Algoritma Dan Teori Bilangan Bulat

MATEMATIKA DISKRIT

 Algoritma adalah urutan logis langkah-langkah penyelesaian masalah yang disusun secara sistematis Contoh algoritma dalam kehidupan sehari-hari Proses

Algoritma

Contoh langkah algoritma

Membuat kue

Resep kue

Masukkan telur dan gula ke dalam loyang, kocok hingga mengembang

Membuat pakaian

Pola pakaian

Gunting kain dari pinggir kiri bawah ke arah kanan sejauh 5 cm

Prak Prakti tiku kum m reaks eaksii kimi kimiaa

Pandu anduan an praktikum

Campurkan Campurkan 10 ml H2SO4 dengan 15 ml NaOH

Merakit mobil

Panduan merakit

Sambungkan komponen A dan komponen B

Kegiatan sehari-hari

Jadwal harian

Pukul 07.30 berangkat berangkat kuliah, pukul 12.00 makan siang

Mengi engisi si vouch oucher er kart kartu u

Pandu anduan an pengisian

Tekan nomor 888 masukkan  voucher 14 digit

y

y

Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal, misalnya 8, 21, 8765, -34, 0 Berlawanan dengan bilangan bulat adalah bilangan riil  yang mempunyai titik desimal, seperti 8.0, 34.25, 0.02.

Teorema

1 (Teorema Euclidean). Misalkan m dan n bilangan bulat, n > 0. Jika m dibagi dengan n maka terdapat bilangan bulat unik q (quotient) dan r  (remainder ), sedemikian sehingga (1) m = nq + r  dengan 0 e r < n.

Contoh : (i) 1987/97 (ii) 22/3

y

y

y

Misalkan a dan b bilangan bulat tidak nol. Pembagi bersama terbesar (PBB  greatest common divisor atau gcd ) dari a dan b adalah bilangan bulat terbesar d sedemikian hingga d | a dan d | b. Dalam hal ini kita nyatakan bahwa PBB(a, b) = d .

Contoh : Berapa PBB dari 45 dan 36 ?

y

Teorema

2. Misalkan m dan n bilangan bulat, dengan syarat n > 0 sedemikian sehingga m = nq + r  , 0 e r < n maka PBB(m, n) = PBB(n, r ) Contoh : m = 60, n = 18,

y

y

Tujuan: algoritma untuk mencari PBB dari dua buah bilangan bulat. Penemu: Euclid, seorang matematikawan Yunani yang menuliskan algoritmanya tersebut dalam buku, El ement.

Misalkan m dan n adalah bilangan bulat tak negatif dengan m u n. Misalkan r 0 = m dan r 1 = n. Lakukan secara berturut-turut pembagian untuk memperoleh r 0 = r 1q1 + r 2 r 1 = r 2q2 + r 3

0 e r 2 e r 1, 0 e r 3 e r 2,

r n 2 = r n1 qn1 + r n 0 e r n e r n1, r n1 = r nqn + 0

Menurut Teorema 2, PBB(m, n) = PBB(r 0, r 1) = PBB(r 1, r 2) =  = PBB(r n 2, r n 1) = PBB(r n 1, r n) = PBB(r n, 0) = r n  Jadi, PBB dari m dan n adalah sisa terakhir yang tidak nol dari runtunan pembagian tersebut

Diberikan dua buah bilangan bulat tak-negatif m dan n (m u n). Algoritma Euclidean berikut mencari pembagi bersama terbesar dari m dan n.

 Algoritma Euclidean 1. Jika n = 0 maka m adalah PBB(m, n); stop. tetapi jika n { 0, lanjutkan ke langkah 2. 2. Bagilah m dengan n dan misalkan r adalah sisanya. 3. Ganti nilai m dengan nilai n dan nilai n dengan nilai r , lalu ulang kembali ke langkah 1.

Contoh : m = 80, n = 12 dan dipenuhi syarat m u n

PBB(a,b) dapat dinyatakan sebagai kombinasi lanjar (l inear combination) a dan b dengan dengan koefisienkoefisennya. Contoh: PBB(80, 12) = 4

3. Misalkan a dan b bilangan bulat positif, maka terdapat bilangan bulat m dan n sedemikian sehingga PBB(a, b) = ma + nb. Teorema

Contoh: Nyatakan PBB(312, 70) = 2 sebagai kombinasi lanjar dari 312 dan 70.

y

y

Bilangan bulat positif  p ( p > 1) disebut bilangan prima  jika pembaginya hanya 1 dan p. Contoh: 23 adalah bilangan prima karena ia hanya habis dibagi oleh 1 dan 23.

y

y

y

Karena bilangan prima harus lebih besar dari 1, maka barisan bilangan prima dimulai dari 2, yaitu 2, 3, 5, 7, 11, 13, . Seluruh bilangan prima adalah bilangan ganjil, kecuali 2 yang merupakan bilangan genap. Bilangan selain prima disebut bilangan komposit (com posite). Misalnya 20 adalah bilangan komposit karena 20 dapat dibagi oleh 2, 4, 5, dan 10, selain 1 dan 20 sendiri

y

Teorema 6.

(The Fundamental Theorem of   Arithmetic). Setiap bilangan bulat positif yang lebih besar atau sama dengan 2 dapat dinyatakan sebagai perkalian satu atau lebih bilangan prima.

y

Tes bilangan prima: (i) bagi n dengan sejumlah bilangan prima, mulai dari 2, 3,  , bilangan prima e n. (ii) Jika n habis dibagi dengan salah satu dari bilangan prima tersebut, maka n adalah bilangan komposit, (iii) tetapi jika n tidak habis dibagi oleh semua bilangan prima tersebut, maka n adalah bilangan prima.

y

Tes apakah (i) 171 dan (ii) 199 merupakan bilangan prima atau komposit.

y

ISBN  (I nternational  S tandard Book  N umber )

y

Fungsi hash

y y y

Kriptografi Pembangkit bilangan acak-semu dll

y

Kode ISBN terdiri dari 10 karakter, biasanya dikelompokkan dengan spasi atau garis, misalnya 0 301545619.

ISBN terdiri atas empat bagian kode: - kode yang mengidentifikasikan bahasa, - kode penerbit, - kode unik untuk buku tersebut, - karakter uji (angka atau huruf X (=10)). y

Karakter uji dipilih sedemikian sehingga 10

§ ix

i

|

0 (mod 11)

i !i

9

§ ix mod 11 = karakter uji i

i !i

y

Contoh: ISBN 0301545618 0 : kode kelompok negara berbahasa Inggris, 3015 : kode penerbit 4561 : kode unik buku yang diterbitkan 8 : karakter uji

ISBN Sebuah buku penerbit Indonesia adalah 979964p6-3-1. tentukan p!