Algevra a Lykeioy Theoria Askiseis

taexeiola.blogspot.com

ÊåöÜëáéï 1ï ÄéÜôáîç óôï R - Áðüëõôç ôéìÞ - Ñßæåò - Åîéóþóåéò 2ïõ âáèìïý

Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να γνωρίζει:

[ Την έννοια της δύναµης και να εφαρµόζει τις ιδιότητες των δυνάµεων. [ Τις βασικές ταυτότητες και να µπορεί να τις αποδεικνύει. [ Να µετατρέπει παραστάσεις σε γινόµενο, του οποίου οι παράγοντες δεν αναλύονται περαιτέρω.

[ Να απλοποιεί ρητές παραστάσεις. [ Να επιλύει και να διερευνά εξισώσεις της µορφής αx + β = 0. [ Πως επιλύει εξισώσεις και προβλήµατα των οποίων η επίλυση ανάγεται σε επίλυση εξισώσεων α΄ βαθµού.

[ Πως ορίζεται η διάταξη των πραγµατικών αριθµών, καθώς και τις άµεσες συνέπειες του ορισµού αυτού.

[ Τις ιδιότητες των πράξεων σε σχέση µε τη διάταξη. [ Να αποδεικνύει απλές ανισότητες. [ Να επιλύει ανισότητες της µορφής αx + β > 0 και αx + β < 0. [ Να γράφει τις λύσεις των ανισώσεων αυτών µε µορφή διαστηµάτων. [ Πώς ορίζεται η απόλυτη τιµή πραγµατικού αριθµού. [ Τις βασικές ιδιότητες των απόλυτων τιµών. [ Να επιλύει απλές εξισώσεις και ανισώσεις µε απόλυτες τιµές. [ Την έννοια της απόστασης δύο αριθµών.

taexeiola.blogspot.com

[ Την έννοια του συµβόλου α (α ≥ 0 ) . [ Να αποδεικνύει τις βασικές ιδιότητες των ριζών. [ Να µετατρέπει απλές παραστάσεις µε άρρητους παρανοµαστές ν

σε ισοδύναµες µε ρητούς παρανοµαστές.

[ Να επιλύει εξισώσεις της µορφής x = α. [ Τον τύπο που δίνει τις ρίζες µιας εξίσωση β΄ βαθµού. [ Τη σχέση που συνδέει το πρόσηµο της διακρίνουσας και το ν

πλήθος των ριζών µιας εξίσωσης β΄ βαθµού.

[ Να χρησιµοποιεί σωστά και µε ευχέρεια, όταν είναι απαραίτητο, τον τύπο που δίνει τις ρίζες µιας εξίσωσης β΄ βαθµού.

[ Να επιλύει προβλήµατα που ανάγονται σε εξισώσεις β΄ βαθµού. [ Να αποδεικνύει τους τύπους που εκφράζουν το άθροισµα και το γινόµενο των ριζών µιας εξίσωσης β΄ βαθµού, αφού βέβαια τονιστεί οτι πρέπει ∆ ≥ 0 .

[ Να χρησιµοποιεί µε ευχέρεια τους τύπους του αθροίσµατος και του γινόµενου των ριζών της δευτεροβάθµιας εξίσωσης.

taexeiola.blogspot.com

Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

11.

Ìáèáßíïõìå Ç åîßóùóç áx + â = 0 - ÐñïâëÞìáôá ôéò áðïäåßîåéò

ÂÞìá 1

Θεωρία17. 1 Èåùñßá á) Ôé ïíïìÜæåôáé ëýóç Þ ñßæá ôçò åîßóùóçò áx + â = 0 ;

(1)

â) Íá ëõèåß ç åîßóùóç áx + â = 0 ÁðÜíôçóç: á) ÊÜèå ôéìÞ ôïõ ðñáãìáôéêïý áñéèìïý x, ðïõ åðáëçèåýåé ôçí (1) , ïíïìÜæåôáé ëýóç Þ ñßæá ôçò åîßóùóçò. â) Ãéá íá âñïýìå ôç ëýóç ôçò åîßóùóçò (1), ðñïóèÝôïõìå óôá ìÝëç ôçò ôï -â êáé Ý÷ïõìå: ( ) ⇔ áx = -â (2) áx + â + ( ) Äéáêñßíïõìå ôéò åîÞò ðåñéðôþóåéò: 1ç ðåñßðôùóç: ¢í á ≠ 0 , ôüôå áðï ôç ó÷Ýóç (2), Ý÷ïõìå:

áx â â =` ⇔x=` á á á

ÄçëáäÞ Üí á ≠ 0 , ç åîßóùóç Ý÷åé áêñéâþò ìéá ëýóç ôçí: x = –

â á

2ç ðåñßðôùóç: • Áí á = 0, ôüôå ç ó÷Ýóç (2) ãßíåôáé: 0x = - â (3) • Áí â = 0, ôüôå áðï ôçí (3) Ý÷ïõìå 0x = 0 ç ïðïßá áëçèåýåé ãéá êÜèå ðñáãìáôéêü áñéèìü x, äçëáäÞ åßíáé ôáõôüôçôá, åðïìÝíùò Ý÷åé Üðåéñåò ëýóåéò. • Áí â ≠ 0 , ç ó÷Ýóç (3) ãßíåôáé áäýíáôç, áöïý ôï 1ï ìÝëïò ôçò, ðïõ åßíáé ìçäÝí éóïýôáé ìå Ýíáí áñéèìü, óôï 2ï ìÝëïò, äéáöïñåôéêü ôïõ ìçäåíüò.

taexeiola.blogspot.com

Βήµα 1 ο

12.

Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

Ïé áíéóþóåéò : áx + â > 0 êáé áx + â < 0

Θεωρία Èåùñßá 27. 2 Íá ëýóåôå ôéò áíéóþóåéò: á) áx + â > 0

Ëýóç:

á) Åßíáé: áx + â > 0 ⇔ áx + â + (

)

â) áx + â < 0

( )⇔

áx > −â (1)

Äéáêñßíïõìå ôéò ðáñáêÜôù ðåñéðôþóåéò: 1ç ðåñßðôùóç: Áí á > 0. Äéáéñïýìå ôá ìÝëç ôçò (1) ìå ôï á, (áöïý á > 0 ç áíßóùóç äåí áëëÜæåé öïñÜ)

(1) ⇔

â áx â > − ⇔ x >á á á

2ç ðåñßðôùóç: Áí á < 0. Äéáéñïýìå ôá ìÝëç ôçò (1) ìå ôï á. (áöïý á < 0 ç áíßóùóç áëëÜæåé öïñÜ). (1) ⇔

â áx â -â. (2) i) ¼ôáí â > 0 ⇔ −â < 0 , ç (2) ôüôå èá áëçèåýåé ãéá êÜèå ðñáãìáôéêü áñéèìü x. (ôï ðñþôï ìÝëïò ôçò (2) åßíáé 0 êáé ôï äåýôåñï áñíçôéêüò áñéèìüò) ii) ¼ôáí â ≤ 0 ⇔ −â ≥ 0 , ç (2) ôüôå èá åßíáé áäýíáôç, (ôï ðñþôï ìÝëïò ôçò   åßíáé 0 êáé ôï äåýôåñï èåôéêüò áñéèìüò Þ ìçäÝí). Ôá óõìðåñÜóìáôá ôçò ðáñáðÜíù äéåñåýíçóçò óõíïøßæïíôáé óôïí ðáñáêÜôù ðßíáêá.

taexeiola.blogspot.com

Βήµα 1 ο

Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

13.

Θεωρία31.3 Èåùñßá Áðïäåßîôå üôé: á ≥ á (1) êáé

á ≥ −á (2)

Áðüäåéîç: Áðïäåéêíýïõìå ôçí (1) ãéá êÜèå ðñáãìáôéêü áñéèìü á. 1ç ðåñßðôùóç: ¸óôù á ≥ 0 ôüôå á = á , ïðüôå ç (1) ãßíåôáé á ≥ á ðïõ éó÷ýåé. 2ç ðåñßðôùóç: ¸óôù á ≤ 0 ôüôå á = − á , ïðüôå ç (1) ãßíåôáé − á ≥ á ðïõ éó÷ýåé, äéüôé − á ≥ 0 êáé á ≤ 0 . ¼ìïéá áðïäåéêíýåôáé ç (2)

Θεωρία32.4 Èåùñßá Áðïäåßîôå üôé: − á ≤ á ≤ á Aðüäåéîç: Åßíáé Üìåóç óõíÝðåéá ôçò èåùñßáò 3. ¸÷ïõìå á ≥ −á Üñá - á ≤ á Åðßóçò á ≥ á

(1)

(2). Áðü (1) êáé (2) ðñïêýðôåé: − á ≤ á ≤ á

Θεωρία33.5 Èåùñßá 2

Áðïäåßîôå üôé : á = á 2 Áðüäåéîç:  á, Áðü ôïí ïñéóìü ôçò áðüëõôçò ôéìÞò Ý÷ïõìå: á =  -á, (1) , áí á ≥ 0 á2 áí á ⋅ á 2 = 2 Ïðüôå: á = á ⋅ á =  (−á) ⋅ (–á), áí á < 0 á áí áñéèìü.

áí á ≥ 0 áí á < 0

á≥0 á 0 ⇔  Þ x = -è 

taexeiola.blogspot.com

14.

Βήµα 1 ο

Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

Áðüäåéîç: á) Õøþíïíôáò óôï ôåôñÜãùíï Ý÷ïõìå:

á = â  á = â ⇔ á = â ⇔ á = â ⇔ á − â = 0 ⇔ (á − â )⋅ (á + â ) = 0 ⇔  Þ á = −â  â) ¼ìïéá üðùò ôï (á) 2

2

2

2

2

2

• ¼ôáí è < 0 ç åîßóùóç åßíáé áäýíáôç äéüôé x ≥ 0 ãéá êÜèå ðñáãìáôéêü áñéèìü x • ¼ôáí è = 0 Ý÷ïõìå x = 0.

Θεωρία35. 7 Èåùñßá Íá áðïäåßîåôå üôé éó÷ýïõí ïé éóïäõíáìßåò: á) Áí è > 0 ôüôå x < è ⇔ −è < x < è

â) Áí è > 0 ôüôå x > è ⇔ x > è Þ x < −è

Ôé óõìðÝñáóìá âãÜæåôå ãéá ôéò ðáñáðÜíù áíéóþóåéò üôáí è < 0; Áðüäåéîç: á) 1ïò ôñüðïò: Ïé áñéèìïß è êáé x åßíáé èåôéêïß (Þ ìçäÝí ôï x) ïðüôå ìðïñïýìå íá õøþóïõìå óôï ôåôñÜãùíï ôá ìÝëç ôçò x < è êáé éóïäýíáìá èá Ý÷ïõìå: 2

x < θ ⇔ x < θ2 ⇔ x 2 < è 2 ⇔ x 2 - è 2 < 0 ⇔

(x - è )(x + θ) < 0

(1)

Ãéá íá éó÷ýåé ç (1) ðñÝðåé x - è, x + è íá åßíáé åôåñüóçìïé ïðüôå: x - è < 0 êáé x + è > 0 (äéüôé x - è < x + è). Ïðüôå x − è < 0 ⇔ x < è êáé x + è > 0 ⇔ x > −è ÓõíáëÞèåõóç:

ÄçëáäÞ: (1) ⇔ −è < x < è

x

2ïò ôñüðïò: Äéáêñßíïõìå ðåñéðôþóåéò: • Áí x ≥ 0 τüτε

x = x Üρα:

´ x < è êáé x > -è (x ≥ 0 êáé -è < 0) x < θ οποτε

• Áí x ≤ 0 ôüôå x = − x Üρα : x < θ οπüτε − x < θ ⇔ x > −θ και x < θ ( x ≤ 0 και θ > 0)

taexeiola.blogspot.com

Βήµα 1 ο

Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

15.

¢ñá óå êÜèå ðåñßðôùóç Ý÷ïõìå: x < è ⇔ −è < x < è Ãåíéêåýïíôáò ôçí ðáñáðÜíù éäéüôçôá: x ≤ è ⇔ −è ≤ x ≤ è,

è>0

â) 1ïò ôñüðïò: Õøþíïíôáò óôï ôåôñÜãùíï Ý÷ïõìå: 2

x > è ⇔ x > è2 ⇔ x 2 > è2 ⇔ x 2 − è2 > 0 ⇔

(x − è )⋅ (x + è ) > 0

(1)

Ãéá íá éó÷ýåé ç (1) èá ðñÝðåé x - è, x + è íá åßíáé ïìüóçìïé. ÄçëáäÞ: • ÅÜí x − è > 0 ⇔ x > è ôüôå êáé x + è > 0 ⇔ x > −è Óõíáëçèåýïíôáò: Ý÷ïõìå : x > è. x • ÅÜí x – è < 0 ⇔ x < è ôüôå êáé x + è < 0 ⇔ x < –è. Óõíáëçèåýïíôáò: Ý÷ïõìå : x < -è.

x

Ïðüôå ãéá êÜèå x ðñáãìáôéêü áñéèìü éó÷ýåé: |x| > è ⇔ x > è Þ x < -è. 2ïò ôñüðïò: Äéáêñßíïõìå ðåñéðôþóåéò: • ÅÜí x ≥ 0 τüτε x = x Üρα : x > θ ⇔ x > è • ÅÜí x < 0 ôüôå

x = –x Üñá : x > è ⇔ − x > è ⇔ x < -è

¢ñá óå êÜèå ðåñßðôùóç : x > è ⇔ x > è Þ x < -è 3ïò ôñüðïò: Ç áíßóùóç x > è áëçèåýåé ãéá åêåßíá ìüíï ôá x ãéá ôá ïðïßá äåí áëçèåýåé ç x ≤ è . ¼ìùò x ≤ è ⇔ −è ≤ x ≤ è äçëáäÞ:

Ïðüôå ç x ≤ è äåí áëçèåýåé ãéá x < -è Þ x > è . ÅðïìÝíùò ç x > è áëçèåýåé ãéá x < -è Þ x > è . Ãåíéêåýïíôáò ôçí ðáñáðÜíù éäéüôçôá: x ≥ è ⇔ x ≥ è Þ x ≤ -è , è > 0 ¼ôáí è < 0 ôüôå: • Ç x < è äåí áëçèåýåé ãéá êáíÝíá x ∈ R (áäýíáôç). • Ç x > è áëçèåýåé ãéá êÜèå x ∈ R .

taexeiola.blogspot.com

Βήµα 1 ο

16.

Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

Θεωρία36.8 Èåùñßá Íá áðïäåßîåôå üôé ãéá ïðïéïõóäÞðïôå ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò éó÷ýåé: á) á ⋅ â = á ⋅ â

â)

á á = â â

Áðüäåéîç: á) 1ïò ôñüðïò: Ãíùñßæïõìå üôé á 2 = á 2 Ýôóé, õøþíïíôáò óôï ôåôñÜãùíï êáé ôá äýï ìÝëç ôçò (á) Ý÷ïõìå: 2 2 2 2 2 á ⋅ â = á ⋅ â ⇔ á ⋅ â = ( á ⋅ â ) ⇔ (á ⋅ â ) = á ⋅ â ⇔ á 2 ⋅ â 2 = á 2 ⋅ â 2 ðïõ éó÷ýåé. 2ïò ôñüðïò: Äéáêñßíïõìå ðåñéðôþóåéò ãéá ôá á, â:

• Áí á,â ≥ 0 ôüôå á = á êáé â = â, åðßóçò á ⋅ â ≥ 0 ïðüôå

á ⋅â = á ⋅â

´Αρα : á ⋅ â = á ⋅ â = á ⋅ â

• Áí á,â ≤ 0 ôüôå á = −á êáé â = −â, åðßóçò á ⋅ â ≥ 0 ïðüôå

á ⋅â = á ⋅â

´Αρα : á ⋅ â = á ⋅ â = ( −á ) ⋅ ( −â ) = á ⋅ â

• Áí á ≥ 0, êáé â ≤ 0 ôüôå á = á êáé â = −â, åðßóçò á ⋅ â ≤ 0 ïðüôå á ⋅ â = −áâ ´Αρα : á ⋅ â = −á ⋅ â = á ⋅ ( −â ) = á ⋅ â • Áí á ≤ 0, êáé â ≥ 0 ôüôå á = −á êáé â = â, åðßóçò á ⋅ â ≤ 0 ïðüôå á ⋅ â = −áâ ´Αρα : á ⋅ â = −á ⋅ â = ( −á ) ⋅ â = á ⋅ â

â) ¼ìïéá ìå ôï (á)

Θεωρία37.9 Èåùñßá Íá áðïäåßîåôå üôé ãéá ïðïéïõóäÞðïôå áñéèìïýò á, â éó÷ýåé: á + â ≤ á + â . Ðüôå éó÷ýåé ôï ßóïí; Áðüäåéîç: ¸ðåéäÞ ïé áñéèìïß

á + â , á + â åßíáé èåôéêïß Þ ìçäÝí ìðïñïýìå íá õøþóïõìå ôá ìÝëç

ôçò áíéóüôçôáò óôï ôåôñÜãùíï êáé éóïäýíáìá Ý÷ïõìå: á+â ≤(á + â ) ⇔ 2

2

2

2

2

á+â ≤ á + â +2 á â

(1)

¼ìùò ãíùñßæïõìå üôé x = x2. ¢ρα και α+β = (α+β) , 2

2

2

2

2

α =α2 , β =β2 .

taexeiola.blogspot.com

Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

Βήµα 1 ο

17.

Åðßóçò á ⋅ â = á ⋅ â . ¸ôóé ç (1) ãßíåôáé:

(α + β )

2

≤ α 2 + β2 + 2 α ⋅β ⇔ α 2 + β2 + 2αβ ≤ α 2 + β2 + 2 | α·β |⇔ ⇔ 2αβ ≤ 2 α ⋅β ⇔ αβ ≤ αβ που ισχýει διüτι x ≥ x ãéá êÜèå x ∈ R .

Ç éóüôçôá éó÷ýåé üôáí á ⋅ â = á ⋅ â ⇔ á ⋅ â ≥ 0 . ÄçëáäÞ üôáí ïé á êáé â åßíáé ïìüóçìïé Þ ôïõëÜ÷éóôïí Ýíáò áðü ôïõò á, â åßíáé ìçäÝí. Óçìåßùóç: ¼ìïéá áðïäåéêíýåôáé üôé: á − â ≤ á ± â ≤ á + â

Èåùñßá 38. Ôé ïíïìÜæïõìå áðüóôáóç ìåôáîý äýï áñéèìþí á, â; ÁðÜíôçóç: ÏíïìÜæïõìå áðüóôáóç äýï áñéèìþí á, â êáé óõìâïëßæïõìå ìå d(á, â) ôçí áðüëõôç ôéìÞ ôçò äéáöïñÜò ôïõò. ÄçëáäÞ: d(á, â ) = á − â = â − á

taexeiola.blogspot.com

18.

Βήµα 1 ο

Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

Θεωρία Θεωρία1010

Θεωρία 11

α

ν

α

taexeiola.blogspot.com

Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

Θεωρία 12

Θεωρία 13

Βήµα 1 ο

19.

taexeiola.blogspot.com

20.

Βήµα 1 ο

Θεωρία 14

Θεωρία 15

Θεωρία 16

Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

taexeiola.blogspot.com

Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

Θεωρία 17

Θεωρία 18

Βήµα 1 ο

21.

taexeiola.blogspot.com

22.

Βήµα 2 ο

Επαναλαµβάνουµε τις ασκήσεις “κλειδιά”

ÅðáíáëáìâÜíïõìå ôéò áóêÞóåéò "êëåéäéÜ"

ÂÞìá 2 ÂÞìá 1

Από το σχολικό βιβλίο: σελ. 22-23:

ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Α΄ Οµάδα: 5, 6, 7 Β΄ Οµάδα: 1, 4

σελ. 27-28:

Α΄ Οµάδα: 1, 2, 3 Β΄ Οµάδα: 1, 4

σελ. 36-37:

Α΄ Οµάδα: 1, 4, 10, 11 Β΄ Οµάδα: 1

σελ. 42-43:

Α΄ Οµάδα: 1, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 11 Β΄ Οµάδα: 2

σελ. 49-51:

Α΄ Οµάδα: 4, 5, 7, 8, 9, 10, 13, 16, 17, 18

σελ. 121-122:

Α΄ Οµάδα: 1, 2, 3, 4, 5

σελ. 125:

Α΄ Οµάδα: 1, 2, 3, 7

σελ. 128:

Α΄ Οµάδα: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Από το βιβλίο: ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚ∆ΟΣΕΙΣ “ΟΡΟΣΗΜΟ” Ενότητα Α:

Ασκήσεις

31, 32, 42, 44,

54, 62, 67 Ενότητα Β:

Ασκήσεις

74, 81, 86, 89,

95,101,105, 122, 134,139

taexeiola.blogspot.com

Βήµα 3 ο

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

23.

Ëýíïõìå ðåñéóóüôåñåò áóêÞóåéò

ÂÞìá 3 ÂÞìá 2 ÂÞìá 1

1. Να λυθεί και να διερευνηθεί η εξίσωση:

(2x − 1) µ 2 = 5 (10x − µ )

Λύση: Μετασχηµατίζουµε την εξίσωση στη µορφή αx = β .

(2x − 1) µ 2 = 5 (10x − µ ) ⇔ 2µ 2 x − µ 2 = 50x − 5µ ⇔ 2µ 2 x − 50x = µ 2 − 5µ ⇔ ⇔ (2µ 2 − 50 ) x = µ 2 − 5µ (1)

Λύνουµε την εξίσωση:

2µ 2 − 50 = 0 ⇔ 2 (µ 2 − 25) = 0 ⇔ ⇔ 2 (µ − 5)(µ + 5) = 0 ⇔ µ − 5 = 0 ή µ + 5 = 0 ⇔ ⇔ µ = 5 ή µ = −5 .

α. Αν µ ≠ 5, − 5 τότε η (1) έχει µοναδική λύση την: x=

µ (µ − 5) µ 2 − 5µ µ = = 2 2µ − 50 2 (µ − 5)(µ + 5) 2 (µ + 5)

β. Αν µ = 5 τότε η (1) γίνεται 0x = 0 , που έχει άπειρες λύσεις (είναι ταυτότητα). Αν µ = −5 τότε η (1) γίνεται 0x = 50 , που είναι είναι αδύνατη.

2. Να λυθεί και να διερευνηθεί η εξίσωση:

x + λ λx − 1 λx − 3 − =1− 2 3 6

Λύση: Πολλαπλασιάζουµε µε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονοµαστών, το 6.

x+λ λx − 1 λx − 3 −6 =6−6 ⇔ 3 ( x + λ ) − 2 (λx − 1) = 6 − (λx − 3) ⇔ 2 3 6 3x + 3λ − 2λx + 2 = 6 − λx + 3 ⇔ 3x − 2λx + λx = 6 + 3 − 2 − 3λ ⇔ (3 − 2λ + λ ) x = −3λ + 7 ⇔ (−λ + 3) x = −3λ + 7 (1) 6

Είναι − λ + 3 = 0 ⇔ λ = 3 .

taexeiola.blogspot.com

24.

Βήµα 3 ο

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

−3λ + 7 −λ + 3 β. Αν λ = 3 τότε η (1) γίνεται: 0x = −2 , άρα είναι αδύνατη. x=

α. Αν λ ≠ 3 τότε η (1) έχει µοναδική λύση την :

3. Να λυθεί και να διερευνηθεί η εξίσωση:

λ ( λ − 3 ) (x − 1) = 3λ − 2x − 4

Λύση: λ (λ − 3) ( x − 1) = 3λ − 2x − 4 ⇔ (λ2 − 3λ ) x + 2x = λ2 − 3λ + 3λ − 4 ⇔

(λ2 − 3λ + 2) x = λ2 − 4 (1) Λύνουµε την εξίσωση: − (−3) ± 1 3±1 ⇔ λ = ⇔ λ = 2 ή λ =1 2 2 α. Αν λ ≠ 1, 2 τότε η (1) έχει µοναδική λύση την:

λ2 − 3λ + 2 = 0 ⇔ λ =

x=

(λ − 2 )(λ + 2 ) λ + 2 λ2 − 4 = = 2 λ − 3λ + 2 (λ − 1)(λ − 2 ) λ − 1

β. Αν λ = 1 τότε η (1) γίνεται: 0x = 12 − 4 ⇔ 0x = −3 και είναι αδύνατη. Αν λ = 2 τότε η (1) γίνεται: 0x = 2 2 − 4 ⇔ 0x = 0 και είναι ταυτότητα.

4. Να βρείτε διψήφιο αριθµό αν είναι γνωστό ότι το ψηφίο των δεκάδων είναι τριπλάσιο από το ψηφίο των µονάδων και αν εναλλάξουµε την θέση των ψηφίων του θα προκύψει αριθµός κατά 36 µικρότερος. Λύση: • Έστω xy ο διψήφιος αριθµός, τότε :

( x10 + y ) − ( y10 + x ) = 36

(1)

και x = 3y (2). Λόγω της (2) έχουµε: x10 + y = 30y + y = 31y

και

y10 + x = 10y + 3y = 13y

και απο την (1) παίρνουµε : 31y − 13y = 36 ⇔ 18y = 36 ⇔ y = 2 . Άρα x = 6 , οπότε ο ζητούµενος αριθµός είναι ο 62.

5. Να λυθούν οι εξισώσεις: i.

2 − 2x − 1 = 5

ii.

x −1 − 2 1− x − 5 −1= 3 2

taexeiola.blogspot.com

Βήµα 3 ο

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

25.

iv. x − 1 = µ 2 − 9

iii. 2 x − 1 − 3x = −4 Λύση: i. 2 − 2x − 1 = 5 ⇔ 2 − 2x − 1 = 5

2x − 1 = 7 ⇔

ή

2 − 2x − 1 = −5 ⇔

− 2x − 1 = 3

ή

− 2x − 1 = −7 ⇔

2x − 1 = −3 αδύνατη

ή

2x − 1 = 7 ⇔

ή

2x − 1 = 7.

2x − 1 = 7 2x = 8 x=4

ή ή ή

2x − 1 = −7 ⇔ 2x = −6 ⇔ x = −3

ii. Θέτουµε ω = x − 1 = 1 − x (αφού οι αντίθετοι αριθµοί έχουν την ίδια απόλυτη τιµή), και η εξίσωση γίνεται:

ω−2 ω−5 ω−2 ω−5 −1 = ⇔6 −6 = 6 ⇔ 2(ω − 2) − 6 = 3(ω − 9) ⇔ 3 2 3 2

2ω − 4 − 6 = 3ω − 15 ⇔ −ω = −5 ⇔ ω = 5. Άρα x − 1 = 5 ⇔ x − 1 = 5 ή x − 1 = −5 ⇔ x = 6 ή

x = −4 .

iii. 2 x − 1 − 3x = −4  x − 1 ,αν x ≥ 1 Από τον ορισµό της απόλυτης τιµής έχουµε: x − 1 =   − x + 1 ,αν x ≤ 1

Άρα για x ≤ 1 η εξίσωση γράφεται:

2(− x + 1) − 3x = −4 ⇔ −5x = −6 ⇔ x =

6 , (απορρίπτεται). 5

και για x ≥ 1 η εξίσωση γράφεται: 2(x − 1) − 3x = −4 ⇔ − x = −2 ⇔ x = 2 ( δεκτή).

iv. Το πρόσηµο του τριωνύµου: φ(µ) = µ 2 − 9 = (µ + 3)(µ − 3) φαίνεται στον επόµενο πίνακα: 3 µ −∞ −3 +∞ φ(µ) + ○ − ○ +

taexeiola.blogspot.com

26.

Έτσι :

Βήµα 3 ο

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

1. Για µ ∈ (−3,3) το µ 2 − 9 < 0 ,άρα η (ε) είναι αδύνατη. 2. Για µ = 3, −3 το µ 2 − 9 = 0 και η (ε) γίνεται: x − 1 = 0 ⇔ x = 1 . 3. Για µ ∈ (−ω, −3) ∪ (3, +ω) είναι µ 2 − 9 > 0 , άρα η (ε) γίνεται:

x − 1 = µ 2 − 9 ⇔ x − 1 = µ 2 − 9 ή x − 1 = −µ 2 + 9 x − µ2 − 8

6. Λύστε τις ανισώσεις:

i.

ή x = −µ 2 + 10

x − 2 −1 x−2 −2 2 3x − 1 < 8 ⇔ −8 < 3x − 1 < 8 ⇔ −7 < 3x < 9 ⇔ 7 − 2 3x < −1 ή 3x > 3 1 x < − ή x >1 3

7 1 Τελικά παίρνουµε : − < x < − ή 1 < x < 3 . 3 3

taexeiola.blogspot.com

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

Βήµα 3 ο

27.

iii. 2 − x − 1 < 3 ⇔ −3x < 2 − x − 1 < 3 ⇔ −5 < − x − 1 < 1 ⇔ 5 > x − 1 > −1. Άρα x − 1 < 5 ⇔ −5 < x − 1 < 5 ⇔ −4 < x < 6

iv. Βρίσκουµε το πρόσηµο του τριωνύµου: φ(x) = x 2 + x + 1 . Είναι ∆ = 12 − 4 ⋅ 1 ⋅ 1 = 1 − 4 = −3 < 0 , άρα x 2 + x + 1 > 0 για κάθε x ∈ » , δηλαδή x 2 + x + 1 = x 2 + x + 1 . Άρα η ανίσωση γίνεται:

x 2 + x + 1 < x + 5 ⇔ x 2 − 4 < 0 ⇔ x 2 < 4 ⇔ x < 2 ⇔ −2 < x < 2. .

ΤΑΥΤΟΤΗTΕΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΟΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ µε Απόλυτα

7. Αν

α < β < γ βρείτε χωρίς απόλυτα την παράσταση: Α = α − β − γ − α + 2α − β − γ

Λύση: Ισχύουν: • α < β ⇔ α − β < 0 , άρα α − β = −α + β • γ > α ⇔ γ − α > 0 , άρα γ − α = γ − α

α < β  • και  άρα 2α < β + γ ⇔ 2α − β − γ < 0 άρα 2α − β − γ = −2α + β + γ α < γ  Τελικά είναι : Α = −α + β + γ − α + 2α − β − γ ⇔ Α = α .

8.

Βρείτε τα x, y εφόσον ισχύει 2x − y − 3 + x + 2y − 4 = 0 .

Λύση: 2x − y − 3 + x + 2y − 4 = 0 ⇔ 2x − y − 3 = 0 και x + 2y − 4 = 0 ⇔ ⇔ 2x − y = 3 και x + 2y = 4 , οπότε λύνουµε το σύστηµα:  2x − y = 3  4x − 2y = 6 5x = 10 x = 2 ⇔ ⇔ ⇔   x + 2y = 4  x + 2y = 4  y = 2x − 3 y = 1

9. ∆είξτε την ισοδυναµία Λύση:

2α + 5β = 5α + 2β ⇔ α = β

taexeiola.blogspot.com

Βήµα 3 ο

28.

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

2α + 5β = 5α + 2β ⇔ 2α + 5β = 5α + 2β ή

2α + 5β = −5α − 2β ⇔

3β = 3α ή 7α = −7β ⇔ α = β ή α = −β

10. ∆είξτε την ισοδυναµία

2α + 5β < 5α + 2β ⇔ β < α

Λύση: 2

2

2α + 5β < 5α + 2β ⇔ 2α + 5β < 5α + 2β ⇔ (2α + 5β) 2 < (5α + 2β) 2 ⇔ 4α 2 + 25β 2 + 20αβ < 25α 2 + 4β 2 + 20αβ ⇔ 19β 2 < 19α 2 ⇔ β 2 < α 2 ⇔ 2

2

β 2 ⇔ x − 1 < −2 ή x − 1 > 2 ⇔ x < −1 ή x > 3 x ∈ (−∞, −1) ∪ (3, +∞)

f (x) = x 2 − 4x + 4 − x + 3 µε x ∈ » : i. Γράψτε την f µε πολλαπλό τύπο. ii. Να γίνει η γραφική παράσταση της f. Λύση:

14. ∆ίνεται

i) Για x ∈ » ισχύει f (x) = (x − 2) 2 − x + 3 = x − 2 − x + 3 . Από τον ορισµό της απόλυτης τιµής έχουµε:  x − 2 ,αν x − 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 x−2 =  − x + 2 ,αν x − 2 < 0 ⇔ x < 2

Άρα:

x −∞

x−2 f (x)

+∞

2 −x + 2 −x + 2 − x + 3 =

−2x + 5

x−2 x − 2− x +3 =1

29.

taexeiola.blogspot.com

Βήµα 3 ο

30.

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

y

x≤2  −2x + 5 ,αν ∆ηλαδή: f (x) =  ,αν x 0  f (x) = θ ⇔ f (x) = 0 αν θ = 0 αδύνατη αν θ < 0  f (x) = g(x) ⇔ f (x) = g(x) ή f (x) = −g(x)

Ανισώσεις µε Απόλυτα f (x) < θ ⇔ −θ < f (x) < θ f (x) > θ ⇔ f (x) < −θ ή f (x) > θ

f (x)

θ>0

υψώνουµε στο τετράγωνο ≤ g(x) και καταλήγουµε σε 1ου ≥ και 2ου βαθµού εξίσωση.

Με τον ορισµό απαλλαf (x) = g(x) Με τον ορισµό απαλλασόµαστε ≥ από το απόλυτο και λύνουµε την f (x) g(x) σόµαστε από το απόλυτο ≤ εξίσωση. και λύνουµε την ανίσωση. Όταν στην εξίσωση υπάρχουν περισσότερα από Όταν στην ανίσωση υπάρχουν περισσότερα ένα διαφορετικά απόλυτα, µε τον ορισµό απαλ- από ένα διαφορετικά απόλυτα, µε τον οριλασόµαστε από τα απόλυτα . σµό απαλλασσόµαστε από τα απόλυτα .

taexeiola.blogspot.com

Βήµα 4 ο

34.

ÂÞìá 4 ÂÞìá 3 ÂÞìá 2 ÂÞìá 1

1. Αν

x+

Λύνουµε µόνοι µας

Ëýíïõìå ìüíïé ìáò

1 1 1 1 2 3 4 = 2 , αποδείξτε ότι: x + 2 = x + 3 = x + 4 x x x x

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

2. Να λυθεί η εξίσωση:

(2x + 1) 3 + (x − 2) 3 + (1 − 3x)3 = 0

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

taexeiola.blogspot.com

Βήµα 4 ο

Λύνουµε µόνοι µας

3.

35.

Να λυθούν οι εξισώσεις:

α) (x + 1)2 − (x + 2)2 = (2x + 1)2 − (3 − 2x )2

β)

x + 2 2x + 1 5x + 1 + = 2 3 6

γ) 0,3x + 0,5(x + 1) = 1,2(x + 3 ) ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

4. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) (λ − 1)x = λ 2 - 1

β) (λ − 2)x = λ 2 + 2

γ) λ 2 x – 2 = 4x + λ

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

5. Ένας χυµός φρούτων έχει περιεκτικότητα σε πορτοκάλι 60%. Προσθέτουµε στο χυµό 50ml καθαρό χυµό πορτοκάλι και η περιεκτικότητα του χυµού γίνεται 70%. Να βρεθεί πόσα ml αρχικού χυµού είχαµε. ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

taexeiola.blogspot.com

36.

Βήµα 4 ο

Λύνουµε µόνοι µας

............................................................................................................................ ............................................................................................................................

6. Ο ∆ιόφαντος ο Αλεξανδρεύς έζησε περίπου το 250 µ.χ. και είναι ο τελευταίος από τους µεγάλους Έλληνες αρχαίους µαθηµατικούς. Τίποτα δεν είναι γνωστό γι’αυτόν, εκτός από τα βιβλία µε τα άριστα τεκµηριωµένα επιτεύγµατά του. Η µόνη λεπτοµέρεια απ’την ζωή του είναι ο γρίφος που λέγεται ότι ήταν σκαλισµένος στον τάφο του. “Ο Θεός του παραχώρησε το ένα έκτο της ζωής του για να είναι νέος. Μετά και από το ένα δωδέκατο αυτής είχαν φυτρώσει στα µάγουλα του γένια. Κατόπιν µε το ένα έβδοµο της επιπλέον, τον φώτισαν τα κεριά του γάµου, και πέντε χρόνια µετά το γάµο του (ο Θεός) του έδωσε ένα γιο. Αλίµονο! Το παιδί γεννήθηκε κακότυχο, και όταν απέκτησε το µισό της ηλικίας του πατέρα του, η άπονη Μοίρα το πήρε µακριά του. Η επιστήµη των µαθηµατικών ανακούφισε τον πόνο του, µετά όµως από τέσσερα χρόνια πέθανε” Πόσα χρόνια έζησε ο ∆ιόφαντος; ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

7. α. Να λυθεί η ανίσωση:

x − 1 3x + 2 5x + ≥ 2 4 4

β. Να λυθεί η ανίσωση: λ (x + 1) ≥ 1 − 2x για τις διάφορες τιµές του πραγµατικού αριθµού λ. ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

taexeiola.blogspot.com

Βήµα 4 ο

Λύνουµε µόνοι µας

37.

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

8. Να βρείτε τρείς θετικούς ακέραιους, αν το άθροισµά τους είναι µεγαλύτερο του 14 και µικρότερο του 24, όταν ο δεύτερος είναι διπλάσιος απ’τον πρώτο και ο τρίτος µικρότερος απ’τον δεύτερο κατα 1. ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

9. Να γράψετε την παράσταση Α χωρίς απόλυτα.

A=

x – 2 + x +1 x

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

10.

Να λύσετε τις εξισώσεις: 2 2 α. x − 1 = −3 x − 4x + 3

β. x + 2 − 3 x − 1 = 2x − 3

taexeiola.blogspot.com

Βήµα 4 ο

38.

Λύνουµε µόνοι µας

γ. 2x − 5 = 5 − 2x

δ. x 2 − 2x = −2x = x 2

ε. x + 2 = 2x + 1

στ. 3 x + 1 = x + 6

ζ x + 1 + 2x + 4 = 0 ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

11. α. Αν

α < 2, β < 3 να αποδείξετε ότι:

i) 3α + 2β < 12

ii) 2α + β + 1 < 8

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

taexeiola.blogspot.com

Βήµα 4 ο

Λύνουµε µόνοι µας

39.

............................................................................................................................ ............................................................................................................................

12.Να λύσετε τις ανισώσεις: α.

β. 2x − 1 < x + 5

x + 3 − 2x < 5

γ. x − 3 < − x 2 + 2x − 5 δ. 2 < x 2 − 2x + 1 < 10 ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

13. Αν x =

2 5− 3

και y =

2 5+ 3

να βρεθεί η τιµή της παράστασης: A = x 2 − xy + y 2

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

14. Να αποδείξετε τις ισότητες: 3

α.

9

α α3 α =

α3 α

β.

α β αβ

=

1 6

α2 ⋅ β

taexeiola.blogspot.com

40.

Βήµα 4 ο

Λύνουµε µόνοι µας

γ. 3 4 3 2 2 3 2 + 2 = 2

δ.

(

28 + 7 + 32 )( 63 − 32 ) = 31

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

15. Να λυθεί η εξίσωση:  1 x − 3 (1 − x ) = (1 − 2x)2 + 1 2



............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

taexeiola.blogspot.com

Βήµα 4 ο

Λύνουµε µόνοι µας

16.

41.

∆ίνεται η εξίσωση x 2 − 3x + λ + 2 = 0 . Αν η εξίσωση έχει ρίζα το 5 να βρεθεί η άλλη ρίζα.

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

17. Έστω η εξίσωση

x 2 − (λ + 1)x + λ = 0 και x1, x2 είναι οι ρίζες της.

Αν οι αριθµοί 2, x1, x2 είναι πλευρές τριγώνου, να δείξετε ότι το λ ∈ (1,3) ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ x 2 - (λ + 1)x − λ = 0 . Αν τα x1, x2 είναι ρίζες της εξίσωσης να υπολογίσετε το λ ώστε: 3x1 2 - 7x1 2 x 2 - 7x1 x 2 2 + 3x 2 2 = 2

18. Έστω η εξίσωση

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

taexeiola.blogspot.com

42.

Βήµα 4 ο

Λύνουµε µόνοι µας

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

19. ∆ίνεται η εξίσωση x

2

- 5x + 1 = 0

α) ∆είξτε (χωρίς να τις βρείτε), ότι οι ρίζες της εξίσωσης είναι πραγµατικές, διάφορες του µηδενός. β) Αν x1, x2 οι δύο ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, να κατασκευάσετε την εξίσωση που έχει ρίζες τα: x x 2) 3x1 - 2 1) 1 και 2 x2 x1

και 3x2 - 2

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

20. ∆ίνεται η εξίσωση x 2 - 2(λ - 3)x + λ 2 - 1 . Για ποιες τιµές του λ η εξίσωση έχει: α) δύο ρίζες αρνητικές

β) δύο ριζες θετικές και άνισες

taexeiola.blogspot.com

Βήµα 4 ο

Λύνουµε µόνοι µας

γ) δύο ρίζες ετερόσηµες ε) δύο ρίζες αντίθετες

43.

δ) δύο ρίζες αντίστροφες

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

21. Να λυθεί η εξίσωση:

2 3 + x2 + =1 x 2 − x x 2 − 2x + 1

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

taexeiola.blogspot.com

44.

Βήµα 4 ο

22. Να απλοποιηθεί η παράσταση:

Λύνουµε µόνοι µας

Κ=

α 2 − β2 α β +β α

(α ≠ β

και α,β > 0 )

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

23. Αν

2 2 α > β > 0 δείξτε ότι α + β α + β − 2αβ = α + β α−β α+β

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

taexeiola.blogspot.com

Λύνουµε µόνοι µας

Βήµα 4 ο

45.

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

24.

Αν α, β, γ θετικοί αριθµοί δείξτε ότι:

α β γ α+β+ γ + + = βγ αγ αβ αβγ

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

taexeiola.blogspot.com

Βήµα 5 ο

46.

Ελέγχουµε τη γνώση µας

ÂÞìá 5 ÂÞìá 4 ÂÞìá 3 ÂÞìá 2 ÂÞìá 1

ÅëÝã÷ïõìå ôç ãíþóç ìáò

ΘΕΜΑ 1ο Α. Nα λυθούν οι ανισώσεις: i) x ≤ 2

i) x + 3 ≤ 1

iii) x + 2 < −1

iv) x − 1 ≤ 0

Β. Να λυθούν οι ανισώσεις: i) 1 < x < 2 iv)

x +1 x+2

ii) - 1 ≤ x ≤ 3

iii) 1 < 2x + 1 < 3

≤1

............................................................................................................................ ............................................................................................................................

ΘΕΜΑ 2ο x −1

1− x

= − 2x + 2 3 2 ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

Α. Να λυθεί η εξίσωση:

+

Β. Να γίνουν οι πράξεις: α) 3 8 − 7 18 + 9 72 − 12 50 γ)

45α 3β + 125α 3β − 320α 3β

Γ. Nα απλοποιηθούν οι παραστάσεις:

α, β > 0

taexeiola.blogspot.com

Βήµα 5 ο

Ελέγχουµε τη γνώση µας

i)

4

iv)

ii)

16 5

5

3

3

25 24 2

iii)

3

3

2

3

4

47.

3

5

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

ΘΕΜΑ 3ο α) Ένας µαθηµατικός που πρόκειται να αγοράσει ένα περιφραγµένο οικόπεδο στο Βαρνάβα Αττικής σχήµατος ορθογωνίου µε εµβαδόν 4070 m2 θέλησε να µάθει τις διαστάσεις των πλευρών του. Ο ιδιοκτήτης όµως του οικοπέδου δεν ήξερε τις διαστάσεις. Θυµόταν, όµως, ότι χρησιµοποίησε 258m συρµατόπλεγµα για να το περιφράξει. Μ’αυτές τις πληροφορίες ο µαθηµατικός βρήκε τις διαστάσεις. Ποιες ήταν αυτές; β) Μετά θέλησε να µάθει από την πολεοδοµία του Καπανδριτίου ποιο είναι το µέγιστο εµβαδόν του σπιτιού που δικαιούται µε βάση το νόµο, να κτίσει. Ο πολεοδόµος για να τον δυσκολέψει (υποτίθεται) του έδωσε την απάντησή ότι η περίµετρος του σπιτιού (σχήµατος ορθογωνίου) µπορεί να είναι µέχρι 40m. Ο µαθηµατικός φυσικά βρήκε το µέγιστο εµβαδό. Ποιό ήταν αυτό; ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

taexeiola.blogspot.com

48.

Βήµα 5 ο

Ελέγχουµε τη γνώση µας

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ΘΕΜΑ 4ο 2 Α. Να λυθεί η εξίσωση: x - 4 x + 4 = 0

6

3

1 1   Β. Να λυθεί η εξίσωση  x +  − 28 x +  + 27 = 0 x x  

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

taexeiola.blogspot.com

ÊåöÜëáéï 2ï ÓõíáñôÞóåéò

Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει :

[ Να µπορεί να παριστάνει ένα σύνολο µε περιγραφή ή αναγραφή

των στοιχείων του καθώς και µε τα διαγράµµατα του Venn. [ Να διακρίνει αν δύο σύνολα είναι ίσα και αν ένα σύνολο είναι υποσύνολο άλλου συνόλου. [ Να γνωρίζει την έννοια του κενού συνόλου. [ Να γνωρίζει τις έννοιες: ένωση συνόλων, τοµή συνόλων, διαφορά συνόλων και συµπλήρωµα συνόλου και να τις παριστάνουν µε διάγραµµα του Venn. [ Να σχεδιάζει τις ευθείες y = αx, y = αx + β. [ Να γνωρίζει τον ορισµό και το συµβολισµό της συνάρτησης. [ Να µπορεί να βρίσκει το πεδίο ορισµού µιας συνάρτησης όταν δίνεται ο τύπος µε τον οποίο ορίζεται το f(x). [ Να µπορεί να υπολογίσει τις τιµές µιας συνάρτησης f για τις διάφορες τιµές του x. [ Να µπορεί να παριστάνει ένα ζεύγος αριθµών µε σηµείο του επιπέδου. [ Να µπορεί να βρίσκει το συµµετρικό ενός σηµείου Α(x, y) ως προς τους άξονες, την αρχή των αξόνων και ως προς τη διχοτόµο της 1ης και 3ης γωνίας των αξόνων. [ Να µπορεί να υπολογίζει την απόσταση δύο σηµείων. [ Να µπορεί να αναγνωρίζει, αν µια καµπύλη είναι γραφική παράσταση συνάρτησης. [ Να µπορεί να βρίσκει τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασης µιας συνάρτησης µε τους δύο άξονες. [ Να µπορεί να σχεδιάζει τις ευθείες y = αx, y = αx + β. [ Να µπορεί να αναγνωρίζει πότε δύο ευθείες είναι παράλληλες.

taexeiola.blogspot.com

50.

Βήµα 1 ο

Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

ã) Ùò ðñïò ôçí áñ÷Þ ôùí áîüíùí, áí êáé ìüíï áí Ý÷ïõí Ìáèáßíïõìå áíôßèåôåò óõíôåôáãìÝíåò. ôéò ÄçëáäÞ: á´ = –á êáé â´ = –â

áðïäåßîåéò

ÂÞìá 1

ä) Ùò ðñïò ôç äé÷ïôüìï ôçò 1çò êáé 3çò ãùíßáò, áí êáé ìüíï áí ç ôåôìçìÝíç ôïõ åíüò éóïýôáé ìå ôçí ôåôáãìÝíç ôïõ Üëëïõ êáé áíôßóôñïöá. ÄçëáäÞ á´ = â êáé â´ = á.

Θεωρία Èåùñßá 72. 1 Áí A(x1y 1 ) êáé B(x 2 y 2 ) åßíáé äýï óçìåßá óå Ýíá ïñèïêáíïíéêü óýóôçìá óõíôåôáãìÝíùí. Íá õðïëïãßóåôå ôçí áðüóôáóç (ÁÂ) ôùí óçìåßùí Á,  ìå ôç âïÞèåéá ôùí óõíôåôáãìÝíùí ôïõò. Ëýóç: • ¸óôù üôé ôï åõèýãñáììï ôìÞìá Á äåí åßíáé ðáñÜëëçëï óôïõò Üîïíåò. Óôï ïñèïãþíéï ôñßãùíï ÁÂÊ åöáñìüæïõìå ôï ðõèáãüñåéï èåþñçìá êáé Ý÷ïõìå: (ÁÂ)2 =(ÁÊ)2 + (ÂÊ)2 (1) üìùò: ( ΑΚ ) 2 = (Γ∆) 2 = x 2 - x1

(BK)2 = (EZ)2 = y 2 - y1 (2)

2

2

(2)

(3) 2

2

( ΑΒ) 2 = x 2 - x 1 + y 2 − y1 ⇔ ¢ñá: (1) ⇔ (3)

⇔ ( ΑΒ) =

(x 2 − x1 )2 + (y 2 − y1 )2

(4)

taexeiola.blogspot.com

Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

Βήµα 1 ο

51.

Θεωρία Èåùñßá 78. 2 ¸óôù ïé åõèåßåò å 1 : y = á 1 x + â 1 , å 2 : y = á 2 x + â 2 . Íá áðïäåßîåôå üôé: â) å1 ⊥ å 2 ⇔ á 1 ⋅ á 2 = −1 á) å1 //å 2 ⇔ á 1 = á 2 ÁðÜíôçóç: á) å1//å 2 ⇔ ù1 = ù 2 ⇔ åöù1 = åöù 2 ⇔ á1 = á 2

â) Áò èåùñÞóïõìå äõï êÜèåôåò åõèåßåò å1 êáé å 2 ìå åîéóþóåéò y = á1x êáé y = á 2 x áíôßóôïé÷á. Ðñïöáíþò ôï óçìåßï A(1, á1 ) áíÞêåé óôçí åõèåßá y = á1x êáé Â(1, á 2 ) áíÞêåé óôçí åõèåßá y = á 2 x . Áöïý ïé åõèåßåò åßíáé êÜèåôåò, ôï ôñßãùíï ÏÁ åßíáé ïñèïãþíéï åðïìÝíùò, óýìöùíá ìå ôï ðõèáãüñåéï èåþñçìá, Ý÷ïõìå: 2 2 (ÏÁ)2 + (ÏÂ) 2 = (ÁÂ)2 ⇔ á1 + 12 + á 2 + 12 = 2 2 = (á1 – á 2 ) 2 + (1 – 1) 2 ⇔ á1 + 1 + á 2 + 1 = 2 2 = á1 + á 2 – 2á1á 2 ⇔ 2 = –2á1á 2 ⇔ á1á 2 = –1 Áðü ôçí áðüäåéîç ãßíåôáé öáíåñü üôé éó÷ýåé êáé ôï áíôßóôñïöï. ÄçëáäÞ, áí á1á 2 = -1 , ôüôå ïé åõèåßåò y = á1x êáé y = á 2 x åßíáé êÜèåôåò. Ãåíéêüôåñá, åðåéäÞ ïé åõèåßåò y = á1x + â1 êáé y = á 2 x + â 2 åßíáé ðáñÜëëçëåò ðñïò ôéò y = á1x êáé y = á 2 x áíôéóôïß÷ùò, óõìðåñáßíïõìå üôé : Äõï åõèåßåò y = á1x + â1 êáé y = á 2 x + â 2 åßíáé êÜèåôåò áí êáé ìüíï áí éó÷ýåé á1á 2 = -1

taexeiola.blogspot.com

52.

Βήµα 2 ο

Επαναλαµβάνουµε τις ασκήσεις “κλειδιά”

ÅðáíáëáìâÜíïõìå ôéò áóêÞóåéò "êëåéäéÜ"

ÂÞìá 2 ÂÞìá 1

Από το σχολικό βιβλίο: ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ σελ. 62:

Α΄ Οµάδα:

1, 5, 7

σελ. 67-68:

Α΄ Οµάδα:

5, 6, 7, 8

σελ. 72-73:

Α΄ Οµάδα:

2, 4, 5, 9, 10, 11

σελ. 77-78:

Α΄ Οµάδα:

3, 6

Β΄ Οµάδα:

1, 5

Από το βιβλίο: ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚ∆ΟΣΕΙΣ “ΟΡΟΣΗΜΟ” Ενότητα Γ:

Ασκήσεις 177,180,182,192,196

taexeiola.blogspot.com

Βήµα 3 ο

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

Ëýíïõìå ðåñéóóüôåñåò áóêÞóåéò

ÂÞìá 3 ÂÞìá 2 ÂÞìá 1

1. ∆ίνεται η συνάρτηση

53.

f ( x ) = 2x + α µε x ∈ » .

i. Αν η τιµή της f για x = 1 είναι διπλάσια της τιµής της f για x = 2 ελαττούµενης κατά 7, βρείτε το α. ii. Λύστε (µε άγνωστο το y) την ανίσωση: f ( −3) 2y − f (1) + 15 > 0 . iii. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f. Λύση: i. Ισχύει: Οπότε:

f (1) = 2f (2) − 7 ⇔ 2 + α = 2(4 + α) − 7 ⇔ 2 + α = 8 + 2α − 7 ⇔ 1 = α f (x) = 2x + 1, µε x ∈ »

ii. f (−3) 2y − f (1) + 15 > 0 ⇔ −5 2y − 3 + 15 > 0 ⇔ −5 2y − 3 > −15 ⇔ 2y − 3 < 3 ⇔ −3 < 2y − 3 < 3 ⇔ 0 < 2y < 6 ⇔ 0 < y < 3

iii. Η γραφική παράσταση της f είναι ευθεία µε εξίσωση y = 2x + 1 η οποία τέµνει τον άξονα x ′x : • στο Α(0,1) και τον y ′y  1  • στο B  − ,0   2 

2. ∆ίνεται η συνάρτηση:

f (x) =

2x 3 − 16 6− 2 x −1 +1

i. Βρείτε το πεδίο ορισµού της.

f (3) + f ( −1) = 2 −1 20 iii. Βρείτε τα σηµεία Α, Β στα οποία η γραφική παράσταση Cf της f τέµνει ii. ∆είξτε ότι:

taexeiola.blogspot.com

54.

Βήµα 3 ο

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

τους άξονες x΄x και y΄y αντίστοιχα, καθώς και την απόσταση (ΑΒ). iv. Βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε) που ορίζουν τα σηµεία Α, Β. Λύση: 6 − 2 x −1 > 0

i. Λύνουµε την ανισότητα:

−2 x − 1 > −6 x −1 < 3 −3 < x − 1 < 3 −2 < x < 4 Άρα το πεδίο ορισµού της f είναι το (–2,4)

ii. Ισχύουν:

f (3) =

2 ⋅ 33 − 16

f ( −1) =

Οπότε:

6 − 4 +1

=

2 ⋅ ( −1)3 − 16 6 − 4 +1

f (3) + f ( −1) =

38 2 +1 =

20 2 +1

=

και

−18 2 +1

(

20 ( 2 − 1)

2 + 1)( 2 − 1)

= 20 ( 2 − 1)

f (3) + f ( −1) 20 ( 2 − 1) = = 2 −1 20 20 iii. Για τον άξονα y΄y: Άρα:

Βρίσκουµε το f (0) =

−16 4 +1

=−

16 16   , άρα η C f τέµνει τον y΄y στο B  0, −  . 3 3 

Για τον άξονα x΄x: Λύνουµε την εξίσωση: f (x) = 0 ⇔ 2x 3 − 16 = 0 ⇔ x 3 = 8 ⇔ x = 3 8 = 2 Άρα η C f τέµνει τον x΄x στο Α(2,0). 2

−16  256 292  Οπότε: ( AB) = (2 − 0) +  0 − =  = 4+ 3  9 3  2

iv. Έστω y = αx + β η εξίσωση της ευθείας (ε) που ορίζουν τα Α,Β τότε: 16  16  • Β  0, −  (ε) ⇔ − = β , 3 3 

• Α(2,0) ∈ (ε) ⇔ 0 = 2α + β ⇔ 2α =

16 8 ⇔α= 3 3

taexeiola.blogspot.com

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

Βήµα 3 ο

55.

8 16 Άρα η εξίσωση της ε είναι η y = x − . 3 3

3. ∆ίνεται το σηµείο

M (6α 2 − 5α + 1, 2α ) .

i. Αν ξέρετε ότι ανήκει στον άξονα y΄y βρείτε το α ∈ » . ii. Για την µεγαλύτερη τιµή που βρήκατε για το α, βρείτε το β ∈ » , αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = x 2 − 4x + 4 + β µε x ∈ » τέµνει τον y΄y στο Μ. iii. Βρείτε τα κοινά σηµεία Α, Β, της γραφικής παράστασης της f µε τον άξονα x΄x. Λύση: i. Το M (6α 2 − 5α + 1, 2α ) ανήκει στον άξονα y΄y, αν και µόνον αν, 6α 2 − 5α + 1 = 0 ⇔ α =

ii. Για α =

5 ±1 1 1 −( −5) ± 1 ή α= ⇔α= ⇔α= 2⋅6 12 2 3

1 έχουµε Μ(0,1) το οποίο ανήκει στην γραφική παράσταση της f, οπότε: 2 f (0) = 1 ⇔ 4 + β = 1 ⇔ 2 + β = 1 ⇔ β = −1

Άρα:

f (x) = x2 − 4x + 4 − 1 ή f (x) = (x − 2)2 − 1 ή

f (x) = x − 2 − 1, µε x ∈ » iii. Λύνουµε την εξίσωση: f (x) = 0 ⇔ x − 2 − 1 = 0 ⇔ x − 2 = 1 ⇔ x − 2 = 1 ή x − 2 = −1 ⇔ x =3 ή x =1 Άρα τα κοινά σηµεία της C f µε τον άξονα x΄x είναι τα Α(3,0) και Β(1,0).

4. ∆ίνονται οι ευθείες

(ε) : y = 2λ − 1 x + 3λ (δ) : y = 3x + 2

i. Βρείτε για ποιες τιµές του λ ∈ » οι ευθείες ε, δ είναι παράλληλες. ii. Για την µεγαλύτερη τιµή που βρήκατε για το λ βρείτε το σηµείο τοµής

taexeiola.blogspot.com

56.

Βήµα 3 ο

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

των ευθείων (ε) και (ζ): y = 2x + 5 το οποίο να ονοµάσετε Α. iii. Αν το Α ανήκει στην γραφική παράσταση της συνάρτησης

f (x) = x 2 − µ 2 x + µ µε x ∈ » , βρείτε το µ ∈ » . iv. Για την µικρότερη τιµή που βρήκατε για το µ βρείτε την απόσταση (ΑΒ) µε Β το κοινό σηµείο της γραφικής παράστασης της f και του άξονα y΄y. Λύση: i. ε
δ ⇔ 2λ − 1 = 3 ⇔ 2λ − 1 = 3 ή 2λ − 1 = −3

2λ = 4 λ=2

ή 2λ = −2 ή λ = −1

ii. Εφόσον λ = 2 η εξίσωση της (ε) γράφεται y = 3x + 6 οπότε λύνουµε την έξισωση: 3x + 6 = 2x + 5 ⇔ x = −1 άρα y = 3 οπότε το κοινό σηµείο των (ε), (ζ) είναι το A(–1,3). iii. Το A(–1,3) ανήκει στην γραφική παράσταση της f άρα: f (−1) = 3 ⇔ 1 + µ 2 + µ = 3 ⇔ µ 2 + µ − 2 = 0 ⇔ µ=

−1 ± 9 −1 ± 3 ⇔µ= ⇔ µ = 1 ή µ = −2 2 ⋅1 2

iv. Εφόσον µ = −2 έχουµε f(x) = x2 − 4x − 2 οπότε f (0) = −2 . Άρα η C ′f τέµνει τον y΄y στο B(0, −2) , οπότε ( AB) = ( −1 − 0)2 + (3 − ( −2) ) = 26 . 2

5. i.

∆ίνονται τα σηµεία A(1,2) και B(–1,1). Βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από αυτά.

ii. ∆ίνεται τώρα και η ευθεία (δ) : y = ( λ2 + 3λ − 6) x + 2λ + 1 πως είναι κάθετη µε την (ε) βρείτε το λ ∈ » . iii. Για την µεγαλύτερη τιµή που βρήκατε για το λ βρείτε το κοινό σηµείο των (ε), (δ) iv. Στο ίδιο σύστηµα αξόνων σχεδιάστε τις (ε), (δ). Λύση: i. Έστω y = αx + β η εξίσωση της ευθείας (ε) τότε το Α(1, 2) ∈ (ε) ⇔ 2 = α + β , Β(−1,1) ∈ (ε) ⇔ 1 = −α + β .

taexeiola.blogspot.com

Βήµα 3 ο

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

3  β = 2 α + β = 2  2β = 3 ⇔ ⇔   −α + β = 1 α = 2 − β α = 1  2

Λύνουµε το σύστηµα:

Άρα η εξίσωση της (ε) είναι η y = ii. Ισχύει ε ⊥ δ άρα:

57.

1 3 x+ . 2 2

( λ2 + 3λ − 6 ) 1 = −1 ⇔ λ2 + 3λ − 6 = −2 ⇔ 2

λ2 + 3λ − 4 = 0 ⇔ λ =

−3 ± 25 ⇔ 2 ⋅1

λ = 1 ή λ = −4 iii. Αν λ = 1 η εξίσωση της (δ) γράφεται y = −2x + 3 οπότε λύνουµε την εξίσωση:

1 3 3 9 −2x + 3 = x + ⇔ −4x + 6 = x + 3 ⇔ −5x = −3 ⇔ x = . Tότε y = 2 2 5 5 y A

2

3 9 Άρα το κοινό σηµείο των ε, δ είναι το K  ,  . 5 5

B x´

1

-1 0

1 y´

6. ∆ίνεται η συνάρτηση

f (x) = x 2 − 2x + 1 + x 2 + 4x + 4 µε x ∈ » i. Γράψτε τον τύπο της f σε πολλαπλή µορφή. ii. Κάντε τη γραφική της παράσταση. Λύση: i. Είναι: f (x) = (x − 1)2 + (x + 2)2

f (x) = x − 1 + x + 2 Από τον ορισµό της απόλυτης τιµής έχουµε:  x − 1, αν x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1 x −1 =   − x + 1, αν x − 1 ≤ 0 ⇔ x ≤ 1

å x

taexeiola.blogspot.com

Βήµα 3 ο

58.

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

 x + 2, αν x + 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ −2 x+2 =  − x − 2,αν x + 2 ≤ 0 ⇔ x ≤ −2 Από τα παραπάνω σχηµατίζουµε το επόµενο πίνακα: x −∞ −2 1

+∞

x −1

−x + 1

−x + 1

x −1

x+2

−x − 2

x +2

x +2

f (x) −x + 1 − x − 2 = − x + 1 + x + 2 = 3

x −1 + x + 2 = 2x + 1

−2x − 1  −2x − 1 αν x ≤ −2  αν −2 ≤ x ≤ 1 Οπότε f (x) =  3 2x + 1 αν x ≥ 1  ii. Η γραφική παράσταση f αποτελείται από: 1. Την ηµιευθεία µε εξίσωση y = −2x − 1, αν x ≤ −2 µε αρχή το A( −2,3) , ενώ περνάει και από το σηµείο B( −3,5) .

2. Το ευθύγραµµο τµήµα µε εξίσωση y = 3, αν − 2 ≤ x ≤ 1 που έχει άκρα τα

A( −2,3) και Γ (1,3) . 3. Την ηµιευθεία µε εξίσωση y = 2x + 1, αν x ≥ 1 που έχει αρχή το Γ (1,3) . 2x 3 + x − 6 και η ευθεία (ε) : y = 2x − 3 x2 + x + 1 i. Βρείτε το πεδίο ορισµού της f

7. ∆ίνονται η συνάρτηση

f (x) =

ii. Βρείτε τα κοινά σηµεία της (ε) και της γραφικής παράστασης της f έστω C f iii. Βρείτε την εξίσωση της ευθείας (δ) που τέµνει κάθετα την (ε) στο κοινό σηµείο της µε την C f το οποίο έχει την µεγαλύτερη τετµηµένη. Λύση: i. Επειδή η εξίσωση x2 + x + 1 = 0 έχει διακρίνουσα ∆ = −36 < 0 είναι αδύνατη, οπότε το πεδίο ορισµού της f είναι το » .

taexeiola.blogspot.com

Βήµα 3 ο

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

ii. Λύνουµε την εξίσωση:

59.

2x 3 + x − 6 = 2x − 3 ⇔ x2 + x + 1

2x 3 + x − 6 = (2x − 3)(x 2 + x + 1) ⇔ 2x 3 + x − 6 = 2x 3 + 2x 2 + 2x − 3x 2 − 3x − 3 ⇔ x 2 + 2x − 3 = 0 ⇔ x =

x=

−2 ± 16 ⇔ 2

−2 ± 4 ⇔ x = 1 ή x = −3 , 2

Άρα τα κοινά σηµεία της ευθείας (ε) µε την C f είναι τα: Α(1,–1) και Β(–3,9). iii. Έστω y = αx + β η εξίσωση της δ τότε: • ε ⊥ δ ⇔ 2α = −1 ⇔ α = −

1 2

• Το A(1, −1) ανήκει στην (δ) άρα −1 = α + β ⇔ β = −1 − α = −

1 2

1 1 Άρα η εξίσωση της (δ) είναι η y = − x − 2 2

8. ∆ίνονται τα σηµεία A(1,3), B(–2,–3) και Γ(λ–1, 5) i. Βρείτε το λ ∈ » αν τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. ii. Βρείτε σηµείο Μ του άξονα x΄x το οποίο να ισαπέχει από τα Α, Γ. Λύση: i. Έστω y = αx + β η εξίσωση της ευθείας (ε) που ορίζουν τα Α,Β τότε:

A(1,3) ∈ (ε) ⇔ 3 = α + β Β(−2, −3) ∈ (ε) ⇔ −3 = −2α + β Λύνουµε το σύστηµα:

α + β = 3  2α + 2β = 6 β = 1 ⇔ ⇔   −2α + β = 3  −2α + β = −3 α = 2

Άρα η εξίσωση της (ε) είναι η y = 2x + 1 . • Τα Α,Β,Γ είναι συνευθειακά αν και µόνο αν το Γ (λ − 1,5) ανήκει στην (ε): ∆ηλαδή 5 = 2(λ − 1) + 1 ⇔ 4 = 2λ − 2 ⇔ 6 = 2λ ⇔ λ = 3 , άρα Γ (2,5)

taexeiola.blogspot.com

60.

Βήµα 3 ο

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

ii. Έστω Μ(α,0) σηµείο του άξονα x΄x ώστε: (ΜΑ) = (ΜΓ) ⇔ (α − 1) 2 + (−3) 2 = (α − 2) 2 + (−5) 2 ⇔

(α − 1)2 + 9 = (α − 2)2 + 25 ⇔ α 2 − 2α + 1 + 9 = α 2 − 4α + 4 + 25 ⇔ 2α = 19 ⇔ α =

19  19  άρα Μ  ,0  2  2 

9. ∆ίνεται η εξίσωση

x 2 − 2x − 1 = 0 που έχει ρίζες τους αριθµούς ρ1, ρ2 καθώς

και οι ευθείες ε 1 : 2y = (ρ 12 + ρ 22 ) x + 20 και ε 2 : y = ((α − 1) 2 + 2 α − 1 ) x + 6 i. Αν οι ε1, ε2 είναι παράλληλες, βρείτε το α ∈ » . ii. Βρείτε το εµβαδόν του τριγώνου που σχηµατίζει η ε2 µε τους άξονες. Λύση: i. Ισχύουν ρ1 + ρ 2 = −

1 −2 = 2 και ρρ 1 2 =− 1 1

Oπότε: ρ12 + ρ 22 = (ρ1 + ρ 2 ) − 2ρ1ρ 2 = 22 − 2( −1) = 4 + 2 = 6 2

Άρα 2y = 6x + 20 ⇔ y = 3x + 10 είναι η εξίσωση της ε 1 . 2

Οπότε ε1
ε 2 ⇔ (α − 1) 2 + 2 α − 1 = 3 ⇔ α − 1 + 2 α − 1 − 3 = 0 Θέτουµε y = α − 1 και η εξίσωση γίνεται y2 + 2y − 3 = 0 Είναι: y 2 + 2y − 3 = 0 ⇔ y = Άρα α − 1 = 1 ή

−2 ± 16 −2 ± 4 ⇔y= ⇔ y = 1 ή y = −3 2 2

α − 1 = −3 , που είναι αδύνατη

α − 1 = 1 ⇔ α − 1 = 1 ή α − 1 = −1 ⇔ α = 2 ή α = 0 ii. Η εξίσωση της ε 2 είναι η y = 3x + 6 και • αν x = 0 ⇔ y = 6, δηλαδή τέµνει τον y΄y στο Α(0,6) • αν y = 0 ⇔ x = −2, δηλαδή τέµνει τον x΄x στο Β(-2,0)

1 Οπότε, E (OAB) = (OB)(OA) 2 1 E (OAB) = ⋅ 2 ⋅ 6 = 6 τ.µ. 2

taexeiola.blogspot.com

Βήµα 3 ο

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

10. ∆ίνονται οι ευθείες

ε 1 : 2y = (λ − 1)x + λ , ε 2 :

61.

x−y x+y − =1 2 3

Βρείτε: i. Τους συντελεστές διεύθυνσης των ε1, ε2 . ii. Το λ ώστε ε 1 ⊥ ε 2 . iii. Το λ ώστε ε 1 || ε 2 . iv. Το λ ώστε ε 1
x′x . v. Το λ ώστε η ε1 να περνάει από την αρχή των αξόνων. 7  vi. Το µ αν το σηµείο Μ  2µ − 3, −  ανήκει στην ε2. 5  vii. Τα σηµεία που η ε2 τέµνει τους άξονες. viii. Το κοινό σηµείο των ε1, ε2 όταν τέµνονται κάθετα. Λύση:

i. • Η εξίσωση της ε 1 γράφεται y =

α1 =

λ −1 λ x + άρα έχει συντελεστή διεύθυνσης 2 2

λ −1 2

• Η εξίσωση της ε 2 γράφεται ισοδύναµα:

x−y x+y − = 1 ⇔ 3(x − y) − 2(x + y) = 6 ⇔ 3x − 3y − 2x − 2y = 6 ⇔ 2 3 1 6 −5y = − x + 6 ⇔ y = x − 5 5 Άρα έχει συντελεστή διεύθυνσης α 2 =

1 . 5

ii. ε1 ⊥ ε 2 ⇔

λ −1 1 λ −1 · = −1 ⇔ = −1 ⇔ λ − 1 = −10 ⇔ λ = −9 2 5 10

iii. ε1
ε 2 ⇔

λ −1 1 7 = ⇔ 5λ − 5 = 2 ⇔ 5λ = 7 ⇔ λ = 2 5 5

iv. ε1
x ′x ⇔ α1 = 0 ⇔

λ −1 = 0 ⇔ λ −1 = 0 ⇔ λ = 1 2

v. Η ε 1 περνάει από το Ο(0,0) άρα 0 =

λ −1 λ λ ⋅0 + ⇔ = 0 ⇔ λ = 0 2 2 2

taexeiola.blogspot.com

Βήµα 3 ο

62.

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

−7  7 1 6  vi. Το Μ  2µ − 3,  ∈ ε 2 ⇔ = ( 2µ − 3) − ⇔ 5  5 5 5  −7 = 2µ − 3 − 6 ⇔ 2µ = 2 ⇔ µ = 1 6 6  η ε 2 τέµνει τον y΄y στο Α  0, −  5  5 • Αν y = 0 ⇔ x = 6 η ε 2 τέµνει τον x΄x στο Β(6,0)

vii. • Αν x = 0 ⇔ y = −

viii. Οι ε1 ,ε 2 τέµνονται κάθετα όταν λ = −9 άρα η ε 2 γράφεται y = −5x − τε λύνουµε την εξίσωση:

1 6 9 x − = −5x − 5 5 2 2x − 12 = −50x − 45 52x = −33 x=−

Τότε y =

9 οπό2

33 52

−69  33 −69  , άρα K  − ,  το κοινό τους σηµείο.  52 52  52

11. Βρείτε τον τύπο της συνάρτησης µε την διπλανή γραφική παράσταση. Λύση: 1. Έστω y = αx + β µε x ≤ −1 η εξίσωση της ηµιευθείας A ρ • α = εφ45° = 1 • το Α( −1,2) ανήκει στην A ρ οπότε 2 = −α + β ⇔ β = 3 άρα η εξίσωση της A ρ είναι y = x + 3 µε x ≤ −1 . 2. Το τµήµα ΑΒ έχει εξίσωση y = 2, µε − 1 ≤ x ≤ 2 3. Έστω y = αx + β µε x ≥ 2 η εξίσωση της ηµιευθείας Βσ • το Β(2, 2) ∈ Βσ ⇔ 2 = 2α + β • το Γ(3,0) ∈ Βσ ⇔ 0 = 3α + β  2α + β = 2  −2α − β = −2 α = −2 Λύνουµε το σύστηµα:  ⇔ ⇔ 3α + β = 0 3α + β = 0 β = 2 − 2α = 6

taexeiola.blogspot.com

Βήµα 3 ο

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

63.

Άρα y = −2x + 6 , µε x ≥ 2

 x + 3, αν x ≤ −1  αν − 1 ≤ x ≤ 2 η ζητούµενη συνάρτηση. Οπότε y = f (x) = 2, −2x + 6, αν x ≥ 2 

12.

αx + 32, αν x < −2  ∆ίνεται η συνάρτηση f µε: y = f (x) = βx 2 , αν −2 ≤ x ≤ 2  γ αν x > 2  x , Αν τα σηµεία Α(–3,0), Β(1,1) και Γ(4,2) ανήκουν στην γραφική παράσταση της f βρείτε τα α,β, γ ∈ » και µετά παραστήστε την γραφικά.

Λύση: • Το Α( −3,0) ∈ C f ⇔ f ( −3) = 0 ⇔ −3α + 12 = 0 ⇔ α = 4 Το Β(1,1) ∈ C f ⇔ f (1) = 1 ⇔ β = 1 Το Γ(4, 2) ∈ Cf ⇔ f (4) = 2 ⇔

γ =2⇔ γ =8 4

4x + 12, αν x < −2  Άρα f (x) =  x 2 , αν −2 ≤ x ≤ 2  8  , αν x > 2  x • Η γραφική παράσταση της f αποτελείται από: (I) την ηµιευθεία µε εξίσωση y = 4x + 12, µε x < −2 στην οποία δεν ανήκει η αρχή της ∆( −2,4) ενώ περνάει από το σηµείο Α( −3,0) (II) το τόξο της παραβολής µε εξίσωση y = x 2

αν −2 ≤ x ≤ 2 που έχει άκρα

τα σηµεία ∆( −2,4) και Ε(2,4) . 8 , µε x > 2 που έχει άκρο το σηx µείο Ε(2,4) το οποίο βέβαια δεν ανήκει στο τόξο.

(ΙΙΙ) το τόξο της υπερβολής µε εξίσωση y =

taexeiola.blogspot.com

64.

Βήµα 4 ο

ÂÞìá 4 ÂÞìá 3 ÂÞìá 2 ÂÞìá 1

Λύνουµε µόνοι µας

Ëýíïõìå ìüíïé ìáò

1.

∆ίνεται η συνάρτηση f (x) = x 2 − 2x + 1 + x 2 + 4x + 4 µε x ∈ » i. Βρείτε τον τύπο της f χωρίς “απόλυτα” ii. Να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση. Λύση: ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

taexeiola.blogspot.com

Βήµα 4 ο

Λύνουµε µόνοι µας

65.

2x 3 + x − 6 και η ευθεία (ε) : y = 2x − 3 x2 + x + 1 i. Βρείτε το πεδίο ορισµού της f

2. ∆ίνονται η συνάρτηση

f (x) =

ii. Βρείτε τα κοινά σηµεία της (ε) και της γραφικής παράστασης της f έστω C f iii. Βρείτε την εξίσωση της ευθείας (δ) που τέµνει κάθετα την (ε) στο κοινό σηµείο της µε την C f το οποίο έχει την µεγαλύτερη τετµηµένη. Λύση: ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

3.

∆ίνονται τα σηµεία A(1,3), B(–2,–3) και Γ(λ–1, 5)

i. Βρείτε το λ ∈ » αν τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. ii. Βρείτε σηµείο Μ του άξονα x΄x το οποίο να ισαπέχει από τα Α, Γ. Λύση: ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

taexeiola.blogspot.com

66.

Βήµα 4 ο

Λύνουµε µόνοι µας

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

4. Να παραστήσετε γραφικά την συνάρτηση f(x) = |x + 1| + |x| Λύση: ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

taexeiola.blogspot.com

Λύνουµε µόνοι µας

Βήµα 4 ο

67.

5. Ένα κινητό κ

ξεκινά απ’το σηµείο Α(-2,-1) ενώ ένα άλλο κινητό κ2 απ’το 1 σηµείο Β(-1,-2) όπως φαίνεται στο διπλανό σχήµα. α) Να βρείτε την απόσταση των κ1, κ2 προτού ξεκινήσουν. β) Τις εξισώσεις των τροχιών των κ1, κ2 γ) Σε ποιο σηµείο διασταυρώνονται οι τροχιές των κινητών κ1, κ2; Λύση: ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

taexeiola.blogspot.com

68.

Βήµα 4 ο

6. Να µελετηθεί ως προς την µονοτονία η συνάρτηση:

Λύνουµε µόνοι µας

f(x) = ( λ − 2) ⋅ x 2

Λύση: ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

taexeiola.blogspot.com

Βήµα 5 ο

Ελέγχουµε τη γνώση µας

ÂÞìá 5 ÂÞìá 4 ÂÞìá 3 ÂÞìá 2 ÂÞìá 1

69.

ÅëÝã÷ïõìå ôç ãíþóç ìáò

ΘΕΜΑ 1ο Α.1.Να βρεθεί το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων:

i) f(x) =

1 x2 + 1

ii) f(x) =

4 - x2 x −1

iii) f(x) =

x x − x −1

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ΘΕΜΑ 2ο Β.1. Να βρείτε το συµµετρικό του Α(1, 3) i) ως προς τον άξονα x΄x ii) ως προς τον άξονα y΄y ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

taexeiola.blogspot.com

70.

Βήµα 5 ο

Ελέγχουµε τη γνώση µας

ΘΕΜΑ 3ο Να βρεθούν οι τιµές του λ ∈ R ώστε οι ευθείες: i) ε 1 : y = λ - 1 x + 1 και ε 2 : y = 2x + 3 να είναι παράλληλες ii) ε 3 : y = λx + 3 και ε 4 : y = (λ − 2 )x + 7 να είναι κάθετες ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ΘΕΜΑ 4ο ∆ίνεται η ευθεία ε:y = (λ2 + 2λ)x + λ - 1. Να βρεθούν οι τιµές του λ ∈ R ώστε: i) η ε να διέρχεται απ’την αρχή των αξόνων ii) η ε να είναι παράλληλη στον άξονα x΄x. iii) η ε να είναι κάθετη στην ε1: y - x = 2002. ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

taexeiola.blogspot.com

ÊåöÜëáéï 3ï ÓõóôÞìáôá åîéóþóåùí

Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να γνωρίζει:

[ Να παριστάνει γραφικά τις λύσεις µιας εξίσωσης της µορφής αx+β=γ µε α ≠ 0 ή β ≠ 0 .

[ Να επιλύει αλγεβρικά και γραφικά ένα σύστηµα δύο γραµµικών εξισώσεων µε δύο αγνώστους.

[ Να επιλύει προβλήµατα µε την βοήθεια ενός συστήµατος δύο γραµµικών εξισώσεων µε δύο αγνώστους.

[ Να επιλύει ένα σύστηµα δύο γραµµικών εξισώσεων µε τη µέθοδο των οριζουσών.

[ Να επιλύει ένα σύστηµα τριών γραµµικών εξισώσεων µε τρεις αγνώστους µε τη µέθοδο των διαδοχικών απαλοιφών.

[ Αν ένα τέτοιο σύστηµα έχει µοναδική λύση ή είναι αδύνατο ή έχει άπειρο πλήθος λύσεων.

[ Να επιλύει προβλήµατα µε τη βοήθεια ενός συστήµατος.

taexeiola.blogspot.com

72.

Βήµα 1 ο

Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò

ÂÞìá 1

Θεωρία79. 1 Èåùñßá á) Ôß ïíïìÜæïõìå ãñáììéêÞ åîßóùóç ìå äýï áãíþóôïõò êáé ôß ïíïìÜæïõìå ëýóç ôçò; â) Ôß ðáñéóôÜíåé ãñáöéêÜ ç åîßóùóç: y = k ã) Ôß ðáñéóôÜíåé ãñáöéêÜ ç åîßóùóç: x = k ä) Äåßîôå ïôé ç ãñáììéêÞ åîßóùóç áx +ây = ã ìå á ≠ 0 Þ â ≠ 0 ðáñéóôÜíåé åõèåßá. ÁðÜíôçóç: á) KÜèå åîßóùóç ôçò ìïñöÞò áx + ây = ã ëÝãåôáé ãñáììéêÞ åîßóùóç ìå äýï áãíþóôïõò. Ëýóç ôçò ïíïìÜæïõìå êÜèå æåýãïò ðñáãìáôéêþí áñéèìþí (x,y) ðïõ ôçí åðáëçèåýåé. â) Ç åîßóùóç y = ê ðáñéóôÜíåé ãñáöéêÜ ìßá åõèåßá ðáñÜëçëëç óôïí áîïíá x´x êáé ç ïðïßá äéÝñ÷åôáé áðü ôï óçìåßï Á(0, ê) (Ó÷Þìá 1) ã) Ç åîßóùóç x = ê ðáñéóôÜíåé ãñáöéêÜ ìéá åõèåßá ðáñÜëëçëç óôïí Üîïíá y´y êáé ç ïðïßá äéÝñ÷åôáé áðü ôï óçìåßï Á(ê, 0) (Ó÷Þìá 2)

Óçìåßùóç: Ç åõèåßá x = ê äåí åßíáé ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç óõíÜñôçóçò. ä) Èá äåßîïõìå üôé ç åîßóùóç áx +ây = ã (1) ìå á ≠ 0 Þ â ≠ 0 ðáñéóôÜíåé åõèåßá.Äéáêñßíïõìå ôéò åîÞò ðåñéðôþóåéò:

1ç ðåñßðôùóç

¸óôù á = 0 êáé â ≠ 0.Ôüôå ç (1) ãßíåôáé: 0x +ây = ã ⇔ ây = ã ⇔ y =

ã â

taexeiola.blogspot.com

Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

Βήµα 1 ο

ðïõ ðáñéóôÜíåé åõèåßá ðáñÜëëçëç óôïí x´x êáé äéÝñ÷åôáé áðï ôï óçìåßï Á(0,

73.

ã ) â

2ç ðåñßðôùóç ¸óôù á ≠ 0 êáé â = 0. Ôüôå ç (1) ãßíåôáé: ã ðïõ ðáñéóôÜíåé åõèåßá ðáñÜëëçëç óôïí y´y êáé áx + 0y = ã ⇔ áx = ã ⇔ x = á

ã äéÝñ÷åôáé áðü ôï óçìåßï Á( , 0) á

3ç ðåñßðôùóç ¸óôù á ≠ 0 êáé â ≠ 0 ôüôå áðï (1) Ý÷ïõìå: ây = –áx + ã ⇔ y = -

ã á x+ ðïõ ðáñéóôÜíåé åõèåßá. â â

Θεωρία Èåùñßá 80. 2 á) Ôß ïíïìÜæïõìå óýóôçìá äýï ãñáììéêþí åîéóþóåùí ìå äýï áãíþóôïõò; â) Ôß ïíïìÜæïõìå ëýóç åíüò óõóôÞìáôïò êáé ôß åðßëõóç åíüò óõóôÞìáôïò; ã) Ðþò åñìçíåýåôáé ãåùìåôñéêÜ ç ìïíáäéêÞ ëýóç ãñáììéêïý óõóôÞìáôïò äýï åîéóþóåùí; ä) Ôß óçìáßíåé êÜíïõìå åðáëÞèåóç ôïõ óõóôÞìáôïò; å) Ìå ðïéåò ìåèüäïõò ìðïñåß íá ëõèåß Ýíá óýóôçìá äýï ãñáììéêþí åîéóþóåùí ìå äýï áãíþóôïõò; ÁðÜíôçóç: á) Óýóôçìá äýï ãñáììéêþí åîéóþóåùí ìå äýï áãíþóôïõò ïíïìÜæåôáé êÜèå óýóôçìá

á1x + â1 y = ã1 á 2 x + â 2 y = ã 2

ôçò ìïñöÞò: 

â) Ëýóç åíüò óõóôÞìáôïò ïíïìÜæåôáé êÜèå æåýãïò (x,y) ðñáãìáôéêþí áñéèìþí ðïõ åðáëçèåýåé êáé ôéò äýï åîéóþóåéò ôïõ óõóôÞìáôïò. Åðßëõóç åíüò óõóôÞìáôïò ïíïìÜæåôáé ç äéáäéêáóßá åýñåóçò ôïõ óõíüëïõ ôùí ëýóåùí ôïõ óõóôÞìáôïò ã) Ç ìïíáäéêÞ ëýóç åíüò ãñáììéêïý óõóôÞìáôïò äýï åîéóþóåùí ìå äýï áãíþóôïõò åßíáé ôï óçìåßï ôïìÞò ôùí äýï åõèåéþí ðïõ ðáñéóôÜíïõí ïé äýï åîéóþóåéò ôïõ óõóôÞìáôïò. ä) ÊÜíïõìå åðáëÞèåõóç ôïõ óõóôÞìáôïò óçìáßíåé üôé åëÝã÷ïõìå áí ïé ëýóåéò ôïõ óõóôÞìáôïò ðïõ âñÞêáìå åðáëçèåýïõí ôéò áñ÷éêÝò åîéóþóåéò ôïõ óõóôÞìáôïò. å) Ìðïñåß íá ëõèåß ìå ôéò åîÞò ìåèüäïõò: 1) ÌÝèïäïò ôçò áíôéêáôÜóôáóçò (ãíùóôÞ áðü ôï ÃõìíÜóéï). 2) ÌÝèïäïò ôùí áíôßèåôùí óõíôåëåóôþí Þ ôçò áðáëïéöÞò (ãíùóôÞ áðï ôï ÃõìíÜóéï). 3) ÌÝèïäïò ôçò óýãêñéóçò (äåí áíáöÝñåôáé óôï ó÷ïëéêü âéâëßï). 4) ÌÝèïäïò ôùí ïñéæïõóþí Þ ìÝèïäïò Cramer (èá ôç äïýìå ðáñáêÜôù).

taexeiola.blogspot.com

74.

Βήµα 1 ο

Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

Θεωρία 81.3 Èåùñßá á) Ðüôå Ýíá óýóôçìá ëÝãåôáé áäýíáôï êáé ðþò åñìçíåýåôáé ãåùìåôñéêÜ; â) Ðüôå Ýíá óýóôçìá Ý÷åé Üðåéñåò ëýóåéò (Þ åßíáé áüñéóôï) êáé ðþò åñìçíåýåôáé ãåùìåôñéêÜ;

ÁðÜíôçóç: á) ¸íá óýóôçìá ëÝãåôáé áäýíáôï üôáí äåí õðÜñ÷ïõí ôéìÝò ôùí x,y ðïõ íá ôï åðáëçèåýïõí. ¼ôáí Ýíá óýóôçìá åßíáé áäýíáôï ãåùìåôñéêÜ óçìáßíåé üôé ïé äýï åõèåßåò ðïõ ðáñéóôÜíïõí ïé äýï åîéóþóåéò ôïõ óõóôÞìáôïò åßíáé ìåôáîý ôïõò ðáñÜëëçëåò. (Ó÷Þìá 1) â) ËÝìå üôé Ýíá óýóôçìá Ý÷åé Üðåéñåò ëýóåéò (Þ áëëéþò üôé åßíáé áüñéóôï) üôáí õðÜñ÷ïõí Üðåéñá æåýãç (x,y) ðïõ ôï åðáëçèåýïõí. ¼ôáí Ýíá óýóôçìá Ý÷åé Üðåéñåò ëýóåéò (äçë. åßíáé áüñéóôï) ãåùìåôñéêÜ óçìáßíåé üôé ïé äýï åõèåßåò ðïõ ðáñéóôÜíïõí ïé äýï åîéóþóåéò ôïõ óõóôÞìáôïò óõìðßðôïõí. (Ó÷Þìá 2)

y

0

y

0

å1

å2

x Ó÷Þìá 1

å1 =å

x Ó÷Þìá 2

Θεωρία 82.4 Èåùñßá á) Ðüôå äýï óõóôÞìáôá ëÝãïíôáé éóïäýíáìá; â) Ìå ðïéïõò óõíÞèùò ôñüðïõò ãßíåôáé ç ìåôáôñïðÞ åíüò óõóôÞìáôïò óå éóïäýíáìü ôïõ; ã) ¼ôáí Ý÷ïõìå äýï åîéóþóåéò (å1) êáé (å2) ôß ïíïìÜæïõìå ãñáììéêü óõíäõáóìü ôùí åîéóþóåùí (å1) êáé (å2); ÁðÜíôçóç: á) Äýï óõóôÞìáôá ëÝãïíôáé éóïäýíáìá üôáí Ý÷ïõí áêñéâþò ôéò ßäéåò ëýóåéò. â) Ç ìåôáôñïðÞ åíüò óõóôÞìáôïò óå éóïäýíáìï ôïõ ãßíåôáé óõíÞèùò ìå Ýíáí áðü ôïõò äýï ðáñáêÜôù ôñüðïõò. 1ïò ôñüðïò: Ëýíïõìå ôç ìßá åîßóùóç ôïõ óõóôÞìáôïò ùò ðñïò Ýíáí Üãíùóôï êáé ôïí áíôéêáèéóôïýìå óôçí Üëëç åîßóùóç. 2ïò ôñüðïò: Áíôéêáèéóôïýìå ìßá áðü ôéò åîéóþóåéò (å1) Þ (å2) ôïõ óõóôÞìáôïò ð.÷. ôçí (å1) ìå ôçí åîßóùóç ë1å1 + ë2 å2 ðïõ ðñïêýðôåé, áí óôá ìÝëç ôçò (å1) ðïëëáðëáóéáóìÝíá ìå ë1 ≠ 0 ðñïóèÝóïõìå ôá ìÝëç ôçò (å2) ðïëëáðëáóéáóìÝíá ìå ë2. ã) Ç åîßóùóç ë1å1 +ë2 å2 , ëÝãåôáé ãñáììéêüò óõíäõáóìüò ôùí åîéóþóåùí (å1) êáé (å2).

taexeiola.blogspot.com

Βήµα 2 ο

Επαναλαµβάνουµε τις ασκήσεις “κλειδιά”

ÅðáíáëáìâÜíïõìå ôéò áóêÞóåéò "êëåéäéÜ"

ÂÞìá 2 ÂÞìá 1

Από το σχολικό βιβλίο: ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ σελ. 103-104: Α΄ Οµάδα: Β΄ Οµάδα:

3, 5, 6, 8 1

σελ. 108-109: Α΄ Οµάδα:

2, 3, 4, 5

Β΄ Οµάδα:

2, 3, 4, 5

σελ. 113-114: Α΄ Οµάδα:

1, 2, 3, 4

Β΄ Οµάδα:

1, 2, 3, 4

Από το βιβλίο: ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚ∆ΟΣΕΙΣ “ΟΡΟΣΗΜΟ” Ενότητα ∆:

Ασκήσεις:

207, 212, 218, 220, 226, 228

75.

taexeiola.blogspot.com

76.

Βήµα 3 ο

ÂÞìá 3 ÂÞìá 2 ÂÞìá 1

1. Αν η εξίσωση (4λ2 − 9 ) x = 2λ − 3

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

Ëýíïõìå ðåñéóóüôåñåò áóêÞóåéò

(ε) είναι ταυτότητα δείξτε ότι το σύστη-

 λx + y = 1 µα  έχει άπειρες λύσεις τις οποίες και να βρείτε.  3x + 2y = 2 Λύση:

3  2 9  λ = λ=±  4λ2 − 9 = 0   4⇔ 2⇔λ=3 ⇔ Η (ε) είναι ταυτότητα άρα:   2 2λ − 3 = 0 λ = 3 λ = 3 2 2  

Οπότε το συστηµα (σ) γίνεται:

3 3x + 2y = 2 2 − 2y  x + y =1 ⇔ ⇔ {3x + 2y = 2 ⇔ x = 2 3 3x + 2y = 2 3x + 2y = 2  2 − 2y  , y  µε y ∈ » . Άρα έχει απειρία λύσεων: (x, y) =   3 

{

2. Αν

x − 3y + 1 + 2x + y − 5 = 0 βρείτε τα x, y ∈ R .

Λύση: Επειδή α ≥ 0 για κάθε α ∈ » η ισότητα x − 3y + 1 + 2x + y − 5 = 0 δίνει:

 x − 3y + 1 = 0  x − 3y = −1  −2x + 6y = 2 7y = 7 y = 1      ⇔ ⇔ ⇔  και ⇔  και και και και  2x + y − 5 = 0 2x + y = 5 2x + y = 5  y = 5 − 2x x = 2     

3. Αν οι αριθµοί 3 και 1 είναι ρίζες της εξίσωσης (ε) βρείτε τους κ, λ ∈ »

κx2 − 3λx + κ − 1 = 0

taexeiola.blogspot.com

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

Βήµα 3 ο

77.

Λύση: • Το 1 είναι ρίζα της (ε) άρα: • Το 3 είναι ρίζα της (ε) άρα: • Λύνουµε το σύστηµα:

κ − 3λ + κ − 1 = 0 ⇔ 2κ − 3λ = 1 9κ − 9λ + κ − 1 = 0 ⇔ 10κ − 9λ = 1

1  κ=− 4κ = −2 2κ − 3λ = 1 −6κ + 9λ = −3   2 ⇔ ⇔ 2κ − 1 ⇔   10κ − 9λ = 1 10κ − 9λ = 1 λ = 3 λ = − 2  3

4. Αν το σύστηµα  2αx − 3y = β − 5 έχει λύση την (x, y) = (1, 2) βρείτε τα α,β ∈ » .  3x + αy = 5β

Λύση: Το (x,y) = (1,2) είναι λύση του συστήµατος άρα:

−4β = −4 2α − 6 = β − 5 2α − β = 1 −2α + β = −1  β = 1 ⇔ ⇔ ⇔  β +1 ⇔  3 + 2α = 5β 2α − 5β = −3 2α − 5β = −3 α = 1 α = 2

5. Αν τα συστήµατα: 2x + 3y = 8

2αx + 3βy = 6 (σ1 ) και  (σ2 ) έχουν κοινή λύση, αx − 5βy = 3 2x − 5y = −8

βρείτε τα α, β. Λύση: 2x 0 + 3y 0 = 8  αx 0 − 5βy 0 = 3 Έστω (x0 ,y0 ) η κοινή λύση των σ 1 ,σ 2 τότε ισχύουν:  2αx 0 + 3βy0 = 6 2x 0 − 5y 0 = −8

Oπότε λύνοντας το σύστηµα: 8y 0 = 16 2x 0 + 3y0 = 8 2x 0 + 3y 0 = 8  y0 = 2  ⇔ ⇔  8 − 3y 0 ⇔  2x 0 − 5y 0 = −8  −2x 0 + 5y 0 = 8  x 0 = x 0 = 1 2 

βρήκαµε την µοναδική λύση των συστηµάτων σ 1 ,σ 2 που είναι η (x 0 ,y 0 ) = (1,2) οπότε οι άλλες δύο εξισώσεις δίνουν:

taexeiola.blogspot.com

78.

Βήµα 3 ο

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

α − 10β = 3  −2α + 20β = −6  26β = 0 β = 0 ⇔ ⇔ ⇔   2α + 6β = 6  2α + 6β = 6 α = 3 + 10β α = 3

6. Λύστε το σύστηµα: Λύση:

 2 x − 1 + y + 2 = 4   2 x − 1 + 3 y + 2 = 10

Θέτω x − 1 = ω, y + 2 = ρ οπότε το σύστηµα γίνεται: 2ρ = 6 ρ = 3 2ω + ρ = 4 −2ω − ρ = −4   ⇔ ⇔  4−ρ ⇔  1 2ω + 3ρ = 10 2ω + 3ρ = 10 ω = 2 ω = 2 1 και y + 2 = 3 Οπότε: x − 1 = 2 1 1 x − 1 = ή x − 1 = − και y + 2 = 3 ή y + 2 = -3 2 2

3 1 ή x = και y = 1 ή y = −5 2 2 Άρα οι λύσεις του συστήµατος είναι οι: 3  3  1  1  (x, y) =  ,1 , (x, y) =  . − 5  , (x, y) =  ,1 , (x, y) =  , −5  2  2  2  2  x=

7. Ένα σώµα εκτελεί ευθύγραµµη κίνηση και το διάστηµα S σε m που διανύει σε κάθε χρονική στιγµή t σε sec δίνεται από την συνάρτηση S(t) = αt 2 + βt . i. Αν σε χρόνο 5sec το σώµα έχει διανύσει 40m ενώ σε χρόνο 7sec έχει διανύσει 70m βρείτε τους α,β ∈ » . ii. Ποια χρονική στιγµή το σώµα θα έχει διανύσει 10m; Λύση:  25α + 5β = 40 5α + β = 8  −2α = −2 α = 1 i. Ισχύουν  ⇔ ⇔ ⇔  49α + 7β = 70  −7α − β = −10 β = 8 − 5α β = 3

∆ηλαδή S(t ) = t 2 + 3t ii. Λύνουµε την εξίσωση: −3 ± 49 −3 ± 7 ⇔t= ⇔ t = 2 ή t = −5 . 2 2 ∆ηλαδή σε 2 sec το σώµα θα έχει διανύσει 10m. S(t ) = 10 ⇔ t 3 + 3t − 10 ⇔ t =

taexeiola.blogspot.com

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

Βήµα 3 ο

79.

8. Μια οµάδα µαθητών έγραψε σ’ένα µάθηµα διαγώνισµα που έχει 20 ερωτήσεις. Για κάθε σωστή απάντηση ο µαθητής έπαιρνε 5 µονάδες ενώ για κάθε λάθος απάντηση έχανε 3 µονάδες. Ένας µαθητής έγραψε 52 µονάδες σ’αυτό το διαγώνισµα. Βρείτε πόσες απαντήσεις του ήταν σωστές και πόσες λάθος. Λύση: Έστω, x ο αριθµός των σωστών απαντήσεων και y ο αριθµός των λανθασµένων και • 5x − 3y = 52 απαντήσεων, τότε: • x + y = 20 Λύνουµε τώρα το (σ):  x + y = 20 3x + 3y = 60 8x = 112  x = 14 ⇔ ⇔ ⇔  5x − 3y = 52 5x − 3y = 52  y = 20 − x y = 6

9. Πρίν 16 χρόνια ο Α είχε διπλάσια ηλικία από την ηλικία του Β. Μετά από 11 χρόνια ο Β θα έχει 4/5 της ηλικίας του Α. Βρείτε τις ηλικίες τους σήµερα. Λύση: Έστω x η ηλικία του Α σήµερα και y η ηλικία του Β σήµερα, τότε: • οι ηλικίες των Α,Β πριν από 16 χρόνια είναι x − 16 και y − 16 αντίστοιχα οπότε: x − 16 = 2(y − 16) ⇔ x − 16 = 2y − 32 ⇔ x − 2y = −16 • οι ηλικίες των Α, Β µετά από 11 χρόνια είναι x + 11, y + 11 αντίστοιχα οπότε:

4 y + 11 = (x + 11) ⇔ 5(y + 11) = 4(x + 11) ⇔ 5y + 55 = 4x + 44 ⇔ −4x + 5x = −11 5 Λύνoυµε τώρα το σύστηµα:  x − 2y = −16 4x − 8y = −64  −3y = −75  y = 25 ⇔ ⇔ ⇔   −4x + 5y = −11  −4x + 5y = −11  x = 2y − 16  x = 50 − 16 = 34

10. Οι µαθητές Α και Β ρωτούν τον καθηγητή στο τέλος του 2ου τετράµηνου πόσες απουσίες έχουν και εκείνος απαντά: Ο λόγος των απουσιών του Α προς τις απουσίες του Β είναι 4/7 ενώ χωρίς τις τελευταίες 9 απουσίες είναι ίσος µε 1/2. i. Βρείτε τις απουσίες των Α, Β. ii. Πόσες πρέπει να δικαιολογήσουν αν το όριο είναι 50. Λύση: Έστω x οι απουσίες του Α και y του Β τότε: •

x 4 = ⇔ 7x = 4y ⇔ 7x − 4y = 0 y 7

taexeiola.blogspot.com

Βήµα 3 ο

80.

•

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

x −9 1 = ⇔ 2x − 18 = y − 9 ⇔ 2x − y = 9 y−9 2

7x − 4y = 0 7x − 4y = 0  − x = −36  x = 36 ⇔ ⇔ ⇔ • Λύνουµε το σύστηµα:  2x − y = 9  −8x + 4y = −36  y = 2x − 9  y = 63

Άρα ο µαθητής Β πρέπει να δικαιολογήσει 63 – 50=13 απουσίες. 2x + κy = 4 (σ)  2 κx + 2y = κ β. Αν (x 0 ,y 0 ) η µοναδική λύση του (σ) βρείτε το κ εφόσον ισχύει x 0 + 2y 0 = 1 Λύση:

11. α. Λύστε και διερεύνηστε το σύστηµα:

α. Βρίσκουµε τις ορίζουσες: D,D x ,D y D=

2 κ

Dx =

Dy =

κ = 4 − κ 2 = − ( κ 2 − 4 ) = −(κ + 2)(κ − 2) 2

4 κ

κ 2

2

2

4

κ

κ2

= 8 − κ 3 = − ( κ 3 − 8 ) = −(κ − 2)(κ 2 + 2κ + 4) = 2κ 2 − 4κ = 2κ ( κ − 2 )

Αν κ ≠ −2,2 τότε D ≠ 0 και το (σ) έχει µοναδική λύση την:

 D D y   −(κ − 2) (κ 2 + 2κ + 4) 2κ (κ − 2)  = (x, y) =  x ,  =  ,  D D  −(κ + 2)(κ − 2) −(κ + 2)(κ − 2)   κ 2 + 2κ + 4 −2κ  ,   κ+2 κ + 2

2x + 2y = 4 ⇔ {x + y = 2 ⇔ {x = 2 − y Αν κ = 2 τότε D=0 και το (σ) γίνεται:  2x + 2y = 4 Άρα το (σ) έχει απειρία λύσεων την (x, y) = (2 − y, y) µε y ∈ »

Αν κ = −2 τότε D = 0 και το (σ) γίνεται: 2x − 2y = 4 x − y = 2 ⇔  άρα είναι αδύνατο.  −2x + 2y = 4  x − y = −2

taexeiola.blogspot.com

Βήµα 3 ο

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

81.

β. Λύνουµε την εξίσωση: x0 + 2y0 = 1 −2κ κ 2 + 2κ + 4 +2 = 1 ⇔ κ 2 + 2κ + 4 − 4κ = κ + 2 ⇔ κ 2 − 3κ + 2 = 0 κ +2 κ +2 3 ±1 −( −3) ± 1 ⇔κ= ⇔κ=2 ή 2 2

κ=

κ = 1. (Η κ = 2 απορρίπτεται)

12. Λύστε και διευρευνήστε το σύστηµα:

(λ + 2) x + 7(λ − 3)y = 35 (σ)  x + (λ − 3)y = λ 

Λύση: Βρίσκουµε τα D,D x ,D y D=

λ + 2 7(λ − 3) = (λ + 2)(λ − 3) − 7(λ − 3) = (λ − 3)(λ + 2 − 7) = (λ − 3)(λ − 5) 1 λ −3

Dx = Dy =

35 λ

7(λ − 3) = 35(λ − 3) − 7λ(λ − 3) = 7(λ − 3)(5 − λ) = −7(λ − 3)(λ − 5) λ −3

λ + 2 35 1

λ

= λ(λ + 2) − 35 = λ2 + 2λ − 35 = (λ − 5)(λ + 7)

Αν λ ≠ 3,5 τότε D ≠ 0 και το (σ) έχει µοναδική λύση την:

 D Dy (x, y) =  x ,  D D

  −7(λ − 3)(λ − 5) (λ − 5)(λ + 7)   λ +7 , =  −7, =   λ −3    (λ − 3)(λ − 5) (λ − 3)(λ − 5)  

Αν λ = 3 τότε D= 0 και το (σ) γίνεται: 5x + 0y = 35  x + 0y = 7 ⇔  άρα είναι αδύνατο.  x + 0y = 3  x + 0y = 3

Αν λ = 5 τότε D=0 και το (σ) γίνεται: 7x + 14y = 35  x + 2y = 5 ⇔ ⇔ {x + 2y = 5 ⇔ {x = 5 − 2y   x + 2y = 5  x + 2y = 5

Άρα το (σ) έχει απειρία λύσεων την (x, y) = (5 − 2y, y) µε y ∈ » .

taexeiola.blogspot.com

Βήµα 3 ο

82.

13.

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

∆ίνεται ένα 2× ×2 γραµµικό σύστηµα µε άγνωστους x,y για το οποίο ισχύει:

2Dx + D y = 4D  Dx − 3D y = −5D . Να βρείτε τη µοναδική λύση, αν γνωρίζετε ότι υπάρχει. Λύση: D D  • Το (σ) έχει µοναδική λύση, άρα D ≠ 0 και (x, y) =  x , y  η µοναδική λύση του.  D D

 Dx Dy 2 + =4 2D x + D y = 4D 2x + y = 4  D D • Ισχύει:  ⇔ ⇔ ⇔  x − 3y = −5  D x − 3 D y = −5 D x − 3D y = −5D  D D  2x + y = 4 7y = 14 y = 2 ⇔ ⇔   −2x + 6y = 10  x = 3y − 5 x = 1

14. ∆ίνεται ένα γραµµικό 2××2 σύστηµα µε άγνωστους x,y που έχει µοναδική λύση ενώ ακόµα ισχύει, Dx − Dy − 3D + 2Dx + 3Dy + 4D = 0 . Να βρεθεί η µοναδική λύση του γραµµικού συστήµατος Λύση:  D Dy  • Το (σ) έχει µοναδική λύση άρα D ≠ 0 και (x, y) =  x ,  η µοναδική λύση του.  D D   D x − D y − 3D = 0 • Ισχύει: D x − D y − 3D + 2D x + 3D y + 4D = 0 ⇔  ⇔  2D x + 3D y + 4D = 0  Dx Dy − =3  D x − D y − 3D = 0 x − y = 3  D D ⇔ ⇔ ⇔   2D x + 3D y = −4D 2 D x + 3 D y = −4 2x + 3y = −4  D D  −2x + 2y = −6 5y = −10  y = −2 ⇔ ⇔   2x + 3y = −4 x = y + 3 x = 1

15. ∆ίνεται ένα γραµµικό 2××2 σύστηµα µε άγνωστους x,y που έχει µοναδική λύση και για το οποίο ισχύουν 2x + y = 18 και D 2x + D 2y = 2D x D y .

taexeiola.blogspot.com

Βήµα 3 ο

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

83.

Λύση:  D Dy  • Το (σ) έχει µοναδική λύση άρα D ≠ 0 και (x,y) =  x ,  η µοναδική λύση του.  D D 

• Ισχύει:

D 2x + D 2y = 2D x D y ⇔ D 2x + D 2y − 2D x D y = 0 ⇔

(D

−Dy ) = 0 ⇔ Dx −Dy = 0 ⇔ 2

x

• Λύνουµε τώρα το (σ):

16.

Dx Dy − =0⇔ x−y =0 D D

2x + y = 18 3x = 18 x = 6 ⇔ ⇔  x − y = 0 y = x y = 6

1 1 x + y = 9  1 1 Λύστε το σύστηµα:  + = 15 y z 1 1  + = 12 z x

Λύση: Προσθέτουµε κατά µέλη και τις τρείς εξισώσεις του συστήµατος και έχουµε: 1 1 1 1 1 1 2  + +  = 36 ⇔ + + = 18 x y z x y z

(σ)

1. Από την (σ) αφαιρούµε κατά µέλη την 1η εξίσωση του συστήµατος και έχουµε:

1 1 1 1 1 1 1 + + − − = 18 − 9 ⇔ = 9 ⇔ 1 = 9z ⇔ z = x y z x y z 9 2. Από την (σ) αφαιρούµε κατά µέλη την 2η εξίσωση του συστήµατος και έχουµε: 1 1 1 1 1 1 1 + + − − = 18 − 15 ⇔ = 3 ⇔ 1 = 3x ⇔ x = x 3 x y z y z 3. Από την (σ) αφαιρούµε κατά µέλη την 3η εξίσωση του συστήµατος και έχουµε:

1 1 1 1 1 1 1 + + − − = 18 − 12 ⇔ = 6 ⇔ 1 = 6y ⇔ y = x y z z x y 6 1 1 1 Άρα ( x, y, z ) =  , ,  είναι η λύση του συστήµατος. 3 6 9

taexeiola.blogspot.com

84.

Βήµα 4 ο

ÂÞìá 4 ÂÞìá 3 ÂÞìá 2 ÂÞìá 1

Λύνουµε µόνοι µας

Ëýíïõìå ìüíïé ìáò

1. Αν ο Μέγας Αλέξανδρος πέθαινε 9 χρόνια νωρίτερα, τότε ο χρόνος της βασιλείας του θα ήταν ίσος µε το 1/8 του χρόνου της ζωής του. Αν όµως πέθαινε 9 χρόνια αργότερα και εξακολουθούσε να βασιλεύει, τότε ο χρόνος της βασιλείας του θα ήταν ίσος µε το 1/2 του χρόνου της ζωής του. Να βρείτε πόσα χρόνια έζησε ο Μέγας Αλέξανδρος και πόσα βασίλεψε. ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

2. ∆ύο φίλοι Α και Β συζητούν για την ηλικίας τους. Ο Α λέει: Το διπλάσιο της ηλικίας µου µαζί µε το δικό σου µας δίνουν 50 χρόνια. Ο Β λέει: Το τριπλάσιο της ηλικίας µου ισούται µε το διπλάσιο της ηλικίας σου αυξήµενο κατά 5. Βρείτε τις ηλικίες τους. ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

taexeiola.blogspot.com

Λύνουµε µόνοι µας

Βήµα 4 ο

85.

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

3.

Σε ένα ορθογώνιο η περίµετρος του είναι 26m. Αν η διάσταση του αυξηθεί κατά 2m ενώ η άλλη ελαττωθεί κατά 2m τότε το εµβαδόν του θα αυξηθεί κατά 2m2. Βρείτε τις διαστάσεις του. ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

4. ∆ύο τετράγωνα µε κέντρο Ο βρίσκονται το ένα µέσα στο άλλο. Η διαφορά των περιµέτρων τους είναι 40m. Το εµβαδόν της επιφάνειας µεταξύ των δύο τετραγώνων είναι ίσο µε 500m2. Βρείτε το εµβαδόν κάθε τετραγώνου. ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

5. Στο διπλανό σχήµα η περίµετρος του ορθογωνίου είναι 36cm και τα µήκη x, y, z είναι ανάλογα προς τους αριθµούς 4, 2, 3: i. Βρείτε x, y, z, ii. Βρείτε το εµβαδόν του τριγώνου Κ∆Γ. ................................................................................

taexeiola.blogspot.com

86.

Βήµα 4 ο

Λύνουµε µόνοι µας

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

6. ∆ύο θετικοί ακέραιοι έχουν άθροισµα 87. Αν προσθέσουµε το 12 σε κάθε έναν απ’αυτους, ο ένας γίνεται διπλάσιος του άλλου. Βρείτε τους αριθµούς. ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

7. Ηµίονος και όνος βαδίζουν φορτωµένοι σακιά. Ο όνος στενάζει από το βάρος και ο ηµίονος του λέει: Τι κάνεις έτσι; Αν µου έδινες 1 από τα σακιά θα είχα στην πλάτη µου τα διπλά από σένα ενώ αν έπαιρνες 1 από τα δικά µου θα είχαµε και οι δύο τα ίδια. Πόσα σακιά είχε το καθένα ζώο; ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

taexeiola.blogspot.com

Βήµα 4 ο

Λύνουµε µόνοι µας

87.

8. Μια άδεια δεξαµενή έχει όγκο 2m . Μια αντλία παροχής νερού αρχίζει να 3

την γεµίζει µε ρυθµό 20lt min . α. Να εκφράσετε τον όγκο V του νερού στην δεξαµενή συναρτήσει του χρόνου t (σε min). β. Βρείτε σε ποια χρονική στιγµή θα γεµίσει η δεξαµενή γ. Βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης V. δ. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της V. ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

9. Σε µια κάλπη βρίσκονται 100 ψηφοδέλτια δυο κοµµάτων Α και Β. Αν προστεθούν στην κάλπη 3 ψηφοδέλτια του Α και 2 του Β τότε τα ψηφοδέλτια του Α είναι διπλάσια των ψηφοδελτίων του Β. Πόσα ψηφοδέλτια κάθε κόµµατος υπήρχαν αρχικά στην κάλπη; ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

10. Σε ένα γκαράζ υπάρχουν συνολικά 50 οχήµατα, αυτοκίνητα και ποδήλατα. Αν όλα τα οχήµατα έχουν 164 ρόδες πόσα αυτοκίνητα και πόσα ποδήλατα υπάρχουν στο γκαράζ;

taexeiola.blogspot.com

88.

Βήµα 4 ο

Λύνουµε µόνοι µας

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

11. ∆ίνονται τα σηµεία A(1,3), B(–2,–3) και Γ(λ–1,5). Βρείτε το λ ώστε τα Α, Β, Γ να είναι συνευθειακά. ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

12. ∆ύο κινητά κινούνται ευθύγραµµα στο επίπεδο το πρώτο από το σηµείο Α(1,5) προς το σηµείο Β(–1,1) και το δεύτερο από το σηµείο Γ(0,–1) προς το σηµείο ∆(2,1). Βρείτε το κοινό σηµείο της διαδροµής τους. ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

taexeiola.blogspot.com

Βήµα 4 ο

Λύνουµε µόνοι µας

13. α. Λύστε και διερευνήστε το σύστηµα:

89.

y − 2 = − λx (σ)  x − 2λ = − y

β. Αν (x0,y0) η µοναδική λύση του συστήµατος βρείτε το λ εφόσον ισχύει y 0 ≤ x 0 ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

14. α. Λύστε και διερευνήστε το σύστηµα

λx + y = 2 (σ)  x + λy = 2λ

β. Αν (x0,y0) η µοναδική λύση του (σ) λύστε την ανίσωση

y 0κ − 1 >1 κ − 2 + x0

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

15. ∆ίνεται ένα γραµµικό 2×× 2

σύστηµα µε άγνωστους x,y ώστε:

D − 2 + D x + 8 + 2Dy − 8 = 0 . Να λυθεί το σύστηµα. ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

taexeiola.blogspot.com

90.

Βήµα 4 ο

Λύνουµε µόνοι µας

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

16. Αν για ένα γραµµικό 2×× 2

σύστηµα µε άγνωστους x,y ισχύει:

D 2 + D 2x + D 2y + 17 = 2 ( D − 4D x ) . Να λύσετε το σύστηµα.

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

17. Αν η εξίσωση

κ(x − 2) + λ(x + 1) = 3x είναι ταυτότητα και για το γραµµι-

κό 2× × 2 σύστηµα ισχύει: D 2 + D x2 + D y2 − λD x + 4κD = κ 2 + λ2 − 10 . Να λύσετε το σύστηµα. ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

taexeiola.blogspot.com

Λύνουµε µόνοι µας

Βήµα 4 ο

91.

18. To

άθροισµα των ψηφίων ενός τριψήφιου αριθµού είναι 6 και το ψηφίων των µονάδων είναι 0. Αν αλλάξουµε τη θέση των ψηφίων των εκατοντάδων και των δεκάδων του αριθµού, προκύπτει αριθµός κατά 180 µεγαλύτερος. Να βρεθεί ο τριψήφιος αριθµός.

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

taexeiola.blogspot.com

92.

Βήµα 5 ο

ÂÞìá 5 ÂÞìá 4 ÂÞìá 3 ÂÞìá 2 ÂÞìá 1

Ελέγχουµε τη γνώση µας

ÅëÝã÷ïõìå ôç ãíþóç ìáò

ΘΕΜΑ 1ο Απαντήστε µε (Σ) αν είναι σωστό και µε (Λ) αν είναι λάθος τα παρακάτω αιτιολογώντας τις απαντήσεις σας. α) Η εξίσωση (λ - 2)x + (λ +3)y = 5 παριστάνει πάντα ευθεία. 3x + 5y 2 = 1   είναι γραµµικό. 4 x + 5y = 7 γ) Ένα σύστηµα δύο γραµµικών εξισώσεων µε δύο αγνώστους µπορεί να έχει ακριβώς δύο λύσεις. ............................................................................................................................

β) Το σύστηµα

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

ΘΕΜΑ 2ο Επιλέξτε τη σωστή απάντηση αιτιολογώντας την άποψή σας. α) Η παράσταση Α = x − 2 + 2x + 3y − 2 γίνεται ελάχιστη όταν: 2 Α) x = 2 και y = 4 Β) x = -2 και y = 1 Γ) x = 2 και y = 3

taexeiola.blogspot.com

Βήµα 5 ο

Ελέγχουµε τη γνώση µας

93.

β) Αν οι ευθείες y = 3x + 1, y = -2x +k τέµνονται στο σηµείο Α(-1,-2) τότε το k είναι ίσο: Α) k = 4, B) k = -3, Γ) k = 5, ∆) k = -4 ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ΘΕΜΑ 3ο α. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία Α(-2,3) και Β(5,-1). β. Να βρείτε της εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία 2  Α(–1, –5) και Β(2, 4). Αν το σηµείο M  , λ 2 - 3  ανήκει στην ευθεία 3  που βρήκατε να προσδιορίσετε την τιµή του πραγµατικού αριθµού λ. ............................................................................................................................

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

taexeiola.blogspot.com

94.

Βήµα 5 ο

Ελέγχουµε τη γνώση µας

ΘΕΜΑ 4ο α.Ποιο σύστηµα παριστάνουν οι ευθείες ε1 και ε2; β. Αν για τις ρίζες ρ1, ρ2 της δευτερεύουσας εξίσωσης:

DW 2 − ( Dx + D y ) W + Dx − Dy = 0 µε D, Dx, Dy οι ορίζουσες ενός γραµµικού 2 × 2 συστήµατος µε άγνωστους x,y ισχύουν: ρ 1 ,ρ 2 = 3 και ρ12 + ρ 22 = 5 , λύστε το σύστηµα και µετά την εξίσωση.

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

taexeiola.blogspot.com

ÊåöÜëáéï 4ï ÌåëÝôç óõíÜñôçóçò

Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να γνωρίζει:

[ Αν µια συνάρτηση είναι άρτια ή αν είναι περιττή και να διαπιστώνει τις αντίστοιχες συµµετρίες στη γραφική παράσταση. [ Να βρίσκει τα διαστήµατα µονοτονίας απλών συναρτήσεων. [ Να βρίσκει τα ακρότατα απλών συναρτήσεων. [ Να µελετά τις συναρτήσεις f(x) = αx2 και f(x) = α/x, µε α ≠ 0 και να σχεδιάζει τις γραφικές τους παραστάσεις. Να = αx2 + βx + γ, α ≠ 0 γράφο[ παραγοντοποιεί ένα τριώνυµο f(x) ντάς το στη µορφή f(x) = α(x + β/2α)2 - ∆/4α και ανάλογα µε το πλήθος των ριζών του, σε µια από τις παρακάτω ακόλουθες µορφές: f(x)=α(x-ρ1 ) ( x-ρ2 ) f ( x ) =α ( x-ρ )

2

f ( x ) =α ( x+β/2α ) + ∆ /4α 2

και να τις χρησιµοποιεί όταν χρειάζεται (π.χ. εύρεση ακρότατων τριωνύµων, απλοποίηση κλασµατικών παραστάσεων κ.τ.λ.) Να [ παριστάνει γραφικά συναρτήσεις µορφής f(x)=φ ( x ) ± c . [ Να παριστάνει γραφικά συναρτήσεις µορφής f(x)=φ ( x ± c ) . [ Να κάνει τη µελέτη και τη γραφική παράσταση της f(x) = αx2 + βx + γ, α ≠ 0 [ Να επιλύει γραφικά την εξίσωση αx2 + βx + γ = 0, α ≠ 0 . [ Να αποδεικνύει τα συµπεράσµατα που αναφέρονται στο πρόσηµο τριωνύµου και να επιλύει ανισώσεις β΄ βαθµού χρησιµοποιώντας αυτά τα συµπεράσµατα. Να [ βρίσκει το πρόσηµο του πολυωνύµου f(x) = P1(x)·P2(x)...Pν(x) και να επιλύει ανισώσεις της µορφής: P1(x)·P2(x)...Pν(x) ≥ 0 και Ρ(x)/Q(x)≥ ή ≤ 0.

taexeiola.blogspot.com

96.

Βήµα 1 ο

ÂÞìá 1

Θεωρία 1 Θεωρία 1

Θεωρία 2

Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò

taexeiola.blogspot.com

Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

Θεωρία 3

Βήµα 1 ο

97.

taexeiola.blogspot.com

98.

Βήµα 1 ο

Θεωρία 4

Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

taexeiola.blogspot.com

Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

Θεωρία 5

Βήµα 1 ο

99.

taexeiola.blogspot.com

100.

Βήµα 2 ο

Επαναλαµβάνουµε τις ασκήσεις “κλειδιά”

ÅðáíáëáìâÜíïõìå ôéò áóêÞóåéò "êëåéäéÜ"

ÂÞìá 2 ÂÞìá 1

Από το σχολικό βιβλίο: ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ σελ. 92:

Α΄ Οµάδα:

σελ. 140-141: Α΄ Οµάδα: Β΄ Οµάδα: σελ. 151-152: Α΄ Οµάδα:

1, 3, 5, 6, 7, 9, 11 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12 1 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10

Από το βιβλίο: ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚ∆ΟΣΕΙΣ “ΟΡΟΣΗΜΟ” Ενότητα Ε:

Ασκήσεις:

282, 290, 293, 294, 296, 307, 309, 313, 320

taexeiola.blogspot.com

Βήµα 3 ο

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

101.

Ëýíïõìå ðåñéóóüôåñåò áóêÞóåéò

ÂÞìá 3 ÂÞìá 2 ÂÞìá 1

1. Λύστε τις εξισώσεις:α.

x2 − ( 2 + 1) x + 2 ( 2 − 1) = 0

β. x 2 − (3α + 4β)x + 2α 2 + 5αβ + 3β 2 = 0 γ. x 2 − (α + γ)x + α(β + γ) = β 2 + βγ Λύση: α. Βρίσκουµε την διακρίνουσα: ∆ = ( − ( 2 + 1)) − 4 ⋅ 2 ( 2 − 1) ⇔ ∆ = ( 2 + 1) − 8 ( 2 − 1) ⇔ 2

2

∆ = 2 + 12 + 2 2 − 8 2 + 8 ⇔ ∆ = 2 + 9 − 6 2 ⇔ ∆ = (3 − 2 ) 2

2

άρα η εξίσωση γίνεται: x =

2 + 1 ± (3 − 2 ) ⇔ x = 2 ή x = 2. 2

β. Βρίσκουµε την διακρίνουσα: ∆ = ( − (3α + 4β )) − 4 ( 2α 2 + 5αβ + 3β 2 ) ⇔ 2

∆ = (3α + 4β ) − 8α 2 − 20αβ − 12β 2 ⇔ 2

∆ = 9α 2 + 16β 2 + 24αβ − 8α 2 − 20αβ − 12β 2 ⇔ ∆ = α 2 + 4β 2 + 4αβ ⇔ ∆ = (α + 2β )

2

άρα η εξίσωση γίνεται:

− ( −(3α + 4β) ) ± (α + 2β)2 3α + 4β ± (α + 2β) x= ⇔x= 2 2 x = 2α + 3β ή x = α + 2β γ. Βρίσκουµε την διακρίνουσα:

∆ = ( −α(α + γ) ) − 4 (αβ + αγ − β 2 − βγ ) ⇔ 2

∆ = (α + β)2 − 4αβ − 4αγ + 4β 2 + 4βγ ⇔

2

taexeiola.blogspot.com

Βήµα 3 ο

102.

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

∆ = α 2 + γ 2 + 2αγ − 4αβ − 4αγ + 4β 2 + 4αβγ ⇔ ∆ = α 2 + γ 2 + 4β 2 − 4αβ + 4βγ − 2αγ ⇔ ∆ = (2β + γ − α) 2 άρα η εξίσωση γίνεται: x=

− ( −(α + γ) ) ± (2β + γ − α) 2 α + γ ± (2β + γ − α) ⇔x= ⇔ 2 2

x=

α + γ + 2β + γ − α α + γ − 2β − γ + α =β+γ ή x = = α −β 2 2

2. Αν λ ≠ 3 και η εξίσωση (λ − 3)x 2 − (λ + 2)x + 2λ + 1 = 0

έχει µια διπλή ρίζα

βρείτε το λ και µετά την διπλή ρίζα. Λύση: Αφού η εξίσωση έχει µια διπλή ρίζα έχει διακρίνουσα ∆ = 0 . ∆ηλαδή είναι

( −(λ + 2) )

2

− 4(λ − 3)(2λ + 1) = 0 ⇔ (λ + 2) 2 − 4(2λ2 + λ − 6λ − 3) = 0 ⇔

λ2 + 4 + 4λ + 8λ2 + 20λ + 12 = 0 ⇔ 9λ2 + 24λ + 16 = 0 ⇔ 4 (3λ + 4) 2 = 0 ⇔ 3λ + 4 = 0 ⇔ λ = − 3 Τότε η διπλή ρίζα της εξίσωσης είναι η: 4 2 − +2 (λ + 2) λ+2 1 3 = = = 3 =− x= 13 2(λ − 3) 2(λ − 3) 13  4  2 − − 3 2 − 3  3 

3.i. Αν α, γ ετερόσηµοι δείξτε ότι η εξίσωση

αx 2 + βx + γ = 0 έχει δυο ρίζες

άνισες, ii. ∆είξτε ότι η εξίσωση 2001x 2 − (2µ 5 + µ 4 + 3)x = µ 2 + 1 έχει δυο ρίζες άνισες. Λύση: −4αγ > 0   i. Αφού α, γ είναι ετερόσηµοι ισχύει αγ < 0 . Τότε και  και µε πρόσθεση κατά β 2 ≥ 0 

µέλη παίρνουµε: β 2 − 4αγ > 0 , δηλαδή η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι θετική. Αυτό σηµαίνει ότι η εξίσωση έχει δυο ρίζες άνισες.

taexeiola.blogspot.com

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

Βήµα 3 ο

103.

ii. Η εξίσωση γράφεται: 2001x 2 − (2µ 2 + µ 4 + 3)x − (µ 2 + 1) = 0 και έχει α = 2001 και γ = − (µ 2 + 1) < 0 , δηλαδή α, γ είναι ετερόσηµοι, άρα έχει δυο ρίζες άνισες.

4. Αν

2 ρ1 ,ρ 2 οι ρίζες της εξίσωσης x − 2x + λ − 1 = 0 βρείτε το λ έτσι ώστε να

ισχύει, 3ρ13 + 8ρ1ρ22 + 3ρ32 = 192 . Λύση: −2  ρ1 + ρ 2 = − 1 = 2 Ισχύουν:  ρ ρ = λ − 1 = λ − 1  1 2 1

Ακόµα ισχύει:

3 (ρ13 + ρ32 ) + 8ρ1ρ 22 + 8ρ12 ρ 2 = 192 3 3 (ρ1 + ρ 2 ) − 3ρ1ρ 2 (ρ1 + ρ 2 ) + 8ρ1ρ 2 (ρ1 + ρ 2 ) = 192

3 (ρ1 + ρ 2 ) − 9ρ2 ρ1 (ρ1 + ρ2 ) + 8ρ1ρ2 (ρ1 + ρ 2 ) = 192 3

3 (ρ1 + ρ 2 ) − ρ1ρ 2 (ρ1 + ρ 2 ) = 192 3

3 ⋅ 23 − (λ − 1)2 = 192 24 − 2λ + 2 = 192 −2λ = 166 ή λ = −83

x 2 + 6x + λ2 − 3λ + 7 = 0 της οποίας η µια ρίζα ισούται µε το διπλάσιο της άλλης αυξηµένο κατά 3. Βρείτε: i. τις ρίζες της εξίσωσης και ii. το λ. Λύση: i. Αν ρ η µια ρίζα της εξίσωσης η άλλη θα είναι 2ρ + 3 ,οπότε από τις σχέσεις Vieta έχουµε:

5. ∆ίνεται η εξίσωση

ρ + 2ρ + 3 = −

−6 ⇔ 3ρ + 3 = 6 ⇔ 3ρ = 3 ⇔ ρ = 1 1

Τότε 2ρ + 3 = 5 , δηλαδή οι ρίζες της εξίσωσης είναι το 1 και το 5. ii. Από τις σχέσεις Vieta έχουµε: 1·5 =

λ2 − 3λ + 7 ⇔ 5 = λ2 − 3λ + 7 ⇔ λ2 − 3λ + 2 = 0 ⇔ 1

taexeiola.blogspot.com

104.

Βήµα 3 ο

λ=

6. Αν

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

−( −3) ± 1 3 ±1 ⇔λ= ⇔ λ = 2 ή λ = 1. 2 2

2 ρ1 ,ρ 2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης x − 3x − 1 = 0 ,

α. Βρείτε τις τιµές των παραστάσεων κ =

ρ1 ρ 2 και λ = ρ14 ρ 2 + ρ42 ρ1 + ρ 2 ρ1

β. Σχηµατίστε εξίσωση 2ου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς κ και λ. Λύση: −3  ρ1 + ρ 2 = − 1 = 3 , οπότε α. Από τις σχέσεις Vieta έχουµε:  ρ ρ = −1 = −1  1 2 1

(ρ + ρ 2 ) − 2ρ1ρ2 ρ ρ ρ 2 + ρ 22 32 − 2(−1) ⇔κ= 1 ⇔κ= = −11 • κ= 1 + 2 ⇔κ= 1 ρ 2 ρ1 ρ1ρ 2 ρ1ρ 2 −1 2

• λ = ρ14 ρ 2 + ρ 24 ρ1 ⇔ λ = ρ1ρ 2 (ρ13 + ρ32 ) ⇔ 3 λ = ρ1ρ 2 (ρ1 + ρ 2 ) − 3ρ1ρ 2 (ρ1 + ρ 2 ) ⇔ λ = −1 33 − 3(−1)3 = −36

 κ + λ = −36 − 11 = −47 β. Ισχύουν:   κλ = ( −36)( −11) = 396 Άρα η ζητούµενη εξίσωση είναι η:

x 2 − (−47)x + 396 = 0

7. Λύστε τις εξισώσεις:

ή

x 2 + 47x + 396 = 0

α. (x − 1)2 + 2 x − 1 = 3

β. x 4 − 3x 2 − 4 = 0

γ. x − 7 x − 18 = 0

δ.

x+1 x 5 + = x x+1 2

2

α. Η (ε) γράφεται: x − 1 + 2 x − 1 − 3 = 0 και αν θέσουµε w = x − 1 γίνεται: −2 ± 16 −2 ± 4 ⇔w= ⇔ w =1 ή 2 2 x − 1 = 1 ή x − 1 = −3 αδύνατη x − 1 = 1 ή x − 1 = −1

w 2 + 2w − 3 = 0 ⇔ w =

x=2

ή

x=0

w = −3

taexeiola.blogspot.com

Βήµα 3 ο

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

β. Θέτουµε

x 2 = w και η (ε) γίνεται:

w 2 − 3w − 4 = 0 ⇔ w =

−( −3) ± 25 3±5 ⇔w= ⇔w=4 ή 2 2

x2 = 4

ή

x 2 = −1 αδύνατη

x=2

ή

x = −2

w = −1

x = w και η εξίσωση γίνεται:

γ. Για x ≥ 0 θέτουµε

w 2 − 7w − 18 = 0 ⇔ w =

−( −7) ± 121 7 ± 11 ⇔w= ⇔ w = 9 ή w = −2 2 2

x =9 ή x = 81 δ. Για x ≠ 0, −1 θέτουµε

w+

x = −2 αδύνατη

x +1 = w και η εξίσωση γίνεται: x

1 5 = ⇔ 2w 2 = 5w ⇔ 2w 2 + 2 = 5w ⇔ 2w 2 − 5w + 2 = 0 ⇔ w 2

⇔w=

105.

− ( −5 ) ± 9 5±3 ⇔w= ⇔ w=2 2⋅2 4

ή

w=

1 2

x +1 x +1 1 =2 ή = x x 2 2x = x + 1 ή 2x + 2 = x x =1 ή x = −2

8. i. Λύστε την εξίσωση:

x 2 + 2x − 3 = 0

(α + β)2 + 2(α + β) − 3 = 0 ii. Λύστε το σύστηµα:  α − β = 3 Λύση: −2 ± 16 −2 ± 4 x = 1 ή x = −3 ⇔x= 2 2 β. Το σύστηµα λόγω του i) ερωτήµατος γράφεται:

α. x 2 + 2x − 3 = 0 ⇔ x =

taexeiola.blogspot.com

Βήµα 3 ο

106.

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

α + β = 1 α + β = −3  2α = 4 ⇔ ή   α − β = 3 α − β = 3  2β = −2

ή

 2α = 0 ⇔   2β = −6

α = 2 α = 0 ή   β = −1 β = −3

9. Βρείτε τα κοινά σηµεία του κύκλου c: x2 + y 2 = 5 και της ευθείας ε: y = 3x − 1 . Λύση: −2  x=   x + y = 5  x + (3x − 1) = 5  x = 1  5 ⇔ ⇔ ή  Λύνουµε το σύστηµα:  y = 2  y = 3x − 1  y = 3x − 1  y = −11  5 2

2

2

2

∆ηλαδή η (ε) τέµνει τον (c) στα σηµεία Α(1, 2) και Β (

−2 −11 , ) 5 5

x 2 + (3x − 1) 2 = 5 ⇔ x 2 + 9x 2 − 6x + 1 = 5 ⇔ 10x 2 − 6x − 4 = 0 ⇔ 5x 2 − 3x − 2 = 0 ⇔ x =

3±7 −(−3) ± 49 ⇔x= ⇔ x =1 ή 10 10

10. Βρείτε για ποιες τιµές του λ η ευθεία (ε)

x=−

2 5

y = λx + 3 εφάπτεται του κύκλου

(c) x 2 + y 2 = 4 . Λύση: Αφού η (ε) εφάπτεται του κύκλου (c) σηµαίνει ότι το σύστηµα x 2 + y2 = 4  x 2 + (λx + 3)2 = 4 έχει µόνο µία λύση άρα η εξίσωση ⇔  = + = + y λx 3 y λx 3  

x 2 + (λx + 3)2 = 4 ⇔ x 2 + λ2 ⋅ x 2 + 9 + 6λx − 4 = 0 ⇔ (λ2 + 1) ⋅ x 2 + 6λ ⋅ x + 5 = 0 έχει µία διπλή ρίζα δηλαδή διακρίνουσα ∆ = 0 . ∆ = 0 ⇔ (6λ) 2 − 4 ⋅ 5(λ2 + 1) = 0 ⇔ 36λ2 − 20λ2 − 20 = 0 ⇔ 16λ2 = 20 ⇔ λ2 =

5 5 ήλ=± 4 2

11. Λύστε τις ανισώσεις: α. x 2 − 7x > −10 δ. ( 2x + 1) ⋅ ( − x + 3 ) < 0

β. x 2 ≤ 5x ε. x 2 + x > −2

γ. −2x 2 ≥ −18 ζ. 2x + 1 < x − 3

taexeiola.blogspot.com

Βήµα 3 ο

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

η. ( 2x − 1) ⋅ ( x 2 − 4 ) ⋅ ( x 2 − 3x + 2 ) ≤ 0

θ. ( x 2 − 2x )

3x − 1 ≤0 x−2 Λύση:

κ.

ι.

2004

⋅ ( x2 − 4)

107.

2005

≥0

2x + 1 ≥3 x−1

α. x 2 − 7x + 10 > 0 ⇔ x ∈ (−∞, 2) ∪ (5, +∞) , διότι: x 2 − 7x + 10 = 0 ⇔ x =

−( −7) ± 9 7±3 ⇔x= ⇔ x =5 ή 2 2

x=2

και το πρόσηµο του τριωνύµου φ(x) = x 2 − 7x + 10 φαίνεται στον επόµενο πίνακα: 5 2 +∞ x −∞ φ(x) + ○ − ○ + β. x 2 − 5x ≤ 0 ⇔ x(x − 5) ≤ 0 Το πρόσηµο του τριωνύµου φ(x) = x(x − 5) φαίνεται στον επόµενο πίνακα: 5 0 x −∞ φ(x) + ○ − ○

Άρα :

+∞ +

x 2 − 5x ≤ 0 ⇔ x(x − 5) ≤ 0 ⇔ x ∈ [0,5]

γ. −2x 2 + 18 ≥ 0 ⇔ −2 ( x 2 − 9 ) ≥ 0 ⇔ −2(x + 3)(x − 3) ≥ 0 Το πρόσηµο του τριωνύµου φ(x) = −2(x + 3)(x − 3) φαίνεται στον επόµενο πίνακα:: 3 −3 +∞ x −∞ φ(x)

− ○ + ○ −

Άρα: −2x 2 + 18 ≥ 0 ⇔ −2 ( x 2 − 9 ) ≥ 0 ⇔ −2(x + 3)(x − 3) ≥ 0 ⇔ x ∈ [−3,3] δ. Το πρόσηµο του τριωνύµου φ(x) = (2x + 1)(− x + 3) φαίνεται στον επόµενο πίνακα: 3 −1 2 +∞ x −∞ φ(x) − ○ + ○ − Άρα: ε. x 2 + x + 2 > 0

x ∈ ( −∞, −1 2 ) ∪ (3, +∞) ,

taexeiola.blogspot.com

Βήµα 3 ο

108.

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

Το πρόσηµο του τριωνύµου φ(x) = x 2 + x + 2 φαίνεται στον επόµενο πίνακα: x −∞ ○ φ(x)

+∞ +

x2 + x + 2 > 0 ⇔ x ∈ »

Άρα: 2

2

ζ. 2x + 1 < x − 3 ⇔ (2x + 1) 2 < (x − 3) 2 ⇔ (2x + 1) 2 − (x − 3) 2 < 0 ⇔ (2x + 1 + x − 3)(2x + 1 − x + 3) < 0 ⇔ (3x − 2)(x + 4) < 0

Το πρόσηµο του τριωνύµου φ(x) = (3x − 2)(x + 4) φαίνεται στον επόµενο πίνακα: −4 x −∞ φ(x) + ○

Άρα:

2

+∞

3

− ○

+

2  (3x − 2)(x + 4) < 0 ⇔ x ∈  −4,  3 

η. x ∈ (−∞, −2] ∪ [ 1 2 ,1] ∪ {2} Ι. Το πρόσηµο του διωνύµου φ ( x ) = 2x − 1 φαίνεται στον επόµενο πίνακα: 1

2 +∞ x −∞ ○ φ(x) − + 2 ΙΙ. Το πρόσηµο του τριωνύµου g ( x ) = x − 4 = ( x + 2 ) ⋅ ( x − 2 ) φαίνεται στον επόµενο πίνακα: 2 −2 +∞ x −∞

g(x) 2 ΙΙΙ. Είναι: x − 3x + 2 = 0 ⇔ x =

+ ○

− ○

+

− ( −3 ) ± 1 3 ±1 ⇔x= x = 3 ή x =1 2 2

Το πρόσηµο του τριωνύµου f ( x ) = x 2 − 3x + 2 φαίνεται στον επόµενο πίνακα: 2 1 +∞ x −∞ f (x) + ○ − ○ + 2 2 IV. Το πρόσηµο του γινοµένου Γ = ( 2x − 1) ⋅ ( x − 4 ) ⋅ ( x − 3x + 2 ) φαίνεται στον επόµενο πίνακα:

taexeiola.blogspot.com

Βήµα 3 ο

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

1

−2

−∞

x

φ(x)

−

g(x)

+

f (x) Γ

+

− ○ + ○ − − +

− ○

+

+ ○

+∞

2

1

2

+

+

− ○ ○ − ○

+

− ○

109.

+

+ ○ +

x ∈ (−∞, −2] ∪ [ 1 2 ,1] ∪ {2}

Άρα:

θ. Ι. Το πρόσηµο του φ ( x ) = ( x 2 − 2x )

2004

φαίνεται στον επόµενο πίνακα:

2 ΙΙ. Το πρόσηµο του τριωνύµου x − 4 = ( x + 2 ) ⋅ ( x − 2 ) αλλά και του πολυώνυ-

2 0 +∞ x −∞ φ(x) + ○ + ○ +

µου h ( x ) = ( x 2 − 4 )

2005

φαίνεται στον επόµενο πίνακα:

−2 x −∞ h(x) + ○

+∞

2

− ○

+

ΙΙΙ. Το πρόσηµο του γινοµένου Γ = φ ( x ) h ( x ) φαίνεται στον επόµενο πίνακα:

Άρα:

−2

−∞

x

2

0

φ(x)

+

+ ○ + ○ +

h(x)

+ ○

−

Γ

+

−

− ○ −

+∞ ○

+ +

x ∈ ( −∞, −2] ⋅ ∪ ⋅ {0} ∪ [2, +∞ )

2 3x − 1 ≤ 0 ⇔ ( x − 2 ) ⋅ (3x − 1) ≤ 0, x ≠ 2 ι. ( x − 2 ) ⋅ x−2 Το πρόσηµο του τριωνύµου φ ( x ) = ( x − 2 ) ⋅ (3x − 1) φαίνεται στον επόµενο πίνακα:

1

x −∞ 3 φ(x) + ○

Άρα:

1  x ∈  ,2 3 

+∞

2

− ○

+

taexeiola.blogspot.com

110.

Βήµα 3 ο

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

2 2x + 1 2 2 κ. ( x − 1) ⋅ ≥ 3 ( x − 1) ⇔ ( x − 1) ⋅ ( 2x + 1) − 3 ( x − 1) ≥ 0, x ≠ 1 x −1

( x − 1) ⋅ ( 2x + 1 − 3x + 3 ) ≥ 0 ⇔ ( x − 1) ⋅ ( − x + 4 ) ≥ 0 Το πρόσηµο του τριωνύµου φ ( x ) = ( x − 1) ⋅ ( − x + 4 ) φαίνεται στον επόµενο πίνακα: 4 1 x −∞ φ(x) − ○ + ○

+∞

−

x ∈ (1, 4]

Άρα:

12. Αν η εξίσωση (ε): (µ − 2)x2 − µx + µ − 2 = 0

(µ ≠ 2) έχει δύο ρίζες άνισες

βρείτε το µ. Λύση: Η (ε) έχει δυο ρίζες άνισες άρα θα έχει διακρίνουσα ∆ > 0 , δηλαδή:

(−µ)2 − 4(µ − 2)2 > 0 ⇔ µ 2 − (2µ − 4) 2 > 0 ⇔ (µ + 2µ − 4)(µ − 2µ + 4) > 0 4  (3µ − 4)( −µ + 4) > 0 ⇔ µ ∈  , 4  − {2} 3 

διότι το πρόσηµο του τριωνύµου φ(µ) = (3µ − 4)(−µ + 4) είναι αυτό που φαίνεται στον επόµενο πίνακα: 4 µ −∞ 3 φ(µ) + ○

13. Αν

+∞

4

− ○

+

2 x1 , x 2 οι ρίζες του τριωνύµου f (x) = x − λx + λ −

σον ισχύει x12 + x 22 > 5x1 x 2 . Λύση: −λ   x1 + x 2 = 1 = λ  Iσχύουν:  12 λ−  7 = l − 12  x1x 2 = 1 7 

12 βρείτε το λ εφό7

taexeiola.blogspot.com

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

Βήµα 3 ο

111.

2 2 Είναι x1 + x 2 > 5x1 x 2 ⇔ ( x1 + x 2 ) − 2x1 x 2 > 5x1 x 2 ⇔ 12 ( x1 + x 2 )2 − 7x1x 2 > 0 ⇔ λ2 − 7  λ −  > 0 ⇔ λ ∈( −∞,3) ∪ (4, +∞) 7 2

διότι λ2 − 7λ + 12 = 0 ⇔ λ =

−( −7) ± 1 7 ±1 ⇔λ= ⇔λ=4 ή 2 2

λ=3

και το πρόσηµο του τριωνύµου φ(λ) = λ2 − 7λ + 12 φαίνεται στον επόµενο πίνακα: 4 3 +∞ λ −∞ + ○ − ○ + φ(λ)

14. Αν για κάθε

x ∈ » ισχύει (κ + 3)x 2 + 4κx + 6 − 5κ > 0 βρείτε το κ (δίνεται

κ ≠ −3 ) Λύση:

Θέτουµε φ(x) = (κ + 3)x 2 + 4κx + 6 − 5κ οπότε για κάθε x ∈ » ισχύει φ(x) > 0 άρα α>0 κ + 3 > 0  κ > −3 πρέπει:  ⇔ ⇔ ⇔ 2 2 ∆ < 0 (4κ) − 4(κ + 3)(6 − 5κ) < 0  4 ( 4κ − (κ + 3)(6 − 5κ) ) < 0

 κ > −3  κ > −3 ⇔ 2 ⇔  2 2 4(6κ − 5κ + 18 − 15κ) < 0 4κ − 6κ + 5κ − 18 + 15κ < 0  κ > −3  κ > −3  κ > −3 ⇔ 2 ⇔ ⇔ κ ∈ (−2,1)  2  κ ∈ ( −2,1) 9κ + 9κ − 18 < 0 κ + κ − 2 < 0 2 ∆ιότι: κ + κ − 2 = 0 ⇔ κ =

−1 ± 9 −1 ± 3 ⇔κ= ⇔ κ =1 ή 2 2

κ = −2

και το πρόσηµο του τριωνύµου g(κ) = κ 2 + κ − 2 φαίνεται στον επόµενο πίνακα: 1 −2 κ −∞ +∞ + ○ − ○ + φ(κ)

15. Αν το τριώνυµο

f (x) έχει ρίζες τους – 1 και 3 και ο συντελεστής του x2

είναι το λ2 + λ + 1 βρείτε το πρόσηµο του γινοµένου Γ = f (2,99) ⋅ f 3 ( −1,01) .

taexeiola.blogspot.com

Βήµα 3 ο

112.

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

Λύση: • Η εξίσωση λ2 + λ + 1 = 0 είναι αδύνατη, διότι έχει ∆ = −3 < 0 , άρα το πρόσηµο του τριωνύµου φ(λ) = λ2 + λ + 1 είναι το: δηλαδή λ2 + λ + 1 > 0 , για κάθε λ ∈ » . Τότε το πρόσηµο του τριωνύµου f (x) είναι το:

• Επειδή:

λ −∞ ○ φ(λ) x −∞ −1 + ○ f (x)

+∞ +

3

− ○

+∞ +

−1 < 2,99 < 3 είναι f (2,99) < 0 οπότε Γ < 0 − 1,01 < −1 είναι f (−1,01) > 0

16. Αφού λύσετε το σύστηµα:

 2x − 3y = 11 − λ λύστε την ανίσωση: x0 y 0 > 0   x + 5y = λ + 7

όπου ( x 0 , y 0 ) είναι η λύση του συστήµατος. Λύση:  2x − 3y = 11 − λ  2x − 3y = 11 − λ ⇔ ⇔   x + 5y = λ + 7  −2x − 10y = −2λ − 14

Λύνουµε την ανίσωση: x 0 y0 > 0 ⇔

3λ + 3   y = 13 −13y = −3λ − 3 ⇔   x = λ + 7 − 5y  x = −2λ + 76  13

3λ + 3 −2λ + 76 ⋅ > 0 ⇔ (3λ + 3)(−2λ + 76) > 0 13 13

Το πρόσηµο του τριωνύµου φ(λ) = (3λ + 3)(−2λ + 76) φαίνεται στον επόµενο πίνακα: 38 −1 +∞ x −∞ φ(λ) − ○ + ○ − Άρα:

17.

λ ∈ (−1,38)

i. ∆είξτε ότι: 3x 2 − x + 4 > 0 , για κάθε x ∈ »  ( 3α 2 + 3β − 1) x − 2y = α 4 + β ii. Βρείτε πόσες λύσεις έχει το σύστηµα:  2 5  2x + ( α + β ) y = α + 3

taexeiola.blogspot.com

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

Βήµα 3 ο

113.

Λύση: i. Το τριώνυµο φ(x) = 3x 2 − x + 4 έχει ∆ = (−1)2 − 4 ⋅ 3 ⋅ 4 = 1 − 48 = −47 < 0 , άρα για κάθε x ∈ » θα είναι οµόσηµο του α = 3 > 0 , δηλαδή 3x 2 − x + 4 > 0 , για κάθε x ∈ » . ii. Βρίσκουµε την ορίζουσα του συστήµατος:

D=

3α 2 + 3β − 1

−2

2

α2 + β

⇔ D = (α 2 + β )(3α 2 + 3β − 1) + 4 ⇔

D = (α 2 + β ) 3 (α 2 + β ) − 1 + 4

θέτω w = α 2 + β

D = w(3w − 1) + 4 ⇔ D = 3w 2 − w + 4 > 0 (λüγω του i) Άρα το σύστηµα έχει µοναδική λύση.

taexeiola.blogspot.com

114.

Βήµα 4 ο

ÂÞìá 4 ÂÞìá 3 ÂÞìá 2 ÂÞìá 1

1.

Λύνουµε µόνοι µας

Ëýíïõìå ìüíïé ìáò

Να βρείτε τον λ ∈ R ώστε το άθροισµα των τετραγώνων των ριζών x1 , x 2 της εξίσωσης: x 2 + ( 2λ + 3 ) ·x + λ 2 + 1 = 0 , να είναι ίσο µε 39.

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

2.

∆ίνεται η συνάρτηση f ( x ) = ( λ 2 - 3λ ) ·x 2 - ( λ - 4 ) x - 2, λ ≠ 0 και λ ≠ 3 . Βρείτε τις τιµές του πραγµατικού αριθµού λ ώστε η γραφική παράσταση της f α. να τέµνει τον x΄x σε δύο σηµεία β. να εφάπτεται στον x΄x γ. να µην έχει µε τον x΄x κανένα κοινό σηµείο ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

taexeiola.blogspot.com

Βήµα 4 ο

Λύνουµε µόνοι µας

3.

115.

∆ίνεται η εξίσωση: x 2 + ( λ - 3 ) ·x - ( λ - 2 ) = 0, (1) λ ≠ 1 α. Να αποδείξετε ότι η (1) για κάθε λ ∈ R µε λ ≠ 1 έχει δύο πραγµατικές ρίζες. β. Αν x1 , x 2 είναι οι ρίζες της (1) να βρείτε τον λ ώστε η παράσταση

B = x12 ·x 2 + x 22 ·x1 να γίνεται ελάχιστη. ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

4. Για ποιές τιµές του

λ ∈ R οι παρακάτω εξισώσεις έχουν πραγµατικές ρίζες:

α. x 2 + 2λx + 2 - λ = 0 β. ( λ - 1) x 2 - 2 ( λ - 3 ) x - λ + 3 = 0 ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

5.

Να βρείτε τον λ ώστε η ανίσωση: ( λ - 1) ·x 2 - λx + λ > 0, λ ≠ 1 να ισχύει για κάθε x ∈ R .

taexeiola.blogspot.com

116.

Βήµα 4 ο

Λύνουµε µόνοι µας

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

6.

2 2 Αν το 1 είναι ρίζα της εξίσωσης x + ( α − 2α ) x + 1 − α = 0 βρείτε το α και

µετά την άλλη ρίζα της εξίσωσης. ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

7.α. ∆είξτε ότι η εξίσωση (ε)

x 2 − y 2 − 4x + 2y + 3 = 0 παριστάνει δυο ευθείες

που τέµνονται κάθετα, β. Βρείτε το κοινό τους σηµείο. ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

taexeiola.blogspot.com

Βήµα 4 ο

Λύνουµε µόνοι µας

117.

x 2 − 2x + λ − 1 = 0 έχει δυο ρίζες άνισες και λ 0 η ακέραια τιµή που µπορεί να πάρει το λ βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης:

8. Αν η εξίσωση f (x) =

x 2 − 4λ 0 x + 3 3 − λ0 x

και κατόπιν βρείτε που η γραφική παράσταση της f

τέµνει τους άξονες. ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

9. ∆ίνεται ένα

2 × 2 γραµµικό σύστηµα µε αγνώστους x,y το οποίο έχει µονα-

δική λύση. Αν η εξίσωση W2 − 2 ( D − Dx ) W − 4Dx2 + Dy ( 4Dx Dy ) = 0 έχει µια διπλή ρίζα λύστε το σύστηµα. ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

10. Αν η εξίσωση (ε ) 1

(2α − β)x2 − 4αx + 4β = 0 έχει µια διπλή ρίζα δείξτε ότι

3α − β έχει δυο ρίζες άνισες. 4 ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ η εξίσωση ( ε 2 ) x 2 − αx − 1 =

taexeiola.blogspot.com

118.

Βήµα 4 ο

Λύνουµε µόνοι µας

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

11. Αν

x1 , x 2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης 2 2 x 2 − 3 x −

2 = 0,

i. Βρείτε την τιµή της παράστασης: A = x1 − x 2 ii. Λύστε την ανίσωση:

2y − 18 0 x −1  x 2 ≤ 16

taexeiola.blogspot.com

Λύνουµε µόνοι µας

Βήµα 4 ο

123.

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

25.

Αν − x 2 + 5x − 6 > 0 βρείτε την τιµή της παράστασης: A =

x−2 + x−3 x−1 + x−5

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

taexeiola.blogspot.com

124.

Βήµα 5 ο

ÂÞìá 5 ÂÞìá 4 ÂÞìá 3 ÂÞìá 2 ÂÞìá 1

Ελέγχουµε τη γνώση µας

ÅëÝã÷ïõìå ôç ãíþóç ìáò

ΘΕΜΑ 1 ο Α.1. Είναι σωστό ή λάθος ότι: “Η γραφική παράσταση µιας γνησίως µονότονης συνάρτησης τέµνει στον άξονα x΄x σε ένα το πολύ σηµείο.” Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας. ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ Α.2. Να µελετηθεί ως προς την µονοτονία η συνάρτηση f(x) = (λ 2 - 1)x + 3 ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

taexeiola.blogspot.com

Βήµα 5 ο

Ελέγχουµε τη γνώση µας

125.

ΘΕΜΑ 2 ο Β. α. Να απλοποιηθεί η παράσταση

A=

6x 3 − x 2 − x 4x 2 − 4x + 1

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ β. Να βρείτε το µέγιστο ή το ελάχιστο των συναρτήσεων: ii. g(x) = 3x2 + 7x - 1 i. f(x) = -x2 + 5x - 2 ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ΘΕΜΑ 3ο ∆ίνεται η παραβολή f(x) = x2 + (κ + 2)x + κ + 2. Να βρείτε το κ κάθε φορά στις περιπτώσεις που η παραβολή: α. εφάπτεται στον x΄x β. τέµνει τον x΄x σε δύο σηµεία. γ. δεν τέµνει τον x΄x δ. έχει άξονα συµµετρίας την ευθεία x = 3. ε. παρουσιάζει ελάχιστο για x = 5 στ. έχει ελάχιστο το -8 ζ. τέµνει τον x΄x στο Α(3, 0) η. τέµνει τον y΄y στο Β(0, 5) ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

taexeiola.blogspot.com

126.

Βήµα 5 ο

Ελέγχουµε τη γνώση µας

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ΘΕΜΑ 4ο Ένα εργοστάσιο που παράγει την ηµέρα x προϊόντα το κόστος παραγωγής δίνεται από την συνάρτηση: Κ(x) = 4x2 - 20x +13 (χιλιάδες ευρώ) η δε είσπραξη από την πώληση των x προϊόντων δίνεται από τη συνάρτηση: Ε(x) = 3x2 + 80 (χιλιάδες ευρώ). Να βρείτε πόσα προϊόντα πρέπει να παράγει την ηµέρα, ώστε το κέρδος να είναι το µέγιστο. Ποιο είναι αυτό; ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

taexeiola.blogspot.com

ΒΙΒΛΙΟ

µαθήµατα 1. ΦΥΣΙΚΗ Α΄ Λυκείου Κωδ. 21

η δοσ κ έ Μία ΗΞΗ!!! Λ ΕΚΠ

ς ήψει λ α ν α ς επ ι µόνο... ι τ α χ γι και ό ς α σ

2. ΧΗΜΕΙΑ Α΄ Λυκείου Κωδ. 22 3. ΦΥΣΙΚΗ Θετικής - Τεχν/κής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Κωδ. 30 4. ΧΗΜΕΙΑ Θετικής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Κωδ. 31 5. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχν/κής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Κωδ. 32 6. ΦΥΣΙΚΗ Γενικής Παιδείας Β΄ Λυκείου Κωδ. 33 7. ΑΛΓΕΒΡΑ Γενικής Παιδείας Β΄ Λυκείου Κωδ. 34 8. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γενικής Παιδείας Β΄ Λυκείου Κωδ. 35 9. ΦΥΣΙΚΗ Θετικής - Τεχν/κής Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Κωδ. 36 10. ΧΗΜΕΙΑ Θετικής Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Κωδ. 37 11. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχν/κής Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Κωδ. 38 12. ΦΥΣΙΚΗ Γενικής Παιδείας Γ΄ Λυκείου Κωδ. 39 13. ΑΡΧΑΙΑ Θεωρητικής Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου (Θουκιδίδη Περικλέους Επιτάφιος) Κωδ. 52

Το “αντίδοτο” για την... αµνησία την ώρα των εξετάσεων είναι η σωστή επανάληψη. ΕΝΗΜΕΡΩΣΟΥ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟΠΩΛΕΙΟ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟΧΗΣ ΣΟΥ

taexeiola.blogspot.com