Algebra

y=

2 x

x + ... +

Álgebra 5to grado – II Bimestre

3 x

Índice Índice

Pág l

Historia de los números enteros

125

l

Conjunto de los números enteros

127

l

Expresiones algebraicas

133

l

Términos semejantes

143

l

Términos semejantes con coeficiente fraccionario

147

l

Repaso

153

l

Propiedades de Potenciación I

155

l

Propiedades de Potenciación II

159

l

Propiedades de Radicación

163

l

Repaso

167

Conexión con la Historia Desde hace mucho tiempo, los chinos utilizaban bastoncillos de bambú o de maderas para representar los números y realizar en especial, cálculos comerciales de una manera práctica, pero también para tratar cuestiones relacionadas con los aumentos y disminuciones de magnitudes, o con distancias recorridas en sentidos opuestos; esos bastoncillos eran negros o rojos según que representaran cantidades positivas o negativas. Los matemáticos hindúes del siglo VI mencionan también el uso de números negativos. Para tratar este tipo de problema, los antiguos griegos, por el contrario, rechazaron que pudieran existir tales números. En Europa medieval, los árabes dieron a conocer a los números negativos de los hindúes: que en el siglo XII se utilizaban ya ocasionalmente para designar las pérdidas en el análisis de cuestiones financieras. Durante el Renacimiento, el manejo práctico de esos números en la contabilidad y otros contextos ayudó a su lenta introducción en las matemáticas. La notación muy difundida para los números positivos y negativos fue gracias a Stifel. La difusión de los símbolos germánicos (+) y (-), se popularizó con el matemático alemán Stifel (1487 - 1567) en el siglo XV, antes de ello se utilizaba la abreviatura de "p" para los positivos y "m" para los negativos. Con todo, la consideración de las cantidades negativas como correspondientes a números matemáticamente legítimos alcanzó aceptación general hasta el siglo XVIII, cuando los números negativos empezaron a ser entendidos como opuestos de los positivos. En la Matemática actual el conjunto de los números enteros abarca todos los enteros tanto negativos como positivos, y llega hasta el infinito hacia ambos lados de una recta numérica, por tanto, en rigor no existe un comienzo, salvo que como tal se considere el "cero".

Álgebra - 5to. grado

125

Conjunto de los Números Enteros (Z) El conjunto formado por los números positivos, los números negativos y el cero se llama conjunto de números enteros. Z = {. . . -4; -3; -2; -1; 0; +1; +2; +3; +4; . . .} +

-4

-3

-2

-1

0

+1

+2

+3

+4

Para indicar si un objeto se encuentra a la derecha o a la izquierda de un punto de referencia, podemos indicar con un signo "+" si está hacia la derecha y con el signo "-" si se ubica hacia la izquierda. De esta forma obtenemos dos conjuntos: Conjunto de números positivos

Z+

Z-

+

0 neutro

+1

+2

Conjunto de números negativos +

-

+3

-3

-2

-1

0 neutro

Relación de Orden en Z Z es un conjunto ordenado. Esto quiere decir que hay números enteros mayores o menores que otros. Un número entero es menor que otro, si está colocado a la izquierda de él en la recta numérica; y es mayor, cuando está a su derecha. Analicemos los siguientes ejemplos:

• Ordenaremos de menor a mayor +7; -6; +4 y -2 en la recta numérica, a partir del 0. Así, tenemos que:

+

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

+1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8

El número menor es -6, porque es el que está más a la izquierda; luego viene el -2, el +4 y el +7. En símbolos queda: -6 < -2 < +4 < +7.

• En el siguiente ejemplo, ordenaremos de mayor a menor: -1; +2; +5; 0 y -3. Tenemos:

Álgebra - 5to. grado

127

+

-

2

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

+1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8

El número mayor es +5 y el menor es -3. Nos queda: +5 > +2 > 0 > -1 > -3 Analizando los ejemplos anteriores, podemos deducir: - Todo número entero positivo es mayor que cero. - Todo número entero positivo es mayor que cualquier número entero negativo. - Todo número entero negativo es menor que cero. - Todo número entero negativo es menor que cualquier número entero positivo.

Ejemplos:



• +7 > -12

• +88 > 33

• -4 > -10



• -45 > -72

• +57 > 0

• 0 > -4

Representación Geométrica de un Número Entero Todo número entero se puede representar por una flecha que parte del cero y luego al punto correspondiente a dicho número. Ejemplos:

• Representa: +5 +5

-1

0

+

+1 +2 +3 +4 +5

• Representa: -3 -3

-4

128

-3

-2

+ -1

0

1

Álgebra – 5to. grado

• Representa:

+



2

-2

-3

-2

-1

-0

+1 +2 +3

¡Listos, a trabajar! 1. Representa en la recta numérica los siguientes números:



+3; -2; 0; -4; -8; +6 +

-

2. Representa en la recta numérica los siguientes números:



+7: -10; -8; -7; +1; -3; -9; +11 +

-



a. ¿Cuál de ellos está más próximo al cero?

________



b. ¿Cuál de ellos está más alejado al cero?

________

3. Ordena de mayor a menor los siguientes números: -8; +7; -3; 0; -11; +9; +5

_____________________________________

4. Ordena de menor a mayor los siguientes números: +12; +15; -13; -15; +20; -31; 0; +1

Álgebra - 5to. grado

___________________________________

129

2

5. Indica mayor (>) o menor () o menor ( 2 Ejemplos: a.

3 x4

=

4 3

x

b.

2m 2m

x

=

2m x 2m

c.

4 4

4 x4

= x1

x

d.

1 83

e.

1 16 2

f.

=

−38 = 161

50 100

3

Álgebra - 5to. grado

= x1

=

100 3 50

= 32 = 9

163

2





¡Listos, a trabajar! 1. Resuelve: a.

5 5

c.

2m 8m

x

=

d.

÷ x18

b.

x 4 .x 4

d.

x

4 16

x

c.

6 6

x

=

x12 =

4

x 24 x4

x 9 .x10 .x

3. Halla el número que debe ir dentro de cada paréntesis:

x .x = x ( )

a.

4 2

c.

3

e.

164

b.

2. Simplifica:

a.



=

3

4  2 3 2( )  x  =x  

( )

( )

x 5 .x 6 .x x 2 x 8.x 6

b.

d.

x 8.x 9 .3 x 7 21

x

3 9

x

3 6

x

15

. x4

= x( )

= x( )

3 −3 = x ( )

f.

6 7 x + x 6 + x7 = 3x ( )

5 5

Álgebra – 5to. grado



2

Demuestra lo aprendido

1. Resuelve: a.

c.

x 20 . x 20 . x 20 =

24

y72 y

48

=

b.

4 12

d.

4 20 16

b.

3

=

x

x

.x

2. Simplifica: x 36

+3

x9

a.

12

c.

2. x + 3.3 x + 4.4 x

x 24

x6



6

4

8



d.

x72 x 24

+

x 60 x 28

x4 . x2 . x4 x6 . x2

3. Halla el valor de "a" en cada uno de los siguientes casos: x 5 .x 6 .x 5

a.

x a +1 =

b.

x a− 4 =

c.

10(x2.x3 + x4.x + x5) = 30xa

Álgebra - 5to. grado

x6 . x4 . x2

4 24 4 32 9 36

x

. x

. x

x.x 3

165

2

Desafío Con los números a veces suceden cosas muy curiosas . . . ¿Lista para jugar? ¿Listo para jugar? •

Piensa una fecha, la que tú quieras, por ejemplo 28 de julio de 1997.

•

Ahora hay que escribir esta fecha como si fuera un solo número como julio es el mes 7, escribimos la fecha como: 28071997

•

Ordena las cifras de este número de la más grande a las más chica. 99877210

•

Ahora, ordénalas al revés, de las más chica a la más grande. 01277899

•

Resta los dos números que te quedaron al ordenar las cifras (resta siempre "el mayor menos el menor") 99877210 01277899 98599311

•

Suma las cifras del número que quedó como resultado de la resta: 9 + 8 + 5 + 9 + 9 + 3 + 1 + 1 = 45

•

Ahora, suma las cifras del número que quedó como resultado de la suma: 4+5=9 El resultado es 9 ¡ Lo sorprendente de este juego es que con cualquier fecha que escojas, el resultado siempre será 9!

•

166

Ahora inténtalo tú con la fecha de tu nacimiento, y con las fechas de tus seres queridos. Álgebra – 5to. grado

Repaso ¡Listos, a trabajar! 1.

Escribe dentro de cada paréntesis (V), si la proposición es verdadera; o (F), si es falsa: a.

x2m.x3m.xm = x6m

(

)

b.

x2a.x5 = x2a + 5

(

)

c.

x5b ÷ x3 = x5b - 3

(

)

d.

x2a + 3 = x3 + a + a

(

)

(

)

e.

2.

x

3a

+

x 8a x

a

= 2x7a

Usa las propiedades de la potenciación y radicación para simplificar las siguientes expresiones:

a.

b.

c.

3.

x10a

a3z az

5

+

x10 x5

8 32

x

a8z

+

a6z

+3

a13z

x12 x9

7

a11z

+4

9

+

a18z a16z

x16 x12

+ x 28 + x 36 +

+5

x 20 x15

+6

x 24 x18

11 44

x

Indica el valor de "a" en cada caso: x10

a.

8

c.

3 15

x x

Álgebra - 5to. grado

2

= xa

b.

b13x 10x

b

+

b7x b

4x

+

b18x 15x

b

= ba

. x10 = x 2a

167

2



Demuestra lo aprendido

1. Escribe dentro de cada paréntesis (V), si la proposición es verdadera o (F) si es falsa:

x16 .x10

a.

x8 =



(

)

b.

{[(2x)3]0}35 = 2x

(

)

c.

x14 = {[(x3)4]5}2

(

)

(

)

(

)

x16

d.

x

10 10

2. Resuelve:

b.

c.

= x 4

8

612 . 66 . 616

e.

a.

x16

8

6 .6 .6

x10

+7

x2

b13x b10x 9 27

x

+

x13 x6

b10x b7x

= 60

+6

+

6

x16 x10

b7x b4x 7

+

+ x18 + x 21 +

b4x bx 11 33

x

3. Indica el valor de "a" en cada caso: a.

b.

168

2x 2a =

3 6

x10 .x 5 .x 6 6

x .x

4

x + x8

= x 3a Álgebra – 5to. grado

2

Desafio I. Expresa como potencia o como operaciones con potencias las siguientes expresiones.



Primero observa algunos ejemplos: a.

8 × 32 = 23 × 25 = 28

b.

82 = (23)2 = 26

¡Ahora, hazlo tú! •

27 × 9 =

•

32 × 10 =

•

62 + 82 =

Álgebra - 5to. grado

169