Algebra
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.Ciclo Verano...
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PREPARACIÓN A LA:
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS
ÁLGEBRA
Nº
01
TEORÍA DE EXPONENTES – ECUACIONES EXPONENCIALES
OBJETIVO ESPECIFICO Aplicar las leyes de Exponentes en la reducción de expresiones matemáticas TEORIA DE EXPONENTES Estudia las características y las relaciones existentes entre la base y el exponente, con el objetivo de reducir y simplificar expresiones. Algunas leyes de exponentes son: 01. PRODUCTO DE BASES IGUALES m
A
A
06. EXPONENTE NEGATIVO
a n =
A
n a n b = a b
;
07. EXPONENTE FRACCIONARIO
mn
n
1 an
m
a
n
n am n a
m
02. COCIENTE DE BASES IGUALES 08. RAÍZ DE UN PRODUCTO
A
m
A
n
A m n
n
a m
m
m
z
n
n
n
a. b.
9. RAÍZ DE UN COCIENTE
03. POTENCIA DE UN PRODUCTO
a.b .b.c .c......z
a.b
m
.b c .. ......z
m
na n n b b a
04. POTENCIA DE POTENCIA
10. RAÍZ DE RAÍZ
a
m
n
p
z
a
mnpz
m
05. POTENCIA DE UN COCIENTE a a : b b n
n
a
n
b
n
p
d
a
m pd
a
z
CENTRO PRE UNIVERSITARIO
ALGEBRA
11.EXPONENTE DE EXPONENTE CADENA DE EXPONENTES ESCALERA DE EXPONENTES De la forma:
c b a
O O
f e d
12. RADICALES SUCESIVOS CON IGUAL BASE
x
n p
x
q r
s
x
m p r
a
np+q
r
s
ECUACIONES EXPONENCIALES
DEFINICIÓN Son ecuaciones no algebraicas en las cuales la incógnita se encuentra en el exponente, se recomienda para resolver este tipo de problemas utilizar los siguientes principios: PROPIEDADES
m 01. Si: a
a n m n ; a 0
a 02. Si: x
y a x y ; a 0
03. Si:
xx
aa
04. Si:
xx
a a x a ; x 0
05.
xx
.. . x.
x n x 06. x 07.Para inecuaciones:
x a ; x 0
nx n n
b) Si: a 0, a 1 a x a y x y
Practiquemos 01. Simplificar:
S
216.353.803 154.149.302
A) 2 D) 22 02. Si: xm.xn = 3m Xn. ym = 3n
B) 3 E) 33
C) 1
xy
Hallar:
x S y
A) 27 D) 1/3 03. Efectuar: 2
B) 3 E) 9
C) 1/ 27
2
E = 2 5 (0.75)3 4 4 25 9 3 2 A) -27/64 D) -27/8 04. Reducir:
B)-1 E) 125/8
1 x1 x x E ( x ) 2
A) x2 D) 1 05. Simplifique:
E A) 10 D) 7
CICLO: VERANO
nn
a) Si: a 0, a 1 a x a y x y
Estas expresiones se reducen comenzando por los 2 últimos exponentes y se continúa con los 2 siguientes hasta llegar a la base con un solo exponente.
m
n x . . x.
m
1
C) 8/27
x
2
1
x 1 ;
B) xx E) x
x 0 C)
x
x
2m 1.52 m 1 2m.52 m 23.5m
5m
B) 9 E) 5
C) 8
Pág. 02
CENTRO PRE UNIVERSITARIO
06. E 5 A) 5 D) 625
19
65
ALGEBRA
16 212
13. Calcular el valor de:
214
(5 ) (5 )4
2
B) 1 E) -25
C) 25
20
n3
4
07. Reducir:
x F y
1 m n
A) 1 D) x/y 08. Efectuar:
x m y n C) y
11 11
11
x
x
( x)
1
A) 1 B) a D) ab E) a/b 10. Calcular el valor de: a b
a b
C) b
11. Si: x
5
Hallar: E = x A) D)
4
3
x
3
4 2
52 5
5
( 3) 3 B) 3 C) 2 E) Absurdo
x x 17. Hallar “x” en:
A) 1/256 D) ¼
2
2
E) 8
12. Hallar: a2 + 2ª en: 2a+1 + 4a = 80 A) 18 B) -18 D) 3 E) -15
C) 4
n
Hallar E A) 4 D) 2 19. Si:
a
n
n
C) ½
2. n
n
n
n
nn
n
B) 5 E) ¼
C) 1
2 a
C) 15
2
B) 265 E) 0.5
n
aa
1
1 2 x
B)2
C) 3
3
1
18. Si:
2
CICLO: VERANO
5
a
1
a b
2 x
C) 1
5
A) 3 D) 1
Sabiendo que a, b N y a – b > 2001 A) 5 B) 3 C) 1 D) 15 E) 8 x
b
A) 5 B) 1/5 D) 1/3 E) -5 16. Hallar el valor de “x” en:
3 5b a 3b a 5
a
Hallar: E = a A) 2 B) 3 D) 4 E) 5 15. Hallar el valor de “a” en:
1 ab
a b 1 b b 1 b S a b 1 ab 1 a a 1 a
C) 4
a
x
x x
A) 0 B) 1 C) x D) 11 E) -1 09. Sabiendo que: (a + 1)( b + 1) = 2 Hallar:
M
2
a
11 11
E=
4 4n3
A) 2 B) 3 D) 5 E) 6 14. Si sabemos que: 1 a a 4 y a b 2
x n y m B) x E) y/x
n3 2
n 3 1
a
a
aa
a
Hallar: E a A) 16 B) 4 C) 32 D) 8 E) absurdo Pág. 03
CENTRO PRE UNIVERSITARIO
ALGEBRA
20. Simplifique
05. Resuelva:
b x a M x a x b a
xb
;
x
x
para: a + b = ab A) x B) 1 a D) x E) xb
21. Simplificar:
C) x-1
4 4 4 ......
E
16 16 3
3
16
3
A) 1 D) 6
B) 2 E) 8
C) 4
3 3n 1 ......... 2
; se obtiene :
n
2. Si: E
Indica el valor de x. a) 61/3 b) 31/4 d) 31/2 e) 3.21/2
b) 8 e) 512 32
6
3
Calcular: a) 1 d) 3-1
6
32
64
3
E6
x 3 2 3 81
a) 1/2 d) 2/3
b) 1/3 e) 3/4
32
64
3
6
32....
CICLO: VERANO
7 y 1 5 x 1 b) 2 e) 76
c) 23
27
b) 3/4 e) 1/3
RECUERDA:
c) 5 “SI
b) 2/3 e) 2
a) 2/3 d) 3/2
a) 1 d) 38
E4
ESTUDIAS POCO SERÁS COMO MUCHOS, PERO SI ESTUDIAS MUCHO SERÁS COMO POCOS “.
50 72 73x 2
04. Resuelve:
G
5 x 3 7 y 2
64....
3. Calcula el valor de “x” si:
3 x 81
c) 1/4
08. Si: 5x = 7y, calcular el valor de:
c) 64
b) 2 e) 0
a) 3/2 d) 1/2
c) 81/4
06. Al simplificar: 3n 1 3 n 3 2n 1 2n 3 E n 4 n 6 3 3 2n 4 2n 6 a)1 b) 5 c) 9 d) 28 e) 35
3 radicales
a) 2 d) 256
36
07.Resolver la ecuación:
Práctica Domiciliaria 1. Al reducir: 3 3 3 3 3
3
c) 1/3
3 c) 4/3
Pág. 04
PREPARACIÓN A LA:
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS
ÁLGEBRA
GRADOS Y POLINOMIOS ESPECIALES OBJETIVOS ESPECÍFICOS: Revisar y estudiar las expresiones algebraicas en el campo real, aplicándolas en la solución de problemas. Identificar y diferenciar los diversos tipos de polinomios especiales con el fin de resolver problemas diversos. POLINOMIOS –GRADOS –POLINOMIOS ESPECIALES
Nº
02
POLINOMIO. – Es aquella expresión racional entera que consta de uno, dos o más términos. Ejemplos: Q (x) 1 x 2 3x 5
5x 7
Polinomio
de 4
términos.
R (x)
Q (x)
6x 6 x 5 y 2
Binomio
7x2
Monomio
Se caracterizan fundamentalmente porque la incógnita se encuentra como base y su criterio de solución establece el empleo de algunas propiedades:
REPRESENTACIÓN GENERAL DE UN POLINOMIO DE UNA VARIABLE
NOTACIÓN POLINÓMICA Permite diferenciar constantes de variables. Se tiene:
P(x) a 0 x
P (x , y ) 8m . x 4 . y3
Donde: x, y Variables. 4, 3 Exponentes. 8m Coeficientes. EXPRESIÓN ALGEBRAICA. – Es aquel conjunto de números y letras relacionados por las operaciones aritméticas de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación o una combinación de ellas en un número limitado de veces. Ejemplos: P(x,y) = 1 + x + x 3 – x6 + x2 E. A. Racional Entera P(x,y) = x5 y-7 + 2x3 + x 6 y4 E.A. Racional fraccionar
P(x,y) =
3
6xy4 + x2/5 y3 - 12y5 E.A. Irracional
CICLO: VERANO
n
a1x
n 1
a 2x
n 2
... a n 1x a n , (a 0)
Donde: XVariable. a 0 ; a 1 ;a 2 ;…; a n Coeficientes. Grado de P(x) Gdo(P) = n; nN. a0 Coeficiente principal. an Término independiente. 3 2 Ejemplo: W(x) 3x 5x 7x 11 Grado (W) = 3; Coeficiente principal = 5; Coeficiente de término cuadrático = 7; Coeficiente de término lineal = 3; y Término independiente = 11. DEFINICIÓN. – En todo polinomio cuyo coeficiente principal es la unidad se denomina “polinomio mónico”.
Ejemplos: * P(x)= 5x + x 4 + 3x 2 + 7. Gdo (P) = 4; coeficiente principal = 1 P(x) es mónico.
* Q(x) = 3x2 – x5 + 2. Grado (Q) = 5; coeficiente principal = – 1 Q(x) no es mónico. VALOR NUMÉRICO. – Es aquel valor que se obtiene al reemplazar las variables por constantes. Ejemplo: P(x)= x2 +3, halla: P (1), T (-2) Pág. 01
CENTRO PRE UNIVERSITARIO
Solución:
ÁLGEBRA
x = 1; P (1) = 1 2 +3 = 4 x = -2; P (-2) = (-2)2 + 3 = 7
VALORES NUMÉRICOS NOTABLES Si P(x) es un polinomio, se cumple: P(0) = Término independiente y P(1) = Suma de coeficientes. Ejemplo: P(x+3)=5x+16. Calcular T. independiente + coefic. Solución: Se pide: P (0) + P (1). P (0): I. x+3=0 II. x = – 3 III. Reemplazando: P ( – 3+3)= 5( –3)+16 P (0)=1. P (1): I. x+3=1. II. x = – 2 III. Reemplazando: P ( –2+3)=5( – 2) + 16 P (1)=6. Nos piden: P (0) + P (1) = 1 + 6 = 7. POLINOMIO CONSTANTE: P (x) = m ; (m0). Su grado por definición es cero. Ejemplo: P(x) = 10 P (1)=10; P (236)=10, P(n+3)=10. NOTITA: Si P(x) = 0 es un polinomio cuyo grado no está definido. GRADOS GRADO. – Es una característica de las expresiones algebraicas racionales enteras relacionadas con los exponentes de sus variables. Hay dos tipos de grados y son: 1. GRADO DE MONOMIOS El grado o grado absoluto de un monomio se halla sumando todos los exponentes de todas sus variables y el grado relativo de una variable está dado por el exponente de dicha variable. Ejemplo: M(x,y) = 26x 5 y 9 G.A(M) = 5 + 9 = 14. GR. (x) = 5. GR. (y) = 9. Sólo en monomios se cumple que el grado absoluto siempre es igual a la suma de todos sus grados relativos. 2. GRADO DE POLINOMIOS El grado o grado absoluto de un polinomio está dado por el mayor grado de todos sus términos o monomios y el grado relativo de una variable está dado por el mayor exponente de dicha variable en todo el polinomio. CICLO: VERANO
Ejemplo: P(x,y) = 3x 3 y 7 + 5x 5 y 6 + 7x 4 y 8 G.A(T 1 )=3+7=10 ; G.A(T 2 )=5+6=11 ; G.A(T 3 )=4+8=12. Entonces: G.A(P) = 12. Asimismo: GR. (x) = 5; GR. (y) = 8. POLINOMIOS ESPECIALES 1. POLINOMIO HOMOGÉNEO Es aquel en el cual todos sus términos tienen el mismo grado absoluto. Ejemplo: P(x,y) = x 7 y - 5x 4 y 4 + 2x 2 y 6 -z 4 y 8 Es un polinomio de grado 8, a este grado también se le llama grado de homogeneidad . 2. POLINOMIO ORDENADO Un polinomio es ordenado respecto a una variable si los exponentes de ella aumentan o disminuyen. Ejemplo: P(x,y) = 5x 9 y 2 + 7x 6 y 3 + 8x 4 y 5 “x” está ordenado descendentemente. “y” está ordenado ascendentemente.
3. POLINOMIO COMPLETO Un polinomio es completo respecto a una de sus variables si dicha variable aparece en todos los términos desde el mayor exponente hasta el término independiente inclusive. Ejemplo: P(x)= x 4 + x 3 -2x 2 -9+7x PROPIEDAD: Si P(x) es un polinomio completo se cumple que su número de términos es igual al número de su grado aumentado en uno, es decir: # Términos = Gdo. (P) + 1 Ejemplo: P(x)= x 5 +x 4 +6x 3 +x 2 +3x+8 Gdo. (P) = 5 # términos = 5 + 1 = 6. 4. POLINOMIOS IDÉNTICOS Dos polinomios son idénticos si y solo sí sus términos semejantes en ambos miembros son iguales. Ejemplo: ax2 + bx + c 7x2 + 4x – 6 a=7 b=4 c= – 6 NOTA: Si dos polinomios son idénticos entonces tienen el mismo valor numérico para cualquier valor de su variable, es decir: Si: P(x) Q(x) P(a) = Q(a); aR. 5. POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO Un polinomio reducido es idénticamente nulo si todos sus coeficientes son iguales a cero, es decir, si: ax2 + bx + c 0 a=b=c=0. Pág. 02
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ÁLGEBRA
6. Calcula a + b si el grado absoluto del monomio.
Ejemplo: (a – 2)x5 + (b+3)x3 + (c – 7) 0 a – 2 = 0 a = 2; b + 3 = 0 b = –3; c – 7 = 0 c = 7.
2( 1) 3 M ( x, y) (a b) x a y b es 17 y su
NOTA: Si un polinomio de gr ado “n” se anula para más valores de “n” diferentes entre sí, entonces dicho
polinomio es idénticamente nulo. Si: P(x) 0 P(a)=P (b)=P(c)=0; donde a, b c son constantes numéricos.
1. Sea el polinomio: P(x) = 12 x7 –3x4 + 3x2 –x +1 I. El polinomio es de grado 8 II. El término independiente es 1. III. El coeficiente del término lineal es 1 IV. El coeficiente del término cuadrático es 3 V. Suma de coeficientes es 12 ¿Cuántos enunciados son verdaderos? a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1
Grado( F ) Coef .( F )
2
b)
3
c) 2
2
d) 1
e) ½
3. Hallar la suma de coeficientes del polinomio homogéneo: P ( x, y) x n 3 y 2n 1 (a b) x n y12 (n 1) x a y b
a)17
b)16
c) 20
d) 21
e) 22
4. Indicar el grado del polinomio
P ( x) x
7n
x
n 5
x
n 3
sabiendo que tiene tres términos. a) 3 b) 5 c) 6 d) 4
e) 2
5. Hallar “m” para que el polinomio P ( x) 12 x 2 m3 12 x 5m 15 x m2 sea ordenado. a)1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
CICLO: VERANO
33 a 8. Hallar el valor de:
2
a
99
; si el polinomio
6
9
P(x) (a3 b c 10)xa (c b 9)xa
es idénticamente nulo. a) 2 b) 1 c) 0 d) 4 e) 3 9. Halla la suma de coeficientes del polinomio: P ( x) 3 x 2 a 5 (a 1) x 2a 3 a 2 x 2 a 4 si es de quinto grado. a) 15 b) 18 c) 22 d) 21 e) 24
10.Sabiendo que el polinomio
CP ( F ) TI ( F )
3
1 m 3m 2n 5m n M 9 x y 2 cuyo grado absoluto es 20 y el grado relativo a x es 14. a) 812/8 b) 8/16 c) 16/81 d) 81/16 e) 9/16
2. Sea el polinomio: F ( x) 6 x 3 7 x 2 5x 3 Calcular:
a)
7. Halla el coeficiente de n
EJERCICIOS PROPUESTOS
M
coeficiente tiene el mismo valor que el grado relativo de x. a) 7 b) 3 c) 4 d) 5 e) 8
P ( x) (ax b)( x 1) c( x 2 x 1) es 2 idéntico a Q( x) 2 x 5x 1 Calcular: E = a + b – c a) 1 b) –1 c) 0
d) 2
e) 3
11.Si GA(P) = a y GA(Q) = b sabiendo: GA(P2.Q)=11 GA(Q/P)= b-3 Calcula “ 2b –a “
a) 1
b) 3
c) 5
d) 7
e) 9
12.Si: P ( x 2) ( x 1)(x 3) . Hallar E 4 P (5) P (3) a) 1 b) 2 c) 4 d) 8
e) 3
13.Si: P ( x 1) x x 1 2
Q( x 2) ax 2 bx c Además: P ( x 1) Q( x) Calcular: a + b + c a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
e) 5
Pág. 03
CENTRO PRE UNIVERSITARIO
ÁLGEBRA
14.Si el grado de P(x).Q2(x) es 13 y de P 2(x).Q3(x) es 22. Calcula el grado de: P 3(x) + Q2(x) a) 23 b) 8 c) 15 d) 16 e) 189
b c .d a c a a .c Calcular: E 1 k
15.Calcula “n” si:
a) –1
n 3 n 1 2 n n 1 2 n n 1 1 4 x 1 x x 1 x ( n 0 n 1), es de grado 18
a) 47
b) 24
c) 23
d) 60
n 1
e) N.A
b) 1
b) 1/9
c) 3
d) –1/3
e) ¼
17. Si el grado de la expresión: H ( x, y )
9
m
m 3 m 1 m 3 9 x y
es 36, halla el valor de m. a) 2/3 o –2/3 b) 3/2 o –3/2 d) ½ o –1/2 e) –2 o 2
c) 1 o –1
e) 4
P ( x, y) x m( m1) y ( x 3 ) m1 y m x n
4
4
y
Es un polinomio homogéneo. Hallar “m + n” {m, n} Q
a)6
b) 3
7
a) 1/3
d) –2
22. Si:
c) 4
d) 5
e) 8
TAREA DOMICILIARIA
n 16. Si: P ( x 1) x 1 , P (3) ; Hallar “n”
8
c) 2
01. Si: P ( x) 1 2 3 4 .... x P ( x 2 1)
Calcular: E a) 1
P ( x). P ( x 1)
b) ½
c) ¼
d) 2
e) 4
02. Calcular: E = m + p + q + r Si el polinomio m p p q 2 q r 5 r 2 P ( x) 12 x 8 x 4 x 2 x
18. Sabiendo que los polinomios 2 n2 4 m y 8 x3 y mn P(x,y) = 3 x
es completo y ordenado en forma decreciente. a) 8 b) 9 c) 11 d) 12 e) 13
m3 n3 m2 n 2 mn 3 x y Q(x,y) = x y
03. Calcular “n” para que el siguiente monomio sea de
primer grado:
1 mn son homogéneos. Halla: n m a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
K 3 e) 5
19. Dado el polinomio: M(x,y) = mxm –2yn+5 + 2nxm –3yn + mnxm –1yn+6 cuyo grado absoluto es 17 y el grado relativo a x es 6. Halla la suma de sus coeficientes. a) –5 b) 11 c) 6 d) 51 e) –11 20. Halla el grado de: M(x) = (x 3 +1)(x 1 0 +1)(x 2 9 +1)....(x 1 0 0 2 +1) a) 2161 b) 2505 c) 5025 d) 1035 e) 3045
P ( x) 2 x 5 x 4 x 1 2
c a Q( x) (ax b) (cx d ) k , k 1
donde: P ( x) Q( x)
CICLO: VERANO
(n 1) 4 n x 6 5n 4 x b) 4
c) 6
d) 8
e) 10
04. Dado:
P ( x, y) x n 6 y c x n 5 y b x n 8 y 2b
c
Calcular E = n + b + c sabiendo que es homogéneo; completo y ordenado de ( n + b) términos respecto de una de sus variables a) 20 b) 22 c) 23 d) 21 e) 19 05. Determinar el grado de:
21. Sean los polinomios 3
a) 2
x
(x n 2 y101) n 2 (x n ) n M(x, y) n 1 (xy)n 1 1
Siendo: n>=100. a) 1 b) 2
c) 3
d) 4
e) 5 Pág. 04
PREPARACIÓN A LA:
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ÁLGEBRA
Nº
03
PRODUCTOS NOTABLES
OBJETIVO
ESPECÍFICO:
Reconocer y aplicar los diferentes casos de productos 05. Producto de binomios con término común: notables en la simplificación y reducción de expresiones algebraicas. x a x b x 2 a b x ab
PRODUCTOS NOTABLES
x a x b x c
Los productos notables, también denominada 3 2 identidades algebraicas, son un conjunto de x a b c x ab ac bc x abc fórmulas que permiten calcular los productos sin necesidad de aplicar los criterios 06. Producto de binomios con igual generales de la multiplicación algebraica. variable: Los principales son:
n n 2n n 01. Cuadrado de un binomio o Trinomio ax b cx d acx ad bc x bd cuadrado perfecto: 07. Suma de cubos: 2 2 2 2 2 3 3 a b a 2ab b a b a ab b a b
a b a 2 2ab b2 2
2
2
Diferencia de cubos:
a b a 2 ab b 2 a 3 b 3
2
a b a b b a
a b a b b a 2
2
2
08. Cuadrado de un trinomio: 2
a b c a 2 b 2 c 2 2ab ac bc
02. Identidades de Legendre:
a b a b 2a 2 b 2 2
2
a b a b 4ab 2
2
03. Cubo de un binomio: 3 3 2 2 a b a 3a b 3ab
a b3
a3
b3
a3
3a 2 b 3ab 2
a
3
b
3
09. Cubo de un trinomio: 3 3 3 3 2 2 2 a b c a b c 3a b 3a c 3b a 2 3b c 3c2a 3c 2b 6abc 3 a b c a3 b3 c 3 3 a b a c b c a3 b3 c 3 3 a b c ab ac bc 3abc
b 3
3ab(a b).
10. Identidades trinómicas o de Argand:
a 2 a 1a 2 a 1 a 4 a 2 1
b 3
3ab(a b).
04. Suma por diferencia o diferencia de cuadrados:
a
a
2
ab b2
2n
n
a
a 1
2
a
ab b2 a4 a2b2 b4
2n
n
4n
2n
a 1 a a 1
a ba b a 2 b 2
CICLO: ENERO - MARZO
Pág. 1
Álgebra
CENTRO PRE UNIVERSITARIO
11. Identidades auxiliares:
1)
3
ab
3 3 b c c a 3 a bb c c a
2) a b cab ac bc a b a c b c
12. Identidades condicionales:
Si : a b c 0, se cumple que : 1) a b c 3abc 3
3
3
2) a 2 b 2 c 2 2(ab ac bc) 2
2 2 2 4 4 4 3) a b c 2 a b c 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 4) a b c 4 a b a c b c
2 2 2 2 2 2 5) a 4 b 4 c 4 2 a b a c b c
6) ab ac bc2 ab2 ac2 bc2
04. Si: m –n = n –p = 2. Halla el valor de: m n 2 n p 2 m p 2 P ;. 6 A)1 B)2 C)2 – 1 D)2 – ½ E)4 05. Si se cumple que:
m m2 n 2 4 ;
m m2 n 2 2 .
Halla: n4. A)16 B)64
2 06. Si: x y
C)8
D) 24
E) 32
x z 2 y z 2 0
x 2 y2 5 5 Calcula: M x 2y 2xz , 2x y
donde x,y,zR. A)1
B)
55
D)3
E)
1 5 3
C)2
07. Dadas las condiciones:
x 01. Si
se
cumple
y Calcula: x
a 3 b3 ;
M
2,
x
a b2 –1
B) –3
03. Reduce: M – 1
B) 2
CICLO: ENERO - MARZO
a 2 b2 c2 2
a b c1 ab bc ac 108 Calcula: a+b+c. A)6 B)2 C)3
. D) 8
E) –8
ab. Halla el valor de:
ab
A)3
A) 2
2 y
4
B) –16 C) 2 – 4
A)16
02. Si:
que:
2 y
1
08. Si
x 27 x
A) 9 –1
C)3
0
D)3
E) –1
x y3 y z3 z x3 9x yy z z x
C) –3
D) 1
– 1
E) 5
3
Calcular A x
.
D) 4
B) 30
4
x 4
C) 47
D) 72
E) 81
09. Siendo abc=1 Efectuar:
a
b
ab a 1 bc b 1
A) 1
B) a+b+c
C)ab+ac+bc
D)
E) 3
c ac c 1
1
abc
E)
1 abc
Pág. 2
Álgebra
CENTRO PRE UNIVERSITARIO
1 10. Si
1
1
1
1
;
xy yz zx xyz xyz 0 , x( y z ) z ( y x) y( x z) f calcule: 1 x 1 z 1 y A) 0 D) 2
B) –1 E) – 2
11. Siendo: x 4 y 9 z Según ello reducir:
xy
yz
xz
a ac
a
el valor de:
b
bc
A) 0
ac
B) 3
D) ½
c
ab
E)
B)2 E)5 4
A) 4
18. Si
y 4 6 x 2 y 2 3
B) 3
(a b)2 (b c)(c a)
(b c)2 (c a)(a b)
C) 2
1
2
m
m
A) ½ D) 2
13. Simplificar:
C)3
R (x y)2 (x y)2
C) 1
3
3 1 3 14 3 1 3 14
b bc ; a b y abc 0 .Calcular
E) 23xyz
C) 125
3 x 15x 18 M , x 3 15x 2
17. Si: x Calcular:
D) 31
6
B) 25 E) 1
si: x A)1 D)4
B) -36
además
hallar:
2 1 x 2 x
22 C) xyz
A) 42
12. Si
15. Si:
16. Indique el valor de:
0
x 2 y 2 2 y 3 z 2 3 z x 2
x 5 ; x
A)5 D) 15
C) 1
2
2
D) 5
2 . Halle:
B) 4 E) 3 / 2
E) 6
m12 3m
6
1 .
C) 4 / 6
(c a ) 2 (a b)(b c) 19. Sabiendo que tres números reales y positivos a,b y c cumplen con:
B) a b c E) 3
A) 1 D) abc
1
C) 0
a
1
1
b
c
b c c a a b 6 ,
a b c 3 14. Si se sabe que:
a
2
b
b
a
Calcular : A)5
simplificar:
a3 b3 abc
A) 1 D) 1/ 9
B) 3 E) 1/ 9
2
3 a b . N
B) – 4
CICLO: ENERO - MARZO
8 8 4a b
a b 2
C) 8
2
C) 9
2
D) – 3
E) 6
Pág. 3
Álgebra
CENTRO PRE UNIVERSITARIO
3x 1 0 x 1 Calcular: T x x
20. Si: x
2
x
1x
x 1 x
A) 18 D) 16
B) 22 E) 20
1 x
x
C) 26
21. Si:
5
a 3 a 3 4a 6
a
A) B) 4/3 E) 1
x
0;
C) 2/5
D) 3
B) 0 E) – 2
a b
Calcular:
Hallar: A) 5/2 D) 2
z
A) 1 D) – 3
26. Si:
a
a
z
xyz 0 .
5
a
E
y
y
x 2 yz y 2 xz z 2 xy Calcule x 2 y 2 z 2
TAREA DOMICILIARIA 1
25. Si
b 7 a
M
5 2
C) – 1
8
a 8b b a B) 1
C)
5 1
E) 5
22. Si se sabe que:
x 2 y 2 z 2 xy xz yz Calcular el valor de:
M 9
x y z 10 x10 y10 z 10
A) 4 D) 5
23. Efectua :
B) 3 E) 2
A) 9 D) 6
C) 1
2+ 3 2 3 B) 4 E) 8
6
ES TU ALTERNATIVA
C) 10
24. Si a+b+c=0 y abc=5. Hallar el valor de : E=(ab(a+b)4 + bc(b+c)4 +ac(a+c)4 ) A)60 D) 91
CICLO: ENERO - MARZO
B)25 E) 75
C)70
Pág. 4
PREPARACIÓN A LA:
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS
ÁLGEBRA
Nº
DIVISIÓN DE POLINOMIOS Y
04
COCIENTES NOTABLES
División de Polinomios: Es la operación que consiste MÉTODOS DE DIVISIÓN en hallar una expresión llamada cociente [q(x)] conociendo otras llamadas dividiendo [D(x)] y divisor I. Método de Horner [d(x)]. D(x) = d(x) . q(x) División exacta Para este método sólo se utilizan los coeficientes . D(x) = d(x) . q(x) + r(x) División inexacta En la linea horizontal escribir los coeficientes del dividendo con su propio signo PROPIEDADES En la columna escribir los coeficientes del divisor 1. El grado del cociente es igual al grado del con signos cambiados excepto el primero, que dividendo menos el grado del divisor conserva su signo. o o o Ósea Q(x) = D(x) - d(x) 2. El grado máximo del resto es el grado del divisor Separar de derecha a izquierda, tanto coeficientes disminuido en uno como unidades tenga el grado del divisor: o o Ósea RMAX = d(x) –1 3. Si la división es exacta, el resto es un polinomio Ejemplo:Dividir: idénticamente nulo. 5 4 3 2 Osea R 0 10x 4x 8x 6x 5x 11 4. Si una expresión es divisible por otra al residuo de 2 la división de ambos será nulo 2x 2x 4 CASOS QUE SE PRESENTAN
II. Método de Ruffini Se aplica cuando el divisor es un binomio de primer 1. División de Monomios: En este caso primero se grado de la forma ax+b. dividen los coeficientes teniendo en cuenta la ley de Al igual que en Horner, utilizaremos solo signos y a continuación la parte literal de acuerdo coeficientes . con la ley de exponentes. Ejemplo: Dividir : 81 x10 y15 z 6 Ejemplo: Dividir 9 12 3x y z 5 4 3 2 3x 2x 7 x 11x 5x 1 2. División de un Polinomio entre un monomio x2 Se divide cada uno de los términos del polinomio entre el monomio Observación: Si el divisor es ax + b , a 1, luego de dividir por Ruffini, los coeficientes del cociente deben 8 5 10 9 6 6 42 a b 35 a b 56 a b dividirse entre “a” para obtener el coci ente correcto M 4
7 a b
3
Ejemplo : 3. División de polinomios Se desarrolla por cualquier método ordenando los polinomios en forma descendentes y completando con ceros en caso de faltar un término.
CICLO: ENERO - MARZO 2006- I
3x
Dividir
4
5x
3
17x
2
8x
7
3x 1
Pág. 1
Álgebra
CENTRO PRE UNIVERSITARIO
04. Hallar : m n , sabiendo que la división: 5 3 2 3 x mx nx x 2
TEOREMA DEL RESTO
Se utiliza para calcular el resto sin tener que efectuar la división, se aplica cuando el divisor es un binomio de primer grado de la forma ax + b y en algunos casos especiales. Regla práctica: Para calcular el resto, se iguala el divisor a cero, se despeja el valor de la variable y el valor obtenido se reemplaza en el dividendo. El resultado obtenido es el resto
x 2 3 deja un residuo: 5 x 10 a)11
b)5
x
Ejm. Calcular el resto en
3x
x
x
3
n
a 9
1 d e
7
x
-2
al
5 x
dividir:
x 3x 2
3
2 se obtiene mx n , calcular: m n
a)-4
b)-1
c)0
02. Sea: Q x ax
2
4
3
d)0
e)-1
30
x 29 9 x n
16
3 x 4
a) 6
h -3
6x
4
b) 8
c) 10
d) 12 e) 16
07. Halla el resto de: x y 2 x y 2 z 1 z z 1 1
x y z 3
entre:
un resto de la forma:
d)5 bx c
b) x 2 c)1
c
PROBLEMITAS 01. Si
3 x 2
06. Hallar “n” si la división es exacta:
b
p
2
7
5
2
f g 4
e)4
1 x 2 1
12 x
1 m 2
d)7
05. Calcular el residuo de la división siguiente:
a) x 1 5
c)1
e)4 el cociente de la
a)1
b)2
c)3
d)6
e)9
08. En el esquema de Horner mostrado determinar el valor de: m n p a b c a)20
b)18
c)15
d)5
e)-3
2
división de: 2 x 3 x 8 x 1 4 x entre: x 2 x 1 . Calcular: a b c 09. En una división efectuada por el método de Horner se obtuvo el siguiente esquema: a)-3 b)-4 c)1 d)2 e)3 a 6 e f g h j b 2 m 4 03. Un polinomio c 3 n 6 3 2 2 P ( x) x 2 x 15 x a x 2 a x 15 a d 1 -1 2 2 3 1 -4 -2 5 se anula para los valores x= a y x=5. Otro valor de x que también lo anula es : Calcule: e f g a)0 b)-1 c)2 d)-3 e)4 a)7 b)-7 c)1 d)10 e)3 CICLO: ENERO - MARZO
Pág. 2
Álgebra
CENTRO PRE UNIVERSITARIO
10. Determinar
2
el
residuo
5 x 2
en: 15. Calcula “m+n+p” si el resto de la división: mx 8 nx6 3x5 2x 1 , x3 1
4
x
4 x 12 a)8
b)11
c)12
d)10
2 es 7 x px 3 .
e)9
a)6
b)2
c)3
d) 4
e) 5
11. En el siguiente esquema de Ruffini: 5
*
* *
2
*
9
x
16. Indique el resto en:
-5
*
-9
*
*
*
*
11
b) 1
c) 2
d) 4
e) 5
-1 e
C
D
E
F
1
3
5
7
9
d
c
b
a
0
13. Halle el resto en:
d)-25
e) 8 x 3
4
b) 1
c) 13
2x
a) 18
b) 19
CICLO: ENERO - MARZO
2
c)16
e) 20
2
2
b) 20 x e) 17 x
c) 19 x
4
1 x 2
c) x 2
14. Calcula “a+b” si la división es exac ta: Si: bx 4
d) 10
2
a) 21 x d) 18 x
b) 2 x e) x
c)0
x 1 x x x 5 x 6 x 2 x 4
19. Hallar el valor de: a b c si el resto de la división indicada siguiente: ax5 bx4 cx3 5 x 3 x 2 x 2 2 es: 7 x 8x 3 2 x
5
5
18. Señalar el residuo en la siguiente división:
e)0
3
x
ax
4
1 x 2
x x
a) x 1 d) x 1
3
3
d) 3 x 3
a) 11
Determinar la sumatoria de coeficientes del polinomio dividendo. c)50
x
x
2
B
b)-50
b) 8 x 3
2
a)100
3
17. Determinar el valor de m y n para que el polinomio: 20 19 P x nx mx mx 1 sea divisible por x 1 . Dé como respuesta: 9mn
12. Del esquema de Paolo Ruffini: A
1
a) 8x 3
4
Calcular la suma de coeficientes del cociente. a) 3
x
3
3 x
x
18
1
d)14
5
.
a) 21
3
b) 20
c) 30
d) 40
e) 50
e)15
Pág. 3
Álgebra
CENTRO PRE UNIVERSITARIO
20. Halle
el
f x
resto
en
la
división
x 2 x 2
5
de: 25. Al dividir un Polinomio P x entre el producto de x 1 x 3x 2 , el resto obtenido es:
x 2 5x 1 .
2 con x 4
Encontrar el resto que se obtiene al dividir P x
a) x 2 b) x 2
c) 0
d) 5 e) 3
entre: x
el
resto
de
dividir:
14
2
2x 2
a) 2 x d) 4x 5
b) 2 x 11 e) x 11
c) 2 x 1
119
x
5
1
b) 2x 3 e) 4 x
c) 4x 3
5 2 x 1 x 13 3 x 3 2 x x x 1
se obtuvo un resto R(x), en consecuencia, halla el valor de:
x x
22. Hallar el resto en:
x 2
26. Al realizar la operación:
x 135 7 x2 2 x 1 3 x 117 x 16 3 entre: x
a) x 5 d) 2 x 1
TAREA DOMICILIARIA 21. Calcule
2
R(1) R(1)
a)7/5 b)5/7 c)8/7 d)7/8
e)1/7
1
x 1 2 a) x x 1
d) x x 1 2
b) x3 x 1 e) x 4 x 1 119
23. Hallar el resto de dividir: a) x 3 e) 3 x
2 x
" n"
1
x 2 x 1
b) 4 x 2
24. Calcular
c) x x 1
c) 3 2x d) 2 x 3
si el residuo de la división:
INGRESO DIRECTO
x 3n x 1n nx x 1 x 5 1 es: x 2 21 18 x ; n es par. 2
a)5
b)4
CICLO: ENERO - MARZO
c)3
d)2
e)1
Pág. 4
PREPARACIÓN A LA:
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS
ÁLGEBRA
Nº
4) La condición para que una fracción de la
COCIENTES NOTABLES
x
Son aquellos cocientes exactos que se pueden obtener sin efectuar la división
x Forma general :
n
a
n
nZ
xa
05
p
a
q
forma
x r a s
p
q
r
s
sea un C.N es
n
Donde “n”; número de términos
Casos de cocientes notables TÉRMINO GENERAL
Forma
n
x a
Cociente Notable
xn an x a xn an xa xn an
Siempre es C.N Si “n” es impar
xa xn an x a
Si
n
xa
es un C.N y Tk es el término que
ocupa el lugar “K” e n su desarrollo, entonces n k k 1 . k
t signo x
a
El signo se coloca según el caso al que corresponda. Si “n” es par
PROBLEMAS
Nunca es C.N
01. Sea el cociente notable:
x 2 Características de un Cociente Notable: 1) El número de términos que tiene el desarrollo se obtienen dividiendo los exponentes de una misma variable; se representa por “n”. 2) Si el denominador es de la forma “x -a” los
signos de los términos en el desarrollo serán positivos.
3) Si el denominador es de la forma “x+a” los signos de los términos en el desarrollo serán alternados positivos y negativos.
a 1
x
3
y y
b3
2
a2 si posee 5 términos indique: A) 3 D) 7
B) 5 E) 2
b
a
C) 8
02. Si el cociente notable:
x 5
a7
x 4
y y
24
3
si posee “m” términos, indique: “a.m”
A) 35 D) 45
CICLO: VERANO ENERO – MARZO
B) 27 E) 50
C) 40 Pág. 01
CENTRO PRE UNIVERSITARIO
ÁLGEBRA
03. Indicar el cuarto término del C.N
x
9
y
07. Sea el C.N
(3 x 1)17
9
B) x3y4 E) x2y4
Si:
C) x7 y
24
x
3
A)-x9y8 D) x6 y14
y
A) 45 D) 55
16
m
x
2
y B) x8y9 E) –x6y14
x
y
C)x9y8
y
x
3
y
2
Si el sexto término tiene como grado absoluto 19 A) 6 B) 8 C) 7 D) 9 E) 11 09. Calcular “m + n” si el término de lugar 17 del C.N:
3
y Indique: “ m - b” A) 4 B) 7 D) 2 E) 5
x 92m y 69n
C) 3
x 4 m y 3n es: x 1 2 0 y 9 6
06. Dar los valores de verdad:
x
7
y
A) 6 D) 9
16
( ) Es un C.N: x 3 y 6
x
60
x 7
y
y
90
CICLO: VERANO ENERO – MARZO
C) 8
( x 1) 20
( x 1)
20
4 x el t7 =( x +1)m. ( x – 1)n
7
x y B) VVV E) FFF
B) 7 E) 10
10. En el C.N:
( ) Posee 15 términos: x 4 y 6
A) VVF D) FVV
C) 60
27
2
( ) Es un C.N:
B) 48 E) 70
08. Indicar cuántos términos tiene el desarrollo del C.N 3a 2a
05. Si el sexto término es x 8yb del C.N:
x
t 13 =(3x + 1) p (3x -1) q
indicar el valor “pq”
04. Indicar el 5 to término del C.N
x
(3 x 1)17
6 x
x y A) –x5y3 D) x5y3
C) VFV
Dar el valor de: m + n A) 18 B) 15 D) 12 E) 11
C) 13
Pág. 02
CENTRO PRE UNIVERSITARIO
ÁLGEBRA
11. Hallar el valor numérico del término de lugar 23 para x = -1; del desarrollo del C.N:
16. Determine el término central en la siguiente división notable:
1 ( x 4) 26 x 26
2
x 2
A) 81 D) 64
B) 9 E) 8
( x a)14 x
C) 27
2
a
14
2ax 2a 2
A) a6(x+a)6 D) –a7(x+a)6
B)-a7(x +a)7 E) –a6(x+a)6
C) a7(x +a)6
12. En la división:
(3 x 1) 25
(3 x 1) 25
x
17.- Calcular " m" que:
tiene un término de la forma: m(9x 2 – 1)n Hallar “ m + n”.
A) 16 D) 20
B) 14 E) 22
Señale: A) 4 D) 7
C) 18
13. Sea el C.N:
x
5 m 1
x
y
m 5
m 1
14. Si xma24 es termino central del desarrollo del C.N
a x c a 2
x
b
A) 1 D) 4
,
n
2
ab b como una división notable y siendo uno de los términos de su cociente notable
A)12 D)18
2 5
)
, calcular el valor de “n”.
B)16 E)20
CICLO: VERANO ENERO – MARZO
C)17
2
n 1
2 9 7 n
x2pm
C) 3 x
29 7 n
y
1
x
A) 72 D) 60
C) 59
15. Luego de expresar:
b
m 1
B) 2 E) 5 x
27
(a b) n (a b) n
2(a 2
b
m 2
19. Hallar el número de términos de la siguiente división notable
x
B) 79 E) 99
m 7
B) 5 C) 6 E) No es C.N.
indicar el valor de: “ m + b + c”
A) 69 D) 89
a
2 m 2
b
Calcular el grado absoluto del término central de su desarrollo A) 56 B) 63 C) 60 D) 71 E) 70
75
2
2 m3
18.- Simplificar: x2m1p x2m2p .... x2p xp 1 mp H 1 x m1p m2p 2p p x x ... x x 1
12m 5
y
m
a
27
B) 71 E) 50
1
81
y
n
n
2
1
9
C) 70
20. Si los grados absolutos de todos los términos van disminuyendo de 3 en 3 y si además el t(40) de su desarrollo tiene grado absoluto(G.A) =87, hallar el numero de términos siendo el C.N.: np p
x
x
A) 52 D) 30
n
a
a
B) 50 E) 42
C) 47
Pág. 03
CENTRO PRE UNIVERSITARIO
ÁLGEBRA
05. Calcular el valor numérico del término central del desarrollo de:
TAREA 01. Hallar el número de términos de la siguiente división notable
x
150
x
n
A) 7 D) 4
y
para
6
y B) 6 E) 8
x
A) 1 D) 4
C) 5
8xy x 2 y 2
n
3; y
B) E) 2
2 2 3
C)
2
06.Si un término del cociente notable que resulta al m m n
02. Simplificar 78
76
74
2
x 1 E 38 36 34 2 x x x x 1 x
x y 100 x y 100
x
A) x40 +1 D) x20
x
B) x40 – 1 E) x40
C) x20 + 1
x
dividir:
x 3 y m 3
y
y m 2
es x12 , Hallar el valor de: m n A) 51 B) 52 C) 53 D) 54 E) 55
03. Que grado ocupa el termino de grado 34 en el cociente notable generado por:
x 40 x2
y 20 y
A) 4 D) 8
B) 5 E) 6
C) 7
04. Sabiendo que al dividir
x x
25n
3 n 1
y y
25n
INGRESO SEGURO
3 n 1
Se obtiene como segundo termino – x 1 6 y. De cuantos términos está compuesto su cociente notable. A)4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
CICLO: VERANO ENERO – MARZO
Pág. 04
PREPARACIÓN A LA:
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS
ÁLGEBRA
FACTORIZACION
OBJETIVOS ESPECÍFICOS: Identificar la factorización como una operación inversa de la multiplicación y manejar adecuadamente los métodos para factorizar expresiones algebraicas con rapidez y seguridad.
FACTORIZACION DE POLINOMIOS
Nº
06
METODOS DE FACTORIZACION METODO DE FACTOR COMUN Factor común monomio.- Es el monomio que está contenido en todos los términos del polinomio considerado. El factor común se extrae de cada término, elevado a su menor exponente.
Factorizar es el proceso que consiste en Ejemplo (1): Factorizar x y xy . transformar una expresión algebraica racional y entera en un producto indicado de factores Factor común polinomio .- Cuando existe un polinomio contenido en todos los términos del primos en el campo R. polinomio considerado. FACTOR.- El factor de una expresión es aquél que la divide exactamente. Ejemplo: Ejemplo (2): Factorizar x(a 1) (a 1). *a.b.c = X a, b y c son factores de X. Solución: Extraemos el factor común (a-1) 2 * y(y+1)=y +y y y (y+1) son factores de x(a 1) (a 1) (a 1)( x 1) 2 y +y. Factor común por agrupación de términos .Factor primo.- Es aquel que no se puede Se agrupan los términos de 2 en 2, de 3 en 3, descomponer en otros factores (diferentes de etc. considerando alguna característica común. uno). Ejemplo (3): Factorizar x4a x4y z4a z4y Ejemplo: (5) (7), donde 5 y 7 son factores Solución: Agrupando en la forma indicada: primos. 5
3
2
4 4 4 4 POLINOMIO PRIMO. – Es un polinomio de x (a y) z (a y) (a y)(x z )
grado diferente de cero divisible sólo entre sí y METODO DE LAS IDENTIDADES 2 entre cualquier constante. Por ejemplo: x +1 es un polinomio de segundo grado divisible sólo En este caso utilizaremos los productos entre sí mismo. notables. Si en una multiplicación indicada, uno de los Diferencia de cuadrados: factores tiene las características de un polinomio cero, dicho factor se denomina 2 2 factor primo. a b (a b)(a b)
PROPIEDADES
Solamente se pueden factorizar las Ejemplo (4): Factorizar expresiones compuestas (no primas). ( x 1) 2 ( y 1) 2 El máximo número de factores primos que puede tener una expresión estará dado por su Solución: grado. ( x 1) ( y 1) ( x 1) ( y 1) Las expresiones de primer grado, llamadas ( x y 2)( x y ) también expresiones lineales, necesariamente son primos.
CICLO ENERO – MARZO
Pág. 1
Álgebra
CENTRO PRE UNIVERSITARIO 3
METODO DEL ASPA Método del aspa simple.- Se utiliza para factorizar
trinomios
de
la
forma.
2m mn 2n ax bx y cy .
posibles ceros: ...................................................
7 x
5
2x
4
3,
posibles ceros: ..................................................
x3 3x 4 Solución: Posibles “ceros”: 1, 2, 4 .
Ejemplo (8): Factorizar:
Ejemplo (5): 2
x6,
x
Se anula para x 1 (x-1)es factor. El otro factor se obtiene al dividir por Ruffini entre (x-1)
2
Factorizar a b 3a 3b 2ab 28
Solución: (a b)2 3(a b) 28 (a b 7)(a b 4) a b 7 a b - 4
1 1
0 3 -4 1 1 4 1 1 4 0 Segundo grado
2
Método del aspa doble .- Se utiliza para La expresión factorizada es: (x 1)(x x 4) . factorizar polinomio de la forma: METODO DE LOS ARTIFICIOS .- En este caso, 2 2 Ax Bxy Cy Dx Ey F Ejemplo (6): Factorizar 2 x 3 xy 4 y 2 7 x 8 y 12
4y
x
4
x -y 3 Los factores son: (x+4y+4)(x-y +3). Caso particular. – Se emplea para factorizar polinomios de la forma: Ax 4 n +Bx 3 n +Cx 2 n +Dx n +E.
Ejemplo (7): Factorizar 4
3
2
x +7x +17x +26x+12.
mediante sumas y restas trataremos de formar trinomio cuadrado perfecto para exponentes pares o suma o diferencia de cubos para exponentes impares. También se pueden hacer cambios de variables.
Ejemplo (9): Factorizar 4 x 81y 8
4
MAXIMO COMUN DIVISOR Y MINIMO COMUN MULTIPLO MÁXIMO COMÚN DIVISOR
PROCEDIMIENTO PARA LA OBTENCIÓN: Para
obtener el MCD de dos o más expresiones algebraicas, en primera instancia se factoriza DIVISORES BINOMICOS.- Se utiliza para éstas y luego se forma el producto de los factorizar polinomios de cualquier grado factores comunes elevados a su menor siempre que tenga por lo menos un factor de exponente. primer grado. Regla: Se calcula los valores de las variables que anulen al polinomio para obtener factores MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO binomios (ceros del polinomio). PROCEDIMIENTO PARA LA OBTENCIÓN: Para Ejemplo, si se anula para: determinar el mcm de varias expresiones se * x = 3, entonces (x - 3) es factor factorizan estas y a continuación se forma el * x= - ¼, entonces (4x + 1) es factor producto de los factores comunes y no Se divide por Ruffini al polinomio entre el factor comunes elevados a su mayor exponente. o factores binomios obtenidos, para obtener el PROPIEDADES: factor que falta.
Regla para obtener los posibles “ceros”: Si el coeficiente del término de mayor grado es la unidad, los posibles “ceros” son los divisores del término independiente. Si el coeficiente del término de mayor grado es diferente de la unidad, los posibles “ceros” serán, los divisores del término independiente divididos por los divisores del coeficiente del término de mayor grado. Ejemplo:
CICLO ENERO – MARZO
–
–
El MCD de dos o más expresiones primas entre sí es la unidad y su m.c.m es el producto de ellas. Sólo para dos expresiones algebraicas A y B se cumple que:
A.B = MCD ( A,B ).m.c.m. (A, B ) –
Cuando no hay factores comunes el MCD será 1 y el mcm, el producto de ellas.
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Álgebra
CENTRO PRE UNIVERSITARIO
EJERCICIOS
10. Factorizar: 1. Encuentre una diferencia de los factores primos y mónicos de: R(x) = (x+10) (x+11)(x+12) + (x+10) (x+11) + x+10 a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) 0
F(x;y)=(x+1)(x+4)-9y(y-1) Indicar un factor primo
a) x+2y+1 c) x-3y-5 e) x+y+3
b) x+3y+1 d) x+4y-6
11. Si luego de factorizar T(x)=4x4-13x2+9 2. Factorizar: P(x;y) = 25x4 – 109x2y2 + 36y4 Se obtiene: Indique el número de factores primos A = de los factores primos lineales. B = de los términos a) 1 b) 2 c) 3 independientes de sus factores d) 4 e) 8 primos. C = Número de sus factores primos 3. Factorizar: 6 2 P(x) = x – x – 6x – 9 Calcular: R= Indicando el número de factores primos obtenidos a) 1 b) 2 c) 3 a) 1 b) c) 2 d) 4 e) 5
AB
6 x
4
C
2 x
2
x
4
d) e) 4. Cuál es el binomio que es divisor de la suma de los factores primos de: 12. Determine “” si es un cer o de P(x) P(a;b) = a4 + b4 – 4ab(a2+b2)+5a2b2 P(x) = 7X3 – 57X2 + 57x-7 a) a+b b) a-2b c) a-b a) =2 b) = -7 c) 1/7 d) a+2b e) 2a-b d) = -1 e) = -1/7 5. Calcular la suma de los factores primos de: 13. Factorizar: R(x;y) = X2(x-y)2 – 14xy2 (x-y) + 24y4 X3 – 3x2 + 4x-2 a) 2 (2x-y) b) 4x-y c) 4x e indicar un factor. d) 4 (x-y) e) 4(x+y) a) x + 1 b) x-1 c) x2+x+1 2 d) x +2x-2 e) x+2 6. Calcular un factor de: a2 + 2a + ab + b + 1 a) a+b+1 b) b+1 c) b-1 14. Luego de Factorizar: d) a-1 e) a+b N(x;y) = 6x2 + 19xy + 15y2-11x+4-17y Indicar un factor: 7. Factorizar: m2-4p2+4mm+4n2 y calcular la suma de los factores primos obtenidos a) 2x + 3y-1 b) 2x-3y+1 a) 2m + 4n b) m + n + 2p c) m+n c) 3x-5y+4 d) 3x+y+4 d) 2m+n e) m+2n e) 3x+5y+4 8. Calcular la suma de coeficientes de un factor 15. Factorizar: primo: P(x) = x5(x-3) + x3(2x-1) + (x+2)2-8 e indicar un 4 2 4 8 S(m;n) = 7m +29m n – 36n factor primo a) 48 b) -1 c) 35 a) x +2 b) x3-x-2 c)x3-x2+x-2 2 2 d) 42 e) 0 d) x +1 e) x -x-3 9. Factorizar: P (a;b;c)= a2+a-b2+b-c2-c+2bc Y dar un factor primo: a) a+b+c b) a-b+c++1 c) a-b-c d) a-b-c+1 e) a+b+c-1
CICLO ENERO – MARZO
16. Luego de factorizar 5 4 3 2 M(y) = y -3y -23y +51y +94y-120 indique cuál es el factor que no proviene de “M” a) y-5 b) y+4 c) y+2 d) y-1 e) y+3
Pág. 3
Álgebra
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17. Factorizar: P(x;y) = 6x2 – 2xy – 3x – 24y – 8y2 – 18 e indicar un factor primo a) 3x+4y-6 b) 2x+2y-3 c) 2x+2y+3 d) 3x+4y+6 e) 3x-4y+6 18. Factor:
R(x;y) = 28x2-69xy-22y2-36x-71y-40
25. Hallar el MCD de los siguientes A = 3x5 - 2x4 – x3 + 2x2 – 2x B = x5 – x e indica el número de divisores algebraicos que posee a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e)10
e indicar el término independiente de un factor 26. Hallar el término lineal del MCD de : primo obtenido A = x4 + x3 – 6x2 – 5x – 1 a) 5 b) 4 c) 8 d) 2 e) 1 B = x4 – 7x2 + 1 a) x b) 2x c) 3x 19. Si luego de factorizar: d) –3x e) –2x
M(x) = 2x4 – 3x3 – 1
Un factor se evalúa para x = 2 , se obtiene: a) 2- 2
b) 1- 2
d) 1+ 2
e) 3 +
c) 5 +
2
2
20. Indicar un factor primo obtenido al factorizar: E(a;b;x;y) = ab(x2+y2) + xy (a2 + b2) a) a+x b) a+y c) ab+x
d) b+xy
e) ax+by
21. Al factorizar:
A = (n-1) (n+2)(n-3)(n-6)+7n2-28n+1 Se obtiene 2 factores que se diferencia en: a) 2 b) 5 c) 7 d) 12 e) 16
22. Hallar el MCM de los polinomios P(x;y) = 2x2+xy-15y2-4x+10y Q(x;y) = 2x3-5x2y+2xy2-5y3 2
2
a) (2x-y) (x+y-2) (x +y ) 2
2
b) (x-5y) (2x+y-2) (x +y ) 2
2
c) (x+5y) (2x-y+2) (x +y ) 2
2
d) (2x-5y) (x+3y-2) (x +y ) 2
2
e) (2x+5y) (x-3y+2) (x +y )
27. Hallar el MCD de :
A = x5 – ax4 – a4x + a5 B = x4 – ax3 – a2x2 + a3x a) x+a d) (x+a)/x-a)2
b) (x-a)2 e) (x+a)2
c) (x-a)(x+a)2
28. Hallar el MCD de :
A = x6 – y6 B = x3 – 2xy3 + y3 +2x2y2 C = x8 + x4y4 +y8 a) 1 d) (x-y)2
b) (x+y)2 e) x2 – 1
29. El T.I. del MCD de : A = x4 + x3 + x2 + 2x + 1 B = x5 + 2x3 + x2 + x + 1 a) 1 b) 2 d) -1 e) –2
c) (x+y)(x-y)
c) 3
30. Hallar la suma de coeficiente del MCD de :
A = x6 + x4 + x – 1 B = x6 – 2x3 – x2 + x + 1 a) 3x2 d) –x2
b) –2x2
c) x2
e) no tiene
23. Hallar el MCD de los polinomios
M(x) = 2x4 + 5x3 + 2x2 – x – 2 N(x) = x4 - x3 - 6x2 + 4x + 8
e indica la suma de sus coeficientes a) 1 b) 0 c) 2 d) 3 e) – 2 24. Indica la suma de coeficientes del MCD de los polinomios
ESTUDIA MUCHO Y TRIUNFARÁS
P(x) = x25 + x2+1 y Q (x) = x5+x+1 a) -2
b)1
c)3
CICLO ENERO – MARZO
d) -4
e) – 1
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PREPARACIÓN A LA:
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS
ÁLGEBRA
Inecuaciones
: menos infinito : mas infinito
Al finalizar el tema el alumno será capaz de: 1. Poder determinar la relación correcta entre los números reales y aplicar correctamente las propiedades de las desigualdades. 2. Saber definir los intervalos (abierto, cerrado, etc.) 3. Determinar el conjunto solución gráficamente (recta numérica) Es la relación de orden que se establece entre dos cantidades que poseen diferente valor.
DEFINICIONES
Siendo a R, se establece: a > 0 a es positivo a < 0 a es negativo a es no positivo a 0 a es no negativo a 0
Sean a, b, c, y d R 1. Si: a > b ......... ( i ) y c > d ......... ( ii ) ( i ) + ( ii ): a + c > b + d
2. Si: a > b ........ ( i ) y c < d ........ ( ii ) ( i ) – ( ii ): a - c > b – d INECUACIONES Es toda desigualdad condicional que contiene una o más cantidades desconocidas (las variables) y es verdadera sólo para determinados valores de las mismas. 3x 4 0; 4 x 1 0; x 1 4 Las inecuaciones pueden ser lineales, cuadráticas, exponenciales, etc.; de acuerdo a la expresión representada. 2
entonces se define: 1. Ley de Tricotomía: Siendo a y b reales, una y solo una de las siguientes sentencias es valida.
Ab 2. Ley Aditiva Si a < b y c R a + c < b + d
2
Conjunto Solución, lo constituyen todos los números que desigualdad.
hacen
verdadera
la
INTERVALOS
3. Ley multiplicativa Si a < b y c > 0 ac < bc 4. Ley Transitiva Si a < b y b < c a < c RECTA DE LOS NUMEROS REALES ( R ) Sea el numero “n” ( n R)
CICLO: ENERO – MARZO
PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
Ejemplo:
AXIOMAS DE ORDEN: Si a; b y c R,
07
Donde:
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE:
n – b. 2) Si: a < b 3) 4) 5) 6) 7)
1 a
1
; a, b 0 ,a,b tienen el b
mismo signo. Si: x < y < z x < y y < z. Si: |x| < a a > 0 – a < x < a. Si: |x| ≤ a a ≥ 0 – a ≤ x ≤ a. Si: |x| > a x > a x b y
a,b, c Positivos.
E)
A)
B)
ab
a
a b D)
C)
b
E)
c
a
b
a
N=
b
9; C) 9;
B) a ]1/2;1[ D) a [-2;2]
[-2;-1/2]
E) a [-1/2;2]
9; D) 9;9
A)
E)
tomando en valor absoluto es menor o igual a 2.
1 1 x / 0 3 x 13 2 x 71
Halle M N
ax2 + ( 1 – a2) x – a > 0
] -1/2;0]
;2 / 3 2;
c
9.- Hallar los valores de “ a ” para los cuales todo valor de “ x ” que satisface la desigualdad:
A) a C) a
B)
x 2 x 2 x / M= x 9 x 1
c
c
“ a ”
12.- Dados los conjuntos
a b
c
c
x ,
2; D) 2 / 3;2
;2 C) 2 / 3;2
c) 1
8.- ¿Para que valor o valores de “ x ” la siguiente desigualdad : x
2
entonces podemos afirmar que pertenece al intervalo.
b) 7 e) 0
ax – c = b
x x 1 2
13.-
B)
13/ 3;
Si al resolver la inecuación:
x
2
4 5 2 3 3
3
9
x
x
6 2
3
x
5
2
x
7
x
x
x
3
99 9
4
0
Se obtiene como conjunto solución a:
10.- Resolver la inecuación:
; ab; cc; d
x2 + x + x +1 0
Halle a + b+ c + d
0;1 D)
A)
B)
1;0
E)
CICLO: ENERO – MARZO
C)
1;1
A) 3 D) -1
B) -5 E) 9
C) 6
Pág. 4
CENTRO PRE UNIVERSITARIO
ALGEBRA
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 14.- Demuestre las desigualdades 17.- Resolver la desigualdad
ab 2
ab
a,b 0
y cual es la menor cota superior que toma
21 , “ c “ es un entero positivo A) 10 D) 6
x 2 x 2 1 x
B) 11 E) 4
C) 5
A) x
,1 2,
B) x
,1 2,
2,3
C) x 15.- Si “ n “ es un entero mayor que la unidad que verifica
2,
D) x 1 . 2 . 2 n
1 1 3
1 2
n
2
1 7 6 . 2 . 2
n
. . . .
n
n
1 1 3
1 2
n
>
n
n
n
. . . .
18.- La siguiente desigualdad:
n
n
3
B) 32 E) 27
3
2(0.125) 33
2 x3
1)
3 (0.5) 27 (18..3
2,
B)
C)
,2
D)
E)
0,
C)
x=0
1
4,
2x
x
D)
x
1
19.- Hallar el conjunto solución de:
x
1)
2
x
6
5
A)
1, 6
B)
C)
5 6
D)
3,
E)
CICLO: ENERO – MARZO
6
x 1 x 1 B) x
E)
A)
3
A)
C) 21
x
6
1 x 1 x 3
se verifica si y solo si :
16.- Señale el intervalo no solución al resolver la desigualdad: x
1 x3 8
n
Determine la suma de todos ellos A) 28 D) 20
1,
D) x
,
30
6 5
5,
5 6 ,
Pág. 5
CENTRO PRE UNIVERSITARIO
ALGEBRA
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
20.- Un comerciante disponía de una cantidad de dinero para comprar un cierto numero de objetos iguales entre si. Pensaba comprarlo al peso al precio de S/. 50 c/u y le faltaba mas de 48 soles, después pensó comprarlo al precio de S/. 40 c/u y le sobraban mas de S/. 152, por ultimo los compro al precio de S/. 30, y le sobraron menos de S/. 392 ¿Cual fue el número de objetos comprados? A) 15 B) 18 C) 21 D) 12 E) 16
4.- Se compra igual cantidad de lapiceros de 2 colores, al venderse la cuarta parte, quedan menos de 118 por vender, y si se vendiera la sexta parte quedarían mas de 129 por vender ¿Cuantos lapiceros se compraran? A) 160 D) 150
B) 156 E) 148
5.- Señale las raíces negativas de la inecuación Siguiente:
TAREA DOMICILIARIA
abx a b
2
abx a b
2
2
2
1.- Sabiendo que
x a
1
se deduce que: 2
Siendo a > b
x 1 b 1 1 x 3
A) C)
Indique: b + c
1;0
2
, a
RF =0 se tiene Si a
11.Si el intervalo < 1; 2> es el rango de la función f tal que
B) 1/3
C) [-4; 1]
C) 39
(3a ) x 1 ; a
A) 1/9
2
13. Si:
x 2
x
halle la suma de elementos del rango 07. Dado el polinomio P(x) = x3 + (a+1)x 2 + x, se define la
A) 0
B) 1
función f con dominio {0,1,2,3,4,5},por: f(a) = resto de la
D) ½
E) 3
C) 2
división de P(x) entre (x + a). Calcular f(2) + f(3) A) 8
B) 7
D) 10
E) 5
C) 9
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– CICLO ENERO – MARZO Pag. 4
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ALGEBRA
14. Siendo F una función lineal tal que:
{ (n; n), (3;9), (-1;1)}
18. A partir de una hoja rectangular de metal 12 pulgadas
F
de ancho, se desea construir un canalón para desaguar la lluvia. Para ello se doblan hacia arriba dos lados de
Halle el valor de: 2n2 + 3 A) 35
B) 3
C) 53
D) -32
E)21
manera que quedan perpendiculares a la hoja ¿Cuántas pulgadas se deben doblar para que el canalón tanga capacidad máxima?
15. f es una función tal que { (-2,0),(5,0),(0,r)
f
2
2 mx n ; ( ) f x x además 3
f ( x) x2 4 x 7, x [2,3]
A)-42
B)38
D)-38
E)-40/3
C)42
16. Dada una función constante (F) que verifica:
3 F (3000) 5 F (5000) 4 F (4000) 2
Halle: (F(2005))-F(2006) A) 1 B) 4
2
B) 2 D) 18
19. Hallar el rango de la función:
el valor de m –3 (n+r) .
D)
A) 3 C) 4 E) 16
1
A) [ 3, 4]
B) < 3, 4>
C) [ -3, 4]
D) [ 2, 4 ]
E ) < 2, 4 >
20. Sea f(x)=7 + 4x –x2 ; g(x)= 2 –2x + x2, xCVR.
Rang.
Halle Ranf C) 9
A) D) [-11,-1]
B) R E) [1; 11]
C) R+
E) 1/9 21. Hallar el dominio de la función:
16. Si I(x) = x(2000 – x) representa el ingreso donde x es el número de artículos vendidos, encuentre el ingreso
f ( x)
máximo. A) 1000
B) 1 000 000
C)10 000
D) 2 000
A) R- [0,1> D) R – [1, 2 >
1
x B) R E) R –
C) R- [-1,1> 0
E) 2 000 000
17. Si los elementos del rango de la función f tal que
2n
f ( x)
x 2 ax
1
; n Z
4
ESTUDIA Y TRIUNFARAS
Son siempre positivos, halle la variación de a. A) C) [ -1, 1/2]
> D) < 1/2, + > B) < -1, +
E ) < 2, 4 >
CICLO: ENERO MARZO
Pág. 5
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ALGEBRA
TAREA
26. Hallar el valor mínimo de la función:
3 ( 2 cos 2 x cos 2 x ) 2
2
22. Hallar el rango de la función F(x)= x2 –2 A) [-4,+ D)
-3 B) R
, -4]
C) [3, +
F(x) = A) No existe D) 1/8
E) R - {4 }
x 2
C) 1
> 27. Considérese la función f con máximo dominio posible,
f ( x)
23. Al graficar la función cuadrática
F ( x)
B) 0 E) 1/64
px q
2 x
Entonces, el rango de f es: A) [ -2, 2 ]
Se obtiene:
2 x
D) [ 2, 2
B) [0, 2 ]
2]
C) [ 2, 4]
E) [4, 8]
qb Calcular:
A) 1 D) 4
p a B) 2 E) 5
C) 3
ES TU ALTERNATIVA 24.
Dado un triangulo ABC cuya base es AC= 12 y su altura BD= 6 está inscrito un rectángulo KLMN cuya altura es x. Hallar el valor x0 que maximiza el área del rectángulo. A) 3
B) 18
D) 2
E) 5
C) 4
25. El área de la región limitada por las funciones
f ( x) 5 2 x 2 A) 30 u
2 B) 100 u
2 D) 80 u
2 u E) 50
y g(x)= -5 es: 2 u C) 40
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– CICLO ENERO – MARZO Pag. 6
Álgebra
CENTRO PRE UNIVERSITARIO
PREPARACIÓN A LA:
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS
LOGARITMOS
6. LOGARITMO DE UNA POTENCIA:
01. DEFINICI N
log NM M . log N Se denomina logaritmo de un número b b positivo “N” en una base dada “b” positiva y diferente de la unidad, al 7. LOGARITMO DE UNA RAÍZ: exponente real “x” al que se debe 1 MN log log N elevarse la llamada base para obtener b b M una potencia igual al número dado. Simbólicamente: logb N
bx
x
N
Se lee: “El logaritmo del número N en base b es x” N es el número al que se toma logaritmo y debe ser positivo. b es la base del logaritmo y debe ser positiva y diferente de 1. x es el logaritmo (exponente)
34
Ejemplos:
5 2
81
log 81
4
3
1 25
log
1 5 25
2
02. PROPIEDADES
logbN
2.LOGARITMO log
b
1
FUNDAMENTAL:
N
Ejemplo:
a)
log N
log
b
c)
n A
log
ab
n
n
m
A
m
p d) log q N b
p log N b q
log N b e) P
N
log
b
P
13
log13 5
DE
5
LA
UNIDAD:
De
base “b” log N k log N b log b k
a
base
Consecuencia:
log b b
DE
LA
BASE:
1
“k”:
1
log N b
log
0
3. LOGARITMO
aN
m
m log A b) An
log
ba
Na
9. CAMBIO DE BASE:
1. PROPIEDAD b
8. PROPIEDADES ADICIONALES:
N
b
10. REGLA DE LA CADENA:
log a log b log c b c d .
.
log a d
4. LOGARITMO DE UN PRODUCTO: log
b
(M N) .
log M b
log N b
5. LOGARITMO DE UN COCIENTE: log
M b N
CICLO: ENERO-MARZO
log M b
log N b
03. SISTEMA
DE
DECIMALES,
LOGARITMOS
VULGARES
O
DE
BRIGGS Base
: 10
Notación : log 10 N
log N Pág. 1
Álgebra
CENTRO PRE UNIVERSITARIO
PROBLEMITAS
Ejemplos:
log 1
log 10
0 1
log 0,1
1
log 0,01
01.- Hallar el logaritmo de :
2
5
n log
log 1000....0
0,00...1
2
n
55
n cifras dec.
n cifras cero
A)
04. LOGARITMOS IMPORTANTES log 2 = 0,30103
log 3 = 0,47712 D)
log 5 = 1 – log 2
05.
SISTEMA DE LOGARITMOS NEPERIANOS, O NATURALES e
Base: e 2,7182
1
Lim 1
log A e
ln A
B) 55
2 56
E)
3
C)
55 3
50 3
02.- hallar la suma de los valores de “x” que satisfacen el siguiente logaritmo:
log 10 ( x 2 15x) 2
x
x
x
Notación:
83 4 en base
L A
A) 20
B) 15
D) -5
E) 21
C) 25
06 COLOGARITMO IMPORTANTES Colog
Definición:
b
03.- Indicar la menor raíz:
1
N log
log x log x log x 4 5
b N
Donde: N > 0 ; b > 0 ; b ≠ 1 Consecuencia: Colog b N * Colog
Ejemplos: * Colog
5
25
log
b
log
8
25
5
1 2
8
Donde: x
* Antilog
4
( 2)
2
3
log x 40 3
b
bx
x
R > 0 ; b > 0 ; b ≠ 1
Ejemplos:
E) 2
log( x 1 1)
* Antilog
* Antilog
D) 0.01
5
4 2
2
5
1 16
Propiedades:
32
3
A) 48
B) 1
D) 49
E) 2
C) 50
05.- Resolver:
8 log 5 x log 5 x
log x
1. logb (antilog b x)
x
A) 25
B) 24
2. Antilog b (log b N)
N
D) 20
E) 21
CICLO: ENERO-MARZO
C) 10
04.- hallar el valor de “ x ”
2
07. ANTILOGARITMO Definición;
B) 0.1
log N
1 2
A) 1
log3 x
1 0 C) 26
Pág. 2
Álgebra
CENTRO PRE UNIVERSITARIO
x log si 2 06.- hallar el valor de: z 1 log x 2 9
12.- hallar el valor de “ x “ de tal manera que:
25
log 64 2 z
A) 0
B) 1
D) 1/6
E) ½
07.- El valor de E
C) 2
log
A) 1
B) 3
D) 7
E) 9
a
a. log 3
a es
a
A) 6
B) 5
D) 3
E) 2
09.- Hallar
la
ecuación
suma
3x
B) 49
D) 29
E) 50
x3
log3
5
A) 1/2
B) 1/3
D) 1/5
E) 1/7
D) 13
E) 11
raíces
de
A) 4
B) 1/4
D) 1/2
E) 7
C) 15
2
log 2 ( x 2) log 2 (3x 5) 2
D) 5
E) 6
2
D)
3
C)
4 3
7
E)
7
3
11
A) 6
B) 12
D) 30
E) 36
CICLO: ENERO-MARZO
16.- Si
log 2 x
Hallar
y
2 log x
x 1
C) 24
es C) 2
1
C) 4
log 3 z
log 5!
A) 2x + z +1 C) x + z + 1 E) 2x + 2z + 1
11.- Calcular el producto de los valores de “ x ” que satisfacen a la ecuación: log x ( x 2 10 x 25)
3
( x 3 x 3 ) B) 3
5
C) 1/9
1 log 2 ( x 4) log
3
x
15.- La solución de la ecuación:
A) 2
3
log 2
la
10.- hallar la suma del conjunto solución de la ecuación:
B)
2 log 2 3
log x 3 19
B) 17
A)
C) 59
log x 1
A) 19
125
13.-: Resolver la ecuación
C) 4
de
14.- El valor de “ x ” en la ecuación:
log 2 x log 2 x
1
log7 5
para 0
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