Algebra y Analisis Tensorial

ALGEBRA Y ANALISIS TENSORIAL

Por Javier de Montoliu Siscar, Dr. Ing. Ind. 5ª Edición. Octubre 2004.

PROLOGO Este ensayo tiene por finalidad facilitar los cálculos propios del Algebra Lineal, en especial los que se refieren a los distintos temas propios de las ciencias física y geométrica en su relación con un espacio puntual afín siempre propiamente euclidiano, a base de considerar la tridimensionalidad como un caso particular de la n-dimensionalidad con n finito. No se desarrrollan pues de momento, sus aplicaciones a la física relativista ni cuántica.

posibles

Esta Algebra y Cálculo Tensorial es especialmente útil, pues no opera solamente con magnitudes tensoriales propiamente dichas (que incluyen vectores y escalares), sino que permite considerar como tales en el cálculo, a los operadores lineales ó multilineales, facilitando así la formulación de las imágenes que determinan. Entre los operadores expresables tensorialmente se incluyen derivadas, derivadas direccionales ó parciales, así como magnitudes integrales. El simbolismo elegido para los tensores es intrínseco, y se ha limitado la utilización y descripción de sus componentes característicos y de las bases vectoriales adoptadas, a los casos en que ha sido necesario ó conveniente para una definición ó una demostración. En cuanto a la expresión de sus componentes característicos en cifras, se hace excepcionalmente a título de ejemplo ó caso particular. El álgebra que se utiliza, se halla definida en el segundo capítulo del texto, y en el resto del texto, se hace la aplicación del álgebra a un estudio parcial detallado de diversos tensores y sus relaciones. En la primera parte se dedica una atención especial a los tensores de segundo orden y a su relación con las matrices cuadradas. En la segunda parte ponemos el acento sobre las aplicaciones del álgebra a la expresión tensorial de las magnitudes diferenciables ó integrables así como de las derivadas espaciales y diferenciales y a la expresión intrínseca de las fórmulas de Stokes y Ostrogradski. Barcelona 10 de febrero de 2002.

TABLA DE CONTENIDO PROLOGO

1

TABLA DE CONTENIDO

I

ALGEBRA TENSORIAL

1

A.- GENERALIDADES.

1

B.- FUNDAMENTOS DEL ALGEBRA TENSORIAL INTRINSECA A DESARROLLAR 1.- Algunos aspectos del espacio vectorial E propiamen-te euclidiano y de dimension finita y de los espacios vectoriales E⊗s (n finito) construído sobre E, con cuyos elementos opera el álgebra. 2. Estructura y propiedades principales del álgebra. 3.- Tensores y aplicaciones lineales. 4.- Operación contracción de tensores. 5.- Observaciones.

3

3 4 7 8 9

C.- TENSORES EN GENERAL. 1.- Norma, módulo, núcleos e imágenes de un tensor. 2.- Simetrías y antisimetrías en los tensores. 3.- Simetría y antisimetría m,p 4.- Simetría y antisimetría 1,2. 5.- Tensores totalmente antisimétricos 6.- Tensores totalmente simétricos y h-simétricos. 7.- Tensores isótropos. 8.- Particularidades del espacio tridimensional. 9.- Particularidades del espacio bidimensional. 10.- Polinomios tensoriales.

11 11 16 18 20 22 38 42 44 48 50

D.- TENSORES E⊗2 DE 2º ORDEN 1.- Generalidades. 2.- Matrices de coeficientes tensoriales. 3.- Producto matricial de tensores de 2ºorden. 4.- Tensor fundamental. 5.- Tensores isótropos. 6.- Invariantes de un tensor.Traza. 7.- Determinante de un tensor. 8.- Valores y vectores propios de un tensor. 9.- Grupos de tensores. Potencias matriciales. 10.- Tensores ortogonales. 11.- Tensores semejantes. 12.- Tensores simétricos definidos positivos. 13.- Tensores simétricos semidefinidos positivos.

55 55 57 62 66 69 71 73 75 80 89 90 91 93

ANALISIS TENSORIAL

95

A.- ESPACIOS PUNTUALES. DERIVADAS. 1.- Espacios puntuales afines. 2.- Utilización del vector ∇. I

95 95 104

3.- Derivación de expresiones tensoriales. 106 5.- Integrabilidad espacial. 112 →. 6.- Funciones de función de x 115 7.- Campos vectoriales particulares en un espacio puntual afín n-dimensional. 117 B. VARIEDADES. INTEGRACION. 1.- Variedades y cuerpos. 2.- Politopos y tensores totalmente antisimétricos. 3.- Magnitudes de volumen. 4.- Fórmulas de Stokes y de Ostrogradski. 5.- Integraciones en general.

119 119 120 126 127 131

C.- INTEGRALES Y CAMPOS PARTICULARES. →r-n. 1.- Integrales →de volumen relativas a r 2.- Valor de ∇D para cualquier cuerpo. 3.- Campos solenoidales. 4.- Campos irrotacionales, 5.- Campos armónicos.

135 135 143 145 152 156

D.- ECUACIONES DIFERENCIALES 1.- Ejemplos de ecuaciones diferenciales.

159 159

E.- SERIES POLINOMICAS.

163

APENDICE-1

170

APENDICE-2

171

INDICE DE EQUACIONES

173

II

ALGEBRA TENSORIAL

A.- GENERALIDADES. 1.- Este texto tiene por objeto el estudio de un álgebra propia del conjunto de tensores afines construídos sobre un espacio vectorial E propiamente euclidiano n-dimensional, considerados intrínsecamente y tomando escalares y vectores como tensores de orden 0 y 1 respectivamente. 2.- Supondremos familiarizado el lector elementos de álgebra lineal y en particular con vectoriales, tensores, matrices y determinantes.

con los espacios

3.- En general, expresaremos los escalares por letras griegas minúsculas: α,µ,π, etc., los vectores por letras normales →, w →, etc., y los minúsculas con flecha en la parte superior: v tensores por letras griegas minúsculas con flecha en la parte →w →) son escalares complejos, sus superior: → ρ, → σ, etc. Si α ó (v → →) ó α* y (v →w →)*. ¯¯ conjugados se representarán por ¯ α y (v w Normalmente, cuando un escalar es un coeficiente de un →, lo representaremos con la misma letra v sin vector tal como v flecha y con un subíndice o supraíndice, por ejemplo: v2, vi, v3,etc. Si es un coeficiente de un tensor →τ, se representará por la letra normal minúscula t correspondiente, seguida de los subíndices y supraíndices, necesarios para su identificación, escritos uno a continuación del otro. Ejemplo: t1214 Una matriz se expresará con una letra mayúscula ó como un conjunto jde elementos. Sea por ejemplo la matriz A = {λji}. La expresión λi significará un elemento de la matriz, cuya identificación dependerá de la convención adoptada. Hache convendremos que el supraíndice indica la fila, en este caso j, y que el subíndice indica la columna, en este caso i. De esta manera, λ32 no representa a la matriz A, sino a un elemento determinado de ella, el de fila 3 y columna 2. Sea un sumatorio ∑nk=m → ak. Lo representaremos por ∑nm → ak si no hay duda sobre la magnitud que toma valores y si tampoco hay → o simplemente por duda respecto a los valores límites, por ∑ka k → ∑ak. 4.- Se adopta el convenio de Einstein: Siempre que en un monomio figure dos veces el mismo índice, una vez como superior y otra como inferior, se debe, salvo aviso en contra, sumar los monomios obtenidos dando a este índice todos los valores posibles. 1

Si esto ocurre con más de un índice, habrá que sumar los monomios obtenidos dando a estos índices todos los valores posibles. → = v 1v → + v2v → + ..... + vnv → viv i 1 2 n aijbji = a11b11+a12b21+..+a21b12+a22b22+....+an1b1n+an2b2n+..

2

B.- FUNDAMENTOS DEL ALGEBRA TENSORIAL INTRINSECA A DESARROLLAR 1.- Algunos aspectos del espacio vectorial E propiamen-te euclidianos y de dimension finita y de los espacios vectoriales E⊗ (n finito) construído sobre E, con cuyos elementos opera el álgebra. 1.01.- Bases duales. Por ser E propiamente euclidiano tenemos E* = E, o sea que E es dual de sí mismo en el sentido siguiente: A toda base de E corresponde una base dual también de. E, que sólo coincide con la primera cuando ésta es ortonormal. Por otra parte, consideraremos a los vectores de E como tensores de orden uno y representaremos como base principal de E → } y como base dual a {e →j}, sabiendo que verifican a {e i →e →j = e →je → = δj (símbolo de Kronecker). e i i i Por consiguiente podemos tomar como bases de E⊗s, las siguientes: → ⊗e → ⊗..⊗e → }, {e i j s

→i⊗e → ⊗..⊗e → }, {e → ⊗e →j..⊗e →s}, etc. {e j s i

1.02.- Expresiones de un tensor. a) Todo tensor de E⊗s puede expresarse por una combinación lineal de productos tensoriales elementales, es decir, correspondientes a elementos de E×s: r τ =

r

r

r

∑ α (a ⊗ b ⊗..⊗ p ) i

i

i

i

b) Teniendo en cuenta que cada r factores tensoriales simples se pueden representar por un tensor de orden r, todo tensor de orden mayor que uno, se puede representar también en forma einsteniana de la siguiente manera: →τ = → →i σi⊗µ c) La notación ordinaria einsteniana de un tensor en función de bases duales, es: →τ = tij..s(e → ⊗e → ⊗..⊗e → ) = ti ..s(e → ⊗e →j⊗..⊗e → ) = ..... i j s j i s → } como base Si no se indica lo contrario tomaremos {e i principal y en consecuencia los coeficientes escalares se denominan: Contravariantes: tij..s 3

Covariantes:

tij..s

Mixtos:

tij..s, etc.

Si y sólo si la base es ortonormal, se verifica: tij..s = tij..s = tij..s = .... 2. Estructura y propiedades principales del álgebra. 2.01.- Operaciones fundamentales. El conjunto E⊗ toma la estructura de un álgebra estableciendo las siguientes operaciones fundamentales entre sus elementos: 1º.- Multiplicación tensorial. 2ª.- Multiplicación contracta. que pasamos a precisar. 2.02.- Multiplicación tensorial. →τ ∈ E⊗s Definimos como producto tensorial de un tensor m (s+m) →τ⊗σ → de E⊗ por un tensor σ∈ E⊗ a un tensor de las características propias de la estructura tensorial que suponemos conocida. Nos limitaremos ahora a recordar las siguientes: → ≠ 1ª.- No conmutatividad: En general →τ⊗σ

→ →. σ⊗τ

→⊗π →)=(σ →⊗τ →)⊗π → = → →⊗π → 2ª.- Asociatividad: → σ⊗(τ σ⊗τ 3ª.- Distributividad a derecha e izquierda: →” →=σ →’+σ →”; →τ=τ →’+τ →”): → →= → →’+ → →”+ → →’+ → (σ σ⊗τ σ’⊗τ σ’⊗τ σ”⊗τ σ”⊗τ 2.03.- Multiplicación contracta. Entre los posibles, definimos como producto contracto normal de dos tensores →τ y → σ y lo expresamos sin signo especial, a un tensor →τ→ σ, que tiene por orden el módulo de la diferencia de órdenes de los factores, sujeto a las siguientes leyes: 1ª.- Conmutatividad:

→τ→ σ = → σ→τ

2ª.- Distributividad a derecha e izquierda: →=σ →’+σ →”; →τ=τ →’+τ →”): → →’+ → →”+ → →’+ → →” (σ σ→τ= → σ’τ σ’τ σ”τ σ”τ 3ª.- El producto contracto entre vectores de E coincide con 4

el producto escalar en E. 4ª.- El producto contracto de dos productos tensoriales elementales, se verifica ordenadamente del modo siguiente: → → → → ⊗a → ⊗...⊗a → ⊗a → ⊗...⊗a → )(b (a 1 2 m m+1 n 1⊗b 2⊗...⊗b m) = → →b →→ →→ → → = (a 1 1)(a 2b 2)...(a mb m) [a m+1⊗...⊗a n] Cada paréntesis () indica un producto escalar cuyos factores son los pares de vectores situados en el mismo orden de colocación de derecha a izquierda de los tensores factores, hasta agotar los vectores del tensor de menor orden. con

Puede verse fácilmente que esta operación es compatible las propias de los espacios vectoriales de tensores. 2.04.- Notaciones einstenianas normales. Ejemplos. →i⊗e →j⊗e → ); → → ⊗e →) Sean los tensores →τ=tijk(e σ=slm(e k l m → → = [t k(e →i⊗e →j⊗e → )] ⊗ [slm(e → ⊗e → )] = π = →τ⊗σ ij k l m

1º.-

→i⊗e →j⊗e → ⊗e → ⊗e →) = tijkslm(e k l m pijklm = tijkslm → →i⊗e →j⊗e → )][slm(e → ⊗e → )] = ρ = →τ→ σ = [tijk(e k l m

2º.-

→ie → )(e →je → )e → =t ksije → = tijkslm(e l m k ij k rk = tijksij Para este producto, las bases utilizadas para el primer factor deben ser duales de las utilizadas para el segundo factor. 2.05.- Teoremas fundamentales de esta álgebra. Teorema 1º.- Dados tres tensores →τ, → σ y → µ construidos → sobre E, tales que el orden de τ es igual o mayor que el de → σ, se verifica: →→ → = (σ →⊗µ →)τ → (τ σ)µ Dada la distributividad de productos tensoriales y contractos, bastará demostrarlo para el caso de que los tres tensores sean productos tensoriales simples. Efectivamente, para → ⊗...⊗a → → → ⊗a σ = a →τ = b → 1⊗b → 2⊗...⊗b → r⊗b → ⊗...⊗b → 1 2 r r+1 s → → → → µ = c1⊗c2⊗....⊗ct tendremos: → → → →τ→ →b →→ →→ σ = (a 1 1)(a 2b 2)...(a rb r)[b r+1⊗...⊗b s] → → = a → ⊗a → ⊗...⊗a → ⊗c → ⊗c → ⊗...⊗c → σ⊗µ 1

2

r

1

2

t

5

y por consiguiente: → → → → →→ → = (a →b → → )...(a →b → → ⊗....⊗c →] (τ σ)µ 1 →1)(a 2b 2 r →r)[b r+1⊗...⊗b s][c 1⊗c → →2 →t → → → → → → → → → (σ⊗µ)τ= (a b )(a b )...(a b )[c ⊗c ⊗....⊗c ][b ⊗...⊗b ] 1

1

2

2

r

r

1

2

t

r+1

s

Teorema 2º.- Dados tres tensores → σ, →τ y → µ construidos → sobre E, tales que el orden de σ es inferior al de →τ, se verifica: →→τ)⊗µ → = (τ →⊗µ →)σ → (σ Bastará demostrarlo para los mismos tensores de la demostración anterior, con lo que → σ→τ tomará el valor allí expresado. Tendremos además: → → → → → → → →τ⊗µ → = b → 1⊗b2⊗...⊗br⊗br+1⊗...⊗b s⊗c1⊗c 2⊗....⊗c t y por consiguiente: → → → → → → → → →b → → )...(a →b → σ→τ⊗µ = (a 1 →1)(a 2b 2 r →r)[b r+1⊗...⊗b 1⊗c 2⊗....⊗c t] → → →s⊗c →τ⊗µ →)σ → = (a → b )(a → b )...(a → b )[b ⊗...⊗b → → →] ⊗c ⊗c ⊗....⊗c 1

1

2

2

r

r

r+1

s

1

2

t

Teorema 3º.- Sean 4 tensores →τ, →τ’, → σ y → µ construidos → → sobre E, tales que τ y τ’ son de igual orden. se verifica: →→τ’)(σ →→ →⊗σ →)(τ →’⊗µ →) (τ µ) = (τ →’τ → es un escalar, y podremos escribir: Pues →τ→τ’=τ →→τ’)(σ →→ →’τ →)σ →]µ → (τ µ) = [(τ y por el teorema 1º: → = (τ →⊗σ →)(τ →’⊗µ →) →→τ’)(σ →→ →’(τ →⊗σ →)]µ (τ µ) = [τ 2.06.- Un coeficiente escalar de un tensor →τ de orden s, relativo a una base tensorial compuesta por vectores de un par de bases duales de E, es igual al producto contracto de →τ por un producto tensorial de dichos vectores base con índices en igual posición y orden. Podemos demostrarlo, por ejemplo para tijk: →j⊗e → ) = [ti'j' (e → ⊗e → ⊗e →k')](e →i⊗e →j⊗e →) = →τ(e →i⊗e k k' i' j' k → e →i)(e → e →j)(e →k'e →) = = ti'j'k'(e i' j' k

tijk

y evidentemente la demostración es análoga para cualquier otro coeficiente. → 2.07.- Cambio de coordenadas de un tensor → τ al pasar → de una base {ei} de E y su dual, a una nueva base {fj} y su dual, relacionadas con las anteriores por: → → →; →m; fj = αjie fk = βmke αjiβik = δkj = símbolo de Kronecker i 6

→ → →g →h → ⊗e → ⊗e →s⊗e →t)= tvw (f Sea por ejemplo →τ= tirst(e i r gh v⊗f w⊗f ⊗f ) → → → → t→ →i]⊗[βwe →r]⊗[αse → tvwgh= →τ(fv⊗fw⊗fg⊗fh) = →τ([βive r g s]⊗[αhe t])= →i⊗e →r⊗e → ⊗e → ) = βvβwαsαttir = βivβrwαgsαht →τ(e s t i r g h st Como βiv,βrw,αgs y αht corresponden a matrices de cambio de bases, que son regulares, las nuevas coordenadas son función regular de las anteriores. Para todo tensor, se obtienen análogamente las coordenadas nuevas de cualquier tipo a partir de las antiguas del mismo o distinto tipo. 2.08.- Se demuestra que un conjunto de escalares función de una base de E, define a un tensor de E⊗, si y sólo si, con un cambio de bases, los escalares varían como si fueran los elementos de un conjunto de coeficientes tensoriales de un mismo tipo determinado. Entonces el conjunto de escalares coincide con el conjunto de coeficientes del mismo tipo correspondientes a algún tensor. También se demuestra que un conjunto de escalares, función de una base de E, define a un tensor → π, o sea que es el conjunto de coeficientes de → π, de algún tipo, cuando al operar →, como si así fuera para hallar los coeficientes de → π→ σ ó de → π⊗σ → siendo σ un tensor cualquiera, hallamos un conjunto de escalares que define a un tensor. 2.09.- Para E propiamente euclidiano, el producto contracto aquí definido, induce en todos los espacios vectoriales E⊗ de tensores afines a E, un producto escalar que también los hace propiamente euclidianos. 3.- Tensores y aplicaciones lineales. → 3.01.- (s+m) Los productos contractos de un tensor π ⊗ ⊗s determinado dem E por los distintos vectores de E , son vectores de E⊗ que varían linealmente con ellos. Por lo tantos dichos productos son las imágenes de una aplicación lineal de E⊗ ⊗m en E representada por el tensor → π. El tensor de E⊗(s+m) correspondiente a la aplicación → → } de E⊗s tiene por imagen {f lineal por la que unaj → base {g ), i j → } la base dual de {g → }. iEn → ⊗f ) siendo {g vamos a ver que es (g j j efecto: → → → →j⊗f →j→ → (g j)g i = (g g i)f j = f i 3.02.- De acuerdo con el párrafo anterior, la aplicación lineal idéntica vendrá representada por el tensor →i⊗g → = g → ⊗g →i g i i referido a cualquier par de bases duales, pues por el teorema 1 y '2.06, tenemos: 7

→i⊗g → )a → = (g →ia →)g → = aig → = a → (g i i i Para los vectores de E, la aplicación lineal idéntica vendrá representada por un tensor de 2º orden: → → ⊗e →i = e →i⊗e → I = e i i →i} y {e → } bases duales de E. con {e i → El producto contracto de I por un producto tensorial →⊗b →) cualquiera de dos vectores de E, es el producto escalar de (a ambos. Pues tenemos: → → → →→ → → →b I(a ⊗b) = (Ia )b = a → 3.03.- Coeficientes de I. → Los coeficientes tensoriales de I contravariantes constituyen las matrices de cambio de→ base de una base a su dual y los coeficientes covariantes de I forman las matrices del cambio inverso. Los coeficientes mixtos forman la matriz unidad. Pues podemos escribir: → → ⊗e →) = → →i →i = gije → I= gij(e eii⊗gije→jj = → eii⊗e ⇒ e i j → i j → → → → → → → →jj I= g (e ⊗e ) = e ⊗g e = e ⊗e ⇒ e = g e ij

ij

→ i → →j →k I= g jj(eii⊗e ) = → ek⊗e → → ⊗e →) = → →k I= gi (e ek⊗e j

⇒ ⇒

i

i

ij

g jj = δ jj (símbolo de Kronecker) gi = δi (símbolo de Kronecker) i

i

Por cálculo vectorial sabemos que las matrices de cambio inverso son inversas. También →se verifica que las matrices covariante y contravariante de I son las fundamentales para las bases duales fundamentales gije→ii = gije→ =

e→j = e→j =

→i⊗e → ) = (e→je→i)e → e→j(e i i → → → → → →ii e j(ei⊗e ) = (e ie j)e

⇒ ⇒

gij = e→ie→j gij = e→ie→j

4.- Operación contracción de tensores. La definiremos como un modelo. Sea un producto tensorial único → → → →τ = a →⊗b → ⊗c⊗d⊗..⊗m La contracción de los factores 2,4 es el tensor →→ → → →τ’= (b →) d)(a⊗c⊗..⊗m Si el tensor viene dado en forma normal en función de bases duales, tal como → ⊗e → ⊗e → ⊗e →l⊗..⊗e →m) →τ = tijk (e l..m i j k 8

la contracción 2,4 será: →τ’ = tijk (e →e →l)(e → ⊗e → ⊗..⊗e →m) = (j=l): tijk → → →m l..m j i k l..m (e i⊗ek⊗..⊗e ) Deducimos de aquí, que para efectuar esta última operación, hay que expresar previamente os dos factores tensoriales a suprimir, en sendas bases duales. 5.- Observaciones. Las magnitudes que se consideran en muchas partes de la Física no relativista, son asimilables a espacios vectoriales de tensores de orden 0, 1 ó mayor, isomorfos a los de E⊗, y sus relaciones mutuas, en muchos casos, se pueden expresar sin adoptar unidades de medida, ó sea intrínsecamente, a través de los conceptos y métodos algebraicos aquí establecidos, y de otros complementarios deducidos de ellos. Estimamos que esta álgebra tensorial puede facilitar considerablemente el estudio intrínseco de las relaciones entre magnitudes físicas y para su desarrollo, resulta indispensable el dominio en la aplicabilidad de los tres teoremas fundamentales aquí enunciados. De entre los productos contractos entre tensores que se pueden definir y que se usan, se ha elegido como normal el de aplicación más general, y que estimamos suficiente para nuestros fines. Una vez halladas las expresiones más sencillas ó convenientes, el cálculo numérico exige adoptar unidades de cada magnitud y por tanto la adopción de bases vectoriales que se correspondan debidamente entre ellas y entonces también tienen plena aplicación la expresión de tensores por coeficientes de notación einsteniana, expresión que en los casos sencillos se presta a la aplicación del cálculo matricial. Las matrices, también se pueden considerar como tensores, por lo general de orden uno y dos, y por tanto, sus relaciones intrínsecas también quedarán reflejadas en desarrollos diversos del álgebra tensorial aquí presentada. El álgebra que aquí se va a desarrollar, está dedicada especialmente a los tensores afines a E expresados en forma intrínseca, incluyendo entre ellos a vectores y escalares. En cuanto a bases y coeficientes, en general intervienen solamente para completar el estudio de los problemas o para aclarar o confirmar resultados, de acuerdo con el objeto del texto, que es únicamente intentar hacer ver las ventajas del método intrínseco de cálculo tensorial aquí desarrollado. Esta álgebra no se ha ampliado a los elementos de espacios construídos sobre espacios vectoriales herméticos, por la dificultad derivada de que, ya en los casos más sencillos, el producto hermítico de vectores no es en ellos conmutativo. 9

El método aquí utilizado para definir el álgebra y otras propiedades de los elementos de E⊗ (tensores construídos sobre E) al ser E propiamente euclidiano, tambien es utilizable cuando E sólo es euclidiano (no propiamente), si se tiene en cuenta que entonces en E no pueden existir bases ortonormales.

10

C.- TENSORES EN GENERAL. 1.- Norma, módulo, núcleos e imágenes de un tensor. 1.01.- Definición. Llamaremos aquí norma de un tensor →τ, al escalar →τ→τ y módulo de un tensor a la raíz cuadrada positiva de su norma. Consecuencias. → ⊗e → ⊗..⊗e →) a) Si →τ=tij..p(e es la representación i j p einsteniana del tensor en base del espacio fundamental, su norma valdrá: ij..p →τ→τ= tij..p(e → ⊗e → ⊗..⊗e → )t →i' →j' →p' tij..p i j p i'j'..p'(e ⊗e ⊗..⊗e )= t

Como adoptando una base ortonormal se tiene tij..p = tij..p, resulta que la norma se puede expresar siempre por una suma de cuadrados y por tanto es positiva, salvo el caso del tensor nulo, en el que será nula. → ⊗τ → ⊗..⊗τ → ) está expresado por un b) Si el tensor →τ= (τ 1 2 m producto tensorial de tensores, su norma es el producto de las normas de los factores. Aplicando las leyes del producto contracto, tendremos: →τ→τ = (τ → ⊗τ ⊗..τ → )(τ → ⊗τ ⊗..τ → ) = (τ → →τ )(τ → →τ )...(τ → →τ ) 1 2 m 1 2 m 1 1 2 2 m m → cuando {τ → } es un conjunto c) La norma del tensor →τ=∑τ i i de tensores de igual orden ortogonales dos a dos, es la suma de las normas de los sumandos: → + →τ +...+ →τ )(τ → + →τ +...+ →τ ) = →τ →τ + →τ →τ + .. + →τ →τ (τ l 2 2m l 2 2m 1 1 2 2 m m puesto que los productos con subíndices distintos son nulos por ortogonalidad. 1.02.- Como la norma definida para un tensor coincide evidentemente con la norma del mismo tensor considerado un vector del espacio vectorial de los tensores de su orden, podemos aplicar a este espacio vectorial las desigualdades de Schwartz obtenidas para espacios vectoriales en general. → La 1ª desigualdad, para dos tensores cualquiera →τ y → σ⊗µ supuestos no nulos y del mismo orden, es: →(σ →⊗µ →)][τ →(σ →⊗µ →)] [τ

→→τ)[(σ →⊗µ →)(σ →⊗µ →)] ≤ (τ

y transformando el 1º miembro por el teorema 1 fundamental, y el segundo miembro por el teorema 3º, queda así: →→ →][(τ →→ →] [(τ σ)µ σ)µ

≤

→→τ)(σ →→ →→ (τ σ)(µ µ)

Sustituyendo → µ por →τ→ σ de igual orden, se verificará también la siguiente desigualdad: 11

→→ →→ →→ →→ →→τ)(σ →→ →→ →→ [(τ σ)(τ σ)][(τ σ)(τ σ)] ≤ (τ σ)[(τ σ)(τ σ)] que por ser el corchete positivo podemos simplificar así: →→ →→ →→τ)(σ →→ [(τ σ)(τ σ)] ≤ (τ σ) Esta expresión generaliza la 1ª desigualdad de Schwartz al producto contracto de tensores cualesquiera. 1.03.- La anterior desigualdad nos permite definir el coseno del ángulo formado por dos tensores →τ y → σ no nulos cualesquiera, de módulos τ y σ. 1

≥

rr rr r r (τσ)(τσ) cos (τ,σ) = rr r r ; (ττ)(σσ) 2

rr r r τσ cos(τ,σ) = τσ

Este coseno sería de naturaleza vectorial, y no escalar, cuando →τ y → σ fueran de distinto orden. Tendría entonces un módulo inferior o igual a uno. Sólo sería nulo para → σ y →τ → ortogonales. Sería uno si τ se puede expresar así: →): (∃µ

→τ = → → σ⊗µ

⇒

→τ→ →→ → = σσµ →; →τ→τ = σσµµ σ = (σ σ)µ

como puede verse fácilmente sustituyendo estos valores en la →,σ →). expresión de cos2(τ 1.04.- Sea el producto contracto de un tensor →τ de orden s por otro cualquiera de un orden r igual o inferior a s. El tensor resultante, de orden s-r, varía linealmente con el factor de orden r elegido, y por tanto, se puede considerar a →τ como un tensor representativo de una aplicación lineal del espacio de los tensores de orden r en el espacio de los de orden s-r y por analogía procederemos a las siguientes definiciones: 1ª. Para →τ de orden s, llamamos núcleo de →τ de orden r, y lo expresamos por Nucr→τ, al conjunto de tensores → σ de orden r, tales que: → →τ→ σ = 0 ⇔ → σ ∈Nucr→τ 2ª. Para →τ de orden s, llamamos imagen de →τ de orden r, y lo expresamos por Imr→τ, al conjunto de tensores de orden r que resultan de la multiplicación contracta de →τ por cualquier tensor → σ de orden s-r: →τ→ σ = → µ

⇔

→ µ ∈Imr→τ

1.05.- Características de

núcleos e imágenes.

a) Nucr→τ y Imr→τ son subespacios vectoriales de tensores de orden r correspondientes a la aplicación →τ. b) Nucr→τ y Imr→τ por ser subespacios vectoriales de tensores de orden r tienen por dimensión máxima nr. que es la dimensión 12

del total espacio de tensores de orden r. c) Como para toda aplicación lineal, cuando los productos → } son un contractos de →τ por los tensores de un conjunto {σ i → conjunto independiente, también lo es {σi}. d) La sumar de dimensiones de Nucr→τ y Ims-r→τ cada uno en su subespacio es n . Efectivamente: Si dim Nucr→τ = nr, o sea todo el espacio, será nulo →τ, así como la dimensión de su imagen. → } de algún Si dim Nucr→τ = p3. 5.09.- Norma de un tensor totalmente antisimétrico →τ no nulo de orden q (q igual o menor que la dimensión n del espacio E fundamental).

→ } y {e →i} duales, es La expresión de →τ en bases {e i →τ = tij..r(e → ⊗e → ⊗..⊗e → ) = t(ij..r)e → i j r (ij..r) →τ = t (e →i⊗e →j⊗..⊗e →r) = t →(ij..r) ij..r (ij..r)e Teniendo en cuenta lo dicho en '1.01, y que hay q! productos iguales tij..rtij..r para cada coeficiente estricto, se verificará: (ij..r) →τ→τ = tij..rt t(ij..r) ij..r = q! t

(10) y por lo tanto: (11)

→ →(ij..r) = q! e (ij..r)e En los textos de álgebra exterior se define en general 25

como norma especial para estos tensores, el valor t(ij..r)t(ij..r) mientras que aquí hemos conservado el concepto general. 5.10.- Sea → σ un tensor totalmente antisimétrico →,b →,..,r →, con q≤s. cualquiera de orden s, y sean q vectores a De acuerdo con (8) y '5.01-2ª, se verifica: (12)

1→ → → → → →) = 1 → →⊗b →) - ∑ p(a →⊗b →)]= σ(a∧b∧..∧r σ[∑p∈Pp(a ⊗..⊗r ⊗..⊗r p∈I q! q! → →⊗b →) = → σ(a ⊗..⊗r

→ } una base de 5.11.- Sea {e →i } tales que v →= conjunto de n vectores {v j i 6ª habrá un único componente y podremos (13)

E n-dimensional, y el →τ→ ei. En virtud de '5.08escribir:

→ → ∧v → ∧..v → = →τe → ∧τ →e → ∧..∧τ →e → = (Det{t i})e → π = v 1 2 n 1 2 n j (12..n)

Si el conjunto hubiera sido de solamente q1), se verifica: 1 2 s →; → → ∧→ → ∧→ → ∧→ → ⊗→ e = e = ... = e = ±sV e vi = ±sV i v 2 v s v i → el tensor volumen del politopo, ó sea: siendo V

r sV =

1 r r r e1 ∧ e2 ∧...∧ es (s-1)!

Pues se verifica: r r 1 r r r r r 1 0 s-2 s-2 → ∧→ e = e1 ∧ es ∧ e2 ∧ e3 ∧...∧ es-1 = (−1)×(−1) sV = (−1) sV 1 v (s-1)! r r 1 r r r r r 2 1 s-3 s-2 → ∧→ e = e2 ∧ e1 ∧ es ∧ e3 ∧...∧ es-1 = (−1) ×(−1) sV = (−1) sV 2 v (s-1)!

y así sucesivamente.

→ Por otra parte, una vez descompuesto sVen sumandos → son productos tensoriales, tendremos que los que empiezan por e 1 1 2 → → → → → los de e1⊗v , los que empiezan por e2 son los de e2⊗v , y así sucesivamente. En cuanto al signo, tendrán el mismo que los 122

1 2 → ∧→ → ∧→ sumandos correspondientes de las expresiones e e que i v , 2 v , hemos visto en el último párrafo. Llegamos de esta manera al siguiente resultado:

s

∑

→ → ⊗→ → ⊗→ (e v1) = e vi = ±sV 1 i

1

2.05.- TEOREMA 3. Dado el politopo anterior, sea para cada cara un producto tensorial, el primero de cuyos factores es el vector de posición de su centro y el segundo su tensor volumen. El sumatorio de estos productos es igual al tensor volumen del politopo, y el resultado no varía con el origen adoptado para los vectores de posición. Adoptando primeramente como origen un vértice, consideremos a un (s+1)-topo de una variedad lineal s→ }, y sea → dimensional, generado por s vectores independientes {e r i → dei el vector de posición del centro de la cara opuesta a e → esi el tensor volumen → vi. En cuanto a la base supongamos que r vector de posición de su centro y → v su tensor volumen. Podremos escribir:

r 1r r 1r r r ei ri r r r r r r ri r r ri ⊗ ν +r⊗ ν = (r- )⊗ ν +r⊗ ν = r⊗(ν +Σ νi) - (ei ⊗ νi) = - (ei ⊗ νi) s s s v es nula. puesto que la suma de tensores volumen → Pero acabamos de ver que para cualquier valor de i, i → y sustituyendo → ⊗→ e v = ±sV se tendrá: i → → ⊗→ →⊗→ (27) r vi + r v = ±V i

Tomando en vez de O, otro punto O’ de referencia con →=a → los nuevos vectores de posición de los centros serían: ¯’ ¯O O

→' = r → + a →; r i i

→' = r → + a → r

y por lo tanto:

→' ⊗→ →'⊗→ → +a →)⊗→ →+a →)⊗→ r vi + r v = (r vi + (r vi = i i → ⊗→ →⊗→ →⊗[∑→ → ⊗→ →⊗→ = r vi + r v + a vi+→ v] = r vi + r v i i y obtenemos el mismo resultado. 2.06.- Superficie poliédrica cerrada. En un espacio puntual n-dimensional, denominaremos superficie poliédrica cerrada de s dimensiones, para s1, de elementos de volumen dV, que entre los tres, forman una variedad cerrada frontera de un cuerpo (m+1)-dimensional.

A

2 2 1

A 1

Uno de los segmentos A, es tubular, limitado a la vez por dos variedades cerradas 1 y 2, (m-1)-dimensionales. De los otros dos, uno (el 1) está limitado por la variedad 1 y el otro por la variedad 2. En virtud del párrafo adecuadamente, se verificará:

→ (λ=∇⊗→τ):

∫

A

r r λdV =

anterior

∫

2

r r λ dV −

y

∫

1

si

integramos

r r λ dV

→ Designando por Ψ ó flujo de λ a través de V, a las → → integrales ∫VλdV, podremos escribir: 132

(40)

r r Ψ A = ∫(A∆ ⊗ τ)dV = Ψ2 - Ψ1 =

∫

2

dΨ

1

Podemos observar que la operación que acabamos de describir, es análoga a la integración ordinaria, aunque ahora los términos Ψ no se refieren a aplicaciones puntuales sino a aplicaciones a variedades cerradas tal como 1 y 2, de dimensión inferior a la de V en una unidad. Aquí, el valor de cada término no varía si conservamos las fronteras 1 y 2 aunque cambien los segmentos. Pues cambiando, por ejemplo, el segmento 1 por otro 1’ cualquiera pero con igual frontera, y sin cambiar los otros dos, tendremos: 0 = Ψ2-Ψ1-Ψ A = Ψ2-Ψ ′1-Ψ A

⇒

Ψ ′1 = Ψ1

Esta integración, que para A corresponderá a segmentos infinitesimales de tubo, sólo se puede aplicar a cuerpos lineales (m=1), admitiendo que una línea es un cuerpo, cuya frontera son dos puntos extremos y que los puntos son variedades cerradas de dimensión 0. Este caso límite coincide entonces con la integración ordinaria. 5.05.- Fórmula de Ostrogradski, Recordaremos r escalar ∫ µdV

que relaciona una integral abierta de volumen de un cuerpo n-dimensional, con una v r r integral cerrada de vector superficie ∫ τds correspondiente a su frontera (n-1)-dimensional, de esta manera: (41)

→[∇⊗→τ]=∇→τ): µ=I (→

r r

∫ τ ds

=

∫

V

r µdV

Sabemos que todo tensor →τ es aplicable al primer miembro, hacerlo con cualquier tensor → µ en caso de que se pueda expresar en V

continuo y diferenciable en V mientras que no es posible el 2º miembro más que en el por → µ=∇→ τ para algún tensor → τ. → λ=∇⊗→τ corresponde siempre un A todo tensor integrable → → → → tensor ∇τ=I(∇⊗τ), siendo I el tensor idéntico de 2º orden.

Si a un tensor → µ determinado corresponde un tensor → τ, evidentemente también corresponderá otro tensor →τ’ cualquiera mientras cumpla la condición ∇→ τ =∇→ τ ’, ó sea que verifique: → ∇(→τ-→τ’) = 0 5.06,- En →el caso de un campo tensorial →τ que verifique uniformemente → µ=∇→τ=0 en todos los puntos del interior de un cuerpo, la ecuación (41) se transforma en la siguiente: 133

v r

∫ τds

r = 0

En el supuesto de un campo →τ así, sean 3 segmentos de superficie contínua (n-1)-dimensional de elementos vectoriales →, que entre los tres, forman una superficie frontera de un ds cuerpo.

2

1

A

Uno de los segmentos A es tubular, limitado a la vez por dos variedades cerradas 1 y 2, (n-2)-dimensionales. De los otros el 1 está limitado por la variedad 1 y el otro por la variedad 2. En virtud de la última adecuadamente, se verificará:

→ (∇→τ=0):

∫

A

r r τds =

∫

2

fórmula,

r r τds −

∫

1

y

si

integramos

r r τ ds

Designando por Φ ó flujo de →τ a través de s, a las →, podremos escribir: integrales ∫s→τds (42)

ΦA =

∫

r r τds = Φ2 - Φ1 = A

∫

2 1

dΦ

En la operación de integración que acabamos de describir, los términos se refieren a variedades cerradas tales como 1 y 2. Pues cambiando, por ejemplo, el segmento 1 por otro 1’ cualquiera pero con igual frontera, y sin cambiar los otros dos, tendremos:

0 = Φ2- Φ1- ΦA = Φ2 - Φ ′1- ΦA

⇒

Φ ′1 = Φ1

Esta integración para A, corresponderá a segmentos infinitesimales de tubo.

134

C.- INTEGRALES Y CAMPOS PARTICULARES.

→r-n. 1.- Integrales de volumen relativas a r 1.01.- Generalidades. Salvo aviso en contra, nos referiremos siempre a un espacio puntual afín euclidiano n-dimensional. Para una magnitud determinada, consideraremos que el campo de los tensores integrales es el de los puntos de →, para el referencia respectivamente adoptados como origen de r cálculo de cada tensor integral. 1.02.- Angulos sólidos. Sean un punto A que tomamos como origen, y un segmento de superficie (n-1)-dimensional dada. El ángulo sólido dω elemental con que desde A se ve un →, cuando ds → es elemento de superficie de expresión vectorial ds 1 → → la proyección de ds sobre su vector r de posición, es:

→r →r-n = (ds →r →r-1)r-(n-1) = ds r-(n-1) dω = ds 1 y el último miembro es la expresión habitual de dω. Para todo el segmento de superficie tendremos:

ω =

∫

S

rr dsrr − n

→r-n)=0 para todo punto Habiendo visto en A'7.04, que ∇(r → → con r≠0, sabemos por Ostrogradski (41), que siempre que se integre en una superficie cerrada en cuyo interior no se halla el → →=0 punto singular r , la integral es nula. -1 -(n-1) = Vr-n, Denominando kn a la constante Sn r correspondiente a toda esfera, cualesquiera que sean su radio r, su superficie (n-1)-dimensional S y su volumen V, es fácil hallar el valor de ω al integrar en una superficie cerrada y (n-1)dimensional. El resultado es el siguiente:

a) Punto exterior: ωe = 0 b) Punto interior: ωi = nkn = Sr-(n-1) = nVr-n Para valores 3 y 2 de n, tendremos: 4π (n=3): ; ωi = 4π kn = 3 (n=2): kn = π ; ωi = 2π

135

1.03.-

→ Ω=∫S[ds

Integral

→r-n] r

en

una

superficie

esférica. Sea en un espacio puntual afín n-dimensional una superficie esférica (n-1)-dimensional de radio R, centro O y → la expresión del escalar volumen S. Sea también el vector ds elemento de superficie correspondiente al punto N. Dado un punto A cualquiera del espacio, queda determinado en la recta OA un segundo punto A’, tal que se verifique O ¯A ¯·O ¯A ¯’ = R2 Esta propiedad es recíproca, y al punto A’ corresponde a su vez el punto A. Es fácil ver también que si uno de los puntos es exterior a la esfera, el otro es interior.

N

α

→ r

→’ r β

O

α

β

A’

A

→’ c → c

Si nos referimos al plano bidimensional determinado por los puntos A,O,N y que por tanto también contiene a A’, que hemos representado en la figura, y establecemos: →; r → →=A →’= A r ¯N ¯’ ¯N veremos que son semejantes los triángulos OAN y OA’N, con lo que son iguales los dos ángulos señalados con α así como los dos → → al vector A →’ ángulos señalados con β y designando por c ¯ O y por c → al vector A ¯’ ¯O, también podremos escribir:

r c R c c′ = = ; r = r′; r′ = r r′ R c′ R R 1.04.- Tanto si adoptamos un origen exterior a la esfera como un origen interior, el vector integral buscado, tendrá, por razón de simetría, la dirección AA’O. Por lo tanto, el módulo del mismo no variará si sustituímos cada sumando elemental de su expresión por su proyección en tal dirección. 136

Sustituyendo además los valores hallados para r ó r’ en el párrafo anterior, en caso de origen A exterior podremos escribir:

Ω =

∫[ds rr

−n

cos β] = ∫[ds r −(n −1)cos β] =

c-(n-1) -(n-1) c-(n-1) r ] = [ds cos β r’ -(n-1)] ’ -(n-1) -(n-1) ∫ R R

= ∫[ds cos β

Análogamente tomando A' interior como origen resulta:

Ω’ =

c’ -(n-1) [ds cos α r-(n-1)] -(n-1) ∫ R

Pero por una propiedad elemental del producto escalar, se verifica: →; → →’d →d r’ds cos β = r ¯s r ds cos α = r ¯s y sustituyendo estos valores queda:

Ω =

r c-(n-1) [(r’ds)r’ -n]; -(n-1) ∫ R

Ω′ =

c’ -(n-1) r [(rds)r-n] -(n-1) ∫ R

Las dos integrales que aquí figuran, hemos visto en '1.01, que son las expresiones de los ángulos sólidos con que se ve la superficie esférica de volumen escalar S desde los puntos A' y A respectivamente. Sabemos también por '1.01, que el correspondiente al punto A exterior es nulo y que el correspondiente al punto A' interior es el cociente de S dividido por R(n-1). Resulta pues:

Ω’ = 0;

Ω =

c-(n-1) S = Sc-(n-1) -(n-1) (n-1) R R

y queda finalmente: (43) (44)

Punto interior: Punto exterior:

→ → Ω→’ = 0; -n →c Ω = Sc

→ 1.05.- Integral D =

∫

→r-n] en una esfera. [µdVr

Consideremos una esfera de centro O y volumen V, como un conjunto de esferas huecas concéntricas diferenciales de radio ρ, superficie S, espesor dρ y volumen dVρ = Sdρ = dρ∫Sds. Hay en los puntos de la esfera, un campo escalar µ uniforme. → Cada esfera hueca contribuye a D con el valor:

→ = µ dD

∫

S

→r-n = µdρ dVρr 137

∫

S

→ →r-n = µdρΩ ds r

y podremos despreciar el efecto de la esfera hueca superficial. Caso 1º.- Origen A exterior a la esfera. → → = µVc →c-n = µdV c →c-n; →c-n dD = µdρ Sc D ρ →. →=A siendo c ¯O Caso 2º.- Origen A’ interior a la esfera. El conjunto de esferas huecas diferenciales que → nulo, encierran al origen producen un D ya que para cada una de ellas resulta Ω=0. Sólo habrá que considerar pues, el conjunto de las que no encierran el origen y forman una esfera de radio R’=c y volumen V’, con el punto en su superficie. Tendremos: → →c-n D = µV’c Como V’c-n es una constante escalar que solo depende de n, y que en '1.02 hemos representado por kn, la ecuación final será: → → (kn=V’c-n): D = knµc →. →=A siendo c ¯’ ¯O

→ no depende del radio de la esfera sino El valor de D solamente de la posición de su centro. Siendo A’ un punto singular de la función integral que estudiamos, para el caso→ de que A’ sea el centro de la esfera, tomaremos como valor de D correspondiente a A’, el valor límite nulo de la expresión anterior al tender c a cero.

4 En un espacio tridimensional: k3= π 3

138

→ → -n ¯l 1.06.- Tensor → π = ∫l(d ∧rr ). Vamos a ver a continuación el valor que adquiere este tensor integral cuando la integración se refiere a determinadas líneas y determinados puntos origen. 1.07.- Línea recta ilimitada con origen exterior.

→ l

→ ¯l d

N

→ m

A

β

→ r

→ a β dβ

Sea en la variedad bidimensional determinada por la recta y el origen P exterior, A un punto cualquiera de la recta →=r →, y N el pié de la perpendicular por P a la recta, con con P ¯A → → → no nulo. P ¯N=a. Tendremos a → → →=l →=a →+l → al Estableciendo N ¯A , tendremos r y llamando m → ¯l, podremos escribir: versor de d → → -n → → -n → → -n →+l →∧a →][dl r-n] ¯l ¯l ¯l d→ π = d )r = [d ∧(rr ) = d ∧[(a ∧a]r = [m pero se verifica:

dl =

rdβ a ; r = cos β cos β

⇒

dl =

a dβ ; r-n = a-n cosn β 2 cos β

Sustituyendo, tendremos: -n -(n-1) cos(n-2)β dβ (dl r ) = a

con lo que al integrar para toda la recta resulta: (Ver Apéndice) ⎡ ⎢α n = ⎣

∫

+

0

π 2

cosn-2βdβ = +

(45)

r r π = (m ∧ a)a −n(−1)

π 2

∫cos −

n −2

⎤ nkn ⎥: 2(n-1)kn-1 ⎦

r r β dβ = (m ∧ a)a −(n −1)2α n

π 2

139

En el caso de n=3 tenemos α3=1 y resultaría: r r 2(mxa) -2 → → → π = 2a (m∧a) = × a2

(46)

→ →=N 1.08.- Línea cualquiera con origen P exterior y a ¯P infinitamente pequeño. Si la línea es recta, es aplicable la fórmula (45). Pero ahora la integral que en ella figura, cuyos límites para toda recta ilimitada corresponden a puntos del infinito, difiere infinitamente poco de la que se obtiene tomando como límites los → valores correspondientes a dos valores de l finitos y opuestos. Así pues, a los efectos de aplicación de la fórmula (45), la totalidad de la línea recta es equivalente a un segmento cualquiera de la misma que conteniendo a N sea de longitud finita tan pequeña como se quiera. →r-n)] en una línea contínua ¯→ Por tanto el valor de ∫l[d l∧(r cualquiera, tomando como origen un punto P infinitamente próximo, → infinitesimal, no varía al sustituir la línea por →=P ó sea con a ¯N su tangente en N o bien por cualquier segmento finito de esta tangente que contenga a N. 1.09.- Integración en superficie cilíndrica. Consideraremos la intersección de un cilindro recto con un plano ó variedad lineal (n-1)-dimensional, que sea ortogonal a su eje y que contenga al origen P, y nos limitaremos a estudiar el caso de que el cilindro sea de revolución, es decir, que la intersección mencionada sea una esfera (n-1)-dimensional con su centro O en la intersección del plano con el eje del cilindro. La intersección de la superficie cilíndrica con tal plano es por tanto la superficie (n-2)-dimensional S de la esfera. Como para aplicar (45) a cada generatriz podemos →, y que sólo varía el vector a → considerar común un versor m correspondiente, podemos escribir para cada una de ellas:

→ →∧[ (dlr →r-n)] = 2α (m →∧a →)a-(n-1) = 2α m → → -(n-1)] π = m n n ∧[a a ∫ l

El pié N de la normal desde el origen a cada generatriz de la superficie del cilindro, es un punto superficial de la esfera intersección entre plano secante y cilindro y corresponde a un elemento diferencial ds de su superficie escalar Se. 1.10.- Teniendo en cuenta cada ds, e integrando en S para toda la superficie cilíndrica, podremos escribir:

→ πS =

∫

S

→ →∧{ ds[ πds = m ∫ S

∫

l

→r-ndl)]} = 2α m → →a-(n-1))] (r (dsa n ∧[ ∫ S

140

→ y sustituyendo la integral del último miembro por Ω tal como vimos en '1.05 2, quedará: → → →Ω (47) πS = 2αnm → De acuerdo con los valores de Ω indicados en '1.03, resulta finalmente: → → (48) a) Punto interior: πS = 0 (49)

→ →∧S c → -(n-1) πS = 2αnm e c

b) Punto exterior:

→ el vector de posición del centro de la esfera siendo aquí c respecto al origen. Por consiguiente, en el caso de punto exterior a un cilindro de revolución, el conjunto de generatrices con factor ds equivale a una sola línea recta axial con un factor Se= ∫ ds . 1.11.- Integrales de volumen en un cilindro de sección esférica. En un espacio puntual n-dimensional, consideraremos un cilindro de revolución, como un conjunto de tubos diferenciales de revolución coaxiales, de radio ρ, y espesor dρ. A este conjunto corresponde un conjunto intersecciones con un plano ortogonal al eje que contenga origen, que son las esferas huecas concéntricas diferenciales centro O, con iguales radio ρ y espesor dρ, consideradas '1.05, y por tanto podremos establecer: (50) → πV =

∫

ρ

→ →∧[ πsdρ = m

∫∫∫ ρ

S

l

de al de en

→dρ = 2α m → → →r-ndldsdρ)]= 2α m → (r n ∧D 1 n ∧∫ Ω

→ el valor en el origen del campo D → creado por las siendo D 1 esferas en el plano secante, y definido en '1.05, cuando µ=1. Conforme a lo explicado en '1.05, y teniendo en cuenta que el plano es (n-1)-dimensional y que las superficies esféricas son (n-2)-dimensionales, tendremos ahora: a) Origen exterior al cilindro: (51)

→ →∧Vc →c-(n-1) πV = 2αnm

→ el vector de siendo V el volumen escalar de toda la esfera, y c posición del centro de la esfera. Por consiguiente, en este caso, el conjunto de tubos con factor Sedρ equivale a un cilindro con factor V= ∫ρSedρ. b) Origen interior al cilindro: 141

(52)

→ →∧V’c →c-(n-1) = 2α m → → πV = 2αnm n ∧(kn-1c )

siendo V’ el volumen escalar de la esfera (n-1)-dimensional en → el radio ó vector de cuya superficie se halla el origen, c posición del centro de la esfera, y kn-1=V'c-(n-1) una constante escalar que sólo depende de n. → Del mismo modo que Ω es nulo para los puntos interiores a una superficie, ahora es nulo πv para los puntos interiores de un tubo. Por consiguiente un cilindro de revolución de radio R, para el cálculo de πV en un punto de su interior a distancia r del eje, equivale a otro cilindro coaxial de revolución con un radio r=c, siempre que se pueda despreciar el cilindro hueco correspondiente a su superficie. Para n=3 la dimensión de la esfera de intersección es 2 y tenemos kn-1=π. → 1.12.- Representemos por H a la siguiente integral de volumen de un cilindro recto de revolución: (53)

→ H =

∫∫∫ ρ

S

l

→r-ndldsdρ) (r

Por (50) podremos escribir: → → → →∧H →∧D πV = m = 2αnm 1

→ es una dirección cualquiera: y como m → → (54) H = 2α D n

1

1.13.- Cuando no se trata de un cilindro recto, sino de un cuerpo filiforme de grueso infinitesimal variable ó no, y la sección ortogonal por el→ origen P es esférica de centro O, y →=P ¯O es infinitesimal, seguirá válida la además se tiene que c ecuación (52). A los efectos de integración, la totalidad del cuerpo filiforme es ahora equivalente a un segmento finito del cuerpo tangente por 0 al dado, y que conteniendo a los puntos de tangencia, sea tan pequeño como se quiera. Por lo tanto, si se trata de determinar → πV en un punto del interior de un cuerpo filiforme de sección esférica infinitesimal y a una distancia r del eje, este cuerpo equivaldrá a un cilindro recto tangente por el mismo punto de radio r.

142

→ para cualquier cuerpo. 2.- Valor de ∇D 2.01.- Generalidades. Sea como ejemplo. un tensor → σ aplicado al punto A, expresable por:

→’=-r →): (r

→ σ =

∫

→r-n)d→ (→ µr λ = -

V

∫

V

→’r-n)d→ (→ µr λ

→ → en que V es un cuerpo m-dimensional, dλ una función de dV infinitesimal, → µ el valor de una magnitud de→ punto determinada →, r →=-r →=A →'=N →. correspondiente a un punto N de cada dV ¯N y r ¯A → (∇⊗σ →, ∇σ →, etc.), también en A, Para calcular ∇•σ tendremos en cuenta: a) Lo dicho en '2.01 b) sobre el vector de posición a que se →’. ha de referir ∇, y que ahora resulta ser r → b) Que → µ y dλ no se hallan aplicados al punto A, y por tanto → ∇ no se refiere a → µ ni a dλ. Si el punto A eventualmente pertenece a V, consideraremos dos segmentos de V, V2 muy pequeño al que A pertenece y V1 resto de V al que no pertenece A (V=V1+V2), y, en vez de la integral dada, utilizaremos la suma de una integral correspondiente a V1 y otra eventual correspondiente a V2 que contiene al origen, supuesto único punto singular. Ahora nos limitaremos a considerar la integral en V1, en el supuesto de que sea finita y con todos los sumandos →. Por lo tanto, la derivada de variables en forma contínua con r esta integral es igual a la integral de las derivadas de cada sumando. Para ella podremos escribir: (55)

r -n r → = - [∇ •{(µr r ′r )dλ}] ∇•σ ∫ v1

µ escalar queda así: que para → → = - µ[∇ •(rr ′ -ndλr)] ∇•σ r ∫ V1

→ →r-ndV. 2.02.- Cálculo de ∇D=∇∫Vµr Efectuaremos el cálculo suponiendo que µ es escalar, V → un cuerpo n-dimensional cualquiera y dλ=dV. Por lo tanto. para V1 podremos escribir: r r ∇D1 = -∫ µdV ∇(r′r-n) = 0 V1

y en consecuencia, si el punto es interior a V tendremos: 143

r r r ∇D = ∇D2 = -∇ ∫ µr′r-ndV V2

Podemos adoptar para V2, suficientemente pequeño para que en él µ uniforme y por tanto nos permita sacarlo Admitimos que a la integral que queda, puede de Ostrogradski, y al hacerlo así tenemos:

cualquier volumen se pueda considerar del signo integral. aplicarse el teorema

r r r r ∇D = -µ ∫ (∇[r′r-n])dV = -µ ∫ r′r-n ds = µ ∫ rr-n ds V S S 2

2

2

El valor de la integral es independiente de la forma y posición de V2 y coincide con el del ángulo sólido correspondiente a una superficie cerrada desde un punto interior, cuyo valor sabemos que es nkn. Por consiguiente tendremos finalmente para V2, cuando existe: → = nµk ∇D 2

n

Por lo tanto, considerando µ=0 en todos los puntos exteriores a V, en cualquier caso se verificará: → = nµk ∇D n

→ y µ referidos al punto A. para los valores de ∇D 2.03.- También hubiésemos podido obtener este resultado a partir de la fórmula de '1.05 caso 2º: → = k µc → D n

→ al multiplicar miembro a miembro por ∇, y cambiando para ello c → → por c’=-c: → →’ ∇D = -knµ∇c →’=n, al pasar nuevamente al origen A queda: y como ∇c → = k µn ∇D n → podemos 2.04.- En consecuencia de lo visto sobre ∇D → expresar el valor de D correspondiente a un punto A de la siguiente manera: → = ∫t → µ dV → =r →r-n): (t D Ai

A

V

Ai

i

i

→ actúa como t → pues el teniendo en cuenta que en el sumatorio, t Ai →i pues es → extremo de r está en dVi, pero respecto a ∇ actúa como t → = µ k n.A un vector localizado en A, y de esta manera ∇D A A n

144

3.- Campos solenoidales. 3.01.Refiriéndonos a espacios puntuales ndimensionales, llamaremos campos solenoidales a los campos → no uniformes que verifican ∇v →=0 en todos los vectoriales v puntos no singulares.

→ es un campo solenoidal y por tanto ∇v →=0, de Cuando v acuerdo con lo que vimos en B'5.06, la fórmula (41) de Ostrogradski queda reducida a la siguiente:

r

∫ vds

(56)

= 0

3.02.- Líneas y tubos de campo.

→ a toda Llamamos línea de campo en un campo vectorial v → línea del espacio tal que el valor de v en cada uno de sus puntos es tangente a la línea. Y llamamos tubo de campo a toda superficie tubular (n-1)-dimensional que contiene a las líneas de campo de cada uno de sus puntos. 3.03.- Tubos de campo.

→ un tubo de campo de Sea en un campo solenoidal S superficie (n-1)-dimensional y en cuyo interior no hay puntos singulares. Considerando una superficie cerrada (n-1)-dimensional, compuesta por un segmento de tubo limitado por dos secciones transversales, que denominaremos 1 y 2, sabemos por (56) que se verifica:

r S ∫ ds = 0 y como en todos los puntos de la superficie tubular se verifica por hipótesis: →¯s → = 0 Sd la ecuación anterior implica para los límites 1 y 2 la igualdad: (57)

∫

1

r S ds =

∫

2

r Sds

cualesquiera que sean las secciones del tubo elegidas como límites, y siempre bajo el supuesto de realizar la integración en el sentido adecuado. La última ecuación se puede expresar así: i1 = i2 = i

→ y decimos que los flujos de un campo solenoidal S que atraviesan 145

dos secciones cualesquiera de un tubo de campo, son iguales. En cuanto al flujo que atraviesa la pared tubular, ya hemos dicho que es nulo. 3.04.- Tubo elemental. Llamaremos así a todo tubo de campo de un campo _→ → cuando sus solenoidal S secciones planas (n-1)-dimensionales d s son infinitesimales y por tanto su flujo característico → Sd ¯→ s, que designaremos por di, también es infinitesimal. El tubo de campo corresponde ahora a una línea y → en cada punto admitiremos que los vectores S de una sección infinitesimal del tubo por un punto dado, son todos iguales y con → la misma orientación y sentido que el elemento ¯ dl de la línea, en el punto correspondiente de ella.

→, y También tendremos que en un punto con sección ds sección recta escalar ds1, a una longitud dl de tubo corresponderá un segmento de tubo de volumen: → → ¯l dV = d d ¯s = dl.ds1 → →=kdl Podemos escribir S (k escalar) y por tanto: → → →d →= kd ¯l di = S ¯s d ¯s = kdV ⇒ ⇒

k =

di dV

r di S = dl dV → →dV = di d ¯l S ⇒

⇒

⇒ _ → y dl → tienen el versor m → común, si ds es el escalar de y como S 1 la sección ortogonal, podremos escribir: →ds → = S (59) di m (58)

1

3.05.- Hipótesis de trabajo en un campo solenoidal. → no es Sea en un campo solenoidal → S el dominio en que S nulo. Según un método de cálculo habitual consideraremos su espacio como constituído por un conjunto infinito de elementos → diferenciales dV (volumen escalar), cada uno con el vector S correspondiente a su punto representativo. A partir de ahora y siempre que sea posible, también admitiremos el espacio del dominio en cuestión como constituído por un conjunto infinito de tubos elementales, cada uno con un flujo di, y una línea representativa correspondiente a cualquiera de sus puntos. La ecuación (58) antes obtenida, se podrá utilizar en 146

el cálculo, en caso de variar el concepto de conjunto adoptado. Para el dominio en que di≠0, siempre podremos considerar que la distribución del espacio en tubos elementales es tal, que un punto determinado del dominio, es exterior a todos los tubos excepto a un único tubo en que está contenido. Además, siempre podemos condicionar la distribución de manera que el tubo en que está contenido el punto tenga una sección ortogonal por el punto que sea una esfera. Llamaremos R a su radio y ds1 a su volumen escalar. 3.06.- Si →γ es un tensor cualquiera, tendremos pues:

∫

V

→→γdV = S

∫

i

di

∫

l

→ →γd ¯l

El primer miembro se refiere a un conjunto de elementos de volumen, y el segundo→ al conjunto de líneas correspondientes a cada tubo elemental de S de flujo di.

→γ integrable, tendremos que para cada tubo cerrado Para → → ¯l, y por tanto, si son cerrados todos los tubos es nulo ∫lγd elementales, serán nulos los dos miembros de la última ecuación. → de la Por consiguiente, para →γ igual al tensor I aplicación idéntica, que es integrable, para el conjunto de tubos elementales cerrados, y para un conjunto cualquiera de tubos cerrados tendremos:

∫

V

→ →dV = 0 S

→r-n. 3.07.- Ejemplo para →γ= r →r-n es integrable y por tanto, al Sabemos por (20) que r integrar en cualquier línea cerrada, se verificará:

r

∫rr

(60)

−n

dl = 0

Si la línea no es cerrada sino abierta con uno ó dos puntos en el infinito, también ocurrirá lo mismo, pues para sus extremos tendremos r1=r2= ∞ y como por (20) podremos escribir:

∫

2 1

→ →r-n d ¯l r = -(n-2)-1

∫

2 1

→ ∇r-(n-2)dr

se verifica:

∫

2 1

→ = r -(n-2) - r -(n-2) = 0 ∇r-(n-2)dr 2 1

con lo que también tendremos: 147

∫

2 1

→ →r-ndl r = 0

Para cualquier tubo del campo de un vector solenoidal →’ y eligiendo S una línea representativa que no contenga al origen,las dos integraciones equivalentes que siguen son pues siempre de valor nulo:

∫

V

→r →r-ndV S

∫

=

i

∫

di

l

→ →r-nd ¯l r = 0

3.08.- Campo tensorial →τ.

→, las dos integraciones Para todo campo solenoidal S siguientes relativas a un tubo de su campo, en virtud de (58) son equivalentes: (61)

∫

V

→∧r →r-n)dV (S

=

∫

i

di

→ →

∫ (d¯l∧rr l

-n

)

=

→τ

A cada tubo elemental, de flujo di, corresponderá un valor: (62)

d→τ = di

∫

l

→ → -n ¯l (d ∧r r )

que obtendremos considerando a di una constante del tubo e integrando a lo largo de la línea correspondiente al mismo. → ó di no nulos. Bastará considerar los tubos con S El tensor →τ será pues el sumatorio de los valores de → dτ, por cada tubo del conjunto de tubos elementales que forman →. el cuerpo considerado, que siempre será un tubo de campo de S En general, tanto d→τ como →τ variarán según el punto A elegido como origen de los vectores de posición y definiremos su campo, asignando a cada punto del espacio los valores de d→τ y de →τ que resultan al tomarlo como origen. 3.09.- Cuando la línea correspondiente a un tubo elemental sea una línea recta y el origen A no está en el tubo, por (45) podremos también escribir: (63)

→∧a →) a-(n-1) d→τ = di 2αn(m

con los significados descritos en '1.07. → → -n ¯l 3.10.- Otra expresión de ∇[d ∧(rr )]. → ¯l , por álgebra tensorial Para un tubo elemental d podemos escribir: → → -n → → -n → → → →r-n⊗d →r-n) - [∇(r →r-n)]d ¯l ¯l ¯l ¯l ¯l ∇[d ) = (d ∧rr ] = ∇(d ⊗rr ) - ∇(r ∇)(r 148

pero se verifica:

→ → →r-n) = [∇⊗(r →r-n)]d ¯l ¯l (d ∇)(r → →r-n)]d ¯l [∇(r = 0

(64)

Y al sustituir estos dos resultados, queda: → → -n → → → -n →r-n)]d ¯l ¯l ¯l ∇[d = ∇[d ∧(rr )] = [∇⊗(r ⊗(rr )]

→. 3.11.- Cálculo de ∇τ Sea un punto origen A y el total útiles (ó sea con di no nulo), que dan considerar este total, como un conjunto de y 2, tales que el tubo 1 es exterior a A punto A en su interior.

de tubos de campo de → S lugar a →τ, y vamos a dos tubos de campo 1 y el tubo 2 tiene al

El tubo 1, que no contiene a A, originará una parte →τ1 → →. Cada tubo elemental componente, de los de τ y por tanto de ∇τ cuales ninguno contiene a A, genera una parte d→τ de →τ y tendremos que →τ1=∫1d→τ El tubo 2, con A en su interior, dará lugar a un → +∇τ → =∇τ →. Siempre se integral →τ2 tal que →τ=→τ1+→τ2 y que ∇τ 1 2 elegir 1 y 2 de manera que un tramo de 2 que contenga a A, suficientemente pequeño, para que, en →sus puntos, se considerar una distribución uniforme de S.

tensor podrán sea lo pueda

3.12.- a) Punto exterior a un tubo de campo. Pudiendo considerar ∫1d→τ diferenciable, no hay inconveniente en operar directamente sobre cada d→τ de la siguiente manera:

∇ ∫ d→τ =

∫

l

l

∇d→τ

→’=-r → de posición adecuado a la y teniendo en cuenta el vector r utilización de ∇ ('2.01), usaremos, para cada tubo elemental, las ecuaciones (62) y (64): ∇d→τ = ∇di

∫

l

→ → -n ¯l (d ∧r’r ) = di

∫

l

→ → -n ¯l [∇(d ∧r’r )] = di

∫

l

→ →’r-n)d ¯l [(∇⊗r ]

→’r-n tiene integral, y ésta es r →’r-n, al Como ∇⊗r integrar entre los extremos 1 y 2 de la línea representativa, si ésta es ilimitada, resulta que tanto si la línea es cerrada (1 y 2 coincidentes), como si es abierta (r1=r2=∞), se verifica: →’r-n] - [r →’r-n] ) = 0 ∇d→τ = di([r 2 1 y como es nulo el verificará también:

resultado

para

149

cada

tubo

elemental,

se

→ =0. ∇τ 1 3.13.- b) Punto interior a un tubo de campo. Tendremos que para un único tubo 2 de espesor despreciable, bastará considerar un tramo que contenga a A, de → uniforme: longitud que tiende a 0 y que admitimos con S

→ = -∇ ∇τ 2

→ →

∫ (S ∧r’r V

→ →

∫ ∇(S ∧r’r

-n

)dV = -

-n

2

)dV

Aplicaremos Ostrogradski, para lo cual además de cambiar la integración _→ de volumen por la de superficie, bastará sustituir (dV∇) por ds, obtenemos:

→ = ∇τ 2

→ →

∫ (S ∧r’r

→ )d ¯s

-n

S

Sustituyendo el producto exterior:

→ = ∇τ 2

→

→

∫ (S ⊗r’r S

= -

→ )d ¯s

-n

→ → →

∫ (Sd¯s)r’r

→

-n

-n

S

→ →

∫ S(r’r

+

S

→)d → = ]⊗S ¯s

∫ ([r’r

+

→) d ¯s

n-1

S

que el primer sumando es nulo por →serlo →¯s →) ya Observaremos → y que en todo tubo de S, los vectores S d ¯s son (Sd → ortogonales, y que en cuanto al segundo, podemos sacar S constante fuera del signo integral. Queda en conjunto:

→ → = S ∇τ

→

∫ r’r S

→= -S →(nk ) d ¯s n

-n

puesto que en el segundo miembro, el factor de → S resulta ser, con signo cambiado (pues se refiere a r’), el ángulo sólido desde el interior del tubo elemental que conocemos por '1,02. 3.14.- c) Resumen. De todo lo que acabamos de ver, resulta que cualquiera que sea el punto del espacio donde se halle situado el origen A, se verifica: → → = -nk S (65) ∇τ n

→ el valor del campo en el siendo S consideraremos nulo en donde no exista.

origen

A,

Aplicación a un espacio tridimensional.

4π ⎤ ⎡ ⎢⎣n = 3; kn = 3 ⎥⎦: 150

r r ∇τ = -4πS

campo

que

3.15.- El resultado de (65), también podríamos haberlo deducido de la fórmula (52) relativa al valor → πV de un cilindro de revolución infinitamente largo, tomando un origen interior A, → la proyección ortogonal de A sobre el eje y siendo el vector ¯ A→ O=c del cilindro. Habiéndose definido →τ y → πV por las ecuaciones (61) y (50) respectivamente, vemos al examinar su aplicación a un mismo cuerpo desde mismo origen, que sólo → se diferencian en que (61) →dV un ¯l utiliza S donde (50) utiliza d ds, entre cuyas cantidades existirá por tanto, la misma relación que entre → πV y →τ. → →dV = Sm →τ = S→ →dlds = S(d ¯l S ds) ⇒ πV Efectivamente, vanos a hallar →τ partiendo de (56) que es una ecuación deducida de la (52). → → →τ = Sπ = 2α m → → V n ∧kn-1c = 2αnkn-1(S ∧c) Multiplicando miembro a miembro por ∇, y cambiando → por c →’=-c →, escribiremos: para ello c → ∧c → = -2α k ∇(S →’) ∇τ n n-1 → ∧c →'): Calcularemos ∇(S → ∧c → ⊗c →) = S →(∇⊗c → →’) = ∇(S →’) - ∇(c →’⊗ S →’) - (∇c →’)S ∇(S

→ →’=I →’=n: y teniendo en cuenta que ∇⊗c (tensor idéntico) y que ∇c → ⊗c → - nS → = -(n-1)S → →’) = S ∇(S y sustituyendo en la anterior expresión de ∇τ→, después de cambiar otra vez de signo con la referencia, queda finalmente: → → = -2σ k (n-1)S ∇τ n

n-1

y como se puede comprobar operando con las constantes: 2σnkn-1(n-1) = nkn el resultado coincide con (65).

151

4.- Campos irrotacionales, 4.01.- En un espacio puntual n-dimensional, llamaremos → no uniforme que campo irrotacional a todo campo vectorial w → → → verifica ∇∧w=0 (ó sea ∇⊗w simétrico) en todos los puntos no singulares.

→ será irrotacional Vamos a ver que un campo vectorial w → si y sólo si w es integrable, es decir, si existe un escalar U →, ó sea tal que w →=∇U. integral de w → es integrable si y sólo Pues por A'5.03 sabemos que w → → → si ∇⊗w es simétrico, ó sea ∇∧w=0. →, Por ser integrable cualquier campo irrotacional w corresponderá a la derivada de una aplicación diferenciable, y por consiguiente, siempre se verificará:

∫

(66)

→ →d ¯l w = 0

→ también lo será Recordaremos que si U es integral de w U' si y sólo si se diferencia de U en un escalar uniforme. 4.02.- Superficies equipotenciales.

→ irrotacional, llamamos superficie En un campo w equipotencial correspondiente a un punto A, al l.g. de los puntos P equipotenciales a A , llamando así a los que verifican:

∫

P A

→ →d ¯l w

= 0

A cada elemento infinitesimal de una superficie → aplicado a equipotencial, corresponderá un vector superficie ds cualquier punto del elemento. Este vector será ortogonal a la superficie y por tanto, de igual dirección y sentido que el → correspondiente al punto. vector w Así pues, en cada punto representativo A, para algún escalar k se verificará: _→ → = kd w s Sólo en → el caso de que A pertenezca a un cuerpo n→=0 en todos sus puntos el l.g. de los puntos dimensional con w equipotenciales con A no será una superficie, sino que contendrá a dicho cuerpo. 4.03.- Capas equipotenciales, Designaremos como capa equipotencial al espacio comprendido entre dos superficies equipotenciales, que por lo 152

tanto constituirán su frontera. 4.04.- Sea en una capa equipotencial un circuito lineal cerrado que conste de cuatro segmentos, uno en la superficie que señalaremos con 1, otro en la otra superficie señalada con 2, y los dos restantes que enlacen los extremos de los segmentos anteriores, y que por tanto enlazarán las superficies 1 y 2 una con otra. Teniendo en cuenta (66), y que en consecuencia las integrales parciales correspondientes a los trayectos sobre igual superficie equipotencial son nulas, para los trayectos entre las superficies 1 y 2, cualesquiera que éstos sean, tendremos un solo valor:

∫

2 1

→ →d ¯l w

= U2 - U1 = constante

4.05.- Capa elemental. Llamaremos capa elemental a la que tiene por frontera dos superficies equipotenciales infinitamente próximas entre sí. Para esta capa, y para dos puntos infinitamente próximos uno de cada superficie la ecuación anterior tomará la forma: → →d ¯l = dU w habiendo llamado dU ó diferencial infinitamente pequeña entre U2 y U1.

de

U,

a

la

diferencia

Una capa elemental equipotencial corresponde ahora a una superficie (n-1)-dimensional y a un espesor infinitesimal → son iguales en todos variable, y admitiremos que los vectores w → ¯ los puntos del trayecto dl y que lo mismo ocurre con los vectores → de superficie infinitesimales d ¯s limitados por un mismo tubo de fuerza. Podremos considerar pues como elemento infinitesimal de volumen de la capa, a su vez de infinitesimal, en el entorno de un punto A a: → → d ¯l dV = d ¯s

parcial volumen

De esta manera, para cada punto de _una superficie → de igual dirección que ds → y: equipotencial, resulta w → → → ⇒ dU = w →d →=kd →d ¯l ¯l w ¯s = k d ¯s ⇒

k = (67)

dU dV ⇒

⇒

dU r r w = ds dV

→ →dV = dUd w ¯s 153

→ y d →s → para cada punto tienen el versor m → común, Como w si dl1 es allí la distancia ortogonal entre superficies, también se verifica en el punto: →dU = w →dl m 1

(68)

4.06.- Hipótesis de trabajo en campo irrotacional. Sea, en un campo irrotacional → w, el dominio en que → w no es nulo. Con el método de cálculo habitual consideraremos su espacio como constituído por un conjunto infinito de elementos → que diferenciales dV (volumen escalar) con el vector w corresponde a su punto representativo. A partir de ahora, podremos admitir también, que el espacio del dominio en cuestión está constituído por un conjunto infinito de capas elementales, caracterizadas cada una por una superficie (n-1)-dimensional representativa correspondiente a uno de sus puntos, y una diferencia dU. En caso de variar la hipótesis utilizada, utilizaremos como fórmula de sustitución, la (67). → →≠0 Para el dominio V en que w , siempre podremos considerar que la distribución del espacio en capas elementales es tal, que un punto determinado del dominio no pertenece más que a una única capa elemental. Integrando (67) para una sola capa elemental cerrada, tendremos:

∫

V

→dV = dU w

∫

S

_→ → ds = 0

y por tanto, para todo conjunto de capas cerradas, se verifica:

∫

(69)

V

→ →dV = 0 w

4.07.- Aplicación a capas cerradas. En general, si →γ es un tensor cualquiera podremos escribir: (70)

∫

V

→γw →dV =

∫

U

dU

∫

S

→ →γd ¯s

siempre que el campo de integración se pueda considerar como un conjunto de capas elementales cerradas y sea por tanto a su vez una capa cerrada. 4.08.- Aplicando (70) con cualquier tensor →γ que en V → → verifique uniformemente ∇γ=0, la última integral resulta nula 154

para toda capa elemental cerrada, pues así se deduce de Ostrogradski. Por tanto en este caso, si todas las capas elementales son cerradas, los dos miembros de la ecuación anterior serán también nulos y podremos escribir:

∫

(71)

V

→γw →dV = 0

De acuerdo con esto, es fácil ver que cuando →γ es el → tensor I de→ la → aplicación idéntica, que es uniforme y por tanto verifica ∇I =0 y no tiene valores singulares, de esta última ecuación podemos deducir la (69). También vemos que si →γ es un vector solenoidal sin →=0, puntos singulares en V, y por tanto por definición verifica ∇γ se le puede aplicar la ecuación (71).

→ →r-n, sabemos que →γd Cuando el vector solenoidal es →γ=r ∫ ¯s es el ángulo sólido con el que se ve la superficie equipotencial cerrada desde el origen. Como este ángulo es nkn si el origen está en el espacio interior a la superficie, y es 0 si está en el exterior, la ecuación (70) podremos escribirla así:

∫

V

→γw →dV = (U -U )nk 2 1 n

siendo U1 y U2 los valores de U extremos del conjunto de capas elementales que contienen al origen. El valor de U en el infinito se acostumbra a considerar nulo.

→. 4.08.- Campo tensorial →χ. Valor de ∇χ Sea el tensor

→χ =

∫

V

→∧r →r-n)dV (w

=

∫

U

dU

∫

→ ∧r →r-n) (d ¯s

→ → ¯l Análogamente a '3.10, podemos sustituir d por d ¯s obteniendo: _→ → -n _→ → -n ∇[ds ∧(rr )] = ∇[ds ⊗(rr )] → → en lugar de S y operando con capas en lugar de tubos, y con w llegamos al resultado: → = -nk w → ∇χ n que se verifica cualquiera que sea el punto del espacio donde se → el valor del campo en el halle situado el origen, siendo w origen.

155

5.- Campos armónicos.

→ que 5.01.- Llamamos armónico a todo campo vectorial v sea a un tiempo irrotacional y solenoidal, ó sea que verifica tanto la relación característica del uno, como la del otro: → = 0; ∇v

→ = 0 ∇∧v

y tendrá por tanto, a la vez, las propiedades de ambos campos.

→ irrotacional tendremos que será la derivada Por ser v ∇U de una variable U escalar, y por ser también solenoidal, su producto contracto por ∇ habrá de ser nulo. La condición de armonicidad para la derivada de algún escalar U, es pues: 0 = ∇(∇U) = (∇∇)U = ∆U (laplaciana de U) ó ecuación de Laplace. Los campos escalares U, que verifican la ecuación de Laplace son las soluciones de la misma. Si en un dominio de U, solución de Laplace, la → de Laplace, es diferenciable y regular, aplicación puntual v decimos que en este dominio ó región del espacio, U es una →=∇U es un campo armónico. función armónica, y que v

→, conservarán su 5.02.- En los campos armónicos v sentido los conceptos de tubo de campo y elemental y de flujo i ó di, así como los de capa equipotencial y elemental → y de →, diferencia de potencial U2-U1 ó dU. En cuanto a los campos S y w → ambos coincidirán en un mismo campo vectorial v. Ahora al espacio lo podremos integrar indistintamente tanto por tubos elementales como por capas elementales, de acuerdo con las ecuaciones (58) y (67) de equivalencia: → → →dV = di d ¯l v = dU d ¯s que normalmente a elementos de volumen rectangulares → se→ referirán → son vectores de igual dirección. ¯l en los que d , d ¯s y v

→=0 en 5.03.- Vamos a ver en qué condiciones tendremos v un campo armónico. Como las ecuaciones (59) y (68) serán aplicables a un campo armónico, de ellas deducimos fácilmente: di = v ds;

v=

di dU = ds dl

⇒

dU = v dl ⇒

v2 =

di dU di dU = ds dl dV

y recordaremos que di no varía a lo largo de un tubo y que dU 156

tampoco varía en una capa equipotencial. a) En algún punto del campo útil, di ó dU no es nulo.

→ en todo el dominio. No serán nulos ambos valores ni v De la ecuación última deducimos entonces, que al disminuir v, aumenta dV, y que si v tiende a cero, dV crece indefinidamente, y esto solo es posible cuando el punto se aleja indefinidamente. Por consiguiente, solamente podemos considerar nulo a → v en puntos del campo en el infinito. b) En algún punto del campo útil di ó dU son nulos. Lo serán ambos valores así como v en todo el dominio. 5.04.- Valores máximos y mínimos de U en su campo. Corresponden a los puntos de derivada nula de U, ó sea con → = 0. ∇U = v Por lo expuesto en el párrafo anterior ó no existe ningún máximo ni mínimo en el interior del dominio útil →=0 en la totalidad del mismo. considerado ó bien se tiene v En consecuencia, una función armónica U es uniforme en un volumen útil determinado si lo es en su frontera. 5.05.- Un campo armónico notable y una función armónica notable son respectivamente:

→r-n; r

-(n-2)-1r-(n-2)

que hemos estudiado en A'7.04. Esta función armónica se denomina elemental, pues se puede demostrar que toda función armónica puede obtenerse como combinaciòn lineal de un número finito ó infinito de funciones armónicas elementales. 5.06.- Se demuestra que toda función armónica es analítica ó sea desarrollable en serie de Taylor, en el entorno de un punto cualquiera de su campo. 5.07.- Sea como ejemplo de demostración por cálculo tensorial, el cálculo de la función armónica que corresponde a un dominio en cuya frontera U es uniforme.

→ uno vectorial, ambos Sea U un campo escalar y v →). cualesquiera, y consideremos la integral de volumen de ∇(Uv Por Ostrogradski podremos escribir:

∫

V

→)]dV = [∇(Uv 157

∫

S

→. →)d (Uv ¯s

Esta expresión, cuando U es uniforme en la frontera y → v es solenoidal, se anula por (56):

∫

V

→)]dV = U [∇(Uv

∫

→ = 0 →d v ¯s

S

Por otra parte, si U es una función armónica del campo →=∇U, y tenemos por tanto ∇v →=0, podremos escribir: armónico v

→) = v →(∇U) + U(∇v →) = v →(∇U) = v2 ∇(Uv

∫

V

→)]dV = [∇(Uv

∫

v2dV

V

De estas expresiones y de la anterior deducimos:

∫

V

→)]dV = 0 = [∇(Uv

∫

V

v2dV

→=0, ó sea U uniforme. y por tanto, en todo el volumen tendremos v

158

D.- ECUACIONES DIFERENCIALES

1.- Ejemplos de ecuaciones diferenciales. 1.01.- Primer ejemplo. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas en →τ de coeficientes constantes. Variable independiente t escalar. Son de la forma:

r r r r r r dτ dn τ d2 τ A = kn n +...+ k2 2 + k1 + k0 τ = 0 dt dt dt → Ensayando una solución de la forma →τ=λeβt, constante y e número de Euler, se obtiene: r r = k0λeβt k0 τ

r dτ k1 dt

= k1

con

→ a

r d r βt (λe ) = k1λeβtβ dt

r r r d dτ d r d2 τ = k2 (λeβt) = k2λeβtβ2 k2 2 = k2 dt dt dt dt . . . . . . . . .

r r dn τ n kn n = kn λeβtβ dt Sustituyendo en la ecuación, resulta: → βt → λe [knβn + ... + k2β2 + k1β + k0] = 0 Serán válidas las soluciones correspondientes a los valores de β que anulan el corchete, es decir, las soluciones de la ecuación: knβn + ... + k2β2 + k1β + k0 = 0 1.02.- 2º ejemplo. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de un tensor → σ con coeficientes →τn uniformes de orden n. Variable →. independiente vectorial x

→ y →τ = k, son de la forma: Con →τ1=v 0 → →τ (∇⊗n⊗σ →) + .. + →τ (∇⊗∇⊗σ →) + v →) + k→ →(∇⊗σ σ = 0 n 2 159

→ →→ → Ensayaremos una solución de la forma → σ = λea x siendo λ → → un tensor uniforme del orden de σ y a un vector uniforme. Se obtiene: →→ →ea→x→ ∇(ea x ) = a

y por lo tanto: k→ σ

→ →→ = kλea x

→→ →→ →) = v →(∇⊗σ →(∇⊗ → →[(∇ea→x→)⊗ → →(a →⊗ → λea x ) = v λ] = v v λ)ea x →→ →→ →τ (∇⊗∇⊗σ →)= →τ [∇⊗(∇⊗σ →)]= →τ (∇⊗a →⊗ → →⊗a →⊗ → λ)ea x = →τ2(a λ)ea x 2 2 2

. . . . . . . . →→ →→ →τ (∇n⊗σ →) = →τ (a →n⊗ → →n) → λ)ea x = (→τna λea x n n

Sustituyendo en la ecuación resulta: →→ → →n + ... + →τ (a →⊗a →) + v →a → + k] → [→τna λea x = 0 2 Por lo tanto la solución ensayada es válida con → que anule el corchete, es decir, que sea cualquier valor de a solución de la ecuación:

→τ a →n + ... + →τ (a →⊗a →) + v →a → + k = 0 n 2 llamada ecuación característica. 1.03.- Forma vectorial de la ecuación de Euler del cálculo de variaciones. Nos limitaremos a un desarrollo esquemático.

→(t) del Sea en un espacio puntual afín una curva x espacio y un segmento de la misma entre el punto A correspondiente al valor a de una variable independiente escalar t y el punto B correspondiente al valor b. Supondremos que no → es función continua de t en dicho segmento y por tanto sólo x →’=dx →/dt, existe en cada uno de sus puntos una derivada escalar x sino que esta derivada también es continua en dicho segmento. Sea también una función f escalar de las tres → y x →'. Separando variables podremos escribir: magnitudes t,x

→ + f dx →’ df = ftdt + fxdx x’ 160

en cuya expresión t es la única variable independiente, ft es la → derivada parcial respecto t, fx la derivada parcial respecto a x → y fx’ la derivada parcial respecto x’. Por razón de homogeneidad estarán representadas por una magnitud escalar y dos vectoriales respectivamente. Escribiremos en consecuencia: → → → → df = ftdt + fxdx + fx’dx ’ Vamos a estudiar ahora la integral I =

∫

AB

→,x →’)dt f(t,x

→(t) entre A y y veamos qué condiciones necesita reunir la curva x B para que esta integral sea extremal, es decir, para que toda variación en la curva entre A y B cambie su valor en el mismo sentido, sea de aumentar o disminuir. Para ello consideraremos una variante cualquiera del →+αv →, con v →(t) una curva cualquiera tal que v →(a)=v →(b)=0 →, tipo x y α un parámetro escalar. Esta nueva curva evidentemente también contiene a los puntos A y B y para ella la integral I toma el valor siguiente: I =

∫

AB

→+αv →, x →’+αv →’)dt f(t, x

→, obtenemos Dando distintos valores a α para un mismo v una familia de curvas que pasan por A y B, siendo la curva primitiva la que corresponde a α=0. Si esta curva primitiva es extremal se habrá de verificar: ⎛ dI ⎞ ⎜ ⎟ = 0 ⎝ dα ⎠α=0 → determinado, Obtendremos pues la condición para un v → fijo, derivando I respecto a α para α=0, considerando v e igualando a cero el resultado que se obtenga: 0 =

∫

AB

→→ → v → (fxv + f x’ ’)dt =

∫

AB

→→ fxv dt +

∫

AB

→ → fx’v ’dt

pero se verifica:

∫

AB

r r rr b fx′ v ′ dt = [vfx′ ] − a

r r dfx′ ∫AB v dt dt

Como el término integrado es nulo por serlo → v en A y en B, al sustituir el primer miembro en la ecuación anterior, se tendrá: r r r r r dfx′ r r dfx′ 0 = ∫ fx v dt − ∫ v dt = ∫ (fx − )vdt AB AB AB dt dt 161

Como si la curva primitiva es extremal,esto se habrá de → que se anule en A y B, resulta verificar para cualquier v finalmente que es condición necesaria para ello la siguiente:

r d → → fx - fx’ = 0 dt aunque podríamos ver que no es suficiente.

162

E.- SERIES POLINOMICAS. 1.01.- Teorema de Rolle. Vamos a generalizarlo para tensores. Sea una función µ escalar de → x, tal que µa=µb, es decir, → →=a → que para x →=b que toma igual valor para x . Admitiremos también que µ y ∇µ varían en forma continua → → hasta b desde a a lo largo del segmento rectilíneo AB que → → y b determinan a . Vamos a demostrar que en estas condiciones, en AB → y distinto de A y siempre existe un punto C correspondiente a → x=c de B, para el que ∇µ verifica: → → → → → → (∇µ)C(b-a ) = 0 ⇔ [(∇µ)(b-a )]C = 0 Efectivamente, si pasamos de A a B por segmentos →, todos de igual dirección, se tendrá: diferenciales dr

µB - µA =

∫

AB

→ (∇µ)dr

Dado que por hipótesis se verifica µA=µB, el sumatorio integral del 21 miembro es nulo, por cuya razón, si no son →, habrá en el segmento siempre nulos los incrementos dµ=(∇µ)dr algún punto C entre A y B en que los incrementos cambiarán de signo y para él se verificará: → → = 0 (∇µ)Cdr y como ACB es una recta, se verificará también: → → → (∇µ)C(b-a ) = 0 1.02.- Fórmula tensorial de Taylor.

→, la Para un tensor →τ de cualquier orden, función de x → fórmula tensorial de Taylor expresa τB, es decir, el → → → el valor de → = b → + (b → arbitrario, valor de →τ para x = a -a), siendo a en función: →=a →, de →τA = valor de →τ para x →=a → del valor de las sucesivas derivadas de →τ para x → → y de las potencias tensoriales de b-a. La fórmula es la siguiente:

r r 1 r r r r = r + 1 (∇ ⊗ rτ (b )A -a) + (∇⊗2⊗ τ)A(b-a)⊗2 + .... τB τA 1! 2! 163

.... +

1 ⊗m r r r ⊗m r (∇ ⊗ τ)A(b-a) + ε m!

En esta expresión, cuyos términos son todos tensores del mismo orden que →τ, →ε es la diferencia entre →τB y el polinomio que precede a →ε, y se denomina término complementario. 1.03.- Cálculo de →ε. Admitiremos para el cálculo, que tanto →τ como sus m+1 primeras derivadas son finitas y continuas en el segmento AB, y procederemos así:

→: Examinemos el siguiente escalar µ función de x (72)

1 1 r ⎡r r r r r r r µ = σ ⎢ τ + (∇ ⊗ τ)(b-x) + (∇⊗2⊗ τ)(b-x)⊗2 + ... 1! 2! ⎣ r r r 1 ⊗m r r r ⊗m r ν(b-x)⊗(m+1)⎤ ....+ (∇ ⊗ τ)(b-x) + ε r r r ⊗(m+1)⎥ ν(b-a) m! ⎦

σ es un tensor arbitrario del mismo orden que en cuya expresión, → →τ y →ε, y → v es cualquier tensor de orden m+1 que sea simétrico y que verifique: → →-a →)⊗(m+1) ≠ 0 v(b Del examen de la expresión de µ se deduce fácilmente que µ verifica la siguiente relación:

µa = µb = → σ→τB y que por tanto cumple la condición exigida a la función µ que ha intervenido en la demostración del teorema de Rolle. Por consiguiente podemos establecer que en algún punto del segmento AB, distinto de A y de B, se verifica: → → ) = 0 (73) (∇µ)C(b-a C

Sustituyendo en esta igualdad el valor dado a µ, y después de diversas operaciones, se obtiene finalmente en '1.10/1.13, la siguiente ecuación: (74)

rr σε =

r σ r r r (∇⊗(m+1)⊗ τ)C(b-a)⊗(m+1) (m +1)!

1.04.- La expresión anterior, para el caso de que →τ sea de orden 0 (escalar) ó el de que a todo → σ corresponda el mismo punto C, se reduce a: (75)

r ε =

1 r r r (∇⊗(m+1)⊗ τ)C(b-a)⊗(m+1) (m +1)!

164

Si además de ser escalar →τ, tenemos que el espacio es unidimensional, esta expresión de →ε queda reducida al conocido término complementario de Lagrange. En los demás casos si quisiéramos determinar intrínsecamente, ello sería teóricamente posible a partir de

→ε

considerar una base vectorial de los tensores → σ de conocer los puntos C para cada vector base, y de resolver el sistema de ecuaciones que resultarían de aplicar sucesivamente cada tensor base a (74). 1.05.- En cuanto al modo de determinar los coeficientes de →ε de cualquier tipo (covariantes, etc,), lo expondremos a través de un ejemplo. Sea → ρC el tensor siguiente: r ρC =

1 r r r (∇⊗(m+1)⊗ τ)C(b-a)⊗(m+1) (m +1)!

con lo que la ecuación (74) se convierte en:

→ σ→ε = → σ→ ρC y supongamos que los factores son de segundo orden.

→ } del espacio n-dimensional E en Adoptando una base i{e → → →ij), tensor base de su espacio que trabajamos, para σ =(e ⊗e vectorial, habrá algún punto C para el que se verificará: →i⊗e →j)→ε = (e →i⊗e →j)→ (e ρC y por tanto habrá la siguiente relación de coeficientes:

εij = (rij)C que determina el coeficiente εij de →ε correspondiente al vector base elegido. Vemos así, hablando ya en general, que cada coeficiente de →ε coincide con el mismo componente de → ρC correspondiente a algún punto C intermedio entre A y B. Este punto podrá ser distinto para cada componente. 1.06.- Serie de Taylor.

→. Sea un tensor →τ, función de x El desarrollo de →τ en serie de Taylor, es el visto anteriormente, o sea:

165

r r 1 r r r r = r + 1 (∇ ⊗ rτ (b )A -a) + (∇⊗2⊗ τ)A(b-a)⊗2 + .... τB τA 1! 2! 1 ⊗m r r r ⊗m .... + (∇ ⊗ τ)A(b-a) + ... m! Para que esta expresión sea válida, se precisa: a) Que →τ sea diferenciable indefinidamente. b) Que la serie sea convergente. 1.07.- Un criterio de convergencia deducido de los párrafos anteriores, es que se verifique: r r r (∇⊗(m+1)⊗ τ)C(b-a)⊗(m+1) r r r r (∀c; c∈[a,b]): = 0 lim m →∞ = (m +1)! 1.08.- Serie de Mac-Laurin.

→ →=0 Es la serie de Taylor para el caso a , o sea:

r 1 1 r r r r r = r + 1 (∇ ⊗ rτ b )0 + (∇⊗2⊗ τ)0 b⊗2 + .. + (∇⊗ m ⊗ τ)0 b⊗ m + .. τB τ0 1! 2! m! 1.09.- Valor de la diferencia →τB - →τA →=dx → y →τ indefinidamente diferenciable con Para A ¯B →=a →, podremos escribir la fórmula de Taylor derivada finita para x de esta manera:

1 r r ⊗m r 1 ⊗2 r r ⊗2 r - r = 1 (∇ ⊗ rτ dx + (∇ ⊗ τ)A d x + .. + (∇⊗ m ⊗ τ)A d x + .. )A τB τA 1! 2! m! Es una consecuencia de los últimos párrafos. 1.10.- A continuación vamos a detallar las operaciones antes omitidas para obtener la ecuación (74). Por no ser necesario y para simplificar, suprimiremos el signo ⊗ en los exponentes. En primer lugar vamos a considerar por separado los términos que resultan del producto por → σ de cada término del corchete de (72) con la excepción del último →y los sustituiremos →). Como para el en (73) obteniendo m+1 términos de (∇µ)C(b-a término m+1, aplicando los teoremas fundamentales de esta álgebra se verifica:

r r r r r r rr ∇{σ[(∇ m ⊗ τ)(b-x)m]} = ∇[∇ m(b-x)m](στ) el término αm+1 en (73) puede representarse así: 166

r r 1 rr r r {∇[∇ m(b-x)m](στ)}C(b-a) m!

α m+1 =

y con 0≤i≤m, para el término general i+1 tendremos:

αi+1 =

r r r r 1 rr { [∇(b-a)][∇i(b-x)i](στ)}c i!

Teniendo en cuenta que eli factor ∇, como operador de → → derivación, se refiere tanto a (b-x ) como a →τ, consideraremos a αi+1 como suma de dos sumandos α’i+1 y →α”i+1 i, el primero para →τ como →) como tensor afectado. tensor afectado y el segundo para (b-x 1.11.- Siempre aplicando los teoremas fundamentales, para el valor en C del primer sumando tendremos:

r r r r r r r r r r 1 1 r r α’i+1 = [∇i ⊗∇ ⊗ τ]C [(b-c)i ⊗(b-a)⊗ σ]= [∇i+1 ⊗ τ]c[(b-c)i ⊗(b-a)⊗ σ] i! i! Ahora bien, por tener igual dirección y sentido podemos →-c → por k(b →-a →) y tendremos: sustituir b

α’i+1 =

r r 1 i+1 r i r r i+1 r 1 r r [∇ ⊗ τ]c[k (b-a) ⊗ σ] = [ (∇i+1 ⊗ τ)cki(b-a)i+1]σ i! i!

Para el valor en C del segundo sumando se verifica:

α ′i′+1 =

r r r r rr 1 {∇[∇i(b-x)i]}c(b-a)(στ)C i!

→-x →)i] es la derivada de un monomio en (b →-x →) Pero ∇[∇i(b i → → i-1 y sustituyendo por su valor -i∇ (b-x) dado por (17) y A'6.03c, se tiene: α ′i′+1 = -

r r r r rr 1 i{[∇i(b-x)i-1](b-a)(στ)}C = i!

r r r r r r r r r i 1 rr r = - {∇i[(b-x)i-1 ⊗(b-a)](στ)}C = (∇i ⊗ τ)C[(b-c)i-1 ⊗(b-a)⊗ σ] i! (i-1)!

y por consiguiente:

α”i+1 = - α’i 1.12.- Cálculo del último término β. Tendremos en cuenta que la fracción que figura en la expresión de →ε es de términos escalares. r r r r r {∇[ν(b-x)m+1]}C r r β = (εσ) r r r m+1 (b-a) ν(b-a) 167

y como por ser derivada de un monomio se verifica:

→-x →)m+1]} = -(m+1)→ →-c →)m {∇[→ v(b v(b C tendremos sustituyendo: r r r r r r r r r r r r ν[(b-c)m ⊗(b-a)] r r [(m +1)ν(b-c)m](b-a) = -(m +1)(εσ) β = -(εσ) r r r r r r ν(b-a)m+1 ν(b-a)m+1

Ahora bien, por tener igual dirección y sentido podemos →-c → = k(b →-a →) y sustituir, con lo que quedará: escribir b r r r rr r r m ν(b-a)m+1 β = -(m +1)(εσ)k r r r m+1 = -(m +1)(εσ)km ν(b-a)

→-a →)} , son: 1.13.- Resumiendo, los términos de {(∇µ)(b C α1 α2 α3 . . αm+1 β

= = = .

α’1 α’2 – α’1 α’3 – α’2 . . . . .

r r 1 r r = α’m+1 - α’m = [ (∇ m+1 ⊗ τ)C km(b-a)m+1]σ - α’m m! = - (m+1)(→ σ→ε)km. Sumando miembro a miembro, queda:

r r 1 r rr r 0 = [ (∇ m+1 ⊗ τ)C km(b-a)m+1]σ - (m +1)(σε)km m! de donde se deduce: rr σε =

1 r r r r [(∇ m+1 ⊗ τ)C(b-a)m+1]σ (m +1)!

que es la ecuación que buscábamos.

168

APENDICE 1 1.-

Cálculo de αn. Ampliación de Análisis T. C'1.07.

1.01.- Tomaremos p entero con valores 1,2,3.. y tendremos así que 2p representará cualquier entero par y 2p-1 ó 2p+1 cualquier entero impar. 1.02.- Utilizaremos las siguientes integrales definidas que constan en el Hütte: π 2

∫

+

∫

+

0

0

π 2

cos2p xdx =

expresiones

de

1·3·5····(2p-1) π 2·4·6····( 2p) 2

cos2p+1 xdx =

2·4·6····(2p) 1·3·5····( 2p +1)

1.03.- Utilizaremos del ensayo sobre cuádricas los valores que nos da del volumen Vn de las esferas para valores de n tales como 2p y sus inmediatos inferior y superior, ó sea los impares 2p-1 y 2p+1.

V2p-1 =

2p π p-1r2p-1 (2p-1)(2p-3)····5·3·1 V2p =

V2p+1 =

1 p 2p πr p!

2.2p π pr2p+1 (2p+1)(2p-1)····5·3·1

1.04.- Cálculo de las constantes kn (Cálculo T. C'1.02) para n igual a 2p-1, 2p y 2p+1.

k2p-1

=

2p π p-1 (2p-1)(2p-3)····5·3·1 k2p =

k2p+1 =

1 p π p!

2.2p πp (2p+1)(2p-1)····5·3·1

1.05.- Relación entre constantes k para valores de n 2p+1 y 2p y para valores 2p y 2p-1: 169

(2p)(2p-2)···4·2 2p·p! k2p+1 = 2 = 2 (2p+1)(2p-1)···3·1 (2p+1)(2p-1)····3·1 k2p

(2p-1)(2p-3)··· 3·1 π k2p = 2· p p!2 2 k2p-1

(2p-1)(2p-3)··· 3·1 π = 2 (2p)(2p-2)···4 ·2 2

Estas relaciones se pueden poner en función de cosenos de acuerdo con las fórmulas vistas en '1.02 en la forma siguiente: π 2(2p) + 2 2(2p)(2p-2)···4·2 k2p+1 = = cos2p-1xdx ∫ 0 2p + 1 (2p 1) · · · 3 · 1 2p + 1 k2p π

2(2p-1) + 2 2(2p-1)(2p-3)···3·1 π k2p = = cos2p-2xdx ∫ 0 2p (2p 2) · · · 4 · 2 2 2p k2p-1 1.06.- Para un espacio de dimensión impar n=2p+1, la primera ecuación queda en la forma: π

2(n-1) + 2 kn = cos n-2 xdx ∫ 0 n kn-1

y si es de dimensión par n=2p la segunda ecuación queda así: π

2(n-1) + 2 kn = ∫0 cosn-2 xdx n kn-1

Por lo tanto, tanto si la dimensión n del espacio es par o impar, siempre se tiene:

∫

+

0

π 2

cos n-2xdx = αn =

170

nkn 2(n-1)kn-1

APENDICE 2

1.- Diferenciales y derivadas. 1.01.-Definiciones. Sean dos valores x y x+dx de una magnitud independiente y los dos valores correspondientes y = f(x) y y+dy = f(x+dx) de una magnitud función de x.

Siendo dx y dy cantidades infinitamente pequeñas que se llaman respectivamente diferencial de x y diferencial de y. Por definición pues diferencial de y vale: dy = f(x+dx)-f(x)

Definimos como derivada de y a la función f ’(x) que verifica dy = f ’(x)dx 1.02.- Álgebra ordinaria no tensorial. Esta álgebra estudia con amplitud el tema para x e y escalares. Si tenemos el caso de y = f(x) = xn se verifica:

dy = f(x+dx)-f(x) = (x+dx)n -xn = xn+nxn-1dx-xn = nxn-1dx Por lo tanto la derivada de y es nxn-1

1.03.- Álgebra tensorial. Estudia el caso de variable independiente 𝑟⃗ vectorial concretamente el vector de posición y de una variable dependiente 𝜏⃗ Aquí solo estudiaremos el caso de que 𝜏⃗ sea una potencia tensorial de 𝑟⃗, o sea 𝜏⃗ = f(𝑟⃗) = 𝑟⃗ n y aplicaremos la fórmula d𝜏⃗ = (∇⊗ 𝜏⃗)d𝑟⃗ = (∇⊗𝑟⃗ n)d𝑟⃗ Previamente recordaremos ∇⊗𝑟⃗ = 𝑟⃗⊗∇ = 𝐼⃗ y que ∇ aplicada a un producto de n factores iguales es n veces la aplicación de ∇ sobre un solo factor por los n-1 factores restantes. Por lo tanto: 𝑑𝜏⃗ = (∇⊗ 𝜏⃗ )d 𝑟⃗ =(∇⊗𝑟⃗ n)d𝑟⃗= {n(∇⊗𝑟⃗ )⊗ 𝑟⃗ n-1}d𝑟⃗ = n(𝐼⃗⊗𝑟⃗ n-1) d 𝑟⃗ = (𝑛𝐼⃗𝑑𝑟⃗) 𝑟⃗ n-1 = n𝑟⃗ n-1 d 𝑟⃗

La derivada de 𝑟⃗ n es pues n𝑟⃗ n-1

171

El mismo resultado se obtendrá de la analogía entre potencia tensorial y potencia escalar.

172

INDICE DE EQUACIONES AT( 1)......... 14 AT( 2)......... 14 AT( 3)......... 14 AT( 4)......... 22 AT( 5)......... 23 AT( 6)......... 23 AT( 7)......... 23 AT( 8)......... 24 AT( 9)......... 24 AT(10)......... 25 AT(11)......... 25 AT(12)......... 26 AT(13)......... 26 AT(14)......... 26 AT(15)......... 28 AT(16)......... 28 AT(17)......... 29 AT(18)......... 29 AT(19)......... 29 AT(20)......... 30 AT(21)......... 30 AT(22)......... 34 AT(23)......... 34 AT(24)......... 44 AT(25)......... 44 AT(26)......... 44 AT(27)......... 44 AT(28)......... 44 AT(29)......... 71 CT( 1)......... 98 CT( 2)......... 98 CT( 3)......... 99 CT( 4)........ 100 CT( 5)........ 102 CT( 6)........ 102

CT( 7) ....... CT( 8) ....... CT( 9) ....... CT(10) ....... CT(11) ....... CT(12) ....... CT(13) ....... CT(14) ....... CT(15) ....... CT(16) ....... CT(17) ....... CT(18) ....... CT(19) ....... CT(20) ....... CT(21) ....... CT(22) ....... CT(23) ....... CT(24) ....... CT(25) ....... CT(26) ....... CT(27) ....... CT(28) ....... CT(29) ....... CT(29') ...... CT(30) ....... CT(31) ....... CT(32) ....... CT(33) ....... CT(34) ....... CT(35) ....... CT(36) ....... CT(37) ....... CT(38) ....... CT(39) ....... CT(40) .......

173

102 103 103 103 104 104 104 104 105 107 108 108 118 118 121 121 121 121 121 122 123 127 127 128 129 129 129 130 130 130 130 131 132 132 133

CT(41) CT(42) CT(43) CT(44) CT(45) CT(46) CT(47) CT(48) CT(49) CT(50) CT(51) CT(52) CT(53) CT(54) CT(55) CT(56) CT(57) CT(58) CT(59) CT(60) CT(61) CT(62) CT(63) CT(64) CT(65) CT(66) CT(67) CT(68) CT(69) CT(70) CT(71) CT(72) CT(73) CT(74) CT(75)

....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... .......

133 134 137 137 139 140 141 141 141 141 141 142 142 142 143 145 145 146 146 147 148 148 148 149 150 152 153 154 154 154 155 164 164 164 164