Analise Combinatoria
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Apostila Analise Combinatoria...
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Hercules Hercul es Sarti Sar ti
Análise Combinatória e Probabilidad Probabilidades es
Adaptada por Antonio Fernando Silveira Alves
APRESENTAÇÃO É com satisação que a Unisa Digital Di gital oerece a você, aluno(a), esta apostila de Análise Combinatória Combinatória e Probabilidades , parte integrante de um conjunto de materiais de pesquisa voltado ao aprendizado dinâmico e autônomo que a educação a distância exige. O principal objetivo desta apostila é propiciar aos(às) alunos(as) uma apresentação do conteúdo básico da disciplina. A Unisa Digital oerece outras ormas de solidicar seu aprendizado, por meio de recursos multidisciplinares, como chats, óruns, aulas web, material de apoio e e-mail . Para enriquecer o seu aprendizado, você ainda pode contar com a Biblioteca Virtual: www.unisa.br, a Biblioteca Central da Unisa, juntamente às bibliotecas setoriais, que ornecem acervo digital e impresso, bem como acesso a redes de inormação e documentação. Nesse contexto, os recursos disponíveis e necessários para apoiá-lo(a) no seu estudo são o suplemento que a Unisa Digital oerece, tornando seu aprendizado eciente e prazeroso, concorrendo para uma ormação completa, na qual o conteúdo aprendido infuencia sua vida prossional e pessoal. A Unisa Digital é assim para você: Universidade a qualquer hora e em qualquer lugar! Unisa Digital
SUMÁRIO INTRODUÇÃO........... ...................... ...................... ...................... ...................... ...................... ...................... ...................... ...................... ...................... ...................... ...................... ...................... ........... 5 1 ANÁLISE COMBINATÓRIA .......... ..................... ...................... ...................... ...................... ...................... ...................... ...................... ...................... ...................... ............... 7 1.1 Combinações Simples ...................................................................................................................................................7 1.2 Arranjos Simples ..............................................................................................................................................................7 1.3 Permutações Simples .....................................................................................................................................................8 1.4 Fatorial .................................................................................................................................................................................8 1.5 Princípio Fundamental da Contagem......................................................................................................................9 1.6 Cálculo do Número de Arranjos, Permutações e Combinações ....................................................................9 1.7 Combinações Complementares .............................................................................................................................11 1.8 Arranjos com Elementos Repetidos ( AR) ..........................................................................................................12 1.9 Permutações com Elementos Repetidos .............................................................................................................12 1.10 Resumo do Capítulo .................................................................................................................................................13 1.11 Atividades Propostas ................................................................................................................................................14 n, p
2 PROBABILIDADES ............ ....................... ...................... ...................... ...................... ...................... ...................... ...................... ...................... ...................... ...................... ................ ..... 19 2.1 A Teoria das Probabilidades ......................................................................................................................................19 2.2 Probabilidade Condicional .......................................................................................................................................22 2.3 Regra da Multiplicação e Probabilidade Total ...................................................................................................23 2.4 Independência de Eventos .......................................................................................................................................24 2.5 Resumo do Capítulo ....................................................................................................................................................26 2.6 Atividades Propostas ...................................................................................................................................................27
3 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES .......... ..................... ...................... ...................... ...................... ...................... ...................... .................. ....... 37 3.1 Distribuição de Bernoulli ...........................................................................................................................................37 3.2 Distribuição Geométrica ............................................................................................................................................38 3.3 Distribuição Binomial ..................................................................................................................................................39 3.4 Distribuição de Poisson ..............................................................................................................................................40 3.5 Distribuição Normal.....................................................................................................................................................41 Normal.....................................................................................................................................................41 3.6 Aproximação da Binomial pela Normal ...............................................................................................................42 3.7 Resumo do Capítulo ....................................................................................................................................................43 3.8 Atividades Propostas ...................................................................................................................................................43
4 CONSIDERAÇ CONSIDERAÇÕES ÕES FINAIS .......... ..................... ...................... ...................... ...................... ...................... ...................... ...................... ...................... ...................... ............... 47 RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS ............ ....................... ...................... .............. ... 49 REFERÊNCIAS ........... ...................... ...................... ...................... ...................... ...................... ...................... ...................... ...................... ...................... ...................... ...................... .................... .........55 55 ANEXO .......... ..................... ...................... ...................... ....................... ....................... ...................... ...................... ...................... ...................... ...................... ...................... ...................... ...................... .............. ... 57
INTRODUÇÃO Este material busca apresentar a você, aluno(a) da área de Ciências Exatas, na modalidade a distância, um estudo a respeito da Análise Combinatória e Probabilidades como parte undamental da área de Matemática, relacionada com a ormação para a disciplina de Estatística, que será apresentada nos próximos módulos. Os Problemas de Contagem que dão origem à Análise Combinatória são conceitos que antecedem, na maioria dos livros, os estudos relacionados com a Teoria das Probabilidades. Os conhecimentos de probabilidade são undamentais para estudos estatísticos, visto que as pesquisas trabalham com possibilidades. Em Combinatória veremos, inicialmente, os conteúdos reerentes a Fatorial, Combinações, Arranjos e Permutações. Em continuidade, estudaremos as Combinações Complementares, os Arranjos com Repetição e as Permutações com Elementos Repetidos. Numa segunda etapa, aremos o estudo da Teoria das Probabilidades, incluindo a Probabilidade Condicional, a Independência de Eventos e os Teoremas da Multiplicação e da Probabilidade Total. Completando o estudo das Probabilidades, iremos trabalhar com as Distribuições de Probabilidades, destacando as Distribuições de Poisson, Binomial e Normal. Espera-se que, com o término deste módulo, você tenha atingido os objetivos propostos para esta disciplina, e que ela contribua de orma signicativa para a sua ormação. Hercules Sarti
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COMBINATÓRIA 1 ANÁLISE COMBINATÓRIA
Caro(a) aluno(a), neste capitulo iremos tratar dos problemas de contagem, que são a base da Análise Combinatória. A Análise Combinatória visa a desenvolver métodos que permitam contar o número de elementos de um conjunto, sendo que esses elementos são agrupamentos ormados sob certas condições.
Os agrupamentos a serem estudados dividem-se em Permutações, Arranjos e Combinações. Neste momento, queremos destacar que a realização de uma leitura atenta, detalhada e minuciosa é um item undamental para um bom encaminhamento da estratégia de resolução a ser empregada em cada problema.
1.1 Combinações Simples Seja A um conjunto com n elementos. Os subconjuntos de A com p elementos constituem agrupamentos que são chamados combinações dos n elementos de A, p a p. Nas combinações, os agrupamentos dierem entre si apenas pela natureza de seus elementos.
Exemplo 1: 1: Se A = {1, 3, 5, 7}, são combinações dos 4 elementos de A, 3 a 3, os agrupamentos: {1, 3, 5}, {1, 3, 7}, {3, 5, 7} e {1, 5, 7}.
1.2 Arranjos Simples Se A é um conjunto com n elementos, as sucessões com p elementos distintos, escolhidos em A, constituem agrupamentos que são chamados arranjos dos n elementos de A, p a p. Nos arranjos, ranjos, os agrupamentos dierem entre si apenas pela ordem de seus elementos.
Dicionário Arranjo: s.m. Boa disposição, ordem. Em matemática: as várias maneiras que se pode ormar um certo número de quantidades, reunindo-as em qualquer ordem, duas a duas, três a três etc. Observe que no arranjo e na combinação iremos utilizar apenas parte dos elementos do conjunto dado.
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Exemplo 2: Se A = {1, 3, 5, 7}, os arranjos dos 4 elementos de A, 3 a 3, são as seguintes sucessões com 3 elementos: (1, 3, 5), (1, 5, 3), (3, 1, 5), (3, 5, 1), (5, 1, 3), (5, 3, 1) (1, 3, 7), (1, 7, 3), (3, 1, 7), (3, 7, 1), (7, 1, 3), (7, 3, 1) (1, 5, 7), (1, 7, 5), (5, 1, 7), (5, 7, 1), (7, 1, 5), (7, 5, 1) (3, 5, 7), (3, 7, 5), (5, 3, 7), (5, 7, 3), (7, 3, 5), (7, 5, 3).
1.3 Permutações Simples Se A tem n elementos, as sucessões ormadas com os n elementos de A, usando cada um deles uma só vez em cada agrupamento, são chamadas permutações dos n elementos de A. Pode-se dizer que as permutações são arranjos onde p = n. Exemplo 3: Se A = {1, 3, 5, 7}, as permutações dos 4 elementos de A, são as sucessões com 4 elementos:
Dicionário Dicionário Permuta: s.. Troca, intercâmbio, permutação. Sinônimos de permuta: comuta, mudança e troca. Observe que, como o próprio signifcado demonstra, permuta signifca uma troca, uma alteração na posição, na ordem dos elementos e que nesta situação iremos utilizar todos os elementos do con junto dado.
(1, 3, 5, 7), (1, 3, 7, 5), (1, 7, 3, 5), (1, 7, 5, 3), (1, 5, 3, 7), (1, 5, 7, 3), (3, 1, 5, 7), (3, 1, 7, 5), (3, 7, 1, 5), (3, 7, 5, 1), (3, 5, 7, 1), (3, 5, 7, 1), (5, 1, 3, 7), (5, 1, 7, 3), (5, 3, 1, 7), (5, 3, 7, 1), (5, 7, 1, 3), (5, 7, 3, 1), (7, 1, 3, 5), (7, 1, 5, 3), (7, 3, 1, 5), (7, 3, 5, 1), (7, 5, 1, 3), (7, 5, 3, 1).
1.4 Fatorial Olá pessoal, vocês já ouviram alar de atorial? ⋅3⋅2⋅1 Aoproduto n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ vamos representá-lo simplesmente por n! (lê-se: n atorial) com n ∈ N.
8! = 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 40320 5! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120
Exemplo 4: Observe os atoriais a seguir:
n! = n ⋅ (n − 1)! (n + 1)! = (n + 1) ⋅ n!
(n
−
1)!
=
(n
−
1) ⋅ (n
−
2)!
Observação: Vamos adotar como verdade que 0! = 1.
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Análise Combinatória e Probabilidades
1.5 Princípio Fundamental da Contagem Os problemas de Análise Combinatória são, basicamente, problemas de contagem. A abordagem desses problemas é baseada num ato, de ácil comprovação, denominado Princípio Fundamental da Contagemou Regra do Produto. Um acontecimento é composto de dois estágios sucessivos e independentes. O primeiro estágio pode ocorrer de m modos distintos; em seguida, o segundo estágio pode ocorrer de n modos distintos. Nessas condições, dizemos que o número de maneiras distintas de ocorrer esse acontecimento é igual ao produto m ⋅ n . Exemplo 5: Um estudante, ao se inscrever no Concurso para Vestibular, deve escolher o Curso e a Faculdade que deseja cursar. Sabe-se que
existem cinco cursos possíveis: Engenharia, Medicina, Odontologia, Administração e Direito. Cada curso pode ser eito em três aculdades possíveis: Estadual, Federal e Particular. Nessas condições, qual o número total de opções que o estudante pode azer? Resolução: Pelo Princípio Fundamental da Contagem, usamos a regra do produto. 5 cursos x 3 aculdades = 15 opções de escolha. Resposta: O estudante pode azer 15 opções.
1.6 Cálculo do Número de Arranjos, Permutações e Combinações
Atenção Os arranjos são agrupamentos em que um grupo é dierente de outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes.
An , p =
n! ( n − p)! (n, p
∈
N, n
≥
p)
As permutações são agrupamentos ordenados em que em cada grupo entram todos os elementos.
Pn = n !
(n
∈
N)
As combinações são agrupamentos em que um grupo é dierente de outro apenas pela natureza dos elementos componentes.
C n , p =
n! p !( n − p )!
(n, p
∈
N, n
≥
p)
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Uma das principais diculdades encontradas pelos estudantes ao se derontarem com a resolução de exercícios de análise combinatória consiste exatamente em identicar qual o tipo de agrupamento que devemos aplicar na resolução do problema proposto. Para que se tenha sucesso na resolução dos problemas propostos e conseguir identicar qual o tipo de agrupamento que será necessário para sua resolução, é imprescindível uma leitura atenta, detalhada e minuciosa do enunciado do problema proposto, e que o aluno domine plenamente as características undamentais de cada tipo de agrupamento. Para isso, sugerimos a você, prezado(a) aluno(a), que diante de cada problema proposto, eetue sempre estes questionamentos a seguir, para que consiga identicar qual o tipo de agrupamento envolvido na resolução de cada problema: 1. Estamos utilizando todos os elementos do conjunto ou parte deles? Todos os elementos = PERMUTAÇÃO (SIMPLES OU COM REPETIÇÃO) No caso de utilizarmos todos os elementos, do conjunto dado, analise de acordo com o enunciado se o problema proposto permite ou não repetição dos elementos. Não = PERMUTAÇÃO SIMPLES Sim = PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO 2. Estamos utilizando todos os elementos do conjunto ou parte deles? Parte dos elementos = ARRANJO (SIMPLES OU COM REPETIÇÃO) ou COMBINAÇÃO
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3. O Agrupamento com parte dos elementos é ORDENADO ou NÃO ORDENADO? Ordenado = ARRANJO (SIMPLES OU COM REPETIÇÃO) O Agrupamento Ordenado com parte dos elementos permite ou não REPETIÇÃO? Não = ARRANJO SIMPLES Sim = ARRANJO COM REPETIÇÃO 4. O Agrupamento com parte dos elementos é ORDENADO ou NÃO ORDENADO? Não Ordenado = COMBINAÇÃO Exemplo 6: Com 12 pessoas, de quantos modos podemos ormar um grupo de 4 pessoas? Vamos treinar os procedimentos indicados? De acordo com o enunciado, o agrupamento a ser ormado irá utilizar todos os elementos ou parte deles? Perceba que iremos ormar um grupo de 4 pessoas entre um total de 12 pessoas disponíveis. Logo, estamos utilizando parte dos elementos. Consequentemente, sabemos que teremos uma situação de Arranjo ou de Combinação. O que diere uma situação de Arranjo de uma de Combinação? É a ordem dos elementos do agrupamento a ser ormado. Vamos supor que no exemplo acima as 4 pessoas escolhidas sejam as pessoas denominadas por A, B, C e D. Para identicar se o agrupamento é ordenado ou não podemos eetuar o seguinte questionamento: De acordo com o enunciado, o agrupamento {A,B,C,D} é dierente do agrupamento {D,A,C,B}? Ou seja, esses dois agrupamentos e todos os demais agrupamentos possíveis de serem ormados
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com esses 4 elementos devem ser contados individualmente, ou serem considerados todos idênticos e, consequentemente, serem contabilizados apenas uma única vez? Perceba que de acordo com o enunciado, a ordem dos elementos não é importante. Logo, todos os agrupamentos possíveis de serem ormados com os elementos A,B,C,D, alterando apenas a ordem destes, devem ser considerados idênticos e contados apenas uma única vez. Estamos, portanto, diante de um agrupamento, que utiliza parte dos elementos e não ordenado. Isso nos leva a identicar que o problema reere-se a um caso de Combinação. Numa situação de Arranjo, temos um agrupamento ordenado, ou seja, a ordem dos elementos é importante, e isso az com que cada agrupamento seja contado individualmente. No caso de uma situação semelhante ao exercício proposto acima, teríamos um caso de Arranjo, se, por exemplo, a primeira pessoa A osse ocupar um cargo de presidente, a segunda pessoa C osse ocupar o cargo de vice-presidente, a terceira pessoa D osse ocupar o cargo de secretário e a quarta pessoa B osse ocupar o cargo de tesoureiro. Perceba que, se alteramos a ordem dos elementos nessa situação, os agrupamentos {A,B,C,D} e {A,C,D,B} seriam considerados dierentes e contabilizados individualmente, assim como com todos os outros agrupamentos de 4 elementos possíveis de serem ormados com A,B,C,D.
Vamos agora à resolução do problema proposto. Resolução: C 12,4 =
12! 4!(12 − 4)!
=
12.11.10.9.8! 4.3.2.1.8!
= 495
Exemplo 7: Com os dígitos 1, 2, 3, 7, 9: a) Quantos números com 3 algarismos distintos podemos ormar? b) Quantos números com 5 algarismos distintos podemos ormar? Antes de vericar a resolução, tente identicar qual o tipo de agrupamento envolvido. Repita os questionamentos indicados! Pense a respeito! Conseguiu? Identicou? Veja se acertou! Resolução: a) An , p =
n! (n − p)!
=
5! (5 − 3)!
=
120 2!
= 60
b) Pn = n! = 5! = 120
1.7 Combinações Complementares Considere a seguinte relação:
Cn , p = C n , n − p
C n , p =
Demonstração:
C n , p =
n! ( n − p )! p !
(Acrescenta-se e subtrai-se n no 2º ator do denominador)
n!
p !(n − p)! (Trocam-se os atores do denominador)
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Cn , p =
n!
(n − p )![ n − ( n − p)]!
= C n ,n − p
Portanto, a relação é válida.
Cn , p = C n ,n − p
Observação: Se zermos p = n, temos: C n , n = C n , 0 . Porém, C n, n = 1 , pois o único subconjunto com n elementos que podemos obter de um conjunto A, que por sua vez tem n elementos, é o próprio conjunto A. Também sabemos que A tem apenas um subconjunto com “zero elemento”, que é o conjunto vazio.
Exemplo 8: Observe as igualdades: a)
C10,7 = C 10,3
b) Ca ,7
1.8 Arranjos com Elementos Repetidos ( AR) Exemplo 9: Quantos números de 3 algarismos podemos ormar com os dígitos de 1 a 9?
C n,0 =
n! 0!( n − 0)!
=
n! 0! n !
=1 , por coe-
n, p
Através do exemplo, pode-se concluir a seguinte relação:
Resolução: Nesse caso, temos nove algarismos que podem ocupar a “casa” da centena, nove para ocupar a “casa” da dezena e nove para ocupar a “casa” da unidade: 9 9 9
= C n , 0 = 1
rência 0! = 1 .
= C a ,a −7
=
Então: C n , n
( AR) n , p = n p
93 = 729
1.9 Permutações com Elementos Repetidos Exemplo 10: Quantos anagramas têm a palavra ARCADA? Resolução: A palavra possui seis letras, temos: P6 = 6!= 720 Porém, há três letras A, o que nos leva ao cálculo: P3 = 3! = 6 720 = 120 anagramas. Portanto, temos:
1 elemento repetido: Pn = a
a!
a ,b 2 elementos repetidos: Pn =
, P 3 elementos repetidos: n
6
Valem as seguintes relações:
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n!
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a b ,c
=
n! a!⋅b!
n! a!⋅b!⋅c!
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Saiba mais “O médico, matemático, astrólogo e flósoo italiano Gerolamo Cardano (1501-1576) era flho de pais solteiros. Por isso oi enjeitado, antes mesmo de nascer: o seu pai pensou em provocar aborto, mas não o ez porque era crime que levava o condenando à pena morte. O pai de Gerolamo era um intelectual que se dedicava à medicina, a advocacia, a matemática e às ciências ocultas. Instigado pelo pai, o flho também se ormou em medicina após estudar em Pavia e Padua. Ganhou ama e dinheiro como médico, o que abriu novos caminhos e o levou, depois, a aceitar o convite para lecionar nas Universidades de Pavia, Milão e Bolonha. Por sobreviver a tanta rejeição tinha de ser predestinado, isso o levou a ser igualado aos gênios da época. Cardano era multiacetado, flósoo que proessava o naturalismo, sempre ao lado dos cientistas mais ousados, na dianteira do pensamento. Como flósoo e mestre, considerava o mundo e tudo que nele habita seres viventes e animados, donos de vida própria. Em razão disso sempre direcionou os estudos e ensinamentos no rumo do experimentalismo, da ousadia. Descobriu que a ciência sempre mostrava duas aces, dualidade que sempre explorou: astronomia-astrologia, química-alquimia, religião-flosofa, espiritualidade-natureza, matemática-jogo de azar. A obra matemática pela qual Cardano fcou conhecido é a Arte Maior, onde ele publica as soluções das equações cúbicas e quátricas, que até então estavam inéditas. À margem dessa publicação, um livreiro com o olhar de comerciante viu possibilidades de ganho num pequeno manual do jogador intitulado O livro dos jogos de azar. Alguns críticos afrmam que esta oi sua contribuição maior para a ciência matemática. Simplesmente porque, neste livro, Cardano inventa, por vias indiretas, a eqüiprobabilidade, que tem como principal objetivo o de transormar a esperança – que até então era uma coisa utópica, não real – numa possibilidade matemática. Cardano transormou a teoria da probabilidade nos jogos de azar em algo que se pode chamar de pré-história da relatividade. Segundo ele explica, a eqüiprobabilidade é uma constante na qual o montante exato da aposta a ser eita por um jogador, tem a probabilidade [ p ] de ganhar a importância [ s ]. Estabeleceu, assim, a lei pn = pn, que dá a possibilidade que o evento de probabilidade p ocorra independente n sucessivas vezes. Cardano montou a tábua de probabilidades para danos e a lei dos grandes números, questões que oi pioneiro. Gerolamo também ensina no livro como trapacear nos jogos de azar. Mas o quê importa esse detalhe diante do vanguardismo da obra científca que resultou da eqüiprobabilidade? Convém lembrar que no Século XVI o jogo, não era considerado apenas um passatempo. Em pouco tempo cresceu em popularidade, oi levado para os salões ofciais e começou a ser realizado também nas residências. Mas a reqüência oi tão grande que obrigou os viciados a undarem casas reservadas para essa única fnalidade, nas quais os jogadores se reuniam para apostar a dinheiro. Gerolamo, que não tinha aporte fnanceiro por parte do pai, se iniciou na jogatina ainda estudante para suprir os gastos com as diversões naturais da idade. E oi assim que nasceram os cassinos, os bingos, as casas de jogos: nela os cientistas – à margem dos perigos da inquisição que logo incendiariam as mentes e os livros – procuravam se divertir e, ao mesmo tempo, discutiam, entre baoradas e taças de vinho, as suas teorias antásticas. Deste Gerolamo Cardano se sabia que era um jogador viciado, mas era também um gênio. Em sua autobiografa De própria vita, Cardano conessa que jogou xadrez cotidianamente por mais de 40 anos! Também jogou carteado, dados, gamão e tantos outros jogos de azar por mais de 25 anos. Sendo cientista e matemático é pouco provável que Gerolamo Cardano não tivesse o cuidado de azer análises, estudos e teorias sobre o jogo de xadrez.” Fonte: http://pt.shvoong.com/exact-sciences/1695140-cardano-jogador-xadrez/
1.10 Resumo do Capítulo Neste capítulo, trabalhamos com os problemas de contagem. Eles se dividem em dois tipos: Os Arranjos, que incluem também as Permutações, são agrupamentos em que um grupo é dierente de outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes. Nesse caso, a ordem dos elementos gera novo agrupamento. O outro tipo são os problemas de Combinações, em que um grupo é dierente de outro apenas pela natureza dos elementos componentes. Os Arranjos, Permutações e Combinações utilizam-se da notação atorial para acilitar os cálculos dessas contagens.
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1.11 Atividades Propostas 1. São dados 5 pontos A, B, C, D, E, representados abaixo. Quantas retas distintas eles determinam? B .
A
. .
E
.
.
C
D
2. Certo aluno descobre, numa livraria, 4 livros de seu interesse. Se ele só pode comprar dois deles, de quantos modos poderá azê-lo? 3. Quatro times de utebol disputam um torneio, no qual são atribuídos prêmios ao campeão e ao vice-campeão. De quantos modos os prêmios podem ser atribuídos? 4. Quatro cidades A, B, C, D são interligadas por vias érreas, conorme a gura a seguir. Os trens movimentam-se apenas em linha reta, ligando duas cidades. Para atender a todos os passageiros, quantos tipos de passagem devem ser impressos? (As passagens de “ida” e “volta” são bilhetes distintos). B A
D
C
5. Três cavalos disputam um páreo. Qual o número de resultados possíveis? (Não são admitidos empates). 6. A diretoria de um clube é ormada por três membros: presidente, secretário e tesoureiro. Três candidatos disputam os cargos, tendo cado decidido que o mais votado será o presidente, o 2º lugar, secretário e o 3º lugar será o tesoureiro. De quantos modos a diretoria pode ser composta? (Não se admitem empates nas votações). 7. Simplique: a) b)
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12! 9!
=
15! 5!.10!
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8. Resolva as equações: a) n! = 12 ⋅ (n − 1)! b) (n
−
c) ( n!)
2
2)!
=
20 ⋅ (n
−
4)!
2
= [(n − 1)!] ⋅ 25
9. Quantos números com dois algarismos dierentes podemos ormar com os dígitos de 1 a 9? 10. Quantos anagramas tem a palavra HOJE? 11. De quantos modos 6 pessoas podem sentar em 6 cadeiras alinhadas? 12. Sendo n um número inteiro positivo tal que Pn
= 12 ⋅ P( n − 2) , calcule n.
13. Uma amília com 5 pessoas possui um automóvel de 5 lugares. De quantos modos poderão se acomodar para uma viagem quando: a) só uma pessoa sabe dirigir? b) duas pessoas sabem dirigir? c) todos sabem dirigir? 14. Com 7 proessores, de quantos modos podemos ormar uma comissão de 3 proessores? 15. Quantas diagonais tem um heptágono? 16. Resolva as equações: a)
C n ,3 = 3.C n , 2
b)
2.C n , 4 = 5.C n , 2
17. Quantos anagramas da palavra LIVRO começam pela L? 18. Quantos números com 4 algarismos dierentes tem o algarismo da unidade de milhar igual a 7? 19. Quantos triângulos podem ser obtidos tendo vértices em três quaisquer dos vértices de um decágono? 20. Encontre n, sabendo que An ,4
= 48.C n ,3 .
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21. Encontre os valores de n e m, sabendo que:
An, 7 = P8 .C m , 7
e
Am , 7 = C n ,8 .P7
22. Qual o número de modos distintos de se repartir um grupo de 7 pessoas em dois grupos, tendo um deles quatro pessoas? 23. Com 3 goleiros e 10 jogadores que jogam em qualquer outra posição: a) De quantos modos um time de utebol de salão pode ser ormado? b) Em quantos deles sempre gura um determinado jogador J, não goleiro? c) Em quantos deles nunca gura o jogador J? 24. Quantos números de 4 algarismos podem ser ormados com os dígitos de 0 a 9, sendo que o 7 sempre é o algarismo da unidade de milhar? 25. Quantos anagramas tem a palavra LICOROSO? 26. Quantos anagramas da palavra MATEMÁTICA começam por M? 27. Qual o número de anagramas da palavra CARMO, onde as letras C e A aparecem juntas? 28. Dados 6 pontos coplanares, dos quais não há 3 colineares, qual é o número de retas que podem ser obtidas passando por dois quaisquer desses pontos? 29. Dados 6 pontos coplanares, 3 dos quais são colineares, qual é o número de retas que podem ser obtidas passando por dois quaisquer desses pontos? 30. Com 8 proessores, de quantos modos podemos ormar uma banca com 3 membros em que gure sempre um determinado proessor? 31. Dados 10 pontos do espaço, 4 dos quais não são coplanares, qual é o número de planos que podem ser obtidos passando por 3 quaisquer desses pontos? 32. Dados 10 pontos do espaço, dos quais exatamente 6 são coplanares, qual é o número de planos que podem ser obtidos passando por 3 quaisquer desses pontos? 33. Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer. De quantos modos dierentes pode ocorrer a chegada dos 3 primeiros colocados?
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34. Utilizando os algarismos 1, 2, 5, 7 e 8, quantos números naturais pares podemos escrever com: a) 4 algarismos? b) 4 algarismos distintos? 35. Uma pessoa pretende colocar 7 livros numa estante, um ao lado do outro. Entre esses livros, há 4 romances e 3 cções cientícas. a) De quantos modos esses livros podem ser dispostos na estante? b) De quantos modos eles podem ser dispostos, de maneira que dois romances não quem juntos? 36. Em nosso sistema de numeração, quantos números naturais ímpares de 4 algarismos apresentam algarismos repetidos? 37. Quantos anagramas são possíveis ormar com as letras da palavra LUCRO? 38. Quantos anagramas ormados com as letras da palavra PESCADOR: a) começam e terminam com uma consoante? b) começam com uma vogal e terminam com uma consoante? c) apresentam as vogais juntas e em ordem alabética? d) apresentam as vogais juntas e em qualquer ordem? 39. Daniele possui uma pequena coleção de latinhas de cerveja, sendo 4 de marcas nacionais e 6 de marcas estrangeiras. De quantos modos Daniele pode colocar as latinhas numa prateleira, uma ao lado da outra, de modo que as nacionais quem juntas e as estrangeiras quem juntas, em qualquer ordem? 40. Sobre uma mesa, há 15 bolas de bilhar: 8 vermelhas, 4 amarelas e 3 pretas. De quantos modos podem-se enleirar essas bolas de modo que duas da mesma cor nunca quem juntas? 41. Seja E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} a) Quantos subconjuntos de 3 elementos E possui? b) Quantos números com 3 algarismos distintos de E é possível escrever? 42. Uma empresa pretende sortear 2 automóveis dierentes entre as 12 top models que oram capas de uma revista ao longo de 1 ano. O sorteio será realizado em duas etapas. Primeiro serão sorteadas 6 nalistas. Em seguida, os 2 automóveis serão sorteados entre as nalistas. a) De quantas maneiras dierentes pode resultar o grupo de 6 nalistas? b) Uma vez denidas as nalistas, de quantas maneiras pode ocorrer a premiação?
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43. Com vértices nos pontos dados sobre as retas, quantos triângulos são possíveis construir no caso abaixo? A
B
K
C
L
D
M
E
N
44. Para 3 alunos que caram em recuperação, um proessor preparou 9 questões, sendo 3 para cada aluno. De quantas maneiras o proessor poderá distribuir as questões entre os recuperandos? 45. Uma junta médica de 5 integrantes será escolhida entre 6 cardiologistas e 4 pediatras. Quantas juntas dierentes são possíveis ormar, de modo que entre os integrantes haja: a) 3 cardiologistas e 2 pediatras? b) No mínimo um pediatra? c) No máximo um pediatra? 46. De um baralho de 52 cartas, são eliminadas todas as cartas com os números 8, 9 e 10. Com o restante do baralho, quantos jogos de 4 cartas é possível ormar, de modo que entre elas haja: a) exatamente um ás? b) pelo menos um ás? c) exatamente duas guras? d) pelo menos duas guras? e) no máximo duas guras? 47. Uma pessoa quer convidar 4 entre 10 amigos para um jantar. No entanto, dois desses amigos têm ortes dierenças pessoais. De quantas maneiras pode ser ormado o grupo dos 4 convidados, de modo que não compareçam simultaneamente as duas pessoas citadas? 48. Pretende-se distribuir 12 bolinhas vermelhas, 11 azuis e 13 pretas entre dois meninos. Cada menino deve receber no mínimo 5 bolinhas de cada cor. De quantas maneiras pode ser eita a distribuição? 49. Quantos números naturais de 7 algarismos distintos são possíveis ormar utilizando todos os algarismos do número 1 234 567? 50. Quantos números naturais ímpares são possíveis escrever permutando os algarismos do número 6 725 727? 51. Com n letras iguais a A e 3 letras iguais a B ormam-se um total de 8n + 16 permutações. Calcule n.
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2 PROBABILIDADES
2.1 A Teoria das Probabilidades Durante o século XVII, com os chamados jogos de azar, surgiram os primeiros estudos de probabilidade. Apesar de ter origem através dos jogos de azar, a probabilidade tornou-se undamental para conhecermos as chances que dispomos para tomarmos decisões. Quando se pensa numa probabilidade, dispõe-se de algo incerto, mas que oerece certo grau de conança ou possibilidade de ocorrer. Para medir o grau de conança que se deposita em certas armações ou experimentos, dene-se:
Probabilidade é o número que resulta da divisão do número de casos avoráveis a um evento pelo número total de casos possíveis. Exemplo 11: Qual a probabilidade de se obter ace ímpar numa única jogada de dado? Resolução: Um dado tem o total de seis aces: F1, F2, F3, F4, F5 e F6. As aces ímpares são três: F1, F3 e F5.
Probabilidade de F1 + F3 + F5 3 Faces 3 1 = = = = = 0,5 F1 ou F3 ou F5 F1 F2 F3 F4 F5 F6 6 Faces 6 2 + + + + +
Pode-se, então, utilizar a órmula: P ( X ) =
f p
Onde: P(X) é a probabilidade de ocorrer o evento X; f é o número de casos avoráveis à ocor-
rência de X; p é o número de casos possíveis. Sejam A e B dois eventos, então A ∪ B será também um evento que ocorrerá se, e somente
se, A ou B (ou ambos) ocorrerem. Diz-se que A ∪ B é a união entre o evento A e o evento B. Sejam A e B dois eventos, então A ∩ B será também um evento que ocorrerá se, e somente se, A e B ocorrerem simultaneamente. Dene-se que A Ç B é a interseção entre o evento A e o evento B. Em particular, se A ∩ B = ∅, A e B são chamados mutuamente exclusivos. Seja A um evento, então o evento complementar de A (indicado por: Ac) será também um evento que ocorrerá se, e somente se, A não ocorrer.
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A seguir, seguem alguns teoremas importantes a respeito de probabilidades: T1: a probabilidade do evento certo é igual a 1. T2: se A Ì B (lê-se: A está contido em B), então P(A) £ P(B). T3: se A é um evento, então 0 ≤ P( A) ≤ 1 . T4: se A e B são eventos, então P( A ∪ B ) = P ( A) + P( B ) − P( A ∩ B ) . Observação: Se A e B são mutuamente exclusivos (A ∩ B = ∅), então: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) T5: se A é um evento, então o evento complementar de A terá probabilidade c P( A ) = 1 − P ( A) .
Atenção Probabilidade é o número que resulta da divisão do número de casos favoráveis a um evento pelo número total de casos possíveis.
Exemplo 12: Uma urna contém 50 bolas idênticas; se as bolas orem numeradas de 1 a 50, qual a probabilidade de, em uma extração ao acaso, obter: a) b) c) d)
a bola de número 27? uma bola de número par? uma bola de nº maior que 20? uma bola de número menor ou igual a 20?
Resolução: Há um total de 50 bolas: B1, B2, B3,..., B50.
20
a) Será chamado de A o evento ormado pela bola de número 27: A = {B27}. 3$
%
% % % %
%ROD
%RODV
b) Será chamado de B o evento ormado pelas bolas pares: B = {B2, B4,..., B50}. Este evento B possui 25 elementos. 3%
% % %
% % % %
%RODV
%RODV
c) Será chamado de C o evento ormado pelas bolas de número maior que 20: C = {B21, B22,..., B50}. Este evento C possui 30 elementos. 3&
% % %
% % % %
%RODV
%RODV
d) Será chamado de D o evento ormado pelas bolas de número menor ou igual que 20: D = {B1, B2,..., B20}. Este evento D possui 20 elementos. 3'
% % % % % % %
%RODV %RODV
Exemplo 13: Três cavalos C1, C2 e C 3 disputam um páreo, do qual só se premiará o vencedor. O espaço amostral é: S = {C1, C2, C3}. Um conhecedor dos 3 cavalos arma que as “chances” de C1 vencer são o dobro das de C 2, e que C2 tem o triplo das “chances” de C3. Qual a probabilidade que cada cavalo tem de vencer? Resolução: Atribui-se uma probabilidade p ao cavalo C3. Þ C3 = p O cavalo C2 tem o triplo das “chances” de C3. Þ C2 = 3C3 = 3p Já o cavalo C1 tem o dobro das “chances” de C2. Þ C1 = 2C2 = 2 ×3p = 6p
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Análise Combinatória e Probabilidades
Somente esses três cavalos disputam, logo:
& & &
S S S
S
S
Então, a probabilidade dos cavalos será: &
S
&
S
&
S
Saiba mais “Pascal nasceu a 19 de Julho de 1623, em Clermont-Ferrand, na França, flho de Étienne Pascal e Antoniette Bejon. Quando tinha apenas três anos, perdeu a mãe e, como era o único flho do sexo masculino, o pai encarregou-se diretamente da sua educação. Étienne desenvolveu um método singular de educação do flho, com exercícios de diversos tipos para despertar a razão e o juízo correto. Disciplinas como Geografa, História e Filosofa oram ensinadas, sobretudo, por meio de jogos. Étienne acreditava que a Matemática só deveria ser ensinada ao flho quando este osse mais velho. Nesse sentido, mantinha longe do flho os livros de matemática. Pascal tinha, porém grande curiosidade sobre aqueles ‘estranhos’ assuntos. Por intermédio de conversas que ouvia ou da leitura de obras que passavam pela censura do pai, descobriu as maravilhas da ciência dos números. Mesmo sem proessor, começou a desenvolver os seus estudos. Aos 12 anos, o pai descobriu-o desenhando no chão, fguras geométricas com carvão. Nessa mesma altura, Pascal descobre que a soma dos ângulos de um triângulo é igual a dois ângulos retos. Estavam ali, por intuição, várias das proposições da matemática de Euclides. Pascal havia chegado sozinho à 32ª proposição do Livro 1 dos Elementos do velho sábio. Reconhecida a sua genialidade, oi dada permissão ao jovem Pascal para que estudasse matemática livremente. Étienne Pascal mesmo não sendo uma pessoa totalmente ortodoxa, requentava a casa do padre ranciscano Marin Mersene, que também era requentada por muitas personalidades importantes. Foi quando, com aproximadamente 14 anos, Blaise Pascal decidiu acompanhar o seu pai nessas reuniões e aos 16 anos apresentou vários teoremas de Geometria Projetiva, onde constava o conhecido ‘Hexágono Místico’. Ainda com os seus 16 anos, escreveu ‘ Éssai sur les coniques’ (Ensaio sobre as Cônicas), baseado no estudo de Girad Desargues. Mais tarde, para ajudar o pai, sempre ocupado com os números, dedicou-se à criação de uma máquina de calcular. Pascal desenvolveu importantes estudos que tiveram como inspiração as descobertas do italiano Torricelli sobre a pressão atmosérica. A partir de 1647, Pascal passou a dedicar-se ao estudo da aritmética. Desenvolveu cálculos de probabilidade, a órmula de geometria do acaso, o conhecido Triângulo de Pascal e o tratado sobre as potências numéricas. Mas o trabalho excessivo minou a sua saúde, débil por natureza, caindo gravemente doente. Em 1648 requentou, com sua irmã Jacqueline, os seguidores de Saint-Cyran, que o levaram ao misticismo de Port-Royal. Depois da morte do pai, o seu ervor religioso arreeceu um pouco, iniciando-se o chamado período mundano de Pascal, devido à proibição médica de dedicar-se a trabalhos intelectuais, prejudiciais à sua saúde, e a pratica de exercícios de penitência. Pascal aleceu à primeira hora da madrugada de 29 de Agosto de 1662, aos 39 anos, vítima de um tumor maligno no estomago. As suas últimas palavras oram: ‘Que Deus jamais me abandone!’.” Fonte: http://www.educ.c.ul.pt/docentes/opombo/seminario/pasca_l/biografa.htm.
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2.2 Probabilidade Condicional Caro(a) aluno(a), observe que, como na própria denominação deste tópico, em casos de probabilidade condicional, teremos uma condição, ou ainda, uma “inormação a mais” no problema. Essa inormação do que ocorreu em determinada etapa do enômeno aleatório em estudo pode infuenciar nas probabilidades de ocorrências de etapas sucessivas. Nesse caso, podemos dizer que “ganhamos inormações” e podemos recalcular as probabilidades de interesse. Uma leitura atenta e detalhada do enunciado é de extrema importância para identicarmos as situações onde o conceito de probabilidade condicional estará envolvido. Observe o exemplo a seguir e identique no enunciado “a inormação a mais”. Exemplo 14: Considere o problema seguinte: Uma bola é retirada de uma urna que contém 20 bolas numeradas de 1 a 20. A pessoa que a retirou diz o seguinte para os que acompanham o sorteio: Saiu um número ímpar! Pergunta-se: Qual é a probabilidade de ter saído um número primo? Há 20 resultados possíveis para o experimento “retirar uma bola da urna”. Isto é, S = {1, 2, 3, 4, ..., 19, 20} Dentre esses resultados, destacam-se os eventos: A: sair número ímpar. A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19} B: sair número primo. B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}
A, vamos contar quantos são os casos avoráveis à ocorrência de B. Note que isso equivale a determinar A ∩ B. A ∩ B = {3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}
n(A ∩ B) = 7
Assim, entre os 10 números ímpares possíveis de terem ocorrido, há 7 casos avoráveis à ocorrência de um número primo. Logo, a probabilidade de ocorrer primo, sabendo que ocorreu ímpar é: P ( B / A) =
n( A ∩ B ) n( A)
=
7 10
Defnição: Seja S um espaço amostral e onde há dois eventos, A e B. O símbolo P(A/B) indica a probabilidade do evento A, dado que o evento B ocorreu, isto é, P(A/B) é a probabilidade condicional do evento A, uma vez que B tenha ocorrido. Quando se calcula P(A/B), tudo se passa como se B osse o novo espaço amostral “reduzido” dentro do qual queremos calcular a probabilidade de A.
Dicionário Dicionário Espaço amostral: é o conjunto ormado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. É indicado pelo símbolo Ω.
Observação: Note que P( B / A) ≠ P( A / B) , vejam usando o exemplo anterior: P ( B / A) =
n( A ∩ B ) n( A)
=
7 10
e O problema pede a probabilidade de ocorrer B (número primo), mas inorma que já ocorreu A (número ímpar). Então, entre os elementos de
22
P( A / B) =
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n( A ∩ B) n( B )
=
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Análise Combinatória e Probabilidades
Atenção P(A/B) é a probabilidade condicional do evento A, uma vez que B tenha ocorrido. Tudo se passa como se B osse o novo espaço amostral “reduzido” dentro do qual queremos calcular a probabilidade de A.
2.3 Regra da Multiplicação e Probabilidade Total Uma consequência importante da denição de probabilidade condicional é a seguinte: P( A / B ) =
P( B / A) =
P( A ∩ B ) P( B )
⇒ P( A ∩ B ) = P( B ) × P( A / B) P (U1 ∩ V ) = P (U 1 ) × P (V / U 1 ) =
P( A ∩ B) P( A)
⇒ P( A ∩ B) = P( A) × P( B / A)
Isto é, a probabilidade da ocorrência simultânea de dois eventos [P(A ∩ B)] é o produto da probabilidade de um deles pela probabilidade do outro, dado o primeiro. Exemplo 15: Uma urna I contém 2 bolas vermelhas e 3 bolas brancas, a urna II contém 4 bolas vermelhas e 5 bolas brancas. Uma urna é escolhida ao acaso e dela uma bola é extraída ao acaso. Qual a probabilidade de observarmos urna I e bola vermelha? Resolução: Como existem duas urnas (U1 e U2), a probabilidade de cada urna é 0,5. Já, a probabilidade de ocorrer bola vermelha (V) condicionada à urna I será dada por: P (V / U 1 ) =
O problema pede a probabilidade de observarmos urna I e bola vermelha, ou seja, a interseção entre os eventos:
2
, pois há duas boas vermelhas numa urna que possui 5 bolas. 5
1 2
×
2 5
=
2 10
=
1 5
Outra situação importante é o chamado teorema da probabilidade total. Ele é utilizado quando a probabilidade de um evento A é diícil de ser calculada diretamente, porém se torna simples o seu cálculo usando os conceitos a seguir. Inicialmente, considere n eventos B1, B2,..., Bn. Considere que eles ormam uma partição do espaço amostral S, quando: I) P (B k ) >0 ∀ k; II) Bi ∩ B j = ∅ para i ≠ j; n
III)
Bi = S
.
i =1
Os eventos B1, B2,..., Bn são dois a dois mutuamente exclusivos exaustivos (sua união é S). Seja A um evento qualquer do espaço amostral S e B1, B2, ..., Bn, uma partição de S, é válida a seguinte relação:
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Resolução: temos três caixas, contendo: C1 = 2 moedas de ouro; C2 = 1 moeda de ouro e 1 moeda de prata; C3 = 2 moedas de prata.
A = (B1 ∩ A) ∪ (B2 ∩ A) ∪ (B3 ∩ A) ∪ ... ∪ (Bn ∩ A).
Note que (B1 ∩ A); (B2 ∩ A) ...; (Bn ∩ A) são dois a dois mutuamente exclusivos, portanto:
P( A) = P( B1 ∩ A) + P( B2 ∩ A) + + P( Bn ∩ A) Exemplo 16: Uma urna I tem 2 bolas vermelhas (V) e 3 brancas (B); outra urna II tem 3 bolas vermelhas e uma branca e a urna III tem 4 bolas vermelhas e 2 brancas. Uma urna é selecionada ao acaso e dela é extraída uma bola. Qual a probabilidade de a bola ser vermelha? Resolução: Utilizando o teorema da probabilidade total, temos:
Queremos calcular a probabilidade de a segunda moeda ser de ouro, sabendo que a primeira oi de ouro. Em outras palavras, a probabilidade de caixa C1, sabendo que ocorreu ouro (O). Em símbolos: P(C1/O) = ? Utilizando o teorema da probabilidade total, temos: P(O) =
P(U1 V)
+
P(U2 V)
+
+
P(C2 O)
+
P(C3 O)
P(O) = P(C1 ) u P(O / C1) + P(C2 ) u P(O / C2) + P(C3 ) u P(O / C3) 3 2
P(V) =
P(C1 O)
P(U3 V)
u
u
u
P(V) = P(U1 ) u P(V / U1) + P(U2 ) u P(V / U2) + P(U3 ) u P(V / U3) 3 9
u
u
u
Utilizando a probabilidade condicional,
vem:
Exemplo 17 (problema da moeda de Bertrand): Existem três caixas idênticas. A 1a contém duas moedas de ouro, a 2a contém uma moeda de ouro e outra de prata, e a 3a, duas moedas de prata. Uma caixa é selecionada ao acaso e da mesma é escolhida uma moeda ao acaso. Se a moeda escolhida or de ouro, qual a probabilidade de que a outra moeda da caixa escolhida também seja de ouro?
1 P (C 1 / O ) = 3
×
2
2 = 2×2 = 4 = 2 1 6 1 6 3 2
2.4 Independência de Eventos Dados dois eventos A e B de um espaço amostral W, diremos que A independe de B se P(A/B) = P(A). Isto é, A independe de B se a ocorrência de B não aeta a probabilidade de A. Observemos que, se A i ndepende de B, então B independe de A, pois:
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P( B / A) =
P( A ∩ B) P( A)
=
P( B) ⋅ P( A / B) P( A)
=
P( B) ⋅ P( A) P( A)
= P( B )
Dois eventos A e B são chamados independentes, se P( A ∩ B) = P( A) ⋅ P( B)
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Análise Combinatória e Probabilidades
Observações: a) Se A e B não são independentes, eles são chamados dependentes. b) Se A e B são independentes, então:
Exemplo 18: uma moeda é lançada 3 vezes. Sejam os eventos: A: ocorrem pelo menos duas caras. B: ocorrem resultados iguais nos três lançamentos. Mostrar que os eventos A e B são independentes.
A e BC são independentes; AC e B são independentes; AC e BC são independentes.
Resolução: :
= {(K, K, K); (K, K, C); (K, C, K); (K, C, C); (C, K, K); (C, K, C); (C, C, K); (C, C, C)}.
A = {(K, K, K); (K, K, C); (K, C, K); (C, K, K)}; B = {(K, K, K); (C, C, C)}; P(B) = A B = {(K, K, K)};
P(A) =
P(A B) =
Atenção Dados dois eventos A e B de um espaço amostral Ω, diremos que A independe de B se P(A/B) = P(A).
Logo, P(A B) = P(A) x P(B)
Portanto, A e B são independentes.
Exemplo 19: Duas pessoas praticam tiro ao alvo. A probabilidade de a 1ª atingir o alvo é P(A) = P(B) =
1
e a probabilidade de a 2ª atingir o alvo é
3 2 . Admitindo A e B independentes, se os
3
dois atiram, qual a probabilidade de: a) ambos atingirem o alvo? b) ao menos um atingir o alvo? Resolução:
a ) P( A). P( B) =
1 2
⋅
=
1 1
2 2
7
3 3
3 3
3 3
9
⋅ + ⋅ + ⋅ =
Generalizando: P(A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An) = P(A1) . P(A2) . . . . . P(An) Exemplo 20: Um dado é lançado 5 vezes. Qual a probabilidade de que a ace “2” apareça pelo menos uma vez nos 5 lançamentos?
2
3 3 9 b) P ( A). P( B ) + P ( A). P( B c ) + P( Ac ). P ( B) =
1 2
Considere 3 eventos A, B e C do mesmo espaço amostral Ω. Dizemos que A, B e C são independentes, se P(A ∩ B ∩ C) = P(A) . P(B) . P(C)
Resolução: Vamos calcular a probabilidade da ace 2 aparecer nenhuma vez. 5 5 5 5 5
3125
6 6 6 6 6
7776
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
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Agora, calcula-se a probabilidade de a ace 2 aparecer pelo menos uma vez, usando o evento complementar: 1−
3125 7776
=
4651 7776
2.5 Resumo do Capítulo A probabilidade de um evento consiste na razão entre os casos avoráveis a ocorrência do evento e o total de casos possíveis do experimento aleatório. A utilização de probabilidades ocorre em jogos do cotidiano, no cálculo de seguros em geral e, em outras situações onde é undamental conhecer suas possibilidades de chances. Neste capítulo, vimos a Probabilidade de um Evento condicionado à ocorrência de outro evento e também Eventos Independentes em termos de probabilidades. A utilização da Análise Combinatória está diretamente associada aos problemas de probabilidades, onde se torna undamental determinarmos a quantidade de elementos dos conjuntos Espaço Amostral e Eventos.
Curiosidade Muitos alunos não conhecem a composição de um baralho e, como este comumente é tema de diversos problemas de análise combinatória e probabilidades, apresentaremos a seguir como um baralho é ormado. O baralho comum tem 52 cartas (espaço amostral), sendo 26 vermelhas e 26 pretas. São divididas em 4 naipes: copas, ouro, paus e espadas, sendo que cada naipe possui 13 cartas numeradas de 2 a 10 e mais as cartas chamadas de fguras: o Rei (símbolo K), a Rainha ou Dama (símbolo Q), o Valete (símbolo J) e o Ás (símbolo A). (13 cartas por naipe x 4 naipes = 52 cartas). Observe a tabela com as inormações detalhadas de um baralho:
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Análise Combinatória e Probabilidades
2.6 Atividades Propostas 1. Numa urna existem duas bolas vermelhas e seis brancas. Sorteando-se uma bola, qual a probabilidade de ela ser vermelha? 2. No lançamento simultâneo de dois dados, encontra-se o seguinte espaço amostral: S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} Determine a probabilidade dos seguintes eventos: A: ocorrência de números iguais nos dois dados. B: ocorrência de números cuja soma seja 12. C: ocorrência de números cuja soma seja menor ou igual a 12. D: ocorrência de números cuja soma seja 8. E: ocorrência de números cuja soma seja dierente de 8. F: ocorrência de números iguais, com soma igual a 8. G: ocorrência de números iguais, com soma igual a 7. H: ocorrência de números iguais nos dois dados, ou de números com soma igual a 8. I: ocorrência de números múltiplos de 3 nos dois dados. 3. Numa cidade com 1.000 eleitores, vai haver uma eleição com 2 candidatos, A e B. É eita uma prévia em que os 1.000 eleitores são consultados, sendo que 510 já se decidiram, denitivamente, por A. Qual é a probabilidade de que A ganhe a eleição? 4. Uma moeda é viciada de tal modo que sair cara é duas vezes mais provável do que sair coroa. Calcule a probabilidade de: a) ocorrer cara no lançamento dessa moeda; b) ocorrer coroa no lançamento dessa moeda. 5. De um baralho de 52 cartas, uma é extraída ao acaso. Qual a probabilidade de cada um dos eventos abaixo? a) Ocorrer dama de copas. b) Ocorrer dama. c) Ocorrer carta de naipe de paus. d) Ocorrer uma gura. e) Ocorrer uma carta que não é um rei.
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6. Uma urna contém 3 bolas brancas, 2 vermelhas e 5 azuis. Uma bola é escolhida ao acaso na urna. Qual a probabilidade de a bola escolhida ser: a) branca? b) vermelha? c) azul? 7. Jogando 3 dados, qual a probabilidade de se obter soma menor ou igual a 4? 8. Os jogadores A, B, C e D disputam um torneio onde A e B têm “chances” iguais, C e D também têm “chances” iguais, mas A tem o dobro das “chances” de C. Qual a probabilidade de B vencer? Qual a probabilidade de D vencer? 9. Considere o espaço amostral S = {a, b, c, d} de um experimento aleatório. Consideremos a seguinte distribuição de probabilidades: P(a) = 1/8, P(b) = 1/8, P(c) = ¼, P(d) = x. Determine o valor de x. 10. Com os dados do exercício anterior e sejam os eventos A = {a, b, c} e B = {c, d}, determine P(A), P(B), P(Ac), P(Bc), P(A Ç B) e P(A È B). 11. As “chances” de um time de utebol T ganhar o campeonato que está disputando são de 5 para 2. Determine: a) a probabilidade de T ganhar; b) a probabilidade de T perder. 12. Dos 100 alunos de uma turma, 40 gostam de Álgebra, 30 gostam de Geometria, 10 gostam de Álgebra e Geometria, e há os que não gostam de Álgebra nem de Geometria. Um aluno é escolhido ao acaso. Qual a probabilidade de ele gostar de: a) Álgebra? b) Geometria? c) Álgebra e Geometria? d) Álgebra ou Geometria? 13. Dois dados equilibrados são lançados. a) Qual a probabilidade de ocorrerem números iguais nas aces superiores? b) Qual a probabilidade de ocorrerem números dierentes? 14. Uma loja dispõe de 12 geladeiras do mesmo tipo, dos quais 4 apresentam deeitos. a) Se um reguês vai comprar uma geladeira, qual a probabilidade de levar uma deeituosa? b) Se um reguês vai comprar duas geladeiras, qual a probabilidade de levar duas deeituosas? c) Se um reguês vai comprar duas geladeiras, qual a probabilidade de levar pelo menos uma com deeito?
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Análise Combinatória e Probabilidades
15. Onze jovens são dispostos em uma la. Qual a probabilidade de dois determinados jovens: a) carem juntos? b) carem separados? 16. Dois indivíduos A e B vão jogar cara ou coroa com uma moeda “honesta”. Eles combinam lançar a moeda cinco vezes e ganha o jogo aquele que ganhar em três ou mais lançamentos. Cada um aposta R$ 2.800,00. Feitos os dois primeiros lançamentos, em ambos os quais A vence, eles resolvem encerrar o jogo. Do ponto de vista probabilístico, de que orma devem ser repartidos os R$ 5.600,00? 17. Em um grupo de 500 estudantes, 80 estudam Engenharia, 150 estudam Economia e 10 estudam Engenharia e Economia. Se um aluno é escolhido ao acaso, qual a probabilidade de que: a) ele estude Economia e Engenharia? b) ele estude somente Engenharia? c) ele estude somente Economia? d) ele não estude Engenharia nem Economia? e) ele estude Engenharia ou Economia? 18. Uma cidade tem 50.000 habitantes e 3 jornais A, B, C. Sabe-se que: 15.000 leem o jornal A; 10.000 leem o jornal B; 8.000 leem o jornal C; 6.000 leem os jornais A e B; 4.000 leem os jornais A e C; 3.000 leem os jornais B e C; 1.000 leem os três jornais. Uma pessoa é selecionada ao acaso. Qual a probabilidade de que: a) ela leia pelo menos um jornal? b) leia só um jornal?
19. Oito pessoas (dentre elas Pedro, Silvia e João) são dispostas ao acaso em uma la. Qual a probabilidade de: a) os três carem juntos? b) os três carem separados? 20. Nove livros são colocados ao acaso numa estante. Qual a probabilidade de que 3 livros determinados quem juntos? 21. Uma urna contém 4 bolas brancas, 2 bolas vermelhas e 3 azuis. Cinco bolas são selecionadas ao acaso, sem reposição. Qual a probabilidade de que 2 sejam brancas, uma vermelha e 2 azuis?
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22. Um lote contém 60 lâmpadas, sendo 50 boas e 10 deeituosas. Cinco lâmpadas são escolhidas ao acaso, sem reposição. Qual a probabilidade de: a) todas serem boas? b) todas serem deeituosas? c) 2 serem boas e 3 deeituosas? 23. Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 7 brancas. Duas bolas são extraídas sucessivamente ao acaso e sem reposição. Qual a probabilidade de: a) ambas serem brancas? b) ambas serem vermelhas? 24. Uma moeda é lançada 10 vezes, qual a probabilidade de observarmos 5 caras e 5 coroas? 1
1
1
25. Sejam A e B eventos tais que: P(A) = , P(B) = e P(A∩B) = . 3 4 6 Determine: a) P(A/B) b) P(B/A) c) P(A/A∪B) d) P(A∪B/A) 26. Dos 50 alunos de uma classe, 10 oram reprovados em Física, 12 em Matemática, sendo que 6 oram reprovados em Física e Matemática. Um aluno é escolhido ao acaso. a) Sabendo que ele oi reprovado em Matemática, qual a probabilidade de também ter s ido reprovado em Física? b) Sabendo que ele oi reprovado em Física, qual a probabilidade de também ter sido reprovado em Matemática? 27. Um casal tem dois lhos. Determine a probabilidade de ambos serem rapazes, dado que: a) o primeiro lho é rapaz. b) pelo menos um dos lhos é rapaz. 28. Um dado é lançado e o número da ace de cima é observado. a) Se o resultado obtido or par, qual a probabilidade de ele ser maior ou igual a 5? b) Se o resultado obtido or maior ou igual a 5, qual a probabilidade de ele ser par? c) Se o resultado obtido or ímpar, qual a probabilidade de ele ser menor que 3? d) Se o resultado obtido or menor que 3, qual a probabilidade de ele ser ímpar? 29. Um número é sorteado ao acaso entre os 100 inteiros de 1 a 100. a) Qual a probabilidade de o número ser par? b) Qual a probabilidade de o número ser par, dado que ele é menor que 50? c) Qual a probabilidade de o número ser divisível por 5, dado que é par?
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Análise Combinatória e Probabilidades
30. Dois dados d1 e d2 são lançados. a) Qual a probabilidade de a soma dos pontos ser 6, se a ace observada em d 1 oi 2? b) Qual a probabilidade de o dado d 1 apresentar ace 2, se a soma dos pontos oi 6? c) Qual a probabilidade de a soma dos pontos ser menor que 7, sabendo que em ao menos um dado apareceu o resultado 2? d) Qual a probabilidade de a soma dos pontos ser menor ou igual a 6, se a soma dos pontos nos dois dados oi menor ou igual a 4? e) Qual a probabilidade de o máximo dos números observados ser 5, se a soma dos pontos oi menor ou igual a 9? 31. Considere um tetraedro, como um dado, com 4 aces numeradas de 1 a 4. Dois tetraedros t 1 e t2 são lançados sobre um plano e observam-se os números das aces nas quais se apoiam os tetraedros. Se a soma dos pontos obtidos or maior que 5, qual a probabilidade de que o número observado em t1 seja: a) 4? b) 3? 32. Um grupo de 50 moças é classicado de acordo com a cor dos cabelos, e dos olhos de cada moça, segundo a tabela: CABELOS
OLHOS Azuis
Castanhos
Loira
17
9
Morena Ruiva
4 3
14 3
Se você marca um encontro com uma dessas garotas, escolhida ao acaso, qual a probabilidade de ela ser: a) loira? b) morena de olhos azuis? c) morena ou ter olhos azuis? d) está chovendo quando você encontra a garota. Seus cabelos estão completamente cobertos, mas você percebe que ela tem olhos castanhos. Qual a probabilidade de que ela seja morena? 33. De um total de 100 alunos que se destinam ao curso de Matemática, Física e Química sabe-se que: I - 30 destinam-se à Matemática e, desses, 20 são do sexo masculino. II - O total de alunos do sexo masculino é 50, dos quais 10 destinam-se à Química. III - Existem 10 moças que se destinam ao curso de Química. 34. Nessas condições, sorteando um aluno ao acaso do grupo total e sabendo que é do sexo eminino, qual é a probabilidade de que ele se destine ao curso de Matemática?
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35. Uma comissão de 3 pessoas é ormada escolhendo-se ao acaso entre Antônio, Benedito, César, Denise, Elisabeth e Fábio. Se Denise não pertence à comissão, qual a probabilidade de César pertencer? 36. Um prédio de três andares, com dois apartamentos por andar, tem apenas três apartamentos ocupados. Qual é a probabilidade de que cada um dos três andares tenha exatamente um apartamento ocupado? 37. Um juiz de utebol possui três cartões no bolso. Um é todo amarelo, outro é todo vermelho e o terceiro é vermelho de um lado e amarelo do outro. Num determinado lance, o juiz retira, ao acaso, um cartão do bolso e o mostra a um jogador. Determine a probabilidade de a ace que o juiz vê ser vermelho e de a outra ace, mostrada ao jogador, ser amarela. 38. Uma urna I tem 3 bolas vermelhas e 4 pretas. Outra urna II tem 6 bolas vermelhas e 2 pretas. Uma urna é escolhida ao acaso e dela é escolhida uma bola também ao acaso. Qual a probabilidade de observarmos: a) urna I e bola vermelha? b) urna I e bola preta? c) urna II e bola vermelha? d) urna II e bola preta? 39. Uma urna tem 8 bolas vermelhas, 3 brancas e 4 pretas. Uma bola é escolhida ao acaso e, sem reposição desta, outra é escolhida, também ao acaso. Qual a probabilidade de: a) a 1ª bola ser vermelha e a 2ª branca? b) a 1ª bola ser branca e a 2ª vermelha? c) a 1ª e a 2ª serem vermelhas? 40. O mês de outubro tem 31 dias. Numa certa localidade, chove 5 dias no mês de outubro. Qual a probabilidade de não chover nos dias 1º e 2 de outubro? 41. A urna I tem 3 bolas vermelhas e 4 brancas, a urna II tem 2 bolas vermelhas e 6 brancas e a urna III tem 5 bolas vermelhas, 2 brancas e 3 amarelas. Uma urna é selecionada ao acaso e dela é extraída uma bola, também ao acaso. Qual a probabilidade de a bola ser: a) vermelha? b) branca? c) amarela? 42. Em um lote da ábrica A existem 18 peças boas e 2 deeituosas. Em outro lote da ábrica B existem 24 peças boas e 6 deeituosas, e em outro lote da ábrica C existem 38 peças boas e 2 deeituosas. Um dos 3 lotes é sorteado ao acaso e dele é extraída uma peça ao acaso. Qual a probabilidade de a peça ser: a) boa? b) deeituosa?
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Análise Combinatória e Probabilidades
43. Em um jogo de cara ou coroa, em cada tentativa a moeda é lançada 3 vezes consecutivas. Uma tentativa é considerada um sucesso se o número de vezes que se obtém cara superar estritamente o número de vezes que se obtém coroa. Qual é a probabilidade de serem obtidos 2 sucessos nas 2 primeiras tentativas? 44. A urna I tem 2 bolas vermelhas e 3 amarelas e a urna II tem 4 bolas vermelhas, 5 amarelas e 2 brancas. Uma bola é escolhida ao acaso na urna I e colocada na urna II, em seguida uma bola é escolhida na urna II ao acaso. Qual a probabilidade de essa segunda bola ser: a) vermelha? b) amarela? c) branca? 45. Uma urna I tem 3 bolas vermelhas e 4 brancas, a urna II tem 6 bolas vermelhas e 2 brancas. Uma urna é escolhida ao acaso e nela é escolhida uma bola, também ao acaso. a) Qual a probabilidade de observarmos urna I e bola vermelha? b) Qual a probabilidade de observarmos bola vermelha? c) Se a bola observada oi vermelha, qual a probabilidade que tenha vindo da urna I? 46. Uma caixa contém 3 moedas MI, MII e MIII. A MI é “honesta”, a MII tem duas caras e a MIII é viciada de tal modo que caras são duas vezes mais prováveis que coroas. Uma moeda é escolhida ao acaso e lançada. a) Qual a probabilidade de observarmos moeda MI e cara? b) Qual a probabilidade de observarmos cara? c) Se o resultado nal oi cara, qual a probabilidade de que a moeda lançada tenha sido MI. 47. Duas máquinas A e B produzem peças idênticas, sendo que a produção da máquina A é o triplo da produção da máquina B. A máquina A produz 80% de peças boas e a máquina B produz 90%. Uma peça é selecionada ao acaso no estoque e verica-se que é boa. Qual a probabilidade de que tenha sido abricada pela máquina A? 48. Certa moléstia A é detectada através de um exame de sangue. Entre as pessoas que eetivamente possuem a moléstia A, 80% delas têm a moléstia detectada pelo exame de sangue. Entre as pessoas que não possuem a moléstia A, 5% delas têm a moléstia detectada (erroneamente) pelo exame de sangue. Numa cidade, 2% das pessoas têm a moléstia A. Uma pessoa da cidade oi submetida ao citado exame de sangue, que a acusou como portadora da moléstia A. Qual a probabilidade de essa pessoa estar eetivamente atacada pela moléstia? 49. Em uma população, o número de homens é igual ao de mulheres. 5% dos homens são daltônicos e 0,25% das mulheres são daltônicas. Uma pessoa é selecionada ao acaso e verica-se que é daltônica. Qual a probabilidade de que ela seja mulher?
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50. As probabilidades de que duas pessoas A e B resolvam um problema são: P(A) = e P(B) = . 3 5 Qual a probabilidade de que: a) ambos resolvam o problema? b) ao menos um resolva o problema? c) nenhum resolva o problema? d) A resolva o problema, mas B não? e) B resolva o problema, mas A não? 51. A probabilidade de certo homem sobreviver mais 10 anos, a partir de certa data, é 0,4, e de que sua esposa sobreviva mais 10 anos a partir da mesma data é 0,5. Qual a probabilidade de: a) ambos sobreviverem mais 10 anos a partir daquela data? b) ao menos um deles sobreviver mais 10 anos a partir daquela data? 1
52. A probabilidade de que um aluno A resolva certo problema é P(A) = 2 , a de que outro aluno 1 B resolva é P(B) = e a de que um terceiro aluno C o resolva é P(C) = 1 . Qual a probabilidade 3
4
de que: a) os três resolvam o problema? b) ao menos um resolva o problema? 1
53. Luís tem probabilidade de convidar Alice para um passeio num domingo. A probabilidade 42 de que César a convide é e a de Olavo é 1 . Qual a probabilidade de que: 5
a) b) c)
2
os três a convidem para o passeio? ao menos um a convide para o passeio? nenhum a convide para o passeio?
54. As probabilidades de 3 jogadores A, B e C marcarem um gol quando cobram um pênalti são 2 4 7 , e , respectivamente. Se cada um cobrar uma única vez, qual a probabilidade de que 3 5 10
pelo menos um marque um gol? 55. Em uma indústria, há 10 pessoas que ganham mais de 20 salários-mínimos (sm), 20 que ganham entre 10 e 20 sm e 70 que ganham menos de 10 sm. Três pessoas dessa indústria são selecionadas. Determine a probabilidade de que pelo menos uma ganhe menos de 10 sm. 56. Num certo colégio, 4% dos homens e 1% das mulheres têm mais de 1,75 m de altura. 60% dos estudantes são mulheres. Um estudante é escolhido ao acaso e tem mais de 1,75 m. Qual a probabilidade de que seja homem?
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Análise Combinatória e Probabilidades
57. A probabilidade de um indivíduo da classe A comprar um carro é de e da C é de
1 20
3 4
1
, da classe B é de 5
. As probabilidades de os indivíduos comprarem um carro da marca X são
1 3 3 , dado que sejam A, B e C, respectivamente. Certa loja vendeu um carro da marca , e 10 5 10
X. Qual a probabilidade de que o indivíduo que o comprou seja da classe B?
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DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES
3.1 Distribuição de Bernoulli Consideremos uma única tentativa de um experimento aleatório. Podemos ter sucesso ou racasso nessa tentativa. Seja p a probabilidade de sucesso e q a probabilidade de racasso, com p + q = 1. Seja X: número de sucessos em uma única tentativa do experimento. X assume o valor O que corresponde ao racasso, com probabilidade q, ou o valor 1, que corresponde ao sucesso, com probabilidade p.
0 fracasso X = 1 sucesso
com
Exemplo 21: Uma urna tem 30 bolas brancas e 20 verdes. Retira-se uma bola dessa urna. Seja X: número de bolas verdes, calcular E(X), VAR(X) e determinar P(X). Resolução: o T °° ; ® °o S °¯
P(X = 0) = q ( ;
e P(X=1) = p
S
9$5 ; S u T
[
Nessas condições, a variável aleatória X tem distribuição de Bernoulli, e sua unção de probabilidade é dada por:
P( X = x) = p × q x
§ · § · 3 ; [ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹
u
[
1− x
Com média ou esperança E(X) = p e com variância VAR(X) = p×q.
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Saiba mais Família serve a ciência por 100 anos “Nenhuma amília na história da Matemática produziu tantos matemáticos célebres quanto a amília Bernoulli. Oriunda dos Países Baixos espanhóis, esta amília emigrou em 1583 para Basiléia, na Suíça, ugindo da guerra. Cerca de uma dúzia de membros da amília conseguiu renome na Matemática e na Física, sendo quatro deles eeitos como sócios estrangeiros da Academia das Ciências, da França. Os primeiros Bernoulli que se destacaram em Matemática oram Jacques e Jean, respectivamente, quinto e décimo flhos de Nicolaus. Jacques viajou muito para encontrar cientistas de outros países. Destacou-se por seus estudos sobre infnitésimos, seus artigos sobre máximos e mínimos de unções publicadas na revista ‘Acta Eruditorum’(Anotações dos eruditos), suas pesquisas sobre séries infnitas em que aparece o resultado célebre conhecido como ‘desigualdade de Bernoulli’: (1 + x)n > 1 + nx. A ele é também atribuída a demonstração de que a série harmônica é divergente. Jacques tinha uma verdadeira ascinação por curvas, tendo estudado várias delas: a parábola semi-cúbica, a lemniscata, a catenária, a isócrona, a espiral logarítmica, etc. Jean Bernoulli, segundo a vontade do seu pai, deveria ser médico. Indo estudar em Paris, desgarrou para a Matemática, escrevendo em 1691-1692 dois livros de Cálculo que oram publicados muito mais tarde. Em 1692, passou a ensinar Cálculo a um jovem marquês de L’Hospital e, em troca de um salário regular, concordou em enviar ao nobre rancês suas descobertas matemáticas, para serem usadas como o marquês o desejasse. A consequência oi que, uma das mais importantes descobertas de Jean passou à História com nome de ‘regra de L’Hospital’. Os irmãos Jean e Jacques mantinham intensa correspondência com Leibniz, pois todos eles colaboravam com artigos para a mesma revista, ‘Acta Eruditorum’ (Anotações dos eruditos). Jacques é também autor do clássico ‘Arte de conjecturar’, considerada a mais antiga obra sobre probabilidade. Jean oi pai de Nicolas, Daniel e Jean II. Nicolas oi proessor de Matemática em S. Petersburgo e Daniel e Jean II oram proessores em Basiléia. Outro Bernoulli, Nicolas II, primo desses três, ocupou durante algum tempo o lugar que oi de Galileu, em Pádua. Da geração mais jovem oi Daniel que mais se destacou com seus resultados em hidrodinâmica e probabilidade. Houve ainda outros Bernoulli que conseguiram evidência em Matemática, no século XVIII, azendo juz ao nome da amília.” Fonte: http://matematica.com.br/site/biografas/105.html.
3.2 Distribuição Geométrica Consideremos tentativas sucessivas e independentes de um mesmo experimento aleatório. Cada tentativa admite sucesso com probabilidade p e racasso com probabilidade q; p + q = 1. Seja X: número de tentativas necessárias ao aparecimento do primeiro sucesso. Logo, X assume os valores: X = 1, que corresponde ao sucesso (S) e P(X = 1) = p; X = 2, que corresponde ao racasso (F) na 1ª tentativa e sucesso na segunda, (FS) e P(X = 2) = P(F ∩ S) = q x p;
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X = 3, que corresponde a (FFS) e P(X = 3) = P(F ∩ F ∩ S) = q x q x p = q² x p; X = 4, que corresponde a (FFFS) e P(X = 4) = q³ x p; e assim sucessivamente. Nessas condições, a variável aleatória X tem distribuição de Geométrica, e sua unção de probabilidade é dada por:
P( X = x) = q x−1 × p
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Análise Combinatória e Probabilidades
Exemplo 22: A probabilidade de se encontrar aberto o sinal de trânsito numa esquina é 0,20. Qual a probabilidade de que seja necessário passar pelo local 5 vezes, para encontrar o sinal aberto pela primeira vez? Resolução: X: número de vezes necessárias para encontrar o sinal aberto. p = 0,20 q = 0,80
P( X = x) = q
x −1
× p
P (X = 5) = (0,80)4 x (0,20) = 0,08192 A probabilidade é de 0,08192
3.3 Distribuição Binomial A distribuição binomial tem esse nome porque se baseia no desenvolvimento de (a + b)n, que é o Binômio de Newton. Consideremos, então, uma sequência de n ensaios. Seja p a probabilidade de sucesso em cada ensaio e q a probabilidade de racasso (q = 1 – p). Queremos calcular a probabilidade P k , da ocorrência de exatamente K sucessos, nos n ensaios. É evidente que K ∈ {0, 1, 2, ..., n}. A probabilidade Pk de exatamente K sucessos nos n ensaios será dada pela órmula:
n Pk = ⋅ p k ⋅ q n − k k n n! Onde: = (Combinação dos k ⋅ − k! (n k)! n elementos tomados k vezes) Os valores de n e k são sempre inteiros.
Atenção Consideremos, então, uma sequência de n ensaios. Seja p a probabilidade de sucesso em cada ensaio e q a probabilidade de racasso (q = 1 – p). Queremos calcular a probabilidade Pk, da ocorrência de exatamente K sucessos, nos n ensaios.
Exemplo 23: Uma urna tem 4 bolas vermelhas (V) e 6 brancas (B). Uma bola é extraída, observada sua cor e reposta na urna. O experimento é repetido 5 vezes. Qual a probabilidade de observarmos exatamente 3 vezes bola vermelha? Resolução: O problema trata-se de uma distribuição binomial em que cada ensaio será eito nas mesmas condições (bola é reposta na urna). Temos, então: Número de ensaios n = 5. Probabilidade de sucesso para um ensaio 4 p = (nesse caso, o sucesso é bola vermelha). 6
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Probabilidade de racasso é o evento com4 2 plementar dado por q = 1 − = . 6 6 Aplica-se a órmula para K = 3 (exatamente 3 vezes bola vermelha):
n k n−k Pk = ⋅ p ⋅ q k 5 4 P3 = ⋅ 3 6
3
2
2 ⋅ = 10× 0, 2963× 0,1111 = 0,3292 6
3.4 Distribuição de Poisson Consideremos a probabilidade de ocorrência de sucessos em um determinado intervalo. A probabilidade da ocorrência de um sucesso no intervalo é proporcional ao intervalo. A probabilidade de mais de um sucesso nesse intervalo é bastante pequena com relação à probabilidade de um sucesso. Seja X o número de sucessos no intervalo, então:
P( X = k ) =
e
− λ
× λ K k !
, onde
e ≅ 2,718282 e l é a média aritmética.
A variável X assim denida tem distribuição de Poisson. A distribuição de Poisson é muito usada na distribuição do número de: 1. Carros que passam por um cruzamento por minuto, durante certa hora do dia; 2. Erros tipográcos por página, em um material impresso; 3. Deeitos por unidade por peça abricada;
40
4. Colônia de bactérias numa dada cultura por 0,01 mm², numa plaqueta de microscópio; 5. Mortes por ataque de coração por ano, numa cidade. É aplicada também em problemas de las de espera em geral, e outros. Exemplo 24: Num livro de 800 páginas há 800 erros de impressão. Qual a probabilidade de que uma página contenha pelo menos 3 erros? Resolução: Sendo X: número de erros por página A média l = 800 erros: 800 páginas = 1 erro por página Queremos calcular P(X ≥ 3) = ? P(X ≥ 3) = 1 – P(X < 3) = 1 – [ P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]
e −1 ×10 e −1 ×11 e −1 ×12 = 1− + + 0 ! 1 ! 2 ! = 1 − [0,367879 + 0,367879 + 0,183940]
= 1 − 0,919698 = 0,080302
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3.5 Distribuição Normal Há uma distribuição de requência denominada curva normal, considerada um modelo teórico ou ideal que resulta muito mais de uma equação matemática do que de um real delineamento de pesquisa com coleta de dados. A curva normal é um tipo de curva simétrica, suave, cuja orma lembra um sino. Ela é unimodal, sendo seu ponto de requência máxima, situado no meio da distribuição, em que a média, a mediana e a moda coincidem. Dicionário Unimodal: no caso da curva normal, signifca que a curva tem apenas um pico (observe a fgura a seguir). Em Estatística, diz-se que possui apenas uma moda (medida estatística).
A Distribuição Normal é uma das mais importantes distribuições de probabilidades conhecidas. Isso se deve não só aos recursos que ela própria oerece, mas também ao ato de que muitas outras distribuições de probabilidades convergem para ela. A Distribuição Normal é uma distribuição contínua, ou seja, a variável X pode assumir quaisquer valores do campo dos reais. Lembre-se que, se X tiver Distribuição Binomial, só poderá ter valores inteiros. Nesse caso, a variável X é chamada de discreta. Na Figura 1 é possível visualizar um exemplo de Curva Normal.
Figura 1 – Exemplo de curva normal.
a i c n ê u q e r F
A área sob a curva é aquela região do plano compreendida entre a curva e o eixo das abscissas, que corresponde em qualquer Distribuição Normal a 100% dos dados considerados. A natureza simétrica da Curva Normal vai levar a concluir que qualquer distância medida em unidades de desvio padrão (S), acima ou abaixo da média, contém a mesma porção da área sob a curva.
Temos então:
34,13% da área total situa-se entre a média e 1 S abaixo ou acima da média; 47,72% da área total situa-se entre a média e 2 S abaixo ou acima da média; 49,87% da área total situa-se entre a média e 3 S abaixo ou acima da média.
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Vamos imaginar uma variável X que tenha Distribuição Normal com média X e desvio padrão S. Se deslocarmos o eixo vertical para a direita até o centro da curva, teremos eito uma mudança de origem, em que o zero passou a ocupar a média da curva. Tomemos uma nova variável Z e denindo-a, temos: Z =
Exemplo 25: X é N(20; 16). Calcular P(X < 25). Resolução: São dados: X = 20 e S² = 16. Então: S = 4. Primeiramente vamos transormar a variável X em variável reduzida Z:
X i − X S
Z =
Onde Xi é qualquer valor da variável X no campo dos reais. Com esse processo, teremos construído uma Distribuição Normal Reduzida ou Distribuição Normal Padronizada com os seguintes parâmetros: X = 0
S = 1 2
S=1
X i − X S
=
25 − 20 4
=
5 4
= 1, 25
Consultando a tabela de probabilidades curva normal reduzida (Anexo 1), obtemos a probabilidade de 0,3944 para Z = 1,25. É importante lembrar que essa probabilidade vai da média até 1,25 unidade de desvio padrão acima da média. O problema pede: P(X < 25) = P(Z < 1,25) = 0,3944 + 0,5 = 0,8944.
Dessa orma, as innitas distribuições normais reduzem-se a apenas uma: N(0; 1). Uma orma abreviada de indicar que a variável X se distribui normalmente é escrever 2 X é N( X ; S ) , onde X é a média e S2 é a variância.
3.6 Aproximação da Binomial pela Normal A média aritmética de uma distribuição binomial é dada por
2 σ = n ⋅ p ⋅ q
µ = n ⋅ p Onde: m representa a média procurada (populacional); n representa o número de repetições do experimento; p representa a probabilidade associada ao evento sucesso.
42
A variância de uma distribuição binomial é dada por
Onde: σ2 representa a variância procurada (populacional); n representa o número de repetições do experimento; p representa a probabilidade associada ao evento sucesso; q representa a probabilidade associada ao evento racasso.
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Quando n ⋅ p ou n ⋅ q (sempre o menor) or ≥ 5 , a normal constituirá uma boa aproximação para a binomial. A órmula resolutiva da binomial pela normal é: Z i =
X i ± 0,5 − n ⋅ p n ⋅ p ⋅ q
Consultando a tabela de probabilidades curva normal reduzida (Anexo 1), obtemos a probabilidade de 0,2486 para Z = 0,67 e 0,4778 para Z = 2,01. É importante lembrar que essa probabilidade vai da média até 0,67 ou até 2,01 unidades de desvio padrão acima da média. O problema pede: P(12 ≤ X ≤ 14) = P(0,67 ≤ Z ≤ 2,01) = 0,4778 – 0,2486 = 0,2292.
Exemplo 26: Uma moeda honesta é lançada 20 vezes. Sendo X o número de “caras”, determinar P (12 ≤ X ≤ 14). Resolução: Z 1 = Z 2 =
12 − 0, 5 − 20 ⋅ 0, 5 20 ⋅ 0, 5 ⋅ 0, 5 14 + 0, 5 − 20 ⋅ 0, 5 20 ⋅ 0, 5 ⋅ 0, 5
=
11, 5 − 10
=
5
=
14, 5 − 10 5
=
1, 5 2,2361 4, 5 2,2361
= 0,67 = 2,01
3.7 Resumo do Capítulo Neste capítulo, aproundamos os conceitos reerente a probabilidades, estudando as Distribuições Estatísticas de Probabilidades. Com os novos conceitos, podemos vericar maiores aplicações das probabilidades na resolução de problemas com enoques dierenciados daqueles vistos no capítulo anterior. Devemos destacar as Distribuições Binomial, Normal e de Poisson, mais comuns em situações cotidianas.
3.8 Atividades Propostas 1. Uma moeda é lançada 6 vezes. Qual a probabilidade de observarmos exatamente duas caras? 2. Um dado é lançado 5 vezes. Qual a probabilidade de que o “4” apareça exatamente 3 vezes? 3. Uma pessoa tem probabilidade 0,2 de acertar num alvo toda quando atira. Supondo que às vezes que ela atira são ensaios independentes, qual a probabilidade de ela acertar no alvo exatamente 4 vezes, se ela dá 8 tiros?
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4. A probabilidade de que um homem de 45 anos sobreviva mais 20 anos é 0,6. De um grupo de 5 homens com 45 anos, qual a probabilidade de que exatamente 4 cheguem aos 65 anos? 5. Uma moeda é lançada 6 vezes. Qual a probabilidade de observarmos ao menos uma cara? 6. Um time de utebol tem probabilidade p = 3/5 de vencer todas as vezes que joga. Se disputar 5 partidas, qual a probabilidade de que vença ao menos uma? 7. Numa estrada há dois acidentes para cada 100 km. Qual a probabilidade de que em: a) 250 km ocorram pelo menos 3 acidentes? b) 300 km ocorram 5 acidentes? 8. A experiência mostra que de cada 400 lâmpadas, 2 se queimam ao serem ligadas. Qual a probabilidade de que numa instalação de: a) 600 lâmpadas, no mínimo 3 se queimem? b) 900 lâmpadas, exatamente 8 se queimem? 9. Numa linha adutora de água, de 60 km de extensão, ocorrem 30 vazamentos no período de um mês. Qual a probabilidade de ocorrer, durante o mês, pelo menos 3 vazamentos num certo setor de 3 km de extensão? 10. Sabe-se que X tem distribuição Normal com média igual a 60 e variância M. Sabe-se também que P (X ≥ 70) = 0,0475. Qual o valor de M? Resposta arredondada para o inteiro mais próximo. 11. X tem distribuição Normal com os seguintes parâmetros: Média aritmética = 30 Variância = 16 Qual a probabilidade de (X ≥ 40)? 12. X é N(20; 49). Calcular P(X < 30). 13. X é N(10; 100). Calcular P(12 ≤ X ≤ 20). 14. X é N(30; 16). Calcular P(X ≤ 19). 15. X é N(20; 25). Calcular P(X ≤ 30). 16. X é N(50; 81). Calcular P(40 ≤ X ≤ 60). 17. X é N(10; 16). Calcular P(X ≥ 5).
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18. Um teste padronizado de escolaridade tem distribuição normal com média 100 e desvio padrão 10. Determine a probabilidade de um indivíduo submetido ao teste ter nota: a) maior que 120; b) maior que 80; c) entre 85 e 115; d) maior que 100.
19. Os pesos de 600 estudantes são normalmente distribuídos com média 65,3 kg e desvio padrão 5,5 kg. Determine o número de estudantes que pesam: a) entre 60 kg e 70 kg; b) mais que 63,2 kg; c) menos que 68 kg.
20. Os salários dos diretores das empresas de São Paulo distribuem-se normalmente com média de R$ 8.000,00 e desvio padrão de R$ 500,00. Qual a porcentagem de diretores que recebem: a) menos de R$ 6.470,00? b) entre R$ 8.920,00 e R$ 9.380,00
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4 CONSIDERAÇÕES FINAIS Este material oi elaborado para você, o(a) aluno(a) da área de Ciências Exatas, atingir os objetivos de aprendizagem propostos para esta disciplina. Com a leitura desta apostila e a realização dos exercícios propostos, espera-se que você consiga desenvolver as habilidades e os conhecimentos que contribuem com a ormação do(a) prossional egresso(a) desta área. O aproundamento dos assuntos apresentados e a ampliação de outros conhecimentos podem ser adquiridos através dos livros citados nas Reerências e em outras obras relacionadas com esses temas. Para o aproveitamento completo da disciplina, é undamental que você utilize os recursos disponíveis no portal (correio, chat e órum), assista às aulas web e às aulas transmitidas via satélite, e realize as atividades avaliativas e a prova presencial de maneira satisatória. Espera-se que as suas expectativas possam ser atingidas, coloco-me à disposição para as críticas em relação a esta obra. Um orte abraço. Prof. Hercules Sarti
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RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS
CAPÍTULO 1 1. 10
2. 6
3. 12
4. 12
5. 6
6. 6
As questões 1 e 2 reerem-se a combinações. As questões 3 e 4 reerem-se a arranjos simples. Já as questões 5 e 6 reerem-se a permutações. 7. a) 1.320
b) 3.003
8. a) 2
b) 7
c) 5
Na questão 7, desenvolva os atoriais maiores até atingirem os atoriais menores e, simplique as rações. Faça o mesmo nas equações da questão 8, simplicando e eliminando os atoriais. 9. 72
10. 24
11. 720
12. 4
No exercício 9, usar arranjo com n = 9 e p = 2. Na questão 10, usar permutação para n = 4. Na 11, usar permutação para n = 6. No 12, usar os conceitos de permutação, simplicando os atoriais.
13. a) 24 b) 48
c) 120
14. 35
15. 14
No 13, usar permutações: a) P4 = 24, b) 2.P4 = 48, c) P5 = 120. No 14, usar combinação: C7,3 = 35. No 15 azer C7,2 = 21 segmentos e subtrair o número de lados, ou seja, 21 – 7 = 14 diagonais.
16. a) 11
b) 8
17. 24
18. 504
No 16, usar a órmula de combinações, simplicar os atoriais e calcular o valor de n. No 17, azer 1.P4 = 24. No 18, usar arranjo: 1 . 9 . 8 .7 = 504. 19. 120
20. 11
21. m = 7; n = 8
No 19 azer C10,3 = 120. No 20 usar as órmulas de arranjo e combinação, simplicar os atoriais e obter n = 11. No 21, resolver o sistema de equações.
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22. 35
23. a) 630
b) 252 c) 378
24. 1.000
25. 6.720
a) No 22 azer C7,4 = 35. No 23, usar combinação: a) C3,1 . C10,4; b) b) C3,1 . C9,3 ; c) C3,1 . C9,4. No 24, usar arranjos: 1 . 10 . 10 . 10 = 1000. c) No 25, permutação com elementos repetidos: 8! : 3! = 6720. 26. 30.240
27. 48
28. 15
29. 13
30. 21
No 26, permutação com elementos repetidos: 9! : (3!2!) = 30240. No 27, P . P4 = 48. No 28, usar combinação: C6,2 = 15. No 29, usar combinação: C6,2 – C3,2 + 1= 13. No 30, usar combinação: C7,2 = 21. No E25, permutação com elementos repetidos: 8! : 3! = 6720. 31. 120
32. 101
33. 720
34. a) 250
b) 48
No 31, usar combinação: C10,3 = 120. No 32: C10,3 – C6,3 + 1= 101. No 33, usar arranjo: A10,3 = 720. No 34, usar arranjos: a) 5 . 5 . 5 . 2 = 250; b) 4 . 3 . 2 . 2 = 48.
35. a) 5.040
b) 144
36. 2260
37. 120
No 35, usar permutação: a) 7! = 5040; b) 4! 3! = 24 . 6 = 144. No 36, calcular a quantidade de números ímpares e subtrair a quantidade que tem algarismos repetidos. 37. Usar: P5 = 5! = 120. No E25, permutação com elementos repetidos: 8! : 3! = 6720. 38. a) 14.400 b) 10.800 c) 720 d) 4320
39. 34.560
40. 35
No 38, usar permutação: a) 5 . 6! . 4 = 14400; b) 3 . 6! . 5 = 10800; c) 6! = 720; d) 6! . 3! = 4320. No 39, P2 . P4 . P6 = 34560. No 40, permutação com elementos repetidos: 7! : (4! . 3!) = 35. 41. a) 20 b) 120
42. a) 924
b) 3043. 70
No 41: a) C6,3 = 20; b) A6,3 = 120. No 42: a) C12,6 = 924; b) A6,2 = 30. No 43, usar combinações: C9,3 – C5,3 – C4,3 = 84 – 10 – 4 = 70. 44. 1.680
45. a) 120
b) 246
c) 66
No 44, usar combinações: C9,3 . C6,3 . C3,3 = 1680. No 45, usar combinações: a) C6,3 . C4,2 = 120; b) C4,1 . C6,4 + C4,2 . C6,3 + C4,3 . C6,2 + C4,4 . C6,1 = 246; c) C4,0 . C6,5 + C4,1 . C6,4 = 66.
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46. a) 28560 b) 32485
c) 24948
d) 31608
e) 84735
47. 182
No 46, usar combinações: a) C4,1 . C36,3 = 28560; b) C4,1 . C36,3 + C4,2 . C36,2 + C4,3 . C36,1 + C4,4 . C36,0 = 32485; os itens c, d e e são análogos. No 47, usar combinações: C2,1 . C8,3 + C2,0 . C8,4 = 120 + 70 = 182. 48. 24
49. 5.040
Na questão 48, cada menino deve receber 5 bolinhas de cada cor, subtrair 10 bolinhas de cada uma das cores e usar o princípio multiplicativo com as bolinhas restantes. 49. P7 = 5040. 50. 240
51. 5
No 50, usar permutação com elementos repetidos: 7! : (3! . 2!) = 420. Dos 420 números, são ímpares 4/7, ou seja 240. 51. Usar permutação com elementos repetidos: (n + 3)! : (n! . 3!) = 8n + 16 e resolver a equação.
CAPÍTULO 2 1. ¼
2.
a) 1/6 ) 1/36
b) 1/36 c) 1 g) 0
d) 5/36 e) 31/36 h) 5/18 i) 1/9
1. Há duas bolas vermelhas num total de 8 bolas, resultando em 2/8. 2. No lançamento de dois dados, temos 36 possibilidades, determine a quantidade de elementos de cada evento e estabeleça a sua probabilidade. 3. 1
4. a) 2/3
b) 1/3
3. Na cidade há 1.000 eleitores e 510 já se decidiram denitivamente pelo candidato A. Logo, o candidato A tem a maioria dos votos e será eleito (evento certo). 4. Considere o espaço amostral ormado por 2 caras e 1 coroa, resultando em 2/8. E53: No lançamento de dois dados, temos 36 possibilidades, determine a quantidade de elementos de cada evento e estabeleça a sua probabilidade. 5. a) 1/52
b) 1/13
c) ¼
d) 3/13 e) 12/13
5. Considere o espaço amostral ormado por 52 elementos. Estabeleça o número de elementos de cada evento. Monte as probabilidades em orma de rações e simplique-as sempre que possível. E53: No lançamento de dois dados, temos 36 possibilidades, determine a quantidade de elementos de cada evento e estabeleça a sua probabilidade.
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6. a) 3/10
b) 2/10 c) ½
7. 1/54
6. Considere o espaço amostral ormado por 10 bolas. Estabeleça o número de elementos de cada evento. Monte as probabilidades em orma de rações e simplique-as sempre que possível. 7. n(S) = 6³ = 216. E53: No lançamento de dois dados, temos 36 possibilidades, determine a quantidade de elementos de cada evento e estabeleça a sua probabilidade. 8. P(B) = 1/3; P(D) = 1/6
9. ½
8. Use A = 2x , B = 2x, C = x e D = x. A soma das probabilidades é 1. Logo 6x = 1 e x = 1/6. 9. Use a soma das probabilidades é igual a 1. 10. P(A) =1/2; P(B) = 3/4; P(Ac) = 1/2; P(Bc) = 1/4; P(A ∩ B) = 1/4; P(A ∪ B) = 1. 10. Probabilidade de A, é dada por 1/8 + 1/8 + 1/4 = 1/2. Use o evento complementar P(A c) = 1 – P(A). Determine a união e a intersecção dos conjuntos A e B, e suas probabilidades. 11. a) 5/7
b) 2/7
12. a) 2/5
b) 3/10
c) 1/10
d) 3/5
11. Somar 5 com 2, obtendo o denominador 7 da ração. 12. Montar os conjuntos em orma de diagramas, começando pela intersecção de 10 alunos. Determinar as probabilidades. 13. a)1/6
b) 5/6
14. a) 1/3
b) 1/11
c) 19/33
13. Dois dados ormam um espaço amostral de 36 pares de números. Use também o evento complementar. 14. a) 4/12 = 1/3; b) 4/12 . 3/11 = 1/11; c) use combinações C12,2 e outros diagramas, começando pela intersecção de 10 alunos. Determinar as probabilidades. 15. a) 2/11
b) 9/11
16. A = R$ 4.900,00 e B = R$ 700,00
15. usar permutações: a) (2. P10 : P11 ); b) usar o evento complementar. 16. as chances de A são 7/8 (AAA), (AAB), (ABA), (BAA), (ABB), (BAB), (BBA) e as de B 1/8 (BBB). Fazer 7/8 x 5600 = 4900. 17. a) 1/50
b) 7/50
c) 7/25
d) 14/25
e) 11/25
17. Montar o diagrama representando os conjuntos e iniciar seu preenchimento pela intersecção. a)10/500 = 1/50, b) 70/500 = 7/50, c) 140/500 = 7/25, d) 280/500 = 14/25, e) União 220/500 = 11/25.
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18. a) 21/50 b) 1/5 18. montar o diagrama representando os três conjuntos e iniciar seu preenchimento pela intersecção dos três. Depois, pelas interseções dois a dois: a) 21000/50000 = 21/50, b) 10000/50000 = 1/5. 19. a) 3/28
b) 25/28
20. 1/12
21. Usar permutações na probabilidade: a) (P 3. P6): P8 ; b) Usar o evento complementar. 22. Permutações na probabilidade: (P3. P7): P9 23. 2/7
24. a) 0,3879 b) 0,000046
c) 0,0269
23. Usar combinações (C4, 2 . C2, 1. C3, 2): C9, 5. 24. Usar combinações: a) C50, 5 : C60, 5 = 0,3879; b) C10, 5 : C60, 5 = 0,000046; c) (C50, 5 . C10, 3): C60, 5 = 0,0269. 25. a) 7/22
b) 5/33
26. 63/256
25. Usar combinações: a) C7, 2 : C12, 2; b)C5, 2 : C12, 2. 26. Determinar o espaço amostral n(S) = 210 = 1024. Usar combinações para determinar o evento 5 caras, C10,5 = 252. A probabilidade é 252/1024 e simplique. 27. a) 2/3
b) 1/2
c) 4/5
d) 1
27. Usar probabilidade condicionada: a) 1/6 : 1/4; b) 1/6 : 1/3; c) lembre-se que A Ç (A È B) = A e calcular a união, resultando em1/3 : 5/12; d) P(A) : P(A) = 1. 28. a) 1/2
b) 3/5
29. a) 1/2
b) 1/3
28. a) 12 oram reprovados em Matemática, e, desses, 6 oram reprovados em Física, logo temos 6/12 = 1/2; b) 6/10 = 3/5. 29. a) (MF), (MM): P = 1/2; b) (MF), (MM), (FM): P = 1/3. 30. a) 1/3
b) 1/2 c) 1/3 d) 1/2
31. a) 1/2
b) 24/49
c) 1/5
30. a) {2, 4, 6} P = 1/3; b) {5, 6} P = 1/2; c) {1, 3, 5} P = 1/3; d) {1, 2 } P = 1/2. 31. a) 50/100 = 1/2; b) há 49 números menores que 50. Destes, 24 são pares; P = 24/49; c) 10/50 = 1/5. 32. a) 1/6
b) 1/5 c) 7/11 d) 1 e) 4/15
33. a) 1/2
b) 1/3
32. a) (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), P = 1/6; b) (1, 5), (5, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 3), P = 1/5; os outros itens são análogos. 33. Soma maior que 5, temos: (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 3), (4, 4) a) P = 3/6 =1/2; b) 2/6 = 1/3.
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34. a) 13/25
b) 2/25
c) 19/25
d) 7/13
35. 1/5
34. Analisando a tabela dada, obtemos as probabilidades indicadas. 35. Montar uma tabela a partir do enunciado e determinar a probabilidade condicionada. 36. 3/5
37. 2/5
38. 1/6
39. a) 3/14
b) 2/7
c) 3/8
d) 1/8
36. Fazer C5,3 e obter a probabilidade condicionada 6/10 =3/5. 37. Interpretar e obter a probabilidade P = 2/5. 38. Interpretar e obter a probabilidade P = 1/6. 39. a) 1/2 . 3/7 = 3/14; b) 1/2 . 4/7 = 2/7. 40. a) 4/35 41. 65/93 42. a) 11/28 43. a) 53/60 44. 1/4 45. a) 11/30 46. a) 3/14 47. a) 1/6 48. 8/11 49. 24,6% 50. 1/21 51. a) 1/5 52. a) 0,2 53. a) 1/24 54. a) 1/20
b) 4/35
c) 4/15
b) 71/140 b) 7/60
c) 1/10
b) 7/15 b) 33/56 b) 13/18
c) 1/6 c) 4/11 c) 3/13
b) 11/15 b) 0,7 b) 3/4 b) 31/40
c) 4/15
d) 2/15
e) 2/5
c) 9/40
CAPÍTULO 3 1. 0,2344 2. 0,03215 3. 0,0459 4. 0,2592 5. 0,9844 6. 0,98976 10. s² = 36 11. 0,0062 12. 0,9236 13. 0,262 14. 0,003 15. 0,9772 16. 0,733 17. 0,8944
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REFERÊNCIAS
CRESPO, A. A. Estatística ácil. São Paulo: Saraiva, 1994. HAZZAN, S. Fundamentos da matemática elementar. São Paulo: Atual, 1993. LEVIN, J. Estatística aplicada a ciências humanas. São Paulo: Harbra, 1987. MORETTIN, L. G. Estatística básica: probabilidade. São Paulo: Makron, 1999.
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