Algoritmo de Kruskal

 

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO Facultad acul tad de Ingenier Inge nier´ ´ıa Mec´anica anic a El´ectrica, ectr ica, Electr´ Elec tr´o onica nica y Sistemas Escuela Profesional Profesiona l de Ingenier´ Ingenier´ıa de Sistemas

MONOGRAF´IA “Algoritmo de Kruskal” AUTOR Jhoel Flores Alejo 2013

 

´ Indice ´ 1. INTRODUC INTRODUCCI CION

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2. DEFINICIONES

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3. PASOS

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´ 4. DEMOSTRA DEMOSTRACI CION

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5. EJEMPLO

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6. Referencias

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1

 

Agradesco a  todas las personas que me apoyaron para la  culminaci´  on de esta monograf monograf´´ııa. a. En espe especial  cial  al docente que nos inculc´  o el uso de est´  andares  para la elaboraci´  on de esta monograf´ıa. ıa.

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1.

´ IN INT TROD ODUC UCC CION

El algoritmo de Kruskal es conocido como el algoritmo taca˜n no, o, puesto que siempre busca el menor coste posible y/o disponible. En 1956 el matem´aatico tico americano norteamericano Joseph Kruskal descrubrio un algoritmo muy simple cuya aplicaci´oon n nos garantiza encontrar un ´aarbol rbo l generad generador or m´ınimo en cualquier gr´aafica ficamonograf ponderad ponderada. La presente monograf´ ´ıaa.esta dividida en 4 cap cap´´ıtulos que explican el tema de una forma muy sencilla. En los primeros se toman como referencia a algunos autores de matem´aaticas ticas discretas, y en las dos ultimas un ejemplo te´oorico rico b´aasico sico de aplicaci´oon. n.

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Resumen

Kruskal cre´ o un algoritmo para encontrar un ´ arbol arbol encubridor encubrid or m´ıınimo nimo en un grafo ponderado y convexo. convexo. Este algoritmo de la teor´ teor´ıa de grafos busca un subconjunto de aristas que incluyen todos to dos los v´ ertices ertices formando un arbol a ´rbol y donde todos los valores de las aristas ari stas de ´ este este son s on m´ınimas. ınimas. Si el e l grafo no es convexo, busca un bosque b osque de d e expandido expand ido m´ınimo.

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2.

DE DEFI FINI NICI CION ONES ES

El algoritmo de Kuskal es un algoritmo de expansi´oon n m´ıınima nima que ssiempre iempre busca la arista mas barata posible. “El algoritmo, conocido como algor algoritmo itmo de Krusk Kruskal, al, es una varia variaci´ ci´ oon n del algori algoritmo tmo de m´ınima conexi´oon. n. La idea principal de Kruskal consiste en ser ambicioso, escogiendo siempre la arista mas barata disponible y cuidando que en cada paso del proceso no se forme nigun circuito”(Micha,2003,p.85). “El objetivo del algoritmo de Kruskal es construir un ´aarbol rbol (subgrafo sin ciclos) formado por arcos sucesivamen sucesivamente te seleccionados de m´ınimo p peso eso a partir de un grafo con p pesos esos en los arcos. Un ´aarbol rbol (spanning tree) de un grafo es un subgrafo que contiene todos sus v´eertices rtices o nodos.”(Calderon,2008,p.87). “El algo “El algori ritm tmoo de Kr Krus uska kall es un ej ejem empl ploo de al algor gorit itmo mo “tac “taca˜ a˜ n noo   2a que en cada iteraci´on on elige la opci´oon n mas econ´oomica mica disponib disponible le (es decir decir,, la arist aristaa de costo m´ınimo) ınimo).. ”(Esp ”(Espinoinosa,2010,p.400).

3.

PASOS

Seg´ u un n El´ El´ıas Micha para la aplicac aplicaci´ i´oon n del algoritmo es recom recomendabl endablee segui seguirr los siguie siguiente ntess pasos: 1. elige la arista de menor peso (en caso de empate elige una arbitrariamente) 2. Elige la siguiente arista disponible de menor peso. Si hay mas de una, elige una arbitrariamente. 3. Elige la siguiente arista disponible de menor peso. Que no cierra un circuito con las aristas ya elegidas. Si hay mas de una, elige una arbitrariamente. 4. para una gr´aafica fica de de n   n  v´   v´eertices, rtices, repite llaa regla tres has hasta ta que se hayan ele elegido gido n-1  n-1  aristas dela gr´aafica. fica. Los v´eertices rtices de la gr´aafica fica y las las n-1  n-1  aristas  a ristas as´ as´ı el elegidas egidas constit constituyen uyen el ´aarbol rbol genera gen erado dorr m m´´ın ınim imo. o.

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´ DEM EMO OSTR STRACION

4.

Por construcci´on T  on  T  es  es un ssubgrafo ubgrafo de re recubrimiento cubrimiento ac ac´´ıclico de de G   G . Adem´as T  as  T . es conexo, pues si no lo fuera seria posible a˜n nadir adir otra arista sin crea crearr un c´ıclic ıclico. o. Por lo tant tantoo   T   T   es un arbol de recubrimiento de G  de  G , de aqui que   T (n) =   n − 1. Sean   ei , ei ,...,ei −  las aristas elegidas sucesivamente para construir   T . 1

2

n

1

  T    T ∗   un Supongase que  noy es un ´aarbol rbol de k recubrimient recubrimiento costo m { ´ınimo. ´aarbol rbol de recubrim recubrimiento iento d de e co costo sto m´ıınimo nimo y ssea ea  ∈ {1, 2,...,no−de 1} tal que ei , ei Sea ,...,e i − } ⊆  E (T ∗) ∈   E (T ∗). Por lo tanto   T*  ). Ahora bien, T*    +ei   tiene un u unico ´ nico ciclo   C   C   y   ei   ∈   E (C ). y   ei    E (C ) − E (T )   =    por que   T   es ac´ııcli c lica ca..   ek   ∈  E (C ) − E (T ) y sea   T 1  = (T   ∗ +ei ) − ek . Por lo tanto   T 1  es un ´aarbol rbol de recubrimiento de   G  ademas 1

k

k

2

n

1

k





k



c(T i ) =  c (T ∗) +  c(ei  − c(ek )) k

Como   c(ei )      c(ek ) por construcci´oon n se sigue que   c(T 1 )      c(T ∗) Hay que observar que   T 1 tiene una arista mas en com´u un n con   T   que con   T*  T* (pues (pues se ha sustituido la arista   ek   que no per pertene tenecc´ıa a   T   T   por la arista   ei ). Repitiendo este proceso se puede obtener un ´aarbol rbol   T N  N   c(T*).. Esto implica que   c(T )      c(T ∗)   < c(T ) lo cual es una tal que   T N N     =   T   y   c(T N N     )  c(T*) contradicci´ oon. n. 

k



k

5.

EJEMPLO

Ejercicio: Utilizar el algoritmo de Kruskal para obtener el ´aarbol rbol de recubrimiento de costo m´ınimo en el grafo de la siguiente figura:

 figuraa (1)  figur 6

 

Soluci´ o on n:

Las aristas que se eligen utilizando el algoritmo de kruskal son:   ei   =   v1 v3 , ei   =   v4 v6 , ei   = v2 v3 , ei   =  v 5 v6   y  e i   =  v 2 v4  La figura de abajo muestra el ´a arbol rbol de recubrimiento correspondiente: 1

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2

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5

 figuraa (2)  figur El algoritmo de Kruskal requiere ordenar las   m   m   aristas de menor a mayor costo y esto requiere O(m requiere  O(m log m)  operaciones. Para poder verificar que   T   +  e i   es ac ac´´ıclica, es necesari necesarioo comprobar que los extremos de  e i  est´een n en diferentes comp componentes onentes de de T   T . Esto puede lograrse asignando asigna ndo a cada v´eertice rtice v j  una etiqueta de modo que dos v´eertices rtices tengan la misma etiqueta si y solo si pertenecen ala misma componente   ei  tienen distinta etiqueta, se re etiquetan sus extremos con la mas peque˜na na de las dos etiquetas. Para cada arista es necesario hacer una comparaci´ oon n para verificar que sus extremos tengan distinta etiqueta. Una vez que una arista es a˜ n nadida, adida, la re etiquetaci´oon n de sus extremos requiere de una operaci´oon n mas. En conclusi´ oon, n, laes complejidad del algoritmo Kruskal depende esencialmente de la operaci´oon n de las aristas y por lo tanto O(m tanto  O(m log m).(Espinosa,2010,p.401) m)de .(Espinosa,2010,p.401)

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Conclusi´ o on n El algoritmo de Kruskal siempre tiene una soluci´oon n optima a este tipo de problemas donde se busca el ´aarbol rbol de expansi´oon n m´ınimo eso quiere decir que este algoritmo pertenece a P porque se puede resolver de forma eficiente por una maquina determinista en tiempo polinomial.

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6.

Refer eferen enc cia ias s

Micha, E.(2003). Matem´  E.(2003).  Matem´  aticas Discretas .M´ .M´eexico: xico: Editori Editorial al LIMUSA, S.A. Calder´ oon, n, H.D(2 H.D(2008). 008).Matem´  Matem´  aticas Discretas para la Ciencia de Comunicaci´  on  on  .Puno,Per´  .Puno,Per´ u: u: Editorial Pacifico Espinosa, R(2010).Matem´  R(2010).Matem´  aticas Discretas  .M´   .M´eexico:Alfaomega xico:Al faomega Grup Grupoo Editor

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