Algebra_1

Índice Unidad I Capítulo 1

Introductorio

4

Capítulo 2

Definiciones algebraicas I

9

Capítulo 3

Definiciones algebraicas II

14

Capítulo 4

Teoría de exponentes I

19

Capítulo 5

Repaso I

24

Capítulo 6

Teoría de exponentes II

28

Capítulo 7

Teoría de exponentes III

33

Capítulo 8

Teoría de exponentes IV

38

Capítulo 9

Notación de polinomios

43

Unidad II Capítulo 10

Cambio de variable utilizando la notación de polinomios

48

Capítulo 11

Grados de expresiones algebraicas

53

Capítulo 12

Grados de un polinomio

58

Capítulo 13

Polinomios especiales

63

Capítulo 14

Multiplicación algebraica

68

Capítulo 15

Repaso II

73

Capítulo 16

Productos notables I

77

Capítulo 17

Productos notables II

82

Unidad III Capítulo 18

Productos notables III

87

Capítulo 19

Productos notables IV

92

Capítulo 20

División algebraica I

97

Capítulo 21

Repaso III

102

Capítulo 22

División algebraica II

106

Capítulo 23

División algebraica III

111

Capítulo 24

División algebraica IV

117

Capítulo 25

Factorización I

123

Unidad IV Capítulo 26

Factorización II

128

Capítulo 27

Factorización III

133

Capítulo 28

Repaso IV

138

Capítulo 29

Factorización IV

143

Capítulo 30

Factorización V

148

Capítulo 31

Fracciones algebraicas I

153

Capítulo 32

Fracciones algebraicas II

158

Capítulo 33

Fracciones algebraicas III

163

Álgebra

1

Capítulo

Introductorio Lectura: Origen del álgebra Es difícil establecer estrictamente el origen del álgebra, pero todo parece afirmar que la primera obra sobre álgebra nació en Grecia y fue su autor Diofanto de Alejandría, quien vivió aproximadamente por el año 250 de la era cristiana. Esa obra de Diofanto permaneció aislada en la escuela griega. Ningún otro matemático se dedicó a ella, y esa rama de la matemática desapareció con Diofanto. En verdad, la cuna del Álgebra puede situarse en la civilización hindú, donde aparecieron los rudimentos de esa ciencia y fue el pueblo árabe que tenía un intercambio comercial con la India, allá por el año 750, el que tomó esos conocimientos, los sistematizó, les aplicó el razonamiento deductivo de la matemática griega, y de esa combinación resultó el Álgebra que, a través de distintas evoluciones, se conoce en nuestros días; es decir, que puede considerarse a los árabes los verdaderos creadores del Álgebra, y hasta tal punto es así, que el vocablo Álgebra es de etimología árabe: se deriva de la palabra alchebr, que significa “reducción”, “suma”. FUENTE: ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA- Repetto Linskens Fesquet

En este capítulo aprenderemos .. Números enteros .. Números positivos .. Cero .. Números negativos .. Símbolos de agrupación .. Notaciones

Colegios

4

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra Síntesis teórica

NÚMEROS ENTEROS Enteros positivos

Z+ = {+1, +2, +3, ...}

Se denotan por Se

Z = { ... –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}

clasifican

Cero= {0}

en Enteros negativos

Z– = {...–3, –2, –1}

Para multiplicarlos se toma en cuenta

Para sumarlos se toma en cuenta que

Dos números

Dos números

enteros de mismo

enteros de distintos

signo se suman y

signos se restan y

se coloca el mismo

se coloca el signo

signo que llevan.

del mayor.

Para la división

La multiplicación de dos números del mismo signo genera producto positivo

La multiplicación de dos números de distinto signo genera producto negativo

Se aplica la misma regla que en la multiplicación

www.trilce.edu.pe

Primer año de secundaria

5

1

Capítulo

Saberes previos 1. Completa correctamente usando los símbolos ">": (mayor que) ó " 0 x

b) 3 x

d) 6 x

e) 4 x

a)

b) 3x

3

d) 3 3 y 15. Efectuar: 3

5 3

x.5 y

a) 3 x . 5 y

6

8. Efectuar: 3 4

12. Efectuar:

1/12

a) 4x

625 x 4 −

c) 3

13. Efectuar:

x12 + 5 x10 + 9x 4

7. Reducir:

b) 2 e) 5

− 2 −1

e) 3 x . 7 y

c) 5

6. Si "x" es un número positivo, reducir: 6

c) 0,3

− 3 −1

3

11 11

5. Calcular: 3− 2

A = 64 − 4

a) 1 d) 4

8 8

a) a b

b) 0,15 ! e) 0, 5

B = 12527 Hallar: (B+3)(A)

10 6

d) x y

c) 20

10. Efectuar: 0,5 (0,25)

3. Reducir: 5 x20 . y30 a) x y

b) 19 e) 21

c) 5 x

Central: 6198-100

Álgebra Practica en casa 1. Calcular: • •

5

6. Efectuar: (144

9

=

1024

=

• 3 343

=

• 7 167

=

=

• 7 − 1

=

) . (–27)

7. Calcular: (4 × 16 × 25)

−3 9. Calcular: 8 1 B 125

• 3 − 1000 =

4. Efectuar las siguientes potencias: • 36

• (–125) • –81

10. Reducir:

400 x8 −

81 x10 ; x ! 0 9x 2

11. Efectuar:

6 4

8 5

x96 +

x80

= 1/3

3/2

=

12. Efectuar: 3 a 5 b

=

5. Efectuar:

13. Efectuar:

• 4 8 . 4 3 . 4 11 •

1/2

− 20

3. Efectuar: U = 169 − 5 . 3 − 64 + 4 16

1/2

2/3

8. Reducir: 7 x28 . y 42 . z 49

2. Calcular: • 5 − 32

1/2

5

64 5 2

x. x

= 14. Efectuar: 3 x : z

=

12 • 6 21

=

• 3 4 13

=

15. Efectuar:

x.

3

x2 . 4 x3

Tú puedes 2 1. Reducir: ;

18

a) –1 d) –x

8

b) 1 2 e) x

4. Calcular el mayor valor de n, si:

4/3

8(x 4) 642B . x164 E

; x>0 c) x

n + 1/3 2. Efectuar: 3 − 1 . 3 3 − 1 . 3 ; n∈N,n≥2 1 . n 3n2 3 a) 1 b) 2 c) –1 d) 4 e) 3

3. Simplificar: a) 1 d) n www.trilce.edu.pe

n nn

n nn nn + n n

n

b) 0 e) –n

.

n + nn

1n 8nB c) –1

(n n )

1 n n

1 + 1/4 1/10

1 + 1/2 1 + 1/3E B = ;;8621 + 1/1@

a) 3 4

b) 2

d) 3 20

e) 5 3 4

E

c) 3 16

5. Luego de reducir: 3 4

a

4 3

a3

3

a 4 a3

4

a a2 a 3 a2 Dar el exponente de "a". a) 13 72 15 d) 72

b) 13 71 e) 11 70

c) 11 73

Primer año de secundaria

37

8

Capítulo

Teoría de exponentes IV Lectura: El filamento de una lámpara y el Álgebra Es un error pensar que en la práctica tropezamos tan sólo con segundas y terceras potencias, y que no existen exponentes de potencias superiores más que en los manuales de álgebra. Cuando un ingeniero busca el grado de solidez de un cuerpo se ve obligado operar a cada instante con cuartas potencias; y en otros cálculos (para hallar el diámetro de tubo conducto de vapor, por ejemplo) llega a operar incluso con la sexta potencia. Al estudiar la relación que existe entre la luminosidad de un cuerpo incandescente, – el filamento de una lámpara, por ejemplo– y su temperatura, se opera con potencias aún mayores. Así, que si calentamos un cuerpo de 2000 a 4000 grados absolutos, por ejemplo, o sea si elevamos su temperatura al doble, la luminosidad de 12

dicho cuerpo aumentará en 2 , es decir, en más de 4000 veces. FUENTE: tomado del libro "Álgebra recreativa. Autor: Yakov Perelman Link: http://www.sectormatematica.cl//librosmat/Perelman%20-%20Algebra%20recreativa.pdf

En este capítulo aprenderemos

.. Desarrollar ejercicios de Teoría de exponentes que involucren todo tipo de definición y propiedad estudiados en capítulos anteriores.

Colegios

38

TRILCE

Central: 6198-100

Capítulo

Síntesis teórica

8

TEORÍA DE EXPONENTES IV Presenta criterios complementarios

Descomposición

a− b

−c

a

n

n

nK

www.trilce.edu.pe

2x + 3 3 4x − 1

bn

(x . y )

x

descomposición en factores

n

xnK

xn

Primer año de secundaria

39

8

Capítulo

Saberes previos 1. Reducir:

4. Desarrollar:

2

2

• x + x + x

2

• 8xy – 10 xy

=

• 5

–1

=

=

• 4

–2

=

5. Efectuar:

2. Reducir: 4

4

• x . x . x

4

5 • x3 x 3. Reducir: 43

3 5

=

• 5 210 # 315

=

• (x . y )

3

=

42

=

=

(a ) . (a )

Aplica lo comprendido 1. Calcular el valor de: M=2

–3

+4

–2

+8

4. Calcular el valor de: –1

E = 279

− 2 −1

2. Calcular el valor de: 5. Calcular el valor de:

25 # 52 # 92 32 # 42 # 152

−2

3. Indicar el exponente final de "x" luego de reducir: x8 . (x2) 3 ; x 4 . (x3) 2

R = 82B 5

−1 +8 2 B 25

x!0

Aprende más 3. Reducir: −1 −1 −1 ;8 2 B + 8 1 B E . ` 15 j 5 5 2

1. Simplificar: x+3 + 2x + 2 E= 2 x+1 2

a) 2 d) 4

b) 3 e) 7

c) 6

2. Al reducir la expresión: a x . 2a x , se obtiene: x

3/10

. Hallar el valor de "a".

a) 2 d) 10

Colegios

40

TRILCE

b) 3 e) 6

c) 5

a) 0 d) –1

b) 1 e) 2

c) 1/5

b) 36 e) 71

c) 60

4. Reducir: 4 4 . 66 125 a) 24 d) 48

Central: 6198-100

Álgebra 5. Simplificar:

11. Al simplificar 52 . 62 − 32 . 52 , se obtiene: 152 . 2 + 152

5

64x7 5 2x 2

a) x d) 3x

b) 4x e) 6x

a) 1 d) 6

c) 2x

a8 = an b4 Calcular el valor de "n".

8` b j B . a −2

a2 (aa − 8 .aa + 9) a 2a . a 2

a) a 4 d) a

b) a 8 e) a

c) a

3

a) 1 d) 4

x

7. Si: x =2. Calcular el valor de: –2x

+x

b) 3/4 e) 3/2

c) 1/2

b) 2 e) 5

c) 3

−2

2 −2

.85B E 3

# 10

b) 2/5 e) 11/5

a) 1 d) 4

c) 4/5

b) 2 e) 5

c) 3

15. Simplificar:

5x + 3x 5− x + 3− x

16 veces

x

b) 3 x e) 8

c) 15

x

10 veces 6 44 7 44 8 6 4 4 44 7 4 4 44 8 x . x . x .... x 4 x . 4 x .... 4 x 4 x . x ... x . ^3 x6 h 1 4 44 2 4 44 3 10 veces

10. Si el exponente final de "x" es 4 en la expresión: xn , calcular "n".

a) 4 d) 10

;8 4 B 3

2 # 3 4 # 36 M = 10 3 3 # (12 # 5) 2

9. Reducir:

x

c) 3

14. Reducir:

n+4 n+3 M = 2n 3 + 2n 2 2 + +2 +

a) 2 x d) 5

3

a) 1/5 d) 8/5

8. Calcular el valor de:

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

13. Al operar:

–x

a) 2 d) –1

x

c) 3

12. En la siguiente igualdad:

6. Reducir:

x

b) 2 e) 9

b) 6 e) 12

a) x 4 d) x

2

b) x 5 e) x

c) x

3

c) 8

Practica en casa x+3 + 5x + 2 1. Simplificar: E = 5 x+1 5 2

2. Si: x =4, donde x es un número natural. 8 –4 Calcular: x + x

x

4. Sabiendo que: 2 = 6. Calcular: 2

5. Reducir: 16 4 n

3. Calcular el valor de:

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64

2

05 8 @7

x+1

− 8 − 1/3

3n

6. Si: x =5, reducir: x –100

7. Calcular el valor de "x", en:

3

4x = 2x . 3 2

Primer año de secundaria

41

8

Capítulo

2x + 1 8. Calcular el valor de: 2 x 4

3 1/n 13. Efectuar: ^n b2n h^bnh . ^b − 1h donde: n ∈ N; n ≥ 2 y b ! 0

− 1/2 9. Calcular: 8 9 B + 3− 1 25

10. Si: A = 7 x . 7 x . 7 x .... 7 x , Hallar: 1 44444 2 44444 3

A

28 factores

5 10 5 15 11. Reducir: 8 a . 8 a a16 . a24

−2

12. Reducir: A = ;` 1 j 6

= 2 14. Efectuar: '8 4 2 B

2

1

2

G

2

2

2 3 xh ^x 15. Efectuar: x a .xa . xa .... a x a + a + a + .... + a 1 4 4 4 44 2 4 4 4 44 3

− 2 1/2

+ ` 1j E 8

"a" sumandos

Tú puedes 1. Calcule el valor de "x" en la ecuación: 2x+1 x = 4 + 64 2 a) 1/2 d) 2

b) 1 e) 3

c) 3/2

2. Calcular el valor de:

n

n

a) 1001 d) 1004

2008

b) 1002 e) 1005

c) 1003

x1 = 4 x3 b) 8 e) 48

c) 72

3. ¿Cuántas parejas (x; y) de números reales positivos satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones: xx + y = y3 ) x+y y = x6 . y3 a) 6 d) 11

n

5. Sea la siguiente sucesión:

2n # 6n + 3 3n + 1 # 4n a) 9 d) 16

n

4. Si: 4 + 4 + 4 + 4 = 2 Hallar "n".

b) 12 e) 4

c) 5

x2 =

4

x3 4 x3

x3 =

4

x3

4

x3 4 x3

h Calcular x10. a) c)

46−1 6 x 4 48−1 8 x 4 410−1 410

b)

47−1 7 x 4

d)

49−1 9 x 4

e) x

Colegios

42

TRILCE

Central: 6198-100

Capítulo

9

Notación de polinomios Lectura: Álgebra simbólica Una de las causas por las que la Matemáticas no avanzaron suficientemente hasta el siglo XVI fue sin duda la carencia de unos símbolos que ayudaran a los matemáticos a expresar sus trabajos de una manera más simple y que permitieran su lectura con mayor facilidad. Desde los babilonios (1700 a. de C.) hasta Diofanto (250 d. de C.) las operaciones se relataban con el lenguaje ordinario (Período retórico o verbal). Así, por ejemplo, en el papiro de Rhind (1650 a. de C.) se puede leer para describir un problema: "Un montón y un séptimo del mismo es igual a 24". Con la palabra "un montón" designaban la incógnita; Un par de piernas andando en la dirección de la escritura era el signo (+) y en contra el signo (–). ¿Cómo se escribiría hoy esta ecuación?

En este texto sólo son legibles las letras x e y, así como la fórmula 2 y=x

A partir de Diofanto y hasta comienzos del siglo XVI se comienzan a utilizar algunas abreviaturas (Período 2 abreviado o sincopado) Así, por ejemplo, para expresar la ecuación: 3x – 5x + 6, Regiomontano (1464) escribía: 3 CENSUS ET 6 DEMPTIS 5 REBUS AEQUATUR ZERO, mientras que Luca Pacioli (1494) escribía: 3 CENSUS P 6 DE 5 REBUS AE 0 A partir del siglo XVI, con Vieta y Descartes sobre todo, se empieza a utilizar un lenguaje simbólico bastante parecido al actual (Período simbólico). Por ejemplo, la ecuación anterior era expresada así: Stevin (1585): 32 . 51 + 6 = 0 Vieta (1591): 3Q – 5N + 6 ae 0 Descartes (1637): 3xx – 5x + 6 = 0 Actualmente, el lenguaje de las Matemáticas es internacional. Se puede desconocer el idioma en que está escrito un problema, pero la expresión algebraica será la misma que en cualquier libro español. FUENTE: Link: sites.google.com/site/504expresionesalgebraicas/

En este capítulo aprenderemos .. Definición de un polinomio. .. Variables constantes. .. Valor numérico. .. Valor numérico utilizando notación de polinomios. .. Término independiente P(0). .. Suma de coeficientes P(1).

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Primer año de secundaria

43

9

Capítulo

Síntesis teórica

NOTACIÓN DE POLINOMIOS

Definición

• Variables • Constantes o parámetros

Valor numérico

En un polinomio: P(x) Suma de coeficientes Término independiente

Colegios

44

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra Saberes previos 1. Indicar la relación de orden en: (>, 5 x − 2 ; si x # 5 a) 18 d) 20

b) 19 e) 17

c) 16

5. Sea el polinomio: 2 3 4 5 P(x; y) = x + y + x + y Calcular: P (− 1; 0) + P (0; − 1) M= P (− 2; 2) a) –4 d) 1/5

b) 2/3 e) 0

c) –1/2

3. Sabiendo que: P(x; y) = P(2; 3) en P(x; y) = 2x + 3y – 1 P (x; y) Reducir: 4 a) 2 d) 5

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b) 3 e) 6

c) 4

Primer año de secundaria

47

10

Capítulo

Cambio de variable utilizando la notación de polinomios Lectura: Los polinomios en otras ciencias: Si investigaste en la web, es probable que encontraras muchos polinomios con nombre propio: Polinomios de Lagrange, Hermite, Newton, Chevichev... copiamos aquí un extracto de un blog que habla de los polinomios de Zernike y su aplicación en óptica para corregir defectos visuales. ... Las matemáticas, con los polinomios de Zernike, nos ofrecen un método para descomponer superficies complejas en sus componentes más simples. Así, con este procedimiento matemático podemos jerarquizar y definir todas las aberraciones visuales. Un esquema que está presente con mucha frecuencia en las consultas de cirugía refractiva es el de las diferentes aberraciones agrupadas y jerarquizadas: Lo de la jerarquía es fundamental, porque según cuál sea el grupo de la aberración, tendrá más o menos importancia, será más o menos fácil de corregir, etc. Por ejemplo, el número 4 corresponde a la miopía (y su inverso, la hipermetropía), y el 3 y 5 corresponden al astigmatismo... Extracto de la página FUENTE: http://ocularis.es/blog/?p=29

En este capítulo aprenderemos .. Conociendo P(x), hallar P(F(x)) .. Conociendo P(F(x)), hallar F(x) o P(x)

Colegios

48

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra Síntesis teórica

Cambio de variable utilizando la notación de polinomios

P(x) o

P[F(x)]

Conocido : P(x)

Conocido : P[F(x)]

Calculamos : P[F(x)]

Calculamos : P(x) o F(x)

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Primer año de secundaria

49

10

Capítulo

Saberes previos

1. Encontrar el valor de "x" en:

4. Efectúe:

4x – 3 = 13

3 (4–1) + 5 (2–3) 5. Efectúe:

2. Reducir: 3 (x+1) – 2 (x–2) – 7

5 (3+2)–4(6–1)

3. Reducir: 5 (x+3) – 3(x–1) – 2x

Aplica lo comprendido 1. Si: P(x) = 3x – 4

4. Si: P(x+1) = x

Determine: P( m – 3)

Determine: P(m)

2. Si: P(x) = –3x – 1

5. Si: P(x – 2) = x+3

Determine: P(m) + P(–m)

Determine: P(2m)

3. Si: P(x) = –8x + 5 Determine: P(2m–1)

Aprende más 4. Sabiendo que: P(x) = –x+2 Calcular: P(m–3) – P(m+3) + 6

1. Si: P(x) = 4x + 3 Determine: P(m+3) a) 2m–4 c) 4m+15 e) m+8

b) 5m–3 d) 3m–6

b) 3m–7 e) 6m+4

c) 6m–9

3. Sabiendo que: P(x) = 4x–7 Calcular: P(m+3)–P(m–4) a) 20 d) 30

Colegios

50

TRILCE

b) 28 e) 29

b) 13 e) 11

c) 14

5. Si: P(x) = 3x+1 y F(x) = 4x–3 Calcular: P(F(1))

2. Si: P(x) = 3x–6 Determine: P(2m–1) a) 2m–1 d) m–3

a) 15 d) 12

c) 24

a) 9 d) 5

b) 3 e) 4

c) 6

6. Sean los polinomios: P(x) = –2x+3 F(x) = –3x+1 Calcular: F(P(–2)) a) –14 d) 18

b) –20 e) –10

c) 32

Central: 6198-100

Álgebra 12. Si: P(x) = 7x – 9 ∧ P(F(x)) = 4x – 12

7. Sean los polinomios: P(x) = 3x – 7 F(x) = –2x – 1 Determine: P(F(m)) a) –7m+2 d) –2m–6

b) 5m–3 e) –6m–10

Calcular "7 F(x) + 3" c) –m+4

b) 1 e) 3

c) 4

b) 2m–7 e) 7m–1

c) 4m+6

10. ¿Para que valor de "m" se cumple: P(m)=F(m) Si: P(x) = 3x – 7 F(x–2) = x+5 a) 5 d) 7

b) 4 e) 8

c) 9

11. Sean los polinomios: P(x) = 3x – 1 F(x) = 4x – 5 Calcular: M = P(F(x)) – F(P(x)) a) 14 d) –7

b) –19 e) –15

c) 6x

a) 4 d) 9

b) 2 e) 1

c) 5

14. Si: P(x) = 3x – 4 ∧ F(x) = 5x – 1 Expresar P(x) en términos de F(x)

9. Si: P(x+4) = x – 3 F(x–1) = 2x – 8 Calcular P(F(m+3)) a) 5m–3 d) 3m–5

b) 4x e) 7x+3

13. Si: P(x) = 4x – 7 ∧ F(x) = 5x – a Calcular "a" para que: P(F(1)) = F(P(2)) + 2

8. Sean los polinomios: P(x) = 2x–10 F(x+3)=x–1 Determine: P(3m) – 3 F(2m) a) 2 d) 5

a) 7x–2 d) 2x–5

c) –13

a) 7 F(x) + 1 4

b) 5 F(x) + 2 5

c) 3 F(x) + 4 3

d) 3 F (x) – 17 5

e) 2 F (x) + 1 3 15. ¿Para qué valor de "m", se cumple: P(2 F(x)) = 2 P(x) – 19 Si: P(x) = 3mx + 1 F(x) = x – 3 a) 6 d) 4

b) 1 e) –2

c) –3

Practica en casa 1. Si: P(x) = 3x – 1 Calcular: P(m+2)

2. Si: P(x) = –x+1 Calcular: P(m–1) 3. Si: P(x) = 2x – 4 Calcular: P(2m–1) – P(2m+1) 4. Si: P(x) = 7x – 4 Calcular: P(m+2) – P(m)

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2

5. Si: P(x) = x + 3 F(x) = 2x + 4 Calcular: P(F(0)) 6. Sean los polinomios: P(x) = 4x – 3 F(x) = –2x + 4 Calcular: F(P(m)) 7. Sean los polinomios: P(x) = 5 – x F(x) = 2x – 1 Calcular: P(F(m))

Primer año de secundaria

51

10

Capítulo

8. Sean los polinomios: P(x) = x+9 G(x) = 2x – 4 Calcular: 6 P(3m) – 9 G(m)

12. Si: P(x) = 3x – 4

9. Si: P(x+1) = x – 1 F(x+3) = 2x – 7 Calcular: P(F(m))

13. Si: P(x) = 7x – 1

F(x) = 5x – m Calcular "m" para que: P(P(1)) = F(3) – 14

F(x) = 5 – 2x Expresar P(x) en términos de F(x)

10. ¿Para qué valor de "m" se cumple: P(m) = F(m) Si: P(x) = 4 –x F(x) = x – 12

14. Si: P(2x+3) = 3x – 1

11. Sean los polinomios: P(x) = x + 3

15. Si: P(2x+3) = 3x+1

Calcular: P(P(P(7)))

Calcular: P(P(P(7)))

F(x) = 2x – 3 Calcular: M = P(F(x)) – F(P(x))

Tú puedes 2

2

4. Sea: P(3x+1) = x – 4

1. Sea: P(x) = 4x – 3 ; x H 0 Calcular: P ( x ) + 3 2 a) x+3

b) x

d) 2x

e)

4

Calcular: M = P (7) − P (− 2) 3 c)

x –3

x /2

b) –6x+3 e) –8x+3

b) 9 e) 6

c) 1

5. Sean: P(x+1) = 4x – 7 ∧

2. Si: P(x) = –2x + 1 Calcular: P(P(P(x))) a) 5x–3 2 d) x –3

a) 3 d) 12

G(x – 3) = –3x + 5 3

c) 8x +1

Calcular: P(x) + G(x) + 15 a) x d) x+3

b) –4 e) x–6

c) 12

3. Sea: P(2x–3) = 2x+5 Calcular el valor de "x" que verifica: P(3x) + P(4x) = 65 a) 5 d) 9

Colegios

52

TRILCE

b) 8 e) 7

c) 6

Central: 6198-100

Capítulo

11

Grados de expresiones algebraicas Lectura: Hacer que las películas cobren vida Muchas de las técnicas de animación que se usan en la producción de películas se basan en las matemáticas. Los personajes, el paisaje de fondo y el movimiento se crean usando programas informáticos que combinan píxeles para obtener formas geométricas que luego son archivadas y manipuladas mediante las matemáticas que se usan en los gráficos de ordenador El programa informático codifica en cada píxel todas las características que pueden ser importantes para la vista, tales como la posición, el movimiento, el color y la textura. El programa usa vectores, matrices y aproximaciones poligonales a las superficies curvas que determinan el grado de oscuridad de cada píxel. Cada fotograma de una película generada por ordenador se compone de más de dos millones de píxeles y puede llegar a tener alrededor de cuarenta millones Titanes de Ischigualasto: http://sanjuan.cfired.org.ar de polígonos. La cantidad tan enorme de cálculos necesaria convierte a los ordenadores en herramientas imprescindibles, pero sin la ayuda de las matemáticas el ordenador no sabría que cálculos hacer. En palabras de uno de los animadores... todo se controla con matemáticas... ¡aquellas pequeñas "x", "y" y "z" que aprendimos en el colegio cobran de pronto relevancia. Más información: Mathematics for computer Graphics Aplications. Michel E Mortenson (1999) FUENTE: Link: http:\\webpages.ull.es/users/revmate/momentos705abr/mm– 2.pdf

En este capítulo aprenderemos .. Definición de grado .. Clases de grados de un monomio – Grado relativo – Grado absoluto

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Primer año de secundaria

53

11

Capítulo

Síntesis teórica

GRADOS DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Definición

Grados de un monomio

Grado relativo

Colegios

54

TRILCE

Grado absoluto

Central: 6198-100

Álgebra Saberes previos 1. Encontrar el valor de "x" en:

4. Reducir:

2 (x+3) – 1 = 3

M = 2 (3 +4) – 3 (4 – 2)

2. Al igualar 2m–3 con 7, el valor de "m" es: 3. Reducir: N = 4 + (–3) + 5 – (–3)

5. Indicar la relación de orden usando los símbolos >; 0 a) 1 d) 4

20

4. Si: P(x) = 20 x + 19x + 18x + ... + x Es idéntico a: 20 19 Q(x)=(a1–a2)x +(a2–a3)x +....(a20–a21)x

5. Si el polinomio: n/5 7–n n–2 P(x) = (a – n) x + (b – a) x + (c – 2b) x Es idéntico a: c–2 a n–4 Q(x) = –x + (a–1) x – 3x Halle: a+b+c+n a) 11 d) 14

b) 12 e) 15

c) 13

c) 3

Primer año de secundaria

67

14

Capítulo

Multiplicación algebraica Lectura: Una ecuación matemática fue resuelta luego de 140 años Philip T. Gressman y Robert M. Strain, dos matemáticos estadounidenses, lograron resolver la ecuación de Blotzmann, un problema imposible de resolver creado por un físico austríaco del siglo XIX, clave en la teoría cinética de los gases. Luego de 140 años, estos dos matemáticos de la Universidad de Pennsylvania hicieron historia poniéndole fin a un problema sin resolver. Según relata la agencia Europa Press, a fines de la década de 1860, los físicos James Clerk Maxwell y Ludwig Boltzmann desarrollaron esta ecuación para predecir cómo los elementos gaseosos distribuyen materiales en sí mismos en el espacio, y la forma en que responden a los cambios en parámetros como la temperatura, la presión o la velocidad. Gressman y Strain estaban intrigados por esta ecuación misteriosa. Utilizando modernas técnicas matemáticas en el campo de las ecuaciones diferenciales parciales y análisis armónico, los científicos demostraron la ecuación. Sin embargo, solo pudieron encontrar soluciones para los gases en equilibrio perfecto. Ludwig Boltzmann fue un pionero de la mecánica estadística y su constante es un concepto fundamental de la termodinámica. FUENTE: diario El Comercio

En este capítulo aprenderemos .. Definición de multiplicación algebraica. .. Factores .. Producto .. Identidad .. Caso de multiplicación:

Colegios

68

TRILCE



– Monomio × monomio



– Polinomio × monomio



– Polinomio × polinomio

Central: 6198-100

Álgebra Síntesis teórica

MULTIPLICACIÓN ALGEBRAICA

Definición

Factores

Identidad

Producto

Casos de multiplicación

monomio × monomio

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monomio × polinomio

polinomio × polinomio

Primer año de secundaria

69

14

Capítulo

Saberes previos

1. ¿Qué exponente debe tener "x" para que el 4

n

3

polinomio: x +2x +3x +7x–11 ; sea completo 2. Ordene descendentemente los términos del polinomio: 5

7

4. Calcular (n+K) si el polinomio: 3

n

es completo 5. ¿Qué exponentes faltan que el polinomio: 10

x

2

x – 2x + 4x – 5

K

x + 2x + 3x + 11

9

7

5

4

3

+ x +3x + 2x – 3x + 11x + 7x–1

sea completo?

3. ¿Cuál debería ser el valor de "m+n" para 4

3

n

m

que el polinomio: x +x +3x +7x+6x ; sea completo y ordenado

Aplica lo comprendido 1. Calcula el producto: 2

3

4. Efectuar: (3x+5)(2x–4)

5

(2x )(3x )(–4y ) 2. Calcula el producto:

5. Calcula el producto:

3 3

3x y (y+2z)

(2x + y)(3x – y)

3. Calcula el producto: xyz (x+y–z)

Aprende más 1. Señale el producto: 3

4

4. Señale el producto:

5

4 5

(2x )(3x )(2x ) a) 12 d) 12x

10

b) 12x

60

e) 12x

12

c) 6x

12

5

15

d) –6x

2

14

e) –30x

c) 10x

10

7 11

d) 6x y Colegios

70

TRILCE

4

término de mayor grado. b) 10 e) 11

c) 8

6. Determine el producto:

5 8

2 3

3

a) 6 d) 24

14

(3x y )(2x y ) a) 6x y

4 3 7

e) –x y z

2x (3x + 4x – 5) y señale el coeficiente del

3. Señale el producto: 2 3

4 3 7

c) –8x y z

5. Determine el producto:

6

b) 30x

15

4 3 5

b) –8x y z

4 3 7

(–3x )(–2x )(–5x ) a) 6x

4 3 5

a) 8x y z d) x y z

2. Señale el producto: 3

3 2

(–4x z )(2y z )

2 3

2 3

5 5

–3x y (2x y – 4x y ), señale el coeficiente del 2 11

b) 6x y

7 11

e) 18x y

7 10

c) 6x y

término de menor grado a) –6 d) 12

b) 10 e) –12

c) 15

Central: 6198-100

Álgebra 7. Reducir: (3x+2)(2x+5)+2x(5x–3) 2

12. Hallar "a+b+c", si: 2

(3x+7)(2x–5) ≡ ax + bx + c 2

a) 16x +10

b) 16x +7x+10

2

2

c) 6x +15x+10

d) 16x +13x+10

2

a) –35 d) –30

b) 35 e) 29

c) 30

13. Hallar m–n, si:

e) x +19x

2 3

5

5

2 8

7 3

2x y (3x +y ) ≡ mx y + nx y 8. Al multiplicar: (3x – 5)(2x+1) y adicionarle: 7x+5 se obtiene: a) 6x

2

2

b) 6x +10

d) –6x

2

e) x

2

c) 6x –1

2

b) –4 e) N.A. 2

c) 4 2

14. Si: (4x–2y)(3x+4y) ≡ ax + by + cxy Hallar: (a–11)(b+9)(c–9) a) 1 d) 4

9. Reducir: 2 3 3 4 2 (2x+3y)(3x +5y )–(6x +15y +9x y) a) 4xy

3

b) 10xy

3

d) 8xy

3

e) 15xy

3

c) 7xy

3

b) 3 e) 6

b) 2 e) 5

c) 3

15. Si F(x) y P(x) son binomios completos y ordenados descendentemente y al multiplicarlos se obtiene g(x) ordenado de igual forma, halle el coeficiente

10. Señale el coeficiente del término de primer 2 grado del producto de: (3x +1+2x)(x+2) a) 2 d) 5

a) 4 d) 5

c) 4

del término de primer grado de g(x) si F(x) y P(x) solo difieren en el signo del término independiente. a) F.D. d) –1

b) 1 e) N.A.

c) 0

11. Calcular el coeficiente del término de tercer 3 2 grado de: (3x + 2x–7)(2x +5–x) a) 4 d) 17

b) 12 e) 19

c) 15

Practica en casa 2

5

9. Efectuar: (3x+2y)(5x–7y)

1. Efectuar: (2x )(3x y) 4 5

2

2. Efectuar: (–3x y )(–5x y) 3

2

5

3. Efectuar: (2x y)(3x z)(4x y) 4. Efectuar: (–7xy)(–3yz)(2zw) 4

4 2

6. Efectuar: x y (xy + x y –5z) 2

2

2

11. Efectuar: (x +x+1)(x –x+1) 12. Hallar "a+b+c", si: 2

5. Efectuar: x (2x –x+5)

5

2

(x+3)(2x–5) ≡ ax +b+cx

3

8 4

3

10. Efectuar: (x +2x–7)(x +3x–1)

2

n

5

4

13. Si: x (2x+3) ≡ ax +bx , calcular: a+b+n

7. Efectuar: 2xy (3x +2y +2xy)

14. Reducir: xy(xy+z)+3z(yx+1) – (xy)(xy)

8. Efectuar: (x+y)(2x–y)

15. Reducir: (x+1)(2x+1)+(x–1)(2x–1)+x(x+1) – x

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Primer año de secundaria

71

14

Capítulo

Tú puedes 1. Si: x = 2 ; hallar el menor valor de: 2 x

x (x+1) – x (x+3) + x (x+2) a) 1/2 d) 1/4

b) 1/32 e) 1/8

c) 1/16

2

(x+1)(2x–1)+(x–1)(2x+1)–4x +x

a) 5 d) 2

a) 3 d) 2

2

e)

2 –2

72

TRILCE

a+1

c) 5

b) 2abc

c) –2

n

2

c) 3abc

2 2 2

d) 4abc

2 +2 b)

2

b) 4 e) 1

a) abc

e) a b c n

3

5. Si: x (x –1) + (a–4)(x+2) = (x –x) Hallar: "a+n" a) 9 d) 10

Colegios

5

4. Reducir: 2 2 2 2 2 2 ab(ab+c)+ac(ac+b)+bc(bc+a)–a b –a c –b c

2. Halle el valor numérico de: para x =

5

3. Si: (2x+1) (3x+2) = (6x +2+7x) Hallar "a".

b) 6 e) 12

5

c) 8

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Capítulo

15

Repaso II Lectura: La sucesión de Fibonacci La sucesión de Fibonacci es una secuencia de números enteros descubierta por matemáticos hindúes hacia el año 1135 y descrita por primera vez en Europa gracias a Fibonacci (Leonardo de Pisa). La sucesión se describe de la forma siguiente: F(0) = 0; F(1) = 1; F(n) = F(n–1) + F(n–2) En la naturaleza encontramos como se cumple la sucesión de Fibonacci, por ejemplo: Los machos de una colmena de abejas tienen un árbol genealógico que cumple con esta sucesión. El hecho es que los zánganos, el macho de la abeja, no tiene padre (1), pero sí que tiene una madre (1, 1), dos abuelos, que son los padres de la reina (1, 1, 2), tres bisabuelos, ya que el padre de la reina no tiene padre (1, 1, 2, 3), cinco tatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5), ocho tataratatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5, 8) y así sucesivamente, cumpliendo con la sucesión de Fibonacci. El número de pétalos de una flor es generalmente un término de Fibonacci. Hay flores con 2 pétalos, 3, 5, 8, 13, 21, 34, pero muy rara vez es un número que no esté en esta sucesión. FUENTE: www.sabiask.com

En este capítulo recordaremos Teoría de exponentes con ejercicios de aplicación. .. Operaciones con bases iguales. .. Operaciones con exponentes iguales. .. Operaciones con radicales. .. Ecuaciones exponenciales.

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Primer año de secundaria

73

15

Capítulo

Saberes previos

1. Efectuar:

0 0 0 3. Efectuar: 53 + 5 − 3 + 5(− 3)

• 5

0

=

• 3

–4

= 2 3 0 4. Efectuar: x 4 . x3 . x6

−2 • 8 2 B 5

=

1/2

=

• 36

5. Calcular: 3 x3 . y6

2. Reducir: m .m + m . m + m . m + m . m =

Aplica lo comprendido 1. Reducir:

6. Calcular:

2

x6 . x − 3 . x(− 3) x− 5

2

; x!0

3

–2

+ 11

–2

7. Efectuar: 2. Efectuar:

16

1 1 3 8 5 B + 8 8 B − 12 . 8 5 B −1

−1

– 49

1/2

+8

1/3

−1

8. Calcular: 3

3. Calcular: 5 − 11

1/2

22 − 4

125 # 64 # 1000

9. Si "x" es positivo, reducir: • 6 x18

4. Reducir: 25

2 34

(xy ) . (x y ) x13 . (y 4) 2

• 7 x14 ; x≠0 , y≠0

10. Calcular: 3

5. Calcular:

125 8

−1

25 − 1 5 −2 ;8 31 B + ; E E 19

Colegios

74

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra Aprende más 1. Reducir: x2 . y3 . x2 . y3 . x2 . y3 ....... 1 444444 2 444444 3 20 potencias 60 40

a) x y 30 20 d) x y

8522 − mB

40 60

c) x y

4. Efectuar: 64

a) 3 d) 10

b) 12 e) 5

c) 7

12. Calcular P(4) + P(6) si: P(x–5) = 3x + 2 a) 64 d) 46

x!0 2

b) x 4 e) x

c) x

5

b) 23 e) 25

b) 60 e) 62

c) 48

13. Calcular la suma de los coeficientes del polinomio: 4 3 P(x) = (4x – 2) (3x – 1)

2m − 1

a) 22 d) 26

852− 2B

10 60

b) x y 20 30 e) x y

2. Reducir: x 4 . x6 . x 8 . x 9 ((x2) 3) 4 a) x 3 d) x 3. Reducir:

11. Calcular el Grado relativo de "z" en el monomio: 12 M(x; y; z) = n x y n − 5 z11 − n

c) 24

a) 142 d) 128

b) 144 e) 216

c) 256

14. Calcular: F(1) + F(–1) si: F ( 2x − 1 ) = x2 + 6x − 7 3

2 −1

a) –3 d) 11

a) 5 d) 625

b) 125 e) 2 2

3

4

12 9

5

8 11

b) a b 7 6 e) a b

5 20 6. Reducir: ( 3 x3 )5 (9x ) 80 a) x b) 84 d) x e)

a) 1 d) 4 8. Reducir: 4

85

–3

a) 1/64 d) 3/64 9. Efectuar: a) x 4 d) x

9 6

c) a b

6 16. Reducir: 8

c) x

95

–3

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a) 3 d) 14

8

x 42 ; (x > 0)

x 2 2x

c) 4x

18. Simplifique: a) 1 d) 15 3

10. Calcular "abc" en el polinomio completo y ordenado: a–5 b–6 a–3 c–7 P(x) = x +x +x +x a) 350 d) 250

a

0

3 7

x8 + b) e)

b) 10 e) 40

a) 1 d) 4

c) 3

+ 1 + (2444) 27 b) 65/64 c) 4 e) 63/64

+ (–3)

a) 50 d) 20 2a

3

24a

c) 70

21 − a

B

b) 12 e) 9

c) 6

5 5 17. Reducir: 85 3 B

752 − 16 152 b) 2 e) 5

7. Reducir:

15. Calcular m+n en el polinomio homogéneo m 32 4 56 2 n3 P(x; y)=(x y ) + (x y ) +(x y )

6

x!0 x 77 x

c) 7

c) 25

5. Reducir: a . b . a . b . a . b a) a b 9 12 d) a b

b) –1 e) 21

b) 100 e) 210

c) 70

b) 2 e) 5

c) 3

−1 −1 1 −2 + 1 −3 `4j ` 27 j

b) 5 e) 20

3 65 3 @ . 25

c) 10

19. Reducir: ( 12 + 48 − 75) 2 a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

x x 20. Reducir: 7− x + 3 − x 7 +3 x x a) 7 b) 3 x d) 2 e) x+2

c) 21

x

Primer año de secundaria

75

15

Capítulo

Practica en casa 3 −1

4 3 58 1. Reducir: (a3 b2 c4 )11 (a b c )

9. Calcular: (0, 125) − 27

2

3

( − 3) . x6 . x − 2 . x5 2. Reducir: x (x2) 3

10. Efectuar: 3 x 7 y

; x≠0

4x − 10

11 − x B 3. Reducir: 85 4

46 3 4. Reducir: ( 2 2x 2) (2x )

5. Reducir:

3

8+

11. Efectuar:

4

13. Calcular: P(–3) + P(7) si : P(2x–5) = 4x – 1

6. Reducir: 5–2 + (–2) –3 + 1 + (1536) 0 8 3

7. Efectuar:

8. Reducir:

;87

5

x18 +

14. Calcular el término independiente del polinomio: 3 2 P(x) = (3x + 2) (2x + 3)

x30

15. Calcular a+b en el Polinomio Homogéneo a–1 4 12 b+1 6 P(x; y) = (xy ) + (xy) + (x y)

3 7

23

a3 . 6 a5

12. Calcular "mnp" en el polinomio completo y ordenado: m–3 n–1 m–1 p–5 P(x) = x +x +x +x

; x≠0 19

7

3 7 3 7 B E

Tú puedes 1. Reducir si:

m− 1 642

P=

2

m− 1 42

a) 1 3 d) m

4. Halle: x + x + 1, en: m

m+ 2 22

b) m e) –m

1 (1/2) ` 4j

;m>0 c) m

2

4x

a) 3/4 d) 1/4

b) 1 e) 1/8 x

2. Si: 2

2x

= 5 . 2x , halle:

a) 1/15 d) 1/50

x 22 + 1 –5

3. Halle: x x

x − 2/15

a) 1/2 d) 1/5

Colegios

76

–9

5 –15 5

TRILCE

–2/15

y

5. Si: (0,1) . (0,2) = 2 Hallar "xy"

210x 2 a) d)

= 1 2

0,2

.5

b) 1/25 e) 1/60

c) 7/4 0,3

c) 1/40

–10

b) 5 –20 e) 5

c) 5

b) 1/3 e) a o c

c) 1/4

en:

= 215/4

Central: 6198-100

Capítulo

16

Productos notables I Lectura: Nicolás Copérnico VARSOVIA (Agencias). Los restos del astrónomo Nicolás Copérnico (1473-1543) recibieron hoy sepultura en el altar de la catedral de Frombork, en el norte de Polonia, en una ceremonia encabezada por el líder de la Iglesia católica polaca, el arzobispo Jozef Kowalczyk. Los arqueólogos descubrieron sus restos hace cinco años durante excavaciones realizadas en la catedral y tests de ADN confirmaron después que el cráneo y los huesos pertenecían realmente al famoso astrónomo y matemático nacido en 1473 que, tras estudiar en Cracovia e Italia, pasó la mayor parte de su vida en Frombork desde 1503 hasta su muerte hace 467 años. En su obra más famosa, “De Revolutionibus Orbium Coelestium” (de las revoluciones de las esferas celestiales) defendía la teoría de que el sol y no la Tierra, era el centro del universo. Su teoría heliocéntrica, publicada poco antes de su muerte y muy disputada entonces, revolucionó la ciencia y la observación del mundo. FUENTE: diario El Comercio - 2011

En este capítulo aprenderemos .. Binomio al cuadrado .. Binomio conjugado .. Identidades de Legendre

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Primer año de secundaria

77

16

Capítulo

Síntesis teórica

PRODUCTOS NOTABLES I

Trinomio cuadrado perfecto

Concepto

Diferencia de cuadrados (multiplicación de binomios conjugados)

(Binomio al cuadrado)

Trinomio cuadrado Identidades de perfecto Legendre (Binomio al cuadrado)

Colegios

78

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra Saberes previos Efectuar:

3. (x+4)(x+4)

1. (x+3)(2x-7)

4. (2x+y)(2x–y)

2. (2x+1)(2x–1)

Aplica lo comprendido 2

2

4. (6a +2)(2–6a )

Efectuar: 2

1. (2x +3)

2

3

2. (3x –7y)

22

22

5. (3a+b ) +(3a–b ) 2

3. (5x+6)(5x–6)

Aprende más 1. Efectuar (x+3)(x–3) – (x+5)(x–5) 2

a) 2x +34

b) 8x

d) 16

e) 2x

5. Efectuar 2 (x–1)(x+1)(x +1) + 1 c) –34

2

d) 2x

2

c) 12x

2

e) 2x +1

2

d) 18x

2

b) 16

c) 18

e) 16x

c) 4x

b) 12 e) 6

c) 15

a) 0

b) 16x

d) 16

e) 8

(3) (5) (17) (257) + 1

a) 16 d) 3

b) 4 e) 6

c) 2

8. Calcular

4. Efectuar 2 2 (2x+1) – (2x–1) + 8x

www.trilce.edu.pe

a) 10 d) 8 16

2

(3x+2) + (3x–2) – 8 a) 2x +34

e) x

4

7. Calcular

3. Efectuar 2

3

( 7 + 2 ) ( 7 − 2 ) ( 3 + 1 ) ( 3 − 1)

b) –1

d) –x

2

b) x

6. Calcular

2. Efectuar 2 (x+5)(x+7) – (x+6) a) 2x

4

a) 2x

( 5 + 2 ) 2 − ( 5 − 2 ) 2 − 160

c) 12x

a) 12

b) 10

d) 2

e) 0

c) 6

Primer año de secundaria

79

16

Capítulo

9. Calcular 2 2 (101)(99)–100 + (201)(199)–200 a) 0 d) 1

b) 2 e) –2

c) –1

b) 1

d) –1

e) –2

c) 0 2

11. Si a+b=7 y ab=3, calcular a +b a) 23 d) 46 2

x

Calcular: x2 + 12 x

a) 16 d) 15

10. Calcular 2 2 179 –2 (179)(178) + 178 a) 2

13. Si: x + 1 = 4

b) 43 e) 52

2

c) 49

b) 25 e) 21

c) 29

b) 9 e) 11

c) 25

14. Si x − 1 = 5 , x

Calcular: x2 + 12 x

a) 27 d) 23 x

2

b) 6 e) 4

c) 18

15. Si x + 1 = 7 ,

12. Si x +y =22; x+y=6, calcular xy a) 5 d) 9

b) 14 e) 17

c) 7

Calcular x4 + 14 x

a) 21 d) 23

Practica en casa 1. Efectuar (1+x)(x–1) – (4+x)(x–4)

9. Calcular 2

(152)(148)–150 + (122)(118) – 120

2. Efectuar 2 (2+x)(x+8) – (5+x)

10. Calcular

3. Efectuar 2 2 2 (5x+1) + (5x–1) – 50 x

11. Si a+b=9 y ab=2. Calcular a +b

2

2013 – 2 (2013)(2011) + 2011 2

2

2

2

2

4. Efectuar 2 2 (x+5) – (x–5) – 20x

12. Si x +y =82; x+y=10. Calcular xy

5. Efectuar 2 4 (x + 4)(x+2)(x–2) – x

13. Si x + 1 = 6 . Calcular x2 + 12

6. Calcular

14. Si x − 1 = 3 . Calcular x2 + 12

( 5 − 3 ) ( 5 + 3 ) ( 7 − 1) ( 7 + 1 )

7. Calcular 8

(2) (4) (10) (82) + 1

2

x

x

x

x

15. Si x + 1 = 5 Calcular x8 + 18 x

x

8. Calcular

( 3 + 8)2 − ( 8 − 3)2 − 8 6

Colegios

80

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra Tú puedes 2

1. Reducir:

8− 1

6(x + 1) 2 (x − 1) 2 (x2 − 1) 3 (x2 + 1) 5 (x 4 − 1) 3@ 2

a) x 4 d) x

8

b) x 16 e) x

c) 1

2. Calcular: 16

b) 2 e) 8

www.trilce.edu.pe

b) 6 e) 64

2

–2 2

2

–2 2

(x +x ) + (x –x ) a) 81 d) 36

b) 94 e) 9

1 8x (x − 1 + x ) − x B

a (a + 2) + 1

c) 3

3. Hallar el valor numérico de: 4 4 (a+b) (a–b) para: a = 3 + 2 2 ; b = 3 − 2 2 a) 8 d) 48

+1

c) 47

5. Hallar "a" (a > 0)

3 # 5 # 17 # 257 + 1

a) 1 d) 4

4. Si: x + 1 = 5x

a) 1 d) 9

b) 2 e) 8

= ( x + 1)18 ( x − 1)18 c) 3

c) 24

Primer año de secundaria

81

17

Capítulo

Productos notables II

Lectura: ¿Sabes quién es Pierre Fermat? Google lanzó "doodle" en su honor El nuevo doodle que presenta en esta ocasión Google está dedicado al matemático francés Pierre de Fermat, nacido el 17 de agosto de 1601. Apodado como el ‘Príncipe de los aficionados’ fue uno de los principales matemáticos de la primera mitad del siglo XVII, junto a René Descartes, además de un destacado jurista. En esta ocasión, el nuevo doodle refiere al “cálculo diferencial” inventado por Pierre de Fermat antes que Newton y Leibniz, por lo que en la portada se muestra una pizarra verde en donde se aprecia los símbolos de sumas y restas pintados con tiza, y que forman parte de una fórmula que hoy en día ayuda a muchos científicos en el análisis matemático. FUENTE: Diario El Comercio - 2011

En este capítulo aprenderemos .. Binomio al cubo .. Suma de cubos .. Diferencia de cubos

Colegios

82

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra Síntesis teórica

PRODUCTOS NOTABLES II

Desarrollo del binomio al cubo

Suma o diferencia de cubos

Trinomio cuadrado Multiplicación de dos perfecto binomios con término común (Binomio al cuadrado)

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Primer año de secundaria

83

17

Capítulo

Saberes previos 4. Efectuar:

1. Si: x+ 1 =3 x 2 Hallar: x + 12 x 2. Si: a+a

–1 2

=

Hallar: a +a

3

3

(a+5)(a–5) + (5+b )(5–b ) 5. Calcular:

6

( 5 + 2) ( 5 − 2) + ( 7 + 3) ( 7 − 3)

–2 2

3. Reducir: (4a+3b) – (4a–3b)

2

Aplica lo comprendido 1. Desarrollar: (a+3)

3

3

2

4. Calcular: (a+3)(a–5)+(a+1) – (a+1)(a –a+1)

2

2

2. Efectuar:(a+2)(a –2a+4)+(a–2)(a +2a+4)

2

4

2

2

5. Efectuar: (a +1)(a +1–a )(a +1)

3

3. Efectuar: (x+3)(x+4) – (x+5)(x+2)

Aprende más 1. Efectuar 2

(x+2)(x –2x+4) – x 3

a) x –8 d) 6

3

b) 8 2 e) x –8

c) –3x

2. Efectuar 2

a) –12 d) –14

2

(x–3)(x +3x+9)–(x–2)(x +2x+4) 2

a) 2x d) –12x

b) –19 2 e) x +1

c) 12x

2

(x+1)(x –x+1)+(x–1)(x +x+1) 2

a) 2x 3 d) –2x

b) 2 3 e) 2x

c) –2

84

TRILCE

c) 12

b) –22 e) 4

c) –25

b) 17 e) 20

c) 18

6. Si: x + y = 3 xy = 1 3 3 Hallar: x + y a) 16 d) 19

Colegios

b) –2 e) –10

5. Reducir: 2 2 2 2 2 2 4 (a +8)(a +3)–(a +4)(a +7)+(a +5)(a –5)–a a) –4 d) –29

3. Efectuar 2

4. Si: A = (x+1)(x+4) B = (x+3)(x+2) C = (x+5)(x–2) D = (x+2)(x+1) Hallar: A – B + C – D

Central: 6198-100

Álgebra 7. Efectuar

11. Calcular

3

3

(3 5 + 3 2 ) 3 − 3 3 10 (3 5 + 3 2 )

(x+2) – x – 8 2

b) 16x+x –8

a) 0 2

c) 12x+ 2x 8

d) 12x+6x

2

e) 12x 3

2

2

3

a) 3x +3x

b) x +3x

c) 3x

d) 3x

e) 7

3

3

3 − 1) ( 4 −

a) 10 d) 8

3

3

2) (

9+

3

3

2 + 1)

c) 15

d) 3

e) 6

e) –2

a) 40

b) 43

d) 46

e) 52

3

c) 49 3

14. Si x2 + y2 = 18 + xy ; x+y= 2 . Calcular x +y a) 5 d) 9

b) 6 e) 4 2

3

c) 7

3

15. Si x–y=2; x –y =40. Calcular xy

(3 2 − 1) (3 2 + 1) (3 16 + 3 4 + 1)

b) 4

d) 1

c) –1

3

10. Calcular a) 16

b) 2

13. Si a+b=4 y ab=2. Calcular a +b

3 + 1) (

b) 12 e) 6

a) 0 2

9. Calcular (

d) 2

c) 6

(3 2 − 1) 3 + 3 3 2 (3 2 − 1)

(x–1) + 3x + 1

3

b) 10

12. Calcular

8. Efectuar

e) x

a) 12

c) 2

a) 16

b) 14

d) 15

e) 17

c) 18

Practica en casa 1. Efectuar: 2 (x+5)(x –5x+25) – 125 2. Reducir: 2 2 (x+4)(x –4x+16)+(x–4)(x +4x+16) 3. Efectuar: 2 2 (x–4)(x +4x+16) – (x–1)(x +x+1)

4. Reducir: (a+4)(a+2)–(a+7)(a–1)+(a+3)(a–2)–(a+6) (a+1)

6. Efectuar: (5+y)(5+3y)–(2+3y)(2+5y)+12(y+1)(y–1)–9

7. Efectuar: 2 2 (x –2x+4)(x+2)+(x–2)(x +2x+4) 8. Efectuar: 3 3 (x–3) – x + 27 9. Efectuar: 3 (x+1) – 3x – 1

5. Reducir: (xy+1)(xy+7)+(xy+2)(xy–10)+2(3+xy)(3–xy) www.trilce.edu.pe

Primer año de secundaria

85

17

Capítulo

10. Si: a+b=2

13. Calcular:

ab=3 3

Hallar: a +b

(3 5 − 1) (3 9 − 2 3 3 + 4) (3 25 + 3 5 + 1) (3 3 + 2)

3

11. Si: a – b = 5

2

ab = 3 3

Hallar: a – b

2

14. Si: x +y = 12 – xy; x – y = 3 3 Calcular: x – y

3

12. Si: x + 1 = 3 x

3

3

3

15. Si: x+y=5; x + y = 35

3 Hallar: x + 13 x

Calcular: xy

Tú puedes 1. Reducir: ( a + 1) ( a − 1) (a2 + a + 1) − ( b + 1) ( b − 1) (b2 + b + 1)

a) a d) a–b

b) b e) 2

c) a+b

4. Reducir: 2 2 (x –4)(x–3)(x+1)–[x(x–1)–4] a) 4 d) 2

b) –4 e) 6 2

2. Calcular: 3

^3 3 + 2 2 + 3 3 − 2 2 h − 9^3 3 + 2 2 + 3 3 − 2 2 h

a) 3 d) 0

b) 6 e) 12

c) 9

c) 0

2

5. Si: (ab) +(cd) =3 y abcd=2 Calcular: 6 6 6 6 a b +c d a) 6 d) 12

b) 8 e) 7

c) 9

2 3. Si: `x + 1 j = 3 (x>0) x Hallar: x5 + 15 x

a) a d) 7

Colegios

86

TRILCE

b) – 3 e) 6

c)

3

Central: 6198-100

Capítulo

18

Productos notables III

Lectura: El matemático que agitó la bolsa El Gurú de la gestión cuantitativa - James Simons Wall Street no es Hollywood, pero también fabrica mitos. Warren Buffet, Peter Lynch, Mark Mobius o Bill Gross son algunas de sus leyendas. Se trata de profesionales que han aportado un estilo propio al mundo de la inversión. En este Olimpo bursátil también tiene su hueco James Simons. El fundador de Renaissance Technologies, una de las entidades de hedge funds más importante del mundo con cerca de 20 000 millones de dólares bajo gestión, ha comunicado que se retira en 2010. Muchos le consideran un pionero en el uso de sistemas matemáticos combinados con aplicaciones informáticas para batir el mercado. Su adiós coincide con el deseo de los reguladores de poner coto a los sistemas de inversión inteligentes (robots), que este erudito contribuyó a desarrollar, por distorsionar el comportamiento bursátil. La vida de Simons encaja como un guante en el mito del sueño americano. Hijo de un zapatero, nació hace 71 años en los suburbios de Boston. Dotado con una habilidad innata para los números, colaboró con el Departamento de Defensa descifrando códigos secretos. Además, obtuvo el Premio Veblen, la mayor distinción en el ámbito de la geometría, con sólo 38 años. Antes de fundar Renaissance, Simons fue presidente del Departamento de Matemáticas de la Universidad Stony Brook. En esta época tuvo el primer contacto con el mercado invirtiendo parte de sus ahorros en la compraventa de divisas. FUENTE: El país.com/oct–2009

En este capítulo aprenderemos .. A reconocer un trinomio cuadrado perfecto (TCP). .. A transformar un TCP en binomio al cuadrado (2 formas). .. A practicar: multiplicación de binomios conjugados. .. A practicar identidades de Legendre. Importante: El trinomio cuadrado perfecto se representará por TCP.

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Primer año de secundaria

87

18

Capítulo

Síntesis teórica

PRODUCTOS NOTABLES III

Trinomio cuadrado perfecto TCP Repaso

Dándole forma Formas de reconocer Regla práctica

Legendre

TCP

binomio al cuadrado

Diferencia de cuadrados

Colegios

88

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra Saberes previos 2

En cada caso calcule el TCP 1. (x+3)

32

4. (2x –3y )

2 5

3

5. (xy +2yzw)

22

2. (x –3y ) 3. (x+5yz)

2

2

Aplica lo comprendido 2

2

2

1. x + 6 xy + 9 y ; es equivalente a:

2

2

4. a + b – 2 ab; es equivalente a:

2

2. 4a + 12ab + 9b ; es equivalente a: 2

5. 9x – 6x + 1; es equivalente a: 2

2

3. 4z + 20xz + 25x ; es equivalente a:

Aprende más 2

2

1. Si: (3x + 2y) = Ax + Bxy + Cy Hallar: A + B + C a) 13 d) 8

b) 19 e) 5

2

4

2 2

monomio Ka b se convierte en un TCP, señale K.

c) 25

2

2. Si: Ax + Bx + C, es un TCP; señale la relación entre A, B y C. a) 2 AC=B 2 d) 4AC=B

b) AC=4B 2 e) AC=4B

4

4. Dado el binomio: a + 4b , si al adicionarle el

c) 2AB=C

a) 2 d) 16

b) 4 e) 1 2

c) 8

2

5. Dado: x + 4xy + 9y , la expresión que se debe adicionar para que se convierta en un TCP.

2

3. Dado: 9x + 18 xy, indique que monomio se debe agregar para que se convierta en TCP. 2

a) y 2 d) 9y

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2

b) 6y 2 e) 25y

c) 36y

2

a) xy d) 4xy

b) 2xy e) 6xy

c) 3xy

Primer año de secundaria

89

18

Capítulo

6. Efectuar: 2 2 x + 6x +16 – (x+3) a) 1 d) 6x

11. Si: a + b = 5 ab = 2 4 4 Hallar: a + b

b) 0 e) 7

c) –4x

7. Efectuar: 2 2 (x+2) – 2 (x+2)(x+1) + (x+1) 2

a) 2x d) –12x

b) –19 e) 1

c) 12x

8. Efectuar: 2 2 2 (x+1) + (x–1) – 2x 2

a) 2x 3 d) –2x

a) 439 d) 430

b) 433 e) 300

c) 431

12. Si: 2 2 x + 10x + 27 ≡ (ax + b) + c Calcular: abc a) 10 d) 16

b) 24 e) 15

c) 12

13. Si: 2 2 4x – 12x + m ≡ (2x – n)

b) 2 3 e) 2x

c) –2

a) 15 d) 9

9. Efectuar: 2 2 2 2 2 (x + 5) – (x – 5) – 10 x a) 0 2 c) 12x e) 12x

Calcular: m+n b) 12 e) 4

20

b) 16x+x 2 d) 10x

4 10. Si: x + 1 = 3. Hallar: x + 14 x x a) 44 b) 45 d) 47 e) 81

2

10 14

14. Si: 4x + 12x y + 9y Hallar: A + B + m + n a) 29 d) 31

c) 7 28

m

b) 30 e) 32 2

2

n2

≡ (Ax + By ) c) 28 2

15. Si: (3x–1) + (3x+1) ≡ 2 (ax + b) Calcular: ab c) 46

a) 6 d) 15

b) 4 e) 9

c) 8

Practica en casa 2

2

4

2

1. Si: (5x +3y) ≡ Mx + Nx y + Py Hallar: M + N + P

2

2

2. Si: 2mx + 3nx + p Es un TCP, señale la relación entre: m, m y p

4

2 2 2

4. Dada la expresión: 6 a + y + K a y 2 Hallar K , si es un TCP 5. Hallar el valor positivo de "K" 2 2 x – 11 xy + 9y + Kxy es un TCP

Colegios

90

TRILCE

Indique a qué expresión se debe agregar para que se obtenga un TCP. 7. Hallar "K", si:

2

3. Dada la expresión: 25x + 10 xy Indique qué monomio se debe agregar para que la expresión se convierta en un TCP 4 4

6. Reducir: 2 2 (x+y) +(x–y) +(1+x)(1–x)+(1+y)(1–y)–2

2

2

(m+2n) –(m–2n) +m(m+2n)+2n(m+2n)+Kmn Es un TCP 2

2

8. Hallar "K", si: (a+3b) + (a+b) + Kb Es un TCP

2

9. Hallar "P", si: 2 22 2 2 4 4 4 2 2 (x +y ) + (x+y) (x–y) –(x +y )+px +5x y es un TCP

Central: 6198-100

Álgebra 13. Si:

4 10. Si: x + 1 = 4 . Hallar: x + 14 x x

4

2 5

10

2

3

32

2

52

6

x –14x y +49y +36a –12ab +b ≡ ≡(Ma+Nb ) +(Ax +By ) Hallar: (M – N + A – B)

11. Si: a+b = 3 ab = 1 4 4 Hallar: a + b

14

7 4

8

m

n2

14. Si: 9x +42x y + 49y ≡ (Ax +By ) Señale: A + B + m + n

12. Si: 2 2 2 2 2 2 4a +4ab+b +25x +30xy+9y ≡(Ma+Nb) +(Ax+By) Hallar: M + N + A + B

15. Si: ( 5 x + 2 y) 2 + ( 5 x −

2 y) 2 + Kxy

Es un TCP. Hallar P( 10 ) en P(x) = Kx + 1

Tú puedes 1. 9 x10 + 3x5 y + y2 + a 40 + 2, 5a20 b3 + 25 b6 4 16 m

n2

p

q2

Es equivalente a: (Ax +By ) + (Ma + Nb ) Señale: A+B+M+2N–m+n+p+q a) 20 d) 23

b) 21 e) 24

c) 25

3

a2 – 2ab + b2

b) 2c e) 0

c) a–b

4x5 (x > 0) 4

2

Calcule el valor numérico de: x –6x –x

2, 25x 4 + y 4 + 3x2 y2 + 0, 04a 4 + 0, 8a2 b2 + 4b 4 − − (1, 5x2 + 0, 2a2) 2

a) y 2 2 d) y +2b

1024

10

www.trilce.edu.pe

2

c) y +b

9

c) 2

b) b 2 2 e) 2y +b

3. Si: a+b=2 y a=b a) 2 d) 4

a) 2a d) b–a 5. Si: x(x +1)=9 –

2. Reducir:

Hallar: a

4. Reducir: a2 + 2ab + b2 – Si: b > a > 0

+b

2

a) 9 d) – 3

b) 3 e) 3

c) –9

2

–1

1024

b) 2 e) 8

Primer año de secundaria

91

19

Capítulo

Productos notables IV Lectura: Un matemático calcula el record definitivo de los 100 metros planos en 9.29 El matemático holandés John Einmahl, de la Universidad de Tilburgo, ha calculado el récord definitivo de 14 disciplinas atléticas y, entre ellas, el masculino de los 100 metros que él estima en 9.29 segundos apoyándose en la teoría de los valores extremos y en proyecciones estadísticas. Einmahl no pretende predecir los récords posibles en un futuro lejano sino, como lo dice expresamente su estudio, los récords que podrían darse bajo las condiciones actuales. La base de los cálculos de Einmahl son las mejores marcas de 1.546 atletas masculinos y 1024 atletas femeninas de élite de cada disciplina estudiada que luego somete a complicadas elaboraciones matemáticas con ayuda de un ordenador. Según los cálculos de Einmahl, el récord del maratón entre los hombres, que posee el keniano Paul Tergat (2h.04:55) es especialmente notable puesto que el matemático holandés considera que sólo podría ser mejorado en 49 segundos. Entre las mujeres, en cambio, el récord de la británica Paula Radcliffe, de 2h.15:25, podría ser claramente mejorado en 8 minutos y 50 segundos. Curiosamente, también en las pruebas de velocidad, en las que habitualmente se cree que se está muy cerca del límite de lo humanamente posible, los cálculos de Einmahl apuntan a posibles mejoras. No sólo el récord de los 100 metros, que podría ser bajado de los 9.77 de Asafa Powell a 9.29, podría mejorar sino también el récord de 200 metros, en manos de Michael Johnson en 19.32, está casi un segundo por encima de lo posible. La teoría de los valores extremos, la especialidad de Einmahl, suele utilizarse para calcular cosas como “la mayor pérdida posible” en caso de catástrofes naturales, por lo que las compañías de seguros recurren con frecuencia a esta disciplina para determinar el monto de sus pólizas. FUENTE : EFE

En este capítulo recordaremos .. Diferencia de cuadrados. .. Binomio al cubo. .. Suma o diferencia de cubos. .. Binomios con término común.

Colegios

92

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra Síntesis teórica

PRODUCTOS NOTABLES IV

Diferencia de cuadrados

Binomio al cubo

www.trilce.edu.pe

Suma o diferencia de cubos

Binomios con un término común

Primer año de secundaria

93

19

Capítulo

Saberes previos 2

2

2

4

1. Efectuar: (a + 3)(a – 3)

4. Efectuar: (x – 2)

2

2. Efectuar: (a + 1)(a – a + 1) 3. Efectuar: (a + 2)

2

5. Efectuar: (x + 3)(x – 7)

3

Aplica lo comprendido 1. Reducir: (x+1)(x–1)+(x+2)(x–2)+(x+3)(x–3)

2

3

3

4. Reducir: (x+1) + (x–1) – 2x

3

2

2. Reducir: (x+3)(x –3x+9) + (x–3)(x +3x+9) 5. Reducir: (x+4)(x–4) – (x+8)(x–2) 3. Reducir: (x+1)(x+5)+(x+3)(x–9)

Aprende más 4. Efectuar:

1. Reducir: 2

2

2

2

(a+2)(a–2)(a +4)– (a + 2 )(a – 2 )

(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) – (x +5x+5)

a) –6 d) –18

a) 2x d) –1

b) –8 e) –14

2

c) –2

2

2

2

(x + 6x + 3)(x + 6x + 7) – (x + 6x + 5) a) 12x d) 6x

b) 0 e) 7

c) –4

3. Efectuar: 2

2

(x + x + 2)(x + x – 2) – (x + x) 2

a) 2x d) –4x

Colegios

94

TRILCE

b) 2 3 e) 2x

c) –2x

b) –18 e) 15

c) 27

5. Si:

2. Efectuar:

2

2

b) –4 e) 4

2

c) 12x

2



a+b=3



ab = 5 3

Hallar: a + b a) 18 d) –27

3

6. Si: x + 1 = 3 ; hallar: x3 + 13 x x a) 0

b)

d) 2 3

e) –2 3

3

c) – 3

Central: 6198-100

Álgebra 2

7. Reducir:

11. Si: x – 3x + 1 = 0

3

3

2

2

(a+b) +(a–b) +2a(5b –a ) 2

2

b) 16 ab 2 e) 12 ab

a) 6 ab 2 d) 4 ab 8. Reducir:

c) 10 ab

5− 1

6(x − 1) 2 (x2 + x + 1) 2 (x3 − 1) 3@ 2

a) x d) 1

b) x e) 0

+1 c) x

x

a) 10

b) 24

d) 18

e) 27

a) 3x

2

2

2

c) 12x

2

2

b) 3x –10

2

c) 3x –24

2

d) 3x –17

b) x e) 12xy

c) 12

12. Reducir: (x+3)(x+5)+(x+4)(x–6)+(x–7)(x+1)

3

9. Efectuar: 2 (x+y–3)(x–y+3) + (y–3) a) 0 2 d) 10y

2

Calcular: x3 + 13

e) 3x –16

13. Reducir: (x+1)(x+3)+(x+3)(x+2)–(3+5x)(3–2x) 2

a) 0 2 d) 8x

c) 12x

b) 10x 2 e) –8x

2

2

14. Si: x – 4x + 1 = 0

10. Si:

x + 3 xy + 9y = 17 ............ (1)

2

Calcular: x2 + 12 + x3 + 13



x = 5 + 3y ..... (2)

a) 75 d) 60

2

3

3

Hallar: x – 27y + 11 a) 85 d) 96

b) 86 e) 80

c) 95

x

x

b) 72 e) 48

c) 66

2

15. Si: x + 1 =

5x 1 Calcular: x + 6 x 6

a) 16 d) 15

b) 14 e) 19

c) 18

Practica en casa 1. Reducir: 2 2 2 (x+3)(x–3)(x +9)–(x + 5 )(x – 5 )

6. Si: x + 1 = 7 ; hallar: x3 + 13 x x

2. Reducir:

6(x + 2) 2 (x − 2) 2 (x2 − 4) 5@

1/7

+ ( 3 x + 1) ( 3 x − 1) + 5

3. Efectuar: 2 2 2 2 (x – x + 5)(x – x + 7) – (x – x + 6) 4. Efectuar: 2 2 2 2 (x – 3x + 5)(x – 3x – 5) – (x – 3x – 5) + 50 5. Si: a + b = 5 ab = 7 3 3 Hallar: a + b

www.trilce.edu.pe

7. Reducir: 3

3

(a+2b) + (a – 2b) + 2a ( 5 b+a)(

5 b–a)

8. Efectuar: (a – b + 6)(a – b – 6) – (a – b)

2

2

2

9. Si: x + 5xy + 25 y = 10

x = 3 + 5y 3

3

Hallar: x – 125y + 10

Primer año de secundaria

95

19

Capítulo

10. Calcular el valor de: (3 2 + 3 3 ) (3 4 − 3 6 + 3 9 ) + + (3 4 − 3 3 ) (3 16 + 3 12 + 3 9 )

13. Reducir: (3+x)(3+2x)+(5+2x)(5–3x)+(3x–7)(2x+5)

2

14. Si: x – 3x + 1 = 0 Calcular: x2 + 12 + x3 + 13 x x

2

11. Si: x – 5x + 1 = 0 Calcular: x3 + 13 x

2

15. Si: x + 1 =

3x 1 Calcular: x + 6 x 6

12. Reducir: (a+11)(a+5)+(a–3)(a–2)+(a+9)(a–20)

Tú puedes –1

5

1. Si: a+a = 8 . Hallar: a +a

–5

4. Reducir: 2 2 4 2 8 4 8 8 (x –x+1)(x +x+1)(x +x +1)(x +x +1)–x (x +1)

a) 29 2

b) 45 2

c) 50 2

d) 58 2

e) 56 2 2. Efectuar, utilizando productos notables: 25

3 # 5 # 17 # 257 + 1

a) 1,7 d) 1,2

b) 1,4 e) 1,3

c) 1,1

a) 1 2 d) x

b) 0 e) x

c) x

4

5. Hallar el valor numérico de: 3 E = x – 3x + 15 para: x= 3 3 + 2 2 + 3 3 − 2 2 a) 20 d) 17

b) 21 e) 19

c) 20

3. Hallar el valor numérico de: 4 4 (x+y) – (x–y) Para: x= 7 + 2 ; y= 7 − 2 a) 12 47

b) 112 47

d)

e) 100 47

Colegios

96

TRILCE

47

c) 112 7

Central: 6198-100

Álgebra

División algebraica I Lectura: Invención del número cero El número cero fue inventado tres veces: por los babilónicos (alrededor del 500 a.C), por los mayas (hacia el 50 a.C) y por los indios (aproximadamente hacia el 500). El dígito cero desempeña un rol importante en un sistema posicional, por que permite distinguir, por ejemplo, entre los números 309, 390 y 39. Antes de la invención de caracteres marcadores de posición, los babilónicos dejaban la posición correspondiente vacía, lo cual a menudo generaba malentendidos y dudas. Leonardo Fibonacci introdujo el cero en Europa en el siglo XI. Caracteres numéricos mayas: el cero se simboliza como un caracol. Tomado de: "Gran enciclopedia del saber (National Geographic) Informática y matemática"

En este capítulo aprenderemos .. División algebraica – Definición .. Elementos: dividendo, divisor, cociente y residuo. .. Algoritmo de la división: D = d . q + R .. División exacta e inexacta. .. Grados de lo polinomios cociente y residuo. .. División entre monomios. .. División de un polinomio entre un monomio. .. Ejercicios

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Primer año de secundaria

97

20

Capítulo

Síntesis teórica

DIVISIÓN ALGEBRAICA I

Definición

Algorítmo de la división

Propiedades

• División exacta • División inexacta

Casos de división

monomio ÷ monomio

Colegios

98

TRILCE

polinomio ÷ monomio

Central: 6198-100

Álgebra Saberes previos 1. Efectuar las siguientes divisiones: a) + 5 −1 b) − 12 +4

=

c) − 20 −2

=

=

4. Efectuar: 10 a) x 3 x

=

13 b) x12 x

=

5. Dados los polinomios:

2. Efectuar la siguiente multiplicación:

5

3

P(x) = x +2x –5x+3 2

(x+3)(x+5) =

3

Q(x) = 8x + 7x + 4 Entonces:

3. Reducir: a) 5x+2x–4x

=

a) Grado de P(x)

=

b) 5x+2y+3x+7y

=

b) Grado de Q(x)

=

Aplica lo comprendido 1. En la siguiente división: 2

x +2x

3. A partir de la siguiente división: 3

2

x +6x +11x+7

x x+2

2

x +3x+2

0

El grado del dividendo es: 3

2

El dividendo es: x + 2x El divisor es

:

El cociente es

:

El residuo es

:

El grado del divisor es

:

El grado del cociente es

:

El grado máximo del residuo es :

2. Del ejercicio anterior, la división ¿es exacta o inexacta? Justifica tu respuesta:

6 4. Efectuar: 8x 2 4x 3 2 5. Efectuar: x + 6x x

Aprende más 2. De la siguiente división:

1. En una división, se tiene: Divisor = x + 3 Cociente = x + 5 Residuo = 2 Hallar el dividendo:

3

Hallar:

2

b) x +8x+16

2

d) x +7x+17

a) x +6x+16 c) x +9x+16 2

e) x +8x+17

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2

x +6x +11x+7 2 x +3x+2 Grado del Grado máximo + cociente del residuo

2 2

a) 0 d) 3

b) 1 e) 4

c) 2

Primer año de secundaria

99

20

Capítulo

4 7

5

3. Efectuar: (–12x y ) ÷ (3xy ) a) 4xy

7

2 3

b) –3x y

3 2

11. Efectuar:

4 7

c) 6x y

4 5

d) –4x y

3

e) 4x y

3

c) 3x –3xy+y 3

3 7

2

2

2

b) 4x–7y +2y

2

2 4

d) 4x+7y –2y

2

c) 4x–7y +2x y

3 2 6. Efectuar: 4x + 6x − 8x 2x

2

e) 4x+7y –2x 2

b) 2x +3x–8

2

d) x +3x–4

m 18

2

7. En una división exacta, el divisor es (x +5) y el cociente es (x+1). Hallar el dividendo. 2

a) x +x+5

b) x +x +5x+5

c) x +x +5

d) x +5

2

4 p

"p–(m+n)" a) 0 d) 3

b) 1 e) 4 a 7

c) 2

8 b

3 2

14. Al dividir: (x y +x y ) entre (x y ) se obtiene

3

3

2

(–12x y ) entre (nx y ), calcular el valor de

e) 2x –3x+4

3

4

3 7

2

3

4

13. Si (–4x y ) es el cociente que resulta de dividir

2

c) 2x +3x–4

2

5 9

a) 4x+7y +2x

2

2

un polinomio homogéneo de grado 13. Calcular

e) x +5x+5 m+8

13

8. Al dividir (12x ) entre (6x ), el grado del cociente es 7. Calcular el valor de "m". a) 9 d) 12

b) 10 e) 13 − 18x 4 y7 z3 9. Efectuar: 6xy2 z3 b) –3xy

c) 11

el valor de "a × b". a) 100 d) 130 15. Al dividir (x

b) 110 e) 140 m+2

+3x

n–5

c) 120

+8x

p+1

3

el cociente obtenido es un polinomio completo 5

3 5

y ordenado. Calcular:

c) 3x y

3 5

e) 3x y z 3 2

a) 1 d) 7

mn + np + mp − 1

b) 3 e) 9

c) 5

5 3

para obtener (–54xy z )? 2

2

a) 9xy z

b) 6xy z

2

3 6

c) –9xy z

d) –3–x y z

5

e) 3x3y z

Practica en casa 1. En la siguiente división: 2

2x +x + 3x + 1

2. A partir de la siguiente división:

x+1 2

2x – x + 4 –3

5

4

2

x + 2x – x +3 2

x – 2x + 1 El grado del cociente es:

El cociente es: Colegios

100

TRILCE

3

–7x ) entre (x )

10. ¿Por cuál polinomio debe multiplicarse (6y z )

3

2

2

2

e) x +10x

3 6

2

4 5

d) x +10x–4

d) –3x y z

3

d) 6x +xy+y

para obtener (16x y – 28x y +8x y )

b) x – 10x – 4

a) 3xyz

2

2

2

a) x +3x–8

2

3 5

2

3

3

b) –2x +3x y–4xy

12. ¿Por cuál polinomio debe multiplicarse (4x y )

5. Efectuar: (x + 10x – 4x) ÷ (x) c) x +10x+4

2

e) –x +3x y+4xy

c) 8 ab

2

a) x – 10x + 4

2

a) 2x –3x y+4xy

4 3 4. Efectuar: 24 a 3 b2 −8 a b a) 3 ab b) –4 ab d) –8 ab e) –3 ab 3

6x 4 y − 9x3 y2 + 12x2 y3 3xy

Central: 6198-100

Álgebra 7

4

3. Efectuar: (18x ) ÷ (9x )

3 a 4 b5 11. Efectuar: 4a b − 12 2 2a b

10 4. Efectuar: − 15 m4 −5 m 8

4 2

12. ¿Qué polinomio debe multiplicar a (x y ) para 5 3

6 4

obtener (3x y + 8x y )?

5

4

5. Efectuar: (x + 8x ) ÷ (x )

4 6

13. Si (3x y ) es el cociente que resulta de dividir a b

2 3

(12 x y ) entre (4x y ), entonces:

4 3 6. Efectuar: x + 3x − 5x x

a=

7. En una división exacta, el divisor es (x+3) y el cociente es (x+9). Calcular el dividendo.

b= a 7

2 3

8. Al dividir (20x

m+7

5 4

4 6

obtiene: mx y + nx y . Luego:

3

) entre (5x ), el grado del

cociente es 10. Calcular el valor de "m".

9. Efectuar:

9 b

14. Al efectuar (12 x y + 18 x y ) ÷ (6 x y ), se

− 21 x 4 y7 3 x3 y6

a=

m=

b=

n = a

10

13 b–3

15. Al efectuar (x +5y +x y

4 8

) ÷ (x y )

Se obtiene un polinomio homogéneo de grado 15. Luego: 4 9

10. ¿Qué monomio debe multiplicar a (8x y ) para 9 13

obtener (–32x y )?

a= b=

Tú puedes 1. En una división exacta, el dividendo es 3 2 2 (x +6x +5x+p), el divisor es (x +m) y el cociente es (x+q). Calcular el valor de m+p+q a) 34 d) 41

b) 36 e) 44

c) 38

2. Si los cocientes de la siguientes divisiones: Bx A y CxB representan términos semejantes. AxB BxC Calcular el valor de: A + C B a) –1 b) 2 c) –2 d) 1 e) 0 A

B

C

3. Si se cumple: Mx – Nx = 5x Calcular el cociente de la siguiente división: (3A + 7B) xM (6B − C) xN 4 5 a) 8x b) x c) 2x 6 d) 3x e) 1 www.trilce.edu.pe

4. En una división, se tiene: Dividendo = P(x) Divisor

2

= x – 6x + 5

Cociente = Q(x) Residuo

= ax + b

Si se cumple: P(5) – P(1) = 12, calcular el valor de "a". a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3 3

5. Al dividir un polinomio P(x) entre x , el resto es: 2

x +x+7, halle el término independiente. a) 0 d) 4

b) 2 e) 7

c) 3

Primer año de secundaria

101

21

Capítulo

Repaso III Interpretación geométrica del trinomio al cuadrado Calculamos el área del cuadrado de lado "a+b+c"

c

ac

bc

c2

b

ab

b2

bc

a

a2

ab

ac

a

b

c

FUENTE: http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Trinomio_al_cuadrado.svg

En este capítulo recordaremos .. Productos notables con ejercicios de aplicación.

Colegios

102

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra Saberes previos 1. Desarrollar: • (m + n) • (x+3)

4. Desarrollar:

2

=

2

• (m+x)

= • (n–2)

2. Desarrollar: • (x+y)(x–y)

=

• (m+8)(m–8)

=

2

2

2

• (y+5) + (y–5)

=

2

=

3

=

5. Desarrollar:

3. Reducir: • (a+b) +(a–b)

3

• (x+8)(x+4)

=

• (m–3)(m–9)

=

=

Aplica lo comprendido 2

1. Efectuar: (x+5) – x (x+10) 2

6. Efectuar: (x + 4)

3

7. Efectuar: (m – 5)

3

2

2. Efectuar: (y–7) – (y–8) + 2y 2 2 3. Reducir: (m + 5) + (m2 − 5) − 50 ; m ≠ 0 m 2 2 4. Reducir: (x + 9) 2 − (x − 9) 2 ; x ≠ 0 (x + 1) − (x − 1)

8. Desarrollar: (x+5)(x–8) 9. Reducir: (m–6)(m+7) + m (m+1) 3

10. Reducir: (x+1) + (x–1)

2

5. Reducir: (x+3)(x–3)(x +9) + 81

3

Aprende más 1. Desarrollar: (5m+4)

2

2

a) m +16

3

3. Reducir: (2m+1) –6m(2m+1)–1 2

a) m

2

d) 8m

b) 25m +40m+16

2

c) 5m +20m+16

d) 25m +16

3

3

3

b) 2m 3

c) 4m

e) 16m

3

2

e) 25m +40m+4 2. Desarrollar: (7m–3) 2

a) 49m –9 2

c) 49m +42m+9

3

4. Desarrollar: (7x–5y) –105xy(7x–5y)+125y

2 2

b) 7m –9 2

d) m –9

a) x

3

d) (8x)

3

b) (6x)

3

e) (9x)

3

c) (7x)

3

3

2

e) 49m –42m+9

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Primer año de secundaria

103

21

Capítulo

2

3

a) –20 d) –21

b) –22 e) –23

c) –24

6. Reducir: (x + 1 ) 2 − (x − 1 ) 2 x x a) 1 b) 2 d) 4 e) 5 2

d) 64x

b) 16x 2

c) 32x

e) 128x 2

2

a) 6x d) 24x

2

2

4

8. Reducir: (x + 5) – x – 5x (2x + 1) + 5x a) 10

b) 15

d) 25

e) 30

9. Desarrollar: (a + b + c) 2

2

2

2

2

2

2

2

a) a +b +c

b) 0 e) 3

c) 20

3

2

b) 12x e) 30x

2 2

2

b) a +b +c –abc

c) 18x

2 15. Si: m + 2 = 5 , Hallar: m + 42 m m a) 19 b) 20 c) 21 d) 22 e) 23

16. Reducir: 2

(x + 1) (x − 1) (x2 + 1) (x 4 + 1) + 1 4

a) x 8 d) x

b) x 16 e) x

17. Reducir: 2

c) 1

3

c) 3

2

a) –1 d) 2

3

14. Reducir: (x+2) + (x–2) – 2x (x –12x) – 24x

x!0

7. Reducir: (4x + 2003) 2 + (4x − 2003) 2 − 4006 a) 4x

2

13. Si: x+y=3, reducir: (x+y) – x (9y+x ) – y

5. Reducir: (x–8)(x+4) – (x+2) + 16+ 8x

a) 1 d) 4

c) x

6

(x2 + 2y) (x2 − 2y) + (x2 + 2y) 2 − 2x 4 x2 y b) 2 c) 3 e) 5

c) a +b +c +2(ab+bc+ac) 2

d) a +b +2abc

2

2

e) a +b +c +a+b+c

10. Reducir: 6(x + 8) (x + 5) − (x + 7) (x + 6) + x @2 − (x + 2) 2 a) –4x d) –32x

b) –8x e) –24x

c) –16x

18. Si: x + y = 5

xy = 1

Hallar x – y ;

x>y

a)

21

b)

20

d)

6

e)

17

c)

31

2

11. Si: x + 3x = 8, hallar el valor numérico de: (x+1)(x+2)(x+5)(x–2) a) –10 d) –40

b) –20 e) –50

c) –30

12. Si: a + b = 5

ab = 2 2

Hallar: a + b

2

a) 20

b) 21

d) 23

e) 24

c) 22

19. Si: x + y = 7

xy = 20 y Hallar: x + y x a) 3/20 b) 9/20 d) 7/20 e) 13/20

c) 11/20

4 1 20. Si: x + 1 = 5 , Hallar: x + x x2 a) 21 b) 22 d) 24 e) 25

c) 23

Practica en casa 2

4. Desarrollar: (5x – 11y)

2. Desarrollar: (5x – 3)

2

5. Reducir: (x–6)(x+2)–(x+2) +10

3. Desarrollar: (4x – 5)

2

2 2 6. Reducir: ` 4x + 1 j − ` 4x − 1 j x x

1. Desarrollar: (7n+2)

Colegios

104

TRILCE

2

2

x !0

Central: 6198-100

2

Álgebra 7. Reducir: (3x + 1005) 2 + (3x − 1005) 2 − 2010 2

2

4

8. Reducir: (x +3) – x – 3x (2x + 1) 9. Desarrollar: (x+y+2)

2

10. Reducir: 6(x + 4) (x + 7) − (x + 5) (x + 6) + x @2 2

11. Si: x + 5x = 60, hallar el valor numérico de: (x+2)(x+4)(x+1)(x+3)

a+b=7 ab = 2 2

2 15. Si: x+ 3 = 5, Hallar: x + 92 x x

16. Reducir:

(x2 − 1) (x2 + 1) (x 4 + 1) − 1

17. Si: x+y=7 xy = 1 Hallar: x – y ;

x>y

18. Si: x+y=6 xy = 20 y Hallar: x + y x

12. Si:

Hallar: a + b

14. Reducir: 3 3 3 2 (x+2) + (x – 2) – 2x + 24x

2 4 19. Si: x + 1 = 7 , hallar: x 2+ 1 x x

13. Si: x + y = 3 3

2

Reducir: (x+y) – y (9x + y ) – x

3

20. Si: a – 2b = 3, hallar el valor numérico de: a2 – 9 4b (a – b)

Tú puedes 1. Si: x – 3y = 5

Hallar el valor numérico de: (x + 5) (x − 5) y (2x − 3y) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

2. Si el polinomio: 2 2 P(x; y) = 25x + 4axy + 16y Es un trinomio cuadrado perfecto. Hallar el máximo valor que toma "a". a) 9 d) 12

b) 10 e) 13

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b) 122 e) 125

a) 10

b) 12

d) 9

e) 16

(ab ! 0) c) 4

5. Simplificar: A=(a+b+c)(a+b+d)+(a+c+d)(b+c+d)–

c) 11

–(a+b+c+d) a) ab+cd

3. Si: x + 1 = 3, Hallar: x5 + 15 x x a) 121 d) 124

2 2 4. Calcular: 2 a + b + 3a + 4b ab b a 2 Sabiendo que: (a+b) = 4 ab

d) ab+c

2

b) ab–cd

c) ab–c

2 2

e) a b –cd

c) 123

Primer año de secundaria

105

22

Capítulo

División algebraica II Lectura: Problemas árabes Uno de los métodos más antiguos para resolver las ecuaciones de segundo grado es el método geométrico de "completar el cuadrado" atribuido a Al–Khwarizmi.

F

K

5

5x

25

Al–Khwarizmi consideraba cinco tipos de ecuaciones 2 2 2 de segundo grado: ax = bx; ax =b; ax +bx=c; 2 ax =bx+c donde a, b, c eran positivos y a=1. (Los números negativos y complejos aparecieron mucho después). He aquí uno de sus ejemplos: 2

B

Resolver la ecuación: x +10x=39

C

x

x2

Se construye un cuadrado ABCD, con AB=AD=x. Se extienden los lados AB y AD de forma que DE=BF=5. (5 es la mitad de 10, el coeficiente de x).

5x

Se completa el cuadrado AFKE. El área de AFKE 2 se puede expresar como: x +10x+25, pero la 2 ecuación a resolver es: x +10x=39

A

x

D

5

E

Por lo tanto, hay que agregar 25 a los dos miembros de la ecuación, lo que da: 2

x + 10x + 25 = 39 + 25 – 64 Los dos miembros de la ecuación son ahora cuadrados perfectos: 2

(x+5) – 8x

2

Puesto que se tiene: AF=AE=x+5=8, la solución será x=3. Tomado de: "Historia e historias de matemáticas" Mariano Perero

En este capítulo aprenderemos .. División algebraica II. .. Método de Horner – Esquema – Procedimiento .. Ejercicios

Colegios

106

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra Síntesis teórica

DIVISIÓN ALGEBRAICA II

División entre polinomios

Método de Horner

• Esquema • Procedimiento

Aplicaciones

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Primer año de secundaria

107

22

Capítulo

Saberes previos

1. Efectuar las siguientes operaciones: a) 4 + 5 =

b) –3+8 =

c) 4 – 3 =

d) 5 – 8 =

2. Efectuar las siguientes operaciones: a) (+4)(–5) =

b) (12) ÷ (3) =

c) (–3)(+2) =

d) (–8) ÷ (2) =

4. Dado el polinomio: 4 2 P(x) = 5x + 3x + 6x + 1 Completar: a) Coeficiente principal = b) Grado del polinomio = c) Término independiente = d) Suma de coeficientes =

3. En la siguiente división: 2x 2 + 3x + 5 x+2 El dividendo es

:

El divisor es

:

5. El polinomio: 4

3

2

P(x) = x + 8x – 5x + x + 7 respecto a la variable.

Está completo y

Aplica lo comprendido 1. La división:

• Dada la siguiente división x 2 + 7x + 1 x−2

6x 2 + 5x + 7 2x + 3 Se representa mediante el siguiente esquema de Horner: 2 3

6

5

:

4. El residuo es

:

7

¿Cuál es el error?

5. La siguiente división:

2. El siguiente esquema corresponde a una división efectuada por el método de Horner: 3 2

3. El cociente es

9

–3 6

5 2

3

1

7

x 2 − 3x + 5 x−4 ¿Es exacta o inexacta? Justifica tu respuesta

Señalar: a) El cociente

=

b) El residuo

=

Colegios

108

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra Aprende más 8. Calcular el cociente de la siguiente división: 6x3 + 19x2 + 18x + 9 3x + 5

2 1. Luego de efectuada la división: x + 5x − 4 x −1 Completar: 2

a) Dividendo

= x + 5x – 4

a) 2x +3x+1

2

b) x +2x+1

b) Divisor

=

c) x +2x+3

d) 2x +x+3

c) Cociente

=

e) 3x +2x+1

d) Residuo

=

2

Dividendo

A

7

Divisor

B

x+2

Cociente

C

x+3

Residuo

D

x +5x+13

9. Calcular el residuo de la siguiente división: 4x3 + 5x2 − 2x − 3 4x − 3 a) 9 b) 12 c) 3 d) 0 e) 6 10. ¿Cuál es el cociente de la siguiente división x3 + 5x2 − 6x + 1 ? x2 − x − 1 a) x+7 b) x+6 c) x+5 d) x+4 e) x+3

2

2 3. Luego de efectuar la división: x + 7x + 13 x+5 Indicar verdadero (V) o falso (F)

a) El dividendo es

: x + 7x + 13

2

(

)

b) El divisor es

: x–5

(

)

c) El cociente es

: x–2

(

)

d) El residuo es

: 3

(

)

4. Obtener el residuo de la siguiente división: 4x 2 − 5x + 9 x−3 a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50

b) 3x+2 e) 3x+4

c) 2x+3

2 6. Si el residuo de la división: 6x − 11x + m 3x − 1 Es 4, calcular el valor de "m"

b) 5 e) 8

c) 6

7. Obtener el cociente de la siguiente división: x3 + 5x2 + 6x + 8 x+4 2

b) x –x+2

2

2

a) x +x+2 c) x +x–2 2

e) x +x+1 www.trilce.edu.pe

11. ¿Cuál es el residuo de la siguiente división: 3x3 + 2x2 + 6x + 13 x2 − x + 2 a) 3x+5 b) 5x–3 d) 5x+3 e) 0

c) 3x–5

12. Luego de efectuar la siguiente división: 6x3 − 25x2 + 3x − 5 , el cociente es: 3x 2 − 5x + 2 a) 2x+5 b) 2x–5 c) –2x+5 d) –2x–5 e) 5x+2 3 2 13. Luego de efectuar: 5x + 42x + 7 − 2x x +1−x

2 5. Luego de efectuar: 6x + 7x + 2 2x + 1 Indicar el cociente

a) 4 d) 7

2

2

2 2. Luego de efectuar la división: x + 5x + 13 x+2 Relacionar correctamente

a) 3x–2 d) 2x–3

2

2

d) x –x–2

Indicar el residuo a) 4x+2 d) 2x+4

b) 5x+3 e) 3x+5

c) 0

3 x2 + Ax + B 14. Si la siguiente división: x + 7 x 2 + 2x − 1

Es exacta, calcular: A + B a) 3 d) 9

b) 4 e) 10

c) 7

4 3 2 15. Si la división: x + 3x 2+ 5x + Ax − B x +x−2

es exacta, calcular A+ B a) 9 d) 12

b) 10 e) 13

c) 11

Primer año de secundaria

109

22

Capítulo

Practica en casa 8. Calcular el cociente de la siguiente división: x3 + 4x2 + 6x + 9 x+3

2 1. Luego de efectuar la división: x + 2x + 5 x−1 Completar:

a) Cociente b) Residuo

= =

9. ¿Cuál es el residuo de la siguiente división: 2x3 + x2 + 3x + 2 x−1

2 2. Luego de efectuar la división: x + 4x + 5 x+3 Relacionar correctamente:

10. Hallar el residuo de la siguiente división: 3x3 + 8x2 + 7x + 6 3x + 2

Dividendo

A

x+1

Divisor

B

2

Cociente

C

x +4x+5

Residuo

D

x+3

2

11. ¿Cuál es el cociente de la siguiente división: x3 + 3x2 + x − 2 x2 + x − 1

2 3. Luego de efectuar la división: x + 6x + 8 x+2 Indicar verdadero (V) o falso (F)

a) El cociente es b) El residuo es c) La división es exacta

: x+4 : 16

( ( (

) ) )

4. Calcular el residuo de la siguiente división: x 2 − 3x + 2 x−6 2 5. Luego de efectuar: 5x − x + 2 , Indicar el cociente x−1 6. Obtener el cociente de la siguiente división: 6x 2 + 5x − 4 2x − 1

3 2 12. Luego de efectuar la división: 5x +212x + x + 3 x + 2x − 1 El residuo es: 2 3 13. Luego de efectuar: 7x − 22+ 12x − 7x 3x + x − 2 Indicar el residuo 3 2 14. Si la siguiente división: x + 27x + Ax + B x + 5x − 3 Es exacta, calcular el valor de "A+B"

15. Dada la división exacta: 2x 4 − 9x3 + 2x2 + 8Ax + B x 2 − 5x + 1 Calcular el valor de "A + B"

2

7. Si el residuo de la división: x − 5x + m x−3 Es 3, calcular el valor de "m"

Tú puedes 1. Calcular "m+n+2" si la división: 6x5 − 17x 4 + 7x3 + mx2 + nx + p , es exacta 3x3 − 4x2 + 5x − 7 a) 22 b) 18 c) –11 d) 25 e) 28 2. Si el residuo de la siguiente división: 3x5 − 8x 4 − 5x3 + 26x2 + mx + n x3 − 2x2 − 4x + 8 Es –5x+2, calcular 2m+n" a) –20 b) –50 c) –3 d) –40 e) –70 3. Al efectuar la siguiente división: 6x3 − 12x2 + 4Ax + A , 3x 2 + 3 El residuo toma la forma "mx+m". Calcular el valor de "A+m" a) 10 Colegios

110

TRILCE

b) 24

c) 30

d) 31

4. Calcular la suma de coeficientes del cociente de: 6x5 − x 4 + 4x3 − 10x2 + Ax − 6 3x − 2 Sabiendo que el residuo de la división es 2. a) 1 d) 5

b) 2 e) 7

c) 4

5. Calcular el cociente de la siguiente división exacta: ax 4 + (a − b) x3 + bx2 + (b − c) x + c ax2 − bx − c 2

2

a) ax + bx + c

b) x + x – 1

c) ax + x + b

d) x + bx + c

2

2

2

e) x – bx – c

e) 32 Central: 6198-100

Capítulo

23

División algebraica III Lectura: Sobre el papiro de Rhind L

o

s

egipcios resolvieron ecuaciones lineales por el método de la falsa posición. Este método también fue utilizado por los babilonios, contemporáneamente con los egipcios, y posteriormente por los árabes. El siguiente problema aparece en el Papiro Rhind (S. XVIII a.C): "Un montón, sus dos tercios, su mitad, todos juntos hacen trece. ¿Cuál es la cantidad?" El problema se reduce a la ecuación: x + 2 x + 1 x = 13 3 2 Los egipcios encontraban la solución de este tipo de ecuación a través de un método llamado regla de falsa posición. En primer lugar atribuían un valor falso al montón, por ejemplo, 12: 12 + 2 (12) + 1 (12) = 12 + 8 + 6 = 26 3 2 Luego, mediante una regla de tres simple se obtiene el valor verdadero del montón, que en este caso es 6. Valor verdadero = 12 # 13 = 6 26

E s t e método es un ejemplo del uso de aproximaciones, en que se parte de un valor falso y se procura corregirlo para mejorar el resultado. En este caso permite obtener la solución exacta por la estructura del problema. FUENTE: (http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/ContribucionesV8_n1_2007/De%201a%20Resolucion_de_Ecuaciones/2_ EcuacionesPolinomicas.pdf)

En este capítulo aprenderemos .. División algebraica III .. División entre polinomios .. Método de Ruffini – Esquema – Procedimiento .. Aplicación

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Primer año de secundaria

111

23

Capítulo

Síntesis teórica

DIVISIÓN ALGEBRAICA III

División entre polinomios

Método de Ruffini

Regla

Aplicación

Colegios

112

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra Saberes previos 1. Efectuar las siguientes operaciones:

3. Ordenar el polinomio de forme descendente: 3

a) 7 – 2

=

b) –4 + 5

=

c) – 6 – 2

=

d) 2 – 5

=

&

P(x) = 5 + x – 6x + x P(x) =

2

• Dada la siguiente división: 3x 2 − 5x + 7 x−2 Contesta las siguientes preguntas:

2. Efectuar las siguientes operaciones: 4. a) (5)(2)

=

b) (3) (–4)

=

c) (–2)(–3)

=

d) (–1) (5)

=

El dividendo es

:

El divisor es

:

El cociente es

:

El residuo es

:

5.

Aplica lo comprendido 1. La división: x2 − 8x + 10 x+3 Se representa mediante el siguiente esquema de Ruffini: 1

–8 10

7 1 7

–2

5 –10

7

5

B

5

A

0

Calcular: "A + B"

3

• A partir de la siguiente división:

Es correcto 2. El siguiente esquema corresponde a una división efectuada por el método de Ruffini: 2 –3

3. Del siguiente esquema de Ruffini:

7

5

2x 2 − 5x + 3 x −1 Responde:

–6 –3 2

1

2

4. El cociente es:

Señalar: a) Cociente b) Residuo

www.trilce.edu.pe

: :

5. La división, ¿es exacta o inexacta?

Primer año de secundaria

113

23

Capítulo

Aprende más 6. Obtener la suma de coeficientes del cociente de:

2 1. Luego de efectuar la división: x + 2x − 9 x−3 Completar:

2x2 + 3x + 4x3 + 7 x+1

a) Dividendo =

a) 3

b) 4

b) Divisor

= x–3

d) 6

e) 7

c) Cociente

=

d) Residuo

=

c) 5

7. A partir del siguiente esquema de Ruffini: 5 1

2 2. Luego de efectuar la división: x + 7x + 14 x+2 Relacionar:

2 –3

5 b d 5 7

c

e

Calcular el valor de: (b+c+e) ÷ (a+d)

Dividendo

A

x+2

Divisor

B

4

Cociente

C

x +7x+14

Residuo

D

x+5

2

a) 1

b) 2

d) 4

e) 6

c) 3

8. El cociente de la siguiente división: 3x3 + 2x + 3 x−2 es:

2 3. Luego de efectuar la división: 3x − 7x + 6 x+1 Indicar verdadero (V) o falso (F) 2

a

2

b) 3x + 6x + 14

2

d) x + 1

a) El dividendo es

: 3x + 7x + 6

(

)

a) 3x – 6x + 14

b) El divisor es

: x–1

(

)

c) 3x – 6x – 14

c) El cociente es

: 3x + 4

(

)

e) 3x + 6x – 14

d) El residuo es

: 10

(

)

2

2

2

9. Calcular el residuo de la siguiente división: 4. Calcular el cociente de la siguiente división: x3 + 3x2 − 13x − 15 x+5 2

b) x – 2x + 3

2

2

d) x – 2x – 3

a) x + 2x + 1

2

c) x + 2x + 3

2x 4 + 3x3 − x2 + 2x + 6 x+2 a) 4

b) 5

d) 7

e) 8

c) 6

2

e) x – 2x – 1

10. Si el residuo de la siguiente división:

5. Hallar el residuo de la siguiente división: 2x3 − x2 + 3x − 2 x+2 a) 28

b) –28

d) –29

e) 30

Colegios

114

TRILCE

c) 29

2x3 + 7x2 − 2x + m x+3 Es igual a 17, calcular el valor de "m". a) 0

b) 1

d) 3

e) 4

c) 2

Central: 6198-100

Álgebra 13. Hallar el residuo de la siguiente división: 3x 4 − 2x3 + 6x2 + 11x + 10 3x − 2 a) 21 b) 20 c) 23 d) 24 e) 25

3 2 11. Al efectuar la división: x + 5x + mx + 15 x+2 El término independiente del cociente es 8. Calcular: m + residuo

a) 10 d) 13

b) 11 e) 14

c) 12

14. De la siguiente división: ax3 + (b − a) x2 + (3c − b) x + 5c x−1 Calcular el valor de "a+b", si la suma de coeficientes del cociente es 51, y el residuo de la misma es 56.

12. ¿Cuál es el cociente de la siguiente división: 3x3 + 8x2 + 7x + 6 3x + 2 2

b) x + 2x + 1

2

2

d) x +2x – 1

a) x – 2x + 1

2

c) x – 2x – 1

a) 13 d) 41

2

e) x + 1

b) 24 e) 50

c) 30

Practica en casa 1. Luego de efectuar la división:

5. Hallar el residuo de la siguiente división: 2x3 + x2 + 3x + 10 x+1

x2 + 9x + 20 x+6 Completar: a) Cociente

:

b) Residuo

:

6. Calcular el cociente de la siguiente división: 2x3 + x2 − 7x − 6 x−2

2. Luego de efectuar la división: x 2 − 5x + 7 x−3

7. A partir del esquema de Ruffini: 5

Relacionar correctamente:

–1

Dividendo

A

x–3

Divisor

B

1

5

3

B

–5

1

–4

–1

A

3

Calcular el valor de A + B

2

Cociente

C

x –5x+7

Residuo

D

x–2

8. El cociente de la siguiente división: 3x3 + 2x2 + 3 ; es: x+2

3. Luego de efectuar la división: 3x 2 + 2x − 5 x−1 Indicar verdadero (V) o falso (F):

9. Calcular el residuo de la siguiente división:

a) El cociente es

: 3x+5

(

)

b) El residuo es

: 10

(

)

(

)

c) La división es exacta

4

4. Obtener el cociente de la siguiente división:

3x 4 + 5x3 − 10x2 + 7x + 4 x+3 10. Si el residuo de la siguiente división: 2x3 + 9x2 + 3x + A x+2 Es igual a 20, calcular el valor de "A"

x3 + 5x2 − 10x − 8 x−2 www.trilce.edu.pe

Primer año de secundaria

115

23

Capítulo

11. En el siguiente diagrama de Ruffini: 1 A 1

2

–3

2

1

B

0

3

0

C

14. Luego de efectuar la siguiente división: mx3 + (n − 3m) x2 + nx + 5 x−3 El residuo obtenido es 41, calcular "m" si la suma de coeficientes del cociente es 18.

Calcular el valor de "A+B+C" 3 2 12. Al efectuar la división: x + 6x + Ax + 30 x+4 El término independiente del cociente es 7

Calcular: A + residuo

15. A partir de la división: (A − 5) x3 + (B − A) x2 + (C − B) x + A + B x−1 Obtener la suma de coeficientes del cociente, si el residuo es igual a 14.

13. ¿Cuál es el residuo de la siguiente división 2x3 + 3x2 + 3x + 7 ? 2x + 1

Tú puedes 3. Calcular el cociente de la siguiente división:

1. Calcular el valor de: 4 A − B + 7B + 2A B A

x36 − 5x18 + 8 x9 + 2

Si luego de efectuar:

a) x – 2x – x + 2

Ax3 + 3x2 − 5x − B x−2

b) x

3

a) 8 d) 11

b) 9 e) 12

c) 10

A

G

E

F

A

B

C

E

B

D

B

A

F

Indicar el cociente de la división: 3

2

a) x + x + x + 1 3

2

b) –x + x – x + 1 3

2

c) 2x – x + x – 1 3

2

d) –x – 2x + x – 1 3

2

e) x – x + x – 1

Colegios

116

TRILCE

27

– 2x9 + 2

27

– 2x

18

–x +2

27

– 5x

18

+4

e) x

18

9

+x +2 9

4. Al efectuar la división:

exacta efectuada por el método de Ruffini: A

+ 2x

d) x

2. El siguiente esquema representa una división

A

27

c) x

El residuo obtenido es "7B+2"

2

Ax 4 + (A − A2 + 1) x3 + x2 − A2 x + A2 − 7 x − A +1 La suma de coeficientes del cociente y residuo obtenidos es cero. Calcular el valor de "A". a) –1 d) 2

b) 0 e) 3

c) 1

5. Si Q(x) es un polinomio que representa el cociente de la siguiente división: AMx3 + (AP + BN) x + BP + (AN + BM) x2 Ax + B El cuál verifica: Q(1) = 0, calcular el valor de: 4M + N + P + M + 8N + P + M + N + 14P M N P a) 18 d) 23

b) 19 e) 27

c) 21

Central: 6198-100

Capítulo

24

División algebraica IV Lectura: Problemas babilónicos Existe más de medio millón de tablillas cuneiformes que todavía están siendo descifradas e interpretadas; abarcan un periodo que va desde el año 2100 a.C hasta el año 300 a.C, época del famoso rey Nabucodonosor. De esas tablillas, unas 300 se relacionan con las matemáticas, unas 200 son tablas de varios tipos: de multiplicidad, de recíprocos, de cuadrados, de cubos, etc. Los problemas que se plantean tratan acerca de cuentas diarias, contratos, préstamos, interés simple y compuesto. En geometría los babilonios conocían, entre otras cosas, el teorema de Pitágoras y las propiedades de los triángulos semejantes; el álgebra hay problemas de segundo e incluso algunos de tercero y cuarto grado; también resolvían sistemas de ecuaciones, hay un ejemplo de 10 ecuaciones con 10 incógnitas. El problema siguiente ilustra el carácter algebraico de la geometría de los babilonios, quienes utilizaban para resolverlo, un método parecido al que usaríamos hoy día. Si se multiplica el largo por el ancho se obtiene un área de 600. Cuando se multiplica por sí misma la diferencia entre el largo y el ancho, y ese resultado se multiplica por 9, da una superficie equivalente al cuadrado del largo. ¿Cuáles son el largo y el ancho? x y

Zx . y 600 = ] 2 2 [9 (x − y) = x ]3 (x − y) = x \

Resolviendo este sistema, se obtiene: x=30, y =20 Tomado de "Historias e historias de matemáticas" Mariano Perero

En este capítulo aprenderemos .. División algebraica IV .. Teorema del residuo .. Procedimiento .. Ejercicios

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Primer año de secundaria

117

24

Capítulo

Síntesis teórica

TEOREMA DEL RESTO

Regla

Aplicaciones

Casos especiales

Aplicaciones

Colegios

118

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra Saberes previos 1. Efectuar las siguientes operaciones: a) 8 – 5

=

4. Si: x – A = 0

b) 1 – 6 + 7 =

c) (3)(–5) =

d) (–4)(–2)

=

2. Efectuar las siguientes operaciones a) (3)

2

c) (–5)

2

3

=

b) (4)

=

d) (–2)

= 3

=

3. Efectuar:

x=A

Calcular "x" en las siguientes ecuaciones: a) x – 4 = 0

x=

b) x – 8 = 0

x=

c) x + 5 = 0

x=

5. Luego de efectuar la división: 6x2 − 5x + 7 , completar: x −1 Dividendo =

2

Divisor

3

Cociente =

a) (5) – 10 = b) (2) – 5 (2) + 4 =

Residuo

= =

Aplica lo comprendido 1. Efectuar las siguientes operaciones: 2

a) (5) + 8

x2 − x + 5 x−2

=

2

b) (3) – 2 (4) – 1 = 3

c) (4) – 5 (8) + 10

Residuo = = 4. Obtener el residuo de la siguiente división:

2. Sabiendo que: x–A=0 x+A=0

3. Calcular el residuo de la siguiente división:

x=A

x2 + 5 x−3

x = –A

Calcular "x" en las siguientes ecuaciones:

5. La siguiente división:

a) x – 3 = 0

x=

x 2 − 3x + 2 x−2

b) x – 5 = 0

x=

¿Es exacta o inexacta?

c) x – 4 = 0

x=

d) x – 1= 0

x=

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Justifica tu respuesta

Primer año de secundaria

119

24

Capítulo

Aprende más

1. Dada la siguiente división: x 2 − 5x + 7 x−2 Completar: a) Dividendo = b) Divisor = c) Divisor = 0 x = d) Residuo = 2. Relacionar correctamente:

8. ¿Cuál es el residuo de la siguiente división x5 + x3 + 8 x+1 a) 0 d) 5

A

x=4

x+4=0

B

x = –7

x+7=0

C

x = –4

x–4=0

D

x=7

3. Dada la siguiente división: x 2 − 2x + 8 x−1 Indicar verdadero (V) o falso (F): 2

c) 4

5. Calcular el residuo de la siguiente división: x2 + x + 1 x−2 a) 6 b) 7 c) –7 d) –8 e) 0

b) 4 e) –5

c) 0

10. Hallar el residuo de la siguiente división: (3x − 2) 5 + 8x − 4 x−1 a) 0 b) 2 c) 5 d) 7 e) 8 (x − 2) 7 + Ax − 1 x−3 Es igual a 15, calcular el valor de "A" a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

12. Obtener el residuo de la división: (x2 − 8) 4 + 7 (x − 2) 3 − x x−3 a) 0 b) 2 c) 5 d) 7 e) 8 13. Luego de efectuar la división: 5x7 + (M − 1) x 4 − 2 x−1 Se obtiene por residuo 14, calcular "M" a) 8 d) 11

b) 9 e) 12

c) 10

6. Hallar el residuo de la siguiente división: x3 − 5x + 2 x−2 a) –4 b) –1 c) 0 d) 2 e) 3

14. Hallar el residuo de la siguiente división: 5x10 + x8 − 2x2 + 10 x2 − 1 a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18

7. Hallar el residuo de la siguiente división: x3 + 2x2 − 7 x+1 a) –3 b) 4 c) –5 d) 6 e) –6

15. Calcular el residuo de la división: (x2 + x + 4) 2 + (x2 + x + 3) 4 + x2 + x + 6 x2 + x + 3 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Colegios

120

a) –3 d) 5

11. Si el residuo de la siguiente división:

a) El dividendo es : x –2x+8 ( ) b) El divisor es : x+1 ( ) x = 1 ( ) c) Su divisor =0 d) El residuo es : 11 ( ) 4. Obtener el residuo de la siguiente división: x2 − 8 x−3 b) –2 e) –1

c) 3

9. Si la división: x3 + 5x + A − 13 x−2 Es exacta, calcular el valor de "A"

x–7=0

a) 0 d) 1

b) 1 e) 6

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra Practica en casa 1. Dada la siguiente división: x2 − x + 9 x−2 Completar: a) Dividendo = b) Divisor = c) Divisor = 0 x = d) Residuo =

8. ¿Cuál es el residuo de la siguiente división: x3 + x2 + 3 x+1 9. Si la división: x3 + 4x + A − 8 x−1 Es exacta, calcular el valor de "A".

2. Relacionar correctamente: x+6=0

A

x=5

x–5=0

B

x = –6

x+5=0

C

x = –5

x–6=0

D

x=6

10. Hallar el residuo de la siguiente división: (x − 1) 4 + 2x + 3 x−2 11. Si el residuo de la siguiente división: (x − 4) 3 + Ax − 1 x−5 Es igual a 35, calcular el valor de "A".

3. Dada la siguiente división: x 2 − 3x + 6 x −1 a) El dividendo es : x –3x–6

(

)

12. Obtener el residuo de la división: (x2 − 3) 5 + 5 (x − 1) 3 − x x−2

b) El divisor es

(

)

13. Luego de efectuar la división:

(

)

(

)

Indicar verdadero (V) o falso (F) 2

: x–1

c) Su divisor =0

x = 1

d) El residuo es : 4

4. Obtener el residuo de la siguiente división: x2 − 10 x−4 5. Hallar el residuo, luego de efectuar: x 2 + 3x + 1 x−4

2x10 + (M − 5) x7 − 3x x−1 Se obtiene por residuo 9, calcular "M". 14. Hallar el residuo de la siguiente división: 13x14 − 7x10 + 5x6 + 1 x2 − 1 15. Calcular el residuo de la siguiente división: (x3 + x − 6)10 + 4 (x3 + x − 5) 3 + 8 x3 − 7 + x

6. La siguiente división: x3 − 5x − 12 x−3 ¿Es exacta o inexacta? Justifica tu respuesta: 7. Hallar el residuo de la siguiente división: x3 + 10 x+1

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Primer año de secundaria

121

24

Capítulo

Tú puedes

1. Si el residuo de la siguiente división: 1 + 2x + 3x2 + 4x 4 + ..... + nxn − 1 x−1 2 Es igual a "n –7n" Calcular: n 5 a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

4. Luego de efectuar la siguiente división: Mx2M + 13 + (4M + 3) xM + 17 − M (x + 1) 2 + 2 x−1 El residuo obtenido es 8. Calcular el valor de M. a) 1 d) 4

2. Calcular el residuo de la siguiente división: x3n + 15 + 7n2 xn + 5 − 5nx2n + 10 xn + 5 − 2n 3 a) 0 b) n 3 3 d) 3n e) 4n

c) 2n

3

b) 2 e) 5

c) 3

5. Hallar el residuo de la siguiente división: (x + n) (x − n − 1) (x − n − 2) (x + n + 1) x2 − x − n2 2 a) n b) 3n c) n +2 2 d) 3n+2 e) 3n +2n

3. Hallar el residuo de la siguiente división: x999 x99 − 10 9 9 9 9 a) 9x b) 7x c) 6x 9 9 e) 4x d) 7 x

Colegios

122

TRILCE

Central: 6198-100

Capítulo

25

Factorización I Lectura: Jean Le Rond D'Alembert Científico y pensador francés de la Ilustración (París, 1717-1783). Sus investigaciones en matemáticas, física y astronomía le llevaron a formar parte de la Academia de Ciencias con sólo 25 años; y resultaron de tal relevancia que aún conservan su nombre un principio de física que relaciona la estática con la dinámica y un criterio de convergencia de series matemáticas. FUENTE: www.biografiasyvidas.com/biografia/d/d_ alembert.htm

En este capítulo aprenderemos .. Definición de factorización .. Factor .. Factor primo .. Propiedades de factorización .. Método de factorización .. Método factor común .. Método de agrupación de términos

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Primer año de secundaria

123

25

Capítulo

Síntesis teórica

FACTORIZACIÓN

Propiedades

Definición

Factor

Métodos de factorización Método agrupación de términos Método del factor común

Colegios

124

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra Saberes previos Efectuar las siguientes multiplicaciones:

4. xz (x + 1)

1. xy (z + w) 5. (x + y) (x + z) 2 2 3

4

2

5

2. x y z (x + yz + xy ) 2

3. (a + b) (b + c)

Aplica lo comprendido 1. Factorizar: 2

2

4. Factorizar: 2

x a+x b–x c 2. Factorizar: 5

5

x y+x z+x

(a+x)(b+c) + (a+b)(a+x)

5. Factorizar: 5

(a+b+c)x – (a+b+c) y

3. Factorizar: x (a+b) + y (a+b) + z (a+b)

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Primer año de secundaria

125

25

Capítulo

Aprende más

1. Señale un término de uno de los factores primos 5

2

2 2

de: xy + x y + x z 2

a) x 3 d) x

c) y

2

2

a) a +c

2

3

b) x +y

4 2

e) x +y

3

d) x y

4

2

c) x +y

2

5 3

b) b 2

c) a 3

d) a +b

2

8

5

b) x +y

5

9

e) x +y

9

5

9

7

9

c) x +y

6

15 18

c) 4

b) x+1

2

e) x–1

n

2

+x

2

c) x +x+1

c) x

n–3 n–4

e) x

Colegios

126

TRILCE

2

(x +x–1)

3 2 2

b) x+z

d) x+yz

e) y+xz

a) y + z d) x + z

c) y+z

b) x e) z

c) y

12. Factorizar: 3 3

2 2

2 3

de factores primos: a) 1 d) 4

b) 2 e) 5 2

n

d) x

2

3

e indicar un

factor primo: a) x

b) x

d) x + y

e) x + y

2

2

c) y

2

3

2

2

14. Factorizar: 2x – 2xy + y – x y e indique un factor primo. b) y + 2 e) y – 2

c) 2y – x

15. Señalar un factor primo de: 2 2 2 2 mn (x + y ) + xy (m + n )

2

b) x (x –x+1) n–5

c) 3

13. Factorizar: x + x y + xy + y

a) x + 2 d) x – y

n–3

a) x (x +x+1)

c) y+z 2

a) x+y

3

7. Factorizar: n–5

4

2

n+2

2

–x

e) y +x

2

6. Señale un factor de:

n–4

2

3

b) 3 e) 6

d) x +x

2

2

5

x y –x y +x y

a) x +1

2

b) y +x

x + x y + m x + m y e indicar el número

monomio de: a) 2 d) 5

2

primo:

5. ¿Cuántos términos tiene el factor primo no

x

2

2

8 26

+x

e) b+c

11. Factorizar: x + xy + xz + yz e indicar un factor

+x y

n+1

2

4 3

e) b–a +a b

2 5

a) y–z

3

4. Factorizar y señalar un factor primo:

n

2

c) b +c

x y + x yz + x z + x z

6 6

a) a

x +x

2

10. Señale un factor primo:

a b –a b +a b

2 2

2

2

d) y+x

2

3. Señale el factor primo que se repite más:

d) x +y

b) b +x

y – yz + x y – x z

a) x+y

a) x +y

2 2

9. Señale un factor primo de:

x y +x y

17 21

2

2

8 2

x y

2 2

d) a +x

2. Señale un factor primo:

2 4

2 2

a b +a c +x b +x c

b) xy e) xz

4 5

8. Señale un factor primo:

2

(x +x–1)

a) x + y

b) m + n

d) nx + my

e) x + ny

c) mx + y

2

(x +x–1)

Central: 6198-100

Álgebra Practica en casa 1. Señale los factores primos de: 4 xyz + x + xy

8. Factorizar: 4

2 2

2 2

2 2

a +a b +a c +b c

2. Señale los factores primos de: 7 8 2 12 x y +x y

9. Señale el factor primo de mayor grado de: 2

3

2

x y – yz + x w – wz 3. Señale el factor primo que más se repite: 8 5 2 8 5 4 a b –a b +a b

3

10. Factorizar: 6

4

7

5 2

a y + x yz + x z + x z 4. Factorizar e indicar un factor primo no mononio de: 23 15 19 12 a b +b a 5. ¿Cuántos términos tiene el factor primo no monomio de: 9 4 3 6 14 19 x y –x y +x y 6. Señale los factores primos de: n+4 n+6 n+17 +y +x x

2

11. Factorizar: a + ab + ac + bc 7

5 5

3 2

4

3 2

2

3 5

12. Factorizar: x + x y + m x + m y 13. Factorizar: x + x y + xy + y 3

2 2

4

3

14. Factorizar: 5a – 5 a b + b – ab 2

2

2

2

15. Factorizar: ab (m + n ) – mn (a + b )

7. Factorizar: n–6 n–7 n–4 +x –x x

Tú puedes 4. Sumar los factores primos de:

1. Señale un factor primo de: 2 2 (ax+by) + (ay–bx) a) ax+by

b) ay–bx

2

e) a +b

d) b +y

2

2

2

2

c) a +x

2

2

2. Indicar la suma de factores de: (x + 3)(x + 2) + (x + 5)(x + 4) – 3(x + 4) a) 3x + 9

b) 3x + 8

d) 3x – 8

e) 3x + 1

2

2

a (b+c) + b (a+c) + c (a+b) + 2abc

c) 3x + 7

a) a+b+c

b) 2(a+b+c)

d) a+b

e) b+c 2

c) 3(a+b+c)

2

5. Un factor de x(x + 5y) + x – 25y es: a) x + y

b) x – y

d) x + 5y

e) x – 3y

c) x + 5

3. Un factor de: 2 b (a+6c) + 2ac + 3b ; es: a) a+b

b) b+c

d) c+3b

e) a+3b

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c) a+2b

Primer año de secundaria

127

26

Capítulo

Factorización II Método de las identidades Lectura: El concepto de infinito es 2000 años más antiguo de lo pensado El primer uso matemático del concepto de real de infinito se ha visto retrasado unos 2000 años. Y la culpa la tiene un nuevo análisis de las páginas de un pergamino en el que un monje medieval de Constantinopla copió la labor del griego Arquímedes. El concepto de infinito es una de las cuestiones fundamentales en las matemáticas y aún hoy es un enigma. El pergamino reproduce 348 páginas escritas por Arquímedes, siendo esta la copia más antigua de los antiguos genios griegos. En él, se han encontrando pruebas de que Arquímedes ya dió un “uso sistemático del concepto de infinito en una parte del documento llamado Teoremas del Método de la Mecánica. Para analizarlo, se ha examinado el pergamino con un nivel de detalle extraordinario, gracias al uso de imágenes multiespectrales y también a una técnica que utiliza un haz fino de rayos X desarrollada por la Universidad de Stanford. El escáner puede generar una imagen de un millón de píxeles en menos de una hora. Esta novedosa lectura revela que Arquímedes se dedicaba a las matemáticas e hizo usos del concepto real de infinito, tales como el número de triángulos dentro de un prisma, o el número de líneas dentro de un rectángulo. FUENTE: LIVE SIENCE

En este capítulo aprenderemos

.. Factorizar el TCP .. Transformándolo en un binomio al cuadrado

Colegios

128

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra Síntesis teórica

MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN

Método de las identidades

Métodos del TCP

Formas de reconocerlo

Factorizando TCP

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Binomio al cuadrado

Primer año de secundaria

129

26

Capítulo

Saberes previos

Factorizar:

5

62

2

2

4. (x – y )

2

2

2

1. (a+b) – (b + a ) 5. (a + b) 4

4

2

22

2. x + 2y – (x + y ) 3

3. (a + b)

2

Aplica lo comprendido 3

3

4. (x+y) – x – 6 xy (x+y)

Factorizar: 2

2

2

1. (x+y) + (x–y) – 2x + xy 2

2

5. (x+y)(x–y) + y (y + 7x)

2. (x+y) – (x–y) – 6 xyz 2

2

3. (a+b) – b – 5 ab

Aprende más 1. Factorizar y señalar el número de factores primos no repetidos de: 4

un factor primo:

3 2

22

a + 2 a b + (ab ) a) 2

b) 3

d) 5

e) 6

a) x + 2 d) x – 5

c) 4

2

4

4

2

2

2

2

b) a +b 2

d) a +b +1

2

e) a +b

2

c) a +b –1 4

3

5

6

3

2

3

5

a) x +y d) x +y Colegios

130

TRILCE

10

3

3

e) 2x +y

b) 2x + 3

d) 2 x – 4

e) 2x + 4

c) 2x + 1

un factor primo:

3 5

b) x +y

a) 2x – 1

2

+ 2x y 3

+ 2x+1 – 3(x+1);

6. Luego de factorizar: x –6x+9 +4(x–3) ; indique

3. Señale un factor primo de: x +y +x +y

2

c) x – 2

indique la suma de sus factores primos.

2 2

a +b +a +b +2a b a) a –b

b) x + 4 e) x +1

5. Luego de factorizar: x

2. Señalar un factor primo de: 2

2

4. Luego factorizar: x – 4x + 4 + x – 2, indique

3

c) x +y

4

a) x + 2

b) x + 9

d) x + 6

e) x – 3

c) x –1

5

Central: 6198-100

Álgebra 2

7. Factorizar: (x + 2) + 2(x + 2) + 1; indicar un factor primo a) x + 1

b) 2x + 3

d) x + 5

e) 2x + 5

c) x + 3

2

8. Factorizar: (x + 3) + 6(x + 3) +9; indicar un factor primo. a) x + 3

b) x – 3

d) x – 6

e) 2x + 1 2

2

c) x + 6

2

b) x – 1

2

d) x + x + 4

2

c) x + x + 2 2

e) x + 2

a) 2x – y

b) y

d) x – y

e) 2x + y

10. Luego de factorizar: 4 2 3 x +4x + 4 +x + 2x; indique el número de factores primos: b) 2

d) 4

e) 5

c) x +2y

2

2

13. Luego de factorizar: x – 6xz + 9z + xy – 3yz; indique un factor primo: a) x – z

b) x + 9

d) x + yz

e) x – 3z

c) x – 3

14. Factorizar: 2 2 2 P(x)=x (x+5) +6x(x+5)+9–5x(x +5x+3), indicar un factor primo. a) x + 1

2

b) x + 2

2

2

e) x + 9

2

c) 3 2

11. Luego factorizar: x – 4xy + 4y + xz – 2yz, indique un factor primo: a) x + 2

b) x + 4

d) x – z

e) x +z–y

2

c) x + 5

2

d) x + 3

a) 1

2

2

9. Factorizar: (x + x) + 4 (x + x) +4 Indique un factor primo: a) x +x

2

12. Luego de factorizar: x + 2xy + y – x (x + y); indique la suma de sus factores primos.

15. Se sabe que: (ax + by + c), es un factor primo del polinomio: 2 P(x,y) = (3x + 2y) + 8 (3x + 2y) + 16 Hallar: "a + b+ c" a) 5

b) 6

d) 8

e) 9

c) 7

c) x –2y

Practica en casa 1. Señalar el número de factores primos de: 4 3 4 42 x + 2 x y + (xy )

2

5. Factorizar: x + 2x+1 – 5(x+1)+4 2

2. Señalar un factor primo de: 3 3 6 6 3 3 a +b +a +b +2a b

6. Factorizar: x – 10x + 25 +7(x–5) 2

7. Factorizar: (x + 3) + 2(x + 3) + 1 3. Señale un factor primo de: 8 4 16 8 8 4 a +b +a +b +2a b 4. Sumar con coeficientes de un factor primo de: 4 4 2 2 2 x + 25y + 10 (xy) – x – 5y

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2

8. Factorizar: (x + 5) + 8(x + 5) +16 2

2

2

9. Factorizar: (x + x) + 10 (x + x) +25

Primer año de secundaria

131

26

Capítulo

4

2

3

14. Factorizar:

10. Factorizar: x +2x + 1 +x +x

2

2

2

P(x)=a (a+3) +10a(a+3)+25–4a(a +3a+5) 2

2

11. Factorizar: x – 6xy + 9y + xz – 3yz 2

2

12. Luego de factorizar: x +4xy+4y – 5x(x+2y); indique la suma de sus factores primos. 2

15. Se sabe que: (ax + by + c), es un factor primo del polinomio: 2

P(x,y) = (5x + 3y) + 12 (5x + 3y) + 36 Hallar: "a + b+ c"

2

13. Factorizar: a – 4ab + 4b +ac – 2bc

Tú puedes 4. Sumar los factores repetidos de:

1. Señale un factor de: (y+1)(y+2)(y+3)(y+4) + 1 a) c) e)

2

2

2

y +y+1 2 y +y+4 2 y +y+2

b) y + y + 3 2 d) y + y + 5

2

2

b) 2x 2 e) –3x

c) 3x

3. Señale el número de factores primos de: 4 4 2 2 (x+y) – (x–y) + 16 x y a) 1 d) 4

Colegios

132

TRILCE

16

a) 2x

16

b) 2 e) 5

16

32

16

16

b) 2x –2

16

16

16

c) 2 (x +y )

2. Señale el término cuadrático de un factor primo 3 2 de: (x + 2)(x – 4x + 4x) + 2x (x – 4) + 1 a) x 2 d) –2x

2

(x–y)(x+y)(x +y )...(x +y )+y +2x +1

2

e) 2y

d) 2(x +1)

16

5. Señale un término del factor primo de: 2 2

2

2

2

2

a (a +1)+b (b +1)+2ab(ab+1)+(a+b)(2a +2b ) a) a

3

b) 2a

d) a

2

e) b

2

c) 2b

2

3

c) 3

Central: 6198-100

Capítulo

27

Factorización III

Lectura: El arte de plantear ecuaciones El idioma de álgebra es la ecuación. "Para resolver un problema referente a números o relaciones abstractas de cantidades. Basta con traducir dicho problema, del inglés u otra lengua al idioma algebraico", escribió el gran Isaac Newton (*) en su manual de álgebra titulado Aritmética Universal. En otras palabras el álgebra es el idioma universal que traspasa lenguas y fronteras. Fuente: PROBLEMAS Y GENIALIDADES MATEMÁTICAS – YAKOV PERELMAN

(*) Al hablar de Sir Isaac Newton, no existe una faceta en la que podamos encasillarlo, entre el gran recorrido de su vida ha tenido roles como físico, filósofo, matemático, inventor, alquimista y científico. Su mayor logro y el porque es mayormente recordado es por la ley de la gravitación universal y las leyes de la mecánica clásica. FUENTE: www.cultura10.com/isaac-newton-y-sus-grandes-descubrimientos/

En este capítulo aprenderemos .. Método de las identidades .. Diferencia de cuadrados .. Reconocer la diferencia de cuadrados .. Transformar diferencia de cuadrados

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suma y diferencia

Primer año de secundaria

133

27

Capítulo

Síntesis teórica

FACTORIZACIÓN: MÉTODO IDENTIDADES

Diferencia de cuadrados

Reconocer: Diferencia de cuadrados

Factorización Diferencia de cuadrados Suma × diferencia

Colegios

134

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra Saberes previos 2

4. (x + 2)(x – 2)(x + 4)

• Efectuar: 2

2

1. (a + 5)(a – 6) 2

3

5

3

5

2. (a + b )(a – b ) 4

5. (2a + 1)(2a – 1)(4a + 1)

4

3. (3 – x )(x + 3)

Aplica lo comprendido 1. Factorizar: 2

a – 4y

14

2. Factorizar: x

10

– 4y

14

4. Factorizar: 4

(a+b) – z

4

5. Factorizar: 4

a – 625

3. Factorizar: 4

x –y

4

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Primer año de secundaria

135

27

Capítulo

Aprende más 1. Factorizar y señalar un factor: 2

2

x + y + 2xy – z a) x+y d) x–y+z

9. Señalar el número de factores primos:

2

2

b) x–y e) x–y–z

c) x+y+z

2

2

2. Señale un factor de: 4a – 12ab + 9b – c a) 2a+3b

b) 2a–3b

d) 2a–3b–c

e) 2a+3b–c

c) 2a+3b+c

a) 0

b) 1

d) 3

e) 4

b) x + z

d) 2x + z

e) x + 2z

c) x – 2z

b) 2x–z+1

2

c) 2x–z +1

2

a) 0

b) 1

d) 3

e)

2

c) 2

b) 2x+7 e) x+2

c) 2x–1

7. ¿Cuántos factores primos hay en la expresión: 2

P(x; y) = (9x – 4y )(x – 25 y ) b) 4 e) 1

b) 1

d) 5

e) 6

c) 4

12. Factorizar e indicar un factor primo: 4

2

2

2

8 2

2

b) x +2

2

c) x +z+2

2

d) x +z +2

e) x –z

2

primo

2

a) 2

2

2

2

4

4

P(x; y) = (36x – 25 y )(x – 4y )(x – 4y ); 2

c) 5

Indicar el número de factores primos. a) 1

b) 2

d) 6

e) 7

2

P(x; y) = 9x + 1 – 6x + 9z

Indicando el número de factores primos c) 3

c) 4

14. Factorizar: P(x) = x

14

2

– x – 6x – 9

Indicando el número de factores primos obtenidos: a) 1 d) 4

8. Factorizar:

b) 2 e) 5

2

13. Factorizar:

6. Factorizar: (x+2) – (2x+3) ; e indicar un factor

a) 1 d) 4

4

2

e) x+z

2

obtienen al factorizar:

a) x +z

2

5. Señale un factor de: 4x + 4x – 4z + 1

a) 3 d) 2

10. ¿Cuántos factores primos lineales (1er. grado) se

(x +4x +4) – z

2

2

e) 1

8

2

a) x – z

2

d) 5

c) 4

x – 16

e indicar un factor primo

a) 3x+5 d) x–1

b) 3

11. ¿Cuántos factores primos tiene:

c) 2

2

2

a) 2

4

4. Luego de factorizar: x – (x + z) ,

2

4

P(a; b) =a – b – a + b

(x+y)(x–y)+z(2y–z)

d) 2x –z +1

2

2

3. Sumar los coeficientes de un factor primo de:

a) 2x+2z+1

2

(a +b +2ab) – x

b) 2 e) 5

c) 3

15. Factorizar: 2

2

2

P(a; b; c) = 9a + 3a – 4b + 2b – c – c + 4bc Indicando un factor primo a) 3a + 2b – c

b) 3a – 2b + 8c

c) a – b + c

d) a + b + c

2

2

2

e) a – 2b + 4c

Colegios

136

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra Practica en casa 2

1. Factorizar: 2 2 2 x +49y z + 14xyz – 9

9. Factorizar: (5x + 3) – (3x – 5)

2. Factorizar: 2 2 23 9a + 25b – 30ab – (z )

10. Factorizar: 8 8 4 4 P(x, y) = x – y – x + y

3. Factorizar: 2 3 2 3 5 3 5 (x +y )(x –y ) + z (2y – z )

11. Factorizar: x +2xy+y – z

2

4. Sumar los factores primos de: (4a+7b)(4a–7b) – 3c (3c+14b)

2

2

12. Factorizar: 2 2 4 2 2 4 P(a, b,c) = a – 6ab +9b – b +4bc – 4c

5. Señale los factores primos de: 4 2 8 9x + 6x – 16 z + 1 6. Factorizar: 4x –(x + 5)

2

2

13. Factorizar: 2 2 2 2 4 4 P(x,y) = (49x –4y ) (x – 9y ) (x – 81y )

2

14. Factorizar: 10 2 P(x) = x – x – 10x – 25

7. Factorizar: 4 4 P(x,y) = x – y

15. Factorizar: 2 2 2 P(a,b,c)= 4x + 2x – 9y + 3y – z – z + 6yz

8. Factorizar: 2 2 2 2 P(x,y) = (25x – 4y ) (x – 36y )

Tú puedes 4. Factorizar y restar los factores primos: 4 4 a b + 64

1. Sumar los factores primos de: 4 2 2 4 4 4 x +6x y + 4y – x y – 1 2

2

2

a) 2(x +y ) 2

2

c) 2 (x +2y )

2

b) 2 (2x +y )

a) 2ab

d) 2xy

d) 8ab

2 2

e) 2x y

2

2

2

2

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 6ab

2 2

e) 2a b

5. Sumar los factores primos de: 6 5 4 x + 2x + x – 9

2. ¿Cuántos factores primos tiene: (a + b – c – 1) – 4 (ab+c)

b) 4ab

3

3

a) 2 (x – x)

2

3

c) 3

b) 2 (x +3) 2

c) 2 (x + x )

3

d) 2 (x +x)

e) 2 (x+1)

3. Señale la suma de coeficientes de un factor de: 2 (x+1)(x +2x)(x+3)+(1+z)(1–z) a) 2

b) 3

d) 5

e) 10

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c) 4

Primer año de secundaria

137

28

Capítulo

Repaso IV Repaso: El sentido de los números "Si la matemática fuera una ciencia, como la astronomía o la mineralogía, podríamos definir su objeto. Pero nadie ha podido ni podrá definirla. Inútilmente aplicaremos los occidentales, nuestro propio concepto científico del número, a la ciencia de que se ocupaban los matemáticos de Atenas y Bagdad. En verdad, el tema, el propósito y la metodología de la ciencia que en estas ciudades llevaba el nombre de matemática, eran muy diferentes de nuestra matemática. Porque no hay una sola matemática; hay muchas. Esto, que denominamos historia "de realización progresiva de un ideal una pluralidad de procesos un nacimiento repetido de distintos son incorporados, transfigurados elementos finales; un brote nada fija, una madurez, en suma una engañemos. El mundo antiguo creó El espíritu occidental, histórico, había poseía —pero exteriormente y sin asimilarla; mejorando —engañosamente— una realidad que en no le era adecuada.

la" matemática, suponiéndola una único e inmutable es, en realidad, cerrados entre sí, independientes; y nuevos mundos de la forma, que y, por último, analizados hasta sus más que orgánico, de duración decadencia y una muerte. No nos su matemática casi desde la nada. aprendido la matemática antigua, y la debió, pues, crear la suya modificando y el fondo aniquilaba la matemática euclidiana, que

Pitágoras llevó a cabo lo primero. Descartes, lo segundo. Pero los dos actos son, en el fondo, idénticos". Oswald Spengler "La decadencia de occidente

En este capítulo recordaremos División algebraica .. Método de Ruffini .. Esquema .. Regla .. Aplicaciones

Colegios

138

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra Saberes previos 1. Dada la siguiente división:

4. En la siguiente división: x3 − 7x2 + 5x + 2 x−2 Relacionar:

2x 4 − 2x3 + 7x2 − 4x + 6 x−5 Completar: El grado del polinomio dividendo es :

Polinomio divisor

A –8

El grado del polinomio divisor es

:

Polinomio cociente

B x–2

El grado del polinomio cociente es

:

Residuo

C x –7x +5x+2

Polinomio dividendo

D

2. Completa los recuadros en el siguiente esquema de división: 1

3

2

3 1

1

5. Si en una división sabemos que el dividendo es

–2 1

0

x +2x –5x+2, el cociente x –x–2 y el residuo

1

3

3. Completa los recuadros en el siguiente esquema de división: –8 1/5

7

1

–1 –2

1

2

2

8. Calcular el divisor

15 –5 –10

Aplica lo comprendido En los siguientes ejercicios, calcular el cociente y residuo: 1. Dividir: x3 + x2 + 2x − 2 ; x ! 1 x−1 2. Dividir: 4x3 − 5x2 + 3x − 3 ; x ! 1 x−1 3. Dividir 2x3 + 5x2 + 3x − 2 ; x ! − 1 x+1 4. Dividir: 2x3 + x2 − x + 1 ; x ! 2 x−2

6. Dividir 6x 4 − 4x3 + x2 + 10x − 2 ; x ! − 1 3x + 1 3 7. Dividir: 2x3 − x2 + 5x + 6 ; x ! − 1 2x + 1 2 8. Dividir: 6x 4 + 3x3 + x2 − 6x − 1 ; x ! 1 2x − 1 2 9. Dividir 3x 4 + x3 + 6x2 + 5x − 1 ; x ! − 1 3x + 1 3 10. Dividir 15x 4 − 8x3 − 9x2 + 7x + 1 ; x ! 1 5x − 1 5

5. Dividir: 2x3 + x2 − 5x + 2 ; x ! − 2 x+1

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Primer año de secundaria

139

28

Capítulo

Aprende más

4 3 1. Luego de dividir: 2x + 6x + x + 3 x+3 Indicar su cociente 3

a) 2x –1 3

d) x –1

3

3 4 9. Dividir: 40x − 2x + 8 − 128x , 2x + 1 cociente 3

b) x +1

c) x –3

3

3 2. Dividir: 2x − 3x + 1 , Indicar su cociente x+2 2

b) x –4x+5

2

2

d) 2x –4x+5

2

c) 2x –5 2

e) x +4x–5 4 3 3. Dividir: x + 5x − 9 x−3 E indicar el término independiente del cociente.

a) 72

b) 71

d) 75

e) 76

c) 73

5 4 4. Hallar el resto en: 8x + 16x − 5x + 9 x+2

a) 17 d) 20

b) 18 e) 21

c) 19

4 3 5. Hallar el residuo en: 5x + 16x − 8x + 2 x+3

a) –2 d) 1

b) –1 e) 2

2

b) 2x +4

2

e) 2x +5

d) 2x +3

2

2

c) 2x +7

2

7. Hallar la suma de coeficientes del cociente en: 8x 4 + 5x2 + 2x3 + 3x + 6 2x + 1 a) 4

b) 5

d) 7

e) 8

c) 6 2

8. Calcular el resto en: 27x + x − 6x + 15 3x − 1 a) 10

b) 13

d) 17

e) 19

Colegios

140

TRILCE

2

b) 64x –52x–27 2

d) 64x –52x+27

2

e) –64x +52x–27 2 4 3 10. Hallar el resto en: x − x − 6x + 6x + 3x ; x = 1 2x − 1 2

a) –1

b) –2

d) –4

e) –5

c) –3

11. Indica la suma de coeficientes del cociente luego de dividir: 3x3 + 52x − 63 − 32x2 −9 + x a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

12. Hallar "m", para que la división: 3x3 − 5x2 − x + m ; sea exacta: x−1 a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

14. Calcular (b – a) si la división: x 4 + 2x3 − 5x2 + ax + b ; es exacta: x+1 a) 3

b) 4

d) 6

e) 7

c) 5

15. Sabiendo que la división es exacta: 3x 4 − 2x3 − 5x2 + ax − 8 x−2 2

4

su

13. Determina el valor de "n", si la división presenta residuo nulo. 2x3 − 5x2 − 7x + (n − 6) x−3 a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20

c) 0

2 3 6. Al dividir: 4x + 2x + 3x + 6 ; x ! − 2 x+2 El cociente es:

a) 2x +1

2

c) 64x –27

e) 2x +1

a) 2x +4x–5

2

a) –64x +52x–27

Indicar

c) 15

Hallar: a +1 a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

Central: 6198-100

Álgebra 16. Calcula el producto de coeficientes del cociente de: 3 x 4 − 2x3 + 3 x2 − 5x + 7 − 3 x− 3 a) 4 b) 5 c) 6 d) 7

a) –5 d) –8

e) 8

17. Determina el valor de "m" para que el polinomio 3

2

P(x)=x –7x +5x+m–3, sea divisible por "x–1" a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

3

2

3 x − 8 x − ( 12 − 1) x − 6 x + m − 3 x− 6 Se obtiene residuo nulo. Hallar "m" a) 1 d) 4

b) –6 e) –9

c) –7

20. Hallar el residuo de la división: 5ax 4 − a2 x3 + 5x2 − 6ax + 2a ; x ! a 5x − a 5 Si la suma de coeficientes del cociente es (a–2)

18. Al dividir: 4

19. Si el residuo de dividir: 4x3 + 5x6 + αx + 4 ; x ! 1 x−1 es 6, hallar "a"

b) 2 e) 5

a) 0 d) –3

b) –1 e) –4

c) –2

c) 3

Practica en casa 1. Completar el siguiente diagrama de Ruffini 2

3

–5 9

–3 2

–3

6 12

7. Al dividir: 4x2 + 2x3 + 3x + 6 ; x ! − 2 x+2 Indicar su cociente

–2 12

3 2 2. Hallar el resto en: x − x + x − 30 ; x ! 2 x−2

4 3 3. Dividir: 2x + 2x − 14x − 5 ; x ! 3 x−3 E indicar el término independiente del cociente.

4 4. Hallar el residuo en: 3x − 5x + 2 ; x ! − 2 x+2

5. Hallar el resto de dividir: x9 + x 8 + x 2 + x + 1 ; x ! − 1 x+1

3 2 8. Hallar el resto en: 2x − 3x + x + 1 ; x ! 1 x−1

9. Dada la división exacta: 3x 4 − 2x3 + ax2 − x − 2 ; x ! 2 x−2

10. Hallar el resto de dividir: x9 + x 8 + x 2 + x + 1 ; x ! 1 x−1

11. Dada la división exacta: 3x3 − 2x2 − 15x − 18 ; x ! 3 x−3 2 Indicar el cociente disminuido en 3x +6

2 6. Hallar el residuo: 3x − 5x + 6 ; x ! 1 x−1

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Primer año de secundaria

141

28

Capítulo

12. Calcular el valor de "m", si la división: 2x3 − (m − 2) x2 + 5 es exacta; x ≠ –1 x+1

14. Dividir: 27x 4 − 6x2 + x + 15 ; x ! 1 3x − 1 3 Dar la suma de coeficientes del cociente.

13. Señala el resto en: 2 x 4 + x3 − 8 x2 + 2x + 32 ; x ! − 2 x+ 2

15. Indicar el residuo en: x 4 − 1 + 2 x 2 − 3x ; x ! − 2 x+2

Tú puedes 1. En la siguiente división:

4. Hallar el resto en la siguiente división:

x36 + x35 + x34 + ... + x + m x+1 Calcular el valor de "m" si el residuo es –6 a) –4 d) –7

b) –5 e) –8

c) –6

a) 6 d) 9

2. Al dividir: nx3 + n2 x2 − nx + n3 + n2 x+n+1 Se obtiene que la suma de coeficientes del cociente es igual a f(n). Calcular: f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(10) a) 383 d) 386

b) 384 e) 387

x5 + nx + 2 x−1 Sabiendo que la suma de coeficientes del cociente es 10.

c) 385

b) 7 e) 10

5. Halle el residuo en: x1001 − x700 + 2 x−1 a) 1 b) 2 d) 4 e) 5

c) 8

c) 3

3. Determinar el resto en: 6x8 + 4x5 + (n + 1) x2 − n 10x − 10 a) 10 d) 13

Colegios

142

TRILCE

b) 11 e) 14

c) 12

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Capítulo

29

Factorización IV Lectura: John Milnor obtiene el premio Abel de matemáticas Jhon Milnor matemático estadounidense, ha obtenido el premio Abel de matemáticas por sus "descubrimientos pioneros en topología, geometría y álgebra", según el acta del jurado. Oyvind Osterud, presidente de la Academia Noruega de Ciencias y Letras, entidad que creó el galardón como complemento a los actuales premios Nobel, lo ha anunciado hoy en Oslo. Dotado con seis millones de coronas, de euros, el premio Abel reconoce importancia e influencia a las desde 2003. Milnor, de 80 años, ha tenido conformar el escenario actual según el jurado, muestra rasgos una gran perspicacia, una vívida una belleza suprema. Un ejemplo de las esferas lisas exóticas en nacimiento de la topología En 1962, cuando solo tenía 31 medalla Fields, reservada para galardón de manos del rey Harald en de mayo.

equivalente a tres cuartos de millón aportaciones de extraordinaria ciencias matemáticas y se entrega precisamente gran influencia en de las matemáticas, y su trabajo, de la investigación de altura: imaginación, notables sorpresas y es su descubrimiento, inesperado, siete dimensiones, que señaló el diferencial. años, Milnor obtuvo la prestigiosa matemáticos jóvenes. Recibirá el una ceremonia en Oslo el próximo 24

Son numerosos los resultados, las conjeturas y los conceptos matemáticos que llevan el nombre de Milnor, por ejemplo, esferas exóticas de Milnor, fibraciones de Milnor, número de Milnor, teoría kneading de Milnor-Thurston y conjeturas de Milnor en la teoría de nudos, la teoría K, la teoría combinatoria de grupos y la dinámica holomórfica. Sin embargo, la importancia de la obra de Milnor va mucho más allá de los espectaculares resultados de su investigación. Ha escrito, además, libros sumamente influyentes que muchos consideran como modelos de excelente escritura matemática y también de divulgación. EL PAÍS - Madrid - 23/03/2011

En este capítulo aprenderemos .. Factorización por identidades – Suma de cubos – Diferencia de cubos .. Aspa simple

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Primer año de secundaria

143

29

Capítulo

Síntesis teórica

MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN

Aspa simple

Factorización por identidades

• Suma de cubos • Diferencia de cubos

Colegios

144

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra Saberes previos 4. (x–7)(x+1)

• Efectuar: 2

1. (x+2)(x – 2x+4)

3

6

3

5. (2x+3)(3x–5)

2. (a – 3)(a + 3a + 9)

3. (x+3)(x+5)

Aplica lo comprendido • Factorizar:

2

4. x – 10x + 24

3

1. x + 8

2

9

2. a – b

6

5. x – 3x –10

2

3. x + 3x + 2

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Primer año de secundaria

145

29

Capítulo

Aprende más 9. ¿Cuántos factores primos tiene:

1. Señale el factor primo repetido de: 3

3

6

6

a) a+1

b) a+2

c) a–2

3

d) a–1

e) a –1

3

2

a + b + a + ab + b 2

d) a–b+1

e) a+b

c) a–b–1

3. ¿Cuántos factores primos tiene:

e) 6

2

a) a+b

b) a+b+7

d) a–b+7

e) a–b–7

c) a+b–7

11. Sumar los factores primos de:

6

a – 64

4

2

4x – 17x + 4

a) 2

b) 3

d) 5

e) 6

c) 4

4. Factorizar y señale un factor: 6

3 3

4

b) a +ab+b

c) 2–ab+b

2

3

2

3

d) a +b +ab

3

e) a –b +1

3

a) a+b

b) a–b

d) a+b–ab

e) a+b+1

c) a+b+ab

a) 2

b) 3

d) 5

e) 6

2

c) 4

2

2 2

a) x–a

b) x+a

d) x+b

e) x–ab

c) x–b

14. Señale un factor primo de: 3

3

2

(4x +4x+1)(2x+1) – y – 8 – 6y – 12y a) 2x–y

b) 2x+y

d) 2x+y–1

e) 2x+y+1

c) 2x–y–1

2

2

(x +5x+6)(x –5x+6)(x –3x–10)(x +3x–10) b) 3x e) 6x

3

x (x+1) – 8 a) x+1

b) x–2

d) x+3

e) x–3

c) x–1

15. Sumar los factores lineales:

7. Sumar los factores primos de: a) 8x d) 5x

2

[x + ab] – [(a+b) x]

2

6. Indique un factor de:

2

e) 6x

(x – ab) – (a–b) x

2 2

a + b + ab (3a + 3b – a b )

2

d) 5x

c) 3x

13. Señale cuál no es un factor primo de:

5. Señale un factor de:

2

b) 4x

2

2

a) a–b

a) 2x

12. ¿Cuántos factores primos tiene:

4

a + b + 2a b + ab + a b

3

d) 5

c) 4

a + b + 2 (ab–a–b) – 35

b) a –ab+1

3

b) 3

2

2

a) a+b+1

6

a) 2

10. Indique un factor primo de:

2. Factorizar e indique un factor de: 3

3

x – 9x + 8

(a – 1)(a – 8)(a – 1)

c) 4x

6

4

3

2

a – 30a + 27a + 300a – 1000 a) 2a+3

b) 2a+1

d) 2a–1

e) 2a+5

c) 2a–3

8. Sumar 2 factores primos de: 2

2

2

(6x +19x+15)(10x +11x–6)(21x –26x+8) a) 2x+8

b) 2x+6

d) 3x+2

e) 5x+8

Colegios

146

TRILCE

c) 3x+1

Central: 6198-100

Álgebra Practica en casa 1. Factorizar: 3 2 (x + 8) + x – 2x + 4

8. Sumar los factores lineales de: 3 3 6 3 (a – 27)(a – 125)(a – 9a +8)

2. ¿Cuántos factores primos tiene: 7 6 x –a x

9. Sumar los factores primos de: 4 2 2 4 9x – 82 x y + 9y 10. ¿Cuántos factores primos tiene: 2 2 32 4 6 2 3 2 (x + a b ) – (a + b + 2a b ) x

3. Factorizar e indicar los factores primos: 6 6 3 3 4 4 x + y – 2x y – xy + x y

4

2

22

11. Factorizar: x – (2ax + a – b )

4. Factorizar: 3 3 2 2 x – y – xy (3x – 3y + x y )

2

4

2

24 4

12. Factorizar: (x – ab) – (a – b ) x

5. Factorizar: 2 3 2 (9x + 6x + 1)(3x + 1) – a – 125 – 15y – 75y 6. ¿Cuántos factores primos tiene: 3 3 3 x (x – 28) + 3

13. Sumar los factores primos de: 2

2

2

2

(x +15x–14)(x +9x+18)(x –10x+21)(x +11x–12) 14. ¿Cuántos factores lineales tiene: 3 3 3 3 x (x + a + b) + a b

7. Sume los factores primos de: 2 2 4x + 9y + 3y (4x – 5) – 2 (5x+7)

15. Factorizar: 2 (ax + bx + cx) – (ax + cx)(a+b+c) + ac

Tú puedes 4. Restar los factores primos de: 6 4 2 x + 7x + 2x + 6x + 7x + 1

1. Señale un factor primo: 2 2 6 (a+b) [(a+b) + (c +bc+ac)3] + x a) a+b+x d) a+b+c+x

b) a+b+x

2

2

c) a+x

e) b+x

b) 2 e) 2x

a) 2x d) 5x

b) 3x e) 6x

c) 4x

5. Sumar los coeficientes del factor trinomio: 3 6 9 2 3 x + y + z – 3xy z

2. Restar los factores de: 2 x (x+1) + a (2x + 1) + a + 10 a) 1 d) x

2

c) 3

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

3. Señale un factor de: 3 2 3 2 (a +1) x + (a+1) x – a (3x – 1) + a a) (a+1)x + a

b) ax–1

c) (a+1)x–a

d) x–a

e) ax+1 www.trilce.edu.pe

Primer año de secundaria

147

30

Capítulo

Factorización V Lectura: Paolo Ruffini (Valentano, 1765 - Módena, 1822) Matemático y médico italiano. Nacido en Valentano, ciudad que pertenecía entonces a los Estados Pontificios, cursó estudios de medicina en la Universidad de Módena, pero una vez finalizados se dedicó casi por entero a la investigación matemática. Desde 1787 ejerció la docencia como profesor de matemáticas en la Universidad de Módena. Ganó la cátedra de análisis de la escuela militar de esta ciudad, que hubo de abandonar en 1798 al ser expulsado por negarse a pronunciar el juramento de fidelidad a la República Cisalpina creada por Napoleón Bonaparte. Fue restituido en su puesto por las tropas austriacas un año más tarde. Tras recuperar sus dominios, el duque de Módena le nombró rector de la Universidad de Módena (1814), en la que ocupó las cátedras de clínica médica, medicina práctica y matemáticas aplicadas. Paolo Ruffini es conocido como el descubridor del llamado método de Ruffini que permite hallar los coeficientes del polinomio que resulta de la división de un polinomio cualquiera por el binomio x-a. Sin embargo, no fue ésta su mayor contribución al desarrollo de la matemática. Hacia 1805 elaboró una demostración de la imposibilidad de la solución general de las ecuaciones algebraicas de grados quinto y superiores, aunque cometió ciertas inexactitudes que serían corregidas por el matemático noruego Niels Henrik Abel. FUENTE: biografiasyvidas.com

En este capítulo aprenderemos .. Factorizar por divisores binomio .. Regla: .. Posibles ceros – Factor binomio – División Ruffini

Colegios

148

TRILCE

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Álgebra Síntesis teórica

MÉTODO DE LOS DIVISORES BINOMIOS

"ceros" del polinomio

Factor binomio

Aplicando Ruffini

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Primer año de secundaria

149

30

Capítulo

Saberes previos

1. Hallar el resto: 5

4

(x + 2x – 3x + 7) ÷ (x–1)

2. Hallar el resto: 3 4 (x +2x – 7) ÷ (x+2)

4. Hallar el cociente: 4

3

(x + 2x + 7) ÷ (x+3)

5. Hallar el cociente: 4

3

(x + 2x + 7) ÷ (x+3) 3. Hallar el cociente: 3 2 (x + 3x + 7x + 2) ÷ (x+1)

Aplica lo comprendido 1. Hallar los posibles valores que anulan al polinomio: 3 2 x + ax – 6

2. Hallar los posibles ceros de: 5 2 x + ax – 7x – 10

4. Si un polinomio se anula para x=–7, entonces un factor es:

5. Si un polinomio se anula para x=5 y x=–2, entonces dos de sus factores son:

3. Si un polinomio se anula para x=3, entonces un factor es:

Colegios

150

TRILCE

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Álgebra Aprende más 3

2

1. Señale un factor primo: x + 7x – 5x – 3 a) c) e)

2

2

x +x+1 2 x + 8x + 3 2 x + 8x – 3

b) x + 7x + 3 2 d) x + 5x + 3

2. Señale el término independiente de un factor 3

2

primo de: x – 5x + 11x + 17 a) –1 d) 16

b) –17 e) 15

9. Hallar el valor numérico de un factor primo de: 3

x – 13x – 12, para x=11 a) 7 d) 13

b) 9 e) 15

c) 14

10. Señale un factor primo de: 2

2

2(x+1)(x –x+1)+(1–x)(1+x+x )+x(8x+11)–23

c) 17

a) x–4

b) x–5

c) x+1

d) x+5

e) x+6

3. Señalar el factor primo de mayor grado: 3

11. Sumar los factores primos de: 2 2 2 x (x – 46) – 5 [` x + 2j + ` x − 2j ] 2 2 a) 3x+5 b) 3x–9 c) 3x–6

x – 5x + 12 2

2

a) x + 3x + 4

b) x +3x+5

c) x –3x–4

d) x +3x–5

2

2

2

e) x –3x+4

d) 3x–5

4. Sumar los coeficientes del factor primo no lineal: 3

2

x + x – 12 b) 4 e) 10

3

c) 7

Señale el otro factor primo:

b) 4x

5

d) 4x

2

e) 4x

4

c) 4x

6

2

d) x + 4x + 9

2

c) x – 4x – 1

13. Si (x–3) es un factor de: 3

2

x + (K+1)x – (5K+3) x – 7K – 1 Señale la suma de los otros dos factores primos.

3

de: x – 7x + 19x + 2 a) –x

2

e) –x + 2x – 1

6. Señale el término cuadrático de un factor primo 4

b) x – 4x – 1

2

2

3

2

a) x – 4x – 9

x + 3x – 2x – 9x – 2 a) 4x

2

ax + 3ax + 5x – 9; es (x–1)

5. Multiplicar los términos de un factor primo de: 4

12. Si un factor de: 3

a) 1 d) 9

e) 3x+6

2

d) –7x

b) –3x 2

e) x

2

c) –5x

2

2

a) 2x+5

b) 2x+6

d) 2x+4

e) 2x+8

c) 2x+7

14. Sumar los factores primos de: 2

7. Sumar los factores primos de: 3

2

x + 6x + 11x + 6 a) 3x+3 d) 3x+6

b) 3x+5 e) 3x+2

2

x (x+1)(x+2)+(x+3) – (x–3) – 30x + 12 c) 3x+4

a) 3x+2

b) 3x–2

d) 3x–3

e) 3x–1

c) 3x+3

15. Sumar los factores lineales de: 8. Sumar dos de los factores primos de: 3

2

x – 10x + 31x – 30 a) 2x+5

b) 2x–7

d) 2x–6

e) 2x

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c) 2x+7

6

4

2

x – 2x – 11x + 12 a) 2x

b) 3x

c) 4x

d) 2x–2

e) 2x+2

Primer año de secundaria

151

30

Capítulo

Practica en casa 3

2

3

2

3

2

1. Factorizar: x + 4x + 8x + 5

9. Hallar el valor numérico de un factor primo de: 3 2 x + x – 33x + 63, para x=13

2. Factorizar: x – 12x + 18 x – 7 10. Factorizar: 2 2 2 2(x–2)(x +2x+4) – (x+2)(x –2x+4)+(x–7) –49

3. Factorizar: x + 5x – 12 3

11. Factorizar:

4. Factorizar: x + 6x – 7 5. Sumar los coeficientes del factor no lineal de: 4

3

2

x + x + 3x + 10x + 7

3

6. Señale el término lineal de un factor de: 4

2 2 (x + 3)6x (x – 3) + 5@ + 3 ;` x + 1j + ` x – 1j E – 5 3 3

3

2

x – x – 5x – 6x + 11

3

2

13. Un factor de: x + (4K + 1) x + 13 Kx + 24 es (x+2), calcule los otros dos factores

7. Sumar los factores primos de: 3

2

12. Si un factor de: ax + 2ax + 11x – 3 es (x+1), señale el otro factor:

14. Hallar los factores lineales de: 6 4 2 x + 17x – 12x – 6

2

x + 10x – 13x – 22 8. Sumar los factores lineales de: 3

15. Sumar los factores primos de: 6 4 2 x – 14x + 49x – 36

2

x + 4x – 11x – 30

Tú puedes 1. Sumar los factores lineales de: 3 3 2 2 2 x (x–6) + 7x (x–6) + 11x – 66x + 5 a) 2x–1

b) 2x–3

d) 2x–7

e) 2x–9

c) 2x–6

2. Señale el factor repetido de: 3

2

2

x + 11x y + 40xy + 48y a) x+3y

b) x+y

d) x+4y

e) x+4y

4. Sumar los factores lineales: 7

6

5

4

3

2

x +6x +11x +6x +x +6x +11x+6 a) 3x+5

b) 2(3x+2)

d) 3x+5

e) 3(x+2)

c) 3(3x+2

5. ¿Cuántos factores cuadráticos tiene

3

x c) x+2y

2

36

+ 5x

a) 1 d) 4

24

+ 3x

12

–9

b) 2 e) 5

c) 3

3. Señale el factor cuadrático primo: 3 2 2 x – ax + x + a – a (x+1) 2

b) x –a

2

e) x +a

a) x +1 d) x +1–a Colegios

152

TRILCE

2

2

c) x +1+a

2

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Capítulo

31

Fracciones algebraicas I Lectura: Más sobre el papiro de Rhind En el Papiro de Ahmes, llamado así en honor del escriba que lo copiara alrededor del 1650 a C. (o Papiro Rhind, por quien lo comprara en 1858) aparecen las fracciones unitarias –de numerador 1– usadas por los egipcios junto con la fracción 2/3. Con ellas eran capaces de resolver muchísimos problemas. Por ejemplo: los seis primeros problemas del papiro consisten en efectuar el reparto de una, dos, seis, siete, ocho y nueve hogazas de pan entre 10 hombres. Veamos dos ejemplos de sus soluciones que nos darán ideas para completar las restantes: a) Divida un pan entre 10 hombres. Cada hombre recibe 1/10. Prueba: 1/10 1h 1/5 2h 1/3 1/15 4h 2/3 1/10 1/30, luego 10 hombres: 2/3 1/5 1/10 8h 1/30. Total 1 hogaza, lo cual es correcto. Divida 2 panes entre 10 hombres b) Cada hombre recibe 1/5. Prueba: 1/5 1h 1/3 1/5 2h 2/3 1/10 1/30 4h 1 2/3 1/10 1/30. Total 2 hogazas, lo cual es correcto 8h FUENTE: http:/www.gpdmatematica.org.ar/publicaciones/fraccionesmodulo2.pdf

En este capítulo aprenderemos .. Definición del mínimo común múltiplo de dos o más polinomios. .. Definición del máximo común divisor de sos o más polinomios. .. Definición de la fracción algebraica. .. Clasificación – Fracciones algebraicas homogéneas. – Fracciones algebraicas heterogéneas. .. Simplificación de fracciones algebraicas. .. Fracciones algebraicas irreductibles.

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Primer año de secundaria

153

31

Capítulo

Síntesis teórica

FRACCIONES ALGEBRAICAS I

Conceptos preliminares

Mínimo Común Múltiplo (MCM)

Los polinomios deben estar factorizados

Máximo Común Divisor (MCD)

Fracciones homogéneas Clasificación Fracciones heterogéneas Fracciones algebraicas N (x) ; existe si D(x) ≠ 0 D (x)

Simplificación

Fracciones irreductibles

Colegios

154

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra Saberes previos 2

3

2

4. Factorizar: S(x) = x – 9x + 26 x – 24

1. Factorizar: P(x) = 3x – ax 2

2. Factorizar: Q(x) = x – 36 3

5. Factorizar: M(a; b) = a + 8b

2

3

3. Factorizar: R(x) = x –3x – 4

Aplica lo comprendido 1. Dados los monomios: M(x)=x

4. Indique cual de las siguientes expresiones son fracciones algebraicas::

8

N(x) = x

P(x) = x − 4 x

4

Hallar el MCM(M; N) y MCD(M; N)

Q(a) = m − 3 a

2. Dados los monomios: 4 3 M(x; y) = x y 5 2 P(x; y) = x y 3 Q(x; y) = x y Hallar el MCM(P; M; Q) y MCD(P; M, Q)

a2 + y2 5

S(x; y) =

5. Simplificar: 2 R (x) = x2 − 25 x + 5x

3. Dados los polinomios: P(x) = x(x–3) + 4 (x–3) 2 Q(x) = x – 9 Hallar el MCD(P; Q)

Aprende más 1. Sean los polinomios: 6 4 P(x) = x (x–1) 4 8 Q(x) = x (x–1) Halle el MCM de P y Q a) x(x–1) 6

d) x (x–1)

8

3. Sean los polinomios: 2

R(x) = x –16 2

b) x (x–1)

6

4

4

6

e) x (x–1)

4

c) x (x–1)

8

7

9

5

6

S(x) = x . (x+2) Hallar el MCD de P y S a) x (x+2)

7

6

b) x (x+2)

5

6

5

9

5

6

d) x (x+2)

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e) x (x+2)

a) x+4 d) x–1

b) x–4 e) x–8

c) x+1

4. Sean los polinomios: R(x) = 2x+1 S(x) = x–3 Halle el MCD y MCM de R y S, respectivamente:

2. Sean lo polinomios: P(x) = x . (x+2)

S(x) = x +5x+4 Hallar el MCD de R y S

7

c) x (x+2)

2

a) 1; 2x +5x–3 2

c) –1; 2x +5x–3

2

b) 0; 2x –x+3 2

d) 1; 2x –5x+3

2

e) 1; 2x +2x–1

Primer año de secundaria

155

31

Capítulo

5. Indique la alternativa que contenga una fracción algebraica: a) x + 5 103

b) x + 4 2 2 x +5 e) x3

2 d) x + 5 x

c) x − 3 4

6. ¿Cuál es la condición para "x" tal que la fracción algebraica: F (x) = x + 3 , se encuentre bien definida 2x − 4 a) x=2 c) x=4 b) x≠2 e) x=3 d) x≠4 7. Simplificar: a) 1 –1 d) 4

x+5 2x + 10 b) e)

–1

2 –1 5

c) 3

–1

4x − y + 3z 8x − 2y + 6z b) 1/3 c) 1/4 e) 1/6

8. Simplificar: F (x; y) = a) 1/2 d) 1/5

3x + 3y 5x − 5y 9. Simplificar: T (x; y) = − x+y x−y a) –1 b) –2 c) –3 d) –4 e) –5 10. Reducir: E (x) = 2x − 8 x−4 x−4 a) 1 b) 2 d) 4 e) 5

c) 3

x2 − y2 +y x+y 11. Reducir: F (x; y) = 3x –1 –1 a) 2 b) 3 –1 –1 d) 4 e) 6

c) 4

–1

2 12. Simplificar: x −23x − 4 x −1 Luego, indique la suma del numerador y el denominador de la fracción irreductible.

a) x–5 d) 2x–3

b) 2x–4 e) 2x–6

c) 2x–5

2 13. Reducir: T (x) = e x2 – 9 – 3 – 4x o x x x – 3x 2 a) x b) 3x c) x d) 4x e) 5x

14. Sin importar que valor numérico tomen la variables de la siguiente fracción algebraica: mx2 + by2 + p 2x 2 + 3y 2 + 5

F (x; y) =

Ésta siempre se reduce a 2. Halle el valor de m+n+p. a) 5 d) 25

b) 10 e) 30

c) 20

x3 − 6x2 + 11x − 6 + 5x x−1 15. Simplificar: 3x2 + 18 –1

–1

a) 2 –1 d) 6

b) 3 –1 e) 7

c) 5

–1

Practica en casa 1. Sean: 7 9 3 P(x; y; z) = x y z 3 10 8 Q(x; y; z) = x y z Calcule: MCM MCD

4. Calcule el valor que no debe tomar "x" para que la fracción algebraica: F(x) = x x+3

5. Simplificar:

x 2 − 7x x 2 − 6x − 7

2. Indique que fracción es algebraica (x!5; x!–6) x + 7 ; x − 2 ; 5x − 3 x−5 x+6 2−1

6. Sean: 7

5

P(x) = x (x+1) (x–2) 3. ¿Qué fracción hay que extraer para que las fracciones sean homogéneas x ; x−1 ; 5 ; 2 x − 2 −2 + x x − 2 2 − x Colegios

156

TRILCE

4

4

6

Q(x) = x (x+1) (x–2)

y

8

Halle: MCM MCD

Central: 6198-100

Álgebra 7. Sean: F(x)= x − 7 ; G(x) = 2 x+3 5−x Indique qué valor debe tomar "x" para que las fracciones sean homogéneas.

12. Sean: 5

4

A(x) = (x+3) (x+7) (x–2) 6

B(x) = (x+3) (x+7)(x+2)

9

3

Si el MCD de los polinomios A(x); B(x) es: m

4

2

8. Simplificar: x 3(x − 8x + 15) , x ! 0; 5; –3 x (x − 5) (x + 3)

2 9. Simplificar: x2 − 25 ; x ! 0, 5 x − 5x

10. Simplificar: (x + 3) (x + 6) (x − 5) (x − 8) ; x ! − 6; 5; − 8; − 3 (x − 5) (x + 8) (x + 6) (x + 3)

n–4

13. Indique el valor de "x" que hace que las fracciones: x +1 ; x − 1 , sean homogéneas x (x − 2) + 5 x (x − 3) + 9

2 14. Simplificar: x −2 5x − 6 , x ≠ 0,6 x − 6x

15. Luego de simplificar: x (x − 3) F(x) = (x − 3) (x + 5)

11. Halle el MCM de los polinomios: n m+5

n

(x+3) (x+7) , calcule: E = m+n

m–3

G(x) = (x − 7) (x − 5) ; x ! − 5, 3, 7 (x + 5) (x − 7)

P(x; y) = x y (x+1) (y–3) n+3 m+2 n–2 m–7 Q(x; y) = x y (x+1) (y–3)

Halle el MCD de los denominadores

Tú puedes mx + ny , se 12x + 3y reduce a una constante para cualquier valor que tomen sus variables. Hallar el valor de: m + 1 n a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

1. Si la fracción algebraica: F (x; y) =

2. Simplificar:

a 4 + 4 − 2 ; a 2 − 1E a−1 (a − 1) 2 + 1

a) a 4 d) a

3

b) a e) –a

c) a

2

3. Simplificar: (x > 0) 1 E = `1 + 1 j`1 + 1 j`1 + 1 j .... `1 + x x+1 x+2 x + 100 j a) c) e)

–1

x (x+1) –1 x (x–1) –1 x (x+102)

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4. Simplificar: (a ≠ ±b) E = c 2 a + b 2 mc 2 a − b 2 m a + 2ab + b a − 2ab + b a) (a –b )

2

2 –2

b) (a –b )

2

24

e) (a –b )

d) (a –b )

2

2 –3

2

2 –1

2

2 –2

c) (a –b )

a 4 + a2 + 1 − a2 − 1 2 5. Reducir: a − a 2+ 1 (a + 1) − (a − 1) 2 a) 2

–1

b) 3

–1

d) 5

–1

e) 6

–1

c) 4

–1

–1

b) x (x+101) –1 d) x (x+100)

Primer año de secundaria

157

32

Capítulo

Fracciones algebraicas II Lectura: ¿Por qué no todos los números son enteros? En la matemática las fracciones o números racionales surgen como necesidad de ampliación del campo numérico de los números enteros. Los números enteros no dan solución a la ecuación: bx=a, donde b es distinto de cero, cuando a no es múltiplo de b. Por ejemplo, en las ecuaciones: 3x=5(1) o 2x=7(2), no se encontrará ningún valor para "x" que las satisfaga que sea entero. Se expresa entonces el valor de x como una fracción de la forma a/b (5/3 o 2/7 para nuestros ejemplos), siendo a y b un par de números enteros (naturales para nuestro estudio) con b distinto de cero. Dos o más fracciones que resultan solución de una misma ecuación se denominan equivalentes y se conviene que definen el mismo número racional. Por ejemplo, para la ecuación (1) las fracciones 10/6 o 15/9 resultan equivalentes a 5/3, qué es el número racional representante de esa clase de fracciones equivalentes, mientras que 2/7 será el número racional que representa la clase de fracciones equivalentes con él, por ejemplo: 4/14; 10/35; 1000/3500; etc. (Como representantes de las clases de fracciones equivalentes se eligen las fracciones irreductibles, es decir que no pueden simplificarse) FUENTE: http://www.godmatematica.org.ar/publicaciones/fraccionesmodulo2.pdf

En este capítulo aprenderemos .. Suma de fracciones algebraicas: homogéneas heterogéneas .. Diferencia de fracciones algebraicas homogéneas heterogéneas

Colegios

158

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra Síntesis teórica

FRACCIONES ALGEBRAICAS II

Adición de fracciones algebraicas

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Sustracción de fracciones algebraicas

Primer año de secundaria

159

32

Capítulo

Saberes previos 4. Indique que fracción de las dadas a continuación es algebraica:

1. Efectuar: 2x+6 – (7x+2)

F(x) = x 3

2. Reducir: 5 (x–2)–3(x–2) x − 1; x son fracciones homogénea. x+2 x+a Halle "a".

3. Si:

2 Q(m) = m a

E(x; y) = x y 5. Sumar: x + 10 − x 5 5

Aplica lo comprendido 1. Calcular: 5 + x + 3 − x ; x ! 0 x x

4. Sumar: x + 2 + x + 2 ; (x ≠ –2) x−5 5−x

2. Calcular: x + 3 − x − 6 ; x ! 0 x x 5. Calcular:

x + 2 ; (x ≠ –2) x+2 x+2

4. Efectuar:

2 + 3 ; x!!1 x−1 x+1

3. Luego de sumar: 1 − 1 ; Indicar el numerador x x+1 (x ≠ 0; –1)

Aprende más 1. Reducir: x + 5 + x + 1 ; x ! − 3 x+3 x+3 a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

2. Reducir: 2x2 + 5 − x2+ 3 ; x ! ! 2 x −4 x −4 a) (x–2) d) x–2

–1

–2

b) (x–2) 3 e) (x–2)

Colegios

160

TRILCE

b) –2 e) –5

b) 5x2 − 1 x −1

d) x + 1 5x

e)

5. Calcular:

1 +x x+5

c) 5x2 + 1 x −1

5x x2 − 1

2

c) x –2

3. Calcular: x − 4 − 5 + 4x ; x ! 3 x+3 x+3 a) –1 d) –4

a) x − 1 x

c) –3

2 a) x + 5 x+5

2 b) x + 5x + 1 x+5

2 d) x + 1 x+5

2 e) x + 10 x+5

2 c) x − 5x + 1 x+5

Central: 6198-100

Álgebra 6. Sumar: x + 1 con x − 1 ; x ! ! 1 x−1 x+1 2x 2 x2 − 1 d) 22x x −1 a)

2 b) 2 (x2 + 1) x −1

11. Calcular: x2 − 2 + (x − 21) (x − 4) ; x ! 0 ; 2, 4 x − 4x x − 2x c)

2x 2 x −1

2 e) 2 (x2 − 2) x −1

12. Reducir:

7. Reducir: x + 1 + x + 2 − 3 + 2x ; x ! 5 x−5 x−5 x−5 a) 0

b) x

d) x–5

e)

c) –x

x x−5

b) 2 e) 5

c) 3

b) x + 1 3 e) 3 + x 3

b) 8 e) 20

2x2 − 50 − 10x ; x ! ! 5, 0 x (x + 5) x2 − 25

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

a) 1 d) –2

c) 3

b) –1 e) 3 –1

c)

c) 2

–1 –1

. (a+b)

(a ≠ 0 ∧ b ≠ 0) x x+1

10. Si se cumple que: A + B = 8 x − 2 ; x ! 1, − 2 x + 2 x − 1 x2 + x − 2 Hallar: A . B a) 4 d) 16

c) 3

14. Calcular: E = (a +b )

9. Efectuar: 3 + x − 1 ; x ! 1, 0 x x−1 x−1 a) 3 x d) 3 + x x

b) 2 e) 5

2 13. Reducir: ax2 + a2 + 2ax + 2x x −a x − ax a − x

8. Efectuar: x + 8 − 5 + x + x − 7 ; x ! 4 x−4 x−4 x−4 a) 1 d) 4

a) 1 d) 4

c) 12

a) a d) a

b) ab 2

e) ab

c) b 2

15. Calcular: 1 1 −1 1 x 2 − 2x ` x − 1 + x + 1j + 2x − 2x a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

Practica en casa 1. Calcular: 3 − x + 2x − 3 ; x ! 0 x x 2. Calcular: 5 − x − 5 ; x ! 0 x x 3. Efectuar: 1 − 1 ; x ! 0 x x 2 2 4. Efectuar: x + 7 + 7 + x ; x ! 3 3−x x−3

5. Reducir:

x 2 + x ; x ! 0, − 1 x2 + x x2 + x

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6. Reducir: 2x + 10 + x + 11 ; x ! − 7 x+7 x+7

7. Efectuar: x − 2 + 1 ; x ! − 1 x+1

8. Efectuar: x + 2 − x − 2 ; x ! ! 2 x−2 x+2

9. Si se cumple: A + B = 5 x − 1 ; x ! − 1, 2 x + 1 x − 2 x2 − x − 2 Hallar: A.B

Primer año de secundaria

161

32

Capítulo

10. Reducir:

13. Reducir:

x + 1 − 5 ; x ! 5, − 2 x−5 x+2 x−5

a2 + b2 + b a (a + b) b (a + b) a

donde a+b ≠ 0 ∧ a, b ≠ 0

11. Reducir:

14. Calcular:

2x − 3 + 6 − x − x + 3 ; x2+x–1 ! 0 x + x − 1 x2 + x − 1 x + x2 − 1 2

12. Calcular:

2 (a − 1 + b − 1) (a − 1 . b − 1) ( a + ab ) − 1 a a

15. Reducir:

3

4x + 12x2 − 36 ; x ! ! 3, 0 x (x + 3) x −9

1 1 − 1 x 2 − x 4x + x 2 ` x − 2 − x + 2 j − 4 + 4x

2

Tú puedes 1. Calcular la suma de fracciones algebraicas: 2x + 3y − 6z x (y − x) − 5z + 6z − 3y − 2x 5z + x (x − y) a) –3 d) 1

b) –2 e) 2

x −x 4. Si: F(x) = 5 − 5 2 Calcular: F (x) F (2x)

c) –1

x

2. Luego de reducir las fracciones algebraicas: x 2 + x + 1 − x 2 + 2 + 2x − 1 2x 2 + x 2x 2 − x − 1 x 2 − x Indicar la suma denominador a) x+1 d) x+2

del

b) x+3 e) x+4

numerador

c) x+5

3. Sumar: S = 1 + 1 + 1 + .... + 21 2 6 12 n +n Donde n ∈ N n n+1 d) n n−1 a)

Colegios

162

TRILCE

b) n + 1 n e) n − 1 n

con

–x –1

–x

x –1

x

–x –1

a) (5 +5 )

b) (5 –5 )

c) 5

–x

d) (5 –5 )

e) 5

x

el 5. Si: 1 = 1 − 1 ; x, y, z ! 0 z y x Calcular:

E=

a) x d) –1

x − z − xz x − y y − z y2 b) 0 e) y

c) 1

c) 1

Central: 6198-100

Capítulo

33

Fracciones algebraicas III Lectura: Algoritmo de la división Dividir fracciones resulta dificultoso si el dividendo no es múltiplo exacto del divisor y la regla "La división de dos fracciones se transforma en una multiplicación al invertir la segunda" es muy útil, pero es necesario conocer en qué propiedades se apoya: Para justificar el hecho de que se invierte el divisor existen varios caminos. Por ejemplo: El Algoritmo de la división Transformar ambas fracciones en equivalentes de igual denominador. De esta forma se obtiene un entero o unidad común para ambas fracciones y por lo tanto la relación de división se reduce a dividir los numeradores entre sí. Ejemplos: • Sea dividir 7/12 : 1/12, esto puede ser pensado como ¿cuántas veces cabe un doceavo en 7 doceavos? La respuesta es 7 y proviene de dividir 7 : 1/12 : 12 = 7/1 = 7.

68794 57 19 54 5

7 9827

• Sea 3/5 : 2/3 = 9/15 : 10/15 = 9/10 (usando un razonamiento similar en este caso, pero como el cociente de numeradores no es entero se deja indicado con una fracción). En general: a/b : c/d = ad/bd : bc/bd=ad : bc/bd : bd = ad : bc = ad/bc. (lo que responde a la regla citada en un comienzo) FUENTE: http//www.gpdmatematica. orga.ar/publicaciones/fraccionesmodulo2.pdf

En este capítulo aprenderemos .. Multiplicación de fracciones algebraicas. .. División de fracciones algebraicas.

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Primer año de secundaria

163

33

Capítulo

Síntesis teórica

FRACCIONES ALGEBRAICAS III

Multiplicación

Colegios

164

TRILCE

División

Central: 6198-100

Álgebra Saberes previos 1. Simplificar: x2+ 1 ; x ! ! 1 x −1

−1 4. Simplificar: ` x − 2 j` x − 2 j x x

2 2. Simplificar: x + 5x ; x ! − 5 x+5

3. Efectuar:

5. Sumar: 1 + 1 x

x − 5 x−8 x−8

Aplica lo comprendido 1. Multiplicar: x . x+1 y x+2

4. Dividir: x ' x+5 x+5 x−6

2. Multiplicar: x . x+1 x−1 x+2

5. Dividir: 1 x 3 x

3. Multiplicar: x − 1 . 2x x−3 x+1

Aprende más 1. Efectuar: E = ` x + 1j`1 + 3 j : x ! − 1, 2 x+1 x−2 a) x + 1 x−2 d)

x x−2

b) 2x + 1 x−2 e)

c) x + 2 x−1

2x x−2

2

b) x

d) 2x

e) x–2

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a) x − 1 x d) x − 1 x−3

b) x − 1 x+1 e) x − 1 x+3

c) x + 3 x−1

x . x + 1 ; x ! 1, 2 x−1 x−2 B (x) = x + 1 . x x−1 x−2 Determinar: A (x) B (x)

4. Sean: A (x) =

2 2 2. Reducir: x − 4 . x − 25 + 10 − 3x x−5 x+2

a) x

3. Dividir: x − 2 ' x − 2 x+3 x−1

c) x

3

a) 1

b) 2

c) x

d) –x

e) x+1

Primer año de secundaria

165

33

Capítulo

1 ; x ! 0, − 1 1 + x− 1

5. Efectuar: a) x + 1 x x d) − 1 x

x x+1 e) x − 1 x+1 b)

c)

x x−1

11. Efectuar: c

1 1+ 1 x y

6. Efectuar:

a)

x+y xy

b)

x+y x

d)

xy x+y

e)

x x+y

c)

y x+y

d) x − 1 x+1

e) x − 1 x+2

>

1 x+y

1 −

a) y d) 4y

9. Reducir:

1 x−y

1 ' x+1

1−

c)

x x−1

2 + x #4 2y H

b) 2y e) 5y

a) 1 d) –x

b) x e) x+1

13. Calcular: b) x + 1 x−1

c) 3y

1

1−

a) x d) 0

1 1+ 1 x

c) 1

−x

b) x–1 e) –x

c) 1

14. Si: a+b+c=0 Calcule: a+b + b+c a + c b + a # (a + c) # (a + b) c2 + ab a) 1 d) –c

b) –1 e) a

c) –b

x + 1+ x − 1 15. Reducir: x − 1 x + 1 − 1 1−x − 1+x 1+x 1−x

1 x+1 x

b) 2 e) 3

c) 3

1+ 1 x +1 1 x + 12. Calcular: x+1 –1

x x+1

8. Reducir:

a) 1 d) x

c) ab

x+y + x m ' (x + y) 1 + xy − 1 b) 2 e) y

a) x d) 2x

1+ 1 x 7. Calcular: 1 1− x a)

a−b +1 a 10. Reducir: + b ' a−b a+b −1 a+b a−b a) a/b b) a/2 d) b/a e) 1/b

c) x

2 a) (x + 1) 2x 2 d) (x − 1) 2x

b) x − 1 2x 2 e) (x + 2) 2x

c) x + 1 2x

Practica en casa 4. Dividir:

2. Multiplicar: x − 1 . x + 2 ; x ! 0 x x

x 3 5. Dividir: ; x ! 0, 1 x x−1

3. Multiplicar:

Colegios

166

x ' x−1; x!2 x−2 x−2

5 1. Multiplicar: x3 . x ; y ! 0 y y

TRILCE

5x . x − 2 3x + 1 x + 2

2 2 6. Calcular: x − 9 . x − 4 ; x ! 3, − 2 x+2 x−3

Central: 6198-100

Álgebra 7. Dividir: x − 11 ' x ; x ! − 5 x+5 x+5

−1

−1 12. Calcular: c 1 + x m x

x x 8. Dividir: + 1 ; x ! 0, − 1 x

9. Calcular:

13. Reducir:

1 ; x ! 0, 1 1−1 x

10. Sean: A(x) = x + 1 . x−5 x B(x) = − 7 . x−5

1− 1 x +1 x 1 − 14. Efectuar: ; x ! 0, 1 x− 1

x−7 x−1 x+1 ; x−1

x ! 5, 1 −1

−1 −1 15. Reducir: c 1 − a m − ^1 − a − 1h a

Calcular: A ÷ B

11. Reducir:

; x ≠ {0, –1}

1− 1 x ; x ! 0, − 1 1+ 1 x

Tú puedes 1. Si: aK =S aaa....a ; bK =S bbb....b K digitos

K digitos

Calcular: a b a b a b 4 c 1 + 2 + ... + 100 mc 1 + 2 + ..... + 100 m b1 b2 b100 a1 a2 a100

a) 5 d) 1000

b) 10 e) 200

c) 100

2 2 2. Reducir: (3a + 2b) 2 − (3a − 2b) 2 (2a + 3b) − (2a − 3b) a) 1 b) 2 d) 4 e) 5

c) 3

3. De la expresión: 1 x =1 + 1 1+ 1+ 1 1+ 1

4. Si: x = a + 1 ; y = ab + a ab + 1 ab + 1 x+y−1 Calcule: x−y+1 a) a

b) b

d) 1

e) 2

c) a+b

a + 1 2 3a + 3 ` 3a − 1j − 3a − 1 − 4 5. Calcular: R = 2 3 ` a + 1 j − 13a + 13 + 4 3a − 1 3a − 1 a) 1

b) a

d) 3a

e) –1

c) 2a

...

Se puede afirmar que: 2

b) x –x+1=0

2

d) x –1=0

a) x –x–1=0 c) x +x+1=0

2 2

2

e) x +2x–1=0

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Primer año de secundaria

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