Algebra y Geometria - Eugenio Hernandez - By Priale

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Algebra y geometría

EUGENIO HERNÁNDEZ Facultad de Ciencias Universidad A u tón o m a de M a d rid

UNIVERSIDAD DE LA REPUBLICA F A C U L T A D DE IN G E N IE R IA ÜPTO. DE DOCUMENTACION Y BIBLIOTECA BIBLIOTECA CENTRAL Ing. Edo. García de Züñiga

MONTEVIDEO - URUGUAY No. de Entrada 0 5 2 7 9 1

ADDISON-WESLEY/UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE MADRID A rgentin a • Brasil • C h ile • C olom b ia Ecuador • España • Estados U nidos • M é x ic o Perú • Puerto R ic o • Venezuela

i

Copublicación de Addison-Wesley Iberoamericana, S. A. y la Universidad Autónoma de Madrid

INDICE 1: R E S O L U C IO N DE S IS T E M A S D E E C U A C IO N E S L IN E A L E S . O P E R A C IO N E S C O N M A T R IC E S .................................................................................................................................

C a p it u l o

1.1. 1.2. 1.3. 1.4. C a p ít u l o

2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2 .6 . C a p ít u l o

3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. C a p ít u l o

4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5.

© 1994 por A D D IS O N -W E S L E Y IB E R O A M E R IC A N A , S. A . Wilmington, Delaware, E.U.A.

Reservados todos los derechos.

C a p ít u l o

5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. C a p ít u l o

6.1 .

«N o está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento infor­ mático ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright.»

6.2. 6.3. 6.4. 6.5.

ISB N 0-201-62586-5

10 22 35 50

2: D E T E R M IN A N T E S Y SUS A P L I C A C I O N E S ............................................................. Determinantes de matrices de orden 2 y 3 .......................................................................... D efinición general de determinante. P ro p ie d a d e s ............................................................... Determinante de un producto de matrices. Cálculo de determinantes de orden n .......... Inversa de una matriz. Regla de C r a m e r .............................................................................. R ango de una matriz. Resolución de sistemas compatibles e indeterm inados................ Determinantes y permutaciones ...........................................................................................

63 64 72 93 103

111 j 23

3: L A G E O M E T R IA D E L P L A N O Y D E L E S P A C IO ................................................... Rectas en un plano ................................................................................................................ Rectas y planos en el e sp a cio ................................................................................................. Distancias y ángulo. Producto escalar .................................................................................. Figuras en el plano y en el e s p a c io ....................................................................................... Areas y volúmenes. Producto vectorial ................................................................................

1 79

4: LO S N U M E R O S C O M P L E J O S ...................................................................................... Los números com plejos y sus p ro p ie d a d e s .......................................................................... Formas trigonom étrica y polar de un número c o m p le jo .................................................... Raíces de números c o m p le jo s ............................................................................................... Resolución de ecuaciones algebraicas.................................................................................... Ejercicios de álgebra lineal con números c o m p le jo s ...........................................................

196 201 206 210 215

5: E SPAC IO S V E C T O R IA L E S ............................................................................................ D efinición de espacio vectorial. E je m p lo s ............................................................................ Base y dimensión de un espacio v e c to ria l............................................................................ Cam bio de base ...................................................................................................................... Subespacios vectoriales. Intersección y suma de subespacios vectoriales ......................... Variedades lineales. Espacio a f ín ...........................................................................................

217 217 222 231 237 244

6 : A P L IC A C IO N E S L IN E A L E S E N T R E E S P A C IO S V E C T O R I A L E S ......................... D efinición de aplicación lineal. E je m p lo s ............................................................................ M atriz de una aplicación lineal. Operaciones con aplicaciones lineales .......................... Cam bio de base para aplicaciones lineales .......................................................................... Aplicaciones lineales inyectivas y suprayectivas. Núcleo y rango de una aplicación lin e a l. El espacio dual de un espacio v e c to r ia l................................................................................

249 249 254 261 268 279

129

1 30 141 154 168

1 95

7.1.

7: V A L O R E S Y V E C T O R E S P R O P IO S . F O R M A D E J O R D A N ................................... Introducción .............................................................................................................................

283 283

7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 7.6.

Subespacios invariantes. Valores y vectores propio de una aplicación lin e a l................... Form a de Jordán de matrices de orden 2 ............................................................................ Form a de Jordán de matrices de orden 3 ............................................................................ Aplicaciones lineales y subespacios invariantes .................................................................. Teorem a de clasificación de J o r d á n .....................................................................................

285 300 307 314 3j8

C a p ít u l o

Impreso en Estados Unidos de América. Printecl in U.S.A.

9

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales: m étodo de elim inación de Gauss ......... Rango de una matriz. Estructura de las soluciones de unsistem a ...................................... Aplicaciones lineales de IR n en I R m y operaciones con m a trices....................................... Inversa de una aplicación e inversa de una m a t r iz .............................................................

4 5 6 7 8 9 10-MA-00 99 98 97 96

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D o c tm E w tA O u w M n M - r iM .r . , C -

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^ -J O T E C A

Indice

6

Obtención de la form a de Jordan de una m a tr iz .................................................................. Form a de Jordan real de matrices reales con autovalores c o m p le jo s ................................... El teorema de Cayley-H am ilton .............................................................................................

327 335 342

E JE R C IC IO S D E R E P A S O : C A P IT U L O S 1 A 7 .................................................................................

349

1.1.

7.8. 7.9.

C a p í t u l o 8: E SPAC IO S IT ( ' I . I I ) I O S ...................................................................................................

8.1. 8.2. 8.3. 8.4. 8.5. 8 .6 . 8.7. 8 .8 . 8.9.

357

D efinición de espacio euclideo. E je m p lo s .............................................................................. Longitudes, áreas y ortogonalidad ......................................................................................... Bases ortonormales en un espacio euclideo .......................................................................... C om plem ento ortogonal. P ro y e c c io n e s ................................................................................. Adjunta de una a p lic a c ió n ....................................................................................................... Aplicaciones autoadjuntas ....................................................................................................... Aplicaciones ortogonales: parte I ........................................................................................... Aplicaciones ortogonales: parte I I ........................................................................................... Estructura de las aplicaciones lineales no singulares.............................................................

357 360 365 370 382 385 389 397 406

C a p í t u l o 9: E SPAC IO S H E R M IT IC O S .................................................................................................

411 411 411

9.1. 9.2. C a p ít u l o

10.1. 10.2. 10.3. 10.4. 10.5.

Producto hermítico .................................................................................................................. Aplicaciones entre espacios hermíticos .................................................................................. 10: M O V IM IE N T O S E N U N E S P A C IO A F IN E U C L ID E O . M O V IM IE N T O S E N iKi2 Transformaciones afines. Ejemplos ....................................................................................... M ovim ientos en el plano ........................................................................................................ Estudio analítico de los m ovim ientos en í ¡2 .......................................................................... M ovim ientos en el e s p a c io ...................................................................................................... M ovim ientos en IB3. E jem p lo s .................................................................................................

426 432 440 452 459

C a p í t u l o 11: SEC CIO NE S C O N I C A S ...................................................................................................

475 475 477 479 484 490 498 500 511 517 521

11.1. 11.2. 11.3. 11.4. 11.5. 11.6. 11.7. 1 1 .8 . 11.9. 11.10.

D efin icion es............................................................................................................................... La circunferencia y alguna de sus propiedades .................................................................... La elipse y la h ip é rb o la ................................._......................................................................... Nu eva definición de las secciones canónicas: la elipse, la hipérbola y la p a r á b o la .......... Ecuaciones de las cónicas en un sistema de coordenadas cartesian o................................. Determ inación de las cónicas ................................................................................................. Determ inación del tipo de una c ó n ic a ................................................................................... invariantes de las cónicas y reducción a su form a c a n ó n ic a ............................................... Determ inación del centro y de los ejes principales de una cónica con c e n tr o .................. Determ inación del vértice y del eje de una parábola ...........................................................

C a p í t u l o 12: F O R M A S B IL IN E A L E S Y C U A D R A T IC A S

............................................................... D efin icion es................................................................................................................................ Formas bilineales y cuadráticas en un espacio e u c líd e o ...................................................... Ley de inercia de las formas cuadráticas ................................................................................ Formas cuadráticas definidas. Puntos críticos de funciones de varias variables .............. Diagonalización simultánea de formas cuadráticas..............................................................

527 527 533 536 539 546

C a p i t u l o 13: S U PE R FIC IE S DE S E G U N D O G R A D O .......................................................................

Clasificación de las superficies de segundo grado ................................................................ Invariantes de las superficies de segundo grado en F¿3 ......................................................... Determinación de los elementos geométricos de algunas cuádricas................................... Notas a d ic io n a le s ...................................................................................................................... 1. El hiperboloide de una hoja com o superficie reglada .................................................. 2. Clasificación de las cuádricas cuando A = 0 y 8 = 0 ......................................................

559 560 571 579 584 584 586

E JER CICIO S DE R E P A S O : C A P IT U L O S 8 A 13 .............................................................................. S O L U C IO N E S . ......................................................................................................................................... IN D IC E A L F A B E T IC O ...........................................................................................................................

593 601 633

12.1. 12.2. 12.3. 12.4. 12.5.

13.1. 13.2. 13.3. 13.4.

PROLOGO

an vn siD A D D i la fa c u lt a d

■ R IA

T Ì F P ^ DOCUMENTACION V « B U O T K A MONTEVIDEO - URUGUAY

L a matemática no es un deporte para espectadores; el lector debe acercarse a este texto con un lapicero en su mano y un papel a su lado, para verificar con sus propios razonamientos y su espíritu crítico las afirmaciones que contiene. De la misma manera que lograr un nivel adecuado en el juego del tenis requiere tiempo y práctica, y conseguir tocar cualquier pieza de música clásica requiere esfuerzo, re­ compensado por la belleza que su música proporciona, la matemática es una ciencia cuyo aprendizaje requiere esfuerzo y práctica y cuya recompensa se alcanza por la ele­ gancia con la que permite resolver problemas propios y de otras Ciencias. Esperamos que el lector se esfuerce en comprender los conceptos y resultados que se exponen en este libro, porque ellos son la base para poder apreciar posteriormente varias de las aportaciones que la Ciencia ha dado a la humanidad a través de los tiem­ pos y de manera especial en este siglo x x . Este libro ha surgido de las clases de Á lgeb ra y Geometría impartidas durante varios años a los alumnos de primer curso de las licenciaturas de Ciencias Físicas y Ciencias Matemáticas en la Universidad Autónom a de M adrid. H a crecido con la colaboración de varios colegas del Departamento de Matemáticas de la citada Universidad; unos apor­ tando soluciones para la mejor exposición de algunas lecciones; otros mejorando ideas ya plasmadas en papel; otros, finalmente, corrigiendo varias versiones del manuscrito. A todos ellos agradezco su desinteresada aportación en la elaboración de este libro. En él se ha pretendido seguir un esquema que permita al lector adivinar los resulta­ dos e intuir su demostración: para ello se dan varios ejemplos antes de enunciar un re­ sultado y aportar las razones convincentes que lo demuestran. Estas razones son pura­ mente geométricas cuando ello ha sido posible, como en la demostración de las propie­ dades de las secciones cónicas (capítulo 11) o en la clasificación de los m ovim ientos en el plano (capítulo 10). Ejemplos de aplicaciones se dan en varias ocasiones después de haber concluido la demostración de un importante resultado. Con todo ello se intenta lograr una partici­ pación activa del lector en el descubrimiento de las ideas principales de cada capítulo, a la vez que la oportunidad para que vaya comprobando su nivel de conocimientos. Este nivel de conocimientos puede comprobarse también intentando solucionar los numerosos problemas que se proponen al final de casi todas las secciones y de aquellos que, a m odo de repaso, se incluyen despúés de los capítulos 7 y 13. El com pleto apren­ dizaje de las teorías matemáticas se consigue después de haber resuelto numerosos ejer-

Prólogo

8

CAPITULO 1

cicios. El lector debe intentar resolverlos todos, con la seguridad de que estos intentos, aunque sean fallidos, le proporcionarán grandes beneficios. De muchos de los problemas se incluyen los resultados al final del libro. L a elabora­ ción de estos resultados ha contado con la participación de varios Ayudantes del D e­ partamento de Matemáticas, a quienes también agradezco su contribución.

RESOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. OPERACIONES CON MATRICES

Las Rozas de M adrid A go sto de 1987 /

1.1.

R e s o lu c ió n d e sistem as de ecu aciones lineales: m é to d o de e lim in a ció n de G au ss

1.2.

R a n g o de una m atriz. E structu ra de las solu cion es de un sistem a

1.3.

A p lic a c io n e s lineales de IR" en IRm y o p era cio n es co n m atrices

1.4.

In versa d e una a p lica ció n e in versa de una m a triz

Este capítulo está dedicado a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales; el problema geom étrico más sencillo en el cual surge la necesidad de resolver sistemas de ecuaciones lineales es el de conocer la intersección de dos rectas en el plano. Así, por ejemplo, los números que satisfacen el sistema x+_y = 2') 3x — y = 2 J determinan el punto de intersección de las rectas x + y = 2 y 3 x — y = 2, represen­ tadas en la figura 1.1.

9

Algebra y Geometría

10

Es posible que el lector esté familiarizado con la resolución de sistemas de ecuaciones lineales com o el anterior utilizando uno cualquiera de los siguientes métodos: 1)

M étodo de eliminación, que consiste en realizar «operaciones» con las ecuaciones dadas hasta eliminar una de las incógnitas.

2)

M étodo de sustitución, que consiste en despejar una incógnita de una de las ecuaciones y sustituirla en la otra.

3)

M éto do de Cramer o de los determinantes, que consiste en encontrar las soluciones del sistema anterior com o un cociente de dos determinantes.

Capítulo 1

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Operaciones con matrices

que nos permite obtener sistema dado. Nota. Observar com probar siempre valores encontrados E j e m p l o B.

11

fácilmente el par de números (1, 1), que es solución del que x = l, y = 1 satisfacen ambas ecuaciones; el lector debe que el resultado obtenido es correcto sustituyendo los en el sistema dado.

Tratem os de resolver el sistema

x x + 3x2 + x 3= — 3 3 x1+ 9x2 + 4 x3= — 7

D e todos estos métodos el que resulta menos engorroso cuando se trata de resolver sistemas de un gran número de incógnitas es el m étodo de eliminación, que recibe el nombre de método de eliminación de Gauss (Cari Friedrich Gauss fue uno de los más prestigiosos matemáticos de comienzos del siglo XIX). Comenzaremos exponiendo este m étodo seguidamente.

1.1.

R E S O L U C IO N D E S IS T E M A S D E E C U A C IO N E S L IN E A L E S : M E T O D O D E E L IM IN A C IO N D E G AU SS E j e m p l o A.

Tratem os de resolver el sistema x + ;y = 2 j

2x j — x 2 + x 3 = 6

de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas. Comenzamos eliminando Xj de las ecuaciones segunda y tercera; esto se consigue multiplicando por 3 la primera ecuación y restándola de la segunda y multiplicando por 2 la primera ecuación y restándola de la tercera. Realizando estas operaciones, el sistema anterior se transforma en x l + 3x2 +

— 7x2 —

— 3'

x

3=

x

3= 2

x

3=

12

Intercambiando las ecuaciones segunda y tercera se obtiene:

3 x —y = 2j x ! + 3x2 + x 3 = — 3 de dos ecuaciones con dos incógnitas; una solución de este sistema es un par de números (a, b) que satisface las dos ecuaciones simultáneamente. El primer paso es multiplicar por 3 la primera ecuación y restarla de la segunda para obtener el sistema x+ y=

21

-4 y = -4 j A continuación dividimos entre —4 (o bien multiplicamos por —¿) la segunda ecuación para obtener el sistema

i

— 7x 2 —- x x 3 = 12 x

3= 2

A continuación eliminamos x 3 de la primera y la segunda de las ecuaciones restando la tercera de la primera y sumando la tercera y la'segunda. Obtenemos

Xi + 3x2 = — 5' — 7x2 = 14

x 3= 2 x + ^ 2 -) 3>=1J

Multiplicando por —^ la segunda ecuación se obtiene:

Restando la segunda ecuación de la primera se obtiene x j + 3x2 = — 51 x= 1

x

y= i

x 3= 2

2=

- 2 >

J

12

Algebra y Geometría

Finalmente, eliminamos x 2 de la primera ecuación multiplicando por 3 la segunda y restándola de la primera; obtenemos:

Capítulo 1

13

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Operaciones con matrices

L a matriz

/. *i = l]

4

3

¡l

x 2 = —2

\2

x 3 = 2|

Sumar o restar un múltiplo de una ecuación a otra.

0

3 -7

0 0

0

\°

/l ü)

3

1

—3 \ 12 2 /

-Ü5F,~F3 f ;+f>

121

1

11

- 5\ 14

2I

i) -ÌF,

0

0

3 1

0

O

3a + 9b + 3c = 3(a + 3b + c) = 3( — 3) = - 9

Ii

—3 ^ 2

7

o

N o resulta complicado com probar que las operaciones elementales transforman un sistema en otro equivalente. P o r ejemplo, si (a, b, c) es solución de x 1+ 3x2 + x 3= —3, también es solución de 3 x ! + 9 x 2 + 3x3 = —9, ya que

1

o

iii)

3

o

-7

M ultiplicar una ecuación por un número real no nulo. Intercambiar dos ecuaciones.

ai) F2-3F¡ F3-2F,

o

i) ii)

/l

- A

o

El lector se preguntará la razón por la que el m étodo utilizado produce la solución del sistema. La respuesta es que las «op era cio n es» realizadas con las ecuaciones transforman un sistema en otro equivalente, es decir que tiene las mismas soluciones. Recapitulemos las operaciones realizadas en los ejemplos anteriores que, de ahora en adelante, serán llamadas operaciones elementales:

1

*

1 •-J

*

O

*

1

1—6 + 2 = —3; 3 — 18 + 8 = —7; 2 + 2 + 2 = 6.

1

Comprobación.

recibe el nombre de matriz de los coeficientes del sistema y la matriz anterior recibe el nombre de matriz ampliada del sistema. En ésta, la línea vertical separa la matriz de los coeficientes de los términos independientes. U tilizando la matriz ampliada del sistema e indicando con /), ii) o iii) las operacio­ nes elementales que se realizan sobre las filas de la matriz, de acuerdo con las operaciones elementales que se realizan sobre las ecuaciones, el ejem plo B puede resumirse de la siguiente manera:

0

que nos da la solución (1, —2, 2) del sistema.

- 5\

¡a)

-2

2I

i

F,-3F2

/l

0

0

0

1

0

1°

0

1

L a última matriz es la matriz del sistema X¡ = 1

D e manera similar, si (a, b, c) es también solución de 3 x í + 9 x 2 + 4 x3 = —7, cinco ve­ ces la ecuación x 1+ 3x2 + x 3= — 3 más la ecuación 3 x1+ 9x2 + 4 x3 = — 7 nos da

x 2= —2 x

3= 2

8 xx + 2 4 x 2 + 9x3= —22 que nos da las soluciones. que tiene (a, b, c) com o solución, ya que

EJEMPLO C.

Para resolver el sistema

8a + 24b + 9c = (5a + 15b + 5c) + (3a + 9ft + 4c) = 5( — 3) —7 = —22. Resumiendo, podemos decir que el m étodo de eliminación de Gauss consiste en reducir un sistema dado a otro equivalente, lo más sencillo posible, mediante operacio­ nes elementales. Puede observarse que la repetición de las incógnitas y de los signos + en los ejemplos anteriores es innecesaria. Si eliminamos estos símbolos en el ejemplo B, el sistema queda reducido a la siguiente ordenación rectangular, que llamaremos matriz: 3

1

-3\

9

4

-7

-1

1

6I

XÍ + 3X 2-X 3 + X 4 X 1 ' — 2 x t + x 2 + 2x 3 = 7 x 2—x 4 = 0

de tres ecuaciones con cuatro incógnitas escribim os la m atriz del sistema y la reducimos a la más sencilla posible mediante operaciones elementales. El lector no tendrá dificultad en seguir los pasos realizados.

1

1 3 -1 2 -2 1 0

1

1

0 7 0 -1 °i

iii) F2+2F,

/ . 3 -1 0 7 0 Io

1

1

2 9 -i 0 -1 »/

Algebra ^ Geometría

Capítulo 1

/I

3

0

1

0

lo

0

0

T o d a matriz que posee estas propiedades será denominada una matriz escalonada. E l método de eliminación de Gauss consiste entonces en reducir la matriz de un sistema dado a una matriz escalonada mediante operaciones elementales.

14

1

-1

3

0

1

0

0

7

0

1 -1 2

l\

/I ¡a)

0

F3 —7F2

9/

3

-1

1

0

1

0

lo

0

0

-1 9

1^ i)

0

¡¡F>

9¡

-1

1 -1 1

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Operaciones con matrices

E j e m p l o D. m) Fi -F 3 F2 + F3

/1

3

-1

0

0

1

0

0

1

\0

0

0

1

li

°\

iii) F,-3F2*

/I

0

0

1

\0

0

-1

0

-3 \

0

0

1

0

1

1/

15

Para resolver el sistema Xi —x 2 + x 3 = 1 2 x 1+ x 2 + x 3 = 0

2x¡ — 2 x 2 + 2 x 3 = 3

Esta última matriz corresponde al sistema

escribimos su m atriz ampliada y la transformamos mediante operaciones elementales hasta reducirla a una matriz escalonada:

x i - x 3= - 3 x 2= 1

/1

XA= 1

2 \2

Claramente x 2 = 1 y x 4 = l , pero de la primera ecuación no pueden encontrarse x ¡ y x 3; simplemente, dado un valor, c, a x 3 se obtiene un valor x x = — 3 + c para x ¡ y las soluciones del sistema son:

-1

1 1

1 -2

2

1\

0 3/

ai) Fi~ 2Fi F3-2F, ll

iii) f¡ + f

Xj = — 3 + c x 2= 1

0

2

lo

0

1 0

-1

/I

3

0

2/3 -1 /3

-2

-1

0

\0

1\

1

0

/I ¡)

li /I

1/3\

0

0

lo

Fi +ÍFj

li

Esta última matriz corresponde al sistema +(2/3) x 3 = 0 x 2- (1 / 3 )

o bien ( — 3 + c, 1, c, 1), para todo número real c. Este sistema tiene infinitas soluciones que se obtienen dando valores a c. ¡Realizar la comprobación!

\o 0

1 0

- 1 /3

0

2/3 -1 / 3 0

0\

1\ - 2 /3

li

x 3= 0

OQ O ¡y «

/I

0

¡¡Ll \0

0

1

o

-3 \

o

o

1

o

1

1/

Jj

< « Q

Cada peldaño tiene altura uno.

o

CTi

C i ( ")

Observación. El proceso que se sigue al aplicar a un sistema particular el m étodo de eliminación de Gauss no es único, com o el lector habrá podido com probar si ha intentado realizar por su cuenta alguno de los ejemplos C o D. Sin embargo, la matriz escalonada de un sistema dado es única, ya que produce las soluciones del sistema. La demostración completa de este resultado no es sencilla.

A continuación damos algunas definiciones relativas a los sistemas hasta ahora estudiados. U na expresión de la forma

2)

D ebajo de la escalera todos los elementos de la matriz son

3)

En cada esquina de un peldaño

cero.

4)

T o d a columna que contiene un 1en una esquina de un peldaño tiene todos los demás elementos nulos.

aparece el número 1.

* : ;c s M u O < > t B « h g Z S c 2

a

O

1)

E -• O H k < 0, W Q

0=1

r -

Estas dos matrices tienen en común que por ellas puede trazarse una «escalera descendente» tal que:

o < 3 O PQ C

0

que, obviamente, no tiene solución, ya que 0 # 1.

Las dos matrices finales de los ejemplos B y C pueden escribirse de la forma

u

8

Q < Q( I— W

x 3= c x 4= 1

1

0

----1

iii)

-2 / 3

0

íf T*

1

-1

a u X i + a l2x 2 + ■■■ + alax H= b l a21x 1 + a22x 2-l------\-a2nXn= b2

+ ^m2*2 + ' " +

1

(I)

Algebra >> Geometría

16

donde los a¡j son números reales, se denomina un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas. Una solución de (I) son n números (s^ s2, ..., s„) tal que al sustituir x¡ por Sj se obtiene una igualdad en todas las ecuaciones del sistema. Si el sistema posee al menos una solución se dice que es compatible y si no posee ninguna solución se dice que es incompatible; si un sistema es compatible y tiene una única solución se dice que es determinado y si tiene más de una solución se dice que es indeterminado. Los sistemas de los ejemplos A, B y C son compatibles, mientras que el del ejemplo D es incompatible. En los casos de compatibilidad, el del ejemplo C es indeterminado y los sistemas de los ejemplos A y B son determinados. L os distintos casos que pueden presentarse en un sistema quedan caracterizados por la matriz escalonada que se obtiene en cada sistema. Recordemos que x! + 2x2= 0 )

1/

-1 /

5. 3.

2 x 1+ x 2 =

Dem ostrar que el sistema

Resolver los siguientes sistemas mediante el m étodo de eliminación de Gauss: a u x 1

a 12x 2 = 0

^21-^1 "I" ^22-*2 = 0 es compatible indeterminado si y sólo si

a

11a 22 -

a l

2a 21 = 0 .

f

Algebra >’ Geometria

22

1.2.

R A N G O D E U N A M A T R IZ . E S T R U C T U R A D E L A S S O L U C IO N E S D E U N S IS T E M A

En la sección anterior se observó que el núm ero de peldaños de la m atriz escalonada de un sistema es importante para determinar la compatibilidad o incom pa­ tibilidad de un sistema. En esta sección se relacionará este número con el importante concepto de rango de una matriz. Además, se estudiará la estructura de las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales. En los ejemplos de la sección anterior se ha observado que las soluciones de un

Capítulo 1

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Operaciones con matrices

23

Las definiciones que daremos con vectores no dependen de la notación que se utilice para representarlos. En este texto aparecerán las dos notaciones indistintamente. A l resolver un sistema por el m étodo de eliminación de Gauss se han realizado ciertas operaciones con los vectores fila de su matriz ampliada, que recibían el nombre de operaciones elementales. Estas operaciones son la suma de vectores: a + V = (al ,a 2, ..., an) + (b u b2, ..., bn) = ( a l + b 1,a 2 + b2, ..., a„ + b„) y la multiplicación de un vector par un número real c:

sistema pueden escribirse de la forma

/

c a = c { a u a2, ..., a„) = (ca[, ca2, ..., can)

(Ol, Ü2< —» an) donde a u a2, ..., a„ son números reales. U n elemento de esta forma recibe el nombre de vector y se denota por 7 t = ( a lt a2,

a„)

Los números reales a ¡ , j = 1, 2,..., n, reciben el nombre de componentes del vector a; at se denomina primera componente, a2 segunda componente, y así sucesivamente. El vector . "0 es el vector cuyas componentes son todas nulas. D os vectores 7 í = ( a 1, a2, ..., a„) y b = (&i, b2, b n) son iguales, y escribiremos a = B, cuando a1= b 1, a2 = b2, ..., an= bn. L o s vectores no sólo aparecen com o soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, sino que también aparecen en las filas o en las columnas de una matriz, en cuyo caso reciben el nombre de vectores fila o vectores columna de la matriz. P o r

Las operaciones con vectores poseen las siguientes propiedades, que se dejan com o ejercicio para el lector: ( S ¡)

a + b = V + ' a (conmutativa)

(5 2)

( 3 + 1 } ) + ~ c = ~ a + ( £ + 7 ) (asociativa)

(5 3)

7 3 + a = a + 73= 7?

(54)

a + ( —a) = ( - a ) + a = "0, donde ( —a) = ( —l)a

UNIVERSID AD DB L A REFU&LICA FA C u iT,\r> c r DEPARTA MENTO DOCUMENTACION Y BIBLIOTECA MONTEVIDEO - UR UG UAY

(M j) c ( a + b ) = c a + c b ( M 2) (c 4- d)~a = c a + d a ( M 3) c(da) = (cdja

(MJ m=s

ejemplo, la matriz Nota.

1 2 2 -1

1 2

0

l\

El vector ( —«') = ( — \)a se denomina opuesto de a.

D ado un conjunto de vectores { a u a 2, ..., a s}, una expresión de la forma

3 0 -1

dí a l + d 2a 2 H------\-d^is

tiene com o vectores fila