Aljabar Boolean Dan Gerbang Logika

Aljabar Boolean dan Gerbang Logika Oleh : Riza Afriza Islami 0904505016 JURUSAN TEKNIK ELEKTRO PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS UDAYANA [email protected]  ABSTRAKSI  Logika adalah salah satu pelajaran yang dipelajari oleh kalangan-kalangan yang ingin bisa menguasai ilmu  komputer atau hal-hal lain yang menyangkut di dalamnya. Adapun sub-subab yang akan dipelajari dalam logika adalah tentang aljabar Boolean dan juga mengenai gerbang logika. Kedua subab ini sangat penting  untuk dipelajari nantinya karena merupakan salah satu elemen penting bagi para pencipta program untuk  bisa menciptakan programnya, karena pada hakikatnya hal terpenting yang dibuthkan untuk menciptakan suatu program adalah pola pikir dan juga kemampuan berlogika para penciptanya. Dalam aljabar Boolean nant nantin inya ya akan akan dije dijela lask skan an meng mengen enai ai huku hukumm-hu huku kum m logi logika ka,, syar syarat at-s -sya yara ratt yang yang berl berlak aku u untu untuk  k  engimplementasikan engimplementasikan hukum-hukum hukum-hukum logika tersebut serta mengenal logic families dan dalam gerbang logika nantinya nantinya akan dijelaska dijelaskan n mengena mengenaii struktur-s struktur-strukt truktu u pembent pembentuk uk gerbang gerbang logika, logika, contoh-co contoh-contoh ntohnya nya serta serta  pelaksanaan atau pengimplementasiannya dalam kehidupan sehari-hari. Keywords : aljabar Boolean, gerbang logika.

A.

B. Definisi Aljabar Boolean Boolean dan Gerbang Logika Alja Aljab bar bool boolea ean, n, sepe sepert rtii sist sistem em mate matema mati tika ka deduktif lain, dapat didefinisikan dengan satu set unsur unsur-un -unsur sur,, satu satu set opera operator tor,, dan sejum sejumlah lah aksiom aksioma a yang yang belum belum bisa bisa dibukt dibuktika ikan n atau atau postu postula lat. t. Satu Satu set unsur unsur-un -unsur sur adala adalah h setiap setiap koleksi koleksi obyek obyek memiliki memiliki properti umum. Jika S adalah satu set, dan x dan benda-benda tertentu, kemud kemudian ian x ε S menun menunjuk jukkan kan bahwa bahwa x adala adalah h angg anggota ota himpu himpuna nan n S, dan dan y £ S menu menunju njukka kkan n bahwa y bukan merupakan unsur S. Satu set deng dengan an jumlah jumlah elemen elemen denum denumera erable ble adala adalah h ditent ditentuka ukan n oleh oleh kurung kurung:: A = (1, 2, 3, 4), yaitu yaitu unsur-unsur himpunan A adalah angka-angka 1, 2, 3, dan 4. Sebuah operator biner didefinisikan pada sebuah himpunan himpunan dari unsur-uns unsur-unsur ur yang merupakan suatu aturan yang diberikan kepada tiap pasangan elemen dari S elemen unik dari S. Sebagai contoh, perhatikan hubungan a * b = c. Kita mengatakan bahwa * adalah operator biner    jika menetapkan sebuah aturan untuk mencari c dari pasangan (a, b) dan juga jika a, b, c ϵ S. Namun, * bukan merupakan operator biner jika a, b ε S, sementara aturan menemukan c £ S.

Dalil-dalil sistem matematis membentuk asumsiasum sumsi dasar sar yang yang dimu imungki ngkink nkan an untuk tuk menyimp menyimpulka ulkan n peratura peraturan, n, teorema, teorema, dan properti properti dari dari sist sistem em.. Dali Dalill-da dali lill yang yang pali paling ng umum umum digunaka digunakan n untuk untuk merumusk merumuskan an berbagai berbagai struktur  struktur  aljabar adalah:

1. Penutupan. Satu set S tertutup tertutup terhadap terhadap operator operator biner   jika, untuk setiap pasang elemen S, operator  bine binerr mene meneta tapk pkan an sebu sebuah ah atura turan n untu untuk k mendap mendapatka atkan n elemen elemen yang unik S. Sebagai Sebagai contoh, himpunan bilangan asli N = (1, 2, 3, 4,...) adalah tertutup terhadap biner operator  plus (+) dengan aturan aritmatika. Selain itu, karena untuk setiap a, b ε N kita mendapatkan yang unik c ε N oleh operasi a + b = c . Himp impunan bila ilangan ngan asl asli tida tidak k tertu rtutup tup berkena berkenaan an dengan dengan operator operator biner biner minus minus (-) dengan aturan aritmatika pengurangan karena 2-3 = - 1 dan 2, 3 e N, sedangkan (- 1) £ N. 2. Hukum Asosatif  Sebuah operator biner * pada sebuah himpunan S dikatakan asosiatif bila:

(x * y) * z = x * (y * z) untuk semua x, y, z ε S 

3. Hukum Komunikatif  Sebuah operator biner * pada himpunan S dikatakan komutatif jika

sebuah

 x + y = y + x untuk semua x,y S 

4. Hukum komutatif. Sebuah operator biner * pada himpunan S dikatakan komutatif bila:

sebuah

 x * y = y * x untuk semua x,y ∈ S 

5. Elemen identitas. Satu set S dikatakan memiliki elemen identitas terhadap operasi biner * pada S jika terdapat sebuah elemen e ∈ S dengan properti: e * x = x * e = x untuk setiap x ∈ S  Contoh: Unsur 0 adalah elemen identitas terhadap operasi pada himpunan bilangan bulat I = (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...) ketika :  X + 0 = 0 + x = x untuk setiap x ∈ I 

6. Inverse.

Satu set S mempunyai elemen identitas e sehubungan dengan operator biner  * ini dikatakan memiliki invers kapan saja, untuk setiap x ∈ S, terdapat elemen y ∈ S sedemikian rupa sehingga:  x * y = e Contoh: Dalam himpunan bilangan bulat I dengan e = 0, invers dari suatu unsur α adalah (- α) sejak α (-α) = 0.

7. Hukum distributif. Jika * dan. adalah dua operator biner pada himpunan S, * dikatakan distributif atas. Ketika :  x * (y. z) = (x * y). (x * z) Contoh dari struktur aljabar adalah bidang sebuah. Sebuah bidang adalah seperangkat unsur-unsur, bersama dengan dua operator biner, masing-masing mempunyai sifat 1 sampai 5 dan kedua operator dikombinasikan untuk memberikan properti 6. Himpunan bilangan real bersama-sama dengan operator dan biner. membentuk bidang bilangan real. Bidang bilangan real adalah dasar aritmatika dan aljabar biasa.

Operator dan dalil-dalil tersebut memiliki arti sebagai berikut: a. Mendefenisikan operator tambahan b. Identitas penjumlahan adalah nol (0) c. Mendefenisikan invers penjumlahan dan pengurangan d. Operator biner (.) mendefinisikan perkalian e. Identitas perkalian adalah 1 f. Perkalian invers α = 1 / α mendefinisikan divisi, yaitu, α. 1 / α = 1. g. Satu-satunya hukum yang berlaku distributif  adalah bahwa dari (.) atas: α. (b c) = (a. b) (a. c )

A. Definisi Aksiomatik Aljabar Boolean Pada tahun 1854 George Boole (1) memperkenalkan pengobatan sistematis logika dan dikembangkan untuk tujuan ini kini sistem aljabar Boolean disebut aljabar. Pada tahun 1938 CE Shannon (2) memperkenalkan dua nilai yang disebut Aljabar Boolean aljabar switching, di mana ia menunjukkan bahwa sifat-sifat rangkaian saklar listrik bistable dapat diwakili oleh aljabar ini. Untuk definisi formal Aljabar Boolean, kita akan menggunakan dalil-dalil yang dirumuskan oleh EV Huntington (3) pada tahun 1904. Postulat atau aksioma ini tidak unik untuk mendefinisikan Aljabar Boolean. Set postulat lain telah menggunakan *. Aljabar Boolean adalah struktur aljabar yang didefinisikan pada sebuah himpunan elemen B bersama-sama dengan dua operator biner (+) dan (.) bersama-sama dengan yang di bawah ini (Huntington) : 1. a. Pendekatan dengan operator (+) b. Pendekatan dengan operator (.) 2. a. Sehubungan dengan, ditunjuk oleh 0:  x + 0  = 0 + x = x. b. elemen identitas terhadap (.)., ditunjuk oleh 1: x . 1 = 1 . x = x. 3. a. Komutatif terhadap + :  x + y = y +x . b. Komutatif terhadap. : x . y = y . x. 4. a. (.) adalah distributif atas + : x . (y + z) = (x . y) + (x . z). b. (+) adalah distributif atas (.) : x + (y . z) = (x + y) . (x + z). 5. Untuk setiap elemen x ∈ B, terdapat elemen x '∈ B (disebut komplemen dari x) sedemikian rupa sehingga: (a) x + x' = 1 dan (b) x. x '= 0. 6. Terdapat setidaknya dua elemen x, y ∈ B sedemikian sehingga x ≠ y.

Dengan membandingkan aljabar Boolean dengan aritmatika dan aljabar biasanya (bidang bilangan real), kita perhatikan perbedaan berikut ini :

1. Postulat Huntington tidak termasuk hukum

2. 3. 4. 5.

asosiatif. Namun, hukum ini berlaku untuk Aljabar Boolean dan dapat diturunkan (baik untuk operator) dari dalil-dalil lain. Hukum distributif + atas •, yaitu, x + (y - z) = (x + y) - (x + z), berlaku untuk aljabar Boolean, tetapi tidak untuk aljabar biasa. Aljabar Boolean tidak memiliki tambahan atau perkalian invers; ada kedepan, tidak ada pengurangan atau divisi operasi. Postulat 5 mendefinisikan operator yang disebut komplemen yang tidak tersedia dalam aljabar biasa. Aljabar biasa berhubungan dengan bilangan real, yang merupakan kumpulan elemen tak terbatas. Aljabar Boolean berkaitan dengan belum terdefinisikan seperangkat unsur-unsur  B, tapi dalam dua Aljabar Boolean bernilai didefinisikan di bawah ini (dan kepentingan dalam penggunaan berikutnya kita aljabar ini), B didefinisikan sebagai satu set dengan hanya dua elemen, 0 dan 1 .

Aljabar boolean menyerupai aljabar biasa dalam beberapa hal. Pilihan simbol-simbol + dan (.) disengaja diberlakukan untuk memfasilitasi memanipulasikan aljabar Boolean oleh orangorang yang sudah tahu dan mengerti serta dapat mengimplementasikan penggunaan aljabaraljabar biasa. Meskipun orang dapat menggunakan beberapa ilmu tepi dari aljabar  biasa untuk berurusan dengan aljabar Boolean, para pemula harus berhati-hati untuk tidak mengganti aturan aljabar biasa di mana dan disaat aturan tersebut tidak berlaku. Penting untuk dapat membedakan antara unsurunsur dari himpunan struktur aljabar dan variabel dari sistem aljabar. Sebagai contoh, unsur-unsur  bidang bilangan real adalah bilangan, sedangkan variabel seperti a, b, c, dll, (yang digunakan dalam aljabar biasa), adalah simbol yang digunakan untuk bilangan real. Demikian pula dalam aljabar  Boolean, orang mendefinisikan elemen dari himpunan B, dan variabel seperti x y, z adalah hanya simbol-simbol yang mewakili elemen. Pada hal ini sangat penting untuk menyadari bahwa dalam rangka untuk menggunakan aljabar  Boolean, pengguna harus dapat menunjukkan : 1. Unsur-unsur dari himpunan B 2. Aturan operasi untuk dua bilangan biner  3. Himpunan bilangan B, bersama dengan dua operator memenuhi postulat Huntington 6

Pengguna dapat merumuskan banyak aljabar  Boolean, tergantung pada pilihan dari unsur-unsur  B dan aturan-aturan operasi .* Dalam pekerjaan selanjutnya, kita hanya dapat berurusan dengan dua nilai Aljabar Boolean, yaitu, satu dengan hanya dua elemen. Dua nilai Aljabar Boolean mempunyai aplikasi dalam teori himpunan (dalam kelas-kelas aljabar) dan dalam logika proposisional. Ketertarikan kita di sini adalah dengan penerapan Aljabar Boolean untuk tipe gerbang sirkuit.

B.1. Dua Nilai Aljabar Boolean Sebuah dua nilai aljabar Boolean adalah didefinisikan dalam sebuah dua elemen B = {0, 1}, dengan aturan-aturan untuk dua operator biner + and (.) seperti ditunjukkan dalam table operator  (aturan untuk operator komplemen adalah untuk memverifikasi postulat 5).

x

y

X.y

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

x

y

X.y

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

x

x’

0

1

1

0

Aturan ini persis sama dengan operasi AND, OR, dan NOT. Sekarang kita harus menunjukkan bahwa postulat Huntington berlaku untuk himpunan B = (0, 1) dan dua operator biner yang didefinisikan di atas.

1. Pendekatan adalah jelas dari tabel ketika hasil dari setiap pengoperasian adalah 1 atau 0 dan 1, dimana 0 ∈ B. 2. Dari tabel kita melihat bahwa : a. 0 + 0 = 0 0+1=1+0=1 b. 1 . 1 = 1 1.0=0.1=0 Yang menetapkan dua elemen identifikasi (identify elements) 0 untuk + dan 1 untuk (.) seperti telah didefinisikan dalam postulat 2. 1. Hukum komunikatif jelas dari tabel simetri operator biner. 2. Hukum distributif  a. Hukum distributif  x . (y + z) = (x . y) + (x . z) dapat ditunjukkan dan berlaku dari operator  tabel dengan membentuk tabel kebenaran dari semua kemungkinan nilai  x, y, dan z . Untuk setiap kombinasi, kita peroleh x . (y + z) dan menunjukkan bahwa  x  . ( y + z ) mempunyai nilai yang sama dengan (x . y) + (x . z). x

y

z

0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1

y+ z  0 1 1 1 0 1 1 1

 x. (y+z) 0 0 0 0 0 1 1 1

x.y

x.z

0 0 0 0 0 0 1 1

0 0 0 0 0 1 0 1

(x.y)+ (y.z) 0 0 0 0 0 1 1 1

b. Hukum

distributif + atas (.) dapat ditunjukkan berlaku melalui tabel kebenaran yang mirip dengan yang di atas. 1. Dari tabel komplemen tersebut dengan mudah ditunjukkan bahwa : a. x + x '= 1, karena 0 + 0' = 0 + 1 = 1 dan 1 + 1 '= 1 + 0 = 1. b. x . x '= 0, karena 0 . 0 '= 0 . 1 = 0 dan 1 . 1 '= 1 . 0 = 0 yang membenarkan postulat 5. 1. Dalil 6 adalah tepat karena kedua nilai Aljabar  Boolean memiliki dua elemen berbeda 1 dan 0 dengan 1 ≠ 0. Kita baru saja menetapkan sebuah dua nilai Aljabar Boolean yang memiliki satu set dari dua elemen, 1 dan 0, dua operator biner dengan aturan operasi setara dengan operasi AND dan OR, dan operator pelengkap setara dengan operator NOT. Dengan demikian, aljabar Boolean telah didefinisikan dalam cara matematika formal dan telah ditunjukkan untuk setara dengan logika

biner yang disajikan dalam Bagian heuristik. Presentasi yang heuristik membantu dalam memahami penerapan Aljabar Boolean untuk tipe gerbang sirkuit. Presentasi formal diperlukan untuk mengembangkan teorema dan sifat sistem aljabar. Dua nilai Aljabar Boolean yang didefinisikan dalam bagian ini juga disebut "switching aljabar" oleh para insinyur. Menekankan kesamaan antara dua nilai Aljabar  Boolean dan sistem biner, aljabar ini disebut "logika biner". Dari sini, kita akan menjatuhkan kata sifat "dua-nilai" dari Aljabar Boolean dalam diskusi berikutnya.

A. Teorema Dasar dan Sifat dari Aljabar  Boolean C.1. Dualitas Postulat Huntington telah terdaftar berpasangan dan ditunjuk oleh bagian (a) dan bagian (b). Satu bagian dapat diperoleh dari yang lain jika operator  biner dan elemen-elemen identitas dipertukarkan. Properti yang penting ini dalam Aljabar Boolean disebut prinsip dualitas. Ini menyatakan bahwa setiap aljabar pengurangan dari dalil-dalil Aljabar  Boolean tetap berlaku jika operator dan elemenelemen identitas dipertukarkan. Dalam dua nilai aljabar Boolean, elemen-elemen identitas dan unsur-unsur dari himpunan B adalah sama, yaitu 1 dan 0. Prinsip dualitas memiliki banyak aplikasi. Jika kita menginginkan sebuah rangkap dari ekspresi aljabar, kita hanya melakukan pertukaran OR dan operator AND dan menggantikan 1 oleh 0 dan 0 oleh 1.

C.2. Teorema Dasar  Dalam tabel 1.1 terdapat enam teorema Aljabar  Boolean dan empat dari postulat. Notasi ini disederhanakan dengan menghilangkan • setiap kali dioperasikan untuk menghindari menimbulkan kebingungan. Teorema dan postulat yang tercantum adalah hubungan yang paling dasar  dalam aljabar Boolean. Pembaca disarankan untuk menjadi akrab dengan mereka sesegera mungkin. Teorema seperti postulat, tercantum berpasangan dan setiap relasi merupakan suatu ganda dari satu pasang. Dalil-dalil adalah aksioma dasar dari struktur aljabar dan tidak memerlukan bukti. Teorema harus dibuktikan dari dalil-dalil. Bukti-bukti dari teorema dengan satu variabel yang disajikan di bawah ini. Di sebelah kanan tercantum jumlah dalil yang membenarkan

setiap langkah didapatkan.

dari

bukti-bukti

yang

telah

Tabel 1.1 Postulat dan Teorema dari Aljabar Boolean

Postulate 2 Postulate 5 Theorem 1 Theorem 2 Theorem 3, involution Postulate 3, communicative Theorem 4, Associative

Postulate 4, Distributive Theorem 5, DeMorgan Theorem 6, Absorption

(a) x + 0 =x (a) x + x’ =1 (a) x + x =x (a) x + 1 =1 (a) (x’)’ = x (a) x + y = y + x (a) x+ (y+z) = (x+y) +z (a) x(y+z) = xy + yz (a) (x+y)’ = x’y’ (a) x + xy =x

Teorema 1(a) : x + x = x x + x = (x + x) . 1 = (x + x)(x + x’) = x + xx’ =x+0 =x Theorem 1(b) : x . x = x x.x = xx + 0 = xx + xx’ = x(x + x’) =x.1 =x

(b) x .1 = x (b)

x . x’ = 0 (b) x . x = x (b) x . 0 = 0

(b) xy = yx

(b) x(yz) (xy)z

=

(b) x+yz = (x+y) (y+z) (b) (xy)’ = x’ + y’ (b) x(x+y)= x

by postulate : 2(b) 5(a) 4(b) 5(b) 2 (a)

Perhatikan bahwa teorema 1 (b) adalah dual  dari teorema 1 (a) dan bahwa setiap langkah dari bukti pada bagian (b) adalah dual  pada bagian (a). Teorema dual apapun dapat juga berasal dari bukti dari pasangan yang sesuai. Teorema 2(a) : x + 1 = 1 x + 1 = 1 . (x + 1) = (x + x’)(x + 1) = x + x’ . 1 = x + x’ =1 Teorema 2(b) : x . 0 oleh dualitas.

Teorema 3 : ( x ')' = x . dari dalil 5, kita punya x +  x ' = 1 dan  x  .  x ' = 0, yang mendefinisikan komplemen dari  x . Komplemen dari  x ' adalah  x  dan juga ( x' )'. Oleh karena itu, sejak komplemen adalah operasi yang unik, kita mendapati bahwa (x')' = x. Teorema yang melibatkan dua atau tiga variabel dapat dibuktikan secara aljabar dari dalildalil dan teorema yang telah terbukti. Sebagai contoh adalah penyerapan teorema. Teorema 6(a) : x + xy = x x + xy = x . 1 + xy = x(1 + y) =x.1 =x Teorema 6(b) : x(x + y) = x oleh teori dualitas Teorema dari Aljabar Boolean dapat ditunjukkan berlaku atau dapat digunakan melalui tabel kebenaran. Dalam tabel kebenaran, kedua sisi dari relasi yang diperiksa untuk menghasilkan semua kemungkinan hasil identik kombinasi variabel yang terlibat. Tabel kebenaran berikut memverifikasi penyerapan teorema pertama. x 0 0 1 1

y 0 1 0 1

xy 0 0 0 1

x + xy 0 0 1 1

Aljabar asosiatif membuktikan hukum dan teorema De Morgan adalah panjang dan tidak akan ditampilkan di sini. Namun, validitas aljabar  tersebut dapat dengan mudah ditunjukkan dengan tabel kebenaran. Sebagai contoh, tabel kebenaran untuk pertama teorema De Morgan (x + y) '= x'y' ditampilkan di bawah. x 0 0 1 1

y 0 1 0 1

xy 0 0 0 1

x + xy 0 0 1 1

C.3. Operator Precedence Operator  Precedence digunakan untuk mengevaluasi ekspresi-ekspresi Boolean, misalnya : 1. Tanda kurung 2. NOT 3. AND 4. OR Ddengan kata lain, ungkapan di dalam tanda kurung harus dievaluasi sebelum semua operasi lain. Operasi berikutnya yang memegang  precedence adalah komplemen, kemudian

mengikuti AND, dan akhirnya OR. Sebagai contoh, perhatikan tabel kebenaran untuk teorema De Morgan. Sisi kiri dari ekspresi adalah (x + y) '. Oleh karena itu, ekspresi di dalam tanda kurung pertama dievaluasi dan hasilnya kemudian dilengkapi. Sisi kanan adalah ungkapan x'y'. Oleh karena itu, komplemen dari x dan komplemen y dari keduanya dievaluasi terlebih dahulu dan hasilnya kemudian di-AND-kan.

C.4 Diagram Venn Sebuah ilustrasi bantu yang dapat digunakan untuk memvisualisasikan hubungan antara variabel-variabel dari suatu persamaan Boolean adalah diagram Venn. Diagram ini terdiri dari sebuah persegi panjang seperti ditunjukkan pada Gambar. 1.1, yang di dalamnya digambar  lingkaran tumpang tindih, satu untuk setiap variabel. Masing-masing lingkaran diberi label oleh sebuah variabel. Kita menetapkan semua titik di dalam sebuah lingkaran sebagai milik yang bernama variabel dan semua titik di luar lingkaran tidak termasuk dalam variabel. Sebagai contohnya, lingkaran berlabel x. Jika kita di dalam lingkaran, kita katakan bahwa x = 1 sedangkan saat berada di luar, kita katakan x = 0. Sekarang, dengan dua lingkaran tumpang tindih, ada empat wilayah yang berbeda di dalam persegi panjang : daerah yang tidak termasuk salah x atau y (x'y') dia daerah dalam lingkaran y tetapi di luar x (x'y), area dalam lingkaran x tetapi di luar (xy'), dan daerah dalam kedua lingkaran (xy). Diagram Venn dapat digunakan untuk menggambarkan dalil-dalil aljabar Boolean atau untuk menunjukkan keabsahan teorema. Gambar  1.2, misalnya, menggambarkan bahwa daerah milik xy adalah di dalam lingkaran x dan karenanya x + xy = x. Gambar 1.3 menggambarkan hukum distributif x (y + z) = xy + xz. Dalam diagram ini kita memiliki tiga lingkaran yang tumpang tindih, satu untuk setiap variabel x, y, dan z. Adalah mungkin untuk membedakan delapan daerah yang berbeda dalam tiga variabel diagram Venn. Misalnya, hukum distributif  ditunjukkan dengan mencatat bahwa kawasan tersebut memotong lingkaran x dengan melampirkan area y atau z adalah daerah yang sama dengan daerah xz atau daerah xy.

Gambar 1.1 Diagram Venn untuk Dua Variabel

Gambar 1.2 Ilustrasi Diagram Venn x = xy + x

x (y + z)

xy + xz Gambar 1.3 Ilustrasi Diagram Venn Hukum Distributif 

A. Fungsi-Fungsi Boolean Sebuah variabel biner dapat mengambil nilai 0 atau 1. Sebuah ekspresi fungsi boolean dibentuk dengan variabel biner, dua operator biner OR dan AND, para operator unary TIDAK, tanda kurung, dan tanda sama. Untuk nilai dari variabel-variabel, fungsi dapat berupa 0 atau 1. Perhatikan misalnya, fungsi Boolean : F 1 = xyz’ 

Fungsi F1 adalah sama dengan 1 jika x = 1 dan y = 1 dan z '= 1; jika F1 = 0. Di atas adalah contoh dari fungsi Boolean direpresentasikan sebagai ekspresi aljabar. Sebuah fungsi Boolean dapat   juga diwakili dalam tabel kebenaran. Untuk mewakili salah satu fungsi dalam sebuah tabel kebenaran, kita perlu daftar 2 n kombinasi 1's and 0's dari n variabel biner, dan kolom yang menunjukkan kombinasi fungsi yang sama dengan 1 atau 0. Sebagaimana ditunjukkan dalam tabel 1.2, ada delapan kemungkinan kombinasi berbeda untuk menugaskan bit untuk tiga variabel. Kolom berlabel F 1 baik berisi 0 atau 1 untuk masing-masing kombinasi. Tabel ini menunjukkan bahwa fungsi F 1 adalah sama dengan 1 hanya ketika x = 1, y = 1, dan z = 0. Hal

Setiap fungsi Boolean dapat diwakili dalam tabel kebenaran. Jumlah baris dalam tabel adalah 2 n, di mana n adalah jumlah variabel biner dalam fungsi. Angka 1 dan 0 merupakan kombinasi untuk setiap baris yang dengan mudah diperoleh dari bilangan biner dengan menghitung dari 0 hingga 2n - 1. Untuk setiap baris pada tabel, ada nilai untuk fungsi sama baik 1 atau 0. Pertanyaannya sekarang muncul, Apakah ekspresi aljabar dari suatu fungsi Boolean unik? Dengan kata lain, Apakah mungkin untuk menemukan dua ekspresi aljabar yang menentukan fungsi yang sama? Jawaban atas pertanyaan ini adalah ya. Sebagai soal fakta, manipulasi Aljabar Boolean diterapkan terutama untuk masalah menemukan ekspresi sederhana untuk fungsi yang sama. Perhatikan misalnya, fungsi : F 4 = xy’ + x’z 

ini sama dengan 0 sebaliknya. Pertimbangkan fungsi : F 2  = x + y’z  F 2  = 1 jika x = 1 atau jika y = 0, sedangkan z = 1. Dalam tabel 1.2, x = 1 dalam empat baris terakhir  dan yz  = 01 di baris 001 dan 101. Kombinasi Yang terakhir juga berlaku untuk  x  = 1. Oleh karena itu, ada lima kombinasi yang membuat F 2  = 1. Sebagai contoh ketiga, perhatikan fungsi berikut : F 3 = x’y’z + x’yz + xy’  Hal ini diperlihatkan pada tabel 1.2 dengan empat 1's dan empat 0's. F 4 adalah sama dengan F 3 dan dianggap dijelaskan pada tabel berikut : Tabel 2 Tabel kebenaran untuk F 1 = xyz’, F 2  = x + y’z , F 3 = x’y’z + x’yz + xy’ dan F 4 = xy’ + x’z 

x 0 0 0 0 1 1 1 1

y 0 0 1 1 0 0 1 1

z 0 1 0 1 0 1 0 1

F1 0 0 0 0 0 0 1 0

F2 0 1 0 0 1 1 1 1

F3 0 1 0 1 1 1 0 0

F4 0 1 0 1 1 1 0 0

Dari tabel 1.2, kita menemukan bahwa F4 adalah sama dengan F3, karena keduanya mempunyai angka 1 dan 0 yang identik untuk setiap kombinasi nilai dari ketiga variabel biner. Secara umum, dua fungsi n variabel biner dikatakan sama jika mereka memiliki nilai yang sama untuk semua kemungkinan kombinasi 2 n dari n variabel. Sebuah fungsi Boolean dapat berubah dari ekspresi aljabar ke dalam sebuah diagram logika yang terdiri dari gerbang AND, OR, dan NOT. Diagram logika termasuk rangkaian inverter  untuk setiap variabel yang hadir untuk melengkapinya, (inverter tidak diperlukan jika komplemen dari variabel tersedia.). Ada gerbang AND untuk menunjukkan setiap istilah dalam ekspresi, dan sebuah gerbang OR yang digunakan untuk menggabungkan dua atau lebih istilah. Dari diagram itu jelas bahwa pelaksanaan gerbang F4 memerlukan lebih sedikit sedikit input dari F3. Sejak F4 dan F3 merupakan fungsi Boolean yang sama, lebih ekonomis untuk mengimplementasikan bentuk F 4 daripada bentuk F3. Untuk menemukan rangkaian sederhana, orang harus tahu bagaimana memanipulasi fungsi Boolean untuk mendapatkan ekspresi yang sama dan sederhana. Apa yang merupakan bentuk terbaik dari sebuah fungsi Boolean tergantung pada aplikasi tertentu. Dalam bagian ini, pertimbangan diberikan kepada peralatan minimisasi kriteria.

D.1. Manipulasi Aljabar  Literal adalah variabel yang prima dan yang tidak prima. Ketika sebuah fungsi Boolean diimplementasikan dengan gerbang logika,

masing-masing literal dalam fungsi menunjuk sebuah input ke gerbang, dan setiap istilah ini dilaksanakan dengan sebuah gerbang. Minimalisasi jumlah literal dan jumlah hasil istilah dalam suatu rangkaian dengan menggunakan sedikit peralatan. Hal ini tidak selalu mungkin untuk meminimalkan kedua secara bersamaan, biasanya, lebih lanjut kriteria yang harus tersedia. Pada saat ini, kita akan mempersempit kriteria minimisasi menjadi minimisasi literal. Jumlah literal dalam fungsi Boolean dapat diminimalkan dengan manipulasi aljabar. Sayangnya, tidak ada aturan khusus untuk menjamin ketepatan jawaban akhir. Satu-satunya metode yang tersedia adalah prosedur  cut-and-try  menggunakan dalil-dalil, teorema dasar, dan metode manipulasi lainnya yang menjadi akrab dengan penggunaan. Contoh 1.1 berikut menggambarkan prosedur ini.

dibawah ini memuat beberapa dalil-dalil dan teorema yang terdaftar pada tabel 1.1.

Contoh 1.1 : sederhanakan fungsi Boolean berikut ke dalam jumlah minimum literal. 1. x + x’y = (x + x’)(x + y) = 1 . (x + y) = x + y  2. x(x’ + y) = xx’ + xy = 0 + xy = xy  3. x’y’z + x’yz + xy’ = x’z(y’ + y) + xy’ = x’z + xy’  4. xy + x’z + yz = xy + x’z + yz(x + x’) = xy + x’z + xyz +  x’yz  = xy(1 + z) + x’z(1 + y) = xy + x’z  5. (x + y)(x’ + z)(y + z) = (x + y)(x’ + z) by duality  from function 4

Bentuk umum dari Teorema De Morgan menyatakan bahwa komplemen atau pelengkap dari suatu fungsi adalah termasuk dengan memasukkan atau menggabungkan operator AND dan OR dan juga melengkapkan masing-masing literal.

Fungsi 1 dan 2 adalah dual  satu sama lain dan menggunakan dual  kalimat dalam langkahlangkah yang sesuai. Fungsi 3 menunjukkan persamaan dari fungsi F3 dan F4 yang dibahas sebelumnya. Fungsi keempat mengilustrasikan fakta bahwa peningkatan jumlah literal kadangkadang mengarah ke akhir ekspresi sederhana. Fungsi 5 tidak diminimalkan secara langsung tetapi dapat berasal dari dual  langkah-langkah yang digunakan untuk menurunkan fungsi 4.

D.2. Fungsi Komplemen Komplemen atau pelengkap dari suatu fungsi F adalah F' dan diperoleh dari persimpangan angka 0 untuk 1 dan 1 untuk 0 yang dinilai dari F. Komplemen dari suatu fungsi dapat diturunkan dengan menggunakan aljabar melalui teorema De Morgan. Sepasang teorema ini terdaftar pada tabel 1.1 untuk dua variabel. Teorema De Morgan diturunkan juga dengan menggunakan tiga atau lebih variabel-variabel seperti di bawah ini. Fungsi

(A + B + C)’ = (A + X)’  = A’X’  = A’ . (B + C)’  = A’ . (B’C’) = A’B’C’  Teorema De Morgan untuk sejumlah variabel menyerupai bentuk variabel dua kasus dan dapat diturunkan dengan berturut menggunakan substitusi yang mirip dengan metode yang digunakan di atas yaitu derivasi. Teorema ini dapat digeneralisasi dengan bentuk sebagai berikut : (A + B + C + D + … + F)’ = A’B’C’D’…F’  (ABCD…F)’ = A’ + B’ + C’ + D’ +…+ F’ 

Contoh 1.2 : cari komplemen dari fungsi F1=x’yz’ + x’y’z’ dan F2= x(y’z’ + yz). Gunakan teorema De Morgan sebanyak yang dibutuhkan, komplemennya ditunjukkan seperti berikut ini : F1’ : (x’yz’ + x’y’z’)’ = (x’yz’)’(x’y’z’)’ = (x + y’ + z) (x + y + z’) F2’ : [x(y’z’ + yz)]’ = x’ + (y’z’ + yz)’ = x’ + (y’z’)’ . (yz)’ = x’ + (y + z)(y’ + z’) Sebuah prosedur yang sederhana dalam menderivikasi komplemen sebuah fungsi adalah dengan menggunakan dual  dari fungsi dan komplemen masing-masing. Metode ini diambil atau bersumber dari teorema De Morgan. Ingat bahwa dual  dari sebuah fungsi merupakan gabungan dari operator AND dan OR dan juga 1 dan 0. Contoh 1.3 : cari komplemen dari fungsi F1 dan F2 dari contoh 1.2 dengan mengambil dual  mereka dan melengkapi setiap literal. 1. F1 = x’yz’ + x’y’z’ Dual dari F1 adalah (x’ + y + z’)(x’ + y’ + z) Komplemen dari masing-masing literal adalah (x + y’ + z)(x + y + z’) = F1’ 2. F2 = x(y’z’ + yz) Dual  dari F2 adalah x + (y’ + z’)(y + z) Komplemen dari masing-masing literal adalah x’ + (y + z)(y’ + z’) = F2’

A. Kanonikal Standar 

dan

Bentuk-Bentuk

E.1. Minterms dan Maxterms Sebuah variabel biner dapat tampak baik dalam bentuk normal (x) atau dalam melengkapi untuk (x'). Sekarang perhatikan dua variabel biner x dan Minterms designatio n

Term

0 0 0 x’y’   z’ 

m0

x+y+  z 

M0

0 0 1 x’y’   z’ 

m1

x+y+  z’ 

M1

0 1 0 x’yz  ’ 

m2

x+y’+  z 

M2

0 1 1 x’yz

m3

x+y’+  z’ 

M3

1 0 0 xy’z  ’ 

m4

x’+y+  z 

M4

1 0 1 xy’z

m5

x’+y+  z’ 

M5

1 1 0 xyz’

m6

x’+y’  +z 

M6

1 1 1 xyz

m7

x’+y’  +z’ 

M7

x y z

term

maxterms designatio n

y dikombinasikan dengan operasi AND. Karena setiap variabel dapat muncul dalam bentuk yang lain, ada empat kemungkinan kombinasi,yaitu x'y',  x'y, xy', dan xy. Tabel 1.3 Minterm dan Maxterm untuk Tiga Variabel Biner 

Masing-masing dari keempat istilah AND merupakan salah satu daerah yang berbeda dalam diagram Venn pada gambar 1.1 dan disebut sebagai minterm atau produk standar. Dengan cara yang sama, n variabel dapat dikombinasikan untuk membentuk minterm 2 n. Minterm 2n yang berbeda dapat ditentukan

dengan metode yang serupa dengan yang ditunjukkan pada Tabel 1.3 untuk tiga variabel. Angka biner dari 0 hingga 2 n - 1 adalah yang tercantum di bawah variabel n. Setiap minterm diperoleh dari suatu istilah AND dari n variabel, yang masing-masing variabel yang prima jika bit yang sesuai dari bilangan biner 0 dan merupakan tidak prima jika 1. Sebuah simbol untuk setiap minterm juga ditunjukkan dalam tabel dan dalam bentuk m j, dimana  j  menunjukkan desimal yang setara dengan bilangan biner dari minterm yang ditunjuk. Dalam cara yang sama, n variabel membentuk istilah OR dengan masing-masing variabel yang prima atau tidak prima yang menyediakan 2 n kemungkinan kombinasi, yang disebut maxterm atau jumlah standar. Delapan maxterm untuk tiga variabel, bersama-sama dengan penetapan simbolis mereka, tercantum dalam Tabel 1.3. Setiap 2n maxterm untuk n variabel dapat ditentukan sama. Setiap maxterm diperoleh dari istilah OR dari n variabel, dengan masing-masing variabel yang terkait tidak prima jika bit adalah 0 dan prima jika 1. * Perlu diketahui bahwa setiap maxterm adalah komplemen dari minterm yang terkait, dan sebaliknya. Sebuah fungsi Boolean dapat dinyatakan secara aljabar dari tabel kebenaran yang diberikan dengan membentuk minterm untuk setiap kombinasi dari variabel-variabel yang menghasilkan 1 dalam fungsi, dan kemudian mengambil OR dari semua istilah tersebut. Sebagai contoh, fungsi ƒ1 pada Tabel 1.4 ditentukan oleh kombinasi mengungkapkan 001, 100, dan 111 sebagai x'y'z, xy'z' , dan xyz , masingmasing. Karena setiap salah satu dari hasil minterms di ƒ1 = 1, kita harus memiliki: ƒ1 = x'y'z + xy'z + 'xyz = m1 + m4 + m7  Tabel 1.4 Fungsi-Fungsi Tiga Variabel

Minterms Demikian pula, dapat dengan memverifikasi fungsi dibawah ini bahwa :

mudah

designation

Term

designation

0 0 0 x’y’z ’

m0

x+y+z

M0

0 0 1 x’y’z ’

m1

x+y+z ’

M1

0 1 0 x’yz’

m2

x+y’+ z

M2

0 1 1 x’yz

m3

x+y’+ z’

M3

ƒ1’ = x'y'z + 'x'yz' + x'yz + xy'z + xyz’

1 0 0 xy’z’

m4

M4

Jika kita mengambil komplemen dari ƒ 1’, kita memperoleh fungsi ƒ 1 :

x’+y+ z

1 0 1 xy’z

m5

x’+y+ z’

M5

1 1 0 xyz’

m6

x’+y’+ z

M6

1 1 1

m7

x’+y’+ z’

M7

ƒ2 = x'yz+xy'z+xyz’+xyz = m3+m5+m6+m7  Contoh-contoh ini menunjukkan sifat penting Aljabar Boolean : Setiap fungsi Boolean dapat dinyatakan sebagai jumlah dari minterm (dengan "jumlah" adalah berarti istilah OR). Sekarang perhatikan komplemen dari suatu fungsi Boolean. Ini dapat dibaca dari tabel kebenaran dengan membentuk minterm untuk setiap kombinasi yang menghasilkan 0 dalam fungsi dan kemudian melakukan istilah OR pada bentuk tersebut. Komplemen dari ƒ1 ia dibaca sebagai :

ƒ1 = (x + y + z)(x + y' + z)(x + y' + z ')(x' + y + z') (x' + y + 'z) = M 0  . M 1 . M 2  . M 4

x y z

term

maxterms

Demikian pula, adalah mungkin untuk membaca ekspresi untuk ƒ2 dari tabel:

xyz

ƒ2  = (x + y + z)(x + y + z’)(x + y' + z)(x + 'y + z) = M 0  . M 1 . M 2  . M 4 Contoh ini menunjukkan kedua sifat penting dari Aljabar Boolean: Setiap fungsi Boolean dapat dinyatakan sebagai produk maxterm (dengan "produk" yang berarti istilah AND). Prosedur untuk mendapatkan produk dari maxterm langsung dari tabel kebenaran adalah sebagai berikut. Membentuk maxterm untuk setiap kombinasi dari variabel-variabel yang menghasilkan 0 dalam fungsi, dan kemudian membentuk maxterm AND. Fungsi boolean dinyatakan sebagai jumlah dari produk minterms atau maxterms yang dikatakan dalam bentuk kanonik. Hal sebelumnya menyatakan bahwa untuk n variabel biner, kita dapat memperoleh 2n yang berbeda minterm, dan bahwa setiap fungsi Boolean dapat dinyatakan sebagai jumlah dari minterm. Jumlah minterm yang mendefinisikan fungsi Boolean adalah mereka yang memberikan 1 dari fungsi dalam tabel kebenaran. Karena fungsi dapat merupakan 1 atau 0 untuk setiap minterm, dan karena ada 2n minterm, seseorang dapat menghitung fungsi yang mungkin dapat dibentuk dengan n variabel untuk 22ⁿ. Kadang-kadang mudah untuk mengekspresikan fungsi Boolean dalam bentuk

 jumlah minterm. Jika tidak dalam bentuk ini, dapat dibuat begitu dengan terlebih dahulu memperluas ekspresi ke sejumlah istilah AND. Setiap istilah tersebut kemudian diperiksa untuk dilihat apakah berisi semua variabel. Jika ketinggalan satu atau lebih variabel, adalah ANDed dengan ekspresi seperti x + x’, di mana x adalah salah satu variabel yang hilang tersebut. Contoh berikut ini menjelaskan prosedur ini. Contoh 1.4 Nyatakan fungsi Boolean F =  AB'C dalam jumlah minterms. Fungsi memiliki tiga variabel   A, B, dan C. Istilah pertama adalah A yang kehilangan dua variabel, sehingga :  A = A(B + B') = AB + AB'  Ini masih hilang satu variabel:  A = AB(C + C') + AB'(C + C') = ABC + ABC + 'AB'C + AB'C'  B'C suku kedua hilang satu variabel : B'C = B'C (A + A') = AB'C + A'B'C'  Menggabungkan

semua

persyaratan,

kita

mendapatkan: F = A + B'C = ABC + ABC + 'AB'C + AB'C' +  AB'C + A'B'C  Tapi AB'C muncul dua kali, dan menurut teorema 1 (x + x = x), adalah mungkin untuk menghapus salah satu dari mereka. Mengatur kembali minterms dalam urutan menaik, kita akhirnya mendapatkan: F = A'B'C + 'AB'C' + AB'C + ABC + ABC  = m1 + m4 + m5  + m6  + m7  Kadang-kadang mudah untuk mengekspresikan fungsi Boolean, dalam jumlah minterm, dalam notasi singkat berikut: F (A, B, C) = Σ (1, 4, 5, 6, 7) Simbol penjumlahan Σ melambangkan istilah OR; angka-angka itu adalah fungsi minterms. Hurufhuruf yang berada di dalam tanda kurung bentuk F berikut merupakan daftar variabel dalam urutan yang diambil ketika dikonversikan ke minterm dan istilah AND.

E.2. Produk Maxterm

F = (x + y + z) (x + y'+ z) (x' + y + z') = M0M2M4M5 Sebuah cara mudah untuk mengungkapkan fungsi ini adalah sebagai berikut: F (x, y, z) = II (0, 2, 4, 5) Produk simbol II, menunjukkan ANDing dari maxterms; angka adalah fungsi maxterms.

E.3. Konversi antara Bentuk Kanonikal Komplemen dari suatu fungsi yang dinyatakan sebagai jumlah dari minterms sama dengan  jumlah minterms hilang dari fungsi semula. Hal ini karena fungsi semula dinyatakan oleh mereka minterms yang membuat fungsi sama dengan 1, sedangkan pelengkap adalah 1 untuk orangorang minterms bahwa fungsi adalah 0. Sebagai contoh, perhatikan fungsi: F (A, B, C) = Σ (1, 4, 5, 6, 7) Ini memiliki pelengkap yang dapat dinyatakan sebagai: F '(A, B, C) = Σ (0, 2, 3) = m0  + m2  + m3

2n

Masing-masing fungsi pada n 2 variabel biner  dapat juga dinyatakan sebagai produk maxterms. Untuk mengekspresikan fungsi Boolean sebagai produk maxterms, pertama-tama harus dibawa ke sebuah bentuk istilah OR. Hal ini dapat dilakukan dengan menggunakan hukum distributif x + yz = (x + y) (x + z ). Lalu setiap variabel x yang hilang pada setiap istilah OR ini di-OR-kan dengan  xx' . Prosedur ini diperjelas oleh contoh berikut. Contoh 1.5: mengekspresikan fungsi Boolean F =   xy + x'z pada produk bentuk maxterm. Pertama mengubah fungsi menjadi istilah OR dengan menggunakan hukum distributif: F = xy + x'z = (xy + x ') (xy + z) = (X + x ') (y + x') (x + z) (y + z) = (X '+ y) (x + z) (y + z) Fungsi memiliki tiga variabel: x, y, z. Setiap istilah OR hilang satu variabel, maka:  x '+ y = x' + y + zz' = (x' + y + z) (x '+ y + z')  x + z = x + z + yy'= (x + y + z) (x + y' + z) y + z = y + z + xx' = (x + y + z) (x' + y + z) Menggabungkan semua persyaratan dan menghapus yang muncul lebih dari sekali, kita akhirnya mendapatkan:

Sekarang, jika kita mengambil komplemen dari F  oleh dari teorema de Morgan, kita memperoleh F  dalam bentuk yang berbeda: F = (m0  + m 2  + m 3 )' = m' 0  . m' 2  . m' 3 = M 0M  M     2   3 = π (0, 2, 3) Mengikuti konversi terakhir dari definisi minterms dan maxterms seperti yang ditunjukkan pada tabel 1.3. Dari tabel, jelas bahwa hubungan berikut ini berlaku: m' 1 = M 1 Yaitu, dengan subskrip maxterm j adalah pelengkap dari minterm subskrip yang sama j, dan wakil cersa. Contoh terakhir menunjukkan konversi antara fungsi dinyatakan dalam jumlah ekuivalen minterms di dalam produk maxterms. Argumen yang sama akan menunjukkan bahwa konversi antara produk maxterms dan jumlah minterms serupa. Sekarang kita menetapkan prosedur  konversi umum. Untuk mengkonversi dari satu bentuk ke bentuk kanonik lainnya, tukar simbolsimbol Σ dan π dan masukkan angka-angka yang

hilang dari bentuk aslinya. Sebagai contoh yang lain adalah fungsi sebagai berikut : F(x, y, z) = π(0, 2, 4, 5) Fungsi tersebut diekspresikan di dalam produk maxterm. Lalu dikonversikan sebagai penjumlahan dalam minterm yang ditunjukkan sebagai berikut : F(x, y, z) = Σ(1, 3, 6, 7) Dengan memperhatikan itu, untuk mencari bentuk yang hilang, harus dicari dengan memperhatikan total angka minterm atau maxterm yaitu 2n , dimana n adalah angka dari variabel biner di dalam fungsi.

E.4. Bentuk-Bentuk Standar  Dua bentuk kanonikal dari aljabar Boolean adalah bentuk dasar yang dapat didapat dari membaca tabel kebenaran. Bentuk-bentuk ini sangat jarang termasuk literal karena setiap minterm atau maxterm harus terdiri dari definisi, semua variabel baik yang berpelengkan maupun yang tidak berpelengkap. Cara lain untuk mengekspresikan fungsi Boolean adalah dalam bentuk standar. Ada dua tipe bentuk standar, yaitu jumlah dari produk dan produk dari jumlah. Jumlah dari produk adalah ekspresi Boolean berisi istilah AND, yang disebut istilah produk, dari satu atau lebih literal masing-masing. Menunjukkan jumlah ORing istilah ini. Contoh dari fungsi yang dinyatakan dalam jumlah produk adalah:

  jumlah kata-kata yang berasal dari kesamaan operasi AND untuk produk aritmetik (perkalian) dan kesamaan operasi OR aritmetik jumlah (tambahan). Sebuah fungsi Boolean dapat dinyatakan dalam bentuk yang tidak standar. Misalnya fungsi: F 3 = (AB + CD)( A’B’ + C'D)

Fungsi ini dapat diubah ke bentuk standar dengan menggunakan hukum distributif untuk menghapus tanda kurung : F 3 = A’B’CD + ABC’D’ 

B. Operasi Logika Lainnya Ketika biner operator AND dan OR ditempatkan antara dua variabel  x  dan y , mereka membentuk dua fungsi Boolean   x. y  dan   x + y,  masingmasing. Itu dinyatakan sebelumnya bahwa ada fungsi untuk n 22n dalam variabel biner. Selama dua variabel, n = 2 dan jumlah kemungkinan fungsi Boolean adalah 16. Oleh karena itu, fungsi AND dan OR hanya dua dari total 16 kemungkinan fungsi biner yang dibentuk dengan dua variabel. Akan bermanfaat untuk menemukan fungsi dan 14 lainnya menyelidikinya. Kebenaran tabel untuk fungsi 16 biner dibentuk dengan dua variabel x dan y tercantum pada tabel 1.5. dalam tabel ini, masing-masing dari 16 kolom F 0  untuk F 15  mewakili tabel kebenaran satu fungsi mungkin diberikan untuk kedua variabel  x  dan y . Perhatikan bahwa fungsi yang ditetapkan dari 16 biner kombinasi yang dapat diberikan untuk F. Beberapa fungsi ditampilkan dengan simbol operator. Misalnya F 1 mewakilkan tabel kebenaran untuk OR.

F 1 = y '+ xy + x'yz'  Ekspresi memiliki tiga istilah produk satu, dua, dan tiga literal masing-masing, masing-masing. Jumlah mereka pada dasarnya adalah operasi OR. Sebuah jumlah produk adalah ekspresi Boolean yang berisi istilah OR, yang disebut istilah jumlah. Setiap istilah mungkin memiliki sejumlah literal. Menunjukkan produk AND istilah ini. Contoh dari fungsi yang dinyatakan dalam jumlah produk adalah: F 2  = x (y '+ z) (x' + y + z '+ w) Ungkapan ini memiliki tiga segi jumlah satu, dua, tiga, dan empat literal masing-masing. Produknya adalah operasi AND. Penggunaan produk dan

Tabel 1.5 Tabel Kebenaran untuk 16 Fungsi Dua Variabel Biner 

x

y

F

F

F

F

F

F

F

F

F

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1

0

0

0

0

1

1

1

1

0

1

0

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

.

/

/

⨁

.

+



Operato r  Symbol

F5=y

Transfer

y

Tabel 1.5 Tabel Kebenaran untuk 16 Fungsi Dua Variabel Biner 

x

y

F9

F10

F11

F12

F13

F14

F15

0

0

1

1

1

1

1

1

1

0

1

0

0

0

1

1

1

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

1

1

1

0

1

0

1

0

1

⨀

‘

⊂

‘

⊃

⬆

Operator 

F6=xy’+x’y

x⨁y

ExclusiveOR

X or y but not both

F7=x+y

x+y

OR

x or y

F8=(x+y)’

xy

NOR

Not-OR

F9=xy+x’y’

x⨀ y

Equivalence

x equals y

F10=y’

y’

Complement

Not y

F11=x+y’

x⊂ y

Implication

If y then x

F12=x’

x’

Complement

x’

F13=x’+y

x⊃ y

Implilcation

If x then y

xy

NAND

Not-AND

Identify

Binary constant 1

Symbol

Operator-operator simbol untuk fungsi-fungsi ini adalah (.) dan (+). 16 fungsi yang terdapat di dalam tabel kebenaran dapat diekspresikan secara aljabar dengan arti ekspresi-ekspresi Boolean. Ini ditunjukkan dengan kolom pertama pada tabel 1.6. Meskipun masing-masing fungsi dapat diekspresikan dalam istilah-istilah operator  Boolean AND, OR, NOT tidak ada alasan tidak dapat menggunakan simbol operator spesial untuk mengekspresikan fungsi-fungsi lainnya. Seperti simbol operator yang terdapat di kolom kedua tabel 1.6 sebagai berikut : Tabel 1.6 Ekspresi Boolean untuk 16 Fungsi Dua Variabel

Boolean function

Operator  symbol

F0=0

F1=xy

F2=xy’

x.y

x/y

F3=x

F4=x’y

y/x

Name

comments

F14=(xy)’

Null

Binary constant 0

F15=1

AND

x and y

Inhibition

x but not y

Transfer

x

Inhibition

y but not x

Namun, semua simbol-simbol baru ditampilkan, kecuali untuk simbol eksklusif-OR ⨁, tidak umum digunakan oleh para desainer digital. Masing-masing fungsi dalam Tabel 1.6 disertai nama dan komentar yang menjelaskan fungsi dalam beberapa cara. 16 Fungsi-fungsi yang tercantum dapat dibagi lagi menjadi tiga kategori, yaitu : 1. Dua fungsi yang menghasilkan konstan 0 atau 1 2. Empat fungsi dengan operasi unary komplemen dan transfer  3. Sepuluh fungsi dengan operator biner yang mendefinisikan delapan operasi yang berbeda

AND, OR, NAND, NOR, eksklusif-OR, ekivalen, inhibiton, dan implikasinya. Setiap fungsi dapat sama dengan konstan, tetapi fungsi biner hanya dapat sama dengan 1 atau 0. Menghasilkan fungsi komplemen dari masingmasing variabel biner. Suatu fungsi yang sama dengan sebuah input variabel yang telah diberikan nama transfer, karena variabel x atau y akan ditransfer melalui gerbang yang membentuk fungsi tanpa mengubah nilainya. Dari delapan operator biner, dua (inhibisi dan implikasi) digunakan oleh ahli logika tapi jarang digunakan dalam logika komputer. Operator AND dan OR telah disebutkan dalam hubungannya dengan aljabar Boolean. Empat fungsi yang lain banyak digunakan dalam perancangan sistem digital. Fungsi NOR adalah komplemen dari fungsi OR dan namanya adalah singkatan dari not-OR. Demikian pula, NAND adalah komplemen dari AND dan merupakan singkatan dari not-AND. Eksklusif-OR, XOR atau disingkat EOR, adalah sama dengan OR tapi kecuali kombinasi dari kedua x dan y yang sama dengan 1. Ekivalen adalah fungsi yang adalah 1 ketika dua variabel biner sama, yaitu, ketika kedua adalah 0 atau keduanya adalah 1. Eksklusif-OR dan kesetaraan fungsi adalah melengkapi satu sama lain. Hal ini dapat dengan mudah diverifikasi dengan memeriksa Tabel 2-5. Tabel kebenaran untuk eksklusif-OR adalah F6 dan untuk kesetaraan adalah F9, dan kedua fungsi adalah melengkapi satu sama lain. Untuk alasan ini, fungsi ekivalen sering disebut-NOR eksklusif, yaitu, eksklusif-ORNOT. Aljabar Boolean, sebagaimana didefinisikan dalam Bagian 1.2, memiliki dua operator biner, yang kita sebut AND dan OR, dan unary operator, NOT (komplemen). Dari definisi, kita menyimpulkan beberapa unsur dari operator dan sekarang telah menetapkan operator biner lain dalam hal mereka. Tidak ada yang unik tentang prosedur ini. Kita bisa saja juga dimulai dengan operator NOR (|), misalnya, dan kemudian didefinisikan AND, OR, dan NOT dalam hal itu. Bagaimanapun, alasan yang baik untuk memperkenalkan aljabar Boolean dalam cara itu diperkenalkan. Konsep "dan," "atau," dan "tidak" dikenal dan digunakan oleh orang-orang untuk mengekspresikan ide-ide logis sehari-hari. Selain itu, ganda Huntii mencerminkan sifat aljabar, menekankan simetri j menghormati satu sama lain.

A. Gerbang Logika Digital

Karena fungsi Boolean dinyatakan dalam bentuk AND, OR, dan NOT, lebih mudah untuk mengimplementasikan suatu fungsi Boolean dengan jenis gerbang. Kemungkinan membangun gerbang untuk operasi logika lainnya adalah kepentingan praktis. Faktor yang harus dipertimbangkan ketika mempertimbangkan pembangunan jenis gerbang logika adalah (1) kelayakan ekonomi dan menghasilkan gerbang dengan komponen fisik, (2) kemungkinan memperluas gerbang untuk lebih dari dua masukan, (3) dasar properti dari operator biner  seperti komutatif dan associativity, dan (4) kemampuan gerbang untuk melaksanakan fungsi Boolean sendiri atau dengan meletakan gerbang lain. Dari 16 fungsi yang didefinisikan dalam Tabel 1.6 dua adalah sama dengan yang konstan dan empat orang lainnya akan diulang dua kali. Hanya ada sepuluh fungsi yang tersisa untuk dipertimbangkan sebagai kandidat untuk gerbang logika. Dua, hambatan dan implikasinya, tidak komutatif atau asosiatif dan dengan demikian tidak praktis untuk digunakan sebagai gerbang logika standar. Delapan yang lain: melengkapi, mentransfer, AND, OR, NAND, NOR, eksklusifOR, dan ekivalen, digunakan sebagai gerbang standar dalam desain digital. Simbol grafik dan tabel kebenaran dari gerbang delapan diperlihatkan pada Gambar. 1.5. Setiap gerbang memiliki satu atau dua variabel input biner yang ditunjuk oleh x dan y dan satu variabel keluaran biner yang ditunjuk oleh F. AND, OR, dan sirkuit inverter yang didefinisikan dalam Gambar. 1.6. Rangkaian inverter membalikkan logika variabel biner. Ini menghasilkan NOT, atau pelengkap, fungsi. Lingkaran kecil dalam output dari simbol grafis menunjuk inverter logika komplemen. Simbol segitiga dengan sendirinya menunjuk sebuah rangkaian buffer. A buffer  menghasilkan fungsi transfer, tetapi tidak menghasilkan operasi logika tertentu, karena nilai biner output sama dengan nilai biner input. Sirkuit ini digunakan semata-mata untuk amplifikasi kekuatan sinyal dan setara dengan dua inverter  yang dihubungkan secara kaskade.

Gambar 1.5 (a)Gerbang AND

Gambar 1.5 (f) Gerbang NOR

Gambar 1.5 (b) Gerbang OR

Gambar 1.5 (c) Gerbang Buffer 

Fungsi NAND merupakan komplemen dari fungsi AND, seperti ditunjukkan oleh simbol grafis yang terdiri dari sebuah simbol grafis AND diikuti oleh sebuah lingkaran kecil. Fungsi NOR adalah komplemen dari fungsi OR dan menggunakan simbol grafis OR diikuti oleh sebuah lingkaran kecil. NAND dan NOR adalah gerbang yang ekstensif digunakan sebagai gerbang logika standar dan sebenarnya jauh lebih populer  daripada gerbang AND dan OR. Hal ini karena gerbang NAND dan NOR mudah dibangun dengan rangkaian transistor dan karena fungsi Boolean dapat dengan mudah diimplementasikan pada gerbang-gerbang tersebut.

G.1. Perpanjangan ke Beberapa Input Gerbang ditunjukkan pada Gambar. 1.5, kecuali untuk inverter dan buffer, dapat diperpanjang untuk 'memiliki lebih dari dua input. Sebuah gerbang dapat diperluas untuk memiliki banyak masukan jika operasi biner yang diwakilinya adalah komunikatif dan asosiatif. Operasi AND atau OR, yang didefinisikan dalam aljabar  Boolean, memiliki dua sifat ini. Untuk fungsi OR kita memiliki:  x + y = y + x komunikatif 

dan Gambar 1.5 (d) Gerbang NOT

 x + y) + z = x + (y + z) = x + y + z asosiatif  Yang menunjukkan bahwa gerbang masukan dapat dipertukarkan dan bahwa fungsi OR dapat diperluas untuk tiga atau lebih adalah variabel. Para NAND dan NOR fungsi komunikatif dan gerbang dapat diperpanjang untuk memiliki lebih dari dua input, memberikan definisi operasi yang sedikit diubah. Kesulitan adalah bahwa NAND dan NOR operator tidak asosiatif, yaitu, x’y)z = x(yz) seperti ditunjukkan di bawah ini : (x y   ) z = [(x + y’) + z]’ = (x + y)z’ = xz’ + yz’   x  (y  z) = [(x + (y + z)’]’ = x’(y + z) = x’y + x’z  

Gambar 1.5 (e) Gerbang NAND





untuk mengatasi kesulitan ini, kita menentukan beberapa gerbang NOR (atau NAND) sebagai dilengkapi gerbang ATAU (atau DAN). Jadi menurut definisi kita memiliki :

memerlukan tiga pin eksternal-dua masingmasing untuk input dan masing-masing untuk output, untuk total 12 pin. . Dua pin yang tersisa diperlukan untuk mensuplai listrik ke sirkuit.

 x y   z      = (x + y + z)’   x  yz = (xyz)’ 

TTL IC biasanya dibedakan oleh angka sebutan sebagai seri 5.400 dan 7.400. Memiliki lebar  kisaran temperatur operasi, cocok untuk penggunaan militer, dan yang kedua memiliki kisaran suhu sempit, cocok untuk keperluan industri. Penunjukan yang numerik dari seri 7.400 berarti bahwa paket IC dihitung sebagai 7.400, 7.401, 7.402, dll . Beberapa vendor membuat tersedia TTL IC dengan sebutan numerik yang berbeda, seperti seri 9000 atau 8000.



B. Keluarga Logika Digital IC Rangkaian digital selalu dibangun dengan IC. Setelah membahas berbagai gerbang logika digital pada bagian sebelumnya, kita sekarang berada dalam posisi untuk hadir IC gerbang dan mendiskusikan sifat-sifat umum mereka. Gerbang IC digital diklasifikasikan tidak hanya oleh operasi logika mereka, tetapi juga oleh rangkaian logika tertentu sebagai keluarga tempat mereka tinggal. Masing-masing keluarga logika memiliki dasar  pada sirkuit elektronik yang lebih kompleks dan fungsi rangkaian digital yang dikembangkan. Rangkaian dasar dalam setiap keluarga adalah NAND.or gerbang NOR. Komponen elektronik yang digunakan dalam pembangunan rangkaian dasar biasanya digunakan untuk nama keluarga logika. Banyak keluarga logika yang berbeda pada digital IC telah diperkenalkan secara komersial. Beberapa yang telah banyak dikenal luas tercantum di bawah ini : 1. TTL = Transistor-transistor Logic 2. ECL = Emitter-coupled Logic 3. MOS = Metal-oxide semiconductor  4. CMOS = Complementary metal-oxide semiconductor  5. I2L = Integrated-injection logic TTL memiliki daftar panjang fungsi digital dan saat ini merupakan keluarga logika yang paling populer. ECL digunakan dalam sistem yang membutuhkan operasi kecepatan tinggi. MOS dan I2L digunakan dalam rangkaian yang membutuhkan kepadatan komponen yang tinggi, dan CMOS digunakan dalam sistem yang membutuhkan konsumsi daya yang rendah. Karena kerapatan yang tinggi transistor dapat mengarang dalam MOS dan I2L, kedua keluarga yang banyak digunakan untuk fungsi LSI. Tiga keluarga yang lain, TTL, ECL, dan CMOS, memiliki perangkat LSI dan juga sejumlah besar  MSI dan perangkat SSI. Perangkat SSI adalah mereka yang datang dengan sejumlah kecil gerbang atau sandal jepit dalam satu paket IC. Batas pada jumlah rangkaian dalam perangkat SSI adalah jumlah pin dalam paket. A 14-pin paket, misalnya, dapat menampung hanya empat dua-masukan gerbang, karena setiap gerbang

Gambar 1.6 memperlihatkan dua rangkaian TTL SSI. 7.404 menyediakan Para enam (hex) inverter  dalam sebuah paket. Para 7.400 menyediakan empat (quadruple) 2-input gerbang NAND. Terminal yang ditandaiV cc  dan GND adalah pin catu daya yang membutuhkan tegangan 5 volt untuk pengoperasian yang semestinya. ECL yang paling umum jenis ditunjuk sebagai seri 10.000. Gambar 1.6menunjukkan dua rangkaian ECL. Para 10.102 menyediakan empat 2-input NOR gerbang. Perhatikan bahwa sebuah gerbang ECL mungkin memiliki dua output, satu untuk fungsi NOR dan satu lagi untuk fungsi OR (pin 9 dari IC 10.102). 10.107 IC yang menyediakan tiga gerbang eksklusif-OR. Di sini ada dua output dari masing-masing gerbang, yang lain memberikan keluaran NOR eksklusif-fungsi atau kesetaraan. ECL gerbang memiliki tiga terminal untuk catu daya. V CCX  dan V CC2  yang biasanya dihubungkan ke ground, dan V EE  ke - 5.2-volt pasokan.

Gambar 1.6 (a) 7404-Hex Inverters

Gambar 1.6 (b) 7400-Quadruple 2-input NAND gates

Gambar 1.6 (c) 7402-Quadruple 2-input NOR gates

DAFTAR REFERENSI 1. Mano,Morris. 1997. Digital Logic and  Computer Design. New Jersey:Prentice Hall. 2. en.wikipedia.com 3. mfgdesign.com

PROFIL PENULIS

Nama

: Riza Afriza Islami

TTL

: Denpasar, 2 Februari 1992

Agama

: Islam

Kewarganegaraan

: Indonesia

Alamat

: Jalan Surapati GG.IV No.22, Denpasar 

No.telp

: 085737007896

Email

: [email protected]

Riwayat Pendidikan : 1. TK Alhidayah Ende : 2. SD Negeri No.17 Dangin Puri : 3. SMP Negeri 1 Ende : 4. SMA Negeri 7 Denpasar  : 5. Teknik Informatika Universitas Udayana