Algoritmo de Levinson Durbin

ALGORITMO DE LEVINSON – DURBIN El algoritmo Levinson-Durbin se emplea para resolver un sistema de ecuaciones del tipo 𝑅𝐻 = 𝑃 donde 𝑅 es una matriz Toeplitz, 𝐻 son los coeficientes del filtro y 𝑃 es un vector independiente. Al resolver el sistema, obtenemos un filtro inverso diseñado por el criterio de mínimo error cuadrático. El algoritmo de Levinson o de Levinson-Durbin es un algoritmo del álgebra lineal para calcular en forma recursiva la solución de una ecuación que involucra una matriz de Toeplitz. El costo computacional es de 𝛩(𝑛2), una mejora considerable frente a la eliminación de Gauss-Jordan, cuyo costo es de 𝛩(𝑛3). Contexto: Una matriz Toeplitz de N × N queda especificada por 2𝑁 − 1 números 𝑅𝑘, con 𝑘 = −𝑁 + 1, . . . , −1, 0, 1, . . . , 𝑁 − 1. Dichos números aparecen como elementos constantes a lo largo de cada diagonal (superior-izquierdo a inferior-derecho) de la matriz que lo veremos en la siguiente figura:

Figura 1: Matriz de Toeplitz Que puede escribirse como sumatoria, es decir: 𝑁

∑ 𝑅𝑖−𝑗 𝑥𝑗 = 𝑦𝑖

(𝑖 = 1,2, … , 𝑁)

𝑗=1

Donde las 𝑥𝑗 , 𝑗 = 1,• • • , 𝑁, son las incógnitas a resolver. La matriz de Toeplitz es simétrica si 𝑅𝑘 = 𝑅 − 𝑘 para todo 𝑘. Levinson desarrollo un alogoritmo de solución rápida de la ecuación simétrica de Toeplitz, que consiste en un procedimiento iterativo que parte de una solución conocida de orden M del sistema de ecuaciones Toeplitz: 𝑁 (𝑀)

∑ 𝑅𝑖−𝑗 𝑥𝑗 𝑗=1

Pasos Introductorios

= 𝑦𝑖

(𝑖 = 1,2, … , 𝑀)

El algoritmo se desarrolla en dos pasos. En el primero, se establecen dos conjuntos de vectores, llamados vectores de avance y de retroceso. Los vectores de avance sirven para obtener el conjunto de vectores de retroceso y pueden luego ser descartados. Los vectores de retroceso son necesarios para el segundo paso, donde se los usa para construir la solución. La recursión de Levinson-Durbin define el n-ésimo "vector de avance", denotado , como el vector de longitud n que satisface:

El n-ésimo "vector de retroceso" longitud n que satisface:

se define de manera similar; es el vector de

Una simplificación importante ocurre cuando M es una matriz simétrica: los dos vectores se relacionan mediante bni = fnn+1-i; es decir, uno se obtiene invirtiendo el order de los elementos del otro. Esto puede ahorrar cálculos extra en ese caso en particular. Obtención del vector Retroceso Iterando sucesivamente con 𝑀 = 1, 2, . .. , hasta 𝑀 = 𝑁, el resultado deseado es finalmente alcanzado. El vector 𝑥 (𝑀) 𝑗 es la solución parcial en la etapa M, obteniendo la solución deseada cuando 𝑀 = 𝑁. El método de Levinson está bien documentado en varios textos. Este método es de gran utilidad cuando se generaliza para el caso asimétricos. En el procedimiento iterativo para ir del paso 𝑀 al 𝑀 + 1 encontramos que la solución 𝑥 (𝑀) cambia a esta forma:

Por eliminación de 𝑦𝑖 encontramos:

o considerando los cambios de indices 𝑖 → 𝑀 + 1 − 𝑖 𝑦 𝑗 → 𝑀 + 1 − 𝑗,

donde

Que puede ponerse en la forma

El problema restante es establecer una relación recursiva para G. Cabe señalar, que hay dos formas distintas para solucionar el problema lineal original de una matriz asimétrica, las soluciones son conocidas como right-hand (con matriz Ri−j ) y las soluciones left-hand (con matriz transpuesta Rj−i) para zi . La solución lefthand difiere solo en el hecho de como expresamos las ecuaciones: Ʃ𝑀 𝑗 = 1 𝑅𝑗 − 𝑖𝑧 (𝑀) 𝑗 = 𝑦𝑖 𝑖 = 1, . . . , 𝑀 Ʃ𝑀 𝑗 = 1 𝑅𝑖 − 𝑗𝐻 (𝑀) 𝑗 = 𝑅𝑖 𝐻 (𝑀) 𝑗 ≡ 𝑧 (𝑀) 𝑀 + 1 − 𝑗 − 𝑧 (𝑀 + 1) 𝑀 + 1 − 𝑗 Ejemplo: Veamos como podemos usar el algoritmo de Levinson – Durbin para hallar los coeficientes. Comenzamos con:

Y continuamos este procedimiento hasta el último valor deseado. Referencias: [1] Francisco Gonzalez Serrano (2011), PREDICCION DE SEÑALES Y PROCESOS ESTACIONARIOS. Universidad Carlos III (Madrid) [2] Levinson, N. (1947). "The Wiener RMS error criterion in filter design and prediction," J. Math. Phys., v. 25, pp. 261-278.