Álgebra+Lineal+-+7a+Edición+ (Stanley+l +grossman) PDF

 

Ejercicios de repaso 

E   Ejercicios de repaso En los ejercicios 1 al 9 encuentre la magnitud y dirección del vector dado.   1. 1.   v 523i 1 3 j

 

2.   v 5 (8, 10)  2.

  4. 4.   v 5 2 i 1 3 j

 

5.   v 5 2, 22 3 5.

 

8.   v 5 212i 2 12 j 8.

(

  7. 7.   v 5 3, 2 5

)

3.   v 5 (29, 10) 3.

(

) 

6.   v 5 (3, 210) 6. 9.   v 5 (26, 1) 9. S

En los ejercicios 10 al 14 escriba el vector v, representado por PQ, en la forma ai 1 b j. Bosqueje S

PQ y v. 10.   P 5 (2, 3); 10.

Q 5 (4, 5)

11.   P 5 (1, 22); 11.

12.   P 5 (10, 10); 12.

Q 5 (27, 10)

14.   P 5 (21, 3); 14.

Q 5 (3, 21)

Q 5 (7, 12)

13.   P 5 (21, 26); 13.

Q 5 (3, 24)

En los problemas 15 al 18, con u 5 (4, 22) y v 5 (23, 1) encuentre 23v

16.   16.

22u 1 3v

17..  5v 1 4u 17

18.   18.

22(u 1 v)

15.   15.

En los problemas 19 al 22, con u 5 2i 1 6 j y v 5 25i 1 7 j encuentre 19.   5u 19.

20.   2u 1 3v 20.

21.   2v 1 4u 21.

22.   22.

25u 1 6v

En los ejercicios 23 al 31 encuentre un vector unitario que tenga la misma dirección que el vector dado. 23. v 5 i 1 j  j

 j 24.   v 5 2i 1 j 24.

25.   v 5 22i 1 3 j 25.

26.   v 5 11i 26.

27.   v 5 27i 1 3 j 27.

28.   v 5 3i 1 4 j 28.

29.   v 5 8i 2 9 j 29.

30.   v 5 22i 2 4 j 30.

31.   v 5 22i 1 10 j 31.

32. Si v 5 4i 2 7 j encuentre sen θ y cos θ, donde θ es la dirección de v. 33.  Encuentre un vector unitario unitario con la dirección opuesta a v 5 5i 1 2 j. 34.   Encuentre dos vectores vectores unitarios ortogonales ortogonales a v 5 23i 1 4j.

unitario con la dirección opuesta a la de v 5 10i 2 7 j. 35.  Encuentre un vector unitario En los ejercicios 36 al 40 encuentre un vector v que tenga la magnitud y dirección dadas. 36.   |v| 5 2; 36. 38.   |v| 5 10; 38. 40.   |v| 5 7; 40.

θ 5

p

3 θ 5

 

p

6 θ 5

 

2p

37.  |v| 5 6;

θ 5

39.  |v| 5 4;

θ 5 p

3

5p 6

En los ejercicios 41 al 45 calcule el producto escalar de los dos vectores y el coseno del ángulo entre ellos. 41.   u 5 11i 1 4 j;  v 5 212i 1 9 j 41.

42.   u 5 24i;  v 5 11 j 42.

43.   u 5 4i 2 7 j;  v 5 5i 1 6 j 43.

44.   u 5 11i 1 4 j;  v 5 6i 1 6 j 44.

45.   u 5 2i 2 2 j;  v 5 4i 1 5 j 45.

291

 

292 

CAPÍTULO 4  4   Vectores en R2 y R3 En los ejercicios 46 al 53 determine si los vectores dados son ortogonales, paralelos o ninguno de los dos. Después bosqueje cada par. 46.   u 5 2i 2 6 j;  v 5 2i 1 3 j 46.

47.   u 5 23i 1 3 j;  j 5 27i 1 6 j 47.

48.   u 5 4i 2 5 j;  v 5 5i 2 4 j 48.

49.   u 5 4i 2 5 j;  v 5 25i 1 4 j 49.

50.   u 5 212i 2 6 j;  j 5 29i 2 8 j 50.

51.   u 5 27i 2 7 j;  v 5 2i 1 j 51.  j

52.   u 5 6i 1 3 j;  j 5 23i 1 11 j 52.

53.   u 5 27i 2 7 j;  v 5 2i 2  jj 53.

54.   Sean u 5 2i 1 3 j y v 5 4i 1  α j. Determine  α tal que a)  

u y v sean ortogonales ortogonales.. b)  u y v sean paralelos. c )  El ángulo ángulo entre u y v sea d ) 

El ángulo ángulo entre entre u y v sea

p

4 p

6

. .

En los ejercicios 55 al 62 calcule proyv u. 55.   u 5 212i 2 2 j;  v 5 23i 1 7 j 55.

 j 56.   u 5 14i;  v 5 i 2 j 56.

57.   u 5 2i 2 2 j;  v 5 23i 1 2 j 57.

58.   u 5 7i 2 8 j;  v 5 2 j 58.

59.   u 5 3i 1 2 j;  v 5 i 2 3 j 59.

60.   u 5 2i 2 5 j;  v 5 23i 2 7 j 60.

61.   u 5 6i 2 6 j;  v 5 4i 1 4 j  61.

 j;  v 5 23i 1 6 j 62.   u 5 4i 2 j 62. S

S

63.   Sean P 5 (3, 22), Q 5 (4, 7), R 5 (21, 3) y 63. 3) y S  S 5 (2, 21). Calcule proyPQ  RS  S   y proy RS  PQ. S

S

En los ejercicios 64 al 67 encuentre la distancia entre los dos puntos dados. 64.   (4, 21, 7); (25, 1, 3)  64.

65.   (29, 210, 21); (12, 23, 3) 65.

66.   (2, 27, 0); (0, 5, 28)  66.

67.   (21, 0, 24); (3, 22, 6) 67.

En los ejercicios 68 al 71 encuentre la magnitud y los cosenos directores del vector dado. 68.   v 5 25i 1 7 j 2 5k 68.

69.   v 5 i 2 2 j 2 3k 69.

70.   v 5 2i 1 3 j 2 6k 70.

71.   v 5 2i 1 4 j 1 8k 71. S

72. Encuentre un vector unitario en la dirección de PQ, donde P 5 (3, 21, 2) y Q 5 (24, 1, 7). S

73.  Encuentre un vector unitario cuya dirección sea opuesta a la de PQ , donde P 5 (1, 23, 0) y Q 5 (27, 1, 24).

En los ejercicios 74 al 83 sean u 5 3i 2 2 j 1 4k, v 5 27i 1 4 j 2 5k y w 5 i 1 j  j 1 k. Calcule: 74.   u 2 v 74.

75.   3v 1 5w 75.

76.   proyv w 76.

77.   proyw (proyvu) 77.

78.   proyw u 78.

79.   2u 2 4v 1 7w 79.

80.   2u 1 6v 1 3 proyw v 80.

81.   u ? w 2 w ? v 81.

82.   El ángulo entre u y v 82.

83.   El ángulo entre v y w 83.

 

Ejercicios de repaso 

En los ejercicios 84 al 87 encuentre el producto cruz u 3 v. 84.   u 5 3i 2 j 84.  j;  v 5 2i 1 4k

85.   u 5 10i 1 j 85.  j 2 8k;  v 5 27i 2 5 j 1 7k

86.   u 5 4i 2 j 86.  j 1 7k;  v 5 27i 1 j  j 2 2k

87.   u 5 22i 1 3 j 2 4k;  v 5 23i 1 j 87.  j 2 10k

vectores unitarios ortogonales ortogonales a u 5 i 2 j 1 3k y v 5 22i 2 3 j 1 4k. 88.   Encuentre dos vectores 89.  Calcule el área del paralelogramo paralelogramo con vértices adyacentes adyacentes (1, 4, 22), (23, 1, 6) y (1, 22, 3).

En los ejercicios 90 al 95 encuentre una ecuación vectorial, las ecuaciones paramétricas y las simétricas de la recta dada. 90.  Contiene a (3, 2, 24) y (0, 2, 3) 91.  Contiene a (21, 2, 23) y (26, 4, 0) 92.   Contiene a (24, 1, 0) y (3, 0, 7) 93.  Contiene a (23, 5, 24) y es paralela al vector i 2 j 1 k 94.   Contiene a (1, 1, 1) y es perpendicular a 3i 2 j 1 k 94. 95.   Contiene a (1, 22, 23) y es paralela a 95.

x 11 5

 5 

 y 2 2 (23)

 5

z 2 41 2

96.   Demuestre que las rectas L1: x  5  3 2  2t,  y 96.  y   5  4 1  t, z  5  y  5 2 2 4  y  4ss, z 5 1 1 6  6ss  no tienen puntos en común.

22 1  7t

y L2: x  5

23 1  s,

97.   Encuentre la distancia del origen a la recta que pasa por el punto (3, 1, 5) y que tiene la 97. dirección de v 5 2i 2 j  j 1 k. 98.   Encuentre la ecuación de la recta que pasa por (21, 2, 4) y es ortogonal a L1: 98. 5

z (22)

 y L2:

x 13 5

 5 

 y 2 1 1

 5

z 13 4

x 21 4

 5 

 y 1 6 3

 

.

En los ejercicios 99 al 101 encuentre la ecuación del plano que contiene al punto dado y es ortogonal al vector normal dado.   99.  P 5 (27, 6, 27);

n 5 11i 2 2 j 2 6k

100.  P 5 (1, 24, 6);

n 5 2 j 2 3k

101.  P 5 (24, 1, 6);

n 5 2i 2 3 j 1 5k

102.  Encuentre la ecuación del plano que contiene a los puntos ( 22, 4, 1), (3, (21, 22, 21).

27,

5) y

103.  Encuentre la ecuación del plano que contiene a los puntos (21, 3, 2), (6, 1, 0) y (0, 0, 3). 104.  Encuentre todos los puntos puntos de intersección de los planos p1: 2x 1  y  y 1 z 5 3 y 1 2 y  y  2 7  7zz 5 5.

p2: 24x 

105.  Encuentre (de existir) existir) el punto punto de intersección del del plano p1: 24x 1 3 y  y  2 2  2zz 5 12 y la recta L: xi 1 y  y j 1 zk 5 2 1 ti 2 2  2tt j  j 1 3  3ttk, t P R. 106.  Encuentre todos los puntos puntos de intersección de los planos planos p1: 22x 1 3 y  y  5 6 y p2: 22x 1  3 y  y  1 z 5 3.

3x 2  y   4zz 5 8 y 107.  Encuentre todos los puntos de intersección de los planos p1: 3x y 1 4 y 2 11  11zz 5 0. 2  y 

p2: 23x 

293

 

294 

CAPÍTULO 4  4   Vectores en R2 y R3 108.  Encuentre la distancia desde (1, 22, 3) al plano 2x 2 x 2  y  y 2 z 5 6. 109.  Encuentre la distancia desde (3, 4, 8) al plano 2x 1 3 y 5 6. 110.  Encuentre el ángulo entre los planos del ejercicio 97. 111.  Demuestre que los vectores de posición u 5 i 2 2 j 1 k, v 5 3i 1 2 j 23k y w 5 9i 2 2 j 2  3k son coplanares y encuentre la ecuación del plano que los contiene. c ontiene.