Álgebra y Funciones II
March 14, 2023 | Author: Anonymous | Category: N/A
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GRUPOS DE ESTUDIO PROGRAMA MENTORING
LIBRO Nº3
Matemática Libro 3 GRUPOS DE ESTUDIO - MENTORING
ÁLGEBRA Y FUNCIONES II Nombre
Curso Profesor
MATEM TICAS
PROGRAMA MENTORING
GEPM- LIBRO N°3
LIBRO 3: ÁLGEBRA Y FUNCIONES II
CONTENIDOS ECUACIÓN DE PRIMER GRADO - PLANTEAMIENTOS
-
-
ECUACIÓN DE LA RECTA
SISTEMA DE ECUACIONES - INECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES
-
-
VARIABLE DEPENDIENTE E INDEPENDIENTE
-
IMAGEN Y PRE IMAGEN
-
EVALUACIÓN DE FUNCIONES
-
FUNCIÓN COMPUESTA
-
DOMINIO Y RECORRIDO
-
FUNCIÓN INYECTIVA, EPIYECTIVA Y BIYECTIVA
-
FUNCIÓN INVERSA
-
-
FUNCIÓN LINEAL, RELACIÓN DIRECTA ENTRE VARIABLE FUNCIÓN AFÍN Y FUNCIÓN PARTE ENTERA
-
EJERCICIOS ADICIONALES
-
RESPUESTAS EJERCICIOS ADICIONALES ADICIONALES
Página 2
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GEPM- LIBRO N°3 ECUACIÓN DE PRIMER GRADO GRADO
Una ecuación de primer grado o grado o lineal lineal,, es aquella que es susceptible de llevar a la forma ax + b = 0, donde a y b son números reales y x es la incógnita. OBSERVACIÓN
Las ecuaciones equivalentes son equivalentes son aquellas que tienen el mismo conjunto solución.
EJEMPLOS 1.
¿Cuál(es) de las siguientes ecuaciones es (son) de primer grado? I)
1 x -
= 5 1 2
II) x = 4 III) x + x-2 = 0
2.
Encuentre el valor de x en la ecuación 4x – 12 = 0
3.
Encuentre el valor de x en la ecuación x2 + 2x = (x + 2) 2
4.
La raíz o solución de la ecuación 2x + 4 = 24 es 24 es A) B) C) D) E)
14 10 4 0 -4
Página 3
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5.
Si 6 – 2x = 14, entonces x2 es igual a A) -16 B) -4 C) 4 D) 10 E) 16
6.
En la ecuación 3x + 6k – 9 = 0, ¿cuál debe ser el valor de k para que la solución sea x = -1? A) B) C) D) E)
7.
-4 -2 -1 2 4
¿Cuál(es) d dee las siguientes ecuaciones es (son) equivalente(s) a 2x = 6? I) x – 2 = 4 II) 2 – x = -4 III) 3x = 9 A) B) C) D) E)
8.
Solo I Solo II Solo III Solo II y III I, II y III
El conjunto solución de la ecuación 4x – 4 = 12 es A) B) C) D) E)
{16} {12} {8} {4} {2}
RESPUESTAS: 1. 1. Solo Solo I Página 4
2. 2. 3 3
3. 3. -2
4. 4. B
5. 5. E
6. 6. D
7. 7. C
8. 8. D
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ECUACIÓN CON COEFICIENTES LITERALES LITERALES Es una ecuación que además de la incógnita tiene otras letras que representan valores constantes.
EJEMPLOS 1.
Si ax + b = 3, con a 0 y b 0, entonces x entonces x es es igual a
2.
Si bx – 5 = -bx, con b 0, entonces x es igual a
3.
Si ax – 2 = bx – 4, con
4.
Si a(x – b) = x + b, con a ≠ 1, entonces x es igual a
a b,
entonces x es igual a
A) b b(a 1) a b a f C) a b(a + 1) D) a 1 E) b(a 1) a +1
B)
5.
El valor de p en la ecuación en x, 2x – p = px – 2, con x > 0 es A) B) C) D)
-1 2 x – 1 x+1
E) Página 5
x 2
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6.
Si 6(x – 6) = m(x – m) y m = -1, entonces x es igual a A) 5 B) 1 5 C) 7
D) -1 E) -5 7.
En la ecuación mx + 9 = m2 – 3x, con m > 0, entonces x = = A) B) C) D) E)
8.
m – 3 m+3 -3 3 -3 y 3
Si 2D = T(A + C), entonces C = = A)
2D + TA T
B) 2DT – A 2D A T D) TA 2D T E) 2D TA T
C)
RESPUESTAS: 1. 1. x = Página 6
3 a b
5 2. 2. 2b
3. 3. a -2 b
4. D 4. D
5. 5. B
6. 6. A A
7. 7. A A
8. 8. E E
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ECUACIONES FRACCIONARIAS Una ecuación es fraccionaria cuando alguno de sus términos o todos tienen denominadores no nulos y distintos de uno. Para resolver este tipo de ecuaciones se aplica el siguiente método:
Multiplicar los miembros de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores que aparecen. Efectuar las operaciones indicadas en los paréntesis. Agregar y reducir términos en los miembros de la igualdad. Colocar los términos en x en un miembro y los numéricos en o otro. tro. Resolver la ecuación equivalente de primer grado obtenida. Comprobar el resultado con la ecuación dada.
EJEMPLOS 1.
¿Cuál es el valor de x en la ecuación
3x 5 = x ? 2
2.
¿Cuál es el valor de x en la ecuación
2 = 1 ? x+3
3.
Si
4.
En la ecuación A) B) C) D) E)
x 3 – 2x
= 5, entonces x – 1 es igual a
6 x 4 + = , x 2 2 x x 2
-2 -1 0 2 La ecuación no tiene solución.
Página 7
el valor de x es
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5.
GEPM- LIBRO N°3 ¿Cuál es el conjunto solución de la ecuación
-4 x – 1 x+4
= 0?
A) lR - {-4} B) {-2} C) {0} D) E) lR
6.
Dada la ecuación
1 1 1 + = , a b c
con a b c 0, entonces ¿cuál(es) de las siguientes
ecuaciones es (son) siempre verdadera(s)? bc b c ac b= a c
I)
a=
II) III) A) B) C) D) E)
7.
c=
ab a b
Solo I Solo II Solo I y II Solo I y III I, II y III
¿Cuál es el conjunto solución de la ecuación
A) B) C) D) E)
2 5x 4 + 2(x + 1) = 2x + 5 x ? 5
{0} {-2} {5} lR
RESPUESTAS: 1. 1. 5 Página 8
2. 2. -1
3. 3. -4
4. 4. E
5. 5. A
6. 6. C
7. 7. D
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ANÁLISIS DE LAS SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO El número de soluciones de la ecuación ax + b = 0 depende de los valores de a y b. Se pueden dar tres casos: Caso 1: Si 1: Si a 0 la ecuación tiene SOLUCIÓN ÚNICA. Caso 2: Si 2: Si a = 0 y b = 0 la ecuación tiene INFINITAS SOLUCIONES. Caso 3: 3: Si a = 0 y b 0 la ecuación NO TIENE SOLUCIÓN. EJEMPLOS 1.
¿Qué valor(es) debe tener p para
que la ecuación en x,
7 2
x – px = 3 –
x 2
tenga
solución única? única?
2.
¿Qué condición debe cumplir el parámetro m para que la ecuación en x, mx + m = 2x + 2, tenga infinitas soluciones? soluciones?
3.
¿Qué condición debe cumplir el parámetro p para que la ecuación en x, px 1 4x p , no tenga solución? solución?
4.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) La ecuación, 2x + 1 = 3x + 2, tiene solución única. II) La ecuación, 4x + 5 = (x + 2) + (3x + 2) no tiene solución. III) La ecuación, 2x + 2 = 2(x + 1) tiene infinitas soluciones. A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) y III E) Solo I, II yIIIII
Página 9
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5.
Dada la ecuación (a - 1) · x + b = 0, 0 , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) Si a = 1, la ecuación tiene infinitas soluciones. II) Si a 1, la ecuación tiene solución única. III) Si b = 0, la ecuación no tiene solución. A) B) C) D) E)
6.
Para que valor de p, la ecuación
A) B) C) D) E)
7.
Solo II I Solo I y II Solo II y III I, II y III
2 x = p , x+4
no tiene no tiene solución
-1 0 1 2 3
En la ecuación qx + 3 = 2a, ¿qué 2a, ¿qué condición debe cumplir q para que la ecuación en x, tenga solución única? A) B) C) D) E)
q 3 q -2a q 2a q 0 q 1
RESPUESTAS: 1. 1. p 4 Página 10
2. 2. m = 2
3. 3. p = 4
4. 4. E
5. 5. B
6. 6. A
7. 7. D
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ECUACIÓN CON VALOR ABSOLUTO ax
+ b = c c
Con a, b, c coeficientes c coeficientes reales, a 0. 0. Si c 0, 0, se se resuelve por medio de la definición de valor absoluto. Es decir: ax + b = c c ax + b = -c OBSERVACIONES:
Si c < 0, 0, la ecuación no tiene solución. x2
= x
EJEMPLOS 1.
¿Cuáles son las soluciones de la ecuación 2x + 5 = 1?
2.
¿Cuáles son las soluciones de la ecuación 2x – 4 = 6?
2 x
3.
Las raíces o soluciones de la ecuación
4.
Si x > 0, la raíz de la ecuación x – 3 – 5 = 0 es (son) A) B) C) D)
-2 8 -2 y 8 2y8
E) no tiene solución real. Página 11
4
= 5 son
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5.
GEPM- LIBRO N°3 |5x – 1| + 4 = 0, entonces el conjunto solución de la ecuación es A) - 3
5 B) 3 5
C) {1} D) - 3, 1 5
E)
6.
El conjunto solución de la ecuación
2x 5 + 6 2
= 3 es
5 2
A) 1 B) - 2, C) - 5, 2
11 2 5 2
D) - 5 2
E)
7.
La ecuación
(x 2)2
= 5 tiene
A) como única solución x = 5. B) C) D) E)
como única solución x =y 7.x = 7. dos soluciones, x = -3 dos soluciones, x = -3 y x = -7. una solución x = 27.
RESPUESTAS: 1. 1. x x = -3; x = -2 Página 12
2. {-1, 2. {-1, 5}
3. 3. -18 y 22
4. 4. B
5. 5. E
6. 6. A
7. 7. C
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GEPM- LIBRO N°3 PLANTEAMIENTOS
En los problemas de planteamientos aparecen expresiones o vocablos que debemos traducir a lenguaje matemático.
EJEMPLOS 1. Traducir las siguientes expresiones a lenguaje matemático: a) El doble de x b) El cuadrado de x c) El triple de x d) El cubo de x e) El cuádruplo de x f) La cuarta potencia de x g) El quíntuplo de x h) La quinta potencia de x i) La diferencia entre a y b, respectivamente j) La diferencia entre b y a y a,, respectivamente k) El exceso de a sobre b l) La semisuma de a y b m) x aumentado en a unidades n) x disminuido en a unidades o) x es a unidades mayor que y p) x es a unidades menor que y q) El producto de a y b r) x veces a
........................... ........................... ........................... ........................... ........................... ........................... ........................... ........................... ........................... ........................... ........................... ........................... ........................... ........................... ......................... ........................... .. ......................... ........................... .. ........................... ........................... ........................... ...........................
s) El cuociente entre a y b
...........................
2.
El sucesor del sucesor de n es
3.
El enunciado: “el producto de 10 y la décima potencia de 2”, se expresa por
Página 13
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4.
GEPM- LIBRO N°3 El cuociente entre la suma de a y b y su producto es a +b ab
A)
B) 1 C) (a + b)ab a +b
D)
a a +b E) b
5.
El enunciado: “x veces y, elevado a x”, se expresa por
A) B) C) D) E) 6.
El enunciado: “El exceso de x sobre y, aumentado en 10 veces x”, se expresa por
A) B) C) D) E) 7.
(xy)x xyx xxy x · xy (xy)2x
y – x + 10x -y – x – 10x -y – x + 10x x – y + 10x x – y – 10x
El enunciado: “la semisuma del cubo de a y el cuadrado de b es igual al exceso de c sobre d” se expresa por
A) 3a + b2 = c – d B) a3 + b2 = c – d a3 + b2
C)
= c d
2 a + b2 c d = D) 2 2 3a + 2b c d E) = 2 2 3
RESPUESTAS: 1. a. b. c. d.
2x x2 3x x3
h. i. j. k.
e. 4x l.
x5 a – b b – a a – b
x – a = y o x = y + a x + a = y o x = y – a a·b x·a 2. 2. n + 2 3. 3. 10 · 210 4. 4. A A a+b a s. 2
f. x4 m. x + a g. 5x n. x – a
Página 14
o. p. q. r.
b
5. 5. A A 6. 6. D D 7. 7. C C
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ESTRATEGIA PARA RESOLVER PROBLEMAS DE PLANTEAMIENTO Existen diversos tipos de problemas de planteamientos, sin embargo en todos ellos es conveniente:
Leer total y cuidadosamente el cuidadosamente el problema, antes de empezar a resolver.
Hacer un listado de incógnitas y datos. Hacer un diagrama de la situación planteada, si el caso lo requiere.
Plantear y resolver la(s) ecuación(es) si el caso lo requiere.
Leer la pregunta del problema
Comprobar la(s) solución(es).
EJEMPLOS 1.
El exceso del cuádruplo de tres sobre dos es igual a
2.
Si al triple del sucesor de n se le resta el antecesor del antecesor de n y al resultado se le agrega el cuádruplo de n, resulta
3.
El número cuyo quíntuplo excede a 21 en lo mismo que 42 excede al doble del núme número, ro, es
4.
A Mariana en su cumpleaños le regalaron x peluches, coleccionando un total de 36 36.. Si el quíntuplo de los que le regalaron equivale a los que tenía, ¿cuántos peluches tenía Mariana antes de su cumpleaños? A) B) C) D) E)
5 6 24 30 36
Página 15
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5.
GEPM- LIBRO N°3 Una tabla se div divide ide en dos partes, de tal forma que el trozo mayor corresponde a dos veces la parte menor, más cinco unidades. Si la tabla mide 50 cm, ¿a cuánto es igual la diferencia entre el trozo mayor y el menor, respectivamente? A) 15 cm B) 20 cm C) 30 25 cm cm D) E) 35 cm
6.
Juan invita al cine a cuatro amigos aprovechando la promoción “tres entradas por el precio de dos”. Si la entrada tiene un costo de dos mil pesos por persona y uno de sus
amigos aporta dos mil pesos, entonces el ahorro que obtiene Juan con esta p promoción romoción es A) B) C) D) E)
7.
$ 2.000 $ 3.000 $ 4.000 $ 6.000 $ 8.000
La distancia del colegio a la casa de Mario es de 7.000 m metros etros y parte de este trayecto lo recorre en transporte público y el resto caminando. El recorrido en transporte público excede en 2.000 metros al cuádruplo de lo que recorre a pie. Entonces, ¿cuantos metros recorre a pie? A) B) C) D)
1.000 2.000 3.500 5.000
E) 7.000
RESPUESTAS: 1. 1. 10 2. 2. 6n + 5 Página 16
3. 3. 9
4. 4. D
5. 5. B
6. 6. A
7. 7. A
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PROBLEMAS CON FRACCIONES Son problemas en que se pide calcular la parte de un todo, es decir, una fracción de un número. La fracción
a b
de un número x se calcula multiplicando
a b
por x. x.
EJEMPLOS 1.
En un curso de 4 40 0 alumnos, la mitad escribe, un quinto calcula y eell resto lee. ¿Cuántos alumnos leen?
2.
Si Emilio gana $ B y gasta las dos quintas partes, ¿cuál de las siguientes expresiones representa lo que le queda a Emilio, en pesos?
3.
Julio compra un televisor a crédito en $ 3A, pagando un cuarto al contado y el resto en nueve cuotas iguales. ¿Cuál es el valor de cada cuota?
4.
En un curso de 30 alumnos, el número de niñas es el doble del número de niños, más 3. Entonces, ¿qué fracción del total es el número de niños? A) B) C) D) E)
1 3 2 7 7 10 3 10 4 7
Página 17
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5.
6.
GEPM- LIBRO N°3 Los nueve décimos de x disminuyen en su tercera parte resultando 6, entonces x es igual a A) B) C) D)
20,0 10,0 6,0 4,0
E)
1,8
Antes de navidad el valor de un artículo era de $ 6.000, luego fue aumentado een n su décima parte y después de esta fiesta, es disminuido en su cuarta parte. Entonces, el valor final del artículo es A) B) C) D) E)
7.
Los cinco tercios de un núm número ero exceden en dieciocho unidades a la sexta p parte arte del mismo número, entonces los dos tercios del número corresponden a A) B) C) D) E)
8.
$ 1.650 $ 2.100 $ 3.900 $ 4.950 $ 6.600
27 18 12 8 3
Los cincoentonces medios de un núm número ero n seis unidades a los tres medios del mismo número, el número es es menor een A) B) C) D) E)
6 4 -2 -4 -6
RESPUESTAS: 1. 1. 12 12 Página 18
2. 2. B B – 25 B
3. 3. $ A 4
4. 4. D
5. 5. B
6. 6. D
7. 7. D
8. E
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PROBLEMAS DE DÍGITOS Un número está escrito en notación ampliada o desarrollada si desarrollada si se expresa como la suma de las cantidades que resulten de multiplicar cada dígito de dicho número por la potencia de diez correspondiente a su posición (... centena, decena, unidad, décima, centésima...) 2
1
0
-1
-2
abc,de = a · 10 + b · 10 + c · 10 + d · 10 + e · 10 Para los problemas de dígitos debemos usar la notación ampliada, donde en el sistema decimal un número de la forma xyz xyz queda queda representado por x 102 + y · 101 + z 100
EJEMPLOS 1.
El número 345 escrito en notación ampliada
2.
2 · 103 + 5 · 10 2 + 4 · 100 =
3.
La suma de los dígitos de un número natural de dos cifras es 8. Si el dígito de las unidades es a, entonces el sucesor del número es
4.
El desarrollo de 324,65 en notación decimal posicional es A) B) C) D) E)
3 · 102 + 2 · 10 1 + 4 · 100 + 6 · 10-1 + 5 · 10 -1 3 · 102 + 2 · 10 1 + 4 · 100 + 6 · 10-2 + 5 · 10 -1 3 · 102 + 2 · 10 1 + 4 · 100 + 6 · 10-1 + 5 · 10 -2 3 · 102 + 2 · 10 1 + 4 · 100 + 6 · 10-1 + 5 3 · 102 + 2 · 10 1 + 4 · 100 + 6 · 10-1 + 5 · 0,02
Página 19
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5.
GEPM- LIBRO N°3 Si M es un número de tres cifras distintas en el cual el dígito de las decenas es p, el dígito de las unidades es q y el de las centenas es r, entonces el doble doble de de M es A) 200p + 20r + 2q B) 200p + 20q + 2r C) 200r + 20q + 2p D) + 20p 20p + + 2q 2r E) 200q 200r +
6.
La suma de los dígitos de un número natural de dos cifras es 12. Si las cifras se invierten resulta un número que excede en 18 al número original, entonces el número es A) B) C) D) E)
7.
Un número de dos cifras excede en cuatro unidades al triple de la suma de sus dígitos. Si la suma de sus cifras es siete, entonces el producto de sus cifras es A) B) C) D) E)
8.
57 84 48 93 39
12,0 10,0 7,0 6,0 2,5
Un núm número erolade dos de cifras veinticinco unidades al quíntuplo de la suma de sus dígitos. Si suma sus excede cifras esen catorce, entonces el número es A) B) C) D) E)
95 86 77 68 59
RESPUESTAS: 1. 1. 3 · 102 + 4 · 101 + 5 · 10 0 Página 20
2. 2. 2.504
3. 3. 81 – 9a 4. 4. C 5. 5. E 6. 6. A 7. 7. B 8. A
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PROBLEMAS DE EDADES En estos problemas conviene representar las edades de las personas con letras diferentes indicando en una línea del tiempo o en una tabla, sus edades pasadas, presentes o futuras, según corresponda: Edad pasada (hace b años)
x – b y – b
Edad actual
x y
Edad futura (dentro de c años)
x+c y+c
EJEMPLOS 1.
Si la edad de una persona es 36 años, ¿c ¿cuántos uántos años tenía hace y años?
2.
La edad de una persona es x años. ¿Qué edad tendrá en y años más?
3.
La edad que tendré en 15 años más será el doble de la que tenía hace 10 años. ¿Qué edad tengo actualmente?
4.
El triple de la edad que yo tenía hace 2 años es el doble de la que tendré dentro de 6 años. ¿Qué edad tendré en dos años más? A) B) C) D) E)
12 años 14 años 16 años 18 años 20 años
Página 21
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5.
6.
Rodrigo tiene tantos año añoss como los de Mario meno menoss tres años. Si el cuadrado de la suma de sus edades es 100, entonces la ecuación para determinar la edad de Mario (M) es A) B) C) D)
(M + M – 3)2 = 100 (M + M + 3)2 = 100 M2 + (M – 3)2 = 100 M2 + (M + 3)2 = 100
E)
M + (3 – M) = 100
67 años 63 años 60 años 28 años 21 años
Carla tiene quince año añoss más que Pedro. Hace cinco años la edad de Carla era do doss veces la edad que tenía Pedro. ¿Qué edad tendrá Carla en cinco años más? A) B) C) D) E)
8.
2
Juan tenía hace 7 años el doble de la edad que tendrá Anita en 7 años más. Si la edad de Juan es el triple de la edad de Anita, ¿qué edad tiene Juan? A) B) C) D) E)
7.
2
20 años 25 años 30 años 35 años 40 años
La suma de las edades eentre ntre Mario y Juan es de 85 años. La edad de Mario en cinco años más será el doble de la edad actual de Juan. ¿Qué edad tiene actualmente Mario? A) B) C) D) E)
60 años 55 años 40 años 35 años 30 años
RESPUESTAS: 1. 1. 36 – y Página 22
2. 2. x x + y
3. 35 3. 35 años
4. 4. E
5. 5. A
6. 6. B
7. 7. E
8. B
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PROBLEMAS DE TRABAJOS Si un trabajador (o máquina) puede realizar un trabajo en un tiempo a y otro en un tiempo b, la ecuación que permite calcular el tiempo x que demoran en hacer el trabajo en conjunto es 1 1 1 = + x a b
OBSERVACIÓN:: La OBSERVACIÓN
ecuación se puede generalizar para n trabajadores (o máquinas).
EJEMPLOS 1.
Una máqu máquina ina realiza un trabajo een n 2 horas y otra m máquina áquina realiza el mismo trabajo en 3 horas. ¿Cuánto se demoran las dos máquinas trabajando simultáneamente en realizar dicho trabajo?
2.
Una llave puede llenar una piscina vacía en seis horas y otra llave la llena en dos horas menos que la primera. Si se abren las dos llaves simultáneamente, ¿cuánto se demoran en llenar la piscina vacía?
3.
Una llave A llena un estanque vacío en 2 horas, en cambio una llave B lo llena en 6 horas y un desagüe C lo deja vacío en 3 horas. ¿En qué tiempo se llenará el estanque, si estando vacío se abren ambas llaves y el desagüe simultáneamente? A) B) C) D)
4.
6 horas 4 horas 3 horas 2 horas
E) 1 hora Rodrigo puede realizar una tarea en 15 días, mientras que Nelson la puede hacer en eell triple de los días que emplearían si trabajaran los dos juntos. ¿En cuántos días realizaría la tarea Nelson, si trabajara solo? A) B) C) D) E)
5 días 10 días 15 días 30 días 32 días
RESPUESTAS: 1. 1. 1 1 hora 12 minutos Página 23
2. 2 2. 2 horas 24 minutos
3. 3. C
4. 4. D
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PROBLEMAS DE MÓVILES Para este tipo de problemas, debemos tener presente la fórmula: Donde
s = vt
s = recorrido v = rapidez t = tiempo
EJEMPLOS 1.
Un ciclista sale de Santiago y otro de Temuco, distantes 720 km, uno hacia el otro otro.. El primero viaja a 40 km y el segundo a 30 km . Si ambos parten a las 7 am, ¿qué h
h
distancia los separa a las 10:00 am, de ese mismo día?
2.
Dos móviles parten simultáneame simultáneamente nte desde un mismo punto, y een n la misma dirección y sentido. Uno viaja con una rapidez de 60 km , y el otro viaja a 100 km . Transcurridas h
h
4 horas, ¿cuál será la distancia que los separa?
3.
Dos auto automóviles móviles parten desde la Plaza de Armas a la misma hora en sentidos o opuestos. puestos. km La rapidez de uno de ellos es 10 menor que la del otro. Al cabo de 3 horas se h
encuentran a 510 km de distancia, ¿cuál es la rapidez del automóvil más lento? km A) 60
B) 70 C) 80 D) 90 E) 95
h km h km h km h km h
RESPUESTAS: 1. 1. 510 km Página 24
2. 2. 160 km
3. 3. C
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PROBLEMAS DE MEZCLAS Para este tipo de problemas podemos considerar el siguiente planteamiento general: Si n objetos, que valen c, se componen de x objetos que valen a cada uno, y n – x objetos que valen b cada uno, la ecuación que permite encontrar x es: ax + b(n – x) = c.
EJEMPLOS 1.
De 1.200 personas que asistieron al circo, la mitad eran niños, u un n cuarto eran de la tercera edad y el resto eran adultos menores de 65 años. Si las entradas de niños costaban $ 1.000, las de la tercera edad $ 500, ¿cuánto pagó cada adulto menor de 65 años, si lo recaudado fue de $ 1.350.000?
2.
En una alcancía hay un total de 4 400 00 monedas de $ 1 100 00 y $ 500. Si en total hay $ 160.000, entre ambas monedas, ¿cuál es el número de monedas de $ 100?
3.
Un pastelero mezcla dos tipos de chocolates, uno con 3 30% 0% de cacao y otro con 70%. ¿Cuántos gramos de chocolate al 70% de cacao se necesitan para obtener una mezcla total de 1.000 gramos con 60% de cacao? A) B) C) D) E)
750 700 500 300 250
RESPUESTAS: 1. 1. $ 2.000 Página 25
2. 2. 100
3. 3. A
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GEPM- LIBRO N°3 ECUACIÓN DE LA RECTA
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS La distancia entre dos puntos (medida del segmento generado por dichos puntos), A(x 1, y 1) y B(x2, y2), se determina mediante la exp expresión: resión: y dAB =
(x2
B
y2
x1)2 + (y2 y1)2
y2 y1 y1 0
A x2 x1 x1
x2
x
COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
Dados los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2), las coordenadas del punto medio del segmento AB son xm =
x1 + x2 2
, ym = =
y1 + y2 2
y
B
y2 M
ym y1 0
A x1
x m
x2
x
EJEMPLOS 1.
La distancia entre los puntos A = (2, 3) y B = (5, 6) es
2.
El punto medio del trazo cuyos extremos son los puntos A = (-3, 6) y B = (2, 5) es
Página 26
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3.
¿Cuánto mide el radio de una circunferencia de diámetro AB determinado por los puntos A(-1, -5) y B (-7, 3)?
4.
En la circunferencia del ejercicio 3, ¿cuáles son las coordenadas del centro? A) (-8, -2) B) (-4, -1) C) (-3, -4) D) - 7, - 3 2 2 E) - 9 ,- 1 2 2
5.
Si los puntos A(3, 4), B(-2, 6) y C(3, 6) son los vértices de un triángulo rectángulo, entonces el área del triángulo es A) B) C) D) E)
6.
2 u2 3 u2 5 u2 8 u2 10 u2
La intersección de las diagonales del cuadrado formado p por or los vértices que están een n los puntos (4, 5), (-3, 5), (-3, -2) y (4, -2) es el punto de coordenadas A) (1, 2) 1 3 , 2 2
B)
1 , 1 2 2 D) 3, 1 2 2 E) 1, 3 2
C)
RESPUESTAS: 1. 1. 3 3
2
Página 27
2. 2.
, 11 - 1 2 2
3. 3. 5
4. 4. B
5. 5. C
6. 6. B
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PENDIENTE DE UNA RECTA Es la tangente trigonométrica del ángulo de inclinación (ángulo que forma la recta con el eje x, en sentido antihorario, desde el eje x hacia la recta) y B L y2 y2 – y1 y y1 BP A = 2 m = tg = y1 P x x PA 2
1
x1
x2
x
x2 – x1 RELACIÓN ENTRE EL ÁNGULO DE INCLINACIÓN Y LA PENDIENTE DE LA RECTA
Sea el ángulo de inclinación y sea m la pendiente de la recta L. Entonces:
( = 0º) si y sólo si (m = 0) y
(0º 90º) si y sólo si (m 0) y L
L x
0
0
L es paralela al eje x
( = 90º) si y sólo si (m no está definida) y L
x
L tiene pendiente positiva
(90º 180º) si y sólo si m 0) y L
0
x
L es paralela al eje y
0
L tiene pendiente negativa
EJEMPLOS 1.
La pendiente de la recta pasa por los puntos A(1, -1) y B(-6, 7) es
Página 28
x
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2.
Si los puntos A(2, 3), B(3, -2) y C( C(a a, 8) son colineales, entonces a =
3.
Dados los puntos A A(2, (2, 5), B(-1, -4), C(3, -1) y D(k D(k, -3), ¿cuánto debe ser el valor de k para que el producto de las pendientes de AB y CD sea -1?
4.
¿Cuál de los siguientes gráficos muestra una recta de pendiente positiva? A)
B) y
C) y
y
x
5.
D)
E) y
y
x
x
x
x
¿Cuál de las siguientes rectas tiene pendiente 7?
A) y
B)
C) y
y
D) y
7
7
1
x
-7
1 1
x
7 -1
RESPUESTAS: 1. 1. - 8 7
Página 29
2. 2. 1
E) y
3. 3. 9
4. C 4. C
5. 5. E
x
7
x
-1
x
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ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
Ax + By + C =0 =0 ECUACIÓN PRINCIPAL DE LA RECTA RECTA
y = mx + n n
A, B y C son Reales Si A = 0 B 0 0 Si B = 0 A 0 0 m = pendiente, m = = - A B
n = coeficiente de posición posición ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR UN PUNTO A (x 1, y1) Y TIENE PENDIENTE DADA m
(y – y1) = m(x – x1) ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS A(x 1, y1) y B(x2, y2)
(y – y1) =
y2 y1 x2 x1
(x – x1)
ECUACIÓN DE SEGMENTOS O CANÓNICA
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos que están en los ejes. x y + a b
= 1
a ≠0 y b≠0
(a, 0) es el punto del eje X (0, b) es el p punto unto del eje Y
EJEMPLOS 2 3
1.
La ecu ecuación ación general de la recta que pasa por eell punto (4, -3) y tiene pendiente - es
2.
1 La ecuación principal de la recta que pasa por los puntos 1, y - 2, 2
Página 30
-3 2
es
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3.
¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto (0, 3) y tiene pendiente 0?
4.
¿Cuál eess la eecuación cuación de la recta que representa el gráfico de la figura adjunta? A) B) C) D) E)
y
6x – 5y = 15 6x – 5y = 30 5x – 6y = 15 5x – 6y = -30 5x – 6y = -15
5
x
-6
5.
¿Cuál es la ecuación de la recta que p pasa asa por el origen y tiene pendiente -1? A) B) C) D) E)
6.
x+y=0 x – y = 0 x+y=1 x – y = 1 x = -1
¿Qué valor debe tener k para que la recta (k – 1)x + (2k + 1)y – 1 = 0 pase por el punto (2, 1)? A) 2 B)
1 2
C) 0 1 2
D) - E) -2
RESPUESTAS: 1. 1. 2x 2x + 3y + 1 = 0 Página 31
2. 2. y =
2 3
1 6
x –
3. 3. y = 3
4. 4. D
5. 5. A
6. 6. B
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RECTAS PARALELAS Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales o ambas tienen pendientes que se indeterminan. Sean L1 y L2 rectas de pendientes m 1 y m2, respectivamente. Entonces: L2 Si m1 Ly si m2 pertenecen L1 // y sólo sól o si m 1a =los m2reales, entonces 2
y
L1
0
x
RECTAS PERPENDICULARES
Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es -1 ó cuando en una de las rectas la pendiente es cero y en la otra la pendiente se indetermina. Sean L1 y L2 rectas de pendientes m 1 y m2, respectivamente. Entonces: L1
y
L2
Si m1 y m2 pertenecen a los reales, entonces L1 L2 si y sólo si m1 · m2 = -1 0
x
EJEMPLOS 1.
¿Cuál es eell valor de la pendiente de una recta paralela a la recta de eecuación cuación 3x – 2y = 6?
2.
¿Cuál es el valor de la pendiente de una recta perpendicular a la recta de ecuación x – 3y = 4?
Página 32
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3.
¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto (4, -1) y es paralela a la recta 2y – x + 8 = 0?
4.
La recta que pasa por los puntos (0, 0) y (-2, 3 3)) es paralela a la recta que pasa por los puntos A) B) C) D) E)
5.
(0, 5) y (4, 3) (0, 6) y (3, 5) (0, 6) y (0, 4) (0, 6) y (0, 2) (4, 0) y (0, 6)
¿Qué valor debe tener k para que las rectas 2x + ky = 0 y 3x – 5y = 6 sean perpendiculares? 10 3 6 B) - 5 6 C) 5 5 D) 4 10 E) 3
A) -
6.
Si una recta tiene ecuación 3x + 2y = -1, ¿cuál es la ecuación de una recta perpendicular a ella y que pasa por el punto (3, -2)? A) B) C) D) E)
2x + 3y = 0 x + 2y = -1 2x + y = 4 3x – 2y = 13 2x – 3y = 12
RESPUESTAS: 1. 1. 3 2
Página 33
2. -3
3. x 3. x – 2y -6 = 0
4. 4. E
5. 5. C
6. 6. E
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GEPM- LIBRO N°3 SISTEMAS DE ECUACIONES
Dos ecuaciones de primer grado, que tienen ambas las mismas dos incógnitas, constituyen un sistema de ecuaciones lineales. lineales. La forma general de un sistema de ecuaciones de primer grado es: Ax + By = C Dx + Ey = F
donde A, B, C, D, E y F son números reales.
Se denomina solución del sistema a todo par (x, y) que satisfaga simultáneamente ambas ecuaciones.
OBSERVACIÓN: Cada ecuación de un sistema de ecuaciones lineales, representa una línea recta en un sistema de ejes coordenados.
MÉTODOS PARA RESOLVER SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS
RESOLUCIÓN GRÁFICA: GRÁFICA: Para resolver gráficamente un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, se representan ambas rectas een n un sistema de ejes coordenados, con lo cual surge una de las siguientes posibilidades: I)
Las rectas se intersectan en un punto, cuyas coordenadas (a, b) es la solución del sistema (fig. 1).
II) III)
Las dos rectas coinciden, dando origen a infinitas soluciones (fig. 2). Las dos rectas son paralelas (no se intersectan), por lo tanto no hay solución (fig. 3).
L1 y
y
fig. 1 L2
fig. 2
L1 a
L1 L2 = (a, b)
fig. 3
L1 = L2
b
Página 34
y
x
x L1 L2 = L1 = L2
L2 x
L1 L2 = (vacío)
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GEPM- LIBRO N°3
EJEMPLOS 2x + y = 10
1.
La solución del sistema
2.
Para que el par ordenado (1, 2) sea solución del sistema
x y=2
es el p par ar ordenado
ax + y = 4 x + by = 7
, los valores de a y b
deben ser, respectivamente,
3.
¿Cuál de las siguientes figuras representa la intersección de 3x + y = 4 con y + x = 0? y
A)
y
B)
4
4
4
2
2
2
2
-4 -2
4
x
2
-4 -2
-2 -4
x
4
y
4 2
4 2
4 3
2
-4 -2
4
-2 -4
E)
y
2
-4 -2
-2 -4
D)
Página 35
y
C)
4
x
-4 -2
2
-2
-2
-4
-4
4
x
x
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4.
GEPM- LIBRO N°3 La figura adjunta, es la solución gráfica del sistema
A)
-x y = -2
-x y = 3
y
-x + y = 2
B) C)
5.
x y = 3
3
2x 2y = 4 3x 3y = 3
D)
-3x + 3y = 2
E)
-x + y = -2
x y=3
-x + y = 3
2
-3 -2
En el sistema de ecuación
3x + 5y = 11
, las rectas
6x + 10y = 22
I) se cortan en el origen. II) son coincidentes. III) son paralelas no coincidentes. Es (son) verdadera(s) A) B) C) D) E)
6.
solo I. solo II. solo III. solo II y III. I, II y III.
En el sistema de ecuación A) B) C) D) E)
3x + 2y = 13 2x y = 11
, las rectas se cortan en el
origen. primer cuadrante. segundo cuadrante. tercer cuadrante. cuarto cuadrante.
RESPUESTAS: 1. 1. (4, 2) Página 36
2. 2. 2 y 3
3. 3. D
4. 4. E
5. 5. B
6. E
x
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GEPM- LIBRO N°3
RESOLUCIÓN ALGEBRAICA: Para resolver algebraicamente un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas existen varios métodos; utilizaremos sólo tres de ellos: sustitución, igualación y reducción.
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN: SUSTITUCIÓN: Se debe despejar despejar una de las variables en una de las ecuaciones y luego reemplazarla en la otra ecuación, generándose así una ecuación con una incógnita. MÉTODO DE IGUALACIÓN: Se debe despejar despejar la la misma variable en ambas ecuaciones y luego éstos resultados se igualan, generándose así una ecuación con una incógnita. MÉTODO DE REDUCCIÓN: Se deben igualar los coeficientes de una de las incógnitas, en ambas ecuaciones, multiplicando ambos miembros convenientemente, obteniéndose un sistema equivalente al dado, y luego se suman o restan am ambas bas ecuaciones, resultando así una ecuación con una incógnita.
EJEMPLOS 1.
Sea el sistema
y = 3x 7
. El valor de x es
2x 5y = -4
2.
En el sistema
3.
En el sistema
Página 37
x = 2y 1 x = 14 3y
x + 4y = 23 3x 4y = 5
, el valor de y es
, el valor de y es
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4.
GEPM- LIBRO N°3 Dado el sistema
A) B) C) D) E)
5.
6.
0,3x + 0,2y = -0,9 0,2x 0,3y = -0,6
Al resolver el sistema
B) x = C) x = D) x = E) x =
Si
, entonces el valor de x – y es y es igual a
, el valor de x es
-3 -0,3 0 0,3 3
A) x =
7.
6x + 5y = -34
6 4 2 -2 -6
Dado el sistema A) B) C) D) E)
x 3y = 2
x + 4y = 2 2x + 3y = 6
se obtiene como solución
2 18 , y=- 5 5 2 18 - , y=- 5 5 2 18, y = - 5 2 18 - ,y= 5 5 2 18, y = 5
x2 y2 = 9
, entonces el valor de x – y es y es
x+y=9
A) B) C) D) E)
9 4 1 0 -1
RESPUESTAS: 1. 1. 3 Página 38
2. 2. 3
3. 3. 4
4. 4. D
5. 5. A
6. 6. A
7. 7. C
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GEPM- LIBRO N°3
ANÁLISIS DE SISTEMAS DE ECUACIONES Dado
a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2
, entonces:
I) El sistema tiene solución única si única si
a1 b 1 a2 b2
II) El sistema tiene infinitas soluciones si soluciones si III) El sistema no tiene solución si solución si
.
a1 b c = 1 = 1 a2 b2 c2
a1 b c = 1 1 a2 b2 c2
.
.
EJEMPLOS Dados los siguientes sistemas de ecuaciones I)
IV)
2x 3y = 4 6x 9y = 12
6x 11y = 9 5x + 8y = 7
II)
V)
3x + 4y = 5 3x + 4y = 6
2x 14y = 10 x 7y = 8
III)
VI)
Indique lo solicitado: 1.
¿Cuál(es) de los sistemas tiene(n) solución única?
2.
¿Cuál(es) de los siguientes sistemas NO NO tiene(n) tiene(n) solución?
3.
¿Cuál(es) de los siguientes sistemas tiene(n) infinitas soluciones?
Página 39
5x 6y = 4 5x + 8y = 4
4x 9y = 2 8x 18y = 4
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4.
GEPM- LIBRO N°3 En el sistema
2x + ky = -5 4x + y = -15
, ¿qué condición debe cumplir k para que tenga tenga solución
única? A) k 1 B) k C) k D) k E) k
5.
El sistema
A) B) C) D) E)
6.
1 = 2 = -1 2 1 - 2 1 2
a=6 a=6 a=4 a = 12 a=9
ax + 6y = 2 6x + by = 3
y y y y
tendrá infinitas soluciones si y sólo si
b=6 b=9 b = 18 b=4
¿Para qué valor de k el sistema
5x ky = 2 3x + 2y = 3
no no tiene tiene solución?
4
A) - 3 B) - 10 3
C)
2
D)
10 3
E)
5
RESPUESTAS: 1. 1. III y IV Página 40
2. 2. II y V
3. 3. I y VI
4. 4. E
5. 5. C
6. 6. B
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APLICACIONES DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Los sistemas de ecuaciones lineales tienen aplicación en problemas de planteo. Si el enunciado implica dos incógnitas, dicho problema podrá ser resuelto mediante un sistema de ecuaciones. Cómo por ejemplo: ejemplo: problemas de edades, de cifras o dígitos, etc. EJEMPLOS 1.
El enunciado: “Un cuarto de la suma de dos números es 81 y un tercio de su diferencia es 54”, está representado por
2.
Un carpintero produce bancos y sillas, en una sem semana ana fabrica 33 piezas entre bancos y sillas. Si se vende los bancos a $ 5.000 y las sillas a $ 2.500, recibe $ 120.000, ¿cuál es el sistema que permite determinar el número de bancos (x) y de sillas (y)?
3.
Un niño con $ 410 compra 34 dulces: unos de $ 1 10 0 y otros de $ 15. ¿Cuántos dulces de $ 10 compró?
Página 41
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4.
La suma de dos números, x e y, es 1 y su diferencia es 10, ¿cuál es el valor de cada uno de ellos?
A) x = B) x = C) x = D) x = E) x =
5.
11 2 11 2 - 11 2 11 2 11 - 2
y= y= y= y= y=
9 2 9 -2 9 2 2 9 9 - 2
Si el producto de dos números es 240 y la suma de sus valores recíprocos es entonces la suma de ellos es A) -30 B) C)
5 40 5 6
D) 30 E) 60
RESPUESTAS: 1.
x+y = 81 4 x y = 54 3
Página 42
2.
x + y = 33
5.000x + 2.500y = 120.000
3. 3. 20
4. 4. B
5. 5. D
5 40
,
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GEPM- LIBRO N°3 INECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES
Una relación entre números o letras en que se usan los signos , o se llama desigualdad. Cuando una desigualdad presenta una incógnita se denomina inecuación inecuación y y su valor de verdad (verdadero o falso) dependerá del valor que se le asigna a la incógnita. Para resolver inecuaciones es necesario conocer las propiedades de las desigualdades. desigualdades. PROPIEDAD 1 1
Si a los dos miembros de una desigualdad se le suma un mismo número, el sentido de la desigualdad no cambia Si a, b, c son números reales reale s y a < b, entonces a + c < b + cc
PROPIEDAD 2 2
Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican por un mismo número positivo,, el sentido de la desigualdad no cambia positivo
Si a, b, c son números reales tales que a < b y c > 0, entonces ac < bc bc PROPIEDAD 3 3
Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican por un mismo número negativo,, el sentido de la desigualdad cambia negativo
Si a, b, c son son números reales tales que a < b y c < 0, entonces entonces ac > bc bc PROPIEDAD 4 4
Si de los miembros de una desigualdad, ambos positivos o ambos negativos, se consideran sus recíprocos la desigualdad cambia Si 0 < a < b o a < b < 0, entonces
1 1 > a b
EJEMPLOS 1.
Si a, b y c son números reales, con b > c > a desigualdades es verdadera? A) B) C) D) E)
2.
y c 0, ¿cuál de las siguientes
b – a < c – a a+c > c+b b – 10 < a – 10 a – 10 > a – c – (10 – c) c – b > a – b
Si 0 < a < 1, entonces ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? A) B) C) D) E)
a2 < 0 a3 > a2 0 > -a2 -a3 – a2 > 0 a(a + 1) < 0
RESPUESTAS: 1. 1. E 2. 2. C Página 43
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GEPM- LIBRO N°3
INTERVALOS EN lR Se llama intervalo en lR al conjunto de números reales que cumple con la desigualdad dada. Intervalo cerrado desde a hasta b
[a , b] = {x lR / a x b}
Intervalo abierto abierto entre ayb
]a , b[ = {x lR / a < x < b}
]a , b] = {x lR / a < x b} Intervalo semiabierto o semicerrado semicerrado [a , b[ = {x lR / a x < b}
a
b
lR
a
b
lR
a
b
lR
a
b
lR
EJEMPLOS 1.
La gráfica
2.
La representación gráfica del conjunto solución de la inecu inecuación, ación, qu quee cumple con x 8 y x > 3 es A) B) C) D)
-1
2
3
8
3
8
3
8
3
8
E) 3
8
RESPUESTAS: 1. 1. {x {x lR lR / / -1 < x 2} Página 44
2. D 2. D
lR, lR, representa el conjunto solución de
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INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA Son desigualdades que se pueden reducir a una de las formas siguientes: ax + b 0, ax + b 0, ax + b > 0 ó ax + b < 0, con a 0, y que son verdaderas para un conjunto de valores de la incógnita x, el cuál se llama conjunto solución de solución de la inecuación. Este conjunto se puede representar mediante la notación de conjunto, intervalo o gráfica. Al despejar la incógnita en una inecuación lineal, se llega a una de las siguientes situaciones: Inecuación
Conjunto Solución
-b a
S = - , -b
x -b
S = - , -b
x<
a
x>
-b
a
x -b a
Representación Gráfica
S = -b, + a
-b a
-b
a
-b
a
EJEMPLOS 1.
La inecuación 3x + 11 > -1 tiene como conjunto solución
2.
La inecuación 3(x – 1) > 2(x + 2) tiene como conjunto solución
Página 45
a
a
S = -b, + a
-b
a
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3.
La inecuación 3x + 1 ≥ 2(x – 1) – (2 – x), tiene como conjunto solución
4.
La solución de la inecuación 4x – 1 ≥ 2(x – 1) es A) {x lR / x ≥ -2}
B) x lR/ x
C) x lR / x
1 - 2 1 - 2
D) {x lR / x ≥ 2} E) {x lR / x ≤ 2}
5.
El intervalo que es conjunto solución de la inecuación A) B) C) D) E)
6.
3 x 5 x 2 3
]1, +[ ]-, 1] [1, +[ [-1, +[ ]-, -1]
¿Cuál es el menor número entero que es solución de la inecuación A) B) C) D) E)
es
1 x 2 x ? 4 7
5 3 1 0 -1
RESPUESTAS: 1. 1. {x {x lR / x > -4}
Página 46
2. {x 2. {x lR / x > 7}
3. 3. lR
4. 4. B
5. 5. D
6. 6. D
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SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA Es un sistema formado por dos o más inecuaciones de primer grado con una incógnita. El conjunto solución del sistema es la intersección de los conjuntos solución de cada inecuación. Es decir si, S1, S2, ..., Sn son los conjuntos solución de cada inecuación y S es el conjunto solución del sistema, entonces: S = S1 S2 S3 ... Sn
EJEMPLOS 1.
El conjunto solución del sistema
2.
Al resolver el sistema
1 2x < -11 8x 12 > 2x
2x 2 > x + 1 3x 10 + x
, el intervalo solución es
2(x + 3) < 6 + x
3.
La solución del sistema
Página 47
representado como intervalo es
2x + 1 3x + 2 > 2 4
es
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4.
GEPM- LIBRO N°3 La solución gráfica del sistema de inecuaciones
2x 3 1 7 3x > -8
es
A) 2
B)
2
C) D) E)
5.
5 5
2
5
2
5
2
5
Al resolver el sistema
1 2x 2 3 x x 3 x + 3 2 4 6
, la solución es el intervalo
A) -, 7
4
3 B) , + 4
C) 3 ,
7 4 4
D) 3 , 7 4 4 3 E) , 2 4
RESPUESTAS: 1. 1. ]6, ]6, +[ Página 48
2. 2. ]3, ]3, 5]
3. No 3. No tiene solución
4. 4. D
5. 5. D
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INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO 1. |x| ≤ a, si y solo sí -a ≤ x ≤a 2. |x| ≥ a, sí y sólo sí x ≤ -a -a ó x ≥ a a OBSERVACIÓN Si x2 ≤ a2, siendo a un número real no negativo, entonces |x| 2
2
a.
≤
Si x ≥ a , siendo a un número real no negativo, entonces |x| ≥ a. EJEMPLOS 1.
La inecuación -5 ≤ x + 2 ≤ 9 tiene el mismo conjunto solución que: I) |x| ≤ 7 II) x + 2 ≤ 9 ó x + 2 ≥ -5 III)
x+2 9 x + 2 -5
2.
El conjunto solución de la inecuación |x – 4| < 0 es
3.
¿Cuántos n números úmeros eenteros nteros cumplen la condición que el exce exceso so de su valor absoluto sobre 2 no es mayor que 1?
RESPUESTAS: 1. 1. Solo Solo I y III Página 49
2. 2.
3. 3. 7
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DIAGRAMA DE SIGNOS Una forma de resolución de las inecuaciones cuadráticas y racionales es el uso del diagrama de signos. Para ello, se debe encontrar los puntos críticos, que son aquellos valores donde la expresión se anula y/o se indefine. Luego se evalúan las expresiones con un valor de prueba que determinará el signo de la expresión en el intervalo.
EJEMPLOS 1.
¿Cuál es el intervalo de los valores de x que satisfacen la inecuación x ∙ (x + 1) 12?
2.
El intervalo de los valores de x que satisfacen la inecuación
3.
Al resolver la inecuación A) B) C) D) E)
se obtiene como conjunto solución
2 -2
2
2 -2
-2
RESPUESTAS: 1. 1. [-4, 3] Página 50
1 0, x+2
2. 2. ]-, -1[ U [0, +[
2x + 1 1 x+1
3. 3. E
es
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PROBLEMAS DE INECUACIONES En estos problemas aparecen expresiones que hay que traducir a los símbolos >, -1}
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FUNCIONES VARIABLE Y CONSTANTE Se llama variable variable al al símbolo que representa un elemento cualquiera de un conjunto dado, es decir puede tomar diferentes valores, generalmente se le asigna una de las últimas letras del abecedario, por ejemplo x, y ó z. Se lama constante constante a a una cantidad cuyo valor no cambia, generalmente se le asigna por las primeras letras del abecedario, por ejemplo a, b ó c. c. FUNCIÓN
Sean A y B dos conjuntos. Una función es una relación que se establece entre A y B, mediante la cual cada elemento de A le hace corresponder un único y bien determinado elemento de B. f
Notación:
f : A ® B y se lee “f es una función de A en B”
El conjunto A se llama dominio dominio de de la función f. El conjunto B se llama codominio codominio de de la función f.
A
B
a
b=f(a)
El elemento b B B asociado a un elemento de a A A se le denom denomina ina imagen de a, según f, lo que se denota como b = f(a); a su vez, el elemento a A A se llama pre-imagen de b. EJEMPLO 1.
¿Cuál(es) d dee los siguientes diagramas representa(n) a una función de A en B? I)
A a b c d
RESPUESTAS
1. Solo I y III
Página 52
f
B 1 2 3 4 5
II)
A
f
B
III)
A 1 2 3 4 5
f
B
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FUNCION REAL Función real de una variable real es toda correspondencia f que asocia a cada elemento de un determinado subconjunto de números reales, llamado dominio dominio,, otro número real. f: DlR Se denota: f: xf x y
El conjunto en el cual la función f(x) está definida, se llama dominio de la función, el número real x, para el cual está definida la función recibe el nombre de de variable variable independiente. independiente. El número real y, asociado a través de f por por el valor de x, se llama variable dependiente, dependiente, la imagen de x se designa por f(x), luego y = f(x). Se llama recorrido recorrido de de una función al conjunto de los valores reales que toma la variable y o f(x). f(n)=n2-5 A B . . . . .. 3 2 1 0 -1 -2 -3 . . . . ..
OBSERVACIONES
. . .. 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 . . ..
1. El conjunto formado por todas las imágenes de A se denomina recorrido de la función. 2. El recorrido puede ser distinto al codominio, como se muestra en la figura. 3. En general, A y B son conjuntos de números reales y la correspondencia se establece por medio de una igualdad. EJEMPLOS 1.
Sea f(x)= 3x función? I) -1 II) 0 III) 1
Página 53
3.
¿Cuál(es) de los siguientes valores no pertenece al dominio de esta
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2.
GEPM- LIBRO N°3 ¿Cuál(es) d dee los siguientes valores pertenece(n) al recorrido de la función f(x)=
x 5 x +4
?
I) 0 II) -4 III) 1
3.
Si f(x) = 5 – 2x, entonces f(-3) es igual a
4.
Si f(x) = x2 + 2x – 3, entonces f(a + 1) es igual a
5.
Dada la función f definida por f(x) = 3x – 5, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) (son) verdadera(s)? I) La preimagen del sucesor de -4 es -14. II) La imagen de 7 es 4. III) f(-5) = -20
6.
5x 4, si x 2 , 3 3x, si x > 2
Sea f(x) = es (son)
Página 54
entonces el (los) valor(es) de de x, tal que f(x) = 6,
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7.
Si la func función ión f(x) se define como f(x) =
2 3x, si x < -4 4 + 2x, si -4 x 4 -3x , si x > 4
, entonces
f(-5) – f(-4) + f(5) es igual a A) B) C) D) E) 8.
Si f(x + 1) = 2x – 7, entonces f(2) = A) B) C) D) E)
9.
26 16 6 -2 -10
13 11 -1 -3 -5
Si f(x + 1) = x2 – (a – 1)x + 2, entonces f(a)= A) B) C) D) E)
10. Si
-4a + 2 -2a 2a2 2a 2
f(x) =
x , entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre siempre x +1
verdadera(s)? I) El dominio de f(x) es x II) El recorrido d f(x) es y III) f(0) = 0 A) B) C) D) E)
lR / x
1
lR / y
1
Solo II Solo I y II Solo II y III I, II y III Ninguna de ellas.
RESPUESTAS
1. Solo Sol o I y II 2. Solo I y II 3. 11 4. a 2+4a 5. Solo III 6. 2 7. C 8. E 9. E 10. C Página 55
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COMPOSICION DE FUNCIONES Dadas las funciones reales de variable real f y g, se llama composición de las funciones f y g, y se escribe f o g a la función de definida finida de lR en lR por (gof)(x) = g(f(x)) f
lR
g
l R lR R
x f(x) g(f(x))
El Dominio de (f o g) (x) es el conjunto de toda x en el Dominio de de g g,, tal que g(x) pertenece al Dominio de f . OBSERVACIÓN:
La composición de funciones en general no es conmutativa, es decir generalmente se cumple que (f o g) ≠ (g o f) . EJEMPLOS 1.
Sea f(x) = 3x + 2 y g(x) = x2, entonces (f o g)(-2) =
2.
Sean f(x) = x + 2 y g(x) = 2x – 1 funciones reales. Entonces, (f o g)(x) es
3.
Considere la función f(x) = x2 – 1. Entonces, f(f(f(2)))=
Página 56
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4.
Considere las funciones f(x) = x2 y g(x) = x + 2. ¿Cuál de los siguientes valores de x cumple que f(g(x)) = g(f(x))? A) B) C) D) E)
5.
-2 -6 -0,5 0 0,5
Si f(x) =
x
y g(x) = x2 + 1, entonces el dominio de (f o g)(x) es
A) lR B) lR0 C) [1, +[ D) lR+ E) lR – {0}
6.
Si f(x) = x + 1 y g(x) = A) B) C) D) E)
7.
1 , entonces el dominio de (g o f)(x) es x
lR lR+ lR – {0} lR – {1} lR – {-1}
Se definen en el conjunto de los números reales las f(x) y g(x), tales que f(x) = 3x – 4 2
y g(x) = 1 – x , entonces entonces (f o g)(-2) es igual a A) B) C) D) E)
-13 -10 -3 5 11
RESPUESTAS 1. 14 2. 2x+1 3. 63 4. C 5. A 6. E 7. A
Página 57
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GRAFICA DE FUNCIONES Toda función real puede ser representada en el plano cartesiano. Si f es una función real, a cada par ordenado (x,y) = (x,f(x)) determinado por la función f, le corresponde en el plano cartesiano un único punto P(x,y) = P(x,f(x)).
EJEMPLOS 1.
¿Cuál(es) de los siguientes gráficos representa(n) una función real? I)
B
II) B
III)
A
A
2.
A
¿Cuál(es) de los siguientes gráficos gráficos no no representa representa una función en el intervalo ]a, b[? I)
II)
y
a
3.
B
bx
III)
y
a
y
a
b x
b
El do dominio minio y el recorrido de la función g, según la gráfica de la figura adjunta, es y 8 6 4 2 -6 -4 -2 -2 -4
Página 58
g(x)
2 4 6
8
x
x
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4.
GEPM- LIBRO N°3 Con respecto al gráfico de la figura adju adjunta, nta, la suma de la imagen de 3 y la preimagen de 0 es y A) B) C) D) E)
2 3 6 4 1
3 2 1 -1
-1
1
2
3
4
x
5
-2
5.
Según la función f dada en la gráfica de la figura adjunta, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? y A) Df = [1, 4] B) Rf = [0, 3[ 3 C) La imagen de 4 es 0 D) x = 5 tiene imagen E) la pre-imagen de 1 es 0 1
6.
2
3
4
x
5
La figura adjunta, muestra el gráfico de una función f. ¿Cuál es el valor de f(8) – f(-1) + 2f(-5)? y A) -4 B) C) D) E)
-20 2 10
6 4 2 -6 -4 -2 -2
2 4 6
RESPUESTAS 1. Solo I y II 2. Solo III 3. Dom: lR; Rec: -4, 4. B 5. C 6. B
Página 59
8
x
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ALGUNAS FUNCIONES Función Continua:
Geométricamente es aquella que no presenta cortes en su gráfica. Si la función no es continua, se llama discontinua.
Función Creciente:
Es aquella que al aumentar la variable independiente, también aumenta la variable dependiente.
Para todo x perteneciente al dominio de f(x), si x1 > x2 ® f ( x1 ) > f ( x2 ) A medida que crece la variable indepe independiente, ndiente, la variable dependiente también lo hace. hace. Función Decreciente: Es aquella que al aumentar la variable independiente, la variable dependiente disminuye. Para todo x perteneciente al dominio de f(x), si x1 > x2 ® f ( x1 ) < f ( x2 ) A medida que crece la variable independiente independiente,, la variable d dependiente ependiente decrece. decrece.
Función Constante: Constante:
Es aquella que al aumentar la variable independiente la variable dependiente no cambia.
Para todo x perteneciente al dominio de f(x), si x1 ¹ x2 ® f ( x1 ) = f ( x2 ) A medida que crece la variable indepe independiente, ndiente, la variable dependiente también lo hace. hace.
EJEMPLOS 1.
Con respecto al gráfico de la función f d dee la figura adjunta, ¿cuál(es) de las siguientes alternativas es (son) FALSA(S) FALSA(S)?? y I) f(-2) = -f(2) II) f es creciente en el intervalo [-2, 2ππ] III) f es decreciente en el intervalo [2, 3]
2 1 -2 -1 -2
Página 60
1 2 3
x
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2. ¿Cuál(es) de las siguientes gráficas re representa(n) presenta(n) una func función ión continua en el intervalo ]a,b[? I)
II)
y
a
3.
b
x
III)
y
a
b
x
a
b
x
Con respecto al gráfico de la figura adjunta, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) h(x) es decreciente.
h(x)
A) B) C) D) E)
y q(x) p(x)
II) p(x) III) q(x) es es creciente. constante.
4.
y
Solo I Solo II Solo I y III Solo II y III I, II y III
x
Con respecto al gráfico de la figura adjunta, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) f(x) es creciente. II) g(x) es decreciente. III) h(x) es decreciente.
y f(x) g(x)
A) B) C) D) E)
Solo I Solo II Solo I y III Solo II y III I, II y III
RESPUESTAS 1. Solo II 2. Solo I y III 3. E 4. B Página 61
h(x)
x
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MODELOS LINEALES Se denomina Función Afín a Afín a la función definida por f(x) = mx + n, con m y n números reales distintos de cero. Se denomina Función Lineal a la función definida por f(x) = mx, con m número real distinto de cero. Se denomina Función Constante a la función de la forma f(x) = c, con c un núm número ero real.
y
OBSERVACIÓN: OBSERVACIÓN:
y
y
x
x
Función Afín
Función Lineal
x Función Constante
La función lineal f(x) = mx, cumple las siguientes propiedades: Para todo a y b pertenecientes al Df se se cumple que f(a + b) = f(a) + f(b)
Para todo a perteneciente al Df y f( · a) =
lR se cumple que
f(a)
EJEMPLOS 1.
¿Cuál(es) de los siguientes gráficos representa(n) una función lineal? I) II) III) y y y x
Página 62
x
x
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2.
Con respecto a la función graficada een n la ffigura igura adjunta, es correcto af afirmar irmar que y
I) es una función afín. II) su ecuación es f(x) = -2x + 2. III) intersecta al eje de las abscisas en el punto (0, 4).
2 4
x
3.
Sean las funciones f(x) = a y g(x) = 2a, con a un n número úmero real. Ento Entonces, nces, el valor de g(4) + f(2) es
4.
Si en la ecuación y – de3 las = siguientes 0, tenemos una función respecto de la variable independiente x, ¿cuál(es) proposiciones es (son) verdadera(s)? I) Su dominio es el conjunto de los números reales. II) Su recorrido es {3}. III) Su representación gráfica es una recta perpendicular al eje de las ordenadas. A) B) C) D) E)
5.
Solo I Solo II Solo I y III Solo II y III I, II y III
Según la gráfica de la ffunción unción h, de la ffigura igura adjunta, la expresión analítica que mejor la representa es y A) h(y) = 3 6 B) h(y) = 3 + y 4 C) h(x) = x h(x) 2 D) h(x) = 3 E) h(x) = 3 + x -6 -4 -2 2 4 6 8 x -2 -4
RESPUESTAS 1. Solo III 2. Solo I 3. 3a 4. E 5. D Página 63
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APLICACIONES LINEALES En el quehacer cotidiano hay muchos problemas que se tratan con funciones, y por ende, es necesario saber expresar una situación práctica en términos de una relación funcional. La función que se obtiene produce un modelo matemático de matemático de la situación.
EJEMPLOS 1.
En la cuenta de energía eléctrica se consigna un cargo fijo de $ 641. Sabiendo que el cálculo de tarifas es un modelo lineal y que el valor del kWh es de $ 118, ¿cuál es la función que permite calcular el costo G de x kWh?
2.
Si por cada 12 kilómetros recorridos un automó automóvil vil consume 1 litro de bencina, ¿cuál es la modelo lineal que permite calcular el consumo C de bencina en términos de la cantidad x de kilómetros kilómetros recorridos?
3.
Un plan telefónico mensual permite hablar hasta 6 horas pagando una cuota de $ 10.500. Todo minuto extra tiene un costo de $ a. Si x es el tiempo de llamadas en minutos, ¿cuál es la función que representa el costo mensual C para valores de x superiores al tiempo pactado?
Página 64
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4.
GEPM- LIBRO N°3 En una cuenta del agua potable se consigna un cargo fijo de $ 900. Sabiendo que eell modelo de cálculo de tarifas tiene es un modelo lineal y que por un consumo de 15 m 3 se facturó el mes pasado $ 6.000, ¿cuál es la función que permite calcular el costo G de x m3 de agua? A) G(x) = 900 +
6.000 x 15
B) G(x) = 900 + 15 · 6.000 x C) G(x) = 900 – 15 · 6.000 x D) G(x) = 900 + 6.000 900 x E) G(x) = 900
5.
15 6.000 900 x – 15
¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a la situación anterior? G
A)
B)
G
C)
6.000
6.000
6.000
900
900
900
5 10 15 x
D)
5 10 15 x
5 10 15 x
E)
G
G
6.000
6.000
900
900 5 10 15 x
6.
G
5 10 15 x
El perímetro de un terreno rectangular es 240 metros. Si el largo mide x metros, entonces la función que representa el área del terreno es A) B) C) D) E)
f(x) = (240 – x) · x f(x) = (240 + x) · x f(x) = (120 – x) · x f(x) = (120 + x) · x f(x) = (120– x) · 2x
RESPUESTA x 3. C(x) =a(x-360)+10.500 4. D 5. D 6. C 1. G(x) = 641+118x 2. 12 Página 65
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FUNCIÓN INYECTIVA Una función es inyectiva si a cada elemento del dominio le corresponde un valor distinto en el recorrido de la función, es decir todos los elementos pertenecientes al dominio de la función tienen imágenes diferentes. Una función es inyectiva si x 1 ≠ x2, entonces f(x1) ≠ f(x2) FUNCIÓN EPIYECTIVA Una función es epiyectiva si cada elemento del codominio tiene una pre-imagen FUNCIÓN BIYECTIVA Una función es biyectiva si es inyectiva y epiyectiva. EJEMPLO:
Tipo de Función
Inyectiva
A Epiyectiva (sobreyectiva, suprayectiva, suryectiva, exhaustiva o subjectiva)
B C D
No Inyectiva
A B C D E
Biyectiva (admite siempre función inversa) A No epiyectiva
B C D
Página 66
A
C
B
D
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EJEMPLOS 1.
¿Cuál(es) de las siguientes funciones reales es inyectiva? I) f(x) = x2 + 2 II) f(x) = III) f(x) =
2.
1 para x ≠ 2 x+2
2x + 1
La función f(x) se define como
2x - 1 ; si x 2 . f(x) = ; si x < 2 x
¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) f(x) es una función epiyectiva. II) f(x) III) f(2) es = 2una función inyectiva.
3.
La función f(x) se define como
; si x + 1 f(x) = 3x - 10 ; si
afirmaciones es (son) FALSA FALSA((S)? I) f(x) es una función inyectiva. II) f(x) es una función biyectiva. III) f(4) < f(3) A) B) C) D) E)
Solo III Solo I y II Solo I y III Solo II y III Ninguna de ellas.
RESPUESTAS 1. Solo II y III 2. Solo II 3. B Página 67
x 0 el desplazamiento es en el sentido positivo del eje y, y si k < 0 el desplazamiento es en el sentido negativo (fig. 1 y 2). La función y = f(x – h) h) es la función f trasladada h unidades en el eje x. x. Si h > 0 el desplazamiento es en el sentido positivo del eje x, y si h < 0 es en el sentido negativo (fig. 3 y fig. 4). La función y = f(x – h) + k k es la función f desplazada k unidades en el eje y, y h unidades en el eje x. Si h y k son positivos, entonces: y = f(x) + k
y = f(x) – k
y
y f
y
y
x
x fig. 2
f
f
f
fig. 1
y = f (x + h)
y = f(x – h)
x
x fig. 3
fig. 4
EJEMPLOS 1.
En la figura adjunta, se tiene la gráfica de la función f(x f(x)) = 3x. ¿Cuál es la gráfica de la función f(x) = 3x + 3? y 3 2 1 -3 -2 -1 -2 -3
Página 69
1 2 3 x
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2.
GEPM- LIBRO N°3 La figura adjunta m muestra uestra la gráfica de la función y = x2. ¿Cuál es la gráfica de la función 2 y = (x + 1) ? y
x 3.
La figura adjunta muestra la gráfica de la función y = y = -1 + x + 2 ?
x . ¿Cuál es la gráfica de
y
x
4.
La gráfica de la función y = x3 es la que aparece en la figura adjunta. ¿Cuál es la gráfica de y = (x – 2)3 + 2? y
8
-2
2
x
-8
A)
B)
y
C)
y
D)
y
E)
y x
2 2 x
-2
2 1
-2
x
1 2
x
RESPUESTAS 1.
y
-3 -2 -1 -2 -3
Página 70
2.
3 2 1
3.
y
4. E
y
1 2 3 x
x
y
x
x
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GEPM- LIBRO N°3
SIMETRIA DE GRÁFICA DE FUNCIONES Sea y = f(x) una función.
La función y = - f(x) es simétrica a la función f(x) respecto al eje x. x. (fig. 1). La función y = f(-x) es f(-x) es simétrica la función f(x) respecto al eje y. y. (fig. 2). y = -f(x) y
y = f(-x) y
f
f
x
x
fig. 1
fig. 2
EJEMPLOS 1 La figura adjunta, muestra la gráfica de la función f(x) = f(x) = -
-x
?
x.
¿Cuál es la gráfica de
y
x
2.
En la figura adjunta, f(x)= 3 x está representada gráficamente al lado izquierdo (2a), y g(x) está representada al lado derecho (2b), la cual es una reflexión de f(x) con respecto del eje y, ¿cuál(es) de las siguientes funciones tienen como gráfico g(x)? I) h(x) =
3
-x
y
y
3
II) t(x) = - x III) u(x) = - 3 -x A) B) C) D) E)
x
Solo I Solo II Solo III Solo I y II I, II y III
f(x)
RESPUESTAS 1.
y
2. D x
Página 71
(2a)
x (2b)
g(x)
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FUNCIONES PARES Son aquellas que al sustituir la variable independiente por dos valores opuestos, resultan valores iguales. f(x) = f(-x) FUNCIONES IMPARES
Son aquellas que al sustituir la variable independiente por dos valores opuestos, resultan valores opuestos. f(x) = -f(-x) OBSERVACIÓN: Las OBSERVACIÓN:
funciones pares tienen una gráfica que es simétrica respecto al eje de las ordenadas, mientras que las funciones impares tienen gráficas simétricas con respecto del origen del sistema de coordenadas. EJEMPLOS 1.
Si f es una función par, tal que f(5) = 9, entonces -f(-5) es
2.
¿Cuál de las siguientes funciones con dominio een n el conjunto de los númer números os reales, es impar? I) f(x) = x3 II) f(x) = 2x – 3 III) f(x) = x
3.
¿Cuál(es) de los siguientes gráficos puede representar una función par? I) y
II) y
x
RESPUESTAS 1. -9 - 9 2. Solo I y III Solo III Página 72
III) y
x
x
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FUNCIÓN PARTE ENTERA f(x) = [x] con x lR
Dado un número real x, la función parte entera le entera le asigna el mayor entero que entero que es menor menor o o igual a igual a x. y Su representación gráfica es 4 f(x) = x 3 2 x f(x) 1 -3 x < -2 -3 -2 x < -1 -2 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x -1 -1 x < 0 -1 0 x < 1 0 -2 1 x < 2 1 -3 2 x < 3 2 -4 3 x < 4 3 OBSERVACIÓN: A OBSERVACIÓN:
la gráfica de esta función se le llama “función escalonada”.
EJEMPLOS 1.
¿Cuál es el valor de la expresión [0,85] + [-2,1]?
2.
Sea f(x) = [x – 3], entonces ¿cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) verdaderas(s)? I) f(1,75) – f(2,8) = -1 II) f(-1,2) – f(-3,7) = 2 III) f(0) + f(7,2) = 1
Página 73
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3.
Sea f la función f(x) = [x] + [-x], entonces f(-1,3) + f(3,6) =
4.
¿Cuál(es) d dee las siguientes funciones puede representar el gráfico de la figura adjunta? I) II) III)
f(x) = [x – 1] f(x) = [x] – 1 f(x) = [x + 1]
y 1 -3 -2
A) Solo I B) C) D) E)
5.
-1
1
2
x
3
-1 -2 -3
Solo II Solo III Solo I y II Solo II y III
¿Cuál es la función representada en el gráfico de la figura adjunta? A) f(x) = [x + 2] B) f(x) = [x – 2] C) f(x) = 2[x] D) f(x) = E) f(x) =
[x] 2 x 2
RESPUESTAS 1. -3 2. I, II y III 3. -2 4. C 5. D
Página 74
y2 1 -2
0 -1
2
4
x
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GEPM- LIBRO N°3 EJERCICIOS ADICIONALES
I. VERDADERO O FALSO 1. _____ La raíz de la ecuación 3x + 5 = 0 es 0. 2. _____ Dada la ecuación 2x + 5y =y 3, six x = 4, entonces y = -1. 3. _____ Si x = 2, y = 3, entonces x – y = -1. 4. _____ Si a b = a – b, entonces 5 3 = 2. 5. _____ Si a b = ab – 4, entonces (-1) 4 = 1. 6. _____ Dada la expresión a b = a2 + 2ab + b2, entonces a b = (a + b)2. 7. _____ Si a b = a2 + 2ab + b 2 con a = 5 y b = -3, entonces 5(a b) = 25. II. EJERCICIOS DE DESARROLLO 1.
Si p2 + pq = 12 y p + 7 = 5, entonces el valor de q es
2.
Si un número excede a su tercera parte en lo mismo que su quinta parte excede aall opuesto de 7 , entonces ¿cuál es el doble del número? 15
3.
4.
La suma de tres números impares consecutivos es 1. 1.502.403, 502.403, entonces ¿cuál es la diferencia entre el menor y el mayor?
El valor de x en la ecuación
a2 bx 2a + b = es b x 1
Página 75
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5.
1 1 1 1 = + con p x x q
6.
Sea n un número de dos cifras, donde la cifra de las unidades es x y ésta es 5 unidades mayor que la cifra de las decenas. ¿Cuál es el sucesor de n?
7.
Con una cuerda de 44 cm se forma un rectángulo de tal forma que el largo es igual al doble del ancho, aumentado en una unidad. ¿Cuál es el largo del rectángulo?
8.
De un curso de 30 alumnos, la tercera parte son mujeres, y de éstas, la mitad aprobó la asignatura de matemática. Si todos los hombres menos dos aprobaron matemática, ¿cuántos alumnos del curso reprobaron?
9.
Una he herencia rencia de $ 1 1.058.000 .058.000 fue repartida entre tres hermanos de diferentes edades, de modo que el hermano mayor recibe el doble de lo que recibe el hermano del medio, aumentado en $ 2.000 y este último recibe el doble de lo que recibe el hermano menor, aumentado en $ 2.000. ¿Cuánto recibió el hermano menor?
x, p y q distintos de cero, entonces x es igual a
Página 76
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10. Dos vehículos, distantes entre si 40 kkm, m, viajan en d dirección irección a una misma ciudad, que se encuentra a 400 km del más lejano. Si el vehículo más cercano a la ciudad viaja con una velocidad constante de 90 km y el otro vehículo viaja con una velocidad constante de hr
120 km , ¿a qué distancia se encontrarán ambos vehículos justo en el momento en que el hr
más lento llega a la ciudad?
11. Dada la ecuación de la recta 3x + 7y – 21 = 0. Determine las coordenadas donde la recta corta al eje de las abscisas y al eje de las ordenadas.
12. Grafique las rectas a) 3x + 2y + 6 = 0 y
0
b) 3x – 2y + 6 = 0 y
x
c) 3x + 2y – 6 = 0
x
d) -3x + 2y = -6
y
0
0
y
x
0
x
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13. Dada la recta de eecuación cuación y = a(x + 4), determine en cada caso el valor de dell parámetro a de modo que: a) la recta pase por el punto (0, 1). b) la recta pase por el punto (2, 3). c) la recta pase por el punto (0, 0).
14. Dadas la graficas adjuntas, determine las ecuaciones generales respectivas y
y
2
2
0
3
x
0
-3
y 2
x
3
-3
0
x
-2 -2
15. Grafique a) 2x – 8 = 0
b) 3y + 12 = 0
y
c) Todo punto del plano de la forma (x, 5).
y
0
y
0
x
y
0
x
d) Todo punto del plano de la forma (4, y).
0
x
x
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16. Dado el sistema a) x + y
2x + 5y = 16 5x + 2y = 19
, determine
b) x – y
17. Dado el sistema de ecuaciones
c) (x + y)(x – y)
2x + 3my = 2 3tx 2y = 12
d) x ∙ y
, determine el valor de los parámetros m
y t para que la solución del sistema sea (3, -4).
ax + by = -c dx ey = f
18. Dado el siguiente sistema de ecuaciones proposiciones es (son) verdadera(s)?
, ¿cuál(es) de las siguientes
I) Si a · e = d · b, entonces el sistema tiene solución única. II) Si a · e = d · (-b) y b · f = e · c, entonces el sistema tiene infinitas soluciones. III) Si -a · e = d · b y -b · f = -e · c, entonces el sistema no tiene solución.
19. Dado el sistema de ecuaciones
mx + ny ny = m2 + n nm m
, determine
2
nx + my my = n + mn mn
a) x + y b) x – y c) x ∙ y
20. Se tienen lápices, libros y cuadernos que en total son son 32 unidades. En Entonces, tonces, se puede determinar el número de cuadernos, si: (1) El total de unidades de lápices y libros son 24. 7
(2) Los lápices son 10 y los libros l ibros equivalen a
4 de
los cuadernos.
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GEPM- LIBRO N°3 III. PROBLEMAS PROBLEMAS DE PLANTEAMIENTO
PROBLEMAS DE EDADES
Ejemplo resuelto:
Ejemplo resuelto:
Si el doble del antecesor de un número es igual al número aumentado en dos unidades, ¿cuál es número? Solución: Número desconocido __________ x Antecesor del número __________ x – 1 Número aumentado en 2 __________ x + 2
Ecuación: 2(x – 1) = x + 2 Ecuación: 2x – 2 = x + 2 2x – x = 2 + 2 x=4 Respuesta: El número es el 4 Resolver los siguientes problemas: 1. El triple de un, número aumentado en dos es igual al cuádruplo del número, disminuido en cuatro, ¿cuál es el número?
2. La suma de tres números enteros consecutivos es 126. Determinar el sucesor del número mayor. 3. Carlos, Juan y Andrés se reparten un
Hace 10 años la edad de Rodrigo era el triple de la edad de Camila y dentro de 5 años será el doble de la edad de Camila menos 10 años. ¿Cuáles son las edades actuales de Rodrigo (R) y Camila (C)?
R C
Hace 10 años
Edad Actual
En 5 años más
3x x
3x + 10 x + 10
3x + 15 x + 15
Ecuaciones 3x + 15 = 2(x + 15) – 10 3x + 15 = 2x + 30 – 10 3x + 15 x ==52x + 20 Sus edades actuales son: Rodrigo = 3x + 10 = 3(5) + 10 = 25 años Camila = x + 10 = 5 + (10) = 15 años
Resolver los siguientes problemas 1. La edad de Nicolás duplica la edad de Pablo y hace cinco años la edad de Pablo era un tercio la edad de Nicolás, ¿qué edad tendrá Nicolás en 10 años?
premio. mitaddeldelresto total,y Juan se Carlos queda recibe con unlatercio Andrés con lo que queda del premio, que corresponden a $ 200.000. ¿A ¿A cuánto asciende el premio?
4. ¿Cuánto hay que restar a (12a – b) para obtener (5a – 8)?
5. La capacidad de un estanque es de (5L + 8) litros y contiene (3L – 4) litros, entonces ¿cuántos litros faltan para llenarlo?
2. Hace 12 años la edad de Constanza era el doble de la edad de Agustín. En 10 años más la edad de Agustín será la edad de Constanza menos 8 años. ¿Cuál es la edad de Agustín?
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Conjunto solución Dada la ecuación 3x + 4 = 16 – 3x 3x la solución de la ecuación para x = 2 se verifica sustituyendo la solución en paréntesis 3 ∙ (2) + 4 = 16 – 3 ∙ (2)
8=8 Verdadero o falso Tabla 1 VoF 1. ___ 2. ___ 3. ___ 4. ___ 5. ___
Solución x=3 x = -4 k=5 y=2 x=c
Ecuación 3x + 4 = 13 3x + 4 = 16 12 – 3k = -3 5y – 2 = 0 x – a = 2c + a
6. ___
x = b – a
x + 2b + a = 2x + b + 2a
Tabla 2 Ecuación de primer grado
1.
4x – 5 = 2x + 3 4x – 2x = 3 + 5 2x = 8 x = 4 4 4x + 3 = 0
2.
3x + 2 = 2(x + 4) + x – 6
3.
4x + 7 = 3(x + 4)
4.
5.
4(x + 2) = 3(x + 4)
2(x + 1) = (x + 3) + x
Tabla 3 Solución
x=4
Ecuación literal
Solución
Para x = ax – 1 = bx + 1 2 ax – bx = 1 + 1 a b a b N°5 GEPM- LIBRO (a – b)x = 2 1. 4ax – a = a + 4x Para x =
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2. y(x – 2) = y(y–2) + x
Para x =
3. v =
d t
Para d =
4. v =
d t
Para t =
5.
1 2 b = + R b a
Para R =
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Ecuaciones con coeficiente fraccionario (Tabla 4) Ecuación x 5 1 = / 3 2 4
Ecuaciones fraccionarias (Tabla 5)
Sol.
Ecuación 2 3 = 6 x+3
12 · (mcm)
4x – 30 = 33 3 / + 30 4x = 33 4 4x 1 x + 3 = + 5 4 2
33 4
1.
2.
3x + 2 2
=
x+4
/ · 6(x + 3)
2 · (x 2x++3)6 = = 618· 3 2x = 12 x=6
x=
1.
4 3 + = 0 5 3x + 1
2.
2 3 = x+2 x+4
Sol.
6
3
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3.
2 : 3 – 2x : 3 = -1
3.
x+3 4 = x+7 x+7
4.
4x + 7 : 3 = 3(x + 4) : 2 + 2
4.
1 + 3 : (x – 2) = (x + 1) : (x – 2)
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IV. INECUACIONES Dada la inecuación 3x + 8 ≤ 5 el conjunto solución se d etermina:
3x + 5 8 / -5 3x + 5 – 5 8 – 5 3x 3 /:3 3x 3
3
Intervalo
Conjunto
]-, 1]
{x lR / x ≤ 1}
Gráfica
lR – ]1, +] 1
3
x 1
1.
Inecuación 5x +16 ≤ 6
2.
3x + 8 > 5
3.
16 – 5x ≤ 2 – 6x
4.
8 – 3x < -5x + 2
5.
-3x + 8 < 5(x + 2)
Complemento
Intervalo
Conjunto
Gráfica
Complemento
GEPM- LIBRO N°5 MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING x + 2 3
-3 x + 2 y x + 2 3 -5 x -5 x x 1x 1 6.
x + 1 < 2
7.
x – 1 0
[-5, 1]
lR – {]-, -5[]1, +[}
{x lR/-5 x ≤ 1} -5
1
Página 83
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PROGRAMA MENTORING
GEPM- LIBRO N°3 Inecuación
Intervalo
Conjunto
]-,-3[]7, [
{x lR / x > 7 x < -3}
]-1, 4]
{x lR / -1 < x 4}
Gráfica
Complemento
x – 2 > 5
x – 2 > 5 ó x – 2 < -5 x>7 x < -3 x>7 x < -3 8.
x + 1 > 2
9.
x – 1 0
10.
x + 5 < -2
3x 9 3 4x + 6 > 2
2x 3 < 6 10 3x < 4
12.
3x 2 < 7 3 3x < -6
13.
2x + 3 5 -3x + 7 4
lR – [-3, 7]
7
3x – 9 3 y 4x + 6 > 2 3x 3 + 9 4x > 2 – 6 3x 12 4x > -4 x 4 x > -1 x 4 x > -1 11.
-3
-1
4
lR – {]-,-1] ]4,+[}
MATEMÁTICAS GEPM- LIBRO N°5
PROGRAMA MENTORING
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MATEM TICAS
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V. FUNCIONES A)
Complete correctamente las siguientes oraciones
1.
Una ___ ____________ _________ eess una relación entre dos conjuntos n no o vacíos, de form formaa que a cada elemento del conjunto de partida le corresponda uno y solo un elemento en el conjunto de ____________.
2.
El conjunto de valores que permiten que la ffunción unción exista es el _ ____________. ___________.
3.
El ____________ son todos los elemen elementos tos de dell conjunto de llegada que tienen asoci asociado ado un elemento en el conjunto de ____________.
4.
La función de la forma y = f(x) = mx, con m 0 0,, se deno denomina mina _______ ____________. _____.
5.
La función de la forma y = f(x) = mx + n, con m y n 0, se deno denomina mina _____ ____________. _______.
6.
La imagen de 5 en la función f(x) = 3x – 5 es ____________.
7.
La pre imagen de 1 en la función f(x) = 3x – 5 es ____________.
8.
La función f(x) = x tiene como dominio el conjunto de los números ____________ y como recorrido los ____________.
9.
La función f(x) = x + 2, tiene como ____________ todos los valores de x pertenecientes a los números ____________ y como ____________ los valores de y tales que ____________.
10. La función f(x) = [x], ttiene iene como dominio eell conjunto de los números ____________ y como recorrido el conjunto de los números ____________. 11. Las gráficas de las funciones f(x) = de las ____________.
x
12. Las gráficas de las funciones f(x) = de las ____________. B)
GEPM- LIBRO N°5 MATEMÁTICAS simétricas con respecto al eje
y g(x) =
x
-x son
PROGRAMA MENTORING
y g(x) = -
x
son simétricas con respecto al eje
Marque con una cruz cuál(es) de las siguientes gráficas define una función en el intervalo [a, b]: y
1)
y
2)
a b
x
a
y
3)
b
x
a
b
x
Página 85
MATEM TICAS
PROGRAMA MENTORING
GEPM- LIBRO N°3 4)
5)
y
6)
y
y
a
a a
b
y
7)
b
x
8)
b x
x
9)
y
y
a b x
10)
11)
12)
y
a
C)
x
b x
a
y
y
b
x
a b
a GEPM- LIBRO N°5 MATEMÁTICAS bx
x
PROGRAMA MENTORING
Para cada una de las siguientes funciones encuentre el Dominio y el R Recorrido. ecorrido. Complete en el diagrama, utilizando flechas para unir los valores correspondientes. 1) f(x) = x + 1 A _ _ _ _ _
f
2) g(x) = 2x B
A
1 2 3 4 5
_ _ _ _
Dominio Recorrido f: ____________
g
B 2 4 6 8
Dominio Recorrido g: ____________
Página 86
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GEPM- LIBRO N°3 12 x
3) h(x) = A
h
4) i(x) =
B -2 -3 4 -4 9 2 16 3 25 4 36 5 6 Dominio i: ____________ Recorrido i: ____________
Dominio h: ____________ Recorrido h: ____________ 5) p(x) = A
x+1 4
p
3 11 15
6) q(x) = x2 + x + 1
B
A
0 1 2 3 4 5
1 2 3 4
x
q
B 2 3 7 13 21
GEPM- LIBRO N°5 MATEMÁTICAS
Dominio p: ____________ Recorrido p: ____________ D) Dada la función f(x) = y Recorrido.
i
A
B
3 4 6 12
_ _ _ _
x
Dominio q: ____________ Recorrido q: ____________
PROGRAMA MENTORING
. Grafique las siguientes funciones indicando Dominio y f(x) =
x
x 1) f(x) = y
-x
2) f(x) = y
x Dominio: _________ Recorrido: ________
x
3) f(x) = y
x Dominio: ________ Recorrido: _______
-x
x Dominio: ________ Recorrido: _______
Página 87
MATEM TICAS
PROGRAMA MENTORING
GEPM- LIBRO N°3 4) f(x) = 1 –
x + 1
1 x
6) f(x) = -1 –
y
y
y
1
1
1
1
-1
x
-1
1
x
-1
1
1 x
x
-1
-1
-1
E)
5) f(x) = 1 +
Dominio: _________
Dominio: _________
Dominio: _________
Recorrido: ________
Recorrido: ________
Recorrido: ________
Grafica las siguientes funciones, indicando ssu u Dominio y Recorrido. 1) f(x) = [x]
2) f(x) = [x + 1]
y
3) f(x) = [x] + 2
y x
y x
Dominio: _________ Recorrido: ________
Dominio: _________ Recorrido: ________
4) f(x) = [2x]
x 5) f(x) = 2
y
Dominio: _________ Recorrido: ________
GEPMLIBRO N°5 Dominio: _________ MATEMÁTICAS Recorrido: ________
PROGRAMA MENTORING 6) f(x) = 2[x]
y
x
x
y
x
Dominio: _________ Recorrido: ________
x
Dominio: _________ Recorrido: ________
Página 88
MATEM TICAS
PROGRAMA MENTORING
GEPM- LIBRO N°3
F) Sopa de Letras S N O I C N U F I N A T 1. 2. 3. 4.
O E A F I N T N A I N R
M O R E C O R R I D O O
C R E C I E N T E X I P
O E T T L G R A F I C O
N S N U I I P S E L A L
S A E V A L U A R O L O
T P E A N O I P R F S S
A I T D O M I N I O A J
N T R O D D R A E N R U
T O A R R O M A N A T A
E S P A E S L M I E L N
Reemplazar un elemento de su dominio en una función. Una función de la forma f(x) = ax, con a 0. El mayor entero menor o igual al número. Función cuya gráfica sube de izquierda a derecha.
Una función de la forma = ax exista. + b, con a 0 y b 0. Valores que hacen que laf(x) función Los valores que corresponden a las imágenes de d e los elementos del dominio. Función que asigna a cada elemento de su dominio un mismo valor. Efecto gráfico que se produce en una función al sumar un valor a la variable independiente o a toda la función. 10. Una función que satisface la relación f(x) = f(-x), paro todos los valores de su dominio. 11. Relación que asigna a cada elemento del conjunto de partida uno y solo un elemento del GEPM- LIBRO N°5 conjunto de llegada. 12. Representación geométrica de una función.
5. 6. 7. 8. 9.
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VI. EJERCICIOS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE MÚLTIPLE 1.
La recta L de ecuación 6y + 3x = 2 intersecta al eje de las abscisas en el punto P como muestra la figura adjunta. El valor de la abscisa del punto P es 1 3
A) - B)
3
2 3 1 D) 3 2 E) - 3
y L
C)
P
x
(Fuente: DEMRE 2012)
Página 89
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2.
GEPM- LIBRO N°3 ¿Cuál(es) de los siguientes gráficos podría(n) representar a una recta de ecuación y = ax – 3? I)
y
II)
y
y
III)
3
x
x -3
A) B) C) D) E) 3.
x
-3
Solo I Solo II Solo III Solo I y II Ninguno de ellos.
(Fuente: DEMRE 2012)
Sea (-2, 8) u un n punto que pertenece a la recta de ecuación y =
x 2 . m
El valor de m es
1
A) - 2
B) -3 C) 0 D)
1 2
E) 3
GEPMLIBRO (Fuente: DEMREN°5 2011) MATEMÁTICAS
4.
PROGRAMA MENTORING
¿Cuál de los siguientes pares de ecuaciones se representan en el gráfico de la figura adjunta? y A) 2y + x = 4; 2y – x = 4 B) C) D) E)
2y –– x x==2; -2y 2;2y -2y+ +x x=2= 2 2y + x = 4; -2y + x = 4 y + 2x = 8; y – 2x = 8
2 -4
4
x
(Fuente: DEMRE 2010)
5.
Si P es el conjunto de todos los puntos del plano de la fo forma rma (3, yy)) y S es el co conjunto njunto de todos los puntos del plano de la forma (x, 2), entonces el único punto común entre los conjuntos P y S es A) B) C) D) E)
(5, 1) (3, 2) (2, 3) (1, -1) (0, 0) (Fuente: DEMRE 2010)
Página 90
MATEM TICAS
PROGRAMA MENTORING
6.
GEPM- LIBRO N°3 Con respecto a
x+y=3 x y=1
, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)? I) (x + y)(x – y) = 3 II) 2x = 4 A) B) C) D) E) 7.
III) 2y = 2 Solo I Solo I y II Solo I y III Solo II y III I, II y III
En el sistema
(Fuente: DEMRE 2012)
3x my = 9 nx + 4y = 11
, ¿qué valor debe tener m y n, respectivamente, para que la
solución del del sistema sea x = -1 e y = 3? A) -4 y 1 B) 4 y 1 C) -1 D) -4 y -1 E) -2 y -23 8.
En el sistema
(Fuente: DEMRE 2011) 3x + y = 1 x + ay = b
. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?
GEPM- LIBRO N°5 MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING
I) Si a = b = 1, entonces el sistema no tiene solución. II) Si a = -1 y b = 1 1,, entonces el sistema posee infinitas so soluciones. luciones. III) Si a = 1 y b = -1, entonces el sistema posee una única solución. A) B) C) D) E)
Solo III Solo I y II Solo I y III I, II y III Ninguna de ellas. (Fuente: DEMRE 2010)
9.
Dado el sistema A) B) C) D) E)
x + y = 7a + 3b x y = 7a 3b
, el valor de y es
0 3b 6b 7a 14a (Fuente: DEMRE 2008)
Página 91
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GEPM- LIBRO N°3
10. Se tienen naranjas, tomates y papas que en conjunto pesan 3 kg. Se puede determinar eell peso de las papas, si se sabe que: (1) Las naranjas y las papas, juntas pesan 2 kg. (2) Los tomates y las papas, en conjunto c onjunto pesan 1,750 kg. A) B) C) D) E)
(1) por sí sola (2) Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional (Fuente: DEMRE 2009)
11. Claudio tiene $ x, su hermana hermana Viviana tiene $ 30 más que el doble doble de lo que tiene Claudio. ¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas representa el dinero que tiene Viviana, en pesos? A) 30x + 2 B) 2x + 30 x + 30 2 D) x + 2 2 30 E) x + 60 60
C)
(Fuente DEMRE: P.S.U. 2012)
2
12. Si t – 7 = 8, entonces la diferencia entre t y A) B) C) D)
-15 209 22 121
E) 217
GEPM- LIBRO N°5 MATEMÁTICAS 4 , en ese orden, es igual a 2
PROGRAMA MENTORING
(Fuente: DEMRE P.S.U. 2012)
13. Si T = 2m – 6n, entonces, -2T es igual a A) B) C) D) E)
-4m + 12n 4m – 12n -4m – 12n m – 3n -m + 3n (Fuente DEMRE: P.S.U. 2012)
Página 92
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GEPM- LIBRO N°3
14. Si x 0, ¿cuál de las siguientes expresiones es equivalentes a x – x-1? A)
x 1 x
B) 0 C) x2 – 1 D)
x2 1 x
E) 2x (Fuente DEMRE: P.S.U. 2012)
15. Si m y n pertenecen a los números enteros positivos, donde m < n, ¿cuál de las siguientes expresiones es mayor que m ? n
I) II) III) A) B) C) D) E)
m n n m+n
nn n+1
Solo I Solo II Solo III Solo I y II Solo II y III
GEPM- LIBRO N°5 MATEMÁTICAS
(Fuente DEMRE: P.S.U. 2012) PROGRAMA MENTORING
16. Si 6 – 2x = 14, entonces x – x2 es igual a A) B) C) D) E)
-20 -10 -30 10 30 (Fuente DEMRE: P.S.U. 2009)
17. Si 3,6x = 3 36 6 y 4,8 · 100 = w, en entonces tonces x · w es igual a A) 48 B) 480 C) 4.800 D) 48.000 E) ninguno de los valores anteriores. (Fuente: DEMRE P.S.U. 2012)
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GEPM- LIBRO N°3
18. Un niño escogió un número, le sumó 12 y luego dividió el resultado por 2, obteniendo su edad. Si su hermano menor tiene 12 años y la diferencia entre las edades de ambos es 2 años, entonces el número que escogió el niño es A) B) C) D) E)
8 10 12 14 16 (Fuente: DEMRE P.S.U. 2012)
19. Si la cuarta parte de la edad de una persona es 8 años, entonces la mitad de su edad más un año es A) B) C) D) E)
2 años 5 años 16 años 17 años 33 años (Fuente: DEMRE P.S.U. 2010)
20. Si x e y son dos números reales positivos, tal que x2 + y 2 = 6xy con x mayor que y ¿cuál es el valor de la expresión x + y ? x y
A) 2 2 B) 2 C) 2 2 D) 2 E) Ninguno de los anteriores.
GEPM- LIBRO N°5 MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING
21. ¿Cuál debe ser eell valor de x para que la expresión
(Fuente: DEMRE P.S.U. 2012) 9 3 sea 2 x
igual al inverso aditivo
de -3? A) B)
2
6 15 6 C) - 15 D) 1 18 E) 25
(Fuente: DEMRE P.S.U. 2010)
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GEPM- LIBRO N°3
22. Juan en 10 años más ten tendrá drá el doble d dee la edad qu quee tenía hace 5 años. ¿Qué edad te tendrá ndrá Juan en un año más? A) B) C) D) E)
21 años 20 años 16 años 15 años 11 años (Fuente: DEMRE P.S.U. 2008)
23. Si al doble de 1 108 08 se le resta m se obtiene n y el triple de n es 123, ¿cuál es el valor de m? A) B)
93 67 175
C) 2 D) -175 E) 175 (Fuente: DEMRE P.S.U. 2011)
MATEMÁTICAS
GEPM-enLIBRO 24. Una fábrica de zapatos debe entregar un pedido de T pares de de zapatos 3 días.N°5 Si eell primer día entrega
2 5
de él, el segundo día
1 3
1 del resto, PROGRAMA MENTORING 4
de lo que resta y el tercer día
entonces lo que quedó sin entregar es A) B) C) D) E)
1 T 10 9 T 10 3 T 10 1 T 5 1 60
(Fuente: DEMRE P.S.U. 2011)
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GEPM- LIBRO N°3
25. Se repartió una h herencia erencia entre cinco hermanos, dos tíos y una prima. Si cada hermano recibió la séptima parte de la herencia y cada tío la mitad de lo que recibió cada uno de los hermanos, ¿qué parte de la herencia recibió la prima? A) B) C) D) E)
2 7 5 7 11 14 1 7 3 14
(Fuente: DEMRE P.S.U. 2011)
26. Si f(x) =
1 x , 2x 1
entonces f(-1) =
A) 0 B) C) -12 D) -2 2 3
E) -
27. ¿Cuál de los siguientes puntos pertenece a la representación gráfica de la función GEPM- LIBRO N°5 f(x) = 3x + 1?
MATEMÁTICAS
A) B) C) D) E)
(-2, -1) (-2, 2) (-1, -2) (1, -2) (-1, 2)
PROGRAMA MENTORING
28. Si f(x) = 4, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son (son)) verdadera(s)? I) f(2) = 4 II) f(x – 4) = 0 III) f(2x) = 8 A) B) C) D) E)
Solo I Solo II Solo III Solo II y III I, II y III
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GEPM- LIBRO N°3
29. De acuerdo con el gráfico de la figura adjunta, ¿cuál de las siguientes igualdades es (son) correcta(s)? y
I) f(1) + f(3) = f(-1) II) f(0) + f(3) = f(2) – f(0) III) f(1) – f(4) = f(2) A) B) C) D) E)
Solo I Solo I y II Solo I y III Solo II y III I, II y III
4 2
-1
1 2 3 4
x
-2 -4
30. Sea f y g funciones, tales que, g(x) = 1, para x ≥ 2; g(x) = -1, para x < 2 y f(x) = x para x ≥ 0. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? verdadera(s)? I) f(g(x)) está def inida inida para x ≥ 2. II) g(f(x)) está definida para todos los números reales III) f(g(4)) = g(f(4)) A) B) C) D) E)
Solo I Solo II Solo III Solo I y III I, II y III
GEPM- LIBRO N°5 MATEMÁTICAS (Fuente: DEMRE P.S.U. 2015)
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31. Sea P un número real distinto de cero y f la función definida por f(x) f(x) = px, con dominio een n los números reales. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA FALSA,, con respecto a f, para algún valor de P? A) B) C) D) E)
La preimagen imagen de la de dosentero números reales es laentero. suma de sus imágenes. desuma un número es un número La preimagen de cero es cero. La imagen del doble de un número es el doble de d e la imagen del número. La imagen de p es un número real no negativo. (Fuente: DEMRE P.S.U. 2015)
32. Un técnico cobra un cargo fijo de $17 $17.000 .000 más $1.500 por hora de trabajo. ¿Cuál de las siguientes funciones modela el cobro, en pesos, para un trabajo de n horas de este técnico? A) g(n) = 17.000n + 1.500 B) f(n) = 17.000 + 1.500n C) h(n) = 18.500n D) · 1.5000n · E) p(n) q(n) = = 17.000 n + 18.500
(Fuente: DEMRE P.S.U. 2015)
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GEPM- LIBRO N°3
33. Sea f: ]-, 3] B, definida por f(x) = (x – 3) 2, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)
f no es inyectiva. Si B es [0, +[, entonces f es epiyectiva. Si f es biyectiva, entonces su inversa es f -1(x) =
- x + 3
Solo I Solo II Solo III Solo II y III I, II y III (Fuente: DEMRE P.S.U. 2017)
34. Sea f una función tal que f: lR lR. Se puede determinar que f es biyectiva si se sabe que: (1) Todas las rectas paralelas al eje x intersectan la gráfica de f, en exactamente un punto. (2) Todas las rectas paralelas al eje y intersecta a la gráfica de f, en exactamente un A) B) C) D) E)
punto. (1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere informacional
GEPMLIBRO (Fuente: DEMRE P.S.U.N°5 2017) MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING 35. Sea la función f, cuyo dominio es el conjunto {1,2,3}, definida por f(x) = x – 1, sea la función g, con dominio en el conjunto {0,1,2,3}, definida por g(x) = x + 1 y sea la función h con dominio en el conjunto de los números enteros definida por h(x) = 3. ¿Para cuál de las siguientes funciones el 3 NO NO es es parte del dominio? A) B) C) D) E)
h o (f o g) g o (h o f) f o ( h o g) g o (f o h) h o (g o f) (Fuente: DEMRE P.S.U. 2017)
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GEPM- LIBRO N°3 RESPUESTAS EJERCICIOS ADICIONALES
I. VERDADERO O FALSO 1. F
2. V
3. V
4. V
5. F
6. V
7. F
II. EJERCICIOS DE DESARROLLO a b a+b
1. -4
2. 2
3. -4
4.
6. 11x – 49
7. 15 cm.
8. 7
9. $ 150.000
11. (7, 0); (0, 3)
12a. y
12b.
x
3
1 4 1 2
a) b)
c) 0
80
2
-2
x x
-3
13.
2pq q p
10. kilómetros 12d. y
12c. y
y 3
-2
5.
2
x
-3
15a. 15b. y 15c. 14. y y a) 2x + 3y – 6 = 0; 5 2x – 3y – 6 =0 b) 2x + 3y – 6 = 0; x 2x – 3y + 6 = 0 x 4 GEPMLIBRO N°5 x -4 c) 2x – 3y + 6 = 0; 2x + 3y + 6 = 0 16. 17. a) 5 1 4 m= ; t= 19. b) 1 3 9 18. Solo II) es a) x + y = m + n c) 5 verdadera b) x – y = m + n c) x ∙ y = 0 x d) 6
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15d. y
4
20. El número de cuadernos es 24. Cada una por sí sola. III. PROBLEMAS Planteamiento 1. 6 4. 7a – b + 8 2. 44 5. 2L + 12 3. $ 600.000
Edades 1. 30 años 2. 20 años.
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GEPM- LIBRO N°3 Tabla 1 1. V 4. F 2. F 5. F 3. V 6. V
Tabla 3
Tabla 2 1. x =
-
3 4
2. lR
1. x =
4. x = 4 5.
2. x =
1. - 55
3.
2 7
4.
6
2.
y 1
3. d = vt Tabla5
5 2 34 15
y2
1
y 1
3. x = 5 Tabla 4
a a 2(a 1)
4. t =
1. - 19 3. 1 12
2. 2
5. R =
4. lR – {2}
d v v
0
ab 2a + b2
b2 -2a
IV. INECUACIONES Intervalo ]-, -2] ]-1, +[ ]-, -14] ]-, -3[ ]-0,25, +[ ]-3, 1[ 1 ]-, -3[ ]1, +[ ]-, +[ ]2, 4,5[ 1
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9 10. 11. 12. 13.
Conjunto {x lR / x -2} {x lR / x > -1} {x lR / x -14} {x lR / x < -3} {x lR / x > -0,25} {x lR / -3 < x < 1} {x lR / x = 1} {x lR / x < -3 ó x > 1} {x lR} {} {x lR / 2 < x < 4,5} {} {x lR / x = 1}
V. FUNCIONES A) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
función llegada dominio recorrido partida función lineal función afín 10 2 lR lR 0 dominio reales recorrido y 2
10. reales 11. ordenadas 12. abscisas
Complemento lR – ]-2, +[ lR – ]-, -1] lR – ]-14, +[ lR – [-3, +[ lR – ]-, -0,25] lR – {]-, -3] [1, +[} lR – {]-, 1[ ]1, +[} lR – [-3, 1] lR – GEPM- LIBRO N°5 lR – lR lR – {]-, 2] [4,5, +[} lR – lR lR – {]-, 1[ ]1, +[}
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B)
Son funciones:
1. 2. 5. 6.
7. 8. 10.
Página 100
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GEPM- LIBRO N°3
C)
D) Dominio
Recorrido
1)
lR 0
lR 0
{2,4,6,8}
2)
lR 0
lR 0
{3,4,6,12}
3)
lR 0
lR 0
{4,9,16,25,36} {2,3,4,5,6}
4)
{x lR / x -1}
{y lR / y 1}
5)
{3,11,15}
{1,3,4}
5)
{x lR / x 1}
{y lR / y 1}
6)
{1,2,3,4}
{3,7,13,21}
6)
{x lR / x 1}
{y lR / y -1}
1)
Dominio {0,1,2,3,4}
Recorrido {1,2,3,4,5}
2)
{1,2,3,4}
3)
{1,2,3,4}
4)
E) Dominio 1) lR 4)
lR
Dominio 2) lR
5)
Recorrido
Dominio 3) lR
Recorrido
lR
6)
Recorrido
lR
F) S N O I C N U F I
O E A F I N T N A
M O R E C O R R I
C R E C I E N T E
O E T T L G R A F
N S N U I I P S E
S A E V A L U A R
T P E A N O I P R
A I T D O M I N I
N T R O D D R A E
T O A R R O M A N
E S P A E S L M I
GEPM- LIBRO N°5 MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING
N I D X I L O F O N A E A N O I C A L S A R T L T R O P O L O S J U A N VI. EJERCICIOS DE SELECCIÓN MÚL MÚLTIPLE TIPLE 1. C
6. E
11. B
16. A
21. A
26. E
31. B
2. D
7. A
12. B
17. C
22. A
27. C
32. B
3. A
8. A
13. A
18. E
23. E
28. A
33. D
4. A
9. B
14. D 19. D
24. C
29. E
34. A
5. B
10. C
15. E
25. D
30. D
35. A
20. B
Página 101
MATEM TICAS
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GEPM- LIBRO N°3
Aprendizajes Esperados Libro 3 El alumno al finalizar el libro los alumnos:
Reconocen las ecuaciones lineales y las resuelven. Transforman enunciados en ecuaciones de primer grado, resolviéndolas y analizando los resultados según el contexto o situación. Analizan y determinan las condiciones que se deben cumplir para que una ecuación de primer grado tenga una única solución, infinitas soluciones o no tenga solución. Plantean y resuelven problemas o situaciones mediante ecuaciones lineales. Grafican rectas en dos dimensiones, di mensiones, reconociendo pendiente y coeficiente de posición. Transforman las ecuaciones de una recta a sus diversas formas: ecuación principal, ecuación general, ecuación de los segmentos. Plantean sistemas de ecuaciones lineales representando situaciones planteadas y las resuelven, considerando la pertinencia de los resultados. Representan intervalos mediante lenguaje conjuntista. Resuelven inecuaciones utilizando operaciones de conjunto. Plantean sistemas de inecuaciones y resuelven, representando las soluciones usando intervalo enexistencia los reales.y pertinencia de los resultados de los sistemas de inecuaciones de Analizan la acuerdo al contexto. Aplicar modelos lineales que representan la relación entre variables. Comprender los conceptos y propiedades de la composición de funciones. Analizar las condiciones para la existencia de la función inversa. Analizar las distintas representaciones de la función lineal, su aplicación en la resolución GEPM- LIBRO N°5 de diversas situaciones problema. Reconocer la función afín; analizar las situaciones que modela y estudiar las variaciones producidas por la modificación de sus parámetros. Identificar funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas y determinar la función inversa cuando proceda.
MATEMÁTICAS
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Revisa el Tema 2: Álgebra y Funciones I, módulo Ecuación de Primer Grado; y el Tema 6: Álgebra y Funciones II, módulos Ecuación de la Recta, Sistema de Ecuaciones, Inecuaciones, Funciones en www.preupdvonline.cl
GEPM- L03
Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra web http://www.pedrodevaldivia.cl/
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