Álgebra_4°

Índice Unidad I Capítulo 1

Teoría de exponentes - Ecuaciones exponenciales

5

Capítulo 2

Grados y polinomios

11

Capítulo 3

Productos notables

17

Capítulo 4

División algebraica I

23

Capítulo 5

División algebraica II

30

Capítulo 6

Factorización I

36

Capítulo 7

Factorización II

42

Capítulo 8

Fracciones algebraicas

48

Capítulo 9

Repaso I

54

Unidad II Capítulo 10

Radicación algebraica

60

Capítulo 11

Factorial - número combinatorio

66

Capítulo 12

Binomio de Newton

72

Capítulo 13

Números complejos

78

Capítulo 14

Ecuaciones de primer grado

84

Capítulo 15

Ecuaciones de segundo grado

90

Capítulo 16

Ecuaciones polinomiales

96

Capítulo 17

Repaso II

102

Unidad III Capítulo 18

Matrices

108

Capítulo 19

Determinantes

115

Capítulo 20

Sistema de ecuaciones

121

Capítulo 21

Desigualdades e inecuaciones lineales

127

Capítulo 22

Inecuaciones polinomiales fraccionarias

133

Capítulo 23

Inecuaciones irracionales

139

Capítulo 24

Relaciones binarias

144

Capítulo 25

Repaso III

150

Unidad IV Capítulo 26

Funciones I

156

Capítulo 27

Funciones II

162

Capítulo 28

Progresión aritmética (P.A.)

169

Capítulo 29

Progresión geométrica (P.G.)

174

Capítulo 30

Logaritmos I

180

Capítulo 31

Logaritmos II

186

Capítulo 32

Repaso IV

192

Álgebra

Capítulo

1

Teoría de exponentes Ecuaciones exponenciales La calculadora Voyage 200 virtual de texas En el siglo XV, el matemático francés Nicolás Chuquet introdujo en Europa occidental el uso de los números negativos, además de una notación exponencial muy parecida a la que usamos hoy en día, en la cual se utilizan indistintamente exponentes positivos o negativos. Asimismo, en 1489 el matemático alemán Johann Widmann d´Eger inventó los símbolos "+" y "–" para sustituir las letras "p" y "m", que a su vez eran las iniciales de las palabras piu (más) La famosa calculadora Texas Instruments ahora llega en su version virtual, y con miles de y minus (menos), empleadas para librerías. Características: Herramienta Personal Educativa para estudiantes universitarios de ingeniería, matemáticas, ciencias y estadística • Su Sistema Algebraico Computacional representar la suma y la resta. Luego, (CAS) permite investigar las matemáticas y ciencias utilizando notación algebraica, gráficos, tablas, matrices y otros recursos. en 1525, el matemático alemán Christoph Rudolff introdujo el símbolo de la raíz cuadrada que usamos hoy en día. Este símbolo era una forma estilizada de la letra «r» de radical o raíz. http://alerce.pntic.mec.es/jjir0003/1cmas/Algebra/polinomios.pdf

En este capítulo aprenderemos .. Exponentes y radicales -- Definición matemática -- Teoremas y propiedades .. Ecuaciones exponenciales -- Definición matemática -- Reglas prácticas de resolución

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Cuarto año de secundaria

5

1

Capítulo

Síntesis teórica

TEORÍA DE EXPONENTES

Exponente

Nulo

Operaciones

Radical

Ecuaciones exponenciales

Negativo

Multiplicación

Exponente fraccionario

Resolución

División

Operaciones

Bases iguales

Potenciación

Multiplicación

Analogías

División

Logaritmos

Potenciación

Radicación

Colegios

6

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra

Saberes previos 1. Efectuar:

4. Completar:



a) x2 .x3



c) x21 ÷ x10 = ..........

2

= ........... b) (x4)3 =............... 2

d) x5 = ................

2. Efectuar:

–1 2

a) x 3 =...........

b) x

c) 3–3=...........

d) 2–2=...........

=...........

5. Resolver:



a) 9 . 16 = ............. b) 3 8 . 3 27 =.............



c) 4 16.81= ..............

d)

3

27 =.............. 8

a) 2x = 4



→ x =

3. Reducir:

c) x(x–2) = 0



a) (–2)0+20 = ............. b) -10 +10 =...........



c) (2012)0 – 20120 = ..... d) 21 +12 =.............

b) 3x+2=312 →x=

d) (x+1)(x–2) = 0

x = ' 1 x2 =

'

x1 = x2 =

Aplica lo comprendido 1. Relacionar correctamente: x3.x7.x10.x2 4 3

A

3. Completar: A. (25 + 3 8 – 623)0

x6

x

B

x22

(x2)3)4

C

x24

x4 ÷x–2

D

24

x

= ...........................

B. 34 + 33 + 32 + 31 = ........................... C. (x2)3. (x3)4. (x2)5 = ...........................

4 3 5 6 D. 2 .27 .28 .2 = ........................... 2 .2

4. Reducir: 2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto a la teoría de exponentes y las ecuaciones exponenciales:

x+ 2 + x 4 S= 4 4x

x A. 52 =25 → x=4 ....................................( ) 5. Reducir: 5

B. 4x = 64 → x=6 ....................................( ) (x3 y3 x2 y2) 2 M= ( x5) 2 (y4) 3 C. 33+33+33=34.......................................( ) 1 –1 1 –1 ` x j + c y m =x+y................................( ) D.

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Cuarto año de secundaria

7

1

Capítulo

Aprende más 1. Relacionar correctamente: (x4) 2 (x3) 2 x12 4

–1 2



A

1 2

B

x

C

x2

D

10

a) 1 d) – 1 5

6. Calcular: 2n+3

2x=5 8

→

2x+1=

.8

8

x x ... x 1 444 2 44 43 8 veces

c) 1 5

b) 5 e) – 5



(225) 2n + 3 .225 52n + 3 .52 .4 + 52n + 3 .53

a) 45 d) 5

b) 25 e) 1

c) 15

7. Reducir: 2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto 7x + 4 + 7x + 3 + 7x + 2 + 7x + 1 + 7x a la teoría de exponentes y las ecuaciones S = 7x–4 + 7x–3 + 7x–2 + 7x–1 + 7x exponenciales: a) 49 b) 343 c) 2401 22 2 2 2 2 d) 16 807 e) 4096 ....................................... ( ) A. ((x ) ) = x

6 x 3 x x 3 x ... x 3 x j =x25...............( ) 8. Reducir: B. ` 1 44444 4 2 44444 43 10 veces

81 80

) S = c 3 2 3 2 3 2 3 2 m x . x . x . x D. 2x+3=512 → x=9................................ ( ) a) x b) x2 c) xx x – 1 –1 d) x e) x 3. Completar: 9. Reducir: -1 -1 -1 A. Si: E= ` 1 j +` 1 j +...+` 1 j → E = –n n x x x "n –n 6n –n (n n) n @ , 1 444444 4 2 444444 43 R = n n ;n≠0 20 veces "6n –1(n1–n) n @ , B. Si: 36x = 216 → x = a) n b) n2 c) n–1 –2 d) n e) 1 3 4

24 12

=x2y...................................... (



C.



C. Si: M =



D. Si: xx = 256 → x =

x y

3 4

x96 → M =

4. Reducir: E=

(x2) 4 (y3) 2 (x3) 3 (y4) 2 ; x, y ≠ 0 (x4) 2 (y3) 5 (x2) 6 (y2) 2

a) x3y5 d) x–3y–5

1 b) x5y3 c) 5 3 x y e) 1



Colegios

8

TRILCE

26x + 1 + 43x + 1 + 82x + 1 = 3584

–2–1

1 b) 3 c) 4 2 e) 1

a) 2 4 d) 3

–32x

11. Hallar "x", si: 8–9

= 1 2



5. Simplificar: –9 K=c 1 m 125

10. Encontrar "x" en:

a) –5

1 d) 3

1 b) – 1 c) 5 5 e) – 1 4

Central: 6198-100

Álgebra 12. Calcular el valor de "x6" en: 6

xx =

1 2

12



a) 2

1 b) 1 c) 4 2



d) – 1 2

e) - 2 15. Un padre decide dar como propina a sus tres hijos las siguientes cantidades: S/.4x, S/.2x+1 y S/.8x . Si el monto repartido fue de S/.88, ¿cuánto le tocó a cada uno?

13. Indicar el valor de "x" que verifica: xx =



a) 2–n



d) n

14. Una raza especial de conejos se reproduce de tal manera que cada pareja da lugar a dos machos y dos hembras después de 25 días de gestación. Suponiendo que cada pareja solo se cruza una vez,¿cuál es la población generada por una pareja después de 125 días?

n

4 nx 2 b) 2n+1 c) n e) n 2

Practica en casa 1. Relacionar correctamente: (x3) 5 (x2) 3 x16 8

– 13

3x=7 → 3x+1= 9

9

9

x x ... x 1 44 4 2 44 43 9 veces

3. Completar:

A

1 2

B

x5

C

x

D

A. Si: E= x –1 + x –1 + ... + x –1 → E=............... 1 4 4 4 44 2 4 4 4 44 3 10 veces



B. Si: 25x = 625 → x= ...............



C. Si: M =



D. Si: xx = 27 → x= ...............

3

3 36

x

→ M= ...............

21

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto a la teoría de exponentes y las ecuaciones exponenciales: 4. Reducir:

44

A. ((x4)4)4=x4 .......... ( )



x 4 x x 4 x ... x 4 x o =x18............( ) B. e 1 4444 4 2 44444 3

S=

8

8 veces

5

C. x20 10

y

=x4y2............(

)

D. Si: 3x–2=81 → x=6............( )

(x4) 2 (y3) 2 (x2) 4 (y3) 3 (x2) 4 (y2) 3 (x2) 2 (y3) 2

5. Efectuar:

M = 8–27

–0,5

–9–4

6. Simplifique:

E=

m

2 m + 1.52m + 1–2 m .52m ; m ≠ 0 23 .5 m + 5 m



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9

1

Capítulo

7. Reducir:

11. Hallar "x" en:

x+ 1 x+ 2 x+ 3 x+ 4 x K = 3 x–1+ 3 x–2 + 3x–3 + 3x–4 + x3 3 +3 +x +3 +3

4

5

–2x–1

=1 5



1

12. Indicar "x" que verifica: x 8. Reducir: M= ` 3 x2 . 3 x2 . 3 x2 j . x–25 9. Reducir: 27



S = –n x2 >

n

2

n

x

n

n

x

n

xn x

n

x ' x ' x 'n x

=1 2

13. Indicar "x", que verifica: xx =

H

10. Si: 2x + 2x – 1 + 2x – 2 + 2x – 3 + 2x – 4 = 1984

x4

9

1 3

14. Una raza especial de conejos se reproduce de tal manera que cada pareja da lugar a dos machos y dos hembras después de 30 días de gestación. Suponiendo que cada pareja solo se cruza una vez,¿cuál es la población generada por una pareja después de 120 días? 15. Un padre decide dar como propina a sus dos hijos las siguientes cantidades: S/.3x+3 – 3x+2 y S/.3x+1 – 3x. Si el monto repartido fue de S/.60x, ¿cuánto le tocó a cada uno?

hallar: x

Tú puedes 1. Simplificar: P =

;

a) 1

nn – (n

5n n nn j E

n)5

n

a) a

–1

a

(a2 + a) a + a H 1+a2 a . 1+a2 aa

1+a2 a

n

n n e) n c) nn d)

b) n

2. Simplificar: J = >

`n

nn+1

b) 1

c) a + 1

3. Calcular "a2 + b2", si al reducir: a – c bn + a m 2n

x x3 x5 x7 ...

d) a2

e) aa

x2n–1 , se obtiene como exponente de "x" a:

a) 10 b) 13 c) 18 d) 20 e) 25 x+1

4. Resolver: xx

– 32

= 2–2

; indicar: x + 1

3 b) 2 c) 4 d) 1 e) 1 a) 2 3 3 3 2 1- x 5. Calcular xx , luego de resolver: x- x = 318 a) 1/3 b) –1/3 c) 1/9

Colegios

10

TRILCE

d) –1/9

e) 1/27

Central: 6198-100

Capítulo

2

Grados y polinomios Descartes y Viete y sus notaciones algebraicas El uso de los polinomios tiene sus antecedentes en la resolución de ecuaciones algebraicas; el estudio de ecuaciones sencillas es muy antiguo, puesto que se conocen problemas propuestos en papiros y tablillas de las civilizaciones griega y babilónica. El simbolismo usado en los polinomios y ecuaciones se ha ido René Descartes Francois Viéte elaborando a lo largo de la historia y no tomó su forma actual hasta el siglo XIX. En 1591, el matemático francés François Viète desarrolló una notación algebraica muy cómoda: representaba a las incógnitas con vocales y las constantes con consonantes. En 1637, el matemático francés René Descartes fusionó la Geometría y el Álgebra inventando la "Geometría analítica". Inventó la notación algebraica moderna, en la cual las constantes están representadas por las primeras letras del alfabeto: a, b, c, … y las variables o incógnitas por las últimas: x, y, z. Introdujo también la notación exponencial que usamos hoy en día. http://alerce.pntic.mec.es/jjir0003/1cmas/Algebra/polinomios.pdf

En este capítulo aprenderemos .. Expresiones algebraicas .. Polinomios .. Teoría de grados .. Polinomios especiales

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11

2

Capítulo

Síntesis teórica

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Notación

Grados

• Variables • Constantes o

parámetros

Valor numérico

Monomio

Polinomio

• G. Absoluto

• G. Absoluto

• G. Relativo

• G. Relativo

Reglas para calcular grados en operaciones

• Suma coeficientes • Término

independiente

Monomios

Colegios

12

TRILCE

Polinomios

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Álgebra

Saberes previos 4. En: Q(x;y;z) = 2ax3y6 - 6x5z6y7 - 219x6y9z12

1. Efectuar:

a) xm . xn = ........ b) xm ÷xn =..........



c)

n

x m =............

d)

m n

x =............

2. Efectuar:

a) x4 .x6. x13= ....... b) ((x4)3)2=...........



3 6 8 c) x .2x .5x =......... d) x .x

3 4

x24 y12 =.......



• Variables: ....................................



• Constantes: .................................



• Mayor exponente de "x": ........................



• Mayor exponente de "y": ........................



• Mayor exponente de "z": ........................

5. Si: P(x) = 4x2 – 3x + 2; calcular:

3. Completar: Coeficiente Parte literal A(x;y)=2005x6y7 T(x;y)=3ax4y6



P(2) = __________

P(–1) = ___________



P(0) = __________

P(1) = ____________

P(x;y)=219a2b3x6y7

Aplica lo comprendido 1. Relacionar correctamente: P(x;y)=5x2y5

A

P(x)=x2+x+2

B

P(x;y)=2x2y5+3x3y4

C

P(x)=2x3+4x+1

D

3. Completar: GA=7 GR(x)=3 Polinomio cúbico GA=7 GR(x)=2 Polinomio mónico



A. Un polinomio es .................. cuando sus términos tienen el mismo grado absoluto.

B. Sea: M(x;y;z) = 3a2b3x4y9z13 • G.R.(x) = • G.R.(y) = • G.R.(z) = • G.A.(M) =

C. Sea: P(x;y) = 3x3y2 + 5x5y • G.R.(x) = 2. Indicar Verdadero (V) o Falso(F) respecto a los • G.R.(y) = polinomios: • G.A.(P) =

A. En: Q(x;y)=58xn–3 y; si: n=4 → GA=9...( )



B. Si: Q(x;y)= 25x4y5z6 → GR(z)=6............( )



C. El polinomio: P(x;y) = 4x2y3 – 3xy4 es homogéneo .......................................... ( )



D. Si un polinomio se anula para todo valor de la variable, el polinomio se llama......................

4. Dado el polinomio (exponentes de sus variables n

n

enteros positivos): x2 + x3 + x3 ; (n ≠ 0) , el mínimo entero "n" que cumple es:

D. El polinomio: P(x)=x4+x3+x2+1 es ordenado y completo........................................ ( ) 5. Si el polinomio es completo y ordenado en forma creciente: P(x) = pxm–7 + nxn–1 + mxp–4 hallar: m . n . p

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Cuarto año de secundaria

13

2

Capítulo

Aprende más

1. Relacionar correctamente: P(x)=2x4+5x2+3x

A

P(x)=x2+x3+x+5

B

P(x;y)=2x2y5+3x3y4

C

P(x;y) ≡ Q(x;y)

D

Polinomios idénticos Polinomio ordenado Polinomio completo Polinomio homogéneo

A. Si: GR(x)=10 → m =9.............................( B. Si: GR(y)=12 → n =12............................( C. Si: GA=15 → m+n =14.........................( D. Si: m=3, n=5 → GA =9.........................(



) ) ) )

A. El polinomio: P(x;y)=2x4y5+5x6y3+3x2y7 es un polinomio..................... B. El polinomio: P(x;y)=x100+2x50+3x10+4 es un polinomio..................... C. El polinomio: P(x;y)=2x4+5x3+4x2+5x+2 es un polinomio..................... D. Si los polinomios: ax2+bx+c y mx2+ nx+p son identicos → a=.....; b=.....; c=.....

4. Dado el polinomio:

P(x;y) = xm+2yn–1 + xm+6yn – xm+4yn+4



Si el G.R.(x) = 20 y el grado absoluto es igual a 40, calcular el G.R.(y).



a) 22 d) 24

b) 20 e) 28

c) 18

5. Indique el grado de "R", sabiendo que:

R(x) = x



a) 1 d) 4

n–1 2

+3x

11 – n 3 +

b) 2 e) 5

219 es un polinomio. c) 3

6. En el polinomio: P(x;y)=4xm+n–2ym–3+8xm+n+5ym–4+7xm+n–6ym+2 Se verifica que la relación entre los grados relativos de "x" e "y" es 2; y además el menor exponente de ‘‘y’’ es 3. Hallar su grado absoluto.

Colegios

14

TRILCE

c) 17

P(x;y;z)=xm–nyp–mzn+6+xm–2nyp+3nzn+4+xm+3nyp–2mzn+2

3. Completar:

b) 16 e) 21

7. El polinomio:

2. Indicar Verdadero (V) o Falso(F) respecto al polinomio: P(x;y)=xmyn+xm+1yn–1+xm–1yn+2

a) 15 d) 18



contiene término independiente para cada una de sus variables.



Halle: G.A.(P) + G.R.(x) + G.R.(y) + G.R.(z)



a) 38 d) 24

b) 36 e) 28

c) 40

8. Dados los polinomios "P" y "Q" de los que se conoce: G.A. `4 PQ j = 3

G.A. (P3 ÷ Q) = 4



¿Cuál es el grado de "Q"?



a) 2 d) 8

b) 4 e) 10

c) 6

9. Dado el polinomio homogéneo: P(x;y)=5x3a+2by4 – x2ayb+7+xa–1ya–3b

Calcular: G.A.(P) + ab



a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

10. Si el siguiente polinomio de 14 términos es completo y ordenado: P(x) = xn+4+...+xa – 1+xa–2+xa–3

Calcular: a + n



a) 3 d) 16

b) 9 e) 12

c) -4

11. Calcular "A + B + C", si: (x+1)[A(x+2)+B(x–2)–3x]+15x≡(x–2)[3x+C(x+2)] Se verifica para todo "x".

a) 20 d) 23

b) 21 e) 24

c) 22

12. Si "P(x)" es idénticamente nulo, hallar "a - b" en: P(x–a) = b(x+2)+a(x+3)+2

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Álgebra

a) – 1 d) – 4

b) – 2 e) – 5

c) – 3

14. Las aulas del colegio TRILCE tienen losetas de colores: "A" , "B" y "C" de forma cuadrada (de dimensiones: "x" , "y", "z" respectivamente); y de colores: "D" y "F" de forma rectangular (de dimensiones: "a", "b" y "c", "d" respectivamente) que conforman un área de: 2A+3B+2C+D+F . ¿Cuál es el área total?

13. El siguiente polinomio: P(x)= 5x3a–9+10xa+b–3+20(x2)4b–c+a

es ordenado de forma creciente y completo.



Calcular: ab + bc + ac



a) 15 d) 27

b) 20 e) 29

15. El sueldo "S1" y "S2" de dos profesionales depende del número de semanas "x" que laboran y está dado por: S1: (a – 4)x4 + 12x2 – (b – 2) S2: 12x4 + (c – 2)x2 – 10 Si ambos profesionales trabajan tres semanas y perciben la misma cantidad, hallar "a+b+c" y cuál será su sueldo.

c) 22

Practica en casa 5. Indique el grado de "P", sabiendo que:

1. Relacionar correctamente: P(x;y)=x3+7+x2+4x

A

P(x;y)=3x3y6+8x2y7

B

A(x;y) ≡ B(x;y)

C

P(x)=4x6+8x3y+6x

D

Polinomios idénticos Polinomio ordenado Polinomio completo Polinomio

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto al polinomio: P(x;y) = xayb + xa+1yb–1+xa–1yb+3

A. B. C. D.

Si: GR(x)=14 → a =13.........................( Si: GR(y)=15 → b =12.........................( Si: GA=20 → a+b =15........................( Si: a=5; b=6 → GA =13......................(

) ) ) )

3. Completar:

A. El polinomio: P(x;y)=9x8y5+4x6y7+8x2y11 es un polinomio ..................... B. El polinomio: P(x) =3+x10+x15+2x20 es un polinomio ..................... C. El polinomio: P(x) = x3+ 2x2+ 9x +1 es un polinomio ..................... D. Si los polinomios: px2+qx+r y mx2+ ax+f son idénticos → p=.....; q=.....; r=.....

4. Dado el monomio: M(x;y)=(3n+1)x6n–5y2n+3 Se tiene: G.R.(x) = G.R.(y) Calcular: G.A.(M) + coeficiente (M)

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P(x) = x

n–1 3

+ 3x2n–3 + 219x5–n+2012

es un polinomio.

6. Si el grado absoluto de: P(x;y) = x2ay3b+1+7xay3b–1–5xay3b–3 es igual a la mitad de la suma de los exponentes de todas sus variables, calcular: G.R.(y) 7. En el siguiente polinomio:

P(x;y) = 5xn+3ym–2z6–n + xn+2ym–3zn+m

Donde: G.R.(x) – G.R.(y) = 3 ∧ G.A.(P) = 13 Calcular: 2m – n.

8. Si: P(x) es de 5to grado. Q(x) es de 4to grado. R(x) es de 3er grado.

Hallar el grado de:

(P4 – Q3) R P.Q (P – Q) 2

9. Si el polinomio:

P(x;y) = axa+3 – abxa–1yb+2+2byb+8

es homogéneo, la suma de sus coeficientes es:

10. Si el polinomio: P(x)=3xp–n–5–4xn–m+3+7xm–6+x2+(m+p)

0

Es completo y ordenado. Calcular: (m + n + p)

Cuarto año de secundaria

15

2

Capítulo

11. Hallar "a + b + p" en: a

(aa – 2)x5+(bb – 3)x3+(p – 7)≡14x5+24x3+10 12. Se tiene: (a – 4)xy2 – (20 – b)x2y+ax2y ≡ 0 Determinar: ab . 13. Si el polinomio:

P(x) = mxp – 8+nxm–4+pxn+5+qxq – 2

es completo y ordenado en forma descendente, calcular la suma de coeficientes.

14. Las aulas del colegio TRILCE tienen losetas de colores: "P", "Q" y "R" de forma cuadrada (de dimensiones: "a" , "b" y "c" respectivamente); y de colores: "M" y "N" de forma rectangular (de dimensiones: "x", "m" y "c" , "n" respectivamente) que conforman un área de: 5P+3Q+2R+M+N . ¿Cuál es el área total? 15. El sueldo "S1" y "S2" de dos profesionales depende del número de semanas "x" que laboran y está dado por: S1: (n+1)x5 + 10x2 + (p+1) S2: 8x5 + (m –2)x2 + 11 Si ambos profesionales trabajan tres semanas y perciben la misma cantidad, hallar "m+n+p" y cuál será su sueldo.

Tú puedes x–25 12

1. Si la expresión: E(a;b)= a valor de (x – y) es:

.b

y+3 48

es de cuarto grado con respecto a "a" y de sexto grado absoluto, el

a) 28 b) 29 c) 31 d) 32 e) 35 (b–4)

2(b – 4)

(b – 4)

(b – 4)

2. Dado el polinomio: P(x;y) = 2xa – 3ya – (xy)a +4y4+a , donde "a" y "b" son números naturales. Si la suma de los grados absolutos de los términos del polinomio es (a2 + 2)2, el valor de "b" será: a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 3. Si el polinomio: P(x) = (x2+x+3)(a – b)+(x2+x+4) (b – c)+(x2+x+5) (c – a) es idénticamente nulo, el valor de: [(b + c) ÷ a] es:

a) 1

b) -1

c) 2

d) -2

e) 3

4. Si el polinomio: P(x;y)= 3 xm–2yn–1(x7+y2n–3) es un polinomio homogéneo cuyo grado de homogeneidad es 16, hallar "mn". a) 30 b) 20 c) 35 d) 41 e) 45 5. Un polinomio "P(x)" de tercer grado, cumple con la siguiente condición: P(x) – P(x – 1) ≡ 2x(3x + 2). Hallar el coeficiente de "x" en el polinomio "P(x)". a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Colegios

16

TRILCE

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Capítulo

3

Productos notables Pensamiento matemático El pensamiento matemático es la capacidad que nos permite comprender las relaciones que se dan en el mundo circundante y la que nos posibilita cuantificarlas y formalizarlas para entenderlas mejor y poder comunicarlas. El desarrollo de los procesos cognitivos en el campo de la Didáctica de la Matemática es capaz de ayudar en la percepción geométrica de los productos notables y de la media geométrica, los cuales se deben realizar coordinando cierta caracterización, en donde el proceso cognitivo de visualización está íntimamente relacionada con la forma geométrica de la figura; es decir, su configuración y el razonamiento se basa en aplicar las afirmaciones matemáticas que les corresponda algebraicamente, tomando en consideración la noción de área. La coordinación de estos procesos cognitivos permitirá construir desde una perspectiva geométrica las fórmulas usadas en algunos productos notables como son el cuadrado de una suma y de una diferencia. Así mismo, se tomará en cuenta las nociones de área para la acepción geométrica tanto de los productos notables como de la cuadratura del rectángulo o la cuadratura del triángulo, las cuales son llamadas muchas veces media geométrica. http://www.sinewton.org/numeros/numeros/71/Articulos_02.pdf

En este capítulo aprenderemos .. Definición .. Formas generales .. Identidades auxiliares .. Igualdades condicionales

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Cuarto año de secundaria

17

3

Capítulo

Síntesis teórica

PRODUCTOS NOTABLES

Binomio al cuadrado

Identidades Legendre

Si: x+y+z=0

Complementarias

I.

x 2 + y2 + z2

I. (x2n+xn+1)(x2n–xn+1) II. x3 + y3 + z3

Diferencia de cuadrados II. (x+y+z)(x2+y2+z2–xy–xz–yz) Binomio al cubo III. (x+a)(x+b)(x+c) Suma o diferencia de cubos

2 binomios con término común

Colegios

18

TRILCE

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Álgebra

Saberes previos 1. Efectuar:

4. Efectuar:



a) (x2y7)(x3y4)

= ...................



a) (x+1)(x+1) =................................



b) (x6y5) ÷ (x2y3)

= ...................



b) (x – 1)(x – 1) =................................



c) (–5x2)(+2x3)

= ...................



c) (x+2)(x – 2) =................................



d) (–3x2y3) ÷ (–3xy2) = ...................



d) (x+3)(x – 3) =................................

2. Reducir:

a) –5x2 +4x2–10x2 = .................



b) 3xy+4xy – 6xy = .................



c) 4x3+5x3 – 2x3 = .................



d) 4x2y+7x2y – 2x2y = .................

3. Efectuar:

a) x (x+y) = ................



b) x (x – 1) = ................



c) x2 (x2 +1) = ................



d) x3 (x3 – y3) = ................

5. Efectuar:

a) (2x+1)(x2) =.................................



b) (3x+2)(x2) =.................................



c) (2x+1)(x – 1) =.................................



d) (3x+1)(2x+1) =................................

Aplica lo comprendido 3. Completar:

1. Relacionar correctamente:



A. (x + a)(x +b) = ...................................



B. (x + a)(x +a) = ...................................



C. (x + y)3

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto a los productos notables:



D. (x + y + z)2 = ....................................

A. (x+y)2 – (x – y)2 = 0............................ ( )

4. Reducir: (x - y)(x + y) (x2 + y2) + y4

(x+y)(x – y) (x–y)(x2+xy+y2) (x+y)2 (x+y)(x2–xy+y2)

A B C D

x2+2xy+y2 x2 – y 2 x3–y3 x3+y3

= ....................................

B. (x+y)2 = x2 + y2 ................................ ( )

C. x2



D. (x+y)2 + (x – y)2 = 4xy ...................... ( )

-

y2

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= (x – y)(y +x)......................... ( )

5. Si: x + y + z = 0, calcular: x3 + y3 + z3 M = xyz

Cuarto año de secundaria

19

3

Capítulo

Aprende más 1. Relacionar correctamente: 2(x2+y2) 4xy xy=6 x+y+z=0

7. Hallar el valor numérico de: P(x) = (x + 1)(x – 1)(x4 + x2 + 1)

(x+y)2+(x – y)2 x3+y3+z3=3xyz (x+y)2 – (x – y)2 (x – 2)2+(y – 3)2=0

A B C D

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto a los productos notables:

A. (x – y)3 = x3 – y3 – 3 x y (x – y).............( )



B. (x – y )(x+ y )=x – y ........................( )



C. (x – 2)4 (x + 2)3 = (x2 – 4)7 ...................( )



D. x2 + y2+ z2=2(xy+xz+yz)...................( )

A. (x + y)2 +2(x + y) + 1= ..........................

B. ( x + y )( x – y ) =.............................

C. Si: x+y+z=0 → x3+y3+z3 ......................



D. (x + y)3 = .................................................

4. Reducir: P = ( 7 + 3 ) 2 +( 7 – 3 ) 2

a) 2 d) 40

b) 10 e) 16

c) 20

a) 52 d) 49



a) 666 d) 999

b) 51 e) 60

b) 444 e) 333

c) 111

8. Hallar “n”:

8



a) 4 d) 8

(13) (85) (74 + 64) (78 + 68) + 616 = 7n–3 b) 6 e) 5

c) 7

9. Hallar el valor numérico de: (x+1)(x2 – x+1)(x6 – x3+1)(x9 – 1) – x18+1 para: x = 2012 a) 0 d) 1

c) 201218

b) 2012 e) 2012!

10. Si: a + b + c = 0, calcular: 3 3 3 M = (a + b) + (b + c) + (c + a) (a + b) (b + c) (c + a)

a) 3 d) –2

b) –3 e) 16

c) 4

11. Hallar el valor numérico de: E = (a2 – b2) [(a2 + b2)2 – a2b2] Para: a3 = 2 +1 ∧ b3 = 2 – 1

a) 9 d) 6

b) 2 e) 1

c) 4 2

12. Si: x2 – 5 x + 1 = 0; calcular:

5. Si: a + b = 4 ∧ ab = 1 hallar: S = a3 + b3

Para: x = 4 + 15 + 4 – 15



3. Completar:



c) 50

y 8x4 y + 3xy4 6. Si: x + = 2; calcular: y x x5 + 2y5



M = x4 + x2 + 12 + 14 x x



a) 10 d) 13

13. Si: x =

b) 11 e) 14 4

c) 12

4 8 ∧ y= 2 1

3 b) 11 a) c) 1 11 3

d) 2

Colegios

20

TRILCE

e) 1 11



Calcular: =



a) 2 d) 3 2

4

4 2

(x + y) – (x – y) G x2 + y2 b) 4 e) 2 2

c) 3

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Álgebra 14. Se desea embalar una caja de dimensiones: Largo= x+1, Ancho=x+2 y Altura=x+3 ; para lo cual utilizamos papel de colores. ¿Cuál es la mínima cantidad de papel que necesitamos para forrarlo?

15. Un padre decide poner a prueba la habilidad matemática de sus hijos Edú y Mathías, para lo cual entrega sus propinas en dos sobres cuyos montos están escritos de la siguiente manera: Edú → ( 3.5.17.257 + 1) 256 Mathías → 41282 - 41272 ¿Cuánto le tocó a cada uno?

Practica en casa 1. Relacionar correctamente: 2(a2+b2) 4ab ab=15 a+b+c=0

9. Multiplicar: S = ^8 2 + 1h^ 8 2 – 1h^4 2 + 1h^ 2 + 1h^ 2 h

(a+b)2+(a–b)2 a3+b3+c3=3abc (a+b)2 – (a – b)2 (a–5)2+(b–3)2=0

A B C D

10. Si: a + b + c = 0, reducir: 2 2 2 2 2 S= c a + b + c mc a 2 + ab + b2 m bc ac ab b + bc + c

2. Indicar Verdadero (V) o Falso(F) respecto a los productos notables:

A. (a + b)3 = a3 + b3 – 3 ab(a+b)............ ( B. (a – b )(a + b )=b – a.......................... ( C. (a – 2)4 (a + 2)4 = (a2 – 4)8.................... ( D. a2 + b2 + c2 = 3abc............................. (

) ) ) )

3. Completar: A. (a+b+c)2+2(a+b+c)+1= ......................... B. ( a + b ) ( a – b ) (a + b)=........................ . C. Si: a + b + c =0 →3abc = ........................ D. (a – b)3 = ..................................................... 4. Simplificar:

2



S = (a + b) (a2 + b2) (a4 + b4) (a – b) + 2b8



Para: a =

2+1 ∧ b =

2 –1

12. Si: a + a– 1 = 3, calcular: M = a–3 + a–2 + a–1 + a0 + a1 + a2 + a3

13. Hallar el valor numérico de: Para: x = 3 4 , y = 3 16

(x + y) 4 – (x–y) 4 2x2 + 2y2

2

y y S = c x + m – c x – m ; x,y ≠ 0 y x y x 5. Si: a + b = 4 ∧ ab = 1 Hallar: P = (a2 + b2)2 6. Si: (x + y)2 = 4xy 3x + y Calcular: y 7. Reducir: S = (x + 1) (x – 1) Si: x = 3 + 8 + 3 – 8

(x4

+

x2

+ 1)

8. Calcular el valor de: 32 2 4 8 16 32 64 S= 1 + 3 (2 + 1) (2 + 1) (2 + 1) (2 + 1) (2 + 1) (2 + 1)

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11. Obtener el valor de:

14. Se desea embalar una caja de dimensiones: Largo= x –1, Ancho=x +1 y Altura=x+4 ; para lo cual utilizamos papel de colores. ¿Cuál es la mínima cantidad de papel que necesitamos para forrarlo? 15. Un padre decide poner a prueba la habilidad matemática de sus hijos Paolo y Diego para lo cual entrega sus propinas en dos sobres cuyos montos están escritos de la siguiente manera: Paolo → ( 2.4.10.82 + 1) 81 Diego → 1222 – 1212 ¿Cuánto le tocó a cada uno?

Cuarto año de secundaria

21

3

Capítulo

Tú puedes 3 3 2 2 1. Simplifique: 9 (a + b ) - 23(a + b), si se sabe: a + b = 8 4ab 9 ab

a) 1 b) 2 c) 8 d) 0 e) 9

2. A partir de la siguiente relación:

4 = a + b, reducir: 2163+183ab 1 + 1 a –b a - 3 b +3

a) 2 b) 4 c) 1 d) 3 e) - 4

3. Si se sabe que: (a + b - 3)2 = (a - b)2 + 3 ; calcular el valor de: A =

2ab a + b –1

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) -2 4. Si: a = 5 - 2 b = 2 - 3

calcular el valor de:

12



a) 5+ 2

b) 5 - 2 c) 2 - 3

2 (a3 –b3) (a2 –ab + b2) (a6 + b6) + b12 d) 2 +3 e) 2+ 3

5. Si: x = 0,5 ( 3 3 + 3 2 )

y = 0,5 ( 3 3 - 3 2 )

calcular: E = 4xy(3x2 + y2) (x2 + 3y2)

3 3 2 a) 4 b) 5 c) 3 d)

Colegios

22

TRILCE

e) 5 3 3

Central: 6198-100

Capítulo

4

División algebraica I Horner, Ruffini y la división algebraica William George Horner, recibió su educación en la Escuela de Kingswood de Bristol. Resulta sorprendente que, cuando tenía 14 años, se convirtiera en maestro auxiliar de dicha escuela y, años más tarde, en Director. Horner solamente realizó una única contribución significativa a las matemáticas: el método Ruffini W. George Horner de Horner para resolver ecuaciones algebraicas. Este fue presentado a la Royal Society el 1 de julio de 1819 y publicado el mismo año en las Philosophical Transactions of the Royal Society. No obstante, algunos años antes Ruffini había descrito un método semejante, por el cual le fue concedido la medalla de oro por la Italian Mathematical Society for Science, que había reclamado mejoras sobre los métodos para obtener soluciones numéricas de ecuaciones. Sin embargo, ni Ruffini ni Horner fueron los primeros en descubrir este método, ya que el matemático chino Zhu Shijie (1270 - 1330) lo había empleado quinientos años antes. http://es.scribd.com/doc/4796836/Division-de-Polinomios

En este capítulo aprenderemos .. División algebraica .. Métodos de división algebraica

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Cuarto año de secundaria

23

4

Capítulo

Síntesis teórica

DIVISIÓN ALGEBRAICA

- Dividendo

Definición

- Divisor - Cociente - Resto

Identidad fundamental

Métodos de División

Horner

Colegios

24

TRILCE

Propiedades de los grados

Teorema del Resto

Ruffini

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Álgebra

Saberes previos 4. Si: P(x) = –5x +2x4 + 3x2 + 1, entonces:

1. Efectuar: 25 a) 45x5 =......... 9x

6 b) 12x2 =......... 4x



13 6 3 6 c) 56x 12.x =......... d) 72x 8.x =......... 7x 9x

2. Si: P(x) = 5x2 +3x + 1, calcular:

5. Identificar en la siguiente división:



• P(2) = ________

• P(–1) = _________



• P(0) = ________

• P(1) = _________

3. Si: P(x) = 3x3 + 6x4 + 4x2 + 3x + 2, completar:

• • • • •

• Completar el polinomio: ............................. • Ordenar crecientemente:............................. • Ordenar decrecientemente:......................... • Término independiente: ............................. • Suma de coeficientes:..................................

Variable: ................................ Grado del polinomio: ................................ Coeficientes: ................................ Coeficiente principal: ................................ Término independiente: ............................

4x2+8x+9

x+1

3x+8 4x+1 •

Dividendo: .................

•

Divisor:......................

• Cociente:................ •

Residuo: ................

Aplica lo comprendido 1. Relacionar correctamente: D(x)=d(x)q(x)+R(x)

A

R(x)=0

Grado[D] – Grado[d]

B

División exacta

C

Identidad fundamental de la división Grado[R]máx

Grado[d] – 1

D

Grado[q]

3. De la división, completar: 4 3 2 2x + 3x2 + x + 9x – 15 2x + 3 x – 5

2. Indicar Verdadero (V) o Falso(F) respecto a la división: 4 3 5 x + 12x 2+ 11x + 3x + 6 x + 5x–1

A. El grado del polinomio dividendo es 5.....( B. El grado del polinomio divisor es .............................................................( C. El grado del polinomio cociente es 2.....( D. El grado máximo del polinomio residuo 1 ..........................................................(

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) 2 ) ) es )



Cociente: q(x) =



Residuo:

R(x) =

4. De la división, hallar el resto: 8 4 2 4x –6x + 2x + 1 x –1 5. De la división, hallar el resto: 100 50 + 1 –x 2x 50 x –1 Cuarto año de secundaria

25

4

Capítulo

Aprende más 1. Utilice el siguiente esquema de Horner, donde la única variable es "x" y relacione las columnas correctamente: 1 2 –1

1

1

–2 4 –4 1 –1 2 –1 0 0 6 –3 4 –2 0 3 2 2 –3

x5–2x4+4x3–4x2+x–1

A

x3+3x+2

B

x2 – 2x+1

C

2x – 3

D

Polinomio divisor Polinomio cociente Polinomio residuo Polinomio dividendo

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto a la división algebraica:



2 3 4 B. Al dividir: 5x - 9x - 5x –8 + 2x –3 + x



•

Cociente: q(x) =



•

Residuo:



R(x) =

4. Calcular "a + b", si la siguiente división deja residuo –12: 4 3 x2 + ax + (b + 1) 5x + 4x –13 x2 + 2x–1



a) 2 d) – 2

b) 3 e) 1

c) – 3

5. Hallar "m + n + p", si la siguiente división es exacta: 6x5 –17x4 + 7x3 + mx2 + nx + p 3x3 –4x2 + 5x–7

A. En el método de Horner para dividir, se utilizan los polinomios completos y ordenados ............................................ ( ) b) 18 c) 17 B. En el método de Ruffini se calcula solo el a) 22 e) 28 residuo ................................................( ) d) 25 C. El teorema del resto sirve para calcular los polinomios cociente y residuo...............( ) 6. Calcular "m+p+n", si la siguiente división: D. El máximo grado del resto es el grado del dividendo menos uno............................( ) mx4 + nx3 + px2 + 17x–5 2x2 –x + 1 3. Completar: tiene residuo: R(x) = 6x – 3 y un cociente cuya 4 3 2 A. Al dividir: 6x + 10x–x2 –5–5x suma de coeficientes es 4. –3 + 2 x + x 2 –1

6

–1

• Cociente: q(x) = •

Colegios

26

Residuo:

TRILCE

10

–5



a) 10 d) 100

b) 70 e) – 7

c) – 1

4 2 7. Dividir: 4x + x –3x + 4 2x–1

3



–5



e indicar el producto de coeficientes del cociente.



a) 2 d) – 4

b) – 2 e) 6

c) 4

R(x)= Central: 6198-100

Álgebra 8. Hallar el residuo en:

13. Hallar el resto de:

5 3 x + (3 2 – 2) x + 2 2 + 7 x– 2+1

3 3 2 x (x–3) + 52(x + 1) –15x + 14 x –3 x + 1 a) 14 b) 8 c) 26 d) 15 e) 13



a) 9 d) 12

b) 10 e) 13

c) 11

9. Hallar la suma de coeficientes del cociente de la división (n ∈ ): 14. El patio del colegio TRILCE tiene forma rectangular de dimensiones "B(x)" y "H(x)", 4 2 3 2 2 cuya área "A(x)" depende del número de nx + (3–n –n) x + (5n–3) x –8nx–8n x–n–1 alumnos "x", se sabe que: ÁREA : A(x)= 8x4 + 6x3 – 9x2 + mx + n si el resto es 64. BASE : B(x)= 4x2 + x – 3 ¿Cuál es el polinomio que representa la otra a) 50 b) 53 c) 51 dimensión? d) 52 e) 60 10. Calcular el resto de la siguiente división: 15. Edú y Mathías compiten por ser el mejor alumno 40 39 de Álgebra; para ello deben resolver algunas 4x + 8x + 1 divisiones, obteniendo los resultados vistos en x+2 la tabla: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 División

11. Calcular el resto de: (x + 1) (x +23) (x + 5) (x + 7) + 4 x + 8x + 11

a) - 9 d) - 12

b) - 10 e) - 13

E D Ú M A T H Í A S

c) - 11

12. Hallar el resto de: 70 60 x40 + x20 + 7 x + x + x10 + 1



a) 8 d) 7

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b) 9 e) 6



Cociente

Residuo

x2+2x+1

–11x+1

5x4 + 16x3 –8x + 2 x+3

5x3+x2+4x–2

–1

4x4 –5x3 –2x2 + 3x–1 x2 –2x–1

4x2+3x+8

22x–6

2x4 + 5x3 –4x2 –3x + 1 x+3

2x3–x2+2x+4

–1

4+

x

3+

2

4x 6 x – 7x + 2 x2 + 2x + 1

¿Quién ganó la competencia?

c) 10

Cuarto año de secundaria

27

4

Capítulo

Practica en casa 1. Utilice el siguiente esquema de Horner, donde la única variable es "x" y relacione las columnas correctamente: 5 7

10

6

–37

36



2 3 4 B. Al dividir: 9x - 7x–2x –14 + x –2 + x

–12

–3



Cociente: q(x) =



Residuo:

R(x) =

4. Calcular "a + b" si la siguiente división: 10x4+6x3–37x2+36x–12

A

2x2+4x–3

B

5x2–7x+3

C

3x–3

D

Polinomio divisor Polinomio cociente Polinomio residuo Polinomio dividendo

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto a la división algebraica:

A. En el método de Horner para dividir se utilizan los polinomios con sus variables............... ( ) B. En el método de Ruffini se calcula el cociente y el residuo.............................................. ( ) C. En el teorema del resto no es necesario realizar la división para calcular el residuo.............( ) D. El máximo grado del resto es el grado del divisor menos uno.................................... ( )

3. Completar :

4 3 2 x + 3x + 25x + ax + (b + 1) x + 2x–1 deja como residuo a: –2. 5. Calcular (mn)2 si la división es exacta: 4 3 6x + 52x + 2mx–3n 2x + x + 3

6. Calcular "b - a" si al dividir se obtiene como resto cero: 4 2 x 2+ ax + b x +x+ 1

7. Hallar el residuo en: 4 3 2 15x –8x –9x + 7x + 1 5x–1 8. Al dividir: 3 x4 –2 2 x3 – (2 3 –1) x2 – 6 x + m x– 6

4

3+

se obtuvo como resto: 3m – 4. Calcular "m".

2

A. Al dividir: 5x –9x 28 + 20x 4 + x –2x

9. Calcular el valor de "a", si la división: 3 2 2 x –ax –2ax–a x–a–3 deja como residuo: 7a + 2

10. Calcular el resto de la división: 5 4 (2x + 3) + (x + 3) –6x x+2



Cociente: q(x) =



Residuo:

Colegios

28

TRILCE

R(x) =

11. Calcular el residuo de la división: (x + 1) (x–2) (x + 4) (x–5) (x + 7) (x–8) + 1 (x + 9) (x–10) + 70 Central: 6198-100

Álgebra



ÁREA : A(x)= 8x4 + 6x3 – 23x2 + ax + b BASE : B(x)= 4x2 – 3x +1



12. Calcular el resto de: y8 + y6 - y4 + y2 + 5 y2 –2



13. Hallar el resto de: 3 3 2 x (x–2) + 26 (x + 1) –12x + 4 x –2x + 1

¿Cuál es el polinomio que representa la otra dimensión?

15. Edú, Mathías y Diego compiten por ser el mejor alumno de Álgebra; para ello deben resolver algunas divisiones, obteniendo los resultados vistos en la tabla. ¿Quién ganó la competencia?

14. El patio del colegio TRILCE tiene forma rectangular de dimensiones "B(x)" y "H(x)", cuya área "A(x)" depende del número de alumnos "x"; se sabe que:

División Edú

Cociente

Residuo

3x4 + 2x3 –5x2 + x + 1 3x3+5x2+1 x–1

1

Mathías

x4 –x3 + x2 –3x + 2 x2 + x + 2

x2–2x+1

0

Diego

4x3 –2x2 + x–1 x2 + x + 1

4x – 6

5

Tú puedes 4 3 2 1. En la siguiente división: 3x –x +2 2x + ax + a , el residuo no es de primer grado. Hallar el valor de "a". x + x–1

a) 12 b) 11 c) 13 d) 16 e) 22 4 3 2 2. En la división: 3x –x + 22x + ax + a + 8 , hallar el residuo, si no es de primer grado. x + x–1

a) 20 b) 22 c) 28 d) 30 e) 29 3. Según este esquema de Horner: 5 20 6a 7 –2

–3b

(n–4) n (n+4) Encontrar el valor de "a + b + c + d + n".

a) ( 121+2)

b) ( 2 +1)

–17c

9d

34

3

c) ( 144 – 1)

d) 3 25

e) 1

4. Si al dividir: P(x) = 6x5 – x4 + (mx)2 + x + 3 – 2n + n2, entre: Q(x) = (x – 2x2 + 3x3), se obtiene un residuo que al permutar sus coeficientes extremos es igual al cociente. Hallar "n ÷ m" e indicar su menor valor.

a) 0

b) –1

c) 1

d) 2 3

e) – 1 3

5 4 3+ 27x2 + 19x + 5 es exacta. 5. Calcular "A + B – C", si la siguiente división: Ax + Bx + Cx 3+ 4x 3x + 1

a) 41 b) 21 c) 11 d) 10 e) 40 www.trilce.edu.pe

Cuarto año de secundaria

29

5

Capítulo

División algebraica II Lectura En las civilizaciones antiguas, las expresiones algebraicas se escribían utilizando abreviaturas solo ocasionalmente. Sin embargo. en la Edad Media los matemáticos árabes fueron capaces de d e s c r i b i r c u a l q u i e r potencia de la incógnita "x" , a partir del cual desarrollaron el álgebra fundamental de los polinomios, aunque sin usar los símbolos modernos. Esta álgebra incluía multiplicar, dividir y extraer raíces cuadradas de polinomios, así como el conocimiento del teorema del binomio. En España, donde la influencia árabe fue muy importante,surgió el término álgebra, usado para referirse al arte de restituir a su lugar los huesos dislocados; por ello, el término algebrista hacía referencia a la persona que sabía arreglar las dislocaciones (en El Quijote podemos encontrar estos términos en muchos de sus capítulos). El libro Kitab al-jabr wa al-muqabalah, fue la obra más importante del matemático árabe; parte de su título dio nombre a toda una disciplina matemática: el Álgebra. Al-jabr quiere decir algo así como "restitución", que es lo que se intenta hacer cuando se resuelve una ecuación, restituir el valor de la incógnita. Con el Álgebra pasamos del número al símbolo, de lo particular a lo general. La gran expresividad del lenguaje algebraico facilita la obtención de relaciones, propiedades y la resolución de problemas. http://exactas.unsa.edu.ar/ingreso/images/pdf/teo2.pdf

En este capítulo aprenderemos .. División algebraica II -- Cocientes notables -- Divisibilidad algebraica

Colegios

30

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra

Síntesis teórica

DIVISIBILIDAD ALGEBRAICA

Definición

Propiedades

En P(x), si: P(a) = 0 ⇒

Si: P(x) ÷ g(x)

R=0

P(x) ÷ h(x)

R=0

Si: P(x) ÷ g(x) P(x) ÷ h(x)

R=r R=r

COCIENTES NOTABLES (C.N.)

xn ± an x±a

Casos: − ; + ; −

− + +

Nº términos

www.trilce.edu.pe

Término general

m n Si: x ± a es un C.N. ⇒ x p ± aq

Cuarto año de secundaria

31

5

Capítulo

Saberes previos 1. Efectuar:

3. Hallar "x" en:

a) (x4)5 = ...................................



a) x = 36 9 x



b) x + 1 = x + 2 6 7

b) x5.x4 = ...................................



10 c) x x

= ...................................

4 9 d) x .3x x

= ...................................

2. Dado el polinomio: P(x)=x2–5x+1, Calcular:

a) P(3) = ...............................



b) P(–1)= ...............................



c) P(0)= ...............................



d) P(1)= ...............................

4. Dados: D(x)=dividendo, d(x)=divisor, q(x)=cociente y R(x)==residuo → D(x)=....................................



3 2 5. Hallar el cociente de: x + 3x + 3x + 1 x+1

Aplica lo comprendido 1. Relacionar correctamente:

3. Completar:

P (x) =T(x) Q (x)

A

x+2

x4 – y4 x–y

B

x2 – xy+y2

x2 + 4x + 4 x+2

C

P(x)=T(x).Q(x)

D

x3+x2y+xy2+y3

3

3

x +y x+y

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F): A. El polinomio ( x2+x – 20) es divisible por (x – 4) ..................................................( )



B.

x5 + y5 =x4+x3y+x2y2+xy3+y4............( ) x+y

C.

x3 –y3 =x2–xy+y2..................................( ) x–y

D. El polinomio ( x3 – 3x +2) es divisible por (x+1)......................................................( ) Colegios

32

TRILCE

A. Si el polinomio P(x) es divisible por (x–4), entonces P(4)=...................... x20 –y30 B. En el cociente notable: 2 3 , el número de términos es ............. x –y



C. Desarrollar: x4 –y4 =......................................... x–y D. El polinomio ( x2 – 3x +2) es divisible por (x–1) y por ...................................

4. Hallar "m" si: P(x)=x3+2x2+x +m es divisible por: x – 2.

5. Hallar "n" para que la división genere un cociente notable: xn –yn–20 x5 –y3

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Álgebra

Aprende más 1. Relacionar correctamente:

12 24 6. Indicar el cuarto término de: 625x3 –6a 5x –a

P(x) es divisible por (x – k)

A

xn - an x-a

x40 - y16 x5 - y2

B

P(k) = 0

P(x) es divisible por Q(x)

C

El cociente posee 8 términos

Tk=xn–k.ak–1

D

Su residuo es cero

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto al x30 + y30 cociente notable: 10 x + y10 A. El término central es: x10y10 ................. ( )

b) a18 e) 25x3a6

c) 5x3a12

a+ 1

7. Hallar "a" para que: cociente notable.

a) 1 d) 4

xa

–y27 genere un xa – y

b) 2 e) 5

c) 3

8. Calcular "n" si la división:

x5n –y6n + 1 genera un cociente notable. xn –y2n–3

B. El número de términos es tres................. ( ) C. El producto de sus términos extremos es: –x30y10................................................... ( )

9. Calcular el término central generado por el desarrollo del cociente notable:

D. Si: P(x)=x2–4x+m es divisible por (x–1) → m= .................................... x5 –y5 4. Al desarrollar el cociente notable: , indix–y car uno de los términos. a) x4y d) x+y

b) xy3 e) –xy3

c) y5

5. Calcular el segundo término al desarrollar: 12 x 3–81 x –3 a) 3 d) x6

www.trilce.edu.pe

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

20 + 20 (x 1) 4– (x – 1)4 (x + 1) – (x–1)

A. Si el polinomio P(x) es divisible por (x–5), entonces se cumple: P(5)=........... B. En el desarrollo del cociente notable: x120 –y60 , el número de términos es .......... x10 –y5 C. El sexto término en el desarrollo del cociente x 9 –y 9 notable: es .......... x–y



a) 25x6a6 d) a6



3. Completar:





b) 2x4 e) 3x6



a) 8(x2 – 1) d) (x2 + 1)8

b) (x + 1)8 e) (x2 – 1)8

c) (x – 1)8

10. Si el polinomio: ax7 + bx5 – 1 es divisible por: mx5 + nx4 + px3 – x – 1, calcular el valor de "ab + mn + p".

a) 1 d) 5

b) 3 e) 7

c) 4

11. Si el polinomio: ax5+bx4+1, es divisible por: x2 – 2x + 1, calcular el valor de "ab".

a) 1 d) 5

b) –1 e) 20

c) –20

12. Al dividir por separado un polinomio "P(x)" entre los binomios (x + 1) y (x – 1), se obtuvo como restos 7 y 5 respectivamente. Hallar el residuo de dividir "P(x)" entre (x2 – 1).

a) 6 – x d) x + 6

b) x + 1 e) x – 6

c) x – 1

c) 3x2

Cuarto año de secundaria

33

5

Capítulo

13. Un polinomio "P(x)" de tercer grado es divisible entre (x + 1) y (x + 4), tiene por coeficiente principal 2 y como término independiente 20. Calcular el resto que se obtiene al dividirlo entre (x – 2).

a) 180 d) 162

b) 210 e) 124

15. Mathías y Diego compiten por ser el mejor alumno de Álgebra; para ello deben desarrollar algunos ejercicios sobre cocientes notables, obteniendo los resultados vistos en la siguiente tabla: D I E G O

c) 148

14. La construcción de una base cuadrangular de un edificio está en función de un polinomio cúbico cuya variable "x" representa el número de obreros que laboran. Si las dimensiones de dicha base son divisibles por (x2+2x+3) y también por (x+1), hallar el área cuadrangular en función de "x" y cuántos obreros trabajan si: x=3.

x15 –y15 x3 –y3

CN: x12+x9y3+x6y6+x3y9+y12

2

xn y64 x27 –yn

Si es CN → n=12

M x12 –y12 CN:x10+x8y2+x6y4+x4y6+x2y8+y10 A x2 –y2 T H n2 5 n 7 Í x + –y + Si es CN → n=5 A xn –y2 S



¿Quién ganó la competencia?



x8 –y8 , es .......... cociente notable: x–y D. Si: P(x)=x2–5x+m es divisible por (x–2), entonces m= ..............................

Practica en casa 1. Relacionar correctamente: P(x) es divisible por (x – b) Tk

=xn–k.yk–1

M(x) es divisible por N(x) 30 - 40

x y x6 - y8

A

Elcociente posee 5 términos

B

P(b)=0

C

xn - yn x-y

D

Su residuo es cero



x3 –y3 4. Desarrollar el cociente notable: ; indicar x–y el producto de sus términos. 5. ¿Cuál es el tercer término del desarrollo de: x10 –y5 ? x2 –y 6. Indicar el sexto término de:

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto al x40 + y20 cociente notable: 8 x + y4 A. El término central es: x16y8.....................( ) B. El número de términos es cinco...............( ) C. El producto de sus términos extremos es: x32y32......................................................( ) 3. Completar: A. Si el polinomio P(x) es divisible por (x–7), entonces se cumple: P(7)= ..... B. En el desarrollo del cociente notable: x100 –y50 , el número de términos es .......... x10 –y5 C. El quinto término en el desarrollo del Colegios

34

TRILCE

256x16 –y8 2x2 –y

56 7. Si el cociente notable: x n –1 tiene 28 términos, x –1 calcular: n2+n+1 8. Hallar el número de términos del siguiente x20 – yn cociente notable: n x + y5

9. Hallar el valor de "a" si la división genera un C.N.

xa –y5a–8 x2 –y9

10. Determinar "a" para que el polinomio: P(x)=x3+ax+3 sea divisible por (x+1). 11. Determinar "a + b" de manera que el polinomio: P(x) = x3 + ax + b sea divisible por: (x – 1)2.

Central: 6198-100

Álgebra 12. Al dividir por separado un polinomio "P(x)" entre los binomios (x + 2) y (x – 2), se obtiene como restos 5 y 13 respectivamente. Calcular el residuo de dividir "P(x)" entre (x2 – 4).

15. Edú y Paolo compiten por ser el mejor alumno de Álgebra; para ello deben desarrollar algunos ejercicios sobre cocientes notables, obteniendo los resultados vistos en la siguiente tabla:

13. Un polinomio "P(x)" de tercer grado es divisible entre (x + 3) y (x + 2), tiene por coeficiente principal 3 y como término independiente 24. Calcular el resto que se obtiene al dividirlo entre (x – 3).

P A O L O

14. La construcción de una base cuadrangular de un edificio está en función de un polinomio cúbico cuya variable "x" representa el número de obreros que laboran. Si las dimensiones de dicha base son divisibles por (x2+3x+2) y también por (x–3), hallar el área en función de "x" y cuántos obreros trabajan si: x=4.

E D Ú



x20 –y10 x4 –y2

CN: x16+x12y2+x8y4+x4y6+y8

2

xn –y27 x8 –yn

Si es CN → n=6

x16 –y12 x4 –y3

CN: x12+x8y3+x4y6+y9

xn –y36 x4 –yn

Si es CN → n=12

¿Quién ganó la competencia?

Tú puedes 9

8

7

2

234 + 232 + 230 + ... + 1

9– 1 1. Calcular "M+N" si: M = 9 9 –89 +79 –...–9 + ; N = 32 2 2 + 228 + 224 + ... + 1 9 + 9 + 9 + ... + 9 + 9 + 1 a) 3,2 b) 5,8 c) 7,6 d) 9,8 e) 18 x3n + 4 –y4n–4 2. Indique qué valor toma "n" para que: 3n 2 4n–8 genere un C.N. x + -y a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) Nunca genera C.N. 3. Si se sabe que: ". . . + x6y6 + xayb + x2y12 + . . ." son tres términos consecutivos de un C.N., hallar el valor de "a + b". a) 13 b) 15 c) 12 d) 14 e) 10 4. Si se divide "P(x)" entre (x + 2)4, el residuo es: (x3 – 12x + 17). Calcular el residuo de dividir "P(x)" entre (x + 2)2. a) 4x + 4 b) 4x – 4 c) –16x + 13 d) –16x – 13 e) 33 5. Sea "P(x)" un polinomio de término independiente 21; tal que: P(2) = 3 y P(3) = 3. Hallar el término independiente del cociente de dividir "P(x)" entre (x – 2) (x – 3). a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

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Cuarto año de secundaria

35

6

Capítulo

Factorización I Matemática incaica En el campo de la ADN ARN Matemática, los incaicos destacaron principalmente por su capacidad de cálculo en el ámbito económico. Los quipus y yupanas fueron señal de la importancia que tuvo la matemática en la administración incaica. Esto dotó Ácido ribonucleico a los incas de una aritmética sencilla pero efectiva para fines contables, basada en el sistema decimal; conocieron el cero, y dominaron las cuatro operaciones fundamentales. Por otra parte, la construcción de caminos, canales y monumentos, así como el trazado de ciudades y fortalezas, exigió el desarrollo de una geometría práctica, indispensable para la medición de longitudes y superficies, además del diseño arquitectónico. A la par desarrollaron importantes sistemas de medición de longitud y capacidad, los cuales tomaban el cuerpo humano como referencia. http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica_incaica

En este capítulo aprenderemos .. Definición .. Conceptos previos .. Criterios de factorización

Colegios

36

TRILCE

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Álgebra

Síntesis teórica

FACTORIZACIÓN

Definición

- Factor

- Nº factores

- Factor primo

- Nº factores primos

Factorización en: Z, R, C

Factorización en Z

Factor común

Identidades

Aspa simple

Agrupación

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Cuarto año de secundaria

37

6

Capítulo

Saberes previos 4. En:

1. Efectuar:

a) x(x+4 ) =.....................



b) x(a+b+c ) = ....................



c) x2(x2 +2 ) = ....................



d) x3(x3+x2+3 ) = ....................



N=23.34.53.72.115





* Número de factores primos=........





* Factores primos=........

2. Efectuar: 5. En:



a) x(2x+3) =.......................



b) 2x(x – 1) =.......................

P(x)=4.(x+1)(x –1)(x+3)(x–1)



c) 4x2(x2 –1) =.......................

* Número de factores primos algebraicos =........................................



d)

3x2(x3

+

y3)

=.......................

3. Efectuar:





a) (x+2)(x+1) =.......................



b) (x+1)(x–3) =.......................



c) (x–1)(x–2) =.......................



d) (x – 3)(x+2) =.......................





* Factores primos algebraicos=................

..............................................................

Aplica lo comprendido 3. Completar luego de factorizar:

1. Relacionar correctamente: Método para factorizar

A. L(x;y)=xy+y+x+1= ................................

Polinomio

B. Q(x)=4x2 – 1= ........................................

Identidades

A

P(x)=x2+7x+10

Agrupación de términos

B

P(x)=x2 – 4

Aspa simple

C

P(y)=y3+y2+y

Factor común

D

P(x;y)=px+qx+py+qy

C. R(x)=x5+3x3+x2= ..................................

4. Factorizar: Q(x) = 400x2 – 121

2. Sea: M(x) = 3x2(2x + 1)4 (x – 2)5

Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

A. B. C. D. Colegios

38

El número de factores primos es 2..........( La suma de los factores primos es: 4x......( El factor primo de mayor multiplicidad es (x – 2) .................................................( Un factor primo es: 3x2..........................(

TRILCE

D. P(x)=x2+4x–21= ....................................

5. Factorizar: M(x) = ax + bx + x2 + ab

) ) ) ) Central: 6198-100

Álgebra

Aprende más

1. Relacionar correctamente: 8x3+27y3 x2–4xy–32y2 8x3–27y3 x2–8xy–48y2

A B C D

(x+4y)(x–12y) (2x+3y)(4x2–6xy+9y2) (x+4y)(x – 8y) (2x–3y)(4x2+6xy+9y2)

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) luego de factorizar: A(x) = 6x3 +5x2 – 4x A. Tiene tres factores primos...................... ( ) B. Tiene dos factores primos mónicos........( ) C. La suma de sus factores primos es: 6x – 1 ................................................( ) D. Tiene un factor cuadrático.................... ( )



A. F(x;y;z)=y2+xy+xz+yz = ........................ 36x2

25y2=



B. P(x;y) =



C. P(x;y) = 216x3 + 27y3= .............................



D. P(x)=x2(x+8)+2x(x+8)+(x+8) = .............

–

...............................

4. ¿Cuántos factores primos de segundo grado tiene el siguiente polinomio? P(x;y) = x5y + ax4y + x3y + ax2y

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

5. Factorizar: P(x; y) = 2x2y + 3xy2 + xy Indicar el número de factores primos.

a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

6. Factorizar: P(x; y) = 3x2 + 20xy + 12y2 e indicar la suma de factores primos.

a) 4x – 8y d) 2x + 4y

b) 4x + 8y c) 2x – 4y e) 3x2 + 12y2

7. Indicar verdadero (V) o falso (F): I. II.

Un factor primo del polinomio: P(x;y) = xm+n + ym+n + (xy)m + (xy)n luego de factorizar es: xn + ym Factorizando: P(x;y)=(x–y)3–(x–y)2–2(x–y) la suma de sus factores primos es: 3x–3y–1.

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b) V F e) Ninguna

c) F V

8. Factorizar: P(x;y) = (x – y)3 – (x – y)2 – 2(x – y)

indicando un factor primo.



a) x – y + 3 d) x – y – 8

b) x – y + 2 e) x

c) x – y + 1

9. Factorizar: P(x; y) = x9y - x3y7 Indicar un factor primo.

a) x2 + xy + y2 b) x2 – xy – y2 c) x2 + y2 d) x2 + y e) x2 – y

10. Indicar el número de factores de: P(m; n; p) = (2m+3n–p)2–14m–21n+7p–18

3. Completar luego de factorizar:

a) F F d) V V

a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

11. Factorizar: P(x;y) = 4(x + 3y)2 – 9(2x – y)2 indicando un factor primo.

a) 8x + 3y d) 8x – y

b) 8x – 3y e) 4x – y

c) 8x + 6y

12. Factorizar: A(n)=(n+3) (n+2) (n+1)+(n+2) (n+1)+ (n+1)

indicando el factor primo que más se repite.



a) n + 4 d) n + 3

b) n + 1 e) n + 8

c) n + 2

13. Factorizar: P(x;y) = 36x4 - 109x2y2 + 25y4 indicando el número de factores primos.

a) 1 d) 4

b) 2 e) 6

c) 3

14. El volumen "V(x)" de una caja con base cuadrada, se calcula mediante el producto de sus tres dimensiones y está dado por: V(x)=x3+6x2+9x. ¿Cuáles son las dimensiones de la caja? 15. La base de un edificio es de forma rectangular donde "A(x)" representa el área total del terreno en función de "x". Si: A(x)=6x2+11x+3 hallar las dimensiones de la base y cuál es su valor si: x=4.

Cuarto año de secundaria

39

6

Capítulo

Practica en casa 7. Al factorizar: P(x) = x2(x+2)2 + x2+2x – 12

1. Relacionar correctamente: 27x3+8y3

A

(x+6y)(x–3y)

x2+3xy–18y2

B

(3x+2y)(9x2–6xy+4y2)

27x3 – 8y3

C

(x+9y)(x–6y)

x2+3xy–54y2

D

(3x–2y)(9x2+6xy+4y2)

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) luego de factorizar: A(x) = 9x3 +7x2 – 2x A. Tiene dos factores primos...................... ( ) B. Tiene dos factores primos mónicos........ ( ) C. La suma de sus factores primos es: 11x–1.... ( ) D. Tiene un factor cuadrático.................... ( ) 3. Completar con la expresión factorizada:

A. F(a;b;y)=y2+ay + ab + yb= .......................



B. P(x;y) = 81x2 – 49y2=...............................



C. P(x;y) = 64x3 + 125y3=...........................



D. P(x) =x2(x+5)+4x(x+5)+4(x+5)=............

4. Factorizar: P(x; y; z)=x2+xy+zx+zy+x+y Indicar un factor primo. 5. Factorizar: F(x) = 8x6 + 7x3 – 1; indicar el número de factores primos. 6. Dar la suma de los términos independientes de los factores primos de: P(x;y) = x2 + 2x + xy + y + 1

Colegios

40

TRILCE



I. Existen dos factores primos de segundo grado. II. Existe un factor primo de primer grado. III. El polinomio "P(x)" tiene tres factores primos.

8. Factorizar: P(a;b;c) = (a–b)(a3–c3) – (a–c)(a3–b3) la suma de sus factores primos es: 9. Factorizar: M(a; b) = a2 – 4 + 2ab + b2 Indicar un factor primo. 10. Indicar el número de factores primos de: P(x) = (x2 + 7x + 5)2 + 3(x2 + 1) + 21x + 2 11. Factorizar: P(x;y) = (1 + xy)2 – (x + y)2 12. Factorizar: P(x) = (x+4)(x+2)(x+1)+(x+4)(x+1)–2 (x+1)

indicando la suma de factores primos.

13. Factorizar: P(x;y) = 100x4 – 29x2y2 + y4 indicando el número de factores primos. 14. El volumen "V(x)" de una caja con base cuadrada se calcula mediante el producto de sus tres dimensiones y está dado por: V(x)= x3+8x2+ 16x. ¿Cuáles son las dimensiones de la caja? 15. La base de un edificio es de forma rectangular donde "A(x)" representa el área total del terreno en función de "x". Si : A(x) =12x2+11x+2, hallar las dimensiones de la base y cuál es su valor si : x=3.

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Álgebra

Tú puedes 1. Al factorizar: xn + 4 – xn + 2+x4 + x3 – x2 + x+2, uno de sus factores primos tiene:

a) 3 términos

b) 4 términos

c) 5 términos

d) 6 términos

e) 7 términos

2. Uno de los factores primos de: x2x + xx – 12, para: x=3, se convierte en: a) 23 b) 25 c) 30 d) 31 e) 33 3. Factorizar: P(x;y) = x6 + 2x5y – 3x4y2 + 4x2y4 – y6 ; indicando un factor primo.

a) x3 – xy+y2

b) x3 – x2y+y2

c) x2 – xy+y3

d) x3 – x2y+y3

e) x2 – xy2+y3

4. Factorizar: F(a;b) = (a + b)7 + c3(a + b)4 – c4(a + b)3 – c7, indicando un factor primo.

a) a+b+c

b) ab+bc+ac

c) a2+ab+b2

d) a – b

e) a2+b2+ c2

5. Factorizar: P(x) = (x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1)2 – x6, indicando un factor primo.

a) x+2

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b) x+3

c) x4+1

d) x+7

e) x+8

Cuarto año de secundaria

41

7

Capítulo

Factorización II Yupana, o Ábaco inca Su potencial de contabilidad tes aún muy discutido, ya que la información numérica y las operaciones matemáticas eran realizadas en estas. Estos podían ser de piedra tallada o de barro, tenían casilleros que correspondían a las unidades decimales y se contaba con la ayuda de piedrecitas o granos de maíz quinua. Se podían indicar unidades, decenas, centenas, etc., de acuerdo a si estaban implícitas en cada operación. Investigaciones recientes en relación a las yupanas sugieren que eran capaces de calcular cifras considerables basándose en un sistema probablemente no decimal, sino en relación al número 40. En el 2010, el investigador peruano Andrés Chirinos ,revisando dibujos y descripciones antiguas de Guaman Poma de Ayala, descifró que la Yupana es una tabla con once agujeros, que él denomina "calculadora prehispánica" y es capaz de sumar, restar, multiplicar y dividir y posiblemente también registrar textos. http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica_incaica

En este capítulo aprenderemos .. Definición .. Conceptos previos .. Criterios de factorización

Colegios

42

TRILCE

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Álgebra

Síntesis teórica

FACTORIZACIÓN EN Z (Parte II)

Aspa doble

Divisores binomios o Evaluación binómica

Aspa doble especial

A qué polinomios se aplica

Regla para factorizar

A qué polinomios se aplica

Regla para factorizar

•

"Ceros" del polinomio

•

Regla para calcular "ceros"

Regla para factorizar

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Cuarto año de secundaria

43

7

Capítulo

Saberes previos 1. Completar luego de factorizar:

3. Si: P(x) = (x+1)2 (x2 + 2x + 3)3, completar:

A. L(x;y) = x4y2+ x2y2 + xy ........................ ..

4.

B. Q(x) = x2 +x – 2 = .................................. C. R(x) = x2+ 5x = .....................................

D. P(x) = x2 – x – 6 = ....................................

• • • •

Número de factores primos: ......................... Factores primos: ........................................... Factores primos lineales: .............................. Factores primos cuadráticos: ........................

Calcular el cociente de:

3 2 x –3x + 4x + 1 x–1

2. Completar:

A. Divisores de 6= ........................................



B. Divisores de 15= ......................................



C. Divisores de 20= ......................................



D. Divisores de 36= ......................................

5. Obtener el cociente de: 4 2 x + 2x + x–1 x+2

Aplica lo comprendido 1. Relacionar correctamente: Posibles ceros

3. Factorizar por aspa doble: Polinomio

±(1;2;5;10)

A

P(x)=x3+8x2+17x–10

± (1;2;4;8)

B

P(x)=x3–7x2+16x–12

± (1;2;3;6)

C

P(x)=x3–6x2+11x–6

± (1;2;3;4;6;12) D

P(x)=x3–8x2–x+8

P(x; y) = 6x2 – 5xy – 25y2 –23x – 5y +20

4. Factorizar por aspa doble especial: P(x) = x4 + 3x3 – x2 + 7x + 2

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F): A. El polinomio: P(x)=x3+3x2+x–2 se factoriza por divisores binómicos...................... ( ) B. El polinomio: P(x)=x4+x2+2 es mónico...( )

C. El polinomio: P(x) = x3 – 6x2 +11 x – 6 tiene como un posible cero a: x=2..................( )

5. Factorizar por divisores binómicos: P(x) = x3 – x2 – 2x – 12

D. El polinomio: P(x)=x4+6x3+7x2+6x+1 se factoriza por aspa doble.......................... ( )

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44

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Álgebra

Aprende más 8. Factorizar: P(x) = x4 + 5x3 + 9x2 + 11x + 6 Indique el número de factores primos.

1. Relacionar las columnas correctamente: Método para factorizar

Polinomio



Divisores binómicos

A

P(x)=x2+3x+2

Aspa doble especial

B

P(x)=x4+3x3–x2+7x+2

Aspa doble

D



P(x;y)=x2+3xy+2y2–7x–9y+10

2. Indicar Verdadero (V) o Falso(F) al factorizar: P(x) = x3 + 2x2 – 13x 10

) ) ) )

3. Completar al factorizar por aspa doble:

Luego: P(x;y) = (

+

+

+

+

)

4. Factorizar: P(x) = x3 – 5x2 – 2x + 24 indicar la suma de los términos independientes de los factores primos.

a) –7 d) 4

b) –5 e) 6

c) –3

5. Indicar un factor primo de: P(x)=x3(x+1)+2x2+5(x–3)

a) x2 – 5 d) x2 – 3

b) x2 + 5 e) x2 + 3

c) x2 – x – 3

6. Factorizar: H(x) = x3 – 7x + 6 Indicar un factor primo.

a) x – 3 d) x + 1

b) x + 2 e) x

c) x – 1

7. Factorizar: P(x;y)=6x2+7xy–3y2+11x-11y–10, indicando la suma de sus factores primos.

a) 5x+2y+3 d) x+y+1

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b) 5x+y–3 e) x+2y+3

a) 3x+y d) 5x–2y+2

b) 3x+y+2 e) 5x + 2

c) 5x+2y

a) 4x + 3 d) 4x + 6

b) 4x + 4 e) 4x + 7

c) 4x + 5

11. Indicar un factor primo de: P(x) = x4 + 4x2 + 16 a) x2 + 2x + 4 b) x2 + 2x c) x2 – 2x 2 2 d) x – 2x + 3 e) x + 6x – 1

12. Indicar un factor primo de: P(x)=6x6–5x5–6x4–13x2–6

II

)(





P(x;y) = x2 + 2xy + y2 + 5x + 5y + 6 III

c) 3

10. Factorizar: P(x) = x4 + 5x3 – 7x2 - 29x + 30 indicar la suma de todos los factores primos.

A. El polinomio tiene dos factores primos.... ( B. El polinomio tiene tres factores primos.... ( C. La suma de sus factores primos es: 3x+2.... ( D. Uno de los factores primos es: x – 2........ (

I

b) 2 e) 5

9. Factorizar: P(x;y)=15x2+11xy+2y2+16x+6y+4 Indicar un factor primo.

P(x)=x3–x2–2x–12

Aspa simple C

a) 1 d) 4

c) 5x+2y–3



a) 2x3 – 1 c) 2x3 – 3x2 – 2 e) x3 – 3

b) 2x3 – 3x3 + 2 d) x3

13. Indicar un factor primo de: P(x; y; z) = 10x2 – yz + 3y2 – 17xy + 5xz

a) y – x d) 2x – 3y – z

b) 2x+3y+z c) 5x – y e) 5x + y

14. El volumen de una caja está dado por "V(x)" y altura "H(x)". Encontrar los valores de las otras dimensiones si estos son polinomios de coeficientes enteros que dependen del valor de "x"; se sabe que: VOLUMEN : V(x)= x3 – 6x2 + 11x – 6 ALTURA : H(x)= x – 2 Además calcular el valor de dichas dimensiones si el valor de "x" es 8. 15. Los ingresos de una tienda están dados por: I(x)=P(x).Q(x) ; donde: I(x): Ingreso; P(x): Precio de venta; Q(x): Cantidad de artículos vendidos. Si el ingreso es: I(x)=x4+6x3+7x2+6x+1, hallar el precio de venta y la cantidad de artículos vendidos en función de x.

Cuarto año de secundaria

45

7

Capítulo

Practica en casa 7. Factorizar: P(x;y)=3x2+4xy+y2+4x+2y+1 indicando uno de los factores primos.

1. Relacionar las columnas correctamente: Método para factorizar

Polinomio

Divisores binómicos

A

P(x;y)=6x2+7xy–3y2+11x–11y–10

Aspa doble especial

B

P(x)=x2 – 2x – 24

Aspa simple

C

P(x)=x4+6x3+7x2+6x+1

Aspa doble

D

P(x)=x3+6x2+11x+6

8. Factorizar: P(x) = x4 – 2x3 –10x2 + 5x + 12 9. Factorizar: P(x; y)=10x2+11xy–6y2–x–11y–3 Indicar un factor primo. 10. Indicar un factor de: P(x)=x4+7x3+14x2+7x+1 11. Factorizar: P(x) = x4 + 2x2 + 9 indicar un término de un factor primo.

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) al factorizar: P(x) = x3 – 3x +2 3.

A. El polinomio tiene dos factores primos..... ( B. El polinomio tiene tres factores primos..... ( C. La suma de sus factores primos es: 3x+2.... ( D. Uno de los factores primos es (x – 1)........ ( Completar al factorizar por aspa doble: P(x;y) = 5x2 + 8xy + 3y2 + 2x + 0y – 3 I

III

II



Luego: P(x;y) = __________________

4. Factorizar: P(x) = x3 + 2x2 – 5x – 6 indicar la suma de los factores primos. 5. Indicar un factor primo de: M(x) = 2x3 – 5x2 – 23x - 10

12. Indicar la suma de coeficientes de los factores primos de: P(x) = x4 – 4x3 + 11x2 – 14x + 10 ) ) ) )

13. Indicar un factor primo de: P(x; y; z)=6x2 – 20y2 – 14z2+7xy+38yz – 17xz 14. El volumen de una caja está dado por "V(x)" y altura "H(x)", encontrar los valores de las otras dimensiones si estos son polinomios de coeficientes enteros que dependen del valor de "x", se sabe que: VOLUMEN : V(x)= x3+6x2 + 11x +6 ALTURA : H(x)= x + 2 Además calcular el valor de dichas dimensiones si el valor de "x" es 8. 15. Los ingresos de una tienda están dados por: I(x)=P(x).Q(x); donde: I(x): Ingreso; P(x): Precio de venta; Q(x): Cantidad de artículos vendidos. Si el ingreso es: I(x)= x4+3x3+ 7x2 +7x +6; hallar el precio de venta y la cantidad de artículos vendidos en función de "x".

6. Indicar un factor primode: P(x) = x3 + 5x + 6

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TRILCE

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Tú puedes 1. Al factorizar: P(x) = x5 + 5x4 + 7x3 – x2 – 8x – 4 , indique "V" o "F"

I. El polinomio tiene cinco factores primos. III. La suma de sus factores primos es: 3x+2



a) FVFF

b) VVVV

II. El polinomio tiene tres factores primos. IV. Uno de los factores primos es: (x + 2)2.

c) FVVV

d) FVVF

e) VVVF

2. Factorizar: P(x;y) = 24x3y2+60x2y2 – 6xy4 + 6xy3 + 36xy2 a) 6xy2 (x + y + 1)(2x – y + 3) c) 6xy2 (2x + y + 2)(x – y + 3) e) 6xy2 (2x + y + 2)(2x – y + 3)

b) 6xy2 (x + y + 2)(2x – y + 3) d) 6xy2 (2x + y – 2)(2x – y – 3)

3. Factorizar: P(x) = x5 + x + 1 a) (x2 + x + 1) (x3 – x2 + 1) c) (x2 – x – 1) (x3 – x2 + 1) e) (x2 + x + 1) (x3 + x2 – 1)

b) (x2 + x + 1) (x3 + x2 + 1) d) (x2 – x – 1) (x3 + x2 + 1)

4. Factorizar: P(x) = x12 – 3x9 – 7x6 + 27x3 – 18 a) (x – 1)(x2+x+1)(x3 – 2)(x3 – 5)(x3 – 3) c) (x+1)(x2 – x+1)(x3 – 2)(x3+3)(x3 – 3) e) (x – 1)(x2+x+1)(x3 – 2)(x3+4)(x3 – 3)

b) (x – 1)(x2+x+1)(x3 – 2)(x3+3)(x3 – 3) d) (x – 1)(x2+x+1)(x3+2)(x3+3)(x3 – 3)

5. Indicar un factor primo de: P(x) = x5 – x4 + 2x2 – 2x + 1

a) x2 + x + 1

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b) x3 + x + 1

c) x2 + x – 1

d) x3 – x+1

e) Ninguna

Cuarto año de secundaria

47

8

Capítulo

Fracciones algebraicas Lectura Federico Villarreal a los Universidad Nacional Mayor de San Marcos 20 años obtuvo el título de preceptor el cual le permitió dirigir la escuela oficial de Túcume y dirigió un colegio de instrucción media donde enseñó matemáticas .En 1873, con 23 años descubrió un método para elevar un polinomio cualquiera a una potencia cualquiera. Estudió Ciencias Matemáticas en la Universidad Nacional Mayor de San Marcos (UNMSM), graduándose Federico Villarreal como Bachiller con la tesis: Fórmulas y métodos que deben completarse en matemáticas puras; y como licenciado con la tesis: Efectos de la Refracción sobre el Disco de los Astros. En 1881 , se graduó de Doctor en Ciencias Matemáticas mediante la tesis: Clasificación de Curvas de Tercer Grado destacando por su originalidad y conclusiones. Esto le mereció a Villarreal la medalla de oro otorgada por la Facultad de Ciencias al primer Doctor de su época, quien a la vez, se constituye en el primer matemático profesional del siglo XX en el Perú. http://www.arrakis.es/~mcj/villarreal.htm

En este capítulo aprenderemos .. Definición .. Forma general .. Simplificación de fracciones .. Operaciones con las fracciones algebraicas

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Síntesis teórica

FRACCIONES ALGEBRAICAS

Definición

Simplificación de fracciones

Fracciones irreductibles

Operaciones con fracciones

Adición y sustracción

Regla práctica: caso: a ± c

b

d

Multiplicación

División

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Cuarto año de secundaria

49

8

Capítulo

Saberes previos 1. Efectuar:



c) x14.x11 = ......................................



a) (x+y)(x – y)=...............................



d) x.x4.x7 = ............................



b) (x+y)2=.......................................



c) (x+a)(x+b)=.....................



d) (x–y)(x2+xy+y2)=....................................

2. Factorizar:

4. Efectuar: a) 1 + 3 = ........................... 2 2



a) x2+5x=.........................



b) x2–9=.....................................



c) x2 – x – 6 =..................................



d) x2 +5x +4 =................................



3. Efectuar:

b) 3 – 1 =............................. 2 3

c) 1 . 3 . 2 =.................................. 2 4 3 d) 1 ' 3 =....................................... 4 5 5. Efectuar:



a) x10 .x13 = ....................................

a) c – 1 mc – 1 m = .......................... 2 3



b) x15 .x23 . x7 = .............................



b) `– 1 j ' c+ 2 m =............................ 4 3

Aplica lo comprendido 1. Relacionar correctamente: 25x3 y4 5x2 y2

3. Efectuar las siguientes operaciones:

A

13xy3

x'y y x

B

x2 –y2 xy

169x4 y5 z6 13x3 y2 z6

C

x2 y2

x–y y x

D

5xy2

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto a las fracciones algebraicas: x2 - 4 =1 ; x ≠ ±2...................................( ) A. x2 –4 B. x – 6 =1 ; x ≠ 6...........................( ) x–6 x–6 C. Si: x=5, la fracción: 3 no está definida..( ) x–5

12x2 y3 z4 B. = 4xyz 3 (x2 –25) = C. 3x2 –75 x2 ' x = D. y2 y3 4. Reducir: 57x5 x2 y3 y4 z6 19x4 y2 z4 5. Simplificar: 2 x 2+ 2x–35 x –3x–10

1 D. 1 + 1 + 1 = .....................( ) x y z x+y+z

Colegios

50

x + z + y = A. y y y

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Aprende más 1. Relacionar correctamente: x2 –4x + 4 x–2

A

4

x + 7 + 2x–5 + x–2 x x x

B

x–6

x2 –36 x+6

C

2

x + y x–y – y y

x3 + 1 - x2 + 1 x–1 1–x x + 1 1 + x

6. Reducir:

D

x–2



a) x2 + 1 d) x2 + 4

b) x2 + 2 e) x2 + 5

c) x2 + 3

2x + my es independiente de 4x + 3y "x" e "y", hallar "m".

7. Si la fracción:



a) 6

3 b) 1 c) 6 2



d) 4

e) 1

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto a las x+ 3 = A + B 8. Si: 3 x–5 x + 4 fracciones algebraicas: x2 –x–20

A. (x –

y)a–1

= 1 (x–y)..................................( ) a

x+y B. =(x–1+y–1)–1; xy ≠ 0 .....................( ) xy

1 no está definix –x–2 da.............................................................( ) D. El valor de ( x ) es cero, si: x=0..........( ) x+1

C. Si: x=2, la fracción:

2

3. Completar luego de reducir:

b) 1 e) 4

c) 2

2xy 5. Simplificar: 1 ; x + x + 2 2 E 2 x–y x+y x –y 1 c) x a) 2 b) x–y x+y x+y d) 1

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a) 8 d) 12

b) 4 e) 9

c) – 6

9. Obtener el producto resultante:

1 1 1 1 `1 + x jc1 + x + 1mc1 + x + 2 m ... c1 + x + n m

x + n b) x + n + 1 c) x–n a) n x n



2 2 4. Reducir: 2x2 –10x + x 2+ 16x + 15 x –25 x + 6x + 5





10. Dado:

x2 + 7x + 10 = B. x+5 x2 + 5x + 4 + x2 –x–6 = C. x–3 x+4 2 2 D. c x –25 mc x –36 m = x–5 x+6

a) 0 d) 3

Hallar: (A × B)A+B

x+1 x–n + 1 e) d) x x+n

A. 1 = 1– 1 x





e) x x+y

A = 1+

1 1+

1

;B = 2 +

1+ 1 j



Calcular "A2 – B"



a) - 1

1 1+

b) 0

1

1+ 1 j

c) 1

3 e) 5 d) 2 4 11. Simplificar: a + 2a 2 a –b b+ 2 b 2 a +b b + 2b 2 a –b a+ 2 a 2 a +b a+b b) a–b c) a –b a 2 b a d) e) a+b b2

a) 1

Cuarto año de secundaria

51

8

Capítulo

14. El colegio TRILCE tiene su local de forma rectangular; su área "A(x)" depende del número de alumnos "x", y está dada por: A(x) = x4 – 41x2 + 400 , en m2. Si el ancho del terreno es : B(x) = x2+x–20, ¿cuál es la dimensión del largo?

2 12. Si la fracción: 3 – 22x + 4x 2x –x–1 β es equivalente a: α + + θ 2x + 1 x – 1 α + 3 (θ + β) Hallar: 15



1 c) 3 a) – 1 b) 5 5 5

1 e) 1 d) 15 3 a2+b2+c2=3 ab+ac+bc=0

13. Sabiendo que: Calcular:

15. Durante el programa de vacunación nacional contra la gripe porcina, el Ministerio de Salud asegura que el costo por vacunar al "x"% de la población es aproximadamente: 3 P(x)= 8002x 3 , en millones de soles. Calcu900x –x lar el costo por vacunar a toda la población.

4 2 4 2 4 2 a – (bc) + b – (ac) + c – (ab) a (a–b–c) b (b–a–c) c (c–a–b)



a) 3 d) 6

b) 4 e) 7

c) 5

Practica en casa 1. Relacionar correctamente: x2 –6x + 9 x–3

A

5

x + 2 + 3x + 5 + x–7 x x x

B

x–3

x2 –100 x + 10

C

2

x + m – x–m m m

D

x – 10

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto a las fracciones algebraicas:

A. (m – n)x–1= 1 (m–n); x ≠ 0.....................( ) x

x+y B. = 1 + 1 ; xy ≠ 0.........................( ) xy x y 1 , no está 2 x –2x–8 definida...................................................( )



C. Si: x = 4, la fracción:



D. El valor de (

y+2 ) es cero, si: y=2.........( ) y–2

3. Completar luego de reducir: A. 1 = 1+ 1 x

x2 + 3x + 2 + x2 –3x–18 = C. x–6 x+1 2 2 D. c x –49 mc x –81m = x+7 x+9 2 2 4. Reducir: a –25a + 6 + a 2+ a–20 a –a – 2 a – 3a – 4

5. Reducir: c 1 + 1 + 22 m (x – 1) 6x + 1 6x–1 x –1 6. Efectuar:

x2 – 2x3 + x2 x + 1 x2 –1 x–1

7. Si la fracción: F(x; y) =

mx–12y 4x–6y

es independiente de "x" e "y", calcular "m". 8. Si: 2 3x + 4 = A + B x+ 1 x+ 2 x + 3x + 2

Hallar: A.B

9. Reducir: 1 1 1 +..."n" fracciones + + n (n + 1) (n + 1) (n + 2) (n + 2) (n + 3)

x2 + 4x + 3 = B. x+1 Colegios

52

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra 10. Calcular "P ÷ Q", si: P = m+

Q = n+

1 n+

m+

1

n+



1

1

m+ 1 ...3

Hallar "M.N".

12. Si al reducir: 1 – 2x+x2+

4 (x3 + y3 + z3) –3xyz xyz

14. El colegio TRILCE tiene su local de forma rectangular; su área "A(x)" depende del número de alumnos "x", y está dada por: A(x) = x4 – 25x2 + 144, en m2. Si el ancho del terreno es: B(x) = x2–7x +12, ¿cuál es la dimensión del largo?

–2 – 2 – 1 –1 –1 –1 11. Si: M = (a–1 –b –1) –1 ; N = (a–2 –b –2) –1 (a + b ) (a –b )



calcular: W =

1

n+ 1 ...3 1

m+

13. Si: x–1+y–2+z–3=–3×2

1–x4 1 + 2x + x2

15. Durante el programa de vacunación nacional contra la gripe porcina, el Ministerio de Salud asegura que el costo por vacunar al "x"% de la 2 población es aproximadamente: P(x)= 750x 2 820x–x en millones de soles. Calcular el costo por vacunar al 70% de la población.

se obtiene: m–nx , indicar "a+b+m+n". a + bx

Tú puedes 1. Si:

x3

= 1, x ≠ 1 , reducir: M = c

a) 1

3

x- 4 m 1 + x5

b) - 1

c) 2

2. Si: (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 , calcular: K =

a) 2

c) 2-1

b) 3 2

d) - 2

e) 3 2

- xyz (x + y + z) (xy) 2 + (xz) 2 + (yz) 2 d) 2-2

e) 9

-1

7x2 (y - z) - 3 7 (x - z) - 2 . G G = 3. Reducir: = (z - x) 2 (z - y) 2

a) (y - z)4 (x - z)2 d) 7x4 (y - z)-4 (x - z)-2

b) 7x (y - z)-4(x - z)-2 e) 7x4 (y - z) (x - z)

c) x(y - z)-4 (x - z)-2

4. Si: a + b + c = 7 y b + c + a = 5 , hallar: ` a + 1jc b + 1m` c + 1j b c a 2 a b c 2 b c a a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 5. Si: am = bn = cp, calcular: E =

a) 1

www.trilce.edu.pe

b) 2

mnp (a + b + c) (ab + ac + bc) abc (m + n + p) (mn + mp + np) c) am

d) abc

e) mnp Cuarto año de secundaria

53

9

Capítulo

Repaso I Lectura En el año 1900, durante un discurso en el Congreso Internacional de Matemáticos, David Hilbert propuso una lista de 23 problemas matemáticos. Esta lista, que toca varias áreas de las matemáticas, formó un foco central para muchos matemáticos del siglo XX. A la fecha (2011), diez han sido resueltos, siete parcialmente resueltos y dos siguen abiertos; los cuatro restantes están formulados de manera muy vaga para decidir si han sido resueltos o no. Algunas conjeturas notables fueron finalmente probadas. En 1976, Wolfgang Haken y Kenneth Appel usaron una computadora para demostrar el teorema de los cuatro colores. Andrew Wiles, basado en el trabajo de otros, probó el último teorema de Fermat en 1995. Paul Cohen y Kurt Gödel probaron que la hipótesis del continuo es lógicamente independiente de los (no puede ser probada o negada de) axiomas de la teoría de conjuntos. En 1998, Thomas Callister Hales probó la conjetura de Kepler. En el año 2000, el Clay Mathematics Institute anunció los siete problemas del milenio, y en 2003 la demostración de la conjetura de Poincaré fue resuelta por Grigori Perelmán (que declinó aceptar el premio). http://es.wikipedia.org/wiki/Historia_de_la_matem%C3%A1tica

En este capítulo aprenderemos .. Teoría de exponentes / Ecuaciones Exponenciales .. Grados/ Polinomios especiales .. Productos Notables .. División algebraica I .. División algebraica II .. Factorización I

Colegios

54

TRILCE

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Álgebra

Cruci - álgebra * Completa el crucigrama algebraico.

1

5

1

4

2 6

3

3

7

8

4 5

6 7 2

VERTICAL

HORIZONTAL 1. Método para factorizar expresiones de la forma: ax2+bxy+cy2+dx+ey+f 2. Forma de encontrar el resto sin dividir. 3. División de polinomios utilizando solo coeficientes y una línea divisoria. 4. Igualdades donde la variable está en el exponente. 5. Polinomios de igual grado absoluto. 6. Método de división de polinomios donde el divisor es de primer grado. 7. Expresiones algebraicas donde la variable está en el denominador.

www.trilce.edu.pe

1. 2. 3. 4.

Método para factorizar expresiones cuadráticas. Transformación de polinomios de suma a productos. Aplicaciones de los productos notables. Teoremas y propiedades de los exponentes y radicales. 5. Exponentes enteros de una o más variables en los polinomios. 6. Multiplicaciones conocidas sin efectuar dichas operaciones. 7. Método para factorizar, por el método de Rufini, polinomios de grado mayor o igual a tres. 8. Divisiones exactas, cuyo resultado es conocido como su desarrollo. Cuarto año de secundaria

55

9

Capítulo

Aplica lo comprendido 1. Simplifique: S=

(x3 y) 2 y3 ; x ≠ 0, y ≠ 0 (x2) 2 (y3) 2

y x x b) a) c) x y y2 x2 d) y

e) x.y

2. Simplifica: L=



3

4 c) 2 a) x–1 y–n b) n xy xy x d) xyn e) yn

a) 1 d) 4

4. Simplificar:

b) 2 e) 5

c) 3

5+ 2+ 5– 2 5– 2 5+ 2

7 b) 7 c) 7 a) 3 2 6

a) x – 3 d) x – 2

b) x + 3 e) x + 5

c) x + 2



a) (x – 1)(x + 2)(x – 3) b) (x + 1)(x – 2)(x + 3) c) (x – 1)(x – 2)(x – 3) d) (x + 1)(x + 2)(x + 3) e) (x + 1)(x + 2)(x + 4)

8. Factorizar: P(x;y) = 4x2 + 12xy + 5y2 + 12x + 18y + 9

indicar un factor primo.



a) 2x + 5y + 3 c) 2x + 5y + 5 e) 2x + 5y + 7

b) 2x + 5y + 4 d) 2x + 5y + 6

4 3 2 9. Dividir: x + 4x2 + 6x –7x + 2 x + 2x + 1 Indicar el resto.

14 e) 14 d) 3 5



5. Si a + b + c = 0, reducir:

10. Calcular "a + b", si la siguiente división: 4 3 x2 + ax + (b + 1) 5x + 4x –13 x2 + 2x–1

2 2 2 R= a + b + c ab + bc + ac



a) 1 d) – 2

Colegios

56



2

2y 2y 3. Reducir: S= c 3x + m – c 3x – m 2y 3x 2y 3x

P(x) = (x–3)(x–2)(x–1)+(x–1)(x–2)–(x–1)

7. Factorizar: F(x) = x3 – 2x2 – 5x + 6

x3n + 1yn x3n + 4 y4n

2

6. Dar un factor primo de:

TRILCE

b) 2 e) 0

c) – 1

a) 1 – 10x d) 10x – 2

b) 1 + 11x e) 4x – 1



deja como residuo a: –12



a) 2 d) – 2

b) 3 e) 1

c) 1 – 11x

c) – 3

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Álgebra

Aprende más –2 3 5 1. Simplifique: Q= 25 c a3 b m ; b>0 , a>0 a b –2

8. En el esquema de Horner mostrado: 3 A1 A2 A3 A4 A5 K1 K2

a b) b a) c) ab b a a e) a d) `bj b2



7x + 6

a) 5 d) 1

=

73x – 4

b) –5 e) 6

c) 3

3. Simplificar: R=(a+b+c+d)2–(a+b+c)(a+b+d)–(b+c+d)(a+c+d)



a) ab d) -cd – ab

b) ac + cd e) 0

c) cd + ab

4. Hallar el número de factores primos del polinomio: P(x;y) = 13x10y5 – 26x7y8 + 39x11y9

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

5. Factorizar: P(x) = x3 – x – 6

a) (x + 2) + 2x + 3) b) (x - 2) (x2 + 2x + 3) c) (x + 1) (x2 + 2x + 6) d) (x – 1) (x2 – 2x + 6) e) (x – 2) (x2 – 2x + 3)

a) – 25 d) 21

b) 25 e) 0

a) (x2 + x + 3) (x2 – x + 6) b) (x2 + 5x + 6) (x2 – 2x + 6) c) (x2 – 5x + 3) (x2 – 2x + 6) d) (x2 + 5x – 3) (x2 + 2x – 6) e) (x2 + 5x + 3) (x2 + 2x + 6)

www.trilce.edu.pe

42 8

2 3 –7 se pide encontrar el mayor coeficiente del dividendo. a) 10 d) 6

9. Calcular "x" en:

b) 8 e) 38 x+3

a) 2

c) 4

x–2 =

7

4

b) 2 2

2 e indicar: x 8x 8

c) 2 2

d) 2 e) 4 10. Factorizar: F(x;y)=x2(x – y)2 – 14xy2(x – y)+24y4 dar un factor primo.

a) x + 2y d) x – y

b) x – 3y e) x + 8y

c) x – 4y

P(x;y)=xa+3y2+5xb–5y+bx8yc+4+x10y9

c) 24

7. Factorizar: P(x) = x4 + 7x3 + 19x2 + 36x + 18

–18 –14 6

11. Calcular "a + b + c" , si el polinomio:

(x2

6. Calcular (mn)2, si la siguiente división es exacta. 4 3 6x + 52x + 2mx–3n 2x + x + 3

–12 6

5

2

2. Resolver:

4



es homogéneo.



a) 44 d) 41

b) 43 e) 40

c) 42

12. El siguiente polinomio: P(x)=5x3a–9+10xa+b–3+20(x2)4b–c+a

es ordenado en forma creciente y completo. Calcular: ab + bc + ac.



a) 15 d) 27

b) 20 e) 2

c) 22

13. Si el siguiente polinomio de 14 términos es completo y ordenado: P(x)=xn+4+...+xa–1+xa–2+xa–3

Calcular: a + n.



a) 3 d) 16

b) 9 e) 12

c) –4

Cuarto año de secundaria

57

9

Capítulo

14. ¿Cuál es el polinomio de primer grado "P" tal que: P(2) = 3; P(3) = 2P(4)?

a) P(x) = –2x + 1 c) P(x) = –x + 4 e) P(x) = x + 5

b) P(x) = –x + 5 d) P(x) = x + 4

15. Hallar el grado del término de posición 1 en el xa –y5a - 8 desarrollo de: si es un C.N. x2 –y9

a) 12 d) 18

b) 14 e) 20

c) 16

16. El residuo de la siguiente división: 4 3 + 6x2 – (a + 2) x + (b + 3) x –4x (x + 1) 2

es : – (27x+11); indicar "a + b".



a) - 3 d) 4

b) 0 e) 5

c) 3



3+

3 x –2x a) 1 d) 7



a) – 4 d) – 24

b) 4 e) – 2

c) – 6

19. Simplificar: 2ab 2 + b2 a – ab E(a;b)= a3 –b3 2a – 1 c 3 mc m a + b3 a–b 1+

1 a) 2

b) 1

b d) a

e) 0

c) a b

20. Reducir:

17. Indicar el resto : 4

18. Hallar el resto de la división: (x6 –9x + 6) 2012 + (x6 –9x + 4) 2011–2 (x6 –9x) –14 x6 –9x + 5



2

3 x – 5 x + (7 – 3 ) x– 3 b) 3 e) 9

c) 5





S=

1 1 1 + + (a–b) (a–c) (b–a) (b–c) (c–a) (c–b)

a) 0 d) abc

b) 1 e) –a–b–c

c) 2abc

Practica en casa 7. Si:

2

–8a3 3 1. Reducir: R = c –6 m b



2

2. Resolver: 32x+3=3x ; dar la mayor solución. 3. Reducir: K=( 8 + 3 ) 2 + ( 8 – 3 ) 2



6x2

5. Factorizar: P(x) = – indicar un factor primo.

3

2

ax + bx 2+ 9x + 10x + 3 3x + x + 3

Colegios

58

TRILCE

1 m 2

3

a 9

1 d e

+ 11x – 6

6. Calcular "ba" si la siguiente división es exacta. 4

deja como resto (4x – 10), calcular "A + B".

8. En el esquema de Horner mostrado:

4. Factorizar: P(x;y) = 4x2 + 13xy + 10y2 + 18x + 27y + 18 indicar la suma de factores primos. x3

x5 + 3x4 –3x3 –4x2 + (A–1) x + (B + 1) x2 + 2x – 2

n



–2

p

b

c

f g 4

h –3

Determinar: (m+n+p) – (a+b+c) 9. Calcular x,

si: xx+1

x+1

=227

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Álgebra 10. Dar la suma de factores primos de: P(a;b;c;d) = a2 + 2ab + b2 – c2 – 2cd – d2

es homogéneo, la suma de sus coeficientes es:

12. Dado el polinomio homogéneo: P(x;y)=5x3a–2by4–x2ayb+7+xa–1ya+3b

P(x)=3xp–n–5–4xn–m+3+7xm–6+x2+(m+p)

11. Si el polinomio: P(x;y)=axa+3–abxa–1yb+2+2byb+8

13. Si el polinomio "P(x)" es completo y ordenado: 0

Calcular: (m + n + p).

14. Si: a+b+c=60 3 + (b–20) 3 + (c–30) 3 hallar: M = (a–10) (a–10) (b–20) (c–30) 15. Calcular "n", si la división:

Calcular: G.A.(P) + ab.

x5n –y6n + 1 n 2n 3 ; genera un cociente notable. x –y

Tú puedes 1. Efectuar: >^ - 32h

- 0, 4

4. Dado el polinomio homogéneo: -1 3

+ ^ - 64h

- 20

- c- 1 m 2

- 3- 1

+c 1 m 125



a) 1

b) 1 3



d) – 1 3

e) 3

1 - 2- 1

- 16

+ c 1m 6

2

H

c) -1

P(x;y) = xa+yb+c+xbyc+xcyb+xdye+xeyd;

si la suma de todos los exponentes del polinomio propuesto es 42, hallar: E = a + b + c + d + e

a) 7 d) 28

b) 14 e) 35

c) 21

2. Uno de los factores primos de: P(x;y;z)=zx4 + 4x2y2 – 4x2y2z +4y4z- x4 - 4y4, es:

5. Determinar la suma de coeficientes del factor primo con mayor término independiente al factorizar:



P(x) = x4 + 2x3 + 4x2 + 3x - 28

a) 1 + z d) x – 2y

b) 2 – z e) x + 2y

c) z – 1

3. Si: H= (x–5) (x + 6) (x–1) (x + 2) + 196 hallar: H + 16, 25 a) 2x + 1 b) x + 1 2 + 2 x 1 d) e) 2x – 1 2

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a) –2 d) 6

b) 7 e) 9

c) 8

c) x + 2

Cuarto año de secundaria

59

10

Capítulo

Radicación algebraica Números irracionales famosos

Tras distinguir los números componentes de la recta real en tres categorías: (naturales, enteros y racionales), podría parecer que ha terminado la clasificación de los números, pero aún quedan "huecos" por rellenar en la recta de los números reales. Los números irracionales son los elementos de dicha recta que cubren los vacíos que dejan los números racionales. Los números irracionales son los elementos de la recta real que no pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales no periódicas. De este modo, puede definirse al número irracional como un decimal infinito no periódico. En general, toda expresión en números decimales es solo una aproximación en números racionales al número irracional referido; por ejemplo, el número racional 1,4142135 es solo una aproximación a 7 cifras decimales del número irracional 2 , el cual posee infinitas cifras decimales no periódicas. Debido a ello, los números irracionales más conocidos son : Número "pi"= 3,14159 ... ; Número "e"= 2,7182 ... ; Número "áureo"= 1,6180 ... http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_irracional

En este capítulo aprenderemos .. Definición de radicación .. Radicales dobles .. Racionalización

Colegios

60

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra

Síntesis teórica

RADICACIÓN ALGEBRAICA

Analizar ejemplos: Definición

caso 1: x = 4 caso 2: x2 = 4

Radicales homogéneos

Racionalización

Radicales semejantes

Para expresiones monomias índice 2 o sus potencias

Operaciones Para suma o resta de radicales

índice 3 o sus potencias

Adición y sustracción Radical doble Multiplicación y división Transforman un radical doble a suma o resta de radicales simples.

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Cuarto año de secundaria

61

10

Capítulo

Saberes previos 1. Efectuar las siguientes operaciones:

4. Reducir:

a) 9 + 49 – 121= ....................................

a)

b) 81 + 100 – 169 = ................................ c) 25 36 – 16 49 = .................................

1 = .................. 4

5. Reducir:

2. Completar :

a)



n

A

x4 y8 = .................................................. 3

6 6 b) x y = ................................................

a) n es el ....................................................... b) A es el .......................................................

c)

3



c)

x8 y16 = ............................................

d)

3. Reducir: a)

36 = ................ 25

c) 49.16 = ............. d) 3 64.27 = ...........

d) 144 256 ' 16 64 = ............................

Dado

b)

16 = ...............

b)

81= ................

64 = ................

d)

3

x16 y16 = ........................................

64 = ..............

Aplica lo comprendido 3. Efectuar:

1. Relacionar correctamente: 1 + 1 3 +1 3 –1

A

5+2 6

B

3

1 x

C

x+ y x–y

1 x– y

D

3+ 2

x x

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F): A. 3 5 > 3 ............................................... ( )

B. 20 = 2 5 .......................................... ( )



C. 5 + 2 = 7 .................................... ( )



D.

Colegios

62

4

TRILCE

3 . 3 5 =12 15 ...................................... ( )

a) 81 - 3 27 + 5 - 32 b) 7 2 + 3 50 c) 5 8 - 3 18 ^ 3 + 2 h^ 3 - 2 h d)

4. Descomponer el radical doble en radicales simples: a) 12 + 2 35

b) 14–2 33

5. Racionalizar las siguientes expresiones: a) 5 = 5 2 x b) 1 = 7– 6

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Álgebra

Aprende más 1. Relacionar correctamente:

6. Si: a + 4 b + 2 = a–2 + 2b

A

3+2 2

12 4 7

1 x y

B

F.R.= x8 y5

1 x6 y4

C

17 + 2 72

D

12

12

a) – 5 2 b) 3 + 2 c) 3 –1 d) 2 +1 e) 7+ 2

5+ 3 F.R.=12 x6 y8

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F):

Además: a > b; a, b ∈ , descomponer en radicales simples: a + b + 2 a + 6b

8 + 60

7. Reducir: T= 13–2 40 + 7 + 40 + 11 + 6 2 33 + 8 2 + 3– 8 + 11– 72

a) 2 A. El radical doble: 13– 120 es igual a: 2 – 1 10 – 3 ................................................. ( ) d)



B. El radical doble: 6 + 2 8 es mayor que 2 +3 ................................................... ( ) 8. Al reducir:



C. El factor racionalizante de 1 es 3 +1 3 –1 ............................................................... ( )



D. El factor racionalizante de: 3 16 es

3

4 .... ( )

3. Respecto a la Racionalización, completar: Expresión irracional

Factor racionalizante

Expresión racional

5– 3 3

a) 12

b) 14



e) 15

d) 11

c) 9

9. Simplificar:

1 + 2 1 + ... + 2 1 + 2 3 + 2 2

Indicando uno de los radicales simples.

10. Efectuar:

x y

T= 4. Calcular: N=( 7 + 2 ) ( 7 – 2 ) + (3 + 2 ) (3– 2 ) + ( 5 + 2) ( 5 –2)

b) 11 e) 17

c) 13

5. ¿Cuál de las raíces es menor? 8 ó 3 11 ó 4 36 3 3 6 a) 8 b) 11 c)

d) 11 e) 6

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7 + 4 5 + 2 9 + 2 7–2 6 , se

2 d) 6 e) 2

5 3 7

a) 10 d) 15

e) 1

a) 2 b) 3 c) 5

3– 2



c) 3 2 –1

obtiene: a + b , a>b. Hallar: a+b



xy2

b) 3 2



1 1 – 1 + 1 + 8+ 6 6 –2 2 + 2 2

a) 2 d) -1

b) -2 e) 0

c) 1

11. Simplificar: 4 1 + J= 4 + 1 5 1+ 1– 1 5 1+ 5

a) 0 d) 6

b) 1 e) 5 +1

c) 5

Cuarto año de secundaria

63

10

Capítulo

12. Simplificar:

14. Se tiene dos jardines; uno de forma cuadrada

M= 1

1

1

1 –2 1 –2 2 –1

a) 2

–2

–2

12 , y el otro rectangular 15 + 3 de base =2 3 y la altura H= 15 + 3 , Si se

de lado L=

– 2

desea sembrar con grass ambos terrenos cuyo

b) 1

c) 0

d) 2 +1 e) 2 –1 13. Indicar el denominador racionalizado de: 4 + 2 3+ 5

a) 1 d) 4

b) 2 e) 6

c) 3

costo por m2 es

de $120, ¿cuánto costó el

sembrado?

15. La dificultad para producir una sustancia "α" está dado por: F(x)= 3 x2 , donde "F(x)" es el número de unidades de la sustancia "α" y "x" es el costo,en miles de dólares, para producirla. ¿Cuántas unidades "α" se producirán, si : x=8 y x=27?

Practica en casa 1. Relacionar correctamente:

4. Calcular:

8– 48

A

3– 6

1 x5 y8

B

F.R.=15 x11y5

15 4 10

1 x y

C

15–2 54

D

15

6– 2 F.R.=15 x10 y7

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F):

10 + 2 h ( 10 – 2 ) + ^ 6 + 2h^ 6 –2h + ^3 + 7 h^3– 7 h

5. ¿Cuál de las raíces es mayor? 6 ; 3 3 ; 6 15 ;12 32 6. Dado: a + 60 , donde a∈ ; al descomponer en radicales simples, uno de ellos es 5 . ¿Cuál es el otro? 7. Calcular "A+B", si:

A. El radical doble: 11 + 40 es igual que: 10 +1 ...................................................( ) A= 12 + 12 + 12 + ... + 2 B. El radical doble: 5 + 2 6 es mayor que: 3 +1 ...................................................( ) B= 19 + 2 48 – 13 + 48 + 3 1 C. El factor racionalizante de es 5 +1 5 +1 ( ) 8. Simplificar: 4 D. El factor racionalizante de 8 es 4 2 .......( )

3. Respecto a la Racionalización, completar: Expresión irracional 6– 2 4

x2 y3

2+ 3 3

Colegios

64

N=^

TRILCE

x2 y5

Factor racionalizante

Expresión racional

M= 2 3 + 5– 13 + 48 9. Simplificar: 3– 3 +

2+ 2 2 3+

2 – 12 + 18– 128

10. Reducir: 1 1 1 1 T= + + + 5 +2 3+ 2 2+ 3 6+ 5

Central: 6198-100

Álgebra 11. Efectuar:

14. Se tiene dos jardines; uno de forma cuadrada 1– 3 1 3– 3– 1 3

U= 2 3 12. Simplificar: M= 4–

de lado L=

1 , y el otro rectangular de 2+ 3

base B = 2 3 y altura H= 2 + 3 . Si se desea sembrar con grass ambos terrenos cuyo costo por m2 es de $150, ¿cuánto costó el sembrado?

1 4–

–1

1

4–

– 3

15. La dificultad para producir una sustancia "α"

1

1 2– 3

está

dado por: F(x)=4 x , donde "F(x)" es el

número de unidades de la sustancia " α" y "x"

13. Indicar el denominador racionalizado de: 219 S= 1+ 2+ 3 + 6

es el costo, en miles de dólares, para producirla. ¿Cuántas unidades "α" se producirán , si : x=16 y x=81?

Tú puedes 1. Descomponer en radicales simples la expresión: M= 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 2n + 2n 2n a) n +1

b) 2n +1



e) n –1

d) n 2 + n

2. Si: x2 = x + 1, x > 0, reducir: E = x + x – a) x 2 x d) 2 3. Calcular:

100

/

( k–

4

c) n

x–1 2

b) 2x 2

c) 2 2

e) 2 x

k ) ; indicar la parte racional.

k= 1



a) 45





d) 48

4. Si: 1 < x < 2, reducir: a)

b) 46

c) 47

e) 49 3 x + 6 + 2 7x–7 + x–2 x–1

6 2

7 + 1 d) 2

b) 7

c) 7 –1 2

e) 7 2

5. Si al dividir 26–2 7 entre 3– 7 , se obtiene una expresión de la forma "a+ b ", donde "a" y "b" son enteros positivos, entonces "a2 – b" es:

a) 9



d) 2

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b) 15

c) 29

e) 18 Cuarto año de secundaria

65

11

Capítulo

Factorial - número combinatorio Factorial - número combinatorio

El matemático francés Christian Kramp fue quien popularizó la notación "n!". Los factoriales se utilizan considerablemente en la rama de la Matemática combinatoria. Por medio de esta, los factoriales intervienen en el cálculo de las probabilidades y en el ámbito del Análisis. También en las Combinaciones y permutaciones, donde normalmente usamos la palabra "combinación" descuidadamente, sin pensar en si el orden de las cosas es importante. Por ejemplo: "Mi ensalada de frutas es una combinación de manzanas, uvas y bananas". No importa en qué orden pusimos las frutas; podría ser "bananas, uvas y manzanas" o "uvas, manzanas y bananas": es la misma ensalada. "La combinación de la cerradura es 472". Ahora sí importa el orden; "724" no funcionaría, ni "247". Tiene que ser exactamente: 4-7-2. Así que en matemáticas usamos un lenguaje más preciso. "Si el orden no importa, es una combinación. Si el orden importa, es una permutación". http://www.disfrutalasmatematicas.com/combinatoria/combinaciones-permutaciones.html

En este capítulo aprenderemos .. Factorial de un número .. Número combinatorio

Colegios

66

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra

Síntesis teórica

FACTORIALES COMBINACIONES

Factorial

Combinaciones Definición

Notación

Notación:

CnK

Número combinatorio n

n

Casos: C1 ; C0 ; Cnn

Factorial de: uno y de cero Adición Igualdad de factoriales Complementarias Propiedad degradativa Igualdad

Superior e inferior

Degradación

Inferior

Superior

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Cuarto año de secundaria

67

11

Capítulo

Saberes previos 3. Simplificar:

1. Efectuar:

a) x11 .x12. x14 = ...............................



b) x25 .x28 . x–27 = ...............................



c) x114 ÷x101



d) (x48 y25)(x36y22) = ...............................

= ...............................

2. Factorizar: a) x(x+2)+y(x+2)+z(x+2)=.........................

x (x + 1) (x + 2) =............................. a) x (x + 1) (a + 3) (a–1) (a–4) =............................. b) (a–1) (a–4) (a + 3)

c) 4.7.9.8 =............................. 9.7.4

d) 1.2.3.4.5 =............................. 4.3.2



b) x2(x+1)+y2(x+1) =.........................

4. Completar:



c) x2 – 3x - 18 =.........................





d) x2 +9x –10 =.........................

5. Resolver:

b) 3.9.27.81= 3

a) 2.4.8.16= 2

a) 4x+3=21



c) 2x+1=16

b) x2 – 169=0 d) 3x–1=27

Aplica lo comprendido 1. Relacionar correctamente: 5!+3!

3. Completar: x=10

Cx =C10

B

x=3



B. (x – 5)! =1→ x1 =

(x–2)!=4!

C

x=6



C. C6 = Cx → x1=

D

126



D. Cx+3 = C15 → x1=

20

20 Cx+7

20

20 =C10

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto al factorial y número combinatorio:

A. 5! + 4! = 9! ........................................... ( )



B. C1 +C1 =C2 ......................................... ( )



C. C2 =C7 ............................................. ( )



D. (x–4)!=120→x=124............................... ( )

10

9

Colegios

68

A. (x – 2)! =24→ x =

A

TRILCE

10

20

9

15

15

20

20

; x 2= ; x 2= ; x 2=

4. Reducir:

S = 9!17! 8!18!

5. Reducir: 3

3

3

3

C0 + C1 + C2 + C3

Central: 6198-100

Álgebra

Aprende más 1. Relacionar correctamente: 7

C3 n

n

Ck +Ck+1 7

4

C3 +C2 n

Ck

A

41

B

n! k! (n–k) !

C

Ck+1

D

7 C6 3 2



A. Si: M= 31! → M=930 ......................... ( ) 29!



B. C1 + C2 = C2 ................................... ( ) C. C0 + C1 + C2 = C4 ......................... ( )



D. Si: E=

10

10

11

4

4

5

6

51! → E=50! .................... ( ) 49! + 50!

3. Completar: A. Si: (5x – 2)! =120 → x = B. Si: (n – 9)! =1→ n =........ ; ........



C. Si: C3 = C4 → x=........



D. Si: M=C0 +C1 +C2 → M=

x

24

25

B=

Calcular "A.B"



a) 56 d) 650



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76

+,



a) 1 d) 160

b) 20 e) 180

c) 120

8. Reducir: A = 11!–10! + 10!–9! + 9!–8! +... 9! 8! 7!

a) 380 d) 387

b) 385 e) 400

c) 386

9. Si: A = 2 (n!) – (n–1) (n–1) ! , n ∈ n ! + (n – 1 ) !

Entonces podemos afirmar que:



a) A < 0 d) A ∉

b) A > 2 e) A 1000

c) 0

/ m > n ≥ k ; reducir:

m

/

i= k



e) 4

C kn––11 C2kn–1

2 c) 1 a) 1 b) n n+1 n+1



d) 2

b) m + 1

e) m + n m–n

d) mn

i–1 m–1 e oe o k–1 n–k

m

c) m – 1

m+1

d) Cn

e) Cn+1

n n n n n 5. Calcular: ^C0h – ^C1 h + ^C2h – ^C3 h + ... – ^C nh 2



2n

a) Cn



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2

2

2n

b) (–1)nCn

2



2

2n

c) (–1)nCn



2n–1

d) (–1)nCn



e) 0

Cuarto año de secundaria

71

12

Capítulo

Binomio de Newton Un binomio particular La mayor parte de la notación matemática que se utiliza hoy en día no se inventó hasta el siglo XVIII. Antes de eso, las matemáticas eran escritas con palabras, un minucioso proceso que limita el avance matemático. En el siglo XVIII, Euler fue responsable de muchas de las notaciones empleadas en la actualidad. La notación moderna hace que las matemáticas sean más sencillas para los profesionales, pero para los principiantes resultan complicadas. Los matemáticos quieren que sus teoremas a partir de los axiomas sigan un razonamiento sistemático. Esto sirve para evitar teoremas erróneos, basados en intuiciones falibles, que se han dado varias veces en la historia de esta ciencia. El nivel de rigor previsto en las matemáticas ha variado con el tiempo: los griegos buscaban argumentos detallados, pero en tiempos de Isaac Newton los métodos empleados eran menos rigurosos. Ahora, los matemáticos continúan apoyándose entre ellos mediante demostraciones asistidas por ordenador. http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas

En este capítulo aprenderemos .. Definición .. Forma general del desarrollo del binomio .. Análisis de los términos .. Término general .. Suma de coeficientes .. Suma de exponentes .. Otros desarrollos

Colegios

72

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra

Síntesis teórica

BINOMIO DE NEWTON

Desarrollo de: (x+a)n; n ∈ Z+

Análisis de términos

Término general

Número de términos

Notación

Coeficientes equidistantes

Fórmula

Suma de coeficientes

Adicionales

Caso 1 n

n

n

n

C0 + C1 + C2 + ... + Cn

Caso 2 n

n

n

n

C0 + C2 + C 4 + ... + Cn

Término central (los 2 casos)

Caso 3 n

n

n

n

C1 + C3 + C5 + ... + Cn − 1

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En: (a1+a2+a3+...+am)n

Coeficiente

Número de términos

Cuarto año de secundaria

73

12

Capítulo

Saberes previos 4. Efectuar:

1. Efectuar: a) (((x)m)n)p= ............ b) xn.xm.xp = ............ m c) x n =.................... x

m p d) x .nx =................. x



a) (x + 2)2 = ...............................



b) (x – 4)2 = ...............................



c) (x + 1)3 = ...............................

d) (x – 2)3 = ............................... 2. Del polinomio cuadrático: P(x) = x2 +3x + 2, calcular: 5. Completar: a) P(1) = ................ b) P(0) =.................. n a) Cn =................... c) P(2) = ................ d) P(0)+P(2) = ........... 3. Dados los monomios, completar: a) P(x;y) = 4x10y12

• GR(x) =......... • GR(y)= ........ • GA=.........

n



b) C1 = .................



c) C0 =...................

n



b) P(x;y;z) = –5x8y7z4

• GR(x)=............... • GR(y)=..............



• GR(z)=............... • GA=.................

Aplica lo comprendido 3. Respecto al binomio: (x2 +y4)6, completar:

1. Relacionar correctamente:



a) Número de términos =

Tiene 5 términos



b) Suma de coeficientes =

C

Suma de coef.=4

c) suma de exponentes =

D

Tiene 6 términos



(x2+y3)4

A

Suma de coef.=27

(x2+2y)3

B

(x2+y4)5 (x2+y)2

4. El quinto término en el desarrollo (x + y)7 es: 2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto al desarrollo del binomio de Newton: (5x+y)12



A. El número de términos de: es 12 ..............................................................( )



B. La suma de coeficientes al desarrollar: (x+y)3 es 8 ...........................................( )



C. El número de términos de: (x2+y)n+1 es 10, si n=9 ...................................................( )



D. El tercer término al desarrollar: (x+1)2 es 2x ...............................................................( )

Colegios

74

TRILCE

5. El desarrollo de (x + y)2n – 1 tiene 20 términos. Calcule "n".

Central: 6198-100

Álgebra

Aprende más 1. Relacionar correctamente a partir del binomio 5. Hallar el lugar del término independiente en el (x+a)n: desarrollo de: 2n

A

n+1

B

n

Tk+1=Ck xn–k.ak

C

(α + β) (n) (n + 1) 2

D

Suma de exponentes en (xα+yβ)n Término general Suma de coeficientes Número de términos

n

1 P(x) = c x5 + 5 m , siendo "n" par. x n + 1 a) 2

b) n 2



e) n – 2

d) n + 2

c) n – 1 2

6. Si el décimo término en el desarrollo de (xb+xc) d es x18, calcular "c + d".

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto al desarrollo del binomio de Newton: 7. A. El número de términos de: (12x4+y5)12 es 12 .........................................................( )

a) 1 d) 11

b) 2 e) 13

c) 9

Si el grado absoluto del séptimo término en el desarrollo de: P(a; b; c) = (a2b + c)n es 30, hallar el grado de su término central.



B. La suma de coeficientes al desarrollar: (x4+y3)5 es 32.........................................( )



C. El número de términos de: (x2+y3)n+1 es 12, de: si n=10...................................................( ) 8. En el desarrollo n 1 +, el término de lugar 17 es c 2 + xm , x ∈ D. La suma de exponentes al desarrollar: x n (x6+y2)4 es 80.........................................( ) de la forma: T17 = C16x2. Calcular el valor de "n".



3. Respecto a los binomios completar: A. El tercer término de (x2 + y3)6 es: ______________

B. El penúltimo término de (3x2 – y3)12 es:





C. La suma de coeficientes de (2x + y)5 es: ______________ D. La suma de exponentes de (x3 + y2)4 es: ______________

a) 16 d) 19

b) 24 e) 47

c) 28

b) 17 e) 20

c) 18

9. Calcular “n” si al desarrollar: F(x) = (x6 – 1)4(x4 + x2 + 1)2n(x2 – 1)2n se obtienen 25 términos.

______________

a) 16 d) 31

a) 8 d) 18

b) 10 e) 20

c) 12

10. Indicar el valor de "k" si en el desarrollo de: (x +1)36, los términos de lugares (k – 4) y k2 tienen coeficientes iguales.

a) 7 d) 9

b) 6 e) 10

c) 5

3

n

x2 y 4. Calcular el término de lugar 13 en el desarrollo 11. En el desarrollo de: e 5 + x o , existen dos y de: términos consecutivos, el primero independiente 15 2+ 1 de "x" y el segundo independiente de "y". m P(x) = c x x5 Indique el número de términos del desarrollo.

a) 252x61 d) 30x6

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b) 455x–54 e) 4x10

c) 125x–8



a) 54 d) 62

7

b) 60 e) 63

c) 61

Cuarto año de secundaria

75

12

Capítulo

n + 20 n 15. El código modular de un alumno del colegio xm + y e o, 12. Al desarrollar la expresión: TRILCE en la UGEL está determinado curiosamenn–10 x y te en el triángulo de Pascal en la fila 8 y columnas: admite un solo término central cuya parte literal 3; 4; 5 y 6. ¿Cuál es dicho código modular? es: x60y600. Hallar: n ÷ m



a) 44 d) 10

b) 40 e) 8

c) 4 Fila 1 Fila 2

13. Si un término del desarrollo de: 1 4 1 4 m 4 4 B(x) = ;c x + 4 m – c x – 4 m E x x 13 es igual a: 3×2 ; calcular el valor de "m".

a) 1 d) 6

b) 2 e) 8

Columna 1 Columna 2

c) 4

14. Un alumno del colegio TRILCE le pregunta al profesor acerca de su nota del examen bimestral de Álgebra, y el profesor le responde curiosamente lo siguiente: "Tu nota es el término independiente al desarrollar el siguiente 6 binomio: "`x + 1 j ". ¿Cuál fue su nota? x

Practica en casa 1. Relacionar correctamente al desarrollar: (a+x)n 2n

A

n+1 n tk+1=Ck

B

an–k.xk

C

(π + θ) n (n + 1) 2

D

Suma exp. de (xπ+yθ)n Suma de coeficientes Número de términos Término general

b) El penúltimo término de (4x3 + y2)10 es:

__________________ c) La suma de coeficientes de (3x + y)4 es: __________________ d) La suma de exponentes de (x4 + y3)5 es: __________________ 6

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto al desarrollo del binomio de Newton: (5x4+y7)10





A. El número de términos de: es 11 ............................................................ ( ) B. La suma de coeficientes al desarrollar: (4x2 – y2)3 es 27 .................................... ( ) C. El número de términos de: (x4+y6)n –1 es 12, si n=12 .................................................. ( ) D. La suma de exponentes al desarrollar: (x4+y3)3 es 42......................................... ( )

x 2 4. Calcular el cuarto término de: c 2 + x m 5. Hallar el término independiente en el desarrollo de: (x3 + x–1)4n ; n ∈ +. 6. Indicar el valor de "n", si la expansión de (x3 + y2)n, contiene a: x18y16. 7. Calcular el valor de "n" para que el término 12 n 1 5 del desarrollo de c x + x3 m , contenga a: x12.

3. Respecto a los binomios completar:

a) El cuarto término de (x3 + y4)5 es:

__________________ Colegios

76

TRILCE

8. Hallar "n" para que el "t25" del desarrollo de: 5n+2

2 y2 ex + o y x

, contenga a: x44. Central: 6198-100

Álgebra 9. Desarrollando la expresión: (a2 + a)n.(a2 – 1)n + 2.(1 – a–1)n, se obtiene 21 términos en total. Hallar "n". 10. Calcular el valor de "k" en el desarrollo de (1+x)43, si se sabe que los coeficientes de los términos de lugares (2k+1) y (k+2) son iguales. 11. ¿Cuál es el número de términos en el desarrollo n n de: ` 8 x + yj , si los coeficientes de los términos de lugares 7 y 8 son iguales?

14. El código modular de un alumno del colegio TRILCE en la UGEL está determinado curiosamente en el triángulo de Pascal en la columna 3 y filas : 5; 6; 7 y 8. ¿Cuál es dicho código modular? Columna 1 Columna 2

Fila 1 Fila 2

12. Si el producto de la suma de los coeficientes de los desarrollos de: (a + b)m; (c + d)n; (a + 1)p es 4096, siendo "m", "n" y "p" pares consecutivos, hallar el valor de: mn + np + pm. 13. Determinar "a + b" en la expansión de: b

2a yb P(x; y) = e 4xb–5 – 2 o y 2x



de modo que admita un solo término central cuya parte literal es: x24y15.

15. Un alumno del colegio TRILCE le pregunta al profesor acerca de su nota del examen bimestral de Álgebra, y el profesor le responde curiosamente lo siguiente: "Tu nota es el término independiente al desarrollar el siguiente 6 binomio: " c x + 12 m ". ¿Cuál fue su nota? x

Tú puedes 3 1 4 2 1. Determinar el coeficiente del término en el desarrollo de: P(x;y;z)=`2x – 4 y z j , en el que los exponentes de "x", "y", "z" (en ese orden), formen una progresión aritmética. 12

a) 376 b) 495 c) 572 d) 396 e) 478 2. Determine el coeficiente de x6y3 en el desarrollo del producto: (x + y)5 (2x – y)4

a) 160

b) 36

c) 24

d) – 48

e) – 96

3. ¿Cuántos términos enteros tiene el desarrollo de: ^12 34 + 34 12 h1234 ? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) Más de 4 1 4n 4. Hallar el cociente que se obtiene al dividir el término central del desarrollo de `x + j entre el 1 x n+ coeficiente de xn en el desarrollo de: (1 – 4x)–( 2(

a) 1

b) – 1

c) 2

d) – 2

e) 1 2

5. Si el tercer término del desarrollo del binomio (n+x3)n es "nk" veces el cuarto término del desarrollo de (n + x2)n, hallar "n", si k ∈ +. 3–2k b) 1 + k c) 2 + 3k d) 3 + k e) 3 + 2k a) k k k k k www.trilce.edu.pe

Cuarto año de secundaria

77

13

Capítulo

Números complejos Euler y sus aplicaciones en los números complejos Entre 1545 y 1560, los matemáticos italianos Girolamo Cardano y Rafael Bombelli se dieron cuenta de Producto de Producto de que el uso de un número y dos números los números su conjugado cualquiera imaginarios era indispensable para poder resolver todas las ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado. El término número complejo describe la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria). Los números complejos se utilizan en todos los campos de la Matemática, en muchos de la Física (y notoriamente en la mecánica cuántica) y en Ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica. En matemáticas, los números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. La propiedad más importante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del Álgebra, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado "n" tiene exactamente "n" soluciones complejas. Los números complejos contienen a los números reales y los imaginarios puros y constituyen una de las construcciones teóricas más importantes de la inteligencia humana. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo. http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo

En este capítulo aprenderemos .. Unidad imaginaria .. Números complejos

Colegios

78

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra

Síntesis teórica

NÚMEROS COMPLEJOS

Unidad imaginaria

Definición: i2

Potencias

Propiedades

Números complejos

Conjugados

Operaciones

Opuestos

Suma y resta

Iguales

Multiplicación

Imaginario puro

División

Potencia

Reales

Gráfica en el plano Gaussiano

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Cuarto año de secundaria

79

13

Capítulo

Saberes previos 1. Completar luego de resolver:

3. Reducir:



a) x2 = 16 → x = ...................



8 = ...........



b)

12 =...........



b) x2 = 100 → x = ...................

c) 48 = ..........



d)

75 =...........

c) x2 = 13 → x = ...................

4. Racionalizar:



d) x2 = 48 → x = ...................





b)

1 =........... 8



a) x65=x34.x12. ....... c)

x–8

a)

1 =........... 3

5. Racionalizar:

2. Completar:

a)

=...........



b) x43=x12.x19. ....... d)

x–48

=..........

a)

1 = .......... 2+1

b)

1 =........... 3 –1

Aplica lo comprendido 1. Relacionar correctamente:

3. Completar:

Z=3+4i W=5+12i

A

Zimag.puro : a=8

–25

B

–1

i6

C

5i

Z=(a–8)+4i

D

z+w=8+16i



A. (1 – i)2 = ..................................



B. i+i2+i3+i4 = ..................................



C. z=5+12i →|z| = ..................................



D. (1+i)4 = ..................................

4. Determinar el valor de "m", si: 5 + mi es 2 – 3i imaginario puro.

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) :

A. Si: z=4–3i → z=3–4i............................ ( )



B. (1 + i)2 = 2i........................................... ( )



D. –36 + –9 = 9i................................... ( )

C. Si: z=3+2i → |z|=5............................ ( )

Colegios

80

5. Hallar "a", si: a + 4i es un complejo real. 3 + 2i

TRILCE

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Álgebra

Aprende más 7. Determinar la suma:

1. Relacionar correctamente: Z=3+4i W=5 – 12i

A

Zimag.puro : a=3 Wreal : b=2

B

–1

–9 + –25 i258 C Z=(a–3)+4i D W=5 – (b – 2)i

1+2i+3i2+4i3+5i4+6i5 + ......... ("4n" sumandos)

8i



A. Si : Z ∈ C→Z+Z=2Re(Z)...................... (

)

B. (1 + i)2 – (1 – i)2= 0.............................. ( 1 + i + 1–i = 2i ............................... ( C. 1–i 1+i

)



b) 2n(1 – i) e) –1 – i

D. i + i2 + i3 + ..... + i48 = 1................... (

) )

Z = (3+4i)(1+ 3 i)(2 2 – 2 2 i) a) 10 d) 60

b) 40 e) 80

c) 20

9. Efectuar y dar el módulo del complejo:

Z=

4

2 i – 29 i 4

2 a) c) 2 2 b) 9 3 d) 3 e) 10. Si la gráfica del número complejo:

3. Completar: A. Z1 = 3 – 2i → Z 1= ................................... * B. Z2 = – 2 + 5i → Z2= .............................. C. Z3 = 6+ 8i → |Z3|= ................................ D. Z4 = – 7 + 7i → |Z4|= ............................ 4. Efectuar:

Z = 1 + mi ; m ∈ 1 – mi Es la que se muestra en la figura, encontrar el valor de "m".



Im(Z)

Re(Z)

i343 + i459 + i623 + i975 + i1240 – i4020 a) 4i d) –4 5. Reducir:

A=

b) 4 e) 0

c) –4i

i9 + i16 + i40 – 2 ; (i = –1) i –i13 –i39 + 2i8 22

a) 1 d) 2i

b) 2 e) 4i



i200

201202

a) 2 d) 1 + i

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+i301

302303

+i402

b) 4 e) 2 + 2i

+i503

c) 2i

b) –2 e) 2

c) 1

1 1 1 1 `1– i jc1– 1 + i mc1– 2 + i m ... c1– 219 + i m =a+bi

c) i

403404

a) 4 d) –1

11. Si:

6. Calcular:

c) –2n–2ni

8. Determinar el módulo de:

|Z|=5; |W|=13

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) :

a) 2+2i d) –n – ni

504505



Calcular: (a + b)(2192 + 1)



a) 1 d) –2

b) 2 e) 3

c) -1 k

2011

k + k2 i ; 12. Calcular el valor de: E = 2 E k = 1 ki – k

/



Donde: i = –1



a) 1 d) –i

b) i e) 0

c) –1

Cuarto año de secundaria

81

13

Capítulo

13. Indique la parte real de: Z=(1+i)2+(1+2i)2+(1+3i)2+...+(1+ni)2; n∈ n (n + 1 ) a) 2

+

+ c) n (2n 5) 3

b) n

15. Calcular el perímetro de un terreno de forma triangular, el cual está representado en el plano gaussiano por los números complejos: A=1+2i , B=6+14i y C=15+2i ; además: i= –1 ; |Z1|, |Z2| y |Z3| son módulos. Im(Z)

n (n + 1) e) n (2n+5)(1–n) d) 6 6

B |Z2|

|Z1|

14. Calcular la suma de los 100 primeros términos de una sucesión, donde el término general está definido por: Tn=(n+1)i n+1; n ∈ *, siendo: i= –1.

A

C

|Z3|

Re(Z)

Practica en casa 1. Relacionar correctamente:

6. Efectuar:

Z=6+8i W=5 – 12i

A

Zimag. puro : a=3

–4 + –49

B

–1

i34

C

9i

z=(a–3)+ai

D

|Z|=10; |W|=13



20 1819

T = i17

28 2627

+i25

36 3435

+i33

7. Calcular: S=i2+2i4+3i6+4i8+...+2ni4n 8. Encuentra el módulo del complejo:

z = (3 + 4i) . (5 + 12i) (1 + i) . ( 7 + i)

9. Calcule el equivalente de:

2 i–

i+ 5 i

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) :

A. Si: W ∈ C → W+W=2Re(W).................( )

B. (1 + i)2 + (1 – i)2= 4i............................. ( ) 1 + i – 1–i = 0 .................................. ( ) C. 1– i 1 + i

10. Si la gráfica del número complejo: Z= m + i ; m ∈ , es la que se muestra en la 1 + mi figura, encontrar el valor de "m". Im(Z)

D. i + i2 + i3 + ..... + i480 = 1................... ( ) Re(Z)

3. Completar:

A. z1 = 4 – 3i → z 1= B. z2 = – 3 + 6i → z*2 = C. z3 = 3+ 4i → |z3|= D. z4 = – 6 + 6i → |z4|=

4. Efectuar:

i100 + i101 + i102 ...... + i2006

32 54 65 5. Calcular: M = i46 + i520+ i673 i + i –i

Colegios

82

TRILCE

11. Si: `1 + 1jc1 + 1 m ... c1 + 1 m =a+bi i 1+i 99 + i

Calcular el valor de "a – b".

12. Calcular el valor de:

E=

2012

/

n= 1

;

n

n + n2 i E ; donde: i = –1 ni – n2

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Álgebra 13. Indique la parte imaginaria del complejo definido por: Z=(1+2i)2+(1+3i)2+(1+4i)2+...+[1+(n+1)i]2

|Z1| , |Z2| y |Z3| son módulos.

14. Calcular la suma de los 40 primeros términos de una sucesión, donde el término general está definido por: Tn=nin ; n ∈ *,siendo: i = –1 .

1m(z)

B z2

z1 A

C

z3

RE(z)

15. Calcular el perímetro de un terreno de forma triangular, el cual está representado en el plano gaussiano por los números complejos : A=2+i, B=10+7i y C=18+i; además : i = –1 ;

Tú puedes 1. Sea "z" un número complejo que satisface: z + 1 = 1 ; entonces: z –1

a) Re(z)>0 b) Re(z) ≤ 0 c) Im(z) ≥ 0 d) "z" es un número real. e) "z" es un número imaginario puro.

2. Si: 3 a + bi =m+ni ; {a; b; m; n} ⊂ R, i2 = –1. Calcular:

a b c1 – 3 m c 3 + 1m m n



d) –3i

e) 3

d) 3

e) 1 3

a) 3i

b) 1

c) –1 2

2

z1 + z2 – z1 –z2 3. Sean: z1, z2 ∈ C; reducir: Re (z .z ) + Re (z .z ) 1 2 1 2

b) 1 2

a) 1

c) 2

4. Efectuar: (m + nw) 2 + (n + mw2) 2 + (m + nw2) 2 + (n + mw) 2 + 2mn

Si: n > m; w =



a) m + n

3

1 b) m – n

c) n – m

d) 2n – m

e) 2m – n

5. Sabiendo que "z1" y "z2" representan un número real puro e imaginario puro respectivamente, hallar el valor de: R = a – b; ab ≠ 0 Donde: z1 = a + b + 2i ; z2 = a + (b + 8) i ; a ∧ b ∈ a–b–3i a–bi

a) 30

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b) –3

c) –60

d) 10

e) 24

Cuarto año de secundaria

83

14

Capítulo

Ecuaciones de primer grado El ábaco y los chinos Desde el siglo XVII aC. los matemáticos de Mesopotamia y de Babilonia ya sabían resolver ecuaciones de primer y segundo grado. Además resolvían también, algunos sistemas de ecuaciones con dos ecuaciones y dos incógnitas. En el siglo XVI a.C. los egipcios desarrollaron un álgebra muy elemental que usaron para resolver problemas cotidianos que tenían que ver con la repartición de víveres, de cosechas y de materiales. Ya para entonces tenían un método para resolver ecuaciones de primer grado que se llamaba a "método de la falsa suposición". No tenían notación simbólica pero utilizaron el jeroglífico hau (que quiere decir montón o pila) para designar la incógnita. Alrededor del siglo I d.C. los matemáticos chinos escribieron el libro Jiu zhang suan shu (que significa El Arte del cálculo), en el que plantearon diversos métodos para resolver ecuaciones de primer y segundo grado, así como sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Con su ábaco (suan zí) tenían la posibilidad de representar números positivos y negativos. http://es.wikipedia.org/wiki/Historia_de_la_matem%C3%A1tica

En este capítulo aprenderemos .. Teoría de ecuaciones .. Ecuaciones de primer grado

Colegios

84

TRILCE

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Álgebra

Síntesis teórica TEORÍA DE ECUACIONES

Igualdad

Identidad

Ecuación

Solución (Raíz)

Ecuaciones de 1er. grado

Forma general: ax + b = 0

Clasificación

Análisis de la raíz Compatible

Determinado

Indeterminado

Incompatible

Análisis Pérdida de solución

Compatible

Incompatible

Determinado

Soluciones extrañas Indeterminado

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Cuarto año de secundaria

85

14

Capítulo

Saberes previos 1. Del polinomio lineal: P(x) = 12x + 7 completar:

4. Efectuar:



• Término lineal = .................................



a) (x + 1)(x + 4) = ...................



• Coeficiente principal = ..............................



b) (x – 3)(x – 1) = ...................



• Término independiente = ....................

5. Completar:

2. Efectuar:



a) x+7=12; entonces: x= .............



a) x3. x5 = ...............................



b) x – 5=8; entonces: x= .............



b) x2 . x5. x9 = ........................



c) x – 9 = –11; entonces: x= .............



d) x =2; entonces: x= ............. 6



e) 4x +3= 8; entonces: x= .............

3. Efectuar:

a) (x + 1)2 = ...................



b) (x – 3)2 = ...................

Aplica lo comprendido 1. Relacionar correctamente:

3. Completar:

x4 + x–2 =4 x–6

A

x2+x4=2x3+1

B

Ec. irracional

x xx =2

C

Ec. fraccionaria

D

Ec. trascendente

3+

x

x

x =2

Ec. polinomial

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto a la ecuación: xn–2 + x = 4

A. Si: n=3 es una ecuación lineal................ ( )



B. Si: n=2 es una ecuación lineal................ ( ) C. Si: n=3; entonces: x = 2......................... ( )



D. Si: n=2; entonces: x = 0......................... ( )

Colegios

86

TRILCE



A. Si : 3x+2=3x+2 ; entonces: CS = ...........



B. Si : 2x+1=x+4 ; entonces: CS = ...........



D. Si : 6x+5=6x+2 ; entonces: CS = ...........

C. Si : 4x+2=3x+2 ; entonces: CS = ...........

4. Resolver: (x – 5) (x + 3) = (x + 8) (x – 2) 5. Resolver: 2x – 3 = x + 2 3 4

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Álgebra

Aprende más 1. Relacionar correctamente, a partir de la ecuación lineal: ax+b=0 t a≠0∧b∈ ⇒x=– b a

A

a=0;b≠0⇒0x=–b B x+axn–1=n

C

a=0;b=0⇒0x=0 D

Compatible indeterminada Si: n=2; a≠0 ⇒Ecuación lineal Compatible determinada Incompatible



A. Al resolver: 2x + 3x – 30 = 3x + 30; el valor de "x" es 30.....................................( ) B. Al resolver: 2-[2–x–(–x)]=x+2; el valor de "x" es 2 ...................................................( ) C. Al resolver: 5(x - 3)=4( 3 – x ); el valor de "x" es 3 ...................................................( ) D. Al resolver: x+ x + x =44 ; el valor de "x" 2 3 es 24 .......................................................( )

3. Completar las siguientes proposiciones: A. La igualdad: 4x+1=x+7 es una acuación compatible ............

B. La igualdad: 9x+5=5+9x es una ecuación compatible ................



C. Al resolver:

1 + 1 = 1 + x – 2; la x–3 x–3 ecuación es.............................

D. Si la raíz de la ecuación; ax+3= 2x + 31 es: x = 2; el valor de "a" es 7 ....... 4. Resuelva: 5x–2 – 3x + 4 = 7x–5 – 1 2 3 4 1 b) 1 a) c) – 1 2 3 3

d) 3

e) – 2

a) 34 d) 18

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b) 17 e) – 17



a) 0 d) 2

b) – 1 e) 1 2

c) 1

7. Resuelva: x – 3x–2 = 3– 2x–5 5 3

a) 0 d) 4



a) {0} d) {a}

b) 1 e) 16

c) 2

c) 33

b) {1} e) {ab}

c) {6}

9. Resuelva en "x": x + a – x–b =2 b a

a) {a+b} d) {a}

b) {b–a} e) {b}

c) {a–b}

10. Calcule "x" en: x + x + x + x =6 3 35 15 63 27 b) 17 c) 37 a) 2 2 2 7 d) 2

e) 1

11. Resuelva: x–17 + x + 7 + x + 2 =3 32 56 51

a) {49} d) { 7 } 9

b) {32} e) {45}

c) {51}

12. Resolver en "x": a `1– a j + b c1– b m = 1 b x a x

a) a+b d) 1

b) ab e) a2+ab+1

c) a – b

13. Indicar el valor de "x" en: x–a + x–b + x–c = 2 c 1 + 1 + 1 m bc ca ab a b c 1 + 1 + 1 a) a b c

5. Resolver: x + 2 + x + 1 = x +2 3 5 2

5x – 7x + 4x–5 = 4 + 8x–5 – 11x–3 5 2 5 2 2

8. Resuelva en "x". (x + a2) (x + b2) = (x + ab)2 ; a ≠ b

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F):

6. Calcule el valor de "x" en:



d) a2+b2+c2

b) a+b+c

c) abc

e) a+b – c

Cuarto año de secundaria

87

14

Capítulo

14. Mathías decide repartir 100 soles entre tres personas, de manera que la primera reciba 5 soles más que la segunda, y que esta reciba 10 soles más que la tercera. ¿Cuánto recibe la tercera persona?

15. En cierto lugar del país, la temperatura en invierno desciende mediante el comportamiento lineal: TF = T0 – 3 t 2 Donde: Tf : Temperatura final (°C) T0 : Temperatura inicial (°C) Dt : Variación del tiempo en horas Si a las nueve de la noche la temperatura era de 8°C, ¿a qué hora la temperatura habrá descendido 2°C?

Practica en casa 1. Relacionar correctamente, a partir de la ecuación lineal: mx+n=0 m≠0; n∈ ; n x=– n m m=0; n ≠ 0 ⇒0x=–n

A B

x+mxn–1=n

C

m=0 ; n=0 ⇒ 0x=0

D

Incompatible Si: n=2; m ≠ 0 ⇒Ecuación lineal Compatible indeterminada Compatible determinada

A. Al resolver: 2x+3x – 30=3x+30; el valor de "x" es 30.............................................( )



B. Al resolver: 6–[6–x–(–x)]=x+6; el valor de "x" es 2...................................................( )



C. Al resolver:5(x – 9)=4( 9 – x ); el valor de



"x" es 9 ..................................................( ) D. Al resolver: x+ x + x =58; el valor de "x" 4 5 es 40.......................................................( )

3. Completar las siguientes proposiciones: A. La ecuación de primer grado se llama también .............................

B. La igualdad: 7x+4=4+7x es una ecuación compatible .........................

Colegios

88

TRILCE

C. Al resolver: 1 + 5 = 1 +x ; la ecuación x–5 x–5 es .....................

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F):







D. Si la raíz de la ecuación; ax+3 = 2x + 33 25 es: x = 1; el valor de "a" es .............

4. Resolver: x + 2 – x–4 =2 4 2 5. Resolver: 3x–1 + 2x–1 =x 7 3 6. Resolver: 2 c x + 1m = 3 c x–6 m 3 5 4 3 7. Resolver: x – (5x – 1) – 7–5x =1 10 8. Resolver: 1 c x– 7 m – 1 `x– 7 j + 1 c x – 7 m =0 4 5 3 4 2 3 9. Resolver: x–a + x–b =2 ; a ≠ b b a 10. Dar el C.S. de la ecuación: x + x + x + ... + x =6 5 45 9.13 21.25 11. Resolver: x–32 + x–51 + x–34 =1 15 4 13

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Álgebra 12. Dada la ecuación lineal en "x": x–a + x–b + x–c =3 b+ c a+ c a+ b

15. En cierto lugar del país, la temperatura en invierno desciende mediante el comportamiento lineal:

Indique el valor de: (a + b – x)2

TF = T0 – ∅t 2



13. Indicar el valor de "x" en: a + b – x + a + c – x + b + c– x + 4x =1 c b a a+b+c 14. Paolo decide repartir 90 dólares entre tres personas, de manera que la tercera reciba 5 dólares menos que la segunda y esta 10 dólares más que la primera. ¿Cuánto recibe la segunda?

Donde: TF : Temperatura final (°C) T0 : Temperatura inicial (°C) Dt: Variación del tiempo en horas

Si a las once de la noche la temperatura era de 7°C, ¿a qué hora la temperatura habrá descendido 4°C?

Tú puedes 1. Resolver en "x":

a) a

2. Resolver en "x":

a) a + b + 1

x + a2 x–b2 –c2 =1 + (a + b–c) (a–b + c) (c–a–b) (b–a–c) b) b

a) 1

d) a + b

e) bc

a+x + b+x x–a + x–b = 1 + a + ab 1 + b + ab 1–a + ab 1–b + ab b) a + b – 1

3. La solución de la ecuación:

c) ab

1–a .

b) –1

c) ab + 1 4

1+x = 1+a . 1–x

d) ab – 1 4

e) ab

1–x es: 1+x

c) a

d) –a

e) 2a

4. Resolver en "x": x – a + 2 4–a = 3 a–4 + a a) 20 b) 16 c) 12 d) 8 e) 4 4 5. Resolver: 1 + x 4 = 1 y dar como respuesta una solución. 2 (1 + x)



a) 1+ 3

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b)1– 3

c) 3 + 3 + 2 3 d) 3 – 3–2 3

e)1 + 3 + 3 + 2 3

Cuarto año de secundaria

89

15

Capítulo

Ecuaciones de segundo grado Lectura En el siglo III, el matemático griego Diofanto de Alejandría publicó su Aritmética en la cual, por primera vez en la historia de las matemáticas griegas, se trataron de una forma rigurosa no solo las ecuaciones de primer grado, sino también las de segundo. Introdujo un simbolismo algebraico muy elemental al designar la incógnita con un signo que es la primera sílaba de la palabra griega arithmos, que significa número. Los problemas de Álgebra que propuso prepararon el terreno de lo que siglos más tarde sería la "teoría de ecuaciones". A pesar de lo rudimentario de su notación simbólica y de lo poco elegantes que eran los métodos que usaba, se le puede considerar como uno de los precursores del álgebra moderna. Al-Juarismi a menudo es apodado "el padre del Álgebra", por sus importantes contribuciones a este campo. Aportó una exhaustiva explicación a la solución de ecuaciones de segundo grado con raíces positivas. http://es.wikipedia.org/wiki/Historia_de_la_matem%C3%A1tica

En este capítulo aprenderemos .. Definición .. Forma general .. Métodos de resolución .. Propiedades de las raíces .. Naturaleza de las raíces: Análisis del discriminante .. Formación de la ecuación cuadrática .. Ecuaciones cuadráticas equivalentes

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Álgebra

Síntesis teórica

ECUACIONES DE 2do. GRADO

Resolución

Factorización

Naturaleza de las raíces

Discriminante (D)

Fórmula general Análisis de las raíces Propiedades de las raíces

Adición

Reconstrucción de la ecuación cuadratica

Observaciones

Raíces simétricas

Raíces recíprocas Ecuaciones equivalentes

D>0 D=0 D 0), determinar el conjunto solución. 4 5 9 b) 5 11 3 9 3 11 a) f ' ; 1 ' ; 1 c) ' ; 1 d) ' ; 1 e) 2 12 2 2 2 2 2 2 2 β2 = c – 20; calcular el mayor valor po4. Si: x2–x–c=0 tiene C.S.={α; β}, de modo que: α + β+1 α+1 sitivo de "c".



a) 6

b) 12

c) 8

d) 16

5. Si una de las raíces de: x2 + px + q = 0 es el cuadrado de la otra, calcular:

e) 14 p3 + q2 + q pq

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

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Cuarto año de secundaria

95

16

Capítulo

Ecuaciones polinomiales Lectura El desarrollo del Álgebra vino de la mano de Al-Karaji. En su tratado al-Fakhri extiende la metodología para incorporar potencias y raíces de cantidades desconocidas. La primera demostración por inducción matemática de la que se tiene constancia aparece en un libro escrito por Al-Karaji en el 1000 d.C., en el que demuestra el teorema del binomio, el triángulo de Pascal, y la suma de cubos integrales. Durante la primera mitad del siglo XVI, Scipione del Ferro y Niccolò Fontana Tartaglia descubren soluciones complejas a las ecuaciones cúbicas, trabajando en la resolución de ecuaciones. Gerolamo Cardano publicará el Ars magna junto con un trabajo de su alumno Ferrari, quien resuelve las ecuaciones de cuarto grado. En 1572, Rafael Bombelli publica su L’Algebra, en el que demuestra cómo utilizar las cantidades imaginarias que podrían aparecer en la fórmula de Cardano para las ecuaciones de grado tres. http://es.wikipedia.org/wiki/Historia_de_la_matem%C3%A1tica

En este capítulo aprenderemos .. Definición .. Forma general .. Teorema fundamental del álgebra .. Teorema de Cardano – Viette .. Teoremas adicionales .. Ecuación cúbica .. Ecuación bicuadrada

Colegios

96

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra

Síntesis teórica ECUACIONES POLINOMIALES

P(x)=a0xn+a1xn–1+...an=0; a0≠0

Teorema de Cardano

Características

C.S. = {x1; x2; x3; ....; xn}

Ecuación bicuadrada

Teorema del factor

Resolución

Cero o raíz

Por factorización

Multiplicidad de raíces

Dos pares de raíces simétricas

Resolución

Fórmula

Paridad de raíces Propiedades Factorización Suma

Producto

www.trilce.edu.pe

Cuarto año de secundaria

97

16

Capítulo

Saberes previos 4. Completar:

1. Resolver:

a) x2 – 9 = 0 b) x2 + 9 = 0 c) x (x – 2) = 0 d) x2 – x – 2=0

→ → → →

x1 = x1 = x1 = x1 =

; x2 = ; x2 = ; x2 = ; x2 =

2. Resolver:

a) x2 +x +5 = 0 → b) 4x2 +2x – 3=0 → c) x2 – 12 = 0 → d) x2 +3x = 0 →

x1 + x 2 = x1 + x2 = x1 + x 2 = x1 + x 2 =

3. Resolver:

a) x2 +3x +6 = 0 → b) 2x2 +3x – 12 = 0 → c) x2 – 4 = 0 → d) x2 + 4x = 0 →



a) x1 b) x1 c) x1 d) x1

= 4+ 3 → x2 = = 5 – 7 → x2 = = 6 → x2 = = – 2 5 → x2 =

5. Completar:

a) x1 b) x1 c) x1 d) x1

= 3 – 2i → =4+i → = 2i → =–i →

x2 = x2 = x2 = x2 =

x1. x 2 = x 1. x 2 = x1. x 2 = x1. x 2 =

Aplica lo comprendido 3. Si "x1", "x2" y "x3" son raíces de la ecuación: 2x3 – 6x2 + 7x + 1 = 0, completar:

1. Relacionar correctamente: x4 – 4x2+4=0

A

(x+1)(x+2)(x+3)=0 B

C.S.={–1;–2;–3} Ecuación bicuadrada

(x2–1)(x2–4)=0

C

Ecuación cúbica

x3–x2–6x+3=0

D

C.S.={1;–1;2;–2}

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto a la ecuación polinomial:

A. Presenta doce raíces................................( )



B. Presenta tres soluciones...........................( )



D. La suma de soluciones es cero.................( )

A. x1 + x2 + x3 =



B. x1x2 + x2x3 + x1x3 =



C. x1x2x3 =

4. Resolver: (x2 – 4)(x2 – 9) = 0 5. Hallar el mínimo valor de "x” luego de resolver: x3+x2 – 6x=0

C. Una raíz es ocho.....................................( )

Colegios

98

P(x) = 85(x – 3)2(x + 2)3(x + 1)2=0



TRILCE

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Álgebra

Aprende más 1. Sean "x1", "x2", "x3" y "x4" raíces de la ecuación: 3x4+6x3+2x2–5x+7=0; relacionar correctamente: x1.x2.x3.x4

A

2 3

x1.x2.x3+...+x2.x3.x4

B

x1.x2+x1.x3+...+x3.x4

C

7 3 –2

x1+x2+x3+x4

D

5 3

2. Indicar si las siguientes proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F) respecto a la ecuación: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0; a ≠ 0 "b", "c", "d" , "e" ∈ .

A. Presenta cuatro raíces................................( )



B. Si: a≠b≠c≠d ∧ e=0→ x1=0 es una raíz.....( )



C. Si: a=d ∧ b=c=e=0→x1=0 es una raíz..( )



D. Posee solo tres raíces reales.......................( )

3. Respecto a la ecuación polinomial ,completar: P(x) = 45(x – 6)4(x + 2)8(x – 1)2 x=0

A. La raíz que más se repite es: .......................



B. La raíz: x=–2 tiene multiplicidad: ..............



C. La ecuación tiene ............... raíces.



D. La ecuación tiene .............. soluciones . x3

3x2

4. Si una raíz de: – – 13x + 15=0 es igual a 5, hallar las otras raíces.

a) {3 ; – 1}

b) {– 3 ; – 1} c) {– 3 ; 1}



d) {– 1 ; 1} 3

e) { 1 ; – 1} 3

5. Si la ecuación: xn+2 + 4xn+1 + 7xn – 1 = 0 presenta cuatro raíces, hallar "n".

a) 4 d) 1

www.trilce.edu.pe

b) 3 e) 5

c) 2

6. Si una raíz de: x3 – 5x2 + 4x – 20 = 0 es igual a 5, hallar las otras dos.

a) – 2

b) – 2 i



d) ± 2 i

e) 1 2

c) 2 i

7. Halle el valor de "a" en la ecuación: x3 + x2 + (1 – 3a)x – 24 = 0, si el producto de dos de sus raíces raíces es - 8.

a) – 1 d) 5

b) 2 e) 6

c) 4

8. Si: 3x3 – 2x2+7x+k=0 tiene C.S.={x1; x2; x3}; además: 1 + 1 + 1 =8 x1x2 x 2 x3 x1x3 7 Calcular "k". 7 a) 4

d) – 1

b) – 7 4 e) 1 4

c) 1

9. Calcular el valor de "m", sabiendo que las raíces de: 4x3 – 24x2+mx+18 = 0 son: x1=α+β, x2=α y x3 = α – β.

a) 18 d) 25

b) 21 e) 27

c) 23

10. Calcular "a + b" en la ecuación: x3 + ax2 + bx + 7 = 0 para que una de sus raíces sea x1 = 1 – siendo "a" y "b" ∈ .

a) 2 d) – 8

b) 5 e) – 5

8,

c) 8

11. Si "x0" es una raíz de la ecuación: x5 – 3 = 4x, 2x50 – 5 hallar el valor de: 8x 0 + 1 1 b) 2 a) c) – 3 2 3 5 d) –4 e) 1

Cuarto año de secundaria

99

16

Capítulo

12. Indicar la suma de la mayor raíz positiva con la mayor raíz negativa que se obtienen al resolver: 36x4 – 148x2 + 16=0. a) 0 b) 11 c) 5 6 3 d) – 11 e) – 5 6 6 13. Formar una ecuación bicuadrada que tenga por dos de sus raíces : – 2 3 y 5.

a) x4+42x2+280=0 b) x4 – 40x2+390=0 c) x4 – 37x2+300=0 d) x4 – 42x2+280=0 e) x4+37x2+280=0

14. Calcular la cantidad mínima de papel decorativo para forrar una caja de galletas que tiene las siguientes dimensiones: Largo = x1 + x2 + x3 Ancho= x1x2 + x2x3 + x1x3 Altura = x1x2x3

donde: "x1", "x2" y "x3" son raíces de la siguiente ecuación polinomial: x3–12x2+42x–25=0

15. El campo de fútbol de un club campestre está representado por un rectángulo de dimensiones:

Largo = x1x2 + x2x3 + x1x3 Ancho= x1x2x3 + x1 + x2 + x3

donde: "x1", "x2" y "x3" son las raíces de la siguiente ecuación polinomial: x3– 6x2+11x–6=0. Calcular el área rectangular.

Practica en casa 1. Sean "x1", "x2", "x3" y "x4" raíces de la ecuación:

8x4–3x3+16x2–24x+1=0; mente:

x1.x2.x3.x4

relacionar correcta-

A

2

x1.x2.x3+...+x2.x3.x4

B

3 8

x1.x2+x1.x3+...+x3.x4

C

3

x1+x2+x3+x4

D

1 8

2. Indicar si las siguientes proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F) respecto a la ecuación: ax3 + bx2 + cx + d = 0 ; a ≠ 0 "b", "c", "d" ∈

A. Presenta tres raíces...................................( )



B. Si: a≠b≠c ∧ d=0→x1=0 es una raíz.........( )



D. Posee solo dos raíces reales......................( )

C. Si: a=d ∧ b=c→x1=–1 es una raíz..........( )

3. Respecto a la ecuación polinomial ,completar: P(x) = 36(x + 2)5(x – 3)6(x + 1)4x2=0

A. La raíz que más se repite es: .......................

Colegios

100

TRILCE



B. La raíz: x=–1 , tiene multiplicidad: .............



D. La ecuación tiene ............ soluciones.

C. La ecuación tiene .............. raíces.

4. Si una raíz de: P(x) = 2x3 – 27x2 + 73x – 30=0 es igual a 1 , hallar las otras raíces. 2 5. La ecuación: 3xn–8 + 4xn–7 + 5 = 0 presenta diez raíces. Calcular "n". 6. Si una raíz de: x3 – 3x2 + 9x – 27 = 0 es igual a 3, hallar las otras dos raíces. 7. Si una raíz de la ecuación: x3–12x2+39x–n=0 es la semisuma de las otras dos, calcular: n–3 . 8. Las raíces de: 2x3 + 9x2 + 10x + b = 0 son proporcionales a 1, 2 y 6. Calcular: b2 – 1 9. La ecuación: (n+1)xn–1+6x2 – 2nx + 3n = 0tiene tres raíces: "x1" ; "x2" y "x3". Calcule: G = x1 + x2 + x3 + x1x2x3 10. Si: 3 – 2 2 es una raíz de la ecuación: x3 – 8x2 + ax + b = 0, calcular el valor de "a – b". 11. Si "b" es una raíz de la ecuación: 3 2x3 – x + 5 = 0, calcular: E= b + 1 b–3 Central: 6198-100

Álgebra 12. Indicar la suma de la mayor raíz positiva con la mayor raíz negativa que se obtienen al resolver: 9x4 – 37x2+4=0. 13. Formar una ecuación bicuadrada que tenga por dos de sus raíces a – 2 y 2. 14. Calcular la cantidad mínima de papel decorativo para forrar una caja de galletas que tiene las siguientes dimensiones: Largo = x1 + x2 + x3 Ancho= x1x2 + x2x3 + x1x3 Altura = x1x2x3 donde: "x1", "x2" y "x3" son las raíces de la siguiente ecuación polinomial: x3 – 15x2+36x – 20 = 0.

15. El campo de fútbol de un club campestre está representado por un rectángulo de dimensiones: Largo = x1x2 + x2x3 + x1x3 Ancho= x1x2x3 + x1 + x2 + x3



donde: "x1", "x2" y "x3" son las raíces de la siguiente ecuación polinomial: x3 – 4x2 + 10x – 8 = 0. Calcular dicha área rectangular.

Tú puedes 1. Si "x1", "x2" y "x3" son las raíces de: x 3+mx+10=0; calcular la suma de cubos de las mismas. a) – 18 b) 27 c) – 30 d) – 27 e) 18 2. En la ecuación cúbica: x3 + 2007x2 + 2008x + 2009 = 0, la suma de inversas de dos de sus raíces es igual a la tercera; halle esta última.

a) 2

b) 3

c) - 1

d) 4016

e) 2007

3. Sea la ecuación: x3 – 5x2 = 5x – 1, cuyas raíces son: – 1, α y β. Calcular el valor de:

2 α2 + β 6α – 1 6β – 1

a) 1 b) 2 c) – 3 d) 4 e) –2 4. Si: "α" es una raíz de la ecuación: x2 = – x – 1 "β" es una raíz de la ecuación: x5 = x + 2

Indicar el valor de: β5 – a3β+2

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 5. Si: x1 = 3 – 2 3 , x2 = – 3 y "x3" son raíces de la ecuación: x3 + ax2 + bx + c = 0; determinar:

(a – x3), si: c = 4 3 – 6



a) 2 3 + 4 3

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b) –8–2 2

c) –9+ 3

4 –2 3 d) 2 3 e) 3

Cuarto año de secundaria

101

17

Capítulo

Repaso II Matemática moderna La historia matemática del siglo XIX es rica y fecunda. Numerosas teorías nuevas aparecen y se completan trabajos comenzados anteriormente. Domina la cuestión del rigor; esto se manifiesta en análisis con Cauchy y la suma de series (la cual reaparece a propósito de la Geometría), teoría de funciones y particularmente sobre las bases del cálculo diferencial e integral, al punto de desplazar las nociones de infinitamente pequeño que habían tenido tanto éxito el siglo pasado. Más aún, el siglo marca el fin del amateurismo matemático: las matemáticas eran consideradas hasta entonces como obra de algunos particulares; en este siglo, se convierten en profesiones de vanguardia. El número de profesionales no deja de crecer y las matemáticas adquieren una importancia nunca antes vista. Las aplicaciones se desarrollan rápidamente en amplios dominios, haciendo creer que la ciencia todo lo puede; algunos sucesos así parecen atestiguarlo, como el descubrimiento de un nuevo planeta únicamente por el cálculo, o la explicación de la creación del Sistema Solar. El dominio de la Física, ciencia experimental por excelencia, se ve completamente invadido por las matemáticas: el calor, la electricidad, el magnetismo, la mecánica de fluidos, la resistencia de materiales y la elasticidad, la cinética química, ... son todas matematizadas. http://es.wikipedia.org/wiki/Historia_de_la_matem%C3%A1tica

En este capítulo aprenderemos .. Radicación algebraica .. Factorial - número combinatorio .. Binomio de Newton .. Números complejos .. Ecuaciones de primer grado .. Ecuaciones de segundo grado .. Ecuaciones polinomiales

Colegios

102

TRILCE

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Álgebra

Cruci - álgebra * Completa el crucigrama algebraico. 7 3 1 2 3 5

8

1 4 5 4

2

6 6

7

8

HORIZONTAL

VERTICAL

Igualdades de la forma: ax+b=0 (a≠0). Igualdades de la forma: ax2+bx+c=0 (a≠0). Expresiones algebraicas de la forma: n x , n ∈ , n ≥ 2. Combinaciones de "n" elementos tomados de "k" en "k". 5. Raíces de una ecuación cuadrática cuyo producto es uno. 6. Ecuaciones cuárticas de la forma: x4n+x2n+1=0. 7. Expresiones binomiales elevados a un cierto exponente natural. 8. Los números complejos de la forma: z=a+bi, están expresados mediante la forma...

1. Cantidades que tienen parte real y parte imaginaria. 2. El producto de números consecutivos desde el 1 hasta el mismo número inclusive. 3. Igualdades polinomiales de grado "n" (n ≥ 2). 4. Forma de efectuar los radicales presentes en el denominador. 5. Representan el conjunto solución de una ecuación. 6. Son raíces opuestas de una ecuación cuadrática cuya suma es cero. 7. Son radicales de la forma: A + B 8. Es la unidad que representa a las cantidades imaginarias.

1. 2. 3. 4.

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Cuarto año de secundaria

103

17

Capítulo

Aplica lo comprendido 1. Reducir: E= 18 + 2 8 – 50 – 98

8. x1.x2

(

)

2. Transformar a radicales simples:

9. 2x2 – 5x + 2 = 0

(

)



10. Raíces reales y diferentes

(

)



11. El polinomio: P(x)=x3–x tiene: (

(

)

(

)

(

)

a) 4 + 2 3

b)

6 + 20

6 + 7 , se obtiene: "a+b c " 7– 6 Hallar "a + b + c".

3. Al racionalizar:

30

5. De la igualdad: C3x = Cx+6 Hallar un valor de "x". 6. Obtener el quinto término en la expansión de: (x3 + 1)7. 7. Simplificar: 1+i – ; i= - 1 i 1– 1 + i 1– 1 + i 1– i 8. Resolver: 9x–(5x+1)–{2+8x–(7x–5)+9x}=0

14. El polinomio: H(x)=2(x–1)4(x+2)7; tiene:

b A. c B. D = a2 – 4cb

C. x = 0 ∨ x = 10



D. Raíces recíprocas

10. Relacione correctamente, de acuerdo a la ecuación: cx2 + ax + b = 0, (c ≠ 0) , donde "x1" y "x2" son sus raíces.

G. D>0



I. D0)

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Álgebra 11. Resolver en "x": 2 22 2 2 (a – b)x+ (a + b ) = 2a (a + b ) (a + b) x (a + b)

14. Reducir: M =

12. Al resolver la ecuación: x4–5x2–6=0 en C, hallar una raíz.

15. Si "x1", "x2" y "x3" son raíces de la ecuación: 2x3 – x2 + 3x – 4 = 0, calcule el valor de:

a - bi +i a + bi ; i = - 1 a + bi - i a - bi

1+ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 x1 x2 x3 x1x2 x1x3 x 2 x3

13. Si: z= a + 2i es un número real, halle el valor b–3i de: a + b . a

Tú puedes 1. Siendo "a" y "b" raíces de la ecuación: 5x2 – 23x + 11 = 0; hallar el valor de E= c 3a–1 m . c 3b–1 m 2b – 9 2a–9 1 b) 3 c) a) 1 2 2 2. Indicar la solución de:

3

d) 2

e) 4

3

x2 + x4 –1 + x2 – x4 – 1 = x

a) 2 b) 0 c) 1 d) 3 e) –3 3. Indicar el equivalente de: c

1 + 7 i 4+ 1 – 7 i 4 m c m 2 2

a) 1 b) – 1 c) 3 d) 5 e) 6 1 4n 4. Hallar el cociente que se obtiene al dividir el término central del desarrollo de `x + x j , entre el coeficiente de "xn" en el desarrollo de: (1 – 4x)–



a) 1

b) – 1

1 cn + m 2

c) 2

.

d) – 2

e) 1 2

d) 3 3

e) 4 2

5. Calcular: 1 + 3 + 3.5 + 3.5.7 + 3.5.7.9 + ... 4 4.8 4.8.12 4.8.12.16

a) 2 3

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b) 3 2

c) 2 2

Cuarto año de secundaria

107

18

Capítulo

Matrices Biografía de Gauss, Karl Friedrich Matemático, físico y astrónomo alemán. Nacido de una familia humilde, desde muy temprana edad dio muestras de una prodigiosa capacidad para las matemáticas (según la leyenda, a los tres años interrumpió Gauss a su padre cuando Universidad Göttingen estaba ocupado en la contabilidad de su negocio para indicarle un error de cálculo). Su tesis doctoral (1799) versó sobre el teorema fundamental del Álgebra (que establece que toda ecuación algebraica de coeficientes complejos tiene soluciones igualmente complejas), que Gauss demostró. Su fama como matemático creció considerablemente cuando fue capaz de predecir con exactitud el comportamiento orbital del asteroide Ceres, avistado por primera vez pocos meses antes, para lo cual empleó el método de los mínimos cuadrados, desarrollado por él mismo en 1794 y aún hoy día la base computacional de modernas herramientas de estimación astronómica. En 1807, aceptó el puesto de profesor de Astronomía en el Observatorio de Gotinga, cargo en el que permaneció toda su vida. En esos años maduró sus ideas sobre geometría no euclidiana, esto es, la construcción de una geometría lógicamente coherente que prescindiera del postulado de Euclides de las paralelas aunque no publicó sus conclusiones, se adelantó en más de treinta años a los trabajos posteriores de Lobachewski y Bolyai.

En este capítulo aprenderemos .. Definición y orden de la matriz .. Tipos de matrices .. Relación entre matrices .. Operaciones con matrices

Colegios

108

TRILCE

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Álgebra

Síntesis teórica

MATRICES

Arreglo rectangular de números ordenados en filas y columnas

Adición

Multiplicación por un escalar

Multiplicación de matrices

A = [aij]m×n

A = [aij]m×n

A = [aij]m×n

B = [bij]m×n

"k" es un número real

B = [bij]n×p

A + B = [aij +bij]m×n

kA = [kaij]m×n

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A m×n

A×B=C . B n×p = C m

× p

Cuarto año de secundaria

109

18

Capítulo

Saberes previos 1. Resolver:

3. Resolver:



• 3x–1 = x + 5 2

→ x = ___________



• x+2[x+2(x+2)] = 6 → x =



• x + x = 5 3 2 6

→ x = ___________



• 3 – {x – (1 – x)} = x → x =



• (x+1)(x+3)=x2

→ x = ___________

a c a+c 4. Si: e o + e o = e o b+d b d

2. Siendo: A = e

4 8 5 o 3 1 6



Completar:

• • • • •

Elementos de la fila 1: __________________ Elementos de la fila 2: __________________ Elementos de la columna 1: _____________ Elementos de la columna 2: _____________ Elementos de la columna 3: _____________

1 3 m Calcular "mn", en: e o + e o = e o 2 4 n

5. Si: (a b) – (c d) = (a – c b – d)

Calcular "x+y", en: (7 4) – (1 3) = (x y)

Aplica lo comprendido 1. Relacionar correctamente dada la siguiente matriz: 4 3 A = e o 8 7 a11+a12

A

11

Traz(A)

B

10

a11+a21

C

7

a12+a22

D

12

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) respecto a la siguiente matriz: B = e

•

Su traza es 10........................................( )



•

La traza de su transpuesta es 7...............( )



•

Es de orden 4........................................( )



•

a11 + a22 = 8 .......................................( )

Colegios

110

2 1 o 9 5

TRILCE

3. Completar correctamente a partir de la matriz:

•

Ct =



•

2C =



•

C2 =

C=e

4 1 o 0 3

4. Calcular "abcd" si: a c 3 –2 5 1 e o= e o–e o –1 0 b d 4 –1

5. Calcular "x+y+z+w", si: x z 1 –1 0 –2 e o–e o= 2e o y w 2 3 1 –1

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Álgebra

Aprende más 1. Relacionar correctamente las siguientes columnas: Condición para sumar, restar o A igualar matrices Condición para multiplicar ma- B trices La matriz transC puesta La traza de una D matriz

Cambia filas por columnas Suma los elementos de la diagonal principal Número de columnas de la primera igual al número de filas de la segunda Igual orden

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:



A=e

2x–1 y 5 –y 2 –x o ; B= e o 3–y 2 x+1 2



C=e

–2 5 o 4 –1



Hallar "A+C", si: A = B

5 3 5 3 5 2 a) e o b) e o c) e o 3 1 9 1 4 –2 1 2 5 2 d) e o e) e o 0 1 3 1 6. Escribir explícitamente la matriz:

• Para multiplicar matrices necesariamente deben tener el mismo orden.................... ( )



• Toda matriz tiene inversa........................ ( )



• Al elevar una matriz al cuadrado, todos los elementos se elevan al cuadrado............. ( )



5. Sean las matrices:

i A = (aij)2x3 / aij = )2 + j ; i H j i – j;i < j

3 4 5 3 –1 –2 3 1 2 a) e o b) e o c) e o 1 0 0 5 6 –1 5 6 –1 2 – 1 –2 3 1 2 d) e o e) e o 5 6 –1 5 6 1

• Una matriz y su transpuesta siempre tienen la misma traza......................................... ( )

7. Escribir explícitamente la matriz:

3. Completar:

• La matriz que tiene igual número de filas y columnas se llama matriz ______________



• La matriz que al multiplicar por otra matriz resulta la matriz identidad, se llama matriz

A = (aij)3x2 / aij = i+2j

3 5 3 7 5 7 a) f 4 6p b) f 4 8p c) f6 8p 5 7 5 6 7 9 4 2 4 5 d) f0 0 p e) f 1 6p 1 4 0 7

_________________

• El producto indicado de la cantidad de filas y columnas se llama ____________ de la matriz.

4. Si: e



a x–2 4 3 o=e o 3 5– y 3 –3



calcular: a – x + y



a) 8 d) 7

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8. Sean las matrices:

b) 6 e) 3



c) 5

A =e

0 1 2 3 o ; B=e o 3 2 0 –1

que verifican el sistema de matrices x, y

) x + 2y = A x – y =B

Calcular la matriz "x".

Cuarto año de secundaria

111

18

Capítulo

J3 5 N 4 7 K2 2 O 4 7 a) e o f 3 3 p b) K O c) 1 3 0 K2 – O 1 0 2P L J J9 7 N 9N K 3 – 2O K4 2O d) K4 K3 O e) O –7 O K K –1O L3 L4 P P

x+y= e



Hallar: xt . yt



1 0 0 –1 2 1 o ; AB= e o ; BA= e o 0 1 1 2 –1 0

hallar: (A + B)2

4 0 0 4 4 4 a) e o b) e o c) e o 0 4 4 0 4 4 –4 0 0 –4 d) e o e) e o 0 –4 –4 0

9. Dado el sistema matricial:

13. Si: A2=B2= e

5 1 1 1 o ; x–y=e o –2 3 2 7

6 6 6 –6 5 –5 a) e o b) e o c) e o 2 12 2 –12 2 0 1 –1 –6 6 d) e o e) e o 2 1 –2 12

14. Edú administra tres tiendas y en cada una de ellas produce tres tipos de artículos: "a", "b" y "c". Por cada kilogramo de artículo "a" obtiene una ganancia de S/.0,4 por el "b" S/.0,3 y por el "c" S/.0,5. La siguiente tabla muestra el número de kilogramos de artículos vendidos diariamente en cada una de las tiendas. Calcular la ganancia de Edú en cada tienda y la ganancia total. Artículos

3 –1 10. Si: A = e o ; además: F(x) = x2 + 2x – 5 2 1

Hallar "F(A)" e indicar la suma de sus elementos.



a) 6 d) 12

b) 8 e) 15

A=e

Clase de árbol



Si "A" y "B" son permutables respecto a la multiplicación, hallar "m+n".



a) 1 d) 4

c) 3

12. Si "x" es matriz solución de: Ax = B, calcular la 11 2 traza de "xtB", siendo: A = e o y B = e o 2 1 1

a) 0

b) 1



d) 3

e) 1 2

Colegios

112

TRILCE

3 200 100 300

15. En un vivero se cultivan dos árboles: eucalipto y huarango que son distribuidos en dos mercados, como se muestra:

m 1 2 –1 o o ; B=e n 5 3 1

b) 2 e) 5

1 200 300 100

c) 10

11. Sean las matrices:

a b c

Tiendas 2 100 200 200

Eucalipto Huarango

Mercado A 80 40

B 50 90

La ganancia por la venta de cada árbol es: S/.8 por el eucalipto y S/.6 por el otro. Calcular la ganancia obtenida en cada mercado y la ganancia total.

c) 2

Central: 6198-100

Álgebra

Practica en casa 1. Relacionar correctamente las tablas respecto a la matriz. 6 4 A=e o 2 5

7. Sean las matrices:

A= e

2 3 1 –2 3 o ;B=e o 1 2 4 1 2

Hallar "AB".

Traz(A)

A

6

a21+a12

B

–22

Traz(–At)

C

11

8. Hallar "x" al resolver el sistema de matrices x,y ) x 2y = A 2x + 3y = B

a21a12 – a11a22

D

–11



2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda, dada la matriz: 3 5 B=e o 7 4



Donde: x ; y ∈ k2x2



6 –3 12 8 A=e o ;B=e o 7 4 –7 8

9. Dados:

A= e

2 –1 5 1 o ; B=e o 1 2 0 –1



• b11b22 = b21+b12 ...................................( )



• La traza de "B" equivale a 12...................( )





• El orden de la matriz es 2×2....................( )

10. Dada la matriz:

3. Dada la siguiente matriz: 3 4 5 A = f0 2 3p 0 0 1 Completar:

• "A" se denomina matriz triangular _________ • El valor de su traza es: __________________ • La suma de sus elementos es: ____________

4. Sean las matrices:

x–2y x 2 y+4 A== G G ; B== 3 x–y 3 4

Hallar "xy", si: A = B.

5. Luego de escribir explícitamente la matriz, hallar "Traz(B)", si: B = [bij]3x3 / bij = 2i – j

Si: P(x; y) = x+y+2, hallar: P(A; B)



Donde se cumple:



x–2y x + 3y 2x A = >3y–x x + y 2x–y H 9 7 8

Traz(A) = 16 ; a21+a31=a22+1

Calcular "xy".

11. Calcular "xy", si las matrices:

12 3 21x 48 A=e o ;B=e o 1 4 16 y–1

verifican: A2 = B

12. Hallar la matriz "x" que resuelve: 1 3 11 4 e ox=e o 2 1 7 3 Indicar como respuesta la suma de sus elementos.

6. Sean las matrices:

A=e

x–3y x 2 6–y – 4 –8 o ; B =e o;C=e o 1 y 1 6–x 2 3

Si: A = B, hallar: 3A + 2C.

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13. Sea: B = [bij]3x3 ; si: bij = 2i – (–2)j

Indique la traza de "B".

Cuarto año de secundaria

113

18

Capítulo

14. Mathías produce los artículos "A", "B" y "C" y las vende en cajones a dos supermercados diferentes "La Oferta" y "La Rebaja". La ganancia que se obtiene es de S/.10 por cada cajón de artículo "A", S/.8 por el de "B" y S/.6 por el de "C". Calcular la ganancia generada por las ventas en cada supermercado, si el número de cajones vendidos a los supermercados se muestra a continuación: Supermercados La Oferta La Rebaja 60 80 80 100 70 50

Artículos A B C

15. En una fábrica se recogen dos producciones al año, que se distribuyen en tres mercados. La tabla muestra el número de paquetes enviados a cada mercado. Producción 1 2

Supermercados A B C 100 90 50 60 110 80

La ganancia de la primera producción es de S/.6 por paquete y S/.8 en la segunda producción. Calcular la ganancia obtenida por cada mercado y la ganancia total anual.

Tú puedes 1. Si: A = e

–3 5 2 –3 –7 3 o ;B=e o ;C=e o ; resolver: 3(x – 2A) = 5(B – C) + 2(x – A – B) –2 2 4 5 2 –1

29 –4 29 –4 –29 4 29 4 –29 –4 a) e o b) e o c) e o d) e o e) e o 6 –28 –6 28 –6 28 6 28 6 28 2. Hallar el valor de "F(A)", si: F(x) = x3 – 3x2 – 2x + 4; siendo: A = e

2 3 o. 3 –1

4 8 –4 8 –4 –8 –4 21 –4 21 a) e o b) e o c) e o d) e o e) e o 12 16 12 –16 –12 –16 21 –25 –21 25 1 –1 1 3. Dada la matriz: A = f2 –1 0 p , calcular: A100. 1 0 0

a) A

b) – A

c) I

d) 2I e) φ

6 3 2 2 0 1 4. Hallar la suma de los elementos de la matriz: C = (BA)t – 2A, si: A = f–1 4 1p ; B = f–2 4 0 p 2 2 1 1 –5 – 2

a) –2

R S0 S1 5. Calcular: S S2 S3 T

b) –1 0 1 2 3

c) 0

d) 1

e) 2

V 1W – 1 –1 4 2W 2 2 H= G > W 1 3W 1 1 4W X

R V R V R V R V R V S5 W S5 W S5 W S5 W S5 W S10 W S15 W S15 W S10 W S15 W a) S15 W b) S20 W c) S25W d) S20 W e) S25W S W S W S W S W S W S20 W S25 W S30 W S30 W S35W T X T X T X T X T X Colegios

114

TRILCE

Central: 6198-100

Capítulo

19

Determinantes ¿De dónde surgieron los determinantes? Por supuesto, en el contexto de la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Pero no solamente ahí: una vez dentro del cálculo diferencial e integral, también en los sistemas de ecuaciones diferenciales, cambios de variables en métodos de integración, y en el estudio de propiedades de las formas cuadráticas en tres o más variables que se pueden ver asociadas, por ejemplo, a la teoría de números, pero que aparecen en muchas otras partes de las matemáticas. Es casi increíble pero se encuentra un método matricial en la China del 200 a.C.; se trata de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Ya en el siglo XVI, Cardano ofreció un método para resolver un sistema lineal de dos ecuaciones, que es básicamente lo que conocemos como la "regla de Cramer'' (aunque no llega a la noción de determinante). Tampoco se puede dejar de reconocer en el trabajo Elements of curves de Witt, en 1660, lo que podría señalarse como una diagonalización de una matriz simétrica. Puede decirse que los sistemas de ecuaciones lineales fueron iniciados por Leibniz en 1678; de hecho, en 1693 usó índices en los coeficientes de un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas y, eliminando las variables, obtenía una expresión como "determinante". Se afirma que la primera aparición del determinante en Europa se dio en una carta de Leibniz a L'Hôpital, en 1683, e incluso usó el término "resultante'' para sumas combinatorias de términos de un determinante. Algo similar a la regla de Cramer se encuentra en algunos de sus trabajos. También estudió sistemas de coeficientes de formas cuadráticas, que lo Cardano

empujaron hacia las matrices.

En este capítulo aprenderemos .. Definición .. Regla de Sarrus .. Propiedades generales .. Menor complementario de una componente .. Método de Cramer

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Cuarto año de secundaria

115

19

Capítulo

Síntesis teórica

DETERMINANTES

|A| o Det (A) "A" una matriz cuadrada

Orden 1

Orden 2

Orden 3

A = [a11]

a11 a12 A= a21 a22

a11 a12 a13 A = a21 a22 a23 a31 a32 a33

|A| = (a11a22 a33 +a12 a23a31+a21a32a13)

|A| = a11

|A| = a11 a22 –a21 a12

– (a31a22a13+a21a12a33+a32a23a11)

Propiedades

•

|A| = |At|

•

|AB| = |A||B|

•

A = A B B ;B≠0

=kn |A| k : Es un escalar ; A : una matriz de orden "n"

• |kA|

Colegios

116

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra

Saberes previos 3. Hallar "x" en:

1. Resolver:

• 2x – 1 = x – 1 → x = ____________ 3



• 3(x – 2) = 4(x – 3) → x = ____________



• x + x = 5 → x = ____________ 2 3 6

7x + 3x = 38 8 2 4. Efectuar: 2 4 5 3 e o+e o -1 0 3 1

2. Resolver:

• x2 – 9 = 0

→ CS = ________________



• x2 – 5x = 0

→ CS = ________________



• x2 – 5x + 6 = 0 → CS = ________________

5. Efectuar: 2 1 3 e oe o 1 2 1

Aplica lo comprendido 3. Completar correctamente:

1. Relacionar correctamente: a c 0 b

A

a a b b

B

a d c b

C

a+b b c+d d

D

ad – bc



• El ......... de la matriz identidad es la unidad.



• El determinante es un valor asociado a una matriz ...............

ab – cd 0



• En la matriz de orden 2: A = e

ab

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) respecto a:



6 9 B== G 2 3



• |B| =



• |Bt| = 0 ................................................. ( )



• |B| es negativo ...................................... ( )

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Su determinante equivale a: ....................

4. Calcular "x" en: x 2 =4 5 1 5. Calcular:

• |B| es positivo ....................................... ( ) |Bt|

a+b b o a a

............................................. ( )

1 0 0 2 4 0 3 5 6

Cuarto año de secundaria

117

19

Capítulo

Aprende más 1. Relacionar correctamente las tablas:

6. Indicar la suma de las soluciones al resolver:

a c ab b d

a c b d

A

ab bc ab ad

B

c a d b

C

ad bc bc ad

D

a b c d

a2 c2 b2 d2

a c – b d

x –1 1 0 =0 –3 2 x 4 x

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

x y z 7. Calcular: P(–1; 0; 2), si: P(x;y;z) = 2 0 1 1 4 3

a) 19 d) 22

b) 20 e) 23

c) 21

8. Hallar el determinante de la matriz: 2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

• El determinante de una matriz cuadrada es igual al determinante de su transpuesta...( ) • El determinante de la matriz identidad es cero.........................................................( ) • Si dos filas son iguales el determinante de la matriz es cero .........................................( ) • Si su determinante es cero, la matriz es simétrica ................................................( )

3. Completar:

• Al intercambiar dos filas o columnas contiguas en una matriz, el valor del determinante cambia de ________________ • Un escalar que multiplica a un determinante solo afecta a una __________ o ___________ • El método de Sarrus solo se aplica para matrices de orden _____________

4. Calcular el determinante:

a) 100 d) 10

b) 90 e) 0

c) 80

Colegios

118

TRILCE

b) 1 e) 0

c) 2

9. Si "a" y "b" son raíces de: x2 – 4x+1=0, calcular el determinante de: α+β α+β A = = G –β α a) 4 b) 9 d) 25 e) 36 10. Calcular "x" al resolver:

c) 16 x 3 4 4 6 2x + 3 = 7 x–3 2 5



Indicar como respuesta: 3x+2.



a) 2 d) 8

b) 4 e) –2

c) 6



a) 1 d) 4

b) 2 e) –3

c) 3

12. Indicar la suma de las soluciones al resolver:

1 5 25 1 7 49 1 8 64 a) 5 d) 3

a) 14 386 d) 14 387

7 4 8 5 x = G= = G 5 3 6 4

5. Calcular:





14 387 14 388 A== G 14 386 14 387

11. Calcular el determinante de la matriz "x" que verifica:

4 –3 5 3 –2 8 1 – 7 –5



x + 3 –1 1 =0 5 x–3 1 6 –6 x + 4 b) 4 e) 2

c) 6



a) 0 d) 4

b) – 5 e) – 4

c) 6

Central: 6198-100

Álgebra 13. Resolver:

15. Si el ingreso diario de un producto está dado por la relación: I = P.Q., donde:

x 6 7 x x+3 x x + 1 x + 5 x + 1 + 0 –2 8 = 8 0 0 1 x+2 x+7 x+2



I : Ingreso





P : Precio unitario



Q : Cantidad vendida

a) – 4 d) –2

b) 6 e) 7

c) 3

14. Un alumno del colegio Trilce tiene sus notas de Aritmética (A), Álgebra (X), Geometría (G) y Trigonometría (T), representados por los siguientes determinantes: G 0 = 15 ; 4 1

A 2 = 46 1 3

2 2 3 T 1 1 T + = 19 0 X 1 = 200 ; 2 3 2 3 0 0 5



¿Cuál fue el ingreso mensual si está representado por el valor de los siguientes determinantes?

3 4 3 P = 2 0 1 5 7 1 3 4 Q = 2 5

¿Cuál fue su mejor nota?

Practica en casa 1. Relacionar correctamente: x 2 5 1 =4

A

2 1 3 4. Calcular el determinante: 5 3 2 1 4 3

x=4

x 3 x 4 =0

B

x=14

x 16 2 8 =0

C

x=2

2 5 =8 x 9

D

x=0

1 a a2 5. Calcular: 1 b b2 1 c c2

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corres–1 2 –4 3 ponda: |A| = ; |B| = 3 –4 2 –1

•

|A| < |B|........................................ (

)



•

|A| > |B|........................................ (

)



•

|A| = |B|........................................ (

)



•

|A| + |B| = – 4.............................. (

)

3 6. Dadas las matrices: A = e 1 AB hallar: B A x 7. Calcular "x" al resolver: 5 25

1 4 2 o y B=e o; 1 0 3

x x 2 4 = 24 4 16

910 450 370 8. Calcular: |B| = 500 230 180 410 220 190 9. Calcular: |C| =

2012 2013 2014 0 5 25 0 0 2

3. Completar respecto al determinante:

10. Indicar el producto de las soluciones al resolver:

1 1 1 |M| = 1 a b 1 a2 b2 • Es el determinante de ...........................

x 0 0 3 3 =0 5 x –1 + –2 x 8 2 1



•

El valor de |M| es ................................

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11. Resolver:

1 x 3 0 –1 1 = 0 –4 –2 2 Cuarto año de secundaria

119

19

Capítulo

4 3 12. Calcular: |A| = 2 1

5 6 7 8

2 4 6 8

15. Si el ingreso diario de un producto está dado por la relación: I = P.Q., donde:

4 3 2 1

1 b c 13. Hallar "|A|" si: A = >1 a + b b + c H 1 2b a + c 14. Un alumno del colegio Trilce tiene sus notas de Aritmética (A), Álgebra (X), Geometría (G) y Trigonometría (T), representados por los siguientes determinantes: 3 2 = 52 4 X

;

2 A = - 54 4 5



I : Ingreso



P : Precio unitario



Q : Cantidad vendida



¿Cuál fue el ingreso mensual si está representado por el valor de los siguientes determinantes?

2 P = 5 2

3 2 3

5 5 3 4 ; Q= 3 6 4

3 0 0 2 1 T 3 = 62 + 2 G 0 = 96 ; 2 5 T 4 1 4 2

¿Cuál fue su mejor nota?

Tú puedes 1. Sea la progresión geométrica: ÷÷2:n2:n3:n4... cuya razón es: k2; se cumple en ella que la suma de los cuatro primeros términos es igual a 80. (k ∈ +). Hallar: 2a – b, a partir del siguiente resultado: ak k ak3 k3 a 1 ak2 k2 + + 2 + 3 3 =120 2 bk 2k bk 2k bk 2k b 2

a) 1 d) 4

b) 2 e) 6

c) 3

2. Si "A" es una matriz definida por: h –1 0 0 hx h –1 0 , A = hx2 hx h –1 hx3 hx2 hx h entonces el valor del "Det(A)", es:

a) h3(x+h)3 c) (x+h)3 e) h(x+h)3

b) x3(x+h) d) x(x+h)3

4. Calcular: x 0 –1 1 0 1 x –1 1 0 1 0 x–1 0 1 0 1 –1 x 1 0 1 –1 0 x

a) (x2+x+1)(x3+x+1)



b) (x2 – x+1)(x3+1)



c) (x2 – x+1)(x3 – x – 1)



d) (x2 – x – 1)(x3 – x – 1)



e) (x2 – x+1)(x3 – x+1)

5. Hallar: x n–1 0 0 . . . 0

1 0 x 2 n–2 x 0 n–3 . . . . . . 0 0

0 ... 0 0 ... 0 3 ... 0 x ... 0 . . . . . . 0 ... x

3. Calcular:



a) (af+be – cd)2 c) (af – bd+ce)2 e) (ad – bf+ce)2

Colegios

120

0 –a –b –c

TRILCE

a b c 0 d e –d 0 f –e –f 0

b) (af – be+cd)2 d) (ad+bf – ce)2



a)

n

%

(x+n – k)

b)

k= 1



c)

n

%

e)

n

%

(x+n+2k)

k= 1

(x+n – 2k)

k= 1



n

%

d)

n

%

(x+n+1 – 2k)

k= 1

(x+n – 1 – 2k)

k= 1

Central: 6198-100

Capítulo

20

Sistema de ecuaciones Gabriel Cramer Fecha y lugar de nacimiento: 31 de julio de 1704 en Génova (Suiza). Fecha y lugar de fallecimiento: 4 de enero de 1752 en Bagnolssur-Cèze (Francia). Un poco de su vida : Cramer viajó bastante y conoció a muchos grandes matemáticos de su época, con los que mantenía correspondencia intercambiando información sobre nuevos descubrimientos matemáticos. Aunque la regla lleva su nombre, hay razones para pensar que Mc Laurin usó esta regla antes. Escribió sobre filosofía de la leyes y del Gobierno, y sobre la historia de las matemáticas. Trabajó en una oficina pública, participó en la artillería y en actividades de fortificaciones para el Gobierno, instruyó a trabajadores sobre técnicas de reparación de catedrales. El trabajo más conocido es Introduction á l´Analyse des Lignes Courbes Algebriques (1750); estudió y clasificó las Curvas Algebraicas (la regla de Cramer aparecía en el apéndice). El exceso de trabajo, combinado con la caída de un carruaje provocaron su fallecimiento. Fue una persona de buen corazón y Cramer agradable, nunca contrajo matrimonio.

En este capítulo aprenderemos .. Definición, forma general de un sistema lineal .. Solución de un sistema, sistemas equivalentes .. Clasificación de los sistemas lineales .. Método de resolución de un sistema lineal

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Cuarto año de secundaria

121

20

Capítulo

Síntesis teórica

SISTEMAS DE ECUACIONES

Definición

Resolución

Clasificación

Igualación

Reducción

Compatible

Incompatible

Sustitución

Cramer

Determinado

Indeterminado

(1er grado)

Colegios

122

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra

Saberes previos 1. Resolver:

4. Resolver:



•

x + 4 = x–5 3 2

→ x=



•

2x–1 + 3x–1 = x 2 3

→ x=

•



•

x – 4 = 5 → x = 3

•

4x2 – 49 = 0 → C.S. = {

;

}



•

9x2 – 1 = 0 → C.S. = {

;

}

;

}

5. Resolver:

2. Resolver:



x – 1 = 2 → x =



•

x2 – x = 20 → C.S. = {



•

x2 + x = 30 → C.S. = {

;

}

3. Resolver:

•

1 + 1 = 5 x x+1 6

→ CS =



•

1 – 1 = 1 x+2 x+3 6

→ CS =

Aplica lo comprendido 1. Resolver: x+y = 9 ) x – y =1 2x + y = 11 ) 2x – y = 1 2x + y = 11 ) x + 2y = 4 x + 3y = 3 ) 3x + y = 13

3. Completar respecto al sistema: A

xy=15

)mx + y = 1 x + my = 1

B

x+y=5



•

Si: m=1, el sistema es .............................



•

Si: m=–1, el sistema es ...........................

•

Si: m=2, el sistema es .............................

C

xy=20



D

x+y=4

4. Indicar el valor de "x+y" del sistema:

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) dado el sistema: ) 4x + 5y = 2 5x + 6y = 1

• • • •

Es compatible indeterminado................( No tiene solución..................................( Es compatible determinado...................( Se cumple que: x+y=–1......................(

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)7x + 4y = 3 5x + 3y = 1 5. Calcular "x" al resolver el sistema:

) ) ) )

Z4 3 ] +y =3 [ x ]2+6 =3 y \x

Cuarto año de secundaria

123

20

Capítulo

Aprende más 1. Relacionar al sistema: ) ax + by = c mx + ny = p Sistema incompati- A ble Sistema compatible B determinado Sistema compatible C indeterminado

a =b=c m n p a !b m n a =b!c m n p

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

•



•



•



•

• •



•

Un sistema lineal es de ............... grado. Se usa los determinantes para resolver un sistema lineal usando la regla de ................. Las ecuaciones de un sistema lineal, gráficamente representan .......... en el plano cartesiano.

4. Calcular "xy" al resolver:

b) 3 e) –2

c) 1

7. Calcular "x" al resolver: )2 (x + 3) + 3 (y + 2) = 18 3 (x + 4) + 4 (y + 3) = 36

a) –12 d) 6

b) –6 e) 12

c) 0

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

9. Indicar el valor de "m" en el sistema indeterminado: ) –mx + y = 1 x – my = 1

a) 1 d) 2

b) – 1 e) – 2

c) ±1

c) 3

)(m – 3) x + 3y = 5 2x + (m – 2) y =7

5. Resolver:



y x * 7 + 3 = 2 x–y = 4 Indicando el valor de "x+y"

11. Calcular "m" para que el siguiente sistema tenga solución única:



a) 3 d) 12

b) 7 e) 15

c) 10

Colegios

TRILCE

a) 1 d) 7

b) 3 e) 9

c) 5

Z 2x + 3y = 13 ] [ 4x + 5y = 23 ] 6x + my = 18 \

124

a) 2 d) –1

10. Calcular "m" para que el siguiente sistema sea inconsistente:

)2x + 3y = 8 4x + 5y = 14



El sistema incompatible tiene infinitas soluciones............................................. ( ) El sistema indeterminado no tiene solución 8. Calcular "a" en el sistema incompatible: ............................................................. ( ) )(a + 2) x + 2ay = 7 Todo sistema inconsistente es incompati5x + (a + 3) y = 8 ble ................................................ ( ) Todo sistema indeterminado es inconsis a) 2 b) 4 c) 6 tente ................................................ ( ) d) 8 e) 10

3. Completar:

6. Calcular "x – y" al resolver: Z1 2 7 ] + = 6 [ x y ]2+ 1 = 4 3 \x y

a) 2 d) 7

b) 4 e) 8

c) 6

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Álgebra 12. Calcular "a" para que el sistema siguiente sea compatible determinado: Z x – 3y = – 1 ] [ 5x – 7y =11 ] 9x – ay = 35 \

a) 3 d) 9

b) 5 e) 11

c) 7

13. Calcular "6x" del sistema:

Z 2 4 ] 3x + y + 3x – y = 3 [ 2 – 4 =1 ] + y 3x – y x 3 \



a) 1 d) 7

b) 3 e) 9

14. Edú, Mathías y Carla pueden soldar 37 metros lineales por hora cuando trabajan juntos. Edú y Mathías juntos pueden soldar 22 metros lineales por hora, mientras que Edú y Carla juntos pueden soldar 25 metros lineales por hora. ¿Cuántos metros lineales por hora pueden soldar cada uno de ellos por separado? 15. Un ciclista tiene un promedio a distintas velocidades cuesta arriba, en terreno llano y cuesta abajo. Él estima el siguiente kilometraje para sus tres últimos recorridos: km cuesta km terreno km cuesta Tiempo arriba llano abajo total (horas) 2 15 5 1,5 6 9 1 1,4 8 3 8 1,6

c) 5

¿Cuáles son las velocidades promedio cuesta arriba, en terreno llano y cuesta abajo?

Practica en casa 1. Relacionar correctamente:

)

2x + 3y = 4 4x + 6y = 8

A

10x + 15y = 30 B ) 2x + 3y = 5 2x + 3y = 5 ) 3x + 2y = 5

C

ax + by = c bx + ay = d

Compatible determinado

Completar:

• El sistema es inconsistente si ..............

Comtapible Indeterminado



• El sistema es indeterminado si .....................



• El sistema es .......... si: a=b y c ≠ d

Incompatible

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: • Todo sistema incompatible es inconsistente ............................................................... ( ) • Todo sistema inconsistente es indeterminado .......................................................... ( ) • Un sistema compatible puede tener dos soluciones............................................... ( ) • El sistema incompatible no tiene solución.... ( )

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3. Dado el sistema: )

4. Calcular: (x + y)y – x , al resolver: )2x + 5y = 26 3x – 4y = –7 5. Calcular "xy" al resolver: 3 2 )2 x + 3 y = 6 42 x + 24 y = 8

6. Indicar el valor de "7y" luego de resolver: )3 (x + 5) + 5 (y + 3) = 36 4 (x + 2) + 2 (y + 4) = 18 7. Indicar "x" que verifica el sistema: Z4 3 ] + =4 [ x y ] 2 – 6 = –3 \x y

Cuarto año de secundaria

125

20

Capítulo

8. Resolver e indicar el valor de "y": Z ] 3x – 4 = 5 y ] [ 1 = 2 ]x 2 5 ] + y \ 9. Para qué valor de "m" el siguiente sistema: ) (m – 2) x + 3y = 4 6x + (2m + 1) y = 12

tiene infinitas soluciones.

10. Hallar "m" para que el sistema sea incompatible: )(1 + 2m) x + 5y = 7 (2 + m) x + 4y = 8 11. Calcular "a2 + b2" en el siguiente sistema compatible indeterminado. )(α – 3) x – (β – 5) y = 10 4x – 3y = 5 12. Calcular " x + y " al resolver: 9x – 4y = 108 ) 3 x + 2 y = 18

13. Luego de resolver el sistema: ) 3 x + y + 2 – 2x–3y–7 = 10 2 x + y + 2 + 3 2x–3y–7 = 14

Indicar el valor de "3x – 2y".

14. La edad de Edú es la suma de las edades de Fatima y Mathías. La edad de Fatima es 2 años más que la suma de las edades de Mathías y Marco. La edad de Mathías es cuatro veces la edad de Marco. La suma de las cuatro edades es 42. ¿Qué edad tiene Edú? 15. En una feria campestre los boletos para los adultos se venden en $ 5,50; para los jóvenes en $ 4,00 y para los niños $ 1,50. El día de la apertura, el número de boletos para jóvenes y niños que se vendieron fue 30 más que la mitad de los boletos de adultos vendidos. El número de boletos para jóvenes vendidos tiene cinco más que cuatro veces el número de boletos para niños. ¿Cuántos boletos de cada tipo se vendieron, si la venta total de boletos ascendió a $ 14 970?

Tú puedes 1. Calcular "y" al resolver:

1 b) 1 c) 1 a) 2 90 60 1 d) e) 1 30

) x + 2y + 8xy = 9 x – 2y = 1

a) 4 d) 16

b) 6 e) 32

c) 8

2. Hallar "xy" del sistema:

x + y–3 2x + y–5 = =2 3 x–y + 4 x–2y + 7

a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

3. Calcular "xyz" al resolver: Z1 1 1 ] + – = ]] x y z [ 1 – 1 + 1 = x y z ] 1+ 1= ]] y z \ Colegios

126

TRILCE

6 4 1 x

c) 4

4. Indicar "xy" luego de resolver el sistema: Z a b ] ]x– a + y– b = a + b [ a – b = a– b ]] x– a y – b \

a) a d) a+b

b) b c) a – b e)1+ a + b + ab

5. Indicar "x – y" al resolver: 2 2 )ax + by = 2 (a –b ) bx + ay = a2 – b2



a) a+b d) b

b) a – b e) 1

c) a

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Capítulo

21

Desigualdades e inecuaciones lineales

Números reales En la gran mayoría de los temas que se tratan en Matemática, se tiene como Universo un conjunto que es llamado el conjunto de los números reales. Conoceremos algunas de sus propiedades fundamentales; además, se tendrá una idea descriptiva de dicho conjunto. De una manera inductiva se analizará la formación del conjunto universo de los números reales, empezando por los números naturales, considerados como un conjunto primitivo en la construcción de los números. Veremos como surge la necesidad de aumentar dicho conjunto para formar el conjunto de los números enteros, continuando con los racionales y paralelamente con los irracionales, hasta llegar finalmente al conjunto universo de los números reales. Definición número real, todo número racional o irracional y se designa por la letra . Los números reales se expresan en forma decimal, un número entero, un decimal exacto, un decimal periódico o un decimal con infinitas cifras no periódicas. En Matemática, los números reales incluyen a los números racionales y los números irracionales.

En este capítulo aprenderemos .. Desigualdades .. Inecuaciones lineales

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Cuarto año de secundaria

127

21

Capítulo

Síntesis teórica

DESIGUALDADES

Definición

• Notación • Relación de

orden

Teoremas

Inecuaciones

Intervalos C∈R

Solución

Operaciones entre desigualdades Inecuaciones de 1er. grado

Multiplicando o dividiendo por "C" a los 2 miembros Sumando o restando "C" a los 2 miembros Elevando a exponente par

Suma

Resta

Acotados

Multiplicación

No acotados

División

Elevando a exponente impar

Colegios

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TRILCE

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Álgebra

Saberes previos 3. Completar usando los símbolos mayor (>), menor (