ALGeBRA

Prefaţă ........................................................................................................................... 3 Capitolul I. Recapitulare şi completări ..................................................................... 4 1. Mulţimea numerelor reale ................................................................................... 9 2. Operaţii cu numere reale ................................................................................... 12 Capitolul II. Puteri cu exponent raţional ............................................................... 18 1. Radicali de ordinul n ......................................................................................... 20 2. Puteri cu exponent raţional ............................................................................... 25 Capitolul III. Funcţii ................................................................................................ 31 1. Noţiunea de funcţie ........................................................................................... 36 2. Funcţii numerice ................................................................................................ 42 3. Funcţia de gradul II ........................................................................................... 47 4. Funcţia putere ................................................................................................... 55 Capitolul IV. Polinoame şi fracţii algebrice ........................................................... 58 1. Recapitulare şi completări ................................................................................. 62 2. Împărţirea polinoamelor ................................................................................... 68 3. Divizibilitatea polinoamelor ............................................................................. 71 4. Fracţii algebrice ................................................................................................ 76 Capitolul V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii ............................................... 83 1. Ecuaţii de forma ax + b = 0, a ∈ R, b ∈ R ...................................................... 88 2. Ecuaţii de gradul II cu o necunoscută ............................................................... 93 3. Ecuaţii raţionale ................................................................................................ 98 4. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii ......................................................................... 102 Capitolul VI. Inecuaţii. Sisteme şi totalităţi de inecuaţii ..................................... 111 1. Inecuaţii de gradul I. Recapitulare şi completări ............................................ 114 2. Inecuaţii de gradul II cu o necunoscută. Metoda intervalelor.......................... 123 Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri .......................................................................... 129 Capitolul I ............................................................................................................ 129 Capitolul II .......................................................................................................... 131 Capitolul III ........................................................................................................ 132 Capitolul IV ........................................................................................................ 138 Capitolul V .......................................................................................................... 141 Capitolul VI ........................................................................................................ 149

To my grandchildren, Maria, Anna, Thomas and Sarah Copeland

Cartea de faţă continuă seria de culegeri de exerciţii şi probleme concepute şi publicate de acelaşi autor pentru clasele V, VI, VII, VIII. Conţinutul ei corespunde părţii destinate algebrei de noul manual pentru clasa a 9-a, „Matematică. Manual pentru clasa a IX-a“, Editura Prut Internaţional, 2003: I. Recapitulare şi completări, II. Puteri cu exponent raţional, III. Funcţii, IV. Polinoame şi fracţii algebrice, V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii, VI. Inecuaţii. Sisteme şi totalităţi de inecuaţii. Cele peste 860 de exerciţii şi probleme sunt distribuite pe trei niveluri şi fiecare paragraf se termină cu evaluări (30 de teste). Fiecare capitol conţine un rezumat teoretic în care se regăsesc atât elementele teoretice prezentate în manual, cât şi alte rezultate matematice suplimentare sau facultative, marcate ca atare. Exerciţiile ce se referă la elementele teoretice suplimentare sau facultative sunt marcate cu semnul „*“. Cartea se termină cu Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri. În această parte sunt prezentate rezolvările exerciţiilor de nivelul I şi se oferă indicaţii sau sugestii de rezolvare pentru exerciţiile şi problemele de nivelurile II şi III. Victor Raischi 3 octombrie 2004

3

Înainte de a fi un instrument de lucru, matematica reprezintă un mod de gândire care ne poate ajuta în orice activitate. Solomon Marcus C A P I T O L U L

I

Recapitulare şi completări

Mulţimea numerelor naturale este N = { 0, 1, 2, 3, ...}. Mulţimea numerelor naturale nenule este N* = {1, 2, 3, ...}. Mulţimea numerelor întregi este Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}. Mulţimea numerelor întregi nenule este Z* = {..., –3, –2, –1, 1, 2, 3, ...}. a a Fracţie. Dacă a ∈ Z şi b ∈ N*, atunci a : b = . , a ∈ Z şi b ∈ N*, este fracţia b b cu numărătorul a şi numitorul b. Mulţimea numerelor raţionale. Q = { x | x este un număr ce poate fi scris sub formă de fracţie} = { x | x este câtul împărţirii unui număr întreg la un număr natural nenul}. Scrierea unui număr raţional. Un număr raţional poate fi scris în două variante: fracţie (scriere fracţionară); număr zecimal (scriere poziţională în baza 10). Recunoaşterea numerelor zecimale raţionale. Numerele zecimale cu un număr finit de zecimale (de exemplu, −12,154) sunt numere raţionale. Numerele zecimale periodice (de exemplu, −13,(291) sau −81,35(47)) sunt numere raţionale. Convertirea într-o fracţie a unui număr raţional zecimal se face conform exemplelor: 229 231 − 2 413 375 . ; 5,2(31) = 5 + ; 4, (413) = 4 37,5 = =5 990 990 999 10 Numere zecimale iraţionale. Exemple: −15,0369… (după virgulă sunt scrise, la rând, toate numerele naturale, multipli ai lui 3); rădăcina pătrată a unui număr raţional ce nu este pătrat perfect ( 2 , 3 , 5 , 0,1); numărul π = 3,141592653589793238… (raportul dintre lungimea unui cerc şi diametrul lui); numărul e = 2,7182818... = 1 + 1 1 + + ..., unde n! = 1⋅2⋅3⋅...⋅n. Un număr zecimal care nu are un număr finit de 2! 3! zecimale şi care nu este număr zecimal periodic, este un număr iraţional. Pentru reprezentarea pe axă geometrică a numerelor iraţionale ce sunt rădăcini pătrate ale unor numere naturale ce nu sunt pătrate perfecte se aplică teorema lui Pitagora. De exemplu: 2 este lungimea ipotenuzei unui triunghi dreptunghic ale cărui catete au lungimile 1; 3 este lungimea ipotenuzei unui triunghi dreptunghic ale

cărui catete au lungimile 2 şi 1; 5 este lungimea ipotenuzei unui triunghi dreptunghic ale cărui catete au lungimile 2 şi 1 etc. Mulţimea numerelor reale este reuniunea mulţimii numerelor raţionale cu mulţimea numerelor iraţionale. Intervale de numere reale. Fie numerele reale diferite a şi b, a < b. 1) Mulţimea {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} = [a, b] este un interval închis. 2) Mulţimea {x ∈ R | a < x < b} =

4

Capitolul 1. Recapitulare şi completări

(a, b) este un interval deschis. 3) Mulţimea {x ∈ R | a < x ≤ b} = (a, b] este un interval deschis la stânga şi închis la dreapta. 4) Mulţimea {x ∈ R | a ≤ x < b} = [a, b) este un interval închis la stânga şi deschis la dreapta. 5) Mulţimea {x ∈ R | x ≤ a} = (−∞, a] este un interval nemărginit închis la dreapta. 6) Mulţimea {x ∈ R | x < a} = (−∞, a) este un interval nemărginit deschis la dreapta. 7) Mulţimea {x ∈ R | x ≥ a} = [a, ∞) este un interval nemărginit închis la stânga. 8) Mulţimea {x ∈ R | x > a} = (a, ∞) este un interval nemărginit deschis la stânga. (Simbolul „∞“ se citeşte „infinit“.) Suplimentar. Fracţii continue. Fie 1 9 1 numărul 4,9. Atunci 4,9 = 4 + =4+ =4+ = [4; 1, 9]. [4; 1, 9] este 10 1 10 1+ 9 9 scrierea sub formă de fracţie continuă a numărului 4,9. Procedând la fel cu 3 , obţinem: 2 2 =1+ = 3 = 1 + ( 3 − 1) = 1 + 1+ 3 2 + ( 3 − 1) 1 1 1 1 =1+ =1+ =1+ 1+ 1 1 1 3 −1 1+ 1+ 1+ 1+ 2 1 2 + ( 3 − 1) 2 2+ 2+ 2 + ( 3 − 1) 3 −1 1+ 2 1 1 1+ =1+ = [1; 1, 2, 1, 2, ...] = [1; (1, 2)]. De1 1 1+ 1+ 1 1 2+ 2+ 1 1 1+ 1+ 2 + ( 3 − 1) 1+ 3 oarece 1, 2 se repetă de un număr nelimitat de ori, apare între paranteze ca la scrierea perioadei numerelor zecimale periodice. 5 +1 Numărul de aur ϕ = se scrie ca fracţie continuă [1; (1)]. 2 Scrierea ca fracţie continuă a unui număr real este unică. Numerele reale care sunt rădăcini ale unor polinoame cu coeficienţi întregi se numesc numere algebrice. Celelalte numere reale se numesc transcendente. În 1767 Lambert a demonstrat că numărul π este un număr iraţional, iar în 1882 Capitolul 1. Recapitulare şi completări

5

Lindemann a demonstrat că π este un număr transcendent. Numărul transcendent e = 2,7182818... se scrie ca fracţie continuă [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, ...]. În general, scrierea ca fracţie continuă a unui număr algebric aminteşte de scrierea zecimală a numerelor raţionale, iar scrierea ca fracţie continuă a unui număr transcendent aminteşte de scrierea zecimală a unui număr iraţional. Prin urmare, scrierea ca fracţie continuă a unui număr real permite identificarea numerelor transcendente. Submulţimi importante ale mulţimii numerelor reale (R). Mulţimea numerelor reale strict pozitive se notează R*+ ; mulţimea numerelor reale strict negative se notează R*− ; mulţimea numerelor reale negative (nepozitive) se notează R − , iar mulţimea numerelor reale pozitive (nenegative) se notează R + . Numerele reale pozitive se scriu, în general, fără semn. Modulul sau valoarea absolută a unui număr real. Modulul sau valoarea absolută a unui număr real este distanţa de la punctul de pe axa numerelor, care îi corespunde numărului, până la origine. Notaţii: | x | este modulul lui x; max {a, b} este cel mai mare dintre numerele a şi b. ⎧− x, dacă x < 0 ⎧− x, dacă x < 0 ⎪ Dacă x ∈ R, atunci | x | = max {− x, x} = ⎨ 0, dacă x = 0 = ⎨ ⎪ x, dacă x > 0 ⎩ x, dacă x ≥ 0. ⎩ Numere opuse. Numerele care au acelaşi modul se numesc numere opuse. Proprietăţi ale modulului: 1) pentru orice x ∈ R, | x | ∈ R + (modulul oricărui număr real este un număr real pozitiv); 2) pentru orice x ∈ R*, | x | ∈ R*+ (modulul oricărui număr real nenul este un număr real strict pozitiv); 3) | x | = 0 numai pentru x = 0 (singurul număr real cu modulul 0 este 0); 4) pentru orice x ∈ R*, | x | = | −x | (numerele reale opuse au acelaşi modul); 5) pentru x ∈ R, a ∈ R, | x | ≤ a, a > 0 ⇔ x ∈ [− a, a]; 6) pentru x ∈ R, a ∈ R*+ , | x | ≥ a ⇔ x ∈ (–', − a] ∪ [a, '); 7) pentru x ∈ R, a ∈ R, | x | = a, a > 0 ⇔ x = a sau x = − a; 8) | a | ≥ a, a ∈ R; 9) | ab | = | a |⋅| b |, a ∈ a |a| R, b ∈ R; 10) = , a ∈ R, b ∈ R*; 11) | a + b | ≤ | a | + | b |, a ∈ R, b ∈ R; 12) b |b| || a | – | b || ≤ | a + b | ≤ | a | + | b |, a ∈ R, b ∈ R. Adunarea numerelor reale. Adunarea numerelor reale se efectuează, în principiu, ca şi adunarea numerelor raţionale. Adunarea numerelor reale are proprietăţile adunării numerelor raţionale. Scăderea. Diferenţa a două numere reale este suma dintre descăzut şi opusul scăzătorului. Desfacerea parantezelor. 1) Dacă în faţa unei paranteze se află semnul „+“, atunci, după desfacerea parantezelor, numerele din paranteze se scriu cu semnele lor: a + (−b + c − d) = a − b + c − d. 2) Dacă în faţa unei paranteze se află semnul „−“, atunci, după desfacerea parantezelor, expresia se înlocuieşte cu opusa ei: a − (−b + c − d) = a + b − c + d. Suplimentar. Partea întreagă. Partea neîntreagă. Partea întreagă a numărului

6

Capitolul 1. Recapitulare şi completări

raţional a este [a] = n, n ∈ Z, dacă n ≤ a < n + 1. Se numeşte parte neîntreagă a numărului real a numărul {a} = a − [a]. Constatăm fără dificultate că 0 ≤ {a} < 1. ⎧− 1, dacă a < 0 ⎪ Signum. Pentru orice număr real a se defineşte sgn a = ⎨ 0, dacă a = 0 ⎪ 1, dacă a > 0. ⎩ Proprietăţile înmulţirii numerelor raţionale: 1) asociativitatea: (ab)c = a(bc); 2) 1 este element neutru: 1⋅a = a; 3) comutativitatea: ab = ba; 4) −1⋅a = − a; 5) 0⋅ a = 0; 6) distributivitatea înmulţirii faţă de adunare: a(b + c) = ab + ac; 7) distributivitatea înmulţirii faţă de scădere: a(b − c) = ab − ac; 1 8) dacă a ∈ R*, atunci există numărul ∈ R*, numit inversul numărului a, a 1 astfel încât a ⋅ = 1. a Factor comun: ab + ac = a(b + c). Un produs de numere raţionale este un număr strict negativ dacă şi numai dacă are un număr impar de factori strict negativi. Proprietăţi ale puterilor numerelor reale cu exponent natural: 1) a n ⋅ a p = a n + p , pentru orice n şi p numere naturale, a ∈ R*;

2) a n : a p = a n − p , n şi p sunt numere naturale, n ≥ p, a ∈ R*; 3) a 0 = 1, pentru orice a ≠ 0; 4) a n ⋅ b n = (ab) n , pentru a şi b numere raţionale nenule şi n ∈ N; 5) a n : b n = (a : b) n , pentru a, b numere raţionale nenule şi n ∈ N; 6) (a n ) p = a np , pentru a ∈ R, iar n, p numere naturale nenule; ⎧− 1, dacă n este impar 0 7) (−1) n = ⎨ 0 nu are sens. ⎩ 1, dacă n este par. a+b . Media geome2 ab . Media armonică a numerelor

Medii. Media aritmetică a numerelor reale a şi b este marit =

trică a numerelor reale strict pozitive a şi b este 2ab reale a şi b este marm = . Inegalitatea mediilor: marm ≤ mg ≤ marit. a+b Formule de calcul prescurtat. 1) Formula pătratului sumei cu doi termeni: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 . 1′) ( a + b ) 2 = a + 2 ab + b. 2) Formula diferenţei pă-

tratului: (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 . 2′) ( a − b ) 2 = a − 2 ab + b. 3) Formula produsului sumei cu diferenţa: (a + b)(a − b) = a 2 − b 2 . 3′) ( a + b )( a − b ) = a − b. 4) Pătratul sumei de trei termeni: (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ac. 5) Cubul sumei cu doi termeni: (a + b)3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b 3 . 6) Cubul diferenţei: (a − b)3 = a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b3 . 7) (a + b)(a 2 − ab + b 2 ) = a 3 + b 3 . 8) (a − b) (a 2 + Capitolul 1. Recapitulare şi completări

7

ab + b 2 ) = a 3 + b 3 . 9) (Facultativ) Cubul sumei de trei termeni (a + b + c)3 = a 3 + b3 + c 3 + 3(a + b)(b + c)(a + c) = a 3 + b3 + c 3 + 3(a + b + c)(ab + bc + ac) − 3abc. 10) (Facultativ) (a − b)(a n + a n−1b + a n−2b 2 + a n−3b 3 + ... + ab n−1 + b n ) = a n +1 − b n +1. 11) (Facultativ) (a + b)(a 2 n − a 2 n−1b + a 2 n−2b 2 + a 2 n−3b 3 + ... − ab 2 n−1 + b 2 n ) = a 2 n +1 + b 2 n + 1 . Relaţia de ordine pe R. Relaţia „≤“ (mai mic sau egal) are proprietăţile: 1) reflexivitatea (a ≤ a pentru orice a ∈ R); 2) antisimetria (a ≤ b şi b ≤ a implică a = b); 3) tranzitivitatea (a ≤ b şi b ≤ c implică b ≤ c, dacă a, b, c sunt numere reale). Relaţia „≤“ şi operaţiile aritmetice (adunarea şi înmulţirea): 1) a ≤ b ⇒ a + c ≤ b + c pentru a, b, m ∈ R; 2) a ≤ b şi c ≤ d ⇒ a + c ≤ b + d pentru a, b, c, d ∈ R; 3) a ≤ b şi m > 0 ⇒ am ≤ bm pentru a, b, m ∈ R; 4) a ≤ b şi m < 0 ⇒ am ≥ bm pentru a, b, m ∈ R; a b 5) a ≤ b şi c ≤ d ⇒ ac ≤ bd şi ≤ pentru a, b, c, d ∈ R*+ . d c Rotunjirea numerelor reale. Exemple. 1) Rotunjind la zeci numerele din intervalul [35, 45) se obţine 40. 2) Rotunjind la zeci numerele din intervalul (–45, –35] se obţine –40. 2) Rotunjind la întregi numerele din intervalul [3,5; 4,5) se obţine 4. 3) Rotunjind la întregi numerele din intervalul (–4,5; –3,5] se obţine –4. 4) Rotunjind la zecimi numerele din intervalul [2,45; 2,55) se obţine 2,5. 5) Rotunjind la zecimi numerele din intervalul (–2,55; –2,45] se obţine –2,5. 6) Rotunjind la sutimi numerele din intervalul [2,355; 2,365) se obţine 2,36. 7) Rotunjind la sutimi numerele din intervalul (–2,355; –2,365] se obţine –2,36. Aproximări. Exemple. 1) 2,5 este aproximarea prin lipsă cu 0,1 (0,1-aproximarea prin lipsă) a tuturor numerelor reale din intervalul (2,5; 2,6). 2) 2,6 este aproximarea prin adaos cu 0,1 (0,1-aproximarea prin lipsă) a tuturor numerelor reale din intervalul (2,5; 2,6). Trunchieri. Trunchierea de ordinul i a unui număr întreg înlocuieşte cu 0 toate cifrele numărului, de ordin mai mic decât i, iar trunchierea de ordinul i a unui număr neîntreg renunţă la toate zecimalele numărului (au ordinele –1, –2, –3, ...), de ordin mai mic decât i. Trunchierea de ordinul –1 a unei rădăcini pătrate este valoarea ei cu o zecimală exactă, trunchierea de ordinul i a unui număr de ordinul –2 a unei rădăcini pătrate este valoarea ei cu două zecimale exacte etc.

8

Capitolul 1. Recapitulare şi completări

1. M u l ţ i m e a n u m e r e l o r r e a l e 1. Decideţi dacă este raţional sau iraţional numărul: a) –5,0369...; b) –34,563; c) –3,222...; d) –24,151617...; e) 32,103103103...; f) 78,111367. 2. Convertiţi în fracţie numărul: a) −23,5(41); b) –501,(34); c) −28,(362); d) 9,352; e) –26,34(5); f) 75,6(348). 3. Aplicând teorema lui Pitagora, reprezentaţi pe axa numerelor: a) − 2 ; b) − 3; c) 5 ; d) 6 ; e) 7 ; f) 10 . 4. Enumeraţi numerele întregi din intervalul: a) (–2,2; 5); b) (–2,6; 3,4); c) (–5,2; –1,5); d) (–5,3; 1,4); e) (–7,4; –3,2); f) (–1,7; 2,8). 5. Scrieţi ca interval mulţimea numerelor reale x, ce satisfac condiţia: b) –13 < x < 45; c) –26 < x < 31. a) –5 < x < 17; 6. Scrieţi ca interval mulţimea numerelor reale x, ce satisfac condiţia: b) –25 < x ≤ 54; c) –19 < x ≤ 67; a) –11 < x ≤ 24; d) –33 ≤ x < 2,3; e) –21,1 ≤ x < 6,1; f) –2,4 ≤ x < 8,2. 7. Scrieţi ca interval mulţimea numerelor reale x, ce satisfac condiţia: b) –9,6 ≤ x ≤ 11,3; c) –22,3 ≤ x ≤ 5,1. a) –2,5 ≤ x ≤ 7,1; 8. Scrieţi ca interval mulţimea numerelor reale x, ce satisfac condiţia: b) x ≤ 24,6; c) x ≤ 44,3; d) x ≤ –31,4; a) x ≤ 15,2; f) x ≥ –5,21; g) x ≥ 26,2; h) x ≥ –2,19. e) x ≥ 3,12; 9. Scrieţi cu ajutorul modulului mulţimea numerelor reale x, ce satisfac condiţia: b) –7,6 < x < 7,6; c) –11,3 < x < 11,3. a) –2,9 < x < 2,9; 10. Scrieţi cu ajutorul modulului mulţimea numerelor reale x, ce satisfac condiţia: c) –55,3 ≤ x ≤ 55,3. a) –13,2 ≤ x ≤ 13,2; b) –37,4 ≤ x ≤ 37,4; 11. Scrieţi cu ajutorul modulului mulţimea numerelor reale x, ce satisfac condiţia: b) x < –8,13 sau x > 8,13; a) x < –3,27 sau x > 3,27; d) x < –15,2 sau x > 15,2; c) x < –11,8 sau x > 11,8; f) x < –85,6 sau x > 85,6. e) x < –73,1 sau x > 73,1; 12. Scrieţi cu ajutorul modulului mulţimea numerelor reale x, ce satisfac condiţia: a) x ≤ –3,27 sau x ≥ 3,27; b) x ≤ –29,1 sau x ≥ 29,1; d) x ≤ –39,3 sau x ≥ 39,3; c) x ≤ –14,8 sau x ≥ 14,8; f) x ≤ –84,9 sau x ≥ 84,9. e) x ≤ –75,3 sau x ≥ 75,3; 13. Încadraţi între două numere întregi consecutive numărul: b) − 11; c) − 15 ; d) 26 ; e) 37 ; f) 52 . a) − 73 ; 14. Rotunjiţi la întregi numărul: b) 12 ; c) 13; d) 14 ; e) 15 ; f) 17 . a) 55 ; 15. Rotunjiţi la zecimi numărul: b) 31; c) 34 ; d) 30 ; e) 29 ; f) 28 . a) 33; Capitolul 1. Recapitulare şi completări

9

16. Rotunjiţi la sutimi numărul: a) 48 ; b) 47 ; c) 46 ; d) 47 ; 17. Rotunjiţi la întregi numărul: a) − 51; b) − 52 ; c) − 53; d) − 54 ; 18. Rotunjiţi la zecimi numărul: b) − 67 ; c) − 61; d) − 62 ; a) − 68 ; 19. Rotunjiţi la sutimi numărul: b) − 70 ; c) − 71; d) − 72 ; a) − 78 ; 20. Aflaţi 0,1-aproximarea prin adaos a numărului: b) 10 ; c) 8 ; d) 7 ; a) 18 ; 21. Aflaţi 0,1-aproximarea prin lipsă a numărului: b) 12 ; c) 13; d) 14 ; a) 19 ; 22. Aflaţi 0,1-aproximarea prin adaos a numărului: b) − 18 ; c) − 17 ; d) − 14 ; a) − 19 ; 23. Aflaţi 0,1-aproximarea prin lipsă a numărului: a) − 27 ; b) − 26 ; c) − 24 ; d) − 23;

e)

46 ;

f)

45 .

e) − 55 ;

f) − 56 .

e) − 63 ;

f) − 65 .

e) − 73 ;

f)

74 .

e)

f)

5.

6;

e) 15 ;

f) 17 .

e) − 13 ;

f) − 12 .

e) − 22 ;

f) − 21.

24. Aflaţi numerele întregi x pentru care este întreg numărul: 7 13 5 11 23 29 ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) . a) x+2 x+3 x + 17 x + 23 x + 10 x + 11 Formulaţi un exerciţiu asemănător. 25. Fără să calculaţi, decideţi în ce număr zecimal se converteşte fracţia: 7 13 23 17 11 19 ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) . a) 12 25 32 20 15 24 Formulaţi un exerciţiu asemănător. x 5 y 13 − x 4 y 17 26. Decideţi dacă pentru orice numere întregi x şi y fracţia este re2004 ductibilă. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 27. Aflaţi în ce număr zecimal se converteşte suma inverselor a trei numere întregi consecutive. 28. Decideţi dacă valoarea raportului este o fracţie reductibilă: 15 24 ; b) . a) abcd + 2(a + b + c + d ) abc + 11(a + b + c) 29. Fie numărul zecimal 0,2468... Aflaţi zecimala de rang 500. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 30. Fie numerele naturale 1, 2, 3, 4, 5, ..., 2005. Micşoraţi 4 termeni ai şirului cu 1. Procedând în acest mod de un număr suficient de ori, se poate obţine un şir cu toţi

10

Capitolul 1. Recapitulare şi completări

termenii egali cu 0? Formulaţi un exerciţiu asemănător. 31. Fie numărul zecimal 0,1112111123112211213... Decideţi dacă numărul este sau nu periodic. Formulaţi un exerciţiu asemănător.

32*. Scrieţi sub formă de fracţie continuă numărul 11. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 33*. Precizaţi ce tip de număr (raţional, iraţional algebric, transcendent) este numărul ce se scrie sub formă de fracţie continuă: a) [5; 3, 7, 1]; b) [5; 2, (4, 7)]; c) [5; 2, 4, 6, 8, 10, ...]. Formulaţi un exerciţiu asemănător.

Evaluare formativă 1. Convertiţi în fracţie –5,42. 1. Convertiţi în fracţie –3,26. 2. Convertiţi în fracţie: 2. Convertiţi în fracţie: a) –7,(261); a) –8,(162); b) –10,4(457). b) –12,3(375). 3. Scrieţi ca interval mulţimea nu3. Scrieţi ca interval mulţimea numemerelor reale x, ce satisfac condiţia: relor reale x, ce satisfac condiţia: a) –14 < x ≤ 31; a) –21 < x ≤ 29; b) x ≤ –16,5. b) x ≤ –15,6. 4. Scrieţi cu ajutorul modulului 4. Scrieţi cu ajutorul modulului mulmulţimea numerelor reale x, ce satisfac ţimea numerelor reale x, ce satisfac condiţia: condiţia: a) –5,4 < x < 5,4; a) –3,9 < x < 3,9; b) x ≤ –9,32 sau x ≥ 9,32. b) x ≤ –8,23 sau x ≥ 8,23. 5. Rotunjiţi la sutimi numărul: 5. Rotunjiţi la sutimi numărul: a) 7,265; a) –2,213. a) 8,356; a) –3,318. 6. Aflaţi 0,01-aproximarea prin 6. Aflaţi 0,01-aproximarea prin lipsă a lipsă a numărului: numărului: a) –12,428; a) –15,374; b) 5. b) 6 . 7. Aflaţi numerele întregi m pentru 7. Aflaţi numerele întregi m pentru 31 17 . . care fracţia care fracţia x − 10 x − 15 8. Fie numărul 4,111213... Aflaţi 8. Fie numărul 4,891011... Aflaţi zecimala de rang 350. zecimala de rang 350. 9. Fie a = 3,023456..., b = 9. Fie a = 2,23456..., b = 3,2456... 3,02456... Aflaţi un raţional din inter- Aflaţi un raţional din intervalul (a, b). valul (a, b). Barem. Start: 1 punct. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 50 minute. Capitolul 1. Recapitulare şi completări

11

2. O p e r a ţ i i c u n u m e r e r e a l e 1. Aduceţi la forma cea mai simplă: (2 − 3x) 2 ;

c)

(3x − 1) 2 ;

e) (4 x − 1) 2 ; d) (2 x − 1) 2 ; 2. Aduceţi la forma cea mai simplă:

f)

( x − 5) 2 .

c)

( 3 − 6 )2 ;

f)

( 10 − 11) 2 .

a)

a)

(2 x − 5) 2 ;

b)

( 3 − 5 )2 ;

b)

( 2 − 3 )2 ;

e) ( 8 − 10 ) 2 ; d) ( 7 − 8 ) 2 ; 3. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) 3 ( 5 − 7 ); b) 5 ( 3 − 10 );

c) 10 ( 7 − 3 );

d) 2 ( 5 − 3 ); e) 7 ( 5 − 6 ); f) 2 ( 11 − 13 ). 4. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) ( 21 + 11)( 21 − 11); b) ( 11 + 2 )( 11 − 2 ); c) ( 11 + 3 )( 11 − 3 );

d) ( 21 + 5 )( 21 − 5 );

e) ( 21 + 19 )( 21 − 19 ); f) ( 21 + 17 )( 21 − 17 ). 5. Aduceţi la forma cea mai simplă: b) ( 17 + 3) 2 ; c) ( 15 + 2) 2 ; a) ( 31 + 2) 2 ; d) ( 14 + 3) 2 ; e) ( 13 + 2) 2 ; 6. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) ( 41 − 3) 2 ; b) ( 39 − 1) 2 ;

f) ( 11 + 7) 2 . c) ( 38 − 2) 2 ;

d) ( 37 − 2) 2 ; e) ( 35 − 5) 2 ; f) ( 33 − 6) 2 . 7. Aduceţi la forma cea mai simplă: b) 7 15 − 11 15 + 9 15 ; a) 2 17 − 5 17 + 7 17 ; c) 12 14 − 19 14 + 6 14 ;

d) 31 13 − 45 13 + 17 13;

d) 27 11 − 49 11 + 8 11; e) 51 7 − 78 7 + 16 7 . 8. Aproximaţi prin lipsă cu 0,01: b) 11 + 15 ; c) 11 + 13 ; a) 13 + 15 ; e) 11 + 17 ; d) 11 + 14 ; 9. Aproximaţi prin adaos cu 0,01: a) 29 − 11; b) 26 − 11; d) 22 − 15 ; e) 23 − 14 ; 10. Scoateţi factori de sub radical: a) 680 ; b) 725 ; c) e)

12

768 ;

f)

864 ;

g)

f) 13 + 14 . c)

26 − 13;

f)

23 − 15 .

980 ;

d)

824 ;

344 ;

h)

608 .

Capitolul 1. Recapitulare şi completări

11. Introduceţi factori de sub radical: a) 12 15 ; b) 11 23 ; c) 13 26 ;

d) 14 21;

e) 15 11; f) 16 10 ; g) 17 12 ; h) 18 10 . 12. Aplicând o formulă de calcul, dezvoltaţi: a) (7 a + 4)3 ; b) (5a + 4)3 ; c) (5a + 3)3 ; d) (5a + 2) 3 ; e) (6a + 1)3 ; 13. Aplicând o formulă de calcul, dezvoltaţi: b) (5a − 1)3 ; a) (7a − 6)3 ;

f) (3a + 4)3 . c) (5a − 2)3 ;

d) (5a − 3)3 ; e) (5a − 4) 3 ; f) (4a − 5)3 . 14. Aplicând o formulă de calcul, efectuaţi: b) (3x + 5)(9x2 – 15x + 25); a) (9x + 8)(81x2 – 72x + 64); 2 c) (4x + 5)(16x – 20x + 25); d) (5x + 2)(25x2 – 10x + 4); 2 f) (3x + 7)(9x2 – 21x + 49). e) (7x + 2)(49x – 14x + 4); 15. Aplicând o formulă de calcul, efectuaţi: b) (9x – 1)(81x2 + 9x + 1); a) (9x – 7)(81x2 + 63x + 49); c) (7x – 2)(49x2 + 14x + 4); d) (7x – 3)(49x2 + 21x + 9); 2 f) (7x – 5)(49x2 + 35x + 25). e) (7x – 4)(49x + 28x + 16); 16. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) 3x – 11 = 16; b) 2x – 9 = 15; c) 4x – 11 = 15; e) 5x – 11 = 13; f) 5x – 9 = 11. d) 2x – 11 = 17; 17. Rezolvaţi în R ecuaţia: b) 6x – 7 = 5x + 3; c) 7x – 8 = 3x + 6; a) 7x – 8 = 3x + 6; e) 3x – 9 = 8x + 5; f) 4x – 11 = 7x + 12. d) 5x – 4 = 7x + 9; 18. Rezolvaţi în R ecuaţia: b) | 2x + 11 | = 8; c) | 5x + 8 | = 12; a) | 4x + 11 | = 25; d) | 6x + 7 | = 15; e) | 8x + 13 | = 13; f) | 3x + 5 | = 9. 19. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) | 4x | ≤ 13; b) | 5x | ≤ 14; c) | 6x | ≤ 18; d) | 7x | ≤ 16. 20. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) | x – 9 | ≤ 2; b) | x – 8 | ≤ 4; c) | x – 7 | ≤ 3; d) | x – 6 | ≤ 5; f) | x – 1 | ≤ 8; g) | x – 2 | ≤ 11; h) | x – 3 | ≤ 14. e) | x – 5 | ≤ 7; 21. Rezolvaţi în R inecuaţia: b) | 8x | ≥ 35; c) | 4x | ≥ 37; d) | 6x | ≤ 95. a) | 9x | ≥ 28; 22. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) | x – 9 | ≥ 12; b) | x – 7 | ≥ 13; c) | x – 5 | ≥ 21; d) | x – 6 | ≥ 5; e) | x – 3 | ≥ 15; f) | x – 2 | ≥ 23; g) | x – 8 | ≥ 11; h) | x – 4 | ≥ 16. 23. Rezolvaţi în R ecuaţia: b) x2 – 14 = 0; c) x2 – 13 = 0; a) x2 – 15 = 0; 2 2 e) x – 11 = 0; f) x2 – 10 = 0. d) x – 12 = 0; 24. Rezolvaţi în R ecuaţia: b) x2 – 21x = 0; c) x2 – 22x = 0; a) x2 – 34x = 0; 2 2 e) x – 24x = 0; f) x2 – 25x = 0. d) x – 23x = 0; Capitolul 1. Recapitulare şi completări

13

25. Rezolvaţi în R ecuaţia: b) x2 – 20x – 21 = 0; c) x2 – 21x – 22 = 0; a) x2 – 19x – 20 = 0; 2 2 e) x – 23x – 24 = 0; f) x2 – 24x – 25 = 0. d) x – 22x – 23 = 0; 26. Rezolvaţi în R ecuaţia: b) x2 – 20x + 101 = 0; c) x2 – 21x + 442 = 0; a) x2 – 12x + 36 = 0; 2 2 d) x – 22x + 122 = 0; e) x – 23x + 530 = 0; f) x2 – 24x + 577 = 0. 27. Fără să rezolvaţi ecuaţia, aflaţi suma şi produsul soluţiilor ei: a) x2 – 12x + 34 = 0; b) x2 – 20x + 99 = 0; c) x2 – 21x + 442 = 0; 2 2 e) x – 23x + 520 = 0; f) x2 – 24x + 540 = 0. d) x – 22x + 122 = 0; 28. Scrieţi ecuaţia redusă cu soluţiile: b) x1 = 2, x2 = –2,4; c) x1 = 3, x2 = –1,6; a) x1 = 5, x2 = –1,5; e) x1 = 7, x2 = –3,2; f) x1 = 6, x2 = –3,5. d) x1 = 8, x2 = –2,5; 29. Scrieţi polinomul cu coeficientul dominant 1, ale cărui rădăcini sunt: a) x1 = –3,1, x2 = 2,4; b) x1 = –2,1, x2 = 4; c) x1 = –2,3, x2 = 2,6; e) x1 = –1,4, x2 = 5,6; f) x1 = –6,2, x2 = 3,1. d) x1 = –4,5, x2 = 3,5; 30. Descompuneţi în factori polinomul: a) X 2 + 11X + 30; b) X 2 + 13X + 42; c) X 2 + 16X + 63; 2 2 e) X + 14X + 45; f) X 2 + 15X + 45. d) X + 12X + 35; 31. Descompuneţi în produs de factori raţionali: b) x2 – 13; c) x2 – 14; d) x2 – 15. a) x2 – 23; 32. Descompuneţi în produs de factori raţionali: b) x2 – 6x – 16; c) x2 – 6x – 27; a) x2 – 6x – 112; 2 2 d) x – 6x – 40; e) x – 6x – 55; f) x2 – 6x – 72. 33. Simplificaţi raportul: x 2 − 11x x2 − 2x x 2 − 3x x2 − 4x ; b) 2 ; c) 2 ; d) 2 ; a) 2 x − 121 x −4 x −9 x − 16 x2 + 5x x2 + 6x x2 + 7 x x2 + 8x ; f) 2 ; g) 2 ; h) 2 . e) 2 x − 25 x − 36 x − 49 x − 64 34. Descompuneţi în factori raţionali: a) x2 + 50x + 625; Formulaţi un exerciţiu asemănător. 34. Descompuneţi în factori raţionali: a) 8x3 + 60x2 + 150x + 125; Formulaţi un exerciţiu asemănător. 35. Descompuneţi în factori raţionali: a) 343x9 + 125y3; Formulaţi un exerciţiu asemănător. 36. Simplificaţi raportul: x 2 + 8 x + 16 ; x 3 + 6 x 2 + 12 x + 8 Formulaţi un exerciţiu asemănător. a)

14

b) x2 – 30x + 225. b) 64x3 – 154x2 + 108x – 27. b) 216x3 – 343y6.

b)

9x2 − 6x + 1 . 27 x 3 − 27 x 2 + 9 x − 1

Capitolul 1. Recapitulare şi completări

37. Simplificaţi raportul: x 3 + 64 ; x 3 + 12 x 2 + 48 x + 64 Formulaţi un exerciţiu asemănător. 38. Simplificaţi raportul: a)

b)

x 3 − 1000 . x 3 − 30 x 2 + 300 x − 1000

x 2 + 18 x + 80 x 2 − 16 x + 60 ; b) 3 . 2 x + 24 x + 192 x + 512 x − 18 x 2 + 108 x − 216 Formulaţi un exerciţiu asemănător. 39. Raţionalizaţi numitorul raportului: 3 4 a) ; b) . 2+ 5 3− 5 Formulaţi un exerciţiu asemănător. 40. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) x4 – 5x2 + 6 = 0; b) x4 + 7x2 + 12 = 0. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 1− x x 41. Rezolvaţi în R ecuaţia + − 2 = 0. 1− x x Formulaţi un exerciţiu asemănător. 42. Rezolvaţi în R ecuaţia x − 4 x − 2 + 1 = 0. Formulaţi un exerciţiu asemănător. a)

3

43. Rezolvaţi în R ecuaţia (2 x − 5) 2 − 3 (2 x − 5) 2 − 10 = 0. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 44. Rezolvaţi în R ecuaţia x2 + x4 + x6 + ... = 5, | x | < 1. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 45. Rezolvaţi în R ecuaţia x + 2x2 + 3x3 + 4x4 + ... = 3, x < 1. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 46. Rezolvaţi în R ecuaţia: 2

x 3x ⎞ ⎛ a) ⎜ 2 + 2 = 0; ⎟ − 2 ⎝ x − 3x + 2 ⎠ x − 3x + 2 Formulaţi un exerciţiu asemănător.

b)

x 2 − 3x x2 + 1 + 3 ⋅ − 4 = 0. x2 + 1 x 2 − 3x

47. Rezolvaţi în R ecuaţia x 2 + 4 x + 4 + x 2 − 4 x + 4 = 4. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 2 4 6 2004 1 48. Stabiliţi valoarea de adevăr a propoziţiei ⋅ ⋅ ⋅ ... ⋅ < . 3 5 7 2005 1003 Formulaţi un exerciţiu asemănător. 49. Cercetaţi dacă există numere întregi care verifică ecuaţia (2x + 3)4568 + (5x – 1)5316 = 15023661. Formulaţi un exerciţiu asemănător. Capitolul 1. Recapitulare şi completări

15

50. Aflaţi numărul raţional e pentru care x ⊕ e = x, dacă pentru orice numere raţionale x şi y este adevărată relaţia: a) x ⊕ y = x + y + 11; b) x ⊕ y = x + y − 15. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 51. Reprezentaţi grafic funcţia f : R → R, f(x) = | 3x – 5 |. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 52. Aflaţi câte numere naturale mai mici sau egale cu 2005 nu se divid cu 2, 5, 7. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 53. Cercetaţi dacă există numere întregi x, y, z pentru care x2 + x – 3y5 – 3y + 4z10 – 2 4z = 2 005. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 54. Fără să executaţi toate calculele, aflaţi coeficientul lui X 8 din forma canonică a polinomului (1 + X)(1 + X 2)(1 + X 3)(1 + X 4)(1 + X 5)(1 + X 6)(1 + X 7)(1 + X 8). Formulaţi un exerciţiu asemănător. 55. Aflaţi forma canonică a polinomului P(X), dacă P(2 – X) = 3X 2 – 4X – 5. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 2004

56. Fie P(X) = 7X – 5. Calculaţi

∑ P(i) = P(1) + P(2) + P(3) + ... + P(2004). i =1

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 57. Aduceţi la forma cea mai simplă: a)

6 − 15 + 30 ⋅ 6 + 15 + 30 ⋅ 21 + 30 ;

b) ⎛⎜ 8 + 6 + 7 − 2 6 − 6 ⎞⎟ ⎝ ⎠ Formulaţi un exerciţiu asemănător. 58*. Simplificaţi: z −1 a) 10 ; z −1 Formulaţi un exerciţiu asemănător.

2001

.

b)

z +1 . z + 13 n

59*. Stabiliţi valoarea de adevăr a propoziţiei

1

∑ (−1) ⋅ 7i i

∈ Z.

i =1

Formulaţi un exerciţiu asemănător.

60*. (Numărul de aur) Punctul M ∈ (AB), astfel încât

MA AB = (împarte segmenMB AM

MA (numărul de aur); MB 61*. (Numărul de aur) Scrieţi numărul de aur sub formă de fracţie continuă.

tul AB în medie şi extremă raţie). Aflaţi

62*. (Numărul de aur) Comparaţi numărul 1 + 1 + 1 + ... cu numărul de aur. 63*. Aflaţi numărul n pentru care

16

n + n + n + ... = 1.

Capitolul 1. Recapitulare şi completări

Evaluare formativă 1. Aduceţi la forma cea mai simplă:

1. Aduceţi la forma cea mai simplă:

2

a)

( 2 x − 7) ;

a)

( 4 x − 9) 2 ;

b)

( 5 − 7 )2 .

b)

( 7 − 11) 2 .

2. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) 5 ( 3 − 7 );

2. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) 6 ( 5 − 7 ); b) 5 13 − 7 13 + 8 13.

b) 3 11 − 9 11 + 12 11.

3. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) ( 7 + 13 ) 2 ;

3. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) ( 6 + 11) 2 ;

b) ( 29 + 21)( 29 − 21). b) ( 23 + 17 )( 23 − 17 ). 4. Dezvoltaţi: 4. Dezvoltaţi: a) (2x + 7y)3; a) (4x + 5y)3; 3 b) (3x – 5y) . b) (5x – 6y)3. 5. Efectuaţi: 5. Efectuaţi: a) (3x – 8y)(9x2 + 24xy + 64y2); a) (4x – 7y)(16x2 + 28xy + 49y2); 2 2 b) (4x + 7y)(16x – 28xy + 49y ). b) (4x + 5y)(16x2 – 20xy + 25y2). 6. Aflaţi 0,01-aproximarea prin lip6. Aflaţi 0,01-aproximarea prin lipsă a să a numărului: numărului: a) 19 + 17 ; a) 15 + 21; b) 21 − 15 . b) 22 − 17 . 7. Rezolvaţi în R: 7. Rezolvaţi în R: a) | 4x + 35 | = 28; a) | 5x + 32 | = 27; b) | x – 13 | ≤ 19. b) | x – 12 | ≤ 17. 8. Rezolvaţi în R ecuaţia 8. Rezolvaţi în R ecuaţia 3 − 2x 3x 2 − 3x 2x + 4⋅ + 3 = 0. + 4⋅ + 3 = 0. 3x 3 − 2x 3x 2 − 3x 9. Fie P(X) = 9X – 4. Calculaţi 9. Fie P(X) = 8X – 5. Calculaţi 2000

∑

P (i ) = P(1) + P(2) + P(3) + ... +

i =1

2000

∑ P(i)

= P(1) + P(2) + P(3) + ... +

i =1

P(1000). P(1000). Barem. Start: 1 punct. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 50 minute.

Capitolul 1. Recapitulare şi completări

17

Puteri cu exponent raţional

C A P I T O L U L

II

Rădăcina pătrată a unui număr real nenegativ. Dacă a este un număr real pozitiv, atunci numărul pozitiv b este rădăcina pătrată a numărului a sau radicalul de ordinul 2 din a, dacă b2 = a. Rădăcina pătrată a numărului a este a .

a 2 = | a |; 2) dacă

Proprietăţi ale rădăcinii pătrate: 1) dacă a ∈ R, atunci

a ∈ R+, atunci ( a ) 2 = a ; 3) dacă a ∈ R + , b ∈ R + , atunci

ab ∈ R + , atunci

ab = | a | ⋅ | b | ; 3) dacă a ∈ R + , b ∈ R*+ , atunci

4) dacă ab ∈ R + , b ≠ 0, atunci 6)

a ⋅ b = ab ; 2) dacă a: b=

a ; b

|a| a = ; 5) a b = sgn a a 2 b ; b |b|

a 2b = | a | b.

Suplimentar. Formulele radicalilor compuşi. Dacă a 2 − b = c 2 , a ∈ R + , b ∈ R + , atunci

a+ b =

a + a2 − b a − a2 − b , iar + 2 2

a + a2 − b a − a2 − b . − 2 2 Radicali de ordinul n. 1) Fie n = 2k, k ∈ N* şi a ∈ R+. Soluţia pozitivă a ecuaţiei n x = a se numeşte radicalul de ordinul n din a şi se notează n a . 2) Fie n = 2k + 1, k ∈ N* şi b ∈ R. Soluţia ecuaţiei xn = b se numeşte radicalul de ordinul n din b şi se notează n b . a− b =

Observaţii. 1) Dacă n ∈ N* este număr par, a ∈ R+, atunci este număr par şi a < 0, atunci nu există

n

n

a ≥ 0. Dacă n ∈ N*

a.

2) Dacă n = 2k + 1, k ∈ N* şi b ∈ R, atunci sgn n b = sgn b.

Proprietăţi ale radicalilor de ordinul n. 1) ( n a ) n = a, dacă n este număr natural par şi a ∈ R+ sau n este număr natural impar şi a ∈ R. 2) măr natural par sau

n

n

a n = | a |, dacă n este nu-

a n = a, dacă n este număr natural impar şi a ∈ R. 3) Dacă n

este impar şi b ≠ 0, atunci

n

a na = . 4) Dacă n este par şi b ≠ 0, atunci b nb

n

a n |a| = . b n |b|

5) Dacă n este par şi a ∈ R+, atunci ( n a ) k = n a k . 6) Dacă n este impar, atunci

18

Capitolul II. Puteri cu exponent raţional

( n a ) k = n a k . 7) Dacă a ∈ R*+ , atunci

n m

a = mn a . (Se aplică la înmulţirea radicamk

lilor.) 8) Dacă a ∈ R*+ , k ∈ N*+ , k > 1, atunci

a k = m a . 9) Dacă a ∈ R+, b ∈ R+,

atunci a < b implică n a < n b . Raţionalizarea numitorilor unor rapoarte. Dacă numitorul unui raport este de forma: 1) a − b , atunci după amplificarea lui cu a + b se obţine un raport egal cu el, al cărui numitor este a − b; 2) a + b , atunci după amplificarea lui cu a − b se obţine un raport egal cu el, al cărui numitor este a − b; 3)

atunci după amplificarea cu numitor este a + b; 4)

3

3

– b; 6)

3

3

a 2 − 3 ab + 3 b 2 atunci după amplificarea cu 3

3

a + 3 b se

a − 3 b , atunci după am-

a 2 + 3 ab + 3 b 2 se obţine un raport egal cu el, al cărui numitor este a

a 2 + 3 ab + 3 b 2 , atunci după amplificarea cu

3

egal cu el, al cărui numitor este a – b; 7) (Facultativ) 2 n +1

amplificarea cu

a − 3 b , se obţine un raport 2 n +1

a + 2 n +1 b , atunci după

a 2 n − 2 n +1 a 2 n b + 2 n +1 a 2 n −1b 2 − ... + 2 n +1 b 2 n se obţine un raport

egal cu el, al cărui numitor este a + b; 8) (Facultativ) − ... + 2 n +1 b 2 n atunci după amplificarea cu

2 n +1

el, al cărui numitor este a + b; 9) (Facultativ) n

a + 3 b,

a 2 − 3 ab + 3 b 2 se obţine un raport egal cu el, al cărui

obţine un raport egal cu el, al cărui numitor este a + b; 5) plificarea cu

3

2 n +1

a 2 n − 2n +1 a 2n b + 2n +1 a 2n −1b 2

a + 2 n +1 b , se obţine un raport egal cu

n

a − n b , atunci după amplificarea cu

a n −1 + n a n − 2 b + n a n −3 b 2 + ... + n b n −1 se obţine un raport egal cu el, al cărui nu-

mitor este a – b; 10) (Facultativ) amplificarea cu

n

n

a n −1 + n a n − 2 b + n a n −3 b 2 + ... + n b n −1 atunci după

a − n b , se obţine un raport egal cu el, al cărui numitor este a – b.

Puteri întregi ale numerelor reale. 1) 1m = 1 pentru orice număr întreg m. 2) 0 m ⎧− 1, dacă m este număr impar 4) Dacă a ∈ R*, = 0 pentru orice m ∈ Z*+ . 3) (−1) m = ⎨ ⎩ 1, dacă m este număr par. k ∈ Z şi m ∈ Z, atunci a k⋅a m = a k + m. 5) Dacă a ∈ R*, k ∈ Z şi m ∈ Z, atunci a k : a m = a k – m. În particular, a 0 = 1. 6) Dacă a ∈ R*, b ∈ R* şi m ∈ Z, atunci (ab) m = 1 a mb m . 7) Dacă a ∈ R*, b ∈ R* şi m ∈ Z, atunci (a : b) m = a m : b m . 8) n = a − n a pentru orice număr întreg n, a ∈ R*. Atenţie! 00 nu are sens. Puteri raţionale ale numerelor reale. Pentru orice a ∈ R*+ , n ∈ N*, n > 1, m ∈ m

m

Z, a n = n a m . a n cu exponenţi neîntregi are sens numai pentru a > 0. 0m nu are sens m

pentru m ∈ Q– . Pentru

m > 0, 0 n = 0. n

Capitolul II. Puteri cu exponent raţional

19

1) 1m = 1 pentru orice număr raţional m. 2) 0 m = 0 pentru orice m ∈ Q*+ . 3) Dacă a ∈ R*+ , k ∈ Q şi m ∈ Q, atunci a k⋅a m = a k + m. 4) Dacă a ∈ R*+ , k ∈ Q şi m ∈ Q, atunci a k : a m = a k – m. În particular, a 0 = 1. 5) Dacă a ∈ R*+ , b ∈ R*+ şi m ∈ Q, atunci (ab) m = a mb m . 6) Dacă a ∈ R*+ , b ∈ R*+ şi m ∈ Q, atunci (a : b) m = a m : b m . 7) Dacă a ∈ R*+ , m ∈ Q şi n ∈ Q, atunci (a m ) n = a mn .

1. R a d i c a l i d e o r d i n u l n 1. Utilizând descompunerea în factori, calculaţi: b) 0 ; c) 16 ; d) 9 ; a) 4 ; 2. Utilizând descompunerea în factori, calculaţi: a) 3 8 ; b) 3 27 ; c) 3 64 ; d) 3 125 ; 3. Utilizând descompunerea în factori, calculaţi: a) 3 − 8 ; b) 3 − 27 ; c) 3 − 64 ; d) 3 − 125 ; 4. Utilizând descompunerea în factori, calculaţi: a) 4 16 ; b) 4 81; c) 4 256 ; d) 4 625 ; 5. Utilizând descompunerea în factori, calculaţi: a) 5 32 ; b) 5 243 ; c) 5 1024 ; d) 5 3125 ; 6. Utilizând descompunerea în factori, calculaţi: a) 5 − 32 ; b) 5 − 243; d) − 3125 ; e) 7. Scrieţi cât mai simplu: 5

5

− 7776 ;

a) (−2) 2 ; b) (−3) 2 ; c) (−4) 2 ; d) 8. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) 4 (−2) 4 ; b) 4 (−3) 4 ; c) 4 (−4) 4 ; d) 9. Aflaţi numerele reale pentru care: a 2 = − a;

a)

b)

3

81;

f)

4

3

216 ;

f)

3

343.

e)

3

− 216 ; f)

3

− 343.

4

2401.

e) 4 1296 ;

f)

e)

5

7776 ; f) 5 16807 .

c)

5

− 1024 ;

f)

5

− 16807 .

(−5) 4 ; e)

a 3 = a;

49 .

e)

(−3) 2 ; e)

e) 6 a 6 = − a; d) 5 a 5 = a; 10. Introduceţi factori sub radical: a) 3 4 5 ; b) 2 5 3; c) 2 3 4 ;

(−7) 2 ; f) 4

(−6) 4 ; f)

c)

4

a 4 = a;

f)

7

a 7 = a.

g) 6 9 7 ;

h) 8 10 3.

c) − 3 3 4 ;

d) − 7 6 4 ;

f) − 4 8 5 ; e) − 77 2 ; 12. Scoateţi factori de sub radical:

g) − 6 9 7 ;

h) − 8 10 3.

4

611 ;

b)

5

213 ;

c)

6

315 ;

(−8) 2 . 4

(−7) 4 .

d) 5 6 4 ;

f) 4 8 5 ; e) 77 2 ; 11. Introduceţi factori sub radical: a) − 5 4 7 ; b) − 2 5 − 3;

a)

20

e)

d)

7

5 25 ;

Capitolul II. Puteri cu exponent raţional

e) 8 339 ; f) 9 435 ; 13. Scoateţi factori de sub radical:

g)

10

551 ;

h)

11

637 .

(−3)16 ;

d)

7

(−8) 22 ;

(−6)32 ;

h)

11

(−9)35 .

a)

4

(−7)14 ;

b)

5

(−4)12 ;

c)

6

e)

8

(−2) 20 ;

f)

9

(−5) 25 ;

g)

10

14. Comparaţi numerele: b) a) 5 şi 2;

7 şi 3;

c) 17 şi 4;

e) 21 şi 4; d) 11 şi 3; 15. Introduceţi factori sub radical: a) (1 − 2 )8 3; b) ( 2 − 3 ) 4 2 ;

f) 19 şi 5.

e) ( 5 − 6 )12 3; d) ( 3 − 5 )10 2 ; 16. Introduceţi factori sub radical: a) (2 − 5 )7 3; b) ( 2 − 5 )5 7 ;

f) ( 2 − 6)14 6 .

e) (3 − 9 )13 6 ; d) ( 6 − 7 )11 2 ; 17. Comparaţi numerele: a) 4 15 şi 2; b) 3 3 şi 1;

f) ( 10 − 4)15 7 .

c) (1 − 3 )6 5 ;

c) (4 − 17 )9 8 ;

c)

5

33 şi 2;

d) 6 65 şi 2; e) 120 şi 5; 18. Introduceţi factori sub radical: a) (1 − 5 2 )16 3; b) (2 − 3 9 ) 4 2 ;

f)

4

82 şi 3.

e) (2 − 4 17 )10 4 ; d) (2 − 3 10 )8 5 ; 19. Scoateţi factori sub radical:

f) (2 − 3 11)12 6 .

3

c) (3 − 3 28 )6 4 ;

a)

16

(3 − 5 244 )18 ;

b)

4

(2 − 3 12 ) 6 ;

c)

6

(4 − 3 65 )8 ;

d)

8

(5 − 3 126 )10 ;

e)

10

(3 − 4 83 )12 ;

f)

12

(2 − 6 67 )14 .

20. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) (3 7 2 )5 ;

b) ( 4 32 )5 ;

f) (8 113 )9 ; e) (7 63 ) 4 ; 21. Aduceţi la forma cea mai simplă:

c) (5 23 ) 6 ;

d) (6 5 ) 7 ;

g) (9 132 )11;

h) (11 17 3 )9 .

y;

c)

4 7

x;

d)

17 5

x;

z;

g)

6 10

t;

h)

5 12

u.

26 ;

c)

10

54 ;

d)

12

79 ;

g)

16

17 6 ;

h)

20

1910 .

c)

6

(−5) 2 ;

d)

24

( −2) 6 ;

a)

7

x;

b)

3 5

e)

11 8

x;

f)

9 8

22. Simplificaţi radicalul: a)

6

34 ;

b)

8

e) 14 114 ; f) 15 1310 ; 23. Simplificaţi radicalul: a)

12

(−2) 4 ;

b)

14

( −3)10 ;

Capitolul II. Puteri cu exponent raţional

21

e)

20

(−7) 4 ;

f)

22

(−9) 2 ;

24. Aduceţi la forma cea mai simplă: b) 3 6 ⋅ 5 2 ; a) 3 5 ⋅ 4 7 ; e) 3 9 ⋅ 7 2 ; d) 5 4 ⋅ 6 5 ; 25. Raţionalizaţi numitorul raportului: 1 1 a) ; b) ; 3− 2 5+ 3 1 1 e) ; f) ; 11 − 3 13 + 10 26. Raţionalizaţi numitorul raportului: 1 1 1 ; b) ; c) 4 ; a) 7 9 4 2 5 11 3

g)

26

c)

4

(−6) 2 ;

h)

(−4)8 .

24

7 ⋅ 5 3;

f) 4 10 ⋅ 7 2 . 1 ; 7− 3 1 ; 15 − 5

c) g)

d)

1 6

4

;

e)

1 ; 10 − 7 1 . 17 − 3

d) h)

1 5

3

;

7 8 27. Aflaţi pentru ce valori ale numărului x are sens expresia: b) 3 − x 11; c) x − 5 17 ; d) x − 7 19 ; e) x −12 15 ; a) x − 6 7 ;

f)

f)

1 8

25

x −11

.

21.

28. Aduceţi la forma cea mai simplă: b) a) 5 (2 x − 3)5 ; Formulaţi un exerciţiu asemănător. 29. Aflaţi numerele reale x pentru care:

8

(3x − 2)8 .

a) 8 (5 x − 3)8 = 5 x − 3; Formulaţi un exerciţiu asemănător. 30. Introduceţi factori sub radical:

10

(7 x − 6)10 = 6 − 7 x.

b)

b) (3 − 2 x)7 (2 x − 3) 2 . a) (2 − x) 4 x − 2 ; Formulaţi un exerciţiu asemănător. 31. Comparaţi numerele 3 5 şi 5 15 . Formulaţi un exerciţiu asemănător. 32. Introduceţi factori sub radical: b) ( 7 − 3 4 )5 2 . a) ( 4 7 − 3 5 ) 4 3; Formulaţi un exerciţiu asemănător. 33. Scoateţi factori de sub radical: b) a) 11 (7 10 − 4 3 )13 ; Formulaţi un exerciţiu asemănător. 34. Aduceţi la forma cea mai simplă:

6

(5 9 − 4 10 )8 .

b) 2004 2 − 2 + 3 ⋅ 2004 2 + 2 + 3 ⋅ 2004 2 + 3 . a) 5 8 + 32 ⋅ 5 8 − 32 ; Formulaţi un exerciţiu asemănător.

22

Capitolul II. Puteri cu exponent raţional

35. Aduceţi la forma cea mai simplă ( 2 + 1)(4 2 + 1)(8 2 + 1)(16 2 − 1)(16 2 + 1). Formulaţi un exerciţiu asemănător. 36. Aduceţi la forma cea mai simplă

4 4 4 4 4 4

163 .

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 37. Aduceţi la forma cea mai simplă 2 ⋅ 4 2 ⋅ 8 2 ⋅ 16 2 ⋅ 32 4 . Formulaţi un exerciţiu asemănător. 38. Aduceţi la forma cea mai simplă 3 2 ⋅ 6 2 ⋅ ... ⋅ 48 2 ⋅ 96 4 . Formulaţi un exerciţiu asemănător. 39. Raţionalizaţi numitorul raportului: 6 5 a) 3 ; . b) 3 5 +1 6 −1 Formulaţi un exerciţiu asemănător. 40. Aduceţi la forma cea mai simplă ( 3 + 2 )(4 3 + 4 2 )...(32 3 + 32 2 )(32 3 − 32 2 ). Formulaţi un exerciţiu asemănător. 41. Construiţi o ecuaţie de grad minim cu coeficienţi raţionali cu una dintre soluţii 1 + 3 3. Formulaţi un exerciţiu asemănător.

42. Aduceţi la forma cea mai simplă 2 ⋅ 4 2 ⋅ 8 2 ⋅ 16 2 ⋅ ... ⋅ 1024 2 ⋅ 2048 2 . Formulaţi un exerciţiu asemănător. 43. Raţionalizaţi numitorul raportului 2 12 a) 3 ; . b) 3 3 3 3 49 + 14 + 4 49 − 35 + 3 25 Formulaţi un exerciţiu asemănător. 44. Demonstraţi că 13 + 133 − 13 − 133 = 14 . Formulaţi un exerciţiu asemănător.

3

45. Demonstraţi că 3 9 + 4 5 + 3 9 − 4 5 = 3. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 46. Construiţi o ecuaţie de grad minim cu coeficienţi raţionali cu una dintre soluţii 2 + 3 3. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 47. Calculaţi 1 1 1 1... , unde „ ...“ indică faptul că expresia nu se termină. Formulaţi un exerciţiu asemănător.

48. Calculaţi

3

10 3 10 3 10 3 10 ... , unde „ ...“ indică faptul că expresia nu se

termină, iar n ∈ N*. Formulaţi un exerciţiu asemănător. Capitolul II. Puteri cu exponent raţional

23

49. Calculaţi

n n n n ... , unde „ ...“ indică faptul că expresia nu se termină, iar

n ∈ N*. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 50. Aduceţi la forma cea mai simplă (radicalii se repetă de 2004 ori) 5 + 4 5 + 3 3 + ... 5 + 3 3 + 5 + 3 3 + 7 + 4 3 − 5 + 4 5 − 3 3 + ... 5 − 3 3 + 5 − 3 3 + 7 − 4 3 .

51. Eliminaţi radicalii compuşi şi aduceţi la forma cea mai simplă: a) 9 − 4 5 ; b) 13 − 133 . 52. Aduceţi la forma cea mai simplă: 1 1 1 1 . + + + ... + 3+ 2 2 5+ 2 6 7 + 2 12 199 + 2 9900 Formulaţi un exerciţiu asemănător.

Evaluare formativă 1. Calculaţi: a) 3 − 1000 ; b) 6 729 . 2. Aflaţi numerele reale pentru care:

1. Calculaţi: a) 3 − 1000000 ; b) 4 256 . 2. Aflaţi numerele reale pentru care:

a) 7 a 7 = a; b) 12 a12 = − a. 3. Introduceţi factori sub radical:

a) 8 a 8 = − a; b) 11 a11 = a. 3. Introduceţi factori sub radical:

a) 43 3; b) − 34 4 . 4. Scoateţi factori de sub radical:

a) 25 5 ; b) − 26 3. 4. Scoateţi factori de sub radical:

a)

3

(3 − 3 35 )5 ;

a)

a) (7 112 ) 4 ; b) ( 20 133 ) 7 .

a) (11 103 ) 4 ; b) ( 24 75 )5 .

6. Aduceţi la forma cea mai simplă: 3 6

b)

8

6. Aduceţi la forma cea mai simplă:

(3 3 − 4 5 ) 26 ;

(−11)10 .

7. a) Aduceţi la forma cea mai simplă

24

3

2

4

3

x ⋅ x . b) Raţionalizaţi numitorul rapor-

(2 − 3 9 )7 ;

b) 4 (5 − 26 ) 6 . 5. Aduceţi la forma cea mai simplă:

b) 6 ( 24 − 5)8 . 5. Aduceţi la forma cea mai simplă:

a)

5

a)

5 4

b)

10

( 4 3 − 5 5 ) 22 ;

(−13)12 .

7. a) Aduceţi la forma cea mai simplă 4

x ⋅ 3 x2 . b) Raţionalizaţi numitorul rapor5

Capitolul II. Puteri cu exponent raţional

4 . 11 − 7 8. Raţionalizaţi raportul: 3 ; a) 3 13 − 3 10

6 4 . . 13 − 7 11 − 7 8. Raţionalizaţi raportul: 5 . a) 3 15 − 3 10

tului

tului

14 . 121 − 3 33 + 3 9 9. Aduceţi la forma cea mai simplă:

15 . 169 − 3 26 + 3 4 9. Aduceţi la forma cea mai simplă:

(3 9 + 3 6 + 3 4 )(6 3 + 6 2 )(12 3 + 12 2 )

(3 16 + 3 12 + 3 9 )(6 4 + 6 3 )(12 4 + 12 3 )

b)

3

...( 48 3 + 48 2 ).

b)

3

...(96 4 + 96 3 ).

Barem. Start: 1 punct. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 50 minute.

2. P u t e r i c u e x p o n e n t r a ţ i o n a l 1. Scrieţi folosind puteri întregi: 12 3 5 24 41 53 a) 8 ; b) 17 ; c) 24 ; d) 36 ; e) 31 ; f) 46 . x z x y t y 2. Scrieţi cât mai simplu folosind puterile cu exponent întreg: b) x–27y39x49y–81; c) x–47y57x63y–32; a) x–3y7x15y–17; –55 28 81 –17 –47 23 68 –13 d) x y x y ; e) x y x y ; f) x–75y64x94y–53. 3. Scrieţi cu ajutorul puterilor raţionale: a) 5 37 ; b) 6 39 ; c) 7 59 ; d) 10 811 ; 4. Scrieţi 3 fracţii cu numitorii pari, echivalente cu: 8 3 7 11 ; a) ; d) b) ; c) 11 5 9 13 5. Scrieţi cu ajutorul puterilor raţionale:

e) e)

a) 12 9213 ; b) 14 1611 ; c) 16 8233 ; d) 20 7319 ; 6. Aflaţi numerele reale pentru care are sens: a)

3 9 ( x − 2) ;

b)

7 11 ( x + 5) ;

9 ( x + 11)17 ;

c)

e)

13

911 ;

12 ; 17 24

5417 ;

f) f) f)

17

129 .

13 . 19 28

5525 .

3 7 ( x − 7) ;

3 21)19 ;

5

d) e) ( x + f) ( x − 23) 21 . 7. Aflaţi numerele reale pentru care are sens: a) ( x − 24) d) ( x +

−

7 15 ;

17 − 29) 35 ;

Capitolul II. Puteri cu exponent raţional

11 35 ;

−

13 23 .

c) ( x − 26)

11 − 22) 39 ;

f) ( x + 22)

b) ( x + 17) e) ( x −

−

9 19 ;

−

25

8. Aflaţi numerele reale pentru care are sens: a) ( x + 46)

−

11 20 ;

−

33 34 ;

d) ( x − 76) e) ( x + 35) 9. Convertiţi în radical: a) 13

−

3 28 ;

−

5 32 ;

−

13 18 ;

−

35 36 ;

b) ( x − 49)

−

5 22 ;

−

9 38 ;

b) 17

c) ( x + 38) f) ( x − 77) c) 16

e) 12 f) 20 d) 15 10. Scrieţi cu ajutorul puterilor raţionale: a) 11 − 39 ; b) 21 − 731 ; c) 25 − 1211 ; d) 11. Aduceţi la forma cea mai simplă: 3

4

2

8

a) 2 7 ⋅ 4 3 ⋅ 814 ; 4

2

7 64 ;

−

15 40 .

5

a)

11 12 : 81 ;

17 3 20

b)

17 : 9 30 ;

13 15 7

14 : 49 20 ;

9 14 4

16 : 16 35 ;

− 14 25 .

5

7

c)

15 616

7 : 36 8 ;

f)

17 10 13

23 26 : 100 .

11

c) 513 : 39 254 ;

7

4 2

29

11

7

3

5

d) 6 7 : 14 365 ; e) 9 9 : 27 818 ; 14. Aduceţi la forma cea mai simplă: 3 5

f)

f) 911 ⋅ 8122 ⋅ 729 33.

b) 415 : 6 85 ;

3

− 95 ;

5

8

7

a) 311 : 5 97 ;

17

c) 5 6 ⋅ 2512 ⋅12518 ;

11

7

d) e) 13. Aduceţi la forma cea mai simplă:

17 40 .

3

e) 7 8 ⋅ 4912 ⋅ 343 36 ; d) 6 9 ⋅ 3612 ⋅ 21618 ; 12. Aduceţi la forma cea mai simplă: 5 8 9

−

41 32 ;

− 915 ; e)

b) 3 5 ⋅ 915 ⋅ 27 20 ; 7

5

23

−

−

f) 7 6 : 18 4915 .

11 10

13 12

9

5

11

9

a) (5 7 ) 9 ; b) (3 9 ) 8 ; c) (7 15 ) 13 ; d) (618 ) 17 ; e) (819 )18 ; f) (912 ) 13 . 15. Aduceţi la forma cea mai simplă: 2

3

7

3

11

a)

5

3

= x ;

6

4

11

6

b)

3

a) ( x 2 ) 14 + 7 x 3 = 0; 7

d) ( x 2 ) 38 + 19 x 7 = 0;

7

7

f) (311 ⋅ 513 ) 36 .

3

= x ; 7

4

9

e) (1314 ⋅1215 ) 11 ; 3 7 x

5

c) (7 11 ⋅ 812 ) 30 ;

c)

11

7

d) x 11 = 11 x 7 ; 17. Rezolvaţi în R ecuaţia:

26

4

b) (312 ⋅ 518 ) 35 ;

5

d) (118 ⋅ 9 20 ) 22 ; 16. Rezolvaţi în R ecuaţia: 3 5 x

7

5

a) (3 9 ⋅ 5 4 ) 18 ;

5 9 x

= 9 x5 ;

7

e) x 13 = 13 x11 ;

f) x 15 = 15 x 7 . 11

7

b) ( x 2 ) 22 + 11 x 7 = 0;

c) ( x 2 ) 30 + 15 x11 = 0; 21

5

e) ( x 2 ) 46 + 23 x 5 = 0;

f) ( x 2 ) 50 + 25 x 21 = 0.

Capitolul II. Puteri cu exponent raţional

18. Construiţi ecuaţia de grad minim, cu coeficienţi raţionali şi cu soluţia reală: a) 7 5 ; b) 5 9 ; c) 11 16 ; d) 13 11; e) 15 21; f) 19 32 . 19. Construiţi ecuaţia de grad minim, cu coeficienţi raţionali şi cu soluţia reală: 1 17 9 ;

1 319 ;

1 15 29 ;

b) c) a) 20. Aduceţi la forma cea mai simplă: 1

1

1

1

1

a) (3x 2 + y 2 )(3 x 2 − y 2 ); 1

1

1

1

1

1

1

2 − 1)(25 x 3

a) c)

1 (x 3

2 − 3)( x 3

1 + 3x 3

1 (x 3

2 − 5)( x 3

1 + 5x 3

1 + 5x 3

+ 1);

+ 9);

2

1

1

1

+ 25); e) 22. Aduceţi la forma cea mai simplă: 1

1

f)

1 39 75 .

1

1

1

d) (2 x 2 + 3 2 )(2 x 2 − 3 2 );

e) ( x 2 + 6 2 )( x 2 − 6 2 ); 21. Aduceţi la forma cea mai simplă: 1 (5 x 3

e)

1 23 43 ;

b) (5 x 2 + 2 2 )(5 x 2 − 2 2 );

1

c) ( x 2 + 7 2 )( x 2 − 7 2 ); 1

d)

1 29 54 ;

c)

2 + 3)(4 x 3

1 − 6x 3

e)

1 (3x 3

2 + 5)(9 x 3

1 − 15 x 3

1

b)

1 (x 3

2 − 2)( x 3

d)

1 (x 3

2 − 4)( x 3

f)

1 (x 3

2 − 6)( x 3

1 + 6x 3

1

+ 9); + 25);

1

+

1 2x 3

+ 4);

+

1 4x 3

+ 16);

1

a) (3x 3 + 4)(9 x 3 − 12 x 3 + 16); 1 (2 x 3

1

f) (7 x 2 + 3 2 )(7 x 2 − 3 2 ).

+ 36).

2

1

b) (5 x 3 + 2)(25 x 3 − 10 x 3 + 4); d)

1 (5 x 3

2 4)(5 x 3

+

f)

1 (5 x 3

2 + 6)(5 x 3

1 − 20 x 3 1 − 30 x 3

+ 16); + 216).

23. Scrieţi ca putere cu exponent raţional: a) 19 ( x − 1)9 , x < 1; b) Formulaţi un exerciţiu asemănător. 24. Stabiliţi dacă sunt raţionale numerele:

11

(3x − 8)5 , x ∈ R.

1 10040060040014 .

3

a) 1030301; b) Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 25. Rezolvaţi în R ecuaţia:

13

5

a) (2 x − 1)11 = 11 ( 2 x − 1)11 ; Formulaţi un exerciţiu asemănător. 26. Dezvoltaţi: 1

1

a) (3 x 2 + 5 y 2 ) 2 ; Formulaţi un exerciţiu asemănător. Capitolul II. Puteri cu exponent raţional

b) [(3 − 5 x) 2 ] 30 − 15 (5 x − 3)13 = 0.

1

1

b) (7 x 2 − 6 y 2 ) 2 .

27

27. Aflaţi numerele raţionale a pentru care este număr raţional: 1

1

b) 250 3 − a ⋅ 54 3 − 6,2. a) 3 135 + a 3 40 + 5,1; Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 28. Aduceţi la forma cea mai simplă: 1

1

1

1

1

1

(5 256 − 1)(5128 − 1)(5 64 − 1)...(5 8 − 1)(5 4 − 1)(5 2 − 1). Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

29. Scrieţi cu ajutorul puterilor cu exponent raţional Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 30. Aduceţi la forma cea mai simplă

1 (x 6

5 − 1)( x 6

+

12

4 6 x

− (7 x − 8 y )5 (12 x + 5 z )8 .

+

3 6 x

+

2 6 x

+

1 x6

+ 1).

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 1

6

5

4

3

2

1

31. Aduceţi la forma cea mai simplă ( x 7 + 1)( x 7 − x 7 + x 7 − x 7 + x 7 − x 7 + 1). Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 32. Decideţi dacă există numere întregi x pentru care: 1

3x + 11 ⎛ 7 x + 30 ⎞ 4 ∈ N; b) ⎜ a) 3 ⎟ ∈ N. x+2 ⎝ x+3 ⎠ Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 33. Decideţi dacă există numere întregi x pentru care: 7 x +5

8 x −3

b) 13 x + 4 are exponentul întreg. a) are sens x + 2 5 ; Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 34. Rezolvaţi în R inecuaţia

[(5x − 8)

2

+8

]

−

1 3

[

+ (9 y − 5) 2 + 256

]

−

1 4

≥ 0,75.

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 1 x⋅ x2

1 ⋅ x4

1 ⋅ x8

1 16 ⋅x

1

1

1

1

35. Aduceţi la forma cea mai simplă Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

1 512 ⋅ ... ⋅ x .

36. Aduceţi la forma cea mai simplă x ⋅ x 3 ⋅ x 9 ⋅ x 27 ⋅ x 81 ⋅ ... Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 1

1

1

37. Fie numerele 6, 28 şi 496. Aflaţi valoarea de adevăr a relaţiei 2 2 ⋅ 2 3 ⋅ 2 6 = 2 şi construiţi două relaţii asemănătoare. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

28

Capitolul II. Puteri cu exponent raţional

38. Dezvoltaţi: 1

1

1

a) (2 x 2 + y 3 )3 ;

1

b) (3x 3 − y 2 )3 .

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 39. Decideţi dacă există numere întregi x pentru care: 1

⎛ x2 − 4x + 4 ⎞ 4 x −x ⎟ ∈ N. a) 3 ∈ N; b) ⎜⎜ ⎟ x−2 ⎝ x−3 ⎠ Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 40. Decideţi dacă există numere întregi x pentru care: 2

4x2 +4x 2 x +1

a) are sens

19 ;

b)

6x2 −2x 73 3 x −1

are exponentul întreg.

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 41. Rezolvaţi în R inecuaţia

[(7 x + 4)

2

+ 216

]

−

[

1 3

]

+ (3 y − 11) 2 + 81

−

1 4

[

+ (5 z − 7) 4 + 64

]

−

1 6

≥ 1.

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 42. Aflaţi numerele reale a pentru care este număr raţional: a)

4

2

405 + (a + 5a − 4) 80 − 5,2; 4

b)

1 375 3

2

+ (a − 7a

1 − 3) ⋅ 192 3

− 8,13.

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 43. Aflaţi un număr întreg x pentru care: a)

x

x

3 +2 =

x 2 5 ;

b)

3

x

3 +

x 3 4

x 3 +5

= 3 6x .

Evaluare formativă 1. Scrieţi cu ajutorul puterilor raţio1. Scrieţi cu ajutorul puterilor raţionale: nale: a) 7 163 ; b) 8 215 . a) 9 154 ; b) 10 223 . 2. Aflaţi numerele reale pentru care 2. Aflaţi numerele reale pentru care are sens: are sens: 3

5

a) ( x − 15) 7 ; b) ( x + 9)11 .

11

9

a) ( x − 34) 11 ; b) ( x + 73) 15 .

3. Aflaţi numerele reale pentru care 3. Aflaţi numerele reale pentru care are sens: are sens: a)

8

−

3

x − 8 ; b) (2 − x) 7 .

Capitolul II. Puteri cu exponent raţional

a)

12

x − 12 ; b) (9 − x)

−

9 25 .

29

4. Aduceţi la forma cea mai simplă: 2 57

4 75

4 ⋅ 5 21 ;

13 : 7 20 .

a) b) 5. Aduceţi la forma cea mai simplă: a)

3 5 (5 ) 6 ;

b)

6 5 13 (11 ) 8 .

6. Rezolvaţi în R ecuaţia: a)

3 x 25

4. Aduceţi la forma cea mai simplă: 4

a)

6 11 (7 ) 4 ;

11

b)

7 11 15 (15 ) 14 .

6. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) x 17 = 17 x 5 ;

13

15

7. Dezvoltaţi: a)

5

5

= 25 x 3 ;

b) ( x 2 ) 30 + 15 x13 = 0. 1 (5 3

5

a) 6 9 ⋅ 613 ; b) 119 : 1127 . 5. Aduceţi la forma cea mai simplă:

7. Dezvoltaţi: 2

− 3) ;

1 (7 3

b) ( x 2 ) 38 + 19 x15 = 0.

a)

1 (3 3

− 4) 2 ;

1 (6 3

b) b) + 5) . + 5)3 . 8. Decideţi dacă există numere în8. Decideţi dacă există numere întregi tregi x pentru care: x pentru care: a) are sens

3

5 x 2 −6 x 5 x +1

11;

9 x −1 56 3 x + 2

b) are exponent întreg. 9. Aduceţi la forma cea mai simplă 1 1 1 5 25 125 (5 x − 3) (5 x − 3) (5 x − 3) (5 x − 3)...

a) are sens

7 x 2 −5 x 7 x +1

13;

12 x −1 37 4 x + 3

b) are exponent întreg. 9. Aduceţi la forma cea mai simplă 1 1 1 16 64 4 (7 x − 2) (7 x − 2) (7 x − 2) ...

Barem. Start: 1 punct. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 50 minute.

30

Capitolul II. Puteri cu exponent raţional

C A P I T O L U L

III

Funcţii

Corespondenţă între mulţimi. Fie mulţimile nevide A şi B. O corespondenţă între mulţimile A şi B este o submulţime (parte) nevidă a produsului cartezian A × B în care apar toate elementele mulţimii A. Noţiunea de funcţie. Fie mulţimile nevide A şi B. Se numeşte corespondenţă între mulţimile A şi B o submulţime nevidă a produsului cartezian A × B. O funcţie f definită pe mulţimea A cu valori în mulţimea B este o corespondenţă între cele două mulţimi, care asociază fiecărui element al mulţimii A un singur element al mulţimii B. Funcţia f definită pe A cu valori în B se notează f : A → B. Dacă f asociază lui x ∈ A elementul y ∈ B, atunci f(x) = y şi imaginea lui x prin funcţia f este y; x este variabilă independentă, iar y este variabilă dependentă. Elementele unei funcţii sunt: domeniul de definiţie (funcţia f : A → B are domeniul de definiţie A); domeniul valorilor (funcţia f : A → B are domeniul valorilor B); legea de corespondenţă sau regula de asociere (funcţia f : A → B are legea de corespondenţă f). Mulţimea valorilor funcţiei f este Im f = E(f) = {y ∈ B | y = f(x)}. Graficul funcţiei f este G f = {(x, y) | y = f(x), x ∈ A} sau reprezentarea acestei mulţimi într-un sistem de axe ortogonale. O funcţie numerică are domeniul de definiţie şi domeniul valorilor mulţimi de numere. Moduri de definire a unei funcţii. O funcţie poate fi definită: sintetic (printr-o diagramă, un tabel, un grafic); analitic (o formulă, o regulă etc.). ⎧− x, dacă x < 0 ⎪ Funcţii speciale. 1) Funcţia modul f(x) = | x | = ⎨ 0, dacă x = 0 2) Funcţia semn ⎪ x, dacă x > 0. ⎩

⎧− 1, dacă x < 0 ⎪ (signum) f(x) = sgn x = ⎨ 0, dacă x = 0 3) Funcţia parte întreagă f(x) = [x], x ∈ R. ⎪ 1, dacă x > 0. ⎩ 4) Partea neîntreagă sau zecimală f(x) = {x}. Zeroul unei funcţii. Funcţia f are zeroul m, dacă f(m) = 0. Funcţii monotone. Fie funcţia f : A → B. 1) f este crescătoare pe submulţimea C a mulţimii A, dacă x1 < x2 implică f ( x1 ) ≤ f ( x2 ), pentru orice elemente x1 şi x2 ale mulţimii C; 2) f este strict crescătoare pe submulţimea C a mulţimii A, dacă x1 < x2 implică f ( x1 ) < f ( x2 ), pentru orice elemente x1 şi x2 ale mulţimii C; 3) f este descrescătoare pe submulţimea C a mulţimii A, dacă x1 < x2 implică f ( x1 ) ≥ f ( x2 ), pentru orice elemente x1 şi x2 ale mulţimii C; 4) f este strict descrescătoare pe submulţimea C a mulţimii A, dacă x1 < x2 implică f ( x1 ) > f ( x2 ), pentru orice elemente x1 şi x2 ale mulţimii C; 5) f este monotonă pe submulţimea C a mulţimii A, dacă este sau crescătoare sau descrescătoarea pe C; 6) f este monotonă dacă C = A. Teoremă. Fie funcţia f : A → R şi B ⊆ A. 1) Funcţia f este crescătoare (descrescăCapitolul III. Funcţii

31

toare) pe mulţimea C dacă şi numai dacă

f ( x 2 ) − f ( x1 ) ≥0 x 2 − x1

⎞ ⎛ f ( x 2 ) − f ( x1 ) ⎜⎜ ≤ 0 ⎟⎟ x 2 − x1 ⎠ ⎝

pentru orice x1 ∈ B, x2 ∈ B, x1 < x2. 2) Funcţia f este strict crescătoare (strict descrescătoare) pe mulţimea C dacă şi ⎞ ⎛ f ( x 2 ) − f ( x1 ) f ( x 2 ) − f ( x1 ) numai dacă > 0 ⎜⎜ < 0 ⎟⎟ pentru orice x1 ∈ B, x2 ∈ B, x 2 − x1 x 2 − x1 ⎠ ⎝ x1 < x2. Funcţii afine. Funcţiile f : R → R, f(x) = ax + b, a şi b numere reale, se numesc funcţii afine. Funcţiile f : R → R, f(x) = b, b număr real, sunt funcţii constante. Funcţiile f : R → R, f(x) = ax, a număr real nenul, sunt funcţii liniare. O relaţie de forma y = ax defineşte proporţionalitatea directă cu coeficientul a. Funcţiile f : R → R, f(x) = ax + b, a şi b numere reale, a ≠ 0, sunt funcţii ataşate polinoamelor de gradul I şi se numesc funcţii de gradul I. y = ax + b este ecuaţia unei drepte; a se numeşte coeficientul unghiular al dreptei. Funcţia de gradul I. Fie funcţia de gradul I f : R → R, f(x) = ax + b. Atunci: 1) f este strict descrescătoare, dacă a < 0; 2) f este strict crescătoare, dacă a > 0. Semnul funcţiei f este înregistrat în tabelul: a0 b b ∞ −∞ ∞ − − −∞ x x a a f(x) + + + f(x) − − − 0 − − − 0 + + + Graficul funcţiei afine. Fie funcţia afină f : A → R, A ⊆ R, f(x) = ax + b, a şi b numere reale. Reprezentarea graficului funcţiei f într-un sistem de axe ortogonale este o mulţime de puncte: 1) conţinută de o dreaptă paralelă cu axa Ox, dacă a = 0; 2) conţinută de o dreaptă concurentă cu axa Ox în origine dacă a ≠ 0 şi b = 0; 3) conţinută de o dreaptă concurentă cu axa Ox într-un punct diferit de origine dacă a ≠ 0 şi b ≠ 0. y = ax + b este ecuaţia dreptei de pantă a. Funcţii f : R* → R, f(x) = k , k ∈ R*. Graficul funcţiei f x este o hiperbolă (vezi desenul din dreapta). 1) Pentru k < 0 funcţia f este strict crescătoare pe intervalele (−∞, 0) şi (0, ∞). 2) Pentru k > 0 funcţia f este strict descrescătoare k pe intervalele (−∞, 0) şi (0, ∞). Relaţia y = defineşte proporţionalitatea directă cu x coeficientul k. Funcţia radical f : [0, ∞) → R, f(x) = x . Funcţia f este strict crescătoare. Gra-

32

Capitolul III. Funcţii

ficul (vezi desenul din dreapta) funcţiei f este simetric graficului funcţiei g : [0, ∞) → R, g(x) = x 2 . Paritatea funcţiilor. Funcţia f este pară, dacă f(x) = f(–x). Funcţia f este impară, dacă f(–x) = –f(x). Funcţia de gradul II. Funcţia ataşată polinomului de gradul II P(X) = aX2 + bX + c, f(x) = ax2 + bx + c se numeşte funcţie de gradul II. 1) Funcţia de gradul II f(x) = ax2 este pară. a) a < 0. x 0 ' –' % 0 & –' f(x) –' crescătoare max descrescătoare Graficul funcţiei f este o parabolă cu vârful în origine şi ramurile orientate în jos (∩).Punctul x = 0 este punctul de maxim al funcţiei f şi fmax = 0. f(x) ∈ (–', 0]. b) a > 0. x 0 ' –' & 0 % ' f(x) ' descrescătoare min crescătoare Graficul funcţiei f este o parabolă cu vârful în origine şi ramurile orientate în sus (∪). Punctul x = 0 este punctul de minim al funcţiei f şi fmin = 0. f(x) ∈ [0, '). 2) Funcţia de gradul II f(x) = ax2 + bx + c are forma canonică 2

b ⎞ −∆ ⎛ f ( x) = a ⎜ x + . ⎟ + 2a ⎠ 4a ⎝ a) a < 0, ∆ > 0. x

–'

f(x)

–'

%

0 crescătoare

b 2a ∆ − 4a max

−

x1 %

x2 &

0

' &

–'

descrescătoare ∆ ⎞ ⎛ b Graficul funcţiei f este o parabolă cu vârful V ⎜ − ,− ⎟ şi ramurile orientate 4a ⎠ ⎝ 2a în jos (∩). Graficul lui f intersectează axa Ox în punctele (x1, 0) şi (x2, 0). Punctul x = ∆⎤ b ∆ ⎛ − este punctul de maxim al funcţiei f şi fmax = − (> 0). E(f) = ⎜ − ' , − ⎥ . 2a 4a 4 a⎦ ⎝ b) a < 0, ∆ = 0. b = x2 –' x1 = − ' x 2a % 0 & –' f(x) –' crescătoare max descrescătoare Graficul funcţiei f este o parabolă tangentă axei Ox în vârful ei, punctul Capitolul III. Funcţii

33

b ⎛ b ⎞ este punctul de V ⎜ − , 0 ⎟ , şi ramurile orientate în jos (∩). Punctul x = − 2a ⎝ 2a ⎠ maxim al funcţiei f şi fmax = 0. f(x) ∈ (–', 0] sau Im f = E(f) = (–', 0]. c) a < 0, ∆ < 0. b − ' –' x 2a ∆ % & –' − f(x) –' 4a crescătoare max descrescătoare Graficul funcţiei f este o parabolă ce nu intersectează axa Ox (situată sub axa Ox), b ⎛ b ⎞ este punctul cu vârful V ⎜ − , 0 ⎟ şi ramurile orientate în jos (∩). Punctul x = − 2a ⎝ 2a ⎠ ∆⎤ ∆ ⎛ de maxim al funcţiei f şi fmax = − (< 0). f(x) ∈ ⎜ − ' , − ⎥ sau Im f = E(f) = 4a 4a ⎦ ⎝ ∆⎤ ⎛ ⎜ −' , − ⎥ . 4a ⎦ ⎝ d) a > 0, ∆ > 0. b − x2 x1 ' –' x 2a ∆ & 0 & % 0 % ' − f(x) ' 4a descrescătoare min crescătoare ∆ ⎞ ⎛ b Graficul funcţiei f este o parabolă cu vârful în V ⎜ − ,− ⎟ şi ramurile orien4a ⎠ ⎝ 2a tate în sus (∪). Graficul lui f intersectează axa Ox în punctele (x1, 0) şi (x2, 0). Punctul b ∆ ⎡ ∆ ⎞ este punctul de minim al funcţiei f şi fmin = − x= − (< 0). f(x) ∈ ⎢− , '⎟ 2a 4a ⎣ 4a ⎠ ⎡ ∆ ⎞ sau Im f = E(f) = ⎢− , '⎟ . ⎣ 4a ⎠ e) a > 0, ∆ = 0. b = x2 x1 = − ' –' x 2a & 0 % ' f(x) ' descrescătoare min crescătoare Graficul funcţiei f este o parabolă tangentă axei Ox în vârful ei, punctul b ⎛ b ⎞ este punctul de V ⎜ − , 0 ⎟ , şi ramurile orientate în sus (∪). Punctul x = − 2a ⎝ 2a ⎠ minim al funcţiei f şi fmin = 0. f(x) ∈ [0, ') sau Im f = E(f) = [0, ').

34

Capitolul III. Funcţii

e) a > 0, ∆ < 0. x

–'

f(x)

'

b 2a ∆ − 4a min −

x1 &

descrescătoare

x2

' '

%

crescătoare ∆ ⎞ ⎛ b Graficul funcţiei f este o parabolă cu vârful V ⎜ − ,− ⎟ şi ramurile orientate 4a ⎠ ⎝ 2a în sus (∪). Graficul lui f nu intersectează axa Ox (se află deasupra axei Ox). Punctul x b ∆ ⎡ ∆ ⎞ este punctul de minim al funcţiei f şi fmin = − = − (> 0). f(x) ∈ ⎢− , '⎟ . 2a 4a 4a ⎣ ⎠ Semnul funcţiei de gradul II. Fie funcţia de gradul II f(x) = ax2 + bx + c. a) ∆ > 0. –' x1 x2 ' x f(x) semn a 0 semn (–a) 0 semn a b) ∆ = 0. –' x1 = x2 ' x f(x) semn a 0 semn a c) ∆ < 0. –' ' x f(x) semn a Translaţia unei parabole. Prin translaţia de vector (m, n) a parabolei y = ax2 + bx + c se obţine parabola y = a(x – m)2 + b(x – m) + c + n etc. Funcţia putere. Fie polinomul de gradul III P(X) = aX3 + bX2 + cX + d. Funcţia f(x) = ax3 + bx2 + cx + d ataşată polinomului de gradul III este funcţia de gradul III. Analog se defineşte funcţia de gradul IV.

a) Funcţia f : R → R, f(x) = x3. x

–' –'

–2 –8

–1 –1

0 0

1 1

2 8

' '

–' –'

–2 16

–1 1

0 0

1 1

2 16

' '

% % % % % % f(x) Funcţia f este strict crescătoare. Graficul ei intersectează axa Ox în origine. Deoarece f este funcţie impară, graficul ei este simetric faţă de originea sistemului de coordonate. b) Funcţia f : R → R, f(x) = x4.

x f(x)

&

&

&

%

%

%

descrescătoare min crescătoare Funcţia f este strict descrescătoare pe (–', 0) şi este crescătoare pe (0, '). Graficul ei intersectează axa Ox în origine. Deoarece f este funcţie pară, graficul ei este simetric faţă de axa Oy. Capitolul III. Funcţii

35

1. N o ţ i u n e a d e f u n c ţ i e 1. Enumeraţi domeniul de definiţie şi mulţimea valorilor funcţiei care asociază fiecărui număr natural cifra: a) miilor lui; b) unităţilor lui; c) sutelor lui; d) zecilor de mii; e) sutelor de mii; f) milioanelor lui. 2. Enumeraţi domeniul de definiţie şi mulţimea valorilor funcţiei care asociază fiecărui număr real cifra: a) zecimilor lui; b) sutimilor lui; c) miimilor lui; d) zecimilor de miimi; e) sutimilor de miimi; f) milionimilor de miimi. 3. Precizaţi domeniul maxim de definiţie al unei funcţii (polinomiale) de gradul: a) VI; b) I; c) II; d) III; e) IV; f) V. 4. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R al funcţiei f : D → R, cu: 5 3,9 7,1 ; b) f(x) = ; c) f(x) = ; a) f(x) = 7x −1 6x + 5 8x − 1 8,3 13,6 21,7 d) f(x) = ; e) f(x) = ; f) f(x) = . 4 x − 11 9x + 7 11x + 3 5. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R al funcţiei f : D → R, cu: 3 5 8 ; b) f(x) = ; c) f(x) = ; a) f(x) = 2 2 2 6 x − 5x + 1 12 x + 7 x + 1 3x − 4 x + 1 11 12 13 d) f(x) = ; e) f(x) = ; f) f(x) = . 2 2 2 8x − 6 x + 1 10 x − 7 x + 1 6x − 7x + 1 6. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R al funcţiei f : D → R, cu: b) f(x) = 13 12 x + 5 ; c) f(x) = 11 31x − 1; a) f(x) = 7 5 − 7 x ;

e) f(x) = 23 19 x − 1; f) f(x) = 25 4 x + 51. d) f(x) = 17 21 − 5 x ; 7. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R al funcţiei f : D → R, cu: 5,9 17,3 6,5 a) f(x) = 31 ; ; ; b) f(x) = 3 c) f(x) = 5 4 x − 13 13 x − 4 14 x − 3 18,4 5,12 35,2 d) f(x) = 9 ; ; . e) f(x) = 11 f) f(x) = 13 11x + 21 24 x − 5 16 x − 9 8. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R al funcţiei f : D → R, cu: 3 5 12 a) f(x) = ; b) f(x) = ; c) f(x) = ; 51 11 2 2 2 3 8x − 7 x − 1 10 x − 7 x − 1 18 x − 7 x − 1 3 45 3 ; e) f(x) = ; f) f(x) = . d) f(x) = 19 17 21 2 2 2 44 x − 7 x − 1 60 x − 7 x − 1 42 x − 7 x − 1 9. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R al funcţiei f : D → R, cu: a) f(x) = 16 6 − 11x ; b) f(x) = 6 13 x − 3; c) f(x) = 8 19 − 6 x ;

d) f(x) =

36

10

14 x − 9 ;

e) f(x) =

12

9 − 23 x ;

f) f(x) =

14

22 − 5 x . Capitolul III. Funcţii

10. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R al funcţiei f : D → R, cu: 13 32 54 a) f(x) = 20 ; ; ; b) f(x) = 4 c) f(x) = 6 12 − 11x 15 − 2 x 5 x + 16 13 13 14 d) f(x) = 8 ; ; . e) f(x) = 10 f) f(x) = 18 9 − 14 x 26 x − 3 33 x − 4 11. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R al funcţiei f : D → R, cu: b) f(x) = 3 x +19 34 ; c) f(x) = 5 x +13 46 ; a) f(x) = 12 − 7 x 21;

e) f(x) = 31x − 2 52 ; f) f(x) = 24 − 5 x 16 . d) f(x) = 9 x −13 78 ; 12. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R al funcţiei f : D → R, cu: 3

7

11

a) f(x) = (9 − 82 x) 19 ;

b) f(x) = (2 x − 83) 31 ;

c) f(x) = (15 x − 37) 31 ;

15 (5 x − 14) 29 ;

31 33 (27 − 4 x) ;

37 (11 − 34 x) 41 .

d) f(x) = e) f(x) = f) f(x) = 13. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R al funcţiei f : D → R, cu: a) f(x) = (4 − 27 x)

− −

3 53 ;

b) f(x) = (12 − 5 x)

73

− −

11 47 ;

c) f(x) = (61x − 2)

21

d) f(x) = (91 − 3x) 77 ; e) f(x) = (45 − 8 x) 51 ; f) f(x) = (65 − 6 x) 14. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R al funcţiei f : D → R, cu: a) f(x) = [(2 x − 15) 2 ] d) f(x) = [(11x − 7) 2 ]

−

11 13 ;

b) f(x) = [(21 − 4 x) 2 ]

−

51 57 ;

e) f(x) = [(19 x − 5) 2 ]

−

37 43 ;

−

29 35 .

−

25 27 ;

c) f(x) = [(37 − 5 x) 2 ]

−

53 61 ;

f) f(x) = [(29 x − 3) 2 ]

− −

39 41 ;

19 33 .

15. Recunoaşteţi care dintre diagrame definesc funcţii. a b c

a b c

1 3 9

1 3 9

a b c

a b c

1 3 9

1 3 9

a b c

1 3 9

a b c

1 3 9

a) b) c) d) e) 16. Examinaţi graficele şi recunoaşteţi care dintre ele definesc funcţii.

f)

a) b) c) d) 17. Recunoaşteţi care dintre graficele de mai jos definesc funcţii.

e)

y

y

y

x

x O

x

a) Capitolul III. Funcţii

O

O

b)

y

y

c)

x

O

d)

O

x

e)

37

18. Examinaţi desenul şi identificaţi o funcţie: constantă, nemonotonă, monoton descrescătoare, strict crescătoare. y y y i g f O

x

x

x

O

O

x

O

h

a) b) c) d) 19. Reproduceţi tabelul de valori şi completaţi-l cu săgeţi care indică faptul că funcţia este strict crescătoare sau strict descrescătoare pe un interval. −5 2 9 −8 2 10 x x f(x) 8 14 21 g(x) −1 −2 –4

−10 x h(x) –4

–2 5

3 1

x i(x)

−9 −2

−5 −1

9 3

−7 0 1 −9 −5 9 x x j(x) 4 2 −1 k(x) −2 −1 3 20. Reproduceţi tabelul de valori şi completaţi-l cu săgeţi care indică faptul că funcţia este strict crescătoare sau strict descrescătoare pe un interval. 3 16 −∞ 6 22 −∞ x x −1 25 −9 −38 f(x) −∞ g(x) −∞ −∞ x h(x) ∞

0 –2

56 8

x i(x)

−∞ ∞

10 −21

74 11

−∞ 0 42 −∞ –5 32 x x ' 11 11 –3 h(x) –∞ i(x) 1 21. Reproduceţi tabelul de valori şi completaţi-l cu săgeţi care indică faptul că funcţia este strict crescătoare sau strict descrescătoare pe un interval. −∞ 18 ' 3 ' −∞ x x 3 ' 9 −' g(x) −∞ f(x) −∞ −∞ x h(x) ∞

6 32

' –'

x i(x)

−∞ ∞

29 −8

' –'

−∞ −∞ 1 ' 16 ' x x 13 ' 11 –' i(x) –' h(x) –∞ 22. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi intersecţiile cu axa Ox (zerourile) funcţiei f, dacă: a) f(x) = 2 – 12x; b) f(x) = 11 – 33x; c) f(x) = 8 – 24x; d) f(x) = 13 – 39x; e) f(x) = 15 – 45x; f) f(x) = 18 – 5x. 23. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi intersecţiile cu axa Ox (zerourile) funcţiei f, dacă: a) f(x) = x2 – 12x + 20; b) f(x) = x2 – 9x + 20; c) f(x) = x2 – 11x + 28;

38

Capitolul III. Funcţii

d) f(x) = x2 – 11x + 30; e) f(x) = x2 – 13x + 42; f) f(x) = x2 – 13x + 30. 24. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi zerourile funcţiei f, dacă: b) f(x) = | 7x – 14 |; c) f(x) = | 8x – 16 |; a) f(x) = | 6x – 15 |; e) f(x) = | 5x – 35 |; f) f(x) = | 6x – 62 |. d) f(x) = | 9x – 27 |; 25. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi intersecţiile cu axa Ox (zerourile) funcţiei f, dacă: a) f(x) = | x2 – 14x – 40 |; b) f(x) = | x2 – 14x – 51 |; c) f(x) = | x2 – 14x – 72 |; d) f(x) = | x2 – 14x – 95 |; e) f(x) = | x2 – 14x – 32 |; f) f(x) = | x2 – 14x – 120 |. 26. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi intersecţia cu axa Oy a graficului funcţiei f, dacă: a) f(x) = 24 – 12x; b) f(x) = 19 – 57x; c) f(x) = 14 – 42x; d) f(x) = 56 – 28x; e) f(x) = 21 – 63x; f) f(x) = 16 – 48x. 27. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi intersecţia cu axa Oy a graficului funcţiei f, dacă: a) f(x) = x2 – 3x – 70; b) f(x) = x2 – 4x – 96; c) f(x) = x2 – 5x + 84; 2 2 d) f(x) = x – 6x – 55; e) f(x) = x – 7x – 42; f) f(x) = x2 – 8x – 33. 28. Fie funcţia f : R → R. Stabiliţi semnul funcţiei f, dacă: a) f(x) = 12x + 3; b) f(x) = 15x – 3; c) f(x) = 18x + 3; d) f(x) = 9x – 54; e) f(x) = 4x + 16; f) f(x) = 5x + 25. 29. Fie funcţia f : R → R. Stabiliţi semnul funcţiei f, dacă: a) f(x) = –3x + 27; b) f(x) = –2x – 8; c) f(x) = –4x + 12; d) f(x) = –5x – 20; e) f(x) = –6x + 24; f) f(x) = –7x – 28. 30. Fie funcţia f : R → R. Stabiliţi paritatea funcţiei f, dacă: a) f(x) = 8,2x; b) f(x) = 1,3x; c) f(x) = 2,5x; d) f(x) = 7,3x; e) f(x) = 9,3x; f) f(x) = 10,4x. 31. Fie funcţia f : R → R. Stabiliţi paritatea funcţiei f, dacă: a) f(x) = –2,6x; b) f(x) = –5,2x; c) f(x) = –3,7x; d) f(x) = –4,1x; e) f(x) = –6,4x; f) f(x) = –8,5x. 32. Fie funcţia f : R → R. Stabiliţi paritatea funcţiei f, dacă: a) f(x) = 2x2 – 3x; b) f(x) = 3x2 – 7x; c) f(x) = 4x2 – 9x; 2 2 d) f(x) = 7x – 11x; e) f(x) = 13x – 8x; f) f(x) = 15x2 – 13x. 33. Aflaţi panta dreptei de ecuaţia: a) y = 3x – 11; b) y = –13x – 2; c) y = 4x + 17; d) y = –8x – 9; e) y = –19x + 8; f) y = –6x – 15. 34. Aflaţi mulţimea valorilor funcţiei, dacă există, care asociază numărului 152n, n ∈ N, ultima sa cifră. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 35. Aflaţi mulţimea valorilor funcţiei, dacă există, care asociază numărului 243n, n ∈ N, ultima sa cifră. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 36. Aflaţi mulţimea valorilor funcţiei, dacă există, care asociază numărului 347n, n ∈ N, ultima sa cifră. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 37. Aflaţi mulţimea numerelor reale ale lui m pentru care funcţia f : R → R cu: a) f(x) = (3m – 2)x + 6 este crescătoare; Capitolul III. Funcţii

39

b) f(x) = (7m – 3)x – 4 este strict descrescătoare. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 38. Aflaţi mulţimea numerelor reale ale lui m pentru care funcţia f : R → R cu: a) f(x) = (4m2 – 3m – 1)x + 2 este constantă; b) f(x) = (2m – 7)x – 4 este constantă. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 39. Aflaţi numărul real m pentru care funcţia f : R → R cu: a) f(x) = 2x + 3m2 – 2m + 1 are zeroul 1; b) f(x) = 5x + 4m2 – 3m + 6, dacă graficul ei intersectează Oy în (0, 7). Formulaţi un exerciţiu asemănător. 40. Aflaţi numărul funcţiilor f : A → B, dacă: a) card A = 3 şi card B = 2; b) card A = 2 şi card B = 3. 41. Examinând rezultatele exerciţiului anterior, aflaţi numărul funcţiilor f : A → B, dacă: a) card A = 2 şi card B = 5; b) card A = n şi card B = k. 42. Fie funcţia f : N* → N, f(n) este restul împărţirii numărului 232n la 100. Aflaţi Im f = E(f). Formulaţi un exerciţiu asemănător. 43. Fie funcţia f : N* → N, f(n) este restul împărţirii numărului 51763n la 1000. Aflaţi numărul maxim de elemente al mulţimii Im f = E(f). Formulaţi un exerciţiu asemănător. 44. Fie funcţia f : Z → N, f(n) este restul împărţirii numărului n la 9. Aflaţi numărul de elemente al mulţimii Im f = E(f) şi aflaţi f(–378), f(–4629), f(–38932). Formulaţi un exerciţiu asemănător. 45. Fie corespondenţa între mulţimea R şi ea însăşi, definită de regula f(x) + f(2 − x) = 2x2 – 1. Decideţi dacă f este o funcţie. Formulaţi un exerciţiu asemănător.

Evaluare formativă 1. Aflaţi domeniul maxim de defini1. Aflaţi domeniul maxim de definiţie ţie în R al funcţiei f : D → R, cu în R al funcţiei f : D → R, cu 4 3 . . f(x) = 2 f(x) = 2 x − 9 x + 14 x − 11x + 24 2. Aflaţi domeniul maxim de defini2. Aflaţi domeniul maxim de definiţie ţie în R al funcţiei f : D → R, cu în R al funcţiei f : D → R, cu 2,7 1,6 f(x) = f(x) = . . 13 11 2 2 27 x − 6 x − 1 30 x − 7 x − 1 3. Aflaţi domeniul maxim de defini3. Aflaţi domeniul maxim de definiţie ţie în R al funcţiei f : D → R, cu în R al funcţiei f : D → R, cu f(x) = 22 15 − 7 x . f(x) = 26 13 − 9 x .

40

Capitolul III. Funcţii

4. Aflaţi domeniul maxim de defini4. Aflaţi domeniul maxim de definiţie ţie în R al funcţiei f : D → R, cu în R al funcţiei f : D → R, cu 7 15 (17 − 12 x) .

5 13 (11 − 14 x) .

f(x) = f(x) = 5. Aflaţi domeniul maxim de definiţie 5. Aflaţi domeniul maxim de definiîn R al funcţiei f : D → R, cu ţie în R al funcţiei f : D → R, cu −

19 53 .

−

21 55 .

f(x) = (6 − 23 x) f(x) = (3 − 25 x) 6. Aflaţi domeniul maxim de definiţie 6. Aflaţi domeniul maxim de definiîn R al funcţiei f : D → R, cu ţie în R al funcţiei f : D → R, cu −

31 35 .

2

−

33 37 .

f(x) = [(13 − 6 x) ] f(x) = [(12 − 5 x) ] 7. Reproduceţi tabelul de valori şi 7. Reproduceţi tabelul de valori şi completaţi-l cu săgeţi care indică faptul completaţi-l cu săgeţi care indică faptul că că funcţia este strict crescătoare sau funcţia este strict crescătoare sau strict descrescătoare pe un interval. strict descrescătoare pe un interval. x –' 1 ' x –' 2 ' 11 –' f(x) ' –5 ' f(x) –' 8. Aflaţi mulţimea numerelor reale 8. Aflaţi mulţimea numerelor reale ale lui m pentru care funcţia f : R → R ale lui m pentru care funcţia f : R → R cu: a) f(x) = (8m – 13)x + 9 este crescăcu: a) f(x) = (5m – 9)x + 11 este cres- toare; b) f(x) = (11m – 13)x – 5 este strict cătoare; descrescătoare. b) f(x) = (9m – 11)x – 3 este strict 9. Fie corespondenţa între mulţimea R descrescătoare. 9. Fie corespondenţa între mulţimea şi ea însăşi, definită de regula f(x) + R şi ea însăşi, definită de regula f(x) + f(5 − x) = 2x2 – 1. Decideţi dacă f este o f(3 − x) = 4x2 – 1. Decideţi dacă f este o funcţie. funcţie. Barem. Start: 1 punct. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 50 minute. 2

Test de capacităţi 1. Reprezentaţi prin diagrame toate funcţiile f : {0, 1, 3} → {4, 8}. 2. Decideţi dacă există funcţii f : R → R, cu proprietatea f(x) + 2f(1− x) = 5x – 2. 3. Fie funcţia f : R → R, f(x) = sgn (3 – 4x). Explicitaţi expresia funcţiei f. 4. Fie funcţia f : N* → N, f(n) este restul împărţirii numărului 62347n la 1000. Aflaţi numărul maxim de elemente al mulţimii Im f = E(f). Barem. Start: 1 punct. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 2,25 puncte. Timp de lucru efectiv: 45 minute. Capitolul III. Funcţii

41

2. F u n c ţ i i n u m e r i c e 1. Construiţi tabelul de valori şi graficul funcţiei: a) f : {2, 4, 6} → R, f(x) = –2; b) f : {1, 4, 7} → R, f(x) = 1; d) f : {–5, –3, –1} → R, f(x) = –4. c) f : {–6, –4, –2} → R, f(x) = –3; 2. Construiţi tabelul de valori şi graficul funcţiei: a) f : {0, 2, 4} → R, f(x) = 0,5x; b) f : {0, 4, 8} → R, f(x) = –0,25x; d) f : {–8, –6, –4} → R, f(x) = 0,5x. c) f : {–5, –3, –1} → R, f(x) = 2x; 3. Fie funcţia f : R → R. Stabiliţi semnul funcţiei f, dacă: a) f(x) = 3x − 2; b) f(x) = 5x – 3; c) f(x) = 3x – 6; d) f(x) = 2x – 4; e) f(x) = 4x – 2; f) f(x) = 2x – 7. 4. Fie funcţia f : R → R. Stabiliţi semnul funcţiei f, dacă: a) f(x) = –2x + 5; b) f(x) = –3x – 9; c) f(x) = –5x + 4; d) f(x) = –5x – 5; e) f(x) = –4x – 6; f) f(x) = –2x – 9. 5. Fie funcţia f : R → R. Stabiliţi monotonia funcţiei f, dacă: a) f(x) = 0,4x − 11; b) f(x) = 2,5x – 7; c) f(x) = 3,1x – 8; d) f(x) = 4,6x – 12; e) f(x) = 0,3x – 13; f) f(x) = 0,8x – 13. 6. Fie funcţia f : R → R. Stabiliţi monotonia funcţiei f, dacă: a) f(x) = –0,2x + 3; b) f(x) = –0,5x – 8; c) f(x) = –2,9x + 5; d) f(x) = –3,4x – 23; e) f(x) = –6,7x + 3,4; f) f(x) = –5,8x + 7,3. 7. Fie funcţia f : R → R. Construiţi tabelul de valori (intersecţiile cu axele, monotonia) şi graficul funcţiei f, dacă: a) f(x) = 0,25x + 1; b) f(x) = 0,5x – 2; c) f(x) = 0,2x + 1; d) f(x) = 0,4x – 2; e) f(x) = 0,75x + 3; f) f(x) = 0,8x – 4. 8. Fie funcţia f : (–1, ') → R. Construiţi tabelul de valori (intersecţiile cu axele, monotonia) şi graficul funcţiei f, dacă: a) f(x) = –0,2x + 1; b) f(x) = –0,5x – 1; c) f(x) = –0,4x + 2; d) f(x) = –0,25x – 1; e) f(x) = –0,8x + 4; f) f(x) = –0,75x – 3. 9. Fie funcţia f : (–1, 6] → R. Construiţi tabelul de valori şi graficul funcţiei f, dacă: a) f(x) = –x + 1; b) f(x) = x – 2; c) f(x) = –x + 2; d) f(x) = x – 3; e) f(x) = –x + 3; f) f(x) = x – 4. 10. Fie funcţia f : D → R, D domeniul maxim de definiţie al funcţiei f în R. Construiţi tabelul de valori (vezi rezolvarea itemului a)) şi graficul funcţiei f, dacă: 1 1 1 a) f(x) = ; b) f(x) = ; c) f(x) = ; x−2 x −1 x +1 1 1 1 ; e) f(x) = ; f) f(x) = . d) f(x) = x+2 x−3 x+3 11. Fie funcţia f : D → R, D domeniul maxim de definiţie al funcţiei f în R. Construiţi tabelul de valori (vezi rezolvarea itemului a)) şi graficul funcţiei f, dacă: 1 1 1 a) f(x) = − ; b) f(x) = − ; c) f(x) = − ; x−3 x +1 x −1

42

Capitolul III. Funcţii

1 1 1 ; e) f(x) = − ; f) f(x) = − . x+2 x−2 x+3 12. Fie funcţia f : D → R, D domeniul maxim de definiţie al funcţiei f în R. Construiţi tabelul de valori (vezi rezolvarea itemului a)) şi graficul funcţiei f, dacă: 1 1 1 b) f(x) = c) f(x) = a) f(x) = ; ; ; | x + 3| | x +1| | x+2| 1 1 1 e) f(x) = f) f(x) = d) f(x) = ; ; . | x −1| | x−2| | x −3| 13. Fie funcţia f : D → R, D domeniul maxim de definiţie al funcţiei f în R. Construiţi tabelul de valori (vezi rezolvarea itemului a)) şi graficul funcţiei f, dacă: 1 1 1 b) f(x) = − c) f(x) = − a) f(x) = − ; ; ; | x −3| | x −2| | x −1| 1 1 1 d) f(x) = − ; ; . e) f(x) = − f) f(x) = − | x + 3| | x+ 2| | x +1| 14. Fie funcţia f : D → R, D domeniul maxim de definiţie al funcţiei f în R. Construiţi tabelul de valori (vezi rezolvarea itemului a)) şi graficul funcţiei f, dacă: b) f(x) = x + 1; c) f(x) = x + 2 ; a) f(x) = x − 3; d) f(x) = −

d) f(x) = x + 3; e) f(x) = x − 2 ; f) f(x) = x − 1. 15. Fie funcţia f : D → R, D domeniul maxim de definiţie al funcţiei f în R. Construiţi tabelul de valori (vezi rezolvarea itemului a)) şi graficul funcţiei f, dacă: b) f(x) = 1 − x ; c) f(x) = 2 − x ; a) f(x) = 3 − x ; d) f(x) = − 3 − x ; e) f(x) = − 2 − x ; f) f(x) = − 1 − x . 16. Fie funcţia f : D → R, D domeniul maxim de definiţie al funcţiei f în R. Construiţi tabelul de valori (vezi rezolvarea itemului a)) şi graficul funcţiei f, dacă: a) f(x) = | x − 3 | ; b) f(x) = | x − 1| ; c) f(x) = | x − 2 | ;

d) f(x) =

| x + 3 |;

17. Fie funcţia f : R → şi graficul funcţiei f, dacă: a) f(x) = | 3x |; d) f(x) = | 0,5x |; 18. Fie funcţia f : R → şi graficul funcţiei f, dacă: a) f(x) = | x – 3 |; d) f(x) = | x – 2 |; 19. Fie funcţia f : R → şi graficul funcţiei f, dacă: a) f(x) = – | x + 3 |; d) f(x) = – | x + 2 |; 20. Fie funcţia f : R → şi graficul funcţiei f, dacă: Capitolul III. Funcţii

e) f(x) =

| x + 2 |;

f) f(x) =

| x + 1|.

R. Construiţi tabelul de valori (vezi rezolvarea itemului a))

b) f(x) = | x |; c) f(x) = | 2x |; e) f(x) = | 0,25x |; f) f(x) = | 0,2x |. R. Construiţi tabelul de valori (vezi rezolvarea itemului a)) b) f(x) = | x + 1 |; c) f(x) = | x – 1 |; e) f(x) = | x + 3 |; f) f(x) = | x + 2 |. R. Construiţi tabelul de valori (vezi rezolvarea itemului a)) b) f(x) = – | x – 1 |; c) f(x) = – | x – 1 |; e) f(x) = – | x – 3 |; f) f(x) = – | x + 2 |. R. Construiţi tabelul de valori (vezi rezolvarea itemului a))

43

⎧ 1, dacă x ∈ (−' , 2] a) f(x) = ⎨ ⎩− 3, dacă x ∈ ( 2, ' ); ⎧ 1, dacă x ∈ (−' , 3] c) f(x) = ⎨ ⎩− 2, dacă x ∈ (3, ' );

⎧ 3, dacă x ∈ ( −' , 1] b) f(x) = ⎨ ⎩− 1, dacă x ∈ (1, ' ); ⎧ 2, dacă x ∈ (−' , 4] d) f(x) = ⎨ ⎩− 1, dacă x ∈ (4, ' );

⎧ 4, dacă x ∈ (−' , 5] ⎧ 1, dacă x ∈ (−' , 6] e) f(x) = ⎨ f) f(x) = ⎨ ⎩− 2, dacă x ∈ (5, ' ); ⎩− 4, dacă x ∈ (6, ' ). 21. Fie funcţia f : R → R. Construiţi tabelul de valori (vezi rezolvarea itemului a)) şi graficul funcţiei f, dacă: ⎧ x, dacă x ∈ (−' , 1] ⎧ x, dacă x ∈ (− ' , − 1] b) f(x) = ⎨ a) f(x) = ⎨ ⎩ 1, dacă x ∈ (1, ' ); ⎩− 1, dacă x ∈ (−1, ' ); ⎧ x, dacă x ∈ (−' , − 2] c) f(x) = ⎨ ⎩− 2, dacă x ∈ (−2, ' ); ⎧ x, dacă x ∈ (−' , − 3] e) f(x) = ⎨ ⎩− 3, dacă x ∈ (−3, ' );

⎧ x, dacă x ∈ (− ' , 2] d) f(x) = ⎨ ⎩ 2, dacă x ∈ (2, ' ); ⎧ x, dacă x ∈ (−' , − 4] f) f(x) = ⎨ ⎩− 4, dacă x ∈ (−4, ' ).

22. Fie funcţia f : R → R. Construiţi tabelul de valori (vezi rezolvarea itemului a)) şi graficul funcţiei f, dacă: ⎧ 1 − x, dacă x ∈ (−' , − 1] ⎧ 2 − x, dacă x ∈ (−' , 3] b) f(x) = ⎨ a) f(x) = ⎨ ⎩2, dacă x ∈ (−1, ' ); ⎩3, dacă x ∈ (3, ' );

⎧ 3 − x, dacă x ∈ (−' , 2] c) f(x) = ⎨ ⎩1, dacă x ∈ ( 2, ' ); ⎧ 5 − x, dacă x ∈ (− ' , 3] e) f(x) = ⎨ ⎩2, dacă x ∈ (3, ' ); 23. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi: a) f(x + 5), dacă f(x) = 3x + 1; Formulaţi un exerciţiu asemănător.

⎧ 4 − x, dacă x ∈ (−' , 3] d) f(x) = ⎨ ⎩1, dacă x ∈ (3, ' ); ⎧ 6 − x, dacă x ∈ (−' , 1] f) f(x) = ⎨ ⎩5, dacă x ∈ (1, ' ).

b) f(x), f(x – 7) = 2x2 – 1.

⎧ x + 2, dacă x ∈ (−' , − 1) 24. Reprezentaţi grafic funcţia f : R → R, f ( x) = ⎨ ⎩2 x + 3, dacă x ∈ [ −1, ' ). Formulaţi un exerciţiu asemănător. 25. Fie funcţia f : D → R, D domeniul maxim de definiţie al funcţiei f în R. Construiţi tabelul de valori şi graficul funcţiei f, dacă: 1 1 1 a) f(x) = ; b) f(x) = − ; c) f(x) = . 2x − 4 3x − 6 | 4x − 8 | Formulaţi un exerciţiu asemănător. 26. Fie funcţia f : D → R, D domeniul maxim de definiţie al funcţiei f în R. Construiţi tabelul de valori şi graficul funcţiei f, dacă:

44

Capitolul III. Funcţii

a) f(x) = 2 x − 4 ; b) f(x) = 6 − 3 x ; c) f(x) = | 4 x − 12 |. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 27. Fie funcţia f : D → R, D domeniul maxim de definiţie al funcţiei f în R. Construiţi tabelul de valori şi graficul funcţiei f, dacă: a) f(x) = | 3x – 6 |; b) f(x) = | –5x – 10 |. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 28. Construiţi funcţia al cărui grafic este: a) segmentul închis AB cu A(–3, 5) şi B(4, –3); b) (AB] cu A(–4, –3) şi B(7, 5). Formulaţi un exerciţiu asemănător. 29. Construiţi funcţia al cărui grafic este: a) [AB cu A(–6, 3) şi B(10, –5); b) (AB cu A(9, 5) şi B(–2, –7). Formulaţi un exerciţiu asemănător. 30. Construiţi funcţia al cărui grafic este: a) [AB ∪ (AC cu A(–2, 1), B(–10, 1) şi C(3, 2); b) [AB ∪ (CD cu A(–1, 5), B(–8, 2), C(–1, 2) şi D(4, 5). Formulaţi un exerciţiu asemănător. 31. Reprezentaţi grafic funcţia f : R → Z: a) f(x) = sgn (3x − 6); b) f(x) = sgn (–2x + 4). Formulaţi un exerciţiu asemănător. 32. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi: a) f(2x – 3), dacă f(x) = 5x + 2; b) f(x), f(4x – 3) = 3x2 – 2. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 33. Reprezentaţi grafic funcţia f : D → N, (D domeniul maxim de definiţie în R al funcţiei f):

a) f(x) = (−2x + 5)⋅sgn (3x − 9);

b) f(x) =

4x − 3 . | 3 − 4x |

f(x) =

6x2 − 7 x − 3 . | 2x − 3 |

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 34. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi f(x), dacă: a) f(x) + 2f(3 – x) = 3x + 1; b) f(x) + 3f(1 – x) = 2x2 + 1. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 35. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R şi mulţimea valorilor funcţiei f cu f(x) = x 2 − 8x + 3. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 36. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R şi mulţimea valorilor funcţiei f cu f(x) = x 2 − 14x + 64. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

Capitolul III. Funcţii

45

37. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R şi mulţimea valorilor funcţiei f cu f(x) = x − 14x + 64. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 38. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R şi mulţimea valorilor funcţiei f cu f(x) = x4 − 26x2 + 98. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 39. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R şi mulţimea valorilor funcţiei f cu f(x) = x4 − 28x2 + 200. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 40. Explicitaţi funcţia f : R → R, f(x) = max {8x – 11, 2 – 9x}. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 41. Explicitaţi funcţia f : R → R, f(x) = min {9x − 5, 7 – 11x}. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 42. Aflaţi mulţimea valorilor funcţiei definită pe R de formula f(x) = | x4 – 8x + 10 |. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 43. Aflaţi numărul real m pentru care graficul funcţiei f : R → R definită de formula ⎧5 x − 3, dacă x ∈ (− ' , 2] are graficul un unghi. f(x) = ⎨ ⎩3m − 2 x, dacă x ∈ (2, ' ) Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 44. Aflaţi numerele reale m şi n pentru care graficul funcţiei f : R → R definită de ⎧5 x − 3, dacă x ∈ (−' , − 3] ⎪ formula f(x) = ⎨mx − n, dacă x ∈ (−3, 1] are graficul o linie poligonală. ⎪4 − 2 x, dacă x ∈ (1, ' ) ⎩ Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 2

Evaluare formativă 1. Reprezentaţi grafic funcţia 1. Reprezentaţi grafic funcţia f : (−', 2] → R, f(x) = 3x – 6. f : (−', 1] → R, f(x) = 2x – 6. 2. Reprezentaţi grafic funcţia 2. Reprezentaţi grafic funcţia f : R → R, f(x) = –2x + 6. f : R → R, f(x) = –4x + 8. 3. Reprezentaţi grafic funcţia 3. Reprezentaţi grafic funcţia f : [− 4, 2) → R, f(x) = 0,5x − 3. f : (−2, 4] → R, f(x) = 0,5x + 2. 4. Reprezentaţi grafic pe domeniul 4. Reprezentaţi grafic pe domeniul său său maxim de definiţie în R funcţia maxim de definiţie în R funcţia 4 5 f(x) = f(x) = . . x−4 x−5 5. Reprezentaţi grafic pe domeniul 5. Reprezentaţi grafic pe domeniul său său maxim de definiţie în R funcţia: maxim de definiţie în R funcţia: f(x) = x − 5. f(x) = x − 6 . 6. Reprezentaţi grafic funcţia 6. Reprezentaţi grafic funcţia f : R → R, f(x) = | 6x |. f : R → R, f(x) = | 5x |.

46

Capitolul III. Funcţii

7. Reprezentaţi grafic funcţia f : 7. Reprezentaţi grafic funcţia f : R → ⎧ 6 − x, dacă x ∈ (−' , 4] ⎧ 7 − x, dacă x ∈ (−' , 5] R → R, f(x) = ⎨ R, f(x) = ⎨ ⎩2, dacă x ∈ (4, ' ). ⎩2, dacă x ∈ (5, ' ). 8. Construiţi funcţia al cărui grafic 8. Construiţi funcţia al cărui grafic este [AB ∪ (CD cu A(–2, 4), B(–5, 3), este (AB ∪ [CD cu A(–3, 2), B(–6, 1), C(– C(–2, 1) şi D(3, 1). 3, 4) şi D(4, 2). 9. Aflaţi numerele reale m şi n 9. Aflaţi numerele reale m şi n pentru pentru care graficul funcţiei f : R → R care graficul funcţiei f : R → R definită definită de formula de formula ⎧3 x − 1, dacă x ∈ (− ' , − 1] ⎧2 x + 1, dacă x ∈ (−' , − 2] ⎪ ⎪ f(x) = ⎨mx − n, dacă x ∈ (−1, 3] f(x) = ⎨mx − n, dacă x ∈ (−2, 2] are ⎪5 − x, dacă x ∈ (3, ' ) ⎪1 − 4 x, dacă x ∈ (2, ' ) ⎩ ⎩ are graficul o linie poligonală. graficul o linie poligonală. Barem. Start: 1 punct. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 50 minute.

3. F u n c ţ i a d e g r a d u l I I 1. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi intersecţiile graficului lui f cu axele de coordonate, dacă: b) f(x) = –7x2; c) f(x) = –8x2; d) f(x) = –6x2; a) f(x) = –3x2; 2 2 2 e) f(x) = 10x ; f) f(x) = 12x ; g) f(x) = 15x ; h) f(x) = 12x2. 2. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi Im f = E(f) şi studiaţi monotonia funcţiei f, dacă: b) f(x) = –13x2; c) f(x) = –17x2; d) f(x) = –19x2; a) f(x) = –9x2; 2 2 2 e) f(x) = 23x ; f) f(x) = 25x ; g) f(x) = 26x ; h) f(x) = 31x2. 3. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi intersecţiile graficului lui f cu axele de coordonate, dacă: b) f(x) = –3x2 + 8; c) f(x) = –6x2 + 11; a) f(x) = –5x2 + 2; 2 2 d) f(x) = –7x + 3; e) f(x) = –8x + 3; f) f(x) = –10x2 + 7. 4. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi Im f = E(f) şi studiaţi monotonia funcţiei f, dacă: a) f(x) = x2 – 9; b) f(x) = x2 – 1; c) f(x) = x2 – 4; e) f(x) = x2 – 36; f) f(x) = x2 – 49. d) f(x) = x2 – 16; 5. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi Im f = E(f) şi studiaţi monotonia funcţiei f, dacă: a) f(x) = –9x2 + 4; b) f(x) = –4x2 + 1; c) f(x) = –9x2 + 1; 2 2 d) f(x) = –16x + 1; e) f(x) = –x + 25; f) f(x) = –25x2 + 1. 6. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi intersecţiile graficului lui f cu axele de coordonate, dacă: a) f(x) = 3x2 + 7; b) f(x) = 8x2 + 5; c) f(x) = 6x2 + 13; 2 2 d) f(x) = –12x – 1; e) f(x) = –14x – 1; f) f(x) = –17x2 – 1. 7. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi Im f = E(f) şi studiaţi monotonia funcţiei f, dacă: a) f(x) = 3x2 + 5; b) f(x) = 5x2 + 4; c) f(x) = 7x2 + 3; Capitolul III. Funcţii

47

d) f(x) = 9x2 + 1; e) f(x) = 12x2 + 5; f) f(x) = 13x2 + 2. 8. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi intersecţiile graficului lui f cu axele de coordonate, dacă: a) f(x) = 5x2 + 4x; b) f(x) = 6x2 + 7x; c) f(x) = 8x2 + 3x; 2 2 d) f(x) = 9x + 5x; e) f(x) = 8x + 4x; f) f(x) = 12x2 + 3x. 9. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi intersecţiile graficului lui f cu axele de coordonate, dacă: a) f(x) = –2x2 + 9x; b) f(x) = –8x2 + 4x; c) f(x) = –5x2 + 15x; 2 2 d) f(x) = –12x + 8x; e) f(x) = –9x + 3x; f) f(x) = –7x2 + 14x. 10. Fie funcţia f : R → R. Construiţi graficul funcţiei f, dacă: a) f(x) = 4x2; b) f(x) = 2x2; c) f(x) = 3x2; d) f(x) = 5x2; 2 2 2 e) f(x) = 0,5x ; f) f(x) = 0,25x ; g) f(x) = 0,2x ; h) f(x) = 0,4x2. 11. Fie funcţia f : R → R. Construiţi graficul funcţiei f, dacă: b) f(x) = –0,6x2; c) f(x) = –0,8x2; d) f(x) = –0,2x2; a) f(x) = –2x2; 2 2 2 e) f(x) = –0,4x ; f) f(x) = –0,16x ; g) f(x) = –2,4x ; h) f(x) = –0,32x2. 12. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi minimul sau maximul unei funcţiei f, dacă: b) f(x) = 6x2 – 11x; c) f(x) = 8x2 – 3x; a) f(x) = 5x2 – 7x; 2 2 d) f(x) = 10x – 9x; e) f(x) = 13x – 7x; f) f(x) = 14x2 – 5x. 13. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi minimul sau maximul unei funcţiei f, dacă: a) f(x) = –21x2 + 5x; b) f(x) = –14x2 – 9x; c) f(x) = –15x2 – 4x; e) f(x) = –12x2 – 5x; f) f(x) = –8x2 – 7x. d) f(x) = –3x2 – 10x; 14. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi Im f = E(f) şi studiaţi monotonia funcţiei f, dacă: a) f(x) = 13x2 – 4x; b) f(x) = 11x2 – 2x; c) f(x) = 7x2 – 6x; 2 2 d) f(x) = 9x – 13x; e) f(x) = 4x – 3x; f) f(x) = 8x2 – 9x. 15. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi Im f = E(f) şi studiaţi monotonia funcţiei f, dacă: a) f(x) = –3x2 – 8x; b) f(x) = –5x2 – 6x; c) f(x) = –9x2 – 7x; 2 2 d) f(x) = –8x – 3x; e) f(x) = –6x – 5x; f) f(x) = –10x2 – 3x. 16. Fie funcţia f : R → R. Construiţi graficul funcţiei f, dacă: b) f(x) = 3x2 – 6x; c) f(x) = 4x2 – 8x; a) f(x) = 2x2 – 6x; d) f(x) = x2 + 3x; e) f(x) = x2 – 4x; f) f(x) = 2x2 – 3x. 17. Fie funcţia f : R → R. Construiţi graficul funcţiei f, dacă: a) f(x) = –2x2 + 8x; b) f(x) = –3x2 – 9x; c) f(x) = –5x2 – 10x; 2 2 d) f(x) = –4x + 4x; e) f(x) = –x – 4x; f) f(x) = –2x2 – 6x. 18. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi minimul sau maximul unei funcţiei f, dacă: a) f(x) = 4x2 – 7x + 1; b) f(x) = 6x2 – 9x + 1; c) f(x) = 8x2 – 5x – 1; d) f(x) = 9x2 – 7x + 1; e) f(x) = 12x2 – 7x + 1; f) f(x) = 14x2 – 5x – 1. 19. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi minimul sau maximul unei funcţiei f, dacă: a) f(x) = –6x2 + 5x + 1; b) f(x) = –8x2 – 9x + 1; c) f(x) = –7x2 – 4x + 2; 2 2 e) f(x) = –3x – 4x + 1; f) f(x) = –4x2 – 7x + 3. d) f(x) = –3x – 9x + 2; 20. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi minimul sau maximul unei funcţiei f, dacă: a) f(x) = 6x2 + 7x + 3; b) f(x) = 8x2 – 9x + 3; c) f(x) = 6x2 – 5x + 2; 2 2 d) f(x) = 4x – 6x + 3; e) f(x) = 5x – 4x + 1; f) f(x) = 4x2 – 7x + 5. 21. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi minimul sau maximul unei funcţiei f, dacă: a) f(x) = –6x2 + 5x – 3; b) f(x) = –7x2 + 9x – 3; c) f(x) = –6x2 + 5x – 3;

48

Capitolul III. Funcţii

d) f(x) = –2x2 + 5x – 6; e) f(x) = –5x2 + 3x – 1; f) f(x) = –4x2 + 7x – 5. 22. Fie funcţia f : R → R. Construiţi graficul funcţiei f, dacă: a) f(x) = x2 – 7x + 12; b) f(x) = x2 – 7x + 10; c) f(x) = x2 – 5x + 6; 2 2 d) f(x) = x – 6x + 5; e) f(x) = x – 8x + 15; f) f(x) = x2 – 9x + 20. 23. Fie funcţia f : R → R. Construiţi graficul funcţiei f, dacă: b) f(x) = –x2 – 3x + 18; c) f(x) = –x2 – 2x + 15; a) f(x) = –x2 – 3x + 10; 2 2 d) f(x) = –x – 2x + 8; e) f(x) = –x – x + 6; f) f(x) = –x2 – 2x + 24. 24. Fie funcţia f : R → R. Construiţi graficul funcţiei f, dacă: b) f(x) = x2 – 3x + 3; c) f(x) = x2 – 2x + 3; a) f(x) = 2x2 – 3x + 2; 2 2 d) f(x) = x – 2x + 4; e) f(x) = x – x + 3; f) f(x) = x2 – 3x + 4. 25. Fie funcţia f : R → R. Construiţi graficul funcţiei f, dacă: a) f(x) = –3x2 + 3x – 2; b) f(x) = –x2 + 3x – 4; c) f(x) = –x2 – 2x – 5; 2 2 e) f(x) = –x + x – 4; f) f(x) = –x2 + 4x – 5. d) f(x) = –x – 2x – 6; 26. Aflaţi coordonatele vârfului parabolei: a) y = x2 – 6x + 4; b) y = x2 – 7x + 5; c) y = x2 – 5x + 3; 2 2 d) y = x – 8x + 5; e) y = x – 3x + 5; f) y = x2 – 9x + 21. 27. Aflaţi coordonatele vârfului parabolei: b) y = –x2 – 7x + 2; c) y = –x2 – 3x + 3; a) y = –2x2 + 5x + 1; 2 2 d) y = –x – 9x + 2; e) y = –x – 3x + 4; f) y = –x2 – 10x + 2. 28. Aflaţi coordonatele vârfului parabolei: a) y = 3x2 – 7x + 5; b) y = 2x2 – 6x + 5; c) y = 2x2 – 5x + 4; 2 2 d) y = 4x – 8x + 5; e) y = 5x – 3x + 1; f) y = 2x2 – 8x + 9. 29. Aflaţi coordonatele vârfului parabolei: b) y = –2x2 + 6x – 5; c) y = 2x2 – 5x + 4; a) y = –3x2 + 6x – 5; 2 2 d) y = –5x + 8x – 4; e) y = –3x + 3x – 1; f) y = –3x2 + 8x – 7. 30. Fie funcţia f : R → R. Stabiliţi semnul funcţiei f, dacă: a) f(x) = 2x2 – 5x + 1; b) f(x) = 3x2 – 6x + 1; c) f(x) = 4x2 – 5x + 1; 2 2 d) f(x) = 3x – 7x + 4; e) f(x) = 5x – x – 1; f) f(x) = 6x2 – 5x + 1. 31. Fie funcţia f : R → R. Stabiliţi semnul funcţiei f, dacă: a) f(x) = –2x2 – 3x + 1; b) f(x) = –2x2 – 5x + 3; c) f(x) = –3x2 – 4x + 1; 2 2 d) f(x) = –3x – 6x + 2; e) f(x) = –5x – 4x + 1; f) f(x) = –6x2 – 5x + 1. 32. Fie funcţia f : R → R. Stabiliţi semnul funcţiei f, dacă: a) f(x) = 2x2 – 3x + 2; b) f(x) = 2x2 – 4x + 3; c) f(x) = 3x2 – 4x + 2; 2 2 d) f(x) = 4x – 6x + 3 e) f(x) = 5x – 4x + 1; f) f(x) = 3x2 – 5x + 3. 33. Fie funcţia f : R → R. Stabiliţi semnul funcţiei f, dacă: b) f(x) = –3x2 + 5x – 3; c) f(x) = –3x2 + 4x – 2; a) f(x) = –2x2 + 3x –3; d) f(x) = –5x2 – 6x – 2 e) f(x) = –5x2 + 5x – 2; f) f(x) = –4x2 + 5x – 3. 34. Fie funcţia f : R → R. Stabiliţi semnul funcţiei f, dacă: a) f(x) = 4x2 – 12x + 9; b) f(x) = 9x2 – 12x + 4; c) f(x) = 25x2 – 10x + 1; 2 2 d) f(x) = 4x – 20x + 25 e) f(x) = 4x – 28x + 49; f) f(x) = 4x2 – 40x + 25. 35. Fie funcţia f : R → R. Stabiliţi semnul funcţiei f, dacă: a) f(x) = –9x2 + 42x – 49; b) f(x) = –9x2 + 30x – 25; 2 c) f(x) = –25x + 30x – 9; d) f(x) = –4x2 + 28x – 49; f) f(x) = –25x2 + 60x – 36. e) f(x) = –25x2 + 70x – 49; Capitolul III. Funcţii

49

36. Fie funcţia f : R → R. Explicitaţi: a) f(x) = | 5x2 – 8x + 1 |; b) f(x) = | 2x2 – 8x + 1 |; c) f(x) = | 3x2 – 8x + 1 |; d) f(x) = | 4x2 – 8x + 1 |; e) f(x) = | x2 – 7x + 1 |; f) f(x) = | 2x2 – 7x + 1 |. 37. Fie funcţia f : R → R. Explicitaţi: a) f(x) = | –2x2 – 3x + 1 |; b) f(x) = | –2x2 – 4x + 1 |; 2 d) f(x) = | –4x2 – 3x + 1 |; c) f(x) = | –3x – 4x + 1 |; e) f(x) = | –3x2 – 5x + 1 |; f) f(x) = | –5x2 – 5x + 1 |. 38. Fie funcţia f : R → R. Explicitaţi: b) f(x) = | 4x2 + 12x + 9 |; a) f(x) = | 9x2 + 12x + 4 |; 2 c) f(x) = | 4x + 20x + 25 |; d) f(x) = | 4x2 + 28x + 49 |; e) f(x) = | 25x2 + 20x + 4 |; f) f(x) = | 49x2 + 20x + 4 |. 39. Fie funcţia f : R → R. Explicitaţi: a) f(x) = | –3x2 + 2x – 1 |; b) f(x) = | –4x2 + 5x – 2 |; 2 d) f(x) = | –3x2 + 4x – 3 |; c) f(x) = | –3x + 3x – 2 |; e) f(x) = | –5x2 + 6x – 2 |; f) f(x) = | –4x2 + 5x – 3 |. 40. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi numerele reale m pentru care f este pozitivă, dacă: a) f(x) = 3x2 + 8x – m; b) f(x) = 4x2 + 6x + m; 2 c) f(x) = 5x + 7x – m; d) f(x) = 3x2 + 6x + m; f) f(x) = 4x2 + 3x + m. e) f(x) = 2x2 + 5x – m; 41. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi numerele reale m pentru care f este strict pozitivă, dacă: b) f(x) = 3x2 + 6x + m; a) f(x) = 4x2 + 8x – m; 2 c) f(x) = 9x + 2x – m; d) f(x) = 5x2 + 6x + m; f) f(x) = 6x2 + 6x + m. e) f(x) = 5x2 + 8x – m; 42. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi numerele reale m pentru care f este negativă, dacă: a) f(x) = –4x2 + 3x – 2m; b) f(x) = –4x2 + 9x + 5m; 2 c) f(x) = –6x + 5x – 3m; d) f(x) = –3x2 + 7x + 6m; f) f(x) = –4x2 + 5x + 3m. e) f(x) = –8x2 + 7x – 4m; 43. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi numerele reale m pentru care f este strict negativă, dacă: a) f(x) = –3x2 + 8x – 5m; b) f(x) = –3x2 + 10x + m; 2 d) f(x) = –5x2 + 10x + m; c) f(x) = –6x + 8x – 4m; f) f(x) = –6x2 + 10x + m. e) f(x) = –9x2 + 8x – 3m; 44. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi numerele reale m pentru care f are semn constant pe R, dacă: a) f(x) = 3mx2 + 12x – 4; b) f(x) = 2mx2 + 8x + 5; 2 c) f(x) = 2mx + 8x – 5; d) f(x) = 5mx2 + 4x + 6; f) f(x) = 8mx2 + 6x + 3. e) f(x) = 4mx2 + 10x – 3; 45. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi numerele reale m pentru care f nu are acelaşi semn pe R, dacă: a) f(x) = 11mx2 + 12x – 4; b) f(x) = 3mx2 + 10x + 3; 2 d) f(x) = 7mx2 + 12x + 2; c) f(x) = 3mx + 8x – 5; f) f(x) = 9mx2 + 14x + 1. e) f(x) = 5mx2 + 10x – 3;

50

Capitolul III. Funcţii

46. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi numerele reale m pentru care graficul funcţiei f este situat deasupra axei Ox, dacă: b) f(x) = 5x2 + 10x + m – 2; a) f(x) = 9x2 + 8x – (m – 3); 2 c) f(x) = 7x + 8x – (m – 1); d) f(x) = 5x2 + 12x + m – 3; 2 f) f(x) = 3x2 + 10x + m – 1. e) f(x) = 5x + 8x – (m – 2); 47. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi numerele reale m pentru care graficul lui f este situat sub axa Ox, dacă: b) f(x) = –5x2 + 4x + 3m – 1; a) f(x) = –9x2 + 12x – (3m –1); 2 c) f(x) = –2x + 8x – (2m – 1); d) f(x) = –5x2 + 6x + 2m – 1; f) f(x) = –3x2 + 2x + 3m – 1. e) f(x) = –3x2 + 6x – (2m – 1); 48. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi numerele reale m pentru care graficul funcţiei f este tangent axei Ox, dacă: b) f(x) = 3x2 + 4x + m – 2; a) f(x) = 11x2 + 14x – (m – 4); 2 c) f(x) = 2x + 4x – (m – 3); d) f(x) = 7x2 + 4x + m – 3; 2 f) f(x) = 9x2 + 2x + m – 4. e) f(x) = 3x + 2x – (m – 2); 49. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi numerele reale m pentru care graficul funcţiei f este secant axei Ox, dacă: b) f(x) = 8x2 + 6x + m – 4; a) f(x) = 11x2 + 14x – (m – 5); 2 c) f(x) = 3x + 6x – (m – 4); d) f(x) = 6x2 + 4x + m – 3; f) f(x) = 4x2 + 2x + m – 2. e) f(x) = 5x2 + 8x – (m – 3); 50. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi numerele reale m pentru care graficul funcţiei f este o parabolă cu vârful „în jos“ (sau ramurile orientate „în sus“), dacă: a) f(x) = (3m – 5)x2 + 16x – 9; b) f(x) = (2m – 3)x2 + 13x + 9; 2 c) f(x) = (2m – 1)x + 11x – 2; d) f(x) = (3m – 4)x2 + 14x + 11; f) f(x) = (4m – 5)x2 + 15x + 13. e) f(x) = (3m – 2)x2 + 28x – 5; 51. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi numerele reale m pentru care graficul funcţiei f este o parabolă cu vârful „în sus“ (sau ramurile orientate „în jos“), dacă: b) f(x) = (2m – 5)x2 + 55x + 1; a) f(x) = (5m – 4)x2 + 74x – 15; 2 c) f(x) = (4m – 3)x + 34x – 21; d) f(x) = (3m – 6)x2 + 27x + 3; f) f(x) = (4m – 8)x2 + 33x + 6. e) f(x) = (2m – 5)x2 + 40x – 33; 52. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi numerele reale m pentru care intersecţia graficului funcţiei f cu axa Oy are ordonata nenegativă, dacă: a) f(x) = 15x2 + 9x – (6m – 5); b) f(x) = 2x2 + 5x + 4m – 5; 2 c) f(x) = 14x + 8x – (2m – 7); d) f(x) = 3x2 + 6x + 8m – 3; f) f(x) = 4x2 + 7x + 10m – 7. e) f(x) = 13x2 + 7x – (3m – 8); 53. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi numerele reale m pentru care intersecţia graficului funcţiei f cu axa Oy are ordonata nepozitivă, dacă: b) f(x) = 11x2 + 7x + 8m – 25; a) f(x) = 16x2 + 13x – (16m – 9); 2 c) f(x) = 22x + 9x – (2m – 11); d) f(x) = 12x2 + 3x + 4m – 13; f) f(x) = 13x2 + 9x + 2m – 19. e) f(x) = 25x2 + 10x – (3m – 12); 54. Aflaţi numerele reale m pentru care vârful parabolei se află deasupra axei Ox: b) y = 3x2 + 4x + 3m; a) y = 5x2 + 14x – 9m; 2 c) y = 4x + 8x – 3m; d) y = 5x2 + 6x + 4m; Capitolul III. Funcţii

51

e) y = 9x2 + 4x – 5m; f) y = 6x2 + 2x + 7m. 55. Aflaţi numerele reale m pentru care vârful parabolei se află sub axa Ox: b) y = 5x2 + 10x + 6m; a) y = 6x2 + 18x – 7m; 2 c) y = 7x + 8x – 4m; d) y = 7x2 + 12x + 3m; f) y = 9x2 + 6x + 5m. e) y = 11x2 + 6x – 6m; 56. Aflaţi numerele reale m pentru care vârful parabolei se află deasupra axei Ox: b) y = –13x2 + 2x + 5m; a) y = –10x2 + 12x – 5m; 2 c) y = –9x + 10x – 2m; d) y = –11x2 + 4x + 6m; 2 f) y = –7x2 + 6x + 8m. e) y = –8x + 2x – 3m; 57. Aflaţi numerele reale m pentru care vârful parabolei se află sub axa Ox: b) y = –8x2 + 2x + 11m; a) y = –11x2 + 16x – 9m; 2 c) y = –9x + 4x – 8m; d) y = –6x2 + 4x + 10m; f) y = –4x2 + 8x + 9m. e) y = –7x2 + 8x – 2m; 58. Aflaţi ecuaţia parabolei ce se obţine prin translaţia parabolei: a) y = 4x2 + 3x – 8 de vector (0, –3); b) y = 3x2 + 2x – 1 de vector (0, 4); c) y = 5x2 – 3x + 1 de vector (0, –5); d) y = –6x2 + 2x + 1 de vector (0, 5); e) y = –3x2 + 7x – 2 de vector (0, –9); f) y = 9x2 + 11x – 2 de vector (0, 8). 59. Aflaţi ecuaţia parabolei ce se obţine prin translaţia parabolei: a) y = 8x2 + 5x – 1 de vector (3, 0); b) y = 2x2 + 5x – 1 de vector (–2, 0); 2 c) y = 2x – 6x + 1 de vector (1, 0); d) y = –9x2 + 5x + 1 de vector (–1, 0); 2 e) y = –3x + 8x – 1 de vector (2, 0); f) y = 3x2 + 5x – 1 de vector (–3, 0). 60. Rezolvaţi ecuaţia: a) | 9x2 + 12x + 1 | = 3; b) f(x) = | 4x2 + 12x – 1 | = 7; 2 d) f(x) = | 4x2 + 28x + 3 | = 8; c) | 2x + 20x + 3 | = 6; 2 e) | 5x + 20x – 4 | = 11; f) f(x) = | 9x2 + 10x + 2 | = 3. 61. Aduceţi la forma canonică funcţia f : R → R, dacă: a) f(x) = 2x2 + 3x –3; b) f(x) = –4x2 + 5x + 3; c) f(x) = 5x2 + 4x + 2. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 62. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi numerele reale m pentru care f este strict pozitivă, dacă: a) f(x) = 4x2 + 2(m – 2)x – 3; b) f(x) = 3x2 + (2m – 1)x + m + 1. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 63. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi numerele reale m pentru care f este negativă, dacă: a) f(x) = 4x2 + 2(m + 3)x – 5m; b) f(x) = 3x2 + 2(2m + 1)x + 4m. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 64. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi numerele reale m pentru care f are semn constant, dacă: a) f(x) = 3x2 + 4(m – 4)x – 4m; b) f(x) = –5x2 + 2(3m – 2)x + 3m. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 65. Fie funcţia f : R → R, f(x) = (2m + 1)x2 + 2(m – 3)x + 2m. Aflaţi numerele reale m pentru care graficul funcţiei f nu are puncte comune cu axa Ox. Formulaţi un exerciţiu asemănător.

52

Capitolul III. Funcţii

66. Construiţi funcţia de gradul II al cărui grafic intersectează axele de coordonate în punctele (–18, 0), (–3, 0) şi (0, 6). Formulaţi un exerciţiu asemănător. 67. Construiţi funcţia de gradul II cu un zerou –2 şi cu graficul o parabolă de vârf (2, –16). Formulaţi un exerciţiu asemănător. 68. Explicitaţi funcţia f : R → R, f(x) = | 4x2 – 12x + 3 | . Formulaţi un exerciţiu asemănător. 69. Construiţi funcţia de gradul II, dacă graficul ei intersectează axa Oy în (0, 6) şi punctul de extrem x = 2,5. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 70. Aflaţi ecuaţia parabolei ce se obţine prin translaţia parabolei y = 6x2 + 9x – 5 de vector (2, –3). Formulaţi un exerciţiu asemănător. 71. Aflaţi ecuaţia parabolei din care se obţine prin translaţia de vector (–3, 2) parabola y = 4x2 + 8x – 3. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 72. Aflaţi ecuaţia parabolei ce se obţine prin translaţia de vector (m, n) a parabolei y = ax2 + bx + c. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 73. Aflaţi numerele reale m şi n pentru care y = 2x2 + 9x – 5 este ecuaţia parabolei ce se obţine prin translaţia de vector (m, n) a parabolei y = 7x2 – 9. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 74. Reprezentaţi grafic funcţia f : R → R, f(x) = | x2 – 8x + 12 |. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 75. Rezolvaţi grafic în R inecuaţia | x2 – 6x + 8 | ≥ 5. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 76. Rezolvaţi grafic în R inecuaţia | x2 – 2x – 15 | ≥ 3 – x. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 77. Fie mulţimea parabolelor (fascicolul de parabole) y = 3(m – 1)x2 + 2(m + 3)x – 1, m ∈ R. Aflaţi m pentru care parabolele fascicolului au ramurile orientate în sus şi au vârfurile situate deasupra dreptei y = –2. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 78. Fie fascicolul de parabole y = 2x2 + 3(m – 1)x + 3m – 1, m ∈ R. Arătaţi că toate parabolele au un punct comun (punct fix). Formulaţi un exerciţiu asemănător. 79. Fie fascicolul de parabole y = 3x2 + (m – 2)x + m + 1, m ∈ R. Arătaţi că toate vârfurile parabolelor fascicolului sunt conţinute de o parabolă. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 80. Fie ecuaţia (m – 1)x2 + 2(m – 3)x – 1 = 0, m ∈ R. Aflaţi valoarea minimă a sumei pătratelor soluţiilor ecuaţiei. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 81. Rezolvaţi grafic în R ecuaţia || x2 – x | – 2 | = x + 3. Formulaţi un exerciţiu asemănător. Capitolul III. Funcţii

53

82. Aflaţi mulţimea valorilor funcţiei f : R → R, f(x) =

2x2 + 2x . x2 +1

Formulaţi un exerciţiu asemănător.

Evaluare formativă 1. Studiaţi monotonia funcţiei f : 1. Studiaţi monotonia funcţiei f : R → R, cu: R → R, cu: a) f(x) = 5x2; b) f(x) = –2x2. a) f(x) = 5x2; b) f(x) = –2x2. 2. Studiaţi monotonia funcţiei f : 2. Studiaţi monotonia funcţiei f : R → R, cu: R → R, cu: a) f(x) = 6x2 + 7x; a) f(x) = 6x2 + 7x; b) f(x) = –9x2 – 23x. b) f(x) = –9x2 – 23x. 3. Construiţi graficul funcţiei f : 3. Construiţi graficul funcţiei f : R → R, cu: R → R, cu: a) f(x) = 4x2; b) f(x) = –5x2. a) f(x) = 5x2; b) f(x) = –4x2. 4. Studiaţi monotonia funcţiei f : 4. Studiaţi monotonia funcţiei f : R → R, cu: R → R, cu: a) f(x) = 13x2 – 3x; a) f(x) = 15x2 – 4x; 2 b) f(x) = –15x + 11x. b) f(x) = –13x2 + 2x. 5. Construiţi graficul funcţiei f : 5. Construiţi graficul funcţiei f : R → R, cu: R → R, cu: a) f(x) = x2 – 3x; a) f(x) = x2 – 2x; 2 b) f(x) = –x + 4x. b) f(x) = –x2 + 5x. 6. Construiţi graficul funcţiei f : 6. Construiţi graficul funcţiei f : R → R, cu: R → R, cu: a) f(x) = x2 – 2x – 3; a) f(x) = x2 – 3x + 2; 2 b) f(x) = –x + 4x + 3. b) f(x) = –x2 + 3x – 4. 7. Construiţi graficul funcţiei f : 7. Construiţi graficul funcţiei f : R → R, cu: R → R, cu: a) f(x) = x2 – 2x + 3; a) f(x) = x2 – 2x + 4; b) f(x) = –x2 + 4x – 5. b) f(x) = –x2 + 4x – 6. 8. Aflaţi numerele reale m pentru 8. Aflaţi numerele reale m pentru care care (m + 1)x2 – 2(2m – 1)x + 3 este (m – 1)x2 – 2(2m + 1)x – 3 este negativă. negativă. 9. a) Aflaţi ecuaţia unei parabole cu 9. a) Aflaţi ecuaţia unei parabole cu vârful V(3,5; –0,25) şi unul dintre vârful V(3,5; –2,25) şi unul dintre punctele ei de intersecţie cu axa Ox are punctele ei de intersecţie cu axa Ox are abscisa 3. b) Rezolvaţi grafic în R inecuaţia abscisa 3. b) Rezolvaţi grafic în R inecuaţia | x2 – 7x + 10 | ≥ 3 – x. 2 | x – 7x + 12 | ≥ 2 – x. Barem. Start: 1 punct. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 50 minute.

54

Capitolul III. Funcţii

4. F u n c ţ i a p u t e r e 1. Fie funcţia f : R → R. Ordonaţi valorile funcţiei f, dacă: a) f(x) = –8x3 pentru –6, –5, –1, 0, 1, 5, 6; b) f(x) = –2x3 pentru –10, –2, –1, 0, 1, 2, 10; c) f(x) = –3x3 pentru –100, –4, –1, 0, 1, 4, 100; d) f(x) = –4x3 pentru –7, –3, –1, 0, 1, 3, 7; e) f(x) = –10x3 pentru –10, –5, –1, 0, 1, 5, 10; f) f(x) = –5x3 pentru –10, –2, –1, 0, 1, 2, 10. 2. Fie funcţia f : R → R. Ordonaţi valorile funcţiei f, dacă: a) f(x) = 12x3 pentru –4, –3, –1, 0, 1, 3, 4; b) f(x) = 2x3 pentru –10, –5, –1, 0, 1, 5, 10; c) f(x) = 3x3 pentru –100, –2, –1, 0, 1, 2, 100; d) f(x) = 4x3 pentru –4, –3, –1, 0, 1, 3, 4; e) f(x) = 10x3 pentru –6, –2, –1, 0, 1, 2, 6; f) f(x) = 5x3 pentru –7, –5, –1, 0, 1, 5, 7. 3. Fie funcţia f : R → R. Decideţi paritatea funcţiei f, dacă: a) f(x) = 16x3; b) f(x) = 7x3; c) f(x) = 13x3; 3 3 e) f(x) = 9x ; f) f(x) = 5x3. d) f(x) = 4x ; 4. Fie funcţia f : R → R. Decideţi paritatea funcţiei f, dacă: a) f(x) = –28x4; b) f(x) = –19x4; c) f(x) = –27x5; 4 d) f(x) = –15x ; e) f(x) = –25x4; f) f(x) = –14x4. 5. Fie funcţia pară f : R → R. Aflaţi fără calcul încă trei valori ale lui f, dacă: a) f(–17) = –56, f(5) = –15, f(–7) = 13; b) f(–25) = 81, f(11) = –31, f(–3) = 10; c) f(31) = –100, f(–15) = 51, f(20) = –75; d) f(–42) = –37, f(35) = –31, f(–13) = 24; e) f(–28) = 76, f(–23) = –27, f(15) = –109; f) f(98) = –65, f(–71) = –48, f(22) = –36. 6. Fie funcţia impară f : R → R. Aflaţi fără calcul încă trei valori ale lui f, dacă: a) f(–82) = 12, f(10) = –37, f(–11) = –6; b) f(–8) = 26, f(5) = –42, f(–2) = –32; c) f(14) = –83, f(–16) = 93, f(28) = –63; d) f(–3) = 55, f(19) = –21, f(–34) = 44; e) f(–38) = 84, f(31) = –69, f(8) = 26; f) f(2) = –28, f(–39) = 123, f(–38) = 49. 7. Fie funcţia f : R → R. Construiţi graficul funcţiei f, dacă: b) f(x) = 3x3; c) f(x) = 2x3; d) f(x) = 5x3. a) f(x) = 4x3; 8. Fie funcţia f : R → R. Construiţi, cât mai simplu, graficul funcţiei f, dacă: a) f(x) = 2x3 – 3; b) f(x) = 3x3 + 2; c) f(x) = 2x3 – 1; d) f(x) = 4x3 – 3. 9. Fie funcţia f : R → R. Construiţi graficul funcţiei f, dacă: b) f(x) = –4x3; c) f(x) = –5x3; d) f(x) = –2x3. a) f(x) = –3x3; Capitolul III. Funcţii

55

10. Fie funcţia f : R → R. Construiţi, cât mai simplu, graficul funcţiei f, dacă: a) f(x) = –2x3 + 1; b) f(x) = –3x3 + 2; c) f(x) = –4x3 – 2; d) f(x) = –5x3 – 1. 11. Fie funcţia f : R → R. Construiţi graficul funcţiei f, dacă: a) f(x) = 4x4; b) f(x) = 3x4; c) f(x) = 2x4; d) f(x) = 5x4. 12. Fie funcţia f : R → R. Construiţi, cât mai simplu, graficul funcţiei f, dacă: a) f(x) = 2x4 – 3; b) f(x) = 3x4 + 2; c) f(x) = 2x4 – 1; d) f(x) = 4x4 – 3. 13. Fie funcţia f : R → R. Construiţi graficul funcţiei f, dacă: b) f(x) = –4x4; c) f(x) = –5x4; d) f(x) = –2x4. a) f(x) = –3x4; 14. Fie funcţia f : R → R. Construiţi, cât mai simplu, graficul funcţiei f, dacă: a) f(x) = –2x4 + 1; b) f(x) = –3x4 + 2; c) f(x) = –4x4 – 2; d) f(x) = –5x4 – 1. 15. Fie funcţia f : R → R, f(x) = | 2x3 – 3 |. Reprezentaţi grafic, cât mai simplu, funcţia f. Formulaţi un exerciţiu asemănător. ⎧3 x 3 − 1, dacă x ≤ 1 16. Construiţi graficul funcţiei f : R → R, f ( x) = ⎨ ⎩3 − x, dacă x > 1. Formulaţi un exerciţiu asemănător. ⎧⎪ x 3 − 2, dacă x ≤ 1 17. Construiţi graficul funcţiei f : R → R, f ( x) = ⎨ ⎪⎩3 − x 2 , dacă x > 1. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 4 ⎪⎧ x + 3, dacă x ≤ −1 18. Construiţi graficul funcţiei f : R → R, f ( x) = ⎨ ⎪⎩3 − x 3 , dacă x > −1. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 19. Construiţi graficul funcţiei f : D → R, D domeniul maxim de definiţie în R, 2 x3

f ( x) = ⋅ 3 x . Formulaţi un exerciţiu asemănător. 20. Construiţi graficul funcţiei f : D → R, D domeniul maxim de definiţie în R, 2

f ( x) = (3 x − 2) 3 ⋅ 3 3x − 2 . Formulaţi un exerciţiu asemănător. 21. Construiţi graficul funcţiei f : D → R, D domeniul maxim de definiţie în R, 1

f ( x) = [(3 − 4 x) 2 ] 3 ⋅ 3 3 − 4 x . Formulaţi un exerciţiu asemănător. 22. Rezolvaţi grafic în R inecuaţia x3 – 2 > –x2 + 3x. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 23. Construiţi graficul funcţiei f : R → R, f(x) = sgn (x2 – 5x + 6). Formulaţi un exerciţiu asemănător.

56

Capitolul III. Funcţii

⎧2 x + 1, dacă x ∈ (− ' , − 1) ⎪ 24. Construiţi graficul funcţiei f : R → R, f ( x) = ⎨2 x 3 + 1, dacă x ∈ [−1, 1] ⎪ 2 ⎩ x + 2, dacă x ∈ (1, −' ). Formulaţi un exerciţiu asemănător.

Evaluare formativă 1. Funcţia f : R → R este pară şi f(5) = –5, f(9) = –8, f(–5) = 9. Aflaţi alte trei valori ale funcţiei f. 2. Funcţia f : R → R este impară şi f(–8) = 13, f(4) = –8, f(6) = 16. Aflaţi alte trei valori ale funcţiei f. 3. Construiţi graficul funcţiei f : R → R, f(x) = 1,5x3. 4. Construiţi graficul funcţiei f : R → R, f(x) = –0,2x3. 5. Construiţi graficul funcţiei f : R → R, cu: a) f(x) = 0,25x4; b) f(x) = –1,5x4. 6. Construiţi, cât mai simplu, graficul funcţiei f : R → R, cu: a) f(x) = 0,6x3 – 2; b) f(x) = –0,4x3 + 3. 7. Construiţi, cât mai simplu, graficul funcţiei f : R → R, cu: a) f(x) = 0,5x4 – 2; b) f(x) = –0,6x4 + 3. 8. Construiţi, cât mai simplu, graficul funcţiei f : R → R, ⎧⎪− 2 x 3 , dacă x ∈ (− ' , 1) f(x) = ⎨ 4 ⎪⎩ x − 3, dacă x ∈ [1, ' ). 9. Construiţi graficul funcţiei f : D → R, D domeniul maxim de definiţie în 4

1. Funcţia f : R → R este pară şi f(6) = –8, f(11) = –2, f(–9) = 3. Aflaţi alte trei valori ale funcţiei f. 2. Funcţia f : R → R este impară şi f(–10) = 10, f(2) = –19, f(5) = 21. Aflaţi alte trei valori ale funcţiei f. 3. Construiţi graficul funcţiei f : R → R, f(x) = 0,5x3. 4. Construiţi graficul funcţiei f : R → R, f(x) = –0,6x3. 5. Construiţi graficul funcţiei f : R → R, cu: a) f(x) = 0,2x4; b) f(x) = –0,5x4. 6. Construiţi, cât mai simplu, graficul funcţiei f : R → R, cu: a) f(x) = 0,4x3 – 1; b) f(x) = –0,25x3 + 2. 7. Construiţi, cât mai simplu, graficul funcţiei f : R → R, cu: a) f(x) = 0,4x4 – 3; b) f(x) = –0,2x4 + 1. 8. Construiţi, cât mai simplu, graficul funcţiei f : R → R, ⎧⎪− 3x 3 , dacă x ∈ (− ' , 1) f(x) = ⎨ 4 ⎪⎩ x − 4, dacă x ∈ [1, ' ). 9. Construiţi graficul funcţiei f : D → R, D domeniul maxim de definiţie în R, 8

R, a) f ( x) = (4 x − 1) 5 ⋅ 5 1 − 4 x ; 2

b) f ( x) = [(2 − x) 2 ] 7 ⋅ 7 (2 − x)3 .

a) f ( x) = (5 x − 1) 9 ⋅ 9 1 − 5 x ; 4

b) f ( x) = [(3 − x) 2 ]11 ⋅ 11 (3 − x)3 .

Barem. Start: 1 punct. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 50 minute.

Capitolul III. Funcţii

57

C A P I T O L U L

IV

Polinoame şi fracţii algbrice

Expresie algebrică raţională. O expresie algebrică care nu conţine litere (variabile) sub radical este o expresie raţională. Monom. Un monom este o expresie algebrică formată din numere şi variabile între care se execută numai înmulţiri şi/sau ridicări la putere cu exponenţi naturali. Un monom este format din coeficient (un număr) şi parte literală. Variabilele unui monom se numesc nedeterminate. Pentru a distinge un monom de alte expresii algebrice, nedeterminatele se scriu cu majuscule: X, Y, Z etc. Forma canonică a unui monom. Un monom cu partea literală formată din nedeterminate diferite (fiecare literă apare o singură dată) este scris în forma canonică. Gradul unui monom. Exponentul puterii unei nedeterminate a unui monom scris în forma canonică este gradul monomului în raport cu acea nedeterminată. Gradul monomului în raport cu toate nedeterminatele este egal cu suma exponenţilor puterilor nedeterminatelor. Numerele se consideră monoame de gradul 0. Monoame asemenea. Două monoame care au aceeaşi parte literală sunt monoame asemenea. Polinom. Un polinom este o sumă algebrică de monoame ce nu sunt toate monoame asemenea. Forma canonică (standard) a unui polinom. Considerăm polinoamele într-o singură nedeterminată. Fie un polinom în nedeterminata X cu monoamele scrise în forma canonică. Polinomul este scris în forma canonică dacă monoamele lui sunt scrise în ordinea descrescătoare a gradelor lor. Gradul unui polinom este egal cu exponentul maxim al lui X când polinomul este scris în forma canonică. Gradul polinomului P(X) se notează grad P(X). Forma canonică a unui polinom de gradul I în X este P(X) = aX + b; forma canonică a unui polinom de gradul II în X este P(X) = aX 2 + bX + c; forma canonică a unui polinom de gradul III în X este P(X) = aX 3 +

bX 2 + cX + d. Coeficienţii polinomului P(X) = aX + b sunt, în ordine, numerele a şi b, adică coeficienţii monoamelor polinomului. În plus, a este coeficientul termenului de grad maxim (coeficientul dominant); b este termenul liber. Reducerea monoamelor (termenilor) asemenea. Reducerea monoamelor (termenilor) asemenea este operaţia prin care doi sau mai multe monoame asemenea se înlocuiesc cu un singur monom asemenea cu celelalte, a cărui coeficient este egal cu suma algebrică a coeficienţilor celorlalte monoame. Prin reducerea termenilor asemenea ai unui polinom se obţine forma canonică a acelui polinom. Binom, trinom. Un polinom în forma canonică cu doi termeni se numeşte binom, iar unul cu trei termeni se numeşte trinom. Polinoame în două nedeterminate. Polinoame în X şi Y: P(X, Y) = aX + bY + c, cu a şi b numere reale nenule, este forma generală a unui polinom de gradul I în X şi Y; P ( X , Y ) = aX 2 + bXY + cX + d + eY + fY 2 , cu a şi f numere reale nenule, este for-

58

Capitolul IV. Polinoame şi fracţii algebrice

ma generală a unui polinom de gradul II în X şi Y. Valoarea numerică a unui polinom. Fie polinomul P(X) = 6X – 5. Valoarea polinomului P(X) pentru X = 3 (sau în 2) este P(3) = 6⋅3 – 5 = 13, iar pentru X = 1 (sau în 1) este P(1) = 6 – 5 = 1. Valoarea unui polinom în 1 (când nedeterminata sau nedeterminatele sunt egale cu 1) este egală cu suma coeficienţilor. Rădăcină a unui polinom. Numărul r este rădăcină a polinomului P(X), dacă P(X) = 0. Polinom constant. Un polinom care are coeficienţii nedeterminatelor nuli este un polinom constant. Polinomul nul (se notează 0) are toţi coeficienţii egali cu 0. Polinoame egale (identice). Două polinoame sunt egale dacă au aceeaşi formă canonică. Două polinoame sunt egale dacă au valorile egale pentru aceleaşi valori ale nedeterminatelor lor. Reducerea monoamelor (termenilor) asemenea. Reducerea monoamelor (termenilor) asemenea este operaţia prin care doi sau mai multe monoame asemenea se înlocuiesc cu un singur monom asemenea cu celelalte, a cărui coeficient este egal cu suma algebrică a coeficienţilor celorlalte monoame. Adunarea polinoamelor. Adunarea polinoamelor are proprietăţile adunării numerelor întregi: a) asociativitatea; b) comutativitatea; c) polinomul nul (0) este element neutru la adunarea polinoamelor; d) polinomul −P(X) este opusul polinomului P(X). Scăderea polinoamelor. Scăderea polinoamelor P(X) şi Q(X) constă în adunarea lui P(X) cu opusul lui Q(X), adică P(X) – Q(X) = P(X) + (– Q(X)). Înmulţirea polinoamelor. Înmulţirea polinoamelor se execută ca înmulţirea expresiilor algebrice. Fie polinoamele P(X) şi Q(X) polinoame scrise în forma canonică. Atunci, grad P(X)⋅Q(X) = grad P(X) + grad Q(X). Înmulţirea polinoamelor are proprietăţile înmulţirii numerelor întregi: a) asociativitatea; b) comutativitatea; c) polinomul 1 (de exemplu, P(X) = 1) este element neutru la înmulţirea polinoamelor (în nedeterminata X); d) înmulţirea polinoamelor este distributivă faţă de adunare şi scădere. Pentru orice polinom P(X) este adevărată relaţia: −P(X) = −1⋅P(X). Forma canonică a produsului a două polinoame se obţine aplicând distributivitatea înmulţirii faţă de adunare şi reducerea termenilor asemenea. Exemple. 1) (3X – 4)(X2 + 2X – 1) = 3X(X2 + 2X – 1) – 4(X2 + 2X – 1) = 3X3 + 6X2 – 3X – 4X2 – 8X + 4 = 3X3 + 2X2 – 11X + 4. 2) (2X3 – 5X + 4)(2X – 7) = 4X4 – 14X3 – 10X2 + 43X – 28. 2X3 – 5X + 4 × 2X – 7 4X4 – 10X2 + 8X –14X3 + 35X – 28 4 4X –14X3 –10X2+43X – 28 Pătratul unui binom. Dezvoltarea unui binom la pătrat se face aplicând una dintre formulele: ( X + Y ) 2 = X 2 + 2 XY + Y 2 , ( X − Y ) 2 = X 2 − 2 XY + Y 2 . Cubul unui binom. Dezvoltarea unui binom la pătrat se face aplicând una dintre formulele: ( X + Y )3 = X 3 + 3 X 2Y + 3 XY 2 + Y 3 , ( X − Y )3 = X 3 − 3 X 2Y + 3 XY 2 − Y 3 . Produsul sumei a două monoame cu diferenţa lor. (X + Y)(X – Y) = X2 – Y2. Alte formule. (X + Y)(X2 – XY + Y2) = X3 + Y3; (X – Y)(X2 + XY + Y2) = X3 – Y3; (suplimentar) (X + Y + Y)2 = X2 + Y2 + Z2 + 2XY + 2XZ + 2YZ; (X – Y)(Xn–1 + X n–2Y + ... + X Y n–2 + Y n–1) = Xn – Yn; (X + Y)(X2n – X2n–1Y + ... – X Y 2n–1 + Y 2n) = X2n+1 – Y2n+1; (X + Y + Z)3 = X3 + Y3 + Z3 + 3(X + Y)(X + Z)(Y + Z) = X3 + Y3 + Z3 + 3(X + Y Capitolul IV. Polinoame şi fracţii algebrice

59

+ Z)(XY +XZ + YZ) – 3XYZ. Descompunerea unui polinom. Descompunerea unui polinom constă în scrierea unui polinom ca produs de polinoame de grad cel puţin egal cu 1. Pentru a descompune un polinom, se aplică: – metoda factorului comun general; – metoda grupării termenilor; – formule de calcul prescurtat; – metode combinate şi alte metode bazate pe proprietăţile polinoamelor. Teorema împărţirii. Fie polinoamele P1 şi P2, P2 ≠ 0. Atunci există o singură pereche de polinoame Q şi R, astfel încât P1 = P2Q + R şi grad R < grad Q. Polinoamele din teorema împărţirii se numesc: deîmpărţit (P1), împărţitor (P2), cât (Q), rest (R); grad P1 = grad P2 + grad Q. Exemplu. Scrieţi teorema împărţirii pentru polinoamele 4X4 – 14X3 – 10X2 + 45X – 25 şi 2X3 – 5X + 4. 4X4 – 14X3 – 10X2 + 45X – 25 2X3 – 5X + 4 (împărţitorul) 4 2 –4X + 10X – 8X 2X – 7 (câtul) –14X3 + 37X – 25 14X3 – 35X + 28 2X + 3 (restul) Conform teoremei împărţirii, 4X4 – 14X3 – 10X2 + 45X – 25 = (2X3 – 5X + 4)( 2X – 7) + 2X + 3. Suplimentar. Schema lui Horner. Pentru împărţirea unui polinom la X – a. Fie P(X) = 4X4 – 5X3 + 7X – 3 şi Q(X) = X + 3. Executăm împărţirea P : Q aplicând schema lui Horner. Evident, –3 este rădăcina lui Q (împărţitorul). X4 X3 X2 X1 X0 –3 4 –5 0 7 –3 rădăcina lui Q

coeficienţii deîmpărţitului P

4 (de sus)

–3⋅4 + (–5) = –17

–3⋅(–17) + 0 = 51

coeficienţii câtului

–3⋅51 + 7 = –146

–3⋅(–146) + (–3) = 435 restul

Rezultă 4X4 – 5X3 + 7X – 3 = (X + 3)(4X3 – 17X2 + 51X – 146) + 435. Divizibilitatea polinoamelor. Polinomul F se divide cu polinomul G (sau G divide F), dacă există polinomul H, astfel încât F = GH. Se notează G | F. Polinom reductibil. Un polinom care se descompune în produsul a două polinoame de grade cel puţin egale cu 1 se numeşte polinom reductibil. Celelalte polinoame se numesc ireductibile. Teoremă. Restul împărţirii polinomului P(X) la X – a este P(a). Teoremă. Polinomul P(X) se divide cu X – a dacă şi numai dacă P(a) = 0. Teoremă (Bézout). Numărul r este rădăcină a polinomului P(X) dacă şi numai dacă P(X) se divide cu X – r. Suplimentar. Teoremă. Rădăcinile întregi ale unui polinom cu coeficienţi întregi se află printre divizorii întregi ai termenului liber. Suplimentar. Exemplu. Descompuneţi, aplicând teorema lui Bézout, polinomul P(X) = X3 + 3X2 – 2X – 16. Rezolvare. Rădăcinile întregi ale polinomului se află printre divizorii întregi ai termenului liber. 16 are divizorii întregi: –16, –8, –4, –2, –1, 1, 2, 4, 8, 16. În continuare se poate înlocui direct sau se poate aplica schema lui Horner. Aplicăm a doua metodă.

60

Capitolul IV. Polinoame şi fracţii algebrice

–1

X3 1

X2 3

1

–1⋅1 + 3 = 2

divizor al lui 16

X1 –2

X0 –16

coeficienţii polinomului

(de sus)

2

coeficienţii câtului

–1⋅2 – 2 = –4

–1⋅(–4) + (–16) = –12 restul

1 2 ⋅1 + 3 = 5 2 ⋅5 – 2 = 8 2⋅8 + (–16) = 0 2 este o rădăcină a polinomului şi P(X) = (X – 2)(X2 + 5X + 8). Polinomul X2 + 5X + 8 este ireductibil în R, deoarece are ∆ = –15. Deci P(X) = (X – 2)(X2 + 5X + 8). Pentru polinoame de grad mai mare se pot continua încercările. Facultativ. Cel mai mare divizor comun a două polinoame. D este cel mai mare divizor comun al polinoamelor P şi Q, dacă divide P şi Q, iar orice divizor al polinoamelor P şi Q divide D. (P, Q) este c.m.m.d.c. al polinoamelor P şi Q. Facultativ. Polinoame prime între ele (reciproc prime). Dacă grad (P, Q) = 0, atunci P şi Q sunt polinoame prime între ele. Facultativ. Algoritmul lui Euclid. Fie polinoamele F şi G, F = GC1 + R1, G = R1C2 + R2, R1 = R2C3 + R3, ..., Rk = Rk+1Ck+2. Atunci (F, G) = Rk+1. Facultativ. Cel mai mic multiplu comun a două polinoame. M este cel mai mic multiplu comun al polinoamelor P şi Q, dacă se divide cu P şi Q, iar orice multiplu comun al polinoamelor P şi Q se divide cu M. [P, Q] este c.m.m.m.c. al polinoamelor P şi Q. PQ Facultativ. Teoremă. Dacă P şi Q sunt polinoame, atunci [ P, Q] = . ( P, Q ) P Fracţii algebrice. Raportul polinoamelor P şi Q, Q ≠ 0, este fracţia algebrică . Q P( X ) Domeniul valorilor admisibile (DVA). Fie fracţia algebrică . Fie M una Q( X ) dintre mulţimile N, Z, Q, R. Atunci {a ∈ M | Q(a) ≠ 0} este domeniului valorilor adP( X ) misibile (DVA) în M al fracţiei . Q( X ) P( X ) Valoarea unei fracţii algebrice. Valoarea în a ∈ DVA a fracţiei algebrice Q( X ) P(a) este . Q(a ) Amplificarea fracţiilor. Amplificarea unei fracţii algebrice constă în înmulţirea numărătorului şi a numitorului unei fracţii cu un polinom de grad cel puţin egal cu 1. Simplificarea fracţiilor. Simplificarea unei fracţii algebrice constă în împărţirea numărătorului şi a numitorului unei fracţii la un polinom de grad cel puţin egal cu 1, care divide atât numitorul, cât şi numărătorul ei. Atenţie! Prin amplificarea sau simplificarea unei fracţii algebrice se pot obţine fracţii algebrice cu alt DVA decât cel al fracţiei iniţiale. Fracţie algebrică ireductibilă. O fracţie algebrică ireductibilă este o fracţie care Capitolul IV. Polinoame şi fracţii algebrice

61

nu se poate simplifica cu un polinom de grad mai mare sau egal cu 1. Adunarea fracţiilor algebrice. Adunarea fracţiilor are proprietăţile adunării numerelor raţionale: a) asociativitatea; b) comutativitatea; c) fracţia nulă (cu numărătorul egal cu polinomul nul şi numitorul diferit de polinomul nul) este element neutru la adunarea fracţiilor; d) fracţia −F(X) este opusa fracţiei F(X). Înmulţirea fracţiilor algebrice. Înmulţirea fracţiilor algebrice se execută ca înmulţirea fracţiilor; produsul a două fracţii algebrice este fracţia algebrică care are numărătorul egal cu produsul numărătorilor fracţiilor şi numitorul egal cu produsul numitorilor fracţiilor. Înmulţirea fracţiilor algebrice are proprietăţile înmulţirii fracţiilor: a) asociativitatea; b) comutativitatea; c) fracţia 1 (de exemplu, F(X) = 1) este element neutru la înmulţirea fracţiilor (în nedeterminata X); d) pentru orice fracţie algebrică Q P diferită de fracţia nulă, F = , există inversa ei, F′ = , astfel încât FF′ = 1; e) înQ P mulţirea fracţiilor este distributivă faţă de adunare şi scădere.

1. R e c a p i t u l a r e ş i c o m p l e t ă r i 1. Fie monoamele: − 3 X 4Y 2 Z 8 , X 11Y 9 Z 10 , 6, (5) X 3Y 21Z 14 , − 7 5 X 17Y 23Z 35 . Recunoaşteţi coeficientul şi partea literală a fiecărui monom. 2. Enumeraţi nedeterminatele fiecăruia dintre monoamele: 3,2 X 9Y , − 4,1Z 11, 6,1X 3Z 5 , 9 5 X 51Y 4 Z 82 , − 3Y 2 Z 21.

3. Fie monoamele: 2 X 4Y 6 Z 24 , − 34 X 12Y 32 Z 45 , − 11,3(21), − 4,9 X 8Y 32 Z 55 . Precizaţi gradul fiecărui monom în raport cu fiecare nedeterminată şi în raport cu toate nedeterminatele. 4. Scrieţi în forma canonică monomul: a) –3X 3Z 11X 5Z 8; b) 2,8X 7Z 4X 8X 3Z 2; c) 51,3X 2Y 12Y 11X 22Y 5; d) 3,1X 26X 7X 13Y 18Y 9; e) 7X 23Z 9X 43X 51Z 31; f) –6Y 49Z 62Y 19Z 5Y 25. 5. Identificaţi monoamele asemenea din lista: 21X 4 , 4, (6) X 7Y , − 3,7 X 4 , 13 X 12Y 2 , − 8,3 X 7Y , 4,2 X 4 , 5,3YX 7 , 5 11X 4 . 6. Scrieţi în forma canonică polinomul: a) 3X – 2X 3 + 5X 4 – 7X 6 + 11; b) 12 + 4X 2 – 6X – 11X 5 + 9X 3 – 3X 6; c) –15 + 8X 3 – 18X – 9X 4 + 14X 5 – 21X 6; d) –25 + 7X 3 – 23X – 3X 2 + 4X 4 – 32X 5. 7. Scrieţi în forma canonică polinomul: a) 3X 4 + 8X 3 – (7X 4 – 53X 3 – 3); b) 9X 3 – 3X 2 – (5X 3 – 4X 2 – 8); 2 2 c) –9X + 7X – (13X – 42X – 2); d) 14X 3 + 5X 2 – (12X 3 – 3X 2 – 7); e) –10X 5 + 14X 3 – (9X 5 – 6X 3 – 24); f) 25X 2 – 4X – (9X 2 – 41X – 19). 9. Aflaţi opusul polinomului: a) 15X 4 – 13X 3 – 8X 2 + 3X + 11; b) 34X 4 + 2X 3 – 17X 2 + 4X – 28; 4 3 2 c) –16X + 8X – 5X – 9X + 13; d) 24X 4 – 15X 3 – 6X 2 + 9X + 4; 4 3 2 e) 28X – 3X + 42X – 21X – 4; f) –7X 4 + 34X 3 – 19X 2 + 3X – 35.

62

Capitolul IV. Polinoame şi fracţii algebrice

8. Aduceţi la forma cea mai simplă: b) (–2X 4Y 9)(–9X 7Y 17); a) (–3X 12Y 25)(–7X 12Y 14); 6 19 24 25 c) (–5X Y )(–4X Y ); d) (–8X 18Y 25)(–7X 33Y 28). 10. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) (–132X 45Y 72) : (33X 38Y 69); b) (–78X 43Y 67) : (–39X 31Y 52); 52 36 49 31 c) (–72X Y ) : (36X Y ); d) (–98X 35Y 27) : (49X 29Y 23); 78 51 69 34 f) (–204X 49Y 75) : (–51X 33Y 71). e) (–156X Y ) : (52X Y ); 11. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) (–4X 29Y 31)5; b) (–3X 11Y 15)4; c) (–2X 13Y 16)6; d) (–5X 14Y 17)3. 12. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) –5X 9Y 5(3X 3 – 4X 2 + 2X – 6); b) –2X 5Y 3(4X 3 – 5X 2 + 9X – 8); 7 8 3 2 d) –3X 11Y 2(6X 3 – 8X 2 + 3X – 5); c) –4X Y (5X – 3X + 4X – 2); 12 21 3 2 e) –7X Y (7X – 11X + 4X – 9); f) –9X 13Y 15(9X 3 – 5X 2 + 6X – 7). 13. Reproduceţi şi completaţi egalitatea: a) (2X − 9)(3X − 8) = 2X(…) − 9(…) = … = …; b) (8X − 3)(7X − 2) = 8X(…) − 3(…) = … = …; c) (9X − 11)(4X − 7) = 9X(…) − 11(…) = … = …; d) (12X − 5)(5X − 3) = 12X(…) − 5(…) = … = …; e) (13X − 6)(2X − 5) = 13X(…) − 6(…) = … = …; f) (15X − 4)(8X − 3) = 15X(…) − 4(…) = … = … 14. Aplicând o formulă, aduceţi la forma cea mai simplă: a) (9X + 8Y)(9X − 8Y); b) (3X + 5Y)(3X − 5Y); d) (8X + 5Y)(8X − 5Y); c) (7X + 5Y)(7X − 5Y); f) (10X + 9Y)(10X − 9Y). e) (7X + 9Y)(7X − 9Y); 15. Aplicând o formulă, aduceţi la forma cea mai simplă: a) (3X + 5Y)(3X − 5Y)(9X 2 − 25Y 2); b) (2X + 3Y)(2X − 3Y)(4X 2 − 9Y 2); c) (2X + 5Y)(2X − 5Y)(4X 2 − 25Y 2); d) (4X + 5Y)(4X − 5Y)(16X 2 − 25Y 2); e) (2X + 9Y)(2X − 9Y)(4X 2 − 81Y 2); f) (5X + 7Y)(5X − 7Y)(25X 2 − 49Y 2). 16. Aplicând o formulă, aduceţi la forma cea mai simplă: a) (9X + 8Y)2; b) (9X + 5Y)2; c) (9X + 4Y)2; 2 2 e) (9X + 7Y) ; f) (7X + 5Y)2. d) (9X + 2Y) ; 17. Aplicând o formulă, aduceţi la forma cea mai simplă: a) (11X − 8Y)2; b) (3X − 7Y)2; c) (3X − 4Y)2; 2 2 e) (9X − 4Y) ; f) (8X − 5Y)2. d) (9X − 5Y) ; 18. Aplicând o formulă, aduceţi la forma cea mai simplă: a) (9X + 8Y)3; b) (9X + 5Y)3; c) (9X + 4Y)3; 3 3 d) (9X + 2Y) ; e) (9X + 7Y) ; f) (7X + 5Y)3. 19. Aplicând o formulă, aduceţi la forma cea mai simplă: a) (11X − 8Y)3; b) (3X − 7Y)3; c) (3X − 4Y)3; 3 3 e) (9X − 4Y) ; f) (8X − 5Y)3. d) (9X − 5Y) ; 20. Aplicând o formulă, aduceţi la forma cea mai simplă: b) (2X + 3Y)(4X 2 − 6XY + 9Y 2); a) (3X + 5Y)(9X 2 − 15XY + 25Y 2); Capitolul IV. Polinoame şi fracţii algebrice

63

c) (3X + 2Y)(9X 2 − 6XY + 4Y 2); d) (4X + 3Y)(16X 2 − 12XY + 9Y 2); e) (5X + 2Y)(25X 2 − 10XY + 4Y 2); f) (5X + 3Y)(25X 2 − 15XY + 9Y 2). 21. Aplicând o formulă, aduceţi la forma cea mai simplă: a) (4X − 5Y)(16X 2 + 20XY + 25Y 2); b) (5X − 3Y)(25X 2 + 15XY + 9Y 2); c) (3X − 5Y)(9X 2 + 15XY + 25Y 2); d) (4X − 7Y)(16X 2 + 28XY + 49Y 2); f) (7X − 3Y)(49X 2 + 21XY + 9Y 2). e) (7X − 2Y)(49X 2 + 14XY + 4Y 2); 22. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) (30X 12Y 13Z 14 – 12X 9Y 8Z 11) : (–6X 5Y 9Z 10); b) (24X 19Y 17Z 15 – 18X 11Y 21Z 14) : (–6X 10Y 17Z 14); c) (32X 21Y 23Z 25 – 24X 19Y 22Z 31) : (–8X 19Y 22Z 25); d) (36X 33Y 26Z 21 – 20X 18Y 29Z 19) : (–4X 18Y 26Z 19); e) (48X 29Y 31Z 32 – 12X 22Y 34Z 35) : (–12X 22Y 31Z 32); f) (45X 34Y 26Z 29 – 15X 31Y 28Z 35) : (–15X 31Y 26Z 29). 23. Descompuneţi în factori polinomul: a) 3X 6Y 9 – 4X 4Y 10 + 5X 3Y 11; b) 8X 8Y 12 – 3 X 7Y 14 + 7X 5Y 17; d) 7X 15Y 25 – 12X 14Y 26 + 8X 13Y 27; c) 5X 12Y 14 – 7X 11Y 16 + 3X 10Y 17; 18 15 16 17 14 19 f) 12X 22Y 24 – 5X 21Y 26 – 3X 20Y 29. e) 9X Y – 8X Y + 4X Y ; 24. Descompuneţi în factori polinomul: b) 3X 3(5X − 2Y) + 7Y 4(5X − 2Y); a) 2X 2(4X − 7Y) + 5Y 3(4X − 7Y); c) 5X 2(7X − 11Y) + 2Y 3(7X − 11Y); d) 7X(6X − 5Y) + 3Y 4(6X − 5Y). 25. Descompuneţi în factori polinomul: a) 7X(2X − 3Y + 7) + 9Y(2X − 3Y + 7) − 3(2X − 3Y + 7); b) 10X(5X − 7Y + 2) − 13Y(5X − 7Y + 2) + 7(5X − 7Y + 2); c) 3X(9X − 8Y + 5) − 4Y(9X − 8Y + 5) + 8(9X − 8Y + 5); d) 12X(10X − 9Y + 6) − 7Y(10X − 9Y + 6) + 3(10X − 9Y + 6). 26. Aplicând formula diferenţei pătratelor, descompuneţi în factori polinomul: a) 9X 2 – Y 2; b) 4X 2 – Y 2; c) 16X 2 – Y 2; d) 25X 2 – Y 2; 2 2 2 2 2 2 f) 64X – Y ; g) 81X – Y ; h) 121X 2 – Y 2. e) 49X – Y ; 27. Aplicând formula diferenţei pătratelor, descompuneţi în factori polinomul: b) 3X 2 – 5Y 2; c) 7X 2 – 5Y 2; d) 11X 2 – 5Y 2; a) 2X 2 – 5Y 2; e) 11X 2 – 3Y 2; f) 11X 2 – 6Y 2; g) 11X 2 – 7Y 2; h) 11X 2 – 13Y 2. 28. Aplicând formula diferenţei pătratelor, descompuneţi în factori polinomul: a) (3X + 7Y)2 – 4; b) (7X + 5Y)2 – 9; c) (9X + 5Y)2 – 16; 2 2 d) (11X + 2Y) – 25; e) (11X + 3Y) – 4; f) (11X + 5Y)2 – 9. 29. Aplicând formula diferenţei pătratelor, descompuneţi în factori polinomul: b) (8X + 3Y)2 – (2X − 5Y)2; a) (7X + 2Y)2 – (3X − 4Y)2; d) (10X + 3Y)2 – (6X − 7Y)2; c) (9X + 5Y)2 – (8X − 3Y)2; 2 2 e) (7X + 9Y) – (5X − 2Y) ; f) (11X + 5Y)2 – (2X − 5Y)2. 30. Aplicând de două ori formula diferenţei pătratelor, descompuneţi în factori polinomul:

64

Capitolul IV. Polinoame şi fracţii algebrice

a) 9X 4 – Y 4; b) 4X 4 – Y 4; c) 16X 4 – Y 4; d) 25X 4 – Y 4; 4 4 4 4 4 4 f) 64X – Y ; g) 81X – Y ; h) 121X 4 – Y 4. e) 49X – Y ; 31. Reproduceţi şi completaţi: a) 2X 2 + ... + 1 = ( 2 X + ...) 2 , 2X 2 – ... + 1 = ( 2 X − ...) 2 ; b) 3X 2 + ... + 1 = ( 3 X + ...) 2 , 3X 2 – ... + 1 = ( 3 X − ...) 2 ; c) 5X 2 + ... + 1 = ( 5 X + ...) 2 , 5X 2 – ... + 1 = ( 5 X − ...) 2 ; d) 7X 2 + ... + 1 = ( 7 X + ...) 2 , 7X 2 – ... + 1 = ( 7 X − ...) 2 . 32. Descompuneţi prin restrângerea pătratului unui binom: a) 169X 2 + 26X + 1; b) 81X 2 + 18X + 1; c) 100X 2 + 20X + 1; e) 144X 2 + 24X + 1; f) 49X 2 + 14X + 1. d) 64X 2 + 16X + 1; 33. Descompuneţi prin restrângerea pătratului unui binom: b) 49X 2 – 28X + 4; c) 121X 2 – 44X + 4; a) 81X 2 – 36X + 4; d) 64X 2 – 48X + 9; e) 144X 2 – 120X + 25; f) 81X 2 – 90X + 25. 34. Descompuneţi polinomul de gradul II: a) X 2 – 12X + 32; b) X 2 – 10X + 9; c) X 2 – 9X + 18; 2 2 e) X – 14X + 40; f) X 2 – 15X + 50. d) X – 13X + 30; 35. Decideţi dacă este reductibil (se descompune în factori) polinomul de gradul II: a) 4X 2 – 12X + 11; b) 3X 2 – 10X + 9; c) 2X 2 – 9X + 12; 2 2 e) 5X – 12X + 8; f) 6X 2 – 12X + 7. d) 4X – 13X + 11; 36. Reproduceţi şi completaţi egalităţile: a) X 3 + 15X 2 + 75X + 125 = (... + ...)3, X 3 – 15X 2 + 75X – 125 = (... – ...)3; b) X 3 + 9X 2 + 27X + 27 = (... + ...)3, X 3 – 9X 2 + 27X – 27 = (... – ...)3; c) X 3 + 6X 2 + 12X + 8 = (... + ...)3, X 3 – 6X 2 + 12X – 8 = (... – ...)3; d) X 3 + 12X 2 + 48X + 64 = (... + ...)3, X 3 – 12X 2 + 48X – 64 = (... – ...)3; e) X 3 + 21X 2 + 147X + 343 = (... + ...)3, X 3 – 21X 2 + 147X – 343 = (... – ...)3; f) X 3 + 18X 2 + 108X + 216 = (... + ...)3, X 3 – 18X 2 + 108X – 216 = (... – ...)3. 37. Aplicând formula cubului binomului, descompuneţi în factori polinomul: a) 125X 3 + 75X 2 + 15X + 1; b) 64X 3 + 48X 2 + 12X + 1; 3 2 d) 27X 3 + 27X 2 + 9X + 1; c) 8X + 12X + 6X + 1; 3 2 e) 343X + 147X + 21X + 1; f) 216X 3 + 108X 2 + 18X + 1. 38. Aplicând formula cubului binomului, descompuneţi în factori polinomul: a) 125X 3 – 300X 2 + 240X – 64; b) 64X 3 – 240X 2 + 300X – 125; 3 2 c) 8X – 36X + 54X – 27; d) 27X 3 – 108X 2 + 48X – 64; 3 2 f) 216X 3 – 540X 2 + 450X – 125. e) 343X – 294X + 84X – 8; 39. Reproduceţi şi completaţi egalităţile: a) X 3 + 125 = (X + 5)(X 2 – ... + 25), X 3 – 125 = (X – 5)(X 2 + ... + ...); b) X 3 + 27 = (X + 3)(X 2 – ... + 9), X 3 – 27 = (X – 3)(X 2 + ... + ...); c) X 3 + 64 = (X + 4)(X 2 – ... + 16), X 3 – 64 = (X – 4)(X 2 + ... + ...); d) X 3 + 8 = (X + 2)(X 2 – ... + 4), X 3 – 8 = (X – 2)(X 2 + ... + ...); e) X 3 + 216 = (X + 6)(X 2 – ... + 36), X 3 – 216 = (X – 6)(X 2 + ... + ...); f) X 3 + 343 = (X + 7)(X 2 – ... + 49), X 3 – 343 = (X – 7)(X 2 + ... + ...). Capitolul IV. Polinoame şi fracţii algebrice

65

40. Reduceţi termenii asemenea 5X 5 + 10X 5 + ... + 2005X 5. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 41. Scrieţi în forma canonică monomul –2XX 3X 5... X 2005. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 42. Aduceţi la forma cea mai simplă X 16000 : X 3 : X 6 : ... : X 300. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 43. Aplicând o formulă, aduceţi la forma cea mai simplă: a) (X + 2Y + 5Z)2; b) (2X – 3Y + 5Z)2. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 44. Aduceţi la forma cea mai simplă a) (X – 1)(X + 1)(X 2 + 1)...(X 1024 + 1); b) (X 5 – 1)(X 5 + 1)(X 10 + 1)...(X 1280 + 1). Formulaţi un exerciţiu asemănător. 45. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) (2X – 1)(2X + 1)(4X 2 + 1)...(256X 8 + 1); b) (3X 5 – 1)(3X 5 + 1)(9X 10 + 1)...(6561X 40 + 1). Formulaţi un exerciţiu asemănător. 46. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) (X – 1)(X 3 + X 2 + X + 1); b) (X + 1)(X 4 – X 3 + X 2 – X + 1). Formulaţi un exerciţiu asemănător. 47. Descompuneţi în factori (X + 2)6 – (X – 1)6. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 48. Descompuneţi în factori: a) (X 4 + 1)2 + 2X 2(X 4 + 1) + X 4; b) (X 4 + 1)2 – 2X 2(X 4 + 1) + X 4. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 49. Descompuneţi în factori (X 6 + X 2)2 – 2(X 2 – 1)(X 6 + X 2) + (X 2 – 1)2. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 50. Descompuneţi în factori polinomul: b) X 6 + 7X 3 – 30. a) X 6 + 5X 3 + 6; Formulaţi un exerciţiu asemănător. 51. Fie monomul 3X aX b. Aflaţi monomul de forma dată, dacă: a) a este egal cu numărul divizorilor naturali ai numărului 315 şi b este egal cu suma divizorilor naturali ai numărului 56; b) a este egal cu restul împărţirii la 100 a numărului 22553, iar b este restul împărţirii la 100 a numărului 32773; c) a = ϕ(36) (numărul de numere prime cu 36 care sunt mai mici decât 36), iar b este cel mai mic număr natural cu 12 divizori. 52. Aplicând o formulă, aduceţi la forma cea mai simplă: a) (2X + Y + 3Z)3; b) (2X – 3Y + Z)3. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 53. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) (X – 1)(X 2 + X + 1)(X 6 + X 3 + 1)(X 18 + X 9 + 1)...(X 1458 + X 729 + 1);

66

Capitolul IV. Polinoame şi fracţii algebrice

b) (X + 1)(X 2 – X + 1)(X 6 – X 3 + 1)(X 18 – X 9 + 1)...(X 486 – X 243 + 1);. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 54. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) (X – 1)(X 99 + X 98 + ... + X + 1); b) (X + 1)(X 100 – X 99 + ... – X + 1). Formulaţi un exerciţiu asemănător. 55. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) (X – 1)(X 3 + X 2 + X + 1)(X 12 + X 8 + X 4 + 1)...(X 768 + X 512 + X 256 + 1); b) (X + 1) (X 4 – X 3 + X 2 – X + 1)(X 20 – X 15 + X 10 – X 5 + 1)... (X 500 – X 375 + X250 – X 125 + 1). Formulaţi un exerciţiu asemănător. 56. Aduceţi la forma cea mai simplă: b) (X + 1)(X 100 – X 99 + ... – X + 1). a) (X – 1)(X 99 + X 98 + ... + X + 1); Formulaţi un exerciţiu asemănător. 57. Aflaţi primii 7 termeni, în ordinea crescătoare a gradelor, ai produsului (1 + X)(1 + X 2)(1 + X 3)(1 + X 4)(1 + X 5)(1 + X 6)... 58. Descompuneţi în factori (X 16 + X 3)2 – 2(X 3 + 1)(X 16 + X 3) + (X 3 + 1)2. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 59. Transcrieţi şi completaţi egalitatea a) 1 + X + X 2 + X 3 + ... = (1 + X + X 2)(...); b) 1 – X + X 2 + X 3 – ... = (1 – X + X 2)(...). Formulaţi un exerciţiu asemănător. 60. Descompuneţi în factori polinomul X 9 + 2X 6 + 3X 3 + 1. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 61. Descompuneţi în factori polinomul (X + 2Y – 3Z)3 – X 3 – 2Y 3 + 27Z 3. Formulaţi un exerciţiu asemănător.

Evaluare formativă 1. Aduceţi la forma cea mai simplă: (3X + 2Y)(4X – 5Y). 2. Aplicând o formulă de calcul, aduceţi la forma cea mai simplă (4X + 7Y)( 4X – 7Y). 3. Aplicând o formulă de calcul, aduceţi la forma cea mai simplă: a) (3X + 7Y)2; b) (5X – 8Y)2. 4. Aplicând o formulă de calcul, aduceţi la forma cea mai simplă: a) (4X + 1)3; c) (5Y – 2)3. 5. Aplicând o formulă de calcul, aduceţi la forma cea mai simplă: a) (3X + 1)(9X 2 – 3X + 1); b) (5X – 1)(25X 2 + 5X + 1). 6. Descompuneţi în factori polinoCapitolul IV. Polinoame şi fracţii algebrice

1. Aduceţi la forma cea mai simplă: (4X + 3Y)(5X – 2Y). 2. Aplicând o formulă de calcul, aduceţi la forma cea mai simplă (5X + 6Y)( 5X – 6Y). 3. Aplicând o formulă de calcul, aduceţi la forma cea mai simplă: a) (4X + 5Y)2; b) (6X – 7Y)2. 4. Aplicând o formulă de calcul, aduceţi la forma cea mai simplă: a) (5X + 1)3; c) (4Y – 3)3. 5. Aplicând o formulă de calcul, aduceţi la forma cea mai simplă: a) (4X + 1)(16X 2 – 4X + 1); b) (3X – 1)(9X 2 + 3X + 1). 6. Descompuneţi în factori polino-

67

mul:

mul: a) 9X 5Y 7 – 3X 2Y 9; a) 4X 9Y 8 – 8X 6Y 9; b) 3X 4(6X − 5Y) + 4Y 2(6X − 5Y). b) 4X 6(7X − 3Y) + 3Y 6(7X − 3Y). 7. Descompuneţi în factori polino7. Descompuneţi în factori polinomul: mul: a) 9X 4 – 5Y 2; a) 10X 2 – 9Y 4; b) 5 X 2 − 2 15 X + 3. b) 7 X 2 − 2 14 X + 2 . 8. Descompuneţi în factori polinomul 8. Descompuneţi în factori polino4 4 2 2 4 X – 6X 2Y 2 + 9Y 4. mul X – 4X Y + 4Y . 9. Descompuneţi în factori polino9. Descompuneţi în factori polinomul mul 125X 9 – 150X 6 + 60X 3 – 8. 64X 9 – 144X 6 + 36X 3 – 27. Barem. Start: 1 punct. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 50 minute.

2. Î m p ă r ţ i r e a p o l i n o a m e l o r 1. Aflaţi gradul produsului polinoamelor P1 şi P2, dacă: b) grad P1 = 18 şi grad P2 = 21; a) grad P1 = 15 şi grad P2 = 13; d) grad P1 = 28 şi grad P2 = 10. c) grad P1 = 21 şi grad P2 = 8; 2. Aflaţi gradul câtului împărţirii polinomului P1 la polinomul P2, dacă: a) grad P1 = 39 şi grad P2 = 17; b) grad P1 = 54 şi grad P2 = 32; d) grad P1 = 68 şi grad P2 = 53. c) grad P1 = 45 şi grad P2 = 26; 3. Aflaţi gradul maxim al restului împărţirii polinomului P1 la polinomul P2, dacă: b) grad P1 = 72 şi grad P2 = 70; a) grad P1 = 6 şi grad P2 = 4; d) grad P1 = 91 şi grad P2 = 74; c) grad P1 = 107 şi grad P2 = 76; d) grad P1 = 78 şi grad P2 = 46. c) grad P1 = 85 şi grad P2 = 54; 4. Efectuaţi prin descompunere: b) (X 4 – 9) : (X 2 – 3); c) (X 6 – 16) : (X 3 – 4); a) (X 4 – 4) : (X 2 – 2); 8 4 10 2 e) (X – 36) : (X – 6); f) (X 12 – 49) : (X 6 – 7). d) (X – 9) : (X – 3); 5. Efectuaţi prin descompunere: b) (X 4 – 4X 2 + 4) : (X 2 – 2); a) (4X 2 + 4X + 1) : (2X + 1); 6 3 3 c) (X – 2X + 1) : (X – 1); d) (X 8 – 6X 4 + 9) : (X 4 – 3); 10 5 5 f) (25X 6 – 10X 3 + 1) : (5X 3 – 1). e) (9X – 6X + 1) : (3X – 1); 6. Scrieţi teorema împărţirii pentru: b) (X 4 – 12) : (X 2 – 3); c) (X 6 – 19) : (X 3 – 4); a) (X 4 – 5) : (X 2 – 2); 8 4 10 2 e) (X – 40) : (X – 6); f) (X 12 – 54) : (X 6 – 7). d) (X – 13) : (X – 3); 7. Scrieţi teorema împărţirii pentru: b) (X 4 – 4X 2 + 7) : (X 2 – 2); a) (4X 2 + 4X + 5) : (2X + 1); 6 3 3 d) (X 8 – 6X 4 + 12) : (X 4 – 3); c) (X – 2X + 4) : (X – 1); f) (25X 6 – 10X 3 + 7) : (5X 3 – 1). e) (9X 10 – 6X 5 + 5) : (3X 5 – 1); 8. Efectuaţi prin descompunere şi scrieţi teorema împărţirii: b) (X 3 – 24) : (X – 3); c) (X 6 – 59) : (X 2 – 4); a) (X 6 – 5) : (X 2 – 2); 9 3 12 4 d) (X – 22) : (X – 3); e) (X – 123) : (X – 5); f) (X 15 – 210) : (X 5 – 6).

68

Capitolul IV. Polinoame şi fracţii algebrice

9. Scrieţi teorema împărţirii pentru: a) [(2X 2 + 1)3 + 2X + 5] : (2X 2 + 1); b) [(3X 2 – 1)3 + 7X – 1] : (3X 2 – 1); c) [(4X 3 + 3)3 + 4X – 5] : (4X 3 + 3); d) [(5X 2 + 1)3 + 3X + 4] : (5X 2 + 1); e) [(7X 2 – 3)3 + 8X – 2] : (7X 2 – 3); f) [(2X 2 + 1)3 + 2X + 5] : (2X 2 + 1). 10. Aflaţi câtul şi restul: a) (8X 6 + 12X 4 + 6X 2 + 2X – 5) : (2X 2 + 1); b) (27X 6 + 27X 4 + 9X 2 + 11X + 9) : (3X 2 + 1); c) (X 9 + 6X 6 + 12X 4 + 7X + 5) : (X 3 + 2); d) (X 6 + 9X 4 + 27X 2 + 2X – 4) : (X 2 + 3); e) (64X 6 + 48X 4 + 12X 2 – 8X + 10) : (4X 2 + 1); f) (125X 9 + 75X 6 + 15X 2 + 8X + 3) : (5X 3 + 1). 11. Fără să aflaţi câtul şi restul scrieţi teorema împărţirii pentru: a) (5X 4 + 4X 3 – 7X 2 + 5X – 6) : (X + 3); b) (8X 4 + 7X 3 – 10X 2 + 6X – 2) : (X + 4); c) (9X 4 + 2X 3 – 3X 2 + 4X – 7) : (X + 2); d) (11X 4 + 9X 3 – 2X 2 + 18X – 3) : (X + 5); e) (12X 4 + 2X 3 – 9X 2 + 3X – 8) : (X + 6); f) (7X 4 + 5X 3 – 4X 2 + 12X – 1) : (X + 7). 12. Efectuaţi: a) (7X 4 – 3X 3 – 11X 2 + 8X – 9) : (X – 2); b) (9X 4 – 8X 3 – 7X 2 + 5X – 3) : (X – 3); c) (3X 4 – 5X 3 – 2X 2 + 14X – 2) : (X – 5); d) (2X 4 – 18X 3 – 8X 2 + 5X – 6) : (X – 4); e) (4X 4 – 15X 3 – 9X 2 + 3X – 1) : (X – 6); f) (12X 4 – 9X 3 – 5X 2 + 6X – 7) : (X – 7). 13. Efectuaţi prin descompunere şi scrieţi teorema împărţirii: b) (8X 9 + 22) : (4X 6 – 6X 3 + 9). a) (27X 6 – 4) : (9X 4 + 6X 2 + 4); Formulaţi un exerciţiu asemănător. 14. Aflaţi restul împărţirii unui polinom P(X) la X – 1, dacă suma coeficienţilor lui este –14. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 15. Aflaţi restul împărţirii unui polinom P(X) la X – 3, dacă P(3) = 18. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 16. Aflaţi restul împărţirii unui polinom P(X) la 2X – 1, dacă P(0,5) = –7. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 17. Aplicând schema lui Horner, aflaţi câtul şi restul împărţirii (12X 4 – 5X 3 – 3X 2 + 4X – 2) : (X + 5). Formulaţi un exerciţiu asemănător. 18. Aplicând schema lui Horner, aflaţi câtul şi restul împărţirii (2X 6 – 7X 4 – 9X 2 + 15X – 8) : (X – 7). Formulaţi un exerciţiu asemănător. Capitolul IV. Polinoame şi fracţii algebrice

69

19. Aflaţi restul împărţirii unui polinom P(X) la (X – 5)(X + 2), dacă P(–2) = 8 şi P(5) = –3. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 20. Aflaţi câtul şi restul împărţirii polinomului X 9 + 6X 6 + mX 4 + 7X + n la (X – 2)(X + 3), dacă P(–3) = 5 şi P(2) = –8. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 21. Aflaţi câtul împărţirii: b) 1 : (1 – X 3). a) 1 : (1 + X 2); Formulaţi un exerciţiu asemănător.

Evaluare formativă 1. Aflaţi gradul câtului împărţirii po1. Aflaţi gradul câtului împărţirii polinomului P1 la polinomul P2, dacă linomului P1 la polinomul P2, dacă grad P1 = 17 şi grad P2 = 8. grad P1 = 14 şi grad P2 = 10. 2. Aflaţi gradul maxim al restului 2. Aflaţi gradul maxim al restului împărţirii polinomului P1 la polinomul împărţirii polinomului P1 la polinomul P2, dacă grad P1 = 25 şi grad P2 = 19. P2, dacă grad P1 = 27 şi grad P2 = 25. 3. Efectuaţi prin descompunere: 3. Efectuaţi prin descompunere: a) (X 16 – 64) : (X 8 – 2); a) (X 14 – 81) : (X 7 – 9); b) (16X 2 – 8X + 1) : (4X – 1). b) (25X 2 – 10X + 1) : (5X – 1). 4. Scrieţi teorema împărţirii pentru: 4. Scrieţi teorema împărţirii pentru: a) (X 20 – 20) : (X 10 – 4); a) (X 18 – 20) : (X 9 – 5); 2 b) (9X – 12X + 9) : (3X – 2). b) (25X 2 – 30X + 12) : (5X – 3). 5. Fie P(X) : (X + 13). Fără să cu5. Fie P(X) : (X + 19). Fără să cunoaşteţi câtul şi restul, scrieţi teorema noaşteţi câtul şi restul, scrieţi teorema împărţirii. împărţirii. 6. Scrieţi teorema împărţirii pentru: 6. Scrieţi teorema împărţirii pentru: a) (27X 18 – 8) : (3X 6 – 2); a) (8X 21 – 27) : (2X 7 – 3); 3 b) [(2X – 5) + 10] : (2X – 5). b) [(3X – 4)3 + 15] : (3X – 4). 7. Efectuaţi: 7. Efectuaţi: 3 2 a) (X – 3X + 7X – 4) : (X + 2); a) (X 3 – 4X 2 + 6X – 3) : (X + 2); b) (X 4 – 5X 2 + 9X – 2) : (X – 3). b) (X 4 – 7X 2 + 8X – 4) : (X – 3). 8. Aflaţi restul împărţirii unui po8. Aflaţi restul împărţirii unui polinom P(X) la X – 9, dacă suma coefi- linom P(X) la X – 11, dacă suma coeficienţilor lui este P(3) = 18. cienţilor lui este P(11) = 23. 9. Aflaţi restul împărţirii unui po9. Aflaţi restul împărţirii unui polinom P(X) la (X – 4)(X + 3), dacă P(4) linom P(X) la (X – 5)(X + 2), dacă P(5) = = –9 şi P(–3) = 4. –10 şi P(–2) = 3. Barem. Start: 1 punct. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 50 minute.

70

Capitolul IV. Polinoame şi fracţii algebrice

3. D i v i z i b i l i t a t e a p o l i n o a m e l o r 1. Comparaţi restul împărţirii polinomului: a) P(X) = X 2 – 3X – 10 la X – 5 cu P(5); b) P(X) = X 2 – 4X – 21 la X – 7 cu P(7); c) P(X) = X 2 – 6X – 40 la X – 10 cu P(10); d) P(X) = X 2 – 8X – 20 la X – 10 cu P(10); e) P(X) = X 2 – 8X – 33 la X – 11 cu P(11); f) P(X) = X 2 – 7X – 30 la X – 10 cu P(10). 2. Controlaţi dacă polinomul: a) P(X) = X 2 – 3X + 2 se divide cu X – 2; b) P(X) = X 2 – 51X + 50 se divide cu X – 50; c) P(X) = X 2 – 79X + 78 se divide cu X – 78; d) P(X) = X 2 – 83X + 82 se divide cu X – 82; e) P(X) = X 2 – 105X + 2 se divide cu X – 104; f) P(X) = X 2 – 301X + 300 se divide cu X – 300. 3. Controlaţi dacă polinomul: a) P(X) = X 3 – X 2 + 3X – 3 se divide cu X 2 + 3; b) P(X) = X 3 – 2X 2 + 4X – 8 se divide cu X 2 + 4; c) P(X) = X 3 – 3X 2 + 5X – 15 se divide cu X 2 + 5; d) P(X) = X 3 – 4X 2 + 7X – 28 se divide cu X 2 + 7; e) P(X) = X 3 – 5X 2 + 11X – 66 se divide cu X 2 + 11. 4. Decideţi dacă polinomul: b) X 2 + 7X este reductibil; a) X 2 – 5X este reductibil; 2 d) X 2 – 11X este reductibil; c) X – 9X este reductibil; 2 e) X + 5X este reductibil; f) X 2 + 12X este reductibil. 5. Decideţi dacă polinomul: a) X 2 + 5X + 4 este reductibil; b) X 2 + 7X + 12 este reductibil; 2 d) X 2 + 6X + 8 este reductibil; c) X + 8X + 12 este reductibil; 2 e) X + 9X + 20 este reductibil; f) X 2 + 10X + 16 este reductibil. 6. Decideţi dacă polinomul: a) X 2 + 54 este reductibil; b) X 2 + 17 este reductibil; 2 d) X 2 + 8 este reductibil; c) X + 12 este reductibil; 2 f) X 2 + 16 este reductibil. e) X + 20 este reductibil; 7. Decideţi dacă polinomul: b) X 2 + 7X + 13 este reductibil; a) X 2 + 5X + 7 este reductibil; 2 c) X + 8X + 17 este reductibil; d) X 2 + 6X + 10 este reductibil; 2 f) X 2 + 10X + 26 este reductibil. e) X + 9X + 21 este reductibil; 8. Aflaţi pentru ce valori reale ale lui m polinomul: a) X 2 + 6X + m – 2 este reductibil; b) X 2 + 14X + m – 1 este reductibil; c) X 2 + 12X + m – 3 este reductibil; d) X 2 + 16X + m – 5 este reductibil; e) X 2 + 10X + m – 4 este reductibil; f) X 2 + 18X + m – 6 este reductibil. Capitolul IV. Polinoame şi fracţii algebrice

71

9. Aflaţi pentru ce valori reale ale lui m polinomul: a) X 2 + 20X + m – 6 este ireductibil; b) X 2 + 14X + m – 7 este ireductibil; c) X 2 + 12X + m – 8 este ireductibil; d) X 2 + 22X + m – 11 este ireductibil; e) X 2 + 10X + m – 9 este ireductibil; f) X 2 + 18X + m – 6 este ireductibil. 10. Aflaţi pentru ce valori reale ale lui m polinomul: b) X 2 + 5m – 9 este ireductibil; a) X 2 + 4m – 11 este ireductibil; 2 c) X + 2m – 13 este ireductibil; d) X 2 + 7m – 3 este ireductibil; 2 f) X 2 + 18m – 13 este ireductibil. e) X + 10m – 7 este ireductibil; 11. Decideţi dacă polinomul: b) X 3 + 13 este ireductibil; a) X 3 + 6 este ireductibil; 3 d) X 3 + 21 este ireductibil; c) X + 8 este ireductibil; 3 e) X + 14 este ireductibil; f) X 3 + 19 este ireductibil. 12. Decideţi dacă polinomul: b) X 5 + 33 este ireductibil; a) X 5 + 19 este ireductibil; 5 d) X 5 + 56 este ireductibil; c) X + 17 este ireductibil; 5 f) X 5 + 35 este ireductibil. e) X + 15 este ireductibil; 13. Decideţi dacă polinomul: a) X 2n+1 + 19 este ireductibil; b) X 2n+3 + 33 este ireductibil; 2n–1 + 17 este ireductibil; d) X 2n–3 + 56 este ireductibil; c) X 2n+5 + 15 este ireductibil; f) X 2n–5 + 35 este ireductibil. e) X 14. Decideţi dacă polinomul: b) X 4 + 5 este ireductibil; a) X 4 + 6 este ireductibil; c) X 4 + 3 este ireductibil; d) X 4 + 7 este ireductibil; 4 f) X 4 + 1 este ireductibil. e) X + 2 este ireductibil; 15. Decideţi dacă polinomul: b) X 4 + 9X 2 – 3 este reductibil; a) X 4 + 5X 2 – 11 este reductibil; 4 2 d) X 2 + 6X – 2 este reductibil; c) X + 7X – 31 este reductibil; 4 2 f) X 2 + 10X – 6 este reductibil. e) X + 11X + 18 este reductibil; 16. Decideţi dacă polinomul: a) X 6 + 5X 3 – 5 este reductibil; b) X 6 + 8X 3 – 1 este reductibil; 6 3 d) X 6 + 4X 3 – 7 este reductibil; c) X + 7X – 3 este reductibil; f) X 6 + 6X 3 – 13 este reductibil. e) X 6 + 11X 3 – 2 este reductibil; 17. Decideţi dacă polinomul: a) X 8 + 3X 4 – 11 este reductibil; b) X 8 + 2X 4 – 12 este reductibil; d) X 8 + 8X 4 – 7 este reductibil; c) X 8 + 5X 4 – 3 este reductibil; 8 4 f) X 8 + 4X 4 – 13 este reductibil. e) X + 9X – 6 este reductibil; 18. Aflaţi pentru ce valori reale ale lui m polinomul: a) X 10 + 18X 5 + m – 9 este reductibil; b) X 10 + 4X 5 + m – 3 este reductibil; c) X 10 + 8X 5 + m – 7 este reductibil; d) X 10 + 10X 5 + m – 2 este reductibil; e) X 10 + 6X 5 + m – 6 este reductibil; f) X 10 + 12X 5 + m – 4 este reductibil. 19. Aflaţi pentru ce valori reale ale lui m polinomul: a) X 12 – 18X 6 + m – 10 este ireductibil;

72

Capitolul IV. Polinoame şi fracţii algebrice

b) X 12 – 16X 6 + m – 9 este ireductibil; c) X 12 – 12X 6 + m – 11 este ireductibil; d) X 12 – 10X 6 + m – 13 este ireductibil; e) X 12 – 8X 6 + m – 15 este ireductibil; f) X 12 + 12X 6 + m – 7 este ireductibil. 20. Aflaţi restul împărţirii polinomului: a) 4X 3 – 12X 2 + 8X – 9 la X – 6; b) 2X 3 – 10X 2 + 3X – 11 la X – 3; 3 2 d) 6X 3 – 14X 2 + 7X – 4 la X – 7; c) 5X – 4X + 9X – 10 la X – 5; 3 2 f) 7X 3 – 15X 2 + 11X – 2 la X – 8. e) 8X – 5X + 3X – 6 la X – 4; 21. Aflaţi restul împărţirii polinomului: b) 3X 3 – 9X 2 + 3X – 11 la X + 3; a) 2X 3 – 9X 2 + 8X – 11 la X + 6; 3 2 c) 4X – 6X + 9X – 13 la X + 5; d) 5X 3 – 3X 2 + 7X – 4 la X + 7; 3 2 f) 7X 3 – 6X 2 + 4X – 5 la X + 8. e) 8X – 3X + 3X – 12 la X + 4; 22. Aflaţi restul împărţirii polinomului: b) X 3 – X 2 + 3X – 11 la 8X + 3; a) X 3 – X 2 + 8X – 11 la 2X + 1; 3 2 d) X 3 – X 2 + 7X – 4 la 10X + 5; c) X – X + 9X – 13 la 5X + 1; f) X 3 – X 2 + 4X – 5 la 4X + 3. e) X 3 – X 2 + 3X – 1 la 4X + 1; 23. Aflaţi numărul real m pentru care polinomul: a) 9X 3 – 12X 2 + 8mX – 7 se divide cu X – 1; b) 2X 3 – 10X 2 + 3X – 4m se divide cu X – 2; c) 5X 3 – 4X 2 + 7mX – 6 se divide cu X – 1; d) 6X 3 – 14X 2 + 5X – 3m se divide cu X – 2; e) 8X 3 – 5X 2 + 5mX – 6 se divide cu X – 1; f) 7X 3 – 15X 2 + 4mX – 2 se divide cu X – 2. 24. Descompuneţi în factori polinomul: a) 125X 3 + 150X 2Y + 60XY 2 + 8Y 3 şi 125X 3 – 150X 2Y + 60XY 2 – 8Y 3; b) 64X 3 + 144X 2Y + 108XY 2 + 27Y 3 şi 64X 3 – 144X 2Y + 108XY 2 – 27Y 3; c) 125X 3 + 225X 2Y + 135XY 2 + 27Y 3 şi 125X 3 – 225X 2Y + 135XY 2 – 27Y 3; d) 8X 3 + 36X 2Y + 54XY 2 + 27Y 3 şi 8X 3 – 36X 2Y + 54XY 2 – 27Y 3; e) 27X 3 + 108X 2Y + 144XY 2 + 64Y 3 şi 27X 3 – 108X 2Y + 144XY 2 – 64Y 3; f) 125X 3 + 300X 2Y + 240XY 2 + 64Y 3 şi 125X 3 – 300X 2Y + 240XY 2 – 64Y 3. 25*. Descompuneţi în factori polinomul: a) 4X 2 + 9Y 2 + 1 + 12XY + 4X + 6Y şi 4X 2 + 9Y 2 + 1 – 12XY + 4X – 6Y; b) 16X 2 + 9Y 2 + 1 + 24XY + 8X + 6Y şi 16X 2 + 9Y 2 + 1 – 24XY + 8X – 6Y; c) 9X 2 + 4Y 2 + 1 + 12XY + 6X + 4Y şi 9X 2 + 4Y 2 + 1 + 12XY – 6X – 4Y; d) 16X 2 + 4Y 2 + 1 + 16XY + 8X + 4Y şi 16X 2 + 4Y 2 + 1 + 16XY – 8X – 4Y; e) 25X 2 + 4Y 2 + 1 + 20XY + 10X + 4Y şi 25X 2 + 4Y 2 + 1 + 20XY – 10X – 4Y; f) 9X 2 + 25Y 2 + 1 + 30XY + 6X + 10Y şi 9X 2 + 25Y 2 + 1 – 30XY – 6X + 10Y. 26. Aflaţi valorile reale ale lui m pentru care polinomul X 2 + 6(m + 3)X + 5 este reductibil. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 27. Aflaţi valorile reale ale lui m pentru care polinomul X 2n + 4(m – 5)X n + 11, n ∈ N*, este reductibil. Formulaţi un exerciţiu asemănător. Capitolul IV. Polinoame şi fracţii algebrice

73

28. Aplicând schema lui Horner, aflaţi restul împărţirii polinomului 8X 3 – 13X 2 + 9X – 11 la X – 7. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 29. Aplicând schema lui Horner, aflaţi restul împărţirii polinomului 7X 3 – 3X 2 + 8X – 13 la 2X + 1. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 30. Fie polinomul P(X). Aflaţi restul împărţirii polinomului P(X): a) la X 2 + 4X – 21, dacă restul împărţirii lui P(X) la X – 3 este 4 şi împărţit la X + 7 dă restul –5; b) la X 2 + X – 20, dacă restul împărţirii lui P(X) la X – 4 este 2 şi împărţit la X + 5 dă restul –2. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 31. Decideţi dacă numerele de forma n2 + 2n + 2, n ∈ N, sunt prime. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 32. Aflaţi pentru ce valori reale ale lui m pentru care polinomul X 4 + 4(m – 5)X 2 + m – 2 se descompune în factori de gradul I. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 33. Fie polinomul P(X). Aflaţi restul împărţirii polinomului P(X): a) la X 2 – 5X + 4, dacă restul împărţirii lui P(X) la X – 1 este 4 şi P(8 – X) + XP(X) împărţit la X – 4 dă restul 5; b) la X 2 – 5X + 6, dacă restul împărţirii lui P(X) la X – 2 este 4 şi P(6 – X) + XP(X) împărţit la X – 3 dă restul 16. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 34. Fie polinomul P(X). Aflaţi restul împărţirii polinomului P(X): a) la X 2 + X – 6, dacă restul împărţirii lui P(X) la X + 3 este 1 şi P(4 – X) + (X – 1)P(X) împărţit la X – 2 dă restul 8; b) la X 2 – X – 6, dacă restul împărţirii lui P(X) la X – 3 este 6 şi P(3X + 4) + (X + 3)P(X) împărţit la X + 3 dă restul 6. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 35. Aflaţi restul împărţirii polinomului: a) P(X) = X 3 – 2mX 2 + 3nX – 4 la X – 2, dacă restul împărţirii lui P(X) la X – 1 este –3 şi P(X) împărţit la X + 2 dă restul 4; b) P(X) = X 3 – 5mX 2 + 2nX – 4 la X – 2, dacă restul împărţirii lui P(X) la X – 1 este –2 şi P(X) împărţit la X + 2 dă restul –4. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 36. Demonstraţi că: a) P(X) = P(X + 1) dacă şi numai dacă P(X) este polinom constant; b) P(X) = P(X + 2) dacă şi numai dacă P(X) este polinom constant. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 37. Să se afle toate polinoamele cu coeficienţi reali care satisfac: a) (X – 1)P(X – 1) = (X – 4)P(X); b) (X – 2)P(X – 2) = (X – 5)P(X). Formulaţi un exerciţiu asemănător.

74

Capitolul IV. Polinoame şi fracţii algebrice

38. Aflaţi polinomul de gradul III: a) divizibil cu X 2 – 3X – 4 şi care împărţit la X 2 + X – 12 dă restul 5X – 7; b) divizibil cu X 2 – 3X – 10 şi care împărţit la X 2 + 2X – 24 dă restul 10X – 3. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 39. Scrieţi X 2 + 2(X + 1)2 – (X + 1) ca diferenţă a două cuburi. 40*. Aflaţi rădăcinile întregi ale polinomului: a) X 4 + 2X 3 – 13X 2 – 14X + 24; b) X 4 + 2X 3 – 25X 2 – 26X + 120; 4 3 2 d) X 4 – 2X 3 – 25X 2 + 26X + 120. c) X – 2X – 13X + 14X + 24; 41*. Descompuneţi în factori polinomul: b) 2X 4 + 3X 3 – X 2 + 3X + 2. a) 2X 4 + 3X 3 – 3X – 2; 2 42*. Fie polinomul X + 3mX – 5 cu rădăcinile x1, x2. Fără să calculaţi rădăcinile polinomului, aflaţi: b) x13 + x23 ; c) x14 + x24 ; d) x15 + x25 ; e) x16 + x26 . a) x12 + x22 ;

Evaluare formativă 1. Aflaţi valorile reale ale lui m 1. Aflaţi valorile reale ale lui m pentru care polinomul X 2 + 8X + m – 3 pentru care polinomul X 2 + 6X + m – 7 este reductibil. este reductibil. 2. Aflaţi valorile reale ale lui m 2. Aflaţi valorile reale ale lui m 2 pentru care polinomul X + 12X + m – 7 pentru care polinomul X 2 + 14X + m – 5 este ireductibil. este ireductibil. 3. Decideţi dacă polinomul 3. Decideţi dacă polinomul X 16 – 3X 8 – 5 este reductibil. X 18 – 5X 9 – 3 este reductibil. 4. Aflaţi valorile reale ale lui m 4. Aflaţi valorile reale ale lui m pentru care polinomul X 24 + 4X 12 + m – pentru care polinomul X 26 + 6X 13 + m – 5 este reductibil. 6 este reductibil. 5. Aflaţi restul împărţirii polinomu5. Aflaţi restul împărţirii polinomului: a) 2X 2 + 7X – 3 la X – 4; lui: a) 2X 2 + 9X – 2 la X – 4; b) 7X 3 – 5X 2 + 3X – 8 la X + 3. b) 6X 3 – 7X 2 + 2X – 9 la X + 3. 6. Aflaţi restul împărţirii polinomu6. Aflaţi restul împărţirii polinomului: a) 3X 2 + 4X – 1 la 2X – 1; lui: a) 4X 2 + 3X – 1 la 2X – 1; b) 8X 3 – 2X 2 + 7X – 3 la 4X + 1. b) 6X 3 – 3X 2 + 6X – 5 la 4X + 1. 7. Aflaţi valorile reale ale lui m 7. Aflaţi valorile reale ale lui m pentru care polinomul 5X 3 – 6X 2 + 4X – pentru care polinomul 4X 3 – 9X 2 + 3X – 2m se divide cu X – 3. 4m se divide cu X – 2. 8. Aflaţi cea mai mică valoare reală a 8. Aflaţi cea mai mică valoare reală a lui m pentru care polinomul X 2 + 4(m – lui m pentru care polinomul X 2 + 6(m – 2)X – 7 este reductibil. 2)X – 9 este reductibil. 9. Aflaţi restul împărţirii polinomului 9. Aflaţi restul împărţirii polinomului P(X) la X 2 + 5X + 6, dacă restul împăr- P(X) la X 2 – 9X + 20, dacă restul împărţirii lui P(X) la X + 2 este 5 şi P(9 – 2X) ţirii lui P(X) la X – 4 este 2 şi P(15 – 2X) + XP(X) împărţit la X + 3 dă restul 10. + XP(X) împărţit la X – 5 dă restul 12. Barem. Start: 1 punct. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 50 minute. Capitolul IV. Polinoame şi fracţii algebrice

75

4. F r a c ţ i i a l g e b r i c e 1. Aflaţi mulţimea numerelor reale pentru care are sens valoarea fracţiei (DVA): 2X − 3 3X − 2 4X − 5 3X − 8 a) ; ; ; . b) c) d) 2 5 9 X X X X7 2. Aflaţi mulţimea numerelor reale pentru care are sens valoarea fracţiei (DVA): 3X − 4 2X − 9 7X − 9 4 X − 13 ; b) ; c) ; d) . a) 5 X − 11 4 X − 15 2 X − 17 4 X − 19 3. Aflaţi mulţimea numerelor reale pentru care are sens valoarea fracţiei (DVA): 3X − 4 5 X + 17 4X + 9 6X + 5 ; b) ; c) ; d) . a) 6 4 9 6 3 2 5X − 2X 2X − 5X 7X − 4X 3 X 11 − 7 X 9 4. Aflaţi mulţimea numerelor reale pentru care are sens valoarea fracţiei (DVA): 2 X −1 5X − 7 3X − 2 a) ; ; ; b) c) 2 2 5X − 2X − 3 2 X − 4 X −1 3X 2 − 4 X − 2 6X −1 3X − 7 X −8 ; ; . d) e) f) 2 2 7 X − 8X − 3 2 X − 10 X − 3 9X 2 − 4X − 3 5. Aflaţi mulţimea numerelor reale pentru care are sens valoarea fracţiei (DVA): 3X −1 5X −1 4 X −1 ; ; ; a) b) c) 2 2 2 3X − 4 X + 2 2X − 4X + 3 4X − 2X +1 7 X −1 8X −1 9 X −1 ; ; . f) e) d) 3X 2 − 6 X + 4 5X 2 − 6X + 2 2X 2 − 6X + 5 6. Aflaţi mulţimea numerelor reale pentru care are sens valoarea fracţiei (DVA):

2X 2 +1 3X 2 + 1 4X 2 +1 ; b) ; c) ; 25 X 2 − 10 X + 1 4X 2 − 4X +1 9X 2 − 6X +1 X2 +3 X2 +3 4X 2 + 3 d) ; e) ; f) . 16 X 2 − 8 X + 1 36 X 2 − 12 X + 1 49 X 2 − 14 X + 1 7. Aflaţi mulţimea numerelor reale pentru care are sens valoarea fracţiei (DVA): a)

a)

X2 +2 ; X 4 − 10 X 2 + 16

b)

X2 +3 ; X 4 − 9 X 2 + 14

c)

X2 +4 ; X 4 − 9 X 2 + 18

X2 +5 X2 +7 X 2 +1 ; e) ; f) . X 4 − 9 X 2 + 20 X 4 − 10 X 2 + 24 X 4 − 10 X 2 + 30 8. Aflaţi mulţimea numerelor reale pentru care are sens valoarea fracţiei (DVA):

d)

76

a)

X2 +2 ; X 4 − 10 X 2 − 24

b)

X2 +5 ; X 4 − 10 X 2 − 39

c)

X2 +6 ; X 4 − 10 X 2 − 56

d)

X2 +7 ; X − 10 X 2 − 75

e)

X 2 +1 ; X − 8 X 2 − 20

f)

X2 +9 . X − 8 X 2 − 33

4

4

4

Capitolul IV. Polinoame şi fracţii algebrice

9. Aflaţi mulţimea numerelor reale pentru care are sens valoarea fracţiei (DVA):

a)

X2 +9 ; X 6 − 10 X 3 − 24

b)

X 2 +1 ; X 6 − 9 X 3 − 10

c)

X2 +2 ; X 6 − 9 X 3 − 22

X2 +4 X2 +5 X2 +3 ; e) ; f) . X 6 − 9 X 3 − 90 X 6 − 8 X 3 − 20 X 6 − 9 X 3 − 36 10. Aflaţi mulţimea numerelor reale pentru care are sens valoarea fracţiei (DVA):

d)

a)

X 2 + 11 ; X 3 − 15

b)

X2 +4 ; X 3 − 17

c)

X 2 + 13 ; X 3 − 11

X2 +3 X2 +7 X2 +4 ; e) ; f) . X 3 − 14 X 3 − 18 X 3 − 17 11. Aflaţi mulţimea numerelor reale pentru care are sens valoarea fracţiei (DVA):

d)

a)

X2 +9 ; X 3 + 23

b)

X2 +2 ; X 3 + 22

X2 +4 X 2 +8 ; e) ; X 3 + 15 X 3 + 26 12. Simplificaţi fracţia algebrică:

d)

a)

3X 2 + X ; 9X 2 −1

b)

2X 2 + X ; 4 X 2 −1

6X 2 + X 7X 2 + X ; e) ; 36 X 2 − 1 49 X 2 − 1 13. Simplificaţi fracţia algebrică: d)

a)

X 2 + 7X ; X 2 + 9 X + 14

b)

X 2 + 5X ; X 2 + 9 X + 20

X 2 + 3X X 2 + 8X ; e) ; X 2 + 9 X + 18 X 2 + 9X + 8 14. Simplificaţi fracţia algebrică:

d)

a)

X 3 + 7X ; X 4 + 5 X 2 − 14

b)

X 3 + 5X ; X 4 + 4 X 2 − 45

X 3 + 6X X 3 + 6X ; e) ; X 4 + 4 X 2 − 60 X 4 + 5 X 2 − 66 15. Simplificaţi fracţia algebrică:

d)

c)

X2 +3 ; X 3 + 24

f)

X2 +7 . X 3 + 11

c)

5X 2 + X ; 25 X 2 − 1

f)

9X 2 + X . 81X 2 − 1

c)

X 2 + 6X ; X 2 + 9 X + 18

f)

X 2 + 4X . X 2 + 9 X + 20

c)

X 3 + 5X ; X 4 + 5 X 2 − 50

f)

X 3 + 7X . X 4 + 3 X 2 − 70

a)

X2 −7 ; X 2 − 2 7X + 7

b)

X2 −2 ; X 2 − 2 2X + 2

c)

X 2 −3 ; X 2 − 2 3X + 3

d)

X2 −5 ; X 2 − 2 5X + 5

e)

X2 −6 ; X 2 − 2 6X + 6

f)

X 2 − 11 . X 2 − 2 11X + 11

Capitolul IV. Polinoame şi fracţii algebrice

77

16. Simplificaţi fracţia algebrică: X 2 − 7 X + 10 X 2 − 7 X + 12 ; b) ; a) X 2 − 4X + 4 X 2 − 6X + 9 X 2 − 5X + 4 X 2 − 4X + 3 ; e) 2 ; d) 2 X − 8 X + 16 X − 6X + 9 17. Simplificaţi fracţia algebrică: X 2 − 7 X + 12 X 2 − 7 X + 12 ; b) 2 ; a) 2 X + 4 X − 32 X + 4 X − 21 X 2 − 7 X + 10 X 2 − 9 X + 20 d) 2 ; e) 2 ; X + 4 X − 12 X + 4 X − 45 18. Simplificaţi fracţia algebrică: X 2 + 7 X + 10 X 2 + 7 X + 10 ; b) ; a) X3 +8 X 3 + 25 X 2 + 3X + 2 X 2 + 7 X + 12 d) ; e) ; X 3 +1 X 3 + 64 19. Simplificaţi fracţia algebrică: X 2 − 7 X + 10 X 2 − 7 X + 10 a) ; b) ; X 3 −8 X 3 − 125 X 2 − 7 X + 12 X 2 − 8 X + 15 ; e) ; d) X 3 − 64 X 3 − 125 20. Simplificaţi fracţia algebrică: X 2 − 10 X + 25 X 2 − 4X + 4 ; b) ; a) X 3 − 125 X 3 −8 X 2 − 8 X + 16 X 2 + 10 X + 25 ; e) ; d) X 3 − 64 X 3 + 125 21. Simplificaţi fracţia algebrică: X 2 + 3X + 9 X 2 + 2X + 4 ; b) ; a) X 3 − 27 X 3 −8 X 2 + 5 X + 25 X 2 + 4 X + 16 ; e) ; d) 3 X 3 − 125 X − 64 22. Simplificaţi fracţia algebrică: X 2 − 6 X + 36 X 2 − X +1 ; b) ; a) X 3 + 216 X 3 +1 X 2 − 3X + 9 X 2 − 4 X + 16 d) ; e) ; X 3 + 27 X 3 + 64 23. Aduceţi la forma cea mai simplă: 3 4 13 4 11 14 a) 3 + 3 − 3 ; b) 4 + 4 − 4 ; X X X X X X

78

X 2 − 3X + 2 ; X 2 − 4X + 4 X 2 − 5X + 6 f) 2 . X − 6X + 9

c)

X 2 − 7 X + 10 ; X 2 + 4 X − 45 X 2 − 9 X + 20 f) 2 . X + 5 X − 36

c)

X 2 + 7 X + 12 ; X 3 + 27 X 2 + 3X + 2 f) . X3 +8

c)

X 2 − 7 X + 12 ; X 3 − 27 X 2 − 8 X + 15 f) . X 3 − 27

c)

X 2 − 6X + 9 ; X 3 − 27 X 2 + 6X + 9 f) . X 3 + 27

c)

X 2 + X +1 ; X 3 −1 X 2 + 6 X + 36 f) . X 3 − 216

c)

X 2 − 2X + 4 ; X3 +8 X 2 − 5 X + 25 f) . X 3 + 125

c)

c)

3 8 17 + − ; X5 X5 X5

Capitolul IV. Polinoame şi fracţii algebrice

7 8 21 8 12 16 11 14 35 + − ; e) 7 + 7 − 7 ; f) 10 + 10 − 10 . X X X X X X X6 X6 X6 24. Efectuaţi: X −3 X −4 X −5 1 1 1 + ; b) + ; c) + ; a) X −4 X −4 X −2 X −2 X −3 X −3 X −6 X −7 X −8 1 1 1 + ; e) + ; f) + . d) X −6 X −6 X −7 X −7 X −5 X −5 25. Efectuaţi: 3 2X 4 3X 6 5X − ; b) − ; c) − ; a) 5X − 2 5X − 2 3X − 5 3X − 5 2X − 5 2X − 5 3 2X 4 3X 9 2X − ; e) − ; f) − . d) 6X − 5 6X − 5 4X − 7 4X − 7 7X − 2 7X − 2 26. Aflaţi c.m.m.m.c. al polinoamelor: b) X 3, (X – 1)2, X 2 – 1; c) X 2, X 3 + 1, X 6 – 1; a) X 2, (X – 1)3, X 2 – 1; 5 2 4 4 2 4 d) X , X + 1, X – 1; e) X , X – 1, X – 1; f) X 2, X 3 – 1, X 6 – 1. 27. Aflaţi c.m.m.m.c. al polinoamelor: b) 3X – 1, 3X + 1, 9X 2 – 6X + 1; a) 2X – 3, 2X + 3, 4X 2 + 12X + 9; 2 d) 7X – 1, 7X + 1, 49X 2 + 14X + 1; c) 5X – 1, 5X + 1, 25X + 10X + 1; f) 3X – 2, 3X + 2, 9X 2 + 12X + 4. e) 2X – 1, 2X + 1, 4X 2 + 4X + 1; 28. Efectuaţi: 3 2 3 5 4 5 a) + ; b) + ; c) + ; 2 X −1 2 X +1 3X −1 3X + 1 X −2 X +2 2 5 2 3 5 3 d) + ; e) + ; f) + . 4 X −1 4 X +1 X −3 X +3 X −4 X +4 29. Efectuaţi: 3 2 3 4 + ; b) + 2 ; a) 2 3X − 2 9 X + 6 X + 4 X − 2 X + 2X + 4 5 2 5 4 + ; d) + ; c) 2 2 2 X −1 4 X + 2 X +1 3X −1 9 X + 3X + 1 5 3 2 3 + ; f) + 2 . e) 2 X − 4 X + 4 X + 16 4 X − 1 16 X + 4 X + 1 30. Efectuaţi: 4 7 5 2 4 3 − ; b) − ; c) − ; a) X −3 X +3 X −4 X +4 3X − 2 3X + 2 5 3 4 6 2 3 − ; e) − ; f) − . d) X −7 X +7 X −5 X +5 X −8 X +8 31. Efectuaţi: 3 7 3 2 a) − ; b) − 2 ; 2 X + 5 X − 5 X + 25 2 X + 5 4 X − 10 X + 25 3 4 5 4 − ; d) − ; c) 2X +1 4X 2 − 2X +1 X + 4 X 2 − 4 X + 16 d)

Capitolul IV. Polinoame şi fracţii algebrice

79

5 3 4 3 − ; f) − . 5 X + 1 25 X 2 − 5 X + 1 3X + 1 9 X 2 − 3X + 1 32. Aduceţi la forma cea mai simplă: X +7 X −3 X +6 X −4 X +9 X −2 X + 7 X −1 a) ⋅ ; b) ⋅ ; c) ⋅ ; d) ⋅ . X +8 X −9 X +8 X −9 X +7 X −3 X +6 X −2 33. Aduceţi la forma cea mai simplă: ( X − 6) 7 ( X + 8)8 ( X − 1) 5 ( X + 2) 7 ( X − 2) 7 ( X + 2) 4 ; ; ; ⋅ b) ⋅ ⋅ c) a) ( X + 8)5 ( X − 6)10 ( X + 2)3 ( X − 2)8 ( X + 2) 9 ( X − 1) 4 e)

( X − 3) 6 ( X + 1) 6 ( X − 3) 3 ( X + 4) 6 ⋅ e) ; ; ⋅ ( X + 1) 7 ( X − 3)5 ( X + 4) 5 ( X − 3) 4 34. Aduceţi la forma cea mai simplă: 3X − 4 3X − 4 2X − 5 2X − 5 ; ; a) : : b) 2 X + 7 X −1 2X +1 X +1 2X − 7 2X − 7 4X − 3 4X − 3 ; ; : : d) e) 2X +1 X + 3 2X +1 X + 4 35. Efectuaţi şi scrieţi rezultatul ca putere: d)

4

⎡ (5 X − 1) 6 ⎤ ; a) ⎢ 7⎥ ⎣ (6 X + 5) ⎦

6

⎡ (3 X − 1) 2 ⎤ ; b) ⎢ 3⎥ ⎣ (5 X + 1) ⎦

f)

( X − 5)9 ( X + 3)5 ⋅ . ( X + 3) 6 ( X − 5)8

2X − 3 2X − 3 ; : 3X + 1 X + 2 4X − 5 4X − 5 . : f) 6X +1 X + 2 c)

7

⎡ (2 X − 3)3 ⎤ ; c) ⎢ 4⎥ ⎣ (4 X + 3) ⎦

3

⎡ (4 X − 1)5 ⎤ . d) ⎢ 5⎥ ⎣ (3 X + 2) ⎦

( X − 2Y ) 2 − (3 X − 5Y ) 2 . 64 X 2 − 112 XY + 49Y 2 Formulaţi un exerciţiu asemănător. 37. Aflaţi fracţia algebrică ireductibilă egală cu fracţia algebrică: 49 X 2 − 56 X + 16 27 X 3 − 125 a) b) ; . 243 X 3 − 588 X 2 + 336 X − 64 27 X 3 − 27 X 2 + 225 X − 125 Formulaţi un exerciţiu asemănător. 38. Aduceţi la forma cea mai simplă: 3 2 + ; a) 2 3 2 4 X − 12 X + 9 8 X − 36 X + 54 X − 27 1 7 . − b) 3 3 27 X + 64 27 X + 108 X 2 + 144 X + 64 Formulaţi un exerciţiu asemănător. X 3 − 64 X 3 − 9 X 2 + 27 X − 27 39. Aduceţi la forma cea mai simplă 3 . ⋅ X − 27 X 3 − 12 X 2 + 48 X − 64 Formulaţi un exerciţiu asemănător. 40. Aduceţi la forma cea mai simplă: 1 ⎞ 1 28 ⎛ 1 ⎞ ⎛ − + 2 ⎜ ⎟ ⋅ ⎜1 − ⎟. X −4⎠ ⎝ X + 4 X − 3 X + X − 12 ⎠ ⎝ 36. Simplificaţi fracţia algebrică

80

Capitolul IV. Polinoame şi fracţii algebrice

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 41. Aduceţi la forma cea mai simplă: ⎡⎛ 5 8 X 3 + 27 2 2 X + 9 ⎞ 4 X 2 + 12 X + 9 ⎤ : − + ⎟⋅ ⎢⎜ ⎥. 8 8 X 2 − 12 X + 18 ⎣⎝ 2 X + 3 2 X − 3 4 X 2 − 9 ⎠ ⎦ 1 1 1 = 2004. Calculaţi x 2 + 2 şi x 3 + 3 . x x x Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. n+3 43. Decideţi dacă fracţia este reductibilă pentru orice n ∈ Z. 2n + 5 Formulaţi un exerciţiu asemănător. 2n + 3 44. Stabiliţi dacă fracţia este ireductibilă pentru orice n ∈ Z. 5n + 7 Formulaţi un exerciţiu asemănător. X −1 X +1 45. Simplificaţi fracţia algebrică: a) 2004 ; b) 2005 . X −1 X +1 Formulaţi un exerciţiu asemănător. 46. Aduceţi la forma cea mai simplă: 3 4 2004 a) + + ... + ; X + 1 ( X + 1) 2 ( X + 1) 2002 5 6 2004 2005 . − + ... − + b) 2000 X − 1 ( X − 1) 2 ( X − 1) ( X − 1) 2001 Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. ⎧⎪ ⎫⎪ n 4 + 5n 2 − 56 47. Reprezentaţi sintetic mulţimea ⎨n ∈ Z ∈ Z⎬ . 2 n −5 ⎪⎩ ⎪⎭ Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 48. Scrieţi cât mai simplu: 1 1 1 1 1 1 + + + ...; b) + 2 + 3 + ..., | x | > 1. a) 15 152 153 x x x Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 1 1 49. Raţionalizaţi numitorul raportului: a) 2004 ; b) 2005 . x −1 x +1 Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 2004 1 50*. Aduceţi la forma cea mai simplă . i = 0 ( X + i )( X + i + 2) Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 51*. Aflaţi fracţia algebrică ireductibilă egală (pe acelaşi DVA) cu: 42. Se ştie că x +

∑

a)

X 4 − 4 X 3 − 7 X 2 + 22 X + 24 ; X 4 − 15 X 2 − 10 X + 24

Capitolul IV. Polinoame şi fracţii algebrice

b)

X 4 − X 3 + 3 X 2 − 5 X − 10 . X 4 + X 3 − X 2 + 5 X − 30

81

Evaluare formativă 1. Simplificaţi fracţia algebrică 1. Simplificaţi fracţia algebrică 2 X − 6X + 8 X 2 − 6X + 8 . . X 2 − 16 X2 −4 2. Simplificaţi fracţia algebrică 2. Simplificaţi fracţia algebrică 2 X − 11X + 24 X 2 − 10 X + 16 . . X 2 − 5X + 6 X 2 − 9X + 8 3. Simplificaţi fracţia algebrică 3. Simplificaţi fracţia algebrică 2 X − 4 X + 44 X 2 − 5 X + 50 . . X 3 − 64 X 3 − 125 4. Aduceţi la forma cea mai simplă: 4. Aduceţi la forma cea mai simplă: 3 X − 12 7 X − 15 a) a) ; ; + + X −9 X −9 X −8 X −8 3X − 6 X −1 3X − 8 X −1 . . − b) − b) 2X − 5 2X − 5 2X − 7 2X − 7 5. Aduceţi la forma cea mai simplă: 5. Aduceţi la forma cea mai simplă: 2 3 3 2 + ; + ; a) a) 2 X −1 2 X +1 3X −1 3X + 1 2 3 3 2 b) b) − . − . 3X − 2 3X + 2 2X − 3 2X + 3 6. Aduceţi la forma cea mai simplă: 6. Aduceţi la forma cea mai simplă: (2 X − 1)8 ( X − 9)8 (3 X − 1)5 ( X − 3) 7 a) a) ⋅ ; ⋅ ; ( X − 9) 6 (2 X − 1)9 ( X − 3)5 (3 X − 1) 7 2 X −1 X − 5 3X −1 X − 4 b) b) . . : : 3X − 2 2 X − 3 2 X − 1 3X − 2 7. Aduceţi la forma cea mai simplă: 7. Aduceţi la forma cea mai simplă: 2 3 2 3 ; + ; + a) a) 2 2 3X −1 9 X + 3X + 1 4 X − 1 64 X + 4 X + 1 1 3 1 3 − . − . b) b) 2 2 4 X + 1 64 X − 4 X + 1 3X + 1 9 X − 3X + 1 8. Decideţi dacă fracţia algebrică 8. Decideţi dacă fracţia algebrică 2X + 3 2X +1 este ireductibilă. este ireductibilă. 3X + 4 3X + 2 9. Reprezentaţi sintetic mulţimea 9. Reprezentaţi sintetic mulţimea ⎧⎪ ⎫⎪ ⎧⎪ ⎫⎪ n 4 + 3n 2 − 24 n 4 − 3n 2 − 14 . ∈ Z ∈ ∈ Z Z n ⎨n ∈ Z ⎬ ⎨ ⎬. n2 − 3 n2 + 3 ⎪⎩ ⎪⎭ ⎪⎩ ⎪⎭ Barem. Start: 1 punct. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 50 minute.

82

Capitolul IV. Polinoame şi fracţii algebrice

C A P I T O L U L

V

Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii

Ecuaţie. O ecuaţie este o propoziţie cu variabile (în logica matematică se numeşte predicat). Variabilele unei ecuaţii se numesc necunoscute. Fie expresiile f(x), g(x), x ∈ M (mulţime de numere). Atunci f(x) = g(x), x ∈ M, este o ecuaţie cu necunoscuta x. Ecuaţia f(x) = g(x), x ∈ M, are membrul stâng f(x) şi membrul drept g(x). Numărul s este soluţie a ecuaţiei f(x) = g(x), x ∈ M, dacă s ∈ M şi f(s) = g(s) este o propoziţie adevărată. Mulţimea soluţiilor unei ecuaţii se notează S. Ecuaţia de gradul I cu o necunoscută. Fie polinomul de gradul I P(X) = aX + b. Ecuaţia ataşată polinomului P(X), ax + b = 0, a ∈ R*, x ∈ R, este o ecuaţie de gradul I cu necunoscuta x. Ecuaţia ax + b = 0 are coeficienţii a şi b. În plus, ei se numesc: a – coeficientul necunoscutei şi b – termenul liber. Ecuaţii echivalente. Două ecuaţii de gradul I sunt echivalente dacă au aceeaşi necunoscută aparţinând aceleiaşi mulţimi şi se obţin una din cealaltă aplicând proprietăţile egalităţii numerelor reale. Ecuaţiile echivalente au aceeaşi mulţime de soluţii. Tipuri de ecuaţii cu o necunoscută. Fie ecuaţia ax + b = 0, x ∈ R. 1) Dacă a şi b b sunt numere nenule, atunci ecuaţia are o singură soluţie, − . 2) Dacă a = 0 şi b ≠ 0, a atunci ecuaţia nu are soluţii sau S = ∅. 3) Dacă a = 0 şi b = 0, atunci orice număr real este soluţie a ecuaţiei sau S = R. Ecuaţia de gradul II în R. Fie polinomul de gradul II cu coeficienţi reali aX 2 + bX + c. Evident că a ≠ 0. Atunci ecuaţia ataşată acestui polinom, ax 2 + bx + c = 0, este o ecuaţie de gradul II. La rezolvarea unei ecuaţii de gradul II se aplică proprietăţile egalităţii numerelor reale şi teorema: un produs de numere reale este egal cu 0 dacă şi numai dacă cel puţin unul dintre factorii produsului este egal cu 0. Ecuaţii de gradul II forme incomplete. 1) Ecuaţia ax 2 = 0 are mulţimea soluţiilor S = {0}. 2) Fie ecuaţia ax 2 + bx = 0. ax 2 + bx = 0 ⇔ x(ax + b) = 0. Ecuaţia are b⎫ ⎧ mulţimea soluţiilor S = ⎨0, − ⎬ . 3) Fie ecuaţia ax 2 + c = 0. Atunci ax 2 + c = 0 ⇔ a⎭ ⎩ ⎧ c c⎫ c c ax 2 = − c ⇔ x 2 = − . a) Dacă < 0, atunci ecuaţia are S = ⎨− − , − ⎬ . a a a a⎭ ⎩

c > 0, atunci ecuaţia nu are soluţii reale sau S = ∅. a Ecuaţia de gradul II forma completă. Fie ecuaţia ax 2 + bx + c = 0 cu a, b, c numere reale nenule. ax 2 + bx + c = 0 ⇔ 4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0 ⇔ 4a 2 x 2 + 4abx + b 2 − b 2 + 4ac = 0 ⇔ (2ax + b) 2 − (b 2 − 4ac) = 0. Numărul ∆ (se citeşte „delta“) = b) Dacă

Capitolul V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii

83

b 2 − 4ac este discriminantul (realizantul) ecuaţiei. a) Dacă ∆ > 0, atunci x1 =

⎧− b − ∆ − b + ∆ ⎫ −b− ∆ −b+ ∆ , şi x2 = , iar S = ⎨ ⎬ . În particular, dacă: b = 2a 2a ⎭ 2a ⎩ 2a 2b′, atunci x1 = − b′ − b′2 − ac şi x2 = − b′ + b′ 2 − ac , iar S =

}

{−b′ −

b′2 − ac ,

− b − b 2 − 4c − b + b 2 − 4c şi x2 = , iar S = 2 2 b ⎧ b ⎫ b) Dacă ∆ = 0, atunci x1 = x2 = − , iar S = ⎨− ⎬ . 2a ⎩ 2a ⎭

− b′ − b′ 2 − ac ; a = 1, atunci x1 =

⎧− b − ∆ − b + ∆ ⎫ , ⎨ ⎬. 2a ⎭ ⎩ 2a c) Dacă ∆ < 0, atunci ecuaţia nu are soluţii reale, S = ∅. Teoremă. Mulţimea soluţiilor în R ale unei ecuaţii de gradul II: a) are două elemente dacă şi numai dacă discriminantul său este mai mare decât 0 (∆ > 0); b) un singur element dacă şi numai dacă discriminantul său este egal cu 0 (∆ = 0); c) mulţimea vidă dacă şi numai dacă discriminantul său este mai mic decât 0 (∆ < 0). Rădăcinile reale ale polinomului de gradul II cu coeficienţi reali P(X) = aX 2 + bX + c. Numărul r este rădăcină a polinomului P(X), dacă P(r) = 0. a) Dacă ∆ > 0, −b− ∆ −b+ ∆ atunci polinomul are rădăcinile x1 = şi x2 = . În particular, dacă: b 2a 2a = 2b′, atunci polinomul are rădăcinile x1 = − b′ − b′2 − ac şi x2 = − b′ + b′2 − ac ; − b − b 2 − 4c − b + b 2 − 4c şi x2 = . b) Dacă ∆ = 0, 2 2 b atunci rădăcinile polinomului sunt x1 = x2 = − . c) Dacă ∆ < 0, atunci polinomul 2a nu are rădăcini reale. Teoremă. Un polinom de gradul II: a) are două rădăcini reale diferite dacă şi numai dacă are discriminantul mai mare decât 0 (∆ > 0); b) două rădăcini reale egale dacă şi numai dacă are discriminantul egal cu 0 (∆ = 0); c) nu are rădăcini reale dacă şi numai dacă are discriminantul mai mic decât 0 (∆ < 0). Descompunerea polinomului de gradul II cu coeficienţi reali P(X) = aX 2 + bX + c. Dacă ∆ > 0, atunci P(X) = a( X − x1 )( X − x2 ), unde rădăcinile x1 şi x2 sunt rădăcinile reale ale polinomului. Teorema lui Viète pentru rădăcinile polinomului de gradul II aX 2 + bX + c. −b− ∆ −b+ ∆ a) Dacă ∆ > 0, atunci polinomul are rădăcinile x1 = şi x2 = . 2a 2a b c Suma rădăcinilor este s = x1 + x2 = − , iar produsul rădăcinilor este p = x1 x2 = . a a b b) Dacă ∆ = 0, atunci rădăcinile polinomului sunt x1 = x2 = − . Suma rădăcinilor 2a a = 1, atunci el are x1 =

84

Capitolul V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii

b c este s = x1 + x2 = − , iar produsul rădăcinilor este p = x1 x2 = . a a Alte relaţii între coeficienţii şi rădăcinile polinomului de gradul II aX 2 + bX + c. Fie s = x1 + x2 şi p = x1 x2 . 1) Suma pătratelor rădăcinilor este s ( 2) = x12 + x22 = ( x1 + x2 ) 2 − 2 x1 x2 = s 2 − 2p. 2) Suma cuburilor rădăcinilor este s (3) = x13 + x23 = c b = 0 ⇒ ( x1 + x2 ) 3 − x1 x2 ( x1 + x2 ) = s 3 − 3sp. 3) ax12 + bx1 + c = 0 ⇒ x12 + x1 + a a x12 − sx1 + p = 0, (1). Analog se obţine relaţia x22 − sx2 + p = 0, (2). Înmulţind relaţia (1) cu x1n − 2 , obţinem x1n − sx1n−1 + px1n − 2 = 0, (3). Înmulţind relaţia (2) cu x2n − 2 , obţinem x2n − sx2n−1 + px2n − 2 = 0, (4). Adunând relaţiile (3) şi (4), obţinem ( x1n + x2n ) − s ( x1n −1 + x2n −1 ) + p ( x1n − 2 + x2n − 2 ) = 0, de unde rezultă s ( n ) − ss ( n −1) + ps ( n − 2) = 0, (5). Polinom de gradul II cu rădăcinile date şi coeficientul dominant 1. Polinomul de gradul II în nedeterminanta X cu coeficientul dominant 1 şi rădăcinile m şi n este X 2 − sX + p, unde s = m + n şi p = mn. Relaţii între coeficienţii şi soluţiile ecuaţiei de gradul II ax 2 + bx + c = 0. Dacă −b− ∆ −b+ ∆ ∆ ≥ 0, atunci ecuaţia are soluţiile x1 = şi x2 = . Suma soluţiilor 2a 2a b c este s = x1 + x2 = − , iar produsul soluţiilor este p = x1 x2 = . a a Alte relaţii între coeficienţii şi soluţiile ecuaţiei de gradul II ax 2 + bx + c = 0. Fie s = x1 + x2 şi p = x1 x2 . 1) Suma pătratelor soluţiilor este s ( 2) = x12 + x22 = s 2 − 2p. 2) Suma cuburilor rădăcinilor este s (3) = x13 + x23 = s 3 − 3sp. 3) ax12 + bx1 + c = 0 ⇒ c b = 0 ⇒ x12 − sx1 + p = 0, (1). Analog se obţine relaţia x22 − sx2 + p = 0, x12 + x1 + a a (2). Înmulţind relaţia (1) cu x1n − 2 , obţinem x1n − sx1n−1 + px1n − 2 = 0, (3). Înmulţind relaţia (2) cu x2n − 2 , obţinem x2n − sx2n−1 + px2n − 2 = 0, (4). Adunând relaţiile (3) şi (4), obţinem ( x1n + x2n ) − s ( x1n −1 + x2n −1 ) + p ( x1n − 2 + x2n − 2 ) = 0, de unde rezultă s ( n ) − ss ( n −1) + ps ( n − 2) = 0, (5). Reciproca teoremei lui Viète. Dacă se dau suma şi diferenţa a două numere, atunci există o ecuaţie de gradul II care are soluţiile cele două numere. Ecuaţia de gradul II cu soluţiile date. Ecuaţia de gradul II cu soluţiile m şi n este 2 x − sx + p, unde s = m + n şi p = mn. Suplimentar. Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mare decât II. Ecuaţia ataşată unui polinom de gradul III este o ecuaţie (algebrică) de gradul III. Pentru a rezolva o astfel de ecuaţie se poate aplica teorema lui Bézout şi schema lui Horner. Exemplu. Rezolvaţi ecuaţia x4 – 8x3 + 25x2 – 38x + 24 = 0. Capitolul V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii

85

Rezolvare. Divizorii întregi ai lui 24 sunt: –24, –12, –8, –6, –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Prezentăm numai variantele încercările reuşite. X4 X3 X2 X1 X0 3 1 –8 25 –38 24 2 1 3–8 = –5 –15+25 = 10 30–38 = –8 –24+24 = 0 1 2–5 = –3 2(–3)+10 = 4 8–8 = 0 Am obţinut X4 – 8X3 + 25X2 – 38X + 24 = (X – 3)(X – 2)(X2 – 3X + 4). X2 – 3X + 4 este ireductibil în R, deoarece are ∆ = 9 – 16. Prin urmare, ecuaţia x4 – 8x3 + 25x2 – 38x + 24 = 0 are soluţiile reale 2 şi 3. Suplimentar. Relaţiile lui Viète pentru polinomul de gradul III şi ecuaţia de gradul III. Pentru aceasta este suficient să examinăm egalitatea aX3 + bX2 + cX + d = a(X – x1)(X – x2)(X – x3), unde x1, x2, x3 sunt rădăcinile reale are polinomului aX3 + bX2 + cX + d. Forma canonică a polinomului a(X – x1)(X – x2)(X – x3) este aX3 – a(x1 + x2 + x3)X2 + a(x1x2 + x1x3 + x2x3)X – ax1x2x3 şi rezultă b = – a(x1 + x2 + x3), c = b a(x1x2 + x1x3 + x2x3), d = –ax1x2x3, de unde x1 + x2 + x3 = − , x1x2 + x1x3 + x2x3 = a c d , x1x2x3 = − . Obţinem: s1 = x1 + x2 + x3, s2 = x1x2 + x1x3 + x2x3, s3 = x1x2x3. a a Suplimentar. Ecuaţia de gradul III cu soluţiile reale date. Ecuaţia de gradul III cu soluţiile reale x1, x2, x3 este (x – x1)(x – x2)(x – x3) = 0 este echivalentă cu x3 – s1x2 + s2x – s3 = 0, unde s1 = x1 + x2 + x3, s2 = x1x2 + x1x3 + x2x3, s3 = x1x2x3. Sistem, totalitate. Fie ecuaţiile f(x, y) = 0, g(x, y) = 0, (x, y) ∈ D ⊆ R × R. Propoziţia cu variabile „ f(x, y) = 0 şi g(x, y) = 0, (x, y) ∈ D ⊆ R × R“ este un sistem ⎧ f ( x, y ) = 0 de două ecuaţii cu două necunoscute şi se notează ⎨ s = ( x0 , y0 ) ∈ D ⎩ g ( x , y ) = 0. este soluţie a sistemului, dacă propoziţia „ f ( x0 , y0 ) = 0 şi g ( x0 , y0 ) = 0“ este adevărată. Propoziţia cu variabile „ f(x, y) = 0 sau g(x, y) = 0, (x, y) ∈ D ⊆ R × R“ ⎡ f ( x, y ) = 0 este o totalitate de două ecuaţii cu două necunoscute şi se notează ⎢ s= ⎣ g ( x , y ) = 0.

( x0 , y0 ) ∈ D este soluţie a totalităţii, dacă propoziţia „ f ( x0 , y0 ) = 0 sau g ( x0 , y0 ) = 0“ este adevărată. Sisteme de ecuaţii echivalente. Două sisteme de ecuaţii sunt echivalente dacă au aceleaşi necunoscute aparţinând aceleiaşi mulţimi şi se obţin unul din celălalt aplicând proprietăţile egalităţii numerelor reale. Sistemele de ecuaţii echivalente au aceeaşi mulţime de soluţii. Metode de rezolvare algebrică a sistemelor de două ecuaţii cu două necunoscute. Rezolvarea prin metoda substituţiei: 1) din una dintre ecuaţii se exprimă o necunoscută în funcţie de cealaltă; 2) se substituie (înlocuieşte) această necunoscută în cealaltă ecuaţie a sistemului; 3) se rezolvă ecuaţia obţinută; 4) se află cealaltă necunoscută a sistemului; 5) se obţine soluţia sistemului sau mulţimea soluţiilor sistemului. Rezolvarea prin metoda reducerii: 1) se examinează sistemul şi se constată dacă coeficienţii unei necunoscute sunt egali sau opuşi, după care se alege una dintre vari-

86

Capitolul V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii

antele: a) pentru da se trece la pasul 3); b) pentru nu se trece la pasul 2); 2) aplicând proprietăţile egalităţii, se obţine un sistem echivalent cu cel dat, care are proprietatea că una dintre necunoscute are coeficienţii egali sau opuşi în ambele ecuaţii; 3) prin adunarea sau scăderea ecuaţiilor sistemului, se obţine un sistem echivalent cu cel iniţial (sau cu precedentul, dacă s-a executat pasul 2)); 4) se află una dintre necunoscute; 5) se află prin substituţie a doua soluţie a sistemului; 6) se scrie soluţia sau mulţimea soluţiilor sistemului. Introducerea unor necunoscute auxiliare. Exemple: 1 11 ⎧ ⎪x + y = 2 ⎪ 1) Rezolvaţi în R × R sistemul ⎨ ⎪3x + 2 = 16. y ⎩⎪ 11 ⎧ 1 ⎪x + u = Rezolvare. Fie u = . Se obţine sistemul ⎨ 2 care se rezolvă prin substiy ⎪⎩3 x + u = 16, tuţie. ⎧x + y = 8 Sistemul este simetric, 2) Rezolvaţi în R × R sistemul simetric ⎨ 3 3 x y + = 152 . ⎩ deoarece înlocuind necunoscutele între ele se obţine acelaşi sistem. Se înlocuieşte x + y = s şi xy = p. Se ţine cont că x3 + y3 = s3 – 3sp şi se obţine ⎧s = 8 sistemul ⎨ 3 ⎩s − 3sp = 152. ⎧s = 8 ⎧s = 8 ⇔⎨ Soluţiile sistemului se obţin rezolvând ecuaţia t2 – ⎨ ⎩512 − 24 p = 152 ⎩ p = 15. 8t + 15 = 0. Soluţiile ecuaţiei sunt 3 şi 5 iar soluţiile sistemului sunt (3, 5) şi (5, 6). ⎧3 x + 2 y = 7 3) Rezolvaţi în R × R sistemul omogen ⎨ Sistemul este omogen, de⎩5 x + 3 y = 11. oarece polinoamele P(X, Y) = 3X + 2Y şi Q(X, Y) = 5X + 3Y sunt polinoame omogene de gradul I. Fie x = ty. Atunci: ⎧ y (3t + 2) = 7 3t + 2 7 = ⇒ 33t + 22 = 35t + 21 ⇔ 2t = 1 ⇔ t = 0,5. ⇒ ⎨ ⎩ y (5t + 3) = 11 5t + 3 11 y(1,5 + 2) = 7 ⇔ y = 2 ⇒ x = 1. Sistemul are soluţia (1, 2). ⎧⎪3 x 2 − y 2 = −1 Sistemul este omogen, 4) Rezolvaţi în R × R sistemul omogen ⎨ 2 ⎪⎩− x + 2 y 2 = 7. deoarece polinoamele P(X, Y) = 3X2 – Y2 şi Q(X, Y) = –X2 + 2Y2 sunt polinoame omogene de gradul II. Fie x = ty. Atunci: ⎧⎪ y 2 (3t 2 − 1) = −1 3t 2 − 1 1 ⇒ = − ⇒ 21t 2 − 7 = t 2 − 2 ⇔ t 2 = 0,25 ⇔ | t | = 0,5. ⎨ 2 2 2 7 t − + 2 ⎪⎩ y (−t + 2) = 7 Capitolul V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii

87

y2(0,75 –1) = –1 ⇔ y2 = 4. Soluţiile în R × R ale sistemului sunt (–1, –2), (–1, 2), (1, –2), (1, 2). Totalităţi de ecuaţii. Exemple. 1) Rezolvaţi în R ecuaţia x2 – 14x + 13 = 0. ⎡x = 1 Rezolvare. Ecuaţia are ∆′ = 49 – 13 = 36. Atunci x2 – 14x + 13 = 0 ⇔ ⎢ ⇔ ⎣ x = 13 S = {1, 13}. 1) Rezolvaţi în R ecuaţia (x2 – 15x + 50)(x2 – 4x – 21) = 0. Rezolvare. Ecuaţia x2 – 15x + 50 = 0 are ∆ = 225 + 200 = 425, x2 – 4x – 21 = 0 are ⎡ x 2 − 15 x + 50 = 0 ⇔ ∆′ = 4 + 21 = 25 Atunci (x2 – 15x + 50)(x2 – 4x – 21) = 0 ⇔ ⎢ 2 ⎣⎢ x − 4 x − 21 = 0

⎡x = 5 ⎢ x = 10 ⎢ ⇒ S = {–3, 5, 7, 10}. ⎢ x = −3 ⎢ ⎣x = 7

1. E c u a ţ i i d e f o r m a

ax + b = 0, a ∈ R, b ∈ R

1. Stabiliţi care dintre ecuaţiile următoare au soluţii în mulţimea {−2, −1, 0, 2, 3, 4}: a) 5x − 2 = 8; b) 8x + 3 = 11; c) x2 + 2x – 3 = 0; d) x2 + 2x – 3 = 0. 2. Aplicând proprietăţile egalităţii numerelor reale, construiţi trei ecuaţii echivalente cu ecuaţia: a) 6x − 7 = 8; b) 3x − 4 = 5; c) 6x − 4 = 5; d) 5x − 8 = 7. 3. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) 3x + 14 = 0; b) 5x + 9 = 0; c) 5x + 8 = 0; d) 4x + 19 = 0. 4. Rezolvaţi în R ecuaţia: 3 2 3 1 1 2 5 3 b) x + = 0; a) x + = 0; c) x + = 0; d) x + = 0. 5 4 6 3 8 4 4 5 5. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) 4x − 7 = −15; b) 2x − 3 = 4; c) 8x − 16 = 7; d) 5x + 11 = −3. 6. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) 4 x − 3 3 = 7 3; b) 5 x − 7 2 = 11 2 ; c) 8 x − 7 6 = 11 6 ;

d) 4 x − 4 7 = 13 7 ; 7. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) 8z + 9 = 3z − 6; d) 4z + 5 = 3z − 9; 8. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) 4(2t + 5) = 9t − 23; d) 5(2t + 3) = 16t − 12;

88

e) 8 x − 3 11 = 4 11;

f) 5 x − 14 13 = 7 13.

b) 3z + 9 = 12z − 4; e) 11z + 9 = 8z − 13;

c) 2z + 5 = 9z − 11; f) 14z + 8 = 9z − 16.

b) 2(3t + 4) = 12t − 28; e) 4(2t + 1) = 24t − 3;

c) 3(2t + 5) = 15t − 18; f) 2(11t + 2) = 19t − 25.

Capitolul V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii

9. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) 8(7z −9) = 9(8z − 5); b) 2(4z − 3) = 3(2z − 1); c) 3(5z − 2) = 2(4z − 1); d) 5(2z − 1) = 2(2z − 3); e) 2(5z − 2) = 3(4z − 3); f) 4(3z − 2) = 3(3z − 2). 10. Rezolvaţi în R ecuaţia: 2 1 3 2 1 1 b) x − 2 = x − 4; c) x − 3 = x − 8; a) x − 6 = x − 7; 5 4 5 3 3 2 2 1 3 3 1 5 d) x − 8 = x − 11; e) x − 5 = x − 9; d) x − 7 = x − 16. 5 2 4 8 4 8 11. Rezolvaţi în R ecuaţia: 7 x 12 6 x 11 3x 12 4x 5 9x 5 = ; b) = ; c) = ; d) = ; e) = . a) 3 5 5 4 8 5 9 11 11 6 12. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) 3 5 x = −5; b) 4 7 x = 7; c) 5 8 x = −8; d) 6 15 x = 15. 13. Aflaţi raţia unei progresiei aritmetice dacă: a) suma a cinci termeni consecutivi ai ei este 72 şi primul termen 2; b) suma a trei termeni consecutivi ai ei este 44 şi primul termen 8; c) suma a patru termeni consecutivi ai ei este 48 şi primul termen 6; d) suma a cinci termeni consecutivi ai ei este 64 şi primul termen 3; e) suma a cinci termeni consecutivi ai ei este 36 şi primul termen 5; f) suma a cinci termeni consecutivi ai ei este 28 şi primul termen 4. 14. Rezolvaţi în R ecuaţia: b) | 2x – 3 | = 4; c) | 4x – 1 | = 12; a) | 3x – 7 | = 9; d) | 2x – 3 | = 5; e) | 3x – 2 | = 7; f) | 2x – 5 | = 4. 15. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) 8(x + 7) + 6 = 5(x − 2) + 11; b) 9(x + 4) + 5 = 8(x − 2) + 7; c) 5(x + 2) + 9 = 4(x − 3) + 12; d) 6(x + 5) + 10 = 3(x − 4) + 15; d) 2(x + 3) + 2 = 3(x − 5) + 13; e) 3(x + 6) + 8 = 6(x − 7) + 5. 16. Rezolvaţi în R ecuaţia: 5 x 1 − 3x 3x 1 − 4 x 3x 1 − 5 x a) ; ; ; = b) = c) = 19 13 16 7 17 8 4 x 1 − 5x 4 x 1 − 5x 6x 1 − 4x ; ; . d) = e) = f) = 13 5 13 5 19 2 17. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) (3x – 2)2 + (5x + 1)2 = (3x + 5)2 + (5x – 2)2; b) (4x – 1)2 + (2x + 3)2 = (4x + 3)2 + (2x – 1)2; c) (5x – 1)2 + (3x + 1)2 = (3x + 2)2 + (5x – 2)2; d) (6x – 1)2 + (3x + 2)2 = (6x + 5)2 + (3x – 1)2; e) (5x – 2)2 + (4x + 3)2 = (5x + 1)2 + (4x – 1)2; f) (6x – 5)2 + (5x + 2)2 = (6x + 1)2 + (5x – 3)2. 18. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) (20x – 1)2 + (21x + 2)2 = (29x + 1)2; b) (3x – 2)2 + (4x + 1)2 = (5x + 2)2; d) (8x – 1)2 + (15x + 2)2 = (17x + 2)2; c) (5x – 2)2 + (12x + 1)2 = (13x + 3)2; 2 2 2 e) (7x – 1) + (24x + 1) = (25x + 2) ; f) (9x – 1)2 + (40x + 1)2 = (41x + 3)2. Capitolul V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii

89

19. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) (4x − 3)(5x + 4) = (2x + 7)(10x − 8) + 11; b) (2x − 5)(3x + 1) = (6x + 1)(x − 6) + 26; c) (2x − 3)(6x + 1) = (3x + 1)(4x − 3) + 15; d) (8x − 1)(3x + 3) = (6x + 5)(4x − 1) + 21; e) (2x − 3)(12x + 1) = (6x + 1)(4x − 5) + 25. 20. Rezolvaţi în R ecuaţia: b) | 7x + 3 | + | 4y − 6 | + | 5z − 3| = 0; a) | 2x + 3 | + | 3y − 8 | + | 5z − 14| = 0; c) | 3x + 4 | + | 5y − 8 | + | 9z − 2| = 0; d) | 8x + 11 | + | 5y − 9 | + | 7z − 2| = 0. 21. Rezolvaţi în R ecuaţia: 5 2 4 1 2 3 a) = ; b) = ; c) = ; 3x − 1 2 x + 3 3x − 2 2 x − 7 2x − 5 2x − 3 3 2 3 4 4 3 d) = ; e) = ; f) = . 4x − 7 2x − 9 4 x + 3 2 x + 11 4x − 9 2x + 7 22. Aflaţi parametrul a pentru care: a) –5 este soluţie a ecuaţiei 2x + 11 = 3x + a; b) –2 este soluţie a ecuaţiei 3x + 9 = 4x + a; c) –1 este soluţie a ecuaţiei 5x + 4 = 5x + a; d) 2 este soluţie a ecuaţiei 4x + 3 = 2x + a; e) –3 este soluţie a ecuaţiei 6x + 7 = 8x + a; f) 3 este soluţie a ecuaţiei 5x + 2 = 9x + a. 23. Aflaţi numărul real m pentru care: a) 3X 3 – 6X 2 + 5X – 7m se divide cu X + 3; b) 2X 3 – 2X 2 + 3X – 9m se divide cu X – 2; c) 2X 3 – 7X 2 + 2X – 6m se divide cu X + 4; d) 4X 3 – 3X 2 + 8X – 11m se divide cu X – 3; e) 5X 3 – 8X 2 + 4X – 5m se divide cu X – 4; f) 2X 3 + 2X 2 – 9X – 2m se divide cu X + 5. 24. Aflaţi numărul real m pentru care: a) restul împărţirii lui 8X 3 – 2X 2 + 9mX – 12 la X + 3 să fie egal cu –17; b) restul împărţirii lui 2X 3 – 3X 2 + 4mX – 19 la X – 2 să fie egal cu 11; c) restul împărţirii lui 3X 3 – 4X 2 + 8mX – 4 la X + 4 să fie egal cu 15; d) restul împărţirii lui 2X 3 – 5X 2 + 2mX – 5 la X – 3 să fie egal cu 14; e) restul împărţirii lui 4X 3 + 2X 2 – 7mX – 18 la X + 5 să fie egal cu 13; f) restul împărţirii lui 5X 3 + 3X 2 – 3mX – 11 la X – 5 să fie egal cu 12. 25. Rezolvaţi în Z ecuaţia: a) (2x − 1)(y + 3) = 6; b) (4x − 3)(2y + 1) = 8. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 26. Controlaţi dacă:

a)

90

8 − 2 este soluţie a ecuaţiei x4 – 16x2 + 14 = 0; Capitolul V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii

b)

3 + 5 este soluţie a ecuaţiei x4 – 9x2 + 5 = 0.

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 27. Aflaţi ecuaţia de grad minim, cu coeficienţi întregi, cu 3 − 7 una dintre soluţii. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 28. Dacă adunăm, pe rând, unui număr 24, 32, 41, obţinem trei numere a căror sumă este cu 8 mai mare decât numărul dat. Aflaţi numărul. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 29. Un tren trebuie să parcurgă o anumită distanţă într-un interval de timp. Dacă sar deplasa cu viteza medie de 90 km/h, ar ajunge cu 3 h mai devreme, iar dacă s-ar deplasa cu viteza medie de 60 km/h, ar ajunge cu 2 h mai târziu decât timpul stabilit. Ce distanţă trebuie să parcurgă trenul? Formulaţi un exerciţiu asemănător. 30. Dacă pun câte 3 creioane în cutiile pe care le am, atunci îmi rămâne un creion, iar dacă pun câte 5 creioane în cutiile pe care le am, atunci două cutii rămân goale. Câte cutii şi câte creioane am? Formulaţi un exerciţiu asemănător. 31. Pentru suma de bani pe care a depus-o la o bancă pentru un an, dl B primeşte lunar 540 lei. Ce sumă de bani a depus dl B la bancă, dacă dobânda anuală este de 18%? Formulaţi un exerciţiu asemănător. 32. Rezolvaţi în R ecuaţia:

a)

6 x 2 − 4 6 x + 13 + 2 y 2 − 8 2 y + 20 = 5;

b) 7 x 2 − 12 7 x + 37 + 8 y 2 − 20 2 y + 50 = 6. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 33. Rezolvaţi în R ecuaţia 14x + 15x + 16x + … + 199x + 200x = 9 800. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 34. Ovidiu a citit 33,(3)% din numărul capitolelor unei cărţi. După ce a mai citit un capitol i-au mai rămas de citit 50% din numărul capitolelor cărţii. Câte capitole are cartea? Formulaţi un exerciţiu asemănător. 35. Rezolvaţi în R ecuaţia, dacă a este un parametru real: b) 2ax − 5 = 0. a) 3ax − 14 = 0; Formulaţi un exerciţiu asemănător. 36. Rezolvaţi în R ecuaţia, dacă a este un parametru real: b) (a − 4)x − 28 = 0. a) (a − 2)x − 17 = 0; Formulaţi un exerciţiu asemănător. 37. Aflaţi numerele reale m şi n pentru care graficul funcţiei definită prin ⎧mx − 1, dacă x ∈ (− ' , − 2) ⎪ f ( x) = ⎨5 − x, dacă x ∈ [−2, 3) este o linie poligonală deschisă. ⎪3n − x, dacă x ∈ [3, ' ) ⎩ Formulaţi un exerciţiu asemănător. Capitolul V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii

91

38. Aflaţi ecuaţia de grad minim, cu coeficienţi întregi, cu una dintre soluţii:

a) 3 5 − 6 ; b) 3 − 3 12 . Formulaţi un exerciţiu asemănător. 39. Rezolvaţi în R ecuaţia, dacă a este un parametru real: a) 4ax − 17 = 3x + 14; b) 5ax − 6 = 8x − 10; c) 8ax − 25 = 4x − 9. 40. Aflaţi numerele întregi x pentru care x x − 8 x − 16 x − 8( n − 1) x − 8n + + + ... + + = − ( n + 1). 8 16 24 8n 8( n + 1) Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 41. Rezolvaţi în mulţimea numerelor întregi ecuaţia x x − 5 x − 10 x − (10n − 5) ⋅ ⋅ ⋅ ... ⋅ = 1. 5 10 15 10n Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 42. Aflaţi raţia unei progresii geometrice cu trei termeni, dacă are primul termen egal cu 2 şi suma termenilor este 42. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 43. a) Un ogar urmăreşte o vulpe. Aflaţi peste câte sărituri ogarul ajunge vulpea, dacă vulpea se află la 60 de sărituri (de vulpe) înaintea ogarului, că în timp ce vulpea face 9 sărituri ogarul face 6 sărituri şi că 3 sărituri de ogar măsoară cât 7 sărituri de vulpe. b) Un ogar urmăreşte o vulpe. Aflaţi peste câte sărituri ogarul ajunge vulpea, dacă vulpea se află la 63 de sărituri (de vulpe) înaintea ogarului, că în timp ce vulpea face 7 sărituri ogarul face 4 sărituri şi că 2 sărituri de ogar măsoară cât 5 sărituri de vulpe. Formulaţi un exerciţiu asemănător.

Evaluare formativă 1. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) 4x + 9 = 3; b) 3x − 2 5 = 6 5. 2. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) 5z + 6 = 2z – 11; b) 3(2t – 3) = 11t – 7. 3. Rezolvaţi în R ecuaţia: 3x 4 x a) = ; 5 7 b) 7 11x = 11. 4. Rezolvaţi în R ecuaţia: 2(4x + 5) = 3(7x + 8). 5. Rezolvaţi în R ecuaţia:

92

1. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) 5x + 8 = 5; b) 3x − 4 6 = 7 6 . 2. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) 4z + 7 = 3z – 10; b) 2(3t – 2) = 10t – 7. 3. Rezolvaţi în R ecuaţia: 5x 2 x a) = ; 6 7 b) 8 7 x = 7. 4. Rezolvaţi în R ecuaţia: 4(2x + 3) = 3(5x + 6). 5. Rezolvaţi în R ecuaţia: Capitolul V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii

| 5x – 3 | = 9. | 4x – 5 | = 8. 6. Rezolvaţi în R ecuaţia: 6. Rezolvaţi în R ecuaţia: 2 x 2 − 3x 3x 3 − 2 x a) a) = = ; ; 5 4 4 5 2 3 3 2 b) b) = . = . 2x − 3 2x + 5 2x + 7 2x − 5 7. Aflaţi numărul real m pentru care: 7. Aflaţi numărul real m pentru care: a) –2 este soluţie a ecuaţiei 4x + a) 2 este soluţie a ecuaţiei 5x + 3 = 5 = 3x + m; 4x + m; b) polinomul 4X 3 – 3X 2 + 5X – b) polinomul 3X 3 – 4X 2 + 6X – 5m 6m se divide cu X + 2. se divide cu X + 2. 8. Aflaţi numerele întregi x pentru 8. Aflaţi numerele întregi x pentru 3x − 7 3x + 7 care care este număr întreg. este număr întreg. x+3 x −3 9. Rezolvaţi în R ecuaţia, dacă a 9. Rezolvaţi în R ecuaţia, dacă a este este un parametru real 3ax − 5 = 4x + 9. un parametru real 4ax − 6 = 3x + 8. Barem. Start: 1 punct. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 50 minute.

2. E c u a ţ i i d e g r a d u l I I c u o n e c u n o s c u t ă 1. Scrieţi ecuaţia ataşată polinomului: a) −3X + 8; b) −5X + 2; c) −11X − 3; d) −9X + 18. 2. Scrieţi ecuaţia ataşată polinomului: b) 4X 2 – 9X – 7; c) 5X 2 – 25X – 4. a) 3X 2 – 11X – 12; 3. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) x2 − 18 = 0; b) x2 − 24 = 0; c) x2 − 32 = 0; d) x2 − 48 = 0. 4. Aflaţi rădăcinile reale ale polinomului: b) 9X 2 – 28; c) 4X 2 – 45; d) 16X 2 – 24. a) 4X 2 – 12; 5. Aflaţi rădăcinile reale ale polinomului: b) 8X 2 + 36; c) 5X 2 + 18; d) 6X 2 + 14. a) 6X 2 + 58; 6. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) (x – 3)2 − 7 = 0; b) (x – 6)2 − 5 = 0; c) (x – 7)2 − 13; d) (x – 8)2 − 14. 7. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) 7x2 − 8x = 0; b) 9x2 − 5x = 0; c) 5x2 − 6x = 0; d) 8x2 − 11x = 0. 8. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) 12x2 = 0; b) 14x2 = 0; c) 29x2 = 0; d) 15x2 = 0; e) 57x2 = 0. 9. Aflaţi rădăcinile reale ale polinomului: b) 9X 2 + 44X + 49; c) 25X 2 + 20X + 4. a) 4X 2 + 12X + 9; 10. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) 16x2 – 24x + 9 = 0; b) 16x2 – 56x + 49 = 0; c) 25x2 – 40X + 16. Capitolul V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii

93

11. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) x2 + 4x + 1 = 0; b) x2 + 7x + 1 = 0; c) x2 + 8x + 1 = 0; e) x2 + 12x + 1 = 0; f) x2 + 14x + 1 = 0. d) x2 + 9x + 1 = 0; 12. Aflaţi rădăcinile reale ale polinomului: b) 9X 2 + 44X – 1; c) 25X 2 + 20X – 1. a) 4X 2 + 12X – 1; 13. Rezolvaţi în R ecuaţia: b) x2 + 7x + 10 = 0; c) x2 + 8x + 17 = 0; a) x2 + 4x + 5 = 0; 2 2 d) x + 9x + 23 = 0; e) x + 12x + 37 = 0; f) x2 + 14x + 50 = 0. 14. Aflaţi m, astfel încât una dintre soluţiile ecuaţiei: a) 5x2 − 12x + m = 0 să fie –3; b) 2x2 − 10x + m = 0 să fie –2; d) 3x2 − 12x + m = 0 să fie –3. c) 3x2 − 8x + m = 0 să fie –2; 15. Aflaţi numerele reale m, astfel încât polinomul: a) mX 2 − 11X + 2 să nu aibă rădăcini reale; b) mX 2 − 111X + 10 să nu aibă rădăcini reale; c) mX 2 − 1 111X + 100 să nu aibă rădăcini reale; d) mX 2 − 11 111X + 1 000 să nu aibă rădăcini reale; e) mX 2 − 111 111X + 100 000 să nu aibă rădăcini reale; f) mX 2 − 1 111 111X + 1 000 000 să nu aibă rădăcini reale. 16. Aflaţi numerele reale m, astfel încât polinomul: a) 3X 2 − 6X + 2m să aibă rădăcini egale; b) 4X 2 − 8X + 5m să aibă rădăcini egale; c) 2X 2 − 10X + 4m să aibă rădăcini egale; d) 5X 2 − 12X + 6m să aibă rădăcini egale; e) 2X 2 − 14X + 7m să aibă rădăcini egale; f) 3X 2 − 16X + 8m să aibă rădăcini egale. 17. Aflaţi m astfel încât mulţimea soluţiilor reale ale ecuaţiei: a) 7mx2 − 18x + 8 = 0 să aibă două elemente; b) 3mx2 − 16x + 2 = 0 să aibă două elemente; c) 2mx2 − 14x + 3 = 0 să aibă două elemente; d) 4mx2 − 10x + 4 = 0 să aibă două elemente; e) 5mx2 − 8x + 3 = 0 să aibă două elemente; f) 6mx2 − 65x + 2 = 0 să aibă două elemente. 18. Aflaţi m astfel încât mulţimea soluţiilor reale ale ecuaţiei: a) 9mx2 − 12x + 11 = 0 să nu aibă elemente; b) 2mx2 − 8x + 9 = 0 să nu aibă elemente; c) 5mx2 − 16x + 6 = 0 să nu aibă elemente; d) 4mx2 − 10x + 7 = 0 să nu aibă elemente; e) 6mx2 − 6x + 3 = 0 să nu aibă elemente; f) 3mx2 − 8x + 8 = 0 să nu aibă elemente. 19. Aplicând formule, rezolvaţi în R ecuaţia: b) x4 − 15x2 + 14 = 0; c) x4 − 11x2 + 18 = 0; a) x4 − 8x2 + 12 = 0; 4 2 4 2 d) x − 20x + 36 = 0; e) x − 15x + 26 = 0; f) x4 − 11x2 + 24 = 0.

94

Capitolul V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii

20. Aplicând formule, rezolvaţi în R ecuaţia: b) x6 − 13x3 + 36 = 0; c) x6 − 9x3 + 20 = 0; a) x6 − 13x3 + 30 = 0; 6 3 6 3 d) x − 9x + 14 = 0; e) x − 13x + 42 = 0; f) x6 − 13x3 + 40 = 0. 21. Aplicând formule, rezolvaţi în R ecuaţia: b) x6 − x3 − 72 = 0; c) x6 − 10x3 − 39 = 0; a) x6 − 30x3 − 64 = 0; 6 3 6 3 e) x − 2x − 120 = 0; f) x6 − 13x3 − 48 = 0. d) x − 8x − 20 = 0; 22. Examinaţi desenul! Aplicând teoremele triunghiului dreptunghic completaţi tabelul: a b c m n h 4 6 4

6 2

6

12

7 2 15

11

4 3

8

23. Aplicând relaţiile dintre rădăcinile şi coeficienţii polinomului de gradul II (teorema lui Viète), aflaţi suma şi produsul rădăcinilor polinomului: b) X 2 + 12X + 20; c) X 2 + 12X + 24; a) X 2 + 11X + 28; d) X 2 + 13X + 30; b) X 2 + 14X + 40; c) X 2 + 15X + 50. 24. Aplicând relaţiile dintre soluţiile şi coeficienţii ecuaţiei de gradul II (teorema lui Viète), aflaţi suma şi produsul soluţiilor ecuaţiei: a) x2 − 21x + 5 = 0; b) x2 − 13x + 6 = 0; c) x2 − 15x + 47 = 0; b) x2 − 17x + 42 = 0; c) x2 − 19x + 51 = 0. d) x2 − 11x + 19 = 0; 25. Aflaţi numerele reale cu: a) suma 12 şi produsul 27; b) suma 8 şi produsul 12; c) suma 15 şi produsul 54; d) suma 15 şi produsul 56; b) suma 16 şi produsul 60; c) suma 14 şi produsul 48. 26. Aflaţi polinomul ale căror rădăcini au: a) suma 13 şi produsul 85; b) suma 10 şi produsul 23; c) suma 11 şi produsul 29; d) suma 9 şi produsul 19; b) suma 12 şi produsul 30; c) suma 14 şi produsul 46. 27. Aflaţi numărul real m pentru care una dintre rădăcinile polinomului: a) X 2 + 5mX + 15 este 11; b) X 2 + 7mX + 11 este 4; 2 d) X 2 + 12mX + 3 este 2; c) X + 4mX + 12 este 3; 2 e) X + 8mX + 19 este –3; f) X 2 + 15mX + 6 este –2. 28. Rezolvaţi în R ecuaţia:

a)

7x x2 = ; x−7 x−7

b)

x2 2x ; = x−2 x−2

c)

x2 3x ; = x−3 x−3

d)

4x x2 = ; x−4 x−4

e)

x2 5x ; = x−5 x−5

f)

6x x2 = . x−6 x−6

Capitolul V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii

95

29. Rezolvaţi în R ecuaţia:

a)

x 2 + 16 10 x ; = x −8 x −8

b)

5x x2 + 6 = ; x−2 x−2

c)

x2 + 6 5x ; = x−3 x−3

x 2 + 14 7x 7x 9x x 2 + 12 x 2 + 12 = = ; e) ; f) . = x−4 x−4 x−3 x−3 x−2 x−2 30. Rezolvaţi în R ecuaţia: x−7 x−9 x −3 x −4 x−4 x−5 = = ; b) = ; c) ; a) x −4 x −5 x − 2 x −1 x−3 x−2 x−2 x−5 x −3 x −6 x−2 x−3 d) ; e) ; f) . = = = x −4 x −3 x −4 x −5 x−5 x−6 30. Calculaţi rădăcinile reale şi descompuneţi polinomul: b) X 2 + 12X + 20; c) X 2 + 12X + 24; a) X 2 + 11X + 28; 2 2 d) X + 13X + 30; b) X + 14X + 40; c) X 2 + 15X + 50. 31. Simplificaţi fracţia:

d)

a)

X 2 − 15 X + 50 ; X 2 − 7 X − 60

b)

X 2 − 9 X + 18 ; X 2 − 8 X + 12

c)

X 2 − 10 X + 21 ; X 2 − 9 X + 14

d)

X 2 − 9 X + 20 ; X 2 − 11X + 30

e)

X 2 − 10 X + 24 ; X 2 − 11X + 28

f)

X 2 − 12 X + 35 . X 2 − 11X + 28

32. Aflaţi numerele reale m pentru care polinomul X 2 + (m + 3)X + 2m – 1 are rădăcini opuse. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 33. Rezolvaţi în R ecuaţia x2 − 13| x | + 42 = 0. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 34. Fie x1 şi x2 rădăcinile polinomului X 2 + 7X + 5m. Aflaţi în funcţie de m: 1 1 a) + ; b) x12 + x22 ; c) x13 + x23 . x1 x2 Formulaţi un exerciţiu asemănător. 35. Fie x1 şi x2 rădăcinile polinomului X 2 + 3(m – 2)X + 2m. Aflaţi în funcţie de m x17 + x27 . Formulaţi un exerciţiu asemănător. 36. Fie x1 şi x2 rădăcinile polinomului P(X) = X 2 + 5(m – 3)X + 4m. Aflaţi un polinom ale cărui rădăcini sunt inversele rădăcinilor polinomului P(X). Formulaţi un exerciţiu asemănător. 37. Fie x1 şi x2 rădăcinile polinomului P(X) = X 2 – 3(2m – 3)X + 9m. Aflaţi un polinom ale cărui rădăcini sunt opusele rădăcinilor polinomului P(X). Formulaţi un exerciţiu asemănător. 38. Fie x1 şi x2 rădăcinile polinomului P(X) = X 2 + 3(2m – 1)X + m – 1. Aflaţi un polinom ale cărui rădăcini sunt x1 + 1 şi x2 + 1.

96

Capitolul V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 39. Fie x1 şi x2 rădăcinile polinomului P(X) = X 2 + 2(2m – 3)X + m – 3. Aflaţi un polinom ale cărui rădăcini sunt x1 – 1 şi x2 – 1. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 40. Fie x1 şi x2 rădăcinile polinomului P(X) = X 2 + 2(2m – 3)X + m – 3. Aflaţi un polinom ale cărui rădăcini sunt 3x1 şi 3x2. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 41. Un dreptunghi are semiperimetrul p. În ce condiţii aria dreptunghiului este maximă? 42. Aflaţi mulţimea valorilor funcţiei definite pe domeniul maxim de definiţie în R x 2 − 3x + 5 . prin f ( x) = x2 + 1

Evaluare formativă 1. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) (x + 3)2 – 5 = 0; b) 5x2 – 3x = 0. 2. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) 16x2 – 40x + 25 = 0; b) 3x2 – 5x + 2 = 0. 3. Aflaţi m, astfel încât una dintre soluţiile ecuaţiei 2x2 − 3x + m = 0 să fie –5. 4. Aflaţi numerele reale m, astfel încât polinomul: a) 2X 2 − 5X + 3m să aibă rădăcini egale; b) 3X 2 − 2X + 5m să aibă rădăcini diferite. 5. Aflaţi suma şi produsul: a) rădăcinilor polinomului 3X 2 − 8X + 2; b) soluţiilor ecuaţiei 5x2 – 9x + 3 = 0. 6. Aflaţi numerele reale cu suma 15 şi produsul 56. 7. Rezolvaţi în R ecuaţia: x2 13 x a) ; = x − 13 x − 13 x2 12 − 7 x = . b) 2 x − 9 9 − x2 8. Fie x1 şi x2 rădăcinile polinomului X 2 + 8X + 7m. Aflaţi în funcţie de m: Capitolul V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii

1. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) (x + 2)2 – 6 = 0; b) 4x2 – 5x = 0. 2. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) 25x2 – 40x + 16 = 0; b) 2x2 – 5x + 3 = 0. 3. Aflaţi m, astfel încât una dintre soluţiile ecuaţiei 2x2 − 4x + m = 0 să fie –3. 4. Aflaţi numerele reale m, astfel încât polinomul: a) 3X 2 − 6X + 2m să aibă rădăcini egale; b) 5X 2 − 4X + 3m să aibă rădăcini diferite. 5. Aflaţi suma şi produsul: a) rădăcinilor polinomului 3X 2 − 10X + 4; b) soluţiilor ecuaţiei 3x2 – 9x + 5 = 0. 6. Aflaţi numerele reale cu suma 14 şi produsul 44. 7. Rezolvaţi în R ecuaţia: 15 x x2 = a) ; x − 15 x − 15 x2 12 − 7 x = . b) 2 x − 16 16 − x 2 8. Fie x1 şi x2 rădăcinile polinomului X 2 + 6X + 9m. Aflaţi în funcţie de m:

97

1 1 + ; b) x13 + x23 . x1 x2 9. Fie x1 şi x2 rădăcinile polinomului P(X) = X 2 + 2mX + m – 1. Aflaţi un polinom ale cărui rădăcini sunt: 1 1 1+ , 1+ . x1 x2 a)

1 1 + ; b) x13 + x23 . x1 x2 9. Fie x1 şi x2 rădăcinile polinomului P(X) = X 2 + mX + m – 4. Aflaţi un polinom ale cărui rădăcini sunt: 1 1 1+ , 1+ . x1 x2 a)

Barem. Start: 1 punct. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 50 minute.

3. E c u a ţ i i r a ţ i o n a l e 1. Rezolvaţi în R ecuaţia: 4 9 a) − = 7; x −1 x −1 11 5 − = 2; d) x−4 x−4 2. Rezolvaţi în R ecuaţia: 4 9 a) − = 0; x −1 x − 2 2 6 − = 0; d) x−3 x−4 3. Rezolvaţi în R ecuaţia: x 9 a) − = 0; x −9 x −9 7 x d) − = 0; x−7 x−7 4. Rezolvaţi în R ecuaţia: x a) − 8 = 0; x−9 x − 6 = 0; d) x−3 5. Rezolvaţi în R ecuaţia: 2 1 a) − = 0; x−9 x 5 1 d) − = 0; x −3 x

98

6 12 − = 4; x −3 x −3 8 15 e) − = 3; x −5 x −5

12 3 − = 13; x−6 x−6 16 5 f) − = 5. x−7 x−7

b)

c)

3 7 − = 0; x −1 x − 3 9 5 e) − = 0; x−4 x−5

5 12 − = 0; x−2 x−4 15 9 f) − = 0. x −5 x −6

x 4 − = 0; x−4 x−4 11 x e) − = 0; x − 11 x − 11

6 x − = 0; x−6 x−6 10 x f) − = 0. x − 10 x − 10

x − 5 = 0; x −1 x e) − 4 = 0; x−4

x − 3 = 0; x−2 x f) − 7 = 0. x−5

3 1 − = 0; x −1 x 6 1 e) − = 0; x−4 x

4 1 − = 0; x−2 x 7 1 f) − = 0. x −5 x

b)

b)

b)

b)

c)

c)

c)

c)

Capitolul V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii

6. Rezolvaţi în R ecuaţia: 2 x−4 = ; a) x −8 x +5 3 x −1 = ; d) x−2 x+2 7. Rezolvaţi în R ecuaţia: 8 1 − = 1; a) x −8 x 3 1 d) − = 2; x−2 x 8. Rezolvaţi în R ecuaţia: x 8 − = 0; a) x −8 x −8 x 3 d) − = 0; x −3 x −3 9. Rezolvaţi în R ecuaţia: x − 9 x +1 = ; a) x −8 x +9 x + 2 x −1 = d) ; x−4 x−2 10. Rezolvaţi în R ecuaţia: x−7 x+5 a) − = 0; x −8 x −6 x+3 x+4 − = 0; d) x −1 x − 3 11. Rezolvaţi în R ecuaţia: x +9 x +8 = ; a) x −8 x +9 x+3 x+5 = ; d) x−5 x+3 12. Rezolvaţi în R ecuaţia: 2x + 5 x + 9 a) = ; x − 9 2x + 5 3x − 1 x + 6 = d) ; x − 6 3x − 1 13. Rezolvaţi în R ecuaţia: x − 2 12 − = 1; a) x−9 x+8

2 = x −1 3 e) = x +1

b)

x−3 ; x +1 x−2 ; x+3

2 1 − = 1; x −1 x 2 1 e) − = 1; x−3 x

4 = x −1 2 f) = x +1

c)

x−2 ; x+2 x+2 . x −1

3 1 − = 1; x +1 x 4 1 f) − = 1. x−4 x

b)

c)

x 1 − = 0; x −1 x −1 x 4 e) − = 0; x−4 x−4

2 x − = 0; x−2 x−2 5 x f) − = 0. x−5 x−5

x + 3 x +1 = ; x−2 x−3 x + 5 x −1 e) = ; x−2 x−5

x+4 x+3 = ; x−2 x−4 x+6 x+3 f) = . x+2 x−6

x+2 x+3 − = 0; x −1 x − 2 x+5 x+4 e) − = 0; x−2 x−5

x+4 x+3 − = 0; x−2 x−4 x+5 x+3 − = 0. f) x−3 x−4

x +1 x + 7 = ; x − 7 x +1 x+4 x+3 = e) ; x−3 x+ 4

x+2 x+6 = ; x−6 x+2 x+5 x+4 f) = . x−4 x+5

b)

b)

b)

b)

2x +1 x + 8 = ; x − 8 2x + 1 3x − 2 x + 5 e) = ; x − 5 3x − 2

b)

b)

x −1 1 − = 1; x −8 x + 7

Capitolul V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii

c)

c)

c)

c)

2x −1 x + 7 = ; x − 7 2x −1 3x − 4 x + 4 = f) . x − 4 3x − 4

c)

c)

1 x−2 − = 2; x−7 x+6

99

x−3 1 e) − = 1; x−6 x+5 14. Rezolvaţi în R ecuaţia: 6 x −8 − = 3; b) a) x −9 x +8 1 x−5 − = 2; d) e) x−6 x+5 15. Rezolvaţi în R ecuaţia: x −8 6 3 − = 2 ; a) x − 7 x + 7 x − 49 x−2 1 2 − = c) ; x −1 x + 1 x2 −1 x +1 2 1 − = 2 e) ; x − 4 x + 4 x − 16

d)

2 x−2 − = 1; x−5 x+ 4

f)

1 x−7 − = 2; x −8 x + 7 1 x−4 − = 2; x −5 x+ 4

1 x−6 − = 2; x−7 x+6 1 x−3 − = 2. f) x−4 x+3

16. Rezolvaţi în R ecuaţia: 1 2 1 − 2 = 3 ; a) x − 7 x + 7 x + 49 x − 343 Formulaţi un exerciţiu asemănător. 17. Rezolvaţi în R ecuaţia:

x −1 1 − = 2. x−4 x+3

c)

x −1 2 1 − = 2 ; x−2 x+2 x −4 x −1 1 2 d) − = ; x − 3 x + 3 x2 − 9 x +1 2 1 f) − = 2 . x − 5 x + 5 x − 25

b)

b)

1 2 1 = 3 − 2 . x + 5 x − 5 x + 25 x − 125

4x x2 1 3 − + 2 = 0 ; b) − + 5 = 0. 2 2 x − 2x + 1 x −1 x + 4x + 4 x + 2 Formulaţi un exerciţiu asemănător. x + 1 6( x − 2) + − 5 = 0. 18. Rezolvaţi în R ecuaţia x−2 x +1 Formulaţi un exerciţiu asemănător. a)

x x −6 + 8 = 0. x+3 x+3 Formulaţi un exerciţiu asemănător. 19. Rezolvaţi în R ecuaţia

1 1⎞ ⎛ + 2 ⎜ x + ⎟ = 4. 2 x⎠ x ⎝ Formulaţi un exerciţiu asemănător. 20. Rezolvaţi în R ecuaţia x 2 +

1 1⎞ ⎛ − 5 ⎜ x − ⎟ − 16 = 0. 2 x⎠ x ⎝ Formulaţi un exerciţiu asemănător. 21. Rezolvaţi în R ecuaţia x 2 +

100

Capitolul V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii

Evaluare formativă 1. Rezolvaţi în R ecuaţia: 6 3 − = 8. x+2 x+2 2. Rezolvaţi în R ecuaţia: 5 8 − = 0. x+2 x+3 3. Rezolvaţi în R ecuaţia: 6 x + = 0. x+6 x+6 4. Rezolvaţi în R ecuaţia: x a) + 3 = 0; x+5 3 1 + = 0. b) x +8 x 5. Rezolvaţi în R ecuaţia: x−6 x−4 a) = ; x+5 x+6 x−3 x−6 − = 0. b) x+5 x+4 6. Rezolvaţi în R ecuaţia: x+7 x−6 a) = ; x+6 x+7 x+8 x−4 = . b) x+ 4 x+8 7. Rezolvaţi în R ecuaţia: x−2 2 a) − = 1; x−7 x+2 x−2 2 1 − = 2 . b) x − 5 x + 5 x − 25 8. Rezolvaţi în R ecuaţia: x + 2 7( x − 3) + − 30 = 0. x−3 x+2 9. Rezolvaţi în R ecuaţia: x−4 x−4 −7 + 12 = 0. x+5 x+5

1. Rezolvaţi în R ecuaţia: 7 5 − = 9. x+3 x+3 2. Rezolvaţi în R ecuaţia: 3 7 − = 0. x+3 x+2 3. Rezolvaţi în R ecuaţia: x 7 + = 0. x+7 x+7 4. Rezolvaţi în R ecuaţia: x a) + 5 = 0; x+4 4 1 + = 0. b) x+6 x 5. Rezolvaţi în R ecuaţia: x−5 x−4 a) = ; x+6 x+5 x−4 x−5 − = 0. b) x+6 x+3 6. Rezolvaţi în R ecuaţia: x+6 x−7 a) = ; x+7 x+6 x+7 x−5 = . b) x+5 x+7 7. Rezolvaţi în R ecuaţia: x−3 2 a) − = 1; x −8 x +3 x−5 2 1 − = 2 . b) x − 6 x + 6 x − 36 8. Rezolvaţi în R ecuaţia: x + 3 6( x − 2) + − 40 = 0. x−2 x+3 9. Rezolvaţi în R ecuaţia: x −5 x−5 −7 + 10 = 0. x+4 x+4 Barem. Start: 1 punct. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 50 minute.

Capitolul V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii

101

4. S i s t e m e ş i t o t a l i t ă ţ i d e e c u a ţ i i 1. Rezolvaţi în R × R sistemul: ⎧x = 4 b) a) ⎨ ⎩3x − 2 y = 2; ⎧ x = −2 e) d) ⎨ ⎩5 x − 3 y = 5; 2. Rezolvaţi în R × R sistemul: ⎧x = 2 y b) a) ⎨ ⎩2 x − 3 y = 12;

⎧ x = 2,5 y e) d) ⎨ ⎩4 x − 7 y = 9; 3. Rezolvaţi în R × R sistemul: ⎧x = 5 y a) ⎨ 2 b) ⎩ x − 24 y = 1; ⎧ x = −3 y d) ⎨ 2 e) ⎩ x − 10 y = 1; 4. Rezolvaţi în R × R sistemul: ⎧2 x − 5 y = 7 a) ⎨ b) ⎩3 x + 5 y = 13; ⎧3 x − 2 y = 9 d) ⎨ ⎩5 x + 2 y = 15;

⎧ x = −3 ⎨ ⎩2 x − 5 y = −16; ⎧ x = −4 ⎨ ⎩6 x − 5 y = 1;

⎧x = 5 c) ⎨ ⎩4 x − 3 y = 2; ⎧ x = −6 f) ⎨ ⎩6 x − 5 y = −1.

⎧x = 5 y ⎨ ⎩3 x − 7 y = 8; ⎧ x = 0,8 y ⎨ ⎩5 x + 6 y = −20;

⎧x = 3 y c) ⎨ ⎩4 x − 3 y = −18; ⎧ x = 2,5 y f) ⎨ ⎩2 x + 3 y = −24.

⎧x = 2 y ⎨ 2 ⎩ x − 7 y = 12; ⎧x = 3 y ⎨ 2 ⎩ x + 10 y = 1;

⎧ x = −2 y c) ⎨ 2 ⎩ x − 4 y = −1; ⎧x = 4 y f) ⎨ 2 ⎩ x + 10 y = 1.

⎧2 x − 3 y = 11 ⎨ ⎩5 x + 3 y = 17;

⎧3 x − 2 y = 9 c) ⎨ ⎩5 x + 2 y = 15;

⎧5 x − 2 y = 5 e) ⎨ ⎩3 x + 2 y = 11;

⎧x − 4 y = 3 f) ⎨ ⎩3x + 4 y = 9.

5. Rezolvaţi în R × R sistemul simetric: ⎧x + y = 7 ⎧ x + y = 11 a) ⎨ b) ⎨ ⎩ xy = 12; ⎩ xy = 28; ⎧x + y = 9 ⎧x + y = 8 e) ⎨ d) ⎨ ⎩ xy = 20; ⎩ xy = 12;

⎧ x + y = 12 c) ⎨ ⎩ xy = 35; ⎧x + y = 6 f) ⎨ ⎩ xy = 8.

6. Rezolvaţi în R × R sistemul simetric: ⎧ x + y − 2 xy = −27 ⎧ x + y − 3xy = −13 b) ⎨ a) ⎨ ⎩3 xy = 54; ⎩3 xy = 18; ⎧ x + y + 3xy = 58 ⎧ x + y + 2 xy = 38 e) ⎨ d) ⎨ ⎩4 xy = 64; ⎩3 xy = 45;

⎧ x + y − xy = −3 c) ⎨ ⎩4 xy = 40; ⎧ x + y + 2 xy = −28 f) ⎨ ⎩5 xy = −75.

102

Capitolul V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii

7. Rezolvaţi în R × R sistemul simetric: ⎧2( x + y ) − 3xy = −6 ⎧2( x + y ) − xy = 1 b) ⎨ a) ⎨ ⎩3( x + y ) = 21; ⎩3( x + y ) = 24;

⎧2( x + y ) − 3xy = −2 ⎧4( x + y ) − 3xy = 7 e) ⎨ d) ⎨ ⎩5( x + y ) = 25; ⎩3( x + y ) = 12; 8. Rezolvaţi în R × R sistemul simetric:

⎧3( x + y ) − 2 xy = 5 c) ⎨ ⎩5( x + y ) = 15; ⎧3( x + y ) − 4 xy = −9 f) ⎨ ⎩4( x + y ) = 24.

⎧ x 2 + y 2 = 13 a) ⎨ ⎩2( x + y ) = 10;

⎧ x 2 + y 2 = 10 b) ⎨ ⎩4( x + y ) = 16;

⎧ x 2 + y 2 = 17 c) ⎨ ⎩3( x + y ) = 15;

⎧ x 2 + y 2 = 20 d) ⎨ ⎩5( x + y ) = 10;

⎧ x 2 + y 2 = 25 e) ⎨ ⎩6( x + y ) = 1;

⎧ x 2 + y 2 = 34 f) ⎨ ⎩7( x + y ) = 14.

9. Rezolvaţi în R × R sistemul simetric:

⎧ x 2 + y 2 = 41 b) ⎨ ⎩2 xy = −40;

⎧ x 2 + y 2 = 29 c) ⎨ ⎩3 xy = −30;

⎧ x 2 + y 2 = 34 ⎧ x 2 + y 2 = 40 d) ⎨ e) ⎨ ⎩4 xy = −60; ⎩5 xy = −60; 10. Rezolvaţi în R × R sistemul omogen:

⎧ x 2 + y 2 = 45 f) ⎨ ⎩6 xy = −108.

⎧ x 2 + y 2 = 41 a) ⎨ ⎩9 xy = 180;

⎧⎪8 x 2 y − xy 2 = 12 a) ⎨ 2 ⎪⎩3 xy + 2 y 3 = 28;

⎧⎪4 x 2 y − xy 2 = 14 b) ⎨ ⎪⎩2 xy 2 + 3 y 3 = 1;

⎧⎪2 x 2 y − xy 2 = −42 ⎧⎪ x 2 y + 2 xy 2 = 8 d) ⎨ 2 e) ⎨ ⎪⎩ xy + 3 y 3 = −63; ⎪⎩2 xy 2 − y 3 = 8; 11. Rezolvaţi în R × R sistemul omogen: ⎧⎪8 x 2 y 2 − 3xy 3 = 11 a) ⎨ 3 ⎪⎩3 xy + 5 y 4 = 2; 2 2 3 ⎪⎧ x y − 3xy = −2 d) ⎨ ⎪⎩2 xy 3 + y 4 = 5;

⎧⎪2 x 2 y 2 − 3xy 3 = 11 b) ⎨ 3 ⎪⎩3 xy + 2 y 4 = −4; 2 2 3 ⎪⎧2 x y + xy = −9 e) ⎨ 3 ⎪⎩ xy + y 4 = 66;

12. Rezolvaţi în R × R sistemul: ⎧8 ⎪⎪ x + 3 y = 11 b) a) ⎨ ⎪12 − 4 y = −6; ⎪⎩ x ⎧ 20 ⎪⎪ x + 3 y = −2 e) d) ⎨ ⎪15 + 4 y = −5; ⎪⎩ x

⎧6 ⎪⎪ x − 5 y = 22 ⎨ ⎪12 + 7 y = −24; ⎪⎩ x ⎧ 24 ⎪⎪ x + 5 y = 11 ⎨ ⎪18 + 7 y = 18; ⎪⎩ x

Capitolul V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii

⎧⎪ x 2 y − 3xy 2 = −54 c) ⎨ ⎪⎩2 xy 2 + y 3 = 16; ⎧⎪3 x 2 y + xy 2 = 66 f) ⎨ 2 ⎪⎩ xy − 2 y 3 = −4. ⎧⎪3 x 2 y 2 − 2 xy 3 = 33 c) ⎨ 3 ⎪⎩ xy + 2 y 4 = −1; 2 2 3 ⎪⎧ x y + 2 xy = 3 f) ⎨ 3 ⎪⎩ xy + y 4 = 4. ⎧18 ⎪⎪ x + 5 y = −4 c) ⎨ ⎪12 − 7 y = 20; ⎪⎩ x ⎧15 ⎪⎪ x + 5 y = −7 f) ⎨ ⎪10 + 3 y = −4. ⎪⎩ x

103

13. Rezolvaţi în R × R sistemul: ⎧4 3 ⎪ x − y = −1 ⎪ b) a) ⎨ ⎪ 6 + 5 = 8; ⎩⎪ x y

⎧2 ⎪x + ⎪ d) ⎨ ⎪3 + ⎪⎩ x

6 =5 y 4 = 5; y

⎧6 ⎪x + ⎪ e) ⎨ ⎪2 + ⎪⎩ x

14. Rezolvaţi în R × R sistemul: 12 ⎧ 15 ⎪x −2 − y +3 = 2 ⎪ b) a) ⎨ ⎪ 9 + 8 = 5; ⎪⎩ x − 2 y + 3

⎧ 15 ⎪ x −1 − ⎪ d) ⎨ ⎪ 9 + ⎪⎩ x − 1

4 =2 y +1 8 = 7; y +1

⎧9 ⎪x − ⎪ ⎨ ⎪3 + ⎩⎪ x

4 =5 y 8 = −3; y

⎧3 ⎪x − ⎪ c) ⎨ ⎪5 + ⎩⎪ x

5 =2 y 3 = 4; y

⎧4 9 ⎪x − y =1 ⎪ f) ⎨ ⎪ 2 + 15 = 7. ⎪⎩ x y

6 ⎧ 5 ⎪ x −1 − y + 2 = 2 ⎪ ⎨ ⎪ 3 + 4 = 5; ⎪⎩ x − 1 y + 2

15 ⎧ 6 ⎪ x −1 − y + 3 = 2 ⎪ e) ⎨ ⎪ 8 + 9 = 7; ⎪⎩ x − 1 y + 3

15. Rezolvaţi în R × R sistemul: ⎧x y ⎪ + =2 a) ⎨ y x b) ⎪3 x + 2 y = 10; ⎩

⎧ x 2y =3 ⎪ + ⎨y x ⎪4 x − 3 y = 12; ⎩

3 =4 y 6 = 3; y

⎧ 4 ⎪x − 2 − ⎪ c) ⎨ ⎪ 8 − ⎪⎩ x − 2

5 = −3 y +1 3 = 5; y +1

4 ⎧ 3 ⎪ x − 4 − y + 3 = −5 ⎪ f) ⎨ ⎪ 2 + 8 = 4. ⎪⎩ x − 4 y + 3

⎧ x 3y =4 ⎪ + c) ⎨ y x ⎪2 x − 3 y = 5; ⎩

⎧ x 4y ⎧ x 5y ⎧ x 6y =7 =5 =6 ⎪ + ⎪ + ⎪ + e) ⎨ y x f) ⎨ y x d) ⎨ y x ⎪ x − 2 y = 8; ⎪ x − 3 y = 9; ⎪4 x − 3 y = 6. ⎩ ⎩ ⎩ 16. Scrieţi cu ajutorul totalităţilor rezolvarea în R a ecuaţiei: a) x2 + 5x – 3 = 0; b) x2 + 3x – 4 = 0; c) x2 + 4x – 5 = 0; d) x2 + 5x – 2 = 0; e) x2 + 6x – 7 = 0; f) x2 + 5x – 4 = 0. 17. Scrieţi cu ajutorul totalităţilor rezolvarea în R a ecuaţiei: a) (x2 + 7x)(x2 – 6) = 0; b) (x2 + 6x)(x2 – 2) = 0; c) (x2 + 3x)(x2 – 5) = 0; d) (x2 + 4x)(x2 – 7) = 0; e) (x2 + 5x)(x2 – 8) = 0; f) (x2 + 10x)(x2 – 11) = 0. 18. Rezolvaţi în R totalitatea: ⎡3x − 8 = 0 ⎡2 x − 9 = 0 ⎡2 x − 7 = 0 b) ⎢ 2 c) ⎢ 2 a) ⎢ 2 ⎣2 x − 4 x − 1 = 0; ⎣5 x − 6 x − 1 = 0; ⎣3x − 2 x − 1 = 0; ⎡3x − 13 = 0 ⎡2 x − 11 = 0 ⎡4 x − 11 = 0 e) ⎢ 2 f) ⎢ 2 d) ⎢ 2 ⎣4 x − 9 x − 1 = 0; ⎣5 x − 11x − 1 = 0. ⎣3x − 7 x − 1 = 0;

104

Capitolul V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii

19. Rezolvaţi în R totalitatea:

⎡ x2 − 4x − 5 = 0 a) ⎢ 2 ⎣⎢3x + 2 x − 1 = 0;

⎡ x2 − 5x + 6 = 0 b) ⎢ 2 ⎣⎢ x + 3x − 10 = 0;

⎡4 x 2 − 3x + 1 = 0 ⎡2 x 2 − 5 x − 7 = 0 d) ⎢ 2 e) ⎢ 2 ⎢⎣5 x − 4 x + 1 = 0; ⎢⎣4 x − x − 5 = 0; 20. Rezolvaţi în R totalitatea: ⎡ x2 − 4x − 5 = 0 a) ⎢ 2 ⎣⎢3x + 2 x − 1 = 0;

⎡ x2 − 5x + 6 = 0 b) ⎢ 2 ⎣⎢ x + 3x − 10 = 0;

⎡3x 2 − 5 x − 8 = 0 c) ⎢ 2 ⎣⎢2 x − 3x − 5 = 0; ⎡6 x 2 − 3 x − 3 = 0 f) ⎢ 2 ⎢⎣7 x − x − 6 = 0. ⎡3x 2 − 5 x − 8 = 0 c) ⎢ 2 ⎣⎢2 x − 3x − 5 = 0;

⎡4 x 2 − 3x + 1 = 0 ⎡2 x 2 − 5 x − 7 = 0 d) ⎢ 2 e) ⎢ 2 ⎣⎢5 x − 4 x + 1 = 0; ⎣⎢4 x − x − 5 = 0; 21. Rezolvaţi în R totalitatea: ⎡ 2 ⎡ 3 =1 =1 ⎢ a) 3 − 2 x b) ⎢1 − 2 x ⎢ 2 ⎢ 2 ⎣⎢3x − 2 x − 1 = 0; ⎣⎢2 x − 3 x + 1 = 0;

⎡6 x 2 − 3 x − 3 = 0 f) ⎢ 2 ⎣⎢7 x − x − 6 = 0.

⎡ 1 ⎡ 1 =2 =2 ⎢ e) ⎢1 − 5 x d) 1 − 4 x ⎢ 2 ⎢ 2 ⎢⎣6 x − x − 5 = 0; ⎢⎣7 x − 2 x − 5 = 0; 22. Rezolvaţi în R totalitatea: 1 1 ⎡ 3 ⎡ 2 + 2 =0 + 2 =0 ⎢ ⎢ x x − 2 3 − b) a) x −9 x −4 ⎢ 2 ⎢ 2 ⎣⎢11x − 5 x − 34 = 0; ⎣⎢12 x − 5 x − 7 = 0;

⎡ 4 =1 f) ⎢1 − 6 x ⎢ 2 ⎢⎣7 x − 3x − 4 = 0.

1 1 ⎡ 1 ⎡ 1 + 2 =0 + 2 =0 ⎢ ⎢ d) 4 − x x − 16 e) 5 − x x − 25 ⎢ 2 ⎢ 2 ⎢⎣14 x − 5 x − 9 = 0; ⎣⎢15 x − 7 x − 8 = 0; 23. Rezolvaţi în R totalitatea: 1 1 ⎡ 5 ⎡ 4 − 2 =2 − 2 =1 ⎢ ⎢ a) x − 4 x − 16 b) x − 1 x − 1 ⎢ 2 ⎢ 2 ⎢⎣11x − 4 x − 7 = 0; ⎢⎣3x − 2 x − 1 = 0;

1 ⎡ 1 + 2 =0 ⎢ f) 6 − x x − 36 ⎢ 2 ⎢⎣16 x − 7 x − 9 = 0.

1 ⎡ 3 − 2 =1 ⎢ e) x − 4 x − 16 ⎢ 2 ⎣⎢4 x − x − 3 = 0;

1 ⎡ 3 − 2 =1 ⎢ f) x − 5 x − 25 ⎢ 2 ⎣⎢5 x − 2 x − 3 = 0.

1 ⎡ 3 − 2 =1 ⎢ d) x − 3 x − 9 ⎢ 2 ⎣⎢4 x − 3x − 1 = 0;

⎡ 1 =1 c) ⎢1 − 3x ⎢ 2 ⎣⎢5 x − 3x − 2 = 0;

1 ⎡ 1 + 2 =0 ⎢ x 1 − c) x −1 ⎢ 2 ⎣⎢13 x − 6 x − 7 = 0;

1 ⎡ 5 − 2 =1 ⎢ c) x − 2 x − 4 ⎢ 2 ⎢⎣3x − x − 2 = 0;

24. Scrieţi cu ajutorul totalităţilor rezolvarea în R a ecuaţiei: b) | 2x – 1 | = 3; c) | 3x – 1 | = 2; a) | 2x – 3 | = 5; d) | x – 2 | = 6; e) | 2x – 5 | = 3; f) | 3x – 2 | = 3. Capitolul V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii

105

25. Rezolvaţi în R totalitatea: 1 1 ⎡ 4 ⎡ 2 − =2 − =3 ⎢ ⎢ a) x − 6 x + 5 b) x − 1 x + 2 ⎢ 2 ⎢ 2 ⎣⎢5 x − 4 x + 1 = 0; ⎣⎢4 x − 2 x + 1 = 0;

2 ⎡ 1 + =3 ⎢ e) d) x − 2 x + 1 ⎢ 2 ⎢⎣2 x − 2 x + 1 = 0; 26. Rezolvaţi în R totalitatea: 1 ⎡ 5 − =3 ⎢ a) x − 5 x + 6 ⎢ 2 2 ⎢⎣( x − 4 x)( x − 5 x + 3) = 0; 1 ⎡ 4 − =1 ⎢ c) x − 1 x + 3 ⎢ 2 2 ⎣⎢( x − 2 x)( x − 3x − 1) = 0;

1 ⎡ 2 ⎢ x − 3 + x +1 = 1 ⎢ 2 ⎢⎣2 x − 3 x + 2 = 0;

1 ⎡ 3 − =2 ⎢ c) x − 1 x + 3 ⎢ 2 ⎣⎢3x − 2 x + 1 = 0; 1 ⎡ 3 + =1 ⎢ f) x − 1 x + 3 ⎢ 2 ⎢⎣2 x − 5 x + 4 = 0.

1 ⎡ 5 − =2 ⎢ b) x − 1 x + 2 ⎢ 2 2 ⎢⎣( x − 3x)( x − 2 x − 2) = 0; 1 ⎡ 3 − =2 ⎢ d) x − 2 x + 1 ⎢ 2 2 ⎣⎢( x − 4 x)( x − 3 x − 2) = 0;

1 2 ⎡ 2 ⎡ 1 − =2 − =1 ⎢ ⎢ f) x − 2 x + 1 e) x − 2 x + 1 ⎢ 2 ⎢ 2 2 2 ⎣⎢( x − 5 x)( x − 5 x − 3) = 0; ⎣⎢( x − 6 x)( x − 5 x − 2) = 0. 27. Scrieţi cu ajutorul totalităţilor rezolvarea în R a ecuaţiei: a) | x2 – 5x | = 5; b) | x2 – 4x | = 2; c) | x2 – 6x | = 2; 2 2 d) | x – 2x | = 1; e) | x – 3x | = 2; f) | x2 – 7x | = 6. 28. Scrieţi cu ajutorul totalităţilor rezolvarea în R a ecuaţiei: a) | x2 – 5x – 1 | = 6; b) | x2 – 4x + 3 | = 2; c) | x2 – 6x + 5 | = 2; e) | x2 – 3x + 2 | = 2; f) | x2 – 7x + 6 | = 7. d) | x2 – 2x – 3 | = 7; 29. Aflaţi numerele reale m şi n, astfel încât f să fie definită pe R de: a) f(x) = x2 – 3mx + n – 2, f(–1) = 3 şi f(2) = 8; b) f(x) = x2 – 2mx + n + 1, f(–1) = 2 şi f(1) = 5; c) f(x) = x2 – 3mx + n – 1, f(–1) = 1 şi f(1) = 4; d) f(x) = x2 – 2mx + n + 2, f(–1) = –1 şi f(2) = 0; e) f(x) = x2 – 4mx + n – 1, f(–1) = –2 şi f(1) = 3; f) f(x) = x2 + 2mx – n + 2, f(–1) = –3 şi f(2) = 2. 30. Aflaţi numerele reale m şi n, astfel încât polinomul de gradul II: a) P(X) = 5X 3 – 6X 2 + 5mX – 2n are suma coeficienţilor 11 şi P(–1) = 18; b) P(X) = 2X 3 – 3X 2 + 2mX – 3n are suma coeficienţilor 15 şi P(–1) = 12; c) P(X) = 3X 3 – 2X 2 + 3mX – 3n are suma coeficienţilor 5 şi P(–1) = 7; d) P(X) = 2X 3 – 4X 2 + 3mX – n are suma coeficienţilor 8 şi P(–1) = 11; e) P(X) = 4X 3 – 2X 2 + 4mX – 5n are suma coeficienţilor 12 şi P(–1) = 14; f) P(X) = 3X 3 – 3X 2 + 5mX – 6n are suma coeficienţilor 25 şi P(–1) = 6. 31. Aflaţi numerele reale m şi n, astfel încât polinomul de gradul II: a) P(X) = 5X 3 – 2X 2 + 5mX – n + 2 se divide cu X – 2 şi X + 1; b) P(X) = 4X 3 – 3X 2 + 5mX – n + 1 se divide cu X – 1 şi X + 1; c) P(X) = 2X 3 – 2X 2 + 5mX – n + 3 se divide cu X – 2 şi X + 2;

106

Capitolul V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii

d) P(X) = 2X 3 – 3X 2 + 4mX – n – 1 se divide cu X – 3 şi X + 1; e) P(X) = 3X 3 – 4X 2 + 3mX – n + 3 se divide cu X – 1 şi X + 3; f) P(X) = 2X 3 – 2X 2 + 3mX – n + 1 se divide cu X – 1 şi X + 1. 32. Aflaţi două numere reale, dacă: a) suma lor este 7 şi produsul lor –30; b) suma lor este 9 şi produsul lor 14; c) suma lor este 11 şi produsul lor 24; d) suma lor este 12 şi produsul lor 32; e) suma lor este 13 şi produsul lor 36; b) suma lor este 17 şi produsul lor 72. 33. Aflaţi numerele reale care verifică sistemul: ⎧1 1 ⎪x + y = 7 ⎪ x y 5 + = ⎧ ⎪1 1 ⎪ a) ⎨ x + z = 3 b) ⎨ + = 5 ⎪ y + z = 6; ⎪x z ⎩ ⎪1 1 ⎪ y + z = 8. ⎩

Formulaţi un exerciţiu asemănător. ⎧8x + 3 y ⎪ xy = 3 ⎪ 34. Rezolvaţi în R × R sistemul ⎨ ⎪ 4 x + 9 y = 4. ⎪⎩ xy Formulaţi un exerciţiu asemănător. 1 ⎧ xy ⎪ 9 x + 16 y = 7 ⎪ 35. Rezolvaţi în R × R sistemul ⎨ 1 ⎪ xy = . ⎪⎩ 3x − 20 y 4 Formulaţi un exerciţiu asemănător. ⎧1 1 ⎪x + y = 7 ⎪ 36. Rezolvaţi în R × R sistemul ⎨ ⎪ 1 + 1 = 29. ⎪⎩ x 2 y 2 Formulaţi un exerciţiu asemănător. ⎧⎪ x 3 + y 3 = 9 37. Rezolvaţi în R × R sistemul ⎨ 2 ⎪⎩ x y + xy 2 = 6. Formulaţi un exerciţiu asemănător. ⎧⎪ x + y + 2 xy = 7 38. Rezolvaţi în R × R sistemul ⎨ ⎪⎩ x − y = 3. Formulaţi un exerciţiu asemănător. Capitolul V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii

107

39. Aflaţi numerele reale care verifică sistemul: ⎧ xy = 4 z ⎧ xy = 12 ⎪ ⎪ b) ⎨ yz = 7 x a) ⎨ xz = 15 ⎪ xz = 28 y. ⎪ yz = 20; ⎩ ⎩ Formulaţi un exerciţiu asemănător. 40. Aflaţi două numere, dacă diferenţa lor este –2 şi suma pătratelor lor 74. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 41. Aflaţi două numere, dacă produsul lor este –6 şi suma cuburilor lor este 19. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 42. Un bazin se poate umple prin două robinete: dacă primul robinet este deschis 30 minute şi al doilea 45 minute sau dacă primul robinet este deschis 20 minute şi al doilea 70 minute. În cât timp poate umple bazinul fiecare robinet?

6 ⎧ xy ⎪x + y = 5 ⎪ 15 ⎪ yz 43. Aflaţi numerele reale care verifică sistemul ⎨ = ⎪y+z 8 ⎪ xz 10 = . ⎪ ⎩x + z 7 Formulaţi un exerciţiu asemănător. ⎧ xyz 96 ⎪ x + y = 11 ⎪ ⎪ xyz 96 = 44. Aflaţi numerele reale care verifică sistemul ⎨ ⎪x + z 7 ⎪ xyz 96 ⎪ y + z = 12 . ⎩ Formulaţi un exerciţiu asemănător. ⎧ x( y + z ) = 39 ⎪ 45. Aflaţi numerele reale care verifică sistemul ⎨ y ( z + x) = 55 ⎪ z ( x + y ) = 64. ⎩ Formulaţi un exerciţiu asemănător. ⎧⎪ x 2 + y 2 = 10 46. Rezolvaţi în R × R sistemul ⎨ 3 ⎪⎩ x + y 3 = 28. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 47. Fie funcţia f : D → R, D domeniul ei maxim de definiţie în R. Aflaţi expresia funcţiei f, dacă f(x) + 3f(1 – x) = 5x2 + 2x. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 48. Aflaţi polinomul P(X), dacă P(X) – 2P(2 – X) = 2X 2 – X.

108

Capitolul V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 49. Fie parabola y = ax2 + bx + c. Aflaţi a, b, c, dacă vârful parabolei este punctul V(2,5; –0,25) şi parabola intersectează axa Oy în punctul (0, 6). Formulaţi un exerciţiu asemănător. 50. Rezolvaţi în R, cu ajutorul unui sistem, ecuaţia x 2 − 3 x + x 2 − 3x − 2 = 4. Formulaţi un exerciţiu asemănător.

Evaluare formativă 1. Rezolvaţi în R × R sistemul: ⎧x = 3 y ⎨ 2 ⎩ x − 4 y = 1.

1. Rezolvaţi în R × R sistemul: ⎧x = 5 y ⎨ 2 ⎩ x − 2 y = 1.

2. Rezolvaţi în R × R sistemul: ⎧2 x − 3 y = 4 ⎨ ⎩5 x + 3 y = 8.

2. Rezolvaţi în R × R sistemul: ⎧3 x − 2 y = 3 ⎨ ⎩5 x + 2 y = 9.

3. Rezolvaţi în R × R sistemul simetric: ⎧x + y = 8 ⎨ ⎩ xy = 12. 4. Rezolvaţi în R totalitatea: ⎡3x − 5 = 8 ⎢ 2 ⎣ x − 15 x − 60 = 0. 5. Scrieţi cu ajutorul totalităţilor rezolvarea în R a ecuaţiei: | 4x – 11 | = 5. 6. Rezolvaţi în R ecuaţia: ⎧⎪2 x 2 y − y 3 = −21 a) ⎨ 3 ⎪⎩3 y + 2 xy 2 = 72; ⎡( x 2 − 7 x)( x 2 − 17 x + 42) = 0 b) ⎢ 3 ⎢ = 5. ⎢⎣ x − 7 7. Aflaţi numerele reale m şi n: a) astfel încât f să fie definită pe R de f(x) = x2 – 5mx + n – 3, f(–2) = 5 şi f(1) = 6; b) astfel încât polinomul 2X 3 – 2 3X + 2mX – m + 4 are suma coeficienţilor 15 şi se divide cu X – 2. 8. Aflaţi numerele reale care veriCapitolul V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii

3. Rezolvaţi în R × R sistemul simetric: ⎧x + y = 8 ⎨ ⎩ xy = 15. 4. Rezolvaţi în R totalitatea: ⎡3x − 5 = 9 ⎢ 2 ⎣ x − 16 x − 50 = 0. 5. Scrieţi cu ajutorul totalităţilor rezolvarea în R a ecuaţiei: | 4x – 13 | = 3. Rezolvaţi în R ecuaţia: ⎧⎪ x 2 y − 2 y 3 = 51 a) ⎨ 3 ⎪⎩2 y + 3 xy 2 = 45; ⎡( x 2 − 9 x)( x 2 − 17 x + 72) = 0 b) ⎢ 4 ⎢ = 5. ⎢⎣ x − 9 7. Aflaţi numerele reale m şi n: a) astfel încât f să fie definită pe R de f(x) = x2 – 6mx + n – 2, f(–2) = 5 şi f(1) = 6; b) astfel încât polinomul 2X 3 – 3X 2 + 4mX – m + 3 are suma coeficienţilor 16 şi se divide cu X – 2. 8. Aflaţi numerele reale care verifică

109

fică sistemul: ⎧1 1 ⎪x + y = 5 ⎪ ⎪1 1 a) ⎨ + = 7 ⎪x z ⎪1 1 ⎪ y + z = 8; ⎩

sistemul: ⎧1 1 ⎪x + y = 7 ⎪ ⎪1 1 a) ⎨ + = 9 ⎪x z ⎪1 1 ⎪ y + z = 10; ⎩

1 ⎧ xy ⎪x − y = 3 ⎪ b) ⎨ ⎪ xy = 1 . ⎪⎩ x + y 11 9. Aflaţi numerele reale care veri⎧ xyz 135 ⎪x + y = 8 ⎪ ⎪ xyz 45 fică sistemul ⎨ = ⎪x + z 4 ⎪ xyz 135 ⎪ y + z = 14 . ⎩

1 ⎧ xy ⎪x − y = 3 ⎪ b) ⎨ ⎪ xy = 1 . ⎪⎩ x + y 13 9. Aflaţi numerele reale care verifică ⎧ xyz 35 ⎪x + y = 4 ⎪ ⎪ xyz 21 sistemul ⎨ = ⎪x + z 2 ⎪ xyz 105 ⎪y+z = 8 . ⎩

Barem. Start: 1 punct. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 50 minute.

Test de capacităţi ⎧⎪ x 4 + 2 xy 3 = −15 1. Rezolvaţi în R × R sistemul ⎨ 3 ⎪⎩3 x y + y 4 = 10. 2. Fie parabola y = ax2 + bx + c. Aflaţi a, b, c, dacă vârful parabolei este punctul V(4, –4) şi parabola intersectează axa Oy în punctul (0, 1). 3. Rezolvaţi grafic ecuaţia | x2 – 7x + 10 | = | 2x – 7 |. 4. Fie funcţia f : D → R, D domeniul ei maxim de definiţie în R. Aflaţi expresia funcţiei f, dacă f(x) – 2f(5 – x) = 2x2 – 3x. ⎧⎪ x 2 + y 2 = 13 5. Rezolvaţi în R × R sistemul ⎨ 4 ⎪⎩ x + y 4 = 97. 6. Rezolvaţi în R utilizând totalităţi ecuaţia |||| x2 – 3x + 4 | – 11 | – 5 | – 2 | = 1. Barem. Start: 1 punct. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1,6 puncte. Timp de lucru efectiv: 60 minute.

110

Capitolul V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii

C A P I T O L U L

VI

Inecuaţii. Sisteme şi totalităţi de inecuaţii

Inecuaţie. O inecuaţie este o propoziţie cu variabile (în logica matematică se numeşte predicat). Variabilele unei inecuaţii se numesc necunoscute. Fie expresiile f(x), g(x), x ∈ M (mulţime de numere). Atunci f(x) < g(x), x ∈ M, este o inecuaţie cu necunoscuta x. Inecuaţia f(x) < g(x), x ∈ M, are membrul stâng f(x) şi membrul drept g(x). Numărul s este soluţie a inecuaţiei f(x) < g(x), x ∈ M, dacă s ∈ M şi f(s) < g(s) este o propoziţie adevărată. Mulţimea soluţiilor unei inecuaţii se notează S. Analog se definesc inecuaţiile: f(x) > g(x), x ∈ M; f(x) ≤ g(x), x ∈ M; f(x) ≥ g(x), x ∈ M. Proprietăţile inegalităţii numerelor reale şi operaţii cu numere reale. 1) a < b ⇔ a + c < b + c. 2) a < b ⇔ a − c < b − c. 3) Dacă c > 0, atunci a < b ⇔ a⋅c < b⋅c. 4) Dacă c < 0, atunci a < b ⇔ a⋅c > b⋅c. 5) Dacă c > 0, atunci a > b ⇔ a : c > b : c. 6) Dacă c < 0, atunci a > b ⇔ a : c < b : c. 1 1 7) Dacă ab > 0, atunci a < b ⇔ > . a b Proprietăţile 1) – 7) se extind pentru „>“, „≤“ şi „≥“. Inecuaţii de gradul I cu o necunoscută. Rezolvaţi în R inecuaţia ax + b < 0, a ∈ R*, b ∈ R. b b⎞ ⎛ 1) Dacă a > 0, atunci ax + b < 0 ⇔ ax < −b ⇔ x < − ⇒ S = ⎜ − ' , − ⎟ . a a⎠ ⎝ b b ⎞ ⎛ 2) Dacă a < 0, atunci ax + b < 0 ⇔ ax < −b ⇔ x > − ⇒ S = ⎜ − , ' ⎟ . a ⎠ ⎝ a 3) Dacă a = 0 şi b < 0, atunci S = R. 4) Dacă a = 0 şi b ≥ 0, atunci S = ∅. Fie inecuaţia ax + b ≤ 0, a ∈ R, b ∈ R. b b⎤ ⎛ 1) Dacă a > 0, atunci ax + b ≤ 0 ⇔ ax ≤ −b ⇔ x ≤ − ⇒ S = ⎜ − ' , − ⎥ . a a⎦ ⎝ b ⎞ ⎡ b 2) Dacă a < 0, atunci ax + b ≤ 0 ⇔ ax ≤ −b ⇔ x ≥ − ⇒ S = ⎢− , ' ⎟ . a a ⎠ ⎣ 3) Dacă a = 0 şi b ≤ 0, atunci S = R. 4) Dacă a = 0 şi b > 0, atunci S = ∅. Inecuaţii echivalente. Două inecuaţii de gradul I sunt echivalente dacă au aceeaşi necunoscută aparţinând aceleiaşi mulţimi şi se obţin una din cealaltă aplicând proprietăţile inegalităţii numerelor reale. Inecuaţiile echivalente au aceeaşi mulţime de soluţii. Sisteme de inecuaţii. Un sistem de inecuaţii este format din două sau mai multe inecuaţii. Mulţimea soluţiilor în R a unui sistem de inecuaţii este mulţimea numerelor Capitolul VI. Inecuaţii. Sisteme şi totalităţi de inecuaţii

111

reale ce verifică simultan inecuaţiile sistemului. Mulţimea soluţiilor unui sistem de inecuaţii este intersecţia mulţimilor soluţiilor inecuaţiilor sistemului de inecuaţii. ⎧3 x − 6 < 17 Exemple. 1) Rezolvaţi în R sistemul de inecuaţii ⎨ ⎩4 x + 11 > 21. ⎧3x < 23 ⎧ x < 7, (6) ⎧3 x < 17 + 6 ⎧3 x − 6 < 17 Rezolvare. ⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ ⇒ ⎩ x > 2,5 ⎩4 x + 11 > 21 ⎩4 x > 21 − 11 ⎩4 x > 10 S = {2,5; 7,(6)}. 2) Rezolvaţi în R inecuaţia | 2x – 9 | < 3. ⎧x > 3 ⎧2 x − 9 > −3 ⎧2 x > −3 + 9 Rezolvare. | 2x – 9 | < 3 ⇔ ⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ ⇒ S = (3, 6). ⎩x < 6 ⎩2 x < 3 + 9 ⎩2 x − 9 < 3 Totalitate de inecuaţii. Fie două sau mai multe inecuaţii. Dacă se cere să se afle mulţimea numerelor cu proprietatea că ele sunt soluţii a cel puţin uneia dintre inecuaţii, se spune că trebuie să se rezolve o totalitate formată de acele inecuaţii. Mulţimea soluţiilor unei totalităţi de inecuaţii este intersecţia mulţimilor soluţiilor acelor inecuaţii. ⎡3x + 1 < 5 Exemple. 1) Rezolvaţi în R totalitatea de inecuaţii ⎢ ⎣5 x − 8 < 12. ⎡3x + 1 < 5 ⎡3x < 5 − 1 ⎡3 x < 4 ⎡ x < 1, (3) ⎡ x ∈ (−' ; 1,3) ⇔⎢ ⇔⎢ ⇔⎢ ⇔⎢ Rezolvare. ⎢ ⎣5 x − 8 < 12 ⎣5 x < 12 + 8 ⎣5 x < 20 ⎣x < 4 ⎣ x ∈ ( − ' , 4) ⇒ S = (–'; 1,3) ∪ (–', 4) = (–', 4). 2) Rezolvaţi în R inecuaţia | 3x – 5 | ≥ 7. ⎡3x − 5 ≤ −7 ⎡3 x ≤ −7 + 5 ⎡3 x ≤ −2 ⎡ x ≤ −0, (6) ⇔⎢ ⇔⎢ ⇔⎢ Rezolvare. | 3x – 5 | ≥ 7 ⇔ ⎢ ⎣3x − 5 ≥ 7 ⎣3 x ≥ 7 + 5 ⎣3 x ≥ 12 ⎣x ≥ 4 ⎡ x ∈ (−' ; − 0, (6)] ⇔ ⎢ ⇒ S = (–'; –0,(6)] ∪ [4, '). ⎣ x ∈ [4, ' ) Inecuaţii de gradul II cu o necunoscută. Fie funcţia de gradul II f : R → R, f(x) = ax2 + bx + c. Inecuaţiile de forma f(x) < 0, f(x) ≤ 0, f(x) > 0, f(x) ≥ 0, unde f este o funcţie de gradul II. Rezolvarea în R sau pe o submulţime a mulţimii R se face aplicând teorema semnului funcţiei de gradul II. Teorema semnului funcţiei de gradul II. Fie funcţia de gradul II f : R → R, f(x) = ax2 + bx + c. 1) Dacă ∆ > 0, atunci x1, x2 sunt zerourile funcţiei f şi ea are semnul lui a în afara intervalului rădăcinilor, semn contrar lui a pe intervalul rădăcinilor. 2) Dacă ∆ = 0, atunci x1 = x2 şi f are semnul lui a pe R \ {x1}. 3) Dacă ∆ < 0, atunci f are semnul lui a pe R. Exemple. Rezolvaţi în R: 1) 4x2 – 5x + 1 < 0; 2) 25x2 + 10x + 1 ≥ 0; − 4x + 1 5x − 2 3) 3x2 – 5x + 3 ≤ 0; 4) 2 < 0; 5) 2 ≥ 3. x − 3x + 2 x − 5x + 6 Rezolvare. 1) Funcţia f definită pe R de f(x) = 4x2 – 5x + 1 are ∆ = 9 şi zerourile x1 = 0,25, x2 = 1. Deoarece coeficientul lui x2 este „+“, f(x) < 0 pe (0,25; 1). Rezultă S =

112

Capitolul VI. Inecuaţii. Sisteme şi totalităţi de inecuaţii

(0,25; 1). 2) Funcţia f definită pe R de f(x) = 25x2 + 10x + 1 are ∆ = 0 şi x1 = x2 = –0,2. Deoarece coeficientul lui x2 este „+“, f(x) ≥ 0 pe R. Rezultă S = R. 3) Funcţia f definită pe R de f(x) = 3x2 – 5x + 3 are ∆ < 0. Deoarece coeficientul lui x2 este „+“, f(x) > 0 pe R. Rezultă S = ∅. − 4x + 1 − 4x + 1 4) 2 < 0; Fie F ( x) = 2 . Studiind semnul numărătorului şi semx − 3x + 2 x − 3x + 2 nul numitorului lui F, se stabileşte semnul lui F pe domeniul său de definiţie. –' 0,25 1 2 ' x –4x + 1 + 0 – – – x2 – 3x + 2 + + 0 – 0 + F(x) + 0 – ⏐ + ⏐ – [0,25; 1) ∪ (2, ') S = [0,25; 1) ∪ (2, ').

3 x 2 − 20 x + 20 5x − 2 5x − 2 ≥ 0. − ≥ ⇔ ≥ ⇔ 3 0 3 x2 − 5x + 6 x2 − 5x + 6 x 2 − 5x + 6 3 x 2 − 20 x + 20 Fie F ( x) = . Studiind semnul numărătorului şi semnul numitorului x2 − 5x + 6 lui F, se stabileşte semnul lui F pe domeniul său de definiţie. –' 1,2... 2 3 5,4... ' x 3x2 – 20x + 20 + 0 – – – 0 + x2 – 5x + 6 + + 0 – 0 + + F(x) 0 – ⏐ + ⏐ – 0 + + (–'; 1,2251...] ∪ (2, 3) ∪ [5,4415..., ') S = (–'; 1,2251...] ∪ (2, 3) ∪ [5,4415...; '). Metoda intervalelor. Semnul unei funcţii raţionale (definită de o fracţie algebrică) se stabileşte executând algoritmul: 1) se stabileşte domeniul maxim de definiţie în R, al funcţiei; 2) se află zerourile funcţiei; 3) pe fiecare dintre intervalele găsite se stabileşte semnul funcţiei. Aplicăm metoda intervalelor exerciţiilor 4) şi 5) de mai sus. 4) DF = R \ {1, 2}. Rezultă 5)

1

0,25 S = [0,25; 1) ∪ (2, '). 5) DF = R \ {2, 3}. Rezultă

2 1,2251... S = (–'; 1,2251...] ∪ (2, 3) ∪ [5,4415...; ').

Capitolul VI. Inecuaţii. Sisteme şi totalităţi de inecuaţii

2

3 5,4415...

113

1. I n e c u a ţ i i d e g r a d u l I Recapitulare şi completări 1. Scrieţi sub formă de interval mulţimea soluţiilor inecuaţiei: b) x > 6,2; c) x > 9,3; d) x > –17,2; a) x < 13; f) x < –9,1; g) x > –1,6; h) x > –10,3. e) x > 3,8; 2. Scrieţi sub formă de interval mulţimea soluţiilor inecuaţiei: a) x ≥ –2,8; b) x ≥ 7,5; c) x ≥ –3,8; d) x ≥ –4,5; f) x ≤ 14,1; g) x ≤ –5,3; h) x ≤ –22,3. e) x ≤ –6,2; 3. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) | x | ≤ 4,7; b) | x | ≤ 2,4; c) | x | ≤ 5,5; d) | x | ≤ 11,5; e) | x | ≤ 6,2; f) | x | ≤ 7,6; g) | x | ≤ 9,4; h) | x | ≤ 27,1. 4. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) | x | ≥ 8,4; b) | x | ≥ 18; c) | x | ≥ 27; d) | x | ≥ 39,1; e) | x | ≥ 3,3; f) | x | ≥ 19; g) | x | ≥ 38; h) | x | ≥ 29,5. 5. Rezolvaţi în R inecuaţia: b) 8x > 13; c) 5x > 26; d) 7x > 36; a) 3x < 7; f) 15x < 7; g) 24x < 5; h) 9x < 16. e) 14x < 9; 6. Rezolvaţi în R inecuaţia: b) –7x > 11; c) –12x > 5; d) –3x > 19; a) –8x < 5; b) –4x > 35; c) –5x > 78; d) –6x > 49. a) –9x < 22; 7. Rezolvaţi în R inecuaţia: b) 8x − 3 < 0; c) 4x − 9 < 0; a) 4x − 7 < 0; d) 2x − 11 < 0; e) 5x − 11 < 0; f) 8x − 13 < 0. 8. Rezolvaţi în R inecuaţia: b) –5x − 24 < 0; c) –8x − 31 < 0; a) –5x + 13 < 0; d) –4x − 25 < 0; e) –2x − 27 < 0; f) –16x − 37 < 0. 9. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) 4x − 3 < 14; b) 8x − 7 < 16; c) 4x − 19 < 28; e) 5x − 38 < 43; f) 8x − 53 < 46. d) 2x − 9 < 23; 10. Rezolvaţi în R inecuaţia: b) –5x − 19 < 4; c) –8x − 38 < 21; a) –2x + 11 < 9; d) –5x − 31 < 14; e) –2x − 51 < 7; f) –4x − 45 < 12. 11. Rezolvaţi în R inecuaţia: b) 4(x + 7) < 19; c) 8(x + 9) < 27; a) 2(x + 3) < 15; a) 5(x + 5) < 4; b) 25(x + 2) < 1; c) 16(x + 3) < 3. 12. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) 2(–x + 7) ≥ 3; b) 5(–x + 7) ≥ 9; c) 4(–x + 6) ≥ 27; b) 8(–x + 11) ≤ 3; c) 2(–x + 5) ≤ 15. d) 5(–x + 2) ≤ 6;

114

Capitolul VI. Inecuaţii. Sisteme şi totalităţi de inecuaţii

13. Rezolvaţi în R inecuaţia: 3 4 a) ≤ 0; b) ≥ 0; x−3 x−2 14. Rezolvaţi în R inecuaţia: 2 7 a) < 0; b) > 0; 3x − 1 2x − 5 15. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) 5x + 3 ≤ 7x − 4; d) 13x − 6 ≥ 6x − 9;

c)

11 ≤ 0; x−7

d)

7 ≥ 0. x − 11

c)

8 < 0; 6x −1

d)

10 < 0. 5x − 3

b) 8x + 5 ≤ 4x − 9; e) 16x + 1 ≥ 17x − 2;

c) 11x + 6 ≤ 9x − 3; f) 21x + 8 ≥ 3x − 1.

16. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) 2(x − 3) ≤ 10x − 7; b) 3(x − 8) ≤ 11x − 5; c) 7(x − 1) ≤ 16x − 3; d) 4(x − 5) ≥ 8x − 1; e) 5(x − 6) ≥ 19x − 8; f) 6(x + 2) ≥ 23x − 8. 17. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) 3(x − 1) ≤ 4(x − 3); b) 3(x − 5) ≤ 8(x − 2); c) 4(x − 6) ≤ 3(x − 7); d) 4(x − 8) ≥ 3(x − 6); e) 5(x − 7) ≥ 9(x − 3); f) 7(x + 8) ≥ 9(x − 11). 18. Rezolvaţi în R inecuaţia: b) (x + 4)2 ≥ (x + 2)(x – 2); a) (x + 2)2 ≥ (x + 3)(x – 3); 2 c) (x + 3) ≥ (x + 4)(x – 4); d) (x + 5)2 ≥ (x + 6)(x – 6); e) (x + 6)2 ≥ (x + 7)(x – 7); f) (x + 7)2 ≥ (x + 5)(x – 5). 19. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) (x + 3)2 ≤ (x − 2)2; b) (x − 2)2 ≤ (x + 7)2; c) (x + 4)2 ≤ (x − 5)2; d) (x + 6)2 ≤ (x − 1)2; e) (x − 8)2 ≤ (x + 5)2; f) (x + 7)2 ≤ (x − 3)2. 20. Rezolvaţi în R sistemul de inecuaţii: ⎧x + 2 < 3 ⎧x − 6 < 7 ⎧ x − 11 < 13 a) ⎨ b) ⎨ c) ⎨ ⎩ x − 7 > 1; ⎩ x + 11 > 5; ⎩ x + 3 > 14;

⎧ x − 12 < 8 ⎧ x + 15 < 2 d) ⎨ e) ⎨ ⎩ x + 13 > 5; ⎩ x − 18 > 7; 21. Rezolvaţi în R sistemul de inecuaţii: ⎧2 x − 1 < 0 ⎧3 x − 7 < 0 b) ⎨ a) ⎨ ⎩3 x − 1 > 0; ⎩5 x + 11 > 0; ⎧8 x − 11 > 0 d) ⎨ ⎩10 x + 33 < 0;

⎧5 x + 19 < 0 e) ⎨ ⎩8 x − 27 > 0;

22. Rezolvaţi în R sistemul de inecuaţii: ⎧3 x − 1 > 1 ⎧4 x + 7 < 13 b) ⎨ a) ⎨ ⎩4 x + 5 < 11; ⎩5 x − 15 > 2; ⎧10 x − 19 < 23 ⎧2 x + 3 > 16 d) ⎨ e) ⎨ ⎩5 x + 13 > 16; ⎩4 x − 19 < 15; Capitolul VI. Inecuaţii. Sisteme şi totalităţi de inecuaţii

⎧ x + 21 < 13 f) ⎨ ⎩ x − 25 > 9. ⎧4 x − 13 < 0 c) ⎨ ⎩2 x + 15 > 0; ⎧4 x − 35 < 0 f) ⎨ ⎩5 x + 29 > 0. ⎧2 x − 8 < 17 c) ⎨ ⎩4 x + 1 > 5; ⎧8 x − 23 < 45 f) ⎨ ⎩2 x − 1 > 38.

115

23. Rezolvaţi în R cu ajutorul unui sistem de inecuaţii: a) –2 < 3x < 18; b) –7 < 9x < 11; e) –22 < 5x < 56; d) –13 < 5x < 34; 24. Rezolvaţi în R cu ajutorul unui sistem de inecuaţii: b) –8 < x + 23 < 4; a) –2 < x + 7 < 13; d) –3 < x – 8 < 26; e) –4 < x + 15 < 9; 25. Rezolvaţi în R cu ajutorul unui sistem de inecuaţii: b) –1 < 15 – x < 19; a) –5 < 4 – x < 25; d) –12 < 8 – x < 45; e) –32 < 17 – x < 6; 26. Rezolvaţi în R cu ajutorul unui sistem de inecuaţii: a) –8 < 9 – 2x < 25; b) –17 < 2 – 5x < 14; d) –33 < 21 – 4x < 2; e) –16 < 4 – 5x < 5; 27. Rezolvaţi în R inecuaţia:

a) | 2x | ≤ 5;

c) –3 < 12x < 14; f) –34 < 4x < 42. c) –3 < x – 9 < 7; f) –11 < x – 11 < 31. c) –7 < 16 – x < 1; f) –54 < 18 – x < 9. c) –9 < 6 – 5x < 7; f) –17 < 11 – 8x < 15.

b) | 4x | ≤ 13;

c) | 5x | ≤ 27;

d) | 2x | ≤ 15;

f) | 8x | ≤ 37; e) | 3x | ≤ 18; 28. Rezolvaţi în R inecuaţia:

g) | 7x | ≤ 28;

h) | 9x | ≤ 36.

a) | x + 7 | ≤ 2;

b) | x – 8 | ≤ 9;

c) | x + 15 | ≤ 7;

d) | x – 12 | ≤ 8;

e) | x – 12 | ≤ 3;

f) | x + 9 | ≤ 15;

g) | x + 17 | ≤ 6;

h) | x + 21 | ≤ 3.

29. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) | 5 – x | ≤ 7; b) | 3 – x | ≤ 11; e) | 9 – x | ≤ 11; b) | 8 – x | ≤ 17;

c) | 4 – x | ≤ 13; c) | 1 – x | ≤ 9;

d) | 11 – x | ≤ 21; d) | 6 – x | ≤ 36.

30. Rezolvaţi în R inecuaţia:

a) | 2x + 9 | ≤ 5;

b) | 4x – 3 | ≤ 11;

c) | 5x + 9 | ≤ 12; d) | 4x – 17 | ≤ 25;

e) | 8x + 3 | ≤ 9;

f) | 5x – 7 | ≤ 67;

g) | 2x – 3 | ≤ 34; h) | 4x + 31 | ≤ 19.

31. Reproduceţi şi completaţi:

⎡... a) x2 + 5x – 6 = 0, x ∈ R ⇔ ⎢ ⎣...;

⎡... b) x2 + 7x – 6 = 0, x ∈ R ⇔ ⎢ ⎣...;

⎡... c) x2 + 7x – 30 = 0, x ∈ R ⇔ ⎢ ⎣...;

⎡... d) x2 + 5x – 36 = 0, x ∈ R ⇔ ⎢ ⎣...;

⎡... e) x2 + 9x – 22 = 0, x ∈ R ⇔ ⎢ ⎣...;

⎡... f) x2 + 10x – 21 = 0, x ∈ R ⇔ ⎢ ⎣...

32. Rezolvaţi în R totalitatea:

⎡x − 4 < 0 a) ⎢ ⎣ x + 2 > 0;

116

⎡ x − 11 < 0 b) ⎢ ⎣ x + 13 > 0;

⎡ x + 23 < 0 c) ⎢ ⎣ x − 35 > 0;

⎡ x − 21 < 0 d) ⎢ ⎣ x + 27 > 0;

Capitolul VI. Inecuaţii. Sisteme şi totalităţi de inecuaţii

⎡ x − 16 < 0 ⎡ x + 14 < 0 e) ⎢ f) ⎢ ⎣ x + 5 > 0; ⎣ x − 9 > 0; 33. Rezolvaţi în R totalitatea: ⎡ x − 11 < 8 ⎡ x + 2 < 17 a) ⎢ b) ⎢ ⎣ x + 12 > 2; ⎣ x − 3 > 31; ⎡ x − 7 < 18 ⎡ x − 24 < 1 f) ⎢ e) ⎢ ⎣ x + 23 > 14; ⎣ x − 33 > 2; 34. Rezolvaţi în R totalitatea: ⎡2 x − 17 < 8 ⎡4 x + 1 < 13 a) ⎢ b) ⎢ ⎣3x + 5 > 2; ⎣2 x − 1 > 15;

⎡ x − 41 < 0 g) ⎢ ⎣ x + 51 > 0;

⎡ x − 38 < 0 h) ⎢ ⎣ x − 26 > 0.

⎡ x − 1 < 26 c) ⎢ ⎣ x + 13 > 16; ⎡ x − 11 < 21 g) ⎢ ⎣ x + 13 > 26;

⎡ x − 5 < 32 d) ⎢ ⎣ x − 19 < 11; ⎡ x + 27 < 5 h) ⎢ ⎣ x − 3 > 42.

⎡5 x − 23 < 1 c) ⎢ ⎣4 x + 9 > 29; ⎡5 x − 27 < 3 g) ⎢ ⎣2 x + 31 > 25;

⎡8 x − 9 < 29 d) ⎢ ⎣5 x − 3 < 7; ⎡4 x + 3 < 12 h) ⎢ ⎣5 x − 8 > 38.

⎡2 x − 21 < 8 ⎡8 x − 4 < 19 f) ⎢ e) ⎢ ⎣3x + 5 > 13; ⎣3x − 24 > 4; 35. Rezolvaţi în R inecuaţia: b) | 4x | ≥ 11; c) | 5x | ≥ 23; d) | 2x | ≥ 71; a) | 2x | ≥ 33; f) | 5x | ≥ 82; g) | 4x | ≥ 34; h) | 8x | ≥ 39. e) | 4x | ≥ 41; 36. Rezolvaţi în R inecuaţia: b) | x – 12 | ≥ 13; c) | x + 11 | ≥ 2; d) | x – 31 | ≥ 43; a) | x + 3 | ≥ 9; e) | x + 7 | ≥ 8; f) | x – 6 | ≥ 16; g) | x + 17 | ≥ 9; h) | x – 4 | ≥ 35. 37. Rezolvaţi în R inecuaţia: b) | 4 – x | ≥ 13; c) | 5 – x | ≥ 3; d) | 3 – x | ≥ 12; a) | 7 – x | ≥ 9; e) | 8 – x | ≥ 2; f) | 6 – x | ≥ 14; g) | 9 – x | ≥ 5; h) | 13 – x | ≥ 6. 38. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) | 2x – 1 | ≥ 13; b) | 4x + 3 | ≥ 33; c) | 5x + 1 | ≥ 7; d) | 8x + 1 | ≥ 91; g) | 9x + 4 | ≥ 2; h) | 8x + 15 | ≥ 9. e) | 4x – 3 | ≥ 17; f) | 4x + 5 | ≥ 26; 39. Rezolvaţi în R inecuaţia: c) | 8 – 5x | ≥ 16; d) | 12 – 5x | ≥ 45; a) | 3 – 2x | ≥ 18; b) | 5 – 4x | ≥ 28; e) | 9 – 2x | ≥ 25; f) | 7 – 4x | ≥ 39; g) | 1 – 8x | ≥ 34; h) | 27 – 2x | ≥ 2. 40. Aflaţi mulţimea numerelor reale m pentru care are rădăcini reale polinomul: a) 2X2 – 3X – 5m; b) 4X2 – 5X – 2m; c) 5X2 – 4X – 6m; e) 5X2 – 4X + 3m; f) 9X2 – 5X – 7m. d) 7X2 – 2X – 4m; 41. Aflaţi mulţimea numerelor reale m pentru care are rădăcini reale polinomul: b) 7X2 – 2X + 2m – 3; c) 2X2 – 4X + 3m – 2; a) 3X2 – 2X + 3m – 1; e) 5X2 – 12X + 2m – 5; f) 9X2 – 8X + 6m – 1. d) 8X2 – 6X + 4m – 3; 42. Aflaţi mulţimea numerelor reale m pentru care are rădăcini reale polinomul: a) 2X2 – 2X – 3m – 4; b) 9X2 – 2X – 6m – 1; c) 4X2 – 6X – 5m – 3; 2 2 e) 7X – 2X – 8m – 1; f) 5X2 – 10X – 4m – 9. d) 5X – 2X – 2m – 3; 43. Aflaţi mulţimea numerelor reale m pentru care are rădăcini reale polinomul: b) (m – 4)X2 – 4X – 7; c) (m + 3)X2 – 6X – 5; a) (m – 2)X2 – 2X – 7; Capitolul VI. Inecuaţii. Sisteme şi totalităţi de inecuaţii

117

d) (m – 5)X2 – 8X – 3; e) (m – 6)X2 – 4X – 9; f) (m + 4)X2 – 8X – 3. 44. Aflaţi mulţimea numerelor reale m pentru care nu are rădăcini reale polinomul: a) 4X2 – 3X + 2m; b) 5X2 – 7X + 3m; c) 7X2 – 9X + 5m; d) 8X2 – 5X + 3m; e) 2X2 – 9X + 11m; f) 3X2 – 11X + 4m. 45. Aflaţi mulţimea numerelor reale m pentru care nu are rădăcini reale polinomul: b) 5X2 – 4X + 2m – 3; c) 9X2 – 2X + 3m – 1; a) 3X2 – 2X + m – 3; d) 7X2 – 4X + m – 1; e) 3X2 – 4X + m – 5; f) 5X2 – 6X + m – 7. 46. Aflaţi mulţimea numerelor reale m pentru care nu are rădăcini reale polinomul: a) 3X2 – 2X – 3m – 1; b) 4X2 – 4X – 5m – 1; c) 7X2 – 2X – 4m – 3; e) 7X2 – 8X – 6m – 5; f) 5X2 – 2X – 7m – 4. d) 9X2 – 6X – 3m – 4; 47. Aflaţi mulţimea numerelor reale m pentru care are rădăcini reale diferite polinomul: b) 5X2 – 4X – 3m – 4; c) 9X2 – 2X – 6m – 7; a) 3X2 – 6X – 7m – 2; e) 4X2 – 2X – 4m – 3; f) 8X2 – 4X – 2m – 5. d) 7X2 – 8X – 3m – 5; 48. Aflaţi mulţimea numerelor reale m pentru care are rădăcini reale diferite polinomul: b) 2X2 – 8X – 6m + 1; c) 4X2 – 2X – 7m + 3; a) 3X2 – 10X – 5m + 7; d) 8X2 – 2X – 6m + 1; b) 3X2 – 4X – 9m + 2; c) 7X2 – 6X – 9m + 4. 49. Fie funcţia f : D → R. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R al funcţiei f, dacă: a) x − 7 ; b) x − 9 ; c) 12 − x ; d) 3,4 − x ;

f) x + 1,6 ; g) x − 13,6 ; h) 2,13 − x . e) 11,3 − x ; 50. Fie funcţia f : D → R. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R al funcţiei f, dacă: a) 2 x − 9 ; b) 7 x − 3; c) 2 − 9 x ; d) 13 − 4 x ; f) e) 11 − 5 x ; 51. Fie funcţia f : D → dacă: 1 ; b) a) 3 x − 10 1 ; f) e) 9 − 2x 52. Fie funcţia f : D → dacă f(x) este: b) a) 4 x − 5 ; e)

4

x + 5,7 ;

f)

3x + 23; g) 5 x − 13 ; h) 2 − 3x . R. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R al funcţiei f, 1 1 4 ; c) ; d) ; 4x − 9 5x − 7 3 − 13 x 1 1 1 ; g) ; h) . 11 − 5 x 15 − 8 x 4 x − 13 R. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R al funcţiei f, 4

7 − x;

c)

4

x − 2,8 ;

d)

4

7,3 − x ;

4

6,8 − x ;

g)

4

x + 9,4 ;

h)

4

4,6 − x .

53. Fie funcţia f : D → R. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R al funcţiei f, dacă f(x) este:

a)

118

6

2 x − 11;

b)

6

9 − 8x ;

c)

8

4 x − 7,8 ;

d)

10

8,1 − 5 x ;

Capitolul VI. Inecuaţii. Sisteme şi totalităţi de inecuaţii

e) 8 3x − 5,4 ; f) 10 8 x − 5,1; g) 4 1,1 − 2 x ; h) 6 4 x + 3,8. 54. Fie funcţia f : D → R. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R al funcţiei f, dacă f(x) este: − 4,6 1 1 1 b) c) 6 d) ; ; ; ; a) 8 4 12 3 x − 2,4 7 x − 4,2 1,8 − 6 x 6 x + 5,4 − 11 −3 1 8 e) 14 g) h) ; ; ; . f) 16 4 12 x − − x − 9,8 x 7 9 , 1 3 12 , 6 4 , 6 5 − 13 x 55. Aflaţi numerele reale pentru care are sens: 3

4

11

a) (2,6 − x) 5 ;

b) ( x + 4,7) 7 ;

3 8 x) ;

7 34 ( x − 8,5) ;

f) g) e) (4,3 − 56. Aflaţi numerele reale pentru care are sens: a) (3,2 − 4 x) −

−

5 13 ;

b) (7 x + 3,5)

3 5;

−

−

3 16 ;

(3,7 − 13

e) −

(5,8 −

19 x) 5

(x + 5,6

f) −

3 ( x + 7) 25

13 x) 21 .

3

8 15 ;

;

h) (9,3 −

17

c) (5,7 − 3x) 19 ; −

g) −

d) (4 x − 11) 21 ;

9 23 ;

15 x)19

4,7) 15

;

d) (8,4 − x) 17 ;

8 35 ( x + 11,6) ;

f) (6,3 − 2 x) g) (5 x − 1,6) e) (5 x + 3) 57. Aflaţi numerele reale pentru care are sens: 3 11 7 ; b) − ; a) − c) − 7 11

x)13

6

c) (2,9 − x)13 ;

;

(9,2 − 8,9

3 ( x − 11,7) 28

h) (8,2 − 5 x)

d) − ; h) −

−

3 26 .

1 23 ( x + 8,6) 3

2,7 (5,3 −

7 x) 30

;

.

58. Lungimile în centimetri ale laturilor unui triunghi sunt numere naturale. Aflaţi lungimea laturii a treia dacă două dintre ele au lungimile: a) 1 cm, 7 cm; b) 1 cm, 9 cm. 59. Rezolvaţi în R inecuaţia: 2x −1 4 − 5x 6x − 7 5x − 3 a) < 0; ≤ 0; > 0; ≥ 0. b) c) d) 3x + 5 2x + 7 3x + 1 12 − 5 x 60. Rezolvaţi în R inecuaţia: 1 1 2 1 < 2; b) ≤ 3; c) ≥ 4. a) > 5; d) x−9 x−4 x−5 x−6 61. Rezolvaţi în R inecuaţia: 1 1 3 4 6 5 a) < ; b) ≤ ; c) ≥ . x − 7 2x −1 5 − 3x 3x − 2 4 − 5x 2 x + 7 62. Rezolvaţi în R: 1 1 2 b) − 3 ≤ < −1; c) − 5 ≤ ≤ 7. a) 1 < ≤ 3; x x x Capitolul VI. Inecuaţii. Sisteme şi totalităţi de inecuaţii

119

63. Rezolvaţi în R: 7 3 5 b) − 4 < ≤ −2; c) − 6 ≤ < 5. a) 1 ≤ < 5; x x x 64. Rezolvaţi în R: 1 1 1 a) 3 < ≤ 8; b) − 5 ≤ < −1; c) − 7 < ≤ 9. 7x 6x 8x 65. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) (x + 2)3 – (x + 3)3 + 3x2 ≤ 0; b) (x – 4)3 – (x – 5)3 – 27x2 ≥ 0. 66. Rezolvaţi în R inecuaţia reproducând şi completând:

⎡⎧ x − 2 ≥ 0 ⎢⎪ ⎢⎨3 − x ≥ 0 ⎢⎪⎩ x + 4 ≥ 0 ⎢ ⎢⎧ x − 2 ≥ 0 ⎢⎪ ⎢⎨3 − x ≤ 0 ⎢⎪⎩ x + 4 ≤ 0 ⇔ ... (x – 2)(3 – x)(x + 4) ≥ 0 ⇔ ⎢ ⎢⎧ x − 2 ≤ 0 ⎢⎪3 − x ≥ 0 ⎢⎨ ⎢⎪⎩ x + 4 ≤ 0 ⎢ ⎢⎧ x − 2 ≤ 0 ⎢⎪3 − x ≤ 0 ⎢⎨ ⎢⎣⎪⎩ x + 4 ≥ 0 67. Procedând ca la ex. 65, rezolvaţi în R inecuaţia (x – 5)(4 – x)(x – 7) ≤ 0. 68. Rezolvaţi în R inecuaţia:

a)

2 ≤ 3; x−5

b)

3 ≤ 5. 4 − 3x

69. Aflaţi mulţimea numerelor reale pentru care are sens expresia:

a) 3 2 x − 5 −

5 ; 4 − 3x

b)

7 − 3x +

3

4x − 9 . 5 − 8x

70. Aflaţi mulţimea numerelor reale pentru care are sens expresia:

a) (3x

4 9 − 8)

9 − 7(5 − 7 x) 4 ;

71. Rezolvaţi în R: ⎧2 x − 5 ≤ 0 ⎪ a) ⎨3 − 4 x < 0 ⎪9 x − 2 x ≥ 0; ⎩

120

b) (12 − 5 x)

−

4 7

− 12(5 x − 11)

−

9 13 .

⎧5 − 7 x < 11x + 4 ⎪ b) ⎨4 x − 18 ≤ 6 − 12 x ⎪9 x − 15 ≥ 3x − 22. ⎩ Capitolul VI. Inecuaţii. Sisteme şi totalităţi de inecuaţii

72. Rezolvaţi în R:

⎧ x 2 + 9 x + 14 = 0 a) ⎨ ⎩3 x − 5 < 4 − 5 x;

⎧ x 2 − 11x + 18 = 0 ⎪ b) ⎨2 x − 7 < 7 x + 3 ⎪10 x + 13 ≥ 7 − 2 x. ⎩

73. Rezolvaţi în R:

⎡7 x − 3 ≤ 21x + 17 a) ⎢ 2 ⎣ x − 4 x − 7 = 0; 74. Rezolvaţi în R: 1 ⎡ ⎢3 < x − 1 ≤ 7 a) ⎢ ⎢− 5 < 1 ≤ −1; ⎢⎣ x−3

⎡ x 2 + 3x − 5 = 0 ⎢ b) ⎢4 − 7 x < 18 x + 23 ⎢15 x − 12 > 3x + 2. ⎣ ⎡ ⎢− 4 < b) ⎢ ⎢− 5 < ⎢⎣

1 ≤2 x−7 1 < −1. x−2

75. Fie numerele reale a, b, c. Comparaţi numerele: a) 25a2 + 9b2 şi 30ab; b) 9a2b2 + c2 şi 6abc. 76. Fie numerele reale pozitive c şi d. Comparaţi numerele:

b) 5c + 2d şi 2 10cd . a) 3c + d şi 2 3cd ; 77. Fie numerele reale pozitive a, b şi c. Comparaţi numerele: a) 9a2 + 25b2 + 49c2 şi 15ab + 21ac + 35bc; b) 9a2 + 4b2 + 25c2 şi 6ab + 15ac + 10bc. 78. Rezolvaţi în R inecuaţia: a)

6x −1 ≤ 2; 2x + 3

b)

5x − 3 ≥ 3. 6x − 7

79. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) | 3x – 9 | ≤ | 4x + 1 | ; b) | 5x – 2 | ≥ | 3x + 1 | . 80. Rezolvaţi în R inecuaţia: 2 3 2 ≤ 5; b) − 3 < < −1; c) − 2 ≤ < 5. a) 2 ≤ 3x − 4 2x − 5 5x − 1 81. Rezolvaţi în R: ⎧ | 2x −1| < 3 ⎧ | x −1| < 3 b) ⎨ a) ⎨ ⎩ | 2 − 5 x | ≤ 6. ⎩ | x − 8 | ≤ 7; 82. Rezolvaţi în R: ⎡ | 3x − 1 | < 4 ⎡| x−6| < 8 b) ⎢ a) ⎢ ⎣ | 13 − 2 x | ≥ 8. ⎣ | 11 − x | ≥ 19; Capitolul VI. Inecuaţii. Sisteme şi totalităţi de inecuaţii

121

83. Rezolvaţi în R: ⎡ | 3x − 7 | > 5 ⎡ | x − 7 | > 14 b) ⎢ a) ⎢ ⎣ | 6 − 5 x | ≥ 12. ⎣ | 8 − x | ≥ 17; 84. Demonstraţi că: 6 7 9 11 2 003 7 < ⋅ ⋅ ⋅ ... ⋅ < . 2 004 8 10 12 2 004 2 005

Evaluare formativă 1. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) | x | ≤ 23; b) | x | ≥ 31. 2. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) 2x + 37 ≤ 0; b) 3x − 45 ≥ 0. 3. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) 4x + 7 < 18; b) 4x − 9 > 25. 4. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) 2(x + 1) ≤ 3; b) 5(x − 3) ≥ 4. 5. Rezolvaţi în R inecuaţia: 7x + 9 < 3x + 2. 6. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) (2x + 3)2 < (2x + 3)(2x – 3); b) (4x − 5)2 ≥ (4x + 5)(4x – 5). 7. Rezolvaţi în R inecuaţia:

⎧3 x − 7 < 8 a) ⎨ ⎩4 x + 9 ≥ 27;

1. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) | x | ≤ 32; b) | x | ≥ 38. 2. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) 2x + 56 ≤ 0; b) 3x − 72 ≥ 0. 3. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) 4x + 6 < 19; b) 4x − 9 > 29. 4. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) 2(x + 2) ≤ 1; b) 5(x − 4) ≥ 3. 5. Rezolvaţi în R inecuaţia: 7x + 10 < 2x + 3. 6. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) (3x + 2)2 < (3x + 4)(3x – 4); b) (4x − 3)2 ≥ (4x + 6)(4x – 6). 7. Rezolvaţi în R inecuaţia:

⎧4 x − 9 < 5 a) ⎨ ⎩3 x + 7 ≥ 23;

⎡5 x − 12 > 3 b) ⎢ ⎣6 x + 5 ≤ 7. 8. Rezolvaţi în R totalitatea:

⎡6 x + 3 > 15 b) ⎢ ⎣5 x − 4 ≤ 8. 8. Rezolvaţi în R totalitatea:

1 ⎡ ⎢2 < 2 x − 3 ≤ 4 ⎢ ⎢ − 3 ≤ 1 ≤ 2. ⎢⎣ 4x − 5 9. Rezolvaţi în R inecuaţia:

1 ⎡ ⎢3 < 3 x − 2 ≤ 4 ⎢ ⎢ − 2 ≤ 1 ≤ 3. ⎢⎣ 5x − 2 9. Rezolvaţi în R inecuaţia: ⎡ | 4x − 9 | ≤ 8 ⎢ | 5 x − 2 | ≥ 6. ⎣

⎡ | 2x − 5 | ≤ 7 ⎢ | 4 x − 3 | ≥ 10. ⎣ Barem. Start: 1 punct. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 50 minute.

122

Capitolul VI. Inecuaţii. Sisteme şi totalităţi de inecuaţii

2. I n e c u a ţ i i d e g r a d u l I I c u o necunoscută. Metoda intervalelor 1. Reproduceţi şi completaţi fiecare reprezentare grafică a unei funcţii cu semnul ei. y

y

y O O

x

O

x

x

2. Studiaţi semnul funcţiei f : R → R cu: a) f(x) = x2 + 15x – 2; b) f(x) = 3x2 + 6x – 4; 2 d) f(x) = 7x + 2x – 2; e) f(x) = 8x2 + 3x – 2; 3. Studiaţi semnul funcţiei f : R → R cu: a) f(x) = 4x2 + 12x + 9; b) f(x) = 9x2 + 12x + 4; d) f(x) = 16x2 + 8x + 1; e) f(x) = 49x2 + 28x + 4; 4. Studiaţi semnul funcţiei f : R → R cu: b) f(x) = 9x2 + 3x + 1; a) f(x) = 5x2 + 2x + 1; 2 d) f(x) = 4x + 3x + 1; f) f(x) = 2x2 + 4x + 3; 5. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) x2 + 5x + 6 < 0; b) x2 – 3x + 10 < 0; d) 12x2 + 8x + 1 < 0; e) 14x2 – 9x + 1 < 0; 6. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) 18x2 + 11x + 1 ≥ 0; b) 27x2 – 12x + 1 ≥ 0; d) 22x2 + 9x + 1 ≥ 0; e) 33x2 – 14x + 1 ≥ 0; 7. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) –70x2 + 11x + 1 ≥ 0; b) –55x2 – 6x + 1 ≥ 0; d) –102x2 + 11x + 1 ≥ 0; e) –50x2 – 5x + 1 ≥ 0; 8. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) 9x2 + 12x + 4 > 0; b) 4x2 – 12x + 9 > 0; 2 d) 36x + 12x + 1 > 0; e) 25x2 – 10x + 1 > 0; 9. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) –9x2 + 6x – 1 > 0; b) –4x2 + 12x – 9 > 0; d) –25x2 + 10x – 1 > 0; e) –49x2 + 14x – 1 > 0; 10. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) 9x2 + 5x + 4 > 0; b) 4x2 – 11x + 9 > 0; d) 3x2 + 5x + 3 > 0; e) 4x2 – 6x + 3 > 0; 11. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) –6x2 + 7x – 4 > 0; b) –4x2 + 7x – 9 > 0; 2 b) –7x2 + 7x – 2 > 0; a) –5x + 6x – 2 > 0; Capitolul VI. Inecuaţii. Sisteme şi totalităţi de inecuaţii

y

y x O

x O

c) f(x) = 4x2 – 7x – 5; f) f(x) = 5x2 + 2x – 4. c) f(x) = 25x2 – 30x + 9; f) f(x) = 36x2 – 60x + 25. c) f(x) = 5x2 – 6x + 2; g) f(x) = 3x2 – 6x + 2. c) x2 – 7x – 30 < 0; f) 18x2 – 11x + 1 < 0. c) 44x2 – 7x + 1 ≥ 0; f) 50x2 – 15x + 1 ≥ 0. c) –60x2 – 7x + 1 ≥ 0; f) –70x2 – 3x + 1 ≥ 0. c) 9x2 + 12x + 4 > 0; c) 49x2 + 14x + 1 > 0. c) –16x2 + 24x – 9 > 0; f) –16x2 + 8x – 1 > 0. c) 9x2 + 10x + 4 > 0; f) 9x2 + 11x + 4 > 0. c) –8x2 + 9x – 4 > 0; c) –8x2 + 5x – 2 > 0.

123

12. Rezolvaţi în R inecuaţia: b) 2x2 + 3x < 0; c) –x2 + 7x < 0; a) –7x2 + 5x < 0; d) –2x2 + 8x < 0; e) –17x2 – 9x < 0; f) 8x2 – 15x < 0. 13. Rezolvaţi în R inecuaţia: 3 5 3 4 ≥ 0; b) < 0; c) > 0; d) < 0; a) 2 2 2 2 4x − 7x 8x − 9 x 3x + 5 x x + 12 x 1 7 2 10 e) < 0; f) ≥ 0; g) < 0; h) > 0. 2 2 2 5x − 4 8x − 5 3x + 4 2x2 + 9 14. Aflaţi mulţimea numerelor reale pentru care are sens expresia:

a)

x 2 − 15 ;

b)

4 x 2 − 3;

c)

5 x 2 − 3x ;

e)

3x 2 + 4 ;

f)

6x2 − 7;

g) 10 x 2 − 3x ;

d)

7 x 2 + 3x ;

h)

5 x 2 + 3.

15. Aflaţi mulţimea numerelor reale pentru care are sens expresia: 1 2 1 b) c) a) ; ; ; 6 2 8 4 2 2 x − 5 x − 104 − 40 x − 6 x + 1 40 x − 3x − 1 3 4 5 d) e) f) ; ; . 6 4 4 2 2 2 − 66 x − 5 x + 1 x − 3x − 1 78 x + 7 x − 1 16. Aflaţi mulţimea numerelor reale pentru care are sens expresia: −

5

a) (− x 2 − 5 x + 3) 6 ; 2

d) (− x − 3x + 1)

−

4 5;

−

5

b) (− x 2 − 4 x + 2) 3 ; 2

e) (− x + 4 x + 3)

−

2 7;

17. Rezolvaţi în R inecuaţia: b) x2 − 3x + 3 ≤ 5; a) x2 − 2x + 1 ≤ 4; e) x2 − 7x + 6 ≤ 1; d) x2 − 6x + 2 ≤ 5; 18. Rezolvaţi în R inecuaţia: b) (x + 4)2 < 15; a) (x + 2)2 < 5; 2 e) (x + 6)2 < 33; d) (x + 5) < 23; 19. Rezolvaţi în R sistemul de inecuaţii: ⎧ x 2 − 3x − 1 < 0 ⎧x − 3 > 0 a) ⎨ b) ⎨ 2 ⎩ x − 2 > 0; ⎩ x − 5 x + 2 < 0; ⎧x + 3 < 0 ⎧x + 6 < 0 d) ⎨ 2 e) ⎨ 2 ⎩ x + 8 x < 0; ⎩ x + 7 x < 0; 20. Rezolvaţi în R cu ajutorul unui sistem de inecuaţii: b) –3 < x2 + 6x < 4; a) –2 < x2 + 4x < 5; 2 d) –3 < x – 8x < 6; e) –5 < x2 – 9x < 8; 21. Rezolvaţi în R sistemul de inecuaţii: ⎧⎪ x 2 − 9 x > 0 ⎧⎪ x 2 − 4 < 0 a) ⎨ 2 b) ⎨ 2 ⎪⎩ x − 6 x ≤ 0; ⎪⎩ x − x ≥ 0;

124

c) (− x 2 + 2 x + 5) 2

−

f) (−3x + 4 x + 1)

4 11 ;

−

5 9.

c) x2 − 5x + 3 ≤ 5; f) x2 − 8x + 3 ≤ 8. c) (x + 3)2 < 5; f) (x + 7)2 < 40. ⎧x + 4 < 0 c) ⎨ 2 ⎩ x − 7 x + 12 < 0; ⎧x + 5 > 0 f) ⎨ 2 ⎩ x − 3 x < 0. c) –1 < x2 – 7x < 2; f) –9 < x2 + 10x < 6. ⎧⎪ x 2 − 25 ≤ 0 c) ⎨ 2 ⎪⎩ x − 3 x > 0;

Capitolul VI. Inecuaţii. Sisteme şi totalităţi de inecuaţii

⎧⎪ x 2 − 15 > 0 ⎧⎪ x 2 − 11 < 0 e) ⎨ 2 d) ⎨ 2 ⎪⎩ x − 3 x ≤ 0; ⎪⎩ x − 2 x ≥ 0; 22. Rezolvaţi în R cu ajutorul unui sistem de inecuaţii: b) | x2 – 3x | ≤ 2; a) | x2 + 2x | ≤ 5; d) | x2 – 7x | ≤ 3; e) | x2 – 8x | ≤ 4; 23. Rezolvaţi în R cu ajutorul unui sistem de inecuaţii: a) | x2 – 7 | ≤ 3; b) | x2 – 9 | ≤ 6; 2 e) | x2 – 18 | ≤ 2; d) | x – 15 | ≤ 7; 24. Rezolvaţi în R cu ajutorul unui sistem de inecuaţii: a) | x2 + 10x + 1 | ≤ 8; b) | x2 – 12x + 2 | ≤ 3; d) | x2 + 15x + 3 | ≤ 6; b) | x2 – 17x + 2 | ≤ 7; 25. Rezolvaţi în R totalitatea: ⎡x2 − 4x ≤ 0 ⎡ x2 + 9x < 0 a) ⎢ 2 b) ⎢ 2 ⎣⎢ x − 6 < 0; ⎣⎢ x − 11 ≤ 0;

⎧⎪ x 2 − 5 x ≥ 0 f) ⎨ 2 ⎪⎩ x − 7 x < 0. c) | x2 + 4x | ≤ 3; f) | x2 – 11x | ≤ 6. c) | x2 – 12 | ≤ 4; f) | x2 – 26 | ≤ 10. c) | x2 + 9x – 1 | ≤ 4; c) | x2 + 18x + 2 | ≤ 5. ⎡ x 2 − 25 < 0 c) ⎢ 2 ⎣⎢ x − 8 x ≤ 0;

⎡ x 2 − 36 ≤ 0 ⎡ x 2 − 49 < 0 ⎡x2 − 7 x ≤ 0 d) ⎢ 2 e) ⎢ 2 f) ⎢ 2 ⎢⎣ x + 3 x < 0; ⎢⎣ x + 5 x ≤ 0; ⎢⎣ x − 81 ≤ 0. 26. Rezolvaţi în R cu ajutorul unei totalităţi de inecuaţii: b) | x2 – 3 | ≥ 1; c) | x2 – 4 | ≥ 2; d) | x2 – 9 | ≥ 7; a) | x2 – 7 | ≥ 5; 2 2 2 e) | x – 11 | ≥ 2; b) | x – 13 | ≥ 9; c) | x – 15 | ≥ 6; d) | x2 – 18 | ≥ 10. 27. Rezolvaţi în R cu ajutorul unei totalităţi de inecuaţii: a) | x2 – 10x | ≥ 5; b) | x2 – 11x | ≥ 3; c) | x2 – 12x | ≥ 4; d) | x2 – 13x | ≥ 6; e) | x2 – 15x | ≥ 11; b) | x2 – 16x | ≥ 10; c) | x2 – 18x | ≥ 12; d) | x2 – 20x | ≥ 14. 28. Rezolvaţi în R aplicând metoda intervalelor: b) (x2 + 7x)(x2 – 10x) < 0; a) (x2 + 5x)(x2 – 8x) < 0; 2 2 d) (x2 – 23x)(x2 – 16x) < 0; c) (x – 17x)(x – 12x) < 0; 2 2 f) (x2 + 4x)(x2 – 9x) < 0. e) (x + 21x)(x – 18x) < 0; 29. Rezolvaţi în R aplicând metoda intervalelor: a) (x2 – 1)(x2 – 3) < 0; b) (x2 – 7)(x2 – 9) < 0; 2 2 c) (x – 7)(x – 11) < 0; d) (x2 – 12)(x2 – 15) < 0; e) (x2 – 25)(x2 – 16) < 0; b) (x2 – 36)(x2 – 31) < 0. 30. Rezolvaţi în R aplicând metoda intervalelor: a) (x2 – 2x + 1)(x2 – 3x + 2) ≤ 0; b) (x2 – 4x + 4)(x2 – 5x + 6) ≤ 0; 2 2 c) (x – 6x + 9)(x – 7x + 12) ≤ 0; d) (x2 – 8x + 16)(x2 – 5x + 4) ≤ 0; e) (x2 – 10x + 25)(x2 – 8x + 15) ≤ 0; f) (x2 – 12x + 36)(x2 – 8x + 12) ≤ 0. 31. Rezolvaţi în R aplicând metoda intervalelor: 2x − 3 3x − 7 5x + 2 7x − 4 a) < 0; < 0; < 0; < 0; b) c) d) 3x + 7 4x + 3 6x − 5 5 x + 11 4x − 9 10 x − 3 4 x − 13 8x − 5 < 0; f) < 0; < 0. h) e) < 0; g) 5x − 8 8x − 1 9x + 8 6x + 5 Capitolul VI. Inecuaţii. Sisteme şi totalităţi de inecuaţii

125

32. Rezolvaţi în R aplicând metoda intervalelor: 3x − 2 5x − 8 4x − 5 b) 2 c) 2 ≥ 0; ≥ 0; ≥ 0; a) 2 x − 5x − 6 x + 7 x − 18 x + 8 x − 33 2x − 9 8x − 9 10 x − 11 d) 2 ≥ 0; ≥ 0; ≥ 0. e) 2 f) 2 x + 11x − 60 x + 11x − 80 x + 11x − 102 33. Rezolvaţi în R aplicând metoda intervalelor: 5 x 2 − 3x 7 x2 − 4x 8 x 2 − 3x a) 2 b) 2 c) 2 < 0; < 0; < 0; x − 9 x − 36 x − 16 x − 80 x − 16 x − 105 10 x 2 − 9 x 12 x 2 − 5 x 6 x 2 + 5x e) 2 f) 2 d) 2 < 0; < 0; . x − 16 x + 60 x − 13 x − 48 x − 15 x + 50 34. Aflaţi mulţimea numerelor reale m pentru care nu are rădăcini reale polinomul: a) 3X2 – (m – 2)X + 4; b) X2 – (2m – 3)X + 5; c) 3X2 – (3m – 1)X + 5; d) 2X2 – (m – 1)X + 6; e) 2X2 – (m – 5)X + 6; f) 5X2 – (m – 7)X + 2. 35. Aflaţi mulţimea numerelor reale m pentru care are rădăcini reale diferite polinomul: a) 3X2 – (7m – 2)X – 3; b) 5X2 – (3m – 4)X – 4; c) 2X2 – (6m – 7)X – 9; 2 2 e) 4X – (4m – 3)X – 3; f) 3X2 – (2m – 5)X – 2. d) 7X – (3m – 5)X – 6;

36. Alcătuiţi o inecuaţie de gradul II cu mulţimea soluţiilor: a) (0, 5); b) [–3, 7]; c) (–5, 5); d) R \{–2, 5}. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 37. Aflaţi mulţimea numerelor reale pentru care are sens expresia: 8

2

2

14 x − 5 x + 1 − (40 x − 6 x − 1)

−

7 9.

Formulaţi un exerciţiu asemănător. ⎧⎪ x 2 − 4 x − 60 < 0 38. Rezolvaţi în R sistemul de inecuaţii ⎨ 2 ⎪⎩− x − 3x + 70 ≥ 0. Formulaţi un exerciţiu asemănător. ⎧⎪| x 2 − 9 x − 7 | < 4 39. Rezolvaţi în R sistemul de inecuaţii ⎨ 2 ⎪⎩ x − 11x − 26 ≥ 0. Formulaţi un exerciţiu asemănător. ⎡| x 2 − 10 x − 6 | < 3 40. Rezolvaţi în R totalitatea ⎢ 2 ⎣⎢ x − 12 x − 45 ≥ 0. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 41. Rezolvaţi în R aplicând metoda intervalelor

3x 2 − 2 x + 7 ≤ 1. x 2 − 4 x − 77

Formulaţi un exerciţiu asemănător.

126

Capitolul VI. Inecuaţii. Sisteme şi totalităţi de inecuaţii

42. Rezolvaţi în R aplicând metoda intervalelor

1 3 − ≥ 0. 2x − 3 x +1

Formulaţi un exerciţiu asemănător. ⎧⎪| x 2 − 8 x + 15 | < 1 43. Rezolvaţi în R sistemul de inecuaţii ⎨ 2 ⎪⎩| x − 9 x + 5 | ≤ 4. ⎡| x 2 − 7 x + 4 | < 2 44. Rezolvaţi în R totalitatea ⎢ 2 ⎣⎢| x − 10 x + 2 | ≤ 5. 5x − 7 < 2. x − 13 x − 42 Formulaţi un exerciţiu asemănător. 45. Rezolvaţi în R, 1 ≤

2

46. Rezolvaţi în R aplicând metoda intervalelor

2 1 − ≤ 1. 2 x − 3 3x − 1

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 47. Rezolvaţi în R aplicând metoda intervalelor

3x − 5 < 1. x − 11x − 102 2

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 48. Rezolvaţi în R aplicând metoda intervalelor 1 <

4x − 5 < 5. x − 10 x − 75 2

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 49. Aflaţi mulţimea numerelor reale m pentru care polinomul 5X2 – (m – 3)X + m – 1 are suma rădăcinilor strict pozitivă şi produsul strict negativ. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 50. Aflaţi mulţimea numerelor reale m pentru care polinomul 2X2 – (m – 1)X + 3m are rădăcinile mai mari decât 1. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 51. Aflaţi mulţimea numerelor reale m pentru care polinomul 3X2 – (m – 2)X + 4m are o rădăcină mai mare decât 1 şi cealaltă mai mică decât 1. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 52. Rezolvaţi grafic, în R, inegalitatea | x2 + 3x + 2 | ≤ 5. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 53. Rezolvaţi grafic, în R, inegalitatea | x2 + 5x + 4 | ≤ x – 1. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 54. Rezolvaţi grafic, în R, inegalitatea | x2 + 7x + 12 | ≤ | x – 3 |. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 55. Rezolvaţi grafic, în R, inegalitatea | x2 – 8x + 12 | ≤ | x2 + 9x + 18 |. Formulaţi un exerciţiu asemănător. Capitolul VI. Inecuaţii. Sisteme şi totalităţi de inecuaţii

127

Evaluare formativă 1. Studiaţi semnul funcţiei f : R → R

cu:

1. Studiaţi semnul funcţiei f : R → R

cu: a) f(x) = x2 + 7x – 3; b) f(x) = x2 + 6x + 2. 2. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) x2 + 3x ≤ 0; b) x2 – 0,25 ≥ 0. 3. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) x2 + 13x – 30 ≤ 0; b) x2 + 21x – 46 ≥ 0. 4. Rezolvaţi în R sistemul

a) f(x) = x2 + 6x – 4; b) f(x) = x2 + 8x + 3. 2. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) x2 + 5x ≤ 0; b) x2 – 0,16 ≥ 0. 3. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) x2 + 12x – 45 ≤ 0; b) x2 + 19x – 42 ≥ 0. 4. Rezolvaţi în R sistemul

⎧x − 4 > 0 ⎨ 2 ⎩ x + 3 x < 0. 5. Rezolvaţi în R totalitatea

⎧x − 5 > 0 ⎨ 2 ⎩ x + 4 x < 0. 5. Rezolvaţi în R totalitatea

⎡ x2 − 5x < 0 ⎢ 2 ⎣⎢ x − 6 ≤ 0.

⎡x2 − 7x < 0 ⎢ 2 ⎣⎢ x − 8 ≤ 0.

6. Aflaţi mulţimea numerelor reale 6. Aflaţi mulţimea numerelor reale pentru care are sens expresia: pentru care are sens expresia:

a)

4

28 x 2 − 14 x − 1; −

3

b) ( x 2 − 16 x − 80) 7 .

a)

6

30 x 2 − 13 x − 1; −

4

b) ( x 2 − 15 x − 75) 7 .

7. Rezolvaţi în R inecuaţia: 7. Rezolvaţi în R inecuaţia: 2 a) | x – 13 | ≤ 7; a) | x2 – 16 | ≤ 6; b) | x2 – 19 | ≥ 6. b) | x2 – 18 | ≥ 7. 8. Rezolvaţi în R aplicând metoda 8. Rezolvaţi în R aplicând metoda inintervalelor: tervalelor:

2x2 − 3 ≥ 3. 20 x 2 − 10 x − 1 9. Rezolvaţi în R totalitatea ⎡| x 2 − 11x + 4 | < 3 ⎢ 2 ⎣⎢| x − 12 x + 6 | ≤ 2.

3x 2 − 2 ≥ 2. 27 x 2 − 9 x − 1 9. Rezolvaţi în R totalitatea

⎡| x 2 − 12 x + 5 | < 4 ⎢ 2 ⎢⎣| x − 11x + 4 | ≤ 3. Barem. Start: 1 punct. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 60 minute.

128

Capitolul VI. Inecuaţii. Sisteme şi totalităţi de inecuaţii

Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri Cap. I. Recapitulare şi completări. 1. Mulţimea numerelor reale (9–11) 1. a) Zecimalele numărului –5,0369... sunt formate din toţi multiplii naturali ai lui 3. Răspuns: –5,0369... este număr 541 − 5 536 268 = = implică −23,5(41) = iraţional. 2. a) 990 990 495 268 − 23 . 3. Examinaţi desenul! 4. a) –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4. 495 5. a) (–5, 17). 6. a) ( –11, 24]. 7. a) [–2,5; 7,1]. 8. a) (–'; 15,2]. 9. a) | x | < 2,9. 10. a) | x | ≤ 13,2. 11. a) | x | > 3,27. 12. a) | x | ≥ 3,27. 13. a) − 9 < − 73 < −8. 14. a)

5,7. 16. a)

55 ≈ 7,4. Răspuns: 7. 15. a)

33 ≈ 5,74. Răspuns:

48 ≈ 6,28. Răspuns: 6,3. 17. a) − 51 ≈ –7,1. Răspuns: –7. 18. a) − 68

≈ –8,24. Răspuns: –8,2. 19. a) − 78 ≈ –8,831. Răspuns: –8,83. 20. a)

18 ≈ 4,24.

19 ≈ 4,24. Răspuns: 4,2. 22. a) − 19 ≈ –4,35. Răspuns: –4,3. 5 23. a) − 27 ≈ –5,19. Răspuns: –5,2. 24. a) ∈ Z ⇔ x + 2 ∈ {–5, –1, 1, 5} ⇔ x x+2 + 2 ∈ {–7, –3, –1, 3}. 25. a) Divizorii naturali primi ai lui 12 sunt: 2, 3. Deoarece 2 se 7 află printre divizorii lui 12, rezultă că se converteşte într-un număr zecimal 12 periodic compus. 26. Deoarece termenii numărătorului au aceeaşi paritate, numărătorul x 5 y 13 − x 4 y 17 este reductibilă. 27. Număr zecimal periodic este număr par. Fracţia 2004 compus. 28. a) abc + 11(a + b + c) = 111a + 21b + 12c se divide cu 3, deci 15 este fracţie ireductibilă. abc + 11( a + b + c) 29. Zecimalele numărului se obţin din termenii şirului 2, 4, 6, 8, ... Calculăm câte numere pare nenule de o cifră există, câte numere pare de două cifre există etc. 30. Suma tuturor numerelor este 1002⋅2005 = 2007005. Deoarece 2007005 – 4k ≈ 0 pentru orice k ∈ N*, nu se poate obţine un şir cu toţi termenii egali cu 0. 31. Nu este periodic. 32. Examinaţi exemplul de la p. 5. 33. a) [5; 3, 7, 1] este un număr raţional. 2. Operaţii cu numere reale (12–16) Răspuns: 4,3. 21. a)

1. a)

(2 x − 5) 2 = | 2x – 5 |. 2. a)

( 3 − 5 ) 2 = 5 − 3. 3. a)

3( 5 − 7 ) =

15

– 21. 4. a) 10. 5. a) 31 + 4 31 + 4 = 35 + 4 31. 6. a) 41 − 6 41 + 9 = 50 − 6 41. 7. a) 4 17 . 8. a) 3,605 < 13 < 3,606, 3,872 < 15 < 3,873 implică 7,477 < 13 + 15 < 7,479. Răspuns: 7,47. 9. a) 5,385 < 29 < 5,386, 3,316 < 11 < 3,317, 2,06 < 29 − 11 < 2,07. Răspuns: 2,07. 10. a) 2 170 . 11. a) 2160 . 12. a) 343a3 + 588a2 + 336a + 64. 13. a) 343a3 – 882a2 + 756a – 216. 14. a) 729x3 + 512. 15. a) 729x3 Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri

129

– 343. 16. a) 3x – 11 = 16 ⇔ 3x = 27 ⇔ x = 9 ⇒ S = {9}. 17. a) 7x – 8 = 3x + 6 ⇔ 7x – 3x = 8 + 6 ⇔ 4x = 14 ⇒ S = {3,5}. 18. a) | 4x + 11 | = 25 ⇔ 4x + 11 = 25 sau 4x + 11 = –25 ⇔ 4x = 14 sau 4x = –36 ⇔ 4x = 14 sau 4x = –36 ⇔ x = 3,5 sau x = –9 ⇒ S = {–9; 3,5}. 19. a) | 4x | ≤ 13 ⇔ –13 ≤ 4x ≤ 13 ⇔ –3,25 ≤ x ≤ 3,25 ⇒ S = [–3,25; 3,25]. 20. a) | x – 9 | ≤ 2 ⇔ –2 ≤ x – 9 ≤ 2 ⇔ 7 ≤ x – 9 ≤ 11 ⇒ S = [7; 11]. 21. a) | 9x | ≥ 28 ⇔ 9x ≥ 28 sau 9x ≤ –28 ⇔ x ≥ 3,(1) sau x ≤ –3,(1) ⇒ S = (–'; –3,(1)] ∪ [3,(1); '). 22. a) | x – 9 | ≥ 12 ⇔ x – 9 ≥ 12 sau x – 9 ≤ –12 ⇔ x ≥ 21 sau x ≤ –3 ⇒ S = (–'; –3] ∪ [21, '). 23. a) S = {− 15 , 15}. 24. a) S = {0, 34}. 25. a) S = {–1, 20}. 26. a) S = {6}. 27. a) S = 12, P = 34. 28. a) x2 – 3,5x –7,5 = 0. 29. a) X2 – (–3,1 + 2,4)X + (–3,1⋅2,4) etc. 30. a) X 2 + 11X + 30 are rădăcinile –6 şi –5. X 2 + 11X + 30 = (X + 5)(X + 6). 31. a) x2 – 23 = x ( x + 23 )( x − 23 ). 32. a) x2 – 6x – 112 = (x – 14)(x + 8). 33. a) . 34. a) (x + 25)2. x + 11 x 34. a) (2x + 5)3. 39. a) 2 − 5. 40. a) S = {− 3 , − 2 , 2 , 3}. 41. Fie y = . Se 1− x rezolvă mai întâi ecuaţia y2 – 2y + 1 = 0 etc. 42. Fie y2 = x – 2 etc. 43. Fie y = 2x – 5 x2 etc. 45. Fie S = x + 2x2 + 3x3 + 4x4 + ... Atunci S – xS etc. 44. x2 + x4 + x6 + ... = 2 1− x 3x x 2 3 4 etc. 47. Rezolvaţi în R = x + x + x + x + ... = etc. 46. a) y = 2 1− x x − 3x + 2 2 4 6 2004 , a < ecuaţia | x + 2 | + | x – 2 | = 4 etc. S = [–2, 2]. 48. a = ⋅ ⋅ ⋅ ... ⋅ 3 5 7 2005 3 5 7 2005 ⋅ ⋅ ⋅ ... ⋅ etc. 49. Se află ultima cifră a sumei din membrul stâng şi se compară 4 6 8 2006 cu ultima cifră a numărului din dreapta. Ecuaţia nu are soluţii întregi. 50. a) e se află din ecuaţia x + e + 11 = x. 51. Graficul funcţiei este unghiul ABC cu A(0, 5), B(1,(6); 0), C(2, 1). 52. Aflaţi câte numere naturale se divid cu 2, 5, 7 şi apoi câte mai rămân. 53. Ţineţi cont că produsul a două numere întregi consecutive se divide cu 2 şi că suma a două sau mai multe numere întregi pare este un număr par. 54. Deoarece 2 = 0 + 2, 3 = 0 + 3 = 1 + 2, 4 = 4 + 0 = 1 + 3 etc., X 2 are coeficientul 1, X 3 are coeficientul 2, X 4 are coeficientul 2 etc. 55. Se înlocuieşte 2 – X cu X şi X cu 2 – X etc. 56. P(1) + P(2) + P(3) + ... + P(2004) =7(1 + 2 + ... + 2004) – 5⋅20004 etc. 57. a) 1 6 − 15 + 30 ⋅ 6 + 15 + 30 = 21− 30 etc. 58. a) 9 8 etc. 59. Proz + z + ... + 1 1 x poziţia este falsă. 60. Se află x din ecuaţia = şi apoi valoarea comună ϕ a 1− x x 1+ 5 = 1,618033... 61. [1; (1)]. rapoartelor (numărul de aur). ϕ = 2 62. 1 + 1 + 1 + ... = ϕ. 63. n = 0. Cap. II. Puteri cu exponent raţional. 1. Radicali de ordinul n (20–25) 1. a)

130

4 = 2 2 = 2. 2. a)

3

8 = 3 23 = 2. 3. a)

3

− 8 = 3 23 = 2. 4. a) 4 16 = 4 2 4 = 2. Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri

5. a) 5 32 = 5 25 = 2. 6. a) 5 − 32 = 5 ( −2)5 = −2. 7. a) (−2) 2 = 2. 8. a) 2. 9. a) a ∈ (–', 4

0]. 10. a) 405. 11. a) –4375. 12. a) 11 = 4⋅2 + 3 implică + 2 implică

4

(−7)14 = 3434 49 . 14. a) 2 < 5. 15. a) (1 − 2 )8 3 = − 8 3( 2 − 1)8 .

16. a) (2 − 5 )7 3 = 7 3(2 − 5 ) 7 . 17. a)

4

15 şi 2 =

(1 − 5 2 )16 3 = −16 3(5 2 −1)16 . 19. a)

16 (3 − 5

20. a) (3 7 2 )5 = 3433 7 . 21. a)

x = 14 x . 22. a)

24. a)

3

611 = 364 63 . 13. a) 14 = 4⋅3

5⋅ 7 = 4

12

4

7

3

5 ⋅ 7 . 25. a)

4

4

16 implică

15 < 2. 18. a)

244)18 = (5 244 − 3)9 16 (5 244 − 3)2 . 6

34 = 3 32 . 23. a)

1 = 3 + 2 . 26. a) 3− 2

1 7

112

12 7

=

(−2) 4 = 3 2 .

115 . 27. a) x ∈ 11

{8, 9, 10, …}. 28. a) 2x – 3. 29. a) [0,6; '). 30. a) − 4 ( x − 2)5 . 31. 3 5 = 15 3125 şi 5 15 = 15 3375 . 32. a) Aflaţi semnul numărului 36.

4 4 4 4 4 4

39. a) 42.

3

2048

163 = 4

4 4 4 4

8 etc. 37.

4

32

7 − 3 5. 34. a) 2. 35. 1.

4 = 16 2 , 2 = 16 28 , 4 2 = 16 24 etc.

6 = 3 25 − 3 5 + 1. 40. 1. 41. Fie x = 1 + 3 3. (x – 1)3 = 3 etc. 5 +1 2 ⋅ 2 2 ⋅ ... ⋅ 2512 ⋅ 21024 etc. 43. a)

3

2 2( 3 7 − 3 4 ) . 44. Se ridică = 11 49 + 3 14 + 3 4

egalitatea la pătrat etc. 45. Se ridică egalitatea la cub. 46. Fie x = ( x − 3 2 )3 = 3 etc. 47. x =

3

2 + 3 3.

1 1 1 1... implică x2 = x etc. 50. 2. 52. Restrângeţi pătra-

tele de la numitori şi raţionalizaţi numitorii rapoartelor. 2. Puteri cu exponent raţional (25–30) 7

1. a) 3x–8. 2. a) x12y–10. 3. a)

5

37 = 3 5 . 4. a)

3 6 12 18 = = = . 5. a) 5 10 20 30

13 12

92 13 = 92 12 . 3

9

6. a) x ∈ [2, '). 7. a) x ∈ (24, '). 8. a) x ∈ (24, '). 9. a) 28 13− 3 . 10. a) − 311. 11. a) 2 7 ⋅ 4 43 14 35

8 14 ⋅8

=

3 8 12 + + 7 2 3 7

7 14 − 11 3 5

=

101 2 21 .

119 − 3 55 .

12. a)

5 8 9

3 5 7 (5 ) 9

15 5 63.

11 12 : 81

=

5 11 − 8 9 6

7 81 3

=9

−

29 24 .

13. a)

7 11 3

5

: 9

7

7 11 =3

:

7 ⋅ 5 24 .

= = 14. a) = 15. a) 16. a) S = {0}. 17. a) S = (–', 7 9 0]. 18. a) x – 5 = 0. 19. a) x – 17 = 0. 20. a) 9x – y. 21. a) 125x – 1. 22. a) 3x + 64. 9

1

1

23. a) − (1 − x) 19 , x < 1. 24. a) 101. 25. a) S = [0; 0,5). 26. a) 9 x + 15 x 2 y 2 + 5 y. 27. a) 5 −1 4 3 135 + a3 40 + 5,1 = 33 5 + 2a3 5 + 5,1. Răspuns: a) a = –1,5. 28. 1 . = 1 256 256 5 +1 5 +1 5

2

29. (8 y − 7 x)12 | 12 x + 5 | 3 . 30. x – 1. 31. x + 1. 32. a) x ∈ {–1}. 33. a) Aflaţi numerele Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri

131

întregi x pentru care

[

7x + 5 este număr natural mai mare sau egal cu 2. x+2

]

−

[

1

]

−

1

34. max (5 x − 8) 2 + 8 3 = 0,5 şi max (9 y − 5) 2 + 256 4 = 0,25 etc. 35. Aplicaţi formula sumei termenilor unei progresii cu un număr finit de termeni. 43. a) Rezolvarea grafică conduce la unicitatea soluţiei 4. Cap. III. Funcţii. Noţiunea de funcţie (36–41) 1. a) Domeniul de definiţie este N \ {0, 1, 2, …, 999}, mulţimea valorilor este {0, 1, 2, …, 9}. 2. a) Domeniul de definiţie este R, mulţimea valorilor este {0, 1, 2, …, 9}. 3. a) ⎧1 ⎫ R. 4. a) R \ ⎨ ⎬ . 5. a) f nu este definită când se anulează numitorul raportului. R \ ⎩7 ⎭ ⎧1 1 ⎫ ⎨ , ⎬ . 6. a) R. 7. a) R \ {3,25}. 8. a) f nu este definită când se anulează numitorul ⎩3 2 ⎭ 6⎤ 12 ⎞ ⎛ ⎛ raportului. R \ {–0,125; 1}. 9. a) ⎜ − ' , ⎥ . 10. a) ⎜ − ' , ⎟ . 11. a) 12 – 7x trebuie să 11 11 ⎠ ⎝ ⎝ ⎦ 9⎤ ⎛ fie un număr natural cel puţin egal cu 2. Răspuns: {…, –1, 0, 1}. 12. a) ⎜ − ' , ⎥ . 82 ⎝ ⎦ 4 ⎞ ⎛ 13. a) ⎜ − ' , ⎟ . 14. a) R \ {7,5}. 15. a) Defineşte o funcţie. 16. a) Nu defineşte o 27 ⎝ ⎠ funcţie. 17. a) Defineşte o funcţie. 18. a) f este o funcţie nemonotonă. x −5 2 9 19. 20. 21.

f(x)

8

x f(x)

−∞ −∞

x

−∞ −∞

f(x)

&

%

%

14 3 −1 18 3

%

%

%

21 16 25 ' '

1 . 23. a) 2 şi 10. 24. a) 2,5. 25. a) 7 − 89 , 7 + 89 . 26. a) Obţinem punctul 6 (0, 24). 27. a) (0, –70). 28. a) f(x) < 0 pe intervalul (–'; –0,25) şi f(x) > 0 pe intervalul (–0,25; '). 29. a) f(x) > 0 pe intervalul (–', 9) şi f(x) < 0 pe intervalul (–9, '). 30. a) f(–x) = 8,2x = –f(x). f este o funcţie impară. 31. a) f este o funcţie impară. 32. a) f nu este nici pară, nici impară. 33. a) y = 3x – 11 are panta 3. 34. {1, 2, 4, 8, 6}. 35. {1, 3, 7, 9}. 36. {1, 3, 7, 9}. 37. a) f(x) = (3m – 2)x + 6 este crescătoare pentru 3m – 2 > 0 ⇔ m > 0,(6). 38. a) f(x) = (4m2 – 3m – 1)x + 2 este constantă pentru 4m2 – 3m – 1 = 0 ⇔ m = –0,25 sau m = 1. 39. a) f(1) = 0. 40. a) 23 = 8. 41. a) 32. 42. Se cercetează cazurile: m = 4k + r, r ∈ {0, 1, 2, 3, 4}. 43. Se cercetează cazurile: m = 4k + r, r ∈ {0, y 1, 2, 3, 4}. 44. f(–378) = 0, f(–4629) = 7 etc. 45. f nu este o funcţie. x O 2. Funcţii numerice (42–46) 1. a) 2 4 6 x −2 −2 –2 f(x) 22. a)

132

Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri

2.

a)

3. a) 4. a)

0 0

2 1

x f(x)

−∞ − −

1,5 − 0 +

x f(x)

−∞ + +

2,5 + 0 −

x f(x)

5. a)

−∞

x f(x)

6. a)

−∞

x f(x)

7. a)

27,5 0

%

−∞

x f(x)

%

8. a)

–4 0

−1 0 (1,2 & 1

x f(x)

+

∞ +

−

∞ −

O

∞ %

&

%

y

0 ∞ 1 %

O

(

∞

5 & 0

−1 (2

f(x) 10. a) D = R.

x f(x)

11. a) D = R \ {3}.

x f(x)

−∞ 0 −∞ 0

&

&

x O

&

(

y

x

O

6 –5]

&

x

y

9. a)

x

x

∞

15 0

&

y

4 2

]

y

& %

1 –1 2 1

&

2 −∞║∞

&

3 1

3 4 % ∞║–∞ % –1

& %

∞ 0

O x y

∞ 0

x O y

12. a) D = R \ {–3}.

x f(x)

−∞ 0

%

–4 1

%

–3 –2 ∞║∞ & 1 &

∞ 0

O x y

13. a) D = R \ {3}. 14. a) D = [3, ').

x f(x) x f(x)

−∞ 0 & 3 0

%

2 3 4 –1 & –∞║–∞ % –1 4 1

%

7 2

%

∞ 0

O

y x

∞ ∞

%

x

O y

15. a) D = (–', 3].

x f(x)

Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri

−∞ ∞ &

–1 2

&

2 1

&

3 0

O

x

133

16. a) D = R.

x f(x)

−∞ –1 2 3 4 7 ∞ ∞& 2 & 1 & 0 % 1 % 2 % ∞

y

O

x y

17. a)

x f(x)

−∞ –1 ∞ & 3

0 0

&

%

1 3

%

∞ ∞

O

x

y

18. a)

x f(x)

19. a)

x f(x)

20. a) 21. a)

x f(x) x f(x)

−∞ ∞ & −∞ –∞

2 3

2 % –3

−∞ 1 −∞ −∞ %

3 0

&

3 % 0 2 1](–3

–2 –2

–1 % –1

%

4 3

4 & –3

%

∞ ∞

O

∞ & –∞ ∞ –3

O

y

x f(x)

−∞ 0 ∞ & 2

3 & 1](3

x

]

O

x (

y

∞ –1

O

y

22. a)

x

y

∞ 3

x

(

]

O

x

23. a) f(x + 5) = 3(x + 5) + 1. 24. Procedaţi ca mai sus. Graficul funcţiei este un unghi. 25. a) Procedaţi ca la rezolvarea exerciţiului 10–13. 26. a) Procedaţi ca la rezolvarea exerciţiului 14–16. 27. a) a) Procedaţi ca la rezolvarea exerciţiului 17–19. 28. a) Procedaţi ca la rezolvarea exerciţiului 9. 29. a) Procedaţi ca la rezolvarea exerciţiului 8. ⎧− 1, dacă x ∈ ( − ' , 2) ⎪ 31. a) f(x) = sgn (3x − 6) = ⎨ 0, dacă x = 2 etc. 33. a) f(x) = (−2x + 5)⋅sgn (3x − ⎪ 1, dacă x ∈ ( 2, ' ) ⎩ ⎧2 x − 5, dacă x ∈ (− ' , 3) ⎪ 9) = ⎨ 0, dacă x = 3 etc. 34. a) Se află f(x) din sistemul de ecuaţii f(x) + 2f(3 ⎪5 − 2 x, dacă x ∈ (2, ' ) ⎩ – x) = 3x + 1 şi f(3 – x) + 2f(x) = 3(3 – x) + 1. 35. Domeniul maxim de definiţie în R este R şi mulţimea valorilor funcţiei f se află examinând f(x) = (x – 4)2 – 13. 36. V. rez. 13 . f(x) = max {8x – 11, 2 – 9x} = ex. 35. 40. 8x – 11 – 2 + 9x > 0 ⇔ 17x > 13 ⇔ x > 17 ⎧ 13 ⎞ ⎛ ⎪2 − 9 x, dacă x ∈ ⎜ − ' , 17 ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ etc. 41. V. ex. 40. 43. f(2) = 10 – 3 = 3m – 4 etc. ⎨ ⎪8 x − 11, dacă x ∈ ⎡13 , ' ⎞⎟ ⎢17 ⎪⎩ ⎠ ⎣

134

Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri

44. Procedând ca la ex. 41 obţineţi un sistem în m şi n. 3. Funcţia de gradul II (47–54) 1. a) Graficul lui f intersectează axele de coordonate în (0, 0). 2. a) Im f = E(f) = (–', 0]. f este crescătoare pe (–', 0) şi este descrescătoare pe (0, '). 3. a) Zerourile funcţiei

⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎜− , 0 ⎟⎟ , ⎜⎜ , 0 ⎟⎟ ⎜ 5 5 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ şi axa Oy în (0, 2). 4. a) Im f = E(f) = [–9, '). f este descrescătoare pe (–', 0) şi este crescătoare pe (0, '). 5. a) ) Im f = E(f) = (–'; 0,(6)]. f este crescătoare pe (–', 0) şi este crescătoare pe (0, '). 6. a) Graficul lui f nu intersectează axa Ox, dar intersectează axa Oy în (0, 7). 7. a) Im f = E(f) = [5, '). f este descrescătoare pe (–', 0) şi este crescătoare pe (0, '). 8. a) Zerourile funcţiei f sunt –0,8 şi 0. Graficul lui f intersectează axa Ox în punctele (–0,8; 0), (0, 0) şi axa Oy în (0, 0). 9. a) Zerourile funcţiei f sunt 0 şi 4,5. Graficul lui f intersectează axa Ox în punctele (0, 0), (4,5; 0) şi axa Oy în (0, 0). y 10. a) x −∞ –1 0 1 ∞ & 1 & 0 % 1 % ' f(x) ∞ f sunt −

2 , 5

2 . Graficul lui f intersectează axa Ox în punctele 5

O

11. a)

x f(x)

−∞ −∞

–1 % –2

0 % 0

1 & –2

&

∞ –'

x

y O

x

2

12. a) Funcţia f are coeficientul lui x un număr pozitiv, deci fmin = 49 49 − . 13. a) Funcţia f are coeficientul lui x2 un număr negativ, deci fmax = . 20 84 4⎤ 4⎞ ⎛ ⎛ 14. a) Im f = E(f) = ⎜ − ' , − ⎥ . f este descrescătoare pe ⎜ − ' , − ⎟ şi este crescătoa13 ⎦ 13 ⎠ ⎝ ⎝ 32 ⎤ ⎛ 4 ⎛ ⎞ re pe ⎜ − , ' ⎟ . 15. a) Im f = E(f) = ⎜ − ' , − ⎥ . f este crescătoare pe (–'; –1,(3)) şi 3⎦ ⎝ 13 ⎠ ⎝ y este descrescătoare pe (–1,(3); '). O x 16. a) x −∞ 0 1,5 3 ∞ & 0 & –4,5 % 0 % ' f(x) ∞ y

17. a)

x f(x)

−∞ −∞

0 % 0

%

2 8

&

4 0

&

∞ –'

O

x

∆ 13 = − . 19. a) 4a 36 ∆ 49 Funcţia f are coeficientul lui x2 un număr negativ, deci fmax = − = . 20. a) Func4a 24 ∆ 23 = . 21. a) Funcţia f are ţia f are coeficientul lui x2 un număr pozitiv, deci fmin = − 4a 24 ∆ 7 = . coeficientul lui x2 un număr negativ, deci fmax = − 4a 24

18. a) Funcţia f are coeficientul lui x2 un număr pozitiv, deci fmin = −

Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri

135

22. a)

x f(x)

23. a)

x f(x)

24. a)

x f(x)

25. a)

x f(x)

−∞ 3 3,5 ∞ & 0 & –0,25 −∞ −∞

2 % 0

4 % 0

3,5 % 12,25

0 % –2

5 0

&

0,5 % –2,5 &

y

∞ –'

y

%

−∞ 0 0,75 1,5 ∞ & 2 & 1,75 % 2 −∞ −∞

∞ '

&

∞ '

%

∞ –'

1 –2 &

O

x

O

x

y

O

x

y O x

∆ ⎞ ∆ ⎞ ⎛ b ⎛ b 26. a) V ⎜ − ,− ⎟ = V(3, –5). 27. a) V ⎜ − , − ⎟ = V(1,5; 4,125). 4a ⎠ 4a ⎠ ⎝ 2a ⎝ 2a ∆ ⎞ ∆ ⎞ ⎛ b ⎛ 7 11 ⎞ ⎛ b 28. a) V ⎜ − ,− ⎟ = V ⎜ , ⎟ . 29. a) V ⎜ − , − ⎟ = V(1, –2). 4a ⎠ 4a ⎠ ⎝ 2a ⎝ 6 12 ⎠ ⎝ 2a 30. a) ∆ > 0, 5 − 17 5 + 17 x −∞ ∞ a > 0. 4 4 f(x) + + + 0 – – – 0 + + + 31. a) ∆ > 0, a < 0.

f(x)

− 5 − 17 4 – – – – 0 + +

5 − 17 4 + + 0 –

32. a) ∆ < 0, a > 0.

x f(x)

−∞ +

+

+

33. a) ∆ < 0, a < 0.

x f(x)

−∞ – –

–

–

34. a) ∆ = 0, a > 0.

x f(x)

−∞ +

x

−∞

∞

– – ∞

+

+ –

+

– +

1,5 + 0

+ –

+ –

+ ∞ –

–

∞

+

+

+

+

x −∞ 1,5 ∞ 35. a) ∆ = 0, f(x) – – – – 0 – – – – – a < 0. 2 36. a) ∆ < 0 şi a > 0 implică f(x) = | 5x – 8x + 1 | = 5x2 – 8x + 1. − 3 + 17 − 3 − 17 2 37. a) ∆ > 0, x1 = . Prin urmare f(x) = | –2x – 3x + 1 | = , x2 = 4 4 ⎧⎪2 x 2 + 3 x − 1, dacă x ∈ (− ' , x1 ) U ( x2 , ' ) 38. a) ∆ = 0 implică f(x) = | 9x2 + 12x + 4 | = ⎨ 2 ⎪⎩− 2 x − 3 x + 1, dacă x ∈ [ x1 , x2 ].

9x2 + 12x + 4. 39. a) ∆ < 0, a < 0 implică f(x) = | –3x2 + 2x – 1 | = 3x2 – 2x + 1. 40. a) Deoarece a = 3 > 0, f este pozitivă, dacă 16 – 3m ≤ 0. Rezultă m ∈ [5,(3); '). 41. a) Deoarece a = 4 > 0, f este strict pozitivă, dacă 16 + 4m < 0. Rezultă m ∈ (–', –4). 136

Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri

⎞ ⎡9 42. a) Deoarece a = –4 > 0, f este negativă, dacă 9 – 32m ≤ 0. Rezultă m ∈ ⎢ , ' ⎟ . ⎣ 32 ⎠ 43. a) Deoarece a = –3 > 0, f este strict negativă, dacă 16 – 15m < 0. Rezultă m ∈ (1,0(6); '). 44. a) f are semn constant pe R, dacă şi numai dacă ∆ < 0. 36 + 12m < 0 ⇒ m ∈ (–', –3). 45. a) f nu are acelaşi semn pe R, dacă şi numai dacă ∆ > 0. 36 + 44m > ⎛ 9 ⎞ 0 ⇒ m ∈ ⎜ − , ' ⎟ . 46. a) Graficul funcţiei f este situat deasupra axei Ox, dacă a > 0 11 ⎝ ⎠ şi ∆ < 0. 16 – 9(m – 3) < 0 ⇒ m ∈ (4,(7); '). 47. a) Graficul funcţiei f este situat sub axa Ox, dacă a < 0 şi ∆ < 0. 36 – 9(3m – 1) < 0 ⇒ m ∈ (1,(6); '). 48. a) Graficul funcţiei f este tangent axei Ox dacă şi numai dacă ∆ = 0. Rezultă 49 + 11(m – 4) = 0 ⇔ m = –2,2. 49. a) Graficul funcţiei f este secant axei Ox dacă şi numai dacă 49 + 11(m – 5) = 0 ⇔ 6 m = . 50. a) Condiţia este satisfăcută dacă şi numai dacă a > 0. 3m – 5 > 0 ⇔ m > 11 1,(6). m ∈ (1,(6); '). 51. a) Condiţia este satisfăcută dacă şi numai dacă a < 0. 5m – 4 < 0 ⇔ m < 0,8. m ∈ (–'; 0,8). 52. a) f(0) = – (6m – 5) ≥ 0 ⇒ m ≤ 0,8(3). Rezultă m ∈ (–'; 0,8(3)]. 53. a) f(0) = – (16m – 9) ≥ 0 ⇒ m ≤ 0,5625. Rezultă m ∈ (–'; 0,5625]. ∆ 49 49 ⎤ ⎛ 54. a) a > 0 şi ∆ < 0. 49 + 45m < 0 ⇔ m < − ⇒ m ∈ ⎜ − ' , − ⎥ . 55. a) − –81 ⇒ m ∈ ⎜ − , ' ⎟ . 56. a) − > 0 ⇒ – (36 – 4a ⎝ 42 ⎠ ∆ 50m) > 0 ⇔ 50m > 36 ⇒ m ∈ (0,72; '). 57. a) − < 0 ⇒ 64 – 99m < 0 ⇔ 99m > 64 4a ⎛ 64 ⎞ ⇒ m ∈ ⎜ , ' ⎟ . 58. a) y = 4x2 + 3x – 11. 59. a) y = 8(x – 3)2 + 5(x – 3) – 1 ⇒ y = 8x2 ⎝ 99 ⎠ – 43x + 56. 60. a) 9x2 + 12x + 1 = 3 sau 9x2 + 12x + 1 = –3 ⇔ 9x2 + 12x – 2 = 0 sau 2

b ⎞ −∆ ⎛ . 62. a) ∆ < 0 nu are 9x + 12x + 4 = 0 etc. 61. a) Înlocuiţi în f ( x) = a ⎜ x + ⎟ + 2a ⎠ 4a ⎝ soluţii. Nu există m pentru care f satisface condiţia cerută. 65. ∆ < 0. 67. Fie f(x) = ax2 + bx + c. Atunci 4a – 2b + c = 0, b = – 4a, b2 – 4ac = 64a etc. 70. y = 6(x – 2)2 + 9(x – 2) – 8 etc. 75. Se intersectează graficul lui f cu dreapta y = 5 şi se aleg valorile lui x pentru care valorile lui f sunt cel puţin egale cu 5. 76. Se intersectează graficul lui f cu dreapta y = 3 – x şi se aleg valorile lui x pentru care punctele graficului lui f aparţin ∆ > −2 etc. dreptei sau sunt situate deasupra dreptei. 77. 3(m – 1) > 0 şi − 4a 78. y = 2x2 + 3(m – 1)x + 3m – 1 ⇔ y = 2x2 – 3x – 1+ 3m(x + 1). Pentru x = –1, y nu depinde de m, deci punctul (–1, 4) este fix. 79. Coordonatele vârfului parabolei sunt x = 0,1(6)(2 – m), y = 0,08(3)(–m2 + 16m + 8). Din prima relaţie m = 2 – 6x. Se înlocuieşte m în a doua relaţie. 82. Fie f(x) = m. Se obţine 2x2 + 2x = m(x2 + 1) ⇔ (2 – m)x2 + 2x – m = 0. Mulţimea valorilor lui f este mulţimea soluţiilor inecuaţiei ∆ ≥ 0. 2

Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri

137

4. Funcţia putere (55–57) 1. a) f(6) < f(5) < f(1) < f(0) < f(–1) < f(–5) < f(–6). 2. a) f(–4) < f(–3) < f(–1) < f(0) < f(1) < f(3) < f(4). 3. a) f(–x) = –16x3 = –f(x). f este funcţie impară. 4. a) f(–x) = –28x4 = f(x). f este funcţie pară. 5. a) f(–17) = –56, f(5) = –15, f(–7) = 13 implică f(17) = –56, f(–5) = –15, f(7) = 13. 6. a) f(–82) = 12, f(10) = –37, f(–11) = –6 implică f(82) = –12, y f(–10) = 37, f(11) = 6. 7. a) x −∞ –1 0 1 ∞ O x − ∞ % –4 % 0 % 4 % – ' f(x) y

8. a)

x f(x)

−∞ −∞

–1 % –5 %

0 –3 %

1 –1

%

∞ –'

9. Procedaţi ca la rezolvarea ex. 7. 10. Procedaţi ca la rezolvarea ex. 8. 11. a) x −∞ –1 0 1 ∞ − ∞ % 4 % 0 % 4 % – ' f(x)

O

x

O

x

y

12. a) Aplicaţi o translaţie. 14. a) Aplicaţi o translaţie. 15. Aplicaţi o simetrie faţă de Ox. 19. D = [0, '). Graficul funcţiei este o semidreaptă închisă. 20. D = [0,(6); '). Graficul funcţiei este o semidreaptă închisă. 21. D = R. Graficul este o dreaptă. 22. Se construiesc în acelaşi sistem de axe ortogonale xOy graficele a două funcţii: o funcţie de gradul III şi o funcţie de gradul II. Se aleg valorile lui x pentru care este verificată inecuaţia x3 – 2 > –x2 + 3x. Cap. IV. Polinoame şi fracţii algebrice. 1. Recapitulare şi completări (62–68) 1. − 3 X 4Y 2 Z 8 are coeficientul –3 şi partea literală X 4Y 2 Z 8 . 2. 3,2 X 9Y are nedetermi-

natele X şi Y. 3. 2 X 4Y 6 Z 24 are gradul: 4 în raport cu X; 6 în raport cu Y; 24 în raport cu Z; 34 în raport cu toate nedeterminatele. 4. a) –3X 8Z 19. 5. 21X 4 , − 3,7 X 4 , 4,2 X 4 , 5 11X 4 . 6. a) – 7X 6 + 5X 4 – 2X 3 + 3X + 11. 7. a) 3X 4 + 8X 3 – 7X 4 + 53X 3 + 3 = –4X 4 + 61X 3 + 3. 9. a) –(15X 4 – 13X 3 – 8X 2 + 3X + 11) = –15X 4 + 13X 3 + 8X 2 – 3X – 11. 8. a) 21X 24Y 39. 10. a) –4X 7Y 3. 11. a) –1024X 145Y 155. 12. a) –15X 12Y 5 + 20X 11Y 5 – 10X10Y 5 + 30Y 5. 13. a) (2X − 9)(3X − 8) = 2X(3X − 8) − 9(3X − 8) = 6X 2 − 16X − 27X + 72 = 6X 2 − 43X + 72. 14. a) 81X 2 − 64Y 2. 15. a) 81X 4 − 625Y 4. 16. a) 81X 2 + 144XY + 64Y 2. 17. a) 121X 2 − 176XY + 64Y 2. 18. a) 729X 3 + 1944X 2Y + 1728XY 2 + 512Y 2. 19. a) 1331X 3 − 2904X 2Y + 2112XY 2 − 512Y 3. 20. a) 27X 3 + 125Y 3. 21. a) 64X 3 – 125Y 3. 22. a) –5X 7Y 5Z 4 + 2X 7Y 4Z. 23. a) X 3Y 9(3X 3 – 4XY + 5Y 2). 24. a) (4X − 7Y)(2X2 + 5Y 3). 25. a) (2X − 3Y + 7)(7X + 9Y − 3). 26. a) (3X + Y)(3X – Y). 27. a) ( 2 X + 5Y )( 2 X − 5Y ). 28. a) (3X + 7Y + 2)(3X + 7Y – 2). 29. a) (7X + 2Y + 3X − 4Y)(7X + 2Y – 3X + 4Y) = (10X − 2Y)(4X + 6Y) = 4(5X − Y)(2X + 3Y). 30. a) (3X 2 + Y 2)(3X 2 – Y 2) = (3 X 2 + Y 2 )( 3 X + Y )( 3 X − Y ). 31. a) 2X 2 + 2 2 X + 1 = ( 2 X + 1) 2 , 2X 2 – 2 2 X + 1 = ( 2 X − 1) 2 . 32. a) (13X + 1)2. 33. a) (9X – 2)2. 34. a) X 2 – 12X + 32 = (X – 4)(X – 8), deoarece are rădăcinile 4 şi 8. 35. a) 4X 2 – 12X + 11 este ireductibil deoarece nu are rădăcinii reale (are ∆ < 0). 36. a) X 3 + 15X 2 + 75X + 125 = (X + 5)3, X 3 – 15X 2 + 75X – 125 = (X – 5)3. 37. a) (5X + 1)3. 38. a) (5X – 4)3. 138

Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri

39. a) X 3 + 125 = (X + 5)(X 2 – 5X + 25), X 3 – 125 = (X – 5)(X 2 + 5X + 25). 40. 5X 5(1 + 2 + ... + 401) etc. 41. –2X 1+3+5+...+2005 etc. 42. X 16000 : X 3+6+...+300 etc. 43. a) X 2 + 4Y 4 + 25Z 2 + 4XY + 10XZ + 20YZ. 44. a) X 2048 – 1. 45. a) (2X – 1)(2X + 1)(4X 2 + 1)(16X 4 + 1)(256X 8 + 1) = 2562X 16 – 1. 46. a) X 4 – 1. 47. (X + 2)6 – (X – 1)6 = [(X + 2)3 + (X – 1)3][(X + 2)3 – (X – 1)3] = [(X + 2) + (X – 1)][(X + 2)2 – (X + 2)(X – 1) + (X – 1)2] [(X + 2) – (X – 1)][(X + 2)2 + (X + 2)(X – 1) + (X – 1)2] etc. 48. a) (X 4 + X 2 + 1)2 = [(X 2 + 1)2 – X 2]2 etc. 49. (X 6 + X 2 – X 2 + 1)2 = (X 6 + 1)2 etc. 50. a) X 6 + 5X 3 + 6 = (X 3 + 2)( X 3 + 3) etc. 51. a) 315 are 12 divizori naturali şi suma divizorilor naturali ai numărului 56 este 1 + 2 + 4 + 8 + 7 + 14 + 28 + 56 etc. 55. a) (X – 1)(X 3 + X 2 + X + 1)(X 12 + X 8 + X 4 + 1)...(X 768 + X 512 + X 256 + 1) = (X 4 – 1)(X 12 + X 8 + X 4 + 1)...(X 768 + X 512 + X 256 + 1) etc. 57. 1 + X + X 2 + 2X 3 + etc. 59. a) 1 + X + X 2 + X 3 + ... = (1 + X + X 2)(1 + X 3 + X 6 + ...). 60. X 9 + 2X 6 + 3X 3 + 1 = (X 3 + 1)3 – X 3 etc. 2. Împărţirea polinoamelor (68–70) 1. a) 28. 2. a) 22. 3. a) 2. 4. a) (X 2 + 4)(X 2 – 4) : (X 2 – 2) = X 2 + 4. 5. a) (4X 2 + 4X + 1) : (2X + 1) = (2X + 1)2 : (2X + 1) = 2X + 1. 6. a) X 4 – 5 = (X 2 – 2)(X 2 + 2) – 1. 7. a) 4X 2 + 4X + 5 = (2X + 1)2 + 1. 8. a) X 6 – 5 = X 6 – 8 + 3 = (X 2 – 2)(X 4 + 2X 2 + 4) + 3. 9. a) (2X 2 + 1)3 + 2X + 5 = (2X 2 + 1)(2X 2 + 1)2 + 2X + 5. 10. a) 8X 6 + 12X 4 + 6X 2 + 2X – 5 = 8X 6 + 12X 4 + 6X 2 + 1 + 2X – 6 = (2X 2 + 1)3 + 2X – 6 = (2X 2 + 1)(2X 2 + 1)2 + 2X – 6. 11. a) (5X 4 + 4X 3 – 7X 2 + 5X – 6) : (X + 3); 5X 4 + 4X 3 – 7X 2 + 5X – 6 = 5X 3(X + 3) – 11X 3 – 33X 2 + 26X 2 + 78X – 73X – 219 + 213 = 5X 3(X + 3) – 11X 2(X + 3) + 26X(X + 3) – 73(X + 3) + 213. 5X 4 + 4X 3 – 7X 2 + 5X – 6 = (X + 3)( 5X 3 – 11X 2 + 26X – 73) + 213. 12. a) 7X 4 – 3X 3 – 11X 2 + 8X – 9 = 7X 3(X – 2) + 11X 3 – 22X 2 + 11X 2 – 22X + 30X – 60 + 51 = 7X 3(X – 2) + 11X 2(X – 2) + 11X(X – 2) + 30(X – 2) + 51 = (X – 2)(7X 3 + 11X 2 + 11X + 30) + 51. 13. a) 27X 6 – 4 = 27X 6 – 8 + 4 = (9X 4 + 6X 2 + 4)(3X – 2) + 4. 14. P(X) = (X – 1)C(X) + R implică P(1) = R = –14. 16. P(X) = (2X – 1)C(X) + R implică R = P(0,5) = –7. X4 X3 X2 X1 X0 17. –5 12 –5 –3 4 –2 12 –65 322 –1606 8028 Câtul 12X 3 – 65X 2 + 322X – 1606 şi restul 8028. 19. P(X) = (X – 5)(X + 2)C(X) + (aX + b), P(–2) = 8 şi P(5) = –3 implică –2a + b = 8 şi 5a + b = –3 etc. 21. 1 = 1 + X 2 – X 2 – X 4 + X 4 + X 6 – ... = (1 + X 2)(1 – X 2 + X 4 – ...) etc. 3. Divizibilitatea polinoamelor (71–75) 1. a) P(X) = X 2 – 3X – 10 = (X – 5)C(X) + R implică P(5) = R. 2. a) Deoarece P(2) = 0, P(X) = X 2 – 3X + 2 se divide cu X – 2. 3. a) Înlocuind în P(X) pe X 2 cu –3, se obţine – 3X + 3 + 3X – 3 = 0. Deci P(X) se divide cu X 2 + 3. 4. a) X 2 – 5X este reductibil, deoarece are rădăcinile 0 şi 5. 5. a) X 2 + 5X + 4 este reductibil deoarece are rădăcini reale (∆ = 9 > 0). 6. a) X 2 + 54 este ireductibil, deoarece nu are rădăcini reale. 7. a) X 2 + 5X + 7 are ∆ = 25 – 28 < 0, deci este ireductibil. 8. a) X 2 + 6X + m – 2 este reductibil dacă şi numai dacă are ∆ ≥ 0. 9 – (m – 2) ≥ 0 ⇔ m ≤ 11. m ∈ (–', 11]. 9. a) X 2 + 20X + m – 6 este ireductibil dacă şi numai dacă are ∆ ≤ 0. 100 – (m – 6) ≤ 0 ⇔ m ≥ 106. m ∈ [106, '). 10. a) X 2 + 4m – 11 este ireductibil dacă şi numai dacă are ∆ ≥ 0. 4m2 + 11 ≥ 0 ⇒ m ∈ R. 11. a) X 3 + 6 este reductibil, deoarece are rădăcina reală – 3 6 , deci se divide cu X + 3 6 . 12. a) X 5 + 19 este reductibil, deoarece are rădăcina

reală − 5 19 . 13. a) X 2n+1 + 19 este reductibil, deoarece are rădăcina reală − 2 n +1 19 . 14. a) X 4 + 6 este ireductibil, deoarece nu are rădăcini reale. 15. a) f(x) = x2 + 5x – 11 Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri

139

f(0) = –11, adică 0 se află între zerourile lui f. Prin urmare X 4 + 5X 2 – 11 este reductibil, deoarece are rădăcini reale. 16. a) X 6 + 5X 3 – 5 este reductibil, deoarece ecuaţia y2 + 5y – 5 = 0 are soluţii reale. 17. a) X 8 + 3X 4 – 11 este reductibil, deoarece f(x) = x2 + 3x – 11 f(0) = –11, adică 0 se află între zerourile lui f. Prin urmare X 8 + 3X 4 – 11 are rădăcini reale. 18. a) X 10 + 18X 5 + m – 9 este reductibil dacă şi numai dacă x2 + 18x + m – 9 = 0 are ∆ > 0. 81 – m + 9 ≥ 0 ⇔ m ≤ 90, m ∈ (–', 90]. 19. a) X 12 – 18X 6 + m – 10 este ireductibil dacă şi numai dacă x2 – 18x + m – 10 = 0 are ∆ < 0. 81 – m + 10 < 0 ⇔ m > 91, m ∈ (90, '). 20. a) Restul împărţirii lui P(X) = 4X 3 – 12X 2 + 8X – 9 la X – 6 este P(6) = 471. 21. a) P(–6) = –815. 22. a) P(–0,5) = 15,375. 23. a) P(1) = 0 ⇒ 8m – 10 = 0 ⇔ m = 1,25. 24. a) 125X 3 + 150X 2Y + 60XY 2 + 8Y 3 = (5X + 2Y)3 şi 125X 3 – 150X 2Y + 60XY 2 – 8Y 3 = (5X – 2Y)3. 25. a) 4X 2 + 9Y 2 + 1 + 12XY + 4X + 6Y = (2X + 3Y + 1)2 şi 4X 2 + 9Y 2 + 1 – 12XY + 4X – 6Y = (2X – 3Y + 1)2. 26. ∆ ≥ 0. 9(m + 3)2 – 20 ≥ 0 ⇔ 9m2 + 54m + 61 ≥ 0 etc. 27. 4(m – 5)2 – 11 ≥ 0 etc. 30. a) X 2 + 4X – 21 = (X – 3)(X + 7), P(X) = (X – 3)(X + 7)C(X) + aX + b etc. 31. Există numere compuse de această formă. 32. 0 trebuie să se afle situat între zerourile funcţiei f, f(x) = x2 + 4(m – 5)x + m – 2, adică f(0) < 0 etc. 33. a) Se ţine cont că P(1) = 3 şi P(4) + 4P(4) = 5 ⇒ P(4) = 1 etc. 35. a) Aflaţi m şi n, apoi P(2). 36. a) Fie grad P(X) = n ∈ N*. P(X) = P(X + 1) ⇒ P(0) = P(1) = P(2) = ... = P(n) = P(n + 1) = ... ⇒ P(X) – P(0) se divide cu un polinom de grad mai mare decât n, ceea ce este imposibil. Prin urmare, grad P(X) = 0. Evident, P(X) = c satisface condiţia din enunţ. 37. a) (X – 1)P(X – 1) = (X – 4)P(X) implică P(1) = 0 = P(2) = P(3). Rezultă P(X) = (X – 1)(X – 2)(X – 3)Q(X). Înlocuind în relaţia din enunţ, se obţine Q(X – 1) = Q(X). Conform exerciţiului anterior ultima relaţie implică Q(X) = c, deci P(X) = c(X – 1)(X – 2)(X – 3). 39. Se adună şi se scade X3 şi se descompune o diferenţă de cuburi. 40. a) Ţineţi cont că rădăcinile întregi se află printre divizorii întregi ai termenului liber şi aplicaţi schema lui Horner. 42. a) S = –3m, P = –5, x12 + x22 = S2 – 2P etc. 4. Fracţii algebrice (76–81) ⎧ 1. a) R*. 2. a) R \ {2,2}. 3. a) R \ ⎨− 2 , ⎩

3

2⎫ ⎬ . 4. a) Rădăcinile numitorului sunt – 0,6 3⎭

şi 1. Răspuns: R \ {– 0,6; 1}. 5. a) Numitorul nu are rădăcini reale. Răspuns: R. 6. a) R \ {0,2}. 7. a) Deoarece x2 –10x + 16 = 0 are soluţiile 2 şi 8, numitorul are rădăcinile − 2 2 , − 2 , 2 , 2 2 . Răspuns: R \ {−2 2 , − 2 , 2 , 2 2}. 8. a) R \ {−2 3 , 2 3}. 9. a) R \ {− 3 2 , 3 12 }. 10. a) R \ {3 15}. 11. a) R \ {− 3 23}. 12. a)

X ( X + 7) X 3X 2 + X X (3 X + 1) X = = . 13. a) . = 2 2 X +7 ( X + 7) 9 X − 1 (3 X + 1)(3 X − 1) 3 X − 1

X ( X 2 + 7) X ( X + 7 )( X − 7 ) X + 7 = 2 . 15. a) . = 2 2 X− 7 ( X + 7)( X − 2) X − 2 ( X − 7 )2 ( X − 2)( X − 5) X − 5 ( X − 3)( X − 4) X − 3 = 16. a) . 17. a) . = 2 2 X − ( X + 8)( X − 4) X + 8 ( X − 2) X +5 ( X + 2)( X + 5) ( X − 2)( X − 5) X −2 18. a) = . 19. a) . = ( X + 2)( X 2 − 2 X + 4) X 2 − 2 X + 4 ( X − 5)( X 2 + 5 X + 25) X 2 + 5 X + 25 14. a)

20. a)

140

X 2 + 3X + 9 X −5 1 ( X − 5) 2 = . 21. a) . = 2 2 2 ( X − 3)( X + 3 X + 9) X − 3 ( X − 5)( X + 5 X + 25) X + 5 X + 25 Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri

X 2 − 6 X + 36 1 X −2 6 3 − 2X . 23. a) − 3 . 24. a) = 1. 25. a) . = 2 X −2 5X − 2 X ( X + 6)( X − 6 X + 36) X + 6 26. a) [X 2, (X – 1)3, X 2 – 1] = X 2(X + 1)(X – 1)3. 27. a) [2X – 3, 2X + 3, (2X + 3)2] = 3(2 X + 1) + 2(2 X − 1) 10 X + 1 . = (2X – 3)(2X + 3)2. 28. a) 4X 2 −1 4X 2 −1 12 X + 8 − 21X + 14 3(9 X 2 + 6 X + 4) + 6 X − 4 27X 2 + 24X + 8 = . 30. a) 29. a) = 3 3 27X − 8 27X − 8 9X 2 − 4 −9X +22 X 2 + 4 X − 21 12X 2 − 30X + 75−14X − 35 12X 2 − 44X + 40 . 31. a) 32. a) . . = X 2 − X − 72 8X 3 +125 8X 3 +125 9X2 −4 ( X + 8)3 (5 X − 1) 24 X −1 3X − 4 X −1 ⋅ = 33. a) . 34. a) . 35. a) . 2 X + 7 3X − 4 2 X + 7 (6 X + 5) 28 ( X − 6) 2 22. a)

36.

( 7 X − 4) 2 ( X − 2Y + 3 X − 5Y )( X − 2Y − 3 X + 5Y ) etc. 37. a) etc. ( 7 X − 4) 3 (4 X − 7Y ) 2 2

1 ⎛ 1⎞ 3(2 X − 3) + 2 X − 3 − X − 4 + 28 X − 5 ⋅ etc. 40. etc. 42. x2 + 2 = ⎜ x + ⎟ − 2 2 3 X − 4 X + X − 12 x⎠ (2 X − 3) x ⎝ etc. 43. Fracţia este ireductibilă. 46. a) Aduceţi la forma cea mai simplă 3a + 4a2 + 5a3 + ... + 2004a2002. 46. Se aplică teorema împărţirii polinoamelor şi se obţine n2 + 10 –

38. a)

2004 2003 x + 2004 x 2002 + ... + 2004 x + 1 1 ; . 2004 x −1 x −1 2004 2004 ⎤ 1 1 ⎡ 2004 1 1 50. ∑ = ⎢∑ −∑ ⎥ . 51. a) Descompuneţi aplicând 2 ⎣ i =0 X + i i =0 X + i + 2 ⎦ i = 0 ( X + i )( X + i + 2) teorema rădăcinilor întregi şi schema lui Horner. Cap. V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii 1. Ecuaţii (87–92) 1. a) Are soluţia 2. 2. a) 6x − 7 = 8 ⇔ 6x = 7 + 8 ⇔ 6x = 15 ⇔ x = 2,5. 3. a) 3x + 14 = 3 2 3 2 8 0 ⇔ 3x = –14 ⇔ x = –4,(6) ⇒ S = {–4,(6)}. 4. a) x + = 0 ⇔ x = − ⇔ x = − 4 5 4 5 15 ⎧ 8⎫ ⇒ S = ⎨− ⎬ . 5. a) 4x − 7 = −15 ⇔ 4x = 7 – 15 ⇔ 4x = –8 ⇔ x = –2 ⇒ S = {–2}. 6. ⎩ 15 ⎭ a) 4 x − 3 3 = 7 3 ⇔ 4 x = 10 3 ⇔ x = 2,5 3 ⇒ S = {2,5 3}. 7. a) 8z + 9 = 3z − 6 ⇔ 8z – 3z = –9 − 6 ⇔ 5z = –15 ⇔ z = –3 ⇒ S = {–3}. 8. a) 4(2t + 5) = 9t − 23 ⇔ 8t + 20 = 9t − 23 ⇔ –t = –43 ⇔ t = 43 ⇒ S = {43}. 9. a) 8(7z −9) = 9(8z − 5) ⇔ 56z – 72 = 72z − 45 ⇔ –16z = 27 ⇔ z = –1,6875 ⇒ S = {–1,6875}. 2 2 2 4 2 10. a) x − 6 = x − 7 ⇔ x − x = 6 − 7 ⇔ x = −1 ⇔ x = –3,75 ⇒ S = {–3,75}. 3 5 3 15 5 5 7 x 12 36 ⎧ 36 ⎫ 11. a) = ⇔x= ⇒ S = ⎨ ⎬ . 12. a) 3 5 x = −5 ⇔ x = − 3 ⇔ x = − 3 25 ⇒ 3 5 35 35 5 ⎩ ⎭

6 etc. 47. a) 2 n −5

⎧ 36 ⎫ S = ⎨ ⎬ . 13. a) Fie x raţia progresiei aritmetice. 2 + 2 + x + 2 + 2x + 2 + 3x + 2 + 4x ⎩ 35 ⎭ Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri

141

= 72 ⇔10x + 10 = 72 ⇔ 10x = 62 ⇔ x = 6,2 ⇒ S = {6,2}. 14. a) | 3x – 7 | = 9 ⇔ 3x – 7 = 9 sau 3x – 7 = –9 ⇔ 3x = 16 sau 3x = –2 ⇔ x = 5,(3) sau x = – 0,(6) ⇒ S = {– 0,(6); 5,(3)}. 15. a) 8(x + 7) + 6 = 5(x − 2) + 11 ⇔ 8x + 56 + 6 = 5x – 14 + 11 ⇔ 8x – 5x = – 5 x 1 − 3x 65 ⇔ x = –21,(6) ⇒ S = {–21,(6)}. 16. a) = ⇔ 65 x = 19 − 57 x ⇔ 122 x = 19 19 13 19 ⎧ 19 ⎫ 2 2 2 2 2 ⇔ x= ⇒ S =⎨ ⎬ . 17. a) (3x – 2) + (5x + 1) = (3x + 5) + (5x – 2) ⇔ 9x – 122 ⎩122 ⎭ 12x + 4 + 25x2 + 10x + 1 = 9x2 + 30x + 25 + 25x2 – 20x + 4 ⇔ –12x + 1 = 25 ⇔ –12x = 24 ⇔ x = –2 ⇒ S = {–2}. 18. a) (20x – 1)2 + (21x + 2)2 = (29x + 1)2 ⇔ 400x2 – 40x + 1 + 441x2 + 84x + 4 = 841x2 + 58x + 1 ⇔ – 40x + 84x + 4 = 58x ⇔ –14x = – 4 ⇔ 7x = ⎧2⎫ 2 ⇒ S = ⎨ ⎬ . 19. a) (4x − 3)(5x + 4) = (2x + 7)(10x − 8) + 11 ⇔ 20x2 – 15x + 16x – ⎩7 ⎭ 2 12 = 20x – 16x + 70x – 56 ⇔ –15x + 16x + 16x – 70x = –56 + 12 ⇔ –53x = –44 ⇔ 44 53x = 44 ⇒ S = ⎧⎨ ⎫⎬ . 20. a) | 2x + 3 | + | 3y − 8 | + | 5z − 14| = 0 ⇔ 2x + 3 = 0, 3y − 8 = ⎩ 53 ⎭ 5 2 0, 5z − 14 = 0 ⇔ x = –1,5, y = 2,(6), z = 2,8. 21. a) x ≠ 0,(3), x ≠ –1,5. = 3x − 1 2 x + 3 ⇔ 10x + 15 = 6x – 2 ⇔ 4x = –17 ⇔ x = –4,25 ⇒ S = {–4,25}. 22. a) –10 + 11 = –15 + a ⇔ a = 16. 23. a) 3X 3 – 6X 2 + 5X – 7m se divide cu X + 3 ⇔ 150 ⎧150 ⎫ –81 – 54 – 15 – 7m = 0 ⇔ 7m = 150 ⇔ m = ⇒ S =⎨ ⎬ . 24. a) –216 – 18 – 7 ⎩ 7 ⎭ 229 ⇒ 27m – 12 = –17 ⇔ 216 + 18 + 27m + 12 = 17 ⇔ 27m = –229 ⇔ m = − 27 ⎧ 229 ⎫ . 25. a) Se ţine cont că 6 = (–1)(–6) = (–6)(–1) = (–2)(–3) = (–3)(–2) = 1⋅6 S = ⎨− ⎬ ⎩ 27 ⎭

= 6⋅1 etc. 28. Fie x numărul căutat. x + 24 + x + 32 + x + 41 = x + 8 etc. 29. Fie x intervalul de timp în care trebuia parcursă distanţa. 90(x – 3) = 60(x + 2) etc. 32. a)

6 x 2 − 4 6 x + 13 + 2 y 2 − 8 2 y + 20 = 5 ⇔

( 6 x − 2) 2 + 9 +

⎧ 14 ⎫ ( 2 y − 4) 2 + 4 = 5 etc. 35. a) 1) Dacă a = 0, S = ∅. 2) Dacă a ≠ 0, S = ⎨ ⎬ . ⎩ 3a ⎭ 37. –2m – 1 = 7 şi 3n – 3 = 2 etc. 38. a) x = 3 5 − 6 ⇒ x3 = 5 − 2 etc. 39. a) 4ax − 17 = 3x + 14 ⇔ (4a – 3)x = 41 etc. 40. –8. 41. –5. 42. Fie x raţia progresiei. 2(1 + x + x2) = 42 etc. 43. a) 72 de salturi. 2. Ecuaţii de gradul II cu o necunoscută (93–97) 1. a) −3x + 8 = 0. 2. a) 3x2 – 11x – 12 = 0. 3. a) x2 − 18 = 0 are S = {−3 2 , 3 2}. 4. a) 4X 2 – 12 are rădăcinile − 3 , 3. 5. a) 6X 2 + 58 nu are rădăcini reale. 6. a) (x – 3)2 − 7 = 0 ⇔ | x – 3 | = 7 ⇔ x – 3 = 7 sau x – 3 = –7 ⇔ x = 10 sau x = –4 ⇒ S = {–4,

10}. 7. a) 7x2 − 8x = 0 are S = ⎧⎨0, 8 ⎫⎬ . 8. a) 12x2 = 0 are S = {0}. 9. a) 4X 2 + 12X + 9 = ⎩

142

7⎭

Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri

(2X + 3)2 are rădăcinile – 0,75. 10. a) 16x2 – 24x + 9 = 0 are S = {0,75}. 11. a) x2 + 4x + − 3 − 10 1 = 0 are S = {−2 − 3 , − 2 + 3} . 12. a) 4X 2 + 12X – 1 are rădăcinile şi 2 − 3 + 10 . 13. a) x2 + 4x + 5 = 0 are S = ∅. 14. a) 45 + 36 + m = 0 ⇔ m = –81. 2 15. a) 121 – 8m < 0 ⇔ m > 15,125 ⇒ m ∈ (15,125; '). 16. a) 9 – 24m = 0 ⇔ m = 0,375. 17. a) 81 – 56m > 0 etc. 18. a) 36 – 99m < 0 etc. 19. a) Fie y = x2. y2 – 8y + 12 = 0 are soluţiile 2 şi 6. x4 − 8x2 + 12 = 0 are S = {− 6 , − 2 , 2 , 6}. 20. a) Fie y = x3. y2 – 13y + 30 = 0 are soluţiile 3 şi 10. x6 − 13x3 + 30 = 0 are S = {3 3 , 3 10}. 21. a) Fie y = x3. y2 – 30y – 64 = 0 are soluţiile 32 şi –2. x6 − 30x3 − 64 = 0 are S = {− 3 2 , 3 32 }. 22. c2 = am = a(a – n) sau c2 = a2 – an şi b2 = an = a(a – m) sau c2 = a2 – am. a

b

c

m

n

h

12

4 6

4 3

4

8

4 2

23. a) X 2 + 11X + 28 are S = −

b c = –11, P = = 28. 24. a) x2 − 21x + 5 = 0 are a a

b c = 21, P = = 5. 25. a) Numerele căutate sunt soluţiile ecuaţiei x2 – Sx + P = a a 0. x2 – 12x + 27 = 0 are soluţiile 3 şi 9. 26. a) Polinomul cu coeficientul dominant 1 P(X) = X 2 – SX + P. P(X) = X 2 – 13X + 85. Condiţia cerută este satisfăcută de toate polinoamele cX 2 – 13cX + 85c, c o constantă. 27. a) X 2 + 5mX + 15 este 11; 121 + x2 7x 136 ⇔ x2 = 7x, x ≠ 7 ⇔ x(x – 7) = 0, x ≠ 55m + 15 = 0 ⇔ m = − . 28. a) = 55 x−7 x−7 x 2 + 16 10 x ⇔ x2 + 16 = 10x, x ≠ 8 ⇔ x2 – 10x + 16 = 0, x ≠ 8 7 ⇒ S = {0}. 29. a) = x −8 x −8 x−7 x−9 ⇒ S = {2}. 30. a) = ⇔ x2 + 16 = 10x, x ≠ 4, x ≠ 5 ⇔ x2 + 12x + 35 = x2 + x−4 x−5 13x + 36, x ≠ 4, x ≠ 5 ⇔ 12x + 35 = 13x + 36, x ≠ 4, x ≠ 5 ⇒ S = {–1}. 30. a) X 2 + 11X + 28 are rădăcinile –7 şi – 4, X 2 + 11X + 28 = (X + 7)( X + 4). X 2 − 15 X + 50 ( X − 5)( X − 10) X − 10 = = 31. a) . 32. m se află din condiţiile: ∆ > 0 şi X 2 − 7 X + 60 ( X − 5)( X + 12) X + 12 S = 0 etc. 33. Fie y = | x | ≥ 0. Rezolvaţi în R+ ecuaţia y2 − 13y + 42 = 0 etc. S =−

34. a)

1 1 + x1 x2

=

x1 + x2 x1 x2

etc. 35. Se ţine cont că x12 + 3( m − 2) x1 + 2m = 0 şi

x22 + 3(m − 2) x2 + 2m = 0 ⇒ ( x12 + x22 ) + 3(m − 2)( x1 + x2 ) + 4m = 0 ⇒ ( x13 + x23 ) + 3(m – 2) ( x12 + x22 ) + 2m( x1 + x2 ) = 0 ⇒ ( x14 + x24 ) + 3(m − 2)( x13 + x23 ) + 2m( x12 + x22 ) = 0 etc. 36. Ecuaţia ataşată lui P(X) este x2 + 5(m – 3)x + 4m = 0. Ecuaţia ataşată noului 1 polinom se obţine înlocuind x cu în ecuaţia anterioară. Rezultă 1 + 5(m – 3)x + 4mx2 x Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri

143

= 0 etc. 41. Dimensiunile dreptunghiului sunt x şi p – x. Aria dreptunghiului este o funcţie de gradul II ce are valoare maximă etc. 3. Ecuaţii raţionale (98–100) 4 9 2 1. a) − = 7 ⇔ –5 = 7x – 7, x ≠ 1 ⇒ 7x = 2. Ecuaţia iniţială are soluţia . 7 x −1 x −1 4 9 4 9 2. a) − =0 ⇔ = ⇔ 4x – 8 = 9x – 9, x ≠ 1, x ≠ 2 ⇒ 5x = 1. x −1 x − 2 x −1 x − 2 x 9 x −9 Ecuaţia iniţială are soluţia 0,2. 3. a) − =0 ⇔ = 0 ⇒ S = ∅. x −9 x −9 x −9 x 72 4. a) − 8 = 0 ⇔ x – 8x + 72 = 0, x ≠ 9 ⇒ 7x = 72. Ecuaţia dată are soluţia . x−9 7 2 1 2 1 = ⇔ 2x = x – 9, x ≠ 0, x ≠ 9 ⇔ x = –9, x ≠ 0, x ≠ 9. 5. a) − =0 ⇔ x−9 x x−9 x 2 x−4 Ecuaţia iniţială are soluţia –9. 6. a) = ⇔ 2x + 10 = x2 – 12x + 32, x ≠ –5, x x −8 x +5 ≠ 8 ⇔ x2 – 14x + 22 = 0, x ≠ –5, x ≠ 8. Ecuaţia dată are S = {7 − 37 , 7 + 37 }. 8 1 1 8 x +1 8 7. a) − =1 ⇔ = ⇔ 8x = x2 – 7x – 8, x ≠ 0, x ≠ 8 ⇒ =1+ ⇔ x −8 x x −8 x x −8 x ⎧15 − 255 15 + 255 ⎫ x2 – 15x – 8 = 0, x ≠ 0, x ≠ 8. Ecuaţia dată are S = ⎨ , ⎬. 2 2 ⎩ ⎭ 8 8− x x x − 9 x +1 − =0 ⇔ = 0 ⇒ S = ∅. 9. a) = ⇔ x2 – 81 = x2 – 7x – x −8 x −8 x −8 x −8 x +9 x−7 x+5 ⎧ 73 ⎫ − =0 ⇔ 8, x ≠ 8, x ≠ –9 ⇒ 7x = 73. Ecuaţia dată are S = ⎨ ⎬ . 10. a) x −8 x −6 ⎩7⎭ x−7 x+5 = ⇔ x2 – 13x + 42 = x2 – 3x – 40, x ≠ 8, x ≠ 6 ⇒ 10x = 82. Ecuaţia dată are x −8 x −6 x+9 x+8 S = {8,2}. 11. a) = ⇔ x2 + 18x + 81 = x2 – 64, x ≠ 8, x ≠ –9 ⇒ 18x = –145. x −8 x +9 2x + 5 x + 9 ⇔ 4x2 + 20x + 25 = x2 – 81, x ≠ Ecuaţia dată are S = {–8,0(5)}. 12. a) = x − 9 2x + 5 9, x ≠ –2,5 ⇔ 3x2 + 20x + 106 = 0, x ≠ 9, x ≠ –2,5 ⇒ Ecuaţia dată nu are soluţii. x − 2 x + 20 12 x − 2 12 x−2 13. a) = ⇔ x2 + 6x – 16 = x2 + − =1 ⇔ = +1 ⇔ x −9 x +8 x −9 x +8 x−9 x+8 11x – 180, x ≠ 9, x ≠ –8 ⇔ 5x = 164, x ≠ 9, x ≠ –8. Ecuaţia dată are S = {32,8}. x −8 6 6 x −8 x − 8 3x + 30 14. a) = 3+ ⇔ − =3 ⇔ = ⇔ x2 – 64 = 3x2 + 3x, x −9 x +8 x −9 x +8 x−9 x+8 x ≠ 9, x ≠ –8 ⇔ 3x = –64, x ≠ 9, x ≠ –8. Ecuaţia dată are S = {–21,(3)}. 3 x 2 − x − 56 − 6 x + 42 x −8 6 3 ⇔ x2 – 7x – 14 = 3, 15. a) = 2 − = 2 ⇔ x − 7 x + 7 x − 49 x 2 − 49 x − 49 8. a)

144

Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri

⎧ 7 − 117 7 + 117 ⎫ x ≠ –7, x ≠ 7 ⇔ x2 – 7x – 17 = 0, x ≠ –7, x ≠ 7. S = ⎨ , ⎬. 2 2 ⎩ ⎭ 1 2 1 16. a) − = ⇔ x2 + 7x + 49 – 2x + 14 = 1, x ≠ 7 etc. 17. a) y x − 7 x 2 + 7 x + 49 x 3 − 343 1 , y2 – 3y + 2 = 0 are soluţiile 1 şi 2. Rezultă x – 1 = 1 sau x – 1 = 0,5 etc. = x −1 1 1 x +1 18. y = etc. 20. y = x + ⇒ x 2 + 2 = y 2 − 2. Se obţine ecuaţia y2 + 2y – 6 = 0 x x−2 x 1 1 etc. 21. y = x − ⇒ x 2 + 2 = y 2 + 2. Se obţine ecuaţia y2 – 5y – 14 = 0 etc. x x 4. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii (102–109) ⎧x = 4 ⎧x = 4 ⎧x = 4 ⎧x = 2 y 1. a) ⎨ ⇒ S = {(4, 5)}. 2. a) ⎨ ⇔ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎩3 x − 2 y = 2 ⎩12 − 2 y = 2 ⎩y = 5 ⎩2 x − 3 y = 12 ⎧x = 5 y ⎧x = 5 y ⎧x = 2 y ⎧ x = 24 ⇔ ⎨ ⇔ ⇒ S = {(24, 12)}. 3. a) ⎨ 2 ⇔⎨ ⎨ 2 ⎩4 y − 3 y = 12 ⎩ y = 12 ⎩25 y − 24 y = 1 ⎩ x − 24 y = 1 ⎡ ⎧ x = −0,2 ⎧x = 5 y ⎢⎨ ⎪ ⎢ ⎩ y = −0,04 ⇒ S = {(–0,2; –0,04), (5, 1)}. 4. a) ⎧2 x − 5 y = 7 ⇔ ⎨⎡ y = −0,04 ⇔ ⎢ ⎨ ⎧x = 5 ⎩3 x + 5 y = 13 ⎪⎢ y = 1 ⎢⎨ ⎩⎣ ⎢⎣ ⎩ y = 1 ⎧5 x = 20 ⎧x = 4 ⎧x = 4 ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⇒ S = {(4; 0,2)}. 5. a) Soluţiile sistemu⎨ ⎩3 x + 5 y = 13 ⎩12 + 5 y = 13 ⎩ y = 0,2 lui sunt soluţiile ecuaţiei t2 – 7t + 12 = 0. Ecuaţia are soluţiile 3 şi 4. S = {(3, 4), (4, 3)}. ⎧S − 3P = −13 ⎧S = 5 6. a) x + y = S şi xy = P implică ⎨ ⇔ ⎨ Soluţiile sistemului sunt ⎩3P = 18 ⎩ P = 6. soluţiile ecuaţiei t2 – 5t + 6 = 0. Ecuaţia are soluţiile 2 şi 3. S = {(2, 3), (3, 2)}. 7. a) x + ⎧2 S − P = 1 ⎧S = 8 ⇔ ⎨ Soluţiile sistemului sunt soluţiile ecuy = S şi xy = P implică ⎨ ⎩3S = 24 ⎩ P = 15. aţiei t2 – 8t + 15 = 0. Ecuaţia are soluţiile 3 şi 5. S = {(3, 5), (5, 3)}. 8. a) x + y = S şi xy ⎧S 2 − 2 P = 13 ⎧S = 5 = P implică x2 + y2 = S2 – 2P. ⎨ Soluţiile sistemului sunt ⇔ ⎨ ⎩ P = 6. ⎩2S = 10 soluţiile ecuaţiei t2 – 5t + 6 = 0. Ecuaţia are soluţiile 2 şi 3. S = {(2, 3), (3, 2)}. ⎧ x 2 + y 2 = 41 ⎧S 2 − 2 P = 41 9. a) ⎨ x + y = S şi xy = P implică x2 + y2 = S2 – 2P. ⎨ ⎩9 xy = 180; ⎩9 P = 180

⇔

⎧S 2 = 81 ⎧| S | = 9 Soluţiile sistemului sunt soluţiile ecuaţiei t2 – 9t + 20 = 0 sau ⇔ ⎨ ⎨ P = 20 ⎩ ⎩ P = 20 Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri

145

ale ecuaţiei t2 + 9t + 20 = 0. Prima ecuaţie are soluţiile 4 şi 5; a doua ecuaţie are soluţiile –4, –5. S = {(–5, –4), (–4, –5), (4, 5), (5, 4)}. ⎧⎪8t 2 y 3 − ty 3 = 12 y 3 (8t 2 − t ) 3 10. a) Aplicăm substituţia x = ty. Rezultă ⎨ 3 ⇒ = ⇒ 56t2 3 3 y (3t + 2) 7 ⎪⎩3ty + 2 y = 28 3 ⎧ x = 0,5 y – 7t = 9t + 6 ⇔ 56t2 – 16t – 6 = 0 cu soluţiile 0,5 şi − . ⎨ sau 14 ⎩1,5 y 3 + 2 y 3 = 28 3 ⎧ 3 ⎧ 49 ⎪⎪ x = − 14 y ⎧⎪8t 2 y4 − 3ty4 =11 ⎧x = 1 ⎪x = − sau ⎨ ⇔ ⎨ 7 11. a) x = ty. Atunci ⎨ 4 ⎨ ⎪⎩3ty + 5y4 = 2 ⎩y = 2 ⎪ y = 23 49 . ⎪− 9 y 3 + 2 y 3 = 28 ⎩ ⎪⎩ 14 y 4 (8t 2 − 3t ) 11 ⇒ ⇒ 16t2 – 6t = 33t + 55 ⇔ 16t2 – 39t – 55 = 0 cu soluţiile –1 şi = 4 2 y (3t + 5) ⎧⎡ 55 32 ⎪⎢ x = 4 16 245 ⎪⎢ ⎪⎢ 55 ⎧ 55 32 ⎧x = 1 ⎪⎢ x = − 4 ⎪⎪ x = 16 y 55 ⎧ x = − y ⎪ 16 245 12. a) t = . ⎨ sau ⎨ ⇔ ⎨⎡ y = 1 sau ⎪⎨⎣ 16 ⎩− 3 y 4 + 5 y 4 = 2 245 4 ⎪⎢ y = −1 ⎪ ⎪⎡ y = 4 32 y =2 ⎩⎣ ⎪⎩ 16 ⎪⎢ 245 ⎪⎢ 32 ⎪⎢ 4 ⎪⎢⎣ y = − 245 . ⎩

⎧8t + 3 y = 11 1 implică ⎨ x ⎩6t − 2 y = 4 1 1 13. a) u = , v = ⇒ x y

⎧16t + 6 y = 22 ⇔ ⎨ ⎩18t − 6 y = 12 ⎧4u − 3v = −1 ⇔ ⎨ ⎩6u + 5v = 8

1)}. 14. a) x ≠ 2, y ≠ –3. u = ⎧

⎧t = 1 ⎧x = 1 ⇔ ⎨ ⇒ ⎨ ⎩y =1 ⎩y =1 ⎧20u − 15v = −5 ⇔ ⎨ ⎩18u + 15v = 24

⇒ S = {(1, 1)}. ⎧u = 0,5 ⇒ S = {(2, ⎨ ⎩v = 1

⎧15u − 12v = 2 1 1 , v= ⇒ ⎨ ⇔ x−2 y+3 ⎩9u + 8v = 5

1

⎧30u − 24v = 4 ⎪u = 1 x ⇔ ⎪⎨ 3 ⇒ S = {(3, 4)}. 15. a) x ≠ 0, y ≠ 0. t = . t + = 2 ⇒ t2 – ⎨ t y 1 ⎩27u + 24v = 15 ⎪ v= 4 ⎩⎪

⎧x = y ⎧x = y 2t + 1 = 0 ⇒ t = 1. ⎨ ⇔ ⎨ ⇒ S = {(2, 2)}. 16. a) x2 + 5x – 3 = 0 ⇔ 5y = 10 y = 2 ⎩ ⎩ ⎡ − 5 − 37 ⎢x = 2 17. a) (x2 + 7x)(x2 – 6) = 0 ⇔ ⎢ ⎢ − 5 + 37 . ⎢⎣ x = 2

146

⎡x = 0

⎢ x = −7 ⎡ x2 + 7 x = 0 ⇔ ⎢ ⎢ 2 ⎢x = − 6 ⎣⎢ x − 6 = 0 ⎢ ⎣⎢ x = 6 .

Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri

7 ⎡ ⎡ x = −1 ⎢x = 2 ⎢x = 5 2 ⎡x − 4x − 5 = 0 ⎡2 x − 7 = 0 ⎢ ⇔ ⎢x = 1 18. a) ⎢ 2 19. a) ⎢ 2 ⇔ ⎢ ⎢ x = −1 ⎣3x − 2 x − 1 = 0 ⎣⎢3x + 2 x − 1 = 0 ⎢ 1 ⎢ ⎢x = − . ⎣ x = 0, (3). 3 ⎣ ⎡ x = −1 ⎡3 − 2 x = 2 ⎡ 2 ⎡ x2 − 4x − 5 = 0 =1 ⎢ ⎢ 20. a) ⎢ 2 ⇔ ⎢x = 5 21. a) x ≠ 1,5. 3 − 2 x ⇔ ⎢⎢ x = 1 ⎢ 2 ⎣⎢3x + 2 x − 1 = 0 ⎢⎣ x = 0, (3). ⎢⎣ x = −0, (3) ⎢⎣3 x − 2 x − 1 = 0 1 ⎡ x = 1,5 ⎡ 2 + 2 =0 ⎢ ⎢ ⇒ S = {–0,(3); 1; 1,5}. 22. a) x ≠ –3, x ≠ 3. 3 − x x − 9 ⇔ ⎢x = 1 ⇔ ⎢ 2 ⎢⎣ x = −0, (3) ⎢⎣11x − 5 x − 34 = 0 1 ⎡ 2 ⎡ x = −2,5 ⎢ x − 3 = x2 − 9 ⎢ ⎢ ⎢ x = − 17 ⇒ S = ⎧⎨− 2,5; − 17 ; 2⎫⎬ . 23. a) x ≠ –4, x ≠ 4. 2 x = ⇔ ⎢ 11 11 ⎭ ⎢ ⎩ ⎢ 17 ⎢ ⎢x = − ⎣x = 2 11 ⎣ 1 1 ⎡ 5 ⎡13 − 2 x ⎡ 2 x 2 − 5 x + 52 = 0 −2= 2 = 2 ⎢ ⎢ 1 ⎡ 5 x−4 4 x − 16 x x − − 16 ⎢ ⎢ 7 ⎢ x − 4 − x 2 − 16 = 2 ⇔ ⎢ x = 0,5 ⇔ ⎢ x = 0,5 ⇔ ⎢x = − ⎢ ⎢ 2 ⎢ 22 ⎢ ⎢ 7 7 ⎢ x = 0,5 ⎣⎢11x − 4 x − 7 = 0 ⎢x = − ⎢x = − ⎢⎣ 22 22 ⎣ ⎣ ⎡x = 4 ⎢ x = 6,5 ⎢ ⎡2 x − 3 = −5 ⎡ x = −1 ⇔ ⎢ ⇔ ⎢ ⇒ S = {–1, 4}. 7 24. a) | 2x – 3 | = 5 ⇔ ⎢ ⎣2 x − 3 = 5 ⎣x = 4 ⎢x = − 22 ⎢ ⎢⎣ x = 0,5. 1 ⎡ 4 − =2 4 1 4 x+7 x 2 − 3 x − 62 = +2 ⇔ = 25. a) ⎢ x − 6 x + 5 ⇔ ⇔ =0 ⎢ 2 x−6 x+5 x−6 x+5 ( x − 6)( x + 5) ⎣⎢5 x − 4 x + 1 = 0 1 ⎡ 5 ⎢x−5 = x+6 +3 ⎢ 1 ⎡ 5 ⎢x = 0 − =3 ⎧ 3 − 257 3 + 257 ⎫ ⎢ , ⇔ ⎢ ⇒S= ⎨ ⎬ . 26. a) ⎢ x − 5 x + 6 5 − 13 ⎢x = 2 2 2 2 ⎩ ⎭ ⎢⎣( x − 4 x)( x − 5 x + 3) = 0 2 ⎢ ⎢ 5 + 13 ⎢x = 2 ⎣ Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri

147

⎡ 5− 5 3 x + 19 x= ⎡ 5 ⎢ 2 ⎢x−5 = x+6 ⎢ ⎢ ⎢ 5+ 5 2 ⎢x = 0 ⎢x = 2 ⎡ x x − 5 = 5 ⇔ ⎢ etc. 27. a) | x2 – 5x | = 5 ⇔ ⎢ 2 ⇔ ⎢ 5 − 13 ⎢x = 5−3 5 ⎢ ⎢ x − 5 x = −5 ⎣ 2 ⎢ ⎢x = 2 ⎢ ⎢ 5 + 13 ⎢x = 5+3 5 ⎢ . 2 ⎣ ⎢⎣ x = 2 ⎧ 2 ⎪− + n = 4 ⎧1 + 3mx + n − 2 = 3 ⎧3m + n = 4 ⎧3m + n = 4 29. a) ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ ⎪⎨ 3 ⇔ ⎩4 − 6mx + n − 2 = 8 ⎩− 6 m + n = 6 ⎩9m = −2 ⎪m = − 2 ⎪⎩ 3 2 ⎧ ⎪⎪n = 4 3 ⎧5 − 6 + 5m − 2n = 11 30. a) Suma coeficienţilor este P(1). ⎨ ⇔ ⎨ ⎩5 − 6 − 5m − 2n = 18 ⎪m = − 2 . ⎪⎩ 3 5 m − 2 n = 12 ⎧ ⎧5m − 2n = 12 ⎧n = −15,5 ⎧n = −15,5 ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ etc. 31. a) Re⎨ ⎩− 5m − 2n = 19 ⎩− 5m − 2n = 19 ⎩− 5m + 31 = 19 ⎩5m = 2 ⎧40 − 8 + 10m − n + 2 = 0 ⎧10m − n = −34 ⇔ ⎨ etc. 32. a) Se rezolvă siszolvaţi sistemul ⎨ ⎩− 5 − 2 − 5m − n + 2 = 0 ⎩− 5m − n = 5 ⎧x + y + z = 7 ⎧x + y = 5 ⎧x + y = 7 ⎪ ⎪ 33. a) Se adună ecuaţiile! ⎨ x + z = 3 ⇔ ⎨ x + z = 3 ⇔ temul simetric ⎨ xy = 36 . ⎩ ⎪y + z = 6 ⎪y + z = 6 ⎩ ⎩

⎧x = 1 1 1 1 ⎪ se continuă ca la punctul a). ⎨ y = 4 b) După substituţiile u = , v = , t = x z y ⎪ z = 2. ⎩

⎧8x + 3 y ⎧8 3 ⎪ xy = 3 ⎪y + x =3 ⎪ ⎪ 34. ⎨ ⇔ ⎨ etc. 35. ⎪ 4x + 9 y = 4 ⎪4 + 9 = 4 ⎪⎩ xy ⎪⎩ y x

1 ⎧ xy ⎧ 9 x + 16 y =7 ⎪ 9 x + 16 y = 7 ⎪ xy ⎪ ⎪ ⇒ ⎨ etc. ⎨ 1 ⎪ xy ⎪ 3x − 20 y = 4 = ⎪⎩ 3 x − 20 y 4 ⎪⎩ xy ⎧u + v = 7 1 1 36. Fie = u , = v. Rezultă sistemul simetric ⎨ 2 etc. 37. Sistemul este 2 x y ⎩u + v = 29 simetric omogen. Fie x + y = S şi xy = P etc. ⎧⎪ x + y + 2 xy = 7 ⎧⎪ x + y = 7 38. x ∈ R+, y ∈ R+. ⎨ etc. ⇔ ⎨ ⎪⎩ x − y = 3 ⎪⎩ x − y = 3 148

Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri

⎧ xy = 12 ⎧ x 2 y 2 z 2 = 3600 ⎧ x − y = −2 ⎪ 39. a) ⎨ xz = 15 ⇒ ⎪⎨ xz = 15 etc. 40. Rezolvaţi sistemul ⎨ 2 42. Un 2 ⎩ x + y = 74. ⎪ yz = 20 ⎪ yz = 20 ⎩ ⎩ robinet umple bazinul în x minute, iar al doilea – în y minute. Rezolvaţi sistemul ⎧ 30 45 ⎪ x + y =1 xy 6 x+ y 5 1 1 5 ⎪ = ⇒ = ⇒ + = etc. 46. Siste43. Se ţine cont că ⎨ x+ y 5 y x 6 xy 6 ⎪ 20 + 70 = 1. y ⎩⎪ x

mul este simetric. 47. Înlocuind x cu 1 – x, 1 – x se înlocuieşte cu x şi se obţine f(1 – x) + 3f(x) = 5(1 – x)2 + 2(1 – x) etc. f(x) se află eliminând f(1 – x) din relaţia iniţială şi cea obţinută anterior. 48. Se înlocuieşte X cu 2 – X, de unde 2 – X se înlocuieşte cu X. Se continuă ca la ex. 47. 49. −

b 2 − 4ac b 2 = −0,25 ⇒ b – 4ac = a; c = 2,5 ⇒ b = –5a; − 2a 4a

= 6 etc. 50. Fie x2 – 3x – 2 = t2. Atunci x2 – 3x = t2 + 2 etc. Cap VI. Inecuaţii. Sisteme şi totalităţi de inecuaţii (114–122) 1. a) (–', 13). 2. a) [–2,8; '). 3. a) S = [–4,7; 4,7]. 4. a) S = (–'; 8,4] ∪ [8,4; '). 5. a) S = (–'; 2,(3)). 6. a) –8x < 5 ⇔ x > – 0,625 ⇒ S = (– 0,625; '). 7. a) 4x − 7 < 0 ⇔ 4x < 7 ⇔ x < 1,75 ⇒ S = (–'; 1,75). 8. a) –5x + 13 < 0 ⇔ 5x > 13 ⇔ x > 2,6 ⇒ S = (2,6; '). 9. a) 4x − 3 < 14 ⇔ 4x < 17 ⇔ x < 4,25 ⇒ S = (–'; 4,25). 10. a) –2x + 11 < 9 ⇔ 2x > 2 ⇔ x > 1 ⇒ S = (1, '). 11. a) 2(x + 3) < 15 ⇔ 2x + 6 < 15 ⇔ 2x < 9 ⇔ x < 4,5 ⇒ S = (4,5; '). 12. a) 2(–x + 7) ≥ 3 ⇔ –2x + 14 ≥ 3 ⇔ x ≤ 5,5 ⇒ S = (–'; 5,5]. 3 2 13. a) ≤ 0 ⇔ x – 3 < 0 ⇔ x < 3 ⇒ S = (–', 3). 14. a) < 0 ⇔ 3x – 1 < 0 ⇔ x−3 3x − 1 3x < 1 ⇒ S = (–'; 0,(3)). 15. a) 5x + 3 ≤ 7x − 4 ⇔ –4x ≤ –7 ⇔ 4x ≥ 7 ⇔ x ≥ 1,75 ⇒ S = [1,75; '). 16. a) 2(x − 3) ≤ 10x − 7 ⇔ 2x – 6 ≤ 10x –7 ⇔ 8x ≥ 1 ⇔ x ≥ 0,125 ⇒ S = [0,125; '). 17. a) 3(x − 1) ≤ 4(x − 3) ⇔ 3x – 3 ≤ 4x –12 ⇔ x ≥ 9 ⇒ S = [9, '). 18. a) (x + 2)2 ≥ (x + 3)(x – 3) ⇔ x2 + 4x + 4 ≥ x2 – 9 ⇔ 4x ≥ –13 ⇔ x ≥ –3,25 ⇒ S = [–3,25; '). 19. a) (x + 3)2 ≤ (x − 2)2 ⇔ x2 + 6x + 9 ≤ x2 – 4x + 4 ⇔ 10x ≤ –5 ⇔ x ≤ –2 ⇒ S = ⎧x < 1 ⎧ x < 0,5 ⎧x + 2 < 3 ⎧2 x − 1 < 0 (–', –2]. 20. a) ⎨ ⇒ S = ∅. 21. a) ⎨ ⇒S= ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⎩x > 8 ⎩ x > 0, (3) ⎩x − 7 > 1 ⎩3 x − 1 > 0 ⎧3 x − 1 > 1 (0,(3); 0,5). 22. a) ⎨ ⇔ ⎩4 x + 5 < 11 ⎧ x > −0, (6) ⎧3 x > −2 ⇒ ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⎩ x < 0,6 ⎩3 x < 1,8

⎧ x > 0, (6) ⇒ S = (0,(6); 1,5). 23. a) –2 < 3x < 18 ⎨ ⎩ x < 1,5 S = (– 0,(6); 1,6). 24. a) –2 < x + 7 < 13 ⇔

⎧ x > −9 ⎧ x + 7 > −2 ⇒ S = (– 9, 6). 25. a) –5 < 4 – x < 25 ⇔ ⇔ ⎨ ⎨ ⎩x < 6 ⎩ x + 7 < 13 ⎧x < 9 ⎧9 − 2 x > −8 ⇒ S = (–21, 9). 26. a) –8 < 9 – 2x < 25 ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⎩ x > −21 ⎩9 − 2 x < 25

Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri

⎧4 − x > −5 ⇔ ⎨ ⎩4 − x < 25 ⎧ x < 8,5 ⇒S= ⎨ ⎩ x > −8 149

⎧ x ≥ −2,5 ⎧2 x ≥ −5 ⇒ S = [–2,5; 2,5]. 28. a) | x + 7 | ≤ ⇔ ⎨ (–8; 8,5). 27. a) | 2x | ≤ 5 ⇔ ⎨ ⎩ x ≤ 2,5 ⎩2 x ≤ 5 ⎧ x ≥ −9 ⎧ x + 7 ≥ −2 ⇒ S = [–9, –5]. 29. a) | 5 – x | ≤ 7 ⇔ | x – 5 | ≤ 7 ⇔ ⇔ ⎨ 2⇔ ⎨ ⎩ x ≤ −5 ⎩x + 7 ≤ 2 ⎧ x ≥ −2 ⎧ x − 5 ≥ −7 ⇒ S = [–2, 12]. 30. a) | 2x + ⇔ ⎨ ⎨ ⎩ x ≤ 12 ⎩x − 5 ≤ 7 ⎧ x ≥ −7 ⇒ S = [–7, –2]. 31. a) x2 + 5x – 6 = 0, x ∈ R ⇔ ⎨ x ≤ − 2 ⎩ ⎡x < 4 ⎢ x > −2 ⇔ ⎣ ⎡ x < 19 ⎢ x > −10 ⇔ ⎣

⎧2 x + 9 ≥ −5 ⇔ 9 | ≤5 ⇔ ⎨ ⎩2 x + 9 ≤ 5 ⎡ x = −6 ⎡x − 4 < 0 ⎢ x = 1. 32. a) ⎢ x + 2 > 0 ⇔ ⎣ ⎣

⎡ x ∈ ( − ' , 4) ⎢ x ∈ (−2, ' ) ⇒ S = (–', 4) ∪ (–2, ') = R. 33. ⎣ ⎡ x ∈ (−' , 19) ⎢ x ∈ (−10, ' ) ⇒ S = (–', 19) ∪ (–10, ') = R. 34. a) ⎣

⎡ x − 11 < 8 ⇔ a) ⎢ ⎣ x + 12 > 2 ⎡2 x − 17 < 8 ⎢3x + 5 > 2 ⇔ ⎣

⎡ x ∈ (−' ; 12,5) ⎡ x < 12,5 ⇒ S = (–'; 12,5) ∪ (–1, ') = R. 35. a) | 2x | ≥ 33 ⇔ ⎢ x > −1 ⇔ ⎢ x ∈ (−1, ' ) ⎣ ⎣ ⎡ x ∈ (−' , − 33) ⎡2 x < −33 ⇒ S = (–', –33) ∪ (33, '). 36. a) | x + 3 | ≥ 9 ⇔ ⎢2 x > 33 ⇔ ⎢ x ∈ (33, ' ) ⎣ ⎣ ⎡ x < −12 ⎡ x + 3 < −9 ⎢x + 3 > 9 ⇔ ⎢x > 6 ⎣ ⎣ ⎡ x − 7 < −99 ⇔ ≥ 99 ⇔ ⎢ ⎣ x − 7 > 99

⎡ x ∈ (−' , − 12) ⇔ ⎢ ⇒ S = (–', –12) ∪ (6, '). 37. a) | 7 – x | ⎣ x ∈ (6, ' ) ⎡ x ∈ (−' , − 92) ⎡ x < −92 ⎢ x > 106 ⇔ ⎢ x ∈ (106, ' ) ⇒ S = (–', –92) ∪ (106, '). ⎣ ⎣

⎡ x ∈ (−' , − 6) ⎡ x < −6 ⎡2 x − 1 < −13 ⇒ S = (–', –6) ∪ ⇔ ⎢ ⇔ ⎢ 38. a) | 2x – 1 | ≥ 13 ⇔ ⎢ ⎣ x ∈ ( 7, ' ) ⎣x > 7 ⎣2 x − 1 > 13 ⎡ x ∈ (−' , − 7,5) ⎡ x < −7,5 ⎡2 x − 3 < −18 ⇒S= ⇔ ⎢ ⇔ ⎢ (7, '). 39. a) | 3 – 2x | ≥ 18 ⇔ ⎢ ⎣ x ∈ (10,5, ' ) ⎣ x > 10,5 ⎣2 x − 3 > 18 (–'; –7,5) ∪ (10,5; '). 40. a) 2X2 – 3X – 5m trebuie să aibă ∆ ≥ 0. 9 + 40m ≥ 0 ⇔ m ≥ 4,(4). m ∈ [4,(4); '). 41. a) ∆ ≥ 0 ⇒ 1 – 9m + 3 ≥ 0 ⇔ m ≤ 0,(4). m ∈ (–'; 0,(4)]. 42. a) ∆ ≥ 0 ⇒ 1 + 6m + 8 ≥ 0 ⇔ m ≥ –1,5. m ∈ [–1,5; '). 43. a) ∆ ≥ 0 ⇒ 1 + 7m – 14 ≥ 0 ⇔ m≥

13 . 44. a) ∆ ≥ 0 ⇒ 9 + 32m ≥ 0 ⇔ m ≥ –0,28125. m ∈ [–0,28125; '). 7

45. a) ∆ ≤ 0 ⇒ 1 – 3m + 9 ≤ 0 ⇔ m ≥ 3,(3). m ∈ [3,(3); '). 46. a) ∆ ≤ 0 ⇒ 1 + 9m + 3 ≤ 0 ⇔ m 5 ≤ –0,(4). m ∈ [–0,(4); '). 47. a) ∆ > 0 ⇒ 9 + 21m + 6 > 0 ⇔ m > − . 7 48. a) ∆ > 0 ⇒ 25 + 15m – 21 > 0 ⇔ m > −

4 . 49. a) x – 7 ≥ 0 ⇔ x ≥ 7. D = [7; '). 15

50. a) 2x – 9 ≥ 0 ⇔ x ≥ 4,5. D = [4,5; '). 51. a) 3x – 10 > 0 ⇔ x > 3,(3) ⇒ D = (3,(3); ').

150

Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri

52. a) x – 5 ≥ 0 ⇔ x ≥ 5 ⇒ D = [5, '). 53. a) 2x – 11 ≥ 0 ⇔ x ≥ 5,5 ⇒ D = [5,5; '). 54. a) 3x – 2,4 > 0 ⇔ x > 0,8 ⇒ D = (0,8; '). 55. a) x – 2,6 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2,6. x ∈ [2,6; '). 56. a) 3,2 – 4x > 0 ⇔ x < 0,8. x ∈ (–'; 0,8). 57. a) 3,7 – x > 0 ⇔ x < 3,7. x ∈ (–'; 3,7). 58. a) 7 cm. 59. a) 2x −1 < 0 ⇔ (2x – 1)(3x + 5) < 0 ⇒ S = (–1,(6); 0,5). 3x + 5 1 1 − 2x + 9 1 1 ⇔ 60. a) 0,75 etc. ⎪x ≥ 0 ⎪9 x − 2 x ≥ 0 ⎩ ⎩

1 1 ⎡1 ⎡ ⎢3 < x − 1 ≤ 7 ⎢ 7 ≤ x −1 < 3 74. a) ⎢ ⇔ ⎢ etc. 75. a) 25a2 + 9b2 ≥ 30ab. 76. a) 3c + d ≥ ⎢− 5 < 1 ≤ −1 ⎢− 1 ≤ x − 3 < − 1 ⎢⎣ ⎢⎣ 5 x−3 2 3cd . 77. a) 9a2 + 25b2 + 49c2 ≥ 15ab + 21ac + 35bc. 78. a)

6x −1 ≤2 ⇔ 2x + 3

⎧ 6x −1 − 2x − 6

≤0 ⎪ 6x −1 2x + 3 −2≤ ≤ 2 ⇔ ⎪⎨ etc. 79. a) | 3x – 9 | ≤ | 4x + 1 | ⇔ 2x + 3 ⎪ 6x −1 + 2x + 6 ⎪⎩

2x + 3

≥0

⎡⎧ 1 ⎢⎪ x ≤ − 4 ⎨ ⎢ ⎢⎪⎩9 − 3x ≤ − 4 x − 1 ⎢ ⎧ − 3 < x −1 < 3 ⎧ | x −1| < 3 etc. ⇔ ⎨ etc. 81. a) ⎨ ⎢⎧ x > 3 ⎨ ⎢⎩3 x − 9 ≤ 4 x + 1 ⎩− 7 ≤ x − 8 ≤ 7 ⎩| x −8| ≤ 7 ⎢ ⎢⎧ 1 ⎢⎪⎨− 4 ≤ x ≤ 3 ⎢⎪ ⎢⎣⎩9 − 3x ≤ 4 x + 1 Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri

151

−8 < x −6 < 8

⎡ ⎡| x−6| < 8 ⇔ ⎢11 − x ≥ 19 82. a) ⎢ ⎢ ⎣ | 11 − x | ≥ 19 ⎢

etc.

⎣− 19 ≤ 11 − x 84. a = 7 ⋅ 9 ⋅ 11 ⋅ ... ⋅ 2 003 , a < 8 ⋅ 10 ⋅ 12 ⋅ ... ⋅ 2 004 , a > 6 ⋅ 8 ⋅ 10 ⋅ ... ⋅ 2 002 etc. 9 11 13 2 005 8 10 12 2 004 7 9 11 2 003

2. Inecuaţii de gradul II. Metoda intervalelor (123–127) y 1. Rezolvarea este ilustrată în stânga. x O

2. a) f are zerourile x1 =

− 15 + 233 − 15 − 233 şi x2 = . f(x) < 0 pe 2 2

intervalul (x1, x2) şi f(x) > 0 pe (–', x1) ∪ (x2, '). 3. a) f are zeroul – 1,5, f(x) = (2x + 3)2 ≥ 0. 4. a) f nu are zerouri f(x) = 5x2 + 2x + 1 > 0.

⎡ ⎤ 5. a) S = (–3, –2). 6. a) S = (–', –1] ∪ [0,(2); '). 7. a) S = ⎢11 − 301 , 11 + 301 ⎥ . ⎣

2

140

140

⎦

2

8. a) 9x + 12x + 4 = (3x + 2) > 0. S = R \ {0,(6)}. 9. a) S = ∅. 10. a) S = R.11. a) S = 3 ⎛5 ⎞ ∅. 12. a) S = (−' , 0) U ⎜ , ' ⎟ . 13. a) 2 ≥ 0 ⇔ x2 + 12x > 0. S = (–', –12) ∪ x + 12 x ⎝7 ⎠

(0, '). 14. a) x ∈ (−' , − 15 ] U [ 15 , ' ). 15. a) Expresia are sens pentru x2 – 5x – 104 > 0. x ∈ (–', –8) ∪ (13, '). 16. a) Expresia are sens pentru –x2 – 5x + 3 > 0. x ∈ ⎛ − 5 − 37 − 5 + 37 ⎞ 2 2 ⎜⎜ ⎟⎟ . 17. a) x − 2x + 1 ≤ 4 ⇔ x − 2x – 3 ≤ 0. S = [–1, 3]. 18. a) (x + , 2 2 ⎝ ⎠

2)2 < 5 ⇔ | x + 2 | <

5 ⇔– 5 < x+2<

5 ⇔ –2 – 5 < x < –2 +

5 ⇒ S = (–2

⎧ ⎛ 3 − 13 3 + 13 ⎞ ⎟ ⎧ x 2 − 3x − 1 < 0 , ⎪x ∈ ⎜ ⇔ ⎨ ⎜⎝ 2 – 5 , –2 + 5 ). 19. a) ⎨ 2 ⎟⎠ ⇒ ⎩x − 2 > 0 ⎪ ⎩ x ∈ (2, ' ) ⎧⎪ x 2 + 4 x + 2 > 0 ⎧ x 2 + 4 x > −2 ⎛ 3 + 13 ⎞ ⎟ . 20. a) –2 < x2 + 4x < 5 ⇔ ⎪⎨ S = ⎜ 2, ⇔ ⇒S ⎨ 2 2 ⎟ ⎜ ⎪ ⎪ 2 + 4 − 5 < 0 + 4 < 5 x x x x ⎠ ⎝ ⎩ ⎩ = (− ' , − 2 − 2 ) U (− 2 + 2 , ' ) ∩ (–5, 1) = (−5, − 2 − 2 ) U ( − 2 + 2 , 1). ⎧⎪ x 2 − 4 < 0 ⇒ S = (–2, 2) ∩ ((–', 0] ∪ [1, ')) = (–2, 0] ∪ [1, 2). 21. a) ⎨ 2 ⎪⎩ x − x ≥ 0 ⎧⎪ x 2 + 2 x − 5 < 0 ⎧⎪ x 2 + 2 x < 5 2 2 ⇔ ⎨ 2 ⇔ 22. a) | x + 2x | ≤ 5 ⇔ –5 ≤ x + 2x ≤ 5 ⇔ ⎨ 2 ⎪⎩ x + 2 x + 5 ≥ 0 ⎪⎩ x + 2 x ≥ −5 ⎧ x ∈ (1 − 6 , 1 + 6 ) ⇒ S = (1 − 6 , 1 + 6 ). 23. a) | x2 – 7 | ≤ 3 ⇔ –3 ≤ x2 – 7 ≤ 3 ⇔ ⎨ x R ∈ ⎩ ⎧⎪ x 2 − 10 ≤ 0 ⎧⎪ x 2 − 7 ≤ 3 ⎧ x ∈ [− 10 , 10 ] ⇔ ⇔ ⎨ ⇒ S = [–2, 2]. 24. a) | x2 + 10x + ⎨ 2 ⎨ 2 ⎪⎩ x − 4 ≥ 0 ⎪⎩ x − 7 ≥ −3 ⎩ x ∈ [− 2, 2]

152

Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri

⎧⎪ x 2 + 10 x − 7 ≤ 0 ⎧⎪ x 2 + 10 x + 1 ≤ 8 ⇔ ⎨ 2 ⇔ 1 | ≤ 8 ⇔ –8 ≤ x2 + 10x + 1 ≤ 8 ⇔ ⎨ 2 ⎪⎩ x + 10 x + 9 ≥ 0 ⎪⎩ x + 10 x + 1 ≥ −8 ⎧ ⎡−5− 4 2 −5+ 4 2 ⎤ , ⎪x ∈ ⎢ ⎥ ⇒ S = ⎛⎜ − 1, − 5 + 4 2 ⎤ . 25. a) S = [0, 3 ). 26. a) | x2 2 2 ⎨ ⎣ ⎥ ⎦ ⎜ 2 ⎦ ⎝ ⎪ ⎩ x ∈ (− ' , − 9) U (−1, ' ) ⎡ x 2 − 12 ≥ 0 ⎡x2 − 7 ≥ 5 ⎡ x ∈ (−' , − 2 3 ] U [2 3 , ' ) –7|≥5⇔ ⎢ 2 ⇔ ⎢ 2 ⇔ ⎢ ⇒ ⎣⎢ x ∈ [− 2 , 2 ] ⎣⎢ x − 2 ≤ 0 ⎣⎢ x − 7 ≤ −5

⎡ x 2 − 10 x ≥ 5 ⇔ S = (−' , − 2 3 ] U [− 2 , 2 ] U [2 3 , ' ) . 27. a) | x – 10x | ≥ 5 ⇔ ⎢ 2 ⎢⎣ x − 10 x ≤ −5 ⎡ x 2 − 10 x − 5 ≥ 0 ⎡ x ∈ (−' , 5 − 30 ] U [5 + 30 , ' ) ⇒ ⇔ ⎢ ⎢ 2 ⎣⎢ x ∈ [5 − 2 5 , 5 + 2 5 ] ⎣⎢ x − 10 x + 5 ≤ 0 2

S = (−' , 5 − 30 ] U [5 − 2 5 , 5 + 2 5 ] U [5 + 30 , ' ) . 28. a) Fie f(x) = (x2 + 5x)(x2 – 8x). Mulţimea soluţiilor se identifică conform tabelului x –' –5 0 8 ' f(x) + 0 – 0 – 0 + S = (–5, 8) \ {0}. 29. a) Fie f(x) = (x2 – 1)(x2 – 3). Mulţimea soluţiilor se identifică conform tabelului x –' –1 − 3 1 3 ' f(x) + 0 – 0 + 0 – 0 + 2 2 S = (–1, − 3 ) ∪ (1, 3 ). 30. a) Fie f(x) = (x – 2x + 1)(x – 3x + 2). Mulţimea soluţiilor se identifică conform tabelului x –' 1 2 ' f(x) + 0 – 0 + 2x − 3 S = [1, 2]. 31. a) Fie f(x) = . Mulţimea soluţiilor se identifică conform tabelului 3x + 7 x –' –2,(3) 1,5 ' f(x) + || – 0 + 3x − 2 S = (–2,(3); 1,5). 32. a) Fie f(x) = 2 . Mulţimea soluţiilor se identifică conform x − 5x − 6 tabelului x –' –1 1,5 6 ' f(x) – || + 0 – || + S = (–1; 1,5]∪(6, '). 33. a) Fie f(x) = form tabelului x –' f(x)

+

Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri

–3 ||

–

5 x 2 − 3x . Mulţimea soluţiilor se identifică conx 2 − 9 x − 36 0,6 0

+

12 ||

' –

153

S = (–3; 0,6)∪(12, '). 34. a) Rezolvaţi inegalitatea ∆ < 0. (m – 2)2 – 48 < 0 ⇔ | m – 2 | < 4 3 etc. 35. a) R. 36. a) x2 – 5x < 0. ⎧⎧⎪ x 2 − 9 x − 7 < 4 ⎧⎪14 x 2 − 5 x + 1 ≥ 0 ⎧⎪| x 2 − 9 x − 7 | < 4 ⎪⎪⎨ 2 37. Rezolvaţi sistemul ⎨ 39. ⇔ ⎨⎪⎩ x − 9 x − 7 > −4 ⎨ ⎪⎩40 x 2 − 6 x − 1 > 0. ⎪⎩ x 2 − 11x − 26 ≥ 0 ⎪ 2 ⎪⎩ x − 11x − 26 ≥ 0 ⎡⎧⎪| x 2 − 10 x − 6 < 3 ⎡| x 2 − 10 x − 6 | < 3 ⎢⎨ 3x 2 − 2 x + 7 ⇔ ⎢⎪⎩ x 2 − 10 x − 6 > − 3 etc. 41. 2 ≤1 ⇔ etc. 40. ⎢ 2 x − 4 x − 77 ⎢ 2 ⎣⎢ x − 12 x − 45 ≥ 0 ⎢⎣ x − 12 x − 45 ≥ 0 3x 2 − 2 x + 7 − x 2 + 4 x + 77 x + 1 − 6x + 9 1 3 − ≥0 ⇔ ≥ 0 etc. ≤ 0 etc. 42. 2 2x − 3 x + 1 2x − 3 x − 4 x − 77 ⎧⎧⎪ x 2 − 8 x + 15 < 1 ⎪⎨ 2 ⎧⎪| x 2 − 8 x + 15 | < 1 ⎡| x 2 − 7 x + 4 | < 2 ⎪⎪⎪⎩ x − 8 x + 15 > −1 etc. 44. ⎢ 2 ⇔ 43. ⎨ 2 ⇔ ⎨ 2 ⎪⎧⎪ x − 9 x + 5 ≤ 4 ⎩⎪| x − 9 x + 5 | ≤ 4 ⎣⎢| x − 10 x + 2 | ≤ 5 ⎪⎨ 2 ⎪⎩⎪⎩ x − 9 x + 5 ≥ 4 ⎡⎧⎪ x 2 − 7 x + 4 < 2 ⎧ 5x − 7 ⎢⎨ 2 ⎪⎪ x 2 − 13 x − 42 < 2 ⎢⎪⎩ x − 7 x + 4 > −2 5x − 7 etc. 45. 1 ≤ 2 0 ⎧∆ > 0 ⎪⎪ ⎪ 49. Rezolvaţi sistemul de inecuaţii ⎨S > 0 ⇒ ⎨(m − 3) 2 − 20(m − 1) > 0 etc. ⎪P < 0 ⎪ m −1 ⎩ ⎪ 2 ⎪ f (1) > 0, ⎩ ⎧(m − 1) 2 − 24m > 0 ⎪ ⎪m −1 2 f(x) = 2x – (m – 1)x + 3m. Rezultă ⎨ >0 etc. ⎪ 2 ⎪⎩2 − (m − 1) + 3m > 0 ⎧∆ > 0 unde f este funcţia ataşată polinomului, 51. Rezolvaţi sistemul de inecuaţii ⎨ ⎩ f (1) < 0, ⎧(m − 2) 2 − 48m > 0 ⎪ ⎪m − 2 2 >0 f(x) = 3x – (m – 2)x + 4m. Rezultă ⎨ etc. ⎪ 3 ⎪⎩3 − ( m − 2) + 4m < 0 52. Examinaţi reprezentarea grafică!

x1

x2

x

x1

x2

x3

x

53. Ţineţi cont de sugestia oferită de reprezentarea grafică!

Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri

155

Prefaţă ........................................................................................................................... 3 Capitolul I. Recapitulare şi completări ..................................................................... 4 1. Mulţimea numerelor reale ................................................................................... 9 2. Operaţii cu numere reale ................................................................................... 12 Capitolul II. Puteri cu exponent raţional ............................................................... 18 1. Radicali de ordinul n ......................................................................................... 20 2. Puteri cu exponent raţional ............................................................................... 25 Capitolul III. Funcţii ................................................................................................ 31 1. Noţiunea de funcţie ........................................................................................... 36 2. Funcţii numerice ................................................................................................ 42 3. Funcţia de gradul II ........................................................................................... 47 4. Funcţia putere ................................................................................................... 55 Capitolul IV. Polinoame şi fracţii algebrice ........................................................... 58 1. Recapitulare şi completări ................................................................................. 62 2. Împărţirea polinoamelor ................................................................................... 68 3. Divizibilitatea polinoamelor ............................................................................. 71 4. Fracţii algebrice ................................................................................................ 76 Capitolul V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii ............................................... 83 1. Ecuaţii de forma ax + b = 0, a ∈ R, b ∈ R ...................................................... 88 2. Ecuaţii de gradul II cu o necunoscută ............................................................... 93 3. Ecuaţii raţionale ................................................................................................ 98 4. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii ......................................................................... 102 Capitolul VI. Inecuaţii. Sisteme şi totalităţi de inecuaţii ..................................... 111 1. Inecuaţii de gradul I. Recapitulare şi completări ............................................ 114 2. Inecuaţii de gradul II cu o necunoscută. Metoda intervalelor.......................... 123 Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri .......................................................................... 129 Capitolul I ............................................................................................................ 129 Capitolul II .......................................................................................................... 131 Capitolul III ........................................................................................................ 132 Capitolul IV ........................................................................................................ 138 Capitolul V .......................................................................................................... 141 Capitolul VI ........................................................................................................ 149