ÁLGEBRA

Programa de Matemática Álgebra MAT200- MAT2001

GUÍA RESUMEN PRUEBA N°1 DE ÁLGEBRA

FORMULARIO Función Lineal :

𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑛, donde 𝑚 y 𝑛 son constantes

Sean las coordenadas 𝐴 = (𝑥1 , 𝑦1 ) y 𝐵 = (𝑥2 , 𝑦2 ) , entonces 𝑚 =

𝑦2 −𝑦1 𝑥2 −𝑥1

Fórmula Punto pendiente 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) Función Cuadrática:

f ( x )  ax

Coordenadas del Vértice:

2

 bx  c , donde a , b , c son constantes y a  0

 b   b    V  , f   (2a )   (2a )   

Valor de Valor de

Ecuación cuadrática: Si ax

2

−𝑏

𝑥 = (2𝑎) −𝑏

𝑦 = 𝑓 ( 2𝑎 )

 bx  c  0 , donde a , b , c son constantes y a  0

Entonces los valores de “x” se pueden determinar por: x1 

b

b  4 ac 2

(2a )

x2 

b

b  4 ac 2

(2a )

CONTENIDOS  Funciones  Dominio de la función.  Dominio contextualizado.  Determinar e interpretar imagen y pre imagen.  Función lineal  Determinar forma algebraica de la función.  Determinar pendiente.  Interpretar pendiente.  Determinar e interpretar imagen y pre imagen.  Resolver ecuaciones lineales.

 Función Cuadrática  Determinar forma algebraica de la función.  Determinar vértice.  Interpretar vértice.  Determinar e interpretar imagen y pre imagen.  Resolver ecuaciones cuadráticas.

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1.

Un electricista necesita comprar cable para las casas de una villa. La siguiente gráfica representa la función lineal que calcula el total de metros de cable a utilizar y

𝑥 corresponde a la cantidad de viviendas a cablear.

a) Escriba en la gráfica el nombre de los ejes coordenados. b) Interprete las coordenadas del punto E que aparece en el gráfico. c) Determine la forma algebraica de la función 𝐶(𝑥) que representa el gráfico. d) Determine e interprete 𝐶(23). e) Si 𝐶(𝑥) = 3.080 determine el valor de

𝑥. Escriba las coordenadas del punto

(𝑥, 3.080) en la gráfica e interprete resultados. f) Interprete el valor de la pendiente de la función lineal. 2.

El costo de arriendo de una casa comenzó en $350.000, acordando un incremento de $26.000 anualmente. Si el contrato de arriendo duró 10 años: a) Determine la forma algebraica de función que determina el costo del arriendo después de transcurridos

𝑥 años desde que se inicia el contrato.

b) Defina la variable dependiente e independiente, indicando unidad de medida. c) Determine el dominio contextualizado de la función. d) ¿Cuál fue el costo de arriendo cabo de 5 años? e) Interprete el valor de la pendiente de la función. f) ¿Después de cuántos años, el costo de arriendo de la casa fue de $532.000? g) El arriendo de otra casa comenzó en $300.000 con un incremento de $38.500 ¿en qué año el arriendo de ambas casas sería el mismo? ¿En qué rangos de tiempo le convendría la casa n°1 y la casa n°2?

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3.

La propagación de un virus computacional durante los primeros 6 días se modela con la función 𝑓(𝑡), que indica el número de computadores infectados (en miles) y 𝑡 el tiempo transcurrido, en días, desde que se propagó el virus.

a) Interprete las coordenadas del punto B dado en la gráfica. b) Escriba en la gráfica, el nombre de los ejes de coordenadas. c) Determine la forma algebraica de función 𝑓(𝑡) que mejor se ajusta a gráfico. d) ¿Cuántos pc habrá contagiados al finalizar el sexto día? Marque y escriba las coordenadas del punto correspondiente en el gráfico. e) ¿Cuándo habrá 12.000 computadores infectados? Marque y escriba las coordenadas de los puntos correspondientes en el gráfico. f)

4.

Determine e Interprete las coordenadas del Vértice de la Parábola.

La propagación de un virus se modela por la función

𝑓(𝑥) = −24𝑥 + 2𝑥 2 + 80,

donde 𝑓(𝑥) indica el número de contagiados, en cientos de personas y 𝑥 es el tiempo transcurrido, en meses, desde el inicio hasta el final de un año. a) Defina la variable dependiente e independiente, indicando unidad de medida. b) Escriba dominio contextualizado de la función. c) Determine e interprete el vértice de la función. d) ¿Cuándo habrán 1000 contagiados? e) Calcule e interprete 𝑓(4).

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5.

La Federación de caza de cierta ciudad introduce 25 animales en una determinada región. Se cree que el número de animales está dado por la función 𝑓(𝑥) donde

𝑥 representa el tiempo transcurrido en años f ( x) 

25  18 x 2  0 , 06 x

a) Calcule la cantidad de animales que habrá dentro de 10 años. b) Si 𝑓(𝑥) = 127 , determine el valor de

6.

𝑥 e interprete resultados.

Para determinar la cantidad de productos que fabrican dos grupos de trabajadores de una misma empresa se utilizan las siguientes funciones: Grupo N°1 función lineal

𝐴(𝑡) = 4𝑡 + 16

Grupo N°2 función cuadrática

𝐵(𝑡) = 𝑡 2 − 2𝑡

Donde

𝑡 corresponde a los días de trabajo y las funciones determinan la cantidad

de productos que fabrica cada grupo de trabajadores. a) Si se trabajan 18 días ¿cuántos productos fabricaron cada grupo de trabajadores? b) Si se sabe que el grupo N°2 de trabajadores logró tener 728 productos fabricados, ¿Cuántos días trabajaron? c) ¿Cuántos días deberían trabajar para que la cantidad de productos fabricados sea el mismo en ambos grupos? ¿Cuántos productos se fabrican? d) Determine el rango de tiempo en que el grupo N°1 tiene mayor producción que el grupo N°2. (se recomienda esbozar funciones)

7.

La altura promedio 𝒇 en centímetros de un niño durante su primer año de vida se puede estimar

mediante la función 𝑓(𝑥) =

2 3

∙ 𝑥 + 50, donde 𝑥 es el tiempo

transcurrido desde que nace (en meses). a)

Defina la variable dependiente e independiente, indicando unidad de medida.

b)

Escriba el dominio contextualizado de la función 𝑓(𝑥).

c)

Determine e interprete 𝑓(4) y 𝑓(6).

d)

Si un niño mide 56 cm ¿Cuántos meses de vida tiene?

e)

¿Cuántos meses tendría un niño si su estatura es de 66 cm?

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f) 8.

Interprete la pendiente de la función.

Dos tasadores utilizan distintas funciones para la depreciación de una maquinaria pesada, dada por las siguientes expresiones: 3

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Tasador N°1

𝐶(𝑡) = 8 𝑡 2 − 20 𝑡 + 10,4

Tasador N°2

𝐿(𝑡) = −𝑡 + 10,4

Donde 𝑡 es la antigüedad de la maquinaria, en años, y las funciones 𝐶(𝑡) y 𝐿(𝑡) determinan el valor de la maquinaria, según cada tasador, en millones de pesos. a) A los 5 años, ¿qué valor tiene la maquinaria según los tasadores? b) ¿Cuántos años de antigüedad debe tener la maquinaria para que su valor sea el mismo, independiente del tasador? c) ¿En qué rangos de tiempo conviene cada tasador? Se sugiere esbozar gráfica. d) Si 𝐶(𝑡) = 33,4 , determine e interprete el valor de t e) Determine e interprete el vértice de 𝐶(𝑡). f) Determine e interprete la pendiente de 𝐿(𝑡). 9.

En un taller mecánico se analizan los ingresos (en pesos) obtenidos por la reparación de bujías en autos. Estos ingresos están modelados por una función lineal 𝑓(𝑥) donde la variable 𝑥 representa la cantidad de autos reparados.

a)Escriba el nombre de los ejes coordenados. b)Determine la forma algebraica de la función 𝑓(𝑥) que mejor se ajusta al gráfico. c) Si 𝑓(𝑥) = 85.000 , determine el valor de

𝑥 e interprete resultados.

d)Determine e interprete 𝑓(20). e) Interprete la pendiente de la función 𝑓(𝑥).

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10. La temperatura promedio en una zona vitivinícola se estima mediante la función 𝐶(𝑡), que corresponde a la temperatura promedio en grados Celsius (°C) y

𝑡

corresponde al tiempo transcurrido en meses de un año.

a) Escriba el nombre de los ejes coordenados. b) Escriba el dominio contextualizado. c) Determine la forma algebraica de la función 𝐶(𝑥) que representa el gráfico. d) ¿Durante qué período la temperatura promedio es bajo cero? e) Determine e interprete 𝐶(2,5). f)

Determine e interprete el vértice de la parábola.

11. La regla de Young nos permite calcular la dosis (en mg) de medicamento que se debe administrar a niños desde 1 hasta 12 años de edad, conocida la dosis normal en adultos. Si la dosis normal de paracetamol para un adulto es de 500 mg, entonces la regla de Young está dada por la función

500𝑥

𝑑(𝑥) = 𝑥+12, donde

𝑥 corresponde a la edad de los niños (en años). a)

Determine e interprete 𝑑(6,5).

b)

¿Cuánto medicamento se le debe administrar a un niño de 2 años con 3 meses?

c)

Si a un niño se le administra 227 mg de paracetamol ¿Cuál es su edad?

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12. En una empresa multinacional, la cantidad de productos que generan, está dada por la función 𝑃(ℎ) = 3,2ℎ + 3 (miles de productos), dependiendo de la cantidad de obreros ℎ, que tiene la empresa. Se estima que en 𝑡 años, la cantidad de obreros será ℎ(𝑡) = 8 + 0,2𝑡2 (miles de personas). a) ¿Cuál será la producción en 3 años, a partir de hoy? b) ¿Cuánto tiempo debe pasar para que la producción sea 31.164.600 productos? 13. Los alumnos de recursos naturales modelaron la población de abejas en la ciudad de Santiago con la función lineal 𝐴(𝑡) = −12.144𝑡 + 1.008.000, donde 𝑡 es el tiempo transcurrido en meses iniciada la investigación. a)

Defina la variable dependiente e independiente, indicando unidad de medida.

b)

¿Con cuántas abejas se inició el estudio?

c)

¿Cuánto disminuye la cantidad de abejas por mes?

d)

¿Cuándo desaparecerán las abejas?

e)

Si habían 218.640 abejas cuando terminaron el estudio ¿Cuántos meses duró la investigación?

14. Luis está cursando el último semestre de Técnico en Mecánica y tiene dos ofertas para comenzar su práctica profesional. En el primer taller recibiría una comisión de $4.500 por cada auto que repare más un sueldo base mensual de $200.000, mientras que en el otro taller recibiría una comisión de $2.500 por auto más un sueldo base mensual de $250.000. a) Determine la forma algebraica de la función Sueldo por cada taller. b) Escriba dominio contextualizado de ambas funciones c) ¿Cuándo la cantidad de autos y sueldo son los mismos en ambos talleres? Indique valores. d) ¿En qué taller le conviene trabajar a Luis? 15. La productividad de una parcela que cultiva frutales está dada por la función

𝑘(𝑎) = −𝑎2 + 740𝑎, donde 𝑘(𝑎) corresponde al peso de la fruta producida en kilogramos y

𝑎 es el número de árboles que se plantaron en la parcela,

considerando un máximo de 450 árboles. a)

Determine e interprete el vértice de la parábola.

b) Escriba dominio contextualizado de la función. c) Determine e interprete 𝑘(300). d) ¿Cuántos árboles se deben plantar para obtener 115.875 kilogramos de fruta?

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16. Un analista computacional decide inventar un programa para ahorrar tiempo en cierta gestión de la empresa, y su jefe le retribuirá con un bono dependiendo del tiempo ahorrado, si en algún caso se pierde tiempo se le descontara dinero del sueldo. La situación se presenta en la siguiente tabla:

a)

Cantidad de horas

1

2

3

4

Bono en pesos

$850

$2.800

$4.750

$6.700

Según la tabla determine la forma algébrica de la función lineal que modela la situación.

b)

¿Cuál será el bono de este analista si recupera 7 horas con el programa?

c)

Si le dieron un bono de $10.600, ¿cuánto tiempo se ahorró?

d)

Interprete pendiente de la función lineal.

15. Una empresa constructora arrienda una grúa para descargar material de un camión. La altura (medida en metros) que alcanza la plataforma de la grúa que recoge la carga depende del tiempo (medido en segundos) que demora esta. La siguiente gráfica representa la función cuadrática que modela dicha situación.

a)

Según la gráfica, estime la forma algebraica la función.

b)

¿Qué altura alcanzará a los 7 segundos?

c)

Si alcanza una altura de 9 metros, ¿cuántos segundos han pasado?

d)

Determine e interprete vértice de la función.

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