ALGEBRA

Preguntas propuestas

1

Semestral Integral2015

Álgebra A) 1 B) 2 C) ab D) b E) a

Tópicos I NIVEL BÁSICO

6. Si (a+b+c)2=3(ab+bc+ac); {a, b, c} ⊂ R+

1. Luego de reducir 2



( a2 )3 ⋅ ( a3 )−5

3 ⋅ ( ( a4 ) )

2

a ⋅ a ⋅ ... ⋅a  

; se obtiene a – 50



determine



8a + 4 b + 7c a+ b+ c A) 7 B) 5 C) 6 D) 4 E) 8

( n+ 2) veces



3

halle n +2.

NIVEL INTERMEDIO

A) 10 B) 66 C) 3 D) 29 E) 1

2. Determine el equivalente de la expresión n



E=

23 n+4 + 8 n+2 − 64 2

7. Determine el valor de A3+B2 si A = 3 4 ⋅ 3 4 ⋅ 3 4 ...

+1

; n > 2012

2 n ⋅ 4 n ⋅ 32



A) 22 B) 26 C) 24 D) 28 E) 30

A) 1 B) 2 C) 1/2 D) 1/4 E) 4

3. Si el exponente final de x es 7/4 en

8. Si se cumple que 5x=3, calcule el valor de la expresión

xn ⋅ n x x ; x > 0 calcule el valor de n. A) 6 B) 4 C) 8 D) 3 E) 2



determine el valor de a4+b4.

A) 47 B) 62 C) 51 D) 81 E) 78



4 x

− 600 )

x

  

1 1 125 27 x 

  



1 1 = 3; x − > 0 x x

determine el valor de x 3 −

1 x3

.

A) 5 B) 2 5 C) 5 5 D) 8 5 E) 5 z



(3

9. Si x +

5. Si

...

    2  

A) 2 B) 3 C) – 5 D) 6 E) 1/5

4. Si a+b=3 y ab=1



B = 12 + 12 + 12 + ...

y

x Reduzca ( x + y + z)( x + y − z) M= xy

10. Si se cumple que

b = 1− a ∧

2 + ab

a2 + b2

=1

halle el valor de a3+(1 – a)3. A) 3 B) 2 C) 1 D) 8 E) 1/2 2

Álgebra A) – 9 B) – 4 C) – 2 D) – 3 E) – 6

NIVEL AVANZADO

11. Si aa=3, determine

(a

a3 + 3 a

14. Si ab+bc=8

1 a+ aa 5 a2

)

A) 3 B) 9 C) 27 D) 1 E) 81



bc+ac=9



ac+ab=5



a2+b2+c2=14; {a, b, c} ⊂ R+



12. Si a3+b3+c3=0

además (a – b)2+ (a – c)2+ (b – c)2=36 determine 1 1 1 + + ab bc ac

A) 160 B) 720 C) 150 D) 360 E) 320

15. Se cumple 2207 −

A) – 1/2 B) – 1/6 C) – 1/3 D) 1/5 E) 1/6

8



13. Si a+b+c=2

calcule abc(6 – c)(6 – b)(6 – a).



1 2207 −

=

1 2207 −

1 

a+ b c d

donde a, b, c, d, ∈ Z. Determine a+b+c+d.

determine el valor de E=

a3 + b3 + ( c − 2)3 − 3c ab

A) 11 B) 10 C) 12 D) 9 E) 13

3

Álgebra A) 2 B) 3 C) 16 D) 4 E) 5

Tópicos II NIVEL BÁSICO

1. Si P( x ) =

6. Halle el residuo de la división 2 x 3 n+1 − x 4 + x − 1

1

x2 + x determine el valor de P(1)+P(2)+P(3)+...+P(100)

A)

99 100

D)

B)

NIVEL INTERMEDIO

101 E) 2 100

f(x+1)=3x+f(x); además f(1)=2. Determine f(50).

A) 3675 B) 3677 C) 3670 D) 3765 E) 3567

 x2 + x + 1

7. Si f  2  =  x − x + 1

determine P(x+2)+P(2x).

A) 9x+10 B) 3x+1 C) 6x+10 D) 9x+6 E) 9x+8

4. Efectúe la división 10 x 5 + 3 x 4 − 17 x 3 − x 2 − 5

2

3

3x + 2x − x − 2 A) q(x)=5x2 – 6x+3; r(x)=– 6x2 – 9x+1 B) q(x)=x2+2x+2; r(x)=0 C) q(x)=2x2+1; r(x)=x+1 D) q(x)=3x2+1; r(x)=2x+1 E) q(x)=x2+7x+1; r(x)=x – 5

...

5. Al dividir

8 x 4 + 18 x 3 + ax 2 + bx + c 2x + 3 los coeficientes del cociente disminuyen de 1 en 1. Halle (a+b+c) si el resto es – 8.

x2 + 1 x

determine f(3) · f(4) · f(5) · f(6). A) 6 B) 9 C) 7 D) 5 E) 1

3. Sea P(x – 1)=3x – 2.

x2 + x + 1 A) 2x+1 B) 2x – 1 C) x – 1 D) x+1 E) 2x

100 C) 1 101

2. Sea f(x) una expresión matemática.



8. Si P(x) es un polinomio que cumple

P(1 – x)=3. P(x) – mx – 7, cuyo término independiente es m, calcule la suma de coeficientes. A) 7 B) 6 C) 5 D) 3 E) 1

9. En la división ax 4 + bx 3 + cx 2 + 3 x + 2

x2 − 2x − 3 el resto es 10x+8 además 5c=9b. Halle a – b+c. A) – 8 B) 8 C) – 17 D) – 11 E) – 1

10. Si la división x 80 − 7 x 30 + 9 x 5 − mx + 1

x3 + x − 2 deja residuo r(x)=x2+x – 1, determine m. A) 2 B) 1 C) 4 D) 3 E) 5 4

Álgebra 13. El resto de

NIVEL AVANZADO



11. Sea la expresión

P( x ) = 1 − Halle P

1

10

1    13 

2 x −1

+1

+ P

2    13 

+ ... + P 12  .    13 

A) 13 B) 5/13 C) 10/13 D) 6 E) 1

12. En la división



P( x ) 2

x + x +1

Halle el resto en

x ⋅ P(

el resto es (2x+1).

x2 )

x2 − x + 1

P( x ) − 4 x−3

es 5 y Q(x – 3) es divisible

(x – 6). Halle R(3) si R(x) es el resto de

P(2x ) Q( x )

.

A) 72 B) 36 C) 81 D) 18 E) 27

14. Si (ax4+bx3+cx+d) es divisible entre (x – 1)2, ¿qué se cumple? A) 2a+3b=d B) 3a+2b=d C) a+2b=d D) 3a+b=d E) a+b=d

15. Si la división algebraica P(x) ÷ (x3+1) deja resto .

A) 2x – 1 B) – 2x+1 C) x+5 D) 3x – 2 E) x – 2

5

r(x)=x – 1, calcule el resto de  P( x )  ÷ ( x 2 − x + 1). 4

A) 2x B) x C) x – 1 D) x+1 E) 0

Álgebra Factorización

NIVEL INTERMEDIO

NIVEL BÁSICO

6. Indique la suma de los factores primos del si1. Indique el número de factores primos en

f(x; y)=x4y – x2y3.



A) a+b+c B) 3(a+b+c) C) a – b – c D) 2(a+b+c) E) 4(a+b+c)

A) 3 B) 4 C) 5 D) 2 E) 1

2. Luego de factorizar

2

2

7. Si el polinomio P(x)=mx2+8x+n2, m ≠ 0 tiene

como factor a (mx+n2) y el otro factor es de Q(x)=8x2+px+7, ¿cuál es el valor de m+p+n2?

2

P(x)=abx +ab+(a +b )x indique la diferencia de sus factores primos. A) (a – b)x+b – a B) ax+bx C) (a – b)x D) (a+b)x+b – a E) (b – a)x+a – n

A) 22 B) 23 C) 24 D) 21 E) 15

8. Factorice el polinomio

3. Luego de factorizar

P(x)=x3+x2 – 2 se obtiene como factores primos (x – m); (x2+nx+n). Determine m+n. A) 4 B) 5 C) 2 D) 1 E) 3

9. La suma de factores primos lineales

...

5. Señale un factor primo del polinomio

P(x)=x4 – 2x3+x – 2

B) x2+1 C) x2 – x+1 A) x2+x+1 D) x – 1 E) x+2

de P(x)=x5 – 5x4+6x3 – x2+5x – 6 tiene la forma S(x)=mx+n. Determine P(2). A) 1 B) 3 C) – 1 D) 0 E) 4

P(x)=4x4+9x3+bx2+3x – a determine el valor de ab.

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

P(x)=x7+9x4+8x e indique el número de factores primos. A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

4. Si f(x)=x2+2x – 1 en un factor de

guiente polinomio. P(a; b; c)=a2b+2abc+a2c+ac2+b2a+bc2+b2c

NIVEL AVANZADO

10. Factorice

P(x)=x(x+1)(x3 – 7) – 6 e indique el número de factores primos cuadráticos. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

6

Álgebra C) x2+x – 2 D) x2+x+1 E) x5+x+1

11. Luego de factorizar, indique un factor primo

que posee P(x)=2x8+x4 – x2+1 B) x2 – 1 C) x2+1 A) x2+x – 1 2 D) x  – x – 1 E) x2+x+1

14. Determine el número de factores primos en Z

12. Indique el producto de términos de un factor

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

primo de P(x)=x7+2x4+1 B) x7 C) – x4 A) x3 3 D) – 2x E) x2

13. Indique un factor del siguiente polinomio.

[x; y] del polinomio P(x; y)=4x8+4x6+x4y4+4x4+y4+x2y4

P(x)=x107+x21+x A) x2 – x+1 B) x2+2x – 3

7

15. Señale un factor primo del siguiente polinomio.

P(a; b)=a3+b3+8 – 6ab

A) a+b B) a – b+1 C) a+b+2 D) a+b – 2 E) a – b – 2

Álgebra Introducción a los números complejos

5. Si Re(z+5z)=42 / z ∈ C

NIVEL BÁSICO

A) 1 B) 7 C) 28 D) 30 E) 49

1. Se sabe que Sn=i4n+i – 2n; n ∈ N. Determine el

módulo del complejo resultante S1+S2+S3+...+S2003. A) 2001 B) 2002 C) 2003 D) 1001 E) 1002

NIVEL INTERMEDIO

6. Calcule el módulo de un complejo z, tal que

2. Luego de efectuar i ( 2 + 2i ) , señale la parte imaginaria ( −3 + 3i ) ( 3 − i ) A)

4 3

B)

7. Si z =

3. Sean Z1 = b + a + 11i Z2 = 7 + ai − bi,

Z1 = Z2



Además a, b ∈ R+



Calcule a2 + b2 − 2ab − ( a + b)2 A) – 2 B) 2 C) 3 D) 1 E) ±1

z

z2 + 25

resulte un complejo real, Im(z) ≠ 0.

A) 25 B) 5 C) 10 D) 5 E) 15

2 1 C) 3 6

D) 2 3 E) 4 3 3 3

calcule |z+1|2 – |z – 1|2.

a + 2i , {a; b} ⊂ R 1 + bi

se reduce a un número complejo real de módulo 1, calcule |a+bi|2. A) 3 B) 4 C) 5 D) 0 E) 25

8. Si z es un complejo que cumple

4. Si z=4 – 2i – a(1 – i) cuya representación es

z+2|z – 1|=3 · z calcule |z+i|. B) 0 C) 2

A) 2

Im

D) 5 E)

z

2

2

9. Si P( z) = z2 + z + z + z∗

¿cuál es el valor de

Re

...

i = −1 y z + z = 2 k /k ∈ Z+ , halle z4. A) 1 B) 2 C) 3 D) – 4 E) – 5

A) 1 B) 0 C) 2 D) 3 E) 4

8

2

P( z)

[Re( z)]2

?

5 2

Álgebra 10. Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes afirmaciones.

13. Sea z=x+yi / z39=1, z ≠ 1.

I. z1 + z2 = z1 + z2 ; ∀z1, z2 ∈ C



II. z − i = z + i ; ∀ z ∈ C



III. z = z ⋅ z; ∀ z ∈ C

halle Re(z+z2+...+z37)

2

C) 1 −

V. z = z∗ = z ; ∀ z ∈ C Dé como respuesta el número de proposiciones verdaderas.

2 i − 2i + −2 2i − 3 −1

x x 2 + y2

x 2

x + y2

14. Calcule el valor de

11. Indique un valor de



A) 0 B) i C) 2 D) 2i E) 2+2i

M=

0,25

)

i

2 − 1 × 4 i 8i

B) 2 C) 1 A) 4 2 D) i E) 4





1+ 2 + i

 

1







15. Si A =  z ∈ C Im  z −  = 2 ∧ z = 1 z

12. Calcule

4

(

donde i = −1.



NIVEL AVANZADO

x x 2 + y2

D) x2+y2 E) 1 +

3

x 2 + y2

B) −1 −

IV. El complejo z=(– 1; 3)(1; – 2)(0; 1) se ubica en el tercer cuadrante del plano complejo.

A) 1 B) 3 C) 5 D) 2 E) 4

x

A) −1 +

entonces A es un conjunto

4

 1 + 11i   1 − 11i   ; i = −1   +   2   2  A) 8 B) 7 C) – 7 D) 10 E) 6

9

A) infinito. B) de tres elementos. C) de z elementos. D) nulo. E) unitario.

Álgebra Ecuaciones polinomiales NIVEL BÁSICO

1. Resuelve la siguiente ecuación en x.

6. En la siguiente ecuación

2x+6x+12x+...+n(n+1)x=n2+n

 3  A)    n + 1

2. Si a es una de las soluciones

de x3 – 2x+7=0



determine α 2 +

A) 21 B) 20 C) 22 D) 23 E) 24

 3   1  B)   C)   n + 2    n( n + 1) 

 3  D)   E) {n}  n + 3

7 . α

(x – a)3(x – b)2(x – c)5=0, a, b, c ∈ Z+ a