Amplificadores Operacionales

Amplificadores Operacionales Diego Fernando Ramírez Jiménez, ING. [email protected]

Amplificadores Operacionales › El amplificador operacional es una unidad electrónica que se comporta como una fuente de tensión controlada por tensión. › Se diseña para ejecutar algunas operaciones matemáticas cuando componentes externos, como resistores y capacitores, están conectados a sus terminales. › Así, Un amplificador operacional es un elemento de circuitos activo diseñado para realizar operaciones matemáticas de suma, resta, multiplicación, división, diferenciación e integración. › Los amplificadores operacionales son muy comunes en diseños prácticos de circuitos a causa de su versatilidad, bajo costo y facilidad de uso.

Amplificadores Operacionales

Amplificadores Operacionales › Como elemento activo, es necesario un suministro de tensión al amplificador operacional. Aunque, para mayor simplicidad, en diagramas del circuito del amplificador operacional suelen ignorarse las fuentes de suministro, las corrientes de éstas no deben pasarse por alto. Por efecto de la LCK; 𝑖0 = 𝑖1 + 𝑖2 + 𝑖+ + 𝑖−

Amplificadores Operacionales › El circuito equivalente de un amplificador operacional se presenta en la figura. La sección de salida consta de una fuente controlada por tensión en serie con la resistencia de salida 𝑅𝑜 . La tensión de entrada diferencial 𝑣𝑑 está dada por: 𝑣𝑑 = 𝑣2 − 𝑣1

Amplificadores Operacionales › Ejemplo 1: Un amplificador operacional 741 tiene una ganancia en tensión de lazo abierto de 2𝑥105 , una resistencia de entrada de 2𝑀Ω y una resistencia de salida de 50Ω. Tal amplificador se usa en el circuito de la figura. Halle la ganancia de lazo cerrado 𝑣𝑜Τ𝑣𝑠 y la corriente 𝑖 cuando 𝑣𝑠 = 2𝑉.

Amplificadores Operacionales

Amplificador Operacional Ideal › Un amplificador características:

operacional

es

ideal

si

tiene

las

siguientes

– Ganancia infinita de lazo abierto, 𝐴 ≃ ∞. – Resistencia de entrada infinita, 𝑅𝑖 ≃ ∞. – Resistencia de salida cero, 𝑅𝑜 ≃ 0.

› Dos características importantes de un amplificador operacional son: – Las corrientes de las terminales de entrada son cero: 𝑖1 = 𝑖2 = 0 – La tensión entre las terminales de entrada es igual a cero; es decir: 𝑣𝑑 = 𝑣2 − 𝑣1 , es decir 𝑣1 = 𝑣2

Amplificador Operacional Ideal › Ejemplo 2: Un amplificador operacional 741 operando bajo el modelo de amplificador operacional ideal se emplea para construir el circuito mostrado en la figura, calcule la ganancia de lazo cerrado 𝑣𝑜Τ𝑣𝑠. Halle 𝑖𝑜 cuando 𝑣𝑠 = 1𝑉.

Amplificador Operacional Inversor › Un amplificador inversor invierte la polaridad de la señal de entrada mientras la amplifica. › Aplicando la LCK en el nodo 1 se tiene: 𝑖1 − 𝑖2 − 0 = 0

𝑣𝑖 − 𝑣1 𝑣1 − 𝑣𝑜 = 𝑅1 𝑅𝑓 𝑣1 = 𝑣2 = 0 𝑣𝑖 −𝑣𝑜 = 𝑅1 𝑅𝑓 𝑅𝑓 𝑣𝑜 = − 𝑣𝑖 𝑅1

Amplificador Operacional Inversor › Ejemplo 3: Para el amplificador operacional mostrado en la figura, si 𝑣𝑖 = 0.5𝑉, calcule: a) La tensión de salida 𝑣𝑜 . b) La corriente en el resistor de 10𝐾Ω.

Amplificador Operacional Inversor

Amplificador Operacional no Inversor › Un amplificador no inversor es un circuito de amplificador operacional diseñado para suministrar una ganancia en tensión positiva. › Aplicando la LCK en el nodo 1 se tiene: 𝑖1 − 𝑖2 − 0 = 0 0 − 𝑣1 𝑣1 − 𝑣𝑜 = 𝑅1 𝑅𝑓 𝑣1 = 𝑣2 = 𝑣𝑖 𝑣𝑖 𝑣𝑖 − 𝑣𝑜 − = 𝑅1 𝑅𝑓

𝑅𝑓 𝑣𝑜 = 1 + 𝑣 𝑅1 𝑖

Amplificador Operacional no Inversor › Ejemplo 4: En el circuito del amplificador operacional de la figura calcule la tensión de salida 𝑣𝑜 .

Amplificador Operacional no Inversor

Amplificador Operacional Sumador › Un amplificador sumador es un circuito del amplificador operacional que combina varias entradas y produce una salida que es la suma ponderada de las entradas. › Aplicando la LCK en el nodo a se tiene: 𝑖1 + 𝑖2 + 𝑖3 − 𝑖 = 0 𝑖1 =

𝑣1 − 𝑣𝑎 ; 𝑅1

𝑖2 =

𝑣2 − 𝑣𝑎 𝑅2

𝑖3 =

𝑣3 − 𝑣𝑎 ; 𝑅3

𝑖=

𝑣𝑎 − 𝑣𝑜 𝑅𝑓

𝑣𝑎 − 𝑣𝑜 𝑣1 − 𝑣𝑎 𝑣2 − 𝑣𝑎 𝑣3 − 𝑣𝑎 = + + 𝑅𝑓 𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝑣𝑎 = 0 𝑣𝑜 = −

𝑣1 𝑣2 𝑣3 + + 𝑅 𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝑓

Amplificador Operacional Sumador › Ejemplo 5: Calcule 𝑣𝑜 operacional de la figura.

e 𝑖𝑜

en el circuito del amplificador

Amplificador Operacional Sumador

Amplificador Operacional Diferencial › Un amplificador de diferencia (amplificador diferencial) es un dispositivo que amplifica la diferencia entre dos entradas pero rechaza toda señal común a las dos entradas.

› Aplicando la LCK en el nodo a se tiene: 𝑖1 − 𝑖 = 0 𝑣1 − 𝑣𝑎 𝑖1 = ; 𝑅1

𝑣𝑎 − 𝑣𝑜 𝑖= 𝑅2

𝑣1 − 𝑣𝑎 𝑣𝑎 − 𝑣𝑜 = 𝑅1 𝑅2 𝑣𝑜 =

𝑅2 𝑅2 + 1 𝑣𝑎 − 𝑣1 𝑅1 𝑅1

Amplificador Operacional Diferencial › Un amplificador de diferencia (amplificador diferencial) es un dispositivo que amplifica la diferencia entre dos entradas pero rechaza toda señal común a las dos entradas.

› Aplicando la LCK en el nodo b se tiene: 𝑖2 − 𝑖4 = 0 𝑣2 − 𝑣𝑏 𝑖2 = ; 𝑅3

𝑣𝑏 𝑖4 = 𝑅4

𝑣2 − 𝑣𝑏 𝑣𝑏 = 𝑅3 𝑅4 𝑣𝑏 =

𝑅4 𝑣2 𝑅3 + 𝑅4

Amplificador Operacional Diferencial › Un amplificador de diferencia (amplificador diferencial) es un dispositivo que amplifica la diferencia entre dos entradas pero rechaza toda señal común a las dos entradas.

› Luego 𝑣𝑎 = 𝑣𝑏 𝑅2 𝑣𝑜 = +1 𝑅1 𝑅2 𝑣𝑜 = 𝑅1

𝑅4 𝑅2 𝑣2 − 𝑣1 𝑅3 + 𝑅4 𝑅1 𝑅2 +1 𝑅2 𝑅1 − 𝑣1 𝑅3 𝑅1 +1 𝑅4

Amplificador Operacional Diferencial › Como un amplificador diferencial debe rechazar una señal común a las dos entradas, debe tener la propiedad de que 𝑣𝑜 = 0 cuando 𝑣1 = 𝑣2 . Esta propiedad existe cuando: 𝑅2 𝑅3 = 𝑅1 𝑅4

Luego la expresión para 𝑣𝑜 es: 𝑅2 𝑣𝑜 = (𝑣2 − 𝑣1 ) 𝑅1

Análisis de Circuitos › Introducción: – Una vez vistas y entendidas las leyes fundamentales de la teoría de circuitos (la ley de Ohm y las leyes de Kirchhoff), es momento de aplicarlas aplicarlas al desarrollo de dos eficaces técnicas de análisis de circuitos: el análisis nodal, el cual se basa en una aplicación sistemática de la ley de corriente de Kirchhoff (LCK), y el análisis de lazo, el cual se basa en una aplicación sistemática de la ley de tensión de Kirchhoff (LTK).

Análisis de Circuitos › Introducción: – Una vez vistas y entendidas las leyes fundamentales de la teoría de circuitos (la ley de Ohm y las leyes de Kirchhoff), es momento de aplicarlas al desarrollo de dos eficaces técnicas de análisis de circuitos: el análisis nodal, el cual se basa en una aplicación sistemática de la ley de corriente de Kirchhoff (LCK), y el análisis de lazo, el cual se basa en una aplicación sistemática de la ley de tensión de Kirchhoff (LTK). › Análisis Nodal: – El análisis nodal brinda un procedimiento general para el análisis de circuitos con el uso de tensiones de nodo como variables de circuito. En el análisis nodal interesa hallar las tensiones de nodo. Dado un circuito con n nodos sin fuentes de tensión, el análisis nodal del circuito implica los tres pasos siguientes:

Análisis de Circuitos › Seleccione un nodo como nodo de referencia. Asigne las tensiones 𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 − 1 , a los 𝑛 − 1 nodos restantes. Las tensiones se asignan respecto al nodo de referencia. › Aplique la LCK a cada uno de los 𝑛 − 1 nodos de no referencia. Use la ley de Ohm para expresar las corrientes de rama en términos de tensiones de nodo. › Resuelva las ecuaciones simultáneas resultantes para obtener las tensiones de nodo desconocidos.

Análisis de Circuitos › Recordemos que la corriente fluye de un potencial mayor a un

potencial menor (de un potencial positivo a un potencial negativo) en un resistor. Este principio se puede expresar como: 𝑣𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 − 𝑣𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑖= 𝑅

Análisis de Circuitos › Ejemplo 6: Calcule las tensiones de nodo en el circuito que se muestra en la figura.

Análisis de Circuitos › Solución…

– Aplicamos la LCK y la ley de Ohm en el nodo 𝑣1 y obtenemos como resultado: 𝑖1 − 𝑖2 − 𝑖3 = 0 ⟹ 𝑖1 = 𝑖2 + 𝑖3 5=

𝑣1 − 𝑣2 𝑣1 + ⟹ 𝟑𝒗𝟏 − 𝒗𝟐 = 𝟐𝟎 4 2

– Aplicamos la LCK y la ley de Ohm en el nodo 𝑣2 y obtenemos como resultado: 𝑖2 − 𝑖1 + 𝑖4 − 𝑖5 = 0 ⟹ 𝑖2 + 𝑖4 = 𝑖1 + 𝑖5 𝑣1 − 𝑣2 𝑣2 + 10 = 5 + ⟹ −𝟑𝒗𝟏 + 𝟓𝒗𝟐 = 𝟔𝟎 4 6

– Al sumar las ecuaciones obtenidas para los nodos 𝑣1 y 𝑣2 tenemos que: 4𝑣2 = 80 ⟹ 𝒗𝟐 = 𝟐𝟎𝑽 Luego 𝒗𝟏 = 𝟏𝟑. 𝟑𝟑𝑽

Análisis de Circuitos › Solución… – Ahora resolvemos empleando la regla de Cramer se tiene que: 3 −1 𝑣1 20 = −3 5 𝑣2 60

– Luego el determinante de la matriz es: 3 −3

−1 = 15 − 3 = 12 5

– Luego 𝑣1 y 𝑣2 se pueden obtener de la siguiente forma: 20 −1 ∆1 100 + 60 60 5 𝑣1 = = = = 𝟏𝟑. 𝟑𝟑𝑽 ∆ ∆ 12 3 20 ∆2 180 + 60 𝑣2 = = −3 60 = = 𝟐𝟎𝑽 ∆ ∆ 12

Análisis de Circuitos › Solución… – Si se necesitan las corrientes se pueden obtener fácilmente de las expresiones de cada nodo: 𝑣1 − 𝑣2 𝑖1 = 5𝐴, 𝑖2 = = −1.667𝐴, 4 𝑣1 𝑣2 𝑖3 = = 6.665𝐴, 𝑖4 = 10𝐴, 𝑖5 = = 3.33𝐴 2 6 – El hecho de que 𝑖2 sea negativa, indica que la corriente fluye en sentido contrario al supuesto.

Análisis de Circuitos › Ejercicio 1: Obtenga las tensiones de nodo en el circuito de la figura.

› Respuesta: 𝒗𝟏 = −𝟐𝑽, 𝒗𝟐 = −𝟏𝟒𝑽

Análisis de Circuitos

Análisis de Circuitos › Análisis nodal con fuentes de tensión – Cuando se tienen circuitos con fuentes de tensión para el análisis nodal, se tienen dos posibles casos: › Caso 1: Si una fuente de tensión está conectada entre el nodo de referencia (tierra) y un nodo de no referencia, simplemente se fija la tensión en el nodo de no referencia como igual a la tensión de la fuente de tensión. Por ejemplo: 𝒗𝟏 = 𝟏𝟎𝑽.

› Caso 2: Si la fuente de tensión (dependiente o independiente) está conectada entre dos nodos de no referencia, estos forman un nodo generalizado o supernodo; se aplica tanto la LCK como la LTK para determinar las tensiones de nodo.

Análisis de Circuitos › Aplicando la LCK en el supernodo se tiene que: 𝑖1 − 𝑖2 − 𝑖3 + 𝑖4 = 0 ⟹ 𝑖1 + 𝑖4 = 𝑖2 + 𝑖3

𝑣1 − 𝑣2 𝑣1 − 𝑣3 𝑣2 𝑣3 + = + 2 4 8 6 › Luego se aplica la LTK en el lazo del supernodo.

− 𝑣2 + 5 + 𝑣3 = 0 𝑣2 − 𝑣3 = 5

Análisis de Circuitos › Luego de resolver el sistema de ecuaciones se obtiene que: 𝒗𝟏 = 𝟏𝟎𝑽 𝒗𝟐 = 𝟗. 𝟐𝑽 𝒗𝟑 = 𝟒. 𝟐𝑽 › Y las corrientes de nodo son: 𝒊𝟏 = 𝟎. 𝟒𝑨 𝒊𝟐 = 𝟏. 𝟏𝟓𝑨

𝒊𝟑 = 𝟎. 𝟕𝑨 𝒊𝟒 = 𝟏. 𝟒𝟓𝑨 › NOTA: Un supernodo requiere la aplicación tanto de la LCK como de la LTK.

Análisis de Circuitos › Ejercicio 2: Halle 𝑣 e 𝑖 en el circuito de la figura.

› Respuesta: 𝑣 = −0.2𝑉, 𝑖 = 1.4𝐴.

Análisis de Circuitos

Análisis de Circuitos › Análisis de lazo – El análisis de lazo brinda otro procedimiento general para el análisis de circuitos, con el uso de corrientes de lazo como las variables de circuito. Recuérdese que un lazo es una trayectoria cerrada que no pasa más de una vez por un nodo. Una malla es un lazo que no contiene ningún otro lazo dentro de él. › Pasos para determinar las corrientes de lazo: – Asigne las corrientes de lazo 𝑖1 , 𝑖2 , … , 𝑖𝑛 , a los 𝑛 lazos. – Aplique la LTK a cada uno de los 𝑛 lazos. Use la ley de Ohm para expresar las tensiones en términos de corrientes de lazo. – Resuelva las 𝑛 ecuaciones simultáneas resultantes para obtener las corrientes de lazo.

Análisis de Circuitos › El primer paso requiere asignar las corrientes de lazo 𝑖1 e 𝑖2 a los lazos 1 y 2. › Como segundo paso, se aplica la LTK a cada lazo. De la aplicación de la LTK al lazo 1 se obtiene: −𝒗𝟏 + 𝒊𝟏 𝑹𝟏 + 𝑹𝟑 𝒊𝟏 − 𝒊𝟐 = 𝟎

Al aplicar la LTK en el lazo 2, se obtiene: 𝒗𝟐 + 𝒊𝟐 𝑹𝟐 + 𝑹𝟑 𝒊𝟐 − 𝒊𝟏 = 𝟎

Análisis de Circuitos › Ejemplo 7: En relación con el circuito de la figura, halle las corrientes de lazo 𝐼1 , 𝐼2 e 𝐼3 aplicando el análisis de lazo.

Análisis de Circuitos › Solución: – Primero se obtienen las corrientes de lazo aplicando la LTK en cada lazo. Para el lazo 1 se tiene: −15 + 5𝑖1 + 10 𝑖1 − 𝑖2 + 10 = 0

𝟑𝒊𝟏 − 𝟐𝟓𝒊𝟐 = 𝟏 – Para el lazo 2 se obtiene: −10 + 10 𝑖2 − 𝑖1 + 6𝑖2 + 4𝑖2 = 0 −10𝑖1 + 20𝑖2 = 10 ⟹ 𝒊𝟏 = 𝟐𝒊𝟐 − 𝟏 › Resolviendo el sistema obtenidas se llega a: 𝒊𝟏 = 𝒊𝟐 = 𝟏𝑨

𝑰𝟏 = 𝒊𝟏 = 𝟏𝑨, 𝑰𝟐 = 𝒊𝟐 = 𝟏𝑨,

de

ecuaciones

𝑰𝟑 = 𝑰𝟏 − 𝑰𝟐 = 𝟎𝑨

Análisis de Circuitos › Ejercicio 3: Halle 𝑣 e 𝑖 en el circuito de la figura.

› Respuesta: 𝑣 = −0.2𝑉, 𝑖 = 1.4𝐴.

Análisis de Circuitos

Análisis de Circuitos › Ejercicio 4: Calcule las corrientes de malla 𝑖1 e 𝑖2 en el circuito de la figura.

2 3

› Respuesta: 𝑖1 = 𝐴,

𝑖2 = 0𝐴.

Análisis de Circuitos

Análisis de Circuitos › Análisis de lazo con fuentes de corriente › Cuando se tienen circuitos con fuentes de corriente para el análisis de lazo, se tienen dos posibles casos: › CASO 1: Cuando existe una fuente de corriente sólo en un lazo (figura superior), por ejemplo; se establece 𝑖2 = 5𝐴, se escribe una ecuación de lazo en el otro lazo; esto es: −10 + 4𝑖1 + 6 𝑖1 − 𝑖2 = 0

⟹

𝒊𝟏 = −𝟐𝑨

› CASO 2: Cuando existe una fuente de corriente entre dos lazos (figura inferior), se crea un superlazo excluyendo la fuente de corriente y cualesquiera elementos conectados en serie con ésta y como se puede observar a continuación:

Análisis de Circuitos › La aplicación de la LTK se reduce a: −20 + 6𝑖1 + 10𝑖2 + 4𝑖2 = 0 𝟔𝒊𝟏 + 𝟏𝟒𝒊𝟐 = 𝟐𝟎 › Se aplica la LCK a un nodo de la rama donde se intersecan los dos lazos. La aplicación de la LCK al nodo 0 da como resultado: 𝒊𝟐 =𝒊𝟏 + 𝟔 › Resolviendo las ecuaciones se tiene que:

𝒊𝟏 = −𝟑. 𝟐𝑨,

𝒊𝟐 = 𝟐. 𝟖𝑨

› NOTA: Un superlazo requiere la aplicación tanto de la LTK como de la LCK.

Análisis de Circuitos › Ejemplo 8: Para el circuito de la figura, halle las corrientes 𝑖1 a 𝑖4 aplicando el análisis de lazo.

Análisis de Circuitos › Solución: Primero se analizan los lazos en busca de posibles superlazos que simplifiquen el análisis del circuito.

Análisis de Circuitos › Solución... › Aplicamos la LTK en el superlazo: 6𝑖2 + 2𝑖1 + 4𝑖3 + 8 𝑖3 − 𝑖4 = 0 𝒊𝟏 + 𝟑𝒊𝟐 + 𝟔𝒊𝟑 − 𝟒𝒊𝟒 = 𝟎

› Luego aplicamos la LCK en los nodos 𝑃 y 𝑄. 𝒊𝟐 = 𝒊𝟏 + 𝟓,

𝑖2 = 𝑖3 + 3𝐼0

› Además, se puede observar que: 𝐼0 = −𝑖4 ⟹ 𝒊𝟐 = 𝒊𝟑 − 𝟑𝒊𝟒 › Se aplica ahora la LTK en el lazo 4: 8 𝑖4 − 𝑖3 + 2𝑖4 + 10 = 0 −𝟒𝒊𝟑 + 𝟓𝒊𝟒 = −𝟓

Análisis de Circuitos › Solución... › Resolviendo el sistemas de ecuaciones obtenido, se tiene que los valores para las corrientes de lazo son:

𝒊𝟏 = −𝟕. 𝟓𝑨 𝒊𝟐 = −𝟐. 𝟓𝑨 𝒊𝟑 = 𝟑. 𝟗𝟑𝑨 𝒊𝟒 = 𝟐. 𝟏𝟒𝟑𝑨

Análisis de Circuitos › Ejercicio 5: Aplique el análisis de lazo para determinar 𝑖1 , 𝑖2 , e 𝑖3 en la figura.

› Respuesta: 𝑖1 = 3.474𝐴, 𝑖2 = 0.4737𝐴, 𝑖3 = 1.1052𝐴.

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Dualidad › El principio de dualidad establece un paralelismo entre pares de ecuaciones característicos y sus teoremas de circuitos eléctricos correspondientes.

› En la tabla 1 se muestran los pares duales. Obsérvese que la potencia no aparece en esta tabla. La razón de esto es el principio de linealidad; como la potencia no es lineal, no se le aplica la dualidad. Obsérvese también que el principio de dualidad se extiende a elementos, configuraciones y teoremas de circuitos.

Tabla 1: Pares duales. Resistencia 𝑅

Conductancia 𝐺

Inductancia 𝐿

Capacitancia 𝐶

Tensión 𝑉

Corriente 𝑖

Fuente de tensión

Fuente de corriente

Nodo

Lazo

Trayectoria en serie

Trayectoria en paralelo

Circuito abierto

Cortocircuito

LTK

LCK

Thevenin

Norton

Dualidad › En consecuencia, se dice que dos circuitos son duales si se describen mediante las mismas ecuaciones de características con cantidades duales intercambiadas. › Para hallar el dual de un circuito dado no es necesario escribir las ecuaciones de lazo o de nodo. Se puede usar una técnica gráfica. Dado un circuito planar, se elabora el circuito dual siguiendo estos tres pasos: – Colóquese un nodo en el centro de cada malla del circuito dado. Sitúese el nodo de referencia (la tierra) del circuito dual fuera del circuito dado. – Trácense líneas entre los nodos de manera que cada línea cruce un elemento. Remplace ese elemento por su elemento dual (véase tabla 1). – Para determinar la polaridad de fuentes de tensión y la dirección de fuentes de corriente, sígase esta regla: una fuente de tensión que produce una corriente de malla positiva (en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj) tiene como su dual una fuente de corriente cuya dirección de referencia es de la tierra al nodo de no referencia.

Dualidad › Ejemplo 9: Elabore el dual del circuito de la figura.

Dualidad › Solución:… – Aplicamos el paso 1:

Dualidad › Solución:… – Aplicamos el paso 2:

Dualidad › Solución:… – Aplicamos el paso 2:

Dualidad › Solución:… – Aplicamos el paso 3:

Dualidad › Ejercicio 6: Trace el circuito dual del que aparece en la figura.

Dualidad

Linealidad › La linealidad es la propiedad de un elemento que describe una relación entre causa y efecto. Esta propiedad es una combinación de la propiedad de homogeneidad (escalamiento) y la propiedad de aditividad. › La propiedad de homogeneidad establece que si la señal de entrada se multiplica por una constante, la salida estará multiplicada por la misma constante. En el caso de un resistor, por ejemplo, la ley de Ohm relaciona la entrada 𝑖 con la salida 𝑣. 𝑣 = 𝑖𝑅

Linealidad › Si la corriente se incrementa por una constante 𝑘 , la tensión se incrementa en consecuencia por 𝑘; esto es: 𝑘𝑖𝑅 = 𝑘𝑣 › La propiedad aditiva establece que la respuesta a una suma de entradas es la suma de las respuestas a cada entrada aplicada por separado. Es decir: 𝑣1 = 𝑖1 𝑅 𝑣2 = 𝑖2 𝑅 › Luego de aplicar 𝑖1 + 𝑖2 se tiene:

𝑣 = 𝑖1 + 𝑖2 𝑅 = 𝑖1 𝑅 + 𝑖2 𝑅 = 𝑣1 + 𝑣2 › Se dice que un resistor es un elemento lineal a causa de que la relación tensión-corriente satisface las propiedades tanto de homogeneidad como de aditividad.

Linealidad › Un circuito lineal es aquel cuya salida se relaciona linealmente con (o es directamente proporcional a) su entrada. › Ahora bien, nótese por ejemplo que la relación potenciacorriente o potencia-voltaje es no lineal. Puesto que 𝑃 = 2 2 𝑣 𝑖 𝑅 o 𝑃 = ൗ𝑅 lo cual hace de la potencia una relación cuadrática más que lineal.

Linealidad › Ejemplo 10: Para ilustrar mejor el principio de linealidad, considere el circuito que se muestra en la figura.

› Solución… – Este circuito lineal no tiene dentro de él fuentes independientes. – Puede tomarse la corriente 𝑖 a través de 𝑅 como salida. – Supóngase que 𝑣𝑠 = 10𝑉 da uma corriente 𝑖 = 2𝐴. – De acuerdo con el principio de linealidad si 𝑣𝑠 = 1𝑉, la corriente será 𝑖 = 0.2𝐴.

Linealidad › Ejemplo 11: Para el circuito mostrado en la figura, halle 𝑖0 cuando 𝑣𝑠 = 12𝑉 y 𝑣𝑠 = 24𝑉.

Linealidad › Solución… › Se aplica la LTK en ambos lazos y se obtiene: › Lazo 1: 12𝑖1 − 4𝑖2 + 𝑣𝑠 = 0 › Lazo 2: −10𝑖1 + 16𝑖2 − 𝑣𝑠 = 0, con 𝒗𝒙 = 𝟐𝒊𝟏 › Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene que: 𝑣𝑠 𝑖2 = 76

Cuando 𝑣𝑠 = 12𝑉 ⟹ 𝒊𝟐 =

𝟏𝟐 𝑨 𝟕𝟔

Cuando 𝑣𝑠 = 24𝑉 ⟹ 𝒊𝟐 =

𝟐𝟒 𝑨 𝟕𝟔

› Lo que demuestra que si el valor de 𝑣𝑠 duplica, la corriente 𝑖0 se duplica.

se

Linealidad › Ejercicio 7: Para el circuito de la figura, halle 𝑣0 cuando 𝑖𝑠 = 15𝐴 e 𝑖𝑠 = 30𝐴.

› Respuesta: 𝑣0 = 10, 20𝑉.

Linealidad

Superposición › En un circuito con dos o más fuentes independientes, la forma más común de encontrar el valor de una variable especifica (tensión o corriente) es a través de las leyes de Kirchhoff, sin embargo existe otra forma de determinar la contribución de cada fuente independiente a la variable y luego sumarlas. Este último método se conoce como superposición. › La idea de la superposición se basa en la propiedad de la linealidad.

› El principio de superposición establece que la tensión entre los extremos (o la corriente a través) de un elemento en un circuito lineal es la suma algebraica de las tensiones (o corrientes) a través del mismo debido a que cada fuente independiente actúa sola.

Superposición › Al aplicar el principio de superposición, deben tenerse en cuenta dos aspectos: – Las fuentes independientes se consideran una a la vez mientras todas las demás fuentes independientes están apagadas. Esto implica que cada fuente de tensión se remplaza por 0𝑉 (cortocircuito) y cada fuente de corriente por 0𝐴 (circuito abierto). – Las fuentes dependientes se dejan intactas, ya que son controladas por variables del circuito. › Luego, el principio de superposición se aplica en tres pasos: – Apague todas las fuentes independientes, excepto una. Determine la salida (tensión o corriente) debida a esa fuente activa. – Repita el paso 1 en cada una de las demás fuentes independientes. – Halle la contribución total sumando algebraicamente todas las contribuciones debidas a las fuentes independientes.

Superposición › Ejemplo 12: Aplique el teorema de la superposición para hallar v en el circuito de la figura.

› Solución… – Puesto que hay dos fuentes, se tiene que 𝑣 = 𝑣1 + 𝑣2 , donde 𝑣1 y 𝑣2 son las tensiones suministradas por la fuente de 6𝑉 y 3𝐴 respectivamente. – Al apagar la fuente de corriente se tiene que:

› Al aplicar la LTK en el lazo: −6 + 8𝑖1 + 4𝑖1 = 0 ⟹ 12𝑖1 = 6 𝒊𝟏 = 𝟎. 𝟓𝑨

Superposición › Solución…

› Solución… – Al aplicar la LCK en el lazo:

– Luego:

𝑣1 = 4𝑖1 ⟹ 𝑣1 = 4 0.5 ⟹ 𝒗𝟏 = 𝟐𝑽 – También se puede obtener la tensión 𝑣1 a partir de un divisor de tensión.

4 𝑣1 = 6 4+8

⟹ 𝒗𝟏 = 𝟐𝑽

– Ahora se realiza el análisis apagando la fuente de tensión:

𝑖2 + 𝑖3 = 3 𝑣2 𝑣2 3 + = 3 ⟹ 𝑣2 = 3 ⟹ 𝒗𝟐 = 𝟖𝑽 8 4 8 – Se puede obtener también a partir de un divisor de corriente: 8 𝑖3 = 3 4+8

⟹ 𝒊𝟑 = 𝟐𝑨

– Por ende 𝑣2 = 4𝑖3 ⟹ 𝒗𝟐 = 𝟖𝑽 – Finalmente, 𝑣 = 𝑣1 + 𝑣2 𝑣 = 2𝑉 + 8𝑉 ⟹ 𝒗 = 𝟏𝟎𝑽

Superposición › Ejercicio 8: Aplicando el teorema de la superposición, halle 𝑣0 en el circuito de la figura.

› Respuesta: 𝑣0 = 12𝑉.

Superposición

Superposición › Ejercicio 9: Aplique la superposición para hallar 𝑣𝑥 en el circuito de la figura.

› Respuesta: 𝑣𝑥 = 12.5𝑉.

Superposición