Análisis Matemático I - Moisés Lázaro C.-freELIBROS.org

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

Cálculo Diferencial ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦

La Derivada Curvas Planas, Ecuaciones Paramétricas Derivadas Parciales Derivación Implícita Aplicaciones de la Derivada Diferenciales La Derivada de la Función Inversa Polinomio de Taylor

MOISÉS LÁZARO C.

Autor : Moisés Lázaro Carrión Estudios : Lic. en Matemáticas Puras, Lic. en Educación, Maestría (Métodos Cuantitativos de la Economía U.N.M.S.M.), Maestría (Matemáticas Puras P.U.C.P.).

Experiencia Docente: Pontificia Universidad Católica del Perú Universidad Ricardo Palma Universidad Nacional Mayor de San Marcos Universidad Nacional de Ancash - Santiago Antúnez de Mayolo Universidad Nacional del Callao Universidad Particular San Martín de Porres

La presentación y disposición en conjunto de:

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

CÁLCULO DIFERENCIAL Autor: Moisés Lázaro Carrión Son propiedad de: Dis. Imp. Edit. Lib. MOSHERA S.R.L.

Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin autoriza­ ción escrita de la editorial. Decreto Legislativo.................................................................................. : 822 Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N°... : 2014-02916 International Standard Book Number ISBN....................................

: 978-9972-813-81-8

Derechos reservados © Cuarta edición: Marzo 2014 Tiraje: 500 ejemplares

Obra editada, impresa y distribuida por: Distribuidora, Imprenta, Editorial, Librería

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MOSHERA S.R.L.

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D e d ic o este libro a lo d o s los tra b a jo d o re s d e la ¿SdiforiaI AAoshera S .R .jL . por su s a ­ crificad a labor en h a c e r re a ­ lidad la presen te obra.

IV

PRÓLOGO Con el título de CALCULO DIFERENCIAL, que es parte de todo curso de Aná­ lisis Matemático I, se presenta al lector que sigue las carreras de: Ciencias, Ingeniería, Economía, Administración y Contabilidad el presente Libro que contiene ocho capítulos bien definidos que son: C apítu lo 1: La derivada de una función y los teoremas relativos al tema. C apítulo 2: Representación paramétrica de las curvas, su gráfico y deri­ vadas. C apítu lo 3: Derivadas parciales y sus aplicaciones a la economía. C apítu lo 4: Derivación implícita y sus aplicaciones. C apítu lo 5: Aplicaciones de la derivada, los máximos y mínimos de una función, problemas de aplicación, los puntos de inflexión y gráfica de funciones. C apítu lo 6: La diferencial de una función, como aplicación lineal, apli­ caciones de la razón de cambio a diversos problemas. C apítu lo 7: La derivada de la función inversa, su existencia y teoremas. C apítu lo 8: El polinomio de Taylor, su aplicación para aproximaciones a funciones. Cada uno de los capítulos están sustentados con sus respectivas defini­ ciones y teoremas, para los cuales he tenido cuidado de respetar su riguro­ sidad y formalidad para que el lector no caiga en error alguno. El libro tiene la característica de ser: didáctico, práctico y riguroso. Se han hecho diversos y variados ejemplos que ayudarán al estudiante a salir de dudas y sobre todo reforzar su aprendizaje. Sugiero al lector respetar los enunciados y definiciones tal como se dan, una alteración de ello sólo llevará a situaciones incongruentes y ahondaría las dudas. Agradezco al economista Cesar Sandoval M. por su gentil colaboración en el capítulo relativo a las aplicaciones a la Economía.

EE A u ím .

VI

ÍN D IC E G E N E R A L

Capítulo 1: LA DERIVADA 0

1

Introducción 0.1

Función Real de una Variable Real ....................................................

1

0.2

Puntos de Acum ulación..........................................................................

2

0.3

Límite de una Función ............................................................................

3

0.4

Funciones Continuas ...............................................................................

7

La Derivada 1.1

Derivada de una Función en un Punto .............................................

9

1.2

Otra Forma de Definir la Derivada de f en a ..................................

12

1.3

La Función Derivada ...............................................................................

13

1.4

Derivadas Laterales .................................................................................

13

1.5

Interpretación Geométrica de la Derivada ......................................

14

1.6

Derivada de una Función en un Intervalo.......................................

15

2

Teoremas Sobre Derivadas .................................................................................

16

3

Velocidad y Aceleración ......................................................................................

26

4

Razón de Cambio y Análisis M a rgin al............................................................

31

5

4.1

Coste Marginal ......................................... ¿.................................................

31

4.2

Razón Porcentual de Cambio ................................................................

32

4.3

Ecuación de la demanda, Función Ingreso Total, Función Ingreso Marginal, Función de Ganancia..........................

33

4.4

La Función Ingreso T o t a l .......................................................................

34

4.5

La Función G anancia...............................................................................

36

Diferenciabilidad de una Función en un P u n to .......................................... 5.1

6

41

La Derivada de la Composición de dos Funciones.......................................

44

6.1 7

39

E jem plos........................................................................................................

Problemas ....................................................................................................

47

Derivación por Medio de F órm u las..................................................................

58

7.1

Ejercicios Diversos ....................................................................................

7.2

Ejercicios Propuestos ...............................................................................

97

7.3

Problemas ....................................................................................................

99

v ii

87

Capítulo 2: CURVAS PLANAS, ECUACIONES PARAMÉTRICAS 1

Introducción..............................................................................................................

103

2

Parametrización, Ecuaciones Paramé tricas.................................................

104

3

Función Vectorial..................................................................................... 3.1 Imagen de una Función Vectorial..........................................................

117 117

4

Definición de Curva Plana................................................................................... 4.1 Parametrización de una Curva..............................................................

118 118

5

Camino o Trayectoria.............................................................................................

119

6

Curva Cerrada (lazo).............................................................................................

120

7

Punto Múltiple.........................................................................................................

120

8

Curva Regular...........................................................................................................

122

9

Derivada Paramétrica...........................................................................................

127

10 Tangentes...................................................................................................................

128

11 Gráfica de una Curva en Coordenadas Paramétricas................................

129

12 Importancia de los Cam inos................................................................................

150

Capítulo 3: DERIVADAS PARCIALES 1

Definición de una Función que Depende dedos V ariables......................

152

2

Derivada Parcial de f respecto a “x ” y Respecto a “y ” .............................

152

3

Derivadas Parciales Aplicadas a la Microeconomía (Multiplicadores de Lagrange) Demanda de Bienes de Consumo, Demanda de factores de Producción........................................................................................

154

Capítulo 4: DERIVACIÓN IMPLÍCITA 0

Introducción

1

Definición ..................................................................................................................

165

2

Derivación Im plícita.............................................................................................. 2.1 Problemas ...................................................................................................... 2.2 Ejercicios P ropuestos................................................................................

165 166 185

3

Derivada Logarítmica Aplicando Propiedades y Derivación Im plícita............................................................................................

188

Derivadas de Orden Su perior............................................................................

194

4

viii

Capítulo 5: APLICACIONES DE LA DERIVADA 1

Aplicaciones Geométricas de la Derivada.................................................... 1.1 Ecuaciones de las Rectas: Tangente y N orm al................................ 1.2 Problem as.....................................................................................................

203 203 204

2

Angulo Entre Dos Curvas.................................................................................

212

3

Máximos y Mínimos de una Función............................................................ 3.1 Definición 1 ................................................................................................... 3.2 Definición 2 ................................................................................................... 3.3 Aclaracionesen estasDefiniciones ....................................................... 3.4 Definición 3 ................................................................................................... 3.5 Definición 4 .................................................................. 3.6 Definición 5 ................................................................................................... 3.7 Ejemplos Aclaratorios...............................................................................

216 216 216 216 217 217 217 217

4

Puntos Críticos de una Función...................................................................... 4.1 Definición...................................................................................................... 4.2 Ejemplos........................................................................................................

219 219 219

5

Teoremas Relativos a la Derivada....................................................................

223

6

Funciones Derivables en un Intervalo...........................................................

227

7

Aplicaciones del Teorema del Valor M ed io .................................................

235

8

Función Lipschitziana.........................................................................................

237

9

Problemas Resueltos Sobre el T .V .M .............................................................. 9.1 Otros Problemas Respecto al T .V .M .....................................................

237 241

10

Regla de L "hopital para el Cálculo de Límites Indeterminados de la Forma Ij- y 22.............................................................

248

10.1 Problem as......................................................................................................

250

11

Funciones Crecientes y Decrecientes............................................................

257

12

Criterios para Extremos Relativos..................................................................

259

13

Problemas Relativos a Máximos y M ín im os............................................... 13.1 Funciones Polinómicas.............................................................................. 13.2 Funciones Racionales................................................................................. 13.3 Funciones Irracionales.............................................................................. 13.4 Funciones Exponenciales......................................................................... 13.5 Funciones Logarítmicas........................................................................ «...

262 262 273 279 288 292

14

Problemas de Máximos y M ínim os................................................................

298

15

Concavidad y Puntos de Inflexión................................................................... 15.1 Reglas para Posibles Puntos de Inflexión.......................................... 15.2 Aplicaciones al Trazado de la Gráfica de una Función..................

323 331 332

ix

Capítulo 6: DIFERENCIALES 1

Incremento de una Variable Independiente e Incremento de una Función............................................................................. 1.1 Definición....................................................................................................... 1.2 Error Relativo y Error Porcentual Aproximado...............................

337 337 341

2

Diferenciales............................................................................................................

344

3

Razón de Cam bio.................................................................................................... 3.1 Problemas de Aplicación...........................................................................

348 350

Capítulo 7: LA DERIVADA DE LA FUNCION INVERSA 1

Teoremas Relativos a Funciones Inversas....................................................

363

2

Dos Teoremas Relativos a la Continuidad de la Inversa de la Función f, Cuando f es C ontinua.........................................

364

3

Derivada de la Función Inversa....................

366

4

Derivada de las Funciones Trigonométricas Inversas..............................

374

5

Derivada de Funciones Trigonométricas Inversas Com puestas...........................................................................................

380

Capitulo 8: POLINOMIO DE TAYLOR 1

Polinomios de Taylor y Aproximaciones........................................................

395

1.1

Definición del n-ésimo Polinomio de Taylor......................................

395

1.2

Resto de un Polinomio de Taylor...........................................................

401

Problemas Propuestos...................................................................................................

412

LA DERIVADA O. INTRODUCCION Antes de definir la derivada de una función real de una variable real, recordemos bre­ vemente cuatro definiciones previas: función real de una variable real, punto de acu­ mulación, límite de una función y continuidad de una función.

0.1. FUNCION REAL DE UNA VARIABLE REAL Dado el subconjunto A c R , diremos que “/ es una función o aplicación definida en A y con valores en IR ” a toda correspondencia f que asocia a cada elemento x g A con un único elemento /(x) e R llamado el valor de la función que asume en el punto x.

NOTACIÓN: a) La notación / : A

>R se lee “/ es una aplicación de A en IR

A : es el dominio de la función. donde

IR : es el conjunto de llegada. El rango de la función / es un subcon­ junto del conjunto de llegada. f(A) = { /(x) / x

b)

La notación x

g

A} es la imagen de A p o r /o el rango de/.

> f{x) indica “a x corresponde el valor /(x) ’

“x” es la variable independiente.

0.1.1. GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN /: A

>R

Gr{f) = { (x, f( x)/x e A }

L

- gráfica de f

Ejemplo 1. Sea la función / : [- 1 ,8 )-----> R definida por f(x) = -3 + v x +1 En este ejemplo tenemos: a) El dominio de/, es el intervalo [-1,8) .

Moisés Lázaro C. < !> b) El rango d e f e s un subconjunto de R . ¿Cómo se halla? Se

halla “ACOTANDO” la fu n c ió n a partir d e l d o m in io .

Así:

x e [-1,8)

^

-l< x < 8

Sumar 1

=> 0 < x +1 < 9

Extraer raíz

=> 0 < y/x + 1 < 3

Por 2

=> 0 < 2>/x + l < 6

Sumar -3

=> -3 < -3 + 2Vx + l < 3

El rango d e /e s el intervalo [-3,3} = /( [ —1,8)) c) El valor d e/ en 3 es /(3) = - 3 + 2 ^ 3 + 1 =1 d) La expresión algebraica “ - 3 + 2Vx + l ” es la regla de correspondencia de ¡a función f, el cual nos permite calcular el valor de la función / en cada x e [-1,8 ). e)

Graficar la función /.

G r(/) = {(jc,j>) e [ - 1 ,8 ) x [ - 3 , 3 > / y = - 3 + 2Vx + l }

Como vemos: Gr (/) cz [-1 ,8 ) x [-3 ,3 ) El dominio está contenido en el Eje X. El rango está contenido en el Eje Y.

0.2. PUNTO DE ACUMULACIÓN Sea A c f ? . Un número real a € R se llama pu n to de acumulación del conjunto cuando todo intervalo abierto ( a - e , a + e ) , de centro en “a” contiene algún punto

A

x € A diferente de A. dicho de otra manera: “ a € R es punto de acumulación de A, si y sólo si, para todo e > 0 existe algún x e A , tal que ( a - e , a + e ) n . Esto es, 0 < |x-a| < s .

LA DERIVADA

0 Ejemplo 2. En los intervalos: , [a,b], ( - 00 , b), (a,+00 ); son puntos de acumulación los extremos a, b y todos los puntos interiores a cada intervalo. NOTA:

Si “a” es punto de acumulación deA , puede ocurrir que q g A o que a R una función con valores reales definida en un subconjunto AczJR. Sea Xq un punto de acumulación de A . Diremos que el número real L es el límite de /(x ) cuando x tiende a x0 y escribimos.

si para cada número real s > 0, dado arbitrariamente, podemos encontrar otro núme­ ro real S > 0 tal que se cumple |/(x) - L\ < e siempre que x e A a 0 < |x-xq| < S. Abreviando, escribimos: lim f ( x) = L si, y sólo si (V s > 0) (3 8 > 0) tal que x -> x 0

XG A A 0 < |x-Xq! < 8 '___ / „__________________ V" x G A n ( x 0 —¿)',x0 + S )

|/(x)-L | 0, existe

> o x + 0.2

x

J > 0 t a lq u e

x e R -{0 ,0 .2 , -0 .2 }

0 < |x-0| < S =>

a

x + 0.2



-0.1 < x

0.1 < x + 0.2

J^< 0.3

l

x + 0.2

2

En esta función tenemos que los extremos -1 y 2 son puntos de acumulación.

Así tenemos: a) -1

es

punto de acumulación

a la izquierda de(-o o ,-l)

b) -1

es

punto de acumulación

a la derecha de (-1 ,2 )

c) 2

““

“

“

a la izquierda de (-1,2 )

d)

““

“

“

a la derecha de

2

(2 ,+ o o )

Es en estos puntos, donde se estudian los limites laterales. Empecemos a analizar: a) En el /)

punto de acumulación

lim /(x )= lim - ^ X -» -1

x = - 1 , se tiene:

= -^ = - 0 0

X -> - I

X < —1

x +1 < 0

En este caso decimos que, el límite por la izquierda de -1 no existe. NOTA:

//)

Cuando en el resultado obtenemos - o o o + o o , diremos que no existe límite (este hecho es porque el - o o y el + o o no son números reales, so­ lo son símbolos)

lim f(x) = lim = -1 + 1 = 0 x->-l+ x->-l X > —1

En este caso, afirmamos que, el límite por la derecha de -1 existe y su valor es ce­ ro.

Moisés Lázaro C. < í> Conclusión: En el punto de acumulación x = -1 , no existe límite. En efecto, por la izquierda es -oo y por la derecha es cero, son resultados que no podemos com­ parar ya que -oo no es un número real. Se comparan entre dos números reales. b)

En el punto de acumulación x = 2 , se tiene: j

lim /(x )

i)

=

x -> 2 +

^

lim (3 - J x - 2) = 3 - 0 = 3 x -> 2

x>2

ii)

lim

> son iguales /(x)

= lim (x

x —>2

+ l)

=2

+1= 3

x —>2

x< 2

Conclusión:

Cuando los límites laterales existen y son iguales, diremos que lim /(x ) = 3 , el cual es único. x —>2

DEFINICIÓN DE LÍMITES LATERALES A) LÍMITE A LA DERECHA Sea la función / : ( x 0,b)

> E , b = + o o o finito.

Diremos que lim f(x) = L s.s.s. ( V ^ > 0 ) ( 3 ^ > 0 ) X -»X q

i

x>x0

númeroreal

tal que x e ( x0,b) a 0 < x - x 0 < £ implica |/(x)-L| < s. B) LÍMITE A LA IZQUIERDA Sea la función /:(fa ,x 0) -----> R , b = - o o . Diremos que

lim f ( x) = L s.s.s. (V s > 0 ) ( 3 ¿ > 0)

tal que x e l

X>1

X>1

x-l>0

+u

LA DERIVADA

o b)

lim /(x ) = l i m z ó ^ r p z n ) ) x -> l X 0 tal que. x

g

A

a

|x-a|

<

8

implica

|/(x)-/(a)|

<

s

0.4.2. DEFINICIÓN INTERVALICA DE CONTINUIDAD. Diremos que / : A

> R es continua.

cuando / es continua en todos los puntos de A . (A es un intervalo).

s >0

LA DERIVADA

0 1.

LA DERIVADA

La interrogante que nos planteamos ahora, es: ¿cómo se halla la pendiente de una recta que es tangente a una curva? y N

Por ejemplo:

dado la curva /(x) = 4 - x2 , cómo se halla la pendiente de

X

una recta que es tangente a la curva en el punto x = j ?

0 es el ángulo de inclinación de la recta tangente y la tgOes la pendiente de la recta.

Respuesta: La pendiente de la recta ¿uT que es tangente a la curva en el punto x = j es la derivada de f(x) en el punto x = ■§■•Para llegar a esta afirmación pasa­ ron siglos. Los genios Isacc Newton (1642 - 1727) y Gottfried Leibniz (1646 1716) descubrieron el cálculo diferencial y el cálculo integral. Este descubrimiento revolucionó toda la matemática hasta entonces conocidas. A continuación daremos la definición de la derivada de una función en un punto de su dominio. 1.1.

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

DEFINICIÓN: Sea la función / : A

> E , A c E y “a” un punto de acumulación

perteneciente al dominio de /(A = Dom (/)). Diremos que / es derivable en el punto “a” cuando existe el límite f'(a) = lim

En caso afirmativo, el límite f f(a) se llama la derivada d e /e n el punto a. Ejemplo 1. Dada la función /(x) = 4 - x 2 , hallar la derivada de / en ^ .

Moisés Lázaro C. Solución: / ( g)=

f(x) = 4 - x '

donde

1 ^

X~>2 = lim

X“ 2 2 15 4 - x z37 2

= lim 2

■= lim I

X-7T

= i™ - ( x + l ) = - ( l + l ) = - 1 2

Conclusión: / ( 1 ) = -1 í

es la pendiente de la recta tangente en X = |

CASO 1 /J Si existen los limites laterales lim _____________

v —n ■■ y lim

v" - n

no 7, pero 1

son iguales; diremos que / no es derivable en “a” . Es el caso de la fun­ ción /(x) = |x|, que no es derivable en x = 0 . CASO 2 ) Si

lim Í l í t - M = ± 00 , diremos que no existe la derivada de / por la x —>a+ x>a

derecha de x = a . CASO 3

Si

lim

= ±0 0 , diremos que no existe la derivada de / por la

x -> a x 0

=

lim

/ ( * ) - / ( 0) x -0

= lim = x -» 0 +

3rr = + qo

>/íx - 0 x -0

Este resultado implica que no existe

, /+ ( 0 )

.

x -» 0

ii)

/_ (0 )= lim ÍÍ£l_IÍ21= iim JjL = _2

= lim

x- 2

= Km 0 l 4 1 = - l x -» 2

x- 2

Moisés Lázaro C.

ii)

donde{

/:(2 ) = l i m ^ p

x —>2 x2 =

lim

x-»2

_

x 2

nm

+ ^ /(4x j(8j +

•= lim

)

x-»2

= lim x -± 2

(x-2)

( x - 2 ) ( ^ /( 4 x ) 2 +.....................4

Como podemos apreciar, los limites laterales son números reales diferentes, por tanto /(x) no es derivable en x = 2 . c)

En x = 4 . /)

/ ; (4 )= lim

x ->4

x -2 > DIFEREmES

//)

fl(4)= lim

x_>4

1~— = -1

x ¿

No existe /'( 4 ) . Es decir/no es derivable en x = 4 .

1.2.

OTRA FORMA DE DEFINIR LA DERIVADA DE / e n a.

Sí en la definición f\a) - lim X-KX hacembsel cambio de variable: x - a - h O btenem os: f'(a) = lim

0

L

f(a + h) - f ( a )

h

La derivada d e f e n a.

— ©

NOTA: x - a = Ax = h

LA DERIVADA

1.3. LA FUNCION DERIVADA Si / es una función, entonces. /'(x) - lim

f{x + h ) - f ( x )

h ->0

—®

se llama la FUNCIÓN DERIVADA DE f .

Ejemplos: n) Si /(x) = xn, entonces /'(x) = nxn_1 es la función derivada de /. l>) Si /(x) = e x , entonces f'(x) = e x es la función derivada de/. »■) Si /(x) = senx , entonces f'(x) = eos x es la función derivada de /.

NOTACION:

Si

y es función de y "(y = / ( x ) ) , la “derivada de y con respecto a x”

se denota por: y' = /'(*) = ^ = -^ = Dxy >/a notación de Leibniz (/)

1.4. DERIVADAS LATERALES Si en la definición

f(a) = lim

Pendremos:

f(a) = lim

— (^P) , hacemos: x - a = h x = a+h f(a + h) - f ( a )

h- > 0

Tanto ® como © definen “La derivada de / en a e A

DEFINICIONES: Supongamos que el dominio de la función / : A -----> R lo expresamos como A ==, definimos: f {a)m fcn í í * k M = iim M J ? ) xv -*< r x>a

XA ~~ uÜ

k 0+ h->

n

ft>0

Sí este límite existe; diremos que //(a ) es la derivada de / a la derecha de a.

Moisés Lázaro C. ii) f l ( a) = lim x -» c f

= lim Íl£±^LIÍ£l? s[ este límite existe; diremos que X a

h->O"

n

h< 0

x 0 y la pendiente tg a de «£, se convierte en tg # , que viene a ser la pendiente de

.

I n el límite, se expresa del siguiente modo: pendiente de a.

Moisés Lázaro C. 1.7.

INTERPRETACION GEOMETRICA Cuando decimos que / : [a, b] -----> R es derivable en todo punto x0 e [a,b], geométricamente significa que por cada punto (x,f(x)) perteneciente al gráfico de / se puede trazar una sola recta tangente.

2. TEOREMAS SOBRE DERIVADAS TeofwncHj

(La derivada implica continuidad, el recíproco no es cierto) Sea la función / : I -----> R , I = dominio de / y a e l . Si / es derivable en a entonces / es continua en a.

Demostración: Recordar que: fe s continua en a, si lim f(x) = f ( a) , entonces bastará demostrar: x —>a

lim [/(x)-/(a)~| = 0 , x - a = h x->a

lim [ /(h + a ) - / ( a ) l = 0 h->0L J »

* = h+ °

lim f(h + a) = f(a) h— >0 lim f ( x ) = f(a) x -» 0

Veamos: 1) Si existe la derivada /'(a ), entonces existe lim x -» a

2) Partir de lim [ / ( x ) - / ( a ) l x -> a

lim [ / ( x ) - / ( a ) ] = lim ^

^ (x - a)

,

Se ha dividido y multiplicado (x - a) = lim Ü£W y' = 0 = tgO° .

^ orem a^ 3j

Si /(x) = x , entonces /'(x ) = 1 para todo x o

n

2. Como f(x) = x n entonces /(x + h) = (x + h)n. 3. Sustituir, 2 en 1. 1,'kvn (* +h)"-x" /'(x )= lim

h->0

[ ( x + h ) - x ] [ ( x + h ) n” 1 + ( x + h ) " ~ 2 x + ............ + x n^ 1 ]

= lim o = l*lim T(x + h)n 1 + (x + fi)n 2x + ........ + x n 1 ~ \ vn ■ — -J .n -1

+

x "-1

+.

hay n términos

= nx n-l

.+

Xn -1

Moisés Lázaro C. —

®

—

EJEMPLOS: FUNCION

1) / W = xü

2) f ( x ) = x 3

SU DERIVADA

f'(x) = 5x4

/'(x) = -3 x -4

3) /(x) = x~

4) /(x) = 4 -

/'(x )= -fx 3 3' _

SU DERIVADA

FUNCION

2

= x "5

3 \/x

f'(x) = -5 x “b = —

7eoreiTicr5j| (REGLA DEL PRODUCTO DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN) Si g(x) = c/(x) => g'(x) = c •f ’(x) , c es un número real. Prueba. 1. La derivada de g en x, es 2.

g'(x) = lim 8(x+f slx) h~>0 h

Pero g(x + h) = c /(x + h) , entonces g'(x) = lim c / ( x

,

h* 0

+ h)-c/(x)

h-+0 _

lim h->0

c [ /( x + /i ) - /( x ) ]

h

= c lim

/( x + h ) - / ( x )

0 /'(* )

■cf\x).

EJEMPLOS: FUNCIÓN

SU DERIVADA

1) g ( x ) = 5 x ...... g ’(x) = 5(1) = 5 2) g(x) = | x3

FUNCION

4)

SU DERIVADA

y=-f Vx

g'(x) = |(3x2 ) = 2 x 2 2-Jx3

3)

£ - í ( K §)

5) S = 6 í K

í

=6 (l!-» )

1

_ _3_

1 2 ^ /?

~ St

LA DERIVADA

| Jmorama é ]j (REGLA DE LA SUMA) La derivada de la suma de dos funciones es la suma de sus derivadas es decir: Si ¿u{x) = /(x) + g(x) => ¡u'{x) = f ’(x) + g'(x) 1‘i ud>;l. 1 1a derivada de u en x, es u ’(x) = lim M >'x +h'¡ /i->0

2

^ h^Q

"

Pero ju(x + h) = f(x + h) +g(x + h) => ju'(x)= lim

— + g^x + h,^ [fM + gM]

0

n

= lim [ f l x + /l> ~ f ( x )] + [ g l :,c + h) ~ 8 l x )] h-> 0

h

= lim ! Í 1 ± 1 } U M + lim 9 ( x + h ) - g ( X)

h->0

h f'M

h->0 h + s'(x)

HJEMPLOS: FUNCIÓN

1) ¿t(x) = 2x4 + 3x2 - 5x + 2

SU DERIVADA

ju'(x) = 2(4x3 ) + 3 (2 x )-5 (l) + 0 = 8 x3 + 6 x - 5

2 ) V = ^ - - ^ - + x - 5 .............................. J = l( 3 x 2 ) - i( 2 x ) + l - 0 = 3x2 " 2 x + 1

3)

S = 5^/t2 - 4 + 5 í - 8 r

= 5t2/3- 2 r 3 + 5 t - 8

A = 5 ( | r 1/3 ) - 2 ( - 3 t “4 ) + 5 ( l ) - 0 ^

3 vt

4)

+4 + 5 t

c = J + 3Q = 2Q“ 1 + 3 Q

^ = 2 (-Q -2 )+ 3 =- 4 +3 Q2

x

2 2

Moisés Lázaro C.

Teorema 7 | (DERIVADAS DEL SENO Y COSENO) a) Si /(x) = senx , entonces f'(x) = cosx b) Si g(x) = eosx, entonces g'(x) = -sen x Pmeba. a) 1. Lai derivada d n xx,, es: ff(f(x) x ) = lirn^ ^ x + h^ dee /e f en

,

h^O

h-> o

2.

Como /(x) = senx => /(x + h) = sen(x + ñ)

3.

Sustituir 2 en 1. f'(x)= lim

4.

+ h) -

sen(x

senx

h —>0

t~\

P e ro :

/

n

X + /l + X

X + /i — X

s e n ( x + n ) - s e n x = 2 e o s — 2— s e n — 2— 2x + h = 2o eos—g— sen-fj-h

0

5.

Sustituir en 3.

/'(x ) = lim

2x+h

h

2 eos— - — sen--

/i->0 2cos ■— + ^ / sen-¿ \

: ¿imn—

^ \ 2—

^

i

= COSX

b) 1. 2.

La derivada de g en x, es

cj'(x) = lim g^x + —x^ h-> 0

n

h* 0

Pero g(x + h) - cos(x + h) , entonces g'(x) = lim CQS^X+^ c-— • h

h->0

/f »\ r> X + /l + X X + h- X 3 . cos(n + n)-cosx = -2sen— 2— sen— §—

= -2sen 2x2+" sen-| o

4.

,

Sustituir en 2 : g f(x) = lim

2x + h

- 2 sen— 2"—

h-> 0

= -sen x

s_

2

\|

;

h

j

sen7 1

-i

1

LA DERIVADA

< §> EJEMPLOS: FUNCIÓN

SU DERIVADA

1) y - 2x + senx + 2cosx

y' = 2 + cosx + 2(-senx) = 2 + c o s x -2 s e n x

/ ’ ) y = 3sen£ + 5cos£

—r = 3cos£ -5sen£

| Teorema 8 | (REGLA DEL PRODUCTO) Si /z(x) = f(x) g{ x) , entonces //(x ) = f(x) g'(x) + /'(x) g( x ) . Prueba. 1. La derivada de u en x, es u\x) - iim ¿rix + h)-//(*) *

h->o

h

2. Pero ju(x + h) = f(x + h) g{x + h) , entonces / / ( x ) = lim — h-> 0

3.

n

Restar y sumar /(x + h) g (x ): , / x x = [im f ( x + h)g(x + h ) - f ( x + h) g( x) +f(x + h) g ( x ) - f ( x ) g ( x )

h->0 •

= lim

h f ( x + h) [ g( x + h ) - g ( x ) ] + [ f ( x + h ) - f ( x ) ] g ( x )

o

= limí

f { x + h) [ g{ x + h ) - g { x ) ]

h-+0{

f(x)-g'(x)

[ f { x + h) - f { x) ~] g{ x) +

h

+

h

f\x) - g( x)

EJEMPLOS: FUNCIÓN

1) /(x) = X 2

•COSX

SU DERIVADA

/'(x) = x 2[eos x]' + (eos x) (x2)' = x [-sen x] + (eos x) (2x) n = —x senx + 2xcosx o

2) y = ( l - x 3)senx

= (1 - x3) [senx]' + senx[l - x3}' = (1 - x3) [eos x]+senx[0 - 3x2] = {1 - x3 )cosx - 3x2 senx

Moisés Lázaro C.

= 2(cosx)' + 3 [ (x)'senx + x(senx)' ] = 2 (-senx) + 3[l-senx + x cosx] = -2senx + 3senx + 3 xcosx = senx + 3xcosx

3) y = 2cosx + 3xsenx

Teorema 9 j (REGLA DEL COCIENTE) La derivada del cociente de dos funciones derivables /(x) y g(x) está dada por: Si: ju{x) = ~|~y entonces ju'(x) = Prueba: 1. La derivada de ¡uenxes: ju'(x) = lim ^x + h)

h-> 0

2. Como ju(x)' = -^ 4 g{x)

entonces

Sustituir en 1

f(x)

ur{ x ) = lim 3{x +h)—iíüL _

4.

? h^O

//(x + h)' = £^,x +m (x + h) f ( x + h)

3.

n

i* /( x + h) g ( x ) - / ( x ) g ( x + h) h g( x + h) h) gg{x) h i lo hg( (x)

Restar y sumar el término /(x) g(x) en el numerador: ¿ /'( x ) =

lim

f ( x + h) 9 { h) - f { x) g{ x) + / ( x ) g ( x ) - f { x ) g { x + h)

hg(x + h)g(x) = Hm [ / ( x + h) ~ / ( x ) ] g ( x ) ~ / ( x ) l g( * + h ) - g ( x ) ] ~ h -± o

hg( x + h)g{x)

_ g { x ) f { x ) - f { x ) g ,{x)

[g{x)}2

LA DERIVADA

EJEMPLOS: FUNCIÓN

SU DERIVADA

(1 - cosx)2 1 - cosx - x (0 + senx) (1 - cosx)2 1 - cosx - xsenx (1 - cosx)2

dy _ (1 —x 2 ) (1 + x 2 )' - (1 + x 2 )(1 —x 2 )'

(1 —x2 ) ( 2 x ) - ( l + x 2 ) (|-2x)

Moisés Lázaro C.

< §>

3. VELOCIDAD Y ACELERACION Supongamos que un objeto (una pelota, una partícula o cualquier otro móvil) se mue­ ve por acción de una fuerza. Por ejemplo, si usted, deja caer un objeto de un edificio, dicho objeto cae por acción de la gravedad. Si se lanza una pelota desde un punto A, según la fuerza que le aplicamos, va recorrer cierta trayectoria en forma de parábola, hasta caer al suelo. En ambos casos, al moverse el objeto o la pelota, por acción de una fuerza, describe una trayectoria rectilínea o parabólica, respectivamente. Cada punto P de la trayecto­ ria pertenece a una función S(t) que da la posición (respecto del origen) del móvil como función del tiempo t, llamado función de posición. El conjunto {(í,s)/s = S(t) , t e [a,b]} es la gráfica de la función S(t) y cada pareja (t,s) es la posición de un punto P del móvil. Los conceptos de VELOCIDAD y ACELERACIÓN de un objeto cuya función de posición de un punto P está dado por el conjunto de puntos {(£,$)/$ = S(£),£€[0,b]}, son simples derivada de la función S(t) respecto al tiempo t Supongamos que la posición de un punto P esta dado por el conjunto de puntos { (tís)/s = S(t) , £ g [G,b]} donde £ es el tiempo y s = S(£) es la trayectoria que recorre el punto R Si el tiempo varía de £0 a t se tiene que:

a)

S(t)- S(t0 )

es la velocidad media de P durante el lapso de tiempo [£0,£].

t-to

f

Donde [

AS

S(t) - S{t0) = AS t - t 0 = At

ES LA VARIACIÓN DE LA TRAYECTORIA ES LA VARIACIÓN DEL TIEMPO

= Expresa la variación de la trayectoria respecto al tiempo (o velocidad del

^

móvil durante el lapso de tiempo [£0, í ] ,

t

= £0 + A i .

cuando At —> 0 se convierte en

lim A i—>0

= 4 r = ....... Át

dt

expresa la variación instantánea del recorrido respecto al tiempo y es la velocidad del objeto P en el tiempo £0 •

= S’(tQ) L _

derivada de S respecto a £ en t0 .

______________________________ LA DERIVADA_______________________ I>) S'(t) = es la velocidad instantánea del móvil P en el tiempo t0 . En general S'(t) = V{t) es la función velocidad instantánea en cualquier t e [0,¿>] Si derivamos la función VELOCIDAD obtenemos la aceleración del móvil. Así: q(tb) = V'(to)= lim ^ : r (t^ >^ -

t —>Íq

,

0

t-to=h =M

= lim V(t0 + h )-V (t0 )

h->0

h

es la aceleración del móvil en el tiempo

Donde-

t0 .

es la aceleración media del móvil P

^

en el lapso de tiempo [í0 ,t0 + h] .

En Consecuencia: a(í0) = V'(t0) = Sff(t0) A ------------- La aceleración del móvil P en el tiempo £q es la segunda derivada de la función S(t) en el tiempo t0 .

I lagamos dos ejemplos aclaratorios: Ejemplo 1. Supongamos que un objeto cae libremente de un edificio de 144 pies de altura y la función de la caída libre es: S(t) = -1 6 í2 +144 ; te [0,3] Se pide:

a) Graficar S(t). b) Hallar la función velocidad. c) Hallar la velocidad del objeto cuando ha transcurrido el primer se­ gundo. d) Hallar la función aceleración. e) ¿Qué tiempo transcurre cuando el objeto toca el suelo?

Moisés Lázaro C.

— (§} Solución:

a) El gráfico de S(t) es una parábola de vértice en (0,144). Cuanto t = 0 => S(0) = 144 que expresa la altu­ ra del edificio (altura inicial del objeto).

b) La función velocidad es: S'(t) = - 3 2 t

c)

La velocidad del objeto en el primer segundo transcurrido es: S'(l) = -32pies/seg

i

1------------EL SIGNO NEGATIVO INDICA QUE EL OBJETO ESTÁ BAJANDO.

d) La aceleración es la segunda derivada de la función S(t): A(t) = S"(t) = -32pies/seg2 f

1

Es la aceleración de la gravedad. Nos indica que en la caída libre de los objetos la aceleración es constante. Experimentalmente la aceleración de la gravedad es g = -3 2 ,1 7 4 pies/seg2 .

e) Si el objeto toca suelo, entonces S(t) = 0 , es decir: -1 6 t2 +144 = 0 En 3 segundos toca suelo dicho objeto.

NOTA:

t2 = 9 => t = 3

En general, la posición de un objeto en caída libre está dada por la función S(t) = ^gt 2 + u0t + s0 .

donde:

üq

= es la velocidad inicial con que se suelta el objeto.

Sq = altura inicial del objeto g = -32,174 pies/seg2 es la aceleración debida a la gravedad.

LA DERIVADA

< s>

Ejemplo 2. Si se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 128 m/seg , su distancia “s” sobre el punto de partida después de t segundos está dada por s

128é - 4.912 . Se pide:

1) Hallar el tiempo que ha tardado la pelota en tocar el suelo. So lu c ió n :

Hasta hacer s = 0 => 128t -4 .9 t 2 => t = 0 , t = 26.2 , luego, la posición de la pelota está dada por el conjunto { (t,s)/s = 128í - 4.9t2 , t e [0,26.2]}. 2) Se Pide: a) Encuentre una expresión para la velocidad media en el intervalo de tiempo [ t i, ti + h ]. b) Encuentre la velocidad media del intervalo de 2 a 2.1 seg usando el resultado de (a) del intervalo de 2 a 2.01 seg. y del 2 a 2.001 seg. c) Halle la velocidad en el tiempo ^ . d) Halle la velocidad para t - 2, usando el resultado de c). e) Calcule a los cuántos segundos de haber sido lanzada la pelota, lleva una velo­ cidad de 50 m/seg., de 48 m/seg. f) ¿Cuándo su velocidad es cero? ¿a qué altura está en ese instante? ¿Es esa la máxima altura que alcanza la pelota? g) Calcule la aceleración en el tiempo ^ . h) Halle la función velocidad y la función aceleración, i ) Grafique la función s(t). Solución: a) 128 { t i + h ) - 4.9 { t i + h ) 2 - [ 128 ta - 4.9

]

h

128 íj +128 h - 4 .9 1\ - 9.8 tx h - 4.9 h2 -1 2 8

+ 4 .9 1\

h

128 h - 9.8 ti h - 4.9 h2 _ h d 2 8 - 9 .8 f r - 4 .9 h ) _ 1 9 ,

h

h

= 1 2 8 -9 .8 ^ - 4.9 h

Si t1= 2, ^ +h = 2.1=>h = 0 .1 . Luego: Vm = 128-9.8(2)-4.9(0.1) = 107.91 V ( ) = lim (128 - 9.8 tx - 4.9 h ) = 128 - 9.8 ^

Moisés Lázaro C. d)

V(2) = 128 - 9.8(2) = 108.4

e) Si

50 = 128 - 9.81

V = 50 m/seg =>

Si

t

78 _ 780 _ - 7 O ~ Q ^

8 - ' o 98 s ' - / -y ~ S s e S£ § ------- 09.8

48 = 128 - 9.8f

V = 48 m/seg =>

f)

* _ 1 2 8 -5 0 _

í =

1 2 8 -4 8 9.8

= 8.16 seg.

Tenemos V(t) = s'(t) = 1 2 8 -9 .8 1 Entonces V{t) = 0 si 128 - 9.8t = 0 En el instante í =

, La altura será

=> t = ^

= 13.06 seg.

y|- j = 128 ( y|- j - 4.9 (

j

= 835.7 es la máxima altura g) La aceleración es V ’(t) = s"(t) = -9 .8 ,para todo t e (0,26.2).

h) V = {{t,v)/v = 1 2 8 -9 .8 1, t e (0,26.2)} ; A = {(f,a)/a = -9 .8 , t e [0,26.2]}

PROBLEMAS. 1.

La altura S en el tiempo t de una naranja que se deja caer desde una altea de 1350 pies de altura viene dado por S(t) = -1 6 í2 +1350, con S medida en pies y í a) Hallar la velocidad media en el intervalo [1,2]. b) Hallar la velocidad instantánea para t = 0.5 y t = 1.5. c) ¿Qué tiempo demora en llegar al suelo?

.

d) Hallar la velocidad de la naranja al tocar el suelo.

„

LA DERIVADA

,

2. La velocidad de un camión que parte del reposo esta dada por la función v= a)

^ ^ con v medida en metros por segundo. Hallar la aceleración después de: 3 segundos

b) 5 segundos

c) 20 segundos.

En los Ejercicios del 3 al 5 aplicar la función de posición S(t) = -1 6 12 + v0t + S0

3. Se lanza un cohete hacia arriba desde una base terrestre con velocidad inicial de 384 pies/seg. Hallar su velocidad después de 5 y 10 segundos.

4. Se deja caer una moneda desde 600 pies de altura. ¿Cuál es su velocidad al llegar al suelo? 5. Para estimar las alturas de un edificio se deja caer desde lo alto una piedra. Hallar la altura del edificio si golpea al suelo 6,8 segundos después de soltarla.

6 . Un auto viaja a 66 pies/seg. en el momento en que el conductor pisa el freno. Su función de posición es S(t) = -8 ,2 5 12 + 6 6 1 con S medido en pies y t en segun­ dos. Hallar su posición, su velocidad y aceleración para £ = 0 ,1 ,2 ,3 ,4 .

4. RAZÓN DE CAMBIO Y ANÁLISIS MARGINAL

(APLICACIONES A LA ECONOMÍA) Definiciones. 4.1. COSTE MARGINAL Supongamos que la función C(q) exprese el costo total en dólares de fabricar q uni-

= c'(q)

es el COSTE Marginal por unidad, y expresa la razón de cambio instantá­ nea de cambio del coste total con respecto a la producción.

Además:

C'(qg )

=

lim q~*q°

•

Q~Qo

es el coste marginal cuando se han producido q0 .

4.1.1. Coste Real. El co ste d e p r o d u c ir la q - é s im a u n id a d , es: C ( q ) - C ( q - 1 ) = 1

^

Vi/

VJ

'

q-(q-l)

=

carn b‘° e n c

cambio en q

Moisés Lázaro C. 4.1.2.

Coste Medio. <

4.2.

es el coste medio El coste medio por unidad, es el costo total divi­ dido por el número de unidades producidas.

RAZÓN PORCENTUAL DE CAMBIO

Si y es función de x (y = f ( x ) ) , la PECTO A

RAZÓN PORCENTUAL DE CAMBIO DE

y

CON RES­

x está dada por la fórmula:

Razón Porcentual de Cambio = 100 | y j

donde: Y' = ^ = f'(x) . Problema

1j

Suponga que el coste total en dólares de la fabricación de q unidades es c(q) = 3q2 + q + 500 .

a) Use el análisis marginal para estimar el coste de fabricación de la 41 unidad. b) Calcule el coste real de fabricación de la 41 unidad. Solución: a) Se pide hallar C'(41). En primer lugar, hallar C'(q) En segundo lugar, hallar C'(41) :

: C'(q) = 6q +1 C'(41) = 6(4) +1 = 247

b) El coste real de la 41 unidades: C(42) - C(41) = [3(42)2 + 42 + 500] - [3(41)2 + 41 + 500] = 250

P roblem ^ ^ J Sea C(x) = mx + b , m > 0 , b > 0 la función lineal de costo total: a) b) c) d)

Graficar C(x) y diga qué representa la constante b. Hallar la función del costo promedio. Halle la función de costo marginal promedio. Grafique la función de costo promedio en el mismo plano.

LA DERIVADA

Solución: a) C(x) = mx + b

es una línea recta de pendiente m > 0 , lo cual

y

nos indica que el ángulo de inclinación de la recta es agudo y la función es creciente. Como b > 0 y “x” es el número de unidades produ­ cidas debe ser x > 0 , entonces la recta se ubi­ ca en el primer cuadrante en forma creciente.

b

X

b)

La constante b = c(0) es el COSTO FIJO.

La función de costo promedio es: mx + b que la llamaremos

Q(x) = m + & <

es un hipérbola.

cuando x - » + o o entonces Q (x )— o sea m es asíntota horizontal.

c) El costo marginal promedio es: Q'{x) = —\ V

4.3. ECUACIÓN DE LA DEMANDA, FUNCIÓN INGRESO TOTAL, FUNCIÓN INGRESO MARGINAL, FUNCIÓN DE GANANCIA (O LUCRO). Consideremos dos variables: “P” el precio y “x” la cantidad de mercancía que se de­ manda (que se solicita) la relación entre “p” y “xv expresada por la ecuación F(p,x) = 0 es la ECUACIÓN DE LA DEMANDA. Cuando el precio “P” de un bien baja entonces lá cantidad demandada “x” crece y al revés si el precio sube la cantidad de­ mandada baja, este comportamiento de demanda nos indica que la relación F(p, X ) = 0 es DECRECIENTE. p

En el gráfico:

Si p1 baja a p2 , entonces Xj sube a x2 .

X

Moisés Lázaro C. Si de la relación F(p,x) = 0 despejamos “P” en términos de “x” obtendremos la función P = P(x)

que la llamaremos “la función del precio” . Y es la cantidad que se solicita.

En la ecuación:

4.4.

p

= P(x)

se tiene: i P(x) es el precio que se paga por la cantidad “x”.

LA FUNCION INGRESO TOTAL

Definición 1 El ingreso total = (cantidad demandada) (precio de cada unidad) RM

rr =

PM

R(x) = xP(x)

x >0

£ R(x)

P(x) =

t

- se llama ingreso promedio

Esta igualdad nos indica que “el ingreso promedio y el precio por unidad son iguales” .

Definición 2 | Si R(x) es el INGRESO TOTAL, (en unidades monetarias) obtenido cuando se demandan “x” unidades de mercancía, entonces defini­ mos la función Ingreso Marginal como la derivada de R(x) con res­ pecto a x. Es decir:

De modo que, el ingreso marginal para x = x1 está definido por P'ÍXj), siempre que exista R'(xi) y expresa la razón de cambio del ingreso total por cambio unitario en la demanda cuando x1 unidades son demandadas. Puede ser: Rf(x1) > 0 , R'(x1) = 0 o R,(x1) < 0.

LA DERIVADA

P roblem ^^J

Supongamos que la ecuación de la demanda de cierta mercancía es p 2 + x - 1 6 = 0 . Hallar las funciones del precio, del ingreso total y del ingreso marginal. Trazar las curvas de la demanda, del ingreso to­ tal y del ingreso marginal en el mismo sistema de coordenadas.

Solución: a) La función del precio se halla despejando “P” de la ecuación de la demanda: p2 + x - 1 6 = 0 .

se

elige

el

signo

=>

p2 - 16 - x

=>

p = +Vl6 - x

positivo

p = V l6 - x con 1 6 - x > 0

b)

porque

El ingreso total {IT), es: R(x) = x •P(x)

con 0 < x < 16 El ingreso marginal (IM) , es: R'(x) = (x)V 16- x = V l6 -x IM:

+ +

x ( V l6 - x ) ' X

( 2^/16 - x:)

R '( x ) = - % ~ 3 x - , 0 < x < 16 '

’

2 ^ /1 6 -x

el

p = P(x) precio

es la función del precio.

0 < x < 1 6

R(x) = x V l 6 - x

c)

;

es

positivo,

entonces

Moisés Lázaro C.

4.5. LA FUNCIÓN GANANCIA Definición 3 | La ganancia que obtiene un comerciante es la diferencia entre el ingreso total y el costo total. Si denotamos por S(x) la función ganancia, se tiene: S(x) - R(x) Como: R(x) = xP(x)

=>

C(x)

—

®

S(x) = xP (x)-C (x)

Si en (T) hallamos la primera y segunda derivada obtenemos: S'(x) = R'(x) - C'(x) ................................. 0 S"(x) = R"(x) - C"{x) ..............................0

LA DERIVADA



Analicemos la ecuación ( ? ) : a) S'(x)> 0 R '(x )-C '(x )> 0 H'(x)>C'(x) Por lo tanto, la ganancia es creciente si y sólo si el ingreso marginal es mayor que el costo marginal. b) ¿Para qué valor de “x” (llamado nivel de producción), la utilidad es máxima? S(x) tiene máximo relativo en un número “x” si S'(x) = 0 y S"(x) < 0 . D e ® , si S'(x) = 0 => R '(x )-C '(x ) = 0 => J?'(x) = C'(x) D e ® , si S "(x)< 0 => R "(x )-C "(x )< 0 => R "(x) R definido por f(x) = 2x2 . ¿Es / diferenciable en

x = l? Solución: 1. Hallar /'(1): /'(!)= l¡m /(i+*¡>-/(D. = lim 2(l±iñ=2ílñ = 4

2. Hallar el límite:

lim =

M +V - f W - V ' M h

1¡m

=

2 ( 1 + 2/ i + /i2 ) - / ( 1 ) - > i ( 4 ) _

h -^ 0

h

lim

h->0

2 h i=

h

1¡m

2fl = 0

h —>0

3. Probar que lim 2h = 0: h^O

Dado £ > 0 , 3 8 > 0 tal que \2h - 0| < £ siempre que \h\ < 8

a

he R .

Busquemos 8 en términos de s: Empezaren: \2h\ = 2\h\ Como |h| < S entonces 2\h\ < 2 8 . Hacer 28 = £ Ejemplo Gráfico:

=>

3= Sea la función / : [a,b] gráfico.

> R que aparece en el siguiente

LA DERIVADA

Fijémonos en los puntos A , B, C , D , E y F: - La función es continua en todos los x e [a,b]. - En X j, / es continua, es derivable y /'( x j) > 0. -

En x2 , la función es continua pero no es derivable, es decir ^ f'(x2) .

-

En x3 , / es continua, es derivable y /'(x 3) = 0

-

En x4 , / es continua, es derivable y f'(x4) = 0

-

En x5 , / es continua, es derivable y /'(x 5) < 0

-

En x6 , f e s continua pero no es derivable, es decir ^ f'(x6) .

NOTA:

5.1. 1.

En las “puntas aguja” la función no es derivable, porque las derivadas laterales existen pero son diferentes.

EJEMPLOS

Sea la función / : H

* TR defi-

nidapor /(x) = y x - 2 .

2. Una función está definida del modo siguiente:

¿Es / derivable en x = 2 ? Solución: Por definición de derivada de / en 2, es:

ax + b

si

x >c

(a, b, c constantes) hallar los valores de a y b (en función de c) tales que /'(c) existe. Solución: MÉTODO I i) Si /(x) es derivable en x = c , es decir, si existe f'(c) , entonces:

Este resultado nos indica que NO EXISTE la /'( 2 ) . Por lo tanto, afirmamos que / no es deri­ vable en x = 2 .

/+(c)

(1)....

/-'(c)

lim (E ±bH ££zb)= lim X - C

ii) Si existe f'(c) => f x =c .

es continua en

Moisés Lázaro C. Luego:

3.

lim /(x )= lim f(x) X —» c+

x —^ c

2

ac + b = c2 .................

( ) /(*) =

De (2) obtenemos: +

1*1

, S l| X | > C < -»X > C

V

X < —c

a + bx , si| x | < c< -»-c< x < c

lim ax + b~(ac + b) — ]jj-Q x -» c

Una función / está definida del modo siguiente:

x-c

x -^ c

-

x2 - c 2 x —c

Hallar los valores de a y b (en función de c), tales que existe f' (c).

lim ^L z£l= iim LLz LHl í í ) Solución: lim (a) = lim (x + c) X —>c

i) S i/'(c) existe

x->c

fí(c)= fl{c)

a =c +c a = 2c

- V = 2bc cz

(3)

— lj = b 2c3

Sustituir (3) en (2): (2c)c + b = c

Donde: Si 0 < c

b=c

/+{c) = /'(x ) ]

-£(±)]

X = C

_ _

1

METODO II

i) Si /'(c) existe -----> /+(c) = f!_(c)

/ » - / ' < * ) ] xx2) ] „ e = 2bx J1 X = c = 2 be

Donde: í W

- f M

] , , , - " ] , . , - "

/-( 0 = / ' ( x ) ] , < c = 2 x ] j[, c =2c //) Como / es derivable en x = c , enton­ ces f(x) es continua en x = c luego:

¿7) Como /(x) es derivable en x = c , entonces /(x ) es continua en x = c luego: lim /(x) = lim /(x ) ■J- = a + be2 .............. (a

lim /(x) = lim /(x) I

_

a+

-

- = a -4 c

2c

2 = 2ac - 1

b = -c¿



P"(x) = 6ax + 2b 10 = 2b 5 = b ...................... (3)

x2 sen-^

,

para x * 0

0

,

para x = 0

/(* ) = es diferenciable para todo x e JR, pe­ ro /'(x) no es continua en 0 y que /"(O) existe para x * 0 , pero que /"(O) no existe.

Moisés Lázaro C.

< 5>

6.

LA DERIVADA DE LA COMPOSICIÓN DE DOS FUNCIONES (REGLA DE LA CADENA)

S °/ A—

Si (g °f)(x) = g(f(x)) => (S0/)'(x) = / f(x)-g'(/(x)) = S'(/(x))-/'(x)

Aclaraciones para la Aplicación de la Regla de la Cadena: Io La notación “ g o / ” se lee “/compuesta con g” o “la composición d e / y g” A

A

I-------------- I o aplicación 2 o aplicación

2o La función “ g

o

/ ” existe, si Im(/) n Dom(g) ^ (¡>.

3o La derivada de una composición de dos funciones, es igual al producto de la deri­ vada de la primera aplicación por la derivada de la segunda aplicación. Ejemplos: a) Si (/° g )( x ) = /(g(x)) => (/ ° g)'(x) = g'(x) •/'(g(x)) b) Si ( go ho f)(x ) = g(h(/(x))) => (g o h o f)'(x) = f'(x) ■h’(f(x)) •g’(h{f(x))) 4° Regla práctica para derivar una com p osición de dos o más funciones.Para poder derivar con gran facilidad una composición de dos o más funciones, es mejor' construir un DIAGRAMA DE FLECHAS que representen a las funciones, de modo que queden bien definidas y diferenciadas las variables independientes de las variables dependientes

LA DERIVADA

45

Ejem plo

1.

Sea la función y = sen (4 - 3x2). Hallar —. En ésta función tenemos que y = g(f(x)) dg

g = sen /

df

Donde: Si

^

= eos /

ÉL = - 6 x

/ = 4 -3 x 2 E n ton ces:

=

dx

= [ e o s / ] [ - 6 x ] = [ c o s ( 4 - 3 x 2 )] [ - 6 x ] = - 6 x c o s ( 4 - 3 x 2 )

T eorem c^^J Si g(x) es derivable en x0 y / es derivable en g(x0), entonces j ° g es derivable en x0 y; (/ o g)'(x0) = [/'(g(x0))][g'(x0) ] . Demostración: P aso

1.

Se sabe que ( / o g)(x) = /(g(x)), por definición de composición.

P aso

2.

Por definición de DERIVADA de la fundón { / o g)(x) = f(g(x)) en el punto

(

/

°

9

)

(

x

................ *

En * podemos multiplicar en el numerador y el denominador el término Así tendremos: / ( g ( * 0 + h ) ) - / ( g ( x o ))

g ( x 0 + h) - g ( xq )

hH> o

h

g{x0 + h ) - g { x Q)

lim

f ( 3 ( xO+ h ) ) ~ f ( 8 ( x o ) )

lim

h^, 0 .

g ( * o + /l) - g ( * o )

lim

g ( Xq + h ) - g ( Xq )

h~> o

#(h)

lim k->0

/(g (* o ) + fc) - / ( g( *o) ) k

ñ f f ( x 0))

Se supone que el término g(x0 +h)-g(x0) es diferente de cero cuando h es diferente de cero.

Moisés Lázaro C. Paso 3. El problema fundamental radica, ahora, en demostrar que una función (que la llamaremos {h) del siguiente modo: [ /(8(x0+h))-/(g(xq)) {h) = /'{g(x0)) vw) De éste modo, está garantizado que |^(h) - /'(g(x0))| < £ Lo cual indica que lim x se iee “y es función de / / ’ a “// es función de x”

ii) Luego, la fórmula de la derivada de ésta función compuesta, será:

si iii) Pero SI

y-fi

-3ju + 3

dx

x + 1

/v) Sustituir (///) en (ii):

£ = 3 /-3 dfi _

X —1 LL -----

r

(x + l ) ( l ) - ( x - l ) ( l )

_

(x+ir

2

(x+ir

-24x

= (x + 1)2

(3 )

=

( x + 1)2

Hallar ^ , si z = 3//2 -2// + 5 donde ¡u = 1 / 4 - y 2 , y = j .

Solución: 1) De Las 3 ecuaciones, al relacionarlos, obtenemos el siguiente diagrama de flechas:

Se lee “z es función de /i”

a

“// es función de y”

a

“y es función de x”

LA DERIVADA

1

i

l

1 ho

i

= 2 (3 f i - 1 )

x2 . 1

4) Sustituir 3 en 2: ^ = [ 6 / / - 2 ]

(S ) Si /(x) = eos (sen (eos (1 - x2))), hallar dx . S o lu c ió n :

Paso 1: Antes de derivar analicemos cuantas funciones hay en la composición.

/(x) = cos(sen(cos(l - x 2 )))

En /(x ) existen la composición de 4 funciones que al derivar se harán cua-

Paso 2: Para obtener ^

podemos empezar a derivar de 1 y terminar en 4 o vice­

versa. Si derivo partiendo de 1 para terminar en 4, será: ^ = [—2x] [~ s e n ( l-x 2 )] [c o s (c o s (l-x 2 ))] [-sen(sen(cos(l - x2 )))] = - 2 x s e n ( l - x 2 )c o s (c o s (l-x 2 ))se n (se n (co s(l-x 2 ))) ( 5 ) Si f(x) = tg3 (sen2 (4ax -1- b)). Si a y b son constantes, hallar

.

So lu c ió n :

Paso 1. Analicemos cuántas funciones existen en la composición. Veamos: 4 5

2 3

* /(x) = tg3(sen2 (4ax + b)) En f(x) existen la composición de cinco funciones, que al derivarse apare­ cerán cinco factores.

Moisés Lázaro C. Paso 2. Al derivar partiendo de 5 para terminar en 1, obtenemos: — - [3tg2(sen2(4ax + b))] [sec2(sen2(4ax + b))] [2sen(4ax + b)] [cos(4ax + b)] [4a] dx = 24a eos (4ax + b) sen (4ax + b) sec2 (sen2 (4ax + b)) tg2 (sen2 (4ax + b)) También se puede empezar a derivar por 1 y terminar en 5.

(6 )

Si g(x) = sen(x2 + sen(x2 + senx2)), hallar - j .

Solución: Paso 1: Veamos cuántas funciones existen en la composición: p

p

p

g(x) = sen(x + sen(x + senx ))

Paso 2: Empezaré a derivar de 1 para terminar en 2. Veamos: cíx = [

+sen(x2 +senx2 )) [cos(x2 + sen(x2 + senx2 ))]

= ^2x + -^ (sen (x 2 +senx2 )) [cos(x2 +sen(x2 +senx2 ))] y

4 empezar a derivar por 3 para terminar en 4 = [2x + (2x + 2 x cosx 2 )c o s (x 2 + senx2 )] [cos(x2 + sen(x2 + senx2 ))] = 2[x + (x + x co sx 2 )co s(x 2 +senx2 )] [cos(x2 + sen(x2 +senx2 ))]

(7 )

Si f(x) = sen

, hallar

LA DERIVADA

< E> So lu c ió n :

Él dx

eos

dx sen x

J

eos

3 x 2 sen [

sen

1 - x 3 eos í x ) V sen x

3x

sen x-x

cosx

COS

3 sen

x^ - —

1

-X

3Í

3sen x-xco sx , ------------- ó----------- COS

É l - YZ dx

x3 sen x

COS

*

!f^ — sen x J1

sen x

j

S) Sea g(x) = / ^— -j |, si / es una función diferenciable en todo JR con /'(!) = 2 , determinar g'(0). Solución: I. Tenemos:

g(x) = f I

2. Hagamos:

//(x) =

.'L Entonces:

g(x) = f(ju(x)) ÉL dju

4. Derivar:

g'(x) = f'(ju(x)) ju'(x) donde JU(X) =

dx

(x

x 2 + 2x - 1 ( x +1 ) 2

r>.

Luego: S'(x) = / ' [ ^ y )

x2 + 2x —1 (x + 1)2

+ ir

\

,_ 2

6

Moisés Lázaro C.

. Por lo tanto:

g'(0) = /'|

o +i

+0 - 1 (0 + 1 ) 2

0

0+1

= /'(l)[-l]

,

Pero /'(l) = 2

= 2 [-l] g '(0 ) = - 2

( 9 ) Si /(x) = sen((x + l)2 (x + 2)), hallar Solución: f ( x ) = ((X +1 )2(x + 2))' cos((x + l)2(x + 2)) = [(x + 1)2 (x + 2)' + (x + 2) ((x + 1)2 )' ] cos((x + 1)2(x + 2)) = [(x + 1 )2 ( 1 ) + (x + 2)(2(x + 1 ))] cos((x + 1 ) 2 (x + 2)) = (x + l)(x +1 + 2x + 4)cos((x + l)2(x + 2)) = (x +1) (3x + 5 )cos ((x +1 )2(x + 2)) (10) Si /(x ) = sen (x sen x) + sen (sen x 2) , hallar f'(x) = Solución: f'(x) = (x sen x)' eos (x sen x) + (sen x 2)' sen (sen x 2) = (x eos x + sen x) eos (x sen x) + 2x eos x 2sen (sen x 2) (1

1

)

Si /(x) = (((x2 + x )3 + x )4 + x )5 , hallar:

^ 7

= /'(*)■

Solución: /'(x) = 5(((x2 + x)3 + x)4 + x)4(((x2 + x)3 + x)4 + x)'

(4(( x 2 + x )3 + x )3 (( x 2 + x )3 + x )' + 1)

/'(x) = 5(((x2 +x)3 + x)4 + x )4 (4(( x 2 + x )3 + x )3(3(x 2 + x )2(2x + 1) + 1) + 1)

LA DERIVADA

(l2)

Si

f(x ) =

se n ¿

x

- sen

x

Solución: Haciendo

// = -

x2 + 3

, tendremos:

’■(... ^ x-sen2x J

/ ' = 2 sen//{sen//)' = 2 sen//(eos//)//

(1 )

= //'sen 2 / / ............

-j(2 x )-(x 2 + 3 )j^ Pero:

x - sen~ x y

y ! ■

.

SI

K = ■

^2

x - sen x

x - sen x (x + sen2 v){2x) - (x2 + 3) (1 + 2seni/ eos

M'-

Además

(x + sen2 v) 2

1/

=

y y f)

(2 )

(x - sen2 x) (2x) - x 2 (l - 2senx cosx) ( x -s e n 2 x ) 2

r _ 2 x 2 - 2x sen2 x - x 2 + x 2 sen2x ( x -s e n 2 x)2 x 2 - 2x sen2 x + x 2 sen2x

f y

=

(x - sen2 x )2

Sustituir (3) en (2):

(3 )

Moisés Lázaro C. Sustituir (4) en (1):

2x

m =

@

1+

(x + sen2 v) - (x2 + 3)

f

- 2x sen^ x + 9

ív

(x -

sen

9

sen

2x

x)

\ 0 \sen2v )

(x + sen2 1/)2

sen 2 (i

Hallar / ' en términos de g ’ , si f{x) = g(x + g(a)).

Solución: Haciendo x + g(a) = ¿u(x), tenemos: f{x) = g(¿u(x)) entonces:

f'(x) = [g '(//U )] [ju'(x)]

= [fl'(//U))][ 1 + 0] = 3 '(x + g(a)) (l4 )

Si: f(x) = g(xg(a)), hallar / ' en términos de g ' .

Solución: Hagamos ju(x) = x g {a ), entonces tendremos: /(x) = g(//(x)) Al derivar /(x) con respecto a x obtenemos: Como /u(x) = xg{a) => ju'(x) = g(a)

/'(x) = g'{/u{x)) •ju'(x).

..................................................

Sustituir (2) en (1): f'(x) = g'(xg(a)) g(a)

@

Hallar / ' en términos de g ' , Si f(x) = g(x + g (x )).

Solución:

/ ' M = (s'(x + g(x))) (x + g(x))' = (g'(x + g(x)))

(1

+ g ’(x)) g ’(x + g(x))

( 1)

(2 )

LA DERIVADA

[55

(ló ) Si: /(x + 3) - g(x2) , hallar g'( 4 ) sabiendo además que /'(5) = 8 . Solución: Derivando en la ecuación /(x + 3) = g(x2) obtenemos: [f'(x + 3)] [x + 3]' = [g'{x2)] [x2 ]' [/'(x + 3)][l + 0] = [g'(x2)][2x] ..........................(1 )

f'{x + 3) = 2x g ’(x2) Como: /'(5) = 8

=>

x +3 =5 x = 2 .......................... (2 )

Sustituir (2) en (1 ): /'( 5 ) = 2(2) g'(4) 8 = 4g'(4)

(Í7) Sea:

/ C o J * 2* " * 0

=>

’ ,

g ’(4) = 2

x

, 0

Supongamos también que h y k son dos funciones, tales que: h'(x) = sen2 (sen(x + 1 ))

k'(x)=f(x + 1 )

h(0) = 3

k(0)=0

Hallar:

(/) (/ o h)(0) ; (//) (le o / ) ’ , (///) a ’(x2) , donde a(x) = h(x2)

Solución de til: 1. Por definición de la derivada de una “composición de dos funciones” tenemos(/o h )'( 0 ) = /'(h( 0 ))-h'( 0 ).

2. Por hipótesis, se tiene

Si

h'(x) = sen2{sen (x + 1))

=>

h'{0) = sen2(senl)

3. Reemplazar (2) en (1): (/ o h)'(0) = /'(3) •sen2(senl)

Moisés Lázaro C.

— „ _ . .. 4. De la ecuación:

,, . x sen /(x) = < x [ 0

,

x/

,

x =0

0

[ x 2 í ( c o s - ) ( —L'j\ + 2 xsen— , / (x) = j \' x '\ x ) J x [ 0 ,

obtenemos

| -e o s —+ 2 xsen— , f'(x) = \ ( 0 ,

* 0

x =0

* 0

x =0

5

. Si: x = 3

6

. Sustituir (5) en (3): (/o h )’ (0) = ^-cos-| + 6 sen -ljsen 2 (senl)

@

=>

x

x

/'(3) = -c o s -j + 6 sen-|

Si: y = /(//) y ju = g ( x ) , demostrar: d3y _ dy_ md3ju d x 2 _ dM

dx3

o d2y # d2ju

djj,

d //2 * d x 2 * dx

d3y # / d/¿ d //3

\

j

Demostración: 1

. Si y = /(//) A M = S(x ) ? entonces el diagrama de flecha es: y — > fi ——>x Entonces: ^ =

2. En el anterior problema teníamos:

) dx2

3. Derivar con respecto a x:

J - ^ j =

d/r

dx2

dM2 \ d x !

j +

LA DERIVADA

D esarrollo de:

j

C o m o (y es f u n d ó n d e

a

ju )

{ ju

es fu n c ió n d e x) o sea : y ------ >

¡u

------- >

x

T a m b ién se tiene:

( ^

es fu n c ió n d e

D e la c a d e n a :

O bten em os* vjuienemus.

^

------ >

-4 - ( É L )

dx\dM)

ju )

=

L Í d//\

j

dpi

dx

J

¿ 7 ^ (■3 7 )

=

— "

' ~ d x { ^ )

OÉJL c^2/j Cl x

•

dx2

- f í -^ 4

dx y dM2

Como (~|- es función de //) De ia cadena;

y ------- > x

d/i

2

Por d e riv a d a d e p o te n c ia se tiene:

D esarrollo de:

>

É L ) . ÉJ L d M J dx

d2y

dx ^ y dx

es fu n c ió n d e x ) o sea :

»x

ju

_

D esarrollo de

{ju

a

■-— > ¡ i

a

(//es función de x) o sea: >x

>p

Moisés Lázaro C. 7.

DERIVACION POR MEDIO DE FORMULAS

Prescindiendo de la diferenciabilidad, derivar usando tablas: E

¿ w -o '--------------------- Derivada de una constante con

Ejemplos*

respecto a x es igual a cero.

1. Si y = 2Ln3 + e ~ 2

=>

^ - = 0 , s iy = /(x)

ES UN NUMERO REAL (CONSTANTE)

2.

£ ( -3 /2 ) = 0

3. £ (V 2 ) = 0

4.

£ (5 ) =0

5. Si: f(t) = 2 S - 5 => & = 0 , etc.

|2 | ■£ (X ) = 1

La derivada de la función identidad es igual a la unidad (La derivada de una variable con

' t______ Ejemplos:

■respecto a sí misma es igual a la unidad)

1. 4ayf = l

2. £dt = 1

3. £dz = 1

5.

6. £d xl1 = 1

7. ^a x 2 = 1

^ =1

de

-r ~ (x n ) = n x "

4.

dp

etc.

La derivada de la potencia de la función identidad es igual a: bajar la potencia y

" 1

|

I------------------------ disminuir la potencia una unidad.

Ejemplos: 1. £ ( x 5 ) = 5 - x 5 _ 1 = 5 x 4

2. £ ( x 2/ 3 ) = -|x2/ 3 - 1 = | x -1^3 -

3.

£ (x

4. £ ( x

K

di

“3

1

) = - 3 •x ~ 3 “ 1 = -3 x ~ 4 = —\ \_

d /i - 1 7 /3 \ _

dí( ‘ 5 3 V ? ) “ ^ (

)_ _ T

- _ 1 Z *“ 2 0/3 _ 3 1 -

17 * -1 7 /3 - 1

17 3 t 63J t 2

" 5 /3 )=

—| •x - 5/ 3 " 1 =_ 53

2

33,£ -8 /3 5

3x2^

LA DERIVADA

d *

A I------------constante

Ejemplos: 1. ^ ■ (3x2 ) = 3.2x 2 ~ 1 = 6 x

2- ¿ ( K ° ) = | - W x ‘ " - ‘ = 4 * ’

4-

= -¿ r

5- i ( * ) - í í ( y ' I )= í< -ij> - 1 - 1 ) = í ( - y ' 2) - ^ 6

7.

JL Í

L \ - _ l j L f r 3 / 2 i - - i . - 3 . - 3 / 2 - 1 _ 3 * - 5 /2 _

dtl

Si:

W? /

4dt

y = ! + 2 *

Solución:

x2

4

+ 3 x3

2

r

“

8

*

H a lla r^ ’

dx

Antes de derivar, expresar cada término como potencia: y = x_1 + 2 x“ 2 + 3x“ 3 =>

cHc = ~x ~2 + 2 (-2 x -3 ) + 3 (~3x - 4 ) L x2

8.

Si:

X3

X4 •

y = -|--|x + x2 -0 .6 x 4 =>

3

--^572

|£ = 0 - | { l ) + 2 x - 0 .6 ( 4 x 3 ) -§ + 2 x -2 .4 x 3

Moisés Lázaro C. 9. Si:

y = atm + b t m+ n - 3 f 2 / 3 +

a2 + b2

^ = amtm- 1 + b(m + n) tm+ n~1 - 2 r 1/3 +

6a tb

A continuación se dan cuatro fórmulas de derivación, que a veces, el principiante se equivoca y aplica una fórmula por otra y en consecuencia el resultado es adverso en el proceso de aprendizaje. Para ello describiré en conjunto estas cuatro fórmulas que son completamente diferentes ya que la regla de derivación es aplicada a cuatro funciones, también, completamente diferente. Dichas funciones son:

-

La función POTENCIACOMPUESTA

Ej.: y = (3x2 - 1)5

y * lM x )r

- La fundón EXPONENCIAL

y = a/,(x)

-

La fundón EXPONENCIAL SIMPLE

y = e Mx)

-

La fundón EXPONENCIAL COMPUESTA

y = IM*)]U{X) , Ej.: y ^ l - x 2 ) ^ 1

Ej.: y = e -x2 + 2

Cuando se desea derivar cada uno de las funciones mencionadas, tiene su propio Algoritmo (su propia regla o fórmula de derivación). Dichas fórmulas de derivación son la 4, 5, 6 , y 7, respectivamente. u = u(x) £ ( u " ) = n-u,n - 1 u' donde du u = dx ■La derivada con respecto a x , de la función POTENCIA, es igual a “bajar la potencia, restar la potencia una unidad y derivar la base” .

Ejemplos: 1. Si:

y = /(x ),

donde

y = (3 + 2x x3 [sD-r^r2 ^ = 3 -(3 + 2x 2

)3 " 1

2\> (3 + 2xz )

= 3 (3 + 2 x )2 (0 + 4x) = 12x(3 + 2 x ) 2 2. Si:

y = (2b + 3af )2 ^ = 2(2b + 3 a t f - 1 (2b + 3at)' - 2(2b + 3at) (0 + 3a(l)) = 6a(2b + 3at)

LA DERIVADA

3. Si:

y = (a2 / 3 - x =>

^

2 / 3 ) 2/ 3

= | (a 2 / 3 _ x 2 / 3 )2/ 3 - l (a2 / 3 _ x 2 / 3 r

( O - f x 2/3” 1)

-^ n /o ^ -x

^ 3

í ax + b \ ^

4. Si:

y = ( q^ -~ 1 , a, b, c son constantes.

« 3 ( = ± * ) 2 (l)') - 3 ( ^ ) 2 (l( a + ° ) ) _ 3a ^ ax + b j 2

5. Si:

y = ^/o + hx3 = (a + bx3

) 1/3

^ ^ j i a + bx3 )1/ 3 - 1 (ct + bx3 y

-=>

= { ( a + bx3 r 2 / 3 (0 + 3bx2 ) 6x2 3V ( 0 + bx3 ) 2

6

. Si: / ( x ) = ---------

5-

6 ( 1 - 3cosx) ^

Antes de derivar, expresar/(x) como potencia:

/ ( x ) = —^ ( l - 3 c o s x ) - 2 =c> ■^• = —l [ - 2 ( l - 3 c o s x )- 3 ( l - 3 c o s x ) '] = l ( l - 3 c o s x )- 3 ( 0 - 3 ( - s e n x ) ) =

senx (l-3 c o s x )3

Moisés Lázaro C. 7.

Si: y = —Ln2x dy _ i [2L nx][L nx]' = i [ 2 L n x ] [ i ] = ¿ L n x 4

dx

8

i1 —, hallar

. Sea: y = — h;— 1

y = -^cos =>

>sx ’

O x -(co s x )

•Antes de derivar, convertir a potencia: 1

1

-j- = 3 - [-3 c o s ~ 4 x] [cosx]' + l[c o s x ] ~ 2 [cosxr = -c o s

4

x [-s e n x ]+ cos -2¿ x [-sen x ]

sen x

9.

dx

sen x

s e nn x r 1 2 2 eos x eos x

Sea: y = >/sen2 x + —

i

1

—

1 - eos

sen x 2 eos x

o

x

2 , eos x

. Antes de derivar, expresar como potencia:

eo s 3 X

y = sen2/ 3 x + eos

3

x

= -|sen2/ 3 - 1 x (s e n x )'-3 c o s - 4 x (cosx )' =|-sen

!/3

x (c o s x )-3 c o s

2 eos x

4

x í-s e n x ) = —^ =

3

3

10 . Sea: y =

sen x

"I

3 sen x

á

, hallar ^ . Antes de derivar, expresar como potencia.

V = 1 1 + [1 + X1 / 3 ] 1 / 3 ]1 / 3 => ■^ = ¿ [ l + [l + x 1 / 3 ] 1 / 3 ) 1 / 3 “

1 [1

+ tl + x 1/ 3 ]173]'

= j [ i + [ i + x 1/3 ] 1/3 r 2/3 [ o + ¿ t i + x 1/3 r 2/3 [ i x - 2/ 3 ] 1

con x &0 , x ^ - 1 , x *

1

-8

LA DERIVADA

Si:

y = ^ L n 3 (x + V x 2 + a2 ) dy dx

= -y [ 3 •Ln2(x + Vx 2 + a2 ) ]

Ln( x + Vx 2 + a2 ) ( x+y[ ^ 7 7 j

1

+ -

->/x (>/* ^/x2 + a2 ( x + y jx 2 + a 2 )

1

_dy

= = L n 2 {x + y[.x 2 + a2

dx

Si:

V-'

y =^arctg x - (are senx )3 = -^(arctgx) =

(a rctgx)'-3 (aresenx)2 (aresenx)'

ly/2

(arctg) - 1/2 1

- 3 (aresenx)

+x 1

14- X dy dx

3 (a r e s e n x 2 ( 1 + x 2 ) y]a r c t g x

yjl-x2

Moisés Lázaro C. 13.

Si:

y=—

Como: =>

y =-^ (x -3 ¿

Si:

)~4

2(x - 3 ) 2

-^ (x -3

-| (x -3

)"3

)“2

=- f [ - 4 ( x - 3 ) - 5 ] - f [-3 (x -3 )-4 ] -l[-2 (x -2 )-3] -

14.

10 3 { x - 3 )3

15

4 ( x - 3 )4

15

_1ÍL

(x -3 )5

(x -3 )4

x + 4 x -6 (x -3 )3

(x -3 )5

y = log3 x 2 - ^ L n 5 ( 2 x - l ) + -|log2 ( l - x

2

)

^ = 31og2 x2[logx2] '- Í 5 L n 4(2 x -l)[ L n ( 2 x - l)]'+ | 2 1 o g (l-x 2 )[lo g (l-x 2 )]' = 31og2 x„2

(X2 )'

= 31og2 x 2 ^ flo g e

+ 3 1og(l-x'

1 -x 2

loge

-± L n 4 (2x-l)|^ 2 ^ rx ] + 3 1 o g (l-x 2 \ - 2 x loge 1 -x 2

_ ^6 loge •log2 x 2 - _ § _ L n Mensaje:

(2 x -l)' 2x - 1

loge -Í L n 4 ( 2 x - l )

4

(2x -

1

)

log(l - x2 )

Trate de hacer lo propio en cada derivada similar que se presenta.

£ ( a u) = au -u '-L n a

a>° J u=udix) a^l 1 u' - dx

-tiene 3 tiempos “LA derivada de una exponencial; es igual a la misma exponencial, por la derivada del exponente, por el logaritmo natural de la base”

Ejemplos: 1.

Si: y = 2X- 2"x + 32x - 2(1 - 5" x ) 5 dy dx

= 2X(x )'L n 2 -2 “ x (-x )'L n 2 + 3 2 x ( 2 x ) 'L n 3 - 2 [ 5 ( l - 5 “x ) 5 “ 1 ( l - 5 - JC)'] = 2XL n 2 -2 ~ x ( - 1 ) Ln2 + 3 2 x ( 2 ) L n 3 -2 [ 5 ( l - 5

_ x )4

( 0 -5 ~ x (|c)'Ln5)]

= 2X Ln2 + 2_xLn2 + (2Ln3) 32x - 1 0 L n 5 (l-5 _x ) 4 5_x

LA DERIVADA

,

2. Si: y = - Í 3 x + 2 x+3 - 2 ~ x - 5 3~2x => ^ = -

3

[3x(x)'Ln3] + 2x + 2 (x + 2 )'L n 2 -2 _x2 ( - x 2 )'L n 2 -5 3 ~2 x(3 -2 x )' Ln5

= - ¿ [ 3 xLn3] + 2x + 2 Ln2 - 2~ x 2 (- 2 x ) Ln2 - 53 _ 2 x(-2 ) Ln5 = - ^ 3 X + 2X + 2 Ln2 + (2Ln2) x2 “ x 2 + (2Ln5) 53_2x

3. Si:

y =( i ) 'X

, hallar - g

” 41

= 2 - l - 2-4l

Solución:

Antes de derivar definir el valor absoluto: 2~(x 2 -4 ¡

v=i

'

Si: x 2

-

4

>

0

2 2X

[ 24“

y=

~4

,

. . Ahora derivar:

dv

Si: x 2 - 4 < 0

S

^ ( eU) = eU‘ u'

Fjemplos: 1. Si: =?

[2

í 2 4 “ x2 ( 0 - 2 x )L n 2 =\ 2 [ 2 X ~ 4 ( 2 x - 0 ) Ln2

d y _ j ( - 2 Ln2 ) x 2 4_x dx I v2 A [ (2 L n2)x2

x2

, Si: x

>

2

v

x < -2

2 X “ 4

,x ,

, S i:- 2 < x < 2

- 2 2

x

v

> 2

v

x

< - 2

í u-u(x) > donde-j , du

tiene 2 tiem pos: “ la derivada d e una EXPONENCIAL SIMPLE; es igual a la m ism a exponen cial, p o r la derivada del ex pon en te.

y = ex + ± e 2x - $ e ~ x ^ = e- ( x ) ' + l e 2 x ( 2 x ) ' - f e - x2 (- x 2 )' = ex (l) + ¿ e 2 x ( 2 ) - | e - x2 ( - 2 x) 2

- e x + ^ e 2x + 3xe~x

gg x

Moisés Lázaro C. 2

2. Si: y = q + c2 e~x + ^ + x . q , c 2 son constantes.

7

'd = 0 + c 2 e x ( - l ) + -^--2 x + l

=>

= - c 2 e~x + x + 3. Si:

1

y = q + c 2 e~x + c 3 e 3x

=>

+

x (—1 ) "*"c3 e3* (3)

= —c 2 e_x + 3c 3 e3x

4. Si:

y = q + c 2 e 2x + c3xe 2x I

=>

£ = 0 + c2 . e

es producto

( - 2 ) + c3 [(xr e

+ x(e“ x )']

= - 2 c2 e_2x + c 3 [e_2x - x e “ x ]

5.

Si: f ( x ) = e 2 +x ; si denotamos ~ t = f'(x). =>

/'(x) = e _^ + x ( - ¿ + x )' .2

= e “^ + x ( - 1 . 2 x + l ) = ( l - x ) e “*

6

. Sea: y = x - e ^

+x

, hallar: ^

Solución: f x - e _x pero: H 7.

I x-e ,

,

si: , .si:

x

í l + e“ x

> 0

x 0

,

si:.

x / 3 - x >/ 3 ( - 2 x )

x^/ 3

dy dx

1-x2

1 ___

^3

/3

1

( 1 - x 2 )2

(í-x^r +3x¿

r*

1

+

.

¿y

i yfab

l +( e ^ ) 2

y = arcctg ( 2 x)

y = arcctg

m 'fb

1r i-x ]“2 2L1+x J

(l + x ) ( - l ) - ( l - x ) ( l )

(1 + x )2

_

(l + x ) + ( l - x)

1 + x

y = x 3 •arcctgx 3 = (x 3 )' •arcctgx 3 + x 3 (arcctgx3)' = 3x 2 •are ctg x 3 + x 3

j

- - 2x26

j

= 3x2arc ctg x 3

_

3x l + xb

-¿ (a r c s e c /r )= -X — //>/// - 1 y = are sec x

=>

y = are sec ( l - 2 x)

dy _ *

1

dy dx

( l - 2 x)' ( 1 - 2 x ) V ( 1 - 2 x )2 - 1

-2 ( 1 - 2 x ) a/ ( 1 - 2 x )2 - 1

3 x -1

i

y = -|arc sec—2 — s ^2 . dx

1 2

.

_ l

___ 3 3x -1

j2 _ l

( 3 x _ 1 ) y¡ 9 x 2 - 6 x - 3

1

2

1- x

Moisés Lázaro C. 23

1

2

-^(árcese//) = ------ ÉL - .

y = are ese x

.

dx

y = are ese(3 - 5x)

.

dy dx

(3 -

5x)

1

-5 i/(3 -

xJxz -l

=>

=■

(3 - 5x)'

(3-5*)V(3-5x)2-1 5_____________

5x)2 - l

(3-5x)>/25x2-30x + í

/ 2 - 3x \

y = _ i arccS(H _ _ J dy = _

1

dx

6

(2-3x\

| 2~3x

i 2 -3x)

j j l ^ 2-3x j 2

~

( 3 x - 2 ) ^ 9 x 2 -1 2 x

EJERCICIOS (l)

/(x) = x(arcsenx )2 =>

i

2

x + 2 > / l - x 2 -aresenx

= 1 •(aresenx )2 + x •2 (aresenx) (arcsenx ) ' - 2 + 2 [ ( V l-x 2V *aresenx+ >/ 1 - x

= (aresen x )2 + 2 x (aresen x ’ r

_

1 ‘

2

•(aresenx)'] -2 x

i - 2 +2 . -

2

-

2

.aresenx +

2 d l-x ‘

x(aresenx) ,

1

-

+ 2

= (aresenx )2

V T -x 2

®

/(x) = Ln

^/l + X -y]l~X

y/l + X + ^ l - X

L -x

2arcts / rL+x

= Ln[-\/l + x - V l - x ] - L n [ V l + x + Vi - x ] + 2 a r c tg ^ y ^

LA DERIVADA

2^1 i—— i yjl + X - ^ l - X

2^1 + x

x

2< Jl + x i

y l + X

2 < J l- x i +y¡l-X

®

/w = K

X

+ X + 1

x

- x+1

2

( 0 r ^ a/ 1 - X 2

1+ x

= T = ^ = r i + ii= -7 = i V r ? Lx J VI ^



x > / 1 - X2

i ÍJIk x y 1 -x

X

V 3 ( arctgT T +arctg7 r

= 4-[Ln(x 2 + x + l ) - L n ( x 2 - x + l)] +

arctg 2 xfí . 1 + arctg 2x

2^3 2x + i y

f t =l dx

4

(x2 + x + l)’

o

/,(xH

i1

, x

< 0

7.3.2 NIVEL 2 En cada uno de los siguientes problemas, elegir la respuesta correcta. 11.

12

.

/_2 h+2 _2 lim - — r - ^ - = b-> o h

14.

;

A) 1

B) 0

C) 2

D) e 2

E) 2e 2

Si /(x) = |x + 3|, luego /'(x) es continua ¿para qué valores de x? A) x < 3

13.

0

:

B) x > 3

C) x * 3

Si /(x) = LnVcos2x

,

A) Ln Veosxsenx

B) -ta n 2 x

D) x ^ -3

E) Todo x

n ___ C) V = =

D) ^

/'(x) = : yjcos2x

¿Cuál es la tangente del ángulo en el cual la curva y = -1 A) i

B)

C) 1

D) - 4

2

E) N.A

corta al eje x? E) 4

______________________________ Moisés Lázaro C. 15.

16.

Si y -- e xx e

, entonces ^ = ?

A) e V ( x e - 1 + l)

B) exxe ( l + f )

D) xex

E) x ^ x 6 '

/(x) = cot(ísen(t))

,

C) e xx e~1

1

/'(£)= : n

o

A) (tcost + sení)csc (tsent)

B) -(tsent + cosí)csc (ísení)

o

C) 17.

o

-(sen í + £cosí)csc (ísení)

E) N.A.

D) -(s e n í-íc o s t )c s c (ísení)

y = 2sen2x + sen2x . Encontrar y '. A) 2(sen2x + cos2x)

B) 4 senx cosx + 2cosx

C) 2(sen2x + cosx)

D) 2(2sen2x + cos2x)

18.

E] N.A.

/(x) = arcsenVl - 9 x 2 . Encontrar /'(x) si x > 0 A)

B) -j= M =

~2

y j l - 9x2

°)

C) , ^ x

y¡l~9x2

7 = ^

■

4 l ~ 9x

e)

y 1 - 9x

19.

Si /(x) = e * . ¿Cuáles son iguales a /'(1) ? t

i*

I.

et - e

TT

lim ,

A) I 20.

21.

ex + h - e

i.

II. lim —— ¡—

Í -+ 1 Í _ 1

t -> 1

B) II

Si y = eos2 x + sen2x

TTT

C) Todas pero no I

x -> 0

, & =? B) cos 2 x - s e n 2x

D) sen2 x - c o s 2 x

E) 0

c2 + X2

x

D) Todas menos II

A) 2senx + 2cosx

Si: y = be

v e x +1 - e

III. lim -------

Í_1

dy_ _ qy

C) sen2x

9

dx

A) bec2 2x

B) 2 x b e x2

D) 2bxe°2+x2

E) be°2+x2

C) b(cz + x 2 )ec2+x¿

E) N A

__________________ LA DERIVADA

22.

Si: S = tf , encontrar A) s(2Lní + 1)

23.

B) 2íLnt + l

D)

E) N.A.

¿ (x V V ? A) 2 x e x 2

B)

D) 3 x e x + x 4 e x 24.

C) sí(2Lnt + l)

C) 4 x 2 e x 2

E) 2x 3 ex + 2 x e x

_ 1

Si: /(x ) = 5|2x-1| - 2|3x2 - 4 | , entonces /'(-1 ) = : A) 2

B) 0

C)22

D)-22

E) -2

25.

Si f(x) = x 2 , h(x) = f ( l + g(x)), g ’(D = 1 y h'd) = 1, luego g(l) = :

26.

Si f'(x) = xf( x) para todo x e IR y / ( —2) = 3 , luego /"(-2 ) = : A) -1 8

27.

B) -1

C)1

D)12

E) 15

Si / es una función finitamente diferenciable en (c ,/(c )), luego la intersección con el eje Y de la recta tangente al gráfico de / en (c,/(c)) es:

28.

A) /'(c)

B) f ( c ) -f '( c )

D)

E) no necesariamente algunos de A, B, C, D

c(/(c) - /'(c))

C) / ( c ) - c f ( c )

Una partícula se mueve a lo largo del eje X tal que para el tiempo í > 0 la j.3

o

posición de la partícula es dado por x(t) = -y + ¿ - 2 t - 2 . ¿En qué tiempo será la aceleración y la velocidad de la partícula el mismo? A) i = 0 0 29.

lim 2x + b + b2 = : b-> 0

30.

B) t = l A) 2

C) t = 2 B) x

b

D) 2^3 C) d(x2)

E) t = 6

D) - f ( x 2 )

E) 1

dx

Sea /(x) = g(h(x)) donde g y h tienen segunda derivada ¿cuál es /"(x )? A) g"[h(x)] D)

B) g"[h(x)]h’(x)

g"[h(x)W(x) + g'[h(x)]h”(x)

C) g"[h(x)][h'(x)f E) g"[h(x)][h'(x)]2 + g'[h(x)]h"(x)

Moisés Lázaro C. 31.

Si la derivada de una función /(x) existe en x = a * 0 y es denotado por f'(a) , luego A) lim

es siempre igual a: / 2 ( x ) - / 2 (a)

2

x -a

x->a

(x-a)

E) lim / (x) X-*Q

,

si

x a

D,

32.

C) lim

B) lim

2

x-»a

D) 2x 2 - x 4

E) 3x 2 - 2x 3

Si la curva y = /(x) es tangente a la recta y = 3x + 5 en el punto (1,8) y si o

/" ( 1) = 4 entonces ¿cuál es la función cuadrática de f(x) = ax + bx + c ?

34.

A) 4 x 2 + 3 x + l

B) 4x - 5 x + 12

D) 2x 2 - x + 4

E) 2 x 2 - x + 7

Si

lim

+

h-y 0

A) B) C) D) E) 35.

2h

C) 4x - 5 x + 9

x>= £ ; entonces

L =0 /'(1) necesariamente existe pero no puede ser igual a L. Si / es continua en S = 1, /'(l) existe y es igual a L. /'(1) no existe, pero si existe es igual a L. NA

Si y = |x3 - x 2 |, y' = ?

B) (3*2 -2 ^ )lfU !

A) 3 x 2 - 2 x C) (3x 2 - 2 x ) |X3H

x 221

xá - x z

D) |3x2 - 2 x | t + i í l

E) N A

o

c .

s

CURVAS PLANAS, ECUACIONES PARAMETRICAS 1.

INTRODUCCIÓN

En este capítulo estudiaremos las ecuaciones paramétricas de la recta, de la circunfe­ rencia, de la elipse, de la hipérbola, y otras curvas. Pero antes, hagamos un breve repaso de las ecuaciones cartesianas. p

En el plano Euclidiano R , representado geométricamente por dos ejes rectangulares: Eje X y Eje Y; se estudian la recta, la circunferencia, la elipse, la hipérbola y otras cur­ vas donde cada una de ellas se expresan por una sola ecuación F(x,y) = 0 con dos variables “x” e “y” llamadas ecuaciones cartesianas o ecuaciones rectangulares. Así tenemos: £: Ax + By + C = 0

,

es la ecuación cartesiana de la recta.

C\ x 2 + y 2 = a2

,

es la ecuación cartesiana de la circunferencia de centro en el origen y radio “a” .

,

es la ecuación cartesiana de la elipse de centro en el ori­

£\

2

+

y2

=1

gen y semiejes “a” y “ib” .

es la ecuación cartesiana de la hipérbola de centro en el origen y semiejes “a” y “b”.

— 103 —

Moisés Lázaro C. Ahora nos interesa expresar las variables “x” e “y” que son las coordenadas de un punto P(x,y) pertenecientes a una curva C, en términos de una sola variable “? que la llamaremos parámetro. Al proceso de “convertir” las variables “x”, “y” (y /? x) en dos ecuaciones paramétricas se llama parametrizar.

2.

PARAMETRIZACION, ECUACIONES PARAMETRICAS

1) Parametrizar la recta £ : Ax + By + C = 0 La parametrización de la recta £, es: í

£ :\

x = X n + Cli t y = y0 +a2 t

t e IR

donde (x 0 ,yo) es un punto cualquiera de la recta y el vector (ai,a2) se obtiene restando dos puntos cualesquiera de £. (a1 ,a2) = (x1 >x 2 ) - ( x 0 ,y0) I

Vector dirección de la recta.

Ejemplo: Parametrizar la recta £ : 2x - 3y -

6

=0

Solución:

Algunos puntos de £ son:

Pl

X

Po -3

P2

0

6

y

-4

- 2

2

El vector dirección es a = P1 - P 0 =( 3,2)

CURVAS PLANAS, ECUACIONES PARAMÉTRICAS

a)

Una parametrización de £, es:

£: <

x = -3 + 31

te R

y=-4+2t

b)

otra parametrización de £ £ es:

£

f x = 0 + 6t i [ y = -2 + 4 1

teR

Como vemos, la recta tiene una única ecuación rectangular, pero varias ecuaciones paramétricas. 2) Parametrizar la circunferencia C\ x 2 + y2 = a2 Solución: Si 6 es el ángulo que se forma entre OX y OP , mo­ viéndose OP en sentido antihorario, se obtiene las coordenadas de P e G en términos de 0. „ . x = a •eos 6 C\ \ y = a •sen#

0 < 0

2 c o s í-2 c o s 2 í = 0(2).

•(2 )

De (1):

De (2):

sen í + 2sen í •eos í = 0

c o s í-[2 c o s 2 í - l ] = 0

sen í(l + 2cosí) = 0

2cos2 í - c o s í - 1 = 0

sen t = 0

v V

Las derivadas \

eos t = —g-

(2cosí + 1) (co sí- 1 ) = 0

, _ 2tt 4n l~ 3 ’ 3

cosí = - j

v

eos í = 1

f _ 2n 4;r 1~ 3 ’ 3

v

í = 0,2;r

se anulan simultáneamente en í = 0 , 4^ , 4^.

U'(í)

3° Los puntos no-regulares (Punta-aguja), son:

r(0) = (3a,0)

3

3

CURVAS PLANAS, ECUACIONES PARAMÉTRICAS

9.

DERIVADA PARAMÉTRICA

Dadas las ecuaciones paramétricas de una curva. C:

t e [a, ¡$\, deseamos saber en qué momento existe la función y = /(x) )

tal que Dxy =

y

.

Este problema se resuelve, en la siguiente proposición: Proposición:

Sean: x = $ t) y y = y/{t) dos funciones derivables en el intervalo y supongamos que x -$ ( t ) tiene inversa í = ^* (x) derivable

Si en cada punto t e

j

y

I

se tiene

=fi 0 , entonces las ecuaciones paramétricas

j Aplican que existe una función f(x)

derivable tal que y = f(x)

Demostración:

/

1) Como y = (£)

£ = ^ * ( x ) es derivable y

a

> t

> x

Entonces por la regla de la cadena, tenemos: Dxy = Dty •Dxt 2)

(1*)

Como existe t = * (x) derivable en (a,J3) y

± 0 , entonces:

l _ l D, ‘ = D* r - i DhJ DxV 3)

(2 *)

Sustituir (2*) en (1*) dy Dxy = \

D*x

.

También se denota por

— = dx Él dt

Derivada de Y con respecto a X.

si x = #(t) , y =

Dx = D x* derivada de la inversa 0*

_________________________ =rtf’ ^

10.

= x____________________

TANGENTES

Dada una curva C, cuyas ecuaciones paramétricas son:

e:\

r x=cp{t) , x tz[a ,f3 ]

Deseamos hallar la ecuación de una recta tangente en un punto t0 e [a ,0 ] . Como en toda recta tangente el problema es hallar su respectiva pendiente y dicha pendiente es la derivada de “y respecto de x en t0 ” , es decir: DxV)t0 =

= pendiente de la recta tangente en t0 .

Desde el momento que “aparece” derivadas, el problema es garantizar la EXISTENCIA DE LA DERIVADA en t0 . Esto lo confirmaremos en la siguiente proposición.

Proposición:

La pendiente de una recta £ r , que es tangente a la curva e :|jc = x{t) t e ia p] en un punto te[a>j3] existe, si x'(t) e y'{í son continuas y [x'(i)]2 +{y'(f)]2 * 0 .

Según la proposición podemos deducir, algunas consecuencias que ilustramos en lo siguientes gráficos:

CURVAS PLANAS, ECUACIONES PARAMÉTRICAS

Una sola tangente

Dos tangentes en ^ y t2

En este caso existe y es

h * h

D xy ]

* Dxy ]Í2

En t0 no existe tangente. En este caso se cumple si­ multáneamente

única Dxy]t0 .

x ,(t0 ) = y'(t0 ) = 0

y i

Tangente horizontal En este caso se cumple.

Tangente vertical. En este caso se cumple:

Dty = 0 en t0

Dtx = 0 en t0

y 11.

GRÁFICA DE UNA CURVA EN COORDENADAS PARAMÉTRICAS

Para graficar una curva 6 cuyos ecuaciones paramétricas son: í x = x(t)

C:\ v = v(t)i*\ l

ís D *^

se sugiere seguir los siguientes pasos: 1.

In t e r s e c c ió n

a)

c o n l o s ejes

Con el eie X : Se resuelve y(£) = 0 Si existen soluciones

, evaluar x(t¡)

________

Moisés Lázaro C.

b) Con el eje Y: Se resuelve x(f) = 0 Si existen soluciones t¡ , evaluar y {t¡) 2 . S im e tr ía s

a) Respecto al eje X : Si V ti e Dxny ; 3t2 e D xny tal que: (x(t2) , y(f2)) = (x(tx) , -yf^ )) Un caso particular es cuando ocurre: Si x(t) es PAR y y(f) IMPAR, la gráfica es simétrica respecto al eje X. b) Respecto al eje Y: Si V ^ e Dxnv ; 3 t2 e Dxriy tal que: (x(t2) , y(t2)) = ( - x ^ ) , y ^ )) Un caso particular es, si x(f) es respecto al eje Y.

IMPAR

y y(í) es

PAR,

la gráfica resulta simétrica

3 . Ta n g e n t e s

En la fórmula de la derivada PARAMÉTRICA: Dyv = x

Dtx

Se hace el siguiente análisis: a) Las tangentes horizontales se obtienen resolviendo Dty = 0 . b) Las tangentes verticales se obtienen resolviendo Dtx = 0. Si existen soluciones comunes para D¿y = Dtx = 0 , se presentará un punto sin­ gular. c)

PUNTOS CRÍTICOS Y MONOTONÍA.

Los puntos críticos son: /) Aquellos valores de t e Dxny e n los cuales Dxy = 0 //) Valores de t en los cuales / Dx y

CURVAS PLANAS, ECUACIONES PARAMÉTRICAS

Como:

Dxy = x

D tx

entonces no existe Dxy en aquellos valores de t en los cuales: Dtx = 0 El total de los puntos críticos se obtiene uniendo todos los valores de t obteni­ dos en /) y ii) iii) Los extremos de [a ,¡3) = Dxny son también puntos críticos ív) Monotonía (¿En qué intervalos, la función y = / ( x ) es creciente o decre­ ciente) 4. P u n t o s

m últiples

Un punto P(x(t) , y(£)) se dice que es un punto múltiple si existen por lo menos dos valores de t:

, t2 e Dxny, ^ ^ t2 tal que cumpla:

(x(t1) , y ( í 1)) = (x(í2) ,y ( t2 ))

5 . E xten sió n y zo n ificació n

En esta parte se debe hallar:

c)

Asíntotas: verticales, horizontales y oblicuas.

6. T a b u l a c ió n

Para algunos valores de t e Dxny se hallan las parejas (x(í), y(í)) Ejemplo 1. Discutir la gráfica de la siguiente curva cuyas ecuaciones paramétricas son:

,

.______________________________ Moisés Lázaro C.

Solución: 1 . In te rse cció n co n los ejes:

a)

Con el eje X. Se resuelve

y=0

a sen3í = 0 sen* = 0 t=0 , n Para t = 0, obtenemos el punto A = (a,0) Para t = n , obtenemos el punto B = (-a, 0) b)

Con EL EJE Y. Se resuelve

x =0

a eos3 1 = 0 eos t

=

0

f — 2L 1

~

2

’

2

Para

t=

se obtiene el punto C = (0,a)

Para

t = ^ r se obtiene el punto D = (0,-a)

2 . S im e tría s

a)

Respecto al eje X: O

Q

Se cumplen: x(-t) = a eos' (-t) = o •eos t = x(t) y(-í) = asen3(-í) = -asen3í = -y(£) implica que es simétrica respecto al eje X.

_____________

3.

CURVAS PLANAS, ECUACIONES PARAMÉTRICAS

Tangentes. Hallemos Dxy Sé tiene:

Dty = 3 a sen í *eos t Dtx = ~3acos2 1 *sent =>

~ 3asen2t-c o s í sent , . Dxy = -----------=---------- = --------r = -tgt ~3acos t-sent eost

Concluimos que existen tangentes únicas en V i, tal que Dtx * 0 , es decir: -3 a co s2 tsenf *0cosí -sent * 0 t *

0

,

2n .

No existen tangentes únicas en los puntos-aguja, es decir en aquellos valores de í tales que: Dtx = 0

a

Dty = 0 que viene a ser: t = 0, ^ , tc ,

> 2;r

Estos valores se obtienen así: De:

D¿y = 0

o

3asen t •cosí = 0 sen t = 0 t = 0 , n , 2n

De

Dtx = 0

v

eos t = 0

v

t = -J, 4^

-3 a e o s 2 1 sent = 0 cost = 0 í = f ’ ¥

v

sent - 0 í = 0 ,« -,2 ff

No existen tangentes verticales ni horizontales. Puntos críticos: /)

De: Dxy = 0 obtenemos 3asen2f •eost = 0 =>

t= 0,

, 2^r

//) Valores de t en los cuales no existe Dxy , seobtiene de: Dtx = 0 o

-3 a -eos í-sen f = 0 t=0,

yn ,

, 2;r

///') MONOTONÍA: Intervalos sobre los cuales la curva es creciente o decreciente, te­ niendo en cuenta que y = f ( x ) .

Moisés Lázaro C. Hacer una tabla con los intervalos que definen los puntos críticos. 0

t

< t < n ¡2

7112 < t < 7 l

71 < t < 37T/2 -a 0 Decreciente

^

i/

V

Decreciente

y'

>

0

Creciente

1 3a eos4rt.sent

^

y"

tt”

y

>

0

Cóncava h a c i a arriba

Existe mínimo en

y”

>

0

Cóncava hacia arriba

y"

<

0

Cóncava hacia abajo

t = 0 El mínimo está en (a,0)

Existe máximo en t = n!2

El máximo está en (0,a)

Existe mínimo en

t-n

El mínimo esta en (-a,0)

Existe mínimo en

t = 3zr/2 El mínimo esta en (0,-a)

4. Puntos múltiples: / 5. Extensión y zonificación. a) Recorrido de x: Se sabe:

-1 < eos t < 1

Al cubo:

-1 < eos3 1 < 1

Por

-a < acos3 t < a , a > 0

:

-a < x < a b) Recorrido de Y: De:

-1 < sent < 1, se obtiene: -a < y < a

c)

Asíntotas:

y" < 0 Cóncava hacia abajo

________ CURVAS PLANAS, ECUACIONES PARAMÉTRICAS

6.

Tabulación: t

0

7t¡ 4

ti! 2

X

a

a j2

0

3 W 4

aV2

a

0

a>/2 4

4

7. El gráfico es: (0.a)

;a.O)

(0,-a)

Ejemplo 2. x= Graficar la curva

C:

t +1

y = t2

Discusión de la gráfica de C.

-a

4

4

y

71

t e [-1 ,1 ]

0

Moisés Lázaro C. 3.

E xte n sió n y zo n iflcació n :

a)

Recorrido de y. Se parte de: t2 > 0

A

V

f e [ - 1 ,1 ]

y>0

a -1 < t < 1

[- 1 - t

V - 1 < £ < 1] ltl< l

y=1

v t2 < 1

y>0

a

[y = l

v y < 1]

0

lim t->r

=

a) c) Cuando t -* 1 ocurre

4.

r

b)

-00 y -> i

CURVAS PLANAS, ECUACIONES PARAMETRICAS

y es cree. c/y _ dt dx

ÉL dt

y' > 0

- t( t- l) 2 > 0

2t

-2

í ---- > R

(x,y)

-> IR2 , Dcz IR2 -> z = /(x,y)

x ---- > y = /(x)

La derivada de la función /(x) en x0 es la pendiente de la recta tangente

¿1

j J _ 10 40

PMgLL_w PMgK r

(2) en (1):

( 1)

100 = 2 ¡},2Km

100 = 2 [4 K ]1/2K 1/2

^

K _1 L _ 4

=>

L = 4K

=>

K = 25

2

( )

L = 100

Luego: a) El nivel de costo mínimo será: C(100,25) = 10(100)+ 40(25) = 2,000 b) El costo marginal de producción cuando se minimiza el costo total es: 2 — J L. —

40

_ o a _ _w_ _

1 L~ í loo \^2 ” dK

\ 25 )

SL [

10 ioo

Otra forma de hallar A : A =

= -° / + ’ 40c/K = iO(c/L-4 ciK¡ = 2Q ¿Qo

Donde: de = ~dL ■dL + ^ dK ‘ dK = 10 •dL + 40 •dK

j

±dL + 2 d K

I(d L + 4-dK)

, ^ 2 »_________________________________Moisés Lázaro C

df = d pi = 4 > P2 = 5 , M = 120

2.

U(x, y) = 20x 4- 40y - 2 x2 - 3y2 , Px = 4 , Py = 5 ,M = 28.

3.

U(x,y) = 2Lnx + Lny , Px = 2 , Py = 4 , I0 = 36

4.

U(x,y) = xy + j|^Lnx + Lny , Px = 3 , Py = 4 , I0 = 100 R: x = 20 , y = 10

R: q1 = 20 , q2 = 8

R: x = 12 , y = 3

5. La producción X = f(L ,K ) , como la producción de los insumos L y IK está dado por f(L,K) = í3 + 5LK - 4 K2 Supóngase que los precios para L y Kson, respecti­ vamente, 2 y 3; y que el costo total sea 74. Hallar las cantidades L, K que maximice la producción

6 . La función de producción de un fabricante es: Q = f(L,K)

R: L = 31 , k = 4 =

271/3K^3 y los pre­

cios de L y K son 4 y 27 , respectivamente. Hallar:

a) La combinación de L y K para que el costo sea mínimo, si el nivel de producción es 324 unidades. b)

El costo marginal de producción cuando se minimice su función de costo total. R sL = 2 7 , K = 8 , A = l

DERIVADAS PARCIALES

En los siguientes problemas aplicar la CONDICIÓN DE SEGUNDO ORDEN para confia mar la existencia de la máxima utilidad en un punto crítico. Para ello definimos el HESSIANO ORLADO. Dada la función utilidad U = U (x,y), (Ux , Uy > 0) sujeto a xPx + yPy = B , el hessiano orlado se define por la siguiente determinante.

Proposición:

(condición de segundo orden) Si (x , y ) es punto crítico de la función Lagrangiana y |H| > 0 en (3c, y ) , entonces U (3c, y ) es máximo.

Problemas: (?) Dada: ü ••=(x + 2) (y +1) y Px = 6 , Pv = 4 , B = 112 : a) Escribir la función logarítmica. b) Hallar los niveles óptimos de compras de (3c, y) . c) ¿Se cumple la condición de segundo orden para máximo? @

Dada:

U = {x + l ) ( y - 2 ) y Px = 3 , Py = 4 , B = 13

a) Escribir la función lagrangiana. b) Hallar los niveles óptimos de compras 3c, y . c) ¿Se cumple la condición de segundo orden para máximos? ( 3 ) Dada la función utilidad U (x,y) = xy y Px = 2

, Py

=3

, B = 36 .

Hallar los niveles óptimos de compras del consumidor. (4) Supongamos que la función utilidad de un consumidor es U(x,y) = 2(Lnx + Lny) y la restricción presupuestaria es 3x + 2y = 18 . Hallar los niveles óptimos de com­ pra del consumidor tal que maximice su utilidad.

Moisés Lázaro C.

< §> Sea: U(x,y) = 2x

p

y la función utilidad de un consumidor y su restricción presu­

puestaria es x + 2y = 6 . Hallar los niveles óptimos de compra del consumidor tal que maximice su utilidad.

en cada una de las siguientes funciones:

a)

/(x ,y ) = x2 + ( y - l ) 2

j)

/(x ,y ) = x2 - 3 x y - y 2 - 2 y - 6 x

t>) /(x ,y ) = y2 - 2 x 2y + 3x4

k) / (x, y) = 4 x 3 - 2x2y + y2

c) /(x ,y ) = x 2y2 - y 3 - x 3 +xy

0

d) / (x, y) = x2y3 (6 - x - y)

m) /(x ,y ) = 5 + 4 x - 2 x 2 + 3 y - y 2

e) / (x, y) = x3 - y3 - 3xy

n) /(x ,y ) = x4 + y 3 + 3 2 x -9 y

/(x,y) = x2 + 4 y 2 - x + 2y

f) / (x, y) = 3x4 + y2 - 4 x 2y g) /(x ,y ) = y4 - x 3 + x 2 x 2 + y2 + 1

h) /(x,y) = (3 -x )(3 -y )(x + y -3 ) i)

/ (x, y)x2 + 2x y + 3y2

q) / ( x , y ) = (x2 + 3 y 2 ) e _x2_y2

Criterio para máximos y mínimos: Si /(x,y) es una función de dos variables que tiene segundas derivadas parciales continuas en una región rectangular D c f ? 2 y sea: g(x,y) = / xx(x ,y )/yi,( x ,y ) - [ /xy(x,y)]2 para todo (x,y) en D. Si (a,b) está en D = dominio d e /y además. f x (a,b) = 0 entonces: f y (a,b) = 0

’

/)

/ (a, b) es un máximo local de / si g (a, b) > 0 y

/)

/ (a.b) es un mínimo local de / si g (a, b) > 0 y /xx (a, b) > 0

(a, b) < 0

w) /(a,b) no es un valor extremo de / si g(a,b) < 0 . Con este criterio, halle los máximos y mínimos de la función /(x ,y ), si existen; en cada una de las funciones del problema anterior.

C A P Í T U

L O

4

DERIVACIÓN IMPLÍCITA 0.

INTRODUCCIÓN

Hasta el momento, hemos derivado funciones “explícitas” donde la variable dependien­ te “y” está expresado en términos de la variable independiente “x” es decir y = f ( x ) , en el que /(x ) está dado por una fórmula (regla de correspondencia de la función). Por ejemplo:

y = ^ 4 -x 2 O y = x s e n (l-x ) y = e x (x - L n 2 ( l - x 2 ) ) , ....................................... etc.

Esta vez, hallaremos la ^

en las ecuaciones donde la variable dependiente “y” no

está “despejado, es decir “y” no está expresado en términos de “X” . Por ejemplo:

x 2 - 4y = 0 x 2 -x ^ /x y = 2y2 +6 __y

Lnx + e x - c 1. DEFINICIÓN

Si tenemos una ecuación de la forma F(x,y) = 0, con y = f(x), en el cual la variable dependiente “y” no está “despejado” en términos de “x” entonces “y se llama función implícita de x” .

En el ejemplo anterior tenemos:

F (x , y ) = x - 4y F(x,y) = x 2 -x^/xy - 2 y 2 - 6 _y_

F(x,y) = Lnx + e x - c 2. DERIVACIÓN IMPLÍCITA

Dado la ecuación en dos variables F(x,y) = 0,

con y = f ( x ) , necesitamos algún procedimiento para hallar

, sin tener necesidad de

despejar “y“ en términos de “x” . Existen dos procedimientos para hallar la ^ ecuación F(x,y) = 0, con y = / ( x ) .

— 165 —

en una

2.1. PROBLEMAS 1.

En la ecuación x3 + y3 - 3axy = 0, donde y = / (x ), hallar -~

Solución: 1er M étodo

2do Método:

1) Aplicar el operador ^ en

1) Como F(x,y) = x3 +y3 -3 a x y

ambos miembros:

^ :(x3+j>3-3axy) = -^(0) £ ( x 3) + ^ ( y 3) - £ ( 3 a x y ) = 0 3x2^

obtenemos: = 3x2 + 0 - 3a y = 3x2 - 3a y — = 0 + 3y2 - 3a x = 3y2 - 3a x

2^ - 3 a ^ {x,) = Q

3x2 l + 3y2 ^ - 3 a ( x . | f + ^ ) = 0 3x2+3»z T ¿ - 3a( x - ^ + y-1) =0

2) Fórmula: d y _

dF dx ^

3x2 + 3y2 g 7 - 3 a x ~ -3 a y = 0 2) Despejar

£ [ 3 y 2-3ox] = 3ay-3x2 d y __ 3 a y - 3 x 2 3 y 2 - 3a x dy _ a y - x 2 “

y 2 -~a x

_

3 x 2 - 3 q y _ a y - x2 3y2 - 3 a x

y2 - a x

DERIVACION IMPLICITA ~ ® 2. En la ecuación x = ^/y + \[y , donde y = f ( x ) , hallar Solución: 1er Método:

2do Método:

i)

1) De: F(x,y) = obtenemos:

£ u > » * < v 6 ) +* ( 3 v&> 1 = l y-l/2 .d y + 1 - 2 / 3 dx

1 - dv 1 j,-V 2 + 1 v-?Í3 dx

. dy d x

!d^x = 0 + 0 - l = - l SF= l y-V 2 + l y-? /3 _ 0 dy

6 = £ [ 3 i f ’ ' 2 +2iT2'2 ]

+ ^ /y - x

2y

_

^ 3 y

u

1

3 3^ /7 + 2 -y/y

6 ^ Vv2

dy

3y-V2+2y 2/3

dx

6 _ Vv '^ +3 p r 3 ^ + 2 ^ y[y34i?

V y ( 3 6Vy + 2 ) = 3 6y £ + 2

6 ^ 7

” «V 7 £F

2) Fórmula: ^d x

V¡7(3 V v + 2 ) dy _

dy _ _ V 2 _ dx 3 ^ +2

dx

-1

5x

~ IE : ay 6 3J 7

3^/y+ 2

3. En la ecuación: x 2/3 + y2/3 = a2/3, y = / (x ), a es constante. Hallar ^ . 1er Método:

2do Método:

1) ^ - ( x 2/ 3 + y 2/3 ) = ^d x( a 2/ 3 )

1) De F(x,y) = x 2/3+ y 2/3- a 2/3

| x ->/3+ | y-V 3 .S = 0 x -V 3+ y - V 3 . | i . 0

o\ d y _ d x "

obtenemos: |^ = f3 x - 1/ 3 + 0 - 0 = f3x - ■2/3 ax aF a» = 0 + f v"V3- 0 - | s > " 2/3

x "T W

- t é

2) Fórmula: dx = 4 0 = ( x - 4 ) (x —1 ) < 1 ^ x =1 y =2 2. Hallar las normales a la parábola y = x 2 - 4x + 5 en los puntos A(4,5), B(l,2) Veamos: y = x 2 - 4x + 5

Hallar la ecuación de la tangente a la

Solución: 1.

La pendiente de la tangente es y' en el punto (0,0). Hallemos y' de la ecuación: x 2(x + y) = a2 (x~y) => 2 x(x + y) + x 2(l + yf) = a2 (l~ y')

En (0,0):

2 (0)(0 + 0 ) + 0(1 + y") = a2(l - y') => y ' = 2 x - 4

<

_ 15 4

curva: x 2{x + y) = a2 ( x - y ) en el origen de las cordenadas.

x + l = x2 -4 x + 5

De:

A(4,5)

5

En A :

y' = 2 ( 4 ) - 4 = 4

En B :

yf= 2 (l)-4 = -2

0 = a2(l~~y') :

y' - 1

Moisés Lázaro C.

17 6 }

2.

La ecuación de la tangente en (0,0) será: y - 0 = 1 •(x - 0 ) y=x

Solución: 2y = l + x y 3

De:

Obtenemos: 2y' = 0 + x(3y2y') + y3 (1) 36.

¿Qué ángulo forman las curvas: Q :

4y 3 + x 2y - x + 5y = 0

C2 :

x 4 - 4y 3 + 5x + y = 0

2y' = 3 x y 2y' + y 3 Reemplazando el punto M( 1,1), obte­ nemos: 2y' = 3(1) (l )2 y' + (l )3

cuando se intersectan en el origen de las cordenadas?

2y' = 3y' + l 2 y '- 3 y ' = l

Solución: 1. El ángulo entre dos curvas está defi­ nido por las tangentes.

b) Si // = F(x,f) definido por:

2. Hallar y' e Cx : De:

// = a e 9t •cos(3x + b ), probar que

4y 3 + x2y - x + 5y = 0 , obtenemos:

_ dfi

12y2 •y' + 2x *y + x 2 •y' -1 + 5y' = 0 En (0,0): 0 + 0 + 0 - 1 + 5y' = 0

dx*

dt

Solución: > y' = ±

1.

De: ju = ae~9t •cos(3x + b) Obtenemos:

3. Hallar y' de C2 : De:

d/j dx

x 4 - 4y 3 + 5x + y = 0 , obtenemos: 4 x 3 -1 2 y 2 *y' + 5 + y' = 0

= ae - 9 t

r

■3sen (3x + b)]

-3a e 9tsen (3x + b) ñ

= -3 a e _9t[3cos (3x + b)]

dx‘

En (0,0):

= - 9 ae 9i •eos (3x + b) «-

0 - 0 + 5 + y' = 0 => y' = -5

E j = a •eos (3x + b) [~9e~9í ‘ 4.

Comparando ambas pendientes el ángulo es 90° , pues: -15 ( - 5) = -1

3 7 . a ) Si 2y = l + xy3 , hallar

punto M (l,l).

en el

= -9a e -91 eos (3x + b) 38. Si: (x + y) = 27(x - y ), hallar: y' = 7 en el punto P(2 , 1 )

"rt 3

.£P

o

DERIVACION IMPLICITA

Solución:

a) Supuesto que existe la derivada y' y sin resolver la ecuación respecto a y, demostrar que y ' satisface a la ecua­

o

De: (x + y) = 2 7 (x -y ) se obtiene:

ción x 2 -f y 2y' = 0

3(x + y)2 ^ ( x + y) = 2 7 £ ( x - y ) 3= (—l)n2ne 2x 2)

y(n) = ( - l ) n2ne“2xx 2 + n ( - l)n~12 n^1e - 2x(2x) + ^ j ^ ( - l ) n- 12l1 2e 2x(2) yln) = 2n-1e~2x [ 2 ( - l ) nx2 + 2 n ( - i r 1x + n(n2~1> ( - l ) n~2 ]

10 .

Hallar: / (n)(0). Si /(x) = Ln y-L

Solución: 1) Pero

/( x ) = LnT^ = L n O -L n (l-x ) /( x ) = - L n ( l - x )

2)

Derivar:

/ '( x ) =

= _ i _ = ( l _ x )-i

/"(x) = - l ( l - x ) - 2 ( - l ) = ( l - x r 2

r ( x ) = -2 (l-x )-3 (-l) = 2 (l-x )-3 / (4)( x ) = 2 ( - 3 ) ( 1 -

x

)^ (-1) = 2 -3 (1 -

/ (5* x = 2 - 3 ( - 4 ) ( 1 -

x

x

)^4

)_5 ( - l ) = 2 - 3 - 4 - ( l - x ) ‘

/ (n*(x) = ( n - l ) ! ( l - x ) -n 3) Luego: / (n) (0) = (n - l) ! 11.

De: b2x 2 +a2y2 = a 2b2 . Hallar a) y ’ = ^ 4 , dx

=

dx

5

DERIVACION IMPLICITA

Solución: ..2 y" = 0 a2 b2 (a2 b2 ) + a°6 y*

a) Derivar en b2 x 2 4- o2y2 = a2 b2 b2(2x) + a2(2yy') = 0

a4 b4 + a6 y2 y" = 0 ........... (3) 04 fa4

b2x + a2yy' = 0 .......(1)

6

aD y

h4

2

a

2 y2

y' = - ^ a y b) Derivar en la ecuación (3): Derivar con respecto a x en la ecuación (1)

0 + a6 t(2y y')y" + y2 y"] = 0

b2 + a2(y'y' + yy") = 0

2 yy' y" + y yw= 0

(2 )

b2 + a2 (y')2 + a2yy" = 0 .

2y

b* x a2 y

-a t yr \ ' + i r

Sustituir (1) en (2): ¿

u

a

To Ty + y b2 + a 2 [ - ^ - j

¿

y"' = 0 rrr

r\

y =°

+a2y y" = 0 2b6x + a4 y4 y" = 0 6 ..2

a4 b2 y2 + a2 b4 x2 + a° y¿ y" = 0

»

a r

a2 b2 (a2 y2 + b2 x 2 ) + a6 y2 y" = 0

12.

2b6 x

y =—

Demostrar que la función y = sen(marcsenx) satisface la ecuación diferencial. ( 1 - x 2) y " - x y ' + m2y = 0

Demostración: CÁLCULO DE Y' De

y = sen (m arcsen x ) y r= [ eos (marcsen x)] [ marcsen x ]' y' = [ eos (m arcsen x)]

rn

l

y' = m—, 1 — eos (maresenx) Vl-x2

Moisés Lázaro C.

(200)------------------------------------------------------------------------------------------------

CÁLCULO DE Y" y' = m{m - x 2 )~^z cos(marcsenx) y " = m f — ¿ -(1 - x 2 ) " 3/ 2 ( - 2 x ) c o s ( m a r c s e n x ) + (1 - x 2 )” ^ 2 [ - s e n ( m a r c s e n x ) ]

1

x-r------eos(m are sen x) — ^ sen (mare sen x) ]

y" = mí

l ( l - x 2) V l - x 2

Sustituir:

^

y, y', y "

d - x 2)

1-*

J

O p en la ecuación diferencial (1 - x ) y" - xy' + m y-

(l-x ^ l-x 2

eos (m are sen x ) — 02-y sen (m are sen x 1 -*

m eos (m are senx) + mo sen(marcsenx) /l-x z eos (m are sen x) - m2 sen (mare sen x) -

eos (m are senx) +

y ? o m sen (m are senx) = 0 13.

Demostración que la función y -c^e x + c 2e 2x satisface la ecuación diferencial y" + 3 y' + 2y = 0 ( q , c2 son constantes).

Demostración: CÁLCULO DE Y ':

De:

y = qe~x + c2e~2x y' = Cle -x (-l) + c2e -2x(-2) y' = - c 1e “x - 2c2e 2x

CÁLCULO DE Y ":

y" = - Cle x(-1) - 2c2e“2x{-2)

Sustituir: y, y', y" en y" + 3y' + 2y OBTENEMOS (c1e~x + 4c 2e~2x) + {-cle~x - 2c2e~2x)+ 2{c1e-x + c2e“2x) = = Cje“x + 4c2e~2x - 3qe~x - 6c2e~2x + 2qe~x +

DERIVACION IMPLICITA

14.

Demostrar que la función y =Í * 2 e*e x satisface la ecuación diferencial. y " - 2 y ' + y = ex

Demostración: CALCULO DE Y ' De

CALCULO DE Y "

y = i x 2 ex

y" = ex + x e x + l [ 2 x e x + x 2 ex]

y' = i [ 2 x e x + x ex ]

y" = ex + x e x + x e x + l x 2 ex

y' = x ex + 4 x 2 ex

y" = ex + 2x ex + -L x 2 ex

Sustituir: y, y', y" en la ecuación y" - 2y' + y = ex (ex + 2 xex + l x 2 ex ) - 2 ( x e x + ¿ x 2 ex ) + \ x 2e x = = ex + 2xe^ + ± x 2e x -2 x e x - x 2ex + ^ x 2ex = e x

15.

o

9

9

Demostrar que la relación x - xy + y = c

satisface a la ecuación diferencial

(x -2 y ) y' = 2 x - y Demostración: CALCULO DE Y ':

de la ecuación x2 - xy + y2 = c2

Derivando con respecto a x:

2x - (x y' + y) + 2y y' = 0 2 x - x y ' - y + 2yy' = 0 y '(-* + 2y) = y - 2 x

=>

16.

y

y-2x

- x + 2y

y

x-2y

( x - 2 y ) y '= 2 x - y

Demostrar que y, determinada como función de x por las ecuaciones x = sení e y = a é ^ t + b e ~ ^ t satisface a la ecuación diferencial (1 - x 2 ) ^ - j - x dxz

Demostración: dy

= 2y

Moisés Lázaro C. _y¡2t + bí_ *e —y¡2t Si: y - aj e

^ = ^¡2ae^t -y ¡ 2 b e ~ ^

dy Sustituir: (2) y (3) en (1): ^

j2aéJ* -Jibe-'®1

(4)

COSÍ

cj / dy\

cosí[2ae^¿ + 2be ^

d í W

(3)

] - [ ^ a e ^ - yf2.be '^‘ t ](-sent)

“

/j-\

cos2 í

" ’1 ]

2 _— j_ J dt\dx La formula de la 2da derivada paramétrica es: — \ = -

(

6)

~dt

X

Sustituir (2) y (5) en (6): ,, _ ■ rost [ 2 ( a d y

+ b e ~ ^ x ) ] + sent ( V2 a e ^ ‘t - \ ¡ 2 b

dx¿

)

e os3 í

d2 y _ c o s í ( 2 y ) + s e n í {y¡2 a e ^ ‘ t - y¡2 b e

)

(7)

dx¿

Sustituir (7) y (4) en (1 - x 2 )— £ - x

dx

eos2 t

ax

* - V2 b e

eos í ( 2 y ) + s e n í ( 7 2 o

obtenemos: ~^1

-sent

Jiae'&'-Jíbé

eos 3 í

2y + tgt(72 a 17.

COSÍ

‘ - V 2 b e- ^ *) - tgt {y¡2 a e ^ 1-y¡2 b e ~ ^ 1) = 2y

Demostrar que la relación y = Ln (xy) satisface a la ecuación diferencial: (xy - x) y" + x y '2 + y y' - 2y' = 0

Demostración: De la relación: Por propiedad de Ln:

y = Ln (x y)

y = Inx + Lny

y' = 1 + ül

Derivando:

xyy' = y+ xy' Derivar otra vez:

y y' + xy'y" + x y y "—y' + y'+ xy" y y' + x(y')2 + xy y" = 2y' + xy"

Ordenando: x y y" - x y" + x(y')2 + y y' - 2y' = 0 (x y - x) y" + x(y')2 + y y' - 2y' = 0

APLICACIONES DE LA DERIVADA 1. APLICACIONES GEOMÉTRICAS DE LA DERIVADA 1.1. -

ECUACIONES DE LAS RECTAS: Tangente y Normal

Sea la curva C cuya ecuación es F(x,y) = 0. Sea la recta J>o)

Si: ¥d x

= ±oo

, e n to n ce s

£T:

x - xn

=0

(x0’Vo)

C o m o la RECTA NORMAL es p e rp e n d icu la r a la recta TAN(3ENTE en el p u n to ( x 0 , y0), e n to n c e s la e c u a c ió n d e la RECTA NORMAL, será:

£ n : y - y 0 = - ^ - ( x - x 0) dx

Si: ^

= 0, entonces -*(xo»J>o)

: x - x0 = 0

Moisés Lázaro C.

(204)

r

Si la ecuación de la curva es y = / ( x ) , entonces m = —■

Si la ecuación de la curva es F(x,y) = 0, entonces m = - jdF dy dy

Si las ecuaciones paramétricas de la curva son:

x = x-l = 0

d) y = Lnx en el punto de intersección con el eje OX.

x = 1 l Luego: y ' ]i(0’0 ( ) “ 7 r F “_ 2

(205)

Solución: "

, " ' ■ """

Io El punto de intersección de la curva y = Lnx con el eje OX, ocurre cuan­

3° Por lo tanto:

do y = 0 , entonces: 0 = Lnx o x = 1

£ T : y -0 =l ( x - l ) x - 2y - 1 = 0

2o De y = Ln x , obtenemos: y' =

£ n : y - 0 = - y ( x -1 ) 2

2 x + y -2 = 0

3° Por lo tanto:

c) y = arccos3x en el punto de inter­ sección con el eje OY.

^

m

Solución: Io El punto de intersección de la curva: y = arcos 3x o 3x = eos y con el eje OY ocurre cuando x = 0 , entonces: 3(0) = cosy cosy = 0 o y = | 2o Derivando la ecuación 3x = cosy . obtenemos:

3 = (-seny)y' ^

sen y

1 2 e) y = e en los puntos de intersec­ ción con la recta y = 1. Solución: Io De y = e

i _ r2

, tenemos:

y' = - 2 x e 2o Intersección de \ ^

Lu y = 1 - 7(1) + 3 = - 3 Entonces, el punto de tangencia será: (1,-3) ( ó ) Hallar la ecuación de la parábola y = x 2 + bx + c , que es tangente a la recta x = y en el punto (1 , 1 ). Solución: Io Si la recta y = x es tangente a la parábola, entonces se cumple que: m = 1

y' = 1 , donde < o

y'

=^

es la p e n d ie n te d e x = y e s la p e n d ie n te d e to d a recta tan gente.

De: y = x + bx + c

Se obtiene: y' = 2x + b => 2 x + b = l ................................. (I) 2° El punto de tangencia es P(l, l ) ; en consecuencia satisface la ecuación (I) y a la ecuación de la parábola: Si (1,1)6 Parábola y 2 = x 2 +

bx + c=> 1

1 +■b + c . 0 ...... (i) lili Si (1 , 1 ) satisface a la ecuación 2x + b = l => 2 + b = 1 b = - l ...... |||■||iIi ||1 lllllil ■. . lilis ■ . Illllii si; II 3¿I ■3. ;si 3 Reemplazar (ii) en (i): - 1 + c = 0 c= 1

2 Por lo tanto, la ecuación de la parábola será: y = x - x +1

APLICACIONES DE LA DERIVADA

( j ) ¿En qué punto de la curva y 2 = 2x 3 la tangente es perpendicular a la recta 4 x - 3 y + 2 = 0? Solución: Io Dos rectas de pendientes m1 y m2 respectivamente son perpendiculares, sí y sólo sí rr^ m2 = - 1 ........... 2o Suponiendo que m1 es

(í) la pendiente de recta tangente => nr\=

m2 es la pendiente de recta 4x - 3y + 2 = 0 => m2= —^

(ii)

3o De la ecuación y 2 = 2x 3 , se obtiene: 2yy' = 6 x 2

=^ 4° Sustituir (ii) y (iii) en (i): Elevando al cuadrado:

»

( ± f x 1/2 ) ( f ) = -1 (| -x ^ ^ -j = l

v3

5° Sustituir x = 1/8 en y 2 = 2x 3 => y 2 = 2 ( ^ )

x =1/8

o y = ±^J

o

y = ±^.

6o El punto que satisface, es ^- g- , - - j

SJ Escribir las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva en el punto (2 , 2 ).

x=

l + t

n = —^— |- -1_ 2t2 2í

y

Solución: dy

1

LA PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE ES: 4 + =

dx

dt

Si:

Donde:

v = ^ + ± =>^ = - A - J t 2t 2t dt t3 2t dx _ 3 + 2t o• 1+ t Si: x = - j ~dt~~

d-L

2n Como x =

r

a x = 2 => 2 =

r

3_____ i _ dy _

dx ~

2 12 _

t3

3 1- 2~

6

+ t

~ 2(3 + 2 t )

A

2í3 = l + t »

2 r -t -l =0 í=1

Moisés Lázaro C. 3o Entonces:

6 + 1

~dx-

t= 1

_

7

2(3 + 2) “ 10

7 x -1 0 y + 6 = 0

4o En consecuencia:

: i>-2 = - f ( x - 2 ) 10x + 7 y -3 4 = 0 ( ? ) Escribir ecuación de la tangente a la curva x = t c o s t , y = £sent en el origen de coordenadas y en el punto í = tt/4 .

7o La ecuación de la tangente en t = 7i/ 4 será: ra . .. n-fe _ fr + 4 / T -y

8

~ ar-4 \

+ 7r>/2 (/r + 4) = 0

Io El punto de tangencia en el origen es (0, 0 ) .

8(/r + 4)x + 8 (/r -4 )y -7 r 2%/2 +4\/2;r

2o La pendiente será:

- ;r2^ - 4 V 2 / r = 0

dy _ dt _ tcost + sent d* dx ~ - t sen¿ + cost dt

8 (/r + 4)x + 8 (/r - 4)y - 2^2-v/2 = 0 4(/r + 4)x + 4 ( /r - 4 ) y - /r 2-\/2 = 0

3o El punto de tangencia en í = zr/4 es: x = 7t¡4 cos /r/4 — 4 —

y

2

iL V2 4

2

^ 8 ^ 8

4° La pendiente en el origen será: OcosO + senO t= 0

/

8(/r - 4)y - n^2{n - 4) = -8(;r + 4)x

Solución:

dy dx

8

OsenO + cosO

(lO) Hallar el ángulo que forman entre sí la tangente a la espiral logarítmica r = a e kv>. Solución: Io Fórmula: tg // = - 3 7

f =o 2” Si r - a é " =• * , „ [ . » ' ] [ £

5° La pendiente en t = zr/4 , es:

= a e K(pK = rk

dy __ n/ 4 cos ;r/4 + sen ;r/4 d x _ í = ;ry^ - / r / 4 sen ;r/4 + cos 4 _ ;r + 4 _ -( ;r + 4) 4 - ;r ;r - 4 6

° La ecuación de la tangente en el ori­ gen será: : y - 0 = 0 (x - 0 )

y=o

Luego: tg// = ^ tg// = £ // = arctg-i (ll)

Hallar el ángulo entre la tangente y el radio polar del punto de contacto 0

0

0

para la lemniscata r = a cos

2

#.

0

APLICACIONES DE LA DERIVADA

Solución:

2)

mT : pendiente de las tangentes a la x = a cosí

C : x 2 + y2 = a2

3)

y = a sent

Para que las normales a E sean tan­ gentes a la C, debe cumplirse que: mN = mT .

- tt2 \~wn 201 L wu£.vi 4)

mN =

— , donde

se obtiene de E

PERO: dy

m T = cFx 1 doncle 3 7 se obtiene de c 3o Sustituir (i) en Io): t g //:

5) -¿ s e n 2 6 >

Veamos: De: x = a(cosí+ ísení) £: y = a (s e n t-íco s í)

y' = 2 ( x - 2 ) < ^ y('U ) = 2 ( l - 2 ) = -2

b) De

s y(4,4) = ^ - 2(4) = -2 => y' = 6 - 2 x \ ^ y('U ) = 6 - 2 ( l ) = 4

y = -4 + 6 x - x

3. En consecuencia: a) El ángulo en el punto A(4,4): tg 6 = ^

=- y



Sustituir en C2 : (2a - x)(8ax - x2) = x3 (2 a -x )(8 a x ~ x 2) - x 3 = 0 x[(2 - x)(8a - x) - x2 ] = 0

(Dy

v ......................................

Xy - —

n 0

v

(2a - x)(8a - x ) - x 2 = 0 x2 - lOax + 16a2 - x2 = 0 -10ax + 16a2 = 0 \ )

Sustituir (2 ) en (T):

y = ±>/Ó = 0 , así obtenemos el punto A(0,0) .

Sustituir (3 ) en (T):

y = ± ^ 8 a ^ | a ) ~ ( § a )2 = ± ^ a

Así obtenemos dos puntos más:

2.

x -—5a ®a

y

Calculo de 4 - = y' en las curvas Cj y C2 . De Ci

x2 + y2 = 8ax Obtenemos:

2x + 2 y-^ = 8a x + y £ = 4a dy _ 4a - x dx ~ y

C ( t a>~ ^ a )

APLICACIONES DE LA DERIVADA

En el punto

De C2

ÉL

) será:

=-

4g- f a B ~

,

4a

A=—

dy dx

será:

En el punto C(

4a - 0

dy dx

En el punto A(0,0) será:

f °

=±3

~ 4

8, 4 a- Sra

dx

(2a - x)y2 = x 3 Obtenemos:

( - l ) y 2 + (2 a -x )2 y y ' = 3 x 2 - y 2 +2y y '( 2 a - x ) = 3 x 2 ,i _ 3 x 2 + y2 y _ 2y(2a - x )

s¡: y > o

=>

y=^

27^ 7

y'(°-°) = 0

En el punto A(0,0) será:

yf ]

/ s „ X2 En el punto B( -|a,^a ) sera:

n 3( f a )2+ ( ^ a )2 y' 1 D= ———-— —— — = 7

/«

ifi

En el punto C¡ 4a, — U ° 3.

^

\

) será: ’

-1

= -2.

no existe.

3(faf +( - i M 2

y' 1 = ^ — '—- ■ = - 7 JC 2 ( - f a ) ( 2 - | a)

Angulos que forman las rectas tangentes a las curvas Cj y C2 : a) La recta tangente a la curva Cten el punto A es x = 0

<

eje y

La recta tangente a la curva C 2en el punto A es y = 0 «

ejex

El eje Y y ei X son perpendiculares en el origen. b) La pendiente de la tangente a Cj en B es m: = ^ La pendiente de la tangente a C2 en B es m2 = 7 Entonces: tgtf^ ^ ^

=> tg0 =

c) La pendiente de la tangente á

=* 0 = f

en C, es rr^ =

La pendiente de la tangente a C2 en C, es m2 = - 7 ,entonces: tgor = 1-i™ 2 * + ™

^

=>

tgar = ----------— = -1 a i + (_ l ) ( _ 7 )

=> cc = ^~ v 4

a = —f

4

Moisés Lázaro C.

/(x )

,

V x e N(c) n Dom (/)

NOTA: Si /(c) > f ( x ) , V x g J = intervalo contenido en el dominio de /, entonces el número f(c) recibe el nombre de valor MÁXIMO RELATIVO de / sobre J.

Una función / tiene un MINIMO RELATIVO (o mínimo local), en un punto c e Dom(/), si existe un entorno N(c) de c, tal que:

3.2. Definición 2

f ( c) 0 x

x = 0 x = 2 x = -2

Prueba: /(*) = ■

x —4x , x - 4 x > 0 - x 3 +4x , x3 -4 x -3 x 3 + 4 , x(-oo,-2) u (0,2)

En x = 0

/'( 0 H

-(0) + 4 = +4

« / /'(O)

/'(0 “ ) = 3(0) - 4 = - 4 En x = -2

/'( 2 +) = 3(2)2 - 4 = 8

*s

=>

/ /'(2)

*s

=>

X / '( —2)

/'(2 “ ) = 3(2)2 + 4 = -8 En x = -2

/'( - 2 +) = 3(-2)2 - 4 = 8

/'(-2 ") = 3 (-2 r+ 4 = -8 2

,

x /4 x 2 - x 3

x e [-2 ,6 ]

Donde:

/'( x ) =

8x - 3x

3V 0 ,

[ a , + 00)

-----» ]R derivable a la derecha de a. Si

entonces existe

tal que,

£ > 0

x[a,+oo)

implica f{a) < f ( x ) .

a

a1

3. Por hipótesis: f r{a+) > 0 y la relación en 2) se cumple V s > 0 . En particular dicha relación se cumple para s = 4 /'(a +). Así tendremos:

f r(a+)--kf'(a+) < — o < 4 /v ) <

/(* )-/(□ )

Entonces:. /(* )-/(g) > 0 , como x - a > 0

<

f / V )

/( x ) - /( a ) > 0 m > m

Ejemplo 1. Sea la función / : [2,+ao) -----> IR definida por /(x) = 3 1x —2 1. Analicemos la derivada de / a la derecha de x = 2 . / '( 2 +)= lim x -»2

x>2

x -2 >0

/ ( * ) - / ( 2 ) = ljm 3 ( x - 2 ) - 0 x - 2

x >2

x- 2

3

B1BM

¡2 2 4 )______________________________Moisés

Lázaro C.

Como vemos, la derivada a la derecha de “2” es positivo, y Por lo tanto, para 2 < x < 2 + S siempre será posible que f(x) > f ( 2).

NOTA:

En esta función, sólo podemos hablar de la derivada a la derecha de 2. Por la izquierda de 2, la función no está definida. Pero si alargamos el dominio un poco a la izquierda, digamos ( 1 . 5 , + o o ) , entonces ya podemos hablar de la derivada de f(x) = 3|x-2| por la derecha y por la izquierda de 2 y notaremos que /'( 2+) = 3 y f'(2~) = -3 . Co­ mo vemos, existen las derivadas laterales en 2, pero son diferentes; lo cual nos afirma que no existe la derivada de la función en 2.

Corolario 11.1

Sea la función / : (a,b) -----> JR y sea x0 e (a,b>. S i/e s derivable en x0 y /'(x 0) > 0 , entonces existe £ > 0 , tal que, si x, y e (a,b)

a

x0 - S < x < x0 < y < x0 + S implican:

f(x) < f(a) < / ( y ) . Este corolario nos dice: Si x0 es un punto interioi del intervalo