Algebra

P ROYECTO D OCENTE M ATERIA Á LGEBRA EN EL

G RADO EN M ATEMÁTICAS

Concurso de acceso al Cuerpo de Profesores Titulares de Universidad Código: 2011/A/009.

Ignacio Ojeda Martínez de Castilla Departamento de Matemáticas Universidad de Extremadura BADAJOZ ,

OCTUBRE DE

2011

Tema 1

Aritmética elemental Contenidos Descripción del contenido . . . . . . . . . . . . . 1.1 Artimética elemental . . . . . . . . . . . . 1.1.1 División de números enteros . . . . 1.1.2 Algoritmo de Euclides . . . . . . . 1.1.3 Descomposición en factores primos 1.2 Congruencias módulo un número natural .

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Bibliografía principal (por orden de importancia): [6] Capítulos I (pp. 26-27) y II (pp. 40-45). [3] Capítulo 2 (pp. 23-51).

Descripción del contenido Comenzamos con la afirmación de que todo número entero no nulo es positivo o negativo. Este hecho aparentemente evidente oculta la construcción de los números enteros a partir de los naturales y da por hecho cierto que los números enteros se pueden sumar y restar; sin embargo, estas concesiones atraen la atención desde el inicio hacia uno de los objetos fundamentales en la asignatura: el conjunto (grupo, anillo) de los números enteros. De nuestra afirmación inicial se sigue la relación natural de orden de los números enteros, y podemos formular los Principios del máximo y del mínimo (página 25) en Z (consecuencias directas del Principio de buena ordenación de los números naturales, dicho sea de paso). Con este punto de partida, obtenemos como primer resultado el Teorema de división de los números enteros (página 25) e inmediatamente se introducen las nociones de múltiplo, divisor y número primo, que deben resultar familiares al estudiante. A continuación se estudian el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de 23

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dos números enteros, siendo los principales resultados a destacar la Identidad de Bezout (página 27) y, como consecuencia, el Lema de Euclides (página 29). El Lema de Euclides es fundamental para demostrar la unicidad de la Descomposición en factores primos (página 29) de un número entero y por lo tanto de sus factores primos. Este breve tema finaliza, a modo de ejemplo anticipatorio, con la noción de congruencia módulo un número natural, donde la división de enteros juega un papel fundamental para determinar la clase de equivalencia de un entero módulo un número natural. Los objetivos/compentencias que se pretenden alcanzar con este tema son los siguientes Conocer y comprender las nociones y resultados más elementales de la aritmética de números enteros. Calcular el máximo común divisor de dos polinomios y los coeficientes en la Identidad de Bezout. mediante el Algoritmo de Euclides, de número enteros. Ser capaz de resolver problemas sencillos usando congruencias módulo un número natural. Nota histórica: el Lema de Euclides es la Proposición 30 de Libro VII de los Elementos de Euclides (http://www.euclides.org/).

1.1.

Artimética elemental

La afirmación evidentemente cierta: todo número entero no nulo es positivo (> 0) ó negativo (< 0), permite definir en Z una relación de orden1 : x 5 y si y sólo si x − y < 0 ó x − y = 0 y diremos que un subconjunto X de Z está acotado inferiormente si existe un número y ∈ Z tal que y ≥ x, para todo x ∈ X. Similarmente, X está acotado superiormente si existe un número y tal que x ≤ y para todo x ∈ X. Nótese que todo subconjunto no vacío de N (el conjunto de los números enteros no negativos) está acotado inferiormente por 0. La relación ≤ posee las siguientes propiedades inmediatas: 1 Definicion.

Diremos que una relación  en un conjunto X es una relación de orden si tiene las siguiente propiedades: (a) Reflexiva: x  x para todo x ∈ X. (b) Antisimétrica: si x  y e y  x, entonces x = y. (c) Transitiva: si x  y e y  z, entonces x  z. Llamaremos conjunto ordenado a un par (X, ) formado por un conjunto X y una relación de orden  en X.

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Principio del máximo en Z: Todo subconjunto no vacío X de Z que esté acotado superiormente posee un elemento maximo; es decir, existe un elemento y ∈ X tal que x ≤ y, para todo x ∈ X. Principio del mínimo en Z: Todo subconjunto no vacío X de Z que esté acotado inferiormente posee un elemento mínimo; es decir, existe un elemento y ∈ X tal que y ≤ x, para todo x ∈ X.

1.1.1.

División de números enteros

Una consecuencia del Principio del mínimo es el siguiente resultado fundamental: Teorema de división de números enteros. Sea d un número entero no nulo. Para cada número entero b existe una única pareja de números enteros c, r (llamados cociente y resto de la división de b por d) tal que: b = c·d +r con 0 ≤ r < |d| := m´ax{−d, d}. Demostración. Veamos primero la existencia de tal pareja c, r. El conjunto de números naturales R = {n ∈ N | n = b − sd para algún s ∈ Z} no es vacío (por ejemplo, b − (−b2 d) d ∈ R) y está acotado inferiormente por 0, así que, por el Principio del mínimo, posee un elemento mínimo r. Por definición, r ≥ 0 y existe c ∈ Z tal que r = b − cd; luego b = cd + r. Si r ≥ |d|, entonces r − |d| = b − (s ± 1)d está en R y es estrictamente menor que r, en contra de la elección de r. Luego r < |d| . Veamos ahora la unicidad del cociente y el resto. Si c0 , r0 son otros números enteros tales que b = c0 d + r0 y 0 ≤ r0 < |d|, podemos suponer que r ≤ r0 , en cuyo caso r0 − r = (c − c0 )d es un múltiplo no negativo de |d| menor que |d| y se sigue que r0 − r = 0 y cd = c0 d. Como d no es nulo, concluimos que r0 = r y c0 = c.

1.1.2.

Algoritmo de Euclides

Sean a, b dos números enteros. Diremos que a es múltiplo de b (o que b es divisor de a) cuando exista algún c ∈ Z tal que a = bc. El conjunto de los múltiplos de b se denota bZ, es decir, bZ := {a ∈ Z | a = bc para algún c ∈ Z}. Obsérvese que a es un múltiplo de b, precisamente cuando aZ ⊆ bZ. 25

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Diremos que un número natural p mayor que 1 es un número primo cuando no pueda descomponerse en producto de dos números naturales más pequeños (es decir, cuando p > 1 y sus únicos divisores naturales son 1 y p). Nótese que p es primo si y sólo si pZ ( aZ ⇒ a = ±1. Sean a, b dos números enteros no nulos. Diremos que un número natural es el mínimo común múltiplo de a y b si es un múltiplo común y divide a cualquier otro múltiplo común. Diremos que un número natural es el máximo común divisor de a y b si es un divisor común y es múltiplo de cualquier otro divisor común. En principio el máximo común divisor o el mínimo común múltiplo de dos número enteros podría no existir; pero veremos que no es el caso. El siguiente resultado garantiza la existencia del mínimo común múltiplo: Proposición 1.1.1. Sean a, b dos números enteros no nulos. El mínimo común múltiplo es el elemento mínimo del conjunto X = {n ∈ N | nZ ⊆ aZ ∩ bZ}. En particular, si m = mcm(a, b), entonces mZ = aZ ∩ bZ. Demostración. Como X está acotado inferiormente por 0, el Principio del mínimo garantiza la existencia del elemento mínimo m de X. Tenemos que demostrar que m divide a cualquier elemento de X. Si n ∈ X, por el Teorema de división de números enteros, existen unos únicos c y r ∈ Z tales que n = mc + r y 0 ≤ r < m. Por consiguiente, si m no divide a n, entonces 0 < r = n − mc es un múltiplo común de a y b estrictamente menor que m, en clara contradicción con la minimalidad de m. Finalmente, como m es un múltiplo común de a y b, se tiene que mZ ∈ aZ ∩ bZ y como todos los elementos de aZ∩bZ son múltiplos comunes de a y b, por la definición de mínimo común múltiplo, concluimos que aZ ∩ bZ ⊆ mZ. Para demostrar la existencia del máximo común divisor vamos a desarrollar un procedimiento algorítmico para su cálculo, conocido como el algoritmo de Euclides. Lema 1.1.2. Si a ∈ bZ, entonces existe el máximo común divisor de a y b, y vale |b|. Demostración. La demostración es inmediata, pues b es un divisor común de a y b, y cualquier otro divisor común n de a y b verifica n ≤ |b|.

Lema 1.1.3. Si a, b, c y r son números enteros no nulos tales que a = cb + r, entonces los divisores comunes de a y b, son los b y r, y recíprocamente. En particular, existe mcd(a, b) si y sólo si existe mcd(b, r), en cuyo caso coinciden. Demostración. Las igualdades a = cb + r y r = a − cb prueban que los divisores de a y b, son precisamente los de b y r. 26

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Algoritmo de Euclides. Entrada: Dos enteros a ≥ b no nulos. Salida: d = mcd(a, b). Mientras que b 6= 0, Sea r el resto de la división de a entre b. a = b. b = r. Devolver d = a. Demostración. Si b es distinto de cero (como ocurre al inicio), la división de a entre b produce un cociente y un resto 0 ≤ r ≤ |b|. Si r = 0, por el Lema 1.1.2, mcd(a, b) = |b| y habríamos terminado. En otro caso, volvemos a repetir el procedimiento con b y r como datos de entrada. Teniendo en cuenta el Lema 1.1.3, podemos afirmar que, si este proceso finaliza (es decir, si b = 0 en algún momento), devolverá el máximo común divisor de a y b. Pero, por el Principio del mínimo, el proceso ha de finalizar, en otro caso, obtendríamos un conjunto de números naturales (y por lo tanto acotado inferiormente) sin elemento mínimo, ya que en cada etapa se produce un resto estrictamente menor que el de la anterior.

Ejemplo 1.1.4. Calculemos el máximo común divisor de 441 y de 24 usando el algoritmo de Euclides. 441 = 18 · 24 + 9 24 = 2 · 9 + 6 9 = 1·6+3 6 = 2 · 3 ⇒ mcd(441, 24) = 3. De hecho se tiene que mcd(441, 24) = mcd(24, 9) = mcd(9, 6) = mcd(6, 3).

Identidad de Bezout. Sean a y b dos números enteros. Si d es el máximo común divisor de a y b, entonces existen números enteros α y β tales que d = αa + β b.

Demostración. Supongamos que el algoritmo de Euclides ha requerido n etapas hasta 27

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finalizar y escribamos d = rn−1 . Entonces, tenemos que a b r1 rn−4 rn−3 rn−2

= c1 · b + r1 = c2 · r1 + r2 = c3 · r2 + r3 .. . = cn−2 · rn−3 + rn−2 = cn−1 · rn−2 + rn−1 = cn · rn−1 ⇒ mcd(a, b) = d.

De donde se sigue que d = rn−1 = rn−3 − cn−1 · rn−2 = rn−3 − cn−1 · (rn−4 − cn−2 · rn−3 ) = −cn−1 · rn−4 + (1 + cn−1 cn−2 ) · rn−3 = . . . = αa + β b.

Corolario 1.1.5. Sean a y b dos enteros no nulos. Si d = mcd(a, b), entonces aZ + bZ := {xa + yb | x, y ∈ Z} = dZ. Demostración. Por la Identidad de Bezout, dZ ⊆ aZ + bZ. Recíprocamente, como xa + yb = x(a0 d) + y(b0 d) = (xa0 + yb0 )d, para todo x, y ∈ Z, se sigue que aZ + bZ ⊆ dZ. En conclusión, aZ + bZ = dZ. Diremos que a y b son primos entre sí cuando su máximo común divisor sea la unidad. Corolario 1.1.6. La condición necesaria y suficiente para que dos números enteros a, b sean primos entre sí es que existan números enteros α, β tales que 1 = αa + β b Demostración. La necesidad es la Identidad de Bezout cuando d = 1. En cuanto a la suficiencia de la condición, si 1 = αa + β b y d = mcd(a, b), entonces 1 = αa + β b = α(a0 d) + β (b0 d) = (αa0 + β b0 )d, para ciertos a0 , b0 ∈ Z, y se sigue que d = 1, es decir, que a y b son primos entre sí. Corolario 1.1.7. Si un número entero divide a un producto de dos números enteros y es primo con un factor, entonces divide al otro factor. 28

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Demostración. Sean a, b, c ∈ Z. Si bc es múltiplo de a, y b es primo con a, por la Identidad de Bezout, existen α y β ∈ Z tales que 1 = α a + β b. Multiplicando por c resulta c = α a c + β b c; como a divide a los dos sumandos del término de la derecha se concluye que a divide al término de la izquierda, es decir, a divide a c. Lema de Euclides: Si un número primo divide a un producto de números enteros, entonces divide a algún factor. Demostración. Sea p un número primo. Si un número entero n no es múltiplo de p, entonces p y n son primos entre sí, porque los únicos divisores de p son 1 y p. Ahora el resultado buscado es consecuencia directa del Corolario 1.1.7.

1.1.3.

Descomposición en factores primos

Teorema de descomposición en factores primos. Todo número natural mayor que 1 es producto de números primos. Esta descomposición es única salvo el orden de los factores. Demostración. Veamos primero la existencia de la descomposición. Si un número natural n ≥ 2 es primo, no hay nada que probar. Si n no es primo, descompone en producto de dos números menores, n = ab. Si algún factor no es primo, descompone en producto de dos números más pequeños. Reiterando el proceso, en algún momento ha de terminar, pues n tiene un número finito de divisores, y obtenemos una descomposición de n en producto de números primos. Veamos la unicidad de la descomposición. Si n = pm p1 · · · pr es una descomposición de un número natural n en producto de primos, donde suponemos que pi 6= p para todo índice i, del Lema de Euclides se sigue que pm+1 no divide a n, así que pm es precisamente la mayor potencia de p que divide a n. Luego el número de veces m que aparece un número primo p no depende de la descomposición elegida: ésta es única salvo el orden de los factores. Como consecuencia inmediata del teorema anterior tenemos el Teorema fundamental de la aritmética. Todo número natural mayor que 1 es múltiplo de algún número primo. Corolario 1.1.8. Hay infinitos números primos. Demostración. Procederemos por reducción al absurdo; es decir, partiendo de la negación del enunciado que pretendemos probar, obtendremos una contradicción, lo que nos permite concluir que tal enunciado es verdadero. Supongamos que sólo hay un número finito de números primos p1 , . . . , pr y consideremos el número n = 1 + p1 · · · pr . Por el Teorema fundamental de la arithmética, n es múltiplo de algún número primo 29

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p, que es distinto de todos los primos p1 , . . . , pr , pues al dividir n por pi el resto es 1, lo que contradice la suposición de que p1 , . . . , pr son todos los números primos. Corolario 1.1.9. Si un número natural n mayor que 1 no tiene divisores primos me√ nores o iguales que n, entonces n es un número primo. Demostración. Probaremos el enunciado contra-recíproco. Si un número natural n no es primo, descompone en producto de dos números naturales más pequeños. Algún √ factor de tal descomposición ha de ser menor o igual que n y, por tanto, cualquier √ divisor primo de ese factor es un divisor primo de n menor o igual que n. Corolario 1.1.10. Sea d ≥ 2 un número natural. Si la raíz d-ésima de un número natural n no es entera, entonces es irracional. Demostración. Probaremos el enunciado contra-recíproco: si la raíz d-ésima de un número natural n es racional, entonces n es potencia d-ésima de algún número natural. Sea b/c un número racional tal que n = (b/c)d . Dividiendo b y c por su máximo común divisor podemos suponer que b y c son primos entre sí. Como bd = ncd , del Lema de Euclides se sigue que todos los números primos que dividen a c dividen también a b. Luego ningún número primo divide a c, y el Teorema fundamental de la aritmética permite concluir que c = 1, así que b/c es un número entero y n es la potencia d-ésima del número entero b/c. Nota 1.1.11. Todo número natural n ≥ 2 descompone de la siguiente forma: n = pn1 · · · pnr ,

ni ≥ 1

donde p1 , . . . , pr son números primos distintos, y tal descomposición es única salvo el orden de los factores. Del Lema de Euclides se sigue que si un número primo p divide a n, entonces p = pi para algún índice i : Los únicos factores primos de n son p1 , . . . , pr . Si a = p1a1 · · · par r y b = pb11 · · · pbr r son descomposiciones de dos números naturales a, b en producto de primos distintos (ai , bi ≥ 0), entonces b es múltiplo de a ⇔ bi ≥ ai para todo índice i. Además, mcd(a, b) = pd11 · · · pdr r , mcm(a, b) =

mr 1 pm 1 · · · pr

,

En particular, ab = mcd(a, b) · mcd(a, b). 30

di = m´ın(ai , bi ) mi = m´ax(ai , bi )

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1.2.

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Congruencias módulo un número natural

Definición 1.2.1. Sea n un número natural. Diremos que dos números enteros a, b son congruentes módulo n cuando su diferencia b − a sea un múltiplo de n (es decir, b − a ∈ nZ) en cuyo caso pondremos a ≡ b m´od n “Ser congruentes módulo n” es una relación de equivalencia2 en el conjunto de los números enteros y es compatible con la suma y el producto en el siguiente sentido: Si a ≡ a0 y b ≡ b0 m´od n, entonces a + b ≡ a0 + b0 y ab ≡ a0 b0 m´od n Los múltiplos de n son exactamente los números enteros congruentes con 0 módulo n, así que esta relación de equivalencia es útil para estudiar la divisibilidad por n. Corolario 1.2.2. Sea n un número natural no nulo. La condición necesaria y suficiente para que dos números enteros sean congruentes módulo n es que tengan el mismo resto al dividir por n. Demostración. Sean a, b dos números enteros y a = cn + r, b = c0 n + r0 sus respectivas divisiones por n. Veamos primero la necesidad de la condición. Si a ≡ b m´od n, entonces b−a = dn para algún número entero d. Luego b = dn + a = (d + c)n + r y, de la unicidad del resto de la división por n, se deduce que r = r0 . Veamos ahora que la condición es suficiente. Si r = r0 , entonces b − a = c0 n + r0 − cn − r = (c0 − c)n y concluimos que a ≡ b m´od n. Nota 1.2.3. Del corolario anterior se deduce que cada clase de equivalencia3 [a]n := {b ∈ Z | a ≡ b m´od n} 2 Definición. Diremos que una relación ≡ en un conjunto X es una relación de equivalencia si tiene las siguientes propiedades: (a) Reflexiva: x ≡ x para todo x ∈ X. (b) Simétrica: Sean x, y ∈ X. Si x ≡ y, entonces y ≡ x. (c) Transitiva: Sean x, y, z ∈ X. Si x ≡ y e y ≡ z, entonces x ≡ z. Para una introducción más completa de las relaciones de equivalencia, véase [6, Sección 1.1]. 3 Definición. Dada una relación de equivalencia ≡ en un conjunto X, llamaremos clase de equivalencia, respecto de ≡, de un elemento x de X al subconjunto de X formado por todos los elementos equivalentes con x.

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de cualquier número entero a está formada por todos los números enteros que tengan igual resto que a al dividir por n (por lo que suele decirse que [a]n es la clase de restos de a módulo n). Como los posibles restos de la división de un número entero por n son 0, 1, . . . , n − 1; concluimos que tales clases de equivalencia son [0]n , [1]n , . . . , [n − 1]n . Luego, el conjunto cociente4 de Z por la relación de congruencia módulo n tiene exactamente n elementos, que son [0]n , [1]n , . . . , [n − 1]n . Ejemplo 1.2.4. Estudiemos la divisibilidad por 9 del número m = 19941996 + 1994. Como 1994 es congruente con 5 módulo 9, porque 1994 = 221 · 9 + 5, tenemos que m ≡ 51996 + 5 m´od 9. Para calcular 51996 módulo 9 efectuamos potencias sucesivas de 5 : 52 = 25 ≡ −2 m´od 9 53 ≡ −2 · 5 ≡ −1 m´od 9 54 ≡ −1 · 5 ≡ −5 m´od 9 55 ≡ 52 · 53 ≡ 2 · −1 = −2 m´od 9 56 ≡ (−1)2 = 1 m´od 9 Por tanto, al ser 1996 ≡ 4 m´od 6), se sigue que 51996 = 56 · · · 56 · 54 ≡ 54 ≡ −5 m´od 9 y concluimos que m ≡ −5 + 5 = 0 m´od 9. Luego m es múltiplo de 9. Ejemplo 1.2.5. La finitud de las clases de restos módulo un número natural no nulo n permite probar la imposibilidad de resolver muchas ecuaciones diofánticas. Por ejemplo, si la ecuación 2x2 − 5y2 = 11 tuviera alguna solución entera, entonces 2x2 ≡ 1 m´od 5 Considerando, módulo 5, todos los casos posibles x ≡ 0, 1, 2, 3, 4 comprobamos que x2 ≡ 0, 1, 4 y que 2x2 ≡ 0, 2, 3. Se sigue que la congruencia 2x2 ≡ 1 m´od 5 carece de soluciones enteras y, por tanto, también la ecuación 2x2 − 5y2 = 11. 4 Definición.

Dada una relación de equivalencia ≡ en un conjunto X, llamaremos conjunto cociente de X por ≡ al conjunto de todas las clases de equivalencia de ≡ .

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Ejemplo 1.2.6. Las congruencias módulo un número natural se usan habitualmente para construir códigos correctores5 de errores. Por ejemplo, si calculamos la suma, a, de los ocho dígitos del NIF y asignamos a la letra un número, b, según la siguiente tabla: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 T R W A G M Y F P D X B 12 N

13 J

14 Z

15 S

16 Q

17 V

18 H

19 L

20 C

21 K

22 E

se ha de cumplir que a ≡ b m´od 23. De este modo, es posible detectar un error en una cifra y, si además sabemos el lugar que ocupa la cifra errónea, podemos corregirla.

5 Véase

[C. M UNUERA , J. T ENA. Codificación de la Información, Publicaciones de la Universidad de Valladolid, Ciencias no 25 (1997)] para una amplia introducción a la Teoría de Códigos.

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Tema 2

Grupos Contenidos Descripción del contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Grupos y subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Definición de grupo. Ejemplos . . . . . . . . . 2.1.2 Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Morfismos de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Grupo cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Índice de un subgrupo. Teorema de Lagrange. . 2.3.2 Construcción del grupo cociente . . . . . . . . 2.4 Grupo simétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Signo de una permutación. Subgrupo alternado 2.4.2 Ciclos. Forma de una permutación . . . . . . . 2.4.3 Teorema de Cayley . . . . . . . . . . . . . . .

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35 37 37 40 43 46 46 49 52 53 55 57

Bibliografía principal (por orden de importancia): [6] Capítulo II (pp. 33-56) y Ejemplos y Ejercicios (pp. 218-226). [5] Capítulos 1 (pp. 7-25) y capítulo 4 (pp. 64-65).

Descripción del contenido El principal objetivo que se persigue en este tema es facilitar la comprensión de estructuras más sofisticadas soportadas en su base por la noción de grupo (generalmente abeliano, en esta asignatura). No se trata, pues, de un tema de Teoría de Grupos; en este sentido de que no nos ocuparemos prioritariamente de problemas de clasificación o representación, sino que nos centraremos en las cuestiones de estructura que se ilustrarán con numerosos ejemplos, tanto nuevos, como ya conocidos por el estudiante. 35

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Comenzamos el tema introduciendo los tres axiomas que definen un grupo (página 37) y algunas de sus consecuencias más inmediatas. La propiedad conmutativa se incluye como un cuarto axioma que da lugar a la noción de grupo abeliano (página 39). A continuación, se muestra una larga lista de ejemplos. El siguiente concepto a tener en consideración es la noción de subgrupo (página 40) que se ilustra a su vez con otra serie de ejemplos; de especial interés en esta asignatura son los subgrupos formados por los múltiplos de un número entero. En la segunda sección, se definen los morfimos de grupos (página 43), se muestran algunas de sus propiedades y se introducen el núcleo y la imagen de un morfismo de grupos (página 44). Ahora, de la definición de morfismo grupo se sigue de forma casi inmediata la condición necesaria y suficiente para que un morfismo de grupos sea inyectivo (Proposición 2.2.7(a), página 45), donde se comienza a vislumbrar la potencia con que los morfismos capturan la esencia de la estructura. La tercera sección se ocupa de la operación fundamental de este curso: las estructuras cociente. Comenzamos la sección definiendo qué se entiende por clases a izquierda y derecha de un subgrupo en un grupo (página 46) y mostrando las propiedades del conjunto (cociente) de clases, lo que nos permite introducir el concepto de índice de un subgrupo y demostrar el Teorema de Lagrange (página 48). La segunda parte de esta sección está dirigida a la construcción del grupo cociente; en primer lugar se justifica la necesidad de la normalidad del subgrupo que define el cociente y se demuestra que existe una única estructura de grupo en el cociente tal que la proyección canónica es morfismo de grupo (Teorema 2.3.9, página 49). La Propiedad universal del grupo cociente (página 50) demuestra que el grupo cociente trasciende a su construcción: todo lo que hay que saber acerca de la construcción ya está contenido en la propiedad universal. Así, la primera muestra de la potencia de la universalidad del cociente la obtenemos en el (Primer) Teorema de isomorfía (página 51) y el Teorema chino de los restos (página 52). Acabamos el tema estudiando el grupo de las permutaciones de n elementos. El objetivo primordial de esta sección es la construcción del Grupo alternado (página 55) y la demostración de que toda permutación descompone en producto de ciclos disjuntos (Teorema 2.4.8, página 55), resultados ambos fundamentales en la asignatura Algebra I para demostrar la imposibilidad de la resolución por radicales de las ecuaciones polinómicas de grado mayor o igual que cinco. La importancia e interés por los grupos de simetría se pone de manifiesto con el Teorema de Cayley (página 57) que pone fin a este tema. Los objetivos/compentencias que se persiguen conseguir en este tema son: Conocer y comprender las nociones de grupo, subgrupo, morfismo de grupos y núcleo e imagen de un morfismo de grupos y sus propiedades más relevantes. Saber construir el grupo cociente y conocer las propiedades que lo caracterizan. Conocer y saber aplicar el Primer teorema de isomorfía. 36

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Ser capaz de operar con permutaciones y simetrías. Consideraciones metodológicas: Se ha añadido la última sección para mostrar un ejemplo importante de grupo no abeliano. Por tanto, el nivel del detalle con que se imparta está subordinado a las condiciones particulares de cada curso, pudiendo incluso posponerse totalmente a la asignatura Álgebra I sin que afectase a la integridad de esta asignatura. Así mismo, se podría omitir el Teorema chino de los restos de la teoría, en este caso, se recomienda proponer ejercicio. Pues hay que tener presente que puede necesitarse para demostrar la multiplicabilidad de la función indicatriz de Euler en el siguiente tema, y además, facilita la compresión del Teorema chino de los restos para anillos. Nota histórica: El desarrollo de la Teoría de Grupos (http://www-history.mcs. st-andrews.ac.uk/HistTopics/Development_group_theory.html).

2.1.

Grupos y subgrupos

2.1.1.

Definición de grupo. Ejemplos

Definición 2.1.1. Sea X un conjunto. Llamaremos operación (o ley de composición interna) en X a toda aplicación X × X −→ X. Representaremos las operaciones con los símbolos + , · , ∗ , etc., en cuyo caso la imagen de cada pareja (x, y) ∈ X × X se denotará respectivamente x + y , x · y , x ∗ y , etc. La suma y el producto de números naturales, enteros, racionales, reales y complejos son operaciones en N, Z, Q, R y C, respectivamente. Mientras que la diferencia de números naturales y el cociente de números enteros no lo son. ·

Axiomas de grupo: Un grupo es un conjunto G y una operación G × G −→ G que verifica las siguientes condiciones: (G1) (Propiedad asociativa): Para todo a, b, c ∈ G. a · (b · c) = (a · b) · c (G2) (Existencia de elemento neutro): Existe un elemento en G, que se llama elemento neutro y se denota 1, tal que 1·a = a·1 = a para todo a ∈ G. (G3) (Existencia de inversos): Si a ∈ G, entonces existe un elemento a−1 ∈ G, llamado elemento inverso de a, tal que a · a−1 = a−1 · a = 1 37

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El orden de un grupo (G, ·) es el cardinal1 de G. Se dice que (G, ·) es un grupo finito si tiene orden finito, es decir, si |G| < ∞. Ejemplo 2.1.2. Si (G, ·) es un grupo finito, la operación · : G × G → G se puede describir mediante una “tabla de multiplicar”; por ejemplo, la siguiente tabla: · 1 2 3 4 5 6

1 1 2 3 4 5 6

2 2 1 6 5 4 3

3 3 5 1 6 2 4

4 4 6 5 1 3 2

5 5 3 4 2 6 1

6 6 4 2 3 1 5

define una estructura de grupo en G = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, mediante la operación i · j = elemento (i, j)−ésimo de la tabla. No todas las “tablas de multiplicar” definen una estructura de grupo, aquellas que sí lo hacen se conocen como tablas de Cayley. Notas 2.1.3. Sean a, b, c, . . . elementos de un grupo (G, ·). El elemento neutro es necesariamente único, pues si e fuera otro elemento neutro tendríamos e = e · 1 = 1. Si a · b = 1, entonces a−1 = a−1 · 1 = a−1 · (a · b) = (a−1 · a) · b = 1 · b = b, de donde se deduce que el elemento inverso de a es único. Obsérvese que (G1) afirma que a · b · c está bien definido. En efecto, si calculamos primero a·b y luego (a·b)·c, obtendremos el mismo resultado que si calculamos (b · c) y luego a · (b · c). De hecho, de (G1) se deduce que a1 · · · an , ai ∈ G, está bien definido. −1 El elemento inverso de a1 · · · an es a−1 n · · · a1 . El producto de a consigo mismo n veces lo denotaremos an , el producto de a−1 consigo mismo n veces lo denotaremos a−n y convendremos que a0 = 1 es el elemento neutro de (G, +). Es claro que se verifican las reglas usuales: am an = am+n ,

an


m

= anm , para todo m, n ∈ Z.

1 El cardinal de un conjunto finito X es el número de elementos de X y se denota |X| . En general, aunque los conjuntos sean infinitos, se dice que dos conjuntos tienen el mismo cardinal si existe alguna biyección entre ellos. Los conjuntos numerables son los que tienen el mismo cardinal que el conjunto de los números naturales N.

38

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(G3) implica la ley de cancelación: a · c = b · c ⇒ a = b,

c·a = c·b ⇒ a = b

(basta multiplicar a derecha o a izquierda por c−1 ). Definición 2.1.4. Sea (G, ·) un grupo. Diremos que G es un grupo abeliano si verifica (G4) (Propiedad conmutativa): a·b = b·a para todo a, b ∈ G; en este caso, a menudo denotaremos + la operación del grupo, 0 el elemento neutro y −a el único elemento de G tal que a + (−a) = 0 (y lo llamaremos elemento opuesto en vez de elemento inverso). Así mismo, pondremos na en lugar de an . El conjunto de los números enteros con la suma, (Z, +), es el ejemplo básico de grupo abeliano. Ejemplos 2.1.5. i) (Q, +), (R, +) y (C, +) son grupos abelianos que llamaremos habitualmente grupo aditivo de los racionales, grupo aditivo de los reales y grupo aditivo de los complejos, respectivamente. ii) El conjunto R+ de los números reales positivos con el producto es un grupo abeliano. También lo es el conjunto {1, −1} con el producto. Los números complejos no nulos, con el producto de números complejos, forman un grupo abeliano. iii) Las sucesiones de números enteros (racionales, reales o complejos), con la suma de sucesiones, forman un grupo abeliano. iv) Las funciones reales de variable real (las aplicaciones de R en R), con la suma de funciones, forman un grupo abeliano. v) Dados dos números naturales positivos m y n, las matrices de m filas y n columnas con coeficientes reales, con la suma de matrices, forman un grupo abeliano. vi) Dado un número natural positivo n, las matrices cuadradas de n filas con coeficientes reales y determinante no nulo, con el producto de matrices, forman un grupo que se llama grupo lineal general n−ésimo sobre R y se denota GLn (R). Si E es un espacio R−vectorial, el conjunto de los automorfismos de E, con la composición, forma un gupo GL(E) que se llama grupo lineal general de E. vii) Si un grupo sólo tiene un elemento, es el neutro, por lo que tal grupo se denota 1 ó 0, según que la operación se denote multiplicativamente o aditivamente. viii) Los movimientos de un plano (las aplicaciones biyectivas del plano en sí mismo que conserven las distancias), con la composición de aplicaciones, forman un grupo no abeliano. Análogamente, los movimientos del espacio, con la composición de aplicaciones, forman un grupo no abeliano. 39

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Ejemplo 2.1.6. Si (G, ·) y (G0 , ◦) son dos grupos, su producto directo G × G0 , con la operación (a, a0 ) ∗ (b, b0 ) = (a · b, a0 ◦ b0 ) es un grupo, que es abeliano si y sólo si G y G0 son abelianos. Ejemplo 2.1.7. Sea σ : X → Y una aplicación biyectiva. Si y ∈ Y, existe un único elemento x ∈ X tal que y = σ (x), elemento que denotaremos σ −1 (x). Obtenemos así una aplicación σ −1 : Y → X que también es biyectiva y verifica que σ −1 ◦ σ es la identidad de X y σ ◦ σ −1 es la identidad de Y. Por tanto, el conjunto de todas las biyecciones de un conjunto no vacío X en sí mismo, con la composición de aplicaciones, es un grupo cuyo elemento neutro es la identidad de X. Este grupo se llama grupo de biyecciones de X y se denota Biy(X). El grupo de biyecciones de X sólo es abeliano cuando X tiene 1 ó 2 elementos. Ejemplo 2.1.8. Si X es un conjunto con un número finito n de elementos, su grupo de biyecciones se denota Sn y se llama grupo simétrico n-ésimo. Sus elementos también reciben el nombre de permutaciones de n elementos. Supongamos que n ≥ 2. Numerando los elementos de X podemos suponer que X = {1, 2, . . . , n}, así que una permutación σ ∈ Sn puede denotarse de la siguiente forma: 

1 a1

... n . . . an

2 a2



donde ai = σ (i). Con esta notación es evidente que el orden del grupo simétrico Sn es el factorial n · (n − 1) · · · 2 · 1 = n! Nota 2.1.9. A partir de ahora, habitualmente omitiremos la operación cuando nos refiramos a un grupo; así, diremos “sea G un grupo” en lugar de decir “sea (G, ·) un grupo”. Además, cuando no haya riesgo de confusión, escribiremos ab en lugar de a · b.

2.1.2.

Subgrupos

Definición 2.1.10. Sea G un grupo. Diremos que un subconjunto no vacío H de G es un subgrupo de G cuando verifique las siguientes condiciones: (S1) La operación de G induce una operación en H, es decir, a, b ∈ H ⇒ ab ∈ H. (S2) El inverso de cualquier elemento de H está en H, es decir, a ∈ H ⇒ a−1 ∈ H. 40

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Por tanto, si H es un subgrupo de un grupo G, la operación de G define en H una estructura de grupo. Obsérvese que si H es un subgrupo de un grupo G, entonces 1 ∈ H; en efecto, dado a ∈ H (existe pues H 6= ∅), por (S2), se tiene que a−1 ∈ H y, por (S1), 1 = a a−1 ∈ H. Ejemplos 2.1.11. i) Todo grupo G admite los subgrupos {1} y G, llamados subgrupos triviales. Un subgrupo de G se dice propio cuando es distinto de G. ii) Z, Q y R son subgrupos del grupo aditivo de los números complejos. iii) Los números racionales no nulos, los números reales positivos son subgrupos del grupo multiplicativo de los números complejos no nulos. iv) Las sucesiones de Cauchy y las sucesiones convergentes a 0 forman sendos subgrupos del grupo aditivo de todas las sucesiones de números racionales. v) Las funciones derivables y las funciones continuas forman sendos subgrupos del grupo aditivo de todas las funciones reales de variable real. vi) Las matrices ortogonales (tales que A AT =I) y las matrices unimodulares (con determinante 1) de orden n forman sendos subgrupos de GLn (R). vii) Las filas de la tabla del Ejemplo 2.1.2, vistas como permutaciones, forma un subgrupo de S6 . viii) Las permutaciones σ de n puntos dados en un plano que conserven distancias (es decir, tales que la distancia entre P y Q coincida con la distancia entre σ P y σ Q) forman un subgrupo de Sn , llamado grupo de simetría de la figura dada. Así, el grupo de simetría de un triángulo equilátero de vértices P1 , P2 , P3 es claramente S3 .

Si el triángulo es isósceles y P1 es el vértice común de los dos lados iguales, el grupo de simetría es {Id, (23)}, mientras que el grupo de simetría se reduce a la identidad cuando el triángulo es escaleno. ix) Si en un conjunto X tenemos una estructura definida por ciertas relaciones entre elementos de X, las biyecciones X → X que conserven tales relaciones forma41

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rán siempre un subgrupo del grupo de todas las biyecciones de X en X. Tal grupo exhibe las simetrías de la estructura de X y su determinación forma parte esencial del estudio de la estructura en cuestión. En el estudio de cualquier estructura (matemática, física, musical,...) subyace siempre un grupo: el grupo de todos los automorfismos o simetrías de tal estructura. Ejemplo 2.1.12. Sea n un número entero. El conjunto formado por todos los múltiplos de n, nZ = {a ∈ Z | a = nb para algún b ∈ Z}, es un subgrupo de Z. Proposición 2.1.13. La intersección de cualquier familia de subgrupos de un grupo G también es un subgrupo de G. Demostración. Sea {Hi }i∈I una familia de subgrupos de G y H = ∩i Hi . Es claro que H 6= ∅, 1 ∈ Hi para todo índice i. Por otra parte, si a ∈ H, entonces a ∈ Hi y a−1 ∈ Hi para todo índice i ∈ I; luego a−1 ∈ H y se cumple (S2). Finalmente, si a, b ∈ H, entonces a, b ∈ Hi y ab ∈ Hi para todo índice i ∈ I; luego ab ∈ H y se cumple (S1). Así se concluye que H es un subgrupo de G. Corolario 2.1.14. Si X es un subconjunto de un grupo G, la intersección de todos los subgrupos de G que contienen a X es un subgrupo de G. Demostración. Es consecuencia directa de la proposición anterior. El subgrupo del corolario anterior se denota hXi y se llama subgrupo generado por X; también se dice que X es un sistema de generadores de hXi; si, además, X es finito, entonces se dice el grupo es finito generado. El subgrupo hXi de G generado por X es un subgrupo de G que contiene a X y que está contenido en cualquier otro subgrupo de G que contenga a X, es decir, es el menor subgrupo de G que contiene a X. Por ejemplo, el subgrupo de Z generado por un número entero n es nZ = {a ∈ Z : a = bn para algún b ∈ Z} y el subgrupo de Z generado por dos números enteros m, n es mZ + nZ = {x ∈ Z | x = am + bn; a, b ∈ Z}. Recuérdese que, por el Corolario 1.1.5, mZ + nZ = dZ, donde d = mcd(n, m). 42

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2.2.

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Morfismos de grupos

Definición 2.2.1. Diremos que una aplicación f : (G, ·) → (G0 , ∗) entre dos grupos es un morfismo de grupos cuando para todo a, b ∈ G se verifique f (a · b) = f (a) ∗ f (b) Diremos que un morfismo de grupos f : G → G0 es un isomorfismo de grupos2 si existe un morfismo de grupos g : G0 → G tal que f ◦ g es la identidad de G0 y g ◦ f es la identidad de G, en cuyo caso diremos que tal morfismo g (que claramente es único, pues es la aplicación inversa de f ) es el morfismo inverso de f y lo denotaremos f −1 . Llamaremos automorfismos de un grupo G a los isomorfismos de G en G. Los morfismos de grupo conservan el neutro y los inversos: f (1) = 1,

f (a−1 ) = f (a)−1

porque f (1) = f (1 · 1) = f (1) f (1) implica que f (1) = 1 y 1 = f (1) = f (aa−1 ) = f (a) f (a−1 ) implica que f (a−1 ) es el inverso de f (a). Ejemplos 2.2.2. i) Si H es un subgrupo de un grupo G, la inclusión i : H ,→ G, i(a) = a, es un morfismo de grupos inyectivo y su imagen es H. ii) Si G es un grupo, existe un único morfismo de grupos 1 → G, que es inyectivo, y un único morfismo de grupos G → 1, que es epiyectivo. iii) Si G y G0 son dos grupos, las proyecciones G × G0 → G y G × G0 → G0 son morfismos de grupos. También lo es la aplicación i : G → G × G0 ; a = (a, 1). iv) El conjunto de los números reales no nulos, con la multiplicación, forma que un grupo que se llama grupo multiplicativo de R y se denota R× . Así, el determinante | − | : GLn (R) −→ R× es un morfismo de grupos. v) Sean E un C−espacio vectorial de dimensión n y B un base de E. La aplicación GL(E) → GLn (R) que asigna a cada automorfismo de E su matriz respecto de B es un isomorfismo de grupos. vi) El logaritmo neperiano ln : (R+ , ·) → (R, +) es un isomorfismo de grupos y el isomorfismo inverso es la función exponencial et : (R, +) → (R+ , ·). 2 Los isomorfismos cambian los elementos de los grupos, pero respetan la operación, de modo que cualquier afirmación que se refiera sólo a la estructura de grupo (es decir, que se enuncie únicamente con la operación del grupo) es simultáneamente cierta o falsa en ambos grupos. Si dos grupos son isomorfos, tienen las mismas propiedades en la teoría de grupos.

43

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vii) Sea G un grupo. El conjunto Aut(G) de todos los automorfismos de G, con la composición de aplicaciones, es un grupo. Cada elemento a ∈ G define una aplicación κa : G → G, κa (x) = axa−1 , que es un automorfismo de G. Obtenemos así una aplicación κ : G → Aut(G), a 7→ κa , que es morfismo de grupos. Diremos que dos elementos x, y de G son conjugados si existe a ∈ G tal que y=axa−1 . Dos elementos conjugados tienen las mismas propiedades en teoría de grupos, porque κa : G → G, κa (x) = axa−1 , es un automorfismo del grupo G. Proposición 2.2.3. Si f : G → G0 y g : G0 → G00 son morfismos de grupos, entonces su composición g ◦ f : G → G00 también es un morfismo de grupos. Demostración. Para todo par de elementos a, b ∈ G tenemos que (g ◦ f )(ab) = g( f (ab)) = g( f (a) f (b)) = g( f (a)) g( f (b)) = (g ◦ f )(a)(g ◦ f )(b)

Definición 2.2.4. Si f : G → G0 es un morfismo de grupos, diremos que ker( f ) = {a ∈ G | f (a) = 1} im( f ) = {x ∈ G0 | x = f (a), para algún a ∈ G} son el núcleo y la imagen de f respectivamente. La imagen de f está formada por todos los elementos b ∈ G0 tales que la ecuación f (x) = b tiene alguna solución x ∈ G. Si la operación de G0 se denota aditivamente, el núcleo de f está formado por las soluciones de la ecuación homogénea f (x) = 0. Ejemplos 2.2.5. i) Sean a, b ∈ Z. La aplicación f : Z2 → Z, f (x, y) = ax + by, es un morfismo de grupos. Su imagen está formada por todos los números enteros c tales que la ecuación ax + by = c tiene alguna solución entera, y su núcleo está formado por las soluciones enteras de la ecuación ax + by = 0. En general, cada matriz (ai j ), de m filas y n columnas con coeficientes enteros, define una aplicación f : Zn −→ Zm f (x1 , . . . , xn ) = (∑ j a1 j x j , . . . , ∑ j am j x j ) que es un morfismo de grupos. El núcleo de f está formado por todas las soluciones enteras del sistema homogéneo de ecuaciones lineales ∑nj=1 ai j x j = 0 , 44

i = 1, . . . , m

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y la imagen de f está formada por las sucesiones (b1 , . . . , bm ) de números enteros tales que el siguiente sistema de ecuaciones lineales tiene alguna solución entera: ∑nj=1 ai j x j = bi , i = 1, . . . , m (*) Las afirmaciones anteriores siguen siendo válidas si Z se reemplaza por Q, R o C. ii) Sea A el grupo de las funciones de R en R que tienen derivadas de todos los órdenes en cualquier punto. La derivada D : A → A es un morfismo de grupos. Si f0 , f1 , . . . , fn ∈ A, la aplicación T :A→A

,

T (y) = f0 y + f1 y0 + f2 y00 + . . . + fn y(n)

es un morfismo de grupos. Su núcleo está formado por las soluciones en A de la ecuación diferencial homogénea f0 y + f1 y0 + f2 y00 + . . . + fn y(n) = 0 y su imagen está formada por todas las funciones g ∈ A tales que la siguiente ecuación diferencial tiene alguna solución y ∈ A : f0 y + f1 y0 + f2 y00 + . . . + fn y(n) = g. Ejemplo 2.2.6. Sea C× el grupo de los números complejos no nulos con el producto. La aplicación eit : R → C× , eit := cos(t) + i sen(t), es un morfismo de grupos porque ei(t+s) = eit eis . Su imagen son los números complejos de módulo 1 y su núcleo está formado por las soluciones de la ecuación eit = 1, que son los múltiplos enteros de 2π. Proposición 2.2.7. Si f : G → G0 es un morfismo de grupos, entonces (a) f es inyectivo si, y sólo si, ker( f ) = 1 (elemento neutro de G). (b) f es isomorfismo si, y sólo si, f es biyectivo. Demostración. (a) La implicación directa es inmediata. En cuanto a la recíproca, si ker( f ) = 1 y f (a) = f (b), entonces f (a−1 b) = 1; luego a−1 b = 1 y a = b. (b) La implicación directa es inmediata. En cuanto a la recíproca, si f es biyectivo, entonces existe la aplicación inversa f −1 tal que f ◦ f −1 y f −1 ◦ f son la identidad de G0 y G respectivamente, así que bastará comprobar que f −1 es morfismo de grupos. Ahora bien, f −1 (xy) = f −1 (x) f −1 (y) porque f es inyectivo y además



f f −1 (x) · f −1 (y) = f f −1 (x) · f f −1 (y) = x · y = f f −1 (xy) . Proposición 2.2.8. Sea f : G → G0 un morfismo de grupos. 45

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(a) Si H es un subgrupo de G, entonces f (H) := {y ∈ G0 | y = f (a) para algún a ∈ H} es un subgrupo de G0 . (b) Si H 0 es un subgrupo de G0 , entonces f −1 (H 0 ) := {a ∈ G | f (a) ∈ H 0 } es un subgrupo de G0 . En particular im( f ) es un subgrupo de G y ker( f ) es un subgrupo de G. Demostración. (a) Veamos primero que f (H) es un subgrupo de G : Es claro que 1 ∈ f (H) porque f (1) = 1 y 1 ∈ H. Por otra parte, si x, y ∈ f (H), entonces existen a, b ∈ H tales que x = f (a), y = f (x). Luego xy = f (ab) ∈ f (H), porque ab ∈ H, y x−1 = f (a−1 ) ∈ f (H) porque a−1 ∈ H. (b) Veamos ahora que f −1 (H 0 ) es un subgrupo de G : Es claro que 1 ∈ f −1 (H 0 ), porque f (1) = 1 ∈ H 0 . Por otra parte, si a, b ∈ f −1 (H 0 ), entonces f (ab) = f (a) f (b) ∈ H 0 y se sigue que su producto ab ∈ f −1 (H 0 ). Además, si a ∈ f −1 (H 0 ), entonces f (a−1 ) = f (a)−1 ∈ H 0 y se sigue que su inverso a−1 ∈ f −1 (H 0 ). Para probar la última observación basta observar que im( f ) = f (G) y que ker( f ) = f −1 (1).

2.3.

Grupo cociente

2.3.1.

Índice de un subgrupo. Teorema de Lagrange.

Dado un subconjuto X de un grupo G y un elemento a ∈ G, tenemos aX = {ax | x ∈ X}

y

Xa = {xa | x ∈ X},

es decir, los trasladados por a de X por la izquierda y por la derecha, respectivamente. Debido a la asociatividad (G1), a(bS) = (ab)S, de modo que podemos denotar este conjunto por abS sin ninguna ambigüedad. Cuando H es un subgrupo de G, los conjuntos de la forma aH se llaman clases a izquierda de H en G, y los conjuntos de la forma aH se llaman clases a derecha de H en G. Obsérvese que, como 1 ∈ H, se tiene que aH = H ⇐⇒ a ∈ H ⇐⇒ H = aH. En general, las clases de H en G no son subgrupos de G. Ejemplo 2.3.1. Sean G = (R2 , +) y H un subespacio de dimensión 1 (por ejemplo H = {(a, a) | a ∈ R}). Las clases (a izquierda o a derecha, pues G es abeliano) de H en G son las rectas P + H paralelas a H. 46

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Proposición 2.3.2. Sea H un subgrupo de un grupo G. (a) Un elemento a ∈ G está en una clase a izquierda C de H si y sólo si C = aH (b) Dos clases a izquierda de H o son iguales o son disjuntas. (c) aH = bH si y sólo si a−1 b ∈ H (d) Cualesquiera dos clases a izquierda de H tienen el mismo cardinal. Demostración. (a) Obviamente a ∈ aH. Recíprocamente, si a está en una clase a izquierda C = bH, entonces a = bh para algún h ∈ H, de donde se sigue que aH = bhH = b(hH) = bH = C. (b) Si C y C0 no son disjuntas, existe a ∈ C ∩C0 , luego, por el apartado (a), C = aH 0 y C = aH. (c) Si a−1 b ∈ H, entonces H = a−1 bH, y por tanto, aH = aa−1 bH = bH. Recíprocamente, si aH = bH, entonces H = a−1 bH y por lo tanto a1− b ∈ H. (d) La aplicación τba−1 : aH → bH; x 7→ ba−1 x es biyectiva. Obsérvese que (a)+(b) es equivalente a decir que cada elemento de G pertenece a una única clase a izquierda de H. Luego, las clases a izquierda de H en G forman una partición de G; además, si denotamos G/H el conjunto de todas clases a izquierda de H en G, entonces la aplicación π : G −→ G/H = {aH | a ∈ G}; a 7−→ aH

(2.1)

está bien definida y es epiyectiva. La aplicación π : G −→ G/H se llama proyección canónica. De este modo fijamos una nueva noción de “igualdad” entre los elementos de G : Dos elementos a y b ∈ G son “iguales”, a ≡ b, cuando aH = bH. Esta noción de “igualdad” es una relación de equivalencia (veáse la página 31). En ocasiones escribiremos [a] para denotar la clase a izquierda aH. Ejemplo 2.3.3. Sea n un número natural positivo. La relación de equivalencia que el subgrupo nZ define en Z es la relación de congruencia módulo n de la Sección 1.2; pues, por la Proposición 2.3.2(c), se tiene que (¡atención, notación aditiva!): a + nZ = b + nZ ⇔ b − a ∈ nZ. Luego, del Corolario 1.2.2 se sigue que el conjunto Z/nZ tiene exactamente n elementos, concretamente: Z/nZ = {[1]n := 1 + nZ, [2]n := 2 + nZ, . . . , [n]n := nZ := [0]n }, pues a y b ∈ Z están en la misma en la misma clase a izquierda de nZ si y solo si tiene el mismo resto la dividir por n. 47

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Definición 2.3.4. Sea H un subgrupo de un grupo G. Llamaremos índice de H en G, [G : H], al número de clases a izquierda de H en G. Dicho de otro modo, [G : H] es el cardinal del conjunto G/H; en símbolos: [G : H] = |G/H|. Por ejemplo, [G : 1] es el orden de G. Teorema de Lagrange. Si G es finito, entonces [G : 1] = [G : H][H : 1], En particular, el orden de un subgrupo de un grupo finito divide al orden del grupo. Demostración. Las clases a izquierda de H en G forman una partición de G, hay [G : H] de ellas, y cada una tiene [H : 1] elementos. Nota 2.3.5. Sean X un subconjunto de G y X −1 = {g−1 | g ∈ X}. Entonces (aH)−1 es la clase a derecha Ha−1 y (Ha)−1 = a−1 H. Por tanto, X 7→ X −1 define una correspondencia biyectiva entre las clases a izquierda y las clases a derecha: aH ↔ Ha−1 . De donde se sigue que todos los resultados anteriores son igualmente válidos para las clases a derecha; en particular, [G : H] también es el número de clases a derecha de H en G. Sin embargo, en general, una clase a izquierda no tiene por qué ser una clase a derecha. De hecho, si bH = Ha, entonces a = 1 · a ∈ bH y, por la Proposición 2.3.2, bH = aH. De donde se sigue que la condición necesaria y suficiente para que una clase a izquierda sea clase a derecha es que aH = Ha, es decir, aHa−1 = H.  1 n
| n ∈ Z . Entonces H es un 0 1 5 0
, entonces 0 1

Ejemplo 2.3.6. Sean G = GL2 (Q), y H = subgrupo de G; de hecho H ∼ = Z. Si a =  a

1 n 0 1



a−1 =



5 0

0 1



1 0

n 1



1 5

0

0 1



 =

1 0

5n 1

 .

Luego aHa−1 ( H y concluimos que aH es una clase a izquierda que no lo es a derecha. 48

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2.3.2.

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Construcción del grupo cociente

Sea N un subgrupo de un grupo G. Veamos cuándo existe una única estructura de grupo en el conjunto de clases G/N tal que la proyección canónica π : G → G/N sea morfismo de grupos. En tal caso N = {a ∈ G | π(a) = π(1)} sería el núcleo del morfismo π, así que verificaría la siguiente condición: Definición 2.3.7. Sea N un subgrupo de un grupo G. Diremos que N es un subgrupo normal de G, N E G, cuando aNa−1 ⊆ N para todo a ∈ G; es decir: n ∈ N, a ∈ G ⇒ ana−1 ∈ N Nótese que Si un grupo G es abeliano, todo subgrupo de G es normal en G. Todo subgrupo de índice 2 es normal. La condición aNa−1 ⊆ N para todo a ∈ G, implica que aHa−1 = H. Luego, un subgrupo H de un grupo G es normal si y sólo si toda clase a izquierda de N en G es una también clase a derecha. Proposición 2.3.8. Sea f : G → G0 un morfismo de grupos. El núcleo de f es un subgrupo normal de G. Demostración. Si x ∈ ker( f ), entonces f (axa−1 ) = f (a) · 1 · f (a)−1 = 1 para todo a ∈ G, y se concluye que axa−1 ∈ ker( f ). La proposición 2.3.8 y el siguiente teorema demuestran que los subgrupos normales son exactamente los núcleos de los morfismo de grupos. Teorema 2.3.9. Si N es un subgrupo normal de un grupo G, existe una única operación en conjunto de clases G/N tal que la proyección canónica π : G → G/N es morfismo de grupos. Además, N = ker(π). El conjunto G/N, con esa estructura, se llama grupo cociente de G por N y también se denota G/N. Demostración. Si x, y ∈ G/N, definimos x · y = π(ab), donde a, b ∈ G, x = π(a), y = π(b) : aN · bN = abN. Para ver que así tenemos definida una operación en G/N es necesario probar que x · y no depende de los representantes a, b elegidos, es decir, si a0 , b0 ∈ G y x = a0 N, y = b0 N, entonces a0 b0 N = abN : Si a0 N = aN y b0 N = bN, existen n1 , n2 ∈ N tales que a0 = an1 y b0 = bn2 ; luego a0 b0 = an1 bn2 . Como N es un subgrupo normal de G, se tiene que n3 = b−1 n1 b ∈ N y n1 b = bn3 . Luego a0 b0 = abn3 n2 ∈ abN y concluimos que a0 b0 N = abN. Veamos ahora que esta operación define en G/N una estructura de grupo: 49

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(a) Se verifica la propiedad asociativa: (aN · bN) · cN = abN · cN = (ab)cN = a(bc)N = aN · bcN = aN · (bN · cN). (b) G/N tiene un elemento neutro, que es el 1N = N : aN · 1N = (a · 1)N = aN

y

1N · aN = (1 · a)N = aN.

(c) Cada elemento aN ∈ G/N tiene un elemento inverso, que es a−1 N : aN · a−1 N = (a · a−1 )N = 1N

y

a−1 N · aN = (a−1 · a)N = 1N

Además, π es un morfismo de grupos porque, por definición de la operación tenemos π(a) · π(b) = aN · bN = abN = π(ab) para todo a, b ∈ G. Por otra parte, si ∗ es otra operación en G/N tal que π : G → (G/N, ∗) es un morfismo de grupos, para todo aN, bN ∈ G/N tenemos que aN · bN = π(a) · π(b) = π(ab) = π(a) ∗ π(b) = aN ∗ bN. Por último, ker(π) = {a ∈ G | π(a) = π(1)} = {a ∈ G | aN = N} = N. Nótese que, si G es un grupo abeliano, como todo subgrupo H de G es normal, el grupo cociente G/H también es abeliano. Ejemplo 2.3.10. Sea n un número natural. Como nZ es un subgrupo de Z, en el conjunto de clases Z/nZ tenemos una estructura de grupo abeliano que viene definida por la siguiente operación: (a + nZ) + (b + nZ) := (a + b) + nZ. El neutro de Z/nZ es 0 + nZ y el opuesto de cualquier elemento a + nZ es −a + nZ. Propiedad universal del grupo cociente. Sea N un subgrupo normal de un grupo G y sea π : G → G/N la proyección canónica. Si f : G → G0 es un morfismo de grupos tal que N ⊆ ker( f ) entonces existe un único morfismo de grupos φ : G/N → G0 tal que f = φ ◦ π : f - G0 G @ π  @ φ R @ G/N Demostración. Veamos primero la existencia de un morfismo de grupos φ : G/N → G0 tal que f = φ ◦ π. 50

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Si x ∈ G/N, existe algún a ∈ G tal que x = π(a) y definimos φ (x) = f (a). Veamos que φ es una aplicación de G/N en G0 (es decir, que φ (x) no depende del representante a ∈ G elegido) cuando N ⊆ ker f . Si aN = bN, entonces a ≡ b y a−1 b ∈ N ⊆ ker f ; luego 1 = f (a−1 b) = f (a)−1 f (b) y concluimos que f (a) = f (b). Por definición φ (π(a)) = f (a) para todo a ∈ G, así que f = φ ◦ π y para concluir basta probar que φ es morfismo de grupos. Si aN, bN ∈ G/N, entonces φ (aN · bN) = φ (π(ab)) = f (ab) = f (a) f (b) = φ (π(a))φ (π(b)) = φ (x)φ (y) Por último, si existiera otro morfismo de grupos ψ : G/N → G0 tal que f = ψ ◦ π, para todo aN ∈ G/N tendríamos que φ (a ker( f )) = f (a) = (ψ ◦ π)(a) = ψ(aN)

Teorema de isomorfía. Sea f : G → G0 un morfismo de grupos. La aplicación φ : G/ ker( f ) → im( f ); φ (aN) = f (a), es isomorfismo de grupos: G/ ker( f ) ' im( f )

Demostración. Sea ϕ : G → im( f ) el morfismo de grupos ϕ(a) = f (a). El núcleo de ϕ coincide con el de f , así que de la Propiedad universal del grupo cociente se sigue la existencia de un morfismo de grupos φ : G/ ker( f ) → im( f ) tal que φ (a ker( f )) = f (a). Veamos que φ es isomorfismo de grupos: φ es epiyectivo: Si x ∈ im( f ), existe a ∈ G tal que x = f (a) = φ (a ker( f )); luego x ∈ im/(φ ). φ es inyectivo: Si 1 = φ (a ker( f )) = f (a), entonces a ∈ ker( f ) y a ker( f ) = ker( f ). Es decir, ker(φ ) = 1 y, por la Proposición 2.2.7, φ es inyectivo.

Corolario 2.3.11. Si f : G → G0 es un morfismo de grupos epiyectivo, entonces el grupo G/ ker( f ) es isomorfo a G0 . Demostración. Es consecuencia directa del Teorema de Isomorfía, sin más que observar que f es epiyectivo cuando im( f ) = G0 . 51

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Teorema chino de los restos. Si m, n son números enteros primos entre sí, el morfismo de grupos Z/mnZ −→ (Z/mZ) × (Z/nZ); [a]mn 7→ ([a]m , [a]n ) es un isomorfismo. Demostración. Las proyecciones canónicas Z → Z/mZ y Z → Z/nZ son morfismos de grupos (véase el Ejemplo 2.2.2.iii) ), de modo que la aplicación f : Z → (Z/mZ) × (Z/nZ) ,

f (a) = ([a]m , [a]n )

es un morfismo de grupos. El núcleo de f es (mZ) ∩ (nZ) = nmZ, porque el mínimo común múltiplo de m y n es mn (véase la Proposión 1.1.1); así que, por el Corolario 2.3.11, basta probar que f es epiyectivo. Ahora bien, de acuerdo con el Teorema de isomorfía, el cardinal de im( f ) es el de Z/nmZ, que coincide con el de (Z/mZ) × (Z/nZ), y concluimos que el morfismo f es epiyectivo. Ejemplo 2.3.12. Si mcd(m, n) = 1, la aplicación φ : Z/nmZ −→ (Z/nZ) × (Z/mZ) ;

φ ([a]nm ) = ([a]n , [a]m )

es un isomorfismo de grupos. Es decir, para cada pareja de números enteros b, c, el sistema de congruencias  x ≡ b (mód. n) x ≡ c (mód. m) siempre tiene alguna solución entera, y ésta es única módulo nm : tal sistema de congruencias tiene una única solución 0 ≤ x < nm. Además, al ser φ inyectivo, la condición necesaria y suficiente para que dos números enteros sean congruentes módulo nm es que sean congruentes módulo n y módulo m.

2.4.

Grupo simétrico

El grupo simétrico Sn es el grupo de todas las permutaciones3 de un conjunto X con n elementos, con la estructura de grupo que define la composición de aplicaciones. Supondremos siempre que n ≥ 2. Nota 2.4.1. Numerando los elementos de X podemos suponer que X = {1, . . . , n}. El grupo simétrico de X no depende tal numeración. En efecto, dos numeraciones 3 Para

una introducción lúdica al grupo de permutaciones de un conjunto finito, véase

http://www.estalmat.unican.es/documentos/Segundo_Seminario_Estalmat/la_magia_ de_las_permutaciones_andalucia.pdf

52

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distintas definen una permutación τ de X; por tanto, si σ y σ 0 son permutaciones de X para una y otra numeración, respectivamente, se tiene que τσ τ −1 = σ 0 , es decir, son elementos conjugados, y se comprueba fácilmente que Sn → Sn ; σ 7→ τσ τ −1 es un automorfismo de grupos. La notación estándar de la permutación σ que envía i 7→ σ (i) = ai es 

1 a1

2 a2

3 a3

... n . . . an

3 3

4 1



Así, por ejemplo, el símbolo 

1 2

2 5

5 4



denota la permutación σ de X = {1, . . . , 5} que envía 1 7→ 2, 2 7→ 5, 3 7→ 3, 4 7→ 1 y 5 7→ 4, y la composición de σ y la permutación τ que envía 1 7→ 1, 2 7→ 4, 3 7→ 5, 4 7→ 2 y 5 7→ 3 se escribe: 

2.4.1.

1 1

2 4

3 5

4 2

5 3



1 2

2 5

3 3

4 1

5 4



 =

1 4

2 3

3 3

4 1

5 2



Signo de una permutación. Subgrupo alternado

Definición 2.4.2. Consideramos una permutación   1 2 3 ... n σ= σ (1) σ (2) σ (3) . . . σ (n) de Sn . Los pares (i, j) con i < j y σ (i) > σ ( j) se llaman inversiones de σ , y se dice que σ es par o impar el número de sus inversiones es par o impar, respectivamente. El signo, sign(σ ), de σ es +1 o −1 dependiendo de que σ sea par o impar. La identidad tiene signo positivo. Además, como n ≥ 2, siempre existe alguna permutación de signo negativo; por ejemplo, la que intercambia 1 y 2 y deja al resto fijos. Para calcular el signo de σ , conectamos (mediante una línea) cada elemento i de la fila de arriba con el elemento i de la fila de abajo, y contamos el número de veces que se cruzan las líneas: σ será par o impar según lo sea el número de cruces. Por ejemplo, 53

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2

3

4

5

3

5

1

4

2

es par (hay 6 intersecciones). Esto siempre funciona porque hay un cruce por cada inversión. Definición 2.4.3. Una transposición es una permutación que intercambia dos elementos y deja el resto de elementos fijos. Proposición 2.4.4. El signo de cualquier transposición es −1. Demostración. Si σ es la transposición que intercambia i y j (sin perdida de generalidad podemos suponer i < j), entonces hay 2( j − i) − 1 inversiones; concretamente las correspondientes a los pares (i, i + 1), . . . , (i, j), (i + 1, j), . . . , ( j − 1, j). Luego, σ es impar, y por lo tanto sign(σ ) = −1. Dada un permutación σ , consideramos los productos V=

∏

( j − i) y

σV =

1≤i< j≤n

∏

(σ ( j) − σ (i))

1≤i< j≤n

Los términos de ambas expresiones son los mismos, salvo que cada inversión introduce un cambio de signo. Por consiguiente, σV = sign(σ )V Proposición 2.4.5. La aplicación sign : Sn → {±1} es un morfismo de grupos. Demostración. Sea G el grupo aditivo de las aplicaciones Zn → Z. Para cada f ∈ G y σ ∈ Sn , sea σ f es elemento de G definido por (σ f )(z1 , . . . , zn ) = f (zσ (1) , . . . , zσ (n) ). Para cada σ , τ ∈ Σ, se tiene que σ (τ f )(z1 , . . . , zn ) = (τ f )(zσ (1) , . . . , zσ (n) ) = f (zτ(σ (1)) , . . . , zτ(σ (n)) ) = ((σ τ) f )(z1 , . . . , zn ); por tanto, σ (τ f ) = (σ τ) f .

(2.2)

Sea g ∈ G, tal que g(z1 , . . . , zn ) = ∏1≤i< j≤n (z j − zi ). Usando el mismo argumento que antes, podemos afirmar que σ p = sign(σ )p. 54

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Ahora, tomando f = p en la expresión (2.2) y usando que p 6= 0, concluimos que sign(σ )sign(τ) = sign(σ τ), es decir, que sign : Sn → {±1} es un morfismo de grupos. Las permutaciones pares de Sn forman un subgrupo normal de Sn ya que son los elementos del núcleo del morfismo de grupos sign : Sn → {±1}. Este subgrupo se denota An y recibe el nombre de subgrupo alternado. Por la Proposición 2.3.8, el grupo alternado An es un subgrupo normal de Sn . El índice de An en Sn es 2 porque Sn /An ' {±1}, por el Teorema de isomorfía; así que el Teorema de Lagrange permite concluir que el orden de An es n!/2.

2.4.2.

Ciclos. Forma de una permutación

Definición 2.4.6. Diremos que una permutación σ ∈ Sn es un ciclo de orden d si σ = (a1 . . . ad ) para ciertos elementos distintos a1 , . . . , ad ; d ≥ 2. Diremos que (a1 . . . ad ) y (b1 . . . bk ) de Sn son dos ciclos disjuntos cuando ai 6= b j para todo par de índices i, j. Nótese que las transposiciones son los ciclos de orden 2. Lema 2.4.7. Si dos ciclos σ y τ son disjuntos, entonces σ τ = τσ . Demostración. Si σ = (a1 . . . ad ) y τ = (b1 . . . bk ) , entonces las permutaciones σ τ y τσ coinciden en a1 , . . . , ad , b1 , . . . , bk y dejan fijos los restantes elementos. Teorema 2.4.8. Toda permutación σ ∈ Sn distinta de la identidad descompone en producto de ciclos disjuntos. Salvo el orden de los factores, esta descomposición es única. Demostración. Sea a1 un elemento tal que σ (a1 ) 6= a1 y consideremos el primer número positivo d tal que σ d (a1 ) = a1 (tal número d existe porque el orden de σ es finito). Sea ai = σ i (a1 ). Los números a1 , a2 , . . . , ad son todos distintos: si ai = a j y j > i, entonces σ j−i (a1 ) = a1 y 0 ≤ j − i ≤ d − 1, en contra de la elección del número d. Luego α1 = (a1 . . . ad ) es un ciclo que coincide con σ en a1 , . . . , ad ; pero no en los restantes elementos, si existen, que no queden fijos por σ . Ahora, la permutación (α1 )−1 · σ deja fijos a1 , . . . , ad y todos los elementos que σ deje fijos. Reiterando el proceso obtenemos ciclos disjuntos α1 , . . . , αr tales que (αr )−1 · · · (α1 )−1 · σ es la identidad. Luego σ = α1 · · · αr . 55

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Si existieran otros ciclos disjuntos β1 , . . . , βs tales que β1 · · · βs = σ = α1 · · · αr , cambiando de orden los factores si fuera preciso podemos suponer que β1 (a1 ) 6= a1 . En tal caso β1i (a1 ) = σ i (a1 ) = α1i (a1 ) para todo i ≥ 0 y concluimos que β1 = α1 . Luego β2 · · · βs = α2 · · · αr y reiterando el argumento concluimos que, después de reordenar los factores si fuera preciso, los factores β2 , . . . , βs coinciden con los ciclos α2 , . . . , αr . Por ejemplo, 

1 5

2 7

3 4

4 2

5 1

6 3

7 6

8 8

 = (15)(27634)(8)

Además, se puede comprobar que genera un grupo de orden mcm(2, 5) = 10. Corolario 2.4.9. Todo ciclo de orden d es producto de d −1 trasposiciones. Por tanto, toda permutación es producto de trasposiciones. Demostración. (a1 . . . ad ) = (a1 a2 )(a2 a3 ) · · · (ad−1 ad ) Corolario 2.4.10. Sea σ = τ1 · · · τm una descomposición de una permutación σ en producto de trasposiciones. Si sign(σ ) = 1, entonces m es par. Si sign(σ ) = −1, entonces m es impar. Demostración. sign(σ ) = sign(τ1 ) · · · sign(τm ) = (−1)m . Corolario 2.4.11. El subgrupo alternado An es el único subgrupo de Sn de índice 2. Demostración. En primer lugar observamos que si H ⊆ Sn tiene índice 2 entonces π : Sn → Sn /H ∼ = {−1, 1} es un morfismo de grupos (pues los subgrupos de índice 2 son normales); además, se comprueba fácilmente que π(σ ) = −1, para toda transposición σ ∈ Sn . Por tanto, si σ = τ1 · · · τm una descomposición de una permutación σ en producto de trasposiciones, por el corolario 2.4.10, π(σ ) = sign(σ ). Definición 2.4.12. Sea σ = α1 · · · αr la descomposición de una permutación σ 6= id en producto de ciclos disjuntos y denotemos di el orden de αi , 1 ≤ i ≤ r. El Lema 2.4.7 nos permite suponer que d1 ≥ d2 ≥ · · · ≥ dr y diremos que d1 , . . . , dr es la forma de la permutación σ . Proposición 2.4.13. El signo de toda permutación de forma d1 , . . . , dr es (−1)d1 +...+dr −r Demostración. Del Corolario 2.4.9 y la Proposición 2.4.5 se sigue directamente que el signo de todos los ciclos de orden d es (−1)d−1 . 56

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Proposición 2.4.14. Sean σ , τ ∈ Sn . La condición necesaria y suficiente para que σ y σ 0 sean conjugadas es que tengan la misma forma. Demostración. Sea σ = (a1 . . . ad1 )(b1 . . . bd2 ) · · · (c1 . . . cdr ). Si γ ∈ Sn y ponemos i0 := τ(i), tenemos que τσ τ −1 = (a01 . . . a0d1 )(b01 . . . b0d2 ) · · · (c01 . . . c0dr ). Obsérvese que de los resultados anteriores se deduce que la forma y el signo no dependen de la numeración de los elementos (véase la Nota 2.4.1).

2.4.3.

Teorema de Cayley

Teorema de Cayley. Sea G un grupo. Existe un homorfismo inyectivo canónico G −→ Biy(G).

Demostración. Dado a ∈ G, definimos τa : G → G como aplicación x → ax (llamada traslación a izquierda). Para cada, x ∈ G se cumple que (G1)

(τa ◦ τb )(x) = τa (τb (x)) = τa (bx) = a(bx) = (ab)x = τab (x), luego τab = τa ◦ τb . Como τ1 = id, se tiene que τa ◦ τa−1 = id = τa−1 ◦ τa y por tanto que τa es una biyección, es decir, τa ∈ Biy(G). Por consiguiente, G −→ Biy(G); a 7−→ τa es un morfismo de grupos, y es inyectivo por la Ley de cancelación. Corolario 2.4.15. Todo grupo finito de orden n es isomorfo a un subgrupo de Sn . Demostración. Basta tener en cuenta que las biyecciones de un conjunto finito de cardinal n es precisamente Sn (véase el Ejemplo 2.1.8). Ejemplo 2.4.16. Construyamos la tabla de multiplicar del grupo de simetría de un triángulo equilátero (véase el Ejemplos 2.1.11.viii)). En primer, para simplificar la notación, vamos a denotar los seis triángulos con los números del 1 al 6. A continuación observamos que aplicando al triánglo 3 la misma operación que hemos usado con al triángulo 1 para obtener el 2, se obtiene el triángulo 5 o que aplicando al triángulo 5 la misma operación que hemos usado con al triángulo 1 para obtener el 5, se obtiene el triángulo 6, así obtenemos que la tabla de multiplicar del grupo de simetría de un triángulo equilátero es precisamente la que define al grupo del Ejemplo 2.1.2. Lo que pone de manifiesto que ambos son necesariamente isomorfos. 57

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58

Tema 3

Grupos cíclicos Contenidos Descripción del contenido . . . . 3.1 Grupos cíclicos . . . . . . 3.2 Función indicatriz de Euler 3.3 Raíces de la unidad . . . .

. . . .

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59 60 64 66

Bibliografía principal: [6] Capítulos I (pp. 30-31), II (pp. 52-53), III (pp. 76-77) y Ejemplos y Ejercicios (pp. 223-224).

Descripción del contenido Aunque no es lo usual, hemos segregado los grupos cíclicos del tema de grupos. Si bien se trata de un ejemplo de grupo abeliano con perfecta cabida en el tema anterior, la naturaleza de este tema es diferente. De una parte, se trata del estudio detallado de Z y sus subgrupos y sus cocientes (equiparable, en cierto modo, al del polinomios en una variable). De otra parte, se muestra un primer ejemplo de lo que se entiende por un problema de clasificación en Teoría de Grupos. Y finalmente, se dota de entidad propia a los grupos cíclicos por su importancia en la clasificación de los grupos abelianos finito generados (que veremos al final de esta asignatura) y en los problemas de resolubilidad por radicales (que se estudirán en Álgebra I). La primera sección de este tema está organizada como sigue: tras la definición de grupo cíclico (página 60), se da la caracterización de los sugrupos de Z (página 61) y se introduce la noción de orden de un elemento (página 61) y se estudian sus propiedades. Estos ingredientes son suficientes para obtener la Clasificación de los grupos cíclicos (página 63). 59

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En la segunda sección se estudia la función indicatriz de Euler, que a cada n ∈ N asigna el número de generadores de cualquier grupo cíclico de orden n, o lo que es lo mismo, la cantidad de números naturales entre 1 y n que son primos con n. La indicatriz de Euler es un ejemplo de función aritmética multiplicativa; sin embargo, no es esta la faceta que más nos interesa de ella en esta asignatura. Para nosotros, la principal utilidad de la indicatriz de Euler será su aplicación en la congruencia de Euler (página 65) que será empleada más adelante para caracterizar los elementos irreducibles del Anillo de los enteros de Gauss o como ingrediente en la demostración de la irreducibilidad de los polinomios ciclotómicos, además de posibilitar la realización de ejercicios interesantes o introducir, a modo de curiosidad, el sistema criptográfico RSA. Acabamos el tema con las raíces de la unidad. Las raíces n−ésimas de la unidad forma un grupo cíclico (Teorema 3.3.2 página 67), lo que justifica suficientemente su inclusión en este tema, mostrándole además al estudiante (quizá por primera vez) la relación que existe entre los grupos y las soluciones de las ecuaciones polinómicas, y que materializará completamente en la Teoría de Galois (asignatura Álgebra I). La sección finaliza con la introducción de las raíces n−ésimas de la unidad primitivas (página 3.3.6) y mostrando algunas de sus propiedad. Hemos añadido una breve nota (que sobrepasa el marco de esta asignatura) donde se muestra una fórmula de la indicatriz de Euler en términos de sumas de raíces k−ésimas de la unidad primitiva, es decir, de funciones de Möbius. Los objetivos/compentencias que se persiguen conseguir en este tema son: Identificar, clasificar y saber generar grupos cíclicos. Conocer las propiedades más relevantes de los grupos cíclicos. Consideración metodológica: La función indicatriz de Euler y sus consecuencias no son fundamentales para esta asignatura, por tanto, su eliminación del programa no restaría coherencia a los argumentos principales. En todo caso, no debemos olvidar su relación con los contenidos de Álgebra I, ya citados arriba. Recurso on-line: Construcciones con reglas y compás de polígonos regulares con n lados (http://www.youtube.com/watch?v=LBgIWQcC6lM)

3.1.

Grupos cíclicos

Definición 3.1.1. Diremos que G es un grupo cíclico si está generado por alguno de sus elementos; es decir, si existe a ∈ G tal que hai = G, en cuyo caso diremos que a es un generador de G. Por definición, un grupo G es cíclico y a ∈ G es un generador cuando todo elemento de G es de la forma an para algún número entero n. Es claro que los grupos 60

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cíclicos son abelianos. Ejemplos 3.1.2. i) El grupo Z es cíclico y sus generadores son 1 y −1. ii) Si n ≥ 1, el grupo Z/nZ es cíclico, pues está generado por 1 + nZ. Ejemplo 3.1.3. Los giros que dejan invariante un cuadrado forman un grupo cíclico de orden 4.

En general, los giros que dejan invariante un polígono regular de n lados forman un grupo cíclico de orden n. Proposición 3.1.4. Todo subgrupo de un grupo cíclico es cíclico. Demostración. Sea G un grupo cíclico generado por a y H un subgrupo de G. Vamos a demostrar que existe un número natural n tal que H = han i. Si H = 1, tomamos n = 0. Si H 6= 1, en H existen elementos de la forma am con m > 0, porque el opuesto de cada elemento de H también está en H. Sea n el menor número positivo tal que an ∈ H; así que han i ⊆ H por ser H un subgrupo. Ahora bien, si am ∈ H, existen números enteros c y r tales que m = cn + r, 0 ≤ r ≤ n − 1 Luego ar = am−cn = am a−n


c

∈ H,

porque H es un subgrupo y am , an ∈ H. De acuerdo con la elección de n tenemos que r = 0. Se sigue que am ∈ han i y concluimos que H = han i. Caracterización de los subgrupos de Z. Si H es un subgrupo del grupo aditivo de los números enteros, entonces existe un único número natural n tal que H = nZ. Demostración. Como Z es cíclico y está generado por 1, por la Proposición 3.1.4, existe n ≥ 0 tal que H = nZ. Luego, sólo queda demostrar la unicidad del número natural que genera H. Si m y n son dos números naturales tales que H = mZ = nZ, entonces tendremos n = am, m = bn para ciertos a, b ∈ N. Luego n = a(bn) de modo que n(1 − ab) = 0 y concluimos que n = 0, en cuyo caso m = bn = 0, ó 1 = ab, en cuyo caso a = 1 y m = n. Luego, todos los subgrupos de Z, con la suma, son de la forma nZ. Definición 3.1.5. Llamaremos orden de un elemento a de un grupo G al orden del subgrupo que genera. El orden de un elemento puede ser infinito. 61

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El único elemento de orden 1 es el neutro del grupo. Si G es un grupo finito de orden n, la condición necesaria y suficiente para que sea cíclico es que tenga algún elemento de orden n. En tal caso, sus generadores son precisamente los elementos de orden n. El orden de cada elemento de un grupo finito divide al orden del grupo. En efecto, si a un elemento de un grupo finito G, el orden de hai, que es el orden de a, divide al orden de G por el Teorema de Lagrange. Ejemplos 3.1.6. i) El orden de la matriz 

0  1 0

0 0 1

 1 0  0

como elemento del grupo GL3 (R) es 3. ii) El orden de un ciclo de orden d es, precisamente, d. Proposición 3.1.7. Sea a un elemento de un grupo G. (a) Si a es de orden infinito, entonces an = am ⇔ n = m. En particular, an = 1 ⇔ n = 0. (b) Si a es de orden finito d, entonces an = am ⇔ n ≡ m m´od d. En particular, an = 1 ⇔ n ∈ dZ y d es el menor número natural no nulo d tal que ad = 1. Demostración. La aplicación fa : Z → G; n 7→ an es un homomorfismo de grupos. La de fa imagen es claramente hai y su núcleo es ker( fa ) = {n ∈ Z | an = 1}. Luego, por la Caracterización de los subgrupos de Z, existe r ∈ N tal que ker( fa ) = rZ. Además, por el Teorema de isomorfía, hai = im( fa ) ∼ = Z/ ker( fa ) = Z/rZ. Si el orden a es infinito, entonces r = 0 y ker( fa ) = 0. Luego, fa es inyectivo, que es lo afirma el apartado (a) del enunciado. Si, por el contrario, hai es subgrupo finito de orden d, entonces d = [hgi : 1] = [Z/rZ : 1] = r y del Teorema de isomorfía se sigue que fa (n) = fa (m) ↔ [n]a = [m]a ↔ n ≡ m m´od d, es decir, se verifica el apartado (b). Corolario 3.1.8. Si G es grupo finito de orden n, entonces an = 1, para todo a ∈ G. Demostración. En virtud del Teorema de Lagrange, n es múltiplo del orden hai, que es el orden de a, así que la Proposición 3.1.7 permite concluir que an = 1.

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Nota 3.1.9. Obsérvese que el orden de una permutación cualquiera de forma d1 , . . . , dr es el mínimo común múltiplo de d1 , . . . , dr . En efecto, si σ = α1 · · · αr es la descomposición de σ en producto de ciclos disjuntos, entonces σ i = α1i · · · αri . Luego σ i = 1 si y sólo si α1i = . . . = αri = 1. Clasificación1 de los grupos cíclicos. Sea G un grupo cíclico. (a) Si G es infinito, entonces G es isomorfo al grupo Z. (b) Si G es finito y su orden es m, entonces G es isomorfo a Z/mZ. Demostración. Sea a un generador de G. La aplicación fa : Z → G; fa (n) = gn , es un homomorfismo de grupos epiyectivo cuyo núcleo es ker( fa ) = {n ∈ Z | an = 1}. Por la Prpoposición 3.1.7, tenemos que ker( fa ) = 0 si G es infinito y ker( fa ) = mZ, si G es finito de orden m. Luego, el resultado buscado se sigue del Corolario 2.3.11. Este teorema de clasificación permite dar una nueva definición del concepto de suma de números enteros: Es la única2 operación que define una estructura de grupo cíclico infinito. Recuperamos así nuestra visión infantil de la suma, cuando no nos importaba qué sumábamos sino cómo sumábamos. Ejemplo 3.1.10. Si G tiene orden primo p, entonces todo elemento de G tiene orden 1 o p. Pero sólo el elemento neutro tiene orden 1, por tanto, cualquier otro elemento a ∈ G ha de tener orden p. De donde se sigue que G = hai y por lo tanto que G es un grupo cíclico. Luego, todo grupo de orden primo es cíclico y está generado por cualquier elemento distinto del neutro. Esto demuestra, por ejemplo, que salvo isomorfismo, sólo existe un grupo de orden 1000000007 (porque este número es primo). Proposición 3.1.11. Sea G = hai un grupo cíclico finito de orden n Entonces, ak es un generador de G si y sólo si k es primo con n. En particular, G tiene tantos generadores distintos como números naturales entre 1 y n que son primos con n.
n Demostración. Sea ak un generador de G. Como ak mcd(n,k) = 1, por la Proposición 3.1.7(b), n/mcd(n, k) ∈ nZ, es decir, mcd(n, k) = 1. Recíprocamente, si n y k son primos entre sí, entonces existen α y β ∈ Z tales que 1 = αn + β k, por el Corolario
β 1.1.6, además, por Corolario 3.1.8, (aα )n = 1. Luego, a = aαn+β k = (aα )n ak =
β ak ∈ hak i, y por tanto G = hai ⊆ hak i. De donde se sigue la igualdad buscada, porque hak i es un subgrupo de G. Finalmente, como, por la Proposición 3.1.7(b), ak = am ⇔ k ≡ m m´od d; concluimos que el número de generadores distintos de G es precisamente el de los números naturales entre 1 y n que son primos con n. 1 Se entiende que la clasificación es salvo isomorfismos. Clasificar grupos de cierto tipo significa dar una familia de tales grupos en la que no haya dos isomorfos y tal que cualquier grupo del tipo considerado sea isomorfo a uno de la familia. 2 o cualquier, tanto da, pues es única salvo isomorfismos.

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3.2.

Función indicatriz de Euler

Definición 3.2.1. Si n es un número natural mayor o igual que 2, ϕ(n) denotará la cantidad de números naturales entre 1 y n que son primos con n. Por convenio ϕ(1) = 1. Esta función ϕ se llama indicatriz de Euler. La indicatriz de Euler pertenece un tipo de funciones llamadas aritméticas,es decir, a las funciones reales o complejas definidas en los enteros positivos. Algunos valores de la indicatriz de Euler son: ϕ(2) = 1, ϕ(3) = 2, ϕ(4) = 2, ϕ(5) = 4, ϕ(6) = 2, ϕ(7) = 6, ϕ(8) = 4 ϕ(p) = p − 1 cuando p es primo Sea n es un número natural mayor o igual que 2 y consideremos el conjunto de los distintos generadores Z/nZ : {x ∈ Z/nZ | x = [m]n , mcd(m, n) = 1}. Este conjunto con el producto [a]n [b]n = [ab]n , tiene estructura de grupo abeliano y se denota (Z/nZ)× . Nótese que, por la Proposición 3.1.11, el orden de (Z/nZ)× es el indicatriz de Euler ϕ(n). Propiedades de la función indicatriz de Euler.
(a) Si p es un número primo y r ≥ 1, entonces ϕ(pr ) = pr 1 − 1p . (b) Si n y m son primos entre sí, entonces ϕ(n · m) = ϕ(n) · ϕ(m) Demostración. (a) Como los números primos con pr son justamente los que no son múltiplos de p, se tiene que p, 2p, . . . , pr−1 p son los únicos números entre 1 y pr que no son primos con pr . (b) Por el Teorema chino de los restos, Z/nmZ = (Z/nZ) × (Z/mZ). Luego, (Z/nZ) × (Z/mZ) es cíclico y sus generadores se corresponden con los de Z/nmZ. Por otra parte, cada generador de (Z/nZ) × (Z/mZ) define sendos generadores de Z/nZ y de Z/mZ, vía las correspondientes proyecciones canónicas. Recíprocamente, si [a]n genera Z/nZ y [b]m genera Z/nZ, entonces ([a]n , [b]m ) tiene orden mcm(n, n); pues mcd(a, n) = 1 y mcd(b, m) = 1. Pero mcd(n, m) = 1, de modo que mcm(n, m) = nm y concluimos que ([a]n , [b]m ) genera (Z/nZ) × (Z/mZ). Las funciones aritméticas que verifican la propiedad (b) se llaman multiplicativas. Corolario 3.2.2. Sea n un número entero mayor o igual que 2. Entonces,  1 ϕ(n) = n ∏ 1 − . p p|n 64

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r

Demostración. Si n = pr11 · · · pkk es la descomposición en factores primos de p, entonces   k  k k 1 1 1 = n∏ 1− = n∏ 1− . ϕ(n) = ∏ ϕ(pri i ) = ∏ pri i 1 − pi pi p i=1 i=1 i=1 p|n

Ejemplo 3.2.3. Un buen método para calcular el indicatriz de Euler de un número natural n consiste en descomponerlo en producto de números primos: ϕ(2000) = ϕ(24 53 ) = ϕ(24 )ϕ(53 ) = 23 52 (5 − 1) = 25 52 ϕ(1995) = ϕ(3 · 5 · 7 · 19) = 2 · 4 · 6 · 18 = 864 Congruencia de Euler. Si a y n son números enteros primos entre sí, entonces aϕ(n) ≡ 1 m´od n

Demostración. Si a es primo con n, entonces [a]n está en (Z/nZ)× , que es un grupo finito de orden ϕ(n), así que el Corolario 3.1.8 permite concluir que ϕ(n)

[1]n = [a]n

= [aϕ(n) ]n

La congruencia de Euler es la pieza fundamental del algoritmo criptográfico RSA (véase, por ejemplo, http://es.wikipedia.org/wiki/RSA). Ejemplo 3.2.4. Si a y n son números enteros primos entre sí, las soluciones enteras de la congruencia ax ≡ b m´od n son: x = aϕ(n)−1 b + tn,

t ∈Z

Ejemplo 3.2.5. Para calcular el resto de n = 292022 módulo 92, podemos utilizar la Congruencia de Euler porque 29 y 92 son primos entre sí. Como ϕ(92) = ϕ(4 · 23) = ϕ(22 ) · ϕ(23) = 2 · 22 = 44, en (Z/92Z)× tenemos que [29]44 = 1; luego: [n] = [29]2022 = [29]46·44−2 = [29]46·44 · [29]−2 = [29]−2 El inverso de 29 módulo 92 se calcula con la Identidad de Bézout: 1 = 6 · 92 − 19 · 29. En (Z/92Z)× tenemos que [29]−1 = [−19] y concluimos que [n] = [29]−2 = [−19]2 = [361] = [85] 65

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La Congruencia de Euler es una generalización del siguiente resultado de Fermat: Congruencia de Fermat. Sea p un número primo. Si un número entero a no es múltiplo de p, entonces a p−1 ≡ 1 m´od p

Demostración. Si a no es múltiplo de p, entonces mcd(a, p) = 1, porque p es primo. Además ϕ(p) = p − 1 cuando p es primo. Luego, el resultado se obtiene como caso particular de la Congruencia de Euler. Pequeño teorema de Fermat Si p es primo, entonces a p ≡ a m´od p para todo a ∈ Z.

3.3.

Raíces de la unidad

Para cada número complejo a + bi ∈ C pondremos
ea+bi := ea cos(b) + i sen(b) . De las propiedades de las funciones trigonométricas se sigue 0

e2πi = 1,

0

ez+z = ez · ez ,

0

ez = ez ⇔ z0 = z + 2πik para algún k ∈ Z y que para cada número complejo z de módulo ρ 6= 0 existe un número real θ tal que
z = ρ cos(θ ) + i sen(θ ) = ρeiθ • z = a + bi

bi ρ θ 0

a

• z¯ = a − bi

Este número real θ está bien definido salvo múltiplos enteros de 2π y se llama argumento de z (medido en radianes). El producto de dos números complejos no 0 nulos z = ρeiθ y z0 = ρ 0 eiθ es 0

0

z · z0 = ρeiθ ρ 0 eiθ = (ρρ 0 )ei(θ +θ ) . 66

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así que el argumento del producto de números complejos es la suma de los argumentos: arg(z1 z2 ) = arg(z1 ) + arg(z2 ) Definición 3.3.1. Sea n un número natural no nulo y sea z un número complejo. Si u es un número complejo tal que un = z, diremos que u es una raíz n-ésima compleja de z. √ Por ejemplo, una raíz n-ésima de z = ρ eiθ es claramente n ρ eiθ /n . En particular una raíz n-ésima de la unidad, 1 = e2πi , es el número complejo e

2πi n

= cos

 2π  n

+ i sen

 2π  n

de módulo 1 y argumento 2π/n, al igual que sus potencias e

2πi r n

, r ∈ Z.

Teorema 3.3.2. El conjunto Zn := {z ∈ C | zn = 1} de las raíces n−ésimas de la unidad, con el producto de número complejos, es un 2πi grupo cíclico de orden n generado por e n . En particular, hay exactamente n raíces n-ésimas complejas de la unidad, que son e

2πi r n

= cos

 2πr  n

+ i sen

 2πr  n

0 ≤ r ≤ n − 1.

Demostración. Si u = ρeiθ es una raíz n-ésima de la unidad, la condición un = 1 equivale a que ρ n = 1 y nθ = 2πr para algún r ∈ Z. Es decir, ρ = 1 y θ = 2πr/n. 2πi Luego, f : Z → Zn ; r 7→ e n r es un homomorfismo de grupos epiyectivo. Como el núcleo de f es un subgrupo de nZ, por el Teorema de Isomorfía, concluimos que Z/nZ ∼ = Zn .

Ejemplos 3.3.3. i) Raíces Cúbicas de la Unidad: Como x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1), las raíces cúbicas complejas de la unidad√distintas de 1 son las raíces complejas del poli2πi nomio x2 + x + 1, que son 21 ± 23 i. La parte imaginaria de e 3 es positiva y la de e

4πi 3

es negativa, así que las raíces cúbicas complejas de la unidad son: 67

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e

2πi 3

= 12 +

√ 3 2 i

1

e

4πi 3

= 12 −

√ 3 2 i

La parte real de dos raíces es 1/2, así que el lado del triángulo equilátero inscrito en un círculo es la cuerda perpendicular al radio en su punto medio. ii) Raíces Cuartas de la Unidad: Como x4 − 1 = (x2 − 1)(x2 + 1) = (x − 1)(x + 1)(x2 − 1), las raíces cuartas complejas de la unidad son:

πi

e2 =i

1 eπi

= −1

e

3πi 2

= −i

2πi

2π iii) Raíces Quintas de la Unidad: Sea x = e 5 = cos( 2π 5 ) + i sen( 5 ). Vamos a
2π 5 −1 calcular y := x + x = x + x¯ = 2 cos 5 . Como x = 1 y x 6= 1, tenemos que

0 = x5 − 1 = (x − 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1) 0 = x4 + x3 + x2 + x + 1 0 = (y2 − 2) + y + 1 = y2 + y − 1

porque y = x + x−1 , y2 = x2 + x−2 + 2. Se sigue que y = 68

√ −1± 5 2

y, al ser y =

P ROYECTO D OCENTE : M ATERIA Á LGEBRA 2 cos

2π 5




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un número real positivo, concluimos que

cos

 2π  5 e

2πi 5

e

8πi 5

√ 5−1 = 4 r √  √ 2 5−1 = + i 1 − 5−1 4 4 r √  √ 2 5−1 = − i 1 − 5−1 4 4 2πi

2πi

Las otras dos raíces quintas de la unidad x = e 5 2 y x−1 = x¯ = e 5 3 pueden 2πi hallarse elevando e 5 al cuadrado y al cubo, o bien√observando que el razona
5+1 miento anterior también prueba que 2 cos 4π 5 = − 2 , de modo que

cos

 4π  5 e

4πi 5

e

6πi 5

√ 5+1 =− 4 r √  √ 2 5+1 =− + i 1 − 5+1 4 4 r √  2 √ 5+1 = − i 1 − 5+1 4 4

En resumen, las raíces quintas de la unidad son:

e e

2πi 5

4πi 5

1

e

6πi 5

e

8πi 5

vi) Raíces Sextas de la Unidad: Como x6 − 1 = (x3 − 1)(x3 + 1), las raíces sextas complejas de la unidad son las tres raíces cúbicas junto con las raíces complejas √ del polinomio x3 + 1 = (x + 1)(x2 − x + 1), que son x = −1 y x = 12 ± 23 i. Por tanto, las raíces sextas de la unidad son 69

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e

2πi 3

= − 12 +

√ 3 2 i

πi

e 3 = 12 +

√ 3 2 i

1 eπi

e

5πi 3

= −1

= 21 −

√ 3 2 i

e

4πi 3

= − 12 −

√ 3 2 i

y vemos que, dado un círculo, los extremos de un diámetro junto con los de las cuerdas perpendiculares a sus dos radios en los puntos medios, son los vértices de un hexágono regular inscrito en el círculo dado. Teorema 3.3.4. Todo número complejo no nulo tiene exactamente n raíces n-ésimas complejas, y se obtienen multiplicando una cualquiera de ellas por las raíces n-ésimas de la unidad. Demostración. Todo número complejo no nulo z = ρeiθ tiene alguna raíz n-ésima √ α = n ρ eiθ /n . Si β fuera otra raíz n-ésima de z, entonces β n = z y  n 2πi βn z β β = = =1; = e n r , 0 ≤ r < n. α z z α Luego z tiene exactamente n raíces n-ésimas, que son α,e

2πi n

α,e

2πi 2 n

α , ... , e

2πi (n−1) n

α

Corolario 3.3.5. Sea z = ρeiθ un número complejo no nulo. Las raíces n-ésimas complejas de z son los vértices de un polígono regular de n lados inscrito en el círculo √ de radio n ρ centrado en el 0 :  θ +2πr  √ n ρ ei n 0≤r |N(zi )|, i = 1, 2; de donde se sigue que todo elemento de z es producto de un número finito de irreducibles. √ Sin embargo, Z[ d] no es un dominio de factorización única√cuando √ √ 2 es irreducible en Z[ d]. En efecto, si d es par, entonces 2 divide a d = d · d mientras que √ √ √ √ 2 no divide a d en Z[ d]. Si √ d es impar, √ 2 divide √ a 1 − d = (1 + d)(1 − d), mientras que 2 no divide a 1 + d ni a 1 − d en Z[ d]. Luego, √ √ si 2 es irreducible en Z[ d], no se verifica el Lema de Euclides, en cuyo caso, Z[ d] no es un dominio de factorización única. Se puede comprobar que 2 es irreducible cuando d ≤ −3 y también cuando d ≡ 1 módulo 4, porque la reducción de 2 = x2 + dy2 módulo 4 no tiene soluciones en Z/4Z.

6.2.

Dominios de ideales principales

Definición 6.2.1. Sea A un anillo. Diremos que un ideal a de A es principal si posee algún sistema de generadores formado por un sólo elemento, es decir, si existe a ∈ A tal que a = aA. 126

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Nota 6.2.2. No todos los anillos son dominios de ideales principales, por ejemplo, si A = Z[x], el ideal a generado por 2 y x no es de la forma aA para ningún a ∈ A; en efecto, si existiese a ∈ Z[x] tal que a = aA tendría que ser 

2 x

= a b; = a c,

para ciertos b y c ∈ Z[x]. Pero no existe un polinomio en x con coeficientes en Z que verifique estas dos ecuaciones salvo a = ±1, que no genera a a, pues a 6= Z[x]. Definición 6.2.3. Diremos que un anillo íntegro es un dominio de ideales principales si todos sus ideales son principales. Ejemplos de dominios de ideales principales son Z (véase el Ejemplo 4.2.2(i)) y los anillos de polinomios con coeficientes en cuerpo (véase el Teorema 5.2.3). En un dominio de ideales principales, existen del máximo común divisor de dos elementos cualesquiera a, b ∈ A, pues es el generador del ideal aA + bA, y de su mínimo común múltiplo, que es el generador del ideal aA ∩ bA. Por lo tanto, en estos anillos es válida la identidad de Bezout: si d = mcd(a, b), entonces dA = aA + bA y existen α, β ∈ A tales que d = αa + β b (véase la página 27). Nota 6.2.4. Sea A un anillo tal que todos sus ideales son finito generados2 , es decir, para cada ideal a existe un subconjunto finito X de A tal que a = hXi, entonces la existencia de una identidad de Bezout es equivalente a que A sea un dominio de ideales principales. Proposición 6.2.5. Sean A un dominio de ideales principales y p un elemento propio de A. Las siguientes condiciones son equivalentes: (a) p es irreducible en A. (b) pA es un ideal primo de A. (c) pA es un ideal maximal de A. Demostración. La demostración es completamente análoga a la de la Proposición 5.2.5. La consecuencia inmediata es que el Lema de Euclides se verifica en los dominios de ideales principales. Lema de Euclides. Sea A un dominio de ideales principales. Si un elemento irreducible de A divide a un producto de elementos de A, entonces divide a algún factor. Para terminar esta sección demostraremos que todo dominio de ideales principales es dominio de factorización única. Para ello haremos uso de la llamada condición de cadena ascendente: 2 Estos

anillos se llaman noetherianos y se estudiarán más adelante.

127

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Proposición 6.2.6. Sea A un dominio de ideales principales. Si a1 ⊆ a2 ⊆ . . . es una cadena de ideales de A, entonces existe r tal que ar = ar+1 = . . . , es decir, toda cadena de ideales de A estabiliza, dicho de otro modo, cualquier conjunto de ideales de A tiene elementos maximales para la inclusión. Demostración. Dada una cadena de ideales de A, a1 ⊆ a2 ⊆ . . . , consideramos un generador a del ideal ∑i ai de A. Por la definición de suma de ideales, existe número finito de elementos, ai1 , . . . , ais , con ai j ∈ ai j , para cada j ∈ {1, . . . , s}, tales que a = ∑sj=1 ai j . Reordenando los subíndices, si fuese necesario, podemos suponer i1 < . . . < is , y por tanto que ai1 ⊆ . . . ⊆ ais . De donde se sigue que a = ∑sj=1 ai j ∈ ais . De tal forma que si tomamos r = is obtenemos que ar ⊆ ar+ j ⊆ ∑ ai = aA ⊆ ar , i

para todo j ≥ 0. De donde se sigue que ar = ar+ j , para todo j ≥ 0.

Teorema de descomposición en factores irreducibles Sea A un dominio de ideales principales. Todo elemento propio a ∈ A descompone en producto de factores irreducibles. Además, tal descomposición es única salvo orden y producto por elementos invertibles de A. Demostración. Si a es irreducible no hay nada que decir. En caso contrario, a descompone en producto de dos factores propios de A, es decir, a = q1 q2 . Si tales factores son irreducibles, hemos acabado. En otro caso, al menos uno de los dos descompone en producto de dos factores propios entonces: ó a = (q11 q12 ) q2 ó a = q1 (q21 q22 ). Y así sucesivamente. El proceso termina porque en caso contrario tendríamos una cadena infinita de ideales aA ⊆ qi A ⊆ qi j A ⊆ . . . , en clara contradicción con la proposición 6.2.6. La unicidad se sigue del Lema de Euclides y de la Proposición 6.1.3. Por tanto, si A un dominio de ideales principales, para cada a ∈ A no es nulo ni invertible, existen irreducibles p1 , . . . , pr ∈ A, r ≥ 1, tales que a = p1 · · · pr y p1 , . . . , pr son, salvo factores invertibles de A, los únicos divisores irreducibles de a en A. El recíproco no es cierto en general; por ejemplo, Z[x] es un dominio de factorización única pero no es un dominio de ideales principales (véase la nota 6.2.2). 128

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6.3.

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Anillos euclídeos

Definición 6.3.1. Diremos que A es un anillo euclídeo si es un anillo íntegro y existe una aplicación δ : A − {0} → N tal que: (a) δ (a) ≤ δ (ab) para todo par de elementos no nulos a, b ∈ A. (b) Si a ∈ A no es nulo, para cada b ∈ A existen3 c, r ∈ A tales que b = ac + r

con δ (r) < δ (a) ó r = 0

Ejemplos 6.3.2. i) El anillo de los números enteros Z es euclídeo, pues basta tomar δ (n) = |n| y aplicar el teorema de división de números enteros. ii) El anillo k[x] de los polinomios con coeficientes en un cuerpo k es euclídeo, pues nos basta tomar δ (p(x)) = deg(p(x)) y aplicar el teorema de división de polinomios. iii) El anillo de los enteros de Gauss A = Z[ i ] es euclídeo. Para probarlo definimos δ (z) = N(z) = z · z¯ = |z|2 = a2 + b2 , donde z = a + bi. La primera condición es inmediata. En cuanto a la segunda, conviene observar que para cada número complejo u + vi existe algún entero de Gauss a + bi tal que |(u + vi) − (a + bi)| < 1, pues podemos elegir dos números enteros a, b tales que |u − a| ≤ 1/2 y |v − b| ≤ 1/2. Por tanto, si z es un elemento no nulo de A, para cada x ∈ A podemos elegir un entero de Gauss c tal que |(x/z)−c| < 1. Luego r = x−cz ∈ A y |r| = |z(x/z − r)| √ < |z|. iv) Sea ω = (−1 + 3i)/2, que es una raíz cúbica primitiva de la unidad. Veamos que el anillo Z[ω] = {z ∈ C: z = a + bω; a, b ∈ Z} es euclídeo. Para probarlo ¯ = a2 − ab + b2 ∈ N, y la comdefinimos δ (z) = z · z¯ = |z|2 = (a + bω)(a + bω) probación de que el anillo Z[ω] es euclídeo es análoga a la dada para Z[ i ], pues de nuevo todo número complejo dista menos de la unidad de algún elemento de Z[ω]. Teorema 6.3.3. Si a es un ideal de un anillo euclídeo A, existe algún a ∈ A tal que a = aA. Demostración. Sea a un ideal de A. Si a = 0, basta tomar a = 0. Si a 6= 0, entre todos los elementos no nulos de a existirá alguno a tal que δ (a) sea mínimo. Entonces aA ⊆ a porque a ∈ a. Por otra parte, si b ∈ a, existen c, r ∈ A tales que b = ac + r y δ (r) < δ (a) ó r = 0. Como r = b − ac ∈ a, por la minimalidad de δ (a), se sigue r = 0, de modo que b = ac ∈ aA. Concluimos que a = aA. El Teorema 6.3.3 afirma precisamente que todos los anillos euclídeos son dominios de ideales principales. 129

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Por consiguiente, todos los resultados de las secciones anteriores son válidos en los anillo euclídeos; por ejemplo la existencia y unicidad, salvo invertibles, en factorización en irreducibles. Además, en estos anillos, el Algoritmo de Euclides sigue proporcionando un método para calcular el máximo común divisor y los coeficientes de la Identidad de Bézout. Ejemplo 6.3.4. Para calcular el máximo común divisor de 5 + 5i y 3 + 6i en el anillo euclídeo Z[ i ], dividimos 5 + 5i por 3 + 6i. Como 5 + 5i (5 + 5i)(3 − 6i) 1 − i = = 3 + 6i 45 3 dista menos de la unidad de los enteros de Gauss 1 y 1 − i, el cociente de tal división es 1 ó 1 −i. Si elegimos 1, el resto es 5 +5i −(3 +6i) = 2 −i. Dividiendo ahora 3 +6i por 2 − i obtenemos que 3 + 6i = (3i)(2 − i) y el resto es nulo. Luego el máximo común divisor de 5 + 5i y 3 + 6i en Z[ i ] es 2 − i . Para terminar la sección vamos a dar un ejemplo de un dominio de ideales principales que no es anillo euclídeo4 . Sea A = Z[ω] con

√ 1 + −19 ω= . 2 Como A ⊂ C, tenemos que es íntegro. Además, se comprueba fácilmente que cualquier elemento√a ∈ A descompone de modo único en la forma a = n + ωm con n, m ∈ Z, pues, Z[ d] = Z[x]/hx2 − di. Sea a = n + ωm ∈ A. Si a¯ es su conjugado complejo, entonces se cumple que ¯ ∈A a¯ = n + ωm

y

N(a) := a · a¯ = n2 + nm + 5m2 ∈ Z

pues ω + ω¯ = 1 y ω · ω¯ = 5. Teniendo en cuenta que N(a) = |n − m ε|2 + 4m2 , donde ε 2 + ε + 1 = 0, se sigue que N(a) ≥ 4, si m 6= 0, y, en general, que N(a) ≥ 0, para todo a ∈ A y N(a) = 0 ⇔ a = 0.

(6.1)

Observamos finalmente que N(ab) = N(a)N(b) para todo a, b ∈ A,

(6.2)

pues N(a) = |a|2 . Lema 6.3.5. Se verifica que: 4 Daremos

una versión simplificada de O.A. C ÁMPOLI. A principal ideal domain that is not an Euclidean domain. Amer. Math. Monthly, vol. 95 no. 9 (Nov. 1988), 868–871.

130

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(a) Los únicos elementos invertibles de A son ±1. En particular, N(a) = 1 ⇔ a invertible. (b) 2 y 3 son irreducibles en A. Demostración. (a) Si a = n + ωm es invertible, se tiene que N(a) = 1. Luego, m = 0 y se sigue n = ±1. (b) Si 2 = (n + ωm)(p + ωq), entonces 4 = N(2) = N(n + mω)N(p + qω) y, suponiendo que ni n + ωm ni p + ωq son invertibles en√A, obtenemos que N(n + mω) = n2 + nm + 5m2 = 2. Luego, m = 0 y se sigue n = ± 2 6∈ Z, una contradicción. La demostración de que 3 también es irreducible es completamente análoga. Proposición 6.3.6. El anillo A no es euclídeo. Demostración. Supongamos que existe una aplicación δ : A − {0} → N verificando (a) y (b) de la definición de anillo Euclídeo y sea a ∈ A no nulo ni invertible tal que δ (a) es mínimo. Por un lado, existen c, r ∈ A tales que 2 = ac + r

con

δ (r) < δ (a) ó r = 0

Por la minimalidad de a, se tiene que r sólo puede ser nulo o invertible, luego por el Lema 6.3.5(a), r = 0 ó r = ±1. Si r = 0, entonces ac = ±2; como a no es invertible y, por el Lema 6.3.5(b), 2 es irreducible, se sigue que a = ±2. Si r = −1, entonces ac = ±3 y se concluye de forma similar que a = ±3. El caso r = 1 no se puede dar porque a no es invertible. De otra parte, existen d, s ∈ A tales que ω = ad + s con

δ (r) < δ (a) ó s = 0.

De nuevo, por la minimalidad de a, se tiene que s sólo puede ser nulo o invertible, luego por el Lema 6.3.5(a), s = 0 ó s = ±1. Por consiguiente, ω ó ω ± 1 es divisible por a = ±2 ó ±3. Pero N(ω) = N(ω −1) = 5 y N(ω +1) = 7, mientras que N(±2) = 4 y N(±3) = 9, es decir, no se cumple (6.2). Obsérvese que las expresiones (6.1) y (6.2) implican que N(a) ≤ N(ab), para todo par de elementos a, b ∈ A.

(6.3)

Además, por el lema 6.3.5(a), se tiene que N(a) < N(ab) si b no es invertible.

(6.4)

Lema 6.3.7. Si a es no nulo, para cada b ∈ A existen c, d, r ∈ A tales que db = ac + r

con

0 < N(r) < N(a) ó r = 0, d = 1 131

(6.5)

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Demostración. Si a divide a b, entonces b = ac para algún c ∈ A. En otro caso, consideramos el siguiente expresión en C : b ab ¯ n m r1 + r2 ω = = + ω = (c1 + c2 ω) + a N(a) N(a) N(a) N(a) donde ci , ri , i = 1, 2 son enteros tales que r1 r2 6= 0, n = c1 N(a) + r1 , m = c2 N(a) + r2 y −N(a)/2 < ri ≤ N(a)/2, i = 1, 2. Por tanto, multiplicando por a obtenemos la siguiente expresión en Z[ω] : b = (c1 + c2 ω)a +

r1 + r2 ω . a¯

Si −N(a)/3 ≤ r2 ≤ N(a)/3, entonces N(r1 + r2 ω) ≤ (N(a)/2)2 + (N(a)/2)(N(a)/3) + 5(N(a)/3)2 = 35/36 N(a)2 y por lo tanto  0 0 y un submódulo N de Ar π r r ∼ se tiene que A → A /N = M es un morfismo de A−módulos epiyectivo. De donde se sigue que las imágenes en M de los elementos de base canónica de Ar generan a M, luego, M es finito generado. Ejemplo 7.3.12. Sea A un anillo no nulo. Si A = k es un cuerpo, los k−espacios vectoriales finito generados son, exclusivamente, los de dimensión finita. Puede ocurrir que un mismo grupo sea finito generado con una estructura de módulo y no lo sea para otra. En efecto, k[x] es un k[x]−módulo finito generado por 1; sin embargo, visto como k−espacio vectorial por restricción de escalares mediante la inclusión k ,→ k[x], no es finito generado (pues, por ejemplo, {xi }i∈N es una base del k−espacio vectorial k[x].)

7.4.

Sucesiones exactas

7.4.1.

Definición. Propiedad de exactitud

Definición 7.4.1. Sea A un anillo. Se dice que una sucesión de morfismos de A−módulos fi+1 fi . . . −→ Mi−1 −→ Mi −→ Mi+1 −→ . . . es exacta en Mi , si im( fi ) = ker( fi+1 ), y se dice que es exacta si es exacta en Mi para todo i. Ejemplos 7.4.2. Sean A un anillo y M, M 0 y M 00 tres A−módulos. f

(i) La sucesión morfismos de A−módulos 0 → M 0 → M es exacta si y sólo si f es inyectiva. g (ii) La sucesión de morfismos de A−módulos M → M 00 → 0 es exacta si, y sólo si, g es epiyectiva. (iii) La sucesión morfismos de A−módulos f

g

0 −→ M 0 −→ M −→ M 00 −→ 0 152

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es exacta si, y sólo si, f es inyectiva, g es epiyectiva y im( f ) = ker(g). Un sucesión exacta de este tipo se llama sucesión exacta corta. Obsérvese que cualquier sucesión exacta (larga) se puede dividir en multitud de fi+1

f

sucesiones exactas cortas. En efecto, si . . . → Mi−1 →i Mi → Mi+1 → . . . es una sucef

g

sión exacta, entonces 0 → Ni → Mi → Ni+1 → 0, con Ni = im( fi ) = ker( fi+1 ), es una sucesión exacta corta, para cada i. Proposición 7.4.3. Sea A un anillo. f

g

(a) La sucesión de morfismos de A−módulos M 0 → M → M 00 → 0 es exacta si y sólo si la sucesión morfismos de A−módulos −◦g

−◦ f

0 −→ HomA (M 00 , N) −→ HomA (M, N) −→ HomA (M 0 , N) es exacta, para todo A−módulo N. f

g

(b) La sucesión de morfismos de A−módulos 0 → N 0 → N → N 00 es exacta si y sólo si la sucesión de morfismos de A−módulos f ◦−

g◦−

0 −→ HomA (M, N 0 ) −→ HomA (M, N) −→ HomA (M, N 00 ) es exacta, para todo A−módulo M. f

g

Demostración. (a) Sean M 0 → M → M 00 → 0 una sucesión exacta de morfismo de A−módulos y N un A−módulo cualquiera. Si h ∈ HomA (M 00 , N) tal que h ◦ g = 0, entonces M 00 = im(g) ⊆ ker(h). Luego h = 0 y por lo tanto − ◦ g es inyectiva. Por otra parte, como g ◦ f = 0, tenemos que h ◦ (g ◦ f ) = 0, para todo h ∈ HomA (M 00 , N), es decir, (− ◦ f ) ◦ (− ◦ g) = 0, de donde se sigue que im(− ◦ g) ⊆ ker(− ◦ f ). Recíprocamente, si h ∈ ker(− ◦ f ), es decir, h ◦ f = 0, tenemos que, ker(g) = im( f ) ⊆ ker(h). De modo que, por la propiedad universal del módulo cociente, existe h0 : M/ ker(g) → N tal que h = h0 ◦ π, donde π : M → M/ ker(g) es la proyección canónica, y, por el Teorema de isomorfía, que existe un morfismo de A−módulos ϕ : M/ ker(g) ∼ = M 00 , tal −1 0 0 −1 0 que π = ϕ ◦ g. De donde se sigue que h = h ◦ π = h ◦ (ϕ ◦ g) = (h ◦ ϕ −1 ) ◦ g, es decir, h ∈ im(− ◦ g). Luego, im(− ◦ g) = ker(− ◦ f ). Recíprocamente, si la sucesión morfismos de A−módulos −◦ f

−◦g

0 −→ HomA (M 00 , N) −→ HomA (M, N) −→ HomA (M 0 , N) es exacta, para todo A−módulo N, en particular, lo es cuando N = M 00 /im(g); de donde se sigue que la proyección canónica π : M 00 → N = M 00 /im(g) es nula, es decir, M 00 = im(g) y g es epiyectivo. Por otro lado, como h ◦ (g ◦ f ) = 0, para todo h ∈ HomA (M 00 , N) y todo A−módulo N, pues 0 = (− ◦ f ) ◦ (− ◦ g) = − ◦ (g ◦ f ), en particular, tomando N = M 00 y h = IdM00 , se sigue que 0 = IdM00 ◦ (g ◦ f ) = g ◦ f y, por lo tanto, que im( f ) ⊆ ker(g). Por último, si N = M/im( f ) y π : M → M/im( f ) es la 153

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correspondiente proyección canónica, tenemos que (− ◦ f )(π) = π ◦ f = 0, esto es, π ∈ ker(− ◦ f ) = im(− ◦ g). Luego, existe h ∈ HomA (M 00 , N) tal que π = (− ◦ g)(h) = h ◦ g y concluimos que ker(g) ⊆ ker(π) = im( f ). (b) Es un sencillo ejercicio comprobar la implicación directa (es decir, la necesidad de la condición). En cuanta la otra implicación (la suficiencia), basta tomar M = A, pues N ∼ = HomA (A, N), para cualquier A−módulo N, y, mediante estos isomorfismos, cada morfismo h : N 0 → N se corresponde con h ◦ − : HomA (A, N 0 ) → HomA (A, N). Obsérvese que el apartado (a) de la proposición 7.4.3 nos dice que HomA (−, N) conserva sucesiones exactas a derecha, es decir, es exacto a derecha, y el apartado (b) que HomA (M, −) conserva sucesiones exactas a izquierda, es decir, es exacto a izquierda. Llegados a este punto podríamos preguntarnos ¿es HomA (−, N) exacto a izquierda? y HomA (M, −) ¿lo es a derecha? En ambos casos las repuestas son, en general, negativas, ya que dependen de cómo sean N y M, respectivamente. Un A−módulo N tal que HomA (−, N) es exacto a izquierda se dice módulo inyectivo y un A−módulo M tal que HomA (M, −) es exacto a derecha se dice módulo proyectivo (véase el apéndice IV de [6]). Nota 7.4.4. Es conveniente recordar que, aunque HomA (−, N) no transforma (en general) inyectividad en epiyectividad y HomA (M, −) no preserva (en general) la epiyectividad, tanto HomA (−, N) como HomA (M, −) conservan los isomorfismos. En efecto, si g : M → M 00 es un isomorfismo de A−módulos, entonces la sucesión g 0 → M → M 00 → 0 es exacta, luego, por la proposición 7.4.3(a), también lo es −◦g

0 −→ HomA (M 00 , N) −→ HomA (M, N) −→ 0, para todo A−módulo N; y, análogamente, si f : M 0 → M es un isomorfismo de A−móf

dulos, entonces la sucesión 0 → N 0 → N → 0 es exacta, luego, por la proposición 7.4.3(b), también lo es f ◦−

0 −→ HomA (M, N 0 ) −→ HomA (M, N) −→ 0, para todo A−módulo M. Veamos ahora que existen sucesiones exactas cortas para las que tanto HomA (−, N) como HomA (M, −) son exactos a izquierda y derecha, para todo N y M, respectivamente. Las propiedades que caracterizan a tales sucesiones exactas cortas las encontramos en el siguiente teorema y el corolario posterior. f

g

Teorema 7.4.5. Sean A un anillo y 0 → M 0 → M → M 00 → 0 una sucesión exacta de morfismos de A−módulos. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: (a) Existe un morfismo de A−módulos s : M 00 → M tal que g ◦ s = IdM00 , llamado sección de g. 154

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(b) Existe un morfismo de A−módulos r : M → M 0 tal que r ◦ f = IdM0 , llamado retracto de f . (c) − ◦ f : HomA (M, N) → HomA (M 0 , N) es epiyectivo, para todo A−módulo N. (d) g ◦ − : HomA (N, M) → HomA (N, M 00 ) es epiyectivo, para todo A−módulo N. Demostración. Es claro que (a) implica (d) Porque (g ◦ −) ◦ (s ◦ −) = (g ◦ s) ◦ − = IdHomA (N,M) , y para probar el recíproco basta tomar N = M 00 y considerar la identidad de M 00 . Por otro lado, (b) implica (c) porque (− ◦ f ) ◦ (− ◦ r) = − ◦ (r ◦ f ) = IdHomA (M,N) , y el recíproco se obtiene tomando N = M 0 y considerando la identidad de en M 0 . Finalmente, veamos que las dos primeras condiciones son equivalentes. Si se verifica (a), entonces la composición de f : M 0 → M con la proyección canónica π : M → M/im(s), π ◦ f , es un isomorfismo de A−módulos. En efecto, ker(π ◦ f ) = {m0 ∈ M 0 | f (m0 ) ∈ im(s)} = im(s) ∩ im( f ) = im(s) ∩ ker(g) = {0}, luego π ◦ f es inyectivo; además como m = (m − s(m)) + s(m) ∈ ker(g) + im(s) = im( f ) + im(s), para todo m ∈ M, se sigue que π ◦ f es epiyectivo. Por consiguiente, π ◦ f es un isomorfismo3 , que compuesto con π, define un morfismo r : M → M 0 tal que r ◦ f = IdM0 . Recíprocamente, si se verifica la condición (b), entonces g|ker(r) : ker(r) → M 00 es un isomorfismo de A−módulos, y su inverso define un isomorfismo s : M 00 → M tal que g ◦ s = IdM00 . Definición 7.4.6. Se dice que una sucesión exacta corta escinde si verifica alguna de las condiciones equivalentes del teorema anterior. Corolario 7.4.7. Sean A un anillo. Si la sucesión exacta de morfismos de A−móduf g los 0 → M 0 → M → M 00 → 0 escinde, entonces M ∼ = M 0 ⊕ M 00 . Demostración. Como la sucesión exacta escinde, tiene una sección s : M 00 → M; de tal forma que, según última parte de la demostración del teorema 7.4.5, M = im( f ) ⊕ im(s), el resultado buscado es inmediato sin más que tener en cuenta que, por el Teorema de isomorfía, im( f ) ∼ = M 0 y que im(s) ∼ = M 00 . f

g

Corolario 7.4.8. Sean A un anillo. Si 0 → M 0 → M → L → 0 es una sucesión exacta de morfismos de A−módulos y L es libre de rango finito, entonces la sucesión escinde y M = M 0 ⊕ L. Demostración. En efecto, sea {e1 , . . . , en } una base de L. Como g es epiyectiva, existe mi ∈ M tal que g(mi ) = ei , para cada i y se comprueba fácilmente que la aplicación 3 Nótese

que además hemos demostrado que M = im( f ) ⊕ im(s)

155

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s : L → M; s(∑ni=1 ai ei ) = ∑ni=1 ai mi es una sección de g. Luego, por el apartado (a) del Teorema 7.4.5, concluimos que la sucesión exacta escinde y M = M 0 ⊕ L, por el Corolario 7.4.7.

7.4.2.

Longitud de un módulo

Definición 7.4.9. Diremos que un A-módulo M 6= 0 es simple cuando sus únicos submódulos son los triviales: 0 y M. Sea M un A-módulo simple. El morfismo A → M definido por cualquier elemento no nulo de M es epiyectivo, pues su imagen es un submódulo no nulo. Luego M ' A/a para algún ideal a y, de la Proposición 7.2.8, se sigue que los únicos ideales de A que contienen a a son a y A. Concluimos que los A-módulos simples son precisamente los cocientes de A por sus ideales maximales. Definición 7.4.10. Sea M un A-módulo. Diremos que una cadena de submódulos 0 = M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mn−1 ⊂ Mn = M es una serie de composición de M si los cocientes sucesivos Mi /Mi−1 , 1 ≤ i ≤ n, son A-módulos simples; es decir, cuando no pueda refinarse de modo que la sucesión obtenida siga siendo estrictamente creciente. Diremos que un A-módulo M tiene longitud finita si admite alguna serie de composición, en cuyo caso todas las series de composición de M tienen igual longitud (número de inclusiones estrictas); longitud común que se llamará longitud de M y se denotará `A (M) ó `(M). Teorema 7.4.11. Todas las series de composición de un A-módulo M tienen igual longitud. Demostración. Sea 0 = M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mn = M una serie de composición de longitud mínima n. Procederemos por inducción sobre n; pues M es simple cuando n = 1 y el teorema es obvio. Si 0 = M00 ⊂ M10 ⊂ . . . ⊂ Mr0 = M es otra serie de composición, consideramos la proyección canónica π : M → M/M1 y pondremos N¯ = π(N) para todo submódulo N de M, de modo que 0 = M¯ 1 ⊂ . . . ⊂ M¯ n = M¯ es una serie de composición de M¯ de ¯ longitud n − 1, y 0 = M¯ 00 ⊆ M¯ 10 ⊆ . . . ⊆ M¯ r0 = M¯ es otra serie de composición de M, después de eliminar las repeticiones. 0 , entonces M 0 ∩ M ⊂ M 0 ∩ M . Como M es simple, tal Ahora bien, si M¯ i0 = M¯ i+1 1 1 1 i i+1 0 . Luego sólo se da una repetición, cosa sólo ocurre cuando Mi0 ∩ M1 = 0 y M1 ⊂ Mi+1 y los submódulos M¯ i definen una serie de composición de M¯ de longitud r − 1. Por hipótesis de inducción concluimos que n − 1 = r − 1. 156

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En el caso particular de los espacios vectoriales sobre un cuerpo k, el concepto de longitud coincide con el de dimensión: `k (E) = dimk E. Las demostraciones de muchas propiedades de la dimensión de los espacios vectoriales de dimensión finita permanecen válidas en el contexto más general de los módulos de longitud finita. Así: Sea M un A-módulo de longitud finita. Toda sucesión estrictamente creciente de submódulos de M puede completarse hasta obtener una serie de composición de M. Además, si N es un submódulo de M, entonces N tiene longitud finita y `A (N) ≤ `A (M), dándose la igualdad únicamente cuando N = M. La longitud es aditiva en el siguiente sentido: dada cualquier sucesión exacta corta 0 → M 0 → M → M 00 → 0, la condición necesaria y suficiente para que la longitud de M sea finita es que lo sean las longitudes de M 0 y M 00 , en cuyo caso `A (M) = `A (M 0 ) + `A (M 00 ).

157

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158

Tema 8

Módulos sobre dominios de ideales principales Contenidos Descripción del contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1 Teoremas de descomposición . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.1 Teoremas de descomposición y clasificación . . . . . 8.1.2 Cálculo de los factores invariantes . . . . . . . . . . . 8.2 Grupos abelianos finito generados. . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Endomorfismos de espacios vectoriales de dimensión finita . . 8.3.1 Cálculo de los factores invariantes de un endomorfismo 8.3.2 Formas canónicas de Jordan . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

159 161 161 166 168 170 171 173

Bibliografía principal (por orden de importancia): [4] Capítulo 3 (pp. 157-209). [6] Apendice V (pp. 316-328).

Descripción del contenido El objetivo de este tema es alcanzar una clasificación completa de los módulos finito generados sobre un dominio de ideales principales. Esta clasificación (o clasificaciones, pues daremos dos equivalentes por el Teorema chino de los restos) proporciona un marco sencillo para entender diversos problemas relacionados con la diagonalización de endomorfismos o la resolución de sistemas de ecuaciones diofánticas lineales. Las dos versiones del teorema de clasificación son consecuencia directa de los teoremas de descomposición. Por establecer una comparación, podríamos decir que los teoremas de descomposición nos indican que todo módulo finito generado sobre 159

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un dominio de ideales principales puede ser descompuesto, en cierta forma, de la misma manera que los enteros admiten una factorización en potencias de primos. Por ejemplo, en el caso de los grupos abelianos finito generados (que es un caso especial de módulos sobre un dominio de ideales principales) se concluye que todo grupo abeliano finito generado descompone en suma directa de grupos cíclicos. El tema esta organizado como sigue: en la primera sección se estudian los teoremas de descomposición y clasificación. La compresión de los cocientes de los módulos libres sobre un dominio de ideales principales produce el Primer teorema de descomposición (página 163) que nos dice que todo módulo finito generado sobre un dominio de ideales principales descompone en una parte libre más una de torsión. La parte libre fija el rango del módulo, que no depende de la descomposición como veremos en el Segundo teorema de descomposición (página 164), donde además se da la descomposición de la parte de torsión en términos de los factores invariantes (página 166). Este teorema de clasificación constituye además la demostración de la primera versión del Teorema de clasificación (página 166). Ahora, usando el Teorema Chino de los restos, obtenemos el Tercer teorema de descomposición (página 166) y la segunda versión del Teorema de clasificación (página 166), ésta en términos de los divisores elementales. La segunda parte de la sección se dedica al cálculo de los factores invariantes y los divisores elementales, y acabamos el tema con dos amplias secciones dedicadas a la clasificación de los grupos abelianos finito generados y a los endomorfismos de un espacio vectorial de dimensión finita. Los objetivos/compentencias que se persiguen conseguir en este tema son: Conocer la clasificación de los módulos finito genrados sobre un dominio de ideales principales. Ser capaz de realizar clasificaciones sencillas de grupos abelianos finito generados y endomorfismos de un espacio vectorial de dimensión finita. Consideraciones metodológicas: Suele ser habitual que la clasificación de endomorfismos de un espacio vectorial de dimensión finita se imparta en la asignaturas de Geometría, donde se requiere para la clasificación de cuádricas. Así mismo, en las asignaturas de Métodos Numéricos se suelen estudiar los diferentes métodos aproximados para el cálculo de autovalores y autovectores de una matriz cuadrada. Recurso virtual: Existe software especifico para realizar cálculos matemáticos avanzados, SAGE (http://www.sagemath.org/) es uno de ellos. En http://www. sagemath.org/doc/reference/sage/modules/fg_pid/fgp_module.html se puede consultar cómo se utiliza el programa SAGE para trabajar con módulos finito generados sobre un dominio de ideales principales. 160

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8.1.

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Teoremas de descomposición

Teorema 8.1.1. Sea A un dominio de ideales principales. Todo submódulo M de un A−módulo libre L de rango finito n es también libre de rango finito ≤ n. Demostración. Procedemos por inducción sobre n = rg(L) ≥ 0. Si L tiene rango 0, esto es, L = 0, entonces M = 0 y el resultado es trivialmente cierto (pues, por convenio, el A−módulo 0 es libre de rango 0). Supongamos, pues, que n > 0 y que el resultado es cierto para cualquier A−módulo libre de rango n − 1. ϕ Como L ∼ = An , existen sucesiones exactas de la forma 0 → An−1 → L → A → 0, cada una de estas sucesiones exactas determina un diagrama conmutativo 0

- An−1 6

-L 6

ϕ

i

  0

- Ker( f )

-M

A 6

-0

- Im( f )

-0

3  

f

donde las filas son exactas y los morfismos de las columnas son inyectivos. De donde se sigue que Im( f ) ⊆ A es libre de rango 0 ó 1 (pues Im( f ) es un ideal de A y A es un dominio de ideales principales); en particular, por el Corolario 7.4.8, la sucesión exacta inferior escinde y M = Im( f ) ⊕ Ker( f ). Teniendo ahora en cuenta que Ker( f ) es libre de rango finito por hipótesis de inducción (pues es isomorfo a un submódulo de An−1 ), se concluye que M = Im( f )⊕Ker( f ) es libre de rango finito. Corolario 8.1.2. Sea A un dominio de ideales principales. Todo submódulo M 0 de un A−módulo finito generado M también es finito generado. Demostración. Como M es un A−módulo finito generado, por la Proposición 7.3.11, existe un epimorfismo p : L → M donde L es un A−módulo libre de rango finito. Por el Teorema 8.1.1, el submódulo L0 = p−1 (M 0 ) de L es libre de rango finito; en particular L0 es finito generado. Como p(L0 ) = (p ◦ p−1 )(M 0 ) = M 0 , pues p es epiyectivo, concluimos que p|L0 : L0 → M 0 es un epimorfismo de A−módulos, y, por tanto, que M 0 es finito generado.

8.1.1.

Teoremas de descomposición y clasificación

Lema 8.1.3. Sean A un dominio de ideales principales, L un A−módulo libre de rango n ≥ 1 y M un submódulo no nulo de L. Si ϕ(M) = aA es el elemento maximal para inclusión de Ω = {ψ(M) ⊆ A : ψ ∈ HomA (L, A)}, entonces M = av A ⊕ (ker(ϕ) ∩ M) ⊆ L = v A ⊕ ker(ϕ), 161

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para algún v ∈ L. Demostración. Sean {e1 , . . . , en } una base de L y πi : L → A; ∑ni=1 ai ei 7→ ai , i = 1, . . . , n. Como A es un dominio de ideales principales, la Proposición 6.2.6 garantiza la existencia de un elemento maximal para la inclusión aA ∈ Ω. Además, como L tiene rango mayor o igual que 1, alguno de los πi es no nulo, de donde se sigue que a 6= 0. Sean ϕ : L → A tal que ϕ(M) = aA y bi ∈ A tal que πi (M) = bi A, i = 1, . . . , n. Se cumple que bi A ⊆ aA. En otro caso, existe j tal que d = mcd(a, b j ) divide estrictamente a a. Como, por la Identidad de Bezout, d = αa + β b, α, β ∈ A, se sigue que αϕ + β π j ∈ Ω verifica que αϕ + β π j (M) = dA ) aA, lo que contradice la maximalidad de aA. Sea v0 ∈ M tal que ϕ(v0 ) = a. Por el argumento anterior, para cada i, existe ci ∈ A tal que v0 = ∑ni=1 (aci )ei . Sea v = ∑ni=1 ci ei . Veamos que L = v A ⊕ ker(ϕ). Si m ∈ L, entonces m = vϕ(m) + (m − vϕ(m)) ∈ v A ⊕ ker(ϕ) y la descomposición es única porque ϕ(v) = 1, implica que v A ∩ ker(ϕ) = 0. La demostración de la igualdad M = av A ⊕ (ker(ϕ) ∩ M) es análoga y se deja como ejercicio al lector. Proposición 8.1.4. Sean A un dominio de ideales principales, L un A−módulo libre de rango n ≥ 1 y M un submódulo no nulo de L. Entonces existen una base {v1 , . . . , vn } de L y unos elementos a1 , . . . , aq ∈ A \ {0} tales que (a) ai divide a ai−1 , para cada i ∈ {q, . . . , 2}, es decir, aq | . . . |a1 . (b) {a1 v1 , . . . , aq vq } es una base de M. Demostración. Procedemos por inducción sobre n = rg(L). Si n = 1, entonces L ∼ =A es un dominio de ideales principales y M es (isomorfo a) un ideal de A, por lo que el resultado es trivialmente cierto. Supongamos que n > 1 y que el resultado es cierto para cualquier A−módulo libre de rango n − 1. En primer lugar, observamos que, Por el Teorema 8.1.1, M es libre de rango finito q ≤ n. Además, por el Lema 8.1.3, existen v ∈ L y a ∈ A tales que M = a vA ⊕ ker( f ) ⊆ L = vA ⊕ ker(ϕ). Además, M 0 := ker( f ) ⊆ L0 := ker(ϕ) son libres de rango de q − 1 y n − 1, respectivamente. Por hipótesis de inducción, existe una {v1 , . . . , vq−1 , vq+1 , . . . , vn } de L0 y unos elementos a1 , . . . , aq−1 ∈ A \ {0} tales que ai divide a ai−1 para cada i ∈ {q − 1, . . . , 2}, es decir, aq−1 | . . . |a1 y {a1 v1 , . . . , aq−1 vq−1 } es una base de M 0 . De modo que tomando aq = a se sigue que {v1 , . . . , vq−1 , vq = v, vq+1 , . . . , vn } de L y que {a1 v1 , . . . , aq vq } es una base de M. Por lo tanto, nos queda ver que aq se puede elegir tal que aq 6= 0 y aq |aq−1 . Según el Lema 8.1.3, el ideal aq A es maximal para la inclusión en Ω = {ψ(M) ⊆ A : ψ ∈ HomA (L, A)}. Para probar que aq divide a aq−1 consideramos el morfismo 162

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de A−módulos ψ 0 : L → A tal que ψ 0 (v1 ) = ψ 0 (v2 ) = 1 y ψ 0 (vi ) = 0, para todo i ∈ {3, . . . , n}. Entonces, ψ 0 (M) = aq A+aq−1 A ∈ Ω, contiene a aq A. De donde se deduce, por la maximalidad de aq A en Ω, que aq A + aq−1 A = aq A y por tanto que aq−1 ∈ aq A, es decir, que aq divide a aq−1 . Nota 8.1.5. Obsérvese que, con la notación de la Proposición 8.1.4, tenemos que L/M ∼ = (A/a1 A) ⊕ . . . ⊕ (A/aq A) ⊕ An−q ,

(8.1)

para ciertos aq | . . . |a1 ∈ A no nulos. Basta tener en cuenta que L ∼ = An , que la imagen de i : M ,→ L es (isomorfa) a a1 A ⊕ . . . ⊕ am A y que, por ser i inyectivo, del Teorema de isomorfía se sigue que L/M ∼ = L/im(i). Antes de enunciar y probar los teoremas de descomposición de módulos finito generados sobre un dominio de ideales principales, necesitamos introducir algunos conceptos generales sobre módulos. Definición 8.1.6. Sea A un anillo íntegro. Un elemento m de un A−módulo M se dice de torsión si existe un elemento no nulo a ∈ A tal que a m = 0. Se comprueba fácilmente que el conjunto de todos los elementos de torsión de M, que denotaremos T (M), es un submódulo de M llamado submódulo de torsión de M. Definición 8.1.7. Sea A un anillo íntegro. Diremos que un A−módulo M es de tórsión si T (M) = M, y diremos que M carece de torsión si T (M) = 0. Nota 8.1.8. Sea A un anillo íntegro y M, N y L, A−módulos. Es un sencillo ejercicio comprobar que T (M ⊕ N) = T (N) ⊕ T (M). M/T (M) carece de torsión. Si L es libre, entonces T (L) = 0, es decir, carece de torsión. Ahora, ahora ya estamos en disposición de enunciar uno de los teoremas centrales de este tema. Primer teorema de descomposición. Sea A un dominio de ideales principales. Todo A−módulo finito generado M descompone de modo único (salvo isomorfismos) en suma directa de un A−módulo libre y un A−módulo de torsión. En concreto, se verifica que M∼ = Ar ⊕ T (M) y diremos que r es el rango de M. Este teorema es una consecuencia directa del: 163

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Segundo teorema de descomposición. Sea A un dominio de ideales principales. Si M es un A−módulo finito generado, existe un único r ≥ 0 tal que o bien (a) M ∼ = Ar o bien (b) existen unos únicos ideales propios a1 A ⊆ . . . ⊆ am A de A tales que   M∼ = Ar ⊕ (A/a1 A) ⊕ . . . ⊕ (A/am A) ; en cuyo caso, T (M) ∼ = (A/a1 A) ⊕ . . . ⊕ (A/am A) y Ann(T (M)) = a1 A. Demostración. En primer lugar, como M es un A−módulo finito generado, se puede expresar como un cociente de un A−módulo libre An y un submódulo L de An , es decir, M ∼ = An /L. Por el Teorema 8.1.1, tenemos que L es libre de rango finito q ≤ n. Sea r = n − q. Por la Proposición 8.1.4, tenemos que existe una base {v1 , . . . , vn } de An y unos elementos aq | . . . |a1 ∈ A \ {0} tales que {a1 v1 , . . . , aq vq } es base de L. Entonces, usando la expresión (8.1), obtenemos que An /L ∼ = (A/a1 A) ⊕ . . . ⊕ (A/aq A) ⊕ An−q . Si a1 es un elemento invertible de A, entonces ai es invertible para todo i ∈ {1, . . . , q}, pues ai divide a a1 para todo i ∈ {1, . . . , q}; por consiguiente, M ∼ = An /L ∼ = An−q = Ar y habríamos terminado. En otro caso, existe algún ai que no es invertible. Sea m el mayor subíndice tal que ai no es invertible, entonces am | . . . |a1 y M∼ = An /L = (A/a1 A) ⊕ . . . ⊕ (A/am A). Además, como T (M) ∼ = T ((A/a1 A) ⊕ . . . ⊕ (A/am A) ⊕ Ar ) = T (A/a1 A) ⊕ . . . ⊕ T (A/am A) ⊕ T (Ar ) = (A/a1 A) ⊕ . . . ⊕ (A/am A) de donde se sigue que Ann(T (M)) = a1 A, pues a1 es un múltiplo del resto de los ai . Para probar la unicidad, suponemos que existen otros elementos propios bm0 | . . . |b1 en A tales que T (M) ∼ = (A/b1 A) ⊕ . . . ⊕ (A/bm0 A), es decir, (A/a1 A) ⊕ . . . ⊕ (A/am A) ∼ = (A/b1 A) ⊕ . . . ⊕ (A/bm0 A). Sin perdida de generalidad podemos suponer que a1 = b1 , ya que a1 A = Ann(T (M)) = b1 A, y que m0 = m (en otro caso, completaríamos con elementos invertibles; por ejemplo, si m0 < m, tomaríamos bm0 +1 = . . . = bm = 1). 164

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Por el Teorema de descomposición en factores irreducibles, mi,r

i1 i ai = pm i1 · · · pi,ri ,

y

m0i,s

m0

bi = qi1i1 · · · qi,si i ,

i = 1, . . . , m

con p• y q• irreducibles en A. Teniendo en cuenta que a1 = b1 , que am | . . . |a1 y que bm0 | . . . |b1 , se sigue que los elementos irreducibles p• son iguales, salvo invertibles, a los q• . Luego, sin perdida de generalidad, podemos suponer los distintos elementos irreducibles que aparecen en las descomposiciones anteriores son {p1 , . . . , ps } y, por lo tanto, podemos escribir ai = pn1i1 · · · pns is ,

y

n0

n0

bi = p1i1 · · · ps is ,

i = 1, . . . , m,

añadiendo los ni j = 0 que fuesen necesarios. Nótese que n1 j ≥ . . . nm j ≥ 1, que n01 j ≥ . . . n0m j ≥ 1 y que n1 j = n01 j , para todo j = 1, . . . , s. Ahora, aplicando el Teorema chino de los restos a cada A/ai A y a cada A/bi A, i = 1, . . . , m, obtenemos la siguiente expresión: (A/a1 A) ⊕ . . . ⊕ (A/am A) ∼ =

m  M

 (A/p1ni1 A) ⊕ . . . ⊕ (A/pns is A)

∼ =

i=1

(A/b1 A) ⊕ . . . ⊕ (A/bm A) ∼ =

m  M

 n0 n0 (A/p1i1 A) ⊕ . . . ⊕ (A/ps is A)

i=1 n Sea c j = ∏k6= j pk 1k , j = 1, . . . , m. Se comprueba fácilmente n0 n A/p j i j y en A/p j i j , para todo i, por la identidad de Bezout,

que c j es invertible en

y que anula al resto de sumandos directos. Por consiguiente, para cada j, se tiene que n

n0

n

n0

1j mj M j := (A/p j 1 j A) ⊕ . . . ⊕ (A/p j m j A) ∼ = (A/p j A) ⊕ . . . ⊕ (A/p j A) := M 0j

Fijado j, por simplicidad, escribiremos e j en vez de n1 j = n01 j y denotaremos por xk e yk el número de sumandos iguales a A/pkj A que aparezcan en la descomposición de M1 y M2 , respectivamente. Es inmediato comprobar las siguientes igualdades e −1

xe j = `(p j j

e −1

M 0j ) = ye j e j −2 0 `(p j M j ) = 2 ye j

M j ) = `(p j j

e −2 2 xe j + xe j −1 = `(p j j M j )

= + ye j −1 .. . e j xe j + . . . + x1 = `(M j ) = `(M 0j ) = e j ye j + . . . + y1

donde `(−) denota la longitud del módulo en cuestión. Luego, xl = yl , l = 1, . . . , e j , y, por consiguiente, concluimos que M j = M 0j . En resumen, ni j = n0i j , para todo i, j, y por tanto ai = bi para todo i. 165

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Definición 8.1.9. Sean A un dominio de ideales principales y M un A−módulo con torsión, es decir, tal que T (M) 6= 0. Los ideales a1 = a1 A ⊆ . . . ⊆ am = am A del Segundo teorema de descomposición se llaman factores invariantes1 de M. Con esta definición, del Segundo teorema de descomposición se deduce el siguiente: Teorema de clasificación (1a versión). Sea A un dominio de ideales principales. Dos A−módulos finito generados son isomorfos si, y sólo si, poseen el mismo rango y tienen los mismos factores invariantes. Así mismo, en la demostración de la unicidad de los factores invariantes (dentro de la demostración del Segundo teorema de descomposición) se sigue el: Tercer teorema de descomposición. Sea A un dominio de ideales principales. Dado un A−módulo M finito generado de rango r, existen unos únicos p1 , . . . , ps irreducibles en A y una única sucesión decreciente n1 j ≥ . . . nt j j > 1, para cada j = 1, . . . , s, tal que ! M∼ = Ar ⊕

M

n

A/p j i j A

ij n

Con la notación anterior, a las potencias de primos de pi i j se les llama divisores elementales del A−módulo M. Nótese que están bien definidos salvo producto por elementos invertibles. Teorema de clasificación (2a versión). Dos A−módulos finito generados son isomorfos si, y sólo si, poseen el mismo rango y tienen los mismos divisores elementales.

8.1.2.

Cálculo de los factores invariantes

Sean A un dominio de ideales principales y M un A−módulo finito generado. Consideremos una presentación de M, es decir una sucesión exacta ψ

0 → Lq −→ Ln −→ M → 0, siendo Lq y Ln dos A−módulos libres2 (los subíndices indican los rangos). Consideremos sendas bases Bq = {u1 , . . . , uq } y Bn = {v1 , . . . , vn } de Lq y Ln . Escribamos 1 Para muchos autores esta es la definición de factor invariante de T (M); en este caso, los factores de M son los de T (M) y tantos ideales nulos como el rango de M. 2 Obviamente siempre existen presentaciones de M; basta tomar i

ϕ

0 → ker(ϕ) ,→ An −→ M → 0, con n suficientemente grande, y ϕ el morfismo de A−módulos que envía la base canónica de An en un sistema de generadores de M. Obsérvese que ker(ϕ) es libre de rango finito, concretamente rg(ker(ϕ)) = n − rg(M), por ser un submódulo de An (véase el Teorema 8.1.1)

166

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ψ(u j ) = ∑i ai j v j , j = 1, . . . , q, así que la matriz ((ai j )) de orden n × q con coeficientes en A es la matriz de ψ respecto de Bq y Bn . Definimos entonces los siguientes ideales: Definición 8.1.10. Con la notación anterior. Se llama i-ésimo ideal de Fitting de M al ideal Fi (M) de A generado por los menores de orden q − i de la matriz de ψ respecto respecto de Bq y Bn . Nótese que, al ser A un dominio de ideales principales, un generador de Fi (M) es el máximo común divisor de los menores de orden q − i de la matriz de ψ respecto respecto de Bq y Bn . Veamos que los ideales de Fitting no dependen de las bases elegidas en la presentación: sea Bq0 otra base de Lq0 . Como los elementos de Bq0 son combinación A-lineal de los elementos de Bq , cada una de las columnas de la matriz (a0i j ) de ψ respecto de Bq0 y Bn es combinación A-lineal de las columnas de la matriz (ai j ) de ψ respecto de Bq y Bn . En consecuencia, los menores de orden q − i de (a0i j ) son combinación A-lineal de los menores de orden q − i de (ai j ), es decir, el ideal que generan los primeros está contenido en el que generan los otros. La otra inclusión se obtiene por simetría. Si la que cambiamos es la base de Ln se razona de un modo similar (por filas en vez de por columnas). Definición 8.1.11. Se dice que una matriz S de orden n × m con coeficientes en A está en forma canónica de Smith (también dice forma normal de Smith) si es de la forma   a1 0 . . . 0  0 a ... 0  2    . 0 .. . . ..  .  . . .  .     0 0 . . . aq 

0

0

con aq | . . . |a1 , no nulos Proposición 8.1.12. Sean A un dominio de ideales principales, M un A−módulo finito ψ generado con torsión y 0 → Lq0 → Ln → M → 0 una presentación de M. Si Fi (M) = ci A, i = 0, . . . , q, entonces ai = (ci−1 /ci )A, i = 1, . . . , q, son los factores invariantes de M. Demostración. Por el Teorema 8.1.1, existen una base Bn de Ln y una base Bq de Lq tales que la matriz ϕ respecto de Bq y Bn está en forma canónica de Smith para 167

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ciertos aq | . . . |a1 no nulos. De donde se sigue, por la definición de ideal de Fitting (véase la definición 8.1.10 y el comentario posterior), que c0 c1 cq

= F0 (M) = a1 a2 · · · aq = F1 (M) = a2 · · · aq .. .. . . = F1 (M) = aq

Como, por el Teorema 8.1.4, los factores invariantes de M están generados por los ai , i = 1, . . . , q no invertibles, se obtiene el resultado buscado. De la propia definición anterior se deduce que los ideales Fi (M) no dependen de la presentación elegida. No es difícil probar que también es válida para presentaciones Lm → Ln → M → 0 con Lm → Ln no necesariamente inyectivo. Nota 8.1.13. Cuando A es un dominio euclídeo, existen algoritmos para calcular la forma canónica de Smith de cualquier matriz B de orden n × q con coeficientes en A (véanse la sección 3.22 de [M. M ARCUS , H M INC. A survey of matrix theory and matrix inequalities. Allyn and Bacon, Inc., Boston, Mass. 1964] y http: //en.wikipedia.org/wiki/Smith_normal_form)

8.2.

Grupos abelianos finito generados.

Sabemos que todo grupo abeliano G tiene de modo natural una estructura de Z−módulo. La suma considerada es la suma del grupo abeliano y el producto por elementos de Z se define como sigue g + . n. . + g Z × G → G; (n, g) 7→ n · g = (−g) + . n. . + (−g)  0  

si n ∈ Z+ , si n ∈ Z− , si n = 0.

Recíprocamente, todo Z−módulo es en particular un grupo abeliano. Además, los morfismos de grupos abelianos son justamente los morfismos de Z−módulos. Por lo tanto, la clasificación de los grupos abelianos equivale a la clasificación de los Z−módulos. Así pues, hablar de clasificación de grupos abelianos o de Z−módulos es sólo una diferencia en la terminología usada. Por consiguiente, como Z es un dominio de ideales principales y todo Z−módulo finito generado es un grupo abeliano finito generado (y viceversa), el Tercer teorema de descomposición nos asegura que todo grupo abeliano finito generado es suma directa de grupos cíclicos. Concretamente, 168

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Todo grupo abeliano G finito generado de rango r descompone de modo único (salvo isomorfismos) en la forma G∼ = Zr ⊕

s M


 nt j n Z/p j 1 j Z) ⊕ . . . ⊕ (Z/p j j Z)

(8.2)

j=1

con p j , j = 1, . . . , s primos distintos entre sí y de cero, y ni j ∈ Z+ . Obsérvese, por tanto que, un grupo abeliano finito G es finito si, y sólo si, es de torsión, es decir, T (G) = G, en cuyo caso, G tiene rango 0. Además, si G es un grupo finito de orden n, entonces s

sj

n = ∏ (p∑i=1 ni j ). j=1

Teorema de clasificación de grupos abelianos finito generados. Dos grupos abelianos finito generados son isomorfos si, y sólo si, poseen el mismo rango y tienen los mismos divisiores elementales (o factores invariantes).

Ejemplos 8.2.1. i) Los grupos abelianos Z/4Z ⊕ Z/4Z y Z/4Z ⊕ Z/2Z ⊕ Z/2Z no son isomorfos, porque no tienen los mismos divisores elementales. ii) Los únicos grupos abelianos de orden primo p son los isomorfos a Z/pZ. Ejemplo 8.2.2. Sea k un cuerpo, veamos que todo subgrupo finito del grupo multiplicativo k× es cíclico. Como k× es abeliano, cualquier G un subgrupo finito de k× , es un grupo abeliano finito (es decir, abeliano finito generado de rango cero). Luego, por el Teorema de clasificación de grupos abelianos finito generados existen am | . . . |a1 ∈ Z+ tales que G∼ = Z/a1 Z ⊕ . . . ⊕ Z/am Z. De donde se sigue que G tiene al menos a1 elementos y que ga1 = 1 para todo g ∈ G, ya que a1 genera al anulador de G. (téngase en cuenta que en k× , y sus subgrupos, usamos notación multiplicativa); así que todos los elementos de G son raíces del polinomio xa1 − 1 y, como k[x] es un dominio de factorización única, se sigue que el orden de G está superiormente acotado por a1 . Luego, |G| = a1 , y se concluye que G∼ = Z/a1 Z. 169

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8.3.

k.

Endomorfismos de espacios vectoriales de dimensión finita

En esta sección V denotará a un espacio vectorial dimensión finita sobre un cuerpo

Nota 8.3.1. Recuérdese que un endomorfismo f de V induce una estructura de k[x]−módulo en V del siguiente modo p(x) · v = p( f )(v), para todo v ∈ V, y, en particular, x · v = f (v), para todo v ∈ V. En lo que sigue, esta estructura de k[x]−módulo sobre V la denotaremos por V f .

Proposición 8.3.2. Con la notación anterior, V f es un k[x]−módulo finito generado y de torsión, es decir, V f es un k[x]−módulo finito generado tal que T (V f ) = V f . Demostración. Como V es un espacio vectorial de dimensión finita es claro que V f es un k[x]−módulo finito generado. Por otra parte, como f es un endomorfismo de un espacio vectorial de dimensión finita, entonces el polinomio anulador3 de f , p f (x) ∈ k[x], es distinto de cero. Luego p f (x) · v = p f ( f )(v) = 0, para todo v ∈ V. De donde se sigue que p f (x) anula a cualquier elemento de V f , luego es de torsión, T (V f ) = V f

Definición 8.3.3. Se dice que dos endomorfismos son f y g de V son semejantes si existe un automorfismo k−lineal τ de V tal que g = τ ◦ f ◦ τ −1 . Esta igualdad significa la conmutatividad del diagrama V

f

τ

? V

-V τ

g

? -V

Proposición 8.3.4. Dos endomorfismos f y g de V son semejantes si, y sólo si, inducen estructuras de k[x]−módulo isomorfas sobre V, es decir, si V f ∼ = Vg .

Demostración. Si f y g son semejantes existe un automorfismo k−lineal τ de V tal que τ ◦ f = g ◦ τ. Veamos que τ : V f → Vg es un isomorfismo de k[x]−módulos. Como τ es un isomorfismo de k−espacios vectoriales, bastará ver que conmuta con la multiplicación por x : τ(x · v) = τ( f (v)) = g(τ(v)) = x · τ(v), endomofismo f de V define un morfismo de anillos Φ f : k[x] −→ Endk (V ); f → p( f ), cuyo núcleo es el ideal anulador de V f . Como k[x] es un dominio de ideales principales, existe un único polinomio mónico p f (x) ∈ k[x] tal que ker(Φ) = hp f (x)i, este polinomio se llama polinomio anulador de f (véase [2, Sección 6.2] para más detalles). 3 Cada

170

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para todo v ∈ V. Recíprocamente, todo isomorfismo de k[x]−módulos τ : V f → Vg , es un automorfismo k−lineal de V, luego bastará probar que τ ◦ f = g ◦ τ : τ( f (v)) = τ(x · v) = x · τ(v) = g(τ(v)), para todo v ∈ V. Según las proposiciones 8.3.2 y 8.3.4, la clasificación de endomorfismos de un espacio vectorial sobre k se reduce a la de k[x]−módulos finito generados y de torsión. Definición 8.3.5. Sea f un endomorfismo de V. Llamaremos factores invariantes y divisores elementales de f a los factores invariantes y divisores elementales del k[x]−módulo V f , respectivamente. Teniendo en cuenta que el rango del k[x]−módulo V f es cero, pues V f es de torsión (proposición 8.3.2), y que k[x] es un dominio de ideales principales, de la primera versión del Teorema de clasificación de módulos sobre un dominio de ideales principales se deduce el siguiente: Teorema de clasificación de los endomorfismos de espacios vectoriales de dimensión finita. Dos endomorfismos de un k−espacio vectorial de dimensión finita son semejantes si, y sólo si tienen los mismos factores invariantes.

8.3.1.

Cálculo de los factores invariantes de un endomorfismo

A continuación vamos a estudiar cómo se calculan los factores invariantes de un endomorfismo f de V, a partir de matriz de f respecto de cualquier base de V. Teorema 8.3.6. Sean f un endomorfismo de V y A = (ai j ) la matriz de f respecto de una base {v1 , . . . , vn } de V. Si ci (x) es el máximo común divisor de los menores de orden n − i de la matrix x idn − A y cn (x) = 1, entonces los ideales ai = (ci−1 (x)/ci (x))k[x], i ∈ {1, . . . , n} que sean propios son los factores invariantes de f . Demostración.4 Sabemos que la base {v1 , . . . , vn } de V es un sistema de generadores del k[x]−módulo V f . Luego, la aplicación k[x]-lineal ϕ0 : k[x]n −→ V f ; ei 7→ vi , i ∈ {1, . . . , n}, donde ei es el elemento i-ésimo de la base canónica de k[x]n , para cada i ∈ {1, . . . , n}, es epiyectiva. Por tanto, tenemos que 0 0 → ker(ϕ0 ) −→ k[x]n −→ Vf → 0

i

4 En

ϕ

la página 325 de [6] se puede encontrar otra demostración diferente.

171

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es una presentación de V f (recuérdese que, por Teorema 8.1.1, ker ϕ0 ⊂ k[x]n tiene que ser libre de rango finito; de hecho, rg(ker ϕ0 ) = n, ya que V f es de torsión). De modo que si probamos que la matriz de la inclusión de ker(ϕ0 ) en k[x]n es x idn − A para ciertas B 0 y B de ker(ϕ0 ) ∼ = k[x]n y k[x]n , respectivamente, la proposición 8.1.12 asegurará el resultado buscado. Sea F el morfismo de k[x]−módulos k[x]n → k[x]n ; ei 7→ ∑nj=1 a ji e j . Vamos a probar que {x ei − F(ei ) | i ∈ {1, . . . , n}} es una base de ker(ϕ0 ); de este modo la matriz de la inclusión de ker(ϕ0 ) en k[x]n respecto de {x ei − F(ei ) | i ∈ {1, . . . , n}} y {e1 , . . . , en } será precisamente x idn − A (téngase en cuenta que la matriz de F respecto de {e1 , . . . , en } es A). Es claro que x ei − F(ei ) ∈ ker(ϕ0 ); en efecto, n

n

ϕ0 (x ei − F(ei )) = ϕ0 (x ei − ∑ a ji e j ) = x vi − ∑ a ji v j = f (vi ) − f (vi ) = 0. j=1

j=1

∼ k[x]n / ker(ϕ0 ) es de torsión y por tanto Luego, como ker(ϕ0 ) tiene rango n, pues V f = tiene rango 0, basta demostrar que {x ei − F(ei ) | i ∈ {1, . . . , n}} genera a ker(ϕ0 ); ya que un sistema de generadores con n elementos de un módulo libre de rango n constituye una base de dicho módulo. Sea ∑ni=1 pi (x)ei ∈ ker(ϕ0 ), con pi (x) = ∑mj=1 λi j x j para ciertos m ∈ N y λi j ∈ k, i ∈ {1, . . . , n} y j ∈ {1, . . . , m}, entonces n

n

!

m

∑ pi (x)ei = ∑ ∑ λi j x

i=1

i=1

j

m

!

n j

ei =

∑ x ∑ λi j ei

j=1

j=1

i=1

y !

n

0 = ϕ0

∑ pi (x)ei

m

=

∑f

i=1

j=1

de donde se deduce que ∑mj=1 A j λ1 j , . . . , λn j m


t

∑ λi j vi

,

i=1

= 0, y por lo tanto que5 !

n j

∑ F ∑ λi j ei

j=1

!

n j

= 0,

i=1

Por consiguiente, si denotamos e0j = ∑ni=1 λi j ei , para cada j ∈ {1, . . . , m}, obtenemos que n

∑ pi (x)ei =

i=1

m

∑ x j e0j =

j=1

m

m

∑ x j e0j − ∑ F j (e0j ) =

j=1

j=1

m

∑


x j e0j − F j (e0j ) .

j=1

que dado e = ∑ni=1 λi ei , se tiene que F j (e) = A j (λ1 , . . . , λn )t , para todo j ∈ N, por ser {e1 , . . . , en } la base canónica de k[x]n . 5 Nótese

172

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I GNACIO O JEDA

Teniendo ahora en cuenta que

x j e0j − F j (e0j ) = x j e0j − x j−1 F(e0j ) + x j−1 F(e0j ) − x j−2 F 2 (e0j ) +
+ . . . + xF j−1 (e0j ) − F j (e0j ) j−1   = ∑ x j−l−1 F l (e0j )x − F(F l (e0j )), l=0

para cada j ∈ {1, . . . , m}, concluimos que ∑ni=1 pi (x)ei se puede escribir como combinación k[x]-lineal de {x ei − F(ei ) | i ∈ {1, . . . , n}}. Corolario 8.3.7. Sea f un endomorfismo de V. El polinomio característico6 de f es el producto de los generadores de sus factores invariantes. Demostración. Con la notación del Teorema 8.3.6, basta tener en cuenta que el polinomio característico de f es c0 (x). Teorema de Cayley-Hamilton. Sea f un endomorfismo de V. Si la descomposición en potencias de irreducibles del polinomio característico χ f (x) = |xidn − f | de f es χ f (x) = pn11 (x) · · · pnr r (x), la descomposición en potencias de irreducibles del polinomio anulador p f (x) de f es mr 1 p f (x) = pm 1 (x) · · · pr (x), con 1 ≤ mi ≤ ni , i = 1, . . . , r. Demostración. Si a1 = q1 (x)k[x] ⊆ a2 = q2 (x)k[x] ⊆ am = qm (x) son los factores invariantes de V f , tenemos que q1 (x) es el polinomio anulador de f (pues, a1 es el ideal anulador de V f ). Como, por el corolario 8.3.7, el polinomio característico de f es ∏m i=1 qi (x), tenemos que p f (x) divide a χ f (x), y como qm (x)|qm−1 (x)| . . . |q1 (x) = p f (x), concluimos que ambos polinomios tienen los mismos factores irreducibles. Ambos hechos aseguran el resultado buscado.

8.3.2.

Formas canónicas de Jordan

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita n > 0 sobre un cuerpo k. En las asignaturas de Álgebra Lineal se estudian diferentes criterios para determinar si un endomorfismo f de V es diagonalizable, y se demostraba la existencia una 6 El polinomio característico de un endomorfismo f es χ (x) := det(xid − f ). Se puede demostrar que V f χ f (x) = |xidn − A| donde A es la matriz de f respecto de una base cualquier de V (véase [2, Sección 6.2] para más detalles).

173

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base B de V tal que la matriz de f respecto B es diagonal, o dicho de otro de modo, se escribía la matriz de f de la forma “más sencilla posible” (véase [2, capítulo 6]). En este apartado vamos a abordar este problema de forma general, sin importarnos si f es diagonalizable o no. Es decir, pretendemos buscar una base de V tal que la matriz de f respecto de esa base sea de la forma “más sencilla posible", tales bases y matrices se llaman bases y formas canónicas de Jordan de f , respectivamente. Dividiremos nuestro estudio en dos casos, dependiendo de cómo sea el cuerpo k. En el primer caso supondremos k = C y en el segundo nos centraremos en el caso k = R. ¯ x − λ , . . . , (x − λ )n−1 } es una base del k−espacio vecLema 8.3.8. El conjunto {1, torial k[x]/((x − λ )n ), para cada λ ∈ k. ¯ y, Demostración. Las clases 1, ¯ . . . , y¯n−1 forman una base de k[y]/(yn ); luego, haciendo el cambio y = x − λ concluimos. Proposición 8.3.9. Sean f un endomorfismo de V y λ ∈ k. Si V f ∼ = k[x]/((x − λ )n ), entonces existe una base B de V tal que la matriz de f respecto de B es 



λ  1   

λ .. .

Demostración. Sea B = {e j = (x − λ ) base de V. Por otra parte, f (e j ) = x · (x − λ )

j−1

j−1

  . 

..

. 1

λ

| 1 ≤ j ≤ n}, por el lema 8.3.8, B es una

= (x − λ ) · (x − λ )

j−1

+ λ (x − λ )

j−1

= e j+1 + λ e j ,

para todo j ∈ {1, . . . , n − 1} y n−1

f (en ) = x · (x − λ )

n−1

= (x − λ ) · (x − λ )

n−1

+ λ (x − λ )

= 0 + λ en = en .

Luego, la matriz de f respecto de B es de la forma deseada. Obsérvese que un endomorfismo de V como el de la proposición anterior no es diagonalizable si n > 1; pues su polinomio anulador es (x − λ )n que no descompone en factores lineales7 .

k=C 7 Recuérdese que un endomorfismo de un espacio vectorial de dimensión finita es diagonalizable si, y sólo si, su polinomio anulador descompone en factores de grado 1 sin raíces comunes. Criterio de diagonalización del polinomio anulador.

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Teorema 8.3.10. Sea f un endomorfismo de V. Existe una base B de V tal que la matriz de f respecto de B es 



(B11 ) ..

    

    

. (Bi j ) ..

.

siendo (Bi j ) una matriz cuadrada de la siguiente forma 



λi  1  (Bi j ) =  

λi .. .

  . 

..

. 1

λi

Demostración. Por el Corolario 5.3.4, los polinomios irreducibles de k[x] son los lineales, es decir, aquellos de la forma x − a, a ∈ k. Luego, los divisores elementales de V f serán polinomios de la forma (x − a)r , con r ∈ N y a ∈ k. Por tanto, por el Tercer teorema de descomposición tenemos que Vf =

M

k[x]/((x − λi )n

ij

),

i, j

para ciertos λi ∈ k y ni j ∈ Z+ . Tomando una base en cada sumando k[x]/((x − λi )ni j ), como en la proposición 8.3.9, obtendremos una base de V en la que la matriz de f es de la forma deseada. Obsérvese que, Por el Teorema 8.3.6, los λi ∈ k del teorema anterior son los autovalores de f . La base obtenida en la demostración del Teorema 8.3.10 se llama base de Jordan de f y la matriz de f respecto de la base de Jordan, se llama forma canónica de Jordan de f . Nótese que, por la unicidad de los divisores elementales de V f se tiene que la base de Jordan de f es única salvo permutación de sus elementos, y por lo tanto que la forma canónica de Jordan es única salvo permutación de los bloques Bi j . Finalmente destacamos que, si f es diagonalizable, entonces la forma canónica de Jordan de f es un matriz diagonal; ya que en este caso, el polinomio anulador descompone en factores lineales. De donde se sigue que todos los divisores elementales son polinomios de grado 1, es decir, Vf ∼ =

M

(k[x]/(x − λi ))ri .

i

k=R 175

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Vamos a apoyarnos en el caso anterior para estudiar este; para ello conviene tener presente cualquier polinomio con coeficiente reales tiene todas su raíces en C, y que la inclusión R ⊂ C define una estructura natural de R−espacio vectorial sobre cualquier C−espacio vectorial por restricción de escalares. Lema 8.3.11. Sea V un C−espacio vectorial. Si {e1 , . . . , en } es una base de V, entonces {e1 , i e1 , . . . , en , i en } es una base de V como R−espacio vectorial. Demostración. C es un R−módulo libre de base {1, i}, es decir, C = {1}R ⊕ {i}R. Por tanto, V = e1 C ⊕ . . . ⊕ en C = (e1 R ⊕ i e1 R) ⊕ · · · ⊕ (en R ⊕ i en R). Luego {e1 , i e1 , . . . , en , i en } es una base de V como R−espacio vectorial. Lema 8.3.12. Sean V un C−espacio vectorial, B = {e1 , . . . , en } un base de V y f un endomorfismo C-lineal de V cuya matriz respecto de B es (ai j + bi j i). Entonces, f es el endomorfismo R-lineal cuya matriz respecto de la base {e1 , i e1 , . . . , en , i en } es 

(B11 )  ..  .

...

(B1n ) . . .  siendo (Bi j ) =

ai j bi j

 (B1n ) ..  .  (Bnn )



−bi j ai j

.

Demostración. La demostración es un sencillo ejercicio de álgebra lineal si tenemos en cuenta que n

n

f (e j ) = ∑ (ai j + bi j i)ei = ∑ (a ji ei + b ji i ei ) i=1

i=1

y n

n

f (i e j ) = ∑ (ai j + bi j i) i ei = ∑ (−b ji ei + a ji i ei ), i=1

i=1

para todo j ∈ {1, . . . , n}. Lema 8.3.13. Sea λ ∈ C \ R. Existe un isomorfismo de R[x]−módulos C[x]/((x − λ )n ) ∼ = R[x]/((x − λ )n (x − λ¯ )n ). 176

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¯ Demostración. Ambos módulos son R−espacios vectoriales de dimensión 2n. Sea h1i n ¯ el R[x]-submódulo de C[x]/((x − λ ) ) generado por la clase de h1i. Determinemos ¯ Por una parte, es claro que (x − λ )n (x − λ¯ )n es un polinomio con el anulador de 1. ¯ por otra parte, el anulador deberá ser un múltiplo de coeficientes reales que anula a 1; n (x − λ ) . Dado que todo polinomio con coeficientes reales que tiene una raíz compleja tiene también la conjugada (con igual multiplicidad) se concluye que el polinomio anulador de 1¯ es (x − λ )n (x − λ¯ )n . Se tiene entonces una inclusión ¯ ⊆ C[x]/((x − λ )n ) R[x]/((x − λ )n (x − λ¯ )n ) ∼ = h1i y como ambos R−espacios vectoriales son de la misma dimensión, se concluye que la inclusión anterior es una igualdad. Proposición 8.3.14. Sean V un R−espacio vectorial, f un endomorfismo de V y λ = a + b i ∈ C \ R. Si V f ∼ = R[x]/((x − λ )n (x − λ¯ )n ), entonces existe una base B de V tal que la matriz de f respecto de B es 



(B)  I2 (B)   ..  .

..

  , 

.

I2

(B) 

donde I2 es la matriz unidad de orden 2 y (B) es la matriz

a b

−b a

 .

∼ C[x]/((x − λ )n ). Luego, el enDemostración. Por el lema 8.3.13, tenemos que V f = domorfismo R-lineal f define un endomorfismo C-lineal de C[x]/((x − λ )n ), que también denotaremos por f . Ahora, por la proposición 8.3.9, la matriz del endomorfismo C-lineal f respecto j−1 de la base {e j = (x − λ ) | 1 ≤ j ≤ n} de C[x]/((x − λ )n ) es 

λ  1   

 λ .. .

  . 

..

. 1

λ

Usando ahora el lema 8.3.11, obtenemos que B = {e1 , i e1 , . . . , en , i en } es base de V como R−espacio vectorial respecto de la cual la matriz del endomorfismo R-lineal f es, por el lema 8.3.12, de la forma buscada.

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Teorema 8.3.15. Sean V un R−espacio vectorial y f un endomorfismo de V. Existe una base B de V tal que la matriz de f respecto de B es 



(B11 ) ..

    

    

. (Bi j ) ..

.

siendo (Bi j ) una matriz cuadrada de una de las siguientes formas: 



λi  1  (Bi j ) =  

λi .. .

  , 

..

. 1

λi

con λi ∈ R autovalor de f ó 



(Bi )  I2 (Bi )  (Bi j ) =  ..  .

  , 

..

. I2

(Bi ) 

donde I2 es la matriz unidad de orden 2 y (Bi ) es la matriz

ai bi

−bi ai

 , con λi =

ai + bi i ∈ C \ R autovalor de f . Demostración. Los polinomios irreducibles de R[x] son los lineales, x − a, a ∈ k ó los cuadráticos (x − λ )(x − λ¯ ), con λ ∈ C \ R. Luego, por el Tercer teorema de descomposición tenemos que que Vf =

M

k[x]/(pi (x))n

ij

),

i, j

con pi (x) = (x − λi )r , con r ∈ N y λi ∈ k (los autovalores de f en R) ó pi (x)(x − λi )(x − λ¯ i ), con λi ∈ C \ R (los autovalores de f en C \ R), y ni j ∈ Z+ . Tomando en cada sumando k[x]/((pi (x))ni j ) la base de la proposición 8.3.14, obtendremos una base de V en la que la matriz de f es de la forma deseada; ya que si pi (x) = x − λi entonces   λi  1 λi    (Bi j ) =  , .. ..   . . 1 178

λi

P ROYECTO D OCENTE : M ATERIA Á LGEBRA y si pi (x) = (x − λi )(x − λ¯ i ) entonces    ai −bi   bi ai     ai −bi 1 0   bi ai 0 1 (Bi j ) =   .. ..  . .      1 0 0 1

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



ai bi

     ,       −bi ai

donde λ = ai + bi i. La base obtenida en la demostración del teorema anterior se llama base de Jordan de f y la matriz de f respecto de la base de Jordan, se llama forma canónica de Jordan real de f . Nótese que, al igual que ocurría en el caso de k = C cerrado, se tiene que la base y la forma canónica de Jordan (real) de un endomorfismo de un espacio vectorial real de dimensión finita son únicas salvo permutación de su elementos y bloques, respectivamente; la unicidad se debe a que la base y la forma canónica de Jordan (real) están unívocamente determinadas por los divisores elementales del endomorfismo.

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Bibliografía [1] M.F ATIYAH , D.G M ACDONALD. Introduction to commutative algebra. Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont. 1969. [2] V.J. B OLÓS , J. C AYETANO , B. R EQUEJO. Álgebra lineal y geometría. Manuales UEx, no. 50. Servicio de Publicaciones, Universidad de Extremadura, 2007. [3] J. D ORRONSORO , E. H ERNÁNDEZ. Números, grupos y anillos. AddisonWesley/Universidad Autónoma de Madrid, 1996. [4] N. JACOBSON. Basic algebra. I. Second edition. W. H. Freeman and Company, New York, 1985. [5] J.S. M ILNE. Group Theory (v3.11), 135 páginas (2011). Disponible en http: //www.jmilne.org/math/. [6] J.A. NAVARRO G ONZÁLEZ. Algebra Conmutativa Básica. Manuales UEx, no. 19. Servicio de Publicaciones, Universidad de Extremadura, 1996. Versión online actualizada disponible en http://matematicas.unex.es/~navarro.

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