January 29, 2024 | Author: Anonymous | Category: N/A
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Matem´atica I
Para Ciˆ encias Exactas e Econ´ omicas Te´oria e Pr´atica
Autores: Adelino Bucuane; Betuel Canhanga; Teresa Mondlane; Clarinda Nhamgumbe;
Maputo, Janeiro de 2015
versao 1.01
2
Pref´ acio Agradecemos a todos que de forma directa ou indirecta fizeram parte desta obra. Ao escrevˆe-la inspiramo-nos nos princ´ıpios de um grande Professor que postula a ideia de que ”...ensinar ´ e lembrar aos outros que eles sabem tanto quanto vocˆ e!...”e procuramos de modo detalhado mostrar momentos importantes para a constru¸c˜ao de valores e saberes Matem´aticos.
Se dedicarmo-nos a lembrar ao estudante ou leitor que ele sabe, ent˜ao estaremos a incitar a organiza¸c˜ao e constru¸c˜ ao de seu proprio conhecimento buscando dessa forma a base do estudante na centraliza¸c˜ao do processo de ensino. Esta abordagem tem sido previlegiada nos ultimos tempos, raz˜ ao pela qual preparamos esta obra dando prioridade a actividade individual e colectiva dos estudantes destacando o Professor como alguem que disperta nos estudantes a direc¸c˜ao e os caminhos a seguir para a sua aprendisagem.
Dividida em quatro cap´ıtulos, o primeiro faz uma revis˜ao de componentes necess´arias para o acompanhamento do manual. O segundo cap´ıtulo fala sobre sucess˜oes num´ericas, limites de sucess˜ oes num´ericas, fun¸c˜ oes reais de uma vari´avel real, limites e continuidade. O segundo cap´ıtulo estuda o conceito de derivada de fun¸c˜ oes e suas aplica¸c˜oes em estudos Matem´aticos e ´areas afins; o terceiro aborda a integra¸c˜ ao segundo Rieman, suas propriedades e aplica¸c˜oes. Ao longo do manual desenvolvem-se temas e da-se primor a constru¸c˜ao dos saberes orientados a aplica¸c˜oes imediatas em ciˆencias e economia, garantindo tamb´em a cria¸c˜ao de bases para o prosseguimento de estudos em Matem´atica II e em outras disciplinas que buscam na Matem´atica a fonte para a persep¸c˜ao e resolu¸c˜ ao de seus problemas.
Apresentamos exemplos com diferentes aplica¸c˜oes aos temas aqui abordados, dando-se primasia a capacidade do estudante encontrar problemas pr´aticos que apliquem os conceitos estudados. No fim de cada cap´ıtulo, poder´ a encontrar uma colec¸c˜ao de exerc´ıcios que obrigatoriamente dever´ a resolver antes de prosseguir com a sua leitura.
Consideramos esta obra ainda n˜ ao acabada, a sua terceira vers˜ao ser´a publicada em inicios de 2016, por isso, esperamos receber de Si observa¸c˜oes, coment´arios e cr´ıticas que naturalmente servir˜ ao para enriquecer este produto. Dispomos do email
[email protected] para cr´ıticas, cr´ıticas e cr´ıticas. Critique por favor, sabemos que s´ o assim iremos um dia atingir melhores patamares. Sua cr´ıtica vai ajudar-nos a melhorar.
Com desejos de que a leitura desta brochura seja fascinante, a nossa espectativa ´e de despertar em Si,
3
mais do que o saber, a preciosa vontade de aprender hoje, aprender para sempre, e aprender sempre. Bem Haja.
Betuel de Jesus Varela Canhanga (Licenciado em Inform´atica e Mestre em Matem´atica Aplicada)
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Conte´ udo 1 Preliminares 1.1
Aula 1 - Te´ orica
9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.1.1
Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.1.2
Nota¸c˜ oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.1.3
Formas de defini¸c˜ ao de um conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.1.4
Relac¸c˜ oes de Perten¸ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.1.5
Cardinal de um conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.1.6
Conjuntos Finitos e Conjuntos Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.1.7
Igualdade de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.1.8
Conjunto Nulo ou Conjunto Vazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.1.9
Conjunto Universo ou Universal
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.1.10 Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.1.11 Conjunto de conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.1.12 Simbologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.1.13 Opera¸c˜ oes Sobre Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.1.14 Raz˜ oes e Propor¸c˜ oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.1.15 Percentagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
1.2
Aula 2 - Pr´ atica
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.3
Aula 3 - Te´ orica
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
1.3.1
Algebra e express˜ oes algebricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
1.3.2
Express˜ oes num´ericas e valor num´erico de uma express˜ao . . . . . . . . . . . .
34
1.3.3
Dom´ınio de Express˜ oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
1.3.4
Valores Num´ericos de uma Express˜ao Literal . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
1.3.5
Polin´ omios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
1.3.6
Mon´ omios Semelhantes e Mon´omios Iguais
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
1.3.7
Opera¸c˜ oes sobre Mon´ omios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
1.3.8
Polin´ omios Semelhantes e Polin´omios Iguais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
4
5
1.3.9
Factoriza¸c˜ ao de Polin´ omios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
1.3.10 Polin´ omios Quadr´ aticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
1.3.11 Triˆ angulo de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
1.3.12 Exercicios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
1.3.13 Potˆencia¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
1.3.14 Opera¸c˜ oes com Potˆencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
1.3.15 Multiplica¸c˜ ao de Potˆencias com Bases Iguais e Expoentes Diferentes . . . . . .
48
1.3.16 Divis˜ ao de Potˆencias com Bases Iguais e Expoentes Diferentes
. . . . . . . . .
48
1.3.17 Multiplica¸c˜ ao de Potˆencias com Expoentes Iguais e Bases Diferentes . . . . . .
48
1.3.18 Divis˜ ao de Potˆencias com Expoentes Iguais e Bases Diferentes
. . . . . . . . .
48
1.3.19 Potˆencia de Potˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
1.3.20 Radicia¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
1.3.21 Raiz de ´Indice n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
1.3.22 Multiplica¸c˜ ao e Divis˜ ao de Radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
1.3.23 Simplifica¸c˜ ao de Radicais (Redu¸c˜ao ao mesmo ´ındice) . . . . . . . . . . . . . .
50
1.3.24 Compara¸c˜ ao de Radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
1.3.25 Adi¸c˜ ao e Subtra¸c˜ ao de Radicais
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
1.3.26 Potˆencia de uma raiz e Raiz de uma Potˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
1.4
Aula 4 - Pr´ atica
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
1.5
Aula 5 - te´ orica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
1.5.1
Fun¸c˜ oes lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
1.5.2
Fun¸c˜ oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
1.5.3
Fun¸c˜ ao Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
1.5.4
Fun¸c˜ oes Compostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
1.5.5
Sistemas de Equa¸c˜ oes e Inequa¸c˜oes Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
1.5.6
Fun¸c˜ oes quadr´ aticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
1.5.7
Estudo Completo de uma Fun¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
1.5.8
Equa¸c˜ oes Quadr´ aticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
1.5.9
Exerc´ıcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
1.5.10 Equa¸c˜ oes Param´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
1.5.11 Fun¸c˜ oes e Equa¸c˜ oes Radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
1.5.12 Composi¸c˜ ao de fun¸c˜ oes por fun¸c˜oes radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
1.5.13 Equa¸c˜ oes e Inequa˜ oes Radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
1.6
Aula 6 - pr´ atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
1.7
Aula 7 - te´ orica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
6
1.7.1
Fun¸c˜ oes exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
1.7.2
Resolu¸c˜ ao de Equa¸c˜ oes Exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
1.7.3
Inequa¸c˜ ao Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
1.7.4
Fun¸c˜ ao exponˆencial
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
1.7.5
Representa¸c˜ ao Gr´ afica de uma Fun¸c˜ao Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . .
91
1.7.6
C´ alculo Logar´ıtmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
1.7.7
Propriedades Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
1.7.8
Equa¸c˜ ao Logar´ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
1.7.9
Inequa¸c˜ ao Logar´ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
1.7.10 Fun¸c˜ ao Logar´ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
1.7.11 Representa¸c˜ ao Gr´ afica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
1.7.12 Fun¸c˜ ao e Equa¸c˜ ao Homogr´afica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
1.7.13 Equa¸c˜ oes e Inequa¸c˜ oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 1.7.14 Fun¸c˜ ao Modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 1.7.15 Gr´ afico da Fun¸c˜ ao Modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 1.7.16 Equa¸c˜ oes Modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 1.7.17 Inequa¸c˜ oes Modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 1.8
Aula 8 - Pr´ atica
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
˜ es e func ˜ es 2 Limites de Sucesso ¸o 2.1
Aula 9 - Te´ orica
119
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
2.1.1
Monotonia de uma Sucess˜ao Num´erica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
2.1.2
Limite de Sucess˜ oesNum´ericas
2.1.3
Regras de C´ alculo de Limites de Sucess˜oes Num´ericas . . . . . . . . . . . . . . 122
2.1.4
Alguns tipos de Indetermina¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
2.1.5
O N´ umero e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
2.1.6
Alguns Exerc´ıcios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
2.2
Aula 10 - pr´ atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2.3
Aula 11 - te´ orica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 2.3.1
Progress˜ oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
2.3.2
Alguns Exerc´ıcios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
2.4
Aula 12 - Pr´ atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
2.5
Aula 13 - teorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 2.5.1
Limite de uma Fun¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
2.5.2
C´ alculo de Limite de uma Fun¸c˜ao
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7
2.5.3
Indetermina¸c˜ ao do Tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
2.5.4
Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
2.5.5
Limites Not´ aveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
2.5.6
Alguns Exerc´ıcios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
2.6
Aula 14 - Pr´ atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
2.7
Aula 15 - teorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
2.8
2.7.1
Continuidade de Fun¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
2.7.2
Pontos de Descontinuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
2.7.3
Classifica¸c˜ ao dos Pontos de Descontinuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Aula 16 - Pr´ atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
˜ es 3 Derivadas e aplicac ¸o 3.1
141
Aula 17 - Te´ orica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 3.1.1
Conceito de Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.1.2
Deriva¸c˜ ao por Tabela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
3.1.3
Regras de Deriva¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
3.1.4
Tabelas de Deriva¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
3.2
Aula 18 - Pr´ atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
3.3
Aula 19 - teorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 3.3.1
Derivada logar´ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
3.3.2
Regra de Cadeia ou Regra de Derivada de Fun¸c˜ao Composta . . . . . . . . . . 153
3.3.3
Derivada de fun¸c˜ ao dada na forma impl´ıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
3.3.4
Derivada da fun¸c˜ ao param´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
3.4
Aula 20 - Pr´ atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
3.5
Aula 21 - teorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 3.5.1
Interpreta¸c˜ ao geom´etrica e mecˆanica da derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
3.5.2
Diferencial da fun¸c˜ ao de uma vari´avel real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
3.5.3
Derivadas e diferenciais de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
3.5.4
Polin´ omio de Taylor e de Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
3.6
Aula 22 - Pr´ atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
3.7
Aula 23 - teorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
3.8
3.7.1
Estudo da Primeira Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
3.7.2
Estudo da Segunda Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
3.7.3
M´ aximos e m´ınimos de fun¸c˜oes. Estudo completo de fun¸c˜ao . . . . . . . . . . . 162
Aula 24 - Pr´ atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
8
´ lculo Integral 4 Ca 4.1
173
Aula 25 - teorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 4.1.1
Somat´ orios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
4.1.2
C´ alculo de ´ areas usando limites de soma de ´areas particionadas . . . . . . . . . 174
4.2
Aula 26 - Pr´ atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
4.3
Aula 27 - teorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 4.3.1
Integral definido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
4.3.2
Somas inferiores e superiores de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
4.3.3
Propriedades do integral definido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
4.4
Aula 28 - Pr´ atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
4.5
Aula 29 - teorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 4.5.1
Integral indefinido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
4.5.2
Propriedades de integra¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
4.5.3
Tabela de integra¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
4.5.4
M´etodo de substitui¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
4.5.5
Resolu¸c˜ ao : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
4.5.6
Algumas identidades trigonom´etricas fundamentais
4.5.7
Integrais de fun¸c˜ oes trigonom´etricas
. . . . . . . . . . . . . . . 194
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
4.5.8
Substitui¸c˜ oes trigonom´etricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
4.5.9
Integra¸c˜ ao de fun¸c˜ oes racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
4.5.10 Integra¸c˜ ao por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 4.6
Aula 30 - Pr´ atica
4.7
Aula 31 - teorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 4.7.1
Integral impr´ oprio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
4.7.2
Integral impr´ oprio do primeiro tipo
4.7.3 4.7.4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
Crit´erio de convergˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 Integral impr´ oprio do segundo tipo
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
4.7.5
Crit´erio de convergˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
4.7.6
C´ alculo de ´ areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
4.7.7
Comprimento do arco duma curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
4.7.8 4.7.9 4.8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
´ Area de superf´ıcie de revolu¸c˜ao
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
Volume do s´ olido de revolu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
Aula 32 - Pratica
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Cap´ıtulo 1
Preliminares 1.1 1.1.1
Aula 1 - Te´ orica Conjuntos
A teoria de conjuntos ´e uma parte da Matem´atica que ´e aplicada em muitos campos da ciˆencia tais como: estat´ıstica, engenharia, economia. Debrussar-nos-emos sobre linhagens b´asicas da teoria de conjuntos. Os estudantes, dever˜ ao com muito cuidado ler a componente te´orica e resolver paulatina e atenciosamente os exerc´ıcios aqui sugeridos. Defin¸ c˜ ao 1.1. Conjuntos- Conjunto ´e um conceito fundamental em todos os ramos da matem´ atica. Um conjunto ´e uma lista, uma colec¸c˜ ao, um agrupamento ou uma classe de objectos com caracter´ısticas idˆenticas. Os objectos em um conjunto, como mostram os exemplos que se seguem, podem ser qualquer coisa como: pessoas, rios, lagos, nome de prov´ıncias, etc. Estes objectos que fazem parte do conjunto s˜ao chamados elementos do conjunto. Exemplo 1.1. Consideremos seguintes exemplos de conjuntos e seus elementos: 1) Os n´ umeros 1, 3, 7, 10 podem ser vistos como elementos de um conjunto; 2) As solu¸c˜ oes da equa¸c˜ ao x3 + 3x − 1 = 0 s˜ao elementos de um conjunto; 3) As vogais do alfabeto portuguˆes s˜ao elementos de um conjunto; 4) Os estudantes que faltam ` as aulas, s˜ao elementos de um conjunto; 5) Maputo, Gaza, Inhambane, Zamb´ezia e Cabo Delgado s˜ao elementos de um conjunto.
1.1.2
Nota¸co ˜es
Os Conjuntos s˜ ao geralmente representados por letras mai´ usculas. 9
10
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
Exemplo 1.2. A = {2, 4, 6, 8, ...}
B = {1, 3, 5, 7, 9, ...}
C = {maputo, pemba, xai − xai, lichinga}
Os Elementos de um conjunto s˜ao geralmente representados por letras min´ usculas. Exemplo 1.3. A = {a,e,i,o,u} Observa¸ c˜ ao 1.1. Veja que no exemplo anterior os elementos do conjunto aparecem separados pelo sinal da v´ırgula. Os elementos de um conjunto aparecem entre chavetas ”{}”. Designa-se a esta forma de representar conjuntos Forma tabular ou Representa¸ c˜ ao por extens˜ ao. Se se definir um conjunto particular usando uma determinada propriedade de que se revestem seus elementos, como por exemplo: considerando-se o conjunto B como sendo o conjunto de num´eros ´ımpares, usa-se uma letra qualquer. Por quest˜ao de uniformidade usa-se a letra x para representar um elemento qualquer e o s´ımbolo (:) que significa - tal que, e escreve-se: B = {x : x = 2k − 1, k ∈ N} Lˆe-se: B´ e um conjunto de n´ umeros x tal que esses n´ umeros s˜ ao ´ımpares. Designa-se a esta meneira de construir ou representar um conjunto Representa¸ c˜ ao por compreens˜ ao.
1.1.3
Formas de defini¸c˜ ao de um conjunto
Diz-se que um conjunto est´ a bem definido, quando claramente se identificam os seus elementos. Existem 3 formas de defini¸c˜ ao de um conjunto: • Extens˜ ao; • Compreens˜ ao; • Diagrama de Venn. Defin¸ c˜ ao 1.2. Um conjunto diz-se definido ou representado por extens˜ ao quando ´e ”extendido”, lista-se todos os seus elementos. Exemplo 1.4. O conjunto A est´ a representado por extens˜ao: A = {1, 3, 5, 7, 9}
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015
11
Defin¸ c˜ ao 1.3. Um conjunto diz-se definido ou representado por compreens˜ ao quando se ”compreende”,com base em uma regra, quais s˜ao os constituentes do mesmo. Exemplo 1.5. O conjunto A est´ a representado por extens˜ao: A = {x : x = 2k − 1; k ∈ N e x < 10} Defin¸ c˜ ao 1.4. Um conjunto diz-se definido ou representado por diagrama de Venn
1.1.4
Relac¸co ˜es de Perten¸ca
• Quando um elemento ”a”n˜ ao faz parte de um determinado conjunto A, diz-se que a n˜ ao pertence a A ( escreve se a 6∈ A); • Quando um elemento a faz parte de um determinado conjunto A, diz-se que a pertence a A ( escreve-se a ∈ A). Exemplo 1.6. Seja A = {a, b, c, d, e, f }, Diz-se que A ´e um conjunto e ”a, b, c, d, e, f ”s˜ao elementos do conjunto A, assim: 1) a ∈ A 2) e ∈ A 3) m 6∈ A 4) p 6∈ A
1.1.5
Cardinal de um conjunto
´ o n´ E umero de elementos que o conjunto tem (]). Exemplo 1.7. Seja V = {a, e, i, o, u}ent˜ao ]V = 5.
1.1.6
Conjuntos Finitos e Conjuntos Infinitos
Defin¸ c˜ ao 1.5. Um conjunto diz-se Finito quando se poder identificar o n´ umero de elementos que dele fazem parte. Em outras palavras, se tiver Cardinal. Exemplo 1.8. Considere os seguintes exemplos: 1) O conjunto formado por capitais provinciais de Mo¸cambique; 2) O conjunto formado pelos estudantes de uma turma; 3) O conjunto de n´ umeros naturais menores que 1000000.
12
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
Defin¸ c˜ ao 1.6. Um conjunto diz-se Infinito quando n˜ao se pode identificar o n´ umero de elementos que dele fazem parte. Em outras palavras, se n˜ao tiver Cardinal. Exemplo 1.9. Considere os seguintes exemplos: 1) O conjunto formado por n´ umeros entre 1 e 3; 2) O conjunto de n´ umeros naturais maiores que 1000000.
1.1.7
Igualdade de Conjuntos
Defin¸ c˜ ao 1.7. O conjunto A diz-se igual ao conjunto B se eles tiverem mesmos elementos, isto ´e, se todos elementos de B pertencerem a A e se todos elementos de A pertencerem a B. Exemplo 1.10. Considere seguintes exemplos: 1) A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 3, 1, 4} s˜ao conjuntos iguais; 2) O conjunto formado por pessoas de sexo feminino ´e igual ao conjunto formado por mulheres; 3) A = {x : x2 + 4x + 4 = 0},
1.1.8
B = {x : x + 2 = 0},
e C = {−2} s˜ao conjuntos iguais.
Conjunto Nulo ou Conjunto Vazio
Defin¸ c˜ ao 1.8. Diz-se que um conjunto ´e nulo ou vazio (denota-se {} ou ∅) quando n˜ao cont´em elementos. Isto ´e, o seu cardinal ´e igual a zero. Exemplo 1.11. Considere os seguintes exemplos: 1) O conjunto formado por todas pessoas com mais de 700 anos de vida na terra; 2) O conjunto formado pelas solu¸co˜es da equa¸c˜ao x2 + 1 = 0.
1.1.9
Conjunto Universo ou Universal
Defin¸ c˜ ao 1.9. Em qualquer aplica¸c˜ ao da teoria de conjuntos, todos os conjuntos aprendidos estar˜ ao no momento de estudo particularizado de um outro conjunto mais amplo e expresso, por exemplo, quando se fala de n´ umeros naturais, vˆe-se que eles fazem parte de um outro conjunto, que ´e o conjunto de n´ umeros. Quando se fala de estudantes de uma sala, vˆe-se que eles fazem parte do conjunto de estudantes dessa escola, portanto h´ a sempre uma tendˆencia de particularizar um pequeno conjunto de um outro conjunto mais amplo com o intuito de concentrar aten¸c˜oes sobre a mat´eria em estudo. Diz-se que um conjunto ´e Universo ou Universal ( denota-se U ) se ele cont´em todos subconjuntos de um determinado caso em estudo.
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13
Exemplo 1.12. Considere os seguintes exemplos: 1) Em geometria plana o conjunto Universal ´e o conjunto de todos os pontos do espa¸co; 2) O conjunto Universal do conjunto de estudantes de uma turma ´e o conjunto de todos estudantes dessa escola.
1.1.10
Subconjuntos
Defin¸ c˜ ao 1.10. O nome vai mais longe, sub-conjunto, um conjunto pequeno. O termo pequeno na l´ıngua portuguesa ´e relativo, ”pequeno em relac¸c˜ao a alguma coisa”. Diz-se que o conjunto A ´e subconjunto do conjunto B , se todos elementos de A pertencerem a B , isto ´e, tamb´em s˜ao elementos de B. Exemplo 1.13. Considere os seguintes exemplos: 1) Seja A = {1, 2, 3, 4, 5},
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, o conjunto A ´e subconjunto do conjunto B ,isto
´e, A ⊂ B ; 2) O conjunto de capitais provinciais do Sul de Mo¸cambique ´e um subconjunto de capitais provinciais de Mo¸cambique; 3) S˜ao conhecidos os conjuntos: (a) N-Conjunto de n´ umeros naturais; (b) Z-Conjunto de n´ umeros inteiros; (c) Q-Conjunto de n´ umeros racionais; (d) R-Conjunto de n´ umeros reais. Ent˜ao pode-se ver que o conjunto de n´ umeros naturais ´e subconjunto de Z e da´ı segue-se a seguinte cadeia: N⊂Z⊂Q⊂R Costuma-se dizer que o conjunto A ´e superconjunto de B . Esta afirma¸c˜ao equivale a dizer que o conjunto B ´e subconjunto de A e isto ´e l´ogico, se B ´e subconjunto de A, ent˜ao A ´e superconjunto de B . A ser assim temos para a firma¸c˜ao A ⊂ B os seguintes coment´arios: 1) O conjunto A ´e subconjunto de B ; 2) O conjunto A est´ a contido em B ; 3) O conjunto B ´e superconjunto de A;
14
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
4) O conjunto B ´e cont´ em A. Para a afirma¸c˜ ao A 6⊂ B , pode-se fazer os seguintes coment´arios: 1) O conjunto A n˜ ao ´ e subconjunto de B ; 2) O conjunto A n˜ ao est´ a contido em B ; 3) Existe em A pelo menos um elemento que n˜ao faz parte de B ; 4) O conjunto B n˜ ao cont´ em A. Observa¸ c˜ ao 1.2. Aten¸c˜ ao: • Sem limita¸c˜ ao da sua essˆencia e para todos efeitos, o conjunto vazio ”{}” ´e subconjunto de qualquer conjunto; • Se o conjunto A = B ent˜ ao A ⊂ B e B ⊂ A.
1.1.11
Conjunto de conjunto
Algumas vezes os elementos de um determinado conjunto, s˜ao tamb´em conjuntos. O conjunto formado por todos subconjuntos de um determinado conjunto ´e um conjunto de conjuntos ou ainda fam´ılia de conjuntos. Exemplo 1.14. Considere os seguintes exemplos: 1) O conjunto A = {{a, b}, {c}, {a, e}} ´e um conjunto de conjuntos.
1.1.12
Simbologia
Os s´ımbolos mais usados na teoria de conjuntos est˜ao representados a seguir: • ∈ (pertence), ex: a ∈ B • 6∈ (n˜ao pertence), ex: m 6∈ B • = (igual), ex: A = B • 6= (diferente), ex: A 6= B • ⊂ (contido), ex: A ⊂ B • 6⊂ (n˜ao contido), ex: A 6⊂ B • ⊃ (cont´em), ex: A ⊃ B
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15
• 6⊃ (n˜ao cont´em), ex: A 6⊃ B • {} (vazio) • ] (cardinal), ex: ]1, 4 = 2
1.1.13
Opera¸c˜ oes Sobre Conjuntos
1) Reuni˜ ao - Chama-se reuni˜ ao de dois ou mais conjuntos, a opera¸c˜ao que une elementos de dois ou de mais conjuntos. E denota-se por ∪. Exemplo 1.15. Sejam dados os seguintes conjuntos: A = {1, 2, 4, 5} e B = {1, 2, 7, 8}; representados por diagrama de Venn nas figuras (1.1) e (1.2) respectivamente, a reuni˜ao de A e B ´e um outro conjunto que se pode designar por C e denota-se: C = A ∪ B = {1, 2, 4, 5, 7, 8}; o conjunto C est´ a representado por diagrama de Venn na figura (1.3)
5 1
4 2
A
Figura 1.1:
2) Intersec¸ c˜ ao - Chama-se intersec¸c˜ao de dois ou mais conjuntos, a opera¸c˜ao que intersecta elementos de dois ou de mais conjuntos. E denota-se ∩. Exemplo 1.16. Sejam dados os seguintes conjuntos: A = {1, 2, 4, 5};
B = {1, 2, 7, 8};
16
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
8 1
7 2
B
Figura 1.2:
5
8 1
1
4
7
2
2
A∪B
Figura 1.3: A intersec¸c˜ ao de A e B ´e um outro conjunto que se pode designar por C e teremos: C = A ∩ B = {1, 2}. Veja que participam na intersec¸c˜ao os elementos que em simultˆaneo pertencem a A e B . Veja na figura (1.6), os elementos que fazem parte do conjunto intersec¸c˜ao, s˜ao 1 e 2. 3) Diferen¸ ca - Chama-se Diferen¸ca de dois ou mais conjuntos, a opera¸c˜ao que diferencia dois ou mais conjuntos, e denota-se ”\”. Exemplo 1.17. Sejam dados os seguintes conjuntos: A = {1, 2, 4, 5};
B = {1, 2, 7, 8};
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015
17
5 1
4 2
A
Figura 1.4:
8 1
7 2
B
Figura 1.5: A Diferen¸ca de A e B ´e um outro conjunto que se pode designar por C e teremos: C = A \ B = {4, 5}; vide figura (1.7) Veja que participam na diferen¸ca de A e B os elementos que fazem parte de A e que n˜ ao fazem parte de B, como mostramos na figura (1.8). 4) Diferen¸ ca Sim´ etrica Exemplo 1.18. Sejam dados os seguintes conjuntos: A = {1, 2, 4, 5};
B = {1, 2, 7, 8}.
A diferen¸ca sim´etrica de A e B ´e o conjunto: E = C ∪ D = {4, 5, 7, 8}
18
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
1
2
A∩B
Figura 1.6:
7
8
B\A
Figura 1.7: Onde C ´e o conjunto dado no Exemplo 1.16. e denota-se: E = A M B, veja a figura (1.9)
1.1.14
Raz˜ oes e Propor¸co ˜es
De certeza que o estudante j´ a em algum momento ouviu falar de Raz˜ ao, uma express˜ao que como tantas pertencentes a l´ıngua portuguesa podem ter diferentes sentidos. Falar, em Matem´ atica, de raz˜ao entre dois n´ umeros a e b ´e falar do quociente a , b
b 6= 0
ou ainda, ´e o mesmo que falar da divis˜ao de a por b, isto ´e: a ÷ b,
b 6= 0.
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19
5
4
A\B
Figura 1.8:
5
7
4
8
BMA
Figura 1.9: Exemplo 1.19. Numa sala de aulas est˜ao presentes 20 rapazes e 25 raparigas. Determine a raz˜ ao entre o n´ umero de rapazes e raparigas. R: A raz˜ ao entre o n´ umero de rapazes e o n´ umero de raparigas ´e: no rapazes 20 4 = = o n raparigas 25 5 ou 4÷5 Isto ´e, 4 rapazes para 5 raparigas!!! Defin¸ c˜ ao 1.11. Quando se fala de raz˜ao entre dois n´ umeros a e b, isto ´e antecedente e o divisor (b) designa-se consequente.
a , o dividendo (a) designa-se b
20
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
Defin¸ c˜ ao 1.12. Os desenhistas, cartografistas, marinheiros e outros, utilizam o conceito raz˜ ao para relaccionar distˆ ancias reais e distˆ ancias mapeadas que para distinguir introduzem no lugar de raz˜ ao o conceito de escala e denota-se: Escala =
medida do desenho medida real
Exemplo 1.20. No Mapa de Mo¸cambique a distˆancia entre Lichinga e Quelimane ´e de 50cm, sabendo 1 . Determine a distˆancia real em km de Quelimane que o mapa foi desenhado com uma escala de 5000 `a Lichinga. Exemplo 1.21. Qual ´e a raz˜ ao entre as ´areas de duas circunferˆencias se a raz˜ao entre seus raios for 1 igual a ? 2 Resolu¸ c˜ ao. sen
1
−1
1
cos
−1
Figura 1.10: As duas circunferˆencias acima s˜ ao somente um exemplo de v´arias circunferˆencias que tem a relac¸c˜ ao de seus raios 1:2. Designar-se-´ a r1 , S1 raio e superf´ıcie respectivamente da primeira c´ırcunferˆencia e r2 , S2 raio e superf´ıcie respectivamente da segunda c´ırcunferˆencia, pelo problema colocado temos: r1 1 = . r2 2 Como neste exerc´ıcio deve-se determinar a raz˜ao de propor¸c˜ao entre as ´areas das duas c´ırcunferˆencia, teremos: S1 π × r12 = = S2 π × r22
1.1.15
r1 r2
2
2 1 1 = = 2 4
Percentagens
Defin¸ c˜ ao 1.13. Chama-se Percentagem a raz˜ao com consequente 100.
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21
sen 2
−2
2
cos
−2
Figura 1.11: Exemplo 1.22. Considere os exemplos seguintes: 30 X = 30% 100 4 133, 3 X = 1, 333 = = 133, 3% 3 100
1.2
Aula 2 - Pr´ atica
Os exerc´ıcios 1, 3, 7, 9, 11, 42, 43, 45 devem ser resolvidos na qualidade de TPC. Ser˜ ao corrigidos e discutidos na aula pr´ atica. Os exerc´ıcios 2, 15, 20, 21, 47, 48, 55, 56 dever˜ ao ser resolvidos pelos estudantes para a consilida¸c˜ao do conhecimento e dever˜ao ser entregues ao Docente de aulas te´oricas na aula te´ orica da semana seguinte. 1) Seja dado o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}, quais das seguintes afirma¸c˜oes s˜ao verdadeiras? (a) 1 ∈ A. (b) 1,2,3 pertencem a A. (c) {1, 2, 3} ∈ A. (d) 1 ⊂ A. (e) 1 ∈ A. 2) Sejam dados os conjuntos A = {1, 2, 3}, verdadeiras? (a) 1 ⊂ A. (b) 1, 2, 3 pertencem a A e a B .
B = {1, 2, 3, 7, 8}; quais das seguintes afirma¸c˜ oes s˜ ao
22
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
(c) A ∈ B . (d) {A} ⊂ B . (e) A ⊂ B . (f) B ⊃ A. 3) Considere os conjuntos A e B do exerc´ıcio anterior e determine: (a) A ∪ B . (b) A ∩ B . (c) Seja C={1,2,3,4,5,6,7,8}, determine A \ B . (d) Determine C \ A \ B . (e) Determine C \ (B \ C). (f) Determine (B \ A) \ C . 4) Determine A ∩ B ∪ C . 5) Determine (A ∩ B) ∪ C . 6) Determine A ∪ (B ∩ C). 7) Em uma turma, 20 estudantes estudam matem´atica, 30 estudantes estudanm f´ısica. 10 estudam matem´ atica e f´ısica. Responda as seguintes quest˜oes: (a) Quantos s˜ ao os estudantes que frequentam somente matem´atica? (b) Quantos s˜ ao os estudantes que frequentam somente f´ısica? (c) Quantos s˜ ao os estudantes que frequentam matem´atica ou? f´ısica? (d) Quantos estudantes tem a turma? 8) Em um grupo musical h´ a pessoas de ra¸ca negra e individuos de ra¸ca branca. Depois de feitas as contas verifica-se que h´ a 15 brancos puros e 5 misti¸cos (brancos negros), o grupo ´e composto por 40 m´ usicos. Responda as quest˜oes que se seguem: (a) Fa¸ca o diagrama de Venn que ilustre esta descri¸c˜ao. (b) Quantos s˜ ao os negros puros? (c) Quantos s˜ ao os negros ou brancos? 9) Em uma avalia¸c˜ ao que se considera positiva as notas maiores que 10 e menores ou igual a 20, considera-se negativa as notas menores que 10, n˜ao se considera negativa nem posetiva a nota 10. Em estatisticas, um docente apresentou a seguinte descri¸c˜ao: 30 estudantes tem posetivas e 40 tem negativas, a turma ´e composta por 80 estudantes.
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23
(a) Fa¸ca o diagrama de venn que ilustra a descri¸c˜ao. (b) Quantos estudantes tiveram nota igual a 10? 10) Numa loja de vestuarios 400 pe¸cas tem a cor amarela, 200 tem a cor azul e 100 tem a cor branca. Na loja h´ a 1000 pe¸cas, 20 pe¸cas tem cor branca e azul, 30 amarela e branca. (a) Fa¸ca o diagrama de Venn que ilustre a descri¸c˜ao acima. (b) Quantas pe¸cas tem cores amarela, azul e branca? (c) Quantas pe¸cas tem a cor azul e amarela? (d) Quantas pe¸cas n˜ ao tem cores amarela, azul e branca? (e) Quantas pe¸cas n˜ ao tem cores amarela, azul ou branca? 11) Durante o capeonato escolar passado o centro internato de Mocuba acolheu v´arias equipas de diferentes modalidades desportivas (Voleibol, Andebol e Futebol). Da recep¸c˜ao sabe-se que: No total participaram 175 estudantes, 80 desportistas jogaram Andebol, 70 futebol, 5 jogaram voleibol, andebol e futebol, 10 jogaram voleibol e andebol. Sabe-se tamb´em que 50 jogaram somente andebol e 40 jogaram somente futebol. Responda as quest˜oes que se seguem. (a) Quantos s˜ ao os desportistas que jogaram futebol e andebol? (b) Quantos s˜ ao os desportistas que jogaram futebol e voleibol? (c) Quantos s˜ ao os desportistas que jogaram somente voleibol? (d) Quantos s˜ ao os desportistas que jogaram somente uma modalidade? (e) Quantos s˜ ao os desportistas que jogaram duas modalidades? 12) Sendo A = {1; 2; 3; 4; 5}, B = {2; 4; 6; 8} e C = {4; 5}, assinale V (verdadeiro) ou F (falso): (a) 1 ∈ A
()
(b) 1 ∈ B
()
(c) 1 ∈ C
()
(d) 4 ∈ A
()
(e) 4 ∈ B
()
(f) 4 ∈ C
()
(g) 7 ∈ A
()
(h) 7 ∈ B
()
(i) 7 ∈ C
()
24
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
(j) 1 ∈ A
ou
(k) 1 ∈ A
e
(l) 4 ∈ A
ou
(m) 4 ∈ A
e
(n) 7 ∈ A
ou
(o) 7 ∈ A
e
1∈B 1∈B
() ()
4∈B 4∈B
() ()
7∈B 7∈B
() ()
(p) Todo elemento de A pertence a C.
()
(q) Todo elemento de C pertence a A.
()
13) Represente, por enumera¸c˜ ao, os seguintes conjuntos: (a) A = {x : x ´e mˆes do nosso calend´ario} (b) B = {x : x ´e mˆes do nosso calend´ario que n˜ao possui a letra r } (c) C = {x : x ´e a letra da palavra amor } (d) D = {x : x ´e par compreendido entre 1 e 11} (e) E = {x : x2 = 100} 14) Sendo A = 2; 4; 6; 8, B = 1; 3; 5; 7 e C = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8, assinale V ou F: (a) 1 ∈ A
()
(b) 1 ∈ B
()
(c) 1 ∈ C
()
(d) 2 ∈ A
()
(e) 2 ∈ B
()
(f) 2 ∈ C
()
(g) 3 ∈ /A
()
(h) 3 ∈ /B
()
(i) 3 ∈ /C
()
(j) 9 ∈ A
()
(k) 9 ∈ B
()
(l) 9 ∈ /C
()
(m) 1 ∈ A ou 1 ∈ B (n) 1 ∈ A e 1 ∈ B
() ()
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015
(o) 9 ∈ A ou 9 ∈ B
()
(p) 9 ∈ A e 9 ∈ B
()
(q) 9 ∈ /A e 9∈ /B
()
(r) 1 ∈ A e 1 ∈ /B
()
(s) 1 ∈ /A e 1∈B
()
(t) Todo elemento de A pertence a B.
()
(u) Todo elemento de B pertence a A.
()
(v) Todo elemento de A pertence a C. ( ) (w) Todo elemento de C pertence a B.
()
15) Represente, por enumera¸c˜ ao, os seguintes conjuntos: (a) A = {x : x ´e mˆes do nosso calend´ario que possui a letra a} (b) B = {x : x ´e mˆes do nosso calend´ario que possui a letra b} (c) C = {x : x ´e mˆes do nosso calend´ario que possui a letra C } (d) D = {x : x ´e mˆes do nosso calend´ario que possui a letra x} (e) E = {x : x ´e letra da palavra partido} (f) F = {x : x ´e ´ımpar compreendido entre 10 e 20} (g) G = {x : x ´e inteiro compreendido entre 2,3 e 11,8} (h) H = {x : x2 = 25} (i) I = {x : x2 = 0} (j) J = {x : x3 = 8} (k) L = {x : x3 0 = −8} (l) M = {x : x2 = −25} 16) Represente, por uma de suas propriedades caracter´ısticas, os conjuntos: (a) A = {Janeiro; Junho; Julho} (b) B = {Mar¸co; Maio} (c) C = {P; e; r; n; a; m; b; u; c; o} (d) D = {P; p; e; r; n; n; n; a; m; b; b; u; u; c; c; o; o; o; o} (e) E = {P; e; r; n; a; m; b; u; o; c} (f) F = {8; 10; 12}
25
26
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
(g) G = {101; 103; 105, ...} (h) H = {7; −7} 17) Determine o n´ umero de elementos dos seguintes conjuntos e indique os que s˜ao unit´ arios e os que s˜ ao vazios: (a) A = {x : x ´e mˆes do nosso calend´ario que possui a letra o} (b) B = {x : x ´e mˆes do nosso calend´ario que comeca com a letrao} (c) C = {x : x ´e mˆes do nosso calend´ario que possui a letra i} (d) D = {x : x ´e mˆes do nosso calend´ario que possui a letrad} (e) E = {x : x ´e mˆes do nosso calend´ario que possui a letra p} (f) F = {x : x ´e mˆes do nosso calend´ario que termina com a letra a} (g) G = {x : x ´e mˆes do nosso calend´ario que possui a letra g } (h) H = {x : x ´e mˆes do nosso calend´ario que possui a letra h} 18) Determine o n´ umero de elementos dos seguintes conjuntos e indique os que s˜ao unit´ arios e os que s˜ ao vazios: (a) A = {x : x ´e par compreendido entre 7 e 19} (b) B = {x : x ´e ´ımpar compreendido entre 80 e 82} (c) C = {x : x ´e inteiro compreendido entre 11, 7 e 18, 4} (d) D = {x : x
e inteiro compreendido entre 3, 4 e 3, 7}
19) Determine o n´ umero de elementos dos seguintes conjuntos e indique os que s˜ao unit´ arios e os que s˜ ao vazios: (a) A = {x : x2 = 121} (b) B = {x : x2 = 0} (c) C = {x : x3 = 1} (d) D = {x : x3 = −1} (e) E = {x : x2 = −1} 20) Determine o n´ umero de elementos do conjunto C = {3; 6; 9; 12; ..., 99} 21) Determine o n´ umero de elementos do conjunto C de fra¸c˜oes: C=
1 1 1 2 2 3 3 3 ; ; ; ; ; ; ; 2 3 4 4 3 4 5 6
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015
27
22) Determine o n´ umero de elementos do conjunto C seguinte: C=
1000 4 √ 8 √ 3 2; ; 4; ; 8; 2 4 500
23) Dados os conjuntos A e B , determine x para que A = B , nos seguintes casos: (a) {1; 2; 3; 4} = {1; 2; x; 4} (b) {1; 2; 3; 4} = {1; 2; 3; x} (c) {x; 2; 3; 4} = {x; 1; 2; 3} 24) Complete com = ou 6= : (a) {3; 7; 8; 9}
{3; 7; 8; 9}
(b) {3; 7; 8; 9}
{7; 3; 9; 8}
(c) {3; 7; 8; 9}
{3; 3; 3; 7; 8; 8; 9}
(d) {3; 7; 8; 9}
{3; 8; 9}
(e) {3; 7; 8}
{3; 7; 9}
(f) {x : x2 = 1}
{1}
(g) {x : x2 = 1}
{−1}
(h) {x : x2 = 1}
{−1; 1}
(i) {x : x3 = 1}
{1}
(j) {x : x3 = 1}
{−1}
(k) {x : x3 = 1}
{1; −1}
(l) {x : x ´e inteiro, positivo e divis´ıvel por 2}
{x : x ´e par e positivo}
(m) {x : x ´e inteiro, positivo e divis´ıvel por 3}
{x : x ´e ´ımpar e positivo}
(n) {
}
(o) {x : x2 = −1}
ø {x : x´e mulher e tem pomo-de-adao}
25) Dados os conjuntos A e B , determine x para que A = B , no seguintes casos: (a) {1; 3; 5; 7; 9}
{1; 3; x; 7; 9}
(b) {1; 3; 5; 7; 9}
{x; 5; 1; 7; 3}
(c) {1; 3; 5; 7; 9}
{3; 5; 3; 7; 9; 9; 5; x; 3; 7; 7; x; 7}
(d) {1; 3; x; 7; 9}
{1; 5; x; 9; 3}
(e) {1; 3; 5; 7; 9}
{1; 3; 5; x}
28
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
(f) {1; 3; 5; 7; 9}
{1; 3; 7; x; x}
(g) {1; 3; 5; 7; 9}
{1; 3; 5; 7; 9; x}
26) Complete com ⊂ ou 6⊂ : (a) {a; b; c}
{a; b; c; d; e}
(b) {a; b; c}
{a; b; d}
(c) {a; b; c; d}
{a; b; c}
(d) {a; b; c}
{a; b; c}
(e)
{a; b; c}
ø
(f) {a; b}
ø
27) Complete com ⊂ ou ⊃: (a) {2; 4; 6}
{2; 4; 6; 8}
(b) {1; 3; 5; 7; 9}
{1}
(c) {1; 2; 3; 4}
{1; 2; 3; 4}
(d)
ø
{1; 2; 3}
(e)
{3; 5}
ø
28) Observe as seguintes defini¸c˜ oes: • Triˆ angulo ´e todo pol´ıgono de trˆes lados; vamos chamar de T o conjunto dos triˆangulos. • Triˆ angulo is´ osceles que possui pelo menos dois lados congruentes, ou seja, de mesma medida; vamos chamar de I o conjunto dos triˆangulos is´osceles. • Triˆ angulo equil´ atero ´e todo triˆangulo que possui os trˆes ldos congruentes; vamos chamar de E o conjunto dos triˆ angulos equil´ateros. • Triˆ angulo rectˆ angulo ´e todo triˆangulo recto, ou seja. de medida igual a 90; vamos chamar de R o conjunto dos triˆ angulos rectˆangulos. Complete ent˜ ao com ⊂ ou 6⊂ : (a) T
R
(b) E
I
(c) R
I
(d) I
E
(e) E
T
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015
29
29) Escreva todos os subconjuntos do conjunto C = {1; 2}. 30) Complete com ⊂ ou 6⊂ : (a) {1; 3; 4}
{1; 2; 3; 4}
(b) {1; 2; 3; 4}
{1; 2}
(c) {1; 2; 3}
{1; 2; 4}
(d) {1; 2; 3}
{1; 2; 3}
(e)
ø
{1}
(f)
{2}
ø
(g)
ø
ø
31) Complete com ⊂ ou ⊃: (a) {7; 8}
{7}
(b) {7; 8}
{7; 8; 9}
(c) {7; 8; 9}
{8; 7; 7; 9; 8}
(d)
ø
{7}
(e)
{8}
ø
(f)
ø
ø
32) Observe as seguintes defini¸c˜ oes: • Quadril´ atero ´e todo pol´ıgono de quatro lados; vamos chamar de U o conjuntos dos quadril´ ateros. • Quadrado ´e todo pol´ıgono que possui os quatro lados congruentes e tamb´em os quatro ˆangulos congruentes; vamos chamar de Q o conjunto de quadrados. • Rectˆ angulo ´e todo pol´ıgono que possui os quatro ˆangulos rectos; vamos chamar de B o conjunto dos rectˆ angulos. • Losango ´e todo pol´ıgono que possui quatro lados congruentes; vamos chamar de L o conjunto dos losangos. • Trap´ ezio ´e todo quadril´ atero que possui pelo menos um par de lados paralelos; vamos chamar de M o conjunto dos trap´ezios. • Paralelogramo ´e todo quadril´atero que possui os lados opostos paralelos; vamos chamar de P o conjunto dos paralelogramos.
30
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
Complete ent˜ ao com ⊂ ou 6⊂ : (a) B
L
(b) P
B
(c) L
U
(d) U
M
(e) M
Q
(f) Q
P
33) Sendo A = {x; y; z}; B = {x; w; v} e C = {y; u; t}, determine os seguintes conjuntos: (a) A ∪ B (b) A ∩ B (c) A ∪ C (d) A ∩ C (e) B ∪ C (f) B ∩ C (g) A ∪ B ∪ C (h) A ∩ B ∩ C (i) (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) 34) Sendo A = {a; b; c; d}, B = {b; d; e; f } e C = {a; g; h}, determine os seguintes conjuntos: (a) A ∪ B (b) A ∩ B (c) A ∪ C (d) A ∩ C (e) B ∪ C (f) B ∩ C (g) A ∪ B ∪ C (h) A ∩ B ∩ C (i) A ∪ (B ∩ C) (j) (A ∪ B) ∩ C (k) (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015
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(l) (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) 35) Seja os seguintes conjuntos: U dos quadril´ateros; Q dos quadrados; B dos rectˆangulos; L dos losangos; M dos trap´ezios; P dos paralelogramos. Determine ent˜ao os seguintes conjuntos: (a) Q ∪ M (b) L ∪ Q (c) P ∪ U (d) B ∩ L 36) Dados dois conjuntos A e B , sabendo que n(A) = 23, n(B) = 37 e n(A ∩ B) = 8, determine n(A ∪ B). 37) Dois clubes A e B tem juntos 141 socios. O clube B possui 72 socios e os clubes possuem em comum 39 socios. Determine o numero de socios do A. 38) Sendo A = {x; y; z}, B = {x; w; v} e C = {y; u; v} , determine os seguintes conjunto: (a) A − B (b) B − A (c) A − C (d) C − A (e) B − C (f) C − B 39) Sendo A = {a; b; c; d}, B = {b; d; e; f } e C = {e; f }, determine os seguintes conjuntos: (a) A − B (b) B − A (c) A − C (d) C − A (e) B − C (f) C − B 40) Dados dois conjuntos A e B , e sabendo que n(A) = 35, n(B) = 23 e B ⊂ A, determine n(A − B) e n(B − A). 41) Sejam os seguintes conjuntos:
32
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
(a) A = {x : x ´e inteiro positivo} (b) B = {x : x ´e par positivo} (c) C = {x : x ´e ´ımpar} Determinarnos conjuntos: (a) B ∪ C (b) B ∩ C (c) B − C (d) C − B (e) {A B (f) {A c 42) Numa sala est˜ ao presentes 20 rapazes e 25 raparigas. Determine: (a) A percentagem de rapazes. (b) A percentagem de raparigas. 43) Um comerciante compra um par de sapatos por 100 d´olares e os vende por 3 milh˜oes de meticais, a taxa de cˆ ambio de 1usd : 25000M T n determine: (a) O valor de venda em usd. (b) O valor de compra em MTn. (c) O lucro em usd. (d) A percentagem do lucro. 44) Um funcion´ ario recebia 1500usd, em Janeiro o seu sal´ario sofreu um aumento em 10% e em Junho um outro aumento de 20% Determine (a) O sal´ ario recebido pelo funcion´ario em Fevereiro. (b) O sal´ ario recebido pelo funcion´ario em Julho. (c) A subida percentual total. De Janeiro `a Julho. 45) O pre¸co de um producto aumenta 10% mensalmente. Ao fim de 12 aumentos qual ser´ a o pre¸co sabendo que inicialmente era 5usd? 46) Se em Janeiro de 2007 for a emprestar um montante p de um banco, quanto devolver´a em Janeiro de 2008 se a taxa de inflac¸c˜ ao anual for de 30%
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015
33
47) Nas festas de um determinado fim de ano o pre¸co do a¸cucar branco subiu em 20% e depois subiu novamente em 30%, mais tarde, em Janeiro sofreu uma redu¸c˜ao em 15%, em quanto porcento variou o pre¸co? 48) Se um producto custa x M T n e sofre um aumento de 10% e mais tarde um outro aumento de 10%. Em quanto porcento variou o pre¸co do producto? (a) 20% (b) 15% (c) 21% (d) Nenhuma delas 49) 3 litros de leite s˜ ao divididos em latas de 50) Quantas latas de
1 3
1 5
do litro. Quantas latas s˜ao necess´arias?
do litro s˜ ao necess´arias para dividir 15 litros de sumo?
51) Qual ´e a raz˜ ao entre as ´ areas de dois c´ırculos, se a raz˜ao entre os seus raios for de
1 4?
52) Determine a raz˜ ao entre os volumes de dois cubos, sabendo que a raz˜ao das arestas ´e de
1 2.
53) Num mapa de Mo¸cambique, a distˆancia de Maputo a Beira ´e de 40cm. Sabendo que a escala ´e de 1 : 3000000, determine a distˆancia real. 54) A distˆ ancia de Quelimane a Beira ´e de 960km. Sendo a escala dum mapa de 1 : 2000000, qua ser´a a sua distˆ ancia no mapa? 55) Um aluno consegue 36 pontos dum total de 60 num teste. Que percentagem obteve o aluno? 56) O pre¸co de venda dum produto subiu 20 por cento numa primeira subida de pre¸cos e 40 por cento na segunda subida. Qual foi a subida total em percentagem? Ensinar ´ e lembrar aos outros que eles sabem tanto, quanto vocˆ e
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1.3 1.3.1
Aula 3 - Te´ orica Algebra e express˜ oes algebricas
´ C ¸ OEm Algebra da matem´ atica estudar-se-´a v´arios temas que se revestem de enorme importˆ ancia para o dom´ınio desta disciplina. Existem escritos de matem´aticos que descrevem este tema como uma
34
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
constru¸c˜ao engenh´erica para estudantes de matem´atica. N˜ao se pode pensar em grandes matem´ aticos desprovidos da ´ algebra matem´ atica. Quase sempre nos deparamos com opera¸c˜oes e problemas de matem´atica que exigem o conhecimento profundo de express˜ oes alg´ebricas, express˜oes polin´omiais, factoriza¸c˜ao e etc... estes assuntos ser˜ao, com detalhe, tratados neste tema.
1.3.2
Express˜ oes num´ ericas e valor num´ erico de uma express˜ ao
Na l´ıngua portuguesa, chama-se express˜ ao o acto ou efeito de exprimir algo. Na matem´atica, express˜ ao ´e a conjuga¸c˜ ao de s´ımbolos e c´odigos matem´aticos de modo a transmitir uma mensagem ou um pensamento. Exemplo 1.23. Alguns exemplos de express˜oes alg´ebricas: 1) x − y 2) x + y 3) x2 + y 2 4) x3 + x2 − 3x + 2 Pode se ver dos exemplos dados que as express˜oes n˜ao possuem nenhum valor afirmativo ou comparativo. Elas n˜ ao possuem sinais comparativos e ou de igualdade, isto ´e, n˜ao s˜ao afirma¸c˜oes. Mesmo na l´ıngua portuguesa, as express˜ oes que n˜ao possuem verbos n˜ao podem ser consideradas verdadeiras ou falsas. Exemplo 1.24. Veja os seguintes: 1) Escola bonita - ´e uma express˜ ao; 2) Escola ´e bonita - ´e uma afirma¸c˜ ao que pode ser verdadeira ou falsa. Analogamente x − y ´e uma express˜ao e x − y = 0 ´e uma afirma¸c˜ao matem´atica que, em fun¸c˜ ao de valores que x e y forem a tomar, pode ser verdadeira ou falsa. Estamos sempre a fazer compara¸c˜oes com express˜oes vindas da l´ıngua portuguesa e fazemos isto porque temos convic¸c˜ ao de que sobre a l´ıngua portuguesa todos temos dom´ınio. N˜ao se pode conceber que um falante da l´ıngua portuguesa formule a seguinte express˜ao: Escola Bonitas!!!!! Esta express˜ ao n˜ao tem sentido em portuguˆes; em outras palavras, pode se dizer que esta express˜ao est´a errada. Do mesmo modo que n˜ ao se pode permitir que um matematico escreva: x = −x + −y E porque em matem´ atica n˜ ao existe meios termos, simplesmente se diz que a express˜ao est´ a ERRADA! As express˜ oes da matem´ atica que tem vari´aveis tamb´em s˜ao chamadas Express˜ oes Literais.
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015
1.3.3
35
Dom´ınio de Express˜ oes
O dom´ınio de uma express˜ ao alg´ebrica com uma vari´avel (x por exemplo), ´e o conjunto de valores de x pelos quais ´e poss´ıvel calcular o valor da express˜ao. Em outras palavras, ´e o conjunto de valores que x pode tomar de modo que express˜ao tenha sentido. Exemplo 1.25. Considere a express˜ ao: x+1 x−1 Esta express˜ ao tem dom´ınio x ∈ R\{1} Se o x for igual a 1 teremos no denominador x − 1 = 1 − 1 = 0, e teremos uma contradi¸c˜ ao ao postulado segundo o qual: ”N˜ ao existe divis˜ao por zero!!!” Em geral ao determinar dominios de existˆencia de uma express˜ao segue-se as seguintes linhagens mestras: • Radicandos de um radical com ´ındice par n˜ ao devem ser negativos, isto ´ e, devem ser maiores ou iguais a zero; Exemplo 1.26. Determine os dom´ınios das seguintes express˜oes: 1)
√
x − 1 o dom´ınio ser´ a: x − 1 > 0 ⇒ x > 1.
√
x + 3 o dom´ınio ser´ a: x + 3 > 0 ⇒ x > −3. √ 3) 5 x + 3 o dom´ınio ser´ a: x ∈ R. Veja que o ´ındice do radical ´e ´ımpar. 2)
• Denominador de uma frac¸ c˜ ao n˜ ao pode ser igual a zero; Exemplo 1.27. Determine os dom´ınios das seguintes express˜oes: x+1 o dom´ınio ser´ a: x − 1 6= 0 ⇒ x 6= 1. x−1 x+3 2) o dom´ınio ser´ a: x + 2 6= 0 ⇒ x 6= −2. x+2 1)
• As fun¸ c˜ oes logar´ıtmicas definem-se em R+ , isto ´ e, os argumentos de fun¸ c˜ oes logar´ıtmicas devem sempre ser maiores do que zero; Exemplo 1.28. Determine os dom´ınios das seguintes express˜oes: 1) log2 (x − 2) o dom´ınio ser´ a: x − 2 > 0 ⇒ x > 2. 2) log10 (sin x) o dom´ınio ser´ a: sin x > 0. resolve-se a inequa¸c˜ao. • Denominadores que cont´ em raizes de ´ındice par devem ser maiores do que zero.
36
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
Exemplo 1.29. Determine os dom´ınios das seguintes express˜oes: x−1 1) √ o dom´ınio ser´ a: x − 1 > 0 ⇒ x > 1. x+1 x2 + 3 2) √ o dom´ınio ser´ a: x + 1 6= 0 ⇒ x 6= −1. Veja que o ´ındice do radical ´e ´ımpar. 3 x+1
1.3.4
Valores Num´ ericos de uma Express˜ ao Literal
As express˜oes s˜ ao geralmente compostas por sinais operacionais, por n´ umeros e por s´ımbolos liter´ arios (Letras) ”Da´ı, Express˜ oes Literais”. E elas podem assumir um determinado valor depois de efectuadas algumas opera¸c˜ oes. Este valor tem o nome de valor num´erico de express˜oes literais. Por exemplo, se elas possuem vari´ aveis, ao substituirmos as vari´aveis por respectivos valores num´ericos, obteremos atrav´es de opera¸c˜ oes um num´ero que corresponder´a ao valor num´erico da express˜ao no seu todo. Exemplo 1.30. Determine o valor num´erico das seguintes express˜oes: 1) x2 − y 2 , quando x = 1 e y = 2, se obt´em: x2 − y 2 = (1)2 − (2)2 = 1 − 4 = −3. Assim −3 ´e o valor num´erico da express˜ao ´acima com as condi¸c˜oes dadas. 2) x2 − y 2 , quando x = 2 e y = 1, se obt´em: x2 − y 2 = (2)2 − (1)2 = 4 − 1 = 3. Assim 3 ´e o valor num´erico da express˜ao ´acima com as condi¸c˜oes dadas. 3) x2 − y 2 , quando x = a e y = b, se obt´em: x2 − y 2 = (a)2 − (b)2 . Assim a2 − b2 ´e o valor num´erico da express˜ao ´acima com as condi¸c˜oes dadas. 4) x + y 3 , quando x = −1 e y = −3, se obt´em: −1 + (−3)3 = −1 + (−27) = −1 − 27 = −28. Assim −28 ´e o valor num´erico da express˜ao ´acima com as condi¸c˜oes dadas.
1.3.5
Polin´ omios
Defin¸ c˜ ao 1.14. Chama-se mon´ omio a express˜ao constituida por n´ umeros relactivos ou por um producto de n´ umeros relactivos eventualmente representados por letras.
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015
37
Exemplo 1.31. Veja os seguintes exemplos: 1) 3 ´e um mon´ omio; 2) 2x ´e um mon´ omio; 3) 3x2 ´e um mon´ omio; 4) 7x2 y 3 ´e um mon´ omio; xy 2 ´e um mon´ omio. 7
5)
Defin¸ c˜ ao 1.15. Num mon´ omio a parte composta por num´eros (constantes) chama-se coeficiente. Defin¸ c˜ ao 1.16. A parte composta por letras chama-se parte literal. Defin¸ c˜ ao 1.17. Chama-se grau de um mon´omio a soma dos expoentes associados as vari´aveis. Vamos considerar sem limita¸c˜ ao da sua essˆencia, mon´omios de vari´avel x. Exemplo 1.32. Veja os seguintes exemplos: 1) No mon´ omio 7x2 y 3 o coeficiente ´e o 7 e a parte literal ´e x2 y 3 , o grau deste mon´ omio ´e 2 + 3 = 5; 2) No mon´ omio ax2 o coeficiente ´e o a e a parte literal ´e x2 , o grau deste mon´omio ´e 2; 3) No mon´ omio abx3 o coeficiente ´e o ab e a parte literal ´e x3 , o grau deste mon´omio ´e 3.
1.3.6
Mon´ omios Semelhantes e Mon´ omios Iguais
Defin¸ c˜ ao 1.18. Diz-se que dois mon´ omios s˜ao semelhantes ou id´ enticos, se eles tiverem a mesma parte literal Exemplo 1.33. Considere os seguintes exemplos: 1) 4x e −7x s˜ ao mon´ omios idˆenticos; 2) 2x2 y e
yx2 s˜ ao mon´ omios idˆenticos. 4
Defin¸ c˜ ao 1.19. Dois mon´ omios s˜ ao iguais se eles forem idˆenticos e possu´ırem mesmos coeficientes. Exemplo 1.34. Considere os seguintes exemplos: 1) 4x e 4x s˜ ao iguais; 2) 2x2 y e
8yx2 s˜ ao iguais. 4
38
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
1.3.7
Opera¸c˜ oes sobre Mon´ omios
Com mon´omios pode-se efectuar opera¸c˜oes de adi¸c˜ao, subtra¸c˜ao, multiplica¸c˜ao e divis˜ao. Adi¸ c˜ ao - Adicione os seguintes mon´ omios 1) 3x2 e 7x2 2) ax2 e bx2 3) 7x4 e 7x3 4) 3x2 e 7x5 5) 3xsin 2 e 7xsin 2 2xln2 e 7xln3 Subtra¸ c˜ ao - Subtraia os seguintes mon´ omios 1) 3x2 e 7x2 2) ax2 e bx2 3) 7x4 e 7x3 4) 3x2 e 7x5 5) 3xsin 2 e 7xsin 2 2xln2 e 7xln3 Divis˜ ao - Divida os seguintes mon´ omios Na divis˜ ao de mon´ omios segue-se regras sobre divis˜ao de potˆencias (com mesma base e expoente diferentes). 1) 3x2 e 7x2 2) ax2 e bx2 3) 7x4 e 7x3 4) 3x2 e 7x5 5) 3xsin 2 e 7xsin 2 2xln2 e 7xln3 Multiplica¸ c˜ ao - Multiplique os seguintes mon´ omios Na multiplica¸c˜ ao de mon´ omios segue-se regras sobre multiplica¸c˜ao de potˆencias (com mesma base e expoente diferentes).
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39
1) 3x2 e 7x2 2) ax2 e bx2 3) 7x4 e 7x3 4) 3x2 e 7x5 5) 3xsin 2 e 7xsin 2 2xln2 e 7xln3
1.3.8
Polin´ omios Semelhantes e Polin´ omios Iguais
Defin¸ c˜ ao 1.20. Um Polin´ omio ´e um agrupamento de mon´omios (este agrupamento ´e feito atrav´es de operadores de adi¸c˜ ao ou subtra¸c˜ ao). Defin¸ c˜ ao 1.21. Dois polin´ omios s˜ ao idˆ enticos se os seus mon´omios forem idˆenticos dois a dois. Exemplo 1.35. x2 − 1 e 3x2 + 3 Defin¸ c˜ ao 1.22. Dois polin´ omios s˜ ao iguais se os seus mon´omios forem iguais dois a dois. Exemplo 1.36. x2 − 1, e −1 + x2 Com polin´ omios pode-se efectuar opera¸c˜oes de adi¸c˜ao, subtra¸c˜ao, divis˜ao e multiplica¸c˜ao. Adicione os seguintes polin´ omios 1) x3 − 7x + 9 e 2x3 + 7
√
7
2) x2 − x 3 + 2 e 2x 3 +
5x + 5
√
5x
3) x4 − x sin 7 − 3 e 2x3 +
√
5x + 6
Subtraia os seguintes polin´ omios 1) x3 − 7x + 9 e 2x3 + 7
√
7
2) x2 − x 3 + 2 e 2x 3 +
5x + 5
√
5x
3) x4 − x sin 7 − 3 e 2x3 +
√
5x + 6
Multiplique os seguintes polin´ omios 1) x3 − 7x + 9 e 2x3 + 7
7
√
2) x2 − x 3 + 2 e 2x 3 +
5x
√
5x
40
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
3) x4 − x sin 7 − 3 e 2x3 + 6 Divida os seguintes polin´ omios 1) x3 − 7x + 9 e 2x3 + 3 2) x2 − 3x + 2 e 2x − 1 3) x4 − 3x3 + 2x2 − x + 1 e 2x3 + x2 − 3x 4) −x5 + 3x2 + 4x e 2x 5) 2x2 + x − 10 e x − 2 6) 3x3 − 2x + 5 e x − 3
1.3.9
Factoriza¸c˜ ao de Polin´ omios
Factoriza¸c˜ao vem de factores. Factores s˜ao os diferentes componentes de uma multiplica¸c˜ ao. Por exemplo 2 × 4 = 8, pode-se dizer que 2 e 4 s˜ao factores. Portanto, factorizar ´e o mesmo que trasnformar uma determinada express˜ao polinomial em uma sucess˜ao de factores (Transformar uma express˜ao em uma multiplica¸c˜ao). Exemplo 1.37. Existem diferentes m´etodos de factoriza¸c˜ao, cada m´etodo ´e adequado a determinadas situa¸c˜oes. Veja os exemplos que se seguem: 1) x3 = x × x × x. 2) x3 + x2 = x2 (x + 1) (evidencia-se os factores comuns). 3) 2x3 + 2x = 2x(x2 + 1) (evidencia-se os factores comuns). 4) ax + a2 x + a2 + a = x(a2 + a) + a2 + a = (a2 + a)(x + 1) (evidencia-se os factores comuns). 5) 10 − 3x − x2 Ao factorizar este polin´omio quadr´atico ter-se-´a: 10 − 3x − x2 = (2 − x)(5 + x)
e
transform´ a-se assim o polin´ omio 10 − 3x − x2 em factores (2 − x) e (5 + x) Observa¸ c˜ ao 1.3. Seja dado o polinomio ax2 + bx + c,
a 6= 0 se ∆ = b2 − 4ac ≥ 0, pode-se
factorizar o polin´ omio segundo a f´ormula: ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ) Onde x1 , x2 s˜ ao calculados pelas f´ormulas √ −b + ∆ , x1 = 2a
√ −b − ∆ x2 = 2a
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41
Observa¸ c˜ ao 1.4. Em muitos casos usa-se algumas igualdades (Os ditos casos not´ aveis), veja: • (x + y)2 = x2 + 2xy + y 2 , • (x − y)2 = x2 − 2xy + y 2 , • (x + y)3 = x3 + 3x2 y + 3xy 2 + y 3 , • (x − y)3 = x3 − 3x2 y + 3xy 2 − y 3 , • x2 − y 2 = (x − y)(x + y), • x3 − y 3 = (x − y)(x2 + xy + y 2 ), • x3 + y 3 = (x + y)(x2 − xy + y 2 ),
1.3.10
Polin´ omios Quadr´ aticos
Existem diferentes classes de polin´ omios, e estas classes s˜ao atribu´ıdas em fun¸c˜ao do seu maior expoente. Por exemplo: um polin´ omio com maior expoente igual a 1 chama-se polin´ omio de grau 1 ou linear, um polin´ omio com maior expoente igual a 2 chama-se polin´ omio de grau 2 ou quadr´ atico, um polin´omio com maior expoente igual a 3 chama-se polin´ omio de grau 3 ou c´ ubico..., assim em diante. Defin¸ c˜ ao 1.23. Chama-se polin´ omio quadr´ atico de vari´ avel x ao polin´omio dado na forma P (x) = ax2 + bx + c,
a 6= 0
eb, c ∈ R.
a, b e c s˜ ao os coeficientes do polin´omio. Ao se igualar um polin´ omio quadr´ atico a uma constante, transform´a-se numa equa¸c˜ao quadr´ atica. Observa¸ c˜ ao 1.5. Importante: • Um polin´ omio de grau 1 tem uma solu¸c˜ao (ou 1 ra´ız); • Um polin´ omio de grau 2 tem duas solu¸c˜oes (ou 2 ra´ızes); • Um polin´ omio de grau 3 tem trˆes solu¸c˜oes (ou 3 ra´ızes). Os polin´ omios quadr´ aticos s˜ ao sobejamente conhecidos, raz˜ ao pela qual existem f´ ormulas para momentos importantes de estudos sobre estes tipos de polin´ omios. Veja atentamente: Defin¸ c˜ ao 1.24. Um polin´ omio quadr´atico na forma ax2 + bx + c = 0, chama-se Discriminante, e denota-se ∆ ao valor num´erico dado pela express˜ao ∆ = b2 − 4ac
42
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
Defin¸ c˜ ao 1.25. Chama-se Zero de um polin´omio aos valores de x que fazem com que o polin´ omio seja igual a zero. Isto ´e: ax2 + bx + c = 0,
a 6= 0
Veja as seguintes transforma¸c˜ aos: 1) Colocar em evidˆencia o valor de a, e a seguir multiplicar e dividir a segunda parcela por 2: b 2b c c 2 2 2 ax + bx + c = 0 ⇒ a x + x + =0⇒a x + x+ =0 a a 2a a 2) Passar o a, para o membro direito, somar e subtrair a equa¸c˜ao o valor b c b ax + bx + c = x + x + = x2 + 2 x + a a 2a 2
2
b 2a
2
−
b 2a
b 2a
2
2 +
: c =0 a
3) Identificar o caso not´ avel: 2 2 2 b b b 2 c 4ac b 2 − + = x− − − + 2 =0 ax + bx + c = x + 2a 2a a 2a 2a 4a 4) Fazendo transforma¸c˜ oes na parte da constante se obt´em: 2 2 b b2 − 4ac b b2 − 4ac 2 ax + bx + c = x − − − = 0 ⇒ x − − = 2a 4a2 2a 4a2 5) Resolvendo a equa¸c˜ ao se obt´em: √ √ 2 b b b2 − 4ac b − 4ac 2 =± ± ax + bx + c = x − − ⇒x= − 2a 2a 2a 2a de onde obter-se-´ a: x1,2 =
−b ±
√ b2 − 4ac −b ± ∆ = 2a 2a
√
Defin¸ c˜ ao 1.26. Para um polin´ omio quadr´atico na forma ax2 +bx+c = 0, chama-se V´ ertice ao ponto onde o gr´afico muda de monotonia, e determina-se as coordenadas deste ponto usando as express˜ oes: xv =
−b , 2a
yv =
−∆ 4a
Tamb´em, pode-se achar o xv achando a m´edia aritm´etica dos zeros da fun¸c˜ao. ´ importante saber que um ponto no plano ´e composto por duas coordenadas, uma Observa¸ c˜ ao 1.6. E coordenada no eixo dos x e uma outra coordenada no eixo dos y . Assim ao se determinar o v´ertice de uma par´ abola, preocupa-se em determinar o xv e o yv , portanto o par (xv , yv ). Observa¸ c˜ ao 1.7. Se se designar os dois zeros de uma equa¸c˜ao quadr´atica por x1 e x2 , pode-se escrever uma equa¸c˜ ao quadr´ atica ou um polin´omio quadr´atico de modo seguinte: ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 )
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43
Observa¸ c˜ ao 1.8. Se se designar os dois zeros de uma equa¸c˜ao quadr´atica por x1 e x2 , pode-se escrever uma equa¸c˜ ao quadr´ atica ou um polin´omio quadr´atico de modo seguinte: ax2 + bx + c = a[x2 − (x1 + x2 )x + x1 × x2 ] Veja que: x1 + x2 = −
b a
e x1 × x2 =
c a
Observa¸ c˜ ao 1.9. Nas equa¸c˜ oes quadr´aticas ou polin´omios quadr´aticos, pode-se calcular as coordenadas do v´ertice e a seguir escrever o polin´omio de modo seguinte: ax2 + bx + c = a(x − xv )2 + yv . Esta f´ormula ´e tamb´em conhecida por F´ ormula de Viet - SP (Soma-Produto)
1.3.11
Triˆ angulo de Pascal
linha 0 1 linha 1 1
1
linha 2 1
2
1
linha 3 1
3
3
1
linha 4 1
4
6
4
1
linha 5 1
5
10
10
5
1
linha 6 1
6
15
20
15
6
1
linha 7 1
7
21
35
35
21
7
1
linha 8 1
8
28
56
70
56
28
8
1
44
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
Exemplo 1.38. Veja de seguida os exemplos da aplica¸c˜ao do triˆangulo de Pascal. Observa¸ c˜ ao 1.10. Um bin´ omio com expoente n ∈ N pode ser desenvlvido em soma de mon´ omios com grau igual a n e coeficiente tirados da linha n do triˆangulo de Pascal. 1) Decomponha (3 + 2)1 , sendo uma potˆencia de expoente 1, recorrer-se-´a a linha 1, teremos que somar mon´ omios de grau 1 e coeficientes 1 e 1 (veja a linha 1), teremos ent˜ao: (3 + 2)1 = 1 × 31 20 + 1 × 30 21 = 3 + 2 = 5 2) Decomponha (3 + 2)2 , sendo uma potˆencia de expoente 2, recorrer-se-´a a linha 2, teremos que somar mon´ omios de grau 2 e coeficientes 1, 2 e 1 (veja a linha 2), teremos ent˜ao: (3 + 2)2 = 1 × 32 20 + 2 × 31 21 + 1 × 30 22 = 9 + 12 + 4 = 25 3) Decomponha (a + b)2 , sendo uma potˆencia de expoente 2, recorrer-se-´a a linha 2, teremos que somar mon´ omios de grau 2 e coeficientes 1, 2 e 1 (veja a linha 2), teremos ent˜ao: (a + b)2 = 1 × a2 b0 + 2 × a1 b1 + 1 × a0 b2 = a2 + 2ab + b2 4) Decomponha (a + b)3 , sendo uma potˆencia de expoente 3, recorrer-se-´a a linha 3, teremos que somar mon´ omios de grau 3 e coeficientes 1, 3, 3 e 1 (veja a linha 3), teremos ent˜ao: (a + b)3 = 1 × a3 b0 + 3 × a2 b1 + 3 × a1 b2 + 1 × a0 b3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 5) Decomponha (a + b)4 , sendo uma potˆencia de expoente 4, recorrer-se-´a a linha 4, teremos que somar mon´ omios de grau 4 e coeficientes 1, 4, 6, 4 e 1 (veja a linha 4), teremos ent˜ao: (a + b)4 = 1 × a4 b0 + 4 × a3 b1 + 6 × a2 b2 + 4 × a1 b3 + 1 × a0 b4 = a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4 6) Decomponha (a − b)2 = [a + (−b)]2 , sendo uma potˆencia de expoente 2, recorrer-se-´a a linha 2, teremos que somar mon´ omios de grau 2 e coeficientes 1, 2 e 1 (veja a linha 2), teremos ent˜ ao: (a + b)2 = [a + (−b)]2 = 1 × a2 (−b)0 + 2 × a1 (−b)1 + 1 × a0 (−b)2 = a2 − 2ab + b2 7) Decomponha (a − b)3 = [a + (−b)]3 , sendo uma potˆencia de expoente 3, recorrer-se-´a a linha 3, teremos que somar mon´ omios de grau 3 e coeficientes 1, 3, 3 e 1 (veja a linha 3), teremos ent˜ ao: (a−b)3 = [a+(−b)]3 = 1×a3 (−b)0 +3×a2 (−b)1 +3×a1 (−b)2 +1×a0 (−b)3 = a3 −3a2 b+3ab2 −b3 8) Decomponha (a − b)4 = [a + (−b)]2 , sendo uma potˆencia de expoente 4, recorrer-se-´ a a linha 4, teremos que somar mon´ omios de grau 4 e coeficientes 1, 4, 6, 4 e 1 (veja a linha 4), teremos ent˜ao: (a−b)4 = 1×a4 (−b)0 +4×a3 (−b)1 +6×a2 (−b)2 +4×a1 (−b)3 +1×a0 (−b)4 = a4 −4a3 b+6a2 b2 −4ab3 +b4
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015
1.3.12
45
Exercicios Resolvidos
1) Determine os valores de A e B de modo que: (a)
1 A B = + (x − 1)(x + 1) x−1 x+1 Resolu¸ c˜ ao Somando as frac¸c˜ oes que se encontram a direita, se obt´em: 1 A(x + 1) + B(x − 1) = ⇒ (x − 1)(x + 1) (x − 1)(x + 1) ⇒ 1 = Ax + A + Bx − B ⇒ (A + B)x + A − B = 0x + 1 de seguida resolve-se o seguinte sistema de equa¸c˜oes: A = −B A = −B A+B =0 ⇒ ⇒ −B − B = 1 B = −1 A−B =1 2
(b)
A= 1 2 ⇒ 1 B=− 2
.
2 A B C = + + 2 (x − 1)(x + 1) x − 1 x + 1 (x + 1)2 Resolu¸ c˜ ao Somando as frac¸c˜ oes que se encontram a direita, se obt´em: 2 A(x + 1)2 + B(x − 1)(x + 1) + C(x − 1) = ⇒ 2 (x − 1)(x + 1) (x − 1)(x + 1)2 ⇒ 2 = A(x2 + 2x + 1) + B(x2 − 1) + C(x − 1) = (A + B)x2 + (2A + C)x + (A − B − C) = 2 de seguida resolve-se o seguinte sistema de equa¸c˜oes: A + B = 0 A = −B ⇒ 2A + C = 0 2(−B) + C = 0 A−B−C =2 −B − B − C = 2 A = −B ⇒ −2B = −C −2C = 2
A = −B ⇒ −2B = 1 C = −1
A = −B ⇒ −2B = −C −2B − C = 2
⇒
1 A= 2 1 ⇒ B=− 2 C = −1
(c) Factorize o seguinte polin´ omio: P (x) = x3 − 3x2 + 2x
Resolu¸ c˜ ao Primeiro evidenc´ıa-se o factor comum, o factor que aparece em todos os mon´omios, teremos ent˜ ao: P (x) = x3 − 3x2 + 2x = x(x2 − 3x + 2)
46
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
veja que estamos na presen¸ca de um polin´omio quadr´atico. Acha-se as ra´ızes (x1 = 1; x2 = 2) e da´ı pode-se escrever: P (x) = x3 − 3x2 + 2x = x(x2 − 3x + 2) = x(x − 1)(x − 2) (d) Factorize o seguinte polin´ omio: x3 − y 3
Resolu¸ c˜ ao Trata-se da diferen¸ca de cubos, veja que estamos na presen¸ca de um caso not´avel, teremos ent˜ ao: x3 − y 3 = (x − y)(x2 + xy + y 2 ) (e) Factorize o seguinte polin´ omio: x2 − y 4 ,
Resolu¸ c˜ ao trata-se da diferen¸ca de quadrados, veja que estamos na presen¸ca de um caso not´ avel, teremos ent˜ ao: x2 − y 4 = x2 − (y 2 )2 = (x − y 2 )(x + y 2 ) 2) Efectue as seguintes opera¸c˜ oes: (a)
5 x + 2x − 10 x − 5 Resolu¸ c˜ ao Transform´ a-se a primeira frac¸c˜ao e de seguida acha-se o mmc. 5 x 5 x 5 2x 5 + 2x + = + = + = . 2x − 10 x − 5 2(x − 5) x − 5 2(x − 5) 2(x − 5) 2x − 10
(b)
x2 4x − 4 − x+2 x+2 Resolu¸ c˜ ao Como temos duas frac¸c˜ oes com mesmo denominador, iremos somente efectuar a opera¸c˜ ao de subtrac¸c˜ ao, preste aten¸c˜ao porque antes da 2a frac¸c˜ao aparece um sinal ”−”que afecta toda a frac¸c˜ ao. 4x − 4 x2 − 4x + 4 x2 − = . x+2 x+2 x+2
3) Seja f (x) = 2x2 − x Determine f (2),
f (a),
(a) f (2) = 2(2)2 − 2 = 2 × 4 − 2 = 8 − 2 = 6
f (2 + a),
f (2 − a),
f (k + a),
f (a) − f (2 − a)
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47
(b) f (a) = 2(a)2 − a = 2 × a2 − a = a(2a − 1) (c) f (2 + a) = 2(2 + a)2 − (2 + a) = 2 × (4 + 4a + a2 ) − 2 − a = 8 + 8a + 2a2 − 2 − a = 2a2 + 8a + 6 (d) f (2 − a) = 2(2 − a)2 − (2 − a) = 2 × (4 − 4a + a2 ) − 2 + a = 8 − 8a + 2a2 − 2 + a = 2a2 − 7a + 6 (e) f (k + a) = 2(k + a)2 − (k + a) = 2 × (k 2 + 2ka + a2 ) − k − a = 2k 2 + 4ka + 2a2 − k − a = 2a2 + 2k 2 + 4ka − k − a (f) f (a) − f (2 − a) = 2a2 − a − (2a2 − 7a + 6) = −a + 7a − 6 = 6a − 6
1.3.13
Potˆ encia¸c˜ ao
Defin¸ c˜ ao 1.27. Pode acontecer que numa multiplica¸c˜ao sucessiva os factores sejam iguais, isto ´e: 1) 2 × 2 2) 3 × 3 × 3 3) 4 × 4 × 4 × 4 × 4 Estes casos podem ser escritos de maneira mais simplificada, ter-se-´a o seguinte: 1) 2 × 2 = 22 e lˆe-se quadrado de dois; 2) 5 × 5 × 5 = 53 e lˆe-se Cubo de cinco; 3) 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 45 e lˆe-se quinto de quatro. Potˆ encia - ´e uma multiplica¸c˜ ao de factores iguais.
NOTA: • 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 45 o s´ımbolo 45 ´e uma potˆencia; • O 4 ´e o factor que se repete e chama-se Base da Potˆ encia; • 5, que ´e o n´ umero de vezes em que se repete a base, chama-se de Expoente. Observa¸ c˜ ao 1.11. Repare que ao escrever 41 denota-se uma potˆencia. No entanto, pela defini¸c˜ ao, sup˜oe-se existir uma multiplica¸c˜ ao com um s´o factor, o que n˜ao ´e verdade. Sendo assim, convencionouse que 41 = 4 e isto generaliza-se ` a todos n´ umeros que tenham expoente igual a 1. a1 = a, ∀a ∈ R. Tamb´em convencionou-se que: a0 = 1, ∀a ∈ R \ {0}.
48
1.3.14
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
Opera¸c˜ oes com Potˆ encias
As propriedades de multiplica¸c˜ ao sucessiva de factores iguais, justificam as seguintes regras:
1.3.15
Multiplica¸c˜ ao de Potˆ encias com Bases Iguais e Expoentes Diferentes
Ao multiplicar potˆencias com bases iguais e expoentes diferentes, mant´em-se a base e soma-se os expoentes. Exemplo 1.39. 1
42 × 45 = 42+5 = 47 ,
1.3.16
1
5
52 × 5 2 = 52+ 2 = 5 2
Divis˜ ao de Potˆ encias com Bases Iguais e Expoentes Diferentes
Ao dividir potˆencias com bases iguais e expoentes diferentes, mant´em-se a base e subtrai-se os expoentes. Exemplo 1.40. 1
42 × 45 = 42−5 = 4−3 ,
1.3.17
1
3
52 × 5 2 = 52− 2 = 5 2
Multiplica¸c˜ ao de Potˆ encias com Expoentes Iguais e Bases Diferentes
Ao multiplicar potˆencias com expoentes iguais e bases diferentes, mant´em-se o expoente e multiplica-se as bases. Exemplo 1.41. 24 × 34 = (2 × 3)4 = 64 ,
1.3.18
53 × 23 = (5 × 2)3 = 103 = 1000
Divis˜ ao de Potˆ encias com Expoentes Iguais e Bases Diferentes
Ao dividir potˆencias com expoentes iguais e bases diferentes, mant´em-se o expoente e divide-se as bases. Exemplo 1.42. 4 2 2 ÷ 3 = (2 ÷ 3) = , 3 4
1.3.19
4
4
53 ÷ 23 = (5 ÷ 2)3 = (2, 5)3
Potˆ encia de Potˆ encia
Nas linhas anteriores procurou-se transmitir ao estudante a no¸c˜ao de potˆencia, recursivamente desenvolverse-´a casos de sobreposi¸c˜ ao de potˆencias, exemplo: 23
4
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49
Ao desenvolver express˜ oes com potˆencia de potˆencia faz-se o seguinte: 23
4
= 23 × 23 × 23 × 23 = 23+3+3+3 = 212
De outra maneira pode-se manter a base e multiplicar os expoentes, isto ´e:
23
4
= 23×4 = 212 = 4096
Observa¸ c˜ ao 1.12. Importante: 1) Uma potˆencia s´ o ´e negativa se tiver base negativa e expoente ´ımpar; 2) Uma potˆencia de expoente par, ´e sempre positiva independentimente do sinal da base; 3) Sempre que o zero for base de uma potˆencia, ela ser´a igual azero; 4) Sempre que o zero for expoente de uma potˆencia de base diferente de zero, ela ser´a igual a 1.
1.3.20
Radicia¸c˜ ao
Preste aten¸c˜ ao a Raiz Quadrada. √ 1 √ 1 1 Raiz de indice 2: a, que ´e o mesmo que escrever a 2 . Desta propriedade adv´em que 4 = 4 2 = 22 2 1
usando a superpotˆencia¸c˜ ao obt´em-se 22× 2 = 2, com mesma analogia obt´em-se: √
1.3.21
36 = 6 porque 62 = 36,
√
100 = 10 porque 102 = 100
Raiz de ´Indice n
Considere o seguinte problema: O volume de um cubo ´e igual a 27cm3 . Qual ´e a medida das arestas do cubo? Resolu¸ c˜ ao: Para resolvar este problema, recordar-se-´a primeiro a f´ormula para o c´ alculo do volume de um cubo. Sabe-se que: Vcubo = (aresta)3 ent˜ao, pode-se refazer a pergunta de nodo seguinte: Qual ´e o n´ umero que elevado ao cubo seja igual a 27. Isto ´e x3 = 27 para calcular o valor recorre-se ao seguinte: x3 = 27 = x3 = 33 ⇒ x = 3. E diz-se cubo de 3 ´e 27, ent˜ ao a aresta do cubo em quest˜ao mede 3cm. Defin¸ c˜ ao 1.28. Chama-se raiz de ´ındice n de um n´ umero real b ao n´ umero real a, tal que: an = b onde n ´e o ´ındice do radical, b ´e o radicando.
50
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
1) Caso o n seja ´ımpar o b pode ser qualquer valor real; 2) Caso o n seja par o b deve ser qualquer valor real positivo ou zero. Ja que se pode olhar para um radical como uma potˆencia de expoente fraccion´ario. Ent˜ ao as propriedades e regras sobre multiplica¸c˜ao e divis˜ao de potˆencias podem aqui ser utilizadas com uma eu ´nica prerogativa, de que para o caso de raizes os expoentes s˜ao frac¸c˜oes.
1.3.22
Multiplica¸c˜ ao e Divis˜ ao de Radicais
Ao multiplicar (dividir) radicais com mesmo ´ındice se obtem um outro radical com ´ındice igual ao ´ındice dos radicandos factores (quocientes) e com radicando igual ao producto (raz˜ao) dos radicandos factores (quocientes). √ n
a×
√ n
b=
√ n
√ √ √ n n n a÷ b= a÷b
a × b,
Exemplo 1.43. Considere os exemplos que se seguem: 1) 2)
√ 3 √ 3
2× 2×
1.3.23
√ 3 √ 3
24 = 24 =
√ 3 √ 3
2 × 24 = 2 × 24 =
√ 3 √ 3
48; 48.
Simplifica¸c˜ ao de Radicais (Redu¸c˜ ao ao mesmo ´ındice)
Existem casos em que se imp˜ oe a necessidade de multiplicar e/ou dividir raizes com ´ındices diferentes. Situa¸c˜oes desta natureza levam ` a necessidade de simplifica¸c˜ao ou transforma¸c˜ao de radicais. Observa¸ c˜ ao 1.13. Se multiplicar ou dividir o ´ındice de um radical e o expoente do radicando pelo mesmo valor natural n˜ ao nulo, o valor do radical n˜ao se altera, isto ´e: √ n
Exemplo 1.44.
√ 3
27 =
√ 3
33 =
m
am = a n =
√
n×k
m×k
am×k = a n×k
√ √ 6 33×2 = 36
3×2
Esta propriedade ajuda a resolver o caso de redu¸c˜ao de radicais ao mesmo ´ındice. Tornando por esta via poss´ıvel a multiplica¸c˜ ao de radicais com ´ındices diferentes. √ 3
5 e
√
7
Achando o m.m.c de (2 e 3), que s˜ ao os coeficientes dos dois radicais, se obtem 6, ent˜ao: √ 3
√
5=
3×2
52 =
√ 6
25
√
7=
√ 2
√
7=
2×3
73 =
√ 6
73
dai
p √ √ √ √ 6 6 3 6 5 × 7 = 25 × 73 = 25 × 73
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015
1.3.24
51
Compara¸c˜ ao de Radicais
1) Com o mesmo ´ Indice - Entre dois radicais com mesmo ´ındice e radicandos diferentes, maior ser´a o que tiver maior radicando. Assim: √ 3
5<
√ 3
15 porque 5 < 15
Observe que os dois radicais tem mesmo ´ındice, o 3, a ser assim, basta comparar os radicandos. 2) Com ´ındices diferentes - N˜ ao ´e poss´ıvel comparar dois radicais que tenham ´ındices diferentes; sempre que tiver um caso de dois radicais que apresentem ´ındices desiguais, deve-se primeiro reduz´ı-los ao mesmo ´ındice e depois procede-se como no caso anterior. Exemplo 1.45. Compare os radicais
√ 3
5 e
√
7. Primeiro reduz-se os dois radicais a outros
radicais equivalentes, com ´ındices iguais. De seguida acha-se o m.m.c entre os ´ındices ”2 e 3”, que ´e 6. Ent˜ ao: √
7=
√ 2
√
7=
2×3
73 =
√ 6
343
e
√ 3
√
5=
3×2
52 =
√ 6
25
Depois de feita a opera¸cˆ ao, Compara-se os radicandos do resultado obtido ( √ √ chega-se a conclus˜ ao de que 25 < 343 e consequentimente 3 5 < 7.
√ 6
343 e
√ 6
25)e
Passagem de factores para fora ou para dentro de um radical. √ n Sabe-se que: n an = a n = a1 = a, ent˜ao obt´em-se: √ n
an × b =
√ n
an ×
√ n
b=a×
√ n
b
Exemplo 1.46. Considere os seguintes exemplos: 1) 2)
√
52 × 3 =
√ 3
1.3.25
54 =
√
52 ×
√
3=5×
√ 3
√ √ √ √ 3 3 3 3 × 2 = 33 × 3 2 = 3 × 3 2
Adi¸c˜ ao e Subtra¸c˜ ao de Radicais
Defin¸ c˜ ao 1.29. Chama-se Radicais Semelhantes aqueles que diferem somente no coeficiente. Exemplo 1.47. √ 3
5,
√ 3 3 5,
√ 3 7 625
Veja que os seguintes radicais ,a primeira, n˜ ao parecem semelhantes. Mas se se efectuar sobre eles algumas transforma¸c˜ oes obter-se-´ a radicais semelhantes. √ 3
5,
√ 3 3 5,
p √ √ √ √ 3 3 3 3 3 7 625 = 7 54 = 7 53 × 5 = 7 × 5 5 = 35 5
52
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
Obt´em-se: √ 3
√ 3 3 5,
5,
√ 3 35 5
A adi¸c˜ao e subttra¸c˜ ao de radicais semelhantes efectua-se aplicando a propriedade distributiva da multiplica¸c˜ ao em relac¸c˜ ao ` a adi¸c˜ ao. Assim: √ √ √ 7 5 + 5 5 = (7 + 5) 5
√ √ √ √ 5 5 5 5 2 8 − 11 8 = (2 − 11) 8 = −9 8
Para os casos da soma e diferen¸ca, a redu¸c˜ao n˜ao joga papel preponderante visto que para estas opera¸c˜oes muito mais do que reduzir ao mesmo ´ındice, necessita-se de reduzir os radicais `a semelhantes, condi¸c˜ao que n˜ ao ´e satisfeita pelas regras de simplifica¸c˜ao-redu¸c˜ao de radicais.
1.3.26
Potˆ encia de uma raiz e Raiz de uma Potˆ encia
Veja agora o significado de: p √ √ √ √ n a = n a × n a··· n a
√ p √ √ n a = n a × a × a · · · a = n ap
p − vezes,
Exemplo 1.48. Observe o seguinte exemplo: √ 2 √ √ 3 3 3 5 = 52 = 25 Considere a seguinte situa¸ c˜ ao: q √ 11 1 1 √ n n p p n a = a = ap = a n×p =
1.4
√
n×p
a
Aula 4 - Pr´ atica
Os exerc´ıcios 1, 5, 8, 9, 13, 15, 29, 32 devem ser resolvidos na qualidade de TPC. Ser˜ ao corrigidos e discutidos na aula pr´ atica. Os exerc´ıcios 3, 11, 14, 16, 18, 26, 31, 33 dever˜ ao ser resolvidos pelos estudantes para a consilida¸c˜ao do conhecimento e dever˜ao ser entregues ao Docente de aulas te´oricas na aula te´ orica da semana seguinte. 1) Calcule o valor num´erico das seguintes express˜oes para os valores de x indicados. (a) (x − 1)(x2 + x + 1) para x = 1, (b)
x=
√
2
x3
x+1 − 5x − 2 para x = −3 x−1 x −1
2) Seja f (x) = 3(x − 2)2 + 5 calcule f (2 + α) e f (2 − α) 3) Seja f (x) =
5 calcule f (2 + α) e f (2 − α) 2−x
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015
4) Seja f (x) =
53
x+3 calcule f (2 + α) e f (2 − α) x−2
5) Seja f (x) = x2 −3x+2. Calcule f (−3),
f (2x−3),
f (2x−3)+f (2x+3),
f (x+h),
f (x + h) − f (x) h
6) Seja f (x) = 2x − 3 e g(x) = x2 + 5 calcule (a) f (5),
g(−3),
g[f (2)],
f [g(3)],
g[f (x)]
(b) f [g(x + 1)] + g[g(x)] 7) Determine o dom´ınio das seguintes express˜oes: 1 x x2 − 5x + 1 (b) x2 − 2x √ (c) 2 − x (a) x2 − 1 +
1 2 (d) √ + x x+3 √ x+3 (e) x−4 √ x2 + 3 (f) x−1 5 7 (g) 2 +√ x −9 x+3 √ √ (h) x − 2 + 6 − 2x 8) Seja P (x) = 2x3 + ax2 + bx − 5. Determine a e b de modo que P (2) = 0 e P (−1) = 0 9) Sejam dados os polin´ omios: A(x) = −x3 + 3x2 − 7x + 5,
B(x) = 2x3 − 3x2 + 2x − 1,
C(x) = −3x3 + 5x − 2.
Determine: (a) A + B + C (b) 2A + 2B − C (c) 2A − 3B − 5C 10) Determine α e β de modo que os polinomios A(x) e B(x) sejam iguais. (a) A(x) = (α + β)x2 − 3x (b) A(x) = 2αx2 + 3x − 5
B(x) = 5x2 − (α − β)x B(x) = 4x2 + 3βx − 3α + β
11) Determine m de modo que o polin´omio Q(x) = (m2 − 1)x2 + (m2 − 3m + 2)x + 1 + m3 (a) Seja constante.
54
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
(b) Seja do primeiro grau. 12) Factorize pondo em evidˆencia o factor comum (a) 8a3 b2 + 16a2 b3 + 20a3 b3 (b) 5x3 − 15x2 (c) 16x5 − 20x4 + 8x3 (d) (x + 1)(7x − 3) − (x + 1)(2 − x) (e) 2x(x − 1)2 − 2x2 (x − 1) 13) Factorize os seguintes trin´ omios (a) x2 + 3x + 2 (b) x2 + 7x + 6 (c) x2 + x − 42 (d) x5 + 4x4 + 4x3 14) Factorize (Diferˆen¸ca de quadrados) (a) 25a2 − 36 (b)
4x2 16y 2 − 9 25
(c) 18 − 5x2 (d) (a + 5)2 − (4 − 3a)2 15) Escreva sob forma de quadrado perfeito (a) 81a2 − 18a + 1 (b) 49x2 + 28xy + 4y 2 √ (c) (a + 3)2 − 6(a + 3) 5 + 45 (d)
(6 − x)2 6 − x 3 + + 2 12 x x
16) Factorize usando casos not´ aveis y3 27 3 8a 64b6 (b) + 27 125 (a) 8x3 −
(c) 8x3 − (x − 3)3 (d) (2x − 5)3 + 27x3
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015
17) Factorize agrupando em factores (a) ax + 2x + 3a + 6 (b) ax − x − 5a + 5 (c) x2 − 3ax − 2x + 6a 18) Factorize caso poss´ıvel (a) x4 − 16y 4 (b) 5x2 + 125 (c) −9x3 y + 30x2 y 2 − 25xy 3 (d) 3x2 + 15xy + 12y 2 (e) 5a2 − 10a2 b2 + 5b4 (f) (a − 3)2 − (5 − 2a)2 (g) (x − y)3 − (x + y)3 19) Simplifique (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g)
4x − 8 x−2 −6x2 − 14x 14 + 6x x−3 2 x − 6x + 9 x2 − 8x + 16 16 − x2 8x − 4x2 6x − 12 4x2 − 12x + 9 4x2 − 9 (2x − 1)(x − 1)2 − 2(x2 − x − 1)(x − 1) (x − 1)4
20) Simplifique (a)
2x(x − 1) − x2 (x − 1)2
(2x + 3)x2 − 2x(x2 + 3x) x3 2 (2x + 1)(x − x) − (2x − 1)(x2 + x) (c) x2 (x − 1)2
(b)
21) Efectue as seguintes opera¸c˜ oes: (a)
x2 4x − 4 − x+2 x+2
55
56
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
x 3 + x+1 4 2 x − 2 (c) x−3 x −9 2x 3 (d) 2 + 2 x − 2x − 15 x − 10x + 25 (b)
22) Determine A e B de modo que: 3x − 1 A B = + + 4x − 5 x+5 x−1 1 A B (b) = + 2x2 + 3x − 2 2x − 1 x + 2 (a)
x2
23) Para que valores de x, tem sentido as seguintes express˜oes: √
(a)
2n
(b)
2n+1
x √
x
24) Simplifique os seguintes radicais: √ 5 32a3 b2 p (b) 9x4 y 8 r 27ab4 (c) 12a5 p (d) 4 0, 04a4 (a − b)8 √ √ 3 686 × 3 5 √ . 25) Efectue 3 10 (a)
26) Simplifique: √ √ √ (a) 3 2 + 2 2 − 5 2 √ √ √ √ (b) 8 + 18 − 50 + 72 √ √ √ 5 5 5 (c) a5 b2 + 32b7 − 3a b2 27) Racionalize os denominadores das seguintes fracc˜oes: 4 (a) √ 14 √ 3+ 2 √ (b) 3 2 12 √ (c) √ 7+ 3 √ 4 2+5 √ (d) √ 2+ 3 28) Racionalize os denominadores das seguintes fracc˜oes:
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015
57
4 (a) √ 3 14 √ 3+ 2 √ (b) 342 12 √ (c) √ 3 7+ 3 √ 4 2+5 √ (d) √ 2− 33 √ √ √ √ 2 3+3 2 4 3−2 2 √ + √ √ . 29) Efectue √ 3− 2 3+2 2 30) Escreva sob a forma de uma u ´nica potˆencia: (a) 27 × 25 (b) 23x × 2−2x (c) 4x+1 × 4x−1 31) Escreva sob a forma dum produto de potˆencias de mesma base: (a) 2x+3 (b) 32−x 32) Transforme numa so potˆencia: (a) an ÷ an−1
(a 6= 0)
(b) π x ÷ π x+2 (c)
x x−1
(x 6= 0)
33) Simplifique a express˜ ao
93x × 6x+4 . 2x+3 × 37x−1
Ensinar ´ e lembrar aos outros que eles sabem tanto, quanto vocˆ e...
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1.5
Aula 5 - te´ orica
1.5.1
Fun¸c˜ oes lineares
Defin¸ c˜ ao 1.30. Considere os seguintes conjuntos: A = {a1 , a2 , a3 , · · · } e B = {b1 , b2 , b3 , · · · } Chamar-se-´ a relac¸ c˜ ao a liga¸c˜ ao de elementos de A com os elementos de B. Em outras palavras, Relac¸ c˜ ao ´e a associa¸c˜ ao entre elementos de dois conjuntos.
58
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
Suponha-se que os elementos do conjunto A sejam as prov´ıncias do Norte de Mo¸cambique e os elementos de B as suas respectivas capitais, teremos: A = {Cabo delgado, N iassa, N ampula}
B = {P emba, Lichinga, N ampula}
Ao se associar os nomes das prov´ıncias com as suas capitais diz-se que se est´a a estabelecer relac¸c˜ oes, e teremos: A −→ B = {(Cabo delgado, P emba); (N iassa, Lichinga); (N ampula, N ampula)} Defin¸ c˜ ao 1.31. Para este caso; chamar-se-´a dom´ınio ou objecto, o conjunto de partida da relac¸c˜ ao (Conjunto A) e chamar-se-´ a contradom´ınio ou imagem, o conjunto de chegada (Conjunto B ). As relac¸c˜ oes podem ser estabelecidas de 3 maneiras diferentes: 1) Por extens˜ ao; 2) Por diagramas de venn; e 3) Por compreens˜ ao. Exemplo 1.49. Considere os conjuntos: A = {1, 2, 3, 4},
B = {5, 10, 15, 20}
Pode-se estabelecer a seguinte relac¸ca˜o entre os elementos de A e os elementos de B : A −→ B = {(1, 5); (2, 10); (3, 15); (4, 20)} Esta maneira de estabelecer relac¸c˜ oes n˜ao se difere da usada a cima. A mesma relac¸c˜ao pode ser estabelecida usando f´ ormulas e s´ımbolos matem´aticos de modo seguinte: {(x, y)|y = 5x,
x ∈ {1, 2, 3, 4}};
Neste caso o dom´ınio da fun¸c˜ ao ´e o conjunto: A = {1, 2, 3, 4}, e a regra de defini¸c˜ao da relac¸c˜ ao ´e y = 5x Com base na regra temos: x=1
y =5×1=5
x=2
y = 5 × 2 = 10
x=3
y = 5 × 3 = 15
x=4
y = 5 × 4 = 20
Assim sendo, temos: {(x, y)|y = 5x, x ∈ {1, 2, 3, 4}} = {(1, 5); (2, 10); (3, 15); (4, 20)} Viu-se desta meneira, dois m´etodos diferentes de representa¸c˜ao de relac¸c˜oes.
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015
59
Observa¸ c˜ ao 1.14. As fun¸ c˜ oes s˜ ao relac¸c˜oes que para cada elemento do conjunto de partida existe um e somente um elemento no conjunto de chegada. Exemplo 1.50. Veja o seguinte exemplo: {(1, 2); (3, 4); (5, 6); (7, 8)} ´ uma fun¸c˜ E ao, porque para cada elemento do conjunto de partida {1, 3, 5, 7} existe somente um elemento no conjunto de chegada {2, 4, 6, 8}. Analogamente pode-se dizer que ´e uma fun¸c˜ao porque para cada x pertencente ao par (x, y) existe um e somente um y. Existe diferentes maneiras de denotar fun¸c˜oes. veja os seguintes casos: y = 7 − x,
f (x) = 7 − x,
g(x) = 7 − x
Denotou-se ent˜ ao de 3 maneiras diferentes a mesma fun¸c˜ao. Nota-se, neste caso, que os valores do dom´ınio s˜ ao pertencentes ao conjunto de n´ umeros reais. Estas fun¸c˜oes chamam-se fun¸ c˜ oes de vari´ avel real.
1.5.2
Fun¸c˜ oes
Defin¸ c˜ ao 1.32. Uma Fun¸ c˜ ao ´e uma relac¸c˜ao em que para cada elemento do dom´ınio corresponde um e somente um elemento do contradom´ınio. Defin¸ c˜ ao 1.33. Toda fun¸c˜ ao do tipo y=ax+b chama-se fun¸ c˜ ao linear. Estas fun¸c˜ oes quando representadas gr´aficamnete apresentam-se como uma recta (uma linha recta), da´ı o nome
Fun¸ c˜ ao Linear .
Numa fun¸c˜ ao linear (y = ax + b), o ”a”´e o coeficiente angular, e o parˆametro que determina o n´ıvel de inclina¸c˜ ao da recta. Da´ı que se duas rectas tiverem o mesmo coeficiente angular, ser˜ ao paralelas. Se os coeficientes angulares n˜ao forem iguais significa que as rectas tem um ponto comum. A recta perpendicular a y = ax + b, tem a forma: 1 y = − x + b1 a • Se b = 0, a fun¸c˜ ao passa a ter a forma y = ax e fun¸c˜oes deste tipo passam pela origem do sistema carteziano ortogonal. • Se o valor de a for negativo, isto ´e, menor que zero, diz-se que a fun¸c˜ao ´e decrescente. • Se o valor de a for positivo a fun¸c˜ao ´e crescente. • Se o velor de a for igual a zero, diremos que a fun¸c˜ao ´e constante, isto ´e , n˜ao ´e crescente nem decrescente.
60
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
O coeficiente angular da recta que passa pelos pontos P1 (x1 , y1 ) e P1 (x2 , y2 ) ´e: a=
y2 − y1 , x2 − x1
x2 6= x1
Defin¸ c˜ ao 1.34. Diz-se que uma fun¸c˜ ao ´e crescente num intervalo D , se para qualquer que seja x1 , x2 pertencentes a D com x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) Defin¸ c˜ ao 1.35. Diz-se que uma fun¸c˜ ao ´e decrescente num intervalo, se para qualquer que seja x1 , x2 pertencentes ao dom´ınio da fun¸c˜ ao f , com x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ) Para esbo¸car o gr´ afico de uma fun¸c˜ao linear, basta encontrar dois pontos pelos quais passar´ a a recta e unindo os 2 pontos teremos o gr´afico. Exemplo 1.51. Veja os esbo¸cos gr´ aficos de algumas fun¸c˜oes lineares: 1) y1 = 2x + 2 2) y2 = 2 − x 3) y3 = 3 y
y3 = 3
(0, 3) (0, 2)
(−1, 0)
(2, 0) x y2 = −x + 2
y1 = 2x + 2
Figura 1.12:
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015
1.5.3
61
Fun¸c˜ ao Inversa
Para inverter uma fun¸c˜ ao y = f (x) segue-se os seguintes passos: 1) Em y = f (x) procura-se isolar o x escrevendo x = f (y); 2) Troca-se o x por y −1 e o y por x. Exemplo 1.52. Determine a fun¸c˜ ao inversa de y = x − 1 1) Isole o x, observe: y = x − 1 ⇒ y − x = −1 ⇒ −x = −1 − y ⇒ x = y + 1 2) Troque x por y −1 e y por x, ter´as ent˜ao: y −1 = x + 1 Veja os esbo¸cos gr´ aficos das fun¸c˜ oes f e a fun¸c˜ao f −1 . y
x−1 x
x+1
Figura 1.13:
1.5.4
Fun¸c˜ oes Compostas
Considere os conjuntos: A = {1, 2, 3};
B = {2, 4, 6};
C = {3, 5, 7}.
62
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
Componha o esquema da relac¸c˜ ao f : A → B e g : B → C. Observe que existe uma maneira de definir a relac¸c˜ao A → C usando as relac¸c˜oes (fun¸c˜ oes) f e g, suponha-se que h : A → C , sem a necessidade de passar por B , entao teremos: h(1) = 3 ⇒ 3 = g[f (1)];
h(2) = 5 ⇒ 5 = g[f (2)];
h(3) = 7 ⇒ 7 = g[f (3)];
Assim, de modo claro conclui-se que h(x) = g[f (x)] E diz-se que h ´ e uma fun¸ c˜ ao que comp˜ oe f em g . Exemplo 1.53. Sejam dadas as fun¸c˜oes: f (x) = ax + b,
g(x) = cx + d.
Determinar-se-´ a a fun¸c˜ ao f o g e g o f
f o g = f [g(x)] = a[g(x)] + b = a(cx + d) + b = acx + ad + b g o f = g[f (x)] = c[f (x)] + d = c(ax + b) + d = acx + cb + d
1.5.5
Sistemas de Equa¸c˜ oes e Inequa¸co ˜es Lineares
Todas as rectas podem ser representadas a partir da express˜ao y = ax+b, onde em caso de a = 0 temos uma recta horizontal que corta o eixo vertical em b. Caso contr´ario temos uma recta obl´ıqua e inclinada de modo dependente do a-coeficiente angular. Muitos problemas de matem´atica, economia, gest˜ ao e ´areas afim, podem ser resolvidos usando sistemas de rectas. Veja o seguinte exemplo: Exemplo 1.54. Em boas cozinhas, para preparar 5 unidades de sopa mistura-se uma determinada quantidade de ´ agua ao dobro de ´ oleo. Se se misturar quantidades iguais de ´agua e ´oleo no lugar de 5, produzem-se 7 unidades. Determine a quantidade de litros de ´agua e de ´oleo. Este tipo de problemas e muitos outros podem ser, com muita facilidade, resolvidos usando os ´ poss´ıvel criar e/ou resolver problemas que exigem sistemas de equa¸c˜ sistemas de equa¸c˜ oes lineares. E oes de diferentes graus, mas, para todos efeitos e sem limita¸c˜ao da sua essˆencia, vamos falar de sistemas de 2 equa¸c˜oes com 2 inc´ ognitas. Resolver um sistema de 2 equa¸c˜oes com duas inc´ognitas ´e o mesmo que procurar encontrar o par (x, y) que satisfaz o sistema: ax + by + c = 0 . dx + ey + f = 0
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015
63
Observa¸ c˜ ao 1.15. Seja dado o seguinte sistema de duas equa¸c˜oes com duas inc´ognitas: ax + by + c = 0 dx + ey + f = 0 Diremos que: 1) O sistema tem uma e u ´nica solu¸c˜ao se 2) O sistema n˜ ao tem solu¸c˜ ao se
a b 6= ; d e
a b = ; d e
3) O sistema tem muitas solu¸c˜ oes se
b c a = = . d e f
Exemplo 1.55. Quantas solu¸c˜ oes tem o sistema? 2x − y + 5 = 0 x − 5y = 7 Usando as regras dadas acima conclu´ımos que o sistema tem uma u ´nica solu¸c˜ao. Resolvendo-o teremos: 19 2x − y + 5 = 0 2x − y + 5 = 0 2(7 + 5y) − y + 5 = 0 y=− 9 ⇒ ⇒ ⇒ x − 5y = 7 x = 7 + 5y x = 7 + 5y x = 7 + 5 − 19 = − 33 9 9 Graficamente a solu¸c˜ ao de um sistema de equa¸c˜ao corresponde ao ponto de intersec¸c˜ao das duas rectas geradas pelas fun¸c˜ oes definidas pelas equa¸c˜oes do sistema. Para o sistema acima teremos; veja a figura (1.14): Para resolver uma inequa¸c˜ ao linear vamos, a partir do esbo¸co do gr´afico, fazer a leitura da parte que satisfaz a condi¸c˜ ao da inequa¸c˜ ao. Veja o seguinte exemplo: 2x + 5 − y > 0 Deve-se fazer com que o y tenha coeficiente positivo, para tal vamos multiplicar ambos membros da inequa¸c˜ao por -1 e teremos: −2x − 5 + y < 0 Esbo¸ca-se o gr´ afico da fun¸c˜ ao: y = 2x + 5 Porque pelo exerc´ıcio, o sinal (condi¸c˜ao) da inequa¸c˜ao ´e menor, a solu¸c˜ao ´e a parte debaixo (a parte sombreada no esbo¸co gr´ afico). Para o caso em que temos um sistema de v´arias inequa¸c˜oes lineares, deve-se esbo¸car as inequa¸c˜ oes e escolher como solu¸c˜ ao a parte correspondente a intersec¸c˜ao das diferentes solu¸c˜oes.
64
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
y 2x + 5 x x−7 5
Figura 1.14: y
2x + 5 x
Figura 1.15: Exemplo 1.56. y+x−1≥0 y−x−2≥0 Antes de resolver este sistema de inequa¸c˜oes, transforma-se em sistema de equa¸c˜oes. y+x−1=0 y+x=1 ⇒ y−x−2=0 y−x=2
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65
3 Somando as duas equa¸c˜ oes (m´etodo de adi¸c˜ao sucessiva) teremos 2y = 3, isto ´e, y = , substituindo 2 numa das equa¸c˜ oes (a primeira por exemplo) teremos:
3 3 1 +x−1=0⇒x=1− ⇒x=− . 2 2 2
1 3 , que ´e o ponto de intersec¸c˜ao das duas rectas A solu¸c˜ao do sistema de equa¸c˜ ao ´e o ponto − , 2 2 que s˜ao definidas pelas equa¸c˜ oes do sistema. Vamos no mesmo S.C.O esbo¸car as rectas:
y+x−1=0
e y−x−2=0
y y−x−2=0 II
3 2
III
I x
− 12 IV
−x + 1 Figura 1.16:
y+x−1=0
66
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
As duas rectas intersectam-se e fazem 4 regi˜oes (I,II,III,IV), veja na figura (1.16). Como no sistema de inequa¸c˜oes todas as condi¸c˜ oes foram dadas para regi˜oes maiores que as rectas dadas, a nossa solu¸c˜ ao ser´a a regi˜ao II que ´e a regi˜ ao que fica acima das duas rectas. Observa¸ c˜ ao 1.16. Se o sinal de desigualdade for > ou < as rectas aparecem em tra¸co n˜ ao cheio, isto ´e, (tracejado). Existe um tipo de inequa¸c˜ oes que, muito embora n˜ao sejam lineares, s˜ao compostas por bin´ omios lineares em forma de factores e(ou) quocientes. Exemplo 1.57. Veja atentamente os exemplos que se seguem: x−1 = 0, para que a frac¸c˜ao dada(qualquer frac¸c˜ao) seja igual a x+1 zero basta que x − 1 = 0(o numerador seja igual a zero). Ent˜ao teremos:
1) Resolva a seguinte equa¸c˜ ao;
x−1 =0⇒x−1=0⇒x=1 x+1 ´ importante frizar que x + 1 6= 0 ⇒ x 6= −1, portanto, a solu¸c˜ao ´e: E S:x=1 2) Resolva a seguinte equa¸c˜ ao;
2x − 1 = 0, teremos: x−3 2x − 1 1 = 0 ⇒ 2x − 1 = 0 ⇒ x = x−3 2
Como
1 6= 3 teremos; 2 S:x=
1 2
3) Resolva a seguinte equa¸c˜ ao; (2x − 1)(x − 3) = 0, pode se ver que: S : 2x − 1 = 0 ∨ x − 3 = 0 ⇒ x =
1 ∨x=3 2
4) Resolva a seguinte equa¸c˜ ao; (x2 − 1)(x + 4)(x + 2) = 0, teremos ent˜ao: S : x2 − 1 = 0 ∨ x + 4 = 0 ∨ x + 2 = 0 ⇒ x = −4 ∨ x = −2 ∨ x − 1, ∨x = 1 Considere agora o caso em que se tem inequa¸c˜oes compostas por bin´omios lineares. 1) Resolva a seguinte inequa¸c˜ ao:
x−1 > 0, (r ecorrer-se-´a ao m´etodo de tabelas). Antes resolverx+1
se-´a as seguintes equa¸c˜ oes: x − 1 = 0,
x+1=0
Teremos: x = 1,
x = −1
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67
Vamos construir a seguinte tabela: x
] − ∞; −1[
-1
]-1;1[
1
]1; +∞[
x−1
-
-2
-
0
+
x+1 x−1 x+1
-
0
+
+
+
+
@
-
0
+
Ao resolvermos a inequa¸c˜ ao dada, porque a condi¸c˜ao diz maior do que zero, nos limitamo em procurar encontrar as regi˜ oes ao longo do eixo dos x onde a express˜ao tem sinal positivo, e lendo au ´ltima linha da tabela podemos dar a seguinte solu¸c˜ao: S : x ∈] − ∞; −1[∪]1, +∞[ (a) Se no lugar da inequa¸c˜ ao anterior, tivessemos que resolver a seguinte inequa¸c˜ao: x−1 0 ou p unidades para a direita se p < 0. Defin¸ c˜ ao 1.36. Chama-se v´ ertice de uma fun¸c˜ao quad´atica ao ponto, (xv , yv ), onde ela muda de comportamento, isto ´e, deixa de crescer e passa a decrescer ou vice-versa. Exemplo 1.58. Observe os v´ertices (coordenadas do v´ertice) das fun¸c˜oes dadas nos exemplos anteriores. (a) Para a fun¸c˜ ao y = x2 o v´ertice ´e o ponto V (0, 0); (b) Para a fun¸c˜ ao y = (x + 3)2 o v´ertice ´e o ponto V (−3, 0); (c) Para a fun¸c˜ ao y = (x − 1)2 o v´ertice ´e o ponto V (1, 0). Considere a fun¸ c˜ ao y = −3(x − 1)2 , o esbo¸ co gr´ afico, (Figura 1.20)
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71
y x
Figura 1.20: y = −3(x − 1)2 Observa¸ c˜ ao 1.19. As fun¸c˜ oes y = (x − 1)2 , y = −3(x − 1)2 e y = 3(x − 1)2 tˆem v´ertices no ponto (1, 0) o que nos leva a concluir que o valor de a n˜ao influencia na determina¸c˜ao do v´ertice da fun¸c˜ ao. Pode-se concluir que o v´ertice da fun¸c˜ao y = a(x − p)2 ´e o ponto V (p, 0) e o eixo de simetria ´e o eixo x = p. Exemplo 1.59. Determine, sem construir o gr´afico, o v´ertice e o eixo de simetria da fun¸c˜ao. (a) y = 2(x −
√
2)2
(b) y = − 26 (x − c)2 (c) y = x2 + x +
1 4
(passe primeiro para a forma y = a(x − p)2 .
3) Observe agora o caso em que y = a(x − p)2 + q,
x ∈ R,
a 6= 0,
q 6= 0,
∀p
Este caso ´e semelhante ao caso (2) em que tinhamos y = a(x − p)2 . Para se obter o gr´ afico deste tipo de fun¸c˜oes, faz-se a translada¸c˜ao que se fez no caso y = a(x−p)2 e acrescenta-se mais uma translada¸c˜ao de q unidades para cima se q > 0 e para baixo se q < 0. Note que ao se transladar um determinado gr´afico, deve-se transladar todos os pontos que fazem parte dele. Desenhar com o aux´ılio dos estudantes, explicando detalhadamente os passos para a constru¸c˜ ao de y = 21 (x − 5)2 + 2 Passos para a constru¸ c˜ ao: (a) Construir o gr´ afico da fun¸c˜ao y1 = x2 ;
72
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
(b) construir o gr´ afico da fun¸cao y2 = 21 x2 ; (c) construir o gr´ afico da fun¸c˜ ao y3 = 12 (x − 5)2 ; e (d) construir o gr´ afico da fun¸c˜ ao y4 = 12 (x − 5)2 + 2, transladando-o duas (2) unidades para cima. y IV : 12 (x − 5)2 + 2
II : 21 x2
III : 12 (x − 5)2
I : x2
x
Figura 1.21: Observa¸ c˜ ao 1.20. O gr´ afico da fun¸c˜ ao y = a(x − p)2 + q pode ser obtido a partir do gr´ afico y1 = ax2 por meio de uma translada¸c˜ ao horizontal de p unidades e uma translada¸c˜ ao vertical de q unidades. Observa¸ c˜ ao 1.21. Para fun¸c˜ oes dadas na forma y = a(x − p)2 + q , o eixo de simetia ´e x = p e o v´ertice localiza-se no ponto V (p, q).
1.5.7
Estudo Completo de uma Fun¸c˜ ao
O estudo completo de uma fun¸c˜ ao consiste numa s´erie de investiga¸c˜oes que s˜ao feitas para a descoberta de caracter´ısticas que, de maneira inequ´ıvoca, identificam uma fun¸c˜ao. Este estudo (para fun¸c˜ oes quadr´aticas) ´e composto por 9 (nove) passos importantes a saber: 1) O sinal de a; 2) O dom´ınio da fun¸c˜ ao; 3) O contradom´ınio da fun¸c˜ ao; 4) As coordenadas do v´ertice; 5) Os zeros da fun¸c˜ ao;
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73
6) A varia¸c˜ ao da fun¸c˜ ao ( ou monotonia da fun¸c˜ao); 7) A varia¸c˜ ao do sinal da fun¸c˜ ao; 8) A equa¸c˜ ao do eixo de simetria e 9) A constru¸c˜ ao gr´ afica. Com os estudantes, na sala, fazer o estudo completo das fun¸c˜oes y = x2 − 2x e y = −x2 + 2x + 3
1.5.8
Equa¸c˜ oes Quadr´ aticas
No cap´ıtulo anterior falou-se de equa¸co˜es lineares, e definiu-se equa¸c˜ao como uma igualdade que contˆem uma determinada inc´ ognita. Ao se resolver uma equa¸c˜ao, procura-se achar os valores da inc´ ognita que satisfaz a igualdade. Chamar-se-´ a ent˜ao equa¸ c˜ ao quadr´ atica a equa¸c˜ao que tiver na inc´ ognita o expoente 2. A forma gerada da equa¸c˜ao quadr´atica ´e a seguinte: ax2 + bx + c = 0
com a 6= 0.
Existem 3 tipos de equa¸c˜ oes qudr´aticas. Nas suas resolu¸c˜oes diferem-se no ponto de vista de eficiˆencia, isto ´e, podemos resolvˆe-las da mesma maneira, mas ´e racional para cada caso cumprir certos algor´ıtmos que facilitam a resolu¸c˜ao. Veja: 1) No caso em que os valores de b e c s˜ao iguais a zero, teremos ax2 = 0,
a 6= 0
e da´ı resulta que x = 0, neste caso ´e muito simples encontrar a solu¸c˜ao, veja que achar a solu¸c˜ ao de uma equa¸c˜ ao ax2 = 0 reduz se a determinar ao longo do eixo dos x o conjunto de pontos interceptados pela parˆ abola y = ax2 , veja nas figuras (1.17) e (1.18) os gr´aficos de y = ax2 . 2) No caso em que c = 0, b 6= 0 , teremos ax2 + bx = 0 Colocando o x em evidˆencia, teremos: x(ax + b) = 0 onde x = 0 ou ax + b = 0 o que nos leva `as solu¸c˜ oes x = 0 ou x = − ab . Vamos aqui fazer o esbo¸co do gr´afico de fun¸c˜oes dadas na forma y = ax2 +bx para podermos observar gr´aficamente as solu¸c˜oes. Consideremos as equa¸c˜ oes x2 + 3x = 0
x2 − 5x = 0. Ao determinarmos as solu¸c˜oes gr´aficas destas equa¸c˜oes vamos fazer
os esbo¸cos gr´ aficos de fun¸c˜ oes y = x2 + 3x
e
y = x2 − 5x
74
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
y x2 + 3x
x2 − 5x x
Figura 1.22: Resolvendo a equa¸c˜ ao teremos x2 + 3x = 0 ⇒ x(x + 3) = 0 da´ı que teremos x = 0 ou x + 3 = 0 ⇒ x = −3. Para a equa¸c˜ao x2 − 5x = 0 teremos x(x − 5) = 0 ⇒ x = 0 ou x − 5 = 0 ⇒ x = 5, estes resultados podem ser observados a partir da leitura gr´afica. 3) No caso em que os valores de a, b e c s˜ao diferentes de zero, teremos: ax2 + bx + c = 0 Pode-se resolver esta equa¸c˜ ao usando a f´ormula resolvente que foi vista a quando do estudo da factoriza¸c˜ ao de polin´ omios quadr´aticos: x1,2
√ −b ± ∆ = e ∆ = b2 − 4ac 2a
Com o aux´ılio desta f´ ormula, pode-se tamb´em encontrar as coordenadas do v´ertice do gr´ afico que descreve a fun¸c˜ ao y = ax2 + bx + c : xv = −
1.5.9
b ∆ e yv = − 2a 4a
Exerc´ıcio
Determine, para as seguintes fun¸c˜ oes, os zeros, os v´ertices e o eixo de simetria da fun¸c˜ao.
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1) y = ax2 + bx + c,
75
a 6= 0
2) y = x2 − 10x + 25 3) −x2 + 8x = −5 + y 4) x2 − 7x + 11 = 1 − y 5) y = 2x2 + 7x + 5 6) y + 3x + (x + 1)2 + x2 = 2(x2 − 1) + x(x + 3)
Observa¸ c˜ ao 1.22. Seja dada uma equa¸c˜ao quadr´atica. se a + b + c = 0 esta equa¸c˜ao tem ra´ızes iguais a x1 = 1 e x2 =
c a.
Observa¸ c˜ ao 1.23. Seja x1 e x2 ra´ızes de uma equa¸c˜ao quadr´atica, ent˜ao x1 + x2 = − ab ; x1 × x2 =
c a
e x2 − (x1 + x2 )x + x1 × x2 = 0
1.5.10
Equa¸c˜ oes Param´ etricas
Nma fun¸c˜ao quadr´ atica de acordo com o valor assumido pelo ∆ = b2 − 4ac pode-se saber, se tem ou n˜ao ra´ızes e caso tenha pode-se saber se estas ra´ızes s˜ao duplas ou n˜ao. 1) ∆ < 0 a fun¸c˜ ao n˜ ao tem ra´ızes em R 2) ∆ = 0 a fun¸c˜ ao tem ra´ızes duplas, isto ´e, x1 = x2 3) ∆ > 0 a fun¸c˜ ao tem ra´ızes diferentes, isto ´e, x1 6= x2 Usando estes 3 pressupostos, pode-se resolver as equa¸c˜oes param´etricas. Exemplo 1.60. Seja dada a fun¸c˜ ao y = x2 − 6x + k 1) Determine k de modo que a fun¸c˜ao y n˜ao tenha ra´ızes. 2) Determine k de modo a que a fun¸c˜ao tenha ra´ızes duplas. 3) Determine k de modo que a fun¸c˜ao tenha ra´ızes reais e diferentes. 4) Determine k de modo que a fun¸c˜ao passe pelo ponto (1, 2).
76
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
1.5.11
Fun¸c˜ oes e Equa¸co ˜es Radicais
Fun¸c˜oes radicais s˜ ao fun¸c˜ oes que possuem a vari´avel dentro do radical (e sem limita¸c˜ao da sua essˆencia, suponha-se que tenham formas lineares como radicandos) e tem a forma y=
√
ax + b ≥ 0
ax + b
A condi¸c˜ao ax + b ≥ 0 adv´em do dom´ınio de radicais com ´ındice par (recordar o cap´ıtulo sobre radicia¸c˜ao). Exemplo 1.61. Considere a fun¸c˜ ao 1) f (x) = 2) g(x) =
√ √
2x − 1, determine o dom´ınio da fun¸c˜ao.
ax − 3, determine o dom´ınio da fun¸c˜ao.
Observa¸ c˜ ao 1.24. Como esbo¸car o gr´afico de uma fun¸c˜ao radical? • Atente a figura (1.23), nela est˜ao constru´ıdos os quatro gr´aficos que podem ser usados como auxiliadores no esbo¸co gr´ afico de fun¸c˜oes radicais. 1) y =
√
x
√
−x √ 3) y = − x √ 4) y = − −x
2) y =
• Ver atentamente os teores sobre equa¸c˜oes e inequa¸c˜oes irracionais. Explicar aos estudantes.
1.5.12
Composi¸c˜ ao de fun¸co ˜es por fun¸co ˜es radicais
1) Sejam dadas as fun¸c˜ oes f (x) =
√
ax + b,
g(x) =
√
cx + d
Determine as fun¸c˜ oes f o g e g o f. q √ f g = f [g(x)] = a cx + d + b , q √ o g f = g[f (x)] = c ax + b + d o
e
2) Sejam dadas as fun¸c˜ oes f (x) =
√
ax + b,
g(x) = cx + d
Determinemos as fun¸c˜ oes f o g e g o f. f o g = f [g(x)] =
p a(cx + d) + b
√ g o f = g[f (x)] = c ax + b + d
,
e
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77
y
y=
√
−x
y=
√
x
x
√ y = − −x
√ y=− x
Figura 1.23:
1.5.13
Equa¸c˜ oes e Inequa˜ oes Radicais
Existem v´arios tipos de equa¸c˜ oes quadr´aticas 1) Equa¸c˜ oes do tipo
√ A = B resolve-se impondo que A = B2, e
Exemplo 1.62. Para resolver a equa¸c˜ao
B≥0
√ x2 − 1 = −x + 2 faz-se
5 x2 − 1 = (−x + 2)2 ⇒ x2 − 1 = x2 − 4x + 4 ⇒ 4x − 5 = 0 ⇒ x = , 4 Pelo dom´ınio de express˜ oes radicais de ´ındice par, temos que: x2 − 1 ≥ 0 ⇒ x ∈] − ∞, −1] ∪ [1, +∞[, Porque
5 5 faz parte do dom´ınio da express˜ao, diz-se ent˜ao que S : x = . 4 4
Veja a solu¸c˜ ao da mesma equa¸c˜ ao dada na forma gr´afica: 2) Para o caso em que a equa¸c˜ ao ´e dada na forma; √ √ A= B Teremos: A = B,
A ≥ 0,
B≥0
78
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
y 6 5 4 3 2 1 −3
−2
−1
1
2
3
x
−1 −2 −3
Figura 1.24: y 6 5 x= 4
5 4
3 2 1 −5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
−1 −2 −3 −4 −5
Figura 1.25:
Exemplo 1.63. Considere a equa¸c˜ao: √
−x + 4 =
√
x−1
4
5
6
x
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79
Seguindo as regras a cima teremos: −x + 4 ≥ 0 ⇒ −x ≥ −4 ⇒ x ≤ 4 Analogamente x−1≥0⇒x≥1 O que nos leva a afirmar que caso exista solu¸c˜ao desta equa¸c˜ao, ela localiza-se entre 1 e 4, isto ´e, no conjunto intersec¸c˜ ao dos dom´ınios das express˜oes radicais dadas. Resolvendo −x + 4 = 5 5 x − 1 ⇒ −2x = −5 ⇒ x = , como 2.5 est´a entre 1 e 4 temos: S : x = 2 2 Graficamente teremos: y
√
√ −x + 4
2
1
2.5
x−1
4
x
Figura 1.26:
Para resolver inequa¸ c˜ oes, e ` a semelhan¸ca do que aconteceu com as equa¸c˜oes quadr´aticas, usaremos o met´ odo gr´ afico. Suponha-se que se quer resolver a inequa¸c˜ao; √ Esbo¸ca-se o gr´ afico de y1 =
√
−x + 4 >
−x + 4 e y2 =
√
√
x−1
x − 1, e a solu¸c˜ao ser´a o intervalo onde o gr´ afico
de y1 se localiza a cima do gr´ afico de y2 E a solu¸c˜ao ser´a: 5 x ∈] − ∞, [ 2 Veja que os parenteses s˜ ao abertos porque a inequa¸c˜ao aparece com o sinal > e n˜ao ≥ .
80
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
y
√
√ −x + 4
2
1
2.5
4
x−1
x
Figura 1.27:
1.6
Aula 6 - pr´ atica
Os exerc´ıcios 9, 11, 14, , 22, 27, 32, 38, 40 devem ser resolvidos na qualidade de TPC. Ser˜ ao corrigidos e discutidos na aula pr´ atica. Os exerc´ıcios 6, 8, 12, 17, 25, 28, 33, 37 dever˜ ao ser resolvidos pelos estudantes para a consilida¸c˜ao do conhecimento e dever˜ao ser entregues ao Docente de aulas te´oricas na aula te´ orica da semana seguinte. 1) Represente graficamente as fun¸c˜oes definidas pelas equa¸c˜oes seguintes, determine o dom´ınio e o contradom´ınio. (a) y = 2x − 1 (b) y = 2 − x (c) y = x + 2y − 1 (d) 2x − 3y + 2 = 0 (e) y = 3 (f) x = 1 (Suponha que seja fun¸c˜ao de y ) 2) Para cada uma das al´ıneas do n´ umero anterior identifica se o ponto (1, 0) e o ponto (1, 1) pertencem ou n˜ ao a recta.
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3) Identifique o coeficiente angular (declive) das rectas dadas: (a) 2x + 2y − 7 = 0 (b) y = 3 (c) x − 3y +
2 =0 3
(d) x − 2y = 1 4) Veja se as seguintes rectas s˜ ao paralelas (se tem mesmo coeficiente angular). (a) 9x − 6y + 2 = 0, (b)
2x y + = 3, 3 2
5) Seja f (x) = 2x − 6, 6) Seja f (x) =
3x + 2y + 1 = 0 2x + 3y − 1 D(f ) =] − 1, 4]; determine a Im(f )
−x − 7 , 2
D(f ) =] − 1, 3[; determine a Im(f )
7) De uma fun¸c˜ ao, sabe-se que D(f ) = [−3; 5] e Im(f ) = [1; 5] (a) Esbo¸ce uma das possibilidade (b) Suponha que as fun¸c˜ oes s˜ ao lineares, escreva as suas f´ormulas. 8) Ache f [g(x)] e g[f (x)] (a) f (x) = x + 1 (b) f (x) = ax + b
g(x) = x − 1 g(x) = cx + d
(c) Para a fun¸c˜ ao anterior determine f [f (x)]. (d) Qual ´e a caracter´ıstica de uma fun¸c˜ao composta por duas fun¸c˜oes lineares? 9) Seja f uma fun¸c˜ ao linear, tal que f [f (x)] = x − 1, determine f (x) 10) Resolva as seguintes equa¸c˜ oes: x+3 3 x−5 7 − = + 5 10 2 10 3x − 3 (b) =9 3x + 5 (a)
11) Resolva a equa¸c˜ ao (x + 3)(4x + 7)(3x − 1) = 0 apresente as solu¸c˜oes em: (a) N (b) Z (c) Q (d) R
81
82
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
12) Nas boas escadas, a altura a dos degraus e a sua profundidade p est˜ao relaccionadas por 2a−64 = p em Cm. (a) Esboce 3 escadas diferentes para a = 10,
a = 20
e a = 15.
(b) Umas escadas compostas de 17 degraus levam `a um piso situado a 2, 55m acima. Qual ´e a profundidade dos degraus? (c) Considera-se que a altura de um degrau n˜ao pode ultrapassar 25Cm. Disp˜oe-se dum espa¸co que permite colocar escadas tais que a soma da profundidade seja 4m. Qual ser´a a altura m´ axima dessas escadas? 13) Resolva as inequa¸c˜ oes seguintes: 2 x+2 ≥ 3 3 3x − 2 x+2 > (b) − 2 5 −2x + 7 (c) 2 ≤ 0 (b) (3x − 5)(2 − 3x) ≥ 0 x (c) x −1 ≥0 2 5 2x + 6y (d) 2x − y + 1 < x − y − 1 19) Resolva (a) 2x + 3y − 1 < 0 e x − y > 1 (b) x − 2 ≥ 0 e x + y − 2 ≤ 0 (c) 2x + y − 1 < 0 e y ≤ −2x − 5 (d) x > 0,
y>0
e
x+y ≤5
(e) (2x − y + 1)(x − y − 1) ≥ 0 20) Resolva as seguintes inequa¸c˜ oes: (a) (x + 3)(x − 5) > 0 (b) (3x − 5)(2 − 3x) ≥ 0 x (c) x −1 ≥0 2 5 (d) 16 (b) (x + 2)2 − 9 ≤ 0 (c) (x + 3)2 ≥ 10 49) Represente graficamente as fun¸c˜oes seguintes: (a) f (x) =
√
x+3
√
−2x + 5 √ (c) f (x) = 2 −x + 1
(b) f (x) =
(d) f (x) = 1 −
√
x
50) Represente a fun¸c˜ ao que d´ a o raio de um c´ırculo em fun¸c˜ao da sua ´area. 51) Seja f (x) = 14 x2 − 1,
D(f ) = [0, +∞[.
(a) Esboce o gr´ afico de f e f −1 . (b) Determine a fun¸c˜ ao inversa e o seu dom´ınio e contradom´ınio. √ 52) Seja f (x) = − x − 4 + 1. (a) Determine D(f ) e Im(f ). (b) Esboce o gr´ afico da fun¸c˜ ao f e da sua fun¸c˜ao inversa. (c) Determine a fun¸c˜ ao inversa, o seu dom´ınio e o seu contradom´ınio. √ 53) Seja f (x) x + 4 − 1. (a) Determine D(f ) e Im(f ). (b) Esboce o gr´ afico da fun¸c˜ ao f e da sua fun¸c˜ao inversa. (c) Determine a fun¸c˜ ao inversa, o seu dom´ınio e o seu contradom´ınio. (d) Determine fo f −1 e fo−1 f. 54) Das fun¸c˜ oes a seguir, determine fo g e go f. (a) f (x) = x2 − 4 e g(x) = −x2 + 2x (b) f (x) = 5 + x − 2x2 e g(x) = 5 − 3x
87
88
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
55) Resolva analiticamente as equa¸c˜oes seguintes: (a)
√
x+8=3 √ (b) x + x − 1 = 13 √ (c) x2 − 1 + 2 = x 56) Resova analiticamente as seguintes equa¸c˜oes: (a) (b)
√ √
x2 − 3x =
√
3x − 5 √ x2 − 3x − 4 = x2 − 6x + 5
Resolva grafica e analiticamente as seguintes inequa¸c˜oes: (a)
√
1+x>3 √ √ (b) x + 2 > x + 3 √ √ (c) 2x − 3 < x + 3 Ensinar ´ e lembrar aos outros que eles sabem tanto, quanto vocˆ e...
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1.7 1.7.1
Aula 7 - te´ orica Fun¸c˜ oes exponenciais
Defin¸ c˜ ao 1.37. Chama-se Equa¸ c˜ ao Exponencial `a toda equa¸c˜ao que apresenta inc´ognita sob expoente. Exemplo 1.64. A equa¸c˜ ao 2x = 8 ´e exponˆencial, pois o x que ´e a inc´ ognita aparece no expoente
1.7.2
Resolu¸c˜ ao de Equa¸co ˜es Exponenciais
Para resolver equa¸c˜ oes exponenciais como 2x = 8, prossegue-se: 1) Encontrar duas potˆencias da mesma base, uma em cada membro; 2) Igualar os expoentes dos dois membros entre si; e, 3) Achar o valor da vari´ avel.
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89
Exemplo 1.65. Vejamos seguintes exemplos 1) Resolva 2x = 8 2x = 23 como as bases s˜ ao iguais, igualamos os expoentes e teremos: x=3 2) Resolva 3x =
1 9 3x = 3−2
como as bases s˜ ao iguais, igualamos os expoentes e teremos: x = −2 3) Resolva 17x = 1 17x = 170 como as bases s˜ ao iguais, igualamos os expoentes e teremos: x=0 4) Resolva 7x = −1 Esta equa¸c˜ ao n˜ao tem solu¸c˜ao, veja que para qualquer x ∈ R, 7x ´e sempre posetivo. 5) Resolva 5x = 0 Esta equa¸c˜ ao n˜ ao tem solu¸c˜ao, veja que para qualquer x ∈ R, 7x > 0. 6) Resolva
√
3x = 9 √
1
x
3x = 32 ⇒ (3x ) 2 = 32 ⇒ 3 2 = 32
igualando os expoentes temos: x = 3 ⇒ x = 6. 2 7) Vejamos o caso em que temos equa¸c˜oes do tipo 3x+1 + 3x+2 + 1 = 37 Eis os passos importantes: (a) Fazer o desenvolvimento seguindo regras de potencia¸c˜ao, 3x 3 + 3x 9 + 1 = 37
90
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
(b) colocar em evidˆencia o factor comum, e isolar o 3x 3x (3 + 9) = 37 − 1 ⇒ 12 × 3x = 36 ⇒ 3x =
36 ⇒ 3x = 31 ⇒ x = 1 12
8) Para o caso em que temos uma equa¸c˜ao do tipo 4x − 9 × 2x + 8 = 0, procedemos de modo seguinte (a) 4x − 9 × 2x + 8 = 0 ⇒ (2x )2 − 9 × 2x + 8 = 0 (b) Vamos fazer a substitui¸c˜ ao t = 2x , t > 0 e determinar os valores de t que satisfazem a equa¸c˜ ao assim obtida, t2 − 9t + 8 = 0 ⇒ (t − 1)(t − 8) = 0 ⇒ t1 = 1,
t2 = 8
(c) Para cada valor de t obtido, resolver a equa¸c˜ao 2x = t e teremos 2x = 1 ⇒ x = 0,
2x = 8 ⇒ x = 3.
(d) A Solu¸c˜ ao ser´ a x ∈ {0; 3} 9) Resolva as seguintes equa¸c˜ oes (a) 5x+1 + 5x = 150 (b) 9x − 8 × 3x = 9
1.7.3
Inequa¸c˜ ao Exponencial
Seja am > an , uma inequa¸c˜ ao exponencial. Na resolu¸c˜ao desta inequa¸c˜ao ´e preciso ter aten¸c˜ ao o seguinte: • Se a > 1, o sentido do sinal de desigualdade mant´em-se, isto ´e, am > an ⇒, m > n; • Se 0 < a < 1; (o a ´ e a base exponˆ encial e esta base n˜ ao pode ser negativa nem igual a 1) muda o sentido do sinal de desigualdade, isto ´e, am > an ⇒ m < n
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Exemplo 1.66.
91
1) Resolva 2x > 1
primeiro devemos perceber que 1 = 20 e dai escrevemos 2x > 20 , de acordo as instru¸c˜oes o nosso a = 2 > 0 ent˜ ao x > 0 2) Resolva 2x < 8 2x < 23 ⇒ x < 3 3) Resolva 17x ≥ 1 17x ≥ 170 ⇒ x ≥ 0 4) Resolva
x 1 −3 5) Resolva 7x > −1 veja que ∀x ∈ R ⇒ 7x ´e sempre posetivo, isto significa que ´e maior que -1, dai que a solu¸c˜ ao da inequa¸c˜ ao dada ´e x ∈ R. 6) Resolva 5x < 0 neste caso n˜ ao existe solu¸c˜ao, pois 5x ´e sempre maior do que zero, isto ´e, nunca ´e menor do que zero ou ainda dizemos que x ∈ {} (intervalo vazio).
1.7.4
Fun¸c˜ ao exponˆ encial
O estudante de certeza ja sabe a oque se refere o termo ”exponˆencial,” Defin¸ c˜ ao 1.38. Chama-se, Fun¸ ca ˜o Exponencial, ` a toda fun¸c˜ ao que tem sob expoente uma vari´ avel. Exemplo 1.67. Veja as seguintes fun¸c˜ oes: 1) f (x) = 2x 2) f (x) = 2x + 1 3) f (x) = 2x+1
1.7.5
Representa¸c˜ ao Gr´ afica de uma Fun¸c˜ ao Exponencial
H´ a que ter em conta o seguinte: Seja f (x) = ax ; 1) Se a > 1 a fun¸c˜ ao exponencial. f (x) ´e crescente. 2) Se 0 < a < 1 a fun¸c˜ ao exponˆencial f (x) ´e decrescente
92
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
3) O valor de a corresponde a assimptota horizontal 4) Devemos procurar os pontos hist´orcos da fun¸c˜ao, isto ´e, os pontos onde ela toca os eixos do S.C.O Exemplo 1.68. Represente graficamente as seguintes fun¸c˜ oes, ache o Df e a Imf y
x 1 2
2x
x
Figura 1.28: y
2x + 1
x
−2x + 1
Figura 1.29:
1) y = 2x , vide (1.28) x 1 2) y = , vide (1.28) 2 3) y = 2x + 1, vide (1.29)
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93
2x+1 + 1
y
2x+1
2x
x
Figura 1.30:
y x
−2x
−2x−1
−2(x−1) − 3
Figura 1.31:
4) y = −2x + 1, vide (1.29)
5) y = 2(x+1) + 1, vide (1.30)
6) y = −2x , vide (1.31)
7) y = −2(x−1) − 3, vide (1.31)
94
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
1.7.6
C´ alculo Logar´ıtmico
Defin¸ c˜ ao 1.39. Chama-se logar´ıtmo base a de b e denota-se loga b onde a ∈ R+ \ {1},
b>0
ao valor y , tal que ay = b E temos loga y = x;
(a > 0; a 6= 1);
y > 0;
x∈R
, lˆe-se: logar´ıtmo de y na base a ´e igual a x. Onde: • y ´e o logaritmando, • a ´e a base, • x ´e o logar´ıtmo. Observa¸ c˜ ao 1.25. Veja que, se: y = ax ⇒ loga y = x;
(a > 0; a 6= 1)
Exemplo 1.69. Determine o valor de x tal que 1) log2 x = 4 veja que, segundo a defini¸c˜ao de logar´ıtmo, x = 24 ⇒ x = 16 2) logx 81 = 4,
1.7.7
Propriedades Importantes
1) loga 1 = 0 2) loga a = 1 3) aloga x = x 4) loga b =
logp b (mudan¸ ca de base: b > 0; p > 0; p 6= 0) logp a
5) loga uv = loga u + loga v 6) loga
u = loga u − loga v, v
v 6= 0
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7) loga
95
√ q n q p = loga p; n
Observa¸ c˜ ao 1.26. Sem limita¸c˜ ao da sua essˆencia, tem se que: log10 a = lg a,
1.7.8
loge a = ln a
Equa¸c˜ ao Logar´ıtmica
1) Resolva 2 log2 x = log2 4. Este tipo de equa¸c˜ao resolve-se seguindo os seguintes passos: 2) Calcule sem recorrer a tabelas e(ou) m´aquinas calculadoras (a) 5log5 2 , Usando a a propriedade (3) temos que 5log5 2 = 2 √
(b) log2 2
3
Usando a propriedade (7) teremos √
log2 2
3
=
√ 3 log2 2
e pela propriedade (2) temos que log2 2 = 1 ⇒
√
3 log2 2 =
√ 3
(c) Determine lg 25 sabendo que lg 2 = x Ao resolvermos este exercicio devemos procurar escrever o 25 como lg 25 = lg
100 dai teremos 4
100 = lg 100 − lg 4 4
Pela propriedade (6) teremos lg 25 = lg 102 − lg 22 = 2 lg 10 − 2 lg 2 usando propriedade (2) e aliado ao facto de que pelo exercicio lg 2 = x teremos lg 25 = 2 − 2x. (d) Determine lg 500 sabendo que lg 2 = α. (e) Determine log4 log2 log3 81 Pela defini¸c˜ ao de logar´ıtmo temos que log3 81 = 4
96
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
entao log4 log2 log3 81 = log4 log2 4 como log2 4 = 2 entao teremos log4 log2 4 = log4 2 =
1 2
(f) Determine log8 log6 log2 64 3) log2 x = log2 4 Como temos nos 2 membros logar´ıtmos da mesma base, igualamos apenas os logaritmandos 4) x = 4. 5) Resolva log3 x = 1, Basta usar a defini¸c˜ ao de logar´ıtmo para resolver este exerc´ıcio, teremos ent˜ao log3 x = 1 ⇒ x = 31 ⇒ x = 3 6) Resolva a equa¸c˜ ao logar´ıtmica log3 (x − 1) + log3 (2x + 1) − log3 (x − 3) = 3 Vamos achar o dom´ınio da express˜ao, para tal teremos que resolver seguintes inequa¸c˜oes x − 1 > 0 ∧ 2x + 1 > 0 ∧ x − 3 > 0 ⇒ x > 3 aplicando as propriedades (5) e (6) teremos log3
(x − 1)(2x + 1) = 3, x−3
vamos escrever 3 como log3 27 dai que log3
(x − 1)(2x + 1) (x − 1)(2x + 1) = log3 27 ⇒ = 27 x−3 x−3
Resolvamos a equa¸c˜ ao (x − 1)(2x + 1) = 27 ⇒ (x − 1)(2x + 1) = 27(x − 3) x−3 transformamos assim numa equa¸c˜ao quadr´atica 2x2 − x − 1 − 27x + 81 = 0 ⇒ x2 − 14x + 40 = 0 ⇒ x = 10 ∨ x = 4. Concluimos ent˜ ao que S : x ∈ {4; 10} pois tanto 4 como o 10 s˜ ao maiores que 3 (condi¸c˜ao imposta pelo dom´ınio da express˜ao)
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97
Observa¸ c˜ ao 1.27. Durante a resolu¸c˜ao de uma equa¸c˜ao logar´ıtmica muitas vezes somos obrigados a transforma-la em exponˆencial, outras vezes a simples percep¸c˜ao deste conceito satisfaz a resolu¸c˜ ao do problema. As equa¸c˜ oes e inequa¸c˜oes logar´ıtmicas s˜ao muito analogas as equa¸c˜oes e inequa¸c˜ oes exponˆenciais.
1.7.9
Inequa¸c˜ ao Logar´ıtmica
Consideremos a inequa¸c˜ ao log2 x > log2 3. Para resolvˆe-la, ´e preciso ter em conta o seguinte, se loga m > loga n, ent˜ao: 1) Se a > 1, o sentido do sinal de desigualdade mant´em-se, isto ´e, loga m > loga n, ⇒ m > n; 2) Se 0 < a < 1, muda o sentido do sinal de desigualdade, isto ´e, loga m > loga n, ⇒ m < n; Para o caso log2 x > log2 3 porque a = 2 > 1 teremos x>3 Exemplo 1.70. Veja seguintes exemplos 1) log2 x > log2 2, como a base ´e 2, ent˜ao teremos x > 2 veja no gr´afico 2) log 1 x > log 1 3, como a base ´e 2
2
1 , ent˜ao teremos x < 3 2
3) log3 x > log29 x Mudamos de base log3 x > log29 x ⇒ log3 x >
1 log23 x 2
aplicando a substitui¸c˜ ao t = log3 x teremos 1 t > t2 ⇒ 2t − t2 > 0 2 de onde resulta que t ∈]0; 2[ e sendo assim log3 x > 0 ∧ log3 x < 2 o que nos da x ∈]1; 9[
98
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
y
log2 2 = 1 x
Figura 1.32:
1.7.10
Fun¸c˜ ao Logar´ıtmica
Vamos considerar a seguinte fun¸c˜ ao: f (x) = loga x; a > 0; a 6= 1; x > 0 : ` esta fun¸c˜ A ao, chamaremos Fun¸ c˜ ao Logar´ımica de Base a. Por utras palavras, `a fun¸c˜ao inversa da fun¸c˜ao exponencial de base a, d´ a-se o nome de Fun¸c˜ao Logar´ıtmica de Base a.
1.7.11
Representa¸c˜ ao Gr´ afica
Para a representa¸c˜ ao gr´ afica, suponhamos por exemplo a = 2 : O gr´afico da fun¸c˜ao f (x) = log2 x obt´em-se de modo seguinte 1) Determinamos o dom´ınio da fun¸c˜ao, para tal, consideramos o argumento da fun¸c˜ao maior do que zero e dai extra´ımos a assimptota vertical 2) Procuramos ` a semelhan¸ca da fun¸c˜ao exponˆencial, os pontos de hist´oria da fun¸c˜ao, que s˜ ao os pontos onde a fun¸c˜ ao intersecta o eixo x (x- intercepto) e o eixo y (y - intercepto) Represente graficamente as seguintes fun¸c˜oes: 1) f (x) = log2 (x + 1)
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99
y
x
Figura 1.33: f (x) = log2 (x + 1) 2) f (x) = log 1 (x + 1) Esboce este gr´afico (veja que ´e identico ao esbo¸cado na (1.33) mas tem uma 2 base menor do que a unidade. 3) f (x) = − log2 (−x + 1) y
x
Figura 1.34: f (x) = − log2 (−x + 1)
4) f (x) = − log2 (−x + 1) − 3 e f (x) = − log2 (−x − 3) + 1
1.7.12
Fun¸c˜ ao e Equa¸c˜ ao Homogr´ afica
Defin¸ c˜ ao 1.40. Chama-se fun¸c˜ ao Homogr´afica `a fun¸c˜oes do tipo: f (x) =
ax + b ; onde a, b, c, d ∈ R. cx + d
Exemplo 1.71. Veja os seguintes exemplos:
100
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
y
f (x)
x
(−5, 0)
g(x)
Figura 1.35: f (x) = − log2 (−x − 3) + 1 e g(x) = − log2 (−x + 1) − 3 1 , ´e homogr´ afica; onde a = 0, d = 0, b = 1, c = 1 e tˆem uma representa¸c˜ ao x gr´afica caracterizada por uma curva chamada hip´erbole equil´atera.
1) A fun¸c˜ ao: y =
O gr´afico desta fun¸c˜ ao faz uma curva suave em dois quadrantes alternos. Veja a tabela de valores: x f (x)
-3 1 3
-2 1 − 2
-1
0
1
-1
@
1
2 1 2
3 1 3
Com base na tabela pode-se construir o gr´afico da figura (1.36) y
x
Figura 1.36:
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101
1 2) Considere agora: y = − , ´e homogr´afica; onde a = 0, x (1.37)
d = 0,
b = −1,
c = 1. Veja a figura
y
x
Figura 1.37: A fun¸c˜ao homogr´ afica: f (x) =
ax + b cx + d
´ definida para cx + d 6= 0, ou seja o seu dom´ınio ´e: E Df = x ∈ R\{
−d } c
Observa¸ c˜ ao 1.28. Analisando a tabela. Pode se ver que `a medida em que os valores de x tendem a crescer (em m´ odulo), os valores de y v˜ao se aproximando do zero, isto ´e, v˜ao se aproximando do eixo dos x. Escreve-se y → 0 quando x → ∞ e diz-se que o y ou a fun¸c˜ao tende para zero quando x tende para o infinito). O eixo dos x ´e ass´ımptota ao gr´afico. Por outro lado, quando o x tende para zero, o y tende para o infinito; isto ´e, x → 0 ⇒ y → ∞. Neste caso , o gr´afico da fun¸c˜ao aproxima-se do eixo dos y , mas nunca o toca. O eixo dos y ´e ass´ımptota ao gr´afico. O gr´afico da fun¸c˜ ao homogr´ afica definida por: f (x) =
ax + b cx + d
Admite duas ass´ımptotas: uma ass´ımptota vertical e uma ass´ımptota horizontal. A ass´ımptota vertical corresponde ao valor que anula o denominador, isto ´e: cx + d = 0 ⇒ x =
−d . c
Para determinar a equa¸c˜ ao da ass´ımptota horizontal, escreve-se f (x) sob a forma seguinte f (x) = B a A+ ; segundo a f´ ormula , a equa¸c˜ao da ass´ımptota horizontal ser´a dada por y = . cx + d c
102
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
Exemplo 1.72. Veja os exemplos seguintes: 1) Esboce gr´ aficamente a fun¸c˜ ao f (x) =
2x + 1 . x+2
(a) Determina-se primeiro a ass´ımptota vertical pelo dom´ınio: x + 2 6= 0 ⇒ x 6= −2 logo AV = −2 i.e (x = −2). (b) A ass´ımptota horizontal pode ser dada pela f´ormula: AH = y =
a2 =2 c1
(c) Os zeros da fun¸c˜ ao: 2x + 1 = 0 ⇒ x =
−1 2
(d) Intercepto (intercepto vertical)- Chamaremos de y intercepto (”caso exista”, ao ponto onde o gr´ afico intersecta o eixo do y ). Para esta fun¸c˜ao homogr´afica o y intercepto ´e: f (0) =
1 2×0+1 = 0+2 2 y
x
Figura 1.38: 2) Esboce gr´ aficamente a fun¸c˜ ao f (x) = −
2x + 1 . x+2
Veja a figura 1.37.
Dr. Betuel de Jesus Varela Canhanga
103
2x + 1 −2x − 1 , ´e o mesmo que escrever f (x) = . x+2 x−3 b = −1, c = 1, d = −3.
(a) Veja que escrever f (x) = − Portanto, a = −2,
Determinar-se-´ a a ass´ımptota vertical, pelo dom´ınio: x − 3 6= 0 ⇒ x 6= 3 logo AV = 3 i.e (x = 3). (b) A ass´ımptota horizontal pode ser dada pela f´ormula AH = y =
a −2 = = −2 c 1
(c) Zeros da fun¸c˜ ao: −2x − 1 = 0 ⇒ x = −
1 2
(d) y intercepto (intercepto vertical)- Chamaremos de y intercepto (caso exista, ao ponto onde o gr´ afico intersecta o eixo do y ), isto ´e x ´e igual a zero. Exemplo 1.73.
f (0) =
−2 × 0 − 1 1 = 0−3 3
Observa¸ c˜ ao 1.29. O gr´ afico da fun¸ca˜o homogr´afica ´e composto por dois ramos sim´etricos em rela¸c˜ ao ao ponto de encontro das ass´ımptotas.
1.7.13
Equa¸c˜ oes e Inequa¸co ˜es
Para resolver inequa¸c˜ oes e equa¸c˜ oes com uma parte homogr´afica, recorre-se ao m´etodo de tabelas estudado no cap´ıtulo sobre fun¸c˜ oes, equa¸c˜oes e inequa¸c˜oes lineares.
1.7.14
Fun¸c˜ ao Modular
Defin¸ c˜ ao 1.41. Defini-se o m´ odulo de um n´ umero da seguinte forma: a, se a ≥ 0; |a| = −a, se a < 0. Exemplo 1.74. Veja os exemplos seguintes: 1) |0| = 0; 2) |−2| = −(−2) = 2 porque -2 ´e menor que zero; 3) |2| = 2 porque 2 ´e maior que zero; √ √ √ 4) −2 + 3 = −(−2 + 3) porque −2 + 3 ´e menor que zero;
104
˜ o de Exames de Admissa ˜ o para o Ensino Superior Centro de Preparac ¸a
y
x
Figura 1.39: √ √ √ 5) 2 − 3 = 2 − 3 porque 2 − 3 ´e maior que zero; 6) x − 1, x − 1, se x − 1 ≥ 0; se x ≥ 1; |x − 1| = ⇒ −(x − 1), se x − 1 < 0. −x + 1, se x < 1. 7) −(x − 1), −x + 1, se x ≥ 1; se x − 1 ≥ 0; − |x − 1| = ⇒ −[−(x − 1)], se x − 1 < 0. x − 1, se x < 1. 8) x2 − 1, 2 x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0; se x ∈] − ∞, −1] ∪ [1; +∞[; x − 1 = ⇒ −(x2 − 1), se x2 − 1 < 0. −x2 + 1), se x ∈] − 1; 1[.
Dr. Betuel de Jesus Varela Canhanga
105
9) 2 x2 − 1 x −1 2 , se ≥ 0; x − 1 x+2 x+2 = x + 2 x2 − 1 x2 − 1 − , se < 0. x+2 x+2 Vamos primeiro estudar o sinal da frac¸c˜ao: x2 − 1 x+2 Para se resolver as inequa¸c˜ os: x2 − 1 ≥0 x+2
x2 − 1 < 0, x+2
e
usa-se para tal o m´etodo de tabelas.
Resolve-se as equa¸c˜ oes: x2 − 1 = 0 ⇒ (x − 1)(x + 1) = 0 ⇒ x = ±1,
x + 2 = 0 ⇒ x = −2
x
] − ∞ − 2[
-2
] − 2, −1[
−1
] − 1, 1[
1
]1, +∞[
x−1
-
-
-
-
-
0
+
x+1
-
-
-
0
+
+
+
x+2 x2 − 1 x+2
-
0
+
+
+
+
+
-
@
+
0
-
0
+
A partir da u ´ltima linha da tabela podemos ver que: x2 − 1 ≥ 0 ⇒ x ∈] − 2, −1] ∪ [1, +∞[ x+2
e
x2 − 1 < 0 ⇒ x ∈] − ∞, −2[∪] − 1, 1[ x+2 Ent˜ao teremos: 2 x − 1, 2 se x ∈] − 2, −1] ∪ [1, +∞[; x − 1 x+2 x + 2 = x2 − 1 − , se x ∈] − ∞, −2[∪] − 1, 1[. x+2 10) 2 x2 + 2x − 3, se x2 + 2x − 3 ≥ 0; x + 2x − 3 = −(x2 + 2x − 3), se x2 + 2x − 3 < 0. Resolvendo as duas inequa¸c˜ oes que aparecem no sistema, teremos: x2 + 2x − 3 ≥ 0 ⇒ x ∈] − ∞, −3] ∪ [1, +∞[ x2 + 2x − 3 < 0 ⇒ x ∈] − 3, 1[
e
106
˜ o de Exames de Admissa ˜ o para o Ensino Superior Centro de Preparac ¸a
2 x2 + 2x − 3, se x ∈] − ∞, −3] ∪ [1, +∞; x + 2x − 3 = −x2 − 2x + 3, se x ∈] − 3, 1[. 11) x2 + 2x − 3, x2 + 2x − 3, se x ≥ 0; se x ≥ 0; 2 |x| + 2 |x| − 3 = ⇒ (−x)2 + 2(−x) − 3, se x < 0. x2 − 2x − 3, se x < 0. Defin¸ c˜ ao 1.42. Chama-se fun¸ c˜ ao modular a fun¸c˜ao real de vari´avel real que a cada x faz corresponder o seu m´ odulo, ou seja, f (x) = |x| . Aplicando a defini¸c˜ ao de m´ odulo, teremos: x, se x ≥ 0; |f (x)| = |x| = −x, se x < 0. Generalizando, teremos: f (x), se f (x) ≥ 0; |f (x)| = −f (x), se f (x) < 0.
1.7.15
Gr´ afico da Fun¸c˜ ao Modular
Para construir o gr´ afico da fun¸c˜ ao modular f (x) = |f (x)|, seguem-se os seguintes passos: 1) Partindo da defini¸c˜ ao, desenvolve-se a fun¸c˜ao dada; 2) Esbo¸ca-se as diferentes partes da fun¸c˜ao; 3) Procura-se destacar as regi˜ oes correspondentes para cada intervalo do dom´ınio de existˆencia da fun¸c˜ao. Exemplo 1.75. Veja os exemplos que se seguem: 1) Seja f (x) = |x| , construa os gr´aficos de f (x). Para construir os gr´aficos da fun¸c˜ao, temos de seguir os passos dados acima: Desenvolvemos a fun¸c˜ ao seguindo a defini¸c˜ao de m´odulo. x, se x ≥ 0; f (x) = −x, se x < 0. Vamos, portanto, esbo¸car o gr´ afico de: y1 = x quando x ≥ 0; y2 = −x quando x < 0
e
Dr. Betuel de Jesus Varela Canhanga
107
y
−x
x
x
Figura 1.40: 2) Seja f (x) = |x + 1| , construa os gr´aficos de f (x). Para construir os gr´aficos da fun¸c˜ ao, temos de seguir os passos dados acima: Desenvolve-se a fun¸c˜ ao seguindo a defini¸c˜ao de m´odulo. x + 1, x + 1, se x + 1 ≥ 0; se x ≥ −1; f (x) = ⇒ f (x) = −(x + 1), se x + 1 < 0. −x − 1, se x < −1. Vamos, portanto, esbo¸car o gr´ afico de: y1 = x + 1 quando x ≥ −1;
e
y2 = −x − 1 quando x < −1 y
−x − 1
x+1
x
Figura 1.41: 3) Seja f (x) = − |x − 3| , construa os gr´aficos de f (x). Desenvolve-se a fun¸c˜ ao seguindo a defini¸c˜ao de m´odulo.
108
˜ o de Exames de Admissa ˜ o para o Ensino Superior Centro de Preparac ¸a
−x + 3, se x ≥ 3; −(x − 3), se x − 3 ≥ 0; ⇒ f (x) = f (x) = x − 3, −[−(x − 3)], se x − 3 < 0. se x < 3. Vamos, portanto, esbo¸car o gr´ afico de y1 = −x + 3 quando x ≥ 3;
e
y2 = x − 3 quando x < 3 y x
−x + 3
x−3
Figura 1.42: 4) Esboce graficamente a fun¸c˜ ao: x − 1 f (x) = x + 2 Desenvolvendo a fun¸c˜ ao pela defini¸c˜ao de m´odulo, teremos: x−1 , se x ∈] − ∞, −2[∪[1, +∞[; x − 1 x+2 = f (x) = x−1 x + 2 − , se x ∈] − 2, 1[. x+2 Da´ı, teremos a figura (1.43) 5) Esboce gr´ aficamente a fun¸c˜ ao: f (x) = x2 + 2x − 3 Desenvolvendo o m´ odulo ` a partir da defini¸c˜ao, teremos: x2 + 2x − 3, se x2 + 2x − 3 ≥ 0; f (x) = x2 + 2x − 3 = −(x2 + 2x − 3), se x2 + 2x − 3 < 0. Ent˜ao:
Veja a figura (1.44)
x2 + 2x − 3, se x ∈] − ∞, −3] ∪ [1, +∞; f (x) = −x2 − 2x + 3, se x ∈] − 3, 1[.
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109
y
AH = 1
x AV = −2
Figura 1.43: y
x
Figura 1.44: 6) Esboce o gr´ afico da fun¸c˜ ao: f (x) = |x|2 + 2 |x| − 3 Veja a figura (1.45) Desenvolvendo o m´odulo pela defini¸c˜ao, teremos: x2 + 2x − 3, se x ≥ 0; f (x) = x2 − 2x − 3, se x < 0. 7) Esboce o gr´ afico da fun¸c˜ ao: f (x) = |x|2 − 2 |x| − 3 Veja a figura (1.46) Desenvolvendo o m´odulo pela defini¸c˜ao, teremos: x2 − 2x − 3, se x ≥ 0; f (x) = x2 + 2x − 3, se x < 0.
110
˜ o de Exames de Admissa ˜ o para o Ensino Superior Centro de Preparac ¸a
y
x
Figura 1.45: y
x
Figura 1.46:
1.7.16
Equa¸c˜ oes Modulares
Defin¸ c˜ ao 1.43. Chama-se M´ odulo ou Valor absoluto de um n´ umero real x, e denota-se |x|, ao n´ umero real n˜ ao negativo que satisfaz as seguintes condi¸c˜oes:
x, se x ≥ 0; |f (x)| = |x| = −x, se x < 0. Exemplo 1.76.
1) Resolva: |x − 3| = 5
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111
Pelo desenvolvimento do m´ odulo temos: x − 3, se x ≥ 3; |x − 3| ⇒ −x + 3, se x < 3. Ent˜ao: x = 8, x − 3 = 5, se x ≥ 3; se x ≥ 3; ⇒ |x − 3| = 5 ⇒ x = −2, se x < 3. −x + 3 = 5, se x < 3. Como 8 ´e maior do que 3 e -2 ´e menor do que 3, teremos a seguinte solu¸c˜ao: S : x ∈ {−2; 8} 2) Resolva a equa¸c˜ ao seguinte: |x + 7| = −3 Usando o desenvolvimento do m´odulo teremos: x = −10, se x ≥ −7; x + 7 = −3, se x ≥ −7; ⇒ |x + 7| = −3 ⇒ x = −4, se x < −7. −x − 7 = −3, se x < −7. Como -10 ´e menor do que -7 e -4 ´e maior que -7, isto ´e, as duas solu¸c˜oes n˜ao pertencem aos intervalos obtidos pela defini¸c˜ ao do m´odulo diremos que a solu¸c˜ao desta equa¸c˜ao ´e: x ∈ {} 3) Resolva a seguinte equa¸c˜ ao modular: |x − 1| = |3x + 1| Para resolver esta equa¸c˜ ao modular segue-se a regra: A = B, |A| = |B| ⇒ A = −B
.
Ent˜ao teremos: x − 1 = 3x + 1, |x − 1| = |3x + 1| ⇒ x − 1 = −(3x + 1)
x = −1, ⇒ x=0 .
4) Resolva: |x − 1| + |x + 2| = |x − 3| Passamos o membro a direita para a esquerda |x − 1| + |x + 2| − |x − 3| = 0.
.
112
˜ o de Exames de Admissa ˜ o para o Ensino Superior Centro de Preparac ¸a
Resolver esta equa¸c˜ ao significa procurar determinar valores de x que fazem com que a equa¸c˜ ao seja igual a zero. Vamos primeiro desenvolver os trˆes modulos que aparecem nesta equa¸c˜ ao. x − 1, se x ≥ 1; |x − 1| = −x + 1, se x < 1.
x + 2, se x ≥ −2; |x + 2| = −x − 2, se x < −2. x − 3, se x ≥ 3; ; |x − 3| = −x + 3, se x < 3. Em seguida constro´ı-se a tabela x
] − ∞; −2[
-2
]-2;1[
1
]1;3[
3
]3; +∞[
|x + 2|
−x − 2
0
x+2
3
x+2
5
x+2
|x − 1|
1−x
3
1−x
0
x−1
2
x−1
|x − 3|
−x + 3
5
−x + 3
2
−x + 3
0
x−3
|x − 1| + |x + 2| − |x − 3|
−x − 4
-2
x
1
3x − 2
7
x+4
−x − 4 = 0 ⇒ x = −4, x = 0 ⇒ x = 0,
quando x ∈] − ∞, −2[; quando x ∈] − 2, 1[;
2 3x − 2 = 0 ⇒ x = , 3 x + 4 = 0 ⇒ x = −4,
quando x ∈]1, 3[; quando x ∈]3, +∞[;
2 Dentre as solu¸c˜ oes −4; 0; , das equa¸c˜oes acima, somente -4 e 0 pertencem aos seus respec3 tivos intervalos. Portanto, a solu¸c˜ao ser´a: S : x ∈ {−4; 0}
Iremos mostrar pelo esbo¸co gr´ afico as solu¸c˜oes aqui apresentadas. Lembre-se que determinar a solu¸c˜ao de uma equa¸c˜ ao f (x) = 0 significa determinar os valores de x por onde a fun¸c˜ ao toca o eixo horizontal. Veja que o gr´ afico toca o eixo de x em -4 e 0.
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113
y
x
Figura 1.47:
1.7.17
Inequa¸co ˜es Modulares
Pode-se generalizar o resultado das inequa¸c˜oes do tipo: |x| > k ou |x| < k,
∀k > 0.
1) |x| > k ⇒ ()x < −k ou x > k 2) |x| < k ⇒ −k < x < k. Exemplo 1.77. Veja os exemplos seguintes: 1) |x| > 4 ⇒ |x| > 22 ⇒ x < −2 ou x > 2 2) |x − 1| > 4 ⇒ |x − 1| > 22 ⇒ x − 1 < −2 ou x − 1 > 2 ⇒ x < −1 ou x > 3 3) |x + 2| > 9 ⇒ |x + 2| > 32 ⇒ x + 2 < −3 ou x + 3 > 3 ⇒ x < −5 ou x > 0 4) |x| < 4 ⇒ |x| > 22 ⇒ −2 < x < 2 5) |x + 1| < 4 ⇒ |x + 1| > 22 ⇒ −2 < x + 1 < 2 ⇒ −3 < x < 1 6) |x − 3| < 25 ⇒ |x − 3| > 52 ⇒ −5 < x − 3 < 5 ⇒ −2 < x < 8
114
˜ o de Exames de Admissa ˜ o para o Ensino Superior Centro de Preparac ¸a
Observa¸ c˜ ao 1.30. Pode-se tamb´em resolver inequa¸c˜oes modulares usando a defini¸c˜ao de m´ odulo e(ou) usando o m´etodo gr´ afico (a semelhan¸ca do que se fez para equa¸c˜oes quadr´aticas).
1.8
Aula 8 - Pr´ atica
Os exerc´ıcios 8, 10, 11, 13, 16, 17, 24, 26 devem ser resolvidos na qualidade de TPC. Ser˜ ao corrigidos e discutidos na aula pr´ atica. Os exerc´ıcios 6, 9, 12, 14, 18, 19, 23, 25, 37 dever˜ao ser resolvidos pelos estudantes para a consilida¸c˜ao do conhecimento e dever˜ao ser entregues ao Docente de aulas te´ oricas na aula te´orica da semana seguinte. 1) Sendo x < 0 e sabendo que ax > 1, o que pode afirmar sobre o valor de a? Justifique graficamente. 2) Se a > 1 e 0 < ax < 1, o que pode afirmar sobre o valor de x? Justifique graficamente. 3) Se 0 < a < 1 e ax > 1, o que pode afirmar sobre o valor de x? Justifique. 4) Esboce os gr´ aficos das fun¸c˜ oes definidas por: (a) y = 2x−3 x 1 (b) y = +3 2 (c) y = 5 − 2x (d) y = 1 + 3x 5) Resolva as seguintes equa¸c˜ oes: x 3 8 (a) = 27 2 (b) 3x =
1 81
√ (c) 3x = 9 3 6) Resolva as seguintes inequa¸c˜ oes: x 3 ≥1 (a) 2 x 1 1 (b) 9 ≤ ≤9 3 x 1 −2 (c) 5 ≤ ≤4 5 (d) bx ≥ b, (e) bx > b2 ,
(0 < b < 1) (b > 1)
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115
7) Determine, aplicando a defini¸c˜ ao de logar´ıtmo: (a) log3 81 (b) log 1 32 3
(c) log 2 5
25 4
8) Determine o valor de x tal que: (a) log2 x = 4 (b) log√2 x = 5 (c) log 1 x = − 32 2
(d) log0,5 x =
3 4
9) determine o dom´ıno das fun¸c˜ oes definidas por: (a) y = log 1 (x − 3) 2
(b) y = log2 (x2 − 3) (c) y = logx (x2 − 7x + 12) 10) Esboce os gr´ aficos das fun¸c˜ oes definidas por: (a) y = log2 (x + 4) (b) y = log3 x + 2 (c) y = log 1 (x − 1) + 2 3
(d) y = log2 (5 − x) 11) Determine a fun¸c˜ ao inversa das fun¸c˜oes seguintes e para cada fun¸c˜ao e sua inversa, determine o dom´ınio e o contradom´ınio. (a) f (x) = 2x+3 − 5 (b) f (x) = log 2 (x − 2) + 7 3
12) Resolva as seguintes inequa¸c˜ oes: (a) log3 x < log3
1 2
(b) log10 2x > log10 x (c) log 1 3x > 0 5
(d) log3
x 2
≤2
(e) log 1 (x2 − 1) > 1 3
116
˜ o de Exames de Admissa ˜ o para o Ensino Superior Centro de Preparac ¸a
13) Dado lg 2 = 0, 3010 e lg 3 = 0, 4771, determine : (Nota: lg x = log10 x) (a) lg 24 (b) lg 92 (c) lg 32 √ (d) lg 3 14) Calcule, aplicando as propriedades dos logar´ıtmos: (a) log5
√ 3
52
(b) 72 log7 5 (c) 2−3 log2 2 (d)
log2 16×log2 log2 8
(e)
1 3
√
27
log 2 8 − 2 log 2 3 + 14 log 2 81 3
3
3
15) Determine (fo g)(x) e (go f )(x) nos seguintes casos: (a) f (x) = 3x e g(x) = log 1 x 3
(b) f (x) = 5x e g(x) = 2x + 1 16) Resolva as seguiintes equa¸c˜ oes exponenciais: (a) (ax−1 )x = 1 (b) 4 × 22x − 4 × 2x − 3 = 1 (c) 9x + 3 × 6x = 4x+1 (d) 2x+7 − 2x+4 − 2x+2 = 3x+4 − 3x+2 (e) 9x+1 + 8 × 3x + 33 = 3x+4 + 19 × 3x+2 x
(f) 16 2 −1 − 4x+1 = 322 + 22x+1 − 4x+2 17) Resolva, com ajuda da m´ aquina de calcular, as equa¸c˜oes seguintes: (a) 2x = 348 (b) 6, 23x = 13 18) Resolva as seguintes equa¸c˜ oes logar´ıtmicas: (a) lg(2x − 5) + lg(3x + 7) = 4 lg 2 (b) 2 lg 2 + lg(x2 − 1) = lg(4x − 1)
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117
(c) 3 log4 x + log2 x = 10 (d) 2(log3 x + log 1 x) = 3 + log3 3
(e)
7 lg(x3
− 1)
+
1 x
lg x 17 = 2 lg(x − 3) lg x3 − 1
19) Represente graficamente as fun¸c˜oes seguintes: (a) f (x) =
2x x+1
(b) g(x) =
x+4 2x−3
(c) h(x) =
4x−1 x−3
20) Seja f uma fun¸c˜ ao definida por f (x) = x2 + 2x. (a) Estude e represente graficamente a fun¸c˜ao f. (b) Estude e represente graficamente no mesmo sistema de eixos a fun¸c˜ao g definida por g(x) = 2x x+1 .
(c) Determine as coordenadas dos pontos de intersec¸c˜ao dos dois gr´aficos. (d) Verifique este resultado analiticamente, resolvendo o sistema y = x2 + 2x e y =
2x x+1
21) Determine h(x) = g[f (x)] e k(x) = f [g(x)] nos casos seguintes: (a) f (x) = 3x − 7 e g(x) = (b) f (x) = − x2 + 4 e g(x) =
x−3 2x+1 −x+8 2x−5
22) Chama-se distˆ ancia de dois n´ umeros x e y ao m´odulo da sua diferen¸ca. Nota-se: d(x; y) = |x−y| (a) Calcule as distˆ ancias seguintes: i. d(−3; 3) ii. d(−3, 41; 3, 41) iii. d 0; 34 √ √ iv. d( 2; −3 2) (b) Determine os n´ umeros reais x tais que: i. d(4; x) = 0, 31 ii. d x; − 13 = 14 iii. d x; 52 = 32 23) Represente graficamente as seguintes fun¸c˜oes modulares: (a) y = |2 − x|
118
˜ o de Exames de Admissa ˜ o para o Ensino Superior Centro de Preparac ¸a
(b) y = |x2 − 5x + 6| √ (c) y = | 5 − x − 3| (d) y = 1−2x x+1 24) Represente graficamente as seguintes fun¸c˜oes soma ou diferen¸ca de m´odulos: (a) y = |2x − 3| + |x + 4| (b) y = 3|x − 1| − |x − 5| 25) Resolva as seguintes equa¸c˜ oes modulares: (a) |3x − 4| = 2 (b) |2x − 3| = 2x − 3 (c) |x2 − 4x + 5| = 2 (d) |4x − 1| = |2x + 3| (e) |x|2 − 5|x| + 6 = 0 26) Resolva as seguintes inequa¸c˜ oes modulares: (a) |3x| < 1 (b) − x2 ≥ 5 (c) |x − 1| ≥ −2 (d) |3 − x| ≤ 3 (e) |3x − 1| < 5 1 < (f) 2x−1 2 5 (g) |2x + 1| + 4 − 3x > 0 Com a simplicidade construimos o orgulho!...
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Cap´ıtulo 2
˜ es e func ˜ es Limites de Sucesso ¸o 2.1
Aula 9 - Te´ orica
Defin¸ c˜ ao 2.1. Seja dado o conjunto de n´ umeros {1, 2, 3, 4, · · · }, conjunto de n´ umeros inteiros positivos. Chamaremos a este conjunto, conjunto de n´ umeros naturais, e denota-lo-emos por N, isto ´e, N = {1, 2, 3, 4, · · · }. Defin¸ c˜ ao 2.2. Diz-se Sucess˜ ao num´ erica a toda aplica¸c˜ao de N em R, isto ´e, a toda correspondˆencia entre os elementos de N com os elementos de R, tal que para cada elemento de N, existe somente um elemento de R. Exemplo 2.1. Exemplos de algumas Sucess˜oes Num´ericas 1) 2; 4; 6; 8; · · · 2) 2; 4; 8; 16; · · ·
an = 2n; ∀n ∈ N an = 2n ; ∀n ∈ N
Observa¸ c˜ ao 2.1. Os elementos: a1 , a2 , · · · , an , chamam-se termos da sucess˜ao e a1 designa-se o primeiro termo, a2 , o segundo e an , o n-´esimo termo, onde an tamb´em chama-se termo geral da sucess˜ao. Defin¸ c˜ ao 2.3. Chama-se Termo Geral duma sucess˜ao ao termo que gera (produz) todos elementos da sucess˜ao. Exemplo 2.2. Determine os primeiros dois termos da sucess˜ao, cujo termo geral ´e an = 2n + 1. Resolu¸c˜ao:
Precisamos determinar a1 e a2 : a1 = 1 + 2 × 1 = 1 + 2 = 3 a2 = 1 + 2 × 2 = 1 + 4 = 5 119
120
2.1.1
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
Monotonia de uma Sucess˜ ao Num´ erica
Defin¸ c˜ ao 2.4. Uma sucess˜ ao an diz-se crescente, se an+1 − an > 0. Exemplo 2.3. Consideremos a sucess˜ao cujo termo geral ´e an = 2n + 1. Verifiquemos se ela ´e crescente: an+1 = 2(n + 1) + 1 = 2n + 3; achando an+1 − an obtemos an+1 − an = 2n + 3 − (2n + 1) = 2n + 3 − 2n − 1 = 2; como 2 > 0, logo a sucess˜ ao cujo termo geral ´e an = 2n + 1 ´e crescente. Defin¸ c˜ ao 2.5. Uma sucess˜ ao an diz-se decrescente, se an+1 − an < 0 Exemplo 2.4. Consideremos a sucess˜ao cujo termo geral ´e an = an+1 =
1 . Verifiquemos se ´e decrescente: n
1 ; n+1
achando an+1 − an obtemos an+1 − an =
1 n n+1 n−n−1 1 1 − = − = =− n+1 n n(n + 1) n(n + 1) n(n + 1) n(n + 1)
Como o denominador ´e sempre positivo, a frac¸c˜ao toda ´e menor do que zero. Neste caso diremos que 1 a sucess˜ao de termo geral an = ´e decrescente. n Defin¸ c˜ ao 2.6. Se an+1 − an = 0, diz-se que a sucess˜ao an ´e constante. Exemplo 2.5. Consideremos a sucess˜ao de termo geral an = 2. O termo an+1 = 2 achando an+1 − an obtemos an+1 − an = 2 − 2 = 0 o que quer dizer que a sucess˜ ao de termo geral an = 2 ´e constante Observa¸ c˜ ao 2.2. Uma sucess˜ ao diz-se mon´ otona, se e somente se for crescente ou decrescente.
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015
121
Exemplo 2.6. Classifique quanto ` a monotonia (mon´otona crescente, mon´otona decrescente e n˜ ao mon´otona), as seguintes sucess˜ oes 1) an =
2n + 1 ; 2n
Resp. mon´otona decrescente;
2) an =
n+1 ; 2
Resp. mon´otona crescente;
3) an = (−1)n ;
Resp. n˜ao mon´otona;
4) an = −2;
Resp. constante;
2.1.2
Limite de Sucess˜ oesNum´ ericas
Defin¸ c˜ ao 2.7. Diz-se que um n´ umero k ´e limite de uma sucess˜ao num´erica an e escreve-se lim an = n→∞
k , se e s´o se, dado qualquer n´ umero positivo ε, existe um n´ umero natural Nε , tal que todos os termos an de orden n superior a Nε , verificam a desigualdade |an − a| < ε, isto ´e:
lim an = k
n→∞
ou simplesmente lim an = k ⇐⇒ ∀ ε > 0, ∃Nε ∈ N : ∀ n > Nε =⇒ |an − k| < ε Por outras palavras se pode dizer que a sucess˜ao an converge para um limite k , se durante o crescimento do n´ umero n, os termos an da sucess˜ao tendem para o valor k, isto ´e, aproximam-se cada vez mais de k. Defin¸ c˜ ao 2.8. Uma sucess˜ ao num´erica an que tem limite finito k , diz-se sucess˜ ao convergente. E caso contr´ario, se k ´e um limite n˜ ao finito, diz-se sucess˜ ao divergente, isto ´e: • Se lim an = k < ∞ =⇒ an ´e converge; • Se lim an = k = ∞ =⇒ an ´e diverge. Exemplo 2.7. Determine se as seguintes sucess˜oes s˜ao convergentes ou divergentes: 4n−1 n→∞ n+1
1) lim
Resolu¸c˜ ao: lim 4n−1 n→∞ n+1
1 n 4− n = 4. = lim n→∞ n 1 + 1 n
Como k = 4 < ∞, ent˜ ao a sucess˜ao ´e converge.
122
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
n4 n→∞ 3n2 + n Resolu¸c˜ ao: n4 n4 n2 = lim = ∞. = lim lim n n→∞ 3n2 + n n→∞ 2 n→∞ 3 n 3+ 2 n
2) lim
Como k = ∞, ent˜ ao a sucess˜ ao ´e diverge. Defin¸ c˜ ao 2.9. Uma sucess˜ ao num´erica αn diz-se um infinit´ esimo, se o seu limite ´e igual a zero, isto ´e: lim αn = 0 ⇐⇒ ∀ ε > 0 ∃Nε ∈ N : ∀ n > Nε =⇒ |αn | < ε
n→∞
Defin¸ c˜ ao 2.10. Uma sucess˜ ao βn diz-se um infinit´ simo grande, se e s´o se o seu limite tende para o infinito, isto ´e: lim βn = ∞ ou lim βn → ∞
n→∞
⇐⇒ ∀K > 0, ∃Nk ∈ N : ∀ n > Nk =⇒ |βn | > K Observa¸ c˜ ao 2.3. Se uma sucess˜ ao num´erica ´e um infinitamente grande e todos os seus termos tˆem o mesmo sinal (+ ou -), ent˜ ao, em correspondˆencia com o sinal, escreve-se: lim βn = +∞ ou lim βn = −∞
n→∞
2.1.3
n→∞
Regras de C´ alculo de Limites de Sucess˜ oes Num´ ericas
Sejam an e bn sucess˜ oes convergentes com limites respectivamente k1 e k2 . Isto ´e: lim an = k1
e
lim bn = k2 .
Disto podemos concluir as seguintes propriedades dos limites: 1) lim(an ± bn ) = lim an ± lim bn = k1 ± k2 . 2) lim
an lim an k1 = = bn lim bn k2
k2 6= 0.
3) lim(an × bn ) = lim an × lim bn = k1 × k2 . 4) lim(an )p = (lim an )p = k1p . 5) lim pan = plim an = pk1 . 6) lim can = c × lim an = c × k1 , onde c ´e uma constante qualquer.
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015
2.1.4
123
Alguns tipos de Indetermina¸c˜ ao
Vamos estudar os seguintes tipos de indetermina¸c˜ao:
•
∞ ∞
• ∞−∞
•
0 0
• 1∞
• 00
• ∞0
• 0×∞
Exemplo 2.8. Ache o limite de
1) an =
2 + 4n n+1
Resolu¸c˜ ao:
h i ∞ 2 + 4n Substituindo por ∞, teremos lim an = lim = n+1 ∞ Para levantarmos a indetermina¸c˜ao, vamos escolher no numerador, tanto como no denominador, a parte principal. Quando n → ∞ ⇒ 2 + 4n ∼ 4n,
lim an = lim
2 + 4n n+1
n + 1 ∼ n. Da´ı, teremos:
= lim
4n =4 n
124
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
3 2 2) an = n 1 n Resolu¸c˜ ao: 3 n2
0 = Substituindo por ∞, teremos: lim an = lim 1 0 n Para levantar esta indetermina¸ca˜o,vamos fazer a divis˜ao e teremos 3 n2 = 3n = 3 1 n2 n n , donde teremos lim
2.1.5
3 =0 n
O N´ umero e
O n´ umero irracional e = 2, 7182... ´e limite da sucess˜ao num´erica 1 n an = 1 + n Exemplo 2.9. Consideremos os seguintes exemplos: 1 n 1) Seja an = 1 + n
1 lim an = lim 1 + n
n
= [1∞ ]
que ´e uma indetermina¸c˜ ao. Ent˜ ao,
1 lim an = lim 1 + n
n = e.
Observa¸ c˜ ao 2.4. Suponhamos que an → 1, bn → ∞, ent˜ao teremos lim (an )bn = [1∞ ] = elim(an −1)bn 2) Determine lim
n+2 n
n .
substituindo o n por infinito teremos uma indetermina¸c˜ao na base do tipo h∞i ∞
,
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015
125
ao levantarmos esta indetermina¸c˜ao passamos a ter uma outra indetermina¸c˜ao, do tipo [1∞ ] . Para levantarmos este tipo de indetermina¸c˜ao, recorremos a:
lim
lim(an )bn = [1∞ ] = elim(an −1)×bn = e logo lim(an )bn = e
2.1.6
lim
n+2−n n
! ×n
lim
=e
n+2 −1 n
2 n
! ×n
! ×n
= e2
Alguns Exerc´ıcios Resolvidos
1) Calcule os limites: 7n + 2 n→∞ 5n + 3
(a) lim
2n+2 + 3n+3 n→∞ 2n + 3 n 3n2 1 (c) lim 1 + 2 n→∞ n +1
(b) lim
Resolu¸ c˜ ao: 2 2 n 7+ lim 7 + lim n→∞ n→∞ n 7n + 2 7+0 7 n = lim = (a) lim = lim = , n→∞ 5n + 3 n→∞ n→∞ 3 3 5+0 5 n 5+ lim 5 + lim n→∞ n→∞ n n 2 3 dado que quando n → ∞, →0 e →0 n n n 2 n 2 n 3 4 + 27 + 27 4 2n+2 + 3n+3 3 3 n = lim n = (b) lim = lim n→∞ n→∞ n→∞ 2n + 3 n 2 2 3n +1 +1 3 3 n 2 + lim 27 4 lim n→∞ 3 n→∞ 4.0 + 27 n = = 27, = 0+1 2 lim + lim 1 n→∞ 3 n→∞ n 2 dado que quando n → ∞, → 0. 3 3n2 " 3n2 3n2 n2 +1 # 2 lim n +1 1 1 (c) lim 1 + 2 = lim 1+ 2 = en→∞ n2 + 1 = e3 n→∞ n→∞ n +1 n +1
2.2
Aula 10 - pr´ atica
Os exerc´ıcios 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 devem ser resolvidos na qualidade de TPC. Ser˜ ao corrigidos e discutidos na aula pr´ atica. Os exerc´ıcios 9, 10, 11 dever˜ao ser resolvidos pelos
126
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
estudantes para a consilida¸c˜ ao do conhecimento e dever˜ao ser entregues ao Docente de aulas te´ oricas na aula te´orica da semana seguinte. 1) Construa o gr´ afico da seguinte sucess˜ao num´erica an =
3+n ; 1+n
2) Construa o gr´ afico da seguinte sucess˜ao num´erica an =
1 ; 2n − 1
3) Classifica em convergente ou divergente a seguinte sucess˜ao an =
3+n e justifique sua resposta; 1+n
4) Classifica em convergente ou divergente a seguinte sucess˜ao an =
1 + n2 e justifique sua resposta; 1+n
(2n2 + 3)(n + 2)3 √ ; n→∞ 4n4 + 3n3 + 1 . 3 8n9 + 2n4 + 5 1 n+1 6) lim 1 + n→∞ 2n 5) lim √
7) lim
n→∞
n+4 n+1
√n2 +1
3 √ 8n3 +n+1 n2 + n + 1 8) lim n→∞ n2 + 1 √ √ 6 (2 n + 3 3 n + 1) 9) lim ; √ √ n→∞ (4n + 5 n + 4 n)2
10) Desenhe o gr´ afico da sucess˜ ao do exerc´ıcio 3 e 4; 11) Classifique as sucess˜ oes dos exerc´ıcios 3 e 4 quanto a monotonia.
2.3 2.3.1
Aula 11 - te´ orica Progress˜ oes
Defin¸ c˜ ao 2.11. progress˜ ao ´e uma sucess˜ao em que a diferen¸ca ou quociente entre dois termos consecutivos ´e constante. Defin¸ c˜ ao 2.12. Chama-se progress˜ ao aritm´ etica a uma secess˜ao de n´ umeros reais an , em que cada termo, a partir do segundo, ´e igual `a soma do termo anterior com um n´ umero constante d, denominado diferen¸ ca da progress˜ ao aritm´etica dada. Observa¸ c˜ ao 2.5. Uma progress˜ ao aritm´etica ´e definida se s˜ ao dados o primeiro termo a1 e a sua diferen¸ca d. Neste caso, verifica-se: an = f (n) = a1 + (n − 1)d
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015
127
A soma dos primeiros n termos de uma progress˜ao aritm´etica, calcula-se pela f´ormula: 1 Sn = (a1 + an )n 2 Propriedade de toda a progress˜ ao aritm´ etica: qualquer termo am , a partir do segundo, ´e igual `a m´edia aritm´etica dos seus termos sim´etricos am−k e am+k , isto ´e: 1 am = (am−k + am+k ) 2 Defin¸ c˜ ao 2.13. Chama-se progress˜ ao geom´ etrica a uma sucess˜ao de n´ umeros reais an , em que cada termo, a partir do segundo, ´e igual ao produto do termo anterior e de um n´ umero constante q, denominado raz˜ ao da progress˜ ao geom´etrica dada. Observa¸ c˜ ao 2.6. Uma progress˜ ao gem´etrica ´e definida se s˜ ao dados o primeiro termo a1 e a sua rez˜ ao q. Neste caso, verifica-se: an = f (n) = a1 q n−1 A soma dos primeiros n termos de uma progress˜ao geom´etrica, calcula-se pela f´ormula:
Sn =
a1 (1 − q n ) 1−q
Caso |q| < 1 e n → ∞, a soma duma progrss˜ ao geom´ etrica infinitamente decrescente, ´e dada por:
Sn =
a1 1−q
Propriedade de toda a progress˜ ao geotm´ etrica: qualquer termo am , a partir do segundo, ´e igual `a m´edia geom´etrica dos seus termos sim´etricos am−k e am+k , k < m, isto ´e:
am =
2.3.2
p
am−k + am+k
Alguns Exerc´ıcios Resolvidos
1) Calcule o limite da sucess˜ ao
√
p √ q p √ 7, 7 7, 7 7 7...
Resolu¸ c˜ ao: A sucess¸c˜ ao dada pode ser escrita na seguinte forma: 1
1
1
1
1
1
7 2 , 7 2 + 22 , 7 2 + 22 + 23 , ...
128
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
´ f´acil notar que o termo geral da sucess˜ao dada tem a forma de petˆencia E 1
1
1
1
an = 7 2 + 22 + 23 +...+ 2n , cujo expoente representa a soma de n termos duma progress˜ao geom´etrica de raz˜ao q =
1 que 2
podemos calcular do modo seguinte: 1 1 1− n 1 1 1 1 1 2 2 = 1− n + + ... + n = + 1 2 22 23 2 2 1+ 2 2 Assim, obtemos 1
h
1 lim (1− n ) lim an = lim 7(1− 2n ) = 7n→∞ 2 = 7
n→∞
2.4
n→∞
1 n n→∞ 2
lim 1− lim
n→∞
(
i
)
= 71−0 = 7
Aula 12 - Pr´ atica
Os exerc´ıcios 1-8 devem ser resolvidos na qualidade de TPC. Ser˜ ao corrigidos e discutidos na aula pr´ atica. Os exerc´ıcios 1-8 dever˜ao ser resolvidos pelos estudantes para a consilida¸c˜ ao do conhecimento e dever˜ ao ser entregues ao Docente de aulas te´oricas na aula te´orica da semana seguinte.
1 + 4 + 7 + ... + (3n − 2) 3n + 1 − n+1 2
1) lim
n→∞
1 + 6 + 11 + ... + (5n − 4) n→∞ 1 + 7 + 13 + ... + (6n − 5)
2) lim
1 1 1 (−1)n−1 + ... + 1− + − 3 9 27 3n−1
1 + 5 + 9 + ... + (4n − 3) +3−n 2n + 1
3) lim
n→∞
4) lim
n→∞
n3 + 2 n! 5) lim n→∞ (n2 + 3n) (n + 1)! 6) lim
n→∞
7)
√
3,
#
"
2n2 +
√
n + 1 (n + 2)! (n + 4)!
p √ q p √ 3 3, 3 3 3, ...
8) 0, 14; 0, 144; 0, 1444; ...
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015
2.5
129
Aula 13 - teorica
2.5.1
Limite de uma Fun¸c˜ ao
Defin¸ c˜ ao 2.14. Diz-se que o n´ umero b ´e limite da fun¸c˜ao f (x), quando x tende para a (x → a), se para qualquer valor x vizinho com raio δ > 0 e centro em a, tem-se |x − a| < δ ⇒ |f (x) − b| < ε onde ε > 0 e escreve-se lim f (x) = b,
x→a
2.5.2
C´ alculo de Limite de uma Fun¸c˜ ao
Observa¸ c˜ ao 2.7. Ao calcularmos limite de uma fun¸c˜ao, procedemos de maneira semelhante ao c´ alculo de limite de uma sucess˜ ao. Todos os m´etodos usados para levantamento de indetermina¸c˜oes de sucess¸c˜oes s˜ao v´ alidos para limites de fun¸c˜oes. Portanto, manteremos v´alidas todas as defini¸c˜ oes e propriedades apresentadas no caso do estudo de sucess˜oes.
2.5.3 •
Indetermina¸c˜ ao do Tipo ∞ ∞ x2 − 2 x→∞ x2 + x
Exemplo 2.10. Ache o seguinte limite: lim Resolu¸ c˜ ao: ∞ x2 − 2 = x→∞ x2 + x ∞ lim
2 1− 2 x2 − 2 1 x = =1 lim = lim 1 x→∞ x2 + x x→∞ 1 1+ x •
0 0 x−2 x→2 x2 − 4
Exemplo 2.11. Calcule o seguinte limite: lim Resolu¸ c˜ ao:
lim
x→2
0 x−2 x−2 1 1 x−2 = =⇒ lim 2 = lim = lim = x→2 x − 4 x→2 (x + 2)(x − 2) x→2 x + 2 x2 − 4 0 4
• ∞−∞ Exemplo 2.12. Ache o seguinte limite: lim
x→∞
Resolu¸ c˜ ao:
√
x2 − 2x − x
130
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
√ x2 − 2x − x = ∞ − ∞ x→∞ √ x2 − 2x − x2 =⇒ lim x2 − 2x − x = lim √ = lim x→∞ x→∞ x2 − 2x + x x→∞ lim
−2x r x
2 1− +1 x
!
−2 = −1 = lim r x→∞ 2 1− +1 x • 1∞ 1 x+5 Exemplo 2.13. Ache o seguinte limite: lim 1 + x→∞ x Resolu¸ c˜ ao: 1 x+5 1+ = 1∞ x→∞ x 1 x 1 5 1 x+5 = lim 1 + = 1+ =⇒ lim 1 + x→∞ x→∞ x x x
lim
= lim
x→∞
2.5.4
1 1+ x
x
1 5 × lim 1 + =e×1=e x→∞ x
Limites Laterais
1) Se f (x) tende para o limite b quando x tende para a, tomando apenas valores menores que a, escreve-se: lim f (x) = b
x→a−
O n´ umero b chama-se Limite ` a Esquerda de f (x), no ponto a 2) Se f (x) tende para o limite c quando x tende para a, tomando apenas valores maiores que a, escreve-se: lim f (x) = c
x→a+
O n´ umero c chama-se Limite a Direita de f (x), no ponto a Portanto, b e c s˜ ao chamam-se Limites Laterais Exemplo 2.14. Determine os limites laterais das seguintes fun¸c˜oes: 1) 3, se x < 2; f (x) = x − 1, caso contr´ario, Vamos construir o gr´ afico desta fun¸c˜oes para podermos ilustrar os seus limites laterais. Com base na figura (2.1), constatamos que:
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131
y = 3x2
y
x
Figura 2.1: • `a esquerda de 2, a fun¸c˜ ao tende para 3: lim f (x) = 3 x→2−
• `a direita de 2, a fun¸c˜ ao tende para 1: lim f (x) = 1 x→2+
Defin¸ c˜ ao 2.15. Diz-se que uma fun¸c˜ao tem limite num certo ponto se os seus limites laterais forem iguais, isto ´e: lim f (x) = lim f (x) = lim f (x)
x→a−
x→a+
x→a
Observa¸ c˜ ao 2.8. Para a fun¸c˜ ao da figura (2.1), como seus limites laterais s˜ao diferentes quando x → 2, dizemos que ela n˜ ao tem limite quando x → 2. 2) x2 − 1, se x ∈] − ∞, 1[; f (x) = −x + 1, x ∈]1; ∞[; 2, x=1 Vamos construir o gr´ afico desta fun¸c˜ao para podermos ilustrar os seus limites laterais. Com base na figura (2.2), constatamos que: • `a esquerda de 1, a fun¸c˜ ao tende para 0: lim f (x) = 0 x→1−
• `a direita de 1, a fun¸c˜ ao tende para 0: lim f (x) = 0 x→1+
Observa¸ c˜ ao 2.9. Para a fun¸ca˜o na figura (2.2), como seus limites laterais s˜ao iguais quando x → 1 dizemos que ela tem limite e esse limite ´e igual a zero.
2.5.5
Limites Not´ aveis
Vejamos alguns limites not´ aveis
132
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
y
x
Figura 2.2: 1) lim
sin x =1 x
2) lim
tan x =1 x
3) lim
ln(x + 1) =1 x
x→0
x→0
x→0
ex − 1 =1 x→0 x
4) lim
2.5.6
Alguns Exerc´ıcios Resolvidos
1) Resolva lim
x→∞
(2x − 1)(3x + 5)(4x − 2) 3x3 + x − 2
Resolu¸ c˜ ao: Substituindo por ∞, teremos (2x − 1)(3x + 5)(4x − 2) h ∞ i = . x→∞ 3x3 + x − 2 ∞ lim
Tomando as partes principais para levantar a indetermina¸c˜ao, teremos (2x − 1)(3x + 5)(4x − 2) 2x 3x 4x 24x3 24 = lim = lim = =8 3 3 3 x→∞ x→∞ x→∞ 3x 3x + x − 2 3x 3 lim
x2 − 4 x→2 x2 − 3x + 2
2) Resolva lim
Resolu¸ c˜ ao: Substituindo por 2, teremos x2 − 4 0 = x→2 x2 − 3x + 2 0 lim
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133
Factorizando, tanto o numerador, como o denominador, teremos x2 − 4 (x + 2)(x − 2) x+2 4 = lim = lim = = 4. 2 x→2 x − 3x + 2 x→2 (x − 2)(x − 1) x→2 x − 1 1 lim
√ 1+x−1 3) Resolva lim √ 3 x→0 1+x−1 Resolu¸ c˜ ao: Substituindo por 0, teremos
√ 1+x−1 0 lim √ = x→0 3 1 + x − 1 0
Para fazer com que tanto a raiz do numerador como a do denominador deixem de existir, fazemos o m.m.c (menor m´ ultiplo comum) de 2 e 3 (´ındices das ra´ızes). mmc(2;3)=6, e t6 = 1 + x,
x→0⇒t→1
e t3 − 1 (t − 1)(t2 + t + 1) t2 + t + 1 3 = lim = lim = . 2 t→1 t − 1 t→1 t→1 (t − 1)(t + 1) t+1 2 √ √ x− a 4) Resolva lim x→a x−a lim
Resolu¸ c˜ ao: Substituindo por ∞, teremos
√ √ x− a 0 lim = x→a x−a 0
Um outro m´etodo para resolver este tipo de limites (express˜oes irracionais) consiste na racionaliza¸c˜ao do denominador e(ou) do numerador. Teremos ent˜ao: √ √ √ √ √ √ x− a ( x − a)( x + a) x−a 1 1 √ √ √ √ = lim √ √ = √ . lim = lim = lim x→a x→a x→a x→a x−a (x − a)( x + a) (x − a)( x + a) x+ a 2 a 5) Resolva lim
x→0
sin 3x x
x+2 .
Resolu¸ c˜ ao: Vamos achar separadamente o limite da base e o limote do expoente, quando x tende para zero, a saber: lim
x→0
sin 3x x
sin 3x 3 =3 x→0 3x
= lim
134
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
e o limite lim (x + 2) = 2
x→0
donde concluimos que lim
x→0
6) Resolva lim
x→∞
x+1 2x + 1
sin 3x x
x+2
= 32 = 9
x2
Resolu¸ c˜ ao: Vamos achar separadamente o limite da base h i x 1 x+1 ∞ lim = = lim = x→∞ 2x + 1 x→∞ 2x ∞ 2 e o limite do expoente lim x2 = ∞
x→∞
Finalmente, teremos lim
x→∞
7) Resolva lim
x→∞
x+1 x−1
x+1 2x + 1
x2
∞ 1 = =0 2
x
Resolu¸ c˜ ao: Substituindo por ∞, teremos lim
x→∞
x+1 x−1
x
= [1∞ ]
Levantando a indetermina¸c˜ ao, teremos: lim
x→∞
e
8) Resolva lim
x→∞
x+1 −1 x−1
x+1 x
! x
lim
=e
x→∞
2 x−1
2x x−1
! x
lim
x→∞
=e
! lim
=e
x→∞
2x x
x
Resolu¸ c˜ ao: Substituindo por ∞, teremos: lim
x→∞
x+1 x
x
= [1∞ ]
Levantando a indetermina¸c˜ ao, teremos: lim
x→∞
x+1 x
x
lim
=e
x→∞
x+1 −1 x
! x
lim
=e
x→∞
1 x
! x
=e
!
= e2
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015
135
9) Resolva lim x[ln(x + 1) − ln(x)] x→∞
Resolu¸ c˜ ao: Substituindo por ∞, teremos lim x[ln(x + 1) − ln(x)] = [∞ − ∞]
x→∞
Levantando a indetermina¸c˜ ao, teremos: x+1 x+1 x x+1 x lim x[ln(x + 1) − ln(x)] = lim x ln = lim ln = ln lim x→∞ x→∞ x→∞ x→∞ x x x Como lim
x→∞
x+1 x
x =e
(vide exerc´ıcios anteriores), ent˜ ao teremos lim x[ln(x + 1) − ln(x)] = ln e = 1
x→∞
2.6
Aula 14 - Pr´ atica
Os exerc´ıcios 1, 3, 5, 8, 9, 11, 14 devem ser resolvidos na qualidade de TPC. Ser˜ ao corrigidos e discutidos na aula pr´ atica. Os exerc´ıcios 2, 4, 6, 7, 10, 12, 13 dever˜ao ser resolvidos pelos estudantes para a consilida¸c˜ ao do conhecimento e dever˜ao ser entregues ao Docente de aulas te´oricas na aula te´ orica da semana seguinte. Calcule 2x2 − 5x + 8 x→1 x2 + 1
1) lim
4x3 − 2x2 + x x→0 3x2 + 2x
2) lim
x3 − 1 x→1 x − 1
3) lim
(x − h)3 − x3 h→0 h
4) lim
x−3 5) lim √ x→3 3−x √ x−2 6) lim x→4 x − 4 x2 − ax x→a a − x √ x− p 8) lim 2 x→p x − p 1 3 9) lim − x→1 1 − x 1 − x3
7) lim
136
10)
11) 12)
13) 14)
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
p x2 + p 2 − p lim p x→0 x2 + q 2 − q √ √ m x− ma lim x→a x−a k x lim 1 + x→∞ x √ √ 2x + 1 − x + 1 lim x→0 sin x √ √ lim x2 + 1 − x2 − 1 x→∞
sin 4x x→0 tan x
15) lim
sin x − tan x x→0 x x sin 2 17) lim x→0 8x x 18) lim √ x→0 1 − cos x 16) lim
19) lim
x→0
sin(a + x) − sin(a − x) x
20) limπ (1 + cos x)3 sec x x→ 2
2.7 2.7.1
Aula 15 - teorica Continuidade de Fun¸co ˜es
Defin¸ c˜ ao 2.16. A fun¸c˜ ao f (x) diz-se cont´ınua no ponto x = x0 se se verificam simultaneamente as seguintes condi¸c˜ oes: 1) A fun¸c˜ ao ´e definida no ponto x = x0 , isto ´e, existe um n´ umero f (x0 ) 2) Existe limite finito de f (x) quando x tende para x0 3) lim f (x) = f (x0 ), x→x0
Exemplo 2.15. Verifique se a fun¸c˜ ao f (x) = x2 ´e cont´ınua no ponto x0 = 2 1) A fun¸c˜ ao f (x) = x2 ´e definida em x0 = 2 e f (2) = 4. 2) lim x2 = 4 x→2
3) lim x2 = f (2) x→2
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137
Concluimos deste modo que a fun¸c˜ ao ´e cont´ınua. Observa¸ c˜ ao 2.10. Se uma fun¸c˜ ao n˜ ao ´e cont´ınua, dizemos que ela ´e Descont´ınua. Observa¸ c˜ ao 2.11. Seja f (x) uma fun¸c˜ao definida num certo intervalo e x0 pertencente a esse intervalo. Ent˜ao, se: • lim f (x) = f (x0 ) 6= lim f (x)
x→x− 0
x→x+ 0
dizemos que ela ´e cont´ınua a Esquerda. • lim f (x) = f (x0 ) 6= lim f (x)
x→x+ 0
x→x− 0
dizemos que ela ´e cont´ınua a Direita.
2.7.2
Pontos de Descontinuidade
Se num dado ponto x = x0 , a condi¸c˜ao de continuidade ´e violada, ent˜ao x0 chama-se Ponto de Descontinuidade. Exemplo 2.16. Na fun¸c˜ ao f (x) = ´e descont´ınua nos pontos x = 2,
x−1 (x − 2)(x + 1)
x = −1 pois esta fun¸c˜ao n˜ao est˜a definida nestes pontos. Ent˜ ao
x = 2,
x = −1 s˜ ao pontos de descontinuidade para a fun¸c˜ao dada.
2.7.3
Classifica¸c˜ ao dos Pontos de Descontinuidade
Descontinuidade da Primeira Esp´ ecie Se para uma fun¸c˜ ao f (x) existirem limites laterais finitos e diferentes, isto ´e, 1) ∃ lim f (x) x→x− 0
2) ∃ lim f (x) x→x+ 0
3)
lim f (x) 6= lim f (x)
x→x− 0
x→x+ 0
ent˜ao o ponto de descontinuidade x = x0 chama-se Ponto de Descontinuidade da Primeira Esp´ ecie do Tipo Salto.
Se lim f (x) = lim 6= f (x0 , ) x→x− 0
x→x+ 0
138
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
ent˜ao o ponto de descontinuidade x = x0 chama-se Ponto deDescontinuidade da Primeira Esp´ ecie Elimin´ avel ou Evit´ avel. Exemplo 2.17.
1) A fun¸c˜ ao [vide figura (2.3)] x + 1, se x ≥ 2; f (x) = −x, x < 2. y
x
Figura 2.3: ´e descont´ınua no ponto x = 2, Classifique o tipo de descontinuidade.
Descontinuidade da Segunda Esp´ ecie Se para uma fun¸c˜ ao f (x) pelo menos um dos limites laterais for ∞, ent˜ao a descontinuidade ´e da segunda esp´ecie. Exemplo 2.18. Vejamos os seguintes exemplos 1) Investigue a continuidade da fun¸c˜ao y =
1 . Esta fun¸c˜ao ´e homogr´afica e tem a = 0, b = 1, c = x
1, d = 0, pelo gr´ afico da figura (2.4) podemos fazer as seguintes leituras (a) lim = +∞ x→0+
(b) lim = −∞ x→0−
(c) A fun¸c˜ ao ´e no ponto x = 0 discont´ınua (discontinuidade de segunda esp´ecie). 2) Investigue a continuidade da fun¸c˜ao y = fazer as seguintes leituras
x−1 , pelo gr´afico da figura (2.5) podemos (x − 2)(x + 1)
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139
y
x
Figura 2.4: y
x
Figura 2.5:
(a) (b)
lim = −∞
x→−1−
lim = +∞
x→−1+
(c) lim = −∞ x→2−
(d) lim = +∞ x→2+
(e) A fun¸c˜ ao ´e nos pontos x = −1 e x = 2 discon´ınua (discontinuidade de segunda esp´ecie).
140
2.8
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
Aula 16 - Pr´ atica
Os exerc´ıcios 1- 6 devem ser resolvidos na qualidade de TPC. Ser˜ ao corrigidos e discutidos na aula pr´ atica. Os exerc´ıcios 1-6 dever˜ao ser resolvidos pelos estudantes para a consilida¸c˜ ao do conhecimento e dever˜ ao ser entregues ao Docente de aulas te´oricas na aula te´orica da semana seguinte. 1) Investigue a continuidade da seguinte fun¸c˜ao: f (x) = 2) Determine se a fun¸c˜ ao f (x) =
sin x , |x|
x2 − 3x + 2 . x2 + x + 1
f (0) = 1 ´e cont´ınua.
3x x ≤ −1 . Determinine p para que a 3) Seja f uma fun¸c˜ ao definida por f (x) = x2 − x + p x > −1 fun¸c˜ao f seja cont´ınua. x2 − 1, x ≤ 0; 4) Determine se ´e cont´ınua a fun¸ca˜o f (x) = |x2 − 1|, x > 1. 5) Investigue a continuidade das seguintes fun¸c˜oes (a) f (x) = |x| (b) f (x) =
x2 − 4 ; x−2
se x 6= 2 e f (x) = A; x = 2
1
(c) f (x) = e− x2 (d) f (x) =
1 1
1 + e x−1 6) Ache os pontos de descontinuidade para as seguintes fun¸c˜oes x (1 + x)2 x+1 (b) f (x) = 3 x +1 (a) f (x) =
Ensinar ´ e lembrar aos outros que eles sabem tanto, quanto vocˆ e
Typeset by LATEX 2ε
Cap´ıtulo 3
˜ es Derivadas e aplicac ¸o 3.1 3.1.1
Aula 17 - Te´ orica Conceito de Derivada
Defin¸ c˜ ao 3.1. Sejam x1 e x2 dois pontos pertencentes a D, onde D ´e o dom´ınio de defini¸c˜ ao de fun¸c˜ao f (x), suponhamos ainda que x2 > x1 , chamaremos de incremento de x a express˜ ao ∆x = x2 − x1 . Defin¸ c˜ ao 3.2. Seja dada a fun¸c˜ ao f (x) que ´e definida num certo dom´ınio D. Suponhamos que x1 e x2 s˜ao dois pontos pertencentes a D, e x2 > x1 . Chamaremos de incremento de f a fun¸c˜ ao dada pela express˜ ao ∆f (x) = f (x2 ) − f (x1 ). y 2x f (x2 )
∆y
f (x1 ) x1
x2
x
∆x
Figura 3.1:
Observa¸ c˜ ao 3.1. Tra¸cando a partir do gr´afico da figura (3.1) um segmento que une os pontos f (x1 ) e f (x2 ) obtemos a figura (3.2) 141
142
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
y 2x f (x2 )
f (x1 ) x1
x2
x
Figura 3.2: de onde observa-se que estamos na presen¸ca de um triˆangulo com pontos em (x1 , f (x1 )); (x2 , f (x1 )) e (x2 , f (x2 )). Da trigonometria sabemos que o quociente dos catetos (oposto pelo adjacente) a um determinado ˆ angulo corresponde a tangente a esse ˆangulo; sabe-se tamb´em que a tangente a um determinado ˆ angulo dita o coeficiente angular da hipotenusa, isto ´e, o grau de inclina¸c˜ao da hipotenusa. Sendo assim, ∆y cateto oposto = ∆x cateto adjacente ´e o coeficiente angular (declive) do segmento que une f (x1 ) com f (x2 ) Observa¸ c˜ ao 3.2. Vejamos o seguinte, como ∆y = f (x2 ) − f (x1 ) e ∆x = x2 − x1 ⇒ x2 = x1 + ∆x e ∆y = f (x1 + ∆x) − f (x1 ) Defin¸ c˜ ao 3.3. Suponhamos que a distˆancia entre os pontos x1 e x2 ´e menor; isto ´e; x2 ∼ = x1 ⇒ x2 − x1 ∼ = 0 ⇒ ∆x → 0 Suponhamos ainda que nestas condi¸c˜ oes existe o limite lim
∆x→0
f (x1 + ∆x) − f (x1 ) ∆y = lim ∆x ∆x→0 ∆x
este limite ´e igual a derivada da fun¸ca˜o f (x) em x1 e denota-se f 0 (x1 ) Defin¸ c˜ ao 3.4. A fun¸c˜ ao que determina a rela¸c˜ao entre os valores de x e as derivadas nesses pontos chamamos de fun¸ c˜ ao derivada e denota-se f 0 (x) Exemplo 3.1. Consideremos os seguintes exemplos:
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143
1) Usando a defini¸c˜ ao de derivada determine a derivada de f (x) = 2 Resolu¸c˜ ao: Vamos achar ∆y a parte. Consideremos um x pertencente ao dom´ınio de f (x). A fun¸c˜ao f (x) ´e constante , portanto f (x) = 2 e f (x + ∆x) = 2 dai teremos que ∆y = f (x + ∆x) − f (x) = 2 − 2 = 0 Passando ao limite obtemos lim
∆x→0
dizemos ent˜ ao que
∆y 0 = lim =0 ∆x ∆x→0 ∆x
f 0 (x) = 0
2) Usando a defini¸c˜ ao de derivada determine a derivada de f (x) = x Achemos primeiro ∆y . Consideremos um x qualquer pertencente ao dom´ınio de f (x). ∆y = f (x + ∆x) − f (x) = (x + ∆x) − x = ∆x Passando ao limite temos ∆x ∆y = lim =1 ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x lim
dizemos ent˜ ao que f 0 (x) = 1, e verifica-se que f 0 (0) = 1;
f 0 (2) = 1;
f 0 (4) = 1.
3) Usando a defini¸c˜ ao de derivada determine a derivada de f (x) = x2 Achemos ∆y . Consideremos um x qualquer pertencente ao dom´ınio de f (x). ∆y = f (x + ∆x) − f (x) = (x + ∆x)2 − x2 = x2 + 2x∆x + (∆x)2 − x2 = 2x∆x + (∆x)2 Passando ao limite ∆y 2x∆x + (∆x)2 0 lim = lim = ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x 0 levantando a indetermina¸c˜ ao (simplificando a express˜ao) teremos lim
∆x→0
∆y 2x + ∆x = lim = 2x ∆x→0 ∆x 1
dizemos ent˜ ao que f 0 (x) = 2x, e por exemplo f 0 (0) = 2 × 0;
f 0 (2) = 2 × 2 = 4;
f 0 (4) = 2 × 4 = 8.
4) Usando a defini¸c˜ ao de derivada determine a derivada de f (x) = x3 Vamos achar ∆y . Consideremos um x qualquer pertencente ao dom´ınio de f (x). ∆y = f (x + ∆x) − f (x) = (x + ∆x)3 − x3 = x3 + 3x2 ∆x + 3x(∆x)2 + (∆x)3 − x3 =
144
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
= 3x2 ∆x + 3x(∆x)2 + (∆x)3 Passemos agora ao c´ alculo do limite ∆y 3x2 ∆x + 3x(∆x)2 + (∆x)3 0 lim = lim = ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x 0 levantando a indetermina¸c˜ ao (simplificando a express˜ao) teremos ∆y 3x2 + 3x∆x + (∆x)2 = lim = 3x2 ∆x→0 ∆x ∆x→0 1 lim
dizemos ent˜ ao que f 0 (x) = 3x2 , e por exemplo f 0 (0) = 3 × 02 = 0;
f 0 (2) = 3 × 22 = 12;
f 0 (4) = 3 × 42 = 48.
1 x2 Vamos achar ∆y . Consideremos um x qualquer pertencente ao dom´ınio de f (x).
5) Usando a defini¸c˜ ao de derivada determine a derivada de f (x) =
∆y = f (x + ∆x) − f (x) = = Calculemos tamb´em
1 1 x2 − (x + ∆x)2 − = = (x + ∆x)2 x2 x2 (x + ∆x)2
x2 − x2 − 2x∆x − (∆x)2 2x∆x + (∆x)2 = − x2 (x + ∆x)2 x2 (x + ∆x)2
∆y ∆x
2x∆x + (∆x)2 ∆y 2x∆x + (∆x)2 2x + ∆x x2 (x + ∆x)2 =− =− 2 =− 2 2 ∆x ∆x x (x + ∆x) ∆x x (x + ∆x)2 Passando ao limite lim
∆x→0
∆y 2x + ∆x 2x 2 = lim − = − 4 = − 3. ∆x ∆x→0 x2 (x + ∆x)2 x x
dizemos ent˜ ao que f 0 (x) = −
2 , e por exemplo @f 0 (0); x3
f 0 (2) = −
2 1 =− ; 3 2 4
6) Usando a defini¸c˜ ao de derivada determine a derivada de f (x) =
f 0 (4) = −
√
2 1 =− . 3 4 32
x
Vamos achar ∆y . Consideremos um x qualquer pertencente ao dom´ınio de f (x). ∆y = f (x + ∆x) − f (x) =
√
x + ∆x −
√
x
racionalizando o numerador (multiplicando pelo seu conjugado) teremos √ √ √ √ ∆x ( x + ∆x − x)( x + ∆x + x) √ ∆y = =√ √ √ x + ∆x + x x + ∆x + x Calculando a parte
∆y teremos ∆x ∆y ∆x √ = √ ∆x ∆x( x + ∆x + x)
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145
e simplificando a express˜ ao obtemos ∆y 1 = √ √ ∆x ( x + ∆x + x) Passemos agora ao c´ alculo do limite ∆y ∆y 1 1 = lim = √ √ = √ . ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x 2 x ( x + ∆x + x) lim
dizemos ent˜ ao que 1 f 0 (x) = √ , e por exemplo @f 0 (0); 2 x
1 1 f 0 (4) = √ = . 4 2 4
1 f 0 (2) = √ ; 2 2
7) Usando a defini¸c˜ ao de derivada determine a derivada de f (x) = sin x Vamos achar ∆y . Consideremos um x qualquer pertencente ao dom´ınio de f (x). ∆y = f (x + ∆x) − f (x) = sin(x + ∆x) − sin x
(3.1)
vamos usar as formulas trigonom´etricas, lembre-se que
sin p − sin q = 2 sin
p−q p+q cos 2 2
aplicando (3.2) em (3.1) teremos sin lim 2
∆x 2
cos
2x + ∆x 2
∆x
∆x→0
Passando ao limite obtemos sin lim 2
∆x 2
cos
2x + ∆x 2
∆x
∆x→0
.
Lembre-se que lim
x→0
ent˜ao
sin x =1 x
2x + ∆x sin cos 2 lim 2 = ∆x ∆x→0 2 2 ∆x sin 2 2x + ∆x = lim 1 × cos 2x + ∆x = lim × cos = cos x ∆x→0 ∆x ∆x→0 2 2 2 ∆x 2
(3.2)
146
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
8) Usando a defini¸c˜ ao de derivada determine a derivada de f (x) = cos x Vamos achar ∆y . Consideremos um x qualquer pertencente ao dom´ınio de f (x). ∆y = f (x + ∆x) − f (x) = cos(x + ∆x) − cos x
(3.3)
vamos usar as formulas trigonom´etricas, lembre-se que
cos p − cos q = −2 sin
p+q p−q sin 2 2
(3.4)
aplicando (3.4) em (3.3) teremos sin lim −2
∆x→0
∆x 2x + ∆x sin 2 2 ∆x
Passemos agora ao c´ alculo do limite sin lim −2
∆x→0
∆x 2x + ∆x sin 2 2 . ∆x
Lembre-se que sin x =1 x→0 x lim
ent˜ao
2x + ∆x ∆x sin sin 2 2 lim −2 = ∆x ∆x→0 2 2 ∆x sin 2 2x + ∆x 2x + ∆x = − lim × sin lim 1 × sin = − sin x = − ∆x→0 ∆x ∆x→0 2 2 2 Observa¸ c˜ ao 3.3. Segundo a defini¸ca ˜o podemos calcular a derivada de qualquer fun¸c˜ ao, muito embora n˜ ao seja t˜ ao f´ acil para algumas fun¸c˜ oes um pouco mais complexas. Existem no entanto um conjunto de formulas (regras) que ajudam a determina¸c˜ ao da derivada de qualquer fun¸c˜ ao.
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3.1.2
147
Deriva¸c˜ ao por Tabela
A seguir apresentamos um conjunto de regras que podem ser usadas para a deriva¸c˜ao, estas regras, auxiliam-se ` a tabela de derivadas
3.1.3
Regras de Deriva¸c˜ ao
Seja x ∈ R, f, g, h s˜ ao fun¸c˜ oes de x e k , uma constante arbitr´aria. Ent˜ao tem lugar as seguintes propriedades: 1) h(x) = kf (x) ⇒ h0 (x) = kf 0 (x).
(3.5)
h(x) = f (x) + g(x) ⇒ h0 (x) = f 0 (x) + g 0 (x).
(3.6)
h(x) = f (x) × g(x) ⇒ h0 (x) = f 0 (x)g(x) + g 0 (x)f (x).
(3.7)
2)
3)
4) h(x) =
3.1.4
f (x) f 0 (x)g(x) − g 0 (x)f (x) ⇒ h0 (x) = , g(x) 6= 0. g(x) g 2 (x)
Tabelas de Deriva¸c˜ ao
Seja x ∈ R,
k ´e uma constante real , f, g, h s˜ao fun¸c˜oes de x ent˜ao cumpre-se o seguinte:
1) h(x) = k ⇒ h0 (x) = 0. 2) h(x) = xn ⇒ h0 (x) = nxn−1 . 3) h(x) =
√
1 x ⇒ h0 (x) = √ , 2 x
x > 0.
4) h(x) = sin x ⇒ h0 (x) = cos x. 5) h(x) = cos x ⇒ h0 (x) = − sin x. 6) h(x) = tan x ⇒ h0 (x) =
1 . cos2 x
7) h(x) = cot x ⇒ h0 (x) = −
1 . sin2 x
8) h(x) = arcsin x ⇒ h0 (x) = √
1 , 1 − x2
9) h(x) = arccos x ⇒ h0 (x) = − √
1 , 1 − x2
(−1 < x < 1). (−1 < x < 1).
(3.8)
148
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
10) h(x) = arctan x ⇒ h0 (x) =
1 . 1 + x2
11) h(x) = arcctgx ⇒ h0 (x) = − 12) h(x) = ax ⇒ h0 (x) = ax ln a,
1 . 1 + x2 (a > 0).
13) h(x) = ex ⇒ h0 (x) = ex ln e = ex . 14) h(x) = ln x ⇒ h0 (x) =
1 , x
15) h(x) = loga x ⇒ h0 (x) =
(x > 0).
1 , x ln a
(x > 0, a > 0).
Exemplo 3.2. Iremos em seguida apresentar alguns exemplos de aplica¸c˜ao das regras e tabelas de derivadas. 1) Ache a Derivada de y = x5 − 4x3 + 2x − 3 Resolu¸c˜ ao: Como estamos na presen¸ca de um polin´omio podemos derivar mon´omio a mon´ omio. Assim teremos y 0 = 5x4 − 4 × 3x2 + 2 = 5x4 − 12x2 + 2. 2x + 3 x2 − 5x + 5 Resolu¸c˜ ao: Estamos na presen¸ca de uma frac¸c˜ao, auxiliando-nos da regra (??)
2) Derive y =
y0 =
2(x2 − 5x + 5) − (2x − 5)(2x + 3) −2x2 − 6x + 25 = . (x2 − 5x + 5)2 (x2 − 5x + 5)2
3) Derive y = 5 sin x − 4 cos x Resolu¸c˜ ao: Temos que derivar fun¸c˜oes trigonom´etricas, auxiliamo-nos na regra (3.5) e (3.6), y 0 = 5 cos x − 4 × (− sin x) = 5 cos x + 4 sin x.
4) Derive y = x2 arctan x Resolu¸c˜ ao: Auxiliados na regra (3.7) teremos y 0 = 2x arctan x +
x2 . x2 + 1
5) Derive y = x6 ex Resolu¸c˜ ao: Trata-se da derivada de produto que cont´em fun¸c˜ao exponencial. Auxiliamo-nos a regra (3.7). y 0 = 6x5 ex + x6 ex .
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149
6) Derive y = ex arcsin x Resolu¸c˜ ao: Trata-se da derivada de produto que cont´em fun¸c˜ao exponencial e trigonom´etrica. Auxiliamo-nos a regra (3.7) teremos y 0 = ex arcsin x + √
ex . 1 − x2
7) Derive y = (1 + 2x)50 Resolu¸c˜ ao: Estamos na presen¸ca de uma fun¸c˜ao composta. Auxiliamo-nos a regra (??) y 0 = 50(1 + 2x)49 (1 + 2x)0 = 50(1 + 2x)49 2 = 100(1 + 2x)49 . 3x + 1 4 8) Derive y = 5 Resolu¸c˜ ao: teremos 12 3x + 1 3 3x + 1 3 3x + 1 0 3x + 1 3 3 0 = =4 . y =4 5 5 5 5 5 5
9) Derive y =
√
1 − x2
Resolu¸c˜ ao: Estamos na presen¸ca de uma fun¸c˜ao composta. Auxiliamo-nos a regra (??). −2x x (1 − x2 )0 = √ = −√ . y0 = √ 2 1 − x2 2 1 − x2 1 − x2 10) Derive y = (2 − 3 sin 2x)6 Resolu¸c˜ ao: teremos y 0 = 6(2 − 3 sin 2x)5 (2 − 3 sin 2x)0 = 6(2 − 3 sin 2x)5 (−3 cos x)(2x)0 = = −18(2 − 3 sin 2x)5 cos x × 2 = −36(2 − 3 sin 2x)5 cos x. 11) Derive y =
√
1 − arctan x
Resolu¸c˜ ao: teremos
1 − (1 − arctan x)0 1 + x2 0 = √ = y = √ 2 1 − arctan x 2 1 − arctan x =− 12) Derive y = arcsin
x √ 1 + x2
(1 +
x2 )(2
1 √ . 1 − arctan x)
0 x 1 + x2 y0 = s 2 x 1− √ 1 + x2
√
(3.9)
150
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
Simplificando esta express˜ ao teremos 0 x 0 p √ x 1 + x2 y0 = r 1 + x2 = √ 1 1 + x2 1 + x2
(3.10)
Supondo que y1 = √
x 1 + x2
calculamos y10 √ y10 =
x √ 1 + x2
0 =
√ (1 + x2 )0 2x2 1 + x2 − x × √ 1 + x2 − √ 2 1 + x2 2 1 + x2 = 2 1+x 1 + x2
(3.11)
simplificando esta express˜ ao (achando mmc no numerador) teremos y10 =
1 √
(1 +
x2 )
1 + x2
y0 =
1 1 + x2
(3.12)
Aplicando (3.12) em (3.10) teremos
3.2
Aula 18 - Pr´ atica
Os exerc´ıcios 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 12 devem ser resolvidos na qualidade de TPC. Ser˜ ao corrigidos e discutidos na aula pr´ atica. Os exerc´ıcios 13, 14, 15, 16, 18, 19, 21, 22 dever˜ ao ser resolvidos pelos estudantes para a consilida¸c˜ao do conhecimento e dever˜ao ser entregues ao Docente de aulas te´oricas na aula te´ orica da semana seguinte.
Determine a derivada das seguintes fun¸c˜oes 1) y = sin3 5x cos2 2) y = − 3) y =
4) y = 5) y = 6) y = 7) y =
x 3
10 1 15 − − 5 4 4(x − 3) 3(x − 3) 2(x − 3)2
x7 7(1 − x3 )5 √ 2x2 − 2x + 1 x x √ 2 2x − 2x + 1 x √ 2 a a2 + x2 2√ 18 √ 9 √ 6 √ 3 3 x2 + x 6 x + x x2 + x3 5 x 3 7 5 13
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8) y =
151
1p 1p 3 (1 + x3 )8 − 3 (1 + x3 )6 8 5
9) Ache o acr´escimo de x e o respectivo acr´escimo da fun¸c˜ao y = log x, se x vaia de 1 at´e 1000. ∗ 10) Ache o acr´escimo ∆x do argumento x e o respectivo acr´escimo ∆y da fun¸c˜ao de 0.01 at´e 0.001. ∗ 11) A vari´ avel x tem um acr´escimo ∆x. Ache o acr´escimo ∆y , se: a) y = ax + b; b) y = ax2 + bx + c; c) y = ax . 12) Aplicando a defini¸c˜ ao de derivada, ache as derivadas das seguintes fun¸c˜oes: ∗ a) f (x) = x2 ; 1 ; x √ c) f (x) = x. b) f (x) =
13) Ache f 0 (1), f 0 (2) e f 0 (3), se f (x) = (x − 1)(x − 2)2 (x − 3)3 . Determine a derivada das seguintes fun¸c˜oes 14) f (x) = (x6 − x2 + 4x + 2)8 ; 15) f (x) = (x5 + 9)100 ; 16) f (x) = (x2 − 2)2 (x3 − 3)3 . 11 4 − 3 2(x − 2) x−3 r 4 x−1 ∗ 18) y = 4 5 x+3 17) y = −
19) y = x5 (b − 3x4 )5 x3 20) y = p 3 (1 + x2 )3 a + bxn k 21) y = a − bxn 9 4 2 7 − + − 4 3 2 7(x − 3) (x − 3) (x + 2) (x − 3)3 √ 23) y = (a − x) a + x
22) y =
24) y =
p (x − a)(x − b)(x − c)(x − d)
∗
1 , se x varia x2
152
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
25) y =
p √ 7 x+ 5x
∗
√ 26) y = (2x + 1)(3x − 2) 3x − 5 27) y = √
3.3 3.3.1
1 2ax − x4
Aula 19 - teorica Derivada logar´ıtmica
Vamos deduzir a derivada da fun¸c˜ ao logar´ıtmica h(x) = ln x usando o conceito de derivada. Encontremos o acr´escimo da fun¸c˜ ao ∆y , quando um x qualquer pertencente ao dom´ınio de f (x) sofre um acr´escimo ∆x. ∆y = f (x + ∆x) − f (x) = ln(x + ∆x) − ln x = ln
∆x x + ∆x = ln(1 + ) x x
Passemos agora ao c´ alculo do limite ln(1 + ∆x ∆y 0 x ) = lim = ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x 0 lim
levantando a indetermina¸c˜ ao e sabendo que lim
x→0
ln(1 + x) =1 x
(simplificando a express˜ ao) teremos ln(1 + ∆x 1 ∆y 1 ln(1 + ∆x 1 x ) x ) = lim = · = ·1= ∆x ∆x ∆x→0 ∆x→0 ∆x x x x x x x lim
dizemos ent˜ ao que f 0 (x) =
1 . x
Exemplo 3.3. Derive y = ln x lg x Resolu¸c˜ao: Trata-se da derivada de produto que cont´em fun¸c˜ao logar´ıtmica. Auxiliamo-nos a regra (3.7). y0 =
lg x ln x + . x x ln 10
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3.3.2
153
Regra de Cadeia ou Regra de Derivada de Fun¸c˜ ao Composta
Se a fun¸c˜ao g(x) tem derivada no ponto x0 e a fun¸c˜ao f (u) tem derivada no ponto u(x0 ), ent˜ ao a fun¸c˜ao composta h(x) = f (g(x)) tem derivada no ponto x0 e essa derivada ´e h0 (x0 ) = f 0 (g(x0 ))g 0 (x0 ). Esta regra chama-se regra de cadeia ou regra de derivada de fun¸c˜ao composta.
De uma forma geral podemos aplicar esta regra para a deriva¸c˜ao de v´arias fun¸c˜oes, como por exemplos fun¸c˜ oes logar´ıtmicas da forma y = ln u(x).
y 0 = (ln u(x))0 u0 (x) =
1 0 u (x) u(x)
. Exemplo 3.4.
1) A derivada da fun¸c˜ao y = ln x ´e y 0 = (ln u(x))0 (x)0 =
1 1 · 1 = , sendo u(x) x
u(x) = x 2) Derive y = arctan ln x Sabendo que (arctan t)0 =
1 ent˜ao: 1 + t2 y0 =
3.3.3
(ln x)0 1 = 2 1 + ln x x(1 + ln2 x)
Derivada de fun¸c˜ ao dada na forma impl´ıcita
Seja y = y(x) uma fun¸c˜ ao diferenci´ avel que satisfaz a equa¸c˜o F (x, y) = 0. Ent˜ao, a derivada y 0 (x) desta fun¸c˜ao dada na forma impl´ıcita F (x, y) = 0 podemos achar a partir da equa¸c˜ao dF (x, y) = 0, dx onde F (x, y) considera-se como uma fun¸c˜ao composta de x.
Exemplo 3.5.
1) Achar y 0 em rela¸c˜ao `a x da fun¸c˜ao x2 + (2x + 1)y 3 − 3xy − 6 = 0.
Resolu¸ c˜ ao:
(x2 + (2x + 1)y 3 − 3xy − 6)0 = 0 ⇔
(x2 )0 + (2x + 1)0x y 3 + (2x + 1)(y 3 )0x − (3x)0x y − 3xy 0 − (6)0 = 0 ⇔
154
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
2x + 2y 3 + 3(2x + 1)y 2 y 0 − 3y − 3xy 0 = 0 ⇔
y0 =
3.3.4
2x + 2y 3 − 3y 3x − 3(2x + 1)y 2
Derivada da fun¸c˜ ao param´ etrica
Consideremos que as fun¸c˜ oes x = ϕ(t) e y = ψ(t) est˜ao definidas num intervalo e em todos os pontos desse intervalo elas tˆem derivadas ϕ0 (t) 6= 0 e ψ 0 (t). Ent˜ao, a derivada da fun¸c˜ao paramˆetrica x = ϕ(t) y = ψ(t) y em rela¸c˜ao a x ´e dada pela f´ ormula yx0 = Exemplo 3.6. Ache yx0 se
yt0 ψ 0 (t) . = x0t ϕ0 (t)
x = cos t , 0 f (x2 ) para todos ∆x suficientemente pequenos. Teorema 3.3. Se a fun¸c˜ ao deriv´ avel f (x) tem um m´aximo ou um m´ınimo no ponto x = x1 , ent˜ ao, a sua derivada anula-se nesse ponto, isto ´e, f 0 (x) = 0. Exemplo 3.12. Achar os m´ aximos e os m´ınimos da fun¸c˜ao y =
x3 − 2x2 + 3x + 1 3
Resolu¸c˜ ao 1) Calculemos a primeira derivada: y 0 = x2 − 4x + 3 2) Igualando a zero temos x2 − 4x + 3 = 0 onde obtemos x1 = 1, x2 = 3 3) estudemos os pontos cr´ıticos: Para x1 = 1. como y 0 = (x − 1)(x − 3) ent˜ao; Para x < 1, temos y 0 = (−) · (−) > 0; Para x > 1, temos y 0 = (+) · (−) < 0. portanto a fun¸c˜ao admite um m´aximo para x = 1 e o 7 valor da fun¸c˜ ao neste ponto ´e yx=1 = 3 Para x2 = 3 : Para x < 3, temos y 0 = (+) · (−) < 0; Para x > 0, temos y 0 = (+) · (+) > 0. portanto a fun¸c˜ao admite um m´ınimo para x = 3 e o valor da fun¸c˜ ao neste ponto ´e yx=3 = 1
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163
A determina¸c˜ ao dos m´ aximos e m´ınimos de uma fun¸c˜ao pode ser feita atrav´es do auxilio da segunda derivada.
00
Teorema 3.4. Seja f 0 (x1 ) = 0; ent˜ ao, a fun¸c˜ao tem um m´aximo no ponto x = x1 se f (x1 ) < 0 e 00
um m´ınimo se f (x1 ) > 0.
Exemplo 3.13. Determinar os extremos m´aximos e m´ınimos da fun¸c˜ao y = 4x − x4
Resolu¸c˜ ao 1) Achemos os pontos cr´ıticos: y 0 = 4 − 4x3 ; igualando a derivada a zero obtemos 4 − 4x3 = 0 onde obtemos x = 1
2) Determinemos o sinal da segunda derivada no ponto x = 1 : 00
00
y = −12x2 e y (1) = −12 < 0 portanto a fun¸c˜ao tem um m´aximo no ponto x = 1
Alguns Exerc´ıcios Resolvidos 1) Consideremos a fun¸c˜ ao f (x) = x2 − 1,
(a) Ache a primeira e segunda derivadas. (b) Estude a monotonia e a concavidade de f (x)
Resolu¸ c˜ ao Usando as regras de deriva¸c˜ ao teremos
f 0 (x) = 2x
Vamos esbo¸car no mesmo gr´ afico as trˆes fun¸c˜oes
f 00 (x) = 2
164
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
y
x2 − 1 2
x
2x
Figura 3.3: Da Leitura do gr´ afico e dos nossos conhecimentos sobre diferencia¸c˜ao tiramos as seguintes conclus˜oes • A fun¸c˜ ao dada ´e quadr´ atica com valor de a posetivo (concavidade virada para cima). • A fun¸c˜ ao tem um m´ınimo igual a -1 quando x = 0, • A fun¸c˜ ao der´ıvada tem zero no ponto onde a fun¸c˜ao f (x) atinge um extremo relactivo (m´ınimo). • A segunda derivada ´e posetiva e igual a 2, por isso a concavidade da par´abola ´e virada para cima. • A primeira derivada de f (x) ´e negativa no intervalo ] − ∞; 0[ e nesse intervalo a fun¸c˜ ao f (x) ´e decrescente. • A primeira derivada de f (x) ´e posetiva no intervalo ]0; +∞[ e nesse intervalo a fun¸c˜ ao f (x) ´e crescente. 2) Consideremos a fun¸c˜ ao f (x) = x3 − 3x2 + 2x, (a) Ache a primeira e segunda derivadas. (b) Estude a monotonia e a concavidade de f (x) (c) Determine os seus extremos relactivos
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165
Resolu¸ c˜ ao Usando as regras de deriva¸c˜ ao teremos
f 0 (x) = 3x2 − 6x + 2
f 00 (x) = 6x − 6
Vamos esbo¸car no mesmo gr´ afico as trˆes fun¸c˜oes, f (x), f 0 (x), f 00 (x)
y
3x2 − 6x + 2 x3 − 3x2 + 2x
x
6x − 6
Figura 3.4:
166
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
Da Leitura do gr´ afico e dos nossos conhecimentos sobre diferencia¸c˜ao tiramos as seguintes conclus˜oes • A fun¸c˜ ao dada ´e c´ ubica e por isso tem 3 raizes, xa = 0, xb = 1, xc = 2. • A fun¸c˜ ao derivada f 0 (x) = 3x2 − 6x + 2 tem concavidade virada para cima, tem zeros 1 1 nos pontos x1 = 1 − √ e x2 = 1 + √ onde a fun¸c˜ao f (x) atinge extremo relactivo 3 3 (m´ aximo em x1 ) e (m´ınimo em x2 ). Veja que estes extremos s˜ao mesmo relactivos, pois 1 n˜ ao ´e verdade que o m´ aximo valor que a fun¸c˜ao toma ´e atingido em 1 − √ e tamb´em n˜ ao 3 1 ´e verdade que o m´ınimo valor que a fun¸c˜ao toma ´e atingido em 1 + √ . 3 1 . • A fun¸c˜ ao f (x) tem um m´ınimo relactivo (local) igual a f 1 + √ 3 1 √ • A fun¸c˜ ao f (x) tem um m´ aximo relactivo (local) igual a f 1 − . 3 • A segunda derivada ´e uma fun¸c˜ao linear que ´e negativa quando x < 1 onde a concavidade de f (x) ´e virada para baixo. • A segunda derivada ´e posetiva quando x > 1 onde a concavidade de f (x) ´e virada para cima. • No ponto x = 1 a concavidade de f (x) n˜ao est´a virada para cima nem para baixo, dizemos ent˜ ao que ´e o ponto de inflex˜ ao, e ´e ai onde f 00 (x) = 0. 3) Fa¸ca o estudo completo da seguinte fun¸c˜ao y =
x2 − 4 x2 + 1
Resolu¸ c˜ ao Antes de mais vamos recordar que o estudo completo da fun¸c˜ao ´e um processo constituido por seguintes passos: • Determina¸c˜ ao do Dom´ınio da fun¸c˜ao. • Determina¸c˜ ao dos zeros da fun¸c˜ao. • Determina¸c˜ ao de f 0 (x) e f 00 (x). • Determina¸c˜ ao dos zeros da primeira (extremos relactivos) e segunda derivada (pontos de inflex˜ ao). • Determina¸c˜ ao das assimptotas. • Estudo do sinal (com base no sinal da primeira derivada). • Estudo da concavidade da fun¸c˜ao (com base no sinal da segunda detivada). • Esbo¸co gr´ afico.
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167
(a) Determina¸c˜ ao do Dom´ınio da fun¸c˜ao. f (x) =
x2 − 4 , x2 + 1
Df : x ∈ R
veja que o denominador n˜ao ´e igual a zero para qualquer valor de x ∈ R. (b) Determina¸c˜ ao dos zeros da fun¸c˜ao. Para determinarmos os zeros da fun¸c˜ao teremos f (x) = 0 ⇒
x2 − 4 = 0 ⇒ x2 − 4 = 0 ⇒ x = ±2. x2 + 1
(c) Determina¸c˜ ao de f 0 (x) e f 00 (x). i. f 0 (x) =
2x(x2 + 1) − 2x(x2 − 4) (x2 − 4)0 (x2 + 1) − (x2 − 4)(x2 + 1)0 = = 2 2 (x + 1) (x2 + 1)2 =
ii.
2x(x2 + 1 − x2 + 4) 10x = 2 (x2 + 1)2 (x + 1)2
0 (10x)0 (x2 + 1)2 − 10x (x2 + 1)2 10x = = f (x) = 2 (x + 1)2 (x2 + 1)4 10(x2 + 1)2 − 10x 2(x2 + 1)2x 10(x2 + 1)2 − 40x2 (x2 + 1) = = = (x2 + 1)4 (x2 + 1)4 00
=
10(x2 + 1)(1 − 3x2 ) 10(x2 + 1)[x2 + 1 − 4x2 ) = (x2 + 1)4 (x2 + 1)4
(d) Determina¸c˜ ao dos zeros da primeira derivada (extremos relativos) e segunda derivada (pontos de inflex˜ ao). Vamos determinar os zeros da primeira e segunda derivada i. f 0 (x) = 0 ⇒
10x = 0 ⇒ 10x = 0 ⇒ x = 0 + 1)2
(x2
ii. f 00 (x) = 0 ⇒
10(x2 + 1)(1 − 3x2 ) = 0 ⇒ 10(x2 + 1)(1 − 3x2 ) ⇒ 1 − 3x2 = 0 (x2 + 1)4 ⇒ −3x2 = −1 ⇒ x2 =
1 1 ⇒ x = ±√ 3 3
(e) Determina¸c˜ ao das assimptotas. i. A fun¸c˜ ao dada n˜ ao tem assimptotas verticais. Veja que ela tem o dom´ınio x ∈ R. e n˜ ao s´ o. @k tal que lim f (x) = ∞ x→k
168
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
ii. Determinemos as assimptotas obl´ıquas achando h∞i f (x) x2 − 4 = lim = x→+∞ x x→+∞ (x2 + 1)x ∞
a = lim
Procuramos levantar a indetermina¸c˜ao x2 1 = lim = 0. x→+∞ x3 x→+∞ x
a = lim
x2 − 4 = 1. x→+∞ x2 + 1
b = lim [f (x) − ax] = lim x→+∞
dai temos que a assimptota obliqua ´e igual a
y = ax + b = 0x + 1 = 1
neste caso temos o caso particular de assimptota obli´ıqua que ´e (assimptota horizontal). Vejemos que neste caso, a fun¸c˜ao tem somente uma assimptota, que ´e a recta y = 1. (f) Estudo do sinal (com base no sinal da primeira derivada). A primeira derivada ´e f 0 (x) =
10x . + 1)2
(x2
Esta fun¸c˜ ao ´e negativa a esquerda de zero(f (x) ´e decrescente a direita de zero). f 0 (x) ´e posetiva a direita de zero (f (x) ´e crescente a direita de zero). (g) Estudo da concavidade da fun¸c˜ao (com base no sinal da segunda derivada).
f 00 (x) =
10(x2 + 1)(1 − 3x2 ) (x2 + 1)4
ao estudarmos o sinal desta fun¸c˜ao vamos somente estudar o sinal de (1 − 3x2 ) pois os outros factores s˜ ao sempre posetivos. teremos 1 1 x ∈] − ∞; − √ [∪] √ , +∞[ 3 3
f 00 (x) < 0 concavidade virada para baixo
e 1 1 x ∈] − √ ; √ [ f 00 (x) > 0 concavidade virada para cima 3 3 (h) Esbo¸co do gr´ afico.
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169
y
x
Figura 3.5: Exemplo 3.14. Fa¸ca o estudo da fun¸c˜ao f (x) =
x . 1 + x2
Resolu¸ c˜ ao: 1) O dom´ınio de defini¸c˜ ao da fun¸c˜ ao ´e o intervalo ]−∞; ∞[ ; 2) A fun¸c˜ ao ´e sempre cont´ınua; 3) Procuremos os m´ aximos e os m´ınimos desta fun¸c˜ao: 2 2 1 − x 0 (x) = 1 − x f 0 (x) = igualando a derivada a zero obtemos f = 0 que resolvendo (1 + x2 )2 (1 + x2 )2 esta equa¸c˜ ao obtemos os pontos cr´ıticos x1 = −1ex2 = 1. ´ f´acil verificar que f 0 (x) < 0 para x < −1 e f 0 (x) > 0 para x > −1. ent˜ao a fun¸c˜ao tem um E m´ınimo no ponto x = −1 e fmin = f (−1) = −0, 5; Pra outro lado, f 0 (x) > 0 para x < 1 e f 0 (x) < 0 para x > 1 onde a fun¸c˜ao admite um m´ aximo no ponto x = 1, e fmax = f (1) = 0, 5; 4) Determina¸c˜ ao dos intervalos de crescimento e de decrescimento da fun¸c˜ao: f 0 < 0 para −∞ < x < −1, a fun¸c˜ao ´e decrescente; f 0 > 0 para −1 < x < 1, a fun¸c˜ ao ´e crescente; f 0 < 0 para 1 < x < ∞, a fun¸c˜ ao ´e decrescente. 5) Determina¸c˜ ao dos intervalos de convexidade, de concavidade e os pontos de inflex˜ao do gr´ afico: 2 2x(x − 3) 00 00 Achamos a segunda derivada f (x) = igualando a derivada a zero obtemos f (x) = (1 + x2 )3 √ √ 2x(x2 − 3) = o onde resolvendo a equa¸ c a ˜ o encontramos x = 3, x = 0, x = 3. 1 2 3 (1 + x2 )3 00 Analizemos a f (x) em fun¸c˜ ao de x: √ 00 Para −∞ < x < − 3 tem-se f < 0, a curva ´e convexa; √ 00 Para − 3 < x < 0 tem-se f > 0, a curva ´e cˆoncava;
170
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
√ 00 Para 0 < x < 3 tem-se f < 0, a curva ´e convexa; √ 00 Para 3 < x < ∞ tem-se f > 0, a curva ´e cˆoncava. Os pontos de coordenadas √ ! √ 3 e s˜ ao pontos de inflex˜ao. 3, 4
√ ! √ 3 , (0, 0) − 3, − 4
6) Determina¸c˜ ao das assimptotas: Para x → ∞, f (x) → 0 Para x → −∞, f (x) → 0, portanto, a recta f (x) = 0 ´e uma assimptota obl´ıqua. O Esbo¸co do gr´ afico da fun¸c˜ ao deixamos a cargo do leitor.
3.8
Aula 24 - Pr´ atica
Os exerc´ıcios 1a, 1d, 2b, 3c, 4b, 7, 9, 10 devem ser resolvidos na qualidade de TPC. Ser˜ ao corrigidos e discutidos na aula pr´ atica. Os exerc´ıcios 1b, 1c, 2c, 3e, 4c, 5, 6, 8 dever˜ ao ser resolvidos pelos estudantes para a consilida¸c˜ao do conhecimento e dever˜ao ser entregues ao Docente de aulas te´oricas na aula te´ orica da semana seguinte. 1) para as seguintes fun¸c˜ oes (a) f (x) = 2 + (x − 1)3 (b) f (x) = x3 − 3x2 + 2 (c) f (x) = (d) f (x) =
√ 3
x
x2 x−1
Determine os intervalos de varia¸c˜ao da fun¸c˜ao; as coordenadas dos pontos maximo, minimo e de inflexao; o coeficiente da recta tangente e o ponto de inflexao. 2) Classifique a paridade as fun¸c˜ oes seguintes: (a) y = |x| 1 x x2 − x (c) y = 2 x +1 p (d) y = |x2 + 1|
(b) y =
3) Estudar o comportamento e construir os gr´aficos das fun¸c˜oes: (a) f (x) = x2 − 2x + 1 (b) y = −x3 − 6x2 − 9x
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015
(c) y =
171
x2 − 4 x2 + 1
(d) f (x) = sin(3x) 1
(e) f (x) = e− x 4) Estudar o comportamento e construir os gr´aficos das fun¸c˜oes: 8a3 x2 + 4a2 x2 ∗ (b) f (x) = 1+x (a) f (x) =
(c) f (x) = xe−x (d) f (x) = x2 e−x 5) Seja f (x) =
x2
2
∗
1 x∈ , +∞ 4
1 − x; 2
∗
(a) Determine o dominio e o contradominio da sua fun¸c˜ao inversa g. (b) No grafico de g situa-se P(p,1). Calcule p. (c) Determine a equa¸c˜ ao da tangente ao gr´afico em p. 6) f (x) = sin x + cos x.
∗
(a) Calcule a derivada de f. (b) Determine os zeros de f. (c) Determine os extremos de f. (d) Desenhe o gr´ afico de f. 7) Responda ` as mesmas perguntas do exercicio precedente para a fun¸c˜ao f (x) = sin2 x. 8) Seja dada a fun¸c˜ ao f (x) = arctan x. (a) Desenhe o gr´ afico de f. (b) Calcule as coordenadas dos pontos em que a tangente tem declive igual a
1 . . Trace essas 4
tangentes no gr´ afico desenhado. (c) Determine os valores poss´ıveis dos coeficientes angulares das tangentes ao gr´afico de f. 9) Uma part´ıcula move-se ao longo de uma reta com a equa¸c˜ao do movimento S = f (t), onde S ´e medido em metros e t em segundos. Encontre a velocidade quando t = 2, a) f (t) = t2 − 6t − 5 b) f (t) = 2t3 − t + 1
172
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
10) O custo da produ¸c˜ ao de x on¸cas (1 libra = 12 on¸cas) do ouro proveniente de uma nova mina ´e C = f (t) d´ olares. a) Qual o significado da derivada de f 0 (x)? quais s˜ao suas unidades? b) O que significa f 0 (800) = 17? c) Vocˆe acha que os valores de f 0 (x) v˜ao crescer ou decrescer a curto prazo? E a longo prazo? Explique. Com a simplicidade construimos o orgulho!...
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Cap´ıtulo 4
´ lculo Integral Ca 4.1
Aula 25 - teorica
Um dos problemas fundamentais de An´alise Matem´atica ´e a determina¸c˜ao da ´area de uma regi˜ ao plana limitada por v´ arias curvas, este problema ´e conhecido tamb´em como sendo problema de integra¸c˜ ao e aparece relacionado com o problema de deriva¸c˜ao, sendo um inverso do outro. Pretende-se neste cap´ıtulo fazer uma abordagem detalhada deste problema e debru¸car algumas t´ecnicas de integra¸c˜ ao. Para construir as bases de percep¸c˜ ao deste cap´ıtulo come¸caremos por estudar somat´orios e aplica-los com a teoria de limites para a determina¸c˜ao de ´areas de figuras.
4.1.1
Somat´ orios
Defin¸ c˜ ao 4.1. Seja m e n n´ umeros inteiros tal que m ≤ n , e f uma fun¸c˜ao definida nos pontos n X m, m + 1, m + 2, · · · , n. Denota-se por f (i) a soma finita dos valores da fun¸c˜ao f nos pontos m, m + 1, m + 2, · · · , n . A express˜ao
i=m n X
f (i) diz-se soma usando a nota¸c˜ao sigma, e a sua
i=m
expans˜ao ´e :
n X
f (i) = f (m) + f (m + 1) + f (m + 2) + · · · + f (n)
i=m
Exemplo 4.1.
5 X
i2 = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 55
i=1
Uma soma infinita
∞ X
f (i) = f (1) + f (2) + f (3) + · · · , ou simplismente
i=1
∞ X
ai = a1 + a2 +
i=1
+ a3 + · · · , diz-se s´ erie num´ erica.
Propriedades da soma 1)
n X i=m
(Af (i) + Bg(i)) = A
n X i=m
f (i) + B
n X
g(i) , para quaisquer constantes A e B .
i=m
173
174
2)
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
m+n X
f (j) =
j=m
n X
f (i + m)
i=0
n 17 p X X 2 1 + j na forma f (i) . Exemplo 4.2. Expresse i=1
j=3
Resolu¸ c˜ ao Seja j = i + 2, ent˜ ao j = 3 corresponde a i = 1 e j = 17 corresponde a i = 15 , logo 17 p 15 p X X 2 1+j = 1 + (i + 2)2 j=3
i=1
F´ ormulas do c´ alculo da soma 1)
n X i=1
2)
n X
1 = 1| + 1 + 1{z+ · · · + 1} = n n−termos
i = 1 + 2 + 3 + 4 + ··· + n =
i=1
3)
n X
i2 = 12 + 22 + 32 + 42 + · · · + n2 =
i=1
4)
n X
n(n + 1) 2 n(n + 1)(2n + 1) 6
ri−1 = 1 + r + r2 + r3 + · · · + rn−1 =
i=1
rn − 1 , onde r 6= 1 r−1 n X
Exemplo 4.3. Ache a f´ ormula fechada da seguinte soma:
(6k 2 − 4k + 3),onde 1 ≤ m ≤ n .
k=m+1
Resolu¸ c˜ ao Usando propriedades e f´ ormulas do somat´orio acima teremos : n X
2
(6k − 4k + 3) = 6
k=1
6
n X k=1
2
k −4
n X k=1
k+3
n X
1=
k=1
n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1) −4 + 3n = 2n3 + n2 + 2n 6 2
Logo n X
(6k − 4k + 3) =
k=m+1
4.1.2
2
n X k=1
m X (6k − 4k + 3) − (6k 2 − 4k + 3) = 2n3 + n2 + 2n − 2m3 − m2 − 2m. 2
k=1
C´ alculo de ´ areas usando limites de soma de ´ areas particionadas
Nesta sec¸c˜ao iremos abordar um m´etodo para achar a ´area duma regi˜ao R limitada pela curva y = f (x) n˜ao negativa, pelo eixo OX e pelas abcissas x = a e x = b, onde a < b, veja figura (4.1). Divide-se o intervalo [a, b] em n subintervalos x1 , x2 , x3 , · · · , xn−1 , escolhidos de tal forma que a = x0 < x1 < x2 < · · · < xi < · · · < xn−1 < xn = b.
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175
y
x
b
a
Figura 4.1: Denota-se ∆xi o comprimento do i-´esimo subintervalo [xi−1 , xi ], onde ∆xi = xi − xi−1 para i = 1, 2, 3, · · · , n. Em cada subintervalo desenha-se um rectˆangulo cuja a medida da base ´e ∆xi e a da altura ´e dada pelo valor que a fun¸c˜ ao f (x) (a fun¸c˜ ao que limita superiormente a regi˜ao) toma no ponto x = xi isto ´e f (xi ). Assim, a ´ area aproximada ´e dada por Sn =
n X
f (xi )∆xi = f (x1 )∆x1 + f (x2 )∆x2 + f (x3 )∆x3 + · · · + f (xn )∆xn
i=1
Exemplo 4.4. Suponhamos que queremos calcular a ´area da regi˜ao dada pela figura (4.2) esbo¸cada em baixo no segmento que vai de [−1, 2]. A fun¸c˜ao esbo¸cada ´e exponencial e definida por y = 2x .
Resolu¸c˜ ao y
a = −1
x
b=2
Figura 4.2: Veja que a = −1; b = 2, assim, pode se usar a seguinte parti¸c˜ao, veja a figura (4.3). x0 = −1; x1 = 0; x2 = 1; x3 = 2 e a = x0 < x1 < x2 < x3 = b. A ´area de cada rectˆ angulo ´e dada por f (xi )×∆xi , para i = 1, 2, 3. Portanto a ´area da parte rectangular pintada ´e expressa por : S3 =
3 X i=1
f (xi )∆xi = f (x1 )∆x1 + f (x2 )∆x2 + f (x3 )∆x3
176
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
Teremos ent˜ ao S3 = f (0)∆x1 + f (1)∆x2 + f (2)∆x3 Considerando ∆x1 = ∆x2 = ∆x3 = 1 teremos S3 = f (0) × 1 + f (1) × 1 + f (2) × 1 = [f (0) + f (1) + f (2)] × 1 = 1 + 2 + 4 = 7 Est´a ´area aproxima-se por excesso a a´rea da figura (4.2) que queremos calcular. y
a
b
x
Figura 4.3:
Observa¸ c˜ ao 4.1. A aproxima¸c˜ ao que fizemos no exemplo acima ´e por excesso. Pode-se resolver o mesmo exemplo fazendo a aproxima¸ca˜o por defeito. Vejamos o exemplo seguinte. Exemplo 4.5. Suponhamos que queremos calcular a ´area da regi˜ao dada pela figura (4.4) no segmento que vai de [−1, 2]. A fun¸c˜ ao esbo¸cada ´e exponencial e definida por y = 2x .
Resolu¸c˜ ao a = −1; b = 2, veja a figura (4.4). x0 = −1; x1 = 0; x2 = 1; x3 = 2 e a = x0 < x1 < x2 < x3 = b. A ´area de cada rectˆ angulo ´e dada por f (xi )×∆xi , para i = 0, 1, 2. Portanto a ´area da parte rectangular pintada ´e expressa por : S3 =
2 X
f (xi )∆xi = f (x0 )∆x0 + f (x1 )∆x1 + f (x2 )∆x2
i=0
Teremos ent˜ ao
S3 = f (−1)∆x1 + f (0)∆x2 + f (1)∆x3
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177
Considerando ∆x1 = ∆x2 = ∆x3 = 1 teremos S3 = f (−1) × 1 + f (0) × 1 + f (1) × 1 = [f (−1) + f (0) + f (1)] × 1 = 0.5 + 1 + 2 = 3.5 Est´a ´area aproxima-se por defeito a a´rea da figura (4.2) que queremos calcular. Que ´e uma aproxima¸c˜ao por defeito da ´ area procurada. y
a
b
x
Figura 4.4:
Observa¸ c˜ ao 4.2. A ´ area da parte pintada na figura 4.2 quando calculada com exactid˜ao, ´e igual a 5.049432, portanto as duas aproxima¸c˜oes que fizemos encontram-se perto deste valor. Para melhorar o resultado das aproxima¸c˜ oes, devemos aumentar o n´ umero de parti¸c˜oes, i.e, o n´ umero de rectˆ angulos das figuras (4.4) e (4.2) devem ser maiores que 3. ˜ ExercAcio 4.1. Refazer os dois exemplos anteriores, particionando o segmento de [−1, 2] em 6 partes iguais. Observa¸ c˜ ao 4.3. Sn ´e uma aproxima¸c˜ao da ´area da regi˜ao R , e esta aproxima¸c˜ao torna-se mais proxima do real quando n for grande, isto ´e , quando n tender para infinito, e isto acontece quando ∆xi tender para zero. Deste modo tem-se: Area de R = lim Sn n→∞
Recomenda¸c˜ ao Escolher pontos xi , (0 ≤ i ≤ n) no intervalo [a, b] de tal forma que os comprimentos dos subintervalos ∆xi sejam iguais. Neste caso tem-se
∆xi = ∆x =
i b−a , xi = a + i∆x = a + (b − a) n n
Exemplo 4.6. Achar a ´ area limitada pela recta y = x+1 , eixo OX , e pelas abcissas x = 0 e x = 2 .
178
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
Resolu¸c˜ ao Para mostrarmos com detalhes, vamos fazer o esbo¸co regi˜ao que pretendemos determinar a sua ´ area, vide figura (4.5) Nota-se que a ´ area pretendida ´e do trap´ezio com base maior igual a 3, base menor igual a 1 e altura y
x
Figura 4.5: igual a 2, isto ´e St =
B+b 3+1 ×h= × 2 = 4. 2 2
Calculemos esta ´ area como limite da soma de ´areas dos rectˆangulos, seguindo a observa¸c˜ ao (4.3). Dividindo o intervalo [0, 2] em n subintervalos de comprimentos iguais teremos :
x0 = 0, x1 =
4 6 2n 2 , x2 = , x3 = , · · · , xn = =2 n n n n
O valor de y = x + 1 no ponto x = xi ´e xi + 1 =
2i +1 n
, o i-´esimo subintervalo
2(i − 1) 2i , n n
2 . Temos que ∆xi → 0 quando n → ∞. Ent˜ao a soma de ´areas dos rectˆ angulos n aproximados ´e : " n # n n X X 2 2 2X 2 2n(n + 1) n+1 2i Sn = +1 = i+ 1 = +n =2 +2 n n n n n 2n n
,tem ∆x =
i=1
i=1
i=1
e isto implica que a ´ area pretendida ´e : n+1 A = lim Sn = lim 2 +2 =2+2=4 n→∞ n→∞ n unidades quadr´ aticas
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179
Exemplo 4.7. Achar a ´ area A da regi˜ao limitada pela par´abola y = x2 , eixo OX , e pelas abcissas x=0 e x=b>0 Resolu¸ c˜ ao Da divis˜ao do intervalo [0, b] em n subintervalos iguais de comprimento
b , teremos i-´esima altura n
y
b
x
Figura 4.6: 2 ib do rectˆangulo igual a vide figura (4.6). n Assim n 2 n X b b3 X 2 b3 n(n + 1)(2n + 1) ib Sn = = 3 i = n n n 6n3 i=1
i=1
e b3 n(n + 1)(2n + 1) b3 = n→∞ 6n3 3
A = lim Sn = lim n→∞
unidades quadr´ aticas.
4.2
Aula 26 - Pr´ atica
Os exerc´ıcios 1a, 1c, 2b, 3a, 3b, 4a, 4b, 4c devem ser resolvidos na qualidade de TPC. Ser˜ ao corrigidos e discutidos na aula pr´ atica. Os exerc´ıcios 1b, 1c, 2a, 3b, 4a, 4b, 4c dever˜ ao ser resolvidos pelos estudantes para a consilida¸c˜ao do conhecimento e dever˜ao ser entregues ao Docente de aulas te´oricas na aula te´ orica da semana seguinte. 1) Expande as seguintes somas:
(a)
100 X j=1
j j+1
180
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
(b)
n X
3i
i=1 n X (−2)j (c) (j − 2)2 j=3
2) Escreva as seguintes somas usando a nota¸c˜ao sigma:
(a) 22 − 32 + 42 − 52 + · · · − 992
(b) 1 + x + x2 + x3 + · · · + xn
3) Ache a f´ ormula fechada para as seguintes somas :
(a)
6 X (i − 1) i=2
(b)
n X (π k − 3) k=1
4) Usando t´ecnica do c´ alculo de ´ area como limite da soma de ´areas particionadas, calcule a ´ area das regi˜ oes limitadas pelas curvas : (a) y = 3x, y = 0, x = 0 e x = 1
(b) y = x2 + 2x + 3, y = 0, x = −1 e x = 2
(c) y = 2x , y = 0, x = −1 e x = 1
4.3 4.3.1
Aula 27 - teorica Integral definido
Somas de Riemann
Defin¸ c˜ ao 4.2. Diz-se que no segmento [a, b] est´a dada uma parti¸c˜ao se forem dados os pontos
x0 , x1 , x2 , x3 , · · · , xn−1 , xn
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181
tais que a = x0 < x1 < x2 < · · · < xi < · · · < xn−1 < xn = b e denota-se P = {x0 , x1 , x2 , x3 , · · · , xn−1 , xn } O conjunto P divide o segmento [a, b] em n subintervalos [xi−1 , xi ] chamados parti¸c˜ao P . O n´ umero n depende de parti¸c˜ oes, n = n(P ) , o comprimento do i-´esimo subintervalo ´e dado por ∆xi = xi −xi−1 o m´aximo dos ∆xi chama-se norma da parti¸c˜ao P e denota-se por k P k
k P k= max ∆xi 1≤i≤n
Seja f ´e uma fun¸c˜ ao cont´ınua em cada subintervalo [xi−1 , xi ] de P , tomando-se valores m´aximos ui e m´ınimo li nos pontos do subintervalo, tal que f (li ) ≤ f (x) ≤ f (ui ) sempre que xi−1 ≤ x ≤ xi . Se f (x) ≥ 0 em [a, b] , ent˜ ao as express˜oes f (li )∆xi e f (ui )∆xi representam ´areas dos rectˆ angulos que tˆem o intervalo [xi−1 , xi ] como base comum e alturas f (li ) e f (ui ) , respectivamente (vide figura (4.7)). y
b
a
x
Figura 4.7:
Se Ai ´e ´area limitada pela curva y = f (x), eixo OX e pelas abcissas x = xi−1 e xi , ent˜ao tem lugar a seguinte desigualdade
f (li )∆xi ≤ Ai ≤ f (ui )∆xi
182
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
4.3.2
Somas inferiores e superiores de Riemann
Defin¸ c˜ ao 4.3. As somas inferiores L(f, P ) e superiores U (f, P ) de Riemann para a fun¸c˜ ao f s˜ ao dadas atrav´es das express˜ oes seguintes: L(f, P ) =
n X
f (li )∆xi = f (l1 )∆x1 + f (l2 )∆x2 + · · · + f (ln )∆xn
i=1
U (f, P ) =
n X
f (ui )∆xi = f (u1 )∆x1 + f (u2 )∆x2 + · · · + f (un )∆xn
i=1
Vide exemplos (4.4) e (4.5). Exemplo 4.8. Achar a soma inferior e superior de Riemann para a fun¸c˜ao f (x) =
1 no intervalo x
[1, 2] partido em quatro subintervalos iguais.
Resolu¸c˜ ao 3 7 1 5 , x2 = , x3 = e x4 = 2. A fun¸c˜ao f (x) = ´e 4 2 4 x 1 decrescente no segmento [1, 2], ent˜ ao os valores m´ınimos e m´aximos em cada subintervalo s˜ ao e xi 1 , respectivamente. Assim temos: xi−1 533 1 4 2 4 1 + + + = L(f, P ) = 4 5 3 7 2 840 1 4 2 4 319 U (f, P ) = 1+ + + = 4 5 3 7 420 A parti¸c˜ao P consiste de pontos x0 = 1, x1 =
Defin¸ c˜ ao 4.4. Suponhamos que existe um n´ umero I tal que para toda parti¸c˜ao P do segmento [a, b] tem lugar a desigualdade L(f, P ) ≤ I ≤ U (f, P ) . Ent˜ao diremos que a fun¸c˜ao f ´e integr´ avel em Z b [a, b] , e chamaremos ao n´ umero I de integral definido de f em [a, b] e denota-se por I = f (x)dx a R onde: chama-se sinal de integral; a e b s˜ao limites de integra¸c˜ ao, inferior e superior , respectivamente ; f (x) ´e fun¸c˜ ao integrada, x vari´ avel de integra¸c˜ao , dx diferencial de x .
Nota: O integral definido da fun¸c˜ ao f (x) em [a, b] ´e um n´ umero ( n˜ao ´e uma fun¸c˜ao de x ), que depende de a e b , e da fun¸c˜ ao f (x). Deste modo ´e v´alida a igualdade : Z
b
Z f (x)dx =
a
b
f (t)dt a
Exemplo 4.9. Mostre que a fun¸c˜ ao f (x) = x2 ´e integr´avel no segmento [0, a] onde a > 0 , e calcule Z a x2 dx . 0
Resolu¸ c˜ ao
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183
Calculando a soma inferior e superior de Riemann teremos : n n n−1 X a3 (n − 1)(2n − 1) a3 X a3 X 2 a3 (n − 1)n[2(n − 1) + 1] L(f, Pn ) = = (xi−1 )2 ∆x = 3 (i − 1)2 = 3 (j) = n n 6n3 6n3 i=1
U (f, Pn ) =
i=1
n X
(xi )2 ∆x =
i=1
j=0
n a3 (n + 1)(2n + 1) a3 X 2 a3 n(n + 1)[2n + 1] = (i) = n3 6n3 6n3 i=1
Donde lim L(f, Pn ) = lim U (f, Pn ) = n→∞
n→∞
a3 I= 3 Assim a fun¸c˜ ao f (x) =
x2
a3 Da desigualdade L(f, Pn ) ≤ I ≤ U (f, Pn ) vem que 3 Z
a
Z f (x)dx =
´e integr´ avel em [0, a] e
a
x2 dx =
0
0
a3 3
Defin¸ c˜ ao 4.5. Dada uma fun¸c˜ ao f em [a, b] , denomina-se soma de Riemann de f toda soma da forma :
R(f, P, c) =
n X
f (ci )∆xi = f (c1 )∆x1 + f (c2 )∆x2 + f (c3 )∆x3 + · · · + f (cn )∆xn
i=1
Onde P = {x0 , x1 , x2 , · · · , xn } e a = x0 < x1 < x2 < · · · < xi < · · · < xn−1 < xn = b, c = (c1 , c2 , · · · , cn ) e ci ∈ [xi−1 , xi ] . Defin¸ c˜ ao 4.6. Seja f uma fun¸c˜ ao definida em [a, b] . O n´ umero I denomina-se integral de f ( em [a, b] ) se , dado qualquer ε > 0 , existe um δ > 0 tal que
| R(f, P, c) − I |=|
n X
f (ci )∆xi − I |< ε
i=1
Seja qual for a parti¸c˜ ao P = {x0 , x1 , x2 , · · · , xn } e ci ∈ [xi−1 , xi ] de [a, b] com norma inferior a δ , isto ´e , tal que k P k= max ∆xi < δ , escrevendo-se ent˜ao 1≤i≤n
lim R(f, P, c) = n(P )→∞ kP k→0
Z b n X lim R(f, P, c) = lim f (ci )∆xi = f (x)dx max ∆xi → 0 max ∆xi → 0 i=1 a
1≤i≤n
1≤i≤n
O integral assim definido , denomina-se integral de Riemann . Diz-se integr´avel a Riemann toda fun¸c˜ao que possui esta propriedade. Teorema 4.1. Se f ´e uma fun¸c˜ ao cont´ınua em [a, b] , ent˜ao f ´e integr´avel em [a, b]. 1
X2 2i − 1 3 Exemplo 4.10. Expresse lim 1+ como integral definido. n→∞ n n Resolu¸ c˜ ao 2 sugere-nos que n 2 o intervalo de integra¸c˜ ao tem comprimento 2 e ´e dividido em n subintervalos iguais de comprimento n 2i − 1 1 2n − 1 Seja ci = para i = 1, 2, 3, · · · , n ; quando n → ∞, c1 = → 0 e cn = → 2 . Assim n n n 1
Queremos interpretar a soma de Riemann para a fun¸c˜ao f (x) = (1 + x) 3 . O factor
184
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
2i 2i − 2 2i . Nota -se que xi−1 = < ci < = xi n n n para cada i ,f ´e cont´ınua em [0, 2] e consequentimente integr´avel neste intervalo, logo 1 Z 2 n X 1 2i − 1 3 2 1+ (1 + x) 3 dx = lim n→∞ n n 0 o intervalo ´e [0, 2] , e os pontos de parti¸c˜ao s˜ao xi =
i=1
4.3.3
Propriedades do integral definido a
Z
f (x)dx = 0
1) a
b
Z
Z f (x)dx = −
2)
a
f (x)dx
a
b
b
Z
b
Z a
a
b
Z 4)
Z f (x)dx +
a
c
b
Z
g(x)dx
f (x)dx + B
(Af (x) + Bg(x)) dx = A
3)
a
c
Z f (x)dx =
f (x)
b
a
Z 5) Se f (x) ≤ g(x) para qualquer x [a, b] , ent˜ao
b
Z
b
f (x)dx ≤ a
g(x)dx a
Z b Z b 6) f (x)dx ≤ |f (x)| dx a
a
Z
a
7) Se f (x) ´e uma fun¸c˜ ao ´ımpar no intervalo sim´etrico [−a, a] , ent˜ao
f (x)dx = 0 −a
Z
a
Z
8) Se f (x) ´e uma fun¸c˜ ao par no intervalo sim´etrico [−a, a] , ent˜ao
f (x)dx = 2 −a
2
Z Exemplo 4.11. Calcule: (a)
Z (2 + 5x)dx
(b)
−2
3
f (x)dx 0
Z (2 + x)dx
a
3
(c)
p 9 − x2 dx
−3
0
Resolu¸c˜ ao As ´areas das regi˜ oes pretendidas s˜ ao apresentadas nos seguintes esbo¸cos:
Z
2
• pela propriedade 3 tem-se
Z
2
(2 + 5x)dx = −2
Z
2
dx + 5 −2
5xdx −2
O primeiro integral representa a ´area dum rectˆangulo de comprimento 4 e largura 2,portanto o
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y
185
y=2
−2
x
2
Figura 4.8: y
y =x+2
3
x
Figura 4.9: y
y=
√
9 − x2
3
x
Figura 4.10: seu valor ´e 8. O segundo integral ´e igual a zero , visto que a fun¸c˜ao integral ´e ´ımpar. Logo Z
2
(2 + 5x)dx = 8 + 0 = 8. −2
• representa ´ area do trep´ezio que ´e a soma das ´areas do rectˆangulo e do triˆangulo, logo Z 0
3
21 1 (2 + x)dx = (3 × 2) + (3 × 3) = 2 2
186
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
• representa ´ area do semi-c´ırculo de raio 3. Logo 3
p π × 32 9π 9 − x2 dx = = 2 2 −3
Z
Teorema 4.2. Se f ´e uma fun¸c˜ ao cont´ınua em [a, b] , ent˜ao existe um ponto c [a, b] , tal que Z b f (x)dx = (b − a)f (c) . a
y M
f (c)
m
x a
l
c
u
b
Figura 4.11: Seja f uma fun¸c˜ ao integr´ avel em [a, b] . Chama-se valor m´ edio de f ,o valor denotado por f , tal Z b 1 que f = f (x)dx b−a a Exemplo 4.12. Achar o valor m´edio da fun¸c˜ao f (x) = 2x , no intervalo [1, 5] Resolu¸ c˜ ao Z
5
O esbo¸co da ´ area representada pelo integral
2xdx , ´e figura (4.12): 1
1 Donde temos que f = 5−1
Z 1
5
1 2xdx = 4
1 4 × 2 + (4 × 8) = 6 2
Teorema 4.3. Se f ´e uma fun¸c˜ ao integr´avel em [a, b] e F ´e uma primitiva de f , isto ´e, uma fun¸c˜ ao tal que F 0 (x) = f (x) para cada x[a, b] ent˜ao Z
b
f (x)dx = F (b) − F (a) a
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187
y
y = 2x
1
5
x
Figura 4.12:
Conven¸c˜ ao:
Exemplo 4.13. Calcule: (a)
F (b) − F (a) = F (x)|ba Z a Z 2 x2 dx (b) x2 − 3x + 2 dx 0
−1
Resolu¸c˜ ao (a) (b)
a
1 3 a 1 3 1 3 a3 x |0 = a − 0 = x dx = 3 3 3 0 3 Z 2 1 3 3 2 x2 − 3x + 2 dx = x − x + 2x |2−1 = 3 2 −1 1 3 1 3 9 3 2 3 2 ×2 − ×2 +2×2− × (−1) − × (−1) + 2 × (−1) = 3 2 3 2 2
Z
2
Exemplo 4.14. Achar a ´ area da regi˜ao A limitada pela curva y = 3x − x2 e pelo eixo OX .
Resolu¸c˜ ao A ´area pretendida est´ a representada na figura (4.14) Da equa¸c˜ao 3x − x2 = x(3 − x) = 0 tem-se como ra´ızes x = 0 e x = 3
188
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
y = 3x − x2 y
3
x
Figura 4.13: Portanto a ´ area da regi˜ ao pretendida ´e : Z
3 2
(3x − x )dx =
A= 0
3 2 1 3 3 27 27 27 9 x − x |0 = − − (0 − 0) = = 2 3 2 3 6 2
unidades quadr´ aticas.
Exemplo 4.15. Ache o valor m´edio para a fun¸c˜ao f (x) = e−x + cos x no intervalo [− π2 , 0].
Resolu¸c˜ ao 1 π f= 0− − 2
4.4
Z
0
(e−x + cos x)dx =
− π2
π 2 2 2 π (−e−x + sin x)|0− π = (−1 + 0 + e 2 − (−1)) = e 2 2 π π π
Aula 28 - Pr´ atica
Os exerc´ıcios 1a, 1b, 2a, 3c, 4a, 5a, 5b devem ser resolvidos na qualidade de TPC. Ser˜ ao corrigidos e discutidos na aula pr´ atica. Os exerc´ıcios 3a, 3b, 4b, 2b dever˜ao ser resolvidos pelos estudantes para a consilida¸c˜ ao do conhecimento e dever˜ao ser entregues ao Docente de aulas te´ oricas na aula te´orica da semana seguinte. 1) Considere a parti¸c˜ ao Pn do intervalo [a, b] em n subintervalos iguais de comprimento ∆xi = b−a . Calcule a soma inferior L(f, Pn ) e superior U (f, Pn ). n (a) f (x) = ex
(b) f (x) = sin x
em [−2, 2], com n = 4
em [0, π], com n = 6
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189
2) Calcule os seguintes integrais definidos : √
Z (a)
2
p
√
2 − t2 dt
− 2
Z
e
ax dx, a > 0
(b) 0
a
Z
x2 dx =
3) Sabendo que 0
Z (a)
a3 , calcule os seguintes integrais: 3
3
x2 − 4 dx
2
Z (b)
2
x2 +
p 1 − x2 dx
0
4) Calcule o valor m´edio para cada uma das seguintes fun¸c˜oes :
(a) f (t) = 1 + sin t , no intervalo [−π, π]
(b) f (x) =
√
4 − x2 , no intervalo [0, 2]
5) Achar a ´ area da regi˜ ao R limitada por :
(a) y = x2 − 4x , y = 0
1
1
(b) y = x 3 − x 2 , y = 0, x = 0, x = 1
4.5
Aula 29 - teorica
4.5.1
Integral indefinido
Defin¸ c˜ ao 4.7. Dada uma fun¸c˜ ao f definida em (a, b) , denomina-se primitiva de f toda fun¸c˜ ao F deriv´avel neste intervalo e tal que F 0 (x) = f (x) .
190
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
Teorema 4.4. Seja f uma fun¸c˜ ao definida em (a, b) . Se cada uma das fun¸c˜oes F1 (x) e F2 (x) ´e uma primitiva de f (x) , ent˜ ao existe um n´ umero C tal que F1 (x) − F2 (x) = C em (a, b) . Defin¸ c˜ ao 4.8. Dada uma fun¸c˜ ao f definida em (a, b) , denota-se por Z f (x)dx
(4.1)
uma primitiva arbitr´ aria de f . A express˜ao (4.1) denomina-se integral indefinido de f . O c´ alculo do integral indefinido ´e chamado integra¸ c˜ ao . Se F ´e uma primitiva de f , ent˜ ao Z f (x)dx = F (x) + C,
onde C ´e um n´ umero arbitr´ ario.
4.5.2
Propriedades de integra¸c˜ ao Z
1) d
f (x)dx = f (x)dx
Z 2)
dF (x) = F (x) + C
Z 3)
Z [f (x) + g(x)]dx =
Z 4)
1)
1dx = x + C
Z
1 xdx = x2 + C 2
Z
1 x2 dx = x3 + C 3
2)
g(x)dx
f (x)dx , onde K ´e uma constante .
Tabela de integra¸c˜ ao Z
3)
f (x)dx +
Z Kf (x)dx = K
4.5.3
Z
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Z
xr dx =
Z
1 dx = ln |x| + C x
Z
ex dx = ex + C
Z
ax dx =
4)
5)
6)
7)
1 xr+1 + C , para r 6= −1 r+1
ax + C , para a > 0, a 6= 1 ln a
Z sin xdx = − cos x + C
8)
Z 9)
cos xdx = sin x + C
Z
1 dx = tan x + C cos2 x
Z
1 dx = − cot x + C sin2 x
10)
11)
Z 12)
sinh xdx = cosh x + C
Z 13)
cosh xdx = sinh x + C
Z
1 dx = tanh x + C cosh2 x
Z
1 dx = − coth x + C sinh2 x
14)
15)
Z 16)
Z 17)
1 x2
+ 12
dx = arctan x + C
1 1 x dx = arctan + C , para a 6= 0 x2 + a2 a a
191
192
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
Z 18)
x2 − 1 Z
19)
Z 20)
Z 21)
Z 22)
Z 23)
1
2 dx =
1 x − 1 +C ln 2 x + 1
x − a 1 1 + C , para a 6= 0 dx = ln x2 − a2 2a x + a
√
1 dx = arcsin x + C 1 − x2
√
1 x dx = arcsin + C a a2 − x2
√
√
1 x2 ± 1
p dx = ln x + x2 ± 1 + C
p 1 dx = ln x + x2 ± a2 + C 2 2 x ±a
Exemplo 4.16. Aplica¸c˜ ao da tabela de integra¸c˜ao para o c´alculo integral Z x5 3x4 8x3 − + − 3x2 − 7x + C 1) x4 − 3x3 + 8x2 − 6x − 7 dx = 5 4 3 Z 3 x 3 25 8 3 5 2) 5x − dx = x 5 − √ arctan √ + C 2 2+x 8 2 2 Z 4 5 3) (4 cos 5x − 5 sin 3x) dx = sin 5x + cos 3x + C 5 3 Z 1 1 1 + aπx dx = ln |x| + aπx + C, (a > 0) 4) πx π π ln a As vezes ´e preciso fazer-se algumas manipula¸c˜oes da fun¸c˜ao integrada de forma a obter-se fun¸c˜ ao simples para se integrar .
Z Exemplo 4.17.
(x + 1)3 dx = x
Z
x3 + 3x2 + 3x + 1 dx = x
Z 1 1 3 2 dx = x3 + x2 + x + 3x + 3 + x 3 2
ln |x| + C
4.5.4
M´ etodo de substitui¸c˜ ao
Teorema 4.5. Se f (x) ´e uma fun¸c˜ ao cont´ınua e ϕ(t) continuamente deriv´avel , ent˜ao Z F (ϕ(t)) =
0
f (ϕ(t)ϕ (t)dt + C =
Z f (ϕ(t))dϕ(t) + C,
onde F ´e qualquer primitiva de f , isto ´e , qualquer fun¸c˜ao tal que F 0 = f .
(1)
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193
Exemplo 4.18. Achar os seguintes integrais indefinidos usando m´etodo de substitui¸c˜ao: Z x 1) dx x2 + 1 Z sin(3 ln x) 2) dx x Z √ 3) ex 1 + ex dx
Resolu¸c˜ ao: Z
x dx 2 x +1
1 1) seja u = , ent˜ao du = 2xdx e xdx = du logo 2 p 1 1 2 2 ln |u| + C = ln (x + 1) + C = ln x + 1 + C 2 2 x2 +1
Z
x 1 dx = 2 x +1 2
Z
1 du = u
Z
sin(3 ln x) 3 dx seja u = 3 ln x , ent˜ao du = dx xZ x Z sin(3 ln x) 1 1 1 donde dx = sin udu = − cos u + C = − cos(3 ln x) + C x 3 3 3 Z √ 3) ex 1 + ex dx seja v = 1 + ex , ent˜ao dv = ex dx Z Z √ 1 3 2 3 2 x x donde e 1 + e dx = v 2 dv = v 2 + C = (1 + ex ) 2 + C 3 3
2)
Exemplo 4.19. Achar Z 1 dx 1) 2 x + 4x + 5 Z dx √ 2) 2x e −1
Resolu¸c˜ ao: Z
Z 1 1 dx = dx seja t = x + 2 , ent˜ao dt = dx 2 2 x + 4x (x + 2) Z +5 Z +1 Z 1 1 dt donde dx = dx = = arctan t + C = arctan(x + 2) + C 2 2 2 x + 4x + 5 (x + 2) + 1 t +1 Z Z Z dx dx e−x dx √ √ p 2) = = seja u = e−x , ent˜ao du = −e−x dx donde e2x − 1 ex 1 − e−2x 1 − (e−x )2 Z Z Z dx e−x dx du √ p = =− √ = − arcsin u + C = − arcsin(e−x ) + C 2 −x 2 e2x − 1 1 − u 1 − (e ) 1)
Teorema 4.6. Seja f (x) uma fun¸c˜ ao cont´ınua em [a, b] , ϕ(t) deriv´avel continuamente em [α, β] para qualquer t [α, β], a ≤ ϕ((t) ≤ b , ent˜ao para α0 [α, β] e β0 [α, β] satisfazendo a condi¸c˜ ao a = ϕ(α0 ) e b = ϕ(β0 ) , tem-se Z
b
Z
β0
f (x)dx = a
α0
f (ϕ(t))ϕ0 (t)dt =
194
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
Z Exemplo 4.20. Calcule
I= 0
8
√ cos x + 1 √ dx x+1
Resolu¸c˜ ao: √ dx ao du = √ . Se x = 0 , ent˜ao u = 1 ; se x = 8,ent˜ao u = 3 .Logo Seja u = x + 1 , ent˜ 2 x+1 √ Z 8 Z 3 cos x + 1 √ cos udu = 2 sin u|31 = 2 sin 3 − 2 sin 1. I= dx = 2 x+1 0 1 x 2 x Exemplo 4.21. Achar a ´ area da regi˜ ao limitada por y = 2 + sin cos , eixo OX ,rectas x = 0 2 2 e x=π .
4.5.5
Resolu¸c˜ ao :
Uma vez que y ≥ 0 quando 0 ≤ x ≤ π , a ´area pretendida ´e dada por π
Z A=
2 + sin
0
x Seja v = 2 + sin , ent˜ ao 2 dv =
x x 2 cos dx 2 2
1 x cos dx. 2 2
Se x = 0 , isto ´e v = 2 ; se x = π , logo v = 3. e Z
π
A=
0
x 2 x 2 + sin cos dx = 2 2 2
Z 2
3
2 2 38 v 2 dv = v 3 |32 = (27 − 8) = 3 3 3
unidades quadr´ aticas.
4.5.6
Algumas identidades trigonom´ etricas fundamentais
1) sin2 x + cos2 x = 1
2) sec2 x = 1 + tan2 x
3) sin 2x = 2 sin x cos x
4) cos 2x = 2 cos2 x − 1 = 1 − 2 sin2 x
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5) sin2 x =
1 − cos 2x 2
6) cos2 x =
1 + cos 2x 2
4.5.7
195
Integrais de fun¸co ˜es trigonom´ etricas
Z tan xdx = ln | sec x| + C Z cot xdx = ln | sin x| + C = − ln | csc x| + C Z sec xdx = ln | sec x + tan x| + C Z csc xdx = − ln | csc x + cot x| + C = ln | csc x − cot x| + C Z
1 cos2 xdx = (x + sin x cos x) + C 2 Z 1 sin2 xdx = (x − sin x cos x) + C 2
Exemplo 4.22. Calcule: Z
sin3 x cos8 xdx
Z
cos5 axdx
1) 2)
Resolu¸c˜ ao Z 1)
3
Z
8
sin x cos xdx = Z
2
(1 − cos2 x) cos8 x sin xdx Z
8
(1−cos x) cos x sin xdx = −
2
Seja u = cos x, du = − sin xdx Z
8
(1−u )u du =
(u10 −u8 )du =
1 1 u1 1 u9 − +C = cos1 1x− cos9 x+C 11 9 11 9
isto ´e Z
Z 2)
Z
5
cos axdx = Z
2
sin3 x cos8 xdx =
1 1 cos11 x − cos9 x + C 11 9
(1 − sin2 ax)2 cos axdx. Seja u = sin ax, du = a cos axdx Z
2
(1−sin ax) cos axdx =
1 (1−u ) du = a 2 2
Z
1 (1−2u +u )du = a 2
4
1 2 3 1 5 u − u + u +C = sin ax − 3 5 a
logo Z
1 cos axdx = a 5
2 1 3 5 sin ax − sin ax + sin ax + C 3 5
196
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
4.5.8
Substitui¸c˜ oes trigonom´ etricas inversas √
a2 − x2 (onde a > 0) podem reduzir-se a forma simples atrav´es da x substitui¸c˜ao x = a sin θ , ou θ = arcsin a Z dx Exemplo 4.23. Ache I = 3 dx (5 − x2 ) 2 Os integrais que envolvem
Resolu¸c˜ ao Seja x =
√
√ 5 sin θ; dx = 5 cos θdθ Z Z √ Z dx 5 cos θdθ 1 1 x 1 I= = sec θdθ = tan θ + C = √ +C 3 dx = 3 5 5 5 5 − x2 (5 − x2 ) 2 5 2 cos3 θ
Os integrais que envolvem x ou θ = arctan a
√
a2 + x2 ou
Z Exemplo 4.24. Ache I =
√
1 s˜ao simplificados atrav´es da substitui¸c˜ao x = a tan θ x2 + a2
1 dx 4 + x2
Resolu¸c˜ ao Seja x = 2 tan θ, dx = 2 sec2 θdθ Z I=
1 √ dx = 4 + x2
Z
2 sec2 θ dθ = 2 sec θ
√
Z sec θdθ = ln |secθ+tan θ|+C = ln |
p 4 + x2 x + |+C = ln | 4 + x2 +x|+ 2 2
onde C1 = C − ln 2. Os integrais que envolvem
√
x2 − a2 ( onde a > 0 ) s˜ao simplificadas atrav´es da substitui¸c˜ ao x =
a sec θ. Z Exemplo 4.25. Ache I =
√
1 dx, a > 0 − a2
x2
Resolu¸c˜ ao √
x2 − a2 = a tan θ. Assim √ p x x2 − a2 a I = sec θdθ = ln | sec θ + θ| + C = ln | + + C = ln |x + x2 − a2 | + C1 a |
Seja x = a sec θ, dx = a sec θ tan θdθ e
, onde C1 = C − ln a
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Z I=−
197
p √ p du 1 x + x + x2 − a2 √ √ √ = − ln |u + u2 − a2 | + C1 = ln | | + C1 = u2 − a2 −x + x2 − a2 x + x2 − a2 √ p x + x2 − a2 + C = ln |x + x 2 − a 2 | + C2 , ln | 1 −a2
onde C2 = C1 − 2 ln 2 portanto Z I=
√
p 1 dx = ln |x + x2 − a2 | + C x2 − a2
Os integrais racionais que envolvem sin θ, cos θ s˜ao racionalizados atrav´es da substitui¸c˜ao θ 1 − x2 2x 2dx x = tan donde : cos θ = , sin θ = e dθ = 2 2 2 1+x 1+x 1 + x2 Z Exemplo 4.26. Calcule
1 dθ 2 + cos θ
Resolu¸ c˜ ao : Seja x = tan Z
θ 2
1 dθ = 2 + cos θ
4.5.9
portanto : Z
cos θ =
1 − x2 , 1 + x2
sin θ =
2x 1 + x2
e
dθ =
2dx 1 + x2
2dx Z 1 2 x 2 1 θ 1 + x2 = 2 dx = √ arctan √ + C = √ arctan √ tan +C 3 + x2 2 1 − x2 3 3 3 3 2+ 1 + x2
Integra¸c˜ ao de fun¸c˜ oes racionais
Considera-se agora integrais de forma Z
Q(x) dx P (x)
Onde P e Q s˜ ao polin´ omios.
Z Exemplo 4.27. Calcule
x3 + 3x2 dx x2 + 1
Resolu¸ c˜ ao O numerador ´e do grau 3 e o denominador ´e do grau 2 , portanto fazendo a divis˜ao ter´a-se : x+3 x3 + 3x2 =x+3− 2 x2 + 1 x +1 Logo Z 3 Z Z Z x + 3x2 x dx 1 1 dx = (x + 3)dx − dx − 3 = x2 + 3x − ln(x2 + 1) − 3 arctan x + C 2 2 2 x +1 x +1 x +1 2 2 Z x Exemplo 4.28. Calcule dx 2x − 1 Resolu¸ c˜ ao O numerador e o denominador s˜ ao ambos do grau 1 , portanto fazendo a divis˜ao ter´a-se : 1 x 1 2 = + 2x − 1 2 2x − 1
198
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
Logo Z
x 1 dx = 2x − 1 2
Z dx +
1 2
Z
dx x 1 = + ln |2x − 1| + C 2x − 1 2 4
Decomposi¸ c˜ ao em fra¸ c˜ oes simples Toda fra¸c˜ao pr´ opria irredut´ıvel R(x) =
Q(x) b0 xm + b1 xm−1 + · · · + bm = P (x) xn + a1 xn−1 + · · · + an
Onde b0 , b1 , b2 , · · · , bm , a1 , a2 , · · · , an s˜ao n´ umeros reais,pode ser de modo u ´nico transformada 2 A Dx + E p numa soma de fra¸c˜ oes simples de forma − q < 0. Deste modo ou 2 ,onde 2 (x − α)k x + px + q)l pode-se apresentar quatro casos: 1) O denominador P (x) ´e tal que a equa¸c˜ao P (x) = 0 tem somente as ra´ızes reais simples α1 , α2 , · · · , αn . A decomposi¸c˜ao realiza-se pela forma: Q(x) b0 xm + · · · + bm A B C = = + + ··· + P (x) (x − α1 )(x − α2 ) · · · (x − αn ) x − α1 x − α2 x − αn 2) As ra´ızes do denominador s˜ ao reais ,por´em entre elas h´a m´ ultiplas. A decomposi¸c˜ao se efectua pela f´ ormula: Q(x) b0 xm + · · · + bm = = P (x) (x − α1 )k1 (x − α2 )k2 · · · (x − αi )ki A1 A2 Ak1 B2 Bk2 B1 Lki + + · · ·+ + + · · ·+ + + · · ·+ 2 2 k k x − α1 (x − α1 ) (x − α1 ) 1 x − α2 (x − α2 ) (x − α2 ) 2 (x − αi )ki 3) Entre as ra´ızes do denominador h´a complexas simples.Efetua-se a decomposi¸c˜ao pela f´ ormula: b0 xm + · · · + bm Q(x) = = P (x) (x − α1 )k1 (x − α2 )k2 · · · (x2 + p1 x + q1 )(x2 + p2 x + q2 ) · · · A1 A2 Dx + E Fx + G + + ··· + 2 + 2 + ··· 2 x − α1 (x − α1 ) x + p1 x + q1 x + p2 x + q 2 4) Entre as ra´ızes do denominador h´a complexas m´ ultiplas. A decomposi¸c˜ao realiza-se pela f´ ormula Q(x) b0 xm + · · · + bm = = P (x) (x − α1 )k1 (x − α2 )k2 · · · (x2 + p1 x + q1 )l1 (x2 + p2 x + q2 )l2 · · · A1 A2 D1 x + E1 D2 x + E2 + + ··· + 2 + ··· + 2 + ··· 2 x − α1 (x − α1 ) x + p 1 x + q1 (x + p1 x + q1 )2 Dl1 x + El1 F1 x + G1 Fl x + Gl2 + 2 + ··· + 2 2 + ··· x + p2 x + q 2 (x2 + p1 x + q1 )l1 (x + p2 x + q 2 )l2 Z x+4 Exemplo 4.29. Calcule dx 2 x − 5x + 6 Resolu¸ c˜ ao ··· +
x2
x+4 A B = + − 5x + 6 x−2 x−3
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015
Calculando os valores de A
e
199
B obtemos :
A = −6
e
B=7
Logo Z
x+4 dx = −6 2 x − 5x + 6
Exemplo 4.30. Calcule
Z
1 di dx + 7 x−2
Z
x3 + 2 dx x3 − x
Z
1 dx = −6 ln |x − 2| + 7 ln |x − 3| + C x−3
Resolu¸ c˜ ao x3 + 2 dx = x3 − x
Z
Z
x+2 1+ 3 x −x
Z dx = x +
x+2 dx x3 − x
Usando o m´etodo de decomposi¸c˜ ao em fra¸c˜oes simples teremos : x+2 A B C A(x2 − 1) + B(x2 + x) + C(x2 − x) = + + = x3 − x x x−1 x+1 x(x − 1)(x + 1) Teremos A+B+C =0 B−C =1 −A = 2 Donde A = −2, B = Logo Z
x3 + 2 3 dx = x − 3 x −x 2
Z
Exemplo 4.31. Calcule
3 2
e
C=
3 2
Z 1 1 1 3 1 dx + dx = x − 2 ln |x| + ln |x − 1| + ln |x + 1| + C x−1 2 x+1 2 2 Z 2 + 3x2 + x2 dx x(x2 + 1) Z
Exemplo 4.32. Calcule
2 + 3x + x2 dx x(x2 + 1)
Resolu¸ c˜ ao: 2 + 3x + x2 A Bx + C A(x2 + 1) + Bx2 + Cx = + = x(x2 + 1) x x2 + 1 x(x2 + 1) Obtemos A = 2, B = −1
e
C=3
Logo 2 + 3x + x2 =2 x(x2 + 1)
Z
1 dx − x
Z
x dx + 3 2 x +1
Z x2
1 1 dx = 2 ln |x| − ln(x2 + 1) + 3 arctan x + C +1 2
200
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
Z Exemplo 4.33. Calcule
x3
1 dx +1
Resolu¸ c˜ ao: 1 1 A Bx + Cx A(x2 − x + 1) + B(x2 + x) + C(x + 1) = = + = x3 + 1 (x + 1)(x2 − x + 1) x + 1 x2 − x + 1 (x + 1)(x2 − x + 1) A+B =0 −A + B + C = 0 A+C =1 1 1 Obtemos A = , B = − 3 3 Logo
e
C=
2 3
1 3 − 2 2 dx Seja u = x− 1 , du = dx 2 2 1 3 x− + 2 4 Z Z 1 u 1 1 1 1 3 1 2 2u 1 2 du+ = ln |x+1|− ln u + + √ arctan √ +C = = ln |x+1|− 3 3 3 3 2 3 6 4 2 3 3 u2 + u2 + 4 4 1 1 1 2 2x − 1 2 √ = ln |x + 1| − ln(x − x + 1) + √ arctan +C 3 6 2 3 3 Z 1 Exemplo 4.34. Calcule dx x(x − 1)2 Resolu¸ c˜ ao: Z
1 1 dx = 3 x +1 3
Z
dx 1 − x+1 3
x−2 1 1 dx = ln |x+1|− 2 x −x+1 3 3
Z
Z
x−
1 A B C A(x2 − 2x + 1) + B(x2 − x) + Cx = + + = x(x − 1)2 x x − 1 (x − 1)2 x(x − 1)2 A+B =0 −2A − B + C = 0 A=1 Obtemos A = 1, B = −1
e
C=1
Logo Z
1 dx = x(x − 1)2
Z
Z Z 1 1 1 1 x 1 dx− dx+ dx = ln |x|−ln |x−1|− +C = ln | |− +C x x−1 (x − 1)2 x−1 x−1 x−1 Z
Exemplo 4.35. Calcule
x2 + 2 dx 4x5 + 4x3 + x
Resolu¸ c˜ ao: x2 + 2 A Bx + C Dx + E A(4x4 + 4x2 + 1) + B(2x4 + x2 ) + C(2x3 + x) + Dx2 + Ex = + + = x(2x2 + 1)2 x 2x2 + 1 (2x2 + 1)2 x(2x2 + 1)2
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015
201
4A + 2B = 0 2C = 0 4A + B + D = 1 A=2 Obtemos A = 2, B = −4, C = 0, D = −3
e
E=0
Logo Z
x2 + 2 dx = 2 4x5 + 4x3 + x Z 2 ln |x| −
4.5.10
Z
du 3 − u 4
dx −4 x
Z
Z
xdx −3 2x2 + 1
Z
xdx = Seja u = 2x2 + 1, du = 4xdx (2x2 + 1)2
3 du = 2 ln |x| − ln |u| + + C = ln u2 4u
x2 2x2 + 1
+
3 1 +C 4 2x2 + 1
Integra¸c˜ ao por partes
Teorema 4.7. Sejam as fun¸c˜ oes u = u(x) e v = v(x) continuas num intervalo I , deriv´aveis em todos Z Z pontos interiores de I e existe o integral udv . Ent˜ao tamb´em existe o integral vdu e tem-se Z
Z vdu = uv −
udv
ou Z
Z
0
v(x)u (x)dx = u(x)v(x) −
u(x)v 0 (x)dx
Exemplo 4.36. Usando o m´etodo de integra¸c˜ao por partes ache os seguintes integrais indefinidos: Z Z Z (a) ln xdx (b) x arctan xdx (c) arcsin xdx Resolu¸ c˜ ao: Z (a) ln xdx
Seja u = ln x , dv = dx ent˜ao du = Z
Z ln xdx = x ln x −
dx ,v = x x
donde
1 x dx = x ln x − x + C x
Z
dx 1 (b) x arctan xdx Seja u = arctan x , dv = xdx ent˜ao du = , v = x2 donde 2 2 x Z Z Z1 + 1 2 1 x2 1 2 1 1 1 1 x arctan xdx = x arctan x − dx = x arctan x − 1− dx = x2 − x + 2 2 2 2 1+x 2 2 1+x 2 2 1 arctan x + C logo 2 Z
1 1 1 x arctan xdx = x2 − x + arctan x + C 2 2 2
202
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
Z dx (c) arcsin xdx Seja u = arcsin x , dv = dx ent˜ao du = √ ,v = x donde 1 − x2 Z Z x arcsin xdx = x arcsin x − √ dx Seja u = 1 − x2 ,ent˜ao du = −2xdx 2 1 − x Z Z p √ 1 x 1 x arcsin x − √ dx = x arcsin x + u− 2 du = x arcsin x + u + C = x arcsin x + 1 − x2 + C 2 1 − x2 logo Z arcsin xdx = x arcsin x + Z Calcule I =
p 1 − x2 + C
e
x3 (ln x)2 dx
1
Resolu¸ c˜ ao : (2 ln xdx) x4 Seja u = (ln x)2 , dv = x3 dx Ent˜ ao du = ,v = x 4 Z Z e x4 1 e 3 3 2 2 e I= x ln xdx x (ln x) dx = (ln x) |1 − 4 2 1 1 dx x4 Seja u = ln x, dv = x3 dx Ent˜ ao du = ,v = 4 Z x Z e e4 2 1 x4 1 e 3 e4 e4 1 x4 e e4 e4 1 3 2 e I= x (ln x) dx = (1 ) − 0 − ln x|1 − x dx = − + |1 = + − = 4 2 4 4 1 4 8 8 4 8 32 32 1 5 4 1 e − 32 32 Teorema 4.8. Se as fun¸c˜ oes u e v , possuem derivadas cont´ınuas integr´aveis em [a, b] , ent˜ ao b
Z
0
u (x)v(x)dx = a
Z −
b
u(x)v 0 (x)dx.
a
Z Exemplo 4.37. Calcule:
u(x)v(x)|ba
I=
2
xex dx
1
Resolu¸ c˜ ao: Z 2 Z x x 2 I= xe dx = xe |1 − 1
4.6
2
ex dx = (x − 1)ex |21 = (2 − 1)e2 − (1 − 1)e1 = e2 .
1
Aula 30 - Pr´ atica
Os exerc´ıcios 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 devem ser resolvidos na qualidade de TPC. Ser˜ ao corrigidos e discutidos na aula pr´ atica. Os exerc´ıcios 9, 10 dever˜ao ser resolvidos pelos estudantes para a consilida¸c˜ ao do conhecimento e dever˜ao ser entregues ao Docente de aulas te´oricas na aula te´orica da semana seguinte.
Calcule os seguintes integrais: Z √ 3x + 4dx 1)
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015
203
Z 2)
cos(ax + b)dx
Z 3)
tan x ln cos xdx
Z
sin2 x dx cos4 x
Z
ex + 1 dx ex − 1
4)
5)
Z 6)
Z 7)
√
x3 9 + x2
x3 dx x3 − a3
Z 8)
x cos xdx
Z 9)
x arcsin xdx
Z 10)
ln(ln x) dx x
4.7
Aula 31 - teorica
4.7.1
Integral impr´ oprio
O integral impr´ oprio surge como expans˜ao do integral de Riemann ( integral dado num intervalo finito com a fun¸c˜ ao f (x) limitada em todo intervalo ). No integral impr´oprio considera-se dois tipos :
1) Integral impr´ oprio do primeiro tipo (a) Considera-se um intervalo infinito (−∞, b) ou (a, +∞) ou (−∞, +∞) (b) f (x) ´e limitada no intervalo dado . Z b Z +∞ Z f (x)dx ou f (x)dx ou −∞
a
2) Integral impr´ oprio do segundo tipo
+∞
−∞
f (x)dx
204
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
(a) Considera-se um intervalo finito [a, b] (b) f (x) n˜ ao ´e limitada no intervalo dado ( f (x) tem pelo menos um ponto de descontinuidade em [a, b] )
4.7.2
Integral impr´ oprio do primeiro tipo
Seja f (x) fun¸c˜ ao limitada num intervalo infinito (a, +∞) ou (−∞, b) ou (−∞, +∞). Para o n´ umero R , tal que a < R < +∞ existe o integral de Riemann de f (x) onde o integral impr´oprio define-se da seguinte forma : +∞
Z a
R
Z
def
f (x)dx =
lim
R→+∞ a
f (x)dx
De forma similar para outros intervalos tem-se : b
Z
f (x)dx = −∞
b
Z
def
lim
R→−∞ R
f (x)dx
e Z
+∞
Z
def
f (x)dx = −∞
R2
lim
R1 →−∞ R2 →+∞
f (x)dx R1
Em cada um dos casos acima se o limite existir , isto ´e , se for um n´ umero finito , diz-se que o integral impr´oprio converge , no caso contr´ ario diz-se que diverge .
+∞
Z +∞ Z 0 Z R2 dx dx dx dx Exemplo 4.38. + = lim + lim = 2 2 2 R1 →−∞ R1 1 + x R2 →+∞ 0 1+x 1 + x2 −∞ −∞ 1 + x 0 π π 2 lim arctan x|0R1 + lim arctan x|R =π . 0 = −(− ) + R1 →−∞ R2 →+∞ 2 2 Z
4.7.3
dx = 1 + x2
Z
0
Crit´ erio de convergˆ encia
Teorema 4.9. Suponhamos que ∀x ∈ [a, +∞) , verifica-se a desigualdade |f (x)| ≤ g(x) .Se o integral Z +∞ Z +∞ g(x)dx ´e convergente , ent˜ ao o integral f (x)dx tamb´em ´e convergente. a
a
Z Se f (x) ∼ g(x), x → ∞ , ent˜ ao
Z f (x)dx e
a
mente .
+∞
+∞
g(x)dx convergem ou divergem simultaneaa
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015
Z
+∞
Teorema 4.10. Seja 0 < a < ∞ , ent˜ao a
205
a1−p dx converge para p − 1 , se p > 1 xp diverge para ∞, se p ≤ 1
Z +∞ f (x)dx converge de modo absoluto ( absolutamente conDefin¸ c˜ ao 4.9. Diz-se que o integral Z +∞ a vergente ) se converge o integral |f (x)|dx. a +∞
(−1)n 1 dx, f (x) = , |f (x)| = 2 Exemplo 4.39. 2 2 x Z +∞ Z 1+∞ x Zx+∞ 1 (−1)n |f (x)|dx = dx , converge ⇒ dx ´e absolutamente convergente. x2 x2 1 1 1 Z +∞ Defin¸ c˜ ao 4.10. Diremos que o integral f (x)dx converge de modo condicional (condicionalmente a Z +∞ Z +∞ |f (x)|dx ´e divergente. f (x)dx ´e convergente e convergente) se Z
(−1)n
a
a
4.7.4
Integral impr´ oprio do segundo tipo
Defin¸ c˜ ao 4.11. Diremos que o ponto b ´e singular se a fun¸c˜ao f (x) n˜ao ´e limitada no intervalo [a, b] e ∀ε > 0 f (x) ´e limitada no intervalo [a, b − ε] 1 , x ∈ [1, 2] No ponto x = 1 a fun¸c˜ao n˜ao ´e limitada x−1 , x ∈ [1 + ε, 2], ε > 0
Exemplo 4.40. f (x) =
1 x−1 1 ´e limitada em [1 + ε, 2] f (x) = x−1 x = 1 ´e ponto singular f (x) =
Seja a fun¸c˜ ao f (x) n˜ ao limitada no intervalo [a, b] e b ponto singular. Suponhamos ainda que para ε > 0 a fun¸c˜ao f (x) ´e limitada em [a, b−ε] e integr´avel segundo Riemann em [a, b − ε] ent˜ ao: b
Z
b−ε
Z
def
f (x)dx = lim
ε→0+
a
f (x)dx a
Se a for o ponto singular tem-se Z
b
Z
def
b
f (x)dx = lim
ε→0+
a
f (x)dx a+ε
Se o ponto singular estiver no interior do intervalo [a, b] , isto ´e , se for um ponto c tal que a < c < b tem-se: Z
b
def
Z
f (x)dx = a
c
Z f (x)dx +
a
b
Z f (x)dx = lim
c
ε→0+
c−ε
Z f (x)dx + lim
a
ε→0+
c+ε
f (x)dx a
206
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
Em cada um dos casos acima se o limite existir , isto ´e , se for um n´ umero finito , diz-se que o integral impr´oprio converge , no caso contr´ ario diz-se que diverge .
4.7.5
Crit´ erio de convergˆ encia Z
b
g(x)dx ´e convergente , Teorema 4.11. Suponhamos que ∀x ∈ [a, b], |f (x)| ≤ g(x) e o integral a Z b f (x)dx tamb´em ´e convergente. ent˜ao o integral a Z b Z b g(x)dx tamb´em diverge. f (x)dx diverge , ent˜ao Se f (x) < g(x), ∀x ∈ [a, b] e a
a
Z Se f (x) ∼ g(x), x → b , ent˜ ao
b
Z
a
b
g(x)dx convergem ou divergem simultaneamente .
f (x)dx e a
Z Exemplo 4.41. Investigue a convergˆencia do integral 0
1
√
dx x + x3
Resolu¸ c˜ ao: 1 f (x) = √ , ∀x ∈ (0, 1] , x = 0 ´e ponto singular x + x3 I-Usando desigualdade 1 f (x) = √ , ∀x ∈ (0, 1]; x ∈ (0, 1] x√ + x3 √ x + x3 ≥ x, 0 ≤ x < 1 1 1 ≤ √ = g(x), 0 ≤ x ≤ 1 f (x) = √ 3 x x+x Z 1 Z 1 √ dx dx √ = lim 2 x|1ε = 2 lim (1 − ε) = 2 , converge . Ent˜ao √ tamb´em converge. + + x ε→0 ε→0 x + x3 0 0 II-Usando equivalˆ √ √ √encia p √ x + x3 x 1 + x2 √ lim √ = lim = 1 =⇒ x + x3 ∼ x, x → 0 x→0 x→0 x x Z 1 Z 1 1 1 dx dx √ √ √ ∼ √ , x→0⇒ e convergem ou divergem simultaneamente; mas 3 3 x x x+x x+x 0 Z 1 Z0 1 dx dx √ converge , logo √ j´a mostrou-se que converge. x x + x3 0 0 a1−p Z a dx converge para 1 − p , se p < 1 Teorema 4.12. Seja 0 < a < ∞ , ent˜ao p 0 x diverge para ∞, se p ≥ 1
4.7.6
C´ alculo de ´ areas
Teorema 4.13. Seja f (x) uma fun¸ca˜o n˜ao negativa e cont´ınua no segmento [a, b].Ent˜ao a ´ area da regi˜ao plana G ,
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015
207
G = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)}
´e dada pela f´ ormula Z
b
f (x)dx
S= a
y
f (x)
a
b
x
Figura 4.14: Exemplo 4.42. Calcule a ´ area da figura limitada pelo gr´afico de f (x) = x2 + 1 , pelos v´ertices x = 1 e x = 3 e pelo eixo das abcissas. Resolu¸ c˜ ao:
Z S= 1
3
(x2 + 1)dx = (
x3 27 1 32 + x)|31 = +3− −1= 3 3 3 3
Se a fun¸c˜ ao f ´e negativa e cont´ınua no segmento [a, b].Ent˜ao a ´area da regi˜ao plana G ,
G = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, f (x) ≤ y ≤ 0}
´e dada pela f´ ormula Z S=−
b
f (x)dx a
Para a fun¸c˜ ao com valores positivos e negativos no segmento [a, b]
208
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
y
y = x2 + 1
1
x
3
Figura 4.15: y
−f (x)
a
b
x
f (x)
Figura 4.16:
Tem-se:
Z S=
b
Z
Z f (x)dx −
f (x)dx = a
c
a
d
Z f (x)dx +
c
´ Area da regi˜ ao limitada por duas curvas vide figura (4.18) :
Tem-se:
b
f (x)dx d
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015
y
209
f (x)
a
c
d
b
Figura 4.17: y
f (x)
g(x) a b
x
Figura 4.18:
Z
b
[f (x) − g(x)]dx
S= a
Se a fun¸c˜ ao ´e dada na forma polar
Figura 4.19:
x
210
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
α≤ϕ≤β 1 S= 2
4.7.7
Z
β
ρ2 (ϕ)dϕ
α
Comprimento do arco duma curva
Seja Γ uma curva dada pela fun¸c˜ ao y = f (x) , a ≤ x ≤ a. Suponhamos que a fun¸c˜ao f (x) ´e continuamente diferenci´ avel no segmento [a, b]. Ent˜ao o comprimento da curva ´e dada por Z bp s= 1 + [f 0 (x)]2 dx a
Exemplo 4.43. Achar o comprimento do arco da curva y = x4 +
1 de x = 1 a x = 2. 32x2
Resolu¸ cs ˜ ao 2 Z 2 Z 2 dy 1 1 3 4 s= 1+ dx = 4x3 + dx = x − |21 = 15 + 3 2 dx 16x 32x 128 1 1 Se Γ ´e dada na forma param´etrica , tem-se
s=
Z bp [x0 (t)]2 + [y 0 (t)]2 + [z 0 (t)]2 dt a
Se Γ ´e dada na forma polar ρ(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β o comprimento ´e dado pela f´ormula Z
β
s=
p ρ2 (ϕ) + [ρ0 (ϕ)]2 dϕ
α
4.7.8
´ Area de superf´ıcie de revolu¸c˜ ao
Se f 0 (x) ´e cont´ınua em [a, b] e a curva y = f (x) ´e rodado em torno do eixo OX , a ´area da superf´ıcie de revolu¸c˜ao ´e : b
Z S = 2π
p |f (x)| 1 + [f 0 (x)]2 dx
a
Se for rodado em torno do eixo OY , a ´area da superf´ıcie ´e Z S = 2π a
b
p |x| 1 + [f 0 (x)]2 dx
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015
211
Se g 0 (y) ´e cont´ınua em [c, d] e a curva x = g(y) ´e rodado em torno do eixo OX , a ´ area da superf´ıcie de revolu¸c˜ ao ´e : Z
d
S = 2π
p |y| 1 + [g 0 (y)]2 dy
c
Se for rodado em torno do eixo OY , a ´area da superf´ıcie ´e Z S = 2π
d
p |g(y)| 1 + [g 0 (y)]2 dy
c
Exemplo 4.44. Achar a ´ area da superf´ıcie da esfera de raio a . Resolu¸ c˜ ao A superf´ıcie esf´erica ´e gerada pela rota¸c˜ao da semi-circunferˆencia y =
√
a2 − x2 , (−a ≤ x ≤ a), em
torno do eixo OX. dy x x = −√ =− 2 2 dx y a −x A ´area da superf´ s ıcie esf´erica ´e dada por Z a Z ap Z a√ x 2 2 2 S = 2π y 1+ dx = 4π y + x dx = 4π a2 dx = 4πax|a−a = 4πa2 unidades y −a −a −a quadr´aticas . Exemplo 4.45. Achar a ´ area da superf´ıcie de revolu¸c˜ao gerada pela rota¸c˜ao do arco da curva y = x2 , (0 ≤ x ≤ 1) , em torno do eixo OY . Resolu¸ c˜ ao Z 1 p S = 2π x 1 + 4x2 dx Seja u = 1 + 4x2 , du = 8xdx Ent˜ao 0 Z 1 p Z 5 1 π π 3 π √ S = 2π x 1 + 4x2 dx = u 2 du = u 2 |51 = (5 5 − 1) unidades quadr´aticas. 4 1 6 6 0
4.7.9
Volume do s´ olido de revolu¸c˜ ao
O volume V de um corpo situado entre x = a e x = x tendo a ´area da sec¸c˜ao perpendicular ao eixo OX igual a A(x) ´e dada pela f´ ormula Z V =
b
A(x)dx a
212
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
A regi˜ao plana limitada por x = a e x = b, y = f (x) ´e girada em torno do eixo OX , a sec¸c˜ ao do corte ´e perpendicular ao eixo OX ´e um disco de raio R = |f (x)| cuja ´area ´e
A(x) = π[f (x)]2
Assim sendo o volume do corpo de revolu¸c˜ao ´e b
Z
[f (x)]2 dx
V =π a
Exemplo 4.46. Achar o volume duma bola de raio a . Resolu¸ c˜ ao √ A bola ´e gerada pela rota¸c˜ ao do disco , 0 ≤ y ≤ a2− x2 , −a≤ x ≤ a pelo eixo OX ( 3 Ra √ R x 1 a V = π −a ( a2 − x2 )2 dx = 2π −a (a2 − x2 )dx = 2π a2 x − |a−a = 2π a3 − a3 = 3 3
veja figura ) 4 3 πa 3
Exemplo 4.47. Achar o volume do corpo gerado pela rota¸c˜ao em torno do eixo OX da regi˜ ao plana R , limitada pela curva y = x2 , rectas y = 2 e y = 1 . Resolu¸ c˜ ao Z 1 Z Z 1 2 4 1 2 2 2 (3 − 4x2 + x4 )dx = (3 − 4x + x )dx = 2π V = −1 π(2 − x ) − π(1) dx = π 0 −1 4x3 x5 1 4 1 56π = 2π 3x − + |0 = 2π 3 − + = 3 5 3 5 15 O volume do s´ olido obtido da rota¸c˜ao da regi˜ao planar 0 ≤ y ≤ f (x), a ≤ x < b em torno do eixo OY ´e Z V = 2π
b
xf (x)dx a
Exemplo 4.48. Achar o volume do corpo obtido pela rota¸c˜ao em torno do eixo OY do arco da par´abola y = x2 , 0 ≤ x ≤ 1. Resolu¸ c˜ ao 2 Z 1 x x4 1 π V = 2π x(1 − x2 )dx = 2π − |0 = 2 4 2 0 O volume de um corpo , obtido ao girar um sector limitado por um arco da curva ρ = ρ(ϕ) e dois raios polares ϕ = α, ϕ = β(α < β) , em torno do eixo polar , ´e expressa pela f´ormula
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015
2π V = 3
4.8
Z
213
β
ρ3 sin ϕdϕ
α
Aula 32 - Pratica
Os exerc´ıcios 1a, 1b, 2a, 2b, 3a, 4a, 5a, 5b devem ser resolvidos na qualidade de TPC. Ser˜ ao corrigidos e discutidos na aula pr´ atica. Os exerc´ıcios 1c, 2c, 3b, 4b dever˜ao ser resolvidos pelos estudantes para a consilida¸c˜ ao do conhecimento e dever˜ao ser entregues ao Docente de aulas te´oricas na aula te´ orica da semana seguinte. 1) Calcule os seguintes integrais impr´oprios :
Z
∞
1 dx (x − 1)3
(a) 2 1
dx
−1
(x + 1) 3
Z (b)
2
Z
+∞
(c) −∞
x dx 1 + x2
2) Usando crit´erios de convergˆencia mostre que convergem ou divergem os seguintes integrais :
Z
∞
(a) 0
Z
∞
(b)
dx √ 1+ x 3
e−x dx
0
Z
1
(c) −1
ex dx x+1
3) Achar o comprimento do arco das seguintes curvas :
(a) y 3 = x2 de (−1, 1) a (1, 1)
(b) 4y = 2 ln x − x2 de x = 1 a x = e
214
´ tica I - Da teoria a ` Pra ´ tica Matema
4) Achar as ´ areas de superf´ıcies de revolu¸c˜ao obtidas pela rota¸c˜ao das seguintes curvas :
3
(a) y = x 2 , (0 ≤ x ≤ 1) em torno do eixo OY
(b) y =
x3 1 + , (0 ≤ x ≤ 4) em torno do eixo OY 12 x
5) Achar o volume do s´ olido de revolu¸c˜ao obtido pela rota¸c˜ao da regi˜ao limitada por :
(a) y = x(2 − x), y = 0, x = 0 e x = 2 em torno do eixo OX e OY
(b) y =
1 , y = 2, x = 0 e x = 1 1 + x2
em torno do eixo OX e OY
Ensinar ´ e lembrar aos outros que eles sabem tanto, quanto vocˆ e
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Bibliografia [1] Adams, R. (2003) Calculus: A Complete Course, Fifth Edition, Addison Wesley Longman, Toronto. [2] Edwards, C. H. and D. E. Penney. (2002) Calculus, Sixth Edition, Prentice Hall, Inc., New Jersey. [3] Demidovitch, B. (2004) Problemas e Exerc´ıcios de An´ alise Matem´ atica, Edi¸coes Lopes da Silva, Porto - Portugal. [4] Ferreira, R. S. (1999) Matem´ atica Aplicada ´ as Ciˆencias Agr´ arias, Vi¸cosa. [5] Piskunov, N. (1980) C´ alculo Diferencial e Integral, S˜ao Paulo. [6] Beir˜ao, J. (2006) Introdu¸c˜ ao a An´ alise Matem´ atica, Texto Editores Lda, Mo¸cambique. [7] Larson, R. Hostetler, R.P Edwards, B. H. (2006) C´ alculo - Volume II, 8a Edi¸c˜ao, McGraw-Hill, S˜ao Paulo, Brasil.
215
