Análise Estrutural com o SAP 2000

ANEXO 4 – ANÁLISE ESTRUTURAL COM O SAP 2000 “Carl os Eduardo L una de M elo, M Sc –UnB  Dou toran do do Cur so Estrutur Estru tur as e Constru ção Civi l - U nB  E-mail: [email protected] ” 

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INTRODUÇÃO

Esse capítulo tem como objetivo dar ao aluno algumas orientações para a utilização do  programa SAP 2000, apresentando basicamente os comandos principais do programa e ilustrando sua aplicação com alguns exemplos propostos numa ordem, com um aumento gradual do nível de complexidade da estrutura. Cabe ressaltar, que este capítulo não tem o objetivo de ensinar por completo o uso do SAP 2000, o objetivo é fornecer ao aluno da disciplina de Concreto 2 um texto que facilite o aprendizado para que possa ser aplicado no Projeto Piloto da disciplina. Ressalta-se ainda, que o uso do programa não é obrigatório na disciplina nem no Projeto Piloto. Para informações mais detalhadas sobre o programa, recomendamos que consulte o manual do  programa.

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CARACTERÍSTICAS GERAIS DO PROGRAMA

O SAP 2000 é um software de análise estrutural baseado no Método dos Elementos Finitos. A versão do SAP utilizada como referência para a elaboração deste capítulo é a 8.0, e admite um comportamento não-linear para a estrutura, porém as análises realizadas no  presente capítulo serão apenas admitindo um comportamento linear-elástico, para a determinação das solicitações na estruturas ou elementos estruturais utilizados nos exemplos. Existem softwares mais modernos que o SAP 2000 que utilizam o Método dos Elementos Finitos, como por exemplo o ANSYS e o DIANA, e devido à sua interface extremamente amigável o SAP 2000 torna-se uma ferramenta interessante para análise de esforços. Embora existam softwares mais modernos, o SAP 2000 ainda é bastante utilizado por ser  um programa bastante flexível, com um processador de cálculo bastante eficiente. Do ponto de vista didático, ele é bastante interessante, pois a versão analisa (fornece os esforços para a estrutura), deixando a cargo do usuário o dimensionamento e detalhamento, que são os objetivos da disciplina. Com relação ao programa, como foi dito anteriormente, trata-se de um software bastante flexível, basta notar que ele é capaz de modelar desde vigas simples, pórticos complexos em 3D, estruturas laminares como lajes e cascas, estruturas tridimensionais como uma treliça espacial. Ele permite ainda considerar carregamentos diversos, esforços dinâmicos, efeitos de gradiente de temperatura e pressões, analisar esforços devidos a deslocamentos 1

impostos (como o recalque de uma fundação, por exemplo), permitindo até a simulação com concreto protendido.

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ENTRADA DE DADOS

A primeira etapa a ser realizada é a definição das unidades utilizadas na análise e escolha do modelo a ser utilizado. O SAP 2000 não inicia com unidades pré-definidas, portanto devem-se padronizar as unidades de entrada para que os resultados saiam todos nas mesmas unidades. Como exemplo pode utilizar unidades em kN, m, ºC, e os resultados sairão nas mesmas unidades ou combinações destas (kN, kN/m2, kN.m). Após a escolha das unidades iniciaremos a modelagem da estrutura ou elemento estrutural a ser analisado. Será iniciada uma tela com os diversos modelos, que o usuário pode escolher  um que se adapte para a sua análise, mas vale ressaltar que são limitados, como por  exemplo o modelo Beam realiza uma modelagem em vigas simples ou contínuas, porém com vãos iguais. Utilizaremos então o modelo Grid Only, que praticamente existe em todas as versões do SAP 2000. O modelo Grid Only simplesmente irá desenhar uma malha de referência para a modelagem da estrutura ou elemento estrutural. O usuário deverá escolher o numero de espaços e espaçamento entre as linhas na unidade escolhida. A direção Z por padrão é a direção da gravidade.

Figura 3.1 – Definição da malha de referência no SAP2000.

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A malha de referência poderá ser adaptada posteriormente para facilitar a modelagem, simplesmente clicando com o botão direito do mouse sobre a tela de trabalho e em seguida clicando em Edit Grid Data. Outra maneira de editar a malha de referência é clicando no menu Define/Coordinate Systems Grid/. Pode-se editar a malha então, inserindo ou removendo linhas de referência de modo a facilitar a modelagem. Cabe ressaltar que todos os dados de entrada também podem ser inseridos por meio de um arquivo de entrada de dados, porém realizaremos a modelagem de modo iterativo, a partir  dos comandos a serem apresentados a seguir.

3.1 MATERIALS O usuário deverá definir o material ou materiais que serão utilizados da discretização do modelo. Por exemplo, se o usuário estiver tratando uma estrutura mista (Aço + Concreto), deverão ser definidas as propriedades de cada material nas unidades escolhidas. Esta definição é feita pelo comando Define/Materials, após a seleção dos elementos que se deseja fazer a definição. O usuário poderá ajustar o peso específico, módulo de elasticidade, resistência à compressão, coeficiente de Poisson, coeficiente de expansão térmica do material considerado. Como estamos tratando estruturas de concreto armado, então deveremos escolher o material CONC e ajustar as suas propriedades clicando em Modify/Show Material. A Figura 3.2 mostra a janela de ajuste das propriedades do concreto nas unidades kN e m.

Figura 3.2 – Definição das propriedades do concreto – SAP 2000.

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3.2 FRAME PROPERTIES O elemento FRAME é utilizado para modelar elementos estruturais com barras (vigas,  pilares, pórticos, etc.). Para a devida consideração das rijezas dos elementos e do correto  peso próprio do modelo, é necessário se fazer a definição das propriedades das barras do modelo. A definição das propriedades das barras é feita com o comando Define/Frame/Cable Sections, onde se pode definir a seção do modelo de barra e o material utilizado. Para adicionar uma seção retangular, por exemplo, deve escolher um tipo de propriedade para adicionar (no caso Add Rectangular) e em seguida clicar em Add New Property. O usuário pode definir inúmeras seções de barras de acordo com a sua necessidade. Também se pode escolher a cor de cada barra para uma identificação na tela. A Figura 3.3 mostra a  janela de ajuste da seção retangular da barra do modelo.

Figura 3.3 – Definição da seção retangular da barra do modelo – SAP 2000.

3.3 AREA SECTIONS Da mesma forma como necessário a definição das propriedades das barras, é necessário fazer a definição dos elementos SHELL para a correta modelagem do elemento estrutural. O elemento SHELL é utilizado para a modelagem de elementos laminares, como placas, cascas e lajes, gerando uma malha de elementos finitos definida pelo usuário. Usaremos o elemento SHELL para a modelagem de lajes de concreto armado. 4

Para definir as propriedades dos elementos SHELL, utiliza-se o comando Define/Area Sections, onde se pode definir o tipo de material, espessura e o tipo de elemento que será utilizado. A Figura 3.4 mostra a janela Area Section, em que o usuário pode ajustar o elemento SHELL de acordo com a necessidade da análise.

Figura 3.4 – Definição das propriedades do elemento SHELL – SAP 2000.  No campo Material, o usuário deve selecionar  CONC para concreto. Em Area Type, deve-se selecionar  SHELL, pois considera um elemento com dois graus de liberdade: rotação e translação, capaz de suportar forças e momentos. No campo Thickness o usuário deve colocar o valor da espessura do elemento no campo Bending e repetir o mesmo valor  no campo Membrane. Finalmente no campo Type, o usuário deverá selecionar o campo Shell, sendo mais adequado para a modelagem de lajes usuais de concreto armado.

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MODELAGEM

Após a etapa de definição da malha de referência e entrada de dados é iniciada a modelagem da estrutura ou elemento estrutural de modo iterativo, usando os comandos a seguir. 5

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FRAME

O usuário pode criar barras diretamente sobre a malha de referência com o comando Draw/Draw Frame/Cable, que cria barras ao clicar do mouse no cruzamento das linhas de referência, ou Draw/Quick Draw Frame/Cable, que vai modelar as linhas de referência selecionadas como barras. Existem comandos que facilitam ainda mais a discretização de barras. O comando Draw/Quick Draw Braces gera diagonais em “V”, “X”, inclinadas, bastando antes de clicar na malha de referência fazer o ajuste Bracing da janela aberta. O comando Draw/Quick Secondary Beams cria barras horizontais e verticais, devendo-se fazer o ajuste nos campos na janela aberta.

4.2

SHELL

Os elementos SHELL  podem apresentar uma forma quadrangular qualquer, porém as conectividades devem ser consideradas entre os elementos, de modo a não deixar nós sem conectividades e consequentemente uma discretização inadequada. Uma maneira de se discretizar uma malha de elementos SHELL é usando o comando Draw Rectangular Area Element, bastando clicar em 2 pontos da malha de referência, formando um retângulo. Para se discretizar uma malha irregular usa-se o comando Draw Quad Área, clicando em pontos da malha de referência e formando o elemento. Por fim, pode-se discretizar o elemento clicando-se dentro da malha de referência, com o uso do comando Quick Draw Area Element. Vale ressaltar que existem comandos que facilitam ainda mais a discretização. Digamos que temos uma malha de referência de 1000 linhas na direção X e 1000 linhas na direção Y e desejamos discretizar cada retângulo formado pelas linhas de referência com um elemento SHELL. A solução é criar um elemento retangular usando o comando Draw Rectangular Area Element apenas no contorno da malha de referência. Em seguida é dado clique dentro do elemento criado e usa-se o comando Edit/Mesh Areas. Abre-se então uma janela e o usuário poderá escolher em definir o numero de elementos em cada direção ou até mesmo fazer com que seja criado um elemento coincidindo com a malha de referência.

4.3

LOAD CASES

O comando Define/Load Cases é utilizado para a definição dos casos de carregamento da estrutura. Se quisermos fazer uma análise em separado de um elemento estrutural, podemos definir as cargas atuantes separadamente, o que é o mais adequado. Usualmente as estruturas de concreto armado estão submetidas a cargas permanentes, cargas acidentais e carga de vento. Então, como iremos posteriormente considerar as combinações de carga, deveremos definir cada caso de carregamento, como por exemplo: DEAD para cargas 6

 permanentes, considerando o peso próprio, LIVE para cargas acidentais e WIND para cargas de vento. A Figura 4.1 mostra a janela de definição de alguns casos de carregamento que podem ser considerados na modelagem.

Figura 4.1 – Definição de casos de carregamento – SAP 2000. A adição de carregamentos é feita clicando no botão Add New Load após o preenchimento dos campos da janela. Percebe-se na Figura 4.1 que o campo Self Weight Multiplier tem valores 0 e 1. Utilizamos 1 para as cargas permanentes e 0 para as cargas acidentais, ou seja, o SAP 2000 apenas considerará o peso próprio quando o campo Self Weight Multiplier for igual a 1 e não levará em consideração quando este for igual a zero. 4.4

COMBINATIONS

Após a definição dos casos de carregamento podemos criar diversas combinações de carga a serem consideradas na modelagem. Poderíamos fazer a seguinte pergunta: “Quais seriam as solicitações em uma viga considerando a carga permanente e 70% da sobrecarga total?”. Definindo então uma combinação de carga, poderemos facilmente obter a resposta desta  pergunta. Usando o comando Define/Combinations o usuário poderá definir diversas combinações de carga que podem ser consideradas na modelagem. A Figura 4.2 mostra a janela de definição das combinações de carga, mostrando, por exemplo, uma combinação de carga que considere a carga permanente e 70% da carga acidental.

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Figura 4.2 – Definição de combinações de carga – SAP 2000. Esta ferramenta é muito importante, pois poderemos saber qual a pior situação que uma estrutura está submetida, levando-se em consideração todas as combinações possíveis, e em seguida fazer o dimensionamento da estrutura.

4.5

FRAME LOADS

Após a modelagem das barras, deveremos aplicar as cargas atuantes utilizando o comando Assign/Frame Loads, após a seleção da barra que receberá o carregamento, selecionando Point  para a aplicação de cargas concentradas e Distribuited para aplicação de cargas distribuídas. Existe ainda a possibilidade de se considerar o efeito da temperatura e  protensão na barra, mas não será abordado neste curso. Para a aplicação de cargas concentradas o usuário deverá escolher o caso de carregamento, a direção de aplicação de cargas, o valor da carga na unidade selecionada e o ponto de aplicação da carga, que pode ser feito de modo relativo em relação ao ponto inicial da  barra, ou de modo absoluto, considerando sempre a vírgula como separador decimal. Para inserir uma carga concentrada de forma absoluta em relação à origem da barra, devese digitar a distância em relação a origem no campo Distance e o valor da carga no campo Load. A Figura 4.3 mostra um exemplo de aplicação de uma carga concentrada  permanente de 10 kN a uma distância absoluta de 2 metros em relação ao nó inicial, na direção da gravidade.

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Figura 4.3 – Aplicação de carga concentrada numa barra – SAP 2000. Para inserir uma carga concentrada relativamente à origem da barra, deve-se digitar a distância em porcentagem do comprimento, ou seja, uma carga no meio da barra deve ser  inserida da seguinte forma: no campo Distance digita-se 0,5 e no campo Load digita-se o valor desejado da carga. Para inserir uma carga distribuída deve-se selecionar o caso de carregamento, a direção de aplicação da carga e no campo Uniform Load coloca-se o valor desejado, caso seja considerada uma carga distribuída uniforme em toda a extensão da barra. Caso haja variação da carga distribuída na barra, deve-se utilizar o campo Trapezoidal Loads e fazer  a inserção. A Figura 4.4 mostra um exemplo de aplicação de carga uniformemente distribuída permanente de 20 kN.m numa barra, na direção da gravidade.

Figura 4.4 – Aplicação de carga uniformemente distribuída numa barra – SAP 2000. 9

Para aplicar uma carga no sentido contrário ao da gravidade, por exemplo, utiliza-se a carga com um valor negativo. Vale ressaltar que a carga pode ser adicionada com uma carga já existente, substituída, ou apagada, bastando apenas clicar na opção desejada no campo Options.

4.6

AREA LOADS

Para a aplicação de carga distribuída num elemento SHELL, deve-se utilizar o comando Assign/Area Loads após a seleção dos elementos que receberão a carga distribuída, seguindo do comando Uniform. Existem ainda a possibilidade de se considerar uma carga de pressão de superfície, poropressão e temperatura, dentre outras, porém não será abordado neste curso. Após a execução do comando Uniform pode-se escolher o caso de carregamento, o valor  da carga distribuída por área na unidade selecionada e a direção de aplicação da carga, utilizando sempre a vírgula como separador decimal e o sinal de negativo para mudar a direção de aplicação da carga. A Figura 4.5 mostra um exemplo de aplicação de uma carga uniformemente distribuída em um elemento SHELL, considerando uma sobrecarga de 2,5 kN na direção da gravidade.

Figura 4.5 – Aplicação de uma carga uniformemente distribuída por área – SAP 2000. Vale ressaltar que a carga pode ser adicionada com uma carga já existente, substituída, ou apagada, bastando apenas clicar na opção desejada no campo Options.

4.7

ASSIGN

Este comando é muito útil quando se deseja alterar as propriedades ou aplicar cargas. Foi mostrado anteriormente como fazer a aplicação de cargas em barras e em elementos de 10

área, agora iremos mostrar como alterar as propriedades de uma barra ou de um elemento de área. Digamos que na modelagem um elemento de barra ou de área foi discretizado com uma seção diferente da desejada e queremos ajustar este elemento. Para resolver o problema selecionamos a barra ou o elemento de área e executamos o comando Assign/Frame Cable/Sections ou Assign/Area/Sections. Após este procedimento uma tela surgirá e  pode-se escolher, adicionar ou modificar as propriedades existentes, ajustando a seção corretamente.

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EXEMPLOS

Iremos agora modelar alguns elementos estruturais, a fim de que se entenda o funcionamento do programa. As análises serão escolhidas de acordo com o exemplo a ser  analisado. Recomenda-se a leitura dos comandos mostrados anteriormente, para o bom entendimento dos exemplos que serão mostrados a seguir.

5.1

Viga bi-apoiada

Usaremos um caso mais simples possível para que possamos compará-lo com as soluções teóricas e entendermos o funcionamento do programa.

Figura 5.1 -

5.1.1 Solução com o SAP 2000 - Malha de Referência Para geração da malha de referência basta seguir os seguintes passos: Clica-se em New Model; Seleciona as unidades kN, m, ºC; Clica-se em Grid Only; Seleciona-se 1 espaço na direção X e zero nos demais; Coloca-se o valor do vão (2) no Grid Spacing (X direction) Após a criação da malha de referência, selecionaremos a vista adequada para o desenho, clicando em View/Set 2D View/X-Z Plane, ou clicando no ícone XZ que aparece no menu de ferramentas.

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- Definição dos Materiais Clica-se em Define/Materials, selecionando o material CONC, para o ajuste das  propriedades do concreto. Todas as propriedades do concreto devem ser ajustadas, porém ajustaremos apenas o peso específico do concreto (25 kN/m3, no campo Weight per unit Volume), por ser um valor usual e que será usado na solução teórica. - Propriedades da Barra Será definida a seção da viga como um elemento de barra clicando em Define/Frame Cable Sections, seguido de Add Rectangular e Add New Property. Ajusta-se o material  para concreto (CONC) e colocam-se as dimensões da seção no campo Dimensions. Por  último, clica-se em Reinforcement, no campo Concrete e clica em Beam, para viga. O  programa salvará então a seção FSEC1 para ser usada posteriormente. - Casos de Carregamento Consideraremos a carga distribuída como sendo uma carga permanente para facilitar a aplicação. Clica-se em Define/Load Cases e verificamos se o campo Self Weight Multiplier está com o valor 1 e se o Load Name está definido como DEAD. - Modelagem Para a modelagem da barra da viga basta clicar em Draw/Draw Frame/Cable e selecionar  no campo Property a seção definida anteriormente, no caso FSEC1. Em seguida clica-se no ponto inicial e final da malha de referência para o desenho da barra. Para a aplicação do carregamento, basta selecionar a barra com o mouse e clicar em Assign/Frame Loads/ Distribuited, colocando o valor 50 (50 kN/m) no campo Uniform Load, na direção da gravidade. Para a definição do apoio do lado esquerdo, basta selecionar o nó inicial e clicar em Assign/Joint/Restraints. Será aberta uma janela, onde o usuário deverá definir as restrições nos apoios. Para definir o apoio do lado esquerdo é o mesmo procedimento. Existem ícones que definem os apoios de forma rápida, bastando apenas clicar no ícone adequado. A Figura 5.2 mostra a janela para a seleção dos apoios das vigas, com a seleção do apoio do 2º gênero, como exemplo.

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Figura 5.2 – Definição dos apoios da viga – SAP 2000. Os valores, 1, 2 e 3 são as direções dos eixos X, Y e Z, respectivamente. Portanto, o usuário  poderá definir as condições de contorno para cada nó da maneira que julgar mais adequado. A Figura 5.3 mostra o modelo da viga discretizada com o carregamento uniformemente distribuído e com os respectivos apoios.

Figura 5.3 – Modelo da viga com carregamento – SAP 2000. Para visualizar as cargas no modelo, basta clicar em Display/Show Load Assigns/Frame e escolher a carga que deseja visualizar. - Definição dos Casos de Análise Iremos agora fornecer ao programa quais os casos de análise que serão considerados. Clicando em Define/Analysis Cases o programa abrirá uma tela com os casos de carregamento. Como estamos apenas querendo o caso de carregamento que considere a carga DEAD, então apagamos o restante. Essa função do programa é para que o usuário forneça os casos que poderão ser selecionados mais adiante ou faça alguns ajustes necessários. - Análise da Viga Finalmente iremos fazer a análise dos esforços na viga. Para isso será necessário fornecer  ao programa o tipo de análise a ser realizada. Clicando em Analyze/Set Analysis Options 14

uma janela é aberta e selecionam-se os graus de liberdade que serão considerados na análise. No caso da viga em questão só teremos deslocamento em X e em Z e rotação em relação ao eixo Y. Essa etapa é de grande importância, pois deveremos escolher a análise adequada para evitar erros. Se por acaso o campo RY não for marcado nesta análise, haverá um engaste nos apoios, o que não pode acontecer, por causa dos apoios adotados. A Figura 5.4 mostra a seleção dos graus de liberdade a serem considerados.

Figura 5.4 – Definição do tipo de análise da viga – SAP 2000. Para facilitar a seleção dos graus de liberdade, pode-se clicar no ícone Plane Frame, em Fast DOFs, pois este considera a análise somente no plano XZ, que é o caso da nossa viga em questão. - Executando a Análise Para executar a análise da viga basta pressionar a tecla F5 ou clicar em Analyse/Run Analysis e finalmente em Run Now. O programa então realizará a análise. A Figura 5.5 mostra a janela de seleção dos casos que irão fazer parte da análise.

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Figura 5.5 – Seleção dos casos de análise execução da análise – SAP 2000. Clicando-se em Run/Do Not Run Case após a seleção do caso, pode-se escolher se o  programa deve fazer a análise ou não. Essa ferramenta serve para escolher uma análise ou um grupo de análise em separado, por exemplo, poderemos analisar só a carga DEAD ou a LIVE, ou ambas, de acordo com a necessidade. - Obtenção dos Resultados Após a análise o programa mostrará a deformada da viga e poderemos então selecionar os resultados a serem mostrados. Clicando em Display/Show Forces/Stresses/Joints,  poderemos obter as reações nos apoios. As reações calculadas pelo SAP foram: Ra = Rb = 51,20 kN. Para obter o momento, esforço cortante e flecha, basta clicar em Display/Show Forces/Stresses/Frames/Cables e selecionar o diagrama desejado. A Figura 5.6 mostra a  janela de seleção dos diagramas para visualização na tela, com a seleção do diagrama do momento.

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Figura 5.6 – Escolha dos diagramas da viga – SAP 2000.  No caso da viga analisada o eixo X é o eixo 1, o Z é o eixo 2, e Y é o eixo 3. Portanto,  baseado nessas informações poderemos obter os diagramas nas respectivas direções. Por  exemplo: para obter o diagrama de momentos, seleciona-se o item Moment 3-3, pois é o momento em torno do eixo Y (eixo 3) e para se obter o diagrama de esforço cortante, seleciona-se o item Shear 2-2, pois é na direção do eixo Z, eixo 2, e assim por diante. Para saber qual é a direção dos eixos, basta clicar em View/Set Display Options e selecionar o campo Local Axes, em Frame/Cables. Selecione a vista 3D e os eixos aparecerão no modelo. O eixo vermelho é o eixo 1, branco é o eixo 2, e o eixo azul é o eixo 3. Após obter um diagrama, basta clicar na barra com o botão direito do mouse e aparecerá uma janela com todos os diagramas da viga, inclusive a flecha calculada. A Figura 5.7 mostra os diagramas da viga que foi modelada com os valores máximos selecionados (Show Max).

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Figura 5.7 – Diagramas para a viga modelada – SAP 2000.

5.1.2 Solução Teórica Resolvendo a viga, temos:

- Carregamento: Peso Próprio Carga Distribuída Carga Total

=  Pp = 25 × (0,4 × 0,12 ) = 1,2kN  / m = q = 50kN  / m = qtot  = 50 + 1,2 = 51,2kN  / m

- Momento Fletor: ql 2 51,2 × 2 2  M  MAX  = = 8 8

=

25,6kN .m

- Esforço Cortante: ql  51,2 × 2 V  MAX  = = = 51, 2kN  2 2 18

- Flecha:  E  = 25 ×10 6 kN  / m 2 bh 3 0,12.0,40 3 4  I  = = = 0,00064m 12 12 2 5 ML 5 × 25,6 × 2 2  f   = = = 0,000666m 48 EI  48 × 25000000 × 0,00064 Verifica-se que os valores são os mesmos dos calculados com o SAP 2000, exceto uma  pequena diferença no cálculo da flecha.

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5.2

Pórtico Plano

Usaremos agora como exemplo um pórtico plano, submetido a carregamentos uniformes distribuídos (sobrecarga de utilização), a cargas concentradas no meio do vão das vigas (para simular carregamento oriundo de vigas apoiadas) e ainda a carregamentos horizontais devido a ação do vento. Dados: Pilares de 12x40 cm Vigas de 12x30 cm Carga de Utilização = 10 kN/m Carga Concentrada = 10 kN Carga de Vento = 3 kN/m (Direção Y – Perpendicular ao pórtico)

Figura 5.8 – Carregamentos no pórtico, exceto carga de vento. Verifica-se na Figura 5.8 que não aparece a carga de vento, pois está perpendicular ao eixo X do pórtico. Esta carga será aplicada uniformemente distribuída em todas as barras com o valor de 3 kN/m.

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5.2.1 Solução com o SAP 2000 - Malha de Referência Para a geração da malha de referência, clica-se em New, selecionando as unidades utilizadas (kN, m, ºC), em seguida clica-se no modelo Grid Only, e finalmente  preenchem-se os campos da seguinte forma:

Number of Grid Spaces X direction: 1 Y direction: 0 Z direction: 4 Grid Spacing X direction: 7,35 Y direction: 1 Z direction: 4 Percebe-se que será necessário acrescentar mais linhas verticais na direção X, que será feito da seguinte forma: - Seleciona-se a vista XZ e clica-se na tela com o botão direito e em seguida em Edit Grid Data; - Clica-se em Modify/Show System; - Seleciona-se a direção X e adicionam-se linhas na direção X = 12,1 e X= 19,45;

- Definição dos Materiais Os elementos estruturais serão definidos como sendo de concreto. Para isso será utilizado o comando Define/Materials. Ajustando as seguintes propriedades do concreto: Peso Específico: 25,0 kN/m3 Módulo de Elasticidade: 25E6 kN/m2 - Propriedades da Barra Será definida a seção da viga e do pilar como sendo elementos de barra, clicando-se em Define/Frame Cable Sections, seguido de Add Rectangular e Add New Property. Ajusta-se o material para concreto (CONC) e colocam-se as dimensões da seção no campo Dimensions. Por último, clica-se em Reinforcement, no campo Concrete e clica-se em Beam, para viga. O programa salvará então a seção FSEC1 para ser usada posteriormente.

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Para a definição dos pilares, segue-se o mesmo procedimento, apenas ajustando o item Reinforcement, no campo Concrete e clica-se em Column para o pilar. Finalmente o  programa salvará então a seção FSEC2 para ser usada posteriormente. - Casos de Carregamento Consideraremos as cargas aplicadas como sendo cargas acidentais. Clica-se em Define/Load Cases ajustando o campo Self Weight Multiplier com o valor 1 e os campos Load Name e Type ajustando como LIVE. Adiciona-se a carga de vento, escrevendo WIND no campo Load Name, ajustando WIND no campo Type, colocando o fator do  peso próprio igual a zero, e em seguida clica-se em Add New Load.

- Modelagem A etapa de modelagem segue os mesmos passos realizados no exemplo anterior, exceto que as barras de pilares deverão ser modeladas com a seção FSEC2 e as vigas com a seção FSEC1, definidas anteriormente. Para a aplicação da carga uniformemente distribuída nas vigas, selecionam-se as barras horizontais e clica-se em Assign/Frame Loads/ Distribuited. Ajusta-se o campo o Load Case Name  para LIVE, colocando o valor 10 (10 kN/m) no campo Uniform Load, na direção da gravidade. Para a aplicação da carga de vento no pórtico, selecionam-se todas as barras e clica-se em Assign/Frame Loads/ Distribuited. Ajusta-se o campo o Load Case Name  para WIND, colocando o valor 3 (3 kN/m) no campo Uniform Load, na direção Y. Finalmente, para a aplicação das cargas concentradas no meio do vão das vigas externas, selecionam-se somente as barras horizontais externas e clica-se em Assign/Frame Loads/ Point. Antes de colocar os valores das cargas e distância, seleciona-se Relative Distance From End-I, o campo Load Case Name para Live e o campo Options para Add to Existing Loads. Coloca-se o valor 10 (10 kN) no campo Load e 0,5 no campo Distance. A Figura 5.9 mostra a janela para aplicação de carga concentrada no meio da viga.

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Figura 5.9 – Aplicação de carga concentrada no meio da viga – SAP 2000. Para a definição dos apoios, basta selecionar os nós inferiores e clicar em Assign/Joint/Restraints. Será aberta uma janela, onde o usuário deverá definir as restrições nos apoios. Utiliza-se o ícone de engaste, restringindo rotação e translação em todos os eixos. Após esse procedimento a modelagem foi concluída e para verificar se as cargas estão  postas corretamente no modelo, utiliza-se o comando Display/Show Load Assigns/Frame. Caso não apareçam as cargas de vento, clica-se em 3-d para a visualização do pórtico em  perspectiva. - Definição dos Casos de Análise Iremos agora fornecer ao programa quais os casos de análise que serão considerados. Clicando em Define/Analysis Cases o programa abrirá uma tela com os casos de carregamento. Como estamos apenas querendo o caso de carregamento que considere a carga LIVE e a carga WIND, então apagamos o restante. Essa função do programa é para que o usuário forneça os casos que poderão ser selecionados mais adiante ou faça alguns ajustes necessários. - Definição das Combinações de Carga Iremos considerar no exemplo as seguintes combinações de carga: 1 – Somente a sobrecarga (Carregamento LIVE) – COMB1 2 – Somente a ação do vento (Carregamento WIND) – COMB2 3 – Sobrecarga + ação do vento (1,0xLIVE+1,0xWIND) – COMB3 Onde 1 é um coeficiente que multiplica o valor do carregamento. Poderia ser utilizado 1,4, considerando os esforços de projeto. 23

Para a combinação 1 (COMB1), clica-se em Define/Combinations, em seguida em Add New Combo, seleciona-se no campo Case Name o caso de carregamento LIVE e colocando 1 no campo Scale Factor e em seguida em Add. Deve-se deixar o campo Combination Type como Linear Add. Para a combinação 2 (COMB2), repete-se o mesmo procedimento, apenas trocando o caso de carregamento de LIVE para WIND. Para a combinação 3 (COMB3), segue o mesmo procedimento mostrado anteriormente, apenas adicionando os 2 casos de carregamento WIND e LIVE, com o campo Scale Factor, ajustado com o valor 1. A Figura 5.10 mostra a janela de ajuste da combinação COMB3 para o pórtico modelado.

Figura 5.10 – Definição da combinação COMB3 para o pórtico – SAP 2000.

- Análise do Pórtico Finalmente iremos fazer a análise dos esforços no pórtico. Para isso será necessário fornecer ao programa o tipo de análise a ser realizada. Clicando em Analyze/Set Analysis Options uma janela é aberta e selecionam-se os graus de liberdade que serão considerados na análise. No caso do pórtico em questão teremos deslocamento em X, Y e em Z e rotação em relação aos eixos X, Y e Z. - Executando a Análise Para executar a análise do pórtico basta pressionar a tecla F5 ou clicar em Analyse/Run Analysis e finalmente em Run Now, da mesma forma que foi feito para a análise da viga. 24

- Obtenção dos Resultados Após a execução da análise do pórtico obtêm-se os resultados de momentos fletores, esforços cortantes, flechas, momento torsor e reações. Clicando em Display/Show Forces/Stresses/Joints, poderemos obter as reações nos apoios. Para obter o momento, esforço cortante e flecha, basta clicar em Display/Show Forces/Stresses/Frames/Cables e selecionar o diagrama desejado, de acordo com a combinação selecionada. Vale ressaltar que existem momentos fletores em dois planos, quando existe a aplicação do vento (COMB2 e COMB3): no plano XZ temos o diagrama Moment 3-3 e no planoYZ temos o diagrama Moment 2-2. Selecionando o diagrama, podemos clicar na barra com o botão direito do mouse e obtermos os valores máximos e mínimos dos diagramas para serem usados no dimensionamento.

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5.3

Laje Plana Retangular

Este exemplo tem como finalidade mostrar a aplicação do elemento SHELL na análise de uma laje plana retangular. A Figura 5.11 mostra a laje que será estudada pelo SAP 2000 e  pelas tabelas de Bares (1981), que utiliza a Teoria Clássica das Placas Isótropas, considerando uma sobrecarga de 3,0 kN/m2.

Figura 5.11 – Esforços da laje calculados pelo processo de Marcus. Para a modelagem das lajes, usaremos uma discretização simples, que não leve em consideração as rijezas das vigas e pilares, somente para comparação com o processo de Marcus. Vale ressaltar que para a obtenção de esforços que se aproximem mais do funcionamento da estrutura real, o interessante é considerar a estrutura como um todo:  pilares, vigas e lajes com a suas devidas dimensões.

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5.3.1 Solução com o SAP 2000 - Malha de Referência Analisaremos a laje no plano XY, tornando a discretização simples, para isso clica-se no ícone XY da Barra de Ferramentas. Para a geração da malha de referência, clica-se em New, selecionando as unidades utilizadas (kN, m, ºC), em seguida clica-se no modelo Grid Only, e finalmente preenchem-se os campos da seguinte forma:

Number of Grid Spaces X direction: 2 Y direction: 1 Z direction: 0 Grid Spacing X direction: 2,925 Y direction: 4,85 Z direction: 1 A malha de referência já é suficiente para iniciarmos a discretização, pois o número de elementos SHELL que a laje será discretizada será definido posteriormente.

- Definição dos Materiais O ajuste do Peso Específico e Módulo de Elasticidade do concreto será realizado como realizado no exemplo anterior.

- Propriedades do Elemento de Área A seção da laje será definida como sendo elementos de área, clicando-se em Define/Area Sections, seguido de Modify/Show Section. Ajusta-se então o material para concreto (CONC) e coloca-se a espessura nos campos Membrane e Bending, no caso 0,10 m. O campo Area Type deverá ser definido como Shell e o campo Type deverá ser definido como Plate, com a caixa Thick Plate selecionada. - Casos de Carregamento Consideraremos as cargas aplicadas como sendo cargas acidentais. Clica-se em Define/Load Cases ajustando o campo Self Weight Multiplier com o valor 1 e os campos Load Name e Type ajustando como LIVE. - Modelagem Inicialmente serão inseridos os elementos SHELL, utilizando um para cada laje. Para a inserção dos elementos clica-se em Draw/Quick Draw Area e em seguida, clica-se em qualquer ponto dentro da malha de referência e serão criados os elementos principais. 27

A etapa de discretização dos elementos menores será feita considerando 29 elementos na direção X e 48 na direção Y para cada laje. Para isso, clica-se no elemento SHEL e utilizase o comando Edit/Mesh Areas, colocando-se 29 no campo superior e 48 no campo inferior e repete a operação para a segunda laje. Com isso as lajes ficarão discretizadas com elementos de 10x10 cm aproximadamente. Vale ressaltar que a definição dos tamanhos dos elementos depende de uma análise de convergência, ou seja, deve-se verificar com quantos elementos a análise se torna confiável. É feita então uma curva de valores obtidos nas análises, por exemplo: número de elementos versus momento positivo e a partir dessa curva obtém-se o numero de elementos que representa melhor o comportamento do elemento estrutural. Um item importante que deve ser levado em consideração é que sempre deverá haver uma conectividade entre os elementos, não podendo haver uma descontinuidade entre os elementos para que a análise ser feita da maneira correta. Para a aplicação da carga na laje, selecionam-se todos os elementos e clica-se em Assign/Area Loads/Uniform, colocando o valor 3,0 (3,0 kN/m2) no campo Load. A definição das restrições dos apoios será feito para simular o apoio da viga, lembrando que este modelo não contempla a deformação da viga, sendo o mais adequado para a comparação com o Processo de Marcus. Os nós do contorno serão definidos com translação no eixo Z e sem consideração da rotação, os nós da viga V104 serão definidos com translação no eixo Z e rotação apenas no eixo 2 (eixo Y). Para definir as restrições dos nós das vigas seleciona-se o nó e utiliza-se o comando Assign/Joint/Restraints, ajustando a restrição adequada para a análise. A Figura 5.12 mostra as lajes discretizadas no SAP 2000.

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Figura 5.12 – Lajes discretizadas no programa SAP 2000. - Análise das Lajes O procedimento de análise das lajes é semelhante ao da viga e do pórtico, porém deveremos considerar convenientemente os graus de liberdade para a correta modelagem das lajes. Clicando em Analyze/Set Analysis Options uma janela é aberta e selecionam-se os graus de liberdade que serão considerados na análise. No caso das lajes em questão teremos deslocamento somente em Z e rotações em relação ao eixo X e Y. Clicando no ícone Plane Grid a análise das lajes será feita corretamente. - Executando a Análise O procedimento é o mesmo para a análise dos exemplos anteriores. Para executar a análise das lajes basta pressionar a tecla F5 ou clicar em Analyse/Run Analysis e finalmente em Run Now. O programa então realizará a análise. - Obtenção dos Resultados Após a análise o programa mostrará a deformada das lajes e poderemos então selecionar os resultados a serem mostrados. Para obter o momento fletor, esforço cortante, esforço normal e momento torçor, basta clicar em Display/Show Forces/Shells e selecionar esforço desejado. 29

O SAP 2000 usa as seguintes designações para a obtenção dos momentos fletores e esforços cortantes para o elemento SHELL:

M11: Momento por unidade de comprimento atuando à meia altura do elemento na face 1  positiva e negativa sobre o eixo 2. M22: Momento por unidade de comprimento atuando à meia altura do elemento na face 2  positiva e negativa sobre o eixo 1. M12: Momento volvente por unidade de comprimento atuando à meia altura do elemento na face 1 positiva e negativa sobre o eixo 1 e atuando na face 2 positiva e negativa sobre o eixo 2; MMAX: Máximo momento principal por unidade de comprimento atuando à meia altura do elemento. Note que pela definição os momentos principais são orientados de tal forma que os momentos torçores associados a estes são iguais a zero por unidade de comprimento. MMIN: Máximo momento principal por unidade de comprimento atuando à meia altura do elemento. Note que pela definição os momentos principais são orientados de tal forma que os momentos torçores associados a estes são iguais a zero, por unidade de comprimento. V13: Força cortante fora do plano por unidade de comprimento atuando à meia altura do elemento na face 1 positiva e negativa na direção do eixo 3 (eixo Z). V23: Força cortante fora do plano por unidade de comprimento atuando à meia altura do elemento na face 2 positiva e negativa na direção do eixo 3 (eixo Z). VMAX: Força cortante maxima principal por unidade de comprimento atuando à meia altura do elemento. Note que por definição o cisalhamento é orientado na face do elemento de tal forma que o cortante associado perpendicular à face é igual a zero, por unidade de comprimento. A Figura 5.13 mostra os eixos e faces de referência para a obtenção dos esforços no elemento SHELL.

Figura 5.13 – Elemento SHELL de referência – SAP 2000. 30

A partir dessas designações poderemos obter, por exemplo, os momentos fletores das lajes modeladas. A Figura 5.14 mostra o resultado obtido no SAP 2000 dos momentos fletores na direção do eixo X (M11) e a Figura 5.15 mostra os momentos fletores na direção do eixo Y (M22), com as unidades em kN e m, definidas anteriormente.

Figura 5.14 – Momentos fletores na direção X (M11) em kN.m – SAP 2000.

Figura 5.15 – Momentos fletores na direção Y (M22) em kN.m – SAP 2000. 31

Vale ressaltar que os momentos obtidos são por unidade de comprimento. Como resposta  para o carregamento aplicado, temos: Mxmax = 2,91 kN.m Xxmax = -5,41 kN.m Mymax = 1,30 kN.m  Não analisaremos o esforço cortante nas lajes modeladas pois estes esforços são relativamente baixos em lajes usuais de edifícios, que é o caso das lajes estudadas. Porém  para obter os esforços basta utilizar os comandos citados anteriormente.

5.3.2 Solução pela Teoria das Placas A solução apresentada a seguir foi obtida da publicação de Bares (1981), que utiliza a Teoria Clássica das Placas Isótropas, também chamada de Teoria das Placas Delgadas de Poisson-Kirchhoff, e que está baseada em certas hipóteses simplificadoras e limitações. A motivação do uso dessa teoria foi pelo fato de apresentar melhores resultados em comparação com o Processo de Marcus. As seguintes hipóteses relativas ao material e forma da placa são consideradas: 1. O material da placa é perfeitamente elástico; 2. O material da placa segue a Lei de Hooke e tem as mesmas constantes elásticas (módulo de elasticidade e módulo de Young), para qualquer estado de carregamento; 3. O material da placa é homogêneo e isotrópico; 4. A espessura da placa é constante; 5. A espessura da placa é pequena, comparada com as outras dimensões da placa; 6. As fibras perpendiculares ao plano médio da placa antes da deformação  permanecem perpendiculares à superfície média da placa deformada; 7. A tensão normal perpendicular ao plano médio da placa é desprezível; 8. As flechas são pequenas; 9.  No plano médio da placa atuam tensões normais; 10. O peso próprio deve ser considerado na carga externa; 11. Os ângulos das placas estão seguros contra ao levantamento (momento volvente). Os resultados obtidos utilizando as tabelas de Bares (1981), são: Mxmax = 2,65 kN.m Xxmax = -5,41 kN.m Mymax = 1,11 kN.m Percebe-se que os valores estão bem próximos, com uma pequena diferença no valor de Mxmax e Mymax. Uma análise mais apurada na convergência dos elementos poderia talvez reduzir essa diferença, que no primeiro momento já apresenta bons resultados. 32

5.4

Marquise

O exemplo a seguir mostra a aplicação do elemento SHELL em conjunto com o elemento FRAME. Será usada uma laje engastada na viga, representando uma marquise e pilares servindo de apoio às vigas. Carregamento na Extremidade da Laje: Mureta (0,10 x 0,20 x 25) = 0,5 kN/m Letreiro = 1,0 kN/m Carregamento na laje: Sobrecarga Revestimento Altura média da laje (10+7)/2

= 0,5 kN/m2 = 1,0 kN/m2 = 8,5 cm

5.4.1 Solução com o SAP 2000 - Malha de Referência Será necessário definir uma malha tridimensional para a correta modelagem dos pilares e das vigas. Para a geração da malha de referência, clica-se em New, selecionando as unidades utilizadas (kN, m, ºC), em seguida clica-se no modelo Grid Only, e finalmente  preenchem-se os campos da seguinte forma:

Number of Grid Spaces X direction: 2 Y direction: 1 Z direction: 1 Grid Spacing X direction: 4,0 Y direction: 2,0 Z direction: 2,7 A malha de referência já é suficiente para iniciarmos a discretização, sem necessidade de se adicionar linhas de referência posteriormente.

- Definição dos Materiais O ajuste do Peso Específico e Módulo de Elasticidade do concreto será realizado como realizado no exemplo anterior.

- Propriedades do Elemento de Área A seção da laje será definida como elemento SHELL e no campo Type também selecionase apenas o campo SHELL, ajustando a espessura da laje para o seu valor médio, que é 33

0,085 (8,5 cm). Também existe a possibilidade de desativar o peso próprio no SAP 2000 e considerar o peso próprio como carga uniformemente distribuída na laje. Vale ressaltar que as tensões ao longo da laje serão aproximadas, pois não consideram a variação da espessura, mas como queremos apenas os valores dos momentos máximos na ligação lajeviga, é aceitável tal consideração. O SAP 2000 não considera elementos SHELL variáveis. Uma maneira de aproximar os resultados é colocar uma carga aproximada atuante em cada elemento, de forma que fique uma carga mais aproximada possível da realidade. Por ser extremamente trabalhoso e estarmos apenas mostrando a maneira mais prática de modelagem, usamos uma carga uniformemente distribuída. Nota-se que os momentos serão um pouco maiores do resultado exato, estando assim, a favor da segurança. - Casos de Carregamento Consideraremos as cargas aplicadas como sendo cargas acidentais. Clica-se em Define/Load Cases ajustando o campo Self Weight Multiplier com o valor 1 e os campos Load Name e Type ajustando como LIVE. - Modelagem Inicialmente serão inseridas as barras dos pilares e da viga contínua. Usaremos FSEC1 (15x30) para os pilares e FSEC2 (30x60) para a viga contínua. A laje será discretizada com o comando Draw Rectangular Area Element e discretizada posteriormente com 80 elementos na direção X e 20 elementos na direção Y. Clicando-se nos botões XY inserimos as barras da viga e o elemento SHELL, e clicando no botão YZ inserimos os pilares utilizando as linhas de referencia do lado direito. Para que o SAP 2000 considere a deformação da laje em conjunto com a viga, deve-se dividir a barra da viga de modo que os nós da laje e da viga coincidam. Usando o comando Edit/Divide Frames após a seleção da barra, pode-se dividir o frame para que as deformações entre laje e viga sejam compatibilizadas. Com isso, seleciona-se cada trecho de viga e faz-se uma divisão de cada viga em 40 trechos menores. Para a aplicação da carga uniformemente distribuída na laje, selecionam-se todos os elementos e clica-se em Assign/Area Loads/Uniform, colocando o valor 1,5 (1,5 kN/m2) no campo Load. Para a aplicação da carga da mureta e do letreiro, selecionam-se os nós do final do balanço e clica-se em Assign/Joint Loads/Forces, ajustando o valor da força para 0,15 kN (1,5 kN x 0,1 m) em cada nó. A restrição dos nós dos pilares é feita com o comando Assign/Joint/Restraints, definindo um engaste no pilar. A Figura 5.12 mostra a marquise discretizadas no SAP 2000.

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Figura 5.16 – Discretização utilizada na marquise – SAP 2000. - Análise das Lajes O procedimento de análise do modelo é semelhante ao da viga e do pórtico, porém deveremos considerar convenientemente os graus de liberdade para a correta modelagem das lajes. Clicando em Analyze/Set Analysis Options uma janela é aberta e selecionam-se os graus de liberdade que serão considerados na análise. Clicando no ícone Space Frame a análise das lajes será feita corretamente, pois deveremos considerar a estrutura como  pórtico espacial. - Executando a Análise O procedimento é o mesmo para a análise dos exemplos anteriores. Para executar a análise das lajes basta pressionar a tecla F5 ou clicar em Analyse/Run Analysis e finalmente em Run Now. O programa então realizará a análise. - Obtenção dos Resultados Após a análise o programa mostrará a deformada das lajes e poderemos então selecionar os resultados a serem mostrados. Para obter o momento fletor, esforço cortante, esforço normal e momento torçor, basta clicar em Display/Show Forces/Shells e selecionar esforço desejado. A Figura 5.18 mostra o resultado dos momentos fletores na direção Y (M22) em kN.m.

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Figura 5.17 - Momentos fletores na direção Y (M22) em kN.m – SAP 2000. É possível também obter os esforços nas barras do pórtico com o comando Display/Show Forces/Stresses/Frames/Cables e posteriormente em Torsion. A Figura 5.18 mostra o momento torsor na viga.

Figura 5.18 – Momento torsor na viga em kN.m (Torsion) – SAP 2000.

Para obter os momentos fletores no pórtico, clica-se em Display/Show Forces/Stresses/Frames/Cables e posteriormente em Moment 2-2 ou Moment 3-3, de acordo com a necessidade. A Figura 5.19 mostra os momentos fletores Moment 3-3 no  pórtico.

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Figura 5.19 – Momento fletor no pórtico em kN.m (Moment 3-3) – SAP 2000. Para obter o esforço cortante no pórtico, clica-se em Display/Show Forces/Stresses/Frames/Cables e posteriormente em Shear 2-2 ou Shear 3-3, de acordo com a necessidade. A Figura 5.20 mostra o cortante Shear 2-2 no pórtico.

Figura 5.20 – Esforço Cortante no pórtico em kN (Shear 2-2) – SAP 2000.

Como exercício o aluno poderá verificar os momentos considerando a laje engastada na viga, obtendo resultados aproximados

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5.5

Laje Cogumelo

 Neste exemplo serão analisados os esforços numa laje cogumelo, comparando os resultados obtidos pelo método do pórtico equivalente, TQS e o programa SAP 2000. A Figura 5.21 mostra a laje cogumelo a ser estudada.

Figura 5.21 – Laje cogumelo a ser estudada. DADOS: - Laje com 18 cm de espessura; - Pilares com 4,0 metros de altura e seção 30 x 30 cm; - f ck  = 30,0 MPa; - Sobrecarga de 3,0 kN/m².

5.5.1 Solução com o SAP 2000 - Malha de Referência Será necessário definir uma malha tridimensional para a correta modelagem dos pilares e da laje cogumelo. Para a geração da malha de referência, clica-se em New, selecionando as unidades utilizadas (kN, m, ºC), em seguida clica-se no modelo Grid Only, e finalmente  preenchem-se os campos da seguinte forma:

Number of Grid Spaces X direction: 2 38

Y direction: Z direction:

2 1

Grid Spacing X direction: 5,0 Y direction: 5,0 Z direction: 4,0 Definição dos Materiais O ajuste do Peso Específico e Módulo de Elasticidade do concreto será realizado como realizado no exemplo anterior.

- Propriedades do Elemento de Área O ajuste das propriedades dos elementos de área é feito clicando-se em Define/Area Sections. A seção da laje será definida como elemento SHELL e no campo Type o campo SHELL deverá ser selecionado, ajustando a espessura da laje para 0,18 (18,0 cm) nos campos Membrane e Bending. - Casos de Carregamento Consideraremos as cargas aplicadas como sendo cargas acidentais. Clica-se em Define/Load Cases ajustando o campo Self Weight Multiplier com o valor 1 e os campos Load Name e Type ajustando como LIVE. - Modelagem Inicialmente serão inseridas as barras dos pilares, definindo-se FSEC1 (30x30) para os  pilares clicando-se em Define/Frame/Cable Sections, com uma seção retangular. A laje será discretizada com o comando Draw Rectangular Area Element. Clicando-se nos  botões XY dividimos o elemento SHELL em 50 elementos na direção X e 50 elementos na direção Y com clicando-se inicialmente no centro do elemento SHELL e depois em Edit/Mesh Areas. Clicando no botão YZ inserimos os pilares utilizando as linhas de referencia verticais com o comando Draw Frame/Cable Element. Para facilitar a inserção dos pilares utilizam-se os comandos Move Up in List e Move Down in List, que são facilmente localizadas na barra de ferramentas com o desenho de uma seta para cima e para  baixo. Para a aplicação da carga uniformemente distribuída na laje, selecionam-se todos os elementos e clica-se em Assign/Area Loads/Uniform, colocando o valor 3,0 (3,0 kN/m2) no campo Load.

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A restrição dos nós dos pilares é feito com o comando Assign/Joint/Restraints, definindo um engaste no pilar. A Figura 5.22 mostra a laje cogumelo discretizada pelo programa SAP 2000.

Figura 5.22 – Discretização utilizada na laje cogumelo – SAP 2000.

- Análise das Lajes O procedimento de análise do modelo é semelhante ao da viga e do pórtico, porém deveremos considerar convenientemente os graus de liberdade para a correta modelagem das lajes. Clicando em Analyze/Set Analysis Options uma janela é aberta e selecionam-se os graus de liberdade que serão considerados na análise. Clicando no ícone Space Frame a análise das lajes será feita corretamente, pois deveremos considerar a estrutura como  pórtico espacial. - Executando a Análise O procedimento é o mesmo para a análise dos exemplos anteriores. Para executar a análise das lajes basta pressionar a tecla F5 ou clicar em Analyse/Run Analysis e finalmente em Run Now. O programa então realizará a análise. - Obtenção dos Resultados 40

Após a análise o programa mostrará a deformada das lajes e poderemos então selecionar os resultados a serem mostrados. Para obter o momento fletor, esforço cortante, esforço normal e momento torçor, basta clicar em Display/Show Forces/Shells e selecionar esforço desejado. A Figura 5.23 e a Figura 5.24 mostra o resultado dos momentos fletores da laje na direção X (M11) e na direção Y (M22) em kN.m.

Figura 5.23 – Momentos fletores da laje na direção X (M11) em kN.m – SAP 2000.

Figura 5.24 – Momentos fletores da laje na direção Y (M22) em kN.m – SAP 2000. 41

Analisando os pilares podemos obter as reações nos apoios no topo e na base dos pilares. Para a verificação da laje à punção é utilizada a reação no topo do pilar. A Tabela 5.1 mostra um resumo das reações na face inferior da laje (topo do pilar) . Tabela 5.1 – Reação da laje no topo do pilar em kN – SAP 2000. Pilar Reação do Pilar (kN) * Pilar Central -253.0 Pilar de Borda -85.5 Pilar de Canto -32.3 * Sinal negativo indica compressão.

A Tabela 5.2 mostra os momentos fletores positivos e negativos obtidos pelo programa SAP 2000. Tabela 5.2 – Momentos fletores positivos e negativos – SAP 2000. Momentos Negativos (kN.m /m) Momentos Positivos (kN.m /m) Faixa Pilar de Borda Pilar Central Vão Central Central -10.9 -30.6 14.6 Extremidade -8.6 -21.9 14.1

5.5.2 Solução pelo Método do Pórtico Equivalente A título de comparação, os esforços foram calculados também pelo Método do Pórtico Equivalente. A Tabela 5.3 mostra os valores determinados pelo Método do Pórtico Equivalente do ACI. Tabela 5.3 – Momentos fletores pelo Método do Pórtico Equivalente do ACI. Momentos Negativos (kN.m /m) Momentos Positivos (kN.m /m) Pórtico Pilar de Borda Pilar Central Vão Central Central -6.8 -28.8 10.4 Extremidade -6.4 -23.3 9.8

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5.5.3 Solução Utilizando o sistema TQS Utilizando o sistema TQS para a obtenção dos esforços, podemos fazer uma comparação com os resultados obtidos pelo SAP 2000 e pelo Método do Pórtico Equivalente. A discretização da laje utilizada no sistema TQS foi a de Grelha de Lajes Planas, e foi obtida automaticamente. Vale ressaltar que o detalhamento da armadura não será mostrado, pois não é o objetivo. A Figura 5.25 mostra a discretização utilizada no TQS.

Figura 5.25 – Discretização da grelha utilizada no TQS. Podem-se obter no resultado da grelha do TQS também as reações da laje no pilar. A Tabela 5.4 mostra as reações obtidas da grelha do TQS. Tabela 5.4 – Reação da laje no topo do pilar em kN – TQS. Pilar Reação do Pilar (kN) * Pilar Central -261 Pilar de Borda -84 Pilar de Canto -33 * Sinal negativo indica compressão.

Verifica-se que os valores das reações calculadas pelo TQS são bem próximos do calculado com o SAP 2000, sendo praticamente insignificante a diferença. Esses valores, juntamente com os valores dos momentos fletores atuantes, são fundamentais para a verificação da 43

resistência da laje à punção e à flexão. A Tabela 5.5 mostra os momentos fletores positivos e negativos obtidos da grelha do TQS. Tabela 5.5 – Momentos fletores positivos e negativos – TQS. Momentos Negativos (kN.m /m) Momentos Positivos (kN.m /m) Faixa Pilar de Borda Pilar Central Vão Central Central -5.0 -26.0 7.0 Extremidade -8.0 -20.0 6.0 A Tabela 5.6 mostra a comparação dos momentos fletores positivos e negativos entre o SAP 2000, TQS e Pórtico Equivalente do ACI. Tabela 5.6 – Comparativo de esforços entre SAP 2000, TQS e Pórtico Equivalente do ACI. Momentos Negativos (kN.m /m) Momentos Positivos (kN.m /m) Faixa Pilar de Borda Pilar Central Vão Central SAP TQS P. EQ. SAP TQS P. EQ. SAP TQS P. EQ. Central -10.9 -5.0 -6.8 -28.8 -26.0 -20.8 14.6 7.0 10.4 Extremidade -8.6 -8.0 -6.4 -23.3 -20.0 -19.6 14.1 6.0 9.8 Observa-se que os resultados dos momentos fletores obtidos pela análise utilizando o SAP 2000 foi a que apresentou uma maior discrepância entre as demais. O motivo pelo qual o SAP 2000 não apresentou bons resultados deve-se, provavelmente, pela má discretização da região de apoio do pilar, acarretando, como verificado no exemplo, pico de momentos.

Uma solução mais aproximada pode ser encontrada discretizando a região da ligação laje pilar com apoios. Vale ressaltar que esta discretização irá desconsiderar as rijezas dos  pilares, e que, em alguns casos, pode levar a resultados insatisfatórios.

Uma análise mais adequada seria a discretização dos pilares com elementos sólidos e a laje em shell, mas que não será apresentado por não ser de fácil implementação.

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Foi realizado um comparativo entre as reações da laje no topo dos pilares. A Figura 5.26 mostra o comparativo entre as reações da laje no topo dos pilares.

Figura 5.26 – Comparativo das Reações da Laje no Topo dos Pilares – SAP 2000 e TQS. Reação da Laje no Topo do Pilar * Pilar TQS (kN) SAP 2000 (kN) Pilar Central -261 -253.0 Pilar de Borda -84 -85.5 Pilar de Canto -33 -32.3 * Sinal negativo indica compressão.

Em relação às reações da laje no topo dos pilares, verifica-se que os valores apresentados  pelo TQS e SAP 2000 são bem próximos, podendo ser utilizados com segurança para a verificação da resistência da laje à punção, lembrando que para o cálculo da laje à flexão, os valores da discretização apresentada levam a um dimensionamento exagerado da armadura da laje à flexão.

É importante dizer que só aprender a utilizar o programa não quer dizer que acarretará em resultados satisfatórios. É de suma importância a análise estrutural e a sensibilidade de se determinar um modelo que represente da melhor forma possível a estrutura real.

 Nenhum programa é capaz de escolher uma análise mais adequada para uma estrutura real. Se forem oferecidos dados incoerentes as respostas serão incoerentes. O importante é sempre duvidar até ter a certeza de que os resultados efetivamente são bons. O engenheiro deve estar preparado para tomar as decisões corretas para que a análise seja de boa qualidade.

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