Copyright © 2007 by Elon Lages Lima Direitos reservados, 2007 pela Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ
Conteúdo l
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Capa: Rodolfo Capelo e Noni Geiger.
Coleção Matemática Universitária Comissão Editorial: Elon Lages Lima (Editor) S. Collier Coutinho Paulo Sad Títulos Publicados: • Análise Real, vol. l: Funções de uma Variável - Elon Lages Lima • EDP: Um Curso de Graduação - Valéria lório • Curso de Álgebra, Volume l - Abramo Hefez • Álgebra Linear - Elon Lages Lima • Introdução às Curvas Algébricas Planas - Israel Vainsencher • Equações Diferenciais Aplicadas - Djairo G. de Figueiredo e Aloisio Freiria Neves • Geometria Diferencial - Paulo Ventura Araújo • Introdução à Teoria dos Números - José Plínio de Oliveira Santos • Cálculo em uma Variável Complexa - Mareio G. Soares • Geometria Analítica e Álgebra Linear - Elon Lages Lima • Números Primos: Mistérios e Recordes - Paulo Ribenboim • Análise no Espaço R" - Elon Lages Lima • Análise Real, vol. 2: Funções de n Variáveis - Elon Lages Lima • Álgebra Exterior - Elon Lages Lima • Equações Diferenciais Ordinárias - Claus Ivo Doering e Artur Oscar Lopes • Análise Real, vol. 3: Análise Vetorial - Elon Lages Lima
Distribuição: IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ e-mail:
[email protected] http://www.impa.br
Integrais Curvilíneas 1 Formas diferenciais de grau l
2792107-0 /
11 14 21 24
2.
Formas Alternadas 1. Aplicações r-lineares 2. Formas alternadas 3. Determinantes 4. O produto exterior de funcionais lineares 5. Coordenadas e matrizes em 2lr(.E) 6. A Álgebra de Grassmann 7. Exercícios
28 28 31 34 38 40 43 47
3.
Formas Diferenciais
50
1. Primeiras definições 2. A diferencial exterior 3. Exercícios
50 56 65
Ohne Titel 1. A vizinhança tubular
67 67
2. Partições da unidade 3. O Teorema de Jordan-Brouwer Apêndice: Toda hiperfície compacta é orientável
75 83 87
4. Exercícios
89
4.
T..
BIBLIOTECA UNIVERSITÁRIA
Integrais curvilíneas Invariância homotópica O número de voltas de um caminho fechado Exercícios
l l
O Teorema de Stokes 1. Integral de superfície 2. Superfícies com bordo 3. ( ) Teorema de Stokes •I. A orientação induzida no bordo ,rt. Amíliso vetorial clássica
91 91 98 109 113 118
(i. lOxíircícios
122
6.
Soluções dos Exercícios 1. Integrais curvilíneas . . . . 2. Formas alternadas 3. Formas diferenciais 4. Ohne Titel 5. O Teorema de Stokes .
124 .124 .128 .133 .136 .137
Referências Bibliográficas
141
índice Remissivo
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Prefácio Em prosseguimento aos assuntos tratados nos dois volumes anteriores, fazemos neste livro uma introdução às integrais curvilíneas e de superfície. Tradicionalmente, as superfícies sobre as quais se calculam essas integrais são aquelas contidas no espaço tridimensional. Isto permite que se integrem campos de vetores. Se, entretanto, a co-dimensão da superfície é superior a l (mesmo que ela seja bidimensional) , nela não faz sentido integrar um campo de vetores. O objeto adequado para ser posto sob o sinal de integral é uma forma diferencial, dado o seu caráter intrínseco, independente da parametrização tomada para representá-la analiticamente. Outra grande vantagem das formas sobre os vetores é o seu lado functorial, que se exprime assim: se / : M —> N é uma aplicação diferenciável da superfície M na superfície N, a cada forma w em N corresponde uma forma /*o> em M e a correspondência w i->- f*w goza de propriedades simples, elegantes e úteis. (Trata-se, na verdade, de uma formalização do antigo conceito de mudança de variáveis.) Campos de vetores, por seu turno, são rígidos. Não se prestam a mudanças de variáveis, salvo em casos bem especiais. A Análise Vetorial clássica gira em torno dos chamados Teoremas Integrais, associados a nomes ilustres como Gauss, Green, Stokes, Rien i i u i n , Ostrogradsky, etc. Com o uso das formas diferenciais (especialmente da diferenciação exterior devida a E. Cartan) todos esses teoremas se reduzem a um único, conhecido (um tanto injustamente) como Teorema, de Stokes, o qual se exprime de maneira concisa e elegante sob a Kxplicar o significado da igualdade acima, esclarecendo cada conceito nela envolvido, dar algumas aplicações e ilustrar as diversas utilidades i Ir NCIIS componentes é o principal objetivo deste livro. l'! quase desnecessário esclarecer que este pequeno trabalho contém apriius unia, introdução a alguns assuntos relevantes, cuja presença no r n i T Í r n l o universitário considero importante. Os tópicos aqui apresenta-
dos serão reencontrados mais tarde em diferentes teorias matemáticas. Para a publicação deste livro, contei com a colaboração de Francisco Petrúcio, que cuidou das figuras, Aryana Cavalcante, que fez uma cuidadosa revisão, José Regis, que revisou os dois primeiros capítulos e Wilson Góes, que se encarregou da digitação. Rio de Janeiro, junho de 2007 ELON LAGES LIMA
Integrais Curvilíneas l
Formas diferenciais de grau l
Como vimos no Vol. 2 (pag. 101), se /: U —> R é uma função diferenciável no aberto U C K n , sua diferencial em cada ponto x e U é o funcional linear df(x) £ (W1}* cujo valor no vetor v € W1 é
Na notação tradicional do Cálculo, a base canónica de (R™)*, dual da base canónica {ei, . . . , en} C M n , é representada por {dxi, . . . , dxn}. A expressão do funcional df(x) em termos desta base é
1=1 Isto sugere a definição seguinte. Uma/orma diferencial de grau l, ou simplesmente uma 1-forma deI m i i l a . no conjunto X C M", é uma aplicação w: X -> (R")*. A cada I M I H I . I I :c c- X, u associa o funcional linear w(x), o qual se exprime em l,ci mós da base {dx\, . . . ,dxn} C (En)* como
AM funções n\ . , «„ : X —> IR, cujos valores em cada ponto x e X nu coordenadas do funcional ui(x) na base canónica, são tais qne
2
Cap. l
Integrais Curvilíneas
di(x) = u](x) • GÍ . Quando X = U C K" é aberto e essas funções são de classe Ck, diz-se que o; é uma forma de classe Ck e escreve-se w 6 Ck . Se u; = df é a diferencial de uma função / : [7 —> K, diz-se que to é uma forma exata em Í7 e que / é sua primitiva,. Evidentemente, se c G R, f + c também é primitiva de LU. Ao afirmar que a forma LU é exata, é indispensável especificar seu domínio U. Uma fornia u: U —>• (R n )* pode ser exata num aberto V C U e não ser exata em [7. Intimamente associado à 1-forma ui: X —> (Rn)* é o campo de vetores f : X —> Kn tal que w(x) • u = (v (x], u) para todo vetor u G Rn e todo ponto x- e X. Em cada ponto x € X, se w (.r) = ]P a.i(x)dxi então t>(x) = (ai (x), . . . , a n (x)) = ^ cii(x)ei . A forma w = d/ é exata se, e somente se, t> = grad/. A função / chama-se então uma função potencial do campo v. Assim, o estudo das formas diferenciais de grau l definidas em subconjuntos do espaço Rn equivale ao estudo dos campos de vetores definidos nesses conjuntos e a questão de saber se uma forma é exata ou não corresponde a indagar se o campo de vetores que lhe corresponde é um campo gradiente. Uma condição necessária para que a 1-forma u = ^ a^dxi , de classe C1 no aberto U C R™, seja exata é que sejam satisfeitas as chamadas r
~
, i - 4
i. -r j J
daí
da3
OXj
r
1
\ de integrabilidade ——
rw
N
-y x2 + y2
dx +
x2 + y2
dy.
Escrevendo fi = adx +frcfy,um cálculo simples mostra que
y2 - x2 dx
(x2 +
y2\2
da dy '
logo fi é fechada. Entretanto, se U C R2 — {0} é um aberto que contém uma circunferência C, de raio r e centro na origem, O não é exata em U. Para mostrar isto, consideraremos o campo de vetores v: U —> IR 2 , associado a Í2, o qual é dado por
= —— (z, j = l, . . . , n).
i , portanto d2f dxidxj
da,
em virtude do Teorema de Schwarz. Analogamente, as condições —^ = são. necessárias para que o campo de vetores C1, v: U —> W1, dado r\
por v (x) = (ai ( x ) , . . . , a n (x)), seja o campo gradiente de uma função /: [7->.R, de classe C2. Quando LU: U —>• (M n )*, de classe C1, cumpre as condições da• (R 2 )* definida por
OXi
Com efeito, se u = df então ai = da,j
•
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Seção l
l''l|.',iini l. Campo do vetores unitários u ( x , y ) = ,
_
(;r,//)
Trm i;i'
lini
(r,,/) .
I \/x" -l- y'2 j
s —l
• u(x,y) ó associado à forma íí.
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Integrais Curvilíneas
Cap. l
Provaremos que v não é o gradiente de uma função f : U —>• R. Com efeito, uma tal /, com v = grad/, assumiria um valor máximo no ponto p da circunferência C, a qual é um conjunto compacto. Então — g ra d/(í>) seria normal a C, logo múltiplo do vetor Op o que é absurdo. Conhecida como o elemento de ângulo no plano, a 1-forma Q provém da tentativa de definir, no aberto U C R2 — {0}, uma função-ângulo 0: U -> R, de classe C"30, cujo valor em cada ponto z = (x, y) e U seja uma determinação em radianos do ângulo que o semi-eixo positivo das
Seção l
Formas diferenciais de grau l
resulta que ou seja,
-
V(P)
abcissas faz com a semi-reta Oz. Mais precisamente, 6: U -> R deve ser C°° e, para cada z = (x, y) e U, deve-se ter cos 9(x, y) =
e
sen6(x,y) =
y
(*)
5
_ ~dx'S'
/X2
' ~
y
y
isto é
fí
+ y2
X'
+ y2
^& + .
Q
- em todos só pontos (x, y) e U com y ^ 0. De +y modo análogo, derivando em relação a o; ambos os membros da segunda das igualdades (*) e utilizando a primeira delas, obtemos Segue-se que — =
-y
Õ9_ dx
00
x
+ y2
S°
cm todos os pontos (x, y) e U com x 7^ 0. Como U C R2 — {0}, , 00 -y em todos os pontos de U. De modo concluímos que — = (J JL
J-i
de —— =
\
x
D —^— , logo de = Cl em U. oy xz +1/A demonstração da recíproca é mais longa e resulta da sequência de proposições que estabeleceremos abaixo.
Hemelhante, se vê que
Proposição A. Se 9: U —> R é uma função-ângulo então ô: U -> R l,(inil)('m é se, e somente se, O = 6 + Ikn onde k G Z é constante em cada componente conexa de U. I himonstração: Basta observar que dois números reais têm o mesmo HI'iio c; o mesmo cosseno se, e somente se, diferem por um múltiplo inteiro i Io li/i. 10, alem disso, uma função contínua com domínio conexo e valores inteiros é constante. D
x
Figura 2. A função-ângulo 9. Tem-se cosO(x,y] = x/^x2 + y2.
1'roposição B. Se p = Ob é a semi-reta em R2 que parte da origem e i'tiul("in. o ponto b e S*1, então existe uma função-ângulo 0: R — p —> R.
A relação entre a 1-forma fi e as funções-ângulo é estabelecida pelo teorema seguinte. Teorema 1. Há uma função-ângulo 0: U se, e somente se, a forma O =
-y
no aberto U C
-{0}
^ +, „ 0-,dy , é exata em U. rd,X x2 + y x2 + y2 Demonstração: Mostraremos primeiro que se existir uma função-ângulo 0: (J —> R então dO = íl ein U. Com efeito, das ignaJdades (*) acima.
Demonstração: A junção da Euler E: R -> S1, definida por E (t) = (ri«i /, sen /,), é um difeomorfismo local sobrejetivo entre as "superfícies"de i I l m n i H u o l , IR e S ] , pois sua derivada é ^ O (logo bijetiva) em todo ponto / t |R. Assim, quando restrita a um aberto U C R no qual é injetiva, /'.' é n m d i Isomorfismo de U sobre E (U). Em particular, em todo intervalo nhcrto (a, a + 2?r) de comprimento 2?r, E é um difeomorfismo sobre •V ) / ) ) , / ; = , li (a). Dado b E S1, escolhemos um ponto a 6 R tal que
(i
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E (a) = ò, definimos a função-ângulo 6: M2 — p —t R pondo, para todo
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Secão l
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Corolário 3. A forma elemento de ângulo é localmente exata. R
a
a + 27T
O -H
S
= (z, y)
E(t) = (cosi, sen í)
x
Figura 4. Uma função-ângulo 0 : R — p —> R.
um aberto conexo em
Proposição C. ,Seja C/ = Figura 3. A função de Euler E: R -» S1. (Note que, como z £ p, tem-se z/\z\ ò, logo-E"1: S*1 -{b} -)• (a, a+2yr) está definida no ponto zf\z\.) D Corolário 1. Todo ponto z G M2 — {0} é centro de um disco aberto onde está definida uma função-ângulo. Corolário 2. Se uma função 6: U —> M, contínua no aberto U C R2 — {0}, é tal que cos 0(x, y) = x/^/x2 + y2 e sen 9(x, y] — y/^x2 + y2 para todo ponto (x, y) E U então d e C°° e, portanto, é uma funçãoângulo. Com efeito, todo ponto ZQ = (xo,yo) £ U pertence a um disco aberto D C U, no qual está definida uma função-ângulo 0. Como cos 6 = cos 6 e sen# = sení? em C/, segue-se que para todo ponto z = (x,y)_e D existe um inteiro k tal que O (x, y) = 9(x, y) + 2kn. Como 9 e 6 são contínuas no conjunto conexo D, o número k é constante em D. Sendo 9 de classe (7°°, concluímos que 9 e C00 ria vizinhança, de u n i ponto arbitrário z IR é uma função-ângulo. D
expresso
A6L
mm» reunião de discos abertos. Suponha que a cada A € L corresponde um número real t\ que t\ t^ € TL sempre que. D\ D^ ^ 0. Se, para algum AO G L, tem-se t\ G Z então t\ Z para todo A G Z-. Demonstração: Dado arbitrariamente A G L, existem discos D\,D\, , , . , l)\ = DA tais que DA^ H DAÍ 7^ 0 > Para « = l,. • • , ^, pois U é conexo. Então t\ (ÍA^ ~~ ^A^_I) + • • • + (ÍA 2 ~~ ^AI) + (^AI ~ ^Ao) + ^A0 é uma soma de inteiros, logo t\ Z. D Observação. A reunião dos discos DA , A G L, que podem ser ligados n, l>\ por uma cadeia da forma acima é certamente um aberto em U. Tiunhém é aberta a reunião dos discos D A , A G L, que não podem m-r li|';;i,(los a DAO desta forma. Esses dois abertos são disjuntos e o primeiro não é va/io. Então o segundo é, pois U é conexo. Isto justifica n u l i t ina,ç;u) feita na demonstração. A proposição seguinte completa a demonstração do Teorema 1. ('ropn.signo D. Sc. a forma clc.rnc.nto de. ângulo íí é exata no aberto II i ||J''' ) ( ) ) cuido c.r/.v/c nina função-ângulo dc.finida cm, U.
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Demonstração: Suponhamos inicialmente que U seja conexo. Seja Por outro lado, a função harmónica n: R 2 — {0} R, l -y /: U -> IR tal que df = íí em U. Pelo Corolário l da Proposição B, 2 2 dx ~\ y) = - log(ar + y ) Z 6\: D\> R. Fixemos um XQ £ L.x -\- y podemos escrever U = [J D\e modo que em cada disco aberto D\á definida uma função-ângulo que não é exata em M2 — {0}. Logo, u = -log(x 2 + y 2 ) não é a parte Z
No conjunto conexo D\ as funções / e 6\ têm a mesma diferencial fi. Portanto / — Q\ = c é constante em D\ . Substituindo / por / — c, que também é uma primitiva de Í7, podemos admitir que / = 0\ em D\ . Para todo A € L, a diferença / — 9\ constante em D\ ponhamos ÍA = ir- (f — 0\)- Se D\ D^ ^ 0, como 9\ 9^ são funções-ângulo no £i7V conjunto conexo D\ D^ , concluímos que
é um inteiro. Além disso, t\ = 0. Segue-se da Proposição C que t\&TL para todo A. Conseqúentemente, / (ou / — c na notação inicial) é uma função-ângulo. Caso U não seja conexo, o argumento acima prova que existe uma função-ângulo em cada componente conexa de U, a qual é um conjunto aberto. Essas funções, consideradas conjuntamente, dão uma função-ângulo O : U —> R. D Exemplo 1. Uma função u: U —> M, de classe C2 no aberto U C IR2, d2u d2u chama-se harmónica quando satisfaz a equação de Laplace —^ H -dx2 dy2 du 0. Isto equivale a afirmar que a 1-forma w = — dx H -- dy, definida oy ox em U, é fechada. Para que a forma o; seja exata, deve existir uma função dv —du dv du U , de classe C , tal que —— = e ~ — Estas são as dx dy dy dx equações de Cauchy-Riemann. (cfr. Vol. 2, Cap. 5, Exemplo 7.) Elas significam que a função /: U -» C, definida por f (z) = u(z) + iv(z), é holomorfa, isto é, possui derivada no sentido complexo em todos os pontos de seu domínio U. Portanto a função harmónica u: U —> M é a parte real de uma função holomorfa /: U —>• C se, e somente se, a fjlf
//?/
1-forma fechada w: U —> (R 2 )*, u = —— dx + -— dy é exata. dy dx Exemplo 2. Vejamos dois casos particulares do Exemplo 1. A função u: R2 —>• R, definida por u(x,y) = x2 — y 2 , é harmónica. A 1-forma a ela associada é u = 2ydx + 2xdy, a qual é exata: u ~ dv, onde '«(.r, y) = 2.r y. E, do fato, u é a parte real da função holomorfa / : '(" > C,
real de uma função holomorfa em R2 — {0}. Exemplo 3. Seja / = a + ib uma função holomorfa no aberto U C C. Em virtude das equações de Cauchy-Riemann, as 1-formas ui = adx — bdy e (p = bdx + ady são fechadas. Elas são exatas em U se, e somente se, du du existem funções u, v : U —> R, de classe C 2 , tais que —— = a, —— = —6, ox oy õv dv — = b e — = a. Então a função complexa g = u + iv: U —>• C cumpre ox oy du du as condições de Cauchy-Riemann, logo é holomorfa, e g1 — ——h i -^- = C/X C/X (i + ib = /. Portanto, a fim de que a função holomorfa f : U —> C, dada por f = a + ib, possua uma primitiva g: U —>• C (isto é, g' = /) ó necessário e suficiente que as 1-formas fechadas u = adx — bdy e (p = bdx + ady sejam ambas exatas em U. Kxemplo 4. Como caso particular do Exemplo 3, tomemos / : C — {()} ->• C, f (z) = l/z = x/(x2 + y2) - iy/(x2 + y 2 ). Com a notação iicima, temos ui = (xdy + ydx] / (x2 + y 2 ) e (c) = a e ip(d] = b vnlim / ' , , , , w = L(JJ. Se, porém, tp(c) = b e (p(d) — a então j^0ípu —
^r— = —— (onde v (x) = (ai ( . - r ) , . . . , an(x}} para todo x G f/) é o campo u',L j (jr.r,'\e de uma função ./': U -t K.
d'.
^
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Integrais Curvilíneas
Cap. l
Demonstração: Supondo (p (c) = a e (p (d) = ò, o Teorema de Mudança de Variáveis (Vol. l, Cap. 11, Teor. 2) e a Regra da Cadeia nos dão 7 (í) dt = lf w(7 o (s)) • i(if(a)} • (p1 (s) ds Jc
(jj = 7
^V(c)
= ííd ui(j o (p(s)) • (7 o tp) (s) ds = lí J C
LU.
J ^0(p
Se for • M™, tais que 71 (1) = 72(0), é definido por j(t) — 71 (2í) se í e [0,1/2] e 7(í) = j2(2t - 1) se í € [1/2,1]. A observação que acabamos de fazer permite definir o caminho justaposto 7 = 71 \/72 para quaisquer 71: [a, b] —)• R" e 72 : [c, d] ->• R" desde que 71(6) = 72 (c). E podemos escolher como domínio de 7 um intervalo compacto arbitrário. Diz-se que o caminho 7 : [a, 6] —>• R71 é de classe C por partes quando 7 é contínuo e, além disso, existe uma partição P = {a = ÍQ < ti < • • • < tm — b} tal que a restrição de 7 a cada intervalo [íj-i, tj], j = l, . . . , m, ó de classe Ck. Isto equivale a dizer que 7 = 71 V • • • V jm é o justaposto de caminhos de classe Ck . Um exemplo de caminho de classe C00 por partes é o caminho polii/onal, formado pela justaposição de caminhos retilíneos. Se 7: [a, 6] —)• X C Rn é um caminho de classe C1 por partes, dado pela justaposição 7 = 71 V • • • V 7m de caminhos de classe C1, definepondo-se se; a integral J u; de uma 1-forma contínua w: X !~t]
Esta definição independe da partição P do intervalo [a, ò], em cujos intervalos [ t j - i , t j ] estão definidos os caminhos 7^ de classe C1. Para mostrar isto, começamos notando que se Q é uma partição que refina / ' , o valor de J o; é o mesmo, quer se use Q ou P, pois cada intervalo / dr /' é a reunião de intervalos consecutivos de Q e, como 7 é de classe í ' 1 cm /, a aditividade da integral na reta garante o resultado. No caso y.nal, torna-se uma partição R que refine P e Q, e as integrais, usando /' mi (,j, coincidem com aquela usando R. ( ) teorema seguinte é a caracterização mais geral de uma 1-forma i'Híil,;i. TtMHTinti 4. As seguintes afirmações a respeito de uma forma u, de rln/nif C'* ; no aberto U C R", são equivalentes: \) tti r exala em, U. ',',) j w O para, todo caminho fechado, de classe C1 por partes,
-L O
Figura 6. O caminho justaposto 7 = 71 V 72: tem-se 71: [a, ò] —* R" c 72: [c, d] -> R", com 71(6) = 72(0). Então 7 = 71 V 72 : [0,1] -» R" ó dado
i l ) / d) dc.pmde unicamente dos extremos 7(0) e 7(6) do caminho i | n , / i | > 11 tli' c.lafmc. C*1 por partes.
por 7(í) = 7i( 2). Alem disso, se admitirmos V ) i ' i i t , i i n , dados os raminhos 7,7: |a,/>| > f/, de classe (71 |>or ]);i,rl,es,
HC
'/-
C7 caminhos de classe C1 por partes, com as mesmas extremidades. Se 7 e r] são homotópicos em U então f LO = J w. Demonstração: Seja ff: [a, b] x [O, !]—>•[/ uma homotopia entre 7 e r/. Como a imagem H (R) do retângulo f? = [a, 6] x [0,1] é um subconjunto compacto de U, pelo Cor. 2 do Cap. l, Vol. 2, existe e > O tal que para todo (s, í) 6 f?, a bola de centro ff(s,í) e raio e está contida cru U. Pela continuidade uniforme de H, existe S > O tal que a imagem por ff de qualquer subconjunto de R com diâmetro < í tem diâmetro < £, logo está contida numa bola B e Í7, na qual u; é exala. Tomemos partições P — {. = .s() < .si < ••• < ,sm = /;} dr |u,/>| e (
