Algoritmo de Gauss

10

Matrices y determinantes 

1.4 1. 4

Algo Al gori ritm tmo o de de Gau Gauss ss-J -Jor orda dan. n.

Se denomina matriz escalonada a una matriz en la que las filas posteriores a una fila cuyos elementos son todos ceros, tienen todos sus elementos igual a cero, y el n´umero umero de elementos nulos al comienzo de cada fila no nula es estrictamente menor que en la siguiente. Teorema 1.1 Dada una matriz cualquiera  A ∈ Rm n existen matrices  F  y  U  tales que  F A = U  siendo U  una matriz escalonada. ×

Demostraci´ on. Probaremos el teorema de forma constructiva. on.

a) Si a11  = 0, mediante transformaciones elementales filas F ij ij (α) podemos anular todos los elementos de la primera columna, salvo el a11 . Esta Estass ai1 transformacion transfo rmaciones es ser´ ser´ıan de la forma F i1 (− ). a11 b) Si a11 = 0 y alg´ algun u ´ n elemento de la primera columna es no nulo, podemos llevarlo al lugar (11) mediante una transformaci´on on F ij pr o ceder ced er desp d espu´ u´es es ij y pro como en el caso anterior. c) Si ai1 = 0 ∀ i = 1, . . . , m, m, la primera columna es de ceros y por tanto, ai1 = 0 ∀ i > 1, es decir, se trata de una columna del tipo de las matrices escalonadas. Procede Pro cedemos mos despu´ des pu´es es con c on a22 (el elemento a22 resultante de las transformaciones anteriores) al igual que procedimos con a11 anteriormente, es decir, si a22 = 0 lo utiliz utilizamo amoss para para hacer hacer ceros ceros por debajo debajo de ´el el en la segund segundaa column columna. a. Si fuese a22 = 0 vemos vemos si existe existe por debajo de ´el el alg´ un un elemento ai2 =  0 y, en caso de haberlo, realizamos la transformaci´on on F 2i , etc. Reiterando el proceso, llegamos a una matriz escalonada U . matri rizz F  U . La mat no es m´as as que el producto de las matrices de las transformaciones elementales filas realizadas para pasar de A a U.

El siguiente siguiente organigrama, organigrama, muestra muestra el algoritmo algoritmo de escalonamie escalonamiento nto de una matriz A ∈ Rm n , mediante mediante transforma transformacione cioness elementales elementales filas. Cuando Cuando se alcanza alcanza la condici´ condici´ on de parada, la nueva matriz A es escalonada. on ×

11

Algoritmo de Gauss-Jordan.

Algoritmo de escalonamiento de una matriz. Ejemplo 1.7 Consideremos la matriz A del Ejemplo 1.1. F 21 (−2)

A −→

2 0

1 3 4 0 −5 −3 1 0 2 3

 

F 31 (− 1 ) 2

−→

2 0

1 3 4 0 −5 −3 0 − 1/2 1/2 1

2 0

1 3 4 1 1 1 − /2 /2 0 0 −5 −3

  −→ F 23

  = U 

siendo U  una matriz escalonada. Dado que 1 E 23 E 31 (− )E 21 (−2)A = U  =⇒ F A = U  2 con

1 1 F  = E  E  (− )E  (−2) =  0 2 23

31

21

0 0 0 1 0 1 0

 

1 0 0 0 1 0 1 − /2 0 1

 1   −2

0 0 1 0 0 0 1

 ⇒

12

Matrices y determinantes 

 1 F  =  − /

0 0 12 0 1 −2 1 0

 



onica a una matriz escalonada con la Se denomina forma escalonada can´ propiedad de que el primer elemento no nulo de una fila es un uno y adem´as, es el u ´ nico elemento no nulo de su columna. Teorema 1.2 Toda matriz puede ser reducida mediante transformaciones elementales fila a una escalonada can´  onica. Demostraci´ on. Basta con observar que una vez obtenida la matriz U , si en

una fila hay alg´ un elemento no nulo, la dividimos por el primer elemento no nulo de ella mediante F i (α) y lo utilizamos para hacer ceros todos los de su columna (que se encontrar´an por encima de ´el). Ejemplo 1.8 En el Ejemplo 1.7 se vi´o que

2 1 3 4 1 / / 2 1  −→  0 − / 1  −→ / / A −→ U  =  0 − / 0 0 −5 −3 0 0 −5 −3 1 / / 2 1 0 2 3 1 0 2 3  0 1 −1 −2  −→  0 1 −1 −2  −→  0 1 −1 −2  0 0 −5 −3 0 0 −5 −3 0 0 1 / 1 0 0 /  1 0 0 /  −→  0 1 −1 −2  −→  0 1 0 − /  12

12

32

) F 1 ( 1 2

12

12 12

F 12 (− 1 ) 2

32 12

F 2 (−2)

F 3 (− 1 ) 5

35

95

F 13 (−2)

0 0

1

3/5

95 75

F 23 (1)

0 0 1

que se trata de una escalonada can´onica.

3/5



Los elementos que utilizamos para anular a los dem´as elementos de una columna se denominan pivotes . Si en un determinado paso del proceso de pasar de A a U  alguna columna es de ceros, diremos que el correspondiente pivote es nulo. Teorema 1.3 Toda matriz  A ∈ Rm n puede, mediante transformaciones elementales, transformarse en una del tipo ×

 I  0  r

0 0

13

Algoritmo de Gauss-Jordan.

teniendo en cuenta que para ello es necesario realizar tanto transformaciones   fila como transformaciones columna. Ejemplo 1.9 Si nos fijamos en la matriz del Ejemplo 1.7 que transformamos,

mediante transformaciones elementales fila (ver Ejemplo 1.8) en la escalonada can´onica 9/5 1 0 0 0 1 0 − 7/5 3/5 0 0 1

 

  podemos ahora, mediante la composici´ columna  1 o0n de0 las0 transformaciones    C  (− )C  ( )C  (− ) llevarla a  0 1 0 0  = I  | 0 . 41

9 5

7 42 5

43

3 5



3

0 0 1 0

Teorema 1.4 Una condici´  on necesaria y suficiente para que una matriz cuadrada posea inversa es que su forma escalonada can´  onica sea la matriz unidad. Demostraci´ on. Si su forma escalonada can´ onica es I n , existe F  ∈ Rn

n

×

tal

que F A = I n =⇒ F  = A 1 . −

Si existe A 1 tal que A 1 A = I n =⇒ ∃ F  = A tanto, I n es la forma escalonada can´onica de A. −

−

1

−

tal que F A = I n y por

Este teorema nos permite calcular la matriz inversa, de una matriz dada, mediante transformaciones elementales (filas o columnas, pero no ambas simult´aneamente), es decir, aplicando el Algoritmo de Gauss-Jordan tomando como matriz inicial(A | I n )

Ejemplo 1.10

1 Consideremos la matriz A =  0

3 0 1 1 1 2 0

1 (A | I  ) =  0 3

1 0

3 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 2 0 0 0 1

0 −3 1 −3 0 1 1 0 1 0 0 −1 0 −1 0 1

 

F 31 (−1)

−→

1 0

3 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 −1 0 −1 0 1

 1  −→  0 F 32 (1)

 

0 −3 1 −3 0 1 1 0 1 0 0 0 1 −1 1 1

 

F 12 (−3)

−→

  −→

F 13 (3)

14

Matrices y determinantes 

1 0

 

0 0 −2 0 3 1 1 0 1 0 0 0 1 −1 1 1 A

1

−

ya que:

F 23 (−1)

−→

1 0

0 0 −2 0 3 1 0 1 0 −1 0 0 1 −1 1 1

 −2 = 1

0 3 0 −1 1 −1 1

 

F 23 (−1)F 13 (3)F 32 (1)F 12 (−3)F 31 (−1)(A) = I 3 =⇒

 −2 [E  (−1)E  (3)E  (1)E  (−3)E  (−1)]A = I  =⇒  1 −1  −2 0 3  A =  1 0 −1  23

  =⇒

13

32

12

31

3

0 3 0 −1 1 1

  A = I  ⇒ 3

1

−

−1 1

1



1.5

Determinante de una matriz cuadrada.

Los determinantes nos proporcionan un m´etodo para el c´ alculo de la matriz inversa de una dada (en caso de existir) y un criterio para estudiar si una matriz es o no invertible. Sus aplicaciones son m´ ultiples en todas las ramas de las ciencias que tratan problemas lineales en los que necesariamente aparecen matrices y por tanto, determinantes.

1.5.1

Definiciones.

Sea A = (aij ) una matriz cuadrada de dimensi´on n. A cada matriz cuadrada A se le asigna un n´umero real que llamaremos determinante de A y representaremos por det(A) o |A|. Su c´alculo se obtiene mediante la siguiente f´ormula recurrente sobre el tama˜ no n: • para n = 1 → A = (a11 ), se define det(A) = a11 n

 • para n > 1 → det(A) = a A ki

i=1

ki