Algoritmo de Thomas

ALGORITMO DE THOMAS PARA LA SOLUCIÓN DE MATRICES TRIDIAGONALES APLICADO A LA INGENIERÍA QUIMICA. ANA MILENA TORRES GARAVITO GARAVITO GERMAN ALEXIS SALAS GOMEZ. LEONARDO VASQUEZ PADILLA

OBJETIVOS. 



Estudi Estudiar ar la aplica aplicació ción n de las distin distintos tos méto método doss numé numéri rico coss en la solu soluci ción ón de  problemas propios en en ingeniería química. Recono Reconocer cer la import importanc ancia ia del anális análisis is numérico en la presentación de resultados en trabajos de investigación en ingeniería química.

RESUMEN. En este este caso caso parti particu cula larr se aplic aplicar aran an los conocimientos adquiridos en la asignatura para la resolu resolució ción n de un proble problema ma de balanc balancee de masa con reacción química en estado estacionario en un reactor de etapas (unidades múltip múltiples les)) en el cual cual deseam deseamos os conoce conocerr las concen concentra tracio ciones nes molar molares es en cada cada una de las etapas de el reactor.

CONTENIDO DEL ARTICULO. El estu estudi dio o de los los dist distin into toss méto método doss para para el análisis numérico en una herramienta más para afront afrontar ar cualqu cualquier ier situac situación ión no solo solo a nivel nivel ingenieril ingenieril y/o científico científico sino también también para la vida diaria. Un ejemplo de esto son los reactores los los cual cuales es repr repres esen enta tan n la part partee del del proc proces eso o donde donde ocurr ocurren en la mayorí mayoríaa de las reacci reaccione oness químic químicas, as, sin embar embargo go el estud estudio io mismo mismo del diseño diseño de los reacto reactores res involu involucra cran n mucha muchass variables que se deben tener en cuenta para la optimi optimizac zación ión,, diseño diseño y contro controll del proces proceso o estu estudi diad ado, o, lo cual cual nos nos gene genera ran n prob proble lema mass comple complejo jo de transp transport ortee de fluido fluidos, s, cinéti cinética ca química, materiales, termodinámica, etc. Este tipo de problemas tiene gran aplicación en la industria actual ya que precisamente se busca la tran transf sfor orma maci ción ón de la mate materi rias as prim primas as en  productos de mayor valor por medio de las reacciones químicas, las cuales dependen de la termod termodiná inámic micaa y la cinéti cinética ca especi especific ficaa de la reacciones que se encuentran involucradas en el  problema que en este caso suponemos no  presentas limitaciones para la operación misma

del reactor. Por otro lado se decidió tomar el flujo en estado estacionario para la simplificación de la resolución del del este  problema específicamente, específicamente, sin embargo también se podría contar con un termino de acumulación el cual nos conduciría a un sistema de ecuaciones diferenciales que se solucionaría con los métodos estudiados en clase tomando valores iniciales de concentración en el reactor mismo. Supondremos que no hay intercambio de energía entre nuestro sistema y los alrededores, que no hay perdidas  por flujo en la tubería, que las presiones en las terminales son constantes , lo que nos ahorrara el calcul calculo o de las perdid perdidas as por calor calor , trabaj trabajo, o, y  perdidas por flujos en tuberías y cambios de  presión. A contin continuac uación ión presen presentam tamos os el esquem esquemaa del  problema a solucionar: solucionar: En un proceso industrial de transformación de materias primas se tiene un reactor de cuatro etap etapas as el cual cual requ requie iere re un alim alimen ento to de los los reactivos de 1000 l/h. Se quiere calcular las concentraciones en cada etapa del reactor teniendo en cuenta que ocurre una sola reacción de primer orden. DIAGRAMA DEL REACTOR.

C0

R 1

E

R 2 V1

V2

V3

V4

C1

C2

C3

C4

K 1

K 2

K 3

K 4

C1 E = 1000 L / h. C0 = 1 mol / L. R 1 = 100 L / h. R 2 = 100 L / h.

C2

C3

C4

S

Donde K i representa la constante de equilibrio de la reacción en cada reactor.

BALANCE EN CADA REACTOR. ENTRADAS = SALIDAS + REACCIONA. E = S + R.

Reactor 1 1000 * (1) = 1000 * C1 1100 * C1 = 1000

+ V1* K 1 * C1. (1)

Reactor 2 1000 * C1 + 100 * C3 = 1100 * C2 + V2*K 2*C2. (2) 1000 * C1 – 1400 * C3 + 100 * C3 = 0

Reactor 3 1100 * C2 + 100 * C4 = 1200 * C3 + V3*K 3* C3. (3) 1100 * C2 - 1240 * C3 + 100 * C4

Reactor 4 1100 * C3 = 1100 * C4 + 1100 * C3 - 1100 * C4

V4 * K 4 * C4. (4)

Organizando las ecuaciones (1), (2), (3) y (4) obtenemos la siguiente matriz tridiagonal:

1100

0

1000 -1400

0

0

100

0

0

1100

-1240

100

0

0

1100

-1250

C1

1000

C2

0

C3 =

0

C4

0

la solución de esta matriz se puede obtener a  partir del algoritmo de Thomas a  b c d

( ( ( (

0 1000 1100 1100 ) 1100 -1400 -1240 -1250 ) 0 100 100 0 ) 1000 0 0 0 )

i = 2:nt. m = ai / bi– 1  bi = bi – (m * Ci-1 ) di = . El listado de dicho algoritmo es el siguiente: display('ALGORITMO DE THOMAS') nt=input('Ingrese el número de elementos de la diagonal: ' ); disp(' ') % A Continuación se muestra la forma de la matriz que debe ser tridiagonal y % dominante disp('F1 G1 R1') disp('E2 F2 G2 R2') disp(' E3 F3 G3 R3')

Reactor. 1 2 3 4

Ki (h-1 ) 0.1 0.2 0.4 0.3

Vi (L) 1000 1500 100 500

disp(' . . . .') disp(' En Fn Gn') disp(' ') et=input('Ingrese 0 E2 E3...En, en un vector: '); %Esta es la diagonal inferior ft=input('Ingrese F1 F2...Fn, en un vector: '); %Esta es la diagonal gt=input('Ingrese G1 G2...0, en un vector: '); %Esta es la diagonal superior rt=input('Ingrese R1 R2...Rn, en un vector: '); %Estos son los valores independientes for j=2:nt, %Con este for se empieza la descomposición et(j)/ft(j-1); et(j)=ans; ft(j)-et(j)*gt(j-1); ft(j)=ans; end for j=2:nt, %Con este for se hace la sustitución hacia adelante rt(j)-et(j)*rt(j-1); rt(j)=ans; end xt=rt-rt; rt(nt)/ft(nt); xt(nt)=ans; for j=nt-1:-1:1, %Aquí se hace la sustitución hacia atrás (rt(j)-gt(j)*xt(j+1))/ft(j); xt(j)=ans; end display('La solución del sistema es: ') sol=xt; sol

ALGORITMO DE THOMAS Ingrese el número de elementos de la diagonal: 4 F1 G1 R1 E2 F2 G2 R2 E3 F3 G3 R3 . . . . En Fn Gn Ingrese 0 E2 E3...En, [0,1000,1100,1100]

en

un

vector:

Ingrese F1 F2...Fn, en un vector: [1100,-1400,1240,-1250] Ingrese G1 G2...0, en un vector: [0,100,100,0] Ingrese R1 R2...Rn, en un vector: [1000,0,0,0]

BIBLIOGRIA 

La solución del sistema es: sol = 

0.9091 0.6969 0.6654 0.585 Estos resultados fueron obtenidos con ayuda de matlab ; ahora hallaremos el porcentaje de error  teniendo en cuenta los datos teóricos y experimentales  E .rel 

 E .rel 

 E .rel 

 E .rel 

 E .rel 

 E .teor  =

0.9091 =

 E .ex.

−

0.689

−

1%

=

* 100

0.658

−

* 100

0.6654 0.585

=

* 100

0.6969 0.6654

=

0.9

−

0.9091 0.6969

=

* 100%

 E .teor 

0.579

−

0.585

* 100

1.13%

=

1.11%

=

1.02%

=

CONCLUSIONES 







El análisis numérico es herramienta más  para la solución de problemas en ingeniería, ciencias, matemáticas y todo aquello que tenga que ver con investigación . Ante todo es necesario analizar la situación que enfrentamos y encontrar los métodos que mejor se acomoden a ellos y nos permitan una solución facil aproximada y lo mas precisa  posible, ya que existen múltiples y variados métodos para la resolución de un  problema pero algunos son mas apropiados que otros. El análisis numérico nos permite visualizar la importancia del tratamiento de datos en presencia de resultados en trabajos de investigación, ya que de esto depende que dichos proyectos y experiencias llevadas a cabo puedan ser  concretas. Debe reconocer la importancia de los distintos programas computacionales lo cuál facilita nuestro objetivo con el fin de alcanzar una forma mas rápida y eficaz. Para resumir podemos decir que hemos encontrado una forma de aplicación de nuestros conocimientos adquiridos en la materia, relacionándolos también con cualquier área científica y de investigación, sin dejar atrás las bases que lo soportan.



CURTIS F GERALD , Análisis Numérico, 2da Edición, Ediciones sefaomega S.A. 1991 México D.F. Chapra, S C: y canales, R. Métodos numéricos para ingenieros Editorial Mcgraw-Hill, México 1989. Constantini métodos numéricos