AMBITO OPERATIVO

AMBITO OPERATIVO PREMESSA La topografia, il cui significato originario è “disegno dei luoghi” ,studia le tecniche operative, i metodi e gli strumenti idonei a definire le posizioni relative di un insieme di punti del terreno per consentirne la rappresentazione grafica su un piano in una scala opportuna. La rappresentazione sul piano avviene attraverso un insieme di misure e di elaborazioni cioè il rilievo che è lo strumento operativo della topografia. La carta è il prodotto finale del rilievo. Per ottenere la rappresentazione grafica del terreno non si utilizzano le rappresentazioni classiche 3D quali prospettive o assonometrie bensì si utilizzano delle regole convenzionali più convenienti dal punto di vista pratico. Per realizzare la corrispondenza tra i punti della superficie fisica e i corrispondenti punti sul piano è necessario utilizzare delle superfici di passaggio o di riferimento: Terreno

→

Superfici di riferimento

→

Piano del disegno

Queste superfici di riferimento devono avere le seguenti proprietà:  



devono approssimare al meglio la forma reale della Terra devono essere definite da un modello matematico semplice che permetta di creare la corrispondenza fra i punti fisici del terreno e i punti sul piano del disegno,cioè che consenta il trattamento analitico delle misure bisogna inoltre definire una direzione sia per la proiezione dei punti sia per la misura delle altezze (quote)

Solo per piccole estensioni si può prescindere dal passaggio per la superficie di riferimento e ottenere la carta come proiezione diretta sul piano del disegno. Nel realizzare la rappresentazione grafica si fa distinzione fra le informazioni di posizione planimetrica da quelle altimetriche. Per questo si parla di: 



Planimetria che corrisponde alle operazioni (elaborazione delle misure di angoli e distanze) con le quali per ciascun punto P sulla superficie fisica si ottiene la corrispondente proiezione P0 sul piano. Alrimetria che corrisponde alle operazioni (elaborazione della misura dei dislivelli) con le quali viene determinata la distanza di un punto P sulla superficie fisica e la sua proiezione P0 sulla superficie di riferimento adottata. 1

Le operazioni planimetriche e altimetriche non utilizzano la stessa superficie di riferimento;diciamo fin da ora che per la planimetria si adotta un ellissoide e per l’altimetria una superficie irregolare detta geoide. I SISTEMI DI RIFERIMENTO Per definire la posizione dei punti nell’ambito delle operazioni topografiche vengono utilizzati alcuni sistemi di riferimento. Questi possono essere : 1. globali cioè definiti per tutto il pianeta. A questi appartengono il sistema geocentrico e il sistema geografico. Sono i più semplici e intuitivi 2. locali cioè utilizzati per estensioni limitate (nazionale,regionale,locale) nelle ordinarie operazioni topografiche e nella cartografia. A questi appartengono il sistema cartografico e il sistema cartesiano/polare. Sistema cartesiano globale geocentrico È costituito dalla terna di assi X,Y,Z definita come segue:   



origine nel baricentro della massa terrestre asse Z coincidente con l’asse polare di rotazione asse X collocato nel piano contenente l’asse di rotazione e un punto convenzionale (Greenwich) asse Y complanare e ortogonale all’asse X

Questo riferimento trova applicazione pratica nell’ambito del rilievo satellitare (GPS) Le sue coordinate non consentono di valutare immediatamente la posizione reciproca dei punti considerati e ,soprattutto,non distinguono la posizione planimetrica da quella altimetrica. Sistema geografico Definisce la posizione dei punti per mezzo di due angoli,detti latitudine e longitudine e nel caso di applicazioni satellitari anche da una distanza detta quota ellissoidica. Questi parametri sono così definiti: Latitudine(φ): è l’angolo che la normale alla superficie di riferimento passante per un punto P forma con il piano equatoriale 2

Longitudine (λ): è l’angolo diedro che il piano contenente la proiezione P 0 e l’asse polare forma con un piano meridiano di riferimento (quello passante per Greenwich) Quota (h) : è la distanza tra il punto P e la superficie di riferimento misurata lungo la normale Questo riferimento è usato nell’ambito della navigazione (solo la parte planimetrica) e nella cartografia Sistemi cartografici In ambito cartografico la superficie del pianeta è divisa in fusi compresi tra due piani meridiani la cui differenza di longitudine è di 6° .Questi vengono poi sviluppati nel piano. La parte planimetrica del sistema è costituita da un sistema cartesiano così definito: 





origine nell’intersezione tra l’equatore e il meridiano centrale del fuso asse N (direzione Nord) tangente nell’origine al meridiano centrale asse E (direzione Est) tangente nell’origine all’equatore

La parte altimetrica è fornita dalla quota che come nel sistema geografico. Sistemi cartesiani o polari locali Questi sistemi sono usati nelle operazioni di rilievo di modeste estensioni. Questi sistemi sono definiti su un piano tangente alla superficie di riferimento in un punto arbitrario O (origine). La terna di assi è così definita: 1. asse y: direzione tangente nell’origine al meridiano (nord locale) o a una direzione arbitraria 2. asse x : direzione tangente nell’origine al parallelo o a una direzione arbitraria 3. asse z : direzione normale al piano tangente 3

LA FORMA E LE DIMENSIONI DELLA TERRA (Cenni di geodesia) Fi n dal V secolo a.C. ,i discepoli della la scuola di Pitagora cominciarono a sostenere che la Terra avesse forma sferica,ma il primo tentativo documentato è quello eseguito da Eratostene (2° secolo a.C) in Egitto. Da questa esperienza risultò che la circonferenza della Terra era di 46.600 Km con un errore in eccesso del 15%

Fu solo nel 700, con la scoperta da parte di Newton delle legge di gravitazione universale e con lo studio dei moti terrestri , che si cominciò a dedurre che la Terra non poteva avere forma esattamente sferica,ma dovesse essere schiacciata ai poli. Il campo gravitazionale La forma della Terra, specialmente nel periodo della sua formazione, è influenzata dal campo gravitazionale. Supponiamo che il nostro pianeta sia costituito da una massa omogenea in movimento di rotazione attorno all’asse polare. Ogni punto della superficie terrestre è sottoposto a due forze principali:  

La forza di attrazione universale n diretta verso il baricentro della Terra La forza centrifuga c perpendicolare all’asse di rotazione di intensità proporzionale alla distanza r dall’asse polare

La risultante di queste due forze prende il nome di forza di gravità g e la sua direzione viene chiamata verticale. Ai poli l’intensità di g assume il valore massimo (g=n) e all’equatore il valore minimo (g=n-c)

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Essendo la Terra costituita da materiale deformabile è evidente che la superficie assume una forma schiacciata ai poli. L’ipotesi fatta ,massa omogenea, non è poi tanto realistica perché la densità delle masse varia; quindi le linee su cui agiscono le forze di gravità non si mantengono rettilinee,ma diventano delle linee curve (linee di forza).La verticale ha la direzione sempre tangente a queste linee.

La verticale è un elemento importantissimo nelle nostre discipline : ha la direzione della forza peso e inoltre è materializzabile col filo a piombo. In topografia viene adottata come direzione per proiettare i punti del terreno sulla superficie di riferimento lungo la quale poi misurare la quota dei punti. La verticale consente poi di di definire la posizione planimetrica dei punti sulla superficie fisica utilizzando il sistema di coordinate geografiche che in questo caso vengono chiamate astronomiche perché misurabili con osservazioni astronomiche. Il geoide Esiste una superficie da adottare come modello matematico che ha la caratteristica di essere in ogni suo punto perpendicolare alla verticale quindi alla direzione della forza di gravità? 5

Si,esiste,anzi e ne esistono infinite;esse sono dette superfici equipotenziali. Poiché ne esistono infinite diventa necessario adottarne una di queste scegliendo quella passante per determinati punti fisici della Terra coincidenti con il livello medio dei mari. Questa superficie è stata chiamata geoide. Il geoide è quella superficie equipotenziale del campo gravitazionale che passa per il livello medio del mare nell’ipotesi che questo sia esteso anche sotto le terre emerse. In termini tecnici si usa dire che il geoide è la superficie del mare in quiete prolungata al di sotto delle terre emerse. Il livello dei mari viene determinato con strumenti chiamati mareografi ;in Italia ci sono diverse installazioni,la principale è quella di Genova. Il geoide presenta il grave svantaggio di non essere descrivibile con un modello matematico semplice da poter utilizzare in pratica. Esso si presenta come una superficie caratterizzata da ondulazioni connesse alla variazione del campo gravitazionale terrestre. Per poter sviluppare il modello che matematicamente esprime il geoide bisognerebbe conoscere l’andamento della distribuzione delle masse, sia sulla crosta che all’interno della Terra.

Considerato la complessità di poter usare questo modello, esso non viene usato come superficie di riferimento per la planimetria,mentre invece viene usato per l’altimetria perché è facile determinare le quote dei punti della Terra riferendole al livello medio del mare. Si definisce quota ortometrica QP di un punto P sulla superficie terrestre la distanza del punto P dal geoide misurata lungo la linea di forza della gravità passante per P.

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L’ellissoide di rotazione Per la planimetria si sono ricercate altre superfici di riferimento trattabili con equazioni matematiche semplici e soprattutto utilizzabili in pratica. La prima di queste è l’ellissoide

L’ellissoide di rotazione è ottenuto dalla rotazione attorno al semiasse minore b (asse polare) di un ellisse generatrice con asse maggiore a. Il solido così ottenuto ha i due semiassi maggiori a di dimensioni coincidenti. Il piano da essi generato si chiama piano equatoriale. Tagliando l’ellissoide con piani paralleli a quello equatoriale si ottengono dei cerchi chiamati paralleli;tagliandolo con piani contenenti il semiasse minore si ottengono delle ellissi chiamate meridiani. Considerando un sistema geocentrico l’equazione dell’ellissoide è :

Si definiscono inoltre: schiacciamento s 

X 2 Y 2 Z2  2 1 a2 b

ab a 2  b2 ed eccentricità e  a a2

Per quanto riguarda le dimensioni dell’ellissoide nel tempo in base alla strumentazione a disposizione si sono stimati, per gli ellissoidi principalmente impiegati,i seguenti valori: nome

semiasse equatoriale

schiacciamento

Bessel (1841)

6377397 m

1/299.15

Hayford (1924) ellissoide internazionale

6378388

1/297.00

WGS84 (1984) world geodetic system

6378137

1/298.2572

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Definizione dei punti sull’ellissoide La posizione di un punto sulla superficie fisica della Terra,proiettato sull’ellissoide in P0 secondo la normale può essere definita in due modi: 1. con le tre coordinate di un sistema geocentrico (la Z non è molto utile perché non fornisce la quota) 2. con le coordinate geografiche (in questo caso dette ellissoidiche) e la distanza h di P dall’ellissoide (quota ellissoidica). Le coordinate geografiche ellissoidiche differiscono da quelle astronomiche perché la direzione di proiezione di queste ultime è quello della verticale e non della normale. Le coordinate geografiche astronomiche possono essere misurate,quelle ellissoidiche possono, invece, essere calcolate partendo da quelle astronomiche.

La quota ellissoidica e l’ondulazione del geoide

La quota ortometrica QP (o semplicemente quota) di un punto P sulla superficie è la distanza del punto P dal geoide misurata lungo la linea di forza della gravità passante per P; di conseguenza la quota ortometrica corrisponde allo sviluppo di un

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tratto curvilineo che però può essere approssimato tranquillamente con un segmento rettilineo. La quota ellissoidica hP è la distanza del punto P dall’ellissoide misurata lungo la normale. Essa non ha riscontro fisico (non può essere materializzata) ;possiede solo un significato geometrico. Nel contesto del rilievo satellitare,la quota ortometrica si può dedurre da quella ellissoidica essendo le due quote legate da una grandezza chiamata ondulazione del geoide. Si definisce ondulazione del geoide Np nel punto P lo scostamento tra geoide ed ellissoide in corrispondenza dello stesso punto: NP=hp-QP. Essendo i valori di Np stati determinati si può ottenere Qp. La quota ortometrica determinata in questo modo è approssimata con un errore di 10 cm ,accettabile in molti contesti operativi. Orientamento dell’ellissoide e datum La formazione delle carte si basa sulla  

misura di alcune grandezze sul terreno calcolo delle coordinate in un sistema di riferimento

Nella formazione delle carte tradizionali,per approssimare al meglio la forma della Terra, cioè avere piccoli scostamenti fra geoide ed ellissoide in una zona limitata,si è provveduto a posizionare ed orientare l’ellissoide vincolandolo al geoide in un dato punto (punto di emanazione) posto in posizione baricentrica del territorio considerato (orientamento forte). In questo punto vengono imposte le seguenti condizioni:   

coincidenza tra normale all’ellissoide e la verticale (deviazione della verticale δ=0) coincidenza tra le direzioni del meridiano ellissoidico e di quello astronomico coincidenza tra la quota ellissoidica e quella ortometrica

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Le misure angolari eseguite sul terreno effettuate con gli strumenti topografici,che sono messi in stazione secondo la verticale, possono essere così riferite all’ellissoide senza apportarvi correzioni;comunque la deviazione della verticale può essere conosciuta e si possono apportare le dovute correzioni. L’orientamento locale può essere effettuato anche scegliendo un punto di emanazione tale che abbia una deviazione piccola residua δ min tale da minimizzare le stesse deviazioni in un suo intorno periferico. (orientamento medio) Con l’orientamento geocentrico invece la deviazione della verticale non è mai trascurabile e la superficie ellissoidica si discosta sensibilmente da quella del geoide. Poiché ,nel tempo,sono stati molti di questi riferimenti locali ,al fine di integrare e mettere in relazione le informazioni geografiche riferite a sistemi diversi,a ognuno di questi è stato associato un datum. L’insieme dei parametri che permettono di definire l’ellissoide locale con un preciso orientamento nello spazio viene detto datum.Un datum geodetico è una serie di parametri che comprende :    

L’ellissoide usato Il luogo di orientamento Il sistema di riferimento Un insieme di punti (rete) rilevati e di coordinate note.

Al cambiare del datum cambiano le coordinate dei punti. Per la cartografia ufficiale italiana ,nel 1940, venne scelto il punto di emanazione dell’osservatorio di Monte Mario e gli fu assegnato il nome di Roma40. Verso la metà del secolo scorso ,per esigenze militari e civili, fu deciso di uniformare tutti i riferimenti nazionali europei riferendoli a un unico ellissoide comune. Venne così istituito il datum ED50 .Si è scelto l’ellissoide di Hayford con centro di emanazione Posdnam (in Germania). L’orientamento di questo ellissoide è stato realizzato in modo che nel punto di emanazione non sia garantita la coincidenza tra normale ellissoidica e verticale,ma si abbia piuttosto una deviazione della verticale minima (δ=min). Infine,come ulteriore aggiornamento, si è passati al datum IGM95 con ellissoide geocentrico WGS84 ed è in corso un nuovo aggiornamento,per adeguamento agli standards “International Terrestrial Reference Frame”, ITRF2000. Ellissoide Orientamento

Roma40 HAYFORD Roma Monte Mario φ=41° 55’ 25,51’’ λ=0 (12° 27’ 08,40’’ Greenwich) Azimut su Monte Soratte α=6° 35’ 00,88’’

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ED50 HAYFORD Postdam Orientamento medio europeo 1950 Origine delle longitudini :Greenwich

Definizioni e formule Prendiamo in esame un fascio di piani passanti per la normale n in un generico punto P dell’ellissoide. Questi piani intersecano l’ellissoide secondo linee curve dette sezioni normali caratterizzate da differenti raggi di curvatura; questi raggi variano con continuità da un valore minimo a un valore massimo Le sezioni caratterizzate da questi due valori sono chiamate sezioni principali;esse sono fra loro perpendicolari e i loro raggi sono chiamati raggi principali di curvatura,in particolare quello massimo si chiama gran normale. Il raggio principale minimo si riscontra sul piano meridiano e quello massimo sulla sezione ortogonale alla sezione meridiana. I raggi principali di curvatura sono calcolabili con le formule



a (1  e) 2 (1  e sin  ) 2

2

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N 

a 1  e sin 2  2

Dall’espressione di N è possibile ricavare il raggio di curvatura r del parallelo passante per un punto P. r  N cos  

a cos  1  e 2 sin 2

Si definisce inoltre geodetica la linea di percorso minimo che congiunge due punti dell’ellissoide.

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Il campo sferico o geodetico

La superficie di riferimento ellissoidica viene utilizzata nell’ambito di grandi estensioni. I calcoli sono però piuttosto complicati e quindi si rende necessario optare su superfici più semplici, da usarsi per i calcoli quando l’estensione di territorio su cui si opera si riduce. Naturalmente,tale semplificazione può essere effettuata se si verifica che la differenza tra i risultati dei calcoli ottenuti considerando l’ellissoide e quelli ottenuti con le superfici più semplici sono inferiori agli errori di misura. La prima alternativa è quella di considerare come superficie di riferimento una sfera. La sostituzione avviene per una porzione di territorio limitata quindi non esiste una sola sfera locale,ma ne esisterà una per ciascun punto dell’ellissoide ognuna caratterizzata da un raggio diverso. Considerato un punto P,in un intorno di 100 km di raggio (campo geodetico) la calotta ellissoidica essere sostituita da una sfera avente raggio R  N ; questa sfera si chiama sfera locale in P. Tale approssimazione è lecita solo per le operazioni planimetriche. Le linee geodetiche vengono sostituite nella sfera locala da archi di cerchio massimo;unendo tre punti sulla sfera si ottengono quindi triangoli sferici risolvibili mediante il teorema di Legendre: Nell’ambito del campo geodetico,i triangoli sferici sono risolvibili come triangoli piani i cui lati hanno la stessa lunghezza dei lati dei triangoli sferici e gli angoli uguali a quelli dei triangoli sferici diminuiti ciascuno di 1/3 dell’eccesso sferico. Le superfici S del triangolo piano e di quello sferico sono equivalenti. L’eccesso

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sferico ,espresso in radianti è dato dalla formula E 

S con S superficie del R2

triangolo e R il raggio della sfera locale.

Per i calcoli relativi all’altimetria, i limiti entro cui si può assumere come superficie di riferimento la sfera sono molto più ristretti (15-20 km).In tale contesto la verticale coincide con la perpendicolare alla superficie sferica,dunque con la direzione dei raggi della sfera locale. Il campo topografico Per una zona limitata della sfera attorno a un punto P, detta campo topografico,è possibile sostituire alla sfera locale un piano tangente nel punto stesso. In tale contesto la verticale è sostituita dalla perpendicolare al piano. Per tale ragione il piano tangente viene detto anche piano orizzontale. Per valutare l’ampiezza di tale zona per le operazioni planimetriche consideriamo due punti sulla P e T sulla superficie terrestre e le loro proiezioni P0 eT0 sulla sfera. Tracciamo il piano tangente alla sfera in P0. Se il piano tangente viene adottato come superficie di riferimento la distanza tra i punti P e T è costituita dalla lunghezza d=P0T’ (con T’ proiezione di P sul piano tangente).Occorre quindi valutare l’errore dato dalla differenza fra l’arco di circonferenza P0T0 =l e d : e=l-d. e  l  d  R  tan   R    R  (tan    )

Posto ad es. P0T0 =12 km si ottiene e=1.4 cm ,errore tollerabile anche con le misure di distanza con l'uso di moderni distanziometri elettronici. Per le operazioni altimetriche l’estensione del campo topografico si riduce drasticamente,in quanto l’effetto della curvatura terrestre si ripercuote fortemente sulle misure dei dislivelli e nel calcolo delle quote. Il limite entro il quale la superficie di riferimento può considerarsi piana dipende dalla precisione con cui si vogliono determinare le quote. Per valutare l’ampiezza del campo topografico in questo contesto consideriamo due punti P e T sulla superfie terrsstre e le loro proiezioni sulla sfera locale.Il segmento PP0 13

viene assunto come quota ortometrica QP del punto P e il segmento TT 0 come quota ortometrica del punto T. Quando si sostituisce alla sfera locale il piano tangente passante per P ,nella determinazione della quota del punto T viene commesso l’errore rappresentato dal segmento x=T0T’ (errore di sfericità) Per valutare questo errore applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo OP0T’ D 2  R 2  ( R  x ) 2  R 2  x 2  2 Rx 2 Rx  D 2  x 2

e dividendo per 2R : x 

D2 x2  2R 2R

x2 Considerato il piccolo valore di x rispetto a 2R, il termine 2 R risulta trascurabile, per cui si ha: x

D2 2R

Potendo trascurare errori dell’ordine del centimetro l’estensione del campo topografico è di 300 m , per errori dell’ordine del millimetro è di 100 m.

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