Analise Estrutural

Aula 10 Engenharia Civil p/ TRF 1 Professor: Marcus Campiteli

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Engenharia Civil TRF-1/2014 Teoria e Questões Prof. Marcus V. Campiteli Aula 10

AULA 10: ANÁLISE ESTRUTURAL SUMÁRIO

PÁGINA

CONSIDERAÇÕES PRELIMINARES

1

1.

INTRODUÇÃO

2

2.

CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO

4

3.

APOIOS

4

4.

ESTATICIDADE E ESTABILIDADE

9

5.

ESFORÇOS NAS SEÇÕES DAS ESTRUTURAS

12

6.

ESTUDO DAS VIGAS ISOSTÁTICAS

15

7.

ESTUDO DOS QUADROS ISOSTÁTICOS PLANOS

31

8.

QUADROS COM BARRAS CURVAS

42

9.

QUADROS COMPOSTOS

45

10.

ESTUDO DOS ARCOS ARTICULADOS

47

11.

SISTEMAS GUINDASTE

54

12.

TRELICAS ISOSTÁTICAS

56

13.

QUESTÕES COMENTADAS

62

14.

QUESTÕES APRESENTADAS NESTA AULA

80

15.

GABARITO

90

16.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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90

Esta aula baseia-se no livro “Curso de Análise Estrutural – Volume 1”, do autor José Carlos Sussekind, por ter sido fonte das últimas questões do Cespe sobre análise estrutural. Boa sorte a todos ! Qualquer dúvida é só enviar para o fórum. Abraços! Prof. Marcus V. Campiteli

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1 – INTRODUÇÃO A Análise Estrutural é a parte da Mecânica que estuda as estruturas, em

especial

na determinação

dos esforços e

das

deformações a que elas ficam submetidas quando solicitadas por agentes externos (cargas, variações térmicas, movimento de seus apoios, etc.). As estruturas se compõem de uma ou mais peças, ligadas entre si e ao meio exterior de modo a formar um conjunto estável, isto é, um conjunto capaz de receber solicitações externas, absorvê-las internamente e transmiti-las até seus apoios, onde estas solicitações externas encontram seu sistema estático equilibrante. 1.1 - Força Pode-se exercer uma força sobre um corpo por meio de um esforço muscular; uma locomotiva exerce força sobre os vagões que ela reboca; uma mola esticada exerce forças sobre as peças que fixam suas extremidades; etc. Em todos estes casos, o corpo que exerce a força está em contato com aquele sobre o qual ela é exercida – tratam-se, pois, de forças de contato. Há, também, forças que atuam através do espaço, sem contato, chamadas, por esta razão, forças de ação à distância – são 01436348609

as forças devidas à existência de campos agindo sobre o corpo. É o caso das forças elétricas, magnéticas, das forças de gravitação e, no caso da Terra, das forças devidas à gravidade (que são os pesos dos corpos). É comum chamar-se de forças que atuam numa estrutura de cargas. 1.2 – Momento Prof. Marcus V. Campiteli

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Engenharia Civil TRF-1/2014 Teoria e Questões Prof. Marcus V. Campiteli Aula 10 Seja a barra da figura a seguir, suportada em C por um cutelo sem atrito e tendo um peso de 10 kg suspenso em B, que se deseja contrabalançar por um peso suspenso em A:

É fácil ver que o peso a ser colocado em A, a fim de contrabalançar o efeito da rotação da barra em tomo do cutelo C, deve ser inferior a 10 kg, por estar mais afastado de C do que este último; por tentativas, veríamos que seu valor deve ser de 5 kg. Este exemplo simples foi escolhido para ilustrar o fato de que o efeito de rotação de uma força em torno de um ponto depende do valor da força e também de sua distância ao ponto, sendo diretamente proporcional a ambos. Se desejarmos, então, criar uma grandeza física, através da qual queiramos representar a tendência de rotação em torno de um ponto, provocada por uma força, esta grandeza deverá ser função da força e de sua distância ao ponto. Esta grandeza é o momento. 01436348609

2 – CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO Para um corpo, submetido a um sistema de forças, estar em equilíbrio, é necessário que elas não provoquem nenhuma tendência de translação nem rotação a este corpo. Como a tendência de translação é dada pela resultante das forças e a tendência de rotação, em tomo de qualquer ponto, é dada pelo momento resultante destas forças em relação a este ponto, basta que eles sejam nulos para que o corpo esteja em equilíbrio. Prof. Marcus V. Campiteli

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3 – APOIOS Os apoios são os vínculos externos da estrutura, isto é, seus vínculos em relação a seus suportes (solo ou outra estrutura). A função dos apoios é a de restringir graus de liberdade das estruturas,

despertando

com

isto

reações

nas

direções

dos

movimentos impedidos. Eles serão classificados em função do número de graus de liberdade permitidos (ou do número de movimentos impedidos), podendo ser, então, de 6 tipos diferentes (isto é, podendo permitir 5,4,3,2,1 ou nenhum grau de liberdade), de forma a garantir o equilíbrio estático da estrutura, conforme a seguir:

Seja o apoio representado na figura abaixo, em que temos a estrutura apoiada sobre uma esfera perfeitamente lubrificada. O único movimento que ela será capaz de impedir é a translação na direção vertical, aparecendo com isto uma reação R, agindo sobre a estrutura. O apoio será dito, então, um apoio com 5 graus de 01436348609

liberdade (ou um com 1 movimento impedido).

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Engenharia Civil TRF-1/2014 Teoria e Questões Prof. Marcus V. Campiteli Aula 10 Seja, agora, o apoio a figura abaixo, constituído por três esferas ligadas entre si por três hastes, de modo a ficar formado um conjunto rígido. Ficam impedidas, no caso, além da translação na direção z, as rotações em torno dos eixos x e y. O apoio será dito, então, um apoio com 3 graus de liberdade (que são, no caso, a rotação em torno do eixo z e as translações nas direções dos eixos x e y,) ou com 3 movimentos impedidos. Aparecerão, agindo sobre a estrutura, as reações Mx, My e R, indicadas na figura.

O esquema da figura seguinte representa a ligação rígida entre a estrutura e seu apoio, de dimensões tão maiores que as da estrutura,

que

podem

ser

consideradas

infinitas

em

presença

daquelas. Neste caso, o apoio impedirá todos os movimentos 01436348609

possíveis, sendo dito um apoio sem grau de liberdade (ou com todos os

movimentos

impedidos).

Correspondendo

a

cada

um

dos

movimentos impedidos aparecem, agindo sobre a estrutura, as reações Rx, Ry. Rz, Mx, My, e Mz, indicadas na figura. Este tipo de apoio é chamado engaste.

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3.1 - Estruturas planas carregadas no próprio plano Para o caso das estruturas planas carregadas no próprio plano, que é o mais frequente da Análise Estrutural, existem 3 graus de liberdade a combater. Supondo a estrutura situada no plano xy, conforme indica a figura seguinte, os graus de liberdade a combater são as translações nas direções Ox e Oy e a rotação em torno de um eixo perpendicular ao plano (no caso, Oz), pois o estas são as únicas tendências de movimento capazes de serem produzidas pelo sistema de forças indicado.

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São os seguintes os apoios utilizáveis para impedir estes movimentos: a) Apoio do 1º gênero ou charriot

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O apoio do 1º gênero pode ser obtido por uma das duas formas representadas nas figuras acima; na primeira, temos a estrutura apoiada sobre um rolo lubrificado que impede apenas o deslocamento na direção y, permitindo livre rotação em torno dele, assim como livre deslocamento na direção x; na segunda, a rotação é assegurada por um pino sem atrito e a translação, na direção x, pelos rolos diretamente em contato com o plano que serve de apoio, continuando a impedir o deslocamento na direção y. Esquematicamente, representa-se o apoio do 1º gênero na forma indicada na figura da direita acima. Na direção do único movimento impedido, aparecerá uma reação de apoio R, conforme indicado na figura. b) Apoio do 2º gênero, articulação ou rótula

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Se, no apoio da figura anterior do meio, substituirmos os rolos por uma chapa presa completamente ao plano-suporte, conforme indica a figura acima, estar-se-á impedindo todas as translações possíveis, permanecendo livre apenas a rotação, assegurada pelo pino lubrificado indicado na figura. A este apoio, capaz de restringir todas as translações possíveis no plano, chamamos apoio do 2º gênero. Ele é representado esquematicamente por uma das 2 formas Prof. Marcus V. Campiteli

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Engenharia Civil TRF-1/2014 Teoria e Questões Prof. Marcus V. Campiteli Aula 10 indicadas na figura acima (figura do meio e da direita). Na direção das translações impedidas, aparecerão as reações H e V indicadas na figura, cuja composição vetorial dará a reação de apoio resultante no apoio do 2º gênero. c) Apoio do 3º gênero ou engaste

Se a estrutura estiver ancorada num bloco de dimensões que possam ser consideradas infinitas em presença das dimensões da estrutura, conforme indica a figura acima, na seção de contato entre ambos o bloco estará impedido, por sua enorme rigidez, todos os movimentos possíveis da estrutura e dizemos então que ele engasta a estrutura. Um engaste será representado, esquematicamente, da forma indicada na figura acima da esquerda, aparecendo, na direção de cada um dos 3 movimentos impedidos (2 translações e 1 rotação), as reações de apoio H, V e M indicadas. A figura a seguir resume os tipos de apoio estudados por meio 01436348609

de uma viga:

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Fonte: Concreto Armado eu te Amo

4 - ESTATICIDADE E ESTABILIDADE 01436348609

Acabou-se de ver que a função dos apoios é limitar os graus de liberdade de uma estrutura. Três casos podem então ocorrer: a) Os apoios são em número estritamente necessário para impedir todos os movimentos possíveis da estrutura. Neste caso, o número de reações de apoio a determinar é igual ao número de equações de equilíbrio disponíveis (isto é: número de incógnitas = número de equações), chegando-se a um sistema de equações determinado que resolverá o problema. Prof. Marcus V. Campiteli

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Engenharia Civil TRF-1/2014 Teoria e Questões Prof. Marcus V. Campiteli Aula 10 Diz-se, então, que a estrutura é isostática, ocorrendo uma situação de equilíbrio estável. b) Os apoios são em número inferior ao necessário para impedir todos os movimentos possíveis da estrutura. Neste

caso,

evidentemente,

tem-se

mais

equações

que

incógnitas, chegando-se a um sistema de equações impossível, nos casos gerais. A estrutura será dita hipostática e será, então, instável. (Pode ocorrer uma situação de carregamento tal que o próprio carregamento consiga impedir os graus de liberdade que os apoios não forem capazes de impedir; será, então, um caso de equilíbrio, mas de equilíbrio instável, pois qualquer que seja a deformação imposta à estrutura, ela tenderá a prosseguir até a sua ruína). As

estruturas

hipostáticas

são

inadmissíveis

para

as

construções. c) Os apoios são em número superior ao necessário para impedir todos os movimentos possíveis da estrutura. Neste caso, teremos menor número de equações que de incógnitas, conduzindo a um sistema indeterminado. As equações universais da Estática não serão suficientes para a determinação das reações

de

apoio,

sendo

necessárias

equações

adicionais

de

compatibilidade de deformações. A estrutura será dita hiperestática, 01436348609

continuando o equilíbrio a ser estável (aliás, pode-se dizer, um pouco impropriamente, que o equilíbrio é mais que estável). Pose-se tentar estabelecer o critério de contar o número de apoios e ver se é igual, menor ou maior que o número de graus de liberdade da estrutura para classificá-la em isostática, hipostática ou hiperestática.

Este

critério

é

perfeito

no

caso

das

estruturas

hipostáticas, mas, no caso das estruturas isostáticas e hiperestáticas,

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Engenharia Civil TRF-1/2014 Teoria e Questões Prof. Marcus V. Campiteli Aula 10 fornece apenas uma condição necessária, mas não suficiente, conforme esclarecem os exemplos das figuras a seguir.

No caso da estrutura plana da figura da esquerda que, como tal, possui três graus de liberdade, há um apoio do 2º gênero e um apoio do 1º gênero, dando um total de três reações de apoio a determinar. Isto sugeriria que a estrutura fosse isostática, fato que não ocorre, entretanto, pois o apoio A impede translações nas direções Ax e Ay e o apoio B translação também na direção Ax. A rotação do sistema não está, pois, impedida e a estrutura é, então, hipostática (embora aparentemente isostática). Analogamente, a estrutura plana da figura da direita é aparentemente hiperestática, pois temos três graus de liberdade para cinco reações de apoio a determinar. Entretanto, é fácil ver que nenhum dos apoios impede a translação na direção ABCDE; com isto, a estrutura é hipostática (embora aparentemente hiperestática). Portanto, para classificar uma estrutura (sem vínculos internos) 01436348609

como externamente isostática ou hiperestática, não basta comparar o número de reações de apoio a determinar com o de graus de liberdade da estrutura; é necessário certificar-se também que os apoios restringem, de fato, todos os graus de liberdade da estrutura em questão (com isto é que se pode afastar completamente a possibilidade da estrutura ser hipostática).

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Engenharia Civil TRF-1/2014 Teoria e Questões Prof. Marcus V. Campiteli Aula 10 5 – ESFORÇOS NAS SEÇÕES DAS ESTRUTURAS a) Força Normal Representando duas seções infinitamente próximas, a tendência das forças N será a de promover uma variação da distância que separa as seções, permanecendo as mesmas paralelas uma à outra, conforme indica a figura seguinte.

Por

acarretar

uma

tendência

de

movimento

da

seção

normalmente à mesma (que é a direção do eixo), chama-se a N de esforço normal atuante na seção. Pode-se, então, definir esforço normal atuante numa seção como sendo a soma algébrica das componentes, na direção normal à seção, de cada uma das forças atuantes de um dos lados desta seção. O esforço normal será positivo quando de tração (isto é, quando tender a afastar duas seções infinitamente próximas ou, em linguagem mais simples, quando estiver "saindo" da seção), sendo negativo em caso contrário (caso da compressão). 01436348609

b) Esforço Cortante Representando duas seções infinitamente próximas, a tendência das duas forças Q é a de promover um deslizamento relativo de uma em relação à outra, conforme indica a figura a seguir, aparecendo, então, uma tendência de corte. Por esta razão, Q é chamada de esforço cortante.

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Define-se, então, esforço cortante atuante numa seção como sendo igual à soma vetorial das componentes, sobre o plano da seção, das forças situadas de um dos lados desta seção.

c) Momento Torçor Representando duas seções infinitamente próximas, a tendência do momento é a de promover uma rotação relativa destas duas seções em torno de um eixo que lhes é perpendicular, passando pelo seu centro de gravidade (eixo x, portanto). Podemos dizer, em linguagem simplista, que o momento está torcendo a peça e ele é, pois, denominado momento torçor atuante na seção.

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Define-se, então, momento torçor atuante numa seção S como sendo a soma algébrica dos momentos das forças situadas de um dos lados desta seção em relação ao eixo normal à seção que contém o seu centro de gravidade.

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Engenharia Civil TRF-1/2014 Teoria e Questões Prof. Marcus V. Campiteli Aula 10 d) Momento Representando duas seções infinitamente próximas, a tendência do momento M, conforme a regra da mão direita, é a de provocar uma rotação da seção em torno de um eixo situado no seu próprio plano. Como um momento pode ser substituído por um binário, vemos que o efeito de M pode ser assimilado ao do binário indicado na figura seguinte, que provoca uma tendência de alongamento em uma das partes da seção e uma tendência de encurtamento na outra parte. A peça ficará então fletida, sendo, por isto, denominado de momento fletor.

Define-se, então, como momento fletor atuante numa seção, à soma vetorial das componentes, sobre o plano da seção, dos momentos de todas as forças situadas de um dos lados da seção em relação ao seu centro de gravidade. 01436348609

6 – ESTUDO DAS VIGAS ISOSTÁTICAS Seja a viga biapoiada da figura a seguir, submetida ao carregamento indicado.

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Tem-se que a derivada do momento fletor atuante numa seção S

de

uma

viga

reta,

submetida

a

um

carregamento

a

ela

perpendicular, em relação à abscissa que define esta seção é igual ao esforço cortante nela atuante e que a derivada deste em relação a esta abscissa é igual ao valor da taxa de carga aplicada na seção S com o sinal trocado, conforme a seguir:

Essas igualdades são as equações fundamentais da Estática, pois permitem obter os esforços solicitantes nas diversas seções da viga em função do carregamento q(x) atuante. Portanto, a partir da primeira equação, tem-se que o coeficiente angular da tangente ao diagrama de momentos fletores numa seção 01436348609

S é igual ao esforço cortante nela atuante, e a partir da segunda equação, tem-se que o coeficiente angular da tangente ao diagrama de esforços cortantes numa seção S é igual ao valor da taxa de carga atuante nesta seção com o sinal trocado. 6.1 – Vigas Biapoiadas Seja a viga biapoiada da figura seguinte, submetida a uma carga concentrada P, atuante na seção S. Prof. Marcus V. Campiteli

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Na seção S, não se define esforço cortante; ele é definido à esquerda e à direita da seção sofrendo nela uma descontinuidade igual a P. Seja a viga biapoiada da figura seguinte, submetida a uma carga uniformemente distribuída q.

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Pode-se afirmar que, sob carga uniformemente distribuída, o diagrama de momentos fletores é parabólico do 2º grau e o diagrama de esforços cortantes é retilíneo. Sendo as reações de apoio as indicadas na figura, teremos os seguintes esforços simples numa seção genérica S:

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O diagrama de esforços cortantes será uma linha reta, que fica determinada pelos seus valores extremos, correspondentes a x = 0 e a x = l, que são: QA = (q.l)/2 e QB = - (q.l)/2. (Estes valores podem ser obtidos diretamente a partir das reações de apoio.)

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diagrama

de

momentos

fletores

será

dado

por

uma

parábolado 2º grau, passando por zero em A e B e passando por um máximo em x = l/2 (seção onde Q = dM/dx = 0), de valor:

Seja a viga biapoiada da figura seguinte, submetida a uma carga triangular, de taxa máxima igual a p, no apoio da direita. Sendo as reações de apoio as indicadas na figura, tem-se os seguintes esforços simples numa seção genérica S:

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O diagrama de esforços cortantes será, então, parabólico do 2º grau, com tangente horizontal em A (pois dQ/ds = -q = 0), tendo seus valores extremos iguais aos valores conhecidos (+ VA) e (-VB) e passando por zero para x = l.

= 0,577.l, conforme pode ser obtido

imediatamente a partir de sua equação.

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Engenharia Civil TRF-1/2014 Teoria e Questões Prof. Marcus V. Campiteli Aula 10 O diagrama de momentos fletores será uma parábola do 3º grau, que passa por um máximo em x = l. Q = 0), de valor Mmáx =

= 0,577.l (pois dM/ds =

.

.

Sendo a taxa de carregamento uma função linear (grau um), o diagrama de esforços cortantes é parabólico do 2º grau e o diagrama de momentos fletores é parabólico do 3º grau. Seja a viga biapoiada da figura seguinte, submetida à cargamomento indicada. As reações de apoio devem ser tais que formem um binário de módulo M e sentido oposto ao do momento aplicado. A partir delas, temos imediatamente os diagramas solicitantes.

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Seguem casos particulares interessantes apresentados na figura seguinte de diagramas de momentos fletores para algumas posições notáveis da carregamento.

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Seja a viga biapoiada da figura a seguir, submetida ao carregamento indicado:

O problema novo que se depara é o da resolução de uma viga submetida a uma carga continuamente distribuída, que não abrange todo o seu vão. Para recair num problema já conhecido, romperemos a viga em B e C, desde que apliquemos nestes pontos seus esforços simples, mantendo o equilíbrio de cada trecho assim obtido. Assim, os esforços cortantes que atuam nas extremidades de 01436348609

cada trecho (QA, QB, QC, QD) podem ser encarados como as forças que equilibram as outras cargas e momentos atuantes no trecho, podendo ele então ser considerado como uma viga biapoiada independente, submetida ao carregamento externo que lhe está diretamente aplicado e a cargas-momento em seus apoios iguais aos momentos fletores atuantes nestes pontos na viga dada inicialmente, de imediata determinação. Recai-se, então, no problema de obtenção do diagrama de momentos fletores em vigotas do gênero BC, que,

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Engenharia Civil TRF-1/2014 Teoria e Questões Prof. Marcus V. Campiteli Aula 10 por superposição de efeitos, é imediatamente obtido conforme mostra a figura a seguir:

A linha reta pontihada representa o diagrama de momentos fletores devido somente a MB e MC. Marcando-se, na vertical, a partir desta reta a parábola do 2º grau que é o diagrama devido apenas à carga distribuída, teremos então o diagrama final no trecho. O diagrama de momentos fletores na viga AD será, então, o da figura abaixo. Notar que existe, no caso, concordância em B e em C entre a parte retilínea e a parte parabólica, o que já era de se esperar, pois não existem cargas concentradas aplicadas nestes 01436348609

pontos.

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A obtenção do diagrama de esforços cortantes não apresenta maiores problemas, sendo imediata a partir do conhecimento das reações de apoio. Extrapolando as conclusões deste exemplo, pode-se afirmar que, para traçar o diagrama de momentos fletores numa viga submetida a um carregamento qualquer, basta marcar os momentos fletores nos pontos onde muda a lei de variação do carregamento, ligá-los por segmentos de retas e, a partir da linha assim obtida, pendurar, perpendicularmente ao eixo da viga, os diagramas de viga biapoiada para cada uma das cargas distribuídas atuantes, em seus respectivos trechos. Seja a viga engastada e livre AB da figura abaixo:

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No engaste, aparecerão uma reação vertical e uma reaçãomomento, que equilibrarão o carregamento atuante. O diagrama de momentos fletores obtém-se da mesma forma que no exemplo anterior, marcando-se os momentos fletores nas seções em que muda a lei de variação de carregamento (no caso, A, C, B, D), ligando-os por segmentos de reta, e, a partir da linha assim Prof. Marcus V. Campiteli

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Engenharia Civil TRF-1/2014 Teoria e Questões Prof. Marcus V. Campiteli Aula 10 obtida, penduram-se os diagramas de viga biapoiada para cada uma das cargas distribuídas atuantes (no caso, no trecho CD). O diagrama de esforços cortantes obtém-se imediatamente a partir do carregamento e reações de apoio atuantes. Seja a viga biapoiada com balanços da figura a seguir:

A obtenção dos diagramas solicitantes nos balanços AB e CD se faz conforme o exemplo anterior, pois podemos obter os esforços no trecho AB entrando com as forças da esquerda e no trecho CD entrando com as forças da direita, e eles se comportam, então, como se fossem vigas engastadas e livres AB e CD. Passemos, então, à análise do trecho BC: rompendo a viga em Besq e Cdir e aplicando os esforços simples atuantes nestas seções, nada terá se alterado sob o ponto de vista estático. Teremos, então, uma viga biapoiada BC, submetida ao carregamento que lhe está diretamente aplicado, a cargas-momento MB em B e MC em C, iguais aos momentos fletores atuantes nestas seções devidos aos balanços, e a cargas verticais (P1 + P2) em B e (P4 + P5) em C, iguais às 01436348609

resultantes das cargas atuantes em cada balanço e que, estando diretamente

aplicadas

sobre

os

apoios,

serão

imediatamente

absorvidas por eles, não influenciando no cálculo dos esforços simples em BC. Recaímos, então, para o trecho BC no estudo de uma viga biapoiada. Pode-se afirmar que, para traçar o diagrama de momentos fletores numa viga biapoiada com balanços, tratam-se os balanços como vigas engastadas e livres, ligam-se os momentos atuantes nos apoios por uma linha reta e, a partir dela, penduram-se o diagrama Prof. Marcus V. Campiteli

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Engenharia Civil TRF-1/2014 Teoria e Questões Prof. Marcus V. Campiteli Aula 10 de viga biapoiada devido às cargas atuantes no trecho entre os apoios. Como nos casos anteriores, a obtenção do diagrama de esforços cortantes é imediata, a partir do carregamento e das reações de apoio. 6.2 – Vigas Gerber

Seja a estrutura representada na figura seguinte, estando o detalhe da seção C ampliado:

Supondo

carregado

o

trecho

CD:

este

trecho

não

tem

estabilidade própria, pois as cargas, para serem equilibradas, necessitarão de reações de apoio em C e em D. Este último ponto é um apoio do 1º gênero e pode absorver uma força vertical; caberia, então, ao ponto C absorver uma força vertical e uma horizontal, o que ele não é capaz de fazer, mas é capaz, entretanto, de transmitir 01436348609

estas forças ao trecho ABC. Fica, então, a estabilidade do trecho CD condicionada à estabilidade do trecho ABC que, em se tratando de uma viga biapoiada com balanço, é estável, o sendo então o conjunto ABCD. Se tivermos carregado o trecho ABC, a carga solicitará apenas este trecho, pois, em se tratando de um trecho com estabilidade própria, nele mesmo encontrará o carregamento suas reações equilibrantes. Prof. Marcus V. Campiteli

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Engenharia Civil TRF-1/2014 Teoria e Questões Prof. Marcus V. Campiteli Aula 10 O ponto C é, então, um ponto de transmissão de forças, não transmitindo momento algum (pois não impede nenhuma rotação à estrutura) e é representado, pois, por uma rótula, ficando o esquema estático da estrutura representado conforme indica a figura a seguir.

Para resolver a viga ABCD, resolve-se inicialmente o trecho CD (trecho sem estabilidade própria), transmitindo para o trecho ABC (trecho com estabilidade própria) as forças HC e VC necessárias ao equilíbrio do trecho CD. O trecho ABC será resolvido, a seguir, com as cargas que lhe estão

diretamente

aplicadas,

acrescidas

das

forças

VC

e

HC

transmitidas pela rótula C. Recai-se, então, na resolução de uma viga biapoiada CD e de uma viga biapoiada com balanço ABC, problemas estes já resolvidos nos tópicos anteriores. Consta, então, uma viga Gerber, de uma associação de vigas 01436348609

com estabilidade própria com outras apoiadas sobre as primeiras, que dão a estabilidade ao conjunto. Para resolvê-la, basta fazer sua decomposição nas vigas que a constituem, resolvendo inicialmente aquelas sem estabilidade própria e, após, as dotadas de estabilidade própria, para as cargas que lhe estão diretamente aplicadas, acrescidas, para estas últimas, das forças transmitidas pelas rótulas. Em se tratando de vigas Gerber isostáticas, as vigas que as constituem serão vigas biapoiadas, vigas biapoiadas com balanços ou vigas engastadas e livres. Prof. Marcus V. Campiteli

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6.3 – Vigas Inclinadas

Seja a viga da figura abaixo submetida ao carregamento distribuído vertical indicado.

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Sendo as reações de apoio as indicadas na figura, passemos ao estudo de seus diagramas solicitantes. O momento fletor atuante numa seção genérica S será dado por:

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Engenharia Civil TRF-1/2014 Teoria e Questões Prof. Marcus V. Campiteli Aula 10 Comparando esta expressão com a da viga horizontal com carga distribuída vista anteriormente, constata-se que, para fins de momentos fletores, a viga se comporta como se fosse uma viga horizontal (perpendicular ao carregamento) de vão “a” e o diagrama é o indicado na figura (notar que as ordenadas do diagrama são sempre marcadas perpendicularmente ao eixo da barra). Os demais esforços atuantes nesta seção são dados por:

Seja, agora, a viga abaixo, submetida ao carregamento distribuído horizontal.

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Obtêm-se as reações de apoio pelas equações de equilíbrio: Prof. Marcus V. Campiteli

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O momento fletor atuante numa seção genérica será dado por:

Comparando esta expressão também com a da viga horizontal com carga distribuída vista anteriormente, constata-se que, para fins de momentos fletores, a viga se comporta como se fosse uma viga vertical (perpendicular ao carregamento atuante), de vão b e o diagrama é o indicado na figura. Os demais esforços atuantes em S são dados por:

Seja, finalmente, a viga submetida ao carregamento distribuído perpendicular ao seu eixo.

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Conforme indica a figura acima, verifica-se que este caso é uma superposição dos dois casos anteriores e os diagramas solicitantes para ele serão, então, iguais à soma dos diagramas indicados. O diagrama de momentos fletores será uma parábola do 2º grau de valor máximo igual a (q.a2/8) + (q.b2/8) = q.AB2/8, comportando-se então a viga como perpendicular ao carregamento atuante, com vão AB. Prof. Marcus V. Campiteli

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Engenharia Civil TRF-1/2014 Teoria e Questões Prof. Marcus V. Campiteli Aula 10 Dos exemplos apresentados de viga inclinada com carga vertical, horizontal e perpendicular ao seu eixo, pode-se concluir que uma viga biapoiada inclinada AB se comporta, para fins de diagrama de momentos fletores, como se fosse uma viga biapoiada de vão igual à projeção de seu comprimento sobre uma reta perpendicular ao carregamento atuante, sendo o diagrama de momentos fletores marcado, sempre, perpendicularmente ao eixo da viga. Os diagramas de esforços cortantes e esforços normais são obtidos imediatamente, em qualquer caso, a partir do carregamento e das reações de apoio.

7 – ESTUDO DOS QUADROS ISOSTÁTICOS PLANOS

Existem quatro tipos fundamentais de quadros isostáticos planos, denominados quadros simples, quando ocorrem isoladamente e que, associados entre si, da mesma forma com que associamos vigas simples para constituir as vigas Gerber, formam os quadros compostos. 7.1 – Quadro Biapoiado

Seja o quadro da figura abaixo. 01436348609

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Engenharia Civil TRF-1/2014 Teoria e Questões Prof. Marcus V. Campiteli Aula 10 Para obterem-se as reações de apoio HA, VA e VD dispõe-se das três equações universais da Estática no plano, pois se trata de estrutura isostática. Conhecidas as reações de apoio, passa-se à obtenção dos diagramas solicitantes, fazendo-se recair em problema já conhecido (resolução de vigas biapoiadas), da maneira seguinte.

Rompendo a quadro em seus nós intermediários B e C, pode-se destacar umas das outras as barras que o constituem, desde que aplique-se nesses nós, em cada uma das barras, os esforços simples neles atuantes, que manterão o equilíbrio de cada barra AB, BC e CD. Analisando cada uma dessas barras. Seja, por exemplo a barra BC, submetida ao carregamento em equilíbrio constituído por HB, VB, MB, P2, P3, HC, VC, MC. Como estas cargas estão em equilíbrio, podese encarar, por exemplo, HB, VB e VC como sendo as forças que 01436348609

equilibram as demais cargas atuantes e a barra BC pode, então, ser considerada como uma viga biapoiada, submetida ao carregamento que lhe está diretamente aplicado, acrescido de cargas-monento em suas extremidades iguais aos momentos fletores atuantes nestas seções e de uma carga horizontal no apoio do 1º gênero, igual ao esforço normal atuante nesta seção. A igual conclusão chegaríamos para as demais barras e o estudo do quadro recai, então, no estudo das três vigas biapoiadas AB, BC e CD.

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Engenharia Civil TRF-1/2014 Teoria e Questões Prof. Marcus V. Campiteli Aula 10 As conclusões tiradas para este caso podem ser extrapoladas para todos os demais e pode-se, então, afirmar que, para se traçar o diagrama dos momentos fletores atuantes num quadro, basta marcar os momentos fletores atuantes em seus nós ligá-los por uma linha reta tracejada, a partir da qual penduramos os diagramas de viga biapoiada devidos aos carregamentos atuantes sobre cada uma das barras que constituem o quadro. Os

diagramas

são

marcados,

como

no

caso

das vigas,

perpendicularmente ao eixo de cada barra. A obtenção dos diagramas de esforços cortantes e esforços normais é imediata, a partir do conhecimento das reações de apoio. Segue um exemplo: Obter os diagramas solicitantes para o quadro a seguir:

01436348609

Substituindo o carregamento distribuído por sua resultante, indicada em pontilhado na figura, passa-se à obtenção das reações de apoio:

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Conhecidas as reações de apoio, pode-de traçar os diagramas solicitantes, começando pelo diagrama de momentos fletores. Os momentos fletores atuantes nos nós intermediários, valem: a) Nó D

Na barra AD o momento traciona as fibras da esquerda e na barra CD o momento traciona as fibras superiores. Para a barra DE, podemos obter o momento fletor atuante em D a partir de sua definição, isto é, entrando com as forças atuantes num dos lados da seção (por exemplo, entrando com as forças atuantes à esquerda), obtém-se:

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tracionando as fibras superiores ou pode-se, o que é muito mais prático, no caso, obter seu valor a partir do equilíbrio do nó D, conforme se segue. Rompendo-se todas as barras que concorrem no nó D e aplicando os momentos fletores nelas atuantes, eles têm que estar em equilíbrio, pois a estrutura o está. Tem-se então, o esquema da figura, a partir do qual obtém-se:

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b) Nó E

Nas barras EF e BE o momento traciona as fibras da direita. Para a barra DE, temos, a partir do equilíbrio do nó E, conforme indica a figura:

01436348609

Marcando os valores obtidos para os nós, tem-se definidas as linhas de fechamento, a partir das quais penduram-se os diagramas de viga biapoiada, obtendo-se então, o diagrama final.

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A obtenção dos diagramas de esforços cortantes e de esforços normais é imediata, a partir do carregamento e das reações de apoio:

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7.2 – Quadro Engastado e Livre

Seja o quadro da figura abaixo.

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As reações de apoio HA, VA e MA são obtidas empregando-se as três equações universais da Estática no plano, e, a partir daí, chegamos, sem maiores problemas, a seus diagramas solicitantes. Obter os diagramas solicitantes para o quadro abaixo.

As reações de apoio valem: 01436348609

Os diagramas solicitantes são os indicados a seguir:

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7.3 - Quadro triarticulado

Seja o quadro triarticulado (articulações em A, G e B) da figura abaixo.

Para determinar suas 4 reações de apoio (HA, VA, HB e VB), 01436348609

dispõe-se das três equações universais da Estática no plano e, por haver uma rótula em G (o que indica que em G só há transmissão de forças, não havendo transmissão de momentos), há uma quarta equação indicando que o momento fletor em G deve ser nulo. Caso os dois apoios do 2º gênero e a rótula intermediária estejam alinhados, a estrutura será hipostática. Seja o quadro da figura abaixo, para que esteja satisfeita a condição do momento fletor nulo em G, as reações de apoio HA e VA em A e HB e VB em B devem Prof. Marcus V. Campiteli

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Engenharia Civil TRF-1/2014 Teoria e Questões Prof. Marcus V. Campiteli Aula 10 ter suas resultantes RA e RB segundo a direção da reta AB, conforme esquematizado na figura.

Ao calcular a soma das projeções de todas as forças na direção perpendicular à reta AB: ela valerá

Y = -P.cos

(e não zero, como

deveria valer, caso houvesse o equilíbrio). Conclui-se então que, nestas circunstâncias, o equilíbrio é impossível e se está, por conseguinte, diante de uma estrutura hipostática. Pode-se afirmar que um quadro triarticulado é uma estrutura isostática, desde que suas 3 rótulas não estejam alinhadas.

7.4 - Quadro biapoiado, com articulação e tirante (ou escora) 01436348609

Seja o quadro da figura a seguir, biapoiado em A e B, com uma rótula em G e com uma barra CD descarregada, rotulada em suas extremidades.

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Se a barra CD é descarregada e rotulada nas extremidades, ela tem, em todas as suas seções, M = Q = 0, podendo estar submetida, apenas, a um esforço normal constante (no caso de ser de tração, a barra será denominada tirante e, no caso de ser de compressão, será dita uma escora). Nada se alterará sob o ponto de vista estático, se a barra CD for rompida, substituindo-a por um par de esforços normais N, de sentidos opostos e aplicados no quadro ACDB em cada uma das extremidades C e D da barra CD. Para resolver a estrutura precisa-se, por conseguinte, conhecer os valores das reações de apoio VA, HA e VB e do par de forças N, num total de quatro incógnitas. Sendo igual o número de equações de que dispomos (três equações universais da Estática e mais a equação de momento fletor nulo na rótula), trata-se de uma estrutura isostática. Dependendo

da

posição

relativa

dos

vínculos,

o

quadro

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biapoiado, com articulação e tirante, pode se tornar hipostático, conforme é o caso da estrutura da figura abaixo, incapaz de absorver forças horizontais atuantes no trecho GB (pois acarretariam o aparecimento de momentos fletores na rótula, o que é impossível).

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8 – QUADROS COM BARRAS CURVAS

Os tipos de quadros simples estudados nos tópicos anteriores podem aparecer com barras curvas em vez de barras retas, conforme o caso, por exemplo, da figura a seguir.

Nenhuma alteração quanto à forma de tratamento sofrerá, o problema. 01436348609

Por exemplo, obter os diagramas solicitantes para o quadro abaixo.

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Por simetria, as reações verticais em A e B são iguais a P/2 e se tem, numa seção genérica S, definida pelo ângulo

, os seguintes

esforços simples:

Estas equações são válidas, apenas, para seções no trecho AC, pois em C surge uma carga concentrada que modificaria estas expressões para

>

/2. Devido à simetria existente, não há

necessidade de instituir as equações para o trecho CB, obtendo então os diagramas indicados na figura a seguir, todos eles marcados perpendicularmente ao eixo da barra (estes diagramas são traçados por pontos).

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Notar que para este exemplo, em que a estrutura é plana 01436348609

simétrica, com carregamento simétrico (pois HA = 0), os diagramas de momentos fletores e esforços normais são simétricos e o de esforços cortantes é anti-simétrico (duas seções simétricas em relação ao eixo de simetria da estrutura têm cortantes de mesmo módulo, com sinais opostos). Esta é uma conclusão válida para qualquer estrutura plana simétrica com carregamento simétrico.

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Engenharia Civil TRF-1/2014 Teoria e Questões Prof. Marcus V. Campiteli Aula 10 9 – QUADROS COMPOSTOS

Seja o quadro da figura abaixo. Análise do trecho DEFGH: tratase de um triarticulado, sem estabilidade própria, pois as rótulas D e H são capazes apenas de transmitir forças às estruturas que as suportam. Sua estabilidade fica condicionada à capacidade ou não que tenham os quadros ACDB e JHIK de absorver estas forças.

Sendo

estes

dois

últimos

quadros

estruturas

isostáticas

(quadros biapoiados) dotados de estabilidade própria, eles são capazes de absorver as forças transmitidas pelas rótulas D e H, acrescidas das forças que atuam diretamente sobre eles, sendo o conjunto, então, uma estrutura isostática composta por dois quadros biapoiados, dotados de estabilidade própria, que suportam um triarticulado, dando a ele, pois, estabilidade. A este conjunto, 01436348609

formado pela associação de quadros simples, deomina-se quadro composto. Verifica-se que o quadro composto está para o quadro simples da mesma forma que a viga Gerber está para as vigas simples. A resolução de um quadro composto consiste na resolução inicial dos quadros sem estabilidade própria (no caso, o triarticulado DEFGH) para as cargas que atuam sobre eles e, a seguir, os quadros Prof. Marcus V. Campiteli

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Engenharia Civil TRF-1/2014 Teoria e Questões Prof. Marcus V. Campiteli Aula 10 dotados de estabilidade própria (e que, por isto, dão a estabilidade ao conjunto) para as cargas que atuam diretamente sobre eles, acrescidas das forças transmitidas pelas rótulas. Para o caso da figura anterior, há que se resolver os 3 quadros simples indicados na figura abaixo, para os carregamentos indicados.

Para resolver um quadro composto deve-se decompô-lo nos quadros simples que o constituem, resolvendo, inicialmente, aqueles sem estabilidade própria, e, após, os dotados de estabilidade própria, para o carregamento diretamente atuante sobre eles, acrescido, para estes últimos, das forças transmitidas pelas rótulas. 01436348609

O problema recai na resolução de quadros simples. A única novidade é a decomposição do quadro composto nos quadros simples que o constituem. 9.1 – Exemplos de Decomposição

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Os quadros dotados de estabilidade própria são: o quadro engastado e livre AB e o quadro triarticulado EFGH. A partir dai, temse a decomposição indicada na figura a seguir. Os números indicam a ordem de resolução e as setas em pontilhado a transmissão de carga.

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10 - ESTUDO DOS ARCOS TRIARTICULADOS O estudo dos arcos triarticulados para carregamento vertical pode ser feito recair inteiramente no estudo de uma viga biapoiada.

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Engenharia Civil TRF-1/2014 Teoria e Questões Prof. Marcus V. Campiteli Aula 10 O estudo dos arcos triarticulados para carregamentos atuantes em todas as direções não possui tal simplificação e se faz obedecendo aos princípios gerais de Estática.

10.1 - Estudo dos arcos triarticulados para carregamento vertical em função da viga de substituição Seja

o

triarticulago

da

figura

a

seguir,

submetido

ao

carregamento vertical indicado, para o qual deseja-se determinar as reações de apoio e os esforços simples atuantes.

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Sendo A e B apoios do 2º gênero, existirão neles reações RA e RB que podem ser decompostos em duas direções quaisquer para fins de facilitar o seu cálculo (usualmente decompõe-se nas direções horizontal e vertical, mas, no caso, prefere-se a direção vertical e a direção AB, por razões práticas. Cálculo das componentes:

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Engenharia Civil TRF-1/2014 Teoria e Questões Prof. Marcus V. Campiteli Aula 10 Por

X = 0, tem-se que as reações em A e B na direção AB

devem ser iguais. Por

MB = 0, obtém-se VA, igualando seu momento em relação

a B à soma dos momentos em relação a B de todas as cargas verticais aplicadas no triarticulado. Verifica-se que esta é a mesma equação que fornece a reação vertical Va da viga biapoiada ab, de mesmo vão que o triarticulado e submetida ao mesmo carregamento, à qual denomina-se viga de substituição. Pode-se escrever que VA = Va, (reação vertical no triarticulado é igual à reação vertical na viga de substituição). Analogamente, empregando a equação

MA = 0 (ou, também,

Y = 0), tem-se que VB = Vb. As reações H', na direção AB são obtidas da condição de momento fletor nulo na rótula G, que nos fornece, empregando as forças da esquerda, por exemplo:

O termo

01436348609

pode ser imediatamente identificado como o momento fletor Mg que atua na viga de substituição ab na seção g, projeção da rótula G do triarticulado, e se tem que:

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Engenharia Civil TRF-1/2014 Teoria e Questões Prof. Marcus V. Campiteli Aula 10 O cálculo das reações de apoio do triarticulado AGB recaiu, no cálculo da viga de substituição ab e elas são fornecidas pelas expressões a seguir:

Conhecidas as reações de apoio, passa-se ao cálculo dos esforços simples atuantes no triarticulado. Escolhendo uma seção genérica S, definida pela abscissa horizontal x, medida a partir do apoio da esquerda, e por uma abscissa vertical y, medida a partir da linha de fechamento AB, temse:

Sendo os termos 01436348609

identificáveis como, respectivamente, o momento fletor M, e o esforço cortante Q, atuantes, na seção s da viga de substituição, o cálculo dos esforços simples atuantes numa seção S de um triarticulado AGE recai no cálculo de sua viga de substituição ab e eles são dados pelas expressões seguintes:

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As

expressões

instituídas

permanecem

todas

válidas

se

ocorrerem também cargas verticais distribuídas.

10.2 - Definição e determinação da linha de pressões

Suponha o seguinte problema: determinar qual a forma de um triarticulado AGB tal que, para um dado carregamento, todas as suas seções tenham momento fletor nulo, isto é, obter y para cada seção S, a fim de que nela tenhamos MS = 0, sendo dados l1, l2, f e . Igualando a expressão:

a zero, vem imediatamente:

Lembrando-se que os índices minúsculos referem-se à viga de substituição e os maiúsculos ao triarticulado. 01436348609

Cálculo dos demais esforços solicitantes para esta configuração do triarticulado. Derivando esta expressão em relação a x, tem-se:

que se transforma, levando-se em conta que y = Y - y*, conforme indica a figura a seguir:

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Introduzindo este valor em:

Obtém-se:

isto é, se MS = 0, QS = 0. O único esforço atuante será o esforço normal NS, igual, levando-se em conta que QS = 0, à resultante de todas as forças atuantes de um dos lados da seção, sendo, portanto, igual à composição vetorial da soma das projeções verticais de todas as 01436348609

forças atuantes de um dos lados da seção com a soma das projeções horizontais das mesmas forças. Valendo estas somas, respectivamente: e

Tem-se:

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Engenharia Civil TRF-1/2014 Teoria e Questões Prof. Marcus V. Campiteli Aula 10 A natureza do esforço normal é obtida, também, da figura a seguir, sendo, no caso, de compressão.

Quando um triarticulado AGB, para um dado carregamento, está submetido apenas a esforços normais, diz-se que sua forma é a da linha de pressões deste carregamento. Para os triarticulados com a concavidade voltada para baixo (em que a rótula G está acima da reta AB) e o carregamento é de cima para baixo (caso usual), os esforços normais são sempre de compressão. 01436348609

Os esforços normais serão de tração, quando a estrutura se desenvolver para baixo da reta AB, com carregamento de cima para baixo. Este é o caso dos cabos. A linha de pressões é a forma ideal para um triarticulado, pois que corresponde à sua forma mais econômica de trabalho estrutural. A linha de pressões para carregamento uniforme é uma parábola do 2º grau. Prof. Marcus V. Campiteli

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Engenharia Civil TRF-1/2014 Teoria e Questões Prof. Marcus V. Campiteli Aula 10 Muito embora os arcos triarticulados ocorram frequentemente na

prática,

mais

utilizados

ainda

são

os

arcos

biengastados

(hiperestáticos), para os quais também constitui ponto de partida a determinação da linha de pressões do carregamento atuante. 11 – SISTEMAS GUINDASTE Tratam-se de estruturas formadas pela associação de barras através de pinos capazes de transmitir forças (horizontais e verticais) de uma para a outra.

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Para sua resolução, desmembra-se o sistema-guindaste nas diversas barras que o compõem e estuda-se o equilíbrio de cada uma delas, submetidas ao seu próprio carregamento e, evidentemente, as forças transmitidas pelos pinos, conforme ilustra o caso da figura a seguir.

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Desmembrando o sistema-guindaste nas três barras 1, 2 e 3 que o compõem, tem-se, para sua resolução, o esquema estático indicado na figura acima, em que HB, VB, HC, VC, HD e VD são as forças (incógnitas) transmitidas pelos pinos B, C, D e VA, HA e MA as três reações de apoio do conjunto, num total de nove incógnitas a determinar. Como a análise do equilíbrio de cada barra fornece três equações da Estática tem-se, para as três barras, um total de 9 equações, que determinarão as 9 incógnitas, resolvendo, então, a estrutura. Constatar-se, agora, que os sistemas-guindaste das demais figuras iniciais são isostáticos. 01436348609

Para o primeiro, há oito forças de transmissão (para seus quatro pinos) e quatro reações de apoio (para seus dois apoios do 2º gênero), num total de doze incógnitas que serão obtidas pelas doze equações de equilíbrio existentes (três equações da Estática para cada uma das quatro barras que compõem a estrutura); para o segundo, há seis incógnitas (um pino e dois apoios do 2º gênero), que serão obtidas a partir das seis equações de equilíbrio existentes (análise do equilíbrio de suas duas barras).

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Engenharia Civil TRF-1/2014 Teoria e Questões Prof. Marcus V. Campiteli Aula 10 12 – TRELIÇAS ISOSTÁTICAS Seja a estrutura da figura seguinte, submetida a carregamento apenas nos nós A, B e C. Como as barras 1, 2 e 3 que a constituem são barras retas e regidas, portanto, pelas equações diferenciais:

levando-se em conta que q = 0 e que suas extremidades são rotuladas, elas não terão momentos fletores nem esforços cortantes, existindo apenas os esforços normais.

As grandezas a determinar para sua resolução são as reações 01436348609

de apoio HA, VA, VB e os esforços normais atuantes nas barras 1, 2 e 3, que podem ser obtidos, no caso, pela análise sucessiva do equilíbrio dos nós C, B e A, o equilíbrio de cada um deles fornecendo duas equações, num número total de seis, sendo o problema, então, isostático (igual número de equações e de incógnitas a determinar). Desprezando-se as pequenas deformações elásticas das barras 1, 2 e 3, devidas aos esforços normais nelas atuantes, pode-se dizer que o sistema estrutural da figura acima constitui uma cadeia rígida Prof. Marcus V. Campiteli

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Engenharia Civil TRF-1/2014 Teoria e Questões Prof. Marcus V. Campiteli Aula 10 (isto é, indeformável), pois, sendo o trecho AB indeformável (por se tratar, isoladamente, de uma viga biapoiada), se lhe acrescentamos as duas barras 1 e 2 concorrentes em C, este último ponto C fica também indeslocável, por estar preso a dois pontos indeslocáveis A e B e, com isto, todo o conjunto ABC é indeformável. Seja, agora, o sistema reticulado da figura a seguir, submetido ao carregamento nodal indicado.

As grandezas a determinar para sua resolução são os esforços normais nas suas quatro barras componentes e as três reações de apoio, num número total de sete. O número de equações de equilíbrio (correspondendo ao equilíbrio de cada um dos nós) sendo igual ao dobro do número de nós, é igual a oito, no caso, e, portanto, superior ao número de incógnitas, o que caracteriza a hipostaticidade da 01436348609

estrutura. Por outro lado, verifica-se que o reticulado dado constitui uma cadeia deformável, pois os pontos C e D não estão ligados, cada um deles, a dois pontos indeslocáveis do reticulado (no caso, apenas A e B). A forma de deformação da cadeia está indicada na mesma figura e prosseguirá até a queda da estrutura.

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Engenharia Civil TRF-1/2014 Teoria e Questões Prof. Marcus V. Campiteli Aula 10 As conclusões deste último caso podem ser extrapoladas e pode-se, então, afirmar que todo sistema reticulado deformável é instável (hipostático). Como corolário, pode-se afirmar que todo sistema reticulado indeformável é estável (podendo ser isostático ou hiperestático). Denomina-se treliça ideal ao sistema reticulado cujas barras têm todas as extremidades rotuladas e cujas cargas são aplicadas apenas em seus nós. Os casos das treliças isostáticas com cargas fora dos nós, por não atenderem às condições da definição anterior, não podem ser classificadas como treliças ideais. Conclui-se, por generalização dos dois exemplos já abordados, que qualquer sistema reticulado constituído por um polígono fechado rotulado em seus vértices é deformável (e, portanto, hipostático), excetuando-se o caso do triângulo. As

treliças

surgiram

como

um

sistema

estrutural

mais

econômico que as vigas para vencer vãos maiores ou suportar cargas mais pesadas. A palavra economia engloba comparação entre materiais, mão de obra, equipamentos de execução, etc., usados nos dois casos, podendo assumir, por esta razão, facetas diversas de 01436348609

região para região e de época para época. Pode parecer, a princípio, restritiva a condição de definição de treliça ideal do carregamento atuar somente nos nós; no entanto, é o que ocorre comumente na prática, pois as cargas chegam às treliças através de outras peças estruturais, que nelas se apóiam nos nós (para que só provoquem esforços normais), conforme ilustram os exemplos das figuras seguintes.

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A primeira representa uma ponte ferroviária com duas treliças extremas, que recebem, nos nós, as cargas através das vigas transversais T (por isto chamadas transversinas), que a elas chegaram através das vigas longitudinais L, sobre as quais caminha o 01436348609

trem. A segunda representa uma cobertura constituída por diversas treliças paralelas, que recebem, nos nós, a carga das telhas, vindas através das terças T. Em todos os casos reais existirão, entretanto, pequenas flexões nas barras, devidas a seu peso próprio. Estas flexões devidas a peso próprio costumam ter, nos casos usuais, diminuta influência no

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Engenharia Civil TRF-1/2014 Teoria e Questões Prof. Marcus V. Campiteli Aula 10 dimensionamento das peças, prevalecendo como dimensionantes seus esforços normais. Conforme verificamos, uma treliça biapoiada, constituída por três barras formando um triângulo, é isostática. Se, a partir desta configuração básica, formamos novas treliças, acrescentando à existente duas a duas novas barras, concorrentes cada duas delas num novo nó, a nova treliça será também isostática, pois a cada duas novas

incógnitas

(esforços

normais

nas

duas

novas

barras)

correspondem duas novas equações de equilíbrio (equilíbrio do novo nó). A figura seguinte ilustra esta lei de formação de treliças isostáticas.

Neste exemplo, partindo da treliça biapoiada ABC, chega-se ao nó D pelas barras 4 e 5, ao nó E pelas barras 5 e 7, ao nó F pelas barras 8 e 9 e, finalmente, ao nó G pelas barras 10 e 11. Os apoios não precisam estar no triângulo a partir do qual 01436348609

iniciou-se a lei de formação, pois, onde quer que estejam, fornecem as mesmas três incógnitas. Falando sob o ponto de vista de cadeia rígida, uma treliça que tem esta lei de formação das barras é internamente rígida e, tendo apoios externos que impeçam todos os movimentos possíveis (para o caso de treliça plana, duas translações e uma rotação), será também externamente rígida, sendo, pois, rígida em conjunto. Diz-se que estas treliças são internamente isostáticas, por terem a lei de formação que definida acima e que são, também, Prof. Marcus V. Campiteli

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Engenharia Civil TRF-1/2014 Teoria e Questões Prof. Marcus V. Campiteli Aula 10 externamente isostáticas, por terem apoios no número estritamente necessário para impedir todos os movimentos no plano, sendo o conjunto, pois, isostático. Outro tipo de treliça isostática é a treliça triarticulada da figura a seguir, para a qual há seis incógnitas (quatro reações de apoio e esforços normais em duas barras) e seis equações de equilíbrio (equilíbrio dos nós A, B, C). Partindo desta nova configuração básica, pode-se também formar treliças isostáticas, da mesma forma com que as formamos a partir da configuração da figura inicial deste capítulo.

Denominam-se treliças simples às treliça isostáticas, obtidas a partir das configurações fundamentais da figura inicial deste capítulo e da figura acima, pela adição de duas a duas barras, partindo de nós 01436348609

já existentes para novos nós (um novo nó para cada duas novas barras). As treliças, por terem esforços normais de tração e de compressão, são geralmente de madeira ou de aço, por serem materiais que suportam bem esses dois tipos de esforços. Ocorrem também, embora com menos frequência, treliças de concreto, pois o concreto não trabalha bem à tração, além de ser necessário executá-

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Engenharia Civil TRF-1/2014 Teoria e Questões Prof. Marcus V. Campiteli Aula 10 las de uma só vez (ao passo que as demais podem ser montadas peça a peça). Ao contrário do caso dos quadros - que ocorrem, em sua grande maioria, hiperestáticos, - a grande maioria das treliças da prática é isostática. As treliças isostáticas possuem dois grandes métodos de resolução: um, analítico, que é o método de Ritter e, outro, gráfico, que é o método de Cremona. As treliças comportam ainda um processo espontâneo de resolução, que consiste no estudo, um a um, do equilíbrio de seus nós, iniciado e prosseguido pelos nós que só possuam duas incógnitas a determinar, até abranger todos os nós da treliça. No caso de treliças com geometria bem simples, este processo pode se tornar até aconselhável. 12.1 – Classificação das Treliças a) Quanto à estaticidade Quanto à estaticidade, uma treliça (assim como qualquer outra estrutura) pode ser hipostática, isostática ou hiperestática. As incógnitas do problema são em número de (r + b), sendo r o 01436348609

número de reações de apoio a determinar e b o número de barras (e, portanto, o número de esforços normais a determinar) e as equações de equilíbrio em número igual a 2.n, sendo n o número total de nós, incluindo os nós de apoio da estrutura (pois cada nó resulta em duas equações da Estática, correspondentes ao equilíbrio de um ponto material). Três casos podem ocorrer:

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Engenharia Civil TRF-1/2014 Teoria e Questões Prof. Marcus V. Campiteli Aula 10 1º) r + b < 2.n, ou seja, o número de incógnitas é inferior ao de equações; pode-se afirmar que a treliça é hipostática; 2º) r + b = 2.n, o que sugere tratar-se de uma treliça isostática. Esta simples igualdade não nos permite, entretanto, afirmar que a treliça seja isostática, pois podemos ter a associação, internamente, de trechos hiperestáticos com trechos hipostáticos, conduzindo a uma isostaticidade interna aparente, bem como pode ocorrer a associação de hiperestaticidade interna com hipostaticidade externa (ou vice-versa), conduzindo também a uma isostaticidade aparente para o conjunto. O diagnóstico final só poderá ser dado após a análise dos apoios externos e da lei de formação interna da treliça em questão; 3º) r + b > 2.n, o que sugere tratar-se de uma treliça hiperestática (maior número de incógnitas que de equações). Não se pode, entretanto, afirmar que a treliça seja hiperestática, pois a associação de um trecho hiperestático com outro hipostático (sendo o grau hiperestático de um trecho superior ao grau hipostático do outro) pode conduzir a uma hiperestaticidade aparente para o conjunto. Analogamente ao caso anterior, o diagnóstico final só poderá ser dado após a análise de cada caso. Se a treliça for, de fato, hiperestática, seu grau hiperestático será igual a (r + b - 2n). 01436348609

Em resumo, pode-se afirmar que: a) r + b < 2n é condição necessária e suficiente para que uma treliça seja hipostática; b) r + b = 2n e r + b > 2n são condições apenas necessárias (mas não suficientes) para que uma treliça seja isostática ou hiperestática, respectivamente. A palavra final será dada após o exame específico de cada caso. b) Quanto à lei de formação Prof. Marcus V. Campiteli

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Engenharia Civil TRF-1/2014 Teoria e Questões Prof. Marcus V. Campiteli Aula 10 Quanto à sua lei de formação, as treliças são classificadas em simples, compostas e complexas.

13 – QUESTÕES COMENTADAS

(Copergás/2011 – FCC) Considere a figura a seguir para responder às questões de números 35 e 36.

1)

35. A figura representa uma viga biapoiada com extensão

(L) sendo solicitada por um carregamento uniformemente distribuído (q). Analisando

a

viga,

verifica-se

que

os

apoios

o

apoio

A

A

e

B

correspondem, respectivamente, a (A) apoio móvel e apoio fixo. 01436348609

(B) apoio móvel e apoio móvel. (C) apoio engaste e apoio fixo. (D) apoio móvel e apoio engaste. (E) apoio fixo e apoio fixo. Conforme

vimos

na

aula,

representa,

esquematicamente, um apoio do 1º gênero ou apoio móvel. Na

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Engenharia Civil TRF-1/2014 Teoria e Questões Prof. Marcus V. Campiteli Aula 10 direção do único movimento impedido, aparecerá uma reação de apoio R, conforme indicado na figura a seguir:

E o apoio B representa um apoio de 2º gênero ou apoio fixo, capaz de restringir todas as translações possíveis no plano. Ele é representado esquematicamente por uma das 2 formas indicadas na figura abaixo. Na direção das translações impedidas, aparecerão as reações H e V indicadas na figura, cuja composição vetorial dará a reação de apoio resultante no apoio do 2º gênero.

Gabarito: A

2)

36. Considerando a extensão da viga igual a 2 m e o

carregamento uniformemente distribuído a 15 kN/m, o valor 01436348609

dos esforços internos no centro da viga: o momento fletor máximo e esforço cortante estão corretamente expressos em:

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Engenharia Civil TRF-1/2014 Teoria e Questões Prof. Marcus V. Campiteli Aula 10 Conforme vimos na aula, seguem os gráficos do momento e do esforço cortante na viga biapoiada

com carga uniformemente

distribuída:

Com isso, temos os seguintes valores de momento e cortante no centro da viga: Mmáx = (q.L2)/8 = 15.4/8 = 7,5 N.m 01436348609

Q=0 Gabarito: E

3)

(36 – TRF2/2012 – FCC) A figura representa uma viga

biapoiada

com

extensão

(L)

sendo

solicitada

por

um

carregamento uniformemente distribuído (q).

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Analisando a viga, o esforço cortante (Q), em kN, e o momento fletor (M), em kN.m, no centro da viga, são iguais, respectivamente, a:

Conforme vimos na questão anterior, o momento no centro da viga é dado por (q.L2)/8 e o esforço cortante Q é nulo. Gabarito: D

4)

01436348609

(47 – Sabesp Geotecnia/2012 – FCC) A viga do desenho

a seguir está em equilíbrio, sendo que a carga distribuída por metro “q” refere-se ao peso próprio da viga.

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Sabendo que o peso específico do concreto é igual a 25 kN/m3 e que a viga tem 20 cm de base e 60 cm de altura, o momento fletor no meio do vão, em kN.m, é igual a (A) 6. (B) 12. C) 24. (D) 3. (E) 48. Conforme vimos acima, o momento fletor no meio do vão é dado pela fórmula: Mmáx = (q.L2)/8 Com isso, o valor do momento no meio do vão é: q = (0,2 x 0,6) x 25 = 3 kN/m Mmáx = (q.L2)/8 = 3.42/8 = 6 kN.m Gabarito: A

5)

(43

–

CETESB/2013 01436348609

–

VUNESP)

Considere

a

viga

simplesmente apoiada da figura, com 8 m de vão.

Se a viga estiver submetida a uma carga uniformemente distribuída de 2 kN/m ao longo de seu comprimento e a uma Prof. Marcus V. Campiteli

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Engenharia Civil TRF-1/2014 Teoria e Questões Prof. Marcus V. Campiteli Aula 10 carga concentrada de 5 kN no meio do vão, o momento fletor máximo, em kNm, na viga, é (A) 48. (B) 26. (C) 18. (D) 16. (E) 10 Verifica-se que o momento máximo ocorre no meio do vão, tanto pela carga distribuída quanto pela carga concentrada. Momento máximo devido à carga de 2 kN/m: Mmax1 = qL2/8 = 2.64/8 = 16 kN.m Momento máximo devido à carga de 5 kN: Mmax2 = qL/4 = 5.8/4 = 10 kN.m Momento máximo total = 16 + 10 = 26 kN.m Gabarito: B

(Fundação

Casa/2013

–

VUNESP)

Para

as

questões

de

01436348609

números 24 e 25, considere uma viga isostática horizontal simplesmente apoiada nas suas extremidades, de 3 m de comprimento com carregamento vertical uniforme de 20 kN/m correspondente ao seu peso próprio. 6)

24. A força cortante máxima

(A) é igual a 30 kN. (B) é igual a 36 kN.

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Engenharia Civil TRF-1/2014 Teoria e Questões Prof. Marcus V. Campiteli Aula 10 (C) ocorre onde o momento fletor é máximo. (D) ocorre no meio do vão, apenas. (E) ocorre a 1 m do apoio, apenas. Conforme vimos na aula, seguem os gráficos do momento e do esforço cortante na viga biapoiada com carga uniformemente distribuída:

01436348609

Com isso, temos os seguintes valores de cortante máximo: Qmax = ql/2 = 20.3/2 = 30 kN Gabarito: A 7)

25. O momento fletor máximo

(A) é igual a 32 kN.m. (B) é igual a 22,5 kN.m. Prof. Marcus V. Campiteli

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Engenharia Civil TRF-1/2014 Teoria e Questões Prof. Marcus V. Campiteli Aula 10 (C) ocorre junto ao apoio. (D) ocorre a 0,75 m do apoio. (E) ocorre a 1 m do apoio Mmáx = (q.L2)/8 = 20.9/8 = 22,5 kN.m Gabarito: B

8)

(22

–

Fundação

Casa/2013

–

VUNESP)

Na

viga

representada na figura, se a carga do pilar P21 é 1000 kN com uma excentricidade de 0,5 m, conclui-se que o alívio A no pilar P3 é de

(A) 30 kN. (B) 40 kN. (C) 60 kN. (D) 100 kN.

01436348609

(E) 120 kN O Momento em relação ao primeiro apoio = 0 Com isso teremos: 1000 kN x 0,5 m = 5 x P3, P3 = 100 kN Gabarito: D

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(47 – UFTM/2013 – VUNESP) Na figura, a viga em

balanço de comprimento 2 metros está submetida a um carregamento uniformemente distribuído de 5 kN/m. O valor do momento fletor máximo é, em módulo, igual a

(A) 5 kN.m. (B) 10 kN.m. (C) 15 kN.m. (D) 20 kN.m. (E) 25 kN.m. O momento fletor máximo em uma viga em balanço e engastada ocorre no engaste. Podemos substituir a carga distribuída de 5 kN/m por uma carga concentrada de 10 kN no meio do vão. O momento máximo seria 10 kN x 1 m = 10 kN.m Gabarito: B

01436348609

(UFTM/2013 – VUNESP) O enunciado a seguir refere-se às questões de números 49 e 50. Na estrutura espacial DCBA da figura, todas as barras são ortogonais entre si e as forças ativas são as forças concentradas de 12 kN aplicadas no ponto B (a 10 m de C), nas direções x e z, e a força uniformemente distribuída de 2 kN/m, aplicada em CD na direção y, da extremidade

livre

D

ao

ponto

C

(a

10

m

de

D).

O

engastamento da barra poligonal ocorre em A, a 15 m de B.

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10) 49. Na barra AB, em torno do eixo z o momento fletor em B é: (A) 100 kN.m. (B) 120 kN.m. (C) 150 kN.m. (D) 180 kN.m. (E) 210 kN.m. Em torno do eixo z teremos a carga distribuída de 2 kN/m, que corresponde à carga concentrada de 20 kN a uma distância de 5 m do eixo z. Logo, MB = 20 kN . 5 m = 100 kN.m Gabarito: A

11) 50. Na barra AB, a força normal em A é: 01436348609

(A) 20 kN. (B) 30 kN. (C) 40 kN. (D) 50 kN. (E) 60 kN

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Engenharia Civil TRF-1/2014 Teoria e Questões Prof. Marcus V. Campiteli Aula 10 A força normal em AB seria a força na direção y, causada pela carga distribuída de 2 kN/m, que corresponde à carga concentrada de 20 kN, tracionando a barra AB. Gabarito: A

(Sergipe Gás/2010 – FCC) Para responder às questões de números 21 e 22 considere a figura abaixo.

12) 21. Sobre a estrutura acima é correto afirmar que (A) as barras delimitadas por 1-3, 3-5, 5-7 e 7-9 estarão sujeitas a esforços de compressão. Se cortarmos a treliça verticalmente entre os nós 5 e 7, teremos:

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VA = (q.L)/2 = (2.4,8)/2 = 4,8 kPas P1 = 2 x 0,6 = 1,2 kPas Prof. Marcus V. Campiteli

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Engenharia Civil TRF-1/2014 Teoria e Questões Prof. Marcus V. Campiteli Aula 10 P2 = P3 = 2 x 1,2 = 2,4 kPas ∑ MG = 0 VA x 3 x 1,2 – P1 x 3 x 1,2 – P2 x 2 x 1,2 – P3 x 1 x 1,2 – U3 x 1 = 0 U3 = 17,28 – 4,32 – 5,76 – 2,88 = 4,32 kPas.m (tração)

∑ Fh = 0

O3 = - 4,32 kPas.m (compressão)

Além disso, de acordo com Sussekind, no caso de treliças biapoiadas com carga de cima para baixo, as barras superiores estarão sempre comprimidas e as inferiores tracionadas, ocorrendo o inverso para as treliças em balanço. Portanto, as barras delimitadas por 1-3, 3-5, 5-7 e 7-9 estarão sujeitas a esforços de compressão. Gabarito: Correta (B) as barras 1-4 e 3-6 estarão sujeitas a esforços de compressão e tração intermitentes. Considerando o equilíbrio do nó D, teremos: F12 = - VA (compressão) ∑Y1 = 0 cos

F14.cos

– 4,8 + 1,2 = 0

F14 = 3,6/cos

= 1/[(1 + 1,22)1/2] = 0,64 01436348609

F14 = 5,62 kPa (tração) A força F34 é encontrada pelo equilíbrio do nó 4: ∑Y4 = 0

F14.cos

– F34 = 0

F34 = 3,6 kPa (compressão)

E a força F36 é encontrada pelo equilíbrio do nó 3: ∑Y3 = 0

F36.cos

– 3,6 = 0

F36 = 3,6/cos

= 5,62 kPa

Portanto, as barras 1-4 e 3-6 estarão sujeitas a tração. Prof. Marcus V. Campiteli

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Engenharia Civil TRF-1/2014 Teoria e Questões Prof. Marcus V. Campiteli Aula 10 Gabarito: Errada (C) o gráfico de forças cortantes sofrerá uma inflexão no ponto 3 e no ponto 7. Não se verifica inflexão no gráfico de forças cortantes, conforme o gráfico a seguir, desconsiderando-se os valores, do livro do autor Sussekind:

Gabarito: Errada (D) o valor da cortante na barra 5-6, especificamente no ponto 5, será igual a zero. 01436348609

Conforme o item anterior, o valor cortante no ponto 5 varia de + 1,2 kPa para – 1,2 kPa. O gráfico cortante inicia em + 3,6 kPa, passando para + 1,2 kPa, passando para – 1,2 kPa, e - 3,6 kPa. Gabarito: Errada (E) os valores e momento torçor nos pontos 3 e 7 serão iguais.

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Engenharia Civil TRF-1/2014 Teoria e Questões Prof. Marcus V. Campiteli Aula 10 Não há que se falar em momento torçor no caso de treliças planas. Gabarito: Errada Gabarito: A

13) 22. Para o cálculo da estrutura dada, analise: I. Deve-se garantir, primeiramente, que as barras existentes no alinhamento de pontos de 1 a 9 sejam adequadamente verificadas a resistência à compressão. Exato, conforme vimos na questão anterior, no caso de treliças biapoiadas com carga de cima para baixo, as barras superiores estarão sempre comprimidas e as inferiores tracionadas, ocorrendo o inverso para as treliças em balanço. As barras do alinhamento 1 a 9 estão comprimidas e, portanto, devem ser verificadas a sua resistência à compressão. Gabarito: Correta II. A verificação à compressão em qualquer uma das barras é um indicativo positivo para que a mesma barra seja eficaz na resistência à tração. 01436348609

A resistência à tração das barras é mais favorável que a compressão, pois estas estão sujeitas à flambagem. Gabarito: Correta III. No caso de barras quadradas, ao invés de barras redondas, o cálculo deve contar, ainda, com uma verificação do momento torçor.

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Engenharia Civil TRF-1/2014 Teoria e Questões Prof. Marcus V. Campiteli Aula 10 Não há que se falar em momento torçor no caso de treliças planas. Gabarito: Errada Está correto o que se afirma em (A) I e II, somente. (B) II e III, somente. (C) I, somente. (D) I, II e III. (E) III, somente. Gabarito: A

14) (45 – Metrô-SP/2010 – FCC) Para uma viga treliçada, sujeita

a

cargas

distribuídas,

de

verticais

homogêneas

maneira

constante,

e cuja

igualmente principal

característica é o peso próprio, as barras superiores devem ser calculadas, principalmente, para resistir (A) às tensões radiais. (B) à tração. 01436348609

(C) à rotação. (D) à compressão. (E) às tensões laterais. Podemos adotar a figura da questão anterior:

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De acordo com Sussekind, no caso de treliças biapoiadas com carga de cima para baixo, as barras superiores estarão sempre comprimidas e as inferiores tracionadas, ocorrendo o inverso para as treliças em balanço. Gabarito: D

15) (63 – TCE-SE/2011 – FCC) Considere a treliça metálica da figura.

São barras tracionadas da treliça metálica somente 01436348609

(A) FAB, FBC, FCD e FDE. (B) FDE, FBF, FCG e FDH. (C) FAB, FBC, FCD, FAF, FFG e FGH. (D) FAF, FFG, FGH, FHE, FBG e FGD. (E) FBG, FGD, FBF, FCGE, e FDH.

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Engenharia Civil TRF-1/2014 Teoria e Questões Prof. Marcus V. Campiteli Aula 10 Conforme vimos nas questões anteriores, no caso de treliças biapoiadas com carga de cima para baixo, as barras superiores estarão sempre comprimidas e as inferiores tracionadas, ocorrendo o inverso para as treliças em balanço. Portanto, as barras FAF, FFG, FGH, FHE estão tracionadas. As diagonais BG e DG são paralelas às diagonais AF e EH e, portanto, estão tracionadas também. Gabarito: D

16) (44 – CETESB/2013 – VUNESP) Considere a treliça da figura.

As barras tracionadas são: (A) AB, BD, DE e AC. 01436348609

(B) CE, AB, DE e BC. (C) CD, AB, BD e DE. (D) BC, BD, CD e DE. (E) AC, BC, CD e CE. Equilíbrio no nó C:

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Engenharia Civil TRF-1/2014 Teoria e Questões Prof. Marcus V. Campiteli Aula 10 - vertical: P = (FCD.sen + FBC.sen ), FCD = FBC = P/(2.sen ), no sentido oposto a P, com a força FCD e FBC puxando o nó C, ou seja, as barras BC e CD estão tracionadas. - horizontal: FAC = FCD.cos

e FCE = FBC.cos , ambos com

sentido da força saindo do nó C, puxando-o, ou seja, as barras AC e CE estão tracionadas. Para estas questões de treliça de concurso, vale treinar mais e adquirir o “sentimento”, de forma a entender as barras que estão esticando (tração) e as que estão encurtando (compressão). Com a carga de cima para baixo, em uma treliça biapoiada, a barra inferior é tracionada e a superior comprimida. Neste caso, percebe-se que as diagonais BC e CD estão sendo esticadas pela força P. Essas barras, ao puxarem os nós B e D para baixo, comprimem as barras AB e DE contra os apoios. Gabarito: E

17) (27 – Fundação Casa/2013 – VUNESP) Observe a figura.

01436348609

No banzo superior (junto aos apoios da treliça plana), a força de compressão é igual a (A) 100 kN. (B) 120 kN. (C) 150 kN. Prof. Marcus V. Campiteli

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Engenharia Civil TRF-1/2014 Teoria e Questões Prof. Marcus V. Campiteli Aula 10 (D) 200 kN. (E) 220 kN. Reação nos apoios da treliça = (2 x 30 kN + 3 x 60kN)/2 = 120 kN Equilíbrio do apoio da treliça: - Vertical: 120 = F.sen , 120 = F.(30/50), F = 200 kN Gabarito: D 14 – QUESTÕES APRESENTADAS NESTA AULA (Copergás/2011 – FCC) Considere a figura a seguir para responder às questões de números 35 e 36.

1)

35. A figura representa uma viga biapoiada com extensão

(L) sendo solicitada por um carregamento uniformemente distribuído (q). 01436348609

Analisando

a

viga,

verifica-se

que

os

apoios

A

e

B

correspondem, respectivamente, a (A) apoio móvel e apoio fixo. (B) apoio móvel e apoio móvel. (C) apoio engaste e apoio fixo. (D) apoio móvel e apoio engaste.

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Engenharia Civil TRF-1/2014 Teoria e Questões Prof. Marcus V. Campiteli Aula 10 (E) apoio fixo e apoio fixo.

2)

36. Considerando a extensão da viga igual a 2 m e o

carregamento uniformemente distribuído a 15 kN/m, o valor dos esforços internos no centro da viga: o momento fletor máximo e esforço cortante estão corretamente expressos em:

3)

(36 – TRF2/2012 – FCC) A figura representa uma viga

biapoiada

com

extensão

(L)

sendo

solicitada

por

um

carregamento uniformemente distribuído (q).

01436348609

Analisando a viga, o esforço cortante (Q), em kN, e o momento fletor (M), em kN.m, no centro da viga, são iguais, respectivamente, a:

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4)

(47 – Sabesp Geotecnia/2012 – FCC) A viga do desenho

a seguir está em equilíbrio, sendo que a carga distribuída por metro “q” refere-se ao peso próprio da viga.

Sabendo que o peso específico do concreto é igual a 25 kN/m3 e que a viga tem 20 cm de base e 60 cm de altura, o momento 01436348609

fletor no meio do vão, em kN.m, é igual a (A) 6. (B) 12. C) 24. (D) 3. (E) 48.

5)

(43

–

CETESB/2013

–

VUNESP)

Considere

a

viga

simplesmente apoiada da figura, com 8 m de vão.

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Se a viga estiver submetida a uma carga uniformemente distribuída de 2 kN/m ao longo de seu comprimento e a uma carga concentrada de 5 kN no meio do vão, o momento fletor máximo, em kNm, na viga, é (A) 48. (B) 26. (C) 18. (D) 16. (E) 10

(Fundação

Casa/2013

–

VUNESP)

Para

as

questões

de

números 24 e 25, considere uma viga isostática horizontal simplesmente apoiada nas suas extremidades, de 3 m de comprimento com carregamento vertical uniforme de 20 kN/m correspondente ao seu peso próprio. 6)

24. A força cortante máxima

(A) é igual a 30 kN. (B) é igual a 36 kN. 01436348609

(C) ocorre onde o momento fletor é máximo. (D) ocorre no meio do vão, apenas. (E) ocorre a 1 m do apoio, apenas.

7)

25. O momento fletor máximo

(A) é igual a 32 kN.m. (B) é igual a 22,5 kN.m. Prof. Marcus V. Campiteli

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Engenharia Civil TRF-1/2014 Teoria e Questões Prof. Marcus V. Campiteli Aula 10 (C) ocorre junto ao apoio. (D) ocorre a 0,75 m do apoio. (E) ocorre a 1 m do apoio

8)

(22

–

Fundação

Casa/2013

–

VUNESP)

Na

viga

representada na figura, se a carga do pilar P21 é 1000 kN com uma excentricidade de 0,5 m, conclui-se que o alívio A no pilar P3 é de

(A) 30 kN. (B) 40 kN. (C) 60 kN. (D) 100 kN. (E) 120 kN 01436348609

9)

(47 – UFTM/2013 – VUNESP) Na figura, a viga em

balanço de comprimento 2 metros está submetida a um carregamento uniformemente distribuído de 5 kN/m. O valor do momento fletor máximo é, em módulo, igual a

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(A) 5 kN.m. (B) 10 kN.m. (C) 15 kN.m. (D) 20 kN.m. (E) 25 kN.m.

(UFTM/2013 – VUNESP) O enunciado a seguir refere-se às questões de números 49 e 50. Na estrutura espacial DCBA da figura, todas as barras são ortogonais entre si e as forças ativas são as forças concentradas de 12 kN aplicadas no ponto B (a 10 m de C), nas direções x e z, e a força uniformemente distribuída de 2 kN/m, aplicada em CD na direção y, da extremidade

livre

D

ao

ponto

C

(a

10

m

de

D).

O

engastamento da barra poligonal ocorre em A, a 15 m de B.

01436348609

10) 49. Na barra AB, em torno do eixo z o momento fletor em B é: (A) 100 kN.m.

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Engenharia Civil TRF-1/2014 Teoria e Questões Prof. Marcus V. Campiteli Aula 10 (B) 120 kN.m. (C) 150 kN.m. (D) 180 kN.m. (E) 210 kN.m.

11) 50. Na barra AB, a força normal em A é: (A) 20 kN. (B) 30 kN. (C) 40 kN. (D) 50 kN. (E) 60 kN

(Sergipe Gás/2010 – FCC) Para responder às questões de números 21 e 22 considere a figura abaixo.

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12) 21. Sobre a estrutura acima é correto afirmar que (A) as barras delimitadas por 1-3, 3-5, 5-7 e 7-9 estarão sujeitas a esforços de compressão.

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Engenharia Civil TRF-1/2014 Teoria e Questões Prof. Marcus V. Campiteli Aula 10 (B) as barras 1-4 e 3-6 estarão sujeitas a esforços de compressão e tração intermitentes. (C) o gráfico de forças cortantes sofrerá uma inflexão no ponto 3 e no ponto 7. (D) o valor da cortante na barra 5-6, especificamente no ponto 5, será igual a zero. (E) os valores e momento torçor nos pontos 3 e 7 serão iguais.

13) 22. Para o cálculo da estrutura dada, analise: I. Deve-se garantir, primeiramente, que as barras existentes no alinhamento de pontos de 1 a 9 sejam adequadamente verificadas a resistência à compressão. II. A verificação à compressão em qualquer uma das barras é um indicativo positivo para que a mesma barra seja eficaz na resistência à tração. III. No caso de barras quadradas, ao invés de barras redondas, o cálculo deve contar, ainda, com uma verificação do momento torçor. Está correto o que se afirma em 01436348609

(A) I e II, somente. (B) II e III, somente. (C) I, somente. (D) I, II e III. (E) III, somente.

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Engenharia Civil TRF-1/2014 Teoria e Questões Prof. Marcus V. Campiteli Aula 10 14) (45 – Metrô-SP/2010 – FCC) Para uma viga treliçada, sujeita

a

cargas

distribuídas,

de

verticais

homogêneas

maneira

constante,

e cuja

igualmente principal

característica é o peso próprio, as barras superiores devem ser calculadas, principalmente, para resistir (A) às tensões radiais. (B) à tração. (C) à rotação. (D) à compressão. (E) às tensões laterais.

15) (63 – TCE-SE/2011 – FCC) Considere a treliça metálica da figura.

São barras tracionadas da treliça metálica somente 01436348609

(A) FAB, FBC, FCD e FDE. (B) FDE, FBF, FCG e FDH. (C) FAB, FBC, FCD, FAF, FFG e FGH. (D) FAF, FFG, FGH, FHE, FBG e FGD. (E) FBG, FGD, FBF, FCGE, e FDH.

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Engenharia Civil TRF-1/2014 Teoria e Questões Prof. Marcus V. Campiteli Aula 10 16) (44 – CETESB/2013 – VUNESP) Considere a treliça da figura.

As barras tracionadas são: (A) AB, BD, DE e AC. (B) CE, AB, DE e BC. (C) CD, AB, BD e DE. (D) BC, BD, CD e DE. (E) AC, BC, CD e CE.

17) (27 – Fundação Casa/2013 – VUNESP) Observe a figura.

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No banzo superior (junto aos apoios da treliça plana), a força de compressão é igual a (A) 100 kN. (B) 120 kN. Prof. Marcus V. Campiteli

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15 - GABARITO 1) A

6) A

11) A

16) E

2) E

7) B

12) A

17) D

3) D

8) D

13) A

4) A

9) B

14) D

5) B

10) A

15) D

16 - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1 - Associação Brasileira de Normas Técnicas – ABNT. NBR 6118/2007

–

Projeto

de

Estruturas

de

Concreto

-

Procedimento. 2 - Beer, Ferdinand P. e Johnston Jr, E. Russell. Resistência dos Materiais. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1982. 3 - Leonhardt, Fritz e Monnig, Eduard. Construções de Concreto, 01436348609

volume 1. Rio de Janeiro. Interciência: 1977. 4 - Sussekind, José Carlos. Curso de Análise Estrutural, volume 1. Rio de Janeiro: Globo, 1981.

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