Algebra --Unidad 4 Espacios Vectoriales

TECNOLOGICO NACIONAL DE MEXICO INSTITUTO TECNOLOGICO DE VERACRUZ

ALGEBRA LINEAL UNIDAD 4 ESPACIOS VECTORIALES

PROFESORA: BRENDA EDITH ALUMNAS: FLORES MARTINES LLUVIA VANESA RODRIGUEZ SANDOVAL ILSE MARIEL

INGENIERIA MECATRONICA

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INDICE UNIDAD 4 ESPACIOS VECTORIALES 4.1 Definición de espacios vectoriales 4.2 Definición de subespacios vectoriales y sus propiedades 4.3 Combinación lineal. Independencia lineal. 4.4 Base y dimensión de un espacio vectorial, cambio de base. 4.5 Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades 4.6 Base ortonormal, proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt

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PRESENTACION En esta unidad se estudiará el espacio vectorial. Los vectores en R 2  son la introducción al álgebra lineal, por lo que en este espacio se estudiarán los conceptos básicos de vector, independencia lineal, combinación lineal, bases y subespacios vectoriales que después serán generalizados a R 2. Los vectores son importantes por sus aplicaciones en la Física y porque permiten modelar fenómenos de la Economía, y además son básicos para un estudio posterior en otras ramas de la Matemática como Programación lineal, Análisis funcional, Cálculo vectorial, entre otras.

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UNIDAD 4 ESPACIOS VECTORIALES 4.1 Definición y propiedades El conjunto de todas las matrices de un mismo orden dotado de las operaciones suma y producto por un escalar, es un ejemplo particular de la estructura de espacio vectorial que definimos a continuación. Definición 4.1.1.

Sea V un conjunto no vacío. Supongamos que en V hay definida una operación suma, que denotaremos por +, y una operación producto por un escalar, que denotaremos por ·. Diremos que (V, +, ·) es un espacio vectorial real (o simplemente un espacio vectorial) si se verifican las siguientes propiedades:

∀ ∈ ∀ ∈ ∃∀ ∈∈ ∃ ∈ ∀ ∈ ∀∀ ∈ ∈∀ ∀ ∈∈ ∀ ∈ ∀ ∈ ∀∈

1. Propiedad asociativa (+): (u + v) + w = u + (v + w), 2. Propiedad conmutativa: u + v = v + u, 3. Existencia de elemento neutro:

4. Existencia de elemento opuesto:

 u, v, w  V .

 u, v,  V .

 0  V | 0 + v = v,  v  V .

 v  V  -v  V | v + (-v) = 0.

5. Propiedad distributiva I: a · (u + v) = a · u + a · v,

 a  R,  u, v  V .

6. Propiedad distributiva II: (a + b) · v = a · v + b · v, 7. Propiedad asociativa (·): a · (b · v) = (ab) · v, 8. Elemento unidad: 1 · v = v,

 a, b  R,  v  V .

 a, b  R,  v  V .

 v  V.

Los elementos de V suelen denominarse vectores  y los números reales, escalares.

Cabe aclarar algunos detalles de la definición anterior:

• Cuando no haya lugar a confusión con respecto a las operaciones consideradas, denotaremos el espacio vectorial simplemente por V .

• Para evitar confusiones escribiremos los vectores en negrita. En particular, observemos que no debemos confundir el vector neutro 0 y el escalar 0. Todo espacio vectorial satisface las siguientes propiedades.

Proposición 4.1.2. Sea V un espacio vectorial. Entonces, se tiene 1. a · 0 = 0,

∀∈

a  R.

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2. 0 · v = 0,

∀∈ ∈ ∈ ∀∈ v  V .

3. Si a · v = 0 para a

 R y v  V entonces, o bien a = 0, o v = 0.

4. (−1) · v = -v, v  V .

4.1.3. Ejemplos clásicos

Los ejemplos clásicos de espacios vectoriales reales son:

∈

• Dado cualquier n  N el conjunto R n = {(x1, ...xn) : x1, ..., xn las operaciones suma y producto por escalares usuales.

∈

 R} dotado de

• El conjunto Mm×n(R) de las matrices con coeficientes reales de orden m × n dotados de la suma y el producto por escalares usuales.

• El conjunto P(R) de los polinomios de variable real con coeficientes reales con la suma y el producto por escalares usuales.

• El conjunto Pn(R) de los polinomios de grado a lo sumo n con coeficientes reales con la suma y el producto por escalares usuales.

• El conjunto C o (R) de las funciones continuas en R con la suma y el producto por escalares usuales.

• El conjunto C o ([a, b]) de las funciones continuas en un intervalo cerrado [a, b] con la suma y el producto por escalares usuales. Trabajaremos siempre con los ejemplos que acabamos de introducir, por lo que mantendremos la notación siempre que sea posible.

4.2

Dependencia e independencia lineal Definición 4.2.1.

Dado un conjunto de vectores v 1, ..., vk de un espacio vectorial V , llamaremos combinación lineal de ellos a cualquier vector de la forma: a1v1 + ... + a kvk Donde los coeficientes a i , i = 1, ..., k, son escalares.

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El concepto de combinación lineal nos permite dar la definición de dependencia e independencia lineal que será fundamental a lo largo de toda la asignatura.

Definición 4.2.2.

Se dice que un conjunto finito de vectores {v 1, ..., vk} es linealmente dependiente si el elemento neutro se puede escribir como combinación lineal de ellos con no todos los coeficientes nulos. Es decir, si existen escalares a1, ..., a k no todos nulos tales que a1v 1 + ... + a k vk    = 0.

Por el contrario, si {v 1, ..., vk} no es linealmente dependiente, se dice que es un conjunto linealmente independiente. Es decir, si a1v 1 + ... + a k vk    = 0 ⇒  a1 = ... = a k  = 0 .

Como una consecuencia inmediata de esta definición, observemos que cualquier conjunto de vectores que contenga al elemento neutro es linealmente dependiente. Estudiar la independencia o dependencia lineal de un conjunto finito de vectores es equivalente a estudiar si un determinando sistema homogéneo es compatible determinado o indeterminado, respectivamente. Una caracterización equivalente de la dependencia lineal es la que sigue.

Proposici ón 4.2.3.  Un conjunto de vectores {v 1, ..., v k }  es linealmente dependiente si y sólo si podemos expresar uno de los vectores del conjunto como combinación lineal del resto.

NOTA: Que podamos expresar uno de los vectores como combinación lineal del resto no significa que podamos expresar cualquier vector como combinación lineal del resto.

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Definición: Sea S = { v 1

→ , v 2 → , . . . , v k → } un

conjunto

de

vectores

en un espacio vectorial real V . Un vector x → de V es una " combinación lineal

de los vectores de S " , si x → = α 1 v → 1 + α 2 v 2 → + . . . + α k v k → ,para algunos escalares (números reales). El vector x → = 2 6 es combinación vectores v 1 → = 4 3 y v 2 → = 0 3 2

lineal

de

los

x → es combinación lineal de v 1 → y v 2 →  si existen escalares α 1 y α 2 reales tales que: v → = α 1 v 1 → + α 2 v 2 → 2 6 = α 1 4 3 + α 2 0 , − 3 2 2 6 = 4 α 1 , 3 α 1 + 0 α 2 , − 3 2 α 2 2 6 = 4 α 1 + 0 α 2 , 3 α 1 − 3 2 α 2 Como 2 = 4 α 1

⇒

α 1 = 1 2

⇒

 { 2 = 4 α 1 + 0 α 2 6 = 3 α 1 − 3 2 α 2

Como 6 = 3 α 1 − 3 2 α 2 → 6 = 3 . 1 2 − 3 2 α 2 → 6 − 3 2 = − 3 2 α 2 → 9 2 = − 3  2 α 2 → α 2 = 9 2 : − 3 2 = − 3 → α 2 = − 3 Encontré los de v 1 → y v 2 →

4.3

escalares α 1 y α 2

x

→

es

combinación

lineal

Sub espacios vectoriales Definición 4.3.1 .

Sea V un espacio vectorial y sea U un subconjunto no vacío de V. Decimos que U es un sub espacio vectorial  de V si U es en sí mismo un espacio vectorial con las operaciones inducidas de V. Lo denotaremos como U ≤ V . Una caracterización equivalente de subespacio vectorial es la siguiente.

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Proposic ión 3.3.2. Sea V un espacio vectorial y sea ∅   6= U ⊆   V. Entonces U es un subespacio vectorial de V si y sólo si las operaciones suma y producto por un escalar están bien definidas. Es decir, si y solo si para cualesquiera u, v ∈  U y k ∈  R se tiene que u + v ∈  U y ku ∈  U .

Todo espacio vectorial V tiene al menos dos subespacios vectoriales distintos: U = V y U = {0}.   Estos dos subespacios se conocen como subespacios impropios  mientras que el resto de subespacios intermedios se llaman subespacios propios. Uno de los modos más habituales y sencillos de

obtener subespacios vectoriales es a partir de un subconjunto cualquiera de V.

Definición 4.4.3

. Sea S = {s 1, ..., s n } ⊆  V y consideremos el conjunto formado por todas las posibles combinaciones lineales de vectores de S: L(S) = {a1s1 + ... + a nsn ; a i  ∈  R}.

Es fácil demostrar que L(S) es un subespacio vectorial de V Se conoce como subespacio generado por S. Se puede demostrar que L(S) es el menor subespacio vectorial de V que contiene a S. Dado cualquier subespacio vectorial U 6= ∅ , podemos encontrar un conjunto S ⊂  V  de modo que U = L(S). Diremos en este caso que S es un conjunto de generadores de U. Por tener los subespacios vectoriales estructura de espacio vectorial podemos hablar de base y dimensión: una base de un subespacio vectorial U es cualquier conjunto de generadores de U linealmente independiente, y la dimensión de U es el número de elementos de cualquier base suya. Otra manera de representar un subespacio es como el conjunto de soluciones de un determinado sistema homogéneo de ecuaciones lineales. A este sistema se le conoce como ecuaciones cartesianas del subespacio.

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Si U es un subespacio vectorial de V siempre se cumple que:

N° de ecuaciones cartesianas = dim(V ) − dim(U).

Ejemplo 2  2  W={(x 1,x 2 )  ∈  R 2 :x 2=   3x 1 } W={(x 1,x 2 )   ∈ R  :x 2=   3x 1 } ¿es un subespacio de R  ?

Primero analicemos el conjunto W . Son todos vectores de R 2  tales que la segunda componente es el triple de la primera: (x1, 3x1)=x1(1,3)(x1,3x1)=x1(1,3) W   es la recta que pasa por el origen y tiene vector director (1,3), o sea la recta de

ecuación y = 3x . Para decidir si W   es un subespacio de R 2 habría que verificar que se cumplen los axiomas del 1 al 10. El lector puede comprobar que todos se cumplen en este caso. Pero en general no es necesario verificar los axiomas porque existe un criterio sencillo para determinar si un subconjunto W de un espacio vectorial V es un subespacio, es el que sigue.

Condiciones necesarias y suficientes para caracterizar subespacios Sea W un

subconjunto

de

un

espacio

vectorial V (W ⊆V   ).

WW es s ubes pacio  de V  si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones:

a. 0V está en W. b. Si u y v  están en W , entonces u+vu+v está en W . c. Si u está en W  y k  es un escalar, ku está en W .

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Ejercitación sobre subespacios Ejemplo 1

Consideremos

el

∈

conjunto W ={(x,y) R2|xy=0}

subespacio de R 2? Se cumple (a) pues (0,0)

∈

W (0,0)

∈

∈

W ={(x,y) R2|xy=0},

¿Es

un

W 

No se cumple (b) porque la suma de dos vectores de W   puede no estar en W , por ejemplo: (1,0)+(0,1)=(1,1)

∉

W (1,0)+(0,1)=(1,1)

∉

W 

Entonces W  no es un subespacio de R 2.

Ejemplo 2

∈ ∈ ∈

∈

Consideremos el conjunto W ={(x,y) R2|x=0} W ={(x,y) R2|x=0}. Es decir, la recta de ecuación x=0x=0. ¿Es un subespacio de R 2? Se cumple (a) pues (0,0)

W(0,0)

W

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Se cumple (b) pues la suma de dos vectores de W , está en W : (0,y1)+(0,y2)=(0,y1+y2)(0,y1)+(0,y2)=(0,y1+y2) Se cumple (c) pues el producto de un vector de W  por un número real está en W : k(0,y)=(0,ky)k(0,y)=(0,ky) Luego W  es subespacio de R 2 .

4.4 Base y dimensión de un espacio vectorial, cambio de base. Definición de base.

En álgebra lineal, una base es un conjunto B del espacio vectorial V si se cumplen las siguientes condiciones:   

Todos los elementos de B pertenecen al espacio vectorial V. Los elementos de B forman un sistema linealmente independiente. Todo elemento de V se puede escribir como combinación lineal de los elementos de la base B (es decir, B es un sistema generador de V).

Propiedades de las bases.

1. Una base de S es un sistema generador minimal de S (lo más pequeño posible). 2. Además es un conjunto independiente maximal dentro de S (lo más grande posible). 3. Una base de S permite expresar todos los vectores de S como combinación lineal de ella, de manera única para cada vector. Observaciones adicionales

1. Las bases son conjuntos ordenados. Es decir que si bien {a,b,c} y {b,a,c} generan el mismo espacio vectorial, las bases no son iguales. 2. Dado un vector v y una base B de un espacio vectorial V, existe una única manera de escribir a v como combinación lineal de los elementos de la base B. Es decir, la representación de un vector en una base es única. 3. De la observación anterior se desprende que las bases no son únicas. En general, suele haber infinitas bases distintas para un mismo espacio vectorial. Por ejemplo, si V= R, una base muy sencilla de V  es: B= {(1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1)}

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La cual es conocida como base canónica de R3. Otras bases de R3 son:

 B = (2, 0 , 0 ); (0, 1 , 0 ); (0, 0 , 1 )} B =B =(5(1,04,10,,10);); (1,(0,17,,00);); (1,(0,00,,01)}/2)}

En general, toda base de R3 estará formada por tres vectores linealmente independientes que pertenezcan a R3. Cuando el espacio vectorial en sí mismo es un conjunto finito entonces el número de bases distintas es finito.

1. Si V es un espacio vectorial de dimensión finita, entonces todas las bases de V serán finitas y tendrán la misma cantidad de elementos. 2. No todas las bases tienen un número finito de elementos. Por ejemplo, las bases del espacio vectorial de los polinomios de una variable tienen infinitos elementos. Una posible base es la formada por las potencias de X: B= {1, X, X 2, X3,…} Coordenadas de un vector respecto a una base

Las coordenadas de un vector respecto de una base son los escalares por los que hay que multiplicar los vectores de la base de forma que representen al vector dado mediante una combinación lineal de dichos vectores de la base. Teorema fundamental de la dimensión

Habiendo probado el teorema del intercambio, probar que dos bases cualesquiera tienen el mismo número de elementos es fácil: Teorema

Si un espacio vectorial V tiene una base con n elementos, entonces cualquier otra base de V también tiene n elementos. Demostración

Sean dos bases para V: B1 y B2 una con n elementos y otra con m elementos, respectivamente. Entonces utilizando primeramente que B1 (al ser base) genera a V y que B2 (al ser base) es linealmente independiente en V se deduce por el teorema del intercambio que m ≤ n. Por otro lado, si ahora se usa que B2 genera a V y que B1 es linealmente independiente en V se deduce por el teorema del intercamb io que n ≤ m. Por tanto, m = n

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Definición de la dimensión

El anterior resultado afirma que cualesquiera dos bases para un mismo espacio vectorial tienen el mismo número de elementos. Por consiguiente, la siguiente definición es válida: Definición

Si un espacio vectorial V tiene una base con n elementos, se dice que V es dimensional finito, y que n es la dimensión de V . Se expresa:

dim(V ) = n

Ejemplos

1. n tiene dimensión n pues tiene una base de n elementos (ej. La canónica). 2. M2x2 = {matrices 2x2 con términos reales} tiene dimensión 4. una base M2x2 es: 3. P2= {polinomios de grado 2 con coeficientes reales} tiene dimensión 3. Una base de P2 es, por ejemplo, la formada por los tres polinomios siguientes: 1+ Ox+Ox2, O+x+Ox2, O+Ox+Ox2 (es decir, los polinomios 1, x, x2). Definición de cambio de base

En un espacio vectorial V, dadas dos bases B y B’, se llama matriz de cambio de base (o de cambio de coordenadas) de B a B’ a la matriz q ue contiene en sus columnas las coordenadas de los vectores de la base B expresados en función de

la base B’. Su utilidad es la siguiente: Conocidas las coordenadas de un vector en base B, nos permitirá hallar las coordenadas de dicho vector en base B’. En efecto, sean (a1, a2,. . . an) las coordenadas de un vector en base B, y sea P la matriz de cambio de base de B a B’. Entonces: P

1{2 {12   =

o lo que es lo mismo,

1{2 {12   = P-1

Obteniéndose así (b1, b2,. . . bn) las coordenadas del vector en base B’.

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Ejemplo.

Consideremos en

ℜ

2 las dos bases siguientes:

La base del ejemplo (1) anterior, B = {(2,3), (1,  –1)}

La base canónica B’ =  {(1,0), (0,1)} • Vamos a construir la matriz de cambio de base de B a B’. Para ello debemos expresar los vectores de la base B en función de la base

canónica B’. (2,3) = 2· (1,0) + 3·(0,1) ( –1,1)= 1· (1,0)  –1·(0,1)

→ →

 coordenadas (2,3)

 coordenadas (1,  –1)

Introduciendo estas coordenadas en las columnas de una matriz, tendremos la matriz de cambio de base de B a B’: P=

23 −11 

Del mismo modo podemos construir la matriz de cambio de base de B’ a B. Para ello expre samos los vectores de la base canónica B’ en función de la  base B. Podemos hallarlo planteando dos sistemas de ecuaciones, de los cuales se obtendrá

 

   – 

(1,0) = (2,3) +  (1, –1) (0,1) =  (2,3)

 (1, –1)

→ →

 coordenadas (  coordenadas (

 ,   ,−   )

)

Introduciendo estas coordenadas en las columnas de una matriz, tendremos la matriz de cambio de base de B’ a B.

Q=

 

 − 

Vamos a aplicar estas matrices para hallar las coordenadas en base B del vector v= (1,2). Tenemos sus coordenadas en la base canónica B’ que s on (1,2). Utilizamos la matriz Q de cambio de base de B’ a B:

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 

 1  − 2 −   ,−   =

 Así hemos obtenido (

), las coordenadas de v en base B. Comprobar que son

las mismas que se obtuvieron en el ejemplo (1) anterior. Podemos volver a las coordenadas en base B’ utilizando la matriz P de cambio de base de B a B':

23

 1−1− 

 =

12

Propiedades de las matrices de cambio de base.

1. Toda matriz de cambio de base es cuadrada nxn, donde n es la dimensión del espacio al que se refieren las bases. 2. Toda matriz de cambio de base es invertible (es decir, con determinante no

nulo). Además, la matriz de cambio de B a B’ es inversa de la matriz de cambio de B’ a B. • Comprobar en el ejemplo anterior que P y Q son inversas entre sí. Por tanto, después de hallar P, podríamos haber hallado Q como P –1. 3. La matriz de cambio de una base B a la misma base B, es la matriz identidad.

• Observar en el ejemplo anterior que la matriz más fácil de obtener es la P, que pasa de una base B a la base canónica, pues basta escribir en las columnas la base B.

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4.5

Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades

Espacio vectorial

La noción de espacio vectorial se utiliza para nombrar a la estructura matemática que se crea a partir de un conjunto no vacío y que cumple con diversos requisitos y propiedades iniciales. Esta estructura surge mediante una operación de suma (interna al conjunto) y una operación de producto entre dicho conjunto y un cuerpo. Es importante tener en cuenta que todo espacio vectorial dispone de una base y que todas las bases de un espacio vectorial, a su vez, presentan la misma cardinalidad. Producto interno

El producto interno también conocido como producto escalar, interior o punto, en V es una función que asocia a cada pareja de vectores u, v en V, un número real o escalar que denotamos por < u, v > también se puede expresar como una aplicación (u, v): V x V = K donde V es un espacio vectorial y K es el cuerpo sobre el que está definido V. (u, v). Esto en particular quiere decir que un producto entre vectores de Rn cuyo resultado es un escalar, dicho producto llamamos producto escalar tiene usa serie de propiedades que permiten estudiar algunos aspectos geométricos. Resulta que el producto interno de un espacio Vectorial que en una operación definida en Rn, se definen ciertos productos que no necesariamente se refieren al producto escalar sino a cualquier otro con características análoga (aspecto semejante por cumplir determinada función). Las propiedades básicas que serán los axiomas del producto interno que definiremos a continuación.

1.

< u, v > = < v, u >, para todo par de vectores u y v en V.

2.

< u, v + w > = < u, v > + < u, w >, para todo u, v y w en V.

3.

< k u, v> = k < u, v > = < u, kv >, para todo u, v en V y k E R.

4.

< u, u > ≥ 0  y < u, u > = 0 si y solo si u = 0.

La barra en las condiciones 5 y 7 denota el conjugado complejo.

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Nota. Si < u, v >, es real, entonces < u, v > = < v, u > y se puede eliminar la barra en v >.  Algunas nociones geométricas en R 2 y en R 3 pueden definirse a partir del producto escalar. La definición que sigue es una generalización del producto escalar a otros espacios vectoriales. Ejemplos

Definición 8.1 Sea V un espacio vectorial sobre R (respectivamente C). Un producto interno sobre V es una función Φ : V × V → R (respectivamente C) que cumple:

∈

∈

i) Para cada α  R (respectivamente C), y v, w, z  V • Φ(v + w, z) = Φ(v, z) + Φ(w, z) • Φ(α.v, z) = α. Φ(v, z)

∀ ∈

ii) Φ(v, w) = Φ(w, v)  v, w  V .

∈

(Notar que esta condición implica que para cada v que Φ(v, v)  R.)

∈

 V , Φ(v, v) = Φ(v, v), es decir

iii) Φ(v, v) > 0 si v 6= 0. Notación. Si Φ es un producto interno, escribiremos Φ(v, w) = hv, wi. Definición 8.2  A un espacio vectorial real (respectivamente complejo) provisto de un producto interno se lo llama un espacio euclídeo (respectivamente espacio unitario).

Observación 8.3 De las condiciones i) y ii) de la definición de producto interno se

deduce que si Φ : V × V → R (respectivamente C) es un producto interno, para cada α  R (respectivamente C), y v, w, z  V vale:

∈

Φ(v, w + z) = Φ(v, w) + Φ(v, z),

∈

Φ(v, α.w) = α .Φ(v, w). Ejemplos. Se puede comprobar que las funciones Φ definidas a continuación son productos internos sobre los espacios vectoriales correspondientes:

• Producto interno canónico en Rn:

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Φ((x1, . . . , xn),(y1, . . . , yn)) = x1y1 + · · · + xnyn. • Producto interno canónico en Cn: Φ((x1, . . . , xn),(y1, . . . , yn)) = x1y1 + · · · + xnyn.

∈

• Dada B  Cm×n, denotamos por B

∗∈ ∗

 Cn×m a la matriz transpuesta conjugada de B, es decir, a la matriz definida por (B )ij = Bji. Se define Φ : C m×n × C m×n

→ C como

∗

Φ(A, B) = tr(A.B  ). • Si a < b R como

∈

R y C[a, b] = {f : [a, b] → R / f continua}, se define Φ : C[a, b]×C[a, b] →

Φ(f, g) = Z b a f(x)g(x) dx. Dado un espacio vectorial V es posible definir distintos productos internos sobre V. En el ejemplo siguiente veremos una familia de productos internos en R2. Ejemplo.

Sea Φ : R 2 × R 2 → R definida por  Φ((x1, x2),(y1, y2)) = x1y1 − x1y2 − x2y1 + α. x2y2 Hallar todos los valores de α

∈

R para los cuales Φ es un producto interno.

∈

Es inmediato verificar que, para cualquier α  R se cumplen las condiciones i) y ii) de la definición de producto interno. Veamos para qu´e valores de α se cumple la condición iii). Se tiene que

Φ((x1, x2),(x1, x2)) = x 2 − 2x1x2 + αx2 2 = X 2 1 − 2x1x2 + x 2 2 + (α − 1)x 2 2 = (x1 − x2) 2 + (α − 1)x 2 2

∀ ⇐⇒

De esta igualdad se deduce que Φ(v, v) > 0  v 6= 0

α > 1.

En consecuencia, Φ es un producto interno si y sólo si α > 1.

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4.6 Base ortonormal, proceso de ortonormalización de GramSchmidt Conjunto ortonormal.

Se dice que un conjunto de vector S = {u-----1, u2…, uk} en Rn es un conjunto ortonormal si

U i, uj =0

Si i ≠j

U i, u1 = 1 Si solo satisface la ecuación 1 se dice que es una base ortogonal.

Ortogonal significa que son “perpendiculares” o “normales “que forman ángulos rectos. Pero normalmente decimos que un vector es normal a una recta; no ortogonal; orgonal se usa para hablar de 2 vectores. Longitud o Norma de un Vector

Si vϵ Rn, entonces la longitud o norma de v, denotada por |v|, esta dada por

|v| = √(v*v) Si v = ( x1, x2…, xn), entonces v*V = x12+ x22+ … + xn2. Esto significa que V*v ≥0 y v*v = 0 si y solo si v=0, de esta forma se puede obtener la raíz cuadrada. Teorema 1

Si S = { v1, v2,…, vk} es un conjunto ortogonal de vectores diferentes de cero, entonces S es linealmente independiente. Teorema 2. Proceso de ortonormalizacion de Gam Schmidt

Sea W un subespacio no nulo en Rn con base S= {U1, U2, Um} para W.

En otras palabras…  Sea W un subespacio de dimensión m de Rn. Entonces W tiene una base ortonormal. Es posible transformar cualquier base en (no ortogonal y, por lo tanto, no ortonormal) en una base ortonormal usando el proceso de ortonormalización de Gram – Schmidt. Este método fue desarrollado por Jorgen Gram (1850-1916), actuario danés, y Erhardt Schmidt (1876-1959), matemático alemán. Las fórmulas para este proceso incluyen normalizaciones (vectores unitarios), así como proyecciones de un vector sobre otro para obtener vectores ortogonales.

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Consideremos el proceso para n = 3. Sean los vectores v 1 , v2 y v3 una base de R3 . Obtendremos una base ortonormal a partir de estos vectores. Primer paso. Obtener un primer vector unitario U 1:

Segundo paso. Obtener un vector u 2 ortogonal a u 1

Cuarto paso. Obtener un vector

Quinto paso. Normalizar

:

ortogonal a

y a

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