ALGORITMOS RAPIDOS PARA EL DISEÑO Y OPTIMIZACION DE INTERCAMBIADORES DE CALOR DE CORAZA Y TUBOS Medardo Serna González*1, Jesús Reyes Aguilar1 y Arturo Jiménez Gutiérrez2 1
Escuela de Ingeniería Química - U.M.S.N.H. Ciudad Universitaria, Edificio M, Planta Alta 58060 Morelia, Mich. Tel. y Fax: (43) 16 71 76 e-mail:
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Departamento de Ingeniería Química - Instituto Tecnológico de Celaya Av. Tecnológico y García Cubas s/n 38010 Celaya, Gto. Tel. y Fax: (461) 1 75 75 e-mail:
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RESUMEN Se presentan nuevos algoritmos de diseño y optimización de intercambiadores de calor de coraza y tubos, los cuales usan las correlaciones del método Bell-Delaware para representar el funcionamiento del fluido de la coraza. Este es el método más confiable reportado en la literatura abierta para el diseño de intercambiadores de calor de coraza y tubos. Tanto para el diseño como para la optimización, la aproximación propuesta resuelve un modelo simplificado en un ciclo interno de cálculos, mientras que en un ciclo externo utiliza el modelo riguroso para actualizar los parámetros del modelo simplificado. Por lo tanto, esta estrategia requiere considerablemente menos esfuerzo computacional que otras aproximaciones posibles, en virtud de que las propiedades del modelo riguroso son calculadas con mucho menos frecuencia. Los problemas resueltos han mostrado que los algoritmos descritos en este trabajo son métodos rápidos, fáciles de programar y robustos.
INTRODUCCION El tipo de intercambiador de calor más común utilizado en la industria de proceso es el de coraza y tubos. El problema de diseño de este equipo consiste en determinar la área superficial requerida para una cantidad dada de constituyen calor desde el un requerimiento fluido caliente principal a un fluido Usualmente lastransferir especificaciones de proceso quefrío. un intercambiador de calor debe satisfacer: Realizar el cambio térmico de las corrientes de proceso al costo más bajo, respetando los valores máximos de las caídas de presión permisibles, aún en condiciones sucias. Con el propósito de obtener los mayores coeficientes globales de transferencia de calor y, por ende, equipos de menor tamaño y más económicos, es preciso hacer un uso completo de las caídas de presión permisibles. Desafortunadamente, el método de diseño convencional (Kern, 1950; Bell, 1983; Saunders, 1988) considera que las caídas de presión son restricciones en vez de objetivos de diseño. Si un intercambiador dado satisface la carga térmica del sistema y ambas caídas de presión calculadas son cercanas a las caídas de presión permisibles, pero están por debajo de las mismas, se le trata como una solución del problema de diseño. Este intercambiador procesará térmicamente las corrientes de proceso, pero de ninguna manera será el único ni el mejor diseño posible. Por lo tanto, el algoritmo de diseño convencional no proporcionará diseños óptimos, si se entiende que éstos serán los que utilizan en su totalidad ambas caídas de presión permisibles.
Por otro lado, el problema de la especificación de los valores máximos de las caídas de presión permisibles se puede considerar que no ha sido resuelto satisfactoriamente. Usualmente se recurre a la experiencia para establecer estos parámetros. No obstante, esta aproximación rara vez toma en cuenta que, una vez definida la carga térmica que debe satisfacer un intercambiador, técnicamente existe una cantidad infinita de soluciones de este problema de diseño. Los valores grandes de las caídas de presión de los fluidos dan por resultado velocidades de flujo mayores y, por consiguiente, coeficientes globales de transferencia de calor grandes. Esto, a su vez, reduce el tamaño y el costo del intercambiador de calor a expensas del incremento de los costos anuales (capital y operación) de los dispositivos de bombeo de los fluidos. Por el contrario, menores caídas de presión de los fluidos implican menores costos anuales (capital y operación) de los dispositivos de bombeo. Empero, estos beneficios sólo se obtienen a expensas de un intercambiador de calor más grande y costoso. Por lo tanto, del conjunto de soluciones posibles, sólo una es la que ofrece la área y las caídas de presión para las cuales el costo total anual del intercambiador será un mínimo. Desde un punto de vista económico, esta solución corresponde al intercambiador de calor óptimo, ya que el procesamiento térmico de los fluidos se lleva a cabo al costo más bajo. La aproximación basada en la experiencia hace un tratamiento muy pobre de los factores responsables de que las caídas de presión óptimas varíen de un sistema a otro: Las interacciones entre las corrientes de proceso y los datos económicos del proyecto. Esta limitante explica porqué, en la mayoría de los casos, las caídas de presión basadas en la experiencia no serán las óptimas. Por lo tanto, el gran costo total requerido por algunos intercambiadores de calor justifica la selección sistemática, usando un método formal de optimización, de los valores óptimos de las caídas de presión de las corrientes de proceso. En la literatura se han presentado diversas formulaciones y soluciones de este problema de optimización (McAdams, 1952; Cichelli y Brinn, 1956; Edgar y Himmelblau, 1989; Peters y Timmerhaus, 1991; Polley y Jegede, 1992). Del estudio de estos trabajos se puede concluir que, hasta la fecha, el algoritmo más completo y detallado para optimizar intercambiadores de calor de coraza y tubos es el propuesto por Jegede y Polley (1992). Primeramente, estos autores usan un par de relaciones algebraicas entre la área del intercambiador, las caídas de presión y los coeficientes de transferencia de calor de los fluidos para construir una función objetivo continua y diferenciable. Luego aplican la técnica de diferenciación parcial y el método de NewtonRaphson para lograr un procedimiento de optimización simultánea de la caída de presión del lado del tubo, la caída de presión del lado de la coraza y la área del intercambiador. No obstante, una desventaja algoritmo esdel quefluido se basa en coraza las correlaciones del método Kern (1950) representar de el este funcionamiento de la y, por lo tanto, sobreestima la caídapara de presión, usualmente en más del 100%, y el coeficiente de transferencia de calor del fluido de la coraza en un porcentaje menor. Esta limitante es especialmente grave cuando se deben tener estimados confiables de la geometría y, consecuentemente, de los costos asociados a los intercambiadores de calor. Si la caída de presión del lado de la coraza es sobreestimada, el diseño requerirá espaciados más amplios de bafles y/o diámetros de coraza más grandes, lo que decrece la velocidad del fluido de la coraza. A su vez, la disminución de la velocidad de flujo provoca el descenso del coeficiente de transferencia de calor de película y, consecuentemente, unidades más grandes. Las tendencias de ensuciamiento también se incrementan como un resultado de la disminución de la velocidad de flujo. De aquí se deduce que la predicción correcta de la caída de presión es igual de importante que la predicción confiable de la transferencia de calor. El objetivo de este trabajo es presentar nuevos algoritmos de diseño y optimización de intercambiadores de calor de coraza y tubos sin cambio de fase. El algoritmo de diseño asegura el aprovechamiento total de las caídas de presión permisibles especificadas de acuerdo a la experiencia, mientras que el algoritmo de optimización determina los valores de estos parámetros
que corresponden al funcionamiento óptimo del sistema. Estos algoritmos dan estimados más confiables de la geometría del intercambiador que cualquier otro algoritmo previamente reportado en la literatura, dado que para predecir el funcionamiento del fluido de la coraza utilizan el método Bell-Delaware (Taborek, 1983). Para construir la función objetivo se utilizan las relaciones compactas de las caídas de presión desarrolladas por Serna (1998), las cuales son aplicables para intercambiadores 1-2 e incorporan las caídas de presión en retornos del fluido del lado del tubo. El procedimiento de cálculo implica dos ciclos de iteración: En el ciclo interno se resuelve un modelo simplificado matemáticamente similar al que ofrece el método Kern, mientras que en el ciclo externo se actualizan los parámetros del modelo simplificado usando las correlaciones del modelo riguroso. Los cálculos terminan cuando se ha alcanzado la concordancia deseada entre los valores de las variables de iteración de dos iteraciones sucesivas. Los algoritmos desarrollados son simples, se pueden programar fácilmente y convergen a la solución rápidamente.
FORMULACION MATEMATICA DEL PROBLEMA El problema que se desea resolver en este trabajo puede enunciarse como sigue: Seleccione el intercambiador o el arreglo en serie de intercambiadores de calor de coraza y tubos multipasos para el cual el costo total anual es mínimo. Las variables de diseño especificadas son las temperaturas terminales y los flujos másicos de ambos fluidos, así como el número de pasos por los tubos, los diámetros interno y externo, el espaciado y el arreglo de los tubos del intercambiador a ser seleccionado. Se considera que cada uno de los N intercambiadores multipasos de un arreglo en serie es del mismo tamaño y usa las mismas caídas de presión para los fluidos del tubo y la coraza, ∆ P T T y ∆ P S S , respectivamente. Para obtener la expresión del costo total anual de un intercambiador de calor es preciso considerar el costo anual propio del intercambiador en sí, que está dado por el costo de la superficie del mismo, así como los costos anuales ocasionados por el funcionamiento del intercambiador. Estos últimos están relacionados con la potencia necesaria para vencer las caídas de presión de los fluidos. Los fluidos en circulación experimentan caídas de presión causadas por la resistencia al flujo que ofrecen los pasajes del intercambiador de calor. Esto obliga a suministrar a los fluidos, mediante dispositivos de bombeo, la energía mecánica necesaria para vencer las pérdidas de presión por fricción. La potencia que se requiere para poner en circulación el fluido a través de los tubos es QT ⋅∆ P TT , donde QT es el flujo volumétrico del fluido del tubo. Análogamente, QS ⋅∆ P S S es la potencia requerida por el fluido que circula por la coraza. Por ende, las caídas de presión y los flujos volumétricos de los fluidos que circulan en un intercambiador de calor determinan la magnitud de los costos de operación de los dispositivos de bombeo. Con el fin de lograr una formulación general de este problema, que tome en cuenta todas las alternativas importantes, los costos de capital anuales de los dispositivos de bombeo de ambos fluidos también deben considerarse como una parte de los costos anuales ocasionados por el funcionamiento del intercambiador. Por lo tanto, el costo total anual de un intercambiador de calor de coraza y tubos se puede expresar de la siguiente manera, C TO T
= K F (C EXC + CTP + CSP ) + COP
(1)
donde K F es el factor de carga fija que anualiza la inversión, C EXC es el costo de capital del intercambiador de calor, C TTP P y C SP SP son los costos de capital de los dispositivos de bombeo de los
fluidos del tubo y la coraza, respectivamente, y C OP OP representa los costos de operación de los dispositivos de bombeo. El costo de capital de intercambiadores de calor C EXC es modelado con ecuaciones de la forma
c1 C EXC =
+ c 2 AoC
(2)
3
donde c1 es un costo fijo asociado con los gastos de instalación de intercambiadores de calor, que se consideran como independientes del tamaño de los mismos, c2 y c3 son constantes empíricas apropiadas para características específicas de los intercambiadores (tipo de haz de tubos, material de construcción, presión de trabajo, etc.) y Ao es la área exterior del intercambiador. El costo de capital de los dispositivos de bombeo se puede correlacionar en función de la potencia requerida, ésto es, C 6
C TP
= c4 + c5 ( QT ∆PT )
C SP
= c7 + c8 ( QS ∆PS )
(3)
C 9
(4)
donde c4 a c9 son constantes empíricas apropiadas para dispositivos de bombeo específicos. El costo de operación es proporcional a la energía requerida para bombear los fluidos y está dado por COP = C T f U (QT ∆PT ηT ) + C S f U (QS ∆PS η S ) (5) donde f U U es el factor de utilización, C T T y C S S son los costos unitarios anuales de la energía de bombeo de los fluidos del tubo y la coraza, respectivamente, y ηT y ηS son las eficiencias globales de los dispositivos de bombeo de los fluidos del tubo y la coraza, respectivamente. Usando las ecuaciones anteriores, la función objetivo a minimizar para un arreglo en serie de N intercambiadores intercambiadores de calor multipasos, se puede escribir como, C TO T = N K F (c 1
+ c 2 AoC ) + K F c 4 + c 5 ( NQT ∆ P T )C + K F c7 + c 8 ( NQS ∆ P S )C + (C T f U NQT ∆ P T ) η T + (C S f U NQS ∆ P S ) η S 6
3
9
(6)
Una característica de esta ecuación, que será tema de discusión más adelante, consiste en la no linealidad en las variables independientes de los términos de costos de capital de los componentes del sistema. Unicamente los términos de los costos de operación de los dispositivos de bombeo son lineales en las variables independientes. La ecuación (6) se puede expresar como una función de los coeficientes de transferencia de calor individuales y la área del intercambiador, puesto que la transferencia de calor y la caída de presión se vinculan mediante la velocidad de flujo. Para el fluido del lado del tubo, la analogía de transporte de Colburn es una relación empírica entre la transferencia de calor y la fricción del fluido en régimen turbulento (Colburn, 1933). La aplicación de este analogía conduce a la expresión final que relaciona la caída de presión con la área del intercambiador y el coeficiente individual de transferencia de calor. Si se toma en cuenta la pérdida de presión del desplazamiento del fluido a la entrada de los tubos y a la salida de éstos, la caída de presión está definida por (Serna, 1998): ∆ P T = K T Ao (ht ) n
(7)
Para el fluido de la coraza, usando las correlaciones del método Bell-Delaware se obtiene una expresión similar (Serna, 1998):
∆ P S = K S Ao (h s ) m
(8)
Las ecuaciones (7) y (8) sólo son aplicables para fluidos incompresibles en flujo turbulento. Para propósitos prácticos, se considera que los fluidos incompresibles incompresibles son todos los líquidos y aquellos gases cuya densidad no varíe en más de un 10%, bajo las condiciones de operación del proceso. Los valores de los parámetros K TT y de las propiedades físicas y del flujo volumétrico K S S dependen de los fluidos, así como de datos geométricos del intercambiador. La introducción de las ecuaciones (7) y (8) en (6) da una nueva expresión para la función objetivo
C TOT = K F N (c1
+ c 2 AoC )+ c 4 + c 5 ( NK T QT hT n Ao )
+ (C T
C 6
3
+ c7 + c 8 ( NK S Q S hS m Ao )
C 9
ηT ) f U NK T Q h Ao + (C S η S ) f U NK S Q h Ao n T T
m S S
(9)
Las tres variables hT , hS y Ao de la función objetivo están relacionadas por la ecuación básica de diseño de intercambiadores de calor, que delimita la región de factibilidad de la solución óptima. Esta relación funcional entre tales variables se puede escribir como N ∆T M Q
−
1 + R DW + Dt =0 Dti hT Ao hS 1
(10)
donde Q es la carga térmica del intercambiador, ∆T M es la diferencia media de temperaturas, U es es el coeficiente global de latransferencia de calor basado en capas la áreadeexterior del intercambiador de calor, y R DW representa resistencia combinada que las ensuciamiento y la pared del tubo ofrecen a la transferencia de calor R DW =
1 hS , f
+
Dt 2 k W
ln
Dt Dti
+
Dt Dti hT , f
(11)
La diferencia media de temperaturas está dada por ∆T M
= FT ∆T LM
(12)
donde F T T es un factor de corrección adimensional y ∆T LM es la diferencia media logarítmica de temperaturas calculada para un intercambiador completamente en flujo a contracorriente. En este trabajo sólo se considerará la coraza TEMA-E con bafles segmentados y un paso o múltiples pasos por los tubos, por ser la más práctica que se utiliza, aunque los requerimientos de caídas de presión u otras consideraciones algunas veces demandan el uso de otros tipos de corazas y bafles. Para los intercambiadores de coraza y tubos TEMA-E, Saunders (1988) describe en detalle el método usado para determinar el número de corazas y el factor F T T para un arreglo en serie de intercambiadores de calor multipasos. Este factor, puramente geométrico, es menor que la unidad para intercambiadores de calor multipasos y es igual a la unidad para intercambiadores completamente en flujo a contracorriente.
SOLUCION AL PROBLEMA DE OPTIMIZACION La optimización de intercambiadores de calor de coraza y tubos sin cambio de fase requiere la resolución del problema de minimización de la ecuación (9), mediante la determinación apropiada de las variables de diseño hT , hS y Ao, cuyos valores deben satisfacer la ecuación (10). Para lograr este propósito, a lo largo de este artículo se considera que la función objetivo es continua y diferenciable en el rango de interés ingenieril. También se supone que
todas las propiedades físicas de los fluidos, así como los parámetros técnicos y económicos encontrados en la función objetivo son conocidos.
Estrategia de Cálculo En principio, este problema se podría resolver mediante la eliminación de la área Ao de la ecuación (9) usando la ecuación (10), obteniendo de esta manera un problema de dos variables independientes. Se podría entonces graficar los contornos de la función objetivo en el plano de las dos variables hT y hS , y determinar el punto mínimo de la gráfica. Sin embargo, este problema es lo suficientemente complejo como para descartar la solución gráfica. Otra alternativa es usar el método de Newton Raphson. En este caso, la diferenciación de la función objetivo con respecto a los coeficientes de transferencia de calor de película produce dos ecuaciones algebraicas no lineales, que se resuelven en forma simultánea en un ciclo interno de cálculos para determinar los valores óptimos de los coeficientes de película. En el ciclo externo de cálculos, la solución generada es utilizada para actualizar los parámetros del modelo simplificado. Este procedimiento se aplica hasta alcanzar la convergencia de los cálculos. La resolución de este problema aparentemente es sencilla, no obstante, implica un esfuerzo de cálculo considerable si se compara con una estrategia de cálculo secuencial en el ciclo interno, debido a que la dificultad de resolver un conjunto de ecuaciones aumenta proporcionalmente con el cubo del número de ellas que deben manejarse simultáneamente (Rudd y Watson, 1968). Por consiguiente, los cálculos requeridos para la resolución de dos ecuaciones simultáneas serán cuatro veces más laboriosos 3
que los cálculos para el caso que implica la resolución de dos ecuaciones una por una (2 comparado con 1 + 1). Además, si los valores de los estimados iniciales están lejos del óptimo, entonces el método de Newton Raphson puede sufrir problemas de divergencia. En este trabajo se presenta un procedimiento más eficiente que el método de Newton Raphson para resolver el ciclo interno de cálculos de este problema de optimización. Para simplificar y asegurar la convergencia de los cálculos del problema de optimización, el procedimiento adoptado para el ciclo interno de cálculos consiste esencialmente de tres etapas: Primero, los términos no lineales de la función objetivo son linealizados por la técnica de series de Taylor. Luego, a la función objetivo linealizada se le aplica el método de multiplicadores de Lagrange. Las ecuaciones algebraicas no lineales resultantes de la diferenciación parcial se desacoplan para obtener dos ecuaciones algebraicas no lineales secuenciales. Finalmente, estas ecuaciones se resuelven para obtener una solución tentativa y, de esta solución tentativa, las aproximaciones lineales son actualizadas para proporcionar nuevos valores de los parámetros de las ecuaciones secuenciales, las que se resuelven de nuevo para obtener otra solución tentativa y actualizar las aproximaciones lineales. Este procedimiento es repetido las veces que sean necesarias hasta que la convergencia del ciclo interno de cálculos se alcanza. Esta estrategia tiene la gran ventaja de ser un método robusto que asegura la convergencia de los cálculos
Linealización de la Función Objetivo En la función objetivo dada por la ecuación (6) sólo los términos asociados con los costos de capital de los equipos presentan no-linealidades. La linealización por la técnica de series de Taylor de esta ecuación da origen a la función objetivo C TOT = Γ1
+ Γ 2 A o + Γ 3 ∆ P T + Γ 4 ∆ P S
(13)
que es lineal en las variables Ao, ∆ P TT y ∆ P SS . Los parámetros Γ1, Γ2, Γ3 y Γ4 son constantes definidas por Γ1
= K F [ N (c1 + c 2 (1 − c 3 )(〈 Ao 〉 )C ) + c 4 + c5 (1 − c6 )( NQT 〈 ∆ P T 〉 )C + c7 + c 8 (1 − c 9 )( NQS 〈 ∆ P S 〉 )C ] (14) 3
6
9
Γ2
Γ 3 =
= K F Nc 2 c 3 (〈 Ao 〉 )C −1
C T f U NQT
Γ 4 =
η T C S f U NQ S
η S
(15)
3
+ K F c 5 c6 ( NQT )C (〈 ∆ P T 〉 )C −1
(16)
+ K F c 8 c 9 ( NQS )C (〈 ∆ P S 〉 ) C −1
(17)
6
6
9
9
donde se ha adoptado la convención de que las cantidades que aparecen dentro de 〈 〉 son los estimados iniciales alrededor de los cuales se ha realizado la linealización de la ecuación (6). En el proceso iterativo de cálculo estas cantidades se tratan como constantes evaluadas en los valores de la iteración previa de las variables.
Aplicación del Método de los Multiplicadores de Lagrange La función objetivo, dada por la ecuación (13), en términos de las variables Ao, hT y hS tomará la siguiente forma: C TOT = Γ 1
+ Γ 2 Ao + Γ 3 K T AhT n + Γ 4 K S AhS m
(18)
donde los valores de tales variables deben satisfacer la restricción dada por la ecuación (10). Algunas veces se imponen restricciones adicionales a los valores de las variables de la función objetivo y, cuando solo un fluido del intercambiador de calor forma parte del proceso, el costo total C TOT TOT puede ser complementado con el costo de la energía térmica suministrada al (o removida del) intercambiador por una corriente de servicio. Para este caso, el flujo del fluido de servicio o su temperatura de salida es una variable que debe ser optimizada. Un algoritmo que implementa la solución óptima de esta alternativa de diseño ha sido publicado recientemente (Serna y Jiménez, 1997). Usando el método de los multiplicadores de Lagrange, se obtiene la siguiente expresión a ser optimizada mediante la diferenciación parcial con respecto a cada una de las variables C TOT = Γ 1
N ∆T M 1 + Γ 2 Ao + Γ 3 K T AhT n + Γ 4 K S AhS m + λ − Q A0
1 Dt + + R DW h D h S ti T
(19)
donde λ es el multiplicador Lagrangiano constante. Calculando e igualando a cero las primeras derivadas de C TOT TOT con respecto a hT , hS y Ao se obtienen las siguientes ecuaciones algebraicas no lineales: ∂C TOT ∂hT
∂C TOT ∂hS ∂C TOT ∂ Ao
= nΓ 3 K T Ao hT n −1 +
λ Dt
Dti Ao hT 2
= mΓ 4 K S Ao hS m +
= Γ 2 + Γ 3 K T hT n + Γ 4 K S hS m +
λ Ao hS 2
λ 2
Ao
=0
=0
1 Dt + + R DW = 0 h D h ti T S
(20) (21)
(22)
Descomposición del Sistema de Ecuaciones No-lineales Simultáneas La descomposición de lasunanteriores ecuaciones no lineales simultáneas una consideración fundamental sistemática para desarrollar procedimiento de resolución secuencial en enesciclo
interno de cálculos. Aplicando una técnica de eliminación de las incógnitas Ao y λ, este sistema de ecuaciones no lineales simultáneas simultáneas se reduce reduce a dos ecuaciones secuenciales secuenciales (Serna, 1988): 1 ( m+1)
nΓ 3 K T Dti hS = Γ m K D 4 S t
(hT ) (n +1) (m +1)
Γ 5 + Γ 6 hT + Γ 7 (hT )(m − n ) ( m+1)
hT n
(23)
= Γ 2
donde los parámetros están definidos como
(24)
Γ 5 = (n − 1)Γ 3 K T
(25)
Γ 6 = nΓ 3 K T R DW ( Dti Dt )
(26)
Γ 7 = n(1 − 1 m )(n m)1 (m +1) (Γ 3 K T Dti
Dt )
m ( m + 1 )
(Γ 4 K S )1 (m + 1)
(27)
La aplicación de la técnica de eliminación de las variables Ao y λ plantea una solución secuencial, en vez de simultánea, de las ecuaciones del problema. Resulta obvio que el valor óptimo de hT se calcula de la ecuación (24). Después, el valor óptimo de hS se obtiene por sustitución de hT en la ecuación (23). Una vez conocidos los coeficientes de transferencia de calor óptimos, la área óptima del intercambiador se determina de la ecuación (10). Finalmente, las caídas de presión óptimas se calculan de las ecuaciones (7) y (8).
Actualización de las Linealizaciones Puesto que las ecuaciones (23) y (24) resultan de la linealización de la función objetivo alrededor de los estimados iniciales 〈 Ao 〉 , 〈 ∆ P T 〉 y 〈 ∆ P S 〉 , no hay duda de que la solución obtenida T y ∆ Ao , ∆ P P S sólo será una aproximación a la solución del problema original. No obstante, como una consecuencia del proceso de minimización, la solución aproximada estará más cercana a la solución del problema original que los estimados iniciales. Por lo tanto, si se satisface la prueba de convergencia x i∗
= x pi +1
si
máx x pi + 1 i
− xi p < ε
(28)
donde ε es un criterio de error fijado al inicio de los cálculos, entonces la linealización sucesiva garantizará una secuencia de convergencia a la solución del problema original, sin necesidad de T y ∆ recurrir a procedimientos más complejos de actualización. Esto es, los valores Ao , ∆ P P S generados durante una iteración se usarán directamente como los puntos de linealización del siguiente problema linealizado. La secuencia constituida por la solución del problema linealizado seguida por el ajuste de los puntos de linealización se realiza hasta que la diferencia de los valores calculados Ao , ∆ P T y ∆ P S de dos iteraciones sucesivas sea menor que un criterio de convergencia seleccionado.
Algoritmo de Optimización En la discusión anterior se ha considerado que los parámetros K TT , K SS , m y n tienen valores dados y, por ende, implícitamente se ha supuesto que los detalles geométricos del intercambiador son conocidos con antelación. No obstante, la configuración final del intercambiador es un resultado del proceso de optimización, por lo que para iniciar los cálculos también se requiere de un estimado inicial de estas variables. Conociendo estos parámetros se pueden calcular los coeficientes hS y hT de las ecuaciones (23) y (24), respectivamente. De aquí es directa la
determinación de la configuración del intercambiador y, consecuentemente, la actualización de los parámetros K T T, K S S, m y n. Esta situación da origen a dos ciclos principales de iteración anidados: Los parámetros K T T , K S S, m y n son las variables de tanteo del ciclo exterior y las T y ∆ cantidades Ao , ∆ P P S son las variables de tanteo del ciclo interior. La estrategia recursiva de cálculo se puede formalizar en el siguiente algoritmo:
Paso 0. Especificar los datos de entrada: (1) El flujo másico, el factor de ensuciamiento, las propiedades físicas, el costo unitario de bombeo y las temperaturas terminales de ambos fluidos, (2)pasos el diámetro el diámetro el espaciado el arreglo de los tubos, (3) el número de por losinterno, tubos, (4) el tipo deexterno, haz de tubos y (5) losydatos económicos del sistema. Conocidos estos datos, calcular la carga térmica del intercambiador.
Paso 1. Fijar el criterio de terminación de los cálculos ε (por ejemplo, ε =1x10-9) e inicializar el contador del número de iteraciones externas, j = 0, y el contador del número de T 〉 , 〈 ∆ P S 〉 y K TT , K SS , m y n. iteraciones internas, i = 0. Seleccionar los estimados iniciales 〈 Ao 〉 , 〈 ∆ P
Paso 2. Usando los valores actuales de las variables de tanteo calcular los coeficientes Γ1 a Γ4 de las ecuaciones (14) a (17) y los coeficientes Γ5 a Γ7 de las ecuaciones (25) a (27). Luego determinar los valores óptimos de hS y hT de las ecuaciones (23) y (24), respectivamente.
Paso 3. Obtener los valores actuales de la área, la caída de presión del lado del tubo y la caída de presión del lado de la coraza, de las ecuaciones (10), (7) y (8), respectivamente. P S . T y ∆ Representar la solución como Ao , ∆ P Paso 4. Revisar la convergencia. Si Ao
− 〈 Ao 〉 ≤ ε ,
∆ P T − 〈 ∆ P T 〉
≤ ε
y
∆ P S − 〈 ∆ P S 〉
≤ε
avanzar al paso 6. En caso contrario incrementar i en uno, hacer
〈 Ao 〉 = Ao , 〈 ∆ P T 〉 = ∆ P T y 〈 ∆ P S 〉 = ∆ P S y regresar al paso 2.
Paso 5. Calcular los parámetros geométricos del intercambiador del lado del tubo y del lado de la coraza usando las ecuaciones de la caída de presión en los extremos y del método BellDelaware. Con estos datos determinar los coeficientes de las relaciones compactas de caídas de presión. Representar la solución como K T calc , K S calc , m calc y n calc .
Paso 6. Revisar la convergencia. Si K T − K T calc
≤ ε ,
K S − K S calc
≤ ε ,
m − m calc
≤ε
y
n − n calc
≤ε
terminar los cálculos. La solución óptima del problema original está constituida por los valores actuales de las variables de tanteo. Si este criterio no se cumple, entonces incrementar j en uno, hacer K T = K T calc , K S = K S calc , m = m calc y n = n calc
y regresar al paso 2. P T 〉 , 〈 ∆ Los valores de los estimados iniciales 〈 Ao 〉 , 〈 ∆ P S 〉 , K K TT , K SS , m y n deben ser positivos. Esta es una condición impuesta por la física de este problema de optimización. Aunque algunas veces pueden obtenerse buenos estimados iniciales de los parámetros K TT , K SS , m y n por inspección o por experiencia previa con el problema, el camino más seguro es suponer al inicio de los
cálculos que el modelo simplificado es representado por las ecuaciones del método Kern. Esta suposición permite obtener datos burdos de los detalles geométricos del intercambiador necesarios para obtener los valores estimados de los parámetros K TT , K SS , m y n. Una vez conocidos los valores óptimos de la área y los coeficientes de transferencia de calor, las variables de diseño detalladas, tales como el número y la longitud de los tubos, el espaciado de bafles y las dimensiones de la coraza pueden ser determinadas. A partir de los coeficientes de transferencia de calor se calculan las velocidades de los fluidos del lado del tubo y la coraza. El número de tubos del intercambiador se estima después de conocer la velocidad del fluido del tubo. A su vez, el número de tubos determina el diámetro de la coraza. Conociendo el número de tubos y la área total de transferencia de calor se determina la longitud de los tubos. El espaciado de bafles se estima una vez conocidos el diámetro de la coraza y la velocidad del fluido del lado de la coraza. Finalmente, el número de bafles depende del espaciado de bafles y la longitud de los tubos.
CASO ESPECIAL: CAIDAS DE PRESION PERMISIBLES ESPECIFICADAS Frecuentemente se presentan diversos casos especiales que modifican el problema de optimización de intercambiadores de calor de coraza y tubos. Por razones prácticas, en algunas aplicaciones es necesario restringir las velocidades de las corrientes de proceso con el propósito principal de minimizar el ensuciamiento y la erosión. Otras veces, la presión en línea de las corrientes de proceso es suficiente para vencer las caídas de presión a través de la tubería, los accesorios y el intercambiador. Esta consideración implica la especificación de las caídas de presión permisibles de ambos fluidos. Bajo estas condiciones los costos de potencia son nulos o despreciables y, por lo tanto, el número de variables es igual al número de ecuaciones. De aquí resulta un problema de diseño que consiste en determinar la configuración del intercambiador sin variaciones posibles entre los parámetros del sistema. Para un sistema dado se obtendrán los coeficientes de transferencia de calor más grandes posibles y, consecuentemente, el intercambiador más pequeño y económico, sólo si ambas caídas de presión permisibles se aprovechan totalmente. El algoritmo convencional de diseño de intercambiadores de calor de coraza y tubos (Kern, 1950; Bell, 1983; Saunders, 1988) emplea un método iterativo de cálculo para evaluar varias configuraciones, con respecto tanto a la transferencia de calor como a las caídas de presión. Los cálculos terminan cuando se identifica el diseño que satisface tres requisitos principales: 1. Transferir la carga térmica requerida. 2. Lograr una caída de presión del fluido del tubo por debajo del valor permisible. 3. Lograr una caída de presión del fluido de la coraza por debajo del valor permisible. Por lo tanto, el algoritmo convencional considera que las caídas de presión permisibles son restricciones en vez de objetivos de diseño y, por ende, no garantiza su uso completo. Jegede y Polley (1992) desarrollaron un algoritmo de diseño de intercambiadores de calor de coraza y tubos, cuya principal virtud es asegurar el aprovechamiento total de las caídas de presión permisibles. Sin embargo, este algoritmo está basado en las correlaciones del método Kern (1950) para el fluido de la coraza y, por ende, da estimados inexactos que no pueden ser tolerados actualmente en la etapa de diseño de intercambiadores de calor. Además, no considera las pérdidas de presión en los extremos del intercambiador para el fluido del lado del tubo. Como lo señalan Coulson y col. (1989), esta caída de presión no puede ser despreciada, sobre todo en el diseño de intercambiadores de calor de pasos múltiples por los tubos, donde su magnitud se incrementa a medida que el número de pasos por los tubos aumenta.
Por lo tanto, es necesario un algoritmo que asegure el uso total de las caídas de presión permisibles de las corrientes de proceso y que, a la vez, sea simple, robusto y confiable. Además, el algoritmo deseado debe considerar todas las combinaciones geométricas posibles para el lado de la coraza y las pérdidas de presión en los extremos para el fluido del tubo, con el fin de no restringir su aplicación. El cumplimiento de estos requerimientos ha dado origen al nuevo algoritmo de diseño que se presenta en la siguiente sección.
Nuevo Algoritmo de Diseño Un sistema de tres ecuaciones en tres incógnitas (hT , hS y Ao ) es constituido por las relaciones simples de caídas de presión y la ecuación básica de diseño de intercambiadores de calor. La solución más simple de este problema consiste en la eliminación de variables entre las ecuaciones del sistema para establecer una sola ecuación en una sola incógnita. De esta manera, de la combinación de las ecuaciones 7, 8 y 10 resulta: 1n
(∆ P T F T ∆T ML K T Q ) Dt hT − 1 m + + R EP = 0 Dti hT ( K S ∆ P T K T ∆ P S )
(29)
Una vez que de esta ecuación algebraica no lineal se calcula el coeficiente de transferencia de calor del fluido del tubo, hT , el coeficiente de transferencia de calor del fluido de la coraza se obtiene de la expresión
K T ∆ P S hT n 1 m hS = ∆ K P S T
(30)
Luego la área del intercambiador se determina de la ecuación (10). Conocidos los valores de las variables del sistema, los detalles geométricos del intercambiador se obtienen rápidamente de las ecuaciones de diseño del método Bell-Delaware. El procedimiento de resolución de este problema consiste de dos ciclos de cálculos. Primero, en el ciclo interno de cálculos se calculan los coeficientes individuales de transferencia de calor hT y y hS de de manera secuencial de las ecuaciones (29) y (30). Al inicio de los cálculos, se deben dar estimados iniciales de los coeficientes K T T , K S S , n y m, dado que no se conocen porque dependen de los detalles de la geometría del intercambiador. Luego, en el ciclo externo de cálculos se actualizan los coeficientes K T T, K S S , n y m usando las ecuaciones del modelo riguroso (caída de presión en los extremos para el fluido del tubo y método Bell-Delaware para el fluido de la coraza). La convergencia se alcanza cuando los valores de dos iteraciones sucesivas de estos coeficientes satisfacen el criterio especificado para terminar los cálculos. El algoritmo resultante es robusto y converge rápidamente a la solución. En resumen, el nuevo algoritmo de diseño consiste de los siguientes pasos:
Paso 0. Especificar los datos de entrada listados en la Tabla 1. Tabla 1: Datos de Entrada para el Diseño de Intercambiadores Intercambiadores de Calor Datos de proceso Datos geométricos Flujos másicos ∆PT - caída de presión permisible ∆PS - caída de presión permisible Temp Temper erat atur uras as de entr entrad adaa y d dee sa sali lida da Factores de ensuciamiento Propiedades físicas
Diámetro interno de tubo Diámetro externo de tubo Espaciado de tubo Ar Arre regl glo o de los los tubo tuboss Número de pasos por los tubos Espacios libres del lado de la coraza
Conocidos estos datos, obtener la carga térmica Q, la diferencia media logarítmica de temperaturas ∆T ML y el número N s de corazas en serie para F TT ≥ 0.75 (ver Apéndice A).
Paso 1. Seleccionar los estimados iniciales de los coeficientes K TT , K SS , n y m. Fijar el criterio de terminación de los cálculos (e.g. ε=1x10-5) e inicializar el contador del número de iteraciones externas, j = 0.
Paso 2. Determinar los valores de hT y hS de las ecuaciones (29) y (30), respectivamente. detalles del intercambiador decompactas. las ecuaciones del modelo 3. Calcular rigurosoPaso y actualizar loslos valores de geométricos los coeficientes de las relaciones Representar la calc calc calc calc solución como K T , K S , m y n .
Paso 4. Revisar la convergencia. Si K T − K T calc
≤ ε ,
K S − K S calc
≤ ε ,
m − m calc
≤ε
y
n − n calc
≤ε
terminar los cálculos. Si este criterio no se cumple, entonces incrementar j en uno, hacer
, m = m calc y n = n calc K T = K T calc , K S = K S calc y regresar al paso 2. Los valores de los estimados iniciales del paso 1 corresponden a los calculados de la solución de las ecuaciones de Jegede y Polley (1992). Esta elección da buenos estimados de la variables de iteración que garantizan la convergencia del nuevo algoritmo de diseño.
RESULTADOS NUMERICOS Y DISCUSION Con el fin de ilustrar la aplicación de los nuevos algoritmos de diseño y optimización propuestos se consideran varios ejemplos.
Ejemplo 1: Características de Convergencia del Algoritmo de Optimización El propósito de este ejemplo es mostrar las características de convergencia del ciclo interno de cálculos del nuevo algoritmo de optimización. Este problema corresponde al Ejemplo 1 de Jegede y Polley (1992), el cual considera el intercambio de calor entre dos corrientes líquidas, cuyos flujos másicos y temperaturas se dan en la Figura 1. La corriente caliente fluye por los tubos y la corriente fría fluye por la coraza de un intercambiador 1-1. Las propiedades físicas de los fluidos y los parámetros de las funciones de costos de capital del intercambiador y de las bombas son dados en las Tablas 2 y 3, respectivamente. Se desean estimar los valores óptimos de la área del intercambiador y de las caídas de presión de las corrientes de proceso si la eficiencia de las bombas es 0.7, el costo unitario de la potencia de bombeo es $0.045/kWhr, el proceso opera 8000 hr/año, la vida útil del equipo es 5 años y la tasa de interés anual es 5%. En la referencia original no aparecen los datos de los diámetros interno y externo de los tubos, ni del espaciado y arreglo de los tubos; en su lugar se especifican los parámetros K T =5.138x10-10 y K S T =5.138x10 S -13 = 8.959x10 . Puesto que se está usando el método Kern se tiene que m = 5.1 y n = 3.5.
Figura 1: Flujos másicos y temperaturas de las corrientes del ejemplo 1
Tabla 2: Propiedades físicas de los fluidos Corriente
Cp J/kg K
µ Ns/m2
Caliente
1700
0.65x10-3
0.180
1160
1400
-3
0.159
880
Fría
k ρ W/m⋅K kg/m3
0.95x10
Tabla 3: Constantes de las funciones de costos de capital c1
c2
c3
c4
c5
c6
c7
c8
c9
19600
1008
0.81
1410
4.64
0.68
1410
4.64
0.68
La solución óptima obtenida se reporta en la Tabla 4. El costo de potencia anual representa el 14.936% del costo total anual, mientras que el costo de capital anual del equipo de bombeo es apenas el 3.442% del costo total anual. Los costos de operación y capital del equipo de bombeo representa el 22.52% del costo de capital del intercambiador de calor. Para otros problemas, en los que la viscosidad de los líquidos es grande, el costo total de bombeo puede llegar a ser hasta el 50% del costo de capital del intercambiador. Tabla 4: Solución óptima del ejemplo 1 Area del intercambiador de calor, Aopt : 434.747 m2 Coeficiente del lado del tubo, hTopt : 1990.782 W/m2⋅ºC Coeficientee de lado de la coraza, hCopt : 704.7455 W/m2⋅ºC Coeficient 2 P Topt Caída de presión del lado del tubo, ∆ Topt : 78634.64 N/m 2 Caída de presión del lado de la coraza, ∆ P Sopt Sopt : 130454.8 N/m
Costo total anual mínimo, C TOT : 49291.9 $/año Costo de potencia anual : 7362.41 $/año Costo de capital anual del equipo de bombeo: 1696.49 $/año
Costo de capital anual del intercambiador : 40233 $/año
La evaluación detallada de la solución presentada por Jegede y Polley (1992) para este ejemplo revela que no consideran los costos de las bombas, no obstante que explícitamente presentan los datos de los parámetros de costos de las mismas. Esta es la causa que explica la discrepancia entre los resultados de la Tabla 4 obtenidos por el método presentado aquí y los reportados por Jegede y Polley (1992). Si los parámetros de costos c4 = c5 = c 7 = c8 = 0 , entonces ambos métodos dan la solución presentada en la Tabla 5. Tabla 5: Solución óptima del ejemplo 1 (costos de las bombas despreciables) Area del intercambiador de calor, Aopt : 426.327 m2 Coeficiente del lado del tubo, hTopt : 2045.39 W/m2⋅ºC Coeficientee de lado de la coraza, hCopt : 716.77 W/m2⋅ºC Coeficient 2 Caída de presión del lado del tubo, ∆ P Topt Topt : 84771.98 N/m 2 Caída de presión del lado de la coraza, ∆ P Copt Copt : 139456.1 N/m
Costo total anual mínimo, CTOT : 47571.9 $/año Costo de potencia anual : 7892.81 $/año Costo de capital anual del intercambiador : 39679.1 $/año
Con este problema se pueden demostrar las características de convergencia en el ciclo interno del algoritmo. La Tabla 6 muestra el comportamiento del algoritmo en función del valor del criterio de convergencia, cuando los estimados iniciales de la área y de ambas caídas de presión son 1 m2 y 1 N/m2, respectivamente. En todos los casos, la convergencia a la solución óptima se logra en pocas iteraciones, siendo el tiempo de CPU requerido menor que 1 s. Este análisis también permite evaluar los cambios relativos de Ao, ∆ P T P SS entre cada una de las T y ∆ iteraciones. A medida que el criterio de convergencia se reduce, la solución que se obtiene es más precisa a cambio de un número mayor de iteraciones. Sin embargo, las respuestas no cambian significativamente para valores de ε = 1x10-5 o menores. Aún para un valor de ε = 1x10-3 el algoritmo da resultados útiles. Tabla 6: Sensibilidad del algoritmo con respecto al criterio de convergencia ε 0.1 0.01
A P T ∆ 434.859 78564.39
P S ∆ 130334
iteraciones 3
434.755
78630.36
130447
4
1x10
-3
434.755
78630.36
130447
4
1x10
-4
434.748
78634.49
130454.2
5
1x10
-5
434.747
78634.64
130454.8
6
-10
434.747
78634.64
130454.8
7
1x10
La Tabla 7 muestra la sensibilidad del algoritmo a los estimados iniciales para dos criterios de convergencia, 1x10-4 y 1x10-10. El sistema converge prácticamente desde cualesquier estimados iniciales, incluyendo números muy grandes. Aún con un criterio de error muy rígido ( ε -10 = 1x10 ), las iteraciones se incrementan muy lentamente y el tiempo de CPU es menor que 1 s, sin importar que los estimados iniciales estén muy alejados de la solución óptima. El algoritmo es inusualmente insensible a los estimados iniciales y, por consiguiente, éstos no necesitan ser buenas aproximaciones para que el método trabaje. Esta característica no es propia de los
métodos numéricos tradicionales empleados para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas no lineales. Además, el algoritmo descrito no emplea técnicas que aceleren la convergencia. Desde luego, estas técnicas podrían ser usadas para hacer el método aún más rápido a expensas de un incremento leve su complejidad. Tabla 7: Sensibilidad del algoritmo a los estimados iniciales ε = 1x10-10 ε =1x10-4 iteraciones No. iteraciones iteraciones No. iteraciones respuesta respuesta + 10 3
respuesta + 1x10
todos los valores = 10 6
todos los valores = 1x10
1
1
4
5
5
7
5
7
6
7
Ejemplo 2: Diseño Optimo de un Intercambiador de Calor Considere el intercambio de calor entre dos corriente líquidas: Una corriente de proceso caliente va a ser enfriada de 160ºC a 80ºC usando una corriente de proceso fría que debe ser calentada de 70ºC a 135ºC. Un intercambiador de coraza y tubo ha sido propuesto para esta tarea. Las propiedades físicas y los flujos másicos de los fluidos se dan en la Tabla 8. En base a los datos de especificaciones y costos dados en la Tabla 9 diseñe el intercambiador de calor óptimo. Tabla 8: Propiedades físicas y flujos másicos de los fluidos del ejemplo 2 Corriente
Cp J/kg K
µ Ns/m2
Caliente
1650
0.580x10-3
0.175
1120
50.00
Fría
1980
0.165x10-3
0.105
464
51.28
k ρ W/m⋅K kg/m3
w kg/s
Tabla 9: Especificaciones del intercambiador y datos de costos del ejemplo 2 Especificaciones Especificacion es del Intercambiador
El fluido caliente pasa a través de los tubos Dos pasos por los tubos Dt = 19.05 mm; Dti = 15.4 mm; L pt = 25.4 mm Arreglo cuadrado de los tubos
Datos de costos
Intercambiador de calor: 30800 + 4409A0.93 Costo unitario de la potencia: $0.045/kWhr Factor de servicio de la planta: 0.913 Eficiencia de las bombas: 70% Vida del equipo: 5 años Tasa de interés: 5%
En la Tabla 10 se resumen los parámetros del intercambiador de calor óptimo. También se presentan los valores obtenidos con el modelo simplificado de Jegede y Polley (1992). Los 5
5
s son 1.29x10 y 1.94x10 , respectivamente, por lo que la Reválida. valores calculados de Ret y es suposición de flujo turbulento
Tabla 10: Solución del ejemplo 2 Mode Mod elo →
2
Aopt, m hTopt, W/m2⋅ºC hSopt, W/m2⋅ºC U, W/m2⋅ºC CTOT, $ DS, m K T K S
Be Bell ll-De -Dela law ware
Ke Kern rn
55.90 5993.97 2596.29 1690.42 0.343x106 0.4193 2.677x10-10 3.238x10-14
65.04 5770.9 2110.8 1453.0 0.3856x106 0.2974 2.675x10-10 2.653x10-14
Las áreas óptimas calculadas por ambos modelos varían en un 16.35%, mientras que la diferencia entre los costos totales mínimos representa un 12.42%. Estas diferencias se incrementan a medida que se insertan tiras de sello en el lado de la coraza del intercambiador o se reducen los espacios libres inherentes al proceso de fabricación. Por ejemplo, cuando se tiene un par de tiras de sello, la diferencia entre las áreas óptimas calculadas por ambos modelos asciende al 23.75% y los costos totales mínimos varían en un 18.0%. En todos los casos el modelo riguroso da menores áreas y mayores coeficientes de transferencia de calor óptimos que el modelo de Jegede y Polley.
Ejemplo 3: Caídas de Presión Permisibles Especificadas Este problema consiste en diseñar un intercambiador de calor de coraza y tubos que debe ser capaz de enfriar 71 kg/s de un fluido orgánico de 125 oC a 96oC usando 64 kg/s de una corriente de un fluido frío que debe procesarse térmicamente de 75 oC a 114oC. El fluido caliente fluirá por los tubos y el frío lo hará por la coraza. Las caídas de presión permisibles del lado del tubo y la coraza son 7x104 y 8x104 N/m2, respectivamente. Las propiedades físicas y los factores de ensuciamiento de ambos fluidos se presentan en la Tabla 10. Los diámetros interno y externo de los tubos del intercambiador son 0.606 pulg y 0.75 pulg, respectivamente, el espaciado de los tubos es 1 pulg y el arreglo de los tubos es cuadrado. El corte porcentual de bafle es 25% y los espacios libres de construcción son: Lbb = 10 mm, L sb = 5.5 mm y Ltb = 0.5 mm. Tabla 10: Propiedades fisicas y factores de ensuciamiento de los fluidos Fluido Caliente Frío
Cp 1700 1400
µ
.65E-3 .95E-3
k 0.18 0.159
ρ
1160 880
f .0001 .0001
Las soluciones de este problema para un diseño 1-1 (un paso por la coraza y 1 paso por los tubos) se presentan en la Tabla 11. El algoritmo de Jegede y Polley da los siguientes 2o 2o 2 resultados: hT = = 2655.789 W/(m C), hS = = 1182.648 W/(m C), Ao = 357.688 m y DS = = 0.4007 m. En este problema, así como en la mayoría de los casos, la área dada por el algoritmo de Jegede y Polley siempre será mayor que la obtenida por el nuevo algoritmo de diseño, debido a que el primero considera un patrón de flujo idealizado para el fluido de la coraza que implica la sobrepredicción de la caída de presión del fluido y, consecuentemente, de la área del intercambiador. Este efecto es el causante de que existan variaciones apreciables entre los coeficientes de transferencia de calor de película de ambos fluidos calculados por ambos algoritmos. Para el problema ejemplo, la área dada por el nuevo algoritmo de diseño representa el 85.85% de la área calculada con las relaciones compactas del método Kern. Para otros ejemplos estudiados este porcentaje ha sido menor.
Tabla 11: Solución del problema-ejemplo para un paso por los tubos hT 2724.979
hS 1460.077
Ao 307.61
DS 0.4232
Para dos pasos por los tubos, el número de corazas en serie requeridas es tres. En la Tabla 12 se reportan los coeficientes de película, el diámetro y la área para cada una de las corazas de la unidad de transferencia de calor. Se observa que, de la misma manera que para un solo paso por los tubos, la área estimada por el algoritmo de Jegede y Polley es mayor que la predicha por el nuevo algoritmo. Esta diferencia se incrementa si se colocan tiras de sello en el lado de la coraza del intercambiador para reducir el efecto de la corriente de fuga C. Tabla 12: Solución del problema-ejemplo para dos pasos por los tubos Algoritmo
hT
h S
Ao
D S
Jegede y Polley
2343.74
1154.484
134.854
0.5794
Nuevo
2472.609
1744.755
108.272
0.6214
Una propiedad notable del nuevo algoritmo de diseño es que garantiza la convergencia de los cálculos. En este aspecto el método de predicción de estimados iniciales desempeña un papel esencial, ya que produce buenos valores iniciales de las variables de iteración. Por tanto, el método de predicción favorece la convergencia rápida y confiable de los cálculos.
CONCLUSIONES Nuevas relaciones compactas co mpactas de las caídas de presión han hecho posible el desarrollo de algoritmos rápidos de diseño y optimización de intercambiadores de calor de coraza y tubos sin cambio de fase. El patrón de flujo del fluido de la coraza es modelado usando el método BellDelaware, por lo que los nuevos algoritmos dan estimados de los parámetros de diseño más confiables que los dados por otros algoritmos reportados previamente en la literatura. Tanto para el diseño como para la optimización, el procedimiento de cálculo implica dos ciclos anidados. En el ciclo interno se resuelve un modelo simplificado cuyos parámetros se actualizan iterativamente en el ciclo externo, donde se utilizan las ecuaciones del modelo riguso. Este proceso se repite varias vecesde para calcular sucesivamente más y mejores aproximaciones, hasta que se cumplan los criterios convergencia. Los problemas resueltos han mostrado que el nuevo algoritmo de optimización es un método simple y robusto que asegura la convergencia a la solución óptima en pocas iteraciones, sin importar que los estimados iniciales estén alejados de la solución óptima. La elevada probabilidad de convergencia ofrecida por el algoritmo propuesto es útil en general. Es particularmente útil para el caso en que una rutina de este método forme parte de otro programa grande, donde la falla de un subprograma incrustado en otro puede ser muy costosa. Concretamente, este algoritmo puede mejorar significativamente los métodos de síntesis de redes de intercambiadores de calor. La determinación de la ∆T MIN óptima de redes requeriría la resolución del problema tratado en este artículo para una gran cantidad de intercambiadores de calor, con la finalidad de obtener estimados razonables de los coeficientes de transferencia de calor de las corrientes del proceso antes de que la estructura de la red sea conocida. De esta manera, además de los costos de capital de los intercambiadores de calor y los costos de los servicios generales, también sería posible incorporar los costos totales de bombeo en la etapa de preoptimización del problema de síntesis de redes de intercambiadores de calor. En este contexto,
el algoritmo desarrollado, por sus características de estabilidad y convergencia, aseguraría el éxito de los cálculos iterativos requeridos para determinar la ∆T MIN óptima. óptima.
Nomenclatura Ao c1 a c9 Γ1 a Γ4 C OOP P C SS C TT C SP SP C TTP P C EXC C P C TOT TOT Dt Dti f T T
Area de transferencia de calor, m2 Parámetros de las funciones de costo de los equipos Parámetros definidos por las ecuaciones 14 a 17 Costo de operación del intercambiador de calor, $/año Costo de la potencia de bombeo del fluido del lado de la coraza, $/kWhr Costo de la potencia de bombeo del fluido del lado del tubo, $/kWhr Costo de capital del equipo de bombeo del fluido del lado de la coraza, $ Costo de capital del equipo de bombeo del fluido del lado del tubo, $ Costo de capital del intercambiador de calor, $ Capacidad calorífica de los fluidos, J/kg oC Costo total anual del sistema de transferenciade calor, $/año Diámetro externo de los tubos, m Diámetro interno de los tubos, m 2 Factor de incrustación del lado del tubo, m ⋅ºC/W 2
f S f U U hS hT j k K F K SS K TT k WW Q QS QT ∆ P TT ∆ P SS
Factor de de utilización incrustación del lado de la coraza, m ⋅ºC/W Factor Coeficiente de transferencia de calor del fluido del lado de la coraza, W/m 2⋅ºC 2 Coeficiente de transferencia de calor del fluido del lado del tubo, W/m ⋅ºC Contador del número de iteraciones Conductividad térmica de los fluidos, W/m⋅ºC Factor de cargos fijos anuales, 1/año Parámetro de la ecuación 3 Parámetro de la ecuación 2 Conductividad térmica del material de los tubos, W/m⋅ºC Carga térmica del intercambiador de calor, W 3 Flujo volumétrico del fluido del lado de la coraza, m /s Flujo volumétrico del fluido del lado del tubo, m3/s Caída de presión del fluido del lado del tubo, N/m2 Caída de presión del fluido del lado de la coraza, N/m2
Letras Griegas ε η ρ µ
Criterio de precisión de los cálculos Eficiencia de los dispositivos de bombeo (fraccional) 3 Densidad de los fluidos, kg/m Viscosidad de los fluidos, Ns/m2
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