Analise Matematica 1

February 4, 2017 | Author: Higino Tavares | Category: N/A

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APONTAMENTOS DE ´ ´ ANALISE MATEMATICA I

10 de Dezembro de 2005

2

Índice 1 No¸ c˜ oes Topol´ ogicas, Indu¸ c˜ ao Matem´ atica 1.1 No¸cões topológicas em R . . . . . . . . . . 1.2 Indu¸cão matemática . . . . . . . . . . . . 1.3 Sucessões de n´ umeros reais . . . . . . . . 1.4 Exerc´ıcios Resolvidos . . . . . . . . . . . . 1.4.1 No¸cões Topológicas . . . . . . . . . 1.4.2 Indu¸cão Matemática . . . . . . . . 1.4.3 Sucessões . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Exerc´ıcios Propostos . . . . . . . . . . . . 1.5.1 No¸cões Topológicas . . . . . . . . . 1.5.2 Indu¸cão Matemática . . . . . . . . 1.5.3 Sucessões . . . . . . . . . . . . . .

e . . . . . . . . . . .

Sucess˜ oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1 1 4 8 18 18 25 33 43 43 45 46

. . . . . . . . . . . . . . de Bolzano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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49 49 51 56 62 63 63

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67 67 74 78 82 85 90 90 92 96 109 109 113 114

4 Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: Primitiva¸ c˜ ao 4.1 Primitivas imediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Primitiva¸cão por partes e por substitui¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Primitiva¸cão de fun¸cões racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

117 117 121 123

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2 Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: Limites e Continuidade 2.1 Generalidades sobre fun¸cões reais de variável real . . . . . . 2.2 Limites. Limites relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Continuidade: propriedades das fun¸cões cont´ınuas. Teorema 2.4 Exerc´ıcios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Exerc´ıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Limites e Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . .

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3 Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Diferencial 3.1 Derivadas. Regras de deriva¸cão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Teoremas Fundamentais: Rolle, Darboux, Lagrange e Cauchy. . . . 3.3 Indetermina¸cões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Aplica¸cões da fórmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Exerc´ıcios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1 Diferenciabilidade. Teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy . 3.6.2 Fórmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.3 Estudo de uma fun¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Exerc´ıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.1 Diferenciabilidade. Teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy . 3.7.2 Fórmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.3 Estudo de uma fun¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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´ INDICE

ii

4.4 4.5 4.6

Primitiva¸cão de fun¸cões algébricas irracionais Primitiva¸cão de fun¸cões transcendentes . . . . Exerc´ıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1 Primitiva¸cão . . . . . . . . . . . . . .

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131 136 139 139

5 Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral 5.1 Integral de Riemann: Defini¸cão e propriedades . . . . 5.2 Classes de fun¸cões integráveis . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Teoremas Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 5.4 Areas de figuras planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Integrais impróprios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Exerc´ıcios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.1 Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.2 Cálculo de áreas de dom´ınios planos limitados . 5.6.3 Integrais Impróprios . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Exerc´ıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.1 Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.2 Cálculo de áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.3 Integrais Impróprios . . . . . . . . . . . . . . .

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143 143 150 152 154 158 179 179 181 187 206 206 209 210

6 Apˆ endice A 213 6.1 Fun¸cões Trigonométricas Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 7 Apˆ endice B 7.1 Continuidade uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Exerc´ıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Continuidade Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

217 217 223 223

Cap´ıtulo 1

No¸c˜ oes Topol´ ogicas, Indu¸c˜ ao Matem´ atica e Sucess˜ oes 1.1

No¸c˜ oes topol´ ogicas em R

Defini¸ c˜ ao 1.1.1 Sejam a ∈ R, ε > 0. Chama-se vizinhan¸ ca ε de a ao conjunto Vε (a) =]a − ε, a + ε[. a- e

a+ e

a Figura 1.1 O conjunto Vε (a).

Defini¸ c˜ ao 1.1.2 Sejam a ∈ R e A um conjunto de n´ umeros reais. Diz-se que a é interior a A se existir uma vizinhan¸ca de a contida em A. Diz-se que a é fronteiro a A se toda a vizinhan¸ca de a intersecta A e R \ A. Diz-se que a é exterior a A se existir uma vizinhan¸ca de a contida em R \ A. NOTA: Um ponto é exterior a A se, e só se, é interior a R \ A. Defini¸ c˜ ao 1.1.3 O conjunto dos pontos interiores a A chama-se interior de A e representa-se por int(A). O conjunto dos pontos exteriores a A chama-se exterior de A e representa-se por ext(A). O conjunto dos pontos fronteiros a A chama-se fronteira de A e representa-se por fr(A). NOTA: Qualquer que seja A ⊂ R tem-se: int(A) ∩ ext(A) = ∅, int(A) ∩ fr(A) = ∅, fr(A) ∩ ext(A) = ∅ e int(A) ∪ fr(A) ∪ ext(A) = R. EXEMPLO 1: Sejam A =]0, 1], B = [0, 1], C = [0, 1[, D =]0, 1[. Então int(A) = int(B) = int(C) = int(D) =]0, 1[, fr(A) = fr(B) = fr(C) = fr(D) = {0, 1}, ext(A) = ext(B) = ext(C) = ext(D) = ] − ∞, 0[∪]1, +∞[. a 0

a- e

0

a- e

b a+ e

1

b- e b + e

1

b b- e b + e

a a+ e

b

a 0

a- e

0

a- e

a+ e

1 b- e b + e

a+ e

b e b b+ e 1

a

Figura 1.2 a ´ e ponto interior, b é ponto exterior e 0 e 1 são pontos fronteiros.

2

1. No¸ c˜ oes Topol´ ogicas, Indu¸ c˜ ao Matem´ atica e Sucess˜ oes

0

1 1 5 4

e e a - a+ 1 a 1 3

2

b 1

e b-

e b+

Figura 1.3 a e b s˜ ao pontos exteriores, 0 é ponto fronteiro.

EXEMPLO 2: Seja A =

1 , n ∈ N . Então int(A) = ∅, ext(A) = R \ (A ∪ {0}) e fr(A) = A ∪ {0}. n

EXEMPLO 3: Seja A = Q 1 . Então int(A) = ext(A) = ∅, fr(A) = R.

Defini¸ c˜ ao 1.1.4 Seja A um subconjunto de R. Diz-se que A é aberto se A = int(A). Defini¸ c˜ ao 1.1.5 Seja A um subconjunto de R. Chama-se fecho ou aderˆ encia de A ao conjunto A = A ∪ fr(A). Diz-se que x é aderente a A se x ∈ A. A diz-se fechado se A = A. NOTAS: 1. Das defini¸cões, conclui-se facilmente que A = int(A) ∪ fr(A). 2. A é fechado se, e só se, fr(A) ⊂ A. 3. A é fechado se, e só se, R \ A é aberto, isto é, R \ A = int(R \ A) = ext(A). ao EXEMPLO 4: Sejam A =]0, 1], B = [0, 1], C = [0, 1[, D =]0, 1[. B é fechado, D é aberto, A e C não s˜ fechados nem abertos. 1 EXEMPLO 5: A = , n ∈ N não é fechado nem aberto (note que fr(A) = A ∪ {0}). n 1 EXEMPLO 6: A = , n ∈ N ∪ {0} é fechado. n Defini¸ c˜ ao 1.1.6 Sejam a ∈ R e A um subconjunto de R. Diz-se que a é ponto de acumula¸ ca õ de A se qualquer vizinhan¸ca de a intersecta A \ {a}. Ao conjunto dos pontos de acumula¸ca õ de A chama-se derivado de A. Diz-se que a é ponto isolado de A se a ∈ A e existe uma vizinhan¸ca de a que n˜ ao intersecta A \ {a}. EXEMPLO 7: Seja A =

1 , n ∈ N . 0 é ponto de acumula¸cão de A. Todos os pontos de A são isolados. n

EXEMPLO 8: Seja A = [0, 1[ ∪ {2}. O conjunto dos pontos de acumula¸cão de A é [0, 1]. 2 é ponto isolado de A. NOTA: Se a ∈ int(A), então a é ponto de acumula¸cão de A. Defini¸ c˜ ao 1.1.7 Sejam x ∈ R e A um subconjunto de R. Diz-se que x é majorante de A se x ≥ a, ∀a ∈ A. Diz-se que x é minorante de A se x ≤ a, ∀a ∈ A. Defini¸ c˜ ao 1.1.8 Seja A um subconjunto de R. Diz-se que A é majorado se admitir majorantes. Diz-se que A é minorado se admitir minorantes. Se A for majorado e minorado, diz-se que A é limitado. 1 Note que entre dois racionais, por mais pr´ oximos que estejam, existem infinitos racionais e infinitos irracionais. Tamb´ em entre dois irracionais existem infinitos irracionais e infinitos racionais. O mesmo acontece entre um racional e um irracional.

1.1 No¸ c˜ oes topol´ ogicas em R

3

EXEMPLO 9: A = {x ∈ R : x2 < 1} =] − 1, 1[ é limitado. EXEMPLO 10: ] − ∞, 1[ é majorado. EXEMPLO 11: [1, +∞[ é minorado. EXEMPLO 12: A = {x ∈ R : |x| > 1} =] − ∞, −1[ ∪ ]1, +∞[ não é majorado nem minorado. Teorema 1.1.1 A é limitado se, e s´ o se, ∃M > 0, |x| ≤ M, ∀x ∈ A. Demonstra¸cão: Se A for limitado, sejam ν um minorante de A e µ um majorante de A; se M for o maior dos dois n´ umeros |ν| e |µ|, então |x| ≤ M, ∀x ∈ A (se µ = ν = 0, toma-se M > 0, qualquer). Reciprocamente, se ∃M > 0, |x| ≤ M, ∀x ∈ A, isto é, −M ≤ x ≤ M, ∀x ∈ A, então M é majorante de A e −M é minorante de A. Defini¸ c˜ ao 1.1.9 Seja A um subconjunto majorado de R. Diz-se que β é o supremo de A se β for majorante de A e for menor que todos os outros majorantes de A (isto é, se β for o menor dos majorantes de A); representa-se por β = sup(A). Se β, supremo de A, pertencer a A, diz-se que β é o m´ aximo de A; neste caso, representa-se por β = max(A). Defini¸ c˜ ao 1.1.10 Seja A um subconjunto minorado de R. Diz-se que α é o ´ınfimo de A se α for minorante de A e for maior que todos os outros minorantes de A (isto é, se α for o maior dos minorantes de A); representa-se por α = inf(A). Se α, ´ınfimo de A, pertencer a A, diz-se que α é o m´ınimo de A; neste caso, representa-se por α = min(A). EXEMPLO 13: Seja A = {x ∈ R : x2 < 1}. Então inf(A) = −1 e sup(A) = 1. A não tem m´ aximo nem m´ınimo. EXEMPLO 14: Seja A =] − 1, 1]. Então inf(A) = −1 e sup(A) = max(A) = 1. EXEMPLO 15: sup(] − ∞, 1[) = 1. Não existe ´ınfimo deste conjunto. Teorema 1.1.2 Em R, todo o conjunto n˜ ao vazio e majorado tem supremo e todo o conjunto n˜ ao vazio e minorado tem ´ınfimo. Não daremos aqui a demonstra¸cão do Teorema. Isso levar-nos-ia a um estudo mais profundo do conjunto dos n´ umeros reais, que não está nos propósitos deste curso. Teorema 1.1.3 Seja A um subconjunto de R. Ent˜ ao β = sup(A) se, e s´ o se, β é majorante de A e ∀ε > 0, ∃x ∈ A : x > β − ε. Analogamente, α = inf(A) se, e s´ o se, α é minorante de A e ∀ε > 0, ∃x ∈ A : x < α + ε. Demonstra¸cão: Demonstraremos a propriedade para o supremo. Para o ´ınfimo proceder-se-ia de modo análogo. Vamos primeiro demonstrar que se β = sup(A) então β é majorante de A e ∀ε > 0, ∃x ∈ A : x > β−ε. Fá-lo-emos pela contra-rec´ıproca, isto é, negando a tese chegaremos à nega¸cão da hipótese (trata-se da bem conhecida proposi¸cão da lógica formal A ⇒ B equivalente a ∼ B ⇒ ∼ A). Se β não for majorante de A, β não é o supremo de A (defini¸cão de supremo) e o problema fica resolvido. Se ∃ε > 0, ∀x ∈ A, x ≤ β − ε, então β não é o supremo de A visto que β − ε é majorante de A e β − ε < β. Reciprocamente, vamos mostrar que se β é majorante de A e ∀ε > 0, ∃x ∈ A : x > β − ε, ent˜ ao β = sup(A). Usamos, de novo, a contra-rec´ıproca. Se β não for o supremo de A, então ou não é majorante ou é majorante mas existe, pelo menos, outro majorante de A menor que β. No u ´ ltimo caso, seja γ esse majorante. Então, fazendo ε = β − γ (> 0) temos ∀x ∈ A, x ≤ γ = β − ε, que é a nega¸cão da hip´ otese.

4

1. No¸ c˜ oes Topol´ ogicas, Indu¸ c˜ ao Matem´ atica e Sucess˜ oes

1.2

Indu¸ c˜ ao matem´ atica

Para demonstrar que certas propriedades são válidas no conjunto dos n´ umeros naturais, N, usa-se o Princ´ıpio de Indu¸ c˜ ao Matem´ atica que passamos a enunciar: Uma propriedade é válida para todos os n´ umeros naturais se: 1. A propriedade é válida para n = 1, 2. Para todo o n natural, se a propriedade é válida para n, então ela é válida para n + 1. O método de demonstra¸cão baseado neste princ´ıpio consiste no seguinte: suponhamos que pretendemos demonstrar que uma propriedade p(n) é verdadeira sempre que substitu´ımos n por um n´ umero natural. Procedemos do seguinte modo: 1. verificamos se p(1) é verdadeira, isto é, verificamos se ao substituir n por 1 obtemos uma proposi¸caõ verdadeira; 2. Supomos que, para um qualquer n´ umero natural n, p(n) é verdadeira e vamos provar que p(n + 1) ` suposi¸cão da veracidade de p(n) costuma chamar-se hip´ é verdadeira. A otese de indu¸ c˜ ao e ao que queremos demonstrar (veracidade de p(n + 1)), tese de indu¸ c˜ ao. EXEMPLO 1: Vamos mostrar, usando o Princ´ıpio de Indu¸cão Matemática, que 1 + 2 + 3 + ···+ n =

n(n + 1) , ∀n ∈ N. 2

Seja p(n) a proposi¸cão anterior. Vê-se facilmente que p(1) é verdadeira. A hipótese de indu¸cão é 1 + 2+ 3+ ···+ n =

n(n + 1) 2

e a tese de indu¸cão é 1 + 2 + 3 + · · · + n + (n + 1) =

(n + 1)(n + 2) . 2

Então

n(n + 1) (n + 1)(n + 2) + (n + 1) = , 2 2 portanto, a proposi¸caõ p(n + 1) é válida. Pelo Princ´ıpio de indu¸cão podemos concluir que 1 + 2 + 3 + · · · + n + (n + 1) =

1 + 2 + 3 + ···+ n =

n(n + 1) , ∀n ∈ N. 2

EXEMPLO 2: Vamos mostrar, usando o Princ´ıpio de Indu¸cão Matemática, que 1 2 + 2 2 + 3 2 + · · · + n2 =

n(n + 1)(2n + 1) , ∀n ∈ N. 6

Seja p(n) a proposi¸cão anterior. Vê-se facilmente que p(1) é verdadeira. A hipótese de indu¸cão é 1 2 + 2 2 + 3 2 + · · · + n2 =

n(n + 1)(2n + 1) 6

e a tese de indu¸cão é 12 + 22 + 32 + · · · + n2 + (n + 1)2 =

(n + 1)(n + 2)(2n + 3) . 6

1.2 Indu¸ c˜ ao matem´ atica

5

Então

12 + 22 + 32 + · · · + n2 + (n + 1)2

n(n + 1)(2n + 1) (n + 1)(n(2n + 1) + 6(n + 1)) + (n + 1)2 = 6 6 (n + 1)(2n2 + 7n + 6) (n + 1)(n + 2)(2n + 3) = 6 6

= =

portanto, a proposi¸cão p(n + 1) é válida. Pelo Princ´ıpio de indu¸cão podemos concluir que 1 2 + 2 2 + 3 2 + · · · + n2 =

n(n + 1)(2n + 1) , ∀n ∈ N. 6

EXEMPLO 3: Provar, por indu¸cão, que 10n+1 + 3 × 10n + 5 é m´ ultiplo de 9, ∀n ∈ N. Comecemos por observar que o n´ umero 10n+1 + 3 × 10n + 5 é m´ ultiplo de 9 se existir um n´ umero inteiro positivo k tal que 10n+1 + 3 × 10n + 5 = 9k. Substituindo n por 1 na expressão 10n+1 + 3 × 10n + 5 obtemos 102 + 3 × 10 + 5 = 135 = 9 × 15, portanto a propriedade é válida para n = 1. A hipótese de indu¸cão é ∃k ∈ N : 10n+1 + 3 × 10n + 5 = 9k. A tese de indu¸cão é ∃k ′ ∈ N :

10n+2 + 3 × 10n+1 + 5 = 9k ′ .

Temos 10n+2 + 3 × 10n+1 + 5 = 10 × (10n+1 + 3 × 10n ) + 5 = (9k − 5) × 10 + 5 = 9(10k − 5). Seja k ′ = 10k − 5. Como k ′ ∈ N podemos dizer que 10n+2 + 3 × 10n+1 + 5 = 9k ′ Pelo Princ´ıpio de indu¸cão podemos concluir que 10n+1 + 3 × 10n + 5 é m´ ultiplo de 9, ∀n ∈ N. EXEMPLO 4: Vamos mostrar, usando o Princ´ıpio de Indu¸cão Matemática, que n X

k=1

(3 + 4k) = 2n2 + 5n, ∀n ∈ N.

Seja p(n) a proposi¸cão anterior. Vê-se facilmente que p(1) é verdadeira. A hipótese de indu¸caõ é n X

(3 + 4k) = 2n2 + 5n

k=1

e a tese de indu¸cão é n+1 X

(3 + 4k) = 2(n + 1)2 + 5(n + 1).

k=1

Então n+1 X

(3 + 4k) =

k=1

n X

(3 + 4k) + 3 + 4(n + 1) = 2n2 + 5n + 3 + 4(n + 1)

k=1

= 2n2 + 4n + 2 + 5n + 5 = 2(n + 1)2 + 5(n + 1)

6

1. No¸ c˜ oes Topol´ ogicas, Indu¸ c˜ ao Matem´ atica e Sucess˜ oes

portanto, a proposi¸cão p(n + 1) é válida. Pelo Princ´ıpio de indu¸cão podemos concluir que n X

k=1

(3 + 4k) = 2n2 + 5n, ∀n ∈ N.

EXEMPLO 5: Vamos mostrar, usando o Princ´ıpio de Indu¸cão Matemática, que 3n ≥ 2n+1 + 1, ∀n ∈ N \ {1}. Seja p(n) a proposi¸cão anterior. Comecemos por verificar que p(2) é verdadeira. Substituindo n por 2 obtemos 9 ≥ 8 que é uma proposi¸cão verdadeira. A hipótese de indu¸caõ é 3n ≥ 2n+1 + 1 e a tese de indu¸cão é 3n+1 ≥ 2n+2 + 1. Então 3n+1 = 3n × 3 ≥ 3 (2n+1 + 1) = 2n+1 3 + 3 ≥ 2n+1 3 + 1 ≥ 2n+1 2 + 1 = 2n+2 + 1 Pelo Princ´ıpio de indu¸cão podemos concluir que 3n ≥ 2n+1 + 1, ∀n ∈ N \ {1}. EXEMPLO 6: Vamos mostrar, usando o Princ´ıpio de Indu¸cão Matemática, a fórmula da soma de uma progressão geométrica: n X 1 − an se a 6= 1 então ap = a , ∀n ∈ N 1−a p=1 1−a . 1−a 2) Se admitirmos que a propriedade é válida para n, então:

1) Se n = 1, a fórmula é trivial: a = a1 = a

n+1 X

a

p

=

p=1

n X

p

a +a

n+1

p=1

=a

1 − an =a + an+1 = a 1−a

1 − an + an 1−a

=

1 − an + an − an+1 1 − an+1 =a 1−a 1−a

Pelo Princ´ıpio de indu¸cão podemos concluir que a propriedade é válida para todo o n ∈ N. EXEMPLO 7: Usando o Princ´ıpio de Indu¸cão Matemática, vamos demonstrar a seguinte igualdade (Binómio de Newton): n X n (a + b)n = Cp an−p bp , ∀a, b ∈ R, ∀n ∈ N p=0

1) Se n = 1, a propriedade é válida: a + b = 1 C0 a + 1 C1 b. 2) Vamos agora admitir que a propriedade é válida para n; então (a + b)n+1

=

(a + b) (a + b)n = (a + b)

n X

n

Cp an−p bp =

p=0

=

n X p=0

n

Cp an+1−p bp +

n X p=0

n

Cp an−p bp+1 =

1.2 Indu¸ c˜ ao matem´ atica

7

(fazendo p + 1 = s) =

n X

n

Cp an+1−p bp +

p=0

n+1 X

n

Cs−1 an−s+1 bs =

s=1

(como s é variável muda, podemos substitu´ı-la por p) =

n X

n

Cp an+1−p bp +

p=0

n+1 X

n

Cp−1 an−p+1 bp =

p=1

= an+1 +

n X

n

Cp an+1−p bp + bn+1 +

p=1

= an+1 + bn+1 +

n X

n

Cp−1 an−p+1 bp =

p=1

n X

( n Cp + n Cp−1 ) an+1−p bp =

p=1

= an+1 + bn+1 +

n X

n+1

Cp an+1−p bp =

p=1

=

n+1 X

n+1

Cp an+1−p bp

p=0

Pelo Princ´ıpio de indu¸cão podemos concluir que a propriedade é válida para todo o n ∈ N.

8

1.3

1. No¸ c˜ oes Topol´ ogicas, Indu¸ c˜ ao Matem´ atica e Sucess˜ oes

Sucess˜ oes de n´ umeros reais

Defini¸ c˜ ao 1.3.1 Chama-se sucess˜ ao de n´ umeros reais a toda a aplica¸ca õ de N em R. Os elementos do contradom´ınio chamam-se termos da sucess˜ ao. Ao contradom´ınio chama-se conjunto dos termos da sucess˜ ao. ´ usual designarem-se os termos da sucessão por un , em detrimento da nota¸cão u(n), habitual NOTA: E para as aplica¸c˜ oes em geral. Sendo uma aplica¸cão, o seu gráfico é o conjunto formado pelos pares ordenados da forma (n, un ), n ∈ N. 0.9 n n 1

0.8 0.7 0.6 5

10

15

Figura 1.4 O gr´ afico de uma sucessão.

Defini¸ c˜ ao 1.3.2 A express˜ ao designat´ oria que define a sucess˜ ao chama-se termo geral da sucess˜ ao. EXEMPLO 1: As sucessões de termos gerais an = n2 e bn = cos(n) estão ilustradas na Figura 1.5. 400

1

300

cos(n)

0.5

n2

200

5

100

10

15

-0.5

5

10

15

-1

Figura 1.5 Os gr´ aficos de an = n2 e de bn = cos(n).

´ o caso da defini¸cão por recorrência. NOTA: Podem-se definir sucessões sem explicitar o termo geral. E Exemplo: u1 = 1, u2 = 2, un+2 = un+1 + un (sucessão dos n´ umeros de Fibonacci). Por vezes dão-se apenas alguns termos da sucessão que induzem o leitor a “inferir” os restantes. Exemplo: 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, . . . Defini¸ c˜ ao 1.3.3 Uma sucess˜ ao diz-se limitada superiormente se o conjunto dos seus termos for majorado; diz-se limitada inferiormente se o conjunto dos seus termos for minorado; diz-se limitada se o conjunto dos seus termos for limitado. Teorema 1.3.1 Uma sucess˜ ao u é limitada se, e s´ o se, existe M ∈ R tal que |un | ≤ M , ∀n ∈ N. EXEMPLO 2: A sucessão un = n2 é limitada inferiormente, mas não superiormente.

1.3 Sucess˜ oes de n´ umeros reais

9

EXEMPLO 3: A sucessão un = −n é limitada superiormente, mas não inferiormente. EXEMPLO 4: A sucessão un = (−n)n não é limitada superiormente nem inferiormente. EXEMPLO 5: A sucessão un = cos(n) é limitada. EXEMPLO 6: A sucessão un =

qualquer que seja n ∈ N.

n+2 é limitada. n n + 2 = 1 + 2 ≤ 3, |un | = n n

Defini¸ c˜ ao 1.3.4 Dadas duas sucess˜ oes de n´ umeros reais u e v, chama-se soma, diferen¸ ca e produto de u e v a `s sucess˜ oes u + v, u − v e uv de termos gerais, respectivamente, un + vn , un − vn e un vn . Se vn 6= 0, ∀n ∈ N, chama-se sucess˜ ao quociente de u e v a ` sucess˜ ao u/v de termo geral un /vn . Defini¸ c˜ ao 1.3.5 Uma sucess˜ ao u diz-se crescente se un ≤ un+1 , ∀n ∈ N; diz-se estritamente crescente se un < un+1 , ∀n ∈ N; diz-se decrescente se un ≥ un+1 , ∀n ∈ N; diz-se estritamente decrescente se un > un+1 , ∀n ∈ N; diz-se mon´ otona se for crescente ou decrescente; diz-se estritamente mon´ otona se for estritamente crescente ou estritamente decrescente. EXEMPLO 7: A sucessão un = un+1 − un =

2n é crescente. De facto, 3n + 7

2n + 2 2n (2n + 2)(3n + 7) − 2n(3n + 10) 14 − = = > 0. 3n + 10 3n + 7 (3n + 10)(3n + 7) (3n + 10)(3n + 7)

EXEMPLO 8: A sucessão un = n2 é estritamente crescente. un+1 − un = (n + 1)2 − n2 = n2 + 2n + 1 − n2 = 2n + 1 > 0. EXEMPLO 9: A sucessão un = −n é estritamente decrescente. un+1 − un = −(n + 1) + n = −n − 1 + n = −1 < 0. EXEMPLO 10: A sucessão un = (−n)n não é monótona. un+1 − un = (−(n + 1))n+1 − (−n)n = (−1)n+1 ((n + 1)n+1 + nn ; esta diferen¸ca é positiva se n é ´ımpar e negativa se n é par. EXEMPLO 11: A sucessão un = (−1)n

n + (−1)n não é monótona. n2

  n+1−1 n+1 n3 + (n + 1)3   − =− 2 < 0, se n é par  − 2 2 (n + 1) n n (n + 1)2 un+1 − un =   n+1+1 n−1   + > 0, se n é ´ımpar (n + 1)2 n2

EXEMPLO 12: A sucessão un =

n + (−1)n não é monótona. n2

  n+1−1 n+1 n3 − (n + 1)3   − = < 0, se n é par  (n + 1)2 n2 n2 (n + 1)2 un+1 − un =  n+1+1 n−1 n2 + n + 1    − = > 0, se n é ´ımpar (n + 1)2 n2 n2 (n + 1)2

10

1. No¸ c˜ oes Topol´ ogicas, Indu¸ c˜ ao Matem´ atica e Sucess˜ oes

0.4 0.2 0.3 0.1 0.2 10 -0.1

20

30

40 0.1

-0.2

5

Figura 1.6 As sucess˜ oes (−1)n

10

15

20

n + (−1)n n + (−1)n e n2 n2

Dadas duas sucessões u e v, se v é uma sucessão de n´ umeros naturais, a composi¸cão u ◦ v ainda é uma sucessão, de termo geral uvn . Por exemplo, se u é a sucessão 1, 2, 1, 3, 1, 4, . . . e vn = 2n − 1, ent˜ ao uvn = 1; se zn = 2n, então uzn = n + 1; se sn = 4, então usn = 3. Obtém-se uma subsucessão de uma sucessão omitindo alguns dos seus termos mantendo os restantes na ordem original. Vejamos uma defini¸cão mais formal. Defini¸ c˜ ao 1.3.6 Dadas duas sucess˜ oes u e w, dizemos que w é subsucess˜ ao de u se existir v, sucess˜ ao de n´ umeros naturais, estritamente crescente, tal que w = u ◦ v. EXEMPLO 13: Das sucessões consideradas anteriormente, u ◦ v e u ◦ z são subsucessões de u, mas u ◦ s n˜ ao é subsucessão de u. NOTAS: 1. Toda a subsucessão de uma sucessão limitada é limitada. 2. Uma sucessão pode não ser limitada e ter subsucessões limitadas. Exemplo:   n, se n par un = 1  , se n ´ımpar n

3. Toda a subsucessão de uma sucessão monótona é monótona.

Defini¸ c˜ ao 1.3.7 Diz-se que a sucess˜ ao u é um infinitamente grande (ou que tende para +∞), e representa-se un → +∞, se ∀L ∈ R+ , ∃p ∈ N : n > p ⇒ un > L. Diz-se que u é um infinitamente grande em m´ odulo se |un | → +∞, isto é, ∀L ∈ R+ , ∃p ∈ N : n > p ⇒ |un | > L. Diz-se que u tende para −∞, e representa-se un → −∞, se ∀L ∈ R+ , ∃p ∈ N : n > p ⇒ un < −L.

1.3 Sucess˜ oes de n´ umeros reais

11

400

EXEMPLO 14: Vejamos que un = n2 → +∞. √ Dado L > 0, existe p ∈ N tal que p > L; ´ evidente portanto, se n > p então n2 > L. E que p depende de L (se L = 100 basta considerar p = 11, mas se L = 200 teremos de considerar p = 15). Este exemplo está ilustrado na Figura 1.7. De modo análogo pode mostrar-se que vn = −n → −∞ e que, se wn = (−n)n , então |wn | = nn → +∞.

p=15 300

L= 200 100

5

10

15

20

Figura 1.7

NOTAS: 1. Se u é tal que un → +∞, un → −∞ ou |un | → +∞ então u é não limitada. A rec´ıproca n˜ ao é verdadeira. Por exemplo, a sucess˜ ao   n, se n par un = 1  , se n ´ımpar n é não limitada e un 6→ +∞, un 6→ −∞, |un | 6→ +∞.

2. O facto de un → +∞ não implica que u seja crescente (nem que exista uma ordem a partir da qual seja crescente), como se pode ver pela Figura 1.8. 20 15 10 5

5

10

15

20

Figura 1.8 A sucess˜ ao un = n + (−1)n

é um infinitamente grande, mas não é monótona. Das defini¸cões, conclui-se imediatamente que Teorema 1.3.2 Sejam u e v sucess˜ oes tais que, a partir de certa ordem, un ≤ vn . Ent˜ ao, a) un → +∞ ⇒ vn → +∞, b) vn → −∞ ⇒ un → −∞. EXEMPLO 15: Consideremos a sucess˜ ao n X 1 1 1 1 √ = 1 + √ + √ + ···+ √ . n 2 3 k k=1

Como

√ 1 1 1 1 1 + √ + √ + ···+ √ ≥ n × √ = n n n 2 3 √ 1 1 1 e n → +∞ podemos afirmar que 1 + √ + √ + · · · + √ → +∞ (veja-se a Figura 1.9). n 2 3

12

1. No¸ c˜ oes Topol´ ogicas, Indu¸ c˜ ao Matem´ atica e Sucess˜ oes

12 10 8 6 4 2 10

20

30

40

50

Figura 1.9

Teorema 1.3.3 Sejam (un ) e (vn ) dois infinitamente grandes positivos e (wn ) um infinitamente grande negativo. Ent˜ ao a) lim(un + vn ) = +∞; b) lim(un · vn ) = +∞; c) lim(un · wn ) = −∞;

d) lim upn = +∞ ∀p ∈ N; e) lim wnp = ∞ ∀p ∈ N;

f) lim |un | = lim |wn | = +∞. Defini¸ c˜ ao 1.3.8 Sejam u uma sucess˜ ao e a ∈ R. Diz-se que u converge para a (ou tende para a ou, ainda, que o limite da sucess˜ ao é a), e representa-se un → a, se ∀ε > 0 ∃p ∈ N : n > p ⇒ |un − a| < ε. Isto é, podemos escolher p tal que todos os termos de un estão no intervalo ]a − ε, a + ε[ qualquer que seja n > p.

a+ e

p=5

a+e a a- e

a a- e

p=31

2 4 6 8 10 12 14 (a) Se ε = 0, 8 ent˜ ao a − 0, 8 < un < a + 0, 8 qualquer que seja n ≥ 5.

10 20 30 40 (b) Se ε = 0, 05 ent˜ ao a − 0, 05 < un < a + 0, 05 qualquer que seja n ≥ 31.

Figura 1.10 O valor de p varia com o valor de ε.

1 1 EXEMPLO 16: Provemos que un = → 0. De facto, seja ε > 0, qualquer; se p = Int n ε 1 1 n > p tem-se ≤ < ε. n p+1 2 Se

2

x ∈ R, chamamos parte inteira de x ao maior inteiro menor ou igual a x e representamo-la por Int(x)

então, para

1.3 Sucess˜ oes de n´ umeros reais

13

1 0.8 0.6 0.4 0.2 5

10

15

20

Figura 1.11 Se ε = 0, 1 ent˜ ao −ε <

25 1 n

30

< ε se n > 10.

NOTAS: 1. Em linguagem de vizinhan¸cas, a defini¸cão é equivalente a: ∀ε > 0 ∃p ∈ N : n > p ⇒ un ∈ Vε (a). 2. Poder´ıamos escrever ainda, de forma equivalente, ∀ε > 0 ∃p ∈ N : |un − a| < ε, ∀n > p. aticos, 3. Consideremos o conjunto R = R ∪ {−∞, +∞}, em que −∞ e +∞ são dois objectos matem´ não reais e distintos um do outro. Podemos introduzir, neste conjunto, a rela¸cão de ordem: i) se x, y ∈ R, x < y em R se, e só se, x < y em R. ii) −∞ < x < +∞, ∀x ∈ R. O conjunto R, com esta rela¸cão de ordem, designa-se por recta acabada.

Podemos estender a no¸cão de vizinhan¸ca a R. Seja ε ∈ R, ε > 0. Se a ∈ R, chama-se vizinhan¸ca ε de a ao conjunto Vε (a) =]a − ε, a + ε[ (que coincide, pois, com a vizinhan¸ca em R). Chama-se vizinhan¸ca ε de +∞ ao conjunto Vε (+∞) = 1ε , +∞ . Chama-se vizinhan¸ca ε de −∞ ao conjunto Vε (−∞) = −∞, − 1ε . Com as defini¸cões dadas atrás, podemos unificar, do ponto de vista formal, as defini¸co˜es 1.3.7 e 1.3.8: xn → a (a ∈ R) se, e só se, ∀ε > 0 ∃p ∈ N : n > p ⇒ un ∈ Vε (a).

Teorema 1.3.4 (Unicidade do limite) Se un → a e un → b ent˜ ao a = b. Teorema 1.3.5 Se (un ) e (vn ) s˜ ao sucess˜ oes convergentes, ent˜ ao a) lim(un + vn ) = lim un + lim vn ; b) lim(un · vn ) = lim un · lim vn ; c) lim(un )p = (lim un )p , p ∈ N; d) lim

un lim un = , ∀n ∈ N e lim vn 6= 0; vn lim vn

e) lim(un )1/p = (lim un )1/p (se p for par dever´ a ser un ≥ 0, ∀n ∈ N; f) lim |un | = | lim un |; g) (∃p ∈ N ∀n ≥ p : un > 0) ⇒ lim un ≥ 0;

14

1. No¸ c˜ oes Topol´ ogicas, Indu¸ c˜ ao Matem´ atica e Sucess˜ oes

h) (∃p ∈ N ∀n ≥ p : un ≥ vn ) ⇒ lim un ≥ lim vn . Defini¸ c˜ ao 1.3.9 Diz-se que a sucess˜ ao u é um infinit´ esimo se un → 0. ´ evidente, a partir das defini¸cões, que un → a é equivalente a un − a é um infinitésimo. NOTA: E Teorema 1.3.6 Se un → 0 e v é uma sucess˜ ao limitada, ent˜ ao un vn → 0. Demonstra¸cão: Seja M > 0 tal que |vn | ≤ M, ∀n ∈ N. Dado δ > 0, qualquer, seja p ∈ N, tal que |un | < δ/M, ∀n > p. Então |un vn | < δ, ∀n > p. −2 + 4 cos(n) . Sabemos que −1 ≤ cos(n) ≤ 1 o que implica que n 1 −6 ≤ −2 + 4 cos(n) ≤ 2, isto é, a sucessão é limitada. Sabemos que a sucessão é um infinitésimo. Pelo n Teorema 1.3.6 podemos afirmar que −2 + 4 cos(n) = 0. lim n EXEMPLO 17: Calculemos o limite lim

2

10

20

30

40

-2

-4

-6

Figura 1.12

Teorema 1.3.7 Toda a sucess˜ ao convergente é limitada. NOTA: A rec´ıproca não é verdadeira. Por exemplo, a sucessão un = cos(nπ) é limitada, mas n˜ ao é convergente. Teorema 1.3.8 (Teorema das sucessões enquadradas) Se un → a, vn → a e, a partir de certa ordem, un ≤ wn ≤ vn , ent˜ ao wn → a. Demonstra¸cão: Seja ε > 0, qualquer. Então ∃p1 ∈ N : n > p1 ⇒ a − ε < un < a + ε, ∃p2 ∈ N : n > p2 ⇒ a − ε < vn < a + ε, ∃p3 ∈ N : n > p3 ⇒ un ≤ wn ≤ vn . Seja p = max{p1 , p2 , p3 }. Se n > p, então a − ε < un ≤ wn ≤ vn < a + ε. EXEMPLO 18: Calculemos o limite lim

−2 + 4 cos(n) . Sabemos que −1 ≤ cos(n) ≤ 1 o que implica que n

−

6 −2 + 4 cos(n) 2 ≤ ≤ . n n n

1.3 Sucess˜ oes de n´ umeros reais

Dado que

15

1 → 0, podemos afirmar que n lim

−2 + 4 cos(n) = 0. n

0.75 0.5 0.25 10

20

30

40

50

-0.25 -0.5 -0.75

Figura 1.13

Teorema 1.3.9 Toda a subsucess˜ ao de uma sucess˜ ao convergente é convergente para o mesmo limite. Teorema 1.3.10 Um conjunto X ⊂ R é fechado se, e s´ o se, todos os limites das sucess˜ oes convergentes, de elementos de X, pertencem a X. Teorema 1.3.11 Toda a sucess˜ ao mon´ otona limitada é convergente. NOTA: A rec´ıproca não é verdadeira, isto é, há sucessões não monótonas que são convergentes. Por 1 exemplo, a sucessão un = (−1)n converge para 0 e não é monótona (Figura 1.14). n 0.2 0.1 10

20

30

40

-0.1 -0.2

Figura 1.14 A sucess˜ ao é convergente, mas não é monótona.

Teorema 1.3.12 Toda a sucess˜ ao limitada tem subsucess˜ oes convergentes. Defini¸ c˜ ao 1.3.10 Diz-se que a ∈ R é sublimite da sucess˜ ao u se existir uma subsucess˜ ao de u que converge para a. EXEMPLO 19 : −1 e 1 são sublimites da sucessão un = (−1)n + NOTAS: Seja S o conjunto dos sublimites da sucessão u. 1. Pelo Teorema 1.3.12, se u é limitada, S 6= ∅; 2. S pode ser vazio; exemplo: un = n;

1 . n

16

1. No¸ c˜ oes Topol´ ogicas, Indu¸ c˜ ao Matem´ atica e Sucess˜ oes

2 1.5 1 0.5 5

10

15

20

25

30

-0.5 -1

Figura 1.15 Sublimites da sucess˜ ao un = (−1)n +

1 . n

3. Se u for convergente, S é um conjunto singular (isto é, só com um elemento). 4. S pode ser singular e u não ser convergente; exemplo:   1   , se n par n un =    n, se n ´ımpar.

5. S pode ser um conjunto infinito; por exemplo, dada a sucessão 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, . . . então S = N.

Teorema 1.3.13 O conjunto dos sublimites de uma sucess˜ ao limitada tem m´ aximo e m´ınimo. Defini¸ c˜ ao 1.3.11 Sejam u uma sucess˜ ao limitada e S o conjunto dos sublimites de u. Chama-se limite m´ aximo ou limite superior de u ao m´ aximo de S e representa-se lim un = lim sup un = max(S). Chama-se limite m´ınimo ou limite inferior de u ao m´ınimo de S e representa-se lim un = lim inf un = min(S). Se u n˜ ao for limitada superiormente, define-se lim un = +∞. Se u n˜ ao for limitada inferiormente, define-se lim un = −∞. Se un → +∞ define-se lim un = lim un = +∞. Se un → −∞ define-se lim un = lim un = −∞. Teorema 1.3.14 Uma sucess˜ ao limitada é convergente se, e s´ o se, lim un = lim un . Defini¸ c˜ ao 1.3.12 Uma sucess˜ ao u diz-se de Cauchy (ou fundamental) se ∀ε > 0 ∃p ∈ N : m, n > p ⇒ |un − um | < ε. 1 1 1 1 1 EXEMPLO 20: un = é sucessão de Cauchy. De facto, sejam m, n > p; então − ≤ + < n n m n m 1 1 2 2 + = . Seja ε > 0, qualquer; para concluir, basta tomarmos p > . p p p ε NOTA: Na defini¸cão de sucessão convergente, introduzimos um elemento externo à sucessão, o limite. A sucessão converge se, a partir de certa ordem, todos os elementos da sucessão “estão perto” do limite. Na defini¸cão de sucessão de Cauchy apenas comparamos os elementos da sucessão uns com os outros. Dizemos que a sucessão é de Cauchy se, a partir de certa ordem, todos os elementos da sucessão “est˜ ao perto” uns dos outros. Teorema 1.3.15 Uma sucess˜ ao real é convergente se, e s´ o se, for de Cauchy.

1.3 Sucess˜ oes de n´ umeros reais

17

NOTA: Este teorema permite-nos mostrar que uma sucessão é convergente sem ter que calcular o seu limite. Consideremos a sucessão: 1 1 1 un = 1 + 2 + 2 + · · · + 2 2 3 n Podemos tomar, sem perda de generalidade, n > m; então |un − um | =

1 1 1 1 1 1 + + · · · + = + + ··· + 2 ≤ (m + 1)2 (m + 2)2 n2 (m + 1)2 (m + 2)2 n

1 1 1 + + ···+ = m(m + 1) (m + 1)(m + 2) (n − 1)n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − + − + ··· − = − ≤ = m m+1 m+1 m+2 n−1 n m n m

Se p >

≤

1 e n ≥ m > p, obtemos |un − um | < ε pelo que a sucessão é de Cauchy, portanto convergente. ε

18

1. No¸ c˜ oes Topol´ ogicas, Indu¸ c˜ ao Matem´ atica e Sucess˜ oes

1.4

Exerc´ıcios Resolvidos

1.4.1

No¸c˜ oes Topol´ ogicas

√ x2 − 4x + 3 1. Considere a expressão designatória definida, no conjunto dos n´ umeros reais, por e log(x + 2) seja A o seu dom´ınio. Considere o seguinte subconjunto de R: B = {x ∈ R : |x − 1| < 3}. (a) Apresentando todos os cálculos, escreva A e B como união de intervalos. (b) Determine o conjunto dos pontos interiores e o derivado de B e a fronteira de A ∩ B. 2. Considere os conjuntos A e B definidos por A = {x ∈ R :

log(x2 ) ≥ 0} e |x2 − 4|

B = {x ∈ R : |x2 − 1| < 1}.

(a) Exprima A e B como união de intervalos. (b) Determine o interior de A ∪ B, os minorantes de A ∩ B e os pontos de acumula¸cão de B. 3. Considere a expressão designatória definida, no conjunto dos n´ umeros reais, por A o seu dom´ınio. Considere o seguinte subconjunto de R:

1 e seja log(x2 − 9)

B = {x ∈ R : |x + 1| < 1}. (a) Apresentando todos os cálculos, escreva A e B como união de intervalos. (b) Determine a fronteira de A ∪ B. Averig´ ue se A ∪ B é um conjunto aberto. Justifique. 4. Considere os conjuntos A e B definidos por A = {x ∈ R : |arctg(x)| ≥

π } 4

e

B = {x ∈ R : (x − 1)(x + 3) ≤ 0}.

(a) Exprima A e B como união de intervalos. (b) Determine o interior, a fronteira, os majorantes, os minorantes e os pontos de acumula¸cão de A ∩ B. 5. Considere a expressão designatória definida, no conjunto dos n´ umeros reais, por e seja A o seu dom´ınio. Considere o seguinte subconjunto de R:

log(x2 − 3x + 2) √ 9 − x2

B = {x ∈ R : 0 < |x + 1| ≤ 4}. (a) Apresentando todos os cálculos, escreva A ∩ B como união de intervalos.

(b) Determine o conjunto dos pontos interiores e o derivado de B e a fronteira de A ∩ B. 6. Considere a expressão designatória definida, no conjunto dos n´ umeros reais, por seja A o seu dom´ınio. Considere o seguinte subconjunto de R: √ √ B = {x ∈ R : | 2x| ≤ 6}. (a) Apresentando todos os cálculos, escreva A ∩ B como união de intervalos.

arcsen(2x − 3) e log(x2 − 1)

1.4 Exerc´ıcios Resolvidos

19

(b) Determine, justificando, o conjunto dos pontos fronteiros de A ∩ B. Averig´ ue se o conjunto A ∩ B é fechado.

˜ RESOLUC ¸ AO 1. (a) O conjunto A é o conjunto dos valores de x para os quais a expressão faz sentido, isto é, A = {x ∈ R : x2 − 4x + 3 ≥ 0 ∧ x + 2 > 0 ∧ log(x + 2) 6= 0}. Usando a fórmula resolvente para a equa¸cão de grau 2 temos x2 − 4x + 3 ≥ 0 ⇔ (x − 1)(x − 3) ≥ 0 Os n´ umeros 1 e 3 dividem a recta em três intervalos: ] − ∞, 1[, ]1, 3[ e ]3, +∞[. Em cada um desses intervalos o produto (x − 1)(x − 3) toma o sinal que se pode ver na Figura 1.16, portanto, (x − 1)(x − 3) ≥ 0 ⇔ x ≤ 1 ∨ x ≥ 3. +++++++++0----------------0+++++++++ 1

3 Figura 1.16

Como log(x + 2) 6= 0 ⇔ x + 2 6= 1, temos (ver Figura 1.17) A

= {x ∈ R : (x ≤ 1 ∨ x ≥ 3) ∧ x > −2 ∧ x 6= −1} =

] − ∞, 1] ∪ [3, +∞[

∩ ] − 2, +∞[ ∩

] − ∞, −1[ ∪ ] − 1, +∞[

= ] − 2, −1[ ∪ ] − 1, 1[ ∪ [3, +∞[.

1 -2

3

-1 Figura 1.17

Sabemos que |x − 1| < 3 ⇔ −3 < x − 1 < 3 ⇔ −2 < x < 4, portanto, B =] − 2, 4[.

(b) Seja a ∈ B. Seja ε = min(a + 2, 4 − a). A vizinhan¸ca de a, ]a − ε, a + ε[ está contida em B (ver Figura 1.18), portanto, a ∈ int(B). Podemos afirmar que int(B) = B =] − 2, 4[. a+2 4-a

-2 a

4

Figura 1.18

O derivado de B, B ′ , é o conjunto dos pontos de acumula¸cão de B. Neste caso, B ′ = [−2, 4].

20

1. No¸ c˜ oes Topol´ ogicas, Indu¸ c˜ ao Matem´ atica e Sucess˜ oes

-2

-1

1

3

-2

4 Figura 1.19

Determinemos o conjunto A ∩ B (ver Figura 1.19. A ∩ B = ] − 2, −1[ ∪ ] − 1, 1[ ∪ [3, +∞[ ∩ ] − 2, 4[=] − 2, −1[ ∪ ] − 1, 1[ ∪ [3, 4[.

A fronteira é o conjunto f r(A ∩ B) = {−2, −1, 1, 3, 4} porque são estes os u ´ nicos pontos tais que todas as vizinhan¸cas intersectam o conjunto A ∩ B e o seu complementar.

2. (a) O conjunto A pode escrever-se como A = {x ∈ R : log(x2 ) ≥ 0 ∧ x2 > 0 ∧ |x2 − 4| > 0} = {x ∈ R : x2 ≥ 1 ∧ x 6= 0 ∧ x2 − 4 6= 0} = {x ∈ R : x2 − 1 ≥ 0 ∧ x 6= 0 ∧ x 6= 2 ∧ x 6= −2} A expressão x2 − 1 é um caso notável da multiplica¸cão:

x2 − 1 ≥ 0 ⇔ (x − 1)(x + 1) ≥ 0

Os n´ umeros -1 e 1 dividem a recta em três intervalos: ] − ∞, −1[, ] − 1, 1[ e ]1, +∞[. Em cada um desses intervalos o produto (x − 1)(x + 1) toma o sinal que se pode ver na Figura 1.20, portanto, (x − 1)(x + 1) ≥ 0 ⇔ x ≤ −1 ∨ x ≥ 1. +++++++++0----------------0+++++++++ -1

1 Figura 1.20

Finalmente, A

= {x ∈ R : x ≤ −1 ∨ x ≥ 1 ∧ x 6= 0 ∧ x 6= 2 ∧ x 6= −2} =

] − ∞, −1] ∪ [1, +∞[

\ {−2, 0, 2}

= ] − ∞, −2[ ∪ ] − 2, −1] ∪ [1, 2[ ∪ ]2, +∞[ e B

=

{x ∈ R : −1 < x2 − 1 < 1} = {x ∈ R : x2 > 0 ∧ x2 − 2 < 0}

=

{x ∈ R : x 6= 0 ∧ (x −

=

] −

√

2)(x +

√ 2) < 0}

√ √ √ √ 2, 2 [ \{0} = ] − 2, 0 [ ∪ ] 0, 2[

1.4 Exerc´ıcios Resolvidos

21

+++++++++0----------------0+++++++++ - 2

2 Figura 1.21

(b) Determinemos os conjuntos A ∩ B e A ∪ B (ver Figura 1.22). A∩B

= =

A∪B

= =

] − ∞, −2[ ∪ ] − 2, −1] ∪ [1, 2[ ∪ ]2, +∞[ ]−

√ √ 2, −1[ ∪ ]1, 2[.

] − ∞, −2[ ∪ ] − 2, −1] ∪ [1, 2[ ∪ ]2, +∞[ ] − ∞, −2[ ∪ ] − 2, 0[ ∪ ]0, 2[ ∪ ]2, +∞[.

-2

-1

- 2

∩

]−

√ √ 2, 0 [ ∪ ] 0, 2[

∪

]−

√ √ 2, 0 [ ∪ ] 0, 2[

2

1

0

2

Figura 1.22

√ O conjunto dos minorantes √ √ de A ∩ B é o conjunto ] − ∞, − 2], o interior de A ∪ B é A ∪ B e o derivado de B é [− 2, 2]. 3. (a) O conjunto A é o conjunto dos valores de x para os quais a expressão faz sentido, isto é, A = {x ∈ R : x2 − 9 > 0 ∧ log(x2 − 9) 6= 0} A expressão x2 − 9 é um caso notável da multiplica¸cão: x2 − 9 > 0 ⇔ (x + 3)(x − 3) > 0. Os n´ umeros -3 e 3 dividem a recta em três intervalos: ] − ∞, −3[, ] − 3, 3[ e ]3, +∞[. Em cada um desses intervalos o produto (x + 3)(x − 3) toma o sinal que se pode ver na Figura 1.23, portanto, (x + 3)(x − 3) > 0 ⇔ x < −3 ∨ x > 3.

+++++++++0----------------0+++++++++ -3

3 Figura 1.23

22

1. No¸ c˜ oes Topol´ ogicas, Indu¸ c˜ ao Matem´ atica e Sucess˜ oes

Como log(x2 − 9) 6= 0 ⇔ x2 − 9 6= 1 ⇔ x2 6= 10 ⇔ x 6= A =

{x ∈ R : (x < −3 ∨ x > 3) ∧ x 6= ] − ∞, −3[ ∪ ]3, +∞[

= =

√ √ 10 ∧ x 6= − 10, temos √ √ 10 ∧ x 6= − 10}

√ √ \ {− 10, 10}

√ √ √ √ ] − ∞, − 10[ ∪ ] − 10, −3[ ∪ ]3, 10[ ∪ ] 10, +∞[.

Sabemos que |x + 1| < 1 ⇔ −1 < x + 1 < 1 ⇔ −2 < x < 0, portanto, B =] − 2, 0[. (b) Detrminemos o conjunto A ∪ B: √ √ √ √ A ∪ B = ] − ∞, − 10[ ∪ ] − 10, −3[ ∪ ]3, 10[ ∪ ] 10, +∞[ ∪ ] − 2, 0 [. - 10 -3

3

-2

10

0

Figura 1.24

√ √ Os pontos fronteiros de A ∪ B formam o conjunto {− 10, −3, −2, 0, 3, 10}. Como nenhum dos pontos fronteiros pertence a A ∪ B podemos concluir que int(A ∪ B) = A ∪ B, ou seja, o conjunto é aberto. 4. (a) O conjunto A pode escrever-se como A =

{x ∈ R : arctg(x) ≥

π 4

∨ arctg(x) ≤ − π4 }

=

{x ∈ R : x ≥ 1 ∨ x ≤ −1}

=

] − ∞, −1] ∪ [1, +∞[ p 2 p 4

-4

-2

-1

1

2

4

-p 4 -p 2

Figura 1.25 O gr´ afico da fun¸cão arctg(x).

Os n´ umeros -3 e 1 dividem a recta em três intervalos: ] − ∞, −3[, ] − 3, 1[ e ]1, +∞[. Em cada um desses intervalos o produto (x − 1)(x + 3) toma o sinal que se pode ver na Figura 1.26, portanto, (x − 1)(x + 3) ≤ 0 ⇔ −3 ≤ x ≤ 1.

1.4 Exerc´ıcios Resolvidos

23

+++++++++0----------------0+++++++++ -3

1 Figura 1.26

Temos B = [−3, 1]. (b) O conjunto A ∩ B = [−3, −1] ∪ {1}. O conjunto dos majorantes de A ∩ B é ] − ∞, −3], o conjunto dos minorantes é [1, +∞[, a fronteira é {−3, −1, 1}, o interior é ] − 3, −1[ e o derivado é [−3, −1]. 5. (a) O conjunto A é o conjunto dos valores de x para os quais a expressão faz sentido, isto é, A = {x ∈ R : x2 − 3x + 2 > 0 ∧ 9 − x2 > 0} A expressão 9 − x2 é um caso notável da multiplica¸cão 9 − x2 > 0 ⇔ x2 − 9 < 0 ⇔ (x + 3)(x − 3) < 0. Os n´ umeros -3 e 3 dividem a recta em três intervalos: ] − ∞, −3[, ] − 3, 3[ e ]3, +∞[. Em cada um desses intervalos o produto (x + 3)(x − 3) toma o sinal que se pode ver na Figura 1.27, portanto, (x + 3)(x − 3) < 0 ⇔ −3 < x < 3. +++++++++0----------------0+++++++++ -3

3 Figura 1.27

Além disso, usando a fórmula resolvente, temos x2 − 3x + 2 > 0 ⇔ (x − 1)(x − 2) > 0. Os n´ umeros 1 e 2 dividem a recta em três intervalos: ] − ∞, 1[, ]1, 2[ e ]2, +∞[. Em cada um desses intervalos o produto (x − 1)(x − 2) toma o sinal que se pode ver na Figura 1.28, portanto, (x − 1)(x − 2) < 0 ⇔ x < 1 ∨ x > 2. Podemos concluir que

A =] − 3, 3[ ∩

] − ∞, 1[ ∪ ]2, +∞[

=] − 3, 1[ ∪ ]2, 3[.

+++++++++0----------------0+++++++++ 1

2 Figura 1.28

Sabemos que 0 < |x + 1| ≤ 4 ⇔ −4 ≤ x + 1 ≤ 4 ∧ x + 1 6= 0 ⇔ −5 ≤ x ≤ 3 ∧ x 6= −1, portanto, B = [−5, −1[ ∪ ] − 1, 3]. Assim, A ∩ B = ] − 3, 1[ ∪ ]2, 3[ ∩ [−5, −1[ ∪ ] − 1, 3] =] − 3, −1[ ∪ ] − 1, 1[ ∪ ]2, 3[.

24

1. No¸ c˜ oes Topol´ ogicas, Indu¸ c˜ ao Matem´ atica e Sucess˜ oes

(b) O conjunto dos pontos interiores de B é ] − 5, −1[ ∪ ] − 1, 3[, o derivado de B é [−5, 3] e a fronteira de A ∩ B é o conjunto {−3, −1, 1, 2, 3}. 6. (a) O conjunto A é o conjunto dos valores de x para os quais a expressão faz sentido, isto é, A = {x ∈ R : −1 ≤ 2x − 3 ≤ 1 ∧ x2 − 1 > 0 ∧ log(x2 − 1) 6= 0} A expressão x2 − 1 é um caso notável da multiplica¸cão: x2 − 1 > 0 ⇔ (x + 1)(x − 1) > 0. Os n´ umeros -1 e 1 dividem a recta em três intervalos: ] − ∞, −1[, ] − 1, 1[ e ]1, +∞[. Em cada um desses intervalos o produto (x + 1)(x − 1) toma o sinal que se pode ver na Figura 1.29, portanto, (x + 1)(x − 1) > 0 ⇔ x < −1 ∨ x > 1.

+++++++++0----------------0+++++++++ -1

1 Figura 1.29

A = = = =

{x ∈ R : 1 ≤ x ≤ 2 ∧ (x > 1 ∨ x < −1) ∧ x2 6= 2} √ √ {x ∈ R : 1 ≤ x ≤ 2 ∧ (x > 1 ∨ x < −1) ∧ x 6= − 2 ∧ x 6= 2} ] − ∞, −1[ ∪ ]1, +∞[ √ √ ]1, 2[ ∪ ] 2, 2[.

∩ [1, 2] ∩

√ √ √ √ ] − ∞, − 2[ ∪ ] − 2, 2[ ∪ ] 2, +∞[

√ √ √ √ √ √ √ Como | 2x| ≤ 6 ⇔ |x| ≤ 3 ⇔ − 3 ≤ x ≤ 3, portanto, B = [− 3, 3]. Determinemos A ∩ B. √ √ √ √ √ √ √ A ∩ B = ]1, 2[ ∪ ] 2, 2[ ∩ [− 3, 3] = ]1, 2[ ∪ ] 2, 3[.

√ √ (b) A fronteira de A ∩ B é o conjunto {1, 2, 3}. Como os elementos da fronteira não pertencem a A ∩ B, este conjunto não é fechado.

1.4 Exerc´ıcios Resolvidos

1.4.2

25

Indu¸c˜ ao Matem´ atica

1. Prove, pelo método de indu¸cão matemática, que (a) 2 + 4 + 6 + · · · + 2n = n2 + n, ∀n ∈ N; 1 1 1 1 1 (b) + + + · · · + n = 1 − n , ∀n ∈ N; 2 4 8 2 2 1 1 1 1 n + + + ··· + = , ∀n ∈ N. (c) 1×2 2×3 3×4 n(n + 1) n+1 2. Prove, pelo método de indu¸cão matemática, que n X

1 n = , ∀n ∈ N; −1 2n + 1 k=1 n X k k−1 − k−1 = n3−n , ∀n ∈ N; (b) 3k 3 (a)

4k 2

k=1

(c)

n Y

(2k − 1) =

k=1

(2n)! , ∀n ∈ N. 2n n!

3. Prove, pelo método de indu¸cão matemática, que (a) 5 é factor de 24n−2 + 1, ∀n ∈ N;

(b) 42n − 1 é divis´ıvel por 5, ∀n ∈ N; (c) 3n > 2n + 10n, ∀n ≥ 4;

(d) 12 + 22 + · · · + (n − 1)2 < (e)

n X

k=1

k<

n3 , ∀n ∈ N; 3

(n + 1)2 , ∀n ∈ N. 2

4. Seja i tal que i2 = −1. Mostre, por indu¸cão, que n n π 1+i (a) = cis , ∀n ∈ N. 1−i 2 π (b) (−sen(α) + i cos(α))n = cis(n( + α)), ∀n ∈ N. 2 4n X 1 (c) = 0, ∀n ∈ N. ik k=1

˜ RESOLUC ¸ AO 1. (a) Vamos mostrar, usando o Princ´ıpio de Indu¸cão Matemática, que 2 + 4 + 6 + · · · + 2n = n2 + n, ∀n ∈ N. Seja p(n) a proposi¸caõ anterior. Vê-se facilmente que p(1) é verdadeira: 2×1 = 12 +1. A hipótese de indu¸cão é 2 + 4 + 6 + · · · + 2n = n2 + n e a tese de indu¸cão é 2 + 4 + 6 + · · · + 2n + 2(n + 2) = (n + 1)2 + n + 1.

26

1. No¸ c˜ oes Topol´ ogicas, Indu¸ c˜ ao Matem´ atica e Sucess˜ oes

Então 2 + 4 + 6 + · · · + 2n + 2(n + 2) = n2 + n + 2n + 2 = n2 + 2n + 1 + n + 1 = (n + 1)2 + n + 1, portanto, a proposi¸cão p(n + 1) é v´ alida. Pelo Princ´ıpio de indu¸cão podemos concluir que 2 + 4 + 6 + · · · + 2n = n2 + n, ∀n ∈ N. 1 1 1 1 1 + + +· · ·+ n = 1− n , 2 4 8 2 2 1 1 ∀n ∈ N. Seja p(n) a proposi¸caõ anterior. Vê-se facilmente que p(1) é verdadeira: = 1 − . 2 2 A hipótese de indu¸cão é 1 1 1 1 1 + + + ···+ n = 1− n 2 4 8 2 2 e a tese de indu¸cão é

(b) Vamos mostrar, usando o Princ´ıpio de Indu¸cão Matemática, que

1 1 1 1 1 1 + + + · · · + n + n+1 = 1 − n+1 . 2 4 8 2 2 2 Então 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + · · · + n + n+1 = 1 − n + n+1 = 1 − n 2 4 8 2 2 2 2 2

1−

1 2

=1−

1 1 1 · = 1 − n+1 , 2n 2 2

portanto, a proposi¸cão p(n + 1) é v´ alida. Pelo Princ´ıpio de indu¸cão podemos concluir que 1 1 1 1 1 + + + · · · + n = 1 − n , ∀n ∈ N. 2 4 8 2 2 (c) Vamos mostrar, usando o Princ´ıpio de Indu¸cão Matemática, que 1 1 1 1 n + + + ···+ = 1×2 2×3 3×4 n(n + 1) n+1 ∀n ∈ N. Seja p(n) a proposi¸cão anterior. Vê-se facilmente que p(1) é verdadeira:

A hipótese de indu¸cão é

1 1 = . 1×2 2

1 1 1 1 n + + + ···+ = 1×2 2×3 3×4 n(n + 1) n+1 e a tese de indu¸cão é 1 1 1 1 1 n+1 + + + ···+ + = . 1×2 2×3 3×4 n(n + 1) (n + 1)(n + 2) n+2 Então 1 1 1 1 1 + + + ···+ + 1×2 2×3 3×4 n(n + 1) (n + 1)(n + 2) 1 n(n + 2) + 1 (n + 1)2 n = + = = n + 1 (n + 1)(n + 2) (n + 1)(n + 2) (n + 1)(n + 2) n+1 = , n+2 portanto, a proposi¸cão p(n + 1) é v´ alida. Pelo Princ´ıpio de indu¸cão podemos concluir que 1 1 1 1 n + + + ···+ = , ∀n ∈ N. 1×2 2×3 3×4 n(n + 1) n+1

1.4 Exerc´ıcios Resolvidos

27

2. (a) Vamos mostrar, usando o Princ´ıpio de Indu¸cão Matemática, que n X

k=1

1 n = , ∀n ∈ N. 4k 2 − 1 2n + 1

Seja p(n) a proposi¸cão anterior. Verifiquemos que p(1) é verdadeira: 1 X

k=1

1 1 1 1 = = = . 4k 2 − 1 4 × 12 − 1 3 2×1+1

A hipótese de indu¸cão é

n X

k=1

e a tese de indu¸cão é

n+1 X k=1

Então

n+1 X k=1

1 4k 2 − 1

=

n X

k=1

1 n = 4k 2 − 1 2n + 1 1 n+1 = . −1 2(n + 1) + 1

4k 2

1 1 n 1 + = + 4k 2 − 1 4(n + 1)2 − 1 2n + 1 (2(n + 1) − 1)(2(n + 1) + 1)

=

n 1 n(2n + 3) + 1 2n2 + 3n + 1 + = = 2n + 1 (2n + 1)(2n + 3) (2n + 1)(2n + 3) (2n + 1)(2n + 3)

=

n+1 (n + 1)(2n + 1) = (2n + 1)(2n + 3) 2n + 3

portanto, a proposi¸cão p(n + 1) é válida. Pelo Princ´ıpio de indu¸cão podemos concluir que n X

k=1

1 n = , ∀n ∈ N. −1 2n + 1

4k 2

(b) Vamos mostrar, usando o Princ´ıpio de Indu¸cão Matemática, que n X k k−1 − = n3−n , ∀n ∈ N. 3k 3k−1 k=1

Seja p(n) a proposi¸cão anterior. Verifiquemos que p(1) é verdadeira: 1 X k k−1 1 1−1 1 − = 1 − 1−1 = = 1 × 3−1 . 3k 3k−1 3 3 3

k=1

A hipótese de indu¸cão é

n X k k−1 − = n 3−n 3k 3k−1

k=1

e a tese de indu¸cão é

n+1 X k=1

k k−1 − k−1 3k 3

= (n + 1)3−(n+1) .

28

1. No¸ c˜ oes Topol´ ogicas, Indu¸ c˜ ao Matem´ atica e Sucess˜ oes

Então n+1 X k=1

k k−1 − k−1 3k 3

n X k k−1 n+1 n − k−1 + − n 3k 3 3n+1 3

=

k=1

−n

=

n3

+

=

n 3−n +

n+1 n − n 3n+1 3

n + 1 − 3n n+1 = n+1 = (n + 1) 3−(n+1) n+1 3 3

portanto, a proposi¸cão p(n + 1) é válida. Pelo Princ´ıpio de indu¸cão podemos concluir que n X k k−1 − = n3−n , ∀n ∈ N. 3k 3k−1 k=1

(c) Vamos mostrar, usando o Princ´ıpio de Indu¸cão Matemática, que n Y

k=1

(2n)! , ∀n ∈ N. 2n n!

(2k − 1) =

Seja p(n) a proposi¸cão anterior. Verifiquemos que p(1) é verdadeira: 1 Y

k=1

(2k − 1) = 2 × 1 − 1 = 1 =

2×1 . 21 × 1!

A hipótese de indu¸cão é n Y

(2k − 1) =

k=1

(2n)! 2n n!

e a tese de indu¸cão é n+1 Y k=1

(2k − 1) =

(2(n + 1))! . 2n+1 (n + 1)!

Então n+1 Y k=1

(2k − 1) =

n Y

!

(2k − 1)

k=1

(2n)! 2(n + 1) − 1 = n · 2n + 1 2 n!

=

(2n + 1)! (2n + 2)(2n + 1)! (2n + 2)! = = n+1 n n 2 n! 2 n! (2n + 2) 2 n! (n + 1)

=

(2(n + 1))! 2n+1 (n + 1)!

portanto, a proposi¸cão p(n + 1) é v´ alida. Pelo Princ´ıpio de indu¸cão podemos concluir que n Y

k=1

(2k − 1) =

(2n)! , ∀n ∈ N. 2n n!

1.4 Exerc´ıcios Resolvidos

29

3. (a) A proposi¸cão ”5 é factor de 24n−2 + 1, ∀n ∈ N”, é equivalente a ”24n−2 + 1 é m´ ultiplo de 5, ∀n ∈ N. O n´ umero 24n−2 + 1 é m´ ultiplo de 5 se existir um n´ umero inteiro positivo k tal que 24n−2 + 1 = 5k. Substituindo n por 1 na expressão 24n−2 + 1 obtemos 22 + 1 = 5 × 1, portanto a propriedade é válida para n = 1. A hipótese de indu¸cão é ∃k ∈ N : 24n−2 + 1 = 5k. A tese de indu¸cão é ∃k ′ ∈ N :

24(n+1)−2 + 1 = 5k ′ .

Temos 24(n+1)−2 + 1

= 24n+2 + 1 = 24n−2 24 + 1 = 24n−2 24 + 24 − 24 + 1 = 24 (24n−2 + 1) − 24 + 1 = 24 5k − 15 = 5(24 k − 3).

Seja k ′ = 24 k − 3. Como k ′ ∈ N podemos dizer que 24(n+1)−2 + 1 = 5k ′ Pelo Princ´ıpio de indu¸cão podemos concluir que 24n+2 + 1 é m´ ultiplo de 5, ∀n ∈ N.

(b) Provemos por indu¸cão que 42n − 1 é m´ ultiplo de 5, ∀n ∈ N. 2n O n´ umero 4 − 1 é m´ ultiplo de 5 se existir um n´ umero inteiro positivo k tal que 42n − 1 = 5k. 2n Substituindo n por 1 na expressão 4 − 1 obtemos 42 + 1 = 5 × 3, portanto a propriedade é válida para n = 1. A hipótese de indu¸cão é ∃k ∈ N : 42n − 1 = 5k. A tese de indu¸cão é ∃k ′ ∈ N :

42n+2 − 1 = 5k ′ .

Temos 42n+2 − 1 = =

42n 42 − 1 = 42n 42 − 42 + 42 − 1 = 42 (42n − 1) + 24 − 1 42 5k + 24 − 1 = 5(42 k + 3).

Seja k ′ = 42 k + 3. Como k ′ ∈ N podemos dizer que 24(n+1)−2 + 1 = 5k ′ Pelo Princ´ıpio de indu¸cão podemos concluir que 42n − 1 é m´ ultiplo de 5, ∀n ∈ N.

(c) Vamos mostrar, usando o Princ´ıpio de Indu¸cão Matemática, que 3n ≥ 2n + 10n, ∀n ≥ 4.

Seja p(n) a proposi¸cão anterior. Comecemos por verificar que p(4) é verdadeira. Substituindo n por 4 obtemos 34 = 81 ≥ 56 = 24 + 40 que é uma proposi¸cão verdadeira. A hip´ otese de indu¸cão é 3n ≥ 2n + 10n

30

1. No¸ c˜ oes Topol´ ogicas, Indu¸ c˜ ao Matem´ atica e Sucess˜ oes

e a tese de indu¸cão é 3n+1 ≥ 2n+1 + 10(n + 1). Então 3n+1

= 3 × 3n ≥ 3 (2n + 10n) = 3 × 2n + 3 × 10n ≥ 2n+1 + 10n + 20n ≥ 2n+1 + 10n + 10 = 2n+1 + 10(n + 1)

Pelo Princ´ıpio de indu¸cão podemos concluir que 3n ≥ 2n + 10n, ∀n ≥ 4. (d) Vamos mostrar, usando o Princ´ıpio de Indu¸cão Matemática, que 12 + 22 + · · · + (n − 1)2 <

n3 , ∀n ∈ N. 3

Seja p(n) a proposi¸cão anterior. Comecemos por verificar que p(1) é verdadeira. Substituindo 1 n por 1 obtemos 02 = 0 ≥ que é uma proposi¸cão verdadeira. A hipótese de indu¸cão é 3 12 + 22 + · · · + (n − 1)2 <

n3 3

e a tese de indu¸cão é 12 + 22 + · · · + (n − 1)2 + n2 <

(n + 1)3 . 3

Então 12 + 22 + · · · + (n − 1)2 + n2 <

n3 n3 + 3n2 n3 + 3n2 + 3n + 1 (n + 1)3 + n2 = < = 3 3 3 3

Pelo Princ´ıpio de indu¸cão podemos concluir que 12 + 22 + · · · + (n − 1)2 <

n3 , ∀n ∈ N. 3

(e) Vamos mostrar, usando o Princ´ıpio de Indu¸cão Matemática, que n X

k<

k=1

(n + 1)2 , ∀n ∈ N. 2

Seja p(n) a proposi¸cão anterior. Comecemos por verificar que p(1) é verdadeira. Substituindo 1 X (1 + 1)2 n por 1 obtemos k=1 q,

se

p < q.

2. Considere a sucessão de termo geral an , em que a ∈ R. Prove que (a) Se a > 1, lim an = +∞; (b) Se a < −1, lim an = ∞; (c) Se |a| < 1, lim an = 0;

(d) Se a = 1, lim an = 1;

(e) Se a = −1, a sucessão é divergente. 3. Mostre que u1 + · · · + un → u. n √ (b) Se a ∈ R, a > 0, então lim n a = 1. √ un+1 (c) Se un > 0, ∀n ∈ N e → b, (b ∈ R, b ≥ 0) então n un → b. un √ Observa¸cão: em particular n n → 1. √ un+1 (d) n un → b 6⇒ → b, (un > 0, ∀n ∈ N). un (a) Se un → u (u ∈ R ) então

4. Calcule, justificando, os limites das seguintes sucessões √ 3 √ n2 + n + n (e) (a) √ √ + n n; 4 4 2n +1+ n √ n3 + 2n4 + 1 − n √ (b) ; −2n2 + 3 n2 + 3 (f) √ √ n + 1 (1 + 2 n ) √ (c) ; n+ 3n √ 3 1 − 27n3 (g) . (d) 1 + 4n

√ n((−1)n + n) √ 2 + n3 + 1 √ 3 n2 + 2 ; 2 n + (−1)n n n

2 n e1/n √ (−1)n + n2 + 5

5. Calcule os limites das seguintes sucessões (a)

n2 − 1 n2

n

;

2n 4n − 5 ; 4n + 3 n+1 n+2 (c) ; n+4

(b)

(d) (e)

2+n 5 + 5n

n

3n+1 3n+2

;

n

;

4n−2 2n + 1 (f) 3 − ; n

34

1. No¸ c˜ oes Topol´ ogicas, Indu¸ c˜ ao Matem´ atica e Sucess˜ oes

(g)

2n + 5 2n + 1

n+4

(h)

;

n2 + 3 2n2 + 1

n

earctg(n) .

6. Calcule, justificando, os limites das seguintes sucessões: (a) (b) (c) (d) (e)

3n sen(23n + 1) ; 23n + 1 1 cos(n + 1) log(n); n 1 ; arctg(n) p n2 + 3 √ cos( n3 + 2); n n3 + 2 1√ n n!; n

(f)

√ n

n2 e−n

−

n4 n4 + 1

n4

;

n sen(n) √ ; 5n3 + 1 p (h) n2 + 2n − n; (g)

(i)

2n

3n − 5 . 5n + 3

7. Calcule, justificando, os limites das seguintes sucessões: (a)

n−1 X k=1

sen2 (n) ; n2 + 3k 2

n X

5n √ ; 4+k n k=1 √ n 3 X 2n √ (c) . 3 4 n +k k=1

(b)

√ √ 8. (a) Calcule, justificando, o limite da sucessão an = ( 2n + 1 − 2n). cos2 (n). nπ (b) Determine, justificando, o conjunto dos sublimites da sucessão bn = sen .arctg(n) 2 9. Considere a sucessão

un =

p n 1 + 2(−1)n n

(a) Escreva a subsucessão dos termos de ´ındice par e calcule o seu limite. (b) Escreva a subsucessão dos termos de ´ındice ´ımpar e calcule o seu limite. (c) Calcule lim un e lim un . (d) Tendo em conta as al´ıneas anteriores, que pode concluir quanto à convergência da sucess˜ ao? 10. Considere a sucessão, definida por recorrência √ u1 = 2√ un+1 = 2 un (a) Prove, por indu¸cão, que 0 < un < 2, ∀n ∈ N.

(b) Prove que a sucessão é crescente.

(c) Prove que a sucessão é convergente. (d) Calcule o limite da sucessão. 11. Considere a sucessão

√ a1 = 2 √ an+1 = ( 2)an .

1.4 Exerc´ıcios Resolvidos

(a) Mostre, por indu¸cão, que

35

√ 2 ≤ an < 2, ∀n ∈ N.

(b) Mostre, por indu¸cão, que a sucessão (an ) é crescente. (c) Mostre que existe a ≤ 2 tal que an → a. 12. Seja a ∈ R um n´ umero positivo. Considere a sucessão de n´ umeros reais definida, por recorrência,   x1 = a xn  xn+1 = 2 + xn (a) Mostre, por indu¸cão, que xn > 0, ∀n ∈ N.

(b) Mostre que a sucessão é decrescente.

(c) Mostre que a sucessão é convergente e calcule o seu limite. 13. Seja a ∈ R um n´ umero positivo. Considere a sucessão de n´ umeros reais, definida por recorrência,   x0 = 0, x1 = a  x = x + x2 n+1

n

n−1

(a) Mostre que a sucessão é crescente.

(b) Mostre que xn > 0, ∀n ∈ N.

(c) Mostre que se existir b ∈ R tal que lim xn = b, então b = 0.

(d) Tendo em conta as al´ıneas anteriores, calcule lim xn .

14. Considere a sucessão de n´ umeros reais definida, por recorrência,   x1 = 2  xn+1 = xn + 1 , ∀n ≥ 1. 2 xn √ A sucessão (xn ) verifica a rela¸cão xn > 2, ∀n ∈ N (admita este facto sem o mostrar). (a) Mostre que a sucessão (xn ) é monótona. (b) Mostre que a sucessão (xn ) é convergente. (c) Calcule o limite da sucessão (xn ). 15. Considere a sucessão de n´ umeros reais definida, por recorrência,    x1 = 3 x2n + 3   xn+1 = , ∀n ∈ N. 2 xn √ (a) Mostre, por indu¸cão, que xn − 3 ≥ 0, ∀n ∈ N. (b) Mostre que a sucessão (xn ) é decrescente.

(c) Mostre que a sucessão (xn ) é convergente. (d) Calcule o limite da sucessão (xn ). 16. Considere a sucessão de n´ umeros reais definida, por recorrência,    x0 = 1 1 2  x = x +  n+1 n 2 xn

36

1. No¸ c˜ oes Topol´ ogicas, Indu¸ c˜ ao Matem´ atica e Sucess˜ oes

(a) Mostre, por indu¸cão, que 1 ≤ xn ≤ 2, ∀n ∈ N0 .

(b) Mostre que an ≥ an+1 , ∀n ≥ 2.

(c) Mostre que a sucessão é convergente e calcule o seu limite.

˜ RESOLUC ¸ AO 1. 2. 3.

√ 3 n2 + n + n 4. (a) Seja an = √ √ . Vamos dividir o numerador e o denominador do quociente que 4 2n4 + 1 + n define a sucessão an por n elevado ` a maior potência: r r √ 3 2 1 n2 + n + n 3 n + n 3 1 √ + 2 +1 3 +1 3 n2 + n + n n n n n r . an = √ = r √ = √ √ = r 4 r 4 4 2n4 + 1 + n 2n4 + 1 + n 1 1 2n + 1 n 4 4 2+ 4 + + 4 2 n n n n n Logo:

Como lim

1 . lim an = √ 4 2

√ n n = 1 podemos concluir que ! √ 3 √ n2 + n + n 1 + 1. lim √ √ + nn=1 = √ 4 4 4 2n + 1 + n 2

(b) (c) (d) (e) (f) (g) 5. (a) (b) (c) (d) Vamos pôr em evidência n na fórmula que define (an ): n n n( n2 + 1) (1 + n2 )n 1 an = = . 1 5 5n(1 + n ) (1 + n1 )n Sabemos que, ∀x ∈ R: logo:

x n lim 1 + = ex , n lim an = lim

n 2 1 e = 0.e = 0. 5 e

1.4 Exerc´ıcios Resolvidos

37

(e) (f) Nota: O objectivo no cálculo deste limite é fazer aparecer um limite da forma: lim(1 +

x n ) = ex . n

Temos, ∀n ∈ N: n 4 4n−2 1 − n1 (3 − 2 − n1 )4n 2n + 1 an = 3 − = = , 2 n (3 − 2n+1 (1 − n1 )2 n ) logo é evidente que: lim an = e−4 . (g) (h) 6. (a) (b) Vamos utilizar o facto de a fun¸cão coseno ser limitada. Temos, ∀n ∈ N: |cos(n + 1)| ≤ 1, logo, ∀n ∈ N:

1 log (n) √ 0 ≤ |αn | = cos (n + 1) log (n) ≤ = log( n n). n n

Como sabemos que:

√ lim log( n n) = 0,

n→∞

podemos concluir pelo teorema das sucessões enquadradas que: lim αn = 0.

n→∞

(c) (d) Seja an =

p n2 + 3 √ cos( n3 + 2). Para todo n, temos : n n3 + 2 p cos ( n3 + 2) ≤ 1,

logo, para todo o n:

n2 + 3 0 ≤ |an | ≤ √ . n n3 + 2

Dividindo o numerador e o denominador da sucessão majorante pela maior potência de n temos: r r 1 6 9 n2 + 3 n2 + 3 (n2 + 3)2 + 3+ 5 5 5 5 n n n 2 2 n r lim √ n = lim √ n = lim r = lim = 0. n n3 + 2 n3 + 2 2 n3 + 2 1 + 5 3 n3 n3 n2 n2 O teorema das sucessões enquadradas permite-nos concluir que: lim an = 0.

38

1. No¸ c˜ oes Topol´ ogicas, Indu¸ c˜ ao Matem´ atica e Sucess˜ oes

(e) (f) (g) (h) (i) sen2 (n) . Vamos calcular um n2 + 3k 2 enquadramento deste termo de forma a fazer desaparecer a variável k. De maneira evidente temos para todos n e k em N: n2 + 3k 2 > n2 . Para todo n e k tal que k ≤ n − 1, temos da mesma forma: n2 + 3k 2 ≤ n2 + 3(n − 1)2 . Logo para todo n e 1 ≤ k ≤ n − 1, temos:

7. (a) A sucessão an está definida como a soma de k = 1 a k = n−1 de

n2 < n2 + 3k 2 ≤ n2 + 3(n − 1)2 ⇒ ⇒

1 1 1 > 2 ≥ 2 n2 n + 3k 2 n + 3(n − 1)2

sen2 (n) sen2 (n) sen2 (n) > ≥ n2 n2 + 3k 2 n2 + 3(n − 1)2

Como an está definida como uma soma de n − 1 termos obtemos, ∀n ∈ N: (n − 1) · ⇔ ⇔

n−1 X sen2 (n) sen2 (n) sen2 (n) ≤ < (n − 1) · 2 2 2 2 n + 3(n − 1) n + 3k n2 k=1

n−1 X sen2 (n) n−1 n−1 2 · sen (n) ≤ < · sen2 (n) n2 + 3(n − 1)2 n2 + 3k 2 n2 k=1

n−1 · sen2 (n) ≤ 2 n + 3(n − 1)2

n−1 X k=1

sen2 (n) < n2 + 3k 2

1 1 − 2 n n

· sen2 (n).

n−1 n−1 = . Dividindo o numerador e o denominador desta n2 + 3(n − 1)2 4n2 − 6n + 3 sucessão por n2 temos: Seja bn =

1 1 1 1 − 2 − 2 n−1 n n n n lim 2 = lim = lim = 0. 6 3 4n − 6n + 3 4n2 − 6n + 3 4− + 2 n n n2 1 1 ´ − 2. E evidente que lim cn = 0. n n Como a sucessão sen2 (n) é uma sucessão limitada, 0 ≤ |sen2 (n)| ≤ 1, ∀n ∈ N, e o produto de um infinitésimo por uma sucessão limitada é um infinitésimo, podemos afirmar que as sucess˜ oes Seja cn =

n2 e

n−1 · sen2 (n) + 3(n − 1)2

1 1 − n n2

· sen2 (n)

são infinitésimos. Finalmente, como os dois limites são iguais, o teorema das sucessões enquadradas permite-nos concluir que: lim an = 0.

1.4 Exerc´ıcios Resolvidos

39

5n (b) A sucessão an está definida como a soma de k = 1 a k = n de √ . Vamos calcular um n4 + k enquadramento deste termo depforma a fazer desaparecer a variável k. De maneira evidente 2 4 temos para √ todos n√e k em N: n + k > n . Para todo n e k tal que k ≤ n, temos da mesma 4 4 forma: n + k ≤ n + n. Logo para todo n e 1 ≤ k ≤ n, temos: p p 1 1 1 n4 + k ≤ n4 + n ⇒ 2 > √ ≥ √ 4 4 n n +k n +n 5n 5n 5n >√ ≥ √ n2 n4 + k n4 + n

n2 < ⇒

Como an está definida como uma soma de n termos obtemos, ∀n ∈ N: n

X 5n 5n 5n √ n· √ ≤ 3 n4 . Para todo n e k tal que k ≤ n, temos da temos para todos n e k em N: n √ √ 3 3 mesma forma: n4 + k ≤ n4 + n. Logo para todo n e 1 ≤ k ≤ n, temos:

⇒

√ √ √ 1 1 1 3 3 3 n4 < n4 + k ≤ n4 + n ⇒ √ > √ ≥ √ 3 3 3 4 4+k 4+n n n n √ √ √ 3 3 3 2n 2n 2n √ √ √ > ≥ 3 3 3 n4 n4 + k n4 + n

Como an está definida como uma soma de n termos obtemos, ∀n ∈ N: √ √ √ n 3 3 3 X 2n 2n 2n √ √ n· √ ≤ < n · . 3 3 3 4 4 n + n k=1 n + k n4 √ √ √ n 3 3 3 X √ 2n4 2n 2n4 3 √ √ ⇔ √ ≤ < = 2. 3 3 3 4 4 4 n + n k=1 n + k n

40

1. No¸ c˜ oes Topol´ ogicas, Indu¸ c˜ ao Matem´ atica e Sucess˜ oes

4

Dividindo o numerador e o denominador da sucessão do lado esquerdo da desigualdade por n 3 temos: √ 3 2n4 √ √ √ √ 3 3 3 3 √ 4 2n4 2 2 3 n √ lim √ = lim = 2. = lim = lim 3 3 n 1 n4 + n n4 + n 1+ √ 1+ √ 3 √ 3 3 n4 n n4

Finalmente como os dois limites são iguais, o teorema das sucessões enquadradas permite-nos concluir que: √ 3 lim an = 2. 8. 9. (a) (b) 10. Consideremos a sucessão, definida por recorrência √ u1 = 2√ un+1 = 2 un (a) Vamos mostrar, usando o Princ´ıpio de Indu¸cão Matemática, que, ∀n ∈ N: 0 < un < 2. A ordem n = 1, a fórmula é trivial: 0=

√ √ √ 0 < 2 = u1 < 4 = 2.

Se admitirmos que a propriedade é válida para n ∈ N, então: i h √ √ √ [0 < un < 2] ⇒ 0 = 2.0 < 2un = un+1 < 2.2 = 2 ,

√ utilizando o facto da fun¸cão f (x) = 2x ser crescente. Logo a propriedade é válida a ordem n + 1. O Princ´ıpio de Indu¸cão Matemática nos permite concluir que ela é valida para todo o n ∈ N.

(b) Vamos mostrar que, ∀n ∈ N, temos :

un+1 − un > 0. Temos, ∀n ∈ N: un+1 − un =

√ √ 2un − un √ 2un − u2n un .(2 − un ) 2un − un = √ .( 2un + un ) = √ = √ >0 2un + un 2un + un 2un + un

porque na al´ınea (a) vimos que un > 0 e 2 − un > 0, logo a sucessão é crescente.

(c) Na al´ınea (a) vimos que a sucessão é limitada e na al´ınea (b) demonstramos que ela é crescente, como toda sucessão monótona limitada é convergente podemos concluir que (un ) é convergente. (d) Seja u ∈ R, o limite da sucessão, como toda subsucessão de uma sucessão convergente é convergente para o mesmo limite, é fácil de ver que: lim un+1 = l.

n→∞

1.4 Exerc´ıcios Resolvidos

41

Como a fun¸cão f é cont´ınua temos: lim un+1 = lim f (un ) = f (l) =

n→∞

n→∞

√ 2l.

√

Logo l satisfaz a equa¸cão l = 2l, da qual podemos deduzir que l2 − 2l = l.(l − 2) = 0, o seja l ∈ {0, 2}. Podemos excluir a solu¸cão l = 0 porque pela al´ınea (b) temos: √ ∀n ∈ N, un ≥ u1 = 2 > 0, √ logo l ≥ 2, e podemos concluir que o limite de (un ) é l = 2. 11. Consideremos a sucessão, definida por recorrência √ a1 = 2 √ an+1 = ( 2)an √ √ (a) Como 2 > 1, a fun¸ cão f definida por f (x) = ( 2)x é cont´ınua em R e é crescente (lembramos √ que f (x) = ex. log( 2) ). √ √ Para n = 1, a fórmula é trivial: 2 ≤ a1 = 2 < 2. Se admitirmos que a propriedade é valida para n, utilizando o facto de f ser uma fun¸cão crescente temos: h√ i h√ √ i √ 2 ≤ an < 2 ⇒ ( 2) 2 = f ( 2) ≤ f (un ) = an+1 < f (2) = 2 .

Utilizando novamente a monotonia de f temos: h i √ √ √ [1 < 2] ⇒ f (1) = 2 ≤ ( 2) 2 = f (2) ,

e podemos concluir que a propriedade é válida para a ordem n + 1. O Princ´ıpio de Indu¸caõ Matemática está verificado logo, ∀n ∈ N: √ 2 ≤ an < 2.

(b) Vamos mostrar, usando o Princ´ıpio de Indu¸cão Matemática, que, ∀n ∈ N: an < an+1 . Para n = 1, a fórmula é uma consequência dos cálculos da al´ınea (a): √ √ √ 2 = a1 < a2 = ( 2) 2 . Se admitirmos que a propriedade é válida para n ∈ N, então a validade da propriedade para n + 1 é uma consequência directa da monotonia de f : [an < an+1 ] ⇒ [an+1 = f (an ) < an+2 = f (an+1 )] . A sucessão (an ) é crescente. (c) Na al´ınea (a) vimos que a sucessão é limitada e na al´ınea (b) demonstramos que ela é crescente, como toda a sucessão monótona limitada é convergente podemos concluir que (an ) é convergente. Seja a ∈ R o limite de (an ) e consideremos A = {an : n ∈ N} o contradom´ınio de (an ). Pela al´ınea (a) temos: √ A ⊂ [ 2, 2]. √ √ Como a é um ponto de acumula¸cão de A e como [ 2, 2] é fechado temos que a ∈ [ 2, 2], ou seja, o resultado pedido: u ≤ 2.

42

1. No¸ c˜ oes Topol´ ogicas, Indu¸ c˜ ao Matem´ atica e Sucess˜ oes

´ poss´ıvel calcular o valor de a. Vejamos algumas indica¸cões para o fazer. Primeiro, Nota: E √ mostra-se que a satisfaz a equa¸cão loga a = log ( 2) e adivinha-se um valor poss´ıvel de a. Depois √ estuda-se a monotonia e o contradom´ınio da fun¸cão g(x) = logx x definida no intervalo [ 2, 2] √ e conclui-se que a precedente equa¸cão tem uma u ´ nica solu¸cão para a ∈ [ 2, 2].

1.5 Exerc´ıcios Propostos

1.5

43

Exerc´ıcios Propostos

1.5.1

No¸c˜ oes Topol´ ogicas

1. Determine o interior, o exterior, a fronteira, o derivado, a aderência, o conjunto dos minorantes, o conjunto dos majorantes, o supremo, o ´ınfimo, o máximo e o m´ınimo (caso existam) dos seguintes conjuntos: (a) A = [ 2, 3 [ ∪ [ 4, 10 [;

(b) B =] 5, 7 [ ∪ {15}.

2. Determine o interior, o exterior, a fronteira, o derivado e a aderência dos seguintes conjuntos: (a) A = {x ∈ R : x2 < 50};

(b) B = {x : x é irracional e x2 < 50}. 3. Considere o conjunto A=

x ∈ R : x = 1 + (−1)n +

(−1)n ∧n∈N . n

(a) Determine o interior, o exterior, o derivado, a fronteira e a aderência de A. (b) Averig´ ue se o conjunto A é aberto ou fechado. 4. Determine o exterior, o interior, a fronteira e o derivado do conjunto: n √ √ o A = {x ∈ Q : |x + 3| < 5} ∪ x : x é irracional ∧ − 2 ≤ x ≤ 13 . 5. Dado o conjunto (−1)n 1 3 (−1)n C = x∈R: x=1− ∧ n ∈ N ∧n∈N ∪ , ∪ x∈R: x=2+ n 3 4 n2 (a) Determine a fronteira, o interior, o exterior e o derivado de C; (b) Averig´ ue se o conjunto é limitado. 6. São dados os conjuntos 2 x 1 n+1 n A= x∈R: ≤ 1 e B = y ∈ R : y = (−1) + (−1) 2 + ∧n∈N . x − 2 n Determine:

(a) int(A ∪ B); ′

(b) (A ∪ B) .

Relativamente a B indique quais os pontos fronteiros e averig´ ue se o conjunto é limitado. 7. Dados os conjuntos A= x∈R:

1 + 2n 1 − 1 1 + 1 < 1 e B = y ∈ R : y = ∧ n ∈ N x2 x x 2n

(a) Determine A sob a forma de intervalos de n´ umeros reais.

(b) Determine, caso existam, o supremo e o ´ınfimo de A ∩ B.

44

1. No¸ c˜ oes Topol´ ogicas, Indu¸ c˜ ao Matem´ atica e Sucess˜ oes

8. Dado o conjunto ) ( 3n 1 2n + 1 n+1 B = x ∈ R : x = (−1) 1+ ,n∈N ∪ x∈R: x= , n∈N n 2n − 1 determine: ′

(a) B e B; (b) int(B); (c) ext(B). Justifique que o conjunto B é limitado, indicando o ´ınfimo e o supremo de B. 9. Considere a expressão designatória definida, no conjunto dos n´ umeros reais, por A o seu dom´ınio.

sen2 (x − xπ) e seja 1 − cos 2

(a) Determine o interior, o exterior, a fronteira e o derivado de A. (b) Diga, justificando, se A é um conjunto aberto ou fechado. h i 1 , 1 . Determine o 10. Seja A o conjunto dos termos da sucess˜ ao un = sen n π , n ∈ N e B = − 4 2 supremo, o ´ınfimo, o interior e a fronteira do conjunto A ∪ B.

1 em R, determine a fronteira e o exterior de B e log(cos2 (x)) indique, justificando, se B é aberto. 12. Dados os conjuntos A = x ∈ R : |1 − 4x−1 | − 1 > 0 e B = {x ∈ R : |1 + 2x| ≤ 3x}

11. Sendo B o dom´ınio da expressão

(a) Prove que A ∩ B = [ 1, 2 [. (b) Indique, caso existam, o conjunto dos majorantes, o conjunto dos minorantes, o supremo, o ´ınfimo, o máximo e o m´ınimo de B.

13. Indique o supremo e o ´ınfimo, se existirem, do seguinte conjunto: 4x − 5 A = x ∈ R \ {0} : x − ≤0 . x n o + m ∧ m ∈ N . Indique, se existirem, os majorantes, o 14. Considere o conjunto B = x ∈ R : x = 1 2m ´ınfimo e o máximo de B. 15. Considere, em R, as seguintes condi¸cões: 2 x + 1 p(x) : |x| + |x − 1| < 3 e q(x) : − 1 < 1. x

(a) Determine sob a forma de intervalo de R o conjunto

A = {x ∈ R : p(x)∧ ∼ q(x)} . (b) Indique, caso existam, o supremo e o ´ınfimo de A. 16. Sendo S=

(

x ∈ R : 12 |x + 1| ≥

determine a fronteira e o interior de S.

15 X

k=1

)

( k |x| ) ,

1.5 Exerc´ıcios Propostos

1.5.2

45

Indu¸c˜ ao Matem´ atica

1. Prove que (a) 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2 , ∀n ≥ 1. 2 n(n + 1) 3 3 3 3 (b) 1 + 2 + 3 + · · · + n = , ∀n ≥ 1. 2 2. Prove que (a) n(n2 + 5) é divis´ıvel por 6 qualquer que seja n ∈ N.

(b) 52n − 6n + 8 é divis´ıvel por 9 qualquer que seja n ∈ N. 3. Prove que: (a) n < 2n , ∀n ∈ N;

(b) 1 + 2n ≤ 3n , ∀n ∈ N;

1 (c) 1 + 2 + 3 + · · · + n < (2n + 1)2 , ∀n ∈ N; 8 a n+1 a n (d) Se 0 < a < b, então < , ∀n ∈ N. b b

4. Prove que

log(a1 a2 . . . an ) = log a1 + log a2 + · · · + log an , para todo o n ≥ 2, onde cada ai é um real positivo. 5. Prove, usando o método de indu¸cão matemática, as seguintes afirma¸cões caso sejam verdadeiras. Caso contrário dê um contra-exemplo. (a) Todo o n´ umero natural ´ımpar é primo. (b) O n´ umero n2 + n + 17 é primo, ∀n ∈ N. (c) (n + 1)2 > n2 + 1, ∀n ∈ N.

(d) n3 − n + 3 é m´ ultiplo de 3 qualquer que seja n ∈ N. (e) n4 − n + 4 é m´ ultiplo de 4 qualquer que seja n ∈ N.

46

1. No¸ c˜ oes Topol´ ogicas, Indu¸ c˜ ao Matem´ atica e Sucess˜ oes

1.5.3

Sucess˜ oes

1. Prove, por defini¸cão, que as seguintes sucessões (un ) são infinitamente grandes positivos, ou seja, que lim un = +∞: (a) un = n;

(c) un =

2

√

n;

n

(b) un = n ;

(d) un = 2 .

2. Prove, por defini¸cão, que as seguintes sucessões (un ) são infinitésimos, ou seja, que lim un = 0: 1 ; n 1 (b) un = 2 ; n

1 (c) un = √ ; n 1 (d) un = n . 2

(a) un =

3. Calcule, se existir, o limite de cada uma das seguintes sucessões: 1−n ; 4n + 3 2 n +2 (b) un = ; 3n + 1 3n ; (c) un = 4n3 + 1

−n3 + 2 ; 4n3 − 7 n2 + 3n n2 − 1 (e) un = − . n+2 n

(a) un =

(d) un =

4. Calcule, se existir, o limite de cada uma das seguintes sucessões: √ n (a) un = ; 4n + 1 √ n (b) un = 1 √ ; − n 2 p p (c) un = n2 + 1 − n2 − 1; r √ √ 1 (d) un = n+1− n n+ ; 2 1 1 1 (e) un = √ +√ + ···+ √ . 2 2 2 n +1 n +2 n +n 5. Diz-se que a sucessão (un ) cresce mais rapidamente que a sucessão (vn ) se

un → +∞. vn

(a) Prove que nn cresce mais rapidamente que n!. (b) Prove que n! cresce mais rapidamente que en . (c) Coloque por ordem decrescente, quanto à rapidez de convergência, as sucessões de termos gerais: √ √ 2 n, 10 n, 2n , en , n!, log(n), n, n3 , nn . 6. Sejam (un ) e (vn ) dois infinitésimos, vn 6= 0 ∀n ∈ N. Diz-se que (un ) é de ordem superior a (vn ) se un lim = 0. Ordene os seguintes infinitésimos: vn 1 , 2n

1 √ , 10 n

1 , 2n

1 , en

1 , n!

1 , log(n)

7. Calcule os limites de cada uma das seguintes sucessões :

1 √ , n

1 , n3

1 . nn

1.5 Exerc´ıcios Propostos

47

n 3 (c) wn = 1 − 2 . n

2n n+3 ; (a) un = n+1 n n+5 (b) vn = ; 2n + 1

8. Calcule, se existir 1 p n (n + 1)!; 2n 1p (b) lim n n(n + 1) · · · 2n. n (a) lim

9. Determine p ∈ R tal que lim

s n

n! = 3. (p n)n

10. Calcule os limites das seguintes sucessões: (a) (b) (c) (d) (e) (f)

1 cos (n) sen ; n n (n − 1) (n − 2) (n − 3) ; (n + 1) (n + 2) (n + 3) (cos(x))n , x ∈ R; s n 2 n n! ; n 1 1 1 √ +√ +···+ √ ; n2 + 1 n2 + 2 n2 + 2n + 1 r 1 n 1+ ; n 2

(g)

p n (n + 1)! − n!;

1 1 1 (h) √ + √ + ···+ √ ; n n+1 2n n r 1 n n + 1 (i) 1 − ; n n (j)

1 1 1 + + ···+ ; 2 2 n (n + 1) (2 n)2

n n n +√ + ··· + √ . (k) √ 4 4 4 n +1 n +2 n +n

11. Quando poss´ıvel dê exemplos de sucessões un → +∞, vn → −∞, wn → 0, que verifiquem as condi¸cões indicadas nas al´ıneas seguintes: (a) un + vn → 1;

(b) un + vn → −∞; (c) un + wn → 1;

(d) un × wn → 0;

(e) vn × wn → +∞; un (f) → −1. wn

12. Sejam (xn ) e (yn ) duas sucessões de n´ umeros reais tais que xn → x e yn → y. Mostre que a sucess˜ ao de termo geral zn = min{xn , yn } converge e que zn → min{x, y}. 13. Estude, quanto à convergência, a sucessão real definida por ( u1 = 1, un−1 − 1 un = , ∀n > 1. 2 Indique, caso exista, o limite de un .

48

1. No¸ c˜ oes Topol´ ogicas, Indu¸ c˜ ao Matem´ atica e Sucess˜ oes

14. Considere a sucessão (un ) definida por recorrência   u1 = 5 5un − 4  un+1 = un (a) Prove por indu¸cão que ∀n ∈ N un > 4.

(b) Prove que a sucessão é convergente.

(c) Mostre que 4 é o ´ınfimo do conjunto dos termos da sucessão. 15. As sucessões (un ) e (vn ) verificam as seguintes condi¸cões: i) ∀n ∈ N 0 < un < vn ii) vn é decrescente

Diga, justificando, se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirma¸cões (a) vn é convergente. (b) un é convergente. (c) un é decrescente. 16. Determine os limites superiores e inferiores das sucessões de termos gerais n

(a) n(−1) ; (b) cos(n π/3); √ √ (c) n − (−1)n n − 1; n π (d) sen ; 4 √ √ (e) n − (−1)n n − 1; n π n π n 1 (f) 2 cos + cos ; n 10 2

(−1)n n2 + 3 ; n+1 n π (h) sen + a , a ∈ R; 2 n 1 1 (i) + + 2 n ((−1)n 3 + 3); 3 2n (g)

(j)

((−1)n+3 − (−1)n ) n3 + 2 . 3n+1

17. Mostre que as seguintes sucessões são de Cauchy em Q: 1 ; n2 1 (b) n . 2 (a)

18. Mostre que a sucessão de termo geral 1 +

1 1 + · · · + não é de Cauchy em Q. 2 n

19. Considere a sucessão de termo geral un =

n+1 . Estude a natureza da sucessão usando a defini¸caõ n+2

de sucessão de Cauchy.

3 xn 1 , xn+1 = + é uma sucessão em Q que verifica x2n → 2. Use 2 2 xn este resultado para mostrar que (xn ) é uma sucessão de Cauchy em Q que não converge em Q. 1 ˜ SUGESTAO: i) Mostre que vn = x2n − 2 verifica 0 ≤ vn ≤ n ; 4 x2 − x2m ii) use a rela¸cão xn − xm = n . xn + xm

20. Mostre que a sucessão x1 =

Cap´ıtulo 2

Fun¸c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: Limites e Continuidade 2.1

Generalidades sobre fun¸ c˜ oes reais de vari´ avel real

Defini¸ c˜ ao 2.1.1 a) Dados dois conjuntos A e B chama-se fun¸ ca õ definida em A com valores em B, a toda a correspondência entre A e B que a cada elemento de A fa¸ca corresponder um e um s´ o elemento de B. Ao conjunto A chama-se dom´ınio da fun¸ca õ. b) Representa-se a fun¸ca õ por y = f (x) em que x é a vari´ avel independente e toma valores em A (x ∈ A) e y é a vari´ avel dependente, pois os seus valores dependem dos valores que toma a vari´ avel x, que toma valores em B (y ∈ B). ` express˜ c) A ao ou f´ ormula que traduz o modo como a vari´ avel y depende da vari´ avel x chama-se express˜ ao anal´ıtica ou representa¸ ca õ anal´ıtica da fun¸ca õ f . d) Uma fun¸ca õ f diz-se real de vari´ avel real quando A ⊂ R e B ⊂ R. Defini¸ c˜ ao 2.1.2 Seja f uma fun¸ca õ real de vari´ avel real. a) Chama-se dom´ınio de defini¸ ca õ ou de existˆ encia de f ao conjunto dos valores reais que têm imagem pela fun¸ca õ f , isto é, ao conjunto dos n´ umeros reais para os quais a express˜ ao anal´ıtica de f est´ a bem definida. b) Chama-se contradom´ınio de f ao conjunto dos valores reais que s˜ ao imagem pela fun¸ca õ f dos elementos do dom´ınio. Defini¸ c˜ ao 2.1.3 Dada uma fun¸ca õ f : D ⊂ R → R, chama-se gr´ afico da fun¸ca õ f ao conjunto {(x, y) : x ∈ D, y ∈ R, y = f (x)}. Defini¸ c˜ ao 2.1.4 Uma fun¸ca õ f : D ⊂ R → R diz-se: a) crescente se x < y =⇒ f (x) ≤ f (y). b) estritamente crescente se x < y =⇒ f (x) < f (y). c) decrescente se x < y =⇒ f (x) ≥ f (y). d) estritamente decrescente se x < y =⇒ f (x) > f (y).

50

2. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: Limites e Continuidade

Defini¸ c˜ ao 2.1.5 Uma fun¸ca õ diz-se a) mon´ otona se é crescente ou decrescente. b) estritamente mon´ otona se é estritamente crescente ou estritamente decrescente. Defini¸ c˜ ao 2.1.6 Uma fun¸ca õ f : D ⊂ R → R diz-se: a) par se f (x) = f (−x), ∀x ∈ D. b) ´ımpar se f (x) = −f (−x), ∀x ∈ D. Defini¸ c˜ ao 2.1.7 Sejam f : D ⊂ R → R e c ∈ D. Diz-se que f (c) é um m´ aximo de f se f (x) ≤ f (c), ∀x ∈ D. A c chama-se ponto de m´ aximo. Defini¸ c˜ ao 2.1.8 Sejam f : D ⊂ R → R e c ∈ D. Diz-se que f (c) é um m´ınimo de f se f (x) ≥ f (c), ∀x ∈ D. A c chama-se ponto de m´ınimo. Estes valores têm a designa¸cão comum de extremos de f . A Figura 2.1 ilustra as defini¸cões anteriores.

y Máximo

Mínimo

Ponto de mínimo

x Ponto de máximo

Figura 2.1 Extremos de uma fun¸c˜ ao.

Defini¸ c˜ ao 2.1.9 Uma fun¸ca õ f : D ⊂ R → R diz-se limitada se ∃M ∈ R+ : |f (x)| ≤ M,

∀x ∈ D.

Por outras palavras, f é fun¸cão limitada se o seu contradom´ınio é um conjunto limitado. Defini¸ c˜ ao 2.1.10 Chamam-se zeros da fun¸ca õ f os elementos x do dom´ınio tais que f (x) = 0. Defini¸ c˜ ao 2.1.11 Sejam f : D ⊂ R → R e A ⊂ D. A restri¸ ca õ de f a A, designada por f|A , é a aplica¸ca õ de A em R tal que f|A (x) = f (x) para cada x ∈ A. Defini¸ c˜ ao 2.1.12 Uma fun¸ca õ f : D ⊂ R → B ⊂ R diz-se: a) injectiva se x 6= y =⇒ f (x) 6= f (y). b) sobrejectiva se ∀y ∈ B, ∃x ∈ D : f (x) = y. c) bijectiva se é injectiva e sobrejectiva.

2.2 Limites. Limites relativos

2.2

51

Limites. Limites relativos

Defini¸ c˜ ao 2.2.1 Seja f : D ⊂ R → R e a um ponto aderente ao dom´ınio de f . Diz-se que b é limite de f no ponto a (ou quando x tende para a), e escreve-se lim f (x) = b, se x→a

∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ D ∧ |x − a| < ε ⇒ |f (x) − b| < δ. Em termos de vizinhan¸cas: lim f (x) = b ⇔ ∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ Vε (a) ∩ D ⇒ f (x) ∈ Vδ (b).

x→a

A Figura 2.2 sugere a interpreta¸cão geométrica de lim f (x) = b. x→a

y

b+ d b b-d

a-e

a a+ e

x

Figura 2.2 Interpreta¸c˜ ao geométrica de lim f (x) = b. x→a

Defini¸ c˜ ao 2.2.2 Seja f : D ⊂ R → R e suponhamos que D n˜ ao é majorado. Diz-se que o limite de f quando x → +∞ é b se 1 ∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ D ∧ x > ⇒ |f (x) − b| < δ ε e escreve-se lim f (x) = b. x→+∞

Defini¸ c˜ ao 2.2.3 Seja f : D ⊂ R → R e suponhamos que D n˜ ao é minorado. Diz-se que o limite de f quando x → −∞ é b se ∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ D ∧ x < − e escreve-se

1 ⇒ |f (x) − b| < δ ε

lim f (x) = b.

x→−∞

Defini¸ c˜ ao 2.2.4 Seja f : D ⊂ R → R e a um ponto aderente ao dom´ınio de f . Diz-se que o limite de f em a é +∞ se 1 ∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ D ∧ |x − a| < ε ⇒ f (x) > δ e escreve-se lim f (x) = +∞. x→a

Defini¸ c˜ ao 2.2.5 Seja f : D ⊂ R → R e a um ponto aderente ao dom´ınio de f . Diz-se que o limite de f em a é −∞ se 1 ∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ D ∧ |x − a| < ε ⇒ f (x) < − δ e escreve-se lim f (x) = −∞. x→a

52

2. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: Limites e Continuidade

NOTA: As defini¸cões de lim f (x) = +∞, lim f (x) = +∞, lim f (x) = −∞ e lim f (x) = −∞, x→+∞

x→−∞

x→+∞

x→−∞

podem dar-se de forma análoga. Em todo o caso, se tivermos em conta a defini¸cão de vizinhan¸ca em R (ver p´ agina 13), podemos unificar todas as defini¸co˜es do seguinte modo: se a, b ∈ R, diz-se que lim f (x) = b x→a se ∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ Vε (a) ∩ D ⇒ f (x) ∈ Vδ (b). Teorema 2.2.1 Se f : D ⊂ R → R e a ∈ R é um ponto aderente a D, ent˜ ao lim f (x) = b se, e s´ o se, x→a

para cada sucess˜ ao (xn ) de limite a, (xn ) ⊂ D, a sucess˜ ao (f (xn )) tem por limite b.

NOTA: Observe-se que não exigimos que a seja ponto de acumula¸cão de D. Se a é ponto isolado de D então f tem limite igual a f (a) quando x → a. De facto, as u ´ nicas sucessões de pontos do dom´ınio que tendem para a são as sucessões que, a partir de certa ordem, são constantemente iguais a a. Teorema 2.2.2 O limite de f em a, quando existe, é u ńico. NOTAS: 1. Este teorema permite-nos usar a expressão “b é o limite de f (x) quando x tende para a”, em vez de “b é limite de f (x) quando x tende para a” e permite que se use a nota¸cão lim f (x) = b. x→a

2. Se a ∈ D (isto é, f está definida em a), o limite b, se existe, coincide com f (a). Com efeito, neste caso, a verifica as condi¸cões a ∈ D e |a − a| < ε ∀ε > 0, o que implica que |f (a) − b| < δ, ∀δ > 0, ou seja, f (a) = b. EXEMPLO: Consideremos a fun¸cão f : R → R definida por ( x2 , se x 6= 0 f (x) = 1, se x = 0 (ver Figura 2.3). Não existe lim f (x). Como o dom´ınio de f x→0

é R o limite, se existisse teria de ser igual a f (0), como vimos na observa¸cão anterior. Ter´ıamos então de provar que

2.5 2 1.5

∀δ > 0 ∃ε > 0 : |x| < ε ⇒ |f (x) − 1| < δ.

1 0.5 -2

-1

1

2

Figura 2.3

Teorema 2.2.3 Se lim f (x) = b e lim g(x) = c ent˜ ao: x→a

a) lim [f (x) + g(x)] = b + c; x→a

b) lim [f (x) − g(x)] = b − c; x→a

c) lim [f (x)g(x)] = b c; x→a

d) Se c 6= 0, lim

x→a

f (x) b = . g(x) c

x→a

Mas, se δ = 12 , qualquer que seja ε > 0, existe sempre x tal que |x| < ε e f (x) < 12 , o que implica que |f (x) − 1| > 21 .

2.2 Limites. Limites relativos

53

Teorema 2.2.4 Se lim f (x) = 0 e g é uma fun¸ca õ limitada numa vizinhan¸ca de a ent˜ ao lim [f (x)g(x)] = x→a x→a 0. NOTA: O facto de g ser limitada é essencial. Por exemplo, se f (x) = x e g(x) = o que não contradiz o teorema, visto g não ser limitada.

1 , lim f (x)g(x) = 1 6= 0, x x→0

Teorema 2.2.5 Sejam f : D ⊂ R → R e g : E ⊂ R → R tais que g(E) ⊂ D. Se lim g(x) = b e x→a

lim f (x) = c ent˜ ao lim (f ◦ g)(x) = c. x→a

x→b

Defini¸ c˜ ao 2.2.6 Sejam f : D ⊂ R → R e B um subconjunto pr´ oprio de D (isto é, B ⊂ D e B 6= D). Suponhamos que a é um ponto aderente a B. Diz-se que f tem limite b, quando x tende para a, segundo B, ou que b é o limite relativo a B de f quando x tende para a, se o limite da restri¸ca õ de f a B quando x tende para a é b. Designa-se este limite por lim

x→a x∈B

f (x) = b

ou

lim

x→a, x∈B

f (x) = b.

São importantes os limites relativos que se seguem: 1. B = D \ {a}. Diz-se então que f (x) tende para b quando x tende para a por valores diferentes de a: lim f (x) = b. x→a x 6= a

2. B = {x : x ∈ D ∧ x < a}. Neste caso escreve-se lim

x→a x a}. Neste caso escreve-se lim

x→a x>a

f (x) = b

ou

lim f (x) = b

x→a+

e diz-se limite a ` direita de f no ponto a. Os limites à esquerda e à direita recebem a designa¸cão comum de limites laterais. Para se poderem definir estes limites, o ponto a tem que ser ponto de acumula¸cão de B. NOTAS: 1. lim− f (x) = lim+ f (x) = b ⇔ x→a

x→a

lim

x→a x 6= a

f (x) = b. Mas pode existir só um dos limites laterais (ou os

dois com valores distintos) sem que exista

lim

x→a x 6= a

f (x).

2. lim f (x) = lim f (x) = b não implica que lim f (x) = b a não ser que f (a) = b. No exemplo da x→a−

x→a+

página 52, f (0− ) = f (0+ ) = 0 e f (0) = 1.

x→a

54

2. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: Limites e Continuidade

3.

lim

x→a x 6= a

f (x) não se distingue de lim f (x) quando a 6∈ D, devendo então a ser ponto de acumula¸caõ x→a

de D.

EXEMPLO 1: Consideremos a fun¸cão f : R → R definida por 0, se x < 2 f (x) = 1, se x ≥ 2 (ver Figura 2.4)

1

-1

1

2

3

4

Figura 2.4

Verifica-se que lim− f (x) = 0 e lim+ f (x) = 1. Portanto, x→2

x→2

também não existe lim f (x).

lim

x→2 x 6= 2

f (x) não existe, e consequentemente,

x→2

Se a < 2 então lim+ f (x) = lim− f (x) = lim f (x) = x→a

x→a

x→a

Se a > 2 então lim f (x) = lim f (x) = lim f (x) = x→a+

x→a

x→a−

lim

f (x) = 0.

lim

f (x) = 1.

x→a x 6= a x→a x 6= a

EXEMPLO 2: Consideremos a fun¸cão f : R → R definida por |x − 4|, se x 6= 4 f (x) = 2, se x = 4 (ver Figura 2.5)

5 4 3 2 1 -2

2

4

6

8

10

lim

f (x) = 0, mas não existe lim f (x)

Figura 2.5

Verifica-se que lim− f (x) = 0 e lim+ f (x) = 0. Portanto, x→4

porque f (4) = 2 6= 0. EXEMPLO 3: Em R temos:

x→4

x→4 x 6= 4

x→4

2.2 Limites. Limites relativos

a) lim− x→a

55

1 1 1 = −∞ e lim+ = +∞; lim não existe. x→a x − a x−a x→a x − a

b) lim− x→a

1 1 1 = +∞ e lim+ = +∞; lim = +∞. x→a (x − a)2 (x − a)2 x→a (x − a)2

1 1 = 0 = lim . x→−∞ x x y 1 1 1+ = e. d) lim (1 + x) x = lim y→+∞ y x→0+

c) lim

x→+∞

Teorema 2.2.6 Seja f : D ⊂ R → R uma fun¸ca õ mon´ otona limitada. Ent˜ ao existem os limites laterais f (a− ) e f (a+ ) em todo o ponto a onde esses limites possam ser definidos. Demonstra¸cão: Suponhamos, por exemplo, que f é crescente. Seja A = {x : x ∈ D ∧ x < a}. Se a ∈ A queremos provar que existe f (a− ), isto é, queremos provar que existe um b ∈ R tal que ∀δ > 0 ∃ε > 0 |x − a| < ε ∧ x < a ⇒ |f (x) − b| < δ. Como, por hipótese, f é limitada, isto é, f (D) é um conjunto limitado e A ⊂ D, temos que f (A) é um conjunto limitado. Pelo Teorema 1.1.2, f (A) tem supremo. Seja b = sup f (A) = sup f (x). Pelo Teorema 1.1.3, x∈A

∀δ > 0 ∃x0 ∈ A : f (x0 ) > b − δ. Como f é crescente f (x) ≥ f (x0 ) > b − δ ∀x ∈]x0 , a[ ∩ A. Podemos então escrever |f (x) − b| < δ ∀x : x ∈ A ∧ |x − a| < a − x0 . Fazendo ε = a − x0 , conclu´ımos que ∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ A ∧ |x − a| < ε ⇒ |f (x) − b| < δ, isto é, lim f (x) = b. x→a−

Para provar que existe f (a+ ) considera-se o

inf

x∈D x>a

f (x) e conclui-se que f (a+ ) =

inf

x∈D x>a

f (x).

´ condi¸ca Teorema 2.2.7 E õ necess´ aria e suficiente para que f tenha limite finito no ponto a que ∀δ > 0 ∃ε > 0 ∀x, y ∈ Vε (a) |f (x) − f (y)| < δ.

56

2. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: Limites e Continuidade

2.3

Continuidade: propriedades das fun¸ c˜ oes cont´ınuas. rema de Bolzano

Teo-

Defini¸ c˜ ao 2.3.1 Sejam f : D ⊂ R → R e a ∈ D. Diz-se que f é cont´ınua em a se existir lim f (x). x→a

Como vimos anteriormente, o facto de a ∈ D implica que lim f (x) = f (a). Podemos escrever f é x→a cont´ınua em a se ∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ D ∧ |x − a| < ε ⇒ |f (x) − f (a)| < δ, ou, em termos de vizinhan¸cas ∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ Vε (a) ∩ D ⇒ f (x) ∈ Vδ (f (a)). Os pontos em que uma fun¸cão não é cont´ınua dizem-se pontos de descontinuidade. Defini¸ c˜ ao 2.3.2 Sejam f : D ⊂ R → R e a ∈ D. a) f é cont´ınua a ` esquerda em a se f (a− ) = lim f (x) = f (a). x→a−

b) f é cont´ınua a ` direita em a se f (a+ ) = lim+ f (x) = f (a). x→a

NOTAS: 1. Se f for cont´ınua à esquerda e à direita no ponto a então f é cont´ınua em a. 2. Se a for um ponto isolado, resulta da defini¸cão que f é cont´ınua em a. Teorema 2.3.1 Toda a fun¸ca õ constante é cont´ınua em todos os pontos do seu dom´ınio. Do Teorema 2.2.3, conclui-se facilmente: Teorema 2.3.2 Se f e g s˜ ao cont´ınuas no ponto a ent˜ ao f + g, f − g e f g s˜ ao cont´ınuas nesse ponto; f se g(a) 6= 0 ent˜ ao também é cont´ınua em a. g Analogamente, do Teorema 2.2.5 se deduz: Teorema 2.3.3 Sejam f : D ⊂ R → R e g : E ⊂ R → R tais que g(E) ⊂ D. Se g é cont´ınua no ponto t0 e f é cont´ınua no ponto x0 = g(t0 ), ent˜ ao f ◦ g é cont´ınua em t0 . Defini¸ c˜ ao 2.3.3 Uma fun¸ca õ f diz-se cont´ınua no conjunto B ⊂ D se é cont´ınua em todos os pontos de B. Teorema 2.3.4 (Teorema do valor interm´ edio de Bolzano) Seja f uma fun¸ca õ cont´ınua num intervalo I, a e b dois pontos de I tais que f (a) 6= f (b). Ent˜ ao, qualquer que seja o n´ umero k estritamente compreendido entre f (a) e f (b), existe pelo menos um ponto c, estritamente compreendido entre a e b, tal que f (c) = k. Demonstra¸cão: Podemos supor, sem perda de generalidade, que a < b. Consideremos o intervalo [a, b]. Como f (a) 6= f (b) teremos f (a) < f (b) ou f (a) > f (b). Admitamos que f (a) < f (b). Seja k tal que f (a) < k < f (b). Seja o conjunto C = {x : x ∈ [a, b] ∧ f (x) < k}. Como f (a) < k, a ∈ C, pelo que C 6= ∅. Visto que b é um majorante de C podemos afirmar, pelo Teorema 1.1.2 que existe c = sup C. Como C ⊂ [a, b],

2.3 Continuidade: propriedades das fun¸ c˜ oes cont´ınuas. Teorema de Bolzano

57

y

f(b)

k f(a)

a

x

b Figura 2.6

c ∈ [a, b]. Dado que f é cont´ınua em [a, b] e c é aderente a C, existem todos os limites relativos tendo-se, em particular, lim f (x) = lim f (x) = f (c). x→c

x→c x∈C

Mas se x ∈ C, f (x) < k, o que implica que lim f (x) =

lim

x→c

x→c x∈C

f (x) ≤ k, donde

f (c) ≤ k

(1)

Por outro lado, c é um ponto aderente a [a, b] \ C. Como b ∈ [a, b] \ C este conjunto é não vazio e lim f (x) =

x→c

lim

x→c x ∈ [a, b] \ C

f (x) = f (c).

Mas se x ∈ [a, b] \ C, então f (x) ≥ k, o que implica que lim f (x) =

x→c

lim

x→c x ∈ [a, b] \ C

f (x) ≥ k,

donde f (c) ≥ k.

(2)

De (1) e (2) conclui-se que f (c) = k. NOTA: Se f não for cont´ınua em [a, b], pode existir k ∈ [f (a), f (b)] tal que 6 ∃c ∈ [a, b] : f (c) = k (ver Figura 2.6). EXEMPLO: Seja f (x) = x3 − x2 + x. Usando o teorema anterior podemos provar que existe c tal que f (c) = 10. De facto, como f é cont´ınua em R podemos considerar a sua restri¸cão ao intervalo [0, 3] e facilmente se verifica que f (0) = 0 < 10 < f (3) = 21.

58

2. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: Limites e Continuidade

Corol´ ario 1 Se f é cont´ınua em [a, b] e f (a) · f (b) < 0, ent˜ ao existe c ∈]a, b[ tal que f (c) = 0. Demonstra¸cão: Podemos supor, sem perda de generalidade, que f (a) < 0 e f (b) > 0. Então f (a) < 0 < f (b). Como f é cont´ınua em [a, b], o teorema anterior permite afirmar que ∃c ∈]a, b[: f (c) = 0. Corol´ ario 2 A imagem de um intervalo, por uma fun¸ca õ cont´ınua, é também um intervalo. Demonstra¸cão: Seja f : I ⊂ R → R. Se f (x) = c, ∀x ∈ I, isto é, se f é constante, o seu contradom´ınio reduz-se a um ponto, intervalo do tipo [c, c], não havendo, portanto, nada mais a provar. Como facilmente se verifica, um conjunto J que contenha, pelo menos, dois pontos, é um intervalo se, e só se, verifica a propriedade: α, β ∈ J ∧ α < β =⇒ [α, β] ⊂ J que é ainda equivalente a: α, β ∈ J ∧ α < k < β =⇒ k ∈ J. Suponhamos que f não é constante, que α, β ∈ f (I) e α < k < β; por defini¸cão, existem a, b ∈ I tais que α = f (a) < k < f (b) = β. Pelo Teorema de Bolzano existe c, estritamente compreendido entre a e b (portanto, c ∈ I), tal que f (c) = k, isto é, k ∈ f (I). NOTA: O intervalo f (I) pode ser de tipo diferente do intervalo I como se pode ver nos seguintes exemplos: 1) f :] − ∞, +∞[→ [−1, 1], f (x) = sen(x)

2) f :] − ∞, +∞[→]0, 1], f (x) =

x2

1 +1

1 0.8 0.6 0.4 0.2 -3

-2

3) f :] − π2 , π2 [→] − ∞, +∞[, f (x) = tg(x)

-1

1

2

3

2.3 Continuidade: propriedades das fun¸ c˜ oes cont´ınuas. Teorema de Bolzano

59

Teorema 2.3.5 (Teorema de Weierstrass) Se f é uma fun¸ca õ cont´ınua num intervalo fechado e limitado I, ent˜ ao f (I) é também um intervalo fechado e limitado. Demonstra¸cão: Pelo Corolário 2 do Teorema de Bolzano sabemos que f (I) é um intervalo. Resta-nos então provar que é fechado e limitado. Dividimos a demonstra¸cão em duas partes. a) f (I) é limitado. b) f (I) é fechado. a) Suponhamos que f (I) não é limitado. Então para cada n ∈ N existe xn ∈ I tal que |f (xn )| ≥ n. Como I é limitado a sucessão (xn ) também é limitada, portanto, (xn ) tem uma subsucess˜ ao (xnk ) convergente (Teorema 1.3.12). Seja x = lim f (xnk ); x ∈ I porque I é fechado. Visto que f é cont´ınua, n

lim f (xnk ) = f (x), mas esta conclusão é incompat´ıvel com a suposi¸cão |f (xn )| ≥ n ∀n ∈ N (Teorema n

1.3.7) b) Temos de provar que existem x0 e x1 ∈ I tais que f (x0 ) = sup f (x) e f (x1 ) = inf f (x). x∈I

x∈I

Suponhamos que não existe x0 ∈ I tal que f (x0 ) = sup f (x), isto é, L = sup f (x) não é atingido. x∈I

Então L − f (x) 6= 0, ∀x ∈ I. Portanto,

g(x) =

x∈I

1 L − f (x)

é uma fun¸cão cont´ınua em I. Provámos em a) que toda a fun¸cão cont´ınua num intervalo limitado é limitada o que implica que g é limitada. Pelo Teorema 1.1.3 temos que ∀δ > 0 ∃c ∈ I : f (c) > L − δ ⇒ ∀δ > 0 ∃c ∈ I : L − f (c) < δ 1 1 ⇒ ∀δ > 0 ∃c ∈ I : g(c) = > L − f (c) δ o que contradiz o facto de g ser limitada. Analogamente, se prova a existência de x1 ∈ I tal que f (x1 ) = inf f (x). Portanto, f (I) é fechado. x∈I

Corol´ ario 1 Toda a fun¸ca õ cont´ınua num intervalo fechado e limitado tem, nesse intervalo, um m´ aximo e um m´ınimo. NOTAS:

60

2. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: Limites e Continuidade

1. Os dois resultados anteriores mantêm-se válidos se substituirmos “intervalo fechado limitado” por “conjunto fechado limitado não vazio”. 2. A hipótese intervalo (ou conjunto) fechado é necessária como se pode ver pelos exemplos seguintes: 1) Seja f (x) = x. f é cont´ınua em ] − 1, 1[ e não tem nesse intervalo máximo nem m´ınimo. ( 1 , se x 6= 0 2) A fun¸cão g(x) = é cont´ınua em ]0, 1], mas não tem máximo nesse intervalo. x 0, se x = 0 1 1 3) A fun¸c˜ ao h(x) = sen é cont´ınua em ]0, 1] e não tem máximo nem m´ınimo nesse intervalo. x x Teorema 2.3.6 Se f é uma fun¸ca õ cont´ınua e injectiva num intervalo I, ent˜ ao a fun¸ca õ inversa é também cont´ınua. Defini¸ c˜ ao 2.3.4 Sejam F e f duas fun¸co ˜es de dom´ınios DF e Df , respectivamente. Diz--se que F é um prolongamento de f se Df ⊂ DF e F (x) = f (x), ∀x ∈ Df . Defini¸ c˜ ao 2.3.5 Seja a um ponto aderente a D (dom´ınio de f ). Diz-se que f é prolong´ avel por continuidade ao ponto a se existir um prolongamento F de f , com dom´ınio D ∪ {a}, sendo F cont´ınua em a. Teorema 2.3.7 Para que uma fun¸ca õ f seja prolong´ avel por continuidade ao ponto a, é necess´ ario e suficiente que tenha limite nesse ponto. Existindo o limite, o prolongamento por continuidade é a fun¸cão g : Df ∪({a} → R f (x), g(x) = lim f (x), x→a

se x ∈ Df se x = a

EXEMPLO: Consideremos a fun¸cão f : R \ {0} → R definida por f (x) =

Sabemos que lim f (x) = 1.

sen(x) (ver Figura 2.7). x

x→0

Figura 2.7

Pelo teorema anterior f é prolongável por continuidade ao ponto 0 e o prolongamento é a fun¸caõ g : R → R definida por: ( sen(x) , se x 6= 0 g(x) = x 1, se x = 0 Defini¸ c˜ ao 2.3.6 Diz-se que f tem uma descontinuidade remov´ıvel no ponto a se existir uma fun¸ca õ g cont´ınua em a, que apenas difere de f em a. EXEMPLO: Seja

  x2 − 2x − 3 , se x 6= 3 f (x) =  3, x − 3 se x = 3

2.3 Continuidade: propriedades das fun¸ c˜ oes cont´ınuas. Teorema de Bolzano

Como

lim

x→3 x 6= 3

f (x) = 4, f tem uma descontinuidade remov´ıvel em x = 3. A fun¸cão

é cont´ınua no seu dom´ınio.

  x2 − 2x − 3 , se x 6= 3 g(x) =  4, x − 3 se x = 3

61

62

2.4

2. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: Limites e Continuidade

Exerc´ıcios Resolvidos

2.5 Exerc´ıcios Propostos

63

2.5

Exerc´ıcios Propostos

2.5.1

Limites e Continuidade

π 1. Estude a continuidade da fun¸cão f (x) :] −π 2 , 2 [→ R definida por ( 1, se x = 0 f (x) = tg(x) , se x 6= 0 sen(2x)

2. Considere a fun¸cão real de variável real, definida por:    2x + arc cos(x), se 0 ≤ x < 1 2, se x = 1, h(x) = x + 5   , se 1 < x ≤ 4 3 (a) Mostre que h é cont´ınua em todo o seu dom´ınio. (b) Aplicando o teorema de Bolzano, mostre que: ∃c ∈]2, 4[: h(c) = c.

3. Considere a fun¸cão real f (x) = 1 − x sen( x1 ) definida em R \ {0}. Seja g um prolongamento de f a R. Determine o valor a atribuir a g(0) de modo que g seja cont´ınua em x = 0. 4. Determine o valor de a e b que tornam cont´ınuas as seguintes fun¸cões nos pontos indicados: 3x − 7, se x ≥ 3 (a) f1 (x) = , x = 3. ax + 3, se x < 3  se x < −2  x + a, 3ax + b, se − 2 ≤ x ≤ 1 , (b) f2 (x) = x = −2, x = 1.  ax + 3, se x > 1 sen(x), se x ≤ 0 , x = 0. (c) f3 (x) = ax + b, se x > 0 5. Considere a fun¸cão real definida por:   x + 2a, se x ≤ 2 x(x − 2) f (x) =  2 , se x > 2 x − 5x + 6

(a) Determine o valor de a de forma a que f seja cont´ınua em x = 2. (b) Mostre que apesar de se ter f (2) · f (4) < 0, não se pode aplicar o teorema do valor intermédio de Bolzano no intervalo [2, 4]. sen(x) = 1, estude a continuidade em x = 0 da fun¸cão x→0 x  4  x − 3x3 + x2 , se x 6= 0 f (x) = sen(x)  0, se x = 0

6. Sabendo que lim

Obs: Considere f apenas definida em [− π2 , π2 ]. r 1 − cos(x) x 7. Sabendo que sen( 2 ) = ± , estude a continuidade em x = 0 da fun¸cão 2  2x − sen(x)  p , se x 6= 0 f (x) = 1 − cos(x) √  2, se x = 0 Obs: Considere f apenas definida em [− π2 , π2 ].

64

2. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: Limites e Continuidade

8. Mostre, recorrendo à defini¸cão, que as seguintes fun¸cões são cont´ınuas nos seus dom´ınios: (a) f (x) = x2 ; (b) g(x) = cos(x); (c) h(x) = x + sen(x). 9. Sejam f e g fun¸cões cont´ınuas em [a, b] tais que f (a) > g(a) e f (b) < g(b). Mostre que os gráficos de f e g se intersectam num ponto de abcissa c ∈]a, b[. 10. Sejam f e g fun¸cões cont´ınuas em [a, b] tais que f (a) = g(b), f (b) = g(a) e f (a) 6= g(a). Mostre que f − g tem pelo menos uma raiz pertencente ao intervalo [a, b]. 11. Seja f uma fun¸cão real de variável real cont´ınua em [a, b]. Sabendo que f (a) < a e f (b) > b, prove que f tem pelo menos um ponto fixo no intervalo ]a, b[. Obs: c é ponto fixo se f (c) = c. 12. Prove que se h : D ⊂ R → R é uma fun¸caõ cont´ınua em x = b, ponto interior a D, se tem: (a) Se h(b) > 0 então existe uma vizinhan¸ca V de b tal que h(x) > 0, ∀x ∈ V .

(b) Se h(b) < 0 então existe uma vizinhan¸ca V de b tal que h(x) < 0, ∀x ∈ V .

13. Seja f : [a, b] → R uma fun¸cão cont´ınua, injectiva e tal que f (a) < f (b). Utilize o teorema do valor intermédio de Bolzano para concluir que f é estritamente crescente no seu dom´ınio. Sugestão: Comece por mostrar, utilizando o método de redu¸cão ao absurdo, que não existe x ∈]a, b[ tal que f (x) < f (a) ou f (x) > f (b). 14. Seja f : [a, +∞[→ R uma fun¸cão cont´ınua. Suponha que existe b ∈ [a, +∞[ tal que, para qualquer x > b se tem f (x) < f (a). Prove que f tem máximo em [a, +∞[. 15. Seja f : R → R uma fun¸cão com limite finito quando x → 0 e tal que Indique, justificando, o valor de lim f (x).

f (x) > 0 ∀x ∈ R \ {0}. x

x→0

16. Seja f uma fun¸cão definida em R e verificando as seguintes condi¸cões: i) ∀x ∈ R, f (x) ∈ Z;

ii) lim f (x) = c, c ∈ R. x→+∞

Recorrendo à defini¸cão de limite, justifique que: (a) c é um n´ umero inteiro. (b) Existe a ∈ R tal que f (x) = c, sempre que x > a. 17. Considere a fun¸cão f definida por: ( 1 x2 + 2, f (x) = 2 |1 + x| + |1 − x|,

se x 6∈ Z se x ∈ Z

Estude-a quanto à continuidade. 18. Seja f uma fun¸cão definida num conjunto X ⊂ R. Mostre que se f é cont´ınua em a, existe uma vizinhan¸ca de a, na qual f é limitada. 19. (a) Sendo g : [0, +∞[→ R cont´ınua no seu dom´ınio, mostre que a fun¸cão f (x) = g(1 − x2 ) tem máximo e m´ınimo.

2.5 Exerc´ıcios Propostos

65

(b) Se na al´ınea a) considerássemos g definida em ]0, +∞[, poder´ıamos continuar a garantir para f a existência de máximo e m´ınimo? Justifique. 20. Seja f uma fun¸cão cont´ınua em R, com limites positivos quando x → −∞ e x → +∞ e tal que f (0) < 0. Nestas condi¸cões mostre que: (a) a equa¸cão f (x) = 0 tem pelo menos duas ra´ızes reais. (b) ∃c ∈ R ∀x ∈ R f (c) ≤ f (x). Dê um exemplo de uma fun¸cão que verifique todas as condi¸co˜es exigidas no enunciado – excepto na continuidade em R, que deve ser substitu´ıda pela continuidade em R \ {0} – e para a qual as afirma¸cões expressas nas al´ıneas a) e b) sejam falsas.

66

2. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: Limites e Continuidade

Cap´ıtulo 3

Fun¸c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Diferencial 3.1

Derivadas. Regras de deriva¸ c˜ ao.

Defini¸ c˜ ao 3.1.1 Sejam f : D ⊂ R → R e a um ponto interior a D. Chama-se derivada de f no ponto a ao limite, se existir (em R), f (x) − f (a) lim x→a x−a ou, fazendo x − a = h,

f (a + h) − f (a) · h→0 h lim

df Designa-se a derivada de f no ponto a por f ′ (a) ou (a). Se f tem derivada finita no ponto a, diz-se dx que f é diferenci´ avel em a. Designando por P e Qi , i = 1, 2, 3, 4, respectivamente, os pontos do gráfico de f que têm abcissas a e xi , a razão f (xi ) − f (a) xi − a é o declive da recta P Qi , secante ao gr´ afico de f (veja-se a Figura 3.1).

( )

Figura 3.1: Interpreta¸c˜ ao geométrica da derivada.

68

3. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Diferencial

Se f é diferenciável no ponto a, chama-se tangente ao gráfico de f no ponto (a, f (a)) à recta que passa por este ponto e tem declive igual a f ′ (a); a recta tangente terá então a equa¸cão: y = f (a) + f ′ (a)(x − a). Defini¸ c˜ ao 3.1.2 Sejam f : D ⊂ R → R e a um ponto interior a D. Chama-se derivada a ` esquerda de f no ponto a ao limite, se existir (em R), lim

x→a−

ou, fazendo x − a = h, lim−

h→0 ′

f (x) − f (a) x−a

f (a + h) − f (a) , h

−

e designa-se por f (a ). Chama-se derivada a ` direita de f no ponto a ao limite, se existir (em R), lim+

x→a

ou, fazendo x − a = h, lim

h→0+

f (x) − f (a) x−a

f (a + h) − f (a) , h

e designa-se por f ′ (a+ ). ´ evidente que f ′ (a) existe se, e só se, existem e são iguais f ′ (a+ ) e f ′ (a− ). NOTA: E EXEMPLO 1: Consideremos a fun¸cão f : R → R definida por x, se x ≥ 0 f (x) = |x| = −x, se x < 0 cujo gráfico se apresenta na Figura 3.2.

Figura 3.2

f ′ (0+ ) = lim+ x→0

′

−

f (0 ) = lim− ′

+

′

−

x→0

f (x) − f (0) x = lim+ = 1; x−0 x x→0 f (x) − f (0) −x = lim− = −1. x−0 x x→0

Como f (0 ) 6= f (0 ), f não tem derivada no ponto 0.

3.1 Derivadas. Regras de deriva¸ c˜ ao.

69

EXEMPLO 2: A fun¸cão f : R → R definida por ( x sen f (x) = 0,

1 x

, se x 6= 0 se x = 0

não tem derivadas laterais em x = 0 (ver Figura 3.3). De facto, a fun¸cão definida por x sen x1 f (x) − f (0) 1 = = sen x−0 x x não tem limite quando x → 0, não existindo sequer limites laterais.

Figura 3.3

√ EXEMPLO 3: A fun¸cão f : R → R definida por f (x) = 3 x (ver Figura 3.4) tem derivada +∞ em x = 0, pois r √ 3 1 x x ′ + f (0 ) = lim+ = lim+ 3 3 = lim+ √ = +∞ 3 x x x→0 x→0 x→0 x2 r √ 3 1 x x ′ − f (0 ) = lim = lim 3 3 = lim √ = +∞ 3 x x→0− x x→0− x→0− x2 f não é, pois, diferenciável em 0.

Figura 3.4

EXEMPLO 4: A fun¸cão f : R → R definida por f (x) = não tem derivada em 0. De facto,

√ 3

x2 , e cujo gráfico se apresenta na Figura 3.5,

70

3. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Diferencial

√ 3 x2 f (0 ) = lim x→0+ x √ 3 x2 ′ − f (0 ) = lim x→0− x ′

+

= =

lim

x→0+

lim

x→0−

r 3

r 3

x2 x3

=

1 lim √ 3 + x x→0

=

+∞

x2 x3

=

1 lim √ 3 − x x→0

=

−∞

Figura 3.5

Teorema 3.1.1 Sejam f : D ⊂ R → R e a um ponto interior a D. Se f é diferenci´ avel no ponto a, ent˜ ao f é cont´ınua em a. f (x) − f (a) , ∀x ∈ D \ {a}. x−a Então f (x) − f (a) lim f (x) = lim f (a) + (x − a) = f (a) + 0.f ′ (a) = f (a), x→a x→a x−a ou seja, f é cont´ınua no ponto a. Demonstra¸cão: Podemos escrever f (x) = f (a) + (x − a)

NOTAS: 1. Uma fun¸cão pode ser cont´ınua num dado ponto e não ter derivada nesse ponto (ver o exemplo anterior). 2. Se a derivada for infinita, a fun¸cão pode não ser cont´ınua. Teorema 3.1.2 Se f e g s˜ ao fun¸co ˜es diferenci´ aveis em a, ent˜ ao f + g e f · g s˜ ao fun¸co ˜es diferenci´ aveis em a, e (f + g)′ (a) = f ′ (a) + g ′ (a) (f · g)′ (a) = f ′ (a) · g(a) + f (a) · g ′ (a).

Se, além disso, g(a) 6= 0, ent˜ ao f /g é diferenci´ avel em a e ′ f f ′ (a) · g(a) − f (a) · g ′ (a) (a) = . g (g(a))2

Demonstra¸cão: Sendo finitas as derivadas f ′ (a) e g ′ (a), teremos no caso da soma: (f + g)′ (a) =

=

=

x→a

lim

(f + g)(x) − (f + g)(a) f (x) + g(x) − f (a) − g(a) = lim x→a x−a x−a

lim

x→a

f (x) − f (a) g(x) − g(a) + x−a x−a

f ′ (a) + g ′ (a)

= lim

x→a

f (x) − f (a) g(x) − g(a) + lim x→a x−a x−a

3.1 Derivadas. Regras de deriva¸ c˜ ao.

71

o que mostra que f + g é diferenciável em a. Para o produto, temos (f · g)′ (a)

=

=

=

=

=

= =

x→a

lim

(f · g)(x) − (f · g)(a) x−a

lim

f (x) · g(x) − f (a) · g(a) x−a

lim

f (x) · g(x) − f (a) · g(x) + f (a) · g(x) − f (a) · g(a) x−a

lim

(f (x) − f (a)) · g(x) + f (a) · (g(x) − g(a)) x−a

x→a

x→a

x→a

f (x) − f (a) g(x) − g(a) g(x) · + f (a) · x→a x−a x−a lim

lim g(x) · lim

x→a

x→a

f (x) − f (a) g(x) − g(a) + f (a) · lim x→a x−a x−a

g(a) · f ′ (a) + f (a) · g ′ (a)

onde se usou o facto de a diferenciabilidade de g em a implicar a sua continuidade no mesmo ponto. Finalmente, para o quociente podemos come¸car por considerar o caso particular de f ser a fun¸caõ constante com o valor 1 em todos os pontos do seu dom´ınio. Obtemos então: 1 1 1 1 ′ (x) − (a) − 1 g g g(x) g(a) (a) = lim = lim x→a x→a g x−a x−a

Portanto, notando que

=

g(a) − g(x) g(x) − g(a) 1 g(x) · g(a) lim = lim · − x→a x→a x−a x−a g(x) · g(a)

=

−

1 1 g(x) − g(a) 1 1 · lim · lim =− · · g ′ (a) x→a x→a g(a) g(x) x−a g(a) g(a)

=

−

g ′ (a) . (g(a))2

f 1 = f · , temos: g g ′ ′ 1 1 f (a) = f ′ (a) · (a) + f (a) · (a) g g g =

f ′ (a) · g(a) − f (a) · g ′ (a) . (g(a))2

Corol´ ario 1 Se f1 , f2 , . . . , fp s˜ ao fun¸co ˜es diferenci´ aveis no ponto a, a sua soma e o seu produto também o s˜ ao e verificam-se as igualdades: (f1 + f2 + · · · + fp )′ (a) = f1′ (a) + f2′ (a) + · · · + fp′ (a)

72

3. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Diferencial

(f1 · f2 · · · fp )′ (a) =

p X i=1

f1 (a) · · · fi′ (a) · · · fp (a).

Em particular, se p ∈ N e f é diferenci´ avel em a também o é a fun¸ca õ h(x) = (f (x))p e tem-se h′ (a) = p · (f (a))p−1 · f ′ (a). Teorema 3.1.3 Se g : E → R é diferenci´ avel no ponto a e f : D → R é diferenci´ avel no ponto b = g(a), ent˜ ao f ◦ g é diferenci´ avel em a e (f ◦ g)′ (a) = f ′ (b) · g ′ (a) = f ′ (g(a)) · g ′ (a). Teorema 3.1.4 Sejam I um intervalo, f : I → R uma fun¸ca õ estritamente mon´ otona e cont´ınua, g : J = f (I) → R a sua inversa. Se f é diferenci´ avel no ponto a e f ′ (a) 6= 0, ent˜ ao g é diferenci´ avel em b = f (a) e 1 1 = ′ . g ′ (b) = ′ f (a) f (g(b)) EXEMPLO 1: Consideremos a fun¸cão g(x) = arc sen(x), fun¸cão inversa da fun¸cão f (x) = sen(x) no intervalo [− π2 , π2 ]. Teremos então g ′ (x) =

1 1 1 1 1 . = = =p =√ 2 f ′ (g(x)) cos(g(x)) cos(arc sen(x)) 1 − x2 1 − sen (arc sen(x))

EXEMPLO 2: Consideremos a fun¸cão g(x) = arc cos(x), fun¸cão inversa da fun¸cão f (x) = cos(x) no intervalo [0, π]. Teremos então g ′ (x)

= =

1

1 1 =− sen(g(x)) sen(arc cos(x)) 1 1 . −p = −√ 2 1 − x2 1 − cos (arc cos(x)) f ′ (g(x))

=−

De forma análoga se pode mostrar que

(arc tg(x))′ =

1 1 + x2

e (arc cotg(x))′ = −

1 . 1 + x2

Se f : D ⊂ R → R é uma fun¸cão diferenciável em todos os pontos de A ⊂ D, podemos definir a fun¸cão que a cada x de A faz corresponder f ′ (x). Obtemos, assim, uma nova fun¸cão, de dom´ınio A, que representamos por f ′ e a que chamamos fun¸ c˜ ao derivada (ou apenas derivada) de f em A. De modo análogo, se f ′ for diferenciável em A, definimos f ′′ = (f ′ )′ (segunda derivada); se f ′′ for diferenciável em A, definimos f ′′′ = (f ′′ )′ , . . . se f (n−1) (derivada de ordem n − 1) for diferenciável em A, definimos f (n) = (f (n−1) )′ , derivada de ordem n de f em A. Defini¸ c˜ ao 3.1.3 Se f ′ for cont´ınua em A, dizemos que f é de classe C1 em A e representamos por 1 f ∈ C (A). Se n ∈ N e f (n) é cont´ınua em A, dizemos que f é de classe Cn em A e representamos por f ∈ C n (A). Se f ∈ C n (A), ∀n ∈ N, dizemos que f é de classe C∞ e representamos por f ∈ C ∞ (A).

3.1 Derivadas. Regras de deriva¸ c˜ ao.

73

EXEMPLO 1: As fun¸cões f (x) = cos(x), g(x) = sen(x) e h(x) = ex são de classe C ∞ em R. EXEMPLO 2: A fun¸cão

é diferenciável em R,

  x2 sen 1 , x f (x) =  0,

se x 6= 0 se x = 0

  2 x sen 1 − cos 1 , x x f ′ (x) =  0,

se x 6= 0 se x = 0

e f ′ não é cont´ınua em 0. Temos, assim, f ∈ / C 1 (R).

EXEMPLO 3: Se f (n) (x) e g (n) (x) existem, tem-se obviamente, (f + g)(n) (x) = f (n) (x) + g (n) (x).

EXEMPLO 4: A derivada de ordem n do produto de duas fun¸cões obtém-se pela f´ ormula de Leibnitz: (f g)(n) (x) =

n X

n

Cp f (p) (x) g (n−p) (x),

p=0

(0)

onde se convenciona f (x) = f (x). A demonstra¸cão desta propriedade faz-se facilmente, por indu¸caõ em n, usando a regra de deriva¸cão do produto. Defini¸ c˜ ao 3.1.4 Seja f : D ⊂ R → R, diferenci´ avel num ponto a interior a D. Chama-se diferencial da fun¸ca õ f no ponto a a ` aplica¸ca õ linear df (a) : R → R dada por df (a)(h) = f ′ (a) · h. Teorema 3.1.5 Sejam f e g duas fun¸co ˜es diferenci´ aveis. Ent˜ ao: a) d(f + g) = df + dg b) d(f g) = g df + f dg c) d(f n ) = n f n−1 df f g df − f dg d) d( ) = g g2 e) d((g ◦ f )(x)) = g ′ (f (x)) · df (x)

74

3. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Diferencial

3.2

Teoremas Fundamentais: Rolle, Darboux, Lagrange e Cauchy.

Defini¸ c˜ ao 3.2.1 Seja f : D ⊂ R → R. a) Diz-se que f tem um m´ınimo local (ou relativo) em a ∈ D (ou que f (a) é um m´ınimo local, ou relativo, de f ) se existir uma vizinhan¸ca V de a tal que f (x) ≥ f (a), ∀x ∈ V ∩ D. b) Diz-se que f tem um m´ aximo local (ou relativo) em a ∈ D (ou que f (a) é um m´ aximo local, ou relativo, de f ) se existir uma vizinhan¸ca V de a tal que f (x) ≤ f (a), ∀x ∈ V ∩ D. Aos máximos e m´ınimos relativos dá-se a designa¸cão comum de extremos relativos (ver Figura 3.6).

Máximo local

Mínimo local

Figura 3.6: Extremos relativos.

Teorema 3.2.1 Seja f : D ⊂ R → R. Se f (a) for m´ınimo relativo e existirem derivadas laterais em a, ent˜ ao f ′ (a− ) ≤ 0 e f ′ (a+ ) ≥ 0. Se f for diferenci´ avel em a, ent˜ ao f ′ (a) = 0. Demonstra¸cão: Se f (a) é um m´ınimo relativo então, por defini¸cão, ∃ε > 0 : f (x) ≥ f (a) ∀x ∈ Vε (a) ∩ D. Mas f (x) − f (a) ≤ 0 ∀x ∈]a − ε, a[ ∩ D, x−a o que implica que

lim

x→a−

isto é, f ′ (a− ) ≤ 0. Analogamente,

o que implica que

f (x) − f (a) ≥ 0 ∀x ∈]a, a + ε[ ∩ D, x−a lim

x→a+

isto é, f ′ (a+ ) ≥ 0.

f (x) − f (a) ≤ 0, x−a

f (x) − f (a) ≥ 0, x−a

Teorema 3.2.2 Se f (a) for m´ aximo relativo e existirem derivadas laterais em a, ent˜ ao f ′ (a− ) ≥ 0 e ′ + ′ f (a ) ≤ 0. Se f for diferenci´ avel em a, ent˜ ao f (a) = 0. NOTA: Se f é diferenciável, a condi¸cão f ′ (a) = 0 é necessária, mas não suficiente para que f tenha um extremo em a. Consideremos, por exemplo, a fun¸cão f (x) = x3 ; f ′ (0) = 0 e f não tem extremo em 0.

3.2 Teoremas Fundamentais: Rolle, Darboux, Lagrange e Cauchy.

75

Teorema 3.2.3 (Teorema de Rolle) Seja f uma fun¸ca õ cont´ınua no intervalo [a, b] (a, b ∈ R, a < b) e diferenci´ avel em ]a, b[. Se f (a) = f (b), ent˜ ao existe c ∈]a, b[ tal que f ′ (c) = 0. Demonstra¸cão: Pelo Teorema de Weierstrass, a fun¸cão f , cont´ınua no intervalo [a, b], tem m´ aximo M e m´ınimo m neste intervalo. Se M = m então f é constante em [a, b] e, portanto, f ′ (x) = 0 ∀x ∈]a, b[, n˜ ao havendo mais nada a provar. Se M 6= m, a hipótese f (a) = f (b) implica que ou o máximo ou o m´ınimo é atingido num ponto c ∈]a, b[. Então, pelos teoremas anteriores, f ′ (c) = 0. Geometricamente, o teorema afirma que na representa¸cão gráfica da fun¸cão há pelo menos um ponto em que a tangente é paralela ao eixo dos xx (ver Figura 3.7).

Figura 3.7: Interpreta¸c˜ ao geométrica do Teorema de Rolle.

Corol´ ario 1 Entre dois zeros de uma fun¸ca õ diferenci´ avel num intervalo h´ a, pelo menos, um zero da sua derivada. Corol´ ario 2 Entre dois zeros consecutivos da derivada de uma fun¸ca õ diferenci´ avel num intervalo existe, no m´ aximo, um zero da fun¸ca õ. Teorema 3.2.4 (Teorema de Darboux) Seja I ⊂ R um intervalo aberto, f : I → R uma fun¸ca õ diferenci´ avel em I. Se existirem a, b ∈ I, a < b, tais que f ′ (a) 6= f ′ (b) ent˜ ao, para todo o k entre f ′ (a) e f ′ (b), existe c ∈]a, b[ tal que f ′ (c) = k. Demonstra¸cão: Come¸camos por fazer a demonstra¸cão num caso especial e, usando este, passaremos ao caso geral. Suponhamos que f ′ (a) < k = 0 < f ′ (b). (1) Como f é diferenciável em I, é cont´ınua em I, pelo que é cont´ınua em [a, b] e, portanto, f tem um ponto f (x) − f (a) f (x) − f (a) de m´ınimo em [a, b]. Visto que f ′ (a) = lim < 0, existe ε1 > 0 tal que < 0, x→a x−a x−a ∀x ∈]a, a + ε1 [, pelo que f (x) < f (a), ∀x ∈]a, a + ε1 [. Analogamente se mostra que existe ε2 > 0 tal que f (x) < f (b), ∀x ∈]b − ε2 , b[. Conclui-se, assim, que nem a nem b são ponto de m´ınimo de f em [a, b], isto é, existe c ∈]a, b[ onde f atinge o seu m´ınimo em [a, b]; como f é diferenciável, f ′ (c) = 0. Fica assim demonstrado o teorema no caso especial de (1). Obviamente, a demonstra¸cão no caso f ′ (a) > k = 0 > f ′ (b) seria semelhante (mostrar-se-ia, neste caso, que existe um ponto de máximo diferente de a e b).

(2)

76

3. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Diferencial

Passemos ao caso geral. Suponhamos que f ′ (a) < k < f ′ (b).

(3)

A fun¸cão g(x) = f (x) − kx é diferenciável em I (g ′ (x) = f ′ (x) − k) e g ′ (a) = f ′ (a) − k < 0 < f ′ (b) − k; estamos assim nas condi¸cões do caso (1): existe c ∈]a, b[ tal que g ′ (c) = 0, isto é, f ′ (c) = k. O caso f ′ (a) > k > f ′ (b) (4) resolve-se com a mesma técnica, usando (2). NOTAS: 1. Apenas com a condi¸cão de diferenciabilidade no intervalo (não se pede que a derivada seja cont´ınua!), mostra-se que a derivada verifica uma propriedade semelhante à do Teorema de Bolzano. 2. A derivada pode não ser cont´ınua. Por exemplo, a fun¸cão:  1  2 , se x 6= 0 x sen f (x) = x  0, se x = 0 é diferenciável em R:

f ′ (x) = e f ′ não é cont´ınua em 0.

  

2 x sen 0,

1 1 − cos , se x 6= 0 x x se x = 0

Teorema 3.2.5 (Teorema de Lagrange) Seja f uma fun¸ca õ cont´ınua no intervalo [a, b] (a, b ∈ R, a < b) e diferenci´ avel em ]a, b[. Ent˜ ao existe c ∈]a, b[ tal que f (b) − f (a) f ′ (c) = . b−a Demonstra¸cão: A fun¸cão ϕ(x) = f (x) −

f (b) − f (a) x b−a

é cont´ınua em [a, b] e diferenciável em ]a, b[. Além disso, ϕ(a) = ϕ(b). Pelo Teorema de Rolle existe c ∈]a, b[ tal que ϕ′ (c) = 0. Mas f (b) − f (a) ϕ′ (x) = f ′ (x) − , b−a o que implica f (b) − f (a) f (b) − f (a) ϕ′ (c) = 0 ⇔ f ′ (c) − = 0 ⇔ f ′ (c) = . b−a b−a Geometricamente, o teorema anterior afirma que na representa¸cão gráfica da fun¸cão há pelo menos um ponto em que a tangente é paralela à corda que une os pontos (a, f (a)) e (b, f (b)) (ver Figura 3.8). NOTA: O Teorema de Rolle é um caso particular deste teorema. Trata-se do caso em que f (a) = f (b). Corol´ ario 1 Se f tem derivada nula em todos os pontos de um intervalo, ent˜ ao é constante nesse intervalo. Corol´ ario 2 Se f e g s˜ ao duas fun¸co ˜es diferenci´ aveis num intervalo I e se f ′ (x) = g ′ (x), ∀x ∈ I, ent˜ ao a diferen¸ca f − g é constante em I.

3.2 Teoremas Fundamentais: Rolle, Darboux, Lagrange e Cauchy.

77

Figura 3.8: Interpreta¸c˜ ao geométrica do Teorema de Lagrange.

Corol´ ario 3 Se I é um intervalo e f ′ (x) ≥ 0 (respectivamente, f ′ (x) ≤ 0), ∀x ∈ I, ent˜ ao f é crescente (respectivamente, decrescente) em I; se f ′ (x) > 0 (respectivamente, f ′ (x) < 0) ∀x ∈ I, ent˜ ao f é estritamente crescente (respectivamente, decrescente) em I. Teorema 3.2.6 (Teorema do valor m´ edio de Cauchy) Se f e g s˜ ao fun¸co ˜es cont´ınuas em [a, b], diferenci´ aveis em ]a, b[ e g ′ (x) n˜ ao se anula em ]a, b[, ent˜ ao existe c ∈]a, b[ tal que f (b) − f (a) f ′ (c) = . g ′ (c) g(b) − g(a) Demonstra¸cão: Consideremos a fun¸cão ϕ(x) = f (x) −

f (b) − f (a) g(x). g(b) − g(a)

Pelo Teorema de Rolle, g(a) 6= g(b) visto que g ′ (x) 6= 0 ∀x ∈]a, b[, pelo que ϕ está bem definida; além disso, ϕ é cont´ınua em [a, b] e diferenci´ avel em ]a, b[. Como ϕ(a) = ϕ(b), pelo Teorema de Rolle existe c ∈]a, b[ tal que ϕ′ (c) = 0. Mas ϕ′ (x) = f ′ (x) −

f (b) − f (a) ′ g (x) g(b) − g(a)

o que implica ϕ′ (c) = 0 ⇔ f ′ (c) −

f (b) − f (a) ′ f (b) − f (a) ′ g (c) = 0 ⇔ f ′ (c) = g (c). g(b) − g(a) g(b) − g(a)

Como g ′ (x) 6= 0 ∀x ∈]a, b[ e c ∈]a, b[ temos f ′ (c) f (b) − f (a) = . g ′ (c) g(b) − g(a) NOTA: O Teorema de Lagrange é um caso particular deste teorema com g(x) = x.

78

3. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Diferencial

3.3

Indetermina¸c˜ oes

A partir do Teorema de Cauchy pode-se demonstrar a seguinte regra que é muito usada no cálculo do f 0 ∞ quando assume a forma ou . limite de um quociente g 0 ∞ Teorema 3.3.1 (Regra de Cauchy) Sejam f e g duas fun¸co ˜es diferenci´ aveis em ]a, b[ (a < b) tais que a) g ′ (x) 6= 0, ∀x ∈]a, b[, b) lim f (x) = lim g(x) = 0 ou lim f (x) = lim g(x) = +∞; x→a

x→a

ent˜ ao, se existir lim

x→a

x→a

x→a

f ′ (x) f (x) , também existe lim e estes limites s˜ ao iguais. x→a g(x) g ′ (x)

Corol´ ario 1 Sejam I um intervalo aberto, c ∈ I, f e g duas fun¸co ˜es diferenci´ aveis em I \ {c}. Se g ′ (x) 6= 0, ∀x ∈ I \ {c}, e lim f (x) = lim g(x) = 0 ou lim f (x) = lim g(x) = +∞, ent˜ ao x→c

x→c

x→c

x→c

f ′ (x) f (x) = lim ′ x→c g (x) g(x)

lim

x→c x6=c

x6=c

sempre que o segundo limite exista (em R). NOTA: Convém notar que pode existir lim

x→a

fun¸cões

f (x) f ′ (x) ´ e não existir lim ′ . E o que acontece com as x→a g (x) g(x)

1 f (x) = x cos , g(x) = x. x f (x) 1 f ′ (x) 1 1 f ′ (x) De facto, lim = lim x cos =0e ′ = 2x cos +sen pelo que não existe lim ′ . x→0 g(x) x→0 x→0 g (x) x g (x) x x 2

sen(x) EXEMPLO 1: Consideremos a fun¸cão h definida por . Ao calcular lim h(x) encontramos a index→0 x 0 termina¸cão . Sendo f (x) = sen(x) e g(x) = x, estamos nas condi¸cões da regra de Cauchy. Como 0 lim

x→0

f ′ (x) = lim cos(x) = 1, x→0 g ′ (x)

podemos concluir que lim h(x) = 1. x→0

ex − 1 ex − 1 0 . No cálculo de lim surge a indetermina¸cão . Tomando x→0 x x 0 f (x) = ex − 1 e g(x) = x estamos nas condi¸cões da regra de Cauchy. Como EXEMPLO 2: Seja h(x) =

(ex − 1)′ = lim ex = 1 x→0 x→0 (x)′ lim

ex − 1 = 1. x→0 x

podemos concluir que lim

3.3 Indetermina¸ c˜ oes

79

tg(x) − 5 ∞ obtemos a indetermina¸cão · Considerando sec(x) + 4 ∞ f (x) = tg(x) − 5 e g(x) = sec(x) + 4, estamos nas condi¸cões da regra de Cauchy. Como EXEMPLO 3: Ao calcular limπ h(x) = limπ x→ 2

limπ

x→ 2

x→ 2

f ′ (x) sec2 (x) sec(x) 1 = limπ = limπ = limπ = 1, ′ x→ 2 sec(x) tg(x) x→ 2 tg(x) x→ 2 sen(x) g (x)

podemos concluir que lim

x→ π 2

tg(x) − 5 = 1. sec(x) + 4

3x − 2x 3x − 2x 0 . Ao calcular lim encontramos a indetermina¸cão . Consix→0 x x 0 derando f (x) = 3x − 2x , g(x) = x e aplicando a regra de Cauchy obtemos 3x − 2x 3 = log , lim x→0 x 2

EXEMPLO 4: Seja h(x) =

pois

f ′ (x) lim ′ = lim (3x log(3) − 2x log(2)) = log(3) − log(2) = log x→0 x→0 g (x)

3 . 2

EXEMPLO 5 : A indetermina¸cão 0 × ∞ surge ao calcularmos lim h(x) = lim xα log(x), com α > 0. x→0+

Como

lim h(x) = lim xα log(x) = lim

x→0+

e lim

x→0+

x→0+

(log(x))′ = lim+ 1 ′ xα

podemos concluir que lim+ h(x) = 0. x→0

x→0

log(x)

x→0+

1 x α − xα+1

x→0+

= − lim

x→0+

1 xα

xα = 0, α

80

3. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Diferencial

NOTAS: 1. Pode-se demonstrar a partir da Regra de Cauchy o seguinte resultado, u ´ til quando se pretende estudar a diferenciabilidade de uma fun¸cão: Sejam f uma fun¸cão cont´ınua num intervalo I e a um ponto de I. Se f é diferenciável num intervalo ]a, b[⊂ I e existe lim f ′ (x) então f tem derivada a` x→a+

direita no ponto a e f ′ (a+ ) = lim+ f ′ (x). Para tal basta notar que f ′ (a+ ) = lim+ x→a

aplicar a regra de Cauchy.

x→a

f (x) − f (a) e x−a

Obviamente, existe um resultado análogo para a derivada à esquerda. 2. Os s´ımbolos 0 × ∞ e ∞ − ∞ que podem surgir no cálculo do limite de um produto f · g ou de uma 0 ∞ soma f + g reduzem-se a ou pelas transforma¸cões: 0 ∞ 1 1 + f g f g = e f +g = f ·g = 1 1 1 g f f ·g Outra regra importante no estudo de limites, mas que é aplicável somente ao s´ımbolo

0 , é a seguinte: 0

Teorema 3.3.2 (Regra de l’Hospital) Sejam f e g duas fun¸co ˜es definidas num intervalo I, diferenci´ aveis em a ∈ I e g(x) 6= 0, ∀x ∈ I \{a}. f (x) tem limite no ponto a e Se f (a) = g(a) = 0 e g ′ (a) 6= 0, ent˜ ao g(x) f (x) f ′ (a) = ′ . x→a g(x) g (a) lim

As indetermina¸cões 1∞ , 00 e ∞0 surgem do cálculo de limites de fun¸cões f g e reduzem-se às indetermina¸cões do tipo 0 × ∞ fazendo: g f g = e log(f ) = e g · log(f ) . Da continuidade da fun¸cão exponencial conclui-se que: h i lim g(x) · log(f (x)) lim (f (x)) g(x) = e x→a . x→a

EXEMPLO 1: Consideremos a fun¸cão h(x) = xx . A indetermina¸cão que surge ao calcular lim+ h(x) é do tipo 00 que podemos converter numa do tipo 0 × ∞:

x→0

lim x log(x) lim+ xx = e x→0+ = e0 = 1,

x→0

tendo em conta o que mostrámos atrás (exemplo 5 da página 79).

sen(x) EXEMPLO 2: Vimos num exemplo anterior que lim = 1, portanto, ao calcular lim x→0 x→0 x surge a indetermina¸cão 1∞ .

lim

x→0

1 sen(x) 1 lim log sen(x) x2 2 x = e x→0 x ; x

1 sen(x) x2 x

3.3 Indetermina¸ c˜ oes

81

neste u ´ ltimo limite surge a indetermina¸cão 0 × ∞ que podemos converter em 1 lim 2 log e x→0 x

sen(x) x

log

=e

lim

sen(x) x

x2

x→0

0 fazendo 0

.

Como

log lim

e

x→0

sen(x) x 2 ′

sen(x) ′

′

(x )

=e

lim

x→0

x sen(x) x

2x

=e

lim

x cos(x)−sen(x) x sen(x) x2

2x

x→0

=e

lim

x→0

x cos(x) − sen(x) 2x2 sen(x) ,

0 temos novamente a indetermina¸cão . Considerando f (x) = x cos(x)−sen(x) e g(x) = 2x2 sen(x) obtemos 0 lim

x→0

aparecendo ainda a indetermina¸cão lim

x→0

f ′ (x) −sen(x) = lim x→0 4 sen(x) + 2x cos(x) g ′ (x) 0 . Tendo em conta que 0

(−sen(x))′ − cos(x) 1 = lim =− , x→0 6 cos(x) − 2x sen(x) (4 sen(x) + 2x cos(x))′ 6

podemos concluir que lim

x→0

1 sen(x) x2 1 = e− 6 . x

tg(x) 1 surge a indetermina¸cão ∞0 . Como + x x→0

EXEMPLO 3: No cálculo de lim

1 tg(x) lim tg(x) log 1 x x→0+ lim =e x x→0+

log x1 lim = ex→0+ cotg(x)

∞ e neste limite a indetermina¸cão é primeiro do tipo 0 × ∞ e depois do tipo temos que o limite pedido ∞ é 1 pois 1 ′ − log x1 sen2 (x) x lim lim lim − + (cotg(x))′ + cosec2 (x) + x→0 x→0 x e =e = ex→0 = e0 = 1.

82

3. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Diferencial

3.4

Teorema de Taylor

Teorema 3.4.1 (Teorema de Taylor) Seja f uma fun¸ca õ definida num intervalo [a, b] (a < b), com derivadas cont´ınuas até a ` ordem n − 1 em [a, b] e com derivada de ordem n definida em ]a, b[. Ent˜ ao, existe um ponto c ∈]a, b[ tal que f (b) = f (a) + (b − a) f ′ (a) +

(b − a)2 ′′ (b − a)n−1 (n−1) (b − a)n (n) f (a) + · · · + f (a) + f (c) 2! (n − 1)! n!

(∗)

Demonstra¸cão: Consideremos a fun¸cão ϕ(x)

=

(b − x)2 ′′ f (x)+ f (b) − [f (x) + (b − x)f ′ (x) + 2! n n−1 (b − x) (b − x) +···+ f (n−1) (x) + A], (n − 1)! n!

sendo A uma constante escolhida por forma que ϕ(a) = 0. ϕ está nas condi¸cões do Teorema de Rolle: por constru¸cão, é uma fun¸cão cont´ınua em [a, b], diferenciável em ]a, b[ e ϕ(a) = 0 = ϕ(b). Então existe c ∈]a, b[ tal que ϕ′ (c) = 0. Mas ϕ′ (x)

= −[ f ′ (x) − f ′ (x) + (b − x)f ′′ (x) − (b − x)f ′′ (x) + · · · − +

(b − x)n−1 (n) (b − x)n−1 f (x) − A] (n − 1)! (n − 1)!

=

(b − x)n−1 (n) (b − x)n−1 − f (x) − A (n − 1)! (n − 1)!

=

i (b − x)n−1 h A − f (n) (x) (n − 1)!

(b − x)n−2 (n−1) f (x)+ (n − 2)!

Então ϕ′ (c) = 0 ⇔

i (b − c)n−1 h A − f (n) (c) = 0 ⇔ (b − c)n−1 = 0 ∨ f (n) (c) − A = 0. (n − 1)!

Como c ∈]a, b[ vem f (n) (c) = A. Por constru¸cão de ϕ temos ϕ(a) = 0, portanto, 0 = ϕ(a)

=

(b − a)2 ′′ f (b) − [f (a) + (b − a)f ′ (a) + f (a)+ 2! n n−1 (b − a) (n) (b − a) +···+ f (n−1) (a) + f (c)], (n − 1)! n!

e obtemos assim (∗). NOTA: A hipótese a < b é desnecessária, como facilmente se observa na demonstra¸cão. Apenas foi introduzida para facilitar o enunciado. A expressão (∗) chama-se f´ ormula de Taylor de ordem n de f . Fazendo no enunciado do teorema b = a + h, vem f (a + h) = f (a) + h f ′ (a) + sendo 0 < θ < 1.

h2 ′′ hn−1 hn (n) f (a) + · · · + f (n−1) (a) + f (a + θh), 2! (n − 1)! n!

3.4 Teorema de Taylor

83

hn (n) (b − a)n (n) f (a + θh) ou f (c) chama-se resto de Lagrange da fórmula de Taylor. n! n! No caso em que a = 0, a fórmula de Taylor é conhecida por f´ ormula de MacLaurin:

Ao termo

f (x) = f (0) + f ′ (0) x + f ′′ (0)

xn−1 xn x2 + · · · + f (n−1) (0) + f (n) (c) , 2! (n − 1)! n!

sendo 0 < c < x ou x < c < 0. EXEMPLO 1: Vamos escrever a fórmula de MacLaurin, com resto de ordem 4, da fun¸cão f (x) = ex sen(x). Como f é uma fun¸cão de classe C ∞ (R) podemos escrever a sua fórmula de MacLaurin de qualquer ordem. Em particular, para n = 4 existe c entre 0 e x tal que f (x) = f (0) + f ′ (0) x + f ′′ (0)

x2 x3 x4 + f ′′′ (0) + f (IV ) (c) . 2! 3! 4!

Calculemos as derivadas de f . f ′ (x) = ex (sen(x) + cos(x)) f ′′ (x) = 2ex cos(x) f ′′′ (x) = 2ex (cos(x) − sen(x)) f (4) (x) = −4ex sen(x)

⇒ f ′ (0) = 1 ⇒ f ′′ (0) = 2 ⇒ f ′′′ (0) = 2 ⇒ f (4) (c) = −4ecsen(c)

Logo, ex sen(x) = x + 2

x3 x4 x3 x4 x2 +2 − 4ec sen(c) = x + x2 + − ec sen(c) 2! 3! 4! 3 6

com c entre 0 e x. EXEMPLO 2: Calculemos, usando a fórmula de Taylor, o limite (x − π)2 2 · (x − π)2

log(| cos(x)|) + lim

x→π

´ uma fun¸cão de classe C ∞ em D = {x ∈ R : cos(x) 6= Consideremos a fun¸cão f (x) = log(| cos(x)|). E 0}. Como π ∈ D, podemos escrever a f´ ormula de Taylor de ordem 3 de f em potências de x − π: existe c entre x e π tal que f (x) = f (π) + f ′ (π) (x − π) + f ′′ (π)

(x − π)2 (x − π)3 + f ′′′ (c) 2! 3!

Como f (π) = 0 e sen(x) = −tg(x) cos(x) 1 f ′′ (x) = − (cos(x))2 2 sen(x) f ′′′ (x) = − (cos(x))3 f ′ (x) = −

temos f (x) = −

⇒ f ′ (π) = 0 ⇒ f ′′ (π) = −1 ⇒ f ′′′ (c) = −

2 sen(c) (cos(c))3

(x − π)2 2 sen(c) (x − π)3 (x − π)2 sen(c) (x − π)3 − · = − − · 2! (cos(c))3 3! 2 (cos(c))3 3

84

3. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Diferencial

Calculemos o limite pedido. (x − π)2 sen(c) (x − π)3 (x − π)2 (x − π)2 − − · + 3 2 (cos(c)) 3 2 2 lim = lim x→π x→π (x − π)2 (x − π)2 sen(c) (x − π)3 − · sen(c) x−π sen(π) π−π (cos(c))3 3 = lim = lim − · =− · =0 2 3 3 x→π x→π (x − π) (cos(c)) 3 (cos(π)) 3 log(| cos(x)|) +

visto que quando x → π também c → π. EXEMPLO 3: Escrevamos a fórmula de Taylor de ordem 2 da fun¸cão f (x) =

1 1 + log(x)

em torno do ponto 1 e mostremos que f (x) < 1 − (x − 1) + 3

(x − 1)2 ∀x > 1. 2

A fun¸cão f é de classe C ∞ em D = {x ∈ R+ : 1 + log(x) 6= 0}. Como 1 ∈ D podemos escrever a fórmula de Taylor de ordem 2 de f em potências de x − 1: existe c entre x e 1 tal que f (x) = f (1) + f ′ (1) (x − 1) + f ′′ (c) Como f (1) = 1 e

1 x (1 + log(x))2 3 + log(x) f ′′ (x) = 2 x (1 + log(x))3 f ′ (x) = −

temos f (x) = 1 − (x − 1) +

(x − 1)2 2!

⇒ f ′ (1) = −1 ⇒ f ′′ (c) =

3 + log(c) c2 (1 + log(c))3

3 + log(c) (x − 1)2 · 3 + log(c)) 2!

c2 (1

Podemos escrever 3 + log(c) 2 + 1 + log(c) 2 1 = 2 = 2 + 2 c2 (1 + log(c))3 c (1 + log(c))3 c (1 + log(c))3 c (1 + log(c))2 Se x > 1 então 1 < c < x, pelo que 1 + log(c) > 1 + log(1) = 1, c2 (1 + log(c))3 > 1 e c2 (1 + log(c))2 > 1. Então 2 1 0, ent˜ ao existe uma vizinhan¸ca V de a tal que f (x) > 0, ∀x ∈ V . b) Se f (a) < 0, ent˜ ao existe uma vizinhan¸ca V de a tal que f (x) < 0, ∀x ∈ V . Demonstra¸cão: Faremos apenas a demonstra¸cão da al´ınea a). Se f é cont´ınua em a então, por defini¸cão, ∀δ > 0 ∃ε > 0 : |x − a| < ε ⇒ |f (x) − f (a)| < δ. Como f (a) > 0, fazendo δ = f (a), obtemos ∃ε > 0 : |x − a| < ε ⇒ |f (x) − f (a)| < f (a). Mas

|f (x) − f (a)| < f (a) ⇔ −f (a) < f (x) − f (a) < f (a) ⇔ −f (a) + f (a) < f (x) < f (a) + f (a) ⇔ 0 < f (x) < 2f (a),

ou seja, f (x) > 0 ∀x ∈ Vε (a). Defini¸ c˜ ao 3.5.1 Diz-se que a é um ponto de estacionaridade de f se f ′ (a) = 0. Teorema 3.5.2 Seja f uma fun¸ca õ classe C n num intervalo I e a um ponto interior a I. Se f ′ (a) = f ′′ (a) = · · · = f (n−1) (a) = 0 e f (n) (a) 6= 0 ent˜ ao a) se n é ´ımpar, f n˜ ao tem extremo relativo em a; b) se n é par, f tem m´ aximo relativo em a se f (n) (a) < 0 e tem m´ınimo relativo em a se f (n) (a) > 0. Demonstra¸cão: Se queremos provar a existência de extremo relativo no ponto a, temos de estudar o sinal de f (x) − f (a). Sabemos que se existir uma vizinhan¸ca de a onde f (x) − f (a) mantém o sinal ent˜ ao f (a) é extremo relativo de f , e que se tal não acontecer então f (a) não é extremo relativo. Como f (n) (x) é cont´ınua e f (n) (a) 6= 0, existe uma vizinhan¸ca V de a, V ⊂ I, onde f (n) (x) toma o sinal de f (n) (a), isto é, se f (n) (a) > 0 então f (n) (x) > 0 ∀x ∈ V , se f (n) (a) < 0 então f (n) (x) < 0 ∀x ∈ V . Seja x ∈ V . Visto que f é n vezes diferenciável em I e V ⊂ I, pelo Teorema de Taylor existe c ∈ V tal que f (x) = f (a) + f ′ (a) (x − a) + f ′′ (a)

(x − a)2 (x − a)n−1 (x − a)n + · · · + f (n−1) (a) + f (n) (c) . 2! (n − 1)! n!

Por hipótese, f ′ (a) = f ′′ (a) = · · · = f (n−1) (a) = 0, portanto, f (x) = f (a) + f (n) (c)

(x − a)n , n!

86

3. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Diferencial

ou seja,

(x − a)n · n! Se n é ´ımpar e f (n) (a) > 0 então f (x) − f (a) < 0 se x < a, x ∈ V , e f (x) − f (a) > 0 se x > a, x ∈ V , ou seja, f (a) não é extremo relativo. Se n é ´ımpar e f (n) (a) < 0 obtemos rela¸cões análogas, com as desigualdades invertidas. Se n é par e f (n) (a) > 0 então f (x) − f (a) > 0 ∀x ∈ V \ {a}, o que implica que f (a) é m´ınimo relativo. Se n é par e f (n) (a) < 0 então f (x) − f (a) < 0 ∀x ∈ V \ {a}, o que implica que f (a) é máximo relativo. f (x) − f (a) = f (n) (c)

EXEMPLO 1: Seja f (x) = x3 −

3 2 x . 2

f ′ (x) = 0 ⇔ 3x2 − 3x = 0 ⇔ 3x(x − 1) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 1. Como f ′′ (x) = 3(2x − 1) temos f ′′ (0) = −3 e f ′′ (1) = 3. Pelo teorema anterior conclu´ımos que f (0) é um máximo relativo e f (1) é um m´ınimo relativo. EXEMPLO 2: Seja f (x) = f ′ (x) = 0 ⇔

1 x − sen(x). 2

1 1 π π − cos(x) = 0 ⇔ cos(x) = ⇔ x = + 2kπ ∨ x = − + 2kπ, k ∈ Z. 2 2 3 3 √

√

Como f ′′ (x) = sen(x) temos f ′′ ( π3 +2kπ) = 23 e f ′′ (− π3 +2kπ) = − 23 . Pelo teorema anterior conclu´ımos que f ( π3 + 2kπ) é m´ınimo relativo ∀k ∈ Z e f (− π3 + 2kπ) é máximo relativo, ∀k ∈ Z. EXEMPLO 3: Seja f (x) =

x4 + 1 . x2

f ′ (x) = 0 ⇔ Como f ′′ (x) = 2

2(x4 − 1) = 0 ⇔ x4 − 1 = 0 ⇔ x = −1 ∨ x = 1. x3

x4 + 3 > 0, ∀x ∈ R \ {0} temos que f (−1) = f (1) é m´ınimo relativo. x4

EXEMPLO 4: Seja f (x) = x2 (x − 1)3 . f ′ (x) = 0 ⇔ x(x − 1)2 (5x − 2) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 1 ∨ x =

2 · 5

Como f ′′ (x) = 2(x − 1)(10x2 − 8x + 1) temos f ′′ (0) = −2 e f ′′ ( 25 ) = 18 ımos 25 · Pelo teorema anterior conclu´ que f (0) é um máximo relativo e f ( 25 ) é um m´ınimo relativo. Mas f ′′ (1) = 0, portanto, temos de calcular f ′′′ . Como f ′′′ (x) = 6(10x2 − 12x + 3), f ′′′ (1) = 6 o que implica que f (1) não é extremo de f . EXEMPLO 5: Seja f (x) = 2 cos(x) + sen(2x). f ′ (x) = 0

⇔ −2 (2 sen2 (x) + sen(x) − 1) = 0 1 ⇔ −4 (sen(x) + 1)(sen(x) − ) = 0 2 1 ⇔ sen(x) = −1 ∨ sen(x) = 2 3 π 5 ⇔ x = π + 2kπ ∨ x = + 2kπ ∨ x = π + 2kπ, k ∈ Z. 2 6 6 √ √ ′′ ′′ π Como f (x) = −2 cos(x)(4sen(x) + 1) temos f ( 6 + 2kπ) = −3 3 e f ′′ ( 65 π + 2kπ) = 3 3, o que implica que f ( π6 + 2kπ) é máximo relativo de f e f ( 65 π + 2kπ) é m´ınimo relativo de f , qualquer que seja k ∈ Z. Mas f ′′ ( 32 π + 2kπ) = 0 pelo que recorremos à terceira derivada: f ′′′ (x) = 16 sen2 (x) + 2 sen(x) − 8, portanto, f ′′′ ( 32 π + 2kπ) = 6, podendo concluir-se que f ( 32 π + 2kπ) não é extremo.

3.5 Aplica¸ c˜ oes da f´ ormula de Taylor

87

Figura 3.9

Defini¸ c˜ ao 3.5.2 Dadas duas fun¸co ˜es f e g, definidas num intervalo I, diz-se que o gr´ afico de f fica acima do gr´ afico de g num ponto a ∈ I se f (a) > g(a) e fica abaixo do gr´ afico de g num ponto b ∈ I se f (b) < g(b). Se J ⊂ I e f (x) > g(x), ∀x ∈ J, diz-se que o gr´ afico de f fica acima do gr´ afico de g em J e se f (x) < g(x), ∀x ∈ J, diz-se que o gr´ afico de f fica abaixo do gr´ afico de g em J. Seja f uma fun¸cão definida e diferenciável num intervalo I. Queremos determinar a posi¸cão do gr´ afico de f em rela¸cão à tangente a esse gráfico num ponto a ∈ int(I). Trata-se, portanto, de estudar a diferen¸ca r(x) = f (x) − (f (a) + f ′ (a) (x − a)). Defini¸ c˜ ao 3.5.3 Seja f uma fun¸ca õ definida num intervalo I, diferenci´ avel em a ∈ I e seja r(x) = f (x) − (f (a) + f ′ (a) (x − a)). a) Se existir uma vizinhan¸ca V de a, V ⊂ I, tal que r(x) > 0, ∀x ∈ V \ {a}, diz-se que f tem a concavidade voltada para cima em a; b) Se existir uma vizinhan¸ca V de a, V ⊂ I, tal que r(x) < 0, ∀x ∈ V \ {a}, diz-se que f tem a concavidade voltada para baixo em a. c) Se existir uma vizinhan¸ca V = ]a − ε, a + ε[ ⊂ I de a tal que r(x) > 0 ∀x ∈ ]a − ε, a[ e r(x) < 0 ∀x ∈ ]a, a + ε[

ou

r(x) < 0 ∀x ∈ ]a − ε, a[ e r(x) > 0 ∀x ∈ ]a, a + ε[,

diz-se que o gr´ afico de f tem um ponto de inflex˜ ao em (a, f (a)). A Figura 3.9 sugere a interpreta¸cão gráfica das defini¸cões anteriores. Teorema 3.5.3 Sejam I um intervalo e f ∈ C 2 (I). O gr´ afico de f tem a concavidade voltada para cima (respectivamente, para baixo) em todos os pontos x, interiores a I, tais que f ′′ (x) > 0 (respectivamente, f ′′ (x) < 0). Demonstra¸cão: Seja a um ponto interior a I tal que f ′′ (a) 6= 0. Como f ∈ C 2 (I) e f ′′ (a) 6= 0, existe uma vizinhan¸ca V de a, V ⊂ I, onde f ′′ (x) toma o sinal de f ′′ (a), isto é, se f ′′ (a) > 0 então f ′′ (x) > 0, ∀x ∈ V , se f ′′ (a) < 0 então f ′′ (x) < 0, ∀x ∈ V . Seja x ∈ V . Pelo Teorema de Taylor, existe c ∈ V tal que f (x) = f (a) + f ′ (a) (x − a) + f ′′ (c)

(x − a)2 · 2!

88

3. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Diferencial

Queremos estudar o sinal de r(x): r(x)

= f (x) − (f (a) + f ′ (a) (x − a))

(x − a)2 = f (a) + f ′ (a) (x − a) + f ′′ (c) − (f (a) + f ′ (a) (x − a)) 2! (x − a)2 · = f ′′ (c) 2! O sinal de r(x) depende apenas do sinal de f ′′ (c) que, por sua vez, tem o sinal de f ′′ (a). Se f ′′ (a) > 0 então r(x) > 0, o que significa que f tem a concavidade voltada para cima. Se f ′′ (a) < 0 então r(x) < 0, o que significa que f tem a concavidade voltada para baixo. Corol´ ario 1 Se f ∈ C 2 (I) e tem um ponto de inflex˜ ao num ponto a, interior a I, ent˜ ao f ′′ (a) = 0. Teorema 3.5.4 Sejam I um intervalo e f ∈ C n (I), n > 2. Se a é um ponto interior a I tal que f ′′ (a) = f ′′′ (a) = · · · = f (n−1) (a) = 0 e f (n) (a) 6= 0 ent˜ ao a) se n é par, f tem a concavidade voltada para cima se f (n) (a) > 0 e tem a concavidade voltada para baixo se f (n) (a) < 0; b) se n é ´ımpar, a é ponto de inflex˜ ao. Demonstra¸cão: Como f (n) (x) é cont´ınua e f (n) (a) 6= 0, existe uma vizinhan¸ca V de a, V ⊂ I, onde f (n) (x) toma o sinal de f (n) (a), isto é, se f (n) (a) > 0 então f (n) (x) > 0, ∀x ∈ V , se f (n) (a) < 0 ent˜ ao f (n) (x) < 0, ∀x ∈ V . Seja x ∈ V . Como f é n vezes diferenciável em I e V ⊂ I, pelo Teorema de Taylor existe c ∈ V tal que f (x) = f (a) + f ′ (a) (x − a) + f ′′ (a)

(x − a)2 (x − a)n−1 (x − a)n + · · · + f (n−1) (a) + f (n) (c) · 2! (n − 1)! n!

Por hipótese, f ′′ (a) = f ′′′ (a) = · · · = f (n−1) (a) = 0, portanto, f (x) = f (a) + f ′ (a) (x − a) + f (n) (c)

(x − a)n · n!

Queremos estudar o sinal de r(x): r(x)

= = =

f (x) − (f (a) + f ′ (a) (x − a))

f (a) + f ′ (a) (x − a) + f (n) (c) (x − a)n f (n) (c) n!

(x − a)n − (f (a) + f ′ (a) (x − a)) n!

a) Se n é par então (x − a)n > 0, ∀x ∈ V \ {a}, o que implica que o sinal de r é o sinal de f (n) (c). Assim, se f (n) (a) > 0, r(x) > 0 e f tem a concavidade voltada para cima; f (n) (a) < 0, r(x) < 0 e f tem a concavidade voltada para baixo. b) Se n é ´ımpar então (x − a)n > 0, ∀x > a e (x − a)n < 0, ∀x < a. Mas isto implica que o sinal de r muda quando se passa de valores menores do que a para valores maiores do que a. Portanto, a é ponto de inflexão. EXEMPLO 1: Seja f (x) = x + sen(x). Como f ′ (x) = 1 + cos(x) temos

3.5 Aplica¸ c˜ oes da f´ ormula de Taylor

89

f ′′ (x) = 0 ⇔ sen(x) = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z.

Mas f ′′′ (x) = − cos(x), portanto, f ′′′ (kπ) = 1 se k é ´ımpar e f ′′′ (kπ) = −1 se k é par. Conclu´ımos, pelo teorema anterior, que kπ, k ∈ Z é ponto de inflexão. EXEMPLO 2: Consideremos novamente a fun¸cão f (x) = x2 (x−1)3 . Como f ′′ (x) = 2(x−1)(10x2 −8x+1) temos √ √ 4+ 6 4− 6 ′′ f (x) = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = ∨x= · 10 10 Mas f ′′′ (x) = 6(10x2 − 12x + 3), portanto, f ′′′ (x) = 0 ⇔ x = √

√ √ 6− 6 6+ 6 ∨x= , 10 10 √

o que implica que f ′′′ (1) 6= 0, f ′′′ ( 4−10 6 ) 6= 0 e f ′′′ ( 4+10 6 ) 6= 0. Pelo teorema anterior conclu´ımos que estes três pontos são pontos de inflexão.

90

3. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Diferencial

3.6

Exerc´ıcios Resolvidos

3.6.1

Diferenciabilidade. Teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy

1. Calcule, justificando detalhadamente a sua resposta, os seguintes limites p sen((ex − 1)2 ) sen(x2 ) 1 − sen(x) (a) lim ; ; (e) lim x→0 sen(x2 ) x→0 x x − sen(x) 1 (f) lim ; log 1 + x→0 x − tg(x) x π x (b) lim ; 1 x→+∞ log(1 − x) ; (g) lim− cos 2 x→1 e log x − 1 log(cos(x)) (h) lim ; x→0 sen(x) sen(x2 ) e −x−1 πx ; (c) lim x→0 sen2 (x) ; (i) lim (1 − x) tg x→1 2 2 x + log(sen(x)) ex − 1 (j) lim+ ; . (d) lim 2 x→0 x + x sen(x) log(x) x→0 2. Calcule, justificando, os seguintes limites x 1 (a) lim − ; x→1 x − 1 log(x) tg(x) + sec(x) 1 (b) lim − ; x→0 x sen(x) 1 1 (c) lim − . x→0 tg(x) x 3. Calcule, justificando detalhadamente a sua resposta, os seguintes limites log(1 + 1 ) 1 x2 (g) lim ; x→+∞ x

log(x) 1 1+ ; x→+∞ x !1 r 1+x x (b) lim ; x→0 1−x tg(2x) (c) limπ (tg(x)) ; (a)

lim

1 (h) lim (1 + sen(x)) log(x + 1) ; x→0

x (i) lim+ (− log(x)) ;

x→ 4

(d) lim (1 + sen(4x))

cotg(x)

x→0

1 x − 1) log(e (e) lim+ x ;

x→0

;

(j) lim (1 − cos(x))sen(x) ; x→0

1

(k) lim (tg(x)) log(x) ; x→0+

x→0

1

(f) lim (1 + tg(x)) senx ; x→0

4. Determine a tal que

(l) lim+

eax − ex − x x2 tenha limite finito quando x → 0 e calcule este limite.

x→0

√ cotg(x) 1+x .

3.6 Exerc´ıcios Resolvidos

91

5. Determine a e b de modo que cos(a + x) − ebx = 2. x→0 x lim

6. Determine a de modo que

ea x − cos(3x) log(x2 + 1)

tenha limite finito quando x → 0 e calcule esse limite. Justifique todos os passos que der.

92

3. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Diferencial

3.6.2

F´ ormula de Taylor

1. Escreva a fórmula de MacLaurin de ordem n, das seguintes fun¸cões: (a) f (x) = ex − sen(x), n = 5; √ (b) f (x) = x2 + 1, n = 3; (c) f (x) = log(cos(x)), n = 3; 2

(d) f (x) = ex , n = 3; (e) f (x) = log(2x + 1), n = 3 2. Escreva a fórmula de Taylor, em torno do ponto a dado, com resto de ordem n, das seguintes fun¸co˜es (a) f (x) = (x − 1) log(x − 1), a = 2, n = 4; 1 − log(x) , a = e, n = 3; x π (c) f (x) = e3x sen(x), a = , n = 2. 2

(b) f (x) =

3. Utilizando a fórmula de Taylor, mostre que cos(

√ π 2 + h) > (1 − h), 4 2

para |h| suficientemente pequeno. 4. Considere a fun¸cão f (x) = arctg(x). (a) Escreva a fórmula de MacLaurin de f , com resto de ordem 3. (b) Mostre que existe z ∈ R tal que arctg(x) ≤ x, ∀0 < x < z. 5. (a) Escreva o desenvolvimento de Taylor da fun¸cão e1/x em torno do ponto 1, com resto de ordem 2. (b) Utilizando a al´ınea (a), calcule e1/x − e x→1 x − 1 lim

6. (a) Escreva a fórmula de Taylor, com resto de ordem 3 da fun¸cão log(| cos(x)|) em torno do ponto π. (b) Use a al´ınea (a) para calcular log(| cos(x)|) + lim x→π (x − π)2 (c) Mostre que se π < x <

(x−π)2 2

3 (x − π)3 π, então − sec2 (x)tg(x) < R3 (x) < 0 2 3

7. (a) Escreva a fórmula de McLaurin, com resto de ordem 4 da fun¸cão f (x) = ex sen(x). (b) Mostre, por indu¸cão, que f (4k) (x) = (−1)k 4k ex sen(x), (c) Mostre que, para x < 0, |R4k (x)| ≤ 4k 8. Considere a fun¸cão f (x) = arctg(x).

4k

x , ∀k ∈ N. (4k)!

∀k ∈ N.

3.6 Exerc´ıcios Resolvidos

93

(a) Escreva a fórmula de MacLaurin de f , com resto de ordem 3. (b) Mostre que existe z ∈ R tal que arctg(x) ≤ x, ∀0 < x < z. 9. (a) Escreve a fórmula de Taylor, com resto de ordem 2 da fun¸cão f (x) = ponto 1.

1 em torno do 1 + log(x)

(b) Use a al´ınea (a) para mostrar que f (x) < 1 − (x − 1) + 3

(x − 1)2 , ∀x > 1 2

(c) Qual o sentido da concavidade de f no ponto 1? 10. (a) Seja f (x) = sen4 (x) + cos4 (x). Mostre, por indu¸cão, que nπ f (n) (x) = 4n−1 cos 4x + . 2

(b) Escreva a fórmula de MacLaurin, com resto de ordem n, de f .

11. Considere a fun¸cão f (x) = x sen(x) (a) Escreva a fórmula de Taylor, com resto de ordem 4, de f , em torno do ponto π. (b) Use a al´ınea (a) para mostrar que existe uma vizinhan¸ca de π, Vε (π), tal que f (x) > −π(x − π) − (x − π)2 +

π (x − π)3 , ∀x ∈ Vε (π) \ {π} 6

Nota: não necessita de determinar explicitamente ε. 12. Considere a fun¸cão f (x) = x e−x (a) Escreva a fórmula de MacLaurin, com resto de ordem 4, de f . (b) Use a al´ınea (a) para mostrar que x e−x ≤ x − x2 +

x3 , 2

∀x < 4

13. Considere a fun¸cão f (x) = (x − 1) log(x) − x. (a) Prove, por indu¸cão, que f (n) (x) = (−1)n

(n − 2)! (n − 1)! + xn−1 xn

, ∀n ≥ 2.

(b) Escreva a fórmula de Taylor, com resto de ordem n, de f , em torno do ponto x = 1. 14. Considere a fun¸cão f (x) = x2 log(x). (a) Escreva a fórmula de Taylor, com resto de ordem 4, de f , em torno do ponto x = 1. (b) Use a al´ınea (a) para mostrar que 3 1 f (x) < (x − 1) + (x − 1)2 + (x − 1)3 , ∀x ∈ R \ {1} 2 3

94

3. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Diferencial

15. Considere a fun¸cão f (x) = sen2 (x). (a) Mostre, por indu¸cão, que f (n) (x) = −2n−1 cos(2x + nπ/2), ∀x ∈ R, ∀n ∈ N.

(b) Escreva a fórmula de MacLaurin, com resto de ordem n, de f .

16. (a) Escreva a fórmula de MacLaurin, com resto de ordem 3, da fun¸cão f (x) = arctg(x). arctg(x) ≥ x −

(b) Use a al´ınea (a) para mostrar que

x3 , ∀x ≥ 0. 3

17. Considere a fun¸cão f (x) = x (x − arctg(x)). (a) Escreva a fórmula de MacLaurin de f , com resto de ordem 3. (b) Use a al´ınea (a) para mostrar que f (x) > 0, ∀x 6= 0. 18. Considere a fun¸cão real de variável real definida por f (x) = esen(x) . (a) Prove, usando o Teorema de Lagrange, a seguinte desigualdade f (x) ≤ 1 + ex,

∀x ≥ 0.

19. Seja f a fun¸cão real de variável real definida por f (x) = 3x . (a) Prove por indu¸cão matemática que f (n) (x) = 3x (log(3))n ,

∀n ∈ N.

(b) Escreva a fórmula de MacLaurin de f com resto de Lagrange de ordem n. 20. Seja f a fun¸cão real de variável real definida por f (x) = x 2x . (a) Prove por indu¸cão matemática que f (n) (x) = 2x (log(2))n−1 n + x log(2) ,

∀n ∈ N.

(b) Escreva a fórmula de MacLaurin de f com resto de Lagrange de ordem n. 21. Seja f a fun¸cão real de variável real definida por f (x) = sen(x2 − 1) + 2x2 . (a) Escreva a fórmula de Taylor de f com resto de Lagrange de ordem 3 em torno do ponto a = 1. (b) Prove que, no intervalo [0, 1], f tem, pelo menos, um zero. (c) Prove que f tem, no máximo, dois zeros. (d) Justifique que f tem exactamente dois zeros. 22. Seja f a fun¸cão real de variável real definida por f (x) = x e2x . (a) Prove por indu¸cão matemática que f (n) (x) = 2n−1 e2x (n + 2x),

∀n ∈ N.

(b) Escreva a fórmula de Taylor de f , em torno do ponto a = 1, com resto de Lagrange de ordem n. x 23. Considere a fun¸cão real de variável real definida por f (x) = log(x). 2 (a) Prove, usando o Teorema de Lagrange, a seguinte desigualdade: x x2 − 1 log(x) < , 2 2

∀x > 1.

3.6 Exerc´ıcios Resolvidos

95

(b) Escreva a Fórmula de Taylor da fun¸cão f , no ponto a = 1, com resto de Lagrange de ordem 3. (c) Estude, usando o Teorema de Taylor, a existência de extremos relativos da fun¸cão f . 24. Seja f a fun¸cão real de variável real definida por f (x) =

1 1 − . x x+1

(a) Prove por indu¸cão matemática que f

(n)

n+1

(x) = (−1)

n!

1 1 − n+1 n+1 (x + 1) x

,

∀n ∈ N.

(b) Escreva a fórmula de Taylor de f com resto de Lagrange de ordem 3 em torno do ponto a = 1.

96

3. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Diferencial

3.6.3

Estudo de uma fun¸c˜ ao

1. Considere a fun¸cão definida por f (x) = x2 log(x) (a) Determine o dom´ınio de f . (b) Estude f do ponto de vista da continuidade, derivabilidade, monotonia, extremos, pontos de inflexão e concavidades. (c) Calcule lim f (x). x→0

2. Considere a fun¸cão

  |x − 1| ex f (x) =  (x − 2)2 + e2

se x ≤ 2, se x > 2.

(a) Estude a continuidade e derivabilidade de f .

(b) Determine os extremos, intervalos de monotonia e pontos de inflexão de f .

3. Considere a fun¸cão

  −π − 1 − x    cos(x) f (x) =   1   1 + x2

se x ≤ −π, se − π < x < 0, se x ≥ 0

(a) Estude a continuidade e derivabilidade de f .

(b) Determine os extremos, intervalos de monotonia e pontos de inflexão de f . (c) Esboce o gráfico de f .

4. Considere a fun¸cão f (x) =

log(x) . x

(a) Estude a continuidade e derivabilidade de f . (b) Determine os extremos e intervalos de monotonia de f . (c) Determine os pontos de inflexão e as concavidades de f .

5. Considere a fun¸cão f (x) = (a) Estude a continuidade de f ;

 

2x 1 + x2  1 − e3x

se x ≤ 0, se x > 0

(b) Estude a diferenciabilidade de f ; (c) Determine os extremos e intervalos de monotonia de f ; (d) Determine os pontos de inflexão e concavidades de f . (e) Determine o contradom´ınio de f .

3.6 Exerc´ıcios Resolvidos

6. Considere a fun¸cão

97

   2 arctg 1 , π x f (x) =   x2 − x − 1

se x < 0, se x ≥ 0

(a) Estude a continuidade de f ;

(b) Estude a diferenciabilidade de f ; (c) Determine os extremos e intervalos de monotonia de f ; (d) Determine os pontos de inflexão e concavidades de f . (e) Determine o contradom´ınio de f .

7. Considere a fun¸cão f (x) =

x 1 + log(x)

(a) Determine o dom´ınio de f . (b) Estude a continuidade de f ; (c) Estude a diferenciabilidade de f ; (d) Determine os extremos e intervalos de monotonia de f ; (e) Determine os pontos de inflexão e concavidades de f . (f) Determine o contradom´ınio de f .

8. Considere a fun¸cão

  x ex , f (x) =  x log4 (x)

se x ≤ 0, se x > 0

(a) Estude a continuidade de f ;

(b) Estude a diferenciabilidade de f ; (c) Determine os extremos e intervalos de monotonia de f ; (d) Determine os pontos de inflexão e concavidades de f . (e) Determine o contradom´ınio de f .

9. Considere a fun¸cão

  log(4 − x2 ), f (x) = 1  4 − x2

se |x| < 2, se x > 2

(a) Estude a continuidade de f ;

(b) Estude a diferenciabilidade de f ; (c) Determine os extremos e intervalos de monotonia de f ; (d) Determine os pontos de inflexão e concavidades de f . (e) Determine o contradom´ınio de f .

98

3. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Diferencial

10. Considere a fun¸cão f (x) = x2/3 (6 − x)1/3 (a) Estude a continuidade de f ; (b) Estude a diferenciabilidade de f ; (c) Determine os extremos e intervalos de monotonia de f ; (d) Determine os pontos de inflexão e concavidades de f . (e) Determine o contradom´ınio de f .

11. Considere a fun¸cão definida por

2

f (x) = x (1 − x) 5 (a) Determine o dom´ınio de f . (b) Estude f quanto à continuidade. (c) Estude f quanto à derivabilidade. (d) Determine os intervalos de monotonia e os extremos locais de f . (e) Determine os pontos de inflexão e as concavidades de f . 12. Considere a fun¸cão definida por f (x) =

arc tg(x), e|1−x| ,

x 8

(a) Determine o dom´ınio de f .

(b) Estude f quanto à continuidade. (c) Estude f quanto à derivabilidade. (d) Determine os intervalos de monotonia e os extremos locais de f . (e) Determine os pontos de inflexão e as concavidades de f . (f) Determine o contradom´ınio de f .

16. Considere a fun¸cão definida por f (x) = log(sen(x)) (a) Determine o dom´ınio de f . (b) Estude f quanto à continuidade. (c) Estude f quanto à derivabilidade. (d) Determine os intervalos de monotonia e os extremos locais de f . (e) Determine os pontos de inflexão e as concavidades de f . (f) Determine o contradom´ınio de f .

17. Considere a fun¸cão definida por f (x) = (a) Determine o dom´ınio de f .

p sen(x)

(b) Estude f quanto à continuidade. (c) Mostre que f não é diferenciável em 0.

18. Considere a fun¸cão definida por f (x) =

x + sen(x) 2

(a) Determine os intervalos de monotonia e os extremos locais de f . (b) Determine os pontos de inflexão e as concavidades de f . (c) Determine o contradom´ınio de f .

100

3. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Diferencial

19. Considere a fun¸cão definida por f (x) = log(log(2x + 3)) (a) Determine o dom´ınio de f . (b) Estude f quanto à continuidade. (c) Estude f quanto à derivabilidade. (d) Determine os intervalos de monotonia e os extremos locais de f . (e) Determine os pontos de inflexão e as concavidades de f . (f) Determine o contradom´ınio de f .

20. Considere a fun¸cão definida por

(a) Determine o dom´ınio de f .

  ex + e−x   , 2 f (x) =  1   , 1 − x2

se x ≤ 0 se x > 0

(b) Estude f quanto à continuidade. (c) Determine os intervalos de monotonia e os extremos locais de f . (d) Determine os pontos de inflexão e as concavidades de f . (e) Determine o contradom´ınio de f .

21. Considere a fun¸cão definida por f (x) = | log(x2 )| (a) Determine o dom´ınio de f . (b) Estude f quanto à continuidade. (c) Determine os intervalos de monotonia e os extremos locais de f . (d) Determine os pontos de inflexão e as concavidades de f . (e) Determine o contradom´ınio de f .

22. Considere a fun¸cão definida por f (x) = x(x2 − 5)2 (a) Determine o dom´ınio de f . (b) Estude f quanto à continuidade. (c) Determine os intervalos de monotonia e os extremos locais de f . (d) Determine os pontos de inflexão e as concavidades de f . (e) Determine o contradom´ınio de f .

23. Considere a fun¸cão definida por f (x) =

|x| |x + 1|

3.6 Exerc´ıcios Resolvidos

101

(a) Determine o dom´ınio de f . (b) Estude f quanto à continuidade. (c) Determine os intervalos de monotonia e os extremos locais de f . (d) Determine os pontos de inflexão e as concavidades de f . (e) Determine o contradom´ınio de f . 24. Considere a fun¸cão definida por f (x) = x2 e−x (a) Determine o dom´ınio de f . (b) Estude f quanto à continuidade. (c) Determine os intervalos de monotonia e os extremos locais de f . (d) Determine os pontos de inflexão e as concavidades de f . (e) Determine o contradom´ınio de f . 25. Considere a fun¸cão definida por f (x) = x + sen(2 x). (a) Determine o dom´ınio de f . (b) Estude f quanto à continuidade. (c) Determine os intervalos de monotonia e os extremos locais de f . (d) Determine os pontos de inflexão e as concavidades de f . (e) Determine o contradom´ınio de f . 26. Considere a fun¸cão definida por f (x) =

1 2/3 x (x + 40). 4

(a) Determine o dom´ınio de f . (b) Estude f quanto à continuidade. (c) Determine os intervalos de monotonia e os extremos locais de f . (d) Determine os pontos de inflexão e as concavidades de f . (e) Determine o contradom´ınio de f . 27. Considere a fun¸cão definida por f (x) =

x2 + 1 . x2 − 1

(a) Determine o dom´ınio de f . (b) Estude f quanto à continuidade. (c) Determine os intervalos de monotonia e os extremos locais de f . (d) Determine os pontos de inflexão e as concavidades de f . (e) Determine o contradom´ınio de f .

102

3. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Diferencial

28. Considere a fun¸cão definida por f (x) =

(x2 − 1)2 . x4

(a) Determine o dom´ınio de f . (b) Estude f quanto à continuidade. (c) Determine os intervalos de monotonia e os extremos locais de f . (d) Determine os pontos de inflexão e as concavidades de f . (e) Determine o contradom´ınio de f . 29. Considere a fun¸cão definida por f (x) = log(x3 − x). (a) Determine o dom´ınio de f . (b) Estude f quanto à continuidade. (c) Determine os intervalos de monotonia e os extremos locais de f . 30. Seja g : R → R uma fun¸cão cuja derivada é dada, em todos os pontos de R, por g ′ (x) =

x−1 . x2 + 3

Determine os pontos de inflexão e as concavidades de g. 31. Considere a fun¸cão definida por

1 f (x) = √ . 3 x − x2 − 2

(a) Determine o dom´ınio de f . (b) Estude f quanto à continuidade. (c) Determine os intervalos de monotonia e os extremos locais de f . (d) Determine o contradom´ınio de f . 32. Seja g : R → R uma fun¸cão cuja derivada é dada, em todos os pontos de R, por g ′ (x) = −

x . (2 + x2 )2

Determine os pontos de inflexão e as concavidades de g. 33. Considere a fun¸cão definida por

f (x) =

(a) Estude f quanto à continuidade.

    ex − x − 1, se x ≤ 0    log(1 − x),

se x > 0

3.6 Exerc´ıcios Resolvidos

103

(b) Mostre que f é decrescente no intervalo ] − ∞, 0[. (c) Calcule lim f (x) e lim f (x). x→−∞

x→+∞

(d) Mostre que f tem m´ınimo. 34. Seja g : R → R uma fun¸cão cuja derivada é dada, em todos os pontos de R, por g ′ (x) = x2 e−2x . Determine os pontos de inflexão e o sentido das concavidades de g. 35. Considere a fun¸cão definida por f (x) =

x2 . log(x)

(a) Determine o dom´ınio de f . (b) Determine os intervalos de monotonia e os extremos locais de f . (c) Determine o contradom´ınio de f . 36. Seja g : R → R uma fun¸cão cuja derivada é dada, em todos os pontos de R, por g ′ (x) = arctg(ex − ex ). Determine os pontos de inflexão e as concavidades de g. 37. Considere a fun¸cão f real de variável real definida por   ex   , se x 6= 1 2 x −1 f (x) =    0, se x = 1 (a) Determine o dom´ınio de f .

(b) Estude f quanto à continuidade. (c) Determine os intervalos de monotonia e os extremos locais de f . (d) Determine o contradom´ınio de f . 38. Seja f : R → R uma fun¸cão tal que f ′ (x) =

p 3 2 x2 − x3 .

Determine os sentidos de concavidade de f e os seus pontos de inflexão. 39. Considere a fun¸cão f real de variável real definida por  x2    log , se x 6= 0 |x − 1| f (x) =    0, se x = 0

104

3. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Diferencial

(a) Determine o dom´ınio de f . (b) Estude f quanto à continuidade. (c) Determine os intervalos de monotonia e os extremos locais de f . (d) Determine o contradom´ınio de f . 40. Seja f : R → R uma fun¸cão tal que

f ′ (x) =

1 − x2 . (1 + x2 )2

Determine os sentidos de concavidade de f e os seus pontos de inflexão. 41. Considere a fun¸cão f real de variável real definida por   x2   , se x < 0 1 + x2 f (x) =    x2 e−2x , se x ≥ 0

(a) Determine o dom´ınio da fun¸cão f e estude a sua continuidade.

(b) Estude f quanto à diferenciabilidade, determine os seus intervalos de monotonia e extremos locais. (c) Determine os sentidos de concavidade e os pontos de inflexão de f . (d) Esboce o gráfico de f .

42. Considere a fun¸cão f real de variável real definida por     esen(x)+cos(x) , f (x) =  1−x   , 1+x

se x ≥ 0 se x < 0

(a) Determine o dom´ınio de f .

(b) Estude f quanto à continuidade. (c) Estude a diferenciabilidade de f . Determine os intervalos de monotonia e os extremos locais de f . 43. Seja f : R → R uma fun¸cão tal que

f ′ (x) =

ex . x2 − 3

Determine os sentidos de concavidade de f e os seus pontos de inflexão. 44. Considere a fun¸cão f real de variável real definida por   arctg(sen(x)), f (x) =  e−x ,

se x ≥ 0 se x < 0

3.6 Exerc´ıcios Resolvidos

105

(a) Determine o dom´ınio de f . (b) Estude f quanto à continuidade. (c) Estude a diferenciabilidade de f . Determine os intervalos de monotonia e os extremos locais de f . 45. Seja f : R → R uma fun¸cão tal que f ′ (x) = log(|x2 − 4|). Estude a diferenciabilidade de f ′ e determine os sentidos de concavidade de f e os seus pontos de inflexão. 46. Considere a fun¸cão f real de vari´ avel real definida por   x2 − 1   , se x ≥ −2 x2 − 9 f (x) =    ex + 1, se x < −2

(a) Determine o dom´ınio da fun¸cão f e estude a sua continuidade.

(b) Estude f quanto à diferenciabilidade, determine os seus intervalos de monotonia e extremos locais. (c) Determine os sentidos de concavidade e os pontos de inflexão de f . (d) Esboce o gráfico de f e indique o seu contradom´ınio.

47. Considere a fun¸cão f real de vari´ avel real definida por   1   , se x > −1 4 x − x2 f (x) =    ex , se x ≤ −1 (a) Determine o dom´ınio de f .

(b) Estude f quanto à continuidade. (c) Estude a diferenciabilidade de f . Determine os intervalos de monotonia e os extremos locais de f . 48. Seja f : R → R uma fun¸cão tal que f ′ (x) = log(sen2 (x) + 1). Estude a diferenciabilidade de f ′ e determine os sentidos de concavidade de f e os seus pontos de inflexão. 49. Considere a fun¸cão f real de variável real definida por f (x) = log(log2 (x) − 1).

106

3. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Diferencial

(a) Determine o dom´ınio de f . (b) Estude f quanto à continuidade. (c) Estude a diferenciabilidade de f . Determine os intervalos de monotonia e os extremos locais de f . 50. Seja f : D ⊂ R → R uma fun¸cão tal que f ′ (x) =

x4

1 . − x2

Estude a diferenciabilidade de f ′ e determine os sentidos de concavidade de f e os seus pontos de inflexão. 51. Considere a fun¸cão f , real de variável real, definida por     log(x − 1), se x > 1 f (x) =  1 − x2   , se x ≤ 1 2x2 − 1

(a) Determine o dom´ınio da fun¸cão f e estude a sua continuidade.

(b) Estude f quanto à diferenciabilidade, determine os seus intervalos de monotonia e extremos locais. (c) Determine os sentidos de concavidade e os pontos de inflexão de f . (d) Esboce o gráfico de f e indique o seu contradom´ınio. 52. Considere a fun¸cão f real de variável real definida por     arctg(sen(x)), f (x) =  x2 − 1   , x2 − 3

se x ≥ 1 se x < 1

(a) Determine o dom´ınio de f .

(b) Estude f quanto à continuidade. (c) Estude a diferenciabilidade de f . Determine os intervalos de monotonia e os extremos locais de f . 53. Seja f : R → R uma fun¸cão tal que

f ′ (x) =

(x2

x2 . + 3)2

Determine os sentidos de concavidade de f e os seus pontos de inflexão. 54. Considere a fun¸cão f real de variável real definida por     log(x3 − 4x), se x > −2 f (x) =    ex , se x ≤ −2

3.6 Exerc´ıcios Resolvidos

107

(a) Determine o dom´ınio de f . (b) Estude f quanto à continuidade. (c) Estude a diferenciabilidade de f . Determine os intervalos de monotonia e os extremos locais de f . 55. Seja f : D ⊂ R → R uma fun¸cão tal que f ′ (x) = arccotg(cos(x)). Estude a diferenciabilidade de f ′ e determine os sentidos de concavidade de f e os seus pontos de inflexão. 56. Considere a fun¸cão f , real de vari´ avel real, definida por   x2   , se x ≥ −2 x2 − 1 f (x) =    e|x+3| se x < −2

(a) Determine o dom´ınio da fun¸cão f e estude a sua continuidade.

(b) Estude f quanto à diferenciabilidade, determine os seus intervalos de monotonia e extremos locais. (c) Determine os sentidos de concavidade e os pontos de inflexão de f . (d) Esboce o gráfico de f e indique o seu contradom´ınio.

57. Considere a fun¸cão f real de vari´ avel real definida por     (x − 1) earctg(x) , se x ≤ 0 f (x) =    |x − 1|, se x > 0 (a) Determine o dom´ınio de f .

(b) Estude f quanto à continuidade. (c) Estude a diferenciabilidade de f . Determine os intervalos de monotonia e os extremos locais de f . 58. Seja f : R → R uma fun¸cão tal que

f ′ (x) =

x2 + 1 . x2 + x

Determine os sentidos de concavidade de f e os seus pontos de inflexão. 59. Considere a fun¸cão f real de variável real definida por    π + log(1 − x2 ),  2 f (x) = 1 1    arctg + x, x 2

se x ≤ 0 se x > 0

108

3. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Diferencial

(a) Determine o dom´ınio de f . (b) Estude f quanto à continuidade. (c) Estude a diferenciabilidade de f . Determine os intervalos de monotonia e os extremos locais de f . 60. Seja f : R → R uma fun¸cão tal que

2

f ′ (x) = ecos

(x)

.

Determine os sentidos de concavidade de f e os seus pontos de inflexão.

3.7 Exerc´ıcios Propostos

3.7

109

Exerc´ıcios Propostos

3.7.1

Diferenciabilidade. Teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy

1. Seja f uma fun¸cão diferenciável em R e g uma fun¸cão definida por g(x) = f (ex ). (a) Defina a fun¸cão derivada de g. (b) Supondo que f ′ também é diferenciável, determine g ′′ (1). 2. Sendo f (x) = x4 , g uma fun¸cão diferenciável em R e h tal que h(x) = (g ◦ f )(sen(x)), defina a fun¸cão derivada de h. 3. Seja f uma fun¸cão diferenciável e injectiva e g(x) = x3 . Aplicando as regras da deriva¸cão da fun¸caõ inversa e da fun¸cão composta, determine uma expressão para a fun¸cão derivada de (f ◦ g)−1 . 4. Calcule o diferencial das fun¸cões: (a) f (x) = x5 + 4x3 ; (b) f (x) = log(x); (c) f (x) = ex x2 . 5. Calcule, utilizando o diferencial, valores aproximados de: (a) 1.993 ; (b) 25.02 . p 2x − 1 e g(x) = 3 (x − 1)2 . Recorrendo ao teorema de Rolle, que se 2 x −1 pode afirmar sobre a existência de pontos c1 , c2 ∈]0, 2[ tais que f ′ (c1 ) = g ′ (c2 ) = 0?

6. Considere as fun¸cões f (x) =

7. Mostre que f (x) = −x4 + 8x2 + 9 satisfaz as condi¸cões do teorema de Rolle no intervalo [−3, 3]. Determine os valores c ∈] − 3, 3[ que satisfa¸cam f ′ (c) = 0. 8. Prove, recorrendo ao teorema de Rolle, que a equa¸cão 4x3 + 3x2 − 2x + 2 = 0 tem, pelo menos, uma solu¸cão no intervalo ] − 2, 0[. 9. Seja f uma fun¸cão cont´ınua em [a, b], diferenciável em ]a, b[ e tal que f (a) = f (b) = 0. Diga se a fun¸cão g(x) = f (x)e−3x , no mesmo intervalo, obedece às condi¸cões do teorema de Rolle. Mostre que existe c em ]a, b[ tal que f ′ (c) = 3f (c). 10. Prove que a equa¸cão x3 − 9x − 9 = 0 tem 3 ra´ızes reais. 11. Mostre que a equa¸cão x3 + 2x − 1 = 0 tem apenas uma raiz real. Mostre ainda que essa raiz se encontra no intervalo ]0, 1[. 12. Considere a fun¸cão real de variável real definida por f (x) = 2(x − 1)(x − 3)(x − 5)(x − 7). Quantos zeros podemos garantir para f ′ e f ′′ ? 13. Prove que, qualquer que seja k (real), a fun¸cão f (x) = 2x3 − 6x + k não pode ter dois zeros no intervalo ] − 1, 1[. 14. A fun¸cão f está definida em [0, π2 ] por:   tg(x), f (x) =  1,

se 0 ≤ x < se x =

π 2

π 2

110

3. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Diferencial

(a) Verifique que f ( π2 ) = f ( π4 ). (b) Mostre que f é cont´ınua e diferenci´ avel no intervalo ] π4 , π2 [. (c) Neste intervalo f ′ não tem zeros. Isto contradiz o teorema de Rolle? Justifique. 15. Considere as fun¸cões f (x) = (x − 2)2 + 1 e  2   x − 4x + 3 , se x 6= 2 x−2 g(x) =   5, se x = 2

(a) Mostre que, no intervalo [1, 3], a fun¸cão f satisfaz as condi¸cões do teorema de Rolle e que g não satisfaz.

(b) Determine as coordenadas do ponto do gráfico de f onde a tangente à curva é horizontal. 16. Considere a seguinte fun¸cão real de vari´ avel real,   ex−1 , f (x) =  1 + log(x),

se x ≤ 1 se x > 1.

Mostre que:

(a) f é cont´ınua em R; (b) f tem derivada finita em R; (c) em nenhum intervalo de R é aplicável a f o teorema de Rolle. 17. Considere a fun¸cão real de variável real, definida por:  2  ex −x−2 , se x ∈ [−1, 2] x f (x) = 6  arc sen , se x ∈]2, 4]. π 4

(a) Averig´ ue se é poss´ıvel aplicar o teorema de Rolle ao intervalo [−1, 2] . Em caso afirmativo determine o n´ umero de Rolle correspondente.

(b) Prove que f é limitada. 18. Seja f uma fun¸cão definida e diferenciável num intervalo I e g(x) = f (cos(x)) f (sen(x)). Suponhamos ainda que I contém os pontos −1 e 1 por forma a que g tenha por dom´ınio R. (a) Calcule g ′ (x) e mostre que, em qualquer ponto (a, b) do gráfico de g tal que tg(a) = 1, a tangente a esse gráfico é horizontal. (b) Admitindo que f era duas vezes diferenciável em I, o que poder´ıamos dizer sobre o n´ umero de ra´ızes da equa¸cão g ′′ (x) = 0? 19. Em cada um dos seguintes casos verificar se o teorema do valor médio de Lagrange se aplica. Em f (b) − f (a) caso afirmativo encontrar o n´ umero c em tal que f ′ (c) = . b−a 1 , x 1 (b) f (x) = , x (a) f (x) =

(c) f (x) = cos(x),

a = 2, b = 3 a = −1, b = 3 a = 0, b =

π 2

3.7 Exerc´ıcios Propostos

111

(d) f (x) = tg(x), √ (e) f (x) = 1 − x2 , √ (f) f (x) = 3 x,

π 3π , b= 4 4 a = −1, b = 0 a=

(g) f (x) = |x|,

a = −1, b = 1

a = −1, b = 1

20. Considere a fun¸cão g(x) = ex

2

−4

+ x.

(a) Determine as coordenadas dos pontos do gráfico da fun¸caõ que têm abcissa -1, 1. (b) A fun¸cão está nas condi¸cões do teorema de Lagrange no intervalo [−1, 1]? (c) Determine uma equa¸cão da recta tangente ao gráfico de g, paralela à recta definida pelos pontos considerados em a). 21. Seja f : R → R a fun¸cão definida por:   5 − x2 , se x ≤ 1 f (x) =  3 + x, se x > 1. x

(a) Mostre, a partir da derivada de f , que a fun¸cão é cont´ınua em R. (b) Aplique o teorema do valor médio de Lagrange ao intervalo [0, 3]. Determine os valores de c a que se refere o teorema. 22. Seja f : R → R a fun¸cão definida por f (x) = sen(x) − cos(x). √ (a) Mostre que para cada x ∈ [0, π2 ], 1 ≤ f ′ (x) ≤ 2.

(b) Utilize o teorema de Lagrange para verificar que, para cada x ∈ [0, π2 ], √ −1 + x ≤ f (x) ≤ −1 + x 2.

23. Utilizando o teorema de Lagrange mostre que: (a) arc tg(x) ≤ x, ∀x ∈ R+ 0;

(b) log(x + 1) < x, x > 0; 1+x 1 (c) log < , x > 0; x x (d) ex > x + 1, x > 0; x−a x−a (e) + arc tg(a) < arc tg(x) < arc tg(a) + , x > a; 1 + x2 1 + a2 (f) |sen(θ) − sen(α)| ≤ |θ − α|, ∀θ, α ∈ R; (g) |sen(θ)| < |θ|,

∀θ ∈ R.

24. Aplicar, caso seja poss´ıvel, o teorema de Cauchy às seguintes fun¸cões nos intervalos indicados. (a) f (x) = ex

2

−1

+ x e g(x) = 2x em [−1, 1].

(b) f (x) = cos(2x) e g(x) = sen(x) em [− π3 , π3 ]. (c) f (x) = x3 e g(x) = x2 em [−2, 2]. 25. Sejam f e g fun¸cões diferenciáveis em R tais que f ′ (x) > g ′ (x) > 0, ∀x ∈ R e f (a) = g(a). Utilizando o Teorema de Cauchy, demonstre que: (a) f (x) > g(x), ∀x > a.

112

3. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Diferencial

(b) f (x) < g(x), ∀x < a. 26. Calcule, aplicando o teorema do valor médio de Cauchy, o seguinte limite: lim

x→0

tg(a + x) − tg(a − x) . arc tg(a + x) − arc tg(a − x)

27. Seja f uma fun¸cão cont´ınua em [a, b] e diferenciável em ]a, b[. Demonstre as seguintes afirma¸co˜es: (a) Se f ′ (x) 6= 0, ∀x ∈]a, b[, então f é injectiva em [a, b].

(b) Se f ′ (x) ≤ 0 (resp. f ′ (x) ≥ 0), ∀x ∈]a, b[ então f é fun¸cão decrescente (resp. crescente). 28. Sejam f e g duas fun¸cões cont´ınuas num intervalo [a, b] e diferenciáveis em ]a, b[. Mostre que: (a) se f ′ (x) ≤ g ′ (x), ∀x ∈]a, b[, então f (b) − f (a) ≤ g(b) − g(a).

(b) se |f ′ (x)| ≤ g ′ (x), ∀x ∈]a, b[, então |f (b) − f (a)| ≤ g(b) − g(a). 29. Calcule os seguintes limites: π i x tg (1 − x) ; x→0 2 log x −x ex √ + (1 − e ) ; (j) lim 4 x→+∞ x x 1 2 x (k) lim x + 1 − ; x→+∞ x log x x−1 (l) lim (log x) + ; x→1 sen(πx)

(a) lim (1 + 3 tg2 (x))cotg(x) ; x→0

x − tg(x) ; x − sen(x) log x+2 x (c) lim ; x→+∞ log x−2 x

(b) lim

x→0

1

(d) lim

x→0+

ex ; cotg(x)

(e) lim xsen(x) ; x→0

(f)

(i) lim

h

(m) lim

sen(x) −1 sen(x) ( x−sen(x) ) ; x

(n) lim

a x + b x + cx 3

1

lim (x + 1) log x ;

x→+∞

(g) lim | cos(x)| x→π

1 x−π

x→0

;

log(sen(4x)) (h) lim ; x→0 log(sen(3x))

x→0

30. Determine os n´ umeros reais a e b tais que lim

x→0

sen(ax) − x x3 + bx2

seja um n´ umero real diferente de zero. 31. Determine os n´ umeros reais a e b de forma que cos(x) ax + b lim − = 0. x→0 log(x + 1) x

x1

, a, b, c ∈ R+ .

3.7 Exerc´ıcios Propostos

3.7.2

113

F´ ormula de Taylor

1. Desenvolva os polinómios P1 (x) = x4 e P2 (x) = x3 − 2x2 + 3x + 5 em potências inteiras de (x − 3) e (x − 2), respectivamente. 2. Escreva a fórmula de Taylor de ordem n no ponto a dado, das seguintes fun¸cões: 1 , x2 + 3 2 f (x) = ex , f (x) = sen2 (x), f (x) = tg(x), 1 f (x) = , x

(a) f (x) =

a = 1, n = 3;

(b) (c) (d)

a = 0, n = 4; a = 0, n = 4; a = 0, n = 4;

(e)

a = 1, n = 4.

3. Utilize a fórmula de Taylor para aproximar a fun¸cão f (x) = cos(x) por um polinómio de grau 4. Use esse polinómio para calcular uma aproxima¸cão de cos(0.5). Obtenha uma estimativa para o erro da aproxima¸cão. 4. Use a fórmula de Taylor para estabelecer as seguintes desigualdades: (a) log(1 + x) ≥ x −

x3 x4 x2 + − , 2 3 4

(b) sen(a + h) − sen(a) − h cos(a) ≤ (c)

x > 0; 1 2 h , ∀h ∈ R; 2

1 x3 2 ≤ 1 + 2x + 3x + 4 , (1 − x)2 (1 − x)5

x < 0.

5. Escreva a fórmula de Mac-Laurin de ordem n de cada uma das seguintes fun¸cões: 1−x ; ex 1 f (x) = ; 1+x f (x) = sen(x); f (x) = cos(x); 1 f (x) = √ . 1+x

(a) f (x) = (b) (c) (d) (e)

6. Observe que as fun¸cões f (x) = sen(x) e g(x) = kx, com k pequeno, se intersectam nas proximidades de x = π. Aplicando a fórmula de Taylor de ordem 3 no ponto π à fun¸cão g(x) = sen(x) − kx, determine uma solu¸cão aproximada de sen(x) = kx. 7. Utilize a fórmula de Taylor para calcular os seguintes limites: sen(x) − x ; x→0 x2 ex−π + cos(x) − (x − π) (b) lim ; x→π (x − π)2 1 − cos(x) (c) lim ; x→0 x2 log(x) − x + 1 (d) lim . x→1 (x − 1)2 (a) lim

8. Seja g(x) = αe−kx + ax, com a < 0, α < 0, k > 0, constantes. Determine os extremos relativos da fun¸cão g.

114

3.7.3

3. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Diferencial

Estudo de uma fun¸c˜ ao

1. Considere a fun¸cão

(a) Estude a continuidade de f .

  xex , f (x) =  x log4 (x),

se x ≤ 0 se x > 0

(b) Estude a diferenciabilidade de f . (c) Determine os extremos e a monotonia de f . (d) Determine os pontos de inflexão e concavidades de f . (e) Determine o contradom´ınio de f . 2. Considere a fun¸cão

 

(a) Estude a continuidade de f .

2x , se x ≤ 0 1 + x2 f (x) =  1 − e3x , se x > 0

(b) Estude a diferenciabilidade de f . (c) Determine os extremos e a monotonia de f . (d) Determine os pontos de inflexão e concavidades de f . (e) Determine o contradom´ınio de f . 3. Seja f definida por

  x2 − 4, se x ≤ −2    | 12 (x2 + x − 2)|, se −2 < x ≤ 1 f (x) =  x    e , se x > 1 2

(a) Estude analiticamente f quanto à continuidade e derivabilidade. (b) Determine os extremos relativos de f .

(c) Mostre, por defini¸cão, que f é uniformemente cont´ınua no intervalo ]0, 1]. 4. Considere a fun¸cão definida por 2

f (x) =

|x|e1−x + 2 . 5

(a) Estude f do ponto de vista da continuidade, derivabilidade, monotonia e extremos. (b) Indique, justificando, se a fun¸cão é uniformemente cont´ınua no intervalo ] − 1, 2[. 5. Seja f definida por f (x) =

   πx + π2 ,  

cos(πx),     2 − x2 ,

se x < − 21

se − 21 ≤ x < se x ≥

3 2

3 2

(a) Estude analiticamente f quanto à continuidade e derivabilidade. (b) Determine os extremos relativos de f . (c) Esboce o gráfico da fun¸cão.

3.7 Exerc´ıcios Propostos

115

(d) Mostre, usando a defini¸cão, que f não é uniformemente cont´ınua no intervalo [2, +∞[. 6. Seja f definida por f (x) =

   a sen(x) + 1,  

se x ≤ 0

x2 log(x) + b, se 0 < x < 2     x4 + 3, se x ≥ 2

(a) Determine a e b de modo que f tenha derivada finita no ponto x = 0. (b) Mostre, por defini¸cão, que f é uniformemente cont´ınua no intervalo [3, 4]. 7. Considere a fun¸cão f definida por   |x − 1|ex , se x ≤ 2 f (x) =  (x − 2)2 + e2 , se x > 2

(a) Estude analiticamente f quanto à continuidade e derivabilidade. (b) Determine os extremos relativos, intervalos de monotonia e pontos de inflexão de f . (c) Mostre, por defini¸cão, que f é uniformemente cont´ınua no intervalo ]3, 4]. 8. Seja f definida por

   cos(π(x − 1)), se x < 1   f (x) = 2x3 − 15x2 + 36x − 28, se 1 ≤ x ≤ 4     x, se x > 4

(a) Estude analiticamente f quanto à continuidade e derivabilidade em todos os pontos do seu dom´ınio. (b) Determine os extremos relativos de f . (c) A fun¸cão f é uniformemente cont´ınua no intervalo [0, 2]? E no intervalo ]2, 5]? Justifique a resposta.

116

3. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Diferencial

Cap´ıtulo 4

Fun¸c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: Primitiva¸c˜ ao 4.1

Primitivas imediatas

Defini¸ c˜ ao 4.1.1 Sejam f e F duas fun¸co ˜es definidas num intervalo I. Diz-se que F é uma primitiva de f em I se F ′ (x) = f (x), ∀x ∈ I. EXEMPLO 1: Como (sen(x))′ = cos(x) temos que sen(x) é primitiva de cos(x). EXEMPLO 2: De (x2 )′ = 2x conclu´ımos que x2 é primitiva de 2x. Defini¸ c˜ ao 4.1.2 Uma fun¸ca õ f diz-se primitiv´ avel num intervalo I se existir uma primitiva de f , definida em I. NOTA: Há fun¸cões que não são primitiváveis. Por exemplo, a fun¸cão f : R → R definida por   0, se x < 2 f (x) =  1, se x ≥ 2

não é primitivável em R. De facto, a existência de uma fun¸cão F : R → R tal que F ′ (x) = f (x), ∀x ∈ R, contradiz o Teorema de Darboux: f não toma nenhum valor entre 0 e 1. Teorema 4.1.1 Se F é primitiva de f , num intervalo I, ent˜ ao, qualquer que seja C ∈ R, a fun¸ca õ G(x) = F (x) + C é também primitiva de f em I. Demonstra¸cão: Basta notar que G′ (x) = F ′ (x) + C ′ = F ′ (x) = f (x). Teorema 4.1.2 Se F e G s˜ ao duas primitivas de f num intervalo I, ent˜ ao F − G é constante em I. Demonstra¸cão: Usa-se o Corolário 2 do Teorema de Lagrange, notando que F ′ (x) = G′ (x) = f (x), ∀x ∈ I. NOTAS: 1. Como consequência dos teoremas anteriores temos que todas as primitivas de f são da forma F + C com F uma primitiva de f e C ∈ R. 2. Se F é uma primitiva de f no intervalo I, designamos por P f qualquer primitiva de f em I, isto é, P f = F + C, com C ∈ R, qualquer.

118

4. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: Primitiva¸ c˜ ao

a

b

Figura 4.1

Considerando C > 0, podemos fazer a interpreta¸cão geométrica que se pode ver na Figura 4.1. Defini¸ c˜ ao 4.1.3 Chamam-se primitivas imediatas as que se deduzem directamente de uma regra de deriva¸ca õ. A partir das regras de deriva¸cão obtém-se facilmente: Teorema 4.1.3 Sejam f e g duas fun¸co ˜es primitiv´ aveis num intervalo I e a ∈ R. Ent˜ ao a) P a f (x) = a P f (x); b) P (f (x) + g(x)) = P f (x) + P g(x).

Apresentamos a seguir uma tabela com algumas primitivas imediatas.

f (x)

P f (x)

xα , α 6= −1

xα+1 +C α+1

(u(x))α u′ (x), α 6= −1

(u(x))α+1 +C α+1

1 x

log(|x|) + C

u′ (x) u(x)

log(|u(x)|) + C

ex

ex + C

eu(x) u′ (x)

eu(x) + C

ax , (a > 0)

ax +C log(a)

4.1 Primitivas imediatas

119

au(x) u′ (x), (a > 0)

au(x) +C log(a)

cos(x)

sen(x) + C

cos(u(x)) u′ (x)

sen(u(x)) + C

sen(x)

− cos(x) + C

sen(u(x)) u′ (x)

− cos(u(x)) + C

1 √ 1 − x2

arcsen(x) + C

u′ (x) p 1 − (u(x))2

arcsen(u(x)) + C

1 −√ 1 − x2

u′ (x) −p 1 − (u(x))2

arccos(x) + C arccos(u(x)) + C

1 1 + x2

arctg(x) + C

u′ (x) 1 + (u(x))2

arctg(u(x)) + C

sec2 (x)

tg(x) + C

sec2 (u(x)) u′ (x)

tg(u(x)) + C

cosec2 (x)

−cotg(x) + C

cosec2 (u(x)) u′ (x)

−cotg(u(x)) + C

EXEMPLOS: P (x2 + x + 1) = P x2 + P x + P 1 =

x3 x2 + + x + C; 3 2

1 + cos(2x) 1 1 P cos (x) = P = (P 1 + P cos(2x)) = 2 2 2 2

sen(2x) x+ 2

+ C;

120

4. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: Primitiva¸ c˜ ao

1 p √ (x2 + 3) 3 +1 3 1 3 P 2x 3 x2 + 3 = P 2x(x2 + 3) 3 = + C = (x2 + 3) x2 + 3 + C; 1 4 + 1 3

P

3x2 = log |x3 + 1| + C; x3 + 1

P e5x =

1 1 P 5 e5x = e5x + C; 5 5

P 10x cos(5x2 + 7) = sen(5x2 + 7) + C; P

2 = arc tg(2x) + C; 1 + (2x)2

2 P (cos(x) − 2 e3x ) = P cos(x) − 2P e3x = sen(x) − e3x + C; 3 1

P √ 3

x2 1p 1 1 (x3 − 1)− 3 +1 + C = 3 (x3 − 1)2 + C. = P x2 (x3 − 1)− 3 = · 1 3 3 2 −3 + 1 x −1

Teorema 4.1.4 Seja f uma fun¸ca õ primitiv´ avel num intervalo I. Ent˜ ao, para cada x0 ∈ I e cada y0 ∈ R, existe uma, e uma s´ o, primitiva F de f tal que F (x0 ) = y0 . Em particular, existe uma, e uma s´ o, primitiva de f que se anula em x0 . √ EXEMPLO 1: Calculemos f sabendo que f ′ (x) = x x e f (1) = 2. Comecemos por calcular as primitivas F de f ′ , pois f é uma dessas fun¸cões. F (x) =

2 5 x 2 + C. 5

Mas f (1) = 2 ⇔ portanto, f (x) =

8 2 +C =2⇔C = , 5 5

2 5 8 x2 + · 5 5

EXEMPLO 2: Pretendemos calcular f sabendo que f ′′ (x) = 12x2 + 6x − 4, f (0) = 4 e f (1) = 5. A fun¸cão f pertence ao conjunto das fun¸co˜es F tais que F ′ (x) = 4x3 + 3x2 − 4x + C e, portanto, será uma fun¸cão da forma F (x) = x4 + x3 − 2x2 + Cx + C1 . Como    f (0) = 4  C = 4 1 ⇔  f (1) = 5  C = 1

então f (x) = x4 + x3 − 2x2 + x + 4.

4.2 Primitiva¸ c˜ ao por partes e por substitui¸ c˜ ao

4.2

121

M´ etodos gerais de primitiva¸ c˜ ao: Primitiva¸ c˜ ao por partes e por substitui¸c˜ ao

Teorema 4.2.1 (Primitiva¸ c˜ ao por partes) Sejam I um intervalo, F uma primitiva de f em I e g uma fun¸ca õ diferenci´ avel em I. Ent˜ ao P (f g) = F g − P (F g ′ ) Demonstra¸cão: Pela regra da deriva¸cão do produto (F g)′ = F ′ g + F g ′ = f g + F g ′ , o que implica que f g = (F g)′ − F g ′ e, portanto, P (f g) = F g − P (F g ′ ). EXEMPLO 1: Seja h(x) = x log(x). Calculemos a primitiva de h por partes: consideremos f (x) = x e g(x) = log(x). 2 x2 x 1 x2 1 x2 x2 P (x log(x)) = log(x) − P · = log(x) − P (x) = log(x) − + C. 2 2 x 2 2 2 4 EXEMPLO 2: Podemos primitivar a fun¸cão h(x) = log(x) usando este método. Sejam f (x) = 1 e g(x) = log(x). 1 P (log(x)) = P (1. log(x)) = x log(x) − P x = x log(x) − P (1) = x log(x) − x + C. x EXEMPLO 3: Seja h(x) = cos(x) log(sen(x)). Sejam f (x) = cos(x) e g(x) = log(sen(x)). Ent˜ ao cos(x) P (cos(x) log(sen(x))) = sen(x) log(sen(x)) − P sen(x) sen(x) =

sen(x) log(sen(x)) − P (cos(x))

=

sen(x) log(sen(x)) − sen(x) + C.

EXEMPLO 4: Para calcular a primitiva de h(x) = cos(log(x)) consideremos f (x) = 1 e g(x) = cos(log(x)). Então P (cos(log(x))) = x cos(log(x)) + P sen(log(x)). Esta u ´ ltima primitiva calcula-se novamente por partes obtendo-se P (cos(log(x))) = x cos(log(x)) + x sen(log(x)) − P cos(log(x)), e, portanto, 2 P (cos(log(x))) = x cos(log(x)) + x sen(log(x)), ou seja, P (cos(log(x))) =

x (cos(log(x)) + sen(log(x))) + C. 2

EXEMPLO 5: Sejam h(x) = log3 (x), f (x) = 1 e g(x) = log3 (x). P (1. log3 (x)) = x log3 (x) − P (3 log2 (x)).

122

4. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: Primitiva¸ c˜ ao

Primitivando novamente por partes, e usando o resultado obtido anteriormente para P (log(x)), obtemos P (1. log3 (x))

x log3 (x) − 3 (x log2 (x) − P (2 log(x)))

=

x log3 (x) − 3x log2 (x) + 6x log(x) − 6x + C.

=

Teorema 4.2.2 (Primitiva¸ c˜ ao por substitui¸ c˜ ao) Sejam f uma fun¸ca õ primitiv´ avel num intervalo J e ϕ uma fun¸ca õ bijectiva e diferenci´ avel no intervalo I tal que ϕ(I) = J. Seja Φ(t) = P (f (ϕ(t))ϕ′ (t)). Ent˜ ao a fun¸ca õ F (x) = Φ(ϕ−1 (x)) é uma primitiva de f em J. Demonstra¸cão: Seja F uma primitiva de f . Como, por hipótese, x = ϕ(t) temos F (x) = F (ϕ(t)). Pela regra de deriva¸cão da fun¸cão composta (F (ϕ(t)))′ = F ′ (ϕ(t))ϕ′ (t) = f (ϕ(t))ϕ′ (t) = Φ′ (t), porque designámos por Φ(t) uma primitiva de f (ϕ(t))ϕ′ (t). Como F (ϕ(t)) e Φ(t) são ambas primitivas de f (ϕ(t))ϕ′ (t) sabemos que F (ϕ(t)) − Φ(t) = C,

C constante real,

ou ainda, F (ϕ(t)) = Φ(t) + C, o que implica que F (x) = Φ(ϕ−1 (x)) + C. √ x3 EXEMPLO 1: Seja f (x) = √ . Para calcular a primitiva de f fa¸camos x − 1 = t, isto é, x−1 ϕ(t) = 1 + t2 = x. P (f (ϕ(t)).ϕ′ (t)) = P Assim,

(1 + t2 )3 t5 t7 2t = 2 P (1 + t2 )3 = 2 P (1 + 3t2 + 3t4 + t6 ) = 2(t + t3 + 3 + ). t 5 7

√ √ 3 √ 1 √ x3 3 5 7 P√ x − 1 + ( x − 1) + ( x − 1) + ( x − 1) + C. =2 5 7 x−1

EXEMPLO 2: Consideremos f (x) = ϕ(t) = log(t).

ex

1 · Podemos calcular a sua primitiva fazendo ex = t, isto é, + e−x

P (f (ϕ(t)).ϕ′ (t)) = P

1 1 1 · =P = arc tg(t). −1 t+t t 1 + t2

Consequentemente, P f (x) = arc tg(ex ) + C. NOTA: Usamos, por vezes a nota¸cão P f (x) = {Pt f (ϕ(t))ϕ′ (t)} t=ϕ−1 (x) .

4.3 Primitiva¸ c˜ ao de fun¸ c˜ oes racionais

4.3

123

Primitiva¸c˜ ao de fun¸ c˜ oes racionais

Sejam P (x) = an xn + · · · + a1 x + a0 e Q(x) = bm xm + · · · + b1 x + b0 , n, m ∈ N0 , an 6= 0, bm 6= 0, dois polin´ omios com coeficientes aj , bj ∈ R; n e m os graus de P e Q, respectivamente. Defini¸ c˜ ao 4.3.1 Chama-se fun¸ ca õ racional toda a fun¸ca õ f : D ⊂ R → R que pode ser expressa na forma P (x) f (x) = Q(x) em que P e Q s˜ ao polin´ omios e D = {x ∈ R : Q(x) 6= 0}. Defini¸ c˜ ao 4.3.2 Dois polin´ omios P e Q dizem-se iguais, e escreve-se P = Q, se P (x) = Q(x), ∀x ∈ R. Verifica-se facilmente que, sendo P (x) = an xn + · · · + a1 x + a0 e Q(x) = bm xm + · · · + b1 x + b0 , se tem P (x) = Q(x), ∀x ∈ R ⇔ n = m ∧ an = bm , . . . , a1 = b1 , a0 = b0 . Dados dois polinómios P e Q, de graus n e m, respectivamente, n > m, existem polinómios M e R tais que P (x) = M (x) Q(x) + R(x) e grau de R < grau de Q. M diz-se o polinómio quociente e R o polinómio resto. Defini¸ c˜ ao 4.3.3 Um polin´ omio P de grau maior ou igual a 1 diz-se redut´ıvel se existem polin´ omios P1 e P2 tais que grau de Pi < grau de P (i = 1, 2) e P (x) = P1 (x)P2 (x). O polin´ omio P diz-se irredut´ıvel se n˜ ao for redut´ıvel. ´ poss´ıvel determinar quais são precisamente os polinómios irredut´ıveis. Considere-se, sem perda de E generalidade, os polin´ omios unit´ arios (com coeficiente an = 1): P (x) = xn + an−1 xn−1 + · · ·+ a1 x + a0 . • Todos os polinómios de grau 1, P (x) = x − a, são irredut´ıveis. • Um polinómio de grau 2, P (x) = x2 + bx + c é irredut´ıvel se, e só se, não tem ra´ızes reais, isto é, b2 − 4ac < 0. Assim os polinómios de grau 2 irredut´ıveis são precisamente os polinómios da forma P (x) = (x − α)2 + β 2 , α, β ∈ R, β 6= 0, associado às duas ra´ızes complexas conjugadas α ± iβ. • Os u ´ nicos polinómios irredut´ıveis são os considerados e mostra-se que todo o polinómio P (x) com grau maior ou igual a 1 é produto de polinómios irredut´ıveis: P (x) = (x − a1 )n1 · · · (x − ap )np [(x − α1 )2 + β12 ]m1 · · · [(x − αq )2 + βq2 ]mq em que ni , mj ∈ N representam o grau de multiplicidade do correspondente factor em P . P (x) Defini¸ c˜ ao 4.3.4 Uma fun¸ca õ racional f (x) = diz-se irredut´ıvel se P e Q n˜ ao tiverem ra´ızes Q(x) comuns. Dada uma fun¸cão racional irredut´ıvel, podemos ter dois casos: 1o O grau do polinómio P é maior ou igual ao grau do polinómio Q. 2o O grau do polinómio P é menor do que o grau do polinómio Q.

124

4. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: Primitiva¸ c˜ ao

No primeiro caso, fazendo a divisão dos polinómios obtemos P (x) = M (x) Q(x) + R(x), em que M e R são polinómios, sendo M o quociente e R o resto (que tem grau inferior ao grau de Q). Temos então P (x) R(x) = M (x) + Q(x) Q(x) o que implica que P (x) R(x) P = P (M (x)) + P · Q(x) Q(x) A primitiva de M é imediata por ser a primitiva de um polinómio. A segunda é a primitiva de uma fun¸cão racional, em que o grau do numerador é menor do que o do denominador. Conclu´ımos, assim, que basta estudar o caso das fun¸cões racionais irredut´ıveis em que o grau do numerador é menor do que o grau do denominador, isto é, ficamos reduzidos ao 2o caso atrás considerado. Os teoremas seguintes, que n˜ ao demonstraremos, permitem-nos decompor uma fun¸cão racional irredut´ıvel do 2o caso na soma de fun¸co˜es racionais cujas primitivas são “fáceis” de calcular (ou mesmo primitivas imediatas). A primitiva¸cão de fun¸cões racionais irredut´ıveis fica, pois, completamente resolvida. Comecemos por analisar os casos em que Q admite apenas ra´ızes reais. Temos o seguinte teorema: P (x) Teorema 4.3.1 Se é uma fun¸ca õ racional irredut´ıvel, se o grau de P é menor que o grau de Q e Q(x) se Q(x) = a0 (x − a1 )n1 (x − a2 )n2 . . . (x − ap )np ,

com a1 , a2 , . . . , ap n´ umeros reais distintos e n1 , n2 , . . . , np ∈ N, ent˜ ao a fun¸ca õ é decompon´ıvel numa soma da forma Bnp P (x) An1 A1 B1 = + ···+ + ···+ + ···+ n n p 1 Q(x) (x − a1 ) x − a1 (x − anp ) x − anp onde An1 , . . . , A1 , . . . , Bnp , . . . , B1 s˜ ao n´ umeros reais. NOTA: Nas condi¸cões do Teorema 4.3.1, qualquer das parcelas em que se decompõe a fun¸cão tem primitiva imediata: A A 1 P = · , se p 6= 1 (x − a)p 1 − p (x − a)p−1 A P = A log |x − a| x−a 1o caso: Q tem ra´ızes reais de multiplicidade 1, isto é, Q decompõe-se em factores do tipo x − a com A a ∈ R. A cada raiz a de Q associa-se uma parcela do tipo , com A constante a determinar. x−a 4x2 + x + 1 · x3 − x 3 Como o n´ umero de ra´ızes de um polinómio não ultrapassa o seu grau e x − x admite as ra´ızes x = 0, x = −1 e x = 1, podemos concluir que estas ra´ızes têm multiplicidade 1. Então EXEMPLO: Calculemos a primitiva da fun¸cão f definida por f (x) =

4x2 + x + 1 x3 − x

=

A B C + + x x−1 x+1

=

A(x2 − 1) + Bx(x + 1) + Cx(x − 1) x3 − x

=

(A + B + C)x2 + (B − C)x − A x3 − x

4.3 Primitiva¸ c˜ ao de fun¸ c˜ oes racionais

125

Pelo método dos coeficientes indeterminados       A+B+C = 4     ⇔ B−C = 1        −A  = 1

Assim: e

temos B+C

= 5

B−C

= 1

A

= −1

⇔

   B   C     A

= 3 = 2 = −1

4x2 + x + 1 −1 3 2 = + + x3 − x x x−1 x+1 2 4x + x + 1 −1 3 2 = P +P +P P x3 − x x x−1 x+1 =

=

− log |x| + 3 log |x − 1| + 2 log |x + 1| + C (x − 1)3 (x + 1)2 + C. log x

2o caso: Q tem ra´ızes reais de multiplicidade p, p > 1, isto é, Q admite x − a, com a ∈ R, como divisor p vezes. Na decomposi¸cão, a cada raiz a de Q de multiplicidade p vai corresponder uma soma de p parcelas com a seguinte forma: Ap Ap−1 A1 + + ···+ , (x − a)p (x − a)p−1 x−a com Ap , Ap−1 , . . . , A1 constantes a determinar. 2x3 + 5x2 + 6x + 2 · x(x + 1)3 Como x(x + 1)3 admite as ra´ızes x = 0, x = −1 e x + 1 aparece 3 vezes na factoriza¸cão do polin´ omio, podemos concluir que estas ra´ızes têm multiplicidade 1 e multiplicidade 3, respectivamente. Ent˜ ao EXEMPLO: Calculemos a primitiva da fun¸cão f definida por f (x) =

2x3 + 5x2 + 6x + 2 x(x + 1)3

=

A B C D + + + x (x + 1)3 (x + 1)2 x+1

=

A(x + 1)3 + Bx + Cx(x + 1) + Dx(x + 1)2 x(x + 1)3

=

(A + D)x3 + (3A + C + 2D)x2 + (3A + B + C + D)x + A x(x + 1)3

Pelo método dos coeficientes indeterminados temos    A+D = 2      3A + C + 2D = 5 Assim:

  3A + B + C + D      A

=

6

=

2

⇔

   D      C   B      A

=

0

=

−1

=

1

=

2

2x3 + 5x2 + 6x + 2 2 1 −1 = + + x(x + 1)3 x (x + 1)3 (x + 1)2

126

4. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: Primitiva¸ c˜ ao

e P

2x3 + 5x2 + 6x + 2 x(x + 1)3

2 1 1 +P − P x (x + 1)3 (x + 1)2

=

P

=

2 log |x| −

=

1 1 1 + +C 2 (x + 1)2 x+1

1 1 1 log x2 − + + C. 2 (x + 1)2 x+1

Vejamos agora os casos em que o polinómio Q admite ra´ızes complexas.

P (x) é uma fun¸ca õ racional irredut´ıvel, se o grau de P é menor que o grau de Q e Q(x) se α + iβ (α, β ∈ R) é uma raiz de Q, de multiplicidade r, ent˜ ao Teorema 4.3.2 Se

M r x + Nr M 1 x + N1 H(x) P (x) = + ···+ + ∗ Q(x) [(x − α)2 + β 2 ]r (x − α)2 + β 2 Q (x) onde H e Q∗ s˜ ao polin´ omios tais que o grau de H é menor que o grau de Q∗, Mr , Nr , . . . , M1 , N1 , s˜ ao n´ umeros reais e nem α + iβ nem α − iβ s˜ ao ra´ızes do polin´ omio Q∗ . 1o caso: Q tem ra´ızes complexas de multiplicidade 1, isto é, Q admite como divisores polinómios de grau 2, (uma u ´ nica vez cada polinómio), que não têm ra´ızes reais. Na decomposi¸cão, a cada par de ra´ızes (α + iβ, α − iβ) vai corresponder uma parcela com a seguinte forma: Ax + B (x − α)2 + β 2 com A e B constantes a determinar. x2 + 2 · (x − 1)(x2 + x + 1) Como √ 1 3 2 (x − 1)(x + x + 1) = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = − ± i 2 2 podemos concluir que estas ra´ızes têm multiplicidade 1. Então EXEMPLO: Calculemos a primitiva da fun¸cão f definida por f (x) =

x2 + 2 (x − 1)(x2 + x + 1)

=

A Bx + C + x − 1 (x + 21 )2 +

=

A(x2 + x + 1) + (Bx + C)(x − 1) (x − 1)(x2 + x + 1)

=

(A + B)x2 + (A − B + C)x + A − C (x − 1)(x2 + x + 1)

Pelo método dos coeficientes indeterminados    A+B =   A−B+C =     A−C =

3 4

temos 1 0 2

⇔

   A   B     C

=

1

=

0

=

−1

4.3 Primitiva¸ c˜ ao de fun¸ c˜ oes racionais

Assim:

127

x2 + 2 1 −1 = + (x − 1)(x2 + x + 1) x − 1 (x + 21 )2 +

e P

x2 + 2 (x − 1)(x2 + x + 1)

= P

1 x−1

+P

= log |x − 1| − P A primitiva P

1 (x + 12 )2 +

3 4

3 4

−1 (x + 12 )2 +

1 1 2 (x + 2 ) +

3 4

3 4

.

√ √ 3 3 1 1 calcula-se fazendo a substitui¸cão x + = t, isto é, ϕ(t) = t − · (No caso geral, sendo a + ib a 2 2 2 2 raiz, a substitui¸cão é x − a = bt). Então √ ! 3 2 1 2 1 √ · = √ P 2 = √ arc tg(t), P f (ϕ(t)).ϕ′ (t) = P 3 2 3 2 t + 1 3 3 ( t) + 2

portanto, P

1 (x + 12 )2 +

4

3 4

2 = √ arc tg 3

Finalmente, 2 P f (x) = log |x − 1| − √ arc tg 3

2 1 √ x+ √ 3 3

2 1 √ x+ √ 3 3

.

+ C.

omios 2o caso: Q tem ra´ızes complexas de multiplicidade p, p > 1, isto é, Q admite como divisores polin´ de grau 2 que não têm ra´ızes reais, aparecendo p vezes cada polinómio na factoriza¸cão de Q. Na decomposi¸cão, a cada par de ra´ızes (α + iβ, α − iβ) vai corresponder uma soma de parcelas com a seguinte forma: Ap x + Bp Ap−1 x + Bp−1 A1 x + B1 + + ···+ ((x − α)2 + β 2 )p ((x − α)2 + β 2 )p−1 (x − α)2 + β 2 com Ap , Ap−1 , . . . , A1 , Bp , Bp−1 , . . . , B1 constantes a determinar. EXEMPLO: Calculemos a primitiva da fun¸cão f definida por f (x) = Como

x4 − x3 + 6x2 − 4x + 7 · (x − 1)(x2 + 2)2

√ (x − 1)(x2 + 2)2 = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = ±i 2

e (x − 1)(x2 + 2)2 tem grau 5, podemos concluir que estas ra´ızes têm multiplicidade 1 e multiplicidade 2, respectivamente. Então x4 − x3 + 6x2 − 4x + 7 A Bx + C Dx + E = + + 2 (x − 1)(x2 + 2)2 x − 1 (x2 + 2)2 x +2 =

A(x2 + 2)2 + (Bx + C)(x − 1) + (Dx + E)(x − 1)(x2 + 2) (x − 1)(x2 + 2)2

128

4. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: Primitiva¸ c˜ ao

Pelo método dos coeficientes indeterminados temos  A =      B = C =    D =   E =

Assim:

1 1 −1 0 −1

x4 − x3 + 6x2 − 4x + 7 1 x−1 −1 = + + 2 (x − 1)(x2 + 2)2 x − 1 (x2 + 2)2 x +2

e P

x4 − x3 + 6x2 − 4x + 7 (x − 1)(x2 + 2)2

log |x − 1| + P

=

log |x − 1| + P

x−1 (x2 + 2)2

=

log |x − 1| + P

x−1 (x2 + 2)2

=

x−1 (x2 + 2)2

=P

−P

1 x−1 1 2

1+

x2 2

+P

x−1 (x2 + 2)2

+P

−1 2 x +2

!





√1 2

1   −√ P  2  2 1 + √x2 1 − √ arc tg 2

x √ 2

.

A primitiva

! x−1 P =P √ 2 (x2 + 2 )2 √ √ calcula-se fazendo a substitui¸caõ x = 2 t, isto é, ϕ(t) = 2 t. Então

′

P f (ϕ(t)).ϕ (t) = P

=

√ 2 P 4

=

√ 2 4

x−1 (x2 + 2)2

! √ √ 2t−1 √ 2 · 2 = P 2 2 (2t + 2) 4

! √ √ 2t 1 2 − 2 = (t2 + 1)2 (t + 1)2 4

! √ 2t−1 (t2 + 1)2

! √ 2t 1 P 2 −P 2 (t + 1)2 (t + 1)2

! √ √ 2 1 2 2 −2 P 2t(t + 1) − P 2 = 2 2 (t + 1) 4

! √ 2 2 1 + t2 − t2 −1 − (t + 1) − P 2 (t2 + 1)2

√ √ 1 1 2 1 + t2 t2 1 1 2 1 t 2t = − 2 − P 2 − P = − − P − P 4t +1 4 (t + 1)2 (t2 + 1)2 4 t2 + 1 4 t2 + 1 2 (t2 + 1)2 = −

√ 1 1 2 1 t 1 1 − arc tg(t) − − + P 4 t2 + 1 4 t2 + 1 2 2 t2 + 1

√ √ √ √ √ 1 1 2 2 t 2 2t + 2 2 = − 2 − arc tg(t) − + arc tg(t) = − 2 − arc tg(t), 4t +1 4 4 2(t2 + 1) 8 8(t + 1) 8

4.3 Primitiva¸ c˜ ao de fun¸ c˜ oes racionais

portanto, P Finalmente,

x−1 (x2 + 2)2

129

√ 2 x+2 x √ =− − arc tg . 4(x2 + 2) 8 2

√ 5 2 x x+2 arc tg √ + C. P f (x) = log |x − 1| − − 2 + 2) 8 4(x 2

P (x) admite uma decomposi¸cão da forma que aparece neste teorema, a sua primitiva pode Q(x) ser calculada recorrendo a primitivas de fun¸cões da forma

NOTA: Se

Ax + B (x − α)2 + β 2

Cx + D , p > 1. [(x − α)2 + β 2 ]p

e

Temos no primeiro caso, usando a substitui¸cão x − α = βt, Ax + B A(α + βt) + B P = P · β t (x − α)2 + β 2 β 2 t2 + β 2 t= x−α β

Pt

A (α + βt) + B ·β β 2 t2 + β 2

=P

A α + B + A βt β(t2 + 1)

=P

Aα+B A βt +P 2 β(t + 1) β(t2 + 1)

=

1 t Aα+B P 2 +AP 2 β t +1 t +1

=

Aα+B A arctg(t) + log(t2 + 1) β 2

Portanto, Ax + B Aα+B P = arctg (x − α)2 + β 2 β

x−α β

A + log 2

"

x−α β

2

#

+ 1 + C.

No segundo caso, usando a mesma substitui¸cão, Cx + D C(α + βt) + D P = P · β . t [(x − α)2 + β 2 ]p (β 2 t2 + β 2 )p t= x−α β

Pt

C (α + βt) + D ·β (β 2 t2 + β 2 )p

=P

=P

Resta-nos calcular P

1 · (t2 + 1)p

C α + D + C βt β 2p−1 (t2 + 1)p C α+D C βt + P 2p−1 2 p + 1) β (t + 1)p

β 2p−1 (t2

=

1 C t C α+D P 2 + 2p−2 P 2 β 2p−1 (t + 1)p β (t + 1)p

=

C α+D 1 C 1 1 P 2 − 2p−2 · · β 2p−1 (t + 1)p 2β p − 1 (t2 + 1)p−1

130

4. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: Primitiva¸ c˜ ao

Mas (t2

1 1 + t2 − t2 1 t2 = = 2 − 2 p 2 p p−1 + 1) (t + 1) (t + 1) (t + 1)p

o que implica que P

(t2

1 + 1)p

=P

(t2

1 t2 −P 2 p−1 + 1) (t + 1)p

=P

1 t 2t −P · 2 (t2 + 1)p−1 2 (t + 1)p

=P

1 t 1 + −P (t2 + 1)p−1 2(p − 1)(t2 + 1)p−1 2(p − 1)(t2 + 1)p−1

=

t 2p − 3 1 + P 2 , 2 p−1 2(p − 1)(t + 1) 2p − 2 (t + 1)p−1

1 1 ficou apenas dependente do cálculo da primitiva de 2 , (t2 + 1)p (t + 1)p−1 1 que por sua vez pode, de modo análogo, fazer-se depender do cálculo da primitiva de 2 , e assim (t + 1)p−2 1 sucessivamente até chegarmos à primitiva de que é imediata. 1 + t2

isto é, o cálculo da primitiva de

P (x) é uma fun¸ca õ racional irredut´ıvel, se o grau de P é menor que o grau de Q e Teorema 4.3.3 Se Q(x) se Q(x) = a0 (x − a)p · · · (x − b)q [(x − α)2 + β 2 ]r · · · [(x − γ)2 + δ 2 ]s ent˜ ao a fun¸ca õ é decompon´ıvel numa soma da forma P (x) Ap A1 Bq B1 = + ···+ + ···+ + ···+ + p q Q(x) (x − a) x−a (x − b) x−b +

M r x + Nr M 1 x + N1 + ···+ + ···+ [(x − α)2 + β 2 ]r (x − α)2 + β 2 +

Vs x + Zs V1 x + Z1 + ···+ 2 2 s [(x − γ) + δ ] (x − γ)2 + δ 2

onde Ap , . . . , A1 , Bq , . . . , B1 , Mr , Nr , . . . , M1 , N1 , Vs , Zs , . . . , V1 , Z1 s˜ ao n´ umeros reais.

4.4 Primitiva¸ c˜ ao de fun¸ c˜ oes alg´ ebricas irracionais

4.4

131

Primitiva¸c˜ ao de fun¸ c˜ oes alg´ ebricas irracionais

Vejamos agora alguns tipos de fun¸cões cuja primitiva¸cão pode reduzir-se à primitiva¸cão de fun¸co˜es racionais com uma substitui¸cão adequada. Introduza-se em primeiro lugar a no¸cão de polinómio e fun¸caõ racional em várias variáveis. Defini¸ c˜ ao 4.4.1 Designa-se por polin´ omio em duas vari´ aveis , x e y, com coeficientes reais, a aplica¸ca õ P : R × R → R, dada por P (x, y) = amn xm y n + · · · + a11 xy + a10 x + a01 y + a00 , com m, n ∈ N0 , aij ∈ R. Define-se o grau de P como o maior inteiro i + j tal que aij 6= 0. Mais geralmente define-se, de modo an´ alogo, polin´ omio em p vari´ aveis u1 , . . . , up , como a aplica¸ca õ P : R × · · · × R → R, dada por | {z } p vezes P (u1 , . . . , up ) =

X

ai1 ...ip ui11 . . . uipp ,

i1 ,...,ip

i1 , . . . , ip ∈ N0 , ai1 ...ip ∈ R e

X

uma soma finita em i1 , . . . , ip .

i1 ,...,ip

Defini¸ c˜ ao 4.4.2 Se P (u1 , . . . , up ) e Q(u1 , . . . , up ) s˜ ao dois polin´ omios em p vari´ aveis, chama-se fun¸ ca õ racional em p vari´ aveis a uma aplica¸ca õ da forma R(u1 , . . . , up ) =

P (u1 , . . . , up ) Q(u1 , . . . , up )

definida nos elementos (u1 , . . . , up ) ∈ R × · · · × R tais que Q(u1 , . . . , up ) 6= 0. | {z } p vezes

Analisemos então algumas classes de fun¸cões suscept´ıveis de serem racionalizadas por convenientes mudan¸cas de variável. No que se segue R designa uma fun¸cão racional dos seus argumentos.

Expressão m

p

Substitui¸cão r

f (x) = R(x n , x q , . . . , x s )

x = tµ µ = m.m.c.{n, q, . . . , s}

m p r a x+b n a x+b q a x+b s f (x) = R x, c x+d , c x+d , . . . , c x+d

µ = m.m.c.{n, q, . . . , s}

f (x) = xα (a + b xβ )γ

xβ = t

a x+b c x+d

= tµ

1 1 √ EXEMPLO 1: Consideremos a fun¸cão f (x) = √ = 1 cão a usar é x = ϕ(t) = 1 · A substitui¸ 3 x+ x x2 + x3 t6 e a primitiva a calcular é 1 6t5 t3 1 ′ 5 2 P f (ϕ(t))ϕ (t) = P 3 · 6t = P 2 =6P =6 P t −t+1− t + t2 t (t + 1) t+1 t+1

132

4. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: Primitiva¸ c˜ ao

=6

t3 t2 − + t − log |t + 1| = 2t3 − 3t2 + 6t − 6 log |t + 1| 3 2

tendo-se assim √ √ √ √ 1 √ P√ = 3 x − 3 3 x + 6 6 x − 6 log( 6 x + 1) + C. 3 x+ x

EXEMPLO 2: Seja f (x) =

√

2x + 3 √ · A substitui¸cão 2x + 3 = t4 permite resolver o problema. Temos 1 − 4 2x + 3

t2 t5 P f (ϕ(t))ϕ (t) = P · 2t3 = −2 P = −2P 1−t t−1 ′

= −2

1 t +t +t +t+1+ t−1 4

3

2

t5 t4 t3 t2 + + + + t + log |t − 1| 5 4 3 2

e

P f (x) =

√ √ √ √ ( 4 2x + 3)5 ( 4 2x + 3)4 ( 4 2x + 3)3 ( 4 2x + 3)2 √ −2 + + + + 4 2x + 3 5 4 3 2 √ + log( 4 2x + 3) + C

EXEMPLO 3: Seja f (x) = x

p√ 2 3 x2 + 2. Fa¸camos a substitui¸cão x 3 = t. Obtemos: 3

1

P f (ϕ(t))ϕ′ (t) = P t 2 (2 + t) 2

√ 3 1 3 t 2 = P t2 2 + t 2 2

que, como vimos anteriormente (exemplo 2), se resolve fazendo a substitui¸cão 2 + t = z 2 , isto é, √ 3 P t2 2 + t 2

3 Pz (z 2 − 2)2 · z · 2z z=√2+t 2 3 = Pz 2(z 6 − 4z 4 + 4z 2 ) z=√2+t 2 7 z z5 z3 −4 +4 = 3 7 5 3 z=√2+t =

= tendo-se finalmente Px

√ 7 12 √ 5 3 3 √ 2+t − 2+t +4 2+t 7 5

q√ q 7 q 5 q 3 3 12 2 2 2 3 x2 + 2 = x3 + 2 − x3 + 2 +4 x3 + 2 + C. 7 5

4.4 Primitiva¸ c˜ ao de fun¸ c˜ oes alg´ ebricas irracionais

133

Express˜ ao

Substitui¸cão √ √ a x2 + b x + c = a x + t se a > 0 √ √ a x2 + b x + c = t x + c

√ f (x) = R(x, a x2 + b x + c)

se c > 0 √ a x2 + b x + c = t (x − α) √ ou a x2 + b x + c = t (x − β) se α e β são zeros reais distintos de a x2 + b x + c

1 . Como a = 3 podemos usar a substitui¸caõ EXEMPLO 1: Consideremos a fun¸cão f (x) = √ 2 x 3x − x + 1 √ √ 3x2 − x + 1 = 3 x + t, tendo-se: √ 3x2 − x√+ 1 = 3x2 + 2 3xt + t2 −x − 2 3xt = t2 − 1 1 − t2 √ = ϕ(t) x= 1 + 2 3t √ √ −2 3t2 − 2t − 2 3 ′ √ o que implica ϕ (t) = · (2 3t + 1)2 A primitiva a calcular é √ √ −2 3t2 − 2t − 2 3 · √ (2 3t + 1)2

1

P

√ 1 − t2 1 − t2 √ √ +t 3· 1 + 2 3t √ 1+2 √ 3t 2 −2 3t − 2t − 2 3 √ = P√ 3(1 − t2 )2 + t(1 − t2 )(2 3t + 1 √ √ −2( 3t2 + t + 3) √ √ = P √ ( 3 − 3t2 + 2 3t2 + t)(1 − t2 )

1 + 2 1−t 1+t 1 − t = log |1 − t| − log |1 + t| = log 1 + t

= −2P

o que implica que

1 = −2P 1 − t2

1 2

1 − √3x2 − x + 1 + √3x 1 √ √ + C. P √ = log 1 + 3x2 − x + 1 − 3x x 3x2 − x + 1

1 √ · Tendo em conta que −x2 + 4x − 3 = 2 x√ −x + 4x − 3 0 ⇔ x = 1 ∨ x = 3 podemos usar a substitui¸cão −x2 + 4x − 3 = t(x − 3).

EXEMPLO 2: Primitivemos a fun¸cão f (x) =

134

4. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: Primitiva¸ c˜ ao

√

−x2 + 4x − 3 = t(x − 3)

p −(x − 3)(x − 1) = t(x − 3) −(x − 3)(x − 1) = t2 (x − 3)2

−(x − 1) = t2 (x − 3) x=

3t2 + 1 = ϕ(t) t2 + 1

4t · + 1)2 A primitiva a calcular é

o que implica ϕ′ (t) =

(t2

1 4t 2 · 2 (t + 1)2 3t + 1 3t + 1 ·t −3 2 2 t +1 t +1 4 = P 2 2 (3t + 1)(3t + 1 − 3t2 − 3) √ 2 −2 = P 2 = − √ arc tg( 3t) 3t + 1 3 P

2

o que implica que √ 1 2 P √ = − √ arc tg( 3 · x −x2 + 4x − 3 3

Expressão √ a2 − x2 √ x2 − a2 √ x2 + a2

√ −x2 + 4x − 3 ) + C. x−3

Substitui¸cão x = a cos(t) ou x = a sen(t) x = a sec(t) ou x = a cosec(t) x = a tg(t) ou x = a cotg(t)

√ 9 − x2 EXEMPLO 1: Seja f (x) = · Fa¸camos a substitui¸cão x = 3 sen(t) = ϕ(t). Temos ϕ′ (t) = 3 cos(t) x2 e p p 9 − 9 sen2 (t) 1 − sen2 (t) ′ P f (ϕ(t))ϕ (t) = P · 3 cos(t) = P · cos(t) 9 sen2 (t) sen2 (t) cos2 (t) = P = P cotg2 (t) = P (cosec2 (t) − 1) sen2 (t) =

−cotg(t) − t

e, assim, P

√ √ 9 − x2 x x 9 − x2 x = −cotg(arc sen( )) − arc sen( ) + C = − − arc sen( ) + C 2 x 3 3 x 3

4.4 Primitiva¸ c˜ ao de fun¸ c˜ oes alg´ ebricas irracionais

EXEMPLO 2: Consideremos a fun¸cão f (x) = ϕ′ (t) = 4 sec(t) tg(t) e

x3

135

1 √ e a substitui¸cão x = 4 sec(t) = ϕ(t). Temos x2 − 16

1 · 4 sec(t) tg(t) 16 sec2 (t) − 16 tg(t) tg(t) p P =P 3 2 3 2 2 4 sec (t) tg(t) 4 sec (t) sec (t) − 1 1 1 1 P = 3 P cos2 (t) 43 sec2 (t) 4 1 t sen(2 t) + 43 2 4

P f (ϕ(t))ϕ′ (t) =

P

= = = e, assim,

1 1 √ P = 3 3 2 4 x x − 16

p

43 sec3 (t)

sen(2 arc sec( x4 )) 1 x arc sec( ) + 2 4 4

EXEMPLO 3: Para calcular as primitivas de f (x) = 2 tg(t) = ϕ(t). Temos ϕ′ (t) = 2 sec2 (t) e P f (ϕ(t))ϕ′ (t) = = = =

x2

+C

1 √ podemos fazer a substitui¸caõ x = x2 + 4

1 p · 2 sec2 (t) 4 tg (t) 4 tg2 (t) + 4 sec2 (t) sec2 (t) p P = P 4 tg2 (t) sec(t) 4 tg2 (t) tg2 (t) + 1 1 sec(t) 1 P = P cotg(t) cosec(t) 4 tg2 (t) 4 1 − cosec(t) 4

P

2

e, assim, 1 1 x 1 √ P = − cosec(arc tg( )) + C = − 4 2 4 x2 x2 + 4

√

x2 + 4 +C x

136

4.5

4. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: Primitiva¸ c˜ ao

Primitiva¸c˜ ao de fun¸c˜ oes transcendentes

A substitui¸cão tg

x 2

Expressão

Substitui¸cão

f (x) = R(sen(x), cos(x))

tg( x2 ) = t

f (x) = R(sen(x), cos(x)) R(−y, −z) = R(y, z), ∀y, z

tg(x) = t

f (x) = R(ex )

ex = t

= t conduz a uma fun¸cão racional de t. De facto, de

sen(x)

x

=

2 sen

=

tg x2 2 1 + tg2

2

. cos

x 2

e cos(x)

= cos

2

= conclui-se, tendo em conta que tg

x 2

=

x

2 1 − tg2 1 + tg2

x 2

=2q

tg

x 2

1 + tg2

2t 1 + t2

2

x

− sen 2 x 1 − t2 2 = x 1 + t2 2

1 = 1 + tg2

1 ·q x 1 + tg2 2

Pt R

2t 1 − t2 , 2 1 + t 1 + t2

.

tg2 x2 x − 1 + tg2 x2 2

= t ⇒ x = 2 arc tg(t) = ϕ(t) ⇒ ϕ′ (t) =

P f (x) =

x 2

2 1 + t2

2 , 1 + t2

tg( x 2 )=t

A substitui¸cão indicada serve no caso geral, mas em certos casos particulares são prefer´ıveis outras substitui¸cões. Assim, por exemplo, se R(sen(x), cos(x)) é fun¸cão par em sen(x) e cos(x) (isto é, se n˜ ao se altera ao mudarmos simultaneamente sen(x) para −sen(x) e cos(x) para − cos(x)), pode fazer-se a substitui¸cão tg(x) = t, ou seja, ϕ(t) = arc tg(t) e t sen(x) = √ 1 + t2 EXEMPLO 1: Calculemos as primitivas de f (x) =

=

1 cos(x) = √ · 1 + t2

x 1 · A substitui¸cão indicada é tg = t: 2 cos(x) + 1 2

1 2 2 · =P 1 + t2 3 − t2 1 − t2 2 +1 1 +t2 1 1 1 √ P √ +√ 3 3−t 3+t √ 3 + t √ √ 1 1 √ (− log | 3 − t| + log | 3 + t|) = √ log √ 3 − t 3 3

P

=

e

4.5 Primitiva¸ c˜ ao de fun¸ c˜ oes transcendentes

137

o que implica que

√ 3 + tg x 1 1 2 + C. x = √ log √ P 2 cos(x) + 1 3 3 − tg 2 1 EXEMPLO 2: Para calcular as primitivas de f (x) = fazemos a substitui¸cão tg(x) = t cos2 (x) − sen2 (x) e obtemos 1 1 1 · =P P 1 + t2 1 − t2 1 t2 − 2 1+ 1 + t2 t 1 1 1 P + = 2 1−t 1+t 1 + t 1 1 (− log |1 − t| + log |1 + t|) = log = 2 2 1 − t e, portanto, 1 + tg(x) 1 1 +C P = log cos2 (x) − sen2 (x) 2 1 − tg(x)

1 usa-se a substitui¸cão ex = t: +1 t 1 1 −1 1 P · =P + P = − log |1 + t| + log |t| = log t+1 t 1+t t 1 + t e x 1 e P x = log x + C. e +1 e +1 As fun¸cões do tipo f (x) = sen(ax)sen(bx), com a e b constantes, |a| = 6 |b|, podem primitivar-se tendo em conta que 1 sen(ax).sen(bx) = [cos(a − b)x − cos(a + b)x] 2 e conclui-se que sen(a − b)x sen(a + b)x P sen(ax).sen(bx) = − +C 2(a − b) 2(a + b) De modo análogo, sen(a − b)x sen(a + b)x P cos(ax). cos(bx) = + +C 2(a − b) 2(a + b) Se pretendermos primitivar um produto de vários factores sen(am x) e cos(bn x) podemos come¸car por substituir por uma soma o produto de dois dos factores; depois substituem-se por somas os novos produtos obtidos por associa¸cão de novos pares de factores; e assim sucessivamente até esgotar todos os factores. EXEMPLO 3: Para primitivar a fun¸cão f (x) =

ex

EXEMPLO: P sen(3x) cos(5x)sen(6x) 1 (sen(8x) + sen(−2x)) sen(6x) 2 1 1 1 1 P (cos(2x) − cos(14x)) − P (cos(−4x) − cos(8x)) 2 2 2 2 1 1 1 1 P cos(2x) − P cos(14x) − P cos(4x) + P cos(8x) 4 4 4 4 sen(14x) sen(4x) sen(8x) 1 − + +C 8 sen(2x) − 7 2 4

= P = = =

138

4. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: Primitiva¸ c˜ ao

As fun¸cões do tipo f (x) = p(x)eax , onde p é um polinómio de grau n em x e a é uma constante, primitivam-se por partes: 1 1 P p(x)eax = eax p(x) − P eax p′ (x). a a A primitiva que aparece no segundo membro é ainda do mesmo tipo, mas mais simples, pois o grau de p′ (x) é inferior em uma unidade ao grau de p(x). Aplicando novamente o mesmo processo até chegar a um polinómio de grau zero, obtém-se (n) eax p′ (x) p′′ (x) (x) np P f (x) = p(x) − + + · · · + (−1) + C. a a a2 an EXEMPLO: Primitivemos a fun¸cão f (x) = (x2 + 2x + 1)e3x . 1 1 P (x2 + 2x + 1)e3x = (x2 + 2x + 1)e3x − P (2x + 2)e3x 3 3 1 1 1 = (x2 + 2x + 1)e3x − (2x + 2)e3x + P 2e3x 3 3 3 1 2 1 3x = e (x2 + 2x + 1) − (2x + 2) + + C. 3 3 9 As primitivas que obtivemos foram sempre fun¸cões elementares, isto é, fun¸cões algébricas, a fun¸caõ exponencial, as fun¸cões trigonométricas e as trigonométricas inversas e, de um modo geral, as fun¸cões que se possam obter por composi¸cão destas em n´ umero finito. Por outras palavras, aprendemos a calcular primitivas de fun¸cões elementarmente primitiváveis. Nem todas as fun¸cões estão nesta situa¸cão. No entanto, Teorema 4.5.4 Toda a fun¸ca õ cont´ınua num intervalo [a, b] é primitiv´ avel nesse intervalo.

4.6 Exerc´ıcios Propostos

4.6 4.6.1

139

Exerc´ıcios Propostos Primitiva¸c˜ ao

1. Determine as primitivas das fun¸c˜ oes definidas pelas expressões anal´ıticas seguintes: √ (a) 2x 3 x2 + 3; (b) 5x4 + 2x2 + 3; (c) ax5 , a constante não nula; ex (d) √ ; 1 − e2x (e) cos(6x); 2 ; (f) 3x (g) sen(2x − 3); 3x (h) ; 5 + x2 √ (i) x x2 + 9 ; 2x

(j) cos x − 5e ; x (k) + cos(2x); 2 2x + 5

1 (l) √ ; 1 − 5x2 3 5 2 (m) − 2 + + √ ; 2x x x (n) sen(x) cos2 (x); (o)

sen(x) 1 + ; 1 + 2 cos(x) sen2 (x)

(p) (cos2 (x) + 2 cos(x)) sen(x); kx (q) , k 6= 0, ab 6= 0; a + bx2 (r) asen3 (x) + x, a 6= 0; log |x| ; x 1 (t) . x log x

(s)

2. Primitive, por partes, as fun¸cões definidas pelas expressões anal´ıticas seguintes : (a) arc tg(x);

(d) (x2 + x + 1) ex ;

(b) x cos(x); x (c) ; cos2 (x)

(e) (x2 + 1) cos(x); (f)

log |x| . x2

3. Primitive, por substitui¸cão, usando em cada caso a substitui¸cão indicada, as fun¸cões definidas por : x3 (a) √ x−1 x2 (b) √ 4 − x2 r 1 x+2 (c) x+4 x+4 1 (d) x e + e−x 1 (e) sen(x) + cos(x)

√ ( x − 1 = t); (x = 2 sen(t)); r

x+2 =t ; x+4

(ex = t); x (tg = t). 2

4. Determine as primitivas das fun¸co˜es racionais definidas pelas expressões anal´ıticas seguintes : x5 ; 2x + 1 x2 + 1 (b) ; 12 + 3x2 (a)

(c) (d)

3x2 x2

x+2 ; − 12x + 12

1 ; −9

140

4. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: Primitiva¸ c˜ ao

(e)

2x ; (x + 2)(x − 3)

3x ; −x2 + x + 6 t+1 (i) 4 ; t + t2 2x3 . (j) (x2 + 1)2

(h)

x3 + x2 + x + 3 ; x4 + 2x2 − 3 x4 (g) ; 3 2 2x − 4x + 8x − 16 (f)

5. Determine a primitiva da fun¸cão x → x2 ex que toma o valor 1 para x = 0. 6. Determine a primitiva da fun¸cão x →

9x2

3 5π que toma o valor para x = 0. + 6x + 2 4 3

7. Determine a primitiva da fun¸cão x → (cos(x)) 5 sen3 (x) + x2 ex que toma o valor 7 para x = 0. 8 , f ′ (1) = −1 e lim f (x) = 1. x→+∞ (x + 1)3 1 9. (a) Mostre que, com a substitui¸cão log x = t , o cálculo de P R(log x) , onde R designa uma x fun¸cão racional do seu argumento, pode fazer-se depender do cálculo da primitiva de uma fun¸cão racional em t. 4 (b) Primitive f (x) = . 3 x[(log x) − 3 log x − 2]

8. Determine a fun¸cão f tal que f ”(x) =

10. Sendo g(x) = cosn (x)R(sen(x)), com n ´ımpar, onde R designa uma fun¸cão racional do seu argumento , mostre que a substitui¸cão sen(x) = t permite primitivar g através da primitiva de uma fun¸cão racional. 11. Primitive as fun¸cões definidas pelas expressões anal´ıticas seguintes : (a) x sen(2x − 1); (b) x arc tg(x); x (c) √ ; 1+x t+1 (d) √ ; 2 t + 2t + 3 (e) (x + 1)ex ; 3x + tg(9x); (f) √ x2 + 5 x3 + 1 (g) ; 5x2 − 10x + 50 2 (h) √ ; 9 − x2 ex + e−x (i) 2x ; e − 2ex + 1 1 (j) √ ; 2 x x + 4x − 4 (k) arc tg(5x); 1 (l) √ ; 2 + x − x2 1 √ (m) √ ; x+1+ 4x+1

(n) cos4 (ax) , a 6= 0; p (o) x5 3 (1 + x3 )2 ; 1 (p) ; 5 + 4 cos(x) √ x − x3 ex + x2 (q) ; x3 (r) (log x + 1)2 ; sen(x) (s) ; cos(x)(1 + cos2 (x)) 3x + 5 (t) ; 3 2x − 2x2 − 2x + 2 x3 (x + 3) (u) ; 3x3 + 9x2 − 12 (v) (x + 1)3 e2x ; x3 − 3x − 4 (w) ; −4x + 2x2 − 16 2x + 1 (x) √ ; 3x + 2 2t − 1 (y) 4 ; t − 2t3 + 2t2 − 2t + 1 tg(x) (z) . 1 + cos(x)

4.6 Exerc´ıcios Propostos

141

12. Mostre por primitiva¸cão que: (a) P [(sen(x))n−1 sen((n + 1)x)] = (b) P [(cos x)m cos(nx)] =

1 (sen(x))n sen(nx); n

1 [cosm (x)sen(nx) + mP [cosm−1 (x) cos((n − 1)x)]]. m+n

13. Estabele¸ca a seguinte fórmula de recorrência : P (tg(x))n =

(tg(x))n−1 − P (tg(x))n−2 , n−1

n ≥ 2.

xn 14. Seja fn (x) = √ . Mostre que : a + bx P fn (x) =

√ 2xn a + bx 2na − P fn−1 (x). (2n + 1)b (2n + 1)b

142

4. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: Primitiva¸ c˜ ao

Cap´ıtulo 5

Fun¸c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral 5.1

Integral de Riemann: Defini¸ c˜ ao e propriedades

Defini¸ c˜ ao 5.1.1 Sejam a, b ∈ R, a < b. Dados n + 2 pontos a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn < xn+1 = b, ao conjunto dos subintervalos da forma [xi , xi+1 ], i = 0, 1, . . . , n, chama-se parti¸ ca õ de [a, b]. NOTAS: 1. A parti¸cão é um conjunto de subconjuntos, mais precisamente: P = {[xi , xi+1 ] : i ∈ N0 , 0 ≤ i ≤ n}.

O nome parti¸cão resulta de ∪ni=0 [xi , xi+1 ] = [a, b] e do facto de dados dois quaisquer elementos de P a sua interseçcão ou é vazia ou se reduz a um ponto.

2. A parti¸cão P fica bem definida pelo conjunto P = {a = x0 , x1 , x2 , . . . , xn−1 , xn , xn+1 = b} pelo que ´ claro que, pelo modo como definimos a podemos identificar a parti¸cão P com o conjunto P . E parti¸cão, consideramos o conjunto P ordenado, isto é, xi < xi+1 , i = 0, 1, . . . , n. Defini¸ c˜ ao 5.1.2 Sejam a, b ∈ R, a < b. Dadas duas parti¸co ˜es P1 e P2 , diz-se que P1 é mais fina que P2 se todos os elementos de P1 est˜ ao contidos em elementos de P2 . NOTA: Tendo em conta a Nota 2, a seguir à defini¸cão anterior, se P1 e P2 forem os conjuntos de pontos que definem P1 e P2 , respectivamente, a Defini¸cão 5.1.2 poderia ser enunciada do seguinte modo: P1 é mais fina que P2 se P2 ⊂ P1 . Proposi¸ c˜ ao 1 Sejam a, b ∈ R, a < b. Dadas duas parti¸co ˜es de [a, b], P1 e P2 , existe uma parti¸ca õ de [a, b], P3 , mais fina que P1 e P2 . Demonstra¸cão: Tendo em conta a Nota 2 a seguir à Defini¸cão 5.1.1 e a nota a seguir à Defini¸caõ 5.1.2, se P1 e P2 são os conjuntos de pontos que definem P1 e P2 , basta tomar a parti¸cão P3 definida por P3 = P1 ∪ P2 . Defini¸ c˜ ao 5.1.3 Sejam a, b ∈ R, a < b, f : [a, b] → R uma fun¸ca õ limitada e P uma parti¸ca õ de [a, b]. Chama-se soma inferior de Darboux de f , relativa a ` parti¸ca õ P a sP (f ) =

n X i=0

(xi+1 − xi )

inf

x∈[xi ,xi+1 ]

f (x).

144

5. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

Chama-se soma superior de Darboux de f , relativa a ` parti¸ca õ P a SP (f ) =

n X i=0

(xi+1 − xi )

sup

f (x).

x∈[xi ,xi+1 ]

NOTAS: 1. As somas superior e inferior estão bem definidas. Como f é limitada em [a, b], f é limitada em [xi , xi+1 ], isto é, o conjunto {f (x) : x ∈ [xi , xi+1 ]} é limitado e, portanto, tem ´ınfimo e supremo. ´ óbvio que sP (f ) ≤ SP (f ). Veremos que esta propriedade se pode generalizar: para uma fun¸caõ 2. E limitada em [a, b], qualquer soma superior é maior ou igual a qualquer soma inferior. 3. Se f é uma fun¸cão não negativa em [a, b], dada uma parti¸cão P, a soma inferior de Darboux é igual à soma das áreas dos rectângulos cujos lados têm comprimento xi+1 − xi e inf f (x) (ver x∈[xi ,xi+1 ]

Figura 5.1).

Figura 5.1: Soma inferior de Darboux.

Analogamente, a soma superior de Darboux é igual à soma das áreas dos rectângulos cujos lados têm comprimento xi+1 − xi e sup f (x) (ver Figura 5.2). x∈[xi ,xi+1 ]

Proposi¸ c˜ ao 2 Sejam a, b ∈ R, a < b, f : [a, b] → R uma fun¸ca õ limitada, P1 e P2 duas parti¸co ˜es de [a, b], P1 mais fina que P2 . Ent˜ ao: sP2 (f ) ≤ sP1 (f ) ≤ SP1 (f ) ≤ SP2 (f ). Demonstra¸cão: Da Defini¸cão 5.1.2, para cada [xi , xi+1 ] ∈ P2 , existem [yj , yj+1 ] ∈ P1 , j = ki , . . . , pi , tais i que ∪pj=k [yj , yj+1 ] = [xi , xi+1 ]. Então i inf

x∈[xi ,xi+1 ]

pelo que

pi X

j=ki

=

(yj+1 − yj ) inf

x∈[xi ,xi+1 ]

f (x) ≤

inf

pi X

j=ki

f (x), j = ki , . . . , pi ,

pi X

(yj+1 − yj )

x∈[xi ,xi+1 ]

(yj+1 − yj ) = (xi+1 − xi )

x∈[xi ,xi+1 ]

x∈[yj ,yj+1 ]

f (x)

inf

x∈[yj ,yj+1 ]

f (x) ≥

j=ki

inf

f (x) =

inf

f (x).

5.1 Integral de Riemann: Defini¸ c˜ ao e propriedades

145

Figura 5.2: Soma superior de Darboux.

Somando estas expressões (de i = 0 a i = n) obtém-se sP2 (f ) ≤ sP1 (f ). Analogamente se obtinha SP1 (f ) ≤ SP2 (f ). A proposi¸cão fica demonstrada tendo em conta que sP1 (f ) ≤ SP1 (f ) (ver Nota 2 a seguir à Defini¸cão 5.1.3). Proposi¸ c˜ ao 3 Sejam a, b ∈ R, a < b, f : [a, b] → R uma fun¸ca õ limitada, P1 e P2 duas parti¸co ˜es de [a, b]. Ent˜ ao: sP1 (f ) ≤ SP2 (f ) e sP2 (f ) ≤ SP1 (f ). Demonstra¸cão: Pela Proposi¸cão 1 existe uma parti¸cão P3 mais fina que P1 e P2 . Pela Proposi¸caõ 2, sP1 (f ) ≤ sP3 (f ) ≤ SP3 (f ) ≤ SP2 (f ) e sP2 (f ) ≤ sP3 (f ) ≤ SP3 (f ) ≤ SP1 (f ). NOTA: Resulta desta proposi¸cão que se a, b ∈ R, a < b, f : [a, b] → R é uma fun¸cão limitada, o conjunto das somas superiores é minorado (todas as somas inferiores são minorantes) e o conjunto das somas inferiores é majorado (todas as somas superiores são majorantes); estes conjuntos têm, pois, ´ınfimo e supremo, respectivamente. Defini¸ c˜ ao 5.1.4 Sejam a, b ∈ R, a < b e f : [a, b] → R uma fun¸ca õ limitada. Ao ´ınfimo do conjunto Rb das somas superiores de f chama-se integral superior de f em [a, b] e representa-se por a f (x) dx. Ao supremo do conjunto das somas inferiores de f chama-se integral inferior de f em [a, b] e representa-se Rb Rb Rb por a f (x) dx. Se a f (x) dx = a f (x) dx, diz-se que f é integr´ avel a ` Riemann em [a, b]; a este n´ umero Rb Rb Rb chama-se integral de f em [a, b] e representa-se a f (x) dx = a f (x) dx = a f (x) dx. NOTAS:

1. Sejam a, b ∈ R, a < b e f : [a, b] → R uma fun¸cão limitada. O integral superior de f em [a, b] e o integral inferior de f em [a, b] existem (ver nota antes da defini¸cão). No entanto a fun¸caõ pode n˜ ao ser integrável; consideremos, por exemplo, a fun¸cão 1, x ∈ [0, 1] ∩ Q f (x) = 0, x ∈ [0, 1] \ Q Como entre quaisquer dois pontos existem racionais e irracionais, dada uma parti¸cão qualquer, P, Z 1 Z 1 f (x) dx = 0 e f (x) dx = 1. inf f (x) = 0 e sup f (x) = 1, pelo que x∈[xi ,xi+1 ]

x∈[xi ,xi+1 ]

0

0

2. Se f é cont´ınua, não negativa e integrável em [a, b], o integral de f é igual à área da figura limitada pelo gráfico de f e pelas rectas x = a, x = b e y = 0 (eixo dos xx) (ver Figura 5.3). Para nos

146

5. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

convencermos deste facto, basta ter em conta as figuras 5.1 e 5.2 e a defini¸cão. O integral é o ´ınfimo do conjunto das somas superiores, que são todas maiores ou iguais que aquela área (ver Figura 5.2), portanto o integral é maior ou igual que a área da figura referida. Por outro lado, o integral também é o supremo do conjunto das somas inferiores, que s˜ ao todas menores ou iguais que aquela área (ver Figura 5.1) portanto o integral é menor ou igual que a área da figura referida. Conclui-se assim que o integral é igual à área da figura.

Figura 5.3: O integral ´ e igual à área da figura indicada.

Proposi¸ c˜ ao 4 Se a < b e f (x) = c, ∀x ∈ [a, b], ent˜ ao

Rb a

f (x) dx = c (b − a)

Demonstra¸cão: Qualquer que seja a parti¸cão P, sP (f ) = SP (f ) = c (b − a). Proposi¸ c˜ ao 5 Se a < b e f, g : [a, b] → R s˜ ao duas func˜ oes integr´ aveis em [a, b] tais que f (x) ≤ Rb Rb g(x), ∀x ∈ [a, b], ent˜ ao a f (x) dx ≤ a g(x) dx.

Demonstra¸cão: Qualquer que seja a parti¸cão P, sP (f ) ≤ sP (g) pelo que, os integrais, (que, por hipótese, existem e são iguais aos supremos dos conjuntos das somas inferiores) verificam a desigualdade.

Proposi¸ c˜ ao 6 Sejam a, b ∈ R, a < b e f : [a, b] → R uma fun¸ca õ limitada. f é integr´ avel se, e s´ o se, para todo o ε > 0 existe uma parti¸ca õ P tal que SP (f ) − sP (f ) < ε. Demonstra¸cão: Suponhamos que f é integrável e seja ε > 0, qualquer. Visto que o integral é o supremo do conjunto das somas inferiores, existe uma parti¸cão P1 tal que sP1 (f ) >

Z

b a

f (x) dx − ε/2;

(1)

analogamente, visto que o integral é o ´ınfimo do conjunto das somas superiores, existe uma parti¸cão P2 tal que Z b f (x) dx + ε/2. (2) SP2 (f ) < a

Rb

Então, SP2 (f ) − ε/2 < a f (x) dx < sP1 (f ) + ε/2 donde obtemos SP2 (f ) < sP1 (f ) + ε. Se tomarmos uma parti¸cão P, mais fina que P1 e P2 então, pela Proposi¸cão 2, SP (f ) ≤ SP2 (f ) < sP1 (f ) + ε ≤ sP (f ) + ε. Reciprocamente, suponhamos que para todo o ε > 0 existe uma parti¸cão P tal que SP (f )− sP (f ) < ε, Rb Rb isto é, SP (f ) < sP (f ) + ε. Então, a f (x) dx ≤ SP (f ) < sP (f ) + ε ≤ a f (x) dx + ε, pelo que, para todo Rb Rb Rb Rb o ε > 0, 0 ≤ a f (x) dx − a f (x) dx ≤ ε, o que só é poss´ıvel se a f (x) dx = a f (x) dx.

5.1 Integral de Riemann: Defini¸ c˜ ao e propriedades

147

Proposi¸ c˜ ao 7 Se a < b e f, g : [a, b] → R s˜ ao duas func˜ oes integr´ aveis em [a, b] ent˜ ao f + g é integr´ avel Rb Rb Rb em [a, b] e a (f + g)(x) dx = a f (x) dx + a g(x) dx. Demonstra¸cão: Visto que, para cada i, inf

x∈[xi ,xi+1 ]

f (x) ≤ f (x) ≤

x∈[xi ,xi+1 ]

g(x) ≤ g(x) ≤

x∈[xi ,xi+1 ]

sup

f (x), ∀x ∈ [xi , xi+1 ]

e inf

x∈[xi ,xi+1 ]

sup

g(x), ∀x ∈ [xi , xi+1 ],

então inf

x∈[xi ,xi+1 ]

f (x) +

inf

x∈[xi ,xi+1 ]

g(x) ≤ f (x) + g(x) ≤

sup

f (x) +

x∈[xi ,xi+1 ]

sup x∈[xi ,xi+1 ]

g(x), ∀x ∈ [xi , xi+1 ],

pelo que inf

x∈[xi ,xi+1 ]

≤

f (x) +

sup x∈[xi ,xi+1 ]

inf

x∈[xi ,xi+1 ]

g(x) ≤

(f (x) + g(x)) ≤

inf

x∈[xi ,xi+1 ]

sup

(f (x) + g(x)) ≤

f (x) +

sup

x∈[xi ,xi+1 ]

g(x)

x∈[xi ,xi+1 ]

Usando estas desigualdades e recorrendo à defini¸cão, obtemos, para qualquer parti¸cão, sP (f ) + sP (g) ≤ sP (f + g) ≤ SP (f + g) ≤ SP (f ) + SP (g)

(3)

Seja ε > 0, qualquer. Pela Proposi¸caõ 6 (desigualdades 1 e 2) existem parti¸cões P1 , P2 , P3 e P4 tais que Z b Z b ε ε f (x) dx − ≤ sP1 (f ) ≤ SP2 (f ) ≤ f (x) dx + 2 2 a a e Z b Z b ε ε g(x) dx − ≤ sP3 (g) ≤ SP4 (g) ≤ g(x) dx + 2 2 a a

Se considerarmos uma parti¸cão P mais fina que P1 , P2 , P3 e P4 , as u ´ ltimas desigualdades continuam válidas, com as Pi substitu´ıdas por P e, adicionando, Z

b

f (x) dx +

a

Z

a

b

g(x) dx − ε ≤ sP (f ) + sP (g) ≤ SP (f ) + SP (g) ≤

Z

b

f (x) dx +

a

Z

b

g(x) dx + ε

a

Usando agora as desigualdades 3, obtemos Z

b

f (x) dx +

a

Z

b

a

Conclu´ımos assim que

g(x) dx − ε ≤ sP (f + g) ≤ SP (f + g) ≤ Rb

superiores de f + g, isto é,

Ra

f (x) dx +

b a

Z

a

b

f (x) dx +

Z

b

g(x) dx + ε.

a

Rb

g(x) dx é o supremo das somas inferiores e o ´ınfimo das somas Rb f (x) dx + g(x) dx = a (f (x) + g(x)) dx. a R

b a

Proposi¸ c˜ ao 8 Se a < b, se f : [a, b] → R é integr´ avel em [a, b] e c ∈ R, ent˜ ao c f é integr´ avel em [a, b] e Rb Rb (c f )(x) dx = c f (x) dx. a a Demonstra¸cão: Se c = 0, cf ≡ 0 em [a, b] e aplica-se a Proposi¸cão 4. Se c > 0, seja P uma parti¸cão de [a, b]. Como, para cada i, inf

(cf (x)) = c

[xi ,xi+1 ]

inf

[xi ,xi+1 ]

(f (x))

e

sup (cf (x)) = c sup (f (x)), [xi ,xi+1 ]

[xi ,xi+1 ]

148

5. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

então sP (cf ) = c sP (f ) e SP (cf ) = c SP (f ). Tomando o supremo das somas inferiores e o ´ınfimo das somas superiores, obtemos: Z

b

(c f )(x) dx = c

a

Se c = −1,

Z

b

f (x) dx = c

a

Z

f (x) dx = c

[xi ,xi+1 ]

Z

Z

b

f (x) dx =

a

a

(−f (x)) = − sup (f (x)) e

inf

[xi ,xi+1 ]

b

b

(c f )(x) dx

a

sup (−f (x)) = −

[xi ,xi+1 ]

inf

[xi ,xi+1 ]

(f (x)), pelo que sP (−f ) =

−SP (f ) e SP (−f ) = −sP (f ); então, Z

a

b

(−f )(x) dx = −

Z

b

f (x) dx

a

e

Z

b a

(−f )(x) dx = −

Z

b

f (x) dx

a

Rb Rb e destas igualdades conclu´ımos que a (−f )(x) dx = − a f (x) dx. Tendo em conta os casos estudados a proposi¸cão fica demonstrada (se c < 0, basta observar que c = −1 (−c) e aplicar o que se mostrou anteriormente). Proposi¸ c˜ ao 9 Se a < b, se f : [a, b] → R é integr´ avel em [a, b] e se g difere de f apenas num ponto, Rb Rb ent˜ ao g é integr´ avel em [a, b] e a f (x) dx = a g(x) dx. Demonstra¸cão: Seja M > 0 tal que |f (x)| ≤ M ∧ |g(x)| ≤ M, ∀x ∈ [a, b]. Dado ε > 0 qualquer, consideremos uma parti¸cão P1 de [a, b] tal que Z

b

f (x) dx −

a

ε ≤ sP1 (f ) ≤ SP1 (f ) ≤ 2

Z

b

a

ε f (x) dx + . 2

ε , i = 0, . . . , n. Como f e g diferem 8M apenas num ponto, digamos c, as respectivas somas superiores e inferiores diferem (eventualmente) apenas nas parcelas que contêm c (duas no caso de c ser um dos xi , uma no caso contrário). Como |f (c) − g(c)| ≤ 2M , as somas superiores e inferiores diferem, quando muito de ε/2. Então, Tomemos uma parti¸cão P, mais fina que P1 , tal que xi+1 − xi <

Z

b

a

f (x) dx − ε ≤ sP (g) ≤ SP (g) ≤

Z

b

f (x) dx + ε,

a

donde deduzimos o resultado. Corol´ ario 1 Se a < b, se f : [a, b] → R é integr´ avel em [a, b] e se g difere de f apenas num n´ umero Rb Rb finito de pontos, ent˜ ao g é integr´ avel em [a, b] e a f (x) dx = a g(x) dx.

Demonstra¸cão: Se g difere de f em m pontos, p1 , p2 , . . . , pm , basta aplicar a proposi¸cão m vezes: considera-se a fun¸cão f1 que é igual a f excepto em p1 , onde é igual a g, e aplica-se a proposi¸caõ; considera-se a fun¸cão f2 que é igual a f1 excepto em p2 , onde é igual a g, e aplica-se a Proposi¸cão; assim sucessivamente, até chegarmos a fm , que é igual a g. Proposi¸ c˜ ao 10 Se a ≤ c < d ≤ b e se f : [a, b] → R é integr´ avel em [a, b], ent˜ ao f é integr´ avel em [c, d] Rd Rb e c f (x) dx = a g(x) dx onde     f (x), se x ∈ [c, d] g(x) =    0, se x ∈ / [c, d]

5.1 Integral de Riemann: Defini¸ c˜ ao e propriedades

149

Demonstra¸cão: Dado ε > 0 qualquer, consideremos uma parti¸cão P1 de [a, b] tal que SP1 (f )−sP1 (f ) < ε/2 (Proposi¸cão 6). Se ao conjunto dos pontos que definem P1 acrescentarmos c e d, obtemos uma parti¸caõ P, mais fina que P1 , pelo que SP (f ) − sP (f ) < ε/2. Se considerarmos agora a parti¸cão P ′ de [c, d], que se obtém de P por considerar apenas os elementos contidos em [c, d], verifica-se obviamente SP ′ (f ) − sP ′ (f ) < ε/2. Pela Proposi¸cão 6, deduzimos que f é integrável em [c, d]. Falta-nos demonstrar a igualdade dos integrais. Supomos que a < c < d < b. Se a = c ou d = b, as adapta¸cões (de facto, simplifica¸cões) são evidentes. Procedemos, agora, de modo semelhante ao da demonstra¸cão da Proposi¸cão 9. Sejam M tal que |g(x)| ≤ M, ∀x ∈ [a, b] e P2 uma parti¸cão de [a, b], mais fina que P, tal que os elementos de P2 em que c é extremo direito e os elementos de P2 em que d é extremo esquerdo têm comprimento menor ou igual a ε/(2M ). Se P2′ é a parti¸cão de [c, d] que se obtém de P2 por considerar apenas os elementos contidos em [c, d], sP2′ (f ) e sP2 (g) apenas diferem (eventualmente) em duas parcelas: as que correspondem ao elemento de P2 em que c é extremo direito e ao elemento de P2 em que d é extremo esquerdo. O mesmo acontece em rela¸cão a SP2′ (f ) e SP2 (g). Então, sP2′ (f ) − ε ≤ sP2 (g) ≤ SP2 (g) ≤ SP2′ (f ) + ε pelo que conclu´ımos que

Z

d

f (x) dx =

c

Z

b

g(x) dx.

a

Proposi¸ c˜ ao 11 Se a < c < b e f : [a, b] → R é integr´ avel em [a, b], ent˜ ao Rb c f (x) dx. Demonstra¸cão: Consideremos as fun¸cões     f (x), x ∈ [a, c] g(x) =    0, x ∈]c, b]

e

h(x) =

b

f (x) dx =

a

Z

b

(g + h)(x) dx =

a

Z

a

    0,

b

g(x) dx +

a

Z

b

h(x) dx = a

Z

f (x) dx =

Rc a

f (x) dx +

x ∈ [a, c[

   f (x),

Obviamente, f = g + h. Pelas Proposi¸c˜ oes 10 e 7: Z

Rb

x ∈ [c, b]

c

f (x) dx +

a

Z

b

f (x) dx

c

Defini¸ c˜ ao 5.1.5 Sejam a, b ∈ R, a < b e f : [a, b] → R uma fun¸ca õ integr´ avel. Define-se Z

b

a

f (x) dx = −

Z

b

f (x) dx e

a

Proposi¸ c˜ ao 12 Quaisquer que sejam a, b, c ∈ R, três integrais existam.

Z

a

f (x) dx = 0

a

Z

a

b

f (x) dx =

Z

a

c

f (x) dx +

Z

b

f (x) dx, sempre que os

c

Demonstra¸cão: Se a < c < b, trata-se da Proposi¸cão 11. Se c < a < b, então, pela Proposi¸caõ 11, Rb Ra Rb Rc Rb f (x) dx = c f (x) dx+ a f (x) dx = − a f (x) dx+ a f (x) dx, donde obtemos o resultado. Os restantes c casos resolvem-se do mesmo modo. Proposi¸ c˜ ao 13 Sejam a, b ∈ R e a < b. Se f, g : [a, b] → R s˜ ao duas fun¸co ˜es integr´ aveis em [a, b], ent˜ ao f g é integr´ avel em [a, b]. Não demonstraremos esta proposi¸cão. A sua demonstra¸cão, embora poss´ıvel a este n´ıvel, seria demasiado longa para os propósitos deste curso.

150

5.2

5. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

Classes de fun¸c˜ oes integr´ aveis

Teorema 5.2.1 Sejam a, b ∈ R, a < b. Se f é cont´ınua em [a, b] ent˜ ao é integr´ avel em [a, b]. Demonstra¸cão: Pelo Teorema de Cantor, f é uniformemente cont´ınua em [a, b]. Dado ε > 0, qualquer, existe θ > 0 tal que ∀x, y ∈ [a, b], |x − y| < θ ⇒ |f (x) − f (y)| < ε/(b − a). Se tomarmos uma parti¸cão, P, em que todos os seus elementos tenham comprimento menor que θ, então |f (x)−f (y)| < ε/(b−a), ∀x, y ∈ [xi , xi+1 ], i = 0, . . . , n, pelo que sup x∈[xi ,xi+1 ]

f (x) −

inf

x∈[xi ,xi+1 ]

f (x) =

max

x∈[xi ,xi+1 ]

f (x) −

min

x∈[xi ,xi+1 ]

f (x) < ε/(b − a), i = 0, . . . , n.

Daqui se conclui que SP (f ) − sP (f ) = <

n X i=0

n X i=0

(xi+1 − xi ) (

(xi+1 − xi )

sup

x∈[xi ,xi+1 ]

f (x) −

inf

x∈[xi ,xi+1 ]

f (x)) <

ε ε = (b − a) = ε. b−a b−a

Pela Proposi¸cão 6, f é integrável em [a, b]. Teorema 5.2.2 Sejam a, b ∈ R, a < b, f : [a, b] → R uma fun¸ca õ limitada. Se f é cont´ınua em [a, b], excepto num n´ umero finito de pontos, ent˜ ao é integr´ avel em [a, b]. Demonstra¸cão: Suponhamos que f é cont´ınua em [a, b] excepto num ponto c ∈]a, b[. Sejam ε > 0, qualquer e M > 0 tal que |f (x)| ≤ M, ∀x ∈ [a, b]. Então pelo Teorema 5.2.1, f é integrável em [a, c − ε/(12M )] e em [c + ε/(12M ), b] (podemos sempre tomar ε suficientemente pequeno para nenhum destes intervalos ser vazio ou se reduzir a um ponto), pelo que, pela Proposi¸cão 6, existem parti¸cões P1 e P2 de [a, c−ε/(12M )] e [c + ε/(12M ), b], respectivamente, tais que SP1 (f ) − sP1 (f ) < ε/3 e SP2 (f ) − sP2 (f ) < ε/3. Se considerarmos a parti¸cão P, de [a, b], formada pelos elementos de P1 , por C = [c − ε/(12M ), c + ε/(12M )] e pelos elementos de P2 , então SP (f ) − sP (f ) < ε (note-se que sup f (x) − inf f (x) ≤ 2 M e que o x∈C

x∈C

comprimento de C é ε/(6M )). Tendo em conta a Proposi¸cão 6, f é integrável em [a, b]. Se f não for cont´ınua num dos extremos do intervalo, procede-se do mesmo modo, com as adapta¸co˜es evidentes. O mesmo acontece para o caso em que há vários pontos de descontinuidade. Apenas temos que considerar v´ arios conjuntos “C”, um para cada ponto de descontinuidade, e adaptar as constantes. Teorema 5.2.3 Sejam a, b ∈ R, a < b e f : [a, b] → R uma fun¸ca õ limitada. Se f é mon´ otona em [a, b], ent˜ ao é integr´ avel em [a, b]. Demonstra¸cão: Vamos fazer a demonstra¸cão supondo que f é crescente. Para f decrescente, as técnicas s˜ ao as mesmas com as adapta¸cões evidentes. Sejam ε > 0 e M = sup f (x) − inf f (x) = f (b) − f (a). Se M = 0, então f é constante em [a, b], x∈[a,b]

x∈[a,b]

pelo que é integrável. Se M > 0, seja P uma parti¸cão de [a, b] tal que todos os seus elementos têm comprimento menor que ε/M . Como f é crescente, então inf f (x) = f (xi ) e sup f (x) = f (xi+1 ), pelo que x∈[xi ,xi+1 ]

sP =

n X i=0

x∈[xi ,xi+1 ]

(xi+1 − xi ) f (xi ) e SP =

n X i=0

(xi+1 − xi ) f (xi+1 )

donde (note-se que f (xi+1 ) − f (xi ) ≥ 0) S P − sP =

n X i=0

(xi+1 − xi ) (f (xi+1 ) − f (xi )) ≤

n X ε (f (xi+1 ) − f (xi )) = M i=0

5.2 Classes de fun¸ c˜ oes integr´ aveis

=

151

n ε X ε (f (xi+1 ) − f (xi )) = (f (b) − f (a)) = ε. M i=0 M

Pela Proposi¸cão 6, f é integrável em [a, b]. EXEMPLO: A fun¸cão f (x) =

    0,

se x = 0,

 1 1 1   , se a, e se o integral indefinido Z x g(t) dt a

tem limite finito quando x → +∞, poderemos escrever Z +∞ Z g(t) dt = lim x→+∞

a

x

g(t) dt.

a

A. Integrais impr´ oprios de 1a esp´ ecie: defini¸ c˜ ao e crit´ erios de convergˆ encia Defini¸ c˜ ao 5.5.1 Sejam a ∈ R e f uma fun¸ca õ definida no intervalo [a, +∞[. Suponhamos que f é integr´ avel em qualquer intervalo [a, x] com x > a. Seja, para cada x > a, Z x F (x) = f (t) dt. a

Chama-se integral impr´ oprio de 1a esp´ ecie de f em [a, +∞[ a Z x lim f (t) dt x→+∞

e designa-se por

Z

a

+∞

f (t) dt.

a

a) Se F (x) tem limite finito quando x → +∞, diz-se que f é integr´ avel (em sentido impr´ oprio) no Z +∞ intervalo [a, +∞[ ou que o integral impr´ oprio f (t) dt existe, tem sentido ou é convergente. a

b) Se F (x) n˜ ao tem limite ou tem limite infinito quando x → +∞, diz-se que f n˜ ao é integr´ avel no Z +∞ intervalo [a, +∞[ ou que o integral impr´ oprio f (t) dt n˜ ao existe ou é divergente. a

5.5 Integrais impr´ oprios

159

EXEMPLO 1: Consideremos o integral lim

x→+∞

Z

x

Z

+∞

cos(x) dx. Este integral é divergente porque: 0

f (t) dt = lim [ sen(t) ]x0 = lim sen(x) x→+∞

0

x→+∞

e este limite não existe. EXEMPLO 2: Consideremos o integral Z

+∞

1

1 dx = lim x→+∞ x

Z

Z

+∞ 1

x

1

1 ´ um integral impróprio de 1a espécie. Como dx. E x

1 dt = lim [ log(t) ]x1 = lim log(x) = +∞ x→+∞ x→+∞ t

o integral impróprio é divergente. Z +∞ e−x dx é um integral impróprio de 1a espécie convergente: EXEMPLO 3: O integral 0

Z

+∞

e

−x

dx = lim

x→+∞

0

Nota: Se o integral

Z

Z

x

e−t dt = lim

x→+∞

0

+∞

−e−t

x 0

= lim (−e−x + 1) = 1. x→+∞

f (x) dx é convergente então

a

a) o limite de f quando x → +∞, se existir, é igual a zero; b) qualquer que seja h > 0, o integral de f no intervalo [x, x + h] (ou o valor médio de f no mesmo intervalo), tende para zero quando x → +∞. Z +∞ Z +∞ Teorema 5.5.1 Se f e g s˜ ao tais que os integrais f (t) dt e g(t) dt s˜ ao convergentes e se a a Z +∞ α, β ∈ R, ent˜ ao o integral (α f + β g)(t) dt é convergente e a

Z

+∞

(α f + β g)(t) dt = α

a

Teorema 5.5.2 Se o integral convergente e

Z

+∞

f (t) dt + β

a

Z

+∞

Z

+∞

Z

+∞

g(t) dt.

a

f (t) dt é convergente e se b > a ent˜ ao o integral

a

f (t) dt =

a

Z

b

f (t) dt +

a

Z

Z

+∞

f (t) dt é b

+∞

f (t) dt.

b

Nem sempre nos interessa saber o valor do integral impróprio e outras vezes não é poss´ calcul´ a-lo Z ıvel +∞ −x2 e dx). porque a fun¸cão não é elementarmente primitivável (considere-se, por exemplo, o integral 0

Precisamos então de critérios que nos permitam saber se um determinado integral impróprio é ou n˜ ao convergente. Esses critérios chamam-se crit´ erios de convergˆ encia. Z +∞ a Teorema 5.5.3 O integral impr´ oprio de 1 espécie f (t) dt, com f (t) ≥ 0, ∀t ≥ a, é convergente a

se, e s´ o se, existe uma constante M tal que Z x f (t) dt ≤ M, ∀x > a. a

O valor do integral impr´ oprio n˜ ao excede M .

160

5. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

Z x Demonstra¸cão: Seja F (x) = f (t) dt. Como f (t) ≥ 0 ∀t ≥ a, F (x) ≥ 0, ∀x ≥ a. Por defini¸caõ, o a Z +∞ integral f (t) dt é convergente se existir e for finito o limite lim F (x). x→+∞

a

A fun¸cão F é crescente, pois se a ≤ x ≤ y vem Z y Z F (y) − F (x) = f (t) dt − a

x

f (t) dt =

a

Z

y

x

f (t) dt ≥ 0

porque f (t) ≥ 0 ∀t ≥ a. Suponhamos que F é limitada superiormente, isto é, existe uma constante M tal que F (x) ≤ M , ∀x ≥ a. Como F é crescente, existe e é finito o limite lim F (x) 1 . Além disso, lim F (x) ≤ M . x→+∞

x→+∞

Se F não é limitada superiormente então para cada M existe sempre um x tal que F (x) > M . Como Z +∞ F é crescente lim F (x) = +∞, o que significa que f (t) dt é divergente. x→+∞

a

Teorema 5.5.4 Sejam

Z

+∞

f (x) dx e

a

Z

+∞

g(x) dx dois integrais impr´ oprios de 1a espécie com fun¸co ˜es

b

integrandas n˜ ao negativas e suponhamos que existe c ∈ R tal que f (x) ≤ g(x), ∀x > c. Z +∞ Z +∞ a) Se g(x) dx é convergente ent˜ ao f (x) dx é convergente. b

b) Se

Z

a

Z

+∞

f (x) dx é divergente ent˜ ao

a

+∞

g(x) dx é divergente.

b

Demonstra¸cão: Seja d = max {a, b, c}. Consideremos os integrais Z

Z

+∞

f (x) dx

e

d

+∞

g(x) dx.

d

Sendo x > d temos 0≤ Se o integral

Z

Z

d

f (t) dt ≤

Z

x

g(t) dt.

(4)

d

+∞

g(t) dt é convergente, pelo Teorema 5.5.3 existe M1 tal que d

Z

d

Mas por (4),

x

Z

x

d

f (t) dt ≤

Z

d

x

g(t) dt ≤ M1 , ∀x > d.

x

g(t) dt, ∀x > d, pelo que

Z

+∞

f (t) dt é convergente, usando, novamente

d

o Teorema Z +∞5.5.3. Z x Se f (t) dt é divergente então, pelo Teorema 5.5.3, f (t) dt não é limitada, o que implica, por dZ d Z x +∞ (4), que g(t) dt também não é limitada e, portanto, g(x) dx é divergente. d

1 Toda

a fun¸ca õ real f limitada e mon´ otona numa parte n˜ ao majorada X de R tem limite quando x → +∞ e

sup f (x) ou x∈X

d

lim f (x) = inf f (x) conforme f ´ e crescente ou decrescente.

x→+∞

x∈X

lim f (x) =

x→+∞

5.5 Integrais impr´ oprios

Corol´ ario 1 Sejam

Z

161

+∞

f (x) dx e

a

Z

+∞

g(x) dx dois integrais impr´ oprios de 1a espécie com fun¸co ˜es b

integrandas n˜ ao negativas e suponhamos que existem c, k ∈ R tais que f (x) ≤ k g(x), ∀x > c. Z +∞ Z +∞ a) Se g(x) dx é convergente ent˜ ao f (x) dx é convergente. b

b) Se

Z

a

+∞

f (x) dx é divergente ent˜ ao a

Z

+∞

g(x) dx é divergente.

b

Demonstra¸cão: Basta notar que Z x Z lim k g(t) dt = lim k x→+∞

pelo que Teorema.

Z

x→+∞

c

x

g(t) dt = k lim

x→+∞

c

+∞

k g(x) dx é convergente se, e só se,

c

Z

Z

x

g(t) dt

c

+∞

g(x) dx é convergente; termina-se aplicando o

c

Z

+∞

1 ´ um integral impróprio de 1a espécie e a √ dx. E 3 3 1 + x 0 fun¸caõ integranda é positiva no intervalo [0, +∞[. Como EXEMPLO 1: Consideremos o integral

(1 + x)3 ≥ 1 + x3 , ∀x ≥ 0 ⇒ 1 + x ≥ e

Z

p 3 1 + x3 , ∀x ≥ 0 ⇒ 0 <

1 1 , ∀x ≥ 0 ≤ √ 3 1+x 1 + x3

Z x 1 1 dx = lim dt = lim [ log(1 + t) ]x0 = lim log(1 + x) = +∞, x→+∞ 0 1 + t x→+∞ x→+∞ 1+x 0 Z +∞ 1 isto é, o integral dx é divergente, conclu´ımos, pelo Teorema 5.5.4, que o integral em estudo 1+x 0 é divergente. +∞

Como se pode ver pelo exemplo anterior, é u ´ til conhecer a natureza de alguns integrais impr´ oprios de modo a facilitar o uso dos critérios de convergência. Um exemplo de tais integrais é o seguinte: EXEMPLO 2: Estudemos o integral impróprio de 1a espécie Z +∞ 1 dx xα a sendo a > 0 e α ∈ R. Se α = 1

Z

a

e se α 6= 1

Z

a

tendo-se

x

x

1 x dt = [ log(t) ]a = log(x) − log(a) t

1 dt = tα

t−α+1 −α + 1

x

=

a

    +∞,

x−α+1 a−α+1 − −α + 1 −α + 1

se α ≤ 1 1 dt = −α+1 α x→+∞ a t  a   − , se α > 1 −α + 1 Então o integral converge se, e só se, α > 1. lim

Z

x

162

5. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

Z

+∞

1 ´ um integral impróprio de 1a espécie e a √ dx. E 1 + x3 0 fun¸caõ integranda é positiva no intervalo [0, +∞[. Como

EXEMPLO 3: Consideremos o integral

1 + x3 > x3 , ∀x > 0 ⇒ e

Z

+∞

1

gente.

p √ 1 1 1 + x3 > x3 , ∀x > 0 ⇒ 0 < √ < √ , ∀x > 0 1 + x3 x3

1 √ dx é convergente, podemos concluir, pelo Teorema 5.5.4, que o integral em estudo é converx3

Teorema 5.5.5 Sejam

Z

+∞

f (x) dx e

a

Z

+∞

g(x) dx dois integrais impr´ oprios de 1a espécie com fun¸co ˜es

b

integrandas positivas e suponhamos que o limite lim

x→+∞

f (x) g(x)

existe finito e diferente de zero. Ent˜ ao os integrais s˜ ao da mesma natureza, isto é, s˜ ao ambos convergentes ou ambos divergentes. Demonstra¸cão: Seja lim

x→+∞

f (x) = L, L ∈ R+ . Por defini¸cão, g(x) f (x) ∀δ > 0 ∃M > 0, x ≥ M ⇒ − L < δ. g(x)

L . Então existe M > 0 tal que 2 f (x) L < , ∀x ≥ M, − L g(x) 2

Seja δ =

ou seja, ∀x ≥ M ,

L f (x) L < −L< 2 g(x) 2 f (x) 3L L ⇔ < < 2 g(x) 2 L 3L ⇔ g(x) < f (x) < g(x). 2 2 Pelo Teorema 5.5.1 e pelo Corolário do Teorema 5.5.4 temos o resultado pretendido. Z +∞ Z +∞ Teorema 5.5.6 Sejam f (x) dx e g(x) dx dois integrais impr´ oprios de 1a espécie com fun¸co ˜es −

integrandas positivas. Se

a

b

lim

x→+∞

f (x) = 0, g(x)

ent˜ ao a) se

Z

+∞

Z

+∞

Z

g(x) dx é convergente,

b

b) se

+∞

f (x) dx é convergente.

a

f (x) dx é divergente, a

Z

b

+∞

g(x) dx é divergente.

5.5 Integrais impr´ oprios

163

Se lim

x→+∞

f (x) = +∞, g(x)

ent˜ ao a) se

Z

+∞

g(x) dx é divergente,

b

b) se

Z

Z

+∞

f (x) dx é divergente.

a

+∞

f (x) dx é convergente,

a

Z

+∞

g(x) dx é convergente.

b

Demonstra¸cão:

f (x) f (x) < δ. = 0 ⇔ ∀δ > 0 ∃M > 0 x ≥ M ⇒ lim x→+∞ g(x) g(x)

Mas como as fun¸cões são ambas positivas, f (x) f (x) g(x) < δ ⇔ g(x) < δ ⇔ f (x) < δg(x).

O resultado é consequência do Corolário do Teorema 5.5.4. Z +∞ x+1 EXEMPLO 1: O integral dx é um integral impróprio de 1a espécie (note-se que 3x4 − 4 3x − x + 2 1 Z +∞ 1 x + 2 > 0, ∀x ≥ 1). Como dx é convergente e 3 x 1 x+1 x4 + x3 1 − x + 2 = lim = , 1 x→+∞ 3x4 − x + 2 3 x3

3x4

lim

x→+∞

pelo Teorema 5.5.5 podemos concluir que o integral dado é convergente. Z +∞ Z +∞ 1 α −x EXEMPLO 2: Consideremos os integrais x e dx, α ∈ R, e dx. São integrais impr´ oprios 2 x 1 1 a de 1 espécie sendo o segundo convergente. Como xα e−x xα+2 = lim = 0, ∀α ∈ R, 1 x→+∞ x→+∞ ex x2 lim

o integral

Z

+∞

xα e−x dx é convergente.

1

EXEMPLO 3: O integral

Z

+∞

2

e−x dx é um integral impróprio de 1a espécie. Como

0

x2 2 = 0 e x→+∞ ex

Z

+∞

lim

x→+∞

1 ex2 = 1 x2

1 dx é convergente, podemos concluir que o integral em estudo é convergente. 2 x 1 Z +∞ Z +∞ Teorema 5.5.7 Se o integral |f (x)| dx é convergente ent˜ ao o integral f (x) dx é convergente lim

e verifica-se a desigualdade:

a

a

Z

a

Z +∞ f (x) dx ≤

a

+∞

|f (x)| dx.

164

5. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

Demonstra¸cão: 0 ≤ |f (x)| − f (x) ≤ 2|f (x)|, ∀x ≥ a. Seja g(x) = |f (x)| − f (x). Visto que o integral Z +∞ Z +∞ |f (x)| dx é convergente, o mesmo acontece ao integral 2 |f (x)| dx e, pelo Teorema 5.5.4, a a Z +∞ Z +∞ também converge o integral g(x) dx = (|f (x)| − f (x)) dx. a Z +∞a Como f (x) = |f (x)| − g(x) o integral f (x) dx é convergente (Teorema 5.5.1). a

Da desigualdade −|f (x)| ≤ f (x) ≤ |f (x)|, ∀x, deduzimos −

ou seja,

Z

a

+∞

|f (x)| dx ≤ Z

a

+∞

Z

+∞

a

f (x) dx ≤

Z f (x) dx ≤

a

Z

Z

+∞

a

|f (x)| dx,

+∞

|f (x)| dx.

+∞

Defini¸ c˜ ao 5.5.2 Diz-se que o integral f (x) dx é absolutamente convergente se o integral a Z +∞ Z +∞ |f (x)| dx é convergente. Diz-se que o integral f (x) dx é simplesmente convergente se a a Z +∞ for convergente e |f (x)| dx divergente. a

EXEMPLO: A fun¸cão integranda no integral impróprio de 1a espécie Z

1

n˜ ao é sempre positiva. Mas

e o integral

Z

1

+∞

+∞

sen(x) dx x2

sen(x) 1 x2 ≤ x2 , ∀x ≥ 1

1 dx é convergente. Pelo Teorema 5.5.4 o integral x2 Z +∞ sen(x) x2 dx 1

é convergente. Pelo Teorema 5.5.7 o integral em estudo é convergente e diz-se absolutamente convergente. Defini¸ c˜ ao 5.5.3 Sejam a ∈ R e f uma fun¸ca õ definida no intervalo I =] − ∞, a]. Suponhamos que f é integr´ avel em qualquer intervalo [x, a] com x < a. Seja Z a G(x) = f (t) dt. x

a) Se G(x) tem limite finito quandoZx → −∞, diz-se que f é integr´ avel (em sentido impr´ oprio) no a intervalo I ou que o integral impr´ oprio f (t) dt existe, tem sentido ou é convergente. −∞

b) Se G(x) n˜ ao tem limite ou tem limite ao é integr´ avel no Z a infinito quando x → −∞, diz-se que f n˜ intervalo I ou que o integral impr´ oprio f (t) dt n˜ ao existe ou é divergente. −∞

A estes integrais também se d´ a o nome de integrais impr´ oprios de 1a esp´ ecie.

5.5 Integrais impr´ oprios

165

´ óbvio que o estudo dos integrais impróprios com intervalo de integra¸cão ] − ∞, a] é idêntico ao dos E integrais sobre intervalos do tipo [a, +∞[. De resto, qualquer integral daquela forma pode reduzir-se a Z +∞ um desta u ´ ltima: basta efectuar no integral f (x) dx a substitui¸cão x = −t para se concluir que os a

integrais

Z

Z

a

f (x) dx e

−∞

+∞

f (−x) dx

−a

são ambos convergentes ou ambos divergentes e, na primeira hipótese, são iguais. Defini¸ c˜ ao 5.5.4 Seja f : R → R uma fun¸ca õ integr´ avel em qualquer intervalo limitado. Diz-se que o integral de f em R é convergente se existe a ∈ R tal que os dois integrais Z a Z +∞ f (x) dx e f (x) dx −∞

a

s˜ ao convergentes. ´ evidente que em tal hipótese também convergem os integrais E Z

Z

b

f (x) dx

e

−∞

+∞

f (x) dx

b

qualquer que seja b ∈ R e verificar-se-ão as igualdades: Z

b

f (x) dx +

Z−∞ a

=

Z−∞ a

=

f (x) dx + f (x) dx +

−∞

Z Z

+∞

f (x) dx b

b

f (x) dx +

Za+∞

Z

a

f (x) dx + b

Z

+∞

f (x) dx

a

f (x) dx

a

Este facto legitima que, em caso de convergência, o integral seja definido pela expressão: Z +∞ Z a Z +∞ f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx −∞

−∞

a

com a ∈ R arbitrário. A este integral também se chama integral impr´ oprio de 1a esp´ ecie. Z

EXEMPLO 1: Sendo a > 0,

+∞

e

−ax

Z

dx =

−∞

lim

x→+∞

e lim

x→−∞

Z

x

e

−at

0

e

−ax

dx +

−∞

dt = lim

x→+∞

0

Z

0

e−at dt = lim

x→−∞

x

+∞

e−ax dx. Como

0

1 − e−at a

1 − e−at a

Z

x 0

0

x

1 −ax 1 1 = lim − e + = x→+∞ a a a 1 1 − + e−ax = +∞ x→−∞ a a

= lim

o integral dado é divergente. EXEMPLO 2: Seja a > 0. Z

+∞

−∞

e

−a|x|

dx =

Z

0

−∞

e

−a|x|

dx +

Z

0

+∞

e

−a|x|

dx =

Z

0

−∞

e

ax

dx +

Z

0

+∞

e−ax dx

166

5. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

Como lim

x→+∞

Z

x

e−at dt =

0

1 e a

lim

x→−∞

Z

0

Z

+∞

eat dt = lim

x→−∞

x

1 at e a

0

= lim

x

x→−∞

1 1 ax − e a a

=

1 a

o integral considerado é convergente e e−a|x| dx =

−∞

2 . a

Z

−2 1 √ EXEMPLO 3: O integral dx é um integral impróprio de 1a espécie. Consideremos o 2 x − 1 −∞ Z −2 1 dx, que sabemos ser divergente. Como integral − x −∞

lim

x→−∞

1 √ 2 −x x −1 = lim √ =1 1 x→−∞ x2 − 1 − x

o integral dado também é divergente. EXEMPLO 4: Consideremos o integral impróprio de 1a espécie Z +∞ x−1 dx. 4 2 −∞ 2x + 5x + 3 Como o integral se pode escrever Z 1 − − −∞

x−1 4 2x + 5x2 + 3 a

dx +

Z

1

+∞

2x4

x−1 dx, + 5x2 + 3

temos integrais impróprios de 1 espécie com fun¸cões integrandas não negativas. Como o integral Z −1 dois 1 − 3 dx é convergente e x −∞ lim

x→−∞

Z

−

2x4

x−1 x4 − x3 1 + 5x2 + 3 = lim = , 1 x→−∞ 2x4 + 5x2 + 3 2 − 3 x

1

x−1 dx é convergente. + 5x2 + 3 −∞ Z De modo análogo se conclui que o integral

o integral

2x4

+∞

x−1 dx é convergente. Da convergência 4 + 5x2 + 3 2x 1 dos dois integrais conclui-se a convergência do integral dado. Z

0

x dx. A fun¸cão integranda é negativa ou nula sen2 (x) −∞ 1 + no intervalo de integra¸cão, tendo-se 1 + x2 sen2 (x) 6= 0, ∀x ∈ ] − ∞, 0]. EXEMPLO 5: Consideremos o integral

0 ≤ sen2 (x) ≤ 1

x2

⇔ 0 ≤ x2 sen2 (x) ≤ x2 ⇔ 1 ≤ 1 + x2 sen2 (x) ≤ 1 + x2 1 1 ⇔1≥ ≥ 1 + x2 sen2 (x) 1 + x2 −x −x ⇔ −x ≥ ≥ 1 + x2 sen2 (x) 1 + x2

5.5 Integrais impr´ oprios

Estudemos o integral

167

Z

0

−∞

−x dx. Este integral é divergente porque 1 + x2

lim

x→−∞

Z

−1

−∞

−1 dx é divergente e x

−x x2 1 + x2 = lim =1 −1 x→−∞ 1 + x2 x

Dada a u ´ ltima desigualdade podemos concluir que o integral em estudo é divergente. Nota: Seja f integrável em qualquer intervalo limitado. Diz-se que principal se existe (em R) o limite quando x → +∞ da fun¸cão Z x F (x) = f (t) dt.

Z

+∞

f (x) dx é convergente em valor −∞

−x

´ a este limite, se existir, que se chama valor principal de Cauchy do integral E Z +∞ que se designa por vp f (x) dx.

Z

+∞

f (x) dx, e

−∞

−∞

Se o integral for convergente teremos Z

= = =

Z

+∞

Z

0

+∞

f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx −∞ Z −∞ Z x 0 0 lim f (t) dt + lim f (t) dt x→−∞ −x x→+∞ 0 Z x lim f (t) dt x→+∞ −x Z +∞ vp f (x) dx. −∞

Portanto, se o integral converge então é convergente em valor principal, sendo este valor igual ao integral. Mas a existência do valor principal de Cauchy não implica que o integral seja convergente. Por exemplo: Z +∞ 1 + x3 vp dx = π 2 −∞ 1 + x Z +∞ 1 + x3 e o integral dx é divergente. 2 −∞ 1 + x

B. Integrais impr´ oprios de 2a esp´ ecie: defini¸ c˜ ao e crit´ erios de convergˆ encia Defini¸ c˜ ao 5.5.5 Suponhamos que a fun¸ca õ f é integr´ avel em qualquer intervaloZ[a, b − ε], ε > 0, mas x n˜ ao é integr´ avel em [a, b]. Fica assim definida uma fun¸ca õ F : [a, b[→ R, F (x) = f (t) dt. a Z b Ao integral f (x) dx chama-se integral impr´ oprio de 2a esp´ ecie. Se existir finito o limite a

lim−

x→b

Z

a

x

f (t) dt

168

5. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

diz-se que o integral impr´ oprio é convergente e escreve-se Z b Z x f (x) dx = lim− f (t) dt. x→b

a

a

Se o limite n˜ ao existir ou n˜ ao for finito diz-se que o integral impr´ oprio de 2a espécie é divergente. Tal como no caso dos integrais impróprios de 1a espécie, é u ´ til o conhecimento da natureza de alguns integrais, como por exemplo: Z

b

1 dx, α ∈ R. Se α ≤ 0 trata-se de um integral de Riemann, mas se α > 0 a α a (b − x) fun¸cão integranda tem limite infinito quando x tende para b e o integral só terá sentido se existir e for finito o limite Z x 1 lim− dt. α x→b a (b − t) EXEMPLO:

Se α = 1

Z

x

a

e se α 6= 1

Z

tendo-se

x a

1 x dt = [ − log(b − t) ]a = − log(b − x) + log(b − a) b−t

1 dt = (b − t)α lim

x→b−

Z

x a

−

x

(b − t)−α+1 −α + 1

1 (b − t)α

Então o integral converge se, e só se, α < 1.

a

=−

(b − x)−α+1 (b − a)−α+1 + −α + 1 −α + 1

   +∞, se α ≥ 1 dx = −α+1   (b − a) , se α < 1 −α + 1

Defini¸ c˜ ao 5.5.6 Suponhamos que a fun¸ca õ f é integr´ avel em qualquer intervalo [a + ε, b], ε > 0, mas Z b n˜ ao é integr´ avel em [a, b]. Fica assim definida uma fun¸ca õ F : ]a, b] → R, F (x) = f (t) dt. x Z b Ao integral f (x) dx chama-se integral impr´ oprio de 2a esp´ ecie. Se existir finito o limite a

lim+

x→a

Z

b

f (t) dt

x

diz-se que o integral impr´ oprio é convergente e escreve-se Z b Z b f (x) dx = lim+ f (t) dt. a

x→a

x

Se o limite n˜ ao existir ou n˜ ao for finito diz-se que o integral impr´ oprio de 2a espécie é divergente. Z b 1 EXEMPLO: O integral dx, α ∈ R, é um integral impróprio de 2a espécie se, e só se, α > 0. α a (x − a) Se α ≤ 0 trata-se de um integral de Riemann. O integral só terá sentido se existir e for finito o limite Z b 1 lim+ dt. α x→a x (t − a) Se α = 1

Z

b

x

1 b dt = [ log(t − a) ]x = log(b − a) − log(x − a) t−a

5.5 Integrais impr´ oprios

e se α 6= 1

Z

b

x

169

1 dt = (t − a)α

(t − a)−α+1 −α + 1

tendo-se lim

x→a+

Z

x

a

1 (t − a)α

Então o integral converge se, e só se, α < 1.

b

(b − a)−α+1 (x − a)−α+1 − −α + 1 −α + 1

=

x

   +∞, se α ≥ 1 dx = −α+1 (b − a)   , se α < 1 −α + 1

Defini¸ c˜ ao 5.5.7 Suponhamos que a fun¸ca õ f é integr´ avel em qualquer intervalo [a+ε1 , b−ε2], ε1 , ε2 > 0, mas n˜ ao é integr´ avel em [a, b − ε2 ] nem em [a + ε1 , b]. Define-se Z

b

f (x) dx =

a

Z

c

f (x) dx +

a

Z

b

f (x) dx,

a < c < b.

c

Este integral é também um integral impr´ oprio de 2a esp´ ecie. O integral do primeiro membro é convergente se, e s´ o se, os dois integrais do segundo membro forem convergentes. Se algum dos integrais do segundo membro for divergente, ent˜ ao o integral do primeiro membro é divergente. Z

1

x √ dx é um integral impróprio de 2a espécie nos dois limites de 3 1 − x2 −1 integra¸cão. Temos de estudar os dois integrais EXEMPLO: O integral

Z

0

−1

√ 3

x dx 1 − x2

e

Z

1

√ 3

0

x dx. 1 − x2

0 3 3 3 t 3 2 23 2 32 √ lim dt = lim + − (1 − t ) = lim + − + (1 − x ) =− 3 2 4 4 4 4 x→−1 x→−1+ x x→−1 1−t x x Z x t 3 3 3 3 2 23 2 32 √ lim dt = lim − (1 − t ) = lim − (1 − x ) + = 3 − 4 4 4 4 x→1− 0 x→1− x→1 1 − t2 0 Z 1 x √ dx = 0. Portanto, o integral dado é convergente e 3 1 − x2 −1 Z

0

Defini¸ c˜ ao 5.5.8 Se c é um ponto interior do intervalo [a, b] e f é uma fun¸ca õ integr´ avel em qualquer intervalo [a, c − ε1 ], ε1 > 0, e [c + ε2 , b], ε2 > 0, mas n˜ ao é integr´ avel em [a, b], define-se o integral impr´ oprio de 2a esp´ ecie Z

b

f (x) dx =

a

Z

c

f (x) dx +

a

Z

b

f (x) dx.

c

O integral do primeiro membro é convergente se, e s´ o se, os dois integrais do segundo membro forem convergentes. Se algum dos integrais do segundo membro for divergente, ent˜ ao o integral do primeiro membro é divergente. Z

1

1 1 √ dx é um integral impróprio de 2a espécie porque lim √ = +∞. 3 3 2 x→0 x x2 −1 Temos de estudar os dois integrais EXEMPLO: O integral

Z

0

−1

1 √ dx 3 x2

e

Z

0

1

1 √ dx. 3 x2

170

5. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

lim

x→0−

Z

x

−1

Z

1

h √ ix √ 1 3 √ dt = lim 3 t = lim 3 3 x + 3 = 3 3 2 x→0− −1 x→0− t

h √ i1 √ 1 3 √ dt = lim 3 t = lim 3 − 3 3 x = 3 3 x→0+ x x→0+ x→0+ x t2 Z 1 1 √ Portanto, o integral dado é convergente e dx = 6. 3 x2 −1 a Para os integrais impróprios de 2 espécie, os critérios de convergência são idênticos aos obtidos para os integrais impróprios de 1a espécie. As demonstra¸cões podem ser efectuadas de maneira semelhante, com adapta¸cões evidentes, pelo que as omitimos. lim

Teorema 5.5.8 O integral impr´ oprio de 2a espécie no limite superior (inferior, respectivamente) Z b f (t) dt, com b > a e f (t) ≥ 0, ∀t ∈ ]a, b[, é convergente se, e s´ o se, existe uma constante M tal a que Z x

f (t) dt ≤ M, ∀a ≤ x < b

a

(

Z

b

x

Teorema 5.5.9 Sejam

Z

f (t) dt ≤ M, ∀a < x ≤ b, respectivamente).

b

f (x) dx e

a

Z

b

g(x) dx dois integrais impr´ oprios de 2a espécie (no mesmo

a

limite de integra¸ca õ) com fun¸co ˜es integrandas n˜ ao negativas e suponhamos que f (x) ≤ g(x), ∀a ≤ x < b (ou, ∀a < x ≤ b). Z b Z b a) Se g(x) dx é convergente ent˜ ao f (x) dx é convergente. a

b) Se

Z

a

b

f (x) dx é divergente ent˜ ao

a

Teorema 5.5.10 Sejam

Z

b

g(x) dx é divergente.

a

Z

a

b

f (x) dx e

Z

b

g(x) dx dois integrais impr´ oprios de 2a espécie (no mesmo

a

limite de integra¸ca õ) com fun¸co ˜es integrandas positivas e suponhamos que o limite f (x) f (x) lim ou, lim+ x→b− g(x) x→a g(x) é finito e diferente de zero. Ent˜ ao os integrais s˜ ao da mesma natureza, isto é, s˜ ao ambos convergentes ou ambos divergentes. EXEMPLO 1: O integral Z

1 1 2

√

1 dx 1 − x4

é impróprio de 2a espécie, porque para x = 1 a fun¸cão integranda se torna infinita. Consideremos o integral impróprio de 2a espécie convergente Z

1 1 2

1 1

(1 − x) 2

dx.

5.5 Integrais impr´ oprios

171

Tendo em conta que 1 √ 1 (1 − x) 2 1 1 1 − x4 = lim− lim− 1 1 1 = lim 1 1 = 1 2 x→1 x→1 (1 − x) 2 (1 + x) 2 (1 + x2 ) 2 x→1− (1 + x) 2 (1 + x2 ) 2 1 2 (1 − x) podemos concluir que os dois integrais têm a mesma natureza, ou seja, o integral dado é convergente. EXEMPLO 2: O integral Z

2

1 3

(2x − x2 ) 2

0

dx

é um integral impróprio de 2a espécie nos dois limites de integra¸cão. Estudemos os integrais Z

1

0

Como o integral

Z

1

1 3

x2

0

1 x2 )

(2x −

3 2

dx

Z

e

1

2

1 3

(2x − x2 ) 2

dx.

dx é divergente e 1 3

3

x2 1 1 (2x − x2 ) 2 lim = lim 3 3 = 3 3 = lim 1 x→0+ x 2 (2 − x) 2 x→0+ x→0+ (2 − x) 2 22 3 x2 o integral

Z

1

divergente.

2

1 3

(2x − x2 ) 2

Teorema 5.5.11 Sejam

dx é divergente. Podemos então concluir que o integral dado inicialmente é

Z

Z

b

f (x) dx e

a

b

g(x) dx dois integrais impr´ oprios de 2a espécie (no mesmo

a

limite de integra¸ca õ) com fun¸co ˜es integrandas positivas. Suponhamos que f (x) f (x) lim =0 ou, lim+ =0 . x→b− g(x) x→a g(x) a) Se

Z

b

Z

b

Z

g(x) dx é convergente ent˜ ao

a

b) Se

b

f (x) dx é convergente.

a

f (x) dx é divergente ent˜ ao a

Z

b

g(x) dx é divergente.

a

Suponhamos que f (x) lim = +∞ x→b− g(x) a) Se

Z

b

Z

b

g(x) dx é divergente ent˜ ao

a

b) Se

Z

b

f (x) dx é divergente.

a

f (x) dx é convergente ent˜ ao a

f (x) ou, lim+ = +∞ . x→a g(x)

Z

a

b

g(x) dx é convergente.

172

5. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

Teorema 5.5.12 Seja

Z

b

f (x) dx um integral impr´ oprio de 2 espécie. Se o integral a Z b convergente o mesmo acontece ao integral f (x) dx. a

Z

a

b

|f (x)| dx é

a

Z

b

Defini¸ c˜ ao 5.5.9 Diz-se que o integral impr´ oprio de 2 espécie f (x) dx é absolutamente converZ b Z ba Z b gente se o integral |f (x)| dx é convergente. Se o integral f (x) dx é convergente e |f (x)| dx é a a a Z b divergente, diz-se que o integral f (x) dx é simplesmente convergente. a

a

EXEMPLO: Consideremos o integral

Z

0

1

cos(πx) √ dx. 1 − x2

´ um integral impróprio de 2a espécie no limite superior de integra¸cão, mas a fun¸cão integranda muda E de sinal no intervalo de integra¸cão. No entanto, cos(πx) 1 √ 1 − x2 ≤ √1 − x2 , ∀ 0 ≤ x < 1. Estudemos o integral

Z

1

0

O integral

Z

0

1

1 1

(1 − x) 2

1 √ dx = 1 − x2

Z

0

1

1

1 2

1

(1 − x) (1 + x) 2

dx.

dx é convergente e 1 lim−

x→1

o que implica que o integral

Z

0

1

1 2

1

1 1 (1 − x) (1 + x) 2 = lim− 1 = √ , 1 x→1 (1 + x) 2 2 1 2 (1 − x)

1 √ dx é convergente. Pelo Teorema 5.5.9, o integral 1 − x2 Z 1 cos(πx) √ 1 − x2 dx 0

é convergente. Pelo Teorema 5.5.12, o integral dado é convergente e diz-se absolutamente convergente.

C. Integrais impr´ oprios mistos Podem ainda considerar-se integrais impr´ oprios mistos: por exemplo, com algum limite de integra¸caõ infinito e em que a fun¸cão integranda se torne ilimitada num n´ umero finito de pontos do intervalo de integra¸cão. Neste caso, a defini¸cão do integral faz-se dividindo o intervalo de integra¸cão por forma que se obtenham integrais dos tipos anteriores; se os integrais assim obtidos são convergentes diz-se que o integral misto é convergente e o seu valor é igual à soma dos valores dos integrais correspondentes aos subintervalos. Se algum dos integrais obtidos é divergente o integral misto é divergente.

5.5 Integrais impr´ oprios

173

Z

+∞

1 dx é um integral impróprio misto porque x3 +1 = (x+1)(x2 −x+1), 3+1 x −2 podendo fazer-se a decomposi¸cão Z +∞ Z −1 Z 1 Z +∞ 1 1 1 1 dx = dx + dx + dx, 3 3 3 3 x +1 x +1 −2 −2 x + 1 −1 x + 1 1 EXEMPLO 1: O integral

sendo os dois primeiros integrais do 2o membro de 2a espécie e o u ´ ltimo de 1a espécie. Z −1 1 dx é divergente e Como o integral −2 −x − 1 lim

1 1+x 1 1 x3 + 1 = lim 1 + x = lim = lim = 1 3 x→−1− x3 + 1 x→−1− (1 + x)(x2 − x + 1) x→−1− x2 − x + 1 1+x

Z

x3

x→−1−

−1

1 dx é divergente. Então o integral misto é divergente. +1 −2 Z −1 1 e um integral impróprio misto, tendo-se EXEMPLO 2: O integral 3 dx ´ 2 −∞ (x − 4) 5 Z −1 Z −3 Z −2 Z −1 1 1 1 1 3 dx = 3 dx + 3 dx + 3 dx. 2 2 2 2 5 5 5 −∞ (x − 4) −∞ (x − 4) −3 (x − 4) −2 (x − 4) 5 o integral

O primeiro dos integrais do 2o membro é de 1a espécie e os outros dois são de 2a espécie. Consideremos o integral de 1a espécie convergente Z −3 1 6 dx. −∞ x 5 Temos

1 lim

(x2

x→−∞

3

6

x5 − 4) 5 = lim 3 = 1 1 2 x→−∞ (x − 4) 5 6

x5 Z

o que implica que o integral Z O integral de 2a espécie

−3

−∞ −2

−3

1 3

dx é convergente.

3

dx é convergente e

(x2 − 4) 5 1 (−2 − x) 5

1

lim

x→−2−

3

(x2

−1 1 − 4) 5 = lim − 3 = 3 1 x→−2 (x − 2) 5 45 3 (−2 − x) 5

Z −3 1 o que implica que o integral e convergente. 3 dx ´ 2 (x − 4) 5 Z −2 −1 1 O integral de 2a espécie e convergente e 3 dx ´ −2 (x + 2) 5 lim

x→−2+

(x2

−1

3

−1 1 − 4) 5 = lim 3 = 3 1 x→−2+ (x − 2) 5 45 3 (x + 2) 5

174

5. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

Z

−1

1

e convergente. 3 dx ´ − 4) 5 Podemos então concluir que o integral dado é convergente.

o que implica que o integral

−2

(x2

D. A fun¸c˜ ao Gama (Γ) e a fun¸c˜ ao Beta (β) Suponhamos que queremos estudar a natureza do integral Z

+∞

0

x3p dx x2 − 2x + 5

(5)

para todos os valores do parâmetro real p. Tendo em conta que x2 − 2x + 5 6= 0, ∀x ∈ R, este integral é de 1a espécie se p ≥ 0 e misto se p < 0. Em qualquer caso podemos escrever Z

+∞ 0

x3p dx = x2 − 2x + 5

Z

0

1

x3p dx + x2 − 2x + 5

Z

1

+∞

x3p dx, x2 − 2x + 5

onde o segundo integral do 2o membro é sempre de 1a espécie e o primeiro é de Riemann se p ≥ 0 e de 2a espécie se p < 0. Suponhamos que p < 0. Z

1

0

O integral

Z

0

1

x3p dx = 2 x − 2x + 5

Z

0

1

1 dx. x−3p (x2 − 2x + 5)

(6)

1 1 dx converge se, e só se, −3p < 1, isto é, p > − . Como x−3p 3

lim

x−3p (x2

x→0+

1 1 1 − 2x + 5) = lim+ 2 = 1 5 x→0 x − 2x + 5

x−3p

1 o integral (6) converge se, e só se, p > − . 3 Se p ≥ 0, o integral que acabámos de estudar é de Riemann. Podemos então concluir que o integral 1 (6) converge se, e só se, p > − . 3 Z +∞ 1 1 O integral dx converge se, e s´ o se, 2 − 3p > 1, isto é, p < e 2−3p x 3 1 lim

x→+∞

x3p x2 x2 − 2x + 5 = lim =1 1 x→+∞ x2 − 2x + 5 x2−3p

1 pelo que podemos concluir que o integral de 1a espécie converge se, e só se, p < . 3 1 1 Então o integral (5) converge se, e só se, − < p < . 3 3 Consideremos o integral Z 3 7 dx. α (3 − x)β+1 (x + 2) −2

(7)

5.5 Integrais impr´ oprios

175

´ um integral de Riemann se α ≤ 0 e β + 1 ≤ 0 e é um integral impróprio de 2a espécie se α > 0 ou E β + 1 > 0. Podemos escrever este integral na seguinte forma: Z

0

−2

Z

7 dx + (x + 2)α (3 − x)β+1 Z

Estudemos o primeiro integral. Como o integral

0

−2

0

3

7 dx. (x + 2)α (3 − x)β+1

1 dx converge se, e só se, α < 1, e (x + 2)α

7 lim +

(x +

2)α (3

− x)β+1

= lim +

1 (x + 2)α

x→−2

x→−2

7 7 = β+1 (3 − x)β+1 5

podemos concluir que o integral é convergente se, e só se, α < 1 e β ∈ R. Z 3 1 Dado que o integral dx converge se, e só se, β + 1 < 1, isto é, β < 0, e β+1 0 (3 − x) 7 7 7 (x + 2)α (3 − x)β+1 = lim− = α lim− α 1 5 x→3 (x + 2) x→3 (3 − x)β+1 podemos concluir que o segundo integral converge se, e só se, β < 0 e α ∈ R. O integral (7) será convergente se, e só se, α < 1 e β < 0. Entre os integrais com parâmetros há dois especialmente importantes: Γ(p) =

Z

+∞ p−1 −x

x

e

dx

e

β(p, q) =

0

Z

1

0

xp−1 (1 − x)q−1 dx,

p, q ∈ R. Estes integrais, quando convergentes, definem duas fun¸co˜es: a fun¸ c˜ ao Gama, no primeiro caso, e a fun¸ c˜ ao Beta, no segundo. Pretendemos estudar o dom´ınio destas fun¸cões, isto é, saber para que valores dos parâmetros são convergentes os integrais que as definem. Comecemos por estudar o integral Γ(p) =

Z

+∞

xp−1 e−x dx

(8)

0

Podemos escrever este integral do seguinte modo: Z

1

p−1 −x

x

0

e

dx +

Z

+∞

xp−1 e−x dx.

1

O primeiro integral é de Riemann se p − 1 ≥ 0 e de 2a espécie se p − 1 < 0, enquanto o segundo é de 1a espécie qualquer que seja p ∈ R. Z +∞ 1 Sabemos que o integral dx é convergente. Dado que 2 x 1 xp−1 e−x = 0, ∀p ∈ R 1 x→+∞ x2 lim

podemos concluir que o integral de 1a espécie é convergente qualquer que seja p ∈ R.

176

5. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

Z

a

O integral impróprio de 2 espécie

1

0

disso,

lim+

x→0

1 dx é convergente se, e só se, 1 − p < 1, isto é, p > 0. Além x1−p xp−1 e−x = lim+ e−x = 1, 1 x→0 x1−p

o que implica que o integral de 2a espécie é convergente se,e só se, p > 0. Então o integral (8) converge se, e só se p > 0, isto é, a fun¸cão Γ tem dom´ınio R+ . Consideremos o integral Z 1 xp−1 (1 − x)q−1 dx

(9)

0

Podemos sempre escrever este integral como a soma Z

1 2

p−1

x

0

q−1

(1 − x)

dx +

Z

1 1 2

xp−1 (1 − x)q−1 dx

onde o primeiro integral é de Riemann se p − 1 ≥ 0 e de 2a espécie se p − 1 < 0 e o segundo é de Riemann se q − 1 ≥ 0 e de 2a espécie se q − 1 < 0. Z 12 1 O integral dx converge se, e só se, 1 − p < 1, isto é, p > 0. Como 1−p x 0 lim+

x→0

xp−1 (1 − x)q−1 = lim+ (1 − x)q−1 = 1 1 x→0 x1−p

podemos concluir que o primeiro integral é convergente se, e só se, p > 0. Z 1 1 O integral dx converge se, e só se, 1 − q < 1, isto é, q > 0. Como 1 (1 − x)1−q 2 lim

x→1−

xp−1 (1 − x)q−1 = lim xp−1 = 1 1 x→1− 1−q (1 − x)

podemos concluir que o segundo integral é convergente se, e só se, q > 0. Então o integral (9) converge se, e só se, p > 0 e q > 0, isto é, a fun¸cão Beta tem sentido para p > 0 e q > 0.

´ E. Areas de dom´ınios ilimitados Vejamos alguns exemplos de aplica¸cão dos integrais impróprios ao cálculo de áreas de dom´ınios planos ilimitados. EXEMPLO 1: Calculemos a área do dom´ınio determinado pela imagem da fun¸cão f (x) = eixo dos xx (ver Figura 5.10). O valor da área é dado pelo valor do integral impróprio Z

+∞

−∞

1 dx. 1 + x2

1 eo 1 + x2

5.5 Integrais impr´ oprios

177

Figura 5.10

Calculando esse integral obtemos Z +∞ 1 dx = 1 + x2 −∞

Z

=

2

0

−∞

Z

1 dx + 1 + x2

+∞

0

=

Z

0

+∞

1 dx 1 + x2

1 dx = 2 lim x→+∞ 1 + x2

Z

x

0

1 dt 1 + t2

x

2 lim [ arc tg(t) ]0 = 2 lim arc tg(x) = π x→+∞

x→+∞

1 EXEMPLO 2: Calculemos a área do dom´ınio determinado pela imagem da fun¸cão f (x) = p , as rectas |x| x = −3 e x = 2 e o eixo dos xx (ver Figura 5.11).

y

x Figura 5.11

O valor da área é o valor do integral impróprio Z 2 1 p dx. |x| −3

178

5. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

Z

2 −3

1 p dx |x|

=

Z

0

−3

=

=

1 p dx + |x|

lim

x→0−

lim

x→0−

Z

0

2

1 p dx = lim x→0− |x|

Z

x

−3

1 √ dt + lim x→0+ −t

Z

2

x

1 √ dt t

h √ i2 √ x −2 −t −3 + lim 2 t

x→0+

x

√ √ √ √ √ √ −2 −x + 2 3 + lim 2 2 − 2 x = 2 3 + 2 2 x→0+

5.6 Exerc´ıcios Resolvidos

5.6 5.6.1

179

Exerc´ıcios Resolvidos Integrais

1. Calcule os seguintes integrais: (a)

Z

1/2

−1/2

(b)

Z

1

e

arcsen(x) + x √ dx; 1 − x2 (ex +x)

dx;

(c)

Z

π/2

sen(2 x)

0

p 1 + 3 cos2 (x) dx;

Z

π 4

Z

2

(g)

4

(h)

Z

x2 ; (x2 + 1)(x − 1)

1

(i)

Z

1 dx; (x − 2)2 (1 + x2 )

2

(j)

Z

x+1 dx; (x − 3)(x2 + 3)

2

(k)

Z

Z

e

(d)

sen(x)

3

(cos(x)) 5

−π 3

0

dx.

2. Calcule os seguintes integrais: (a)

Z

2

0

(b)

Z

1

0

(c)

Z

2

1

(d)

Z

3

2

(e)

Z

1

0

(f)

Z

4

3

x3 + x2 − 12 x + 1 dx; x2 + x − 12 4 x2 + x + 2 dx; (4 x2 + 1)(x + 1) x4 + 1 dx; x3 + 3x2 + 2x x2 + 4 dx; (x2 + 2x + 2) (x − 1)2 2x − 3 dx; 2 4x + 4x + 5 x3 dx; x2 − 3 x + 2

x (x2

1

2

0

0

1

5 dx; + 2 x + 5)

x dx. (x − 3)(2 + x2 )

3. Calcule os seguintes integrais: (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j)

Z

1

p log(x + 1 + x2 ) dx; 0 Z 1/2 1 x log dx; 1+x −1/2 Z 1 earcsen(x) dx; 0 Z π/5 sen(3x) cos(2x) dx; 0 Z 1 1 dx; cos log −2π x Zeπ (x sen(x))2 dx; 1 Z 2 √ arctg x + 1 dx; 0 Z 1/2 log(1 − x2 ) dx; 0 Z 2π sen(x) cos(x) − dx; x2 x π √ Z 1/ 3 2x arctg(x) dx; 2 − 1)2 (x 0

(k) (l)

√

Z

2

2

1

(m)

Z

1

x log(x2 − 1) dx; x √ dx; (x2 + 1) log( x2 + 1) x arctg(x2 ) dx;

0

(n)

Z

1

0

(o)

Z

1

x3 dx; (1 + x2 )2 √ sen( x + 1) dx.

0

Z

π/3

sen(x) dx; cos(x)(cos(x) − 1) π/6 2 Z π2 π π (q) x+ cos x + dx; 2 2 0 Z 2 x (r) log dx; x+3 1 Z e 2 (s) (log(x) + 3) dx.

(p)

1

180

5. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

4. Calcule (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g)

Z Z

Z

Z

Z

Z

Z

√ (3 3)/2 3/2 π/3 0 log 4 log 3 π/4 0 3 1

(h)

tg(x) dx; 3 + sen2 (x) e

(i)

π/3 π/3

16

Z

1

0

3x

(1 + e2 x )(ex − 2)

Z

1 √ √ dx; 4 x+ x

1

dx;

sen2 (x) dx; 1 + cos2 (x)

x3 √ dx; 9 − x2

(j)

Z

−π 3

π/4

(k)

Z

x dx; cos2 (x)

π/2

cos(x) dx; 1 + cos(x)

−π 2

(l)

Z

0

1 dx; 1 + sen(x) − cos(x)

(m)

tg(x) dx; 3 + sen2 (x)

(n)

Z

cos(x) dx; + sen(x) − 1

cos2 (x)

0

1 √ dx; 4 x − x2

π/2

0

x2 √ dx; 9 − x2

log(2)

ex + 2 dx; + ex

e2 x

0

Z

2

Z

log 6

1

ex dx. (e2x + 2) (ex − 1)

5. Calcule (a) (b) (c) (d) (e)

Z Z

1 0

e3x + e2x − 3ex dx; (ex + 1)(e2x + 2)

(f)

log 3

1

1 √ dx; 2 1 x 4x + 3x + 2 2 Z 16 √ 4 x √ dx; 1 + x 1 Z 1 x2 √ dx; 4 − x2 −1 Z 2 e3x + 1 dx; (ex − 1)(e2x + 1) 1

6. Considere a fun¸cão

(g)

Z

π 2

0

Z

(ex

e2x dx; − 2)(e2x + 1)

1 dx; 3 + 2 cos(x)

π 4

sen2 (x) dx; 1 + 2 sen(x) cos(x) 0 √ Z 16 x+2 √ dx; (i) (x − 4)2 x 9 Z 1 √ x+1+1 (j) dx. x+2 0

(h)

   0, f (x) = 2 x log(x)  ,  (1 + x2 )2

(a) Mostre que f é cont´ınua em [0, 1].

(b) Calcule F , primitiva de f , tal que F (0) = 1. R1 (c) Calcule 0 f (x) dx.

se x = 0, se x > 0.

5.6 Exerc´ıcios Resolvidos

5.6.2

181

C´ alculo de ´ areas de dom´ınios planos limitados

1. Dom´ınio plano limitado pelos gráficos das fun¸cões f (x) =

1 x2 e g(x) = . 1 + x2 2

2. Dom´ınio plano limitado pelo gráfico das fun¸cões f (x) = x2 + x e g(x) = x3 + x2 − 2 x. 3. Dom´ınio plano, situado no semi-plano y ≥ 0, limitado pela circunferência x2 + y 2 = 1 e pela elipse y2 = 1. x2 + 4 x x3 e g(x) = . 1 + x2 2 √ 5. Dom´ınio plano limitado pelos gráficos das fun¸cões f (x) = x5 e g(x) = 5 x.

4. Dom´ınio plano limitado pelos gráficos das fun¸cões f (x) =

6. Dom´ınio plano limitado pela curva de equa¸cão y = 2x − x2 e pela recta de equa¸cão y = −x. 7. Determine a área de cada um dos seguintes dom´ınios: 8. Dom´ınio plano limitado pelas rectas x = −1, x = 1 e pelos gráficos das fun¸cões f (x) = g(x) = ex .

1 e 1 + x2

NOTA: Os gráficos das fun¸cões f e g têm um u ´ nico ponto de interseçcão. 1. Determine a área de cada um dos seguintes dom´ınios: (a) Dom´ınio plano limitado pelas curvas de equa¸cões y 2 = 2x e x2 = 3y. (b) Dom´ınio plano limitado pelos gráficos das curvas de equa¸cões y = x2 , y = x2 cos(x), a recta x = 0 e o ponto de menor abcissa positiva em que as duas curvas se intersectam. 2x x ey=√ . (c) Dom´ınio plano limitado pelas curvas y = √ 2 1+x 1 − x2 √ √ 4−x (d) Dom´ınio plano limitado pelas curvas y = 4 − x e y = . x (e) Dom´ınio plano limitado pelos gráficos das fun¸cões y = cos(x) e y = cos2 (x), entre os pontos de abcissa 0 e π. (f) Dom´ınio plano limitado pelos gráficos das fun¸cões f (x) = x4 − 2 x2 + 1 e g(x) = 1 − x2 . 1 1 √ , y = √ (g) Dom´ınio plano limitado pelos gráficos das curvas de equa¸cão y = e 2+ x 2− x x = 1. √ √ x+1 √ . (h) Dom´ınio plano limitado pelos gráficos das curvas de equa¸cão y = 2 − x e y = 2 x 1 3 (i) Dom´ınio plano limitado pelos gráficos das curvas de equa¸cão y = e y = −x + . x+1 2 (j) Dom´ınio plano limitado pelos gráficos das fun¸cões f (x) = x2 − x − 2 e g(x) = x + 1. (k) Dom´ınio plano limitado pelo eixo dos yy e pelos gráficos das fun¸cões f (x) = e2x e g(x) = e−(x+1) .

(l) Dom´ınio plano limitado pelos gráficos das curvas de equa¸cão y = x − 2 e y = (x2 − 1)(x − 2). π (m) Dom´ınio plano limitado pelos gráficos das fun¸cões f (x) = arctg(x) e g(x) = x2 . 4 (n) Dom´ınio plano limitado pelos gráficos das curvas de equa¸cão y = e3x e y = x2 e3x . (o) Dom´ınio plano limitado pelos gráficos das curvas de equa¸cão y = x3 − 6x + 1 e y = x2 + 1.

182

5. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

(p) Dom´ınio plano limitado pelos gráficos das fun¸cões f (x) = log(x), g(x) = − log(x) e as rectas 1 x = e x = e. 2 √ (q) Dom´ınio plano limitado pelos gráficos das curvas de equa¸cão y = x2 − 1 e y = x2 − 1. (x − 2)2 e y = x2 . 4 (s) Dom´ınio plano limitado pelos gráficos das fun¸cões f (x) = log(3x) e g(x) = log(x2 + 2). (r) Dom´ınio plano limitado pelos gráficos das curvas de equa¸cão y = 4 −

(t) Dom´ınio plano limitado pelos gráficos das curvas de equa¸cão y = arctg(x), y = arctg(−x), x = −1 e x = 1.

(u) Dom´ınio plano limitado pelo gráfico da fun¸cão real de variável real f (x) = x log(x) no semiplano x ≤ e. √ (v) Determine a área do dom´ınio plano limitado pelos gráficos das fun¸cões f (x) = 3 x e g(x) = x2 . p (w) Determine a área do dom´ınio plano limitado pelos gráficos das fun¸cões f (x) = 4 |x|, g(x) = −x4 − x2 e pelas rectas x = −1/2 e x = 1. (x) Determine a área do dom´ınio plano limitado pelos gráficos das fun¸cões f (x) = log(x), g(x) = ex e pelas rectas y = −x + 1 e x = e.

x2 y2 x2 + = 1, exterior à elipse de equa¸cão + y 2 = 1. 4 16 4 √ √ 3. Calcule a área da figura do primeiro quadrante, limitada pelas curvas y = 1 − x2 , y = 33 (x + 1), x = 0 e y = 0. 2. Calcule a área da por¸cão da elipse de equa¸cão

4. Calcule a área da figura do 1o quadrante limitada pelo eixo dos xx, pelo eixo dos yy, pela recta de equa¸cão y = 2 x − 1 e pela parábola de equa¸cão y = −x2 + 2 x + 3. 5. Calcule a ´ area da figura do primeiro quadrante limitada pelos gráficos das curvas de equa¸cão x2 − 1 y + 1 = 0, y = , y = −x + 7 e x = 4. x+1 6. Considere a restri¸cão principal da fun¸cão real de variável real f (x) = tg(x). Calcule a área da figura limitada pelos gráficos das curvas de equa¸cão y = tg(x), y = tg(−x) e y = 1. 7. Considere a fun¸cão real de variável real definida por f (x) = (1 − x)e−x . Calcule a área do dom´ınio plano limitado pelo gráfico da fun¸cão f e pela recta y = 0, no intervalo [0, 5].

5.6 Exerc´ıcios Resolvidos

183

˜ RESOLUC ¸ AO 1. Para calcular a área come¸camos por determinar os pontos de interseçcão das duas curvas.

2. Para calcular a área come¸camos por determinar os pontos de interseçcão das duas curvas. f (x) = g(x) ⇔

1 x2 = ⇔ x = x6 ⇔ x(x5 − 1) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x5 = 1 ⇔ x = 0 ∨ x = 1. 1 + x2 2

3. Para calcular a área come¸camos por determinar os pontos de interseçcão das duas curvas. 15 12.5 10 7.5 5 2.5

-4

-2

2 -2.5

4

6

184

5. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

4. Comecemos por calcular os pontos de interseçcão dos gráficos das duas fun¸cões.

f (x) = g(x) ⇔

No intervalo [0, 1],

√ 3 x = x2 ⇔ x = x6 ⇔ x(x5 − 1) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x5 = 1 ⇔ x = 0 ∨ x = 1.

√ 3 x ≥ x2 , portanto, o valor da área, A, é

A=

Z

1 0

" 4 #1 √ x3 x3 3 1 5 2 3 ( x − x ) dx = 4 − = − = . 3 4 3 12 3 0

Nota: Ainda que não seja necessário para o cálculo da área, apresentamos um esbo¸co do gr´ afico das duas fun¸cões:

2

1.5

1

0.5

-2

-1

1

2

-0.5

-1

-1.5

-2

Figura 5.12 O dom´ınio cuja ´ area se pretende calcular.

p A fun¸cão f (x) = 4 |x| tem dom´ınio R e f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R. A fun¸cão g(x) = −x4 − x2 tem dom´ınio R e g(x) ≤ 0, ∀x ∈ R. Em consequência, f (x) ≥ g(x), ∀x ∈ R, e, portanto, o valor da área, A, no

5.6 Exerc´ıcios Resolvidos

185

intervalo [− 21 , 1] é A =

Z

1

Z

0

Z

0

− 21

=

− 21

=

(f (x) − g(x)) dx =

1

− 12

p ( 4 |x| − (−x4 − x2 )) dx Z

√ ( 4 −x − (−x4 − x2 )) dx + 1

((−x) 4 + x4 + x2 ) dx +

− 12

"

Z

Z

1

0

1

√ ( 4 x − (−x4 − x2 )) dx 1

(x 4 + x4 + x2 ) dx

0

#1 x5 x3 + = + 5 + 5 5 3 4 4 − 12 0 ! 54 5 3 − 12 − 21 4 1 4 1 1 =− − + + + + + 5 2 5 3 5 5 3 =

5

−(−x) 4

x5 x3 + + 5 3

#0

"

5

x4

1 1 1 1 1 1 4 · √ + · 5 + · 3 +1+ 5 4 25 5 2 3 2 3

2 1 1 1 1 4 = √ + · 5+ · 3+ 4 3 2 3 5 2 5 2 Nota: Ainda que não seja necessário para o cálculo da área, apresentamos um esbo¸co do gr´ afico das duas fun¸cões: 1.5 1 0.5

-0.4 -0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.5 -1 -1.5 -2 -2.5

Figura 5.13 O dom´ınio cuja ´ area se pretende calcular.

5. A área é o valor do integral A = = = =

Z

Z e (ex − (−x + 1)) dx + (ex − log(x)) dx 0 1 1 x2 e x e + − x + [ex − x log(x) + x]1 2 0 1 0 e + − 1 − e + ee − e log(e) + e − e − 1 2 5 e e − 2 1

186

5. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

Graficamente temos 20

15

10

5

-3

-2

-1

1

2

3

4

-5

Figura 5.14 O dom´ınio cuja ´ area se pretende calcular.

5.6 Exerc´ıcios Resolvidos

5.6.3

187

Integrais Impr´ oprios

1. Calcule o valor dos seguintes integrais Z +∞ (a) sen(x) dx 0

(b)

Z

1

log(x) dx

0

(c)

Z

0

−∞

ex √ dx. 1 − e2x

2. Estude a natureza dos seguintes integrais impróprios: (a)

Z

+∞

0

(b)

Z

+∞

3

arctg(x) √ dx. x3 + 1 sen3 (x) dx. (x − 1)x2

Z

+∞

Z

3

Z

π 2

Z

1

log(x/2) dx. x2 1 Z +∞ π (d) − arctg(x) dx 2 0 (c)

3. Estude a natureza dos seguintes integrais impróprios: (a) (b) (c) (d) (e)

Z

1

1 √ dx x (1 − x)2/3 0 Z π/2 √ x dx sen(x) 0 Z π/2 sen(x) dx 1 − cos(x) 0 Z π/2 1 dx. 1 − sen(x) 1 s Z 1 2 dx. x(1 − x2 ) 0

(f)

1

(g)

0

(h)

(i)

1 2

x √ dx; 2 x −x log(sen(x)) √ dx. x cos(πx) dx. x2 log (x)

Z

1

Z

+∞

0

log(x2 + 1) dx. x3

4. Estude a natureza dos seguintes integrais impróprios: (a)

Z

+∞

1

(b)

Z

+∞

1

(c)

Z

+∞

2

(d)

Z

+∞

3

(e)

Z

+∞

0

(f)

Z

+∞

1

(g)

Z

2

+∞

1 √ dx x x−1 sen(x) √ dx. x4 − 1 1 dx. x log(x)

cos(x) √ dx (x − 1) x − 3 sen(x) √ dx. x3 cos(x) √ dx. x3 − 1 e−x √ dx. x2 − 4

(h)

1

(i)

Z

+∞

0

(j)

Z

+∞

2

(k) (l)

Z

+∞ π 2

Z

+∞

3

(m)

Z

+∞

(n)

arccotg(x) p dx. 3 2x2 (9 − x2 )

x sen(x) √ dx. 3 16 − x2 sen(x) √ dx; x 4x2 − 1 3x2

4

Z

log(x2 + 3) √ dx (x2 + 1) 3 x − 2 sen(πx) dx √ √ x 3 x2 − 1 1 √ dx. x x2 − 4 sen(x) p dx. (2x + 1) x − π2

+∞ 1 2

188

5. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

(o) (p) (q)

Z

Z

Z

+∞ 1 +∞ 2 +∞ 1

√ 3 x √ dx x4 − 1 2x + 1 √ dx. 2 (x + 3) x − 2 √ x2 − 1 dx. 3 (x + 2)(x − 1)

Z

(r)

+∞

log (x) √ dx. x 3 x2 − 4

2

Z

(s)

+∞

(x2

3

5. Determine o valor de β de modo que

Z

+∞

sen(x) √ dx. − 2) x − 3

β e−3|x−1| dx = 2.

−∞

6. Seja a > 0. Considere o integral impróprio Z +∞ 2 2x + bx + a − 2 dx. x(x + a) 1 (a) Determine a rela¸cão entre a e b de modo que o integral seja convergente. (b) Determine os valores de a e b de modo que Z +∞ 2 2x + bx + a − 2 dx = 1. x(x + a) 1 7. Estude, em fun¸cão do parâmetro real α, a convergência dos seguintes integrais Z +∞ (1 + x)α √ (a) dx. x (x2 + 1) 0 Z 1 1 √ (b) dx. α 1−x 0 x Z +∞ 1 √ (c) dx. 3 2α + xα x 0 Z +∞ −x e e−αx (d) − dx. x 1 − e−x 1 Z +∞ 1 √ (e) dx é convergente. 3 α x x2 − 1 0 Z +∞ sen(x) 8. Mostre que o integral impróprio dx é convergente. x 0 9. Seja a ∈ R+ e f cont´ınua em [a, +∞[. Considere os integrais Z

a

+∞

f (x) dx e

Z

1 a

0

f ( 1t ) dt. t2

Mostre que os dois integrais têm a mesma natureza. 10. Seja f : R −→]0, π[ uma fun¸cão tal que existe lim f (x) e x→+∞ Z +∞ natureza do integral sen(f (x)) dx.

Z

+∞

f (x) dx é convergente. Estude a

1

1

R +∞ 11. Seja f : [0, +∞[→ R uma fun¸cão de classe C 1 tal que 0 f (x) dx é convergente e existe lim f (x). x→+∞ Z +∞ Mostre que f ′ (x) dx é convergente e calcule o seu valor. 0

5.6 Exerc´ıcios Resolvidos

189

12. Seja a ∈ R+ e f uma fun¸cão real de variável real cont´ınua em [0, +∞[. Mostre que os integrais Z +∞ Z +∞ f (x) dx e √ 2xf (x2 ) dx têm a mesma natureza. a

a

Z

+∞ f (t) dt é convergente. Mostre que 13. Seja f : [0, +∞[→ R uma fun¸cão cont´ınua tal que t 1 Z +∞ f (kt) dt é convergente, se u e k são n´ umeros reais estritamente positivos. t u Z +∞ 14. A fun¸cão Gama, Γ, é definida por Γ(x) = tx−1 e−t dt. O dom´ınio desta fun¸cão é R+ . 0

(a) Calcule Γ(1). (b) Mostre que Γ(x + 1) = xΓ(x), ∀x > 0. Z 1 (c) Mostre que (log(x))n dx = (−1)n Γ(n + 1), ∀n ∈ N. 0

15. Calcule a área da região definida pelo gráfico da fun¸caõ f (x) =

ex e pelo eixo dos xx. 1 + e2x

16. Calcule a área da região definida pelos gráficos das fun¸cões f (x) = log(x), g(x) = − log(x), no semiplano x ≤ 1. 1 17. Calcule a área da região definida, no semiplano x ≥ 1, pelos gráficos das fun¸cões f (x) = 2 e x 1 g(x) = 3 . x 18. Calcule a área da região definida pelo gráfico da fun¸caõ f (x) =

1 e pelo eixo dos xx. x(1 + log2 (x))

x 19. Calcule a área da região do plano situada entre a recta y = 0 e o gráfico da fun¸cão f (x) = √ . 1 − 9x2 20. Calcule a área da região do plano situada entre a recta y = 0 e o gráfico da fun¸cão f (x) =

arctg(x) . 1 + x2

x 21. Calcule a área da região definida pelo gráfico da fun¸caõ f (x) = p e pelo eixo dos xx. 2 (x + 1)3

22. Calcule a área da região do plano situada entre a recta y = 0 e o gráfico da fun¸cão f (x) = e−|x| . 23. Calcule a área da região do plano situada entre a recta y = 0 e o gráfico da fun¸cão f (x) = 24. Calcule a área da região do plano situada entre a recta y = 0 e o gráfico da fun¸cão f (x) =

earctg(x) . 1 + x2

1 . 1 + (2x)2

25. Calcule a área da região do 1o quadrante definida pelo gráfico da fun¸cão f (x) = xe−x e pelo eixo dos xx. 26. Calcule a área da região do 1o quadrante definida pelo gráfico da fun¸cão f (x) = 27. Dom´ınio plano ilimitado definido pelo gráfico da fun¸cão y =

1 . (x + 1)2

1 e pelo eixo do xx. 1 + x2

190

5. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

˜ RESOLUC ¸ AO 1. (a) Dado que a fun¸cão sen(x) é cont´ınua em R, o integral Z

+∞

sen(x) dx

0

é um integral impróprio de 1a espécie. Por defini¸cão, Z +∞ Z x sen(x) dx = lim sen(t) dt = lim [− cos(t)]x0 = lim (− cos(x) + 1). x→+∞

0

x→+∞

0

x→+∞

Mas este limite não existe, portanto, o integral em estudo é divergente. (b) Dado que a fun¸cão log(x) tem dom´ınio R+ , é cont´ınua nesse conjunto e lim log(x) = −∞, o x→0+

integral

Z

1

log(x) dx

0

é um integral impróprio de 2a espécie. Por defini¸cão, Z

1

log(x) dx = lim

x→0+

0

Z

1

x

log(t) dt = lim [t log(t) − t]1x = lim (−1 − x log(x) + x) = −1. x→0+

x→0+

Sendo este limite finito, o integral em estudo é convergente. Nota 1: O cálculo da primitiva da fun¸cão log(x) faz-se por primitiva¸cão por partes obtendo-se o resultado P log(x) = x log(x) − x. log(x) Nota 2: No cálculo do valor do limite lim x log(x) = lim = 0 utilizou-se a Regra + + 1 x→0 x→0 x de Cauchy. Z 0 ex √ dx é um integral impróprio misto porque o intervalo de integra¸caõ (c) O integral 1 − e2x −∞ é ilimitado e a fun¸cão integranda é ilimitada na vizinhan¸ca de zero. Por defini¸cão de integral impróprio misto Z

0 −∞

ex √ dx = 1 − e2x

Z

−1

−∞

ex √ dx + 1 − e2x

Z

0

−1

ex √ dx 1 − e2x

Calculemos estes integrais por defini¸cão: Z

−1

−∞

ex √ dx 1 − e2x

Z −1 et et √ p dt = lim dt x→−∞ x x→−∞ x 1 − e2t 1 − (et )2 −1 = lim arcsen(et ) x = arcsen(e−1 ) − lim arcsen(ex ) =

Z

lim

−1

x→−∞

= arcsen(e e

Z

0

−1

ex √ dx = 1 − e2x = =

)

Z x et et √ p dt = lim dt x→0− −1 x→0− −1 1 − e2t 1 − (et )2 x lim− arcsen(et ) −1 = lim− arcsen(ex ) − arcsen(e−1 ) lim

Z

x→−∞

−1

x

x→0

π − arcsen(e−1 ). 2

x→0

5.6 Exerc´ıcios Resolvidos

Portanto,

191

Z

0

ex π π dx = arcsen(e−1 ) + − arcsen(e−1 ) = , 2x 2 2 1−e −∞ ou seja, o integral é convergente. √

2. (a) Dado que a fun¸cão arctg(x) tem dom´ınio R e é cont´ınua nesse conjunto, o integral Z +∞ π − arctg(x) dx 2 0

é um integral impróprio de 1a espécie. Por defini¸cão, Z +∞ Z x π π − arctg(x) dx = lim − arctg(t) dt = x→+∞ 0 2 2 0 x π 1 = lim t − t arctg(t) + log(1 + t2 ) = x→+∞ 2 2 0 π 1 2 = lim x − x arctg(x) + log(1 + x ) = +∞ x→+∞ 2 2 Sendo este limite infinito, o integral em estudo é divergente. Nota 1: O cálculo da primitiva da fun¸cão arctg(x) faz-se por primitiva¸cão por partes obtendo1 se o resultado P arctg(x) = x arctg(x) − log(1 + x2 ). 2 π π − arctg(x) Nota 2: No cálculo do valor do limite lim x − x arctg(x) = lim 2 = 1 1 x→+∞ 2 x→+∞ x utilizou-se a Regra de Cauchy.

3. (a) Consideremos o integral impróprio Z

0

1

1 √ dx. x (1 − x)2/3

Podemos escrever Z 1 Z 12 Z 1 1 1 1 √ √ √ dx = dx + dx. 1 x (1 − x)2/3 x (1 − x)2/3 x (1 − x)2/3 0 0 2 Z

1 2

1 √ dx é um integral impróprio de 2a espécie no limite inferior de x (1 − x)2/3 0 1 integra¸cão, porque lim+ √ = +∞. x→0 x (1 − x)2/3 Z 1 1 √ O integral dx é um integral impróprio de 2a espécie no limite superior de 2/3 1 x (1 − x) 2 1 integra¸cão, porque lim− √ = +∞. x→1 x (1 − x)2/3 Z 12 1 √ Estudemos o integral impróprio de 2a espécie dx. Consideremos o integral x (1 − x)2/3 0 Z 12 1 1 dx que sabemos ser convergente. O limite 2 x 0 1 √ 1 x (1 − x)2/3 lim = lim = 1, + + 1 x→0 x→0 (1 − x)2/3 1 x2

O integral

192

5. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

é finito e diferente de zero, o que nos permite concluir que os dois integrais têm a mesma Z 12 1 √ natureza, sendo, portanto, convergente o integral dx. x (1 − x)2/3 0 Z 1 1 √ Para estudar a natureza do integral impróprio de 2a espécie dx vamos com1 x (1 − x)2/3 2 Z 1 1 dx, que é convergente. pará-lo com o integral 1 (1 − x)2/3 2 Como 1 √ 1 x (1 − x)2/3 = lim √ = 1 lim − − 1 x x→1 x→1 (1 − x)2/3 os dois integrais têm a mesma natureza. Podemos afirmar que Z

1 1 2

1 √ dx x (1 − x)2/3

é convergente. Conclu´ımos, assim, que o integral dado converge. (b) O integral Z

π/2

0

√ x dx sen(x)

√ √ x x = +∞ e é cont´ınua em ]0, π2 ]. Como sen(x) x→0 sen(x) a fun¸cão integranda é positiva no intervalo de integra¸cão podemos aplicar um critério de Z π/2 1 compara¸cão. Consideremos o integral 1 dx que sabemos ser convergente. O limite x2 0 √ x x sen(x) lim = lim = 1, 1 x→0+ x→0+ sen(x) 1 x2

é impróprio de 2a espécie porque lim+

é finito e diferente de zero, o que nos permite concluir que os dois integrais têm a mesma Z π/2 √ x natureza, sendo, portanto, convergente o integral dx. sen(x) 0

(c) O integral

Z

π/2

0

sen(x) dx 1 − cos(x)

é um integral impróprio de 2a espécie porque lim

x→0+

cont´ınua em ]0, π2 ]. Por defini¸cão, Z

π/2 0

sen(x) dx = lim+ 1 − cos(x) x→0

Z

π/2 x

sen(x) = +∞ e a fun¸cão integranda é 1 − cos(x)

sen(t) π/2 dt = lim+ [log(1 − cos(t))]x = 1 − cos(t) x→0

= − lim log(1 − cos(x)) = +∞ x→0+

5.6 Exerc´ıcios Resolvidos

193

4. (a) O integral Z

+∞

1

1 √ dx x x−1

é um integral impróprio misto. De facto, lim

x→1+

1 √ = +∞ e o intervalo de integra¸caõ é x x−1

ilimitado. Podemos escrever Z +∞ Z 2 Z +∞ 1 1 1 √ √ √ dx = dx + dx. x x − 1 x x − 1 x x −1 1 2 1 O integral Z

1

2

1 √ dx x x−1

é um integral impróprio de 2a espécie no limite inferior de integra¸cão. O integral Z +∞ 1 √ dx x x−1 2

é um integral impróprio de 1a espécie.

Estudemos o integral impróprio de 2a espécie convergente pois α =

Z

1

1 < 1. O limite 2

2

1 √ dx. O integral x x−1

Z

1

2

1 1

(x − 1) 2

dx é

1 √ 1 x x−1 lim+ = lim+ = 1, 1 x x→1 x→1 1 (x − 1) 2 é finito e diferente de zero, o que nos permite concluir que os dois integrais têm a mesma Z 2 1 √ natureza, sendo, portanto, convergente o integral dx. 1 x x−1 Z +∞ 1 √ Para estudar a natureza do integral impróprio de 1a espécie dx vamos compar´ ax x−1 2 Z +∞ 1 lo com o integral e convergente. 3 dx, que ´ 2 x 2 Como 1 r √ √ x x x x x−1 lim = lim √ = lim =1 1 x→+∞ x→+∞ x x − 1 x→+∞ x−1 3 x2 os dois integrais têm a mesma natureza. Podemos afirmar que Z

+∞

2

1 √ dx x x−1

é convergente. Conclu´ımos, assim, que o integral dado é convergente. (b) O integral Z

1

+∞

sen(x) √ dx x4 − 1

194

5. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

é impróprio misto porque o intervalo de integra¸cão é ilimitado, a fun¸cão integranda é cont´ınua sen(x) em ]1, +∞[ e lim √ = +∞. Podemos escrever x→1+ x4 − 1 Z

+∞ 1

sen(x) √ dx = x4 − 1

Z

2

Z

2

1

sen(x) √ dx + x4 − 1

Z

+∞ 2

sen(x) √ dx. x4 − 1

O integral 1

sen(x) √ dx x4 − 1

a

é um integral impróprio de 2 espécie no limite inferior de integra¸cão. O integral Z

+∞ 2

sen(x) √ dx x4 − 1

a

é um integral impróprio de 1 espécie. Z

2 sen(x) √ dx. Estudemos o integral impróprio de 2 espécie x4 − 1 1 Z 2 1 1 dx que sabemos ser convergente. O limite (x − 1) 2 1 a

Consideremos o integral

sen(x) √ 1 (x − 1) 2 sen(x) sen(x) sen(1) x4 − 1 lim = lim , 1 1 = lim 1 = 1 1 1 2 x→1+ (x − 1) 2 (x + 1) 2 (x2 + 1) 2 x→1+ (x + 1) 2 (x2 + 1) 2 x→1+ 1 (x − 1) 2 é finito e diferente de zero, o que nos permite concluir que os dois integrais têm a mesma Z 2 sen(x) √ natureza, sendo, portanto, convergente o integral dx. x4 − 1 1 Como sen(x) 1 √ x4 − 1 ≤ √x4 − 1 ∀x ∈ [2, +∞[, Z +∞ Z +∞ 1 1 √ estudemos o integral dx. Para isso vamos compará-lo com o integral dx, 2 4 x x −1 2 2 que é convergente. Sendo o limite lim

x→+∞

1 √ x2 x4 − 1 = lim √ =1 1 x→+∞ x4 − 1 x2

finito Z +∞ e diferente de zero, os dois integrais têm a mesma natureza. Podemos afirmar que 1 √ dx é convergente, pelo que, pelo Critério Geral de Compara¸cão, o integral 4−1 x Z2 +∞ Z +∞ sen(x) sen(x) √ dx é convergente, o que implica que √ dx é absolutamente con x4 − 1 x4 − 1 2 2 vergente. Conclu´ımos, assim, que o integral dado converge.

5.6 Exerc´ıcios Resolvidos

Z

195

+∞

1 1 dx é um integral impróprio de 1a espécie porque a fun¸cão x log(x) x log(x) 2 é cont´ınua em [2, +∞[ e o intervalo de integra¸cão é ilimitado. Por defini¸cão,

(c) O integral

Z

+∞

1 dx = lim x→+∞ x log(x)

2

=

Z

2

x

1 t

log(t)

x

dt = lim [log(log(t))]2 x→+∞

lim (log(log(x)) − log(log 2)) = +∞,

x→+∞

portanto, o integral é divergente. (d) O integral Z

+∞

3

cos(x) √ dx (x − 1) x − 3

cos(x) √ = −∞, a fun¸cão integranda é cont´ınua em x→3 (x − 1) x − 3 ]3, +∞[ e o intervalo de integra¸cão é ilimitado. Podemos escrever

é impróprio misto porque lim+

Z

3

+∞

cos(x) √ dx = (x − 1) x − 3

Z

4

Z

4

3

cos(x) √ dx + (x − 1) x − 3

Z

+∞ 4

cos(x) √ dx. (x − 1) x − 3

O integral 3

a

cos(x) √ dx (x − 1) x − 3

é um integral impróprio de 2 espécie no limite inferior de integra¸cão. O integral Z +∞ cos(x) √ dx (x − 1) x − 3 4

é um integral impróprio de 1a espécie.

Z 4 cos(x) √ Estudemos o integral impróprio de 2a espécie dx. Consideremos o integral 3 (x − 1) x − 3 Z 4 1 1 dx que sabemos ser convergente. O limite 3 (x − 3) 2 − cos(x) √ 1 − cos(x) (x − 3) 2 − cos(x) cos(3) (x − 1) x − 3 lim+ = lim+ = lim+ =− , 1 1 x−1 2 x→3 x→3 x→3 (x − 3) 2 (x − 1) 1 (x − 3) 2 pertence a R+ , o que nos permiteZconcluir que os dois integrais têm a mesma natureza, sendo, 4 cos(x) √ portanto, convergente o integral dx. 3 (x − 1) x − 3 Sabemos que 0 ≤ | cos(x)| ≤ 1, ∀x ∈ R, portanto, cos(x) 1 √ (x − 1) x − 3 ≤ (x − 1) √x − 3 ∀x ∈ [4, +∞[. Estudemos o integral

Z

4

+∞

1 √ dx. Para isso, vamos compará-lo com o integral (x − 1) x − 3

196

5. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

Z

+∞

1 3

4

x2

dx, que é convergente. Como

lim

x→+∞

1 √ 3 x2 (x − 1) x − 3 √ = lim =1 1 x→+∞ (x − 1) x − 3 3

x2

Z +∞ 1 √ os dois integrais têm a mesma natureza. Podemos afirmar que dx é (x − 1) x − 3 Z +∞ 4 cos(x) convergente. Pelo Critério Geral de Compara¸cão, o integral (x − 1) √x − 3 dx é con4 Z +∞ cos(x) √ vergente, o que implica que o integral dx é absolutamente convergente. (x − 1) x − 3 4

Conclu´ımos, assim, que o integral dado converge.

5. A fun¸cão integranda é cont´ınua em R, portanto, o integral é impróprio de 1a espécie. Podemos come¸car por considerar que β 6= 0, pois se β = 0, o valor do integral seria zero. Sabendo que

|x − 1| =

=

   x − 1,

se x − 1 ≥ 0

  −(x − 1), se x − 1 < 0    x − 1, se x ≥ 1   −(x − 1), se x < 1

temos, por defini¸cão de integral impróprio de 1a espécie, Z

+∞

β e−3|x−1| dx

=

−∞

Z

1

β e−3|x−1| dx +

−∞

=

lim

y→−∞

Z

+∞

β e−3|x−1| dx

1

Z

1

βe

3(x−1)

dx + lim

y

t→+∞

Z

t

β e−3(x−1) dx

1

1 −3(x−1) t e3(x−1) −e = lim β + lim β y→−∞ t→+∞ 3 3 y 1 3(y−1) −3(t−1) 1−e −e +1 = lim β + lim β y→−∞ t→+∞ 3 3 =

β β + 3 3

=

2β 3

Como queremos que o valor deste integral seja 2 fazemos

2β = 2, ou seja, β = 3. 3

5.6 Exerc´ıcios Resolvidos

197

6. (a) Se a > 0 então x + a 6= 0, ∀x ∈ [1, +∞[, o que implica que o integral I

=

Z

+∞

1

=

Z

1

+∞

2x2 + bx + a −2 x(x + a)

dx =

Z

1

+∞

2x2 + bx + a − 2x2 − 2ax dx x(x + a)

(b − 2a)x + a dx x(x + a)

(b − 2a)x + a . x(x + a) (i) Vamos estudar a convergência deste integral discutindo vários casos.

é impróprio de 1a espécie. Seja f (x) =

a > 0, ∀x ∈ [1, +∞[. Consideremos o 1o caso: b − 2a = 0. Neste caso, f (x) = x(x + a) Z +∞ 1 dx que sabemos ser convergente. O limite integral impróprio de 1a espécie 2 x 1 a ax2 x(x + a) lim = lim =a 1 x→+∞ x→+∞ x(x + a) x2 é um n´ umero real positivo, portanto, os dois integrais têm a mesma natureza, o que implica que I é convergente. 2o caso: b − 2a > 0. Neste caso, f (x) > 0, ∀x ∈ [1, +∞[. Consideremos o integral Z +∞ 1 impróprio de 1a espécie dx que sabemos ser divergente. O limite x 1 (b − 2a)x + a (b − 2a)x + a x(x + a) lim = lim = b − 2a 1 x→+∞ x→+∞ x+a x é um n´ umero real positivo, portanto, os dois integrais têm a mesma natureza, o que implica que I é divergente. a 3o caso: b − 2a < 0. Facilmente se verifica que f (x) = 0 ⇔ x = − , o que implica b − 2a a a que f (x) < 0, ∀x > − . Sendo M = max{− , 1} temos de estudar o integral b − 2a b − 2a Z +∞ (−f (x)) dx. M

a Este Z +∞integral e I têm a mesma natureza. Consideremos o integral impróprio de 1 espécie 1 dx que sabemos ser divergente. O limite x M

(b − 2a)x + a (b − 2a)x + a x(x + a) lim = − lim = −(b − 2a) 1 x→+∞ x→+∞ x+a x é um n´ umero real positivo, portanto, os dois integrais têm a mesma natureza, o que implica que I é divergente. Conclusão: Para que I seja convergente tem que se verificar b − 2a = 0. −

198

5. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

(ii) Pela al´ınea anterior, o integral é convergente se, e só se, b = 2a. Então, como 1 1 − , x x+a

a = x(x + a)

Z x 1 1 1 1 I = − dx = lim − dt x→+∞ 1 x x+a t t+a 1 1 x t x = lim [log(t) − log(t + a)]1 = lim log x→+∞ x→+∞ t+a 1 x 1 1 = lim log − log = − log . x→+∞ x+a 1+a 1+a Z

+∞

a dx = x(x + a)

Z

+∞

Portanto, I = 1 ⇔ − log

1 1+a

= 1 ⇔ log(1 + a) = 1 ⇔ 1 + a = e ⇔ a = e − 1.

Como b = 2a temos que b = 2e − 2. 7. (a) Consideremos o integral impróprio Z

0

+∞

(1 + x)α √ dx. x (x2 + 1)

(1 + x)α = +∞, A fun¸cão integranda tem dom´ınio R+ , é positiva no seu dom´ınio e lim √ x→0 x(x2 + 1) ∀α ∈ R. Como o intervalo de integra¸cão é [0, +∞[, este integral é impróprio misto seja qual for o valor do parâmetro real α. Consideremos os integrais Z 1 Z +∞ (1 + x)α (1 + x)α √ √ dx e dx. x (x2 + 1) x (x2 + 1) 0 1 a

Comecemos por estudar o integral impróprio de 2 espécie Z 1 1 √ dx é convergente e o integral x 0

Z

0

(1 + x)α √ (1 + x)α x (x2 + 1) lim = lim = 1, 1 x→0+ x2 + 1 x→0+ √ x

1

(1 + x)α √ dx. Sabemos que x (x2 + 1)

∀α ∈ R,

pertence a R+ , o que nos permiteZconcluir que os dois integrais têm a mesma natureza, sendo, 1 (1 + x)α √ portanto, convergente o integral dx, ∀α ∈ R. x (x2 + 1) 0 Z +∞ (1 + x)α a √ Para estudar a natureza do integral impróprio de 1 espécie dx vamos comx (x2 + 1) 1 Z +∞ 1 5 3 pará-lo com o integral dx, que converge se, e só se, − α > 1, isto é, α < . 5 −α 2 2 2 x 1 Como (1 + x)α √ 5 (1 + x)α x 2 −α x (x2 + 1) lim = lim √ = 1, ∀α ∈ R, 1 x→+∞ x→+∞ x (x2 + 1) 5 x 2 −α

5.6 Exerc´ıcios Resolvidos

199

é finito e diferente de zero, os dois integrais têm a mesma natureza. Podemos afirmar que Z

+∞

1

converge se, e só se, α <

(1 + x)α √ dx x (x2 + 1)

3 . 2

Conclu´ımos, assim, que o integral dado converge se, e só se, α < Z

+∞

(1 + x)α √ dx = x (x2 + 1)

0

Z

1

0

(1 + x)α √ dx + x (x2 + 1)

Z

+∞

1

3 ,e 2 (1 + x)α √ dx. x (x2 + 1)

(b) Consideremos o integral impróprio Z

1

Z

1 2

xα

0

1 √ dx. 1−x

Podemos escrever Z

0

1

1 √ dx = α x 1−x

0

1 √ dx + α x 1−x

Z

1 1 2

xα

1 √ dx, 1−x

e o integral dado é convergente se, e só se, forem convergentes os dois integrais do lado direito da igualdade. O integral Z 12 1 √ dx α 1−x 0 x

é um integral impróprio de 2a espécie no limite inferior de integra¸cão se α > 0 porque, neste 1 1 caso, lim+ α √ = +∞, e de Riemann se α ≤ 0, pois, nesta situa¸cão, α √ é x→0 x 1−x x 1−x 1 cont´ınua em [0, ]. 2 O integral Z 1 1 √ dx 1 xα 1−x 2 é um integral impróprio de 2a espécie no limite superior de integra¸cão seja qual for o valor do 1 parâmetro real α, porque lim α √ = +∞. − x→1 x 1−x Z 12 1 √ Seja α > 0. Estudemos o integral impróprio de 2a espécie dx. Sabemos que o α 1−x x 0 Z 1 1 integral dx é convergente se, e só se, α < 1. O limite α 0 x 1 √ 1 xα 1 − x lim = lim+ √ = 1, 1 x→0+ x→0 1−x xα é finito e diferente de zero, o que nos permite concluir que os dois integrais têm a mesma Z 12 1 √ natureza, sendo, portanto, convergente o integral dx se, e só se, α < 1. Como α 1−x 0 x

200

5. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

no caso em que α ≤ 0 se trata de um integral de Riemann, podemos dizer que este integral tem sentido se, e só se, α < 1. Z 1 1 √ Para estudar a natureza do integral impróprio de 2a espécie dx vamos compar´ a1 xα 1−x 2 Z 1 1 lo com o integral e convergente. 1 dx, que ´ 1 (1 − x) 2 2 Como o limite 1 √ 1 xα 1 − x lim = lim α = 1, ∀α ∈ R, 1 x→1− x→1− x 1 (1 − x) 2

é finito e diferente de zero, os dois integrais têm a mesma natureza. Podemos afirmar que Z 1 1 √ dx 1 xα 1−x 2 é convergente qualquer que seja o valor do parâmetro α. Conclu´ımos, assim, que o integral dado converge se, e só se, α < 1. (c) Podemos escrever o integral dado como a soma de dois integrais: Z

0

+∞

1 √ dx 3 x2α + xα

=

Z

1

0

=

Z

1

0

1 √ dx + 3 x2α + xα

Z

1 dx + α √ 3 x 3 xα + 1

+∞

√ 3

1

Z

1

+∞

1 dx x2α + xα

1 √ dx; x xα + 1 α 3 3

1 1 = +∞ e se α ≤ 0, α √ é cont´ınua em [0, 1] o que nos α √ x 3 3 xα + 1 x 3 3 xα + 1 permite afirmar que o primeiro integral é um integral impróprio de 2a espécie se α > 0 e de Riemann se α ≤ 0; o segundo é impróprio de 1a espécie seja qual for o valor do parâmetro real 1 α, porque a fun¸cão α √ é cont´ınua em [1, +∞[. Consideremos o integral impróprio de 3 3 x xα + 1 a 2 espécie Z 1 1 α dx, 0 x3 α que sabemos ser convergente se, e só se, < 1, isto é, se, e só se, α < 3. Como o limite 3 se α > 0 então lim+ x→0

1 √ 1 x xα + 1 lim = lim √ =1 3 α + + 1 x→0 x→0 x +1 α x3 α 3 3

é finito e diferente de zero, os dois integrais têm a mesma natureza, o que nos permite concluir que o integral Z 1 1 dx α √ 3 3 xα + 1 0 x é convergente se, e só se, α < 3. Consideremos o integral impróprio de 1a espécie Z +∞ 1 1

x

2α 3

dx,

5.6 Exerc´ıcios Resolvidos

201

que sabemos ser convergente se, e só se,

lim

x→+∞

2α 3 > 1, isto é, se, e só se, α > . Como o limite 3 2

1 s √ α x2α x x +1 =1 = lim 3 α α 1 x→+∞ x (x + 1) α 3 3

x

2α 3

é finito e diferente de zero, os dois integrais têm a mesma natureza, o que nos permite concluir que o integral Z +∞ 1 dx α √ 3 α+1 3 x x 1 é convergente se, e só se, α > Conclusão: o integral

3 . 2

Z

+∞

1 √ dx 3 2α x + xα

0

3 converge se, e só se, < α < 3. 2 (d) Consideremos o integral

Z

+∞

1

e−x dx. x

´ um integral impróprio de 1a espécie, pois a fun¸cão integranda é cont´ınua no intervalo de E integra¸cão que é ilimitado. Estudemos a natureza deste integral comparando-o com o integral Z +∞ 1 dx x2 1 que sabemos ser convergente. O limite

lim

x→+∞

e−x −x 2 x = lim e x = lim x = 0 1 x→+∞ x→+∞ ex x 2 x

permite-nos concluir que o integral

Z

+∞

1

e−x dx x

é convergente. Então a natureza do integral Z +∞ −x e−αx e − dx x 1 − e−x 1 é a natureza do integral

Z

1

+∞

e−αx dx. 1 − e−x

Este integral é um integral impróprio de 1a espécie, pois, qualquer que seja o valor do parˆ ametro real α, a fun¸cão integranda é cont´ınua no intervalo de integra¸cão que é ilimitado. 1o caso: α = 0. Por defini¸cão, Z +∞ Z +∞ Z t 1 ex ex dx = dx = lim dx = t→+∞ 1 ex − 1 1 − e−x ex − 1 1 1

202

5. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

= lim [log(ex − 1)]t1 = lim t→+∞

t→+∞

log(et − 1) − log(e − 1) = +∞

ou seja, se α = 0 o integral é divergente. 2o caso: α > 0. Consideremos o integral impróprio de 1a espécie Z +∞ 1 dx 2 x 1 que sabemos ser convergente.

lim

x→+∞

e−αx x2 1 − e−x = lim =0 1 x→+∞ eαx (1 − e−x ) x2

o que implica que o integral

Z

+∞

1

e−αx dx 1 − e−x

é convergente se α > 0. 3o caso: α < 0. Consideremos o integral impróprio de 1a espécie Z +∞ 1 dx x 1 que sabemos ser divergente.

lim

x→+∞

e−αx −αx 1 − e−x = lim x e = +∞ 1 x→+∞ 1 − e−x x

o que implica que o integral

Z

+∞

1

é divergente se α < 0. Conclusão: O integral

Z

+∞

1

converge se, e só se, α > 0.

e−αx dx 1 − e−x

e−x e−αx − x 1 − e−x

dx

(e) Consideremos o integral impróprio Z

+∞

xα

0

1 √ dx. 3 x2 − 1

A fun¸cão integranda tem dom´ınio R \ {−1, 1}, se α ≤ 0, ou R \ {−1, 0, 1}, se α > 0. Como o intervalo de integra¸cão é [0, +∞[, este integral é impróprio misto seja qual for o valor do parâmetro real α. Consideremos os integrais Z 12 Z 1 Z 2 Z +∞ 1 1 1 1 √ √ √ √ dx, dx, dx e dx. 3 3 3 3 α 2 α 2 α 2 α 1 x x −1 x −1 x −1 x x2 − 1 0 x 1 x 2 2 Comecemos por estudar o integral

Z

1 2

0

xα

√ 3

1 dx, que é impróprio de 2a espécie se α > 0, x2 − 1

1 √ porque lim = −∞, e de Riemann se α < 0, porque a fun¸cão integranda é 3 x→0+ xα x2 − 1

5.6 Exerc´ıcios Resolvidos

203

cont´ınua em [0, 12 ]. Sabemos que o integral limite

Z

0

1 2

1 dx é convergente se, e só se, α < 1 e o xα

1 √ 3 −1 −xα x2 − 1 √ lim+ = lim+ = lim √ = 1, 3 1 x→0 x→0 xα x2 − 1 x→0+ 3 x2 − 1 xα é finito e diferente de zero, o que nos permite concluir que os dois integrais têm a mesma Z 12 1 √ natureza, sendo, portanto, convergente o integral dx se, e só se, α < 1. 3 α x2 − 1 0 x Z 1 1 √ ametro O integral dx é impróprio de 2a espécie seja qual for o valor do parˆ 3 α 2−1 1 x x 2 Z 1 1 1 √ real α, porque lim− e = −∞, ∀α ∈ R. Sabemos que o integral 1 dx ´ 3 α 2 1 (1 − x) 3 x→1 x x −1 2 convergente e −

lim

−

x→1−

xα

1 1 −(1 − x) 3 1 1 x2 − 1 , ∀α ∈ R, = lim 1 1 = lim 1 = √ 3 − − 1 α α x→1 x (x − 1) 3 (x + 1) 3 x→1 x (x + 1) 3 2 1 (1 − x) 3

xα

√ 3

pertence a R+ , o que nos permite concluir que os dois integrais têm a mesma natureza, sendo, Z 12 1 √ portanto, convergente o integral dx, ∀α ∈ R. 3 α x2 − 1 0 x Z 2 1 √ dx, é impróprio de 2a espécie seja qual for o valor do parˆ O integral ametro 3 α x2 − 1 1 x Z 2 1 1 √ = +∞, ∀α ∈ R. Sabemos que o integral real α, porque lim e 1 dx ´ 3 x→1+ xα x2 − 1 (x − 1) 3 1 convergente e

lim

x→1+

1 √ 1 3 (x − 1) 3 1 1 x2 − 1 = lim , ∀α ∈ R, 1 1 = lim 1 = √ 3 + + 1 α α x→1 x (x − 1) 3 (x + 1) 3 x→1 x (x + 1) 3 2 1 (x − 1) 3

xα

pertence a R+ , o que nos permiteZconcluir que os dois integrais têm a mesma natureza, sendo, 2 1 √ portanto, convergente o integral dx, ∀α ∈ R. 3 α x2 − 1 1 x Z +∞ 1 a √ Para estudar a natureza do integral impróprio de 1 espécie dx vamos com3 α x x2 − 1 2 Z +∞ 1 2 1 pará-lo com o integral o se, α + > 1, isto é, α > . 2 dx, que converge se, e s´ α+ 3 3 x 3 2 Como

lim

x→+∞

xα

1 √ 2 2 3 xα+ 3 x3 x2 − 1 √ √ = lim = lim = 1, ∀α ∈ R, 1 x→+∞ xα 3 x2 − 1 x→+∞ 3 x2 − 1 2 xα+ 3

os dois integrais têm a mesma natureza. Podemos afirmar que Z +∞ 1 √ dx 3 α x x2 − 1 1

204

5. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

converge se, e só se, α >

1 . 3

Conclu´ımos, assim, que o integral dado converge se, e só se,

8. O integral

Z

+∞

0

1 < α < 1. 3

sen(x) dx x

sen(x) tem dom´ınio R \ {0}, é x cont´ınua em ]0, +∞[ e o intervalo de integra¸cão é ilimitado. Mas analisando a decomposi¸cão Z π Z +∞ Z +∞ sen(x) sen(x) sen(x) dx = dx + dx x x x 0 π 0

é um integral impróprio de 1a espécie porque a fun¸cão g(x) =

vemos que o integral

Z

0

é um integral de Riemann, pois, se

π

sen(x) dx x

    sen(x) , se x ∈ [0, π] x f (x) =    1, se x = 0

sen(x) = 1 e g difere de f apenas num ponto, x Z π sen(x) dx = f (x) dx x 0

temos que fun¸cão f é cont´ınua em [0, π] porque lim o que implica que

O integral

x→0

Z

π 0

Z

+∞

sen(x) dx x π é um integral improprio de 1a espécie. Por defini¸cão e integrando por partes, ! t Z t Z +∞ Z t sen(x) 1 −1 sen(x) dx = lim dx = lim (− cos(x)) − (− cos(x)) dx = 2 t→+∞ π t→+∞ x x x π π x π Z t Z t cos(x) 1 cos(x) cos(t) cos(π) = lim − + − dx = − − lim dx. 2 t→+∞ t→+∞ t π x π x2 π π

Para provar que o integral é convergente basta provar que este u ´ ltimo limite existe e é finito. Mas cos(x) 1 x2 ≤ x2 , ∀x ∈ R \ {0} e sendo o integral

Z

+∞

1 dx 2 x π um integral impróprio de 1a espécie convergente, temos, pelo Critério de Compara¸cão, que o integral Z +∞ cos(x) x2 dx π

5.6 Exerc´ıcios Resolvidos

205

é convergente; o que implica que o integral Z

+∞

cos(x) dx x2

π

é convergente e, portanto, o limite lim

t→+∞

existe e é finito. Então o integral

Z

Z

+∞

Z

+∞

π

é convergente. Assim, o integral

0

é convergente.

t

π

cos(x) dx x2

sen(x) dx x

sen(x) dx x

9. Seja f : [0, +∞[→ R uma fun¸cão de classe C 1 , isto é, f ′ é cont´ınua em [0, +∞[. Então f ′ é integr´ avel Z +∞ à Riemann em qualquer intervalo [0, x], x > 0, o que nos prmite dizer que o integral f ′ (x) dx 0

é um integral impróprio de 1a espécie. Por defini¸cão e usando a Regra de Barrow (poss´ıvel porque f ′ é cont´ınua) temos Z

+∞

′

f (x) dx = lim

x→+∞

0

Como, por hipótese,

Z

Z

x

x→+∞

0

f (x) dx é convergente e existe lim f (x), sabemos que lim f (x) = 0. x→+∞

Z

0

Z

+∞ 0

x→+∞

+∞

0

Portanto,

isto é, o integral

f ′ (t) dt = lim [f (t)]x0 = lim (f (x) − f (0)).

+∞

f ′ (x) dx = −f (0),

f ′ (x) dx é convergente e o seu valor é −f (0).

x→+∞

206

5. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

5.7

Exerc´ıcios Propostos

5.7.1

Integrais

1. Tendo em conta que toda a fun¸cão cont´ınua em [a,b] é integrável nesse intervalo, use a defini¸cão de integral para mostrar que se tem : Z b b2 a2 − ; (a) x dx = 2 2 a Z b (b) sen(x) dx = cos(a) − cos(b). a

2. Seja f a fun¸cão definida por f (x) =

   0   1

se x ∈ Q se x 6∈ Q

Mostre que a fun¸cão x → |f (x) − 21 | é integrável no intervalo [0, 1] , mas o mesmo não acontece com a fun¸cão x → f (x) − 12 . 3. Calcule os seguintes integrais: (a) (b) (c)

(d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k)

Z Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z Z

Z

−3

1 dx; 2 x −1

−2 1

x2

0 π 4

x dx; + 3x + 2

(l) (m)

e π 4

sec2 (x) dx;

(n)

1 dx; x log x

(o)

1 0 π 2

(q) (r)

π 4

0 π 3

tg3 (x) sec(x) dx;

1 −1

x2

p 4 − x2 dx;

sen(2x) cos(x) dx;

4

Z

1 √ dx; 1+ x

log 2

Z

π 2

Z Z Z Z

√ ex − 1 dx;

1 dt; 3 + 2 cos t

3

t+1 √ dt; t2 + 2t

4

x √ dx; 2 + 4x

4/3

3/4 2

1 √ dz; z z2 + 1

e3x + e2x + 1 dx; ex − e−x 1 √ Z 0 u + 2u + 1 √ (v) du. −1/2 1 + 2 2u + 1

(u)

0

Z

1

(t) (sen(2x))3 dx;

π 2

2

arc sen (x) dx; 0

(sen(x) + | cos(x)|) dx;

0

(s)

1/2

|sen(x)| dx;

0

(1 + cos2 (x)) dx;

0

Z

0

tg(x) dx; ex dx; 1 + e2x

−π Z π

0

(p)

−π 4

π

−π

π 6

e2

Z

(w)

5.7 Exerc´ıcios Propostos

207

4. Calcule os seguintes integrais: Z π2 (a) (x2 cos(x) + 1) cos(x) dx; 0 Z e (b) cos(log x) dx; 1

(c)

Z

1

(x3 + x2 + x + 1)ex dx;

0

(d)

Z

π 2

[(sen(x))n−1 sen((n + 1)x)] dx +

0

(e)

Z

π

Z

π 2

[sen(3x) cos(5x)] dx;

0

ex sen(x) dx;

0

(f)

Z

4

2

(g)

Z

π 3

0

2x − 1 dx; 3x3 + 3x + 30 (| cos(3x)| − xsen(x)) dx.

5. Seja f uma fun¸cão de classe C 0 em [−a, a]. Mostre que: Z a Z a (a) Se f (x) = f (−x) então f (x) dx = 2 f (x) dx; −a

(b) Se f (x) = −f (−x) então

Z

0

a

f (x) dx = 0.

−a

6. Sejam m e n dois inteiros . Mostre que:   Z π  0 se m 6= n (a) sen(mx)sen(nx) dx =  0  π se m = n 2 Z π (b) sen(nx) cos(mx) dx = 0. −π

7. (a) Seja f uma fun¸cão cont´ınua e crescente em [1, +∞[. Mostre que: Z x (x − 1)f (1) < f (t) dt < (x − 1)f (x). 1

(b) Utilizando o resultado da al´ınea anterior e sendo f (t) = log(t) mostre que ex−1 < xx < (ex)x−1 . 8. Sendo f uma fun¸cão real definida e diferenciável em [0, 1], mostre que Z

0

1

xf ′ (1 − x) dx =

Z

1

0

9. Determine as derivadas das fun¸cões F definidas por : Z 3x+2 (a) F (x) = tet dt, no ponto em que x = 1; 0

(b) F (x) =

Z

kb(x)

a(x)

f (u) du, k constante;

f (x) dx − f (0).

208

5. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

(c) F (x) =

Z

1

x2 +x+1

sen(t) dt, no ponto em que x = 1. t

10. Considere a fun¸cão f (x) =

x2 + 34

Z

1

et (t − 74 ) dt. Determine: t

(a) O seu dom´ınio e a equa¸cão da recta tangente à linha que é a sua representa¸cão gráfica no ponto em que x = 1/2. (b) Os pontos em que a fun¸cão tem extremo relativo e, em cada ponto, a natureza do extremo. 11. Calcule lim

x→0

12. Calcule lim

x→0+

13. Seja n um inteiro não negativo e seja In =

Z

x

sen(t3 ) dt

0

x4

Z

1 x

xp

3t2 + 5 dt.

0

Z

.

π 2

(sen(x))n dx.

0

n+1 In . n+2 (b) A partir do resultado da al´ınea anterior conclua que com k inteiro positivo se tem (a) Mostre que In+2 =

π 2

Z

(sen(x))2k dx =

0

e

Z

π 2

(2k − 1)(2k − 3)....3 × 1 π × 2k(2k − 2)....4 × 2 2

(sen(x))2k+1 dx =

0

(c) Usando a substitui¸cão x =

π 2

2k(2k − 2)....4 × 2 . (2k + 1)(2k − 1)...3 × 1

− t , mostre que In =

Z

π 2

0

(cos(x))n dx.

5.7 Exerc´ıcios Propostos

5.7.2

209

C´ alculo de ´ areas

1. Determine a área de cada um dos seguintes dom´ınios: (a) Dom´ınio limitado pela parábola y 2 = 2x − 2 e pela recta y − x + 5 = 0.

(b) Dom´ınio limitado pelas parábolas y 2 = 4ax + 4a2 e y 2 = −4bx + 4b2 , a, b ∈ R+ .

(c) Dom´ınio limitado pelas representa¸cões gráficas das fun¸cões f (x) = −x3 e g(x) = −(4x2 + 12x).

(d) Dom´ınio limitado pelas representa¸cões gráficas das fun¸cões f (x) = x3 − 6x2 + 8x e g(x) = x2 − 4x.

(e) Dom´ınio limitado pelas representa¸cões gráficas das fun¸cões f (x) = ex e g(x) = e−x e por x = −1 e x = 2.

(f) Dom´ınio limitado pelas representa¸cões gráficas das fun¸cões f (x) = x3 − x e g(x) = sen(πx) e x ∈ [−1, 1]. 1 (g) Dom´ınio limitado pelas representa¸cões gráficas das fun¸cões f (x) = , g(x) = ax, h(x) = bx, x a, b ∈ R+ .

2. A parábola y 2 = x + 1 determina no c´ırculo limitado pela circunferência x2 + y 2 = 3 dois dom´ınios. Determine a área de cada um deles.

210

5.7.3

5. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

Integrais Impr´ oprios

1. Calcule, se existir, o valor de cada um dos seguintes integrais impróprios: (a) (b) (c) (d) (e) (f)

Z Z Z

Z

Z

Z

+∞

2

x e−x dx

(g)

0 +∞

log x dx x

1 6 2 2 1

1 p dx 3 (4 − x)2

1 dx x2 − 1

−3

x dx 2 (x − 4)6/5

−∞

+∞

log(3 t) dt 2 t2

1

(h)

Z

1

2 x3 (x4 + 1)−3/2 dx

−∞ Z a a/2

(i)

Z

3a

0

(j)

Z

2

(k)

2x dx, a ∈ R+ (x2 − a2 )2/3

x √ dx 3 2 x −4

−2

Z

1 √ dx, a ∈ R+ a2 − x2

π/2

−π/2

(l)

Z

+∞

1 dx 1 − cos(x)

t e−t dt

−∞

2. Estude quanto à convergência os seguintes integrais impróprios: (a) (b) (c) (d) (e)

Z

Z

Z Z Z

+∞

2t+3 dt 4 t3 + 1

0 +∞

sen(x) √ dx x 1 + x2

1 +∞

log x dx x2

√ 2 1/2

6

x5 ex dx

(f)

1

0

(g)

Z

3

0

(h)

Z

1

0

(i)

−∞ π

Z

1 p dx sen(x)

cos(x) √ dx √ 3 x − 1 4 9 − x2

log(x + 1) dx x−1

+∞

2

x dx 2 (x − 9)1/4

3

Z

(j)

Z

+∞

1

e−x dx x2 − 1

arctg(t) dt t2

3. Estude pormenorizadamente para que valores dos parâmetros reais p e q tem sentido cada um dos seguintes integrais: (a) (b) (c) (d)

Z

Z

Z Z

+∞

e−x xp dx

(e)

e

+∞

x2

0

+∞ 1 1

3

2

log (x) dx x1+p p

x (1 − x) dx

0 1 0

Z

1 dx x2 − p

(f)

Z

π/2

xp+1 dx − 4 x + 13

(cos(x))p dx

0

(g)

Z

2

1

(h)

Z

0

−2

2−x x−1

p+1

1 dx x

(−x)p dx (x + 2)q

4. Seja f uma fun¸cão cont´ınua não negativa para x > a > 0 e suponha que existem constantes reais M > 0 e K > 1 tais que M f (x) ≤ K , ∀x > a x

5.7 Exerc´ıcios Propostos

211

(a) Mostre que, nestas condi¸cões, o integral impróprio

Z

+∞

f (x) dx é convergente.

a

(b) Aplique o resultado da al´ınea anterior para mostrar que o integral

1

é convergente. 5. Determine uma representa¸cão anal´ıtica da fun¸cão F (x) = onde

Z

Z

+∞

√

1+

1 √ dx 1 + x3

x2

x

g(t) dt

−∞

   2, x2 g(x) =   2,

se |x| ≥ 1 se |x| ≤ 1

6. Determine, se existir, a área do dom´ınio plano ilimitado definido por: 1 1 e g(x) = x2 e pelo semi-eixo positivo dos xx; 2 1+x 2 1 (b) o eixo dos xx, as rectas x = −2 e x = 5 e a representa¸cão gráfica da fun¸cão h(x) = p . |x| (a) a imagem das fun¸cões f (x) =

7. Determine, se existir, a área de cada um dos seguintes dom´ınios planos ilimitados: (a) S = {(x, y) : x ≤ 0 ∧ 0 ≤ y ≤ ex } n o (b) S = (x, y) : x ≥ −2 ∧ 0 ≤ y ≤ e−x/2 8. (a) Calcule o valor do integral impróprio (b) Estude a convergência do integral

Z

1

Z

−1

+∞

0

1 dx (x2 + 1) (x + 1)

1 dx (sen(x))1/3

9. (a) Estude, em fun¸cão do parâmetro real α, a convergência do integral Z 1 xα √ dx 2 2 0 (1 + x ) 1 − x Z +∞ 1 (b) Estude a convergência do integral dx 2 1/3 (x − 1) (x + 1)1/3 0 Z π/2 cos(x) p 10. (a) Calcule o valor do integral impróprio dx sen(x) 0

(b) Estude, em fun¸cão do parâmetro real α, a convergência do integral Z

+∞

1

(x − 1)α x2 α dx

11. (a) Calcule a área do dom´ınio plano ilimitado definido pelo gráfico da fun¸cão 1 y= e pelo eixo dos xx. 1 + x2 (b) Estude, em fun¸cão do parâmetro real α, a convergência do integral Z

0

2

x1−2α (2 − x)α/2 dx

212

5. Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

12. Indique, justificando, se são ou não convergentes os seguintes integrais Z +∞ −x e √ dx (a) x 0 Z 1 log x √ dx (b) x 0 (Nota: Na al´ınea (b), pode usar quer um critério de compara¸cão, quer a defini¸cão). 13. Indique, justificando, se são ou não convergentes os seguintes integrais Z 2 ex (a) dx 3 1/5 0 x (1 − x) Z +∞ p 3 1/x √ (b) dx 5 x +1 0 14. Estude, em fun¸cão do parâmetro real α, a convergência do integral Z +∞ (x − 1)α e−x dx 1

Cap´ıtulo 6

Apˆ endice A 6.1

Fun¸c˜ oes Trigonom´ etricas Inversas

NOTA: Considere-se, em todos os exerc´ıcios, as restri¸cões principais do seno, coseno, tangente e cotangente. 1. Calcule: √ (a) arc sen − 23 ;

(b) cotg arc sen 12 13 ; √ 3 (c) π 3 − arc tg − 3 ;

h i (d) sen 21 arc cotg 43 ; i h (e) tg 3 arc tg − 23 ; 1 . (f) arc tg(x) + arc tg x

2. Calcule o n´ umero real designado por: h i (a) sen arc cos − 12 ; √ (b) tg π + arc cotg 3 ; 4 3 (c) cos π 6 − arc cos 5 ; √ (d) cos 2 arc tg 34 + arc sen − 23 .

3. Simplifique as seguintes expressões: (a) sen (π + arc cos(x)); (b) cos2 12 arc cos(x) ; (c) cotg 2 arc cotg( x ) 2 , x 6= 0.

4. Mostre que:

214

6. Apˆ endice A

(a) arc sen( 45 ) + arc tg( 43 ) = π 2; (b) arc tg( 12 ) + arc tg( 15 ) + arc tg( 81 ) = π 4; q q x 1 + (c) arc sen = arc cos x+1 x + 1 , com x ∈ R ; q √ x + (d) arc sen x + 1 − arc tg( x) = 0, com x ∈ R .

5. Considere as fun¸cões reais de vari´ vel real definidas por: π ; f (x) = cos 2x + π + 3; g(x) = 2 sen 3x − 3 5 x ); π ; h(x) = sen( π ) + 3 tg( i(x) = 5 cotg x + 3 2 6

m(x) = 1 − 21 arc cos(2x + 1); x −1 . q(x) = π − 2 arc cotg 2 2

j(x) = 3 arc sen(2x − 1); p(x) = 34 arc tg( x 3 );

Determine o dom´ınio e o contradom´ınio de cada uma das fun¸cões. 6. Considere as fun¸cões f e g definidas em R por: x π + 2 arc sen f : x → cos 4 2

(a) Determine o dom´ınio e o contradom´ınio de f ;

π e g : x → 3 − 4 sen x + . 3

(b) Determine uma expressão designat´ oria que defina a fun¸cão inversa da restri¸cão principal de g. 7. Considere as fun¸cões f e g, reais de variável real, tais que: 3x π f : x → − 2 arc cos , 3 2 g:x→

1 π arc cotg (x + 3) − . 2 4

(a) Determine o dom´ınio e o contradom´ınio de f e de g; (b) Para cada uma das fun¸cões, caracterize a inversa da restri¸cão principal. 8. Dada a fun¸cão real de variável real, definida por: f (x) =

π − 3 arc sen (2x) , 4

e considerando a restri¸cão principal do seno, determine: (a) O dom´ınio de f ; (b) O contradom´ınio de f ; (c) Uma expressão de f −1 ; (d) Os zeros de f ; n o (e) x ∈ R : f (x) = π 4 .

9. Considere a fun¸cão f (x) = π 3 + 2 arc sen(|2x − 1|). (a) Calcule o dom´ınio e o contradom´ınio de f ; (b) Verifique que f não tem zeros.

6.1 Fun¸ c˜ oes Trigonom´ etricas Inversas

215

10. Sejam f e g fun¸cões reais de variável real, tais que: f : x → 1 + cos (2x) e g : x → 1 + sen (2x) . Caracterize as fun¸cões inversas de f , g e f − g, considerando as respectivas restri¸cões principais. 11. Resolva as equa¸cões: √ 3 (a) arc sen(x) = 2 arc tg 4 − arc cos − 22 ; (b) arc cos sen 7π = 2x + π 6 2 , em [π, 2π[.

12. Determine as solu¸cões de cada uma das seguintes equa¸cões: √ (a) arc tg (x + 1) = arc sec( 2 − x); 1 x−1 ; (b) arc tg x + = arc cotg 1 2 2 (c) arc cos 2x − 1 = 2 arc cos 12 ; (d) arc cos (2x) − arc cos(x) = π 3.

216

6. Apˆ endice A

Cap´ıtulo 7

Apˆ endice B 7.1

Continuidade uniforme

Seja f uma fun¸cão definida e cont´ınua em D ⊂ R. Por defini¸cão de continuidade sabemos que para cada x0 ∈ D se tem ∀δ > 0 ∃ε > 0 x ∈ D ∧ |x − x0 | < ε ⇒ |f (x) − f (x0 )| < δ. Sabemos também que para um δ > 0 e x0 ∈ D o ε > 0 que existe não é u ´ nico, pois se 0 < ε1 < ε então |x − x0 | < ε1 ⇒ |x − x0 | < ε e, portanto, |x − x0 | < ε1 ⇒ |f (x) − f (x0 )| < δ. Seja δ > 0 um n´ umero fixo. Consideremos o subconjunto de D formado pelos pontos x1 , x2 , . . . , xk . Por defini¸cão de continuidade sabemos que existe um conjunto {ε1 , ε2 , . . . , εk }, εi > 0, ∀i = 1, 2, . . . , k, tais que x∈D

∧ |x − x1 | < ε1

⇒ |f (x) − f (x1 )| < δ

x∈D

∧ |x − x2 | < ε2

⇒ |f (x) − f (x2 )| < δ .. .

x∈D

∧ |x − xk | < εk

⇒ |f (x) − f (xk )| < δ.

Dado que é finito, o conjunto {ε1 , ε2 , . . . , εk } tem m´ınimo ε > 0. Para este valor são verdadeiras as implica¸cões: x ∈ D ∧ |x − xi | < ε ⇒ |f (x) − f (xi )| < δ, i = 1, 2, . . . , k, isto é, conseguimos arranjar vizinhan¸cas “uniformes” (de amplitude 2ε) dos pontos x1 , x2 , . . . , xk de tal modo que as imagens dos pontos dessas vizinhan¸cas estão a uma distância inferior a δ do f (xi ) correspondente. E se o conjunto dos pontos escolhido fosse infinito? Seria ainda poss´ıvel, dado δ > 0, escolher um n´ umero ε > 0 nas condi¸cões anteriores? A resposta é, em geral, negativa. Vejamos um exemplo. 1 Seja f (x) = e D =]0, 2[ (veja-se a Figura 7.1). x 1 Consideremos o conjunto {xn : xn = , n = 1, 2, 3, . . .} e seja δ > 0. Observando a defini¸caõ de n δ limite, para cada n, o maior εn que podemos tomar é εn = (Figura 7.2). Ora inf{εn : εn = n(n + δ) δ } = 0, pelo que não existe ε > 0 tal que n(n + δ) |x − xn | < ε ⇒ |f (x) − f (xn )| < δ, n = 1, 2, 3, . . .

218

7. Apˆ endice B

y

x Figura 7.1

Conclu´ımos assim que dado δ > 0 não podemos escolher ε > 0 que, na defini¸cão de limite, seja v´ alido simultaneamente para todos os xi , i = 1, 2, 3, . . .. Defini¸ c˜ ao 7.1.1 Sejam f : D ⊂ R → R e A ⊂ D. Diz-se que f é uniformemente cont´ınua em A se ∀δ > 0 ∃ε > 0 ∀x, y ∈ A, |x − y| < ε ⇒ |f (x) − f (y)| < δ. EXEMPLO 1: A fun¸cão f (x) = sen(x) é uniformemente cont´ınua em R, isto é, é verdadeira a proposi¸caõ ∀δ > 0 ∃ε > 0 ∀x, y ∈ R, |x − y| < ε ⇒ |sen(x) − sen(y)| < δ. De facto, sendo δ > 0 bastará escolher ε = δ e sabendo que |sen(x)| ≤ |x| ∀x ∈ R temos: x+y x − y |sen(x) − sen(y)| = 2 cos sen 2 2 =

≤ ≤ EXEMPLO 2: A fun¸cão f (x) =

x + y x − y 2 cos sen 2 2

x − y 2 sen 2

x − y = |x − y|. 2 2

1 não é uniformemente cont´ınua em ]0, 2[, como vimos atrás. x

EXEMPLO 3: A fun¸cão f (x) = x2 (Figura 7.3) não é uniformemente cont´ınua em R, isto é, é falsa a proposi¸cão ∀δ > 0 ∃ε > 0 ∀x, y ∈ R, |x − y| < ε ⇒ |x2 − y 2 | < δ.

Da igualdade |x2 − y 2 | = |x − y||x + y| podemos concluir que x e y podem estar tão próximos quanto se queira e a diferen¸ca entre as suas imagens ser arbitrariamente grande (basta pensar em pontos x e y cuja diferen¸ca seja sempre inferior a ε, mas que estejam arbitrariamente longe da origem). Os gráficos da Figura 7.4 procuram ilustrar esta situa¸cão.

7.1 Continuidade uniforme

219

50

50

50

40

40

40

30

30

30

20

20

20

10

10

10

0.5

1

1.5

2

0.5

1

1.5

2

50

50

50

40

40

40

30

30

30

20

20

20

10

10

10

0.5

1

1.5

2

0.5

1

1.5

2

50

50

50

40

40

40

30

30

30

20

20

20

10

10

10

0.5

1

1.5

2

0.5

1

1.5

Figura 7.2

2

0.5

1

1.5

2

0.5

1

1.5

2

0.5

1

1.5

2

220

7. Apˆ endice B

y

x Figura 7.3

Figura 7.4

EXEMPLO 4: Provemos, a partir da defini¸caõ, que a fun¸cão f (x) = 7 − x2 é uniformemente cont´ınua em [−10, 1], isto é, que é verdadeira a proposi¸cão ∀δ > 0 ∃ε > 0 ∀x, y ∈ [−10, 1], |x − y| < ε ⇒ |7 − x2 − (7 − y 2 )| < δ.

7.1 Continuidade uniforme

221

Seja δ > 0. Como |7 − x2 − (7 − y 2 )| = | − x2 + y 2 | = |x − y||x + y| ≤ 20|x − y|, teremos se ε <

|x − y| < ε ⇒ |7 − x2 − (7 − y 2 )| < δ

δ . 20

Defini¸ c˜ ao 7.1.2 Sejam f : D ⊂ R → R e A ⊂ D. Diz-se que f é lipschitziana em A se ∃M > 0 : |f (x) − f (y)| ≤ M |x − y|, ∀x, y ∈ A. Teorema 7.1.1 Sejam f : D ⊂ R → R e A ⊂ D. Se f é lipschitziana em A, ent˜ ao f é uniformemente cont´ınua em A. Demonstra¸cão: Usando a defini¸cão, basta tomar ε =

δ . M

EXEMPLO 1: A fun¸cão f (x) = x2 é lipschitziana em [0, 1]. De facto, |x2 − y 2 | = |x + y| |x − y| ≤ (|x| + |y|) |x − y| ≤ 2 |x − y| ∀x, y ∈ [0, 1]. A fun¸cão é pois uniformemente cont´ınua em [0, 1]. Vimos atrás que f (x) = x2 não é uniformemente cont´ınua em R. ´ claro que se uma fun¸caõ for O facto da fun¸cão ser uniformemente cont´ınua depende do conjunto. E uniformemente cont´ınua num conjunto C é uniformemente cont´ınua em todos os subconjuntos de C. EXEMPLO 2: Os cálculos efectuados atrás permitem-nos concluir que f (x) = 7 − x2 é lipschitziana em [−10, 1]. Teorema 7.1.2 Sejam f : D ⊂ R → R e A ⊂ D. f é uniformemente cont´ınua em A se, e s´ o se, para quaisquer sucess˜ oes (xn ) e (yn ) de elementos de A tais que lim (xn − yn ) = 0 se tem também n

lim (f (xn ) − f (yn )) = 0. n

1 1 1 no intervalo ]0, 1]. Sejam xn = e yn = , x n 2n 1 1 1 n ∈ N. São sucessões de elementos do intervalo ]0, 1] e lim(xn − yn ) = lim − = lim = 0. No n 2n 2n entanto, lim(f (xn ) − f (yn )) = lim(n − 2n) = lim(−n) = −∞, o que implica, pelo teorema anterior, que f não é uniformemente cont´ınua no intervalo considerado. EXEMPLO 1: Consideremos novamente a fun¸cão f (x) =

EXEMPLO 2: Seja f (x) = x2 . Considerando as sucessões de n´ umeros reais xn = temos √ √ lim(xn − yn ) = lim( n + 1 − n) √ √ √ √ ( n + 1 − n)( n + 1 + n) √ = lim √ ( n + 1 + n) n+1−n = lim √ √ =0 n+1+ n e √ √ lim(f (xn ) − f (yn )) = lim ( n + 1)2 − ( n)2 =

lim (n + 1 − n) = 1,

√ √ n + 1 e yn = n

222

7. Apˆ endice B

portanto, f não é uniformemente cont´ınua em R como t´ınhamos visto. ´ evidente que se f é uniformemente cont´ınua em A então a restri¸cão de f a A é cont´ınua em A. A E rec´ıproca não é verdadeira, tendo-se, no entanto, o seguinte teorema: Teorema 7.1.3 (Teorema de Cantor) Toda a fun¸ca õ cont´ınua num conjunto fechado limitado é uniformemente cont´ınua. Demonstra¸cão: Suponhamos que f é cont´ınua, mas não uniformemente cont´ınua, em X, fechado limitado. Sendo falsa a proposi¸cão ∀δ > 0 ∃ε > 0 ∀x, y ∈ X, |x − y| < ε ⇒ |f (x) − f (y)| < δ podemos afirmar que existe δ > 0 tal que, para qualquer ε > 0, existem x, y ∈ X, para os quais se verifica |x − y| < ε ∧ |f (x) − f (y)| ≥ δ.

Fixemos ε nos valores ε1 = 1, ε2 = 12 , . . . , εn =

1 n.

Teremos então

∃x1 , y1 ∈ X : |x1 − y1 | < 1 ⇒ |f (x1 ) − f (y1 )| ≥ δ ∃x2 , y2 ∈ X : |x2 − y2 | <

1 2

⇒ |f (x2 ) − f (y2 )| ≥ δ

... ∃xn , yn ∈ X : |x2 − y2 | <

1 n

⇒ |f (xn ) − f (yn )| ≥ δ.

Como (xn ) é uma sucessão de elementos de X e este conjunto é limitado podemos concluir que (xn ) é limitada. Pelo Teorema 1.3.12, (xn ) tem uma subsucessão (xnk ) convergente para um certo x ∈ R; além 1 disso, x ∈ X porque X é fechado. Mas |xnk − ynk | < , o que implica que ynk → x. Como f é cont´ınua nk em X temos lim f (xnk ) = lim f (ynk ) = f (x), o que implica que lim (f (xnk ) − f (ynk )) = 0, o que contradiz |f (xnk ) − f (ynk )| ≥ δ > 0. EXEMPLO: Seja f uma fun¸cão cont´ınua em R. Provemos que f é uniformemente cont´ınua em todo o subconjunto limitado de R. Seja A ⊂ R um conjunto limitado. Se A for fechado, estamos nas condi¸cões do Teorema de Cantor. ´ um Suponhamos que A não é fechado e l = inf(A) e L = sup(A). Consideremos o intervalo [l, L]. E subconjunto fechado limitado de R. Como f é cont´ınua em R, f é cont´ınua em [l, L]. Pelo Teorema de Cantor, f é uniformemente cont´ınua nesse intervalo, sendo, portanto, uniformemente cont´ınua em A ⊂ [l, L].

7.2 Exerc´ıcios Propostos

223

7.2

Exerc´ıcios Propostos

7.2.1

Continuidade Uniforme

1. Estude quanto à continuidade uniforme nos intervalos indicados as seguintes fun¸cões: (a) f (x) = x em R; (b) f (x) = sen2 (x) em R;   0, se x < 0 (c) f (x) =  1, se x ≥ 0

em ]a, b[, a, b ∈ R, a < b;

1 em ]a, b[ com a ≥ 0; x2 1 em ]a, b[ com a ≥ 0. (e) f (x) = sen x

(d) f (x) =

2. Mostre, usando a defini¸cão, que a fun¸cão f definida por f (x) = (x − 1)|x + 2| é uniformemente cont´ınua em qualquer intervalo limitado de R. 3. Considere a fun¸cão

  |x2 − 7x + 10|, se x > 3 g(x) =  3 − x, se x ≤ 3

Justifique que ”g não é uniformemente cont´ınua no intervalo [0, 5]”. 4. Mostre, usando a defini¸cão, que a fun¸cão f (x) = [2, 8].

1 2 2x

− 1 é uniformemente cont´ınua no intervalo

5. Diz-se que uma fun¸cão f definida num conjunto X ⊂ R verifica a condi¸cão de Lipschitz, se existe um n´ umero k > 0 tal que se tem, para quaisquer x, y ∈ X: |f (x) − f (y)| ≤ k|x − y|. Mostre que toda a fun¸cão lipschitziana é uniformemente cont´ınua. 6. (a) Prove que o produto de duas fun¸cões lipschitzianas limitadas ainda é uma fun¸cão lipschitziana. √ (b) Prove, usando a al´ınea a), que a fun¸cão f (x) = x sen(x) é uniformemente cont´ınua em ]1, a[, ∀a ∈ R. 1 1 7. Seja α ∈ , , 2, 3 . Para que valores de α é uniformemente cont´ınua no intervalo [0, +∞[ a 3 2 fun¸cão f (x) = xα ? 8. Prove que, se f é uniformemente cont´ınua (a) A restri¸cão de f a qualquer parte do seu dom´ınio é uniformemente cont´ınua. (b) f é limitada se o seu dom´ınio é limitado. (c) f tem limite finito em qualquer ponto de acumula¸cão (finito) do seu dom´ınio. 9. Indique, das seguintes fun¸cões definidas em R, quais as que são uniformemente cont´ınuas: (a) f (x) = x sen(x); x3 (b) f (x) = . 1 + x2

224

7. Apˆ endice B

Bibliografia [1] APOSTOL, T. - Calculus, Blaisdell, 1967. [2] CAMPOS FERREIRA, J. - Introdu¸cão à Análise Matemática, Funda¸cão Calouste Gulbenkian, 1982. [3] ELLIS, R.; GULLICK, D. - Calculus with Analytic Geometry, 5a edi¸cão, Saunders College Publishing, 1994. [4] FIGUEIRA, M. - Fundamentos de Análise Infinitesimal, Textos de Matemática, vol. 5, Departamento de Matemática, Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa, 1996. [5] HUNT, R. - Calculus, 2a edi¸cão, Harper Collins, 1994. [6] LARSON, R.; HOSTETLER, R.; EDWARDS, B. - Calculus with Analytic Geometry, 5a edi¸caõ, Heath, 1994. [7] SANTOS GUERREIRO, J. - Curso de Análise Matemática, Livraria Escolar Editora, 1989. [8] SARRICO, C. - Análise Matemática, Leituras e Exerc´ıcios, Gradiva, 1997. [9] SPIVAK, M. - Calculus, World Student Series Edition, 1967. [10] STEWART, J. - Calculus, 3a edi¸cão, Brooks/Cole Publishing Company, 1995. [11] SWOKOWSKI, E. W. - Cálculo com Geometria Anal´ıtica, vol. 1, 2a edi¸cão, Makron Books, McGrawHill, 1994. [12] TAYLOR, A.; MANN, R. - Advanced Calculus, 2a edi¸cão, Xerox College Publishing, 1972.

Índice Remissivo R, 13 aderência, 2 binómio de Newton, 6 conjunto aberto, 2 dos termos da sucessão., 8 fechado, 2 limitado, 2 majorado, 2 minorado, 2 contradom´ınio, 49 critérios de convergência, 159 derivada, 67 à direita, 67 à esquerda, 67 de ordem n, 73 segunda, 73 derivado, 2 descontinuidade remov´ıvel, 60 dom´ınio, 49 de defini¸cão, 49 expressão anal´ıtica, 49 exterior, 1 extremos, 50 extremos relativos, 74

decrescente, 49 diferenciável, 67 estritamente crescente, 49 estritamente decrescente, 49 estritamente monótona, 50 injectiva, 50 limitada, 50 monótona, 50 par, 50 primitivável, 117 prolongável por continuidade, 60 racional, 123 real de variável real, 49 sobrejectiva, 50 uniformemente cont´ınua, 218 de classe C 1 , 73 de classe C n , 73 de classe C ∞ , 73 derivada, 73 integrável, 145 fun¸cão Beta, 175 fun¸cão Gama, 175 fun¸cão racional em p variáveis, 132 irredut´ıvel, 123 gráfico, 49 grau de multiplicidade, 123 hipótese de indu¸cão, 4

fórmula de Leibnitz, 73 fórmula de MacLaurin, 83 fórmula de Taylor, 82 fecho, 2 fronteira, 1 fun¸cão, 49 ´ımpar, 50 bijectiva, 50 cont´ınua, 56 à direita, 56 à esquerda, 56 no conjunto B, 56 crescente, 49

indetermina¸cões, 78 Indu¸cão matemática, 4 ´ınfimo, 3 infinitésimo, 14 infinitamente grande, 10 infinitamente grande em módulo, 10 Integra¸cão por partes, 153 por substitui¸cão, 153 integral, 145 impróprio de 1a espécie divergente, 158

´ INDICE REMISSIVO

impróprio de 1a espécie, 158, 165 absolutamente convergente, 164 convergente, 158 simplesmente convergente, 164 impróprio de 2a espécie convergente, 169 impróprio de 2a espécie, 168–170 convergente, 168 divergente, 168, 169 impróprio misto, 173 inferior, 145 superior, 145 interior, 1 limite, 51 à direita, 53 à esquerda, 53 lateral, 53 relativo, 53 limite inferior, 16 limite máximo, 16 limite m´ınimo, 16 limite superior, 16 lipschitziana, 221 máximo, 50 local, 74 relativo, 74 m´ınimo, 3, 50 local, 74 relativo, 74 majorante, 2 máximo, 3 minorante, 2 parti¸cão, 143 mais fina, 143 polinómio, 123 em duas variáveis, 132 em p variáveis, 132 grau de um, 123 irredut´ıvel, 123 redut´ıvel, 123 ponto aderente, 2 de acumula¸cão, 2 exterior, 1 fronteiro, 1 interior, 1 isolado, 2 ponto de estacionaridade, 85 ponto de inflexão, 87 ponto de máximo, 50

227

ponto de m´ınimo, 50 primitiva, 117 imediata, 118 primitiva¸cão de fun¸cões irracionais, 132 de fun¸cões racionais, 123 por partes, 121 por substitui¸cão, 122 prolongamento, 60 recta acabada, 13 recta tangente, 67 Regra de Barrow, 153 Regra de Cauchy, 78 Regra de l’Hospital, 80 representa¸cão anal´ıtica, 49 resto de Lagrange, 83 restri¸cão, 50 soma inferior de Darboux, 143 soma superior de Darboux, 144 subsucessão, 10 sucessão, 8 convergente, 12 crescente, 9 de Cauchy, 16 decrescente, 9 estritamente crescente, 9 estritamente decrescente, 9 estritamente monótona, 9 fundamental, 16 limitada, 8 limitada inferiormente, 8 limitada superiormente, 8 monótona, 9 supremo, 3 Teorema de Bolzano, 56 de Cantor, 222 de Cauchy, 77 de Darboux, 75 de Lagrange, 76 de Rolle, 75 de Taylor, 82 de Weierstrass, 59 da média, 152 Fundamental do Cálculo Integral, 152 termo geral, 8 tese de indu¸cão, 4 valor principal de Cauchy, 167

228

variável dependente, 49 independente, 49 vizinhan¸ca, 1

´ INDICE REMISSIVO

Analise Matematica 1

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