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CHAPITRE

1

Groupes

1.11 St 1. Stru ruct ctur uree de gr grou oupe pe 1.1. 1. 1.11 Gr Grou oupe pe Définition On appelle  groupe  tout   tout couple (G, ⋆)  formé d’un ensemble G  et d’une loi de composition interne ⋆  sur G  associative, possédant un neutre et pour laquelle tout élément de G  est symétrisable. (C, +)  et C∗ , ×  sont des groupes commutatifs de neutres respectifs 0  et 1. L’ensemble S E  E  des permutations d’un ensemble  E  est un groupe pour la composition des applications ◦. Son neutre est l’application identité Id E . L’ensemble GLn (K)  des matrices inversibles de taille n  est un groupe multiplicatif de neutre In . L’ensemble A× des inversibles d’un anneau est un groupe multiplicatif.

( )

1.1.2 1. 1.2 St Stru ruct ctur uree prod rodui uitt Définition Si ⋆1 , . . . , ⋆n  sont des lois de composition internes sur des ensembles E 1 , . . . , En  , on appelle   loi produit  sur E  = E 1 × · · · × E n  la loi ⋆  définie par déf 

(x1 , . . . , xn ) ⋆  (y1 , . . . , yn ) = (x1  ⋆ 1  y 1 , . . . , xn  ⋆ n  y n ).