Alonso, Finn - Vol 3 - Cap 3

. 3 ATOMOS CON UN ELECTRON

3.1 lntroducción 3.2 Atomo de hidrógeno 3.3 Espectro del hidrógeno 3.4 Cuantización del momentum angular 3.5 Funciones de onda de un electrón en un campo de fuerzas centrales 3.6 Efecto Zeeman 3.7 Espín del electrón 3.8 Adición de momenta angulares 3.9 lnteracción espín-órbita

3.2) 8.1

Afomo de hidrógeno

113

lntroducción

r r

Comenzaremos nuestro estudio de los átomos resumien do las ideas fundamentales acerca de su estructura atómica. Un átomo tiene una dimensión total del orden de 10-9 m. Está compuesto de un núcleo relativamente pesado (cuyas dimensiones son del orden de 10-14m) alrededor del cual se mueven los electrones, cada uno de carga - e, que ocupan el resto del volumen atómico. El núcleo está compuesto de A partículas (A es el número másico) llamadas nucleones, de las cuales Z son pro. tones (Z es el número afómico), cada uno de carga + e, y N (= A - Z) son neutrones que no tienen carga eléctrica. El núcleo posee entonces una carga .positiva + Ze. En cualquier átomo el número de electrones es ígual al de protones (es decir Z) por lo que el átomo es un sistema eléctricamente neutro. Sin embargo, en ciertas circunstancias un átomo puede ganar o perder algunos electrones, cargándose negativa o positívamente; en este caso se denomina ion. La masa del nucleón es cerca de 1850 veces más grande que la del electrón; en consecuencia, la masa del átomo es prácticamente igual a la de su núcleo. Sín embargo, los electrones Z de un átomo son responsables de la mayoria de las propiedades atómícas que se retlejan en las propiedades macroscópícas de la materia, tales como las propiedades elásticas y electromagnéticas de los diversos materiales. Las interacciones electromagnéticas entre electrones y núcleos de átomos diferent es juegan un papel básico en la ligadura de átomos para formar moléculas, en las reacciones químicas y en prácticamente todas las propiedades macroscópicas de la materia. Podemos explicar el movimiento de los electrones alrededor del núcleo consi

z

---y

x

x dX2-y2

dxy lIf

polares de la fig. 3-11, que representan las funciones d de la tabla 3-5. Para valores mayores de I la situación se hace aún más compleja. Una propiedad importante de las funciones angulares Y/ml es que tienen pari~ dad igual a (-1)/. Esto es, para I = O, 2, 4, ..., entero par, las funciones Y/ml tienen el mismo valor y el mismo signo en puntos situados simétricamente res~ pecto al origen de coordenada s, siendo por lo tanto funciones pares, mientras que para I = 1, 3, 5, ..., entero impar, las funciones Y/ml tienen el mismo valor pero signos opue,stos en puntos simétricos, siendo entonces funciones impares. Se puede demostrar que para transiciones dipolares eléctricas los estados inicial y final deben tener paridades opuestas, por 10 que estos estados no pueden ten er

Fig. 3-11.

Funciones

angulares

de onda para los estados

d (1 = 2).

el mismo valor de 1. Por esa razón, el valor M = O es imposible para esas transiciones, como se indicM anteriormente en relación con la ec. (3.17). La parte radial R(r) de la función de onda Ij¡(r,6, t/J) depende de la energia Y del módulo del momentum angular, pero no de su orientación. Podemos entender esto porque dada la simetria esférica de un campo central, la distribución radial del movimiento electrónico debe ser independiente de la orientaci.n de SuDlomentum angular, o sea que debe ser independiente de m,. Este es el análogo

II"

lli

128

Alomos con un eleclrón TABLA 3-4 aL2yL.

-

1

(3.5

Funciones

anguiares

ml

O

correspondientes

3.,5)

Funciones de onda de un eleclrón

z

aI

129

z

FunCÍón angular

O

Yoo = l/V 47t

O

Y10 =

y

V3/47t cos 6

y

y

1 :1:1

-

O 2

Y20

=f

Y2:l:l= =f

:1:2

Y2:l:2=

1

Imll

O

O

Y 3/87t

= t Y 5/47t

:1:1

TABLA 3-5 aL2yL~

-

Y1:J:J. =

Funciones

sen 6 e

(3 cos2 6 -

1)

Y15/87tsen 6 cos 6e:!:itf>

t V15/27t

x

x

:!:itf>

}l'ig. 3-10.

Funciones

angulares

z

de onda para los estados

z

p (l

=

1).

z

sen2 6 e :!:i2 PI/ = Y 3/47t sen 6 sen 4>

O

dsz'-r'

1

d.,.

dyz

d3z2-r2

1

2

dl/'

2

=

=

5/167t (3 COSS6 -

Y15/47t

=Y

z 1)

sen 6 cos 6 cos

4>

sen 6 cos 6 sen

'"

d"l/ = fi5/47t sens 6 sen 24>

z

---y

x

x dX2-y2

dxy lIf

polares de la fig. 3-11, que representan las funciones d de la tabla 3-5. Para valores mayores de I la situación se hace aún más compleja. Una propiedad importante de las funciones angulares Y/ml es que tienen pari~ dad igual a (-1)/. Esto es, para I = O, 2, 4, ..., entero par, las funciones Y/ml tienen el mismo valor y el mismo signo en puntos situados simétricamente res~ pecto al origen de coordenada s, siendo por lo tanto funciones pares, mientras que para I = 1, 3, 5, ..., entero impar, las funciones Y/ml tienen el mismo valor pero signos opue,stos en puntos simétricos, siendo entonces funciones impares. Se puede demostrar que para transiciones dipolares eléctricas los estados inicial y final deben tener paridades opuestas, por 10 que estos estados no pueden ten er

Fig. 3-11.

Funciones

angulares

de onda para los estados

d (1 = 2).

el mismo valor de 1. Por esa razón, el valor M = O es imposible para esas transiciones, como se indicM anteriormente en relación con la ec. (3.17). La parte radial R(r) de la función de onda Ij¡(r,6, t/J) depende de la energia Y del módulo del momentum angular, pero no de su orientación. Podemos entender esto porque dada la simetria esférica de un campo central, la distribución radial del movimiento electrónico debe ser independiente de la orientaci.n de SuDlomentum angular, o sea que debe ser independiente de m,. Este es el análogo

II"

lli

130

Atomos con un electrón

(3.5

3.5) Funciones

TABLA 8-6 Funciones mos hidrogen oides

-

n

I

1

O

de onda radiales de los áto-

Rnl(r) (p

O 2 1 -

11

1

= 2Zr/nao)

n=3 l,O

1=0

l,O

R (1')- ---1 (Z (2 p)e-p/a ao - 2V2 aota -

4

1 (Z RaI(r)= 2V6 -;;; ra pe-p/a

2

1=0

0,5

1=0

O

1\

o ¡ al

4

o.:~,

8

O

8

r, A

ai

j

4

8

0'2~ ()

8

1=1 ~1112

01~, ' O

,

n=1

40

=

Rno(r) Y1m¡(0, 1».

8

12

1, 2 Y 3. En cada caso, la

4()

n=3

1=0

I=()

20 1»

=

L

I

4 á3 o r, A

1 (Z Ra2(r)= 9V30 -;;;ta pae-p/a

cuántico del resultado clásico de que la energia y el módulo del momentum angular determinan el "tamaño" de la órbita. Por lo tanto, la función radial depende del número cuántico n asociado con la energia, y de I pero no de ml. Luego, estas funciones radiales se representan por Rnl(r) Y la función de onda total es

12

r, A

.'il\'. 3-12. de Funeioncs del hidrógcllo ordcnada la curva ~sradiales (Rnl(r) ro-a/aJ x 10-8. para n

IjInlm¡(r,°,

131

6

Z)* e-p/a RIo(r)= 2 (-;;;

1 (Z ra p(4 - p)e-p/a Ra1(r)= 9Vf>-;;;

2

n=2 2,0

O 1 (Z R30(r)= 9V3 -;;;ra (6 - 6p + pa)e-p/a -------. 3

n=1

de onda de un electrón

2()

(3.18)

La tabla 3-6 da las funciones radiales correspondientes a los tres primeros niveles de energia de los átomos hidrogenoides. La fig. 3-12 muestra estas funciones. La línea de trazos indica en cada caso el radio clásico de la órbita, conforme a la ec. (3.11). Podemos ver que, aunque lo más probable es que el electrón se encuentre dentro del radio clásico de la órbita, también se puede encontrar a distancias mayores. La probabilidad de encontrar el electrón dentro de una capa esférica de radios l' y l' + dI' independientemente de su posición angular es proporcional a r2[Rnl(r)]2 (ver problema 3.25). La fig. 3-13 muestra estas probabilidades. Una particularidad interesante que se aprecia fácilmente en la fig. 3-12 es que las funciones radiales para electrones s tienen valores relativamente grandes para l' pequeño. Decimos que los electrones s describen órbitas penetrantes que llegan muy cerca del núcleo. Los electrones p son menos penetrantes, los electrones d aún menos y así sucesivamente para valores crecientes del momentuIll angular. Esto es fácil de entender si consideramos que (tanto en la mecánica clásica como en la cuántica) el movimiento radial bajo la acción de una fuerza

4

8

12

60 1= 1

~lA"

40

() 2()

) a~

l'ig. 3-13.

Distribución

4o r, A

S

¡

~h

12

,

8

radial de probabilidad

4

()

~

:

-t

((;!

8

12

o

r. A

en el hidrógéno

En cada caso la ordenada es [raRnl(r)ro-I] x 10-1&.

para n

=

..

l, 2 Y 3.

I

130

Atomos con un electrón

(3.5

3.5) Funciones

TABLA 8-6 Funciones mos hidrogen oides

-

n

I

1

O

de onda radiales de los áto-

Rnl(r) (p

O 2 1 -

11

1

= 2Zr/nao)

n=3 l,O

1=0

l,O

R (1')- ---1 (Z (2 p)e-p/a ao - 2V2 aota -

4

1 (Z RaI(r)= 2V6 -;;; ra pe-p/a

2

1=0

0,5

1=0

O

1\

o ¡ al

4

o.:~,

8

O

8

r, A

ai

j

4

8

0'2~ ()

8

1=1 ~1112

01~, ' O

,

n=1

40

=

Rno(r) Y1m¡(0, 1».

8

12

1, 2 Y 3. En cada caso, la

4()

n=3

1=0

I=()

20 1»

=

L

I

4 á3 o r, A

1 (Z Ra2(r)= 9V30 -;;;ta pae-p/a

cuántico del resultado clásico de que la energia y el módulo del momentum angular determinan el "tamaño" de la órbita. Por lo tanto, la función radial depende del número cuántico n asociado con la energia, y de I pero no de ml. Luego, estas funciones radiales se representan por Rnl(r) Y la función de onda total es

12

r, A

.'il\'. 3-12. de Funeioncs del hidrógcllo ordcnada la curva ~sradiales (Rnl(r) ro-a/aJ x 10-8. para n

IjInlm¡(r,°,

131

6

Z)* e-p/a RIo(r)= 2 (-;;;

1 (Z ra p(4 - p)e-p/a Ra1(r)= 9Vf>-;;;

2

n=2 2,0

O 1 (Z R30(r)= 9V3 -;;;ra (6 - 6p + pa)e-p/a -------. 3

n=1

de onda de un electrón

2()

(3.18)

La tabla 3-6 da las funciones radiales correspondientes a los tres primeros niveles de energia de los átomos hidrogenoides. La fig. 3-12 muestra estas funciones. La línea de trazos indica en cada caso el radio clásico de la órbita, conforme a la ec. (3.11). Podemos ver que, aunque lo más probable es que el electrón se encuentre dentro del radio clásico de la órbita, también se puede encontrar a distancias mayores. La probabilidad de encontrar el electrón dentro de una capa esférica de radios l' y l' + dI' independientemente de su posición angular es proporcional a r2[Rnl(r)]2 (ver problema 3.25). La fig. 3-13 muestra estas probabilidades. Una particularidad interesante que se aprecia fácilmente en la fig. 3-12 es que las funciones radiales para electrones s tienen valores relativamente grandes para l' pequeño. Decimos que los electrones s describen órbitas penetrantes que llegan muy cerca del núcleo. Los electrones p son menos penetrantes, los electrones d aún menos y así sucesivamente para valores crecientes del momentuIll angular. Esto es fácil de entender si consideramos que (tanto en la mecánica clásica como en la cuántica) el movimiento radial bajo la acción de una fuerza

4

8

12

60 1= 1

~lA"

40

() 2()

) a~

l'ig. 3-13.

Distribución

4o r, A

S

¡

~h

12

,

8

radial de probabilidad

4

()

~

:

-t

((;!

8

12

o

r. A

en el hidrógéno

En cada caso la ordenada es [raRnl(r)ro-I] x 10-1&.

para n

=

..

l, 2 Y 3.

I

132

Atomos con un electrón

(3.5 11

eentral corresponde a un potencial efectivo

=

Ep,et

+ -2mr2 =

E

E

E p (r)

+

\ 'Potencial \

n' 1(12m + r1)1i2

\

(3.19)

donde Ep(r) es la energía potencial de la fuerza central (el potencíal coulombíano en el caso de un electrón) y L2f2mr2 se denomina potencial centrifugo (ver ejemplo 3.5). Para los estados s tenemos I = O Y no hay potencial centrífugo por lo que Ep,et = Ep' Luego, un electrón s ligado o con energía E negativa (fig. 3-14a) se puede mover clásicamente entre O y A tenien do en consecuencía acceso al origen de coordenadas. La forma de la parte radial de la funcíón de onda debe ser entonces como se muestra en la parte inferior de la figura. (El número de oscilacíones de la funcíón de onda depende de la energía). Para otros valores del momentum angular, la forma del potencial efectivo es cOmo se muestra en la fig. 3-14(b). Clásicamente, el electrón se debe mover por lo tanto entre B y C. Traducímos esto allenguaje cuántico dicíendo que la funcíón de onda debe decrecer rápidamente fuera de los limites clásicos del movimiento, debiendo ser entonces muy pequeña cerca del origen. Cuanto mayor sea el momentum angular, tanto más lejos del origen comienza la funcíón de onda a ser aprecíable y tanto menos "penetrante" es la órbita. Esta característica del movimiento electrónico se refleja en muchas propiedades importantes del átomo. Por ejemplo: los electrones s son muy sensibles a la forma y a la estructura interna del núcleo, mientras que los electrones que tienen momentum angular mayor son mucho menos sensibles a la forma y a la estructura nucleares.

,

Análisis de los operadores

de momentum

angular

"-

-------

r

L

=-

ifiT X V

E

Us

UI/

y %y

%x de donde concIuimos que la componente

~

~

=

-ifi

(

X~ oy

f

r

r

o

'*-'I~ 1r!0 (b)

momentum

Fig. 3.14. Potencial efectivo y función dc onda radial para I = O y I =¡ic. O en el movimiento bajo la acción de una fuerza central.

U.

z %z

Pero ox/ot/> =

-

r sen 6 sen

o -

= -y

ot/>

Z es

-y ~ox ),

(3.20)

y expresiones parecidas para Ls y LI/.Es más conveniente das esféricas. Observando en la fig. 3-8 que

expresar

x = r sen 6 cos t/>, y = r sen 6 sen t/>, z = r cos 6, tenemos

que

~=

o

ox ~+ o ox

oy ~+~~. o oy

.

R(r)

R(r)

t/> =

- y, oy/o = r sen 6 cos t/>= x y oz/ot/>= O.Luego,

o o ---'- + x ox oy

,

con lo que el operador L. se escribe en la forma L.

.E

y sus funciones

2-2, sección 2.12, que el operador

= - i1iI x

r

CI

(a)

Solución: Recordemos de la tabla angular está dado por

1)/r2

'''''....

A

o

,,

centrifugo-l(l+

ElcclrlÍn s (I = O)

EJEMPLO 3.4. propias.

133

de onda de un electrón

\

L2

Ep(r)

Funciones

3.5)

L. en coordena-

L.

=

~.

(3.21)

ot/>

Se puede demostrar que esta relación es absolutamente general y que el operador cuántico correspondiente a la componente del momentum angular según cualquier dirección

está

dado

por

-

ili%, don de t/> es un

ángulo

medido

alrededor

de

esa dirección. La ecuación de valores propios es, conforme a la ec. (2.48), L..Teniendo podemos escribir L2Ylm¡

en cuenta



que V/ñ,2

=¡

propias

tjJ

+ Ep(r)tjJ

en cuenta

1(1 + r2

~ I

que

=

=

1(1 + 1)ñ,2Ylm¡,

L. Ylm¡

=

IU +

1)1i2

2mr2

]

u

Ep(r)

+

IU + 1)1i2 2 mr 2

R + Ep(r)R = ER.

=

Eu.

(3.24)

.

1(1 + 1)lï,2j2mr2 es un potencial

correspondiente, F =

-

8Ep,cen/or, es positiva

centrifugo

porque

y está por lo tanto

la

"fuerza"

dirigida aleján-

Si ponemos Ep = Ze2¡4~Eor obtenemos una ecuación diferencial que admite como soluciones las funciones radialcs dadas la tabla 3-6. Con otras formas de la energia potencial resultan funciones radialesen diferentes.

pr¡ I

de L2 y ...,

E:JE1I1PLO3.6.

Corrección

relativista

a la energia

de átomos

hidrogenoides.

S"'aelóa, Como eXP"eamo, en la 'eeción 2.12, la 'euoo;ón d~ Sobrod;ng", (3.3) obU'n,

para

(~+~ ox2

oy'

+

)

(2 OZ2 -¡.+ Ep(r)-¡'

movimiento

bajo la

para el mo-

a part;,

de ]a exp""ón

no "laUv;,'a

E

~

"

p'/2m,+ E.. E", P'o",o "

'o'"'cio ,'emp" que ]a VOlocidaddel ,I«"ón '" pequ'fia "'p,eto a la ve'ocldad d, la Iu,. En e] ejemplo 3.1 ""Umó que el valo, d, o/e paca un "«',ó" en un "'ado "'ac'o"";o,, del o'd'n de 7 x 104Z/n. EI et«,o "Iatlv]"a deb]do a "ta ve'ocidad, aunque P'quefio, " PU'de deteci" fócllmente con mHodo, "poctm'Cópleo,. La Potencial Ep es (ver ec. A.ll), 'UOCg'a"'aUv'''a de un "eci,ón que.. mueve con momentum p Y !t'ne una enocgla E = cVñ&2+ p2 + Ep-mec',

=

EtjJ.

L2Y¡m¡ = 1(1 + 1)ñ,2Y¡m¡,

-

= mdi Ylm¡.

de Schrodinger

=

EtjJ.

'

Solucióp: Recordemos que según la ec. (2.9) la ecuación de Schrodinger vimiento con una energia potencial Ep(r) es 2m

=

Ep,eff

EI término Ep,cen dose del origen.

+ l(l + 1)Y =0,

es idéntico a la ec. (3.22)J. Esto es: Ylm¡ =

EJEMPLO 8.5. Análisis de la ecuación acción de fuerzas centrales.

-~

+ Ep(r)1ji

De estai

82

que las Ylm¡ son funciones

tjJ

Esta expresión se llama a veces ecuación de Schrodinger radial. Comparando esta ecuación con la ecuación de SChrodinger unidimensional (2.3) concluimos que el potencial por la ec. a (3.19), es decir unidimensional en una energia movimientoefectiva radial dada es equivalente un movimiento

las condiciones :)

es necesario

se designan por Ylm¡ Y son las funciones dadas en la tabla 3-4. La tabla muestra que las funciones Ylm¡ son productos de un factor que depende de 6 y otro que depende

de

}

.

forma hemos obtenido los resulta dos anteriormente establecidos en la sección 3.5, esta es, J.2 = 1(1+ 1)ñ,2.Las soluciones de la ecuación resultante, 8Y 1 Q2Y . 1 8 sen 6

02 8 2

. .

= 1(1+ 1), donde 1 es un entera no negativo, esta es: 1 = O, 1, 2, 3, ... --

o

(sen6- 06 ) +

L2, podemos escribir

valor prOPiO' .i'' .;, .,'

una solución que satisfaga la mecánica

86 1

L2

-8r - -ñ,2r2)

- ~ ~ + [Ep + 2m dr2

¡

depende de los ángulos 6 y , se ha designado con Y(6, donde C es la constante de normalización. Como un mismo punto del espa- III cio está representado por y por + 2~, es necesario que cII( = eim¡(t/>+2",) o ei2",m¡= 1. Esto exige que ml sea un número entero, es decir: ml = O, ::I:1, ::I:2, . . ., como ya se indicó en la sección 3.4. Para determinar C aplicamos la condición de normalización, que en nues tro caso es J~"'cII*clld=1 o

Haciendo

el cambio de COordenadas cartesianas 02

2 o

1

1 -- 2m {-+--+--[ or2 r or r2 sen 6

Recordando

la ec. (3.32) para el operador ñ,2

- -2m (-8r2 82

ml = O, :I:-1, ::I:2, ...,

(3.22)

y los valores propios L. = mlñ, son múltiplos enteros de ñ,. El cuadrado del módulo del momentum angular está dado por el operador

=

L~

+ L~+

8 86

[

(

sen6-

8 86

)

+--.

1

sen2 6 82 ]

(3.23)

!I

Se puede demostrar de contorno

8Y

(

sen6-

86

)

1 +--+-Y=O.

sen2 6

que para obtener

y continuidad

que requiere

Q2Y

V

82

ñ,2

cuántica,

~

86

(sen6- 86 ) + --sen2 6

I... .'

.I

.

[El factor que depende de

(cos 6) eim¡t/>.Teniendo podemos escribir L2Ylm¡

en cuenta



que V/ñ,2

=¡

propias

tjJ

+ Ep(r)tjJ

en cuenta

1(1 + r2

~ I

que

=

=

1(1 + 1)ñ,2Ylm¡,

L. Ylm¡

=

IU +

1)1i2

2mr2

]

u

Ep(r)

+

IU + 1)1i2 2 mr 2

R + Ep(r)R = ER.

=

Eu.

(3.24)

.

1(1 + 1)lï,2j2mr2 es un potencial

correspondiente, F =

-

8Ep,cen/or, es positiva

centrifugo

porque

y está por lo tanto

la

"fuerza"

dirigida aleján-

Si ponemos Ep = Ze2¡4~Eor obtenemos una ecuación diferencial que admite como soluciones las funciones radialcs dadas la tabla 3-6. Con otras formas de la energia potencial resultan funciones radialesen diferentes.

pr¡ I

de L2 y ...,

E:JE1I1PLO3.6.

Corrección

relativista

a la energia

de átomos

hidrogenoides.

S"'aelóa, Como eXP"eamo, en la 'eeción 2.12, la 'euoo;ón d~ Sobrod;ng", (3.3) obU'n,

para

(~+~ ox2

oy'

+

)

(2 OZ2 -¡.+ Ep(r)-¡'

movimiento

bajo la

para el mo-

a part;,

de ]a exp""ón

no "laUv;,'a

E

~

"

p'/2m,+ E.. E", P'o",o "

'o'"'cio ,'emp" que ]a VOlocidaddel ,I«"ón '" pequ'fia "'p,eto a la ve'ocldad d, la Iu,. En e] ejemplo 3.1 ""Umó que el valo, d, o/e paca un "«',ó" en un "'ado "'ac'o"";o,, del o'd'n de 7 x 104Z/n. EI et«,o "Iatlv]"a deb]do a "ta ve'ocidad, aunque P'quefio, " PU'de deteci" fócllmente con mHodo, "poctm'Cópleo,. La Potencial Ep es (ver ec. A.ll), 'UOCg'a"'aUv'''a de un "eci,ón que.. mueve con momentum p Y !t'ne una enocgla E = cVñ&2+ p2 + Ep-mec',

=

EtjJ.

L2Y¡m¡ = 1(1 + 1)ñ,2Y¡m¡,

-

= mdi Ylm¡.

de Schrodinger

=

EtjJ.

'

Solucióp: Recordemos que según la ec. (2.9) la ecuación de Schrodinger vimiento con una energia potencial Ep(r) es 2m

=

Ep,eff

EI término Ep,cen dose del origen.

+ l(l + 1)Y =0,

es idéntico a la ec. (3.22)J. Esto es: Ylm¡ =

EJEMPLO 8.5. Análisis de la ecuación acción de fuerzas centrales.

-~

+ Ep(r)1ji

De estai

82

que las Ylm¡ son funciones

tjJ

Esta expresión se llama a veces ecuación de Schrodinger radial. Comparando esta ecuación con la ecuación de SChrodinger unidimensional (2.3) concluimos que el potencial por la ec. a (3.19), es decir unidimensional en una energia movimientoefectiva radial dada es equivalente un movimiento

las condiciones :)

es necesario

se designan por Ylm¡ Y son las funciones dadas en la tabla 3-4. La tabla muestra que las funciones Ylm¡ son productos de un factor que depende de 6 y otro que depende

de

}

.

forma hemos obtenido los resulta dos anteriormente establecidos en la sección 3.5, esta es, J.2 = 1(1+ 1)ñ,2.Las soluciones de la ecuación resultante, 8Y 1 Q2Y . 1 8 sen 6

02 8 2

. .

= 1(1+ 1), donde 1 es un entera no negativo, esta es: 1 = O, 1, 2, 3, ... --

o

(sen6- 06 ) +

L2, podemos escribir

valor prOPiO' .i'' .;, .,'

una solución que satisfaga la mecánica

86 1

L2

-8r - -ñ,2r2)

- ~ ~ + [Ep + 2m dr2

¡

depende de los ángulos 6 y , se ha designado con Y(6,