Analise de Circuitos Electricos

Capa da Sebenta Multimédia de Análise de Circuitos Eléctricos

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Sebenta Multimédia

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Capa da Sebenta Multimédia de Análise de Circuitos Eléctricos

A Sebenta Multimédia necessita de um browser que suporte frames, JavaScript e Java. Se tiver algum problema com a Sebenta Multimédia entre em contacto com [email protected] ou com o Professor [email protected] para a sua resolução. Esta Sebenta Multimédia foi concebida por Rita Carreira e Pedro Fonseca em 1996/97 a partir de um original da autoria do Professor Victor da Fonte Dias.

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Sebenta Multimédia de Análise de Circuitos Eléctricos

Grandezas Eléctricas

Sebenta Multimédia 1 Grandezas Eléctricas 2 Componentes Fundamentais dos Circuitos Eléctricos 3 Resistência Eléctrica 4 Leis de Kirchhoff 5 Métodos de Análise Sistemática de Circuitos 6 Teoremas Básicos dos Circuitos Eléctricos 7 Condensador e Capacidade Eléctrica 8 Bobina e Indutância Electromagnética 9 Análise de Circuitos RC e RL de 1.ª Ordem 10 Análise de Circuitos RC, RL e RLC de 2.ª Ordem 11 Impedância Eléctrica 12 Análise da Resposta em Frequência 13 Bobinas Acopladas e Transformadores

A Ciência Eléctrica estuda o fenómeno da existência e interacção entre cargas eléctricas. Tal como a massa, a carga eléctrica é uma propriedade fundamental da matéria que se manifesta através de uma interacção, designadamente através de uma força. No entanto, a carga eléctrica apresenta a particularidade de se manifestar através de uma força que tanto pode ser de atracção como de repulsão, ao contrário daquela manifestada pelas massas, que, como se sabe, é apenas de atracção. As principais grandezas da ciência eléctrica são a carga, a força, o campo, a energia, a tensão, a potência e a corrente eléctrica. Um dos objectivos deste capítulo é explicar a relação existente entre estas grandezas eléctricas, dando particular atenção às grandezas tensão e corrente eléctrica. Com efeito, a análise de circuitos visa essencialmente a determinação da relação corrente/tensão eléctrica em redes de componentes eléctricos e electrónicos. A lei fundamental da Ciência Eléctrica é a Lei de Coulomb. Esta lei estabelece que duas cargas eléctricas em presença uma da outra se atraem ou repelem mutuamente, isto é, interagem entre si através de uma força. Como grandeza de tipo vectorial, a força eléctrica possui, portanto, uma direcção, um sentido e uma intensidade. A direcção da força coincide com a da recta que une as duas cargas, o sentido é uma função dos sinais respectivos, positivos ou negativos, e a intensidade é uma função do módulo das cargas e da distância que as separa. A interacção à distância entre cargas eléctricas conduz ao conceito de campo eléctrico, o qual nos permite encarar a força eléctrica como o resultado de uma acção exercida por uma carga ou conjunto de cargas vizinhas. Tal como a força, o campo eléctrico é uma grandeza vectorial com direcção, sentido e intensidade. O movimento de uma carga num campo eléctrico, em sentido contrário ou concordante com o da força eléctrica a que se encontra sujeita, conduz à libertação ou exige o fornecimento de uma energia. O acto de se isolarem fisicamente conjuntos de cargas positivas e negativas equivale a fornecer energia ao sistema, comparável ao armazenamento de energia eléctrica numa bateria. Pelo contrário, o movimento de cargas negativas no sentido de partículas carregadas positivamente corresponde à libertação de energia. Em geral, a presença de cargas eléctricas imersas num campo atribui ao sistema uma capacidade de realizar trabalho, capacidade que é designada por energia potencial eléctrica ou, simplesmente, energia eléctrica. Uma carga colocada em pontos distintos de um campo eléctrico atribui valores também distintos de energia ao sistema. A diferença de energia por unidade de carga é designada por diferença de potencial, ou tensão eléctrica. Tensão e energia eléctrica são, por conseguinte, duas medidas da mesma capacidade de realizar trabalho. A taxa de transformação de energia eléctrica na unidade de tempo é designada por potência eléctrica.

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Sebenta Multimédia de Análise de Circuitos Eléctricos

14 Diportos Eléctricos 15 Amplificador Operacional 16 Transferidor de Tensão e Corrente APÊNDICE-A APÊNDICE-B

O fluxo de cargas eléctricas é designado por corrente eléctrica. Em particular, definese corrente eléctrica como a quantidade de carga que na unidade de tempo atravessa uma dada superfície. Corrente e tensão eléctrica definem as duas variáveis operatórias dos circuitos eléctricos.

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Capa da Sebenta Multimédia de Análise de Circuitos Eléctricos

A Sebenta Multimédia necessita de um browser que suporte frames, JavaScript e Java. Se tiver algum problema com a Sebenta Multimédia entre em contacto com [email protected] ou com o Professor [email protected] para a sua resolução. Esta Sebenta Multimédia foi concebida por Rita Carreira e Pedro Fonseca em 1996/97 a partir de um original da autoria do Professor Victor da Fonte Dias.

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Notas

Victor da Fonte Dias, Professor Auxiliar no Instituto Superior Técnico (IST), Lisboa, ensina disciplinas de electrónica das Licenciaturas em Engenharia Electrotécnica e de Computadores e de Engenharia Aeroespacial. Licenciado, obteve o grau de Mestre em Engenharia Electrotécnica no IST em 1986 e 1989, respectivamente, tendo obtido em 1993 o grau de Doutor na Università degli Studi di Pavia, Itália. De então para cá partilha as actividades de docente no IST e de investigador no INESC, tendo em 1994 sido, também, Professor Convidado na Academia da Força Aérea Portuguesa. O Prof. Victor Dias é autor de diversos artigos publicados em revistas e conferências internacionais, designadamente nos domínios da microelectrónica analógica e mista analógica-digital, e teste e processamento de sinais.

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Ajuda

Geral A Sebenta Multimédia, para ser visualizada, necessita de um browser que suporte frames. Para utilizar os Simuladores (Capítulo 10 e Capítulo 12) é necessário um browser que interprete Java. Recomenda-se a utilização de uma janela de visualização de largura inferior a 1024 pixeis. Em baixo encontra-se uma imagem relativa à Sebenta Multimédia. São identificados os seus elementos principais, de modo a permitir uma melhor compreensão do texto existente nesta página de Ajuda.

Buttonbars As três buttonbars que aparecem nas páginas da Sebenta Multimédia encontram-se aqui explicadas.

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Ajuda

Páginas introdutórias

Páginas de Simuladores, Fotografias e Ajuda

Páginas de matéria

Nota : Algumas das setas podem estar inactivas. O botão Capa carrega a capa da Sebenta Multimédia

O botão Índice carrega o índice da Sebenta Multimédia mostrando o índice do capítulo em que o utilizador se encontrava quando carregou no botão. O botão Index carrega o index da Sebenta Multimédia. A ligação é feita para o início do documento, onde o utilizador poderá escolher a letra onde lhe interessa pesquisar. O botão Expandir Janela de Texto faz com que a janela com o texto da Sebenta Multimédia se maximize. Utilizar este botão, quando se tem um pequeno monitor ou a placa gráfica configurada para baixa resolução e/ou se está interessado em ver mais informação no écran. O botão Contrair Janela de Texto deve ser utilizado quando se pretende voltar ao formato original da sebenta, i.e., com o menu na janela do lado esquerdo e o texto na janela do lado direito (ver figura acima). O retorno ao formato original é feito para a capa do capítulo onde o utilizador se encontra. Se chegou até esta página já adivinhou a utilidade do botão Ajuda. Porém, caso seja distraído cá fica a explicação. Este botão disponibiliza-lhe esta página de ajuda. O botão Capítulo Seguinte carrega a capa do capítulo seguinte na janela de texto.

O botão Capítulo Anterior carrega a capa do capítulo anterior na janela de texto.

O botão Secção Anterior carrega a capa do secção anterior na janela de texto.

O botão Secção Seguinte carrega a capa do secção seguinte na janela de texto.

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Ajuda

O botão Documento Anterior carrega o último documento visitado.

Modos de Visualização A Sebenta Multimédia tem dois modos de visualização, permitindo que o texto seja apresentado de duas maneiras diferentes. Assim, pode optar-se por ter a janela de texto expandida ou contraída, sendo a passagem, de um modo de visualização para outro, uma tarefa muito simples. Basta carregar no botão respectivo da buttonbar.

Janela de Texto Contraída ( Botão

)

Janela de Texto Expandida ( Botão

)

Modos de Navegação Existem quatro formas principais de navegação na Sebenta Multimédia. Pode partir-se à descoberta do texto a partir do Menu, do Índice, do Index e de um modo sequencial, utilizando as setas da buttonbar. Em baixo apresentam-se imagens elucidativas de cada um destes elementos. Menu

Índice

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Ajuda

Index

Setas da buttonbar

Simuladores O modo de funcionamento de qualquer dos simuladores é relativamente simples. O utilizador insere todos os parâmetros nas caixas colocadas na parte superior da janela de controlo, ou deixa os que estão por defeito, e de seguida pressiona o botão "Executar". A partir deste instante, o simulador entra em execução e uma de duas coisas pode acontecer: 1. se os parâmetros estiverem todos correctos o simulador calcula a resposta e desenha-a no écran, fornecendo informações relevantes na parte inferior da janela de controlo: identificação do tipo de solução, valor do factor de qualidade e das divisões horizontais e verticais; 2. se algum dos parâmetros estiver incorrecto, o simulador fornecerá ao utilizador uma mensagem de erro e abortará a execução da simulação.

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Ajuda

NOTA: Para mais informações consultar o Manual do Utilizador da Sebenta Multimédia.

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Índice

Capítulo 1 1 Grandezas Eléctricas 1.1 Carga, Força e Campo Eléctrico 1.1.1 Carga Eléctrica 1.1.2 Força Eléctrica 1.1.3 Campo Eléctrico 1.2 Energia Potencial e Tensão Eléctrica 1.2.1 Energia Potencial Eléctrica 1.2.2 Tensão Eléctrica 1.3 Corrente e Potência Eléctrica 1.3.1 Corrente Eléctrica 1.3.2 Potência Eléctrica 1.4 Sinais Eléctricos 1.5 Fontes de Alimentação e de Sinal 1.6 Instrumentos de Medida 1.6.1 Voltímetro 1.6.2 Amperímetro 1.6.3 Wattímetro 1.6.4 Multímetro 1.6.5 Osciloscópio Sumário Exercícios de Aplicação

Capítulo 3 3 Resistência Eléctrica 3.1 Lei de Ohm 3.2 Lei de Joule 3.3 Tipos de Resistências 3.3.1 Resistências de Carvão 3.3.2 Resistências de Película ou Camada Fina 3.3.3 Resistências Bobinadas 3.3.4 Resistências Híbridas de Filme Espesso e de Filme Fino 3.3.5 Resistências Ajustáveis e Variáveis 3.3.6 Características Técnicas das Resistências 3.4 Varístores 3.5 Efeitos da Temperatura 3.6 Sensores Resistivos 3.6.1 Termo-resistências e Termístores 3.6.2 Foto-resistências 3.6.3 Outros Sensores Resistivos 3.7 Ohmímetro Sumário Exercícios de Aplicação

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Capítulo 2 2 Componentes Fundamentais dos Circuitos Eléctricos 2.1 Circuitos e Componentes Eléctricos 2.1.1 Definições 2.1.2 Componentes Fundamentais 2.2 Componentes Lineares e Não Lineares 2.2.1 Linearidade 2.2.2 Distorção Harmónica 2.2.3 Ponto de Funcionamento em Repouso Sumário Exercícios de Aplicação

Capítulo 4 4 Leis de Kirchhoff 4.1 Leis de Kirchhoff 4.1.1 Lei de Kirchhoff das Tensões 4.1.2 Lei de Kirchhoff das Correntes 4.2 Associação de Resistências 4.2.1 Associação em Série 4.2.2 Associação em Paralelo 4.2.3 Associação Série-Paralelo 4.3 Divisores de Tensão e de Corrente 4.3.1 Divisor de Tensão 4.3.2 Divisor de Corrente 4.3.3 Curto-circuito e Circuito Aberto 4.4 Resistência Interna das Fontes 4.4.1 Fonte de Tensão 4.4.2 Fonte de Corrente 4.5 Transformação de Fonte 4.6 Associação de Fontes 4.6.1 Associação de Fontes de Tensão 4.6.2 Associação de Fontes de Corrente 4.7 Exemplos de Aplicação 4.7.1 Exemplo de Aplicação-1 4.7.2 Exemplo de Aplicação-2

Índice

4.7.3 Exemplo de Aplicação-3 4.7.4 Exemplo de Aplicação-4 4.7.5 Exemplo de Aplicação-5 Sumário Exercícios de Aplicação

Capítulo 5 5 Métodos de Análise Sistemática de Circuitos 5.1 Método dos Nós 5.1.1 Fontes de Corrente Independentes 5.1.2 Fontes de Tensão Independentes 5.1.3 Fontes de Corrente Dependentes 5.1.4 Fontes de Tensão Dependentes 5.2 Exemplos de Aplicação 5.2.1 Exemplo de Aplicação-1 5.2.2 Exemplo de Aplicação-2 5.3 Método das Malhas 5.3.1 Fontes de Tensão Independentes 5.3.2 Fontes de Corrente Independentes 5.3.3 Fontes de Tensão Dependentes 5.3.4 Fontes de Corrente Dependentes 5.4 Exemplos de Aplicação 5.4.1 Exemplo de Aplicação-1 5.4.2 Exemplo de Aplicação-2 Sumário Exercícios de Aplicação

Capítulo 7 7 Condensador e Capacidade Eléctrica 7.1 Capacidade Eléctrica 7.2 Característica Tensão-Corrente 7.2.1 Características i(v) e v(i) 7.2.2 Energia Eléctrica Armazenada 7.2.3 Exemplos de Aplicação 7.3 Associação de Condensadores 7.3.1 Associação em Paralelo 7.3.2 Associação em Série 7.4 Divisores Capacitivos de Corrente e de Tensão 7.5 Tipos de Condensadores 7.5.1 Condensadores de Mica 7.5.2 Condensadores de Película ou Folha 7.5.3 Condensadores Cerâmicos 7.5.4 Condensadores Electrolíticos 7.5.5 Condensadores Híbridos 7.5.6 Condensadores Variáveis 7.5.7 Características Técnicas dos Condensadores 7.5.8 Códigos de Identificação de Condensadores 7.6 Sensores Capacitivos 7.7 Instrumentos de Medida da Capacidade Sumário Exercícios de Aplicação

Capítulo 9

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Capítulo 6 6 Teoremas Básicos dos Circuitos Eléctricos 6.1 Teorema da Sobreposição das Fontes 6.2 Teorema de Thévenin 6.3 Equivalente de Norton 6.4 Teorema da Máxima Transferência de Potência 6.5 Teorema de Millman 6.6 Teorema de Miller Sumário Exercícios de Aplicação

Capítulo 8 8 Bobina e Indutância Electromagnética 8.1 Grandezas Magnéticas 8.1.1 Força e Campo Magnético 8.1.2 Fluxo e Densidade de Fluxo Magnético 8.1.3 Materiais Magnéticos 8.1.4 Indutância 8.1.5 Fenómeno da Indução Electromagnética 8.1.6 Coeficientes de Auto-Indução e de Indução Mútua 8.2 Característica Tensão-Corrente 8.2.1 Características v(i) e i(v) 8.2.2 Energia Magnética Armazenada 8.3 Associação de Bobinas 8.3.1 Associação em Série 8.3.2 Associação em Paralelo 8.4 Divisores Indutivos de Tensão e de Corrente 8.5 Tipos de Bobinas 8.6 Sensores Indutivos Sumário Exercícios de Aplicação

Capítulo 10

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9 Análise de Circuitos RC e RL de 1.ª Ordem 9.1 Solução Natural 9.1.1 Circuitos RC e RL 9.1.2 Solução Natural 9.1.3 Condições Inicial e de Continuidade 9.1.4 Solução Natural Comutada 9.1.5 Energia Armazenada e Dissipada 9.2 Solução Forçada 9.2.1 Circuitos RC e RL 9.2.2 Soluções Natural e Forçada 9.2.3 Solução Forçada Constante 9.2.4 Solução Forçada Sinusoidal 9.3 Teorema da Sobreposição das Fontes 9.4 Exemplos de Aplicação 9.4.1 Exemplo de Aplicação-1 9.4.2 Exemplo de Aplicação-2 9.4.3 Exemplo de Aplicação-3 9.4.4 Exemplo de Aplicação-4 Sumário Exercícios de Aplicação

Capítulo 11 11 Impedância Eléctrica 11.1 Fasor e Impedância 11.1.1 Números Complexos e Sinais Sinusoidais 11.1.2 Fasor 11.1.3 Impedância Eléctrica 11.2 Leis de Kirchhoff em Notação Fasorial 11.3 Métodos de Análise em Notação Fasorial 11.4 Teoremas Básicos em Notação Fasorial 11.4.1 Transformação de Fonte 11.4.2 Teorema de Thévenin e Equivalente de Norton 11.4.3 Teorema da Sobreposição das Fontes 11.4.4 Teorema de Millman 11.4.5 Teorema de Miller 11.5 Potência 11.5.1 Potência nos Elementos R, C e L 11.5.2 Potência nos Circuitos RC e RL 11.5.3 Potências Activa, Reactiva e Aparente 11.5.4 Teorema da Máxima Transferência de Potência Sumário Exercícios de Aplicação

Capítulo 13 13 Bobinas Acopladas e Transformadores 13.1 Bobinas Acopladas 13.1.1 Coeficiente de Indução Mútua 13.1.2 Associação de Bobinas Acopladas 13.1.3 Modelo Eléctrico Equivalente 13.2 Transformador Ideal 13.2.1 Transformador Ideal em Vazio 13.2.2 Transformador Ideal em Carga 13.2.3 Modelo Eléctrico Equivalente 13.3 Tipos e Aplicações dos Transformadores 13.3.1 Auto-Transformador 13.3.2 Transformadores com Múltiplos Enrolamentos 13.3.3 Transformadores de Medida

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10 Análise de Circuitos RC, RL e RLC de 2.ª Ordem 10.1 Topologias Básicas 10.2 Formulação das Equações 10.2.1 Método da Substituição 10.2.2 Método do Operador-s 10.2.3 Método das Variáveis de Estado 10.3 Solução Natural 10.3.1 Soluções Naturais Alternativas 10.3.2 Solução Sobre-amortecida 10.3.3 Solução Criticamente Amortecida 10.3.4 Solução Sub-amortecida 10.3.5 Solução Oscilatória 10.4 Solução Forçada 10.4.1 Solução Forçada Constante 10.4.2 Solução Forçada Sinusoidal Sumário Exercícios de Aplicação

Capítulo 12 12 Análise da Resposta em Frequência 12.1 Resposta em Frequência 12.1.1 Circuito RC 12.1.2 Diagramas de Bode 12.1.3 Exemplo de Aplicação 12.2 Circuitos Ressonantes 12.2.1 Circuito Ressonante Série 12.2.2 Circuito Ressonante Paralelo 12.3 Notação de Laplace 12.3.1 Função de Transferência 12.3.2 Diagramas de Bode Canónicos 12.4 Filtros Eléctricos 12.4.1 Filtros Passa-Baixo 12.4.2 Filtros Passa-Alto 12.4.3 Filtros Passa-Banda 12.4.4 Filtros Rejeita-Banda Sumário Exercícios de Aplicação

Capítulo 14 14 Diportos Eléctricos 14.1 Diportos 14.1.1 Definições 14.1.2 Modelos Eléctricos Equivalentes 14.1.3 Exemplos de Aplicação 14.2 Associação de Diportos 14.2.1 Associações em Série, em Paralelo, em Cascata e em Modo Híbrido 14.2.2 Exemplos de Aplicação 14.3 Diportos Amplificadores 14.3.1 Impedâncias de Entrada e de Saída 14.3.2 Ganhos de Tensão e de Corrente 14.3.3 Associação de Amplificadores em Cascata Sumário

Índice

13.3.4 Transformadores de Sinal 13.3.5 Transformadores de Potência 13.4 Sensores Relutivos e Electromagnéticos Sumário Exercícios de Aplicação

Capítulo 15 15 Amplificador Operacional 15.1 AmpOp Ideal 15.2 Montagens Básicas 15.2.1 Montagem Inversora 15.2.2 Montagem Não-Inversora 15.3 Circuitos com AmpOps 15.3.1 Seguidor de Tensão 15.3.2 Somador Inversor 15.3.3 Amplificador Inversor 15.3.4 Amplificador da Diferença 15.3.5 Amplificador de Instrumentação 15.3.6 Filtros Activos 15.3.7 Conversores de Impedâncias e de Tensão-Corrente 15.4 Parâmetros Reais dos AmpOps 15.4.1 Ganho e Largura de Banda 15.4.2 Taxa de Inflexão 15.4.3 Resistências de Entrada e de Saída 15.4.4 Ganho de Modo Comum 15.4.5 Tensões de Saturação 15.4.6 Tensão de Desvio (offset) 15.4.7 Correntes de Polarização 15.5 Tipos de Amplificadores Operacionais Sumário Exercícios de Aplicação

APÊNDICE-A Código de Identificação de Resistências

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Exercícios de Aplicação

Capítulo 16 16 Transferidor de Tensão e Corrente 16.1 Transferidor Ideal 16.2 Montagens Básicas 16.2.1 Seguidor de Tensão 16.2.2 Seguidor de Corrente 16.2.3 Conversor de Tensão em Corrente 16.2.4 Conversor de Corrente em Tensão 16.2.5 Amplificador de Corrente 16.2.6 Amplificador de Tensão 16.3 Circuitos com Transferidores 16.3.1 Amplificador Diferencial 16.3.2 Somador 16.3.3 Integradores de Corrente e de Tensão 16.3.4 Diferenciadores de Corrente e de Tensão 16.3.5 Conversores de Impedâncias 16.3.6 Filtros Activos 16.4 Parâmetros Reais dos Transferidores 16.4.1 Erros de Transferência e Resistências de Entrada e de Saída 16.4.2 Erros de Desvio e de Polarização 16.4.3 Largura de Banda Sumário Exercícios de Aplicação

APÊNDICE-B Matrizes e Determinantes

Convenções

A utilização de caracteres na representação de grandezas, constantes, parâmetros, coeficientes e unidades eléctricas e magnéticas rege-se pelas seguintes convenções: ●

caracteres maiúsculos em itálico para grandezas escalares constantes no tempo, mas também para o valor médio ou a amplitude das grandezas variáveis no tempo. Por exemplo, V, Q, I, I sin(ωt). m

●

●

●

caracteres minúsculos em itálico para valores instantâneos das grandezas escalares. Por exemplo, i (t), v(t), etc. No entanto, e com o intuito de simplificar a representação das equações, por vezes representa-se apenas i e v em vez de i(t) e v(t). caracteres maiúsculos em estilo romano para grandezas vectoriais, como por exemplo o vector campo eléctrico o vector força eléctrica, . As grandezas e as funções complexas, como a impedância, os fasores da tensão e da corrente, a função resposta em frequência e a função de transferência, também se representam em estilo romano (Z, I …). No entanto, o módulo e a fase das grandezas complexas, como por exemplo da impedância e da resposta em frequência, são representados em itálico. as constantes, parâmetros e coeficientes são representados com caracteres gregos ou latinos, minúsculos ou maiúsculos em itálico, de acordo com as convenções internacionais. Por exemplo, a resistência eléctrica, R, a capacidade eléctrica, C, a mobilidade dos electrões, µ, a permitividade do vazio, ε , etc. 0

●

outros símbolos utilizados são: o espaço ou a sua ausência para o produto escalar, os símbolos • e × para os produtos interno e externo vectorial, o / para o cociente, o // para o paralelo de elementos eléctricos.

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Apresentação

Este texto constitui o manual de apoio à disciplina de Circuitos e Sistemas Electrónicos da Licenciatura em Engenharia Aeroespacial do Instituto Superior Técnico. O texto tem por base um manuscrito que serviu de sebenta durante os anos lectivos de 1995/96 e 1996/97, e absorve variados comentários e anotações produzidos durante as próprias aulas. O autor tentou nunca perder de vista o seu público: os alunos do 3º ano da Licenciatura em Engenharia Aeroespacial, Ramo de Aviónica, os quais têm, através desta disciplina o seu primeiro contacto com a teoria dos circuitos e a electrónica, mas dispõem já de uma sólida formação em Análise Matemática, Álgebra e Física. Parafraseando o Prof. Braga Costa Campos, autor do Plano de Estudos da Licenciatura, é objectivo fundamental a formação de engenheiros com capacidade de integrar as várias tecnologias sectoriais - mecânica de voo, aerodinâmica, estruturas, materiais, sistemas, electrónica, actuadores, telecomunicações e computadores …, podendo os licenciados pelo ramo de aviónica desempenhar funções de Engenheiro Electrotécnico. De acordo com este objectivo, optou-se por uma exposição que desse especial relevo aos conceitos básicos e teóricos da Ciência Eléctrica, presumivelmente válidos durante a quase totalidade da vida activa dos futuros Engenheiros, mas também aos aspectos tecnológicos de maior utilidade prática, mas de inexorável menor alcance temporal. A sequência, o modo e a intensidade com que os diversos tópicos são tratados aderem na íntegra ao objectivo de formar Engenheiros Aeroespaciais que poderão desempenhar, caso seja necessário, as funções de Engenheiro Electrotécnico. Esteve também presente no espírito do autor o facto de esta ser uma disciplina determinante para a eficácia do ramo da licenciatura de que é parte, isto é, a futura maior ou menor simpatia dos alunos pela electrónica, nomeadamente pelos tópicos relativos aos dispositivos electrónicos, à electrónica de rádio-frequência, à electrónica de aquisição e processamento de sinais, à electrónica digital e de computadores, à electrónica dos circuitos integrados, à tecnologia electrónica, etc. Os tópicos tratados nesta disciplina impregnam de forma sub-reptícia as disciplinas subsequentes, que devem rápida e necessariamente tornar-se lugarescomuns nas mentes dos alunos, uma razão pela qual apresentar as matérias de forma tão atraente e justificada quanto possível é uma obrigação do docente que se propõe contribuir para a eficácia da licenciatura. A estruturação da disciplina em aulas teóricas, teórico-práticas e práticas de laboratório conduziu à opção de organizar a sebenta em 16 capítulos, cada um dos quais apoiado por uma colectânea final de enunciados de problemas, e de distribuir, em anexo, o manual de utilização do simulador eléctrico SPICE. Desta forma, visa-se, sucessivamente, cobrir todos os tópicos tratados nas aulas teóricas, servir de base às aulas teóricopráticas assistidas e apoiar a realização dos trabalhos práticos pelos alunos, ao longo do semestre. São os seguintes os tópicos e os comentários de âmbito geral ao conteúdo da sebenta. No Capítulo 1, Grandezas Eléctricas, introduzem-se as variáveis da Ciência Eléctrica, designadamente a http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_00/apresent.htm (1 of 3)06-06-2005 12:35:24

Apresentação

carga, a força, o campo, a energia, a tensão, a corrente e a potência eléctrica. É importante que no fim do semestre os alunos manejem com destreza o significado e as relações entre estas grandezas, apesar de nesta disciplina se lidar essencialmente com as variáveis corrente e tensão eléctrica. Na segunda parte do capítulo introduz-se a noção de sinal eléctrico, as principais formas de onda e os respectivos instrumentos de medida, neste último caso abrindo as portas para as aulas práticas de laboratório a realizar na disciplina subsequente. Nos Capítulos 2 a 6 apresentam-se os elementos, as leis, as metodologias de análise e os teoremas básicos dos circuitos eléctricos resistivos. Mais detalhadamente: em 2, Componentes Fundamentais dos Circuitos Eléctricos, sistematizam-se os nove elementos básicos dos circuitos eléctricos, designadamente a resistência, o condensador, a bobina e as fontes independentes e dependentes; em 3, Resistência Eléctrica, introduzem-se as Leis de Ohm e de Joule, discute-se a propriedade da resistência eléctrica e apresenta-se alguma informação de carácter tecnológico relativa aos tipos e principais aplicações das resistências; em 4, Leis de Kirchhoff, consideram-se as Leis de Kirchhoff das correntes e das tensões, neste caso em conjunto com a análise de alguns circuitos e associações elementares de resistências; em 5, Métodos de Análise Sistemática de Circuitos, apresentam-se os métodos de análise sistemática de circuitos, nomeadamente os métodos das malhas e dos nós; e, finalmente, em 6, Teoremas Básicos dos Circuitos, consideram-se alguns dos principais teoremas dos circuitos, como o teorema da sobreposição das fontes, o teorema da máxima transferência de potência e os teoremas de Millman e de Miller. O Capítulo 6 encerra a primeira parte da sebenta, genericamente intitulada Análise de Circuitos Eléctricos Resistivos. Nos Capítulos 7 a 10 introduzem-se os elementos condensador e bobina e, em sequência, o tópico da análise dos circuitos eléctricos resistivo-reactivos. Nos Capítulos 7 e 8, Condensador e Capacidade Eléctrica e Bobina e Indutância Electromagnética, apresentam-se os dois elementos reactivos dos circuitos eléctricos, designadamente o condensador e a bobina. Nestes dois capítulos dá-se especial atenção à compreensão do significado prático das propriedades da capacidade eléctrica e da indutância electromagnética. Ambos os capítulos contêm um conjunto vasto de informação tecnológica relativa aos tipos e principais aplicações destes dois elementos nos sistemas electrónicos. No Capítulo 9, Análise de Circuitos RC e RL de 1ª Ordem, e no Capítulo 10, Análise de Circuitos RC, RL e RLC de 2ª Ordem, introduz-se a análise dos circuitos resistivo-reactivos. Consideram-se primeiramente os circuitos RC e RL de primeira ordem, nos seus regimes natural e forçado, e seguidamente os circuitos com dois elementos reactivos irredutíveis entre si. Globalmente considerados, os Capítulos 7 a 10 encerram o tópico da análise dos circuitos do domínio do tempo, abrindo campo e prognosticando a análise no domínio da frequência, através do estudo do regime forçado sinusoidal. Nos Capítulos 11 e 12 considera-se a análise dos circuitos no domínio da frequência. Em 11, Impedância Eléctrica, introduzem-se os conceitos de fasor e de impedância eléctrica, ambos consequência do regime forçado sinusoidal. Seguidamente, estabelecem-se as relações fasoriais dos elementos resistência, condensador e bobina, e, finalmente, generalizam-se as Leis de Kirchhoff das correntes e das tensões, os métodos de análise sistemática de circuitos e os teoremas básicos. No Capítulo 12, Análise da Resposta em Frequência, estuda-se em detalhe a resposta em frequência dos circuitos. Definem-se as funções amplitude e fase da resposta em frequência, apresentam-se os diagramas de Bode exactos e assintóticos respectivos e estuda-se a ressonância nos circuitos eléctricos. Considera-se ainda a representação das impedâncias na notação de Laplace, introduz-se a noção de função de transferência e apresenta-se a entidade filtro eléctrico. No Capítulo 13, Bobinas Acopladas e Transformadores, estudam-se as bobinas acopladas magneticamente http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_00/apresent.htm (2 of 3)06-06-2005 12:35:24

Apresentação

e o transformador ideal. Inicialmente introduz-se o conceito de indução mútua e as regras de associação de bobinas acopladas, seguindo-se depois o estudo do transformador ideal e a apresentação dos principais tipos e aplicações dos transformadores. No Capítulo 14, Diportos Eléctricos, inicia-se a apresentação do arsenal teórico de suporte ao estudo dos dispositivos electrónicos envolvidos nas subsequentes disciplinas de electrónica. Introduz-se o conceito de diporto eléctrico, apresentam-se os modelos eléctricos alternativos e estudam-se as diversas associações possíveis entre diportos. No fim do capítulo estudam-se ainda os diportos sem coeficiente de realimentação, que funcionam como elo de ligação ao estudo dos amplificadores operacionais. Nos capítulos terminais da sebenta, 15: Amplificador Operacional, e 16: Transferidor de Tensão-Corrente, introduzem-se os dois principais blocos operacionais da electrónica analógica: o AmpOp e o transferidor de tensão-corrente. Oeiras, 25 de Abril de 1996

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Agradecimentos

A realização deste manual contou com a colaboração, consciente ou inconsciente, de um conjunto amplo de familiares, colegas, alunos e instituições, aos quais agradeço sinceramente. À Antonietta e à Alexandra, pela compreensão, incentivo e amor que manifestaram ao longo destes 14 meses de escrita e edição. Aos meus pais e irmãos, pelo incentivo constante. Aos alunos da Licenciatura em Engenharia Aeroespacial, Ramo de Aviónica (1994/95 e 1995/96 e 1996/97) e da Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores, Ramo de Telecomunicações e Electrónica (1993/94), por terem colaborado na correcção do texto. Ao Engº Pedro Alves e aos alunos finalistas (1996/97) Rita Carreira e Pedro Fonseca, pela admirável Sebenta Multimédia que elaboraram a partir deste texto. Aos meus colaboradores Engºs Carlos Fachada, Jorge Martins, José Rocha, Pedro Paiva, Ricardo Jesus e José Caetano, pelo excelente ambiente de trabalho que me proporcionaram e pelo tempo que roubei às tarefas de orientação dos trabalhos respectivos. Ao Vasco Rosa, pelas vírgulas e acentos que colocou no texto, e ao Prof. Medeiros Silva pelos comentários de âmbito geral que efectuou. Ao Núcleo de Arte Fotográfica do IST, e em particular ao Miguel Serrão e ao Francisco Silva. Ao INESC. À minha Rotring e ao meu portátil, por razões óbvias. Oeiras, 25 de Abril de 1996

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Citação

> Italo Calvino, Seis Propostas para o Próximo Milénio; tradução livre

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Index

A

B

a.c., alternate-current, 1.4 adaptação de impedâncias, 11.5.3 admitância eléctrica, 11.1.3 alternador, 1.5 ampere, 1.3.1 ampére por metro, 8.1.1 amperímetro, 1.6.2 amplificador, diferença, 15.3.4 diferencial, 16.3.1 instrumentação, 15.3.5, 15.5 inversor, 15.3.3 operacional, 15 tensão, 16.2.6 ampop, 15 análise de sinais fracos, 2.2.1 ânodo, 1.2.1 aproximação de sinais fracos, 2.2.1 associação de fontes, de corrente, 4.6.2 de tensão, 4.6.1 associação de diportos, cascata, 14.2.1 paralelo, 14.2.1 série, 14.2.1 associação de resistências, paralelo, 4.2.2 série, 4.2.1 série-paralelo, 4.2.3 associação de amplificadores em cascata, 14.3.3 auto-transformador, 13.3.1

bateria eléctrica, 1.2.1, 1.5 biquadrática de Sallen-Key, 15.3.6 bobina, 2.1.1 , 8.1.1 acoplada, 13.1 associação, 13.1.2 modelo eléctrico equivalente, 13.1.3 associação, série, 8.3.1 paralelo, 8.3.2 característica tensão-corrente, 8.2 condição de continuidade, 8.2.2 energia magnética armazenada, 8.2.2 núcleo, ar, 8.5 ferrite, 8.5 ferro, 8.5 pó de metal, 8.5 buffer, 15.3.1, 15.5

C

D

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Index

cabo coaxial, 7.1 , 8.1.4 caminho fechado, 4.1.1 campo, eléctrico, 1.1.3 eléctrico de oposição, 7.1 magnético, 8.1.1 capacidade eléctrica, 7.1 carga eléctrica, 1.1.1 electrão, 1.1.1 protão, 1.1.1 cátodo, 1.2.1 ciência eléctrica, 1 circuito, aberto, 4.3.3 eléctrico, 2.1.1 electrónico, 2.1.1 linear, 2.2.1 não-planar, 5 planar, 5 ressonante, paralelo ideal, 12.2.2 paralelo real, 12.2.2 série, 12.2.1 CMRR, 15.4.4 código de cores, 7.5.8, A cofactor, B coeficiente, acoplamento magnético, 13.1.1 amortecimento da solução natural, 10.2 auto-indução, 8.1.6 indução mútua 8.1.6 temperatura, 3.5 condensador, 2.1.1 ajustável, 7.5, 7.5.6 associação, paralelo, 7.3.1 série, 7.3.2 característica tensão-corrente, 7.2 cerâmico, 7.5.3 condição de continuidade, 7.2.2, 9.1.3 discreto, 7.5 electrolítico, alumínio, 7.5.4 tântalo, 7.5.4 energia eléctrica armazenada, 7.2.2 fixo, 7.5 híbrido, 7.5, 7.5.5 integrado, 7.5

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dB, decibell, 12.1.2 d.c, direct-current, 1.4 densidade, electrões livres, 3.1 fluxo, eléctrico, 7.1 magnético, 8.1.2 determinante, B diagrama de Bode, 12.1.2, 12.3.2 dieléctrico, constante, 7.1 material, 7.1 diferenciador, 15.3.6, 16.3.4 dínamo, 1.5 dipólo eléctrico, 7.1 diporto, amplificador, 14.3 eléctrico, 14 dispositivo, activo, 2.1.1 passivo, 2.1.1 distorção harmónica, 2.2.2 divisor, resistivo, corrente, 4.3.2 tensão, 4.3.1 capacitivo, corrente, 7.4 tensão, 7.4 indutivo, corrente, 8.4 tensão, 8.4

Index

mica, 7.5.1 papel, 7.5.2 policarbonato, 7.5.2 poliester, 7.5.2 poliphenilenesulfito, 7.5.2 polipropileno, 7.5.2 polistireno, 7.5.2 película ou folha, 7.5.2 SMD, 7.5.2 variável, 7.5, 7.5.6 condução eléctrica, 3.1 condutância eléctrica, 3.1 condutividade eléctrica, 3.1 condutores paralelos, 7.1 constante, dieléctrica, 7.1 tempo, 9.1.2 conversor, corrente-tensão, 16.2.4 digital-analógico, 15.3.2 impedâncias, 15.3.7, 16.3.5 tensão-corrente, 15.3.7, 16.2.3 correntes de polarização, 15.4.7 corrente, desvio, 15.4.7 eléctrica, 1.3.1, fugas, 7.5.7 magnetização, 13.2.1 coulomb, 1.1.1 coulomb por metro quadrado, 7.1 Cramer, B curto-circuito, 4.3.3 virtual, 15.1

E

F

efeito de joule, 3.2 electrólito, 7.5.4 energia, eléctrica, 1.2.1 dissipada na resistência, 3.2 acumulada no condensador, 7.2.2 magnética acumulada na bobina, 8.2.2 erro, desvio, 16.4.2 polarização, 16.4.2 transferência, 16.4.1 escalão, 1.4 espira, 8.1.1

factor, potência, 11.5.2 qualidade, 10.3.1, 12.2.1, 12.2.2 fasor, 11.1.2 filtro, activo, ampop, 15.3.6 TTC, 16.3.6 eléctrico, passa-alto, 12.4.2 passa-baixo, 12.1.1, 12.4.1 passa-banda, 12.4.3 rejeita-banda, 12.4.4

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Index

exponencial complexa, 11.1.1

fluxo, eléctrico, 7.1 linhas, 7.1 magnético, 8.1.2 fonte, alimentação, 1.5 corrente, 2.1.2 corrente controlada por corrente, 2.1.2 corrente controlada por tensão, 2.1.2 sinal, 1.5 tensão, 2.1.2 tensão controlada por corrente, 2.1.2 tensão controlada por tensão, 2.1.2 força, eléctrica, 1.1.2 electro-motriz induzida, 13.1.1 magnética, 8.1.1 foto-resistência, 3.6.2 frequência, angular de oscilação, 10.2 corte, 12.2.1, 12.2.2 ressonância, 12.2.1 transição, 15.4.1 função de transferência, 12.3.1 fusível, 3.2

G

H

gama de modo comum, 15.4.4 ganho, ampop, 15.4 corrente, 14.3.2 modo comum, 15.4.4 tensão, 14.3.2

henry, 8.1.4 higro-resistência, 3.6.3 homogeneidade, 2.2.1

I

J

ião, 1.1.1 impedância, eléctrica, 11.1.3 acoplada, 13.1.3 indução electromagnética, 8.1.5 indução mútua, 13.1.1 indutância, 8.1.4 integrador, 15.3.6, 16.3.3 isolador, 3.1 isolamento galvânico, 13.2.3

joule, 1.2.1, 3.2

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Index

K

L

Kirchhoff, 4.1

largura de banda, 12.2.1, 12.2.2, 15.4, 16.4.3 Lei, Biot-Savart, 8.1.1 Coulomb, 1.1.2 Faraday, 13.1.1, 13.2 Joule, 3.2 Kirchhoff, correntes, 4.1.2 notação fasorial, 11.2 tensões, 4.1.1 Lenz, 13.2 Ohm, 3.1 Saca-Rolhas, 8.1.1 linear por troços, 2.2.1 linearidade, 2.2.1 LVDT, 13.4

M

N

magneto-resistência, 3.6.3 malha, 5.3 massa, electrão, protão, neutrão, 1.1.1 virtual, 15.1 materiais magnéticos, 8.1.3 matriz, admitâncias, 14.1.2 condutâncias, 5.1.1 impedâncias, 14.1.2 híbridas, 14.1.2 quadrada, B resistências, 5.3.1 simétrica, B transmissão, 14.1.2 máxima transferência de potência, 6.4, 11.5.4 medidor LCR, 7.7 menor, B Miller, efeito, 6.6, 11.4.5 teorema, 6.6, 11.4.5 Millman, 4.6.1, 6.5, 11.4.4 métodos, de análise de circuitos, malhas, 5.3 nós, 5.1 notação fasorial, 11.3 sobreposição das fontes, 6.1

não-linear, 2.2.1 newton, 1.1.2, 8.1.1 nó, 4.1.2 Norton, 6.3, 11.4.2 notação, fasorial, 11.1.3 Laplace, 12.3 NTC, 3.6.1 número complexo, 11.1.1

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Index

de formulação de equações diferenciais, substituição, 10.2.1 operador-s, 10.2.2 variáveis de estado, 10.2.3 mobilidade das cargas eléctricas, 3.1 modelo sinais fracos, 2.2.1 montagens básicas, ampop, inversora, 15.2.1, 15.3.6 não-inversora, 15.2.2 TTC, 16.2 multímetro, 1.6.4

O

P

offset, 15.4.6 ohm, 3.1 ohmímetro, 3.7 ohm-metro, 3.1 osciloscópio, 1.6.5

permeabilidade magnética, relativa, 8.1.2 vazio, 8.1.1 permitividade eléctrica, relativa, 7.1 vazio, 1.1.2, 7.1 PFR, ponto de funcionamento em repouso, 2.2.3 piezo-resistência, 3.6.3 pinça amperimétrica, 13.3.3 plano complexo, 12.3.1 polarização, corrente, 2.2.3 dieléctrico, 7.1 tensão, 2.2.3 polinómio característico, 10.3.1 pólo, 12.3.1 porto, 14 primário, 13.2 PTC, 3.6.1 potência eléctrica, 1.3.2 aparente, 11.5.3 bobina, 11.5.1 condensador, 11.5.1 instantânea, 1.3.2, 11.5.1 média, 1.3.2, 11.5.1 reactiva, 11.5.3 real, 11.5.3 resistência, 3.2, 11.5.1

Q

R

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Index

químio-resistência, 3.6.3

rácio de rejeição de modo comum, 15.4.4 raio, electrão, protão, neutrão, 1.1.1 raízes do polinómio característico, 10.3.1 reactância, 11.1.3 recta de carga da fonte, 4.4.1 relação de transformação,13.2.1 resistência, ajustável, 3.3, 3.3.5 bobinada, 3.3.3 carvão, 3.3.1 componente, 2.1.2 discreta, 3.3 eléctrica, 3.1 entrada, ampop, 15.4.3 TTC, 16.4.1 fixa, 3.3 híbrida, 3.3 integrada, 3.3 interna da fonte, 4.4 isolamento, 7.5.7 negativa, 16.3.5 normal, A película ou camada fina, 3.3.2 precisão, A saída, ampop, 15.4.3 TTC, 16.4.1 variável, 3.3, 3.3.5 resistividade eléctrica, 3.1 resposta, frequência, 12.1 natural, 9.1 r.m.s, root mean-square, 11.5.1

S

T

sinal, eléctrico, 1.4 fraco, 2.2.3 sinusoidal, 11.1.1 secundário, 13.2 seguidor, corrente, 16.2.2 tensão, 15.3.1, 16.2.1 segunda harmónica, 2.2.2 semicondutor, 3.1 sensor, capacitivo, 7.6

taxa de inflexão, 15.4.2 técnica RC-activa, 15.3.6 tensão, desvio, 15.4.6 eléctrica, 1.2.2 tensões de saturação, 15.4.5 teorema, máxima transferência de potência, 6.4, 11.5.4 Miller, 6.6, 11.4.5 Millman, 6.5, 11.4.4 Norton, 6.3, 11.4.2 sobreposição das fontes, 6.1, 11.4.3

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Index

indutivo, 8.6 relutivo e electromagnético, 13.4 resistivo, 3.6.1 siemens, 3.1 siemens por metro, 3.1 silístor, 3.6.1 sobreposição, fontes, 6.1, 9.3, 11.4.3 propriedade, 2.2.1 solução, forçada, constante, 9.2.3, 10.4.1 sinusoidal, 9.2.4, 10.4.2 natural, 9.1, 9.1.4, 10.3 somador, 15.3.2, 16.3.2 spin, 8.1.2 super-malha, 5.3.2 super-nó, 5.1.2

Thévenin, 6.2, 11.4.2 Transformação de fonte, 4.5, 11.4.1 termístor, 3.6.1 termo-resistência, 3.6.1 tesla, 8.1.2 Thévenin, 6.2, 11.4.2 transformador, 13.2 auto-transformador, 13.3.1 carga, 13.2.2 ideal, 13.2 medida, 13.3.3 modelo eléctrico equivalente, 13.2.3 múltiplos enrolamentos, 13.3.2 ponto médio, 13.3.2 potência, 13.3.5 sinal, 13.3.4 transformação de fonte, 4.5, 11.4.1 trimmer, 3.3, 3.3.5, 7.5.6 transdutor, capacitivo, 7.6 indutivo, 8.6 relutivo e electromagnético, 13.4 resistivo, 3.6.1 TTC, transferidor de tensão e corrente, 16

V

W

valor eficaz, 11.5.1 variáveis de estado, 10.2.3 varístor, 3.4 vector coluna, B vector linha, B volt, 1.2.2 volt-ampere, 11.5.3 volt-ampere reactivo, 11.5.3 volt por metro, 1.1.3 voltímetro, 1.6.1

watt, 1.3.2, 3.2 wattímetro, 1.6.3 watt-hora (Wh), 3.2 weber, 8.1.2

Z zero, 12.3.1, 12.3.2

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1.4 Sinais Eléctricos

1.4 Sinais Eléctricos

Na figura 1.6 apresentam-se alguns dos sinais eléctricos mais comuns na análise de circuitos. São eles, a saber: (i) constantes no tempo (Figura 1.6.a), designados pela sigla d.c. (direct-current); (ii) sinusoidais (Figura 1.6.b), designados por a.c.(alternate-current); (iii) rectangulares (Figura 1.6.c); (iv) exponenciais decrescentes ou crescentes (Figura 1.6.d); (v) escalões (Figura 1.6.e); (vi) triangulares (Figura 1.6.f).

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1.4 Sinais Eléctricos

Figura 1.6 Sinais eléctricos

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2 Componentes Fundamentais dos Circuitos Eléctricos

Componentes Fundamentais dos Circuitos Eléctricos As fontes são componentes de circuito capazes de colocar em movimento cargas eléctricas. Uma vez em movimento, as cargas podem ser levadas a superar diversos e variadíssimos obstáculos, como por exemplo resistências, que lhes impõem um limite máximo à velocidade, condensadores, que as acumulam, díodos, que implementam válvulas unidireccionais, transístores, que implementam uma torneira que abre, fecha ou modula um caminho ao fluxo de corrente, etc. As fontes e os obstáculos designam-se genericamente por componentes dos circuitos, atribuindo-se o nome de circuito eléctrico, ou de rede eléctrica, ao conjunto dos componentes interligados com um fim determinado. Apesar de existir uma enorme variedade de componentes de circuito, pode identificar-se um conjunto restrito de elementos cuja funcionalidade eléctrica é verdadeiramente fundamental. São eles, a saber: a resistência, o condensador e a bobina, por um lado, e as fontes independentes e dependentes de tensão e de corrente, por outro. Estes elementos permitem por si só modelar o comportamento eléctrico dos dispositivos electrónicos. A análise de um circuito eléctrico comporta três tarefas essencialmente distintas: a imposição da característica tensão-corrente de cada elemento, a imposição de um conjunto de leis ao nível da rede de elementos (leis de circuito) e, finalmente, a resolução conjunta das equações. Exemplos de características tensão-corrente são a Lei de Ohm, v=Ri, e a relação i=Cdv/dt do condensador. Por outro lado, leis de circuito são as duas Leis de Kirchhoff, das correntes e das tensões. Tendo em mente estes três passos, o presente e os capítulos seguintes serão dedicados à apresentação das características tensão-corrente das fontes e dos elementos resistência, condensador e bobina, bem como das Leis de Kirchhoff e das metodologias de análise sistemática do conjunto de equações resultante.

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Sebenta Multimédia de Análise de Circuitos Eléctricos

Componentes Fundamentais dos Circuitos Eléctricos Sebenta Multimédia 1 Grandezas Eléctricas 2 Componentes Fundamentais dos Circuitos Eléctricos 3 Resistência Eléctrica 4 Leis de Kirchhoff 5 Métodos de Análise Sistemática de Circuitos 6 Teoremas Básicos dos Circuitos Eléctricos 7 Condensador e Capacidade Eléctrica 8 Bobina e Indutância Electromagnética 9 Análise de Circuitos RC e RL de 1.ª Ordem 10 Análise de Circuitos RC, RL e RLC de 2.ª Ordem 11 Impedância Eléctrica 12 Análise da Resposta em Frequência 13 Bobinas Acopladas e Transformadores

As fontes são componentes de circuito capazes de colocar em movimento cargas eléctricas. Uma vez em movimento, as cargas podem ser levadas a superar diversos e variadíssimos obstáculos, como por exemplo resistências, que lhes impõem um limite máximo à velocidade, condensadores, que as acumulam, díodos, que implementam válvulas unidireccionais, transístores, que implementam uma torneira que abre, fecha ou modula um caminho ao fluxo de corrente, etc. As fontes e os obstáculos designamse genericamente por componentes dos circuitos, atribuindo-se o nome de circuito eléctrico, ou de rede eléctrica, ao conjunto dos componentes interligados com um fim determinado. Apesar de existir uma enorme variedade de componentes de circuito, pode identificarse um conjunto restrito de elementos cuja funcionalidade eléctrica é verdadeiramente fundamental. São eles, a saber: a resistência, o condensador e a bobina, por um lado, e as fontes independentes e dependentes de tensão e de corrente, por outro. Estes elementos permitem por si só modelar o comportamento eléctrico dos dispositivos electrónicos. A análise de um circuito eléctrico comporta três tarefas essencialmente distintas: a imposição da característica tensão-corrente de cada elemento, a imposição de um conjunto de leis ao nível da rede de elementos (leis de circuito) e, finalmente, a resolução conjunta das equações. Exemplos de características tensão-corrente são a Lei de Ohm, v=Ri, e a relação i=Cdv/dt do condensador. Por outro lado, leis de circuito são as duas Leis de Kirchhoff, das correntes e das tensões. Tendo em mente estes três passos, o presente e os capítulos seguintes serão dedicados à apresentação das características tensão-corrente das fontes e dos elementos resistência, condensador e bobina, bem como das Leis de Kirchhoff e das metodologias de análise sistemática do conjunto de equações resultante.

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Sebenta Multimédia de Análise de Circuitos Eléctricos

14 Diportos Eléctricos 15 Amplificador Operacional 16 Transferidor de Tensão e Corrente APÊNDICE-A APÊNDICE-B

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1 Grandezas Eléctricas

Grandezas Eléctricas

A Ciência Eléctrica estuda o fenómeno da existência e interacção entre cargas eléctricas. Tal como a massa, a carga eléctrica é uma propriedade fundamental da matéria que se manifesta através de uma interacção, designadamente através de uma força. No entanto, a carga eléctrica apresenta a particularidade de se manifestar através de uma força que tanto pode ser de atracção como de repulsão, ao contrário daquela manifestada pelas massas, que, como se sabe, é apenas de atracção. As principais grandezas da ciência eléctrica são a carga, a força, o campo, a energia, a tensão, a potência e a corrente eléctrica. Um dos objectivos deste capítulo é explicar a relação existente entre estas grandezas eléctricas, dando particular atenção às grandezas tensão e corrente eléctrica. Com efeito, a análise de circuitos visa essencialmente a determinação da relação corrente/tensão eléctrica em redes de componentes eléctricos e electrónicos. A lei fundamental da Ciência Eléctrica é a Lei de Coulomb. Esta lei estabelece que duas cargas eléctricas em presença uma da outra se atraem ou repelem mutuamente, isto é, interagem entre si através de uma força. Como grandeza de tipo vectorial, a força eléctrica possui, portanto, uma direcção, um sentido e uma intensidade. A direcção da força coincide com a da recta que une as duas cargas, o sentido é uma função dos sinais respectivos, positivos ou negativos, e a intensidade é uma função do módulo das cargas e da distância que as separa. A interacção à distância entre cargas eléctricas conduz ao conceito de campo eléctrico, o qual nos permite encarar a força eléctrica como o resultado de uma acção exercida por uma carga ou conjunto de cargas vizinhas. Tal como a força, o campo eléctrico é uma grandeza vectorial com direcção, sentido e intensidade. O movimento de uma carga num campo eléctrico, em sentido contrário ou concordante com o da força eléctrica a que se encontra sujeita, conduz à libertação ou exige o fornecimento de uma energia. O acto de se isolarem fisicamente conjuntos de cargas positivas e negativas equivale a fornecer energia ao sistema, comparável ao armazenamento de energia eléctrica numa bateria. Pelo contrário, o movimento de cargas negativas no sentido de partículas carregadas positivamente corresponde à libertação de energia. Em geral, a presença de cargas eléctricas imersas num campo atribui ao sistema uma capacidade de realizar trabalho, capacidade que é designada por energia potencial eléctrica ou, simplesmente, energia eléctrica. Uma carga colocada em pontos distintos de um campo eléctrico atribui valores também distintos de energia ao sistema. A diferença de energia por unidade de carga é designada por diferença de potencial, ou tensão eléctrica. Tensão e energia eléctrica são, por conseguinte, duas medidas da mesma capacidade de realizar trabalho. A taxa de transformação de energia eléctrica na unidade de tempo é designada por potência eléctrica. O fluxo de cargas eléctricas é designado por corrente eléctrica. Em particular, define-se corrente eléctrica como a quantidade de carga que na unidade de tempo atravessa uma dada superfície.

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1 Grandezas Eléctricas

Corrente e tensão eléctrica definem as duas variáveis operatórias dos circuitos eléctricos.

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3 Resistência Eléctrica

Resistência Eléctrica

A resistência é uma medida da oposição que a matéria oferece à passagem de corrente eléctrica. Os materiais são designados por condutores, semicondutores ou isoladores conforme a oposição que oferecem seja reduzida, média e elevada. A Lei de Ohm v=Ri

(3.1)

estabelece a relação existente entre a corrente e a tensão eléctrica aos terminais de uma resistência. O parâmetro R, designado resistência eléctrica, é expresso em ohm (note-se que na língua inglesa se distinguem parâmetro resistance do elemento resistor). A resistência eléctrica dos materiais pode ser comparada ao atrito existente nos sistemas mecânicos. Por exemplo, e ao contrário do vácuo, a aplicação de um campo eléctrico constante (força constante) sobre uma carga eléctrica conduz a uma velocidade constante nos materiais, situação à qual corresponde uma troca de energia potencial eléctrica por calor. Esta conversão é designada por efeito de Joule, cuja expressão da potência dissipada é 2

p = Ri

(3.2)

A resistência é um dos elementos mais utilizados nos circuitos. Existem resistências fixas, variáveis e ajustáveis, resistências integradas e resistências discretas, resistências cuja função é a conversão de grandezas não eléctricas em grandezas eléctricas, etc. Relativamente a estas últimas, existem resistências sensíveis à temperatura, como sejam as termo-resistências e os termístores, resistências sensíveis ao fluxo luminoso, designadas por foto-resistências, magneto-resistências, piezo-resistências, químio-resistências, etc.

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Resistência Eléctrica

Sebenta Multimédia 1 Grandezas Eléctricas 2 Componentes Fundamentais dos Circuitos Eléctricos 3 Resistência Eléctrica 4 Leis de Kirchhoff 5 Métodos de Análise Sistemática de Circuitos 6 Teoremas Básicos dos Circuitos Eléctricos 7 Condensador e Capacidade Eléctrica 8 Bobina e Indutância Electromagnética 9 Análise de Circuitos RC e RL de 1.ª Ordem 10 Análise de Circuitos RC, RL e RLC de 2.ª Ordem 11 Impedância Eléctrica 12 Análise da Resposta em Frequência 13 Bobinas Acopladas e Transformadores

A resistência é uma medida da oposição que a matéria oferece à passagem de corrente eléctrica. Os materiais são designados por condutores, semicondutores ou isoladores conforme a oposição que oferecem seja reduzida, média e elevada. A Lei de Ohm v=Ri

(3.1)

estabelece a relação existente entre a corrente e a tensão eléctrica aos terminais de uma resistência. O parâmetro R, designado resistência eléctrica, é expresso em ohm (note-se que na língua inglesa se distinguem parâmetro resistance do elemento resistor). A resistência eléctrica dos materiais pode ser comparada ao atrito existente nos sistemas mecânicos. Por exemplo, e ao contrário do vácuo, a aplicação de um campo eléctrico constante (força constante) sobre uma carga eléctrica conduz a uma velocidade constante nos materiais, situação à qual corresponde uma troca de energia potencial eléctrica por calor. Esta conversão é designada por efeito de Joule, cuja expressão da potência dissipada é 2

p = Ri

(3.2)

A resistência é um dos elementos mais utilizados nos circuitos. Existem resistências fixas, variáveis e ajustáveis, resistências integradas e resistências discretas, resistências cuja função é a conversão de grandezas não eléctricas em grandezas eléctricas, etc. Relativamente a estas últimas, existem resistências sensíveis à temperatura, como sejam as termo-resistências e os termístores, resistências sensíveis ao fluxo luminoso, designadas por foto-resistências, magneto-resistências, piezoresistências, químio-resistências, etc.

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14 Diportos Eléctricos 15 Amplificador Operacional 16 Transferidor de Tensão e Corrente APÊNDICE-A APÊNDICE-B

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4 Leis de Kirchhoff

Leis de Kirchhoff

As Leis de Kirchhoff regem a associação de componentes num circuito. Ao contrário da Lei de Ohm, cujo âmbito é a resistência, as Leis de Kirchhoff das tensões e das correntes estabelecem as regras às quais devem respeitar as associações de componentes: a Lei de Kirchhoff das correntes afirma que são idênticos os somatórios das correntes incidentes e divergentes em qualquer nó de um circuito, ao passo que a Lei das tensões afirma que é nulo o somatório das tensões aos terminais dos componentes situados ao longo de um caminho fechado. Uma associação de componentes eléctricos constitui um circuito quando verifica simultaneamente as Leis de Kirchhoff e as características tensão-corrente dos componentes, que no caso particular da resistência se designa por Lei de Ohm. A aplicação conjunta das Leis de Kirchhoff e de Ohm permite obter um conjunto de equações cuja resolução conduz aos valores das correntes e das tensões aos terminais dos componentes. Para além de permitir resolver os circuitos, as três leis referidas possibilitam ainda a derivação de um conjunto de regras simplificativas da análise dos circuitos. Designadamente, as regras de associação em série e em paralelo de resistências, as regras dos divisores de tensão e de corrente, as regras de transformação entre fontes de tensão e de corrente, as regras de associação de fontes de corrente e de tensão, etc.

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_04/kirchhof.htm06-06-2005 12:35:32

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Leis de Kirchhoff

Sebenta Multimédia 1 Grandezas Eléctricas 2 Componentes Fundamentais dos Circuitos Eléctricos 3 Resistência Eléctrica 4 Leis de Kirchhoff 5 Métodos de Análise Sistemática de Circuitos 6 Teoremas Básicos dos Circuitos Eléctricos 7 Condensador e Capacidade Eléctrica 8 Bobina e Indutância Electromagnética 9 Análise de Circuitos RC e RL de 1.ª Ordem 10 Análise de Circuitos RC, RL e RLC de 2.ª Ordem 11 Impedância Eléctrica 12 Análise da Resposta em Frequência 13 Bobinas Acopladas e Transformadores

As Leis de Kirchhoff regem a associação de componentes num circuito. Ao contrário da Lei de Ohm, cujo âmbito é a resistência, as Leis de Kirchhoff das tensões e das correntes estabelecem as regras às quais devem respeitar as associações de componentes: a Lei de Kirchhoff das correntes afirma que são idênticos os somatórios das correntes incidentes e divergentes em qualquer nó de um circuito, ao passo que a Lei das tensões afirma que é nulo o somatório das tensões aos terminais dos componentes situados ao longo de um caminho fechado. Uma associação de componentes eléctricos constitui um circuito quando verifica simultaneamente as Leis de Kirchhoff e as características tensão-corrente dos componentes, que no caso particular da resistência se designa por Lei de Ohm. A aplicação conjunta das Leis de Kirchhoff e de Ohm permite obter um conjunto de equações cuja resolução conduz aos valores das correntes e das tensões aos terminais dos componentes. Para além de permitir resolver os circuitos, as três leis referidas possibilitam ainda a derivação de um conjunto de regras simplificativas da análise dos circuitos. Designadamente, as regras de associação em série e em paralelo de resistências, as regras dos divisores de tensão e de corrente, as regras de transformação entre fontes de tensão e de corrente, as regras de associação de fontes de corrente e de tensão, etc.

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14 Diportos Eléctricos 15 Amplificador Operacional 16 Transferidor de Tensão e Corrente APÊNDICE-A APÊNDICE-B

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5 Métodos de Análise Sistemática de Circuitos

Métodos de Análise Sistemática de Circuitos Existem dois principais métodos de análise sistemática dos circuitos eléctricos: o método dos nós e o método das malhas. Em ambos, trata-se de aplicar de forma sistemática e agregada as Leis de Kirchhoff e as características tensão-corrente dos componentes, no caso particular da resistência a Lei de Ohm, e obter um sistema de P-equações a P-incógnitas. No método dos nós as incógnitas são as tensões em todos os nós do circuito, ao passo que no método das malhas são as correntes nas malhas constituintes do mesmo. As tensões nos nós, ou as correntes nas malhas, são suficientes para a posterior determinação das tensões e das correntes em todos os componentes do circuito. Os métodos dos nós e das malhas aplicam-se exclusivamente a circuitos lineares e bilaterais, exigindo-se no segundo daqueles que as redes sejam também planares. São bilaterais os circuitos cuja solução é independente do sentido positivo arbitrado para as correntes e para as tensões nos componentes, como sucede com as redes compostas por fontes, resistências, condensadores e bobinas. Designam-se por planares os circuitos cujo esquema eléctrico é passível de representação num plano, sem que os seus ramos se intersectem mutuamente. Dos circuitos representados na Figura 5.1 apenas o primeiro é planar. Outros métodos existem que não exigem o gozo das propriedades anteriormente enunciadas, os quais serão introduzidos posteriormente no âmbito das disciplinas de Electrónica.

Figura 5.1 Circuito planar (a) e circuito não planar (b)

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_05/metodos.htm06-06-2005 12:35:34

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Métodos de Análise Sistemática de Circuitos

Sebenta Multimédia 1 Grandezas Eléctricas 2 Componentes Fundamentais dos Circuitos Eléctricos 3 Resistência Eléctrica 4 Leis de Kirchhoff 5 Métodos de Análise Sistemática de Circuitos 6 Teoremas Básicos dos Circuitos Eléctricos 7 Condensador e Capacidade Eléctrica 8 Bobina e Indutância Electromagnética 9 Análise de Circuitos RC e RL de 1.ª Ordem 10 Análise de Circuitos RC, RL e RLC de 2.ª Ordem 11 Impedância Eléctrica 12 Análise da Resposta em Frequência 13 Bobinas Acopladas e Transformadores 14 Diportos Eléctricos 15 Amplificador

Existem dois principais métodos de análise sistemática dos circuitos eléctricos: o método dos nós e o método das malhas. Em ambos, trata-se de aplicar de forma sistemática e agregada as Leis de Kirchhoff e as características tensão-corrente dos componentes, no caso particular da resistência a Lei de Ohm, e obter um sistema de P-equações a P-incógnitas. No método dos nós as incógnitas são as tensões em todos os nós do circuito, ao passo que no método das malhas são as correntes nas malhas constituintes do mesmo. As tensões nos nós, ou as correntes nas malhas, são suficientes para a posterior determinação das tensões e das correntes em todos os componentes do circuito. Os métodos dos nós e das malhas aplicam-se exclusivamente a circuitos lineares e bilaterais, exigindo-se no segundo daqueles que as redes sejam também planares. São bilaterais os circuitos cuja solução é independente do sentido positivo arbitrado para as correntes e para as tensões nos componentes, como sucede com as redes compostas por fontes, resistências, condensadores e bobinas. Designam-se por planares os circuitos cujo esquema eléctrico é passível de representação num plano, sem que os seus ramos se intersectem mutuamente. Dos circuitos representados na Figura 5.1 apenas o primeiro é planar. Outros métodos existem que não exigem o gozo das propriedades anteriormente enunciadas, os quais serão introduzidos posteriormente no âmbito das disciplinas de Electrónica.

Figura 5.1 Circuito planar (a) e circuito não planar (b)

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Operacional 16 Transferidor de Tensão e Corrente APÊNDICE-A APÊNDICE-B

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6 Teoremas Básicos dos Circuitos Eléctricos

Teoremas Básicos dos Circuitos Eléctricos Os teoremas complementam o arsenal de leis, regras e métodos de análise introduzidas ao longo dos capítulos anteriores. O teorema da sobreposição das fontes indica que a tensão ou a corrente num componente resulta da soma das contribuições parciais devidas a cada uma das fontes independentes presentes no circuito, parcelas que se calculam separadamente umas das outras. Por seu lado, os teoremas de Thévenin e de Norton indicam que do ponto de vista de um par de nós um circuito pode ser condensado numa rede equivalente, constituída por uma fonte de tensão e uma resistência em série, ou então por uma fonte de corrente e uma resistência em paralelo. Este teorema constitui um dos resultados mais interessantes da teoria dos circuitos, pois permite substituir por uma fonte de tensão ou corrente real um qualquer circuito do qual se pretende saber apenas o efeito causado em dois dos seus terminais de acesso. Para além destes, os teoremas de Millman e de Miller fixam um corpo de regras de manipulação e simplificação de circuitos, enquanto que o teorema da máxima transferência de potência estabelece as condições para uma máxima transferência de energia entre uma fonte e uma resistência.

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_06/teoremas.htm06-06-2005 12:35:35

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Teoremas Básicos dos Circuitos Eléctricos

Sebenta Multimédia 1 Grandezas Eléctricas 2 Componentes Fundamentais dos Circuitos Eléctricos 3 Resistência Eléctrica 4 Leis de Kirchhoff 5 Métodos de Análise Sistemática de Circuitos 6 Teoremas Básicos dos Circuitos Eléctricos 7 Condensador e Capacidade Eléctrica 8 Bobina e Indutância Electromagnética 9 Análise de Circuitos RC e RL de 1.ª Ordem 10 Análise de Circuitos RC, RL e RLC de 2.ª Ordem 11 Impedância Eléctrica 12 Análise da Resposta em Frequência 13 Bobinas Acopladas e Transformadores

Os teoremas complementam o arsenal de leis, regras e métodos de análise introduzidas ao longo dos capítulos anteriores. O teorema da sobreposição das fontes indica que a tensão ou a corrente num componente resulta da soma das contribuições parciais devidas a cada uma das fontes independentes presentes no circuito, parcelas que se calculam separadamente umas das outras. Por seu lado, os teoremas de Thévenin e de Norton indicam que do ponto de vista de um par de nós um circuito pode ser condensado numa rede equivalente, constituída por uma fonte de tensão e uma resistência em série, ou então por uma fonte de corrente e uma resistência em paralelo. Este teorema constitui um dos resultados mais interessantes da teoria dos circuitos, pois permite substituir por uma fonte de tensão ou corrente real um qualquer circuito do qual se pretende saber apenas o efeito causado em dois dos seus terminais de acesso. Para além destes, os teoremas de Millman e de Miller fixam um corpo de regras de manipulação e simplificação de circuitos, enquanto que o teorema da máxima transferência de potência estabelece as condições para uma máxima transferência de energia entre uma fonte e uma resistência.

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14 Diportos Eléctricos 15 Amplificador Operacional 16 Transferidor de Tensão e Corrente APÊNDICE-A APÊNDICE-B

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7 Condensador e Capacidade Eléctrica

Condensador e Capacidade Eléctrica O condensador é um componente de circuito que armazena cargas eléctricas. O parâmetro capacidade eléctrica (C) relaciona a tensão aos terminais com a respectiva carga armazenada q(t) = Cv(t)

F, farad

(7.1)

o qual é uma função das propriedades do dieléctrico, da área e da separação entre os eléctrodos. De acordo com a relação (7.1), a adição ou remoção de cargas eléctricas às placas de um condensador equivale a variar a tensão eléctrica aplicada entre as mesmas, e vice-versa. A expressão

(7.2)

define a característica tensão-corrente do elemento condensador, a qual se encontra, portanto, ao nível da Lei de Ohm. A análise de um circuito com condensadores exige a resolução de uma equação diferencial. Este facto introduz a dimensão temporal na análise de circuitos, impondo em simultâneo a necessidade de estudar as condições iniciais e as restrições de continuidade da energia acumulada como base para a resolução das mesmas. A natureza diferencial das equações do circuito conduz à distinção entre soluções natural (regime transitório ou natural) e forçada no tempo, sendo esta última a base para o posterior estudo dos conceitos de fasor e de impedância eléctrica, ambos no âmbito da análise do regime forçado sinusoidal. Hoje existem diversos tipos de condensadores discretos, híbridos e integrados: condensadores de ar, mica, plástico, papel, cerâmica, electrólitos, etc.; condensadores fixos ou variáveis; condensadores de diversas dimensões e para variadas aplicações; condensadores que implementam sensores de temperatura, de pressão, de humidade, etc.

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_07/condensa.htm06-06-2005 12:35:37

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Condensador e Capacidade Eléctrica

Sebenta Multimédia 1 Grandezas Eléctricas 2 Componentes Fundamentais dos Circuitos Eléctricos 3 Resistência Eléctrica 4 Leis de Kirchhoff 5 Métodos de Análise Sistemática de Circuitos 6 Teoremas Básicos dos Circuitos Eléctricos 7 Condensador e Capacidade Eléctrica 8 Bobina e Indutância Electromagnética 9 Análise de Circuitos RC e RL de 1.ª Ordem 10 Análise de Circuitos RC, RL e RLC de 2.ª Ordem 11 Impedância Eléctrica 12 Análise da Resposta em Frequência 13 Bobinas Acopladas e Transformadores

O condensador é um componente de circuito que armazena cargas eléctricas. O parâmetro capacidade eléctrica (C) relaciona a tensão aos terminais com a respectiva carga armazenada q(t) = Cv(t)

F, farad

(7.1)

o qual é uma função das propriedades do dieléctrico, da área e da separação entre os eléctrodos. De acordo com a relação (7.1), a adição ou remoção de cargas eléctricas às placas de um condensador equivale a variar a tensão eléctrica aplicada entre as mesmas, e vice-versa. A expressão

(7.2)

define a característica tensão-corrente do elemento condensador, a qual se encontra, portanto, ao nível da Lei de Ohm. A análise de um circuito com condensadores exige a resolução de uma equação diferencial. Este facto introduz a dimensão temporal na análise de circuitos, impondo em simultâneo a necessidade de estudar as condições iniciais e as restrições de continuidade da energia acumulada como base para a resolução das mesmas. A natureza diferencial das equações do circuito conduz à distinção entre soluções natural (regime transitório ou natural) e forçada no tempo, sendo esta última a base para o posterior estudo dos conceitos de fasor e de impedância eléctrica, ambos no âmbito da análise do regime forçado sinusoidal. Hoje existem diversos tipos de condensadores discretos, híbridos e integrados: condensadores de ar, mica, plástico, papel, cerâmica, electrólitos, etc.; condensadores fixos ou variáveis; condensadores de diversas dimensões e para variadas aplicações; condensadores que implementam sensores de temperatura, de pressão, de humidade, etc.

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14 Diportos Eléctricos 15 Amplificador Operacional 16 Transferidor de Tensão e Corrente APÊNDICE-A APÊNDICE-B

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8 Bobina e Indutância Electromagnética

Bobina e Indutância Electromagnética O movimento das cargas eléctricas, e em particular a corrente eléctrica, é responsável por um fenómeno de atracção ou repulsão designado por força magnética. Dois condutores percorridos por uma corrente eléctrica atraem-se um ao outro se os sentidos dos respectivos fluxos forem concordantes, e repelem-se no caso contrário. À força magnética encontram-se associados o campo magnético, o fluxo e a densidade de fluxo magnético, a permeabilidade magnética, a indutância ou coeficiente de auto-indução, e o coeficiente de indução mútua. A bobina é um componente que armazena energia sob a forma de um campo magnético, portanto sob a forma de cargas eléctricas em movimento. A indutância é o parâmetro que relaciona a corrente eléctrica com o fluxo magnético Φ = Li

Wb, weber

(8.1)

e é uma função das dimensões físicas e do número de espiras da bobina, mas também do material do núcleo. A unidade de indutância é o henry (H). A relação (8.1) indica que as variações no fluxo magnético são proporcionais às variações na corrente eléctrica. Assim, e de acordo com a Lei de Faraday, a força electro-motriz induzida aos terminais de uma bobina é proporcional às variações na corrente respectiva

(8.2)

fenómeno que se designa por indução electromagnética (daí o nome alternativo de coeficiente de autoindução dado à indutância). A análise de um circuito com bobinas exige a obtenção e a resolução de uma ou várias equações diferenciais. As condições iniciais da corrente, do fluxo magnético e da energia armazenada, em conjunto com a imposição da sua continuidade, constituem a informação necessária para determinar os valores das constantes da solução da equação diferencial. À parte a diferença relativa aos fenómenos subjacentes ao seu funcionamento, a forma dual das características tensão-corrente do condensador e da bobina indica que os tópicos a tratar neste capítulo devam ser semelhantes àqueles abordados anteriormente, em particular no que respeita ao estudo das associações em série e em paralelo de bobinas, da energia armazenada e dos divisores de tensão e de corrente.

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_08/bobina.htm06-06-2005 12:35:39

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Bobina e Indutância Electromagnética

Sebenta Multimédia 1 Grandezas Eléctricas 2 Componentes Fundamentais dos Circuitos Eléctricos 3 Resistência Eléctrica 4 Leis de Kirchhoff 5 Métodos de Análise Sistemática de Circuitos 6 Teoremas Básicos dos Circuitos Eléctricos 7 Condensador e Capacidade Eléctrica 8 Bobina e Indutância Electromagnética 9 Análise de Circuitos RC e RL de 1.ª Ordem 10 Análise de Circuitos RC, RL e RLC de 2.ª Ordem 11 Impedância Eléctrica 12 Análise da Resposta em Frequência 13 Bobinas Acopladas e Transformadores

O movimento das cargas eléctricas, e em particular a corrente eléctrica, é responsável por um fenómeno de atracção ou repulsão designado por força magnética. Dois condutores percorridos por uma corrente eléctrica atraem-se um ao outro se os sentidos dos respectivos fluxos forem concordantes, e repelem-se no caso contrário. À força magnética encontram-se associados o campo magnético, o fluxo e a densidade de fluxo magnético, a permeabilidade magnética, a indutância ou coeficiente de autoindução, e o coeficiente de indução mútua. A bobina é um componente que armazena energia sob a forma de um campo magnético, portanto sob a forma de cargas eléctricas em movimento. A indutância é o parâmetro que relaciona a corrente eléctrica com o fluxo magnético Φ = Li

Wb, weber

(8.1)

e é uma função das dimensões físicas e do número de espiras da bobina, mas também do material do núcleo. A unidade de indutância é o henry (H). A relação (8.1) indica que as variações no fluxo magnético são proporcionais às variações na corrente eléctrica. Assim, e de acordo com a Lei de Faraday, a força electro-motriz induzida aos terminais de uma bobina é proporcional às variações na corrente respectiva

(8.2)

fenómeno que se designa por indução electromagnética (daí o nome alternativo de coeficiente de auto-indução dado à indutância). A análise de um circuito com bobinas exige a obtenção e a resolução de uma ou várias equações diferenciais. As condições iniciais da corrente, do fluxo magnético e da energia armazenada, em conjunto com a imposição da sua continuidade, constituem a informação necessária para determinar os valores das constantes da solução da equação diferencial. À parte a diferença relativa aos fenómenos subjacentes ao seu funcionamento, a forma dual das características tensão-corrente do condensador e da bobina indica que os tópicos a tratar neste capítulo devam ser semelhantes àqueles abordados anteriormente, em particular no que respeita ao estudo das associações em série e em paralelo de bobinas, da energia armazenada e dos divisores de tensão e de corrente.

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Sebenta Multimédia de Análise de Circuitos Eléctricos

14 Diportos Eléctricos 15 Amplificador Operacional 16 Transferidor de Tensão e Corrente APÊNDICE-A APÊNDICE-B

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9 Análise de Circuitos RC e RL de 1.ª Ordem

Análise de Circuitos RC e RL de 1.ª Ordem As características tensão-corrente do condensador e da bobina introduzem as equações diferenciais no seio da análise dos circuitos eléctricos. As Leis de Kirchhoff e as características tensão-corrente dos elementos conduzem, em conjunto, a uma equação diferencial linear, cuja solução define a dinâmica temporal das variáveis corrente e tensão eléctrica nos diversos componentes do circuito. A solução de uma equação diferencial com termo forçado é composta por duas parcelas essencialmente distintas: solução ou resposta natural, que determina a dinâmica das variáveis na ausência de fontes independentes (entenda-se na ausência de termo forçado na equação diferencial); e solução forçada. Esta última solução encontra-se directamente relacionada com a forma de onda das fontes independentes, revelando-se de particular interesse aquelas impostas por fontes constantes e sinusoidais. A seu tempo verificar-se-á que o estudo da solução forçada sinusoidal de um circuito abre um campo inteiramente novo à análise de circuitos, genericamente designado por regime forçado sinusoidal. A solução de uma equação diferencial é definida a menos de um conjunto de constantes, tantas quantas a ordem da mesma. A determinação da solução particular de uma equação diferencial exige a consideração das condições inicial e de continuidade da energia armazenada nos condensadores e nas bobinas do circuito.

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Sebenta Multimédia de Análise de Circuitos Eléctricos

Análise de Circuitos RC e RL de 1.ª Ordem

Sebenta Multimédia 1 Grandezas Eléctricas 2 Componentes Fundamentais dos Circuitos Eléctricos 3 Resistência Eléctrica 4 Leis de Kirchhoff 5 Métodos de Análise Sistemática de Circuitos 6 Teoremas Básicos dos Circuitos Eléctricos 7 Condensador e Capacidade Eléctrica 8 Bobina e Indutância Electromagnética 9 Análise de Circuitos RC e RL de 1.ª Ordem 10 Análise de Circuitos RC, RL e RLC de 2.ª Ordem 11 Impedância Eléctrica 12 Análise da Resposta em Frequência 13 Bobinas Acopladas e Transformadores

As características tensão-corrente do condensador e da bobina introduzem as equações diferenciais no seio da análise dos circuitos eléctricos. As Leis de Kirchhoff e as características tensão-corrente dos elementos conduzem, em conjunto, a uma equação diferencial linear, cuja solução define a dinâmica temporal das variáveis corrente e tensão eléctrica nos diversos componentes do circuito. A solução de uma equação diferencial com termo forçado é composta por duas parcelas essencialmente distintas: solução ou resposta natural, que determina a dinâmica das variáveis na ausência de fontes independentes (entenda-se na ausência de termo forçado na equação diferencial); e solução forçada. Esta última solução encontra-se directamente relacionada com a forma de onda das fontes independentes, revelando-se de particular interesse aquelas impostas por fontes constantes e sinusoidais. A seu tempo verificar-se-á que o estudo da solução forçada sinusoidal de um circuito abre um campo inteiramente novo à análise de circuitos, genericamente designado por regime forçado sinusoidal. A solução de uma equação diferencial é definida a menos de um conjunto de constantes, tantas quantas a ordem da mesma. A determinação da solução particular de uma equação diferencial exige a consideração das condições inicial e de continuidade da energia armazenada nos condensadores e nas bobinas do circuito.

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14 Diportos Eléctricos 15 Amplificador Operacional 16 Transferidor de Tensão e Corrente APÊNDICE-A APÊNDICE-B

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10 Análise de Circuitos RC, RL e RCL de 2.ª Ordem

Análise de Circuitos RC, RL e RLC de 2.ª Ordem Existem três classes principais de circuitos de 2.ª ordem: os circuitos RLC, com um condensador e uma bobina, e os circuitos RC e RL com dois condensadores ou duas bobinas irredutíveis por associação em série ou em paralelo. Existem também diversos métodos alternativos para formular a equação diferencial escalar de 2.ª ordem que governa o funcionamento de um circuito de 2.ª ordem. Neste livro apresentam-se os métodos da substituição e do operador-s, ambos conducentes directamente a uma equação diferencial de 2.ª ordem, e o método das equações de estado. Este último método conduz, em primeira instância, a um sistema de equações diferenciais de 1.ª ordem, no conjunto designadas por equações de estado do circuito, sistema que seguidamente pode ser resolvido de modo a obter uma equação diferencial de 2.ª ordem. Estes três métodos comportam vantagens e inconvenientes no que respeita à complexidade da sua aplicação, sendo porém verdadeiro que o método do operador-s tem a vantagem de permitir obter a equação diferencial de um circuito através de processos semelhantes aos utilizados no âmbito das redes resistivas puras. A solução de uma equação diferencial de 2.ª ordem é composta por duas parcelas essencialmente distintas: a solução natural e a solução forçada pelas fontes independentes. A solução natural tem em geral a forma de uma soma de exponenciais negativas, podendo, no entanto, distinguir-se os seguintes quatro casos particulares: a solução sobre-amortecida, definida por duas exponenciais reais, distintas e negativas; a solução criticamente amortecida, constituída pelo produto de uma função linear por uma exponencial real negativa; a solução sub-amortecida, neste caso constituída por duas exponenciais complexas conjugadas; e, finalmente, a solução oscilatória, definida por duas exponenciais imaginárias puras conjugadas. No que respeita à solução forçada, verifica-se que as fontes independentes constantes conduzem a soluções forçadas de tipo também constante, e que as fontes independentes sinusoidais conduzem a soluções forçadas também de tipo sinusoidal.

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_10/ancir_10.htm06-06-2005 12:35:42

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Análise de Circuitos RC, RL e RLC de 2.ª Ordem Sebenta Multimédia 1 Grandezas Eléctricas 2 Componentes Fundamentais dos Circuitos Eléctricos 3 Resistência Eléctrica 4 Leis de Kirchhoff 5 Métodos de Análise Sistemática de Circuitos 6 Teoremas Básicos dos Circuitos Eléctricos 7 Condensador e Capacidade Eléctrica 8 Bobina e Indutância Electromagnética 9 Análise de Circuitos RC e RL de 1.ª Ordem 10 Análise de Circuitos RC, RL e RLC de 2.ª Ordem 11 Impedância Eléctrica 12 Análise da Resposta em Frequência 13 Bobinas Acopladas e Transformadores

Existem três classes principais de circuitos de 2.ª ordem: os circuitos RLC, com um condensador e uma bobina, e os circuitos RC e RL com dois condensadores ou duas bobinas irredutíveis por associação em série ou em paralelo. Existem também diversos métodos alternativos para formular a equação diferencial escalar de 2.ª ordem que governa o funcionamento de um circuito de 2.ª ordem. Neste livro apresentam-se os métodos da substituição e do operador-s, ambos conducentes directamente a uma equação diferencial de 2.ª ordem, e o método das equações de estado. Este último método conduz, em primeira instância, a um sistema de equações diferenciais de 1.ª ordem, no conjunto designadas por equações de estado do circuito, sistema que seguidamente pode ser resolvido de modo a obter uma equação diferencial de 2.ª ordem. Estes três métodos comportam vantagens e inconvenientes no que respeita à complexidade da sua aplicação, sendo porém verdadeiro que o método do operador-s tem a vantagem de permitir obter a equação diferencial de um circuito através de processos semelhantes aos utilizados no âmbito das redes resistivas puras. A solução de uma equação diferencial de 2.ª ordem é composta por duas parcelas essencialmente distintas: a solução natural e a solução forçada pelas fontes independentes. A solução natural tem em geral a forma de uma soma de exponenciais negativas, podendo, no entanto, distinguir-se os seguintes quatro casos particulares: a solução sobre-amortecida, definida por duas exponenciais reais, distintas e negativas; a solução criticamente amortecida, constituída pelo produto de uma função linear por uma exponencial real negativa; a solução sub-amortecida, neste caso constituída por duas exponenciais complexas conjugadas; e, finalmente, a solução oscilatória, definida por duas exponenciais imaginárias puras conjugadas. No que respeita à solução forçada, verifica-se que as fontes independentes constantes conduzem a soluções forçadas de tipo também constante, e que as fontes independentes sinusoidais conduzem a soluções forçadas também de tipo sinusoidal.

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14 Diportos Eléctricos 15 Amplificador Operacional 16 Transferidor de Tensão e Corrente APÊNDICE-A APÊNDICE-B

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11 Impedância Eléctrica

Impedância Eléctrica

Ao longo dos dois capítulos anteriores constatou-se que a análise no tempo de um circuito com condensadores e bobinas exige a obtenção e a resolução de uma equação diferencial. Constatou-se ainda que a dinâmica temporal desta classe de circuitos é composta por duas parcelas essencialmente distintas: a solução natural e a solução forçada pelas fontes independentes do circuito. A solução natural é tipicamente constituída por funções exponenciais negativas, portanto funções que tendem para zero com o tempo, ao passo que a solução forçada impõe ao circuito uma dinâmica cuja forma é estabelecida por fontes independentes. Por exemplo, verificou-se que as fontes independentes sinusoidais conduzem a soluções forçadas sinusoidais, cuja amplitude e fase na origem são função da frequência angular (ω) e dos parâmetros do circuito. Uma das características mais interessantes dos circuitos lineares é o facto de as soluções forçadas sinusoidais em todos os nós e componentes do circuito apresentarem exactamente a mesma frequência angular da fonte independente. A principal consequência desta propriedade é a possibilidade de reduzir a análise da solução forçada sinusoidal à identificação das amplitudes e das fases na origem dos sinais. A análise da solução forçada sinusoidal de um circuito conduz aos conceitos de fasor e de impedância eléctrica. O fasor de uma variável sinusoidal é um número complexo com informação relativa à amplitude e à fase na origem, desprezando assim a informação relativa à frequência que à partida se sabe ser igual em todos os nós e componentes do circuito. Por outro lado, a impedância eléctrica de um elemento ou circuito mais não é que a relação entre os fasores da tensão e da corrente aos terminais respectivos, sendo, portanto, em geral um número complexo dependente da frequência angular da sinusóide sob análise. O facto de as relações fasoriais entre tensão e corrente eléctrica nos elementos R, C e L serem de tipo linear, apesar de entre números complexos, permite que a solução forçada sinusoidal de um circuito possa ser estudada recorrendo aos métodos e teoremas típicos da análise dos circuitos resistivos puros. Por exemplo, é possível estender a aplicação dos métodos das malhas e dos nós à análise da solução forçada sinusoidal de um circuito, recorrendo ainda aos resultados do teoremas de Norton, de Thévenin, de Millman, de Miller, da sobreposição das fontes e da máxima transferência de potência.

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_11/impedel.htm06-06-2005 12:35:43

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Impedância Eléctrica

Sebenta Multimédia 1 Grandezas Eléctricas 2 Componentes Fundamentais dos Circuitos Eléctricos 3 Resistência Eléctrica 4 Leis de Kirchhoff 5 Métodos de Análise Sistemática de Circuitos 6 Teoremas Básicos dos Circuitos Eléctricos 7 Condensador e Capacidade Eléctrica 8 Bobina e Indutância Electromagnética 9 Análise de Circuitos RC e RL de 1.ª Ordem 10 Análise de Circuitos RC, RL e RLC de 2.ª Ordem 11 Impedância Eléctrica 12 Análise da Resposta em Frequência 13 Bobinas Acopladas e Transformadores

Ao longo dos dois capítulos anteriores constatou-se que a análise no tempo de um circuito com condensadores e bobinas exige a obtenção e a resolução de uma equação diferencial. Constatou-se ainda que a dinâmica temporal desta classe de circuitos é composta por duas parcelas essencialmente distintas: a solução natural e a solução forçada pelas fontes independentes do circuito. A solução natural é tipicamente constituída por funções exponenciais negativas, portanto funções que tendem para zero com o tempo, ao passo que a solução forçada impõe ao circuito uma dinâmica cuja forma é estabelecida por fontes independentes. Por exemplo, verificou-se que as fontes independentes sinusoidais conduzem a soluções forçadas sinusoidais, cuja amplitude e fase na origem são função da frequência angular (ω) e dos parâmetros do circuito. Uma das características mais interessantes dos circuitos lineares é o facto de as soluções forçadas sinusoidais em todos os nós e componentes do circuito apresentarem exactamente a mesma frequência angular da fonte independente. A principal consequência desta propriedade é a possibilidade de reduzir a análise da solução forçada sinusoidal à identificação das amplitudes e das fases na origem dos sinais. A análise da solução forçada sinusoidal de um circuito conduz aos conceitos de fasor e de impedância eléctrica. O fasor de uma variável sinusoidal é um número complexo com informação relativa à amplitude e à fase na origem, desprezando assim a informação relativa à frequência que à partida se sabe ser igual em todos os nós e componentes do circuito. Por outro lado, a impedância eléctrica de um elemento ou circuito mais não é que a relação entre os fasores da tensão e da corrente aos terminais respectivos, sendo, portanto, em geral um número complexo dependente da frequência angular da sinusóide sob análise. O facto de as relações fasoriais entre tensão e corrente eléctrica nos elementos R, C e L serem de tipo linear, apesar de entre números complexos, permite que a solução forçada sinusoidal de um circuito possa ser estudada recorrendo aos métodos e teoremas típicos da análise dos circuitos resistivos puros. Por exemplo, é possível estender a aplicação dos métodos das malhas e dos nós à análise da solução forçada sinusoidal de um circuito, recorrendo ainda aos resultados do teoremas de Norton, de Thévenin, de Millman, de Miller, da sobreposição das fontes e da máxima transferência de potência.

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14 Diportos Eléctricos 15 Amplificador Operacional 16 Transferidor de Tensão e Corrente APÊNDICE-A APÊNDICE-B

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12 Análise da Resposta em Frequência

Análise da Resposta em Frequência

Designa-se por análise da resposta em frequência o estudo da variação com a frequência do cociente entre dois fasores. A representação do cociente entre fasores em notação polar, entenda-se a representação da amplitude e da fase, define as funções amplitude e fase da resposta em frequência, que explicitam a relação existente entre as amplitudes e a diferença entre as fases das sinusóides subjacentes aos fasores. Na variação da amplitude e da fase com a frequência inscrevem-se a selectividade em amplitude e o atraso de fase em frequência, que suportam a construção de filtros eléctricos de tipo passa-baixo, passa-alto, passabanda, rejeita-banda, e de igualização de amplitude e de fase. As representações gráficas das funções amplitude e fase da resposta em frequência, em escala logarítmica, designam-se por diagramas de Bode de amplitude e de fase. Nos diagramas de Bode de amplitude, o eixo das frequências (horizontal) representa-se em escala logarítmica (facto que permite abranger num mesmo gráfico uma gama muito mais ampla de frequências), ao passo que na escala vertical se representa a função 20log10(amplitude), em vez da amplitude apenas, cuja unidade se designa por decibell (dB) de amplitude.

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_12/anresfre.htm06-06-2005 12:35:45

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Análise da Resposta em Frequência

Sebenta Multimédia 1 Grandezas Eléctricas 2 Componentes Fundamentais dos Circuitos Eléctricos 3 Resistência Eléctrica 4 Leis de Kirchhoff 5 Métodos de Análise Sistemática de Circuitos 6 Teoremas Básicos dos Circuitos Eléctricos 7 Condensador e Capacidade Eléctrica 8 Bobina e Indutância Electromagnética 9 Análise de Circuitos RC e RL de 1.ª Ordem 10 Análise de Circuitos RC, RL e RLC de 2.ª Ordem 11 Impedância Eléctrica 12 Análise da Resposta em Frequência 13 Bobinas Acopladas e Transformadores

Designa-se por análise da resposta em frequência o estudo da variação com a frequência do cociente entre dois fasores. A representação do cociente entre fasores em notação polar, entenda-se a representação da amplitude e da fase, define as funções amplitude e fase da resposta em frequência, que explicitam a relação existente entre as amplitudes e a diferença entre as fases das sinusóides subjacentes aos fasores. Na variação da amplitude e da fase com a frequência inscrevem-se a selectividade em amplitude e o atraso de fase em frequência, que suportam a construção de filtros eléctricos de tipo passa-baixo, passa-alto, passa-banda, rejeita-banda, e de igualização de amplitude e de fase. As representações gráficas das funções amplitude e fase da resposta em frequência, em escala logarítmica, designam-se por diagramas de Bode de amplitude e de fase. Nos diagramas de Bode de amplitude, o eixo das frequências (horizontal) representase em escala logarítmica (facto que permite abranger num mesmo gráfico uma gama muito mais ampla de frequências), ao passo que na escala vertical se representa a função 20log10(amplitude), em vez da amplitude apenas, cuja unidade se designa por decibell (dB) de amplitude.

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14 Diportos Eléctricos 15 Amplificador Operacional 16 Transferidor de Tensão e Corrente APÊNDICE-A APÊNDICE-B

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13 Bobinas Acopladas e Transformadores

Bobinas Acopladas e Transformadores O transformador é um componente de circuito constituído por duas bobinas acopladas magneticamente (ver Figura 13.1). O facto de ambas as bobinas partilharem o mesmo núcleo, em geral de elevada permeabilidade magnética, faz com que a ligação seja quase perfeita e as linhas de força sejam quase na totalidade partilhadas por ambos os enrolamentos. Uma relação corrente eléctrica, fluxo magnético e força electro-motriz induzida, e entre estas e o número de espiras em cada um dos enrolamentos, permite elevar ou reduzir a amplitude da tensão ou da corrente nas duas bobinas.

Figura 13.1 Bobinas acopladas As bobinas acopladas e os transformadores são utilizadas em variadíssimas aplicações. Alguns exemplos são a elevação e a redução da amplitude da tensão ou da corrente e a conversão do número de fases em redes de transporte de energia eléctrica, a redução da amplitude da tensão ou da corrente eléctrica em instrumentos de medida, a contagem de energia eléctrica, a implementação de mecanismos de protecção, a rectificação de sinais, a adaptação de impedâncias em aplicações audio e rádio-frequência, o isolamento galvânico entre partes de um circuito eléctrico, etc.

Figura 13.2 Alternativas no transporte de energia eléctrica: em baixa tensão (a); em alta tensão (b)

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_13/boacotra.htm (1 of 2)06-06-2005 12:35:47

13 Bobinas Acopladas e Transformadores

Um dos exemplos mais elucidativos da utilidade do transformador é o transporte de energia eléctrica entre as centrais de produção e os centros consumidores. Admita-se então que se pretende transportar uma potência nominal aparente de 1 MVA entre uma central e uma cidade localizada a uma distância de 100 km (200 km de fios eléctricos condutores), e que a tensão de alimentação a fornecer à cidade é de V =200 V cid

(valor eficaz; veja-se a Figura 13.2.a). A amplitude da corrente (eficaz) a fornecer à cidade pela central é neste caso I=S/V =5000 A, corrente cujo transporte exige fios condutores de secção mínima s=1000 mm2, cid

admitindo assim que a linha de cobre suporta uma densidade de corrente máxima de 5 A/mm2. A linha apresenta uma resistência eléctrica de R =ρl/s=4 Ω, admitindo que a resistividade do cobre é ρ=0.02 linha

Ωmm2/m, sendo responsável por uma queda de tensão V energia por efeito de Joule, cuja potência é P

=R

linha

=R

linha 2

linha

linha

I=20 kV e por uma dissipação de

I =100 MW. Estes resultados indicam que a queda

de tensão e a potência dissipada na linha são ordens de grandeza superiores àquelas efectivamente utilizadas pelos consumidores. Uma das alternativas para reduzir as perdas por efeito de Joule no transporte de energia eléctrica, implementada na prática, consiste em elevar drasticamente o valor da tensão de transporte (reduzir drasticamente a corrente na linha), reduzindo-a depois progressivamente junto aos grandes centros consumidores, às povoações, aos bairros, aos grandes edifícios, etc. As alternativas a esta solução seriam basicamente três (todas elas impraticáveis): aproximar a central dos consumidores, aproximar os consumidores da central, ou então aumentar drasticamente a secção das linhas de transporte. Admita-se agora que através de um qualquer mecanismo se eleva a tensão de transporte da energia de, por exemplo, 200 V para 400 kV, e que depois, junto ao centro consumidor, se opera à sua redução (Figura 13.2.b). Neste caso, o valor eficaz da corrente na linha é de apenas I=S/V =2.5 A, a secção exigida para o cid

condutor e a respectiva resistência são s=1

mm2

são, respectivamente, V

=25 kW. Como se vê, o simples facto de se ter elevado a tensão

=10 kV e P

linha

linha

eR

=4 kΩ, e a queda de tensão e as perdas na linha

linha

de transporte de 200 V para 400 kV conduz a uma apreciável redução da potência dissipada na linha, com perdas que são apenas 2.5% dos valores de tensão e de potência efectivamente transportados para o centro consumidor.

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_13/boacotra.htm (2 of 2)06-06-2005 12:35:47

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Bobinas Acopladas e Transformadores

Sebenta Multimédia 1 Grandezas Eléctricas 2 Componentes Fundamentais dos Circuitos Eléctricos 3 Resistência Eléctrica 4 Leis de Kirchhoff 5 Métodos de Análise Sistemática de Circuitos 6 Teoremas Básicos dos Circuitos Eléctricos 7 Condensador e Capacidade Eléctrica 8 Bobina e Indutância Electromagnética 9 Análise de Circuitos RC e RL de 1.ª Ordem 10 Análise de Circuitos RC, RL e RLC de 2.ª Ordem 11 Impedância Eléctrica 12 Análise da Resposta em Frequência 13 Bobinas Acopladas e Transformadores 14 Diportos Eléctricos 15 Amplificador Operacional 16 Transferidor de

O transformador é um componente de circuito constituído por duas bobinas acopladas magneticamente (ver Figura 13.1). O facto de ambas as bobinas partilharem o mesmo núcleo, em geral de elevada permeabilidade magnética, faz com que a ligação seja quase perfeita e as linhas de força sejam quase na totalidade partilhadas por ambos os enrolamentos. Uma relação corrente eléctrica, fluxo magnético e força electro-motriz induzida, e entre estas e o número de espiras em cada um dos enrolamentos, permite elevar ou reduzir a amplitude da tensão ou da corrente nas duas bobinas.

Figura 13.1 Bobinas acopladas As bobinas acopladas e os transformadores são utilizadas em variadíssimas aplicações. Alguns exemplos são a elevação e a redução da amplitude da tensão ou da corrente e a conversão do número de fases em redes de transporte de energia eléctrica, a redução da amplitude da tensão ou da corrente eléctrica em instrumentos de medida, a contagem de energia eléctrica, a implementação de mecanismos de protecção, a rectificação de sinais, a adaptação de impedâncias em aplicações audio e rádio-frequência, o isolamento galvânico entre partes de um circuito eléctrico, etc.

Figura 13.2 Alternativas no transporte de energia eléctrica: em baixa tensão (a); em alta tensão (b) Um dos exemplos mais elucidativos da utilidade do transformador é o transporte de energia eléctrica entre as centrais de produção e os centros consumidores. Admita-se então que se pretende transportar uma potência nominal aparente de 1 MVA entre uma central e uma cidade localizada a uma distância de 100 km (200 km de fios eléctricos condutores), e que a tensão de alimentação a fornecer à cidade é de V =200 V (valor eficaz; veja-se a Figura 13.2.a). A amplitude da corrente cid

(eficaz) a fornecer à cidade pela central é neste caso I=S/V =5000 A, corrente cujo transporte

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cid

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Tensão e Corrente APÊNDICE-A APÊNDICE-B

exige fios condutores de secção mínima s=1000 mm2, admitindo assim que a linha de cobre suporta uma densidade de corrente máxima de 5 A/mm2. A linha apresenta uma resistência eléctrica de R =ρl/s=4 Ω, admitindo que a resistividade do cobre é ρ=0.02 Ωmm2/m, sendo responsável por linha

uma queda de tensão V cuja potência é P

=R

linha

=R

linha

linha 2

I=20 kV e por uma dissipação de energia por efeito de Joule,

I =100 MW. Estes resultados indicam que a queda de tensão e a

linha

potência dissipada na linha são ordens de grandeza superiores àquelas efectivamente utilizadas pelos consumidores. Uma das alternativas para reduzir as perdas por efeito de Joule no transporte de energia eléctrica, implementada na prática, consiste em elevar drasticamente o valor da tensão de transporte (reduzir drasticamente a corrente na linha), reduzindo-a depois progressivamente junto aos grandes centros consumidores, às povoações, aos bairros, aos grandes edifícios, etc. As alternativas a esta solução seriam basicamente três (todas elas impraticáveis): aproximar a central dos consumidores, aproximar os consumidores da central, ou então aumentar drasticamente a secção das linhas de transporte. Admita-se agora que através de um qualquer mecanismo se eleva a tensão de transporte da energia de, por exemplo, 200 V para 400 kV, e que depois, junto ao centro consumidor, se opera à sua redução (Figura 13.2.b). Neste caso, o valor eficaz da corrente na linha é de apenas I=S/V =2.5 A, cid

a secção exigida para o condutor e a respectiva resistência são s=1 mm2 e R

linha

de tensão e as perdas na linha são, respectivamente, V

linha

=10 kV e P

=4 kΩ, e a queda

=25 kW. Como se vê, o

linha

simples facto de se ter elevado a tensão de transporte de 200 V para 400 kV conduz a uma apreciável redução da potência dissipada na linha, com perdas que são apenas 2.5% dos valores de tensão e de potência efectivamente transportados para o centro consumidor.

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14 Diportos Eléctricos

Diportos Eléctricos

A grande maioria dos dispositivos e circuitos electrónicos constituem aquilo que em teoria dos circuitos se designa por diporto eléctrico. Um diporto é basicamente um circuito cuja ligação ao exterior se efectua através de dois pares de terminais designados por portos (ver Figura 14.1). Por definição, um diporto contém apenas resistências, condensadores, bobinas e fontes dependentes, mas não fontes independentes de tensão ou de corrente. Cada porto é caracterizado por uma corrente de entrada e de saída, Ii e Ii´, por definição iguais, e por uma tensão entre terminais, Vi. Adiante se verá que, destas quatro variáveis, duas são independentes e duas dependentes.

Figura 14.1 Diporto eléctrico Exemplos de dispositivos e de circuitos electrónicos que constituem diportos são os transístores de junção bipolar e de efeito de campo, os amplificadores operacionais de tensão e de corrente, ou em geral qualquer rede cujos acessos ao exterior verifiquem as condições acima referidas. Por exemplo, no caso do transístor de junção bipolar representado na Figura 14.2, dois dos terminais de acesso encontram-se em curtocircuito, constituindo assim um diporto com três terminais apenas.

Figura 14.2 Diporto com três terminais Um diporto é caracterizado através de quatro coeficientes organizados numa matriz quadrada. A matriz constitui o elo de ligação entre as variáveis independentes e dependentes nos dois portos, estabelecendo um conjunto de duas equações algébricas que definem todo o desempenho do circuito. Por exemplo, um diporto pode ser caracterizado através de uma matriz de admitâncias

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14 Diportos Eléctricos

(14.1)

a qual pressupõe serem independentes as variáveis V1 e V2 e dependentes as correntes I1 e I2 nos portos. As duas equações algébricas em (14.1) definem um modelo eléctrico equivalente de um diporto (Figura 14.3). Outros pares de variáveis independentes conduzem a outras matrizes e outros modelos eléctricos equivalentes, sendo característica de todos eles o possuírem apenas quatro coeficientes e quatro componentes, respectivamente.

Figura 14.3 Modelo eléctrico equivalente de um diporto

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Diportos Eléctricos

Sebenta Multimédia 1 Grandezas Eléctricas 2 Componentes Fundamentais dos Circuitos Eléctricos 3 Resistência Eléctrica 4 Leis de Kirchhoff 5 Métodos de Análise Sistemática de Circuitos 6 Teoremas Básicos dos Circuitos Eléctricos 7 Condensador e Capacidade Eléctrica 8 Bobina e Indutância Electromagnética 9 Análise de Circuitos RC e RL de 1.ª Ordem 10 Análise de Circuitos RC, RL e RLC de 2.ª Ordem 11 Impedância Eléctrica 12 Análise da Resposta em Frequência 13 Bobinas Acopladas e Transformadores 14 Diportos Eléctricos 15 Amplificador Operacional 16 Transferidor de Tensão e Corrente APÊNDICE-A

A grande maioria dos dispositivos e circuitos electrónicos constituem aquilo que em teoria dos circuitos se designa por diporto eléctrico. Um diporto é basicamente um circuito cuja ligação ao exterior se efectua através de dois pares de terminais designados por portos (ver Figura 14.1). Por definição, um diporto contém apenas resistências, condensadores, bobinas e fontes dependentes, mas não fontes independentes de tensão ou de corrente. Cada porto é caracterizado por uma corrente de entrada e de saída, Ii e Ii´, por definição iguais, e por uma tensão entre terminais, Vi. Adiante se verá que, destas quatro variáveis, duas são independentes e duas dependentes.

Figura 14.1 Diporto eléctrico Exemplos de dispositivos e de circuitos electrónicos que constituem diportos são os transístores de junção bipolar e de efeito de campo, os amplificadores operacionais de tensão e de corrente, ou em geral qualquer rede cujos acessos ao exterior verifiquem as condições acima referidas. Por exemplo, no caso do transístor de junção bipolar representado na Figura 14.2, dois dos terminais de acesso encontram-se em curto-circuito, constituindo assim um diporto com três terminais apenas.

Figura 14.2 Diporto com três terminais Um diporto é caracterizado através de quatro coeficientes organizados numa matriz quadrada. A matriz constitui o elo de ligação entre as variáveis independentes e dependentes nos dois portos, estabelecendo um conjunto de duas equações algébricas que definem todo o desempenho do circuito. Por exemplo, um diporto pode ser caracterizado através de uma matriz de admitâncias

(14.1)

a qual pressupõe serem independentes as variáveis V1 e V2 e dependentes as correntes I1 e I2 nos portos. As duas equações algébricas em (14.1) definem um modelo eléctrico equivalente de um diporto (Figura 14.3). Outros pares de variáveis independentes conduzem a outras matrizes e outros modelos eléctricos equivalentes, sendo característica de todos eles o possuírem apenas quatro coeficientes e quatro

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APÊNDICE-B

componentes, respectivamente.

Figura 14.3 Modelo eléctrico equivalente de um diporto

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15 Aplificador Operacional

Amplificador Operacional

Na parte final do capítulo anterior desenvolveram-se dois modelos eléctricos simplificados para os amplificadores de tensão e de corrente sem realimentação. Os modelos consideravam três elementos apenas: duas impedâncias, uma de entrada e outra de saída, e uma fonte de tensão ou de corrente dependente. Na Figura 15.1.a redesenha-se o modelo eléctrico do amplificador de tensão então obtido.

Figura 15.1 Amplificador de tensão: não ideal (a) e ideal (b) A ligação de um amplificador a uma fonte de sinal e a uma carga envolve dois divisores de tensão que reduzem o ganho máximo obtenível. Referindo ao esquema eléctrico da Figura 15.1.b, verifica-se que a construção de uma cadeia de amplificação optimizada passa pelo recurso a amplificadores de tensão que gozem, pelo menos, das seguintes duas propriedades: impedância de entrada infinita, e impedância de saída nula. Se a estas duas propriedades se juntarem um ganho de tensão infinito, a não dependência do mesmo com a frequência e a possibilidade de aplicar na entrada e obter na saída quaisquer valores de tensão, então obtém-se aquilo que vulgarmente se designa por amplificador operacional ideal, ou AmpOp. Apesar deste conjunto idealizado de propriedades, é um facto que o AmpOp ideal constitui uma boa aproximação do desempenho eléctrico de uma vasta gama de circuitos integrados utilizados na prática. Com efeito, existem no mercado AmpOps cujo ganho ascende a 106, e cujas resistências de entrada e de

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15 Aplificador Operacional

saída são, respectivamente, várias dezenas a centenas de MΩ e algumas unidades ou décimas de ohm. Os elevados ganho e resistência de entrada do AmpOp estão na origem do designado curto-circuito virtual entre nós, que em alguns casos particulares implementa uma massa virtual. Este operador possibilita a realização de amplificadores de tensão cujo ganho depende apenas do cociente entre duas resistências, amplificadores soma e diferença de sinais, circuitos integradores e diferenciadores de sinal, filtros, conversores corrente-tensão e tensão-corrente, conversores de impedâncias, circuitos rectificadores de sinal, comparadores de tensão, etc.. Não é exagero afirmar que, na actualidade, o AmpOp constituiu o paradigma dominante no projecto de circuitos electrónicos analógicos. Os amplificadores operacionais são constituídos por múltiplos componentes electrónicos e passivos, nomeadamente transístores, resistências e condensadores. No entanto, neste texto limita-se o estudo do AmpOp à identificação e utilização prática das propriedades dos seus terminais de acesso, deixando para um manual posterior o estudo detalhado da sua estrutura interna.

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Amplificador Operacional

Sebenta Multimédia 1 Grandezas Eléctricas 2 Componentes Fundamentais dos Circuitos Eléctricos 3 Resistência Eléctrica 4 Leis de Kirchhoff 5 Métodos de Análise Sistemática de Circuitos 6 Teoremas Básicos dos Circuitos Eléctricos 7 Condensador e Capacidade Eléctrica 8 Bobina e Indutância Electromagnética 9 Análise de Circuitos RC e RL de 1.ª Ordem 10 Análise de Circuitos RC, RL e RLC de 2.ª Ordem 11 Impedância Eléctrica 12 Análise da Resposta em Frequência 13 Bobinas Acopladas e Transformadores

Na parte final do capítulo anterior desenvolveram-se dois modelos eléctricos simplificados para os amplificadores de tensão e de corrente sem realimentação. Os modelos consideravam três elementos apenas: duas impedâncias, uma de entrada e outra de saída, e uma fonte de tensão ou de corrente dependente. Na Figura 15.1.a redesenha-se o modelo eléctrico do amplificador de tensão então obtido.

Figura 15.1 Amplificador de tensão: não ideal (a) e ideal (b) A ligação de um amplificador a uma fonte de sinal e a uma carga envolve dois divisores de tensão que reduzem o ganho máximo obtenível. Referindo ao esquema eléctrico da Figura 15.1.b, verifica-se que a construção de uma cadeia de amplificação optimizada passa pelo recurso a amplificadores de tensão que gozem, pelo menos, das seguintes duas propriedades: impedância de entrada infinita, e impedância de saída nula. Se a estas duas propriedades se juntarem um ganho de tensão infinito, a não dependência do mesmo com a frequência e a possibilidade de aplicar na entrada e obter na saída quaisquer valores de tensão, então obtém-se aquilo que vulgarmente se designa por amplificador operacional ideal, ou AmpOp. Apesar deste conjunto idealizado de propriedades, é um facto que o AmpOp ideal constitui uma boa aproximação do desempenho eléctrico de uma vasta gama de circuitos integrados utilizados na prática. Com efeito, existem no mercado AmpOps cujo ganho ascende a 106, e cujas resistências de entrada e de saída são,

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14 Diportos Eléctricos 15 Amplificador Operacional 16 Transferidor de Tensão e Corrente APÊNDICE-A APÊNDICE-B

respectivamente, várias dezenas a centenas de MΩ e algumas unidades ou décimas de ohm. Os elevados ganho e resistência de entrada do AmpOp estão na origem do designado curto-circuito virtual entre nós, que em alguns casos particulares implementa uma massa virtual. Este operador possibilita a realização de amplificadores de tensão cujo ganho depende apenas do cociente entre duas resistências, amplificadores soma e diferença de sinais, circuitos integradores e diferenciadores de sinal, filtros, conversores corrente-tensão e tensão-corrente, conversores de impedâncias, circuitos rectificadores de sinal, comparadores de tensão, etc.. Não é exagero afirmar que, na actualidade, o AmpOp constituiu o paradigma dominante no projecto de circuitos electrónicos analógicos. Os amplificadores operacionais são constituídos por múltiplos componentes electrónicos e passivos, nomeadamente transístores, resistências e condensadores. No entanto, neste texto limita-se o estudo do AmpOp à identificação e utilização prática das propriedades dos seus terminais de acesso, deixando para um manual posterior o estudo detalhado da sua estrutura interna.

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16 Transferidor de Tensão-Corrente

Transferidor de Tensão e Corrente

Ao longo dos últimos anos têm vindo a ser introduzidos no mercado alguns blocos operacionais cuja funcionalidade é distinta daquela característica do AmpOp convencional. De entre estes operacionais destaca-se o Transferidor de Tensão e Corrente (TTC)1, cuja designação original em literatura anglosaxónica é current-conveyor, leia-se transferidor ou transportador de corrente. O Transferidor de Tensão e Corrente caracteriza-se por um conjunto de propriedades cuja utilidade do ponto de vista prático não é em nada inferior àquela do AmpOp, senão mesmo superior. O TTC é basicamente constituído por três portos de acesso, um dos quais é de entrada, outro de entrada ou de saída, e outro ainda exclusivamente de saída. A aprendizagem das relações existentes entre as tensões e as correntes nos portos pode por vezes tornar a utilização inicial deste tipo de operacionais relativamente mais complexa, complexidade que no entanto é rapidamente compensada pela elevada gama de configurações e aplicações que possibilita. O TTC permite implementar de forma bastante simples conversores tensão e corrente, amplificadores de tensão e de corrente, seguidores de tensão e de corrente, amplificadores de instrumentação de tensão e de corrente, somadores de sinais em modo de corrente, integradores e diferenciadores de tensão e de corrente, filtros activos, conversores de impedâncias, etc. Pode mesmo dizerse que o transferidor de tensão e corrente estabelece um paradigma alternativo ao do AmpOp, naturalmente com as suas vantagens e os seus inconvenientes pontuais. Os TTCs apresentam duas vantagens principais relativamente aos AmpOps: uma maior funcionalidade, designadamente devido ao facto de disponibilizarem duas fontes controladas, uma de tensão e outra de corrente, e a natureza não realimentada da maioria dos circuitos que implementam as funções básicas. Estes dois factos acarretam um grande número de consequências ao nível prático, designadamente um menor número de componentes necessários nas montagens e a extrema simplicidade da análise respectiva. Tal como os AmpOps, os TTCs são construídos à base de transístores de junção bipolar ou de efeito de campo. As limitações intrínsecas destes dispositivos reflectem-se ao nível das propriedades aos terminais, atribuindo-lhes assim um conjunto de características não ideais cujo conhecimento é crucial durante as fases de projecto detalhado e de teste dos circuitos. Convém também salientar o facto de no mercado existirem transferidores de tensão e corrente cujas propriedades, número de terminais e designações são por vezes muito diferenciadas. Este facto pode por vezes conduzir os utilizadores a pensarem tratar-se de blocos distintos, sendo na realidade apenas variantes bem adaptadas à gama de aplicações visadas. Por exemplo, o TTC apresentado neste capítulo reflecte na íntegra as propriedades dos integrados comercializados pela empresa LTP-Electronics, designados por current-conveyor amplifiers, que no entanto apresentam um número de terminais inferior àquele dos circuitos integrados comercializados pela empresa MAXIM, designados por Wideband Transconductance Amplifiers. Convém ainda referir o facto de por vezes certas montagens serem passíveis de realização como uma mas não com outra das variantes comercializadas, facto que de certo modo limita a generalidade das montagens aqui introduzidas.

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16 Transferidor de Tensão-Corrente

1

Tradução do autor. À data da realização deste manual não se conheciam outras designações na Língua Portuguesa

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Transferidor de Tensão e Corrente

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Ao longo dos últimos anos têm vindo a ser introduzidos no mercado alguns blocos operacionais cuja funcionalidade é distinta daquela característica do AmpOp convencional. De entre estes operacionais destaca-se o Transferidor de Tensão e Corrente (TTC)1, cuja designação original em literatura anglo-saxónica é currentconveyor, leia-se transferidor ou transportador de corrente. O Transferidor de Tensão e Corrente caracteriza-se por um conjunto de propriedades cuja utilidade do ponto de vista prático não é em nada inferior àquela do AmpOp, senão mesmo superior. O TTC é basicamente constituído por três portos de acesso, um dos quais é de entrada, outro de entrada ou de saída, e outro ainda exclusivamente de saída. A aprendizagem das relações existentes entre as tensões e as correntes nos portos pode por vezes tornar a utilização inicial deste tipo de operacionais relativamente mais complexa, complexidade que no entanto é rapidamente compensada pela elevada gama de configurações e aplicações que possibilita. O TTC permite implementar de forma bastante simples conversores tensão e corrente, amplificadores de tensão e de corrente, seguidores de tensão e de corrente, amplificadores de instrumentação de tensão e de corrente, somadores de sinais em modo de corrente, integradores e diferenciadores de tensão e de corrente, filtros activos, conversores de impedâncias, etc. Pode mesmo dizer-se que o transferidor de tensão e corrente estabelece um paradigma alternativo ao do AmpOp, naturalmente com as suas vantagens e os seus inconvenientes pontuais. Os TTCs apresentam duas vantagens principais relativamente aos AmpOps: uma maior funcionalidade, designadamente devido ao facto de disponibilizarem duas fontes controladas, uma de tensão e outra de corrente, e a natureza não realimentada da maioria dos circuitos que implementam as funções básicas. Estes dois factos acarretam um grande número de consequências ao nível prático, designadamente um menor número de componentes necessários nas montagens e a extrema simplicidade da análise respectiva. Tal como os AmpOps, os TTCs são construídos à base de transístores de junção bipolar ou de efeito de campo. As limitações intrínsecas destes dispositivos reflectemse ao nível das propriedades aos terminais, atribuindo-lhes assim um conjunto de características não ideais cujo conhecimento é crucial durante as fases de projecto detalhado e de teste dos circuitos. Convém também salientar o facto de no mercado existirem transferidores de tensão e corrente cujas propriedades, número de terminais e designações são por vezes muito diferenciadas. Este facto pode por vezes conduzir os utilizadores a pensarem tratar-se de blocos distintos, sendo na realidade apenas variantes bem adaptadas à gama de aplicações visadas. Por exemplo, o TTC apresentado neste capítulo reflecte na íntegra as propriedades dos integrados comercializados pela empresa LTP-Electronics, designados por current-conveyor amplifiers, que no entanto apresentam um número de terminais inferior àquele dos circuitos integrados comercializados pela empresa

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14 Diportos Eléctricos 15 Amplificador Operacional 16 Transferidor de Tensão e Corrente APÊNDICE-A APÊNDICE-B

MAXIM, designados por Wideband Transconductance Amplifiers. Convém ainda referir o facto de por vezes certas montagens serem passíveis de realização como uma mas não com outra das variantes comercializadas, facto que de certo modo limita a generalidade das montagens aqui introduzidas.

1

Tradução do autor. À data da realização deste manual não se conheciam outras designações na Língua Portuguesa

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16.1 Transferidor Ideal

16.1 Transferidor Ideal

Um transferidor de tensão e corrente é basicamente um circuito que implementa duas fontes controladas, uma de tensão controlada por tensão e outra de corrente controlada por corrente (Figura 16.1). Um TTC é composto por três portos de acesso: um porto de entrada (porto-Y), um porto de entrada ou de saída (portoX) e um porto exclusivamente de saída (porto-Z).

Figura 16.1 Transferidor de tensão e corrente Os portos gozam das seguintes propriedades: (i) a corrente de entrada no porto-Y é nula, i =0; y

(ii) a tensão no porto-X segue a tensão aplicada no porto-Y (v =v ), definindo assim um x

y

curto-circuito virtual; (iii) a corrente no porto-Z é uma cópia daquela presente no porto-X (i =i ), sendo em alguns z

x

casos uma cópia amplificada por um factor k superior à unidade, tipicamente quatro ou oito. Estas três propriedades resumem-se na seguinte frase: a tensão aplicada ao porto-Y é transferida para o porto-X, cuja corrente é transferida para o porto-Z. A sequência de controlo entre portos é, portanto, a seguinte: o porto-Y controla o porto-X e este o porto-Z. Dado o maior número de fontes controladas implementadas, é de esperar que o transferidor de tensão e corrente transporte consigo um maior potencial de processamento de sinal quando comparado com o AmpOp convencional.

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16.2 Montagens Básicas

16.2 Montagens Básicas

Apesar da enorme variedade de circuitos que se podem realizar com TTCs, é possível distinguir seis configurações básicas que implementam outras tantas funções do processamento electrónico de sinais: o seguimento de tensão ou de corrente, a conversão de tensão em corrente ou de corrente em tensão, e a amplificação de tensão ou de corrente.

16.2.1 Seguidor de Tensão Considere-se na Figura 16.2 o esquema eléctrico de um seguidor de tensão implementado com base num TTC.

Figura 16.2 Seguidor de tensão De acordo com as propriedades estabelecidas para o TTC, a tensão no porto-X segue na íntegra a tensão aplicada no porto-Y, (16.1) exigindo-se apenas que o porto de saída em corrente (Z) se encontre ligado a um nó de baixa impedância (por exemplo a massa), por forma a garantir um caminho para a corrente por este fornecida.

16.2.2 Seguidor de Corrente O circuito representado na Figura 16.3 implementa um seguidor de corrente.

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16.2 Montagens Básicas

Figura 16.3 Seguidor de corrente As relações entre as tensões e as correntes nos três portos do transferidor são as seguintes: (16.2) imposta pela ligação à massa do porto-Y, e (16.3) neste caso definida pela fonte de corrente ligada ao porto-X. A extrema simplicidade deste circuito contrasta com a complexidade da montagem equivalente implementado com base em AmpOps.

16.2.3 Conversor de Tensão em Corrente Considere-se na Figura 16.4 o esquema eléctrico de um circuito conversor de tensão em corrente.

Figura 16.4 Conversor de tensão em corrente Neste caso, a tensão é inicialmente transferida do porto-Y para o porto-X, seguidamente é convertida numa corrente através da resistência externa ligada ao porto-X e, finalmente, é replicada para o porto-Z. Assim,

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16.2 Montagens Básicas

(16.4)

16.2.4 Conversor de Corrente em Tensão Um conversor de corrente em tensão implementa-se como se indica na Figura 16.5.

Figura 16.5 Conversor de corrente em tensão Trata-se apenas de converter para tensão a corrente aplicada na entrada (16.5) e seguidamente transferi-la para o porto-X (16.6)

16.2.5 Amplificador de Corrente O circuito representado na Figura 16.6 implementa um amplificador de corrente cujo ganho é definido pelo cociente entre as duas resistências R1 e R2.

Figura 16.6 Amplificador de corrente A função destes dois componentes externos é a seguinte: a resistência R1 converte para tensão a corrente da fonte de sinal, http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_16/montb_16.htm (3 of 5)06-06-2005 12:35:55

16.2 Montagens Básicas

(16.7) a resistência R2 converte para corrente a tensão transferida do porto-Y para o porto-X

(16.8)

corrente que é finalmente transferida para porto-Z. A simplicidade deste circuito contrasta com a complexidade do equivalente implementado com base em AmpOps.

16.2.6 Amplificador de Tensão A realização de um amplificador de tensão exige a utilização de dois transferidores de tensão e corrente (Figura 16.7): o primeiro para implementar a conversão para corrente do sinal em tensão na entrada, e o segundo para efectuar a sua reconversão para tensão.

Figura 16.7 Amplificador de tensão Referindo ao circuito representado na Figura 16.7, verifica-se que a corrente na saída do primeiro transferidor é

(16.9)

a qual é seguidamente convertida para tensão pela resistência R2 e transferida para o porto-X2 de acordo com as relações

(16.10)

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16.2 Montagens Básicas

Como se pode constatar, a realização de um amplificador de tensão com base em TTCs é menos eficiente que a solução equivalente implementada a partir de ampops. Este resultado deve-se ao facto de o ampop ser em si um amplificador de tensão, ao contrário do TTC que implementa apenas um seguidor de tensão.

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16.3 Circuitos com Transferidores

16.3 Circuitos com Transferidores

Para além das montagens básicas introduzidas, o transferidor de tensão e corrente pode ser utilizado numa gama muito variada de aplicações de processamento de sinais, designadamente amplificadores de instrumentação, somadores de sinais em modo de corrente, integradores e diferenciadores em modo de corrente ou de tensão, conversores de impedâncias, filtros activos, etc. De seguida resumem-se algumas das aplicações mais comuns do transferidor.

16.3.1 Amplificador Diferencial Na Figura 16.8 apresentam-se dois circuitos que implementam, respectivamente, um conversor de tensão em corrente e um amplificador de tensão, ambos de instrumentação.

Figura 16.8 Conversor de tensão em corrente (a) e amplificador de tensão de instrumentação (b) Em qualquer dos dois circuitos a corrente na resistência R1 é dada pelo cociente

(16.11)

a qual de acordo com as propriedades do TTC é transferida para os portos-Z de saída. No caso particular do amplificador de tensão, Figura 16.8.b, a resistência R2 e o transferidor a jusante implementam, respectivamente, a conversão corrente-tensão e a transferência respectiva para o porto-X. Quando comparada com a montagem equivalente realizada a partir de AmpOps convencionais (veja-se o amplificador de instrumentação estudado no capítulo anterior), constata-se que a alternativa TTC requer um número bastante inferior de componentes externos.

16.3.2 Somador http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_16/circtran.htm (1 of 8)06-06-2005 12:35:58

16.3 Circuitos com Transferidores

A adição de sinais em modo de corrente pode ser efectuada recorrendo a qualquer um dos dois circuitos representados na Figura 16.9. No primeiro caso adicionam-se as correntes directamente no porto-X de entrada, ao passo que no segundo se efectua a adição dos fluxos de saída de múltiplos portos-Z. As ligações a tracejado indicam a possibilidade de os transferidores poderem encontrar-se ligados nas configurações de seguidor de corrente ou de conversor tensão e corrente, podendo assim efectuar a soma mista de sinais em modo de corrente e em modo de tensão.

Figura 16.9 Somador

16.3.3 Integradores de Corrente e de Tensão O transferidor de tensão e corrente permite implementar as funções de integração e de diferenciação em modo de tensão e em modo de corrente. Na Figura 16.10 representam-se dois circuitos que implementam as funções de integração em modo de corrente (a) e em modo de tensão (b).

Figura 16.10 Integradores de corrente (a) e de tensão (b) No circuito em (a), a tensão aplicada no porto-Y é transferida para o porto-X,

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16.3 Circuitos com Transferidores

(16.12)

de onde resultam as correntes nos portos-X e -Z

(16.13)

na notação de Laplace, ou então

(16.14)

no domínio do tempo. Ao contrário do integrador com AmpOps, este circuito disponibiliza o resultado sob a forma de uma corrente. O circuito alternativo representado na Figura 16.10.b implementa um integrador em modo de tensão. Neste caso, a tensão na entrada é primeiramente transferida para o porto-X; seguidamente é convertida para o modo de corrente pela resistência R e transferida para o porto-Z do primeiro TTC

(16.15)

e finalmente é integrada pelo condensador (C) e transferida no modo de tensão para o porto-X do segundo TTC,

(16.16)

No domínio do tempo a expressão (16.16) corresponde à relação integral

(16.17)

16.3.4 Diferenciadores de Corrente e de Tensão Nas Figuras 16.11.a e 16.11.b representam-se dois circuitos diferenciadores, um de corrente, (a), e outro de tensão, (b). Considere-se primeiramente o circuito diferenciador de corrente. O fluxo do sinal é o seguinte: conversão da corrente em tensão pela resistência R; transferência para o porto-X derivação com conversão para o

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16.3 Circuitos com Transferidores

modo de corrente pelo condensador C; e, finalmente, transferência para o porto-Z de saída.

Figura 16.11 Diferenciadores de corrente (a) e de tensão (b) Assim, (16.18) que no domínio do tempo corresponde a

(16.19)

No que respeita ao circuito diferenciador de tensão, Figura 16.11.b, pode facilmente demonstrar-se que (16.20) e

(16.21)

respectivamente na notação de Laplace e no domínio do tempo.

16.3.5 Conversores de Impedâncias A função de um conversor de impedâncias é alterar o valor nominal aparente de um componente, por exemplo trocar o sinal de uma resistência ou simular a característica tensão e corrente de uma bobina. Na Figura 16.12 representam-se dois circuitos que implementam uma resistência negativa.

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16.3 Circuitos com Transferidores

Figura 16.12 Resistência negativa No primeiro caso, Figura 16.12.a, a tensão no porto-X é imposta pelo porto-Y ao valor (16.22) a qual indica tratar-se de uma resistência negativa,

(16.23)

À semelhança do resultado anterior, é fácil verificar que no caso do circuito representado na Figura 16.12.b

(16.24)

igualdade na qual se inscreve a resistência negativa

(16.25)

O princípio apenas introduzido pode ser utilizado na simulação da característica tensão e corrente de uma bobina. Considere-se então o circuito representado na Figura 16.13, constituído por três blocos transferidores e diversas resistências e condensadores.

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16.3 Circuitos com Transferidores

Figura 16.13 Bobina com um terminal ligado à massa Uma vez que a impedância de entrada do circuito é dada pelo cociente

(16.26)

verifica-se então que

(16.27)

ou ainda (16.28) Do ponto de vista funcional, o circuito representado na Figura 16.13 é equivalente a uma bobina cujo coeficiente de auto-indução é L=CR1R2, tendo no entanto um dos seus terminais ligado à massa.

16.3.6 Filtros Activos O transferidor de tensão e corrente permite realizar filtros eléctricos nos modos de corrente, de tensão e misto. Em face da grande variedade de estruturas de filtros possíveis, esta secção limita-se apenas a indicar algumas das arquitecturas existentes. Na Figura 16.14 consideram-se três filtros com funções de transferência variadas: em (a) um filtro passa-alto de primeira ordem em modo misto de tensão e corrente; em (b) um filtro passa-banda de segunda ordem em modo de tensão; e, finalmente, em (c) um filtro passa-baixo de segunda ordem em modo de corrente.

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16.3 Circuitos com Transferidores

Figura 16.14 Filtros activos de 1.ª ordem passa-alto (a), de 2.ª ordem passa-banda (b) e de 2.ª ordem passa-baixo (c) No primeiro filtro a função de transferência é

(16.29)

a qual indica tratar-se de um filtro passa-alto com um zero na origem e um pólo à frequência ω =1/RC. p

A função de transferência do filtro passa-banda (Figura 16.13.b) obtém-se a partir do sistema de equações

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_16/circtran.htm (7 of 8)06-06-2005 12:35:58

16.3 Circuitos com Transferidores

(16.30)

as quais resultam da aplicação da Lei de Kirchhoff das correntes ao nó do condensador C1, ao nó de saída, Vo, e ao porto-X do transferidor-1, respectivamente. O cociente entre as tensões nos portos de saída e de entrada do filtro é neste caso

(16.31)

Finalmente, o filtro em modo misto de tensão e corrente representado na Figura 16.14.c apresenta uma função de transferência do tipo passa-baixo de segunda ordem,

(16.32)

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_16/circtran.htm (8 of 8)06-06-2005 12:35:58

16.4 Parâmetros Reais dos Transferidores

16.4 Parâmetros Reais dos Transferidores

Os transferidores de tensão e corrente reais caracterizam-se por um conjunto de parâmetros que degradam de forma irreversível o desempenho idealizado. Os parâmetros que do ponto de vista prático mais interessam os projectistas são as resistências de entrada ou de saída dos três portos de acesso, os coeficientes de transferência de tensão-tensão e de corrente-corrente entre portos, a frequência máxima de operação, e as tensões e correntes de desvio e de polarização nos portos.

16.4.1 Erros de Transferência e Resistências de Entrada e de Saída Na Figura 16.15 apresenta-se um modelo do transferidor de tensão e corrente mais consentâneo com a realidade.

Figura 16.15 Modelo eléctrico do transferidor de tensão e corrente De acordo com este modelo, os três portos de acesso caracterizam-se pelos seguintes parâmetros: (i) a resistência de entrada do porto-Y é finita, tipicamente alguns MΩ; (ii) a resistência de saída da fonte de tensão controlada no porto-X não é nula, sendo tipicamente da ordem de algumas décimas a unidades de ohm; (iii) a resistência de saída da fonte de corrente controlada no porto-Z não é infinita, sendo mesmo em alguns casos apenas algumas unidades de kΩ; (iv) os coeficientes de transferência entre portos não são exactamente unitários, apresentando em geral erros que podem ascender a 1%. Considere-se então na Figura 16.16 o exemplo de um circuito conversor de tensão em corrente cujo TTC se caracteriza pelo modelo não ideal apenas introduzido (Figura 16.16.b).

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_16/paratran.htm (1 of 3)06-06-2005 12:35:59

16.4 Parâmetros Reais dos Transferidores

Figura 16.16 Conversor de tensão em corrente De acordo com este pressuposto, a função de transferência do circuito é afectado por múltiplos erros, designadamente: (i) um erro de acoplamento entre a fonte de sinal e o porto-Y; (ii) um erro induzido pela resistência de saída do porto-X; (iii) um erro induzido pelo divisor de corrente no porto-Z; (iv) erros de transferência entre portos, nomeadamente entre o porto-Y e o porto-X, e entre este e o porto-Z. Tendo em conta o esquema eléctrico representado na Figura 16.16.b, pode facilmente demonstrar-se que o cociente entre a corrente na carga e a tensão na entrada é

(16.33)

o qual naturalmente difere do valor ideal 1/R1. Admitindo valores típicos para os parâmetros do http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_16/paratran.htm (2 of 3)06-06-2005 12:35:59

16.4 Parâmetros Reais dos Transferidores

transferidor, por exemplo R =100 kΩ, R =10 Ω, R =1 MΩ e ε =ε =0.01, em conjunto com uma iy

ox

oz

x

y

resistência de conversão R1=1 kΩ, uma fonte de sinal de 600 Ω e uma carga de 600 Ω, obtém-se

mS

(16.34)

em contraste com valor ideal de 1 mS. O erro de conversão resulta da ordem de 2.5%.

16.4.2 Erros de Desvio e de Polarização O desempenho dos transferidores de tensão e corrente é também limitado por um conjunto de parâmetros conhecidos como erros de desvio e de polarização. Os erros de desvio são geralmente aleatórios de integrado para integrado e dependem do melhor ou pior emparelhamento entre os transístores no seu interior. Os TTC são em geral dotados de um terminal de ajuste do erro de desvio. Os erros de desvio tanto podem ser de corrente como de tensão. Por exemplo, existem transferidores de tensão e corrente que debitam uma corrente de desvio da ordem dos 30 µA no porto-Z quando se impõe a igualdade v =v =0, e x

y

apresentam uma corrente nula quando entre os portos-Y e -X se aplica uma tensão de alguns mV. No primeiro caso trata-se da corrente de desvio do porto-Z, ao passo que no segundo se trata da tensão de desvio entre os portos-Y e -X. Ao contrário dos anteriores, os erros de polarização devem-se essencialmente ao facto de os transístores bipolares exigirem uma corrente não nula na base. Como tal, a principal consequência deste facto é a presença de uma corrente não nula no porto-Y, independentemente da existência ou não de sinal aplicado. Em alguns dos integrados existentes no mercado estas correntes podem atingir as dezenas de µA.

16.4.3 Largura de Banda A largura de banda é o principal parâmetro que limita o desempenho em frequência dos TTC. A largura de banda neste tipo de operacionais é em geral especificada através da frequência a partir da qual os coeficientes de transferência entre portos se reduzem a 1/√ 2 (-3 dB) do seu valor máximo. De acordo com esta definição, existem no mercado transferidores de tensão e corrente cuja largura de banda ascende a várias centenas de MHz, tipicamente 100 a 250 MHz.

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_16/paratran.htm (3 of 3)06-06-2005 12:35:59

Sumário

Sumário

O transferidor de tensão e corrente constitui um bloco operacional alternativo ao AmpOp. O transferidor ideal implementa duas fontes controladas: uma de tensão controlada por tensão e outra de corrente controlada por corrente. Dado o maior número de fontes controladas implementadas, o transferidor de tensão e corrente apresenta-se como um bloco operacional cuja versatilidade é comparável, senão mesmo superior, à do AmpOp. O transferidor permite realizar conversores de tensão em corrente e de corrente em tensão, amplificadores de tensão e de corrente, seguidores de tensão e de corrente, amplificadores de instrumentação de tensão e de corrente, somadores, integradores e diferenciadores em modo de tensão e em modo de corrente, filtros, conversores de impedâncias, etc.

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_16/sumar_16.htm06-06-2005 12:36:00

Exercícios de Aplicação

Exercícios de Aplicação

*16.1 Considere os circuitos representados na Figura E16.1. No caso representado em: (a) determine a relação entre a corrente i e a tensão e a corrente v e i o

s

s

(b) determine a relação entre a corrente v e as tensões v 1, v 2 … v no o

s

s

sk

(c) determine a relação entre a corrente i e a palavra digital inscrita nos bit b1, b2, b3 e b4. o

(d) determine a relação entre a corrente i e a tensão v . o

s

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Exercícios de Aplicação

Figura E16.1 *16.2 Considere os dois circuitos representados na Figura E16.2. Mostre que entre as tensões v e v e entre as o

s

correntes i e i existe uma relação de integração. o

s

Figura E16.2 *16.3 Mostre que entre as tensões v e v e entre as correntes i e i nos circuitos representados na Figura E16.3 o

s

o

existe uma relação de diferenciação.

Figura E16.3

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_16/exapl_16.htm (2 of 5)06-06-2005 12:36:01

s

Exercícios de Aplicação

*16.4 Mostre que do ponto de vista dos terminais de entrada indicados o circuito representado na Figura E16.4 implementa um conversor negativo de impedâncias, isto é, Z =-Z. i

Figura E16.4 *16.5 Considere os dois circuitos representados na Figura E16.5: (a) mostre que as impedâncias de entrada indicadas (Z ) são dadas pelas expressões Z =-Z1Z2/Z3 e Z =Z1Z2/Z3 respectivamente; (b) mostre que no caso em i

i

i

que Z1=R1, Z2=R2 e Z3=1/sC os dois circuitos implementam bobinas cujos valores nominais são, respectivamente, L=-R1R2C e L=R1R2C; (c) mostre que no caso em que Z1=1/sC, Z2=R2 e Z3=R3 os dois circuitos implementam resistências cujo valor nominal depende do quadrado da frequência angular.

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_16/exapl_16.htm (3 of 5)06-06-2005 12:36:01

Exercícios de Aplicação

Figura E16.5 *16.6 Mostre que no circuito da Figura E16.6 a função de transferência V (s)/V (s) implementa um filtro passao

s

baixo de segunda ordem.

Figura E16.6 *16.7 A empresa MAXIM comercializa dois circuitos integrados designados por wideband transconductance amplifiers que na prática implementam funções semelhantes às do transferidor de tensão-corrente introduzidos ao longo deste capítulo. Nas Figuras E16.7.a e E16.7.b indicam-se os símbolos e as relações entre as variáveis tensão e corrente eléctrica aos terminais do circuito. De acordo com estes pressupostos, determine para cada um dos circuitos representados nas Figuras E16.7.c a E.16.7.g qual a função implementada e a relação ou função de transferência entre as grandezas indicadas.

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_16/exapl_16.htm (4 of 5)06-06-2005 12:36:01

Exercícios de Aplicação

Figura E16.7

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_16/exapl_16.htm (5 of 5)06-06-2005 12:36:01

APÊNDICE-A

APÊNDICE-A

Código de Identificação de Resistências A informação relativa ao valor nominal e à tolerância de uma resistência discreta encontra-se regra geral gravada no invólucro sob a forma de números, bandas ou pontos coloridos. No entanto, de todos estes três sistemas alternativos o das bandas coloridas é aquele de maior divulgação entre os fabricantes de componentes, em particular nas resistências de aglomerado de grafite, vulgo de carvão. O código de cores varia conforme as resistências sejam normais ou de precisão: as resistências normais são codificadas com quatro bandas, ao passo que as de precisão são codificadas com base num código de cinco bandas. O significado de cada banda é indicado nas Tabelas A3.1 e A3.2. Convém notar que a mesma cor pode ter significados diferentes consoante a resistência seja de precisão ou normal. Nas resistências normais, o significado de cada banda é o seguinte: ● ●

●

a 1ª e a 2ª bandas indicam os dois primeiros algarismos do valor nominal da resistência, N1 e N2; a 3ª banda indica o factor multiplicativo do valor nominal da resistência, que pode ser 10-2, 10-1, 1, 10, 100, . . ., 109; a 4ª banda indica a tolerância do valor nominal da resistência, a qual pode tomar valores típicos de 1%, 2%, 5%, 10% e 20%. COR

1ª BANDA 2ª BANDA 3ª BANDA 4ª BANDA

preto

-

0

1

-

castanho 1

1

10

± 1%

vermelho 2

2

102

± 2%

laranja

3

3

103

-

amarelo 4

4

104

-

verde

5

5

105

-

azul

6

6

106

-

violeta

7

7

107

-

cinzento 8

8

-

-

branco

9

9

-

-

prata

-

-

10-2

± 5%

ouro

-

-

10-1

± 10%

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/apend_a/apend_a.htm (1 of 4)06-06-2005 12:36:02

APÊNDICE-A

-

-

-

± 20%

-

Tabela A3.1 Código de cores das resistências normais (4 bandas) Na Figura A3.1 apresenta-se o exemplo de uma resistência normal cujas bandas apresentam as seguintes cores: 1ª banda: verde (5) 2ª banda: azul (6) 3ª banda: vermelho (2 => 102) 4ª banda: dourado (10%)

Figura A3.1 Resistência de carvão de normal Estas bandas codificam a informação relativa a uma resistência de 5,6 kΩ e 10% de tolerância, portanto com um valor nominal compreendido entre 5,04 kΩ e 6,16 kΩ. COR

1ª BANDA 2ª BANDA 3ª BANDA 4ª BANDA 5ª BANDA

preto

-

0

0

1

-

castanho 1

1

1

10

± 1%

vermelho 2

2

2

102

± 2%

laranja

3

3

3

103

-

amarelo 4

4

4

104

-

verde

5

5

5

105

± 0.5%

azul

6

6

6

106

-

violeta

7

7

7

107

-

cinzento 8

8

8

-

-

branco

9

9

-

-

9

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/apend_a/apend_a.htm (2 of 4)06-06-2005 12:36:02

APÊNDICE-A

prata

-

-

-

10-2

-

ouro

-

-

-

10-1

± 5%

-

-

-

-

-

-

Tabela A3.2 Código de cores das resistências de precisão (5 bandas) Nas resistências de precisão o significado de cada uma das cinco bandas é o seguinte: ●

●

●

a 1ª, 2ª e 3ª bandas indicam os três primeiros algarismos do valor nominal da resistência, N1, N2 e N3, respectivamente; a 4ª banda indica o factor multiplicativo do valor nominal da resistência, que pode ser 10-2, 10-1, 1, 10, 100, . . ., 109; a 5ª banda indica a tolerância do valor nominal da resistência, que neste caso pode ser 0.5%, 1%, 2% e 5%.

Na Figura A.3.2 apresenta-se o exemplo de uma resistência de precisão cujas bandas apresentam as seguintes cores: 1ª banda: castanho (1) 2ª banda: preto (0) 3ª banda: preto (0) 4ª banda: castanho (1 => 101) 5ª banda: dourado (5%)

Figura A3.2 Resistência de carvão de precisão normal Trata-se assim de uma resistência de 1 kΩ e 5% de tolerância. Na Tabela A3.3 indica-se a gama completa dos valores nominais estandardizados para as resistências de carvão. A chave para a interpretação da tabela é a seguinte: http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/apend_a/apend_a.htm (3 of 4)06-06-2005 12:36:02

APÊNDICE-A

(i) a gama com tolerância de 5% existe para todos os valores indicados; (ii) a gama com tolerância de 10% só existe para os valores sublinhados; (iii) a gama com tolerância de 20% só existe para os valores a cheio. OHMS

KILO OHMS MEGA OHMS

0.1 1.0 10 100 1.0 10 100

1.0

10

0.11 1.1 11 110 1.1 11 110

1.1

11

0.12 1.2 12 120 1.2 12 120

1.2

12

0.13 1.3 13 130 1.3 13 130

1.3

13

0.15 1.3 13 130 1.3 13 130

1.3

13

0.16 1.6 16 160 1.6 16 160

1.6

16

0.18 1.8 18 180 1.8 18 180

1.8

18

0.20 2.0 20 200 2.0 20 200

2.0

20

0.22 2.2 22 220 2.2 22 220

2.2

22

0.24 2.4 24 240 2.4 24 240

2.4

-

0.27 2.7 27 270 2.7 27 270

2.7

-

0.30 3.0 30 300 3.0 30 300

3.0

-

0.33 3.3 33 330 3.3 33 330

3.3

-

0.36 3.6 36 360 3.6 36 360

3.6

-

0.39 3.9 39 390 3.9 39 390

3.9

-

0.43 4.3 43 430 4.3 43 430

4.3

-

0.47 4.7 47 470 4.7 47 470

4.7

-

0.51 5.1 51 510 5.1 51 510

5.1

-

0.56 5.6 56 560 5.6 56 560

5.6

-

0.62 6.2 62 620 6.2 62 620

6.2

-

0.68 6.8 68 680 6.8 68 680

6.8

-

0.75 7.5 75 750 7.5 75 750

7.5

-

0.82 8.2 82 820 8.2 82 820

8.2

-

0.91 9.1 91 910 9.1 91 910

9.1

-

Tabela A3.3 Gama completa de resistências de carvão

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Sebenta Multimédia de Análise de Circuitos Eléctricos

APÊNDICE-A

Código de Identificação de Resistências Sebenta Multimédia 1 Grandezas Eléctricas 2 Componentes Fundamentais dos Circuitos Eléctricos 3 Resistência Eléctrica 4 Leis de Kirchhoff 5 Métodos de Análise Sistemática de Circuitos 6 Teoremas Básicos dos Circuitos Eléctricos 7 Condensador e Capacidade Eléctrica 8 Bobina e Indutância Electromagnética 9 Análise de Circuitos RC e RL de 1.ª Ordem 10 Análise de Circuitos RC, RL e RLC de 2.ª Ordem 11 Impedância Eléctrica 12 Análise da Resposta em Frequência 13 Bobinas Acopladas e Transformadores

A informação relativa ao valor nominal e à tolerância de uma resistência discreta encontra-se regra geral gravada no invólucro sob a forma de números, bandas ou pontos coloridos. No entanto, de todos estes três sistemas alternativos o das bandas coloridas é aquele de maior divulgação entre os fabricantes de componentes, em particular nas resistências de aglomerado de grafite, vulgo de carvão. O código de cores varia conforme as resistências sejam normais ou de precisão: as resistências normais são codificadas com quatro bandas, ao passo que as de precisão são codificadas com base num código de cinco bandas. O significado de cada banda é indicado nas Tabelas A3.1 e A3.2. Convém notar que a mesma cor pode ter significados diferentes consoante a resistência seja de precisão ou normal. Nas resistências normais, o significado de cada banda é o seguinte: ●

●

●

a 1ª e a 2ª bandas indicam os dois primeiros algarismos do valor nominal da resistência, N1 e N2; a 3ª banda indica o factor multiplicativo do valor nominal da resistência, que pode ser 10-2, 10-1, 1, 10, 100, . . ., 109; a 4ª banda indica a tolerância do valor nominal da resistência, a qual pode tomar valores típicos de 1%, 2%, 5%, 10% e 20%. COR

1ª BANDA 2ª BANDA 3ª BANDA 4ª BANDA

preto

-

0

1

-

castanho 1

1

10

± 1%

vermelho 2

2

102

± 2%

laranja

3

3

103

-

amarelo 4

4

104

-

verde

5

5

105

-

azul

6

6

106

-

violeta

7

7

107

-

cinzento 8

8

-

-

branco

9

9

-

-

prata

-

-

10-2

± 5%

ouro

-

-

10-1

± 10%

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Sebenta Multimédia de Análise de Circuitos Eléctricos

14 Diportos Eléctricos 15 Amplificador Operacional 16 Transferidor de Tensão e Corrente APÊNDICE-A APÊNDICE-B

-

-

-

± 20%

-

Tabela A3.1 Código de cores das resistências normais (4 bandas) Na Figura A3.1 apresenta-se o exemplo de uma resistência normal cujas bandas apresentam as seguintes cores: 1ª banda: verde (5) 2ª banda: azul (6) 3ª banda: vermelho (2 => 102) 4ª banda: dourado (10%)

Figura A3.1 Resistência de carvão de normal Estas bandas codificam a informação relativa a uma resistência de 5,6 kΩ e 10% de tolerância, portanto com um valor nominal compreendido entre 5,04 kΩ e 6,16 kΩ. COR

1ª BANDA 2ª BANDA 3ª BANDA 4ª BANDA 5ª BANDA

preto

-

0

0

1

-

castanho 1

1

1

10

± 1%

vermelho 2

2

2

102

± 2%

laranja

3

3

3

103

-

amarelo 4

4

4

104

-

verde

5

5

5

105

± 0.5%

azul

6

6

6

106

-

violeta

7

7

7

107

-

cinzento 8

8

8

-

-

branco

9

9

9

-

-

prata

-

-

-

10-2

-

ouro

-

-

-

10-1

± 5%

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Sebenta Multimédia de Análise de Circuitos Eléctricos

-

-

-

-

-

-

Tabela A3.2 Código de cores das resistências de precisão (5 bandas) Nas resistências de precisão o significado de cada uma das cinco bandas é o seguinte: ●

●

●

a 1ª, 2ª e 3ª bandas indicam os três primeiros algarismos do valor nominal da resistência, N1, N2 e N3, respectivamente; a 4ª banda indica o factor multiplicativo do valor nominal da resistência, que pode ser 10-2, 10-1, 1, 10, 100, . . ., 109; a 5ª banda indica a tolerância do valor nominal da resistência, que neste caso pode ser 0.5%, 1%, 2% e 5%.

Na Figura A.3.2 apresenta-se o exemplo de uma resistência de precisão cujas bandas apresentam as seguintes cores: 1ª banda: castanho (1) 2ª banda: preto (0) 3ª banda: preto (0) 4ª banda: castanho (1 => 101) 5ª banda: dourado (5%)

Figura A3.2 Resistência de carvão de precisão normal Trata-se assim de uma resistência de 1 kΩ e 5% de tolerância. Na Tabela A3.3 indica-se a gama completa dos valores nominais estandardizados para as resistências de carvão. A chave para a interpretação da tabela é a seguinte: (i) a gama com tolerância de 5% existe para todos os valores indicados; (ii) a gama com tolerância de 10% só existe para os valores sublinhados; http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/apend_a/smace_a.htm (3 of 4)06-06-2005 12:36:04

Sebenta Multimédia de Análise de Circuitos Eléctricos

(iii) a gama com tolerância de 20% só existe para os valores a cheio. OHMS

KILO OHMS MEGA OHMS

0.1 1.0 10 100 1.0 10 100

1.0

10

0.11 1.1 11 110 1.1 11 110

1.1

11

0.12 1.2 12 120 1.2 12 120

1.2

12

0.13 1.3 13 130 1.3 13 130

1.3

13

0.15 1.3 13 130 1.3 13 130

1.3

13

0.16 1.6 16 160 1.6 16 160

1.6

16

0.18 1.8 18 180 1.8 18 180

1.8

18

0.20 2.0 20 200 2.0 20 200

2.0

20

0.22 2.2 22 220 2.2 22 220

2.2

22

0.24 2.4 24 240 2.4 24 240

2.4

-

0.27 2.7 27 270 2.7 27 270

2.7

-

0.30 3.0 30 300 3.0 30 300

3.0

-

0.33 3.3 33 330 3.3 33 330

3.3

-

0.36 3.6 36 360 3.6 36 360

3.6

-

0.39 3.9 39 390 3.9 39 390

3.9

-

0.43 4.3 43 430 4.3 43 430

4.3

-

0.47 4.7 47 470 4.7 47 470

4.7

-

0.51 5.1 51 510 5.1 51 510

5.1

-

0.56 5.6 56 560 5.6 56 560

5.6

-

0.62 6.2 62 620 6.2 62 620

6.2

-

0.68 6.8 68 680 6.8 68 680

6.8

-

0.75 7.5 75 750 7.5 75 750

7.5

-

0.82 8.2 82 820 8.2 82 820

8.2

-

0.91 9.1 91 910 9.1 91 910

9.1

-

Tabela A3.3 Gama completa de resistências de carvão

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APÊNDICE-B

APÊNDICE-B

Matrizes e Determinantes B.1 Matrizes Uma matriz é um agregado de números, coeficientes ou funções dispostos em linhas e colunas

(B.1)

os quais são designados por elementos da matriz e representados por a . Os índices i e j indicam, ij

respectivamente, a linha e a coluna em que o elemento a se encontra na matriz. ij

Uma matriz com m linhas e n colunas é dita rectangular de ordem (m*n), ao passo que uma matriz na qual m=n é dita quadrada. Uma matriz com uma só coluna é designada por vector coluna

(B.2)

e uma matriz com uma só linha é designada por vector linha (B.3) As matrizes cujos elementos verificam a igualdade a =a são designadas por simétricas. ij

ji

As matrizes da mesma ordem podem ser somadas ou subtraídas elemento a elemento

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APÊNDICE-B

(B.4)

operações que verificam seja a propriedade da comutatividade A+B=B+A

(B.5)

seja a da associatividade (A + B) + C = A + (B + C)

(B.6)

O produto de matrizes só é possível nos casos em que estas verificam a relação entre ordens C(m*n) = A(m*r) * B(r*n)

(B.7)

isto é, a matriz A possui o mesmo número de colunas que o número de linhas da matriz B, tendo a matriz produto, C, um número de linhas e de colunas igual a, respectivamente, o número de linhas da matriz A e o número de colunas da matriz B. O produto de duas matrizes efectua-se de acordo com a seguinte regra:

(B.8)

é equivalente a p = a11x + a12y + a13z

(B.9)

q = a21x + a22y + a23z

(B.10)

r = a31x + a32y + a33z

(B.11)

B.2 Determinantes Um determinante é um agregado de números, coeficientes ou funções dispostos em linhas e colunas e é utilizado na resolução de sistemas de equações,

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APÊNDICE-B

(B.12)

Por exemplo, os determinantes das matrizes de ordem (2*2) e (3*3) são dados por

(B.13)

e por

(B.14)

respectivamente. Em geral, a expressão do determinante de uma matriz (n*n) é obtido a partir do cálculo dos cofactores e dos menores. O menor m é o determinante de uma matriz à qual foram retiradas a linha i e ij

a coluna j. Por exemplo, no caso do determinante de uma matriz (3*3), os menores m11, m12 e m13 são dados por

(B.15)

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APÊNDICE-B

(B.16)

(B.17)

respectivamente. Por outro lado, os cofactores C são dados por ij

(i+j)

C = (-1) ij

m

ij

(B.18)

A regra de cálculo do determinante de uma matriz (n*n) é

(B.19)

em que j é uma qualquer das n colunas da matriz. Por exemplo, no caso de uma matriz (3*3) ∆ = a11c11 + a21c21 + a31c31 = a11 ( a22a33 - a32a23)(-1)2 + a21(a12a33 - a32a13)(-1)3 + a31(a12a23 - a22a13)(-1)4

Um sistema de n equações a n variáveis

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(B.20)

APÊNDICE-B

v 1 = a11i1 + a12i2 + . . . + a1 i s

nn

v 2 = a21i1 + a22i2 + . . . + a2 i s

nn

(B.21)

... ... ... ... v = a 1i1 + a 2i2 + . . . + a i sn

n

n

nn n

pode ser representado com base numa relação matricial

(B.22)

As expressões das soluções i do sistema são dadas pela regra de Cramer i

(B.23)

em que ∆ representa o determinante da matriz quando a coluna i é substituída pelo vector coluna [v ]. Por i

s

exemplo, considerando o caso particular de um sistema de três equações, as soluções i1, i2 e i3 são dadas por

(B.24)

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APÊNDICE-B

(B.25)

(B.26)

respectivamente.

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Sebenta Multimédia de Análise de Circuitos Eléctricos

APÊNDICE-B

Matrizes e Determinantes Sebenta Multimédia 1 Grandezas Eléctricas 2 Componentes Fundamentais dos Circuitos Eléctricos 3 Resistência Eléctrica 4 Leis de Kirchhoff 5 Métodos de Análise Sistemática de Circuitos 6 Teoremas Básicos dos Circuitos Eléctricos 7 Condensador e Capacidade Eléctrica 8 Bobina e Indutância Electromagnética 9 Análise de Circuitos RC e RL de 1.ª Ordem 10 Análise de Circuitos RC, RL e RLC de 2.ª Ordem 11 Impedância Eléctrica 12 Análise da Resposta em Frequência 13 Bobinas Acopladas e Transformadores 14 Diportos Eléctricos 15 Amplificador

B.1 Matrizes Uma matriz é um agregado de números, coeficientes ou funções dispostos em linhas e colunas

(B.1)

os quais são designados por elementos da matriz e representados por a . Os índices i e j ij

indicam, respectivamente, a linha e a coluna em que o elemento a se encontra na matriz. ij

Uma matriz com m linhas e n colunas é dita rectangular de ordem (m*n), ao passo que uma matriz na qual m=n é dita quadrada. Uma matriz com uma só coluna é designada por vector coluna

(B.2)

e uma matriz com uma só linha é designada por vector linha (B.3) As matrizes cujos elementos verificam a igualdade a =a são designadas por simétricas. ij

ji

As matrizes da mesma ordem podem ser somadas ou subtraídas elemento a elemento

(B.4)

operações que verificam seja a propriedade da comutatividade

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Sebenta Multimédia de Análise de Circuitos Eléctricos

Operacional 16 Transferidor de Tensão e Corrente APÊNDICE-A APÊNDICE-B

A+B=B+A

(B.5)

seja a da associatividade (A + B) + C = A + (B + C)

(B.6)

O produto de matrizes só é possível nos casos em que estas verificam a relação entre ordens C(m*n) = A(m*r) * B(r*n)

(B.7)

isto é, a matriz A possui o mesmo número de colunas que o número de linhas da matriz B, tendo a matriz produto, C, um número de linhas e de colunas igual a, respectivamente, o número de linhas da matriz A e o número de colunas da matriz B. O produto de duas matrizes efectua-se de acordo com a seguinte regra:

(B.8)

é equivalente a p = a11x + a12y + a13z

(B.9)

q = a21x + a22y + a23z

(B.10)

r = a31x + a32y + a33z

(B.11)

B.2 Determinantes Um determinante é um agregado de números, coeficientes ou funções dispostos em linhas e colunas e é utilizado na resolução de sistemas de equações,

(B.12)

Por exemplo, os determinantes das matrizes de ordem (2*2) e (3*3) são dados por

(B.13)

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Sebenta Multimédia de Análise de Circuitos Eléctricos

e por

(B.14)

respectivamente. Em geral, a expressão do determinante de uma matriz (n*n) é obtido a partir do cálculo dos cofactores e dos menores. O menor m é o determinante de uma matriz à qual ij

foram retiradas a linha i e a coluna j. Por exemplo, no caso do determinante de uma matriz (3*3), os menores m11, m12 e m13 são dados por

(B.15)

(B.16)

(B.17)

respectivamente. Por outro lado, os cofactores C são dados por ij

C = (-1) ij

(i+j)

m

ij

(B.18)

A regra de cálculo do determinante de uma matriz (n*n) é

(B.19)

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Sebenta Multimédia de Análise de Circuitos Eléctricos

em que j é uma qualquer das n colunas da matriz. Por exemplo, no caso de uma matriz (3*3) ∆ = a11c11 + a21c21 + a31c31 = a11 ( a22a33 - a32a23)(-1)2 + a21(a12a33 - a32a13)(-1)3 + a31(a12a23 a22a13

(B.20)

)(-1)4

Um sistema de n equações a n variáveis v 1 = a11i1 + a12i2 + . . . + a1 i s nn v 2 = a21i1 + a22i2 + . . . + a2 i s nn (B.21)

... ... ... ... v = a 1i1 + a 2i2 + . . . + a i sn n n nn n

pode ser representado com base numa relação matricial

(B.22)

As expressões das soluções i do sistema são dadas pela regra de Cramer i

(B.23)

em que ∆ representa o determinante da matriz quando a coluna i é substituída pelo vector i

coluna [v ]. Por exemplo, considerando o caso particular de um sistema de três equações, as s

soluções i1, i2 e i3 são dadas por

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Sebenta Multimédia de Análise de Circuitos Eléctricos

(B.24)

(B.25)

(B.26)

respectivamente.

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15.1 AmpOp Ideal

15.1 AmpOp Ideal

O AmpOp ideal constitui um modelo simplificado de um amplo conjunto de amplificadores de tensão actualmente existentes no mercado. Caracteriza-se pelas seguintes quatro propriedades (Figura 15.2): (i) impedância de entrada infinita; (ii) impedância de saída nula; (iii) ganho de tensão infinito; (iv) ausência de qualquer limitação em frequência e em amplitude.

Figura 15.2 AmpOp ideal A principal consequência do conjunto de propriedades apenas enunciado é, na prática, a possibilidade de estabelecer um curto-circuito virtual entre os dois terminais de entrada do AmpOp. Com efeito, a existência de uma tensão finita na saída só é compatível com um ganho infinito desde que a diferença de potencial entre os dois terminais de entrada seja nula. A natureza virtual deste curto-circuito deve-se à coexistência de uma igualdade entre tensões sem ligação física entre terminais. Na Figura 15.3 ilustra-se o significado prático de um curto-circuito virtual.

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15.1 AmpOp Ideal

Figura 15.3 Curto-circuito e massa virtual Por exemplo, no caso da montagem em (a) a relação entre as tensões nos nós é (15.1) isto é, a tensão na saída do AmpOp segue a da fonte de sinal aplicada na entrada. Por outro lado, no caso da montagem representada em (b) verifica-se que (15.2) ou seja, que o terminal negativo do amplificador se encontra ao nível da massa, sem no entanto se encontrar fisicamente ligado a ela. Diz-se então que o terminal negativo do amplificador operacional constitui uma massa virtual.

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15.2 Montagens Básicas

15.2 Montagens Básicas

O AmpOp é vulgarmente utilizado em duas configurações básicas: a montagem inversora e a montagem não-inversora. Os circuitos estudados neste capítulo constituem todos eles ou variações ou combinações destas duas configurações básicas. No que respeita às metodologias de análise de circuitos com AmpOps, existem basicamente as seguintes duas alternativas: (i) uma que assume a presença de um curto-circuito virtual entre os dois terminais de entrada do AmpOp (em conjunto com correntes nulas de entrada); (ii) e uma outra que considera o AmpOp como uma fonte de tensão controlada por tensão e utiliza as metodologias convencionais de análise de circuitos. Adiante se verá que a primeira metodologia é de mais simples aplicação aos circuitos com AmpOps ideais, ao contrário da segunda, que se destina essencialmente à análise de circuitos com AmpOps reais, neste caso com limitações em ganho, frequência, e impedâncias de entrada e de saída.

15.2.1 Montagem Inversora Considere-se na Figura 15.4.a o esquema eléctrico da montagem inversora do AmpOp.

Figura 15.4 Montagem inversora Tendo em conta o facto da existência de um curto-circuito virtual entre os dois terminais de entrada, o que +

-

-

+

implica a igualdade v =v =0, e ainda o facto de as correntes nos nós de entrada serem nulas, i =i =0, http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_15/montb_15.htm (1 of 4)06-06-2005 12:36:10

15.2 Montagens Básicas

verifica-se então que

(15.3)

e que, portanto,

(15.4)

Como tal, o ganho de tensão da montagem é dado por

(15.5)

o qual é apenas função do cociente entre os valores das resistências R2 e R1. O método alternativo de análise consiste em substituir o AmpOp por uma fonte de tensão dependente com ganho finito (Figura 15.4.b). Neste caso trata-se de aplicar um dos métodos de análise introduzidos ao longo deste livro, por exemplo resolver o sistema de equações

(15.6)

que equivale a

(15.7)

de cuja resolução resulta o ganho

(15.8)

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15.2 Montagens Básicas

cujo limite quando o ganho do AmpOp tende para infinito é

(15.9)

15.2.2 Montagem Não-Inversora Considere-se na Figura 15.5.a a montagem não-inversora do AmpOp.

Figura 15.5 Montagem não-inversora A existência de um curto-circuito virtual entre os nós de entrada do amplificador permite escrever a igualdade entre as três tensões (15.10) que em conjunto com a equação do divisor resistivo na saída

(15.11)

conduz à relação de ganho

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15.2 Montagens Básicas

(15.12)

O ganho de tensão desta montagem é positivo, superior à unidade e, mais uma vez, dependente apenas do cociente entre os valores das resistências R1 e R2. Pode facilmente demonstrar-se que a aplicação do método alternativo de análise conduz à expressão (Figura 15.5.b)

(15.13)

cujo limite quando o ganho do AmpOp tende para infinito coincide com a relação (15.12) apenas derivada.

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15.3 Circuitos com AmpOps

15.3 Circuitos com AmpOps

As montagens inversora e não-inversora são utilizadas numa infinidade de aplicações de processamento de sinal, designadamente de amplificação, filtragem, rectificação de sinais, conversão e simulação de impedâncias, conversão tensão-corrente e corrente-tensão, etc. De seguida estudam-se algumas aplicações que permitem ilustrar o enorme potencial prático do amplificador operacional de tensão.

15.3.1 Seguidor de Tensão O circuito seguidor de tensão constitui uma das aplicações mais comuns do amplificador operacional (Figura 15.6; na literatura anglo-saxónica este circuito é designado por buffer, cuja tradução para a Língua Portuguesa é circuito amortecedor ou tampão).

Figura 15.6 Circuito seguidor de tensão O seguidor de tensão implementa um ganho unitário

(15.14)

entre a entrada e a saída, resultado que à primeira vista poderia parecer destituído de aplicação prática. Na Figura 15.7 apresentam-se dois circuitos que ilustram a utilidade prática do seguidor de tensão: em (a) a carga encontra-se ligada directamente à fonte, cuja resistência interna introduz um divisor resistivo, ao passo que em (b) a fonte e a carga são intercaladas de um seguidor de tensão.

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15.3 Circuitos com AmpOps

Figura 15.7 Aplicações do circuito seguidor de tensão Identificam-se as seguintes diferenças entre estes dois circuitos: no primeiro caso a tensão na carga é inferior àquela disponibilizada pela fonte,

(15.15)

e é a fonte de sinal quem fornece a potência à carga. Pelo contrário, no caso do circuito em (b) verifica-se a igualdade (15.16) designadamente como resultado do ganho infinito e das impedâncias de entrada infinita e de saída nula do amplificador operacional. Para além do mais, neste caso é o amplificador operacional e não a fonte de sinal quem fornece potência à carga. Estas características justificam os títulos de circuito seguidor de tensão, isolador ou tampão. O circuito seguidor de tensão pode ser encarado como caso limite da montagem não-inversora estudada anteriormente. Com efeito, e como se indica na Figura 15.6.b, os dois circuitos coincidem quando a resistência R1 é feita tender para infinito, situação durante a qual o valor da resistência R é irrelevante, excepto quando 2

infinito, dado ser nula a corrente respectiva.

15.3.2 Somador Inversor A montagem inversora pode ser utilizada para implementar a soma pesada de sinais eléctricos (Figura 15.8).

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15.3 Circuitos com AmpOps

Figura 15.8 Somador inversor A massa virtual do AmpOp implementa a soma das correntesfornecidas por cada uma das fontes de sinal,

(15.17)

e a resistência R converte-as na tensão

(15.18)

Uma das aplicações mais interessantes do somador na Figura 15.8 é a realização de um conversor digitalanalógico. Com efeito, se se admitir que as fontes de sinal v valem 1 V ou 0 V consoante o valor lógico dos bit i

de uma palavra digital, e as resistências R se encontram pesadas binariamente em função da ordem do bit na i

kpalavra, por exemplo R1=R, R2=R/2, R3=R/4... R =R/2 1, então a expressão da tensão na saída do AmpOp é k

(15.19) Por exemplo, as palavras digitais 10011 e 00001 (em decimal 19 e 1, respectivamente) conduzem aos valores da tensão na saída http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_15/circampo.htm (3 of 14)06-06-2005 12:36:14

15.3 Circuitos com AmpOps

V

(15.20)

V

(15.21)

e

respectivamente. Naturalmente que se pode sempre dimensionar o valor da resistência R de modo a redefinir a escala de amplitudes da tensão na saída.

15.3.3 Amplificador Inversor Uma das limitações da montagem inversora simples é a dificuldade de na prática construir amplificadores com, simultaneamente, elevados ganho e resistência de entrada (reveja-se a Figura 15.4). Na montagem inversora simples, a especificação de um ganho de tensão elevado, -R2/R1, convida a estabelecer um valor nominal relativamente pequeno para a resistência R , ao passo que a exigência de uma elevada resistência de entrada, 1

dada por

(15.22)

recomenda exactamente o oposto. Um modo de obviar a esta limitação é a utilização do circuito representado na Figura 15.9, cuja análise se pode efectuar nos seguintes passos:

Figura 15.9 Amplificador inversor de elevados ganho e resistência de entrada determinação da corrente que incide na massa virtual

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15.3 Circuitos com AmpOps

(15.23)

determinação da tensão v

x

(15.24)

obtenção da expressão da corrente nas resistências R3 e R , 4

(15.25)

e

(15.26)

respectivamente, e, finalmente, determinação da tensão no nó de saída do AmpOp

(15.27)

Da relação (15.27) resulta a expressão do ganho da montagem

(15.28)

na qual se inscreve a possibilidade de obter, simultaneamente, ganho e resistência de entrada elevados.

15.3.4 Amplificador da Diferença A utilização conjunta das montagens inversora e não-inversora permite realizar um circuito que implementa a amplificação da diferença entre dois sinais (Figura 15.10.a).

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15.3 Circuitos com AmpOps

Figura 15.10 Amplificador da diferença A aplicação do teorema da sobreposição das fontes permite identificar as seguintes duas contribuições para a tensão na saída do AmpOp (Figuras 15.10.b e 15.10.c): a parcela

(15.29)

a qual basicamente coincide com a expressão da montagem não-inversora afectada do divisor resistivo implementado pelas resistências R1 e R2 na entrada, e a parcela

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15.3 Circuitos com AmpOps

(15.30)

relativa à montagem inversora implementada pelas resistências R3 e R4 sobre o sinal v2 (note-se que, neste caso, as resistências ligadas ao nó positivo do AmpOp não alteram em nada o funcionamento da montagem inversora). De acordo com as expressões (15.29) e (15.30), a tensão na saída é

(15.31)

que no caso particular em que se verifica a igualdade entre os cocientes R4/R3 e R2/R1 se simplifica para

(15.32)

15.3.5 Amplificador de Instrumentação O principal inconveniente do amplificador diferença é o compromisso necessário entre o ganho de tensão e a resistência de entrada vista por cada uma das fontes de sinal. Uma alternativa a este circuito é o amplificador de instrumentação representado na Figura 15.11, neste caso constituído por dois amplificadores não inversores (AmpOps-1 e -2) e um amplificador diferença (AmpOp-3). Neste caso, a resistência de entrada vista por cada uma das duas fontes é infinita (coincidem ambas com a resistência de entrada dos terminais positivos dos AmpOps-1 e -2), ao passo que, como se verá de seguida, o ganho de tensão é dado pelo produto de dois cocientes entre resistências.

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15.3 Circuitos com AmpOps

Figura 15.11 Amplificador de instrumentação A análise deste circuito pode ser efectuada em três passos: (i) determinação das tensões nos nós negativos dos AmpOps-1 e -2; (ii) obtenção das expressões das tensões nos respectivos nós de saída; (iii) aplicação da expressão do amplificador diferença para determinar a tensão na saída da montagem. Assim, verifica-se que: (15.33) nos terminais negativo e positivo do AmpOp-1; (15.34) nos terminais negativo e positivo do AmpOp-2; as correntes nas resistência R e R são, nos sentidos indicados, x

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15.3 Circuitos com AmpOps

(15.35)

a corrente nas resistências R conduz às tensões nas saídas dos AmpOps-1 e -2 x

(15.36)

e

(15.37)

respectivamente, cuja diferença

(15.38)

é aplicada ao amplificador implementado pelo AmpOp-3. Assim, admitindo que as resistências no amplificador diferença verificam a igualdade R4/R3=R2/R1 (ver as expressões derivadas anteriormente para o amplificador diferença), obtém-se

(15.39)

relação na qual se inscreve o ganho diferencial

(15.40)

15.3.6 Filtros Activos O princípio de funcionamento das montagens inversora e não inversora é generalizável aos circuitos com impedâncias, em lugar de apenas resistências. Considere-se a título de exemplo a montagem inversora representada na Figura 15.12, neste caso constituída por um AmpOpe por duas impedâncias, Z1 e Z2 (admite-se a representação das impedâncias na notação de Laplace).

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15.3 Circuitos com AmpOps

Figura 15.12 Montagem inversora A função de transferência entre a fonte de sinal e a saída do AmpOp é neste caso

(15.41)

cuja particularização para s=jω conduz à resposta em frequência do ganho de tensão da montagem. Dois casos particulares da montagem inversora são os circuitos integrador e diferenciador representados nas Figuras 15.13.

Figura 15.13 Circuitos integrador (a) e diferenciador (b) O circuito em (a), designado por integrador de Miller, caracteriza-se pela função de transferência

(15.42)

à qual, no domínio do tempo, corresponde a relação

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15.3 Circuitos com AmpOps

(15.43)

Na realidade, uma vez que a corrente fornecida pela fonte de sinal

(15.44)

é integrada pelo condensador, a tensão aos terminais deste é

(15.45)

No que respeita ao circuito diferenciador representado na Figura 15.13.b, a função de transferência é (15.46) à qual no domínio do tempo corresponde a relação

(15.47)

Em geral, os amplificadores operacionais em conjunto com resistências e condensadores permitem implementar funções de transferência que na prática constituem filtros. Esta alternativa de construção de filtros é vulgarmente designada por técnica RC-Activa, devido ao facto de se utilizarem apenas resistências, condensadores e amplificadores operacionais, e nunca bobinas. Na Figura 15.14 apresentam-se dois filtros RC-activos.

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15.3 Circuitos com AmpOps

Figura 15.14 Integrador com limitação do ganho em d.c. (a) e filtro passa-baixo de 2ªordem de Sallen & Key (b) No primeiro caso trata-se de um circuito integrador com limitação do ganho em d.c., cuja função de transferência é

(15.48)

enquanto no segundo estamos em presença de um filtro passa-baixo de 2.ª ordem, vulgarmente designado por biquadrática de Sallen & Key. Neste último caso, a função de transferência obtém-se a partir do sistema de equações

(15.49)

cuja primeira equação resulta da aplicação da Lei de Kirchhoff das correntes ao nó-X, e a segunda do divisor de impedâncias e do seguidor de tensão implementados pela resistência R2, pelo condensador C2 e pelo AmpOp. O cociente entre as tensões na saída do AmpOp e da fonte de sinal é

(15.50)

ou ainda

(15.51)

em que

(15.52)

e http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_15/circampo.htm (12 of 14)06-06-2005 12:36:14

15.3 Circuitos com AmpOps

(15.53)

15.3.7 Conversores de Impedâncias e de Tensão-Corrente Na Figura 15.15 representa-se um circuito que implementa uma resistência negativa. De acordo com o teorema de Miller, o valor nominal de uma resistência pode ser alterado através do recurso a fontes dependentes, em particular através do recurso a amplificadores de tensão.

Figura 15.15 Conversor de impedâncias Como se ilustra na Figura 15.15.a, a resistência à direita da fonte de sinal é dada por R =R/(1-k), em que k é o M

ganho de tensão da fonte controlada. Referindo agora ao circuito representado na Figura 15.15.b, verifica-se que a resistência R se encontra ligada entre a entrada e a saída do amplificador não-inversor, portanto que o seu valor aparente é

(15.54)

No caso em que R2=R1, (11.54) simplifica-se para (15.55)

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15.3 Circuitos com AmpOps

Para finalizar a gama de aplicações ilustrativas das potencialidades do AmpOp, na Figura 15.16.c apresenta-se um circuito que implementa um conversor tensão-corrente. O objectivo é implementar uma fonte de corrente a partir de uma fonte de tensão, ou seja, construir um circuito que impõe a corrente numa carga independentemente do valor nominal respectivo.

Figura 15.16 Conversor de tensão em corrente Referindo-nos aos esquemas representados nas Figuras 15.16.a e 15.16.b, constata-se que a realização de uma fonte de corrente passa pela implementação de uma resistência negativa, por exemplo através do recurso ao conversor de impedâncias da Figura 15.15. Com efeito, a aplicação da Lei de Kirchhoff das correntes ao nó de saída da fonte permite concluir que a corrente na carga é independente do valor nominal respectivo, ou seja, que o circuito externo à carga se comporta como uma fonte de corrente de valor

(15.56)

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15.4 Parâmetros Reais dos AmpOps

15.4 Parâmetros Reais dos AmpOps

O desempenho real dos circuitos com amplificadores operacionais é degradado por um conjunto de não idealidades inerentes à estrutura interna e aos dispositivos constituintes dos próprios AmpOps. No entanto, dado o elevado número de parâmetros vulgarmente utilizados para caracterizar os AmpOps, este capítulo limita-se a apresentar aqueles cujos efeitos negativos sobre o desempenho dos circuitos é mais notório, designadamente: (i) ganho finito; (ii) largura de banda finita; (iii) taxa de inflexão máxima da tensão na saída; (iv) resistências de entrada (finita) e de saída (não nula); (v) ganho de modo comum; (vi) tensões de saturação; (vii) tensão de desvio (offset); (viii) correntes de desvio.

15.4.1 Ganho e Largura de Banda O ganho de tensão é um dos principais parâmetros que caracterizam o desempenho dos AmpOps reais. O ganho finito tem como consequência a necessidade de uma diferença de tensão não nula entre os terminais positivo e negativo da entrada do AmpOp, deixando, portanto, de constituir um curto-circuito virtual. Assim, a uma tensão + -

(v ) na saída do AmpOp corresponde uma tensão diferencial (v -v )=v /A na entrada, que para valores comuns do o

ganho, como por exemplo

o

A=105

ou mesmo

A=106,

é da ordem de grandeza das unidades ou dezenas de µV.

A análise dos efeitos do ganho finito é efectuada com base no segundo dos métodos introduzidos no início deste capítulo, que basicamente consiste na substituição do AmpOp por uma fonte de tensão controlada.

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15.4 Parâmetros Reais dos AmpOps

Figura 15.17 Efeito do ganho finito do AmpOp Por exemplo, no caso da montagem não-inversora representada na Figura 15.17

(15.57)

cuja resolução permite obter a expressão do ganho

(15.58)

em que

(15.59)

define o erro de ganho (esta aproximação é válida para A>>1). O erro é inversamente proporcional ao ganho do AmpOp, e directamente proporcional a ganho da montagem em condições ideais. Para além do ganho finito, os AmpOps reais são também caracterizados por uma resposta em frequência de tipo passa-baixo. Esta limitação do desempenho é vulgarmente designada por largura de banda finita, sendo o seu significado prático a redução com a frequência do ganho intrínseco do amplificador. A natureza finita da largura http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_15/parampop.htm (2 of 15)06-06-2005 12:36:18

15.4 Parâmetros Reais dos AmpOps

de banda é consequência dos condensadores e das resistências intrínsecas e parasitas inerentes aos transístores e interligações. O desempenho em frequência de um AmpOp pode, em primeira aproximação, ser modelizado por uma função de transferência do tipo passa-baixo de 1.ª ordem (veja-se na Figura 15.18 o diagrama de Bode assintótico da amplitude da resposta em frequência)

(15.60)

em que A define o ganho em baixa frequência e ω a frequência do pólo (o ganho em baixa frequência é p

vulgarmente designado por ganho d.c.). A expressão (15.60) indica que o ganho do AmpOp vale A só até à frequência ω , que na prática são algumas unidades, dezenas, centenas ou milhares de hertz, e que a partir daí o p

ganho decresce a um ritmo constante de -20dB por década. O parâmetro ω é designado por frequência de u

transição, frequência de ganho unitário ou ainda produto ganho-largura de banda do AmpOp, e basicamente define a frequência a partir da qual o mesmo deixa de se comportar como um amplificador e passa a implementar um simples atenuador de tensão. A designação produto ganho largura de banda deve-se ao facto de o produto do ganho em baixa frequência pela largura de banda (a frequência do pólo) coincidir exactamente com a frequência de transição.

Figura 15.18 Diagrama de Bode de amplitude da resposta em frequência do ganho diferencial de um AmpOp A análise dos efeitos da largura de banda finita do AmpOp nas montagens baseia-se numa metodologia semelhante àquela utilizada anteriormente para o ganho finito. Por exemplo, se se admitir que na montagem nãoinversora da Figura 15.17 o AmpOp se caracteriza pela função de transferência em (15.60), então a resolução do sistema de equações

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15.4 Parâmetros Reais dos AmpOps

(15.61)

permite obter a expressão da função de transferência do ganho de tensão

(15.62)

a qual, admitindo que se verifica a relação A>>(1+R2/R1), se simplifica para

(15.63)

A função de transferência (15.63) indica que a montagem não-inversora se caracteriza por um ganho em baixa frequência coincidente com aquele ideal, apresentando no entanto um pólo à frequência ω A/(1+R2/R1) e uma p

frequência de ganho unitário ω =ω A, esta última coincidente com aquela característica do AmpOp quando u

p

considerado isoladamente. Como é patente nas duas curvas representadas na Figura 15.19, a montagem não inversora opera uma troca entre o ganho do AmpOp e a largura de banda do amplificador.

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15.4 Parâmetros Reais dos AmpOps

Figura 15.19 esquema eléctrico e diagrama de Bode de amplitude da resposta em frequência da montagem nãoinversora

15.4.2 Taxa de Inflexão Define-se taxa de inflexão como o ritmo máximo de variação da tensão na saída de um AmpOp (na literatura anglo-saxónica a taxa de inflexão máxima designa-se slew-rate, cuja sigla SR se adopta neste livro). A taxa de inflexão é uma característica associada à topologia do amplificador e às correntes utilizadas internamente na polarização, reflectindo basicamente o ritmo a que estas fornecem e retiram carga dos condensadores parasitas e de compensação da resposta em frequência. O significado prático da taxa de inflexão máxima de um AmpOp pode ser facilmente compreendido recorrendo ao circuito seguidor de tensão da Figura 15.20.a. Admita-se então que o AmpOp se caracteriza por uma função de transferência com um só pólo e que os restantes parâmetros são todos ideais, designadamente as resistências de entrada e de saída.

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15.4 Parâmetros Reais dos AmpOps

Figura 15.20 Taxa de inflexão máxima Tendo por base este modelo, pode facilmente demonstrar-se que a função de transferência do ganho de tensão da montagem se caracteriza por um pólo à frequência de transição do AmpOp

(15.64)

Do ponto de vista da função de transferência, e naturalmente da dinâmica temporal respectiva, o circuito seguidor de tensão comporta-se exactamente da mesma maneira que o circuito RC representado na Figura 15.20.b, neste caso admitindo que se verifica a igualdade entre as constantes de tempo RC e 1/ω . Ambos os circuitos se u

caracterizam por uma resposta ao escalão do tipo exponencial (Figura 15.20.c) (15.65) em que V representa a amplitude do sinal aplicado e τ a constante de tempo do circuito. No entanto, a tensão na saída do seguidor de tensão pode sofrer os efeitos da taxa de inflexão máxima do AmpOp, Figura 15.20.d, e apresentar uma dinâmica muito distinta daquela esperada para o circuito RC. No AmpOp, a taxa de inflexão máxima (o declive máximo) da tensão na saída encontra-se limitada superiormente

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15.4 Parâmetros Reais dos AmpOps

V/µs, volt por micro-segundo

(15.66)

Outra das consequências da taxa de inflexão máxima é a imposição de um limite à frequência máxima dos sinais processáveis sem distorção. Por exemplo, se o sinal aplicado for do tipo sinusoidal, de amplitude V e frequência angular ω (Figura 15.21), então a igualdade

(15.67)

permite determinar a frequência limite a partir da qual a saída do AmpOp não acompanha devidamente o sinal aplicado na entrada,

(15.68)

Figura 15.21 Taxa de inflexão

15.4.3 Resistências de Entrada e de Saída Para além do ganho e da largura de banda finita, os AmpOps reais apresentam também uma resistência de entrada finita e uma resistência de saída não nula. Por exemplo, é comum encontrar AmpOps cuja resistência de entrada é da ordem das dezenas, centenas ou até mesmo milhares de MΩ, e cuja resistência de saída pode variar entre as dezenas e as décimas de ohm. Na Figura 15.22 apresenta-se o modelo eléctrico de um AmpOp com ganho finito e resistências de entrada e de saída.

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15.4 Parâmetros Reais dos AmpOps

Figura 15.22 Modelo eléctrico do AmpOp Considere-se então o circuito seguidor de tensão representado na Figura 15.23 e admita-se que o AmpOp se caracteriza pelo modelo eléctrico apenas introduzido.

Figura 15.23 Efeito das resistências de entrada e de saída do AmpOp no seguidor de tensão Referindo ao esquema eléctrico representado na Figura 15.23.b, verifica-se que a resolução do sistema de equações

(15.69)

permite obter a expressão do ganho de tensão entre a entrada e a saída do seguidor

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15.4 Parâmetros Reais dos AmpOps

(15.70)

No entanto, admitindo que se verificam as relações R >>R , R 2 e 2->1 nas expressões (13.2) a (13.7), obtém-se

(13.8)

e

(13.9)

respectivamente para as forças electro-motrizes induzidas nas bobinas-2 e -1, das quais resulta uma nova expressão para o coeficiente de indução mútua

(13.10)

A igualdade entre os coeficientes de indução mútua M12 e M21 permite obter as relações

(13.11)

e (13.12) entre o número de espiras nos enrolamentos (N1 e N2), os coeficientes de auto-indução (L1 e L2), o coeficiente de acoplamento magnético (k) e o coeficiente de indução mútua (M).

13.1.2 Associação de Bobinas Acopladas Considerem-se as duas bobinas acopladas magneticamente representadas na Figura 13.4, e admita-se que ambas são percorridas pela mesma corrente, i(t), e que os sentidos dos enrolamentos são concordantes em (a) e discordantes em (b).

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13.1 Bobinas Acopladas

Figura 13.4 Associação em série de bobinas acopladas magneticamente A concordância ou discordância entre os sentidos dos enrolamentos representa-se com base num conjunto de pontos colocados num dos extremos das bobinas. Se os sentidos das correntes nas duas bobinas forem positivos do ponto para a outra extremidade (ou então da outra extremidade para o ponto), os fluxos magnéticos gerados no núcleo comum serão concordantes e o acoplamento dito positivo (vejam-se os casos das Figuras 13.5.a e 13.5.b). Pelo contrário, se os sentidos das correntes forem contrários entre si, tendo sempre como referência a extremidade onde se localiza o ponto, então os fluxos gerados são discordantes, subtraem-se no núcleo e o acoplamento entre as bobinas é dito negativo (vejam-se os casos representados nas Figuras 13.5.c e 13.5.d).

Figura 13.5 Fluxos magnéticos gerados por bobinas acopladas Retomem-se então as duas bobinas acopladas magneticamente representadas na Figura 13.4. Uma vez que ambos os enrolamentos são percorridos por uma corrente, então ambas as bobinas são sede de fluxo magnético e de força electro-motriz induzida. Por exemplo, no caso representado na Figura 13.4.a as forças electro-motrizes induzidas aos terminais das bobinas-1 e -2 são, respectivamente,

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13.1 Bobinas Acopladas

(13.13)

e

(13.14)

das quais resultam a força electro-motriz total

(13.15)

e a indutância total do conjunto de bobinas acopladas e associadas em série (13.16) Pode facilmente demonstrar-se que no caso em que os enrolamentos das bobinas apresentam sentidos discordantes, como é o caso representado na Figura 13.4.b, a indutância total do conjunto é expressa pela soma das seguintes três parcelas (13.17) Em particular, se o acoplamento magnético entre as bobinas for perfeito, k=1, e as bobinas iguais, então L -

=0 (esta é uma das técnicas utilizadas na construção de resistências bobinadas).

13.1.3 Modelo Eléctrico Equivalente O comportamento electromagnético de um conjunto de bobinas acopladas pode ser modelizado com base apenas em elementos eléctricos. Por exemplo, o comportamento electromagnético das duas bobinas acopladas representadas na Figura 13.6.a é descrito pelas duas equações de malha

(13.18)

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13.1 Bobinas Acopladas

Figura 13.6 Modelo eléctrico equivalente de duas bobinas acopladas magneticamente que no caso particular do regime forçado sinusoidal se podem representar como

(13.19)

Na Figura 13.6.b representa-se o modelo eléctrico correspondente ao sistema de equações (13.19). Admita-se agora que aos terminais da bobina-2 se liga uma impedância cuja natureza é capacitiva, Z=(RjX), conforme à Figura 13.7.

Figura 13.7 Reflexão de impedâncias entre bobinas acopladas Neste caso, para além das equações em (13.19) o circuito deve também verificar a igualdade (13.20) cuja resolução conjunta conduz à expressão da impedância vista dos terminais da bobina-1

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13.1 Bobinas Acopladas

(13.21)

A parcela Z

refl

em (13.21) designa-se por impedância acoplada e representa a reflexão para os terminais da

bobina-1 da indutância da bobina-2 e dos componentes a ela ligados (neste caso a carga Z). Multiplicando e dividindo este termo pelo conjugado do denominador, obtém-se

(13.22)

ou ainda

(13.23)

É o seguinte o significado de cada uma das parcelas na expressão (13.23): a primeira representa a indutância da própria bobina-1, e as segunda e terceira representam, respectivamente, as reflexões para o lado da bobina-1 dos componentes indutivos, capacitivos e resistivos localizadas do lado da bobina-2. Por exemplo, à frequência de ressonância da parte do circuito do lado da bobina-2, isto é quando X=ωL , a 2

impedância acoplada é resistiva pura

(13.24)

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13.2 Transformador Ideal

13.2 Transformador Ideal

Na Figura 13.8 representam-se duas bobinas acopladas através de um núcleo de elevada permeabilidade magnética. Admita-se ainda que as duas bobinas e o núcleo verificam as seguintes quatro propriedades: (i) resistência eléctrica dos enrolamentos nula; (ii) acoplamento magnético entre bobinas perfeito (k=1); (iii) material constituinte do núcleo sem histerese; (iv) perdas no núcleo nulas (por efeito das correntes de Foucault).

Figura 13.8 Transformador ideal http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_13/transfid.htm (1 of 6)06-06-2005 12:36:38

13.2 Transformador Ideal

Este conjunto de bobinas acopladas é vulgarmente designado por transformador ideal, atribuindo-se às bobinas -1 e -2 os nomes de enrolamento primário e secundário, respectivamente. As Leis de Faraday, de Lenz e de Ohm estabelecem a existência e os sentidos das forças electro-motrizes induzidas e das correntes indicados na figura. Em particular: (i) a Lei de Lenz estabelece que a força electro-motriz e a corrente induzidas no secundário são tais, que as linhas de força aí geradas contrariam o fluxo magnético estabelecido pelo primário; (ii) a Lei de Faraday estabelece a existência de forças electro-motrizes induzidas no primário e no secundário (os fenómenos da indução electromagnética e da indução mútua); (iii) a Lei de Ohm estabelece a presença de uma corrente no secundário, caso aos terminais deste se encontre ligada uma impedância. Na Figura 13.8.b representa-se um esquema simplificado do transformador ideal (note-se que a localização do ponto nas bobinas e os sentidos das correntes são tais, que verificam o enunciado da Lei de Lenz).

13.2.1 Transformador Ideal em Vazio Admita-se agora que os terminais do secundário se encontram em aberto, i (t)=0 na Fig.13.8, e que a tensão 2

aplicada ao primário, v (t), é de tipo sinusoidal. A corrente no primário apresenta uma forma também 1

sinusoidal (13.25) designada por corrente de magnetização do núcleo, à qual se encontra associada um fluxo magnético (13.26) em fase com a corrente respectiva. As forças electro-motrizes induzidas aos terminais do primário e do secundário são dadas pelas expressões (nos sentidos indicados)

(13.27)

e

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13.2 Transformador Ideal

(13.28)

respectivamente. Ambas as forças electro-motrizes induzidas encontram-se avançadas de π/2 radianos relativamente à corrente de magnetização e ao fluxo magnético gerado pelo primário. O cociente entre as forças electro-motrizes induzidas no primário e no secundário

(13.29)

designa-se por relação de transformação do transformador.

13.2.2 Transformador Ideal em Carga Admita-se agora que aos terminais do secundário se liga uma carga genérica, Z. Nestas condições, a força electro-motriz induzida no secundário é responsável pela seguinte conjunto de acontecimentos: (i) a força electro-motriz induzida no secundário conduz à presença de uma corrente através da carga (a Lei de Ohm), que circula através do enrolamento do secundário e gera um fluxo magnético de sentido contrário àquele previamente estabelecido pela corrente de magnetização; (ii) o fluxo magnético no núcleo decresce, a força electro-motriz induzida no primário reduzse (o que equivale a dizer que enfraquece a oposição à passagem de corrente no primário), e o desequilíbrio temporário entre tensão aplicada e força electro-motriz induzida resulta num aumento da corrente no primário; (iii) o aumento da corrente no primário repõe o fluxo magnético no seu valor inicial, Φ=Φ10, instalando-se de novo o equilíbrio no transformador. Portanto, atinge-se o equilíbrio quando se repõe a igualdade (13.30) ou seja, quando o fluxo gerado pela corrente no secundário é integralmente compensado pelo acréscimo verificado no primário (13.31) A igualdade (13.31) pode também ser escrita em função das correntes no primário e no secundário (tendo http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_13/transfid.htm (3 of 6)06-06-2005 12:36:38

13.2 Transformador Ideal

em conta os sentidos indicados) (13.32) com base na qual se pode definir o cociente

(13.33)

entre a amplitude da corrente no secundário e o acréscimo verificado na corrente no primário. Todavia, na prática verifica-se que a corrente total no primário (13.34) se pode aproximar por (13.35) ou seja, que a relação (13.33) se pode rescrever na forma

(13.36)

A relação de transformação das correntes é inversa daquela das forças electro-motrizes induzidas.

13.2.3 Modelo Eléctrico Equivalente Na Figura 13.9 apresenta-se o modelo eléctrico do transformador ideal.

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13.2 Transformador Ideal

Figura 13.9 Modelo eléctrico do transformador ideal Constata-se assim que é o primário que impõe a tensão no secundário, designadamente através da relação entre o número de espiras respectivas (admite-se a notação fasorial),

(13.37)

mas que, pelo contrário, é o secundário que impõe a corrente no primário

(13.38)

naturalmente em função do cociente entre o número de espiras e da carga àquele ligada. O transformador ideal apresenta um conjunto de propriedades cujo interesse prático ultrapassa em muito o das simples bobinas acopladas. Por exemplo: (i) as impedâncias são reflectidas do secundário para o primário de acordo com a relação

(13.39)

(ii) representada na Figura 13.10. Ao contrário das bobinas acopladas estudadas anteriormente, o transformador ideal é imune às indutâncias das bobinas do primário e do secundário;

Figura 13.10 Reflexão de impedâncias no transformador ideal

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13.2 Transformador Ideal

(iii) as potências fornecidas pela fonte de tensão ao primário e pelo secundário à carga são idênticas, designadamente

(13.40)

(iv) à semelhança de qualquer conjunto de bobinas acopladas, o transformador ideal permite implementar o isolamento galvânico entre partes de um mesmo circuito. Uma das aplicações mais comuns do transformador é a implementação prática do isolamento eléctrico (mas não funcional) entre duas partes de um mesmo circuito, permitindo atribuirlhes nós de referência distintos.

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13.3 Tipos e Aplicações dos Transformadores

13.3 Tipos e Aplicações dos Transformadores

Os transformadores são utilizados num conjunto muito variado de aplicações de processamento de informação e de energia. De entre estas destacam-se a elevação e a redução da tensão ou do número de fases em redes de transporte e distribuição de energia eléctrica, a redução da tensão e da corrente em instrumentos de medida, a adaptação de impedâncias e a sintonia de filtros RLC em aplicações audio, de rádio frequência e de frequência intermédia, o armazenamento de energia em conversores d.c.-d.c., o isolamento galvânico (estudado na secção anterior), etc.

13.3.1 Auto-Transformador Um auto-transformador é um transformador cujos enrolamentos primário e secundário coincidem parcialmente. Conforme se ilustra na Figura 13.11, os acessos ao primário e ao secundário são coincidentes ou com as extremidades ou com pontos intermédios do enrolamento, sendo um dos terminais do primário sempre coincidente com um dos do secundário. O auto-transformador é do tipo redutor quando o número de espiras do secundário é inferior ao do primário (Figura 13.11.a), e do tipo elevador no caso contrário (Figura 13.11.b).

Figura 13.11 Auto-transformador redutor (a) e elevador (b) Em qualquer dos casos, a relação de transformação é dada pelo cociente entre o número de espiras

(13.41)

Uma das consequências da coincidência parcial entre os enrolamentos do primário e do secundário é a perda de isolamento galvânico entre as bobinas. No entanto, o auto-transformador apresenta um vasto conjunto de vantagens face aos transformadores comuns, designadamente no que respeita ao seu custo (um único enrolamento e, em certos casos, com condutores de menor secção), ao volume, à queda de tensão e ao rendimento (menores perdas nos enrolamentos). Os auto-transformadores são vulgarmente utilizados na http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_13/tiaptran.htm (1 of 7)06-06-2005 12:36:40

13.3 Tipos e Aplicações dos Transformadores

elevação e na redução da tensão em redes de distribuição de energia eléctrica, na sintonia e adaptação entre antenas e pré-amplificadores em receptores de telecomunicações.

13.3.2 Transformadores com Múltiplos Enrolamentos Os transformadores podem ser construídos com múltiplos enrolamentos primários ou secundários. Os enrolamentos encontram-se acoplados uns aos outros através de um núcleo magnético comum, sendo em geral todos eles sede de fluxo magnético e de força electro-motriz induzida. Na Figura 13.12 apresentam-se diversas ligações alternativas de um transformador com dois enrolamentos secundários. Por exemplo, no caso representado em (b) os enrolamentos do secundário são utilizados em circuitos isolados do ponto de vista galvânico, nos casos considerados em (c) e (d) os enrolamentos são ligados em série um com o outro, resultando, respectivamente, na adição e na subtracção das forças electromotrizes respectivas, e, finalmente, nos casos ilustrados em (e) e (f) os enrolamentos partilham um nó de referência comum, portanto constituindo circuitos não isolados do ponto de vista galvânico.

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13.3 Tipos e Aplicações dos Transformadores

Figura 13.12 Transformadores com múltiplos enrolamentos secundários O transformador com ponto médio representado na Figura 13.12.e é vulgarmente utilizado na rectificação de sinais sinusoidais e na geração de sinais diferenciais (sinais com amplitudes idênticas mas sinais contrários). Com efeito, no caso particular em que os dois enrolamentos do secundário são idênticos, N2=N3, verifica-se que

(13.42)

No que respeita à reflexão das impedâncias dos dois secundários para o primário (v. exemplo da Figura 13.12.b), a igualdade entre as potências aparentes fornecidas pela fonte ao primário e pelos secundários às cargas respectivas (13.43) ou seja,

(13.44)

conduz, em conjunto com a relações V2=(N2/N1)V1 e V3=(N3/N1)V1, à expressão

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13.3 Tipos e Aplicações dos Transformadores

(13.45)

indicativa de que do ponto de vista do primário as impedâncias são primeiramente reflectidas e seguidamente associadas em paralelo.

13.3.3 Transformadores de Medida Os transformadores de medida destinam-se a efectuar a redução das grandezas tensão ou corrente eléctrica em redes de transporte e distribuição de energia eléctrica, designadamente para efeitos da sua medição ou detecção segura em aparelhos de reduzidas dimensões e relativa precisão. Exemplos da utilização deste tipo de transformadores são os aparelhos de medida da tensão, corrente e potência eléctrica em redes de energia, os fasímetros, os frequencímetros e os relés de protecção, os contadores de energia eléctrica, a inserção de sinais de elevada frequência nas linhas de transporte, designadamente para efeitos de comunicação entre centrais, subestações e, talvez no futuro, a telecontagem da energia consumida pelos utentes. Os transformadores de medida podem ser de dois tipos básicos: (i) de tensão, tendo por objectivo a redução das altas tensões presentes nas linhas e permitir o seu encaminhamento para os locais frequentados pelos operadores e a sua leitura em voltímetros comuns (Figura 13.13.a); (ii) e de corrente, por razões essencialmente idênticas às anteriores (Figura 13.13.b).

Figura 13.13 Transformadores de medida de tensão (a) e de corrente (b)

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13.3 Tipos e Aplicações dos Transformadores

A utilização de transformadores de medida permite atingir três objectivos principais do processo de medição de grandezas eléctricas de elevado valor absoluto: (i) garantir o isolamento galvânico entre a rede de alta tensão ou corrente e o circuito de medida, protegendo os operadores e permitindo que os aparelhos de medida sejam colocados em locais comuns; (ii) evitar as interferências electromagnéticas associadas às correntes eléctricas elevadas presentes na linha; e, (iii) efectuar as medições em escalas reduzidas, recorrendo a aparelhos comuns. A ligação de um transformador de medida de corrente efectua-se colocando em série a linha e o enrolamento que constitui o primário do transformador. Como se ilustra na Figura 13.14

Figura 13.14 Pinça amperimétrica um modo de evitar a interrupção da linha consiste na utilização de uma pinça amperimétrica, a qual abraça o condutor cuja corrente se pretende medir. Esta solução engenhosa e simples permite que o primário do transformador seja constituído pelo próprio fio condutor, cujas linhas de força circulares percorrem o núcleo magnético no qual se encontra enrolada a bobina do secundário (com um elevado número de espiras).

13.3.4 Transformadores de Sinal Os transformadores de sinal são utilizados em dois tipos principais de aplicações: (i) na transformação de resistências em aplicações audio, como é o caso da adaptação entre as resistências de saída de um amplificador audio e de entrada de um alto-falante; (ii) e na adaptação de impedâncias em amplificadores sintonizados de frequência intermédia

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13.3 Tipos e Aplicações dos Transformadores

e rádio-frequência em receptores de telecomunicações. Na Figura 13.15 apresenta-se um exemplo típico da utilização de um transformador de sinal em aplicações audio. O transformador implementa a adaptação entre as resistências de saída do amplificador (R ) e de s

entrada do alto-falante (R ), esta última tipicamente da ordem de algumas unidades a dezenas de ohm. af

Figura 13.15 Transformador de sinal O projecto da relação de transformação de acordo com a relação

(13.46)

garante a máxima transferência de potência eléctrica entre o amplificador e o alto-falante. As bobinas acopladas e os auto-transformadores são vulgarmente utilizados em aplicações de rádio frequência e frequência intermédia, visando dois objectivos principais do projecto de um amplificador sintonizado: utilizar os coeficientes de auto-indução dos enrolamentos para, em conjunto com condensadores criteriosamente dimensionados, filtrar em tipo passa-banda os sinais a processar; utilizar o coeficiente de indução mútua entre enrolamentos para efectuar transformações de impedâncias, implementando a máxima transferência de potência entre fontes de sinal (antenas, pré-amplificadores) e receptores (pré-amplificadores ou amplificadores).

13.3.5 Transformadores de Potência Os transformadores de potência visam essencialmente a elevação ou redução da tensão de transporte, distribuição e de consumo em redes de energia eléctrica. As vantagens da utilização de transformadores elevadores e redutores de tensão nas redes de transporte e distribuição de energia eléctrica são basicamente duas: redução das perdas por efeito de Joule, e redução da secção, do peso e do custo das linhas de transporte. Os transformadores de potência são caracterizados por um conjunto variado de parâmetros, salientando-se entre eles a potência aparente nominal, e a tensão e a corrente nominais nos dois enrolamentos. A título de exemplo, é comum existirem nas redes de distribuição de energia eléctrica transformadores com as http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_13/tiaptran.htm (6 of 7)06-06-2005 12:36:40

13.3 Tipos e Aplicações dos Transformadores

seguintes características: 20 kVA de potência aparente, tensões nominais de 6000 V e 230 V nos enrolamentos primário e secundário, e correntes nominais de 3.44 A e 87 A; ou então 200 kVA, 1000 V 400 V e 11.55 A-288.7A; ou ainda 630 kVA e 20 kV - 400 V; 10 MVA e 30 kV - 6 kV; 47 MVA; 125 MVA; 300 MVA, etc. Para além destas características, nos transformadores de potência assumem também particular relevo as questões relacionadas com as perdas por efeito de Joule nos enrolamentos e no núcleo (estas últimas associadas às correntes de Foucault) e com o rendimento, e naturalmente com os sistemas mecânicos de arrefecimento (a seco, em banho de óleo, forçado ou não, etc.). Uma segunda classe de aplicações dos transformadores de potência é a conversão do número de fases da tensão. Por exemplo, a montagem criteriosa dos enrolamentos no núcleo permite efectuar as conversões entre redes de transporte trifásicas e de consumo monofásicas ou bifásicas, entre redes trifásicas e hexafásicas ou dodecafásicas, etc.

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13.4 Sensores Relutivos e Electromagnéticos

13.4 Sensores Relutivos e Electromagnéticos

O fenómeno da indução electromagnética, e em particular da indução mútua entre bobinas, é amplamente utilizado para implementar sensores ou transdutores de grandezas não-eléctricas em grandezas eléctricas. Fabricam-se transdutores deste tipo que medem o deslocamento, a posição, a velocidade, a aceleração, a força, o torque, a pressão, entre outras grandezas, uns designados relutivos e outros electromagnéticos. Como se verá adiante, a diferença entre estas duas classes de transdutores reside mais na forma como o fluxo magnético é desenvolvido, cuja variação uma ou várias bobinas acopladas devem detectar sob a forma de uma força electro-motriz induzida, e menos no fenómeno subjacente ao seu funcionamento. Figura 13.16 Alguns transformadores actualmente existentes no mercado Os sensores ditos relutivos associam a variação na grandeza não-eléctrica a uma variação nos coeficientes de indução mútua entre uma bobina primária e um ou vários enrolamentos secundários. A bobina primária é excitada com uma corrente eléctrica sinusoidal (a qual desenvolve um fluxo magnético sinusoidal no núcleo), sendo a grandeza não-eléctrica detectada através da medição da variação na amplitude, ou da diferença entre as forças electro-motrizes induzidas nas bobinas que constituem o secundário. Na Figura 13.17 apresenta-se o esquema simplificado de um dos transdutores relutivos mais comuns designado LVDT, do inglês Linear Variable Differential Transformer. Um LVDT é basicamente um transformador com ponto médio (também designado diferencial; ver Figura 13.12 no ponto 13.3.2 deste capítulo). A principal diferença reside no facto de o núcleo magnético ser móvel e se encontrar fixo ao objecto cujo deslocamento se pretende medir. Neste sensor, a variação da posição do núcleo altera os coeficientes de indução mútua entre os enrolamentos primário e secundário, tendo como consequência a alteração da diferença entre as forças electro-motrizes induzidas nos dois enrolamentos secundários. Este transdutor caracteriza-se por uma relativa linearidade entre a diferença de potencial medida na saída e o deslocamento operado sobre o núcleo magnético. Esta classe de transdutores, com algumas variantes, é utilizada quer na medição do deslocamento, da velocidade e da aceleração de objectos, quer na medição da força exercida.

Figura 13.17 Sensor relutivo de deslocamento (designado LVDT, do ingl. linear variable differential transformer) http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_13/sensreel.htm (1 of 2)06-06-2005 12:36:40

13.4 Sensores Relutivos e Electromagnéticos

Tal como os relutivos, os transdutores electromagnéticos associam a variação numa grandeza não-eléctrica a uma variação na força electro-motriz induzida aos terminais de uma ou mais bobinas. No entanto, e ao contrário daqueles, os sensores electromagnéticos não são excitados por qualquer corrente eléctrica, limitando-se a detectar as variações no fluxo magnético desenvolvido por exemplo por um íman. Na Figura 13.18 indica-se o exemplo de um sensor de velocidade de tipo electromagnético, designado transdutor linear de velocidade. Este dispositivo consiste basicamente numa bobina cujo núcleo é um íman móvel, responsável pelo fluxo magnético que atravessa as espiras da bobina fixa. Ao movimento do íman encontra-se associada uma variação no fluxo magnético total que atravessa as espiras da bobina, sendo assim induzida uma força electro-motriz aos terminais respectivos. A diferença de potencial é tanto mais elevada quanto maior for o ritmo de variação do fluxo magnético, portanto crescente com a velocidade de deslocamento do íman.

Figura 13.18 Sensor electromagnético de velocidade

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Sumário

Sumário

O modelo eléctrico de duas bobinas acopladas é composto por dois parâmetros: o coeficiente de acoplamento, o qual é adimensional e contém a informação relativa à melhor ou pior ligação magnética entre as bobinas, e o coeficiente de indução mútua. À semelhança do coeficiente de auto-indução, o coeficiente de indução mútua relaciona as variações da corrente numa bobina com a força electro-motriz induzida na outra, com a qual se encontra acoplada. A unidade do coeficiente de indução mútua é o henry (H). O transformador é um dispositivo electromagnético constituído por duas bobinas acopladas através de um núcleo magnético de elevada permeabilidade magnética. O princípio de funcionamento do transformador baseia-se no fenómeno da indução electromagnética, e em particular da indução electromagnética mútua entre bobinas. A principal função de um transformador é elevar ou reduzir as amplitudes da tensão ou da corrente entre as bobinas do primário e do secundário. O transformador caracteriza-se pela relação de transformação de tensão entre o primário e o secundário, rT=N2/N1. Os transformadores são utilizados numa gama muito variada de aplicações de processamento de informação e de energia eléctrica. Salientam-se, entre outras, a elevação e a redução da tensão e do número de fases em redes de transporte e distribuição de energia eléctrica, a redução da tensão ou da corrente em instrumentos de medida, a adaptação de impedâncias em amplificadores sintonizados em aplicações de rádio-frequência e frequência intermédia, a adaptação de resistências em aplicações audio, ou simplesmente o isolamento galvânico entre partes de um mesmo circuito eléctrico. Para além de outros, é possível identificar os seguintes tipos de transformadores: auto-transformadores, transformadores com múltiplos enrolamentos no secundário, transformadores com ponto médio, transformadores de medida ou de protecção, transformadores de sinal e transformadores de potência. Existem diversos sensores que exploram o fenómeno da indução mútua entre bobinas, ou electromagnética. Estes transdutores são designados relutivos e electromagnéticos, e são utilizados na medição de grandezas não-eléctricas, tais como deslocamento, velocidade, aceleração, binário, força, pressão, etc.

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Exercícios de Aplicação

Exercícios de Aplicação

*13.1 Determine a indutância equivalente das bobinas acopladas representadas na Figura E13.1.

Figura E13.1 13.2 Determine o fasor da tensão V no circuito representado na Figura E13.2. C

Figura E13.2 13.3 Considere o circuito representado na Figura E13.3: (a) desenhe o modelo eléctrico equivalente do circuito; (b) determine o cociente entre os fasores V2 e V1; (c) determine a impedância de entrada do circuito, Z1=V1/I1.

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Exercícios de Aplicação

Figura E13.3 *13.4 Considere o circuito representado na Figura E13.4. Determine a relação entre o número de espiras do transformador necessária para garantir a máxima transferência de potência entre a fonte de sinal e a carga.

Figura E13.4 13.5 Determine os fasores das correntes e das tensões V1, I1, V2 e I2 nos circuitos representados na Figura E13.5

Figura E13.5 *13.6 Determine a relação entre o número de espiras no primário e no secundário do auto-transformador representado na Figura E13.6

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Exercícios de Aplicação

Figura E13.6 *13.7 Determine a relação de transformação do transformador representado na Figura E13.7, de modo a garantir a máxima transferência de potência entre a fonte de sinal e a carga de 4 Ω.

Figura E13.7 13.8 Considere o transformador com dois primários representado na Figura E13.8. Determine: (a) a tensão e a corrente na carga; (b) a impedância de entrada vista dos terminais do primário (terminais a-b).

Figura E13.8 13.9 Considere o transformador com dois secundários representado na Figura E13.9. Determine: (a) a tensão e a corrente nas cargas;

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Exercícios de Aplicação

(b) a impedância de entrada vista dos terminais do primário.

Figura E13.9

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Fotografias de Sensores Relutivos e Electromagnéticos

Fotografias de Sensores Relutivos e Electromagnéticos

Transformador de Alta Frequência (impulsos; utilizado nos circuitos de disparo de tiristores e triacs) Tensão Máx.: 2.8 kV (proof voltage) Corrente Máx. Saída: 200 mA Largura de Banda: 3 kHz a 1 MHz

Transformador Audio (elevada performance; dois enrolamentos primários e secundários)

Transformador de Tensão Toroidal 230V-240V; 50Hz-60Hz 15VA (2 saídas de 6 V e 1.25 A) Dois enrolamentos secundários

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Transformador de Tensão 50Hz ou 60Hz 2VA (2 saídas de 6 V e 0.165 A) Dois enrolamentos primários Dois enrolamentos secundários

Transformador de Isolamento Utilizado em aparelhos de telecomunicações (modems)

12.1 Resposta em Frequência

12.1 Resposta em Frequência

12.1.1 Circuito RC Considere-se o circuito RC de 1.ª ordem representado na Figura 12.1 e admita-se que o fasor da fonte de tensão sinusoidal é V =V∠ 0. s

Figura 12.1 Circuito RC de 1.ª ordem A aplicação da regra do divisor de tensão ao circuito permite obter o fasor da tensão aos terminais do condensador

(12.1)

a partir do qual se pode definir o cociente entre fasores

(12.2)

designado por resposta em frequência. A resposta em frequência, H(jω), é uma função da frequência e dos parâmetros do circuito, definindo em geral um número complexo cuja representação se pode efectuar seja no formato rectangular, com parte real e parte imaginária, seja no formato polar, com amplitude e fase. Por exemplo, no formato polar

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12.1 Resposta em Frequência

(12.3) em que H(ω) e φ(ω) representam, respectivamente, a amplitude e a fase da função complexa H(jω). Por exemplo, no caso do circuito RC considerado anteriormente

(12.4)

e

(12.5)

em que se define ω =1/RC. p

Um exemplo alternativo é a resposta em frequência do cociente entre os fasores da tensão aos terminais da resistência e da fonte de sinal

(12.6)

onde se inscrevem as funções amplitude e fase da resposta em frequência, respectivamente,

(12.7)

e

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12.1 Resposta em Frequência

(12.8)

Na Figura 12.2 representam-se os diagramas de amplitude e de fase da resposta em frequência definida pelas expressões (12.4) e (12.5).

Figura 12.2 Diagramas de amplitude (a) e de fase (b) da resposta em frequência (lineares) Assim: (i) à frequência angular ω=0 rad/s a amplitude da resposta em frequência é unitária e a fase é nula; (ii) à frequência angular ω=ω rad/s a amplitude decresce de um factor de 1/√ 2, ao passo p

que a fase vale -π/4 radianos; no limite quando ω → ∞ a amplitude tende para zero e a fase para -π/2 radianos. Conclui-se, assim, que os diagramas de amplitude e de fase da resposta em frequência dão uma indicação do modo como os sinais são transferidos entre os componentes (ou nós) considerados, em particular informação relativa à atenuação ou amplificação da amplitude e ao atraso ou avanço da fase da sinusóide. Recorrendo ao exemplo considerado na Figura 12.2, verifica-se que os sinais sinusoidais cuja frequência angular verifica a relação ωω são atenuados p

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12.1 Resposta em Frequência

e sofrem um atraso de fase crescente. Como tal, este circuito constitui um filtro de tipo passa-baixo, deixando passar os sinais de baixa frequência e atenuando os de alta frequência.

12.1.2 Diagramas de Bode Os diagramas de Bode de amplitude e de fase são representações em escala logarítmica das funções introduzidas na secção anterior. Para além do mais, a amplitude da resposta em frequência é escalada de acordo com a expressão dB, decibell

(12.9)

A vantagem da utilização de escalas logarítmicas, na variável ω e na amplitude, é a de permitir representar no mesmo gráfico gamas de frequência e valores de amplitude cujas ordens de grandeza são muito distintas. Com efeito, é comum representar no mesmo diagrama gamas de frequência que diferem de 5, 6, ... até 10 ordens de grandeza (décadas), em simultâneo com gamas de amplitude que variam de cinco a seis ordens de grandeza, isto é, variam de 100 a 120 dB. Na tabela 12.1 resume-se a conversão entre unidades lineares e dB. Por exemplo, uma relação de 10 equivale a 20 dB, uma relação de 100 equivale a 40 dB, 1/10 equivale a -20 dB, 2 equivale a 6 dB, 4 equivale a 12, etc. LINEAR dB LINEAR dB LINEAR dB 1

0

1

0

5=10/2

20-6=14

10

20 2

6

50=100/2 40-6=34

100

40 4

12 20=2*10 20+6=26

1000

60 8

18 40=10*4 20+12=32

1/10

-20 1/2

-6 25=5*5

14+14=28

1/100

-40 1/4

-12 16=4*4

12+12=24

1/1000

-60 1/8

-18 -

-

√ 10

10 √ 2

3

-

-

√ 1000

30 √ 8

9

-

-

1/√ 10

-10 1/√ 2

-3 -

-

1/√ 1000 -30 1/√ 8

-9 -

-

Tabela 12.1 Tabela de conversão entre unidades lineares e decibell (dB) Na Figura 12.3 representam-se os diagramas de Bode de amplitude e de fase da resposta em frequência em (12.4) e (12.5). Os pontos notáveis são agora ω=0 rad/s, amplitude 0 dB e fase nula; ω=ω , amplitude -3 p

dB e fase -π/4 radianos; e no limite, quando ω → ∞, uma amplitude de -∞ dB e uma fase de -π/2 radianos. http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_12/respfreq.htm (4 of 11)06-06-2005 12:36:46

12.1 Resposta em Frequência

Figura 12.3 Diagramas de Bode de amplitude (a) e de fase (b) Duas aproximações de grande utilidade na representação da amplitude e da fase da resposta em frequência são os designados diagramas de Bode assintóticos. Considerem-se então as expressões (12.4) e (12.5), respectivamente

(12.10)

para a amplitude da resposta em frequência, e

(12.11)

para a fase. Por exemplo, no caso da amplitude verifica-se que

(12.12)

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12.1 Resposta em Frequência

expressão que para ωω por p

(12.14)

definindo neste caso uma assíntota com declive -20 dB por década da frequência angular, ou então -6 dB por oitava. Na Figura 12.3 representa-se o diagrama de Bode de amplitude definido pelas assíntotas (12.13) e (12.14). Considere-se agora a fase da resposta em frequência definida pela expressão (12.11). Neste caso verifica-se que para ω10ω

p

A fase varia de -π/2 radianos em duas décadas de frequência, centradas na frequência ωp, portanto com um declive de -π/4 radianos por década. Na Figura 12.3.b representa-se o diagrama de Bode de fase definido pelas assíntotas (12.15)-(12.17).

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12.1 Resposta em Frequência

Figura 12.4 Diagramas de Bode de amplitude (a) e de fase (b) assintóticos A principal vantagem dos diagramas de Bode assintóticos é o permitirem representar de forma quase imediata a amplitude e fase da resposta em frequência. A representação da amplitude em escala logarítmica converte o produto e o cociente de factores em somas e subtracções, respectivamente, portanto na soma gráfica das assíntotas respectivas. Por exemplo, no caso da resposta em frequência do cociente entre os fasores das tensões aos terminais da resistência e da fonte, Figura 12.1 e expressões (12.7) e (12.8), verificase que o diagrama de Bode de amplitude resulta da soma de duas parcelas

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12.1 Resposta em Frequência

(12.18)

das quais se conhece já as assíntotas relativas à segunda parcela. À primeira parcela

(12.19)

corresponde uma única assíntota com declive 20 dB/década, da qual se sabe, também, que para ω=ω a p

amplitude vale 0 dB. Na Figura 12.4.a representam-se as assíntotas de cada uma das parcelas em (12.18), em conjunto com a solução obtida por adição gráfica das assíntotas. A resposta em frequência é, neste caso, de tipo passa-alto. Considere-se agora a expressão da fase da resposta em frequência. A fase do produto (cociente) entre números complexos é por si só dada pela soma (diferença) das fases respectivas (eq.(12.8))

(12.20)

Na Figura 12.4.b representam-se as assíntotas de cada um dos termos em (12.20), em conjunto com a solução obtida por adição gráfica das assíntotas.

12.1.3 Exemplo de Aplicação Considere-se o circuito RC representado na Figura 12.5.a, relativamente ao qual se pretende determinar e representar graficamente os diagramas de Bode de amplitude e de fase assintóticos da resposta em frequência do cociente entre os fasores V e V . s

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12.1 Resposta em Frequência

Figura 12.5 Diagramas de Bode de amplitude e de fase assintóticos

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12.1 Resposta em Frequência

A aplicação da regra do divisor de tensão permite obter a resposta em frequência

(12.21)

em que ω =1/R2C e ω =1/(R1+ R2)C. A amplitude e a fase da resposta em frequência são expressas pelo z

p

cociente

(12.22)

e pela diferença

(12.23)

respectivamente. O diagrama de Bode de amplitude resulta da diferença entre as seguintes duas parcelas

(12.24)

cujas assíntotas se encontram representadas na Figura 12.5.d. A existência de dois patamares na amplitude da resposta em frequência, designadamente para as baixas e para as altas frequências, explicam-se a partir das Figuras 12.5.b e 12.5.c: à frequência angular ω=0 radianos o condensador apresenta uma impedância infinita, que conduz à igualdade V=V , ao passo que no limite, quando a frequência angular tende para s

infinito, a impedância do condensador tende para zero e transforma o circuito num divisor resistivo puro. Neste caso, o cociente entre as amplitudes é dado por 20log10[R2/( R2+ R1)]=-40 dB. No que respeita à fase da resposta em frequência, trata-se de adicionar graficamente as assíntotas correspondentes às duas parcelas em (12.23). A fase do termo no numerador varia de π/2 radianos em duas

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12.1 Resposta em Frequência

décadas centradas em ω , enquanto o termo no denominador varia de -π/2 radianos nas duas décadas z

centradas em ω . Na Figura 12.5.e representa-se o diagrama de Bode de fase assintótico. p

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12.2 Circuitos Ressonantes

12.2 Circuitos Ressonantes

12.2.1 Circuito Ressonante Série Considere-se o circuito RLC representado na Figura 12.6.a, cuja fonte de sinal se admite ser de tipo sinusoidal (V =V∠ 0º). s

Figura 12.6 Circuitos ressonantes série (a) e paralelo (b) O fasor da corrente no circuito é dado pelo cociente

(12.25)

em que X =ωL e X =1/ωC. A corrente no circuito é máxima quando se verifica a igualdade X =X , isto é, L

C

L

C

quando

(12.26)

ou, ainda,

(12.27)

designada por frequência de ressonância. A esta frequência verifica-se a igualdade http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_12/circress.htm (1 of 11)06-06-2005 12:36:50

12.2 Circuitos Ressonantes

(12.28) a qual implica uma diferença de fase nula entre os fasores da tensão e da corrente no circuito. Considerem-se os fasores das tensões aos terminais de cada um dos componentes (R, L e C) à frequência de ressonância,

(12.29)

(12.30)

e

(12.31)

em que

(12.32)

define o factor de qualidade do circuito. O somatório dos fasores das tensões aos terminais do condensador e da bobina é, por definição de ressonância, nulo (12.33) apesar de a tensão aos terminais de cada um em separado poder atingir amplitudes muito superiores à da própria fonte de sinal. Por exemplo, se ao circuito representado na Figura 12.6.a se atribuírem os valores V=1V, R=10Ω, L=1mH e C=1nF, portanto Q =100, então à frequência ω=106 rad/s a amplitude da tensão s

aos terminais dos componentes L e C atinge valores tão elevados quanto 100 V. Um outro aspecto a ter em conta na ressonância é a dissipação e as trocas de energia que ocorrem nos e entre os componentes do circuito. Considerando ainda o circuito RLC-série da Figura 12.6.a, constata-se que a potência média dissipada pela resistência na ressonância é http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_12/circress.htm (2 of 11)06-06-2005 12:36:50

12.2 Circuitos Ressonantes

mW

(12.34)

e que as potências reactivas médias acumuladas na bobina e no condensador são, respectivamente,

VAr

(12.35)

VAr

(12.36)

e

ambas Q vezes superiores à potência dissipada por efeito de Joule na resistência. Pode também dizer-se s

que o factor de qualidade de um circuito é o cociente entre a potência média acumulada nos elementos reactivos e a potência média dissipada por efeito de Joule no componente resistivo (na ressonância)

(12.37)

Na ressonância, o condensador e a bobina trocam entre si as energias acumuladas, e não com a fonte. Considere-se ainda o circuito RLC-série em conjunto com a expressão do fasor da corrente respectiva

(12.38)

A corrente no circuito é máxima à frequência de ressonância (X =X ), e tende para zero nos limites quando L

C

a frequência se aproxima de zero ou de infinito. Como se indica na Figura 12.7, este comportamento em frequência indica tratar-se de um filtro passa-banda centrado na frequência de ressonância. Designam-se por frequências de corte do filtro os valores de ω para os quais a amplitude da resposta em frequência decresce de um factor de √ 2 relativamente ao valor máximo (na figura indicadas pelas siglas ω1 e ω2), e por largura de banda a diferença (12.39)

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12.2 Circuitos Ressonantes

Figura 12.7 Resposta em frequência de um circuito RLC-série ressonante As frequências de corte ocorrem quando se verifica a igualdade (12.40) ou seja (12.41) A frequência de corte ω2 ocorre quando

(12.42)

isto é,

(12.43)

Por outro lado,

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12.2 Circuitos Ressonantes

(12.44)

que em conjunto com (12.42) conduz à largura de banda

(12.45)

A frequência de ressonância e as frequências de corte verificam a igualdade (12.46) Na Figura 12.8 ilustra-se o efeito da variação dos parâmetros R, L e C sobre a selectividade da resposta em frequência do circuito ressonante série. No primeiro caso, Figura 12.8.a, mantêm-se fixas a capacidade do condensador e a indutância da bobina e varia-se o valor da resistência, isto é, mantém-se fixa a frequência central da banda de passagem e varia-se o factor de qualidade, a largura de banda e o valor da corrente na resistência. No segundo caso, representado em 12.8.b, varia-se o cociente L/C e mantêm-se fixos os valores do produto LC e da resistência, ou seja, mantêm-se fixos a frequência de ressonância e o valor máximo da corrente na resistência, e varia-se o factor de qualidade e a largura de banda respectiva.

Figura 12.8 Efeito dos parâmetros do circuito sobre a selectividade da resposta em frequência Um outro aspecto característico do circuito ressonante série é a amplitude da resposta em frequência das funções de transferência da entrada para os terminais da resistência, do condensador e da bobina. Por http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_12/circress.htm (5 of 11)06-06-2005 12:36:50

12.2 Circuitos Ressonantes

exemplo, no caso da tensão aos terminais da resistência obtém-se (12.47) a qual coincide na forma com a resposta em frequência da corrente. Pelo contrário, nos casos das tensões aos terminais do condensador e da bobina, obtém-se, respectivamente,

(12.48)

e (12.49) Como se pode verificar na Figura 12.9.a., os valores máximos das tensões aos terminais do condensador e da bobina não ocorrem exactamente à frequência de ressonância. No entanto, e como se indica na Figura 12.9.b, quando o factor de qualidade é superior a 10, as frequências de máximo são praticamente coincidentes com a frequência de ressonância do circuito. Por outro lado, verifica-se ainda que: (i) da entrada para os terminais da resistência a resposta em frequência é de tipo passabanda; (ii) da entrada para os terminais do condensador, é de tipo passa-baixo; (iii) e da entrada para os terminais da bobina, é de tipo passa-alto.

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12.2 Circuitos Ressonantes

Figura 12.9 Comparação das respostas em frequência das tensões aos terminais da resistência, do condensador e da bobina

12.2.2 Circuito Ressonante Paralelo Considere-se agora o circuito RLC-paralelo representado na Figura 12.10, aos terminais do qual se admite http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_12/circress.htm (7 of 11)06-06-2005 12:36:50

12.2 Circuitos Ressonantes

aplicada uma fonte de corrente sinusoidal cujo fasor é I=I∠ 0.

Figura 12.10 Circuito RLC-paralelo ressonante Este circuito apresenta um conjunto de características em tudo semelhantes às do circuito RLC-série, designadamente no que respeita à frequência de ressonância, ao factor de qualidade, à resposta em frequência e à largura de banda. Por exemplo, a admitância do circuito

(12.50)

caracteriza-se pela frequência de ressonância

(12.51)

à qual a impedância do circuito é máxima. Pode facilmente demonstrar-se que o factor de qualidade e a largura de banda são expressos por

(12.52)

e por

(12.53)

respectivamente, ao passo que as frequências de corte do filtro passa-banda correspondente são

(12.54)

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12.2 Circuitos Ressonantes

Na prática, a análise do circuito RLC-paralelo deve ter em conta a resistência de perdas do enrolamento da bobina, R , conforme se indica na Figura 12.11.a. Apesar de esta topologia ser aparentemente distinta L

daquela considerada anteriormente, podem facilmente calcular-se os valores da bobina e da resistência equivalente que o reconduzem à rede paralela anterior (Figura 12.11.b).

Figura 12.11 Circuito RLC-paralelo ressonante com resistência de perdas na bobina Assim, uma vez que

(12.55)

a multiplicação do numerador e do denominador pelo complexo conjugado (R-jωL) conduz ao resultado

(12.56)

Note-se, no entanto, que a resistência equivalente de perdas é uma função da frequência angular, e que a indutância equivalente é uma função da resistência de perdas. O circuito equivalente representado na Figura 12.11.b apresenta duas frequências características essencialmente distintas: a frequência de ressonância, à qual a parte imaginária da admitância do circuito é nula e a frequência de admitância mínima. Estas duas frequências não coincidem necessariamente, pois neste circuito a resistência e a indutância equivalentes são ambas uma função da frequência. A frequência de ressonância é tal que verifica a igualdade

(12.57)

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12.2 Circuitos Ressonantes

portanto

(12.58)

ou ainda

(12.59)

A frequência de máxima impedância do circuito é obtida igualando a zero a derivada da expressão (12.57) que, após simplificação, conduz a

(12.60)

portanto, à conclusão de que ω >ω r

Zmax

.

O factor de qualidade deste circuito é dado pelo cociente da resistência pela impedância da bobina equivalente (ou da capacidade) à frequência de ressonância (ver Figura 12.11.b)

(12.61)

Contudo, na maior parte dos casos práticos verifica-se que R

>L1R2. Na Figura 12.28 consideram-se dois filtros passa-banda de 1ª ordem alternativos às topologias em cascata anteriores. Em ambos os filtros, a amplitude da resposta em frequência é unitária em ω=1/√ LC, frequência à qual a bobina e o condensador se anulam mutuamente. Por outro lado, para frequências angulares superiores ou inferiores à frequência de ressonância, o divisor de impedâncias constituído pela resistência e pela malha LC apresenta valores sempre inferiores à unidade, sendo mesmo nulos para ω=0 e para ω=∞ . Este comportamento em frequência permite associar o circuito a um filtro passa-banda centrado na frequência de ressonância.

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12.4 Filtros Eléctricos

Figura 12.28 Filtros RLC passa-banda de 1.ª ordem As funções de transferência destes dois filtros são formalmente idênticas, designadamente

(12.112)

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12.4 Filtros Eléctricos

em (a), e

(12.113)

em (b).

12.4.4 Filtros Rejeita-Banda A função de um filtro rejeita-banda é atenuar uma ou várias gamas de frequências limitadas, seja superior seja inferiormente. Nas Figuras 12.29 e 12.30 ilustram-se os dois princípios com base nos quais se podem realizar filtros do tipo rejeita-banda. No primeiro caso, Figura 12.29, trata-se de estabelecer dois caminhos alternativos entre o terminal de entrada e o terminal de saída do filtro, um deles de tipo passa-alto e o outro de tipo passabaixo. Os sinais localizados entre as frequências de corte do filtro passa-baixo e do filtro passa-alto são rejeitados por ambos os caminhos.

Figura 12.29 Filtro rejeita-banda (por associação em paralelo de filtros passa-alto e passa-baixo) No segundo caso, Figura 12.30, explora-se o facto de o somatório das funções de transferência da entrada para os terminais dos diversos componentes do circuito ser obrigatoriamente unitário.

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12.4 Filtros Eléctricos

Figura 12.30 Filtro rejeita-banda (complementar de um filtro passa-banda) Como se ilustra na Figura 12.30.b, dado que a função de transferência da entrada para os terminais da resistência é de tipo passa-banda

(12.114)

então a sua complementar

(12.115)

deve necessariamente ser de tipo rejeita-banda, uma vez que ambas devem verificar a igualdade (12.116) Na Figura 12.31 considera-se um filtro rejeita-banda constituído pelo paralelo de um filtro passa-baixo (L e R ) e pb

um filtro passa-alto (C e R ). Este circuito particular pode ser redesenhado como na Figura 12.31.b, esquema no pa

qual se identifica uma das malhas RLC ressonantes estudadas anteriormente.

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12.4 Filtros Eléctricos

Figura 12.31 Filtro rejeita-banda Estes dois filtros rejeita-banda de 1.ª ordem caracterizam-se pela função de transferência

(12.117)

com R=R // R . A função de transferência (12.117) apresenta dois zeros imaginários puros no numerador, os pb

pa

quais para ω=ω anulam a amplitude da resposta em frequência (Figura 12.31.c). ο

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12.4 Filtros Eléctricos

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Sumário

Sumário

Designa-se por análise da resposta em frequência o estudo do cociente entre dois fasores em função da frequência. A representação em formato polar conduz a expressões para a amplitude e para a fase da resposta em frequência, cujas representações em escala logarítmica se designam diagramas de Bode. O decibell (dB) de amplitude é dado por 20log10 da amplitude da resposta em frequência. À frequência de ressonância, os circuitos apresentam um comportamento semelhante ao de uma rede resistiva pura, e os fasores da tensão e da corrente encontram-se em fase. A ressonância caracteriza-se pelas frequência de ressonância, factor de qualidade e largura de banda. Uma função de transferência é uma função complexa definida pelo cociente entre as transformadas de Laplace de duas variáveis de um circuito. O cálculo da função de transferência sobre o eixo imaginário coincide com a resposta em frequência do cociente entre os dois fasores respectivos. As raízes dos polinómios do numerador e do denominador de uma função de transferência designam-se por zeros e pólos, respectivamente. A representação gráfica no plano complexo dos pólos e dos zeros designa-se por diagrama de pólos e zeros. Os filtros eléctricos são circuitos cuja função é a selecção, rejeição ou igualização de uma ou várias gamas de frequência de um sinal eléctrico. Os filtros podem ser de cinco tipos básicos: passa-baixo, passa-alto, passa-banda, rejeita-banda e passa-tudo.

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Exercícios de Aplicação

Exercícios de Aplicação

*12.1 Represente os diagramas de pólos e zeros e as assíntotas dos diagramas de Bode de amplitude e de fase da resposta em frequência de cada uma das seguintes funções de transferência: com a=103 rad/s

(a)

(b)

com ω1=106 rad/s

(c)

(d)

(e)

(f)

*12.2 Para cada um dos circuitos representados na Figura E12.2, determine a função de transferência definida pelo cociente H(s)=V(s)/V (s). Determine também as expressões da amplitude e da fase da resposta s

em frequência e represente os diagramas de Bode assintóticos respectivos.

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Exercícios de Aplicação

Figura E12.2 12.3 Para cada um dos circuitos representados na Figura E12.3, determine a função de transferência respectiva, represente o diagrama de pólos-zeros e indique o tipo de filtro que implementam.

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Exercícios de Aplicação

Figura E12.3 *12.4 Considere os diagramas de Bode de amplitude e de fase da Figura E12.4. Calcule os valores das frequências dos zeros e dos pólos e determine a respectiva função de transferência.

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Exercícios de Aplicação

Figura E12.4

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Simulador da Resposta em Frequência de Circuitos

Simulador da Resposta em Frequência de Circuitos

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11.1 Fasor e Impedância

11.1 Fasor e Impedância

11.1.1 Números Complexos e Sinais Sinusoidais Os números complexos podem ser representados em dois formatos básicos (Figura 11.1): no formato rectangular P = a + jb

(11.1)

em que a e b definem as coordenadas rectangulares do ponto no plano, e no formato polar P = P∠ θ

(11.2)

cuja representação em notação exponencial é jθ

P = Pe

(11.3)

e em que P eθ definem, respectivamente, o módulo e o ângulo com a horizontal do segmento que une o ponto com a origem. A conversão entre estes dois formatos baseia-se nas regras

Figura 11.1 Representação de um número complexo nos formatos rectangular (a) e polar (b)

(11.4)

e

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11.1 Fasor e Impedância

(11.5)

Os sinais sinusoidais são caracterizados por uma amplitude, uma frequência angular e uma fase na origem. Por exemplo, o sinal v(t) = Vcos(ωt+θ)

(11.6)

define uma tensão eléctrica sinusoidal de amplitude máxima V, frequência angular ω e fase na origem θ. Por outro lado, as funções cos(x) e sin(x) podem ser expressas em notação exponencial

(11.7)

e

(11.8)

respectivamente, podendo as exponenciais complexas expressar-se nas formas (11.9) e (11.10) Uma notação alternativa para as funções cos(x) e sin(x) consiste na utilização dos operadores Real de e Imaginário de. Neste caso, (11.11) e

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11.1 Fasor e Impedância

(11.12) Os operadores Real de e Imaginário de gozam das seguintes propriedades:

(11.13)

relativamente ao operador derivada, e (11.14) relativamente ao operador adição. Admita-se então que se pretende derivar o resultado da soma de duas funções sinusoidais, por exemplo

(11.15)

Recorrendo à notação estabelecida anteriormente, e sabendo que sin(x)=cos(x-π/2), obtém-se

(11.16)

que após aplicação sucessiva das propriedades enunciadas em (11.13) e (11.14) se simplifica para

(11.17)

ou seja, (11.18) ou ainda

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11.1 Fasor e Impedância

(11.19) como seria de esperar por resolução directa de (11.15). De acordo com este resultado, o tratamento de uma equação com funções sinusoidais pode ser efectuada recorrendo à função exponencial complexa, bastando para tal aplicar o seguinte procedimento: (i) escreve-se a equação com base apenas na função cos(x); j

(ii) converte-se a equação para a notação exponencial, efectuando a conversão cos(x) → e (x);

(iii) trata-se a equação na notação exponencial; (iv) converte-se o resultado da notação exponencial à forma inicial, através do operador Real de.

11.1.2 Fasor Considere-se a função exponencial complexa (11.20) em conjunto com a sua representação no plano complexo (Figura 11.2.a). Nos instantes t=t a exponencial i

complexa vale (11.21) valores que se repetem com uma periodicidade T=2π/ω. A periodicidade da função em (11.20) indica que o segmento que une o centro do plano complexo aos pontos sobre a circunferência de raio A roda com uma velocidade angular de ω rad/s. No entanto, se se considerar um novo referencial que roda no sentido antihorário com uma velocidade angular ω, então nesse plano obtém-se (Figura 11.2.b) (11.22) grandeza que é complexa, designada por fasor e representada pelas formas (11.23)

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11.1 Fasor e Impedância

ou (11.24)

Figura 11.2 Conceito de fasor A importância da notação fasorial na análise do regime forçado sinusoidal deve-se ao facto de nos circuitos lineares excitados por fontes sinusoidais as tensões e as correntes em todos os nós e componentes do circuito serem também sinusoidais e com a mesma frequência angular. As metodologias de análise e de representação das grandezas podem, portanto, ser abreviadas, de modo a conterem apenas a informação relativa à amplitude e à fase na origem, relegando para segundo plano aquela relativa à frequência angular (e ao tempo) que, como se disse, é comum a todo o circuito. No entanto, a informação relativa à dinâmica temporal pode sempre ser recuperada, por exemplo através da sequência de operações (11.25)

11.1.3 Impedância Eléctrica Considere-se a resistência representada na Figura 11.3.a, em conjunto com a Lei de Ohm correspondente (11.26) e admita-se que a corrente é sinusoidal, i(t)=Icos(ωt+θ). De acordo com (11.26), a tensão aos terminais da resistência é também sinusoidal (11.27) e apresenta uma fase na origem idêntica à da corrente. A representação da Lei de Ohm em notação http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_11/fasorimp.htm (5 of 9)06-06-2005 12:37:05

11.1 Fasor e Impedância

exponencial (11.28) permite escrever a relação fasorial (11.29)

Figura 11.3 Impedância eléctrica da resistência a qual, basicamente, indica que os fasores da corrente e da tensão na resistência se encontram relacionados pelo parâmetro resistência eléctrica. Como se indica na Figura 11.3.b, e dada a natureza real do parâmetro R, os fasores da tensão e da corrente na resistência encontram-se em fase. Designa--se por impedância eléctrica da resistência o cociente entre os fasores da tensão e da corrente (Figura 11.3.c)

Ω, ohm

(11.30)

Considere-se agora o condensador representado na Figura 11.4, cuja característica tensão-corrente é expressa pela derivada

(11.31)

e admita-se ainda que a tensão aplicada é sinusoidal, v(t)=Vcos(ωt+θ). Neste caso, a representação em notação exponencial

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11.1 Fasor e Impedância

(11.32) permite escrever a relação fasorial entre a tensão e a corrente

(11.33)

a qual indica que no condensador o fasor da corrente se encontra avançado de π/2 radianos relativamente ao fasor da tensão (Figura 11.4.b). A impedância eléctrica do condensador é um número imaginário puro (Figura 11.4.b)

Ω, ohm

(11.34)

cujo módulo é inversamente proporcional à frequência angular da sinusóide sob análise.

Figura 11.4 Impedância eléctrica do condensador Por analogia com os resultados anteriores, verifica-se que a característica tensão-corrente da bobina (Figura 11.5)

(11.35)

conduz à relação fasorial

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11.1 Fasor e Impedância

(11.36)

de onde se obtém a expressão da impedância eléctrica

Ω, ohm

(11.37)

A relação (11.37) indica que o fasor da tensão na bobina se encontra avançada de π/2 radianos relativamente à corrente.

Figura 11.5 Impedância eléctrica da bobina Considere-se o circuito RL representado na Figura 11.6.a e admita-se que a tensão aplicada é sinusoidal. Neste caso,

(11.38)

isto é, (11.39) e a impedância do conjunto é (11.40)

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11.1 Fasor e Impedância

A impedância eléctrica de um componente ou de um conjunto de componentes é um número complexo cuja representação no formato polar é

(Figuras 11.6.b), em que Z e ϕ representam o módulo e a fase, respectivamente, ao passo que no formato rectangular é

(Figura 11.6.c), em que R e X representam, respectivamente, as partes real e imaginária (esta última é vulgarmente designada por reatância). O inverso da impedância designa-se por admitância eléctrica, cuja unidade é o siemens (S).

Figura 11.6 Circuito RL (a) e representação em coordenadas rectangulares (b) e polares (c) da impedância eléctrica Na Tabela 11.1 resumem-se as características tensão-corrente no domínio do tempo, as relações fasoriais, as impedâncias e as admitâncias eléctricas dos componentes resistência, condensador e bobina.

COMPONENTE resistência

DOMÍNIO TEMPO v(t)=Ri(t)

NOTAÇÃO IMPEDÂNCIA ADMITÂNCIA FASORIAL (S) (Ω) V=RI

condensador

I=jωCV

bobina

V=jωLI

R

G jωC

jωL

Tabela 11.1 Resistência, condensador e bobina

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11.2 Leis de Kirchhoff em Notação Fasorial

11.2 Leis de Kirchhoff em Notação Fasorial

A validade das Leis de Kirchhoff estende-se à análise em notação fasorial do regime forçado sinusoidal. Por exemplo, o somatório dos fasores de tensão ao longo de um caminho fechado satisfaz a igualdade (Figura 11.7. a) (11.41) o mesmo se verificando com o somatório dos fasores das correntes incidentes num qualquer nó de um circuito (Figura 11.7.b) (11.42) A aplicação conjunta das Leis de Kirchhoff e das relações fasoriais da resistência, do condensador e da bobina, permitem obter para as impedâncias exactamente as mesmas regras de associação em série e em paralelo estabelecidas no Capítulo 4, no âmbito dos circuitos resistivos puros. Por exemplo, no circuito da Figura 11.7.a verifica-se que

Figura 11.7 Leis de Kirchhoff em notação fasorial (11.43) ou seja, (11.44) igualdade na qual se inscreve a expressão da associação em série de impedâncias

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11.2 Leis de Kirchhoff em Notação Fasorial

(11.45) Por outro lado, a aplicação da Lei de Kirchhoff das correntes ao circuito da Figura 11.7.b permite obter sucessivamente (11.46) e (11.47) igualdades nas quais se inscreve a expressão da associação em paralelo de admitâncias (11.48) ou seja,

(11.49)

Pode ainda demonstrar-se que as regras dos divisores de tensão e de corrente, estudados no Capítulo 4, são transponíveis para a análise fasorial do regime forçado sinusoidal. Por exemplo, e referindo aos dois circuitos representados em 11.8, verifica-se que

(11.50)

no caso do divisor de tensão em (a), e

(11.51)

no caso do divisor de corrente em (b).

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11.2 Leis de Kirchhoff em Notação Fasorial

Figura 11.8 Divisores de tensão (a) e de corrente (b) em notação fasorial

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11.3 Métodos de Análise em Notação Fasorial

11.3 Métodos de Análise em Notação Fasorial

Os métodos de análise de circuitos são generalizáveis à análise fasorial do regime forçado sinusoidal. Os procedimentos de aplicação dos métodos dos nós e das malhas coincidem na forma com aqueles estabelecidos no Capítulo 5. São válidas todas as considerações relativas à construção da matriz do circuito e dos vectores coluna das variáveis e das fontes independentes, para além, naturalmente, dos diversos casos particulares que permitem identificar a priori o número de equações linearmente independentes e a dimensão da relação matricial a resolver. Em vez de repetir os dois métodos alternativos, e naturalmente todos os seus casos particulares, optou-se por desenvolver dois exemplos de aplicação cuja resolução ilustra as diferenças existentes na parte numérica da obtenção dos resultados. Considere-se então o circuito representado na Figura 11.9, com duas fontes de tensão sinusoidais de igual frequência angular, V 1 e V 2, e três impedâncias, Z1, Z2 e Z3, todas elas especificadas no formato polar. s

s

Pretende-se determinar o fasor da corrente na impedância Z1, no sentido indicado na figura.

Figura 11.9 Método das malhas em notação fasorial (as fases estão especificadas em grau) De acordo com o procedimento estabelecido no Capítulo 5, a aplicação da Lei de Kirchhoff das tensões às malhas-1 e -2 permite escrever a relação matricial

(11.52)

cujas variáveis são os fasores das correntes nas malhas-1 e -2. A aplicação da regra de Cramer permite obter a expressão do fasor da corrente I1

(11.53)

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11.3 Métodos de Análise em Notação Fasorial

a qual, por substituição dos valores indicados na Figura 11.9, conduz ao valor (a fase é especificada em radianos) I1 = 49.2 ∠ 0.098

mA

(11.54)

mA

(11.55)

ou seja i1(t) = 49.2 cos(ωt+0.098)

Considere-se agora o circuito representado na Figura 11.10, no qual se indicam os valores da capacidade, da indutância, das resistências e da frequência angular da sinusóide imposta pela fonte de corrente. Pretende-se determinar o fasor da tensão V 1 aos terminais do condensador. C

A aplicação da Lei de Kirchhoff das correntes aos nós-1 e -2 do circuito permite escrever a relação matricial

(11.56)

cujas variáveis são os fasores das tensões nos nós-1 e -2. A aplicação da regra de Cramer permite obter a expressão do fasor da tensão V1

(11.57)

cuja solução numérica é V1=1 ∠ -0.927

(11.58)

No domínio do tempo, a tensão aos terminais do condensador toma então a forma v1(t)= cos(10000t-0.927)

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(11.59)

11.3 Métodos de Análise em Notação Fasorial

Figura 11.10 Método dos nós em notação fasorial

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11.4 Teoremas Básicos em Notação Fasorial

11.4 Teoremas Básicos em Notação Fasorial

11.4.1 Transformação de Fonte Uma fonte de tensão sinusoidal não ideal, expressa por um fasor de tensão (V ) e por uma impedância (Z ), pode s

s

ser transformada numa fonte de corrente sinusoidal por aplicação da transformação (11.60) e

(11.61)

Figura 11.11 Transformação de fonte em notação fasorial Na Figura 11.12 representam-se alguns exemplos de fontes às quais se aplicou o teorema da transformação de fonte.

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11.4 Teoremas Básicos em Notação Fasorial

Figura 11.12 Transformação de fonte em notação fasorial Por exemplo, no caso (b) verifica-se que

(11.62)

e que

(11.63)

em que θ representa a fase na origem da fonte de tensão e ϕ o ângulo do número complexo representativo da s

s

impedância da fonte.

11.4.2 Teorema de Thévenin e Equivalente de Norton A metodologia de cálculo dos equivalentes de Thévenin e de Norton fasoriais baseia-se num conjunto de procedimentos em tudo semelhantes aos estabelecidos no Capítulo 6, para os circuitos resistivos puros. Na Figura 11.13 apresentam-se diversos circuitos que exemplificam a metodologia de cálculo dos equivalentes de http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_11/tebanofa.htm (2 of 10)06-06-2005 12:37:11

11.4 Teoremas Básicos em Notação Fasorial

Thévenin e de Norton em notação fasorial.

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11.4 Teoremas Básicos em Notação Fasorial

Figura 11.13 Equivalentes de Thévenin e de Norton em notação fasorial No circuito da Figura 11.13.a, o fasor da tensão de Thévenin coincide com a tensão em aberto medida entre os terminais a-b,

(11.64)

ao passo que a impedância de Thévenin é expressa por

(11.65)

No caso de 11.13.b, a fonte de corrente de Norton é

(11.66)

e a impedância (11.67) Finalmente, nos circuitos de 11.13.c e 11.13.d obtêm-se, respectivamente, os equivalentes de Thévenin

(11.68)

(11.69)

e

(11.70)

11.4.3 Teorema da Sobreposição das Fontes A generalização do teorema da sobreposição das fontes à análise fasorial do regime forçado sinusoidal - ou seja, http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_11/tebanofa.htm (4 of 10)06-06-2005 12:37:11

11.4 Teoremas Básicos em Notação Fasorial

a adição dos fasores associados a fontes sinusoidais distintas - só pode efectuar-se nos casos em que se verifique uma mesma frequência angular. Na Figura 11.14 visualiza-se a causa desta limitação da aplicação do teorema da sobreposição das fontes: os fasores associados a frequências angulares distintas reportam-se a planos complexos distintos, em particular devido à diferente velocidade angular com que cada plano é suposto girar. Por outro lado, frequências angulares distintas conduzem a valores também distintos para as impedâncias dos elementos condensador e bobina, devendo as contribuições de cada uma das fontes reportar-se aos seus parâmetros próprios.

Figura 11.14 Fasores de sinais sinusoidais com frequências angulares distintas Considere-se então o circuito representado na Figura 11.15.a e admita-se que as duas fontes independentes sinusoidais se caracterizam pela mesma frequência angular.

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11.4 Teoremas Básicos em Notação Fasorial

Figura 11.15 Teorema da sobreposição das fontes (fontes sinusoidais com idêntica frequência angular) De acordo com o teorema da sobreposição das fontes (em notação fasorial), o fasor da tensão V2 é expresso pelo somatório (11.71) em que (Figura 11.15.b)

(11.72)

e (Figura 11.15.c)

(11.73)

ou seja,

(11.74)

O fasor em (11.74) corresponde à expressão no domínio do tempo

(11.75)

Considere-se agora o circuito da Figura 11.16.a e admita-se que as duas fontes de sinal são sinusoidais, mas apresentam frequências angulares distintas, ω1≠ ω2.

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11.4 Teoremas Básicos em Notação Fasorial

Figura 11.16 Teorema da sobreposição das fontes (fontes sinusoidais com frequências angulares distintas) As consequências desta diferença são basicamente duas: (i) as impedâncias dos componentes do circuito diferem consoante a fonte considerada; (ii) os fasores relativos a cada uma das fontes não podem ser adicionados entre si, sendo necessário convertê-los primeiramente para o domínio do tempo. Assim, no caso da fonte Vs (Figura 11.16.b) o fasor da tensão V2 é

(11.76)

subjacente ao qual se encontra a frequência ω1=1000 rad/s, ao passo que no caso da fonte I (Figura 11.16.c) o s

fasor é

(11.77)

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11.4 Teoremas Básicos em Notação Fasorial

em que ω2=10000 rad/s. No domínio do tempo a tensão v2(t) é expressa por

(11.78)

um resultado distinto daquele obtido em (11.75).

11.4.4 Teorema de Millman A generalização do teorema de Millman é consequência da validade da transformação de fonte no regime forçado sinusoidal. Como a Figura 11.17 indica visualmente, a aplicação sucessiva da transformação de fonte permite associar e simplificar tanto a associação em paralelo de fontes de tensão não ideais, como a associação em série de fontes de corrente. A informação contida nas figuras é suficiente para constatar a igualdade na forma entre o teorema de Millman em notação fasorial e no domínio do tempo.

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11.4 Teoremas Básicos em Notação Fasorial

Figura 11.17 Teorema de Millman

11.4.5 Teorema de Miller Considere-se o circuito da Figura 11.18, relativamente ao qual se pretende determinar a impedância equivalente à direita dos terminais a-b.

Figura 11.18 Teorema de Miller http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_11/tebanofa.htm (9 of 10)06-06-2005 12:37:11

11.4 Teoremas Básicos em Notação Fasorial

A particularidade deste circuito consiste no facto de a impedância Z se encontrar ligada a dois terminais entre os quais existe uma relação de ganho, conseguido pela fonte dependente -aV . A aplicação da Lei de Kirchhoff das x

tensões à única malha do circuito permite escrever a igualdade (11.79) na qual se inscreve a impedância à direita dos terminais a-b

(11.80)

A relação (11.80) indica que a impedância Z é dividida pelo factor (1+a), indicativo da tensão que na realidade se encontra aplicada aos terminais. Um resultado de particular interesse inscrito na relação (11.80) é o designado efeito de Miller sobre a capacidade dos condensadores. Como se indica na Figura 11.19, nos casos em que a impedância Z é definida por um condensador, Z=(jωC)-1, o valor aparente da capacidade é amplificado de um factor (1+a)

(11.81)

O efeito de Miller é amplamente utilizado na compensação da resposta em frequência de amplificadores operacionais e na redução do efeito de injecção do sinal de relógio em circuitos amostradores-retentores de sinal.

Figura 11.19 Efeito de Miller sobre a capacidade de um condensador

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11.5 Potência

11.5 Potência

11.5.1 Potência nos Elementos R, C e L Considere-se o circuito representado na Figura 11.20 e admita-se que o fasor da fonte de tensão é V =V∠ 0. s

Figura 11.20 Potência dissipada numa resistência no regime forçado sinusoidal Dada a natureza real da resistência, o fasor da corrente no circuito encontra-se em fase com o da tensão

(11.82)

Em valores instantâneos, (11.83) e

(11.84)

que em conjunto conduzem à expressão da potência instantânea

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11.5 Potência

(11.85)

Uma vez que a potência instantânea é periódica no tempo, e em particular com período duplo daqueles característicos da corrente e da tensão (Figura 11.21.b), o valor médio respectivo é dado pelo integral

(11.86)

ou seja,

(11.87)

ou ainda

(11.88)

A potência média dissipada numa resistência pode ainda ser expressa em função do valor eficaz da tensão ou da corrente (também designado valor rms, do inglês root mean square)

(11.89)

valor que no caso dos sinais sinusoidais é dado por

(11.90)

Considere-se agora o circuito da Figura 11.21, cujos fasores da tensão e da corrente se encontram desfasados de π/2 radianos,

(11.91)

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11.5 Potência

ou seja, (11.92) e

(11.93)

respectivamente. A potência instantânea fornecida ao condensador (Figura 11.21.b) é expressa pelo produto

(11.94)

cujo valor médio no tempo é nulo,

(11.95)

O resultado em (11.105) indica que o condensador não dissipa energia eléctrica, pelo contrário é um elemento capaz de armazenar e restituir energia à fonte de alimentação. É facilmente demonstrável que a potência média dissipada numa bobina é identicamente nula.

Figura 11.21 Potência acumulada num condensador no regime forçado sinusoidal

11.5.2 Potência nos Circuitos RC e RL Considere-se o circuito RC da Figura 11.22, relativamente ao qual se pretende determinar as potências instantânea e média fornecida pela fonte.

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11.5 Potência

Figura 11.22 Potência dissipada num circuito RC De acordo com a metodologia estabelecida anteriormente, o fasor da corrente no circuito é expresso pelo cociente

(11.96)

em que ϕ=artg(-1/ωRC). As expressões da tensão e da corrente no domínio do tempo são, respectivamente, (11.97) e

(11.98)

A potência instantânea fornecida ao circuito pela fonte é expressa pelo produto

(11.99)

ou ainda

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11.5 Potência

(11.100)

cujo valor médio no tempo é

(11.101)

ou

(11.102)

ou ainda

(11.103)

em que Z define o módulo da impedância do conjunto RC. Observando o triângulo das impedâncias da Figura 11.22.b verifica-se que (11.104) isto é, que a potência fornecida pela fonte ao circuito coincide na íntegra com aquela dissipada na resistência

(11.105)

O resultado expresso por (11.105) concorda com a conclusão obtida anteriormente para as potências médias dissipadas pelos elementos resistência e condensador. A potência fornecida pela fonte é, assim, composta por duas parcelas: (i) uma parcela relativa à energia dissipada por efeito de Joule na resistência, que constitui um processo irreversível;

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11.5 Potência

(ii) e outra parcela, alternadamente acumulada e restituída pelo condensador à fonte. Estas trocas de energia contribuem apenas para aumentar a amplitude máxima da corrente no circuito. Pode facilmente demonstrar-se que a potência fornecida por uma fonte a um circuito RL coincide com aquela estabelecida em (11.105).

11.5.3 Potências Activa, Reactiva e Aparente Considere-se o circuito representado em 11.23.a, constituído por uma fonte de tensão sinusoidal e uma impedância Z=R+jX (Figuras 11.23 a e b).

Figura 11.23 Potências aparente, activa e reactiva Admita-se ainda que a parte imaginária da impedância é positiva (hipótese que equivale a considerar a carga como um circuito RL), que o fasor da tensão aplicada é (11.106) e que, portanto, o fasor da corrente no circuito é (Figura 11.23.c)

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11.5 Potência

(11.107)

O produto

VA, volt-ampere

(11.108)

define a potência aparentemente fornecida ao circuito pela fonte, potência que inclui seja a fracção dissipada na parte resistiva da impedância, seja a parte trocada com a parte imaginária. Por outro lado, designa-se por potência reactiva o produto

VAr, volt-ampere reactivo

(11.109)

que representa a potência alternadamente trocada entre a fonte de tensão e o elemento acumulador de energia. As potências aparente, reactiva e activa (activa no sentido de potência dissipada por efeito de Joule sobre as resistências) definem o triângulo das potências representado na Figura 11.23.d. As potências activa e reactiva definem os catetos do triângulo, em direcções perpendiculares entre si, ao passo que a hipotenusa do mesmo define a potência aparente. O cociente entre a potência dissipada por efeito de Joule e a potência aparente

(11.110)

é designado por factor de potência da carga e constitui uma medida da eficácia com que a potência é transferida da fonte para a carga. Quando o factor de potência é inferior à unidade, a corrente no circuito encontra-se acima do valor estritamente necessário para transferir a potência que na realidade se transfere, ocorrendo perdas de energia desnecessárias por efeito de Joule sobre as linhas de distribuição. A correcção do factor de potência é uma das tarefas que mais preocupa as companhias distribuidoras de energia eléctrica. Com efeito, os consumidores de energia eléctrica, sejam eles os motores das fábricas, os electrodomésticos nas casas etc., conduzem em geral a impedâncias com carácter indutivo, isto é, a cargas cuja parte imaginária é positiva. Nestes casos, o factor de potência pode ser aumentado introduzindo, em paralelo com a carga, um condensador de compensação, conduzindo assim à redução da parte reactiva da potência.

11.5.4 Teorema da Máxima Transferência de Potência No âmbito dos circuitos resistivos puros, constatou-se que a máxima transferência de potência entre uma fonte e uma carga ocorre quando estas se encontram adaptadas, isto é, quando a carga e a resistência de saída da fonte apresentam valores idênticos. Este teorema pode ser generalizado ao âmbito da análise fasorial do http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_11/potencia.htm (7 of 9)06-06-2005 12:37:14

11.5 Potência

regime forçado sinusoidal, concluindo-se neste caso que a máxima transferência de potência ocorre quando as impedâncias da fonte e da carga são complexas conjugadas. Considere-se então o circuito representado na Figura 11.24, constituído por uma fonte de tensão sinusoidal com impedância de saída Z =R +jX , e por uma carga complexa, Z=R+jX. s

s

s

Figura 11.24 Teorema da máxima transferência de potência O fasor da corrente no circuito é dado pelo cociente

(11.111)

cujo módulo é

(11.112)

De acordo com os resultados obtidos na secção anterior, o valor médio da potência activa (de Joule) efectivamente dissipada pela carga é

(11.113)

Independentemente das partes resistivas da impedância de saída da fonte e da carga, R e R respectivamente, s

ambas positivas, o máximo da transferência de potência ocorre certamente quando (11.114) dado que estas podem ser positivas (as bobinas) ou negativas (os condensadores). Neste caso, a expressão da potência média em (11.113) simplifica-se para http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_11/potencia.htm (8 of 9)06-06-2005 12:37:14

11.5 Potência

(11.115)

expressão que coincide na forma com aquela obtida anteriormente no âmbito da análise dos circuitos resistivos puros. A determinação do máximo de (11.115) conduz então ao resultado (11.116) o qual, em conjunto com (11.114), permite escrever a condição de máxima transferência de potência (11.117) Na Figura 11.25 ilustra-se o significado prático da adaptação de impedâncias entre fonte e carga: a igualdade X=-X equivale a cancelar a parte reactiva do conjunto de impedâncias formado pela fonte e pela carga, ou s

seja, a reconduzir o circuito à forma encontrada na análise das redes resistivas puras (Figura 11.25.b). Convém, no entanto, salientar o facto de a adaptação de impedâncias se verificar apenas para uma frequência angular bem definida. Significa isto que a escolha da impedância de carga deve ser feita em função da frequência para a qual se pretende maximizar a transferência de potência.

Figura 11.25 Adaptação de impedâncias

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Sumário

Sumário

O regime forçado sinusoidal estuda as relações existentes entre as amplitudes e as fases das variáveis tensão e corrente eléctrica nos circuitos excitados exclusivamente por fontes sinusoidais. O fasor é uma entidade complexa que compila a informação relativa à amplitude e à fase na origem de uma sinusóide de tensão ou corrente, ao passo que a impedância eléctrica é o número complexo resultante do cociente entre os fasores de tensão e corrente num componente. Os elementos resistência, condensador e bobina apresentam impedâncias dadas por R, jωL e 1/jωC, respectivamente, sendo nos dois últimos casos uma função da frequência angular sob análise. As Leis de Kirchhoff das tensões e das correntes, as regras de associação série e paralelo de impedâncias e as regras dos divisores de tensão e de corrente são generalizáveis à análise fasorial do regime forçado sinusoidal. O mesmo sucede com os métodos das malhas e dos nós, e os teoremas da transformação de fonte, de Thévenin, de Norton, da sobreposição das fontes, de Millman e de Miller. Apenas a resistência é responsável pela dissipação de energia (o efeito de Joule). Os elementos condensador e bobina acumulam e restituem energia às fontes. A máxima transferência de potência entre uma fonte e uma carga complexa ocorre quando a carga e a impedância de saída da fonte são complexas conjugadas. Esta situação é designada por adaptação de impedâncias.

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Exercícios de Aplicação

Exercícios de Aplicação

*11.1 Admitindo que a relação entre a corrente e a tensão num componente é dada por: (a) v(t)= 10 cos(10000t) e i(t)= 0.01 cos(10000t); (b) v(t)= 10 cos(10000t+π/2) e i(t)= 0.01 cos(10000t); (c) v(t)= 10 cos(10000t+π/2) e i(t)= 0.01 cos(10000t+π). Indique qual o tipo de elemento em questão. *11.2 Considere as seguintes expressões das tensões eléctricas v1(t) e v2(t) aos terminais de dois elementos de um circuito: (a) v1(t)=10cos(10000t) e v2(t)=10cos(10000t+π/2); (b) v1(t)=10cos(t+π/3) e v2(t)=10cos(t+π/2). Em cada um dos casos determine a expressão da tensão v(t)=v1(t)+v2(t), recorrendo à notação fasorial. *11.3 Efectue os seguintes cálculos:

(a)

(b)

*11.4 Determine o valor do módulo, da fase, da parte real e da parte imaginária das impedâncias e admitâncias representadas na Figura E11.4. Em qualquer dos casos, considere uma frequência f=1000 Hz.

Figura E11.4

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Exercícios de Aplicação

11.5 Considere o circuito representado na Figura E11.5. Determine os valores numéricos dos seguintes fasores e impedâncias: (a) a impedância vista à direita dos terminais da fonte; (b) o fasor da corrente fornecida pela fonte de tensão.

Figura E11.5 *11.6 Considere o circuito representado na Figura E11.6. Por aplicação do método dos nós, determine o fasor da tensão aos terminais do condensador. Estabeleça também a expressão da tensão no domínio do tempo.

Figura E11.6 *11.7 Considere o circuito representado na Figura E11.7. Determine a expressão da corrente i(t) na resistência R.

Figura E11.7 11.8 Considere os circuitos representados na Figura 11.8. Por aplicação do método dos nós ou das malhas, obtenha a relação matricial relativa às tensões e às correntes nos diversos nós e elementos do circuito.

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Exercícios de Aplicação

Figura E11.8

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Exercícios de Aplicação

*11.9 Determine os equivalentes de Thévenin e Norton dos circuitos representados na Figura E11.9.

Figura E11.9 *11.10 Por aplicação do teorema da sobreposição das fontes, determine a expressão da tensão v (t) indicada no o

circuito representado na Figura E11.10. Admita que: (a) ω1=ω2=1000 rad/s; (b) ω1=1000 rad/s e ω2=500 rad/s.

Figura E11.10 http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_11/exapl_11.htm (4 of 5)06-06-2005 12:37:16

Exercícios de Aplicação

11.11 Considere os circuitos representados na Fig.E.11.11. Determine o valor da indutância (L) e da resistência (R) para as quais se verifica a máxima transferência de potência entre a fonte e a carga RL.

Figura E11.11 11.12 Considere o circuito representado na Figura E11.12. Determine: (a) a potência instantânea transferida para cada elemento; (b) a potência média dissipada por cada elemento; (c) a potência activa, aparente e reactiva fornecida pela fonte.

Figura E11.12 Desenhe o respectivo triângulo das potências.

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10.1 Topologias Básicas

10.1 Topologias Básicas

Um circuito é de 2.ª ordem quando contém dois elementos armazenadores de energia irredutíveis entre si (dois condensadores, duas bobinas ou um condensador e uma bobina). Dois elementos são irredutíveis entre si quando se não podem associar ou em série ou em paralelo. Na Figura 10.1 apresentam-se alguns circuitos com múltiplos condensadores e bobinas, uns de 1.ª e outros de 2.ª ordem. Por exemplo, apesar de os circuitos energia, as dinâmicas RC e RL representados nas Figuras 10.1.b e 10.1.c conterem múltiplos elementos armazenadores de respectivas são ainda governadas por equações diferenciais de 1ª ordem. Pelo contrário, os circuitos representados nas Figuras.10.1.d, 10.1.e, 10.1.f e 10.1.g são todos de 2.ª ordem, uns porque são constituídos por um condensador e uma bobina, e outros porque são constituídos por condensadores ou bobinas irredutíveis entre si por associação em série ou em paralelo.

Figura 10.1 Circuitos de 1.ª e de 2.ª ordem

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10.1 Topologias Básicas

Independentemente da complexidade aparente da sua topologia, qualquer circuito RC, RL ou RLC de 2.ª ordem pode sempre ser redesenhado numa das três configurações básicas ilustradas na Figura 10.2. O bloco central define um subcircuito constituído unicamente por resistências e fontes de tensão ou de corrente, bloco que se encontra ligado nos seus dois portos de acesso a dois elementos armazenadores de energia. A representação de um circuito nesta forma permite simplificar a formulação das equações diferenciais que governam a dinâmica temporal respectiva, vantagem que adiante se verá ser particularmente notória na aplicação do método das variáveis de estado. A título de exemplo, na Figura 10.3 redesenham-se os esquemas eléctricos dos quatro circuitos de 2.ª ordem representados na Figura 10.1.

Figura 10.2 Circuito RC (a), RL (b) e RLC (c) de 2.ª ordem

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10.2 Formulação das Equações

10.2 Formulação das Equações

Existem duas alternativas para a representação das equações que governam o funcionamento de um circuito de 2.ª ordem: (i) representação na forma de uma equação diferencial linear escalar de 2.ª ordem

(10.1)

em que α e ω

2 o

são duas constantes designadas por coeficiente de amortecimento e frequência

angular de oscilação, f(t) representa o termo forçado pelas fontes independentes do circuito e x(t) define a variável (tensão ou corrente) cuja dinâmica se pretende estabelecer; (ii) representação na forma de um sistema de equações diferenciais de 1.ª ordem,

(10.2)

designadas no conjunto por equações de estado do circuito. Neste caso, x1(t) e x2(t) representam as variáveis associadas à energia nos elementos condensador e bobina, respectivamente a tensão e a corrente, f1(t) e f2(t) constituem o vector dos termos forçados pelas fontes independentes no circuito e, finalmente, a matriz A representa a topologia do circuito considerado. A forma (10.2) transporta consigo o potencial da simulação numérica da dinâmica temporal de um circuito. As equações (10.1) e (10.2) podem ser obtidas por intermédio de três métodos alternativos: o método da substituição, o método do operador-s e o método das variáveis de estado. De seguida exemplifica-se a aplicação de cada um destes métodos alternativos a diversos circuitos de 2ª ordem.

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10.2 Formulação das Equações

Figura 10.3 Representações simplificadas de quatro circuitos de 2.ª ordem

10.2.1 Método da Substituição O método da substituição é geralmente utilizado na análise de circuitos de reduzida complexidade. Dois exemplos de circuitos deste tipo são as redes representadas na Figura 10.4.

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10.2 Formulação das Equações

Figura 10.4 Aplicação do método da substituição Considere-se então o circuito RLC-série sem fontes independentes representado na Figura 10.4.a. A aplicação da Lei de Kirchhoff das tensões à malha do circuito permite escrever a igualdade v (t) + v (t) + v (t) = 0 R

L

(10.3)

C

a qual, em conjunto com as características tensão-corrente dos componentes, se pode reescrever como

(10.4)

em que i(t) e v (t) definem, respectivamente, a corrente na bobina (e no condensador) e a tensão no condensador. C

No entanto, por substituição da característica tensão-corrente do condensador, i(t)=Cdv (t)/dt, obtém-se C

(10.5)

ou ainda

(10.6)

Caso o objectivo da análise consistisse na determinação da equação diferencial que governa a corrente na bobina, i (t), então a passagem entre as equações (10.4) e (10.5) deveria ter sido efectuada recorrendo à característica L

inversa do condensador,

(10.7)

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10.2 Formulação das Equações

isto é, através da escrita de (10.4) na forma (i =i =i) L

C

(10.8)

Neste caso, a aplicação do operador derivada às partes esquerda e direita da igualdade (10.8)

(10.9)

conduz à equação diferencial de 2.ª ordem

(10.10)

cuja forma é idêntica àquela estabelecida anteriormente para a tensão aos terminais do condensador. De acordo com o exemplo anterior, podem identificar-se neste método os seguintes passos: (i) obtenção de uma equação que contém as variáveis relativas aos dois elementos armazenadores de energia, designadamente a tensão aos terminais do condensador e a corrente na bobina; (ii) substituição da variável não desejada, neste caso recorrendo às características tensão-corrente do condensador ou da bobina; (iii) quando necessário, derivação de ambos os termos da equação diferencial de modo a obter uma equação diferencial de 2.ª ordem. Considere-se agora o circuito RLC-paralelo representado na Figura 10.4.b e admita-se que se pretende determinar a equação diferencial que governa a tensão aos terminais do condensador, v (t). A aplicação da Lei de Kirchhoff C

das correntes ao nó-X permite escrever a igualdade (10.11) ou seja,

(10.12)

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10.2 Formulação das Equações

Neste caso, a substituição da característica tensão-corrente da bobina

(10.13)

permite rescrever (10.12) na forma

(10.14)

que, após derivação, conduz à equação diferencial de 2.ª ordem

(10.15)

10.2.2 Método do Operador-s O método do operador-s pode ser aplicado a dois níveis essencialmente distintos: ao nível do sistema de equações resultante da aplicação do método dos nós ou das malhas, ou directamente ao nível das características tensãocorrente dos elementos condensador e bobina. Considere-se o circuito RLC representado na Figura 10.5.a, relativamente ao qual se pretende determinar a equação diferencial que governa a tensão aos terminais do condensador, v (t). C

Figura 10.5 Aplicação do método do operador-s A análise deste circuito pode ser feita com base no método das malhas, útil por exemplo para determinar as correntes no condensador e na bobina, ou por intermédio do método dos nós (Figura 10.5.b). Neste último caso, a aplicação sucessiva da Lei de Kirchhoff das correntes aos nós-1 e -2 do circuito permite escrever as igualdades

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10.2 Formulação das Equações

(10.16)

que, por substituição das relações v1(t)=v (t)=Ldi (t)/dt e v2(t)=v (t), conduzem ao sistema de duas equações L

L

C

diferenciais de 1.ª ordem

(10.17)

O método do operador-s consiste basicamente em substituir o operador derivada por uma variável algébrica

(10.18)

seguido da resolução do sistema de equações e da reconversão da variável algébrica no operador derivada de acordo com a regra

(10.19)

No caso particular do sistema de equações diferenciais de 1.ª ordem, expresso em (10.17),

(10.20)

cuja representação sob a forma matricial é

(10.21)

A resolução do sistema de equações em ordem à variável v conduz à expressão C

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10.2 Formulação das Equações

(10.22)

ou seja, (10.23) Assim, a reconversão da variável algébrica no operador derivada conduz à equação diferencial de 2ª ordem

(10.24)

cuja forma canónica é

(10.25)

De acordo com o exemplo anterior, podem identificar-se no método do operador-s os seguintes cinco passos: (i) obtenção de um sistema de equações diferenciais em função da tensão no condensador, da corrente na bobina e das respectivas derivadas; (ii) conversão do operador derivada numa variável algébrica, d/dt→ s; (iii) resolução do sistema de equações algébricas em ordem à variável desejada; (iv) rearranjo da expressão na forma xD(s) =N(s), em que x representa a variável desejada; (v) e, finalmente, reconversão da variável algébrica s no operador derivada de acordo com a regra k→ k

s

k

d /dt .

Uma metodologia alternativa à apenas descrita consiste em converter o operador derivada na variável algébrica directamente ao nível das características tensão-corrente dos elementos condensador e bobina. Com efeito, uma vez que

(10.26)

e

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10.2 Formulação das Equações

(10.27)

pode efectuar-se directamente a conversão (10.28) e (10.29) Como se indica nas Figura 10.6.b e 10.6.c, estas relações são tais que os elementos condensador e bobina podem ser encarados como ´resistências´ cujo valor é 1/sC e sL, respectivamente, podendo a partir de então ser aplicados os mesmos métodos de análise considerados durante o estudo dos circuitos resistivos puros (em capítulos posteriores ver-se-á que estes parâmetros coincidem com as impedâncias dos elementos escritas na forma de Laplace).

Figura 10.6 Aplicação do método do operador-s Por exemplo, a aplicação da Lei de Kirchhoff das correntes aos nós-1 e -2 do circuito representado na Figura 10.6. c permite escrever o sistema de equações (v2=v ) C

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10.2 Formulação das Equações

(10.30)

cuja resolução em ordem à variável v2=v conduz à expressão C

(10.31)

ou ainda

(10.32)

a qual coincide com aquela obtida em (10.22). A obtenção da equação diferencial de 2.ª ordem a partir de (10.32) baseia-se nos mesmos passos estabelecidos anteriormente.

10.2.3 Método das Variáveis de Estado O método das variáveis de estado tem como finalidade a obtenção de um sistema de equações diferenciais de 1.ª ordem, uma por cada condensador e bobina irredutível existente no circuito. As variáveis de estado de um circuito coincidem com as grandezas associadas à energia armazenada nos condensadores e nas bobinas, respectivamente a tensão e a corrente eléctricas. Apesar da sua importância para a simulação numérica de circuitos eléctricos, as equações de estado de um circuito podem sempre ser condensadas numa única equação diferencial, cuja ordem coincide com o número de equações diferenciais de 1.ª ordem contidas no sistema. Considere-se o circuito RC de 2.ª ordem representado na Figura 10.7.a, constituído por dois condensadores irredutíveis entre si.

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10.2 Formulação das Equações

Figura 10.7 Aplicação do método das equações de estado As variáveis de estado do circuito são, por definição, as tensões aos terminais dos condensadores C1 e C2, respectivamente v 1(t) e v 2(t). Apesar de não ser estritamente necessário para a aplicação do método, aconselhaC

C

se sempre o redesenhar do circuito pondo em evidência a ligação dos dois elementos armazenadores de energia a um diporto constituído unicamente por resistências e fontes de tensão ou de corrente (Figura 10.7.b). Uma vez que as variáveis de estado são ambas tensões, opta-se por aplicar a Lei de Kirchhoff das correntes aos nós de ligação dos condensadores ao diporto (nós-1 e -2). No presente caso obtêm-se as duas equações

(10.33)

que, por substituição da característica do condensador, se podem reescrever na

(10.34)

cujas forma canónica e representação sob a forma matricial são

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10.2 Formulação das Equações

(10.35)

e

(10.36)

respectivamente. Podem fazer-se as seguintes considerações relativamente à relação matricial (10.36):

, as respectivas derivadas, , as fontes (i) as variáveis de estado, independentes e a topologia do circuito encontram-se compiladas em vectores e matrizes distintas; (ii) as derivadas das variáveis de estado, entenda-se o ritmo de variação no tempo das variáveis de estado, são dadas em cada instante pelo valor actual das próprias variáveis de estado adicionadas dos efeitos das fontes independentes do circuito. O ponto (ii) justifica a grande importância dada às equações de estado na simulação numérica em computador de circuitos eléctricos. Esta formulação indica que se num dado instante de tempo (to) forem conhecidas as condições iniciais das variáveis de estado do circuito, no presente caso as tensões v (to) e v (to), então as derivadas C1

C2

expressas pela relação matricial (10.36) permitem calcular numericamente as variáveis de estado num instante de tempo imediatamente seguinte, t1=to+∆t, através da aproximação

(10.37)

A iteração deste procedimento permite determinar a evolução no tempo das variáveis de estado. As equações de estado expressas por (10.36) permitem obter uma equação diferencial escalar de 2.ª ordem. Por exemplo, por conversão do operador derivada (em ordem ao tempo) numa variável algébrica obtém-se

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10.2 Formulação das Equações

(10.38)

que, após re-arranjo dos seus termos, permite escrever a relação matricial

(10.39)

cuja forma é semelhante àquela obtida por aplicação do método do operador-s. Por exemplo, a resolução deste sistema de equações em ordem à variável v conduz ao cociente de polinómios na variável-s C1

(10.40)

ou seja,

(10.41)

que, após reconversão da variável algébrica no operador derivada, conduz à equação diferencial de 2.ª ordem

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10.2 Formulação das Equações

(10.42)

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10.3 Solução Natural

10.3 Solução Natural

10.3.1 Soluções Naturais Alternativas A solução de uma equação diferencial com termo forçado nulo

(10.43)

cujo polinómio característico e raízes respectivas são, respectivamente, (10.44) e

(10.45)

designa-se por solução natural. Esta estabelece a dinâmica temporal de um circuito excitado unicamente pelas energias armazenadas nos condensadores e nas bobinas que o constituem. As raízes em (10.45) podem ser de quatro tipos essencialmente distintos: reais e distintas (α >ωo); reais e iguais (α =ωo); complexas conjugadas(α ωo), assim designada por resultar do somatório de duas exponenciais reais negativas (Figura 10.8.a), (10.46)

em que continuidade;

, e A1 e A2 são duas constantes a determinar por imposição das condições inicial e de

(ii) criticamente amortecida (α =ωo), neste caso definida pelo produto de uma exponencial real negativa por uma função linear (Figura 10.8.b), (10.47) (iii) sub-amortecida (α ωο ⇔ 00

(10.84)

em que A1 e A2 são duas constantes. Considere-se agora o regime forçado do circuito (Figuras 10.13.a ou 10.13.c). A equação diferencial com termo forçado é neste caso

(10.85)

cuja solução é t>0

(10.86)

com B constante. A solução (10.86) deve, por si só, verificar a equação diferencial (10.85),

(10.87)

ou seja, (10.88) A solução completa do circuito é então dada pela soma das soluções natural, (10.84), e forçada, (10.88), t>0

(10.89)

cujas constantes A1 e A2 são tais que

(10.90)

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10.4 Solução Forçada

isto é,

(10.91)

Portanto,

t>0

(10.92)

cujo limite quando t → ∞ é RI , e s

t>0

(10.93)

que neste caso tende para zero quando t → ∞. Estes resultados indicam que a totalidade da corrente fornecida pela fonte é desviada para a resistência, e que no limite t → ∞ , o circuito se comporta como se os terminais do condensador e da bobina se encontrassem em aberto e em curto-circuito, respectivamente (veja-se a Figura 10.13.d). Na tabela 10.2 expôem-se as soluções completas da tensão aos terminais do condensador nos casos em que o termo forçado é constante e os valores dos componentes são tais, que a solução natural é sobreamortecida, criticamente amortecida e sub-amortecida. Na Figura 10.14 comparam-se diversas soluções forçadas constantes de um circuito RLC de 2.ª ordem (as condições iniciais no condensador e na bobina são sempre nulas). SOLUÇÃO NATURAL

SOLUÇÃO COMPLETA v (t)=v (t) + v (t) C

C-n

C-f

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SOLUÇÃO COMPLETA v (0)=0 ; i (0)=0 C

L

10.4 Solução Forçada

sobreamortecida

criticamente amortecida

subamortecida

Tabela 10.2 Soluções alternativas de um circuito RLC de 2.ª ordem com termo forçado constante

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10.4 Solução Forçada

Figura 10.14 Solução forçada constante

Simulador da Solução Forçada Constante de Circuitos RLC-série 10.4.2 Solução Forçada Sinusoidal Considere-se novamente o circuito RLC representado na Figura 10.13.a, admitindo desta vez que a fonte de corrente é de tipo sinusoidal, i (t)=u(t).I cos(ωt). A equação diferencial que rege o funcionamento do s

s

circuito tem um termo forçado sinusoidal

(10.94)

cuja solução completa é (note-se que neste exemplo α =ω ) o

(10.95) As constantes B e B são tais que c

s

(10.96)

isto é,

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10.4 Solução Forçada

(10.97)

A igualdade em (10.97) exige que se verifiquem em simultâneo as relações

(10.98)

cuja resolução conduz às soluções

(10.99)

Finalmente, as constantes A1 e A2 são tais, que a solução completa verifica as condições inicial e de continuidade da energia armazenada no condensador e na bobina,

(10.100)

de onde resultam

(10.101)

Simulador da Solução Forçada Sinusoidal de Circuitos RLC-série

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Sumário

Sumário

Os circuitos RC, RL e RLC de 2.ª ordem são governados por equações diferenciais lineares escalares de 2.ª ordem. Os circuitos são de 2.ª ordem quando contêm um condensador e uma bobina, ou então dois condensadores ou duas bobinas irredutíveis entre si. A equação diferencial de um circuito de 2.ª ordem pode ser obtida por intermédio de três métodos alternativos: o método da substituição, o método do operador-s e o método das variáveis de estado. A solução de uma equação diferencial de 2.ª ordem com termo forçado é constituída por duas parcelas: a solução natural, que define a dinâmica do circuito sujeito apenas à acção das energias armazenadas nos condensadores e nas bobinas; e a solução forçada pelas fontes independentes. A solução natural de um circuito de 2.ª ordem pode apresentar uma de quatro formas alternativas: sobre-amortecida, criticamente amortecida, sub-amortecida e oscilatória. A dinâmica do regime forçado é função da forma dos sinais aplicados. Deste modo, fontes constantes conduzem a soluções forçadas constantes e fontes sinusoidais conduzem a soluções forçadas sinusoidais.

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Exercícios de Aplicação

Exercícios de Aplicação

*10.1 Considere o circuito RLC representado na Figura E10.1. Indique o tipo de solução natural e determine a expressão da corrente i(t) para t>0.

Figura E10.1 10.2 Considere o circuito RLC representado na Figura E10.2. Indique o tipo de solução natural e determine a expressão da tensão v(t) para t>0.

Figura E10.2 10.3 Considere o circuito RL representado na Figura E10.3. Indique o tipo de solução natural e determine a expressão da corrente i 1(t) para t>0. Admita i 1(0)=i 2(t)=0. L

L

L

Figura E10.3 *10.4 Determine a equação diferencial que lhe permite obter a expressão da tensão no condensador, v (t), C

para t>0. http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_10/exapl_10.htm (1 of 4)06-06-2005 12:37:30

Exercícios de Aplicação

Figura E10.4 10.5 Determine a equação diferencial que lhe permite obter a expressão da tensão no condensador, v (t), C1

para t>0.

Figura E10.5 10.6 Determine a equação diferencial que lhe permite obter a expressão de i(t) para t>0.

Figura E10.6 10.7 Determine a equação diferencial que lhe permite obter a expressão da tensão no condensador, v (t), C

para t>0.

Figura E10.7 *10.8 Considere o circuito RLC de E10.8. Determine a equação diferencial correspondente à tensão v (t) L

(utilize o método das variáveis de estado).

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Exercícios de Aplicação

Figura E10.8 10.9 Considere o circuito RLC representado na Figura E10.9. Determine a equação diferencial que lhe permite obter a expressão da corrente i (t): R

(a) pelo método do operador-s ao nível do sistema de equações; (b) ao nível dos elementos condensador e bobina.

Figura E10.9 10.10 Considere o circuito LC representado na Figura E.10.10, com v (0)=0 e i (0)=Io. Determine a C

L

expressão da corrente i (t) e da tensão v (t), para t>0. L

C

Figura E10.10 *10.11 Determine a expressão da tensão v (t) no circuito em 10.11, para t>0. Admita v (0)=V0 e i (0)=0. C

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C

L

Exercícios de Aplicação

Figura E10.11

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Simulador da Solução Forçada Constante de Circuitos RLC-série

Simulador da Solução Forçada Constante de Circuitos RLC-série

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10.4 Solução Forçada

10.4 Solução Forçada

Ampliar CapaÍndice Index Reduzir Janela Janela Capítulo Secção Texto Texto AjudaCapítulo Sumário 11 9 10.3

Os circuitos de 2.ª ordem com fontes independentes são governados por equações diferenciais com termo forçado

(10.78)

A solução é composta por duas parcelas (10.79) em que x (t) e x (t) definem, respectivamente, a solução natural e a solução forçada pelas fontes n

f

independentes. A solução forçada por si só verifica a equação diferencial (10.78) e é independente das condições inicial e de continuidade. Na Tabela 10.1 indicam-se as soluções forçadas mais comuns na análise de circuitos eléctricos. TERMO FORÇADO f(t) SOLUÇÃO FORÇADA xf(t) K

B

Kcos(ωt)

B cos(ωt) + B sin(ωt) c

-at

s

-at

Ke

Be

Kt

B2t + B1

Kt2

B3t2 + B2t + B1

Tabela 10.1 Soluções forçadas mais comuns na análise de circuitos eléctricos

10.4.1 Solução Forçada Constante Considere-se o circuito RLC na Figura 10.13.a e admita-se que a fonte de corrente independente tem a forma de um degrau com origem em t=0, i (t)=I .u(t). Admita-se ainda que as condições iniciais do circuito s

s

são v (0) e i (0), e que se pretende determinar a expressão da tensão aos terminais do condensador para t>0. C

L

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10.4 Solução Forçada

Figura 10.13 Regime forçado constante Considere-se primeiramente o regime natural do circuito, cuja equação diferencial é (Figura 10.13.b)

(10.80)

e em que α, ωo e Q são, respectivamente,

(10.81)

(10.82)

e

(10.83)

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10.4 Solução Forçada

A solução natural é neste caso criticamente amortecida, t>0

(10.84)

em que A1 e A2 são duas constantes. Considere-se agora o regime forçado do circuito (Figuras 10.13.a ou 10.13.c). A equação diferencial com termo forçado é neste caso

(10.85)

cuja solução é t>0

(10.86)

com B constante. A solução (10.86) deve, por si só, verificar a equação diferencial (10.85),

(10.87)

ou seja, (10.88) A solução completa do circuito é então dada pela soma das soluções natural, (10.84), e forçada, (10.88), t>0

(10.89)

cujas constantes A1 e A2 são tais que

(10.90)

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10.4 Solução Forçada

isto é,

(10.91)

Portanto,

t>0

(10.92)

cujo limite quando t → ∞ é RI , e s

t>0

(10.93)

que neste caso tende para zero quando t → ∞. Estes resultados indicam que a totalidade da corrente fornecida pela fonte é desviada para a resistência, e que no limite t → ∞ , o circuito se comporta como se os terminais do condensador e da bobina se encontrassem em aberto e em curto-circuito, respectivamente (veja-se a Figura 10.13.d). Na tabela 10.2 expôem-se as soluções completas da tensão aos terminais do condensador nos casos em que o termo forçado é constante e os valores dos componentes são tais, que a solução natural é sobreamortecida, criticamente amortecida e sub-amortecida. Na Figura 10.14 comparam-se diversas soluções forçadas constantes de um circuito RLC de 2.ª ordem (as condições iniciais no condensador e na bobina são sempre nulas). SOLUÇÃO NATURAL

SOLUÇÃO COMPLETA v (t)=v (t) + v (t) C

C-n

C-f

SOLUÇÃO COMPLETA v (0)=0 ; i (0)=0

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C

L

10.4 Solução Forçada

sobreamortecida

criticamente amortecida

subamortecida

Tabela 10.2 Soluções alternativas de um circuito RLC de 2.ª ordem com termo forçado constante

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10.4 Solução Forçada

Figura 10.14 Solução forçada constante

Simulador da Solução Forçada Constante de Circuitos RLC-série 10.4.2 Solução Forçada Sinusoidal Considere-se novamente o circuito RLC representado na Figura 10.13.a, admitindo desta vez que a fonte de corrente é de tipo sinusoidal, i (t)=u(t).I cos(ωt). A equação diferencial que rege o funcionamento do s

s

circuito tem um termo forçado sinusoidal

(10.94)

cuja solução completa é (note-se que neste exemplo α =ω ) o

(10.95) As constantes B e B são tais que c

s

(10.96)

isto é,

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10.4 Solução Forçada

(10.97)

A igualdade em (10.97) exige que se verifiquem em simultâneo as relações

(10.98)

cuja resolução conduz às soluções

(10.99)

Finalmente, as constantes A1 e A2 são tais, que a solução completa verifica as condições inicial e de continuidade da energia armazenada no condensador e na bobina,

(10.100)

de onde resultam

(10.101)

Simulador da Solução Forçada Sinusoidal de Circuitos RLC-série

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Simulador da Solução Forçada Sinusoidal de Circuitos RLC-série

Simulador da Solução Forçada Sinusoidal de Circuitos RLC-série

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Simulador da Solução Natural de Circuitos RLC-série

Simulador da Solução Natural de Circuitos RLC-série

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10.3 Solução Natural

10.3 Solução Natural

Ampliar CapaÍndice Index Reduzir Janela Janela Capítulo Capítulo Secção Secção Texto Texto Ajuda 11 9 10.210.4

10.3.1 Soluções Naturais Alternativas A solução de uma equação diferencial com termo forçado nulo

(10.43)

cujo polinómio característico e raízes respectivas são, respectivamente, (10.44) e

(10.45)

designa-se por solução natural. Esta estabelece a dinâmica temporal de um circuito excitado unicamente pelas energias armazenadas nos condensadores e nas bobinas que o constituem. As raízes em (10.45) podem ser de quatro tipos essencialmente distintos: reais e distintas (α >ωo); reais e iguais (α =ωo); complexas conjugadas(α ωo), assim designada por resultar do somatório de duas exponenciais reais negativas (Figura 10.8.a), (10.46)

em que continuidade;

, e A1 e A2 são duas constantes a determinar por imposição das condições inicial e de

(ii) criticamente amortecida (α =ωo), neste caso definida pelo produto de uma exponencial real negativa por uma função linear (Figura 10.8.b), (10.47) (iii) sub-amortecida (α ωο ⇔ 00

(9.20)

Como se constata, a constante de tempo do circuito constitui uma medida do tempo necessário para a extinção do regime natural respectivo. Verifica-se assim que no instante de tempo t=τ as variáveis v (t) ou C

i (t) se encontram já reduzidas a uma fracção 1/e do seu valor inicial, ao passo que para t=10τ esta fracção L

é de apenas 4.5*10-5. Enquanto um circuito RC com capacidade do condensador e resistência, respectivamente, C=1 µF e R=1 MΩ, tem uma constante de tempo t=1 s, o mesmo circuito com C=1 nF e R=1 kΩ revela uma constante de tempo t=1 µs, portanto, um milhão de vezes inferior. Na Figura 9.3 comparam-se os regimes naturais de um mesmo circuito RC com diferentes constantes de tempo.

Figura 9.3 Solução natural de um circuito RC em função da constante de tempo

9.1.4 Solução Natural Comutada Considere-se o circuito RC representado em 9.4.a. Admita-se que os interruptores S1 e S2 são colocados em condução nos instantes de tempo t=0 e t=t1>0, respectivamente, e que a tensão inicial aos terminais do condensador é v (0)=V . C

o

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9.1 Solução Natural

Figura 9.4 Solução natural comutada Como é patente em (b), durante o intervalo de tempo 00

(9.48)

e escrever a solução final (Figura 9.6.b)

Considere-se agora a expressão da corrente no condensador, i (t). Uma vez que C

(9.49)

então

t>0

(9.50)

cuja amplitude tende para zero quando t → ∞ . Como se indica na Figura 9.6.c, quando t = ∞ , o circuito comporta-se como se os terminais do condensador se encontrassem em aberto (i (∞ )=0), situação à qual C

corresponde a tensão v (∞ )=V . Por conseguinte, a tensão aos terminais do condensador pode ser expressa na C

s

forma t>0

(9.51)

indicativa de que a dinâmica temporal de um circuito RC (RL) pode ser determinada recorrendo apenas aos valores inicial e final da tensão (corrente) aos terminais do condensador (bobina). Com efeito, pode concluir-se que: (i) nos circuitos RC, o valor final da tensão aos terminais do condensador é dado pela respectiva tensão em aberto (i =0) (Figura 9.6.c); C

(ii) nos circuitos RL, o valor final da corrente na bobina é dado pela respectiva corrente de curtocircuito.

9.2.4 Solução Forçada Sinusoidal Considere-se o circuito RC figurado em Figura 9.7.a e admita-se que a fonte de sinal é de tipo sinusoidal, v (t) s

=u(t).V .cos(ωt). s

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9.2 Solução Forçada

Figura 9.7 Solução natural e forçada sinusoidal de um circuito RC: (b) ω=0.1 rad/s, R=1 Ω, C=1 F, v (0)= -1 C

V, v (t) = V .u(t).cos(ωt); (c)ω=1 rad/s, R=1 Ω, C=1 F, v (0)= -1 V, v (t) = V .u(t).cos(ωt) s

s

C

s

s

A equação diferencial característica do circuito é, neste caso,

(9.52)

cuja solução após aplicação do integral (9.41) é t>0

(9.53)

em que B , B e A são constantes a determinar como adiante se indica. A solução (9.53) pode ainda ser expressa c

s

na forma

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9.2 Solução Forçada

(9.54)

em que

(9.55)

As constantes B , B e A podem ser determinadas de dois modos essencialmente distintos: c

s

(i) no caso de B e B , directamente por aplicação do integral (9.41) e, no caso de A, por c

s

imposição à solução total das condições inicial e de continuidade da energia armazenada nos elementos condensador ou bobina; (ii) ou então determinar as constantes B e B através da imposição da condição de que a c

s

resposta forçada constitua, por si só, solução da equação diferencial, e determinar a constante A impondo as condições inicial e de continuidade à solução total já com B e B definidos. c

s

Por exemplo, no caso da segunda metodologia, o cálculo das constantes B e B passa por substituir a solução c

s

forçada na equação diferencial (9.51)

(9.56)

e verificar que a igualdade entre as partes esquerda e direita da mesma conduzem ao sistema de equações

(9.57)

em cuja solução se inscrevem as duas constantes

(9.58)

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9.2 Solução Forçada

A substituição das constantes B e B na solução completa permite escrever (a menos da constante A) c

S

(9.59)

ou, em alternativa,

(9.60)

Finalmente, por imposição das condições inicial e de continuidade

(9.61)

obtém-se a expressão da constante A

(9.62)

e a solução final

(9.63)

Nas Figuras 9.7 b e c representam-se as dinâmicas temporais de um circuito RC de 1.ª ordem com condição inicial distinta de zero e termo forçado sinusoidal (mais propriamente um Coseno). A frequência do sinal -

forçado é ω = (10RC)-1 em (b) e ω = (RC) 1 em (c). Nesta figura são patentes três características fundamentais do regime forçado sinusoidal:

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9.2 Solução Forçada

(i) após a extinção da solução natural, a tensão aos terminais do condensador segue a forma sinusoidal da fonte independente, designadamente a mesma frequência; (ii) existe uma diferença entre as amplitudes das sinusóides aplicada e medida aos terminais do condensador, que se constata depender da relação entre a frequência da sinusóide e os parâmetros R e C do circuito; (iii) existe uma diferença de fase entre as sinusóides aplicada e medida aos terminais do condensador, que mais uma vez se constata ser uma função da relação entre a frequência da sinusóide e os parâmetros R e C do circuito. Adiante se verá que estas três características constituem o ponto de partida para a análise dos circuitos no domínio da frequência.

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9.3 Teorema da Sobreposição das Fontes

9.3 Teorema da Sobreposição das Fontes

A validade do teorema da sobreposição das fontes estende-se à análise da dinâmica temporal dos circuitos RC, RL e RLC. Este teorema afirma que a dinâmica de um circuito com condensadores, bobinas e múltiplas fontes independentes pode ser determinada calculando uma a uma a resposta forçada devida a cada fonte considerada isoladamente. Por exemplo, a solução de um circuito RC ou RL com N fontes independentes é composta por (N+1) parcelas, das quais a primeira é a solução natural do circuito e as restantes N as respostas forçadas pelas fontes. Considere-se então o circuito RC com duas fontes independentes, representado na Figura 9.8.a.

Figura 9.8 Teorema da sobreposição das fontes Admita-se que ambas as fontes são constantes no tempo para t>0, ou seja, v (t)=V .u(t) e i (t)=I .u(t), e que s

s

s

s

a tensão inicial aos terminais do condensador é v (0)=V . A aplicação do teorema da sobreposição das C

o

fontes a este circuito exige que se apliquem consecutivamente os seguintes quatro passos: (i) primeiramente, anulam-se as fontes independentes e determina-se a solução natural (9.8. b); (ii) seguidamente, anula-se a fonte de corrente e determina-se a solução forçada pela fonte

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9.3 Teorema da Sobreposição das Fontes

de tensão (por exemplo, coloca-se o condensador em aberto por forma a determinar o valor final da tensão respectiva, Figura 9.8.c); (iii) anula-se a fonte de tensão e determina-se a solução forçada pela fonte de corrente (coloca-se o condensador em aberto por forma a determinar o valor final da tensão respectiva; Figura 9.8.d); (iv) determina-se a constante da solução natural, A, neste caso impondo à solução total as condições inicial e de continuidade da tensão aos terminais do condensador. A resposta natural do circuito é obtida através do cancelamento de todas as fontes independentes presentes no circuito (Figura 9.8.b). No caso presente, a constante de tempo é dada pelo produto da capacidade do condensador pela resistência vista dos seus terminais τ = R1C

(9.65)

e, portanto, v

C-n

-t/τ

(t) = Ae

(9.66)

A determinação da resposta forçada pela fonte de tensão, v (t), exige que se cancele a fonte de corrente s

(Figura 9.8.c). Neste caso, (9.67) Pelo contrário, o cálculo da parcela imposta pela fonte de corrente exige que se anule a fonte de tensão independente (Figura 9.8.d), que neste caso impõe o valor final (9.68) A solução total para a tensão aos terminais do condensador é dada pela soma das parcelas (9.66), (9.67) e (9.68) (9.69) à qual a aplicação das condições inicial e de continuidade (9.70) http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_09/teosobfo.htm (2 of 3)06-06-2005 12:38:27

9.3 Teorema da Sobreposição das Fontes

conduz ao valor da constante A da solução natural (9.71) e à solução final (9.72) Mais uma vez se verifica que a solução total (natural mais forçada) de um circuito RC (ou RL) segue a forma geral (9.73) em que, neste caso, v (∞) resulta da aplicação do método da sobreposição das fontes ao circuito. C

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9.4 Exemplos de Aplicação

9.4 Exemplos de Aplicação

9.4.1 Exemplo de Aplicação-1 Considere-se o circuito RC representado na Figura 9.9.a e admita-se que os interruptores S1, S2 e S3 comutam de posição nos instantes de tempo t=0, t=t1 e t=t2, respectivamente. Admita-se ainda que o circuito se encontra na posição indicada em (a) desde t = (- ∞). Pretende-se determinar as expressões em função do tempo da tensão e da corrente no condensador.

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9.4 Exemplos de Aplicação

Figura 9.9 Exemplo de aplicação-1: descarga de um condensador Resolução: A corrente no condensador no instante t=0 é nula (Figura 9.10.b) e a tensão respectiva é

(9.74)

O circuito é comutado para a configuração representada na Figura 9.9.c em t=0, após a qual o condensador inicia a sua descarga através da resistência R2. A tensão aos terminais do condensador é

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