Algebra

y=

2

x + ... + x

Álgeb ra

3

5to grado – I Bimestre

Ín dice Indice

Pág 

Historia del Álgebra

63



Operaciones combinadas en N

69



Operaciones combinadas con fracciones: adición y sustracción

75



Operaciones combinadas con fracciones: multiplicación y división

79

Repaso

87

Propiedades de potenciación I

91

Propiedades de potenciación II

99



   

Propiedades de radicación

105

Operaciones combinadas de potenciación y radicación

111

Historia del Álgebra El Álgebra es la parte de la Matemática que estudia las cantidades de la forma más general posible, representando a dichas cantidades mediante letras y números. En la antigüedad, el Álgebra fue una parte inseparable de la Aritmética, más tarde se separó de ella. Esta es la razón por la que en gran parte de la literatura científica, a la hora de estudiar ambas ramas, se hace de una manera conjunta. El concepto de número surgió como consecuencia de la necesidad práctica de contar objetos.

¿En

qué sE difErEncia El

ÁlgEbra dE

la

aritmética?

La diferencia es que la Aritmética se representa por números, mientras que el Álgebra está representada por letras, además de números. Las primeras actividades matemáticas del hombre primitivo fueron hacer marcas en troncos de los árboles, la medición del tiempo y el conteo del número de animales que poseían. El origen del Álgebra es posterior. Pasaron cientos de siglos para que el hombre alcanzara un concepto básico de Álgebra. La historia del Álgebra comenzó en el antiguo Egipto y Babilonia, donde fueron 2

capaces de resolver ecuaciones lineales (ax = b) y cuadráticas (ax + bx = c), así como 2

2

2

ecuaciones indeterminadas como: x + y = z , con varias incógnitas. Los antiguos babilonios resolvían cualquier ecuación cuadrática empleando esencialmente los mismos métodos que hoy se enseñan. En Egipto encontramos los primeros vestigios de desarrollo de una ciencia matemática; que debido a las inundaciones del río Nilo, no llegaron a perfeccionar el Álgebra. En el papiro de Rhind, existe el más antiguo y valioso documento matemático que presenta problemas y soluciones de ecuaciones de segundo grado. Los matemáticos griegos Herón y Diofante continuaron con la tradición de Egipto y Babilonia, aunque el libro "Las aritméticas de Diofante" es de bastante más nivel y presenta muchas soluciones sorprendentes para ecuaciones indeterminadas difíciles. Esta antigua sabiduría sobre resolución de ecuaciones encontró, a su vez, acogida en el mundo islámico, en donde se la llamó "ciencia de reducción y equilibrio".

la EscuEla dE bagdad Los árabes fueron los verdaderos sistematizadores del Álgebra. A fines del siglo VIII floreció la Escuela de Bagdad, a la que pertenecían: Al Juarismi; 63

Al Batani y Omar Álgebra – 5to. grado

Khayyan. Al Batani, sirio (858 - 929), aplicó el Álgebra a problemas astronómicos y Omar Khayyan, persa del siglo XII, conocido por sus poemas escritos en "rubayat", escribió un Tratado de Álgebra.

Álgebra – 5to. grado

64

1

El origEn dE

la palabra

El matemático

ÁlgEbra

árabe Abuadala

Mohamed

Ibn

Musa, más comúnmente

llamado ALJUARIZMI, después de estudiar en la India y asimilar la ciencia hindú escribe su famoso libro "AL'DJABR W' AL MUKABALA" que quiere decir "transposición y reducción de términos semejantes". Al principio esta nueva disciplina se designó con el nombre completo de la obra de ALJUARIZMI, pero ya en el siglo XVI se suprimió la segunda parte para llamarle simplemente "Al'Djabr" o sea "Álgebra", o la Teoría de las Ecuaciones. Aljuarizmi es por eso llamado padre del Álgebra.

El ÁlgEbra sEgún isaac nEwton Isaac Newton (1642 - 1727) consideraba al Álgebra como una extensión de la Aritmética. Esta rama de la Matemática, como expresión simbólica y de gran perfección operativa, tiene sus orígenes en el siglo XVII d.C.

El ÁlgEbra para gauss Niels Karl Friedrich Gauss hizo sus primeros descubrimientos en Álgebra siendo muy joven, advirtiendo ya en 1796 la relación entre la búsqueda de raíces de la ecuación: xn - 1 = 0 y la división de la circunferencia en partes iguales. Tres años más tarde, fue el primer matemático que demostraba el Teorema Fundamental del Álgebra; dando en 1815, 1816 y 1849 tres nuevas

demostraciones.

Recordemos

que

la

primera

formulación de este teorema, sin demostrar, fue la dada por Descartes. Para la demostración de este teorema necesitó construir los campos de desarrollo de los polinomios.

rEgla dE

la

cosa

Durante muchos siglos, el Álgebra se llamó "Regla de la Cosa" y quienes la cultivaban recibieron el nombre de "Cosistas". Hace cerca de cuatro mil años ya se daban problemas que nosotros resolveríamos ahora por medio de una ecuación algebraica; es así como en el Papiro de Rhind se encuentra el siguiente problema: "MONTON, sus dos tercios, su 65

Álgebra – 5to. grado

mitad, su séptima parte, total 33". En este problema MONTON se refiere a la incógnita (×), es decir, al número que satisface las condiciones del problema.

Álgebra – 5to. grado

66

Simbología

algebraica

SÍMBOLO

SIGNIFICADO

+

Operador de la adición.

-

Operador de la sustracción.

 ;•;()()

Operadores de la multiplicación.

÷;:;

Operadores de la división.

√

Operador radical.

M(x;y) = 2xy2

Monomio de variables "x" e "y".

P(x) = x2 + 2x + 1

Polinomio de variable "x".

∀

Para todo.

Ejemplos: 1. P

= x2

(x;y)

2 + y + 25

- Las variables son "x" e "y". - El polinomio tiene 3 términos algebraicos. -P

2. M

(x;y)

(x)

es la notación matemática de esta expresión.

= 5x2

- La variable es "x" - El coeficiente es 5. -M

67

(x)

es la notación matemática de esta expresión.

Álgebra – 5to. grado

1

¡Listos, a

1 trabajar! 1.

Señala la operación matemática en cada caso y da un ejemplo: a) a + b, se llama

,

ejemplo:

+

b) a - b; se llama

,

ejemplo:

-

c) a × b; se llama

,

ejemplo:

×

=

d) a ÷ b; se llama

,

ejemplo:

÷

=

e)

a • b; se llama

,

ejemplo:

f)

(a) (b); se llama

,

ejemplo: (

,

ejemplo:

:

,

ejemplo:

=

g) a : b; se llama a ; se llama b

h)

2.

3.

=

•

=

)(

)= =

Los signos de agrupación son: a) (

)

se llama

b) [

]

se llama

c) {

}

se llama

Completa correctamente: a) P

9 6

(x;y)

= 7x y

c) M

variables: b) P

2

(a;x)

9 4 3

(y;z)

= 3x y z

variables: 2

= ax + a x + a

variables:

4.

=

3

d) N

2 3 4

(x)

=a b x

variables:

Dados los enunciados, señala cuál es la incógnita. a) ¿Cuál es el número que aumentado en 3 resulta 10? La incógnita es:

b) La edad de Ariana disminuida en 2 es 8. La incógnita es:

c) Si 4 kg de azúcar cuestan S/.10, ¿cuánto costará un kilogramo de azúcar? La incógnita es:

La incógnita se puede representar usando cualquier letra, generalmente se usan las últimas letras del alfabeto: "x"; "y" o "z".

Demuestra lo aprendido •

Contesta las siguientes preguntas: 1.

¿En qué se diferencia el Álgebra de la Aritmética?

2.

¿Cuáles fueron las culturas iniciadoras del Álgebra?

3.

¿Qué matemáticos griegos continuaron los estudios de los babilonios y egipcios?

4.

¿Quiénes fueron los matemáticos árabes que pertenecieron a la escuela de Bagdad?

5.

¿Quién es el padre del Álgebra?

6.

¿De dónde deriva la palabra Álgebra?

7.

¿Quién demostró el teorema fundamental del Álgebra por primera vez?

8.

Antiguamente, ¿cómo se llamaba a los que estudiaban Álgebra?

Operaciones combinadas en N Recuerda: N = {0; 1; 2; 3; 4; 5; .....}

Operaciones Combinadas Hasta la II Guerra Mundial no se superó la división tradicional de los ejércitos nacionales en tres armas tierra, mar y aire. La ventaja de realizar acciones en las que se combinasen las tres armas fue percibida en primer lugar por el almirante británico Lord Keyes, quien apreció en ello, aparte de evidentes progresos en cuanto a operatividad y eficacia, una manera de superar las divergencias y dispersión que marcaban las relaciones entre las tres. Las operaciones combinadas vieron la luz por primera vez tras el reembarque de Dunkerque.

rEglas dE opEración Caso 1: Sin signos de agrupación a. Primero, se resuelven las potencias y raíces a la vez. b. Segundo, se resuelven las multiplicaciones y divisiones a la vez. c. Por último, se resuelven las adiciones y sustracciones a la vez. Ejemplo: 1. 69

34 + 2 × 5 -

102

+ √9

2.

3 × 23 + √25 ÷ 5 Álgebra – 5to. grado

123

+

-

2

123f 14243

+

=

+ +

Álgebra – 5to. grado

=

70

1

¡Listos, a trabajar! 1.

2.

Resuelve: a) 3 + 2 - 4 - 1

c) 11 - 4 + 13 - 2 - 6 + 3

b) 7 - 3 + 6 - 2 + 8

d) 19 + 15 - 18 - 10 + 4 - 7 + 9

Resuelve: a) 56 ÷ 8 + 6 + 3

d) 50 + 15 ÷ 5 × 3 - 9 ÷ 3 × 4 + 6 × 4 ÷ 6

b) 16 - 3 + 5 × 8

e) 4 × 5 - 3 × 2 + 10 ÷ 5 - 4 × 2

c) 2 × 3 + 5 × 8

f)

6 × 5 + 4 - 8 ÷ 4 × 2 × 3 - 5 + 16 ÷ 4 - 3

3.

Escribe los siguientes enunciados en lenguaje matemático, según convenga. a) Seis veces nueve menos cuatro veces cinco.

b) Nueve veces ocho más cinco veces siete.

c) El cuádruplo de seis aumentado en el duplo de once.

Demuestra lo aprendido 1.

Resuelve: a) 32 - 19 + 43 - 18 + 35 - 53 b) 3 + 6 - 18 ÷ 9 c) 7 × 6 ÷ 2 + 18 d) 24 - 18 ÷ 6 × 8 e) 10 ÷ 5 + 4 - 16 ÷ 8 - 2 + 4 ÷ 4 - 1 f)

6 × 5 × 4 ÷ 20 + 20 ÷ 5 ÷ 4

g) 9 + 5 - 4 + 3 - 8 + 5 × 3 - 20 ÷ 4 × 3 h) 40 ÷ 5 × 5 + 6 ÷ 2 × 3 + 4 - 5 × 2 ÷ 10

2.

Escribe los siguientes enunciados en lenguaje matemático, según convenga: a) El triple de doce disminuido en el duplo de nueve.

b) El séxtuplo de trece disminuido en el triple de veinte.

1

1

Caso 2: Con signos de agrupación a. Primero se resuelven las operaciones que se encuentran dentro del signo de agrupación más interno, hasta que desaparezcan todos estos signos. b. Luego se procede como en el caso anterior (caso 1).

{

[

(

)

]

}

3º 2º 1º

•

Ejemplo 1:

•

2:

3(5 - 1)2 - [14 ÷ 2]

2(5 + 3) + 5(9 - 7) 2( ) + 5( +

Ejemplo

3(

)

)2 -

=

-

•

Ejemplo 3: {[(5 + 6 - 7) + (7 - 2 + 10)] + 10 - 3} 14243 14243

"se suprime paréntesis"

{[

"se suprime corchetes"

414442444 + 15 3

] + 10 - 3}

"se suprime llaves"

{19 + 10 - 3} 144244 3 26

•

=

Ejemplo 4: 30 ÷ {(15 - 6) ÷ 3 + (18 - 3) ÷ 5} 123 123 30 ÷ { 14243 9 ÷ 3+ 30 ÷ { 30 ÷ 6 123

"se suprime paréntesis"

÷ 5} 15 14243

3 + 3 1442443

}

"se suprime llaves"

5

¡Listos, a trabajar! •

Resuelve las siguientes operaciones combinadas. a. (5 × 6 + 3) + 7 × 8 b. 64 ÷ 8 × 3 - (48 ÷ 2 + 1 - 1) c. {5 + (8 × 3 ÷ 6) - 7} d. 17 - 10 + {14 - 3 + (5 × 8 ÷ 20)} e. {55 ÷ 11 + 66 ÷ 11 + (77 ÷ 11 - 11)} f.

[44 ÷ 11 + 7] + [88 ÷ 11 × 5]

g. 40 + [25 - (3 + 2)] h. 60 + [(4 + 2) - 5] i.

150 - [(5 - 1) - (4 - 3)]

j.

250 + [(7 - 2) + (4 - 1) + (3 - 2)]

Efectúa •

Demuestra lo aprendido

: a. 450 - {6 + [4 - (3 - 1)]} b. 520 + {8 - 3 + [9 - (4 + 2 - 1)]} c. (150 - 5) - {14 + (9 - 6 + 3)} d. 500 - {6 + [(14 - 6) - (7 - 2) + (4 - 1)]} e. (30 - 20) ÷ 2 + (6 × 5) ÷ 3 + (40 - 25) ÷ (9 - 6) f.

[(9 - 4) ÷ 5 + (10 - 2) ÷ 4] + 9 × 6 ÷ 18 +

2 g. (9 + 3)5 - 2 ÷ (3 - 2) + 8 × 6 ÷ 4 ÷ 2 + 5 h. [15 + (8 - 3)5] ÷ [(8 - 2) ÷ 2 + 7] i.

9[15 ÷ (6 - 1) - (9 - 3) ÷ 2]

1

j.

30 ÷ {(15 - 6) ÷ 3 + (18 - 3) ÷ 5}

1

Desafío José dibujó un rectángulo de 6 cm de ancho. Su largo es 7 cm menos que cinco veces su ancho. ¿Cuál es el área del rectángulo? y ¿cuál es su perímetro?

Operaciones combinadas con fracciones: adición y sustracción 

fraccionEs homogénEas Tienen el mismo denominador. •

Suma a c d acd    b b b b Ejemplos: 1 3 5 1 3  5 9     2 2 2 2 2

•

3 5 8    7 7 7



Diferencia a c a c   b b b Ejemplos: 5 3 5 3 2    11 11 11 11



7 5   3 3



fraccionEs

hEtErogénEas Tienen distinto denominador. •

Suma

a b

Ejemplos:

+

c d

+

ad + bc bd

Método Práctico

1 5 3  10 13    2 3 6 6

7 4   3 5



1

•

a

Diferencia

b

-

c d

+

ad - bc bd

Método Práctico

Ejemplos 5 1 15  7 8    7 3 21 21

11 1   3 3



Observación: Si son más de dos fracciones, se tendrá que sacar el mínimo común múltiplo (MCM) de los denominadores y operar cada uno. Ejemplos: 3 1 2 45  20  24 41     4 3 5 60 60

⇒

MCM = 60

3 1 2    4 3 5

⇒

MCM =



¡Listos, a trabajar! Efectúa:

1)

3 7 4   5 5 5

2)

R

5 3 4   11 11 11

7 18 5   13 13 13

4)

A

5 2  3 4

A

3) I 

5) N 

3 1  5 4

6)

A

1 5  3 6

7)

7 3  8 4

8)

A

2 5 1   3 4 2

1 3 1   5 2 3

10) E 

9 1 1   8 3 4

V

9) L 

1

Demuestra lo

1 aprendido a)

A

c) I 

8 7 5   13 13 13

7 8 2   5 5 5

b) R 

10 7 2   3 3 3

d)

A

7 1  3 2

e) N 

4 1 – 5 2

f)

A

3 5  4 8

g) V 

9 3 – 5 10

h)

A

1 1 1   3 4 5

j)

E

4 1 2  – 3 2 5

i)

L

3 2 1   5 3 2

Desafí o Efectúa: C  15

1 1 1 3 2 2 3 4

Operaciones combinadas con fracciones: multiplicación y división Recuerda lo aprendido, resolviendo el siguiente ejercicio:

1.

E

E=

E

E

E

5 3  2 4 2 5 4

+

3 ×2 2 ×2

2.

-

M

6 2  1 5 3

2 ×4 1 ×4

5 6 8   4 4 4 5 6 8 4 3 4

Ahora, intenta resolver los siguientes problemas y marca la respuesta correcta:

1.

Los

5 3

de los

a) 160

2.

3 del triple de 120 es: 5 b) 360

¿Cuántos listones de madera de de metros de largo?

a) 20

b) 32

c) 1 4

c)

145

d) 180

e) N.A.

de metro se pueden sacar de una pieza de 5

22

d) 40

e) 34

1 2

1

Para que puedas resolver correctamente los dos problemas anteriores y elimines dudas, recuerda lo siguiente:



multiplicación dE

fraccionEs

Ejemplos:

a)

b)

3 5

Ahora hazlo tú: 5

×

4

5× 4

=

3 4

7 7  5 35  5  2 21 2 +

c)

3× 5

=

1

a)

2 6   3 3

b) 6 

7  12

+

1 2

1

×2

×

3 1 c) 1  3  4 2

3

×

3 7 37 7    2 3 2 3 2



división

dE fraccionEs

Ejemplos: a)

1 3  4 16 1

×

4 b)

Ahora hazlo tú:

6 5

16 3

4× 3

20

5 × 12

=

2 6  10 5 2 10 6

1 × 16

12

÷

6 × 20

c)

=

4 2

=

a)

3 9  5 15

b)

7 7  2 20

c)

1 5  2 6

4 3

=2

5 =

2×5 10 × 6

=

1 6

Ahora que ya recordaste estos procedimientos, podrás resolver tú solo los problemas iniciales: 5 1. Los de los 3 del triple de 120 es: 3 5 Operación

2.

¿Cuántos listones de madera de de metros de largo? Operación

Respuesta

1 4

de metro se pueden sacar de una pieza de 5

Respuesta

1 2

1

Demuestra lo

1 aprendido

Isabel, Claudia y Rocío realizarán, cada una en su casa una fiesta el mismo día y las tres han invitado a Paúl. ¿Qué camino escogerá Paúl y a la fiesta de quién irá? (colorea el camino). • Para esto resuelve cada ejercicio en tu cuaderno y comienza desde la "A", sigue el camino de la respuesta y continúa hasta llegar a una de las casas.

A.

1 12 10   4 5 9

B.

1  1 3    2   4 12 

C.

3 3 9   5   5 25 

D.

 10  1 1    1 3   16  2 4      4  2     3  5 1    1 2 1            6  2  4 2    4 3

E. 

F.

2

G. 2

1 1  3 2 3 4  2 7

H.

3  3 15  1     2  4 10  2

I.

1  2 1   15     1   

 J.

3 4 2  2  1 2   9   4 3 

10

1

Ayudando a Paúl

A

1 3

C

25 9

3 2

9 25

B

3 4

G

25 3

2 3

16 7

F D

5 4

I

E

4 5

Rocío

25 4

H

1 4

0 8 11

2 3

Casa de Isabel

Desafío ¿Qué parte de la figura es la parte sombreada?

1 9

2 5

3 7

Casa de

J

11 8 Casa de Claudai

1

Arbolito

inteligente

 Pega aquí tu arbolito.

Arbolito inteligente

1

Sigue los pasos: 1.

Recorta cada pieza del "arbolito inteligente" y resuelve los ejercicios en tu cuaderno.

2.

Arma y pega el "arbolito inteligente" en la página anterior de tu libro.

F

2

×

10

1 5

3

G

2 3

H

3 de 5

÷

3 9

×

+ 3

19

I

5

8 9

7

÷

÷

5

÷ 3 ÷ 3 5

2

4-

1 6

J

5

E

1 3 + 4 5

B

2-

3 10 × 5 9

×

18

÷

1 20

A

1 3 3

3 4

D

1

÷3 2

1

1 2

1-

1

× 2 3

7 9 9 2

Repas o •

En tu cuaderno resuelve las siguientes operaciones, busca el área donde está cada respuesta en el recuadro de la siguiente página, coloréala y descubre la palabra secreta. 1.

40 + [25 - (3 + 2)]

2.

{5 + (8 × 3 ÷ 6) - 7}

3.

250 + [(7 - 2) + (4 - 1) + (3 - 2)]

4.

[44 ÷ 11 + 7] + [88 ÷ 11 × 5]

5.

[15 + (8 - 3)5] ÷ [(8 - 2) ÷ 2 + 7]

6.

9[15 ÷ (6 - 1) - (9 - 3) ÷ 2]

7.

 1 1  1 1   2  4     2  4  

8.

  1 1 1 1  3      24     4 2 3

9. 3

  5   

1 5

2 4

2     5 

3

3

5

4    5 

  2 1 1 7  10.        7   5 3 2  30 

87

Álgebra – 5to. grado

1

Palabra

secreta

21 404 7

11

12 60

23

6

2 50

18 19

259

51

100

3

16

8

4

15 24

14

17

1

22

66

0

57

89

10 13

20

5 9

La palabra secreta es: Responde: •

86

¿Qué piensas de dicha palabra?

241

521

113

93

72

Sopa de números con letras

1

• Resuelve los ejercicios en tu cuaderno y halla la respuesta en la sopa de números con letras, que están en la página siguiente: 1.

6 ÷ 8 × 3 - (48 ÷ 2 + 1 - 1)

2.

60 + [(4 + 2) - 5]

3.

(30 - 20) ÷ 2 + (6 × 5) ÷ 3 + (40 - 25) ÷ (9 - 6)

4.

[(9 - 4) ÷ 5 + (10 - 2) ÷ 4] + 9 × 6 ÷ 8 + 2

5.

(9 + 3)5 - 2 ÷ (3 - 2) + 8 × 6 ÷ 4 ÷ 2 + 5

6.

 1 1  1 1   2  3   7 5 

7.

  1 9 8  1 8 1   1         3 4 2     5 10 20    3  

8.

  1 1 1   1 1 1    2 3    4     7 5   3     

9.

 1 4 18 1   6 1 1 15    2  3  2  9     3  4  5  2 

 1 7  1 6    10.   4 4    5 4 

1

Sopa de números con letras m e oe a ic t c n o r o r q c w sn s e i e q c r x i t r t i sn t r i n oe i qv e i l b x

j h s e s e s t a v d o c s n

o l r s u e v e r e s s c v f e u e r n a v k t e n t a v e c y t b x n a z l u o s s e c d f v h o t e a q b r t i l u i d e m o

f d i a s k l b g r f s w g q t f s u d b d i z y u n o q g c g i d e l d r k b t i m oe q h c r c i o c x s f a t r o r t a u

Respuestas: 1.

6.

2.

7.

3.

8.

4.

9.

5.

10.

Desafío

n e i i r f d r r h f a x s q s r s s i

a h v r wk r s s x oc v t e t n e i n u u h i c i o yk e l n c t w y b c e t h x s o r e a s d n l t s r o o i n q g s v f i s d h e m ed i o n l v b r f o e t i m cg i t e v d

b e o t t n e o o d o t n e i o n

• Si para cortar un árbol en dos partes, se cobra S/.20, ¿cuánto se debe cobrar para cortarlo en 3 partes?

Propiedades de Potenciación I Recuerda: Las siguientes potencias son las más utilizadas en el curso. Por lo que reciben el nombre de "notables".

0

=

2

1

=

2

5

=

2

6

=

2

10

=

3

0

=

3

4

=

3

5

=

4

3

=

4

4

=

5

3

=

5

4

=

6

3

=

7

0

=

7

0

=

8

1

=

8

1

=

9

2

=

9

2 2 2 3 4 5 6 8 9

2

10 = 2

14 = 2

19 =

2

=

2

3

=

2

7

=

2

8

=

2

1

=

3

2

=

3

0

=

4

1

=

4

0

=

5

1

=

5

0

=

6

1

=

6

1

=

7

2

=

7

2

=

8

3

=

9

3

=

10 =

0

10 =

10 =

3

11 =

2

12 =

2

13 =

15 =

2

16 =

2

17 =

2

18 =

2

25 =

2

30 =

2

40 =

20 =

4

=

9

=

3

=

2

=

2

=

2

=

3

=

0

= 1

2

2

2

1

*

producto dE

potEncias dE basEs igualEs. am . an = am + n

Ejemplos: 3

4

x

y

5

3+4+5

a) 2 . 2 . 2 = 2 c) 5 . 5 = 5 2

3

a

a

=2

12

8

x+ y

8

6

f)

*

2

3

8+m

4

x .x .x =

5

m.m .m=

cociEntE dE igual basE. am a

potEncias dE

=a

n

m -n



Observa:

am a

m

= am - m = a0 = 1

(a ≠ 0)

Ejemplos:

a)

c)

89 8

9 5

5 8

54 5

8

9

g) 28

7

8x

2m

6

÷ 28

÷7

4

b)

10

7

5

7

10 5

7

6x

2m

=

=

f)

7

5

15 ÷ 15 =

h) 14

6a

÷ 14

2a

5

7

6 4 d) 18 ÷ 18 =



e) 12 ÷ 12 =

i)

=3

h) ym . ym . ym . ym =

g) x . x . x = i)

8+4+1

m d) 6 . 6 = 6

e) a . a . a = a a

4

b) 3 . 3 . 3 = 3

=

13

¡Listos, a trabajar! 1.

2.

Encuentra el exponente correspondiente en cada caso: a) 3

=9

d) 4

= 64

b) 7

= 49

e) 8

= 64

c) 67

=1

19

= 19

Completa los espacios en blanco para que se cumpla la igualdad: a) 3 . 3

=3

c) a

2x

7

3

b) 10

3.

f)

10

. 10 = 10 .a

=a

2x + 4

Completa la igualdad para que se cumpla: a)

7

10

2

= 10

10 b)

c)

4.

7

8 73 = 7

20

p-q 20q = 20

Indica con una (V) si la proposición es verdadera o (F), si es falsa: 8

9

17

(

)

4

9

13

(

)

a) 3 . 3 = 3 b) 5 . 7 = 7 8

4

c) 13 ÷ 13 = 13 d)

79 7

4

7

5

12

(

)

(

)

1

1

5.

Reduce:

a)

6.

4

5

36 .369 .36  36

b)

6

12

Resuelve: 4

2

0

a) A = 3 + 3 + 4 + 5

7.

5

12 .12 .12

3

7

Expresa como potencia cada caso:

a)

b) 21.24.24.22....4...4...4.3.2  13 veces

51.54.54.452....4 ...4...4.3.5 

20 veces

8.

Resuelve dejando indicado el exponente:

a)

9.

2

b) B = 6 - 2 + 3

6

15

6

6

10

b) 8



Halla: a) J 

b) S 

5 5

7

9 7

18

5

5

38

 16  36 5 5

104

102

7



7

19

6

÷ 8 =

7

16

7

15

 14 7

10.

Simplifica las siguientes expresiones: 2

5

3

6

2

a) (7 . 7 . 7 ) ÷ (7 . 7 )

c)

4

6

2

5

5 .5 5 .5



8

5 5

2

b) 6

d)

2

5 .5

12

7

4

÷ (6 . 6 . 6 )

 34.32   35.32       3 2 3 3 .3 3 .3        

Demuestra lo aprendido 1.

2.

Encuentra el exponente correspondiente en cada caso:

a) 2

= 128

d) 5

b) 9

= 81

e) 12

c) 6

= 36

f)

2

= 144 = 32

Completa los espacios en blanco para que se cumpla la igualdad: 2

5

10

a) 4 . 4 . 4 x

b) a . a

3.

= 125

=4 =a

7

c) 9 . 9

13

=9

x+ 3

Completa los cuadros para que se cumpla la igualdad: a)

9

92

18

=9

c)

624 6

= 615

1

b)

5

a-b 5b = 5

1

4.

Indica con una (V) si la proposición es verdadera o (F), si es falsa: 9

3

a) 15 ÷ 15 = 15 8

12

10

b) 7 . 7 . 7 = 7

)

c) 8 . 8 . 8 = 8 .................................... (

)

3

4

8

x

4+x

d) 5 . 5 = 5

.................................... (

20

50

90

4 .4 .4 4

b)

157

3

2

3

2

4

6

8

8

16

2 .2

2

2

0

b) E = 6 + 12 - 26

Expresa como potencia cada caso:

a) S  41.44.44..2....4... 4...3.4

8.

4

2 .2 .2 .2 .2

Resuelve: a) Y = 2 + 3 + 5

7.

)

Reduce:

a)

6.

)

.................................... (

4

5.

................................ (

b) I  1174.174.2....4...4..137 8 veces

10 veces

Resuelve dejando indicado el exponente:

a)

77

7

7



b) 9

2x

x

÷ 9 =

9.

Halla:

a) E 

10.

10

7

10

5



12

10 10

10



10

24

10

22

10

30 84 9 9 9 b) S  27  81  9 9 9 9

Simplifica las siguientes expresiones:

9 4 4 2 a) (4 ÷ 4 ) ÷ (4 ÷ 4 )

 73 .76 8   7

b) 

  75 .75   8     7

 

 

Desafío 1. ¿Cuál es la expresión reducida por la que deberíamos dividir 5 para obtener como resultado la unidad? 4

5 2

S = (x y) (x y ) (xy) 2. El cuadro de números. Coloca los ocho primeros números en el tablero, de forma que cada número que esté en un cuadrado, sea la diferencia de los que están en los círculos a sus lados.

1

Propiedades de Potenciación II *

potEncia dE

otra potEncia [[am]n]p = am.n.p

Ejemplos: 23

2.3

a) (2 ) = 2

=2

6

423

b) ((3 ) ) = 3

98 0

c)

{[(1002) ] } = 100

e)

{[(5 ) ] } =

2.9.8.0

0

= 100 = 1

230 6

345

g) [(x ) ] = i)

*

4.2.3

24

=3

234

d) [(4 ) ] = 432

f)

[(7 ) ] =

h)

[(8 ) ] =

239

570 9

{[(12 ) ] } =

potEncia dE

un producto

En general: (a.b)n = an . bn Ejemplos: 3

3

b) (3 × 5)2 = 32 × 52

3

a) (2 × 4) = 2 × 4 0

0

0

0

c) (4 × 7 × 8) = 4 × 7 × 8 = 3

e) (2.x.y) =

99

d) (6 × 3 × 2)3 = f)

2

(4.6.7) =

Álgebra – 5to. grado

3

g) (8.5) = i)

h) (7.2)4 =

4

(12.10) =

Álgebra – 5to. grado

100

¡Listos, a trabajar! 1.

Resuelve, indicando el

exponente: 34

234

a) [(5) ]

2.

b) [(10 ) ]

Expresa y calcula en forma de potencias de un producto de tres factores: 2

a) 40 = (

×

×

2

) =

×

×

=

2

b) 24 = 2

c) 60 =

3.

Resuelve: 223

a) [(3 ) ] = 234

b) [(5 ) ] = 10 20 3 0

c) {[(2 ) ] } = 4 2 30 0

3

6

4.

Simplifica: A = {[(2 ) ] } + 2 + 2 + 2

5.

Indica con una (V) si la proposición es verdadera o (F) si es falsa: 23

6

a) (5 ) = 5 ............................................ ( 342

12

b) {[(4 ) ] } = 4 10 1

................................... (

) ) Álgebra – 5to. grado

340 7

c) {[(8 ) ] } = 18 ................................... (

Álgebra – 5to. grado

)

102

6.

Simplifica: 240

80

1

5 20 0

a) [(3 ) ] + (3 ) + [(3 ) ]

70 9

8 0 100

b) {[(5x) ] } + {[(6x) ] }

7 0 15

+ {[(7x) ] }

x

7.

Obtén el valor de "x", en: x = 27

8.

¿Cuál es la potencia que hay que dividir entre "E" para obtener 2 como 2 3 4

cociente? [(2 ) ] E 32

9.

¿Cuánto mayor es la edad de Esteban que la edad de Sergio, si Esteban tiene 22 años y Sergio representa su edad por la expresión:

10.

3

5

2 .2 ? 16

¿Qué valor debe tomar "t" para que la siguiente proposición sea verdadera? t

t

t

90

100 × 1 000 × 10 000 = 10

Demuestra lo aprendido

1 1.

Resuelve, indicando el

exponente: a) (3 × 5)

2

b) (2 × 3 × 4)

2.

2

Expresa y calcula en forma de potencias de un producto de tres factores: 2

a) 70

b) 36

3.

3

Resuelve: 682 3

a) {[(7 ) ] }

345 2

b) {(10 ) ] }

4.

Simplifica: 10 30 100 0

A = {[(3 ) ]

5.

3

2

} +3 +3 +3

Indica con una (V) si la proposición es verdadera o (F), si es falsa: 543

6

a) [(2 ) ] = 2 ................................................ (

)

407

b) [(3 ) ] = 1 .................................................. ( x 3 203 0

c) 1 = {[(8 ) ]

} .......................................... (

) )

6.

Simplifica: 320

240 2

305

Y = [(8 ) ] + {[(15 ) ] } + [(9 ) ]

7.

1

Halla "y", en: y

y = 256

8.

¿Para qué valor de "a", el resultado de operar

9.

a 3

2

2

3

es igual a 64? 7

4

8

¿Cuál es el exponente de la potencia que resulta de operar: 3 × 3 × 3 ?

10.

Halla el resultado de 32

23

efectuar: (2 ) × (2 )

Desafío

1. ¿Cuál es la expresión por la que deberíamos multiplicar "P" para que el 20 resultado sea x ? 232 4 P = [(x ) ] .x 2. Siete números en la "Y" griega. Coloca las cifras del 1 al 7 en el siguiente tablero, de manera que dos números consecutivos no estén juntos ni vertical, ni horizontal, ni diagonalmente.

Propiedades de la radicación Sabías que . . .

√2

1

catet o

... el valor numérico de √2 aproximado a 65 posiciones decimales es: 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73799

1

catet o

La raíz cuadrada de 2 es igual a la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos tienen una longitud 1.

elementOs de la radicación 3

índice

64 = 4

raíz

radicand o Se lee: "raíz cúbica de 64 es 4".

raíz de un

prOductO

En forma general se cumple lo siguiente: n

n

√ a.b = √a .

n

√ b

donde: a, b, n ∈ N

Cuando el índice es 2, no se escribe, se sobreentiende. 105

Álgebra – 5to. grado

1

Ejemplos: a)

4.9  4 . 9  2.3  6 Se lee: "raíz cuadrada de 4 por 9 es igual a la raíz cuadrada de 4 por la raíz cuadrada de 9 y esto es igual a 6".

b)

16.25  16 . 25  4.5  20

c)

144.121  144 . 121  12.11  132

d) e)

3

3

27.64 

.



8.125 

.



raíz dE

un cociEntE

En forma general se cumple lo siguiente: n

a b

=

n

√a

n

√b

donde: a, b, n ∈ N y b ≠ 0

Ejemplos:

a)

64  4

64 8  4 2 4

Se lee: "raíz cuadrada de 64 entre 4 es igual a la raíz cuadrada de 64 entre la raíz cuadrada de 4 y esto es igual a 4".

b)

81  9

81 9  3 3 9

d)

c)

64  49

64  8 7 49

e)

100  225

3

64  27









*

Calcula mentalmente las raíces de: 4

a)

25  5 ; porque: 52 = 25

h)

b)

49 

i)

36 

; porque:

125  5 ; porque: 5 = 125

j)

81 

; porque:

32 

; porque:

k)

e)

16 

; porque:

l)

f)

64 

; porque:

m)

121 

; porque:

27 

; porque:

n)

144 

; porque:

c) d)

g)

3

5

3

; porque 3

3

4

16 

; porque:

64 

; porque:

81 

; porque:

¡Listos, a trabajar! 1.

Resuelve los siguientes ejercicios, aplicando propiedades: a)

25.16 

f)

36.25 

b)

49.16 

g)

81.49 

27.8 

h)

d)

36  4

i)

25  100

e)

81  25

j)

64  36

c)

3

3

125.64 

1

1

2.

1.

Resuelve las siguientes operaciones combinadas:

a)

144 2 3   25 5 5

d)

1 3 27 3   5 125 5

b)

36 4 4   49 7 7

e)

7 4 16 3   3 81 3

c)

25 16 9   100 100 100

f)

25.16 4.9



9 1  36 36

Demuestra lo aprendido Resuelve aplicando propiedades de radicación: a)

169.4 

b)

361.25 

c)

289.36 

d)

144.121 

e)

256.225 

f)

329.9 

g)

196.64 

h)

400.900 

i)

2.

400  100

j)

25  225

Resuelve en tu cuaderno las siguientes operaciones combinadas. Luego anota los resultados en la guía.

a)

25 1 3   100 2 2

b)

c)

400 9 7   100 100 10

d)

e)

9.324 20 1   25.4 100 100

f)

64 3 1   25 5 5

3 1 2   10 100 10

144 121 9 1    11 11 121 121

Respuestas: a)

b)

c)

d)

e)

f)

Desafío La profesora de Álgebra de TRILCE estudió cuidadosamente un cubo. Multiplicó el número de caras por el de vértices y por el de aristas. ¿Qué producto obtuvo?

1

Operaciones combinadas de potenciación y radicación La potenciación es el producto de varios factores iguales. Para

exponent e

abreviar la escritura, se escribe el factor que se repite y, en la parte superior derecha del mismo, se coloca el número de veces que se multiplica. La operación inversa de la potenciación se denomina radicación.

24 = 16 base potencia

POTENCIACIÓN índic e

3

27 = 3

radicando raíz

•

Potencia de exponente 0 Todo número elevado a la potencia cero es igual a uno.

a •

0

=

1

RADICACIÓN

a ≠0

Potencia de exponente 1 Todo número elevado a la potencia uno es igual a sí mismo.

a •

1

= a

Potencia de exponente 2 La potencia dos se lee "elevado al cuadrado".

a •

2

=a  a

Potencia de exponente 3 La potencia tres se lee "elevado al cubo".

a •

3

= a  a  a

Potencia de base 10 Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguidas de tantos ceros como unidades tiene el exponente.

111

Álgebra – 5to. grado

¡Listos, a trabajar!

1 1.

Realiza las siguientes

operaciones: 4

2

33

2

a) (2 .3 .5 )

23

b) (3 .5 )

 23.2  c) 2 .2.  4 2    2 .2  3

2.

Sustituye los (*) por números que correspondan:   3 *  b)  2      

3 4

a) ((3) ) = (3)*

2



 36 2  

* 2 8 3c)     27

3.

Resuelve:

a)

c)

4.

3

3

b)

64 1 8 .2 . 24 3

9

2 .2 .2.2 3

4

( 36 . 36 . 36 . 36 ) 2 2

(( 36 ) )

4

d)

64 . 64

2

3 2

2

(53 .5 ) 4.5 . 25 125 . 625

Halla el valor de "x" en cada uno de los siguientes casos:

x

a) 3 

(3.3 2.3 3). 4 81 5

3

243 .3

b) 4

x 1



((42 )3 )0 .42 9 0

5  (4 )

c) 6

x 1



3

4

7

36 .( 216 ) .6 2

6 .6

3

2 3

8 3 0

) ) . 3 64 d)((8) ) .(((8) 512

8

x

Demuestra lo aprendido 1.

Realiza las siguientes operaciones: 3

2

32

a) (5 .2 .4 )

b) 32.33 

  34.32   

3 2

 3.2 c)   2 2    2 .3 

2.

 33.34 

Sustituye los (*) por números que correspondan: 5

  3 *  3  10    b)   7  7        

23

a) ((5 ) = (5)*

4 c)    5

3.



256 625

Resuelve: a)

c)

4.

*

81 4 1 .3 . 4 3 3

3

2

b)

33

10 .10 . 1000 .10 4

3

( 49 . 49 . 49 . 49 ) 2 3

(( 49 ) )

4

2

2

( 10000 . 1000 )

d)

2

2

3

2

(8  2) .(12  2) .10 .(3  1) 3

4

(20  2) 100. 1000. 10000

Halla el valor de "x" en cada uno de los siguientes casos:

10 2.10 3(( 100 ) 2) 3

x

a) 10  4

2

x

10000 

3

b) 7

1000

 2  2  8   2 4          3 3  3

x 1

5



2

1

6

( 49 . 49 ) .7

x 1

2 3

(( 49 ) )

  1 2      2 

7



 1 2



c)  

 

 3







 



    6  2  2  2  3  3    

 3  

d) 

 2





  

 

 1      2 

 30 0



 



1

1

Desafí o

Al cero en cinco pasos • Se trata de reducir a cero un número que esté entre cero y mil. Esto mediante sumas, restas, multiplicaciones o divisiones. Puedes repetir una operación las veces que quieras. • Las operaciones deben hacerse con el número que se da y otro número que tú elijas. El número que elijas debe ser uno de los siguientes: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 ó 9. Puedes usar el número que elijas las veces que quieras. •

Cada operación que hagas se cuenta como un paso.

• Ganas el juego, si a lo más en cinco pasos, puedes reducir a cero cada uno de los siguientes números. Ejemplo: Reduce a cero el número 869. 869

•

Paso 1

869 - 5 = 864

Paso 2

864 ÷ 9 = 96

Paso 3

96 ÷ 8 = 12

Paso 4

12 ÷ 6 = 2

Paso 5

2-2=0

Ahora, reduce a cero los números 789 y 823.

789

823

Paso 1

Paso 1

Paso 2

Paso 2

Paso 3

Paso 3 Paso 4 Paso 5

Paso 4 Paso 5

1

glosari o - IN

:

Símbolo que representa al conjunto de números naturales.

- ZZ

:

Símbolo que representa al conjunto de números enteros.

- Exponente

:

Número de veces en que se va a repetir la base (número o variable)

- Potencia

:

E s e l re s u l t a d o d e m u l t i p l i c a r l a b a s e t a n t a s ve ce s co m o i n d i c a e l exponente.

- Numerador

:

Partes que se toman de la unidad.

- Denominador :

Partes en que se divide la unidad.

- Fracciones Homogéneas :

Aquellas que tienen igual denominador.

- Fracciones Heterogéneas :

Aquellas que tienen diferente denominador.