ µ¯ ¶ ¯ (x − 1)3 ¯ 2 ¯ ¯ = log ¯ ¯ (x + 1) + C. x

2o caso: Q tem ra´ızes reais de multiplicidade p, p > 1, isto é, Q admite x − a, com a ∈ R, como divisor p vezes. Na decomposi¸caõ, a cada raiz a de Q de multiplicidade p vai corresponder uma soma de p parcelas com a seguinte forma: Ap−1 A1 Ap + + ··· + , p p−1 (x − a) (x − a) x−a com Ap , Ap−1 , . . . , A1 constantes a determinar. 2x3 + 5x2 + 6x + 2 · x(x + 1)3 Como x(x + 1)3 admite as ra´ızes x = 0, x = −1 e x + 1 aparece 3 vezes na factoriza¸caõ do polinómio, podemos concluir que estas ra´ızes têm multiplicidade 1 e multiplicidade 3, respectivamente. Então

EXEMPLO: Calculemos a primitiva da fun¸caõ f definida por f (x) =

2x3 + 5x2 + 6x + 2 A B C D = + + + x(x + 1)3 x (x + 1)3 (x + 1)2 x + 1 =

A(x + 1)3 + Bx + Cx(x + 1) + Dx(x + 1)2 x(x + 1)3

=

(A + D)x3 + (3A + C + 2D)x2 + (3A + B + C + D)x + A x(x + 1)3

Pelo método dos coeficientes indeterminados temos   D = 0 A + D = 2       C = −1 3A + C + 2D = 5 ⇔ B = 1 3A + B + C + D = 6       A = 2 A = 2

Assim:

2x3 + 5x2 + 6x + 2 2 −1 1 = + + 3 3 x(x + 1) x (x + 1) (x + 1)2

4.3 Primitiva¸ c˜ ao de fun¸ co ˜es racionais

e P

µ

2x3 + 5x2 + 6x + 2 x(x + 1)3

¶

79

µ ¶ ¶ µ ¶ µ 2 1 1 = P −P +P x (x + 1)3 (x + 1)2 = 2 log |x| −

1 1 1 + +C 2 (x + 1)2 x + 1

= log (x2 ) −

1 1 1 + + C. 2 2 (x + 1) x+1

Vejamos agora os casos em que o polinómio Q admite ra´ızes complexas. P (x) é uma fun¸caõ racional irredut´ıvel, se o grau de P é menor que Q(x) o grau de Q e se α + iβ (α, β ∈ R) é uma raiz de Q, de multiplicidade r, então

Teorema 4.3.2 Se

Mr x + N r M1 x + N 1 H(x) P (x) = + ··· + + ∗ 2 2 r 2 2 Q(x) [(x − α) + β ] (x − α) + β Q (x) onde H e Q∗ são polinómios tais que o grau de H é menor que o grau de Q∗, Mr , Nr , . . . , M1 , N1 , são n´ umeros reais e nem α + iβ nem α − iβ são ra´ızes do polinómio Q ∗ . 1o caso: Q tem ra´ızes complexas de multiplicidade 1, isto é, Q admite como divisores polinómios de grau 2, (uma u ńica vez cada polinómio), que não têm ra´ızes reais. Na decomposi¸caõ, a cada par de ra´ızes (α + iβ, α − iβ) vai corresponder uma parcela com a seguinte forma: Ax + B (x − α)2 + β 2 com A e B constantes a determinar.

EXEMPLO: Calculemos a primitiva da fun¸caõ f definida por f (x) = Como

x2 + 2 · (x − 1)(x2 + x + 1)

√ 1 3 (x − 1)(x2 + x + 1) = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = − ± i 2 2 podemos concluir que estas ra´ızes têm multiplicidade 1. Então x2 + 2 A Bx + C = + 2 (x − 1)(x + x + 1) x − 1 (x + 12 )2 +

3 4

=

A(x2 + x + 1) + (Bx + C)(x − 1) (x − 1)(x2 + x + 1)

=

(A + B)x2 + (A − B + C)x + A − C (x − 1)(x2 + x + 1)

80

4. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: Primitiva¸ c˜ ao

Pelo método dos coeficientes indeterminados temos   = 1  A+B  A = 1 A−B+C = 0 B = 0 ⇔   A−C = 2 C = −1

Assim:

e

1 −1 x2 + 2 = + 2 (x − 1)(x + x + 1) x − 1 (x + 12 )2 + 34 µ ¶ µ ¶ µ ¶ x2 + 2 1 −1 P = P +P (x − 1)(x2 + x + 1) x−1 (x + 12 )2 + 34 = log |x − 1| − P

A primitiva

µ

1 1 2 (x + 2 ) +

3 4

¶

.

µ

¶ 1 P (x + 12 )2 + 34 √ √ 1 1 3 3 calcula-se fazendo a substitui¸caõ x + = t, isto é, ϕ(t) = t − · (No caso geral, 2 2 2 2 sendo a + ib a raiz, a substitui¸caõ é x − a = bt). Então Ã √ ! 3 2 1 2 1 0 √ = √ arc tg(t), · =√ P 2 P f (ϕ(t)).ϕ (t) = P 3 2 3 2 3 t +1 3 ( t) + 2

portanto, P Finalmente,

µ

1 1 2 (x + 2 ) +

4

3 4

¶

2 = √ arc tg 3

2 P f (x) = log |x − 1| − √ arc tg 3

µ

µ

1 2 √ x+ √ 3 3

1 2 √ x+ √ 3 3

¶

¶

.

+ C.

2o caso: Q tem ra´ızes complexas de multiplicidade p, p > 1, isto é, Q admite como divisores polinómios de grau 2 que não têm ra´ızes reais, aparecendo p vezes cada polinómio na factoriza¸caõ de Q. Na decomposi¸caõ, a cada par de ra´ızes (α+iβ, α−iβ) vai corresponder uma soma de parcelas com a seguinte forma: Ap x + B p Ap−1 x + Bp−1 A1 x + B 1 + + ··· + 2 2 p 2 2 p−1 ((x − α) + β ) ((x − α) + β ) (x − α)2 + β 2 com Ap , Ap−1 , . . . , A1 , Bp , Bp−1 , . . . , B1 constantes a determinar. EXEMPLO: Calculemos a primitiva da fun¸caõ f definida por f (x) =

x4 − x3 + 6x2 − 4x + 7 · (x − 1)(x2 + 2)2

4.3 Primitiva¸ c˜ ao de fun¸ co ˜es racionais

Como

81

√ (x − 1)(x2 + 2)2 = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = ±i 2

e (x − 1)(x2 + 2)2 tem grau 5, podemos concluir que estas ra´ızes têm multiplicidade 1 e multiplicidade 2, respectivamente. Então A Dx + E x4 − x3 + 6x2 − 4x + 7 Bx + C = + 2 + 2 2 2 2 (x − 1)(x + 2) x − 1 (x + 2) x +2 =

A(x2 + 2)2 + (Bx + C)(x − 1) + (Dx + E)(x − 1)(x2 + 2) (x − 1)(x2 + 2)2

Pelo método dos coeficientes indeterminados temos  A = 1      B = 1 C = −1   D = 0    E = −1

Assim:

e P

µ

1 −1 x−1 x4 − x3 + 6x2 − 4x + 7 = + 2 + 2 2 2 2 (x − 1)(x + 2) x − 1 (x + 2) x +2

x4 − x3 + 6x2 − 4x + 7 (x − 1)(x2 + 2)2

¶

A primitiva

= P

µ

1 x−1

¶

+P

µ

x−1 (x2 + 2)2

= log |x − 1| + P

µ

= log |x − 1| + P

µ

x−1 (x2 + 2)2

¶

= log |x − 1| + P

µ

x−1 (x2 + 2)2

¶

x−1 (x2 + 2)2

¶

¶

+P

−P

Ã

−1 2 x +2 1 2

1+

x2 2

¶

!





√1 2

1   −√ P  ³ ´2  2 1 + √x2 1 − √ arc tg 2

Ã ! ¶ x−1 x−1 =P P √ 2 (x2 + 2)2 (x2 + 2 )2 √ √ calcula-se fazendo a substitui¸caõ x = 2 t, isto é, ϕ(t) = 2 t. Então µ

µ

µ

x √ 2

¶

.

82

4. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: Primitiva¸ c˜ ao

P f (ϕ(t)).ϕ0 (t) = P

Ã√

2t − 1 √ · 2 (2t2 + 2)2

!

! Ã√ √ 2 2t − 1 P = 4 (t2 + 1)2 Ã √ ! √ 1 2 2t = P − 4 (t2 + 1)2 (t2 + 1)2 ! √ Ã √ 2 2t 1 = P 2 −P 2 4 (t + 1)2 (t + 1)2 ! √ Ã√ 2 2 1 2 −2 = P 2t(t + 1) − P 2 4 2 (t + 1)2 ! √ Ã √ 2 2 2 2 2 1 + t − t = − (t + 1)−1 − P 4 2 (t2 + 1)2 √ µ ¶ 1 1 1 + t2 t2 2 = − 2 P 2 − −P 2 4t +1 4 (t + 1)2 (t + 1)2 √ µ ¶ 1 1 1 2 t 2t = − 2 P 2 − −P 4t +1 4 t +1 2 (t2 + 1)2

√ µ µ ¶¶ 1 1 1 t 1 1 2 = − 2 arc tg(t) − − 2 − +P 4t +1 4 t +1 2 2 t2 + 1

√ √ √ 1 1 t 2 2 2 = − 2 − arc tg(t) − + arc tg(t) 2 4t +1 4 4 2(t + 1) 8 √ 2t + 2 2 = − 2 − arc tg(t), 8(t + 1) 8 √

portanto, P Finalmente,

µ

x−1 (x2 + 2)2

¶

√ ¶ µ 2 x+2 x − arc tg √ . =− 4(x2 + 2) 8 2

√ ¶ µ x+2 5 2 x − P f (x) = log |x − 1| − arc tg √ + C. 8 4(x2 + 2) 2

4.3 Primitiva¸ c˜ ao de fun¸ co ˜es racionais

83

P (x) admite uma decomposi¸caõ da forma que aparece neste teorema, a sua Q(x) primitiva pode ser calculada recorrendo a primitivas de fun¸co˜es da forma NOTA: Se

Ax + B (x − α)2 + β 2

Cx + D , p > 1. [(x − α)2 + β 2 ]p

e

Temos no primeiro caso, usando a substitui¸caõ x − α = βt, ½ ¾ A(α + βt) + B Ax + B = Pt ·β P (x − α)2 + β 2 β 2 t2 + β 2 t= x−α β

Pt

A (α + βt) + B A α + B + A βt ·β =P 2 2 2 β t +β β(t2 + 1) A βt Aα+B + P β(t2 + 1) β(t2 + 1)

=P

=

Aα+B 1 t P 2 +AP 2 β t +1 t +1

=

Aα+B A arctg(t) + log(t2 + 1) β 2

Portanto, Aα+B Ax + B = P arctg (x − α)2 + β 2 β

µ

x−α β

¶

A + log 2

"µ

x−α β

¶2

#

+ 1 + C.

No segundo caso, usando a mesma substitui¸caõ, ½ ¾ Cx + D C(α + βt) + D P = Pt ·β . [(x − α)2 + β 2 ]p (β 2 t2 + β 2 )p t= x−α β

Pt

C α + D + C βt C (α + βt) + D ·β =P 2 2 2 p (β t + β ) β 2p−1 (t2 + 1)p =P

C α+D C βt + P 2p−1 2 p + 1) β (t + 1)p

β 2p−1 (t2

=

1 C t C α+D P 2 + 2p−2 P 2 2p−1 p β (t + 1) β (t + 1)p

=

1 C 1 1 C α+D P 2 − 2p−2 · · 2 2p−1 p β (t + 1) 2β p − 1 (t + 1)p−1

84

4. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: Primitiva¸ c˜ ao

Resta-nos calcular P Mas

1 · (t2 + 1)p

1 1 + t 2 − t2 1 t2 = = − (t2 + 1)p (t2 + 1)p (t2 + 1)p−1 (t2 + 1)p o que implica que

P

1 t2 1 = P − P (t2 + 1)p (t2 + 1)p−1 (t2 + 1)p =P =P =

(t2 (t2

1 t 2t −P · 2 p−1 + 1) 2 (t + 1)p t 1 1 + −P p−1 2 p−1 + 1) 2(p − 1)(t + 1) 2(p − 1)(t2 + 1)p−1

t 2p − 3 1 + , P 2 2 p−1 2(p − 1)(t + 1) 2p − 2 (t + 1)p−1

isto é, o cálculo da primitiva de

(t2

1 ficou apenas dependente do cálculo da primitiva + 1)p

1 , que por sua vez pode, de modo análogo, fazer-se depender do cálculo da + 1)p−1 1 1 primitiva de 2 , e assim sucessivamente até chegarmos a` primitiva de que p−2 (t + 1) 1 + t2 é imediata. de

(t2

Teorema 4.3.3 Se

P (x) é uma fun¸caõ racional irredut´ıvel, se o grau de P é menor que Q(x)

o grau de Q e se Q(x) = a0 (x − a)p · · · (x − b)q [(x − α)2 + β 2 ]r · · · [(x − γ)2 + δ 2 ]s então a fun¸caõ é decompon´ıvel numa soma da forma P (x) Ap A1 Bq B1 = + ··· + + ··· + + ··· + + p q Q(x) (x − a) x−a (x − b) x−b +

Mr x + N r M1 x + N 1 + · · · + + ···+ [(x − α)2 + β 2 ]r (x − α)2 + β 2 +

V1 x + Z 1 Vs x + Z s + ··· + 2 2 s [(x − γ) + δ ] (x − γ)2 + δ 2

onde Ap , . . . , A1 , Bq , . . . , B1 , Mr , Nr , . . . , M1 , N1 , Vs , Zs , . . . , V1 , Z1 são n´ umeros reais.

4.4 Primitiva¸ c˜ ao de fun¸ co ˜es alg´ ebricas irracionais

4.4

85

Primitiva¸c˜ ao de fun¸co ˜es alg´ ebricas irracionais

Vejamos agora alguns tipos de fun¸co˜es cuja primitiva¸caõ pode reduzir-se a` primitiva¸caõ de fun¸co˜es racionais com uma substitui¸caõ adequada. Introduza-se em primeiro lugar a no¸caõ de polinómio e fun¸caõ racional em várias variáveis. Defini¸c˜ ao 4.4.1 Designa-se por polin´ omio em duas vari´ aveis , x e y, com coeficientes reais, a aplica¸caõ P : R × R → R, dada por P (x, y) = amn xm y n + · · · + a11 xy + a10 x + a01 y + a00 , com m, n ∈ N0 , aij ∈ R. Define-se o grau de P como o maior inteiro i + j tal que aij 6= 0. Mais geralmente define-se, de modo análogo, polin´ omio em p vari´ aveis u 1 , . . . , up , → R, dada por como a aplica¸caõ P : R × · · · × R | {z } p vezes X P (u1 , . . . , up ) = ai1 ...ip ui11 . . . uipp , i1 ,...,ip

i1 , . . . , ip ∈ N0 , ai1 ...ip ∈ R e

X

uma soma finita em i1 , . . . , ip .

i1 ,...,ip

Defini¸c˜ ao 4.4.2 Se P (u1 , . . . , up ) e Q(u1 , . . . , up ) são dois polinómios em p variáveis, chama-se fun¸ ca õ racional em p vari´ aveis a uma aplica¸caõ da forma R(u1 , . . . , up ) =

P (u1 , . . . , up ) Q(u1 , . . . , up )

definida nos elementos (u1 , . . . , up ) ∈ R · · × R} tais que Q(u1 , . . . , up ) 6= 0. | × ·{z p vezes

Analisemos então algumas classes de fun¸co˜es suscept´ıveis de serem racionalizadas por convenientes mudan¸cas de variável. No que se segue R designa uma fun¸caõ racional dos seus argumentos. Expressão m

p

Substitui¸caõ r

f (x) = R(x n , x q , . . . , x s )

x = tµ µ = m.m.c.{n, q, . . . , s}

³ ¡ ¡ x+b ¢ rs ´ ¢ m ¡ a x+b ¢ pq x+b n f (x) = R x, ac x+d , c x+d , . . . , ac x+d

= tµ µ = m.m.c.{n, q, . . . , s}

f (x) = xα (a + b xβ )γ

xβ = t

a x+b c x+d

86

4. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: Primitiva¸ c˜ ao

EXEMPLO 1: Consideremos a fun¸caõ f (x) = √ usar é x = ϕ(t) = t6 e a primitiva a calcular é

1 1 √ = 1 caõ a 1 · A substitui¸ 3 x+ x x2 + x3

¶ µ 6t5 t3 1 1 5 2 · 6t = P 2 =6P =6 P t −t+1− P f (ϕ(t))ϕ (t) = P 3 t + t2 t (t + 1) t+1 t+1 µ 3 ¶ t t2 =6 − + t − log |t + 1| = 2t3 − 3t2 + 6t − 6 log |t + 1| 3 2 tendo-se assim √ √ √ √ 1 √ = 3 x − 3 3 x + 6 6 x − 6 log( 6 x + 1) + C. P√ 3 x+ x √ 2x + 3 √ · A substitui¸caõ 2x + 3 = t4 permite resolver o EXEMPLO 2: Seja f (x) = 1 − 4 2x + 3 problema. Temos ¶ µ t2 t5 1 0 3 4 3 2 P f (ϕ(t))ϕ (t) = P · 2t = −2 P = −2P t + t + t + t + 1 + 1−t t−1 t−1 µ 5 ¶ t t4 t3 t2 = −2 + + + + t + log |t − 1| 5 4 3 2 e 0

√ √ √ µ √ ( 4 2x + 3)5 ( 4 2x + 3)4 ( 4 2x + 3)3 ( 4 2x + 3)2 √ P f (x) = −2 + + + + 4 2x + 3 5 4 3 2 ¶ √ + log( 4 2x + 3) + C

p√ 2 3 x2 + 2. Fa¸camos a substitui¸caõ x 3 = t. Obtemos: √ 1 3 1 3 3 P f (ϕ(t))ϕ0 (t) = P t 2 (2 + t) 2 t 2 = P t2 2 + t 2 2 que, como vimos anteriormente (exemplo 2), se resolve fazendo a substitui¸caõ 2 + t = z 2 , isto é,

EXEMPLO 3: Seja f (x) = x

√ ª 3 3© P t2 2 + t = Pz (z 2 − 2)2 · z · 2z z=√2+t 2 2 ª 3© Pz 2(z 6 − 4z 4 + 4z 2 ) z=√2+t = 2 ½ 7 ¾ z5 z3 z = 3 −4 +4 7 5 3 z=√2+t ³√ ´7 12 ³√ ´5 ´3 3 ³√ = 2+t − 2+t +4 2+t 7 5

4.4 Primitiva¸ c˜ ao de fun¸ co ˜es alg´ ebricas irracionais

87

tendo-se finalmente q√ µq ¶7 ¶5 ¶3 µq µq 12 3 2 2 2 3 2 − +4 + C. x +2= x3 + 2 x3 + 2 x3 + 2 Px 7 5

Expressão

Substitui¸caõ √

a x2 + b x + c =

√

ax + t

se a > 0 √ f (x) = R(x,

√

a x2 + b x + c)

a x2 + b x + c = t x +

√

c

se c > 0 √

a x2 + b x + c = t (x − α) √ ou a x2 + b x + c = t (x − β) se α e β são zeros reais distintos de a x2 + b x + c 1 EXEMPLO 1: Consideremos a fun¸caõ f (x) = √ . Como a = 3 podemos 2 x 3x − x + 1 √ √ usar a substitui¸caõ 3x2 − x + 1 = 3 x + t, tendo-se: √ 3x2 − x√+ 1 = 3x2 + 2 3xt + t2 −x − 2 3xt = t2 − 1 1 − t2 √ = ϕ(t) x= 1 + 2 3t √ √ −2 3t2 − 2t − 2 3 0 √ o que implica ϕ (t) = · (2 3t + 1)2 A primitiva a calcular é √ √ 1 −2 3t2 − 2t − 2 3 µ ¶· √ P √ 1 − t2 1 − t2 (2 3t + 1)2 √ √ +t 3· 1 + 2 3t 1 + 2 3t √ √ −2 3t2 − 2t − 2 3 √ = P√ 3(1 − t2 )2 + t(1 − t2 )(2 3t + 1 √ √ −2( 3t2 + t + 3) √ √ = P √ ( 3 − 3t2 + 2 3t2 + t)(1 − t2 )

88

4. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: Primitiva¸ c˜ ao

1 = −2P = −2P 1 − t2

o que implica que

µ

1 2

1 2

¶

+ 1+t ¯ ¯ ¯1 − t¯ ¯ = log |1 − t| − log |1 + t| = log ¯¯ 1 + t¯ 1−t

¯ ¯ ¯ 1 − √3x2 − x + 1 + √3x ¯ 1 ¯ ¯ √ ¯ + C. √ = log ¯ P √ 2 2 ¯ x 3x − x + 1 1 + 3x − x + 1 − 3x ¯

1 · Tendo em conta que x −x2 + 4x − 3 √ −x2 + 4x − 3 = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = 3 podemos usar a substitui¸caõ −x2 + 4x − 3 = t(x − 3). EXEMPLO 2: Primitivemos a fun¸caõ f (x) =

√

√ −x2 + 4x − 3 = t(x − 3) p −(x − 3)(x − 1) = t(x − 3)

−(x − 3)(x − 1) = t2 (x − 3)2 −(x − 1) = t2 (x − 3) x=

3t2 + 1 = ϕ(t) t2 + 1

4t · + 1)2 A primitiva a calcular é

o que implica ϕ0 (t) =

(t2

1 4t µ 2 ¶· 2 3t + 1 3t + 1 (t + 1)2 · t − 3 t2 + 1 t2 + 1 4 = P 2 (3t + 1)(3t2 + 1 − 3t2 − 3) √ −2 2 = P 2 = − √ arc tg( 3t) 3t + 1 3 P

2

o que implica que √ 1 2 P √ = − √ arc tg( 3 · x −x2 + 4x − 3 3

√

−x2 + 4x − 3 ) + C. x−3

4.4 Primitiva¸ c˜ ao de fun¸ co ˜es alg´ ebricas irracionais

Expressão √ a2 − x 2 √ x2 − a 2 √ x2 + a 2

EXEMPLO 1: Seja f (x) = ϕ0 (t) = 3 cos(t) e

√

89

Substitui¸caõ x = a cos(t) ou x = a sen(t) x = a sec(t) ou x = a cosec(t) x = a tg(t) ou x = a cotg(t)

9 − x2 · Fa¸camos a substitui¸caõ x = 3 sen(t) = ϕ(t). Temos x2

p p 9 − 9 sen2 (t) 1 − sen2 (t) P f (ϕ(t))ϕ (t) = P · 3 cos(t) = P · cos(t) 9 sen2 (t) sen2 (t) cos2 (t) = P cotg2 (t) = P (cosec2 (t) − 1) = P sen2 (t) 0

= −cotg(t) − t e, assim, √ √ x x x 9 − x2 9 − x2 P = −cotg(arc sen( )) − arc sen( ) + C = − − arc sen( ) + C 2 x 3 3 x 3 EXEMPLO 2: Consideremos a fun¸caõ f (x) = ϕ(t). Temos ϕ0 (t) = 4 sec(t) tg(t) e

x3

√

1 e a substitui¸caõ x = 4 sec(t) = x2 − 16

1 p · 4 sec(t) tg(t) 43 sec3 (t) 16 sec2 (t) − 16 tg(t) tg(t) p = P =P 3 2 4 sec (t) tg(t) 43 sec2 (t) sec2 (t) − 1 1 1 1 = 3P = P cos2 (t) 4 sec2 (t) 43 µ ¶ t sen(2 t) 1 + = 3 4 2 4

P f (ϕ(t))ϕ0 (t) = P

e, assim, 1 1 √ P = 3 4 x3 x2 − 16

µ

sen(2 arc sec( x4 )) 1 x arc sec( ) + 2 4 4

EXEMPLO 3: Para calcular as primitivas de f (x) =

x2

√

¶

+C

1 podemos fazer a subsx2 + 4

90

4. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: Primitiva¸ c˜ ao

titui¸caõ x = 2 tg(t) = ϕ(t). Temos ϕ0 (t) = 2 sec2 (t) e 1 p · 2 sec2 (t) 2 2 4 tg (t) 4 tg (t) + 4 sec2 (t) sec2 (t) p = P = P 4 tg2 (t) sec(t) 4 tg2 (t) tg2 (t) + 1 1 1 sec(t) P 2 = P cotg(t) cosec(t) = 4 tg (t) 4 1 = − cosec(t) 4

P f (ϕ(t))ϕ0 (t) = P

e, assim, 1 1 x 1 √ P = − cosec(arc tg( )) + C = − 4 2 4 x2 x 2 + 4

√

x2 + 4 +C x

4.5 Primitiva¸ c˜ ao de fun¸ co ˜es transcendentes

4.5

91

Primitiva¸c˜ ao de fun¸co ˜es transcendentes

A substitui¸caõ tg

Expressão

Substitui¸caõ

f (x) = R(sen(x), cos(x))

tg( x2 ) = t

f (x) = R(sen(x), cos(x)) R(−y, −z) = R(y, z), ∀y, z

tg(x) = t

f (x) = R(ex )

ex = t

³x´ 2

= t conduz a uma fun¸caõ racional de t. De facto, de

sen(x) = 2 sen

³x´

. cos

³x´

tg

1 2 =2q ·q ¢ ¡ ¡ ¢ 1 + tg2 x2 1 + tg2 x2

2 2 ¡ ¢ tg x2 2t ¡ ¢= = 2 2 x 1 + t2 1 + tg 2

e

³x´

³x´

− sen2 2 2 ¡ ¢ 2 x 1 − tg 2 1 − t2 ¢ ¡ = = 1 + t2 1 + tg2 x2

cos(x) = cos2

¡x¢

¡ ¢ tg2 x2 1 ¡ ¢− ¡ ¢ = 1 + tg2 x2 1 + tg2 x2

conclui-se, tendo em conta que tg

³x´ 2

= t ⇒ x = 2 arc tg(t) = ϕ(t) ⇒ ϕ0 (t) =

P f (x) =

½

Pt R

µ

2t 1 − t2 , 1 + t2 1 + t2

¶

2 . 1 + t2

2 , 1 + t2

¾

tg( x2 )=t

A substitui¸caõ indicada serve no caso geral, mas em certos casos particulares são prefer´ıveis outras substitui¸co˜es. Assim, por exemplo, se R(sen(x), cos(x)) é fun¸caõ par em sen(x) e cos(x) (isto é, se não se altera ao mudarmos simultaneamente sen(x) para −sen(x) e cos(x) para − cos(x)), pode fazer-se a substitui¸caõ tg(x) = t, ou seja, ϕ(t) = arc tg(t) e sen(x) = √

t 1 + t2

e

cos(x) = √

EXEMPLO 1: Calculemos as primitivas de f (x) =

1 · 1 + t2

1 · A substitui¸caõ indicada 2 cos(x) + 1

92

é tg

4. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: Primitiva¸ c˜ ao

³x´ 2

= t: 1 2 2 =P · 2 2 1−t 1+t 3 − t2 + 1 2 1 +µt2 ¶ 1 1 1 = √ P √ +√ 3 3−t 3+t ¯ ¯√ ¯ 3 + t¯ √ √ 1 1 ¯ ¯ = √ (− log | 3 − t| + log | 3 + t|) = √ log ¯ √ ¯ ¯ 3 − t¯ 3 3 P

o que implica que

³ ´¯ ¯√ ¯ 3 + tg x ¯ ¯ 1 1 2 ´ ¯¯ + C. ³x = √ log ¯¯ √ P ¯ 2 cos(x) + 1 3 ¯ ¯ 3 − tg 2

EXEMPLO 2: Para calcular as primitivas de f (x) =

cos2 (x)

tui¸caõ tg(x) = t e obtemos P

e, portanto,

1 2

·

1 1 =P 2 1+t 1 − t2

t 1 − 2 1 +µt 1 + t2 ¶ 1 1 1 P + = 2 1−t 1+t ¯ ¯ ¯1 + t¯ 1 1 ¯ ¯ (− log |1 − t| + log |1 + t|) = log ¯ = 2 2 1 − t¯ ¯ ¯ ¯ 1 + tg(x) ¯ 1 1 ¯+C P = log ¯¯ cos2 (x) − sen2 (x) 2 1 − tg(x) ¯

1 usa-se a substitui¸caõ ex = t: +1 ¯ ¯ ¯ t ¯ 1 1 −1 1 ¯ ¯ P · =P + P = − log |1 + t| + log |t| = log ¯ t+1 t 1+t t 1 + t¯

EXEMPLO 3: Para primitivar a fun¸caõ f (x) =

e

1 fazemos a substi− sen2 (x)

1 P x = log e +1

µ

ex

ex ex + 1

¶

+ C.

As fun¸co˜es do tipo f (x) = sen(ax)sen(bx), com a e b constantes, |a| 6= |b|, podem primitivar-se tendo em conta que sen(ax).sen(bx) =

1 [cos(a − b)x − cos(a + b)x] 2

4.5 Primitiva¸ c˜ ao de fun¸ co ˜es transcendentes

93

e conclui-se que P sen(ax).sen(bx) = De modo análogo, P cos(ax). cos(bx) =

sen(a − b)x sen(a + b)x − +C 2(a − b) 2(a + b) sen(a − b)x sen(a + b)x + +C 2(a − b) 2(a + b)

Se pretendermos primitivar um produto de vários factores sen(am x) e cos(bn x) podemos come¸car por substituir por uma soma o produto de dois dos factores; depois substituem-se por somas os novos produtos obtidos por associa¸caõ de novos pares de factores; e assim sucessivamente até esgotar todos os factores. EXEMPLO: P sen(3x) cos(5x)sen(6x) 1 = P (sen(8x) + sen(−2x)) sen(6x) 2 1 1 1 1 P (cos(2x) − cos(14x)) − P (cos(−4x) − cos(8x)) = 2 2 2 2 1 1 1 1 = P cos(2x) − P cos(14x) − P cos(4x) + P cos(8x) 4µ 4 4 4¶ sen(14x) sen(4x) sen(8x) +C = 18 sen(2x) − − + 7 2 4

As fun¸co˜es do tipo f (x) = p(x)eax , onde p é um polinómio de grau n em x e a é uma constante, primitivam-se por partes: 1 1 P p(x)eax = eax p(x) − P eax p0 (x). a a A primitiva que aparece no segundo membro é ainda do mesmo tipo, mas mais simples, pois o grau de p0 (x) é inferior em uma unidade ao grau de p(x). Aplicando novamente o mesmo processo até chegar a um polinómio de grau zero, obtém-se µ ¶ (n) p0 (x) p00 (x) (x) eax np p(x) − P f (x) = + 2 + · · · + (−1) + C. a a a an EXEMPLO: Primitivemos a fun¸caõ f (x) = (x2 + 2x + 1)e3x . 1 1 P (x2 + 2x + 1)e3x = (x2 + 2x + 1)e3x − P (2x + 2)e3x 3 3 ¶ µ 1 1 1 = (x2 + 2x + 1)e3x − (2x + 2)e3x + P 2e3x 3 3 3 µ ¶ 1 3x 1 2 = (x2 + 2x + 1) − (2x + 2) + + C. e 3 3 9

94

4. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: Primitiva¸ c˜ ao

As primitivas que obtivemos foram sempre fun¸co˜es elementares, isto é, fun¸co˜es algébricas, a fun¸caõ exponencial, as fun¸co˜es trigonométricas e as trigonométricas inversas e, de um modo geral, as fun¸co˜es que se possam obter por composi¸caõ destas em n´ umero finito. Por outras palavras, aprendemos a calcular primitivas de fun¸co˜es elementarmente primitiváveis. Nem todas as fun¸co˜es estão nesta situa¸caõ. No entanto, Teorema 4.5.4 Toda a fun¸caõ cont´ınua num intervalo [a, b] é primitivável nesse intervalo.

Cap´ıtulo 5 Fun¸co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral 5.1

Integral de Riemann: Defini¸c˜ ao e propriedades

Defini¸c˜ ao 5.1.1 Sejam a, b ∈ R, a < b. Dados n + 2 pontos a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn < xn+1 = b, ao conjunto dos subintervalos da forma [xi , xi+1 ], i = 0, 1, . . . , n, chama-se parti¸ ca õ de [a, b]. NOTAS: 1. A parti¸caõ é um conjunto de subconjuntos, mais precisamente: P = {[xi , xi+1 ] : i ∈ N0 , 0 ≤ i ≤ n}.

O nome parti¸caõ resulta de ∪ni=0 [xi , xi+1 ] = [a, b] e do facto de dados dois quaisquer elementos de P a sua interseçcaõ ou é vazia ou se reduz a um ponto.

2. A parti¸caõ P fica bem definida pelo conjunto P = {a = x0 , x1 , x2 , . . . , xn−1 , xn , xn+1 = ´ claro que, b} pelo que podemos identificar a parti¸caõ P com o conjunto P . E pelo modo como definimos a parti¸caõ, consideramos o conjunto P ordenado, isto é, xi < xi+1 , i = 0, 1, . . . , n. Defini¸c˜ ao 5.1.2 Sejam a, b ∈ R, a < b. Dadas duas parti¸co˜es P1 e P2 , diz-se que P1 é mais fina que P2 se todos os elementos de P1 estão contidos em elementos de P2 . NOTA: Tendo em conta a Nota 2, a seguir a` defini¸caõ anterior, se P1 e P2 forem os conjuntos de pontos que definem P1 e P2 , respectivamente, a Defini¸caõ 5.1.2 poderia ser enunciada do seguinte modo: P1 é mais fina que P2 se P2 ⊂ P1 .

Proposi¸c˜ ao 1 Sejam a, b ∈ R, a < b. Dadas duas parti¸co˜es de [a, b], P 1 e P2 , existe uma parti¸caõ de [a, b], P3 , mais fina que P1 e P2 . Demonstra¸caõ: Tendo em conta a Nota 2 a seguir a` Defini¸caõ 5.1.1 e a nota a seguir a` Defini¸caõ 5.1.2, se P1 e P2 são os conjuntos de pontos que definem P1 e P2 , basta tomar a parti¸caõ P3 definida por P3 = P1 ∪ P2 .

96

5. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

Defini¸c˜ ao 5.1.3 Sejam a, b ∈ R, a < b, f : [a, b] → R uma fun¸caõ limitada e P uma parti¸caõ de [a, b]. Chama-se soma inferior de Darboux de f , relativa à parti¸caõ P a n X sP (f ) = (xi+1 − xi ) i=0

inf

x∈[xi ,xi+1 ]

f (x).

Chama-se soma superior de Darboux de f , relativa à parti¸caõ P a SP (f ) =

n X i=0

(xi+1 − xi )

sup

f (x).

x∈[xi ,xi+1 ]

NOTAS: 1. As somas superior e inferior estão bem definidas. Como f é limitada em [a, b], f é limitada em [xi , xi+1 ], isto é, o conjunto {f (x) : x ∈ [xi , xi+1 ]} é limitado e, portanto, tem ´ınfimo e supremo. ´ o´bvio que sP (f ) ≤ SP (f ). Veremos que esta propriedade se pode generalizar: para 2. E uma fun¸caõ limitada em [a, b], qualquer soma superior é maior ou igual a qualquer soma inferior. 3. Se f é uma fun¸caõ não negativa em [a, b], dada uma parti¸caõ P, a soma inferior de Darboux é igual a` soma das a´reas dos rectângulos cujos lados têm comprimento xi+1 − xi e inf f (x) (ver Figura 5.1). x∈[xi ,xi+1 ]

y

a

x 1 x 2 x 3 x 4 x5 x 6 x 7 x 8

x 9 x 10 b

x

Figura 5.1: Soma inferior de Darboux.

Analogamente, a soma superior de Darboux é igual a` soma das a´reas dos rectângulos cujos lados têm comprimento xi+1 − xi e sup f (x) (ver Figura 5.2). x∈[xi ,xi+1 ]

5.1 Integral de Riemann: Defini¸ c˜ ao e propriedades

97

Figura 5.2: Soma superior de Darboux.

Proposi¸c˜ ao 2 Sejam a, b ∈ R, a < b, f : [a, b] → R uma fun¸caõ limitada, P 1 e P2 duas parti¸co˜es de [a, b], P1 mais fina que P2 . Então: sP2 (f ) ≤ sP1 (f ) ≤ SP1 (f ) ≤ SP2 (f ). Demonstra¸caõ: Da Defini¸caõ 5.1.2, para cada [xi , xi+1 ] ∈ P2 , existem [yj , yj+1 ] ∈ P1 , j = i ki , . . . , pi , tais que ∪pj=k [yj , yj+1 ] = [xi , xi+1 ]. Então i inf

x∈[xi ,xi+1 ]

pelo que

pi X

j=ki

=

(yj+1 − yj )

f (x) ≤

inf

inf

x∈[xi ,xi+1 ]

f (x)

X

j=ki

f (x) ≥

f (x), j = ki , . . . , pi ,

pi X

(yj+1 − yj )

x∈[xi ,xi+1 ]

(yj+1 − yj ) = (xi+1 − xi )

x∈[xi ,xi+1 ]

x∈[yj ,yj+1 ] pi

inf

x∈[yj ,yj+1 ]

j=ki

inf

f (x) =

inf

f (x).

Somando estas expressões (de i = 0 a i = n) obtém-se sP2 (f ) ≤ sP1 (f ). Analogamente se obtinha SP1 (f ) ≤ SP2 (f ). A proposi¸caõ fica demonstrada tendo em conta que sP1 (f ) ≤ SP1 (f ) (ver Nota 2 a seguir a` Defini¸caõ 5.1.3). Proposi¸c˜ ao 3 Sejam a, b ∈ R, a < b, f : [a, b] → R uma fun¸caõ limitada, P 1 e P2 duas parti¸co˜es de [a, b]. Então: sP1 (f ) ≤ SP2 (f ) e sP2 (f ) ≤ SP1 (f ). Demonstra¸caõ: Pela Proposi¸caõ 1 existe uma parti¸caõ P3 mais fina que P1 e P2 . Pela Proposi¸caõ 2, sP1 (f ) ≤ sP3 (f ) ≤ SP3 (f ) ≤ SP2 (f ) e sP2 (f ) ≤ sP3 (f ) ≤ SP3 (f ) ≤ SP1 (f ). NOTA: Resulta desta proposi¸caõ que se a, b ∈ R, a < b, f : [a, b] → R é uma fun¸caõ limitada, o conjunto das somas superiores é minorado (todas as somas inferiores são minorantes) e o conjunto das somas inferiores é majorado (todas as somas superiores são majorantes); estes conjuntos têm, pois, ´ınfimo e supremo, respectivamente.

98

5. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

Defini¸c˜ ao 5.1.4 Sejam a, b ∈ R, a < b e f : [a, b] → R uma fun¸caõ limitada. Ao ´ınfimo do conjunto das somas superiores de f chama-se integral superior de f em Rb [a, b] e representa-se por a f (x) dx. Ao supremo do conjunto das somas inferiores de f Rb Rb chama-se integral inferior de f em [a, b] e representa-se por a f (x) dx. Se a f (x) dx = Rb f (x) dx, diz-se que f é integr´ avel à Riemann em [a, b]; a este n´ umero chama-se ina Rb Rb Rb tegral de f em [a, b] e representa-se a f (x) dx = a f (x) dx = a f (x) dx. NOTAS:

1. Sejam a, b ∈ R, a < b e f : [a, b] → R uma fun¸caõ limitada. O integral superior de f em [a, b] e o integral inferior de f em [a, b] existem (ver nota antes da defini¸caõ). No entanto a fun¸caõ pode não ser integrável; consideremos, por exemplo, a fun¸caõ     1, x ∈ [0, 1] ∩ Q f (x) =    0, x ∈ [0, 1] \ Q

Como entre quaisquer dois pontos existem racionais e irracionais,Z dada uma par1 ti¸caõ qualquer, P, inf f (x) = 0 e sup f (x) = 1, pelo que f (x) dx = 0 e x∈[xi ,xi+1 ]

Z

x∈[xi ,xi+1 ]

0

1

f (x) dx = 1. 0

2. Se f é cont´ınua, não negativa e integrável em [a, b], o integral de f é igual a` a´rea da figura limitada pelo gráfico de f e pelas rectas x = a, x = b e y = 0 (eixo dos xx) (ver Figura 5.3). Para nos convencermos deste facto, basta ter em conta as figuras 5.1 e 5.2 e a defini¸caõ. O integral é o ´ınfimo do conjunto das somas superiores, que são todas maiores ou iguais que aquela a´rea (ver Figura 5.2), portanto o integral é maior ou igual que a a´rea da figura referida. Por outro lado, o integral também é o supremo do conjunto das somas inferiores, que são todas menores ou iguais que aquela a´rea (ver Figura 5.1) portanto o integral é menor ou igual que a a´rea da figura referida. Conclui-se assim que o integral é igual a` a´rea da figura.

Proposi¸c˜ ao 4 Se a < b e f (x) = c, ∀x ∈ [a, b], então

Rb a

f (x) dx = c (b − a)

Demonstra¸caõ: Qualquer que seja a parti¸caõ P, sP (f ) = SP (f ) = c (b − a). Proposi¸c˜ ao 5 Se a < b e f, g : [a, b] → R são duas funcões integráveis em [a, b] tais que Rb Rb f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b], então a f (x) dx ≤ a g(x) dx.

5.1 Integral de Riemann: Defini¸ c˜ ao e propriedades

99

Figura 5.3: O integral ´ e igual a` a´rea da figura indicada.

Demonstra¸caõ: Qualquer que seja a parti¸caõ P, sP (f ) ≤ sP (g) pelo que, os integrais, (que, por hipótese, existem e são iguais aos supremos dos conjuntos das somas inferiores) verificam a desigualdade. Proposi¸c˜ ao 6 Sejam a, b ∈ R, a < b e f : [a, b] → R uma fun¸caõ limitada. f é integrável se, e só se, para todo o ε > 0 existe uma parti¸caõ P tal que SP (f ) − sP (f ) < ε. Demonstra¸caõ: Suponhamos que f é integrável e seja ε > 0, qualquer. Visto que o integral é o supremo do conjunto das somas inferiores, existe uma parti¸caõ P1 tal que sP1 (f ) >

Z

b a

f (x) dx − ε/2;

(5.1)

analogamente, visto que o integral é o ´ınfimo do conjunto das somas superiores, existe uma parti¸caõ P2 tal que Z b SP2 (f ) < f (x) dx + ε/2. (5.2) a

Rb

Então, SP2 (f ) − ε/2 < a f (x) dx < sP1 (f ) + ε/2 donde obtemos SP2 (f ) < sP1 (f ) + ε. Se tomarmos uma parti¸caõ P, mais fina que P1 e P2 então, pela Proposi¸caõ 2, SP (f ) ≤ SP2 (f ) < sP1 (f ) + ε ≤ sP (f ) + ε. Reciprocamente, suponhamos que para todo o ε > 0 existe uma parti¸caõ P tal que Rb SP (f ) − sP (f ) < ε, isto é, SP (f ) < sP (f ) + ε. Então, a f (x) dx ≤ SP (f ) < sP (f ) + ε ≤ Rb Rb Rb f (x) dx + ε, pelo que, para todo o ε > 0, 0 ≤ a f (x) dx − a f (x) dx ≤ ε, o que só é a Rb Rb poss´ıvel se a f (x) dx = a f (x) dx. Proposi¸c˜ ao 7 Se a < b e f, g : [a, b] → R são duas funcões integráveis em [a, b] então Rb Rb Rb f + g é integrável em [a, b] e a (f + g)(x) dx = a f (x) dx + a g(x) dx.

100

5. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

Demonstra¸caõ: Visto que, para cada i, inf

x∈[xi ,xi+1 ]

f (x) ≤ f (x) ≤

x∈[xi ,xi+1 ]

g(x) ≤ g(x) ≤

x∈[xi ,xi+1 ]

sup

f (x), ∀x ∈ [xi , xi+1 ]

e inf

x∈[xi ,xi+1 ]

sup

g(x), ∀x ∈ [xi , xi+1 ],

então inf

x∈[xi ,xi+1 ]

f (x)+

inf

x∈[xi ,xi+1 ]

g(x) ≤ f (x)+g(x) ≤

sup

f (x)+

x∈[xi ,xi+1 ]

sup x∈[xi ,xi+1 ]

g(x), ∀x ∈ [xi , xi+1 ],

pelo que inf

x∈[xi ,xi+1 ]

≤

f (x) +

sup x∈[xi ,xi+1 ]

inf

x∈[xi ,xi+1 ]

g(x) ≤

(f (x) + g(x)) ≤

inf

x∈[xi ,xi+1 ]

sup x∈[xi ,xi+1 ]

(f (x) + g(x)) ≤

f (x) +

sup

g(x)

x∈[xi ,xi+1 ]

Usando estas desigualdades e recorrendo a` defini¸caõ, obtemos, para qualquer parti¸caõ, sP (f ) + sP (g) ≤ sP (f + g) ≤ SP (f + g) ≤ SP (f ) + SP (g)

(5.3)

Seja ε > 0, qualquer. Pela Proposi¸caõ 6 (desigualdades 5.1 e 5.2) existem parti¸co˜es P1 , P2 , P3 e P4 tais que Z b Z b ε ε f (x) dx − ≤ sP1 (f ) ≤ SP2 (f ) ≤ f (x) dx + 2 2 a a e

Z

Z b ε ε g(x) dx − ≤ sP3 (g) ≤ SP4 (g) ≤ g(x) dx + 2 2 a a Se considerarmos uma parti¸caõ P mais fina que P1 , P2 , P3 e P4 , as u ´ltimas desigualdades continuam válidas, com as Pi substitu´ıdas por P e, adicionando, Z b Z b Z b Z b f (x) dx+ g(x) dx−ε ≤ sP (f )+sP (g) ≤ SP (f )+SP (g) ≤ f (x) dx+ g(x) dx+ε a

b

a

a

a

Usando agora as desigualdades 5.3, obtemos Z b Z b Z b Z b g(x) dx + ε. f (x) dx + g(x) dx − ε ≤ sP (f + g) ≤ SP (f + g) ≤ f (x) dx + a

a

a

a

Rb Rb Conclu´ımos assim que a f (x) dx + a g(x) dx é o supremo das somas inferiores e o Rb Rb Rb ´ınfimo das somas superiores de f + g, isto é, a f (x) dx + a g(x) dx = a (f (x) + g(x)) dx. Proposi¸c˜ ao 8 Se a < b, se f : [a, b] → R é integrável em [a, b] e c ∈ R, então c f é Rb Rb integrável em [a, b] e a (c f )(x) dx = c a f (x) dx.

5.1 Integral de Riemann: Defini¸ c˜ ao e propriedades

101

Demonstra¸caõ: Se c = 0, cf ≡ 0 em [a, b] e aplica-se a Proposi¸caõ 4. Se c > 0, seja P uma parti¸caõ de [a, b]. Como, para cada i, inf (cf (x)) = c inf (f (x))

[xi ,xi+1 ]

e

[xi ,xi+1 ]

sup (cf (x)) = c sup (f (x)), [xi ,xi+1 ]

[xi ,xi+1 ]

então sP (cf ) = c sP (f ) e SP (cf ) = c SP (f ). Tomando o supremo das somas inferiores e o ´ınfimo das somas superiores, obtemos: Z

b

(c f )(x) dx = c a

Se c = −1,

Z

b

f (x) dx = c a

Z

b a

Z b Z b (c f )(x) dx f (x) dx = c f (x) dx = a

inf (−f (x)) = − sup (f (x)) e

[xi ,xi+1 ]

[xi ,xi+1 ]

a

sup (−f (x)) = − inf (f (x)), pelo [xi ,xi+1 ]

[xi ,xi+1 ]

que sP (−f ) = −SP (f ) e SP (−f ) = −sP (f ); então, Z

b a

(−f )(x) dx = −

Z

b

f (x) dx a

e

Z

b a

(−f )(x) dx = −

Z

b

f (x) dx a

Rb Rb e destas igualdades conclu´ımos que a (−f )(x) dx = − a f (x) dx. Tendo em conta os casos estudados a proposi¸caõ fica demonstrada (se c < 0, basta observar que c = −1 (−c) e aplicar o que se mostrou anteriormente). Proposi¸c˜ ao 9 Se a < b, se f : [a, b] → R é integrável em [a, b] e se g difere de f apenas Rb Rb num ponto, então g é integrável em [a, b] e a f (x) dx = a g(x) dx. Demonstra¸caõ: Seja M > 0 tal que |f (x)| ≤ M ∧ |g(x)| ≤ M, ∀x ∈ [a, b]. Dado ε > 0 qualquer, consideremos uma parti¸caõ P1 de [a, b] tal que Z

b a

ε f (x) dx − ≤ sP1 (f ) ≤ SP1 (f ) ≤ 2

Z

b a

ε f (x) dx + . 2

ε Tomemos uma parti¸caõ P, mais fina que P1 , tal que xi+1 − xi < , i = 0, . . . , n. Como 8M f e g diferem apenas num ponto, digamos c, as respectivas somas superiores e inferiores diferem (eventualmente) apenas nas parcelas que contêm c (duas no caso de c ser um dos xi , uma no caso contrário). Como |f (c) − g(c)| ≤ 2M , as somas superiores e inferiores diferem, quando muito de ε/2. Então, Z

b a

f (x) dx − ε ≤ sP (g) ≤ SP (g) ≤

Z

b

f (x) dx + ε, a

donde deduzimos o resultado. Corol´ ario 1 Se a < b, se f : [a, b] → R é integrável em [a, b] e se g difere de f apenas Rb Rb num n´ umero finito de pontos, então g é integrável em [a, b] e a f (x) dx = a g(x) dx.

102

5. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

Demonstra¸caõ: Se g difere de f em m pontos, p1 , p2 , . . . , pm , basta aplicar a proposi¸caõ m vezes: considera-se a fun¸caõ f1 que é igual a f excepto em p1 , onde é igual a g, e aplica-se a proposi¸caõ; considera-se a fun¸caõ f2 que é igual a f1 excepto em p2 , onde é igual a g, e aplica-se a Proposi¸caõ; assim sucessivamente, até chegarmos a fm , que é igual a g. Proposi¸c˜ ao 10 Se a ≤ c < d ≤ b e se f : [a, b] → R é integrável em [a, b], então f é Rb Rd integrável em [c, d] e c f (x) dx = a g(x) dx onde     f (x), se x ∈ [c, d] g(x) =    0, se x ∈ / [c, d] Demonstra¸caõ: Dado ε > 0 qualquer, consideremos uma parti¸caõ P1 de [a, b] tal que SP1 (f ) − sP1 (f ) < ε/2 (Proposi¸caõ 6). Se ao conjunto dos pontos que definem P1 acrescentarmos c e d, obtemos uma parti¸caõ P, mais fina que P1 , pelo que SP (f )−sP (f ) < ε/2. Se considerarmos agora a parti¸caõ P 0 de [c, d], que se obtém de P por considerar apenas os elementos contidos em [c, d], verifica-se obviamente SP 0 (f ) − sP 0 (f ) < ε/2. Pela Proposi¸caõ 6, deduzimos que f é integrável em [c, d]. Falta-nos demonstrar a igualdade dos integrais. Supomos que a < c < d < b. Se a = c ou d = b, as adapta¸co˜es (de facto, simplifica¸co˜es) são evidentes. Procedemos, agora, de modo semelhante ao da demonstra¸caõ da Proposi¸caõ 9. Sejam M tal que |g(x)| ≤ M, ∀x ∈ [a, b] e P2 uma parti¸caõ de [a, b], mais fina que P, tal que os elementos de P2 em que c é extremo direito e os elementos de P2 em que d é extremo esquerdo têm comprimento menor ou igual a ε/(2M ). Se P20 é a parti¸caõ de [c, d] que se obtém de P2 por considerar apenas os elementos contidos em [c, d], sP20 (f ) e sP2 (g) apenas diferem (eventualmente) em duas parcelas: as que correspondem ao elemento de P2 em que c é extremo direito e ao elemento de P2 em que d é extremo esquerdo. O mesmo acontece em rela¸caõ a SP20 (f ) e SP2 (g). Então, sP20 (f ) − ε ≤ sP2 (g) ≤ SP2 (g) ≤ SP20 (f ) + ε Z b Z d g(x) dx. f (x) dx = pelo que conclu´ımos que c

a

Proposi¸c˜ ao 11 Se a < c < b e f : [a, b] → R é integrável em [a, b], então Rc Rb f (x) dx + c f (x) dx. a

Demonstra¸caõ: Consideremos as fun¸co˜es     f (x), x ∈ [a, c] g(x) =    0, x ∈]c, b]

e

h(x) =

    0,

   f (x),

Rb a

f (x) dx =

x ∈ [a, c[ x ∈ [c, b]

5.1 Integral de Riemann: Defini¸ c˜ ao e propriedades

103

Obviamente, f = g + h. Pelas Proposi¸co˜es 10 e 7: Z b Z b Z b Z b Z c Z b f (x) dx = (g + h)(x) dx = g(x) dx + h(x) dx = f (x) dx + f (x) dx a

a

a

a

a

c

Defini¸c˜ ao 5.1.5 Sejam a, b ∈ R, a < b e f : [a, b] → R uma fun¸caõ integrável. Define-se Z a Z b Z a f (x) dx = − f (x) dx e também f (x) dx = 0 b

a

a

Proposi¸c˜ ao 12 Quaisquer que sejam a, b, c ∈ R, sempre que os três integrais existam.

Z

b

f (x) dx = a

Z

c

f (x) dx + a

Z

b

f (x) dx, c

Demonstra¸caõ: Se a < c < b, trata-se da Proposi¸caõ 11. Se c < a < b, então, pela Rb Rc Rb Ra Rb Proposi¸caõ 11, c f (x) dx = c f (x) dx + a f (x) dx = − a f (x) dx + a f (x) dx, donde obtemos o resultado. Os restantes casos resolvem-se do mesmo modo. Proposi¸c˜ ao 13 Sejam a, b ∈ R e a < b. Se f, g : [a, b] → R são duas fun¸co˜es integráveis em [a, b], então f g é integrável em [a, b]. Não demonstraremos esta proposi¸caõ. A sua demonstra¸caõ, embora poss´ıvel a este n´ıvel, seria demasiado longa para os propósitos deste curso.

104

5.2

5. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

Classes de fun¸co ˜es integr´ aveis

Teorema 5.2.1 Sejam a, b ∈ R, a < b. Se f é cont´ınua em [a, b] então é integrável em [a, b]. Demonstra¸caõ: Pelo Teorema de Cantor, f é uniformemente cont´ınua em [a, b]. Dado ε > 0, qualquer, existe θ > 0 tal que ∀x, y ∈ [a, b], |x − y| < θ ⇒ |f (x) − f (y)| < ε/(b − a). Se tomarmos uma parti¸caõ, P, em que todos os seus elementos tenham comprimento menor que θ, então |f (x) − f (y)| < ε/(b − a), ∀x, y ∈ [xi , xi+1 ], i = 0, . . . , n pelo que sup f (x) − inf f (x) = max f (x) − min f (x) < ε/(b − a), i = 0, . . . , n. x∈[xi ,xi+1 ]

x∈[xi ,xi+1 ]

x∈[xi ,xi+1 ]

x∈[xi ,xi+1 ]

Daqui se conclui que SP (f ) − sP (f ) = <

n X

n X i=0

i=0

(xi+1 − xi ) (

(xi+1 − xi )

sup x∈[xi ,xi+1 ]

f (x) −

inf

x∈[xi ,xi+1 ]

f (x)) <

ε ε = (b − a) = ε. b−a b−a

Pela Proposi¸caõ 6, f é integrável em [a, b]. Teorema 5.2.2 Sejam a, b ∈ R, a < b, f : [a, b] → R uma fun¸caõ limitada. Se f é cont´ınua em [a, b], excepto num n´ umero finito de pontos, então é integrável em [a, b]. Demonstra¸caõ: Suponhamos que f é cont´ınua em [a, b] excepto num ponto c ∈]a, b[. Sejam ε > 0, qualquer e M > 0 tal que |f (x)| ≤ M, ∀x ∈ [a, b]. Então pelo Teorema 5.2.1, f é integrável em [a, c − ε/(12M )] e em [c + ε/(12M ), b] (podemos sempre tomar ε suficientemente pequeno para nenhum destes intervalos ser vazio ou se reduzir a um ponto), pelo que, pela Proposi¸caõ 6, existem parti¸co˜es P1 e P2 de [a, c − ε/(12M )] e [c + ε/(12M ), b], respectivamente, tais que SP1 (f ) − sP1 (f ) < ε/3 e SP2 (f ) − sP2 (f ) < ε/3. Se considerarmos a parti¸caõ P, de [a, b], formada pelos elementos de P1 , por C = [c − ε/(12M ), c + ε/(12M )] e pelos elementos de P2 , então SP (f ) − sP (f ) < ε (note-se que sup f (x) − inf f (x) ≤ 2 M e que o comprimento de C é ε/(6M )). Tendo em conta a x∈C

x∈C

Proposi¸caõ 6, f é integrável em [a, b]. Se f não for cont´ınua num dos extremos do intervalo, procede-se do mesmo modo, com as adapta¸co˜es evidentes. O mesmo acontece para o caso em que há vários pontos de descontinuidade. Apenas temos que considerar vários conjuntos “C”, um para cada ponto de descontinuidade, e adaptar as constantes. Teorema 5.2.3 Sejam a, b ∈ R, a < b e f : [a, b] → R uma fun¸caõ limitada. Se f é monótona em [a, b], então é integrável em [a, b]. Demonstra¸caõ: Vamos fazer a demonstra¸caõ supondo que f é crescente. Para f decrescente, as técnicas são as mesmas com as adapta¸co˜es evidentes.

5.2 Classes de fun¸ co ˜es integr´ aveis

105

Sejam ε > 0 e M = sup f (x) − inf f (x) = f (b) − f (a). Se M = 0, então f é x∈[a,b]

x∈[a,b]

constante em [a, b], pelo que é integrável. Se M > 0, seja P uma parti¸caõ de [a, b] tal que todos os seus elementos têm comprimento menor que ε/M . Como f é crescente, então inf f (x) = f (xi ) e sup f (x) = f (xi+1 ), pelo que x∈[xi ,xi+1 ]

sP =

n X i=0

x∈[xi ,xi+1 ]

n X (xi+1 − xi ) f (xi+1 ) (xi+1 − xi ) f (xi ) e SP = i=0

donde (note-se que f (xi+1 ) − f (xi ) ≥ 0) n X ε (xi+1 − xi ) (f (xi+1 ) − f (xi )) ≤ SP − s P = (f (xi+1 ) − f (xi )) = M i=0 i=0 n X

n ε ε X (f (xi+1 ) − f (xi )) = (f (b) − f (a)) = ε. = M i=0 M

Pela Proposi¸caõ 6, f é integrável em [a, b]. EXEMPLO: A fun¸caõ

f (x) =

    0,

se x = 0,

 1 1 1   , se a, e se o integral indefinido Z x g(t) dt a

tem limite finito quando x → +∞, poderemos escrever Z +∞ Z x g(t) dt = lim g(t) dt. x→+∞

a

a

ecie: defini¸c˜ ao e crit´ erios de A. Integrais impr´ oprios de 1a esp´ convergˆ encia Defini¸c˜ ao 5.5.1 Sejam a ∈ R e f uma fun¸caõ definida no intervalo [a, +∞[. Suponhamos que f é integrável em qualquer intervalo [a, x] com x > a. Seja, para cada x > a, Z x f (t) dt. F (x) = a

Chama-se integral impr´ oprio de 1a esp´ ecie de f em [a, +∞[ a Z x lim f (t) dt x→+∞

a

114

5. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

e designa-se por

Z

+∞

f (t) dt. a

a) Se F (x) tem limite finito quando x → +∞, diz-se que f Zé integrável (em sentido +∞ f (t) dt existe, tem impróprio) no intervalo [a, +∞[ ou que o integral impróprio a

sentido ou é convergente. b) Se F (x) não tem limite ou tem limite infinito quando xZ→ +∞, diz-se que f não +∞ é integrável no intervalo [a, +∞[ ou que o integral impróprio f (t) dt não existe ou a

é divergente.

EXEMPLO 1: Consideremos o integral lim

x→+∞

e este limite não existe.

Z

x 0

Z

cos(x) dx. Este integral é divergente porque: 0

x→+∞

Z

+∞

+∞

f (t) dt = lim [ sen(t) ]x0 = lim sen(x)

EXEMPLO 2: Consideremos o integral Como

Z

Z

+∞ 1

x→+∞

1 ´ um integral impróprio de 1a espécie. dx. E x

x

1 1 dx = lim dt = lim [ log(t) ]x1 = lim log(x) = +∞ x→+∞ x→+∞ x→+∞ x 1 1 t o integral impróprio é divergente. Z +∞ e−x dx é um integral impróprio de 1a espécie convergente: EXEMPLO 3: O integral 0

Z

+∞

e

−x

dx = lim

x→+∞

0

Nota: Se o integral

Z

Z

x

e−t dt = lim 0

x→+∞

+∞

£

−e−t

¤x 0

= lim (−e−x + 1) = 1. x→+∞

f (x) dx é convergente então a

a) o limite de f quando x → +∞, se existir, é igual a zero; b) qualquer que seja h > 0, o integral de f no intervalo [x, x + h] (ou o valor médio de f no mesmo intervalo), tende para zero quando x → +∞. Z +∞ Z +∞ Teorema 5.5.1 Se f e g são tais que os integrais f (t) dt e g(t) dt são cona a Z +∞ vergentes e se α, β ∈ R, então o integral (α f + β g)(t) dt é convergente e a

Z

+∞

(α f + β g)(t) dt = α a

Z

+∞

f (t) dt + β a

Z

+∞

g(t) dt. a

5.5 Integrais impr´ oprios

115

Teorema 5.5.2 Se o integral Z +∞ f (t) dt é convergente e

Z

+∞

f (t) dt é convergente e se b > a então o integral a

b

Z

+∞

f (t) dt = a

Z

b

f (t) dt + a

Z

+∞

f (t) dt. b

Nem sempre nos interessa saber o valor do integral impróprio e outras vezes não é poss´ıvel calculá-lo porque a fun¸caõ não é elementarmente primitivável (considere-se, por Z +∞

2

e−x dx). Precisamos então de critérios que nos permitam saber

exemplo, o integral

0

se um determinado integral impróprio é ou não convergente. Esses critérios chamam-se crit´ erios de convergˆ encia. Z +∞ a Teorema 5.5.3 O integral impróprio de 1 espécie f (t) dt, com f (t) ≥ 0, ∀t ≥ a, a

é convergente se, e só se, existe uma constante M tal que Z x f (t) dt ≤ M, ∀x > a. a

O valor do integral impróprio não excede M . Z x f (t) dt. Como f (t) ≥ 0 ∀t ≥ a, F (x) ≥ 0, ∀x ≥ a. Por Demonstra¸caõ: Seja F (x) = a Z +∞ defini¸caõ, o integral f (t) dt é convergente se existir e for finito o limite lim F (x). x→+∞

a

A fun¸caõ F é crescente, pois se a ≤ x ≤ y vem Z Z x Z y f (t) dt = f (t) dt − F (y) − F (x) = a

a

y x

f (t) dt ≥ 0

porque f (t) ≥ 0 ∀t ≥ a. Suponhamos que F é limitada superiormente, isto é, existe uma constante M tal que F (x) ≤ M , ∀x ≥ a. Como F é crescente, existe e é finito o limite lim F (x) 1 . Além x→+∞

disso, lim F (x) ≤ M . x→+∞

Se F não é limitada superiormente então para cada M existe sempreZum x tal que +∞ f (t) dt é F (x) > M . Como F é crescente lim F (x) = +∞, o que significa que x→+∞

a

divergente.

Toda a fun¸caõ real f limitada e monótona numa parte não majorada X de R tem limite quando x → +∞ e lim f (x) = sup f (x) ou lim f (x) = inf f (x) conforme f é crescente ou decrescente. 1

x→+∞

x∈X

x→+∞

x∈X

116

5. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

Teorema 5.5.4 Sejam

Z

+∞

f (x) dx e a

Z

+∞

g(x) dx dois integrais impróprios de 1a b

espécie com fun¸co˜es integrandas não negativas e suponhamos que existe c ∈ R tal que f (x) ≤ g(x), ∀x > c. Z +∞ Z +∞ f (x) dx é convergente. g(x) dx é convergente então a) Se a

b

b) Se

Z

+∞

f (x) dx é divergente então a

Z

+∞

g(x) dx é divergente. b

Demonstra¸caõ: Seja d = max {a, b, c}. Consideremos os integrais Z

Z

+∞

f (x) dx

e

d

+∞

g(x) dx. d

Sendo x > d temos 0≤ Se o integral

Z

Z

x

f (t) dt ≤

d

Z

x

g(t) dt.

(5.4)

d

+∞

g(t) dt é convergente, pelo Teorema 5.5.3 existe M1 tal que d

Z Mas por (5.4),

Z

x d

f (t) dt ≤

Z

x d

g(t) dt ≤ M1 , ∀x > d.

x d

g(t) dt, ∀x > d, pelo que

Z

+∞

f (t) dt é convergente, d

usando,Z novamente o Teorema 5.5.3. Z x +∞ f (t) dt não é limitada, o f (t) dt é divergente então, pelo Teorema 5.5.3, Se d d Z +∞ Z x g(x) dx g(t) dt também não é limitada e, portanto, que implica, por (5.4), que d

d

é divergente.

Corol´ ario 1 Sejam

Z

+∞

f (x) dx e a

Z

+∞

g(x) dx dois integrais impróprios de 1a espécie b

com fun¸co˜es integrandas não negativas e suponhamos que existem c, k ∈ R tais que f (x) ≤ k g(x), ∀x > c. Z +∞ Z +∞ a) Se g(x) dx é convergente então f (x) dx é convergente. b

b) Se

Z

a

+∞

f (x) dx é divergente então a

Z

+∞

g(x) dx é divergente. b

5.5 Integrais impr´ oprios

117

Demonstra¸caõ: Basta notar que Z x Z lim k g(t) dt = lim k x→+∞

pelo que

Z

x→+∞

c

x

g(t) dt = k lim

x→+∞

c

+∞

k g(x) dx é convergente se, e só se, c

aplicando o Teorema. Z

Z

Z

x

g(t) dt c

+∞

g(x) dx é convergente; termina-se c

+∞

1 ´ um integral impróprio de 1a dx. E 3 1+x 0 espécie e a fun¸caõ integranda é positiva no intervalo [0, +∞[. Como EXEMPLO 1: Consideremos o integral

(1 + x)3 ≥ 1 + x3 , ∀x ≥ 0 ⇒ 1 + x ≥

√ 3

√ 3

1 + x3 , ∀x ≥ 0 ⇒ 0 <

1 1 , ∀x ≥ 0 ≤ √ 3 1+x 1 + x3

e Z

Z x 1 1 dx = lim dt = lim [ log(1 + t) ]x0 = lim log(1 + x) = +∞, x→+∞ x→+∞ x→+∞ 1 + x 1 + t 0 0 Z +∞ 1 dx é divergente, conclu´ımos, pelo Teorema 5.5.4, que o isto é, o integral 1+x 0 integral em estudo é divergente. +∞

Como se pode ver pelo exemplo anterior, é u ´til conhecer a natureza de alguns integrais impróprios de modo a facilitar o uso dos critérios de convergência. Um exemplo de tais integrais é o seguinte: EXEMPLO 2: Estudemos o integral impróprio de 1a espécie Z +∞ 1 dx xα a sendo a > 0 e α ∈ R. Se α = 1

e se α 6= 1 tendo-se

Z Z

x a

x a

1 dt = [ log(t) ]xa = log(x) − log(a) t

1 dt = tα

lim

x→+∞

Z

x a

·

t−α+1 −α + 1

¸x

=

a

    +∞,

x−α+1 a−α+1 − −α + 1 −α + 1

se α ≤ 1 1 dt =  tα a−α+1   − , se α > 1 −α + 1

118

5. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

Então o integral converge se, e só se, α > 1. Z +∞ 1 ´ um integral impróprio de 1a √ dx. E EXEMPLO 3: Consideremos o integral 3 1 + x 0 espécie e a fun¸caõ integranda é positiva no intervalo [0, +∞[. Como 1 + x3 > x3 , ∀x > 0 ⇒ Z

√

1 + x3 >

√

x3 , ∀x > 0 ⇒ 0 < √

1 1 < √ , ∀x > 0 3 1+x x3

+∞

1 √ dx é convergente, podemos concluir, pelo Teorema 5.5.4, que o integral em x3 1 estudo é convergente.

e

Teorema 5.5.5 Sejam

Z

+∞

f (x) dx e a

Z

+∞

g(x) dx dois integrais impróprios de 1a b

espécie com fun¸co˜es integrandas positivas e suponhamos que o limite f (x) x→+∞ g(x) lim

existe finito e diferente de zero. Então os integrais são da mesma natureza, isto é, são ambos convergentes ou ambos divergentes. f (x) = L, L ∈ R+ . Por defini¸caõ, x→+∞ g(x)

Demonstra¸caõ: Seja lim

Seja δ =

¯ ¯ ¯ f (x) ¯ ¯ ∀δ > 0 ∃M > 0, x ≥ M ⇒ ¯ − L¯¯ < δ. g(x)

L . Então existe M > 0 tal que 2 ¯ ¯ ¯ f (x) ¯ L ¯ ¯ < , ∀x ≥ M, − L ¯ g(x) ¯ 2

ou seja, ∀x ≥ M ,

L f (x) L < −L< 2 g(x) 2 L f (x) 3L ⇔ < < 2 g(x) 2 L 3L ⇔ g(x) < f (x) < g(x). 2 2 −

Pelo Teorema 5.5.1 e pelo Corolário do Teorema 5.5.4 temos o resultado pretendido.

5.5 Integrais impr´ oprios

Teorema 5.5.6 Sejam

Z

119

+∞

f (x) dx e a

Z

+∞

g(x) dx dois integrais impróprios de 1a b

espécie com fun¸co˜es integrandas positivas. Se lim

x→+∞

f (x) = 0, g(x)

então a) se b) se

Z

Z

+∞

g(x) dx é convergente, b +∞

f (x) dx é divergente, a

Se

Z

Z

+∞

f (x) dx é convergente. a

+∞

g(x) dx é divergente. b

f (x) = +∞, x→+∞ g(x) lim

então a) se b) se

Z

Z

+∞

g(x) dx é divergente, b

Z

+∞

f (x) dx é convergente, a

+∞

f (x) dx é divergente. a

Z

+∞

g(x) dx é convergente. b

Demonstra¸caõ: ¯ ¯ ¯ f (x) ¯ f (x) ¯ < δ. lim = 0 ⇔ ∀δ > 0 ∃M > 0 x ≥ M ⇒ ¯¯ x→+∞ g(x) g(x) ¯

Mas como as fun¸co˜es são ambas positivas, ¯ ¯ ¯ f (x) ¯ f (x) ¯ ¯ ¯ g(x) ¯ < δ ⇔ g(x) < δ ⇔ f (x) < δg(x).

O resultado é consequência do Corolário do Teorema 5.5.4. Z +∞ x+1 dx é um integral impróprio de 1a espécie EXEMPLO 1: O integral 4 3x − x + 2 1 Z +∞ 1 4 (note-se que 3x − x + 2 > 0, ∀x ≥ 1). Como dx é convergente e x3 1 lim

x→+∞

x+1 x4 + x 3 1 − x + 2 = lim = , 1 x→+∞ 3x4 − x + 2 3 x3

3x4

pelo Teorema 5.5.5 podemos concluir que o integral dado é convergente.

120

5. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

EXEMPLO 2: Consideremos os integrais

Z

+∞ α −x

x e 1

dx, α ∈ R, e

integrais impróprios de 1a espécie sendo o segundo convergente. Como

Z

+∞ 1

1 dx. São x2

xα+2 xα e−x = 0, ∀α ∈ R, = lim 1 x→+∞ ex x→+∞ x2 lim

Z

+∞

xα e−x dx é convergente. 1 Z +∞ 2 e−x dx é um integral impróprio de 1a espécie. Como EXEMPLO 3: O integral

o integral

0

1 Z +∞ x2 1 x2 e = lim x2 = 0 e lim dx é convergente, podemos concluir que o integral x→+∞ e x→+∞ 1 x2 1 x2 em estudo é convergente. Z

+∞

|f (x)| dx é convergente então o mesmo acontece ao Teorema 5.5.7 Se o integral a Z +∞ integral f (x) dx e verifica-se a desigualdade: a

¯Z ¯ ¯ ¯

+∞ a

¯ Z ¯ f (x) dx¯¯ ≤

+∞ a

|f (x)| dx.

Demonstra¸caõ: 0 ≤ |f (x)| − f (x) ≤ 2|f (x)|, ∀x ≥ a. Seja g(x) = |f (x)| − f (x). Visto que Z +∞ Z +∞ o integral |f (x)| dx é convergente, o mesmo acontece ao integral 2 |f (x)| dx e, a a Z +∞ Z +∞ (|f (x)| − f (x)) dx. g(x) dx = pelo Teorema 5.5.4, também converge o integral a Z +∞ a f (x) dx é convergente (Teorema 5.5.1). Como f (x) = |f (x)| − g(x) o integral a

Da desigualdade −|f (x)| ≤ f (x) ≤ |f (x)|, ∀x, deduzimos −

ou seja,

Z

+∞ a

|f (x)| dx ≤ ¯Z ¯ ¯ ¯

+∞ a

Z

+∞ a

f (x) dx ≤

¯ Z ¯ f (x) dx¯¯ ≤

Z

+∞ a

+∞ a

|f (x)| dx.

|f (x)| dx,

5.5 Integrais impr´ oprios

121

Z

+∞

f (x) dx é absolutamente convergente se Defini¸c˜ ao 5.5.2 Diz-se que o integral a Z +∞ Z +∞ f (x) dx é simples|f (x)| dx é convergente. Diz-se que o integral o integral a a Z +∞ mente convergente se for convergente e |f (x)| dx divergente. a

EXEMPLO: A fun¸caõ integranda no integral impróprio de 1a espécie Z +∞ sen(x) dx x2 1

não é sempre positiva. Mas

e o integral

Z

+∞ 1

¯ ¯ ¯ sen(x) ¯ 1 ¯ ¯ ¯ x2 ¯ ≤ x2 , ∀x ≥ 1

1 dx é convergente. Pelo Teorema 5.5.4 o integral x2 ¯ Z +∞ ¯ ¯ sen(x) ¯ ¯ ¯ ¯ x2 ¯ dx 1

é convergente. Pelo Teorema 5.5.7 o integral em estudo é convergente e diz-se absolutamente convergente. Defini¸c˜ ao 5.5.3 Sejam a ∈ R e f uma fun¸caõ definida no intervalo I =] − ∞, a]. Suponhamos que f é integrável em qualquer intervalo [x, a] com x < a. Seja Z a G(x) = f (t) dt. x

a) Se G(x) tem limite finito quando x → −∞, diz-se Z a que f é integrável (em sentido impróprio) no intervalo I ou que o integral impróprio f (t) dt existe, tem sentido ou −∞

é convergente. b) Se G(x) não tem limite ou tem limite infinito quando Z ax → −∞, diz-se que f f (t) dt não existe ou é não é integrável no intervalo I ou que o integral impróprio −∞

divergente. ecie. A estes integrais também se dá o nome de integrais impr´ oprios de 1a esp´ ´ o´bvio que o estudo dos integrais impróprios com intervalo de integra¸caõ ] − ∞, a] E é idêntico ao dos integrais sobre intervalos do tipo [a, +∞[. De resto, qualquer integral Z +∞

f (x) dx

daquela forma pode reduzir-se a um desta u ´ltima: basta efectuar no integral a substitui¸caõ x = −t para se concluir que os integrais Z +∞ Z a f (−x) dx f (x) dx e −∞

−a

a

são ambos convergentes ou ambos divergentes e, na primeira hipótese, são iguais.

122

5. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

Defini¸c˜ ao 5.5.4 Seja f : R → R uma fun¸caõ integrável em qualquer intervalo limitado. Diz-se que o integral de f em R é convergente se existe a ∈ R tal que os dois integrais Z +∞ Z a f (x) dx f (x) dx e a

−∞

são convergentes. ´ evidente que em tal hipótese também convergem os integrais E Z

Z

b

f (x) dx e

+∞

f (x) dx

b

−∞

qualquer que seja b ∈ R e verificar-se-ão as igualdades: Z

b

f (x) dx +

Z−∞ a

=

Z−∞ a

=

f (x) dx + f (x) dx +

−∞

Z

+∞

f (x) dx

Zb b Z

a

f (x) dx +

+∞

Z

a

f (x) dx + b

Z

+∞

f (x) dx a

f (x) dx a

Este facto legitima que, em caso de convergência, o integral seja definido pela expressão: Z +∞ Z a Z +∞ f (x) dx f (x) dx + f (x) dx = a

−∞

−∞

com a ∈ R arbitrário. A este integral também se chama integral impr´ oprio de 1 a esp´ ecie. Z +∞ Z 0 Z +∞ −ax −ax EXEMPLO 1: Sendo a > 0, e dx = e dx + e−ax dx. Como −∞

lim

x→+∞

e lim

x→−∞

Z

Z

−∞

x

e

−at

dt = lim

0

x→+∞

0

e

−at

dt = lim

x→−∞

x

·

·

1 − e−at a

1 − e−at a

¸x

= lim

x→+∞

0

¸0

x

0

= lim

x→−∞

µ

µ

1 1 − e−ax + a a

1 1 − + e−ax a a

¶

¶

=

1 a

= +∞

o integral dado é divergente. EXEMPLO 2: Seja a > 0. Z Z 0 Z +∞ −a|x| −a|x| e dx + e dx = −∞

−∞

+∞

e 0

−a|x|

dx =

Z

0

e −∞

ax

dx +

Z

+∞

e−ax dx 0

5.5 Integrais impr´ oprios

Como Z lim

x→+∞

x

e

−at

0

123

1 e dt = a

lim

x→−∞

Z

0 at

e dt = lim x

o integral considerado é convergente e Z +∞ −∞

x→−∞

e−a|x| dx =

·

1 at e a

¸0

= lim

x

x→−∞

µ

1 1 ax − e a a

¶

=

1 a

2 . a

Z

−2 1 √ EXEMPLO 3: dx é um integral impróprio de 1a espécie. Consideremos o 2−1 x Z −2 µ −∞¶ 1 integral − dx, que sabemos ser divergente. Como x −∞

lim

√

x→−∞

1 −x −1 = lim √ =1 1 x→−∞ x2 − 1 − x

x2

o integral dado também é divergente. EXEMPLO 4: Consideremos o integral impróprio de 1a espécie Z +∞ x−1 dx. 4 2 −∞ 2x + 5x + 3 Como o integral se pode escrever ¶ Z +∞ Z 1 µ x−1 x−1 dx, − 4 dx + − 2x + 5x2 + 3 2x4 + 5x2 + 3 1 −∞ a temos dois integrais µ ¶impróprios de 1 espécie com fun¸co˜es integrandas não negativas. O Z −1 1 − 3 dx é convergente e integral x −∞

lim

−

2x4

x→−∞

Z

1

x−1 1 x4 − x 3 + 5x2 + 3 = lim = , 4 2 1 x→−∞ 2x + 5x + 3 2 − 3 x

x−1 dx é convergente. + 5x2 + 3 −∞ Z +∞ x−1 De modo análogo se conclui que o integral dx é convergente. Da 4 2x + 5x2 + 3 1 convergência dos dois integrais conclui-se a convergência do integral dado. portanto, o integral

2x4

124

5. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

Z

0

x dx. A fun¸caõ integranda é sen2 (x) −∞ 1 + negativa ou nula no intervalo de integra¸caõ, tendo-se 1 + x2 sen(x) 6= 0, ∀x ∈ ] − ∞, 0].

EXEMPLO 5: Consideremos o integral

x2

0 ≤ sen2 (x) ≤ 1 ⇔ 0 ≤ x2 sen2 (x) ≤ x2 ⇔ 1 ≤ 1 + x2 sen2 (x) ≤ 1 + x2 1 1 ⇔1≥ ≥ 2 2 1 + x sen (x) 1 + x2 −x −x ⇔ −x ≥ ≥ 2 2 1 + x sen (x) 1 + x2 Estudemos o integral divergente e

Z

0 −∞

−x dx. Este integral é divergente porque 1 + x2

Z

−1 −∞

−1 dx é x

−x 2 x2 lim 1 + x = lim =1 −1 x→−∞ x→−∞ 1 + x2 x Dada a u ´ltima desigualdade podemos concluir que o integral em estudo é divergente. Z +∞ Nota: Seja f integrável em qualquer intervalo limitado. Diz-se que f (x) dx é −∞

convergente em valor principal se existe (em R) o limite quando x → +∞ da fun¸caõ Z x F(x) = f (t) dt. −x

´ a este limite, se existir, que se chama valor principal de Cauchy do integral E Z +∞ Z +∞ f (x) dx, e que se designa por vp f (x) dx. −∞

−∞

Se o integral for convergente teremos Z +∞ Z 0 Z +∞ f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx −∞ Z −∞ 0 Z 0 x = lim f (t) dt + lim f (t) dt x→−∞ −x x→+∞ 0 Z x f (t) dt = lim x→+∞ −x Z +∞ = vp f (x) dx. −∞

Portanto, se o integral converge então é convergente em valor principal, sendo este valor igual ao integral. Mas a existência do valor principal de Cauchy não implica que o

5.5 Integrais impr´ oprios

125

integral seja convergente. Por exemplo: vp

e o integral

Z

+∞ −∞

Z

+∞ −∞

1 + x3 dx = π 1 + x2

1 + x3 dx é divergente. 1 + x2

B. Integrais impr´ oprios de 2a esp´ ecie: defini¸c˜ ao e crit´ erios de convergˆ encia Defini¸c˜ ao 5.5.5 Suponhamos que a fun¸caõ f é integrável em qualquer intervalo [a, b−ε], ε > 0, mas Z não é integrável em [a, b]. Fica assim definida uma fun¸caõ F : [a, b[→ R, x

F (x) =

f (t) dt. Z b ecie. Se existir Ao integral f (x) dx chama-se integral impr´ oprio de 2a esp´ a

a

finito o limite

lim

x→b−

Z

x

f (t) dt a

diz-se que o integral impróprio é convergente e escreve-se Z

b a

f (x) dx = lim− x→b

Z

x

f (t) dt. a

Se o limite não existir ou não for finito diz-se que o integral impróprio de 2 a espécie é divergente. Tal como no caso dos integrais impróprios de 1a espécie, é u ´til o conhecimento da natureza de alguns integrais, como por exemplo: Z

b

1 dx, α ∈ R. Se α ≤ 0 trata-se de um integral de Riemann, mas α a (b − x) se α > 0 a fun¸caõ integranda tem limite infinito quando x tende para b e o integral só terá sentido se existir e for finito o limite Z x 1 dt. lim− α x→b a (b − t) EXEMPLO:

Se α = 1

Z

x a

1 dt = [ − log(b − t) ]xa = − log(b − x) + log(b − a) b−t

126

5. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

e se α 6= 1 Z

x a

1 dt = (b − t)α

tendo-se lim

x→b−

Z

x a

·

¸x

(b − t)−α+1 − −α + 1

a

=−

(b − x)−α+1 (b − a)−α+1 + −α + 1 −α + 1

   +∞, se α ≥ 1 1 dx = −α+1  (b − t)α  (b − a) , se α < 1 −α + 1

Então o integral converge se, e só se, α < 1.

Defini¸c˜ ao 5.5.6 Suponhamos que a fun¸caõ f é integrável em qualquer intervalo [a+ε, b], ε > 0, mas não é integrável em [a, b]. Fica assim definida uma fun¸caõ F : ]a, b] → R, Z b F (x) = f (t) dt. x Z b f (x) dx chama-se integral impr´ oprio de 2a esp´ ecie. Se existir Ao integral a

finito o limite

lim

x→a+

Z

b

f (t) dt x

diz-se que o integral impróprio é convergente e escreve-se Z

b a

f (x) dx = lim+ x→a

Z

b

f (t) dt. x

Se o limite não existir ou não for finito diz-se que o integral impróprio de 2 a espécie é divergente. Z

b

1 dx, α ∈ R, é um integral impróprio de 2a espécie se, α (x − a) a e só se, α > 0. Se α ≤ 0 trata-se de um integral de Riemann. O integral só terá sentido se existir e for finito o limite Z b 1 dt. lim+ α x→a x (t − a) EXEMPLO: O integral

Se α = 1

Z

e se α 6= 1 Z

b x

b x

1 dt = [ log(t − a) ]bx = log(b − a) − log(x − a) t−a

1 dt = (t − a)α

·

(t − a)−α+1 −α + 1

¸b

x

=

(b − a)−α+1 (x − a)−α+1 − −α + 1 −α + 1

5.5 Integrais impr´ oprios

127

tendo-se

   +∞, x se α ≥ 1 1 dx = lim+ −α+1 α  x→a a (t − a)  (b − a) , se α < 1 −α + 1 Então o integral converge se, e só se, α < 1. Z

Defini¸c˜ ao 5.5.7 Suponhamos que a fun¸caõ f é integrável em qualquer intervalo [a + ε1 , b − ε2 ], ε1 , ε2 > 0, mas não é integrável em [a, b − ε2 ] nem em [a + ε1 , b]. Define-se Z

b

f (x) dx = a

Z

c

f (x) dx + a

Z

b

f (x) dx,

a < c < b.

c

ecie. O integral do primeiro Este integral é também um integral impr´ oprio de 2a esp´ membro é convergente se, e só se, os dois integrais do segundo membro forem convergentes. Se algum dos integrais do segundo membro for divergente, então o integral do primeiro membro é divergente. Z

1

x dx é um integral impróprio 1 − x2 −1 limites de integra¸caõ. Temos de estudar os dois integrais Z 0 Z 1 x x √ √ dx e dx. 3 3 2 1−x 1 − x2 −1 0 ¸0 · µ Z 0 t 3 3 2 32 √ lim + dt = lim + − (1 − t ) = lim + − + 3 2 x→−1 x→−1 x→−1 4 4 1−t x x EXEMPLO: O integral

√ 3

de 2a espécie nos dois

2 3 (1 − x2 ) 3 4

¶

=−

3 4

¸x µ ¶ · t 3 3 3 3 2 32 2 23 √ lim− = = lim− − (1 − x ) + dt = lim− − (1 − t ) 3 2 x→1 x→1 x→1 4 4 4 4 1−t 0 0 Z 1 x √ Portanto, o integral dado é convergente e dx = 0. 3 1 − x2 −1 Z

x

Defini¸c˜ ao 5.5.8 Se c é um ponto interior do intervalo [a, b] e f é uma fun¸caõ integrável em qualquer intervalo [a, c − ε1 ], ε1 > 0, e [c + ε2 , b], ε2 > 0, mas não é integrável em ecie [a, b], define-se o integral impr´ oprio de 2a esp´ Z

b

f (x) dx = a

Z

c

f (x) dx + a

Z

b

f (x) dx. c

O integral do primeiro membro é convergente se, e só se, os dois integrais do segundo membro forem convergentes. Se algum dos integrais do segundo membro for divergente, então o integral do primeiro membro é divergente.

128

5. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

Z

EXEMPLO: O integral

1 −1

1 √ dx é um integral impróprio de 2a espécie porque 3 x2

1 = +∞. Temos de estudar os dois integrais lim √ 3 x→0 x2 Z lim

x→0−

Z

−1

1 √ dx 3 x2

e

Z

1 0

1 √ dx. 3 x2

h √ ix ¡ √ ¢ 1 3 3 √ 3 = lim dt = lim 3 t x + 3 =3 3 2 x→0− x→0− −1 t

x −1

Z

0

h √ i1 ¢ ¡ √ 1 3 3 √ dt = lim 3 t x =3 3 − 3 = lim 3 2 x→0+ x→0 x→0+ x t x Z 1 1 √ dx = 6. Portanto, o integral dado é convergente e 3 x2 −1 Para os integrais impróprios de 2a espécie, os critérios de convergência são idênticos aos obtidos para os integrais impróprios de 1a espécie. As demonstra¸co˜es podem ser efectuadas de maneira semelhante, com adapta¸co˜es evidentes, pelo que as omitimos. lim+

1

Teorema 5.5.8 O integral impróprio de 2a espécie no limite superior (inferior, respecZ b f (t) dt, com b > a e f (t) ≥ 0, ∀t ∈ ]a, b[, é convergente se, e só se, existe tivamente) a

uma constante M tal que

Z (

Z

x a

f (t) dt ≤ M, ∀a ≤ x < b

b x

Teorema 5.5.9 Sejam

f (t) dt ≤ M, ∀a < x ≤ b, respectivamente). Z

b

f (x) dx e a

Z

b

g(x) dx dois integrais impróprios de 2a espécie a

(no mesmo limite de integra¸caõ) com fun¸co˜es integrandas não negativas e suponhamos que f (x) ≤ g(x), ∀a ≤ x < b (ou, ∀a < x ≤ b). a) Se

b) Se

Z Z

b

g(x) dx é convergente então a b

f (x) dx é divergente então a

Z

Z

b

f (x) dx é convergente. a

b

g(x) dx é divergente. a

5.5 Integrais impr´ oprios

Z

Teorema 5.5.10 Sejam

129

Z

b

f (x) dx e a

b

g(x) dx dois integrais impróprios de 2a espécie a

(no mesmo limite de integra¸caõ) com fun¸co˜es integrandas positivas e suponhamos que o limite µ ¶ f (x) f (x) lim ou, lim+ x→b− g(x) x→a g(x) é finito e diferente de zero. Então os integrais são da mesma natureza, isto é, são ambos convergentes ou ambos divergentes. EXEMPLO 1: O integral

Z

1 1 2

√

1 dx 1 − x4

é impróprio de 2a espécie, porque para x = 1 a fun¸caõ integranda se torna infinita. Consideremos o integral impróprio de 2a espécie convergente Z 1 1 1 dx. 1 (1 − x) 2 2 Tendo em conta que 1 1 (1 − x) 2 1 1 1 − x4 = lim− lim− 1 1 1 1 = lim 1 = 1 x→1 (1 − x) 2 (1 + x) 2 (1 + x2 ) 2 x→1 x→1− (1 + x) 2 (1 + x2 ) 2 2 1 (1 − x) 2 √

podemos concluir que os dois integrais têm a mesma natureza, ou seja, o integral dado é convergente. EXEMPLO 2: O integral

Z

2

1 3

0

(2x − x2 ) 2

dx

é um integral impróprio de 2a espécie nos dois limites de integra¸caõ. Estudemos os integrais Z 1 Z 2 1 1 e 3 dx 3 dx. 2 2 0 (2x − x ) 2 1 (2x − x ) 2 Z 1 1 e divergente e Como o integral 3 dx ´ 0 x2 1 3

3

x2 1 1 (2x − x2 ) 2 = lim+ 3 lim+ 3 = lim 3 = 3 + 1 x→0 x 2 (2 − x) 2 x→0 (2 − x) 2 x→0 22 3 x2

130

5. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

o integral

Z

2

1 3

(2x − x2 ) 2 inicialmente é divergente.

dx é divergente. Podemos então concluir que o integral dado

1

Teorema 5.5.11 Sejam

Z

Z

b

f (x) dx e a

b

g(x) dx dois integrais impróprios de 2a espécie a

(no mesmo limite de integra¸caõ) com fun¸co˜es integrandas positivas. Suponhamos que µ ¶ f (x) f (x) =0 ou, lim+ =0 . lim x→a g(x) x→b− g(x) a) Se b) Se

Z Z

Z

b

g(x) dx é convergente então a b

f (x) dx é divergente então a

Z

b

f (x) dx é convergente. a

b

g(x) dx é divergente. a

Suponhamos que µ

f (x) lim− = +∞ x→b g(x) a) Se b) Se

Z Z

b

g(x) dx é divergente então a

Z

b

f (x) dx é convergente então a

Z

¶ f (x) ou, lim+ = +∞ . x→a g(x)

b

f (x) dx é divergente. a

Z

b

g(x) dx é convergente. a

b

Teorema 5.5.12 Seja f (x) dx um integral impróprio de 2a espécie. Se o integral a Z b Z b f (x) dx. |f (x)| dx é convergente o mesmo acontece ao integral a

a

a

Z

b

Defini¸c˜ ao 5.5.9 Diz-se que o integral impróprio de 2 espécie f (x) dx é absolutaa Z b Z b mente convergente se o integral |f (x)| dx é convergente. Se o integral f (x) dx a a Z b Z b f (x) dx é simples|f (x)| dx é divergente, diz-se que o integral é convergente e a

a

mente convergente.

EXEMPLO: Consideremos o integral Z

1 0

cos(πx) √ dx. 1 − x2

5.5 Integrais impr´ oprios

131

´ um integral impróprio de 2a espécie no limite superior de integra¸caõ, mas a fun¸caõ E integranda muda de sinal no intervalo de integra¸caõ. No entanto, ¯ ¯ ¯ cos(πx) ¯ 1 ¯√ ¯ ¯ 1 − x2 ¯ ≤ √1 − x2 , ∀ 0 ≤ x < 1. Estudemos o integral Z

0

O integral

Z

1

1 1

0

(1 − x) 2

1

1 √ dx = 1 − x2

Z

1 0

1 1 2

1

(1 − x) (1 + x) 2

dx.

dx é convergente e 1 1 2

1

1 1 (1 − x) (1 + x) 2 = lim− lim− 1 = √ , 1 x→1 (1 + x) 2 x→1 2 1 (1 − x) 2 Z 1 1 √ dx é convergente. Pelo Teorema 5.5.9, o integral o que implica que o integral 1 − x2 0 ¯ Z 1¯ ¯ cos(πx) ¯ ¯ ¯√ ¯ 1 − x2 ¯ dx 0

é convergente. Pelo Teorema 5.5.12, o integral dado é convergente e diz-se absolutamente convergente.

C. Integrais impr´ oprios mistos Podem ainda considerar-se integrais impr´ oprios mistos: por exemplo, com algum limite de integra¸caõ infinito e em que a fun¸caõ integranda se torne ilimitada num n´ umero finito de pontos do intervalo de integra¸caõ. Neste caso, a defini¸caõ do integral faz-se dividindo o intervalo de integra¸caõ por forma que se obtenham integrais dos tipos anteriores; se os integrais assim obtidos são convergentes diz-se que o integral misto é convergente e o seu valor é igual a` soma dos valores dos integrais correspondentes aos subintervalos. Se algum dos integrais obtidos é divergente o integral misto é divergente. Z +∞ 1 dx é um integral impróprio misto porque x3 + 1 = EXEMPLO 1: O integral 3+1 x −2 (x + 1)(x2 − x + 1), podendo fazer-se a decomposi¸caõ Z −1 Z 1 Z +∞ Z +∞ 1 1 1 1 dx = dx + dx + dx, 3 3 3 3 x +1 x +1 −2 x + 1 −1 x + 1 1 −2

132

5. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

o a sendo os dois primeiros ´ltimo de 1a espécie. Z −1integrais do 2 membro de 2 espécie e o u 1 dx é divergente e Como o integral −2 −x − 1 1 3 1 1+x 1 1+x lim − x + 1 = lim − 3 = lim − = lim − 2 = 2 1 x→−1 x→−1 (1 + x)(x − x + 1) x→−1 x − x + 1 x→−1 x + 1 3 1+x Z −1 1 dx é divergente. Então o integral misto é divergente. o integral 3 −2 x + 1 Z −1 1 EXEMPLO 2: O integral e um integral impróprio misto, tendo-se 3 dx ´ 2 −∞ (x − 4) 5 Z −1 Z −3 Z −2 Z −1 1 1 1 1 3 dx = 3 dx + 3 dx + 3 dx. 2 2 2 2 −∞ (x − 4) 5 −3 (x − 4) 5 −2 (x − 4) 5 −∞ (x − 4) 5 O primeiro dos integrais do 2o membro é de 1a espécie e os outros dois são de 2a espécie. Consideremos o integral de 1a espécie convergente Z −3 1 6 dx. −∞ x 5 Temos 1 6 3 2 x5 (x − 4) 5 = lim lim 3 = 1 1 x→−∞ (x2 − 4) 5 x→−∞ 6

Z

o que implica que o integral Z a O integral de 2 espécie

x5

−3

3

dx é convergente.

3

dx é convergente e

(x2 − 4) 5 1

−∞ −2

−3

1

(−2 − x) 5 1 3

lim −

x→−2

Z

o que implica que o integral Z a O integral de 2 espécie

−1 1 (x2 − 4) 5 = lim − 3 = 3 1 x→−2 (x − 2) 5 45 3 (−2 − x) 5 −3

1

e convergente. 3 dx ´ (x2 − 4) 5 1 e convergente e 3 dx ´ −2 (x + 2) 5 −1 3 −1 1 (x2 − 4) 5 = lim + lim + 3 = 3 1 x→−2 (x − 2) 5 x→−2 45 3 (x + 2) 5 −2 −1

5.5 Integrais impr´ oprios

o que implica que o integral

133

Z

−1

1

e convergente. 3 dx ´ (x2 − 4) 5 Podemos então concluir que o integral dado é convergente. −2

D. A fun¸c˜ ao Gama (Γ) e a fun¸c˜ ao Beta (β) Suponhamos que queremos estudar a natureza do integral Z +∞ x3p dx x2 − 2x + 5 0

(5.5)

para todos os valores do parâmetro real p. Tendo em conta que x2 − 2x + 5 6= 0, ∀x ∈ R, este integral é de 1a espécie se p ≥ 0 e misto se p < 0. Em qualquer caso podemos escrever Z +∞ Z 1 Z +∞ x3p x3p x3p dx = dx + dx, 2 x2 − 2x + 5 x2 − 2x + 5 0 0 x − 2x + 5 1 onde o segundo integral do 2o membro é sempre de 1a espécie e o primeiro é de Riemann se p ≥ 0 e de 2a espécie se p < 0. Suponhamos que p < 0. Z 1 Z 1 x3p 1 dx = dx. (5.6) 2 −3p 2 (x − 2x + 5) 0 x − 2x + 5 0 x O integral

Z

1 0

1 x−3p

1 dx converge se, e só se, −3p < 1, isto é, p > − . Como 3 1 1 1 x−3p (x2 − 2x + 5) lim+ = = lim+ 2 1 x→0 x→0 x − 2x + 5 5 −3p x

1 o integral (5.6) converge se, e só se, p > − . 3 Se p ≥ 0, o integral que acabámos de estudar é de Riemann. Podemos então concluir 1 que o integral (5.6) converge se, e só se, p > − . 3 Z +∞ 1 1 dx converge se, e só se, 2 − 3p > 1, isto é, p < e O integral 2−3p x 3 1 x3p 2 x2 lim x − 2x + 5 = lim 2 =1 1 x→+∞ x − 2x + 5 x→+∞ x2−3p

134

5. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

1 pelo que podemos concluir que o integral de 1a espécie converge se, e só se, p < . 3 1 1 Então o integral (5.5) converge se, e só se, − < p < . 3 3 Consideremos o integral Z 3 7 dx. (5.7) α β+1 −2 (x + 2) (3 − x) ´ um integral de Riemann se α ≤ 0 e β + 1 ≤ 0 e é um integral impróprio de 2a espécie E se α > 0 ou β + 1 > 0. Podemos escrever este integral na seguinte forma: Z 0 Z 3 7 7 dx + dx. α β+1 α β+1 −2 (x + 2) (3 − x) 0 (x + 2) (3 − x) Z 0 1 dx converge se, e só se, Estudemos o primeiro integral. Como o integral α −2 (x + 2) α < 1, e 7 α 7 7 (x + 2) (3 − x)β+1 = lim + = β+1 lim + β+1 1 x→−2 (3 − x) x→−2 5 α (x + 2) podemos concluir que o Zintegral é convergente se, e só se, α < 1 e β ∈ R. 3 1 Dado que o integral dx converge se, e só se, β + 1 < 1, isto é, β < 0, e β+1 0 (3 − x) 7 lim−

x→3

(x +

2)α (3

− x)β+1

1 (3 − x)β+1

= lim− x→3

7 7 = α α (x + 2) 5

podemos concluir que o segundo integral converge se, e só se, β < 0 e α ∈ R. O integral (5.7) será convergente se, e só se, α < 1 e β < 0. Entre os integrais com parâmetros há dois especialmente importantes: Z 1 Z +∞ p−1 −x xp−1 (1 − x)q−1 dx, x e dx e β(p, q) = Γ(p) = 0

0

p, q ∈ R. Estes integrais, quando convergentes, definem duas fun¸co˜es: a fun¸c˜ ao Gama, no primeiro caso, e a fun¸c˜ ao Beta, no segundo. Pretendemos estudar o dom´ınio destas fun¸co˜es, isto é, saber para que valores dos parâmetros são convergentes os integrais que as definem. Comecemos por estudar o integral Z +∞ Γ(p) = xp−1 e−x dx (5.8) 0

5.5 Integrais impr´ oprios

135

Podemos escrever este integral do seguinte modo: Z +∞ Z 1 p−1 −x xp−1 e−x dx. x e dx + 1

0

O primeiro integral é de Riemann se p − 1 ≥ 0 e de 2a espécie se p − 1 < 0, enquanto o segundo é de 1a espécie qualquer Z +∞ que seja p ∈ R. 1 Sabemos que o integral dx é convergente. Dado que x2 1 xp−1 e−x = 0, ∀p ∈ R lim 1 x→+∞ x2 podemos concluir que o integral de 1a Zespécie é convergente qualquer que seja p ∈ R. 1 1 dx é convergente se, e só se, 1 − p < 1, isto O integral impróprio de 2a espécie 1−p 0 x é, p > 0. Além disso, xp−1 e−x lim+ = lim+ e−x = 1, 1 x→0 x→0 1−p x a o que implica que o integral de 2 espécie é convergente se,e só se, p > 0. Então o integral (5.8) converge se, e só se p > 0, isto é, a fun¸caõ Γ tem dom´ınio R + . Consideremos o integral Z 1

0

xp−1 (1 − x)q−1 dx

(5.9)

Podemos sempre escrever este integral como a soma Z 1 Z 1 2 p−1 q−1 x (1 − x) dx + xp−1 (1 − x)q−1 dx 1 2

0

onde o primeiro integral é de Riemann se p − 1 ≥ 0 e de 2a espécie se p − 1 < 0 e o segundo é de Riemann se q − 1 ≥ 0 e de 2a espécie se q − 1 < 0. Z 1 2 1 O integral dx converge se, e só se, 1 − p < 1, isto é, p > 0. Como 1−p 0 x xp−1 (1 − x)q−1 = lim+ (1 − x)q−1 = 1 lim+ 1 x→0 x→0 x1−p podemos concluir Z 1 que o primeiro integral é convergente se, e só se, p > 0. 1 dx converge se, e só se, 1 − q < 1, isto é, q > 0. Como O integral 1 (1 − x)1−q 2 lim−

x→1

xp−1 (1 − x)q−1 = lim− xp−1 = 1 1 x→1 1−q (1 − x)

136

5. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

podemos concluir que o segundo integral é convergente se, e só se, q > 0. Então o integral (5.9) converge se, e só se, p > 0 e q > 0, isto é, a fun¸caõ Beta tem sentido para p > 0 e q > 0.

´ E. Areas de dom´ınios ilimitados Vejamos alguns exemplos de aplica¸caõ dos integrais impróprios ao cálculo de a´reas de dom´ınios planos ilimitados. EXEMPLO 1: Calculemos a a´rea do dom´ınio determinado pela imagem da fun¸caõ f (x) = 1 e o eixo dos xx (ver Figura 5.10). 1 + x2

Figura 5.10

O valor da a´rea é dado pelo valor do integral impróprio Z +∞ 1 dx. 2 −∞ 1 + x Calculando esse integral obtemos Z +∞ Z 0 Z +∞ 1 1 1 dx = dx + dx 2 2 1 + x2 −∞ 1 + x −∞ 1 + x 0 = 2

Z

+∞ 0

1 dx = 2 lim x→+∞ 1 + x2

Z

x 0

1 dt 1 + t2

= 2 lim [ arc tg(t) ]x0 = 2 lim arc tg(x) = π x→+∞

x→+∞

5.5 Integrais impr´ oprios

137

EXEMPLO 2: Calculemos a a´rea do dom´ınio determinado pela imagem da fun¸caõ f (x) = 1 p , as rectas x = −3 e x = 2 e o eixo dos xx (ver Figura 5.11). |x|

Figura 5.11

O valor da a´rea é o valor do integral impróprio Z 2 1 p dx. |x| −3 Z

2 −3

1 p dx = |x| =

=

Z

0 −3

1 p dx + |x|

Z

2 0

1 p dx = lim x→0− |x|

Z

x −3

1 √ dt + lim x→0+ −t

Z

2 x

1 √ dt t

h √ i2 £ √ ¤x lim− −2 −t −3 + lim+ 2 t

x→0

x→0

x

³ √ ³ √ √ ´ √ √ √ ´ lim− −2 −x + 2 3 + lim+ 2 2 − 2 x = 2 3 + 2 2

x→0

x→0

138

5. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

Cap´ıtulo 6 Exerc´ıcios 6.1

Fun¸co ˜es Trigonom´ etricas Inversas

NOTA: Considere-se, em todos os exerc´ıcios, as restri¸co˜es principais do seno, coseno, tangente e cotangente. 1. Calcule: µ √ ¶ (a) arc sen − 23 ;

³ ³ ´´ (b) cotg arc sen 12 13 ; µ √ ¶ π (c) 3 − arc tg − 33 ;

³ í 1 (d) sen 2 arc cotg 43 ; h ³ í (e) tg 3 arc tg − 32 ; ³ ´ 1 . (f) arc tg(x) + arc tg x h

2. Calcule o n´ umero real designado por: h ³ í (a) sen arc cos − 12 ; ³ ¡√ ¢´ π (b) tg 4 + arc cotg 3 ; ³ ´´ ³ π (c) cos 6 − arc cos 53 ; · µ √ ¶¸ ³ ´ 3 (d) cos 2 arc tg 4 + arc sen − 23 . 3. Simplifique as seguintes expressões:

140

6. Exerc´ıcios

(a) sen (π + arc cos(x)); ³ ´ (b) cos2 21 arc cos(x) ; ´ ³ ) (c) cotg 2 arc cotg( x 2 , x 6= 0.

4. Mostre que:

(a) arc sen( 45 ) + arc tg( 34 ) = π 2; (b) arc tg( 21 ) + arc tg( 15 ) + arc tg( 18 ) = π 4; ³q ´ ³q ´ x 1 + (c) arc sen = arc cos x+1 x + 1 , com x ∈ R ; ´ ³q √ x + (d) arc sen x + 1 − arc tg( x) = 0, com x ∈ R .

5. Considere as fun¸co˜es reais de vari´ vel real definidas por: ³ ´ ³ ´ π π f (x) = cos 2x + 3 + 3; g(x) = 2 sen 3x − 5 ; ³ ´ x π π i(x) = 5 cotg x + 6 ; h(x) = sen( 3 ) + 3 tg( 2 ); j(x) = 3 arc sen(2x − 1); p(x) = 34 arc tg( x 3 );

m(x) = 1 − 12 arc cos(2x + 1); ³ ´ π x q(x) = 2 − 2 arc cotg 2 − 1 .

Determine o dom´ınio e o contradom´ınio de cada uma das fun¸co˜es. 6. Considere as fun¸co˜es f e g definidas em R por: ³x´ ³ ³π ´ π´ + 2 arc sen e g : x 7−→ 3 − 4 sen x + . f : x 7−→ cos 4 2 3 (a) Determine o dom´ınio e o contradom´ınio de f ;

(b) Determine uma expressão designatória que defina a fun¸caõ inversa da restri¸caõ principal de g. 7. Considere as fun¸co˜es f e g, reais de variável real, tais que: µ ¶ π 3x f : x 7−→ − 2 arc cos , 3 2 g : x 7−→

1 π arc cotg (x + 3) − . 2 4

(a) Determine o dom´ınio e o contradom´ınio de f e de g; (b) Para cada uma das fun¸co˜es, caracterize a inversa da restri¸caõ principal.

6.1 Fun¸ co ˜es Trigonom´ etricas Inversas

141

8. Dada a fun¸caõ real de variável real, definida por: f (x) =

π − 3 arc sen (2x) , 4

e considerando a restri¸caõ principal do seno, determine: (a) O dom´ınio de f ; (b) O contradom´ınio de f ; (c) Uma expressão de f −1 ; (d) Os zeros de f ; n o (e) x ∈ R : f (x) = π 4 .

9. Considere a fun¸caõ f (x) = π 3 + 2 arc sen(|2x − 1|). (a) Calcule o dom´ınio e o contradom´ınio de f ; (b) Verifique que f não tem zeros. 10. Sejam f e g fun¸co˜es reais de variável real, tais que: f : x 7−→ 1 + cos (2x)

e g : x 7−→ 1 + sen (2x) .

Caracterize as fun¸co˜es inversas de f , g e f −g, considerando as respectivas restri¸co˜es principais. 11. Resolva as equa¸co˜es: µ √ ¶ ³ ´ 3 (a) arc sen(x) = 2 arc tg 4 − arc cos − 22 ; ³ ³ ´´ (b) arc cos sen 7π = 2x + π 6 2 , em [π, 2π[.

12. Determine as solu¸co˜es de cada uma das seguintes equa¸co˜es: √ (a) arc tg (x + 1) = arc sec( 2 − x); ³ ´ ³ ´ 1 x − 1 (b) arc tg x + 1 = arc cotg ; 2 ³ ´ (c) arc cos (2x2 − 1) = 2 arc cos 12 ; (d) arc cos (2x) − arc cos(x) = π 3.

142

6. Exerc´ıcios

6.2

No¸co ˜es Topol´ ogicas

1. Determine o interior, o exterior, a fronteira, o derivado, a aderência, o conjunto dos minorantes, o conjunto dos majorantes, o supremo, o ´ınfimo, o máximo e o m´ınimo (caso existam) dos seguintes conjuntos: A = [ 2, 3 [ ∪ [ 4, 10 [, B =] 5, 7 [ ∪ {15}. 2. Determine o interior, o exterior, a fronteira, o derivado e a aderência dos seguintes conjuntos: (a) A = {x ∈ R : x2 < 50};

(b) B = {x : x é irracional e x2 < 50}. 3. Considere o conjunto ¾ ½ (−1)n n ∧n∈N . A = x ∈ R : x = 1 + (−1) + n (a) Determine o interior, o exterior, o derivado, a fronteira e a aderência de A. (b) Averig´ ue se o conjunto A é aberto ou fechado. 4. Determine o exterior, o interior, a fronteira e o derivado do conjunto: n √ √ o A = {x ∈ Q : |x + 3| < 5} ∪ x : x é irracional ∧ − 2 ≤ x ≤ 13 . 5. Dado o conjunto ½ ¾ i i (−1)n C = x ∈ R : x = 1 − n ∧ n ∈ N ∪ 31 , 34 ¾ ½ (−1)n ∧n∈N ∪ x∈R: x=2+ n2 (a) Determine a fronteira, o interior, o exterior e o derivado de C; (b) Averig´ ue se o conjunto é limitado. 6. São dados os conjuntos

e

Determine:

½ A= x∈R:

¯ 2 ¯ ¾ ¯ x ¯ ¯ ¯ ¯x − 2¯ ≤ 1

µ ½ ¶ ¾ 1 n+1 n B = y ∈ R : y = (−1) + (−1) 2 + ∧n∈N . n

6.2 No¸ co ˜es Topol´ ogicas

143

(a) int(A ∪ B); 0

(b) (A ∪ B) .

Relativamente a B indique quais os pontos fronteiros e averig´ ue se o conjunto é limitado. 7. Dados os conjuntos ½ A= x∈R: e B=

½

¯ ¯ ¯1 − ¯

¯ 1 ¯¯ x¯

¯ ¯ ¾ ¯1 ¯ 1 ¯ + 1¯ < ¯x ¯ x2

1 + 2n ∧n∈N y∈R: y= 2n

¾

(a) Determine A sob a forma de intervalos de n´ umeros reais. (b) Determine, caso existam, o supremo e o ´ınfimo de A ∩ B. 8. Dado o conjunto ) µ ½ ¶ ¾ ( µ ¶3n 1 2n + 1 B = x ∈ R : x = (−1)n+1 1 + ,n∈N ∪ x∈R: x= , n∈N n 2n − 1 determine: 0

(a) B e B; (b) int(B); (c) ext(B). Justifique que o conjunto B é limitado, indicando o ´ınfimo e o supremo de B. 9. Considere a fun¸caõ g : x 7−→ Determine Dg .

sen2 (x − ³ xπ)´ . 1 − cos 2

(a) A respeito de Dg determine o interior, o exterior, a fronteira e o derivado.

(b) Diga, justificando, se Dg é um conjunto aberto ou fechado. i ³ ´ h 1, 1 . , n ∈ N e B = − 10. Seja A o conjunto dos termos da sucessão un = sen n π 4 2 Determine o supremo, o ´ınfimo, o interior e a fronteira do conjunto A ∪ B.

1 em R, determine a fronteira e o log(cos2 (x)) exterior de B e indique, justificando, se B é aberto.

11. Sendo B o dom´ınio da expressão

144

6. Exerc´ıcios

12. Dados os conjuntos © ª A = x ∈ R : |1 − 4x−1 | − 1 > 0 e B = {x ∈ R : |1 + 2x| ≤ 3x}

(a) Prove que A ∩ B = [ 1, 2 [.

(b) Indique, caso existam, o conjunto dos majorantes, o conjunto dos minorantes, o supremo, o ´ınfimo, o máximo e o m´ınimo de B. 13. Indique o supremo e o ´ınfimo, se existirem, do seguinte conjunto: ¯ ¯ ¾ ½ ¯ 4x − 5 ¯ ¯≤0 . A = x ∈ R \ {0} : x − ¯¯ x ¯ n o +m ∧m∈N . 14. Considere o conjunto B = x ∈ R : x = 1 2m Indique, se existirem, os majorantes, o ´ınfimo e o máximo de B. 15. Considere, em R, as seguintes condi¸co˜es: ¯¯ 2 ¯ ¯ ¯¯ x + 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ p(x) : |x| + |x − 1| < 3 e q(x) : ¯¯ − 1¯¯ < 1. ¯ x

(a) Determine sob a forma de intervalo de R o conjunto

A = {x ∈ R : p(x)∧ ∼ q(x)} . (b) Indique, caso existam, o supremo e o ´ınfimo de A. 16. Sendo S=

(

x ∈ R : 12 |x + 1| ≥

determine a fronteira e o interior de S.

15 X k=1

)

( k |x| ) ,

6.3 Indu¸ c˜ ao Matem´ atica

6.3

145

Indu¸c˜ ao Matem´ atica

1. Prove que 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2

∀n ≥ 1.

2. Prove que 1 (a) 12 + 22 + 32 + · · · + n2 = n(n + 1)(2n + 1) ∀n ≥ 1; 6 · ¸2 n(n + 1) (b) 13 + 23 + 33 + · · · + n3 = ∀n ≥ 1. 2 3. Prove que n(n2 + 5) é divis´ıvel por 6 qualquer que seja n ∈ N. 4. Prove que: (a) n < 2n

∀n ∈ N;

∀n ∈ N; 1 (c) 1 + 2 + 3 + · · · + n < (2n + 1)2 ∀n ∈ N; 8 ³ a ń+1 ³ a ń (d) Se 0 < a < b, então < ∀n ∈ N. b b (b) 1 + 2n ≤ 3n

5. Prove que

log(a1 a2 . . . an ) = log a1 + log a2 + · · · + log an , para todo o n ≥ 2, onde cada ai é um real positivo. 6. Prove que

a(1 − rn ) , 1−r onde n é um inteiro positivo e a e r são reais, r = 6 1. a + ar + ar2 + · · · + ar n−1 =

146

6. Exerc´ıcios

6.4

Sucess˜ oes

1. Prove, por defini¸caõ, que as seguintes sucessões (un ) são infinitamente grandes positivos, ou seja, que lim un = +∞: n

(a) un = n; (b) un = n2 ; √ (c) un = n; (d) un = 2n . 2. Prove, por defini¸caõ, que as seguintes sucessões (un ) são infinitésimos, ou seja, que lim un = 0: n

1 ; n 1 (b) un = 2 ; n 1 (c) un = √ ; n 1 (d) un = n . 2 (a) un =

3. Se (un ) e (vn ) são sucessões convergentes, prove que: (a) lim(un + vn ) = lim un + lim vn ; (b) lim(un · vn ) = lim un · lim vn ; (c) lim(un )p = (lim un )p , p ∈ N;

(d) lim uvnn =

lim un , lim vn

∀n ∈ N e lim vn 6= 0;

(e) lim(un )1/p = (lim un )1/p , se p for par deverá ser un ≥ 0, ∀n ∈ N; (f) lim |un | = | lim un |;

(g) (∃p ∈ N ∀n ≥ p : un > 0) ⇒ lim un ≥ 0;

(h) (∃p ∈ N ∀n ≥ p : un ≥ vn ) ⇒ lim un ≥ lim vn . 4. Sejam (un ) e (vn ) dois infinitamente grandes positivos e (wn ) um infinitamente grande negativo, prove que: (a) lim(un + vn ) = +∞; (b) lim(un · vn ) = +∞;

(c) lim(un · wn ) = −∞;

(d) lim upn = +∞ ∀p ∈ N;

6.4 Sucess˜ oes

147

(e) lim wnp = ∞ ∀p ∈ N;

(f) lim |un | = lim |wn | = +∞;

(g) Sendo (zn ) uma sucessão tal que ∃p ∈ N ∀n > p zn ≥ un , prove que lim zn = +∞. 5. Considere a sucessão de termo geral an , em que a ∈ R. Prove que: (a) Se a > 1, lim an = +∞; n

(b) Se a < −1, lim an = ∞; n

(c) Se |a| < 1, lim an = 0; n

(d) Se a = 1, lim an = 1; n

(e) Se a = −1, a sucessão é divergente. 6. Calcule, se existir, o limite de cada uma das seguintes sucessões: (a) un = (b) un = (c) un = (d) un = (e) un =

1−n ; 4n + 3 n2 + 2 ; 3n + 1 3n ; 4n3 + 1 −n3 + 2 ; 4n3 − 7 n2 + 3n n2 − 1 − . n+2 n

7. Sejam (xn ) ⊂ R uma sucessão, xn → ∞, P (x) = a0 xp + · · · + ap e Q(x) = b0 xq + · · · + bq duas fun¸co˜es polinomiais de coeficientes reais, p, q ∈ N, a0 6= 0, b0 6= 0. Mostre que (a) lim P (xn ) = lim a0 xpn = ∞. (b)

 a 0  se p = q,   P (xn ) a0 xpn  b0 lim = = lim ∞ se p > q,  Q(xn ) b0 xqn    0 se p < q.

8. Calcule, se existir, o limite de cada uma das seguintes sucessões: √ n ; (a) un = 4n + 1

148

6. Exerc´ıcios

(b) un =

√

1 2

√

n √ ; − n

√ n2 − 1; r ³√ √ ´ 1 (d) un = n+1− n n+ ; 2 1 1 1 (e) un = √ +√ + ··· + √ . 2 2 2 n +1 n +2 n +n (c) un =

n2 + 1 −

9. Diz-se que a sucessão (un ) cresce mais rapidamente que a sucessão (vn ) se

un → +∞. vn

(a) Prove que nn cresce mais rapidamente que n!. (b) Prove que n! cresce mais rapidamente que en . (c) Coloque por ordem decrescente, quanto a` rapidez de convergência, as sucessões de termos gerais: √ √ 10 n, 2n , en , n!, log(n), n, n3 , nn . 2 n, 10. Sejam (un ) e (vn ) dois infinitésimos, vn 6= 0 ∀n ∈ N. Diz-se que (un ) é de ordem un superior a (vn ) se lim = 0. Ordene os seguintes infinitésimos: vn 1 , 2n

√

1 , 10 n

1 , 2n

1 , en

1 , n!

1 , log(n)

1 √ , n

1 , n3

1 . nn

11. Calcule os limites de cada uma das seguintes sucessões : ¡ n+3 ¢2n (a) un = n+1 ; ¡ n+5 ¢n (b) vn = 2n+1 ; ¢n ¡ (c) wn = 1 − n32 . 12. Mostre que

u1 + · · · + u n → u. n √ (b) Se a ∈ R, a > 0, então lim n a = 1. √ un+1 (c) Se un > 0, ∀n ∈ N e → b, (b ∈ R, b ≥ 0) então n un → b. un √ Observa¸caõ: em particular n n → 1. √ un+1 (d) n un → b 6⇒ → b, (un > 0, ∀n ∈ N). un (a) Se un → u (u ∈ R ) então

13. Calcule, se existir

6.4 Sucess˜ oes

1 p n (n + 1)!; 2n 1p (b) lim n n(n + 1) · · · 2n. n

149

(a) lim

14. Determine p ∈ R tal que lim

s n

n! = 3. (p n)n

15. Calcule os limites das seguintes sucessões: µ ¶ 1 2 (a) cos (n) sen ; n (b)

n (n − 1) (n − 2) (n − 3) ; (n + 1) (n + 2) (n + 3)

(c) (cos(x))n , x ∈ R; s µ ¶ n 2 (d) n n! ; n r 1 n (e) 1+ ; n p (f) n (n + 1)! − n!; 1 1 1 (g) √ + √ + ··· + √ ; n n+1 2n 1 1 1 +√ + ··· + √ ; (h) √ 2 2 2 n +1 n +2 n + 2n + 1 ¶n r µ 1 n n + 1 (i) 1 − ; n n 1 1 1 (j) 2 + + ··· + ; 2 n (n + 1) (2 n)2 n n n (k) √ +√ + ··· + √ . 4 4 4 n +1 n +2 n +n 16. Quando poss´ıvel dê exemplos de sucessões un → +∞ , vn → −∞ , wn → 0, que verifiquem as condi¸co˜es indicadas nas al´ıneas seguintes: (a) un + vn → 1;

(b) un + vn → −∞; (c) un + wn → 1;

(d) un × wn → 0;

(e) vn × wn → +∞;

150

6. Exerc´ıcios

(f)

un → −1. wn

17. Sejam (xn ) e (yn ) duas sucessões de n´ umeros reais tais que xn → x e yn → y. Mostre que a sucessão de termo geral zn = min{xn , yn } converge e que zn → min{x, y}. 18. Estude, quanto a` convergência, a sucessão real definida por   u1 = 1,  un = un−1 − 1 , ∀n > 1. 2 Indique, caso exista, o limite de un .

19. Considere a sucessão (un ) definida por recorrência   u1 = 5

 un+1 = 5un − 4 un

(a) Prove por indu¸caõ que ∀n ∈ N un > 4.

(b) Prove que a sucessão é convergente.

(c) Mostre que 4 é o ´ınfimo do conjunto dos termos da sucessão . 20. As sucessões (un ) e (vn ) verificam as seguintes condi¸co˜es: i) ∀n ∈ N 0 < un < vn

ii) vn é decrescente

Diga, justificando, se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirma¸co˜es (a) vn é convergente. (b) un é convergente. (c) un é decrescente. 21. Determine os limites superiores e inferiores das sucessões de termos gerais n

(a) n(−1) ; (b) cos(n π/3); √ √ (c) n − (−1)n n − 1; ³n π ´ (d) sen ; 4 √ √ (e) n − (−1)n n − 1; ³ n π ´ ³ ³ n π ´ń 1 ; + cos (f) 2 cos n 10 2

6.4 Sucess˜ oes

151

(−1)n n2 + 3 ; n+1 ´ ³n π + a , a ∈ R; (h) sen 2 µ ¶n 1 1 (i) + + 2 n ((−1)n 3 + 3); 3 2n (g)

(j)

((−1)n+3 − (−1)n ) n3 + 2 . 3n + 1

22. Mostre que as seguintes sucessões são de Cauchy em Q: 1 ; n2 1 (b) n . 2 (a)

23. Mostre que a sucessão de termo geral 1 +

1 1 + · · · + não é de Cauchy em Q. 2 n

24. Considere a sucessão de termo geral un = usando a defini¸caõ de sucessão de Cauchy.

n+1 . n+2

Estude a natureza da sucessão

3 xn 1 , xn+1 = + é uma sucessão em Q que verifica 2 2 xn x2n → 2. Use este resultado para mostrar que (xn ) é uma sucessão de Cauchy em Q que não converge em Q. ˜ i ) Mostre que vn = x2 − 2 verifica 0 ≤ vn ≤ 1 ; SUGESTAO: n 4n 2 2 x − xm ii ) use a rela¸caõ xn − xm = n . xn + x m

25. Mostre que a sucessão x1 =

152

6.5

6. Exerc´ıcios

Continuidade

, π [→ R definida por 1. Estude a continuidade da fun¸caõ f (x) :] −π 2 2   1, se x = 0 f (x) =  tg(x) , se x 6= 0 sen(2x)

2. Considere a fun¸caõ real de variável real, definida por:   2x + arc cos(x), se 0 ≤ x < 1    h(x) = 2, se x = 1,     x + 5, se 1 < x ≤ 4 3 (a) Mostre que h é cont´ınua em todo o seu dom´ınio.

(b) Aplicando o teorema de Bolzano, mostre que: ∃c ∈]2, 4[: h(c) = c. 3. Considere a fun¸caõ real f (x) = 1 − x sen( x1 ) definida em R \ {0}. Seja g um prolongamento de f a R. Determine o valor a atribuir a g(0) de modo que g seja cont´ınua em x = 0. 4. Determine o valor de a e b que tornam cont´ınuas as seguintes fun¸co˜es nos pontos indicados:   3x − 7, se x ≥ 3 (a) f1 (x) = , x = 3.  ax + 3, se x < 3    x + a, se x < −2   (b) f2 (x) = x = −2, x = 1. 3ax + b, se − 2 ≤ x ≤ 1 ,     ax + 3, se x > 1   sen(x), se x ≤ 0 (c) f3 (x) = , x = 0.  ax + b, se x > 0

5. Considere a fun¸caõ real definida por:    x + 2a, se x ≤ 2 f (x) = x(x − 2)   2 , se x > 2 x − 5x + 6

(a) Determine o valor de a de forma a que f seja cont´ınua em x = 2.

6.5 Continuidade

153

(b) Mostre que apesar de se ter f (2) · f (4) < 0, não se pode aplicar o teorema do valor intermédio de Bolzano no intervalo [2, 4]. sen(x) = 1, estude a continuidade em x = 0 da fun¸caõ x→0 x  4 3 2   x − 3x + x , se x 6= 0 sen(x) f (x) =   0, se x = 0

6. Sabendo que lim

Obs: Considere f apenas definida em [− π2 , π2 ]. r 1 − cos(x) 7. Sabendo que sen( x2 ) = ± , estude a continuidade em x = 0 da fun¸caõ 2  2x − sen(x)   p , se x 6= 0 1 − cos(x) f (x) =   √2, se x = 0 Obs: Considere f apenas definida em [− π2 , π2 ].

8. Mostre, recorrendo a` defini¸caõ, que as seguintes fun¸co˜es são cont´ınuas nos seus dom´ınios: (a) f (x) = x2 ; (b) g(x) = cos(x); (c) h(x) = x + sen(x). 9. Sejam f e g fun¸co˜es cont´ınuas em [a, b] tais que f (a) > g(a) e f (b) < g(b). Mostre que os gráficos de f e g se intersectam num ponto de abcissa c ∈]a, b[. 10. Sejam f e g fun¸co˜es cont´ınuas em [a, b] tais que f (a) = g(b), f (b) = g(a) e f (a) 6= g(a). Mostre que f − g tem pelo menos uma raiz pertencente ao intervalo [a, b]. 11. Seja f uma fun¸caõ real de variável real cont´ınua em [a, b]. Sabendo que f (a) < a e f (b) > b, prove que f tem pelo menos um ponto fixo no intervalo ]a, b[. Obs: c é ponto fixo se f (c) = c. 12. Prove que se h : D ⊂ R → R é uma fun¸caõ cont´ınua em x = b, ponto interior a D, se tem: (a) Se h(b) > 0 então existe uma vizinhan¸ca V de b tal que h(x) > 0, ∀x ∈ V .

(b) Se h(b) < 0 então existe uma vizinhan¸ca V de b tal que h(x) < 0, ∀x ∈ V .

154

6. Exerc´ıcios

13. Seja f : [a, b] → R uma fun¸caõ cont´ınua, injectiva e tal que f (a) < f (b). Utilize o teorema do valor intermédio de Bolzano para concluir que f é estritamente crescente no seu dom´ınio. Sugestão: Comece por mostrar, utilizando o método de redu¸caõ ao absurdo, que não existe x ∈]a, b[ tal que f (x) < f (a) ou f (x) > f (b). 14. Seja f : [a, +∞[→ R uma fun¸caõ cont´ınua. Suponha que existe b ∈ [a, +∞[ tal que, para qualquer x > b se tem f (x) < f (a). Prove que f tem máximo em [a, +∞[. 15. Seja f : R → R uma fun¸caõ com limite finito quando x → 0 e tal que ∀x ∈ R \ {0}. Indique, justificando, o valor de lim f (x).

f (x) >0 x

x→0

16. Seja f uma fun¸caõ definida em R e verificando as seguintes condi¸co˜es: i) ∀x ∈ R, f (x) ∈ Z; ii) lim f (x) = c, c ∈ R. x→+∞

Recorrendo a` defini¸caõ de limite, justifique que: (a) c é um n´ umero inteiro. (b) Existe a ∈ R tal que f (x) = c, sempre que x > a. 17. Considere a fun¸caõ f definida por:   1 x2 + 2, se x 6∈ Z 2 f (x) =  |1 + x| + |1 − x|, se x ∈ Z Estude-a quanto a` continuidade.

18. Seja f uma fun¸caõ definida num conjunto X ⊂ R. Mostre que se f é cont´ınua em a, existe uma vizinhan¸ca de a, na qual f é limitada. 19. (a) Sendo g : [0, +∞[→ R cont´ınua no seu dom´ınio, mostre que a fun¸caõ f (x) = g(1 − x2 ) tem máximo e m´ınimo. (b) Se na al´ınea a) considerássemos g definida em ]0, +∞[, poder´ıamos continuar a garantir para f a existência de máximo e m´ınimo? Justifique. 20. Seja f uma fun¸caõ cont´ınua em R, com limites positivos quando x → −∞ e x → +∞ e tal que f (0) < 0. Nestas condi¸co˜es mostre que: (a) a equa¸caõ f (x) = 0 tem pelo menos duas ra´ızes reais. (b) ∃c ∈ R ∀x ∈ R f (c) ≤ f (x). Dê um exemplo de uma fun¸caõ que verifique todas as condi¸co˜es exigidas no enunciado – excepto na continuidade em R, que deve ser substitu´ıda pela continuidade em R \ {0} – e para a qual as afirma¸co˜es expressas nas al´ıneas a) e b) sejam falsas.

6.6 Continuidade Uniforme

6.6

155

Continuidade Uniforme

1. Estude quanto a` continuidade uniforme nos intervalos indicados as seguintes fun¸co˜es: (a) f (x) = x em R; (b) f (x) = sen2 (x) em R;   0, se x < 0 (c) f (x) =  1, se x ≥ 0

em ]a, b[, a, b ∈ R, a < b;

1 em ]a, b[ com a ≥ 0; x2 µ ¶ 1 (e) f (x) = sen em ]a, b[ com a ≥ 0. x

(d) f (x) =

2. Mostre, usando a defini¸caõ, que a fun¸caõ f definida por f (x) = (x − 1)|x + 2| é uniformemente cont´ınua em qualquer intervalo limitado de R. 3. Considere a fun¸caõ   |x2 − 7x + 10|, se x > 3 g(x) =  3 − x, se x ≤ 3

Justifique que ”g não é uniformemente cont´ınua no intervalo [0, 5]”. 4. Mostre, usando a defini¸caõ, que a fun¸caõ f (x) = 12 x2 − 1 é uniformemente cont´ınua no intervalo [2, 8]. 5. Diz-se que uma fun¸caõ f definida num conjunto X ⊂ R verifica a condi¸caõ de Lipschitz, se existe um n´ umero k > 0 tal que se tem, para quaisquer x, y ∈ X: |f (x) − f (y)| ≤ k|x − y|. Mostre que toda a fun¸caõ lipschitziana é uniformemente cont´ınua. 6. (a) Prove que o produto de duas fun¸co˜es lipschitzianas limitadas ainda é uma fun¸caõ lipschitziana. √ (b) Prove, usando a al´ınea a), que a fun¸caõ f (x) = x sen(x) é uniformemente cont´ınua em ]1, a[, ∀a ∈ R. ½ ¾ 1 1 7. Seja α ∈ , , 2, 3 . Para que valores de α é uniformemente cont´ınua no intervalo 3 2 [0, +∞[ a fun¸caõ f (x) = xα ?

156

6. Exerc´ıcios

8. Prove que, se f é uniformemente cont´ınua (a) A restri¸caõ de f a qualquer parte do seu dom´ınio é uniformemente cont´ınua. (b) f é limitada se o seu dom´ınio é limitado. (c) f tem limite finito em qualquer ponto de acumula¸caõ (finito) do seu dom´ınio. 9. Indique, das seguintes fun¸co˜es definidas em R, quais as que são uniformemente cont´ınuas: (a) f (x) = x sen(x); (b) f (x) =

x3 . 1 + x2

6.7 Diferenciabilidade. Teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy

6.7

157

Diferenciabilidade. Teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy

1. Seja f uma fun¸caõ diferenciável em R e g uma fun¸caõ definida por g(x) = f (ex ). (a) Defina a fun¸caõ derivada de g. (b) Supondo que f 0 também é diferenciável, determine g 00 (1). 2. Sendo f (x) = x4 , g uma fun¸caõ diferenciável em R e h tal que h(x) = (g ◦f )(sen(x)), defina a fun¸caõ derivada de h. 3. Seja f uma fun¸caõ diferenciável e injectiva e g(x) = x3 . Aplicando as regras da deriva¸caõ da fun¸caõ inversa e da fun¸caõ composta, determine uma expressão para a fun¸caõ derivada de (f ◦ g)−1 . 4. Calcule o diferencial das fun¸co˜es: (a) f (x) = x5 + 4x3 ; (b) f (x) = log(x); (c) f (x) = ex x2 . 5. Calcule, utilizando o diferencial, valores aproximados de: (a) 1.993 ; (b) 25.02 . p 2x − 1 e g(x) = 3 (x − 1)2 . Recorrendo ao teorema 2 x −1 de Rolle, que se pode afirmar sobre a existência de pontos c1 , c2 ∈]0, 2[ tais que f 0 (c1 ) = g 0 (c2 ) = 0?

6. Considere as fun¸co˜es f (x) =

7. Mostre que f (x) = −x4 + 8x2 + 9 satisfaz as condi¸co˜es do teorema de Rolle no intervalo [−3, 3]. Determine os valores c ∈] − 3, 3[ que satisfa¸cam f 0 (c) = 0. 8. Prove, recorrendo ao teorema de Rolle, que a equa¸caõ 4x3 + 3x2 − 2x + 2 = 0 tem, pelo menos, uma solu¸caõ no intervalo ] − 2, 0[. 9. Seja f uma fun¸caõ cont´ınua em [a, b], diferenciável em ]a, b[ e tal que f (a) = f (b) = 0. Diga se a fun¸caõ g(x) = f (x)e−3x , no mesmo intervalo, obedece a`s condi¸co˜es do teorema de Rolle. Mostre que existe c em ]a, b[ tal que f 0 (c) = 3f (c). 10. Prove que a equa¸caõ x3 − 9x − 9 = 0 tem 3 ra´ızes reais. 11. Mostre que a equa¸caõ x3 + 2x − 1 = 0 tem apenas uma raiz real. Mostre ainda que essa raiz se encontra no intervalo ]0, 1[.

158

6. Exerc´ıcios

12. Considere a fun¸caõ real de variável real definida por f (x) = 2(x − 1)(x − 3)(x − 5)(x − 7). Quantos zeros podemos garantir para f 0 e f 00 ? 13. Prove que, qualquer que seja k (real), a fun¸caõ f (x) = 2x3 − 6x + k não pode ter dois zeros no intervalo ] − 1, 1[. 14. A fun¸caõ f está definida em [0, π2 ] por:   tg(x), se 0 ≤ x < f (x) =  1, se x = π2

π 2

(a) Verifique que f ( π2 ) = f ( π4 ).

(b) Mostre que f é cont´ınua e diferenciável no intervalo ] π4 , π2 [. (c) Neste intervalo f 0 não tem zeros. Isto contradiz o teorema de Rolle? Justifique. 15. Considere as fun¸co˜es f (x) = (x − 2)2 + 1 e  2   x − 4x + 3 , se x 6= 2 x−2 g(x) =   5, se x = 2

(a) Mostre que, no intervalo [1, 3], a fun¸caõ f satisfaz as condi¸co˜es do teorema de Rolle e que g não satisfaz.

(b) Determine as coordenadas do ponto do gráfico de f onde a tangente a` curva é horizontal. 16. Considere a seguinte fun¸caõ real de variável real,   ex−1 , se x ≤ 1 f (x) =  1 + log(x), se x > 1. Mostre que:

(a) f é cont´ınua em R; (b) f tem derivada finita em R; (c) em nenhum intervalo de R é aplicável a f o teorema de Rolle. 17. Considere a fun¸caõ real de variável real, definida por:   ex2 −x−2 , se x ∈ [−1, 2] ³x´ f (x) = 6  , se x ∈]2, 4]. arc sen π 4

6.7 Diferenciabilidade. Teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy

159

(a) Averig´ ue se é poss´ıvel aplicar o teorema de Rolle ao intervalo [−1, 2] . Em caso afirmativo determine o n´ umero de Rolle correspondente. (b) Prove que f é limitada. 18. Seja f uma fun¸caõ definida e diferenciável num intervalo I e g(x) = f (cos(x)) f (sen(x)). Suponhamos ainda que I contém os pontos −1 e 1 por forma a que g tenha por dom´ınio R. (a) Calcule g 0 (x) e mostre que, em qualquer ponto (a, b) do gráfico de g tal que tg(a) = 1, a tangente a esse gráfico é horizontal. (b) Admitindo que f era duas vezes diferenciável em I, o que poder´ıamos dizer sobre o n´ umero de ra´ızes da equa¸caõ g 00 (x) = 0? 19. Em cada um dos seguintes casos verificar se o teorema do valor médio de Lagrange f (b) − f (a) se aplica. Em caso afirmativo encontrar o n´ umero c em tal que f 0 (c) = . b−a 1 , x 1 (b) f (x) = , x (a) f (x) =

(c) f (x) = cos(x), (d) f (x) = tg(x), √ (e) f (x) = 1 − x2 , √ (f) f (x) = 3 x, (g) f (x) = |x|,

a = 2, b = 3 a = −1, b = 3

π 2 π 3π a= , b= 4 4 a = −1, b = 0 a = 0, b =

a = −1, b = 1

a = −1, b = 1

20. Considere a fun¸caõ g(x) = ex

2 −4

+ x.

(a) Determine as coordenadas dos pontos do gráfico da fun¸caõ que têm abcissa -1, 1. (b) A fun¸caõ está nas condi¸co˜es do teorema de Lagrange no intervalo [−1, 1]? (c) Determine uma equa¸caõ da recta tangente ao gráfico de g, paralela a` recta definida pelos pontos considerados em a). 21. Seja f : R → R a fun¸caõ definida por:   5 − x2 , se x ≤ 1 f (x) =  3 + x, se x > 1. x

(a) Mostre, a partir da derivada de f , que a fun¸caõ é cont´ınua em R.

160

6. Exerc´ıcios

(b) Aplique o teorema do valor médio de Lagrange ao intervalo [0, 3]. Determine os valores de c a que se refere o teorema. 22. Seja f : R → R a fun¸caõ definida por f (x) = sen(x) − cos(x). √ (a) Mostre que para cada x ∈ [0, π2 ], 1 ≤ f 0 (x) ≤ 2.

(b) Utilize o teorema de Lagrange para verificar que, para cada x ∈ [0, π2 ], √ −1 + x ≤ f (x) ≤ −1 + x 2.

23. Utilizando o teorema de Lagrange mostre que: (a) arc tg(x) ≤ x, ∀x ∈ R+ 0;

(b) log(x + 1) < x, x > 0; ¶ µ 1+x 1 < , x > 0; (c) log x x

(d) ex > x + 1, x > 0; x−a x−a (e) + arc tg(a) < arc tg(x) < arc tg(a) + , 2 1+x 1 + a2 (f) |sen(θ) − sen(α)| ≤ |θ − α|, ∀θ, α ∈ R;

x > a;

(g) |sen(θ)| < |θ|, ∀θ ∈ R.

24. Aplicar, caso seja poss´ıvel, o teorema de Cauchy a`s seguintes fun¸co˜es nos intervalos indicados. (a) f (x) = ex

2 −1

+ x e g(x) = 2x em [−1, 1].

(b) f (x) = cos(2x) e g(x) = sen(x) em [− π3 , π3 ]. (c) f (x) = x3 e g(x) = x2 em [−2, 2]. 25. Sejam f e g fun¸co˜es diferenciáveis em R tais que f 0 (x) > g 0 (x) > 0, ∀x ∈ R e f (a) = g(a). Utilizando o Teorema de Cauchy, demonstre que: (a) f (x) > g(x), ∀x > a.

(b) f (x) < g(x), ∀x < a. 26. Calcule, aplicando o teorema do valor médio de Cauchy, o seguinte limite: lim

x→0

tg(a + x) − tg(a − x) . arc tg(a + x) − arc tg(a − x)

6.7 Diferenciabilidade. Teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy

161

27. Seja f uma fun¸caõ cont´ınua em [a, b] e diferenciável em ]a, b[. Demonstre as seguintes afirma¸co˜es: (a) Se f 0 (x) 6= 0, ∀x ∈]a, b[, então f é injectiva em [a, b].

(b) Se f 0 (x) ≤ 0 (resp. f 0 (x) ≥ 0), ∀x ∈]a, b[ então f é fun¸caõ decrescente (resp. crescente). 28. Sejam f e g duas fun¸co˜es cont´ınuas num intervalo [a, b] e diferenciáveis em ]a, b[. Mostre que: (a) se f 0 (x) ≤ g 0 (x), ∀x ∈]a, b[, então f (b) − f (a) ≤ g(b) − g(a).

(b) se |f 0 (x)| ≤ g 0 (x), ∀x ∈]a, b[, então |f (b) − f (a)| ≤ g(b) − g(a). 29. Calcule os seguintes limites: (a) lim (1 + 3 tg2 (x))cotg(x) ; x→0

µ ¶log (1+ 12 ) x 1 (b) lim ; x→+∞ x x − tg(x) ; x→0 x − sen(x) ¢ ¡ log x+2 ¡ x ¢; (d) lim x→+∞ log x−2 x (c) lim

1

ex (e) lim+ ; x→0 cotg(x) (f) lim xsen(x) ; x→0

1

(g) lim (x + 1) log x ; x→+∞

(h) lim | cos(x)| x→π

x→0

(k) (l) (m)

;

log(sen(4x)) ; log(sen(3x)) h ³ π í ; lim x tg (1 − x) x→0 2 · ¸ log x −x ex √ lim + (1 − e ) ; 4 x→+∞ x · ¶x ¸ µ 1 2 lim x x + 1 − ; x→+∞ x · ¸ log x x−1 + lim (log x) ; x→1 sen(πx)

(i) lim (j)

1 x−π

162

6. Exerc´ıcios

¶ sen(x) −1 sen(x) ( x−sen(x) ) ; (n) lim x→0 x µ x ¶1 a + bx + cx x (o) lim , a, b, c ∈ R+ . x→0 3 µ

30. Determine os n´ umeros reais a e b tais que sen(ax) − x x→0 x3 + bx2 lim

seja um n´ umero real diferente de zero. 31. Determine os n´ umeros reais a e b de forma que µ ¶ cos(x) ax + b lim − = 0. x→0 log(x + 1) x

6.8 F´ ormula de Taylor

6.8

163

F´ ormula de Taylor

1. Desenvolva os polinómios P1 (x) = x4 e P2 (x) = x3 − 2x2 + 3x + 5 em potências inteiras de (x − 3) e (x − 2), respectivamente. 2. Escreva a fórmula de Taylor de ordem n no ponto a dado, das seguintes fun¸co˜es: (a) f (x) =

1 , x2 + 3 2

a = 1, n = 3;

(b) f (x) = ex ,

a = 0, n = 4;

(c) f (x) = sen2 (x),

a = 0, n = 4;

(d) f (x) = tg(x), 1 (e) f (x) = , x

a = 0, n = 4; a = 1, n = 4.

3. Utilize a fórmula de Taylor para aproximar a fun¸caõ f (x) = cos(x) por um polinómio de grau 4. Use esse polinómio para calcular uma aproxima¸caõ de cos(0.5). Obtenha uma estimativa para o erro da aproxima¸caõ. 4. Use a fórmula de Taylor para estabelecer as seguintes desigualdades: (a) log(1 + x) ≥ x −

x2 x3 x4 + − , 2 3 4

x > 0;

1 (b) sen(a + h) − sen(a) − h cos(a) ≤ h2 , ∀h ∈ R; 2 3 x 1 ≤ 1 + 2x + 3x2 + 4 , x < 0. (c) 2 (1 − x) (1 − x)5 5. Escreva a fórmula de Mac-Laurin de ordem n de cada uma das seguintes fun¸co˜es: 1−x ; ex 1 ; (b) f (x) = 1+x (c) f (x) = sen(x); (a) f (x) =

(d) f (x) = cos(x); 1 (e) f (x) = √ . 1+x 6. Observe que as fun¸co˜es f (x) = sen(x) e g(x) = kx, com k pequeno, se intersectam nas proximidades de x = π. Aplicando a fórmula de Taylor de ordem 3 no ponto π a` fun¸caõ g(x) = sen(x) − kx, determine uma solu¸caõ aproximada de sen(x) = kx. 7. Utilize a fórmula de Taylor para calcular os seguintes limites:

164

6. Exerc´ıcios

sen(x) − x ; x2 ex−π + cos(x) − (x − π) ; (b) lim x→π (x − π)2 (a) lim

x→0

1 − cos(x) ; x→0 x2 log(x) − x + 1 . (d) lim x→1 (x − 1)2 (c) lim

8. Seja g(x) = αe−kx + ax, com a < 0, α < 0, k > 0, constantes. Determine os extremos relativos da fun¸caõ g.

6.9 Estudo de uma fun¸ c˜ ao

6.9

165

Estudo de uma fun¸c˜ ao

1. Considere a fun¸caõ

  xex , se x ≤ 0 f (x) =  x log4 (x), se x > 0

(a) Estude a continuidade de f .

(b) Estude a diferenciabilidade de f . (c) Determine os extremos e a monotonia de f . (d) Determine os pontos de inflexão e concavidades de f . (e) Determine o contradom´ınio de f . 2. Considere a fun¸caõ

 

2x , se x ≤ 0 1 + x2 f (x) =  1 − e3x , se x > 0

(a) Estude a continuidade de f .

(b) Estude a diferenciabilidade de f . (c) Determine os extremos e a monotonia de f . (d) Determine os pontos de inflexão e concavidades de f . (e) Determine o contradom´ınio de f . 3. Seja f definida por   x2 − 4, se x ≤ −2    f (x) = | 21 (x2 + x − 2)|, se −2 < x ≤ 1    ex  , se x > 1 2

(a) Estude analiticamente f quanto a` continuidade e derivabilidade. (b) Determine os extremos relativos de f . (c) Mostre, por defini¸caõ, que f é uniformemente cont´ınua no intervalo ]0, 1]. 4. Considere a fun¸caõ definida por 2

|x|e1−x + 2 f (x) = . 5 (a) Estude f do ponto de vista da continuidade, derivabilidade, monotonia e extremos.

166

6. Exerc´ıcios

(b) Indique, justificando, se a fun¸caõ é uniformemente cont´ınua no intervalo ]−1, 2[. 5. Seja f definida por    πx + π2 , se x < − 12   f (x) = cos(πx), se − 12 ≤ x <     2 − x2 , se x ≥ 3 2

3 2

(a) Estude analiticamente f quanto a` continuidade e derivabilidade. (b) Determine os extremos relativos de f . (c) Esboce o gráfico da fun¸caõ. (d) Mostre, usando a defini¸caõ, que f não é uniformemente cont´ınua no intervalo [2, +∞[. 6. Seja f definida por

f (x) =

   a sen(x) + 1, se x ≤ 0  

x2 log(x) + b, se 0 < x < 2     x4 + 3, se x ≥ 2

(a) Determine a e b de modo que f tenha derivada finita no ponto x = 0. (b) Mostre, por defini¸caõ, que f é uniformemente cont´ınua no intervalo [3, 4]. 7. Considere a fun¸caõ f definida por   |x − 1|ex , se x ≤ 2 f (x) =  (x − 2)2 + e2 , se x > 2

(a) Estude analiticamente f quanto a` continuidade e derivabilidade.

(b) Determine os extremos relativos, intervalos de monotonia e pontos de inflexão de f . (c) Mostre, por defini¸caõ, que f é uniformemente cont´ınua no intervalo ]3, 4]. 8. Seja f definida por

f (x) =

   cos(π(x − 1)),  

se x < 1

2x3 − 15x2 + 36x − 28, se 1 ≤ x ≤ 4     x, se x > 4

6.9 Estudo de uma fun¸ c˜ ao

167

(a) Estude analiticamente f quanto a` continuidade e derivabilidade em todos os pontos do seu dom´ınio. (b) Determine os extremos relativos de f . (c) A fun¸caõ f é uniformemente cont´ınua no intervalo [0, 2]? E no intervalo ]2, 5]? Justifique a resposta.

168

6. Exerc´ıcios

6.10

Primitiva¸c˜ ao

1. Determine as primitivas das fun¸co˜es definidas pelas expressões anal´ıticas seguintes: √ (a) 2x 3 x2 + 3; (b) 5x4 + 2x2 + 3; (c) ax5 , a constante não nula; ex (d) √ ; 1 − e2x (e) cos(6x); 2 ; (f) 3x (g) sen(2x − 3); 3x (h) ; 5 + x2 √ (i) x x2 + 9 ; (j) cos x − 5e2x ; x (k) + cos(2x); 2 2x + 5 1 ; (l) √ 1 − 5x2 3 5 2 (m) − 2 + + √ ; 2x x x (n) sen(x) cos2 (x); (o)

sen(x) 1 + ; 1 + 2 cos(x) sen2 (x)

(p) (cos2 (x) + 2 cos(x)) sen(x); kx (q) , k 6= 0, ab 6= 0; a + bx2 (r) asen3 (x) + x, a 6= 0; log |x| ; x 1 . (t) x log x

(s)

2. Primitive, por partes, as fun¸co˜es definidas pelas expressões anal´ıticas seguintes : (a) arc tg(x); (b) x cos(x);

6.10 Primitiva¸ c˜ ao

169

(c) (x2 + x + 1) ex ; (d) (x2 + 1) cos(x); x (e) ; cos2 (x) log |x| . (f) x2 3. Primitive, por substitui¸caõ, usando em cada caso a substitui¸caõ indicada, as fun¸co˜es definidas por : (a) √

√ ( x − 1 = t);

(b)

(x = 2 sen(t));

(c) (d) (e)

x3 x−1 x2 √ 4 − x2 r 1 x+2 x+4 x+4 1 x e + e−x 1 sen(x) + cos(x)

µr

¶ x+2 =t ; x+4

(ex = t); ³x´ = t). (tg 2

4. Determine as primitivas das fun¸co˜es racionais definidas pelas expressões anal´ıticas seguintes : (a) (b) (c) (d) (e)

x5 ; 2x + 1 x2 + 1 ; 12 + 3x2 x+2 ; 2 3x − 12x + 12 1 ; 2 x −9 2x ; (x + 2)(x − 3)

x3 + x 2 + x + 3 ; x4 + 2x2 − 3 x4 (g) ; 2x3 − 4x2 + 8x − 16 3x (h) ; 2 −x + x + 6 t+1 ; (i) 4 t + t2 (f)

170

6. Exerc´ıcios

(j)

2x3 . (x2 + 1)2

5. Determine a primitiva da fun¸caõ x → x2 ex que toma o valor 1 para x = 0. 6. Determine a primitiva da fun¸caõ x →

9x2

3 5π que toma o valor para x = 0. + 6x + 2 4 3

7. Determine a primitiva da fun¸caõ x → (cos(x)) 5 sen3 (x) + x2 ex que toma o valor 7 para x = 0. 8 , f 0 (1) = −1 e lim f (x) = 1. x→+∞ (x + 1)3 ¶ µ 1 R(log x) , onde 9. (a) Mostre que, com a substitui¸caõ log x = t , o cálculo de P x R designa uma fun¸caõ racional do seu argumento, pode fazer-se depender do cálculo da primitiva de uma fun¸caõ racional em t. 4 (b) Primitive f (x) = . 3 x[(log x) − 3 log x − 2] 8. Determine a fun¸caõ f tal que f ”(x) =

10. Sendo g(x) = cosn (x)R(sen(x)), com n ´ımpar, onde R designa uma fun¸caõ racional do seu argumento , mostre que a substitui¸caõ sen(x) = t permite primitivar g através da primitiva de uma fun¸caõ racional. 11. Primitive as fun¸co˜es definidas pelas expressões anal´ıticas seguintes : (a) x sen(2x − 1);

(b) x arc tg(x); x (c) √ ; 1+x t+1 ; (d) √ 2 t + 2t + 3 (e) (x + 1)ex ; 3x (f) √ + tg(9x); x2 + 5 x3 + 1 ; (g) 5x2 − 10x + 50 2 (h) √ ; 9 − x2 ex + e−x ; (i) 2x e − 2ex + 1 1 ; (j) √ x x2 + 4x − 4

6.10 Primitiva¸ c˜ ao

171

(k) arc tg(5x); 1 (l) √ ; 2 + x − x2 1 √ ; (m) √ x+1+ 4x+1 (n) cos4 (ax) , a 6= 0; p (o) x5 3 (1 + x3 )2 ;

1 ; 5 + 4 cos(x) √ x − x 3 ex + x2 ; (q) x3 (r) (log x + 1)2 ;

(p)

sen(x) ; cos(x)(1 + cos2 (x)) 3x + 5 ; (t) 2x3 − 2x2 − 2x + 2 x3 (x + 3) (u) ; 3x3 + 9x2 − 12 (v) (x + 1)3 e2x ; (s)

x3 − 3x − 4 ; −4x + 2x2 − 16 2x + 1 (x) √ ; 3x + 2 2t − 1 ; (y) 4 3 t − 2t + 2t2 − 2t + 1 tg(x) (z) . 1 + cos(x)

(w)

12. Mostre por primitiva¸caõ que: (a) P [(sen(x))n−1 sen((n + 1)x)] = (b) P [(cos x)m cos(nx)] =

1 (sen(x))n sen(nx); n

1 [cosm (x)sen(nx) + mP [cosm−1 (x) cos((n − 1)x)]]. m+n

13. Estabele¸ca a seguinte fórmula de recorrência : P (tg(x))n =

(tg(x))n−1 − P (tg(x))n−2 , n−1

n ≥ 2.

172

14. Seja fn (x) = √

6. Exerc´ıcios

xn . Mostre que : a + bx √ 2na 2xn a + bx − P fn−1 (x). P fn (x) = (2n + 1)b (2n + 1)b

6.11 Integrais

6.11

173

Integrais

1. Tendo em conta que toda a fun¸caõ cont´ınua em [a,b] é integrável nesse intervalo, use a defini¸caõ de integral para mostrar que se tem : Z b b 2 a2 − ; (a) x dx = 2 2 a Z b (b) sen(x) dx = cos(a) − cos(b). a

2. Seja f a fun¸caõ definida por   0 se x ∈ Q f (x) =  1 se x 6∈ Q

Mostre que a fun¸caõ x → |f (x) − 21 | é integrável no intervalo [0, 1] , mas o mesmo não acontece com a fun¸caõ x → f (x) − 21 . 3. Calcule os seguintes integrais: Z −3 1 (a) dx; 2 −2 x − 1 Z 1 x dx; (b) 2 0 x + 3x + 2 Z π 4 (c) sec2 (x) dx; π 6

(d) (e) (f) (g) (h) (i) (j)

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

e2

e π 4

1 dx; x log x tg(x) dx;

−π 4

1 0 π 2

ex dx; 1 + e2x (1 + cos2 (x)) dx;

0 1/2

arc sen (x) dx; 0 π 4

(sen(2x))3 dx;

0 π 3

0

tg3 (x) sec(x) dx;

174

6. Exerc´ıcios

(k) (l) (m) (n) (o) (p) (q) (r) (s) (t)

Z

Z

−1 π

−π Z π

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

√ x2 4 − x2 dx;

1

−π

|sen(x)| dx; (sen(x) + | cos(x)|) dx;

π 2

sen(2x) cos(x) dx;

0 4

1 √ dx; 1+ x

0

log 2

√

0 π 2

0 3

1 dt; 3 + 2 cos t t+1 √ dt; t2 + 2t

2 4

√

1

4/3 3/4

Z

ex − 1 dx;

x dx; 2 + 4x

1 dz; z z2 + 1 √

2

e3x + e2x + 1 dx; ex − e−x 1 √ Z 0 u + 2u + 1 √ du. (v) −1/2 1 + 2 2u + 1

(u)

4. Calcule os seguintes integrais: Z π 2 (a) (x2 cos(x) + 1) cos(x) dx; 0 Z e cos(log x) dx; (b) 1

(c) (d) (e)

Z

Z

Z

1

(x3 + x2 + x + 1)ex dx; 0 π

ex sen(x) dx; 0 4 2

3x3

2x − 1 dx; + 3x + 30

6.11 Integrais

(f) (g)

Z

Z

π 3

0 π 2

175

(| cos(3x)| − xsen(x)) dx; [(sen(x))

n−1

sen((n + 1)x)] dx +

0

Z

π 2

[sen(3x) cos(5x)] dx.

0

5. Seja f uma fun¸caõ de classe C 0 em [−a, a]. Mostre que: Z a Z a (a) Se f (x) = f (−x) então f (x) dx = 2 f (x) dx; −a 0 Z a (b) Se f (x) = −f (−x) então f (x) dx = 0. −a

6. Sejam m e n dois inteiros . Mostre que:  Z π  0 se m 6= n sen(mx)sen(nx) dx = (a)  π se m = n 0 2 Z π (b) sen(nx) cos(mx) dx = 0. −π

7. (a) Seja f uma fun¸caõ cont´ınua e crescente em [1, +∞[. Mostre que: Z x f (t) dt < (x − 1)f (x). (x − 1)f (1) < 1

(b) Utilizando o resultado da al´ınea anterior e sendo f (t) = log(t) mostre que ex−1 < xx < (ex)x−1 . 8. Sendo f uma fun¸caõ real definida e diferenciável em [0, 1], mostre que Z

1 0

0

xf (1 − x) dx =

Z

1 0

f (x) dx − f (0).

9. Determine as derivadas das fun¸co˜es F definidas por : Z 3x+2 tet dt, no ponto em que x = 1; (a) F (x) = 0

(b) F (x) =

Z

Z

kb(x)

f (u) du, k constante; a(x) x2 +x+1

sen(t) dt, no ponto em que x = 1. t 1 Z x2 + 3 t 7 4 e (t − ) 4 dt. Determine: 10. Considere a fun¸caõ f (x) = t 1 (c) F (x) =

176

6. Exerc´ıcios

(a) O seu dom´ınio e a equa¸caõ da recta tangente a` linha que é a sua representa¸caõ gráfica no ponto em que x = 1/2. (b) Os pontos em que a fun¸caõ tem extremo relativo e, em cada ponto, a natureza do extremo. 11. Calcule lim

x→0

12. Calcule

Z

1 lim+ x→0 x

x

sen(t3 ) dt 0

Z

.

x4 x

√

3t2 + 5 dt.

0

13. Seja n um inteiro não negativo e seja In =

Z

π 2

(sen(x))n dx.

0

n+1 In . n+2 (b) A partir do resultado da al´ınea anterior conclua que com k inteiro positivo se tem Z π 2 (2k − 1)(2k − 3)....3 × 1 π (sen(x))2k dx = × 2k(2k − 2)....4 × 2 2 0 e Z π 2 2k(2k − 2)....4 × 2 (sen(x))2k+1 dx = . (2k + 1)(2k − 1)...3 × 1 0 (a) Mostre que In+2 =

(c) Usando a substitui¸caõ x =

π 2

− t , mostre que

In =

Z

π 2

0

(cos(x))n dx.

6.12 C´ alculo de ´ areas

6.12

177

C´ alculo de ´ areas

1. Determine a a´rea de cada um dos seguintes dom´ınios: (a) Dom´ınio limitado pela parábola y 2 = 2x − 2 e pela recta y − x + 5 = 0.

(b) Dom´ınio limitado pelas parábolas y 2 = 4ax + 4a2 e y 2 = −4bx + 4b2 , a, b ∈ R+ .

(c) Dom´ınio limitado pelas representa¸co˜es gráficas das fun¸co˜es f (x) = −x3 e g(x) = −(4x2 + 12x).

(d) Dom´ınio limitado pelas representa¸co˜es gráficas das fun¸co˜es f (x) = x3 −6x2 +8x e g(x) = x2 − 4x.

(e) Dom´ınio limitado pelas representa¸co˜es gráficas das fun¸co˜es f (x) = ex e g(x) = e−x e por x = −1 e x = 2.

(f) Dom´ınio limitado pelas representa¸co˜es gráficas das fun¸co˜es f (x) = x3 − x e g(x) = sen(πx) e x ∈ [−1, 1]. 1 (g) Dom´ınio limitado pelas representa¸co˜es gráficas das fun¸co˜es f (x) = , x g(x) = ax, h(x) = bx, a, b ∈ R+ . 2. A parábola y 2 = x + 1 determina no c´ırculo limitado pela circunferência x2 + y 2 = 3 dois dom´ınios. Determine a a´rea de cada um deles.

178

6.13

6. Exerc´ıcios

Integrais Impr´ oprios

1. Calcule, se existir, o valor de cada um dos seguintes integrais impróprios: Z +∞ 2 (a) x e−x dx 0 Z +∞ log x dx (b) x 1 Z 6 1 p dx (c) 3 (4 − x)2 2 Z 2 1 (d) dx 2 1 x −1 Z −3 x (e) dx 2 6/5 −∞ (x − 4) Z +∞ log(3 t) dt (f) 2 t2 1 Z 1 2 x3 (x4 + 1)−3/2 dx (g) −∞ Z a 1 √ (h) dx ; a ∈ R+ 2 − x2 a a/2 Z 3a 2x dx ; a ∈ R+ (i) 2 2 )2/3 (x − a 0 Z 2 x √ (j) dx 3 2 x −4 −2 Z π/2 1 dx (k) −π/2 1 − cos(x) Z +∞ (l) t e−t dt −∞

2. Estude quanto a` convergência os seguintes integrais impróprios: Z +∞ 2t + 3 (a) dt 4 t3 + 1 0 Z +∞ sen(x) √ dx (b) x 1 + x2 1 Z +∞ log x (c) √ dx x2 2 Z 1/2 6 x5 ex dx (d) −∞

6.13 Integrais Impr´ oprios

(e) (f)

Z

Z

π

(x2

3 1 0

Z

3

x dx − 9)1/4

1 p

179

sen(x)

dx

cos(x) √ dx x − 1 4 9 − x2 0 Z 1 log(x + 1) (h) dx x−1 0 Z +∞ −x e (i) dx 2 x −1 2 Z +∞ arctg(t) (j) dt t2 1 (g)

√ 3

3. Estude pormenorizadamente para que valores dos parâmetros reais p e q tem sentido cada um dos seguintes integrais: Z +∞ e−x xp dx (a) e

(b) (c) (d) (e) (f) (g) (h)

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

+∞

1

log2 (x) dx x1+p

1

x3 (1 − x)p dx

0 1

1 dx −p xp+1 dx x2 − 4 x + 13

x2

0

+∞ 0 π/2

(cos(x))p dx 0 2 1 0 −2

µ

2−x x−1

¶p+1

1 dx x

(−x)p dx (x + 2)q

4. Seja f uma fun¸caõ cont´ınua não negativa para x > a > 0 e suponha que existem constantes reais M > 0 e K > 1 tais que f (x) ≤

M , ∀x > a xK

(a) Mostre que, nestas condi¸co˜es, o integral impróprio

Z

+∞

f (x) dx é convergente. a

180

6. Exerc´ıcios

(b) Aplique Z +∞ o resultado da al´ınea anterior para mostrar que o integral impróprio 1 √ √ dx é convergente. 2 1+x 1 + x3 1 Z x 5. Determine uma representa¸caõ anal´ıtica da fun¸caõ F (x) = g(t) dt −∞

onde

  2, x2 g(x) =  2,

se |x| ≥ 1 se |x| ≤ 1

6. Determine, se existir, a a´rea do dom´ınio plano ilimitado definido por: (a) a imagem das fun¸co˜es f (x) = dos xx;

1 2 1 e g(x) = x e pelo semi-eixo positivo 1 + x2 2

(b) o eixo dos xx, as rectas x = −2 e x = 5 e a representa¸caõ gráfica da fun¸caõ 1 h(x) = p . |x|

7. Determine, se existir, a a´rea de cada um dos seguintes dom´ınios planos ilimitados: (a) S = {(x, y) : x ≤ 0 ∧ 0 ≤ y ≤ ex } © ª (b) S = (x, y) : x ≥ −2 ∧ 0 ≤ y ≤ e−x/2

8. Exame de Recurso de Análise Matemática I (15 Fev 1995): Z +∞ 1 dx (a) Calcule o valor do integral impróprio (x2 + 1) (x + 1) 0 Z 1 1 (b) Estude a convergência do integral dx 1/3 −1 (sen(x)) 9. Exame de 2a chamada de Análise Matemática I (3 Fev 1995): (a) Estude, em fun¸caõ do parâmetro real α, a convergência do integral Z 1 xα √ dx 2 1 − x2 0 (1 + x ) Z +∞ 1 dx (b) Estude a convergência do integral 2 1/3 (x − 1) (x + 1)1/3 0 10. Exame de 1a chamada de Análise Matemática I (27 Jan 1995): (a) Calcule o valor do integral impróprio

Z

π/2 0

cos(x) p dx sen(x)

6.13 Integrais Impr´ oprios

181

(b) Estude, em fun¸caõ do parâmetro real α, a convergência do integral Z +∞ (x − 1)α x2 α dx 1

11. Exame de Recurso de Análise Matemática I (15 Abr 1994): (a) Calcule a a´rea do dom´ınio plano ilimitado definido pelo gráfico da fun¸caõ 1 y= e pelo eixo dos xx. 1 + x2 (b) Estude, em fun¸caõ do parâmetro real α, a convergência do integral Z 2 x1−2α (2 − x)α/2 dx 0

12. Exame de 2a chamada de Análise Matemática I (21 Fev 1994): Indique, justificando, se são ou não convergentes os seguintes integrais Z +∞ −x e √ dx (a) x 0 Z 1 log x √ dx (b) x 0 (Nota: Na al´ınea (b), pode usar quer um critério de compara¸caõ, quer a defini¸caõ). 13. Exame de 1a chamada de Análise Matemática I (7 Fev 1994): Indique, justificando, se são ou não convergentes os seguintes integrais Z 2 ex (a) dx 3 1/5 0 x (1 − x) Z +∞ p 3 1/x √ dx (b) 5 x +1 0 14. Exame de 1a chamada de Análise Matemática I (7 Fev 1994): Estude, em fun¸caõ do parâmetro real α, a convergência do integral Z +∞ (x − 1)α e−x dx 1

182

6. Exerc´ıcios

Bibliografia [1] APOSTOL, T. - Calculus, Blaisdell, 1967. [2] CAMPOS FERREIRA, J. - Introdu¸caõ a` Análise Matemática, Funda¸caõ Calouste Gulbenkian, 1982. [3] ELLIS, R.; GULLICK, D. - Calculus with Analytic Geometry, 5a edi¸caõ, Saunders College Publishing, 1994. [4] FIGUEIRA, M. - Fundamentos de Análise Infinitesimal, Textos de Matemática, vol. 5, Departamento de Matemática, Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa, 1996. [5] HUNT, R. - Calculus, 2a edi¸caõ, Harper Collins, 1994. [6] LARSON, R.; HOSTETLER, R.; EDWARDS, B. - Calculus with Analytic Geometry, 5a edi¸caõ, Heath, 1994. [7] SANTOS GUERREIRO, J. - Curso de Análise Matemática, Livraria Escolar Editora, 1989. [8] SARRICO, C. - Análise Matemática, Leituras e Exerc´ıcios, Gradiva, 1997. [9] SPIVAK, M. - Calculus, World Student Series Edition, 1967. [10] STEWART, J. - Calculus, 3a edi¸caõ, Brooks/Cole Publishing Company, 1995. [11] SWOKOWSKI, E. W. - Cálculo com Geometria Anal´ıtica, vol. 1, 2a edi¸caõ, Makron Books, McGraw-Hill, 1994. [12] TAYLOR, A.; MANN, R. - Advanced Calculus, 2a edi¸caõ, Xerox College Publishing, 1972.

Índice Remissivo R, 9 aderência, 2 binómio de Newton, 5 conjunto aberto, 2 dos termos da sucessão., 7 fechado, 2 limitado, 2 majorado, 2 minorado, 2 contradom´ınio, 13 critérios de convergência, 115 derivada, 37 a` direita, 38 a` esquerda, 37 de ordem n, 44 segunda, 44 derivado, 2 descontinuidade remov´ıvel, 28 dom´ınio, 13 de defini¸caõ, 13 expressão anal´ıtica, 13 exterior, 1 extremos, 14 extremos relativos, 46 fórmula de Leibnitz, 45 fórmula de MacLaurin, 58 fórmula de Taylor, 58 fecho, 2 fronteira, 1 fun¸caõ, 13

´ımpar, 14 bijectiva, 15 cont´ınua, 23 a` direita, 23 a` esquerda, 23 no conjunto B, 23 crescente, 14 decrescente, 14 diferenciável, 37 estritamente crescente, 14 estritamente decrescente, 14 estritamente monótona, 14 injectiva, 15 limitada, 15 monótona, 14 par, 14 primitivável, 67 prolongável por continuidade, 28 racional, 75 real de variável real, 13 sobrejectiva, 15 uniformemente cont´ınua, 32 de classe C 1 , 44 de classe C n , 44 de classe C ∞ , 44 derivada, 44 integrável, 98 fun¸caõ Beta, 134 fun¸caõ Gama, 134 fun¸caõ racional em p variáveis, 85 irredut´ıvel, 76 gráfico, 13 grau de multiplicidade, 76

´ INDICE REMISSIVO

indetermina¸co˜es, 52 Indu¸caõ matemática, 5 ´ınfimo, 3 infinitésimo, 10 infinitamente grande, 8 infinitamente grande em módulo, 8 Integra¸caõ por partes, 107 por substitui¸caõ, 107 integral, 98 impróprio de 1a espécie divergente, 114 impróprio de 1a espécie, 113, 121, 122 absolutamente convergente, 121 convergente, 114 simplesmente convergente, 121 impróprio de 2a espécie convergente, 126 impróprio de 2a espécie, 125–127 convergente, 125 divergente, 125, 126 impróprio misto, 131 inferior, 98 superior, 98 interior, 1 limite, 16 a` direita, 19 a` esquerda, 19 lateral, 19 relativo, 19 limite inferior, 11 limite máximo, 11 limite m´ınimo, 11 limite superior, 11 lipschitziana, 34 máximo, 14 local, 46 relativo, 46 m´ınimo, 3, 14 local, 46 relativo, 46 majorante, 2

185

máximo, 3 minorante, 2 parti¸caõ, 95 mais fina, 95 polinómio, 75 em duas variáveis, 85 em p variáveis, 85 grau de um, 75 irredut´ıvel, 75 redut´ıvel, 75 ponto aderente, 2 de acumula¸caõ, 2 exterior, 1 fronteiro, 1 interior, 1 isolado, 2 ponto de estacionaridade, 61 ponto de inflexão, 64 ponto de máximo, 14 ponto de m´ınimo, 14 primitiva, 67 imediata, 68 primitiva¸caõ de fun¸co˜es irracionais, 85 de fun¸co˜es racionais, 75 por partes, 72 por substitui¸caõ, 73 prolongamento, 28 recta acabada, 10 recta tangente, 37 Regra de Barrow, 107 Regra de Cauchy, 52 Regra de l’Hospital, 54 representa¸caõ anal´ıtica, 13 resto de Lagrange, 58 restri¸caõ, 15 soma inferior de Darboux, 96 soma superior de Darboux, 96 subsucessão, 8

186

sucessão, 7 convergente, 9 crescente, 7 de Cauchy, 12 decrescente, 7 estritamente crescente, 7 estritamente decrescente, 7 estritamente monótona, 7 fundamental, 12 limitada, 7 limitada inferiormente, 7 limitada superiormente, 7 monótona, 7 supremo, 3 Teorema de Bolzano, 24 de Cantor, 35 de Cauchy, 50 de Darboux, 48 de Lagrange, 49 de Rolle, 47 de Taylor, 57 de Weierstrass, 26 da média, 106 Fundamental do Cálculo Integral, 106 termo geral, 7 valor principal de Cauchy, 124 variável dependente, 13 independente, 13 vizinhan¸ca, 1

´ INDICE REMISSIVO

Analise Matematica I

Short Description

Description

Comments

We need your help!